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August 21, 2018 | Author: Quiñones Felipe | Category: Phoneme, Phonology, Vowel, Linguistics, Word
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PRESENTACIÓN

En una sociedad cada vez más competitiva, necesitamos formar a los nuevos ciudadanos de manera integral, en este contexto, el proceso educativo es un evento de singular importancia en el que la sinergia de profesores y estudiantes es fundamental, siendo vital el uso de material educativo. El Centro de Estudios Preuniversitario de la Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco, con la finalidad de contribuir con sus estudiantes, ha convocado a sus profesores para elaborar un texto que permita facilitar a los estudiantes el aprendizaje de los conocimientos, que son exigidos para su acceso a la Educación Superior. Tenemos la firme convicción de que el material presentado contribuirá en la preparación de los estudiantes en su propósito de acceder a su profesionalización. El personal Directivo, Docente y Administrativo del CEPRU-UNSAAC expresa su felicitación a los estudiantes, que a través de nuestra institución han logrado ingresar a la Tricentenaria UNSAAC, y compromete sus mayores esfuerzos para que nuestros estudiantes logren prepararse adecuadamente para que en futuro próximo inmediato sean distinguidos antonianos.

EL DIRECTOR

II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

CEPRU

AUTORIDADES -UNSAAC: RECTOR

Dr. Germán Zecenarro Madueño

VICE RECTOR ACADÉMICO

Dr. Pompeyo Cosio Cuentas

VICERRECTORA DE INVESTIGACIÓN

Dra. Gladys Georgina Concha Flores

DIRECTORIO -CEPRU: DIRECTOR

MSc. Víctor Ayma Giraldo

COORD. ACADÉMICO

MSc. Luis F. Medina Suyo

COORD. ADMINISTRATIVO

Dr. Renné Wilfredo Pérez Villafuerte

COORD. DE CONTROL Y SEGUIMIENTO

Ing. Pablo Apaza Huanca

DOCENTES COORDINADORES -ASIGNATURAS GRUPO A: COMPETENCIA LINGÜÍSTICA

Mg. Roxssana Elvira Arredondo García

ARITMÉTICA

Lic. Mario Palomino Lezama

ÁLGEBRA

Dra. Paulina Taco Llave

GEOMETRÍA – TRIGONOMETRÍA

Mg. Leonardo Corahua Salcedo

FÍSICA

Lic. Jonny Tello Yarin

QUÍMICA

Lic. Zulma Virginia Lara Díaz Del Olmo

ECOLOGÍA Y MEDIO AMBIENTE

MSc. Violeta Zamalloa Acurio

PERSONAL ADMINISTRATIVO: Lic. Lourdes Arredondo Zárate CPC. Manuel Román Arenas Prof. Américo Farfán Portocarrero DIAGRAMACIÓN: Ing. Dany Jorge Cañihua Florez Ing. Paola Ly Triveño Ramos EQUIPO DE IMPRESIONES-CEPRU: Tec. Wilder Mora Carrillo

Sr. Genaro Anaya Álvarez

Sr. Pedro Checya Bonifacio

Sr. Wilbert Gamero Handa

Sra. Justina León Barrientos

Sra. Elisea Garay Castillo

JEFATURA DEL TÓPICO-CEPRU: Lic. Rosa Farfán Aller

Ciudad Universitaria de Perayoc, Av. de la Cultura 733, Cusco. Se prohíbe la reproducción total o parcial del presente material educativo.

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE COMPETENCIA LINGÜÍSTICA

TEMA Nº 1.- EL LENGUAJE HUMANO ..........................................................................................................Pág. 03 TEMA Nº 2.- LA FONOLOGÍA ........................................................................................................................Pág. 08 TEMA Nº 3.- LA FONÉTICA .............................................................................................................................Pág. 12 TEMA Nº 4.- LA SÍLABA .................................................................................................................................Pág. 16 TEMA Nº 5.- EL ACENTO ...............................................................................................................................Pág. 21 TEMA Nº 6.- LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN ...............................................................................................Pág. 25 TEMA Nº 7.- EL SUSTANTIVO ........................................................................................................................Pág. 30 TEMA Nº 8.- EL PRONOMBRE ......................................................................................................................Pág. 35

||

TEMA Nº 9.- EL VERBO ..................................................................................................................................Pág. 40 TEMA Nº10.- EL ADJETIVO ...........................................................................................................................Pág. 46 TEMA Nº 11.- EL ARTÍCULO ........................................................................................................................Pág. 51 TEMA Nº 12.- LOS CONECTORES LÓGICOS ............................................................................................Pág. 57 TEMA Nº 13.- LA SINTAXIS ............................................................................................................................Pág. 64 TEMA Nº 14.- LA ORACIÓN GRAMATICAL ................................................................................................Pág. 68 TEMA Nº 15.- EL TEXTO ..................................................................................................................................Pág. 72 TEMA Nº 16.- LA LECTURA ............................................................................................................................Pág. 80

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |3

EL LENGUAJE HUMANO Facultad exclusivamente humana la cual posibilita simbolizar y expresar lo que se piensa, siente, etc.

CARACTERÍSTICAS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Universal Racional Aprendido Multiforme Convencional Simbólico Sistemático Cultural

PLANOS DEL LENGUAJE

VARIACIONES LINGÜÍSTICAS

1. Lengua

1. Dialecto

2. Habla

2. Sociolecto 3. Idiolecto

EL LENGUAJE CIENTÍFICO

CARACTERÍSTICAS

1. Precisión 2. Objetividad o neutralidad 3. Universalidad 4. Concisión 5. Claridad

FORMAS

1. 2. 3. 4.

Informe científico Monografía Artículo científico Ensayo

NIVELES

1. Léxicosemántico 2. Morfosintáctico 3. Estilístico

FUENTE: Elaboración propia.

1.1. EL LENGUAJE HUMANO El lenguaje es:  La lingüística, que es el estudio científico del lenguaje humano, lo define como la facultad que los hombres tenemos de poder comunicarnos; y para esto, a lo largo de la historia, los seres humanos hemos ido desarrollando diferentes sistemas tanto lingüísticos como no lingüísticos; lo que hace que el lenguaje presente muchísimas manifestaciones distintas en las diversas comunidades: las lenguas o idiomas son las más comunes, pero también están otras que varían según el código y el canal que se esté utilizando;1 así, podemos tener un lenguaje auditivo, uno visual, uno táctil, uno olfativo, uno de las banderas; a los que añadiríamos, el mímico de los sordomudos, el código morse, el de los ciegos o sistema braille, el de las flores, etc.2  Una facultad exclusivamente humana la cual posibilita simbolizar y expresar lo que se piensa, siente, etc.  Cualquier sistema o código (palabras, representaciones gráficas, luces, colores, íconos, banderines, indicios, gestos, símbolos, etc.) que el hombre en general utiliza para expresar sus pensamientos, sentimientos, necesidades, conocimientos, proyectos, intereses, etc.  Un método exclusivamente humano y no instintivo, de comunicar ideas, emociones, deseos por medio de un sistema de símbolos producidos de manera deliberada. Estos símbolos son ante todo auditivos y producidos por los órganos del habla.3  Descartes, sobre el lenguaje, dice: “El Lenguaje es privativo del ser humano al igual que el pensamiento y constituye un medio para expresarse libremente y para responder en forma adecuada a nuevas situaciones”.  Un instrumento, herramienta o medio (lingüístico o no lingüístico) de comunicación entre los hombres. 4  Un sistema de comunicación mediante el cual los individuos de una misma comunidad nos relacionamos y entendemos.5 Ya lo dijo Saussure, el lenguaje es “heteróclito y multiforme”, 52, 53. Si bien el lenguaje se compone de lengua y habla (Saussure), no podemos decir “lenguaje español” ni “lenguaje francés”, sino lengua española y lengua francesa, respectivamente. 3 Edward Sapir, El Lenguaje- Introducción al estudio del habla (México: Fondo de Cultura Económica, 1974) ,10-31. 4 Mauricio Swadesh, El Lenguaje y la vida humana, 14-16. 5 Margarita E. LLambias Lozano, Comunicación I (Lima-Perú: Ediciones Jurídicas), 47. 1

2

4

| CEPRU2015  Una facultad propiamente humana que permite la comunicación. Así mismo, es un fenómeno no instintivo, complejo, multiforme, heterogéneo, físico, fisiológico, psíquico individual y social al mismo tiempo. 6 NOTA: Solo el lenguaje articulado o hablado: oral y escrito, constituyen el objeto de estudio de la lingüística.

1.2. CARACTERÍSTICAS A. UNIVERSAL: Porque todos los seres humanos lo utilizan en su interrelación, lo que significa que los habitantes de todos los continentes de nuestro planeta poseen y utilizan el lenguaje para comunicarse. B. MULTIFORME: Porque el lenguaje se manifiesta de muchas maneras o formas (diversas clases de lenguaje). por ejemplo de forma oral, escrita, gestual, cromática, musical, icónica, etc. C. RACIONAL: Puesto que hacemos uso de nuestra inteligencia y de la razón o raciocinio para comunicarnos. Los hombres construimos y transmitimos los mensajes utilizando el razonamiento. D. APRENDIDO: Puesto que constituye un legado cultural y se adquiere en la sociedad a través de la experiencia. E. CONVENCIONAL: Quiere decir que el lenguaje no es producto individual, por el contrario es el resultado del trabajo comunitario o grupal y para ello es necesario que los integrantes de dichos grupos se pongan de acuerdo o realicen convenios o pactos. F. SISTEMÁTICO: El lenguaje funciona de acuerdo a ciertas normas o reglas que contribuyen a la producción de mensajes de forma ordenada. En el caso del lenguaje oral y escrito tienen una gramática que lo sistematiza. G. CULTURAL: En sentido amplio, cultura es todo aquello que el hombre ha creado tanto en el plano material como en el inmaterial. En consecuencia el lenguaje es una creación humana y con él se puede seguir generando más cultura en todos los ámbitos. H. SIMBÓLICO: El lenguaje es representativo, quiere decir que una palabra, sea oral o escrita, representa o significa algo. 1.3. PLANOS DEL LENGUAJE A. LA LENGUA  Es el sistema convencional de signos orales, sonidos articulados o palabras que posee una comunidad lingüística para hacer posible la comunicación entre sus integrantes.  Es un código constituido por signos lingüísticos (palabras) y por reglas gramaticales, cuyo conocimiento comparten los hablantes que en ella se expresan oralmente o por escrito.  Es un conjunto de signos convencionales adoptados por los miembros de un grupo social para ejercitar con ellos la facultad universal del lenguaje.  La LENGUA no es más que una determinada parte del lenguaje aunque esencial. Es a la vez un producto social de la facultad del Lenguaje y un conjunto de convenciones necesarias adoptadas por el cuerpo social para permitir el ejercicio de esa facultad en los individuos.7 NOTA: La lengua presenta básicamente cuatro niveles: fonológico, morfológico, semántico y sintáctico. B. EL HABLA  Es el uso oral e individual que cada persona hace de su lengua. En su caracterización intervienen la edad, el sexo, el estado de ánimo, la ocupación y tantos otros factores porque por ejemplo hay diferencias y de hecho se puede distinguir el habla de un varón, de una mujer, de un adulto, de un niño, de un sano, de un enfermo, etc.  No existe lengua sin habla ni viceversa, pues están unidos íntimamente. Recordemos que lengua y habla son dos planos del lenguaje articulado.  Es un acto individual de voluntad e inteligencia, utiliza el código de la lengua para expresar su pensamiento personal. Saussure concluye: “El habla es la que hace evolucionar a la lengua las impresiones recibidas y habla oyendo a los demás, son las que modifican nuestros hábitos lingüísticos. Hay interdependencia de lengua y habla, aquella es a la vez el instrumento y el producto de esta”. 1.4. DIFERENCIAS ENTRE LENGUA Y HABLA8 LENGUA Sistema. Porque organizada.

es

estructurada

HABLA y

debidamente

Realización. Viene a ser la materialización de la lengua o del sistema a través de la articulación.

Código. Conjunto de elementos que se combinan siguiendo ciertas reglas para dar a conocer algo. Social o colectiva. Utilizada en una comunidad lingüística, un país o un conjunto de ellos.

Utilización. Hablar es hacer uso del código o sistema de signos. Individual. Cada persona utiliza una lengua de manera propia. Es un sello particular que posee cada individuo al pronunciar. Fisiológica y física. Cuando hablamos entra en funcionamiento nuestro aparato fonador.

Psíquica, mental o ideal. Pues se halla en las estructuras mentales de los usuarios. Más o menos fija. Conserva sus estructuras fundamentales, a pesar de que por naturaleza cada lengua es evolutiva, cambiante o diacrónica. Perdurable. Porque las lenguas se transmiten de generación en generación proporcionándole duración o larga vida. Latente. Porque aparentemente está inactiva, se halla en forma de conocimiento (teoría) a nivel mental.

Libre. Las personas hablamos de manera espontánea, voluntaria y de acuerdo a nuestras necesidades, intereses, gustos, proyectos, etc. Momentánea. Efímera, pues la cadena sonora se percibe únicamente al momento de la pronunciación. Patente. Porque es perceptible, audible, observable (práctica) a nivel concreto o de pronunciación.

1.5. LAS VARIACIONES LINGÜÍSTICAS La variación de una lengua se manifiesta a través del habla, ya que la lengua como sistema es homogénea, y más bien la variación se evidencia en la forma cómo cada hablante la usa o realiza. Se produce por diversos factores que a continuación estudiaremos. a) EL DIALECTO. Se denomina también variación diatópica, en este caso la lengua varía en el eje horizontal, por factores regionales, geográficos o territoriales.

6 7 8

Instituto Nacional de Investigación y Desarrollo de la Investigación INIDE, Lengua Española II (Lima: Ministerio de Educación, 1980) Ferdinand de Saussure, Curso de Lingüística General (Perú: Editorial VLACABO e.i.r.l., 1998), 52. Eugenio Magallanes, Lenguaje y Comunicación (Lima-Perú: Editorial San Marcos, 1998), 79-81.

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |5 La variedad dialectal se evidencia en 5 aspectos:  Lexicológico: Cuando se dan variaciones en el vocabulario de una región respecto a otra zona. Ejemplo:  Casaca (Perú)  Chamarra (México)  Semántico: Cuando una misma palabra expresa, en otras regiones, significados diversos. Ejemplo:  Graciosa: mujer bonita (Ica)  Graciosa: mujer con buen sentido del humor (Cusco)  Morfológico: Cuando se aprecian diferencias en la estructura interna de las palabras. Ejemplo:  Ratico (Venezuela)  Ratito (Perú)  Sintáctico: Cuando la variación se da en la estructura de la oración. Ejemplo:  Vivo al frente de la casa de tu amigo  De tu amigo en frente de su casa vivo.  Fonético: relacionado con la entonación y pronunciación. Ejemplo:  Yama (Costa del Perú)  Llama (sierra del Perú) b)

EL SOCIOLECTO. Se le denomina también variación diastrática. El sociolecto se ubica en el eje vertical. De acuerdo con los niveles socioculturales se subdivide en:  Acrolecto. Nivel sociolectal de los sectores altos, educados o cultos.  Mesolecto. Nivel sociolectal de los sectores medios.  Basilecto. Nivel sociolectal de los sectores socioculturales bajos, aquellos que no han tenido acceso a la educación formal.

c)

EL IDIOLECTO. Llamado también variación diafásica. Es la variación que sufre determinada lengua a nivel individual, es decir, cada persona tiene su forma peculiar de hablar de acuerdo con las circunstancias, fases o contextos en los que se halla. Se ubica en la intersección de los ejes horizontal y vertical.

1.6. EL LENGUAJE CIENTÍFICO

 

 

El lenguaje científico es utilizado en el contexto de la investigación científica, allí donde los científicos al descubrir objetos les atribuyen nuevas terminologías dando origen a tecnicismos en la mayoría de los casos desconocidos por el común de la población. Por tanto, es más difícil expresarlo por escrito que en forma verbal, por lo que la exactitud es una condición. Pertenece a este nivel la terminología técnica y específica que cada ciencia y cada profesión emplea para designar utensilios, objetos, procesos y operaciones. Aunque este lenguaje es de uso exclusivo de especialistas, acaba siendo utilizado con el tiempo por el común de la gente. Por ejemplo: En la lingüística: ablativo, afasia, anáfora, cognado, morfosintaxis, neutralización, pluscuamperfecto, sincretismo, tema, rema, grafema, diasistema, alófono, etc. En las matemáticas: ángulos complementarios, ángulo inscripto, ángulo obtuso, ángulo recto, ángulos suplementarios, axioma, diagonal, dividendo, media, mediana, mediatriz, moda, múltiplo, paralelas, perímetro, permutación, poliedro, polinomio, potencia, probabilidad, producto, etc. En el cine: montaje, doblaje, encuadre, fotograma, plano medio, gran angular, etc. En la navegación: proa, popa, babor, estribor, cabo, mesana, trinquete, vela, timón, ancla, etc.

1.7. CARACTERÍSTICAS DEL LENGUAJE CIENTÍFICO a) PRECISIÓN. La precisión científica exige una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto de términos científicos y los elementos del conjunto de nociones, definiciones o conceptos. Tal monorreferencialidad no se cumple en el lenguaje común, en el que puede darse la sinonimia (dos o más términos tienen igual significado) y la polisemia (una misma palabra tiene múltiples significados). En el lenguaje científico se tiende a una fidelidad absoluta al lenguaje literal entendido como opuesto al lenguaje figurado. El precio a pagar por esta precisión absoluta es la falta de brillantez literaria, ya que la necesidad de utilizar siempre el mismo término para referirse a un concepto hace que este se repita una y otra vez en los textos científicos. En un texto normal, en cambio, se buscan equivalentes de cada palabra para no caer en la repetición. b) OBJETIVIDAD Y NEUTRALIDAD. El lenguaje científico está libre de las acepciones, connotaciones o matices afectivos, tan frecuentes en los mensajes del lenguaje común y literario. Pero donde más se revela la neutralidad del lenguaje científico es en la impersonalidad de su exposición, conseguida sobre todo por procedimientos sintácticos: ausencia de formas correspondientes a la segunda persona del singular o del plural, escaso empleo de la primera persona del singular, uso muy frecuente del plural de modestia en la primera persona del plural, empleo, a veces abusivo, de verbos impersonales y de la voz pasiva para eludir la presentación del sujeto de la oración, utilización de imperativos que evitan la apelación directa a la 2ª persona (consideremos, supongamos o definamos). Todo ello encierra el deseo latente de objetivizar cuanto se expone, minimizando o anulando el posible error, fallo o ilusión personal. En definitiva, se pretende sobre todo conseguir la mayor credibilidad y despertar la confianza por parte del lector u oyente. c) UNIVERSALIDAD. El lenguaje científico es utilizado por la comunidad científica internacional. Por eso, para acuñar un nuevo término hay que atenerse a unas normas terminológicas establecidas, lo que obliga, en muchas ocasiones, a sustituir algunos términos excesivamente particulares o idiosincráticos de una lengua por otros más comprensibles. Esta universalidad tiene enormes ventajas, incluso económicas como en el caso de la aplicación del Sistema Internacional de unidades (SI), las normas DIN, los símbolos de los elementos químicos, la nomenclatura química IUPAC, etc. d) CONCISIÓN. Se supone que el lenguaje científico tiende a expresar las ideas con el menor número de palabras, huyendo de la retórica o adornos literarios. De ahí la particular propensión a sustituir frases enteras por una única palabra o expresión como por ejemplo raíz cuadrada, combustión, centro de gravedad, radiografía, etc. e) CLARIDAD. El autor intenta que su mensaje sea comprendido y sacrifica a ese propósito su elegancia estilística.

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1.8. FORMAS DEL LENGUAJE CIENTÍFICO O TIPOS DE TEXTOS CIENTÍFICOS Los textos de temática científica presentan mayor dificultad en la comprensión lectora porque en muchos de ellos se incluyen tecnicismos y explicaciones complejas, por lo que son especialmente cuidadosos con el orden expositivo y la coherencia lógica de lo expuesto, y su terminología específica hace que se usen palabras especializadas propias del ámbito de una disciplina. a) EL INFORME CIENTÍFICO. El informe científico es un documento en el que se hacen públicos los resultados y conclusiones científicas alcanzadas en relación al problema que dio origen a la investigación de un modo claro, ordenado y estructurado facilitando la comprensión del lector/a. La forma más usual es la tesis de investigación académica. b) LA MONOGRAFÍA. La monografía es el estudio minucioso, exhaustivo y riguroso sobre un tema o investigación en particular donde se utilizan diversas fuentes por uno o varios autores. En la búsqueda de una monografía se utilizan variadas fuentes primarias y secundarias que encauzan la información adquirida utilizando un fichero para la ordenación bibliográfica en orden cronológico. c) EL ARTÍCULO CIENTÍFICO. Un artículo científico es un informe escrito y publicado que describe resultados originales de investigación. Esta breve definición debe matizarse, sin embargo, diciendo que un artículo científico debe ser escrito y publicado de cierta forma y teniendo en cuenta la práctica editora, ética científica e influencia recíproca de los procedimientos de impresión y publicación. d) EL ENSAYO CIENTÍFICO. El ensayo académico es un tipo de composición escrita en prosa que de forma breve, analiza, interpreta o evalúa un tema. En otras palabras, intenta resolver un problema por medio de argumentos. Este tipo de texto trata de responder un interrogante (no necesariamente demostrar una hipótesis), trata de respaldar una tesis por medio de la argumentación o exposición. Este tipo de texto, motiva el pensamiento crítico e independiente de quien escribe, ya que incita al investigador a buscar un problema y su posible solución, así como un análisis profundo e individual de algún tema en particular.9 e) PONENCIA. Son los textos breves que se destinan a la lectura y discusión colectiva; presentados ante algún evento científico: Seminario, congreso, simposio, etc. f)

TESINA. El texto científico sirve para designar trabajos de corta o mediana extensión, presentados para su evaluación académica.10

1.9. NIVELES DEL LENGUAJE CIENTÍFICO a) NIVEL LÉXICO-SEMÁNTICO. El léxico del lenguaje técnico-científico se caracteriza por ser siempre monosémico, esto es, que tiene un solo significado fijo. La terminología es muy específica, de ahí el abundante uso de tecnicismos, es decir, de palabras especializadas propias del ámbito de una disciplina. Estos se crean mediante diferentes procesos de formación de palabras. Pueden ser préstamos, especialmente del latín (latinismos), del griego (helenismos) o de otras lenguas (extranjerismos), como sucede con: virus, higiene, cloro, chip, software o átomo. También son frecuentes los términos nuevos que se forman por derivación (creación de palabras a partir de prefijos y sufijos) y composición (a partir de bases léxicas de la lengua común). Ejemplos: hidrato, aeropuerto, fibroma, parabrisas, telepatía, etc. b) NIVEL MORFOSINTÁCTICO. Los rasgos morfosintácticos del lenguaje científico y técnico, apoyan su concepción de objetividad y claridad. Por este motivo son frecuentes las estructuras oracionales enunciativas o explicativas. Se prefiere el uso de la tercera persona verbal, haciendo referencias al hablante a través del plural de modestia. El tiempo más adecuado es lógicamente el presente. c) NIVEL ESTILÍSTICO. A pesar de que la lengua de la ciencia y la tecnología tiene como objetivo principal el de comunicar sin más, sí se ha esforzado por atenerse a una serie de preocupaciones estilísticas y respeto por las normas. En general la concepción expositiva de los textos acoge expresiones ordenadas y lineales, para precisar y delimitarla información. Aunque se use como base un lenguaje ordinario, esto no impide que nos encontremos con textos amenos o elegantes. EJERCICIOS 1. La forma del lenguaje científico que se refiere al estudio recto y riguroso sobre un tema particular, utilizando fuentes bibliográficas, es: a) La monografía b) El ensayo c) El informe d) El articulo e) La exposición 2. Se denomina variación diastrática, porque: a) Se representa el basilecto y acrolecto b) Está de acuerdo al nivel psíquico - físico c) Influye en el estado de ánimo y el nivel social d) Se presenta en las capas sociales y culturales e) Está en un estrato cultural y psíquico 3. La forma del lenguaje científico que se refiere al estudio recto y riguroso sobre un tema particular, utilizando fuentes bibliográficas, es: a) La monografía b) El ensayo

c) El informe d) El articulo e) La exposición 4. Se denomina variación diastrática, porque: a) Se representa el basilecto y acrolecto b) Está de acuerdo al nivel psíquico - físico c) Influye en el estado de ánimo y el nivel social d) Se presenta en las capas sociales y culturales e) Está en un estrato cultural y psíquico 5. La neutralidad del lenguaje científico se revela en la……………….……. de una exposición: a) Honestidad b) Personalidad c) Rigurosidad d) Imparcialidad e) Subjetividad

Socorro Fonseca, Alicia Correa, María Ignacia Pineda, Francisco Lemus, Comunicación oral y escrita (México: Editorial PEARSON EDUCACIÓN S.A. de C.V. 2011), 350358. 10 Santos F. Ludeña Segovia, Comunicación 3 (Arequipa- Perú: Ediciones independencia 2015), 171-172. 9

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |7 6. El concepto El sistema convencional de signos orales de una comunidad lingüística cambia, evoluciona en el tiempo y espacio. Se refiere a la característica de la lengua denominada: a) Perdurable b) Latente c) Colectiva d) Diacrónica e) Sistémica 7. El ejemplo Con su padre, Carlos, salió apurado, pertenece a la variación lingüística denominada: a) Fonética b) Semántica c) Lexicología d) Sintáctica e) Morfológica 8. En la expresión La fidelidad absoluta al lenguaje literal, se aplica una característica del lenguaje científico, denominada: a) Concisión b) Claridad c) Precisión d) Neutralidad e) Objetividad 9. La expresión La utilización de gran variedad de bibliografía, que encauzan la información técnica, se refiere a: a) El ensayo científico b) El informe científico c) El artículo científico d) La monografía e) La composición académica 10. El enunciado En los textos de temática científica, el tiempo debe estar en presente, corresponde al nivel: a) Léxico – Semántico b) Morfológico – Fonológico c) Fonomonemático d) Morfosintáctico e) Estilístico 11. La expresión Cuando se trata de resolver un problema a través de argumentos, fundamentos; característica que corresponde a la forma del lenguaje científico denominada: a) Artículo Científico b) Informe científico c) Tesis d) Ensayo e) Monografía 12. La expresión En su caracterización interviene el estado de ánimo, trabajo, edad y otros factores, se refiere a: a) El Lenguaje b) El habla c) El idioma d) La lengua e) El código 13. El lenguaje científico-técnico para la formación de sus términos requiere de préstamos del latín, griego y ciertos extranjerismos; característica se refiere al nivel: a) Léxico-semántico b) Estilístico-literario c) Morfosintáctico d) Fonético-fonológico e) Ortográfico-ortológico 14. El lenguaje es: a) El uso oral y personal de la lengua española b) Un sistema de signos orales usados por los peruanos c) La forma correcta de hablar una determinada lengua d) Cualquier código que utiliza el hombre para comunicarse e) Cualquier código lingüístico que usa el hombre de manera cotidiana

15. La definición El lenguaje es el resultado del trabajo comunitario, para ello los integrantes de dichos grupos se ponen de acuerdo, a qué característica del lenguaje corresponde: a) Universal b) Multiforme c) Racional d) Aprendido e) Convencional 16. El lenguaje humano es sistemático por ser: a) Un acuerdo de ciertas reglas o lingüísticas

normas

b) El resultado de las normas generales del código civil

c) Se manifiesta de muchas maneras o formas d) El resultado del trabajo comunitario e) Parte de la creación humana 17. A medida que los años pasan, el hombre crea tanto en el plano material como espiritual, corresponde a la característica del lenguaje denominada: a) Sistemático b) Cultural c) Racional d) Simbólico e) Universal 18. La lengua es: a) El uso del sistema de signos de la lengua b) Cuando entra en funcionamiento nuestro aparato fonador c) Un código constituido por signos lingüísticos y por reglas gramaticales d) La manera espontánea y voluntaria de hablar de una persona e) Cuando se percibe al momento de la pronunciación 19. Las características del habla son: a) Universal, multiforme, aprendido y convencional b) Grupal, homogéneo, perdurable y latente c) Concreto, universal, aprendido y psíquico d) Individual, libre, patente y momentáneo e) Precisión, objetividad, concisión y claridad 20. El dialecto es: a) La lengua del grupo dominante en términos políticos y económicos b) Cuando una lengua varía en el uso de un lugar geográfico a otro c) La manera de hablar una lengua en el nivel superestándar d) La forma perfeccionada de hablar de un grupo humano e) El tecnicismo de una carrera profesional o ejercicio técnico 21. La diferencia entre el modo de hablar de los peruanos y los argentinos se debe a que ambos manejan diferentes: a) Lenguas b) Léxicos c) Dialectos d) Lenguajes e) Idiomas 22. El ejemplo, Si el Presidente de la República se encuentra en una reunión con los ministros por la mañana, pero por la tarde en la fiesta de piñata de su hijo Samín donde dialoga con sus amistades, la variación lingüística que se aprecia, es el: a) Dialecto b) Sociolecto c) Acrolecto d) Mesolecto e) Idiolecto 23. El léxico y el uso de la lengua por los sectores altos, educados o cultos de una determina sociedad, corresponde al: a) Acrolecto b) Mesolecto c) Basilecto d) Dialecto e) Idiolecto

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LA FONOLOGÍA Estudia los sonidos ideales o fonemas, dando importancia a su valor diferencial o distintivo y a la función que desempeñan dentro de una lengua.

UNIDADES

CLASIFICACIÓN DE LOS FONEMAS

1. Fonemas 2. Rasgos distintivos

VOCÁLICOS

1. Por el grado de apertura de la boca (modo de articulación) 2. Por la posición horizontal de la lengua (punto de articulación) 3. Por el grado de sonoridad (timbre de voz) 4. Por el grado de vibración de las cuerdas vocales

CONSONÁNTICOS

1. Por el punto de articulación 2. Por el modo de articulación 3. Por el grado de vibración

FUENTE: Elaboración propia

2.1

LA FONOLOGÍA Es parte de la Lingüística que estudia los sonidos ideales11 o fonemas, dando importancia a su valor diferencial o distintivo y a la función que desempeñan dentro de una lengua.

2.2

UNIDADES DE LA FONOLOGÍA12 El fonema es la unidad abstracta carente de significado de la lengua que sirve de modelo imaginario o tipo ideal de los elementos fónicos para la comunicación. Los fonemas, entonces, son las unidades fonológicas más pequeñas en que se puede dividir un conjunto fónico13, su característica principal es la capacidad para diferenciar significados; por ejemplo, no es lo mismo ‘caro’ que ‘carro’ o que ‘cabo’, todas están dentro del campo ‘ca _ o’, pero cambian su significado al cambiar los fonemas. El fonema no es un signo lingüístico, sino una unidad de una sola cara, ya que solo tiene significante y carece de significado. Sin embargo, sirve de base para la creación de unidades significativas del nivel superior, puesto que reúne los rasgos distintivos que permiten diferenciar los significados y construir los significantes de una lengua determinada. Un rasgo distintivo puede definirse como cada uno de los elementos constitutivos de un segmento cuya modificación puede dar lugar a un contraste significativo como en: /peso/, /beso/, /keso/, /yeso/, /seso/. NOTA: En el Español existen 24 fonemas, de los cuales 19 son consonánticos y 5 vocálicos.

2.3       

CARACTERÍSTICAS DE LOS FONEMAS Son unidades de estudio de la fonología. Son unidades mentales, ideales, abstractas. Son limitados o finitos. Constituyen la imagen mental o la huella psíquica del sonido. Carecen de significación por sí solos. Se representan entre dos barras oblicuas: / / Tienen valor diferencial o distintivo en los signos lingüísticos.

2.4

CLASIFICACIÓN DE LOS FONEMAS VOCÁLICOS Y CONSONÁNTICOS

2.4.1. LOS FONEMAS VOCÁLICOS Son fonemas que en su pronunciación no sufren obstáculos en la cavidad bucal, cuando estos sonidos se producen, salen directamente al exterior. Los fonemas vocálicos pueden funcionar por sí solos como palabra y como sílaba y constituye el núcleo silábico.

Georges Mounin, Diccionario de Lingüística (España: Editorial Labor, S.A, primera edición, 1979), 80. RAE - Nueva gramática de la lengua española-Fonética y Fonología (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2011), 54-56. 13 Antonio Quilis y José A. Fernández, Curso de fonética y fonología españolas (Burgos-España: Talleres Gráficos ALDECOA. S.A., 1979, Quinta edición), 9. 11

12

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |9 CLASIFICACIÓN a) POR EL GRADO DE ABERTURA DE LA BOCA (modo de articulación) Cerradas: /i/, /u/ Semiabiertas: / e /, /o / Abierta: /a/ b) POR LA POSICIÓN HORIZONTAL DE LA LENGUA, (punto de articulación) Anteriores o palatales: /i/, /e/ Central o palatal: /a/ Posteriores o velares: /u/, /o/ c) POR EL GRADO DE SONORIDAD (timbre de voz) Agudas: /i/, l e I Intermedio: /a/ Graves: /u/, /o/ d) POR EL GRADO DE VIBRACIÓN DE LAS CUERDAS VOCALES Sonoros: /i/, /u/, /e/, /o/, /a/ TRIÁNGULO VOCÁLICO (F. Hellwag, 1781)

Central

Posteriores

Palatales

Palatal

Velares

/i/

MEDIAS

/u/

/e/

BAJA

Semiabiertas (MEDIA)

/o/

Abierta (MÁXIMA)

/a/

Agudos

Intermedio

Cerradas (MÍNIMA)

Graves

MODO DE ARTICULACIÓN

ALTAS

Anteriores

Por el grado de abertura de la boca

Por la abertura entre lengua y paladar

PUNTO DE ARTICULACIÓN

GRADO DE SONORIDAD (timbre de voz)

2.4.2. LOS FONEMAS CONSONÁNTICOS Son los fonemas que en su realización sufren interrupciones significativas en la cavidad bucal. Estos fonemas por sí solos no pueden funcionar como palabras ni sílabas ni mucho menos constituir núcleo silábico. a)

CLASIFICACIÓN POR EL PUNTO DE ARTICULACIÓN. Es el encuentro de un órgano activo con otro pasivo para la producción de un determinado fonema, y son:  Bilabiales. Cuando en la fonación intervienen ambos labios formando los fonemas: / p / , / b / , / m /  Labiodental. Interviene el labio inferior y los dientes (incisivos superiores): /f /  Interdental. Se produce cuando el ápice de la lengua se introduce ligeramente entre los incisivos superiores e inferiores: /z/  Dentales. Cuando el ápice de la lengua toca o se apoya en la cara anterior de los incisivos superiores: / t / , / d /  Alveolares. Se produce este fonema cuando el ápice de la lengua se dirige hacia los alvéolos: / s / , / n / , / l / , / r / , /rr/  Palatales. Cuando el predorso o dorso de la lengua se dirige hacia el paladar medio: / ch /, /II/, /y/, /ñ/  Velares. Cuando la raíz o base de la lengua se dirige hacia el velo del paladar (úvula): /k / , / g / , / j /

b)

POR EL MODO DE ARTICULACIÓN. Se considera a la forma o manera en que se articulan los fonemas.  Oclusivas. Cuando al emitir los fonemas el paso del aire encuentra una oclusión o cierre momentáneo precipitándose luego al exterior con una breve explosión: / p / , / b / , / d / , / t / , / k / , / g /  Fricativas. Cuando al emitir los órganos articulatorios reducen el canal por donde pasa el aire. Luego por la estrechez del canal, el aire pasa friccionando o rozando las paredes internas de la boca: /f / , / z / , / s / , / y / , / j / .  Africada. Es aquella que resulta de la combinación de la oclusiva con la fricativa produciendo el sonido: /ch/  Laterales. Cuando en el proceso de fricción el aire no sale por el centro de la boca sino por los costados o carrillos: /l/, /II/  Nasales. Cuando la mayor proporción de los sonidos salen por la cavidad nasal: /m/, /n/, /ñ/  Vibrantes. Cuando al emitir los fonemas, un órgano activo elástico (glotis, úvula, velo del paladar, lengua, etc.) vibran obstruyendo y abriendo el paso del aire repetida y rápidamente: /r/, /rr/

c)

POR EL GRADO DE VIBRACIÓN. Son:  Sonoras. Cuando las cuerdas vocales vibran notoriamente: /b/, /d/, /g/, /y/, /l/, /ll/, /r/, /rr/, /n/, /ñ/, /m/  Sordas. Cuando las cuerdas vocales no vibran: /p / , / t / , / k / , / z / , / f / , / s / , / c h / , / j /

10

| CEPRU2015

CUADRO DE LOS FONEMAS CONSONÁNTICOS (Quilis y Fernández)

Punto Art. BILABIALES

LABIODENTALES

INTERDENTAL

DENTALES ALVEOLARES

PALATALES

VELARES

CUERDAS VOCALES

Modo de art. /p/

/t/

/k/

Sordos

/b

/d/

/g/

Sonoros

/j/

Sordos

OCLUSIVOS

/f/

/z/

/s/

FRICATIVOS /y/ /ch/

Sonoros Sordos

AFRICADA Sonoros Sordos NASALES /m/

/n/

/ñ/

Sonoros Sordos

LATERALES /l/

/II/

Sonoros Sordos

VIBRANTES /r/ /rr/

Sonoros

EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

5.

Los fonemas consonánticos bilabiales son: a) /p/, /b/, /k/, /g/ b) /p/, /b/, /m/ c) /t/, /d/, /m/ d) /k/, /g/, /j/ e) /m/, /b/, /k/ Los fonemas consonánticos / b /, / s /, / k / por el grado de vibración de las cuerdas vocales, son: a) Bilabial, fricativo y velar b) Oclusivos y fricativos c) Bilabial, alveolar y velar d) Sonoro y sordos e) Sonoros y orales La palabra PARQUE, por el punto de articulación presenta vocales: a) Central y palatal b) Central y posterior c) Central, posterior y anterior d) Anterior, intermedio y posterior e) Abierta, cerrada y semiabierta Los fonemas consonánticos velares son: a) /k/, /g/ b) /p/, /b/, /t/, /d/ c) /k/, /g/, /j/ d) /s/, /m/, /n/ e) /ch/, /g/, /k/ Por el modo de articulación, en la palabra FAMILIA, los fonemas consonánticos son: a) Oclusivos y laterales b) Sordos y sonoros c) Fricativo, nasal y lateral

d) e)

Fricativos, bilabial y alveolar Labiodental, nasal y lateral

6.

Por el punto de articulación, en la palabra COMPETENCIA, los fonemas consonánticos son: a) Velares, nasal, dental y bilabial b) Sordos y sonoros c) Velar, nasales, oclusivos y fricativos d) Velares, bilabiales, dental y nasal e) Velar, bilabiales, dental y alveolares

7.

Por el punto de articulación, en la palabra VOCES, los fonemas consonánticos son: a) Bilabial y alveolares b) Bilabial, velar y alveolar c) Oclusivo y fricativo d) Oclusivo, velar y alveolar e) Bilabial y fricativos

8.

Los fonemas consonánticos alveolares son: a) /n/, /l/, /s/, /r/ b) /s/, /n/, /r/, /rr/ c) /ll/, /r/, /rr/, /n/ d) /r/, /rr/, /n/, /l/, /s/ e) /r/, /rr/, /l/, /s/

9.

Por el velo del paladar, en la palabra ABAD, los fonemas consonánticos son: a) Sonoros b) Oclusivos c) Nasales d) Orales e) Bilabial y dental

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 11 10. El fonema es una unidad abstracta carente de significado: a) Del habla b) De la articulación c) Del lenguaje d) De la fonética e) De la lengua 11. El fonema consonántico / ch / por el modo de articulación es resultado de: a) La combinación de la fricativa con la oclusiva b) La combinación de la oclusiva con la fricativa c) La combinación de la nasal con la fricativa d) La combinación de la oclusiva con la bilabial e) La combinación de la fricativa con la lateral 12. La característica que no corresponde al fonema, es: a) Una unidad mental y limitada b) Una unidad concreta e ilimitada c) La huella psíquica del sonido d) Una unidad psíquica y abstracta e) Tiene un valor distintivo 13. Por el grado de vibración de las cuerdas vocales, en la palabra EUCALIPTO, los fonemas vocálicos son: a) Sordos b) Nasal y oral c) Orales d) Sonoros e) Agudos y graves 14. Por el timbre de voz, en la palabra ESTADO, los fonemas vocálicos son: a) Palatal, central y velar b) Semiabiertas y abierta c) Sonoros d) Aguda, intermedio y grave e) Nasal y oral 15. Por el punto de articulación, en la palabra JUEZ, los fonemas consonánticos son: a) Fricativos b) Palatal y dental c) Velar e interdental d) Fricativo y velar e) Sordo y sonoro 16. Por la vibración de cuerdas vocales, en la frase LA MAÑANA, los fonemas consonánticos son: a) Sordos b) Sonoros c) Nasales d) Lateral y nasales e) Alveolares, bilabial y palatal 17. Por el punto de articulación, en la palabra CONVIVENCIA, los fonemas consonánticos son: a) Velar, nasal, bilabial y alveolar b) Velar, alveolar, dental y velar c) Alveolar, dental y nasal d) Velar, bilabiales y nasal e) Velar, alveolares y bilabiales 18. Por el modo de articulación, en la palabra CHINCHAY, los fonemas consonánticos son: a) Africadas y nasal b) Palatales y nasal c) Africada, nasal y palatal d) Africada, alveolar y palatal e) Africada, nasal y fricativo 19. La palabra que solo tiene sonido fricativo es: a) Juan b) Vaso c) José

d) e)

Franco María

20. El fonema / s / tiene las características de ser: a) Fricativo, sonoro y oral b) Alveolar, fricativo, sordo y oral c) Alveolar, africada, sordo y fricativo d) Sordo, orla, alveolar y africada e) Oral, sonoro, palatal y fricativo 21. Los fonemas consonánticos alveolares son: a) /p/, /b/ b) /f/ c) /y/, /ch/, /ñ/, /ll/ d) /t/, /d/ e) /s/, /l/, /r/, /rr/, /n/ 22. Los sonidos /b/, /ñ/, /n/ por el grado de vibración de las cuerdas vocales son: a) Sordos b) Sonoros c) Bilabiales d) Oclusivos e) Fricativos 23. Los fonemas vocálicos anteriores son: a) /a/, /e/, /o/ b) /i/, /u/ c) /a/, /e/ d) /o/, /u/ e) /e/, /i/ 24. Los fonemas consonánticos /p/ y /d/ por el modo de articulación, son: a) Bilabiales b) Dentales c) Fricativos d) Alveolares e) Oclusivos 25. En la palabra mita, los fonemas vocálicos por el punto de articulación, son: a) Intermedio y central b) Velar y palatal c) Anterior y central d) Central y posterior e) Cerrada y abierta 26. La palabra quena, por el punto de articulación presenta fonemas vocálicos: a) Anterior y central b) Velar, palatal y central c) Velar, central y palatal d) Agudo e intermedio e) Palatal y velar 27. Al pronunciar las vocales, las cuerdas se encuentran cerradas; por lo que hay mayor vibración, por ello son: a) Ocasionalmente libres b) Generalmente trabadas c) Independientes por excelencia d) Eventualmente dependientes e) Sonoras por excelencia 28. El fonema /k/ por el punto y modo de articulación, es: a) Fricativo - alveolar b) Alveolar - africada c) Velar - nasal d) Alveolar - fricativo e) Velar – oclusivo 29. Los fonemas consonánticos palatales son: a) /y/, /ch/, /ñ/, /ll/ b) /p/, /t/, /k/ c) /y/, /j/, /k/, /ll/ d) /s/, /n/, /ñ/, /l/ e) /k/, /j/, /ñ/, /ll/

12

| CEPRU2015

LA FONÉTICA Estudia los mecanismos de producción, transmisión y percepción de la señal sonora que constituye el habla.

DIVISIÓN GENERAL

DIVISIÓN DE LA FONÉTICA EN

DE LA FONÉTICA

FUNCIÓN DEL OBJETO DE ESTUDIO

1. F. General 2. F. Descriptiva 3. Ortología, ortoepía ortofonía

1. F. Articulatoria 2. F. Acústica 3. F. Perceptiva

UNIDADES

1. Elementos segmentales 2. Elementos suprasegmental es

u

FUENTE: Elaboración propia

3.1 LA FONÉTICA La fonética es la disciplina que estudia los mecanismos de producción, transmisión y percepción de la señal sonora que constituye el habla14 y sus componentes sonoros. Estos sonidos del habla son sin lugar a duda el elemento primordial del sistema de comunicación humana15. (Rama de la lingüística)  Estudia al significante del signo lingüístico en el plano del habla, es decir a los sonidos articulados (fonos).  Investiga, desde el punto de vista físico y fisiológico, cómo se producen los sonidos articulados: pone su atención en los aspectos fónicos del habla. A la Fonética le interesa más el aspecto material de las unidades fónicas; por eso, dirige su atención al funcionamiento del aparato fonador: respiración, fonación, articulación y estudia las propiedades físico-acústicas del sonido.  La Fonética investiga la sustancia de los sonidos articulados, es decir, estudia la estructura material de los sonidos.  Sirve de base para la determinación de los rasgos distintivos16 3.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS SONIDOS ARTICULADOS O FONOS  Tienen valor desde un punto de vista físico y fisiológico.  Son unidades de estudio de la fonética.  Los fonos se representan entre corchetes.  Son ilimitados.  Son unidades concretas.  Se materializan. DIVISIÓN GENERAL DE LA FONÉTICA17 FONÉTICA ARTICULATORIA FONÉTICA ACÚSTICA (Fisiológica) Estudia la producción de los sonidos del habla mediante la acción del aparato fonador y de los órganos articulatorios.

(Física) Analiza las características físicas de las ondas sonoras que conforman los sonidos de la lengua.

FONÉTICA PERCEPTIVA

(Auditiva) Estudia cómo se perciben las ondas. También se ocupa de investigar cómo segmentan, procesan e interpretan los oyentes los sonidos que reciben.

DIVISIÓN DE LA FONÉTICA EN FUNCIÓN DEL OBJETO DE ESTUDIO18 FONÉTICA GENERAL

FONÉTICA DESCRIPTIVA PROPIAMENTE DICHA

ORTOLOGÍA (ORTOEPÍA U ORTOFONÍA)

Se basa en el análisis de los mecanismos de producción y de las estrategias de percepción presentes en todas las lenguas del mundo.

Se ocupa de describir los sonidos particulares de las lenguas naturales. Estas pueden adoptar una perspectiva sincrónica o diacrónica (fonética histórica).

Rama de la fonética que establece las normas convencionales de pronunciación de una lengua.

3.3 UNIDADES DE LA FONÉTICA19 a) ELEMENTOS SEGMENTALES O SONIDOS DEL HABLA - Se ocupa la fonética segmental. - Se define de acuerdo con los criterios articulatorios, acústicos y perceptivos. - Se representan mediante corchetes [ ] - Se clasifican en vocales y consonantes. RAE- Nueva Gramática de la lengua española- Fonética y Fonología (España: Espasa Libros, S. L., 2010), 5. Fernando Trujillo Sáez, Antonio González Vázquez, Pablo Cobo Martínez, Elisabet Cubillas Casas, Nociones de Fonética y Fonología para la Práctica Educativa (España: Lozano Impresores S.L.L. 2002), 32. http://www.editorial-geu.com 16 Universidad Complutense de Madrid, Relación entre Fonética y Fonología (Editorial Jakobson, 2007), 31. 17 RAE - Fonética y Fonología, 24-32. 18 RAE - Fonética y Fonología, 24. 19 RAE - Fonética y Fonología, 24. 14 15

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 13

b) ELEMENTOS SUPRASEGMENTALES - Corresponden a los elementos fonéticos cuyos efectos repercuten sobre varios segmentos, como la entonación, que comprende todos los sonidos de un enunciado. - La disciplina que se ocupa de estos elementos (acento, ritmo y entonación) es la Prosodia. Los sonidos que se han venido denominando semivocales (vocal

i

y

u

al final de un diptongo. Aire, aceite, causa,

feudo) y semiconsonantes (vocales i , u en principio de diptongo o triptongo, como en piedra, hielo, huerto, apreciáis, y más propiamente cuando en dicha posición se pronuncian con sonido de duración momentánea, improlongable, abertura articulatoria creciente y timbre más próximo a la consonante que a la vocal), se agrupan, en la tradición académica reciente, bajo la denominación de vocales marginales o satelitales. 3.4 FONÉTICA ARTICULATORIA O FISIOLÓGICA Estudia la producción de los sonidos del habla desde el punto de vista fisiológico; es decir, describe qué órganos orales intervienen en su producción, en qué posición se encuentran y cómo esas posiciones varían los distintos caminos que puede seguir el aire cuando sale por la boca, nariz, o garganta, para que se produzcan sonidos diferentes. Los sonidos del habla se producen mediante la acción coordinada del conjunto de estructuras anatómicas que constituyen el Aparato Fonador y Resonador, por ello estudia cómo se generan los sonidos del habla. Los órganos que lo integran, cumplen también otras funciones fisiológicas vinculadas a la respiración y alimentación. Se relaciona con el emisor. 3.4.1 PARTES DEL APARATO FONADOR Estas son bien diferenciadas en la laringe:20 a) LA CAVIDAD INFRAGLÓTICA O SUBGLÓTICA. Proporciona el flujo de aire necesario para la producción del sonido. Está conformada por el diafragma, los pulmones, los bronquios, la tráquea y la zona subglótica de la laringe. b) LA ZONA GLÓTICA. Aquí se produce la fonación y está constituida por dos pliegues vocales denominados cuerdas vocales. La laringe está formada por nueve cartílagos de formas diferentes, aunque en el proceso de fonación se suelen considerar únicamente cuatro:  El primero de ellos es el cartílago cricoides, tiene forma de anillo de sello, más ancho en su parte posterior que en la anterior y constituyen la base de la laringe, sobre él están situados y articulados el cartílago tiroides y los dos cartílagos aritenoides.  El cartílago tiroides tiene la forma de un libro abierto hacia atrás; en su borde anterior se encuentra una saliente que se denomina nuez, manzana o bocado de Adán.  Los aritenoides son dos cartílagos en forma triangular. Como se indica, desde la parte más saliente de los aritenoides hasta la cara interna del cartílago tiroides se extienden los pliegues vocales. c) LAS CAVIDADES SUPRAGLÓTICAS. Aquí se articulan los sonidos o fonos. i. En la Cavidad Faringea (Orofaríngea). Se distinguen a su vez tres zonas:  La laringofaringe o hipofaringe, que es la zona de la faringe que conecta con la laringe.  La orofaringe o protofaringe, que está en contacto con la cavidad oral.  La rinofaringe, también denominada como cavum o epifaringe, limita con la cavidad nasal.

Figura 1. Cavidades supraglóticas http://www.editorial-geu.com

ii. La Cavidad Oral. Está conformada por los órganos articulatorios fijos y móviles.  Los fijos o pasivos son los incisivos superiores e inferiores, el maxilar superior, los alvéolos y el paladar duro.  Los móviles o activos son los labios, el maxilar inferior, el paladar blando o velo del paladar, con la úvula y la lengua. iii. La Cavidad Nasal: Se considera como órgano fijo, en donde la articulación consiste en un conjunto de movimientos que tienen lugar en las cavidades supraglóticas durante la producción de los sonidos del habla.

Figura 2. El Aparato Fonador Fonética y Fonología, RAE 2011, Pág. 7

3.5 FONÉTICA ACÚSTICA Estudia cómo se generan las ondas de transmisión de los sonidos. Se encarga de la estructura física de los sonidos del habla, es decir de analizar las propiedades físicas, lo cual permite distinguir unos de otros. Se ocupa de la medición científica de las ondas sonoras que se crean en el aire al momento de hablar. El sonido es la sensación percibida por el oído cuando las partículas de un medio elástico, que funcionan como transmisor, sufren cambios de presión provocados por el movimiento vibratorio de un cuerpo denominado fuente de sonido. El aire es el medio usual de transmisión del sonido; sin embargo, las ondas sonoras pueden transmitirse también a través del agua. Las ondas sonoras se producen cuando la fuente de sonido entra en vibración y las partículas de aire se ven sometidas alternativamente a:21  Fases de compresión. Tiempo durante el cual la presión soportada es máxima.  Fases de rarefacción. Tiempo el cual la presión es mínima. Se relaciona con el canal. La onda sonora se caracteriza mediante tres parámetros: Duración, frecuencia y amplitud. 22

20 21 22

RAE - Nueva gramática de la lengua española-Fonética y Fonología, 26-31. RAE - Fonética y Fonología, 32. RAE- Nueva gramática de la lengua española-Fonética y Fonología, 33.

14

| CEPRU2015 DURACIÓN

FRECUENCIA

Depende del TIEMPO mediante el cual se prolonga el movimiento vibratorio. La unidad de medida de una onda sonora es el MILISEGUNDO (ms).

𝐻𝑧 = Figura 3.

AMPLITUD

Depende de la RAPIDEZ del movimiento, es decir, de cuántos movimientos o ciclos se realizan mediante un tiempo determinado. La unidad de medida es el HERCIO (Hz), que equivale a un ciclo por segundo, es decir, a una fase de compresión y una fase de rarefacción que dura un segundo. La frecuencia de la onda sonora es más grave o baja cuanto menor es el número de ciclos por segundo, y más aguda o alta cuanto más elevado sea el número de ciclos por unidad de tiempo.

Depende de la FUERZA del movimiento vibratorio, fruto de las variaciones en la presión ejercida sobre las moléculas de aire. Cuando la presión es fuerte, la amplitud es grande. La unidad de medida es el DECIBELIO (dB), unidad que relaciona la amplitud del movimiento vibratorio con la intensidad del sonido.

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝑠 −1 𝑠 Fórmula de la frecuencia http://www.editorial-geu.com.

Figura 4.

Figura 5.

Ondas sonoras

Ondas sonoras - Frecuencia 23

Figura 6.

Ondas sonoras24

https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A%3BqVvHCNutmz4vwM%3A&imgrc=wnC9QZo2eQidDM%3A

Figura 7.

Ondas sonoras25

Figura 8.

Ondas sonoras26

Nota: Las ondas sonoras pueden ser simples y complejas.

Onda simple Onda compleja

https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#tbm=isch&q=ondas+sonoras+fisica&imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A%3BeEKRIp9yxYqymM%3A&im grc=wnC9QZo2eQidDM%3A 24 https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A%3BqVvHCNutmz4vwM%3A&imgrc=wnC9QZo2eQidDM%3A 25 https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#tbm=isch&q=ondas+sonoras+fisica&imgrc=4wgKn3bIGmWEOM%3A 26 http://www.editorial-geu.com. 23

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 15 EJERCICIOS

1.

La materialización de un fonema en el acto del habla se denomina: a) Fonema b) Monema c) Sonido articulado d) Morfema e) Sema

2.

La fonética articulatoria centra su estudio en: a) La transmisión del sonido a través del aire o de otros medios b) El funcionamiento de los órganos bucales para la producción del sonido c) La manera cómo afecta al oído del receptor cada una de las palabras pronunciadas d) Aquellos instrumentos que miden el funcionamiento del oído e) El sonido abstracto o ideal de una determinada lengua grecolatina

3.

La fonética…………….. se encarga de estructura…………….. de los sonidos del habla: a) Acústica – mental b) Articulatoria – física c) Perceptiva – segmental d) Descriptiva – física e) Acústica – física

4.

La afirmación correcta respecto a la fonética es: a) Estudia a los sonidos ideales b) Se representan entre barras / / c) Estudia a los sonidos articulados d) Estudia el valor distintivo de los fonemas e) La vocal asume la función margen silábico

5.

La fonética…….……… estudia las ondas sonoras, mientras que la fonética….………… se ocupa de la segmentación de los sonidos: a) General – descriptiva b) Perceptiva – acústica c) Articulatoria – ortología d) Descriptiva – perceptiva e) Acústica – perceptiva

6.

La parte de la Lingüística que estudia la pronunciación de los sonidos desde el punto de vista acústico y articulatorio, es la: a) Lingüística b) Fonética c) Gramática d) Fonología e) Ortografía

7.

8.

11.

Las vocales o sonidos articulados vocálicos se pronuncian: a) Sin interrupción en la cavidad bucal b) Con intervención de los dientes c) Con intervención de los maxilares d) Con apoyo de las consonantes e) Con la intervención de los órganos articulatorios de la boca

12.

Las ondas sonoras se clasifican en: a) Fonética y fonología b) Simples y complejas c) Fonos y alófonos d) Articulatoria y acústica e) Fonema y fonos

13.

En la cavidad glótica ocurre un fenómeno muy importante. Consiste en la producción del sonido producido por la salida del aire expulsado desde los pulmones y por la vibración de los pliegues vocales, este fenómeno se llama: a) Articulación b) Respiración c) Fonación d) Inspiración e) Espiración

14.

La fonética analiza los aspectos…… y……. de los……… a) Distintivo – diferencial – fonemas b) Semántico – acústico – sonidos articulados c) Fisiológico – físico – sonidos articulados d) Físico – fisiológico – sonidos ideales e) Distintivo – diferencial – sonidos ideales

15.

La fonética estudia del aspecto material o articulado de las unidades: a) Fónicas o fonos b) Fonémicas c) Grafémicas d) Fonológicas e) Sintácticas

16.

La unidad básica de estudio de la fonética es: a) El fono b) La escritura c) La palabra d) El fonema e) El aire

17.

Los fonos son sonidos pertenecientes al plano: a) De la lengua b) De la semántica c) De la fonología d) Del habla e) Del idioma

18.

Cuando los sonidos son descritos según su producción por el aparato fonador y su emisión hacia el receptor, se está ante una perspectiva: a) Generativa b) Fonológica c) Sintáctica d) Morfológica e) Fonética

19.

La……… estudia los sonidos articulados, mientras que la………… se ocupa de las representaciones abstractas, psíquicas o mentales de los sonidos: a) Fonología – Fonética b) Fonética – Morfología c) Fonética – Fonología d) Fonética – Ortografía e) Fonética – Gramática

20.

Las vocales o sonidos articulados vocálicos se pronuncian: a) Sin interrupción en la cavidad bucal b) Con intervención de los dientes c) Con intervención de los maxilares d) Con apoyo de las consonantes e) Con la intervención de los órganos articulatorios de la boca

la

Las unidades segmentales y suprasegmentales son estudiados por la: a) Grafemática b) Fonología c) Fonética d) Ortografía e) Ortología La fonética que estudia cómo segmentan y perciben las ondas es: a) General b) Descriptiva c) Articulatoria d) Acústica e) Perceptiva

9.

La fonética articulatoria se relaciona con: a) El canal b) El referente c) El mensaje d) El emisor e) contexto

10.

La alternativa correcta respecto a los fonos, es: a) Tienen valor desde un punto de vista distintivo y diferencial b) Tienen valor desde un punto de vista físico y fisiológico c) Se producen sin los contactos entre los órganos d) Son nasales según el modo de articulación e) Se presentan entre barras oblicuas

16

| CEPRU2015

LA SÍLABA Una unidad estructural que actúa como principio organizador de la lengua.

CONSTITUYENTES

1. 2. 3. 4.

LA SÍLABA Y EL ACENTO

CLASES DE SÍLABAS

SILÁBICOS Núcleo Inicio Coda Rima

1. 2. 3. 4.

S. abierta o libre S. cerrada o trabada S. tautosilábica S. heterosilábica

PRINCIPIOS DE ORDENACIÓN DE LOS SEGMENTOS

SECUENCIA VOCÁLICA 1.

Diptongo

2.

Triptongo

3.

Hiato

1. S. tónicas 2. S. átonas

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Vocal silábica Vocal satélite Aproximantes Líquidas Nasales Fricativas Africada Oclusivas

FUENTE: Elaboración propia

4.1. LA SÍLABA La sílaba es una unidad estructural que actúa como principio organizador de la lengua. Se compone de un conjunto de segmentos sucesivos agrupados en torno al segmento de máxima sonoridad o máxima abertura oral. Este segmento constituye su núcleo y, en español, es siempre vocálico. Cada núcleo de máxima sonoridad identifica una sílaba. Los segmentos que se agrupan con el núcleo en la sílaba forman sus márgenes. La palabra pan, por ejemplo, se estructura como un vocablo monosilábico: la vocal /a/ constituye el pico de sonoridad, y las consonantes /p/ y /n/ son los márgenes consonánticos anterior y posterior del núcleo silábico. En la forma verbal oía, las tres vocales forman tres picos de sonoridad máxima y se organizan en tres sílabas distintas: /o – í – a/. Los sonidos contiguos a los núcleos se agrupan a partir del contraste perceptivo que resulta de su concatenación en la secuencia.27 4.2. FACTORES QUE INFLUYEN EN LA ASOCIACIÓN DE SEGMENTOS DE UNA SÍLABA 1. Las características generales fonéticas y fonológicas de los sonidos. 2. Su mayor o menor abertura oral. 3. La posición que ocupa en la secuencia. 4.3. CONSTITUYENTES SILÁBICOS28 a) EL NÚCLEO (N), denominado CUMBRE, PICO o CENTRO. Ej.: a – la

clo – a – cas

o–í–a

a – pre – ciáis

b) INICIO (I) o ATAQUE (CABEZA o ABERTURA). El margen silábico anterior, y los segmentos que se hallan en esta posición son segmentos en posición explosiva (anterior). Ej.: Cla – ro

be – so

pe – so

pron – to

c) CODA (C). El margen silábico posterior, y los segmentos que se presentan en esta posición son segmentos en posición implosiva (posterior). Ej.: mal – dad co – men pa – red vals puen – te 27 28

RAE - Ortografía de la lengua española (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 284. RAE - Ortografía de la lengua española, 289.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 17 d) RIMA SILÁBICA (R). El núcleo y la coda pueden agruparse en un único constituyente, cuya composición es determinante para algunos investigadores en la asignación del acento léxico.

Ơ (sílaba)

I [nicio]

R[ima]

N[úcleo] Figura 9.

Figura 10.

Figura 11.

C[oda] Estructura de la sílaba29

Estructura silábica de la palabra vals [‘bals]30

Estructura silábica de la palabra cloacas [klo.’a. kas]31

4.4. CLASES DE SÍLABAS a) SÍLABAS ABIERTAS O LIBRES. Las sílabas que están desprovistas de coda (CCV, CV, V). Ej.: pri – ma – ve – ra pi – za – rra ca – mi – sa me – sa b) SÍLABAS CERRADAS O TRABADAS. Las sílabas que poseen coda(VCC, VC, CVC, CCVC, CCVCC, CVVC, CVCC, VVC) Ej.: cris – tal cons – tar pas – tel al – mas pin – tar trans – por – tar c) SÍLABAS TAUTOSILÁBICOS. Cuando dos elementos contiguos pertenecen a la misma sílaba (diptongos, triptongos y las combinaciones: pl, pr, cl, cr, fl, fr, bl, br, gl, gr, tl, tr). Ej.: plo – mo bru – ma ai – re clo – ro glo – bo puer – ta cre – cer gru – ta au – la fle – ma A – tlán – ti – co pei – ne fru – ta tru – cha cam – biáis blan – co ar – ma – rio hioi – des vien – to d) SÍLABAS HETEROSILÁBICOS. Si dos segmentos consecutivos se integran en sílabas diferentes (hiato). Ej.: ma – íz o – í – do es – pon – tá – ne – o ve – he – men – te es – pí – a ba – úl al – co – hol le – o RAE - Ortografía de la lengua española, 289. RAE - Ortografía de la lengua española, 290. 31 RAE - Ortografía de la lengua española, 290. 29 30

18

| CEPRU2015

4.5. SECUENCIAS VOCÁLICAS: DIPTONGOS, TRIPTONGOS, HIATOS32 Dentro de una misma palabra es posible encontrar secuencias de dos, tres, cuatro y hasta de cinco vocales seguidas, que pueden agruparse en la pronunciación de diferentes maneras, formando o no partes de las mismas sílabas. 4.5.1. DIPTONGOS Son secuencias de dos vocales que se pronuncian en la misma sílaba. En español, los diptongos pueden estar constituidos por las siguientes combinaciones vocálicas: a) Una vocal abierta (a, e, o) precedida o seguida de una vocal cerrada átona (i, u): vien – to vio ai – re an – cia – no cuan – to hay cua – tro sue – lo de – béis pien – so an – ti – guo boi – na b) Dos vocales cerradas distintas (i, u): ciu – dad lin – güís – ti – ca muy

es – toy au – lli – do Eu – ge – nio es – ta – dou – ni – den – se

ca – suís – ti – ca rui – do

4.5.2. TRIPTONGOS Son secuencias de tres vocales pronunciadas dentro de la misma sílaba. En español tienen necesariamente que estar constituidos por una vocal abierta (a, e, o) precedida y seguida de una vocal cerrada átona (i, u): es – tu – diáis U – ru – guay con – fiéis miau a – tes – ti – güéis am – pliáis viei – ra a – pre – ciéis ra – dioi – só – to – po a – go – biáis 4.5.3. HIATOS Son secuencias de dos vocales que se pronuncian en sílabas distintas. En español, constituyen hiatos desde el punto de vista articulatorio las siguientes combinaciones: a) Una vocal cerrada tónica (i, u) seguida o precedida de una vocal abierta átona (a, e, o): Po – dí – a Pun – tú – e E – go – ís – ta Rí – o Flú – or Ta – húr Des – ví – e Ra – íz Fe – ú – cho Pú – a Re – ír Fi – no – ú – grio b) Dos vocales abiertas (a, e, o): ca – er a – ho – go

ro – er te – a – tro

bar – ba – co – a bo – a

c) Dos vocales iguales: al – co – hol I – sa – ac ve – he – men – te

al – ba – ha – ca re – e – le – gir chi – i – ta

lo – or Ro – ci – i – to du – un – vi – ra – to

4.6. LA SÍLABA Y EL ACENTO: SÍLABAS TÓNICAS Y SÍLABAS ÁTONAS Dependiendo de sí en la palabra de la que forman parte se pronuncian con acento o sin él, se distinguen dos tipos de sílabas: a) Sílabas tónicas. Las que portan el acento léxico o primario. Ej.: car – te – LE – ra a – MI – go a – ZÚ – car pre – si – DEN – te es – pon – TÁ – ne – o BRÚ – ju – la b) Sílabas átonas. Las que carecen de acento léxico. Ej.: RE – loj A – ni – LLO VEN – ta – NA plá – TA – NO

mó – VIL AN – dén

4.7. PRINCIPIOS DE ORDENACIÓN DE LOS SEGMENTOS EN LA SÍLABA “En el dominio de la sílaba, los sonidos se organizan de acuerdo con la ESCALA UNIVERSAL DE SONORIDAD. Como se observa en la figura, esta escala establece que las vocales silábicas son las unidades más perceptibles, por ser las más abiertas. Siguen, en orden decreciente de sonoridad, las vocales satélites o marginales (tradicionalmente llamadas semivocales y semiconsonantes), los elementos aproximantes, los líquidos, los nasales y los obstruyentes; dentro de estos últimos, las consonantes fricativas son más perceptibles que las consonantes africadas y oclusivas debido a su mayor abertura”33

Vocales silábicas

Vocales satélites

+ PERCEPTIBLE

Aproximantes

Líquidas

Escala universal de sonoridad

Figura 12.

RAE - Ortografía de la lengua española, 196-200. RAE - Ortografía de la lengua española, 287. 34 RAE - Ortografía de la lengua española, 287. 32 33

Nasales

Escala universal de sonoridad 34

Fricativas

Africada

- PERCEPTIBLE

Oclusivas

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 19 “El núcleo silábico es el segmento caracterizado por la máxima sonoridad y la máxima abertura oral y, como ya se ha señalado, en español es siempre vocálico. El resto de los elementos que se integran en una misma sílaba debe presentar un grado de sonoridad menor que el núcleo, de forma que la sílaba puede estar compuesta por una sola vocal, o bien por una vocal y otros elementos (vocales satélites o marginales y consonantes aproximantes, líquidas, nasales, fricativas, africada u oclusivas). Existen, además, principio que condicionan la posición y la combinación de los segmentos en la sílaba, pues, en general, la sonoridad de estos disminuye progresivamente desde el núcleo hacia los márgenes”35 La disminución gradual de sonoridad desde el núcleo silábico hacia los márgenes se produce tanto hacia el margen anterior como hacia el margen posterior.

Ejemplo:

Trans

t= r=

– por – te

a= n= s= Margen silábico explosivo (sonoridad decreciente)

oclusivo (segmento menos perceptible) consonante líquida (segmento más perceptible) núcleo (totalmente perceptible) nasal (segmento más perceptible) fricativo (segmento menos perceptible)

Margen silábico implosivo (sonoridad decreciente)

N

4.8. TIPOS DE SÍLABAS36 Los sistemas fonológicos se describen tanto por los segmentos que los forman y sus características como por las posibilidades de combinación, que se establecen entre ellos. Nota: Se usan las abreviaturas (V) para vocal silábica, (C) para consonante y (S) para vocal satélite o marginal.

V

ala

a-la

CV

pisa

pi-sa

SV

hiere

h i e-re

VC

as

as

VS

hoy

ho i

CVC

mal

Mal

CVS

soy

SVC

huésped

CCV

plato

pla – to

CSV

tiene

t i e-ne

VCC

instaurar

VSC

austral

CCVC

tren

CCVS

pleito

CCSV

industria

CSVC

viento

vi en-to

CSVS

buey

Bue i

CSVSC

cambiáis

CVCC

constar

cons – tar

CVSC

veinte

ve i n-te

CCVCC

transportar

CCVSC

claustro

claus-tro

CCSVC

industrial

in-dus-tr i al

so i hués-ped

ins-tau-rar aus-tral Tren

ple i -to in-dus-tr i a

cam-b i á i s

trans – por – tar

Figura 13.

RAE - Ortografía de la lengua española, 287. RAE - Ortografía de la lengua española, 293. 37 RAE - Ortografía de la lengua española, 293-294. 35 36

NOTA: Las palabras que tienen dos sílabas tónicas se denominan DITÓNICAS y son los adjetivos adverbializados que terminan en MENTE, y las palabras compuestas mediante guion o sin guion. Casualmente, físico-químico, casaquinta.

Tipos de sílabas en el dominio de la palabra37

20

| CEPRU2015 EJERCICIOS

1.

A la separación denomina: a) Hiato b) Diptongo c) Triptongo d) Coda e) Cabeza

2.

Las sílabas que terminan en vocal, es decir sin coda, se denominan: a) Cerradas b) Trabadas c) Abiertas d) Tónicas e) Átonas

3.

Las palabras lentamente, ágilmente son………… porque poseen…………… a) Abiertas sílabas directas b) Ditónicas dos acentos c) Alternas sílabas cerradas d) Abiertas sílabas idénticas e) Cerradas sílabas cerradas.

4.

La palabra perdiz tiene sílabas: a) Abiertas b) Libres c) Cerradas d) Incomplejas e) Mixta

5.

6.

7.

8.

9.

10.

de

vocales

contiguas

se

La secuencia de palabras que presentan únicamente diptongos, es: a) León, búho, poeta, caoba b) Miau, huayno, eucalipto, piojo c) Canoa, oído, caudales, cueva d) Juguete, aguinaldo, quena, guitarra e) Iguana, ambiguo, ahijada, prohibir Cuando dos segmentos consecutivos se integran en sílabas diferentes, se denominan: a) Tautosilábicos b) Heterosilábicos c) Homosilábicos d) Intrasilábicos e) Rimas silábicas Las palabras grúa, ahora, reemplazar, tiito son: a) Hiatos b) Diptongos c) Triptongos d) Tautosilábicos e) Átonos El grupo de palabras constituidos solo por sílabas libres o abiertas son: a) Máscara, cartuchera, cuaderno, pistola b) Puerta celular, lápiz, duerme c) Libro, mochila, sílaba, brújula d) Estudiante, cantante, primavera e) Discos, silla, árbol, partir Las sílabas que carecen de acento, se denominan: a) Átonas b) Tónicas c) Abiertas d) Cerradas e) Diptongos La palabra que presenta diptongo, es: a) Rehúye b) Geografía c) Bloque d) Lingüística e) Azahar

11.

La palabra pensar presenta sílabas: a) Cerradas b) Abiertas c) Libres d) Incomplejas e) Ascendentes

12.

El grupo de palabras que presenta solo hiato acentual, es: a) Destruir, frío, aún b) Ataúd, búho, María c) Dios, cueva, viuda d) Ahora, paisaje, cuadro e) Día, puente, hueco

13.

El enunciado La ciudad de Ayacucho se transforma en un sensible espacio religioso durante la semana santa, presenta la siguiente cantidad de diptongos: a) 5 b) 8 c) 3 d) 6 e) 4

14.

La palabra que no presenta ningún tipo de diptongo, es: a) Cuidado b) Avión c) Violín d) Murciélago e) Querubín

15.

La alternativa correcta respecto al diptongo, es: a) Un triptongo puede tener dos vocales fuertes b) Un diptongo homogéneo está formado por una vocal débil y otra fuerte c) Un hiato solo se forma a partir de dos vocales fuertes d) Una vocal fuerte y una débil jamás se separan e) N.A

16.

La palabra que presenta el ordenación CVC se aprecia en: a) Óptica b) Cuaderno c) Soy d) Sol e) Cuerno

17.

Un constituyente silábico es: a) El diptongo b) La coda c) El hiato d) El triptongo e) La sílaba

18.

Las sílabas que poseen coda se denominan: a) Cerradas b) Tautosilábicas c) Heterosilábicas d) Abiertas e) Tónicas

19.

Las palabras cuadro, cueva y piojo; presentan diptongos: a) Descendentes b) Acentuales c) Homogéneos d) Crecientes e) Decrecientes

20.

Cada núcleo de máxima sonoridad, identifica una: a) Sílaba b) Inicio c) Ataque d) Coda e) Rima silábica

principio

de

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 21

EL ACENTO La mayor prominencia con la que se emite y percibe una sílaba con respecto a las de su entorno.

REGLAS DE ACENTUACIÓN GRÁFICA

FUNCIONES DEL ACENTO

CLASES DE ACENTO

1. F. Contrastiva 2. F. Distintiva 3. F. Culminativa

1. Acento gráfico o tilde 2. Acento prosódico

REGLAS GENERALES 1. P. Monosilábicas 2. P. Polisilábicas  Agudas  Graves o llanas  Esdrújulas  Sobresdrújulas

REGLAS ESPECIALES 1. 2. 3. 4.

Tilde diacrítica de monosílabos Acentuación de palabras con hiato Tilde diacrítica en pronombres relativos Acentuación de palabras compuestas

FUENTE: Elaboración propia

5.1

EL ACENTO El acento consiste en la mayor prominencia con la que se emite y percibe una sílaba con respecto a las de su entorno. En concreto, el acento pone de relieve una determinada sílaba, formada, por lo general, por uno o más fonemas, con respecto a las demás sílabas de una palabra. Ejemplos. 

5.2

constituCIÓN



SÍlaba



voCAblo

EL ACENTO GRÁFICO O TILDE El sistema de acentuación gráfica está constituido por un signo diacrítico, denominado tilde (´), acento gráfico u ortográfico. Ejemplos. 

VolveRÉ



LÍder



SÍMbolo

No todas las palabras tónicas se escriben con una tilde sobre su sílaba tónica. Son las reglas de acentuación gráfica las que determinan la presencia o ausencia de tilde. 5.3

EL ACENTO PROSÓDICO Al pronunciar aisladamente cualquier palabra polisílaba, no todas las sílabas que la componen se emiten y se perciben con el mismo relieve. Una de ellas destaca en el conjunto y resulta más perceptible que las demás. Esa diferencia en la pronunciación de una determinada sílaba, que establece un contraste entre ella y el resto de las que integran la palabra, recibe el nombre de acento. La marca acentual se determina de manera relativa por el contraste que se produce entre la pronunciación de unos segmentos de la cadena hablada y otros. Es un rasgo prosódico que remarca un sonido o grupo de sonidos en la palabra.

5.4

FUNCIONES DEL ACENTO DEL ACENTO PROSÓDICO38

a) FUNCIÓN CONTRASTIVA (Eje sintagmático) Se realiza en el interior de la cadena hablada y permite establecer un contraste o diferenciación entre unidades lingüísticas acentuadas e inacentuadas. Ejemplo: Físi–ca (en una palabra) Tónica

átona

átona

DUERmo tan BIEN como SUEño. (También en oraciones) b) FUNCIÓN DISTINTIVA (Eje paradigmático) Permite diferenciar palabras que solo se distinguen fónicamente entre sí por la presencia o ausencia de tonicidad. En la lengua española, el acento tiene valor fonológico, porque establece diferencias significativas entre las palabras. Por ejemplo: pú-bli-co (sustantivo), pu-bli-co (verbo), pu-bli-có (verbo) re-vól-ver (sustantivo), re-vol-ver (verbo) can-to (substantivo), cantó (verbo) 38

RAE- Ortografía de la lengua española (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 193.

22

| CEPRU2015

c) FUNCIÓN CULMINATIVA Esta función se pone de manifiesto en la cadena hablada y es la que permite percibir los diferentes grupos acentuales que componen el discurso. Estos grupos acentuales están constituidos siempre por una sílaba tónica y la sílaba átona de su entorno que se apoya en ella, y que pueden formar parte o no de la misma palabra. Ejemplo: Si te aCUERdas, Díselo. En el ejemplo existen dos grupos acentuales: en el primero las sílabas átonas si, te, a y –das se pronuncian apoyadas en la sílaba tónica CUER; y en el segundo, las sílabas átonas –se- y –lo se apoyan en la sílaba tónica DÍ. 5.5

REGLAS DE ACENTUACIÓN GRÁFICA39 REGLAS GENERALES  LA ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS MONOSILÁBICAS Las palabras de una sola sílaba nunca se acentúan gráficamente, salvo en los casos de tilde diacrítica. Así estos monosílabos no tiene tilde: mes, bien, sol, ve, ya, son, fe, fue, etc.  LA ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS POLISÍLABAS Se aplican en función de sí son agudas, llanas, esdrújulas o sobresdrújulas.

5.6

ACENTUACIÓN GENERAL 5.6.1. ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS AGUDAS (OXÍTONAS). Son aquellas cuya última sílaba es tónica. a) Las palabras agudas llevan tilde cuando terminan en los grafemas consonantes “n” o “s” o en cualquier vocal. Por ejemplo: Razón, compás, comité, iglú, además, mirarán b) No llevan tilde en los siguientes casos: - Cuando terminan en grafema consonante distinto de “n”, “s” o en vocal: Amistad, trigal, escribir, actriz, bondad, considerar - Cuando terminan en consonantes dobles: Zigzags, mamuts, confort - Cuando terminan en el grafema “y”: Virrey, convoy, carey, caray, Paraguay, bocoy, estoy, tepuy, cocuy 5.6.2.

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS GRAVES O LLANAS (PAROXÍTONAS). Son aquellas cuya penúltima sílaba es tónica. a) La palabras llanas se escriben con tilde en los siguientes casos: - Cuando terminan en un grafema consonántico distinto de “n”, “s” o vocal: Ángel, tórax, lápiz, tóner, inútil, azúcar, Tíbet, crómlech, referéndum - Cuando terminan en consonantes dobles o triples: Bíceps, fórceps, récords, cíborg, wéstrn, clárens - Cuando terminan en el grafema “y”: Yóquey, yérsey, póney No llevan tilde: compost, tuaregs, piolets

b) Las palabras graves no llevan tilde cuando terminan en las consonantes “n”, “s” o en vocal. Por ejemplo: Margen, crisis, lata, libro, tribu, resta, callejeros, hacen, bici, parque

5.7

5.6.3.

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS ESDRÚJULAS (PROPAROXÍTONAS). Son aquellas cuya antepenúltima sílaba lleva tilde. Ejemplos: Análisis, rápido, tónica, pacífico, génesis, válvula, cóselo, hábitat

5.6.4.

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS SOBRESDRÚJULAS (SUPERPROPAROXÍTONAS): Son aquellas cuya preantepenúltima lleva tilde. Por ejemplo: Recítaselo, recógemelo, leyéndosela, dígansenoslo, propóngasemelo, imagíneselas

LA ACENTUACIÓN ESPECIAL40 5.7.1 LA TILDE DIACRÍTICA EN PALABRAS MONOSILÁBICAS La regla de acentuación gráfica de las palabras monosílabas prescribe que estas se escriban sin tilde. Constituyen una excepción a esta regla general en un grupo de palabras monosílabas tónicas de uso frecuente que se oponen a otras formalmente idénticas, pero de pronunciación átona. Tienen la misma escritura pero cumplen distinta función gramatical y poseen significados distintos. Tenemos: TÚ= pronombre personal (2da P.G.) Tú eres mi mejor amigo. TU= adjetivo posesivo. Tu casa es bonita. Él= Pronombre personal (3° P. G.) Él es el alumno que ganó el premio. EL= Artículo determinante. El profesor no vino hoy. MÍ = pronombre personal (1° P.G) A mí me gusta el orden. MI = adjetivo posesivo. Sust. (Nota musical). Mi mochila está rota. Empieza en mi menor. SÍ = Adverbio de afirmación, Pronombre personal (3° P.G). Adverbio sustantivado. Sí, comprendí todo. Volvió en sí después de un minuto. SI = Conjunción condicional. Sustantivo (nota musical) Si estudias ingresarás a la universidad.

39 40

RAE - Ortografía de la lengua española, 231-241. RAE - Ortografía de la lengua española, 242-275.

TÉ = Sustantivo. El té se enfría, apúrate. TE = Pronombre personal (2da P. G.) Te invito al teatro, querida amiga. DÉ =Forma del verbo dar. Dé gracias a que estoy de buen humor. DE = Preposición. Sustantivo (letra) Ella es de Puerto Maldonado. Borra la letra “de”. SÉ = Forma del verbo ser – saber. Sé que puedo mejorar en todo. SE = pronombre personal (3° P.G) Se cayó del tercer piso. MÁS = Cuantificador (adverbio, adjetivo o pronombre. Él quiere más tiempo para estudiar. Canta más bien que mal. MAS = conjunción adversativa equivalente a pero. Fuimos al estadio, mas no ingresamos.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 23 5.7.2

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE PALABRAS CON HIATO Las palabras con hiato se acentúan gráficamente según las siguientes pautas: a) Las palabras con hiato llevan siempre tilde en la vocal cerrada, con independencia de las reglas generales de acentuación. Ejemplos: Serías, sabías, mío, actúe, búhos, oído, sabíais, desvíen, cacatúa, reído (llevan tilde a pesar de ser llanas terminadas en –n, -s o vocal) Raíz, oír, baúl, Raúl, maíz, reír, oír, laúd, tahúr (se tildan aun siendo agudas terminadas en consonantes distintas de n o s) b) Las palabras que incluyen cualquier otro tipo de hiato se someten a las reglas generales de acentuación. Así: Jaén, traerás, acordeón, peleó, Noé, rehén o chií (lleva tilde por ser voces agudas terminadas en –n, -s o vocales) Caer, baobab, soez o alcohol (no llevan tilde por ser agudas terminadas en consonante distinta de n o s) Bóer, Sáez o afrikáans (se acentúan gráficamente por ser palabras llanas terminadas en consonantes distintas de n o s, o en dos consonantes) Paella, vean, ahora, anchoa, museo, poetas o chiitas (se escribe sin tilde por terminar en –n,-s o vocal) Aéreo, línea, océano, caótico, coágulo, teórico, héroe o zoólogo (llevan tilde por ser esdrújulas)

5.7.3

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS CON DIPTONGO Las palabras que contienen diptongos ortográficos se acentúan gráficamente según las reglas generales de acentuación. Así: Sainz, cian, veis, pie, soy, dio, truhan, dual, fue, cruel, muon, siux, hui (no llevan tilde por ser monosílabas) Nupcial, bailar, Javier, posterior, autor, deshuesar, feudal, rehuir, ciudad, pierrots, tuaregs, virrey o estoy (no lleva tilde por ser agudas terminadas en consonantes distintas de n o s, en más de un grafema consonántico o en –y) Rufián, bonsái, habláis, recién estéis, desvió, averigüé, licuó, derruí o interviú (lleva acento gráfico por ser agudas terminadas en –n,-s o vocal) Reinan, aguantan, clientas, contabais, peinasteis, huerto, ingenuas, inocuo, fortuito, incluido o diurno (no lleva tilde por ser llanas terminadas en –n,-s o vocal) Estiércol, máuser, huésped, médiums, sóviets o yóquey (lleva tilde por terminar en consonante distinta de n o s, en más de un grafema consonántico o en –y) Diálogo, ciénaga, áulico, demiúrgico o lingüística (se acentúan gráficamente por ser esdrújulas)

5.7.4

TILDE DIACRÍTICA EN QUÉ, CUÁL, QUIÉN, CÓMO, CUÁN, CUÁNTO, CUÁNDO, DÓNDE, Y ADÓNDE La palabras tónicas qué, cuál, quién, cómo, cuán, cuánto, cuándo, dónde y adónde se escriben con tilde diacrítica para diferenciarlas de sus homónimas átonas. Como ocurre en todos los casos de tilde diacrítica, estas formas tónicas son palabras que no deberían tildarse según las reglas generales de acentuación; la función de la tilde no es identificar la posición de la sílaba tónica, sino prevenir su confusión con aquellas otras formalmente idénticas, pero de pronunciación átona y distinto valor y función.

a)

ESCRITURA CON TILDE. Estas palabras se escriben con tilde cuando pertenecen a la clase de los interrogativos o exclamativos. ¿Qué animal es aquel? ¡Qué calor! ¿Cuál es tu nombre? ¿Quién te ha hecho esto? ¡Quién pudiera volver a ser joven! ¿Cómo te olvidaste? ¡Cómo te agradezco que hayas venido! ¿Cuán firme es tu determinación?

       

NOTA: los interrogativos y los exclamativos pueden ir precedidos por una preposición sin dejar de ser tónicos ni de escribirse con tilde.  ¿Por qué ha dicho eso?  ¡Con qué poco te conformas!  ¿Hasta cuándo estás dispuesto a seguir? Así mismo, existen interrogativas y exclamativas indirectas: Preguntó qué tenía qué hacer para ir al centro. Aún no ha decidido con quién asociarse. Dime cuánto vas a tardar. Me preocupa cómo encontrar financiación. Mira qué fácil. Hay que ver cuánto has crecido. Es indignante cómo lo tratan. b)

ESCRITURA SIN TILDE. Estas mismas palabras se escriben siempre sin tilde en los casos siguiente: Cuando funciona como relativos Ha colocado en el jarrón las flores que trajiste. Conozco a la chica con quien trabajas. Sigue ahí donde lo dejaste. Cuando funciona como conjunción Insistió en que debíamos continuar. Miente tanto como habla. La casa estaba en un lugar tan apacible cuanto bello.´ Cuando funciona como preposición Te digo como amigo. Mis padres se vinieron a Madrid cuando el terremoto de Lisboa. Se detuvo a descansar donde el obelisco. Llevaba el pelo como mal peinado.

5.7.5 ACENTUACIÓN GRÁFICA DE FORMAS O EXPRESIONES COMPLEJAS a) PALABRAS COMPUESTAS Escritas en una sola palabra se someten a las reglas de acentuación como si fueran voces simples:  Hinca + pie = hincapié (con tilde por ser palabra aguda terminada en vocal)  Veinte + dos = veintidós (con tilde por ser palabra aguda terminada en -s)  Balón + cesto = baloncesto (sin tilde por ser palabra llana terminada en vocal)  Arco + iris = arcoíris (con tilde por contener un hiato)  Tío + vivo = tiovivo (sin tilde por ser palabra llana terminada en vocal)

24

| CEPRU2015 b) ADVERBIOS TERMINADOS EN –MENTE Los adverbios de este tipo se forman por la adición a un adjetivo del elemento compositivo –mente. Estas palabras presentan de manera excepcional dos sílabas tónicas, la del adjetivo base y la de la terminación.  Integra + MENte = INtegraMENte  TranQUIla + MENte = tanQUIlaMENte  Cortés + mente = fortésmente  Fácil + mente = fácilmente  Rápida + mente = rápidamente  Normal + mente = normalmente  Breve + mente = brevemente c) FORMAS VERBALES CON PRONOMBRES ENCLÍTICOS Cuando los pronombres átonos (me, te, se, lo/s, la/s, le/s, nos, os) van pospuestos al verbo, se escriben unidos a este formando una sola palabra gráfica. El acento prosódico de la palabra resultante coincide con el de la forma verbal, único elemento tónico presente en estas formas complejas:  DI + me = Dime  arrepinTIENdo + se = arrepinTIÉNdose  leER + os + lo = leÉRoslo  COma + se + lo = CÓmaselo EJERCICIOS

1.

La palabra monosílaba que en algunos casos se tilda y en otros no, es: a) Me b) Vio c) Fue d) Ti e) Si

2.

En la oración Él guardó esas fotografías en el recámara, la palabra que pertenece a la acentuación dierética, es: a) Él b) Guardó c) Esas d) Fotografías e) Recámara

3.

4.

5.

6.

En la oración Sé más solidario, nunca piensas en mí, las palabras con tilde diacrítica son respectivamente: a) Pronombre – conjunción – sustantivo b) Artículo – adverbio – pronombre c) Verbo– adverbio – pronombre d) Pronombre – adverbio – preposición e) Artículo – conjunción – preposición

9.

La palabra SI no lleva tilde cuando es: a) Preposición b) Interjección c) Pronombre d) Adverbio e) Conjunción

12.

Las palabras razón, ángel, péndulo y dígasele presentan acentuación: a) Distintiva b) Dierética c) Enfática d) Diagráfica e) General

11.

El grafema o representación gráfica del acento se denomina: a) Acento prosódico b) Sílaba atona c) Sílaba tónica d) Acentuación e) Tilde

13.

La palabra que debe presentar tilde, es: a) Grave b) Crater c) Virtud d) Vergel e) Suave

14.

En la expresión Quiero una taza de té , la palabra diacrítica es: a) Pronombre b) Sustantivo c) Conjunción d) Adverbio e) Adjetivo

Las palabras paroxítonas son: a) Entrégaselo, dígamelo, llévenselo b) Brújula, árboles, máxima, espíritu c) Árbol, ángel, baile, trampa d) Profesor, malestar, cantidad, veloz e) Dios, tren, fe, paz, dio, vio, fue

15.

En la expresión El joven movio la cabeza en señal de negativa, el nunca antes habia oido semejante barbaridad, la cantidad de acentos gráficos que falta en el texto es:

Las palabras panel, oración, pared son: a) Paroxítonas b) Sobreproparoxítonas c) Oxítonas d) Proparoxítoas e) Graves

16.

La tilde que se usa para disolver los diptongos y formar hiatos acentuales, es : a) Diagráfica b) Enfática c) Dierética d) Diacrítica e) Tópico o general

La palabra que pertenece a la acentuación dierética, es: a) Canción b) Pensar c) Peón d) Día e) Caimán

a) b) c) d) e)

1 5 4 3 2

7.

La palabra MI lleva tilde cuando es: a) Conjunción b) Pronombre c) adverbio d) circunstancial e) preposición

17.

La oración que requiere de dos tildes, es: a) Ella tiro los papeles aqui b) El encontro sus calcetines en el cajon c) Soñe con la pelicula de accion d) El viernes vendran los italianos e) Revisaran las fallas del motor

8.

En la expresión Inés había alquilado dos automóviles para la ocasión, la cantidad de palabras que pertenecen a la acentuación general son:

10.

El acento que es eminentemente oral y no presenta ningún rasgo gráfico, tradicionalmente se llama: a) Ortográfico b) Vírgula c) Átono d) Prosódico e) Virgulilla

a) b) c) d) e)

0 1 2 3 4

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 25

LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN

USO DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN

FUNCIONES

A. Indicar los límites de la unidades lingüísticas B. Indicar la modalidad enunciados

de

los

C. Indicar la omisión de una parte del enunciado

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

El punto La coma El punto y coma Los dos puntos Los paréntesis Las comillas Los signos de interrogación exclamación 8. Los puntos suspensivos

y

FUENTE: Elaboración propia

6.1.

FUNCIONES DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN41

A. INDICAR LOS LÍMITES DE

LAS UNIDADES LINGÜÍSTICAS Busca entre sus pertenencias. Tal vez encuentres algo que nos interese. Señorita, venga un momento, por favor. Se lo suplico. —¿Qué deseas? —me dijo. Luego se fue.

B. INDICAR LA MODALIDAD DE LOS ENUNCIADOS Quien emite un mensaje puede presentar su contenido como una información sin más (modalidad enunciativa), como una pregunta (modalidad interrogativa), como la expresión de una emoción (modalidad exclamativa) o como el intento de influir sobre el que escucha (modalidad imperativa). Hace calor, ¡Hace calor!, ¿Hace calor?

6.2.

USOS DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN

(1)

EL PUNTO (.) 42 Uso del punto en:

C. INDICAR LA OMISIÓN

DE UNA PARTE DEL ENUNCIADO Se presentó con un semblante... / Se presentó con un semblante. Hace un frío... / Hace un frío.

a) Abreviaturas Sra., pág., etc., EE.UU., ej. b) Fechas y horas 20.08.15 18.30 NUNCA SE ESCRIBE PUNTO AL FINAL DE: a) Títulos y subtítulos de libros, artículos, capítulos, obras de arte, etc. Nueva gramática de la lengua española El Señor Presidente Cien años de soledad b) Nombres de autor en cubiertas, portadas, prólogos, firmas de documentos, etc. “Riego y Aviraneta afirmaron que no había tal; que existía el contacto entre España y el resto de Europa; que así se había podido dar en España, antes que en otra nación europea, unas Cortes como las de Cádiz…” Pío Baroja

c) Dedicatorias Para William A mi amado, sin cuya ayuda esta obra no hubiera sido posible A mis padres, a mi esposo, a mis hijos

41 42

RAE - Ortografía de la lengua española (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 282-285. RAE - Ortografía de la lengua española, 292-299.

26

| CEPRU2015 d) Pies de imagen, cabecera de cuadros y tablas

Perro y gato e) Eslóganes Madre de Dios, paraíso natural Turismo en Cusco, vívelo en directo f)

Enumeraciones en forma de lista La capital del Perú es: a) Lima b) Cusco c) Trujillo d) Arequipa e) Tacna

g) Direcciones electrónicas www.minedu.gob.pe (2) 

43

LA COMA (,) 43 Usos de la coma a) Coma incidental La creatividad, como se ha explicado, es muy importante. La casa, abandonada, se convirtió rápidamente en refugio de vagabundos. Su hermano, al parecer, es piloto. Mi hija, como tú sabes, es una magnífica entrenadora. Los niños, que estaban en el patio, se echaron a correr. Como todos saben, el volcán Misti está en Arequipa. b) Coma vocativa Eduardo, no quiero que salgas tan tarde. Has de saber, prima querida, que tu padre era un gran amigo mío. Estoy a sus órdenes, mi general. Usted, aproxímese inmediatamente. c) Coma hiperbática Se arrepentirá, estoy segura, de su comportamiento. Es, sin lugar a dudas, un gran maestro. Por las mañanas, trabaja en la Universidad y, por las tarde, se dedica a realizar investigaciones de su especialidad. En el Perú, hace ya mucho tiempo que en la prensa especializada se trata este asunto. En mayo de 1990, Arequipa se convirtió en tierra de nadie. d) Coma en miembros yuxtapuestos Salieron a la calle, cerraron la puerta y subieron calle arriba. Corrían, tropezaban, avanzaban sobre él. e) Coma enumerativa Es un muchacho muy introvertido, estudioso y de buena familia. No te vayas sin correr las ventanas, apagar la luz y cerrar bien la puerta. f) Coma conjuntiva coordinada y subordinada Parece el perro del hortelano: ni come ni deja comer. Organizaremos la reunión, bien en tu casa, bien en la de mi madre. Era famoso por su expresión, así como por sus ideales. Tengo que estudiar biología, así como competencia lingüística. Ella siempre llega tarde a clases, es decir, no escucha toda la explicación de la maestra. Iré a la fiesta, pero no sé la hora. No ha dicho la verdad, porque me ha guiñado el ojo. Salió con ropa impermeable, porque llovía bastante. Algo le pasa, pues tiene mala cara. Tienes que estudiar, para que te quede claro. Si vas a viajar hoy, no dejes de comunicarme. Aunque no lo permitas, saldré a la calle. Quisieron que hable todo lo que sabía. No lo hice, así que me forzaron. Terminé la tarea, entonces me voy a jugar. Llegaron a tal grado de confianza, que no necesitaba hablarse. Son bienvenidos, siempre que vengan pacíficamente. Arreglaré la habitación, en caso de que decidas quedarte. g) Coma elíptica Su hija mayor es rubia; el pequeño, moreno. Jesús es todo amor; Judas, un traidor. h) Coma en datación de cartas y documentos (entre el lugar y la fecha) Cusco, 08 de noviembre de 2015 En Perú, a 30 de noviembre de 2015

RAE - Ortografía de la lengua española, 306.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 27 (3)

EL PUNTO Y COMA (;)44 a) Punto y coma en oraciones yuxtapuestas El trabajo dignifica al hombre; el ocio es origen de todo mal. Ángel estudia administración de empresas; César prefiere, economía. Los modestos siempre son aceptados; los soberbios son repudiados. Puede irse a casa; ya no hay nada más que hacer. Lo hizo por el bien de su familia; no puede reprochársele nada. b) Punto y coma enumerativo Cada grupo irá por un lado diferente: el primero, por la izquierda; el segundo, por la derecha, y el tercero, de frente. c) Punto y coma conjuntivo Visitó muchos países, conoció a mucha gente; pero jamás habló de ello. Siempre hablábamos de cosas muy interesantes, a veces, aburridas; pero siempre hablábamos. Los invitados, sus padres, acudieron pronto; mas no te hallaron. No vivió mucho tiempo en aquella ciudad tan lejana; pero, mientras estuvo allí, disfrutó de todo lo que le ofrecía. Los hijos, nietos y sobrinos no lo hacen por capricho; sino que es una necesidad para ellos. d) Punto y coma ante conectores Trajeron los cuadernos, cartulinas, lápices y borradores; sin embargo, falta que nos entreguen los plumones, los lapiceros y las reglas. Javier con mucho esfuerzo, logró reunir ciento cincuenta dólares; sin embargo, esta cantidad es insuficiente para comprar este televisor. Se había trasladado a una ciudad en la que no conocía a nadie; así pues, tuvo que esforzarse por establecer nuevas relaciones. Todas las mercancías que llegaban tenían que pasar un estricto control; por tanto, se distribuían con mucho retraso.

(4)

LOS DOS PUNTOS (:) 45 a) Dos puntos en enumeraciones Ayer compré dos libros: uno de Rodrigo Gonzáles Ochoa y otro de Graciela Reyes. Las regiones del Imperio Incaico fueron cuatro: Antisuyo, Collasuyo, Chinchaysuyo y Contisuyo. b) Dos puntos en discurso directo Cerró los ojos y pronunció: "La verdad, no debí mentir” Una noche, cuando me disponía a acostarme, Iskra me preguntó: -¿Por qué te casaste conmigo, Dennys? c) Dos puntos en oraciones yuxtapuestas  Causa-efecto o viceversa Se ha quedado sin trabajo: no podrá ir de vacaciones este verano. Se encontraba muy agotado: había jugado demasiado.  Conclusión, consecuencia o resumen de la oración anterior El arbitraje fue injusto y se cometieron demasiados errores: al final se perdió el partido. Se sacó la suerte, montó una buena empresa, fue presidente de la Sociedad Internacional: era todo un hombre afortunado.  Verificación o explicación de la oración anterior, que suele tener un sentido más general El chiriuchu es un plato típico del Cusco: tiene cuy, gallina, queso, torreja, tostado, entre otros.  Oposición Bethoben no es una persona: es mi perro. d) Dos puntos en conectores discursivos ¿Recuerdas lo que te conté de Nancy? Pues bien: ha vuelto a las andadas. Nunca me ha molestado colaborar. Dicho de otro modo: me gusta ayudar a los demás. La voz carbunclo se emplea con dos sentidos, a saber: ‘piedra preciosa’ y ‘enfermedad del ganado’. Ha dicho que se iba. Más aún: ha amenazado con no volver jamás. No se preocupe. Ahora buen: sigue doliéndole, vaya al médico. e) Dos puntos en escritos específicos (cartas y documentos administrativos) Estimado amigo: Querido hermano: Recordada tía: Muy señor mío: f) Dos puntos en textos jurídicos y administrativos, como decretos, sentencias, bandos, edictos, certificados, etc.; va escrito enteramente en mayúsculas CERTIFICA: Que María del Carmen Oliva de la Flor Pérez ha seguido estudios de… CONSIDERANDO: Que el artículo 27 de la Constitución...

(5)

LOS PARÉNTESIS. ( )46 a) Paréntesis para aislar incisos Las asambleas (la última duró casi cuatro horas sin ningún descanso) se celebran en el salón de actos. Alguien (y no quiero señalar) ha hecho trampa. b) Paréntesis para aislar otros elementos intercalados El año de su nacimiento (1616) es el mismo en que murió Cervantes. Toda su familia nació en Cusco (Perú). c) Paréntesis en obras teatrales (para encerrar acotaciones del personaje) DIEGO. (Golpeando con el bastón en el suelo). ¡No os hagáis ilusiones de que vais a poder conmigo! ÁNGEL. No, no; si estáis inmutada. (Ya preso en la red está) ¿Se os pasa?» RAMIRO. (con voz enojada). ¿¡Quién es, a estas horas!? LAURA. Soy yo; abre. (como imaginaba, le sorprende mi visita) d) En la reproducción de citas textuales Pensé que él no alcanzó a ver mis lágrimas […] por la oscuridad en que nos encontrábamos.

44 45

46

RAE - Ortografía de la lengua española, 349-353. RAE - Ortografía de la lengua española, 254-264. RAE - Ortografía de la lengua española, 364-370.

28

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(6)

LAS COMILLAS (“ ”) 47 a) Comillas en citas César, antes de pasar el Rubicón, dijo: “¡La suerte está echada!” “Sobreviven los que se adaptan mejor al cambio”, dijo Darwin. b) Comillas en reproducción de pensamientos «Si es deshonroso no defenderse con el cuerpo, más lo es no valerse de la razón y de la palabra, específicas del hombre» ARISTÓTELES “No tengo nada que perder”, pensó MANUELA. c) Comillas en el marcado del carácter especial de una palabra o expresión Siempre dice que las «tortas» de esa pastelería están riquísimas. Parece que últimamente le va muy bien en sus «negocios». d) Comillas en usos metalingüísticos La palabra «cándida» lleva tilde por ser esdrújula. En la oración «Me gusta tu vestido» el sujeto es «tu vestido». e) Comillas en expresiones denominativas (títulos y apodos) Su artículo « Importancia del lenguaje en la comunicación humana» se publicó en el diario El Cusco el día 28 de octubre. Escribió el artículo “El léxico de hoy” para el libro El lenguaje en los medios de comunicación, obra en la que participaron varios autores.  Suelen escribirse entre comillas los apodos y alias que se intercalan entre el nombre de pila y el apellido: Ernesto “El Che” Guevara es recordado por muchos.

(7)

LOS SIGNOS DE INTERROGACIÓN Y EXCLAMACIÓN. (¿?) (¡!) 48 a) Como en indicadores de modalidad, para enmarcar las construcciones interrogativas y exclamativas directas ¿Qué quieres? Pedro, ¿cuántos años llevas trabajando aquí? ¡Qué nombre tan bonito! ¡Me ha traído un regalo! b) Pueden omitirse los signos en títulos de obras, un capítulo o cualquier otra sección de un texto Cómo escribir bien español Qué es lo “moderno” en lexicografía c) En exclamativas o admirativas Pueden estar constituidas por interjecciones (¡Ay!), locuciones o grupos interjectivos (¡Ni modo!; ¡Caramba con el niño!), onomatopeyas (¡Chist!), vocativos (¡Niños!, cállense o grupos sintácticos y oraciones (¡Qué casa!; ¡Fantástico lugar!; ¡Cuánto me he emocionado!; ¡Es impresionante!; ¡Con lo amable que parecía!). d) En los vocativos Martha, ¿sabes ya cuándo vendrás? ¿Sabes ya cuándo vendrás, Martha? e) En los enunciados aseverativos que preceden a los apéndices confirmativos El jueves 11 es su onomástico, ¿no? No les interesa lo que estoy expresando, ¿verdad? f) Si concurren varias preguntas o exclamaciones ¿Quién era? ¿De dónde vino? ¿Te dijo a quién buscaba? ¡Cállate! ¡No quiero volver a escucharte! ¡Márchate!

(8)

LOS PUNTOS SUSPENSIVOS (…) 49 a) Para indicar la suspensión u omisión en el discurso El caso es que si lloviese… Mejor no pensar en esa posibilidad. Estoy pensando que… aceptaré; en esta ocasión debo arriesgarme. b) Para indicar la suspensión del discurso con fines expresivos (duda, temor o vacilación) El niño dice que él no ha roto el jarrón… Te llaman del hospital… espero que sean buenas noticias. Quería preguntarte…, bueno…, que si quieres ir conmigo a la fiesta. c) Para señalar la omisión de parte del texto (interrupción voluntaria porque se sobrentiende lo omitido) A pesar de que prepararon cuidadosamente la expedición, llevaron materiales de primera y guías muy experimentados… Bueno, ya se sabe cómo acabó la cosa. A quien madruga…, así que dense prisa. Y en mitad de la fiesta, se subió a una mesa y comenzó a recitar: “Con diez cañones por banda…”. d) Para insinuar, evitando su reproducción, de expresiones o palabras malsonantes o inconvenientes ¡Qué hijo de … está hecho! Vete al d… no aguanto más. e) Se emplea al final de enumeraciones en lugar de etcétera Puedes hacer lo que quieras: leer, ver televisión, oír música… f) Entre corchetes o entre paréntesis, para indicar la supresión de una palabra o un fragmento en medio de una cita textual “Fui don Quijote de la Mancha y soy agora [(…)] Alonso Quijano el Bueno” (Cervantes Quijote II). EJERCICIOS

1.

En la expresión Eran las diez de la noche, piloteaba mi nave, era mi taxi un Volkswagen del año sesenta y ocho. Las unidades lingüísticas limitadas por comas que contiene es: a) Una oración b) Dos frases c) Tres oraciones d) Tres frases e) N.A.

RAE - Ortografía de la lengua española, 380-387. RAE - Ortografía de la lengua española, 387-394. 49 RAE - Ortografía de la lengua española, 394-400. 47 48

2.

La oración que presenta incorrecta puntuación, es: a) Ella es una mujer trabajadora, amorosa, hogareña: una mujer ideal b) Quillabamba, ciudad del eterno verano c) Por tus hombros, tus cabellos discurren d) Mi santo fue el 11-06-2015 e) Son la 12.30 hrs

3.

Expresión donde el signo de puntuación indica omisión de una parte del enunciado, es:

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 29 a) A Dios rogando y con el mazo… b) Nueva Gramática de la Lengua Española c) Manuel trabaja en Cusco y María lo hace en

12.

La coma condicional se presenta en: a) No te perdono, así llores todo el día b) Iré a pasear, aunque no tenga permiso c) No fuimos al mundial de Brasil, porque no tenemos dinero d) Serán bienvenidos, siempre que vengan pacíficamente e) Tienes que estudiar, para que te quede claro

13.

El punto y coma en oraciones compuestas yuxtapuestas se presenta en: a) Brasil se quedó en casa; pero no en el mundial b) Argentina fue campeón en 1978 y en México; Perú se prepara para intentarlo c) El Cusco es ciudad cosmopolita, pero Arequipa, ciudad industrial d) Los jugadores entrenaron bien; entonces, salen a ganar e) Robaron en el banco; por tanto, serán enjuiciados

14.

El punto y coma adversativa se presenta en: a) Los peruanos atraviesan una profunda crisis; por lo tanto, el trabajo no es bien pagado b) Los peruanos atraviesan una profunda crisis social; siempre salen adelante c) Los peruanos atraviesan una gran crisis; o están en una bonanza económica d) Los peruanos atraviesan una profunda crisis moral; mas luchan por salir adelante e) Ninguno

15.

Los dos puntos yuxtapuestos se presenta en: a) La selección de Costa Rica jugó muy bien: fue la sorpresa del mundial b) Los comerciantes arrojaron de todo: piedras, ladrillos, botellas, basura c) Me dijo: me llamo Norma mientras cruzaba la pierna d) Visto el expediente, se resuelve: e) El alcalde de Wanchaq certifica:

16.

El paréntesis en acotación de obras para teatro está en: a) Nación en Cusco (Perú) b) Ser o no ser (…) c) Romeo: (Tomando a Julieta de la cintura) Te amo, vida mía d) Los periodistas (varones y mujeres) fueron desalojados del local e) Internet (red mundial de ordenadores) está siendo mal usado

17.

Las comillas en cita textual se presenta en: a) “Sobreviven los que mejor se adaptan al cambio”, dijo Charles Darwin b) Ahí viene el “Chanconcito” del salón c) La palabra “inefable” significa indefinido d) Leyó Los Jefes de Mario Vargas Llosa cuando era adolescente e) Los “teutones” ganaron limpiamente el partido de la final de futbol mundial

18.

La omisión permitida de signos de interrogación se presenta en: a) Dónde nos vemos b) Cómo escribir bien en Español c) Cómo has cambiado, Pelona d) Viva el Perú e) Cuánto

19.

La expresión que debe exclamación, es: a) Silencioso b) Animales hermosos c) Qué hermosa d) Que buscas siempre e) Donde nos vemos

20.

La expresión que debe escribirse con puntos suspensivos, es: a) Márchate de inmediato b) Oh, vida cruel c) A caballo regalado d) Chist e) Pedro, ¿me amas?

Arequipa

d) Sra. de las cuatro décadas e) Silencio absoluto 4.

El uso de las comillas es incorrecto en: a) “Vamos a calentar el Sol” es una obra de José Mauro de Vasconcelos b) “La vida es sueño” fue escrita por Pedro Calderón de la Barca c) En “El sueño del celta” Mario Vargas Llosa habla de la explotación d) Para “Evita” de “Corazón Serrano”, justicia piden sus seguidores e) Todas las anteriores

5.

En la expresión Estoy a sus órdenes, mi general, la coma es usada: a) En vocativo b) En elipsis c) En caso incidental d) En situación interjectiva e) En atributo

6.

En la expresión Pero el cadáver, ¡ay!, siguió muriendo, la coma es: a) En vocativo b) En elipsis c) Incidental d) Interjectiva e) En atributo

7.

En la expresión Al fin de la batalla, vino un hombre y le dijo: no mueras te amo tanto, la coma es usada: a) En atributo b) En objeto directo c) En circunstancial d) En predicativo e) En agente

8.

La coma conjuntiva copulativa “y” que tiene valor adversativo se presenta en: a) Brasil fue humillado, y quedó fuera del mundial b) Perú no fue al mundial, y aún no tiene un buen equipo c) Los adolescentes son inconscientes, y muy distraídos d) Estudiaba de día y de noche, hasta los feriados y domingos, y no ingresó e) N. A.

9.

La coma coordinada copulativa está presente en: a) Luchaba ora con la espada, ora con la pluma. b) Saldré a bailar bien con Raquel, bien con María Fernanda c) Brasil quedó fuera del mundial, sin embargo sigue siendo un grande del fútbol d) Parece el perro del hortelano: no come ni deja comer e) Lo vi abrazando y besando a una humilde muchacha, es de clase muy sencilla, lo sé por su facha

10.

11.

La coma coordinada conjuntiva en locuciones se presenta en: a) No hizo nunca los deberes que le encargué ni recogió su ropa del tendedero b) Tú tienes que estudiar lingüística, así como anatomía c) El Cusco es nuestra hermosa ciudad, y debemos honrarla siempre d) Se reunieron en el parque, e hicieron un bonito día al aire libre e) Juventud divino tesoro, ya te vas para no volver La coma causal se presenta en: a) Si vas a viajar hoy, avísame b) Avísame, si vas a viajar hoy c) Iré a pasear, aunque no tenga permiso d) No fuimos al mundial de Brasil, porque no tenemos dinero e) Tienes que estudiar, para que te quede claro

llevar

signos

de

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EL SUSTANTIVO

FUNCIONES DEL SUSTANTIVO

CRITERIOS

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

1. Como núcleo del sujeto 2. Como núcleo de la aposición 3. Como núcleo del vocativo 4. Como núcleo del O.D. 5. Como núcleo del O.I. 6. Como núcleo del Circunstancial 7. Como núcleo del Agente 8. Como núcleo del Atributo 9. Como núcleo del Predicado nominal 10. Como núcleo del Modificador indirecto

GÉNERO DEL SUSTANTIVO

1. S. Heterónimos 2. S. de Terminación variable 3. S. Comunes en cuanto al género 4. S. Polisémicos, homónimos y diferencia de género 5. S. Epicenos

NÚMERO DEL SUSTANTIVO

1. Reglas generales para la formación del plural 2. El plural de los compuestos 3. El plural de los nombres propios

FUENTE: Elaboración propia

7.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. El sustantivo es la palabra (categoría gramatical) con el que designamos a los seres y objetos de la realidad, tengan esta existencia independiente (concreta) o existencia dependiente (abstracta). Ej.: Mujer, perro, silla, división, caridad, amor, fiesta, garúa, velocidad, pecado, etc. B. CRITERIO MORFOLÓGICO. El sustantivo es una palabra variable porque presenta accidentes gramaticales de género (masculino y femenino) y número (singular y plural) Ej.: vecino, vecina, vecinos, vecinas. C. CRITERIO SINTÁCTICO. El sustantivo es la palabra que desempeña la función privativa del núcleo del sujeto o sintagma nominal. Ej.: Aquellas mujeres están muy felices.

7.2. FUNCIONES DEL SUSTANTIVO 1. Como núcleo del sujeto Los estudiantes están alegres. 2. Como núcleo del modificador indirecto (MI) Las hermanas de Pedro estudian muy lejos. 3. Como núcleo de la Aposición Tu amiga, la profesora, escribirá una novela. 4. Como núcleo del vocativo Jóvenes, estudien bastante. 5. Como núcleo del complemento directo (CD)

6. Como núcleo del complemento indirecto (CI) Ella compró un libro para su hijo. 7. Como núcleo del complemento circunstancial (CC) Ellos trabajan en una fábrica. Mi amiga viajará con su familia. 8. Como núcleo del atributo Ese hombre es un buen arquitecto. 9. Como núcleo del predicado nominal Aquella mujer, una buena madre.

Ese hombre trajo hermosas flores. 7.3. EL GÉNERO. CARACTERIZACIÓN50 7.3.1. SUSTANTIVO HETERÓNIMOS Expresa la diferencia gramatical masculino/femenino y, simultáneamente, la oposición de sexo ‘varón’/’mujer’ (personas) o ‘macho’/ ‘hembra’ (animales) a través de términos con diferente raíz.

50

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 81 – 126.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 31 padre / madre hombre / mujer padrino / madrina caballo / yegua toro / vaca El género se manifiesta en sus combinaciones con determinantes, cuantificadores, adjetivos y participios: Nuestro querido padre / nuestra querida madre. 7.3.2. SUSTANTIVOS DE TERMINACIÓN VARIABLE Manifiestan Las diferencias de género y de sexo por medio de morfemas en palabras de la misma raíz: niño / niña gato / gata actor / actriz barón / baronesa zar / zarina En estos nombres, el género se refleja así mismo en las combinaciones con determinantes, cuantificadores, adjetivos y participios: Algunos niños arequipeños Varias niñas cusqueñas La desinencia más común del femenino es la –a: Muchacho / muchacha Lobo / loba León / leona Pero existen otros morfemas que marcan el género, generalmente en los nombres de personas: -esa: alcalde/alcaldesa, duque/duquesa, príncipe/princesa -isa: papa/papisa, profeta/profetisa, sacerdote/sacerdotisa -triz: actor/actriz, emperador/emperatriz -ina: héroe/heroína, zar/zarina 7.3.3. SUSTANTIVOS COMUNES EN CUANTO AL GÉNERO Pueden ser masculinos o femeninos sin que su forma se vea modificada. Su género (y, por consiguiente, el sexo del referente) puede manifestarse a través de la concordancia con adjetivo y determinantes: el cónyuge/la cónyuge el pianista/la pianista este testigo/esta testigo el artista/la artista el profesional/la profesional estudiante aplicado/estudiante aplicada A.

GRUPOS DE NOMBRES COMUNES EN CUANTO AL GÉNERO. Según la terminación se clasifican en varios grupos:

A.1. ACABADOS EN –A: Astronauta, autodidacta (autodidacto), burócrata, cabecilla, centinela, demócrata, guardia, homicida, jerarca, políglota (polígloto), psicópata, turista, vigía, artista, automovilista, dentista, pianista, taxista, violinista. NOTA: El sustantivo modista generó la forma -anómala morfológicamente, pero ya extendida-modisto (varón). A.2. TERMINADOS EN –E: Conserje, cónyuge, detective, extraterrestre, hereje, intérprete, partícipe, pobre, amante, cantante, cliente, delincuente, estudiante, gerente, informante, intendente, manifestante, narcotraficante, penitente, presidente, representante, traficante, viajante. Pueden ser comunes: Cacique, jefe, sastre (masculino) Cacica, jefa, sastra (femenino) A.3. LOS QUE ACABAN EN -I (tónica o átona) O EN –Y: Ceutí, maniquí, marroquí, pelotari, yóquey. Algunos terminados en -o: Contralto, modelo, sabelotodo, soprano, testigo. A.4. QUE TERMINAN EN CONSONANTE–r, -s, -t: Mártir, prócer, lavacoches, papanatas, pelagatos, pívot, auxiliar, titular, bachiller, canciller, mercader. A.5. LOS PROCEDENTES DE ADJETIVOS QUE TERMINAN EN -AL Comensal, corresponsal, heterosexual, homosexual, industrial, profesional, colegial, zagal, concejal, fiscal y otros. B.

CAMBIOS DE CLASE: profesiones, títulos y actividades

B.1. Muchos sustantivos de persona con masculino en -o que designan cargos, títulos, empleos, profesiones y actividades diversas presentan el femenino en -a: Abogada, arquitecta, bióloga, candidata, catedrática, diputada, física, ginecóloga, ingeniera, licenciada, matemática, ministra, música, odontóloga, torera, bedela, edila, fiscala, jueza o médica. B.2. Se consideran comunes en cuanto al género los sustantivos que designan grados de la escala militar, cualquiera que sea su terminación: el soldado / la soldado un teniente / una teniente el cabo / la cabo el sargento / la sargento el comandante / la comandante NOTA: en muchos países se emplea capitana para designar al femenino de este grupo militar. B.3. Otros tratamientos, admiten los dos géneros, según haga referencia a un hombre o a una mujer: Su Alteza llegó a la hora. (varón o mujer) Su Excelencia ha sido muy (generoso/generosa) conmigo. Su Majestad era partidario de abandonar Marruecos a su suerte.

32

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7.3.4. LOS SUSTANTIVOS AMBIGUOS EN CUANTO AL GÉNERO Son nombres de terminación invariable que pueden usarse como masculino o femenino, pero sin experimentar cambios de significado. Esta ambigüedad de género se da sobre todo en singular y, a menudo, es propia de algunas variedades geográficas, así como de ciertos registros y niveles de lengua. el mar/la mar el linde/ la linde el vodka/la vodka el estambre/la estambre el azúcar/la azúcar el interrogante/ la interrogante el dote/ la dote 7.3.5. SUSTANTIVOS POLISÉMICOS, HOMÓNIMOS Y DIFERENCIA DE GÉNERO Varios términos homos o polisémicos se diferencian en su significado y también en su género: el capital-la capital el cometa – la cometa el clave-la clave el editorial – la editorial el cólera - la cólera el final – la final el frente-la frente el mañana – la mañana el coma - la coma el orden – la orden el corte - la corte el parte – la parte el cura - la cura el margen – la margen el pendiente-la pendiente 7.3.6. LOS SUSTANTIVOS EPICENOS Son los sustantivos de un solo género que designan seres vivos (animales, plantas, personas), pero que no poseen ninguna marca formal que permita determinar su sexo. Todos ellos pueden ser modificados por los términos macho y hembra, que especifican el sexo que corresponde a la entidad designada. 7.3.6.1. TIPOS DE NOMBRES EPICENOS a)

Los sustantivos epicenos son nombres de animales (en su mayoría): Búho, camaleón, cebra, culebra, hiena, hormiga, jirafa, liebre, mosca, perdiz, rata, sapo, tiburón, víbora, rinoceronte, lechuza, etc. Ejs.: La avispa (macho-hembra) La ardilla macho (macho-hembra) El hipopótamo (macho-hembra) El tiburón hembra es muy peligroso Un tiburón (macho-hembra) El tiburón hembra es muy peligrosa (incorrecto)

b)

Los sustantivos epicenos son nombres de plantas (macho y hembra): Acebo, ruda, datilera, espárrago, mamón, ombú, palmera, plátano, sauce, etc. Ej.: Ombú macho/ ombú hembra

c)

Los sustantivos epicenos son nombres de personas (varón y mujer/ masculino y femenino): Víctima, criatura, rehén y vástago, personajes, etc. Personajes (femeninos o mujer) Víctima (masculino o varón) EN ENUNCIADOS: Personaje varón de la comedia/ personaje mujer de la comedia Personaje masculino de la comedia/ personaje femenino de la comedia NOTA: Es incorrecto decir La víctima (macho-hembra) El personaje (macho- hembra)

7.4. EL NÚMERO. CARACTERIZACIÓN51 Se presenta en dos formas: SINGULAR (árbol, casa, puerta, ventana) PLURAL (árboles, casas, puertas, ventanas) 7.4.1. a) b) c) d)

e) f)

7.4.2. a)

REGLAS GENERALES PARA LA FORMACIÓN DEL PLURAL52 Los nombres terminados en vocal átona y en -á, -é, -ó tónicas hacen el plural en -s: Casas, mamás, papás, calles, yanquis, libros, tribus, sofás, cafés Las terminadas en -í, -ú tónicas tienden a admitir las dos variantes de plural: Al(h)elíes o al(h)elís, bisturíes o bisturís, esquíes o esquís, jabalíes o jabalís maniquíes o maniquís, rubíes o rubís; bambúes o bambús, gurúes o gurús, tabúes o tabús, manís o maníes. Los nombres acabados en las consonantes -L, -N, -R, -D, -Z, -J hacen el plural en -es: Cónsules, mieles, leones, caracteres, tutores, paredes, peces, relojes, especímenes, regímenes. Los nombres terminados en -S, -X que son agudos o monosílabos hacen también el plural en –es: Autobuses, compases, reveses, toses, boxes, faxes. Permanecen invariables los restantes: Las dosis, las síntesis, las tesis, los lunes, los tórax, los clímax, los bíceps, los fórceps. El plural los nombres terminados en -Y se añade -es: Ayes, bueyes, convoyes, leyes, reyes, con la excepción de algunos sustantivos no totalmente castellanizados: jerséis (o yerseis). Los sustantivos acabados en otras consonantes añaden -s para formar el plural: Acimut/acimuts o azímut/azimuts; cenit/cenits o zenit/zenits; mamut/mamuts; tic/tics; tictac/tictacs; zigurat/zigurats, clubs (clubes), albums (álbumes) EL PLURAL DE LOS COMPUESTOS53 Los compuestos (sustantivo+sustantivo, sustantivo+adjetivo, verbo+sustantivo) que constituyen una sola palabra hacen el plural como si se tratara de palabras simples, lo que equivale a decir que se pluraliza solamente el segundo elemento. Bocacalles (incorrecto = bocascalles) Casatiendas, cumulonimbos Aguafuertes, cañabravas, caraduras, cubalibres, tiovivos; buenaventuras, cortometrajes, purasangres, quintaesencias un rapapolvo/varios rapapolvos un ganapán/unos ganapanes un tragaluz/ unos tragaluces

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 127. REA - Morfología sintaxis I, 130. 53 REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 152-160. 51 52

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 33 NOTA: + No se dice, pues, carasduras ni tiosvivos. +Se registran ciertas vacilaciones a la hora de tomar como base el singular o el plural. El DRAE recoge, por ejemplo, los singulares el guardabosque, el marcapaso o el pararrayo, junto con el guardabosques, el marcapasos, el pararrayos. b)

Cuando los dos sustantivos se escriben separados pero constituyen una unidad léxica en la que el segundo elemento aporta información determinativa, solo se marca el plural en el primero: Años luz, buques escuela, cafés teatro, ciudades dormitorio, globos sonda, hombres rana, muebles bar, niños prodigio, operaciones retorno, peces espada, sofás cama.

c)

Los sustantivos macho y hembra no se pluralizan tampoco cuando modifican a otro sustantivo: Las panteras macho, las avestruces hembra.

d)

Se pluraliza solo el segundo elemento en los compuestos formados por dos adjetivos, se escriban separados por guion o unidos en una sola palabra, como: Conversaciones árabe-israelíes Factores político-económicos Condiciones espacio-temporales Consecuencias político-económicas

7.4.3. a)

EL PLURAL DE LOS NOMBRES PROPIOS54 Los nombres propios no tienen plural; sin embargo, cuando se asimilan (en mayor o menor medida) a los comunes. Siguen entonces las reglas de estos, como: Las celestinas, los donjuanes, las magdalenas, los quijotes. Nunca más volverá a haber en Nicaragua Adolfos Díaz, Emilianos Chamorro, José Marías Moncada, Anastasios Somoza en el poder (Ramírez, Alba)

b)

Se emplean solo en plural los nombres propios de ciertas: CORDILLERAS: Los Alpes, los Andes, los Apeninos, los Pirineos ARCHIPIÉLAGOS: Las Antillas, las Azores, las Baleares, las Canarias, las Cíes, las Filipinas, los Galápagos PAÍSES: Emiratos Árabes Unidos, Estados Unidos, Países Bajos ALGUNAS CIUDADES: Aguascalientes, Buenos Aires, Ciempozuelos, Iquitos EJERCICIOS

1.

2.

3.

4.

5.

6. 54

La oración que lleva sustantivo como núcleo del complemento directo, es: a) Ellas trabajan en el hospital b) Dejé los libros aquí c) Eva estudia demasiado d) Tus amigos están alegres e) La casa de mi tía es amplia Los sustantivos yerno / nuera son: a) Polisémicos b) Ambiguos c) Epiceno d) Heterónimos e) Contables Los sustantivos ambiguos se encuentran en la serie de palabras: a) Armazón, cometa , estambre b) León, cónyuge, artista c) Tizne, mar, calor d) Zarina, margen, lobo e) Azúcar, tilde, modelo Los accidentes gramaticales del sustantivo son: a) Género y persona b) Número y persona c) Tiempo y modo d) Género y número e) Modo y aspecto La oración que lleva un sustantivo como núcleo del complemento indirecto, es: a) Este cuento fue leído por el niño b) Tus vecinos son artistas c) Aquí está su vestido, señorita d) Llevé panes a mi prima Rina e) Nosotros iremos con el profesor El sustantivo epiceno es:

REA - Morfología sintaxis I, 160-163.

a) b) c) d) e)

Alcalde Sauce Lobo Soldado León

7.

El sustantivo inadecuadamente pluralizado, es: a) Mieles b) Mamutes c) Reveses d) Álbumes e) Lápices

8.

La oración que lleva un sustantivo como núcleo del complemento circunstancial, es: a) Pedrito vive muy lejos b) El tío de mi amiga es bueno c) Luis fue a trabajar con su madre d) El profesor salió muy temprano e) Ese ejercicio parece sumamente difícil

9.

El sustantivo que forma su femenino con el artículo, es: a) Cometa b) Cusqueño c) Guitarrista d) Tilde e) Cóndor

10.

El sustantivo es núcleo del predicado nominal, en: a) Pedro, Pablo y Juan trabajan mucho b) Arequipa, la ciudad blanca, es hermosa c) Ella compró panes; Ana, chocolates d) Esas niñas, sumamente traviesas e) Fuertemente, ella abrazó a su novio

11.

El sustantivo desde el punto de vista semántico es: a) Representa conceptualmente seres y objetos de la realidad que tengan existencia dependiente o independiente.

34

| CEPRU2015 b) Desempeña la función privativa de núcleo del sujeto c) Presenta variaciones morfémicas d) Forma grupos nominales e) Se conceptualiza dentro de un contexto o conversación

a) b) c) d) e)

Bocascalles Ganapanes Cubaslibres Guardaspolvos Aguasfuertes

12.

La oración que lleva sustantivo como núcleo del objeto directo, es: a) Paola y Mateo juegan en el parque b) Estacioné la moto ahí c) Eduardo trabaja demasiado d) Tu hermana está cansada e) El bosque de los pinos es encantador

23.

El sustantivo que forma su femenino con el artículo, es: a) Delator b) Cónyuge c) Coyote d) Cólera e) Mar

13.

Los nombres de terminación invariable que pueden usarse como masculino o femenino, sin cambiar su significado, se denominan sustantivos: a) Ambiguos en cuanto al género b) Polisémicos, homónimos y diferencia de género c) Epicenos d) Comunes en cuanto al género e) N.A.

24.

Los sustantivos gurú y bisturí se pluralizan: a) Agregando solo el morfema “s” b) Agregando solo el morfema “es” c) Admite las dos variantes del plural d) Anteponiendo el articulo e) N.A

25.

El sustantivo ambiguo es: a) Cometa b) Editorial c) Mañana d) Interrogante e) Parte

26.

El sustantivo que admite los dos géneros, es: a) Sargento b) Comandante c) Cacique d) Excelencia e) N.A

27.

Los sustantivos comunes de dos, son: a) Joven, dentista, artista, periodista b) Margen, tilde, tizne, azúcar c) Llama, delfín, jirafa, cocodrilo d) Varón, toro, yerno, caballo e) Cometa, cura, papa, crisis

28.

En la oración Nuestra Flor de María, la amiga de José, viajó a Italia. El sustantivo que cumple la función de núcleo del sintagma nominal, es: a) María b) Flor c) Nuestra d) Flor de María e) Amiga

29.

El sustantivo cumple la función de núcleo del sujeto, en: a) Nosotros fuimos a ver las danzas cusqueñas b) Ellos participarán en un concurso internacional c) Tú y ella son perseverantes en el estudio d) Algunos llegaron temprano al CEPRU e) Escribirán poemas, aquellos jóvenes románticos

30.

En la oración Nuestra Flor de María, la amiga de José, viajó a Italia. El sustantivo que cumple la función de núcleo de la aposición, es: a) María b) Italia c) José d) Flor de María e) Amiga

31.

El sustantivo que cumple la función de núcleo del sujeto está en la oración: a) Casandra estudia la lección. b) Ella estudia Competencia Lingüística. c) Iremos al cine después del paseo. d) Ninguno vino a clases. e) Estuvo lloviendo a cántaros.

32.

El sustantivo cumple la función de núcleo del sujeto, en: a) Nosotros fuimos a ver las danzas cusqueñas b) Ellos participarán en un concurso internacional c) Tú y ella son perseverantes en el estudio d) Algunos llegaron temprano al CEPRU e) Escribirán poemas, aquellos jóvenes románticos

14.

15.

16.

17.

18.

Los sustantivos jinete / amazona son: a) Polisémicos b) Ambiguos c) Epiceno d) Heterónimos e) Contables Los sustantivos ambiguos se encuentran en la serie de palabras: a) Armazón, dote, estambre b) León, cónyuge, artista c) Actor, mar testigo d) Zarina, margen, lobo e) Azúcar, margen, modelo El nombre propio tiene valor: a) Genérico b) Denominativo c) Enumerativo d) Abstracto e) Argumental El sustantivo, desde el punto de vista morfológico, es: a) Determinativo b) Invariable c) Variable d) Individual e) Polisémico La oración que lleva un sustantivo como núcleo del complemento indirecto, es: a) Mariana escucha las noticias en la radio b) Di una maceta a la tía Antonia c) Los hermanos son pintores d) Le pido, señor mío, que espere un momento e) Ustedes vayan con el coordinador

19.

El sustantivo epiceno es: a) Tortuga b) Tigre c) Gato d) Jefa e) León

20.

El sustantivo inadecuadamente pluralizado, es: a) Mieles b) Mamuts c) Compases d) Álbumes e) Pezes

21.

El sustantivo desde el punto de vista sintáctico es: a) La palabra que funciona como adverbio b) La palabra que desempeña la función privativa de núcleo del sujeto c) El conjunto de palabras de terminación invariable d) Una palabra variable e) La palabra que indica posesión

22.

El plural de los sustantivos compuestos, manifiesta correctamente en:

se

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 35

EL PRONOMBRE

CRITERIO

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

RELACIONES ANAFÓRICAS Y CATAFÓRICAS DE LOS PRONOMBRES

CLASIFICACIÓN DEL PRONOMBRE

1. Construcciones anafóricas

1. P. Personales

2. Construcciones catafóricas

3. P. Posesivos

2. P. Demostrativos

4. P. Indefinidos 5. P. Numerales 6. P. Relativos 7. P. Interrogativos 8. P. Exclamativos

FUENTE: Elaboración propia

8.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Indica la existencia de seres sin nombrarlos directamente. El pronombre es una palabra que carece de significado preciso o exacto. Tiene significado ocasional, adquiere sentido dentro de un contexto o conversación, o sea, es una palabra no-connotativa, pues no señala cualidades o características del sustantivo. Ejemplos:  Estos estudiantes son más esmerados que aquellos.  Ellos están estudiando; nosotros estamos componiendo. A.1. EL PRONOMBRE ES UNA PALABRA NO-DESCRIPTIVA Porque señala al ser sin conceptuarlo y sin dar referencia de sus peculiaridades, ejemplo: “Ese se cayó”. A.2. EL PRONOMBRE TIENE SIGNIFICACIÓN OCASIONAL Porque es una palabra de significación vacía cuando no integra un contexto, esto es, si los pronombres se encuentran de manera aislada, no tienen significado definido, fijo y estable. A.3. EL VALOR REFERENCIAL DEL PRONOMBRE Así, cuando el pronombre se carga de significado, adquiere un valor referencial. Ejs.: Vi esa hermosa casa y la alquilé. B. CRITERIO MORFOLÓGICO. El pronombre es una palabra variable porque varía en su forma para expresar accidentes gramaticales de género, número, persona y caso. Ejemplos:  Mi idea es más moderna; la tuya, antigua.  Mis ideas son más modernas; las tuyas, antiguas  Yo estudio.  Tú estudias.  Él estudia.  Ella estudia.

36

| CEPRU2015 PERSONA GRAMATICAL CASO

Primera persona

Segunda persona

Nominativo o recto

Yo, nosotros, nosotras - Yo no lo sabía. - Nosotros ganaremos. - Nosotras somos sinceras.

Tú, vos, vosotros, vosotras - Tú no estabas allí. - Vosotros siempre tenéis razón.

Él, ella, ello, ellos, ellas - Él no ha venido. - Ella ha mejorado. - Ellas son bellas.

Me, nos - No me entienden. - Todos nos miraron.

Te, os - Te querré siempre. - Os ayudaréis. - Te adoro.

Lo, la, se, los, las, se - No lo necesito. - Recógela. - Aquel hombre se veía perdido. - Esas notas ya las he leído. - Ambos se miraron.

Dativo (OI)

Me, nos - Me duelen las muelas. - Nos van a arreglar la casa.

Te, os - Te contaré una historia de amor. - Os darán una oportunidad.

Le, se, les, se - Le presté mi bicicleta. - Se lo conté todo a mi amigo. - Les ofrezco mi casa.

Preposicional u oblicuo (TERMINAL)

Mí, conmigo Nosotros, nosotras - No te olvides de mí. - Vendrás conmigo. - Vivió con nosotros. - No te vayas sin nosotras.

Ti, vos, contigo Vosotros, vosotras - Lo compré para ti. - Quiero hablar contigo. - Iré con vos. - No me iré sin vosotras.

Él, ella, ello, sí, consigo Ellos, ellas, sí, consigo - Confiaba en él. - Pensaré en ello. - Piensa demasiado en sí mismo. - Lleva los papeles consigo. - La cometa planeaba ondulante sobre ellos. - No dan más de sí.

Acusativo (OD)

Tercera persona

C. CRITERIO SINTÁCTICO. El pronombre es una palabra, que dentro de un contexto determinado, puede funcionar como sustantivo (núcleo del sujeto) como adjetivo (modificador directo) o como adverbio (circunstancial del verbo). Ejemplos: 

Estos niños son más traviesos que aquellos. Pron. (adj.)

Pron. (sust.)



Los tuyos parecen más locuaces que mis amigos.



Mi vecino trabaja allá.

Pron. (sust.)

Pron. (adj.)

Pron. (adv.)

8.2. RELACIONES ANAFÓRICAS Y CATAFÓRICAS DE LOS PRONOMBRES55 Los pronombres personales intervienen en las relaciones de correferencia, en el sentido de que se refieren a seres mencionados en el discurso. El orden en que se establece habitualmente la correferencia es: a) CONSTRUCCIONES ANAFÓRICAS. En el cual primero aparece el antecedente y luego, el pronombre o la expresión nominal que recoge su referencia; es decir, se da cuando el pronombre asume el significado de un ANTECEDENTE, palabra anteriormente mencionada en el contexto. Ejemplos. “Al fondo, dando el pecho a su pequeñuelo, la madre lo miraba sonriente” Antecede

 

Significa “pequeñuelo” por su antecedente.

Me pidió el boleto y se lo di. Los niños habían llegado oportunamente; pero no los vimos.

b) CONSTRUCCIONES CATAFÓRICAS. Donde primero aparece el pronombre y después el consecuente o subsecuente; es decir, se produce cuando el pronombre puede asumir el significado de un sustantivo o de un sintagma todavía no mencionado. Ejemplos: - No lo busques… Pedro no vale Significa

- Esto ganamos: tres mil soles Significa

 

La secretaria le dio un mensaje; sin embargo Carlos no dijo nada. Lo dejaste salir de pronto; ya volverá ese hombre.

8.3. CLASIFICACIÓN DEL PRONOMBRE56 A. PRONOMBRES PERSONALES Son las palabras que identifican a las tres personas gramaticales que intervienen en el diálogo.

55 56

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010) ,1201-1206. Leonardo Gómez Torrego, Análisis Morfológico – Teoría y práctica (España: Editorial SM Internacional, 2011), 130-150.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 37 Persona

Número

Género

singular Primera

Caso Nominativo

Caso preposicional

yo

mí, conmigo

masculino

nosotros

femenino

nosotras

Caso acusativo me

plural

nos

singular Segunda

tú, usted

ti, contigo

te

masculino

vosotros / ustedes

femenino

vosotras / ustedes

masculino

él

lo

le, se

femenino

ella

la

le, se

neutro

ello, sí, consigo

lo

le, se

masculino

ellos

los

les, se

femenino

ellas

las

les, se

plural

singular

Caso dativo

os

Tercera

plural

A.1 LOS PRONOMBRES ÁTONOS EN RELACIÓN CON EL VERBO57 Los pronombres átonos son: me, se te, le, les, la, las, lo, los, nos, os. Al carecer de acento, los pronombres átonos se apoyan fonéticamente el verbo contiguo, por lo que se llaman también pronombres clíticos. a) PROCLÍTICO. Precede al verbo y por separado.  Lo trajeron desde un pueblo lejano.  Se la dieron.  El juez nos interrogó minuciosamente.  Te admiro cada vez más.  La nombró.  Nos vendió.  Se le informó.  Se me presentó. b) ENCLÍTICO. Se pospone al verbo fusionándose; es decir, formando con él una sola palabra.  Dijéronnos.  Contósele.  Adviérteselo.  Sácale.  Nombrola.  Vendionos.  Informósele.  Explíquemelo ahora mismo. c) LOS PRONOMBRES PERSONALES REFLEXIVOS58 En el predicado, dan referencia de la misma persona que funciona como sujeto de la oración. Sintácticamente pueden funcionar como CD y CI: Adriana se peina. CD

N

Tú te afeita el bigote. CD

N

Yo me baño. CD

N

d) LOS PRONOMBRES PERSONALES RECÍPROCOS Semánticamente, indica intercambio mutuo de acciones. Ángel y Teresa se aman. Morfológicamente, son formas plurales porque responden a varios sujetos realizados de la acción verbal: Tú y yo nos saludamos. Tú y yo nos escribimos. e) LOS PRONOMBRES CUASIREFLEJOS Eliana se cayó. Ella se durmió sola. B. PRONOMBRES DEMOSTRATIVOS. Son determinantes, pronombres o adverbios. Identifican a algo o alguien estableciendo la distancia con relación al hablante. Establecen la ubicación de los seres respecto a las tres personas que intervienen en el diálogo, o sea determinan la relación de distancia que guardan con las tres personas gramaticales. 57 58

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 1183-1211. Los pronombres reflexivos y recíprocos son una variedad de los pronombres personales. Solo aquere su valor reflexivo o recíproco en la oración (salvo las formas sí y consigo que siempre son reflexivos).

38

| CEPRU2015 Cerca de mí (1ra P.G.)

Cerca de ti (2da P.G.)

Lejos de mí y de ti (3ra P.G.)

Sustantivo y adjetivo

este, esta estos, estas

ese, esa esos, esas

aquel, aquella aquellos, aquellas

Sustantivo

esto

eso

aquello

Sustantivo y adverbio

aquí, acá

ahí

allí, allá

FUNCIÓN

 Esta historia es antigua, pero esa es moderna.  Esto es para ti. C. PRONOMBRES POSESIVOS. Son aquellas que indican posesión o pertenencia de los seres señalando a las tres personas gramaticales que intervienen en el diálogo, o sea, nombran al objeto a través del poseedor.

    

1° P.G.

2° P.G.

3° P.G.

Para un solo poseedor

mío, mía, mí/ míos, mías, mis

tuyo, tuya, tu/ tuyos, tuyas, tus

suyo, suya, su/ suyos, suyas, sus

Para varios poseedores

nuestro, nuestra, nuestros, nuestras

vuestro, vuestra, vuestros, vuestras

suyos, suyas, sus

Nuestro país es multilingüe; el tuyo, no. Mi prima es morena; la tuya es rubia. Estas monedas no son nuestras. Nuestro hermano es más inteligente que el vuestro. Las mías son más grandes que tus manos.

D. PRONOMBRES INDEFINIDOS. Son cuantificadores, proporcionan una referencia vaga, imprecisa, indefinida de los seres. Uno, algo, nada, nadie, alguien, mayoría, minoría, quienquiera, varios, muchos, tantos, demás, alguno, ninguno, cualquiera, poco, todo, otro, unos, tal, cual, medio, tanto, cuanto, bastante, demasiado.    

Alguien llamó anoche. Muchos son los llamados; pocos, los escogidos. Nadie vino a ayudarte. Otro resolvió el ejercicio.

E. PRONOMBRES NUMERALES. Son aquellas palabras que indican cantidad, orden, repetición, división y distribución de los seres. a. Cardinales: Indica cantidad exacta y proporcionan la medida numérica.  Traje cinco para todos b. Ordinales: Expresa el lugar que ocupa una determinada unidad de una serie. Indica orden, ubicación o sucesión numérica.  Los últimos serán los primeros. c. Múltiplos: Indica multiplicación o repetición.  Ahora pagarás el doble; mañana, el triple. d. Partitivos: Indican la parte o fracción de un ser.  Comí solo la mitad. F. PRONOMBRES RELATIVOS. Encabezan una proposición subordinada y hacen referencia a un sustantivo antecedente. Son: Que, (la) cual, (el) cual, (los) cuales, (las) cuales, quien, quienes, cuyo, cuya, cuyos, cuyas.       

Vino el comerciante a quien vimos en la oficina del director. El libro que se publicó ayer es muy didáctico. Quien siembra viento, cosecha tempestad. La que me dio es mi amiga. El periodista quien propaló la noticia es cusqueño. Quien dio la noticia es mi amigo. La que me llamó es mi hermana.

G. PRONOMBRES INTERROGATIVOS. Son los mismos pronombres relativos; pero estos expresan pregunta o interrogación. En este casos llevan acento enfático y se presentan entre signos de interrogación cuando la pregunta es directa. Tenemos: Qué, cuál, quién, quiénes, cuánto, cómo, dónde.  ¿Dónde naciste?  ¿Qué necesitas?  ¿Cuándo llagaste?  ¿Cómo estudias? H. PRONOMBRES EXCLAMATIVOS. Son los pronombres relativos que expresan asombro, admiración o exclamación. Tenemos: Qué, cuánto, cómo, quién...  ¡Quién diría!  ¡Qué no ocurrió!  ¡Quién lo hubiera creído!  ¡Qué será de ti!

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 39 EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

La oración que presenta pronombre construcción anafórica, es: a) No le hables, Pedro es malo b) Arnaldo es infiel, ¿lo perdonarás? c) La vi llorando a Karla d) La niña está llorando sin consuelo e) Tú, Karen, eres muy linda

b) c) d) e)

con

La, los, lo, las, le, les Mío, tuyo, suyo, nuestro, vuestro Que, quien, cual, quienes Qué, quién, cuál, dónde, cómo

12.

En la expresión Si nos preguntan algo, yo contestaré, los pronombres son: a) Demostrativos b) Posesivos c) Relativos d) Numerales e) Personales

13.

En la expresión Ustedes no se vayan sin nosotros; la parte subrayada presenta el pronombre en caso: a) Nominativo b) Acusativo c) Dativo d) Preposicional e) Proclítico

14.

La oración con pronombre personal en segunda persona, es: a) El profesor nos castigó en la salida b) Ayer te vimos en la Plaza Mayor c) Después del accidente volvió en sí d) Vive conmigo ella, tu hermana e) Yo le presté un libro de Aritmética

La expresión que presenta el pronombre con función sustantiva, es: a) Pocos alumnos aprobaron el examen b) Varios vecinos protestan en la calle c) Mi vecino trabaja allá d) Alguien llamó ayer e) Otro obrero resultó herido

15.

De acuerdo al criterio morfológico, el pronombre presenta: a) Flexiones de tiempo, persona, género y caso b) Flexiones de género, número, persona y modo c) El sustantivo como núcleo del sujeto d) Flexiones de género, número y persona e) Flexiones de género, número, persona y caso

En la oración Alicia les lleva muchos caramelos, el pronombre funciona como: a) Modificador directo b) Complemento indirecto c) Complemento directo d) Complemento circunstancial e) Sujeto

16.

En la expresión No sé lo que me pasa, solo pienso en ti; el pronombre subrayado está en caso: a) Dativo b) Nominativo c) Proclítico d) Preposicional e) Acusativo

La expresión que presenta el pronombre función adjetiva, es: a) Nuestro país es multilingüe, el vuestro no b) Ella duerme conmigo todas las noches c) Todo esto es para ti d) Aquellos ganaran el concurso e) Ese es el hombre de quien te hablaron

17.

El pronombre, de acuerdo al criterio sintáctico, funciona como: a) Adjetivo, modificador indirecto b) Sustantivo, núcleo del sujeto c) Sustantivo, núcleo del predicado d) Adverbio, predicativo e) Verbo, modificador directo

La oración que presenta pronombre en caso dativo, es: a) Me besó sorpresivamente en la calle b) Tú no sabes amar ni ser amada c) Nos van a comprar un automóvil d) Quiero bailar contigo en la fiesta e) Yo te amo mucho aunque no lo parece

18.

En la oración Aquel compró un departamento elegante; la palabra subrayada funciona como pronombre: a) Adjetivo b) Sustantivo c) Adverbio d) Personal e) Indefinido

19.

En la oración Los triunfos son para nosotros; el pronombre está en caso: a) Nominativo b) Dativo c) Acusativo d) Preposicional e) Complemento directo

20.

En la oración La acosaban porque era muy atractiva; la palabra subrayada, es pronombre: a) Demostrativo b) Numeral c) Interrogativo d) Personal e) Posesivo

21.

La oración Juan se peina sin mirarse en el espejo, el pronombre personal subrayado funciona como: a) Núcleo del predicado verbal b) Complemento indirecto c) Complemento directo d) Complemento circunstancial e) Predicativo

En la oración Los compró en el mercado de polvos celestes; la palabra subrayada, pronombre, cumple la función de: a) Núcleo del sujeto b) Complemento circunstancial c) Complemento directo d) Complemento indirecto e) Modificador directo La oración que presenta pronombre construcción catafórica, es: a) Me pidió el boleto y se lo di b) Al Perú, lo debemos amar y respetar c) Lo dejaste salir; ya volverá ese hombre d) Anabel es mi amiga, ella me respeta e) Ustedes cantaron toda la noche

con

En la oración Quiero saber quién tuvo la culpa, se registra pronombre: a) Demostrativo b) Posesivo c) Interrogativo d) Indefinido e) Personal La oración que presenta exclamativo, es: a) ¡Qué mujer! b) ¡Qué ruido! c) ¡Qué barbaridad! d) ¡Qué dices! e) ¡Qué tontería!

un

pronombre

La expresión que presenta el pronombre personal LO, es: a) Lo mejor vendrá más tarde, pensó b) Lo efímero no es importante, dice mi abuela c) Lo malo pasará muy pronto, comentan ellas d) Lo bueno debe ser duradero, desea mi vecina e) Lo amaré como a nadie, dijo ella La serie de pronombres relativos, que funcionan como nexo de la proposición subordinada, es: a) Muchos, pocos, varios, cierto, alguien, nadie

con

40

| CEPRU2015

EL VERBO

ACCIDENTES GRAMATICALES DEL VERBO

CRITERIOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

Número Persona Tiempo Modo Aspecto Voz

CLASIFICACIÓN DEL VERBO

1. POR SU FUNCIÓN O PREDICACIÓN a) Copulativos b) No copulativos CRITERIOS  Transitivo  Intransitivo  Reflexivos o reflejos  Cuasireflejos  Impersonales 2. POR SU FORMA O CONJUGACIÓN a) Regulares b) Irregulares c) Defectivos e incompletos d) Unipersonales o terciopersonales

FORMAS VERBALES

PERÍFRASIS VERBAL

1. P. V. del Infinitivo 2. P. V. del Gerundio 3. P. V. del Participio

1. Raíz verbal 2. Desinencia

LOS VERBOIDES

1. V. del Infinitivo 2. V. del Gerundio 3. V. del Participio a. Activo b. Pasivo  Regular  Irregular

FUENTE: Elaboración propia

9.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Es la palabra que expresa una acción, un proceso o un estado con la posibilidad de expresarlos en distintos tiempos. Ejemplos: Ella camina por la pradera. (Acción) Karen está feliz. (Estado) El postulante es estudioso. (Existencia) Jesús nos amó a todos. (Pasión) Aquel obrero duerme muy poco. (Inacción) Andrea vive en San Jerónimo. (Proceso) B. CRITERIO MORFOLÓGICO. Es una palabra variable, pues presenta accidentes gramaticales de número, persona, tiempo, modo y aspecto (la gramática tradicional considera la voz y no el aspecto) C. CRITERIO SINTÁCTICO. Es la palabra independiente que funciona como núcleo del predicado verbal, ya sea simple compuesto o perifrástico. Ejemplos: Yo amo a mi madre. (Verbo simple) N.P

Adolfo ha comprado un libro de gramática española. N.P

Alicia tiene que viajar mañana. N.P

(Verbo compuesto) (Perífrasis verbal)

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 41 9.2. LOS ACCIDENTES GRAMATICALES DEL VERBO59 A. EL NÚMERO. Expresa la cantidad de personas que realizan o reciben la acción del verbal. Número singular (una sola) Número plural (dos o más) Ejemplos: SINGULAR

PLURAL

(yo) canto, (tú) cantas, (él) canta

(nosotros) cantamos, (vosotros) cantáis, (ellos) cantan

B. LA PERSONA. Señala si la acción verbal es realizada o recibida por la persona. Quien habla (1ra P.G.) trabajo, trabajamos A quien se habla (2da P.G.) trabajas, trabajáis De quien se habla (3ra P.G.) trabaja, trabajan C. EL TIEMPO. Indica la época o momento en que se realiza la acción verbal.

TIEMPOS VERBALES (La Gramática Estructural contempla)

TIEMPOS FUNDAMENTALES Pasado (pretérito) Presente Futuro Ejemplos: Salté, salto, saltaré

 

Tiempo simple Tiempo compuesto



TIEMPO SIMPLE. Una sola palabra expresa la significación del verbo: el verbo principal o conjugado. Ejemplos: Ana preparó asado de cordero. La secretaria redacta documentos oficiales. Pedro come pastel de choclo.



TIEMPO COMPUESTO. Dos palabras expresan la significación del verbo: el verbo auxiliar haber más el verbo principal en participio pasivo. Ejemplos: Mónica ha viajado a Huancayo. Ella ha leído una novela indigenista. Habíamos pensado en el problema toda la noche. Alfredo ha escrito una carta.

D. EL ASPECTO. Señala si la acción verbal está: Concluida (aspecto perfectivo) o en ejecución (aspecto imperfectivo). Ejemplos: Juan condujo el ómnibus. (Aspecto perfectivo) Juan conduce el ómnibus. (Aspecto imperfectivo) E. EL MODO. Señala la actitud o intención del hablante. Existen cuatro modos verbales: a) Modo indicativo. Se suele usar para presentar un hecho como real y objetivo. El hablante ve los hechos como seguros. Ejemplos: La Tierra gira alrededor del Sol. España participará en los mundiales de atletismo. b) Modo subjuntivo. Se suele usar para presentar un deseo, un hecho posible o un hecho irreal. El hablante no ve los hechos como reales. Ejemplos: ¡Ojalá llueva! Me hubiera gustado ser invisible. Queremos que Manuel escriba poemas. Tal vez viajen a Juliaca. c) Modo imperativo. Se usa para dar órdenes o para pedir algo al oyente. Existen formas imperativas para la 2ª persona del singular y para la 2ª persona del plural, tanto con las formas de tuteo o voseo como con las de respeto. También pertenece al imperativo la 1ª persona del plural. Ejemplo: Permanezca sentado. Cerrad la ventana. Baja el volumen. Mantengamos la calma. Venid conmigo. Cierra la puerta. * LA VOZ. Es el fenómeno morfosintáctico que indica: - Si el sujeto realiza la acción verbal (voz activa) o - La recibe (voz pasiva) NOTA: La voz es considerada como accidente verbal solo por la Gramática Tradicional, no por la Gramática Estructural. Ejemplos: El profesor asesora a los alumnos. (Voz activa) Los alumnos son asesorados por el profesor. (Voz pasiva) Ese muchacho lee El Quijote. (Voz activa) El Quijote es leído por ese muchacho. (Voz pasiva) El fuego devoró la madera. (Voz activa) La madera fue devorada por el fuego. (Voz pasiva)

59

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010) ,181-196.

42

| CEPRU2015

9.3. FORMAS VERBALES O CARACTERÍSTICAS60 El verbo admite formas distintas y resulta de combinar la raíz verbal con las desinencias. Las formas verbales tienen: 9.3.1. La raíz verbal (radical, lexema). Es la parte más importante de la palabra porque informa la acción y el estado del que trata. Resulta de quitar al infinitivo su terminación: ar, er, ir. Ejemplo: cont- ar, beb- er, viv- ir 9.3.2. a. b. c. d.

Las desinencias. Son las terminaciones de carácter gramatical que se añaden a la raíz para obtener distintas formas verbales. Informan sobre persona, número, tiempo y modo de la forma verbal. Ejemplo: Cont- aban, beb- ían, viv- imos La vocal temática (VT). Es el constituyente flexivo que distingue las conjugaciones junto a la raíz. (1ª conjugación en a; 2ª conjugación en e; 3ª conjugación en i) Morfema de tiempo y modo (TM). Indica cuándo se realiza una acción. Morfema de persona (P). Se refiere a si la acción la realiza el hablante, el oyente o un tercero. Morfema de número (N). Nos permite saber si es plural o singular. COMPONENTES DE LAS FORMAS VERBALES

Raíz o lexema (radical) saltsaltsaltsaltsaltsalt-

Desinencias 1ª Conjugación (vocal temática)

Pretérito imperfecto

-a-a-a-a-a-a-

-ba-ba-ba-ba-ba-ba-

Persona

Número

-s

1ª 2ª 3ª

Singular

-mos -is -n

1ª 2ª 3ª

Plural

9.4. PERÍFRASIS VERBAL61 Es la combinación de un verbo auxiliar y un verbo auxiliado, construido en forma no personal, sin dar lugar a dos predicaciones distintas y funcionan en la oración como un solo núcleo del predicado. 9.4.1. PERÍFRASIS DE INFINITIVO Verbo auxiliar + infinitivo Verbo auxiliar + nexo + infinitivo      

Obligación o necesidad: He de ir al colegio, tengo que ir, debo ir Posibilidad: Puedo ir, debo de ir Principio de acción verbal: Voy a estudiar, me pongo a estudiar, empiezo a estudiar, me echo a leer Terminación de acción: Dejo de trabajar, acabo de trabajar, termino de trabajar Aproximación: Viene a costar diez nuevos soles Repetición: Vuelvo a trabajar.

9.4.2. PERÍFRASIS DE GERUNDIO Verbo auxiliar + gerundio  Duración o progresión: Estoy comiendo, anda tonteando, voy tirando, lleva estudiando, sigue estudiando  Aproximación: Viene tardando dos horas 9.4.3. PERÍFRASIS DE PARTICIPIO Verbo auxiliar + participio  Terminación de acción: Lleva hechos tres ejercicios.  Aproximación: Te tengo dicho que te calles. 9.5. LOS VERBOIDES (FORMAS VERBALES NO PERSONALES)62 Se denominan verboides porque tienen forma de verbos, pero no funcionan como tales y adoptan las funciones de:  Infinitivo (sustantivo)  Gerundio (adverbio)  Participio (adjetivo) 9.5.1. 



9.5.2. 

EL INFINITIVO. Es la forma sustantiva del verbo y cumple la función de núcleo del sujeto. Simple: sus terminaciones son: ar, er o ir. Amar, beber, vivir. Ejemplos: El amar es maravilloso. El beber calma la sed. El vivir en paz es tarea de todos. Compuesto: se forma con verbo auxiliar haber más participio. Haber amado, haber bebido, haber vivido. Ejemplos: El haber amado fue lo mejor. El haber vivido contigo fue fascinante. EL GERUNDIO. Es la forma adverbial del verbo y cumple la función de circunstancial (expresa la acción en desarrollo) Simple: Termina en: ando o iendo. Bebiendo, Amando, viviendo. Ejemplos: Ella vive amando. Eliseo trabaja acarreando agua. Él sueña viviendo feliz.

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 188-196. REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 2105-2213. 62 REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 1961-2100. 60 61

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 43 

9.5.3.

Compuesto: Se forma con verbo auxiliar habiendo más participio. Ejemplos: Habiendo sufrido ahora vive tranquilo. Habiendo concluido mi trabajo, comí la cena. Habiendo bebido bastante, me iré. EL PARTICIPIO. Es la forma adjetiva del verbo. Existen dos clases de participios: activo y pasivo. a) El participio activo: termina en "ante", "iente" o "ente". Ejemplos: Amante, participante, sonriente, oyente, saliente, obediente. También se considera el participio activo terminado en: “ador”, “edor”, “idor”. Ejemplos: Creador, amador, gobernador, hacedor, oidor. b) El participio pasivo. adopta las siguientes terminaciones:  Participio pasivo regular, termina en: ado(s), ada(s), ido(s) o ida(s). Ejemplos: Niño amado, momento vivido, automóvil vendido, princesa amada, mochila perdida. La policía encontrará a los rehenes atados. Un edificio custodiado por la policía. El libro traducido se perdió. 

Participio pasivo irregular, termina en: cho(s)(a)(s), to(s)(a)(s), so(s)(a)(s), jo(s)(a), vo(s)(a). Ejemplos: Cliente satisfecho, documento escrito, libro impreso, postizo fijo

9.6. CLASIFICACIÓN DEL VERBO 9.6.1. POR SU FUNCIÓN O PREDICACIÓN (CRITERIO SINTÁCTICO) A. VERBOS COPULATIVOS. Son aquellos que sirven de enlace, nexo o cópula entre el sujeto y el PREDICATIVO (sustantivo o adjetivo).Estos verbos carecen de significación concreta o real, o sea no dan el sentido completo a la oración. Tenemos: SER y ESTAR, aunque también funcionan como verbos copulativos: quedar, parecer, permanecer, resultar, constituir, yacer, soler, semejar, etc. Ejemplos: Alejandro es abogado. Mi compañero está alegre. Aquel animal parece muy salvaje. B. VERBOS NO COPULATIVOS. Son aquellos que poseen significación real o concreta. Por sí solos conforman un predicado. Pueden ir acompañados de modificadores o prescindir de ellos. Se les denominan también verbos predicativos. Estos verbos se subdividen de !a siguiente manera: B.1. VERBOS TRANSITIVOS. Son aquellos que presentan complemento directo (CD) y pueden transitar de la voz activa a la voz pasiva. Ejemplos: Mi vecina lava su ropa. V.TR.

CD

Cayetana trajo noticias buenas. V.TR.

CD

Arnaldo escribe hermosas poesías. V.TR.

CD

La novia cuenta las estrellas. V.TR.

CD

Todos nosotros los aplaudimos por lo presentado. CD

V.TR.

B.2. VERBOS INTRANSITIVOS. Son aquellos que no tienen complemento directo (CD). Ejemplos: Mi vecina lava en el río. V.INTR.

Tú lees con tus padres. V.INTR. Ella trabaja en el municipio. V.INTR.

Roberto viajará a Tarapoto. V. INTR.

B.3. VERBOS REFLEXIVOS O REFLEJOS. Son aquellos cuya acción verbal se refleja o recae sobre el mismo sujeto que la realiza, utilizan los pronombres personales: me, te, se; funciona como objeto directo u objeto indirecto. El carácter reflexivo del verbo se comprueba si este acepta el refuerzo "mismo" o “misma". Ejemplos: Yo me baño. (a mí mismo) CD

Tú te

V.REF

peinas.

CD

(a ti mismo)

V.REF

Ella se

lava las manos.

CI

V.REF

(a sí misma)

CD

B.4. VERBOS CUASI-REFLEXIVOS, CUASI-REFLEJOS O REFLEXIVOS DE FORMA. Son aquellos que a pesar de utilizar los pronombres personales: me, te, se, nos, (os), estos no funcionan como CD ni como CI, sino como signos del cuasi-reflejo. (dan énfasis) Además estos verbos no aceptan el refuerzo "mismo" o "misma". Ejemplos: Yo me voy. V.C-R.

Tú te ríes. V.C-R

Ella se durmió. V.C-R.

Nosotros nos fuimos por la carretera. V.C-R.

B.5. VERBOS RECÍPROCOS. Son aquellos que tienen dos o más núcleos en el sujeto (o un sujeto en número plural) que ejercen una acción verbal mutua entre ellos mismos. Estos verbos utilizan como objeto directo u objeto indirecto, los pronombres personales: se, nos, (os).

44

| CEPRU2015 Acepta el refuerzo "mutuamente", “el uno al otro”, “entre sí” o "recíprocamente". Ejemplos: Tú y yo nos amamos. CD

V. REC.

Ellos se cuentan chistes. CI

V.REC.

CD

Frank y Alex se dictan las respuestas. OI

V.REC.

CD

B.6. VERBOS IMPERSONALES. Son aquellos cuyo sujeto se desconoce o no se precisa con exactitud. Además estos verbos no pueden conjugarse con ninguna persona gramatical. Los verbos impersonales o formas no personales del verbo pueden ser de cuatro tipos: a) Verbos que se refieren a fenómenos de la naturaleza: Llovió en Cusco. V.IMP.

Nevó en Chicón. V.IMP.

b) Los verbos haber, hacer, ser y estar en algunos casos: Hubo protesta. V.IMP.

Hizo frío. V.IMP.

Es muy tarde. V.IMP.

Está garuando. V.IMP.

c) Verbos personales empleados en tercera persona plural que actúan como impersonales porque no se conoce o no se quiere dar a conocer el sujeto: Cuentan que viajaste a Europa. V.IMP.

Tocan el timbre. V.IMP.

d) Verbos impersonales por efecto del signo de impersonalidad pronominal "se". Se traspasa local comercial. V.IMP.

Se reciben pensionistas. V.IMP. Se necesita ama de casa. V.IMP.

9.6.2. POR SU FORMA O CONJUGACIÓN (CRITERIO MORFOLÓGICO) A. VERBOS REGULARES. Son aquellos que al ser conjugados no se alteran sus raíces, solamente su terminación. Amar = amo, amas, ama, amamos, amáis, aman, amé, amaste, amo, amaron, etc. Cantar = canto, cantas, canta, cantamos, cantáis, cantan, canté, cantaron, cantarás, etc. Comer = como, comes, come, comemos, coméis, comen, comí, comiste, etc. B. VERBOS IRREGULARES. Son aquellos en cuya conjugación aparecen alteraciones en la raíz, en la terminación o en ambos a la vez. Soñar = soñamos, soñaste, soñaría, sueño, sueñas, sueñan, etc. Rogar = rogaré, rogamos, ruegas, ruego, ruegan, rogaron, etc. Dormir = dormimos, dormiste, dormí, duermo, duermes, etc. Existen verbos que tienen más de una raíz: Ser = soy, era, fui, seré. Ir = voy, iba, fui, iré C. VERBOS DEFECTIVOS. Son aquellos que presentan un cuadro flexivo incompleto, o sea no se conjugan completamente. Carecen de algunos tiempos, números, y personas. Esto se debe al propio significado del verbo que haría ilógico el uso de algunas formas verbales. Ejemplos: Abolir, transgredir, acontecer, atañer, concernir, aterirse, balbucir, blandir, despavorir, embaír, empedernir, incoar, incumbir, manir, soler, preterir, etc. Ramón Castilla abolió la esclavitud. V.DEF.

D.

VERBOS UNIPERSONALES O TERCIOPERSONALES. Son aquellos verbos defectivos que solo pueden conjugarse en la tercera persona gramatical. Corresponden a este grupo todos los verbos onomatopéyicos de animales, objetos, fenómenos de la naturaleza (menos onomatopeyas humanas). Ejemplos: Aullar, bramar, cloquear, crepitar, croar, chirriar, graznar, ladrar, relinchar, retumbar, etc. El perro ladra. V.U-T

La ametralladora traquetea. V.U-T.

9.7.

VERBOS AUXILIARES Son aquellos que sirven de ayuda para expresar la significación de los demás verbos. Estos son: ser, haber y estar. a) SER: Sirve para formar la voz pasiva. Gianmarco interpreta un tema nuevo. (V. activa) N

Un tema nuevo es interpretado por Gianmarco. N

b) HABER: Sirve para formar los tiempos compuestos. Jugué tenis con Fredy. (T. simple) N

He jugado tenis con Fredy. V.aux.

(T. compuesto)

c) ESTAR: puede actuar como auxiliar de un gerundio. Estoy amando apasionadamente. V. aux. Gerundio

Están preparando el almuerzo. V. aux. Gerundio.

(V. pasiva)

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 45 EJERCICIOS

1)

En la oración Me comprenderás, el verbo es: a) Recíproco b) Reflexivo c) Cuasi – reflexivo d) Transitivo e) Defectivo

2)

Los términos frito y bendito, son: a) Gerundio compuesto b) Participio pasivo irregular c) Infinitivo compuesto d) Participio regular e) Verboide infinitivo

3)

La oración Yo te voy a amar siempre, el núcleo del predicado verbal es: a) Verboide infinitivo simple b) Participio pasivo c) Perífrasis verbal d) Verboide gerundio compuesto e) Verbo simple

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

b) Los alcaldes favorecen a los transeúntes c) Se dará cumplimiento inmediato a la resolución d) Los usuarios preguntan sobre la avalancha de lodo e) Andrés resolvió todos los ejercicios matemáticos 12)

La oración en tiempo compuesto es: a) Ella quiere viajar a Santiago de Chile b) Cuando estaba lloviendo, se produjo el accidente c) Todos decidieron caminar para colaborar con la naturaleza d) Está escrito en la Ley Sagrada: La Biblia e) Nosotros hemos saludado esa buena acción

13)

La oración que tiene verbo copulativo, es: a) Carmen está en el patio b) Aldo está caminando c) Ella trabaja en el municipio d) Yo soy profesor e) Ellos estudian aritmética

En la expresión Algunos desalentaron a los participantes. La raíz del verbo es: a) Alentar b) Desalent c) Alent d) Alentaron e) Dsalentar

14)

En la oración Bailar constituye un ejercicio físico, la palabra subrayada es un verboide: a) Infinitivo compuesto con función de verbo b) Participio con función de adjetivo c) Gerundio simple con función de adverbio d) Infinitivo simple con función de sustantivo e) Gerundio compuesto con función de adverbio

En el enunciado El narrador término subrayado es: a) Participio Activo b) Infinitivo Compuesto c) Participio Pasivo d) Gerundio Compuesto e) Participio Pasivo Irregular

15)

La oración La concursante cantó un hermoso tema andino, el verbo presenta aspecto: a) Imperfectivo b) Potencial c) Indicativo d) Durativo e) Perfectivo

En la oración Los obreros han salido a protestar, El núcleo del predicado verbal es: a) Verbo simple b) Infinitivo c) Participio simple d) Verbo compuesto e) Gerundio compuesto

16)

La serie de participios activos es: a) Amando – soñando – veraneando – viviendo b) Participar – correr – poner – disolver c) Presidente – amante – sobreviviente – oyente d) Mutilado – diseñado – leído – tachado e) Dicho – escrito – compuso – propuso

El verbo irregular es: a) Salta b) Lloro c) Comen d) Somos e) Amarán

17)

La oración con verbo copulativo es: a) Ojalá esté contento en ese lugar b) Los amigos han viajado muy lejos c) Todos cuentan historias de amor d) Los docentes conversan con sus alumnos e) Esa mujer está demasiado preocupada

18)

La oración con verbo intransitivo es: a) Nosotros leemos buenos libros b) Ellos ayudan a los necesitados c) Tú te afeitas todos los días d) Ella se fue sin despedirse e) Mi prima estudia en el ICPNA

19)

La oración con verbo irregular es: a) Ellos comían asado de cordero b) Alguien recibió un premio fabuloso c) Escuchaba con entusiasmo la melodía d) Los extraterrestres sí existen e) Yo voy temprano a la universidad

20)

El verbo SER funciona como auxiliar en: a) La universidad es un centro de superación b) Esa enseñanza será la mejor del país c) La juventud es el tesoro de un país d) Ella fue corriendo por la calle e) El texto fue analizado por mi compañero

La oración Juan se peina sin mirarse en el espejo, el verbo funciona como: a) Núcleo del predicado verbal b) Núcleo de predicado nominal c) Objeto directo d) Circunstancial e) Predicativo El verbo intransitivo se aprecia en: a) Anita canta una hermosa melodía b) Llamaran al presidente c) La profesora explica en el aula d) El pollino pateó al campesino e) Yo escribo poemas durante la noche El gerundio compuesto se presenta en: a) Haber amado fue lo mejor b) El alumno ha resuelto los ejercicios c) Querer es poder d) Habiendo aprobado se fue a Lima e) Ella vive amando intensamente La acción verbal en aspecto perfectivo está en a) Todos los ambientes serán saneados

es mi amigo, el

46

| CEPRU2015

EL ADJETIVO

CLASIFICACIÓN DEL ADJETIVO

CRITERIOS

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico DETERMINATIVOS

CALIFICATIVOS

CLASES

GRADOS

1. Especificativos 2. Explicativos 3. Epítetos

1. G. Positivo 2. G. Superlativo 3. G. Comparativo

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Demostrativos Posesivos Indefinidos Numerales Relativos Interrogativos Exclamativos Gentilicios

FUENTE: Elaboración propia

10.1. A.

CRITERIOS CRITERIO SEMÁNTICO. Los adjetivos “aportan contenidos que se predican de un nombre o de un grupo nominal. A menudo denotan cualidades, propiedades, tipos y relaciones, pero también cantidades, referencias de tiempo o de lugar, entre otras nociones.”63 Es decir, el adjetivo agrega información a los sustantivos. Dicha información puede referirse a cualidades, características, tipos, relaciones, cantidad, referencias de tiempo o de lugar, entre otras nociones. Por ejemplo: Significados

ADJETIVOS

SUSTANTIVOS

ADJETIVOS

de cualidad

señorita

inteligente

de propiedad

computadora

moderna

de tipo

reloj

solar

de relaciones

Política

pesquera

de cantidad

numerosos

libros

de tiempo

actual

director

de lugar

paseo

(relacionada con la pesca)

campestre

Además, se dice también que el adjetivo es la clase gramatical que modifica al sustantivo ya sea calificándolo o determinándolo. Ejemplo: esas

morenas

sus

amables

algunas

vanidosas

cuyas

cusqueñas

cuántas

dos DETERMINAN posesión ubicación cantidad imprecisión interrogación

63

bonitas dedicadas SUSTANTIVO

CALIFICAN cualidades característica defectos virtudes procedencia

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 69.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 47

B.

CRITERIO MORFOLÓGICO. El adjetivo “se caracteriza por presentar flexión de género y número. En este sentido son palabras variables. En ellas el género y número no son inherentes, ya que no poseen significado propio. Por el contrario su finalidad es mostrar la concordancia con el nombre.”64 Es decir, el género y número del adjetivo se determina por el género número del sustantivo. lexema

esest-

Flexivo de género

Flexivo de número

lexema

-s -s

librcas-

-o -a ADJETIVO

Flexivo de género

Flexivo de número

Flexivo de género

lexema

-o -s -a -s SUSTANTIVO

nuev nuev

Flexivo de número

-o -a ADJETIVO

-s -s

EL ADJETIVO ES UNA PALABRA DE INVENTARIO ABIERTO El adjetivo es considerado, lexicológicamente, de inventario abierto, pues su vocabulario va en aumento continuamente. Ejemplo: SUSTANTIVOS Nuevos Adjetivos Jóvenes cibernautas Contraseña crackeada Sociedad globalizada documento escaneado C.

CRITERIO SINTÁCTICO. El adjetivo funciona como modificador directo del sustantivo, como predicativo o atributo del verbo copulativo, y como núcleo del predicado nominal. Ejemplos:

a) Como modificador directo del sustantivo:

Algunas

niñas

estudiosas

M.D.

N

M.D.

b) Como predicativo o

Algunos

alumno s

antoniano s

están

preocupados

M.D.

N

M.D.

verbo

Pvo.

atributo:

c) Como núcleo del predicado nominal:

Mi

caballo

blanco

es

veloz

M.D.

N

M.D.

verbo

Atrib.

Este

gato

cenizo

,

muy

fino

M.D.

N

M.D.

Adv.

Adj.

M.D.

N

coma

El adjetivo “es el núcleo de los grupos adjetivales, que funcionan como modificadores del sustantivo…”65.

10.2.

El El

vecino abogado

compró hizo

la una

SUSTANTIVOS casa propuesta

más

GRUPOS ADJETIVALES linda llena de complejidades.

Art .

sustantivo

verbo

art.

sustantivo

adverbio

adjetivo

Prep.

N

M.D.

N

E

sustantivo

GRADOS DE SIGNIFICACIÓN DE ADJETIVO CALIFICATIVO Los adjetivos calificativos pueden expresar las cualidades o estados en distintos grados de intensidad. Los grados son:

A. GRADO POSITIVO. Expresa una cualidad que se atribuye a un ser o a un objeto (sustantivo) tal cual es. Mujer hermosa B. GRADO COMPARATIVO. Nombra la cualidad del sustantivo estableciendo una comparación. Presenta tres formas: a) Comparativo de superioridad Esta mujer es más hermosa que aquella. b) Comparativo de igualdad Esta mujer es menos hermosa que aquella. c) Comparativo de inferioridad Esta mujer es tan hermosa como aquella. C. GRADO SUPERLATIVO. Nombra a la cualidad en su grado máximo. Puede ser de dos formas: C.1.

Superlativo Absoluto. dimensiona la cualidad en sumo grado, sin establecer ninguna comparación. El grado superlativo absoluto puede ser de dos tipos: a) Grado superlativo absoluto perifrástico. El adjetivo en grado positivo “es modificado por adverbios como: muy, extremadamente, sumamente, extraordinariamente, notablemente, excesivamente, etc., o por expresiones adverbiales como: en grado sumo, en extremo, en alto grado, etc.” Mujer muy hermosa Mujer extremadamente hermosa Mujer sumamente hermosa Mujer excesivamente hermosa b) Grado superlativo absoluto sintético. Tiene dos formas: 1ra. Forma. Si el adjetivo termina en re o ro, se le añade “érrimo(a)”. Ejemplos: pobre libre pulcro áspero

64 65

paupérrimo libérrimo pulquérrimo aspérrimo

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 69. REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 69.

salubre íntegro mísero acre

salubérrimo integérrimo misérrimo acérrimo

Se exceptúan: ilustre y diestro que añaden el sufijo “ísimo”.

48

| CEPRU2015 2da.Forma. Si el adjetivo tiene otras terminaciones, se le añade el sufijo “ísimo(a)”. Ejemplos: Mujer hermosísima. amable amabilísimo nuevo novísimo sagrado sacratísimo bueno bonísimo grave gravísimo fuerte fortísimo loable loabilísimo sabio sapientísimo noble nobilísimo pequeño pequeñísimo valiente valentísimo magnífico magnificentísimo benévolo benevolentísimo frío frigidísimo fiel fidelísimo

C.2.

Superlativo Relativo. Maximiza o minimiza la cualidad en relación a todos de una misma clase o especie. Ejemplos: a) G.S.R. DE SUPERIORIDAD. Ejemplo: Esta mujer es la más hermosa del Cusco. b) G.S.R. DE INFERIORIDAD. Ejemplo: Esta mujer es la menos hermosa del Cusco.

D. COMPARATIVOS Y SUPERLATIVOS IRREGULARES EN ESPAÑOL Existen en español unos cuantos adjetivos que forman el comparativo y el superlativo en forma irregular, es decir, cambiando de radical. FORMAS ESPECIALES O IRREGULARES ADJETIVOS SINCRÉTICOS COMPARATIVO SUPERLATIVO (superioridad) (absoluto)

POSITIVO bueno(a) malo(a) alto(a) bajo(a) grande pequeño(a)

mejor peor (superior)66 (inferior) mayor menor

óptimo (a) pésimo (a) supremo (a)sumo (a) ínfimo (a) máximo (a) mínimo (a)

Podemos decir que estas son formas sintéticas, en general propias del lenguaje culto, para expresar los grados. Sin embargo, se puede dar a entender lo mismo también en forma analítica, así: Este arbusto es mayor que ese. sustantivo

adjetivo

Este arbusto es más alto que ese. sustantivo

Ejemplos: 10.3.

adv. adjetivo

(Forma sintética) (Forma analítica)

Este libro es mejor que el otro. La película "Hombre Araña 3" es peor que "Hombre Araña 2". La selección peruana es superior a la chilena. Los jugadores brasileños fueron inferiores a los bolivianos. Esta silaba tiene mayor fuerza de voz que la otra. “Equis” es menor que “ye”

CLASIFICACIÓN DEL ADJETIVO

10.3.1. ADJETIVOS CALIFICATIVOS Los adjetivos calificativos son palabras que expresan cualidades o estados del sustantivo al cual modifican. Ejemplo: Mañana lluviosa. Los adjetivos calificativos tienen los siguientes usos: a) ADJETIVO CALIFICATIVO ESPECIFICATIVO. Es el adjetivo que modifica al sustantivo indicando una cualidad; sirve para precisar de qué sustantivo se trata, para especificarlo. Ejemplos: Hombre bueno, mujer pobre, alumno grande. b) ADJETIVO CALIFICATIVO EXPLICATIVO. En las construcciones explicativas, el adjetivo calificativo aparece entre pausas concordando con un sustantivo. Suelen aportar una explicación i justificación. Ejemplos: Los jugadores, contentos con el resultado, lo celebraron juntos. Contentos con el resultado, los jugadores lo celebraron juntos. Las nubes, grises y espesas, amenazaban lluvia. Grises y espesas, las nubes amenazaban lluvia. Los estudiantes, que no eran tontos, advirtieron el engaño. c) ADJETIVO CALIFICATIVO EPÍTETO. Es el adjetivo que señala una cualidad propia del sustantivo y sirve para dar énfasis a la expresión, tiene la intención estética y poética. Ejemplos: duro mármol, blanca nieve, árido desierto, verde prado, ardoroso estío, roja sangre, negro carbón, frío hielo, verde hierba 10.3.2. ADJETIVOS DETERMINATIVOS Los adjetivos determinativos precisan la extensión o relación respecto al sustantivo. Los adjetivos determinativos se consideran en la actualidad como determinantes. Son de las siguientes clases: a) ADJETIVOS DEMOSTRATIVOS: Los adjetivos demostrativos modifican al sustantivo indicando la distancia de los seres en general en relación al hablante y son:

66

1ra. PG.

este, esta, estos, estas

2da. PG.

ese, esa, esos, esas

3ra. PG.

aquel, aquella, aquellos, aquellas

Los adjetivos (superior) e (inferior) no sincréticos, en latín son comparativos, en español no.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 49 Ejemplos: Pamela analizó esa obra. Ricardo compró aquel ramo. Aquellos momentos nunca volverán. Ese diente de oro. b) ADJETIVOS POSESIVOS. Los adjetivos posesivos modifican al sustantivo indicando posesión o pertenencia. PERSONA

PARA UN SOLO POSEEDOR

PARA VARIOS POSEEDORES

1ra. P.G. mío(s) mía(s) mi(s) nuestro(s) 2da. P.G. tuyo(s) tuya(s) tu(s) vuestro(s) 3ra. P.G. suyo(s) suya(s) su(s) suyos Ejemplos: mi barrio, tu ideal, nuestros orígenes, su madre, vuestras ilusiones.

nuestra(s) vuestra(s) suyas

c) ADJETIVOS NUMERALES. Modifican al sustantivo indicando cantidad y número exactos. Comprende:  Cardinales.- expresan cantidad exacta: cinco delincuentes, tres soles.  Ordinales.- Expresan orden o sucesión: segundo nivel, sexto grado, undécimo lugar.  Múltiplos.- Indican multiplicación, repetición: doble baile, triple vacuna.  Partitivos.- Indican división o fracción de la unidad (estos adjetivos van acompañados del sustantivo “parte” a excepción de medio, mitad y tercio): media manzana, cuarta parte, novena parte. En algunos casos, se forma añadiendo el sufijo “avo”: onceavo u onzavo, doceavo o dozavo, etc.  Distributivos. Indican distribución. Los adjetivos distributivos son: sendos, sendas, cada, ambos. Ella escribió sendas cartas a sus amigos. El auxiliar dio sendos comunicados a los alumnos. Cada loco con su tema. d) ADJETIVOS INDEFINIDOS. Modifican al sustantivo señalando número indeterminado, manera vaga e imprecisa. Los principales son: alguno (s), varios, ningún(o), cierto, unos, pocos, mucho(s), cuantos, etc. Ejemplos: Algunos alumnos aprobaron el examen. Cierto día llegaron al Perú hombres barbudos. e) ADJETIVOS RELATIVOS. Se refieren a un sustantivo ya mencionado en la oración. El adjetivo relativo es “cuyo” y sus variantes cuya, cuyos, cuyas. Ejemplos: El nuevo congresista, cuyo rostro apenas había visto, pronunció un discurso. La alumna cuya nota es la más alta estudia con métodos modernos. f)

ADJETIVOS INTERROGATIVOS. Modifican al sustantivo en preguntas directas e indirectas.  Preguntas directas: (con signos de interrogación) ¿Qué libro estudias? ¿Cuántos años tienes? ¿Cuál dirección buscas?  Preguntas indirectas: (sin los signos de interrogación). Quisiera conocer qué problema tienes. No sé qué producto compró.

g) ADJETIVOS ADMIRATIVOS O EXCLAMATIVOS. Modifican al sustantivo al expresar admiración o asombro. Ejemplos: ¡Qué belleza! ¡Cuánta fruta! ¡Cuánto tiempo perdiste! h) ADJETIVOS GENTILICIOS. Indican origen o procedencia. Ejemplos: Danza cusqueña Automóvil francés Jugador chalaco EJERCICIOS 1.

2.

3.

Semánticamente el adjetivo es: a) Es modificador directo o predicativo b) Varía en género y número c) Solo califica cualidades de un sustantivo d) Determina procedencia, cualidad, origen, tipo de un sustantivo e) Aporta contenido que se predica de un nombre En la oración Es un buen tipo mi viejo, el adjetivo calificativo funciona como: a) Predicativo del verbo copulativo b) Modificador directo del sustantivo viejo c) Modificador directo del sustantivo tipo d) Grupo adjetival e) Determinante La expresión en que se ha agregado un sufijo a un adjetivo para formar su grado superlativo absoluto sintético, es: a) Volverán muy felices a las clases b) Has desarrollado muy buen gusto c) Estas mucho más bella que nunca d) Bellísima sirena, la de mi sueño e) Ollanta Humala y Nadine Heredia son demasiado indolentes

4.

La oración con adjetivo explicativo es: a) ¡Quiero el helado grande! b) Muy grande te quedó el cargo c) Juan está leyendo un libro muy interesante d) Es todo un lujo, el agua caliente e) Buena moza, la que llevé al río

5.

La opción sin epíteto es: a) Las verdes praderas b) La obscura noche c) El sempiterno hielo d) El cálido sol e) La blanca luna

6.

En la oración Los enanitos verdes se alegraron cuando la bella durmiente dejó la casa rebosante de alegría, marque la opción con un grupo adjetival que funciona como modificador de un sustantivo: a) verdes b) bella durmiente c) durmiente d) rebosante de alegría e) de alegría

50

| CEPRU2015

7.

La oración Mi jefe es flexible comprensivo con sus trabajadores, presenta el grado: a) Comparativo b) Superlativo absoluto c) Superlativo relativo d) Positivo e) Comparativo

8.

La oración con adjetivo interrogativo es: a) Me preguntó qué haríamos hoy b) Cuánto cobras, le preguntó el cliente c) Para quién trabajó toda la noche d) No sé cuándo volverás a mi lado e) Pregúntale, en qué lugar se enamoró de ti

9.

10.

11.

12.

En la expresión Lo que quiero decir es que hay enunciados cuyo sentido principal es ofrecer información, el termino subrayado es: a) Adjetivo relativo b) Adjetivo numeral c) Adjetivo indefinido d) Pronombre relativo sustantivado e) Adjetivo demostrativo La opción con adjetivo numeral es: a) De todos los pastelillos, me comí dos b) Para no engordar solo como la mitad c) Tú sube en el ascensor, nos vemos en el quinto d) Estaba muy irritado, rompió dos vasos e) A ti te dio mucho; a mí, solo el doble de mi sueldo La oración que presenta grado superlativo del adjetivo, es: a) Los países europeos celebraron un acuerdo supranacional b) La liebre es más ágil que el zorro c) El alcalde de aquel pueblo es integérrimo d) Juan es menos estudioso que su hermano e) El profesor de filosofía enunció proposiciones apodícticas La oración que presenta concordancia entre sustantivo y adjetivo, es: a) Hay golpes tan fuertes que hacen sufrir al hombre b) Madre e hijos estaban preocupados por los resultados del examen de admisión c) Buscaré informaciones en los periódicos d) Trabajar y amar es vivir venturosamente e) Ahora no tengo soledad que me devore el alma

13.

En la expresión La roja sangre de sus héroes, inspira la peruanidad, el termino subrayado corresponde a un adjetivo: a) Demostrativo b) Posesivo c) Epíteto d) Indefinido e) Explicativo

14.

La afirmación adecuada respecto al adjetivo, es: a) Posee accidente gramatical de persona b) Posee accidente gramatical de tiempo c) Solo califica a los seres o sustantivos propios d) Determina de vez en cuando e) Modifica al nombre o sustantivo

15.

La oración con adjetivo superlativo absoluto es: a) Tiene ojos nigérrimos como la noche b) Cuanto más pobre, más estudioso c) Carlos es flaco y José, muy gordo d) Rojo como la sangre, blanco como la nieve e) Los muchachos aplicados estudian demasiado

16.

La alternativa que presenta adjetivo indefinido es: a) Los alumnos son estudiosos b) Algunos estudiantes aprobaron el año c) Ella juega en el campo d) Ocupó el primer puesto e) Les dieron sendos premios

17.

La expresión que presenta adjetivo en grado superlativo absoluto sintético, es: a) El libro de Rubén es extremadamente interesante b) Mi tío Ismael es muy sapientísimo c) María Esther es la menos agraciada del grupo d) Miguel es excesivamente pulquérrimo e) Los abuelos de Inés son benevolentísimos

18.

La oración que presenta adjetivo indefinido, es: a) Tanto imploró que todos le perdonaron b) Carlos escribe en la biblioteca cada mañana c) Algunos jóvenes viajaron a Francia súbitamente d) Hermosas chompas teje Estela para sus pequeños hijos e) Trabajan arduamente esos obreros chiclayanos

19.

El enunciado con adjetivo superlativo perifrástico, es: a) Esas manzanas son deliciosas b) Laura es más inteligente que Mery c) Rosa es sumamente estudiosa d) Ella es tan buena como Luisa e) Ese lobo es ferocísimo

20.

La oración que presenta adjetivo indefinido, es: a) Muchos piensan que la vida es fácil b) Se realizaron quince experimentos c) Este día es significativo para nosotros d) Cierto día cosecharon en abundancia e) ¡Qué prueba interesante!

21.

El enunciado que presenta adjetivo gentilicio, es: a) Una veintena de voluntarios trabajan denodadamente b) Tenía todas las características de un líder c) Mi hermano consiguió ingresar a la universidad d) Los damnificados nipones suman varios millares e) Esos muchachos trabajan arduamente

22.

La oración que presenta adjetivo sustantivado, es: a) Vinieron diez hombres rebeldes b) Lo triste fue perderte c) Los ricos comen bien d) Vienes el viernes e) Tengo un televisor americano

23.

El enunciado Pisaré las tristes calles y en una hermosa plaza recordaré nuestros buenos momentos. La cantidad de adjetivos es: a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1

24.

El adjetivo calificativo en grado superlativo absoluto es: a) Tiene más problemas que sus amigos b) Es tardísimo para eso c) Esos niños están hambrientos d) Ese gobernante es peor que el anterior e) Regresa lo más rápido que puedas

25.

Los adverbios que intervienen en la formación del grado comparativo del adjetivo son: a) Muy, suavemente b) Más, menos, tan c) Que, como d) Mucho, también e) Menos, demasiado

26.

En la oración Ningún hombre debe ser indiferente en su entorno ni a su realidad, la palabra subrayada es: a) Pronombre indefinido b) Adjetivo indefinido c) Adjetivo relativo d) Adverbio de cantidad e) Adjetivo posesivo

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 51

EL ARTÍCULO

CRITERIOS

CLASIFICACIÓN

FUNCIONES Y VALORES DEL ARTÍCULO

1. Determinado 2. Indeterminado 3. Neutro

1. Semántico 2. Sintáctico 1.

M o r f HIATO EN LOS ARTÍCULOS o l ó g i c o

EL ARTÍCULO COMO SUSTANTIVADOR POR EXCELENCIA

EL ADVERBIO

CRITERIOS

CLASIFICACIÓN

APÓCOPE DEL

FRASES O

ADVERBIO

LOCUCIONES ADVERBIALES

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Adv. de lugar Adv. de modo Adv. de cantidad Adv. de tiempo Adv. de orden Adv. de afirmación Adv. de negación Adv. de duda

FUENTE: Elaboración propia

EL ARTÍCULO 11.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Según la Nueva gramática de la lengua española, el artículo “es una clase de palabra de naturaleza gramatical que permite delimitar la denotación del grupo nominal del que forma parte, así como informar de su referencia”67. Así mismo, es una palabra que carece de significado propio; no tiene significado ni contenido pues siempre va antes del sustantivo. Ejemplos: - El estudiante – Un amigo - Los estudiantes – Unos amigos - La cámara - Las cámaras B. CRITERIO MORFOLÓGICO. Es una palabra variable, ya que tiene morfemas flexivos o accidentes de género y número, los cuales deben concordar con el sustantivo. Ejemplos: - El artista - Un artista - La artista - Una artista - Los artistas - Unos artistas - Las artistas - Unas artistas

67

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 263.

52

| CEPRU2015 NÚMERO

GENERO: MASC.

GENERO: FEMEN.

GENERO: NEUTRO

SINGULAR

el

la

lo

PLURAL

los

las

-

C. CRITERIO SINTÁCTICO. Es un determinante que funciona como modificador directo del sustantivo, el artículo siempre antecede al sustantivo. -La casa -Los árboles F/S.

M/Pl.

-Los amigos de Inés compraron unos muebles ayer. -La casa y el colegio están cerca de un grifo junto a los manantiales. -Hoy he recibido la carta enviada por mi prima desde Suecia. 11.2. CONTRACCIÓN GRAMATICAL DEL ARTÍCULO El único artículo que se puede contraer es El, esto solo ocurre cuando se une o se amalgama a las preposiciones “a” y “de”, es decir, se llama contracción gramatical, a la fusión de dos vocales en una sola sílaba. PREPOSICIÓN a de

+ + +

ARTÍCULO el el

= = =

CONTRACCIÓN al del

USO Él va al campo. Él viene del sur.

Según la REA, las formas contractas o amalgamadas del artículo son llamadas también CONGLOMERADOS68. Nota 1. Las contracciones se usan solo ante sustantivos comunes. Si el artículo es parte integrante de la expresión denominativa, no debe contraerse, ejemplo: La soledad de El Escorial La pintura de El Greco Una página de El Quijote NOTA 2. Cuando el artículo no está integrado al topónimo se usa la contracción, ejemplos: Un viaje al Río de la Plata (Topónimo) La provincia del Chaco (Topónimo) NOTA 3. Si el artículo forma parte del topónimo entonces no procede la contracción, ejemplos: Ellos vienen de El Salvador. Viajaremos a El Cairo. 11.3. CLASIFICACIÓN DEL ARTÍCULO Para la RAE, este es el paradigma de los artículos69 A. ARTÍCULO DETERMINADO. Llamado también determinante o definido, hace referencia a un sustantivo conocido por el hablante y el oyente. MASCULINO FEMENINO NEUTRO el la lo Singular los

las

-

Plural

Ejemplos:  La casa tiene el techo rojo y las ventanas grandes.  Las rosas están en el rosal. Dice la RAE: “En, Hoy he recibido la carta, el grupo nominal está introducido por el artículo determinado o definido. Se expresa de este modo que la carta de la que se habla se supone identificable por el oyente”70. B. ARTÍCULO INDETERMINADO. Llamado también indeterminado o indefinido, hace referencia a un ser no conocido o entidades no mencionadas previamente. MASCULINO un

FEMENINO una

Singular

unos

unas

Plural

Ejemplos: Un día les contaré una historia fantástica. Unos admiradores de unas bellas damas, conquistaron sus corazones. En un rincón había un violín. ARTÍCULO NEUTRO. “LO” Llamado también genérico, sirve para sustantivar a los adjetivos convirtiéndolos en sustantivos abstractos. Ejemplos: Lo bueno supervive Lo importante es primero Lo malo se acaba Lo justo es un valor NOTA 1. Gramaticalmente se considera al artículo neutro como masculino singular, para efectos de concordancia. Ejemplos: -Lo bello es admirado. Masc./Sing.

-Lo bueno debe ser imitado. Masc./Sing.

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 267. REA - Morfología sintaxis I, 265. 70 REA - Morfología sintaxis I, 263. 68 69

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 53 11.4. FUNCIONES Y VALORES DEL ARTÍCULO A. OBSERVACIONES DEL ARTÍCULO A.1. El artículo determinado actúa como PRESENTADOR del sustantivo. Ejemplos: “Historia del hombre abunda en hechos heroicos”. (poco viva) “La Historia del hombre abunda en los hechos heroicos”. (más viva/más concreta) A.2. El artículo indeterminado “un” y sus variantes sirven para destacar la calidad y el valor, para dar mayor énfasis a la expresión. Ejemplos: -Eres amor (frase fría) – Eres un amor (frase enfática) -Ese amigo tuyo es idiota (Frase fría) – Ese amigo tuyo es un idiota (frase enfática) A.3. El artículo funciona como desambiguador de género y número de algunos sustantivos. Ejemplos: -El dentista (Masc.) -La tesis (singular) -La dentista (Femen.) -Las tesis (plural) A.4. Cuando dos o más adjetivos calificativos modifican a un sustantivo, entonces el artículo debe preceder solo al primer adjetivo. Ejemplos: -El débil y el triste mendigo durmió en el piso (incorrecto) -El débil y triste mendigo durmió en el piso (correcto) A.5. Es opcional el uso del artículo en ciertos nombres de países o ciudades. Ejemplos: -Perú/El Perú -Japón/El Japón -Cusco/El Cusco -Argentina/La Argentina *No acepta artículo: Bolivia, Chile, Colombia, Panamá. 11.5. HIATO EN LOS ARTÍCULOS. Sabemos que el artículo concuerda en género y número; pero, por razones de eufonía (armonía de sonidos), los sustantivos femeninos que empiezan con “a” o “ha” tónicas deben de estar precedidos por el artículo el, solo en número singular. En el plural acepta el artículo que le corresponde. Ejemplos: -El ánfora/Las ánforas -El águila/Las águilas -El ala/ Las alas -El arpa/Las arpas -El aula/Las aulas -El aspa/Las aspas

-El agua/Las aguas -El hada/Las hadas -El alma/Las almas -El arma/Las armas -El hacha/Las hachas

11.6. COMO SUSTANTIVADOR UNIVERSAL. El artículo es sustantivador universal porque cuando a una palabra de categoría gramatical distinta al sustantivo, se le antepone el artículo, este determina la función de la palabra (la convierte en sustantivo). Ejemplos: -El inteligente superó a todos en la competencia. -El fumar es dañino para la salud. Adj. Sustantivado

v. sustantivada

-El bien debe estar por encima del mal.

-El mío es más colorido que el tuyo.

Adv. Sustantivado

Pronomb. Sustantivada

-El ¡ay! Asustó a la familia.

-El pero debe ser superado.

Interj. Sustantivada

Conjunc. Sustantivada

-El porqué será explicado oportunamente. Conjunc. Sustantivada. -El pro y el contra deben ser analizados. Preposic. Preposic. Sustantivada.

-El vestido de rojo es el bombero. Frase sustantivada

-La que acaba de llegar es mi prima. Proposic. Sustantivada

EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

En la oración Un amigo es el que está en todo momento el que te levanta cuando estás decaído, se aprecia: a) Un artículo indeterminado b) Un artículo neutro c) Dos artículos indeterminados d) Un pronombre indefinido e) Un adjetivo indefinido

5.

El uso incorrecto del artículo se ve en: a) La apendicitis b) El agua c) La áspid d) El hacha e) La araña

6.

La contracción del artículo es incorrecta en: a) La delegación mañana se va a El Cairo b) La entrada al templo fue clausurada c) No podía encontrar el párrafo de El Lazarillo de Tormes d) La primicia provenía del Comercio e) Hemos comprado productos del mercado

En la expresión Entonces lo seguí con la mirada. Las palabras subrayadas son respectivamente: a) Adjetivo - artículo b) Pronombre – adjetivo c) Artículo – artículo d) Pronombre – artículo e) Pronombre – pronombre

7.

El artículo determinado se aprecia en: a) Tú me lo pediste y te lo traje b) Les llamará la semana siguiente c) Ellos quieren que lo haga d) La dejé de amar poco a poco e) No las dejes partir

El artículo y el …………… modifican al sustantivo: a) Adverbio b) Pronombre c) Sustantivo d) Verbo e) Adjetivo

8.

La expresión No lo he visto desde la última sesión que tuvimos en el CEPRU. Presenta…..artículos: a) Dos b) Tres c) Cuatro d) Cinco e) Seis

Sintácticamente, el artículo desempeña la función privativa de: a) Núcleo del modificador directo b) Núcleo del modificador indirecto c) Modificador directo d) Modificador indirecto e) Presentador del sustantivo

54

| CEPRU2015

9.

La cantidad española, es: a) Dos b) Tres c) Seis d) Nueve e) Diez

10.

Se aprecia una contracción gramatical del artículo en: a) Él día que nos conocimos fue hermoso b) De aquí a la eternidad, te amaré c) Ante lo dicho no hay vuelta atrás d) Del otro lado del río viene mi amada e) Le daré todo mi amor y comprensión

11.

de

artículos

de

la

gramática

a) “Paco Yunque” cuento que remarca las diferencias sociales y económicas b) Ayer se publicó en “El Peruano” un Decreto Supremo c) En la novela “Los Miserables” se aprecia la oposición entre el bien y el mal d) De una u otra manera los animales sirven al hombre e) La novela del “Lazarillo de Tormes” es anónima

La alternativa que presenta un artículo neutro, es: a) El hombre nace bueno, la sociedad lo corrompe b) Sombríos pensamientos lo asaltaban con frecuencia c) Lo malo es que no hay nada que comer d) Lo compré en el mercado e) Le expliqué todo con claridad

12.

La oración que presenta un artículos determinado, es: a) Vicente se lava rápidamente b) Recupera las llaves del portero c) Enrique y yo nos mirábamos d) Tú y yo haremos un gran negocio e) Nos la vendió a buen precio

13.

14.

El enunciado que presenta el artículo con función de modificador del sustantivo, es: a) Nos saludamos frecuentemente b) El juguete es muy barato c) Ustedes van a vestirse inmediatamente d) Ellos lucharon por la libertad e) Los que me entrevistaron fueron amables

15.

En la oración Deslizó una indirecta que motivó en el adversario un enfado que no pudo disimular. La cantidad de artículos que presenta la oración anterior, es: a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1

16.

En la oración Un descanso reparador será necesario para el fatigado. La cantidad de artículos que presenta la oración, es: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5

La oración que tiene contracción gramatical mal utilizada, es:

EL ADVERBIO 11.7. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Es una clase de palabras que agrega significados y aporta ideas al verbo, adjetivo y otro adverbio. Ejemplos: -Nosotros estudiamos bastante para el examen. -Ellos corren lentamente. v.

adv.

v.

-Salió de la casa muy contento. adv.

adv.

adj.

-Llegaste demasiado tarde a mi vida. adv.

adv.

B. CRITERIO MORFOLÓGICO. Es una palabra invariable, carece de accidentes gramaticales, tiene ausencia de flexión. Ejemplos: -Yo nunca jamás me olvidaré de ti. -Nosotros nunca jamás nos olvidaremos de ti. C. CRITERIO SINTÁCTICO. Tiene una relación de modificación con grupos sintácticos, correspondiente a distintas categorías gramaticales. En efecto, los adverbios modifican principalmente a los verbos, a los adjetivos y también a otros adverbios. Ejemplos:  MODIFICA A UN VERBO: Paseas tranquilamente. v.

Ella estudió apenas.

adv.

v.

 MODIFICA A UN ADJETIVO: Sumamente satisfecho de los resultados. adv.

Ella es tan diplomática.

adj.

adv.

 MODIFICA A OTRO ADVERBIO: Irremediablemente y lejos de su patria. adv.

adv.

El camina despacio.

adv.

v.

El ingeniero es muy eficiente.

adj

Muy bella. adv.

adv.

adv.

adv.

Vivimos tan cerca y no nos vemos. adv. adv.

11.8. CLASIFICACIÓN DEL ADVERBIO71 Existen muchos criterios para clasificar los adverbios, pero los fundamentales son los siguientes: a)

ADVERBIOS DE LUGAR: Indican situación, lugar, espacio, orientación, ubicación. Ejemplos: Arriba, abajo, alrededor, afuera, dentro, adentro, adelante, debajo, fuera, junto, cerca, lejos, atrás, detrás, delante, encima, aquí, allá, ahí, dondequiera, acá, adonde, donde, adónde, dónde, etc.

71

-Arriba, siempre arriba, dijo: Jorge Chávez. -Jóvenes delante está su porvenir. -Junto a ti está tu madre. -Alrededor de tu vida, están tus objetivos. -Aquí están los mejores.

Leonardo Gómez Torrego, Análisis Morfológico – Teoría y práctica, (Madrid: Editorial SM Internacional, 2011), 234

adj.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 55 b)

ADVERBIOS DE TIEMPO: Indican período, época, ciclo, sucesos. Ejemplos: Después, después, siempre, pronto, aún, todavía, mientras, hoy, ayer, anoche, anteayer, mañana, ya, ahora, recién, -Estarás para siempre en mi corazón. cuando, cuandoquiera, recientemente, previamente, -Mañana será mejor. inmediatamente, antes, enseguida, posteriormente, -Pronto daremos el siguiente examen. simultáneamente, temporalmente, actualmente, -Inmediatamente volveremos a clases. antiguamente, recientemente, brevemente, largamente, -El Perú después será campeón. cotidianamente, habitualmente, semanalmente, -Todavía estás en mi corazón. esporádicamente, frecuentemente, bienalmente, diariamente, semanalmente, etc.

c)

ADVERBIOS DE MODO: Indica maneras, costumbres, modalidades, procedimientos, etc. Ejemplos: Regular, despacio, aprisa, -Rosa trabaja bien. ordenadamente, tranquilamente, así, -Las tortugas caminan despacio. bien, mal, apenas, tal, mejor, peor, -Carlos apenas pudo hablar. deprisa, tranquilamente, -El atleta daba sus saltos aprisa. inconscientemente, plácidamente, -El niño duerme plácidamente en los brazos de su madre. etc.

d)

ADVERBIOS DE CANTIDAD: Indica parte, porción, trozo. etc. Ejemplos: Poco, menos, mucho, tanto, tan, cuan, cuanto, algo, demasiado, bastante, -Mis amigos están muy preocupados por ti. medio, más, casi, mitad, harto, muy, -Tu casa es muy hermosa. suficientemente, nada, suficiente, -Te esperé demasiado. considerablemente, extremadamente, -Tanto tiempo disfrutamos de este amor. escasamente, notablemente, -Casi perdí la vida por ti. etc.

e)

ADVERBIOS DE ORDEN: Indica ordenación, agrupación, organización, sucesión. Ejemplos: Primeramente, últimamente, seguidamente, finalmente, etc.

-Primeramente habló el director y seguidamente el profesor. -Últimamente estoy llegando puntual. -Finalmente aprobé el examen.

f)

ADVERBIOS DE AFIRMACIÓN: Indica certeza, aseveración, confirmación, ratificación, aserción. Ejemplos: -Ciertamente volveré por ti. Sí, claro, ciertamente, seguramente, -Seguramente estaremos viajando pronto. seguro, efectivamente, -Indudablemente lograremos nuestro ingreso. indudablemente, positivamente, etc. -Los resultados fueron valorados positivamente. -Efectivamente fue elegido el candidato.

g)

ADVERBIOS DE NEGACIÓN: Señala objeción, impugnación, refutación, contradicción. Ejemplos: No, nunca, jamás, nada, tampoco, negativamente, contradictoriamente.

-No viajes, tampoco me dejes. -No, nunca, jamás te perdonaré. -Con nada me conformo.

h)

ADVERBIOS DE DUDA: Señala inseguridad, incertidumbre, titubeo, vacilación. Ejemplos: -Quizás viajes en lancha. Quizás, a lo mejor, quién sabe, acaso, -A lo mejor vuelves a soñar. tal vez, etc. -Quién sabe si nos volvamos a encontrar. -Tal vez viaje.

i)

ADVERBIOS TERMINADOS EN “MENTE” La mayoría son adverbios de modo, formados por un adjetivo más el sufijo “mente”. Fácilmente, lentamente, rápidamente, felizmente, claramente, suavemente, silenciosamente, útilmente, verdaderamente, etc.

-Retorné rápidamente. -Llegué temprano felizmente. -La exposición estuvo claramente. -Verdaderamente este trabajo es excelente. -Lentamente llegaron los invitados.

11.9. FRASES O LOCUCIONES ADVERBIALES Las frases adverbiales son expresiones fijas constituidas por varias palabras que equivalen a un solo adverbio, ejemplos: A más no poder, al máximo, a mares, a todo pulmón (cantidad), de vez en cuando, a menudo, a diario, a la vez, para siempre, a veces (tiempo), a gatas, a escondidas, a pies juntillas, a dos carrillos, punto a punto (modo). LOCUCIONES ADVERBIALES PAUTAS SINTÁCTICA “prep. + sust. sing.”

EJEMPLOS DE LOCUCIONES a bocajarro, a gusto, de día, de reojo, en secreto, sin duda

“prep. + sust. pl.”

a trozos, a pedazos, a cachos

“prep. + sust. (lat.)”

ex aequo, in memoriam, in situ

“prep. + grupo nominal”

a fuerza, al azar, a primera vista

a grito pelado, a salto de mata

“prep. + adj./part.”

a diario, en serio

a ciegas, a oscuras

“prep. + art. + adj.”

a la larga

a lo grande

correlación de prepos.

de un momento a otro, de ahora en adelante, de vez en cuanto

grupos nominales

una barbaridad, una eternidad

esquemas coordinados

más tarde o más temprano, ni más ni menos

-Resolvió el problema de matemáticas en un dos por tres. -Lucharé a brazo partido. -Esta parrillada está a pedir de boca. -Camina con pies de plomo. -Esa pareja pelean como perro y gato. -La madre la defendió a capa y espada.

a gatas, a saltos, a tientas

horrores, montones

de una vez, de un trago

acto seguido

-Trabajaremos el día viernes de sol a sol. -Ella propaló la noticia a los cuatro vientos. -Él es un hombre a carta cabal. -Todo el plan resultó a las mil maravillas. -Se puso a buen recaudo.

56

| CEPRU2015

11.10. APÓCOPE DEL ADVERBIO Se define apócope a la pérdida o desaparición de uno o varios fonemas o sílabas al final de algunas palabras. En español, se apocopan tanto adjetivos como adverbios, sustantivos, verbos y determinantes, ejemplos: Mucho-muy Tanto-tan/ Cuanto-cuán Esto sucede cuando precede a un adjetivo o a un adverbio, pero no ante más, menos y peor: -“muy bajo, muy temprano”

Los dos pierden la sílaba final ante adjetivos o adverbios: “tan bonito, cuán cercano” Pero no ante una forma verbal, aunque en el lenguaje coloquial se haga a veces: “tan es así, tan era cierto” Las firmas correctas son: “tanto es así, tanto era cierto”

NOTA: De acuerdo con el criterio de su naturaleza gramatical, los adverbios pueden ser LÉXICOS y GRAMATICALES. Léxicos cuando son de inventario abierto como adrede, bien deprisa, regular temprano y la mayor parte de los terminados en mente. Los adverbios gramaticales son de inventario cerrado. Entre estos tenemos a: - Demostrativos (aquí, ahora, así, etc.) - Identificativos o referenciales (antes/ después; delante/ detrás; encima/ debajo, etc.) - Cuantificativos (muy, algo, demasiado, etc.) - Relativos (cuando, cuanto, como, donde, etc.) - Interrogativos (cuánto, cuándo, cómo y por qué) - Exclamativos (cuánto, cuándo, cómo y por qué) - De foco o focales (no, también, solo, incluso, precisamente, concretamente) EJERCICIOS 1.

Un adverbio modifica a otro adverbio en: a) Los coches iban despacio b) Viene allí lejos c) Aquello era realmente bello d) Mis amigos eran poco estudiosos e) Camina lentamente con su padre

10.

El adverbio modifica a un adjetivo en: a) Ella habla muy bien b) El jardín es muy hermoso c) Llegó muy tarde d) Estuvo tan lejos e) Vive tan lejos

2.

La alternativa que presenta dos adverbios, es: a) Búscalo encima de la mesa b) Posiblemente deba operarme c) Aquí llueve a cántaros d) Antes era distinto, ahora es complicado e) Quiero que lo hagas mejor tu trabajo

11.

Un adverbio modifica a un adjetivo en: a) Raúl vive bastante lejos b) Quedó medio loca con tantos problemas c) Muy pronto saldrá el sol d) Tengo poco dinero e) Me conformo con poco

3.

Los adverbios únicamente de modo son: a) Ahora – siempre – nunca - jamás b) Despacio – así – mal - regular c) Allí – no – quizá - nunca d) Seguro – si – mañana - no e) Pronto – ahora – antes – hoy

12.

La relación incorrecta de la clase de adverbio es: a) Hoy – tiempo b) Nunca - negación c) Aquí – lugar d) Junto – modo e) Sí – afirmación

4.

La oración que presenta adverbio de modo, es: a) Ese chico habla demasiado b) Nos gusta mucho viajar c) Siempre vamos a nadar los martes d) Finalmente llegó a tiempo e) Nunca se nos olvida llevar la radio

13.

Los adverbios únicamente de tiempo son: a) Delante – recién – aquí – allí b) Cerca – lejos – encima – abajo c) Aquí – pronto – siempre – nunca d) Quizá – como – sí – nunca e) Pronto – ahora – antes – hoy

5.

La alternativa que presenta adverbio de tiempo, es: a) Ayer llegué a clase muy pronto b) Este árbol es muy alto c) María canta tan bien d) Aquí arriba colocaré el libro e) Quizá vuelva con él

14.

La oración que presenta solo adverbios de lugar, es: a) Ahora caminaremos rápido b) Quizá viaje a Trujillo c) Allá, lejos, alrededor de la fogata cantábamos d) No siempre dices la verdad e) Finalmente pudieron terminar su trabajo

6.

La alternativa que presenta adverbio, es: a) Otros vienen b) Van muchos c) Mucho gana d) Llevan regalos e) Algunos vendrán

15.

La alternativa que presenta adverbio de duda, es: a) Muchos postularon b) Algunos escriben c) Llevan paquetes d) Aquellos jóvenes hábiles e) Quizá vayamos al cine

7.

La alternativa que presenta adverbio, es: a) No es tan difícil saberlo b) Habló para todos c) Perdí porque no entrené d) Ella buscaba problemas e) Cristina jugó y ganó

16.

8.

Las palabras ciertamente y contradictoriamente son adverbios de: a) Modo - tiempo b) Afirmación - negación c) Lugar - orden d) Tiempo - modo e) Orden - Tiempo

La alternativa que presenta adverbio de cantidad, es: a) Eres poco hablador b) Mañana viaja a Chile c) Muy pronto saldrá el Sol d) Luis y María leen con esmero e) Tu hermana llegará pronto

17.

La alternativa correcta respecto al adverbio, es: a) La busqué abajo de la cama b) Caminaba adelante tuyo c) Estaba atrás de ti d) Mujer media loca e) caminaba detrás de ti

9.

El adverbio de orden es: a) Rápidamente b) Indudablemente c) Positivamente d) Negativamente e) Seguidamente

18.

La oración que presenta adverbio de tiempo, es: a) Nunca resultó lo nuestro b) Viven aquí c) Ayer vinieron d) Trabaja mucho e) Llegó lentamente

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 57

LOS CONECTORES LÓGICOS

LA CONJUNCIÓN

CRITERIOS

PREPOSICIONES USADAS

a, ante, bajo, cabe, con, contra, de, desde, en, entre, hasta, hacia, para, por según, sin, sobre, tras

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

CLASIFICACIÓN

CRITERIOS

1. COORDINATES a) Copulativas b) Disyuntivas c) Adversativas

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

2. SUBORDINANTES a) Causales b) Ilativas c) Concesivas d) Condicionales e) Comparativas f) Consecutivas g) Finales

PREPOSICIONES ARCAICAS

so, cabe

PREPOSICIONES INCORPORADAS LOCUCIONES

durante, mediante, pro, vía, versus

CONJUNTIVAS

FUENTE: Elaboración propia

LA PREPOSICIÓN72 12.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. No tiene significación por sí sola; es decir, las palabras que relaciona son las que determinan el sentido de esta categoría (su significado es de carácter contextual). B. CRITERIO MORFOLÓGICO. No sufre variaciones formales, esto es, carece de morfemas. C. CRITERIO SINTÁCTICO. Funciona como conectivo, conector o nexo subordinante, es decir, puede enlazar un elemento sintáctico cualquiera como un sustantivo o elemento de valor equivalente. Ejemplo: El reloj sin correa estaba en uno de esos cajones. Sus utilidades son los siguientes: a) En el sujeto: Encabeza al modificador indirecto. b) En el predicado: Hay dos preposiciones POR y DE que encabezan al agente, solo en voz pasiva. La casa de Patricia fue construida por los albañiles Mod. Ind.

Agente

c) En el complemento régimen: Constituye un elemento argumental. Contar con su amistad. Su madre confiaba en el futuro. Comp. de Régimen

Comp. de Régimen

12.2.PREPOSICIONES USADAS a

de

hacia

según

ante

desde

hasta

sin

bajo

en

para

sobre

con

entre

por

tras

contra

72

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 2223-2266.

58

| CEPRU2015 PREPOSICIONES ARCAICAS cabe

so

PREPOSICIONES INCORPORADAS durante

mediante

pro

vía

versus

LISTA DE PREPOSICIONES 1.

A Dirección: Vamos a las fiestas de Belén. Lugar: La cevichería está a dos cuadras del mercado. Tiempo: Nos vemos a las dos de la tarde. Modo: Vamos a pie. Finalidad: Vine a que la escuches. Distancia: De aquí a la universidad hay cinco cuadras. Complemento directo: He visto a tu hijo. Complemento indirecto: Se lo dije a Manuel.

2.

Ante Significa "delante" o "en presencia de": El profesor habló ante los alumnos.

3.

Bajo Situación inferior: Estamos pasando bajo el puente. Subordinación: Andrés está bajo las órdenes de su jefe.

4.

Con Compañía de personas: Los abuelos fueron con sus nietos al zoológico. Unión de cosas: Dame un té con leche. Medio para conseguir alguna cosa: Con mucho estudio puedes conseguir la beca. Simultaneidad o concurrencia: Viajé con mucha lluvia.

5.

Contra Oposición: Mi equipo juega contra el equipo de mi esposo. Ubicación: Se apoyó contra la pared. Destino o término: Se estrelló contra un árbol.

6.

De Posesión o pertenencia: El departamento de mi amiga tiene una vista preciosa. Origen o procedencia: Yo soy de Perú. Material: Esta blusa es de seda. Tiempo: Nos vemos en mi casa a las 5 de la tarde. Tema o asunto: Me gustan las películas de acción. Contenido: Un vaso de agua. Destino o propósito: Traje de ceremonia.

7.

Desde Principio de tiempo: Pueden comenzar a venir desde las 9 de la noche. Principio de lugar: Tardo 20 minutos desde mi casa hasta mi trabajo.

8.

En Tiempo: Estamos en diciembre. Lugar: Ellos estudian español en Canadá. Medio: Ella va a su trabajo en automóvil. Precio: Lo negoció en 300 dólares.

9.

Entre Situación en medio de cosas o personas: El instituto de español está entre el banco y el restaurante. Situación en medio de acciones (infinitivo): Entre nadar y correr, prefiero nadar. En el interior de algún conjunto: Entre la gente.

10.

Hacia Indica dirección: Este es el camino hacia el cerro San Cristóbal. Indica una tendencia: Francisco tiene una inclinación hacia el arte. Tiempo: Llegaremos hacia las tres.

11.

Hasta Término de lugar: Conduciré hasta la montaña. Término de acción: Viajaré por Argentina hasta conocer mi país completamente. Término de tiempo: Nos quedaremos en la fiesta hasta las cinco de la mañana.

12.

Para Finalidad: Este informe es para mi jefe. Tiempo: El vestido estará listo para esta noche. Dirección: En una hora vamos para Valparaíso. Aptitud o capacidad: Eres bueno para todo. Utilidad: Un remedio para la artrosis. Orientación: Estudia para contador. Destinatario: Lo compré para mi hermano.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 59 13.

Por Lugar: Caminan por la avenida principal. Causa: Brindemos por Daniel, se lo merece. Medio: Mandamos las postulaciones por correo electrónico. Modo: Por la fuerza no conseguirás nada. Complemento agente: Fue rescatado por los bomberos. Finalidad (búsqueda): Preguntó por su hija. Sustitución (equivalencia): Salúdale por mí. Precio: Compró la bicicleta por 200 soles.

14.

Según Para establecer relaciones de cosas: Según nuestras normas, no puedes fumar aquí. Según mi profesor, el estudio debe ser constante.

15.

Sin Denota carencia o privación de algo o de alguien: Sin los instrumentos necesarios, el médico logró atender el parto. Cuando una cosa o persona no está: Angélica quiere un café sin azúcar.

16.

Sobre Lugar: El examen está sobre la mesa. Tema o asunto: Háblame sobre tu vida en Venezuela. Sentido figurado: Creía estar sobre el bien y el mal. Aproximación: Andaba sobre los cuarenta años.

17.

Tras Orden de secuencia: Ella estuvo toda la mañana tras su hija. Tras la tormenta, viene la calma.

18.

CABE Junto a: Mi casa está cabe el parque.

19.

SO Bajo: Prohibido arrojar basura so pena de arresto y multa.

Los casos denominados arcaizantes:

NOTA: Las preposiciones CABE “junto a” y SO “bajo”, son palabras en desuso en el español actual y solo aparecen esporádicamente en los textos literarios. A esta lista ya conocida se incluyen también: 20.

Mediante Medio: Lograremos mejores resultados mediante estas reglas.

21.

Durante Tiempo: ¿Qué vas a hacer durante la noche?

22.

Versus Contra: Este fin de semana se juega la final del fútbol peruano: Cienciano versus Real Garcilaso. Frente a: En nuestra sociedad hallamos importantes divisiones, por ejemplo en lo social, rural versus lo urbano; en lo económico la pobreza versus la riqueza.

23.

Vía El lugar por el que se pasa: El tren va a Machupicchu vía Ollantaytambo. A través de…: Los trámites para la matrícula son vía Internet.

24.

Pro En favor de…: Es una pollada pro salud.

12.3.LOCUCIONES PREPOSITIVAS73 Concepto. Son agrupaciones de palabras que adquieren conjuntamente el sentido y el funcionamiento gramatical de las preposiciones. TIPOS DE LOCUCIONES PREPOSITIVAS Preposición + sustantivo + preposición

   

de acuerdo con, a fin de, a cerca de, a causa de, a excepción de, a favor de, a finales de, a fuerza de, a raíz de con motivo a, con rumbo a, con cargo a de conformidad con, de parte de, en compañía de, en medio de, en torno a, en vez de en relación de, con relación a, por causa de, por culpa de, a través de

Sustantivo + preposición Participio + preposición

   

alrededor de, respecto de apunto de debido a relacionado con

Preposición + infinitivo + preposición



a partir de

  

en lo referente a a lo ancho de a lo largo de

Preposición preposición

+

lo

+

adjetivo



+

La profesora explica a través de mapas conceptuales.

73

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 2276.

60

| CEPRU2015 EJERCICIOS

1.

Semánticamente, la preposición: a) Es una palabra invariable b) Funciona como nexo subordinante c) Tiene variaciones formales d) No posee significado lexical e) No tiene significado contextual

2.

En la oración Salí preposición indica: a) Destino b) Finalidad c) Utilidad d) Tiempo e) Dirección

3.

La oración que contiene preposición con significado de modo, es: a) La mujer conversa con sus amigos b) La mujer toma café con leche c) La mujer con trenzas d) Conversaba con mucha alegría e) Distribuía las carta a pie

4.

La expresión que contiene locución prepositiva, es: a) Repitió el tema al pie de la letra b) Defendía a su cliente a capa y espada c) Mario llegó a mediados de octubre d) Ya te relajaste lo suficiente, de manera que empieza a trabajar e) Saltó varios metros, sin embargo no logró el primer puesto

5.

11.

La preposición en incorrectamente utilizado es: a) Se le notaba en la manera de moverse b) Viajó en tren hasta Machupicchu c) Viajamos en la noche d) Vivo en Cusco e) Estamos en casa de mis padres

12.

Las preposiciones son: a) Que, hasta, donde b) Cuyo, so, ante c) Debajo, cabe, por d) Sobre, según, luego e) Con, mas, pero

13.

En la oración Juana prepara los chicharrones más ricos a dos cuadras del mercado central, la preposición indica: a) Compañía b) Subordinación c) Tiempo d) Modo e) Dirección

14.

Una preposición señala tiempo en: a) Ana Cecilia tiene una peluquería a tres cuadras del Estadio Garcilaso b) Estudiaremos en la UNSAAC c) Ella llega al colegio en bus d) Nos vemos en la puerta de la universidad en la tarde e) Conversaremos sobre temas de psicología

La oración Desde la tribuna voy gritando yo, alentado a mi equipo a ganar: ¡Una barra por el PERÚ! La cantidad de preposiciones es: a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1

15.

Sintácticamente, la preposición: a) Existen preposiciones con significado gramatical b) Hay preposiciones con significado léxico c) Encabeza al modificador indirecto y complemento agente d) No sufre variaciones formales e) No encabeza la voz pasiva

6.

La preposición que no indica posición, es: a) Bajo b) Ante c) Sobre d) Hacia e) Tras

16.

7.

El enunciado en el que está mal usada la preposición hasta, es: a) Hasta los operadores de limpieza ganan más que él b) Hoy trabajaré hasta la medianoche c) El avión saldrá hasta mañana en la tarde d) Se consagraron desde la ciudad de Cusco e) Hasta Ecuador

Se observa locuciones prepositivas en: a) Salí a caminar en compañía de mi madre b) Ella sufrió durante toda su vida por lo cual luchó a brazo partido c) Todos acordaron en salir de vacaciones d) La que acaba de llegar es mi prima e) La compañía de bomberos abre un nuevo local

17.

El enunciado que presenta preposición con significado funcional, es: a) Muy temprano salió a caminar b) Sobre aquellos problemas ya no volvieron a conversar c) Desde ese año ella ya no salía a bailar d) Bajo presión trabajas bien e) Desde que nací fui feliz

18.

Las palabras so y cabe son: a) Locuciones prepositivas b) Preposiciones arcaizantes c) Conjunciones coordinantes d) Conjunciones subordinantes e) Conjunciones ilativas

19.

El enunciado En la casa de un rico mercader, rodeado de comodidades, vivía no hace mucho tiempo un perro al que se le había metido en la cabeza convertirse en un ser humano, y trabajaba con ahínco en esto. La cantidad de preposiciones son: a) Diez b) Once c) Ocho d) Siete e) Nueve

20.

La afirmación Existen más preposiciones que conjunciones en el español, es: a) Verdadera b) Falsa

8.

para

despejarme,

la

La preposición por, que señala circunstancial de causa es: a) Se fue por ahí b) Estudia por las noches c) Viajaremos por tren d) Vendí mi auto por mil soles e) No llegó por el desborde del río

9.

La oración que señale la locución prepositiva es: a) Habla con tus cinco sentidos b) No tiene nada que ver con relación a ese asunto c) Hablábamos sobre temas actuales d) De tanto en tanto, nos visitaba mi tío e) Acaso vuelva más tarde

10.

El enunciado con la preposición por, que indica modo, es: a) Lo compré por dos mil soles b) Lo hago por obediencia c) Lo hace por amor al prójimo d) Fue transmitido por radio e) María pasó por la calle

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 61

LA CONJUNCIÓN 12.4.CRITERIOS74 A. CRITERIO SEMÁNTICO. La conjunción es una palabra que carece de significado lexical. La relación conjuntiva establecida puede expresar: unión, oposición, consecuencia, etc. B. CRITERIO MORFOLÓGICO. La conjunción es una palabra que carece de accidentes gramaticales, en consecuencia es invariable. C. CRITERIO SINTÁCTICO. La conjunción es una palabra que funciona como nexo coordinante, o sea enlaza elementos de igual valor sintáctico. También funciona como nexo subordinante. Cultivan naranjas y limones. sust

sust.

Ese niño es delgado, pero resistente. adj.

adj.

¿Quién participará: él o ella? pron.

Ni hablas ni escuchas. verb.

pron.

verb

Empezarás ahora o nunca. adv.

adv.

Él no es de la capital, sino de provincia. construc.

construc.

Son muy belicosos aunque no lo parecen. proposición

proposición

12.5.CLASES DE CONJUNCIONES75 12.5.1.

a)

CONJUNCIONES COORDINANTES Se distinguen tres tipos de conectores según el significado con que matizan la relación de los elementos que unen: copulativas, disyuntivas y adversativas. CONJUNCIONES COPULATIVAS: y, e, ni: Sirven para unir dos o más elementos que podrían ir separados. Juan y Pedro vinieron a verme. Él y ella escaparon de casa. Se escribe e cuando la siguiente palabra empieza por el fonema /i/: Inteligente e instruido. Fernando e Isabel; madre e hija. La conjunción ni, también implica adicción pero es negativa: No quería ni esto ni lo otro. Ni Juan ni Pedro vinieron a verme. Nunca escribe ni llama. (puede aparecer ante el segundo miembro). Jamás hablaba (ni) de su familia ni de su trabajo. (puede aparecer ante cada uno de los miembros).

b)

CONJUNCIONES DISYUNTIVAS: o, u, o bien: tiene un valor de alternativa. Se escribe u cuando la siguiente palabra empieza por el fonema /o/: O vienes o te quedas. Compraré manzanas o naranjas. No sé si ir al cine o al teatro.

c)

CONJUNCIONES ADVERSATIVAS: pero (mas), sino, aunque: frente a las copulativas y disyuntivas, que admiten varios enunciados, las adversativas confieren dos enunciados y señalan que están contrapuestos. El conector pero indica restricción, y sino expresa incompatibilidad. Exige que el segmento precedente conlleve una negación y cuando el segundo es una oración suele aparecer sino que. El conector mas es poco frecuente en lengua hablada, es equivalente a pero. Escribo novelas, pero no poemas. No fui yo, sino mi hermano. Acudí pronto, mas no te hallé. Es antiguo, aunque eficaz.

12.5.2.

CONJUNCIONES SUBORDINANTES Las conjunciones subordinantes unen siempre proposiciones:

a) CONJUNCIONES CAUSALES: Porque, como, pues. Estudio, porque quiero aprobar. Como quiero aprobar, estudio. b) CONJUNCIONES CONDICIONALES: Si, como, cuando. Si no estudias, no aprobarás. Como no me escuches, no ingresarás en la universidad. Cuando tú lo dices, será verdad. c) CONJUNCIONES CONCESIVAS: Aunque, si bien, así. Aunque estudió tanto, no aprobó. Si bien no nos parece la mejor solución, la aceptaremos. d)

74 75

CONJUNCIONES FINALES: Para que. Toca el piano, para que vean lo bien que lo haces.

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 2395-2473. Leonardo Gómez Torrego, Análisis Morfológico – Teoría y práctica, (Madrid: Editorial SM Internacional, 2011), 250-256.

62

| CEPRU2015 e) CONJUNCIONES COMPARATIVAS: Como, que. No es tan listo como dicen. Miente más que habla. Toca el piano como un profesional. Más gente que antes. No hace tanto frío como había imaginaba. f)

CONJUNCIONES CONSECUTIVAS: Que, tal... que…, tanto…que, tan…que. Hacía mucho frío que no se podía salir de casa. Se comportó muy mal, de tal manera que hubo que expulsarlo. El Sol es tan brillante que no se puede mirar.

g)

CONJUNCIONES ILATIVAS: Luego, con que, conque. Es tarde, conque apúrate. Pienso, luego existo.

12.6.LOCUCIONES CONJUNTIVAS Las locuciones conjuntivas son grupos de palabras que se comportan como una sola conjunción. TIPOS DE LOCUCIONES CONJUNTIVAS COORDINANTES COPULATIVAS

así como, etc.

DISYUNTIVAS

bien… bien…, ya… ya…

ADVERSATIVAS

sin embargo, no obstante, en cambio, por otra parte, mientras que, excepto a, etc.

SUBORDINANTES CAUSALES

ya que, a causa de, debido a, dado que, puesto que, visto que, etc.

CONDICIONALES

siempre que, en caso de que, con tal que, a no ser que, siempre y cuando, en cuanto, a condición de que, con tal de, con tal de que, solo si, si es que, a menos que, en tanto que, etc.

ILATIVAS

por tanto, así pues, pues bien, por ende, por lo tanto, en conclusión, así es que, así que, por eso, por ello, por consiguiente, en efecto, en el momento que, etc.

CONCESIVAS

pese a, a pesar de, a pesar de que, si bien, aun cuando, por más que, por mucho que, ahora que, bien que, mientras que, etc.

COMPARATIVAS

al igual que, análogamente, así mismo, más que, tanto como, etc.

CONSECUTIVAS

de tal manera que, de modo que, de modo que, a medida que, de forma que, de manera que, etc.

FINALES

a fin de que, antes que, antes de que, etc.

ACLARATIVAS

es decir, esto es, vale decir, en otras palabras, etc.

No vas a ningún lado, a menos que te portes bien. En cuanto se duerma salgo a pasear. En el momento que salió, me sorprendió por atrás. Aun cuando te vayas, te seguiré amando (conjunción concesiva reemplazable por aunque) En tanto que lo intentes, lograrás tus objetivos (condicional). A pesar de que te lo advertí, no me hiciste caso (concesiva). Antes que los niños jueguen, acondicionaremos el patio. Antes de que oscurezca, dormirá.

EJERCICIOS 1.

La alternativa se muestra la conjunción equivalente a pero, es: a) Cantas o bailas b) Ni canta ni baila c) Saluda, pero rápido d) Abunda el colibrí o la paloma torcaza e) Trabaja, no obstante es lenta

2.

En la oración Yo lo haría si pudieras ayudarme. La conjunción subrayada puede reemplazarse por: a) Por lo tanto b) Sin embargo c) O d) Siempre y cuando e) No obstante

3.

Las conjunciones como, aunque y pero son: a) Condicional, concesiva e ilativa b) Causal, consecutiva y disyuntiva c) Comparativa, consecutivas y adversativa d) Condicional, concesiva y adversativa e) Condicional, ilativa y adversativa

4.

La oración que presenta conjunción subordinante concesiva, es:

a) b) c) d) e)

Trabaja, pero no exageres Yo lo sabía y por eso me quedé callado Ya está avisado, por lo tanto, no te quejes Es tan alto como tú Aunque me cueste la vida, sigo pensando en tu amor

5.

En la expresión Aquel hombre me hizo recordar mis días pasados con ustedes, porque era bueno. Presenta conjunción denominada: a) Causal b) Copulativa c) Disyuntiva d) Condicional e) Concesiva

6.

Una de las siguientes oraciones presenta conjunción subordinante causal: a) Solo tú y yo, lo sabemos b) Lo hicimos, sin embargo no estamos contentos c) Vine, ya que me llamaste d) Tú eres como la paloma e) Ella habla mientras tú duermes

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 63 7.

8.

9.

La oración Le diré, aunque a nadie le guste. Presenta conjunción denominada: a) Copulativa b) Concesiva c) Disyuntiva d) Causal e) Adversativa

La partícula a) Artículo que relaciona construcciones de igual valor sintáctico, es: b) Adverbio c) Pronombre d) Preposición e) Conjunción Dada las siguientes proposiciones. I. No te vi pues no llevo lentes II. Si te parece, nos encontraremos hoy III. No puedo ir hoy, porque tengo trabajo pendiente IV. Tienes una queja, pues dímelo Las alternativas que contiene conjunciones causales es: a) Solo I b) Solo III c) II y IV d) I y III e) I, III y IV

10. Relaciona correctamente. I. Aunque te arrepientas nunca te perdonaré II. No fui al cine sino al teatro III. Si estudiaras más, te iría mejor en todo IV. Yo no quiero ni contigo ni con nadie A) CONJUNCIÓN COORDINANTE B) CONJUNCIÓN SUBORDINANTE La secuencia correcta es: a) IA, IB, IIIA, IVB b) IB, IIA, IIIB, IVA c) IA, IIA, IIIB, IVB d) IB, IIB, IIIA, IVA e) IB, IIA, IIIA, IVB 11.

12.

13.

La relación incorrecta es: a) Pero – adversativa b) Que – copulativa c) Tanto… que – consecutiva d) Pues – ilativa e) Aunque - causal Sintácticamente, la conjunción: a) Es una palabra que carece de significado lexical b) Funciona solo como nexo coordinante c) Funciona como nexo coordinante y subordinante d) Expresa oposición, unión, consecuencia e) Es invariable La expresión La chica de Arequipa que tenía casaca azul salió temprano aunque se despertó tarde, presenta conjunción: a) Consecutiva

b) c) d) e)

Ilativa Comparativa Causal Concesiva

14.

La oración que presenta conjunción causal, es: a) No comprendo el porqué de tu actitud b) No comprendo por qué te pones así c) No fui a la fiesta porque no tenía dinero d) ¿Por qué no viniste? porque no tenía ganas e) Al final optaron por que no se presentasen

15.

La oración que presenta conjunción condicional, es: a) Juan no es tan bueno como dicen b) Como un gran artista presentó diversos cuadros c) Como no asistas al CEPRU, no ingresarás d) Le atrae tanto el estudio como los deportes e) Vendía mascotas como si fueran juguetes

16.

El enunciado que presenta conjunción copulativa, es: a) Continuó con sus peros, sin embargo nadie lo escuchó b) No hizo los deberes ni recogió su ropa c) Creo que es hora de retirarse o continuar con la reunión d) He caminado por todo el mundo, nadie lo impidió e) Perdí mi turno, entonces supe que Juana solo sonreía

17.

La expresión Le atrae la literatura como la matemática. Presenta conjunción: a) Condicional b) Causal c) Comparativa d) Consecutiva e) Adversativa

18.

El enunciado Porque me interesa oír su opinión, lo recibí. Presenta conjunción: a) Condicional b) Ilativa c) Comparativa d) Causal e) Concesiva

19.

Morfológicamente, la conjunción: a) Carece de significado lexical b) Puede expresar: unión, oposición, consecuencia, etc. c) Es una palabra que no posee accidentes gramaticales d) Enlaza elementos del mismo valor sintáctico e) Funciona como nexo

20.

El enunciado que posee conjunción coordinante, es: a) Espero que no se haya ido dado que se lo previne b) Lorena es estudiosa como María c) Debería guardar reserva una vez que se lo hayamos explicado d) Ni tú ni nadie puede detenerlo e) Nadie sabe si vendrá

64

| CEPRU2015

LA SINTAXIS Sintagma

CLASES DE SINTAGMAS

SINTAGMA

SINTAGMA

NOMINAL

VERBAL

1. Núcleo 2. Modificadores a) M. directo b) M. indirecto 3. Aposición a) Explicativo b) Especificativo

SINTAGMA ADJETIVAL

1. Monovalentes a) Objeto directo b) Objeto indirecto c) Circunstancial d) Agente e) Complemento de régimen 2. Bivalentes a) Atributo b) Predicativo c) Predicado nominal

SINTAGMA ADVERBIAL

SINTAGMA REPOSICIONAL

CLASES DE SUJETO

POR LA PRESENCIA DEL

POR LA CANTIDAD DE

POR LA PRESENCIA DE

SUJETO

NÚCLEOS

SUBORDINADOS

1. S. Expreso 2. S. Tácito

1. S. Simple 2. S. Compuesto

1. S. Incomplejo 2. S. Complejo

FUENTE: Elaboración propia sobre la base del Análisis Sintáctico – Teoría y práctica de Leonardo Gómez Torrego

13.1.CONCEPTO. Sintaxis es un término de origen griego que significa “orden o disposición”; como disciplina lingüística estudia las relaciones entre los elementos de una frase y las frases entre sí, y las funciones que desempeñan cada una de las palabras dentro de una expresión lingüística. La sintaxis como parte de la gramática de una lengua está encargada de estudiar a las oraciones gramaticales y a todos sus elementos constitutivos que lo conforman. La unidad básica de la sintaxis es el sintagma. EL SINTAGMA. Es una unidad sintáctica básica formada por una palabra o conjunto de palabras dotados de sentido que posee valor funcional dándoles a cada elemento una relativa autonomía sintáctica y semántica frente a otro sintagma. La sábana. La sábana bordada. La sábana bordada con hilos. La sábana bordada con hilos de oro.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 65 13.2.CLASES DE SINTAGMAS Existen varias clases de sintagmas: 13.2.1.

SINTAGMA PREPOSICIONAL.- Aparecen tanto en el SN como en el SV; su estructura es una preposición seguida de un sustantivo o adjetivo que completa el significado de un SN o un SV. Las lindas playas de la Costa Verde ofrecen una grata estadía a los limeños en el verano.

13.2.2.

SINTAGMA ADJETIVAL.-Es cuando un adjetivo es modificado internamente por un adverbio que funciona como modificador directo del SN. Un problema muy difícil se solucionó. Los hombres flacos, altos, enfermos andan lentamente.

13.2.3.

SINTAGMA ADVERBIAL.- Aparecen en el SV como circunstanciales. El ejército viaja fuertemente armado. Traemos cuanto podemos.

13.2.4.

SINTAGMA NOMINAL (SN). Denominado también frase nominal, grupo nominal, sujeto; está formado por un sustantivo, adjetivo, pronombre, verbo o cualquier otra palabra que funciona como tal, que constituyen su núcleo y todas las palabras que se agrupan en torno a él. Las niñas Las niñas gordas Las niñas gordas con enfermedad

13.2.4.1. ESTRUCTURA DEL SINTAGMA NOMINAL. El SN está constituido por núcleo y complementos. A. NÚCLEO DEL SN. El núcleo del SN siempre va a ser un sustantivo o cualquier otra palabra que se sustantive, que funcione como un sustantivo que van a sufrir variaciones de género y número. El cobrador insolente Aquella vieja casona B. COMPLEMENTOS DEL SN. Denominados también subordinados o modificadores que dependen del núcleo y giran alrededor de él como son: modificador directo, modificador indirecto y la forma declarativa: aposición. a) MODIFICADOR DIRECTO (MD) Es el elemento que se une al núcleo del SN sin la presencia de un enlace, pueden anteponerse o posponerse al núcleo; las palabras que funcionan como M.D son los artículos y adjetivos. Los modificadores directos pueden funcionar como construcción endocéntrica (N +M.D). Hombre alto. La casa blanca. Dos hermosas mujeres flacas. b) MODIFICADOR INDIRECTO (MI) Es el elemento que se une al núcleo del sintagma nominal mediante la presencia de un enlace que son preposiciones; recibiendo el nombre de término las palabras que conforman la estructura de dicho modificador; al cual se puede denominar construcción exocéntrica. Una lágrima en la mejilla. Los hijos sin padres viven tristes. c) APOSICIÓN (AP) Es otro modificador del SN que tiene el mismo valor que el núcleo del SN porque puede conmutarse con el núcleo del SN; designa de otra manera al mismo ser que se menciona en el núcleo del SN; ortográficamente siempre está encerrado entre comas; semánticamente son sinónimos. San Martín, el libertador, murió en la pobreza. El libertador, San Martín, murió pobre. 13.2.4.2. CLASES DE SUJETO (1) Por la presencia del sujeto a) SUJETO EXPRESO. Aparece escrito en la oración. El profesor felicita a Juan. b) SUJETO TÁCITO. No aparece escrito en la oración pero se sobrentiende. Felicitó a Juan. Tiene cólico. (2) Por la cantidad de núcleos a) SUJETO SIMPLE.-En su estructura existe un solo núcleo. El campesino trabaja en la chacra. b) SUJETO COMPUESTO. En su estructura existe dos a más núcleos. Carlos, Julio y Juan viven juntos. (3) Por la presencia de subordinados a) SUJETO INCOMPLEJO. El sujeto no tiene elementos subordinados al núcleo. Vallejo escribió muchas obras. b) SUJETO COMPLEJO. El sujeto tiene elementos subordinados al núcleo. El lujoso automóvil de Pedro chocó con un poste. 13.2.5.

SINTAGMA VERBAL (SV). Denominado también frase verbal, grupo verbal o predicado; es un sintagma que generalmente tiene como núcleo a un verbo que concuerda con el núcleo del SN de la oración; por eso el SV viene a ser el comentario, la descripción o explicación del SN. El electricista hace una instalación trifásica. El director revisó minuciosamente las aulas.

13.2.5.1. ESTRUCTURA DEL SINTAGMA VERBAL A. EL NÚCLEO DEL SV.- Es el verbo que funciona como el elemento principal del SV que subordina a las demás palabras. El verbo es tan fundamental en la oración que podemos llegar a prescindir de todos los demás elementos excepto de él; su función depende del tipo de predicado. B. COMPLEMENTOS DEL SV. Denominados también subordinados o modificadores, que son las demás palabras que giran alrededor del núcleo; puede ser un sintagma adverbial o un sintagma preposicional, que constituyen una referencia dependiendo sintácticamente de él. Los complementos o modificadores son de dos clases:

66

| CEPRU2015 a)

MODIFICADORES MONOVALENTES. Son los que pueden modificar o ampliar al núcleo del SV, ellos son: objeto directo, indirecto, circunstancial y agente a.1. Complemento Directo (C.D.) Es un sintagma constituido por una o varias palabras que se subordinan al núcleo del SV, que recae de manera directa la acción del verbo; el verbo que lleva es transitivo porque la acción del verbo transciende a un objeto, en algunos casos cuando se refiere a sustantivos propios el O.D lleva la preposición “a”; también el objeto directo puede ser sustituido por las formas pronominales (me, te, se, lo, la, le, las, les, los, nos, os). El vecino arrojó la basura en la pista. El vecino lo arrojó. Julio ama a Julia. a.2. Complemento Indirecto (C.I.) Es un sintagma formado por una o varias palabras que se subordinan al núcleo del SV; el verbo son todos los demás verbos menos el transitivo; generalmente encabezado por la preposición “para” o por la preposición “a” cuando este acompaña a un sustantivo propio, los cuales pueden ser sustituidos por los pronombres arriba indicados. Juan recibió una tarjeta para Susana. Juan le recibió una tarjeta. Luisa llevó un pan a Luis. a.3. Complemento Circunstancial (C.C.) Son sintagmas subordinados al verbo, constituidos por un adverbio o encabezados por una preposición que modifica en la significación del verbo. En el plano semántico los circunstanciales complementan el significado del verbo haciendo alusión al tiempo, lugar, modo, compañía, cantidad, causa, finalidad, etc. de la acción verbal; no pueden ser sustituidos por ningún pronombre. Miguel camina lentamente en la playa. Los alumnos olvidaron sus cuadernos en la carpeta. a.4. Complemento Agente (C.A.) Es un modificador del verbo de las oraciones en voz pasiva, en el plano semántico señala al ser que realiza la acción verbal, generalmente encabezado por la preposición “por”; se reconoce mediante el procedimiento de conmutación, pues al transformar la oración de pasiva a activa desempeña la función de sujeto. La ciudad es ensuciada por los transeúntes. Los transeúntes ensucian la cuidad. a.5. Complemento de régimen (C.R.) 76 Llamado también regido es un complemento del verbo introducido por una preposición y exigido por él. Sin dicho complemento explícito o implícito la oración resulta agramatical o cambia del significado. Ejemplo: Ese trabajo adolece de inconsistencia. El éxito dependerá de su esfuerzo. Yo me inclino por el azul.

b)

MODIFICADOR BIVALENTE77 b.1. Predicativo (PVO) Es la función por la que una palabra o un grupo sintáctico de palabras complementa a un verbo pleno y se predica del sujeto o del complemento directo de ese verbo.78 El predicativo en algunos casos se puede eliminar, ya que no siempre se necesario para el verbo. Ejemplo: Los jugadores salieron cansados del entrenamiento. predicativo

Paula llegó muy contenta a casa. predicativo

Susana recibió ilusionada la noticia. predicativo

Me devolvió sucias las botas. Predicativo

O.D.

Mila encontró al bebé

despierto.

O.D.

predicativo

b.2. Atributo (ATRIB.) Es la función por la que una palabra o un grupo de palabras complementan al sujeto de la oración a través de un verbo copulativo (ser, estar, parecer) o semicopulativo (permanecer, quedarse, ponerse…)79 El mes de abril es lluvioso. atributo

Yo soy médico. atributo

Víctor está enfermo. atributo

Alejandro parece cansado. atributo

Sonia llegará a ser una gran novelista. atributo

13.2.5.2. TIPOS DE PREDICADO (1) PREDICADO NOMINAL.- En este tipo de predicado el núcleo es un sustantivo, adjetivo o adverbio. Ese joven, un buen médico. Aquellas niñas, muy hermosas. Esas flores, allá. (2) PREDICADO VERBAL.- En este tipo de predicado el verbo tiene significado pleno, por tanto es el núcleo del predicado que puede funcionar solo o acompañado de otros elementos que puede sufrir variaciones en su número, tiempo, persona, modo y aspecto. El portero cerró la puerta. El complemento de régimen o regido también se denomina a veces objeto preposicional, complemento preposicional y suplemento. Leonardo Gómez Torrego, Análisis Sintáctico – Teoría y práctica (España: Editorial SM Internacional, 2011), 116-129. Los gramáticos que consideran el atributo como toda función gramatical que complementa a la vez a un nombre y a un verbo que lo necesita definen el predicativo como una función gramatical que complementa a la vez a un nombre y a un verbo que no lo necesita. Ejemplo: Alberto volvió contento del examen. = ж Alberto volvió del examen. 79 En un sentido más amplio, también se considera atributo cualquier elemento gramatical que complementa a la vez a un nombre (en función de sujeto o de complemento directo) y a un verbo que lo necesita, aunque el verbo no sea copulativo. Ejemplo: María se puso nerviosa. = ж María se puso. Noto a tu hija muy cansada. = ж Noto a tu hija. 76 77 78

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 67 EJERCICIOS b) La hermosa niña de ojos azules lloró inconteniblemente c) Sandra reprobó este semestre con notas muy bajas d) Juan fue invitado para la fiesta de Andrés e) Ernesto salió a pasear por los parques de la vieja ciudad

1.

La unidad básica de la sintaxis es: a) Modificador b) Núcleo c) Sintagma d) Sustantivo e) Verbo

2.

El sintagma: a) No posee valor funcional b) Otorga a cada categoría gramatical en la oración autonomía completa c) Es una unidad semántica básica d) Está formado solo por una palabra e) Es una palabra o conjunto de palabras que tienen valor funcional

12.

El enunciado que presenta complemento indirecto, es: a) César es ingeniero de sistemas b) Alejandro el grande conquistó centenares de pueblos para su imperio c) Miguel camina parsimoniosamente en la playa d) María olvidó el regalo para su madre e) Ojalá no llueva

3.

El núcleo de la frase nominal es: a) El adjetivo b) El verbo c) Articulo d) Adverbio e) Cualquier categoría gramatical sustantivada

13.

4.

El sintagma nominal está compuesto por: a) Núcleo y modificadores b) Sustantivo y artículo c) El núcleo, determinantes y aposición d) Determinantes, núcleo y complementos e) MD, MI y N

Se observa el sintagma preposicional en: a) Las montañas del sur peruano ofrecen una grata estadía en la primavera b) Una muchacha muy alegre llegó de lejos c) Las campañas grandes se realizan cada año en ese Centro Comercial d) Los jóvenes armados fueron a la guerra e) Aportamos cuanto tenemos

14.

Se identifica la presencia del complemento agente en: a) Salimos a caminar por la calle Maruri b) Andrés y sus amigos fueron reclutados por las Fuerzas Armadas c) Un problema se solucionó por la paciencia que tuvieron los científicos d) Ellos lucharon por una causa justa e) Manuel trabaja por su sueldo

15.

El sintagma adverbial está presente dentro del sintagma: a) Nominal b) Preposicional c) Adjetival d) Verbal e) Oracional

16.

La aposición del sintagma nominal: a) Se une al núcleo mediante un nexo o enlace b) Funcionan como modificador directo c) Recibe el nombre de término d) Tiene el mismo valor que el núcleo e) Es la forma aclarativa

El enunciado que presenta predicado nominal, es: a) Mi mamá cocinó tallarín con pollo b) Ítalo toca la guitarra cada mañana c) Se necesita empleada del hogar d) Nosotros, los ciudadanos exigimos nuestros derechos e) Juan, un excelente médico

17.

El enunciado que presenta sujeto complejo, es: a) David, Kevin y Arnold viven juntos b) El profesor Wálter felicitó al alumno que ingresó c) Ella salió a trotar en la mañana d) José Santos Chocano escribió muchas obras literarias e) Él trabaja con madera fina en su taller

La expresión Elaboran grandes proyectos de mucha envergadura presenta: a) Sujeto tácito b) Predicado nominal c) Oración simple d) Modificador bivalente e) Circunstancial

18.

El enunciado que presenta un bivalente, es: a) Carlos, un buen ingeniero b) Raquel resuelve los ejercicios c) La profesora es buena d) Esas flores, allá e) Anabel trabaja mucho

19.

El sintagma que presenta aposición, es: a) Varios tiburones furiosos atacaron la costa Norte de nuestro país b) La semilla de bambú pareciera ser infértil durante los siete primeros años c) La casona blanca pereció bajo el incontrolable fuego d) La muchacha que tenía el bikini amarillo bailó bajo el agua e) Arequipa, Ciudad Blanca, es la tierra de Mariano Melgar

20.

El enunciado que presenta CD, es: a) Max vendió bastante b) Luisa llevó la guitarra c) Esas flores, allá d) Yo soy un hombre sincero e) Un problema muy difícil de resolver

5.

6.

7.

8.

9.

El enunciado que posee sujeto es: a) Habrá muchos heridos b) En la mañana tuvieron que trabajar arduamente c) Se necesita trabajadora del hogar d) Llovió demasiado anoche en el Cusco e) Hacen tatuajes esos turistas mexicanos El enunciado que presenta sujeto simple es: a) Aquel muchacho y su amigo viajaron por muchos países b) No conocían como se realizaban los festivales en Arequipa c) Raquel e Inés realizaron muchas actividades d) La señora muy atenta y su hija llegaron del Norte del Perú e) El Rector de la UNSSAC es el un docente muy bueno

El núcleo del grupo verbal: a) Concuerda con el núcleo del sujeto b) Realiza la función de predicado c) Tiene la presencia de enlaces d) Designa de otra manera al sujeto e) Coincide con los circunstanciales

10.

La estructura del sintagma verbal está constituida por: a) Núcleo y determinantes b) Núcleo y modificadores monovalentes y bivalente c) Núcleo y subordinados d) Algunos casos se refieren a los sustantivos e) Funciona como estructura principal del predicado

11.

Se encuentra complemento directo en: a) Conocieron muchos países cuando viajaron al extranjero

modificador

68

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LA ORACIÓN GRAMATICAL La oración es unidad de predicación, segmentos que normalmente ponen en relación un sujeto con un predicado verbal.

CLASIFICACIÓN

POR SU ESTRUCTURA SINTAGMÁTICA

1. O. Unimembre - O. U. con verbo - O. U. sin verbo 2. O. Bimembre

POR LA CANTIDAD DE VERBOS O PROPOSICIONES

1. O. Simples 2. O. Compuestas a) O.C. Coordinadas - Conjuntivas - Yuxtapuestas b) O.C. Subordinadas

POR SU NATURALEZA O LA ACTITUD DEL HABLANTE

1. 2. 3. 4. 5. 6.

O. Enunciativa O. Desiderativa O. Dubitativa O. Interrogativa O. Imperativa O. Exclamativa

FUENTE: Elaboración propia

14.1.CONCEPTO - La oración es unidad de predicación, segmentos que normalmente ponen en relación un sujeto con un predicado verbal. - La oración gramatical es la expresión de un juicio o pensamiento completo. La parte de la Gramática de la Lengua que estudia las oraciones se denomina Sintaxis. - “Es una unidad sintáctica que se corresponde con la estructura gramatical constituida básicamente por un sujeto y un predicado”. - La oración posee significado completo porque comunica un mensaje. Para que tenga sentido completo es necesario la presencia de un verbo (real o sobrentendido)80. - La oración es la palabra o conjunto de palabras que tiene sentido completo, entonación, verbo conjugado y autonomía sintáctica, que trata de reflejar el hecho. Es el fragmento más pequeño del discurso que comunica una idea completa y posee independencia (es decir, podría sacarse del contexto y seguir comunicando) 14.2.CARACTERÍSTICAS  Posee sentido completo, es decir comunica una idea.  Tiene una curva de entonación, de acuerdo con la clase de oración.  Está dotado de verbo conjugado.  Presenta autonomía sintáctica. 14.3.CLASIFICACIÓN DE LA ORACIÓN 14.3.1. POR SU ESTRUCTURA SINTAGMÁTICA A. ORACIONES UNIMEMBRES81. Son aquellas oraciones que no poseen sujeto ni predicado, pero gozan de sentido completo autonomía sintáctica. Constituyen un enunciado unitario y carecen de división sintáctica. Existen dos tipos de oraciones unimembres: a) ORACIONES UNIMEMBRES SIN VERBO O CONTEXTUALES. Son expresiones de cualquier tipo que adquieren valor oracional en un determinado contexto o circunstancia; se le considera como oraciones elípticas, porque expresan un pensamiento en el menor número de palabras. Por ejemplo: INTERJECCIONES ¡Socorro! ¡Uf! ¡Vaya! ¡Auxilio! ¡Bah! ¡Jesús!

80 81

EXCLAMACIONES ¡Qué rico! ¡Cuánta pobreza! ¡Maldita sea! Muchas gracias. ¡Vaya qué hermoso! ¡Qué remedio!

Araus Gutiérrez y otros, Introducción a la Lengua Española (Madrid: Editorial Universitaria Ramón Araces S.A., 2011), 21. Dante Sinfuente Palma, Nueva gramática del español y su uso del lenguaje (Perú: Centro de Investigación y Estudios DSP, 2011), 389.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 69 b) ORACIONES UNIMEMBRES CON VERBO82. Son oraciones que presentan verbos impersonales que carecen de sujeto. Existen dos formas: FORMA IMPERSONAL PROPIA O NATURAL

Son oraciones que no presentan sujetos y se refieren a los fenómenos de la naturaleza. Ejemplos: - Llovió torrencialmente en la ciudad. - Graniza y llueve en la sierra peruana. - Amanece con un sol radiante. - Solea intensamente a medio día.

FORMA PERSONAL IMPROPIA O GRAMATICAL

Son oraciones que no precisan al sujeto y tienen verbos impersonales, como: haber, ser, hacer y estar. Ejemplos: Hubo protestas en la región. Habrá mejores artistas. Es tarde para arrepentirse. Se ofrecen muchas vacantes en la UNSAAC.

B. ORACIONES BIMEMBRES83. Estas oraciones presentan la dualidad de dos elementos o miembros constituyentes de la oración, como son: el SUJETO y el PREDICADO. Estas oraciones se presentan con dos tipos de sujetos: el sujeto expreso y el sujeto tácito. a) Sujeto expreso o explícito. Es el sujeto que se manifiesta en la oración. Ejemplos:  Los jóvenes inteligentes estudian continuamente. S



P

El estudioso viajó a la selva peruana. S

b)

P

Sujeto tácito o implícito. Presenta al sujeto de manera sobrentendida. Ejemplos:  (Ellos) Ingresaron a la universidad en primeros lugares S



S

14.3.2. A.

P

(Él) Viajó a la selva peruana. P

POR LA CANTIDAD DE VERBOS O DE PROPOSICIONES ORACIONES SIMPLES 84  Son aquellas que presentan un solo verbo principal o conjugado (ya sea simple o compuesto).  Estas oraciones no presentan proposiciones de ningún tipo en su estructura.  Pueden tener sujeto simple o compuesto. Por ejemplo: - El estudiante resolvió la prueba. - El profesor y el estudiante dialogaron amenamente. - La joven estudiosa ha ingresado a la universidad. - Los estudiantes han estudiado para el examen.

B.    

ORACIONES COMPUESTAS 85 Estas oraciones se presentan a través de nexos dos o más verbos principales o conjugados. Asimismo estas oraciones pueden presentar dos o más proposiciones coordinadas o subordinadas. Además señalan dos o más ideas. Este tipo de oraciones presentan NEXO o ENLACE y pueden ser coordinantes o subordinantes. B.1. ORACIÓN COMPUESTA COORDINADA. Son oraciones que en su estructura presentan proposiciones que poseen el mismo valor sintáctico, entre ellos tenemos: TIPO DE NEXO COORDINADOS

ORACIÓN COMPUESTA COORDINADA

YUXTAPUESTA. Carecen de nexo y se encuentran separados por signos de puntuación.

Los estudiosos merecen premio; los holgazanes deberán ser castigados.

COPULATIVA Los nexos son: y, e, ni

Margot resuelve problemas y Vanesa analiza las oraciones. Doris estudia enfermería e Irene dibuja con acuarelas.

DISYUNTIVA Los nexos son: o, u

¿Estudias inmediatamente o te quedas sin vacaciones? ¿Vamos a bailar a mi casa o prefieres ver películas?

ADVERSATIVA Los nexos son: pero, mas, sino, sin embargo, no obstante.

Mabel ingresó en primer lugar, pero no avisó a nadie. Leímos la relación de ingresantes, sin embargo no hallamos su nombre.

B.2. ORACIÓN COMPUESTA SUBORDINADA  Es la relación de dependencia estructural que se establece entre dos constituyentes sintácticos.  Una proposición subordinada es por tanto una proposición que depende de otro constituyente al que complementa o modifica.  La subordinación se establece a través de un elemento de nexo o enlace (una conjunción subordinante o un relativo) Las clases de oraciones subordinadas son: a) Proposición subordinada sustantiva. Cumple todas las funciones propias del sustantivo. Se presenta en los siguientes casos:

82Roberto

Rosadio Bernal, Morfosintaxis I (Perú: Universidad Inca Garcilaso de la Vega, Fondo Editorial, 2012), 30. Manuel Seco, Diccionario de dudas y dificultades (Madrid: Editorial Espasa Calpe, 2010) Santiago Revilla de Cos, Gramática Española Moderna (México D.F, Mc Graw Hill , 2012) 85 Dante Sinfuente Palma, Nueva gramática del Español y su uso del lenguaje, 417. 83 84

70

| CEPRU2015 CLASES

EJEMPLOS

Sustantivas del sujeto

Me encantaría que ingreses en la universidad.

Sustantivas de objeto directo

Te aconsejamos que estudies los libros nuevos.

Sustantivas del objeto indirecto

Regalan diccionarios a quienes compran novelas.

Sustantivas de complemento preposicional

Me alegro de que hayas ingresado a la universidad.

Sustantivas de complemento agente

Fue entrevistada por quien la perseguía.

Complemento circunstancial

Estudia con el que se sienta a su lado,

Complemento de un sustantivo

He visto la foto de quien él sabe.

Complemento de un adjetivo

Estoy harta de que me engañen.

Complemento de un adverbio

Estuvo cerca de que le dieran el primer lugar.

b) Proposición subordinada adjetiva. Está proposición subordinada modifica a un sustantivo que se encuentra en cualquier parte de la oración, es decir, funciona como adjetivo. Se presenta en los siguientes casos: CLASES

EJEMPLOS

Prop. subordinada adjetiva especificativa

La novela que leíste ayer está malograda.

Prop. subordinada adjetiva explicativa

Los estudiantes, que estaban aburridos, no ingresaron a la “U”.

c) Proposición subordinada adverbial. Está proposición subordinada modifica a un verbo principal (función propia del adverbio), se le reconoce como complemento circunstancial. Se presenta en los siguientes casos: CLASES EJEMPLOS

14.3.3.

De lugar

Nos encontraremos donde ustedes digan.

// Está en donde ustedes lo dejaron.

De modo

Investigaré según me dicte mi instinto.

Condicional

Si saben todo de mí no puedo hacer nada contra ellos.

Concesiva

Continúan llamando a pesar de que no les hice caso.

Causal

Duermo durante el día porque trabajo de noche.

Cantidad

Traerá cuanto dinero obtenga de sus negocios.

Finalidad

Margot vino para que le prestaras una novela.

POR SU NATURALEZA. Las oraciones por su naturaleza se presentan de acuerdo a la actitud que muestra el hablante86. A. ORACIONES ENUNCIATIVAS, ASEVERATIVAS O DECLARATIVAS. El hablante afirma o niega hechos o ideas, presenta los enunciados como si se tratase de algo objetivo. Ejemplos: o El internet facilita el acceso a la gran cantidad de información. o Hoy hace calor. o Tu prima nunca viene al CEPRU. o Los domingos no trabajamos. B. o o o o

ORACIONES DESIDERATIVAS. El hablante manifiesta un deseo. Ejemplos: Me gustaría verte. ¡Quién pudiera estar allí! Quisiera viajar durante las vacaciones. ¡Qué te vaya bien, amigo mío!

C. o o o

ORACIONES DUBITATIVAS. El hablante expresa duda o probabilidad. Ejemplos: Tal vez tengas razón. Puede que el libro esté sobre la mesa. Quizá lleguemos antes del anochecer.

D. ORACIONES INTERROGATIVAS. El hablante expresa una pregunta, pueden ser directas o indirectas; parciales o totales. Ejemplos: o ¿Quieres acompañarme a la biblioteca? o ¿Cuál es tu nombre? o ¿Te gusta el teatro? o Cuéntame, qué ha pasado. o Dónde te escondes amada mía.

86

E. o o o o

ORACIONES IMPERATIVAS O EXHORTATIVAS. Expresa mandato, orden o ruego. Ejemplos: Abre la ventana. No te muevas de donde estas, por favor. No digáis mentiras, Jaime. Debes ponerte el casco para conducir la moto.

F. o o o o

ORACIONES EXCLAMATIVAS. El hablante expresa diferentes estados de ánimo. Ejemplos: ¡Qué alegría de verte! ¡Qué animal! ¡Alto! ¡Cuántos libros tiene ella!

Roberto Rosadio Bernal, Morfosintaxis I, 91.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 71

EJERCICIOS

1.

La expresión El abuelo no le contestó a su nieto, por su naturaleza, es una oración: a) Enunciativa b) Desiderativa c) Interrogativa d) Exhortativa e) Exclamativa

2.

La expresión Quisiera estar con toda mi familia ahora, por su naturaleza, es una oración: a) Exclamativa b) Desiderativa c) Exhortativa d) Enunciativa e) Dubitativa

3.

La expresión ¡Cuánta alegría!, por su estructura sintagmática, es una oración: a) Simple b) Bimembre c) Unimembre sin verbo d) Unimembre con verbo e) Simple con verbo

4.

La expresión Ven y dime que aún me amas mucho, por su naturaleza, es una oración: a) Exhortativa b) Exclamativa c) Desiderativa d) Dubitativa e) Enunciativa

5.

6.

7.

La expresión Hubo protestas en Ministerio de Cultura, por su estructura sintagmática, es una oración: a) Bimembre con verbo b) Compuesta c) Unimembre con verbo d) Unimembre sin verbo e) Bimembre con sujeto tácito La oración simple con predicado nominal es: a) Ella no está aquí, sino allá b) Viene ahora c) Estudia y canta d) Los cóndores, los dioses del cielo e) Algunos hombres de la tierra La oración Los estudiosos merecen premio; los holgazanes ser castigados, es compuesta: a) Conjuntiva b) Subordinada c) Coordinada conjuntiva d) Coordinada yuxtapuesta e) Subordinada sustantiva

8.

La oración gramatical es una de las siguientes: a) El color de tus ojos b) Muy alegremente c) Interpreta el texto d) Bastante y sumamente humilde e) Los tres niños rubios

9.

La oración Prometieron muchos cambios, las cosas continúa igual, por la cantidad de proposiciones, es: a) Compuesta coordinada yuxtapuesta b) Compuesta subordinada adjetiva c) Compuesta subordinada sustantiva d) Compuesta coordinada conjuntiva e) Simple con sujeto tácito

10.

La oración Quienes me estiman recibieron las invitaciones ayer, es compuesta: a) Subordinada adverbial b) Subordinada adjetiva c) Coordinada sustantiva d) Subordinada sustantiva

e) Coordinada conjuntiva 11.

La oración compuesta subordinada adverbial es: a) Allá tienes que ganar ahora b) Cuando tú vuelves, te lo contaré c) ¿Cuándo llegó? d) Daba consejos a todos e) Amablemente escuchó la maestra

12.

La oración compuesta subordinada adjetiva es: a) Los estudiantes que están casados no asistieron b) Las mujeres son diosas terrenales c) Ella es amable, generosa y estudiosa d) Los estudiosos triunfan e) Bastante amable y generosa

13.

La oración Martín salió anoche con quien tú sabes, es compuesta: a) Coordinada sustantiva b) Subordinada adjetiva c) Subordinada sustantiva d) Subordinada adjetiva e) Coordinada adjetiva

14.

La oración compuesta subordinada adverbial, es: a) Compra regalos para quien ama b) ¿Cuándo terminan la tarea? c) Ese quien te saludó trabaja aquí d) Estudiamos toda la noche e) Fabiola trabaja desde cuando tuvieron los hijos

15.

La oración compuesta coordinada adversativa es: a) Trabaja con que tienes que aprovechar b) Estudia que estudia c) ¿Estudias o viajas? d) Te hubiésemos llamado pero allí no había teléfono e) Te necesitamos todos

16.

La oración compuesta coordinada es: a) Todos somos culpables, no puedes excluirte b) Comiendo todo el día c) Carlos y María viajarán d) Abrazó a quien perdonó e) Lo ubicamos todos

17.

La expresión Codifican todos los libros de la biblioteca, por su estructura sintagmática, es una oración: a) Unimembre b) Bimembre con sujeto expreso c) Compuesta coordinada d) Bimembre con sujeto tácito e) Unimembre con verbo impersonal

18.

La oración Los televisores que vendían antes no captan todos los canales, es compuesta: a) Coordinada conjuntiva b) Subordinada sustantiva c) Subordinada adverbial d) Subordinada adverbial de modo e) Subordinada adjetiva

19.

La oración La gente paga sus deudas como puede, es: a) Simple b) Compuesta subordinada adjetiva c) Compuesta subordinada sustantiva d) Compuesta subordinada adverbial e) Simple con sujeto expreso

20.

La oración Quien estudia conscientemente construye su futuro, es: a) Simple son sujeto tácito b) Simple con sujeto expreso c) Compuesta subordinada sustantiva d) Compuesta coordinada yuxtapuesta e) Compuesta subordinada adjetiva

72

| CEPRU2015

EL TEXTO Unidad lingüística comunicativa fundamental producto de la actividad verbal humana que posee siempre carácter social.

ESTRUCTURA INTERNA DEL TEXTO

PROPIEDADES DEL TEXTO

1. P. Constitutivas a) Según la estructura del texto - Coherencia - Cohesión b) Según la pragmática del texto - Intencionalidad - Aceptabilidad - Informatividad - Situacionalidad - Intertextualidad 2. P. Regulativas a) Eficacia b) Efectividad c) Adecuación

1. Idea a) I. Principal b) I. Secundarios 2. Tema a) Principal b) Secundarios 3. Título

CLASES DE TEXTO 1. Por su forma a) T. Narrativo b) T. Descriptivo c) T. Argumentativo d) T. Expositivo e) T. Dialogal 2. Por su estructura a) T. Analizante b) T. Sintetizante c) T. Centrado d) T. Paralelo e) T. Encuadrado 3. Por su contenido a) T. Informativo b) T. Científico c) T. Filosófico d) T. Humanístico e) T. de crítica literaria

FUENTE: Elaboración propia

15.1.CONCEPTO El texto tiene su origen en el latín textus que quiere decir “tejido” y se define como una unidad semántico estructural; es decir, de contenido y forma, que tiene como base al párrafo, cuyo ordenamiento es fundamental para establecer la intencionalidad de uno o más mensajes que a su vez tienen coherencia y relación con respecto a un tema o asunto. Se puede conceptuar entonces como la unidad de contenido y forma, de extensión variable, constituida por una o más frases u oraciones. Enrique Bernárdez afirma que “el texto es la unidad lingüística comunicativa fundamental, producto de la actividad verbal humana que posee siempre carácter social. Está caracterizado por un cierre semántico y comunicativo, así como por su coherencia profunda y superficial, debido a la intención comunicativa del hablante de crear un texto íntegro, y a su estructura mediante dos conjuntos de reglas: las propias del nivel textual y las del sistema de la lengua”.87 Pérez, Ollé y Vega, sostienen que “un texto puede ser breve, compuesto por una palabra o ser extenso. Lo importante es que sea un todo comprensible y que tenga un propósito comunicativo”.88 Según Cassany “texto significa cualquier manifestación verbal y completa que se produzca en una comunicación”.89 El texto tiene un carácter comunicativo, es decir, es una actividad que se realiza con una finalidad determinada como parte de su función social; un carácter pragmático, que se produce con una intención y en una situación concreta; y un carácter estructurado, es decir, constituido por una sucesión de enunciados u oraciones coherentes. 15.2.CARACTERÍSTICAS Las características fundamentales a destacar son: EL TEXTO    

Es una unidad comunicativa. Se produce con una intención. Está relacionado con el contexto o situación en que se produce. Está estructurado por reglas que le ayudan a mantener la coherencia y la cohesión.

El texto es la secuencia lingüística con sentido pleno que un hablante quiere comunicar. Constituye un acto de habla, o una serie de actos lingüísticos conexos realizados por un individuo en una situación comunicativa determinada. Halliday y Hasan afirman que la palabra texto es usada en lingüística para referirse a cualquier pasaje escrito o hablado de cualquier extensión que forme un todo unificado. 15.3.LA ESTRUCTURA INTERNA DEL TEXTO Se llama estructura interna a la organización de ideas del texto que el autor suele realizar, orientado por sus propósitos y de acuerdo a las exigencias del tema que aborda.

87 88 89

Enrique Bernárdez, Introducción a la lingüística del texto (Madrid: Arco Libros, 1987). Pérez Ollé y Vega, Claves de la conexión textual (Santiago de Chile: Salesianos, 2001). Daniel Cassany, Estudio de la lengua (Barcelona: Graó, 1993).

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 73 La organización de las ideas es un conjunto de relaciones, a través de las cuales se hace evidente el contenido del discurso. 15.3.1.

LAS IDEAS Llamamos idea a todo pensamiento o concepto que resulta de aplicar nuestro entendimiento a un objeto de conocimiento.

a)

LA IDEA PRINCIPAL Es la tesis o planteamiento central que el autor desarrolla conforme van discurriendo las ideas del texto. Dicha tesis puede consistir en la formulación de problemas, conceptos, definiciones, juicios de valor o críticas. Puede contener objetivos, intenciones, propósitos, propuestas científicas, preferencias artísticas, etc. Contiene el mensaje que se quiere transmitir al lector y es el núcleo del discurso en torno al cual giran las demás ideas. En un texto, pueden existir varias ideas, pero lo importante es descubrir aquella de mayor jerarquía, a fin de lograr una comprensión cabal del mismo. La idea principal está expresada de manera general, abstracta, conceptual o teórica.

b)

LAS IDEAS SECUNDARIAS Así, para entender el texto plenamente, es necesario identificar no solo la idea principal, sino también las ideas de menor jerarquía que contienen las características peculiares de la tesis del autor. Nos referimos a las llamadas ideas secundarias, las cuales cumplen diversas funciones en el contenido del texto. Por lo tanto, la tarea del lector consiste en descubrir las relaciones existentes entre la idea principal y las secundarias. Las ideas secundarias no están por casualidad en el texto; están presentes para servir de argumento a la idea central, para que esta sea digna de crédito, adquiera validez y sea de utilidad para resolver problemas concretos. En tal medida las ideas secundarias son muy importantes en la organización interna de un texto, ya que cumplen el papel de fundamentar y explicar con diversos recursos la idea principal, determinando sus alcances y límites. Las ideas secundarias sirven para fundamentar y explicar a través de la argumentación, la comparación, la ejemplificación, la reiteración, etc. La idea secundaria está expresada de manera específica, concreta, ejemplificada o práctica.

15.3.2.

EL TEMA Es aquello de lo que se habla en el texto. Es decir, el asunto descrito, explicado y desarrollado por diversos medios de exposición. El tema de un texto puede ser la libertad, la explotación, el amor, el conocimiento, la política, el deporte, la religión, etc.

15.3.3.

EL TÍTULO Es una frase breve que sintetiza la idea central del texto, su sentido e intención es semejante a un nombre, pues identifica a la totalidad de lo expuesto. Además presenta un carácter informativo. En eso difiere del tema que es mucho más genérico. La manera de obtener el título es similar a la idea principal, pero la respuesta en este caso debe ser más sintética.

15.4. PROPIEDADES DEL TEXTO.90 Son todos aquellos requisitos que debe reunir un mensaje oral o escrito para que pueda ser considerado como texto. La presencia de ideas desordenadas no puede ser capaz de configurar un texto, puesto que no respeta la estructura adecuada de las ideas ni de los elementos gramaticales que permitan formar una unidad constitutiva. Podemos decir que cualquier texto, por ser un acontecimiento comunicativo, posee propiedades constitutivas y propiedades regulativas. 15.4.1.

A.

PROPIEDADES CONSTITUTIVAS Es la facultad de disponer que un texto tenga unidad comunicativa. Es decir, forma parte para la composición o intercambio de información entre emisor y receptor, con el que debe presentar la coherencia y cohesión. PROPIEDADES DE LA ESTRUCTURA DEL TEXTO (INTERNAS) Se llaman así porque están centradas en el texto y actúan directamente sobre los materiales del texto. a)

LA COHERENCIA Es la propiedad del texto que relaciona la información relevante/irrelevante y establece, según Cassany: “Los datos pertinentes que se comunican y su distribución a lo largo del texto, esto es, permite organizar los datos y las ideas mediante una estructura comunicativa de manera lógica y comprensible” (en qué orden, con qué grado de precisión o detalle, con qué estructura). Por coherencia se entiende la conexión de las partes en un todo, la relación armoniosa entre conceptos, hechos e ideas que aparecen en un texto con sentido.

b)

LA COHESIÓN Es la propiedad del texto mediante la cual se establece una relación manifiesta entre los diferentes elementos del texto. Esta relación refleja el desarrollo informativo del texto, que se materializa en unidades sintácticas semánticas debidamente entrelazadas. Ahora bien, si esta característica proporciona la trabazón entre los constituyentes del texto, no garantiza por sí sola la coherencia de este: "los textos no se elaboran solo con medios lingüísticos, sino también con la ayuda de medios extralingüísticos". La cohesión textual se desarrolla en dos planos referidos a la organización intratextual: Plano macrotextual (orienta el significado global) y el plano microtextual (orienta la trabazón entre las palabras, oraciones).

B.

PROPIEDADES DE LA PRAGMÁTICA DEL TEXTO (EXTERNAS) Se llaman así porque están centradas en la relación que se establece entre emisor y receptor, en sus actuaciones. a)

90

LA INTENCIONALIDAD Se refiere a la intención comunicativa del hablante o escritor. Al iniciar una actividad de redacción se recomienda definir el propósito de nuestro escrito. Debemos preguntarnos: ¿Qué quiero conseguir con mi texto?, ¿cómo deseo que reaccionen mis lectores?, ¿qué quiero que hagan con mi texto?, ¿cómo puedo formular en pocas palabras mi propósito, etc.

Universidad de Piura, Comunicación: Nos comunicamos por medio de textos (Lima, Ministerio de Educación – DINFOCAD, 2000).

74

| CEPRU2015

15.4.2.

b)

LA ACEPTABILIDAD El receptor tiene la potestad de aceptar o no un texto, en función del tema, y de cómo se ha desarrollado el acto comunicativo, de la atractividad y utilidad que tenga el asunto para el lector.

c)

LA INFORMATIVIDAD Cualquier texto es informativo, puesto que se manejan datos, versiones de fuentes personales o bibliográficas y todo tipo de información que dé veracidad al texto.

d)

LA SITUACIONALIDAD Se refiere a todos aquellos factores o circunstancias que intervienen en todo acto comunicativo. Los textos se encuentran condicionados por una situación extraverbal concreta, es decir, por las circunstancias que rodean el acto comunicativo.

e)

LA INTERTEXTUALIDAD Enlaza todos aquellos factores que hacen depender el uso adecuado de un texto en relación con otros textos.

PROPIEDADES REGULATIVAS Es el derecho o facultad de disponer medidas o ajustes que contribuyen a mantener la expectativa del lector a lo largo del texto; para lo cual se debe tener presente las siguientes propiedades: a)

LA EFICACIA Un texto es eficaz dependiendo del esfuerzo que el emisor procure para ser claro en su realización comunicativa.

b)

LA EFECTIVIDAD Un texto es efectivo si genera una fuerte impresión en el receptor durante la lectura y si logra sus objetivos. LA ADECUACIÓN Un texto es adecuado si hay equilibrio en el uso que se hace de un tipo de texto y en el modo en que se respetan las normas de la textualidad. También se dice que el texto es adecuado si está dirigido a un público específico (niños, jóvenes, mujeres, obreros, profesionales, etc.)

c)

15.5. CLASES DE TEXTOS91 15.5.1.

POR SU FORMA a) TEXTO NARRATIVO Cuando la finalidad del texto es contar o narrar acontecimientos en los que intervienen personajes, tenemos un texto narrativo. Los hechos o acontecimientos que componen el texto narrativo se desarrollan en un tiempo y un espacio que pueden ser reales o virtuales. NARRAR es relatar unos hechos (reales o imaginarios) ocurridos en un tiempo y en un lugar determinado. La función lingüística que predomina en todo texto narrativo es la referencial. EJEMPLO: ''Un tigre que cuando cachorro había sido capturado por humanos fue liberado luego de varios años de vida doméstica. La vida entre los hombres no había menguado sus fuerzas ni sus instintos; en cuanto lo liberaron, corrió a la selva. Ya en la espesura, sus hermanos teniéndolo otra vez entre ellos, le preguntaron: -¿Que has aprendido? El tigre meditó sin prisa. Quería transmitirles algún concepto sabio, trascendente. Recordó un comentario humano: "Los tigres no son inmortales. Creen que son inmortales porque ignoran la muerte, ignoran que morirán." Ah, pensó el tigre para sus adentros, ese es un pensamiento que los sorprenderá: no somos inmortales, la vida no es eterna. -Aprendí esto- dijo por fin-. No somos inmortales solo ignoramos que alguna vez vamos a... Los otros tigres no lo dejaron terminar de hablar, se abalanzaron sobre él, le mordieron el cuello y lo vieron desangrarse hasta morir. Es el problema de los enfermos de muerte -dijo uno de los felinos-. Se tornan resentidos y quieren contagiar a todos”. El tigre enfermo, Marcelo Birmajer

b)

TEXTO DESCRIPTIVO Tradicionalmente se ha definido la descripción como una "pintura'' hecha con palabras. Y es así, pues, al describir, lo que intentamos es representar por medio de las palabras un objeto, un paisaje, una persona tal cual como si el lector la tuviera delante y la estuviera percibiendo con sus propios sentidos. DESCRIBIR es representar lingüísticamente la imagen de un objeto (sea este una persona, un animal, un ambiente, una cosa, etc.) EJEMPLO:

MÉXICO Y NUEVO MÉXICO ''El oeste de Texas divide la frontera entre México y Nuevo México. Es muy bella, pero áspera, llena de cactus, en esta región se encuentran la Davis Mountains. Todo el terreno está lleno de piedra caliza, torcidos árboles de mezquite y espinosos nopales. Para admirar la verdadera belleza desértica, visite el Parque Nacional de Big Bend, cerca de Brownsville. Es el lugar favorito para los excursionistas, acampadores y entusiastas de las rocas. Pequeños pueblos y ranchos se encuentran a lo largo de las planicies y cañones de esta región. El área solo tiene dos estaciones, tibia y realmente caliente. La mejor época para visitarla es de diciembre a marzo cuando los días son tibios, las noches son frescas y florecen las plantas del desierto con la humedad en el aire”. EL HOGAR “Un mundo se originaba en la casa paterna; más estrictamente, se reducía a mis padres. Este mundo me era muy familiar: se llamaba padre y madre, amor, severidad, ejemplo, colegio. Este mundo se caracterizaba por un tenue esplendor, claridad y limpieza; a él pertenecían las palabras suaves y amables, las manos lavadas, la ropa limpia y las buenas costumbres. Allí se cantaba el coral por las mañanas y se celebraba la navidad. En este mundo había líneas rectas y caminos que conducen al porvenir, estaban el deber, y la culpa, el remordimiento y la confesión, el perdón y los buenos propósitos, el amor y el respeto, la Biblia y la sabiduría. Uno tenía que quedarse dentro de este mundo para que la vida fuera clara, limpia, bella y ordenada”. MI MUJER “Mi mujer tiene cabellera de fuego, pensamientos de relámpago, cintura de reloj de arena, rostro angelical: es todo un bombón físico e intelectual”. 91

Universidad de Piura, Comunicación: Nos comunicamos por medio de textos.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 75 c)

TEXTO ARGUMENTATIVO La argumentación es un tipo de exposición que tiene como finalidad confirmar o refutar una tesis, es decir, una idea que se quiere probar. Así, si se trata de confirmar, la argumentación debe aducir pruebas y razones que traten de refutarla se intentará demostrar la falsedad de una idea o lo inadecuado de una aplicación o de un razonamiento. ARGUMENTAR es aportar razones válidas para defender o refutar una opinión o idea. Su objetivo es convencer al receptor de algo. EJEMPLO: LA FELICIDAD “En todos los tiempos, en todas las culturas ha sido constante el anhelo del ser humano por alcanzar la felicidad. Todos aspiramos a la felicidad y la buscamos de mil maneras ¿lograremos encontrarla? Buscamos la felicidad en los bienes externos de las riquezas y el consumismo es la forma actual del bien máximo. Pero la figura del "consumidor satisfecho" es ilusorio: el consumidor nunca está satisfecho, es insaciable y, por tanto, no es feliz. Podemos buscar la felicidad en el triunfo, en los honores. Pero ¿no es todo eso sino vanidad, en definitiva nada o casi nada? Otro modo de búsqueda de la felicidad es la autocomplacencia, así, el goce del propio placer, el deseo de perfección o la práctica de la virtud. Aspiramos a la felicidad, pero aspirar no es lo mismo que “buscar” y, todavía menos, que “conquistar” ni fuera, ni dentro de nosotros mismos. La felicidad es un don, el don de la paz interior, espiritual, de la conciliación o reconciliación con todos y con todo y, para empezar y terminar, con nosotros mismos. Para recibir el don de la felicidad el talante más adecuado es, pues el desprendimiento: no estar prendido a nada, desprenderse de todo. La felicidad, como el pájaro libre, no está nunca en la mano, sino siempre volando, pero, tal vez, con suerte y quietud por nuestra parte, se pose por unos instantes sobre nuestra cabeza”. LA BUENA ALIMENTACIÓN “Algunos comen solo dulces y postres y eso no está nada bien. Hay que comer de todo. Comiendo solo dulces, se te estropearán los dientes y, además, abusar del azúcar no es bueno ni para tu estómago ni para tu salud en general. ¡Por si fuera poco, puedes engordar! Debemos seguir una alimentación variada, porque, de lo contrario nuestro crecimiento puede verse perjudicado. Nuestro cuerpo necesita diferentes sustancias, nutrientes y estas se hallan repartidas entre las diferentes clases de alimentos. Cada tipo de alimento nos aporta algo que nuestro cuerpo necesita, por eso debemos comer de todo. No comer algún tipo de alimentos puede producirnos problemas de salud, puesto que nuestro cuerpo puede estar falto de defensas o de vitaminas. Una mala alimentación puede producirnos enfermedades, problemas de obesidad o de falta de peso y un mal desarrollo. En definitiva, no hay ninguna duda: ¡no podemos permitirnos renunciar a ningún tipo de alimento!”.

d)

TEXTO DIALÓGICO Los textos dialógicos, llamados también textos conversacionales o dialogales, constituyen un tipo de composición en el que se manifiesta el intercambio comunicativo entre dos o más personas, ya sea este real o imaginario. El diálogo es, por excelencia, el modo de expresión propio del teatro. Sin embargo, se emplea igualmente en las novelas, en los cuentos, en algunos poemas, en ensayos filosóficos y otros tipos de textos. EJEMPLO: ESCENA I Gran plaza en el Cusco con el templo del Sol en el fondo. La escena tiene lugar ante el vestíbulo del templo. Vestidos característicos de la época incaica. (Salen OLLANTA, con manto bordado de oro y el mazo al hombro, y tras él, PIQUICHAQUI.) OLLANTA.- ¿Has visto, Piqui-Chaqui, a Cusi Ccoyllur en su palacio? PIQUICHAQUI.- No, que el Sol no permita que me acerque allá. ¿Cómo, no temes siendo hija del Inca? OLLANTA.- Aunque eso sea, siempre he de amar a esta tierna paloma: a ella sola busca mi corazón. PIQUICHAQUI.- ¡Creo que el demonio te ha hechizado! Estás delirando, pues hay muchas doncellas a quienes puedes amar, antes que llegues a viejo. El día que el Inca descubra tu pensamiento, te ha de cortar el cuello y también serás asado como carne. OLLANTA.- ¡Hombre!, no me sirvas de estorbo. No me contradigas, porque en este momento, te he de quitar la vida, destrozándote con mis propias manos. PIQUICHAQUI.- ¡Veamos! Arrójame afuera como un can muerto, y ya no me dirás cada año, cada día, cada noche: Piquichaqui, busca a Cusi Ccoyllur. OLLANTA.- Ya te digo, Piquichaqui, que acometería a la misma muerte con su guadaña; aunque una montaña entera y todos mis enemigos se levantaran contra mí, combatiría con ellos hasta morir por abrazar a Cusi Ccoyllur. PIQUI-CHAQUI.- ¿Y si el demonio saliera? OLLANTA.- Aun a él hollaría con mis plantas. PIQUI-CHAQUI.- Porque no veis ni la punta de sus narices, por eso habláis así. OLLANTA.- En hora buena, Piquichaqui, dime sin recelo: ¿Cusi Ccoyllur, no es una brillante flor? PIQUICHAQUI.- ¡Vaya! Estás loco por Cusi Ccoyllur. No la he visto. Tal vez fue una que entre todas las sin mancilla salió ayer, al rayar la aurora, hermosa como la Luna y brillante como el Sol en su carrera. OLLANTA.- Sin duda ella fue. He aquí que la conoces. ¡Qué hermosa! ¡Qué jovial! Anda en este instante y habla con ella, que siempre está de buen humor. PIQUICHAQUI.- No desearía ir de día al palacio, porque en él no se conoce al que va con quipe.

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| CEPRU2015 OLLANTA.- ¿Cómo, no me has dicho que ya la conoces? PIQUICHAQUI.- Eso he dicho por decir. Como las estrellas brillan de noche, por eso solo de noche la conozco. OLLANTA.- Sal de aquí, brujo, pues mi idolatrada Cusi Ccoyllur deslumbra al mismo Sol con su hermosura. Ella no tiene rival. PIQUICHAQUI.- Aguarda que ahora ha de salir un viejo o una vieja, que creo idóneos para llevar tus recados y hablar con ella; porque aunque soy un pobre huérfano, no quisiera que me llamaran rufián. e)

TEXTO EXPOSITIVO Un texto de este tipo se refiere a las exposiciones o definiciones que encontramos en libros, textos, manuales, tratados, conferencias de un determinado tema o materia, donde el emisor debe revelar la causa-efecto de la información que realiza, con plena seguridad de convencimiento a los receptores. La finalidad de los textos expositivos es la transmisión de información y se centran en el contenido, que el receptor debe percibir claramente. EJEMPLO: LOS FLAMENCOS “Los flamencos son aves gregarias altamente especializadas, que habitan sistemas salinos de donde obtienen su alimento (compuesto generalmente de algas microscópicas e invertebrados) y materiales para desarrollar sus hábitos reproductivos. Las tres especies de flamencos sudamericanos obtienen su alimento desde el sedimento limoso del fondo de lagunas o espejos lacustre-salinos de salares. El pico del flamenco actúa como una bomba filtrante. El agua y los sedimentos superficiales pasan a través de lamelas en las que quedan depositadas las presas que ingieren. La alimentación consiste principalmente en diferentes especies de algas diatómeas, pequeños moluscos, crustáceos y larvas de algunos insectos... Para ingerir el alimento, abren y cierran el pico constantemente produciendo un chasquido leve en el agua, y luego levantan la cabeza como para ingerir lo retenido por el pico. En ocasiones, se puede observar cierta agresividad entre los miembros de la misma especie y frente a las otras especies cuando está buscando su alimento, originada posiblemente por conflictos de territorialidad”. Los flamencos del Altiplano Boliviano, Omar Rocha

15.5.2. a)

POR SU ESTRUCTURA TEXTO ANALIZANTE Es aquel que empieza con la idea principal, la misma que es explicada, ampliada, profundizada o analizada en las siguientes oraciones que son las ideas secundarias. EJEMPLO: “Los inventos facilitan la vida del hombre. El teléfono permite comunicarnos a grandes distancias en un instante, el ascensor nos facilita la ascensión y el descenso evitando la fatiga, los ventiladores nos refrescan en lugares calurosos, el automóvil nos transporta a diversos lugares en forma rápida, la computadora hace que nuestras actividades profesionales, educativas y de todo tipo sean realizadas con mayor rapidez y precisión”.

b)

TEXTO SINTETIZANTE Es aquel que presenta la idea principal al final del párrafo, pues es la síntesis o resumen de los expresado anteriormente en las ideas secundarias que sirven de explicación anticipada o preparación para interpretar y comprender el mensaje total del texto. EJEMPLO: “Unos bebés lloran porque sienten hambre, sed o dolor; otros por aburrimiento. A veces, el motivo del llanto es el miedo al abandono pues, en esta etapa de su vida, separarse de su madre les puede generar un estado de tensión. En conclusión, los bebés lloran por diferentes razones”.

c)

TEXTO ENCUADRADO Es aquel que presenta la idea principal al inicio y al final del párrafo. Al medio van las ideas secundarias para cumplir su función ampliadora, profundizadora, ejemplificadora, etc. Algunos autores le llaman texto analizante-sintetizante. EJEMPLO: “Todo ser humano puede enviar mensajes a otro mediante la Internet. Los estudiantes se pueden comunicar mutuamente, los empresarios realizan transacciones comerciales, las parejas de enamorados se envían mensajes de amor, los profesionales interactúan entre ellos. En resumen, la comunicación mediante la Internet está al alcance de cualquier persona”.

d)

TEXTO CENTRADO Es aquel que presenta la idea principal al medio o centro del párrafo, o sea las ideas secundarias se hallan tanto al inicio como al final del párrafo. EJEMPLO: En el uso coloquial, a los lípidos se les llama incorrectamente grasas, ya que las grasas son solo un tipo de lípidos procedentes de animales. Los lípidos son un conjunto de moléculas orgánicas. Los lípidos cumplen funciones diversas en los organismos vivientes, entre ellas la de reserva energética (triglicéridos), la estructural (fosfolípidos de las bicapas) y la reguladora (esteroides).

e)

TEXTO PARALELO Es aquel que no presenta idea principal ni ideas secundarias, es decir todas tienen igual importancia. Aquí una idea se compara con otra, ya sea enfrentándolas directamente o por oposición de aspectos parciales de cada una de ellas. Las ideas tienen idéntica importancia, y ninguna de ellas mantiene relaciones de subordinación con respecto a las restantes. EJEMPLO: “El objetivo de la lingüística teórica es la construcción de una teoría general de la estructura de las lenguas naturales y del sistema cognitivo que la hace posible (es decir, las representaciones mentales abstractas que hace un hablante y que le permiten hacer uso del lenguaje). El objetivo es describir las lenguas caracterizando el conocimiento tácito que de las mismas tienen los hablantes y determinar cómo estos las adquieren. Ha existido cierta discusión sobre si la lingüística debe considerarse una ciencia social o más bien parte de la psicología. En las ciencias sociales la conciencia de los participantes es parte esencial en el proceso, sin embargo, parece que ni en el cambio lingüístico, ni en la estructura de las lenguas la conciencia de los hablantes juegue ningún papel relevante. Aunque ciertamente en áreas incluidas normalmente dentro de la lingüística como la sociolingüística o la psicolingüística la conciencia del hablante sí tiene un papel, sin embargo, esas dos áreas no son el núcleo principal de la lingüística teórica sino disciplinas que estudian aspectos colaterales del uso del lenguaje.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 77 El objetivo de la lingüística aplicada es el estudio de la adquisición del lenguaje y la aplicación del estudio científico de la lengua a una variedad de tareas básicas como la elaboración de métodos mejorados de enseñanza de idiomas. Existe un considerable debate sobre si la lingüística es una ciencia social, ya que solo los seres humanos usan las lenguas, o una ciencia natural porque, aunque es usada por los seres humanos, la intención de los hablantes no desempeña un papel importante en la evolución histórica de las lenguas ya que usan las estructuras lingüísticas de manera inconsciente (esto es estudiado por Ferdinand de Saussure quien llega a la conclusión de que los cambios de una lengua se producen arbitrariamente por variaciones que el sujeto realiza y estos son involuntarios, y que la lengua varía en la historia y por eso plantea que el estudio de la lengua debe realizarse diacrónica y sincrónicamente. Saussure deja de lado la historia de las lenguas y las estudia sincrónicamente, en un momento dado del tiempo). En particular, Noam Chomsky señala que la lingüística debe ser considerada parte del ámbito de la ciencia cognitiva o la psicología humana, ya que la lingüística tiene más que ver con el funcionamiento del cerebro humano y su desarrollo evolutivo que con la organización social o las instituciones, que son el objeto de estudio de las ciencias sociales”. 15.5.3. a)

POR SU CONTENIDO TEXTO INFORMATIVO Es aquel que tiene por finalidad informar o hacer conocer algo de los acontecimientos de toda índole que se suscitan a nivel local, regional, nacional o mundial. Su uso se circunscribe particularmente al contexto periodístico. EJEMPLO: Nadine Heredia viaja a Brasil en el avión presidencial y con gran comitiva. Son 26 personas las que la acompañan en visita de dos días. Congresista Bruce subrayó que primera dama –que hoy fue recibida por Dilma Rousseff– no puede disponer de los activos del Estado para su uso y exigirá explicaciones al respecto. La primera dama no tiene ningún cargo dentro del Estado, no tiene remuneración y menos puede generar gastos. Como si fuera la presidenta. Nadine Heredia viajó a Brasil, donde hoy fue recibida por la mandataria Dilma Rousseff por espacio de 40 minutos, pero lo que llamó la atención es que lo hizo, no solo en el avión presidencial, sino que además partió acompañada por una comitiva de 26 personas, en un hecho inusual para una primera dama. Trascendió que la primera dama, en la cita que tuvo con Rousseff, le entregó un mensaje de su esposo, en el que este le reitera su invitación a asistir a las cumbres de América del Sur-Países Árabes (Aspa) y de la Unión de Naciones Suramericanas (Unasur), que se celebrarán en Lima este año.

b)

TEXTO CIENTÍFICO Es aquel cuyo contenido se refiere a la exposición de una investigación científica en el ámbito social, en el formal o en el fáctico. Tenemos textos científicos en los libros de Sociología, Lógica, Biología, etc. EJEMPLO: CLONACIÓN MOLECULAR “La clonación molecular se utiliza en una amplia variedad de experimentos biológicos y las aplicaciones prácticas van desde la toma de huellas dactilares a la producción de proteínas a gran escala. En la práctica, con el fin de amplificar cualquier secuencia en un organismo vivo, la secuencia a clonar tiene que estar vinculada a un origen de replicación; que es una secuencia de ADN. Transfección: Se introduce la secuencia formada dentro de células. Selección: Finalmente se seleccionan las células que han sido transfectadas con éxito con el nuevo ADN. Inicialmente, el ADN de interés necesita ser aislado de un segmento de ADN de tamaño adecuado. Posteriormente, se da el proceso de ligación cuando el fragmento amplificado se inserta en un vector de clonación: El vector se linealiza (ya que es circular), usando enzimas de restricción y a continuación se incuban en condiciones adecuadas el fragmento de ADN de interés y el vector con la enzima ADN ligasa. Tras la ligación del vector con el inserto de interés, se produce la transfección dentro de las células, para ello las células transfectadas son cultivadas; este proceso, es el proceso determinante, ya que es la parte en la que vemos si las células han sido transfectadas exitosamente o no. Tendremos que identificar por tanto las células transfectadas y las no transfectadas, existen vectores de clonación modernos que incluyen marcadores de resitencia a los antibióticos con los que solo las células que han sido transfectadas pueden crecer. Hay otros vectores de clonación que proporcionan color azul/ blanco cribado. De modo, que la investigación de las colonias es necesaria para confirmar que la clonación se ha realizado correctamente”.

c)

TEXTO FILOSÓFICO Es aquel cuyo contenido está referido a una expresión del campo de la filosofía, a su vez, toma las denominaciones pertinentes. Convoca abstracción y profundidad de pensamiento. EJEMPLO: “A menos- proseguí- que los filósofos reinen en las ciudades o que cuantos ahora se llaman reyes y dinastas practiquen noble y adecuadamente la filosofía, que vengan a coincidir una cosa y otra, la filosofía y el poder político, y que sean detenidos por la fuerza los muchos caracteres que se encaminan separadamente a una de las dos, no hay, amigo Glauco, tregua para los males de las ciudades, ni tampoco, según creo, para los del género humano: ni hay que pensar en que antes de ello se produzca en la medida posible ni vea la luz del sol, la ciudad que hemos trazado de palabra. Y he aquí lo que desde hace rato me infundía miedo decirlo: que veía iba a expresar algo extremadamente paradójico, porque es difícil ver que ninguna otra ciudad, sino la nuestra, puede realizar la felicidad ni en lo público ni en lo privado…”. La República, Platón

d)

TEXTO HUMANÍSTICO Texto en el que se habla de la actividad humana en su variedad y amplitud, vale decir, desde los aspectos cotidianos, sentimentales y artísticos, hasta todas aquellas manifestaciones consideradas en la “cultura general”, hábitos, usos, costumbres, mitos, etc. EJEMPLO: “Los jóvenes de hoy no quieren otra revolución que la de todos los días, la que les haga sentirse mejor en su piel, más cómodos, más asentados, más felices. Son presentistas, pero de ahí no se concluya que sean egoístas, por utilizar por comodidad de expresión un término moralista que a menudo se les aplica, demasiado rápidamente. En efecto, estos jóvenes no aceptan la injusticia, son solidarios, puntualmente solidarios es cierto, pero toda la sociedad lo es y, de hecho, son ellos (algunos, claro) los que no dudan en ”perder” uno o dos años de su vida para irse, por ejemplo, a América Latina en un programa de cooperación al desarrollo, o trabajar por implementar el 0,7 % en España, protagonizar en Euskadi la revuelta contra ETA y los suyos, acabar con el servicio militar obligatorio y demás alternativas paramilitares… Son los jóvenes los que en mayor grado aceptan al diferente, sea bajo la forma de singularidad sexual (así con los homosexuales), sea como consecuencia de haber contraído alguna enfermedad problemática (así como el sida), sea con los emigrantes, las gentes de otra raza, etc. Es verdad que hay un riesgo evidente de aumento de actitudes xenófobas en la sociedad española. También en su juventud, pero hay que añadir, a renglón seguido, que son los jóvenes los más receptivos, cuando no los propulsores de muchas políticas de

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| CEPRU2015 mestizaje social y cultural. Más aún, no creo equivocarme si digo que el gran dilema de conjugar el mantenimiento de la historia y la tradición, de la singularidad regional o nacional propias con la globalidad y uniformidad se va a resolver, en gran medida, en la práctica consuetudinaria de los jóvenes”. Javier ELZO, en Jóvenes españoles 99, Fundación Santa María

e)

1.

TEXTO DE CRÍTICA LITERARIA Es el texto que tiene su soporte en un texto de creación literaria, mediante una apreciación preferentemente objetiva en cuanto al contenido, pero también en cuanto a la forma, vale decir, género, estilo, corriente, etc. EJEMPLO: ¿Se imaginan que pasaría si todo el mundo empezara a quedarse ciego? Pues bien, precisamente es lo que intenta narrar José Saramago en Ensayo sobre la ceguera. Como bien dice su título, la novela es un experimento a través del formato novela de cómo afectaría la falta de un sentido (la vista) al conjunto de una sociedad. Con un inicio prometedor y bien narrado - que puede provocar que se sueñe con la novela y que suscite la extraña y asustadiza sensación de que uno se puede quedar ciego en cualquier momento mientras lee el libro- y un final desgarrador que suscita las emociones más fuertes que contiene la novela, no se entiende cómo, por el camino, Saramago escribió un desarrollo tan desordenado y pesado. El autor, como tiene acostumbrado a sus lectores, es un escritor de oraciones largas, poca puntuación, que no separa los diálogos y que puede convertir párrafos en páginas. Pese a este estilo narrativo que puede provocar en lectores no acostumbrados a su prosa que abandonen el libro a mitad o que se pierdan en su lectura, Ensayo sobre la ceguera es una novela que se ha de leer despacio y que, por momentos, puede llegar a resultar monótona. Sin embargo, una vez el lector ha atravesado ese tedioso tramo, se da cuenta que muchos momentos han impregnado su retina. Un ejemplo son: la difícil salida del centro donde recluyen a los ciegos o el momento en el que dos de las aún supervivientes se mojan con el agua de lluvia y se ponen a reír. Saramago usa una perfecta descripción para provocar recuerdos en imágenes imborrables y al mismo tiempo peca de insustancialidad en los diálogos y en el acercamiento a los personajes a lo largo de la novela”. EJERCICIOS “Una madre sigue teniendo confianza en sus hijos cuando todos los demás lo han perdido. Sus brazos siempre se abren cuando necesito un abrazo. Su corazón sabe comprender cuándo necesito una amiga. Sus ojos sensibles se endurecen cuando necesito una lección. Su fuerza y su amor me han dirigido por la vida y me han dado las alas que necesitaba para volar. Una madre es capaz de dar todo sin recibir nada”. El texto anterior, por su estructura, es: a) Analizante d) Paralelo b) Sintetizante e) Encuadrado c) Centrado

2.

”La vieja y taimada zorra estaba decepcionada. Durante todo el día había merodeado tristemente por los densos bosques, y subido y bajado a las colinas; pero. .. ¿de qué le había servido? No hallaba un solo bocado; ni siquiera un ratón de campo. Cuando lo pensaba -y se estaba sintiendo tan vacía por dentro que casi no podía pensar en otra cosa-, llegó a la conclusión de que nunca había tenido más hambre en su vida. Además, sentía sed…, una sed terrible. Su garganta estaba reseca. En ese estado de ánimo. Dio la vuelta a un muro de piedra y se encontró con algo que le pareció casi un milagro. Allí. Frente a ella, había un viñedo lleno de racimos de frescas y deliciosas uvas, que solo esperaban que las comiesen. Eran grandes y jugosas e impregnaban el aire con su fragancia. La zorra no perdió el tiempo. Corrió, dio un salto y trató de asir la rama más baja, con sus hambrientas mandíbulas… ¡pero no llegó a alcanzarla! Volvió a saltar, esta vez a una altura algo mayor, y tampoco pudo atrapar con los dientes una sola uva. Cuando fracasó por tercera vez, se sentó por un momento y, con la reseca lengua colgándole, miró las docenas y docenas de ramas que pendían fuera de su alcance. El espectáculo era insoportable para una zorra famélica, y saltó y volvió a saltar, hasta que sintió mareos. Necesitó mucho tiempo, pero, por fin, comprendió que las uvas estaban tan fuera de su alcance… como las estrellas del cielo. Y no le quedó más recurso que batirse en retirada. -¡Bah! -murmuró para sí- ¿Quién necesita esas viejas uvas agusanadas? Están verdes…, sí, eso es lo que pasa. ¡Verdes! Por nada del mundo las comería. -¡Ja, ja! -dijo el cuervo, que había estado observando la escena desde una rama próxima- ¡Si te dieran un racimo, veríamos si en verdad las uvas te parecían verdes!” El Texto anterior, por su forma, es: a) Descriptivo d) Expositivo b) Argumentativo e) Dialógico c) Narrativo

3.

Las propiedades internas del texto son: a) Coherencia y cohesión b) Coherencia e intencionalidad c) Cohesión y aceptabilidad

4.

d) Informatividad y situacionalidad e) Intertextualidad y cohesión

EL USO DE INTERNET EN LOS ADOLESCENTES Internet se ha convertido hoy día en una herramienta indispensable en la vida de las personas. Sería difícil, especialmente para los más jóvenes, concebir un mundo en el cual “no estemos conectados” Ingo Lackerbauer, en su libro "Internet", señala que la importancia de internet en el futuro desborda todo lo acontecido hasta ahora, se está convirtiendo en el "medio de comunicación global". No hace falta explicar con detalles los beneficios de este maravilloso invento tecnológico. Nos permite educarnos, conocer, disfrutar. Es decir, es una herramienta multiuso. Precisamente, es este uso el que puede volverse negativo. Estamos hablando de la adicción al internet. Muchos jóvenes pasan una gran parte del día navegando por páginas, publicando en las redes sociales, o viendo videos en youtube. Usar el Internet para el entretenimiento no es algo malo en sí. Lo malo es abusar. El mundo de la web está plagado de conocimientos muy útiles, lo ideal sería también utilizarse en esa faceta, y que no sea solo como manera de ocio. ¿Cuáles son los perjuicios que puede acarrear la adicción a internet? Debido a que el adolescente pasa un tiempo considerable frente al ordenador, una de las mayores consecuencias es la pérdida de una vida social activa. Es probable que pierda el contacto que tenga con sus amigos más cercanos, y pasé más tiempo con los amigos “virtuales”. El texto anterior, por su forma es: a) Argumentativo b) Descriptivo c) Dialógico

d) Narrativo e) Expositivo

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 79 5.

Las propiedades regulativas del texto son: a) Eficacia, efectividad y coherencia b) Eficacia, cohesión y aceptabilidad c) Intencionalidad, aceptabilidad e informatividad d) Eficacia, efectividad y adecuación e) N.A.

6.

La entrevista que un periodista hace a un candidato a la presidencia de la región, por su forma, es un ejemplo de texto: a) Científico b) Informativo c) Dialógico d) Descriptivo e) Argumentativo

7.

“Una cinta de las llamadas ´comerciales´ nunca deja de ser obra de arte, aunque lo sea -como un poema sublorquiano- por modo vulgar, fracasado o detestable. Yace en ella una fábula creada por la imaginación de un hombre, fábula convertida luego por otro en sucesión de efectos visuales y auditivos, interpretada plástica, expresiva y sonoramente por algunos más, y reducida, al fin, por la industria de un nuevo equipo, a la condición de imagen proyectable. Hay en el cine finas técnicas científicas y muy poderosos fines comerciales, pero la entidad comúnmente llamada "película" o "filme" -voz aprobada ya por la Real Academia Española- alberga siempre en su seno, para su gloria o su condenación, esa sutil criatura que solemos llamar "obra de arte". En ella tiene su verdadero principio de ordenación. La película es una obra de arte, óptima algunas veces, mediocre muchas más, mala y aun malísima no pocas”. El texto anterior, por su estructura, es: a) Analizante b) Sintetizante c) Centrado d) Encuadrado e) Paralelo

8.

La propiedad del texto consistente en desarrollar un tema de manera lógica, con un sentido determinado, es la: a) coherencia b) Cohesión c) Intencionalidad d) Intertextualidad e) N.A.

9.

“La globalización es un proceso económico, tecnológico, social y cultural a escala planetaria que consiste en la creciente comunicación e interdependencia entre los distintos países del mundo uniendo sus mercados, sociedades y culturas, a través de una serie de transformaciones sociales, económicas y políticas que les dan un carácter global. La globalización es a menudo identificada como un proceso dinámico producido principalmente por las sociedades que viven bajo el capitalismo democrático o la democracia liberal, y que han abierto sus puertas a la revolución informática, plegando a un nivel considerable de liberalización y democratización en su cultura política, en su ordenamiento jurídico y económico nacional, y en sus relaciones internacionales. Este proceso originado en la Civilización occidental y que se ha expandido alrededor del mundo en las últimas décadas de la Edad Contemporánea (segunda mitad del siglo XX) recibe su mayor impulso con la caída del comunismo y el fin de la Guerra Fría, y continúa en el siglo XXI. Se caracteriza en la economía por la integración de las economías locales a una economía de mercado mundial donde los modos de producción y los movimientos de capital se configuran a escala planetaria (Nueva Economía) cobrando mayor importancia en el rol de las empresas multinacionales y la libre circulación de capitales junto con la implantación definitiva de la sociedad de consumo. El ordenamiento jurídico también siente los efectos de la globalización y se ve en la necesidad de uniformizar y simplificar procedimientos y regulaciones nacionales e internacionales con el fin de mejorar las condiciones de competitividad y seguridad jurídica, además de universalizar el reconocimiento de los derechos fundamentales de ciudadanía. En la cultura se caracteriza por un proceso que interrelaciona las sociedades y culturas locales en una cultura global (aldea global), al respecto existe divergencia de criterios sobre si se trata de un fenómeno de asimilación occidental o de fusión multicultural. En lo tecnológico la globalización depende de los avances en la conectividad humana (transporte y telecomunicaciones) facilitando la libre circulación de personas y la masificación de las TICs y el Internet. En el plano ideológico los credos y valores colectivistas y tradicionalistas causan desinterés generalizado y van perdiendo terreno ante el individualismo y el cosmopolitismo de la sociedad abierta. Mientras tanto en la política los gobiernos van perdiendo atribuciones ante lo que se ha denominado sociedad red, el activismo cada vez más gira en torno a las redes sociales, se ha extendido la transición a la democracia contra los regímenes despóticos, y en políticas públicas destacan los esfuerzos para la transición al capitalismo en algunas de las antiguas economías dirigidas y la transición del feudalismo al capitalismo en economías subdesarrolladas de algunos países aunque con distintos grados de éxito. Geopolíticamente el mundo se debate entre la unipolaridad de la superpotencia estadounidense y el surgimiento de nuevas potencias regionales, y en relaciones internacionales el multilateralismo y el poder blando se vuelven los mecanismos más aceptados por la comunidad internacional. La valoración positiva o negativa de este fenómeno, o la inclusión de definiciones alternas o características adicionales para resaltar la inclusión de algún juicio de valor, pueden variar según la ideología del interlocutor. Esto porque el fenómeno globalizador ha despertado gran entusiasmo en algunos sectores, mientras en otros ha despertado un profundo rechazo (antiglobalización), habiendo también posturas eclécticas y moderadas”. El texto anterior, por su forma, es: a) Narrativo b) Descriptivo c) Expositivo d) Dialógico e) Argumentativo

10.

El texto que presenta la idea principal al inicio y al final del texto, se denomina: a) Analizante d) Encuadrado b) Sintetizante e) Paralelo c) Centrado

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LA LECTURA

Un proceso complejo de carácter físico, fisiológico y mental, consistente en captar los rasgos gráficos o escritos para luego decodificarlo para la comprensión del mensaje, apreciar su contenido, integrar sus conocimientos a nuestro acervo cultural, reaccionar frente a lo propuesto por el autor y, sobre todo, aplicar los conocimientos adquiridos a través de la lectura a la solución de problemas teóricos o prácticos.

NIVELES DE COMPRENSIÓN LECTORA

1. Nivel Literal 2. Nivel inferencial 3. Nivel crítico

ESTRATEGIAS PARA LA COMPRESIÓN DE LECTURA

1. Previa a la lectura 2. Durante la lectura 3. Posterior a la lectura

TIPOS DE PREGUNTAS DE COMPRENSION LECTORA

1. Preguntas de retención 2. Preguntas de comprensión a) Traducción b) Interpretación c) Extrapolación

FUENTE: Elaboración propia

16.1. CONCEPTO El proceso mental de percepción, comprensión y reacción. Un procedimiento que consiste en informarse del contenido de un texto. Un medio de comunicación entre el autor y el lector, comunicación que solo se logra si el lenguaje usado por el escritor es comprendido por el lector. Un proceso complejo de carácter físico, fisiológico y mental, consistente en captar los rasgos gráficos o escritos para luego decodificarlo para la comprensión del mensaje, apreciar su contenido, integrar sus conocimientos a nuestro acervo cultural, reaccionar frente a lo propuesto por el autor y, sobre todo, aplicar los conocimientos adquiridos a través de la lectura a la solución de problemas teóricos o prácticos. 16.2. NIVELES DE COMPRENSIÓN LECTORA92 A. NIVEL LITERAL (textual, lineal) El nivel literal es aquel donde el lector se somete estrictamente a los contenidos explícitos, sin entrar en más profundidades. Este nivel es conveniente para la lectura de textos que no requieren de interpretación, como puede ser el prospecto en el que se explica cómo funciona, por ejemplo, un electrodoméstico. En estos casos la persona que lee se ajusta a lo que dice el texto y hace aquello que en él se afirma, sin más. Salvo en casos tan concretos como este, es necesario trascender lo literal e ir al fondo de las ideas transmitidas en el escrito o, dicho de forma diferente, hay que pasar de leer palabras (nivel literal) a leer ideas (nivel simbólico). B. NIVEL INFERENCIAL (deductivo, extralineal) Buscamos relaciones que van más allá de lo leído, explicamos el texto más ampliamente, agregando informaciones y experiencias anteriores, relacionando lo leído con nuestros saberes previos, formulando hipótesis y nuevas ideas. La meta del nivel inferencial será la elaboración de conclusiones. Este nivel de comprensión es muy poco practicado en las instituciones educativas ya que requiere un considerable grado de abstracción por parte del lector. Favorece la relación con otros campos del saber y la integración de nuevos conocimientos en un todo. Este nivel puede incluir las siguientes operaciones:  Inferir detalles adicionales, que según las conjeturas del lector, pudieron haberse incluido en el texto para hacerlo más informativo, interesante y convincente.  Inferir ideas principales, no incluidas explícitamente.  Inferir secuencias, sobre acciones que pudieron haber ocurrido si el texto hubiera terminado de otras maneras.  Inferir relaciones de causa y efecto, realizando hipótesis sobre las motivaciones o caracteres y sus relaciones en el tiempo y el lugar. Se pueden hacer conjeturas sobre las causas que indujeron al autor a incluir ciertas ideas, palabras, caracterizaciones, acciones.  Predecir acontecimientos sobre la base de una lectura inconclusa, deliberadamente o no.  Interpretar un lenguaje figurativo, para inferir la significación literal de un texto. C. NIVEL CRÍTICO Emitimos juicios sobre el texto leído, lo aceptamos o rechazamos pero con fundamentos. La lectura crítica tiene un carácter evaluativo donde interviene la formación del lector, su criterio y conocimientos de lo leído. Los juicios toman en cuenta cualidades de exactitud, aceptabilidad, probabilidad. Los juicios pueden ser: 1. De realidad o fantasía: según la experiencia del lector con las cosas que lo rodean o con los relatos o lecturas. 2. De adecuación y validez: compara lo que está escrito con otras fuentes de información. 3. De apropiación: requiere evaluación relativa en las diferentes partes, para asimilarlo. 4. De rechazo o aceptación: depende del código moral y del sistema de valores del lector. La formación de seres críticos es hoy una necesidad vital para la escuela y solo puede desarrollarse en un clima cordial y de libre expresión, en el cual los alumnos puedan argumentar sus opiniones con tranquilidad y respetando a su vez la de sus pares. 92

Daniel Cassany, Estudio de la lengua (Barcelona: Graó, 1993).

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 81 16.3. DEFINICIÓN DE ESTRATEGIAS El término estrategia es más amplio y en él hallan cabida todas las demás. Las estrategias de aprendizaje vienen a ser los recursos que se deben manejar para aprender mejor; es decir, el conjunto de procedimientos necesarios para llevar a cabo un plan o una tarea. En término generales, las estrategias para comprender los textos son consideradas como un conjunto de procedimientos o procesos mentales empleados por un sujeto en una situación concreta de aprendizaje para facilitar la adquisición de conocimientos; es decir, un conjunto de planes u operaciones usadas por quien aprende algo para la obtención, almacenamiento, recuperación y uso de información. 16.3.1. ESTRATEGIAS PREVIAS, DURANTE Y POSTERIORES A LA LECTURA93 El término estrategias se relaciona con términos como procedimiento, proceso, táctica, destreza, estilo, orientación, técnica, método; la distinción entre ellos, sus mutuas relaciones y parciales solapamientos depende en gran medida de las definiciones convencionales que establecen los diferentes autores. ESTRATEGIAS PARA LA COMPRENSIÓN DE LA LECTURA PREVIAS A LA LECTURA  Determinación del propósito.  Activación de conocimientos previos.  Elaboración de predicciones.  Formulación de preguntas. Hacer explícito el propósito de la lectura, conectar los conocimientos previos con el tema de la lectura y motivar a la lectura.

DURANTE LA LECTURA  Determinación de las partes relevantes del texto.  Estrategias de apoyo al repaso (subrayado, apuntes, relectura)  Estrategias de organización (mapas conceptuales, estructuras textuales)  Estrategias de autorregulación y control (formulación y contestación de preguntas) PROPÓSITOS DE CADA MOMENTO

POSTERIOR A LA LECTURA  Identificación de ideas principales.  Elaboración de resúmenes.  Formulación y contestación de preguntas.  Formulación de conclusiones y juicios de valor.  Reflexión sobre el proceso de comprensión.

Establecer inferencias de distintos tipo, revisar y comprobar la propia comprensión mientras se lee y aprende a tomar decisiones adecuadas frente a los errores o fallas de comprensión.

Recapitular el contenido, resumirlo y extender el conocimiento que se ha obtenido mediante la lectura.

16.4. LA METACOGNICIÓN EN LA COMPRENSIÓN LECTORA Según Flavell la metacognición implica, todo conocimiento o actividad cognitiva que tenga la finalidad de regular algún aspecto o tarea relacionada con el conocimiento. Por tanto, a la metacognición se le denomina “el conocimiento sobre el conocimiento”. La metacognición permite planear de antemano y tomar decisiones fundadas en lo que respecta a la vida del hombre en general. Por tanto, sirve a las esferas del mundo mental íntimo del individuo, a su conexión con el mundo social y, finalmente, a su supervivencia en un plano más general. La metacognición es el proceso que implica internarse en los recursos personales que se poseen para acceder y valorar los aspectos estructuro-lingüísticos del texto objeto de lectura. La metacognición en el proceso lector adopta especificaciones en la medida del área o dominio del conocimiento a que se aplique y según los múltiples tipos de cognición que puedan darse dentro de cada dominio. Ejemplo: aprender a operar con las cuatro reglas aritméticas básicas, requiere procesos cognitivos distintos que para clasificar u ordenar períodos históricos, o para distinguir los valores literarios de un poema. Los factores claves en el proceso de metacomprensión son: El texto, la representación de la tarea, las estrategias movilizadas, las características del lector, control y procesos de autorregulación. 16.5. TIPOS DE PREGUNTAS DE COMPRENSIÓN LECTORA94 En comprensión de lectura, tenemos las llamadas preguntas de retención y preguntas de comprensión. A. PREGUNTAS DE RETENCIÓN Las preguntas de retención corresponden al ámbito de la memoria. Con este tipo de interrogantes se trata de averiguar hasta qué punto el lector puede retener la información ofrecida en el texto. Ejemplo: Texto “¡Diablos! Si las últimas treinta o cuarenta novelas que he tratado de leer no las he terminado es porque deben tener algún defecto, algo que les impide colmar sus expectativas”. Según el texto, las lecturas inconclusas del autor se deben a: a) A sus limitaciones académicas b) Al estilo particular de la prosa c) A la diversidad de los temas contenidos d) A que deben tener algún defecto e) Al exagerado gusto literario del autor

Julio Ramón Ribeyro. La tentación del fracaso (Diario)

B. PREGUNTAS DE COMPRENSIÓN Comprender significa abarcar. Con esta idea, estimulamos al estudiante a captar no solo las ideas del texto, sino también la esencia. La comprensión no implica repetición de la información, sino procesamiento y transformación de los datos en nuevas formas que tengan sentido para el lector. La comprensión es una puerta esencial hacia los niveles superiores de raciocinio. Si los estudiantes no comprenden una idea, entonces no podrán usarla para analizar ni resolver problemas, es decir, no podrán acceder a un proceso de nivel más alto. Una pregunta del nivel de comprensión requiere un grado mayor de participación activa por parte del estudiante. Al responder una pregunta de este tipo, el estudiante debe procesar la información para lograr una respuesta acertada. El estudiante debe expresar el contenido con sus propias palabras y organizar las informaciones sin salirse del marco referencial del texto.

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Santos F. Ludeña Segovia, Comunicación 3 (Arequipa- Perú: Ediciones independencia 2015) Instituto de Ciencias y Humanidades, Propedéutica de Razonamiento Verbal (Perú: Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2008) ,445-524.

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| CEPRU2015 Ejemplo: “Los quipus se referían a diversos asuntos de historia, leyes, ceremonias y cuentas de negocios. Y tan puntualmente que resulta admirable; y para diversos géneros de guerra, gobiernos, tributos, ceremonias, tierras, había diversos quipus o ramales, y en cada mano de estos, tantos nuditos o hilillos atados, unos colorados, otros verdes, otros azules, otros blancos”. En el texto se comprende que los quipus eran: a) Exactos b) Monocromos c) Secretos d) Incaicos e) Divertidos B.1. La COMPRENSIÓN comprende tres tipos de preguntas: a) LA TRADUCCIÓN En el marco de la comprensión de lectura, traducir consiste en poner la comunicación o información recibida en términos distintos a los originales. Implica expresar las ideas del autor con nuestras propias palabras. La habilidad para traducir una comunicación dependerá de la posesión de información previa. En tal sentido, es recomendable que el estudiante practique constantemente con lecturas de diversos temas. De este modo podrá acceder con mayor facilidad al mensaje del texto. Ejemplo: Texto “El principio de división del trabajo y de la especialización no permite al hombre desarrollar el repertorio variadísimo de sus posibilidades, sino que se limita a reclamar a su servicio zonas particulares, dejando inactiva las demás esferas vitales. Así, no solo se limita al cuerpo o al espíritu separadamente, sino que, dentro de una u otra esfera así acotada, por lo general, únicamente reclama determinadas funciones y facultades, con lo que las demás que integran el todo orgánico se ven obstaculizados y paralizados en su desarrollo vivo”. Con relación al texto citado, podemos formular la siguiente pregunta de traducción: En el texto, se comprende por esferas vitales a: a) Las funciones del organismo b) Las capacidades del hombre c) Las actividades desarrolladas d) Las técnicas para trabajar e) Las facultades intelectuales Con la expresión “esferas vitales” el autor se refiere al conjunto de todas las habilidades –sean estas físicas o intelectuales-, algunas de las cuales quedan inactivas, debido a que el principio de división del trabajo y de la especialización hace que solo se requiera de cada hombre una cualidad específica o particular, de acuerdo a la actividad que ha de realizar. En tal sentido, hablar de esferas vitales es hablar de las capacidades del hombre. Como se observa, para responder esta pregunta hemos requerido únicamente comprender el sentido de una expresión dentro del texto, esta es una característica típica de las preguntas de traducción. b)

LA INTERPRETACIÓN La interpretación consiste en hacer valoraciones de cada una de las ideas o unidades informativas para determinar la jerarquía de las mismas e identificar la idea central y las secundarias. De otro lado, gracias a la interpretación podemos hacer inferencias o deducciones, extraer conclusiones parciales y hacer generalizaciones a partir de un conjunto de datos particulares. También evaluar el nivel de importancia que confiere el autor a cada una de sus afirmaciones. La interpretación permite identificar la postura del autor, para lo cual no debemos rebasar los límites del texto. Para realizar una buena interpretación es necesario contar con ciertos conocimientos sobre el tema que se está tratando en el texto. Dichos conocimientos solo deben servir para orientar la interpretación, y no deben ser confundidos con las afirmaciones del autor. En todo momento la interpretación debe estar sujeta a lo que dice el autor. Las ideas o nuevas afirmaciones que se hacen deben extraerse directamente de las afirmaciones textuales. Ejemplo: “El alacrán tiene muy mala fama y en todas partes es considerado un animal muy peligroso. Pero no todas las especies de alacranes son iguales: unas son más venenosas que otras. Por ejemplo, en España, se encuentran algunas que son absolutamente inofensivas. Y en general, el alacrán europeo no es mortal ni mucho menos, aunque su picadura es muy dolorosa y va seguida de hinchazón, y a veces de fiebre. En los países tropicales, viven algunas especies más peligrosas, pues esas sí pueden llegar a causar la muerte. En Marruecos, existen varios alacranes cuyo veneno es tan tóxico como el de la serpiente cobra, ya que es capaz de matar a un perro en cinco o diez segundos. Pero la especie más terrible parece ser el “alacrán de las patas coloradas”, que habita en el norte de México, cuyo veneno es mortal no solo para los niños, sino también para los adultos”.

1. La idea principal del texto anterior, es: a) El veneno de los alacranes mexicanos es el que causa más muertes b) El alacrán es un animal muy venenoso, de picadura mortal c) Según su especie, los alacranes pueden ser inofensivos o venenosos d) En los países tropicales se encuentran las especies más peligrosas e) En España, los alacranes no asustan a nadie 2. Del texto anterior se deduce que probablemente la especie más terrible del alacrán se halla en:

a) Europa b) África c) América d) Asia e) Oceanía 3. El mejor título para el texto sería: a) Alacranes españoles b) Los alacranes venenosos c) Los alacranes inofensivos d) Los alacranes e) Insectos peligrosos

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 83 c)

LA EXTRAPOLACIÓN La extrapolación consiste en la realización de predicciones basadas en la comprensión de los datos o condiciones descritas en el texto; es la formulación de hipótesis sostenibles sobre la base de las informaciones. Extrapolar es predecir la continuidad del discurso. La extrapolación requiere que el lector tenga capacidad suficiente para traducir, interpretar y ampliar las tendencias más allá del contenido del texto. Las preguntas de extrapolación precisamente miden todas estas habilidades. Veamos cuatro casos de extrapolación: PRIMERO Si los datos expuestos en el texto sufren modificaciones hipotéticas, la extrapolación consistirá en deducir las posibles consecuencias. Claro está que la información de los datos se puede realizar en distintas direcciones. Sin embargo, la forma más usual y simple es la variación de los datos en sentido contrario a lo señalado por el autor. “La adquisición de la mansión fue realizada recientemente” La compra de la casa no fue hecha hace años. SEGUNDO Si los datos se refieren a una secuencia de períodos o etapas, la extrapolación implicará un intento de extender dicha secuencia a un período posterior, incluyendo a los que prosiguen a este. “En el gobierno de Alberto Fujimori se instauró e implementó decisivamente el neoliberalismo”. En los gobiernos de Toledo, García y Humala se afianzó y creció el neoliberalismo. TERCERO Si el texto se refiere a un tema en particular, la extrapolación puede representar el intento de extender las ideas a otro tema o situación en el cual es aplicable. Esto es más que una simple modificación de la forma de comunicación; es el traslado de los conceptos a otro tema distinto del original. “El Perú presenta crisis económica”. El Perú presenta crisis de valores. CUARTO Si un texto hace referencia a un tema específico o particular, la extrapolación puede referirse al género del cual ha sido extraído dicho tema. De manera inversa, si los datos tienen que ver con una generalidad, la extrapolación puede aludir a un caso específico o particular. “La zona rural del Cusco es muy pobre”. El Perú muestra mucha pobreza en el campo. TEXTO “Antes de comenzar el examen del aspecto psicológico del egoísmo y del amor a sí mismo, debemos destacar la falacia lógica que implica la tesis de que el amor a los demás y el amor a uno mismo se excluyen recíprocamente. Si es una virtud amar al prójimo como a uno mismo, debe serlo también -y no un vicio- que me ame a mí mismo, puesto que también yo soy un ser humano. No hay ningún concepto del hombre en el que yo no esté incluido. Una doctrina que proclama tal exclusión demuestra ser intrínsecamente contradictoria. La idea expresada en el precepto bíblico ‘Ama a tu prójimo como a ti mismo’, implica que el respeto por la propia integridad y unicidad, el amor y la comprensión del propio sí mismo, no pueden separarse del respeto, el amor y la comprensión al otro. El amor a sí mismo está inseparablemente ligado al amor a cualquier otro ser”. En seguida, una pregunta de extrapolación: Si el hombre no se amara a sí mismo, entonces: a) No podría amar a los demás b) No caería en el egoísmo c) Respetaría a la sociedad d) Cumpliría con el precepto bíblico e) No respetaría la integridad personal EJERCICIOS

TEXTO 01 “En Estados Unidos hace años se detectaba un solo caso de cáncer a la piel por cada mil quinientos habitantes. Antes, la gente sana relacionada con la piel bronceada y la más elegante, presumía sus andanzas por los balnearios y las playas. Todo esto cambió. En lugar de tenderse en la playa, uno debe buscar un lugar sombreado, a donde los rayos del sol lleguen de manera indirecta. Además, conviene utilizar cremas protectoras, según lo sugiere el Instituto de Cáncer de Estados Unidos”. 1. La idea central del texto anterior es: a) El índice de cáncer a la piel en Estados Unidos b) La prevención del cáncer a la piel en Norteamérica c) El cáncer a la piel un estudio estadístico d) El carácter dañino de los días soleados e) El cáncer y su proliferación en Norteamérica TEXTO O2 “Cuando un animal no tiene un enemigo natural -es decir un depredador-, se reproduce sin freno. Por lo general, es el ser humano quien genera el problema al llevar ejemplares del reino animal a lugares que les son extraños. En la actualidad, hay preocupación en Colombia, porque en la región cafetalera se ha reproducido mucho la rana toro o mugidora. Esta rana es originaria de Estados Unidos, de donde se importó hace trece años. Como en algunos lugares hay demanda de ranas, se le empezó a criar en cautiverio. Pero hace cinco años, ejemplares de este anfibio aparecieron en Caldas, donde se desperdigaron por toda la región”. 2. A partir del texto se concluye fundamentalmente que: a) Los norteamericanos han introducido ranas en una región de Colombia donde la multiplicación ha sido vertiginosa b) Los animales se reproducen de una manera rápida si es que se extinguen sus depredadores o enemigos naturales c) Una especie de rana ha alcanzado niveles alarmantes de reproducción en una región de donde no es originaria d) El ser humano genera grandes problemas al alterar la forma de vida natural de especies animales silvestres e) La región cafetalera de Colombia presenta una gran proliferación de anfibios debido a causas desconocidas

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| CEPRU2015 TEXTO 03 “En la parte superior del cerro del Olimpo se realizaban los festines de los dioses griegos. El manjar era la ambrosía, un fruto amargo de una planta de hojas amarillas, pero que, para el caso, era divino. Hebe, la diosa de la Juventud, servía néctar en copas de oro puro y las Musas, acompañadas por Apolo a la lira entonaban cánticos. Para proteger la privacidad de tales festines, las puertas eran cuidadas por las Horas. En ese lugar jamás llovía y la temperatura era ideal”. 3. Identifique la información incompatible con el contenido textual: a) La ambrosía era un alimento divino consumido en una ceremonia realizada en las cumbres del Olimpo b) Las Horas eran personajes míticos que se encargaban de la seguridad en las ceremonias desarrolladas en el Olimpo c) La diosa de la Juventud vivía en el Olimpo y era quien atendía a los comensales en la fiesta organizada en su honor d) Los dioses consumían un manjar amargo en ceremonias privadas realizadas en el cerro Olimpo e) Las Musas, participaban junto con Apolo, en los festines divinos donde se consumían manjares y se escuchaba música TEXTO 04 “El remedio contra el cambio y la extinción es la recurrencia: el pasado es un tiempo que reaparece y que nos espera al fin de cada ciclo. El pasado es una edad venidera. Así, el futuro nos ofrece una doble imagen: es el fin de los tiempos y es su recomienzo, es la degradación del pasado arquetipo y es su resurrección. El fin del ciclo es la restauración del pasado original y el comienzo de la inevitable degradación”. 4. La tesis que se sustenta en el texto anterior es: a) El miedo al futuro no es tal, ya que existe la posibilidad de un estado de resurrección b) Los ciclos temporales se suceden de manera constante a pesar de la presencia humana c) La vida humana es cíclica y por ende supone un fin necesario para cada periodo d) La visión cíclica del tiempo permite afrontar el problema del cambio y la extinción e) El cambio y la extinción son problemas que preocupan debido a la doble imagen TEXTO 05 “El positivismo en Américalatina no fue la ideología de una burguesía liberal interesada en el progreso industrial y social como en Europa, sino de una oligarquía de grandes terratenientes. En cierto modo, fue una mixtificación, un engaño, más aun, un autoengaño. Al mismo tiempo, fue una crítica radical de la religión y de la ideología tradicional. El positivismo hizo tabla rasa lo mismo de la mitología cristiana que de la filosofía racionalista”. 5. El mejor resumen del texto anterior es: a) El progreso social e industrial en Latinoamérica no fue posible debido a la importación del positivismo europeo b) El positivismo tuvo diferentes tratamientos en los continentes debido al protagonismo de la burguesía liberal c) La diferencia de Europa, en Latinoamérica, el positivismo sí pudo criticar la mitología cristiana y la filosofía racionalista d) Los grandes terratenientes utilizaron el positivismo para cuestionar la religión y la ideología tradicional e) El positivismo latinoamericano fue desnaturalizado, a nivel teórico y práctico, debido al sector social que lo adoptó TEXTO 06 “La moral para criadas sirve de punto de encuentro en la blandenguería ideológica y a la vez en el celo tardoinquisitorial a los curas tradicionales, modernos y posmodernos. Seamos éticos, porque si la ética no existe, todo está permitido. La ética en persona se aparece de vez en cuando a sus fieles y les permite descalificar con marcado sarcasmo la supuesta "ética" de sus adversarios. Hay éticos de la liberación de la muerte, éticos de la muerte, éticos negativos. Pero todo viene a ser moral para criadas, no se vayan ustedes a creer”. 6. El texto anterior se centra básicamente en la: a) Blandenguería ideológica de la modernidad b) Imposibilidad de convivir al margen de la ética c) Incoherencia y falta de sustento de la moral de criadas d) Moral de criadas y la ética de sus adversarios ideológicos e) Descalificación de la moral por su carácter insustancial TEXTO 07 “Las mujeres en edad fértil que consumen éxtasis corren un riesgo mayor de morir que otros grupos de personas. La alta concentración de estrógenos en la sangre de las mujeres jóvenes impide que el organismo reaccione eficazmente ante la acumulación de líquido que se produce al tomar la droga. La parafernalia de la llamada droga del amor, se basa, sobre todo, en el baile desinhibido y continuo, lo que eleva la temperatura corporal; se bebe mucho más y las hormonas le indican al cuerpo que retenga líquido y beba más. Es un círculo vicioso cuya explicación se encuentra en el HMMA, un compuesto químico que el cuerpo produce a medida que asimila el éxtasis. El HMMA estimula la liberación de la hormona que nos conduce a beber. El desequilibrio resultante de la concentración de sodio puede resultar fatal”. 7. La información incompatible con el texto anterior es: a) El consumo de éxtasis promueve el baile desinhibido y continuo b) Las mujeres son más propensas al consumo de drogas como el éxtasis c) No toda mujer padece por igual los efectos de la droga del amor d) El HMMA es un compuesto químico que se produce al consumir éxtasis e) En las mujeres jóvenes la concentración de estrógenos es considerable TEXTO 08 “¿Podría un videojuego llegar a ser considerado un deporte? En opinión de Marco Conti, médico deportivo, "determinados aspectos de los videojuegos pueden considerarse como deportes. Al igual que en otras disciplinas, también en este caso, es fundamental el entrenamiento para mejorar las prestaciones. Las sinapsis cerebrales de las nuevas generaciones son más reactivas que en las personas adultas, gracias a los videojuegos. De la misma forma que ocurre con la mayoría de deportes, también el videojuego puede resultar nocivo si es utilizado en exceso. Los videojuegos producen un sensible incremento de la tensión. Sin embargo, en contra de algunas informaciones, no pueden provocar la epilepsia por sí mismos. A lo sumo, pueden producir una chispa que la active en individuos ya predispuestos".

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 85 8. A partir de la información brindada en el texto se puede concluir que: a) Las sinapsis cerebrales se ven estimuladas por la difusión de los videojuegos b) Los videojuegos no pueden provocar por sí solos enfermedades como la epilepsia c) En alguna medida los videojuegos son un deporte, pero deben ser adoptados con prudencia d) Los videojuegos son un deporte pero provocan enfermedades como la epilepsia e) Igual que otras disciplinas deportivas, los videojuegos no son altamente dañinos TEXTO 09 “La connotación no es otra cosa que la respuesta emocional que las palabras producen en el lector, es decir, el significado que sugieren, por contraste con su vr..: Jr literal. Quizá el objetivo más importante de una buena comunicación escrita sea para el escritor controlar la reacción que su escrito producirá en el lector. De ahí que al escribir sea tan importante conocer las connotaciones de las palabras que se utilizan. Una cuidadosa selección de voces con determinadas connotaciones puede añadir fuerza a un aspecto del escrito, teñirlo de un determinado matiz o cargar a la comunicación en general de un efecto emocional”. 9. El objetivo del autor en el presente texto es: a) Contrastar las características de la connotación y denotación b) Fundamentar la relación existente entre la connotación y la respuesta emocional c) Explicar el significado de la connotación y su importancia en el arte de escribir d) Recomendar herramientas de redacción para futuros cultores de la literatura e) Aclarar el verdadero objetivo de una buena comunicación entre autor y lector TEXTO 10 “El empuje de los conquistadores españoles, después de trescientos años de lucha, los araucanos se replegaron hacia aquellas regiones frías. Contra los indios, todas las armas se usaron con generosidad: el disparo de carabina, el incendio de sus chozas, y luego, en forma más paternal, se empleó la ley y el alcohol. El abogado se hizo también especialista en el despojo de sus tierras, el juez los condenó cuando protestaron, el sacerdote los amenazó con el fuego eterno. La venta de aguardiente y las cantinas aumentaron de forma vertiginosa”. 10. La expresión que sintetiza el contenido textual es: a) De no haber sido por jueces y sacerdotes, la conquista de los araucanos hubiese resultado más difícil para España b) El sometimiento político y económico de los araucanos fue una tarea bastante difícil para los conquistadores españoles c) La conquista de los araucanos por los españoles se basó en la aplicación de las leyes y en el consumo exorbitante de alcohol d) Los araucanos se dedicaron al alcohol no por iniciativa propia, sino por el sometimiento de los conquistadores españoles e) En su afán de someter a los araucanos, los conquistadores utilizaron desde los medios más directos hasta los más sutiles TEXTO 11 “De la esencia del alma aristocrática forma parte el egoísmo, quiero decir, aquella creencia inamovible de que a un ser como "nosotros lo somos" tienen que estarle sometidos por naturaleza otros seres y tienen que sacrificarse por él. El alma aristocrática acepta este hecho de su egoísmo sin ningún signo de interrogación y sin sentimiento alguno de dureza, coacción, arbitrariedad, antes bien como algo que acaso esté fundado en la ley primordial de las cosas; si buscase un nombre para designarlo diría "es la justicia misma". En determinada circunstancia que al comienzo la hacen vacilar, esa alma se confiesa que hay quienes tienen idénticos derechos que ella: tan pronto como ha aclarado esta cuestión de rango, se mueve entre esos iguales, dotado de derechos idénticos, con la misma seguridad en el pudor y en el respeto delicado que tiene en el trato consigo mismo. Esa sutileza y autolimitación en el trato con sus iguales es una parte más de su egoísmo: se honra a sí mismo en ellos y en los derechos que ella les concede, no duda de que el intercambio de honores y derechos, esencia de todo trato, forma parte así mismo del estado natural de las cosas”. 11. El título más apropiado para el texto sería: a) El trato huraño nacido del aristócrata b) El alma aristocrática y la justicia c) El carácter del alma aristocrática d) Virtudes y defectos del aristócrata e) Justificación del alma aristocrática 12. Si adoptáramos la mentalidad aristocrática, afirmaríamos que: a) Todos hemos nacido para obedecer b) El sacrificio ajeno resulta innecesario c) Nuestro egoísmo merece ser cuestionado d) El altruismo es signo de arbitrariedad e) El aristócrata también posee esencia 13. La necesidad del sometimiento y el sacrificio de los demás, constituye para el alma aristocrática: a) Un signo excluyente de su esencia b) Una verdad absoluta

c) Signo de explotación arbitraria d) Un hecho injusto pero necesario e) Un hecho escasamente moral 14. El reconocimiento de iguales derechos en otros se presenta en el aristócrata: a) Como signo de humanismo b) Como una reacción ante el egoísmo c) De manera excepcional d) De manera inconsciente e) Para contrarrestar su egoísmo 15. Los aristócratas frente a sus iguales: a) Egoísmo acentuado b) Sutileza y autolimitación c) La esencia puramente egoísta d) Auténtica consideración e) Intercambio de honores y derecho

TEXTO 12 “Algunos padres decían que era una maestra excéntrica, otros afirmaban que era lunática por efecto del estudio exagerado, otros simplemente decían: es la mejor. Quise formarme un juicio propio así que un día decidí ingresar a su clase. Observé que todos los alumnos estaban trabajando, llenando una hoja de cuaderno con pensamientos e ideas. Empecé a leer algunos como: "no puedo llegar temprano al colegio", "no puedo entender este texto". Leí el del otro alumno y decía: "no puedo lograr usar palabras en vez de puños", "no puedo ser sincero". Caminé presuroso viendo lo que hacían uno por uno, todos describían oraciones describiendo cosas que no podían hacer. Entonces, decidí hablar con la maestra para ver qué pasaba, al acercarme noté que también ella hacía lo mismo. Estaba a punto de perder la paciencia cuando se escuchó: "entreguen sus hojas". Una vez recogidas las hojas de todos los alumnos la maestra añadió la suya y las introdujo en una caja. Luego salió al patio y los alumnos la siguieron en procesión. Con lampas y picos empezaron a cavar, hicieron un hoyo de dos metros y enterraron en él la caja. Entonces, escuché decir a la maestra: "amigos, estamos aquí reunidos para honrar la memoria de no puedo, mientras estuvo con nosotros afectó

86

| CEPRU2015 la vida de todos, de algunos más que a otros. Acabamos de darle una morada definitiva. Lo sobreviven sus hermanos 'puedo', 'quiero' y 'lo haré ya mismo', no son tan famosos como su pariente, pero serán fuertes y poderosos con su ayuda amigos". 16. El texto argumenta a favor de: a) La maestra ideal b) La noción de maestra c) La importancia del optimismo d) Una didáctica peculiar e) La excentricidad de la maestra 17. La ceremonia encabezada por la maestra se caracteriza por ser: a) Símbolo de la demencia b) Principalmente académica c) Alegórica aunque innecesaria d) Peculiar y un tanto entretenida e) Simbólica y de contenido orientador 18. Posiblemente, la ceremonia observada hizo que el autor: a) Confirme su juicio sobre la maestra b) Aprenda a ser más comprensivo

c) Ratifique las especulaciones de los padres d) Conciba a la maestra como inepta para su hijo e) Se forme un concepto favorable de la maestra 19. El autor quiso emplazar en algún momento a la maestra porque: a) Suponía la deficiencia del contenido b) Deseaba corregir su método explicativo c) Estaba disconforme con la inscripción de oraciones d) Pensaba que estaba infundiendo pesimismo e) No entendía su método totalmente improductivo 20. La maestra aludida se destaca principalmente por: a) Su gran dinamismo b) Sus actitudes misteriosas c) La profundidad de sus contenidos d) Su estilo peculiar de enseñar e) Ser cuestionada por los padres

BIBLIOGRAFÍA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA

ARITMÉTICA

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE ASIGNATURA : ARITMÉTICA

TEMA Nº 1.- TEORÍA DE CONJUNTOS .................................................................................. Pág. 03 TEMA Nº 2.- SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES .............................................................. Pág. 10 TEMA Nº 3.- SISTEMA DE NÚMEROS RACIONALES ............................................................. Pág. 16 TEMA Nº 4.- SISTEMA DE NUMERACIÓN............................................................................. Pág. 20 TEMA Nº 5.- DIVISIBILIDAD ................................................................................................... Pág. 24 TEMA Nº 6.- TEORÍA DE NÚMEROS PRIMOS ....................................................................... Pág. 28

||

TEMA Nº 7.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ....................... Pág. 31 TEMA Nº 8.- RAZONES Y PROPORCIONES.......................................................................... Pág. 33 TEMA Nº 9.- MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL ............... Pág. 37 TEMA Nº10.- REGLA DE TRES SIMPLE .................................................................................. Pág. 41 TEMA Nº 11.- REGLA DE INTERÉS SIMPLE Y DESCUENTO ................................................. Pág. 44 TEMA Nº 12.- INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA ............................................................ Pág. 46 TEMA Nº 13.- INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES .................................................. Pág. 52

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |3

1.1

CONJUNTO Intuitivamente, se entiende como una agrupación, colección, equipo o familia de entes reales o abstractos, dichos entes se conocen como ELEMENTOS. Los conjuntos se suelen nombrar con letras mayúsculas del alfabeto: A , B , C , D , E ,… La teoría de conjuntos parte de algunos conceptos primitivos que son: conjunto, pertenencia y elemento. Ejemplo: V= {x / x es una vocal} V= {a, e, i, o, u}

H = {los días de la semana} J= {0; 1; 2; 3; 4; 5;……..; 50}

1.2 RELACIÓN DE PERTENENCIA Es una relación exclusiva sólo de elemento a conjunto .Si un elemento está en un conjunto, entonces diremos que pertenece ( ) a dicho conjunto; en caso contrario, diremos que no pertenece (  ) a dicho conjunto Ejemplo:



A

5 A

A

{4}  A

4

A= {4,{5},{4,8},{6}}

{6}

6 A {4,8}

A

OBSERVACIÓN: a. a Z se lee: a pertenece a Z, a es elemento de Z, a es miembro de Z, a es un punto de Z b. Sea “a” el elemento del conjunto A y B otro conjunto, puede cumplirse sólo una de las siguientes posibilidades: a B ó a B

 

c.

Siempre se cumple que: a  a

1.3

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO a. Si se enumera o nombra cada uno de los elementos de un conjunto, se dice que dicho conjunto ha sido determinado por extensión. Esta forma también se conoce como FORMA TABULAR de un conjunto. Ejemplo: A = {4, 6, 8, 10, 12, 14} H = {Lun, Ma, Mi, Jue, Vie, Sab, Dom} b. Un conjunto se determina por comprensión, cuando se dá una o más características o propiedades que cumplan todos i cada uno de los elementos del conjunto. Esta forma también se llama FORMA CONSTRUCTIVA de un conjunto. Ejemplo: A = {2m /1< 𝑚 < 8; 𝑚 ∈ ℤ} OBSERVACIÓN: Cuando un conjunto está dado por comprensión, es posible expresarlo por extensión; pero cuando un conjunto está dado por extensión, no siempre es posible expresarlo por comprensión.

1.4

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO El cardinal de A viene a ser la cantidad de elementos diferentes dos a dos que posee se anota como n(A).  A={4;4;4;5;5;5;5,6,6;6;6;6}={4;5;6}; n(A)= 3  B={x/x es una vocal de la palabra ARITMÉTICA} n(B) = 3 OBSERVACIÓN:

a.

Para A y B dos conjuntos disjuntos n(AUB)=n(A)+n(B)

b.

Para A y B dos conjuntos

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩ 𝐵)

c.

Para los conjuntos A, B, y C

n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩ B)-n(A∩ C) n(B ∩ 𝐶) +n(A∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

2.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

2.1

Diagramas de VENN-EULER.- Una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones y las operaciones entre conjuntos, es el uso de los diagramas de Venn-Euler. Un conjunto se representa por medio de regiones cerradas. Ejemplo:

F = {a; e; i; n}

4| CEPRU2015 OBSERVACIÓN:

a.

Dos conjuntos A y B se pueden representar, a priori, de cinco maneras diferentes y sólo uno de ellos le corresponde, si se conocen sus elementos.

B

A

A

b. 2.2

A

B A

B

A

B

B

Lo curioso en estas representaciones ésta en que la primera genera a las demás, por lo que se ha hecho común su uso. Algo similar ocurre para el caso de tres conjuntos.

Diagramas Lineales.- Está dado para conjuntos comparables y consiste en segmentos de recta que ilustran la relación de comparación entre conjuntos.

E

A

D B

U A

U A

E

A D

C B

C

 2.3

Diagramas de LEWIS CARROL.- Esta dado para representar a los conjuntos y sus complementos. Para un conjunto:

Para dos conjuntos:



A

Para tres conjuntos:



A

A

B

B





A´ C

3.

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

3.1

Relación de inclusión.- Es una relación entre dos conjuntos i se suele anotar como:  Sean los conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto de B, y se representa como si todo elemento de A es elemento de B.

A

B

OBSERVACIONES: a.

A



B se dice que:

A es subconjunto de B, A está incluido en B, b. c. d. e.

A está contenido en B, A es parte de B,

B contiene a A, B incluye a A

AB se escribe también como Si A € H entonces {A}  H Si {m, n, t}  A entonces m  A Λ n  A Λ t  A Se dice que M no está incluido en N, se anota como M  N. Si existe por lo menos un elemento de M que no pertenece a N. M = {a, e, b, o}, N = {a, e, i, o, u} luego M  N

3.2

Subconjuntos propios.- Si el conjunto A está contenido en B, i si existe por lo menos un elemento de B que no pertenece a A, se dice que A es subconjunto propio de B. Si A  B y A ≠ B entonces A es subconjunto propio de B Ejemplo: A = {2, 3, 4, 5} B = {2, 3, 4, 5, u}

B

A 2 3 4 5

u

Nro. de subconjuntos propios de A= 2𝑛(𝐴) -1 3.3

Relación de igualdad.- Si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, y todos los elementos del conjunto B pertenecen también al conjunto A, entonces se dice que A  B y B  A  A = B , estos dos conjuntos son iguales y se anota como A = B.

ASIGNATURA: ARITMÉTICA |5 3.4

Conjuntos disjuntos.- Dos conjuntos son disjuntos (que se excluyen mutuamente) cuando no poseen elementos comunes. 𝐴 ∩B=∅

A

3.5

B

Conjuntos comparables.- Dos conjuntos A y B son comparables, cuando solamente uno de ellos está incluido en el otro, es decir, o bien A⊂ B ⋁ B ⊂ 𝐴 Ejemplo: A = { x / x es un mamífero } B = { x / x es un ballena } Sabemos que 𝐵 ⊂ 𝐴 (toda ballena es mamífero), pero

A  B (no todo mamífero es

ballena). Por lo tanto A y B son

dos conjuntos comparables. NOTA: Si A = B; entonces A y B no son comparables. Ejemplo.- Si A = {1, 3, 5 } y B = {1, 5, 3}, entonces A y B no son comparables.

4.

CLASES DE CONJUNTOS

4.1

Conjunto finito.- Es aquel que consta de cierto número de elementos distintos, que al contarlos de uno en uno, este proceso tiene fin. Ejemplo: B= {x ∈ ℕ / 4 < 𝑥 < 9}; n(B)=6

4.2

Conjunto infinito.- Se conoce como conjunto infinito a aquel conjunto sobre el cual, al efectuar el proceso de conteo de sus elementos este no tiene fin o que sus elementos son imposibles de contarlos. Ejemplo: M={X ∈ ℕ / X > 2}

5.

CONJUNTOS ESPECIALES

5.1

Conjunto vacío.- Llamado también como conjunto nulo, es aquel conjunto que no tiene elementos, se suele anotar como

y algunas veces en la forma

Ejemplo: H= {x∈ ℝ / √𝑥 2 + 16 = 0} PROPIEDADES:

   ,    ,      A, para todo conjunto A 5.2

Conjunto unitario.- Conocido también como conjunto singular o singletón, es aquel conjunto que tiene sólo un elemento. Ejemplo: A = {5;5;5;5;5} A={5} B = {x ∈ ℕ 4 < 𝑥 < 6}; B={5}

5.3

Conjunto universal.- Un conjunto anotado por U, se llama conjunto universal del conjunto A (conocido también como conjunto referencial) si U es superconjunto de A. Un conjunto puede tener varios conjuntos universales por lo que no existe un conjunto referencial absoluto, sin embargo, las situaciones matemáticas referido a conjunto universal la plantean como único. Se conviene en representar al conjunto universal por medio de una región rectangular.

U B

5.4

Ejemplo: En geometría plana, el conjunto universal es el conjunto de todos los puntos del plano. En el estudio de triángulos, cuadriláteros, hexágonos, pentágonos, etc. el conjunto universal es el conjunto de polígonos. Conjunto potencia.Sea el conjunto A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A, se llama conjunto de partes de A ó conjunto potencia de A, se anota como P(A) Nro. de subconjuntos de A=n [P(A)]=2𝑛(𝐴) PROPIEDADES: e1)   P (A) e2)   P () e3) A  P (A) e4) A = B  P(A) = P(B)

5.5

e5) Si A  B  P(A)  P(B) e6) n(P(A)) = n (2A) = 2n(A) e7) A y P(A) son disjuntos

Conjunto de conjuntos.Es aquel conjunto cuyos elementos son también conjuntos. A = {{2}, {3;4} ,{6;7}}

6| CEPRU2015 6.

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

6.1

Unión o reunión de conjuntos.- Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama reunión de éstos a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B” o a ambos. Así por ejemplo; para: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, diremos que los conjuntos formados por {1; 2; 3; 4; 5} donde están todos los elementos de “A” y de “B”, se llama reunión de “A” con “B” y se simboliza: A  B, y se lee “A unión B”. Notación: A  B = {x/x A ∨ 𝑥 B} Propiedades fundamentales de la reunión: 1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la reunión de ellos. 2. Conmutativa: AB=BA 3. Asociativa: (A  B)  C = A  (B  C) 4. Reflexiva: AA=A 5. De la inclusión: Si: A  B, entonces: A  B = B (ver gráfico) 6. Del elemento neutro: A   = A AU=U 7.

Si (AUB)=

A=∅ ∧ B=

Representación Gráfica:

A

A

B x

x

B

B A x

x

x

x x





Conjuntos no disjuntos Conjuntos disjuntos

Conjuntos disjuntos

 Conjuntos comparables

6.2

Intersección.-La intersección de dos conjuntos cualesquiera “A” y “B” es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B”, es decir, está formado por todos los elementos comunes a “A” y “B”. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los elementos 2 y 3 son comunes a ambos conjuntos. El conjunto formado por estos elementos, se escribe: AB y se lee: “A intersección B”. Notación: A  B = {x/x  A

x  B}

Propiedades fundamentales de la intersección: 1.

Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la intersección de ellos.

2.

Reflexiva: A  A = A

3.

Conmutativa:

AB=BA

4.

Asociativa:

(A  B)  C = A  (B  C)

5.

De la inclusión:

Si: A  B, entonces: A  B = A (ver gráfico)

6.

De la exclusión: Si: “A” y “B” son disjuntos entonces: A  B =  (ver gráfico)

7.

Del elemento neutro: A=  AU= A

Representación Gráfica:

A

B

A

B

B A x

x





Conjuntos no disjuntos

Conjuntos comparables

no hay x

 Conjuntos disjuntos

ASIGNATURA: ARITMÉTICA |7

Propiedad Distributiva: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 6.3

Propiedad Absorción: A  (A  B) = A, puesto que: (A  B)  A A  (A  B) = A, puesto que: A  (A  B)

Diferencia.La diferencia de los conjuntos “A” y “B” es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A”, pero que no pertenecen a “B”. Se denota por: A – B, que se lee: “A menos B”, o también “A diferencia B”. Ejemplo.- Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5} Observamos que el elemento 1 está en el conjunto “A” pero no está en el conjunto “B”. Al conjunto formado por 1, se llama diferencia de “A” con “B”. Notación: A – B = {x/x  A y x  B} Representación Gráfica:

A

B

A

x

B

A

B

B

x A 



Conjuntos no disjuntos

Conjuntos disjuntos





Conjuntos comparables

Conjuntos comparables

PROPIEDADES 1.- A – A = ∅ 2.- A – ∅ = A 3.- A - B = (AUB) – B = A - (A  B) 4.- Si B es subconjunto de A: B-A=∅ 5.- B (A - B) = ∅ Ó (A-B) ∩ B = ∅ 6.4

Complemento. Sean los conjuntos A={a, b, c, d, e} y el conjunto B={a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por: B c Luego, si “B” está incluido en “A”, la diferencia: “A - B” se llama complemento de “B” respecto a “A” Notación: B c = { x / x  A y x  B } Bc={x/xB} Observación: Si el complemento es respecto al conjunto universal U donde se cumple que: B  U, entonces: Bc = B = {x / x  U y x  B } = U – B 6. Propiedades en la diferencia de conjuntos: 1. Reflexiva: A  A = A 2. Conmutativa: AB=BA 3. Asociativa: (A  B)  C = A  (B  C) 4. De la inclusión: Si: A  B, entonces: A - B =  (ver gráfico) AB=B–A 5. De la exclusión: Si: “A” y “B” son disjuntos, entonces: A–B=A AB=AB

7.

8.

9.

Del complemento: (A c) c = A A  Ac = U A  Ac = ; Uc =  De la diferencia: A – B = A  Bc A – B = B’ – Ac Leyes de Morgan: (A  B)c = Ac  Bc (A B)c = Ac  Bc De Absorción: A  (Ac  B) = A  B A  (Ac  B) = A  B

Representación Gráfica:

x B

A B

U 



Complemento de “B” respecto a “A”

Complemento de “B” respecto a U

c = U;

8| CEPRU2015

6.5

Diferencia simétrica.- Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto formado por la unión de “A - B” con “B - A”. Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” pero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por: A  B. Notación: A  B = {x/x  (A - B)  (B - A)} A  B =(A - B) U (B - A) Representación Gráfica:

A

B

B x

A

x

x

x







Conjuntos no disjuntos

Conjuntos disjuntos

Conjuntos comparables

EJERCICIOS

1.

A  a, a ,   ,  

Si

B = {𝑥 + 2/

¿Cuántas de las proposiciones siguientes son verdaderas?

III.

a  A b) a  A c) a  A

IV.

d)  

V.

e)

I.

a)

II.

a)1 2.

e)Todos

A  a ; a, b ; a, b, c ; 2 ; 4 ;

C  b, a ; a, b ;   .

B 

Indicar el valor de las siguientes proposiciones:

P( B)  P(C ) n[ P( A  C )]  A (C  A)  P ( A)

I. II. III.

A = {𝑥 − 1/𝑥 ∈

0, 4 d) 3 4.

b)

1, 2 d) 0,1 5.

c)

3, 4

Determine por extensión el conjunto:

a)

0, 2 e)  

c)

0,1, 2

Determine la suma de elementos del conjunto: ˄ − 2 < 𝑥 < 2} c)7

d)3

˄ 6 < 𝑥 < 20}



/2 < 𝑥 < 9}

n( A)  n( B )

b)18

8.

Hallar la suma de los elementos del conjunto:

c)15

B = {6𝑥/3𝑥 − 8 ∈

d)20

e)19

+

˄ 𝑥 < 4}

a)20

b)6

9.

Si : A = {𝑥/𝑥 ∈

c)50

d)60

e)42

˄ 10 < 𝑥 < 20} ˄ (√𝑦 + 15) ∈ 𝐴}

Sean: 𝑥 2 +2 3

/0 < 𝑥 < 7˄

B = {𝑥 /1 ≤ 2

a)5

b)6

e)4

6.

Determine la suma de elementos del conjunto:

𝑥+3 4

𝑥+1 2



≤2˄𝑥 ∈

} }

C   x / x  A  x  B Hallar

n[ P (C )]

a)0

b)1

11. A?

¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto

A = {𝑥/𝑥 ∈

˄ 𝑥 < 3/2}

b)

A = {𝑥 3 + 1/𝑥 ∈

2

e)14

a)16

A={

˄𝑥 = 𝑥}

A = {2𝑥/2𝑥 − 1 ∈

Dado los conjuntos:

10.

3

4 e) 2, 1, 0

a)

7.

2𝑥+1

d)13

¿Cuál es la suma de los elementos de B? a)52 b)53 c)54 d)55 e)56

Determine por extensión el conjunto: 3

c)12

B = {𝑦 + 5/𝑦 ∈

a)VVV b)VFF c)VVF d)VFV e)FFF 3.

;

˄ 2 < 𝑥 < 7}

b)11

Calcule

d)4



a)10

B={

A

c)3

2

A = {𝑥/𝑥 ∈

a ,   A

b)2 Si:

𝑥+1

a)63

b)7

12.

Si

c)2

d)8

˄ − 7 < 4𝑥 + 1 < 21} c)15

d)31

e)3

U es el universo de los conjuntos A, B

que A  B . Al simplificar [𝐴 − (𝐵⋃𝐶)]⋃(𝐴⧍𝐵), resulta:

A B c) A  B a)

e)4

Ac  B d) A e) B b)

y

C

tal

ASIGNATURA: ARITMÉTICA |9 13.

Al

simplificar:

d)8400

e)12600

c

 ( A  B )  ( B  A)   ( A  B ) Se obtiene: c a) A b) B c) A d) A  B e) A  B

26. A una fiesta asistieron 315 peruanos, de los cuales 100 hablan Alemán, 145 Inglés y 123 hablan solo Castellano. ¿Cuántas hablan dos idiomas? a)130 b)137 c)126 d)139 e)14

14.

27.

c

c

De 50 personas se sabe que:  5 mujeres tienen 17 años.  16 mujeres no tienen 17 años.  14 mujeres no tienen 18 años.  10 varones no tienen 17 ni 18 años ¿Cuántos varones tienen 17 ó 18 años? a)10 b)12 c)13 d)14 e)19

Al simplificar, c

 ( A  B ) c  ( A  B ) c   A , se obtiene: a) A  B b) A  B c c c c c c) A  B d) A  B e) ( A  B) 15.

Sabiendo que:

n( P( A  B ))  2

y

n( A  B )  13 , n[ P ( A  B )]  64 . El número

de elementos del conjunto 𝐴⧍𝐵, es: a)7 b)15 c)14 d)10 e)12

A  B   y además n[ P ( A  B )]  256 , n( A)  n( B )  1 , n( A  B )  3 . Hallar n( B ) .

16.

Si

a)5

b)3

17.

Si un conjunto A tiene 18 elementos, otro conjunto

c)7

d)8

e)6

B tiene 24 elementos. ¿Cuántos elementos tendrá , sabiendo que A  B tiene 15 elementos? a)24 b)25 c)26 d)27 e)28 18.

Si

n( A  B )  35

y

A B

n( A)  n( B )  48 .

El

número de elementos de 𝐴⧍𝐵 es: a)23 b)22 c)13 d)21 e)35 19.

Si

n[ P ( A)]  128 , n[ P ( B )]  16 , n[ P( A  B )]  8 , Entonces calcular n[ P ( A  B )] a)128 b)1024 c)64

d)32

e)256

20. Sean dos conjuntos comparables, cuyos cardinales se diferencian en 3. Además la diferencia de los cardinales de sus conjunto potencia es 112. Indicar el número de elementos que posee el conjunto que incluye al otro. a)7 b)13 c)9 d)4 e)2 21. Dados 3 conjuntos A, B y C tal que:, 𝑛(𝐴⧍𝐵) = 22, 𝑛(𝐵⧍𝐶) = 16, 𝑛(𝐶⧍𝐴) = 14

n( A  B  C )  n( A  B  C )  30 . Calcular n( A  B  C ) .

y

a)2

b)4

c)8

d)16

e)32

22. De un grupo de 41 jóvenes, 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan. ¿Cuántos solamente estudian? a)7 b)8 c)9 d)10 e)11 23. De un grupo de 385 estudiantes, 1/3 de los que prefieren sólo fútbol, practican fútbol y natación, ½ de los que prefieren solo natación, practican fútbol y natación, y los que no practican ninguno de los dos deportes es igual al número de los que los que practican un solo deporte (fútbol o natación). ¿Cuántos practican exactamente los dos deportes? a)210 b)105 c)70 d)175 e)35 24. A una fiesta de promoción asistieron 30 alumnos, de los cuales, 12 son varones y de estos 5 no están bailando. ¿Cuántas mujeres no están bailando? (Se baila en pareja) a)9 b)10 c)13 d)12 e)11 25. En una ciudad se determinó que el 30% de la población no leen la revista A, que el 60% no lee B y que el 40% leen A o B pero no ambas. Si 2940 leen A y B. ¿Cuántas personas hay en la población? a)6000 b)3500 c)4200

28. Cien espectadores escuchan a tres cantantes, 40 aplauden al primero, 39 aplauden al segundo y 48 al tercero, 10 aplauden a los tres, 9 aplauden solo a los dos primeros, 19 aplauden solo al tercero, 21 espectadores no aplauden, ¿Cuántas personas aplaudieron por los menos a dos cantantes? a)19 b)21 c)38 d)42 e)27 29. De un grupo de 55 personas: 25 hablan inglés, 32 hablan francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo dos idiomas? a)20 b)25 c)30 d)27 e)22 30. En una encuesta a 60 personas se recogió la siguiente información, 7 personas consumen el producto A y B, pero no C, 6 personas consumen los productos B y C, pero no A, tres personas consumen el producto A y C, pero no B, 50 personas consumen al menos uno de estos productos y 11 personas consumen el producto A y B. ¿Cuántas personas consumen solamente un producto? a)34 b)39 c)23 d)30 e)10 31. De un total de 120 alumnos se observa lo siguiente: 45 aprobaron física, 46 química, 38 aprobaron matemática, 7 aprobaron física y química, 8 aprobaron química y matemática, 10 aprobaron matemática y física y 12 no aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprueban al menos dos cursos? a)17 b)22 c)13 d)24 e)25 32. De un grupo de 80 alumnos  Todos los varones tienen más de 22 años.  Hay 49 mujeres y 25 son casadas.  16 alumnos casados tienen más de 22 años.  10 mujeres casadas tienen más de 22 años.  60 alumnos tienen más de 22 años. Si considerar a las mujeres mayores de 22 años, no se casaron x alumnos. Hallar x. a)25 b)30 c)35 d)40 e)45 33. Dado el diagrama lineal, indica la alternativa correcta: a) C  A W b) W  C c) A  X X Y d) C  W e) A  B

A B 34. Dados: A  x  1 / x  B y B? a) 1 d) 4

C  x  16x 5

x  / x   ¿Cuántos elementos comunes tienen A 2

b) 2 c) 3 e) Son disjuntos

35. Decir a que alternativa corresponde al área sombreada:

10 | C E P R U 2 0 1 5 a) (A  B)  C

 10 aprobaron Matemática y Física.  7 aprobaron Matemática y Química.  9 aprobaron Química y Física.  17 aprobaron Matemática.  19 aprobaron Física.  18 aprobaron Química. ¿Cuántos alumnos rindieron los exámenes? a) 23 b) 32 c) 28 d) 26 e) 24

b) [A  (B  C)]  [(B  C)  A] c) (A B)  C d) (A  C)  (B  C) e) (B  A) (A  C) 36. Decir a que alternativa corresponde al área sombreada:

38. Entre los habitantes de un distrito, se ha realizado una encuesta sobre el uso de ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos: – 80% tienen televisor. – 90% tienen radio – 60% tiene cocina a gas – 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores – 55% tienen los tres artefactos ¿Qué porcentaje de los encuestados poseen sólo uno de estos artefactos? a) 20% b) 22% c) 21% d) 25% e) 40% 39. De un grupo de 200 transeúntes se determinó lo siguiente: 60 eran mudos, 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos; de estos últimos, 20 eran mudos y 30 eran cantantes callejeros. ¿Cuántos de los que no son cantantes no eran mudos ni ciegos?

C

A B

a) (A  C)  B

e) (A B)  (B  C)

b) C  (A B) c) (A B)  C

d) (A C)  B

a) 10

37. En un colegio rindieron exámenes finales, siendo los resultados:  4 aprobaron los tres cursos.

b) 50

c) 30

d) 20

e) 40

2.1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES Se llama sistema de los números naturales al conjunto:

= {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ..... } ;

El cual está provisto de dos operaciones binarias llamadas

ADICIÓN Y

MULTIPLICACIÓN y además está dotado de dos relaciones, la relación de igualdad y la relación de orden menor que. 2.2. ADICIÓN

A+B =S suma

sumandos

PROPIEDADES a. Propiedad de clausura o cerradura. La suma de dos números naturales es otro número natural. se cumple:

a,b b.

b

c ;c

Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los sumandos no altera la suma.

a; b ; c c.

a

se cumple:

a

(b

c)

(a

b)

c

Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el “0”, porque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural.

!0

tal que:

a

0

0

a ,

a

a

d. e.

Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple. Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma.

f.

Propiedad de monotonía. Si en ambos miembros de una igualdad se suma el mismo número natural, entonces el resultado será otra igualdad.

a,b

a; b ; c g.

se cumple:

Si

a

a

b

b

b

a

a

c

b

c

Propiedad cancelativa. Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos cancelarlo y resultará otra igualdad.

a; b ; c

Si

a

c

b

c

a

b

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 11

2.3. MULTIPLICACIÓN PROPIEDADES

AxB=

P

A: multiplicando B: multiplicador

a.

Propiedad de clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural se cumple

a,b b.

a b

c, c

Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto. se cumple:

a, b , c

a (b c) c.

(a b) c

Propiedad de la existencia del elemento Neutro Multiplicativo: (Elemento identidad multiplicativo) Viene a ser el “1”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural.

!1

a 1

tal que:

1

a

a ,

a

d.

Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple.

e.

Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

f.

Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición.

a,b

se cumple:

a

b

b

a

se cumple:

a, b , c

a×(b+c)= a×b + a×c

(b+c)×a g.

b×a + c×a

Propiedad del elemento absorbente: Viene a ser el cero y es tal que:

a

se cumple:

a×0=0×a=0

2.4. RELACIÓN DE IGUALDAD Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo: 12 = 5+7 = 4 x 3 = 2 +10 = 6 x 2 = .....

PROPIEDADES a)

a

a,b

b)

a

c)

Si

d)

Si

a=b

e)

Si

a=b

f)

a b=axb

b

ó

a

Propiedad de dicotomía.

b

Propiedad reflexiva.

a, a a

b

a

Propiedad simétrica.

a=c

Propiedad transitiva.

b

b=c

a×c =b×c , c

0

2.5. RELACIÓN MENOR QUE Sean a,b

,

a

n

b

, n

0/a

b . Determina que el sistema de los números naturales sea ordenado

n

PROPIEDADES

a)

a

b

b

a

b)

a

b

a

b o´ a

b

c)

a

b o´ a

b o´ a

b

d) Si

a

b b

c

e) Si

a

b

a c

f)

a

c

Si

g) Si

a c

b

a

c

b c

c

b c a

a

Propiedad de tricotomía Propiedad transitiva

si c

o

b

b si c

0

2. SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS Se llama sistema de los números enteros al conjunto: = {….;-4;-3;-2;-1;0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; … }

0 El cual está provisto de tres operaciones bien definidas llamadas ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y SUSTRACCIÓN; además está dotado de dos relaciones: la relación de igualdad y la relación menor que. 2.1 ADICIÓN

A+B =S sumandos

suma

Esta operación cumple todas las propiedades mencionadas en la adición de los números naturales, al que es necesario agregarle la Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo:

12 | C E P R U 2 0 1 5 Para cada a

, !

tal que:

a

a

( a)

a

0

a

PROPIEDADES a.

Propiedad de clausura o cerradura. La suma de dos números naturales es otro número natural. se cumple: a b c ;c a,b

b.

Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los sumandos no altera la suma. se cumple: a a; b ; c (b c) (a b) c

c.

Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el “0”, porque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural. 0 0 a a , a tal que: a !0

d. e.

Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple. Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma. se cumple: a b b a a,b

f.

Propiedad de monotonía. Si en ambos miembros de una igualdad se suma el mismo número natural, entonces el resultado será otra igualdad. Si a a; b ; c b a c b c

g.

Propiedad cancelativa. Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos cancelarlo y resultará otra igualdad. Si a a; b ; c c b c a b

2.2 SUSTRACCIÓN Se verifica que: M -S = D

Si

M - S=D

M:



Minuendo S: Sustraendo

D:

Diferencia

 M=S+D   M - D=S  2M=M+S+D 

2.3 MULTIPLICACIÓN

AxB=

P

A: multiplicando B: multiplicador P: producto

Esta operación cumplen todas las propiedades mencionadas en la multiplicación de los números naturales. PROPIEDADES a.

Propiedad de clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural se cumple a b c, c a,b

b.

Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto. se cumple: a, b , c

c.

Propiedad de la existencia del elemento Neutro Multiplicativo: (Elemento identidad multiplicativo) Viene a ser el “1”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural. 1 a a , a tal que: a 1 !1

d. e. f.

Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple. Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. se cumple: a,b Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición. se cumple: a, b , c

a (b c)

(a b) c

a

b

b

a×(b+c)= a×b + a×c (b+c)×a g.

b×a + c×a

Propiedad del elemento absorbente: Viene a ser el cero y es tal que:

a

2.4 RELACIÓN DE IGUALDAD Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo: 12 = 5+7 = 4 x 3 = 2 +10 = 6 x 2 = ..... PROPIEDADES g)

a b ó a b Propiedad de dicotomía. a, a Propiedad reflexiva. a b b a Propiedad simétrica. a=b b=c a=c Propiedad transitiva. a=b a×c =b×c , c 0

a,b

h)

a

i)

Si

j)

Si

k)

Si

se cumple:

a×0=0×a=0

a

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 13 l)

f)

a b=axb

2.5 RELACIÓN DE ORDEN MENOR QUE

Sean a,b

a

b

c

tal que a

c

ba

b si b

a

Esta relación establece que el sistema de los números enteros es ordenado y además, cumple con las propiedades dadas para la relación menor definida en el sistema de los números naturales. Ejemplos: 2b ; se cumple: si

ab

ba

xy

entonces x + y = 9

8.- En todo número de tres cifras: abc , donde a>c; se cumple: si abc

xyz entonces y = 9 ; x + z = 9

cba

9.- En todo número de cuatro cifras: abcd ; donde a > d; se cumple: abcd

dcba

pqrs donde: p + q + r + s = 18

2.9 COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA) El complemento aritmético de un número natural es otro número natural, que representa la cantidad que le falta a aquel para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de dicho número. 

Para un número de una cifra: CA(a) = 10 – a

 Para un número de dos cifras:

 Para un número de “n” cifras:

CA( ab ) = 100 – ab =

(9

a)(10

b)

CA(ab ... dc) 10n ab ... dc (9-a)(9-b) ... (9-d)(10-c)

2.10 SUMAS NOTABLES

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 15

1.

1

2

3

4

5

2.

2

4

6

8

...

2n

n(n 1) 2 n(n 1)

3.

1

3

5

7

...

(2n

1)

n2

4.

12

22

32

42

52

...

n2

n(n

5.

13

23

33

43

53

...

n3

n(n 1) 2

6.

14

24

34

44

54

...

n4

n(n

7.

22

42

62

82

...

(2n)2

8.

12

32

52

72

...

(2n

9.

1 2

2 3

3 4

n

4 5

10.

1 2 3

11.

1

12.

Progresión aritmética:

a1

2 3 4

...

a2

a3

a4

término general: an

2

1)(3n2 30 1)

1)(2n

1)(2n 3 n(2n 1)(2n 3

1)2

4 5 6

...

an

a1

(n

n(n

1)

n(n

...

1)

1)

1)(n 3

2)

1)(n

2)

n(n

3n

n(n

1)(n

2)(n

3)

4

an 1 1 a 1 1)r

suma de los primeros n-términos: 13.

1)

2n(n

...

3 4 5

1)(2n 6

sn

n (a1 2

sn

a1

an )

Progresión geométrica: término general: an

a1r n

1

suma de los primeros n-términos:

1 rn 1 r

EJERCICIOS

d) FVFV

1. Relacionar

correctamente

las

proposiciones: I. La operación de la sustracción esta completamente definida en el sistema . II. En el sistema de los números enteros el elemento neutro aditivo es único. III. El conjunto de los números naturales respecto a la relación de orden (0 y d >0

4. PROPIEDAD DE DENSIDAD.- Esta propiedad dice que: “Entre dos números racionales distintos, existe por lo menos un número racional”

a c , b d

p q

,

/ p q

donde por ejemplo

a b 1 a 2 b

p q

c d c d

5. El sistema de los números racionales es ordenado, infinito y denso, pero no es continuo. En la recta real, dado que entre dos números racionales existen infinitos números racionales, sin embargo, dejan algunos vacios que serán ocupados por los números irracionales. 1.NÚMERO FRACCIONARIO Un número fraccionario, conocido comúnmente como “fracción”, expresa una o varias partes de la unidad y tiene la siguiente forma:

a b

donde : a

,b

0

a : se llama numerador b: denominador “a” no es múltiplo de “b” Ojo: Ningún número entero es número fraccionario y viceversa.  ¿LA OPERACIÓN DE LA DIVISIÓN ESTA TOTALMENTE DEFINIDA o BIEN DEFINIDA EN EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES? Respuesta: NO.  ¿La división en el sistema de los números racionales menos el cero está bien definida? SI 2.1.

CLASIFICACIÓN: a. Por la naturaleza del denominador.1. Fracción decimal.

a es fraccion decimal b 2.

b

10n

Fracción común.

a es fraccion ordinaria o comun b b.

b

10n

Por la relación de sus términos.1. Fracción propia.

a es fraccion propia B 2.

a b

3. Fracción mixta. Dado una fracción impropia, viene a ser aquella que expresa la adición de un entero y una fracción propia. Así por ejemplo:

15 4 c.

3

3 4

3

3 4

Por grupos de fracciones.1. Fracciones homogéneas. Son aquellas fracciones que presentan el mismo denominador.

a c , y b b a Sí : b

e son fracciones homogeneas b c k ; k Z entonces, d

Propiedad:

a c y son fracciones homogeneas b d

18 | C E P R U 2 0 1 5 2. Fracciones heterogéneas. Son aquellas fracciones que presentan denominadores diferentes. Son fracciones heterogéneas:

9 11 21 13 , , , 7 5 4 10 d.

Por divisores comunes entre sus términos.1. Fracción reductible.- Son aquellas fracciones que tienen tanto en el numerador como en el denominador algún divisor en común diferente de la unidad, el cual puede ser simplificada. Ejemplo:

15 15 es fraccion reductible ya que : 35 35

3 5 7 5

3 7

2. Fracción irreductible.- Son aquellas fracciones en los cuales sus términos son primos entre sí. Ejemplo: 4/7 3. Fracciones equivalentes.- Son fracciones que expresan la misma parte de un todo, aún cuando sus términos sean diferentes. Ejemplo: 3/5 y 6/10 2.2. OPERACIONES CON FRACCIONES a. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN * Fracciones homogéneas

3 4 9 6 b.

7 4 5 6

3

* Fracciones heterogéneas.

7 4

9

3 4 11 2

10 5 4 2 4 2 6 3

5 6

5 7 9 4

3x7 4x5 4x7 11x4 2x9 2x4

41 28 26 8

13 4

MULTIPLICACIÓN

3 4

5 2

x

3 x 5 4 x 2

15 8

c. DIVISIÓN

3 4

5 2

3 4

2 5

6 20

3 10

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES 1. 2.

2.1.1

a a+m Si f1 = 1 y f2 = b b+m

f1 f2 , m

+

NÚMERO DECIMAL NÚMERO DECIMAL EXACTO. Es aquella que presenta una cantidad limitada de cifras decimales. Origen.- Una fracción irreductible genera un número decimal exacto cuando al descomponer su denominador en sus factores primos se obtienen potencias de 2 y/o 5 Ejemplo:

17 40

17 3

2

71 100

0.425

5

71 20 5

71 4 5 5

71 2 52 2

0.71

Fracción Generatriz.- Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se ponen las cifras decimales como un número y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Ejemplo:

0.391

391 1000

0.56742

56742 100000

En general, se tiene:

0.abcd...z n

cifras

abcd...z 1000...0 n cifras

1.2

NÚMERO DECIMAL INEXACTO Son aquellos números que tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales. Entre estos tenemos: a) PERIÓDICO PURO

5 99

5 9 11

5 2

3

11

0.0505050505......

0.05

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 19 Origen.- Una fracción irreductible genera un número decimal inexacto periódico puro, cuando al descomponer su denominador en sus factores primos, se obtienen factores que no son potencias de 2 ni de 5 Ejemplo:

2 3

0.66666...

0.6

Fracción Generatriz: Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se pone las cifras de la parte periódica como un número y en el denominador tantos nueves como cifras tenga la parte periódica. Ejemplo:

37 99

0.37

0.483

483 999

En general:

0. abcd...z n

cifras

abcd...z 999....9 n

cifras

b) PERIÓDICO MIXTO Origen: Una fracción irreductible genera un número decimal inexacto periódico mixto, cuando al descomponer el denominador en factores primos se obtienen potencias de 2 y/o 5 y otro factor necesariamente diferente. Ejemplo:

7 44

7 2

2

11

0.15909090.....

0.1590

Fracción Generatriz: Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se pone el número formado por la parte no periódica seguida de la parte periódica menos la parte no periódica y en el denominador se colocan tantos nueves como cifras tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Ejemplos:

0.37

37 3 90

483 4 990

0.483

En forma general:

0. abcd...z αβδ.....υ n

cifras

m

cifras

abcd...zαβδ...υ abcd....z 999....9000....0 m

cifras

n

cifras

n: número de cifras decimales exactas m: número de cifras decimales inexactas (periódicas) EJERCICIOS Hallar la suma de los términos de la fracción irreductible equivalente a: 1 1 1 1 1 1 F       56 72 90 110 132 156

¿Qué fracción de lo que le falta debe recorrer para que le falte 9/16 de lo que le faltaba? A) 3/7 B) 3/9 C) 7/19 D) 7/9 E) 7/3

a) 94

8.

1.

b) 95 c) 96

d) 97

e) 98

2.

Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad. ¿Cuál es la fracción? a)

b)

c)

d)

e)

Si: 0, a1  0, a2  0, a3  1, 27 Hallar: a

3.

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

4.

La cantidad de fracciones propias irreductibles que existen tales que su denominador sea 56, es: A) 24 B) 25 C) 22 D) 26 E) 19

5.

El denominador de una fracción excede al numerador en una unidad. Si se agrega a ambos miembros de la fracción una unidad, la nueva fracción excede a la original en 1/72. ¿Cuál es la fracción original? A) 3/4 B) 4/5 C) 5/6 D) 6/7 E) 7/8 6. Se ha repartido una herencia entre tres personas; a la primera le tocó la cuarta parte; a la segunda 1/3 de la herencia y a la última 15000 soles ¿A cuánto asciende la herencia? A) 28000 B) 40000 C) 36000 D) 35000 E) 41000

7.

Una persona ha avanzado los 3/19 de su recorrido.

n 144 1 entero positivo existen, tal que sea mayor que 3 5 que ? 3 ¿Cuántas fracciones de la forma

A) 201

B) 181 C) 180 D) 191

con “n”

y menor

E) 190

9.

La suma de dos números racionales es 46/35 y su diferencia 4/35. Hallar el producto de dichos racionales. A) 4/7 B) 5/7 C) 7/3 D) 3/7 E) 2/7

10. Un obrero es doble rápido que otro. Si juntos pueden hacer cierta obra en 8 dias, ¿cuanto tiempo le tomaría al primero hacerlo solo?. A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

11. Hallar la diferencia entre los términos de una fracción

equivalente a 2/5, sabiendo que La suma de dichos términos es 28. A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

12. ¿Cuántas fracciones impropias irreductibles de denominador 5 son menores que 8? A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32

13. Hallar la suma de todos los valores de

sabiendo

20 | C E P R U 2 0 1 5 que la fracción A) 18

B) 21

a 12

23. Una varilla de a cm. de longitud se corta en 2 partes. es propia e irreductible.

C) 24

D) 30

E) 32

14. ¿Cuánto le falta a 4/11 para ser igual a los 2/3 de los

La parte menor mide

1 4

del total, luego con la parte

mayor se repite el procedimiento ¿Cuánto mide el pedazo más largo?

5/7 de los 4/9 de los 6/11 de 7? A) 2/3 B) 4/3 C) 2/9 D) 4/9 E) 1/9

15. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 4/5 existen, tal

que su numerador está comprendida entre 25 y 40 y su denominador entre 38 y 53 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 16. Al simplificar una fracción, se obtiene 1/7, sabiendo que La suma de los términos de la fracción es 40, La diferencia de los mismos es: A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

17. ¿Cuál es la cantidad entera que debe agregarse al numerador y denominador de La fracción 4/7 para que La fracción resultante esté comprendida entre 0,7 y 0,75? A) 3 B) 4 C) 5 D)6 E) 7

18. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 0,1363636...

a)

b)

c)

d)

e)

24. Un

jugador después de haber perdido consecutivamente los 4/5 de su dinero, 2/7 del resto y 4/11 del nuevo resto, gana 429 dólares y de ésta manera la pérdida queda reducida a 1/5 del dinero original. ¿Cuál es la fortuna? a) 700 b) 600 c) 605 d) 701 e) 729

25. Después de sacar de un tanque 1600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de 2 a 1 ¿Cuántos litros 3 5 habrá que añadir para llenar el tanque? a) 3200 b) 4800 c) 24000 d) 16000 e) 12000

existen, tales que su numerador sea un número de dos cifras y su denominador un número de três cifras? A) 24 B) 25 C) 29 D) 30 E) 36

26. Cuantas fracciones comprendidas entre 19/43 y

19. ¿Cuántos decimales periódicos puros con dos cifras

27. Simplificar:

en el periodo hay entre 1/3 y 1/2. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) infinitas

20.

Si se cumple:

1 1 1 1     ...  0, 989 2 6 12 20 n  fracciones Halle El valor de “n”. A) 96

B) 98

C) 102 D) 45

E) 68

1   1  1  1   P  1  1  1  ......1    2  3  4   999  B) 1000 C) 500 E) 1201

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.

b) 8

c) 6

3  0,153153153 a) 111/350 d) 123/345

28. Si

d) 7

a b   0,969696 ..... 11 3

b) 110/355 c) 101/305 e) 100/337

5 a   0, a 09 . Hallar 37 27 B) 5

C)4

D)6

a2  a .

E)7

29. Hallar x+y, si:

1, xy  1, yx  2,888 A)10 D) 8

B)12 E) 4

C)14

30. Si: 0, a1  0, a 2  0, a3  14 11 El valor de “a” es: A) 6

22. Hallar “a + b”, si: a) 5

0,244   1 / 3  0,222  x 11 / 4

A)2

21. Hallar el valor de “P” al simplificar:

A) 1 D) 999

23/29 son tales que sus términos son números consecutivos a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

B) 4

C) 5

D) 8

e) 9

NUMERACIÓN.- Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números NÚMERO.- Es la idea asociada a una cantidad que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza NUMERAL.- Es la representación simbólica o figurativa del número. CIFRA O DÍGITO.- Símbolos que convencionalmente se utilizará en la representación de los numerales. SISTEMA DE NUMERACIÓN.- Es el conjunto de símbolos, reglas, principios, normas y convenios que permiten representar correctamente los números. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES. A. Del orden. Toda cifra que forma parte de un numeral posee un orden determinado de derecha a izquierda.

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 21

B. De la base. Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. NOTA.- En forma práctica la base nos indica de cuantos en cuanto estamos agrupando las unidades PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN

2

binario

0,1

3

ternario

0,1,2

4

cuaternario

0,1,2,3

5

quinario

0,1,2,3,4

6

senario

0,1,2,3,4,5

7

heptanario

0,1,2,3,………6

8

octanario

0,1,2,3,………7

9

nonario

0,1,2,3,………8

10

decimal

0,1,2,3,………9

11

undecimal

0,1,2,3,………9,(10)

12

duodecimal

0,1,2,3,………9,(10),(11)

n

enecimal

0,1,2,3,………,

 n  1

Nota

a. En los sistemas de numeración mayores de 9 se utilizan convencionalismos. (10)  A (11)  B (12)  C

b. En todo sistema de numeración de base n la máxima cifra es la base menos 1,  n  1 c. Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero no negativo y menor que la base, es decir, en base “n”, se puede utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son: Cifra máxima

0, 1,2,3, ........, n  1  Cifras significativas Cifra no Significativa

d. A mayor numeral aparente le corresponde menor base. 32  40  44  200  1012 es decir, si 120  45 k  n 8  7  4  3 como: 120 > 45. Afirmamos: n < k

e. Ningún numeral entero positivo de cualquier sistema podrá empezar en cifra cero. 3.

ESCRITURA Y LECTURA DE UN NÚMERO EN CUALQUIER SISTEMA: Base (10): 624

: Seiscientos veinticuatro

Valor Absoluto = 8

Base ( 2) : 1010 (2) : Uno, cero, uno, cero en base dos. Base ( 9) : 357 (9) : Tres, cinco, siete, en base

VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA (V.A): Es el valor que toma una cifra por su símbolo o figura. VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (V.R): Es el valor que toma una cifra por la posición u orden que ocupa el número

3.1.

Valor Absoluto = 9

nueve.

85965 Valor Relativo = 900

Valor Relativo = 80000

REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:  Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.  La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.  Letras diferentes no necesariamente representan cifras diferentes, salvo lo indiquen.

22 | C E P R U 2 0 1 5 Ejemplo:

ab : cualquier numeral de dos cifras NÚMEROS CAPICÚAS.- Llamados también Polindrómicos. Es aquél cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales, es decir se leen igual de izquierda a derecha o viceversa.

4.



aa :

11 ; 22 ; 33 ; .........



a ba :

101 ; 323 ; 585 ; .......



abba :

1001 ; 4664; 6776 ; .........0

r e c o n o c e r

CONVERSIÓN DE SISTEMAS CASO 1: “De base n a base 10” Ejemplo: convertir 123 en base 5 a base 10 1ER MÉTODO DESCOMPOSICIÓN POLINOMICA

1235  1 52  2  5  3  38 2DO MÉTODO HORNER

1235 

1 5 1

3ER

2

3

5

35

7

38

De base nk a base n  Cada cifra del numeral genera un bloque de k-cifras  Las cifras de cada bloque se obtienen mediante las divisiones sucesivas.  Si algún bloque no obtiene las cifras requeridas se completará con cero a la izquierda. Ejemplo : Exprese 5207(9) en base 3 Resolución : 9 = 32 (cada fila de base 9 origina 2 cifras en base 3)

MÉTODO FLECHAS



5.2.

123 5   38



CASO 2 :“De base 10 a base “n” “ (n 0) MÉTODO DE DIVISIONES SUCESIVAS: Ejemplo: Exprese 196, en base 6.

2

0

7(9)

5 3 2 1 1 2

2 3 2 0 0 2

0 3 0 0 0 0

7 3 2 1 2 1

5207(9) = 12020021(3)

196  524 6

196 6 4 32 2

5

PROPIEDADES

6 5

a.

Numeral de cifras máximas

 10  178

9 CASO 3 “De base n a base m” Ejemplo: Exprese

2145

en base 3.

2145  59  2145  20123

59 2

3 19 1

778

 82  1

999  103  1

7778

 83  1

EN GENERAL:

se lleva a base 10

-

 8 1

99  10  1 2

 n  1 n  1 ....  n  1n

 nk  1

"K " Cifras

3 6 0

b.

3 2

Numeral de bases sucesivas

BASES SUCESIVAS.

 ka  1n

1a1a1a.

.. 1a1n

5.

Cambio de base especial

5.1.

De base n a base nk  se forman grupos de k cifras, a partir del primer orden.  cada grupo así formado se descompone polinómicamente, dicho resultado es la cifra en la nueva base (nk)

donde

1a1a1a.

.. 1a1a

donde

Ejemplo : Representar 10202112(3) a base 9

1a desciende como subíndice y se repite

k veces.

 ka  10

1a desciende como subíndice y se repite k

veces.

Resolución 10 1x3+0 3 10202112 = 3675(9)

20 2x3+0 6

21 2x3+1 7

12 1x3+2 5(9)

1a1b1c.

.. 1m ( n )



a  b  c  ...  m  n

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 23

a1a1a1.

..



k

a .n 

a1( n )

k

a 1 a 1 EJERCICIOS

1. Dado el numeral capicúa (𝑎 − 1)(𝑏 + 1)(7 − 𝑏)(𝑏 + 2) Determinar “a x b”. a)18 b)12

c)15

d)14

b) 7

a) 1 c) 8

d) 9

e) 10

escritos,

obtiene un número capicúa de tres cifras. Dar como respuesta la suma de las cifras diferentes de dicho numero capicúa. c) 3

d) 7

e) 6

6. Expresar “M” en base once y dar la suma de sus cifras: M= 4x113 + 7x112 + 90 a)19 b)20 c)21 d)23 e)25 7. Expresar en base 8 el mayor numeral de tres cifras en base 5. a) 164(8)

b) 174(8)

d) 172(8)

e) 133(8)

c) 274(8)

9. Si a un numeral de dos cifras del sistema decimal se le agrega la suma de sus cifras se obtiene 85, determinar el producto de sus cifras a)28 b)22 c)16 d)12 e)15 10. Determinar un numeral que al restarle el número que resulta de invertir el orden de cifras, se obtenga 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras. b)14

c)16

d)9

e)10

11𝑎𝑏(𝑛) = 79(𝑛2 ) b)10

c)11

d)13

e)14

12. Determinar “a+b+c”, Si : 436(7) = 𝑎𝑏𝑐(8) a)13

b)14

c)15

b)24

c)28

d)32

e)34

16. Expresar en base 8 el mayor numeral de tres cifras de la base 5. b) 174(8) e) 133(8)

c) 274(8)

̅̅̅9 = 𝑏𝑎 ̅̅̅7 17. Calcular el valor de “a+b” si se cumple que: 𝑎𝑏 a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 5

18. ¿Cuántos números de dos cifras existen tal que sumándole 9 se obtiene otro número con las mismas cifras pero en orden invertido?. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 19. Se tiene un número de 2 cifras, si se le agrega un dos a la izquierda del número se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Hallar la suma de las cifras de dicho número. a) 6

b) 7

c) 4

d) 10

e) 5

a) 500 d) 90

b) 200 e) 100

c) 10

21. El número de elementos del conjunto de los números de 4 cifras tales que las cifras que ocupan el orden impar (de derecha a izquierda) son mayores en dos que la cifra siguiente, es igual a: a) 81 b) 72 c) 63 d) 56 e) 84

22. Hallar la diferencia entre los valores de m, que verifican la relación: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑚(𝑚 + 1)(𝑚 + 2)(𝑚+3) = ̅̅̅̅̅ 105(4𝑚) a) 3

b) 7

c) 4

d) 9

e) 5

23. Si a un número de tres dígitos que empieza en 7 se le suprime este dígito, el número resultante es 1/26 del número original. ¿Cuál es la suma de los tres dígitos de dicho número?

11. Calcular “a+b+n”, Si:

a)9

e) 4

20. ¿Cuántos números capicúa de tres cifras hay?

8. Determinar un numeral del sistema decimal que cumpla las siguientes condiciones. La primera cifra es el doble de la tercera y la segunda el triple de primera. Dar como respuesta la suma de las cifras del numeral. a)8 b)9 c)10 d)11 e)12

a)12

a)20

a) 164(8) d) 172(8)

5. Al convertir (𝑎 − 3)𝑎(𝑎 + 2)(7) , al sistema quinario se

b) 5

d) 7

148

b) 11 c) 12 d) 13 e) 9

a) 4

c) 6

E = 14141414

143(𝑏); 𝑏5(𝑎); 6𝑎3(7) a) 10

b) 3

15. Determinar el valor de:

𝑎𝑏+𝑏𝑎 = 11(𝑎𝑏 − 𝑏𝑎)

Determinar “ a + b” a) 10 b) 9 c) 12 d) 11 e) 18 4. Si los numerales están correctamente determinar “a+b”

c) 800

bien escritos y ”a”, “b” y “c” son cifras diferentes entre si. Determinar “a+b+c”

𝑎𝑎𝑎𝑎(4) = 𝑥𝑦0 a)6

b) 675 e) 420

14. Se sabe que los numerales 30𝑎(4); 2𝑏𝑐(𝑎) ; 𝑏𝑏(𝑐) están

e)10

2. Hallar el valor de: “a + y -x” si

3. Si:

a) 650 d) 900

d)16

e)18

13. Cuantos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar.

a) 14

b) 15

c) 22

d) 17

e) 11

24. Si el numeral 12100102010211(n) se expresa en base n3, la suma de cifras aumenta en 38. Calcule cuántos capicúas existen en base n. a) 3

b) 7

c) 4

d) 6

e) 5

25. A un número de cuatro cifras se le agrega la suma de sus cifras, y se procede de la misma manera con el

24 | C E P R U 2 0 1 5 número resultante para, finalmente obtener el número 4051. Calcule la suma de cifras de dicho número inicial. a) 5

b) 7

c) 9

d) 11

b) 19

c) 28

d) 27

B K

A

A,K

B y

y

K

B

B

se tiene A

B

K

B K. Nota: Si A es múltiplo B y A Entonces podemos abreviar de la siguiente manera:

A

d) 15

e) 18

Hallar el valor de a si: ̅̅̅̅̅ = 504(𝑛) 1𝑎4

30.

b) 7

c) 8

d) 3

e) 4

Si: ̅̅̅̅̅̅̅(𝑛) = 303(5) 𝑎𝑏𝑐𝑑 Siendo a b ,c y d diferentes entre sí. Hallar c. a)0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

OBSERVACIONES:  Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes; la divisibilidad se le estudia a partir de la división mientras que la multiplicidad se le estudia desde el punto de vista de la multiplicación.  Un número negativo puede ser múltiplo de otro entero positivo.  El cero es múltiplo de todo número entero positivo.  El cero no es divisor de ningún número. 3. EQUIMÚLTIPLOS Son números que contienen{8, 16, 24, 32, … } pero como queremos hallar el mínimo valor de x entonces tomemos el mínimo valor de los múltiplos de 8 de donde: x  82  x  6 . 4. TEORÍA DE CONGRUENCIAS NÚMEROS CONGRUENTES.- Dos números A y B son congruentes con respecto a un módulo m denotado por A  B (modulo m) cuando al dividir A y B entre el módulo m se obtienen el mismo resto, en caso contrario se dicen que son incongruentes. Ejemplo:

19  14 Módulo (5) es decir: 

19  3  5  4  19  5 4 

14  2  5  4  14  5 4

B

Ambos tienen un resto de 4.

Ejemplo:

15

5 3

15

5

Donde 15 es el múltiplo y 5 es el divisor.

Divisor 5

c) 13

c)234432

1.3. DIVISOR.- Sea A un número entero y B un número entero positivo, se dice que “B es divisor de A” cuando A contiene B un número exacto de veces. Nota: - B es divisor de A - A es múltiplo de B - B es divisible entre B - B es factor de A Ejemplo: -24 6 0 -4 2. MULTIPLICIDAD DE NÚMEROS Se dice que un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B cuando el valor de A es igual al valor de B multiplicado por un número entero K. Es decir

A,K

29.

b) 11

a)6

1.2. MÚLTIPLO.- Sea A un número entero y B un número entero positivo, se dice que “A es múltiplo de B ” cuando al dividir A entre B se obtiene un cociente K entero y un resto cero(0). 0

a) 10

e) 31

1.1. CONCEPTO.- La divisibilidad es la parte de la teoría de números que estudia las condiciones que deben reunir los números para ser divisible por otro.

A

̅̅̅̅̅̅̅ = 2 𝑎𝑏 ̅̅̅ ̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑐𝑑 Hallar: a+b+c+d

27. El número telefónico de Rosita es número capicúa de seis cifras. Si la primera cifra se multiplica por 11, al resultado se añade la segunda cifra; luego el nuevo resultado se multiplica por 11 y finalmente al resultado añadimos la tercera cifra, obtenemos 985. ¿Cuál es el número telefónico de Rosita? a)816618 b)789987 d)890098 e)245542

Si

e) 13

26. Un número consta de dos dígitos cuya suma es 11. Si se intercambian sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número primitivo. Hallar dicho número. a) 29

28.

Está 15 contenido

Contiene múltiplo

5.

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON k

 n r   n r k , k      k

 n r   n r k , k     





, k par

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 25 k

 n r   n r k , k     

c.



h.

, k impar

Ejemplo: Hallar el resto de dividir 337543 entre 7.



 abcdefgh 9 Cuando 

Solución: 337 se puede expresar como

48  7  1 que resulta de

........  a  b  c  d  e  f  g  h  9 

dividir 337 entre 7 y da como cociente 48 y como resto 1. 



j.

 r 1 6. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Para saber si un número es divisible por otros o para descomponerlo en factores primos existen criterios de divisibilidad, que son reglas sencillas a utilizar para resolver este tipo de ejercicios. Éstas son: Divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2, cuando de dicho número su última cifra es par o cero.





( h  f  d  b)  ( g  e  c  a )  0 ó 11 k.







 (3a  ..)  ...  13



Divisibilidad por 4. Un número es divisible por 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un número divisible por 4 o también si el doble de la penúltima más la última cifras es múltiplo de 4. 



ó 2c  d  4

l.



Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5, cuando de dicho número su última cifra es 5 o cero.

m. Divisibilidad por 33. Un número es divisible por 33 cuando la suma de los bloques separados de dos cifras de derecha a izquierda es múltiplo de 33.



 abcd  5 Cuando d : 0 ú 5 .



Divisibilidad por 6. Un número es divisible por 6, es divisible por 2 y por 3 a la vez. 



abcd  6 Cuando d par y a  b  c  d  3 f.

Divisibilidad por 7. Un número es divisible por 7 cuando al multiplicar el número cifra por cifra de derecha a izquierda con los factores 1;3;2; -1; -3; -2; 1; 3; 2;… esto es:

abcdef  33 ef  cd  ab  33 . n.

Divisibilidad por 45. Un número es divisible por 45 cuando se divisible por 5 y por 9 a la vez.

o.

Divisibilidad por 99. Un número es divisible por 99 cuando la suma de los bloques separados de dos cifras de derecha a izquierda es múltiplo de 99.





h  3g  2 f  e  3d  2c  b  3a  ....  7

abcdef  99

Divisibilidad por 8. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número divisible por ocho o también cuando la suma del cuádruplo de la antepenúltima cifra, doble de la penúltima cifra y la última cifra es múltiplo de 8. 



 abcd  8 Cuando bcd  000 ó bcd  8 

ó 4 b  2c  d  8 .

Cuando



 abcdefgh 7 Cuando

g.

Cuando

cd  00, 25, 50 ó 75

cd  4 .

e.

.

Divisibilidad por 25. Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 25.

 abcd  25

ó



d.

Cuando

h  (3 g  4 f  e )  (3d  4c  b)

abcd  3 cuando a  b  c  d  3

 abcd  4 Cuando cd  00

Divisibilidad por 13. Un número es divisible por 13 cuando al multiplicar el número cifra por cifra de derecha a izquierda con los factores1;-3;-4; -1; 3; 4; 1; -3; -4;… esto es:

 abcdefgh 13

Divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3, cuando la suma de los valores absolutos de dicho número es múltiplo de tres. 

Divisibilidad por 11. Un número es divisible por 11 cuando la suma de los valores absolutos de las cifras que ocupan ordenes impares menos la suma de los valores absolutos de las cifras que ocupan ordenes pares es igual a cero o un número divisible por 11.

abcdefgh 11 Cuando

 abcd  2 Cuando d : 0,2,4 ú 8 .

c.

Divisibilidad por 10. Un número es divisible por 10 cuando acaba en cero.

abcdefg 0  10



337 543  7  1543  7  1

b.



135675  9  1  3  5  6  7  5  27  9

i.

337 543  48  7  1543  (7 1) 543

a.

Divisibilidad por 9. Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras que lo forman es múltiplo de 9.

p.



Cuando

Divisibilidad por 125. Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 125. 



 abcd  25 q.

ef  cd  ab  99 .

Cuando

bcd  000 , ó 125 .

Divisibilidad por 2n ó 5n. Un número es divisible por 2n ó 5n cuando sus últimas “n” cifras son ceros o

26 | C E P R U 2 0 1 5 forman un número respectivamente.

r.

múltiplo

de

2n

ó

5n

s.

Divisibilidad por 𝒏 + 𝟏 en base 𝒏. Un numeral en base 𝑛 será divisible por 𝑛 + 1 si y solamente si, la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de sus cifras de orden par es cero o múltiplo de 𝑛+1

Divisibilidad por 𝒏 − 𝟏 en base 𝒏 Un numeral en base 𝑛 será divisible por 𝑛 − 1 , si y solo si la suma de sus cifras resulte un múltiplo de 𝑛 − 1.

EJERCICIOS

1. En un colegio se matricularon 600 estudiantes. De los inscritos varones se ha podido observar que los 3/7 son alumnos de quinto año, los 4/9 alumnos de tercer año y los 2/5 alumnos de segundo año. ¿Cuántas mujeres se matricularon en el colegio? A) 238 B) 232 C) 236 D) 252 E) 285 2. En una reunión de dos países a la cual asistieron 500 personas, se observa que del primer país 1/5 son economistas, 1/8 son ingenieros y los 1/7 son contadores. ¿Cuántas personas son del segundo país? A) 220 B) 232 C) 186 D) 255 E) 185 3. En un aula se observa que de 50 alumnos la séptima parte de las mujeres son estudiosas, también se pudo observar que la onceava parte de los varones no son deportistas ¿Cuántas mujeres hay y cuantos son deportistas? A) 22 y 24 B) 21 y 25 C) 28 y 20 D) 14 y 22 E) 15 y 22 4. En una reunión de profesionales hay 131 personas, la mayor parte son varones. Si la octava parte de los varones son ingenieros y la séptima parte de las mujeres son economistas, ¿Cuántos varones no son ingenieros? A) 12 B) 21 C) 30 D) 84 E) 96 5. Una compañía editora, mandó empacar un lote de libros, si lo hacen de 5 en 5, de 6 en 6, ó de 8 en 8 siempre sobran 3.Por lo que deciden empaquetarlo de 9 en 9, así no sobra ninguno. Si el número de libros pasa de100 y no llega a 400. ¿Cuántos libros son? A) 215 B) 218 C) 251 D) 219 E) 243 6. A un acto teatral ingresaron 1370 personas entre jóvenes y niños. El total de mujeres que ingresaron es 3/11 de los jóvenes; la cantidad de personas que usan anteojos es igual a los 2/7 de la cantidad de los jóvenes, y 1/3 de los jóvenes llegaron tarde. ¿Cuántas mujeres llegaron tarde, si son 1/5 del total de jóvenes que llegaron tarde, además la cantidad de niños es menor que el número de mujeres? A) 67 D) 70

B) 57 E) 77

C) 76

7. Si a un número se le resta 1, resulta divisible por 2; si se le resta 2, resulta divisible por 3; si se le resta 3, resulta divisible por 4, y así sucesivamente. Por último si se le resta 9, resulta divisible por 10. ¿Cuál es el residuo de dividir éste número entre 2520? A) 2198 B) 2126 C) 2080 D) 2519 E) 2518 8. En un corral hay cierto número de gallinas que está comprendido entre 354 y 368.si las gallinas se agrupan de 2, 3, 4 ó 5 siempre sobra 1, pero si se acomodan en

grupos de 7 sobran 4. ¿Cuántas gallinas hay en corral si se añaden 2 más? A) 327 B) 363 C) 331 D) 367 E) 376 9. En un aula forman grupos de cinco alumnos para realizar un evento, faltando un alumno; pero si forman grupos de seis alumnos no sobran ni faltan alumnos. Halle la cantidad de alumnos del aula, si es mayor de 30 pero menor que 60. A) 28 B) 54 C) 66 D) 52 E) 64 10. Un pastor cuenta sus ovejas de 7 en 7, de 8 en 8 y de 4 en 4 y sobran respectivamente en cada caso 6, 7 y 3 ovejas. ¿cuál es el menor número de ovejas que cumplen tal condición? A) 57 B) 55 C) 56 D) 54 E) 75 11. Si a un número se le divide entre 11, se obtiene 7 de residuo y cuando se le divide entre 10, se obtiene 5 de residuo. ¿Cuál es el residuo de dividir el número entre 110? A) 97 B) 95 C) 96 D) 94 E) 98 12. Un libro tiene 930 páginas. Una persona rompe una hoja el primer día, dos hojas el segundo día, tres hojas el tercer día, y así sucesivamente. ¿Qué caerá cuando rompa la ultima hoja si la primera la rompió un día martes? A) Lunes B) Martes C) Viernes D) Miercoles E) Jueves

154

13. Hallar el residuo de dividir: 155 A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

14. El resto que resulta al dividir A) 2

B) 5

C) 6

A) 1

B) 5

16. Al dividir el número

E) 5

38602 entre 9 es:

D) 3

15. Calcular el resto de dividir

8

E) 4

5 471 entre 13.

C) 8

D)10

(2401)125  2

E) 12

entre 7, su residuo

es: A) 2 17. Si

B) 0

C) 4 D) 5

N = 47880 x 33770 x 22650

E) 6 y r es el residuo de

dividir N entre 9. Hallar 3r A) 12 B) 10

C) 14 D) 15

E) 13

18. Cuando P se divide entre d se obtiene de residuo 18 y cuando Q se divide entre d se obtiene de residuo 4

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 27 sabiendo que d divide a 72.Hallar el residuo de dividir Pn * Qn entre d. A) 3 D) 4

B) 2

29. Sabiendo que el numeral

abcd es múltiplo de 15 y cd

= 4 ab +6, hallar: a+b+c+d

C) 0 E) 1

A) 8

0

0

19. Un número es 19  6 y otro número es 19  5 . Si el primero se divide entre el segundo. ¿Cuál puede ser el mínimo valor positivo del cociente si la división es exacta?

B) 10

C) 12

D) 18

E) 15

30. Al dividir un número formado por 26 cifras p seguida de 26 cifras 4 entre 7, el resto fue 5. Hallar p. A) 2

B) 3 C) 4

D) 5

E) 6

31. Si el número de cinco dígitos ab1ba, donde a>b, es A) 2 D) 5

B) 8 E) 6

C) 3

divisible entre 11, calcular el valor de (a-b).

20. ¿Cuántos valores toma, “m”, para que se cumpla la 0

3m 4m  3 ?

igualdad A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

21. La suma de los “n” primeros múltiplos de 5, mayores que 80, es 1075. Calcular “n”. A) 25 D) 10

B) 20 E) 12

B) 1

C) 3

D) 6

E) 7

32. Un alumno del CEPRU perdió su carné y no se acordaba su código, pero recordó que era de cuatro cifras divisibles por 5, 9 y 11. Además la primera y última cifra eran iguales. ¿Cuál era el código de dicho alumno?, dar como respuesta la suma de sus tres últimas cifras. A) 13

B) 15 C) 10

D) 12 E) 16

C) 15 33. La diferencia de

22. Entre 261 y 7214. ¿Cuántos números terminados en 8 son divisibles por 7? A) 95 D) 92

A) 5

B) 90 E) 99

enteros

C) 98

A) 11 B) 9

aba y bab siempre será divisible por:

C) 13 D) 6

E) 8

34. Calcular el menor número de tres cifras mayor que 800 al cual si se le resta su complemento aritmético sea un 0

17 7 .

23. Hallar el valor de la cifra “x” si el número

2 x 6 x8

A) 810 D) 801

es divisible entre 13

A) 2 D) 6

B) 3 E) 8

8xyx5y es divisible entre 88, dar el valor

numérico de x · y A) 5 D) 3

B) 2 E) 8

25. Calcular “a”, si A) 0 D) 4

C) 9

B) 3

C) 23 D) 32

E) 30

36. ¿Cuántos números del 1 al 180 son múltiplos de 3 y 4 pero no de 7? A) 12 B) 10 C) 11 D) 9 E) 13 37. Sabiendo que el número de la forma

0

11aa  7

B) 1 E) 5

C) 732

35. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididas entre 4 y 7 dejan como restos 2 y 5 respectivamente?

C) 4

A) 5 24. Si el número

B) 723 E) 817

4p23q45 es

divisible por 99¿Cuál será el residuo de dividir dicho número entre 7? A) 2 B) 9 C) 4 D) 3 E) 5

C) 2

26. Sabiendo que:

38. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 2 y 3 a la vez, pero no por 5? 0

a0(a  1)(a  1)  19

A) 110 D) 124

Hallar “a” A) 7

B) 1

C) 2 D) 4

39. Si

E) 5

0

27. Sabiendo que: A) 8

B) 1

28. Sabiendo

que

B) 10

D) 11

E) 9

0

abc = 8 , bca = 5 y

determine a*b*c. A) 8

E) 5 0

C) 16

C) 120

0

xy6yz  1375 entonces xyz es divisible entre:

A) 15 B) 16 C) 17 D) 31 E) 19 40. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8 pero no son múltiplos de 5?

2x78 = 17 Hallar “x” C) 2 D) 4

B) 115 E) 150

0

ab = 17 ,

A) 97 D) 96

B) 91 E) 95

C) 90

41. Hallar el número de la forma:

x(x  1)(x  2)(x - 1)x A) 67856 D) 34523

B) 78967 E) 23412

0

Si es

11 9

C) 56745

28 | C E P R U 2 0 1 5 42. ¿Cuántos números de 4 cifras terminados en 3 son divisibles por 13? A) 88 D) 71

B) 98 E) 69

A) 8 D) 7

A) 22 D) 25 0

0

0

E ( 6  2)  ( 6  4)  ( 6  6)  .....  ( 6  40) 0

0

A)

6 1

D)

6 3

B)

6 2

E)

6

0

44. Si :

C) 9

47. ¿Cuántos numerales de la siguiente sucesión 275*1, 275*2, 275*3,…, 275*100 son divisibles entre 200?

C) 70

43. Simplificar: 0

B) 1 E) 5

E = 23k+1 + 26k+4 + 23 entre 7?

6 4

A) 6 D) 3

0

0

C) 15

48. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir

0

C)

B) 13 E) 12

B) 5 E) 2

C) 4

49. ¿Cuál es el residuo de dividir AxB entre 5?

a3ba3b...a3b = 36 calcule la suma de los valores

A = 4848....48

51 cifras

de ab

B = 8484....84

200 cifras

A) 2

B) 3

C) 4

300 cifras

D) 5

E) 6

A) 136 B) 133 C) 138 D) 134 E) 139 45. Hallar el número capicúa de 4 cifras múltiplo de 75. A) 5525 D) 5775

B) 5115 E) 1221

46. Si el CA de

C) 7557

aaaa es múltiplo de 7, determinar el valor

de “a”

Los números primos se estudian a partir de la clasificación de los números enteros positivos de acuerdo a la cantidad de divisores que poseen.

1.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROSℤ+ DE ACUERDO A LA CANTIDAD DE DIVISORES QUE POSEEN:

2.-El menor número primo es el número 2. 3.-En la serie de los números primos todos son impares excepto el primero. 4.-La serie de los números primos es ilimitada. 5.-Los únicos consecutivos son 2 y 3. 6.-Si N es primo, se cumple: 0

ℤ+ = {𝟏 , 𝟐 , 𝟑 , 𝟒 , 𝟓 , 𝟔 , … . } DIVISORES: 1: 1

0

7.- Los números 2 y 3 son los únicos números consecutivos primos

3: 1; 3 4: 1; 2; 4

8.- Los números 3, 5 y 7 son los únicos impares consecutivos i PESI a la vez.

……………. NÚMEROS SIMPLES.- Números ℤ+ que tienen a lo máximo dos divisores. 1.1.1. LA UNIDAD(1).- Es el único numero ℤ+ que tiene un solo divisor y es el mismo. 1.1.2. NÚMEROS PRIMOS (PRIMOS ABSOLUTOS) Es aquel número que tiene como único divisores a la unidad y así mismo. Ejm. 2 , 3 , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…… Divisores de 17: 1; 17

1.2. NÚMEROS COMPUESTOS.- Es aquel número ℤ+ que tiene más de 2 divisores. Ejm: 4, 6, 8, 9, 10,……… Divisores de 12: 1, 2, 4, 6, 12 OBSERVACIONES 1.-El 1 no es primo ni compuesto porque tiene un sólo divisor.

0

𝑁 > 3 ⟹ 𝑁 = 6 1 ó 6 1

2: 1; 2

1.1.

0

𝑁 > 2 ⟹ 𝑁 = 4 1 ó 4 1

2.

NÚMEROS PESI (Primos relativos o coprimos)

Son cuando dos o más númerosℤ+, admiten un único divisor común que es la unidad

D8  8, 4, 2,1 D5  5,1

 Los.Nros : 8 y5

son PESI, pues tienen un divisor en

común a la unidad. 2.1 NÚMEROS PESI 2 a 2 Son aquellos números ℤ+ que al ser tomados de 2 en 2 resultan ser PESI

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 29 A  6  D6 : 6,3, 2,1

1º) Descomponemos N

B  25  D25 : 25,5,1

N  360

C  49  D49 : 49,7,1

N  23  32  5

OBSERVANDO: A ES PESI CON B A ES PESI CON C B ES PESI CON C

2º) Construimos la tabla:

20

21

22

23

1

1

2

4

8

3

3

6

12

24

9

9

18

36

72

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

5

5

10

20

40

(DESCOMPOSICIÓN CANONÍCA)

5

15

30

60

120

5

45

90

180

360

Por tanto los tres números son PESI 2 a 2

3.

Todo numero ℤ > 1, se puede descomponer como producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos (esta descomposición es única). +

NOTA De la tabla se tiene:

Consideremos la siguiente descomposición.

N  360

#𝐷360 = (#𝐹𝑖𝑙𝑎𝑠)𝑥(#𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠) =

= (6)𝑋(4) = 24

N  2 3 5 3

2

Siendo: 2,3 y 5 números primos  1

 1

1.3. Luego en general

 1

 a 1   b 1   c 1  SN    .  .   a 1   b 1   c 1 

S360

i) N  360  23  32  5

Con𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 divisores primos y 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾 son los exponentes enteros positivos.

1.1.

 a  b   c 

*Calcular:

N  a  b   c 

4.

Si N

SUMA DE DIVISORES DE UN NÚMERO N:

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO ENTERO POSITIVO CANTIDAD DE DIVISORES (1º FORMA)

 24  1   33  1   52  1  ii) S N    .  .   2 1   3 1   5 1  S360  1170  1  2  4  ...  90  180  360  NOTA SD(N) = SDcompuestos + SDsimples

# DN  # DS  # DC

SD(N) = SDcompuestos + SDprimos + 1

# DS  # DP  1

1.4.

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE N:

# DN  # DP  # DC  1

S N1 

D12  12,6,4,3,2,1  # D12  6

i) N  360

Aplicando la formula se tiene:

DP : 3,2  # DP  2

1 *Hallar : S360

DC : 12,6,4  # DC  3

(2º FORMA): Si

1.5. 

N  a b c

ii) S360  1170 1 iii)S360 

1170 360

1 1 1   1 1 1 S360  3,325  1    ...     2 4 90 180 360  

# D12  2  3  1  6 

sN N

PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE N:



*P360  ?

# DN  (  1)(  1)(  1)

PN  N

# DN 2

i)# D360  24

*Calcular : # D360

24

ii ) PN  360 2

N  360

P360  36012  1 2  4  ...  90 180  360 

i ) N  2 3  32  5 ii ) # DN  (3  1).(2  1).(1  1) # DN  (4).(3).(2)

1.6. CANTIDAD DE FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMO EL PRODUCTO DE 2 FACTORES:

# D360  24 a ) FN  1.2.

TABLA DE LOS DIVISORES DE “N”

*Elaborar la tabla de divisores del Nro 360

# DN ; 2

# DN : PAR *F24  4

30 | C E P R U 2 0 1 5 # DN  1 ; 2

b) FN 

1.7. INDICADOR DE UN NÚMERO O FORMULA DE GAUSS

# DN : IMPAR

Indica la cantidad de números PESI con el número N; pero menores que N.

*F100  5

(N) = a ( - 1) (a - 1). b( - 1) (b - 1). c(  - 1) (c - 1) EJERCICIOS

1.

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I.- Todo número primo mayor que 2 es

de la forma



4 1 . II.- El número uno es primo absoluto. III.- El número de divisores de un numero N, es la suma de los divisores simples más los divisores compuestos. IV.- Existe un numero primo que es par. V.- los números 13, 4, 12 son P.E.S.I 2 a 2. VI.- los divisores propios de un numero N, son todos los divisores de N menos él mismo. A) 6 2.

B) 5

E) 3

4. ¿Cuántos divisores de 39600 son divisibles por 3 pero no por 5 ? B) 13 E) 15

5. Determine el producto de los divisores múltiplos de 3 del número 180. A) 212.36.56 B) 210.36.56 C) 212.38.56 D) 26.36.56 E)N.A 6. ¿Cuántas veces debe multiplicarse a 18 por sí misma, para que el resultado tenga 63 divisores compuestos? A) 8 B)4 C) 5 D)6 E) 10 7. Calcular la suma de divisores de un número “N”, A) 4836 D) 3125

B) 2163 E) 2725

15. Cuantos divisores tiene 3600, tales que sean múltiplos de 3 pero no de 5

PN  2 .5 40

C)418

9.

C) 13

D)14

E)15

Determinar el valor de “n - 2”, si se sabe número:

P  5.3n

2184 A) 3

B) 6

10. Si el número A =

D) 5

42x3n

tiene tres

que el

E) 7

A)20

“ p ” divisores

¿Cuántos

12. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 104 divisores compuestos? B) 3

C) 8

D) 9

B)4

C)8

D)10

E)16

ab(2a)(2b)

tiene 30

divisores. A)

6

B)4

C)8

D)9

E)7

A) 3

B) 6

C) 8 D) 12 E) 5

22. Si: 6𝑎 x 18𝑏 tiene 77 divisores hallar el producto de 𝑎 x 𝑏? B) 6

C) 8 D) 2 E) N.A.

23. sabiendo que un número es de la forma 16 x 24𝑏 y además tiene 84 divisores más que el número 1440. Dar el valor de “ 𝑏 “ B) 6

C) 8 D) 12 E) 20

24. Hallar el valor de “ 𝑝 ” si N = 198𝑝 si se sabe que tiene 130 divisores compuestos A) 10

B) 6

C) 15 D) 2 E) 8

25. El número N = 4𝑎−2 . 4𝑎 , tiene 29 divisores valor de “ 𝑎”.

A) p-1 B) 3p-1 C) 3p+1 D) 2p-1 E) 3p

A) 5

compuestos. Hallar “x+8” E) 12

20 Halla a+b, sabiendo que el número

A) 5

divisores menos que 900. Hallar dicho número y dar la suma de sus cifras. A) 15 B) 8 C)6 D) 9 E) 12

11. Si el número 16a tiene divisores tendrá 256a ?.

D) 13

19. Si 2m.32.5m+1 , tiene 60 divisores múltiplos de 10, Hallar el valor de “ 2m ” .

A) 13

tiene como suma de sus divisores a C) 4

B) 8 C)16

E) 15

21. ¿Cuántos divisores primos tiene el número 𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ si ̅̅̅ es un numero primo mayor que 37 ? 𝑥𝑦

dicho número e indicar como respuesta suma de sus cifras B) 9

D) 30

30

312  518 Hallar

A) 10

C)25

17. Hallar el valor de “ n ”, si el número es de la forma A = 2nx7, que tiene 48 números primos menores que A. A)12 B)5 C)4 D)10 E)13

8. Sabiendo que el producto de los divisores de un número es

B) 20

18. ¿Cuantos rectángulos diferentes de área 112 m2 se pueden determinar? A) 5 B) 7 C) 6 D) 8 E) 4

C) 20

sabiendo que su producto es :

A) 12 B) 7 C) 10 D) 9 E) 15 14. Hallar la suma de los divisores de 540 que sean múltiplos de 6 A) 140 B) 234 C)404 D) 103 E) 401

A) 10

¿Cuántos divisores impares tiene el número 3780? A) 16 B) 14 C) 8 D) 10 E) 12

además tiene tres

divisores más que el número 360

16. Si:13x+2 – 13x tiene 43 divisores

E) 244

A) 12 D) 16

N  9 10k y

es de la forma:

A) 10

¿Cuántos números primos son menores que 960 ?. A) 256 B) 221 C) 216 D) 208

3.

C) 4 D) 1

13. Calcular la suma de cifras del valor de N, sabiendo que

E) 10

A) 4

B) 1

C) 8 D) 2 E) 7

26. Si, 30𝑛 .15 tiene 291 divisores que no son hallar “ 𝑛”. A) 3

B) 5

hallar el

C) 1 D) 8 E) N.A

primos

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 31 27. Cuantos rectángulos existen cuya superficie es 36 m2 y sus lados están expresados en números enteros, en metros.

32. Determinar el valor de “ 𝑎 “ si N = 12𝑎 x 28 tiene 152 divisores compuestos. A) 13

A) 5 28.

B) 10

B) 5

C) 1 D) 12 E) 20

C) 18 D) 20 E) N.A 33. Si: A = 12x122x123x124x…..x12n, 18x182x183x184x…..x18n, tendrá el número N = AxB

Cuál es el menor número de términos que debe tener la siguiente serie, para que la suma tenga 6 divisores N = 91+91+91+91+. . . .

(3𝑛2 +3𝑛+2)2

A) 3

B) 6

A)

C) 8 D) 12 E) 7

A) 13

B) 10

B) 15

C)

(3𝑛+2)2 2

D)

E) N.A

2𝑛 + 2𝑛

34 ¿Cuantos números enteros existen que sean primos relativos con A = 104, menores que A? A) 1000 2005

C) 8 D) 7 E) 5

30. Hallar el menor múltiplo de 6, sabiendo que tiene 15 divisores menos que 1800. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 13

B) (2𝑛2 + 2𝑛 + 2)2

4

2

29. Hallar el valor de “ 𝑏 “, para que el número de divisores de N = 30𝑏 , sea el doble del número de divisores de M = 15 x 18𝑏

y B= ¿Cuántos divisores

B) 1500

C) 1080

D)4000

E)

35. ¿Cuantas veces habrá que multiplicar por 8 al número 300 para que el producto tenga 123 divisores no primos?.

C) 18 D) 12 E) 25

A) 1

B) 6

C) 18 D) 10 E) 2

31. Calcular la cantidad de divisores de 14! , que sean impares mayores que 10. A) 212

1.

B) 65

C) 88 D)210 E)211

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)



El MCD de dos o más números ℤ+ , es aquel número ℤ+ , que cumple las siguientes condiciones:  Es un divisor común de los números  Es el mayor de los divisores comunes Ejemplo: Calcular el MCD de 8, 12 y 20

DIVISORES

8

1 , 2 , 4 ,

12

1 , 2 , 3 ,

4 , 6

, 12

20

1 , 2 , 4 ,

5 , 10

, 20

 Los divisores comunes de 8, 12 y 20 son los divisores: 1; 2 y 4.  El MCD de ellos es el divisor 4.

8

20 15 MCD

5

4

3

4

1

1

PESI

OBSERVACIÓN: El Número de divisores comunes es igual al número de divisores del MCD.

3  MCD (20; 15) = 5

Los divisores del MCD (4) son 1; 2 y 4 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

y

MCM (20; 15) = 5x4x3 = 60

2. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

El MCM de dos o más números ℤ , es aquel número ℤ que cumple dos condiciones:

I)

 Debe ser un múltiplo común a los números  Debe ser el menor de estos múltiplos comunes

II) Para el MCM: “Se consideran los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes”

Ejemplo: Calcular el MCM (4; 6)

3.

+

+

Para el MCD: “Se consideran los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes”

DIVISIONES SUCESIVAS (ALGORITMO DE EUCLIDES)

𝟎 𝟒:

4,8, 𝟏𝟐, 16,20, 𝟐𝟒, 28,32, 𝟑𝟔, 40,44, 𝟒𝟖, …

D

d

𝟎 𝟔:

6, 𝟏𝟐, 18, 𝟐𝟒, 30, 𝟑𝟔, 42, 𝟒𝟖, 54, 𝟔𝟎, 66, …

R

q

 Los Múltiplos comunes son 12; 24; 36;...

 𝐷 = 𝑑𝑞 + 𝑟 q1 q2



Cociente

 El MCM de ellos es el múltiplo 12. OBSERVACIÓN: Los Múltiplos comunes son también múltiplos del MCM FORMA PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD Y MCM. 1. DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA.

DIVIDENDO

D d

r1 MCD (D; d) = r1

0

r1

⟸ Divisor

⟸ Resto

32 | C E P R U 2 0 1 5 PROPIEDADES:



1. El MCD nunca es mayor que uno de los números.

𝐀 𝐁 𝐂

𝟏

𝐧 𝐧 𝐧

𝐧

MCD ( , , ) = × 𝐝

8. MCD(A; B; E; F) =MCD [A; MCD(B, E, F)]

2. El MCM nunca es menor que alguno de los números.

9. MCM (n A, n B, n C) = n[ MCM (A; B; C)]

o

3. Si: A  B  BK ( A  B)

A B C

1

n n n

n

10. MCM ( , , ) = × MCM(A, B, C)

⟹ MCD (A; B) = B y

11. Para Dos números A y B. Se cumple:

MCM (A, B) = A 4. Si A y B son PESI:

A

⟹ MCD (A; B) = 1

PESI p

MCM (A, B) = A x B

𝒅

= 𝒑;

𝑩 𝒅

= 𝒒;

𝑪 𝒅

MCD

q

5. Si MCD (A; B; C) = d 𝑨

B

 𝐴 = 𝑀𝐶𝐷 × 𝑝 y 𝐵 = 𝑀𝐶𝐷 × 𝑞

=𝒓

 𝑀𝐶𝑀 = 𝑀𝐶𝐷 × 𝑝 × 𝑞  𝐴 × 𝐵 = 𝑀𝐶𝑀 × 𝑀𝐶𝐷

A = p.d

B = q.d C = r.d o Donde A, B y C son d ⟹ p, q y r son PESI.

12. Dados los números: A = Na − 1

6. Si MCM (A; B; C) = m

B = Nb − 1

m m m  p ; q ;  r ⟹ p, q y r son PESI. A B C

C = Nc − 1 ⟹ MCD(A, B, C) = N MCD(a,b,c) − 1

7. Si MCD (A, B, C) = d

a c e

13. MCM ( ; ; ) =

Se cumple: 

MCD(b; d; f)

a c e

MCD(a; c; e)

b d f

MCM(b; d; f)

14. MCD ( ; ; ) =

MCD (An ; Bn ; Cn) = d n

MCM(a; c; e)

b d f

EJERCICIOS 1.

2. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Si el MCD(A;B;C)=120, ¿Cuántos divisores comunes tienen A, B y C? A)16. B)15 C)14 D)17 E)18 Calcular el MCD(840 ; 2520 ; 2100) A)419 B)420. C)418 D)421 E)422 Calcular el MCM(520;130) A)519 B)520. C)518 D)521 E)522 ¿Cuántos pares de números cumplen la condición de que su MCD sea 36 y su MCM sea 504? A)2. B)1 C)4 D)3 E)0 Calcule AxB si MCM(42A;6B)=8064 y MCD(77A;11B)=88. A)1519 B)1536. C)1518 D)1521 E)1522 Halle el MCD(119;68) por el método del Algoritmo de Euclides. A)16 B)15 C)14 D)17. E)18 Al calcular el MCD de dos números por el Algoritmo de Euclides se obtuvieron por cocientes sucesivos: 3;2;5y3. Halle el mayor de los números si su MCM es ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎3𝑛2𝑛. Dé la suma de cifras del resultado. A)16 B)15. C)14 D)17 E)18 Al hallar el MCD de dos números por el Algoritmo de Euclides, se obtuvo como cocientes sucesivos:1;2;1y3. Calcule dichos números si la diferencia de ellos es 48. A)180 y132. B)190 y145 C)195 y130 D)205 y140 E)210 y 131 La suma de dos números es 1200, al Hallar el MCD por el Algoritmo de Euclides se obtuvieron los siguientes cocientes:3, 3 y 2. ¿Cuál es el mayor de los números? A)950 B)920. C)280 D)940 E)930

10.

Se desea diseñar una caja cúbica de volumen mínimo para almacenar jabones cuyas dimensiones por los lados son 10cm, 12cm y 15 cm. Calcule cuántas de estas cajas se necesitarán para empaquetar un lote de 7200 jabones, si se desea que la caja contenga, la menor cantidad de jabones y no sobre espacio vacío

A)60. 11.

B)65

C)64

D)67

E)68

Si N es un número entero positivo, y 𝑁 4𝑁 3𝑁 𝑀𝐶𝑀 ( ; ; ) = 720 2

3

5

Hallar N. A)60. B)65 C)64 D)67 E)68 12. Halle la suma de las cifras, del expresada en la Base Binaria, si: 𝐴 = 333 … 3(4)

MCD(A,B)

20 cifras 𝐵 = 777 … 7(8) 20 cifras A)20. 13.

14.

15.

B)25

C)24

E)22

Calcule la suma de dos números PESI, tal que su diferencia es 7 y su MCM sea 330. A)30 B)37. C)34 D)31 E)32 Se sabe que A=12nx10 y B=10nx12, además A y B poseen 20 divisores comunes. Hallar n. A)2. B)1 C)4 D)3 E)0 Halle el valor de n en los números: N1=45x60n y N2=45nx60, si se sabe que el MCM de dichos números es 12 veces su MCD A)2.

16.

D)21

B)1

C)4

D)3

E)0

Al calcular el MCD de los números A y B, mediante el Algoritmo de Euclides: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎+3 𝐴 = (2𝑎)𝑏𝑏 ( ) 2

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑏 𝑏 𝐵 = ( ) 0 ( ) (2𝑎 − 2) 3

3

Se obtuvo por cocientes sucesivos 2;3;4;2y3 en ese orden. Determinar a2+b2 si la tercera división se hizo por exceso. A)70

B)88

C)77 D)99

E)90.

A R I T M É T I C A | 33 17.

El MCM de cuatro números consecutivos es 5460. Calcular la suma de los 4 números, si el menor de dichos números es múltiplo de 3. A)38 B)54. C)58 D)60 E)52

18.

Se sabe que la diferencia entre el MCM y el MCD de tres números es axbxc, donde: a,b y c forman una progresión aritmética creciente de razón 10 y en ese orden. Calcular el mayor valor de ellos, si se 𝑏 sabe que 𝐶11 = 78 y además la diferencia entre el mayor y el intermedio es 26, y del mayor con el menor es 65. A)90 B)65 C)105 D)93 E)91.

19.

20.

A)1350. B)1332. C)1380 D)1300 E)1360 ̅̅̅̅̅̅̅̅ ) = 120 25. Si se cumple: 𝑀𝐶𝑀( ̅̅̅ 𝑐𝑏,(2𝑎)0 ̅̅̅̅̅̅̅̅ ) = 𝑎2 ̅̅̅,(2𝑎)0 𝑀𝐶𝑀( 𝑐𝑏 Hallar a+b+c. A)6 26.

21.

Indicar el mayor de dichos números A)125. D)120

Hallar en qué cifra termina el MCM de los números: A=7862-1; B=71293-1 A)6 B)7 C)8 D)4. E)5

28.

Sabiendo que la suma del MCD y el MCM de dos números es 703. Hallar la suma de estos números. Si se sabe además que el MCD es el mayor posible y los números no son divisibles entre sí. A)327 B)409 C)407. D)410 E)411

29.

Tres corredores A;ByC parten juntos de un mismo punto de un círculo de 3600m de longitud, la velocidad de A, B y C es 75m/min., 50 m/min. Y 1 m/seg. Respectivamente. ¿Dentro de cuánto tiempo volverán a pasar juntos por la línea de partida? A)750 B)720. C)780 D)740 E)730

30.

Si: A-B=5 y el MCM(A,B)=150. Hallar A+B A)50 B)51 C)52 D)53 E)55.

Calcular k + 1. A)6 22.

B)4 C)8. D)9 E)7

Para dos números se sabe que la suma de su MCD y su MCM es 770 y diferencia de los mismos es 700. Hallar la suma de los dos números. Sabiendo que no son divisibles entre sí A)350. B)320 C)280 D)300 E)360

23.

Al multiplicarse dos números por un tercero se obtiene que su MCD es M1 y cuando se dividen por dicho tercer número, el MCD es M2. Hallar el MCD de dichos números. 𝑀1

A) √

𝑀2

D) 24.

𝑀1 𝑀2

B)

𝑀2 𝑀1

C) 𝑀1 𝑀2

E) √𝑀1 𝑀2 .

B)123 C)118 E)119.

27.

Si se cumple: 13𝐾 5𝐾 8𝐾 𝑀𝐶𝑀 [ ; ; ] = 520 7 14 7

Dados tres números: A,B y C, se cumple: MCD(A,B)=17;MCD(A,C)=17; MCD(B,C)=17;MCM(A,B,C)=1785 y A+B+C=255.

Se sabe que la diferencia entre el MCM y el MCD de tres números es 897, que la diferencia entre el mayor y el intermedio es 26 y que la diferencia entre el mayor y el menor es 65. Dar como respuesta la suma de dichos tres números A)184 B)183 C)182. D)179 E)176 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ y 𝑎𝑏𝑎 Se calcula el MCD de los números: 1𝑎6 mediante el Algoritmo de Euclides y se obtienen 4 cocientes iguales que suman 8. Si la penúltima división se realizó por exceso. Calcular a+b A)4 B)6 C)7 D)5. E)8

B)4 C)8 D)9 E)5.

Si: A = amx(a+1)2nxb7 B=(a+1)nxam+1x72 Si A y B tienen 20 divisores comunes, ¿Cuántos divisores impares tiene A, sabiendo que es mínimo? A)50

B)56. C)52 D)53

E)55

(𝑎 + 1)(𝑎 + 3)(𝑎 + 5) y el que resulta al El MCD de ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ invertir el orden de ello es 36. Hallar la suma de dichos números

Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división, lo cual nos induce a señalar que se tiene dos clases de razón.

Valor de Razón Aritmética 24m/s – 20m/s

=

la razón 4m/s

Razón aritmética Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades de la otra. Ejemplo: Los automóviles A y B se desplazan con velocidades de 24 m/s y 20 m/s respectivamente, comparemos sus velocidades:

Antecedente Consecuente Interpretación: La velocidad del automóvil “A” excede en 4 m/s a la velocidad del automóvil “B” Razón Geométrica Es la que se obtiene mediante la división y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contienen la unidad de referencia.

34 | C E P R U 2 0 1 5

Ejemplo: Los edificios M y N tienen una altura de 48 m y 36 m respectivamente, comparemos sus alturas (en ese orden): Razón Geométrica

[Suma de extremos] = [suma de medios] Dependiendo del valor que asumen los términos medios las proporciones aritméticas presentan dos tipos. 1.

 Antecedente 

48m

Consecuente 

36m

4 3

S/. 50 - S/.34 = S/.29 - S/ d

 Valor de la razón

cuarta diferencial luego: d = 13 NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción aritmética en el orden como se presenta en el texto

Interpretación: 

Las alturas de los edificios M y N son entre sí como 4 es a 3 porque:



Altura de M: 4(12m) Donde: 12m es la unidad de referencia.

 1er   2do   3er   4to              Tér min o   Tér min o   Tér min o   Tér min o 

Altura de N: 3(12m)  

Por cada 4 unidades de 48 m hay 3 unidades de 36 m  Las alturas de los edificios M y N están en la relación de 4 a 3 En general MAGNITUD

CANTIDADES

X

a yb RAZÓN

Aritmética

Geométrica

a–b=R

a K b

Términos a: antecedente b: consecuente R y K: valores de las razones NOTA: Cuando en el texto se mencione solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. Proporción aritmética Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones aritméticas. Ejemplo: Se tiene cuatro artículos cuyos precios son: S/.15, S/.13, S/.9, S/.7. Los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo: S/.15–S/.13 = S/.2

Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Halle la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son: S/. 50, S/.34 y S/.29

S/.15 - S/.13 = S/.9 - S/.7

S/. 9 –S/.7 = S/.2 Términos Médios Interpretación: El precio S/. 15 excede a precio de S/. 13 tanto como el de S/. 9 excede al de S/.7. Ejemplo: Forme una proporción aritmética con las edades de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años y 14 años. T. Extremos i) 18 años - 15 años = 17 años - 14 años T. Medios Llevando los extremos y medios a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente: Extremos Medios * 18 años+14 años = 17años+15 años 32 años = 32 años De donde podemos concluir que en toda proporción aritmética:

B. Continua. Cuando los valores de los términos medio son iguales. Ejemplo: Forme una proporción aritmética continua con los volúmenes de 4 recipientes y que son: 19 cm3, 15 cm3 y 11cm3. Ejercicios: 1. Calcule la media diferencial de las temperaturas 35º y 17º 2. Halle la tercera diferencial de los pesos 41 kg. y 35 kg. Resumiendo PROPORCIÓN ARITMÉTICA Discreta Continua Extremos Extremos a – b = b - c

a – b = c - d

Medios

Medios

b: media diferencial de a yc c: Tercera diferencial de ayb

d: Cuarta diferencial de a, b y c

Proporción geométrica Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. Ejemplo: Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son: 21L 7L; 15L y 9L, las cuales se comparan mediante la división del siguiente modo:

21L  3 21L 15 L  21L y 5L 7L  7L 5L  7L y 15L 15 L 3 5L

.

Interpretación: La capacidad de 21L es a la capacidad de 7L como la de 15L es al de 5L. Ejemplo: Forme una proporción geométrica con las velocidades de 4 automóviles y que son: 15m/s; 20m/s; 9m/s y 12m/s. Resolución: 1.

15 m / s 9m / s 3   20 m / s 12 m / s 4

Extremo: 15 m/s y 12 m/s Medios: 20 m/s y 9m/s Valor de cada razón geométrica: 3

4 2.

20 m / s 12 m / s 4   15 m / s 9m / s 3

Extremo: 20 m/s y 9 m/s

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 35 Medios: 15 m/s y 12m/s Valor de cada razón geométrica:

4 3

* Llevando los términos medios y extremos a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente Extremos Medios (15 m/s)(12 m/s) = (9m/s)(20 m/s) 180 =180 Extremos Medios (20 m/s)(9 m/s) = (12m/s)(15 m/s) 180 =180 De donde podemos concluir que en toda proporción geométrica:

Para razones geométricas equivalentes:

a1 a 2 a 3    b1 b 2 b3

a1  a 2  a 3  b1  b 2  b3 

* Dependiendo del valor que asumen los términos medios, las proporciones geométricas presentan dos tipos: A. Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Formar una proporción geométrica discreta con las notas de 4 estudiantes y que son: 20; 16; 15 y 12 NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción en el orden como se presentan en el texto.

 No cambia 

II.- El producto de los antecedentes sobre el producto de los consecuentes hace variara la razón:

a1  a 2  a 3  b1  b 2  b3  n

n

 an     bn 

n

III) Serie de razones geométricas equivalentes continúas.

Ejemplo. Forme una proporción geométrica continua con las medidas de tres ángulos y que son: 12º, 18º y 27.



Ejercicios: 1. Halle la media proporcional de las obras realizadas por dos obreros y que fueron: 20m2 y 45m2. 2. Calcule la tercera proporcional de la longitud de dos pizarras y que son: 1,6m y 2,4m.

a b  k b c

se verifica:

a  ck 2

 b  ck

2

ck ck  k ck c

Resumiendo:

a b c d    k b c d e



a b  b c

d: Cuarta proporcional de a, b y c

n

producto de antecedentes  (razon) n producto de consecuentes

Continúa. Cuando los valores de los términos medios son iguales

a c  b d

 an  kn  bn

a  a  a  = 1    2    3    b1   b 2   b3   Si cambia 

Ejercicio: Calcule la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes y que son: 1,6 m; 1,2m y 1,4m.

Discreta

 an k  bn

suma de antecedentes  razon suma de consecuentes

(1er.Tér min o) (3er.Tér min o)  (2da .Tér min o) (4to.Tér min o)

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Continua

 razon 

I.- La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes No hace variar la razón:

[Producto de Extremos]=[Producto de Medios]

B.

an k bn

Se verifica que:

b: Media proporcional de a y c. c: Tercera proporcional de a y b.

d  ek c  dk  ek 2

Propiedades de la Proporción Para la proporción:

b  ck  ek 3

a c se cumple:  b d

a  bk  ek 4 Remplazando tendremos:

B

x

ek 4 ek 3 ek 2 ek    k ek 3 ek 2 ek e

A

EJERCICIOS 1. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I)

En un proporción aritmética continua, se llama tercera proporcional a uno de sus términos extremos.

II)

Una proporción aritmética es discreta cuando los términos medios son iguales.

III)

Una proporción aritmética es continua cuando los cuatro términos de la proporción son diferente entre sí.

36 | C E P R U 2 0 1 5 IV) En una proporción discreta, se llama cuarta proporcional a cualquiera de sus términos. A) VFVF B) FVFV C) FFVV D) VFFV E) FFFF 2. En las siguientes proposiciones, escribir con (V) si es verdadera o con (F) si es falsa:

a c  b d

I) Dada la proposición geométrica

ac bd



a

A) 56

a 15. Si: b

B) 40

C) 60

D) 30

B) 8

C) 4

D) 2

16.

C) 42

D) 72

7.

B) 40

C) 90

D) 95

17.

B) 18

C) 36

D) 27

B) 40

C) 32

D) 16

B) 40

C) 32

D) 16

B) 30m

C) 50m D) 45m

B) 30

C) 27 D) 33

18.

E) 30

B) 4 y 16

D) 8 y 14

E) 2 y 8

E) 24

E) 56

E) 55 m

E) 37

C) 6 y 18

B) 36

C) 40

D) 45

E) 48

aa0K   K03

.

19.

B) 30

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

B) 52 y 36 E) 42 y 20

C)48 y 36

B) 30

C) 41

D) 26

E) 31

En una proporción aritmética continua los extremos están en la relación de 9 a 5. Si la diferencia de los cuadrados de los términos de la segunda razón es un número de tres cifras, que es el menor posible, hallar la media diferencial. A) 12

22.

E) 32

La edad de Noemí es a la edad de Carolina como 3 es a 2. Si la edad que tendría dentro de 28 años es una vez más la edad que tenía hace 10 años ¿Cuántos años tenía Noemí hace 7 años? A) 29

21.

D) 45

Al empezar la fiesta de cumpleaños de Juancito, se pudo observar que la asistencia de los varones con respecto a las mujeres era como 13 a 9. Después de 3 horas, en la fiesta se observa que llegan 8 varones y 4 mujeres. con lo cual la razón de varones a mujeres es de 3 a 2. ¿Cuántos varones y cuantas mujeres habían al inicio de la fiesta? A) 36 y 27 D) 45 y 32

20.

C) 42

En una reunión se observan que el número de varones y el de mujeres están en la relación de 7 a 9 respectivamente. ¿Cuántas parejas deben retirarse de la reunión para que por cada 15 mujeres haya 11 varones; si el número de mujeres que había al inicio excede en 28 al número de varones que hay al final? A) 10

E) 56

12. La suma, diferencia y producto de dos números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Hallar los números. A) 6 y 12

D) 15

Si se cumple que:

A) 36

11. En una proporción geométrica continúa, el producto de sus cuatro términos es 1296 y uno de sus términos extremos es 3. Hallar la suma de los términos de la proporción A) 29

C) 20

m2  27  n2  147  p2  48

E) 100

10. Si Juan le da a Pedro 10m de ventaja para una carrera de 100 m; y Pedro le da a Carlos una ventaja de 20 m para una carrera de 180 m. ¿Cuántos metros de ventaja debe dar Juan a Carlos para una carrera de 200 m? A) 40m

B) 4

Halle:

9. Si la suma de los primeros términos de una proporción geométrica es 32, la suma de los segundos términos es 16 y la diferencia de sus consecuentes es 6; entonces la diferencias del número mayor y el menor , es: A) 48

E) 14

A B BC A C   9 11 10 y 3A + 2B – C = 240

además

E) 54

8. La suma de 2 números excede en 36 a su diferencia. Si el menor es respecto al mayor como 3 es a 8, el número mayor es: A) 48

D) 36

p2  32 m2  18 n2  98   K 3 7 4 ,

64 m n 8    m n 8 p , el valor de m + p es: Si: A) 9

C) 18

c e g   k d f h y además

A) 30

E) 5

6. Dos números don proporcionales a 2 y a 5 respectivamente. Si se suma 175 al primero y 115 al segundo, se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el número mayor? A) 80

B) 24

Halle: A + B – C

Por lo tanto, obtener el valor de A + B + C B)18

E) 100

Halle el valor de “k”

3 5 10   C. 5. Se conoce que A B C  1200 además: A B A) 36

D) 95

a + c + e + g = 88

E) 90

4. La suma, la diferencia el cociente de dos números enteros positivos están en la misma relación que 9,7 y 2. La cifra de las decenas del producto de dichos números es: A) 1

C) 90

E) FFV

3. Hallar la cuarta diferencial de 100 y la tercera diferencial de 120 y 90; y de la media proporcional de 100 y 49 A) 15



A) 9 D) FFF

B) 80

y ab + cd = 2500, halle el valor

a + c + f + h = 43

La secuencia correcta es: C) FVV

c d  12 6

b + d+ e + g = 67

III) En toda proporción geométrica, la suma de los antecedentes es a su diferencia, como la suma de los consecuentes es a su diferencia.

B) VVV



14. Si 8 es la cuarta proporcional de “a”; 6 y “b”; y “a” es la cuarta proporcional de “b”, 16 y 48. Hallar a + b

II) En toda proporción aritmética, el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios

A) VFV

b

A) 75

, entonces

a c  b d



13. Si: 7 4 de: a + c

B) 14

C) 21

D) 28

E) 30

En una proporción geométrica discreta cuya razón es un número entero y positivo, el primer consecuente es igual al doble del segundo antecedente. Si la razón aritmética de los extremos es 136. Halle la suma de los antecedentes. A) 156

B) 168

C) 172

D) 180

E) 192

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 37 23.

La suma y el producto de los cuatro términos de una proporción continúa, son respectivamente 192 y 194481. Calcule la diferencia de los extremos. A) 75

24.

B) 86

C) 104

D) 144

de “C” es a la de “D” como 8 es a 9. Si cuando “B” nació, “D” tenía 27 años, ¿cuánto tenía “C” cuando “A” nació?

E) 156

A) 26

Dos personas A y B juegan a las cartas, inicialmente A tiene S/. 2 200 y B S/.4400. Después de jugar 20 partidas, la razón entre lo que tiene A y lo que tiene B es como 3 a 8. ¿Cuántas partidas ganó B, si en cada partida se gana o se pierde S/. 50? A) 8

25.

B) 12

C) 14

D) 16

A) 10

26.

B) 28

C) 20

D) 25

27.

B) 320

C) 240

D) 280

D) 32

E) 36

11  a 20  b 50  c    r3 11  a 20  b 50  c y

a  b  c  1  r6

Hallar el valor de r A) 8

B) 4

C) 2

D) 6

E) 10

29. Sea a, b, c y d números naturales tales que

a ac b    k, b d c II) d  c  39

k  N  {1; 2}

I)

E) 30

En una proporción geométrica continua el producto de los antecedentes es 400 y el producto de los consecuentes es 6 400. Hallar la suma de los 4 términos de la proporción. A) 250

C) 28

28. Sea r > 1 Si:

E) 18

Los términos de una proporción aritmética son proporcionales a 9;7; 10 y 8. Si al primero se le suma 10, al segundo se le resta 20, al tercero se suma 20 y al cuarto se le resta 20, se forma una proporción geométrica. Determine la razón de la proporción aritmética.

B) 24

Entonces el valor de “d – b ” es : A) 10

B) 28

C) 20

D) 25

E) 30

E) 260

La edad de “A” es a la de “B” como 2 es a 3; la edad de “B” es a la de “C” como 9 es a 20; la edad

(Recta) MAGNITUD:

(A1 , B1 )

Se llama magnitud a todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución); el cual se puede medir directa o inversamente. (A2 , B2 )

CANTIDAD: Es valor particular de una magnitud. Ejemplo: MAGNITUD

CANTIDAD

Longitud

2120 km.

Velocidad

30km/h

Peso

300 kg.

II) MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP) Dos magnitudes son I.P. si cuando uno de ellos aumenta o disminuye, entonces la otra magnitud disminuye o aumenta en la misma proporción.

I) MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP)

MAG.

Dos magnitudes son D.P. si cuando uno de ellos aumenta o disminuye, entonces la otra magnitud aumenta o disminuye en la misma proporción.

A



B



MAG.

VALORES CORRESPONDIENTES

A



B



CONDICION: A (D.P.) B ↔ Es decir:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA: A (DP) B

VALORES CORRESPONDIENTES

CONDICIÓN: A (I.P.) B



Es decir:

A1  B1  A2  B2  k También:

; A=k 1

B

38 | C E P R U 2 0 1 5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

PARTES

DP

A (I.P.) B



(Rama de la hipérbola)

REPARTO SIMPLE INVERSO:

Es cuando el reparto se realiza en forma IP a los índices.

(A1 , B1 )

RECORDAR:

(A2 , B2 ) Ejemplo. Repartir 780 en 3 partes que sean IP a los números 6; 9 y 12 PROPIEDADES

PARTES IP

Sean las magnitudes A, B, C, D y E: 1.

A DP B



B DP A

A IP B



B IP A

2.

A IP B



3.

A DP B



4.

A IP B Si:

5.

Si:

A DP

DP

1 𝐵





k=



MCM (6, 9 y 12) = 36;



REPARTO COMPUESTO

Es cuando el reparto se realiza a dos o más grupos de índices. REPARTO PROPORCIONAL: Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en dividir una cantidad en varias partes, las cuales deben ser DP o IP a ciertos valores llamados índices de reparto o indicadores.

Ejemplo Repartir 2 225 en 3 partes que sean DP a los números 3; 5 y 8 e IP a los números 4; 6 y 9 PARTES DP DP

1. REPARTO SIMPLE Es simple si el reparto, si el reparto se realiza en varias partes proporcionalmente a un grupo de indicadores. • REPARTO SIMPLE DIRECTO. Es cuando el reparto se realiza en forma DP a los indicadores. Ejemplo. Dividir 600 nuevos soles en tres partes que sean DP a 7, 4 y 9.

EJERCICIOS

1. Del gráfico mostrado, calcule

nk y

A .

(x,y)

A

18

9

n 12 A)2/3

O A)7

k 15 B)9

y C)12

30 35 D) 3

B 15 E) 4

2. El siguiente gráfico corresponde a la relación entre

magnitudes que intervienen en un fenómeno. Hallar b, si el área sombreada es 36 u2.

O b

B)1/2

2

C)2/5

B E)3/2

D)3/5

3. Si A varia proporcionalmente a B, al cuadrado de C e inversamente proporcional a D. Si cuando A = 8, B = 5 y C = 4 entonces D = 2. ¿Cuánto valdrá B cuando A = 2D y D = 4C? A)120

B)160

C)40

D)80

E)60

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 39 4. El siguiente cuadro muestra los valore s de las

magnitudes de A y B que guardan cierta relación de proporcionalidad. Calcular x + y. A

2

x

8

18

B

3

24

y

21

A)30

B)23

C)32

A–2 x 6

D)16

y

E)20

5. Sean A, B y C magnitudes. Se sabe que: A DP

20 30

O

C (B: cte.)

A IP B (C: cte.) Si cuando A aumenta en 60%, C aumenta en 44%, ¿Qué pasa con B?

A)12

60

A

8

m

n

B

22

32

62

B)24

C)28

D)30

B–2

E)32

12. Un grupo de amigos se van de campamento,

A) Disminuye en 75%

D) Aumenta en 75%

pero faltando 4 días para que se terminen los víveres 3 de ellos se regresan por lo que los víveres alcanzan para 3 días más. ¿Cuántas personas se quedan hasta el final del campamento?

E) No aumenta ni disminuye

A) 14

B) Aumenta en 25% C) Disminuye en 25%

B)12

C)18

D)16

E)20

13. El 6.

Se tiene 2 magnitudes A y B que son I.P. Cuando A aumenta 6 unidades, B varía en un 20%. ¿Cómo varía B, cuando A disminuye en 4 unidades?

A) 20%

7.

tiempo de vida de una maquina es directamente proporcional al cuadrado del número de mantenimientos anuales e inversamente proporcionales al número de horas anuales de trabajo. Si una máquina que trabaja 3600 horas anuales y tiene 3 mantenimientos anuales su tiempo de vida es 12 años, ¿Cuánto tiempo de vida tendrá una máquina que trabaja 4800 horas anuales y tiene 4 mantenimientos al año?

B) 30%

C) 25%

D) 40%

E) 15%

Sabiendo que: A es DP con B2 (C: es cte.)

A) 13

C es IP con A (B: es cte.) A

80

a

25

B

10

2

10

C

40

2

b

8.

B)192

C)152

D)112

3

B

A DP C cuando B es

9.

A)5000

B)5100

D)5200

E)5250

15. Si el precio de un diamante es DP al cuadrado

12

100

B

16

x

25

de su peso. ¿Cuánto se perdería si un diamante se rompe en 2 pedazos, siendo uno el triple del otro? Si el precio del diamante cuesta $32000.

C

y

3

5

A) $13 000

B) $12 000

D) $12 400

E) $13 600

B)75

C)85

D)83

E)90

A

2

16

54

250

B

60

30

20

b

Hallar b. B)

C)12

D)6

E)10

10. Si se cumple que:

de su peso. Si una esmeralda se parte en 2 pedazos, uno de los cuales tiene como peso 3/5 del otro, sufre una pérdida de S/. 24 000. ¿Cuánto costaba la esmeralda antes de romperse?

A)S/.50 000 D)S/.36 000

concatenados. Cuando funcionan 5 minutos, uno a dado 70 vueltas más que el otro. ¿Cuál es la velocidad del engranaje pequeño en R.P.M.?

A)35

Además: 6

1

y

B

2

27

8x

C

1

x

y

E)15

11. Del gráfico y de la siguiente tabla, determinar “m + n + x + y”

C)30

D)36,5

E)37,5

rueda B de 12 dientes, la cual está unida mediante un eje a la rueda C que tiene 18 dientes, esta última rueda engrana con la rueda D de 54 dientes. Si la rueda A da 120 r.p.m., ¿Cuántas vueltas da la rueda D en 15 minutos?

Calcular x+y, considere x  0 e y  0. D)12

B)40

18. Una rueda A de 24 dientes engrana con otra

A

C)10

B)S/.20 800 C)S/.15 000 E)S/.51 200

17. Dos engranajes de 8 y 15 dientes están

A IP C (B: cte.)

B)16

C) $11 600

16. El precio de una esmeralda es D.P. al cuadrado

A DP B (C: cte.)

A)18

C)5125

8

Se tiene el siguiente cuadro de valores:

A)13

E)17

A

Calcular: x+y A)80

D)16

L., pero se observa que tiene un huequito en la parte de atrás. Se sabe que con una velocidad de 40 km/h botaría 100 L. en 1h. Determinar cuántos litros habrá después de 5 horas de viaje si cada hora su velocidad aumenta en 10 km/h con respecto al anterior y partió con 50 km/h. se sabe además que si la velocidad es constante, el tiempo es DP al volumen y si el tiempo es constante, la velocidad es DP al volumen.

E)105

Sean las magnitudes A, B y C, siendo A IP cuando C es constante, constante.

C)15

14. Un camión cisterna tiene capacidad para 6000

Calcular: “a + b” A)172

B) 14

A)120

B)1200

19. Si se cumple:

C)2400

D)1500

E)150

40 | C E P R U 2 0 1 5 A DP B2 (B  20)

de dinero y de cómo respuesta la suma de sus cifras.

B (B  20)

A IP

A)12

Calcule A cuando B es 180; si A es 3 cuando B es 10. A)4

B)6

C)10

D)8

magnitudes A y B se ha descubierto que cuando 2

B . Si cuando B = 9,

cuando B  72, A es I.P. a A = 40. Hallar A cuando B = 216. (B = 72 es un punto de enlace o continuidad). C)80

D)180

E)200

los cuadrados de 1, 1/2 y 1/4. Hallar la menor de las cantidades. C)40

D)60

E)100

números 3/7, 1/3, 3/8 y 0,5. Dar como respuesta la diferencia entre el mayor y la menor de las partes. B)3260

C)3460

D)3560

E)3410

23. Se reparte una determinada cantidad de dinero

entre 4 personas. Lo que le toca al primero es a lo del segundo como 2 es a 3; lo del segundo es a lo del tercero como 4 es a 5 y lo del tercero a lo del último como 6 es a 7. Si el último recibió 5600 n.s. La cantidad repartida es:

A)19 000

B)19 400

D)16 800

E)20 000

C)19 600

518 y 520 ¿Cuánto le corresponde al menor? B)5

C)8

D)10

E)3

2 25. Repartir 540 en tres partes D.P. a 2a , 18 y 32 , siendo la suma de las dos últimas partes

420. Hallar el valor de “a”.

A)6

B)4

C)2.

D)3

E)5

26. Al repartir N en tres partes A, B y C de manera

que A es a B como 3 es a 4 y B es a C como 7 es a 3, se obtuvo como parte mayor 1400. Encuentre N.

A)2000 D)2300

B)6400

E)610

B) 21 C) 12

D) 24

E) 18

31. Se ha repartido una cantidad en partes

proporcionales a las edades de tres muchachos resultando uno con S/.450, otro con S/.540 y el tercero con S/.270. ¿Cuánto menos hubiera recibido el mayor si el reparto hubiese sido en forma inversa a sus edades?

A)S/.240

B)S/.230

D)S/.300

E)S/.250

C)S/.220

32. Repartir 42 entre A, B y C de modo que la parte de A sea el doble de la parte de B y la de C la suma de las partes de A y B. luego, el producto de las partes de A, B y C es:

A)2058

16 24. Repartir 1953 en partes D.P. a los números: 5 ,

A)6

D)720

números consecutivos decrecientes y a la vez I.P. a los números peor en orden creciente. Si la cantidad mayor obtenida es 9/19 de N. ¿Cuál es la suma de los 3 números consecutivos?

A) 15

22. Repartir 33000 en 4 partes que sean D.P. a los

A) 3360

E)144

30. N se divide en partes iguales que son D.P. a 3

21. Repartir 840 en partes que sean proporcionales a

B)30

D)120

partes obtenidas forman una progresión aritmética. Calcular la mayor parte obtenida si la parte correspondiente a “m” es 720, además “m+n” es 7.

A)960 B)420 C)620

REPARTO PROPORCIONAL

A)20

A) 64 B)81 C)100

29. Al repartir cierta cantidad D.P. a 2, m y n las

B  72 se cumple que A es D.P. a B , pero

B)320

D)18 E)20

inversamente proporcionales a las raíces cubicas de 54, 128 y 686. La parte menor es:

20. En un fenómeno donde intervienen las

A)20

C)16

28. El número 732 se divide en partes que son

E)12

3

B)14

B)980

C)686 D)1856

E)2158

33. Una herencia consta de dos partes que deben

repartirse proporcionalmente a las edades de tres hermanos. Se reparte la primera parte y se observa que a los dos mayores le corresponde S/300 y S/240 respectivamente. Se reparte la segunda parte a los dos menores, les corresponde S/360 y S/240. ¿A cuánto asciende la herencia total? (en soles).

A)1750

B)1650

D)1600

E)1800

C)1700

34. Dividir 5/6 en tres partes que sean DP a 1/2, 1/6, y 1/4 e IP a 1/5, 1/8 y 1/3. Hallar la parte mayor.

A)3/11 B)5/11 C)3/9 D)7/11 E)5/12

35. Cierta persona inicia un negocio después de 5

C)3050 E)3250

27. Tres personas deciden repartirse cierta cantidad

de dinero en forma directamente proporcional a sus edades 20, 25 y 30 años, pero luego cambian de opinión y hacen el reparto directamente proporcional a sus estaturas que son 1,2; 1,6 y 2 m. respectivamente, con lo cual el primero recibe 32 soles menos. Calcular dicha cantidad XXXXXXXXXXX

meses acepta un socio, el cual aporta 100 dólares menos que el primero, 3 meses después acepta un socio el cual invierte 500 dólares. Si el negocio duro un año al final del cual el primero y el segundo ganaron 180 y 70 dólares respectivamente. Calcular la ganancia del tercero.

A)100

B)9

C)8

D)11

E)12

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 41

La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes proporcionales. De acuerdo a la cantidad de magnitudes que intervienen, la regla de tres puede ser simple o compuesta. 10.1 Regla de tres simple. La regla de tres es simple cuando intervienen solo dos magnitudes. La regla de tres simple puede ser a su vez directa o inversa. Regla de tres simple directa (R3SD). La regla de tres simple es directa cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales (DP). Ejemplo: Si 40 obreros trabajan 100 metros de carretera por día, ¿cuántos metros por día harán 70 obreros? Solución: Analizando el problema se tiene: A más obreros se hará más metros de carretera A menos obreros se hará menos metros de carretera Entonces las magnitudes son D.P.: Luego aplicando método práctico (multiplicación en aspa) se tiene: 40 obreros 70 obreros

100 m

Es lodo lo realizado (la obra en sí) y los inconvenientes o condiciones que posee el medio para la realización, de la obra. Ejemplos: Las medidas de la obra (largo, ancho, alto, profundidad, área, volumen, etc.), dificultad de la obra, resistencia al medio, etc. En forma esquemática se tiene: Se igualan los productos de multiplicar valores que siguen a una misma raya. Ejemplo: Sabiendo que 20 obreros, trabajando 6 horas diarias pueden hacer una obra en 10 días; determinar en cuántos días 30 obreros, trabajando 8 horas diarias pueden hacer una obra cuya dificultad es dos veces la anterior. Solución: Sacamos los datos y los vamos separando en los grupos de causa, tiempo y efecto: Causa

Tiempo

Efecto

20 obr 6hr. 10días 30 obr. 8hr. “x” días

1obra 1 dific. 1obra 2 dific.

Según este método se multiplican los valores siguiendo cada raya y los igualamos así: 20 . 6 . 10 . 1 . 2 = 30 . 8 . x . 1 . 1 x = 10

x m

Regla de tres simple inversa (R3SI) La regla de tres es simple inversa, cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP). Ejemplo: 45 obreros pueden hacer un edificio en 20 días; en cuánto tiempo harán 60 obreros la misma obra. Solución: Analizando el problema se tiene: A más obreros se terminará en menos tiempo A menos obreros se terminará en más tiempo Entonces las magnitudes son I.P. Luego aplicando método práctico (multiplicación en paralela) se tiene: 45 obreros

20 días

60 obreros

x días

10.2 Regla de tres compuesta Resulta de comparar más de dos magnitudes D.P. ó I.P. Método de las Rayas.- Las magnitudes que participan se clasifican en tres grupos: Se igualan los productos de multiplicar valores que siguen a una misma raya. NOTA: Para hallar la incógnita utilizando el “método de las rayas”, las magnitudes que intervienen son clasificadas en tres partes que son: • Causa Es todo aquello que realiza la obra o acción, así como las condiciones que tienen para realizarla. Ejemplos: Hombres, animales, máquinas, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc. • Circunstancia Son las condiciones en el tiempo para realizar la obra. Ejemplos: Horas diarias, días, meses, años, raciones diarias, etc. • Efecto

REGLA DE TANTO POR CIENTO El tanto por ciento de una cantidad es el número de partes que se toma de ella considerándola equivalente a 100.o Es una varias centésimas partes de una unidad PORCENTAJES Es la aplicación del tanto por ciento respecto a una cierta cantidad. NOTACIÓN 𝒂 “𝒂 por ciento de 𝑵 = . 𝑵 = 𝒂%𝑵” OBSERVACIONES

𝟏𝟎𝟎

a) 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎%𝑵 b) 𝑵 + 𝒂%𝑵 = 𝟏𝟎𝟎%𝑵 + 𝒂%𝑵 c) 𝒂(𝒃%𝑵) = (𝒂 × 𝒃)%𝑵 𝒂 𝒃 4. 𝒂% del 𝒃% del 𝒄% de 𝑵= . .

𝒄

𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎

.𝑵

10.4 APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Aumento sucesivo consiste en determinar el aumento único equivalente de varios aumentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad. Dados los aumentos sucesivos del a%, b%, c% de N

Descuento sucesivo consiste en determinar el descuento único equivalente a varios descuentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad. Dados los descuentos sucesivos de a%, b%, c% de N.

APLICACIONES COMERCIALES En la actividad comercial es usual expresar las ganancias, las pérdidas y los descuentos como tanto por ciento de los precios. Precio de venta (Pv) y Precio de costo (Pc) Todo producto que se transfiere comercialmente tiene un precio. Para el vendedor, se llama precio de venta y para el comprador, precio de costo. El vendedor, puede vender en un precio mayor al que le costó, entonces tiene una ganancia (G), de modo que: PV = P C + G

42 | C E P R U 2 0 1 5 El vendedor, puede vender en un precio menor al que le costó, entonces hay una pérdida (P). PV = PC – P Los compradores, sobre todo los minoristas y mayoristas, compran a los distribuidores con descuentos sobre el precio de lista o precio fijado (PL), que generalmente es el precio al público. Entonces:

Para los vendedores: PV = PL – descuento Para los compradores: PC = PL – descuento

EJERCICIOS

1. Si 12 obreros hacen una obra en 28 días en un 60% ¿Qué tiempo emplearan en hacer la misma obra? A) 10

B) 22

C) 20

D) 5

E) 26

2. Un regimiento debe tardar 5 días con marcha regular para llegar a su destino, pero en el momento de salir recibió la orden de que hiciese el recorrido en dos días menos, lo que obligo a aumentar la marcha diaria en 20km ¿De cuántos kilómetros fue el recorrido? A) 30 3.

B) 80

B) 45

C) 46

D) 44

E) 49

B) 13

C) 15

D) 23

E) 25

8 obreros pueden hacer una obra en 20 días después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros ¿Con cuántos días de atraso termino la obra? A)9

6.

E) 150

Un obrero recibe 50 soles por cada día que trabaja y 20 soles por cada día que no trabaja . si luego de 23 días recibe 910 soles ¿Cuántos días trabajo? A) 8

5.

D) 120

Una guarnición de 2200 hombres tienen provisiones para 62 días al terminar el día 23 se retiran 250 hombres ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que queda al resto de la guarnición? A) 40

4.

C) 100

B) 15

C) 20

D) 24

B) 94

C) 96

D) 97

B) 6.91

C) 8.91

D) 9.91

E) 5.91

8. Para pintar un cubo de 10 cm de arista se gasto 12 soles. ¿Cuánto se gastara para pintar otro cubo de 15 cm de arista? A) 20

B) 25

C) 27

D) 29

E) 26

9. La cantidad de granos de un maíz que entran en un balón esférico de 3 dm de diámetro es 120 ¿Cuántos granos entraran en un balón de 6 dm de diámetro? A) 920

B) 960

C) 970

D) 950

E) 900

B) 230

C) 231

D) 235

A)9

B)5

C)8

D) 10

E) 12

12. Se contratan 5 costureros que hacen 12 pantalones en 15 días, se pretenden tener 60 pantalones en 25 días ¿Cuántos costureros al igual de rápidos se deberán contratar además de los que ya están contratados? A)6

B)7

C) 9

D) 12

E) 10

B) 20

A) 101

D)5

E)6

C) 30

D) 40

E) 50

B) 103

C) 105

D) 104

E) 102

d) 12 albañiles y 14 peones se comprometen en hacer una obra en 30 días al cabo del quinto día se despiden a 4 albañiles y a 8 peones debido a que les dio 20 días mas de plazo para concluir la obra . hallar la relación de las eficiencias (albañil/peón). A)3/2

B)3/4

C)4/3

D)2/3

E)4/5

e) 80 obreros trabajan 8 horas diarias construyendo 480 una obra en 15 días ¿Cuantos días requieren 120 obreros, trabajando 10 horas diarias para hacer 960 de la misma obra? A) 12 f)

B) 14

C) 15

D) 13

E) 16

Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días ¿En cuántos días talaran 16 leñadores 16 árboles si estos últimos son ¼ menor rendidores que los anteriores? A) 4

B) 6

C) 8

D) 14

E) 16

g) Si un viajero aumenta su velocidad de marcha en 1/3 ¿Cuántos horas diarias habrá de caminar para recorrer en 4 días el camino hecho en 6 días de 8 horas de marcha cada día en su velocidad normal. A) 6

B)7

C)8

D)9

E)10

h) Un contratista debe terminar una obra en 30 días Si inicia la obra con 10obreros trabajando 6h/d transcurridos 20 días han realizado el 50% de la obra ¿Cuántos obreros adicionales se debe de aumentar, para que trabajando 8h/d se termine la obra en el tiempo previsto? A) 10 i)

B) 11

C) 8

D)5

E) 6

Quince albañiles trabajan 12 h/d , durante 16 días , pueden hacer una zanja de 4 m de largo , 2 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Si 12 albañiles durante 18 días pueden hacer una zanja de 3 m de largo , 1,5 metros de ancho y 2 m de profundidad, ¿Cuántas horas diarias deben trabajar?

E) 234

11. Un móvil va a una velocidad de 90 km/h emplea n horas para recorrer un trayecto , pero si aumenta su velocidad a 120 km/h empleara 2 horas menos , hallar n

C)4

c) Una cuadrilla de 40 obreros se compromete a construir en 24 días cierta hora, al cabo de 18 días ha hecho 5/11 de la obra ¿Cuántos obreros tendrán que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado?

10. En una reunión a la que asistieron 378 personas se sabe que por cada 7 varones hay 11 mujeres ¿Cuántas mujeres hay en dicha reunión? A) 232

B)3

A) 10

E) 99

7. Despepitando 8250 kilogramos de mango se han obtenido 6750 kilogramos de pulpa ¿Cuál sería el importe que se tendría que gastar para obtener 9 kilogramos de pulpa si los mangos se compran a razón de 081 soles el kilogramo? A) 7.91

A)2

b) 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días, en ese momento abandonan el trabajo 5 obreros ¿Cuántos días tardaran en terminar el trabajo los obreros que quedan?

E) 25

Con 6 toneladas de guano se pueden abonar 27 terrenos de forma cuadrada de 4 metros de lado ¿Cuántos terrenos de la misma forma de 3 metros de lado se podrían abonar con 12 toneladas de guano A) 92

a) Dos secretarias copian 250 problemas en una semana ¿Cuántas secretarias serían necesarias para copiar 600 problemas en 4 días?

A)9 j)

B) 10

C)11

D) 12

E)13

Si 20 hombres pueden tumbar cierto número de muros o hacer 20 obras en 20 días y 12 hombres pueden tumbar 12 muros o hacer cierto número de obras en 12 días ¿Cuántas obras pueden hacer 10 hombres que tumban 15 muros? A) 9

B) 10

C) 15

D) 12

E) 16

k) Una agrupación de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 rasiones diarias cada hombre. ¿Cuántos días duraran los víveres, si cada hombre toma 2 raciones diarias?

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 43 A) 10 l)

B) 20

C) 15

D) 16

E) 18

Se sabe que 30 albañiles trabajando 9h/d durante 18 días pueden construir 3 casas ¿Cuántos albañiles podrán construir 4 casas, trabajando a un ritmo de 8h/d durante 15 días? A) 50

B) 51

C) 52

D) 53

E) 54

m) 9 obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días. si después del cuarto día legan 6 obreros mas ¿Cuántos días antes del plazo terminaron? A)5

B)8

C)6

D)9

E)4

TANTO POR CIENTO

b) 18

c) 15

d) 12

e) 30

2. El 80% del 175 por mil de N; ¿Qué porcentaje del 36% del 4 por 9 de N es? a) 27,5

b) 17,5

c) 82,5

d) 87,5

e) 90

3. ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número, es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número? a) 2 %

b) 10 %

c) 20 %

d) 24 %

e)15 %

4. Si en una reunión social, el 75% de los varones es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de personas son mujeres? a) 37,5%

b) 62,5%

c) 36% d) 56,5%

e) 43,5%

5. En una reunión hay 100 personas de los cuales el 70% son mujeres. ¿Cuántas parejas deben llegar a la reunión para que el número de hombres sea el 60% de las mujeres? a) 40

b) 38

c) 36

d) 30

e) 42

6. En una población se determinó que el 35% son hombres y el 60% de las mujeres no fuman. ¿Qué porcentaje del total de personas son las mujeres que fuman? a) 23%

b) 20% c) 18% d) 26%

e) 30%

7. En una granja el 20% son patos, el 45% gallina y el resto conejos. Si el número de gallinas fuera el doble y el número de conejos fuera el cuádruplo, ¿Qué tanto por ciento del nuevo total serían los patos? a) 7%

b) 8%

c) 9% d) 10%

e) 15%

8. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar a 80 litros de vino de modo que la cantidad de vino represente el 20% de la mezcla? a) 320

b) 80

c) 240

d) 160

e) 120

9. Ana lleva al mercado 4000 naranjas y encuentra que el 10% estaba malogrado y solo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaran sin vender? a) 1440

b) 1560

c) 2160 d) 1445

e) 1840

10. En la familia Rojas el 30% de los varones adultos es igual al 60% de las damas adultas, y el 15% de ellas es igual al 20% de los niños. ¿Qué porcentaje del total representan los niños? a) 20 %

b) 15 %

c) 30 %

d) 40 %

e) 25 %

11. ¿Cuál es el descuento equivalente a 3 descuentos sucesivos de 20%; 25%; y 30%? a) 55%

b) 52%

c) 60%

d) 58%

e) 59%

12. A qué descuento único equivale, los descuentos sucesivos del 10%, 20% y 50%? a) 60%

b) 65%

c) 64%

d) 70%

e) 62%

13. A qué aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 20%, 40%, i 50%? a) 120%

b) 150%

c) 145% d) 152%

a) 75,6%

b) 125,4%

e) 162%

c) 25,4%

d) 225,4%

e) 35%

15. Del dinero que dispongo puedo comprar cierto número de lapiceros de tinta liquida y si este precio variase en 10% podría comprar 10 lapiceros mas. ¿Cuántos lapiceros podría comprar? a) 90

b) 100

c) 110

d) 80

e) 85

16. El número de artículos que se pueden comprar con una suma de dinero aumentaría en 5, si se variase en 20% el precio de cada artículo, ¿Cuál es dicho número de artículos? a) 16

1. El 9% de 45 es igual al 27% ¿de qué número? a) 24

14. Hallar un Aumento único que reemplace a 3 aumentos sucesivos del 5%, 10% y 20% respectivamente:

b) 20

c) 23

d) 17

e) 18

17. ¿En qué porcentaje varía el volumen de un cilindro cuando su altura se reduce en 25% y la longitud del radio de la base aumenta en 20%? a) Aumenta en 8% b) disminuye en 8% c) aumenta en 12% d) disminuye en 8% e) no varía 18. Si el 15% del área de un círculo es igual al 60% de la longitud de su circunferencia. Hallar el valor del radio. a) 10

b) 12

c) 8

d) 15

e) 16

19. En el estadio Garcilaso se ha disminuido 1/5 de su ancho y aumentado 1/5 de su largo. Si su área inicial era de 4000 m2, ¿cuántos metros cuadrados de su área ha variado? a) 400

b) 180

c) 160d) 200

e) 120 m2

20. Un artículo se vendió en S/.2080, ganando el 30%. ¿Cuál era su precio de costo? a) S/. 1500

b) S/. 1600

d) S/. 1700

e) S/. 1800

c) S/. 1650

21. Se vende un televisor por S/.6000 ganando el 20% del precio de venta más el 20% del precio de costo. Hallar el precio de costo del televisor. a) S/.1500 d)S/.4000

b) S/. 2000 e) S/.4500

c)

S/.3000

22. Un artículo se vende ganando el 24% de su costo; si el precio de venta fue S/. 744, hallar su costo. a) S/.650 S/.600

b) S/. 625 e) S/. 750

c) S/. 630

d)

23. Un artículo se vende perdiendo el 8% de su costo; si el precio de venta fue S/. 575, hallar su costo. a) S/.650 S/.700

b) S/. 625 e) S/. 750

c) S/. 630

d)

24. ¿Qué precio se fijó para la venta de un artículo, si luego de sufr4ir un descuento del 15%, se vendió en S/. 544? a) S/.640

b) S/. 645

d) S/.725

c) S/. 930

e) S/. 750

25. Se vende un artículo en 120 soles ganando el 25%. ¿Cuál fue el precio de costo? a) 80

b) 72

c) 96

d) 90

e) 150

26. ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en 180 soles, habiéndose hecho un descuento del 20%? a) 225

b) 260

c) 240

d) 210

e) 200

27. Un artículo tiene un precio de costo de S/. 3300 ¿Cuál será el precio que debe fijarse para que, al venderlo con un descuento del 20%, se obtenga una ganancia del 25% sobre el precio de venta? a) 4400

b) 4500

d) 5500

e) 6000

c) 5000

44 | C E P R U 2 0 1 5

REGLA DE INTERÉS SIMPLE INTERÉS: Es la ganancia, beneficio, o utilidad que genera un capital prestado, durante un cierto periodo de tiempo y según una tasa fijada en porcentaje. CLASES DE INTERÉS INTERÉS SIMPLE: (El interés no se capitaliza) El interés no se acumula al capital en cada intervalo de tiempo, retirándose el interés tan pronto como se produce, permaneciendo el capital constante durante el tiempo de préstamo.

ELEMENTOS • El capital (C); Suma de dinero que su poseedor la impone o la presta a determinadas condiciones para obtener ganancia o rédito. • El interés (I); Ganancia o beneficio o utilidad que produce el capital prestado durante cierto tiempo a una tasa porcentual fijada. • La tasa de interés (r%); Es la ganancia que produce cada 100 unidades de capital (expresada en porcentaje). • El tiempo (t); Período que dura el préstamo, el cual puede estar en años, meses o días. • El monto (M); Es la suma del capital con el interés. M = C + I Observaciones: 1) En el comercio se considera: • 1 año = 360 días. • 1 año común = 365 días • 1 mes= 30 días 2) La tasa (r%) porcentual que interviene en la formula siempre debe ser anual, si no es así, se considera una tasa anual equivalente considerando que 1 año tiene: 2% mensual = 2%(12) anual = 24%anual 4% trimestres = 4%(4) anual = 16%anual 3%quincenal = 3%(24) anual = 72%anual 0.5% diarios = 0.5%(360) anual = 180%a 6% bianual = 6%. 1 anual = 3% anual

LETRA DE CAMBIO: Es un documento legalmente expedido donde una persona llamada deudora o aceptante se compromete a pagar una cierta cantidad de dinero a otra persona llamada acreedor o girador durante un plazo establecido y a una taza porcentual. b) VALOR NOMINAL ( Vn ) : Es la cantidad de dinero que está impresa en un efecto de comercio. c) VALOR ACTUAL ( VA ): Es la cantidad de dinero en efectivo que se paga o se hace efectivo un efecto de comercio, antes de la fecha de vencimiento.

d) DESCUENTO (D): Es la disminución que se hace al Valor nominal de un efecto de comercio, por haber sido cancelada antes de la fecha de vencimiento.

e) TIEMPO DE VENCIMIENTO (t): El tiempo se considera desde la fecha en que se negocia la letra a la fecha de vencimiento. CLASES DE DESCUENTOS: 1.- DESCUENTO COMERCIAL DC (Bancario abusivo o externo): Es el interés simple que genera el valor nominal durante el tiempo de vencimiento

DC =

Vn ×t×r VA ×t×r = 100 100-tr

2.- DESCUENTO RACIONAL Dr (Matemático o Interno): Es el interés simple que genera el valor actual durante el tiempo de vencimiento.

Dr =

VA ×t×r Vn ×t×r = 100 100+tr

PROPIEDADES: Se cumple con respecto a una misma letra a tasas y tiempos iguales 1)

5)

Dc - D r =

2)

6)

VA =

3)

7)

Vn =

Dc > D r

2

0.2%semanal= 0.2% 360 anual=10.3%a 7

INTERES COMPUESTO: (El interés se capitaliza) Es cuando el capital prestado se incrementa periódicamente con los intereses que produce, se dice entonces que los intereses se capitalizan.

M  Ci 1  r 

n

Donde: :

4)

Capital inicial

r : Tasa de interés

n : Nro. de periodos de capitalización

REGLA DEL DESCUENTO

a) EFECTO DE COMERCIO: Este documento tiene la función de representar una suma de dinero a través de: LETRA DE CAMBIO, PAGARE, VALE, GIRO, FACTURAS.

Vn×100 100+t×r

D c ×D r D c -D r

Dc Vn = Dr Var

NOTA: Ejemplo ilustrativo con fechas: ¿Cuantos días hay desde el 15 de Mayo al 13 de Agosto. 16 = 31 – 15

DESCUENTO: Es la rebaja que sufre el valor nominal de una letra de cambio, por ser hecha efectiva antes de la fecha de vencimiento. Matemáticamente el descuento es un interés simple. ELEMENTOS

Dr ×t×r 100

16 15

30 31

MAY

31 días 30

JUN

31 JUL

13 13 AGOS

Entonces: 16 + 30 +31 + 13 = 90 días

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 45 EJERCICIOS A) Una casa cuesta S/. 250 000 y se desvaloriza uniformemente en S/. 25 000 por año. Si una persona tiene S/. 125 000 y los deposita en una entidad financiera al 4%, ¿Al cabo de qué tiempo podrá comprarlo?

N) El interés que produce un capital de S/. 2400 depositado durante 2 meses y 10 días con una tasa de interés del 16% cuatrimestral, es:

A) 2 años y 2 meses B) 4 años y 3 meses C) 3 años y 4 meses D) 4 años y 2 meses E) 4 años y 4 meses B) Calcule el beneficio que se obtiene al colocar S/. 1 200 al 6,25% semestral durante 300 días.

O) Si un capital fue depositado durante 2 años y 6 meses y ha producido un interés igual a los 3/5 del monto. El porcentaje de interés impuesto, es:

A) 100

B) 120

C) 125

D) 110

E) 115

C) ¿Cuál es el capital que durante 260 días, prestado al 3% bimestral, genera un interés de S/. 156? A) 1 000

B) 1 530 C) 280

D) 1 320

E) 1 200

D) Se ha impuesto cierto capital durante 16 meses capitalizable cuatrimestralmente a una tasa de 5% mensual. Si se sabe que el interés generado en el segundo periodo, el interés en el cuarto periodo y el monto del segundo periodo suman S/. 101 280, halle el capital impuesto. A) 30 000

B) 36 000

D) 48 000

E) 50 000

C) 40 000

E) Un capital de S/. 2 648 se presta al 40% sobre el saldo deudor de cada trimestral. Si la deuda debe ser pagada con 3 cuotas trimestrales de igual valor, ¿Cuánto debe ser la cuota trimestral?

F)

A) 1 020,2

B) 1 024,8

D) 1 050,3

E) 1 060,2

C) 1 064,8

Una señora solicita un préstamo de S/. 2 000 a una institución financiera. Cada mes debe amortizar 100 soles del capital prestado, y además pagar un interés al inicio de cada mes del 1% sobre el saldo deudor. Determine el interés total. A) 210

B) 220 C) 225

D) 230

E) 235

G) Un comerciante depositó su capital al 7% anual y el monto que obtuvo fue S/. 6 470; pero si hubiese depositado al 3% trimestral el monto seria S/. 7 890. Halle la suma de cifras del capital. A) 14

B) 16

C) 18

D) 12

E) 20

H) Si un capital depositado al 30% de interés ha producido un interés que alcanza al 60% del valor del capital, durante cuantos meses estuvo depositado. A) 14 I)

B) 36

C) 10

D) 24

E) 12

Si los 5/7 de un capital colocado al 3%, producen anualmente 30 soles más que el resto colocado al 4%, entonces el valor del capital es: A) 5000

B) 3000

C) 4000

D) 2000

E) 2500

J) Un capital de 200 nuevos soles, prestado durante 9 meses a un interés simple, se convierte en 212 nuevos soles. La tasa de interés del préstamo, es: A) 4%

B) 9%

C) 8%

D) 5%

E) 6%

K) Se prestó un capital por 45 días y produjo un interés igual al 6% de dicho capital. La tasa semestral, fue: A) 24%

B) 36%

C) 20%

D) 48%

E) 12%

L) El monto que genera un capital en 10 meses es los 5/6 del monto que se obtendría en 15 meses. El porcentaje del capital que se gana en 6 meses, es: A) 20%

B) 50%

C) 80%

D) 40%

E) 45%

M) Hallar el capital en nuevos soles que colocado al 6% quincenal, genera en dos meses un monto de 9300 nuevos soles. A) 3500

B) 6500

C) 5500

D) 4500

E) 7500

A) 190

A) 50%

B) 224

C) 298

B) 70%

C) 10%

D) 746

D) 40%

E) 192

E) 60%

REGLA DE DESCUENTO 1. Si el valor actual y nominal de una letra de cambio están en la relación de 5 a 9, calcule el tiempo de descuento, sabiendo que se aplicó el descuento racional con una tasa del 20% cuatrimestral. A) 1 año y 6 meses B) 1 año y 2 meses C) 2 años D) 8 meses E) 1 año y 4 meses 2. Una letra pagadera dentro de 7 meses tiene un valor actual de S/. 1548. Si 5 meses después se cancela pagándose con S/. 1728, halle el valor nominal. A) 1 800

B) 1 872

D) 2 000

E) 2 120

C) 1 924

3. Faltando 2 meses para su vencimiento, el valor actual de una letra es S/. 42 000. Si 15 días después el descuento será S/. 94,5, calcule el valor nominal de la letra. A) 40 216

B) 41 212

D) 42 116

E) 42 126

C) 42 216

4. Lucero firma una letra de S/. 8 000 pagadera dentro de 18 meses, pero a los 10 meses la cancela. Se sabe que si la hubiera cancelado 2 meses antes ahorraría S/. 320 más que si la pagaba 2 meses después. Determine la cantidad de dinero que pagó Lucero por la letra. A) 4 780

B) 5 440

D) 7 200

E) 6 900

C) 6 500

5. Jenny ha firmado dos letras afectadas por la misma tasa de descuento, la primera de S/. 9 000 la que canceló cuando faltaban 73 días para su vencimiento, por lo que sólo pagó S/. 8 927. Determine en qué fecha vencía la segunda, si era de S/. 4 500 y al cancelarla el 17 de octubre le descontaron S/. 21. A) 17 de diciembre B) 3 de diciembre C) 28 de noviembre D) 25 de noviembre E) 15 de noviembre 6. Una letra es pagadera dentro de 1 año, si se le descuenta comercialmente al 10% semestral y en lugar de un descuento racional del 30%, se recibirían S/. 64 más. Calcule el valor nominal de dicha letra. A) 1 900 D) 1 940

B) 1 800

C) 2 080

E) 2 820

7. Halle el descuento comercial, para una letra de S/. 54 000 soles, el día que el descuento racional sea los 9/11 del descuento comercial. A) 12 000

B) 10 000

D) 8 000

E) 13 000

C) 11 000

8. Se tiene una letra que vence dentro de un año descontado racionalmente al 60%. La suma de sus valores actuales dentro de 7 y 9 meses e S/. 1 920. Calcule el valor nominal de la letra. A) 1 920

B) 1 720

D) 1 150

E) 9 560

C) 1 560

46 | C E P R U 2 0 1 5 9. Hoy se firma una letra por una deuda de S/. 200, considerándola a un interés simple de 30% con vencimiento en 8 meses. ¿Qué tasa de descuento se debe aplicar a dicho efecto de comercio para que al descontarla comercialmente dentro de 2 meses no exista pérdida de dinero? A) 25%

B) 36%

C) 48%

D) 80%

E) 35%

10. Los valores nominales de tres letras son proporcionales a 2, 3 y 5 y sus vencimientos, en meses, son tres enteros consecutivos crecientes respectivamente. El vencimiento común es “x” días después del vencimiento de la segunda letra, halle el valor de x. A) 6

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

11. Una letra de cambio se descuenta racionalmente cinco meses antes de la fecha de su vencimiento, a la tasa de interés simple de 52% anual. Si el descuento resulto 182 soles, el valor nominal de la letra es: A) 1834

B) 1001

D) 3420

E) 1022

C) 3401

12. Una letra de 24 000 soles vence dentro de 4 meses y 18 días y su tasa de descuento es de 48%. Si se paga dentro de 63 días, el monto a pagar por la letra, es: A) 20 500

B) 22 000

D) 21 960

E) 21 600

C) 22 500

SUMATORIA.- Se llama así a la representación abreviada de una suma.

Donde: xI representa a un número real i: contador que varía de 1 en 1. 1: índice inferior de la sumatoria n: índice superior de la sumatoria. ∑: Letra griega sigma y sirve para representar a una sumatoria. PROPIEDADES. 1. 2.

13. Calcular el valor nominal de una letra, que descontable en 4 meses al 5%, da una diferencia de 2 soles entre el descuento comercial y el descuento racional.

, k fijo o constante. ; k constante.

3. POBLACION.- Conjunto de personas, animales o cosas que tienen una característica común, la cual se desea estudiar. Hay poblaciones finitas e infinitas. Ejemplo: • Conjunto de empresas cuzqueñas. • Conjunto de estrellas en el universo. MUESTRA.- Es todo subconjunto de una población. DATO.- Es el resultado de medir una característica de un elemento de una población. También son los valores que asume una característica de naturaleza cualitativa o cuantitativa. ESTADÍSTICA DEFINICIÓN.- Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos, técnicas para recopilar, organizar( clasificar) presentar y analizar datos con la finalidad de describir o hacer conclusiones válidas o tomar decisiones, sobre alguna característica de una población. CLASES DE ESTADÍSTICA.

A) 6830

B) 8340

D) 1080

E) 1440

C) 7320

14. Con respecto al Descuento Comercial y Racional identificar las proposiciones Verdaderas (V) y Falsas (F). I)

La cantidad de dinero que aparece escrita en una letra de cambio se llama valor actual. ( )

II)

Si una tasa de descuento semestral es 5%, entonces la tasa equivalente anual es 10%. ( )

III: El descuento comercial siempre es menor que el descuento racional. ( ) A) FVF

B) VFF

C) VVF

D) FFF

E) VVV

15. Una letra de cambio de S/. 6 000 se cancela 3 meses antes del vencimiento. Si el descuento que se le hizo fue del 5% semestral, entonces se pagara en efectivo la suma de: A) 4850

B) 5800

C) 6150

D) 5450

E) 5850

16. La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional de una letra de cabio, descontable por 4 meses al 5% anual es 2, el valor nominal de dicha letra de cambio, es: A) 8120

B) 7200

C) 7320

D) 7230

E) 694

1.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.- Conjunto de métodos estadísticos que resume, describe datos mediante tablas, gráficas y operaciones matemáticas. 2.- ESTADÍSTICA INFERENCIAL.- En base a una muestra se encarga de deducir resultados o probar hipótesis sobre una población. VARIABLES ESTADÍSTICAS.- Es una característica común en una población, puede tomar diferentes valores cualitativos o cuantitativos. NOTACIÓN: X, Y etc. VARIABLE CUALITATIVAS. NOMINALES.- No tienen un orden definido. Ejemplo: • Color de ojos de las quillabambinas. ORDINALES.- Cuando existe un orden determinado. Ejemplo: • Grado de instrucción de los que trabajan en Electro Sur. VARIABLES CUANTITATIVAS.- Se expresan en forma numérica su valor. DISCRETA.- Surgen por el proceso de conteo; son números enteros. Ejemplo: • Número de hijos por familia. CONTINUAS.- Cuando la variable asume un valor dentro de un intervalo real. Ejemplo: • Estatura de las personas. • Edades de las personas. • Salarios de las personas. TABULACIÓN DE DATOS DISCRETOS. Ejemplo.- Los siguientes datos se refieren a una encuesta realizada a 10 estudiantes sobre el número de celulares que poseen. 0 2 1 1 3 1 1 2 1 2 a) Agrupar estos datos en una tabla de frecuencias. b) Grafique el pastel. c) Trace el diagrama de barras y de líneas. Solución MARCA DE CLASE.- Son los distintos valores que asume la variable.

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 47 X1 Xmin = 0; X2 = 1; X3 = 2; X4 = Xmax = 3 FRECUENCIA ABSOLUTA.- fi Es el número de veces que se repite una determinada marca de clase. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.F1 = f1; F2 = f1 + f2; F3 = f1 + f2 + f3; etc. f FRECUENCIA RELATIVA: hi = i n FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA. H1 = h1; H2 = h1 + h2; H3 = h1 + h2 + h3; etc. FRECUENCIA RELATIVA PORCENTUAL hI x 100% FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PORCENTUAL. HI X 100 Xi fi Fi hi Hi C 0 1 1 0.1 0.1 36 1 5 6 0.5 0.6 180 2 3 9 0.3 0.9 108 3 1 10 0.1 1 36 PROPIEDADES. 1.- 0≤ hi ≤ 1; 0≤ fi ≤ n;

f1 = F1;

La varianza poblacional (σ2) La desviación estándar poblacional (σ) La mediana poblacional La moda poblacional. ESTADÍSTICOS O ESTADÍGRAFOS.- Es una medida que describe una característica de una muestra, mediante un valor numérico. La toma de decisiones contiene un grado de incertidumbre: • La media muestral( X ) • La varianza muestral(S2) • La desviación estándar muestral(S) • La mediana muestra y la moda muestral. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.- Son valores que de manera condensada representan en un solo valor a un conjunto de datos, lo describen. Las más usuales son: • La Media aritmética. • La Mediana • La Moda. LA MEDIA ARITMÉTICA.Para datos no agrupados:

Fk = n.

REPRESENTACION DE DATOS CUALITATIVOS y DISCRETOS. DIAGRAMA DE BARRAS Y GRAFICO DE LINEAS-

; media poblacional

; media muestral.

Gráfico de líneas

Y para datos agrupados en tablas:

; Xi es la marca de clase. MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA.La media aritmética de los valores x1, x2 , … , xk ponderada por los pesos w1 , w2 , … , wk está dado por:

Xi: número de celulares perdidos. Fi : número de personas. DIAGRAMA CIRCULAR.

NOTA: El diagrama circular solo sirve para 3, 4, 5 ó 6 marcas de clases o categorías. REPRESENTACIÓN DE DATOS CUANTITATIVOS. TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS. Cuando existen muchas marcas de clase o los datos asumen varios valores distintos; entonces conviene agruparlos en intervalos de clase. [Li - Ls > [ 10 , 14 > [ 14 , 18 > [ 18 , 22 >

xi 12 16 20

fi 20 40 30

Fi 20 60 90

HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

40 30 Polígono de frecuencias 20

PARÁMETRO.Es una medida que describe una característica de una población, mediante un valor numérico y su cálculo requiere utilizar la población completa, por tanto las decisiones se tomarán con certidumbre total. Los más utilizados son: La media poblacional (µ)

LA MEDIANA.- De un conjunto de datos ordenados creciente o decrecientemente, es el dato que ocupa la posición central; supera al 50% de los datos y es superado por el otro 50%. CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS.• Se ordena en forma creciente o decreciente. • Si el número de datos es impar, la mediana será el dato central.



Si el número de datos es par, la mediana será la semisuma de los dos datos que se encuentren en el centro.

PARA DATOS CLASIFICADOS. En tablas sin intervalos: • Hallar n / 2 • Hallar Fj, frecuencia acumulada inmediato superior a n/2 • Se tendrá: Fi–1 ≤ n/2 < Fj–1

y j-1 +y j



Si : Fi–1 = n/2,

Me=



Si

Me = Yj

Fi–1 < n/2 ,

2

En tablas con intervalos, se aplica la fórmula:

48 | C E P R U 2 0 1 5 Li : Límite inferior de la clase mediana. w: Amplitud de clase. n: número de datos. Fi : frecuencia absoluta acumulada, inmediato superior a n/2 ó frecuencia absoluta acumulada de la clase mediana. Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a Fi.

N: tamaño de la población.

; varianza muestral. n: tamaño muestral (para datos sueltos o no agrupados).

Primero determine n/2 y luego Fi (inmediato superior a n/2).

PARA DATOS CLASIFICADOS EN TABLAS.-

LA MODA.- Es el dato que más veces se repite. La moda puede no existir (amodal), a veces hay dos modas (bimodal) o más (multimodal).

Xi : Marca de clase de la clase i - ésima. : Media aritmética muestral. fi : frecuencia absoluta de la clase i-ésima. k: número de clases o marcas de clase.

CÁLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS.

Primero determinar la frecuencia absoluta de mayor valor fj Li: Límite inferior de la clase modal. w: Amplitud de la clase modal. f i : Frecuencia absoluta de mayor valor. f i-1 : Frecuencia absoluta anterior a fi f i+1 : Frecuencia absoluta posterior a fi ∆1 = f i – f i-1 ∆2 = f i – f i+1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN.- Son estadísticos o estadígrafos que miden el grado de dispersión o variabilidad de los datos respecto a un promedio. Estudiaremos solo la varianza y la desviación estándar. RANGO O RECORRIDO. R = XMÁX – X MIN LA VARIANZA.- Es una medida muy utilizada, mide el grado de dispersión. Existen dos clases. σ2 : varianza poblacional. S2 : varianza muestral.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR.Viene a ser a la raíz cuadrada de la varianza. Existe desviación estándar poblacional (σ) y desviación estándar muestral (S). DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA. Es cuando su gráfico es simétrico. La media, mediana y moda coinciden; también cuando su primera frecuencia absoluta es igual a la última frecuencia absoluta etc. PRINCIPIO DE UNIFORMIDAD.- En la mitad de todo intervalo de clase se encuentra aproximadamente la mitad de los datos que hay en dicho intervalo y así sucesivamente. NOTA: En estadística por lo general se trabaja con muestras. La media mediana, moda y desviación estándar, se encuentran en las mismas unidades de los datos. La varianza en unidades de los datos elevado al cuadrado.

; varianza poblacional EJERCICIOS 1.

Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes variables estadísticas: I.

“Nivel socioeconómico” Es una variable estadística cuantitativa

II.

“Número de hijos” Es una variable estadística cualitativa.

III. A)

“Peso de una persona” Es una variable estadística cuantitativa continua. VVV

B) FFF

C)FFV

D) FVF

E) FVV

- La marca de clase es el punto medio de cada intervalo de clase - Las medidas de dispersión miden el grado de separación de los datos con respecto a un valor central. - La varianza para datos tabulados se puede expresar

como:

2. En las siguientes proposiciones indicar (V) si es verdadero y (F) si es falso I.

El nivel de colesterol de los pacientes del hospital Lorena es una variable cualitativa ordinal

II.

El número de accidentes de tránsito en la ciudad de Cusco es una variable cuantitativa discreta.

III.

El grado de instrucción de los padres de familia del CEPREU, es una variable cualitativa nominal

IV. La religión de los ciudadanos del cusco es una variable cualitativa ordinal A)

VVFF

B)VVVV

C)FFVV

D) VFVF

E)FVFV

3. De las siguientes proposiciones: - La suma de las frecuencias absolutas simples es igual a 1. - En datos agrupados, la moda es la mayor frecuencia absoluta. - La moda no siempre existe y si existe no siempre es única. - En un diagrama de sectores 58% equivale a 205º - La moda y la mediana de los valores: 1,1,2,5,4,5,6,7,5,9,8,10,10,5 poseen el mismo valor.

 n Xi 1 n 2  2 i 0  S   Xi  n i 1  n  

     

2

- Una muestra es una parte de la población seleccionada con el fin de obtener una información de la población de la cual proviene. ¿Cuántas son falsas? A) 5

B) 2

C)3

D)4

E)1

4. La estadística, se clasifica en: A) Estadística descriptiva y estadística informal. B) Estadística normal y estadística inferencial. C) Estadística uniforme y estadística inferencial. D) Estadística descriptiva y estadística inferencial. E) Estadística uniforme y estadística normal. 5. Se tiene el siguiente el conjunto de datos. 2 3 3 5 7 6 7 5 8 4 7 5 2 9 1 7 6 4 2 3 7 6 8 9 7 6 3 2 6 4 Hallar la mediana. A) 5 B) 6 C) 5,5 D) 7 E) 6,5

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 49 6. De las edades de cuatro hermanos, se sabe que la media es igual a 44años, la mediana es 42 años y la moda es 40 año. La edad del mayor de los hermanos es: A)

54 B) 48 C) 52 D) 46 E) 50

7. En el siguiente diagrama circular se muestran las preferencias por cuatro universidades de 5000 alumnos de Educación Secundaria.

Halle:

X + Me + Mo

A) 42

B) 10

C) 60

D) 70

E) 80

11. Los siguientes datos representan el número de hijos de una muestra de 50 personas. Calcule el promedio de la mediana y la moda:

¿En cuánto excede el total de alumnos que prefieren a la UNI y la UNSAAC, al número de alumnos que prefieren a la UNAC y UNMSM? A) 800

B) 900 C) 1000

D) 1200

E) 1500

8. Se preguntó a 500 ciudadanos, sobre la gestión del alcalde distrital, y sus respuestas se resumen en el siguiente diagrama de sectores circulares. Calcule el número de personas que opinan que la gestión del alcalde fue buena.

A) 4

B) 3

C) 2

D) 5

E) 1

12. Dada la siguiente distribución de frecuencias:

A) 75 B) 55 C) 65 D) 60 E) 70

Se sabe además que: h1 = h5 y h2 = h4 Determinar la suma de: “h5 + h2”

9. Se hizo una encuesta sobre el número de personas aficionadas a las matemáticas y se las clasifica por edades. luego se hizo el siguiente histograma. f 40 30 26 18 12 8

A) 13.

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

E)

3 4

En el curso de matemáticas I; se tienen las notas de los alumnos distribuidas según el siguiente histograma de frecuencias: Alumnos 14 12 10 8 6

10 20 30 40 5 Edad Determinar el tamaño de la muestra. 60 70 A) 35 B) 60 C) 70 D) 134 E) 135

4 2

10. Del siguiente histograma de frecuencias con ancho de clase común: 4 6 8 10 12 14

NOTAS

La nota promedio del curso, es: A) 8,

3%

B) 8 ,6%

C) 8, 46

D) 9, 2% E) 9, 12 6 % 14. Si la siguiente distribución de frecuencias, representa el número de cursos en el que están matriculados 50 estudiantes de la Facultad de Medicina Humana de la UNSAAC.

50 | C E P R U 2 0 1 5 Halle el promedio, de la moda y la mediana del número de cursos. A) 4

B) 5

C) 3,7

D) 4,25

E) 4,5

15. De una tabla simétrica de distribución de frecuencias, se sabe que H 7 = 1;

x3 =18; f5 = 30; h3 = 3h6;

f1 = 3x2;

x6 =39; H1= 0,15. Determine F4 + F2 A) 180

B) 210 C) 190 D) 195 E) 205

16. En una empresa se realizó una encuesta sobre las edades de los empleados, obteniéndose. La varianza es: A) 2.93 B) 2.56 C) 1.64 D) 2.21 E) 3.15 20. En la siguiente tabla se muestra el gasto mensual de 50 familias en soles:

Donde A es el porcentaje de empleados con 30 años o más y B es el porcentaje de empleados con menos de 45 años. Encuentre: A + B A) 75%

B) 150%

C) 170%

D) 185%

E) 190%

17. El siguiente cuadro, muestra el tablero incompleto con la distribución de frecuencias de las notas de 100 alumnos ¿Cuántos alumnos sacaron un puntaje mayor a 35?

Determine el número de familias que gastan menos de 440 soles. A) 32

B) 36

C) 38

D) 40

E) 44

21. Dada la siguiente tabla del sueldo de los trabajadores de una empresa, cuya distribución de frecuencias es simétrica:

Determine el porcentaje de los trabajadores que reciben entre s/.485 y s/.600.

A) 43

B) 42

C)

41

D) 40

E) 12

18. De la siguiente tabla se sabe que el 35% del total son menores de 28 años. Si el ancho de clase es constante, ¿cuántos tienen por lo menos 24 años?

A)

254 B) 252 C) 250 D) 248 E) 244

19. En la siguiente tabla de ancho de clase constante e igual:

A) 40,25%

B) 68%

D) 75%

E) 39,5%

C) 72%

22. Dada la siguiente distribución de frecuencias en base al ingreso familiar de 450 familias:

Si el ancho de clase es constante, ¿Cuántas familias tienen un ingreso comprendido entre 300 y 380 soles? A) 230

B) 370

C) 210 D) 356

E) 289

23. Hallar el valor de “b – a” en la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 51

Además se sabe que la media es igual a 51 puntos y el ancho de clase es común. A) 0,8

B) 0,05

C) 0,44

D) 0,36

E) 0,08

24. Las notas obtenidas por 5 alumnos en la asignatura de Aritmética son: 13

10

8

16

18

Hallar la varianza: A) 12,34

B) 15,4

A) 28,30 B) 29,68 C) 30,68 D) 31,53 E) 32,32 C) 15,3

D) 12,9

E) 13,6

25.- Las edades de 20 niños atendidos en el hospital regional del cusco fueron organizados como sigue:

La varianza es: A) 16.16 B) 16.15 C) 15.16 D) 16 E) 15 26.

Se tiene la tabla de distribución de frecuencia incompleta con amplitud constante:

29.- Dada la siguiente distribución simétrica de frecuencias, de tamaño de muestra 120.

Ii

xi

hi

fi

[40 ; 60

a

r

x

[60 ; 80

b

s

y

[80 ;100

c

0,30

z

[100;120

d

0,20

u

[120;140]

e

t

v

Total

Se pide calcular “e + r + y”

Hallar la mediana. A) 20,3 B) 22 C) 22,5 D) 27,2 27.

E) 23

De la siguiente distribución de frecuencias:

Calcular el valor de “a + 5” sabiendo que la moda es 44 y la amplitud es constante. A)9

B)6

C)7

D)8

E)5

28. Del diagrama calcule la suma de la media y la mediana.

A) 154,15

B) 134,15

D) 102,2

E) 101,1

C) 104,15

52 | C E P R U 2 0 1 5

EXPERIMENTO ALEATORIO (E).- Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir antes de realizar el experimento por que consta con más de un resultado posible. Ejemplos: E1: Lanzar una moneda normal sobre una superficie plana y observar la cara superior. Puede ocurrir cara o sello. E2: Lanzar un dado sobre una superficie plana y observar la parte superior. Puede ocurrir que aparezca uno de los siguientes números: 1, 2,3 4, 5, 6. E3: Extraer una bola de una urna que contiene bolas de diferentes colores. ESPACIO MUESTRAL (S o Ω).- Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A su vez éste se comporta como el conjunto universal. Ejemplos: Para el experimento E1 su espacio muestral es: S1 = {C, S} Para el experimento E2 su espacio muestral es: S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. CLASIFICACIÓN DE LOS ESPACIOS MUESTRALES Por el número de elementos se clasifican en • DISCRETOS FINITOS: Numero finito de elementos • DISCRETOS INFINITOS: Número infinito de elementos numerables • CONTINUOS: Número infinito de elementos no numerables EVENTO O SUCESO. Es cualquier subconjunto de un determinado espacio muestral. Notación: A, B, C etc. OPERACIONES CON EVENTOS • UNIÓN. • AB={w/ wA  wB} El evento , describe el evento de “OCURRA POR LO MENOS UNO DE ELLOS” •

INTERSECCIÓN. A  B = {w / w  A



que

w  B}

A  B : Describe el evento de que “OCURRAN AMBOS A Y B” •

DIFERENCIA El evento A – B = A ∩ Bc, se describe el evento de que “OCURRA A Y NO OCURRA B”

ANÁLISIS COMBINATORIO. Es el estudio de las técnicas de conteo. FACTORIAL DE UN NÚMERO. El símbolo factoría ( ! ) denota el producto de números enteros positivos. 0! = 1, por definición. n! = n(n–1)(n – 2)(n–3)… x3x2x1. Si n ≥ 1. Ejemplo. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. PRINCIPIO DE ADICIÓN. Si un evento designado por A ocurre de n maneras diferentes y otro evento B ocurre de m maneras diferentes, entonces el proceso A o B (en sentido excluyente) ocurren de m + n formas diferentes. En el principio de adición, o bien ocurre un caso o bien ocurre el otro caso, más nunca pueden ocurrir simultáneamente.

El principio de adición sólo será aplicado para eventos mutuamente excluyentes, es decir aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN. Si un primer evento puede ocurrir de m formas diferentes y otro segundo evento puede ocurrir de n formas diferentes, entonces los dos eventos juntos pueden ocurrir de m.n formas diferentes. Este principio se puede extender para más de dos eventos, por ejemplo para tres eventos sería: m.n.r donde r es el número de formas diferentes de ocurrir un tercer evento. VARIACIONES. Son ordenaciones, arreglos, Interesa el orden. Quien ocupa el primer lugar, segundo etc.

Vkn =

n! (n-k)!

PERMUTACIONES Si n = k, entonces la variación se llama permutación, y se escribe. n n VARIACIONES CON REPETICIÓN.

P = n!

Vkn rep  n k COMBINACIONES. (No interesa el orden) En muchos casos interesa el número de formas de seleccionar (tomar, coger) r objetos de un total de n, que consta un conjunto, sin importar el orden. Estas selecciones se llaman combinaciones. El número de combinaciones de n elementos de un conjunto, todos distintos y tomados de r en r (r ≤ n) está dado por:

Ckn =

n! k! (n-k)!

Propiedades. 1.-

C0n  1

2.-

Cnn  1

3.-

C1n  n

4.-

n Cn-1 n

PROBABILIDADES. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD.Sea A un evento en el espacio muestral ( entonces:

P(A) =

),

casos a favor de A n(A)  n() total de casos

; 0 ≤ P(A) ≤ 1 Donde: n(A): Cardinal de A o casos a favor de A. n = Número total de casos o número de elementos de Ω. P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A Los eventos son subconjuntos, por tanto se cumple la teoría de conjuntos, luego se habla de complemento de un evento, reunión de eventos, intersección de eventos. EVENTO IMPOSIBLE

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 53 Se llama así al evento ɸ (el conjunto vacío) el cual es subconjunto de todo evento. Su probabilidad es nula:

P( ) = 0

EVENTO SEGURO. Se llama así al espacio muestral Ω. Su probabilidad es uno. P(Ω) = 1. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Sean los eventos A y B en un espacio muestral S. Si no tienen elementos en común A  B = ɸ, quiere decir “NO PUEDEN OCURRIR AMBOS A LA VEZ”

Se comporta exactamente como un rompecabezas. TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Sean

los

eventos

una

partición de un espacio muestral cualquier evento A en

; entonces para

, se cumple:

EVENTOS CONTRARIOS U OPUESTOS ó COMPLEMENTO DE UN EVENTO. Sea A un evento en un espacio muestral S. se denota por A o Ac al complemento del evento A, que viene a ser el evento contrario de A. P(Ac) = 1 - P(A) A U Ac = Ω;

A ∩ Ac = ɸ

A: Acontece el evento A; Ac: No acontece el evento A

Esta propiedad tiene su diagrama del árbol, que también vale para el teorema de Bayes que estudiaremos en seguida

LEY DE LA SUMA. P(A U A ) = P(A) + P(B) – P(A∩B); mutuamente excluyentes. P(A U A ) = P(A) + P(B); si excluyentes, es decir: A∩B = ɸ

Cuando A y B no son A y B

son mutuamente

PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de ocurrencia de un evento A, dado que ha ocurrido el evento B, se denota por define como:

P(A/B) 

;

P( A B) P( B)

y se

P(B) ≠ 0

La probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A, es:

P(B/A) 

P( A B) ; P( A)

P(A) ≠ 0

TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES. Llamado también regla de la multiplicación o probabilidad de la intersección. Es una consecuencia de la definición de probabilidad condicional.

P(A

B) = P(B).P(A/B)

ó

P(A

B2

Bk = Ω

……. PARTICIÓN DE UN ESPACIO MUESTRAL Se dice que los eventos B1, B2, …, Bk representan una partición de un espacio muestral S, si se cumplen las siguientes condiciones: 1.- B1

B2

exhaustivos. 2.- Bi ∩ Bj = Ф;

…….



Bk = Ω;

P(Bi / A) 

 P(B ).P(A/B ) i

i=1

EVENTOS INDEPENDIENTES. Dos eventos A y B son independientes, si y sólo si P(A ∩ A ) = P(A). P(B) La independencia se refiere a que la ocurrencia de uno de ellos no está influenciada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro suceso.

P(A/B)  P( A)

colectivamente

i ≠ j; i = 1, 2, …, k; j = 1, 2, … , k Ω

P(Bi ).P(A/Bi ) k

i

B) = P(A).P(B/A)

EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS. Los eventos B1, B2, …, Bk son colectivamente exhaustivos si: B1

TEOREMA DE BAYES Si los eventos constituyen una partición de un espacio muestral S; entonces para cualquier evento A en S, se cumple:

NOTA: Si A y B son independientes, entonces A y Bc; Ac y B; Ac y Bc también son independientes.

EJERCICIOS

EJERCICIOS DE ANALISIS COMBINATORIO 1. De las siguientes proposiciones:

- El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento deterministico. - El espacio muestral puede ser infinito discreto.

54 | C E P R U 2 0 1 5

2.

3.

4.

5.

6.

7.

- Un experimento aleatorio es un experimento no deterministico. - Se llama evento a cualquier subconjunto del experimento aleatorio. - El evento seguro es el mismo espacio muestral. - Los espacios muestrales se clasifican en discretos finitos y continuos infinitos. - Un evento compuesto es unión de eventos elementales. ¿Cuántas son verdaderas? A) 4 B) 2 C) 3 D) 0 E) 1 ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio que consiste en observar el resultado de lanzar un dado y una moneda a la vez? A) 12 B) 10 C) 6 D) 8 E) 4 Se tiene 4 letras: A, B, C y D. ¿Cuántos códigos pueden formarse con estas letras si cada código puede llevarse indistintamente, una, dos, tres o cuatro letras? A) 64 B) 4 C) 20 D) 12 E) 24 Un equipo de futbol tiene 8 dirigentes. De los cuales tres son varones y el resto mujeres. Con el fin de realizar una actividad, se forma un comité integrado por 4 dirigentes en el cual por lo menos uno de los integrantes debe ser varón. El número de comités que se puede formar, es: A) 60 B) 75 C) 35 D) 35 E) 65 Si en la universidad se ofrecen 10 cursos diferentes por la mañana, 7 por la tarde y 4 por la noche ¿Cuantas opciones diferentes tiene un estudiante de inscribirse en un solo curso? A) 12 B) 21 C) 20 D) 14 E) 11 Si Iván tiene 4 pantalones, 5 camisas y 3 pares de zapatos todos de diferentes colores. ¿De cuantas maneras diferentes se puede vestir? A) 19 B) 12 C) 23 D) 48 E) 60 ¿Cuál es el número de formas que una persona avance de A a C?

A

B

C

A) 3 B) 15 C) 18 D) 8 E) 11 8.

9.

La placa de una moto consta de una letra, seguida de un digito. Si solamente se considera las letras: X, Y, Z y los dígitos: 2, 4, 6, 8 ¿cuántas placas diferentes pueden grabarse? A) 12 B) 8 C) 10 D) 9 E) 7 Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares ¿de cuantas maneras puede hacerse? A) 2880 B) 2800 C) 2560

D) 2480 E) 2720 10. ¿Cuántos números de cuatro dígitos diferentes se pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los cuales no se repitan ningún digito? A) 3012 B) 1024 C) 526 D) 3024 E) 2144 11. Tres urnas contienen fichas del 1 al 5. Se extrae una ficha al azar de cada urna y se forma un número de 3 dígitos. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? A) 110 B) 125 C) 120 D) 140 E) 100 12. Una empresa desea ascender a 3 de sus empleados de 10 empleados seleccionados a posiciones de presidente, vicepresidente y

gerente. El número de formas distintas de efectuar el ascenso, es: A) 540 B) 720 C) 950 D) 620 E) 480 13. De 5 físicos, 4 químicos y 3 matemáticos se tienen que escoger un comité de 6; de modo que se incluyan 3 físicos; 2 químicos y un matemático. De cuantas maneras puede hacerse esto. A) 180 B) 182 C) 190 D) 360 E) 200 14. De un grupo de 10 estudiantes se elegirá una junta directiva formada por un presidente, un secretario, un tesorero y un fiscal. El número de formas diferentes de elección, es: A) 34 B) 360 C) 2520 D) 720 E) 5040 15. Una chica tiene 10 amigos; desea invitar a una reunión solo a 3 de ellos. ¿De cuantas maneras puede invitar; si entre las 10 personas hay 2 matrimonios y cada pareja asisten juntos? A) 120 B) 20 C) 12 D) 32 E) 60 16. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales un estudiante debe contestar 10. Si las 6 primeras preguntas debe contestar por lo menos 5 ¿Cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? A) 21 B) 15 C) 36 D) 51 E) 27 17. Un estudiante tiene 10 libros de matemáticas y otro estudiante tiene 8 libros de física. ¿de cuantas maneras pueden intercambiar dos libros de uno por dos del otro? A) 1260 B) 620 C) 549 D) 840 E) 1620 18. ¿De cuantas maneras diferentes, 2 americanos, 3 argentinos y 4 peruanos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sientan juntas? A) 1700 B) 1728 C) 688 D) 892 E) 867 19. La diferencia entre el número de variaciones de “m” objetos, tomados de 2 en 2 y el número de combinaciones de estos objetos, tomados, también de 2 en dos es 45, hallar “m”. A) 6 B) C) 9 D) 12 E) 10 20. En un grupo integrado por 5 médicos y 4 odontólogos, se desea seleccionar un grupo de 4 personas. ¿De cuantas maneras diferentes se podrán agrupar, si en cada grupo debe haber a lo mucho un odontólogo? A) 105 B) 160 C) 60 D) 45 E) 56 21. De un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas ¿de cuantas formas diferentes debe seleccionar si el debe responder por lo menos, tres de la cinco primeras preguntas? A) 64 B) 55 C) 50 D) 114 E) 110 22. Un grupo de inversionistas está conformado por 7 mujeres y 4 hombres ¿De cuantas maneras diferentes se puede formar una expedición de 6 personas en la cual debe haber por lo menos 2 hombres? A) 320 B) 125 C) 729 D) 371 E) 900 23. Un palco de seis asientos de la tribuna del estadio Garcilaso es vendido a tres parejas de profesores de aritmética ¿De cuantas maneras diferentes podemos acomodarlos si cada pareja quiere estar junta? A) 12 B) 48 C) 10 D) 16 E) 8 24. Un grupo de inversionistas está conformado por 7 mujeres y 4 hombres ¿De cuantas maneras diferentes se puede formar una expedición de 6 personas en la cual debe haber por lo menos 2 hombres?

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 55 A) 320

B) 125

C) 729

D) 371

E) 900

EJERCICIOS DE PROBABILIDADES 1. De las siguientes proposiciones: - La siguiente notación P(A/B) indica la probabilidad de que A ocurra dado que B va a ocurrir - Si 𝐴 ⊂ 𝐵 , entonces P(B/A)=1 - Si A y B son dos eventos tales que 𝐴 ⊂ 𝐵, entonces P(A) ≤ P(B) - La probabilidad de un evento puede ser negativo. - Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁) = ∅ - Un espacio muestral esta particionado en eventos, si los eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. - Para todo evento A se verifica, ∅ ⊂ 𝐴 ⊂ 𝜴, entonces, P(∅) < 𝑃(𝐴) < P(Ω) ¿Cuántas son verdaderas? A) 4

B) 2

C) 3

D) 5

E) 1

2. Se lanza un dado y se observa el número obtenido. Calcular la probabilidad de obtener al menos 5 puntos. A) 2/3 B) 3/4 C) 5/8 D) 1/8 E) 2/6 3.

Al lanzar dos dados a la vez , la probabilidad de que la suma de los resultados no sea menor que 10, es: A) 6/52 B) 1/12 C) 11/12 D) 3/4 E) 1/6 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y 2 sellos al lanzar una moneda 4 veces? A) 1/8 B) 2/7 C) 3/8 D) 5/6 E) 5/8 5. Entre 5 hombres y 4 mujeres se tiene que formar un grupo de 3 miembros. Si la selección se realiza al azar, hallar la probabilidad de que dos de ellos sean hombres. A) 10/21 B) 5/18 C) 9/20 D) 3/4 E) 7/8 6. Se lanzan 3 monedas. Halle la probabilidad de obtener a lo más 2 caras. A) 2/3 B) 3/4 C) 5/8 D) 1/8 E) 7/8 7. Un club consiste de 150 miembros. Del total 3/5 son varones y 2/3 son profesionales además 1/3 de las mujeres no son profesionales. Si se elige al azar un socio del club. Calcular la probabilidad que no sea profesional A) 1/5 B) 1/2 C) 1/3 D) 0 E) 1/4 8. La probabilidad de aprobar matemáticas es 2/3, la probabilidad de aprobar física es 4/9. Si la probabilidad de aprobar por lo menos una de las materias es 4/5, ¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambos cursos? A) 16/45 B) 14/45 C) 3/22 D) 14/45 E) 2/15 9.

De un mazo de cartas se extraen dos cartas ¿Cuál es la probabilidad de que las cartas sean espadas? A) 1/17 B) 1/16 C) 3/8 D) 4/11 E) 1/8

10. En una caja hay 8 bolas rojas y 6 bolas negras. Si se extrae una Bolita al azar; ¿Cuál es la probabilidad que la bola extraída sea negra? A) 2/5 B) 3/5 C) 3/7 D) 1/2 E) 2/7 11. La probabilidad de que un estudiante apruebe al curso de física es 2/3 y de que apruebe el curso de aritmética es 3/4. La probabilidad de que apruebe ambos cursos, es: A) 7/9 B)1/2 C)1/3 D) 3/10 E) 4/5

12. De una clase que está formada por 11 niños y 7 niñas; se escoge 4 estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean niños? A) 11/50 B) 11/102 C) 11/40 D) 11/100 E) 11/60 13. En una urna se tiene 4 bolas de color rojo, 6 bolas de color verde y 8 bolas de color azul ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola al azar esta sea de color verde o azul? A) 7/9 B) 7/2 C) 7/5 D) 7/8 E) 7/10 14. Una pareja de novios al contraer matrimonio, planifica tener tres hijos. La probabilidad de que la familia de recién casados tenga por lo menos dos hijos varones, es: A) 1/4 B) 1/3 C) 1/5 D) 1/2 E) 1/8 15. De una baraja de 52 cartas se extraen al azar 5 cartas. Determinar la probabilidad de que tres de ellas sean negras y las otras no. A) 13/40 B) 1625/4998 C) 14/40 D) 25/60 E) 111/117 16. Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω con P(A) = 1/4, P(B) = 2/3 y P(A ∩ B) = 1/6. Determinar: P(Ac ∩ B c ). A) 1/4 B) 1/2 C) 4/3

D) 2/3

E) 3/4

17. Cinco personas; A, B, C, D y E se sientan al azar en 5 sillas distribuidas en una fila. Calcular la probabilidad de que A y B se sienten juntas A) 3/5 B) 4/5 C) 2/5 D) 1/5 E) 1/3 18. La probabilidad que tiene un alumno de aprobar matemática es 2/3, la probabilidad que tiene el mismo alumno de aprobar física es 4/9. Si la probabilidad de este alumno de aprobar por lo menos uno de los cursos es 4/5 ¿Cuál es su probabilidad de aprobar ambos cursos? A) 3/4 B) 6/7 C) 7/15 D) 12/45 E) 14/45 19. Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera. “A” tiene doble de posibilidad de ganar que “B”, pero la cuarta parte de posibilidad de “C” ¿Cuál es la posibilidad de ganar de “B”? A) 1/3 B) 1/7 C) 1/11 D) 2/3 E) 7/8 20. En un poblado de la provincia del cusco hay una epidemia. El 16% de los varones y el 9% de las mujeres están enfermos. El número de varones es el triple al de mujeres. Si se elige al azar un individuo de esa población. ¿Cuál es la probabilidad de que este enfermo? A) 0,2 B) 0,41 C) 0,5 D) 0,1425 E) 0,45 21. En una cierta población, la probabilidad de que una familia tenga televisor es 0,80; una lavadora 0,50 y de que tenga ambos es 0,45. ¿Cuál es la probabilidad de que una tenga televisor o lavadora? A) 0,05 B) 0,15 C) 0,85 D) 0,40 E) 0,80 22. Una urna contiene dos monedas de bronce y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de bronce y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de bronce? A) 0,25 B) 0,285 C) 0,35 D) 0,485 E) 0,121 23. Un determinado club tiene un 75% de sus miembros que son mujeres y un 25% que son

56 | C E P R U 2 0 1 5 hombres. De este club tiene teléfono móvil un 25% de las mujeres y un 50% de los hombres. Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil sea hombre. A) 0,15 B) 0,2 C) 0,35 D) 0,4 E) 0,3 24.

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Si Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. A) 0,38 B) 0,038 C) 0,035 D) 0,04 E) 0,35

25. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? A) 0,155 B) 0,205 C) 0,405 D) 0,415 E) 0,305 MÁS SOBRE PROBABILIDADES 1. ¿Cuál es el valor de verdad de cada proposición? I).

( ) Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio

II).

( ) Suceso o evento: Es cualquier sub conjunto del espacio muestral.

III).

( ) Siendo P(A) la probabilidad de un acontecimiento entonces se cumple: 0 ≥ P (A) ≥1

A) VFF

B) FFF

C) VVV

D) VVF

E) FFV

Se puede afirmar: I). El número de elementos que tiene el espacio muestral respecto al sexo de ellos es 8 II). La probabilidad de que nazca un varón es 1/3 III). La probabilidad de que nazca un varón y dos mujeres es 3/8 A) Solo I

B) solo III C) I y II

D) II y III

E) I y III

A) 1/5 B) 1/2 C) 1/3 D) 0 E) 1/4 4. De una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una, sea un ocho o de figura negra? B)7/14

C) 7/11

D)7/10

E) 7/12

5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y un sello al lanzar un dado y una moneda simultáneamente? A) 1/4

B) 1/8

A)

C) 3/7

D) 8/17

1 2

E) 9/15

6. Tres tornillos y tres tuercas están en un caja si escogemos dos piezas al azar, hallar la probabilidad de sacar un tornillo y una tuerca

C) 3/7

D) 8/17

E) 9/15

B)

1 3

C)

1 4

D)

2 3

3 4

E)

8. De 100 pacientes examinados, 20 padecían de artritis, 32 padecían de gastritis y 8 tenían ambos males. Hallar la probabilidad de seleccionar un paciente que padezca de artritis o gastritis. a)

1 100

b)

1 4

c)

44 1 d) 100 5

e)

7 25

9. Al lanzar dos dados determinar la probabilidad que la suma de ambos dados no supere 10 A) 11/15

B) 11/17

D) 9/17

E) 7/15

C) 11/12

10. La probabilidad de que Juan ingrese a la UNSAAC es 0.7 que ingrese al UNSA es 0.4: si la probabilidad que no ingrese a ninguna es 0.12, hallar la probabilidad que ingrese a ambas a la vez. A) 0,42

B) 0,22

D) 0,48

E)0,58

C) 0,24

11. En una urna hay 6 bolas azules y 5 bolas rojas con igual probabilidad de ser extraídas. Se sacan 2 bolas una por una sin reposición. Cuál es la probabilidad de que una sea azul y la otra roja? A)

2 3

B)

5 6

C)

3 11

D)

1 2

E)

2 3

12. Se extraen dos cartas una a continuación de otra de una baraja de 52. Calcule la probabilidad de que ambas cartas sean reyes 1/221

B) 1/131

C) 1/129 D)1/120

E)1/25

13. En un experimento que consiste en seleccionar aleatoriamente una baraja en un mazo de 52 naipes los eventos rey espadas no son mutuamente excluyentes. La probabilidad de escoger un rey un naipe de espadas o un rey y un naipe con espadas a la vez, será: A) 4/13

B) 5/13

C) 7/12

D) 3/13

E) 5/13

14. De los docentes de nuestra institución un 15% tienen doctorado, 60% son licenciados y los otros magísteres. El 60% de los doctores, el 80% de los licenciados y el 40% de los magísteres son varones. Se elige al azar a un docente y resulta ser mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que sea doctor? A) 2/11

3. Un club consiste de 150 miembros. Del total 3/5 son varones y 2/3 son profesionales además 1/3 de las mujeres no son profesionales. Si se elige al azar un socio del club. Calcular la probabilidad que no sea profesional

B) 1/8

7. Si se lanza una moneda tres veces al aire, ¿Cuál e la probabilidad de obtener cara por lo menos dos veces?

B)

2. A cerca del futuro nacimiento de sus tres hijos (trillizos) de la señora Elizabeth

A) 7/13

A) 2/17

B) 2/24

C) 2/15

D) 3/17

E) 4/7

15. Tres máquinas A, B, y C producen el 45%, 30% y 25% respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Si seleccionamos una pieza al azar. Calcule la probabilidad de que sea defectuosa. A) 0,030

B) 0,038

D)0,135

E) 0,050

C) 0,125

16. Un determinado club tiene un 75% de sus miembros que son mujeres y un 25% varones. De este club tienen celular un 25% de las mujeres y un 50% de los varones. Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen celular sea varón. A) 0,4

B) 0,5

D) 0,5

E) 0,8

C) 0,3

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA ÁLGEBRA

f (x1)=ax2+bx+c

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE

ASIGNATURA: ALGEBRA

TEMA Nº 1.- POLINOMIOS ............................................................................................................................Pág. 03 TEMA Nº 2.- OPERACIONES CON POLINOMIOS ........................................................................................Pág. 08 TEMA Nº 3.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ........................................................................................Pág. 15 TEMA Nº 4.- RADICACIÓN – RADICALES DOBLES - RACIONALIZACIÓN ..............................................Pág. 18 TEMA Nº 5.- ECUACIONES 1° Y 2° ...............................................................................................................Pág. 23 TEMA Nº 6.- INECUACIONES 1°, 2° Y VALOR ABSOLUTO.........................................................................Pág. 28 TEMA Nº 7.- MATRICES ................................................................................................................................Pág. 33 TEMA Nº 8.- SISTEMAS DE ECUACIONES ...................................................................................................Pág. 41

|| TEMA Nº 9.- RELACIONES, BINARIAS Y REALES ......................................................................................... Pág. 46 TEMA Nº10.- GEOMETRÍA ANALÍTICA (RECTAS) ......................................................................................Pág. 50 TEMA Nº 11.- CIRCUNFERENCIAS................................................................................................................Pág. 55 TEMA Nº 12.- PARÁBOLAS ............................................................................................................................Pág. 59 TEMA Nº 13.- ELIPSES.....................................................................................................................................Pág. 63 TEMA Nº 14.- FUNCIONES, BINARIAS Y REALES .........................................................................................Pág. 67 TEMA Nº 15.- FUNCIONES ESPECIALES .......................................................................................................Pág. 69 TEMA Nº 16.- FUNCIONES ............................................................................................................................Pág. 72 TEMA Nº 17.- FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA .......................................................................Pág. 76

f (x1)=ax2+bx+c

CONCEPTOS PREVIOS: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es una combinación de variables y/o constantes en cantidades finitas, en el que intervienen las operaciones fundamentales de: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, sin variables en los exponentes. Ejemplo:

(

)



TERMINO ALGEBRAICO Es una expresión algebraica previamente reducida donde no se definen las operaciones de adición ni sustracción entre las variables, tiene tres partes.

3

)

R(

1 1. 2. 3.

2

Coeficiente Variables Exponentes

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Son aquellas expresiones algebraicas cuyas variables no están afectadas de radicales. Ejemplo:

(

)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES ENTERAS Una expresión algebraica, es racional entera, cuando sus exponentes de sus variables son números enteros mayores o iguales que cero o que las variables no están en el denominador. Ejemplo:

)

S(



POLINOMIO Definición: Un polinomio es una expresión algebraica racional entera, con una o más variables. Ejemplos:

1.

P( )



Es un monomio de una variable.

2.

P(

)

Es un monomio de tres variables.

3.

P(

)



El polinomio en la variable

Es un trinomio de dos variables. esta representado por:

( ) Donde:

Es el grado del polinomio.

Es el número de términos de P( ) : Coeficiente principal del polinomio. : Término independiente del polinomio. : Coeficientes.

,

4| CEPRU2015 , P( ) es un polinomio mónico.

Nota: Si

Ejemplo: P( )



Es un polinomio de grado 7, cuyo coeficiente principal es √ y el término independiente es 2. Observaciones:

1. P( ) 2. P( ) 3. P( )

,

Se llama polinomio nulo o idénticamente nulo, cuyo grado no está definido. * + Se llama polinomio constante, cuyo grado es cero. Se llama polinomio lineal o de primer grado.

GRADO DE UN POLINOMIO Definición: El grado es una característica en relación a los exponentes de las variables, el cual es un número entero mayor o igual que cero CLASES DE GRADOS: GRADO RELATIVO (

)

a) De un Monomio: El grado relativo en un monomio, es el exponente de la variable indicada. Ejemplo: En el monomio ;

R( )

)

P(



; R( )

R( )

b) De un Polinomio: El grado relativo en un polinomio es el mayor exponente de la variable indica que se presenta en cualquier término.

)

Ejemplo: En el polinomio P(

;

R( )

R( )

GRADO ABSOLUTO (

)

a) De un Monomio: El grado absoluto de un monomio, es la suma de exponentes de las variables. Ejemplo: En el monomio P(

)

(P) b) De Un Polinomio: El grado absoluto de un polinomio, es el mayor grado absoluto entre sus términos. 9 7 13 Ejemplo: En el polinomio P(

)

(P) GRADOS DE POLINOMIOS CON OPERACIONES: Si P( ) Q( ) son polinomios de grado

1. P( ) 2. P( ) 3.

( ) ( )

respectivamente, con

entonces:

Q( ) Es de grado Es de grado

Q( )

con Q( )

4. ,P( )-

( )

, siempre que

Es de grado

( )

sea un polinomio.

Es de grado

5. √P( ) Es de grado Ejemplo: Dado P( )

(

 El grado de P( )  El grado de P( )

, siempre que √P( ) sea un polinomio )

Q( )

Q( ) Q( )

 El grado de Q5 (x) VALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO El valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere cuando se le asigna valores a sus variables.

Ejemplo 1: Dado Solución: P( )

(

P( )

Hallar P( )

)

)

Ejemplo 2: Dado

P(

Solución: P(

( ( )

)

(

)

( )

Hallar P(

) (

)

)

ASIGNATURA: ÁLGEBRA |5 Propiedades: a) Si P( ) es un polinomio con una variable entonces:

1. Suma de coeficientes es P( ) 2. Término independiente es P( ) b) Si P(

) es un polinomio de dos variables entonces:

1. Suma de coeficientes es P( 2. Término independiente es P(

) )

Ejemplos

1. Si P( )

(

) (

)

Suma de coeficientes es P( ) Término independiente es P( )

2. Si P(

)

(

)(

) )

Suma de coeficientes es P(

)

Término independiente es P(

EJERCICIOS 1.

Sabiendo ( Rpta: 78

que:

( )

.

)

(

;

)

Calcular

E=

,

-

( ) .

[√ ]

3. Si el grado del polinomio: ( ) ) ( ) es 49

(

) ( .

Rpta:25

5. Hallar la suma homogéneo ( )

de

coeficientes (

del

polinomio .

)

Rpta:2

) 6. Dado los polinomios: ( ) . El valor Rpta.110. (

el

(

)

( ( )

; de

a(x);

es.

polinomio:

) (

) (

su coeficiente principal es igual al independiente, entonces el valor de “n”; es:

)

término

( ) polinomio: , tiene grado absoluto igual a 11 y la diferencia entre los grados relativos de x e y es 5, entonces el valor de 2m+n; es: absoluto

del

grado

absoluto

del

polinomio:

N ( x )  ( x16  1)( x18  2)( x 20  3)...

; es 100. La suma de coeficientes; es: Rpta. 85 10. Si P y Q son dos polinomios de grados 4 y 5 respectivamente y el grado del polinomio ,(

)

(

) ) -

,

es

8.

El

valor

de

n;

valor

de

es:

grado

√(

)

)

del

)

√(

monomio

es

“2n”.

Su

coeficiente principal; es: 16. Rpta.24. 17. Si

(



)



;

GR(x)=2.

Hallar

GR

(y).

Rpta. 3. 18. Hallar a y b si el grado absoluto del monomio es igual a 17 y su coeficiente tiene el mismo valor que el grado absoluto con respecto a x. Siendo el monomio: ( ) ( ) . 19. Rpta. 5 y 3. 20. Determinar el valor de “m+p+b” para que el ( ) polinomio: sea completo y ordenado en forma descendente.

21. Dado ( ) , se sabe que la suma de los coeficientes de P es 7, además b es el doble de a. ¿Cuál es el valor de a.b?

22. Hallar

(

11. Si P es un polinomio sobre

)

(

)

en

el

( ) si el grado del monomio es 17 y su coeficiente tiene igual el grado relativo a x.

polinomio:

.

Hallar

(

) 3m-4n.

)

Rpta. 17. 24. En el siguiente monomio:

definido por:

(

se verifica que la diferencia entre grados relativos de “x” e “y” es 5 y además el menor exponente de y es 3. Hallar su grado absoluto.

es:

Rpta. 5.

Rpta. -2.

)

el

(

23. Si

(

(

valor que Rpta. 34.

20 Factores

)

)

el

Rpta. 8.

Rpta. 15.

,(

)

Rpta. 72.

grado

9. El

(

) 14. Si el grado de ( es igual a la mitad de la suma de exponentes de todas las variables. Hallar el grado relativo de y. Rpta. 8.

Rpta. 4. 8. El

)

13. Rpta. 5/4.

15. Si

4. Sea ( ) el polinomio completo y ordenado en forma ascendente, el coeficiente principal del polinomio es: ( ) si ( ) ( ) ; el valor de m ; es. Rpta: 3

entonces



( (

2. Determinar la suma de coeficientes de ( ) a partir ( ) de: . Rpta 55.

7. Si



12. Si

(

)

GR(x)=12 y GR (y)=10. Calcular el GR (z). Rpta. 7.

el

6| CEPRU2015 25. Si ( ) , ( ) - es un monomio de grado 3. Calcular el valor de “m+2”.

12.

Rpta. 5. 1.

; es:

absoluto

máximo

del

)

polinomio

En las siguientes proposiciones indicar con (v) si es verdadero y con (F) si es falso.

)

(

) (

II.-El grado de (

)

)

(

)

14.

; es 17.

)

(

, es 15.

15.

16.

Hallar el grado del polinomio ( ) , sabiendo que la suma de sus coeficientes excede en la unidad al ) duplo de su término independiente. Siendo (

)

(

),(

-

)

7.

Sabiendo

que:

( Rpta: 78

)

( )

.

(

(

Calcular

)

,

E=

-

;

[√ ]

(

.

( ) a partir 17.

(

) (

)

(

) es 49

)

de

coeficientes

(

)

Rpta: 2

(

del

(

)

.

Dados los polinomios

( )

(

( )

(

) ) y .

Si el grado del polinomio producto de los tres polinomios es 25, entonces el valor de “ ”, es:

polinomio

Rpta.: 2. 19.

Determine la suma de coeficientes en:

P( x)  ( x  4)2  ( x  5)2  6 . ) (

) ; es. Rpta: 115

) es 3.

) (

)

( )

El grado absoluto del polinomio:

)

(

Rpta.: 15. 18.

Hallar la suma homogéneo

(

)

es 7, hallar:

Rpta: 3

11.

) es 72.

, es 22 y el grado respecto a la variable “ ”

Sea ( ) el polinomio completo y ordenado en forma ascendente, el coeficiente principal del polinomio es: ( ) si ( ) ( ) ; el valor de m ; es.

(

) (

Si el grado absoluto del polinomio

(

Si el grado del polinomio:

Rpta: 25

10.

(

Rpta.: FFVV.

.

9.

)

La secuencia correcta es:

Determinar la suma de coeficientes de ) de: ( .

( )

es 12.

IV. La suma de coeficientes del polinomio

( )

Rpta 55. 8.

( )

III. El coeficiente principal del polinomio

, es:

Rpta: 11. 6.



II.En todo polinomio, el grado absoluto siempre es igual al grado relativo con respecto a una de sus variables.

El valor de n en el siguiente polinomio

( )



En las siguientes proposiciones, indicar con (V) si es verdadero o con (F) si es falsa: I. El grado de

Rpta. 4. 5.



)

Rpta.: 21

Rpta. VFV.

(

Hallar el valor de n Si en el monomio

El grado relativo a “ ” es 3, hallar el grado absoluto.

La secuencia correcta es:

4.

( ) ( ) ( ) ( ) siendo m un número impar.

(

) , es 72.

) (

Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio:

Rpta.: 3

III.- El coeficiente principal del polinomio (

El polinomio:

Rpta.: 12.

I.-El grado del polinomio

(

;

)

( ) ; es de grado 18 y los grados relativos a x, y, z son 3 números consecutivos en ese orden. Calcular m.n.p.

, es:

Rpta. 8. 3.

(

Rpta: FFF 13.

grado

(

III) Si GA (P)>1 y

entonces GA (PQ)=6.

Rpta. 26. El

II) Si GA (P-Q)=5, entonces GA (Q)0 entonces

10.



en radicales

12.



El denominador racional dela fracción es:

.

√ Si: √ Hallar “a+b”.

El denominador racional de la fracción Rpta: 18.

Al transformar: √ simples; uno de ellos es:











.



El denominador racional de la fracción

13.

Rpta: 3.

















Rpta: 2.

; es:

; es:





Al simplificar la siguiente expresión se obtiene:





Rpta: 25. 11.

√ .

Rpta: √ 3.

definida



;

;

Rpta: 47. 4.

14.

El denominador racionalizado de la expresión: √

transformar Rpta: 2.

; es:



15.

Rpta: 10y. 5.

El

denominador

racionalizado

Rpta: 6. 6.

de:





;

)

)

√(



(√



)

16. .

8.



Rpta: √

.

, es:

17.

Rpta: √

obtiene:

simplificar la siguiente

expresión

, se obtiene:







.

Expresar en forma de radicales simples la expresión:



El √

√ √



.

√ .

denominador √







de √

la

fracción:

, es:

Rpta: 3.

Transformar en radicales simples la expresión



al

se





Rpta: √

Rpta: 5xy. 9.

simples

) ;

.



18.

; es:

radicales



Rpta: 66.

El denominador racionalizado de la expresión √

√ √



Hallar el valor de “m” en: √



a







Uno de los radicales simples del radical doble

√ )(√ √

〉 , al



Rpta:

Rpta: 1/2. 7.

Si √

es:

Evaluar: √(

√(√

Sea

√ √

. .

19.

Transformaren √ √ √ Rpta:



radicales √ .

√ .

simples

la

expresión:

22 | C E P R U 2 0 1 5 20.

La expresión simplificada de: √√ Rpta: 1.



21.

El denominador racionalizado de:

√ ; es:





39.

Rpta: 5. Reducir: √



23.

Si √



.



Rpta: √ √



. 40.

. Hallar “a+b”.













.



Hallar

41.

Rpta: El

; es:

denominador



racional

de:



;



.

44.

El denominador racionalizado y simplificado de la √



; es:



45.

El denominador de la fracción

Si









.Hallar

El

√ √√

(√

46.

El





47.

racionalizado

de:

36.





.



48.

de

las

raíces







; es:



Calcular el valor de: √ √ √













.

Hallar la raíz cuadrada de: .



Reducir: √















Si , es una expresión definida por:



;

, entonces ,

simples

dela

expresión

50.





una √

Calcular el valor de “ ”, en:

expresión











Transformar en radicales simples: √ √ Rpta.: √

51.

reducir

√ .

√ Rpta.: 30.

.

expresión de la forma √

.



Calcular ( √



) ; si:





Rpta.: 2. √

se obtiene una

52.

Indicar el denominador de:

√ . El valor de “a+b”; es:



Rpta: 11. 37.



Rpta.: √

, es:



, es:







Indicar el denominador luego de racionalizar: √ √



49.

El denominador racionalizado de:

Al



se expresa en:

El denominador racionalizado de:

Rpta: √



Rpta.: 1.

denominador

Una √







√ )

Rpta: -15. 35.



Señalar el denominador de:

Rpta.: √

racionalizado

Rpta: x+4. 34.



; es:

Rpta: 1. 33.





.

denominador



Reducir y racionalizar:

Rpta.: √

Rpta: 2. 32.





; es:

es la solución de la siguiente ecuación:



de:



Rpta.:-1.

Rpta: 13.

31.

Racionalizar:

Rpta.: 2.

Rpta: 6.

30.

)



Rpta.: 1.

es:

Al transformar el radical doble √ √ ; , uno de sus radicales simples; es:

expresión:

29.

42.

43.

Rpta: √ 28.

(√



.

Rpta: 4. 27.



Rpta.: √

El denominador racionalizado de: √

26.

Racionalizar: Rpta.:

Rpta: 20. 25.

El denominador racionalizado y simplificado de:

Rpta.: 4.

Rpta: 23. √√ Si 4a.b.c+a.





22.

24.



Hallar el valor de la expresión: √ √ √ √ √ √ . Rpta: 0.

. √√



38.

Al extraer la raíz cuadrada de el termino racional; es:



Rpta.: 3. √





,

53.

Señale el denominador racional de: √√

Rpta.: 8.

Rpta: 2. 54.

Si

a  2 6(b  4) 

a  3  3b



A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 23 Siendo a

 0  b  0 . Descomponer en radicales

simples la expresión:

a  b  2 2a  19b Rpta.:

3x  1  8 x Al transformar radicales simples, uno de ellos es:

63.

3 5

64.

Si

la

transformación

16  3x  8 2 x  8 x  2 2 x 55.

3

Al racionalizar:

65.

Rpta.

Uno de los radicales simples de:

66.

4

Rpta. 67.



√ √ Entonces el valor de







R



68.

es:





R 62.

69.



simples:

2  7 2

Al racionalizar la expresión:

1 ( 2  3  5 )3  2 2  3 3  5 5

El denominador resultante es: Rpta.18 70.

El denominador racional de:



1

E  x   2 x  2  8x  4 x  3  48x

, es:

43 x 2  43 xy  3 y 2

Expresar como un radical doble

Rpta:

radicales

8x 2  24 x  9  4(2 x  3) x 2  3x  x  A  B x

A





a

Hallar A+B, si:



Descomponer en radicales simples √

x3  x  1

Rpta.4



61.

x  1 , es:

2

Rpta. P  3

4

Descomponer en radicales simples √

x3 

P  29  288  112  504

R



x3 

4

Transformar



y se cumple la siguiente igualdad



x 1  4



60.

x3 

x  2x  2 2

Si

forma

x 2

3

Racionalizar

59.

la

Simplificar:

x3  2 x  1  x6  4 x4  2 x3  4 x2  4 x  1 ; es:



tiene

a radicales simples, uno de los radicales es:

Rpta.: 7.

R

simples

1 x 4 x2 ,   2 2 4

12 ; es: 14  21  35

58.

a 2

Al transformar:

El denominador racionalizado de:

Rpta.:

radicales

2

Rpta:6

es: Rpta.: 6.

57.

en

a  bx  x , hallar a  b

; El denominador;

25  5 3 5  3 25

56.

 4 x  24

x2

Rpta:

.

2

Rpta. 8 x  y

11  4 6

f (x1)=ax2+bx+c

ECUACIONES Definición.- Una ecuación es una igualdad condicional que contiene una o más variables. Ejemplo: sólo se verifica para Se llama solución de una ecuación al valor o conjunto de valores que sustituidos en lugar de las incógnitas transforman a las ecuaciones en identidades. ECUACIONES EQUIVALENTES Reciben este nombre las ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Ejemplo:

sólo se verifica para Sólo se verifica para

Las ecuaciones:

y

Son equivalentes, puesto que para ambas:

S

*

+

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES I)

Ecuación Compatible.- Es aquella ecuación que tiene al menos una solución y esta a su vez pueden ser: a) Ecuación Compatible Determinada.- Es cuando la ecuación admite un número finito de soluciones.

24 | C E P R U 2 0 1 5 Ejemplo: La ecuación ( )( ) + Por lo tanto el conjunto solución es: S * b) Ecuación Compatible Indeterminada.- Es cuando la ecuación admite un número infinito de soluciones. ) ( ) Ejemplo: La ecuación (

Por lo tanto el conjunto solución es: S (Infinitas soluciones) II) Ecuación Incompatible.- Es aquella ecuación que no admite ninguna solución. ) Ejemplo: La ecuación ( , Absurdo Por lo tanto, la ecuación no admite solución alguna,

S

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL Es una ecuación que se reduce a la forma: Siendo la variable o incógnita que pertenece a los reales, la ecuación se llama forma general de la ecuación de primer grado con una variable real. es decir, el conjunto solución es: S

Siendo la solución de la ecuación

2

3

Análisis de las raíces. Dada la ecuación: 1. Si La ecuación es compatible determinada y tiene solución única. 2. Si

La ecuación es compatible indeterminada y tiene infinitas solución, entonces

3. Si

La ecuación es incompatible y no tiene solucione, entonces

S

S

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REAL Llamada también ecuaciones polinómicas de segundo grado. La forma general de una ecuación cuadrática con una variable real “x”, es: La forma normal de la ecuación cuadrática es:

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Dada la ecuación: 1) Si

entonces la ecuación es compatible determinada.

2) Si

entonces la ecuación es compatible indeterminada.

3) Si

entonces la ecuación es incompatible (imposible).

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA La ecuación cuadrática de baskara. 1. MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

se puede resolver mediante una factorización o utilizando la fórmula

En la ecuación

(

debemos aplicar aspa simple al primer miembro, es decir:

)(

)

Se cumple sólo cuando

{

de donde el conjunto solución es:

}

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución:

Se cumple sólo cuando Luego el conjunto solución es: 2.

FÓRMULA DE BASKARA Se utiliza cuando el trinomio dado por la fórmula:

de donde

2

3 no es factorizable en

√ Donde se obtienen las raíces:

. Luego las raíces (soluciones) de la ecuación esta

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 25 √



Donde el número real

es el DISCRIMINANTE de la ecuación cuadrática

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: identificando

(

) ( )

√(

)

, reemplazando en la fórmula cuadrática

( )(

)





Donde las rices son:





NATURALEZA DE SUS RAICES En la ecuación 1) Si

, entonces las raíces

de coeficientes reales, con raíces son raíces reales y diferentes.

se cumple:

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución:

Se cumple cuando Donde

* Luego el conjunto solución es: 2) Si , entonces las raíces Observación: la ecuación cuadrática trinomio

+ son raíces reales e iguales. tiene dos raíces reales e iguales o solución única, si el

es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución:

(

)

, Se cumple cuando

Donde Luego el conjunto solución es: 3) Si

{ ⁄ } es una única solución.

, entonces las raíces

son raíces complejas y diferentes.

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: identificando

(

)

√(

) ( )

, reemplazando en la fórmula cuadrática

( )( )









De donde las rices complejas son:





Donde: (√

) número imaginario

PROPIEDADES En toda ecuación

de coeficientes reales, con raíces

1. Suma de raíces: 2. Producto de raíces: 3. Diferencia de raíces: |



|

4. La ecuación que dio origen a las raíces (

)

(

)

Ejemplo: Sean Hallar

es:

raíces de

, si (

)(

)

S

Nos pide: (

(

)(

)

)

(

)

se cumple:

26 | C E P R U 2 0 1 5 RAÍCES ESPECIALES Sean raíces de la ecuación cuadrática Si una de las raíces es el inverso aditivo de la otra entonces las raíces son simétricas. ) Es decir: ó (

1.

Si

es una de las raíces, entonces la otra raíz será

talque

Si una de las raíces es el inverso multiplicativo de la otra entonces las raíces son recíprocas. Es decir: ó ( )

2.

Si

es una de las raíces, entonces la otra raíz será

talque

Ejemplo: calcular la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación ( ) ( ) Sabiendo que las raíces son reciprocas. Solución:

( (

) )

Identificando

y como las raíces son reciprocas, entonces se cumple: , luego la ecuación cuadrática queda:

Observación: Si las ecuaciones {

Tienen las mismas raíces (son equivalentes), entonces:

Ejemplo: Dada las ecuaciones equivalentes (

(

)

Solución: (I)

)

(

)

y

Hallar Por se equivalentes se cumple: ( II ) ( III )

De ( I ) y ( II ) De ( II ) y ( III )

(

Luego

)(

)

(

) EJERCICIOS

1.

Resolver la ecuación en x: Rpta:

2.

3.

.

8.

.

Determinar los valores de “m” de manera que las raíces de la ecuación tenga una raíz menor que 2 y otra mayor que 2. 〉. Rpta: 〈 Determinar la suma de cuadrados de las raíces de ( ) la ecuación ( ) , sabiendo que las raíces son reciprocas.

Rpta: 36. 9.

5.

Se considera la ecuación de raíces reales * +. Hallar la ecuación cuyas raíces y sean y . Rpta: La ecuación

10.

; es:

I. Es

6.

12.

Dada la ecuación:

Para que valores de m la ecuación tiene raíces iguales. Rpta: -1/2.



de raíces



y



. Determinar el valor de:

.

Rpta: 5/2. La solución de la ecuación es: 14.

Rpta: m+n=0. 7.

Si la ecuación: ; es compatible indeterminado. Hallar el valor de “m-n”.

La diferencia entre la mayor raíz y menor raíz de la ( ) ecuación: ( ) , es: Rpta: 14.

13.

Para que la ecuación ( )( ) sea incompatible, cual es la condición que debe cumplir m y n.

.

)

11.

II. Es compatible III. Es incompatible.

Rpta: incompatible

(

Rpta: 3.

.

compatible determinado. indeterminado. IV. Tiene como solución x=2.

Formar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación . Rpta:

Rpta: 82/9. 4.

Si las raíces de la ecuación cuadrática son reciprocas y la suma de raíces es b-5. El valor de “a”; es:

Hallar 3x ( )(

;

Rpta: 1. de la ecuación: ) , ( ) -

(

)(

)

.

Rpta:-2. ( (

) )(

)

15.

¿Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones: I. . II. III. Rpta: solo II.

. No admiten raíces rales?

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 27 16.

Si la ecuación raíces a

y

; admite como tal que

33.

. Hallar “m”.

Una de las raíces de la ecuación:

(

) √

34.



; es:





Rpta:

19.

o

Si la ecuación:

tiene infinitas soluciones.

35.

Rpta.: 5.

El menor valor entero negativo de “n”, para que la ecuación: ( ) tenga raíces reales; es:

36.

una

de

las raíces de la ecuación: ; es -3 y la otra raíz, es:

)

Hallar el valor de x, si se tiene:

Hallar

el

.

de

valor

de

“m”,

si

la

ecuación

(

,

.

38.

( ) cuadrática: es incompatible. Hallar el

ecuación

)

valor de

mx  n  5x  3  9x  2 es Si la ecuación compatible indeterminada, el valor de m  n , es Rpta:3

40.

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Si x1  x2  0 , entonces las raíces son simétricas.

.

II) Si

Si las raíces dela ecuación: ( son iguales. El valor de “m”; es:

)

III) La suma de raíces es

28.

” para que la ecuación: ), sea compatible indeterminado.

la

ecuación

Hallar la mayor solución de la ecuación: (

; sabiendo que su

) Para qué valor de “k”, la ecuación: ( ( ) tiene raíces reciprocas. Rpta:-7.

El conjunto solución de ecuación

3x  5  7  x ,

El

conjunto

solución

de

la ecuación: , es:

Rpta {1} Calcular la suma de las raíces de la ecuación:

x  x x2

Hallar el valor de “a+b”, de manera que la ecuación: ; sea compatible indeterminada.

Rpta: 3. 32.

de

6  3x  12 x  24  16 x  x  2 44.

* +.

) ( ) discriminante es 25.

raices

Rpta:  1,3 43.

Rpta: 7. 31.

las

es:

; es compatible determinada.

30.

de

x  4  x  4  6  0 , es:

Para qué valor de b, la ecuación:

Rpta:

suma

Rpta:8 42.

) .

Rpta: 2. 29.

La

2

Hallar “m” de modo que: ( ) ( ) ; tenga raíces reales e iguales:

(

b c

Rpta:VVFV 41.

.

Calcular “

x1  x2 

1 1 b    , x1  0, x2  0 x1 x2 c

Determinar la ecuación cuadrática de raíces (a+b) y a.b, si a y b son raíces de la ecuación .

Rpta: (

x1.x2  1 , entonces las raíces son reciprocas.

IV) La suma de las inversas de las raíces, es

Rpta: 27.

2a  b .

39.

Rpta: 0; 2. 26.

Si la ecuación:

incompatible. Hallar Rpta.: .

Rpta:-9. 25.

.

10(a  b  8) x2  6(a  b) x  5ab  0 ; es

.

la

m para que se verifique:

Rpta.:

es

Para que valores de “m” la ecuación: ( ) ( ) ; tiene raicea reciprocas.

Si

Si a y b son raíces de la ecuación:

3x2  2(m  1) x  m  1  0 ; Determine el valor

Rpta:-10. 24.

a 2

Rpta.: 37.

; Determinar el valor de

9ab2  3a3  9a2b  3b3  192

incompatible: Rpta:

Si r y s son las raíces de la ecuación:

ax2  bx  a  0 (ar  b)(as  b)

Rpta:16/5.

23.

m m  84; Es de 34 .Hallar el valor de E  5 67

Rpta:-3/2.

Rpta: 7.

22.

Si la suma de los cuadrados de las raíces de:

x2 

( 21.

Hallar “a+b”, de manera que la ecuaciones: ( ) ; , sean equivalentes.

Hallar el valor de “k”.

Si

en la ecuación: , de manera que una de

Rpta:-13/3.

√ .

Rpta: -4. 20.

)

Rpta: -1/2.



18.

(

sus raíces sea la unidad.

Rpta: 24. 17.

Hallar el valor de “k”,

?

Rpta 4

45.

Hallar el valor de:

E

5 x  12  2 2 x  6

Rpta 3

3x

,

si x  0,3 

28 | C E P R U 2 0 1 5

f (x1)=ax2+bx+c

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL. Es una desigualdad que tiene la forma general. Conjunto Solución En el conjunto solución, esta dado por los valores reales de la variable , que satisface la inecuación dada.











] 〉

[

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de la inecuación (

)

Solución:

S

,



INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REAL La inecuación cuadrática o de segundo grado en una variable real

presenta la siguiente forma general.

SOLUCIÓN GENERAL Para resolver una inecuación de segundo grado es recomendable que desigualdad se invierte. Luego teniendo en cuenta el discriminante

(

1. Si

en caso contrario multiplicar por ( se presentan los casos.

) y la

) se cumple:



2



3



2



(

2. Si

3

) se cumple:

    3. Si ( ) La inecuación se resuelve por puntos críticos, pues el trinomio siempre es factorizable (ya sea por factorización o utilizando la formula de baskara) en el campo de los números reales. El procedimiento es:  Pasar todas expresiones a un solo miembro dejando cero en el otro.  Se factoriza la expresión, luego se iguala cada factor a cero para obtener los puntos críticos.  Estos puntos críticos se ubican sobre la recta real. Luego se asignan los signos ( ) y ( ) en forma alternada empezando de derecha a izquierda.  La solución de la inecuación estará expresada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad original es mayor que ( ) o mayor o igual ( )o por las zonas negativas si es que el sentido de la desigualdad original es menor que ( ) o menor o igual que ( ) Ejemplo: Resolver Solución: multiplicando por (

) se tiene

(la desigualdad se invierte)

)( ) Hallando los puntos críticos: ( Ubicando los puntos críticos en la recta real y asignando los signos ( ) y ( )

-

+ 3

- S



-

+ 10

,

+ 〉

Teorema: Si el trinomio Ejemplo: Resolver

tiene discriminante

(

), entonces

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 29

Solución: El trinomio

( )( )

tiene discriminante

Entonces

luego la ecuación original es equivalente e resolver

(

)(

)

-

+

+

-4

-

5

+ ,

S

-

VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real “a” esta definido por: | | Propiedades: 1. | | 2. | | 3. | | | 4. | |

|

5. 6.

| | √ | | | || | ;

7.

⟨ ⟨

8. 9.

| |

| | | |

2

;

| |

; | | |

| | | ;

(Desigualdad triangular)

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver ecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades. ( ) | | 1. | | | | 2. Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|

(

|

)

*

S Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|

|

|

+ |

|

|

*

S

+

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver inecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

| | | | | |

| | | | | |

( (

) )

( (

| | | |

)( )(

) )

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | | Solución: | (

| )….. Propiedad 1 〈

S Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|



|

…. Propiedad 2

(

)

(

) (

Interceptando

( ,

S Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

)

) 〉

|

|

….. Propiedad 3

S









30 | C E P R U 2 0 1 5 Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|

|

|

(

|

|

|

)( )( )

(

….. Propiedad 6

)

S



-

EJERCICIOS 1.

Resolver la ecuación en x: Rpta:

2.

.

. y |

Sabiendo que

Rpta: 0

|

. Hallar el

17.

.

1.

El conjunto solución de la inecuación y

Rpta: 〈

; es:

〉.

〉.

Resolver: |

19.

Hallar el conjunto solución de: Rpta: *

Hallar la suma de todos los números enteros que

20.

. Rpta:-3. En las siguientes proposiciones indicar con (V) si es verdadero y con (F) si es falso: I. el conjunto solución de la inecuación: ; es

.

18.

〉.

satisfacen a la inecuación

5.

)

Entre que límites debe de estar comprendido “n” para que la inecuación: se verifique . Rpta: 〈

; para

4.

(

Resolver: Rpta: 〈

intervalo al que pertenece la expresión

3.

16.

El conjunto solución de: ( )( - , - , Rpta.: 〈

El conjunto solución de: 〉.

El mayor valor entero que satisface al sistema: ; es: Rpta.: 26.

; es * +. 24.

; es . Rpta: VFVF.

25.

El conjunto solución de la ecuación: | | | | |; es:

El conjunto | | ( Rpta: 〈

solución ), es:

de

la

26.

Hallar la suma del menor entero y el mayor entero | | | | que satisface a la inecuación: .

Rpta: . 11.

12.

Resolver: |

|

Rpta: *

+.

Resolver: || Rpta: ,

|

|

) Resolver: ( 〉 Rpta:〈

14.

) Dado: ( pertenece 〉. Rpta: 〈

.

.

Rpta: -

,

〉.

El conjunto solución de la inecuación: , es: Rpta.: 〈 〉.

30.

Hallar el conjunto solución de: ( )( -. Rpta.: 〈

31.

Hallar el conjunto solución de: Rpta.: 〈

32.

Resolver:



29.

〉 . Hallar el intervalo al que



.

Hallar el conjunto solución de: ( )( ) ( 〉. Rpta.: 〈

-.

13.

15.

.

. Señalando el

)

28.

|.

|

(

Hallar el conjunto solución de: Rpta.: 〈

.

|

Resolver: ( ) Rpta.:

27.

Resolver: |

-.

menor valor que puede tener “x”.

inecuación:

〉.

Resolver: Rpta.: 〈

|

Rpta: -11 10.

〉.

.hallar “m+n”.

Rpta: * +.

9.

Para que valores de “x” se verifica la siguiente inecuación:

Rpta.: 〈 , tal que

Rpta:3.

8.

)

22.

23.

IV. el conjunto solución de la inecuación:

7.





)

)(

〉.

Hallar el conjunto solución de:

. -

,

.

〉.

El conjunto solución de la inecuacion: ( ) 〉. Rpta.: 〈

Rpta.: 〈

.

)

Si

| |

+.

III. el conjunto solución de la inecuación:

6.

+.

.

, es

)(

Rpta: *

21.

II. el conjunto solución de la inecuación:

(

.

|

,.

Rpta.: 〈









〉.

)

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 31 33.

Hallar el conjunto solución de:

Rpta.: 〈 34.

35.



y hallar su conjunto

52.

-

Para que valores de “ ” en la inecuación cuadrática siguiente se cumple que para todo : .

38.

Hallar el conjunto solución de:

(

Rpta.: 〈

54.

Señalar el menor valor entero positivo que verifique | la inecuación: | . Rpta.: .

55.

Al resolver: |

56.

)(









57.

58.

¿Cuántas de verdaderas? I.

las siguientes proposiciones son

II. (

)(

III.

tiene

)

IV.

tiene 60.

R Hallar el valor de k, si la ecuación ( ) ( ) Tiene solución única.

44.

61.

)(

,

,( 〉

Resolver



Al resolver: ⟨



)

(

)(

)

|

|

Determinar el conjunto solución de: | | | |





〉.

Señalar la suma de las soluciones enteras: |

|

.

El conjunto solución de la inecuación: | | | | | | |

El conjunto solución de la inecuación: | | | | | | -. Rpta.: ,

63.

El conjunto solución de la inecuación: | |





Al resolver: | negativa.

, el conjunto solución, es:

|

|

| , indicar la solución

3.

Rpta.: 〈

|

Calcular: E  3x  2  2 x  8  2 x  4 ;

65.

Rpta.: 1. El conjunto solución de la siguiente inecuacion x  3  x  4 ; es.



|

|, el conjunto solución, es:

66.

El valor de la expresión:

E

+.

| Resolver: | ; siendo el conjunto solución * +, indicar “ ”. Rpta.: 6.

49.

Resolver: | * solución

67.

El conjunto solución de la Inecuación:

x2  2 x  5  x2  5x  6

| | | ; siendo el conjunto +, indicar “( ) ”.

La suma de las soluciones de la ecuación: | | | | | | | |, es:

4 x  1  x  1 Si x  0,1 ; es. x

Rpta.: 5.

; es.

1 Rpta.:   ,  7 

Rpta.: 81.

.

si x  0, 4 .

2 

48.

Rpta.:

6 x  11  3x  9

Rpta.:  7 , 

3.

Al resolver: ⟨

〉.

64.

El conjunto solución de: | | , es.

Rpta.: *

50.

|

62.

3.

Rpta.: 2 47.

)



Rpta.: 2 46.

| 〉.



 2

Rpta.: 2 45.



Rpta.:   3 ,  

Resolver (

R

Hallar el conjunto solución de:

Rpta.:

R

43.

1.

Rpta.: 〈

2 3

tiene

Determina el conjunto solución soluciones de la | siguiente inecuación: | .

Rpta.: , 59.

tiene

, es:

|

1.

Rpta.: 0

Rpta.:

|, el conjunto solución, es:

|

El conjunto solución de: | Rpta.:0

)

〉.

|

|

 1 Rpta.:   ,  .  2

Al resolver:

R

,

El producto de las raíces de la ecuación: | | |, es: Rpta.: .

x2  8x  20  0 . El conjunto solución; es.

42.



53.

〉.

Determinar el valor de “a” tal que la inecuación: ( ) ( ) ; se verifique . Rpta.: 0

41.

El producto de las raíces de la ecuación: ⟨ Rpta.: .

Hallar el conjunto solución de:

37.

40.

, es:

|

es:

Rpta.: 〈

39.

La suma de las soluciones de la ecuación: ) | ( Rpta.: .

〉.

Resolver: solución: Rpta..

Rpta.: , 36.



51.

68.

Determinar el conjunto solución de la ecuación:

 x  x  5  11 .

32 | C E P R U 2 0 1 5

8

Rpta.: 69.

86.

Al resolver la inecuación:

x  0 Se obtiene por x 5

, m  m, 

. Hallar el

87.

88.

Rpta.: 50.

89.

x  4

90.

4  3x  5 X  2 , el conjunto solución,

91.

conjunto

solución

de

la

solución 2 x  3  3  x  2  , es:

de

la

inecuación

95.

solución

de

la

Resolver la inecuación

96.

x  5  2x  4

2 x  1  x  10  x  5

97.

x4  2 x3  15x2  0

Cuántos valores enteros cumplen con la inecuación

Resolver 3  2 x  4 x  1

¿Cuántos valores enteros satisfacen la inecuación

2x  5  4x  3 ? Rpta:4 La suma de los valores enteros que cumplen con la

x2 desigualdad  2 , es: x 1 Rpta:9 85.

El conjunto solución de la inecuación 2 x  3  3 , es: x2 Rpta:

2,3

x2  2 x  3  0

Hallar el menor valor entero positivo que verifica la desigualdad:

El

conjunto

solución

2  x  1  x  x , es:

de

la

inecuación:

Si

x

es

un

número

real

que

verifica:

4x 1 9 , este número. ¿A que conjunto 2 x3 x3

pertenece?

 3, 5

Rpta:  1, 2   3  

84.

2

Rpta: Φ



Resolver la inecuación

Resolver:

Rpta: 4

Rpta: -∞,-3U[8,+∞  98.

El número real que satisface a la ecuación:

10  3x  x 2  x 2  x  6 , es: Rpta: 4

Rpta:6

83.

Determinar el mayor valor entero de k en:

2 1 x 1

inecuación

x2  4  4  2 x 82.

inecuación

Resolver la ecuación:

Rpta. [1,+

81.

la

Rpta: {-3,3}

Rpta:4,+

Rpta:

de

94.

2 x  3  4 x  5 , es:

80.

solución

Al resolver: 5  x  31  18 , se obtiene: Rpta: x  [-7,-6]U[6,7]

Rpta:–,1

Rpta.

conjunto

93.

El conjunto solución de

Resolver

1, 2

(2 x  1)2  x( x  1)  3  5x( x  3)  2( x  5)

inecuación

2x  5 1  x 2x  1 , es:  5  4 3 3 3

79.

2 se verifique para

Rpta: -7/5,+∞

conjunto

conjunto

El

m para que la

12 x2  4 x  5  k  0; x  R 92.

Rpta: –,3]

78.

inecuación

3x  5  x  2 , es:

2 x  3  3x  8 , es:

El

la

Rpta: 4

Rpta:[5,+

77.

de

Rpta:   7 ,  3   2 4  

Rpta:  ; 1  4 

76.

solución

Entre que límites debe variar

Rpta:

es:

El

conjunto

inecuación x  2mx  m  todo valor real de x .

6

75.

El

2

Si 2 x  3  4 x  2 ; determinar su conjunto solución.

El

1 3 x2  x  . Hallar m tal que m. 4 2 x4

Si

x  10 x  25  0 , es  5

Rpta.:  5 ,   

74.

inecuación

Rpta:

Conjunto solución de: 2 x  5  2  4 ; es.

Al resolver

la

2

Rpta.:  3 , 7  2 2   71. La solución de: x  4  4 x  8 ; es.

73.

de

Rpta:1/5

2

72.

solución

 4,8

Rpta:

valor de: “ 2m ”.

Rpta.:

conjunto

3x  6  5 x  2  4  2 x  60 , es:

conjunto solución

70.

El

99.

¿Cuál es el mayor número entero x que verifia:

5x  1 3x  13 5x  1 ?   4 10 3 Rpta: 0 100. El conjunto solución de:

2x 1  x  2 ,

Rpta: -1/3, 3 101. El conjunto solución de la inecuación,

2  x  x  3 , es: Rpta: -∞,-1/2] 102. Resolver:

1

1  8x 0 x  4x  3 2

Rpta: -3,-1U{2}

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 33 103. Determinar el menor de los números enteros M que satisface la inecuación: 4  6 x  3x2  M , x  .

104. Determinar el conjunto solución de la desigualdad:

( x  3  2)2  5 x  3  4 .

Rpta: 8

Rpta:2,4-{3}

f (x1)=ax2+bx+c

MATRICES Una matriz

de orden

es un arreglo rectangular de números reales expresados en

[ Abreviadamente la matriz

se denota como

0

Ejemplo:

filas y

columnas

]

[ ]

1

Es una matriz de orden

.

IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices

y

son iguales si son del mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales, es decir:

[ [

Ejemplo: Las matrices



]

]

[

] [

y

]

son iguales

TIPOS DE MATRICES 1.

Matriz fila. Es una matriz que solo tiene una sola fila, es decir, es de orden

,

Ejemplo: 2.

Matriz columna. Es una matriz que solo tiene una sola columna, es decir, es de orden

[

Ejemplo: 3.

-

]

Matriz rectangular. Es una matriz donde el numero de filas es diferente al numero de columnas, es decir; es de orden

0

Ejemplo: 4.

1

Matriz cuadrada. Es una matriz donde el numero de filas es igual al numero de columnas, es decir; es de orden se denota como

[

0

Ejemplo:

1

]

[

]

DIAGONAL PRINCIPAL Y TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA a) La diagonal principal de una matriz cuadrada iguales cuy:

La otra diagonal se llama diagonal secundaria.

b) La traza de una matriz cuadrada

denotado por

es decir:

( ) [

Ejemplo:

]

Diagonal principal: son los elementos Diagonal secundaria: Traza:

( )

PROPIEDADES DE LA TRAZA

1.

(

)

es una está formada por los elementos cuyos subíndices son

( )

( )

( ) es la suma de los elementos de su diagonal principal,

34 | C E P R U 2 0 1 5

5.

2.

(

3.

(

)

( ) )

(

)

Matriz nula. Es una matriz donde sus elementos son ceros y se denota por

0

Ejemplo:

1

[

]

MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 1. Matriz diagonal. Es aquella matriz cuadrada donde todos sus elementos son nulos a excepción de por lo menos un elemento de su diagonal principal, es decir:

[

] 0

Ejemplo:

1

0

1

[

] √

2. Matriz escalar. Es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales a un número real

, es decir:

[

* +

] 0

Ejemplo:

1

0

1

[



]

√ √

3. Matriz identidad.- Es una matriz escalar cuyos elementos de su diagonal principal son iguales a la unidad, se denota por I es decir:

I

I

Ejemplo:

I

0

1

I

[

]

4. Matriz triangular superior.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir:

[

] 0

Ejemplo:

1

[

]

5. Matriz triangular inferior.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal son ceros: Es decir:

[

]

Ejemplo:

0

1

[

]

MATRIZ TRANSPUESTA Definición: La transpuesta de la matriz

de orden

, es la matriz

de orden

, cuyos elementos se obtienen

intercambiando filas por columnas o viciversa.

S [

Ejemplo: Si

[

]

]

, entonces

[ 0

1

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA

1. ( ) 2. (

)

3. ( 4. (

) )

5. (I )

I

MATRIZ SIMÉTRICA. Una matriz cuadrada es simétrica si Es decir:

[

Ejemplo:

[

] ]

.

]

(

)

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 35 MATRIZ ANTISIMÉTRICA. Una matriz cuadrada es antisimétrica si Es decir:

(

Ejemplo:

[

)

.

{ ]

PROPIEDADES DE LA MATRIZ SIMÉTRICA y ANTISIMÉTRICA 1.

La suma de dos matrices simétricas (antisimétricas), es una matriz simétrica (antisimétrica)

2.

El producto de dos matrices simétricas, no es una matriz simétrica.

3.

Si

es una matriz cuadrada cualquiera, entonces: 

es una matriz simétrica.



es una matriz antisimétrica.

4.

Si

es una matriz cualquiera, entonces tanto

como

, son matrices simétricas.

5.

La traza de una matriz antisimétrica es cero.

6.

La única matriz que es simétrica y antisimétrica es la matriz nula cuadrada

MATRIZ IDEMPOTENTE. Una matriz cuadrada es idempotente si

[

Ejemplo:

] I

MATRIZ INVOLUTIVA. Una matriz cuadrada es involutiva si

[

Ejemplo:

]

I

, donde

MATRIZ NILPOTENTE. Una matriz cuadrada es nilpotente si

[

Ejemplo:

]

donde

, se llama matriz nilpotente de índice

, donde

OPERACIONES CON MATRICES I. ADICIÓN DE MATRICES:

[

Dadas las matrices del mismo orden

[

]

,

-

0

Ejemplo: Si

[

y

]

, la matriz suma es otra matriz, definida por:

, donde

1

0

]

0

y

1

, entonces

1

II. SUSTRACCIÓN DE MATRICES:

[

Dadas las matrices del mismo orden

]

[

y

]

, la matriz diferencia es otra matriz, definida por: (

0

Ejemplo: Si

y

1

0

0

1

, entonces

1

PROPIEDADES: Sean

y

(matriz nula). Matrices del mismo orden, entonces:

1. 2. (

)

(

)

3. 4.

(

)

(

)

III. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

[

Dada la matriz Ejemplo: Si

[

( ) ( )

0 (

] 1

) ( )

[

entonces

( ) ] ( )

encontrar

0

1

)

]

36 | C E P R U 2 0 1 5 IV. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES:

,

Dadas las matrices la matriz

-

[

y

, tales que el número de columnas de la matriz

]

son iguales, entonces el producto

,

-

[ ]

, es otra matriz de orden “

,

donde:

1

y

y el número de filas de

”, la cual se define como:



Ejemplo:

0

Dadas las matrices:

[

, hallar el producto

]

.

Solución

0

1

, donde:

,

-[

]

( )( )

( )(

,

-[

]

( )(

,

-[

]

(

)( )

,

-[

]

(

)(

)

)

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

)

( )( )

( )( )

( )( )

. .

Por lo tanto:

0

1

0

1

PROPIEDADES: Sean

,

(matriz nula) e I (matriz identidad); matrices de órdenes compatibles con respecto a la adición y

multiplicación, entonces:

1. 2.

(

3.

(

4.

)

(

)

)

(

)

5.

I

I

6. 7.

Si

, no necesariamente que

8.

Si

, no necesariamente que

9.

Si

10. (

)

11. (

)

;

;

;

12.

.

. ;

. DETERMINANTES

Definición: El determinante de una matriz cuadrada A es el número real definido por | | ó

( )



Donde

(

( )



(

)

o

)

es menor complementario de

.

DETERMIANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN

0

Si

1

Ejemplo: Si

0

, entonces | | 1





, entonces | |

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN





(

)(

)

( )( )

.

REGLA DE SARRUS. Se utiliza sólo para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden

, se procede con los

siguientes pasos: 

Se escriben las dos primeras filas a continuación de la tercera.



Se trazan tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha



Se multiplican la diagonal principal y sus paralelas, luego se resta la suma del producto de la diagonal segundaria con sus paralelas.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 37

[

Si

| |

]

||

| |

, entonces

(

)

||

(

)

Ejemplo:

Si | |

[

, entonces

]

(

)

(

|O| |I| | | | | | | | | | | | | |

||

)

I matrices cuadradas, entonces:

PROPIEDADES: Sean

1. 2. 3. 4. 5. 6.

||

| |

| |

| |

|

7. Si una fila o una columna de la matriz cuadrada A son todos ceros, entonces |A| = 0

[

]

, Entonces

| |

|

|

[

]

, Entonces

| |

|

|

8. Si dos filas o dos columnas de la matriz cuadrada A son respectivamente proporcionales, entonces |A| = 0.

[

]

, Entonces

| |

|

|

La primera columna es proporcional con la tercera columna.

[

]

, Entonces

| |

|

|

La segunda fila es proporcional con la tercera fila.

[

9. Si

]

es una matriz triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar o identidad, entonces | |

[

]

[ 10. Si

, Entonces

]

| |

|

|

| |

|

|

, Entonces

es la matriz que se obtiene al sumar un múltiplo de una de las filas de

[

]

[

]

Entonces

a otra, | |

entonces | |

| |

| |

2f1 + f2 11. Al intercambiar dos filas o columnas de una matriz, el determinante cambia de signo |

|

|

|

12. Si a todos los elementos de una fila o una columna de la matriz cuadrada A se multiplica por una constante “k” entonces el |A| queda multiplicado por dicha constante

Definición.- Se dice que la matriz

[

]

es singular, si | |

Definición.- Se dice que la matriz

[

]

es no singular, si | |

. .

38 | C E P R U 2 0 1 5 MATRIZ DE COFACTORES Sí A es una matriz cuadrada de orden

, el cofactor del elemento

es el determinante que resulta de eliminar la fila

[

Ejemplo: Si

con la columna

(

se define como:

)

, donde

de la matriz

]

El cofactor de

es:

(

)





El cofactor de

es:

(

)





El cofactor de

es:

(

)





El cofactor de

es:

(

)





El cofactor de

es:

(

)





El cofactor de

es:

(

)



El cofactor de

es:

(

)





El cofactor de

es:

(

)





El cofactor de

es:

(

)







Luego:

( )

[

]

MATRIZ ADJUNTA Si

es una matriz cuadrada de orden

, se define la matriz adjunta de

y se denota por

( )

a la transpuesta de la

matriz de cofactores de la matriz A.

( )

Es decir:

*

( )+

Ejemplo: Del ejemplo anterior:

( )

*

( )+

[

]

MATRIZ INVERSA

[

La matriz inversa de

]

está definida por:

( )

| | INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEN Dada la matriz

0

1

no singular, entonces la matriz inversa de

I (matriz identidad)

Donde Ejemplo: Dada la matriz

0

1

Encontrar la matriz inversa de

El determinante de A es: | |

( )

( )

Entonces:

| |

0

1

0

1

[









]

Ejemplo: Dada la matriz

[

]

, encontrar la matriz inversa de

Solución El determinante de A es: | |

( )

[

]

esta dado por:

| |

0

1

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 39 Entonces:

( )

| |

[

]

PROPIEDADES

1.

I

2.

I

3.

(

4.

(

5.

(

6.

(

7.

| |

I ) ) ) )

(

)

| |

EJERCICIOS 1.

En las siguientes proposiciones indicar con V si es verdadero y con F si es falso. I. la matriz cuadrada [ ] es triangular superior si

8.

]. Una matriz simétrica.

Hallar el valor de:

.

II. Toda matriz nula es triangular superior y triangular inferior.

[

Sea

.

Rpta: 70 9.

III. Toda matriz diagonales simétrica.

La

traza

[

IV. No toda matriz cuadrada es invertible.

de

la

matriz

],es:

inversa

de:

Rpta: 11/4

Rpta: FFVV. 2.

En las siguientes proposiciones determinar el valor de verdad:

10.

11.

El

determinante

de

[

la

Dada

[

. Calcular |

{

Dadas

]

tal

14.

|.

15.

[

matrices

] ;

]. Calcular traza de (

Si

Dado

Hallar el valor de “k”, de manera que determinante

[

]. Es -15.

La traza de la matriz inversa de

Dada

la

matriz

Hallar

la

traza

0

).

16.

[

y

], es:

[

1 .Hallar det(

17. . Halle la matriz

0

).

inversa

de

Rpta: 1/5

¿Para qué valor de x la matriz

| no admite matriz inversa?

0

Dados

1

0

matriz

1 . Halle tr (

).

( ),

Rpta: 0.

1 18.

1

matriz

Rpta: para cualquier valor real de m inversa .

] . Calcular: | | .

( )

dela

].

|

sabiendo que: Rpta: 0

y

]. El mayor elemento de X; es:

[

Rpta: -4/5 7.

1

Rpta: 20

que

Rpta: 27/10. 6.

0

Rpta: -1

las

[

.

Rpta: 4

Rpta: 218. 5.

]

, donde

de la matriz

13. matriz

[

Rpta: 11. 12.

]; es:

la

) [

matriz

Rpta: 0. 4.

]

En la siguiente ecuación matricial

(

Rpta: VVFV. 3.

[

Rpta: 82.

III. Determinante de una matriz cuadrada no nula; siempre es diferente que cero. IV. Dada la matriz A de orden 3x3, si al intercambiar las filas 1 y 3 se obtiene la matriz B y al intercambiar las columnas 1 y 2 se obtiene la matriz C; entonces | | | |.

]

Calcular: “a+b+c”.

I. La única matriz que es simétrica y antisimétrica; es la matriz nula cuadrada. II. En toda matriz cuadrada A de orden 3x3; ( ) ( ( ( )).

[

Si

Sea (

)

donde

. Rpta: [

]

{

. Halle la matriz

40 | C E P R U 2 0 1 5 19.

(

El valor de x de ⟨

) ⟨



⟨;

es:

33.

Si

la

[

matriz

] ,

es

[

].

simétrica. Hallar “a+b”.

Rpta: ¾.

Rpta: -5. 20.

[

Sea

] tal que

. El

34.

Rpta: 0.

35.

]. El valor de |

[

Si

|; es: 36.

0

1, la traza de la matriz

[

] 0

1

37.

.

[

]

[

] .

Calcular

0

Dada la matriz transpuesta

1.

Sean

1,

0

matriz ,(

)(

1,

0

)-

1 . Hallar la

40.

.

1.

0

1 ; una matriz tal que traza (

)

Rpta: 5.

| √

Dado:



[

Dada la matriz

0

1 ;

Hallar (

)

.

0

1 y

0

Rpta: [

3.

], es 9. ”, en la matriz escalar: ]

Rpta.: 9. Dada la matriz triangular superior: [

], hallar | |.

Rpta.: 24. 46.

Si

x 5 x  y 1  y 1   ; es una matriz A  x7 5 x  y  3  y  3 x  y  10 x  1  

triangular superior. Hallar

].

Rpta: no existe.

], dos matrices,

[

[

Hallar la inversa de la matriz

[

]y

Rpta.: 7. Hallar el valor de “

1 .

de la matriz de cofactores.

1, hallar la

0

Hallar el valor de “ ”, si el determinante de la matriz: [

] . Hallar el producto de los y

1,

]; es singular:

Rpta.: 2

]. [

[

[

44.

Sea

0

42.

45.

32.

, mostrar su forma desarrollada, para

Dadas las matrices

], la traza de la matriz

Rpta: 2.

elementos Rpta: 2.

, definido por:

si la traza de la matriz es , el valor de “ ” es: Rpta.: 4. Hallar los valores de “x”, para los cuales la matriz:

43.

Dada:

]

Si

.

inversa de A; es:

31.

[

Dada la matriz

41.

| . Hallar el valor de “k” si

Rpta: 5.

30.

de la matriz de cofactores de A.

suma de los elementos de la matriz , en: ( ) ( ) Rpta.: 7

. Calcular el valor de “n”.

29.

].hallar la suma de los

luego calcular la suma de sus elementos. Rpta.: 3.

dos matrices tales que:

Rpta: 0

28.

y

{

-.

Rpta: 1

Sea

[

Dada la matriz elementos

39.

Calcular ,

27.

|.

Rpta: 6.

Rpta: 2

0

1. Hallar |

0

Dada la matriz Rpta: 1/3.

“m+n+p”.

26.

]; es:

Rpta: 40.

38.

25.

1; .

[

.

Simplificar:

Si:

0

El determinante de la matriz triangular inferior:

;

Rpta: 0 24.

1.

Dadas las matrices

es:

23.

.

Rpta: 19.

Dada la matriz

Rpta:

1. Hallar

Hallar la traza de la matriz

Rpta: -25. 22.

0

Rpta: 0

determinante de A es:

21.

Si

47.

A

.

Rpta.: 80. Halle el valor de “k” sabiendo que:

 3 k 1 2    A  1 k 1 ; es singular. 0 k 3 4   

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 41 Rpta.: 48.

19 12

51.

Resolver la ecuación:

1

2

4

1

3

9  56 .

1

x

x2

Rpta: 0 52.

Rpta.: 5;10 49.

1  w  w2  0 , el valor del determinante de la 1 w w2    2 matriz A   w w 1  , es:  2  1 w   w Si

Hallar el valor de

 k 8 4  C   7 9 5  6 10 6 

Dada las ecuaciones matriciales:

2 1 2  2 1 2   ; A  B   2 1 1  . Hallar traza de A  2B   2 5 6    0 1 1 4 1 1    

A.

Si

53.

Hallar los valores de x para que la matriz:

 x 2  3 1 A   2 x 1 Tenga inversa.

1 4 3   . Hallar traz(cof ( A)  adj( A)) . A   1 1 0   2 0 2  

Rpta.:

, es 16.

Rpta:4

16 Rpta.: 3 50.

k si el determinante de la matriz

Rpta.

x

 {3, 1}

.

f (x1)=ax2+bx+c

SISTEMA DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con dos o más incógnitas (variables) que se verifican para los mismos valores de las incógnitas. CONJUNTO SOLUCIÓN: Se denomina conjunto solución a los valores numéricos reales de las incógnitas (variables) que satisfacen al sistema. CLASES DE SISTEMAS: I.

SISTEMA COMPATIBLE Cuando el sistema tiene (admite) soluciones. Estos a su vez pueden ser:  Sistemas compatibles determinados. Cuando el sistema tiene un número finito de soluciones. Estos sistemas se caracterizan por tener el número de ecuaciones igual al número de incógnitas.  Sistemas compatibles indeterminados. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones. Estos sistemas se caracterizan por tener el número de ecuaciones menor al número de incógnitas.

II. SISTEMA INCOMPATIBLE (ABSURDA O INCONSISTENTE) Cuando el sistema no tiene (no admite) solución. Esto ocurre cuando el número de ecuaciones es mayor al número de incógnitas. SISTEMAS EQUIVALENTES Dos o más sistemas distintos son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES Está dado por: Si

……(I)

{

;

entonces el sistema es homogéneo.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN Para encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones de dos variables existen varios métodos como: Método de sustitución, Método de reducción, Método de igualdad de variables, Método de determinantes (regla de Cramer) SOLUCIÓN A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES POR EL MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER)

Dado el sistema {

42 | C E P R U 2 0 1 5 S

S

|

| ;

Determinante del sistema.

|

| ;

Determinante de “x”.





Determinante de “y”.

*(

El conjunto solución está dado por:

Ejemplo: Dado el sistema: {

) + donde:

determinar el conjunto solución.



Solución: los determinantes con respecto al sistema, a la variable “x”

S



;





;





“y”, son:



.

Donde:

*(

Por lo tanto el conjunto solución será:

)+

*(

)+

ANÁLISIS DE L SISTEMA: 1.

Si S

, entonces el sistema (I) es Compatible Determinado. En este caso las rectas se interceptan en un solo

L

punto.

L L L

Ejemplo: {

es un sistema compatible determinado.

S

2. Si

entonces el sistema (I) es Compatible Indeterminado. En este caso las rectas son

coincidentes (rectas paralelas e iguales).

L

Ejemplo:

3.

Si

L { L

S

L

es un sistema compatible indeterminado.

(

) entonces sistema (I) es Incompatible. En este caso las rectas no son

coincidentes (rectas paralelas y diferentes).

L L Ejemplo: {

L L

es un sistema inconsistente.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES VARIABLES:

Está dado por: Si

……(II)

{

;

entonces el sistema es homogéneo.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN Para encontrar el conjunto solución a un sistema de ecuaciones de tres variables existen varios métodos como: Método de sustitución, Método de reducción, Método de igualdad de variables, Método de determinantes (regla de Cramer) SOLUCIÓN A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES VARIABLES POR EL MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER)

Dado el sistema

{

;

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 43 S

S

|

| ; Determinante con respecto al sistema.

|

|; Determinante con respecto a la variable “x”.

|

|; Determinante con respecto a la variable “y”.

|

| ; Determinante con respecto a la variable “z”. *(

El conjunto solución está dado por:

) + donde:

Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones {

, determinar el conjunto solución.

Solución: los determinantes con respecto al sistema, y a las variables “x”, “y” y “z” están dados por:

|

|

|

|

|

|

|

|

Donde:

*(

Por lo tanto el conjunto solución será:

)+

*(

)+

ANÁLISIS DE L SISTEMA: 1.

Si S

2.

Si S

3.

Si S

, entonces el sistema (II) es Compatible Determinado.

Z

entonces el sistema (II) es Compatible Indeterminado.

(

), entonces el sistema (II) es Incompatible. EJERCICIOS

1.

Del

sistema

de

ecuaciones:

{

.

7.

El valor de “x+y”; es:

Si

{

el

sistema

(

de

ecuaciones

)

8.

9.

En el sistema {

. Hallar

en

el

sistema:

.

{

Qué valor debe tomar “m” para que “x” sea igual a .

Hallar “a+b”, el sistema: {

Rpta: 69. tiene infinitas

soluciones. qué

valor

( (

) )

sistema: {

de

“n”

el

siguiente

; no tiene solución.

Rpta:32. 11.

Hallar “m” en el sistema para que x exceda en 4

Rpta: 17/5.

unidades a y. {

Determinar el valor de “m”, para que el siguiente ( ) sistema: { sea compatible ( ) determinado.

Rpta: 52.

Rpta: 6.

“z”

y en el sistema: {

. 10.

Para

Hallar

Rpta: 1/7.

Rpta: 1.

5.

valor de “a”; es:

lineales

; es indeterminado. El valor

Rpta: 19.

4.

y

Rpta: 12.

de “m+n”; es:

3.

son equivalentes. El

{

Rpta: 1. 2.

Si los sistemas son equivalentes: {

*

{

El

valor de “y” en el

sistema: {

.

Rpta: 1/3.

+.

Para qué valor de “n” el conjunto solución del sistema:

12.

.

;

es

*(

)+

.

13.

Hallar el valor de “m”, si el siguiente sistema admite solución única: {

Rpta: 14. Rpta: -1/2.

.

44 | C E P R U 2 0 1 5 14.

Determinar

( {

“a-p”

) (

de

modo

que

el

sistema:

, es compatible detrminado.

)

Rpta.: 28.

Rpta: 4. 15.

(

“x”

) )

( (

al

)

)

(

resolver:

)

29.

.

Determinar ( sistema: { ( inconsistente.

) )

“m”

para

que

¿para qué ( ) { ( )

30.

Rpta:

“a”

el

de “a” ) )

hace

que

sea

En el sistema: {

el

incompatible?

32.

el

valor

de

sistema: {

“z”

del

siguiente

22.

Para que valor de “n” el siguiente sistema no tiene solución: ( ) { . ( )

Para qué valor de “a”, el sistema de ecuaciones lineales, tiene solución única.

( { (

) )

33.

24.

25.

34.

35.

* +.

Dado

el

sistema

de

ecuaciones

x , es:

Determine el valor de

m

para que el sistema

¿Qué valores reales toma

n

para que el sistema

 0, 6

Rpta.: 4. La condición de “a” para que el sistema:

)

Admita solución única, es:

¿Qué valor debe tomar m para que y en el siguiente sistema?

x

sea igual a

 mx  6 y  143   7 x  my  26 Rpta:5 36.

El

valor

de

m

para

que

el

sistema

3x  2my  6 sea indeterminado es:   4 x  2  m  1 y  8 3 Rpta:  7

Si el sistema de ecuaciones lineales, ( ) { ( )

(

y

 n  3 x   n  4  y  n  3   2n  3 x   n  4  y  5

.

) )

Rpta.:

Rpta:

¿Qué valor debe tomar “k” para que el siguiente sistema sea incompatible?. ( ) { ( )

( { (

)

)

Sea compatible determinada?

Es compatible indeterminado, hallar el valor de .

27.

(

sea inconsistente Rpta:22/7

+

Hallar el valor de “a+b”, de manera que el sistema: ( ) { tenga infinitas soluciones. ( ) Rpta: 13.

Rpta.: 26.

*

Halla los valores de “a” y “b” para que el sistema:

 4  m  x  12 y  3   m  3 x  2 y  4

.

Rpta:

.

10 Rpta:  11

Rpta: 13/5. 23.

.

El valor

.

Rpta: 7.

”, es:

 x  2z  6   3x  4 y  6 z  30   x  2 y  3z  8 

Rpta: 4. Hallar

y{

)

Sea incompatible:

; es:

21.

(

Que valor debe tomar “a” para que “x” sea el doble de “y”, al resolver el sistema:

{ (

sistema:

. El valor de

)

Rpta.: 31.

+

+.

{

sistema:

admite solución única.

*

¿Qué valor ( ) ( { ( ) ( Rpta: -3.

de

*

Si los sistemas:

Rpta.:

sea

valor

y

Son equivalentes; el valor de “

el

Rpta: 22/7.

20.

)

{ (

Rpta: a+b.

19.

( {

Rpta.:

Hallar

{ (

18.

Los valores de “a” y “b” para que el sistema:

No admita solución, son:

.

Rpta: 4.

17.

+.

Determinar la condición que debe cumplir “a” para que el sistema sea determinado. {

16.

*

37.

Para

que

valor

de

a

el

 a  3 x  3 y  b  3 , tiene solución única?   a  1 x  2 y  b  1 Rpta:  3

sistema

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 45

38.

3x  4 y  z  1  El valor de x  y  z del sistema  x  y  3z  3 , 3x  2 y  2 z  0 

Determinar el valor de Rpta. 5 48.

Determine el valor de

m

para que el sistema

 4  m  x  12 y  3   m  3 x  2 y  4

son equivalentes, el valor de a, es: Rpta. 12 49.

Determine el valor de

m

L1 :  2m  1 x  my  9  0

para que las rectas

Tiene solución única, cuando Rpta.

L2 : mx   m  1 y  7  0

50.

Se corten en un punto situado en el eje Y. Rpta:9/16 41.

Hallar

51.

¿Para qué valor de

n

el sistema

 nx  4 y  n es   x  ny  3  n

incompatible? Rpta: 2 valores

Rpta. z=2 52.

de

para

k

que

el

es:

44.

Indicar el valor de

x

Rpta: x

45.



El valor de m, es: Rpta. m=-31 54.

1 a  c   a  b 

1   Luego de resolver el sistema  x  7   x Indicar el valor de

1 5  y 6 5 11  y 6

Rpta. a=3 55.

Rpta. m = -1/2

Del sistema:

x y z  6

, es:

Rpta. 1/3

47.

¿Qué valor debe darse a m para que el sistema:

 y  mx  2   x  y  10 ; admita solución única?  x  my  3 

x y

El valor de y del sistema:

2 x  3 y  2   x  2z  1 3 y  8z  3 

¿Qué valor debe tomar a para que x sea igual a y en el siguiente sistema?

ax  4 y  119   5 x  ay  34

Rpta:5 46.

Dado el sistema incompatible:

 (m  11) x  (m  16) y  31   (m  15) x  (m  19) y  91

, a partir del sistema

x  y  z  0 compatible determinado   ax  by  cz  0 bcx  acy  abz  1 

a  p de modo que el sistema:

Tenga infinitas soluciones: Rpta. 6 53.

 3

Determinar

(a  1) x  4 y  10   2 x  ( p  1) y  5

sistema

 2 x  5 y  3z  1  sea compatible determinado,  x  y  z  21 3x  ky  z  35  Rpta:

Hallar z, del siguiente sistema:

x  2y  z  7   3x  y  z  8  2x  y  5 

Rpta:2

Los

Para que valor de n, el siguiente sistema no tiene solución:

Rpta. 17/5

z  x  10

43.

a , es:

a   {3}

 (n  1) x  3 y  1  (n  5) x  2 y  3

x , en el siguiente sistema

x y  7 y  z  13

42.

El sistema lineal:

(a  3) x  3 y  b  3   2 y  (a  1) x  b  1

Sea inconsistente Rpta:22/7 40.

Si los sistemas:

ax  4 y  32  3x  y  4 y  ,   5 x  ay  34 2 x  3 y  10

es: Rpta: 3 39.

z 2  2z  2

x  y  5  y  z  3 x  z  4 

56.

Al resolver el sistema Hallar el valor de Rpta. z=3

2 x  3 y  2 z  14 x  y  5 z  14 z

46 | C E P R U 2 0 1 5

f (x1)=ax2+bx+c

1. PAR ORDENADO Un par ordenado de componentes “a” y “b” es un ente matemático denotado por (

) donde “a” es la primera

componente y “b” la segunda componente. IGUALDAD DE PARES ORDENADOS Dos pares ordenados (

) son iguales si y sólo si sus componentes son iguales.

) (

Es decir: ( ) ( ) de tal manera que (

Ejemplo: determinar el valor de Solución:

)

(

)

(I) (II) De (II) en (I) 2. PRODUCTO CARTESIANO

(

)

Dados dos conjuntos . se llama producto cartesiano de ) tal que pares ordenados ( , se denota por

*( *

Ejemplo: Sean los conjuntos

*(

)(

)(

)(

)(

+y )(

)

* )+

Cuando los conjuntos finitos y tienen tiene elementos. Es decir:

y

+y * ) ( ) ( )

* (

+

+, entonces: elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano

( Ejemplo: Entonces:

en ese orden al conjunto formado por todos los esto es:

)

( )

( )

+ Pares ordenados.

PROPIEDADES: Si

entonces

1. 2. (

)

(

)

3.

(

)

(

)

(

)

4.

(

)

(

)

(

)

5.

(

)

(

)

(

)

6. Si

entonces (

)

(

) RELACIONES BINARIAS

Sean

dos conjuntos no vacios. Un conjunto

subconjunto cualquiera de

de pares ordenados, se llama relación binaria de

, si

es un

, es decir: Es una relación binaria de

* Ejemplo: Sean los conjuntos subconjuntos del producto cartesiano

+y

*

+ , entonces las siguientes son relaciones de

*(

)( *(

*(

si y solo si

)

)( )(

)( )(

por ser

)+ )+ +

OBSERVACIÓN: Si

tiene

elementos, entonces

tiene

subconjuntos, por lo tanto existen

relaciones de

.

Del ejemplo:

*

+

( )

*

+

( )

(

)

( )

( )

( )

Por lo tanto existen

relaciones de

𝐚

R

( )

𝐛

DOMINIO Y RANGO Dada la relación binaria

( )

*

entonces:

(

)

+

Conjunto de Partida o conjunto de Pre imágenes

Conjunto de llegada Imagen o conjunto de imágenes

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 47 ( )

R

*

(

)

+

Ejemplo: Sea la relación

*(

)(

( )

)(

*

( )

R

)(

)(

)(

)(

)(

)+ entonces:

+

*

+ RELACIONES REALES DE VARIABLE REAL

Si

, se obtienen relaciones reales de variable real. En general una relación real se expresa como:

*( Donde: P(

) es una expresión algebraica ral.

Ejemplo:

*(

)

)

P(

)+

+

CÁLCULO DEL DOMINIO Para determinar el dominio de una relación real expresada como una ecuación ( términos de

, luego se analiza los valores reales que toma la variable

, se despeja la variable

)

para que la variable

en

sea real.

Ejemplo: Calcular el dominio de la relación:

*(

)

+

Solución:

√ √

( )



,

-

CALCULO DEL RANGO ) Para determinar el Rango de una relación real expresada como una ecuación ( , se despeja la variable términos de , luego se analiza los valores reales que toma la variable para que la variable sea real.

en

Ejemplo: Calcular el rango de la relación

*( ) Solución: ( R

+

) ( )

*

+ EJERCICIOS

1.

Sean los pares ordenados

(

)

Rpta: (

(

) iguales. El valor

de “a-b”; es.

8.

Rpta:1 2.

Si

*

+;

*

+. Hallar n(AXB).

9.

El dominio de la siguiente relación

*(

)

Rpta: ( 4.

Dada

la

√(

)(

Rpta: ( 5.

dominio

Rpta: 7.



*



*(

definida por: * +y

+; siendo

)

12.

*(

relación:

)

)

+; es. ).

Dados los conjuntos: definen las relaciones:

+ R (R ) Rpta: * 13.

+.

+.

El rango de la relación: :

Rpta: ,

〉.

+; es.

*

*(

)

+.

)

R

El dominio de la relación:

Rpta: 11.

Hallar rango de la relación:

*(

)

(R).

de la +.

(R) si

+.

*( {(

)

Dada la relación: +; Hallar (R) R

Hallar

10.

)}; su dominio; es. ,

R

Hallar los puntos de intersección de la siguiente *( ) + ; con los relación: ejes coordenados.

)

relación

-

Rpta: 〈 6.

,

(R)

)

Rpta: (0,-3/2).

+; es. -

*( *

Rpta: * +.

Rpta: 18 3.

Hallar

-.

*(

)

* *(

+; )

*

+ .Hallar R

+

El dominio de la relación ; es

*(

)

+

+ se (R )

48 | C E P R U 2 0 1 5 Rpta. , 14.

- .

Hallar el dominio de la relación:

*(

26.

)

Rpta. , 15.

Rpta.: ,

+. + y *( ( ).

*

+ .

* )

27.

*(

)

*(

)

+, calcular el

(

18.

29.

+.

+;

*

* )

*( )

(

(

*( *( *(

) )

)

(

(

)

)

hallar 32.

+, y

33.

+, +, hallar el valor de:

*(

)

*(

)

+,

35.

).

+









El rango de la relación

*(

R

)

( )

+









Hallar el dominio y rango de la relación:



2

Dada



/ x 2  y2  6x  4y  23  0

la



2

relación

/  2  y  9  x 2

2

real

 . Hallar Dom(R)

El conjunto de números enteros que satisfacen el rango de la relación



/ 2x 2 y  4x 2  3y  6  0 , es:

2

36.

)

|



el

dominio

*

|

+,

Rpta.: 45. Hallar el dominio de la siguiente relación:

)

|

rango

2



la

relación

 {3}  {1}

Dada

la



de

2

relación



/ x y  x  4xy  4y  0 , determinar el 2

2

Determinar el dominio y rango de la relación



R  (x; y) 



/ xy2  3y2  1  0

2

Rpta. Dom(R) = 3; + Ran(R) =  {0}

+, donde la relación +. Hallar ( ).

)

y

/ xy  x  5x  3y  6

2

conjunto que no satisface al conjunto Dom(R) Ran(R) Rpta. {1; 2}

+, se define la relación: +, si “ ” es la suma de

*(

Hallar

R  (x; y) 

los elementos del dominio y “ ” es la suma de los elementos del rango. Hallar “ ”. Rpta.: .

*(



Ran(R)

Rpta. Dom(R) = Ran(R) =

37.

*



En la relación R  (x; y)  2 / x 2 y  4x 2  2y  4  0 .

R  (x; y) 

*( | | Sea ) Hallar el dominio de la relación. -. Rpta.: , *(

25.

( )

Hallar Dom(R) Rpta. 2; 4

Rpta.: 10.

Sea

)



34.

+, se definen las relaciones: +,

* +, se define la relación: *( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ * + Si ( ) * + ( ) * +, ( ) Calcular (( ) )

24.

*(

Rpta. {-1; 0; 1; 2}

*

En

+

El dominio de la relación

R  (x; y) 

.

21. En

23.

*

Ran(R) Rpta. –1; 3

̇ +,

Hallar: Dom( +. Rpta.: *

22.

+

( )

R

R  (x; y) 

+y

*

Rpta.: 3.

20. Sea

)

Rpta. Dom(R) = –9; 3 Ran(R) = –8; 4

).

* )

*(

R  (x; y) 

+,

,

El rango de la relación

R

+,

Rpta.: 12.

19. Sean

30.

31.

+,

) (

( )

+

+, hallar la

Dados los conjuntos suma de los elementos del dominio de la relación , definido por: *( +. ) Rpta.: 14.

*(

)

R *

Sean

*(

R

).

Rpta.: * 17.

28.

+,

El dominio de la relación

R

+ y dadas las relaciones en , definidas

*

+

)

Rpta.: 3.

Dados los conjuntos Determinar la relación +. Hallar ( )

Sea por:

La suma de los números enteros de su dominio de la relación dada es:

*(

-.

Rpta. * + 16.

-.

|

38.



Dada la relación R  (x; y) 

/ y  15  x  2



; x    a; b  , determinar el valor de 2a+3b. Rpta. 73 39.

Hallar

el

 R   (x; y)  

dominio

de

la

x  4  4  x  2 /y  x x 

Rpta. –2; 2 – {0}

+

2

4

2

2

relación

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 49 40.

Hallar

el



dominio

R  (x; y) 

2

y

rango

de

/ y  2  5  4x  x

2

la



relación 50.

siguientes relaciones:

Rpta. Dom(R) = –8; 4 Ran(R) = –2; 1 41.

 x, y   A / y  x   x, y   A / y  x   x, y   A / y  x  2  0

R1 

Dado los conjuntos:

A  2 x  1/ x  ,  1  x  5 y

R2

B  1  2 x / x  ,  2  x  4

R3

2

2

R   x, y   A  B / x  y  8 . Hallar n  R 

Hallar

Rpta:10 Hallar

R

 x, y  

Rpta: 43.

Dom  R  2

Ran  R  de la siguiente relación:



2

51.

 5, 2 A  2; 4 y B  2; 2; 8 .

52.

Dados los conjuntos: y

B  {6,8}

.

Rpta: {2}

Rpta.24

Hallar el número de elementos del conjunto AxB, si.

/

x 1   0 x7 

R : A  B , Talque R  ( x, y)  AxB / x  y  16.

53.

Hallar el rango de la siguiente relación:

54.

Hallar el rango de la relación:

y



 R   x, y   

Sea

2

/y

x2 5   x  4 4 

es

Rpta:

55.

1/ 4, 

Hallar

R

el

valor

 x, y  

2

en



la

56.

A  2,3,5 y B  1, 4 . Se

definen las relaciones:

57.

R1   x, y   A  B / x  y

dominio

Hallar

R

el

Dominio

 x, y  

2

58.

de

y

 0



el

Dominio

Rpta: Dom  T 

2



relación

Rango



de

la

El dominio de la relación:

R  ( x, y)  R 2 / y 2  x 2  4 y  6 x  23  0,es:

Rpta.[-9,3]

relación

/ y2 x  3 y2  1  0

Ran  S  

 x, y  

Hallar el dominio y rango de:

Hallar el dominio de la relación:



R  ( x, y)  R 2 / y  2  5  4 x  x 2

 3, 

T

la

59.

Rpta: Dom  S 

Hallar

R  ( x, y)  R 2 / y  x 2  4 x  3  0 Si

Rpta. [-3,3], [-1,5]

R3   x, y   A  B / x  y  9 el

Sea:

(2  y ) 2  9  x 2

R2   x, y   A  B / y  x  2

 R1  R2   R3  R2  Rpta: 3,5

R  ( x, y)  R 2 / y  x 2 y  1  0

el dominio de R es [-3,1]. La suma de los números enteros de su rango, es: Rpta. 35.

Rpta:73

Hallar

 2, 2

Hallar el dominio y rango de la siguiente relación:

relación

/ y  15  x  2 , si x    a, b

Dados los conjuntos

R  ( x, y)  R 2 / 2 x 2 y  4 x 2  3 y  6  0

Rpta. Dom( R)  R  {1,1}; Ran( R)  R  [0,1

2a  3b

de

R  ( x, y)  R 2 / y( x  3)  x 2  5x  6 Rpta. Ran( R)  R  {1}

Rpta. Ran( R) 

una

relación real. Hallar su rango

49.

, es:

Hallar la suma de los elementos del dominio de



48.



A  {4,10,14}

Rpta:18

47.

El rango de la relación:

Hallar la intersección del Dominio y Rango de la relación , siendo R: A B

B  x  / x2  4

46.

n  R3 

Rpta. Ran( R)  [2, 4

Sean los conjuntos

 A  x  

45.

n  R1   n  R2 

R  ( x, y)  R 2 / x 2 y  4 x 2  2 y  4  0

R   x; y  / x  A, y  B, x  y

44.

E

Rpta:3/2

/ x  2 x  y  4 y  11  0 2

2

2

Definimos la relación R como

42.

A  3,5, 7 se define las

Dado el conjunto

y

Rpta.[-1,5] 60.

Dados los conjuntos: A  {1,3,5} y B  {2,4,6} . Se

Rango

de

 2

Ran T    0,   1

la



/ x2 y  x2  4 xy  4 y  0

relación



definen

las

R1  ( x, y)  AxB / x  y  7. R2  ( x, y)  AxB / y  6

relaciones:

Hallar la suma de todos los elementos del dominio de R1-R2 Rpta. 8

50 | C E P R U 2 0 1 5

f (x1)=ax2+bx+c

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

(

La distancia entre dos puntos

)y

(

)

está dada por:

Y B 

(

d

)

)

√(

(

)

A  X

PROPIEDADES 1.

(

)

2.

(

)

3.

(

)

4.

(

)

(

)

(

)

(

)

PUNTO MEDIO

(

El punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son los puntos

(

B

(

(

) P

Punto medio

A

)y

(

)

)

Ejemplo: Hallar el punto medio entre los puntos (

)y(

)

Solución:

P

(

)

(

) ECUACIONES DE LA RECTA

1. ECUACIÓN GENERAL Esta dada por: L

Donde:

Pendiente de una recta: se define como la relación entre el cambio en

con respecto a

P 𝑌

𝑌

𝑌

𝑌 𝐿

𝐿

𝑋

𝑋

𝑋

𝑋

𝑚

𝑚

𝑚

𝐿

𝐿

𝑚

2. ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

L

Esta dada por:

𝑌

(

Donde:

𝐿 P

)

) Punto de paso de la recta L; p0 L

P (



Pendiente de la recta L θ

θ

𝑋



θ Medida del ángulo de inclinación de la recta respecto al eje X positivo

3. ECUACIÓN PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN Está dado por: L

)

, esta dado por:

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 51 L

Y

Donde: Pendiente de la recta L

(



)

) Punto de intersección de L y el eje Y

( X

4. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS La ecuación de la recta que pasa por los puntos

L

(

(

) y

(

)

esta dado por:

)

L

Y

B 

θ

A

X

Donde:

(

) = Punto de paso de la recta L;A L. P

L

5. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

L Y



(

)



(𝑎 )

X

L POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS 1. RECTAS PARALELAS Dos rectas L

L

L

Es decir:

no verticales son paralelas, si sus pendientes son iguales.

L

Y

L L X

2. RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas L L no verticales son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es igual a

L

L

L

Y

 X

L

. Es decir:

52 | C E P R U 2 0 1 5 OBSERVACIONES: 1. La ecuación de la recta paralela a la recta L

es L

2. La ecuación de la recta perpendicular a la recta L

es L

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

(

La distancia de un punto Q

| ( )

(Q L)

( )

) a la recta L

esta dado por:

|



L

Y

Q X

PROPIEDADES:

1.

(Q L)

2.

(Q L)

3.

(Q L)

(L Q)

Ejemplo: La distancia del punto (

(Q L)

| (

)

(

)( ) (



) a la rectaL

es:

|

)

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Sean dos rectas paralelas L

yL

la distancia entre estas dos rectas está dado por:

L Y

L

(L L )

|

|

√ EJERCICIOS

1.

Sean los pares ordenados

(

)

(

8.

) iguales. El valor

de “a-b”; es. Rpta:1 2.

3.

5.

6.

9.

X

Cuál es el valor de k, si la distancia del punto ( ) al punto ( ) es 4u. Rpta. √ .

) a la recta

Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( ) y paralela a la recta . Rpta.

10.

Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto ( ) . Hallar la suma de las coordenadas del otro extremo de dicho segmento, si el punto medio es ( ).

.

Hallar los valores de “a” y “b” para que las rectas ( ) ( ) ; pasen por ( ). Rpta. 11/2 y -23/2.

11.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( )y ( ).

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y cuya suma de componentes de los puntos de intersecciones con los ejes coordenados es 3unidades.

Rpta.

Rpta.

. 12.

Para qué valor de k, las rectas ( ) y Rpta 1/3. Para qué valor de k, las rectas ( ; son perpendiculares.

son paralelas.

Hallar el valor positivo de k, de modo que la distancia del punto ( ) a la recta , sea 3unidades. Rpta. 75.

.

La recta intersección

de

( ) pasa por punto de las rectas y . Hallar el valor de m.

Rpta. -1/5.

)

13.

Rpta -1/3. 7.

(

Rpta. 5.

Rpta. 3. 4.

Hallar la distancia del punto .

La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( )y ( ) es 3 unidades. El valor de A; es. Rpta.

14.

(

).

La ecuación de la recta paralela a y que dista √ unidades, es. Rpta.

.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 53 15.

Hallar la ordenada positiva del punto cuya abscisa es 1 y la distancia del punto ( ), es 13 unidades. Rpta. 6.

16.

La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( )y ( ) es 3. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a esta recta que pasa por el punto A. Rpta.

17.

.

Hallar los puntos de ordenada 3, cuya distancia a la recta es 4 unidades. )

Rpta. 21.

34.

35.

.

Determinar la ecuación por los puntos

suma (

23.

La recta

, es paralela a la recta . Hallar el valor de “ ”.

Rpta.: 2. 24.

25.

36.

Rpta.:



La distancia del punto ( por los puntos ( )y( Rpta.: 4.

27.

Sean (

37.

38.

,

d  R, S   5 2

y

recta que pasa por

 5, 7 

donde donde

del mayor

 6, b  y  b, 8

Determine la distancia del punto

es 10

b.

P  2, 2 

a la

y es paralela a la recta

6x  3 y  4 Rpta: 39.

3 5 5

Determinar el punto de intersección de las rectas

L1

y L2 6

los puntos ( ) , ( ) y ),que se encuentran sobre al recta Calcular

O

1 2

3

x

-3

Hallar la cuadrado R √

29.

Una recta tiene pendiente positiva y forma con el eje de las ordenadas un Angulo de 37º. Hallar la pendiente de dicha recta R

longitud , si

de la ( )y

diagonal ( )

de

un

 9 15  ,  8 4 

Rpta:  40.

d  R,S   5 2 donde R   x; 1 y S   5; 2  ; el producto del mayor valor de

y por el menor valor

, siendo

donde

E   x;2 

C   3; 4 

hallar el valor de 3 50xy .

, ,

F   5;8 

y

D   5; y 

,

y la

1,1

 10 17  ,   3 3

Rpta:  41.

Halla la pendiente de la recta que pasa por el punto

 2, 2 

y por el punto de intersección de las

3x  4 y  5  0 4 Rpta:  3 rectas

d  E, F  6

A  2, 1 , B  3, 4 

recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto

de x , es: Rpta. –26

d  C, D   8

Determine el punto de intersección de las rectas que pasan por las puntos

72 con P   2; y  , Q  8;7  y

Si d  P;Q  

Si

y

unidades. Hallar la suma de valores de Rpta:14

) a la recta que pasa ), es:

28.

31.

Q   8,7 

,

La distancia entre los puntos

R

30.

d  P, Q   72

que

R   x, 1 , S   5, 2  . El producto valor de y por el menor valor de x , es: Rpta: 26

.

26.

 2a  1, 8

son iguales. Encontrar el valor de

Conociendo

P   2, y 

Determinar el valor de , de modo que la distancia de ( ) a la recta sea de 6 unidades. Rpta.: 18. Hallar la distancia del punto medio del segmento ̅̅̅̅ a la recta , sabiendo que ( ) ( )

Si los siguientes pares ordenados

Rpta:48

Rpta. 1. Hallar la ordenada positiva del punto cuya abscisa es 1y la distancia al punto (-4,-6), es 13. Rpta: 6.

 0; 1 ,  3; 5  y  1; 2 , hallar los vértices. Rpta.  4; 4  ,  2;6  y  4; 2 

 a  b 2   a  b 2

de coordenadas de la de una recta que pasa )y ( ).

22.

puntos

Los puntos medios de las lados de un triángulo son

 9,3b  1

.

Hallar la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es y cuya intersección con el eje X es 2.

 a  4; 6 es el punto medio entre los  4  2a; 11 y 12; 1 . Hallar el valor de a .

Si

Rpta. 6

).

El punto el punto medio del segmento de la recta es ( ) si uno de los extremos es el punto ( ). Hallar la distancia de A hasta B. Rpta. √

20.

(

 7; 8 es uno de los extremos de un segmento y su punto medio es  4; 3 , hallar la suma de las Si

coordenadas del otro extremo. Rpta. –1

Hallar el valor de k para que la distancia del origen ( ) a la recta sea 3 unidades.

Rpta. ( 19.

32.

33.

Rpta. -18/15. 18.

Rpta. 10

42.

y

x  y 1  0 .

Encuentre las rectas de pendiente 3 cuya distancia al origen es

2 10

unidades.

54 | C E P R U 2 0 1 5 Rpta: 3x  43.

y  20  0 , 3x  y  20  0

Una recta pasa por

 6, 0 

Sea A=(2,3), B=(3,6) y C=(5,4) vértices de un triángulo ABC. Hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura que parte del vértice B. Rpta: L : 3x  y  15  0

53.

Si:

formando un triángulo

de área 12u2 en el cuarto cuadrante con los ejes coordenados. Hallar la ecuación de dicha recta. Rpta: 2 x  3 y  12 44.

52.

L2 : (a  1) x  by  15  0

L1 : 3kx  5 y  k  2 es paralela a la recta L2 : 5x  3 y  7 . Hallar el valor de k .

La recta

Hallar a y b, para que representen rectas que pasan por (2,-3). Rpta: a=4, b=7

Rpta: 25/9 45.

k  0 de modo que la  3, 2 a la recta

Determinar el valor de distancia

de

L : 5x  12 y  3  k  0 Rpta: 16 46.

IL : 3x  y  3  0 A   2, 4  Rpta: Q 47.

de la recta

B   6, 2 

y

Rpta: Dada

la

sabiendo que

IL : y  mx  b

recta

.

bajo

qué

57.

L2

L1 // L2

. la

, es:

,

58.

59.

y

C   2, 1

se

61.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P=(-3,1) y es perpendicular a la recta:

La ecuación de la recta que pasa por el punto (-5,2) perpendicular a la recta: 4 y  3x  2  0 , es:

La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y es perpendicular a la recta: L : 2 x  3 y  5  0

La ecuación de la recta L que pasa por el punto P=(-1,-5) y es perpendicular a la recta:

L1 : 3 y  5x  1  0 , es: Rpta: 3x  5 y  28  0

IL : ay  bx  c , calcular

Rpta: 9

y 8  0

, sea perpendicular a la

, es: Rpta: 3x  2 y  7  0

IL : 3x  7 y  k  0

ab .

L : 3y  x 1  0

L1 : kx  (k  1) y  3  0

Rpta: 3 y  4 x  14  0



B   4,3

encuentran sobre la recta

Calcular el valor de k para el cual la recta: recta:

60.

A  1,1

Rpta: 3x 

es 4 unidades y

,

Rpta: 2

y0 La recta IL : x  5  0 tiene pendiente cero Dado IL : 7 x  3 y  c  0 , entonces la recta perpendicular a IL es

51.

L2

L1 : 5x  12 y  12  0

L2 : 3x  2 y  11  0

negativa. El eje x es la recta

Si

a la recta

la gráfica de IL pasa por

Rpta: FVFV 50.

Si la distancia de la recta :

ecuación de la recta

En las siguientes proposiciones marque (V) si es verdadero y (F) si es falso. I) La recta 2 x  5 y  3  0 tiene pendiente

IV)

Desde el punto (-1,2) se traza la perpendicular a la recta: L : 3x  4 y  6  0 .

Rpta: 5x  12 y  64  0  5x  12 y  40  0

m yb cuadrantes I , III , IV ? Rpta: b  0, m  0

III)

56.

B   4,5

y

, sea de pendiente 4/3

¿A qué distancia se halla dicha perpendicular del punto (4,3)? Rpta. 23/5

IL : 2 x  y  1  0

a la recta

3 5 5

II)

55.

que equidista de los puntos

condiciones de

49.

L : kx  (k  1) y  18  0

 2, 3

A   2,3

48.

Q

Hallar el valor de k para que la recta: Rpta. 4/7

Hallar la distancia del punto medio del segmento

AB

54.

sea de 4 unidades.

Hallar las coordenadas del punto

L1 : ax  (2  b) y  23  0

Sean las rectas:

2x  a2 y  0

x  2y  2

.

Calcule la suma de los valores de a si no se interceptan. Rpta: 0

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 55

f (x1)=ax2+bx+c

CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN: una circunferencia fijo llamado centro

es el lugar geométrico del conjunto de puntos P

(

)

que equidistan de un punto

). La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio ( )

(

*P

(

)

(

P)

(

)

+

Y K+r

A





ELEMENTOS

P

1. Centro:

C







M

K -r

2. Radio:

B

3. Diámetro: ̅̅̅̅

N

0

4. Cuerda: ̅̅̅̅̅ N

X

h -r

h +r

Nota: Área

de la circunferencia

Longitud de la circunferencia ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 1. ECUACION CARTESIANA U ORDINARIA Por definición de distancia entre dos puntos se tiene:

( P) Elevando al cuadrado

(

)

(

√(

)

)

(

)

)

Ejemplo: Encontrar la ecuación de una circunferencia cuyo centro es ( ) ( ) entonces: Solución:

(

(

…………….. (1) (

)

)

2. ECUACIÓN CANÓNICA Si el centro está en el origen de coordenadas, entonces ) La ecuación de la circunferencia se reduce a:

(

………….. (2) Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen de coordenadas y radio r =5

(

Solución:

)

(

) entonces

3. ECUACIÓN GENERAL Resolviendo la ecuación cartesiana se obtiene la ecuación general.

(

)

(

)

Donde: …………(3) A partir de la ecuación (3), se tiene la ecuación cartesiana en términos de D, E y F. Completando cuadrados para

6 (

( ) 7 )

(

6

se tiene.

( ) 7

( )

( )

)

Comparando con la ecuación cartesiana, se tiene:

(

)

Analizando el radicando 1. S

i

La ecuación (3) representa a una circunferencia de centro

.

/ y

56 | C E P R U 2 0 1 5 √

Radio

en

2. Si

La ecuación (3) representa sólo un punto que es

3. Si

La ecuación (3) no representa una circunferencia en

.

porque su radio

Ejemplo 1. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

Solución: Simplificando la ecuación:

S (

)

L

(

)

(



)



Ejemplo 2. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

Solución:Simplificando la ecuación:

S ( ) L

(

(

)

)

DOMINIO Y RANGO DE UNA CIRCUNFERENCIA: 1.

Si el centro de la circunferencia esta en el origen de coordenadas

(

)

Y

𝑟

(𝒞)

0

𝑟

𝑟

(𝒞)

R

X

,

,

-

𝑟 Ejemplo: Sea la circunferencia

( )

Solución: 2.

( )

R

, determinar el domino y el rango

,

(

Si el centro de la circunferencia es

)

Y K+r

(𝒞)

C



(𝒞)

R

,

-

,

-

K -r

X 0

h -r

h +r

(

Ejemplo: Sea la circunferencia

)

(

)

Determinar el domino yel rango. Solución:

(

)

( ) R

( )

(

) y r=3

, ,

-

, ,

-

RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA La recta tangente a la circunferencia en el punto de tangencia(

L ( Una recta L tal que L

)(

)

(

L recibe al nombre de recta normal.

), esta dado por:

)(

)

/; puesto que



.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 57 (

Ejemplo: Hallar la recta tangente L a la circunferencia

(

Solución:

L

(

)(

L

(

)(

)

(

)

)

(

)

P

)(

(

)

( (

) )

, en el punto de tangencia (

(

)

)

) )(

)

Resolviendo: la ecuación de la recta tangente es: L CASOS PARTICULARES: 1. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE X Y

𝓒 (𝐱

𝐡)𝟐

𝐤)𝟐

(𝐲

𝐤𝟐

C



| |

X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje X de centro

| |

Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje X se cumple La ecuación de la circunferencia es:

(

)

(

(

)

| |

)

2. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE Y Y

𝐡)𝟐

𝓒 (𝐱

C



(𝐲

𝐤)𝟐

𝐡𝟐

| |

X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y, de centro en Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje Y se cumple La ecuación de la circunferencia es

(

)

(

| |

(

)

| |

)

3. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS EJES COORDENADOS Y r = |ℎ|=|𝑘| ℎ

C

𝓒 (𝐱

𝐡)𝟐

(𝐲

𝐡)𝟐

𝐡𝟐

𝑘 X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes de coordenadas con centro en

(

)

Solución: Cuando la circunferencia es tangente a los ejes de coordenadas se cumple

| |=| |

|

|

La ecuación de la circunferencia es:

(

)

(

)

EJERCICIOS 1.

Considere la ecuación de la circunferencia

4.

. El centro y radio; es. Rpta. ( 2.

.

Rpta. 12.

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos ( ) y ( ) . La ecuación de la circunferencia; es. Rpta.

3.

)y√

(

)

(

)

(

)

(

)

5.

.

La ecuación de la circunferencia con centro en el punto ( ) y tangente a la recta ; es. Rpta.

Determinar el perímetro del triángulo cuyos vértices son los centros de las circunferencias ; ( ) y ( ).

. / .

El centro de una circunferencia tangente a la recta en el punto ( ), esta sobre el eje Y. La ecuación general; es. Rpta.

6.

.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta comprendida en el segundo cuadrante. Rpta.

(

)

(

)

.

58 | C E P R U 2 0 1 5 7.

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es ( ) y que es tangente a la recta . Rpta.

8.

)

(

)

(

)

(

La ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta y que pasa por los puntos ( )y ( ), es: Rpta.: .

23.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con y que es tangente a la recta .

.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( )y( ) si su centro pertenece a la recta . Rpta.

9.

(

22.

)

Rpta.: (

.

El rango de la circunferencia

25.

La ecuación de la circunferencia de centro ( ) y que es tangente a la recta , es: Rpta.: ( ) ( ) .

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y y una cuerda cuyos extremos son los puntos ( )y ( ).

26.

Una circunferencia pasa por los puntos ( )y ( ) cuyo centro esta sobre la recta . La suma de los componentes del centro es:

(

)

(

(

Rpta.

)

)

.

.

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro ( ) y pasa por el punto ( ). Rpta.

13.

27.

Hallar la suma de todos los enteros que verifican el dominio de la circunferencia

(

Rpta. 15.

28.

(

)

(

)

(

) La pendiente de la recta tangente es:

R

. 29.

Los extremos del diámetro de una circunferencia ( ) El dominio son los puntos ( )y de la circunferencia es:

,

R

-

.

Una cuerda de la circunferencia esta sobre la recta cuya ecuación es . Hallar la longitud de dicha cuerda. Rpta. √ .

17.

Una recta es tangente a la circunferencia ) ( ) en el punto de

(

tangencia

) y que es . Hallar su

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 3 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas y . Rpta.

16.

)

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje Y, tangente a la recta en el punto de tangencia ( )

R

Rpta. 7. El centro de una circunferencia es ( tangente a la recta ecuación.

)

Rpta:-2

.

.

14.

.

) pasa por

-.

Una circunferencia cuyo centro es ( el punto ( ). Hallar la ecuación. Rpta.

12.

)

La ecuación de la circunferencia de centro ( y que pasa por ( ), es: Rpta.: ( ) ( ) .

Rpta. ,

11.

(

24. , es:

10.

)

La ecuación de la circunferencia de centro ( )y que es tangente a la recta , es: Rpta.: .

30.

( ) ( ) si la circunferencia es Hallar tangente a los ejes coordenados con centro ( )

R 31.

,

-

Determine si la recta

3x  y  5  0 es una recta

tangente, secante o exterior a la circunferencia

x2  y 2  2 x  3  0 Rpta: secante

18.

Hallar el radio y centro de la circunferencia: Rpta.: 7 y (

19.

32.

x2  y 2  4 x  2 y  20  0

Hallar la máxima distancia del punto (11,8) a la circunferencia

Rpta: tangente 33.

21.

Determine si la recta

x  y  10  0 es una recta

tangente, secante o exterior a la circunferencia

Determinar la suma de los valores de “ ”, para que la recta , sea tangente a la circunferencia Rpta.:

3x  4 y  27  0 es una recta

tangente, secante o exterior a la circunferencia

).

Rpta.: 14. 20.

Determine si la recta

x2  y 2  4 x  2 y  20  0 Rpta: exterior 34.

.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta x  2 y  5 y pasa por los puntos

1, 2  y  5, 0 

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6,8) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas.

35.

Rpta.:

36.

2

  y  1  5 5

Hallar la máxima distancia del punto circunferencia

y

Rpta:  x  3

10, 7 

a la

C : x  y  4 x  2 y  20  0 2

2

Rpta: 15

.

Hallar el radio y centro de la circunferencia

C : x2  y 2  4 x  6 y  12  0 Rpta: 5 y

 2, 3

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 59 37.

k0

Determinar el valor de

L : 2x  3 y  k  0

sea

circunferencia

para que la recta tangente

de

a

45.

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de:

la

L1 : 3x  2 y  24  0

ecuación

L2 : 2 x  7 y  9  0

C : x2  y 2  6 x  4 y  0

Rpta. ( x  6) 2  ( y  3) 2  25

Rpta: 25 38.

Hallar la recta tangente a en el punto

Si

tangente

a

la

recta

47.

x2  y 2  4 x  4 y  7  0 , Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa

 7, 5

y cuyo centro es el punto de

intersección de las rectas

IL1 : 7 x  9 y  10  0

48.

41.

Si

la

y

49.

4 x2  4 y 2  8 y  4 en el punto

Hallar la ecuación de la circunferencia que es

 4, 0 

50.

Dada las circunferencias:

C1 : x 2  y 2  10 x  2 y  10  0

y que pasa por el punto

C2 : x 2  y 2  2 x  2 y  2  0

 7,1 Rpta: x 43.

2

Hallar la ecuación de la circunferencia de mayor radio tangente interior a C1 y tangente exterior a C2

 y 2  8x  10 y  16  0

4 x2  4 y 2  16 x  20 y  25  0 y que es tangente a la recta IL : 5x  12 y  1  0 con

44.

Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica

Rpta:

 x  2  2   y  

( x  3) 2  ( y  1) 2  38

( x  3) 2  ( y  8) 2  9

Rpta: 1 tangente al eje X en

y cuyo radio es r = 4. La

Calcular la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje Y en (0,-8) y la distancia del punto más cercano al eje X es 5u, además el centro pertenece al III cuadrante. Rpta.

Q   a, b  , hallar a  b 42.

.

x2  y 2  4x  4 y  8  0

Rpta.

x  y  3  0 es tangente a la

circunferencia

(a  1, 1)

una cuerda de 6 unidades de longitud. La ecuación de la circunferencia, es.

 y 2  8x  4 y  38  0 recta

es

El punto (3,-1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta L : 2 x  5 y  18  0 en

IL2 : 2x  5 y  2  0 2

circunferencia: ,

ecuación de la circunferencia C1, es:

x  y  20

Rpta: x

la

Encontrar la ecuación de la circunferencia C1 cuyo centro es el mismo de la circunferencia C:

2

por el punto

de

2

Hallar el radio. Rpta. 3

x2  y 2  9 y L : x  2 y  10  0 .

Rpta:

centro

x  y  (a  4) x  by  17  0

 3, 1 .

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica

2

el 2

a

40.

46.

4 x  3 y  15

Rpta: 39.

C : x2  y 2  2 x  y  5

51.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,4) (1,2) y (3,4). Rpta.

2

5  9 2

52.

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P=(3,1) y tangente a la recta x  y 3  0.

x 2  y 2  14 x  2 y  34  0

x2  y 2  4 x  6 y  11  0

La ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C=(-4,-1) y es tangente a la recta L : 3x  2 y  12  0 , es: Rpta. ( x  4) 2  ( y  1) 2  52

Rpta. ( x  3) 2  ( y  1) 2  49 / 2

f (x1)=ax2+bx+c

PARÁBOLAS DEFINICIÓN: Una parábola , , es el lugar geométrico del conjunto de puntos Q punto arbitrario Q

(

) a un punto fijo llamado foco ( )es igual a la distancia de Q

Son iguales. Es decir:

*Q

(

)

(Q )

(Q L)+

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA I.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

(

)

(

)

(

) (

, tal que la distancia de un

) a la recta fija llamada directriz L.

60 | C E P R U 2 0 1 5 Y

L 𝑅



Q



𝑉





𝐹

Eje focal

Donde: (

-



𝑅

( L)

| |

- S

la parábola se abre a la derecha

- S

la parábola se abre a la izquierda

X



0

)

Directriz

ELEMENTOS:

(

1. Vértice: 2. Foco:

)

(

)

3. Recta Directriz L 4. Eje focal

|

5. Longitud del lado recto(ancho focal): LR

|

6. Extremos del lado recto:

(

R

|

|)

(

|

|)

7. Excentricidad de una parábola:

(Q ) (Q ) 2. ECUACIÓN CANÓNICA

(

Cuando el vértice

)entonces:

3. ECUACIÓN GENERAL Esta dado por:

Con

;A

S

La parábola se abre hacia la derecha.

S

La parábola se abre hacia la izquierda.

DOMINIO Y RANGO DE LA PARÁBOLA:

S

( )

,

S

( )

-

Ejemplo: Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en (

R

( )

R

( )

) y foco en (

)

Solución: Cuando las ordenadas del vértice y el foco son iguales entonces la parábola es paralela

(

Vértice

)

(

Foco:

( )

) (

)

(Se abre hacia la derecha)

Entonces la ecuación de la parábola es:

( ( (

) (

( ))

) ( )(

)

(

)

)

II. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

(

)

(

Y

) Eje focal

Donde:  R



𝐹 L

 

L

-

 R’ Q

Directriz

X 0

(

)

( L)

| |

- S

la parábola se abre hacia arriba

- S

la parábola se abre hacia abajo

al eje X.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 61 ELEMENTOS:

(

1. Vértice:

)

(

2. Foco:

)

3. Recta Directriz L 4. Eje focal

|

5. Longitud del lado recto(ancho focal): LR

|

6. Extremos del lado recto:

(ℎ

|

|

)

(ℎ

7. Excentricidad de una parábola:

|

|

)

(

)

(

)

2. ECUACIÓN CANÓNICA 3.

Cuando el vértice

(

)entonces:

4. ECUACIÓN GENERAL Esta dado por:

Con

;A

S

La parábola se abre hacia arriba.

S

La parábola se abre hacia abajo.

DOMINIO Y RANGO DE LA PARÁBOLA:

( ) ( )

S S

R ( ) , R ( )

Ejemplo: Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en (

-

) y foco en (

)

Solución: Cuando las abscisas del vértice y el foco son iguales entonces la parábola es paralela

(

Vértice

)

(

(

Foco:

)

al eje Y.

) (

)

(Se abre hacia abajo)

Entonces la ecuación de la parábola es:

(

)

(

)

(

)

( (

) )( (

) ) EJERCICIOS

1.

El punto (2,3) ¿es punto de la parábola ?.

2.

8.

9.

).

Determinar el lado recto de la parábola

Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-1,1) y foco (3,1). Rpta. P

10.

.

Hallar la ecuación de la parábola de foco F= (1,1) y de recta directriz . Rpta.

.

Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola , cuya ordenada es 3 unidades.

11.

Sean (2,1) y (2,4) vértice y foco de una parábola respectivamente. Hallar la longitud del lado recto. Rpta. 12.

Rpta. 5.

12.

Una parábola cuyo vértice es (2,1) y su foco tiene como coordenada el punto (5,1). Hallar la ecuación de la parábola.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (6,4) y su recta directriz es . Rpta.

(

)

(

).

Hallar la suma de coordenadas del vértice de la parábola . Rpta. -3.

7.

).

Rpta. (2,0).

Rpta.3.

6.

(

Dada la ecuación de la parábola

.

5.

)

Hallar las coordenadas del foco de la parábola .

Rpta. 0

4.

(

Rpta. No es.

. Hallar su rango.

3.

Rpta.

El vértice de una parábola cuya directriz es es el centro de la circunferencia .

Rpta. 13.

Hallar la ecuación de la parábola de foco (7,2) y la recta directriz . Rpta.

14.

.

(

)

(

).

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (3,-1) y recta directriz la . Rpta.

(

)

(

).

62 | C E P R U 2 0 1 5 15.

Hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en (-3,5) y cuyos extremos del lado recto son (-5,9) y (-5,1). Rpta.

16.

19.

(

)

(

(

)

(

24.

25.

Rpta: 3x 30.

(

)-

, si ).

pasa

por

 4 y  48  0

La ecuación de la parábola de vértice en el centro de la circunferencia

Rpta:  y  2  31.

Una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide con el eje Y, pasa por el punto (4,-2), Hallar la directriz. Rpta. y  2

33.

parábola

de

Hallar la ecuación de la parábola de vértice el centro de la circunferencia

Rpta: 34.

y 2  6 y  28x  131  0

La ecuación de la parábola con vértice sobre la

Rpta:

IL1 : 3x  2 y  19  0

, foco sobre la recta

y directriz la recta

IL : x  2 , es:

y 2  4 y  12 x  64  0

36.

Hallar la ecuación de la parábola de foco F=(-4,1) y recta directriz 2 x  4  0 . Rpta. y 2  2 y  12 x  13  0

37.

Sea la parábola

ecuación

Determinar el rango de la parábola de ecuación

y  ax 2  bx  c

de vértice (2,3)

y la curva pasa por el origen de coordenadas y por el punto (4,0). Hallar a+b+c. Rpta. 9/4

Rpta:2

 40, 160

y 2  4 y  12 x  56  0

IL2 : x  4 y  0

a la recta directriz.

y  6 x  x  0 . Si x   4, 10

5x2  5 y 2  20 x  20 y  35  0

La ecuación de la parábola con eje focal horizontal y foco en (-2,3) y vértice sobre la recta IL : 5x  2 y  4  0 , es: Rpta:

y

y 2  4 x  6 y  25  0 . Hallar la distancia del foco

2

3x2  3 y 2  18x  12 y  27  0

la circunferencia

Rpta: 1 la

 2, 2  .

2 x2  2 y 2  20 x  8 y  56  0 y foco el centro de

y  ax2  bx  c . Determinar

1, 0 ,  0, 0

x  4 x  4My  8  0 . Sabiendo que el

y 2  4 y  20 x  64  0

Rpta:

35.

si pasa por los puntos

de la ecuación de la

Hallar la ecuación de la parábola de directriz la recta IL : x  2 y vértice el centro de la

recta

Sea la parábola

M

2

circunferencia

2 Dada la parábola: y  ( x  2)  2 . Determinar el

4

 12  x  5

Hallar el valor positivo de foco es

32.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es horizontal y pasa por los puntos (0,0), (8,-4) y (3,1) Rpta. ( y  1) 2  x  1

2

Rpta:3

Determinar la ecuación de la parábola con vértice sobre la recta , foco sobre la recta . Rpta.: .

Rpta:

x

es:

. Determinar los puntos

 1, 2  .

28.

2

parábola

Sea la parábola

Sea

4

-12

.

a  2b  3c

27.

0

C : 2 x2  2 y 2  20 x  8 y  56  0 y foco  2, 2  ,

lado recto. Rpta. 4 26.

-4

.

( ) ( ) ( Rpta.: 36.

23.

y

).

Una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide con el eje Y, y que pasa por el punto ( ). Hallar la directriz de dicha parábola.

,

22.

Determine la ecuación de la parábola:

).

Determinar la suma de los puntos de intersección de la parábola y la recta , en el cuarto cuadrante.

Rpta.: 21.

29.

).

Sea la parábola de ecuación . Hallar la distancia del foco a la recta directriz. Rpta.: 4.

Rpta.: 20.

(

Encontrar la ecuación de la parábola con foco en (0,-2) y recta directriz . Rpta.

18.

)

Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es F= (1,-1) y recta directriz . Rpta.

17.

(

38.

Si se tiene foco F=(5,1) y directriz cuya ecuación es y+7=0 de una parábola. Hallar el dominio y rango de la parábola. Rpta.

Dom( P)  R, Ran( P)  [3,  

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 63

f (x1)=ax2+bx+c

ELIPSE

(

Una elipse , , es el lugar geométrico del conjunto de puntos P

P

(

)

a los puntos fijos

)

tal que la suma de las distancias del punto

llamados focos, es igual a una constante

*P

(

)

(P

)

(P

)

. Es decir:

+

Y P C

X Notaciones: 1. Longitud del eje mayor:

(

)

2. Longitud del eje menor:

(

)

3. Distancia focal: (

) (L

4.

L )

5. 6. ECUACIONES DE LA ELIPSE ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

(

)

(

)

Y 𝑅 a

b C

𝑅

c

𝑅

𝑅 X

ELEMENTOS: 1.

(

):Centro de la elipse

2.

Vértices o extremos del eje mayor:

3.

Focos

4.

Extremos del eje menor:

5.

Longitud de cada lado recto:

6.

Excentricidad:

7.

Eje focal

8.

Directrices: L

(

)

( (

(

)

)

(

L

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE Si el centro esta en el origen de coordenadas

(

)

(

) entonces:

)

)

64 | C E P R U 2 0 1 5 ECUACIÓN GENERAL:

DOMINIO Y RANGO DE LA ELIPSE

() R

,

()

-

,

-

Ejemplo: Determinar lo elementos de la elipse

(

)

(

)

Solución:

√ ( ) (  )  Vértices: ( √ ( )  Focos  Extremos del eje menor:

) (

( ( )

(



) )

( (

 Longitud de cada lado recto:  Excentricidad:

)



)

(

) (

)

(

)

)







 Eje focal:  Directrices: L

L

Dominio y rango de la elipse

()

 

R

()

,

-

,

[

-

√ ]



,

-

,

-

ECUACIÓN CARTESIANA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

(

)

(

)

Y R

𝑅 a

c C

b

R

𝑅 X

ELEMENTOS:

1. 2. 3. 4.

(

): Centro de la elipse

Vérticeso extremos del eje mayor: Focos

(

)

Extremos del eje menor:

( (

5.

Longitud de cada lado recto:

6.

Excentricidad:

7.

Eje focal

8.

Directrices: L

(

)

) )

(

( )

L

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE Si el centro esta en el origen de coordenadas

ECUACIÓN GENERAL:

(

) entonces:

)

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 65 DOMINIO Y RANGO DE LA ELIPSE

() ()

R

,

-

,

-

Ejemplo: Determinar lo elementos de la elipse

(

)

(

)

Solución:

√ (



)

(

 Vértices:

) (

 Focos

√ )

(

)

(

(

√ )

)

 Extremos del eje menor:

(

(

)

)

(

)

( )

 Longitud de cada lado recto: LR



(

) (

)

(

)





 Excentricidad:



 Eje focal:  Directrices: L

L

Dominio y rango de la elipse

() R

()

,

-

,

,

-

-

[

,



-

√ ] EJERCICIOS

1.

La longitud del eje menor de la elipse

9.

(

a; es.

Hallar la ecuación de la elipse sabiendo que los vértices son ( ) y focos son ( ) . Rpta.

3.

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. hallar su ecuación que pasa por los puntos (√ ) y ( √ ).

11.

Rpta.



.

Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos ( ) y su excentricidad es igual a 2/3.

12.

La ecuación de la recta directriz de la elipse

13.

(

)

(

)

; es:

.

)

(

)

. √

Hallar la ecuación de la elipse que pasa por (

),

.

El producto de las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse: ; es:

Los focos de la elipse son los puntos (-4,-2) y (-4,-6); el lado recto es 6 unidades. Hallar la excentricidad.

Los focos de una elipse son ( ) y ( ). Hallar la ecuación de la elipse, si uno de los vértices esta sobre la recta . Rpta.:

-.

Calcular la ecuación de la elipse, si la distancia focal es 4 unidades; un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6 unidades respectivamente. Rpta.

(

Rpta. ½. 14.

.

El dominio de la elipse Rpta. ,

8.



Hallar la ecuación de una elipse de focos ( ), ( ) y longitud del eje menor de 4 unidades.

Rpta. 80.

.

Rpta.

.

.

Rpta.

; es:

7.

) y excentricidad

tiene su centro en el origen, su eje menor coincide con el eje X y la longitud de su eje mayor es doble del eje menor.

Hallar la excentricidad de la elipse, si la distancia entre sus directrices es el triple de la distancia entre

Rpta. 6.

(

Rpta.

.

sus focos. 5.

10.

.

Rpta. 4.

),

Rpta.

Rpta. 4. 2.

Hallar la ecuación de una elipse de focos

15.

)

(

)

.

En una elipse de vértices (3,5); (3,-1) y de excentricidad 2/3. La longitud del lado recto, es: Rpta.:

16.

(

.

Determinar la ecuación de la elipse con el eje focal horizontal, que pasa por el punto ( ) y cuyo eje menor mide 6 unidades.

66 | C E P R U 2 0 1 5 Rpta.: 17.

La distancia focal de una elipse es 8. Un punto de la elipse dista de sus focos 3 y 7 unidades respectivamente. Calcular la ecuación de la elipse. Rpta.:

18.

.

una circunferencia La verdadera, es: Rpta: solo I 29.

Rpta: x 30.

La distancia entre las directrices de una elipse es 18,

21.

22.

Hallar la ecuación canónica de la elipse, con focos en el eje X, la longitud del eje mayor igual a cuatro veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto ( ). Rpta.: . Los focos de una elipse están sobre las rectas y , el eje focal es la recta . Hallar la ecuación de dicha elipse, si el eje mayor mide 8 unidades. ) Rpta.: ( ( ) La distancia entre las directrices de una elipse es 16 unidades. Hallar su ecuación, si los focos son los puntos ( ) y ( ). Rpta.:

(

)

(

)

1,5

y

1,3

.

Rpta: 8 20.

 9 y 2  90

2

hallar su ecuación si los focos son los puntos

Hallar las rectas directrices de la elipse de ecuación . Rpta.:

Hallar la ecuación canónica de la elipse, con focos en el X, la longitud del eje mayor igual a tres veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto

 3,3

Hallar la excentricidad de la elipse cuya ecuación es: . Rpta.: .

19.

x2  4 y 2  8 y  0 corresponde a

IV) La ecuación

.

31.

 y  42  9  x  12  72

Los focos de una elipse están sobre las rectas IL1 : 2 x  9 y  0 y IL2 : 2 x  y  0 , el eje focal es

IL : y  2 , hallar la ecuación de la elipse, si

la recta

el eje mayor mide 10 unidades. Rpta: 9 32.

 x  52  25  y  22  225

Hallar la longitud del eje mayor de la elipse que

Q  1, 5 y cuyos focos son los

pasa por el punto

 5, 2  y  3, 2 

puntos Rpta:10

33. Una de las ecuaciones de las rectas directrices de la elipse:

.

16 x 2  25 y 2  50 y  375  0 , es:

Rpta. 3x  25  0 23.

24.

Hallar la longitud del eje menor de la elipse que pasa por el punto ( ) y cuyos focos son los puntos ( ) y ( ). Rpta.: 6. Determine la ecuación de la elipse con eje focal horizontal, que pasa por el punto

 2,1

y cuyo eje

34.

Rpta. 9( x  2) 2  8( y  3) 2  512 35.

menor mide 4. Rpta: 3x 25.

La distancia focal de una elipse con eje horizotnal es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6 unidades respectivamente. Calcular la ecuación de la elipse Rpta:

26.

36.

37.

52 8

II)

x2  y 2  4 x  2 y  6  0

III)

2 x2  y 2  4 x  4 y  4  0

IV)

y  x  2 y  5x  10  0

V)

x  2 y  2x  4 y  1  0

38.

2

II) III)

La ecuación de la elipse de centro Fo=(2,-3) eje mayor paralelo al eje Y de longitud 12 y eje menor de longitud 8, es:

2

16

Los focos de una elipse están sobre las recta: L1 : 2 x  9 y  0 y L2 : 2 x  y  0

Rpta. ( x  5)  ( y  2)  1 2

2

25

9

39.

Hallar la ecuación de una elipse si su centro está en el origen de coordenada, la longitud del eje mayor es 16, los focos están sobre el eje X y la curva pasa por el punto (4,3). Rpta: 3x2+16y2-192=0

40.

Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (±2,0) y su excentricidad es igual a 2/3

x2  y 2  2 x  4  0 corresponde

a una circunferencia. El centro de cualquier circunferencia es un punto de dicha circunferencia El foco de una parábola es un punto de dicha parábola.

2

El eje focal es la recta y=2. Hallar la ecuación de la elipse, si el eje mayor mide 10 unidades.

2

La ecuación

2

39

36

De las siguientes proposiciones: I)

Hallar la ecuaciones de la elipse cuya suma de las distancias de cualquiera de sus puntos a los puntos fijos (-4,-5) y (6,-5) es igual a 16.

2

Rpta: Solo V 28.

4

Rpta. ( y  3)  ( x  2)  1

x  y  x  2y 1  0

2

8

64

I)

2

2

2

¿Cuál de las ecuaciones dadas representa una elipse? 2

2

Rpta. ( x  1)  ( y  5)  1

3x2  16 y 2  192

Rpta: e 

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por: ( 6 , -1) y (2, 2 ) . Rpta. x  y  1

x2 y 2  1 16 12

Hallar la excentricidad de la elipse cuya ecuación es:

27.

 4 y 2  16

2

El centro de una elipse es el punto (-2,3) y su eje mayor paralelo al eje Y es igual a 16, Hallar su ecuación siendo su excentricidad 1/3.

Rpta

x2 y2  9 5

=1

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 67

f (x1)=ax2+bx+c

FUNCIÓN BINARIA Una función

es una relación binaria

que hace corresponder a un elemento

, un único elemento

, es decir:

*(

)

( )+

Notación: Se lee: f es una función de A en B. Ejemplo:

𝐟

A

B

1

3

2

4 5

3 *(

)(

)(

)+

Ejemplo:

A

B -1 0 1

0 1 *(

)(

)(

)+

una relación pero no es una función.

NOTA: a) Toda función es una relación, pero no toda relación es función. b)

es una aplicación, si

( )

c) En una función, dos pares ordenados distintos no deben tener la misma primera componente. DOMINIO Y RANGO Dada la función

() R

()

;

*

( )+

*

( )+ FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

Una función real de una variable real del conjunto de partida

es una relación real

, un único elemento

, que hace corresponder a un elemento

del conjunto de llegada , es decir:

*(

)

( )+

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN



Dada la función

( ) ( )

el:

*

( )+

*

( )+

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Si es una función real de variable real, la gráfica de

es la representación geométrica de todos los pares ordenados que

pertenecen a .

( )

*(

)

( )

OBSERVACIÓN: Sea :

( )+

 , Si toda recta paralela al eje Y corta a la gráfica de

representación de una función.

Y

Y 𝐟

X

Es función

X

No es función

en un único punto, dicha gráfica será la

68 | C E P R U 2 0 1 5 EJERCICIOS 1.

Hallar el dominio de la función definida por:

( )



la

(

definida

por:

. Hallar su rango.

Rpta. ( 18.



19.

Rpta. 0

20.

) (

) (

) (

)+ .

21.

¿Cuáles son funciones? I.

*(

) (

II.

*(

) (

) ( ) (

) (

) (

) (

) (

)+.

7.

)+.

) (

.



Hallar la suma de elementos del dominio y rango *( ) ( ) ( de la función tal que: ) ( ) ( )+.

.



〉.

Dada la función f definida como ( . Hallar el valor de la expresión

) (

)

( )

( ) ( )

.

Si

es una función definida por ( )

Rpta.: , 24.

,

,

( ).

Rpta.

*

+.

25.

Dada la función

26.

, tal que ( )

es

( )

,



[

√ ⟦



, si el

〉 , entonces

,

.

Dada la función: Hallar el rango de dicha función. R

Dada la función definida por:

,

-.

,

]

El rango de la función real

f

, definida por

x3 con x  2 , es: x 1 Rpta: 1,1 f  x 

; Cuyo dominio de f es .

√ √ -. Calcular

-.

dominio de el valor de Rpta.: 4.

Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función: *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+.

,

( )

es:

23.

Hallar el rango de la función definida por: ( )

( )

Hallar el dominio de la función cuya regla de

entonces, determinese el

Rpta. 31. 10.

-.

* +.



. 9.

,

Dada las funciones *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ; *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ . La suma de los elementos del rango de la función ; es: Rpta. 16.

Hallar el dominio de la función definida por:



〉.

22. )+.

Rpta. 6. 8.



Rpta. .

Rpta. Solo I.

( )

-

-.

Rpta. ,

Si f representa una función tal que

Rpta. ,

,

correspondencia

*(

6.



;

Rpta. ,

〉.

*(

.

( )

Hallar el rango de la función definida por:

〉.

El rango de la función definida por como

-.

III.



Rpta. 〈

.





-y,

Hallar el dominio de la función definida por: ( )

.

5.

Hallar el rango y dominio de la función definida por: ( ) .

-.

Rpta. , 4.

)

f

Hallar el dominio de la función definida por: ( )

+.



〉.

función



Rpta. , 3.

,



Dada

( )

17.

.

Rpta. 〈 2.

Rpta. *

Rpta. 9. 11.

Sea la función ( ) Rpta. ,

12.

27.

. Hallar rango de f.

-.

 7, 2  1

29.

{( √

y  x  3  1 , es:

 1, 

Dada

la

h   2, m  n  ,  3, m  2n  ,  4,3 ,  3,8

,

Si

f

representa una función, donde

f   3,7a  2b  ,  2,5 ,  2, a  2  ,  3,5b  2a 

tal que ( )

La suma de los elementos del rango, es: Rpta:44 ⟦

función

Rpta:6 30.

( )

1/ 2

h  2   2 . Hallar m  n

)

〉.

El rango de la función f definida por: ; es:

 x 1  f  x   2   14  5 x  x 

El rango de la función Rpta:

;

Rpta. No es suryectiva. 16.

28.

-.

Determinar si la función ; es suryectiva.

Hallar el dominio de Rpta:

* +.

El rango de la función f tal que }; es: Rpta. ,

15.

definida por:

El rango de la función definida por: ( ) ; es: Rpta. ,

14.

)

-

Determinar el dominio de la función definida por: . Rpta.

13.

(

,

⟧,

si

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 69 31.

Hallar

el

rango

de

la

función

Rpta. [-1/2,+∞

real

f  x   3  5  x , x   2, 2 2

Rpta: 32.

37.

3  5 , 2 

Determinar

f ( x) 

el

rango

de

la

función

33.

38.

 0,1

Hallar el dominio de de la función f de una variable real, definida como:

f ( x)  4 

Hallar el rango de la función f de una variable real, definida como:

f ( x) 

x 2  8 x  15 x3

Rpta. Ran( f )  34.

39.

 {2}

f(x)=

f  {(2,5), (1,3), (2,2a  b), (1, b  a), (b , a)} Rpta. Dm( f )  {1,1,2}, Ran( f )  {3,2,5}

40.

Hallar el rango de:

f ( x)  2 x  3 , es

Hallar

[1,7>, el

Rpta.

f ( x)  4 x 2  4 x  1  x .

f (x1)=ax2+bx+c

1. FUNCIÓN IDENTIDAD Es aquella función cuya regla de correspondencia es: 𝐘

𝐟 𝟒𝟓

2.

() R

X

( )

R

()

FUNCIÓN CONSTANTE: Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

( )

𝐘

()

𝐟

* +

()

R X

3.

FUNCIÓN LINEAL Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

( ) Y

𝑦

𝐚𝐱

𝐛

𝐛

() R

x  2 , x [-1,23]

()

*

el

dominio



f  x   2 x 2  8 x  3

dominio de la función, es: Rpta. x  2,1] 36.

Hallar el rango de la función: Rpta. [1,5].

2

El rango de la función:

x2  5 . 36  x 2

5 ]U[ 5 ,6

Rpta. -6,-

Hallar el dominio y rango de la función:

35.

x 2 3x 25 , si x  [0,8] .   8 4 8

Rpta. [2, 41/8]

F  x  1 1 x Rpta:

Hallar el rango de la función f de una variable real, definida como:

+

X 4. FUNCIÓN CUADRÁTICA Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

( ) la funcion cuadrática es una parabola con eje focal paralelo al eje Y

 ,  3 



de

la

función

70 | C E P R U 2 0 1 5  Si

, la gráfica se abre hacia arriba.

 Si

, la gráfica se abre hacia abajo. 𝐘

a>0 () X

a →

 8x  7 31.

Dado M={2,3,4,5,6}. Si f : M →N definida por

Rpta:  , 1 32.

1 x 1  x  2

f  x 

Calcular el rango de

f ( x)  2 x  3

es suryectiva. Hallar la suma de los elementos del rango de f. Rpta. 25 29.

Determinar el rango de la siguiente función:

H ( x)  x 2  2( x  1)  7 .

es biyectiva. Hallar a+b Rpta. 5 28.

f ( x)  4  2 x , es biyectiva.

La secuencia correcta, es: Rpta. VFVV

que

Rpta:13 27.

a≠0

es inyectiva.

1,  f  x   2x  1  x  2

Calcular el rango de Rpta:   3 ,    2

En las siguientes proposiciones marque (V) si es verdadero y (F) si es falso:

f (x1)=ax2+bx+c

CLASES DE FUNCIONES 1. FUNCIÓN INYECTIVA Una función decir:

(

)

es inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. Es

(

)

(

( ) ó

)

(

)

( )

Observacion:

( )

1.

Una función

es inyectiva, si para

2.

En una funcion inyectiva las segundas componentes no se repiten.

3.

Si toda recta paralela al eje una función inyectiva.

corta a la gráfica de en único punto, dicha gráfica será la representación de

2. FUNCIÓN SURYECTIVA Una función

( )

Si

es suryectiva, si el rango o imagen de coincide con el conjunto de llegada B es decir. entonces

es una función suryectiva.

Observacion: Una función

( )

es suryectiva, si

3. FUNCIÓN BIYECTIVA: Una función

es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a l vez..

Ejemplo: Hallar el valor de

)(

{(

)(

sabiendo que la función f es inyectiva.

)(

)(

)}

Solución: por condición de inyectividad, si se repite las segundas componentes en dos pares ordenados estos son iguales, entonces:

De (

) (

(

)

(

) entonces

)

( )

(

*(

) )(

)(

)+

OPERACIONES CON FUNCIONES Sean f y g dos funciones cuyas reglas de correspondencia son ( ) y ( )

, entonces:

ADICIÓN:

*(

)

(

)( )

( )

( )

(

)

()

( )+

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 73 SUSTRACCIÓN:

*(

)

(

)( )

( )

( )

(

)

()

( )+

MULTIPLICACIÓN:

*(

)

(

)( )

( )

( )

(

)

()

()

( )

( )+

DIVISIÓN:

*(

)

( ) ( )

( )( )

( )

Ejemplo: Sean las funciones



( )

*

( )

( )

-

* +

++

, cuyas reglas de correspondencia son:

( )

Solución:

()

,

-

(

)

(

)( )

( ) ()

*

( )

( )

+

,

-

* +



( )

(

)

,

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones cuyas reglas de correspondencia son ( ) y ( ) respectivamente, si  entonces la composición de y denotado por g o f existe y se define por:

{(

)

( ( ))

(

( ) y ( )

( ),

)}

Donde: (

)

*

( )

( )

( )+ 1

( ) (

2

( )

R

( )

R

(

R

)

)

( ( ))

( )

( )

NOTA:

{( (

) )

(

( ( ))

)( )

*

( )

(

( )

( )+ 6.

Propiedades: 1.

(

2.

g f ≠ f

3.

(g

4.

)

Ran(f) ∩ Dom(g) ≠

f) h = g

(f

I=f

;

I

h)

(f +g) h = f

f=f h+g

;

,



( ) ()

Solución:

(

)

,

*

(

,

)

( )

( )

-

,

R

9.

Si f y g son funciones inyectivas entonces g

, cuyas reglas de correspondencia son:

-

( )

8.

h

-

,

)

h ).(g h)

(

) R

( )

es una función inyectiva.

-

,

(

función f.

Ejemplo: Sean las funciones

( )

(f .g) h = (f

7.

g

! Función identidad I tal que

5.

)} Donde:

( ) -

-Entonces:

,

( )+

f

74 | C E P R U 2 0 1 5 (

)(

( ( ))

)

(



)



,

-

FUNCIÓN INVERSA Sea f una función cuya regla de correspondencia es:

*(

)



( )

( )+ Si "f " es inyectiva entonces la función inversa de f existe y está dado por: *(

)



( )

( )+

Propiedades: Sean f, g, I funciones inyectivas, entonces:

1.

Dom (

) = Ran (f)

2.

Ran (

) = Dom (f)

3.

(g

4.

f

f)-1 =I

5. 6.

=

f=I (

) -1 = f

Ejemplo: Seaf(x) = 2x – 3 Despejar “x” en función de “y”,

Luego a “x” se cambia por f(x)-1 y a “y” se cambia por “x”. ( ) EJERCICIOS 1.

Dadas las funciones *(

) (

) (

*( ) ( ; es:

) (

Rpta.* 2.

) (

) (

)+; )+; el rango de

) (

12.

) (

) (

) (

) (

) (

) (

Rpta. *(

) (

) (

)+;

)+. Hallar

ℎ. 13.

Sean las funciones definidas por ( ) ; √ ( ) √ |. ¿Cuántas funciones son ; ℎ( ) | inyectivas?

Sean las funciones reales: función identidad, función signo, función cuadrática, función mayor entero, función constante y función lineal. ¿Cuántas funciones son inyectivas?.

Rpta. , 6.

(

)

; ;

〈 ,

-, ⟩ .

15.

Hallar

Si (

tal que

f ( ) ) ( )

9.

Sea ( )



Rpta ⟨

⟩.

Sea

,

¿f suryectiva?

( )

y

y

( )

(

)

Sea

( )

( )

. Hallar Dom (

-

)+. tal que . Hallar

( ) .



,

;

-. ;

( )

,

-

{(

)

2(

)

}y



3 , el dominio de la



, es:





-.

17.

Dadas las funciones: ( ) . √ , ( ) *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+, hallar la suma de los elementos del rango de . Rpta.: 4.

18.

Dadas las funciones: 〈 〉 ( ) *( ) ( ) ( ) ( )( número de elementos del Rpta.: 4.

).

y

también bieyectiva. Hallar B.

1. ,

) (

Dadas las funciones: *( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( )+, calcular la suma de los elementos del rango de: . Rpta.: 51.

además

biyectiva tal que, ( )

, ( )

10.

es

funciones ; )+. Hallar .

16.

. Hallar el valor de b.

Rpta. 0

cual

Dadas las funciones.

Rpta.: 〈

Rpta. 5. 8.

⟨ la

Hallar la inversa del a función f definida por:

función,

Rpta. No es suryectiva. 7.

,

.

Rpta.

-.

Si

) (

Dadas las funciones tal que ( )

( )

Rpta. 2.

las ) ( ) ( )+ ) ( ) ( ) (

) ( ) (

Rpta. 14.

Si tal que ( ) tal que Dom( ).

Dadas *( *( Rpta. *(

)+.

Rpta. 1

5.

Sea la función f tal que ⟨ definida por ( ) suryectiva. El valor de m-n; es: Rpta. 30.

Dadas las funciones

*(

4.

11.

+.

*(

3.

Rpta. 13. ) (

,

-

una función tal que . Hallar m+n si f es biyectiva.

(

)+, determinar el ).

,

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 75 19.

Dadas las funciones: *( ) ( ) ( ) ( *( ) de: )

0(

)(

31.

)+, + , determinar el valor

Rpta: )1 ( ), con respecto al

(

mayor valor de “ ”. Rpta.: 2. 20.

21.

22.

24.

*(

) ( ) ( ) ( , -+ +. Rpta. *

33.

(

)( )

(

Si

34.

〉.

y

f

Dadas las funciones

/ f  x   3x  2 y

/ g  x   2x  2 , entonces  g 1 f   x  ,



Rpta: 35.

3x  4 2

Dadas las funciones

F   3, 2  ,  0,0  ,  2, 4  ,  3,1 ,  4,3 G   2,0  ,  3, 4  ,  4,7  ,  6, 2 

Rpta:59

Dadas

F 2  3G 36.

la

funciones 2

, con

y

f

g

tales

que

Dadas las funciones

f  x   x3  5x  1 , x  4, 2

g  x   3x  7 , x  0,7

x  1,7 y g  x   2 x  1

Hallar

x   2,  . Hallar el rango de la función

Rpta:

16,36

37.

f  1,0 ;  3, 3 ;  1, 4  ;  2,1

Rpta: Si

Rpta:

38.

gh f





f 1 f 1  x  1 , es:

39.

f

y

g son biyectivas , tales que 40.

funciones

Dadas las funcione:

f  {(2,3), (1,6), (4,2), (6,8)} y

f  f  g , es: g

Dada las funciones:

f 2  3g

g

Rpta. 4 41.

Rf

x  0, y

Hallar la suma de los elementos del rango de

g  1,3 ,  3,1 ,  2,0  ,  4,0 

f  x   5x2  2 x  1 . Hallar D f 5

si

g  {(2,4), (0,2), (2,3), (1,5), (4,2), (1,3)} ,

y

g  1, 2  , 3, 4 ; 2,1 ; 4,1  . Hallar f

Rpta:  4 ,  

y

x  1  f   x, y   x / y  . x  1  x 1 f* 1 x

f*

f ( x)  2 x ; las

f  1,0 ;  2,3 ,  1,3 ,  4,1

Si

x  3, 2

Rpta. {5,11}

Rpta:3/7 Sean

,

1  2 , 2

El rango de

 3 8 8 2 f     ; g 1    . Hallar f 1  2  7 5  5 9 9

Rpta: f

 2 x  8 , x  0, 2

g  {(0,2), (1,3), (4,1), (6,0), (9,8)}

x  31 9

Si las funciones

Hallar Rpta:

f  x  2   3x  2 es una función real, entonces

Rpta:

g

tal que

 3, 4 ;  4, 6 ; 1, 2

el valor de

 g  x 

f  x   x2  2 x  3

Si

g   1, 6  ;  2, 2  ;  3, 4 

h

3

g  x   5  3x , x  1, 4 . Hallar Dom  g f 

Dadas las funciones.

Hallar una función

f

Rpta: x

f g

30.



La suma de los elementos del rango de la función

con

29.

f:

g  x  x  3

f  x    x  1

28.

 2, 1 ,  4, 5  ,  7, 5  . Hallar

Hallar la suma de la elementos del rango de

Rpta:11

27.

y g

es:

g definidas por:

f  g , es:

26.

g son dos funciones definidas por

 2, 3 ,  4,1 ,  7,1

g:

Dada la siguiente función: ( ) , -. Hallar la función inversa de √ . Rpta.: ( ) . √ Dadas las funciones

x3  2 , hallar la inversa 8

f g.

)( ).

Rpta:

,

y

f

y

x2

3

f  x  x  4

f   6,8 ;  4,7  ;  0,1 ;  3,5 ;  7, 4 

25.

Dada la función real

2

. Hallar el valor de ,

( )

2x  1 . Hallar la inversa de f  x  3x  1

x 1 3x  2

Rpta: 2

)+ ,

La inversa de la siguiente función: ( ) √ (| ), es: | Rpta.:

23.

32.

Sean las funciones: *( ) Hallar: ( ). Si ( ) y si se cumple que: ( )( ) ( ) Rpta.: 2.

f  x 

Si

Sean las funciones:

f  {(4,1), (3,1), (2,4), (1,4)} , y g  {(1,1), (4,3), (5,2), (0,4)}

La suma de los elementos del rango de la función

f  g , es: Rpta. 5

76 | C E P R U 2 0 1 5 42.

Si

f ( x)  5x  3,

g ( x)  3x  1

Hallar la regla de correspondencia de Rpta ( 43.

Si

44.

f g

Sean

f  x   2x2  4x  3

g

f  g )(x)=15x-2

 1, 2  ,  0, 7  , 1, 3  , 

 2 f  3g  

f ( x)  x  4, con x  [2,6] y

Rpta.

g ( x)  2 x2  3, con x  2, 4]

y

5



86  8 5

gf

Son funciones. Determinar el dominio de ( )(x). Rpta [2,6]

2

f (x1)=ax +bx+c

FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función f se llama función exponencial si está definida por:

( )

;

.

Nota:

( ) ( ) ( ) ( )

1. Una función f es creciente si: 2. Una función f es decreciente si: CASO 1:

. /

( )

𝑎

Si

Ejemplo:

( )

( ) x

-3

-2

-1

0

1

2

3

8

4

2

1

1/2

1/4

1/8

() ()

R

Si x se aproxima a

, entonces “y” se aproxima a 0.

Si x se aproxima a

, entonces “y” se aproxima a



.

Observaciones: 1. Como

es decreciente y pasa por el punto (

la grafica de la función

( )

( )

2.

Si 𝑎

CASO 2: Ejemplo: x

-3

-2

-1

0

1

2

3

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

)



3,10 ,

5, 20



Hallar

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 77

() ()

R

Si x se aproxima a

, entonces “y” se aproxima a

Si x se aproxima a

, entonces “y” se aproxima a .



.

Observaciones: 1. Como

la grafica de la función

( )

es creciente y pasa por el punto (

)

( )

2.

FUNCIÓN LOGARITMO Dado

,

la función logaritmo de base “a” esta dado por:

( ) CASO 1:

𝑎

Si . /

Ejemplo: x

8

4

2

1

1/2

1/4

1/8

-3

-2

-1

0

1

2

3

() R

Si x se tiende a

, entonces “y” se aproxima a

.

Si x se aproxima a , entonces “y” se aproxima a

.

∞ ()

Observaciones: 1. Como

la gráfica de la función

( )

es decreciente y pasa por el punto (

( )

2.

CASO 2:

Si 𝑎 ( )

Ejemplo: x

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

-3

-2

-1

0

1

2

3

)

78 | C E P R U 2 0 1 5

() R

Si x se tiende a

, entonces “y” se aproxima a

.

Si x se aproxima a , entonces “y” se aproxima a

.

∞ ()

Observaciones: 1.

Como

la grafica de la función

( )

es creciente y pasa por el punto (

)

( )

2.

Nota 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa.

* + 2.

La función logarítmica y la función exponencial son Biyectivas.

Logaritmo natura si la base: a = e = 2.718281… entonces PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS 1.

Solamente existen sistema de logaritmos cuya base es una cantidad positiva diferente de la unidad.

2.

En el sistema de los números reales no existen logaritmos de cantidades negativas.

3.

Si la base

.

Si la base

.

4.

.

5.

.

6.

.

7.

.

8.

.

9.

.



10.

.

11.

.





cambio de base. NOTA: . DEFINICION.-Se denomina cologaritmo de un número N; al logaritmo de su inversa, esto es: . Ejemplo.-

.

DEFINICION.-Se denomina antilogaritmo, al número correspondiente al logaritmo dado, esto es: Si x es el logaritmo en base b, entonces: .

EJEMPLOS.1. 12.

(

)

.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 79

EJERCICIOS

1.

Hallar el dominio de la función definida por

( ) 2. 3.

L

Rpta. 〈 Hallar Rpta:3.

.

I. si

/.

II. si

el

valor

de

.

Representar la siguiente expresión como un solo logaritmo con coeficiente 1: .

5.

Rpta: . El rango de la función de variable real, tal que: ( ) , es: 〉. Rpta.: 〈

5.

6.

7.

8.

9.

Hallar el número cuyo logaritmo de base √ es igual a -6. Rpta:1/8.

9.

10.

(

El valor de E en: Rpta:9.

11.

13.

Hallar el valor de x en

1.

(



15.

3.

.

e)

.

4.

+.

( ))5; es:

(L

4L

;

〉.

Determinar

dominio

.

de

la

función

( )

/; es: 〉



Determinar

el

L

/.

.



〉. dominio



de

la

función

( )

〉.

La suma de elementos del rango de la función f ( ) ; es: definida por ( ) .

El dominio de la función ( )

L

); es:

(

〉.

Hallar la inversa de la función definida como: .

( )

L

(

)

.

El dominio de la función f definida por

( ) Rpta. 〈 17.

L

4L

. El

〉.

Sea f una función real de variable real definida por ( ) ( ) . Cuáles de las siguientes proposiciones es verdadera.

))5; es:

Señale la función inversa de:

Rpta.: | |

(

( )

〉.

Sea f una función real definida por ( ) rango; es:

(L

〉.

El rango de la función real f, definida por ( ) | | ; es:

Rpta. ,

*

.

d)

Rpta. 〈



〉.

Rpta.

16.

). Determinar su dominio.



( )

+ . Para que “f” sea una se debe cumplir que:

Rpta. d. 2.

L

Rpta. 〈

.

.

〉 R

c)

)

/. Hallar el dominio

Determinar el rango de la función ( ) es:

Rpta. .

*( ) ( ) Sea función exponencial a) y . b)

13.

14.

Rpta:3. Hallar el valor de x en Rpta:2. ( ) Resolver: Rpta:6

( 〉

Rpta. 〈

.



.

El dominio de la función f, definida por:

L

).

), es:

(

L

.

L

Rpta. 〈

12.

15.

Sea ( )

Rpta. 〈

12. )

〉y

Rpta. 〈

Rpta:0.

14.

Sea la función ( )

( )

Hallar el valor de x sabiendo que se tiene la ( ) igualdad: . Rpta: 2. Hallar el valor: (

; es:

〉.

Rpta. 〈

El valor del logaritmo de 125 en base 625; es: Rpta:0.75. ¿Cuál es la base del logaritmo de 8 si este es igual a -1.5? Rpta:1/4.

11.

El de la función ( )

Rpta. 〈

8.

10.

.

y rango.

resulta:

Considerando la función 0 1, definida por: | | ( ) . Si es sobreyectiva, encontrar el dominio de . -. Rpta.: ,

.

Por el punto (2,4) pasa la gráfica de cierta función exponencial, entonces la regla de correspondencia de dicha función; es:

Rpta. 〈

.

Rpta:

entonces ( )

Rpta. ( )

7. ,

.

Rpta. III.

6.

Al reducir la expresión:

.

entonces ( )

III. si

〉.



4.

entonces ( )

18.

.

Considerando la función

( )

|

dominio de . -. Rpta.: ,

|

0

1, definida por:

. Si es sobreyectiva, encontrar el

80 | C E P R U 2 0 1 5 19.

20.

21.

El rango de la función ( ) , es: 〉. Rpta.: 〈 Si ( ) Rpta.:

( )

)(

(



b  1 , entonces la función f es inyectiva

III)

Si

b  0, b  1 , entonces el rango de f es b  0, b  1 , entonces la gráfica de f

interseca al eje Y en punto (0,1). Rpta:II y IV

), hallar su dominio. 31.

El rango de la función real f, definida por:

f ( x)  5Sgn( x 3)  2 , es: Rpta. {11/5 , 3, 7}

Determinar el dominio de: ( ) 〉

Si

IV) Si

* +.

Rpta.: 〈

II)

 0, 

, hallar su inversa de . .

Sea la función: Rpta.: 〈

22.

de variable real, tal que:

32.



〉.

Sea f una función cuya regla de correspondencia es:

f ( x)  3Log2 x ,

x  [2,   , la función inversa

de f, si existe, es: 23.

Si ( )

L

Rpta.: 〈 24.

(L

[L

)]. Hallar el dominio de .

〉.

33.

Hallar el dominio y rango de:

( ) Rpta.: 25.

* + y ,

34.

〉.

( )

,

(



〉. 35.

27.

Sabiendo que ( )

(

hallar

)

R 28.

Determinar

el

f  x    0.25 Rpta: 29.

El

de

la

y  Log3  x  2   1 , es:

Rpta: 30.

rango

de

la

función

x

0,  rango

función

inversa

la

función En

Dada la función exponencial siguientes

las

exponencial siguientes

f  x   b x, x  proposiciones

, son

f es el conjunto de los números reales no negativos y b  0, b  1

Dada la función f(x)=2ax+1, se cumple que x1, x2  R, x1f(x2). Con respecto a “a” se puede afirmar que. Rpta. aAB. Ortocentro MEDIATRIZ: Es la mediatriz de cada lado A

Mediatriz relativa al lado BC

M

B

C

B INCENTRO: El punto de intersección de las bisectrices interiores se llama incentro (I) que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Inradio (r): radio de la circunferencia inscrita El incentro(I) equidista de los lados del triángulo El incentro (I) es un punto interior al triángulo.

CEVIANA: Es aquel segmento de recta que tiene por extremos un vértice y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. A

Ceviana exterior

E



Ceviana interior

B

D

I

 

C

PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO BARICENTRO: La intersección de las tres medianas es un punto interior al triangulo llamado baricentro. A

 

r

EXCENTRO: Dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior se intersecan en un punto llamado Excentro.

Baricentro 2a c 2b

B

B

Gb a

M

También se le conoce gravedad o gravicentro.

E1

2c

r1

C como centroide, centro de

A

C

20| C E P R U 2 0 1 5 E1 es el excentro del triángulo relativo al lado BC . E1 es el centro de la circunferencia exinscrita del triángulo relativa al lado BC . En todo triángulo se circunferencias ex-inscritas.

pueden

encontrar

tres

El circuncentro equidista de los vértices del triángulo Propiedad: En la figura si L es circuncentro , se cumple:

B

r2 2

E2

B

r1

L

E1

 A

A

C

RECTA DE EULER: Es la recta que contiene a los Puntos: ortocentro, baricentro y circuncentro

C

B

E3

r3

Recta de Euler

O G

NOTA:  Un vértice, el incentro(I) y el excentro(E) están contenidos en una línea recta  El triángulo E1E2E3 es conocido como triángulo exincentral. CIRCUNCENTRO: Las tres mediatrices de un triángulo se interceptan en un punto llamado circuncentro que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.  El circuncentro “L” en un triangulo acutángulo se encuentra en el interior del triángulo  El circuncentro “L” en un triángulo obtusángulo se encuentra en el exterior del triangulo  El circuncentro “L” en un triangulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa R: circunradio

B

L A

H

N M

C

PROPIEDADES: 1) En todo triángulo la distancia del ortocentro al baricentro es dos veces la distancia del baricentro al circuncentro:

OG  2(GL) O

G

2k

k L

2) La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice mencionado.

OB  2(LM)

También se cumple:

R

BH  3(GN)

L 3) En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y el circuncetro se encuentran contenidas en la mediana relativa a la hipotenusa, que esta a la vez contenida en la recta de Euler

C

A B

A

R

Ortocentro

B 2x

Baricentro Circuncentro

L

x

C A

R

M

3x

C

NOTA:  El baricentro (G) se encuentra entre el ortocentro (O) y el circuncentro (L).  Todo triángulo, excepto el triángulo equilatero, tienen una unica recta de Euler.

B

A

3x

L

R

C

EJERCICIOS 1.

En un triángulo, se sabe que la distancia del baricentro al circuncentro es 3cm, entonces la distancia del ortocentro al circuncentro, es: A)7cm B)6cm C)12cm )9cm E)8cm

2.

En un triángulo acutángulo ABC, O es el ortocentro y L es el circuncentro, si m  BAC   m  BCA   30º , la medida del ángulo OBL, es: A) 37º B) 60º C) 10º D) 15º E) 30º

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |21 3.

4.

5.

6.

7.

En un triángulo, se sabe que la distancia del baricentro al circuncentro es 4cm, entonces la distancia del ortocentro al circuncentro, es: A)4cm B)6cm C)16cm D)12cm E)8cm En un triángulo obtusángulo, son puntos notables exteriores: A) Incentro y circuncentro B) Incentro y baricentro C) Ortocentro y baricentro D) Ortocentro y circuncentro E) Incentro y ortocentro . Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, baricentro y circuncentro son colineales II) La propiedad fundamental del baricentro es la de determinar en la mediana dos segmentos cuyas medidas están en la relación de dos a uno. III) En el triángulo obtusángulo el ortocentro y el circuncentro son puntos exteriores. A)VVV B)VVF C)VFV D)VFF E)FVV Determinar el valor de verdad V o falsedad F de las siguientes proposiciones: I) Un triángulo equilátero tiene infinitas rectas de Euler II) En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa está contenida en la recta de Euler. III) Los puntos notables en la recta de Euler, se encuentran en el siguiente orden: ortocentro, baricentro y circuncentro IV) Los puntos notables en la reta de Euler, se encuentran en el siguiente orden: baricentro, ortocentro y circuncentro A)VVFV B)VVFF C)VFFV D)VVVF E)VFFF En la figura, si m ABO  18º , m BAO  a  12º , m OBC  m OAC  60º a , el valor de x, es:



3

x

A

3x

A) 30º D) 15º

2x B) 10º E) 5º

C C) 20º

11. En la figura:

B

E

D L A

C

F

De las siguientes proposiciones: I) L es el ortocentro del triángulo ABC II) E es el ortocentro del triángulo AEB. III) A es el ortocentro del triángulo BLC. La secuencia correcta, es: A)VVV B)VFV C)VVF D)FFV E)FVF 12. En un triángulo ABC de circuncentro L, si LC=10, la medida del ángulo BAC es 70º, la medida del ángulo BCA es 40º, la distancia de L a la altura relativa a AC , es: A) 10/3 B) 2 C) 5 D) 10/4 E) 10 13. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores

BD y AF (D en AC , F en BD ). Si m  ACB   20º y m  BAC   40º , la medida del ángulo DFC, es: B) 60º E) 70º

C) 80º

14. En la figura, H es ortocentro, si la medida del ángulo HBC es 30º, entonces la medida del ángulo HAC, es: O

B x

A 8.

B

A) 40º D) 75º

B A) 52º B) 12º C) 18º D) 72º E) 78º

10. En la figura AB=BC, el valor de x, es:

C

En la figura, E es un excentro del triángulo ABC, ED es bisectriz del ángulo BEC, m  ACB   m  DEB  .

H

La medida del ángulo BED, es:

E

A) 37º D) 53º 9.

B B) 60º E) 30º

C) 45º

lado BC , si m  BAC   45º y la altura relativa al lado BC mide 6, la longitud del circunradio de dicho triángulo, es: B) 2

D) 2/3

E) 2 3

B) 60º E) 30º

C) 45º

16. Se tiene un triángulo isósceles ABC, AB = BC, donde I es su incentro y E es su excentro respecto al lado

En un triángulo ABC, la recta de Euler es paralela al

A) 3/2

A) 37º D) 15º

15. En un triángulo acutángulo ABC, el ángulo ABC mide 45° y AC = 8 cm ; la distancia del ortocentro al vértice B, es: A) 8 cm B) 6 cm C) 4 cm D) 10 cm E) 5 cm

D

A

C

A

C

C) 2 2

BC , tal que IB = 8 cm y la distancia de E al lado AB es 10 cm. La distancia del incentro al lado AC , es: A) 2 cm D) 1 cm

B) 3 cm E) 5 cm

C) 4 cm

22| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 6 ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES ÁNGULOS FORMADOS POR LAS LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO TEOREMAS: 1. La medida del ángulo mayor formado por dos bisectrices interiores es igual a 90º más la mitad de la medida del tercer ángulo interior..

ii) BM : Mediana BI : Bisectriz

B

B   

x  90º 







A

I

2

 2

C

M

iii) BM : Mediana

 

x

A 2.

x

x

BI : Bisectriz

C

BH : Altura

La medida del ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a 90º menos la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

B x=y xy



B

 A



x 

 A 3.

x  90º 



 2

C

    C

A x

 



A

x

TEOREMA: i) La longitud de la mediana respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.

 2



B

C

La medida del Ángulo formado por una bisectriz interior y la altura trazadas desde un mismo vértice es igual a la semi diferencia de la medida de los otros dos ángulos interiores BI : Bisectriz

BM 

A

C

M

B

B x

x



 

 2

 H

I

 C

A

La medida del ángulo formado por las líneas notables en un triangulo rectángulo es: i) BM : Mediana BH : Altura

 H

B  Bisectriz  Altura  Mediana  Mediatriz  Ceviana

x  

x 

 H

C

PROPIEDADES EN EL TRIANGULO ISÓSCELES i) En un triángulo isósceles al trazar la altura relativa a la base, se tiene que la bisectriz mediana y bisectriz son coincidentes.

B

A

AC 2

ii) La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina tres triángulos rectángulos.

BH : Altura

A

C

M

B

La media del ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.



5.

I

NOTA: El ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior trazados desde un mismo vértice es una ángulo recto.

B

4.

 H

M

C

A

H

C

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |23

ii) En el triángulo isósceles de la figura se cumple:

PROPIEDADES 1.

B m

x  ab

x

 

x a

b

 

n

C

A 2.

P



PROPIEDADES EN EL TRIANGULO EQUILÁTERO. i) En un triangulo equilátero los puntos notables coinciden en un único punto y las líneas notables son coincidentes.

  x

m

 ortocentro  incentro  baricentro  circuncentro 

n

mn 2

x 3.

B



n  90º (

 2

)

mn  

 ii) La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas.



m

n

A

C

4.

m n

h  abc

h c

mn  x y

y

x

b a

B

5.



iii) Sea Q un punto exterior a un triangulo equilátero, entonces se cumple:

 

a

x  45º  



 



A

c

h

x

b

 4

C

h  abc

EJERCICIOS 1.

2.

En un triángulo ABC. si I es el incentro y la suma de las medidas de los ángulos exteriores de A y B es 290°, la medida del ángulo AIB, es: A) 145° B) 135° C) 205° D) 95° E) 115° Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC), en el interior del triángulo se consideran un punto P tal que m( PAB)  m( PCA) , m( ABC)  20º . Calcule

5.

AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD (D en

BC ), las cuales se intersecan en E. el valor de BE, es: A)3/2 B)2 C)1 D)2/3 E)3 6.

3.

4.

En un triángulo ABC, el ángulo formado por la bisectriz

ˆ mide 40º. Si interior del Aˆ y la bisectriz exterior del C ˆ  30º , hallar la m C ˆ . ˆ  mC mA

m( APC) . A)130º D)80º

Los lados de un triángulo ABC miden AB=6, BC=8 y

B)120º E)100º

C)110º

Hallar la medida del ángulo obtuso formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo A)45º B)135º C)90º D)55º E)60º

A)60º D)45º 7.

CD , tal que m( BCD)  26º . La

medida del ángulo agudo formado por la bisectriz del ángulo ADC y el lado A)67º B)77º D)60º E)80º

AC , es: C)64º

C)35º

En el triángulo ABC, recto en B, AB=5; BC=12; se traza la altura BH y luego se trazan las bisectrices de los ángulos ABH y HBC que intersecan al lado AC en los puntos F y E respectivamente. Hallar el valor de FE. A)6 B)7 C)8 D)5 E)4

En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se traza la ceviana interior

B)65º E)30º

8.

En un triángulo cuyos catetos miden 3 y 4 respectivamente. Calcular la medida del ángulo agudo formado por los segmentos: altura relativa a la hipotenusa y mediana relativa a la hipotenusa. A)16º B)23º C)12º D)16º30’ E)12º30’

24| C E P R U 2 0 1 5 9.

12. En un triángulo ABC, m  BAC   2m  BCA   12º ;

En la figura, AB = 16 y BD = 13. Calcular DC

A) 24 B) 27 C) 29 D) 25 E) 14,5

B 3

A

se traza la altura BH (H en AC ) y la ceviana interior

BD tal que m  ABD   2m  CBD  , la medida del ángulo HBD, es: A)48º B)24º D)34º E)30º



2 D

C

10. En el triángulo ACB de la figura, se cumple: CS  n 3 , SB=2n, ; y n  m( SNB)  m( SNM) m( SMN)  m( SMC) . Calcular la medida del ángulo MSN.

13. En un triángulo ABC, se traza por B una paralela al lado AC que interseca a la bisectriz del ángulo BAC en P y a la bisectriz exterior del ángulo C en Q. Hallar el valor de PQ, si AB = 15 y BQ = 19. A) 2 B) 3 C) 4 D) 2,5 E) 5

B

A) 55º B) 30º C) 75º D) 60º E) 45º

N

A

14. En un triángulo ABC, el punto “O” es su ortocentro y “L” es su circuncentro. El ángulo BAC mide 60º y el ángulo ACB mide 53º. La medida del ángulo OBL, es: A)37º B)15º C) 7º D)16º E)14º

S

M

C)37º

C

15. En un triangulo ABC acutángulo AB=BC se traza la altura AH y la bisectriz interior CF secantes en el punto R. Si mHAB + mHRC.= 69º Hallar mB. A) 69º B) 33º C) 74º D) 88º E) 78º

11. En un triangulo ABC AB=BC se traza la bisectriz interior

CF y luego FR  CF (R en BC ) Si mBFR=24º, hallar la medida del ángulo en B. A)24º B) 38º C) 28º D) 36º E) 18º

TRIÁNGULOS EJERCICIOS 1.

En el triángulo ABC se cumple que m( ABC)  90º ;

A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

AB=3 y BC=10. Encontrar la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar la longitud del lado AC . A)2 B)3 D)4 E)1

C)5

  x

4 

2

2.

Dado un triángulo ABC y un punto P exterior, tal que

PC  AB  {D} . Si PA=5, PB=4 y BC  AC  11 ,

8.

calcular el máximo valor entero de la longitud de PC . A)10 B)5 C)9 D)11 E)7 3.

En un triángulo ABC, AB=BC, se traza la ceviana interior BE en el triángulo BEC se traza la ceviana

3 En la figura mostrada AB  BC y el triángulo QSC es equilátero el ángulo QCA mide 20º Luego, el ángulo BQS mide: A) 60º B B) 40º S C) 30º D) 38º E) 35º

Q

EQ , tal que BE=BQ, si el ángulo ABE mide 48º, hallar la medida del ángulo QEC. A) 25º B) 24º D) 22º E) 20º 4.

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH . La bisectriz del ángulo HBC interseca en P a AC . Si AB=5. Calcular el máximo valor entero de BP. A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

5.

6.

7.

La suma de las medidas de dos ángulos exteriores de un triángulo es 270º, si el lado mayor mide 18. Hallar la distancia del ortocentro al baricentro del triángulo. A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 18 En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD , de tal manera que AB  BC  35 y AC  25 . Hallar el mínimo valor entero de BD. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Calcular el valor de “x”.

C

A

C) 23º 9.

En la figura, AD es bisectriz y BD=2. hallar la longitud de la proyección ortogonal de AD sobre AC .

A A) 3 B) 3 C) 2 D) 2 3 E) 3 3

30º B

D

10. En la figura: AB > BC y valor es entero.

C

CD > ED .

Calcular “x”, si su

B E

A) 65º B) 110º C) 115º D) 125º E) 135º

x 66º 64º

A

C D

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |25 11. Calcule el valor de  . A) 20º B) 22º C) 25º  D) 30º E) 32º





50º



40º

B) 24º E) 44º

13. Del gráfico, m

20º

50º 10º

19. En la figura, el valor de , es:

B

A) 16º B) 17º C) 18º D) 19º E) 20º

C) 36º

4

2

m

B

m



hallar el valor de MH.



A

C A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25



14. En la figura. Hallar el valor de x. A) 12º B B) 14º C) 16º   D) 18º E) 20º



C

C

 2  D)   2

 2  C)   2   2 E)   2

B)  

A)  

E 15. En el triángulo isósceles ABC donde se cumple: AB = BC, se inscribe un triángulo equilátero según se muestra en la figura. Hallar “x”.

22. En un triángulo ABC, AB =BC,

B

CR

es una ceviana

interior, tal que m  RCB   24º . La bisectriz del ángulo ARC interseca a AC en el punto Q. Hallar la medida del ángulo AQR.

F

a

E

A)72º D)78º

b x

B)56º E)82º

C)76

23. Calcular x, si DB=BC y AE=ED=DC

L

A

C

B

16. En la figura mostrada AB  BC y el triángulo QSC es equilátero. Luego: B A) a  b B) 2a  b C) 2a  3b D) a  2b E) a  b  60º

P

se cumple:

18º

D) a  b E) a  b

M

Q y R en AB , BC y AC respectivamente tal que el triángulo RQP es equilátero. Si m( PRA)   , m( BPQ)   y m( RQC)   ;

x



A)

H

B

A

ab 2 ab B) 2 ab C) 2

 

21. Se tiene el triángulo ABC (AB=BC). Sean los puntos P,

D 3x

C

20. En la figura mostrada, si BM es mediana y PB  10,

 2



n n

A

x

A

D

R

ABC  140º .Calcule el valor de “x”.

A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 35º

50º x

A



12. En un triangulo ABC isósceles (AB=BC) se traza la ceviana interior AF, de modo que AF=BC. Si m  FAC   12º , Hallar la m  BAF  . A) 12º D) 48º

N

A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º

A) 30º B) 25º C) 22º D) 18º E) 36º

S a

E 3x x A

Q

C

D

24. En la figura, AC=12; Calcular el valor de BD.

E

b A

C

17. En la figura, ME=MP; FN=NQ; AE=ED y FD=FC. Calcule x: B

A) 20º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º

E

x

A

N 120º

P A

45º

30º F

M

Q

D

18. Del gráfico, calcular el valor de “x”.

C

53º

B

C

A)

15 3

B)

C)

10 3

D) 7

D

7 3 E) 14

26| C E P R U 2 0 1 5 25. Si a  b  60º , el valor de “X”, es

2

distancia del punto “I” al punto excentro del triángulo correspondiente al lado AB . A)10cm B)5cm D)3cm E)8cm

x 

b

A) 80º B) 90º C) 100º D) 110º E) 120º

C)12cm

35. Los lados de un triángulo ABC miden AB=6, BC=8 y

a



AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD (D en

2

26. En el interior de un cuadrado ABCD se construyen los triángulos equiláteros AFB y AED. La prolongación del segmento FE interseca en G al lado BC . Calcular la medida del ángulo FGC. A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º D) 60º 27. En la figura mostrada, si PB  9 y PC  15, hallar AB.

BC ), las cuales se intersecan en E. Calcular BE. A) 3/2 B) 2 C) 1 D) 2/3 E) 3 36. En la figura AB=AD=DC. Calcular “x”

B

A) 5º B) 6º C) 8º D) 9º E) 10º

13x D

C

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

3x 2x

A

C

37. El ABC es isósceles, AB  AC. Hallar el valor de x.

P 

B

A) 9º B) 11º C) 12º D) 13º E) 14º

x

Q 3x  40º

2x



A B 28. El ángulo interior en A de un triángulo ABC mide 20º.

Se traza la ceviana CT y en el triángulo ATC se traza la ceviana TQ . Si m ATQ  40º y TQ  QC  BC . Calcular la m B . A) 40º B) 60º C) 80º D) 75º E) 55º 29. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bisectriz interior del ángulo BAC interseca al lado

DE

tal que AB //DE , si la medida del ángulo ADE es 28º, entonces la medida del ángulo ACB, es: A) 14º B) 24º C) 60º D) 22º E) 34º 30. La suma de las distancias del baricentro de un triángulo, a sus vértices es 24. Calcular la suma de las longitudes de las medianas del triángulo dado. A) 48 B) 36 C) 30 D) 32 E) 42 31. En un triángulo equilátero, la distancia del punto incentro a un vértice mide “x”. Calcular la distancia del incentro a uno de los puntos excentro de dicho triángulo. A) 3x B) x/2 C) x D) x/3 E) 2x 32. La altura BQ de un triángulo acutángulo ABC mide 9cm. Hallar la distancia del circuncentro del triángulo a AC , si la recta de Euler es paralela a este lado. A)3cm B)5cm C)4cm D)2cm E)6cm 33. En un triángulo acutángulo ABC, se ubican los puntos “O” ortocentro y “M” circuncentro, tales que

C

P

38. En la figura: AB  AD  DC . Calcular “x”. B

A) 5º B) 6º C) 7º D) 12º E) 4º

13x

D 3x 2x

BC en D,

en el triángulo ADC se traza la ceviana interior

68º

A

A

C

39. En la figura, calcular el valor de “x”: A) 12º B) 16º C) 18º D) 20º E) 22º

x

 2 a a

b

4x

2 

b

40. En la figura, calcular el valor de “x” A) 30º B) 40º C) 72º x D) 82º E) 90º x







34. En un triángulo ABC, la distancia del vértice “A” al punto incentro “I” del triángulo mide 4cm. Al trazar las bisectrices una interior y otra exterior correspondientes a los ángulos en los vértices C y A respectivamente, se observa que se intersecan en un punto E, donde m( AEC)  30º . Calcular la



41. En la figura, AB  BD  BC y EF  ED. Calcule el valor de x.

B

A) 100º B) 105º C) 110º D) 115º E) 120º

20º

m( AOB)  m( AMB) , si la altura AH (H  BC) mide 3 3 , calcular la medida del lado AC A)4 B)6 C)5 D)9 E)8

x

3x

E A

40º

D

F xº

C

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |27

TEMA N° 7 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Definición: Dos triángulos son congruentes si y sólo si los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes y sus tres pares de lados correspondientes son congruentes. B

B’

TEOREMA DE LA BISECTRIZ Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados

R

C’

 A

P

C A’ ABC  A 'B ' C'

O

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: Para demostrar que dos triángulos son congruentes es suficiente que posean al menos tres elementos respectivos congruentes, de los cuales por lo menos uno de ellos debe ser un lado.

  Q

Los triángulos OPR y OPQ son congruentes. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ Todo punto sobre la recta mediatriz de un segmento equidista de sus extremos

CASOS DE CONGRUENCIA: POSTULADO: ALA (Ángulo–Lado–Ángulo) Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes y el par de lados comprendidos entre ellos congruentes. Q B

L P

 





POSTULADO: LAL (Lado–Ángulo–Lado) Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de lados correspondientes congruentes y el par de ángulos comprendidos entre ellos congruentes.

Q

B

Los triángulos APM y BPM son congruentes. TEOREMA DE LA BASE MEDIA En todo triángulo el segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud igual a la mitad de la longitud de este.

B

 



M 

R

P

C

A

B

R

P

C

A

M

A



POSTULADO : LLL (Lado–Lado–Lado) Dos triángulos son congruentes, si poseen sus tres pares de lados correspondientes respectivamente congruentes.



C

A

Q

B

N

 A

C

P

R

EJERCICIOS 1.

Se tiene un triángulo ABC, en el cual AB=10. Se traza

3.

una recta que interseca a BC en N y a BA en M y a

m( PBC)  30º AC , si: AC=2(PB), m( BPC)  40º , la medida del ángulo BAC, es:

la paralela trazada por A, al lado BC , en P, si PM=MN, el valor de AM, es: A) 4 B) 20 C) 5 D) 6 E) 2 2.

En un triángulo rectángulo BAC, recto en A, se traza la altura AD . La bisectriz del ángulo interior ABC, interseca a la altura en E, a CA en F y a la paralela trazada por A, a BC , en G. si BE=2, el valor de FG, es: A) 4 B) 3 C) 2 D) 6 E) 8

En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” se considera el punto “P” exterior al triángulo y relativo a

a) 10º d) 50º 4.

b) 20º e) 80º

y

c) 40º

En un triángulo ABC, se traza la mediana AM , hallar la distancia del vértice B a la mediana, si la distancia del punto medio N de AC a la mediana es 2cm. A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4

28| C E P R U 2 0 1 5 5.

6.

En la figura, si AB = BC y PQ = 9, entonces el valor de AP, es: A C A) 3 B) 4 5 C) 5 D) 6 Q P B E) 7 En un triangulo ABC se traza la mediana BM y luego la mediana AF del triangulo ABM, la recta paralela trazada por el punto M a AF interseca en el punto L al lado es: A) 9m D) 6m

7.

8.

BC , si AF es igual a 18 m, la longitud de ML , B) 14m E) 12m

14. En un triángulo ABC, M es punto medio de

punto medio de BM , tal que AN es perpendicular a BM , BC = 10 y AN = 8. Hallar el valor de AB. A) 2 D) 4

B) 3 E) 6

17

C)

17

15. En un triángulo ABC, M y N son puntos de los lados

AC y BC respectivamente, tal que AB = MC, m(  BAC) = m(  BMN) = 40° y m(  MBN) = 70° . Hallar la m(  ABM). A) 30° B) 70° C) 40° D) 60° E) 45°

A)60º B)50º C)45º D)55º E)75º

x 30º

C A 15º

Em La figura, si AE=CD, m(  AEB)=m(  EDC)=2  , m(  A)=m(  ECD)=  , CE=8, El valor de AC, es:

D 17. De la figura AC=BP, m(BAP)=m(PAC). Calcular α

C

B

B A

9.

E B) 12 E) 36

C) 16

D

Se tiene un triángulo acutángulo ABC y H es su ortocentro. Se construye el cuadrado BHPQ, P  BC , tal que m(  ABC) = 6 m(  APH). Hallar la m(  BAC). A) 81° B) 60° C) 80° D) 55° E) 20°

10. En el interior de un triángulo ABC se ubica un punto D, tal que AD = BC, BD = 9 cm, m(  BAD) = m(  DBC) =  , m(  DCB) = 2  y m(  ADB) = 5  . Hallar AB. A) 18 cm B) 12 cm C) 14 cm D) 20 cm D) 15 cm 11. En la figura, BD es bisectriz del ángulo ABC y BM es mediana relativa a la hipotenusa. Calcular m AEB . B A) 53º B) 37º C) 60º D) 30º E) 45º

E A

17

16. En la figura BC=AC=AD. Calcular x. B

C) 8m

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior AD , en el triángulo ADC se traza la altura DE . Si los triángulos ABD y DEC son congruentes, entonces la medida del ángulo ABE, es: A)37º B)45º C)53º D)30º E)60º

A) 8 D) 24

AC y N es

D M

C

12. Se tiene un triángulo ABC, donde P es un punto interior de dicho triángulo, tal que m(  BAP) = m(  PAC) = m(  PBC) = m(  PCB) = x y m(  PCA) = 2x. Hallar m(  ABP). A) 45° B) 20° C) 26° D) 60° E) 36° 13. Sea el triángulo ABC y D es un punto del lado AC , tal que m(  ABD) = 90°, m(  DBC) = 2 m(  BAC) y AD = 2 (BC). Hallar m(  ADB). A) 72° B) 64° C) 52° D) 48° E) 60°

A)4.6º B)5º C)4º D)5.6º E)4.5º

4α 3α

P

11α A C 18. En la figura: AB  BC , AB = BC, AE  EB m(EAB)=m(ECA), si BE = 3, el valor de EC, es:

y

A A)2 B)3 2

α

C)4 2 D)2 2 E)3

E α

C B 44) En la figura: AB=AC y AE=EB, si m(ECA)=30º, el valor de x, es: E C A)10º B)12º C)18º D)15º 2x E)20º x B A 19. En el triángulo ABC se traza la altura AH , de tal modo que BH=3 y HC=10. si m( ABC)  2m( ACB) , entonces el valor de AB, es:. A) 10 B) 13 D) 7 E) 5

C) 8

20. En el interior de un triángulo equilátero ABC se construye un triángulo isósceles rectángulo ADC e interiormente a éste se construye el triángulo AEC. Hallar la medida del ángulo DAE si se sabe que m( DCE)  30º y EC=AD=DC. A) 15º B) 45º C) 5º D) 30º E) 25º 21. En un triángulo ABC, obtuso en B e isósceles, en los lados AB y

AC

se consideran los puntos E y F,

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |29 respectivamente, de modo que AE=FC y AF = BC. Si m  FBC   27º . Hallar la medida del ángulo EFB. A)27º D)45º

B)42º E)60º

C)30º

22. En un triángulo ABC, en AC se considera un punto D, de modo que: AD  BC y DC  BD . Si

31. Se tiene un triángulo rectángulo BAD, con ángulo recto en A. Exterior a este triángulo, se construye el triángulo rectángulo DBC, con ángulo recto en B; E es un punto de BD , tal que BE = 3, ED = 2 y el triángulo BAD es congruente al triángulo CBE . Hallar la medida de CD .

m( DCB)  36º , la medida del ángulo BAD, es:

A)

A)53º D)36º

D) 51

B)72º E)75º

C)30º

23. En un triángulo ABC las medianas AM y BN se interceptan en el punto G, por N se traza una paralela a AM que interseca en P a la prolongación de BA : si AB=12m y PN=PA, entonces el valor de MG, es: A) 3m B) 5m C) 2m D) 4m E) 7m 24. En un triángulo ABC, la mediatriz del lado AC interseca al lado BC en el punto F. Encontrar el mayor valor entero del lado AB , si BC = 12 y A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

FC = 7.

25. En un triángulo rectángulo isósceles recto en B, por el vértice B se traza una ceviana interior que interseca al lado AC en H. Desde los vértices A y C se trazan perpendiculares CP y AQ a la recta que contiene a B y H, si AQ=7cm y CP=15cm, entonces el valor de PQ, es: A) 4cm B) 11cm C) 8cm D) 6cm E) 9cm 26. En un triángulo ABC, mB  80º , en AC se ubica el punto “E” tal que AB=EC; las mediatrices de AE y

BC se intersecan en “F”. Calcular la mACF , sabiendo que la m C  30º A) 20º B) 15º C) 18º D) 35 E) 25º 27. En

un

triángulo

ABC,

m( ABC)  140º ,

mediatrices de los lados AB y BC

las

intersecan al

lado AC en D y E. Hallar la medida del ángulo DBE. A) 105º B) 95º C) 115º D) 100º E) 70º 28. En la figura, si AB=CP, BE=EP, y m( CAE)  m( ACE) , entonces la medida del ángulo BPE, es: A) 45º B) 50º C) 55º D) 60º E) 65º

B

A

30º

20º

C

P E

29. Si R es un punto interior de un triángulo equilátero ABC y F es un punto exterior a este triángulo respecto al lado AC , de modo que el ángulo RCB mide 30º , el ángulo RAB mide 36º , AR = RF y AF = BC , el ángulo RFC mide : A) 48º B) 42º C) 53º D) 30º E) 37º 30. En un triángulo ABC, la mediana AM (M  BC ) se prolonga hasta un punto H, tal que el ángulo AHC es recto y AB=2(MH). El ángulo BAH mide x, el ángulo HAC mide y. Hallar la relación entre “x” e “y“. A) x = y B) x = 2y C) x = 3y D) 2x = y E) 3x = y

B)

31

C 35

41

E) 7

32. En la figura mostrada, si CD = 4, el valor de BC, es: A) 4 C B 31º B) 2 6 46º

C) 5 D)

2 6

E) 4

2

14º 14º

D

A

33. En la figura: AB=BC, AD=20. Calcular BP B

A) 10 B) 15 C) 7,5 D) 8 E) 20

C

45º

A

P

D

34. Se tiene un triángulo isósceles ABC donde AB=BC. En el exterior y relativo el lado BC se considera el punto E, de modo que la m( BAE)  m( BCE)   , AE interseca a BC en el punto M. Hallar el valor de “  ” si: AM=CE y la m( EAC)  20º . A) 60º B) 45º C) 70º D) 55º E) 68º 35. En la figura, si AB=BC; AE=CD y BE=BD, entonces el valor de “x”, es: B A) 20º B) 25º D 3xº C) 18º A C 4xº D) 30º E) 45º E 36. En los lados AC y AB de un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos M y N respectivamente, de modo que BM y CN se intersecan en el punto P, el ángulo MPC mide 60º, BN=3 cm y MC=7 cm. Determinar el perímetro del triángulo ABC. A) 30 cm B) 24 cm C) 36 cm D) 18 cm E) 21 cm 37. Se tiene un triángulo equilátero AEF;

en la

prolongación de AF se ubica el punto C, (F está entre A y C) y B es un punto del interior del triángulo AEF, de modo que AF=BC, BF=FC y el ángulo BAF mide 30º. Hallar la medida del ángulo ABF. A) 120º B) 130º C) 110º D) 115º E) 100º 38. Sea el triángulo equilátero ABC; R es un punto interior de este triángulo y E es un punto exterior respecto al lado BC , de modo que el triángulo RCE es equilátero, el ángulo RAC mide 32º y el ángulo RCB mide 10º. Hallar la medida del ángulo REB. A) 40º B) 45º C) 55º D) 38º E) 30º

30| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 8 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA RAZÓN DE SEGMENTOS: La razón de dos segmentos de recta, es la razón de los números que espresan las longitudes de estos dos segmentos, cuando se les a medido con una misma unidad.

TEOREMA DEL EXCENTRO

a

c

Dos pares de segmentos AB , CD y EF , LM son proporcionales si se verifica:

AB CD



EF LM

b

k

y

TEOREMA DE THALES: Si tres más rectas paralelas son intersecadas por dos o más rectas secantes, los segmentos determinados sobre las secantes son respectivamente proporcionales Si L1 // L 2 // L 3 

x

AB BC

S1



MN

AB

ó

NP

MN



E TEOREMA DE MENELAO: m

b

BC NP

a n

S2

A

c p

M

B

L1

N

TEOREMA DE CEVA:

L2

m

C

P

Cevacentro

b

L3 a

n

COROLARIO: Una recta paralela a un lado de un triángulo que interseca a los otros dos determina sobre ellos segmentos proporcionales.

B

Si: L // AC



a



b

c

p

a E

c d

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

c

DEFINICIÓN: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de sus lados homólogos correspondientes proporcionales.

L

D

b

d

B

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR: En todo triángulo los lados adyacentes a la bisectriz interior son proporcionales a los segmentos que determina dicha bisectriz sobre el lado opuesto c

c

a

x m

x

a



m 2

n

B'



C

A

 



A



C



C'

A'

Si dos triángulos son semejantes, todos sus elementos homólogos son proporcionales (lados, alturas, medianas, bisectrices, inradios, exradios, etc.) B

 a.c  m.n

N

n



a TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR: En todo triángulo los lados adyacentes a la bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos que determina dicha bisectriz sobre la prolongación del lado opuesto c m

c

m



a

2

c

H

A

 m.n  a.c

n

Si: ABC  MNP 

a m

a

b



b n



c p



H h

n



R r

P

 ...  k

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: VI) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos pares de ángulos respectivamente congruentes.

 x

I y

r

C M

b

TEOREMA DEL INCENTRO:

x

m

p h

R

n

x

a

x

c



y



ac









b

VII) Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un par de ángulos respectivamente congruentes y las

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |31 longitudes de los lados que forman a dichos ángulos respectivamente proporcionales. B

2)

N



c

La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, determina tres triángulos semejantes. B

c.k

ABCAHBBHC

  bk P A b CM VIII) Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. B

3)

N



a

c

c.k

 A



C

H

Los triángulos ABC y EBD son semejantes B

a.k

b.k P A b CM OBSERVACION: 1) Una recta paralela a un lado y secante a los otros dos lados de un triángulo, determina dos triángulos semejantes.



D  

E



C

A

B E

D

L

ABCEBD

C

A

EJERCICIOS 1.

En un  ABC, AB=8, BC=6 y AC=7 se traza la bisectriz interior BD . (D en A) 2 D) 1,5

2.

AC ). Calcular:

B) 0,5 E) 0,75

C) 1

En un triángulo ABC, se traza la base media relativa al lado AC y la distancia del baricentro a la base media es k. Hallar la altura del triángulo ABC relativa al lado AC . A)4k B)6k D)3k E)7k

3.

En un triángulo ABC, la distancia del vértice A a su incentro es 10, la distancia de su incentro a su 12. Hallar la medida del lado AC A)20 B)10 C)15 D)18 E)16 Dado un triángulo ABC, donde BC  AC  AB , se tiene que BC  5 y AC, AB son números enteros. Si E es el punto EXCENTRO correspondiente al lado AB , donde m( AEB)  45º , al calcular la distancia entre

5.

6.

7.

8.

A) 15 7

B) 20 7

D) 22 7

E) 18 7

C) 10 7

En un triángulo isósceles ABC , (AB = BC) ; la mediatriz de BC interseca a AC en F. Por F se traza FH // BC , H  AB , tal que FH=1 y A) 2 B) 3 D) 6 E) 4

C)5k

excentro relativo al lado BC es 14 y el lado AB mide

4.

AB y BC en los puntos P y Q respectivamente, de modo que BP = 20 , BQ = 30 y AP + QC =22 . Calcular PQ.

AD  DC .

9.

FC= 6 . Calcular AB C) 5

Se tiene un triángulo acutángulo ABC, donde el ángulo ABC mide 53o y la distancia del circuncentro a un vértice es 10. Calcular la longitud del segmento determinado por los pies de las alturas trazadas desde C y A. A) D)

48 5 44

5

B) E)

48 7 47

7

C)

46 5

.

el ortocentro y circuncentro de dicho triángulo, se obtiene: A)15/2 B)13/2 C)17/2 D)13/3 E)15/4

10. En un triángulo ABC, se traza las alturas AM y CN . Calcular BM, si AB = 5, NB = 3, BC = 6. A) 2,5 B) 3 C) 2,3 D) 3,5 E) 4

La altura BH de un triángulo acutángulo ABC mide

11. En un triángulo ABC, D es un punto de AC , por D se

27cm; si la recta de Euler es paralela al lado AC , la

trazan DE // BC y DF // AB , ( E  AB , F  BC ) . La

distancia del circuncentro del triángulo a AC , es: A)9cm B)6cm C)5cm D)13cm E)12cm

prolongación de EF interseca a la prolongación de

Las longitudes de los lados de un triángulo son números enteros positivos consecutivos. Calcular su perímetro, sabiendo que la medida del mayor ángulo interior es el doble de la medida del menor ángulo interior. A) 21 B) 13 C) 18 D) 12 E) 15 Por el baricentro de un triángulo equilátero ABC, se traza una recta secante, que interseca a los lados

AC en P, tal que AD = 3 y CP = 4. Calcular DC. A) 1 D) 2

B) 1/2 E) 5/2

C) 3

12. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ángulos B y D, se intersecan en un punto de la diagonal AC . Si AB = 6, BC = 8 y CD = 12. Calcular AD. A) 9 B) 10 C) 15 D) 7 E) 11 13. En la figura se sabe que: 3AB DE = 9. Calcular AC.

2BE , BC

BD y

32| C E P R U 2 0 1 5 A) 4,5 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

D

B A)3 B)4 C)1 D)2 E)6

 

E C A D 14. En la figura AB  BC  CD  DA , si SO  2 , NO  3 , MO  4 , al calcular la medida de RO , se obtiene: R

D A)1/2 B)2 C)1 D)3/2 E)3

C

O S N A

C 5 A

37º 10

B

16. Calcular KC, si JK // AC , 5BJ=3AJ, BK = 12 A) 20 B B) 30 C) 15 D) 4 E) 16 K J A

B

M

x

C

15. En la figura, el valor de x, es:

CONGRUENCIA, PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS EJERCICIOS 1.

En la figura BF = 1, y FC = 8. Hallar AB. A) 3 B) 4 C) 4,5 D) 3,5 E) 5





R

S

exterior BF , si AD=10 y DC=6. Calcular CF. A) 16 B) 24 C) 45 D) 48 E) 36 8.

En un ABC se traza la ceviana interior AR y luego

RE // AC y EF // AR (E en AB y F en BR ). Si BF=5 y FR=3. Calcular RC. A) 4 B) 3,8 C) 4,8 D) 5 E) 5,6 9.

15 y

En un ABC, AB=20, BC=10 y AC=21 se traza las bisectrices interior BD y exterior BE, hallar DE. A) 17,5 B) 28 C) 20 D) 25 E) 15

10. En un ABC, AB = 16, se traza la mediana BM . Hallar BM, si: m 𝐶𝑉 CV (cal/mol K) Cp (cal/mol K) Gas MONOATOMICO

3

5

DIATOMICO

5

7

La relación entre Cp y Cv se denomina coeficiente adiabático, siendo 𝛾 =

𝐶𝑝 𝐶𝑉

ENERGIA INTERNA DE UN GAS IDEAL La energía cinética de traslación Ec. de las moléculas de un gas ideal está relacionada con la temperatura absoluta T por la ecuación 3 𝐸𝐶 = 𝑛𝑅𝑇 2

En donde es el número de moles del gas y R es la constante universal de los gases si de consideran que esta energía de traslaci0on constituye toda la energía interna del gas, esta ultime dependerá únicamente de la temperatura del gas y no de su volumen o de su presión. Escribiendo u en lugar de Ec, se tiene 3 U= nRT 2

a. Energía Interna de un Gas Ideal (U) Para cualquier sustancia; sólida liquida o gaseosa la energía interna se debe a la interacción y al movimiento desordenado de sus moléculas. La energía interna (U) de una sustancia está ligada al comportamiento microscópico de sus moléculas. En el caso de un gas las moléculas están "relativamente" alejadas unas de otras de modo que la interacción molecular es despreciable, ósea: En un gas, la energía interna se debe a la energía cinética de sus moléculas, especialmente la energía cinética de traslación Se puede observar que si la temperatura de un gas es mayor, sus moléculas tendrán mayores velocidades de traslación, luego: La energía interna de un gas es una función directa de la temperatura absoluta U=f (t)… (q) Esto indica que si la temperatura del gas permanece constante, la energía interna no cambiará. b. Variación de la Energía Interna (∆𝑼) De lo anterior, sabemos que la energía interna de un gas depende exclusivamente de la temperatura, luego: Las variaciones de energía (∆𝑼) en un gas suceden solamente cuando hay p variaciones de temperatura (∆𝑇) Cuando la temperatura de un gas cambia, el gas sigue cierto proceso, pero como F A la energía interna (U) del gas depende solamente de la temperatura entendemos que: La variación de la energía interna (∆𝑼) de un gas depende solamente de las temperaturas final (𝑇𝐹 ) e inicial mas no del proceso que sigue el gas.

O O

V0

B VF

V

56 | C E P R U 2 0 1 5 Ejemplo: En el diagrama P-V observamos dos procesos OAF y OBF que parten del mismo estado inicial (O) y terminan en el mismo estado final (F) pero siguiendo caminos diferentes; Como la variación de la energía interna (∆𝑼) de un gas depende solamente del inicio (O) y del final (F) pero no del proceso afirmamos que: ∆𝑈𝑂𝐴𝐹 = ∆𝑈𝑂𝐵𝐹 PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA Cuando suministramos calor (Q) a un gas podemos observar que la temperatura se incrementa y que el gas se expande, si varía la temperatura podemos decir que varía la energía interna (∆𝑼) del gas, y sí se expande entenderemos que el gas produce trabajo (W). Luego: “El calor entregado a un gas es empleado para variar La energía interna y para que el gas produzca trabajo” 𝑄 = ∆𝑈 + 𝑊 Esta ley representa simplemente un balance de energía, estableciéndose que la energía no se pierde sino que se transforma. i. Primera ley en el proceso isócoro.- En un proceso isócoro el volumen permanece constante, ósea no hay variación de volumen, por lo tanto el gas no produce trabajo. 𝑊=0 Aplicando la primera ley, calor suministrado a volumen constante tenemos que: Como la variación de la energía (∆𝑈) no depende del proceso, en cualquier proceso la variación de la energía podrá hallarse con: ∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑉 ∆𝑇 𝑄𝑉 = 𝑛𝐶𝑉 ∆𝑇 ii. Primera Ley en el Proceso Isobárico. En un proceso ISOBARICO el trabajo se halla con 𝑊 = 𝑛𝑅∆𝑇 Observe que en cualquier proceso ∆𝑈 se halla con ∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑝 ∆𝑇 𝑄𝑝 = 𝑛𝐶𝑝 ∆𝑇 iii. Primera Ley en el Proceso Isotérmico En un proceso ISOTÉRMICO la temperatura permanece constante, luego no hay variación de energía interna. ∆𝑈 = 0 𝑉 En un proceso Isotérmico el trabajo se halla con: 𝑊 = 𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛 ( 𝐹 ) 𝑉𝑂

Calor suministrado a temperatura constante, es:

𝑉

𝑄𝑇 = 𝑛𝑅𝑇 ( 𝐹 ) 𝑉𝑂

En el proceso ISOTÉRMICO teórica-mente todo el calor suministrado se convierte en trabajo. iv. Primera Ley en el Proceso Adiabático.- En este proceso ADIABÁTICO no hay transferencia de calor 𝑄=0 Luego aplicando la primera ley tenemos: 𝑊 = −∆𝑈 En el proceso ADIABÁTICO el gas produce trabajo a consta de su energía interna. c.

Ciclo termodinámico.- Cuando la sustancia de trabajo luego de sufrir varios procesos vuelve hasta su estado inicial (o) decimos que ha sucedido un ciclo termodinámico. En un ciclo termodinámico el estado inicial y el estado final coinciden Los ciclos termodinámicos pueden ser horarios o antihorarios.

d.

Trabajo (W) en un Ciclo Termodinámico.- En un diagrama P-V en trabajo equivale al área que encierra el ciclo termodinámico, considerándose que: a) Si el ciclo es horario el trabajo neto es positivo (+W) b) Si el ciclo es anti horario el trabajo neto es negativo (-W) SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA a) Motores o Maquinas Térmicas.- Generalmente es llamado motor a cualquier aparato que transforma cualquier energía en energía mecánica. Los motores TÉRMICOS son aquellos aparatos que transforman la energía térmica (CALOR) en TRABAJO. Existen diversas máquinas térmicas: MOTORES DE VAPOR, puede ser: Máquinas de vapor Turbinas de vapor MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA MOTORES DE GASES CALIENTES b) Segundo principio de la Termodinámica Para entender esta ley recordemos el funcionamiento de un motor de combustión interna. El combustible (gasolina) colocado en el cilindro del motor al ser quemado libera su energía interna en forma dé calor "QA" aumentando violentamente la presión y la; temperatura de los gases del cilindro. El aumento de la presión y la temperatura en el interior del cilindro dilatan los gases empujando los pistones moviendo de este modo el mecanismo interno del motor realizándose un trabajo "W". c) Ensuciados del segundo principio de la termodinámica: 1.- Es imposible extraer calor de un sistema a una sola temperatura y convertirla en trabajo mecánico sin que el sistema o los alrededor cambien de algún modo 2.- No es posible ningún proceso espontaneo cuyo único resultado sea el paso del calor (energía térmica) de un objeto a otro de mayor temperatura 3.-Es imposible que una maquina térmica trabaje cíclicamente sin producir ningún otro efecto que extraer calor de un solo foco realizando una cantidad de y trabajo exactamente equivalente

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 57

EJERCICIOS

1) Un gas se mantiene a presión constante si su temperatura varía desde 50 a 100°C en que factor varia su volumen 2) una vasija de 10 L contiene gas a 0°C y a una presión de 4 atm ¿cuántos moles de gas hay en la vasija? 3) Hallar el trabajo de 1 a 2, si la temperatura en el estado 2 es de 127ºC el número de moles de gas es n = 2moles. atm   V(  ) mol º K 1 R = 0.08 20

8

2

T(K )

isotérmicamente hasta que alcance su volumen original. Finalmente se le aumenta a la presión isocoricamente hasta que el gas retorna a su estado inicial ¿hallar el trabajo realizado durante el ciclo, tomar ɤ=1.4? 13) Se tiene un gas monoatómico que se calienta mediante un proceso isovolumétrico desde la presión de 10 kPa hasta 20 kPa. Sabiendo que la energía interna se incrementó en 60 kJ, calcular el volumen del gas. (en m3) 14) En un cilindro cuya sección tiene un área de 0,4 m2 se encuentra un gas ideal que se expande realizando un trabajo de 130 J. Calcular el desplazamiento del émbolo cuando el gas pasó del estado 1 al estado 2.(en m) P (Pa) 1

4) Halle el trabajo en el ciclo termodinámico considere ln2=0,7 P  pa 

160

3 2 V (m )

100

1

20

5 Isoterma

P (Pa) 10

1

3

2

2

80

 

20

V m3

V (m3) 8

5) Una habitación tiene 5mx6mx3m. Si la presión del aire en ella es una atmosfera y su temperatura es 300K, ¿hallar el número de moles de aire que salen de la habitación? 6) El punto de ebullición del helio a una atmosfera es 4.2K ¿cuál es el volumen ocupado por el gas helio al evaporarse 10 g de helio liquido a la presión de un atm y una temperatura de 4.2 K? 7) Un recipiente con volumen de 6 L contiene 10g de helio líquido. Cuando el recipiente se calienta a la temperatura ambiente ¿cuál es la presión ejercida por el gas sobre sus paredes?

15) Un gas experimenta una expansión isobárica desde 27 ºC. Calcular la temperatura final del proceso en ºC. n=4 mol, (R=8 J/mol K) 16) Un gas ideal experimenta una expansión adiabática 3

de acuerdo a la ley 𝑝𝑉 2 = 𝑐𝑡𝑒. Calcular el trabajo realizado por el gas, sabiendo además que el volumen se cuadruplica al pasar del estado 1 al 2. (en J)

P (Pa) 800

1 adiabática

8) Un gas diatomico realiza 300 J de trabajo y adsorbe 600cal calor ¿Cuál es la variación de energía interna experimentada por el gas? 9) Indicar en cual de los procesos termodinámicos el gas pierde calor: P A

Adiabatica D

2 0

V (m3)

1

17) En el proceso termodinámico mostrado, hallar la variación de energía interna del sistema (en J) si éste cede 400 J de calor. P (Bar)

b

6 B

C c 2

10) Una bala de plomo inicialmente A 30 g C se funde al golpear en blanco. Suponiendo que toda la energía cinética del inicial de la bala se convierte en energía interna de la misma para elevar su temperatura y fundirla ¿cuál es su velocidad en el momento del impacto? 11) Una maquina con una producción de 200W tiene un rendimiento del 30%. Trabaja a 10ciclos/s ¿Cuánto trabajo se realiza en cada ciclo? 12) un gas ideal a 300K ocupa un volumen de 0.5 m3 el gas se expande adiabáticamente hasta que su volumen es de 1.2 m3. A continuación se le comprime

a V (lt)

V

2

4

P (Pa) 1

2

5

15

300

V (m3) 0

58 | C E P R U 2 0 1 5 18) Un gas ideal monoatómico experimenta una expansión isobárica. Calcular la cantidad de calor que se necesitó proporcionar al gas. (en kJ) 19) Cierto gas monoatómico se expandió isobáricamente de modo que su temperatura pasó de 27 ºC a 127 ºC. Si el calor absorbido durante el proceso fue 400 J, calcular cuántos moles de gas había en el recipiente. (R=8 J/mol K) 20) Cierto gas ideal triplica su volumen en un proceso isotérmico a la temperatura de -9,4 ºF. Si en dicho proceso el gas absorbe 750 J de calor, determine el número de moléculas que lo conforman. (ln(3)=1, k = 1023 J/K) 21) Sabiendo que el ciclo mostrado lo realiza una máquina térmica y que en cada ciclo recibe 1500 J de calor, hallar su eficiencia. (en %)

32) un recipiente 250cm3 contiene criptón a una presión de 500 mm de mercurio. Otro recipiente de 450 cm3 está lleno de helio a una presión de 950mm de mercurio. Se mezcla el contenido de ambos recipientes abriendo una válvula de conexión. Suponiendo que todas las manipulaciones se realizan a temperaturas constantes. ¿Hallar la presión total de la mezcla y la proporción en volumen de cada gas componente? Se desprecia el volumen de la válvula y tubería de conexión. 33) Un cilindro con área de la base de 2m contiene un gas ideal que se expande isotermicamente desplazando el embolo a una altura de 10 cm. Calcular la cantidad de calor (Kcal), que se le 2

suministra al gas con una presión de (1J=0,24cal)

P (Pa) 1

g

La masa molar del gas B es MB = 40 m ol

2

a) 8,2

250

3 V (m3) 7

12

22) Hallar el trabajo en el ciclo termodinámico, si la temperatura en el estado A y C es de 100º K y 400º K respectivamente: P(Pa) C

2

B

A

2

4

8

3

V(m )

23) Una máquina térmica trabaja entre las temperaturas de 27 ºC y 227 ºC, absorbiendo 600 J de calor y cediendo al exterior 420 J de calor ¿Cuál es su eficiencia? (en %) 24) Un sistema termodinámico cuya energía interna es 500 cal es sometido a un proceso isocórico. Si al sistema se le proporciona 1 Kcal. ¿Cuál será entonces, su energía interna final?. (en Kcal.) 25) Una máquina térmica posee una eficiencia del 40%. Cuando recibe 5000 kJ de calor de la fuente de alta temperatura, hallar QB. (En kJ) 26) Una máquina térmica que trabaja a 10 ciclos tiene una producción de 300 J de trabajo total por los 10 ciclos, si la máquina posee un rendimiento de 0,3 ¿cuánto calor absorbe y cuánto calor cede en cada ciclo? (en J) 27) En un proceso isobárico, el gas ideal aumenta su volumen en un 20%. Halle el porcentaje en el que varia su temperatura 28) Hallar el cambio de entropía (en J/K) en un proceso isotérmico de 0,8 mol de un gas ideal, si su volumen varía de 1,5lt a 3lt. (ln2=0,4, R=8 J/mol K) 29) Al pasar de un estado a otro en un proceso isotérmico el gas ideal triplica su volumen. Halle la presión final , si se sabe que inicialmente la presión del gas fue de 10kPa 30) 100 g de una sustancia a 127 ºC se transforma en vapor a 127 ºC, hallar el cambio de entropía (en cal/K), si su calor latente de vaporización es LV = 640 cal/g. 31) Una mezcla de dos gases A y B cuyo volumen es de 10m3 contiene 40moles. Si se sabe que el número de moles del gas A es de 10moles. Hallar la densidad de la mezcla. g m La masa molar del gas A es MA = 30 ol

c) 4,8

d) 6,9

e) 9,6

34) Calcular la potencia desarrollada en un minuto de una maquina termica que recibe 1200J de calor y que funciona a las temperaturas de 727°C y 17°C; si su rendimiento real coincide con el rendimiento ideal.

4 100

b) 4,3

2 x10 5 Pa

a) 16,4W

b) 8,3W

c) 14,2W

d) 9,4W

e) 4,2W

35) Se tiene una mezcla de tres gases con igual número de moles, dentro de un volumen de 10m3. Indique la alternativa incorrecta: a) La temperatura de los tres gases es la misma. b) La presión que ejerce cada uno de los gases es la misma. c) El volumen de cada uno de los gases es el mismo. d) Las densidades de los gases son diferentes. e) El calor específico de los gases es diferente. 36) El número de moléculas de la mezcla de tres gases A, 23 B y C es de 25 x10 , donde el 30% está compuesto por el gas A; el 20% por el gas B y el 50%, por el gas C. Si la mezcla ocupa un volumen de 690 litros en condiciones normales de temperatura, la presión parcial (en Pa.) del gas B, es: ( K  1,38 x10 a) 3850

b) 5880

23

J / K )

c) 1250

d) 2730

e) 6873

37) La densidad (masa por unidad de volumen) de un gas 3 ideal es 5 Kg / m . Si la presión del gas es 831 KPa y su temperatura 27°C, establecer la masa molar de dicho gas. Considerar la constante universal de los gases: J R  8,31 mol  K a) 18 g/mol b) 30 g/mol c) 14g/mol d) 7g/mol e) 15g/mol 38) Indique cuál de las alternativas es incorrecta: a) El trabajo en un proceso isócoro es siempre igual a cero. b) En un proceso adiabático, el gas al realizar trabajo gasta su energía interna. c) En un proceso isotérmico, la energía interna del gas no varía. d) La energía de un gas ideal solo depende del movimiento interno de sus moléculas. e) Una máquina de vapor puede transformar todo el calor que recibe en trabajo. 39) De acuerdo al segundo principio de la Termodinámica podemos afirmar que: a) Los sistemas termodinámicos evolucionan buscando establecer estados con menor grado de desorden y menor entropía b) Los sistemas termodinámicos evolucionan buscando establecer estados con mayor grado de desorden c) en la naturaleza no puede existir maquinas térmicas de primera generación d) En la naturaleza pueden existir maquinas térmicas de segunda generación e) En todo proceso termodinámico se conserva la energía.

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 59

INTRODUCCIÓN Una de las propiedades fundamentales de la materia es la carga eléctrica. Esta propiedad se manifiesta a distancia, a través de la ley de interacción eléctrica entre cuerpos cargados, conocida como la LEY DE COULOMB. La cantidad de carga que posee un cuerpo depende de la carga fundamental (la que posee el electrón) y esta a su vez producirá en la región de su entorno un campo eléctrico y un potencial eléctrico. ELECTROSTÁTICA: Es una parte de la Física que estudia las propiedades de las cargas eléctricas en reposo. ELECTRICIDAD: Es el fenómeno que producen los electrones al trasladarse de un punto a otro.

CARGA ELÉCTRICA Es una cualidad o propiedad del cuerpo la cual se da por el exceso o defecto de electrones. CARGA FUNDAMENTAL: carga elemental, carga mínima en la naturaleza; la carga del electrón es igual a la carga elemental. Hay dos clases de carga eléctrica: Carga eléctrica positiva: Cuando los átomos del cuerpo pierden electrones (defecto de electrones); ejemplo una barra de vidrio se carga positivamente cuando es frotada con una tela de seda. Carga eléctrica negativa: Cuando los átomos del cuerpo ganan electrones (exceso de electrones), por ejemplo, una barra de plástico (o resina) se carga negativamente cuando se frota con una tela de lana. UNIDADES DE LA CARGA ELÉCTRICA EN EL SI: La unidad de la carga en el S.I. es el Coulomb (C). CONDUCTOR ( conductor de la electricidad): Es aquel cuerpo en el cual las cargas eléctricas se mueven libremente sin encontrar mayor resistencia: como ejemplos tenemos los metales, el cuerpo humano, etc. DIELÉCTRICO o aislador (mal conductor de la electricidad): Es aquel cuerpo que no posee carga libre. ELECTRIZACIÓN: Cualquier sustancia se puede electrizar (cargar) al ser frotada. En un cuerpo neutro (no electrizado) el número de protones es igual al número de electrones. Pero si frotamos dos cuerpos entre si hay transferencia de electrones de un cuerpo hacia el otro, entonces el que pierde electrones presenta defecto de electrones y se carga positivamente, el que gana electrones presenta exceso de electrones, es decir queda cargado negativamente. CUANTIFIZACIÓN DE LA CARGA ELÉCTRICA: Todo cuerpo tiene carga eléctrica proporcional a la carga elemental. La Cuantización de la carga eléctrica se expresa a través de la siguiente ecuación: q=ne Donde: q = carga eléctrica del cuerpo, e = carga eléctrica elemental, n = número de carga elemental. PARTÍCULAS CARGADAS Electrón Protón

MASA 9,02.10- 31 kg

CARGA ELÉCTRICA - 1,6.10-19 C

1,66.10- 27 kg

+ 1,6.10-19 C

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA ELÉCTRICA: La carga no se crea ni se destruye sólo se desplaza o transfiere de un cuerpo a otro. En un sistema aislado eléctricamente, se cumple que:

Qtotal inicial  Qtotal final

Casos particulares: a) Si los cuerpos 1 y 2 inicialmente cargados entran en contacto, la proporción de las cargas que poseen después

q1 q 2  r12 r22

será:

b) Si los cuerpos 1 y 2 inicialmente cargados se conectan a través de un alambre conductor, la proporción de las cargas que poseen después será:

q1 q 2  r1 r2

FUERZA ELÉCTRICA LEY CUALITATIVA: Partículas Cargadas con el mismo signo se repelen y partículas cargadas con signos contrarios se atraen. LEY CUANTITATIVA: LEY DE COULOMB: La magnitud de la fuerza de atracción o repulsión entre dos partículas puntuales cargadas es directamente proporcional al producto de las dos cargas que interaccionan e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Donde:

F k

q1q2 r2

N m 2 constante de proporcionalidad C2 denominada constante de Coulomb.

k

4 0

k  9  10 9

donde

 0  8,85 .10 12

C 2 constante Nm 2

de

permitividad eléctrica del espacio vacío. En esta fórmula no se debe reemplazar el signo de las cargas, puesto que se obtiene la magnitud de la fuerza. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: Dos o más fuerzas eléctricas que actúan sobre un cuerpo cargado producen una fuerza resultante, equivalente a la acción de las n fuerzas.

    F  F1  F2  ...  Fn

CAMPO ELÉCTRICO IDEA DE CAMPO ELÉCTRICO: Se llama campo eléctrico a la región del espacio donde todo cuerpo cargado percibe una fuerza eléctrica. Por tanto, la fuerza eléctrica se puede entender como el producto del campo eléctrico

60 | C E P R U 2 0 1 5 externo al cuerpo cargado multiplicado por el valor de la carga. INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO: En un punto del campo eléctrico, el vector campo eléctrico se define como la fuerza del campo que actúa sobre una partícula cargada (carga de prueba) por unidad de carga:

E Si

F q0

, cuya intensidad es: E=F/q0

reemplazamos Qq k 20 F r  E  q0 q0

la

fuerza

eléctrica

d) Las líneas de fuerza paralelas e igualmente espaciadas indican que el campo eléctrico es homogéneo y uniforme, entonces la intensidad del campo eléctrico es igual para cualquier punto. E1 = E2 = E 3 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES: Son todas aquellas superficies cuyos puntos tienen el mismo potencial eléctrico. Las superficies equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de fuerza.

en:

kQ E 2 r

En esta fórmula no se reemplaza el signo de la carga. Unidad de la intensidad el campo eléctrico: [E]=N/C.

CAPACIDAD ELÉCTRICA CAPACIDAD ELECTRICA (C).- Cantidad de carga eléctrica (Q) que se le debe entregar o sustraer a un cuerpo conductor para modificar en una unidad el potencial eléctrico (V) en su superficie:

C

POTENCIAL ELÉCTRICO DEFINICIÓN: El Potencial Eléctrico en el punto “A” es el trabajo que por unidad de carga eléctrica se desarrolla para desplazar dicha carga desde el infinito (∞) hasta el punto “A”:

W V   A q0 Unidad del potencial eléctrico: [V]= J/C = Voltios = V El potencial eléctrico a la distancia “r” de una carga puntual es: k Q VA 

La capacidad eléctrica depende de su forma y de sus dimensiones. Unidad de la capacidad eléctrica: [C]=Faradio=F El Faradio es una unidad muy grande razón por la cual se usa submúltiplos, como el micro faradio (μF), el nano faradio (F), etc. Un capacitor o condensador es un dispositivo que puede almacenar carga eléctrica. La capacidad eléctrica para una esfera conductora cargada de radio r, es:

C

rA

DIFERENCIA DE POTENCIAL: La diferencia de potencial entre B y A es el trabajo por unidad de carga realizado por las fuerzas externas al mover dicha carga de A hacia B.

W VBA  VB  VA  AB q0

Q V

r  4 0 r k

CAPACITOR O CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS PLANAS: Dispositivo formado por 2 placas conductoras dispuestas paralelamente, con igual magnitud de carga pero con signos diferentes que sirven para almacenar cargas.

r

De esta ecuación se despeja el trabajo que realizan las fuerzas externas para que una carga q sea trasladada desde A hasta B.

WAB  (VB  VA ) q LINEAS DE FUERZA: También llamado Líneas de Campo. Son líneas que se trazan para darnos una idea de la configuración del campo eléctrico en cualquier punto del espacio que rodea una carga eléctrica o un sistema de cargas eléctricas.

Un condensador se simboliza gráficamente por:

+

-

C

La capacidad eléctrica C de un condensador plano es directamente proporcional al área (A) de las placas e inversamente proporcional a su distancia de separación r:

C   0

A r

donde: a) En cualquier punto del campo, el vector campo  eléctrico ( E ) tiene una dirección tangente a la línea de fuerza. b) Las líneas de fuerza nunca se cruzan. c) Mientras más cercanas están las líneas de fuerza, más intenso será el campo eléctrico. EA > EB

 : constante dieléctrica del material que separa las placas del condensador.  del aire y del vacío = 1 F   0  8.85  10 12   m

La distancia de separación entre las placas debe ser menor comparado con las dimensiones de la placa con el fin de obtener un campo homogéneo entre las placas. Si esta distancia no es pequeña, en los extremos del condensador se observa el llamado efecto de borde, las líneas de campo se curvan hacia fuera. La capacidad eléctrica C de un condensador esférico (esferas concéntricas), es:

C   0

Rr Rr

Donde: r = radio menor y R = radio mayor

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 61 La diferencia de potencial entre las armaduras de un condensador plano es:

V  V1  V2  V3  cons tante

 V  E *r

Q  q1  q 2  q3 n

C eq   C i

ENERGÍA ALMACENADA POR UN CAPACITOR (U):

es decir: Ceq  C1  C2  C3

i 1

C1

1 1 q2 U  q V  C V2  2 2 2 C

q

q1

C2 q2 C3 q3

Ce Q -Q

V q V

V

q

V

V

ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES.

V

CAPACIDAD EQUIVALENTE (Ceq): Es aquel condensador capaz de reemplazar a un conjunto de condensadores acumulando la misma cantidad de energía que el conjunto de condensadores, el condensador equivalente “Ceq” debe encontrarse sometido a la misma diferencia de potencial que los 2 puntos que limitan al conjunto de condensadores reemplazados.  CONDENSADORES EN SERIE: Conectados unos a continuacion de otro, con el objetivo de compartir la diferencia de potencial de la fuente.



PUENTE WHEATSTONE EN CONDENSADORES:

El circuito “1” se llamará Puente Wheatstone si se cumple que: C1 C4 = C2 C3. Cuando esto sucede el condensador C5 no almacena carga, luego VD = VE. Esto quiere decir que el condensador C5 puede CORTOCIRCUITARSE o juntar los puntos D y E. El circuito “2” es equivalente al circuito “1” .

q1  q2  q3  Q  cons tan te

V  V1  V2  V3 n

1 1  C eq i 1 Ci C1 C2 q1 - q2 q q

es decir:

1 1 1 1    C eq C1 C 2 C3

C3 q3 q

Ceq Q Q V

V

V

V

1

2

3

V

V

Si fueran dos condensadores:

C eq 

C1 C 2 C1  C 2

´

CONDENSADORES EN PARALELO: Conectados a una misma diferencia de potencial con el objetivo de compartir la carga que entrega la fuente. EJERCICIOS CARGA ELÉCTRICA Y LEY DE COULOMB a) 1050N 1)

2)

Dos esferas conductoras muy pequeñas poseen cargas de +20C y -30C y se acercan hasta ponerse en contacto, luego se separan hasta que su distancia es 0,1m. La fuerza de interacción entre ellas es: a) 22,5N

b) 525,5N

d) 20,5N

e) 25,5N

b) 70N y 120N c) 80N y 100N d) 70N y 20N

3)

g

B

q2 e) 70N y 220N Dos esferas con iguales cargas q=7.10-5C se encuentran suspendidas de dos cuerdas aislantes e inelásticas, de modo que al establecer el equilibrio adoptan la posición mostrada en la figura. El peso de la esfera 1 es:

37º

4)

37,5cm

1

e) 1550N

5) 30cm

g

d) 6750N

A q1



c) 1750N

c) 522,5N

El sistema mostrado se encuentra en equilibrio, el peso de cada esfera es: W1=30N y W2=40N, y las cargas son q1=20C y q2=40C. Las tensiones en las cuerdas A y B son: a) 10N y 120N

b) 1700N

37º 2

Si q1=+150C , q2=+40C y q3= - 60C. La fuerza resultante que actúa sobre la carga 1 es: a) 40N b) 60N 1 2 3 c) 55N 2 d) 45N 1 m m e) 35N En una recta se encuentran dos cargas q1=+9C y q2= - 4C. Para que las dos primeras cargas se encuentren en equilibrio, la carga positiva q3 que se debe colocar en el punto P de la recta que une a las cargas, es:

q1

q2 x

y

P 

a) +30C b) +26C c) +46C d) +35C e) +36C

62 | C E P R U 2 0 1 5 6)

Se sabe que qA= - 125C, qB=+40C y qC=+75C. La fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la esfera ubicada en B, es: a) 7N C b) 8N 33 c) 6N m d) 5N e) 4N 60º A B

7)

Para que las cargas q=100C, colocadas en cada uno de los vértices de un cuadrado permanezcan en equilibrio, el valor y signo de la carga Q que debe colocarse en el centro del cuadrado, es: a) q(22-1)/4 b) q(22+1)/4 c) q(22+4)/4 d) q(2+1)/4 e) q2/4 Dos esferas de volumen 8.10-6m3, en cuyos centros se encuentran cargas iguales q están unidas por una cuerda, de modo que una de ellas flota con medio volumen fuera de un líquido cuya densidad es 1800kg/m3 y permitividad eléctrica relativa r=4. La carga q necesaria y suficiente para que la tensión en la cuerda sea nula, es: (g=10m/s2)

8)

a) 3C b) 1C 1m c) 4C d) 5C e) 8C Un electrón (-e) de masa m gira en torno del núcleo de un átomo de hidrógeno con un radio r. La velocidad angular w del movimiento es: a) e/r(m/K)1/2 b) r/e(K/m)1/2 c) er(K/m)1/2 d) e/r(K/m)1/2 e) e/r(Km)1/2

5)

6)

7)

r

9)

10) Dos esferas de igual masa y carga q están unidas por una cuerda L=4m, según se indica en la figura. El periodo de las pequeñas oscilaciones del sistema es: (g2m/s2). a) 1s q b) 2s g c) 3s L  d) 5s q e) 4s

1)

2)

CAMPO ELÉCTRICO Un campo eléctrico está creado por una carga puntual. La intensidad de este campo a 80cm de la carga, si a 20cm de la misma es igual a 4.105N/C, es: a) 2,5.104N/C b) 2.104N/C c) 5.104N/C d) 25.104N/C e) 0,5.104N/C La intensidad del campo creado por una carga puntual en un punto es E1=8.103N/C. Si en otro punto 1m más cerca de la carga el campo eléctrico es E2=1,8.104N/C, la carga Q y la distancia a la que se encuentra el punto señalado, es: a) 3.10- 6C y 8m d) 10.10- 6C y 3m

3)

4)

b) 8.10- 6C y 3m e) 8.10- 6C y 2m

A 37º 30º

B

9)

POTENCIAL ELÉCTRICO 1)

a) –10.10- 6C b) –50.10- 6C c) –60.10- 6C d) –40.10- 6C e) –20.10- 6C

Si q=32C y d=24cm, la intensidad del campo eléctrico resultante (en kN/C) en el punto A, es: a) 5 A b) 6 c) 7 d d d) 8 e) 9 +q -q d

10) Si las cargas q1=8C y q2=12C se encuentran en x=0 y x=4m respectivamente, el punto en el eje X, donde el campo eléctrico es cero, es: a) 1,4m b) 8,8m c) 3,8m d) 2,8m e) 1,8m

c) 18.10- 6C y 13m

Se sabe que q2= - 63C y q3= +200C. Para que la intensidad del campo total en el punto P indicado sea nulo, el valor y signo de la carga q1 es: a) 6.10- 6C b) 5.10- 6C q1 P q2 q3 c) 4.10- 6C  2m 3m 2m d) 2.10- 6C e) 1.10- 6C En la figura se muestran dos esferas cargadas y ubicadas en los vértices A y B de un triángulo ABC. Si AC=3m, BC=10m y qA=+3C. Para que la intensidad del campo en C sea horizontal, el valor de qB es:

C

8)

En los vértices de un rectángulo se han colocado cuatro cargas eléctricas, de modo que: qA=+5C, qB= - 8C, qC=+2C y qA= - 3C. Si además AB=303cm, y BC=30cm, la intensidad del campo eléctrico en el punto de intersección de las diagonales, es: a) 1.105N/C B A b) 2.105N/C c) 5.105N/C d) 8.105N/C C D e) 7.105N/C En los vértices A, C y D de un cuadrado se han colocado tres cargas eléctricas. Para que la intensidad del campo eléctrico resultante en el vértice B sea colineal con AB, el valor de qC es: a) -72C A b) -22C B +10 c) -77C C d) -102C e) -75C D C +28 C La carga de la esferita metálica es q= - 10C de tal modo que frente al campo eléctrico uniforme de intensidad E=4.105N/C mantenga la posición mostrada en la figura, el peso de la esferita metálica, es: a) 5N b) 8N 30º 60º c) 4N d) 2N e) 1N Ambas esferitas se encuentran en equilibrio suspendidas por hilos aislantes y sometidas a la acción del campo eléctrico de intensidad E=6.105N/C, la carga de la esferita B, es: a) 3.10- 6C b) –3.10- 6C c) –6.10- 6C d) –5.10- 6C A 30c B e) –8.10- 6C

2)

3)

4)

El potencial eléctrico en un punto de un campo es 200V. El trabajo que deberá realizar un agente externo para colocar una carga de 5.10-4C en dicho lugar, es: a) 0,1J b) 0J c) 0,2J d) 2J e) 1J A 6m de una carga Q=8.10-4C se ha colocado una segunda carga q, realizándose para el efecto 6J de trabajo, el valor de q, es: a) 3C b) 5C c) 4C d) 2C e) 7C El potencial creado por una carga puntual en un punto cercano a él es –6KV. Si en otro punto 3m más alejado el potencial es mayor en 2KV, el valor y signo de la carga, es: a) 1m, +3C b) 1m, +6C c) 6m, -4C d) 2m, 2C e) 4m, 8C Para que el potencial en el centro de un triángulo equilátero sea cero cuyas cargas están ubicadas en los vértices del triángulo q1=+5C y q2= - 6C, el valor y signo de la carga q3 es:

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 63

5)

6)

7)

8)

9)

a) 6C b) 3C c) 9C d) 1C e) 2C En la figura mostrada se tiene q1=+2C y q2=+5C, la distancia x entre los puntos M y N, sabiendo que sus potenciales son iguales, es: (x0). A) 1m B) 2m q1 q2 M C) 4m  D) 6m x 1m 2m E) 3m Para colocar una carga q=200C en el vértice D del cuadrado de 3m de lado, si se sabe que qA=+6C, qB= - 92C y qC=+12C. El trabajo que será necesario realizar contra las fuerzas del campo, es: A) 5,4J A B B) 6J C) 4,5J D) 6,5J E) 3J C D Sabiendo que el potencial en el punto X es 200V, conociéndose además que al trasladar una carga de prueba q=-4.10-3C desde Y hasta X, el campo eléctrico realizó un trabajo de 2J, el potencial en el punto Y, es: A) –200V q B) –300V C) 100V D) 500V X Y E) 600V  trasladar una carga de prueba q=5C desde B Para hasta A, sabiendo que Q=80C y AB=20cm. El trabajo que debe realizar un agente externo es: A) 2,5J A B) 5,5J q C) 7,5J D) 3,5J Q 3 B E) 7,5J 7 Dos esferillas con cargas q1=+33C y q2=+4C se encuentran ubicadas en los extremos de un diámetro de 4m de longitud. sabiendo que cualquier carga que se traslade entre A y B no demanda ningún trabajo, la distancia x que define la posición del punto B con relación al centro O de la semicircunferencia, es: A) 2m y 2,5m A  B) 3m y 8m C) 2m y 0,93m D) 1m y 0,93m 53º q2 E) 1m y –0,93m q1  xB  O

10) Dos cargas q1=+6.10-5C y q2= - 4.10-5C se encuentran a 6m de distancia. El trabajo que deberá efectuar un agente externo para separarlos 2m más, es: A) 0,3J B) 0,4J C) 0,5J D) 0,2J E) 0,9J CAPACIDAD ELÉCTRICA 1)

El proceso de carga de un condensador se realiza según se indica en el gráfico, siendo q la carga, y V el potencial adquirido. En base a éste gráfico se pide la capacidad del conductor y la energía potencial electrostática almacenada cuando V=12V. A) 3F y 2,16.10-4J B) 5F y 0,16.10-4J q() C) 1F y 1,16.10-4J 21 D) 7F y 2,16.10-4J E) 9F y 4,16.10-4J 0

2)

7

V(V)

La capacidad de una esfera conductora que posee una carga de 20C y que se encuentra en el vacío es 1F. El radio y la energía que almacena es: A) 8.109m y 100J B) 9.109m y 200J C) 5.109m y 300J

3)

4)

D) 3.109m y 600J E) 4.109m y 200J Si se duplicaran sus dimensiones y la distancia entre sus placas se redujera a la mitad, la nueva capacidad de un condensador de placas planas, rectangulares y paralelas de capacidad 5F, es: A) 20F B) 10F C) 50F D) 60F E) 40F En el espacio entre las armaduras de un condensador plano descargado se introduce una placa metálica que tiene la carga Q, de manera que entre dicha placa y las armaduras quedan los espacios d1 y d2. Las áreas de la placa y de las armaduras del condensador son idénticas e iguales a A. La diferencia de potencial entre las armaduras del condensador, es: A) Q(d2+d1)/(20A) D) (d2-d1)/(20A)

5)

6)

B) Q(d2-d1)/0 E) Q(d2-d1)

C) Q(d2-d1)/(20A)

Un condensador de capacidad C1=6F se carga con una batería de 5V. A continuación se conecta de la batería y se conecta a otro condensador descargado de capacidad C2=4F. La carga final que tendrán cada uno de los condensadores, es: A) 10C y 10C B) 12C y 12C C) 28C y 2C 5V C C D) 18C y 12C E) 8C y 2C Se muestran 4 placas metálicas iguales en el aire y separadas mutuamente una distancia “d”. El área de cada placa es S. Determinar la capacitancia equivalente entre x e y. 0S

a) d



x

 y

30 S

b) 2d 2 0 S

c) 3d d)

2 0 S d

0S

e) 4 7)

Si se sabe que Vxy=100V (las capacidades están expresadas en microfaradios). La carga almacenada por el sistema de condensadores mostrado, es: A) 100C 2 2 3 1 3 B) 200C x     y C) 50C  D) 140C E) 300C 8) Para el acoplamiento de condensadores mostrado, si se sabe que éste tiene una energía almacenada de 3.10-2J. Todas las capacidades están expresadas en microfaradios. La carga que almacena el sistema, es: A) 8.10-4C B) 6.10-4C 4 5 1 2 8 -4 x        y C) 2.10 C D) 4.10-4C  E) 3.10-4C 9)

Si C=12F es la capacidad de todos los condensadores conectados en el sistema de condensadores mostrados en la figura. La capacidad equivalente del sistema de condensadores mostrado entre x y y, es: A) 20F

x 

y

B) 25F C) 21F D) 30F E) 60F

64 | C E P R U 2 0 1 5

INTRODUCCIÓN La Electrodinámica estudia los fenómenos asociados al movimiento de cargas eléctricas en conductores. CORRIENTE ELÉCTRICA El movimiento de cargas eléctricas a través de un conductor constituye una corriente eléctrica. La intensidad de la corriente a través de un conductor se define, como la carga eléctrica que atraviesa la sección transversal del mismo en la unidad de tiempo:

𝐈=

𝐪 𝐭

Se expresa en Ampere (A). De esta definición se deduce que el Coulomb que es la unidad de carga está definida en términos del Ampere.1 C = A•s Se tienen dos tipos de corriente: continua y alterna. La primera es constante en el tiempo y es proporcionada por las baterías, los paneles fotovoltaicos, etc. La corriente alterna es variable en el tiempo, generalmente se expresa mediante una función cosenoidal o sinusoidal. Esta es proporcionada por las Centrales Hidroeléctricas por ejemplo. Muchos equipos como las computadoras requieren corriente continua para su funcionamiento y es necesario transformar la corriente alterna en corriente continua. LEY DE OHM El físico alemán George S. Ohm(1787-1854), descubrió de forma teórica y experimental la Ley que expresa la relación entre la intensidad de la corriente (I) que circula a través de la sección de un conductor, la diferencia de potencial o voltaje y la resistencia eléctrica (R). La cual se expresa: VAB = R I Donde: VAB = diferencia de potencial entre los extremos del conductor. R = resistencia del conductor en Ohm (Ω) . 1Ω = V/A I = corriente a través de la sección transversal del conductor en A. RESISTENCIA ELÉCTRICA El movimiento de los electrones en el interior de un conductor se efectúa por medio de choques con las moléculas y átomos del conductor. Hay oposición dentro del conductor al paso de los portadores de la carga eléctrica. Esta oposición se conoce con el nombre de resistencia eléctrica del conductor. La resistencia eléctrica es proporcional a la longitud del conductor e inversamente proporcional al área de la sección transversal y depende de la naturaleza del conductor. A estos resultados llegó el físico francés Poulliet, ecuación que se expresa:

𝑅= 𝝆

𝑳 𝑨

Donde : 𝛒 = resistividad en Ω•m L = longitud del conductor y A el área de la sección transversal del conductor y R se expresa en Ω. Existen ciertos materiales como los superconductores, los cuáles bajo ciertas condiciones específicas adquieren propiedades eléctricas y magnéticas, como la pérdida de resistencia eléctrica y la capacidad de excluir campos magnéticos en su interior, para lo cual se requiere bajas temperaturas absolutas. Esto dificulta las investigaciones. A su vez los semiconductores son los materiales de moda en la electrónica actual, debido a lo cual ésta ha desarrollado enormemente sus aplicaciones, los cuales pueden transformar la radiación solar en energía eléctrica, mediante los paneles fotovoltaicos. ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS. Se utiliza en las máquinas y dispositivos de alto consumo de energía eléctrica, tal como sucede en las hornillas eléctricas, los motores turbogeneradores, subestaciones de energía eléctrica, etc. a) En Serie

A

R1

R2

R

B A

B

I

I

Por todas las resistencias pasa la misma corriente I, el resistor equivalente R, debe soportar esta corriente y todo el voltaje VAB = V1 + V2 , reemplazando la relación de Ohm: R I = R1 I + R2 I R = R 1 + R2 b) En paralelo I A A I1 I2 I R1 R2 R B

B

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 65 odas las resistencias se encuentran al mismo voltaje V AB, el resistor equivalente R reemplaza a los resistores R 1 y R2 y soporta todo el voltaje. La corriente que ingresa al circuito se reparte en cada resistencia, de modo que:

I = I1 + I2

VAB/R = VAB/R1 + VAB/R2 1

De donde:

𝑅

=

1 𝑅1

+

1 𝑅2

PUENTE DE WHEADSTONE En la siguiente figura, el circuito que se muestra se conoce como puente de resistencias de Wheatstone. Se dice que el puente está balanceado, si se cumple: R 1R3=R2R4 y entonces se puede eliminar R5 , de esta forma se encuentra la resistencia equivalente entre A y B.

c)

R2

R1 A

B

R5 R3 R4

POTENCIA ELECTRICA: En un circuito eléctrico como el de la Fig., la fuente de fuerza electromotriz , proporciona la energía eléctrica necesaria para que las cargas eléctricas circulen en el circuito, o sea: 𝑊 R

 =

𝑊 𝑞

=

𝑡 𝑞 𝑡

=

𝑃 𝐼

+ 

la potencia proporcionada por la Fuente:

I

-

P=I En los calentadores eléctricos, en las planchas eléctricas, tostadoras, hornos eléctricos de panificación, etc., se transforma la energía eléctrica en energía calorífica. Las resistencias eléctricas de los artefactos señalados se calientan, poniéndose en muchos casos al rojo vivo, debido a que los electrones libres en su movimiento chocan contra las moléculas del conductor, perdiendo energía que se va transformando en calor. A este fenómeno se conoce como efecto Joule, de modo que: la potencia calorífica en un elemento resistivo o la disipación de potencia eléctrica en flujo de calor:

P = VAB I = R I2 = VAB/ R La energía calorífica: E = P t = R I 2 t Como 1 J = 0,24 cal El calor disipado: Q = 0,24 R I 2 t en (cal).

en (W) en (J)

LEYES DE KIRCHOOFF El circuito anterior se puede resolver con la Ley de Ohm, existen circuitos con más de una f.e.m. conectadas a elementos resistivos que requieren un tratamiento especial en los cuales se utilizan las Leyes de Kirchooff. PRIMERA LEY : La suma de las corrientes que ingresan a un nudo, es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. En forma matemática: ∑ 𝑖 = ∑ 𝑠 Un nudo es un punto donde convergen tres o más conductores. Esta Ley expresa la conservación de la carga eléctrica. SEGUNDA LEY : La suma algebraica de las f.e.m. en una malla es igual a la suma algebraica de las caídas de voltaje en dicha malla. Matemáticamente: ∑ ϵi = ∑ R I Malla es una trayectoria cerrada cualquiera de un circuito o parte de él. Para el uso de estas leyes se debe tener en cuenta los siguientes criterios: 1) Elegir un recorrido en la malla, el cuál puede ser horario o antihorario. 2) Si al atravesar una f.e.m. el sentido de la misma coincide con el recorrido de la malla el valor de la f.e.m.  se toma con signo positivo, en caso contrario se le asigna un signo negativo. 3) Al atravesar una resistencia, si el sentido de la corriente coincide con el recorrido, a la caída de voltaje se le asigna un signo positivo, en caso contrario le asignaremos un sentido negativo. 4) Así para el circuito de la Figura, aplicando las Leyes de Kirchooff, se tiene: R1 a R2 c Malla acba: (recorrido antihorario) : 1 = I2 R2 + I3 R5 + I2 R4 (1) I 2 I1 + + Malla abda: (recorrido horario) : 2 = I1 R1 + I1 R3 + I3 R5 (2) 2 R 1 I3 Aplicando la Primera Ley de Kirchooff al nudo a : I3 = I1 + I2 (3) d R3

b

R4

Si son conocidos los valores de las resistencias, las incógnitas son las 3 corrientes, de modo que las tres ecuaciones planteadas resuelven el circuito.

66 | C E P R U 2 0 1 5

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Un alambre conductor de resistividad ρ = 1,7 x 1011 Ω•m, de 10 m de longitud; tiene una sección transversal de 10-5 mm2. Se le aplica una diferencia de potencial entre sus extremos de 68 V. ¿Cuál será la corriente que circula por dicho conductor ?. SOLUCION De la ecuación de Poulliet : R =

1,7𝑥10−11 𝑥 10

= 17Ω , por tanto de la Ley de Ohm : I =

10−5 𝑥10−6

68 17

=4A

2.- En el circuito de la Fig.1 que se muestra, ¿cuál es el valor de la resistencia R; de modo que la resistencia entre los terminales A y B sea de 173 Ω ?. Usar: √3 = 1,73 R

R

1Ω

42 V

A

I1

A 1Ω

173 Ω

R

2Ω

4Ω

I2 B Fig.2 SOLUCION

Fig.1

Reduciendo el circuito: R1=173 +R y R2 = luego se cumple: como RAB = 173 = R +

(173+𝑅)𝑅

173+2𝑅 (173+𝑅)𝑅 173+2𝑅

resolviendo la ecuación se obtiene: R = 100 Ω.

3.- Para el circuito que se muestra en la Fig.2, hallar la lectura del amperímetro. SOLUCION Por el método de la espira con corriente, en la superior: I1 + (I1 – I2) = 42 (1) Igualmente en la espira con corriente I 2 : 2 I 2 +4 I2 + ( I 2 – I1 ) = 0 de donde despejando : I 1 = 7 I2 reemplazando en la Ec.1, se obtiene I2 = 42/13 A, que es la corriente que circula en el amperímetro. 4.- Para el circuito de la Fig.3, calcular la potencia y la corriente que entrega la fuente. 8Ω

7Ω 26 V

6Ω

2Ω

3Ω

Fig.3 Redibujando el circuito la resistencia equivalente se encuentra por el método de los puntos al mismo potencial. Así los resistores de 2 , 3 y 6 Ω , se encuentran en paralelo. De modo que R 1= 1 Ω. Este resistor se encuentra en serie con el de 7Ω y dan como resultado un resistor R2 = 8 Ω. Este resistor finalmente se encuentra en paralelo con el de 8 Ω. Por tanto la resistencia total es : R=

8𝑥8 16

= 4 Ω.

La corriente que ingresa al circuito : I = 26/4 = 6,5 A La potencia que proporciona la fuente : P = 26(6,5) = 169 W. EJERCICIOS 1.

a) 2.

Para el circuito mostrado en la figura encontrar la I en la resistencia de

0,5A b) 1A c) 0,4A d) 2A e) NA

10 

( ) en el circuito de la figura. La corriente que circular por R2 R1  2K y R2  3K . Despreciar la resistencia interna de la fuente.

Establecer el valor de la fuerza electromotriz una intensidad de 0,04amperios,

a) 150V b) 75V e) 480V 120V e) 80V 3.

La resistencia equivalente del sistema mostrado en la figura es:

a)

3R 8

b)

4 R c) 8R 3

d)

2 R e) 8R

tiene

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 67 4.

La resistencia equivalente entre a y b es:

a) 5.

6

b)

4

c)

3  2

d)

5

e) 2

Por un conductor circula una corriente eléctrica, cuya intensidad de corriente en función al tiempo se muestra en la gráfica. Hallar la cantidad de carga eléctrica que pasa por el conductor entre t = 0s y t = 10s

a) 35C b) 75C c) 65C d) 85C e) 95C 6.

El valor de la intensidad de la corriente medida por el amperímetro en el circuito de la figura, es:

a) 2A b) 6A c) 4A d) -2A e) 0 7.

8.

Dos resistencias de 3 y 6 que están conectadas en paralelo se encuentran a una diferencia de potencial de 60V. La potencia disipada en la resistencia equivalente de dichas resistencias es: a) 1200W b) 600W c) 1800W d) 1400W e) 800W Dado el circuito que se muestra en la figura. Si la intensidad de la corriente que circula por la resistencia de 12  es 100mA, el valor de la resistencia R en ohmios, es:

a) 16 b) 10 c) 14 d) 20 e) 24 9.

Calcular la intensidad de corriente que circula por la resistencia R = 2 , si cada pila tiene un voltaje de 1,5V y una resistencia interna r = 0,2

10.

.

a) 4,5A b) 1,5A c) 2,5A d) 0,5A e) 3,5 A En el circuito; el amperímetro y el voltímetro son ideales. Halle la lectura del amperímetro. 60V 2 5

A

V

3

20V

11. Determinar el tiempo que debe circular una corriente de 5A por un conductor de resistencia eléctrica igual a 4, para disipar una cantidad de calor, capaz de derretir 5Kg de hielo a 0OC a) 4.64 horas b) 3.24 horas c) 2.98 horas d) 2.13 horas e) 1.67 horas

68 | C E P R U 2 0 1 5 12. En el circuito; halle el potencial del punto x, si el punto está conectado a tierra:

30

x

50V

110V

5 y 15

140V

13. Determine la lectura del voltímetro ideal:

6 2

80V

20 3

20V

14. El conductor mostrado es de plata (Resistividad = 1.64x10-8.m), estando sus dimensiones en metros. ¿Cuál es su resistencia entre los puntos A y B?

A

0.

02

100 10-2 B

a) 0.82 b) 0.0082 c) 82 d) 8.2 e) 0.082 15. La corriente que normalmente fluye en un transistor es de 2 mA. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que fluyan 10 C por la sección transversal de un conductor que transporta esa corriente? a) 2  10

3

b) 5  10

s

3

s

3

c) 6  10 s

d) 8  10

3

s

e) 9  10

3

s  16. Por una resistencia de 500 circula una corriente de 0,44 A. Entonces, dicha resistencia está conectada a una

diferencia de potencial de: a) 120 V b) 110 V c) 240 V d) 440 V e) 220 V 17. En un calentador eléctrico ordinario, la corriente es de 5A ¿Qué cantidad de carga pasa por dicho calentador en 8 min.? a) 2000C b) 2100C c) 2200C d) 2300C e) 2400C 18. Al conectar a un tomacorriente de 220 voltios una plancha, se obtiene una corriente de 8 Amperios. Si la plancha fuera conectada a 110 voltios, ¿Qué corriente circularía por ella? a) 4 A b) 8 A c) 16 A d) 6 A e) 3 A 19. Determinar la resistencia eléctrica de un alambre de 5 km de longitud y 40 mm2 de sección, si su resistividad es

1,7  10

8

.m .

c) 2,125Ω d) 10  e) 4,25  a) 2  b) 5  20. A través de un conductor la intensidad de corriente en dependencia con el tiempo viene dada por el siguiente gráfico. ¿Cuál es la carga que pasa por una sección recta del conductor en los 8 primeros segundos de la circulación?

I(A) 6

O a) 24C

t(s)

8

b) 48C

c) 56C

d) 12C

e) 26C

21. Una plancha eléctrica de 500W se conecta a una tensión de 220 voltios. Calcule su potencia; si se conecta a una tensión de 110 voltios a) 380 W b) 260 W c) 250 W d) 125 W e) 540 W 22.

En el circuito de la figura, la resistencia total es:

2 10

V 15 5 5 a) 1.6

b) 1.5

c) 1.8

d) 1.7

e) 2.5

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 69

ELECTROMAGNETISMO Es una rama de la física que se centra en estudiar las relaciones existentes entre las cargas eléctricas en movimiento y los campos magnéticos.

Así como una carga eléctrica crea a su alrededor un campo eléctrico, decimos que un imán produce en el espacio circundante un campo magnético.

1.-Magnetismo.- Es una propiedad que presentan algunas sustancias (Fe, Co y Ni) llamadas imanes que consiste en atraer limaduras de hierro. Imán.- Es un cuerpo que tiene la propiedad de atraer trozos de hierro. Los imanes pueden ser naturales (Magnetita Fe3O4) o oxido ferroso férrico. Polos Magnéticos.- Llamamos así a aquellas zonas del imán en donde se concentra su magnetismo, esto indica que el imán solo tiene fuerza atractiva en sus extremos, a estos extremos se les llama polos y la parte media zona neutra, estos extremos se denominan según su orientación con relación a los puntos cardinales polo norte (+) y polo sur (-) N

S

Fuente:http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Magnet0873.png

Líneas mostrando el campo magnético de un imán de barra, producidas por limaduras de hierro sobre papel. Campo magnético terrestre

N S

Interacción magnética.-La atracción y repulsión entre los polos de los imanes es similar al comportamiento de las carga eléctricas iguales y contrarias. Es decir la ley de las cargas es análoga a la ley de los polos. Polos magnéticos iguales se repelen, y polos magnéticos contrarios se atraen. FF S N

NS

F F S N

S N

Al partir un Imán siempre se tiene un polo norte y un polo sur esto nos permite concluir que los Imanes están constituidos por pequeños dipolos magnéticos. Entonces las sustancias magnéticas pueden atraerse o repelerse y se le atribuye una propiedad denominada PROPIEDAD MAGNETICA y esta propiedad se debe al movimiento de un electrón al interior de un átomo y se estableció que el electrón tiene un movimiento de rotación sobre su propio eje. Entonces esto hace que todo átomo se comporte como un imán elemental lo que hemos planteado como dipolo magnético. Todo Imán tiene asociado en sus alrededores un campo denominado campo magnético Mediante el campo magnético se efectúan las interacciones entre partículas con carga eléctrica en movimiento. Faraday represento el campo magnético a través de líneas imaginarias llamadas (líneas de inducción del campo magnético) las cuales se caracterizan por ser cerradas y orientadas desde el polo norte hacia el polo sur magnético del imán.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CampoMagnetico.png

Las líneas del campo magnético terrestre salen del polo norte magnético hacia el polo sur. Una brújula apunta en la dirección Sur-Norte por tratarse de una aguja imantada inmersa en el campo magnético terrestre: desde este punto de vista, la Tierra se comporta como un imán gigantesco y tiene polos magnéticos, los cuales, en la actualidad, no coinciden con los polos geográficos. La diferencia, medida en grados, se denomina declinación magnética. La declinación magnética depende del lugar de observación. Permeabilidad magnética.-Es la facilidad con que este cuerpo se deja atravesar por las líneas de fuerza. La permeabilidad del aire o vacío está dado por: μo= 4π x 10 – 7Tm/A

=

4π x 10 – 7Wb/A. m

Fuerza magnética sobre una carga eléctrica. Cuando una partícula cargada se mueve dentro de un campo magnético se produce una fuerza sobre la carga que es perpendicular a la velocidad de la carga y al campo magnético.

Fm = q ( V x B ) Fm = q v B senθ , si θ = 90º Fm = q v B Expresión en la que

es el ángulo entre v y B.

La figura muestra las relaciones entre los vectores.

Campo magnético.-Es la región del espacio que rodea a todo polo magnético.

70 | C E P R U 2 0 1 5 Fuerza entre corrientes eléctricas rectilíneas. Cuando se tiene dos conductores paralelos y rectilíneos por los cuales circulan corrientes eléctricas se produce una fuerza entre ellos que puede ser de atracción o repulsión según que las corrientes sean del mismo sentido o sentido contrario respectivamente.

Fuente:http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Campo_Magnetico.png

Si una partícula cargada se mueve a través de una región en la que coexisten un campo eléctrico y uno magnético la fuerza resultante está dada por:

Esta fórmula es conocida como relación de Lorentz. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica.

Fm = q ( V x B ) Fm = q v B senθ Fm = i t v B senθ Fm = i l B senθ , si θ = 90º Fm = i l B Campo magnético de una corriente eléctrica rectilínea.

F1 = i1 l B2 ; F2 = i2 l B1 F1 = 2x 10 -7 i1 i2 l / d

;

B = μo i/ 2π d

Flujo magnético. Es una magnitud escalar, que nos indica el número de líneas de inducción que atraviesa perpendicularmente una superficie imaginaria plana. El flujo magnético es directamente proporcional a la componente normal del campo y proporcional al área de la superficie atravesada.

Ф = B┴. A = B A cosθ Si , θ = 0º Ф = B. A Inducción electromagnética.- es el proceso por el cual se generan corrientes inducidas debido al movimiento de un campo magnético exterior sea acercándose o alejándose.

ε = BVL Ley de Faraday- Henry.- la fuerza electromotriz inducida εi en un circuito es igual a la rapidez con la cual está cambiando el flujo magnético que atraviesa el circuito. B α i /d B α i /d (cosθ + cosβ) B = K i /d (cosθ + cosβ) , K = μo/ 4π = 10 – 7 N/A2 B = ( μo i / 4π d) (cosθ + cosβ) Observaciones:

1.- Si θ = β B = μo i / 2π d , Ley de Ampere B = 2x 10 -7 i / d 2.- Si θ = 90º, β = 0º (semirrecta) B = μo i / 4π d = 10 -7 i / d

εi = ΔФ / Δt para N espiras εi = N( ΔФ / Δt) Ley de Lenz.- El sentido de la fuerza electromotriz inducida es tal que se opone a la causa que la origina, que es la variación de flujo magnético.

εi = - ΔФ / Δt para N espiras εi = - N( ΔФ / Δt) Donde el signo ( - ) indica que la fuerza electromotriz inducida debe generar un campo contrario a la variación de flujo.

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 71 EJEMPLO: El alambre de la figura, forma un ángulo de 30° con respecto al campo B de 0.2. Si la longitud del alambre es 8 cm y la corriente que pasa por él es de 4A, determínese la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre el alambre.

El área efectiva que el flujo penetra es aquella componente del área perpendicular al flujo. Así pues, de la ecuación:

se obtiene

Solución

Ejemplo.

Al sustituir directamente en la ecuación se obtiene

Una bobina consta de 200 vueltas de alambre enrolladas sobre el perímetro de una estructura cuadrada cuyo lado es de 18cm. Cada vuelta tiene la misma área, igual a la de la estructura y la resistencia total de la bobina es de 2

La dirección de la fuerza es hacia arriba como se indica en la figura del ejemplo Si se invirtiera el sentido de la corriente, la fuerza actuaría hacia abajo. Ejemplo. Una espira rectangular de 19cm de ancho y 20cm de largo forma un ángulo de 30° con respecto al flujo magnético. Si la densidad de flujo es 0.3 T, calcúlese el flujo magnético que penetra en la espira.

. Se aplica un campo magnético uniforme y perpendicular al plano de la bobina. Si el campo cambia linealmente desde 0 hasta 0.5Wb/m² en un tiempo de 8s, encuéntrese la magnitud de la fem inducida en la bobina mientras el campo está cambiando. Solución. El área de la espira es (0.18m)² = 0.0324 m². El flujo magnético a través de la espira par t=0 es cero por lo que B=0. Para t=0.8s, el flujo magnético a través de la espira es

Por lo tanto, la magnitud de la fem inducida es

Solución

EJERCICIOS 1.-Determine el flujo magnético que atraviesa un anillo circular de 20cm de radio, si la inducción magnética es uniforme. B = 4T

30º

a) 8π x 10 -2 b) 4π x 10 -2 c) 6π x 10 -2 d) 7π x 10 -2 e) 2π x 10 -2 2.-En la figura el flujo a través de la superficie triangular es m = 2,4 wb calcular el valor de la intensidad de campo magnético si se sabe que es uniforme y paralelo al eje Y. Z

a) 15.107 m b) 2.106m c) 12.107 m d) 24.104 m e) 11.10-7 m 4.-En la figura se tienen dos conductores rectos paralelos infinitos. Hallar la intensidad del campo magnético resultante en el punto A, si I1 = 4A y I 2 = 6A I1 I2 A 0,4m 0,5m a) 0,4 x 10 -6 b) 0,4 x 10 -2 x 10 -2

X

B 37º

e) 8

5.-Dos hilos conductores transportan 60A, son perpendiculares entre si. Halle la magnitud del campo magnético en el punto P. 60A

37º

c) 6π x 10 -2 d) 7 x 10 -2

5mm 37º

Y

75cm a)10 b)8 c)6 d)12 e)14 3.-Una partícula cargada con q=+20μC y masa 2x10-6 kg ingresa perpendicularmente a un campo uniforme de 20mT, con una velocidad de 3x107 m/s. Calcula el radio de trayectoria circular si queda atrapada en el campo magnético.

60ª a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 6.-En qué relación se encuentran los campos magnéticos entre 1 y 2. (R2 = 3R1 = 6 cm).

I R

R

72 | C E P R U 2 0 1 5 a) 1/2 b) 3/1 c) 1/4 d) 4/1 e) 1/3 7.-En la fig. se tienen tres conductores rectilíneos y paralelos, hallar la fuerza aplicada sobre el conductor C de 25cm de longitud.

0,25 , Hallar la velocidad de la bobina en el instante en que la f.e.m.i es 2V (x esta en m y B en mT)

V D

C 3cm

30A

B

G 5cm

10A

20A

a)3x10-4 b) 8x10-4 c) 5x10-7 d) 2x10-4 e) 6x10-5 8.-Un hilo conductor PQR se encuentra en el plano XY sobre el cual actúa un campo magnético B de manera perpendicular al hacer circular una corriente de 1A como en la fig, el tramo PQ experimenta una fuerza de 100N. Halle la magnitud de la fuerza resultante sobre todo el hilo.

a)40 b)20 c)30 d)10 e)50 13.-Un alambre de 60cm de longitud y 24gramos de masa está suspendido mediante dos alambres flexibles con B = 0,4T. Cuál es la magnitud de la corriente que se requiere para anular la tensión en los alambres que lo sostienen. B x x x x x x x x x

x x

x x

x

x

x

60cm x x

x

x x

2m P

Q 53º

B

a) 1 b)2 c) 4 d) 5 e) 6 1m

R

a)80,6 b)80 c)80,9 d)80,1 e)80,2

14.-Un hilo muy largo que conduce una corriente de 5A comparte el mismo plano vertical con una espira rectangular con una corriente de 4A . que peso deberá de tener esta espira para que se mantenga en equilibrio. En (mN). 10m

9.-Determine el módulo de la fuerza magnética sobre el conductor PQR que transporta 20A. . . . . . . . . .B = 0,1T .P . . . . . . . .

I=4A

2cm 1cm

0,6m Q.

i .

37º . i. .

.

i . . . R. .

a)2 b)1 c)3 d)4 e)5 10.-Los tres conductores rectilíneos que se indican en la figura son infinitamente largos, están en el mismo plano y conducen corrientes constantes, F12 es la fuerza por unidad de longitud que el conductor 1 ejerce sobre el conductor 2. F32 es la fuerza por unidad de longitud que el conductor 3 ejerce sobre el conductor 2. La relación

F12 F32

es igual a:

A)1/3 B)1/2 C) ¾ D)2/3 E) 3/2 11.-En la fig. se muestra un alambre ABC ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre dicho alambre si AB = 5cm y BC = 3cm? x

A i

x

x

x

x

x

x

x

x B x

x

B = 10T

x

x

x

x 60º x x

x

x x C x x

i

x

a)7 b)4 c)5 d)6 e)9 12.-Una bobina rectangular de 2x103 espiras y 4cm2 de sección recta se mueve en el interior de un campo magnético que varia con la posición según B = 62,5x +

i = 5A a)2 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5 15.-Una carga positiva q = 3,2 x 10 – 19C se mueve con una velocidad V = 2i + 3j+ k m/s a través de una región en la que existe un campo magnético uniforme y un campo eléctrico uniforme ¿Cuál es la fuerza total en ¨N¨ que actúa sobre la carga? Si B = (2i + 4j + k ) T y E = (4i – j + 2k) V/m a) 3,2 x 10 – 19( -3i + 3j +4k) b) 3,2 x 10 – 19( -3i + 6j +4k) c) 3,2 x 10 – 19( -3i + 3j +9k) d) 3,2 x 10 – 19( -2i + 3j +4k) e) 3,2 x 10 – 19( -3i + 8j + 4k) 16.-Una particular cargada con 10uC se está moviendo a lo largo del eje Y con una rapidez de 106m/s y en el instante en que pasan por el origen de coordenadas está sometida a la acción de los campos B1 = 0,3iT y B2 = 0,4kT. Hallar la fuerza que experimenta la partícula. a) 4i – 3k b) 2i + 4k c) 3i + 5j d)5i e)4k 17.-Cuando se aplica la fuerza de 20mN a la barra metálica, esta se desliza con velocidad constante sobre el alambre conductor halle la f.e.m.i. B = 20mT . . . . . . . .

.

. . 0,3Ω .

.

V.

.

.

.

F

15cm .

a)2 b)6 c)3 d)4 e)5 17.- Dos conductores son perpendiculares entre sí y se hallan en un mismo plano. Hallar el campo magnético en el punto c, en a) 40 b) 60 c) 20

 T.

40 A

20 cm

C 20 cm

d) 10 e) 30

60 A

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 73

ONDA. Es la perturbación que se propaga en un medio material o en el vacío, transportando energía y momentum lineal sin desplazamiento de masa. Ondas mecánicas. Son las ondas que se propagan en un medio material. Ondas transversales. Son las ondas que se propagan también en el vacío. Ondas transversales. Aquellas donde la dirección del movimiento oscilatorio de las partículas es perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

FENOMENOS ONDULATORIOS. Los fenómenos que caracterizan al movimiento ondulatorio son: La interferencia y la difracción. Interferencia. Es la superposición de dos o más onda en una región del espacio. Son constructivas cuando la diferencia de camino de la onda es igual a un número entero de la longitud de onda. r2 – r1 = m λ. m=1, 2, 3, .. Son destructivas cuando la diferencia de camino de la onda es igual a un número impar de media onda. r2 – r1 = (m+1/2) λ. m=0, 1, 3, 5, ..

Onda longitudinal. Aquellas donde la dirección del movimiento oscilatorio de las partículas es la igual a la dirección de propagación de la onda.

EXPRESIÓN MATEMATICA DE UNA ONDA. La expresión matemática que expresa el movimiento de una onda es: 𝑌(𝑥; 𝑡) = 𝑌𝑜 𝑆𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝑤𝑡) Y, es la dirección de oscilación de las partículas. Y O, es la amplitud. k, es el número de onda. w, es la frecuencia angular. t, es tiempo. x, es la dirección de propagación de la onda.

Amplitud (YO). Es el máximo valor que alcanza una partícula al oscilar. Longitud de onda (λ). En la distancia entre dos partículas con las mismas características (dos crestas consecutivas). Número de onda (k). Es el número de ondas que hay en 2π. (k=2π/λ). Periodo (T). Es el tiempo que tarda en recorrer una longitud de onda la perturbación. Frecuencia (f). Es el número de longitudes de onda que hay en la unidad de tiempo (f=1/T). Frecuencia angular (w). Se relaciona con la frecuencia (w=2πf). Velocidad de propagación (V). La rapidez de propagación de la onda se puede calcular con V=λ/T=λf. La velocidad de propagación de una onda depende de las características del medio en que se propaga.

Difracción. Se produce cuando la onda al propagarse se encuentra con un obstáculo y a este lo rodea. En el patrón de difracción se observa máximos secundarios, cuando la diferencia de camino de la onda es igual a un número impar de media onda. r2 – r1 = (m+1/2) λ. m=0, 1, 3, 5, .. Se observa mínimos, cuando la diferencia de camino de la onda es igual a un número entero de la longitud de onda. r2 – r1 = m λ. m=1, 2, 3, .. SONIDO. Son las ondas mecánicas detectadas por el oído humano. La respuesta del oído humano con respecto a la frecuencia es desde 20 Hz hasta 20 000 Hz. Con respecto a la intensidad es desde 10-12 hasta 1 W/m2. Las ondas mecánica cuya frecuencia son menores a 20 Hz, se denomina como Infrasónica, en el caso que las frecuencias son mayores a 20 000 Hz, se llaman ultrasónicas.

En una cuerda: F, es la fuerza aplicada o tensión. µ, es la densidad lineal de la cuerda. 𝐹 𝑉=√ 𝜇 En un líquido: 𝐵 𝑉=√ 𝜇 B, es la compresibilidad del líquido y ρ es su densidad. El signo +, Indica que la onda se propaga de derecha a izquierda, en caso contrario el signo es -. POTENCIA. Es la energía que transporta la onda por unidad de tiempo. P=E/t J/s. INTENSIDAD. Es la potencia de una onda por unidad de área. I=P/S. Si la fuente de la perturbación es puntual, la onda se propaga formando casquetes esféricos concéntricos, entonces el área es 4πr2.

La intensidad umbral del sonido es 10-12 W/m2 y la intensidad de dolor es 1 W/m2. Se llama ruido, al sonido no deseado (molestoso).

74 | C E P R U 2 0 1 5 El sonido son ondas longitudinales. En el aire se perturba la presión, La propagación se efectúa por la variación de presión en todo el espacio. La rapidez del sonido en un medio depende de la elasticidad y de la densidad del medio. En general, vsolidosvliquidosvgases La velocidad del sonido en el aire es de aprox. 340 m/s a temperatura ambiente; en el agua dulce 1435 m/s; en el agua de mar 1500 m/s; en el hierro o acero 5100 m/s. La acústica. Es parte de la Física, que tiene por objeto el estudio de las ondas sonoras en diferentes ambientes (teatro). Potencia. Como se ha indicado es la energía que propaga la onda sonora en la unidad de tiempo por un material. Intensidad. Es la potencia por unidad de área. La intensidad del sonido se determina utilizando la expresión: 𝑃 𝐼= 𝑆 (W / m2 = J/sm2) P: potencia. S: área

El nodo es el lugar donde las amplitudes se anulan, los vientres corresponde a la suma de las amplitudes máximas. La frecuencia de las ondas estacionarias depende del número de nodos, si se mantiene constante la longitud de la cuerda, Se determina utilizando: 𝒗 𝒗 𝒇𝒏 = =𝒏 = 𝒏𝒇𝟏 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … 𝝀𝒏 𝟐𝑳 La frecuencia fundamental es cuando n=1, el segundo armónico es cuando n=2, así sucesivamente. La velocidad de propagación de la onda en una cuerda se determina con: 𝑻 𝒗=√ 𝝁 donde T=tensión en la cuerda m/L)

μ= densidad lineal, (μ =

Cuando la fuente es puntual, la intensidad a la distancia r, se calcula con: 𝐼=

𝑃 4 𝜋 𝑟2

Donde r es el radio de la superficie esférica en cuyo centro se ubica la fuente puntual de potencia P. Nivel de Intensidad (dB) El oído capta (percibe) intensidades tan bajas como de 10-12 W/m2 Que es el umbral de audición o limite audible y la más alta es 1 W/m2 (umbral de dolor). Este intervalo es muy grande para ser representado en un gráfico, por lo cual, se utiliza papel semilogarítmico. En el eje logarítmico se representa el nivel de intensidad sonora. La relación matemática que se utiliza para expresar la relación de potencias, intensidades de rangos muy grandes es el decibelio. En el caso del sonido: 𝐼 𝑑𝐵 = 10 𝐿𝑜𝑔 ( ) 𝐼𝑜 Siendo: I0 = 10-12 W/m2

EFECTO DOPPLER Se produce efecto Doppler cuando la fuente de sonido o el observador se encuentran en movimiento. Cuando la fuente se acerca al observador, la longitud de la onda sonora para el observador es de menor valor en relación al de la fuente, la frecuencia para el observador es mayor al de la fuente. Es lo contrario si la fuente se aleja del observador. 𝑣 1 𝑓𝑜 = ( )𝑓 = ( 𝑣 ) 𝑓𝑠 𝑣 ± 𝑣𝑠 𝑠 1± 𝑠 𝑣

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDAS Cuando dos ondas que viajan en la misma dirección, pero, de sentido diferente, con amplitud, número de onda y frecuencia angular iguales, la interferencia se llama ondas estacionarias.

Donde vs= rapidez de la fuente v = rapidez del sonido fo: frecuencia oída por el observador fs: frecuencia del sonido producido por la fuente Cuando el observador se encuentra en movimiento, la ecuación es: 𝑣 ± 𝑣𝑜 𝑣𝑜 𝑓𝑜 = ( ) 𝑓𝑠 = (1 ± ) 𝑓𝑠 𝑣 𝑣 Donde vo = rapidez del observador sonido

y

v = rapidez del

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 75 EJERCICIOS 1) 𝑌(𝑥, 𝑡) = 0.12 𝑆𝑒𝑛 2𝜋 (

𝑥 0.20

− 10𝑡)La

expresión

de

una

onda transversal que se propaga en una cuerda de 80 cm de longitud y 2 kg de masa, está dada por: , x en metros y t en segundos. La rapidez de propagación y la tensión en la cuerda es: a. 2 m/s; 10 N b. 3 m/s; 1 N c. 5 m/s; 5 N d. 5 m/s; 20 N e. 2 m/s; 13 N 2) Se tiene una cuerda tensa de 0.2 kg de masa, al cual se le aplica una fuerza de 30 N para perturbar la cuerda, la longitud de la cuerda es 6 m, la rapidez de propagación (en m/s) a. 30 b. 20 c. 12 d. 35 e. 28 3) Una perturbación ésta representada por: 𝑌(𝑥, 𝑡) = 0.5 𝑆𝑒𝑛 (3𝜋 𝑥 + 2𝜋 𝑡), la distancia que recorre en 6 s, es: (Y y x en metros y t en segundos) a. 4 m b. 3 m c. 7 m d. 2 m e. 3.5 m 4) Una onda se desplaza en una cuerda, que se representa por: 𝑌(𝑥, 𝑡) = 2 𝑆𝑒𝑛 (2 𝑥 − 3 𝑡), Y y x en cm y t en s. La rapidez de propagación y la longitud de onda, es: a. 1.5 cm; π cm b. 3.5 cm; 4π cm c. 3 cm; 4π cm d. 2.5 cm; 2π cm e. 5 cm; 3π cm 5)

𝑌(x, t) = 3 Sen(2π x) Cos(π t)La ecuación de una onda una onda estacionaria en una cuerda está dada por la expresión: donde: x en cm y t en s. Si la frecuencia fundamental es ¼ Hz. Hallar a qué armónico corresponde dicha onda. a. 2 b. 3 c. 5 d. 1 e. 4

6)

Una cuerda uniforme tiene una masa de 0, 3 kg y una longitud de 6 m. La cuerda se mantiene en tensión suspendiendo un bloque de 20 N de peso. Determine el tiempo que tarda en viajar desde la polea hasta la pared, el pulso mostrado.

V

1m

7)

Una cuerda se fija por sus extremos haciéndole vibrar generando ondas estacionarias cuya expresión es: Y(x, t) = 0.4 Sen(0.4 x) Cos(400 t), x en cm y t en s. Si la cuerda vibra en su cuarto armónico, determinar la longitud de la cuerda. a. 10 π cm b. 30 π cm c. 50 π cm d. 11 π cm e. 40 π cm 8) A (π)-1/2 metros de una fuente sonora puntual el nivel de intensidad sonora es 100 dB. Hallar la intensidad de la onda a 2*(π)-1/2 m. a. 0.25*10-2 W/m2 b. 25*10-2 W/m2 c. 2.25*10-2 W/m2 d. 1.25*10-2 W/m2 e. 2.5*10-2 W/m2 9) En el fondo de un lago se produce un sonido cuya frecuencia es de 400 Hz. Cuando este sonido pase hacia el aire. ¿En cuanto disminuye su longitud de onda? En el agua la velocidad del sonido es de 1530 m/s. 2, 975 2, 6 4 5 3, 3 2 4 2, 9 6 3 2, 5 4 5 a) b) c) d) e) 10) Un violín produce un nivel de intensidad sonora de 40 dB. ¿Qué nivel sonoro producirán 10 violines? a. 50 dB b. 60 dB c. 45 dB d. 40 dB e. 55 dB 11) El sonar se usa para mapear el fondo de los océanos. Si una señal ultrasónica es recibida 4.0 s después de ser emitida, ¿Qué profundo es el suelo del océano en ese lugar?(en m) a. 2570 b. 3000 c. 3570 d. 2500 e. 3450 12) Calcule la intensidad generada por una fuente puntual de sonido 5652.0 W en un punto situado a 3.0 m de distancia (en W/m2)(π=3.14). a. 55 b. 58 c. 50 d. 60 e. 45

13) Si la distancia desde una fuente puntual de sonido se triplica , la intensidad del sonido será: a. 3I b. (1/3)I c.6I d. (1/9)I e. (1/12)I 14) Si la intensidad de un sonido es de 10-4 W/m2 y la intensidad de otro es de 10-2 W/m2, ¿cuál es la diferencia de las intensidades de sonido en decibeles? a. 40 dB b. 30 dB c. 60 dB d. 80 dB e. 120 dB 15) A una distancia de 10.0 m desde una fuente puntual, el nivel de intensidad es de 70 dB. ¿A qué distancia desde la fuente será el nivel de intensidad igual a 30 dB?(en m) a. 530 b. 600 c. 1000 d. 800 e. 1200 16) Cuál es la frecuencia oída por una persona que viaja directamente a 1224 km/h hacia el silbato de una fábrica (f= 800 Hz) a. 600 Hz b.700 Hz c. 900 Hz d. 1600 Hz e. 1800 Hz 17) Una cuerda de 150 cm tiene una masa de 300 g, si contiene una onda estacionaria (ver figura), cuando la tensión es 180 N, calcule la frecuencia de oscilación.

150 cm

18) Al estar cerca de un cruce de ferrocarril, usted escucha el silbato de un tren. La frecuencia emitida por el silbato es de 400 Hz. Si el tren viaja a 204 m/s, ¿cuál es la frecuencia que escucha? a.1250 Hz b.1000Hz c.600 Hz d. 400 Hz e. 680 Hz 19) Un bote anclado es movido por ondas cuyas crestas están separadas 20 m y cuya rapidez es de 5 m/s. ¿Con qué frecuencia las olas llegan al bote? a)

4 Hz

b)

2 Hz

c)

1Hz

d)

5 Hz

e)

6 Hz

20) ¿Qué tan rápido, en kilómetros por hora, debe moverse una fuente de sonido hacia usted para hacer la frecuencia observada 5 % mayor que la frecuencia verdadera? a. 400 b. 456 c. 345 d. 408 e. 560 21) La cuerda mostrada en la figura tiene una longitud de 4 m entre los puntos A y B; su densidad lineal de masa es de 0,4 kg/m. Esta cuerda es excitada en su extremo izquierdo con una frecuencia de 80 Hz. El bloque que se le debe colocar en su extremo derecho para que resuene (onda estacionaria) en 10 segmentos, debe tener un peso W, en newtons, de:

A

B

W a) 1638,4 N e) 1400,4 N

b) 1438,4 N

c) 1640,4 N d) 1550,4 N

22) Un peatón escucha una sirena variar en frecuencia de 476 a 404 Hz, cuando un carro de bomberos se acerca, pasa y se aleja por una calle recta. ¿Cuál es la rapidez del carro? (Considere que la rapidez del sonido en el aire es de 343 m/s) 23) Una onda es transversal, cuando las partículas del medio oscilan: a) Con velocidad nula b) Paralelamente a la dirección de propagación de la onda c) Oblicuamente a la dirección de la propagación de la onda d) En cualquier dirección e) perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

76 | C E P R U 2 0 1 5 .

Concepto.- Es una parte de la física que se encarga de estudiar la luz, su naturaleza, sus fuentes de producción, su propagación y los fenómenos que experimenta. Naturaleza de la luz.- Desde tiempos muy remotos, la naturaleza de la luz fue uno de los grandes enigmas para los hombres, lógicamente existieron teorías al respecto. Así, las teorías antiguas consideraban a la luz como pequeños corpúsculos que salían del cuerpo luminoso y al llegar al ojo; permitían la observación de los objetos de donde habían partido. La formulación seria de esta teoría (teoría corpuscular) la hizo ISAC NEWTON en el siglo XVII con ello pudo explicar las leyes de la reflexión y de la refracción, una característica importante de esta teoría es que la velocidad de la luz debía ser mayor en el agua o en el vidrio que en el aire. Contemporáneo a Newton, era CRISTIAM HUYGENS; quien consideraba que la luz estaba formada por ondas similares a las ondas del sonido, o sea ondas 1ongitudinales (teoría ondulatoria). Newton rechazó la teoría ondulatoria y debido a su gran reputación, este rechazo fue aceptado por una gran mayoría, la teoría corpuscular de Newton, fue aceptada durante más de un siglo, hasta que en 1,801, THOMAS YOUNG reavivó la teoría ondulatoria, introduciendo la idea de interferencia como un fenómeno ondulatorio, tanto en la luz como en el sonido, sin embargo, el trabajo de Young quedó desconocido por más de una década, hasta que el físico francés AUGUSTIN FRESNEL, convenció con grandes demostraciones que la teoría ondulatoria de la 1uz era válida. En 1850. FOUCAULT midió la velocidad de luz en el agua y demostró que es menor que en el aire, destruyendo así la teoría corpuscular de Newton. Años más tarde, JAMES CLERK MAXWELL demuestra que las ondas electromagnéticas tienen igual velocidad de propagación que la luz; Maxwell sugirió correctamente que esto no es accidental sino que indica que la luz es una onda electromagnética. HERTZ comprueba en forma experimental que las ondas electromagnéticas experimentaban los mismos efectos que la luz: reflexión, refracción, polarización, interferencia, difracción, etc. Posteriormente en 1900, el mismo Hertz, descubrió un nuevo fenómeno luminoso: Cuando un cuerpo cargado de electricidad es Iluminado, preferentemente con luz ultravioleta, se desprenden de él, cargas eléctricas negativas (electrones), a este fenómeno se le llamó "EFECTO FOTOELÉCTRICO" y sólo se puede explicar, si se admite que la luz no está formada por ondas, sino que está formada por corpúsculos. En cierto modo un retorno a la teoría de Newton. Es así entonces como MAX PLANK enuncia su "TEORÍA DE LOS CUAMTONS”, en el cual sostiene que la luz está formada por pequeños paquetes de energía llamados FOTONES. Esta teoría después fue perfeccionada por ALBERT EINSTEIN. En la actualidad se considera que la luz tiene naturaleza dual. o sea que en algunos fenómenos se comporta como corpúsculos y en otros como onda. Propagación y velocidad de la luz.-En un medio homogéneo, 1a 1uz se propaga en línea recta y con velocidad constante que en el vació es igual a v = (2,99792  0,00003)×108 m/s; aproximadamente: 300000 km/s. ALBERT MICHELSON, el primer científico norteamericano que recibió un premio Nobel (1,907), mide la velocidad de la luz a 1o largo de una distancia de 22 millas entre los montes Willson y San Antonio en California, utilizando espejos octogonales giratorios. REFLEXIÓN DE LA LUZ Es aquel fenómeno luminoso que consiste en el cambio de dirección que experimenta un rayo de luz (en un mismo medio) al incidir sobre una superficie que le impide continuar propagándose cambiando de dirección para continuar su propagación en el medio en el cual se encontraba inicialmente. CLASES DE REFLEXIÓN A.- REGULAR: Es cuando la superficie se encuentra perfectamente pulida, en este caso, si se emiten rayos incidentes paralelos entre si, al cambiar de dirección se obtienen rayos reflejados que siguen siendo paralelos entre si.

ELEMENTOS DE LA REFLEXIÓN 1. Rayo Incidente. Es aquel rayo luminoso que llega a 1a superficie. 2. Rayo reflejado. Es aquel rayo que aparentemente sale de la superficie. 3. Normal. Es aquella línea recta imaginaria perpendicular a la superficie en el punto de incidencia. 4. Ángulo de Incidencia (𝑖). Es el ángulo formado entre el rayo incidente y la normal. 5. Ángulo de reflexión (𝑟). Es el ángulo formado entre el rayo reflejado y la normal

Normal 𝑖 Rayo incidente B.- DIFUSA (IRREGULAR): Es cuando la superficie presenta irregularidades o porosidades, en este caso a1 emitir rayos incidentes paralelos entre si, estos cambian de dirección obteniéndose rayos reflejados que ya no son paralelos entre sí.

𝑟 Rayo reflejado

LEYES DE REFLEXIÓN REGULAR 1. El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado se encuentran en un mismo plano el cual es perpendicular a la superficie reflectante. 2. El valor del ángulo de incidencia es igual al valor del ángulo de reflexión. 𝑖=𝑟

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 77 .

ESPEJOS

Un espejo es toda aquella superficie reflectante perfectamente pulida donde únicamente ocurre reflexión de tipo regular. Se clasifican en planos y curvos, cumpliéndose en cualquier caso que dividen el espacio que lo rodea en dos dimensiones, lo que está frente al espejo (zona real) donde cualquier distancia que sea medida se considera positiva y la región detrás del espejo denominada zona virtual donde cualquier distancia medida se considera negativa. Objeto.- Es aquel cuerpo, a partir de1 cual se trazan los rayos luminosos que inciden en el espejo, como siempre está en 1a zona real, la distancia al espejo, será siempre positiva. Imagen.- Es la figura geométrica obtenida mediante la intersección de los rayos reflejados o la prolongación de estos, llamándose en primer caso real y en el segundo virtual. IMAGEN DE UN PUNTO EN UN ESPEJO PLANO Para obtener la Imagen de un punto, basta con trazar dos rayos incidentes y ver donde se cortan los rayos reflejados o sus prolongaciones.

O p

Zona Virtual 𝑖

x

𝑟

y y q

x Zona Real

I

IMAGEN DE UNA FIGURA EN UN ESPEJO PLANO Para obtener la imagen de una figura, se determina las imágenes de varios puntos pertenecientes al objeto para luego unirlos. Espejos Angulares.- En este tipo de espejos el número de imágenes depende del ángulo que forman los espejos y de la posición del objeto. 360o Sea “n” el número de imágenes: 𝑛 = o − 1 𝛼

Conclusión: En todo espejo plano: A) La imagen se forma en la zona virtual. B) La imagen es derecha. C) La distancia de la imagen al espejo es igual a la distancia del objeto al espejo. D) El tamaño de la imagen es igual al tamaño del objeto. Espejo Esférico: Es aquel casquete de esfera cuya superficie interna o externa es reflectante. Si 1a superficie reflectante es la cara interna, el espejo es cóncavo, mientras que si la superficie reflectante es la cara externa el espejo es convexo.

Convexo

Cóncavo

ELEMENTOS DE UN ESPEJO ESFÉRICO 1. Centro de curvatura (C).- Es el centro de 1a esfera que origina al espejo. 2. Radio de curvatura (R).- Es el radio de la esfera que da origen a1 espejo. 3. Vértice (V).- Es el centro geométrico del espejo. 4. Eje principal (£)- Es la recta que pasa por el vértice y el centro de curvatura. 5. Foco principal (F).- Es aquel punto ubicado sobre el eje principal en el cual concurren los rayos reflejados o la prolongación de ellos; provenientes de rayos incidentes paralelos al eje principal. 6. Distancia focal (f).- Es 1a distancia entre el foco principal y el vértice; aproximadamente es la mitad del radio de curvatura. CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES EN UN ESPEJO ESFÉRICO I) ESPEJO ESFÉRICO CÓNCAVO. Se presentan 5 casos según la posición del objeto. 1. Cuando el objeto se encuentra entre el infinito y el centro de curvatura. La imagen es real invertida y de menor tamaño que el objeto.

Z.R. Z.V. O

F

C I

V

2.

Cuando el objeto se encuentra en el centro de curvatura. La imagen es real invertida y del mismo tamaño que el objeto.

Z. Z. OC I

F

V

78 | C E P R U 2 0 1 5 3.

Cuando el objeto se encuentra entre el centro de curvatura y el foco. La imagen es real invertida y de mayor tamaño que el objeto.

Z.R.

Observaciones 1. Si un rayo de luz pasa de un medio a otro más denso el rayo refractado se acerca a la normal. 2. Si un rayo de luz, pasa por un medio a otro menos denso el rayo refractado se aleja de la normal.

Z.V.

O I 4.

F

C

V

𝑖

C

Medio 1 Medio 2

Cuando el objeto se encuentra en el foco, no se forma imagen (Los rayos reflejados son paralelos) (no hay imagen)

V

Z.R. Z.V.

𝑟

O C

5.

densidad (2)>densidad(1

F

V

Cuando el objeto se encuentra entre el foco y el vértice. La imagen es virtual, derecha y más grande que el objeto. La imagen es virtual porque se forma con la prolongación de los rayos reflejados.

C

𝑖 medio 1 medio 2 V

C

𝑟

I

O F

V Z.R Z.V . .

II) ESPEJO ESFÉRICO CONVEXO

Es un caso único porque se obtiene el mismo resultado. Si el objeto está situado entre el infinito y el espejo, la imagen es: Virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto.

densidad (2)densidad (1)

𝑛2 𝑠𝑒𝑛𝐿 = 𝑛1 𝑠𝑒𝑛90° ⇒ 𝑛2 𝑠𝑒𝑛𝐿 = 𝑛1 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝐿 = 𝑛1 /𝑛2 𝑛 Donde: 𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( 1 )

Plano Menisco convexo Convergente

B. Divergentes.- Cuando los bordes son más anchos que

la parte central se caracteriza por hacer que los rayos paralelos al eje principal que llegan a la lente se separen de manera que sus prolongaciones se cortan en un solo punto.

𝑛2

REFLEXIÓN TOTAL.- Cuando un rayo luminoso pasa de un medio denso a otro menos denso y el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite, el rayo ya no se refracta; sino más bien se refleja en la superficie como si este fuera un espejo en esas condiciones la luz no puede salir del medio y el fenómeno se llama reflexión total, también se llama espejismo.

medio 1 medio 2 



Menisco convergente

𝐿 Reflexión Total Densidad (2)>densidad (1) PROFUNDIDAD APARENTE.- Cuando una persona observa un objeto localizado en otro medio de diferente densidad, lo que ve no es realmente la posición exacta del cuerpo, sino más bien su imagen, formado por las prolongaciones de los rayos refractados. De la figura: n1sen = n2sen (1) () y (): son ángulos pequeños sen = tg = x/ H (2) sen = tg = x/ h (3) 𝑥 𝑥 𝑛 (2) y (3) en (1) 𝑛1 ( ) = 𝑛2 ( ) ⇒ ℎ = 𝐻 2 𝐻

H



x objeto



𝑛1

h 

x imagen

LENTES Una lente es toda sustancia transparente limitada por dos superficies de las cuales por los menos una de ellas debe ser esférica. CLASES A. Convergentes.- Cuando la parte central es más ancha que los bordes, se caracteriza por hacer que los rayos paralelos al eje principal que llegan a la lente se refracten de manera que todos concurren en un solo punto.

Biconvexa

Plano convexo

ELEMENTOS DE UNA LENTE

1. Centro óptico (Co):Es el centro geométrico de la lente. 2. Centros de curvatura(C1,C2)Son los centros de las esferas que originan la lente

3. Radios de curvatura (R1, R2):Son los radios de las esferas que originan la lente.

4. Eje Principal: Es la recta que pasa por los centros de curvatura y el centro óptico

5. Foco (F):Es aquel punto ubicado en el eje principal en

el cual concurren los rayos refractados que provienen de rayos incidentes paralelos al eje principal. Toda lente tiene 2 focos, puesto que la luz puede venir por uno u otro lado de la lente, o sea: A) Foco Objeto (Fo): Es el foco ubicado en el espacio que contiene al objeto B) Foco Imagen (Fi): Es el foco ubicado en el espacio que no contiene al objeto. C) Foco principal (F):Es el punto en el cual concurren los rayos refractados o las prolongaciones de los refractados que proviene de rayos incidentes paralelos al eje principal y que provienen del objeto, el foco principal puede estar ubicado en el foco imagen o en el foco objeto. D) Distancia focal (f): Es la distancia del foco principal a la lente este valor se determina con la ecuación del fabricante que posteriormente estudiaremos. OBSERVACIONES  En las lentes, a diferencia de los espejos, la zona en que esta el objeto se llama zona virtual, en donde cualquier distancia tiene signo negativo, la zona detrás de la lente se llama zona real y allí cualquier distancia tiene signo positivo, la distancia objeto es la distancia del objeto a la lente y a pesar de que se mide en la zona virtual, siempre se toma con signo positivo.  En los espejos la distancia focal es la mitad del radio de curvatura en las lentes esto casi nunca sucede.

80 | C E P R U 2 0 1 5 CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES.- Para la determinación de la imagen de un objeto se emplea básicamente 3 rayos luminosos, de los cuales son indispensables sólo 2 de ellos; estos son: 1. Un rayo paralelo al eje principal que luego de atravesar la lente y refractarse pasa por el foco principal. 2. Un rayo luminoso que pasa por el centro óptico y que no se desvía. 3. Un rayo luminoso dirigido hacia el foco no principal y que luego de atravesar la lente y refractarse se propaga paralelo al eje principal. Ilustración.  En una lente convergente.

Z.V .

Z.R .

4. Cuando el objeto se encuentra en el foco.

No se forma imagen, los rayos refractados son paralelos.

5. Si el objeto se encuentra entre el foco y la lente.

La imagen es: virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto.

Z.V .



Z.R .

C1

En una lente divergente.

CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES EN LAS LENTES La construcción de imágenes se realiza de manera similar a lo que hemos visto en los espejos esféricos. Así vamos a resumir en los siguientes resultados: I. Imágenes en lentes convergentes: 1. Si el objeto se encuentra entre el infinito y el centro de curvatura. La imagen es: real invertida y de menor tamaño que el objeto.

II. Imágenes en las lentes divergentes Las lentes divergentes siempre producen imágenes virtuales, derecha y de menor tamaño que el objeto.

1

Fórmulas de las lentes: Aumento:

𝐴=

𝑝 −𝑞 𝑝

=

Potencia:

La imagen es: real invertida y de igual tamaño que el objeto.

Z.V .

Z.R .

1 𝑓

ℎ𝑖 ℎ𝑜

𝑃= 1

Ecuación del fabricante:

2. Si el objeto se encuentra en el centro de curvatura.

1

𝑞

+ =

𝑓

1 𝑓

= (𝑛 − 1) [

1

𝑅1



1 𝑅2

]

ECUACIONES. A) Formula de las lentes conjugadas (Gauss) 1 1 1 − = 𝑝

𝑞

𝑓

Regla de signos: p: siempre es positivo si q es (+) la imagen es real e invertida; si q es (-) la imagen es virtual y derecha f es (+) para lentes convergentes; f es (-) para lentes divergentes B) Ecuación del fabricante 1 𝑓

3. Si el objeto se encuentra entre el centro de curvatura y el foco. La imagen es: real, invertida y de mayor tamaño que el objeto.

= (𝑛 − 𝑛𝑀 ) [

1

𝑅1



1 𝑅2

]

n = índice de refracción de la lente nM = índice de refracción del medio. R1 = radio de la superficie más cercana al objeto. R2 = radio de la superficie menos cercana al objeto. C) Ecuación de Newton 𝑓2 = 𝑥1 𝑥2 x1 = distancia del objeto al foco objeto. x2 = distancia de la imagen al foco imagen

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 81 D) Potencia (P) p = dioptría f = metro

𝑃=

E) Aumento (A)

1 𝑓

𝐴=

−𝑞 𝑝

=

ℎ𝑖 ℎ𝑜

Regla de signos: Si A es (+) la imagen es virtual y derecha, mientras que si A es (-) la imagen es real y derecha EJERCICIOS

1)

Un niño se encuentra a 1 m de un espejo plano colocado en una pared vertical. Para que el niño de 1,25m de estatura pueda ver el árbol situado a 3 m delante del espejo. ¿Cuántos metros de altura tendrá el espejo para ver íntegramente al árbol? (Altura del árbol 8m). Rpta: x = 2 m.

2)

Si se tiene una lente de índice n=2 rodeada de aire. Calcular la distancia focal, si los radios de la lente bicóncava son iguales. Rpta: f = -R/2.

3)

Calcular el poder dióptrico de la lente biconvexa con radios de curvatura de 15 cm y 30 cm. ( = 1,5). Rpta: P= 5 dioptrías.

4)

Un objeto de 12 cm de altura se coloca a 240 cm delante de una lente biconvexa de radios iguales a 80 cm. Calcular la distancia imagen y su altura (n = 1,5). Rpta: q = 120cm [I]= 6 cm.

5)

Calcular la distancia focal de una lente plano cóncavo si el radio de la cara curva es de 50 cm. (n = 1,5). Rpta: f = -100 cm.

6)

Una lente menisco divergente tiene radios de curvatura R = 70 cm. y R = 50 cm. Calcular la potencia de la lente. (n = 1,5). Rpta: P= -2/7 dioptrías.

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Un objeto de 10 cm. de altura se coloca a 60 cm. de una lente biconvexa de vidrio (n = 1,5) cuyas caras esféricas tienen radios de 20 cm. Calcular la altura de la imagen. Rpta: hi = 5 cm. Una placa metálica está en el fondo de una piscina lleno con agua, de profundidad 6,5 m ¿A qué profundidad aparente observaremos a la placa al mirarla oblicuamente? Rpta: 5 m. Una varilla penetra en el agua formando un ángulo de 45° grados con la superficie. ¿Qué ángulo se apreciará entre la superficie del agua y la varilla sumergida? (agua = 4/3). Rpta: = 37° Un objeto de 12 cm de altura se coloca a 240 cm delante de una lente biconvexa de radios 80 cm y 80 cm (nv = 1,5) Calcularla distancia de la imagen a la lente. Rpta: q = 120 cm Una lente menisco convergente tiene radios de 30 cm y 60 cm. Calcular la distancia focal de la lente: (nV = 1,6). Rpta: f = 100 cm. Determine la distancia entre la esferita y su imagen formada en el espejo “AB” que se indica.

Hallar la distancia de la imagen al espejo. Rpta: q=7,5 cm 15)

En un el espejo cóncavo, la distancia del objeto al foco es 90 cm y de la imagen real al mismo foco es de 40 cm. Calcular la distancia focal “f”. Rpta: f=60cm

16)

Un objeto ubicado a 3 m de un espejo esférico cóncavo genera una imagen real a 1,5 m del vértice del espejo. ¿Qué distancia X deberá acercarse el objeto al espejo para que la nueva imagen se ubique en la posición inicial donde estaba el objeto? Rpta: X=3/2 m

17)

Un objeto se halla a 60 cm de un espejo cóncavo, si se le acerca al espejo 10 cm, entonces la distancia entre el espejo y la imagen queda multiplicada por 5/3. Hallar la distancia focal del espejo. Rpta: f=40cm Calcular la distancia de un objeto a un espejo esférico cóncavo de 180 cm de radio, si la imagen es real e igual al 50% del tamaño del objeto. Rpta: p=270cm Calcular la distancia focal de un espejo convexo sabiendo que la distancia de un objeto a dicho espejo es 30 cm, y que su imagen es la sexta parte de él. Rpta: f=-6cm Un objeto de 5 cm de alto se ubica a 180 cm de un espejo convexo de 90 cm de radio de curvatura. Calcular el tamaño de la imagen. Rpta: A’B’=1cm Se coloca un objeto a 45 cm de un espejo esférico y como consecuencia se obtiene una imagen derecha e igual al 20% del tamaño del objeto. Determine el tipo de espejo y su radio. Rpta: R=22,5cm Un espejo esférico produce una imagen a una distancia de 4 cm detrás del espejo, cuando el objeto de 3cm de altura se encuentra a 6 cm frente al espejo. ¿Cuál es la naturaleza del espejo, el radio y el tamaño de la imagen? Rpta: R = -24cm; A’B’= 2cm Determine las características de la imagen de un objeto colocado a 160 cm del centro óptico de una lente convergente de 80 cm de distancia focal. Si la altura del objeto es de 6 mm.Rpta: A’B’=6mm; q=160cm Determine las características de la imagen de un objeto de 12 mm de alto colocado a un metro de una lente convergente de 80 cm de distancia focal. Rpta: A’B’=48mm; q=4 m Determine las características de la imagen de un objeto de 8 mm. colocado a 60 cm. de una lente divergente de 40 cm. de distancia focal. Rpta: A’B’=3,6cm; q=-24cm Determine las características de la imagen que proporciona una lente divergente de 40 cm de distancia focal, debido a un objeto de 10 cm de alto colocado a 60 cm de dicha lente Se tiene 2 placas de vidrio de índices n2 y n3 = 1,25 un rayo de luz incide con un ángulo de 30° sigue la trayectoria indicada y se refleja totalmente sobre la

18)

19)

20) 21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

cara vertical ab. Calcular el valor de n2. Rpta:𝒏𝟐 = 13)

14)

A) 10 cm B)15 cm C)20 cm D)25 cm E) 30 cm Calcular la distancia de un objeto a un espejo esférico cóncavo de 120 cm de radio, sabiendo que esta proporciona una imagen derecha e igual al cuádruple del objeto. Rpta: P=45 cm En un espejo convexo de 60 cm de radio de curvatura y a 10 cm de él se coloca un objeto.

√𝟓 𝟐

28) Se muestra la incidencia y reflexión de un rayo de luz que llega paralelo y a una altura “H” del piso, sobre una superficie plateada que pertenece a un cuarto de circunferencia de radio “R”, hallar “R”.

82 | C E P R U 2 0 1 5

 35)

H

 H sec   2 a)  H csc   4 c)

 H tan   2 b)  H cot   2 d)

36)

A) n =

3/2

B) n =

C) n =

2/3

D) n =1,5

30)

E)n=1,33

Dos espejos angulares forman un ángulo de 20º. ¿Cuál ha de ser el ángulo de incidencia en uno de ellos para que al cabo de 3 reflexiones el rayo reflejado sea paralelo al incidente? a) 15º b) 18º c) 20º d) 25º e) 25º En la grafica mostrada determine el ángulo que forma el rayo incidente del espejo A con el rayo reflejado en el espejo B.

A

 H csc   2 e) 29)

3/4

rayo de luz

(EXAMEN CBU 2007-II) Un rayo de luz que viaja en el aire, ingresa a un medio transparente de índice de refracción igual a 2 . Si el ángulo de refracción es de 30°, el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión, son respectivamente: a) 60° y 60° b) 45° y 45° c) 45° y 30° d) 30° y 30° e) 45° y 60° Determinar la medida de “θ” si BC es el rayo reflejado y BD el rayo refractado. Además n1=3 y

a) 40º 37)

60º

B

b) 80º

c) 50º

d) 60º

e) 30º

Qué distancio existe entre las terceras imágenes de cada serie, producidas por los espejos planos A y B?.

20cm

n2=2,5 2

espejo

A

o bjeto

espejo

n2 n1

B

40cm

37º



D

C

a) 77º b) 81º c) 85º d) 92º e) 98º 31) (EXAMEN DE ADMISION 200I-I) Un espejo plano cuadrado de un metro de lado se apoya sobre unos de sus lados en el suelo, permaneciendo inclinado 30° respecto a la vertical. Al medio día, cuando la radiación solar es perpendicular al suelo, el área del suelo que esta iluminado por el espejo será igual a: en metros cuadrados. a) 0,43 b) 0,50 c) 0,87 d) 1,00 e) 2,00 32)

a) 25º

38)

39)

Sobre un prisma de hielo ( n  4/3 ) incide un rayo de luz de un solo color, al ángulo del prisma es 37º, hallar “  ”. 40)

b) 16º c) 18º



d) 20º e) 21º 33)

34)

(EXAMEN CBU 2000-II) Delante de un espejo cóncavo de distancia ocal 0,5m, se encuentra un objeto de 6cm de tamaño a una distancia de 2m. Hallar el tamaño de la imagen real que produce el espejo (en cm). a) 6 b) 1 c) 2 d) 3 e) 12 Un rayo luminoso incide con un ángulo de 45º sobre una de las caras de un cubo transparente de índice de refracción “n”. Hallar este índice de refracción con la condición que al incidir en la cara interna del cubo el rayo de luz forme el ángulo límite. 45º

41)

42)

43)

44)





N

45)

a) 80 cm

b) 120 cm

d) 360 cm

e) 180 cm

c)240 cm

Calcular el aumento de un espejo cóncavo, de 45 cm de distancia focal. Cuando colocamos un objeto a 15 cm de su vértice. a) 1.0 b) 1.5 c) 2.0 d) 2.5 e) 3.0 Un observador se ubica a 120 cm de un espejo cóncavo de 60 cm de distancia focal. ¿A qué distancia en cm, del espejo se forma la imagen del observador? a) 80 b) 90 c) 110 d) 100 e) 120 Un rayo luminoso incide sobre un espejo con un ángulo de 22º con respecto a la normal, si el espejo gira en 8º, ¿qué ángulo gira el rayo reflejado? a) 18º b) 16º c) 20º d) 25º e) 14º Se dispone de un espejo esférico cóncavo, con una distancia focal de 20 cm. ¿A qué distancia del vértice del espejo se debe colocar un objeto para que su imagen real se forme a 60 cm del vértice? a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm Hallar el aumento de un espejo cóncavo en el instante en que la imagen virtual se forma a 80 cm cuando el objeto se ha colocado a 40 cm. a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 0 Calcular el aumento de un espejo cóncavo, de 45 cm de distancia focal. Cuando colocamos un objeto a 15 cm de su vértice. a) 1.0 b) 1.5 c) 2.0 d) 2.5 e) 3.0 Un objeto es colocado a 5 cm de una lente convergente cuya distancia focal es de 10 cm. Determine la naturaleza de la imagen. a) real, invertida y de mayor tamaño b) Virtual, invertida y de mayor tamaño c) Virtual, derecha y de menor tamaño d) Real, invertida y de menor tamaño e) Virtual, derecha y de mayor tamaño Un rayo de luz incide en una de las caras internas de una cubeta de paredes interiores reflectoras,

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 83 este rayo refleja posteriormente en el fondo y luego en la cara opuesta a la primera cara de incidencia, si el rayo que emerge de la cubeta forma 140º con el rayo incidente, hallar el ángulo de incidencia en el fondo de la cubeta. a) 18º b) 24º c) 20º d) 25º e) 16º Un hombre de altura “h” está frente a un espejo de 1 m de ancho y de altura 3h/4, como muestra la figura, para que el hombre pueda verse de cuerpo entero tendrá que:

46)

h h 2 a) alejarse del espejo b) acercarse al espejo 2 h h 4 c) subir el espejo d) acercarse al espejo 2 e) subir el espejo h

h

3 h 4

Principio de relatividad de Einstein: Postulados de la teoría de la relatividad: Primer Postulado: (Principio de la relatividad) Las leyes de la física son INVARIANTES, es decir, tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales. Segundo Postulado: (magnitud de la velocidad de la luz) La velocidad de la luz tiene el valor c, es independiente del movimiento de la fuente o del sistema de referencia del observador. Transformación de Lorentz: Para llegar a un fin en los resultados del principio de la relatividad, en primer lugar debemos encontrar como dos observadores en movimiento relativo uniforme describirán el mismo evento. Las formulas relativistas de transformación de las coordenadas que satisfagan la condición de invariancia del intervalo se denominan transformaciones de Lorentz. Estas transformaciones expresan el paso del sistema inercial de referencia K al sistema K´ que se desplaza con respecto al K a la velocidad V según el sentido positivo del eje X. las ecuaciones de transformación son:

x 

y  y ;

x  Vt ; 1

z  z ;

V2 c2

x   Vt  1

;

y  y ;

z  z ;

2

V c2

reposo)

X R  X L  LO

(LO

X L   ( X L  Vt o ) ;

 

1 2

V  1   c Donde to es el tiempo en que se miden simultáneamente las coordenadas derecha e izquierda de los extremos de la regla, en el sistema K. Se deduce que

V  L  Lo 1    c

2

V x c2 t  V2 1 2 c y K

V t   2 x c . t 2 V 1 2 c

Contracción de la longitud Los objetos acortan su longitud en la dirección en que se mueven: este efecto es difícil de medir. Es el sistema de referencia en el que no se mueve, la medida de la regla del grafico es.

X R   ( X R  Vt o ) ;

t

Las transformaciones de Lorentz son simétricas conservan su aspecto al pasar del sistema K´ al cambiando el signo de V:

x

Sabiendo que:

es la longitud en

Figura17. 1: A) La longitud de la nave permanece invariable para el tripulante de la nave. B) En cambio para el observador en la tierra la nave sufrió una contracción. Ejemplo 1 (Admisión 2010-II) Un proyectil de 10cm de longitud es disparado a una velocidad de 0,8 c, en la dirección de su longitud, para un observador en la tierra la longitud del proyectil, es de: (c= velocidad de la luz) A) 6 cm B) 10 cm C) 24 cm D) 12 cm E) 18 cm Solución: La longitud propia es: Lo  10cm la velocidad del proyectil es V  0,8c . La longitud para el observador en la tierra se calcula por:

V  L  Lo 1    c

2

Reemplazamos datos:

 0,8c  L  10 cm 1     c  Simplificamos y obtenemos:

2

L = 6 cm.

84 | C E P R U 2 0 1 5

DILATACION DEL TIEMPO: Se puede llegar a la conclusión de que el intervalo de tiempo entre dos eventos cualesquiera que ocurren en el mismo lugar parece más largo cuando se observa desde un marco de referencia móvil que cuando se observa desde el sistema en reposo. Sea el evento 1 cuando se enciende una lámpara al tiempo t`1 en la posición x`; entonces, los observadores en el sistema K determinan los tiempos.

Reloj de los astronautas

t   1,2h ;

velocidad de la

nave V = 0,6 c Reemplazamos datos:

1

t 

 0,6c  1    c 

Simplificamos y obtenemos:

2

1,2h

t  1,5h

Masa y Energía. La consecuencia más notable de la teoría de Einstein fue

t1   (t1  Vx / c 2 ) t 2   (t 2  Vx / c 2 )

la equivalencia entre la masa y la energía. E  mc Masa Relativista: La masa de un cuerpo en movimiento es mayor que cuando el cuerpo se encuentra en reposo. La relación entre la masa mr medida en movimiento y la masa mo medida en reposo, es: 2

Por lo tanto la duración del proceso es:

t 2  t1   (t 2  t1 ) 

1 V  1   c

2

(t 2  t1 )

t  t 

mr 

Podemos escribir entonces

t 

1 V  1   c

2

t 

Este efecto es tan real, que se ha observado y verificado experimentalmente de muchas maneras. Dónde: t : Intervalo del tiempo medido por el observador en reposo. t  : Intervalo del tiempo medido por el observador en movimiento (tiempo propio) “Los relojes en movimiento funcionan más lentamente que los relojes estacionarios” Paradoja de los hermanos: Dos hermanos mellizos (Gonzalo y Sebastián) de 20 años se despiden uno viajara en una nave espacial a la velocidad cerca al de la luz. Cuando la nave llegue a su destino y luego regrese, Sebastián tendrá 55 años, mientras que Gonzalo tendrá 90. Qué ha pasado?. Simplemente que para Sebastián que voló a gran velocidad se redujo el tiempo y por lo tanto se habrá trasladado al futuro, de modo que cuando se encuentra con su hermano Gonzalo, éste estará ya un anciano.

mo V  1   c

2

Esta expresión indica que la masa puede ser infinita cuando la velocidad se acerca a la velocidad de la luz, entonces no es posible alcanzar la velocidad de la luz. Ejemplo 3: (CEPRU 2011-II) Una partícula se desplaza con una velocidad V de modo que su masa es de 4 veces su masa en reposo. El valor de su velocidad relativista en función del valor de la velocidad de la luz c en el vacío, es: A) 0,3 2c B) Solución:

3 C) c 2

0,5c

La masa relativista es:

D) 15 c E) 0,2 3c 4

m r  4m o

reemplazamos en la

ecuación:

4m o 

mo V  1   c

2

Simplificamos, despejamos V y tenemos: V  15 c

4

Cantidad de movimiento: Definida la masa relativista   podemos redefinir la cantidad de movimiento P  mV por la cantidad de movimiento relativista dada por la relación:

 P

m V  1   c

Figura 17.2 La Relatividad Especial afirma que el tiempo transcurre más lentamente a bordo de la nave y el tiempo transcurre más rápido para el hermano que quedó en la Tierra. Ejemplo 2: (CEPRU 2013 I) En el espacio, los astronautas de una nave espacial que van a una velocidad v = 0,6 c, van a echar una siesta de 1,2 h. El periodo de tiempo que dura la siesta medido desde la tierra, es: (c: velocidad de la luz) A) 0,8 h B) 1,7 h C) 0,9 h D) 1,5 h E) 0,6 h Solución: Utilizamos: donde 1

t 

V  1   c

2

t 

(Intervalo del reloj estacionario tierra t )

(Intervalo del reloj en movimiento nave t  )

2

 V

Se cumple que el valor de la cantidad de movimiento relativista es mayor que la cantidad de movimiento clásico. Lo mismo sucede con su inercia. A mayor cantidad de movimiento el cuerpo se resiste en mayor medida a cambiar su velocidad. Energía Cinética: La energía cinética de un cuerpo es igual al incremento de su masa como consecuencia de la variación de velocidad, multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz. La energía cinética relativista de una partícula está dada:

K  m  mo c 2

Energía total: Se establece que una partícula o sistema en reposo con masa en reposo mo también posee energía, denominad energía en reposo o energía propia Eo y está dada por la relación.

E o  mo c 2 La energía total de una partícula con velocidad relativista respecto a un observador inercial esta dada por la suma de su energía en reposo y su energía cinética.

Etotal  K  Eo La energía total combinando las ecuaciones anteriores estará dada por la siguiente expresión:



E 2  EO2  p 2 c 2

1 V  1   c

2

NOCION DE FISICA CUANTICA Postulados de Planck:

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 85 Primer postulado: Cada oscilador solo puede tener ciertas energías múltiplos enteros de la cantidad h de tal manera que la energía de un oscilador en cualquier instante solo puede ser:

E  nh

Esta expresión quiere decir que al energía esta cuantificada o dividida en paquetes cada uno de magnitud h . Cualquier cambio de la energía E del oscilador no ocurre gradualmente y continuamente sino súbita y discretamente ejemplo de 3h a 2h Segundo postulado: Un oscilador radia energía cuando pasa de uno de los valores o niveles de emergía a otro menor y la energía E que pierde se emite como un pulso de radiación electromagnética de energía h . También un oscilador puede absorber un cuanto h de la energía incidente pasando inmediatamente al nivel superior de energía. Efecto Fotoeléctrico: El efecto fotoeléctrico consiste en el desprendimiento de electrones de una superficie metálica cuando se hace incidir una radiación electromagnética. Esto se comprende fácilmente ya que la radiación electromagnética incidente implica la existencia de campos eléctricos y magnéticos de los cuales principalmente el eléctrico pueden ejercer fuerzas sobre electrones del metal, haciendo quesean emitidos. Fue Einstein quien planteo que la radiación electromagnética de frecuencia υ contenía paquetes de energía (Fotones).

La

relación

E  h

P

Los electrones, para ser emitidos necesitan una determinada energía mínima Uo llamada función de Trabajo. Einstein aseguro que un electrón emitido absorbe toda la energía de un solo foton; es decir, que la energía total de la radiación incidente es la suma de las energías de los fotones.

max h  U  UO c   Energia Energia cinetica electron

Funcion de trabajo

Figura 17.3 Los electrones se desprenden por la acción de la luz Efecto Compton: Los fotones de rayos x tienen momento, en la misma forma en que lo tiene una partícula, y que el proceso dispersor es una colisión elástica entre un fotón y un electrón. El cambio en la longitud de onda de los fotones de los rayos X, debido a la dispersión elástica con los electrones se conoce como efecto Compton

Compton

esta

dada:

λ s : Longitud onda dispersada. λo: Longitud de onda original Momentum del fotón: Dado que el fotón tiene energía, podríamos esperar que tiene masa; pero el fotón no tiene masa, puesto que él viaja con velocidad c. Compton y Debye en sus teorías del efecto Compton utilizaron Energía del fotón = mc2 =Pc Energía del fotón = h Igualamos estas dos expresiones y tenemos:

Donde h= 6.63x10-34 J.s; cste de Planck.

foton

de

h s  o  (1  cos  ). mo c

h c

P

h 

Naturaleza ondulatoria de las partículas Ondas de Broglie: De Broglie planteo una relación entre la longitud de onda λ de la luz (propiedad ondulatoria) y la cantidad de movimiento (propiedad corpuscular de los fotones). Afirmo que la relación de la cantidad de movimiento debía ser válida tanto para los electrones, protones y demás partículas materiales, como para la luz.



h p

Principio de incertidumbre de Heisenberg: Con el propósito de localizar una partícula (objeto en estudio), debemos, tocarla con otra partícula o mirarla por medio de un haz de luz. Hagamos que el haz de luz sea tan débil para que su momentum no perturbe al objeto en estudio. Para este fin miremos el objeto en estudio con un solo fotón o toquemos el objeto en estudio con una sola y extremadamente pequeña partícula. Al fotón o a la partícula que utilizamos para investigar el objeto en estudio le llamaremos partícula de prueba. Para minimizar la perturbación que podría causar la partícula de prueba utilizamos una energía tan baja como nos sea posible. Existe, sin embargo, un límite inferior de esta energía, debido a que la longitud de onda de la partícula de prueba debe ser más pequeña que el objeto en estudio que estamos observando. Los efectos de difracción e interferencia causados por las ondas asociadas a la partícula de prueba formaran imágenes extremadamente borrosas del objeto en estudio. En particular el detalle fino lo podemos observar utilizando ondas, ya sea ondas de luz o corpusculares, si el detalle es del mismo tamaño de la longitud de onda. De aquí que la posición del objeto en estudio en la cual lo estamos mirando puede tener un error de

x  

El momentum de la partícula de prueba está dado por

P

h. 

Cuando esta toca al objeto que estamos

mirando, parte de este momentum se transfiere al objeto en estudio, y el momentum del objeto en estudio puede alterarse debido a esta perturbación. Por lo tanto, la incertidumbre en el momentum del objeto está dado por:

P 

h



Si multiplicamos esta expresión por

Px  h

x

encontramos:

86 | C E P R U 2 0 1 5 Si utilizamos el experimento más imaginable preciso para localizar la posición de un objeto y simultáneamente medir su momentum, el producto de los errores de estas dos mediciones será aproximadamente tan grande como la constante de Planck h. La expresión es una forma del principio de incertidumbre de Heisenberg. Podemos también escribir: Px  ћ/2 Donde ћ : constante de Dirac ћ=1,5x10-34J.s ћ=h/2π Una segunda forma del principio de Heisenberg es:

Et  h

Ejemplo 4 (Admisión 2006-I) Se observa que la velocidad de un electrón es de 5x105 m/s, con una precisión de 0.002 %. Calcular la incertidumbre (en μm) al determinar la posición del electrón. (ћ=1x10-34Js y me= 9x10-31 kg) A) 45/9 B) 110/9 C) 75/9 D) 50/9 E) 35/9 Solución Velocidad del electrón ve= 5x105 m/s, masa del electrón me = 9x10-31 kg, ∆x : incertidumbre de la posición de la partícula. De la ecuación de Heisenberg: Px  ћ/2 si P  mv e Entonces:

mv e x  ћ/2

…… (1)

Error

relativo

tendremos:

e% 

porcentual

0.002 % 

Reemplazando

y y

entonces

v e ve

en

la

expresión

(1)

tenemos:

m  0.002 %  ve x  ћ/2 x 

10 34 50 ; x  m 9 2  0.002 %  5  10 5  9  10 31

En una medición simultanea de la coordenada x y el momentum p de una particula.

p x  También: Donde

p x 

x

y

p

h 4

ћ/2 son los errores (o incertidumbres) de x

op Implica que más exactamente se localiza una partícula en su posición, mayor será la incertidumbre en la medición de su momento y viceversa. Así tampoco la energía y el tiempo se pueden determinar simultáneamente con precisión infinita.

 E t 

h 4

EJERCICIOS

1)

2)

3)

4)

5)

Los mesones de los rayos cósmicos llegan a la superficie de la tierra con diferentes velocidades. Hallar el porcentaje de la disminución relativa de la longitud de un mesón, si su velocidad es el 95% de la velocidad de la luz. A)69% B)59% C)63% D)75% E)56% ¿Qué velocidad relativa debe tener un cuerpo en movimiento para que la disminución relativista de su longitud sea igual al 25%?(c= velocidad de la luz) A) 0,66 c B) 0,75 c C) 0,80 c D) 0,86 c E) 0,90 c Un niño hace un viaje de ida y vuelta a una estrella que dista de la tierra 20 años luz; con una velocidad de 240 000 km/s en relación a la tierra. ¿Cuál es el tiempo que demora el viaje medido por el reloj que lleva el niño?. ¿Qué edad tendrá su hermano menor que tenia 5 años cuando parte? (expresar las respuestas en años) A)40; 45 B)30; 35 C)30; 55 D)40; 55 E)50; 55 Un astronauta mide su nave espacial cuando se encuentra en reposo en la tierra y encuentra que tiene 120 m de largo. Si la nave tripulada por el astronauta tiene luego una velocidad de 0,99 c. ¿Qué longitud (en m) de la nave mide ahora el astronauta? A) 17 B) 37 C) 57 D) 77 E) 97 Una barra rígida hace un ángulo

1  37º

con el eje X cuando esta en reposo respecto a un observador. ¿A que rapidez debe moverse la barra paralelamente al eje X para que parezca formar con este un ángulo

 2  45º

velocidad de la luz)

37º

X

A) 0,6 c B) 0,7 c C) 0,8 c D) 0,9 c E) 0,98 c

? (c=

6)

Un astronauta viaja al planeta x, situado a 8 años luz de la tierra. Si la nave se desplaza con una velocidad constante de 0,8c. ¿que tiempo en años indicara su reloj para todo el viaje? A) 14 B)12 C)10 D)8 E)6

7)

¿Qué velocidad debe tener un electrón para que su masa sea el doble de su masa en reposo? A) 0,27 c B) 0,47 c C) 0,67 c D) 0,87 c E) 0,97 c

8)

Hallar la cantidad de movimiento relativista de una partícula en (kg m/s) cuya energía relativista es el triple de su energía en reposo. (masa en reposo

5 2  10 30 kg : 3

A) 8x10-30 B) 5x10-20 C)4x10-21 D)2x10-21 E)3x10-20 9)

¿Con que rapidez tendrá que moverse una partícula, para que el valor de su cantidad de movimiento relativista sea tres veces su valor clásico?

A) 2 2  108 m / s B) 2 3 10 8 m / s D) 3 2 108 m / s E) 4 2 108 m / s

C) 2 2 10 9 m / s

10) Un electrón cuya masa en reposo es

m0  9,110 31 kg

se acelera hasta que su

energía cinética relativista es 0,2 MeV. La masa en ese instante, es: A) 12,6 10 31kg B) 9,110 31kg C) 6,6  10 31 kg D)

12,6 10 30 kg E) 9,110 30 kg

11) Indique verdadero o falso de las siguientes afirmaciones. I. Las leyes de la física son variantes de acuerdo al primer postulado de la teoría de la relatividad II. El efecto fotoeléctrico consiste en el desprendimiento de electrones de una superficie metálica. cuando se hace incidir una radiación electromagnética III. El cambio en la longitud de onda de los fotones de los rayos X, debido a la dispersión elástica con los electrones se conoce como efecto Compton A)FFF B)FVF C)VVV D)FVV E)FFV

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 87 12) El volumen de un cubo es Lo3 cuando esta en reposo. Determine el volumen que parece tener cuando se le mira desde un sistema de coordenadas que se mueve a

5 en la c 3

dirección de una de las aristas del cubo. A)

9 3 B) 8 3 C) 64 3 D) 27 3 E) 5 3 LO Lo Lo Lo Lo 27 27 8 5 3

13) La masa de un protón en reposo tienen el valor de

m0  1,67 10 27 kg

si la energía total de un

protón es el doble de su energía en reposo. La cantidad de movimiento, es: A) 8,7  10

19

kg.m/s B)

8,7 10 18 kg.m/s E) 8,7 10

29

7,7 10 19

D) 3,7 10

19

kg.m/s

C)

kg.m/s

(1eV=1,6x10-19 J; h =6,63x10-34 J.s) A) 10,02 B)112 C)11,2 D)11 E)1,12 20) La longitud de onda umbral para el potasio es de 564 nm. La función trabajo (en eV) para el potasio, es: (1eV=1,6x10-19 J; h =6,63x10-34 J.s) A)2,3 B)2,4 C)2,1 D)2,2 E)2,8 21) Una nave espacial en forma triangular es tripulada por un observador y ambos se mueven con una velocidad constante V = 0,9C. Cuando la nave esta en reposo en relación con un observador en reposo en la tierra, las medidas de las distancias a’ y b’ son 48m y 20m respectivamente. ¿Cuál es la forma de la nave vista por un observador en reposo en la tierra cuando la nave esta en movimiento en la dirección mostrada en la figura?

kg.m/s

b'

14) Calcular la longitud de la onda dispersada de un o

a'

haz de rayos x de longitud de onda 0.4 A si el haz sufre una dispersión de Compton de 90º(

C A)

h  0.0243 mo c

Longitud

de

onda

de

Compton.) 0.4243 B)0.2243 C)0.0243 D)0.5243 E)0.8243

15) Determínese la cantidad de fotones que emite por minuto una bombilla roja de 50 W la longitud de onda roja es de 600 nm. A) 9  10 21 B) 11  10 21 C) 13  10 21 D) 5  10 21 E) 7  10 21 16) Ciertos fenómenos son explicados considerando que la luz esta constituida por un flujo de corpúsculos energéticos (fotones) y que estos poseen una energía E dada por la relación E  h con υ: frecuencia de la luz, h: constante de Planck. Respecto de esta constante , correctamente podemos afirmar: A) Es una constante adimensional B) Tiene dimensión de cantidad de movimiento relativista. C) Tiene dimensiones de onda dispersada por la relación de Compton. D) Viene expresada en Joules- segundo. E) Viene expresada en unidades de energía fotoeléctrica. 17) ¿Cuál de los siguientes enunciados describe el efecto Compton. A) La velocidad de la luz tiene el valor c, es independiente del movimiento de la fuente o del sistema de referencia del observador. B) Los objetos acortan su longitud en la dirección en que se mueven C) La energía cinética de un cuerpo es igual al incremento de su masa como consecuencia de la variación de velocidad D) consiste en el desprendimiento de electrones de una superficie metálica cuando se hace incidir una radiación electromagnética E) El cambio en la longitud de onda de los fotones de los rayos X, debido a la dispersión elástica con los electrones. 18) Un haz de láser de longitud de onda 400 nm tiene una intensidad de 100 W/m2 Cuantos fotones llegan en 1 s a una superficie de 1cm2 perpendicular al haz. ( h =6,63x10-34 J.s) A) 1014 B)1016 C)2x1016 D)1020 E)1018 19) Determinar la energía cinética máxima de los fotoelectrones si la función trabajo del material es 2x10-19 J y la frecuencia de la radiación incidente es 3x1015 Hz.

b a (movimiento )

(reposo )

A) a = 21m y b = 20m B) a = 24m y b = 20m C) a = 28m y b = 20m D) a = 33m y b = 20m E) a = 40m y b = 20m 22) El umbral de longitud de onda para la emisión º

2300 A , º determine la longitud de onda (en A ) que fotoeléctrica

en

el

Wolframio

es

debe usarse para expulsar a los electrones con una energía cinética máxima igual a la mitad de su función trabajo. a) 1432 b) 1533 c) 1555 d) 1584 e) 1600 23) Los fotoelectrones emitidos por un metal son frenados por un potencial de corte de 3,64 V. Determinar (en del metal. a) 8,8

10

14

Hz

) la frecuencia umbral

b) 9,2 c) 9,8

d) 10,2 e) 12,4 24) 25) Un foton incide sobre un metal cuya función trabajo es de 4 eV. Si el fotoelectrón tiene una energía cinética máxima igual al 60% de la energía fotonica, determine la longitud de onda del foton 8 en nm) (1eV=1,6x10-19 J; h =6,63x10-34 J.s) A)121 B)122 C)123 D)124 E)125 26) La cantidad de movimiento de un foton de frecuencia 1014 Hz es: ( h =6,63x10-34 J.s) A) 2,21 10

28

kg.m/s B)

22,110 27

kg.m/s

C)

22  10 28 kg.m/s D) 2  10 25 kg.m/s 28 E) 221  10 kg.m/s 27) Un foton de energía 2,5x10-15 J choca según el efecto Compton con un electrón en reposo. Después del choque, el electrón disparado con una energía cinética de 5x10-17 J. La energía del foton dispersado (en eV), es: (1eV=1,6x10-19 J) A)115,3 B)1533 C)0,153 D)15312,5 E)153,12 28) Un foton cuya energía es 104 eV choca con un electrón en reposo y se dispersa en un ángulo de 60º. Hallar la longitud de onda del foton dispersado (en nm). ( h =6,63x10-34 J.s) (λc=0,00243 nm) A)0,1 nm B)0,2 nm C)0,3 nm D)0,125 nm E)1,25 nm

88 | C E P R U 2 0 1 5 . 29) Un foton de radiación electromagnética interactúa con un electrón libre en reposo si el corrimiento Compton es igual al 15% de la longitud de onda de compton. El coseno del ángulo de dispersión, es. A)0,85 B)0,83 C)0,5 D)0,7 E)0,9

Kg  m Kg  m 23 0 , 2  10 0 , 525  10 s s A) B) Kg  m Kg  m 23 5,25  10 23 s s D) 10 Kg  m 24 s E) 10

  1,05  10 34

( J s) 31) Sobre una superficie metálica incide radiación º

24

C)

a) 2,94 eV b) 3,94 eV c) 4,94 eV d) 5,94 eV e) 6,94 eV 32) Los mesones de los rayos cósmicos llegan a la superficie de la tierra con diferentes velocidades. Hallar el porcentaje de la disminución relativa de la longitud de un meson, si su velocidad es el 95% de la velocidad de la luz (aproximadamente). a) 56% b) 59% c) 63% d) 75% e) 69% 33) Un astronauta está acostado en una nave espacial, paralelo a la dirección en la cual se mueve. Para un observador en la tierra, la 8

30) Un microscopio utiliza fotones para localizar a un electrón en un átomo a una distancia de 0,1 Ǻ. ¿Cuál es la incertidumbre de la cantidad de movimiento del electrón localizado de esta manera?

velocidad de la nave espacial es de 2  10 m/s y el astronauta tiene una estatura de 1,324 m. ¿Cuál es la estatura (en m) del astronauta medida cuando está en reposo? a) 1,48 b) 1,58 c) 1,68 d) 1,78 e) 1,88

de longitud de onda 3000 A y emite fotoelectrones con una energía cinética máxima de 1,2 eV. ¿Cuál es la función del trabajo del 15 h  4,14  10 eV  s ). material? (Dato:

34) na nave espacial acorta el 1% de su longitud cuando está en vuelo. ¿Cuál es su velocidad en m/s? (como factor de 107). a) 2,4 b) 3,2 c) 4,2 d) 5,4 e) 4,5 35) Un astronauta se dirige con una velocidad de 0,6 C hacia un planeta que se encuentra a 10

3  10 m (medido por un observador de la tierra). Calcule el tiempo del viaje para un observador de la tierra y el tiempo que dura el viaje medido por el astronauta. a) 133; 166 b) 166; 133 c) 157; 178 d) 178; 157 e) 157; 188 36) ¿Cuántas veces aumentará la vida de una partícula inestable (medida por el reloj de un observador en reposo) cuando se mueve con una velocidad igual al 99% de la velocidad de la luz? a) 3,1 b) 4,1 c) 5,1 d) 6,1 e) 7,1

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA

QUÍMICA

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE ASIGNATURA: QUÍMICA

TEORÍA TEMA Nº 1.- MATERIA................................................................................................................... Pág. 03 TEMA Nº 2.- TEORÍA ATÓMICA ................................................................................................... Pág. 09

||

TEMA Nº 3.- SOLUCIONES ........................................................................................................... Pág. 11 TEMA Nº 4.- HIDROCARBUROS .................................................................................................. Pág. 17 TEMA Nº 5.- COMPUESTOS NITROGENADOS........................................................................... Pág. 20

EJERCICIOS

En física y filosofía, materia es el término para referirse a los constituyentes de la realidad material objetiva. Se considera que es lo que forma la parte sensible de los objetos perceptibles o detectables por medios físicos. También se usa el término para designar al asunto o tema que compone una obra literaria, científica, política, etc. o también para hablar de una asignatura formal o disciplina en la enseñanza y cualquier tema o cuestión para escribir o hablar En física, se llama materia a cualquier tipo de entidad física que es parte del universo observable, tiene energía y es capaz de interaccionar con los aparatos de medida, es decir, es medible. Clásicamente se consideraba que la materia tenía dos propiedades que juntas la caracterizan: que ocupa un lugar en el espacio y que tiene masa, en el contexto de la física moderna se entiende por materia cualquier campo, entidad o discontinuidad que se propaga a través del espacio-tiempo a una velocidad igual o inferior a la de la luz y a la que se pueda asociar energía. Así todas las formas de materia tienen asociadas una cierta energía pero sólo algunas formas de materia tienen masa. 1.1 Materia másica La materia másica se organiza jerárquicamente en varios niveles y subniveles. La materia másica puede ser estudiada desde los puntos de vista macroscópico y microscópico Propiedades de la materia ordinaria Propiedades generales Las presentan los sistemas materiales básicos sin distinción y por tal motivo no permiten diferenciar una sustancia de otra. Algunas de las propiedades generales se les da el nombre de extensivas, pues su valor depende de la cantidad de materia, tal es el caso de la masa, el peso, volumen. Otras, las que no dependen de la cantidad de materia sino de la sustancia de que se trate, se llaman intensivas. El ejemplo paradigmático de magnitud intensiva de la materia másica es la densidad. Propiedades extensivas o específicas Son las cualidades de la materia dependientes de la cantidad de que se trate. Son aditivas y de uso más restringido para caracterizar a las clases de materia debido a que dependen de la masa o cantidad de materia. Si de las propiedades intensivas puede decirse que caracterizan a las distintas sustancias o materiales, de las propiedades extensivas puede decirse que caracterizan a los cuerpos o los sistemas materiales. Propiedades intensivas o particulares Son las cualidades de la materia independientes de la cantidad que se trate, es decir no dependen de la masa no son aditivas y, por lo general, resultan de la composición de dos propiedades extensivas. El ejemplo perfecto lo proporciona la densidad, que relaciona la masa con el volumen. Es el caso también del punto de fusión, el punto de ebullición, el coeficiente de solubilidad, el índice de refracción, el módulo de Young, etc. Propiedades químicas Son aquellas propiedades distintivas de las sustancias que se observan cuando reaccionan, es decir, cuando se rompen y/o se forman enlaces químicos entre los átomos, formándose con la misma materia sustancias nuevas distintas de las originales. Las propiedades químicas se manifiestan en los procesos químicos (reacciones químicas), mientras que las propiedades propiamente

llamadas propiedades físicas, se manifiestan en los procesos físicos, como el cambio de estado, la deformación, el desplazamiento, etc. Ejemplos de propiedades químicas:

   

Corrosividad de ácidos Poder calorífico o energía calórica Acidez Reactividad

*Estado sólido

*Estado líquido

*Estado gaseoso

La materia se puede encontrar en tres estados diferentes: Durante un día de lluvia se ven gotas de agua a través de tu ventana. Estas gotas caen al suelo y forman pozas de agua de diversas formas y tamaños. Seguramente, has notado que estas pozas se secan rápidamente cuando sale el Sol, aunque también lo hacen sin la presencia de él. El calor del Sol transforma el agua líquida en vapor de agua; este fenómeno se produce además en todos los lugares de la Tierra donde hay depósitos de agua y recibe el nombre de evaporación. Cuando hace mucho frío el agua contenida en las pozas se transforma en hielo; este proceso recibe el nombre de solidificación o congelación. Estas transformaciones ocurren con otras sustancias de la naturaleza y se producen de acuerdo a las propiedades y características de cada una de ellas. Todas las sustancias que forman el universo están constituidas por materia. La materia es todo lo que tiene masa y ocupa un lugar en el espacio. La materia puede ser dura como un bloque de hielo, blanda como el agua líquida, o sin forma como el aire ESTADOS DE LA MATERIA 1. Estado sólido Un sólido es una sustancia formada por moléculas que se encuentran estrechamente unidas entre sí mediante una fuerza llamada fuerza de cohesión, las partículas están muy unidas, y solo vibran en su puesto La disposición de estas moléculas le da un aspecto de dureza y de rigidez con el que frecuentemente se le asocia. La forma definida de los sólidos es producto de la fuerza de cohesión que mantiene unidas a las moléculas. Los sólidos son duros y presentan dificultad para comprimirse. Esto se explica porque las moléculas que los forman están tan cerca, que no dejan espacios entre sí. Si miras a tu alrededor, notarás que todos los sólidos tienen una forma definida. Esta característica se mantiene, salvo que actúe sobre ellos una fuerza tan grande que los deforme. Los Sólidos

Tienen dificultad para comprimirse

Tienen forma definida

Los sólidos pueden identificarse por estas dos propiedades generales. Si agrupas sobre una mesa un elástico, un vidrio, plastilina, una piedra, un plato y una cuchara, podrás decir que todos ellos son sólidos; sin embargo, cada uno de ellos es diferente del otro. Ahora la observación te permitirá hacer una clasificación. Clasificar significa agrupar identificando las propiedades que sirven de base para ello, de acuerdo a un criterio establecido previamente.

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¿A qué se debe que los sólidos sean diferentes? Estas diferencias pueden explicarse debido a que los cuerpos sólidos presentan propiedades específicas, en mayor o menor grado, entre las cuales señalaremos: * Elasticidad: Un sólido recupera su forma original cuando es deformado. Un elástico o un resorte son objetos en los que podemos observar esta propiedad. Estira un elástico y observa lo que sucede. * Fragilidad: Un sólido puede romperse en muchos pedazos (quebradizo). En más de una ocasión habrás quebrado un vaso de vidrio o un objeto de greda. Estos hechos representan la fragilidad de un sólido. *Dureza: Un sólido es duro cuando no puede ser rayado por otro más blando. El diamante de una joya valiosa o el utilizado para cortar vidrios presenta dicha propiedad. 2. Estado líquido Un líquido es una sustancia formada por moléculas que están en constante movimiento de desplazamiento y que se deslizan unas sobre las otras. La disposición de estas moléculas le da un aspecto de fluidez con la que frecuentemente se les asocia.

Los Líquidos

Tienen forma Son indefinida incompresibles acercarse más; sólo pueden deslizarse las unas sobre las otras.

Los líquidos, AL propiedades específicas entre las cuales señalaremos:

igual

que

los

sólidos,

presentan

* Volatilidad, es decir, facilidad para evaporarse. Esta propiedad se aprecia claramente al dejar abierto un frasco con alcohol, en que se percibe su olor y disminuye el volumen. * Viscosidad, es decir, dificultad al escurrimiento. ¿Has dado vuelta alguna vez una botella de aceite o, tal vez, has echado aceite al motor de un vehículo? ¿Observas lo mismo al derramar un vaso .con agua? La diferencia en la observación se debe a la viscosidad. Estas propiedades se presentan en mayor o menor grado en todos los líquidos. Los perfumes, la bencina y la parafina son líquidos volátiles. La miel y la leche condensada son líquidos viscosos. 1.

Estado gaseoso

¿A qué se debe que los líquidos cambien de forma?

Un gas es una sustancia formada por moléculas que se encuentran separadas entre sí.

Si aplicas fuerza sobre la superficie del agua de una cubeta, observarás que ésta pierde su aspecto inmóvil y que puedes distinguir su movimiento a través de la formación de ondas en la superficie.

Esta disposición molecular le permite tener movilidad, por lo que no posee forma propia y puede comprimirse. En él la fuerza de cohesión es nula y ha sido remplazada por la fuerza de repulsión entre las moléculas.¿Por qué los gases no poseen forma propia? Los gases no poseen forma propia, porque las moléculas que los forman se desplazan en todas direcciones y a gran velocidad; por esta razón los gases ocupan grandes espacios. El olor a comida que se prepara en la cocina se esparce por toda la casa con rapidez, porque las moléculas tienden a ocupar todo el espacio disponible.

Los líquidos son fluidos porque no tienen forma propia, sino que adoptan la forma del recipiente que los contiene. Por ejemplo, si echas igual cantidad de un líquido en un tubo de ensayo, a un plato o en una botella, éstos adoptarán la forma de cada uno de estos objetos. Si observas algunos líquidos notarás que ninguno de ellos tiene forma definida y que, al igual que los sólidos, tampoco pueden comprimirse. Si intentas comprimir el agua de la cubeta notarás que se escurre hacia los lados, pero que no disminuye su volumen. ¿A qué se debe el cambio de forma que pueden presentar los líquidos? La forma indefinida de los líquidos se debe a que la fuerza de atracción que mantiene unidas las moléculas es menos intensa que la fuerza que mantiene unidas las moléculas de los sólidos. Alguna vez habrás jugado a echarle agua a una jeringa y habrás empujado el émbolo. ¿Qué has observado? ¿Por qué los líquidos son incompresibles?. Los líquidos son incompresibles porque las moléculas que los constituyen están tan unidas que no pueden

¿Por qué los gases pueden comprimirse? Los gases pueden comprimirse debido a la disposición separada de las moléculas que los compone. Si aplicas una fuerza intensa al émbolo de una jeringa con aire y tapas con el dedo su extremo anterior, notarás que el espacio ocupado por el gas disminuye. Esto se debe a que las moléculas se acercan entre sí y ocupan un menor espacio, el cual depende de la magnitud de la fuerza aplicada. Los Gases

No tienen forma propia

Pueden comprimirse

Los cambios de estado y sus características Cambio de estado: El estado en que se encuentra un material puede transformarse a través de cuatro procesos: fusión solidificación, evaporación, condensación y sublimación. Las transformaciones de la materia en los tres estados se conocen con los siguientes nombres: Fusión

Solidificación

Condensación

Sublimación Deposición

Evaporación

ASIGNATURA: QUÍMICA |5 líquido, como el agua o el aceite; estado gaseoso, como el aire del medio ambiente o de un balón de gas. El agua puede pasar con facilidad por los tres estados físicos. Estas transformaciones se producen por acción del calor. Cuando la temperatura desciende más allá de los 0 ºC, el agua se presenta en su estado sólido (hielo). Si la temperatura aumenta más allá de los 100 ºC, el agua se presenta en su estado gaseoso (vapor de agua). A temperatura ambiente el agua se presenta en estado líquido. Estos cambios de estado sufridos por el agua y otras sustancias de la naturaleza reciben el nombre de cambios físicos. ¿Qué entendemos por cambio físico? El paso de estado sólido a líquido recibe el nombre de fusión; el de estado liquido a gaseoso, evaporación; el de estado gaseoso a líquido, condensación; y el de líquido a sólido, solidificación, de sólido a gas o de gas a sólido, sublimación o de gas a sólido deposición. La temperatura es un factor clave en los cambios de estados, calentando o enfriando podemos hacer que muchos materiales pasen del estado sólido al líquido y al gaseoso, o viceversa, es decir, los cambios de estado son reversibles. La modificaciones de la temperatura y la presión provocan cambios de estados de la materia como ellos solo cambia la forma física, también se les llama cambio físico. ¿A qué temperaturas se producen estos cambios? La temperatura a la que funde una sustancia recibe el nombre de punto de fusión; esta temperatura es característica y específica para cada sustancia. Conozcamos algunos puntos de fusión a nivel del mar:

La temperatura a la cual una sustancia ebulle o hierve recibe el nombre de punto de ebullición y se reconoce o identifica porque una vez alcanzado no aumenta; permanece constante. Conozcamos algunos puntos de ebullición a nivel del mar:

SUSTANCIA PUNTO DE FUSIÓN (º Celsius) Agua



Azufre

119º

Cobre

1.084º

Hierro

1.535º

Cambio físico es el cambio transitorio de las sustancias, que no afecta la naturaleza de las moléculas que lo forman. Aunque cambie el aspecto físico de la sustancia que lo presenta. ¿Cuándo se produce un cambio físico? Un cambio físico se produce por acción de un agente externo a la naturaleza de la materia. En el caso del agua, el agente externo es el calor. No sólo el calor es un agente externo; una presión también es un agente que provoca cambio físico, como puede ser el cambio de forma o de posición de un objeto o cuerpo. El calor como agente de cambio también puede provocar cambios de volumen en los cuerpos. Se entiende por volumen todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Mediante la observación científica se puede tomar conciencia de estos cambios e identificarlos a través de sus efectos. ¿Cuáles son los efectos de algunos cambios físicos? Uno de ellos es el cambio de estado de la materia. Este efecto es transitorio y las sustancias mantienen sus propiedades. Si dejas de aplicar calor a una tetera con agua hirviendo, el agua permanecerá en su estado líquido y cesará su transformación acelerada a estado gaseoso. La observación de un papel estirado y, luego, de un papel arrugado, te permite inferir que ha sufrido un cambio físico y que su agente de cambio es una fuerza como la presión. 2. Cambio químico

SUSTANCIA PUNTO DE EBULLICIÓN (ºCelsius) Alcohol

78,4º

Azufre

100º

Azufre

444º

Hierro

1.880º

Para que se produzca evaporación no necesariamente la sustancia debe alcanzar su punto de ebullición. Frecuentemente se produce evaporación en todo momento a temperatura ambiente. El agua contenida en una tetera se empieza a evaporar antes de alcanzar el punto de ebullición. La evaporación es una transformación que ocurre en la superficie del líquido. La ebullición se produce en la totalidad del líquido. CAMBIOS DE ESTADO DE LA MATERIA 1. Cambio físico La materia es susceptible de sufrir cambios, los cuales pueden ser transitorios o permanentes. En el desarrollo de este texto nos referiremos, en primer lugar, a los cambios transitorios y, luego, a los permanentes. Los cambios transitorios son producidos por agentes externos a la naturaleza de la materia, como por ejemplo el cambio de estado. La materia se puede encontrar en tres estados físicos: estado sólido, como la madera o el hierro; estado

Si observas una vela encendida, verás cómo se quema su mecha, se derrite y cae lentamente su esperma. Luego, al terminarse la vela, habrá una gran cantidad de esperma y muy poco o nada de mecha. Si tratas de reconstruir la vela, podrás tomar la esperma derretida y formar otra. ¿Qué ocurre con la mecha de esta nueva vela? La nueva vela no podrá tener mecha, porque anteriormente se consumió, transformándose en un humo negro. Si aplicas lo que ya sabes sobre los cambios de la materia, podrás decir que la esperma ha sufrido un cambio físico, porque sólo cambió de forma, pero no su composición ni sus propiedades. Sin embargo, en la mecha ha ocurrido un cambio químico. Cambio químico, también llamado reacción química, es aquel tipo de cambio en que la materia experimenta modificaciones en su composición química. Las sustancias se convierten en otras sustancias que tendrán propiedades nuevas, distintas de las propiedades de las sustancias iniciales. En la naturaleza existen muchos cambios químicos, como por ejemplo cuando se oxidan algunos metales, se pudre la fruta, la leche se corta o el carbón se quema. La oxidación de los metales es uno de los ejemplos más interesantes. Si te fijas bien, en cualquier trozo de hierro de la casa podrás ver que éstos contienen algo de óxido y que se emplean pinturas especiales para evitar que el óxido aumente y que el hierro termine quebrándose. Al ocurrir el cambio químico de la oxidación, las moléculas de oxigeno se unen al hierro y se produce un cambio en las propiedades de éste. Este fenómeno puede demostrarse a través de la siguiente actividad: Si colocas un imán con limadura de hierro en el extremo de una balanza de dos brazos y equilibras su peso, y luego calientas la limadura de hierro hasta dejarla al rojo, con lo cual se oxidará, la balanza entonces se

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inclinará hacia el lado de la limadura de hierro. Esto ocurre porque el oxigeno se ha unido químicamente al hierro y, por lo tanto, éste ha aumentado su masa.

Respecto a la cantidad de sustancias, la manzana y el aire contienen varias sustancias diferentes; el agua y la sal están formadas por dos sustancias y el oro sólo por una.

Si aplicamos lo anterior al ejemplo de la vela, tendríamos que tener distintas masas al iniciar y al terminar el experimento.

De esta forma, la cantidad de sustancias que conforman la materia, determinan su clasificación en: elementos, compuestos y mezclas.

¿En qué caso tendrá mayor masa la vela, al comienzo o al final?

Los elementos químicos son las sustancias que no pueden descomponerse en otras más simples.

Dado que hemos establecido que la mecha de la vela "desaparece" casi completamente, lo lógico es que la masa final sea menor que la inicial, porque se perdió masa de la mecha. Esto se produce fundamentalmente porque al quemarse la mecha de la vela, ésta comienza a transformarse en un gas (humo) que se mezcla con el aire y que, al no estar encerrado, no se puede masar. También hay pérdida de masa, debido a que se desprende vapor de agua.

De los ejemplos indicados, el oro corresponde a un elemento químico. Otros ejemplos son el oxígeno, el carbono y el hierro.

Lo anterior nos indica que en todo cambio químico debemos fijarnos en los productos que se forman, ya que en algunos casos se pueden producir gases. Sustancias que componen la materia Una manzana, el aire, el agua, la sal o el oro, tienen algo en común: son materia. Sin embargo, existen diferencias entre ellos cuyo origen se encuentra en las sustancias que los componen. Al hablar de las sustancias que contiene un determinado tipo de materia, nos referimos a su composición química. La composición química de la materia tiene que ver con la identificación y cantidad de las diferentes sustancias que la componen. Cada una de las sustancias presentes en ella tiene diferentes propiedades. Por una parte, se identifican las propiedades físicas, que se pueden observar con los sentidos o con la ayuda de un instrumento, sin variar la composición de la materia. Así, el color, la textura, la masa, el punto de ebullición o el punto de fusión son propiedades físicas de la materia. En cambio, el hecho de que una sustancia se queme por la acción del calor tiene que ver con sus propiedades químicas.

- Compuestos: Son sustancias puras que están constituidas por 2 ó más elementos combinados en proporciones fijas. Los compuestos se pueden descomponer mediante procedimientos químicos en los

Los compuestos químicos son las sustancias que resultan por la unión de dos o más elementos químicos, combinados en cantidades exactas y fijas a través de enlaces químicos. Las mezclas se obtienen de la combinación de dos o más sustancias, que pueden ser elementos o compuestos. Sin embargo no se establecen enlaces químicos entre los componentes de la mezcla. A continuación estudiaremos cada uno de estos tipos de materia. CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA 1.- Clasificación de la materia La materia la podemos encontrar en la naturaleza en forma de sustancias puras y de mezclas. * Las sustancias puras son aquéllas cuya naturaleza y composición no varían sea cual sea su estado. Se dividen en dos grandes grupos: Elementos y Compuestos. - Elementos: Son sustancias puras que no pueden descomponerse en otras sustancias puras más sencillas por ningún procedimiento. Ejemplo: Todos los elementos de la tabla periódica: Oxígeno, hierro, carbono, sodio, cloro, cobre, etc. Se representan mediante su símbolo químico y se conocen 115 en la actualidad.

elementos que los constituyen. Ejemplo: Agua, de fórmula H2O, está constituida por los elementos hidrógeno (H) y oxígeno (O) y se puede descomponer en ellos mediante la acción de una corriente eléctrica

ASIGNATURA: QUÍMICA |7 (electrólisis). Los compuestos se representan mediante fórmulas químicas en las que se especifican los elementos que forman el compuesto y el número de átomos de cada uno de ellos que compone la molécula. Ejemplo: En el agua hay 2 átomos del elemento hidrógeno y 1 átomo del elemento oxígeno formando la molécula H2O. Molécula de agua (H2O), formada por 2 átomos de hidrógeno (blancos) y 1 átomo de oxígeno (rojo)

hecho de que en estas mezclas se distinguen muy bien los componentes. - Filtración: Este procedimiento se emplea para separar un líquido de un sólido insoluble. Ejemplo: Separación de agua con arena. A través de materiales porosos como el papel filtro, algodón o arena se puede separar un sólido que se encuentra suspendido en un líquido. Estos materiales permiten solamente el paso del líquido reteniendo el sólido.

Molécula de etano (C2H6), formada por 2 átomos de carbono (negros) y 6 átomos de hidrógeno (azul) Molécula de butano (C4H10), formada por 4 átomos de carbono (negros) y 10 átomos de hidrógeno (blancos) Cuando una sustancia pura está formada por un solo tipo de elemento, se dice que es una sustancia simple. Esto ocurre cuando la molécula contiene varios átomos pero todos son del mismo elemento. Ejemplo: Oxígeno gaseoso (O2), ozono (O3), etc. Están constituidas sus moléculas por varios átomos del elemento oxígeno.