Zzz Suppexos Ec5-Me5 Sinus Force

Supplément EXERCICES – EC5 / ME5 – Régime Régime Sinusoïdal Forcé – Feuille 1/3 1.3. A quoi correspond la solution SSM de l’équation ?

Cadre de la Méthode Complexe

1.4. A quoi correspond la solution PART de l’équation ? 1.5. Faire de même pour i(0+) = E/R et e(t) = 0. Commenter.

Exercice 1 : Circuit RC en Sinus Forcé

2. Etude temporelle en sinus forcé

Soit le circuit RC série suivant :

L’équation vérifiée par uC(t) est inchangée, mais c’est l’excitation e(t) qui est maintenant sinusoïdale e(t) = Ecos(ωt)

i(t) R

e(t) 1. Etude temporelle en régime continu :

uC(t)

C

2.1. Est-il simple de résoudre directement l’équation ? Essayez de la résoudre… 2.2. On utilise pour simplifier la méthode complexe. Préciser dans quel contexte on peut utiliser cette méthode.

On soumet le circuit à une source de tension E constante 1.1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par uC(t) 1.2. Résoudre l’équation dans le cas où uC(0+) = 0 et e(t) = E 1.3. A quoi correspond la solution SSM de l’équation ? 1.4. A quoi correspond la solution PART de l’équation ? 1.5. Faire de même pour uC(0+) = E et e(t) = 0. Commenter.

2.3. Première méthode pour obtenir l’équation complexe vérifiée par uC(t) : Rappeler l’équation différentielle temporelle vérifiée par uC(t), puis passer cette équation en complexe. 2.4. Seconde méthode pour obtenir l’équation complexe : Trouver directement l’équation à partir des impédances complexes des R, L et C. 2.5. Résoudre cette équation complexe. A quoi correspond cette solution ?

2. Etude tem temporelle porelle en sinus forcé L’équation vérifiée par uC(t) est inchangée, mais c’est l’excitation e(t) qui est maintenant sinusoïdale e(t) = Ecos(ωt) 2.1. Est-il simple de résoudre directement l’équation ? Essayez de la résoudre… 2.2. On utilise pour simplifier la méthode complexe. Préciser dans quel contexte on peut utiliser cette méthode. 2.3. Première méthode m éthode pour obtenir l’équation complexe vérifiée par uC(t) : Rappeler l’équation différentielle temporelle vérifiée par uC(t), puis passer cette équation en complexe. 2.4. Seconde méthode pour obtenir l’équation complexe : Trouver directement l’équation à partir des impédances complexes des R, L et C.

2.6. Redonner la solution temporelle (expression de u C(t)) correspondant à cette solution complexe. 2.7. Y-a-t-il encore un régime transitoire ? Et un régime permanent ? 2.8. Est-il en général utile de connaître le régime transitoire ?

Exercice 3 : Circuit RLC en Sinus Forcé On fait exactement le même travail avec un circuit RLC série : e(t)

i(t)

L

1. Etude temporelle en régime continu :

R C

2.5. Résoudre cette équation complexe. A quoi correspond cette solution ?

On soumet le circuit à une source de tension E constante

2.6. Redonner la solution temporelle (expression de u C(t)) correspondant à cette solution complexe.

1.1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par uC(t)

2.7. Y-a-t-il encore un régime transitoire ? Et un régime permanent ? 2.8. Est-il en général utile de connaître le régime transitoire ?

1.2. Résoudre l’équation dans le cas où uC(0+) = 0 et e(t) = E, à quoi correspondent les solutions SSM et PART ? 1.3. Faire de même pour uC(0+) = E et e(t) = 0. Commenter. n sinus forcé 2. Etude temporelle een

Exercice 2 : Circuit RL en Sinus Forcé On fait exactement le même travail avec u n circuit RL série :

e(t)

On soumet le circuit à une source de tension E constante

L’équation vérifiée par uC(t) est inchangée, mais c’est l’excitation e(t) qui est maintenant sinusoïdale e(t) = Ecos(ωt) 2.1. Pourquoi et dans quel contexte peut-on utiliser la méthode complexe ?

i(t) 1. Etude temporelle en régime continu :

uC(t)

R L

1.1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par i(t) 1.2. Résoudre l’équation dans le cas où i(0+) = 0 et e(t) = E

2.2. Etablir l’équation complexe vérifiée par uC(t) par les deux méthodes déjà vues, la résoudre et dire exactement à quoi correspond cette solution. 2.3. Redonner la solution temporelle (expression de u C(t)) correspondant à cette solution complexe. 2.4. Y-a-t-il encore un régime transitoire ? Et un régime permanent ? Commenter.

Calcul Calcul d’impédance d’impédance

Calcul de tensions et de courants

Exercice 4 : Impédance caractéristique

Exercice 8 : Circuit Circuit RLC série

Calculer les impédances complexes équivalentes aux dipôles proposés ci-dessous : B

A

R

B

A

L

R

C

Le circuit suivant est alimenté par un générateur de fréquence f = 50Hz et d’amplitude E = 311V. La phase à l’origine de la tension e(t) délivrée par le générateur est prise égale à zéro. Données : R = 40Ω, L = 0,2H, C = 5μF. R

L

L

C

uL(t)

uC(t)

C A A

R

B

R

B

uR(t)

C i(t)

A

B R

L

A

C

e(t)

B

R L

Exercice 5 : Impédance caractéristiq caractéristique ue

1.

Exprimer l’amplitude l’amplitude complexe complexe I du courant courant i(t). En déduire l’amplitude I et la phase à l’origine φi de l’intensité i(t).

2.

Exprimer les amplitudes complexes complexes UR, UL et UC  des tensions aux bornes de chacun des dipôles. En déduire les amplitudes et les phases à l’origine de ces tensions.

Soit ZAB l’impédance du dipôle AB représenté A

L

3.

L C

Z

B Déterminer l’expression de l’impédance Z telle que ZAB = Z.

2.

Pour quelles valeurs de la pulsation pulsation ω cette impédance estelle modélisable par un résistor ?

Exercice 6 : Dipôles RC équivalents Les dipôles AB et A’B’ représentés sont placés dans un circuit en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω. C A’ R

B

B’ R’

On applique une tension e(t) sinusoïdale de fréquence f = 50Hz, d’amplitude E = 100V et de phase à l’origine nulle à l’association parallèle d’un condensateur de capacité C = 20μF et d’une bobine réelle d’inductance L = 0,3H et de résistance interne r = 10Ω.

Exercice 7 : Dipôles RL équivalents Les dipôles AB et A’B’ représentés sont placés dans un circuit en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω.

e(t)

i1(t)

i2(t) (L, r)

C

Exprimer puis calculer calculer le module Z de l’impédance complexe du dipôle constitué par l’association du condensateur et de la bobine.

2.

En déduire la valeur de l’amplitude l’amplitude I de l’intensité i(t).

3.

Exprimer les amplitudes complexes I1 et I2  des intensitées i1(t) et i2(t).

4.

Représenter I1 et I2  dans le plan complexe et retrouver graphiquement la valeur de l’amplitude I.

Exercice 10 : Courant indépendant du dipôle

L

R

i(t)

1.

C’

Exprimer R’ et C’ en fonction de R, C et ω pour que les deux dipôles soient équivalents.

A

L  et C 

Exercice 9 : Intensité dans une association de dipôles

1.

A

Calculer la valeur du facteur de qualité Q  = 1 R commenter cette valeur.

On considère le circuit suivant : B

A’

B’ R’

L’

Exprimer R’ et L’ en fonction de R, L et ω pour que les deux dipôles soient équivalents.

1.

2.

Exprimer l’amplitude complexe I de l’intensité i(t) du courant qui parcourt le résistor. A quelle condition l’intensité i(t) est-elle indépendante de la valeur de R?

i(t) e(t) L C

R

Supplément EXERCICES – EC5 / ME5 – Régime Régime Sinusoïdal Forcé – Feuille 2/3 Exercice 11 : Ca Callculs lculs d’intensités i1(t)

Calcul de déphasages

C

i2(t)

Le circuit suivant est alimenté par un générateur de tension e(t) = Ecos(2πft), de fréquence f = 50Hz et d’amplitude E = 311V. On a R = 600Ω, L = 0,3H, et C = 5μF.

R

L

Exercice 15 : C Courant ourant et tension en phase

e(t) e(t)

i(t)

On considère le circuit suivant :

1.

Exprimer les amplitudes complexes I1 et I2  des intensités i2(t) et i2(t).

2.

Représenter dans le plan complexe les amplitudes I1 et I2.

3.

En déduire l’amplitude I de l’intensité i(t) et le déphasage φie  de l’intensité i par rapport à la tension e (graphiquement). Vérifier par le calcul complexe.

Exercice 12 : Ca Callculs lculs d’intensités On alimente un dipôle AD par une source de tension sinusoïdale d’amplitude E et de pulsation ω. Données : E = 155V, R = 100Ω, ω = 400rad.s-1, et C = 33μF. 1.

L B

A

i(t)

i2(t)

C

i1(t)

R

Exprimer l’admittance complexe Y de l’association de dipôles alimentée par la source de tension ci-contre.

2.

Montrer que, sous réserve de conditions conditions à préciser, il existe une pulsation ω 0  telle que l’intensité i(t) et la tension e(t) délivrées par la source soient en phase.

Exercice 16 : Déphasage entre deux branches D On considère le circuit suivant :

e(t)

1.

Exprimer l’inductance L en fonction de R, C et ω pour que le dipôle AD soit équivalent à une résistance pure R eq. Calculer L ainsi que Req. Exprimer puis calculer alors l’amplitude I de l’intensité i(t).

3.

Exprimer puis calculer les amplitudes UAB et UBD  des tensions u AB(t) et uBD(t).

4.

Exprimer puis calculer les amplitudes I1 et I2 des intensités i2(t) et i2(t).

Exercice 13 : SSonde onde d’oscilloscope Lorsque les tensions à appliquer à l’entrée de l’oscilloscope, on utilise une sonde atténuatrice, dont le but est de réduire l’amplitude d’un facteur k identique quelle que soit la fréquence de la tension appliquée.

C us

R ue

2

2.

En utilisant le plan complexe, complexe, en déduire l’expression de C telle que cette condition soit réalisée.

Exercice 17 : Caractéristiques d’une bobine réelle Pour mesurer l’inductance L et la résistance interne r d’une bobine réelle, on l’insère en série avec un circuit RC, et on alimente le tout par une source de tension sinusoïdale. A l’aide d’un oscilloscope, on visualise l’écran représenté.

C’ R’

1.

Etablir l’expression l’expression de l’amplitude Us de la tension us en fonction de Ue, R, C, R’ et C’.

2.

Déterminer la relation entre R, C, R’ et C’ pour que la sonde remplisse les conditions requises. Exprimer le facteur d’atténuation k.

Exercice 14 : Résonance en tension On considère le circuit suivant, alimenté par une source de tension sinusoïdale : R 1. Exprimer l’amplitude complexe U de la tension u(t). e(t) u(t) Montrer que q ue pour une certaine valeur de pulsation ω 0 à déterminer, l’amplitude de la tension u(t) est maximale.

Montrer que les les intensités i1(t) et i2(t) des deux branches sont en quadrature de phase à condition que : π  A rg rg Z 1 − A rg Z  2 =

Où Z1 et Z2 sont les impédances des branches correspondanres

2.

2.

1.

L

C

Données : R = 50Ω et C = 1μF Réglages : voie X et Y : 1V/div, base de temps 0,1ms/div 1.

Attribuer les voies X et Y aux deux courbes courbes dessinées. dessinées.

2.

En utilisant utilisant le déphasage entre les deux voies, établir la relation : R + r = L ω  −

1 C ω 

3.

En utilisant les les amplitudes, en déduire l’expression puis la la valeur numérique de r.

4.

Calculer L.

Exercice 1188 : Mesure d’une inductance On réalise le montage représenté et on constate sur l’oscilloscope que pour une fréquence f 0  = 180Hz, les signaux recueillis sur les voies X et Y sont en phase.

Puissance en Régime Sinusoïdal Forcé Exercice 19 : Association de dipôles On considère l’association de dipôles suivante, soumise à une tension sinusoïdale u(t) et parcourue par une intensité i(t). C

2.

2.

En déduire la valeur de l’intensité efficace Ie du courant i(t) qui traverse l’association.

Le circuit suivant est alimenté par la tension du secteur de valeur efficace Ue = 220V et de fréquence f = 50Hz.

En déduire l’expression puis la valeur de l’inductance L de l’inductance L de la bobine

1.

Calculer numériquement numériquement l’impédance complexe complexe Z de l’association.

Exercice 2233 : Etude énergétique d’un circuit

Données : R = 100Ω, C = 10μF.

i(t)

1.

L

~

1.

Exprimer en fonction de R, L et f la puissance moyenne P consommée par le circuit.

2.

Pour quelle valeur de résistance Ropt la puissance reçue estelle maximale? Sachant que R opt = 12Ω, calculer L.

3.

On fixe R = Ropt. Le facteur de puissance du circuit étant de plus égal à 1, exprimer puis calculer la capacité C.

C

R

Exercice 24 : Circuit RLC série alimenté par un GBF Le circuit RLC série est alimenté par un GBF de résistance interne R g, qui délivre une tension à vide de valeur efficace Ue.

(L, r)

R Exprimer l’impédance complexe Z de l’association. En déduire la puissance moyenne P consommée par l’association, en fonction de r, R, C et ω, et de l’intensité efficace Ie.

R

Rg

L

1.

Exprimer en fonction des données u(t) la puissance moyenne P consommée par l’association RLC.

2.

Pour quelle valeur de pulsation ωopt cette puissance est-elle maximale?

3.

En prenant ω = ωopt, pour quelle valeur de R la puissance dissipée est-elle maximale?

Exercice 20 : Puissance équivalente dans 2 branches L’association paralèle des deux branches est soumise à une tension sinusoïdale u(t); R L C

GBF

~

C

Exo 25 : Etude d’un transfert de puissance électrique R

Un générateur de fém sinusoïdale de fréquence 50Hz, de pulsation ω, maintient entre ses bornes une différence de potentiel v 1. Par une ligne de transport de l’électricité, d’impédance totale Z = R + jX = Z 0.exp(jα) (avec R = 50Ω et X = 87Ω), il alimente un appareil, appelé la charge, d’impédance Z C.

C’

1.

Exprimer en fonction de la tension efficace Ue les puissances moyennes consommées par chacune des branches.

2.

A quelle condition condition les deux branches branches consomment-elles consomment-elles la même puissance?

Exercice 21 : Circuit RLC parallèle Le circuit suivant est alimenté par une source de courant sinusoïdal i(t) d’intensité efficace Ie.

~ i(t)

C

L

Exprimer l’impédance complexe Z de l’association l’association R, L et C. En déduire l’expression de la puissance moyenne P consommée par le circuit.

2.

Retrouver P en sommant sommant les puissances consommées par chacun des dipôles.

Exercice 22 : Calcul d’intensité efficace Dans le circuit suivant, les composants sont tels que R 1  = 5Ω, R2  = 4Ω, et 1/Cω = 4Ω. La puissance moyenne consommée par l’association est P = 500W.

i(t)

 Z 

~

v1

v2

 Z C 

La charge consomme, en fonctionnement normal la puissance moyenne PC  = 400kW lorsqu’elle est alimentée sous tension v2, de valeur efficace V2 = 22kV. On utilisera la notation complexe et on choisira v 2 comme origine des phases en posant et i = I 2e  j ω t + j ψ   v 2 (t ) = V 2 2 c o s (ω t ) .   Notons

R

1.

i

ψ  = −60° . v 1 = V 1 2e  j ω t + j θ  . En fonctionnement normal, on a ψ  = 1.

Déterminer α et Z0.

2.

Calculer la valeur efficace I du courant i qui doit parcourir parcourir la charge.

3.

Déterminer les caractéristiques V1  et θ que doit fournir le générateur

4.

Déterminer la puissance PG fournie par le géné, la puissance PC consommée par la charge, la puissance P 1 perdue par la ligne et le rendement η=PC /PG du transfert de puissance.

R2

R1 C

Supplément EXERCICES – EC5 / ME5 – Régime Sinusoïdal Forcé – Feuille 3/3

Facteur de Puissance Exercice 26 : Puissance d’un moteur  moteur Du point de vue électrique, un moteur peut être modélisé par un dipôle RL série. Alimenté par une tension sinusoïdale u(t) de fréquence f = 50Hz et de valeur efficace Ue = 220V, le moteur consomme une puissance moyenne P = 1kW pour une intensité efficace Ie = 7A. 1. 2.

Calculer les valeurs de R et de L Calculer le facteur de puissance cos φ du moteur

On ajoute un condensateur de capacité C en parallèle avec le moteur. 3.

Calculer C pour que le facteur de puissance de l’ensemble (moteur + condensateur) soit égal à 1.

4.

Quel est est l’intérêt l’intérêt de ramener le facteur de puissance à 1?

1.

En posant posant que la phase à l’origine de la tension du secteur est nulle, représenter approximativement dans le plan complexe les amplitudes complexes I2 et I3.

2.

En déduire géométriquement, puis par le le calcul calcul la valeur du facteur de puissance cos φ de l’installation complète en fonction des trois intensités efficaces.

Exercice Ex ercice 29 : Facteur de puissance d’une installation Une bobine, d’inductance L et de résistance R, est alimentée par une source libre de tension e ( t ) = E 2 cos (ω t ) .   On donne

1. Calculer l’intensité efficace Ie du courant qui circule dans le moteur. 2. 3.

Exprimer puis calculer r. En déduire L. Justifier le fait que le facteur de puissance peut augmenter gràace à l’ajout d’un condensateur en parallèle avec le moteur. Cet ajout engendret-il un surcoût de consommation ?

e(t)

R = 100Ω, E = 30V, fréquence f = 40kHz et L = 0,24mH.

R K

~

B

C

i L

1.

Calculer le facteur de puissance FP du dipôle R L entre A et B.

2.

En abaissant l’interrupteur K, on branche le condensateur aux bornes du dipôle RL. Déterminer la valeur de la capacité C qui permet d’obtenir un facteur de puissance égal à 0,98, le courant principal i’(t) étant en retard de phase par rapport à la tension e(t).

Exercice 27 : Relèvement d’un fact facteur eur de puissance Un moteur M est modélisé par une bobine réelle d’inductance L et de résistance r. Il est alimenté en courant alternatif de fréquence f = 50Hz et de tension efficace U e = 220V. La puissance moyenne consommée par le moteur est P = 4,4kW et son facteur de puissance est égal à 0,6.

A

Phénomène de Résonance Exercice 30 : Résonance d’un RLC série On étudie un circuit RLC série, alimenté par une source de tension sinusoïdale de pulsation ω et d’amplitude Em, tel que représenté ci-contre : 1.

e(t)

i(t)

L R C

uC(t)

Résonance en tension :

On suppose que le facteur de puissance est relevé à la valeur 1.

1.1. Exprimer l’amplitude complexe UCm  de la tension u C(t) en fonction des données et de l’amplitude E de e(t). On introduira le facteur de qualité Q ainsi que la pulsation propre ω0 du circuit.

4.

1.2. Donner alors l’amplitude UCm réelle de la tension u C(t).

5.

Calculer la nouvelle valeur Ie’ de l’intensité efficace du courant qui alimente l’association. Quel est l’intérêt du relèvement du facteur de puissance ?

1.3. Rechercher le maximum de UCm. Peut-il y avoir plusieurs maxima locaux ? Sous quelle condition ? Préciser pour quelles pulsations ils sont atteints, et leur expression.

Calculer la valeur de la capacité capacité C du condensateur condensateur à ajouter.

Exercice 28 : Méthode des 3 ampèremètres Un abonné EDF branche sur le secteur une lampe, modélisée par un conducteur ohmique de résistance R, et un moteur, modélisé par une bobine réelle d’inductance L et de résistance r. Trois ampèremètres, placés tel qu’il est indiqué sur le schéma, mesurent les intensités efficaces suivantes : I e1 = 40A, Ie2 = 12A et Ie3 = 30A.

2. 2.

Résonance en courant : 2.1. Exprimer de la même manière l’amplitude complexe Im du courant i(t) en fonction des données et de E. 2.2. Donner alors l’amplitude Im réelle du courant i(t). 2.3. Rechercher le maximum de Im. Peut-il y avoir plusieurs maxima locaux ? Préciser pour quelle pulsation il est atteint, ainsi que son expression. 2.4. Comparer les deux résonances.

Exercice 3311 : Résonance en tension d’un circuit RLC Un circuit RLC série est alimenté par une tension d’entrée ue ( t ) = Uem cos (ω t ) .  

i

Sinusoïdale,

ue ( t )

et

on

note

u s ( t ) = U sm co s ( ω t +  ϕ  )

L

R us ( t )

C

la tension aux bornes du condensateur de capacité C. 1. 2.

3.

Quelle est, sans calculs, la nature du filtre filtre ? On pose ω  = 1 ,  x = ω  et Q =  Lω 0 . Que 0  R ω 0  LC  représentent ω 0  et Q ? Exprimer la fonction de transfert  H ( x ) =

uS 

  de ce filtre

u E 

en fonction de Q et x. 4.

Montrer que le Gain G passe par un maximum à condition que Q > Ql  et préciser la valeur de Ql . Quelle est alors la valeur de Gmax  en  en fonction de Q.

5.

Tracer le le diagramme de Bode de ce ce filtre filtre pour Q 1 = 5 et Q 2 = 0,5.

Régime Sinus Forcé en Mécanique

Exo 33 : Oscillations forcées dans un milieu liquide Une bille B, assimiliée à un point matériel de masse m, est suspendue à l’extrémité inférieure d’un ressort vertical, de longueur à vide l0 et de constante de raideur k. La bille plonge de plus dans un liquide, lui communiquant du fait des forces   pressantes une poussée d’Archimède : Π = −M ⋅ g  , où M esr la  masse de liquide déplacée par la bille et  g    le champ de pesanteur. Les frottements exercés par le liquide sur la bille sont    modélisés par une force f = − h ⋅v  , où v    est la vitesse instantanée de la bille. On impose à l’extrémité supérieure du ressort, notée A, un déplacement vertical x A (t ) = X A cos (ω t ) ,  tel que x A = 0 lorsque le système est à l’équilibre. Les cotes de A et B sont mesurées par rapport à l’axe vertical descendant (Ox). 1.

Dans toute la suite, on se place en régime sinusoïdal forcé et on pose x (t ) = X cos (ωt +  ϕ ) , le déplacement de la bille B par rapport à sa position d’équilibre. 2.

Déterminer l’équation l’équation différentielle vérifiée par x(t), en fonction de m, h, k et xA(t).

3.

Exprimer l’amplitude complexe complexe X des oscillations, en déduire l’amplitude X.

4.

Déterminer à quelle condition l’amplitude des oscillations oscillations peut devenir supérieure à celle de l’excitation.

Exo Ex o 32 : Réponse d’un oscillateur à une excitation sinus sinus Un point matériel M, de masse m, peut se déplacer sur un axe horizontal. Il est accroché à l’extrémité d’un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l 0, dont l’autre extrémité, notée A est soumise à un mouvement rectiligne sinusoïdal du type :

x A (t ) = X A cos (ω t )   On note x(t) le déplacement du point M par rapport à sa position d’équilibre.

En étudiant le système à l’équilibre (le point A étant à l’équilibre), déterminer l’expression de la longueur leq du ressort.

Exercice 34 : Système élastique de deux masses Deux points matériels A et M, de même masse m, sont reliés par un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l 0. Ces deux points peuvent coulisser sans frottement suivant un axe horizontal (Ox). On soumet le point A à une force sinusoïdale :   ω  cos ( t ) ⋅ ux  .  On note x A(t) et x(t) les déplacements FA (t ) = F0 cos respectifs de A et M par rapport à leur position au repos.

1.

Exprimer l’allongement l(t) du ressort à la date t, en fonction de x(t) et de x A(t).

2.

Déterminer l’équation différentielle du second ordre vérifiée par x(t), en négligeant les frottements et en introduisant la pulsation ω 0 = k m 

1.

En appliquant le principe fondamental fondamental de la dynamique aux points A et M, déterminer l’équation différentielle vérifiée par S(t) = x(t) + x A(t). Exprimer la solution S(t) en fonction des données.

2.

En déduire l’équation différentielle différentielle vérifiée par x(t), en

On suppose que le régime forcé est atteint. On pose donc :

x (t ) = X cos (ωt +  ϕ ) 3.

Exprimer l’amplitude complexe X du déplacement x(t).

4.

Exprimer l’amplitude X des oscillations du point M en fonction de la pulsation ω et tracer l’allure du graphe X(ω). Que se passe-t-il à la pulsation ω = ω0 ?

fonction de F 0, m, ω et ω 0 = k m  . 3.

Exprimer l’amplitude X(ω) des oscillations de M. Tracer l’allure de la courbe X(ω).

EXERCICES RCICES – EC5 / ME5 – Feuille 1/3 SOLUTION des EXE 1.5. Changement de CI : ⇒ i (t ) = E  e  − t  τ  , on a que la

Cadre de la Méthode Complexe

R 

solution transitoire, puisqu’en régime permanent, i=0.

Exercice 1 : Circuit RC en Sinus Forcé 1. Etude temporelle temporelle en régime continu : 1.1. Equa diff : RC duC  (t ) + u (t ) = E , τ  = RC   C  dt  1.2. Résolution : ⇒ u (t ) = E 1 − e − t  τ 

(

C 

)

1.3. Solution SSM : Solo transitoire, disparaît au bout de 3τ 1.4. Solution PART : Solution en régime permanent (= régime établi) quand t  +∞ (valeur finale) − t 

1.5. Changement de CI : ⇒ u C  ( t ) = E e   τ  , on a que la solution transitoire, puisqu’en régime permanent, u=0. 2. Etude temporelle en sinus forcé 2.1. Equation possible à résoudre, résoudre , mais un peu dur… du (t ) RC C  + uC  (t ) = E cos (ω t ) .  dt  2.2. Méthode complexe u tilisable en régime sinus forcé, c'est-à-dire avec une excitation purement sinusoïdale, et en régime établi (après le régime transitoire). d   ↔ × j ω  2.3. Première méthode :  dt    E cos (ω t ) ↔ E ⋅ e j ω t     On obtient : RC ⋅ j ω ⋅ uC + uC  = E ⋅ e  j  ω t  Ou en amplitude complexe :  jRC ω ⋅ ω ⋅U Cm + U Cm  = E 

1 2.4. Seconde méthode :

uC  =

 jC ω  R  +

1

E ⋅ e  j ω t  =

E ⋅ e  j ω t  1 +  jRC ω 

 jC ω 

 j ω t  E  2.5. On résout : u  = E ⋅ e  ou U   = , c’est C  Cm  1 +  jRC ω  1 +  jRC ω  la solution qui correspond au régime établi (permanent) E   2.6. Solution temporelle : UCm = U  Cm  = , 1 + R2C 2ω 2  ϕ = Arg U = −Arc tan tan ( RC ω   ) ( Cm ) C ainsi : u C (t ) = U Cm c o s ( ω t +  ϕ C )   Cm

2.7. Oui, il y a encore un régime transitoire, que l’on a pas calculé, et un régime permanent, dont la solution est celle qui est obtenue à partir de la solution complexe. 2.8. Utilité du régime transitoire ? La majorité du temps, la solution en permanent suffit (application aux filtres…)

Exercice 2 : Circuit RL en Sinus Forcé 1. Etude temporelle en régime continu : 1.1. Equa diff : L ⋅ di (t ) + i (t  ) = E , τ  = L  R dt R R   − t  E  1.2. Résolution : ⇒ i (t ) = 1 − e  τ  R 

(

)

1.3. Solution SSM : Solo transitoire, disparaît au bout de 3τ 1.4. Solution PART : Solution en régime permanent (= régime établi) quand t  +∞ (valeur finale)

2. Etude temporelle en sinus forcé 2.1. Equation possible à résoudre, résoudre , mais un peu dur… L di (t ) E  ⋅ + i (t ) = ⋅ cos (ω t  ) . R dt R   2.2. Méthode complexe uti lisable en régime sinus forcé, c'est-à-dire avec une excitation purement sinusoïdale, et en régime établi (après le régime transitoire). d   ↔ × j ω  2.3. Première méthode :  dt    E cos (ω t ) ↔ E ⋅ e j ω t     L E   j ω t  ⋅  j ω  ⋅ i + i = ⋅ e  R R  E  Ou en amplitude complexe :  j L ω ⋅ ω ⋅ I m + I  m  = R R  ω   j t  u  2.4. Seconde méthode : i  = R  = E ⋅ e  R R + jL j Lω  

On obtient :

 j ω t  E  2.5. On résout : i  = E ⋅ e  ou I   = , c’est la m  R + jL ω  R + jL ω  ω  solution qui correspond au régime établi (permanent) E   2.6. Solution temporelle : I m = I  m  = 2 2 2 , R + L ω   ϕ  = Arg I = −Arc  tan tan L  ( m )  i R  ainsi : i (t ) = I m c o s (ω t +  ϕ i  )

( )

2.7. Oui, il y a encore un régime transitoire, que l’on n’a pas calculé, et un régime permanent, dont la solution est celle qui est obtenue à partir de la solution complexe. 2.8. Utilité du régime transitoire ? La majorité du temps, la solution en permanent suffit (application aux filtres…)

Exercice 3 : Circuit RLC en Sinus Forcé 1. Etude temporelle en régime continu continu : 2 1.1. Equa diff : LC d uC (t ) + RC duC  (t )  + u (t ) = E   C  dt  dt 2 1.2. Résolution… Voir ExoTech n4… SSM   solution transitoire, PART  solution permanente (établie) 1.3. Résolution… . Voir ExoTech n4… 3 régimes possibles possibles en fonction de l’amortissement… valeur finale nulle. 2. Etude temporelle en sinus forcé 2.1. Méthode complexe pour simplifier en régime établi pour une excitation purement sinusoïdale. 2.2. Equation complexe : ( −LC ω 2 + jRC ω  + 1)uC  = E ⋅ e j ω   t  E   UCm = U  Cm   =  2 2.3. Solution temporelle : 2 ,  1− LC ω2 ) + ( RC ω   ) (    RC ω   tan  ϕ C = Arg (UCm ) = −Arc  tan 2  1 − LC ω    ainsi : u C (t ) = U Cm c o s ( ω t +  ϕ C )   Cm

2.4. Oui, régime transitoire non calculé (inutile), la solution complexe est la solution du régime établi.

Exercice 8 : Circuit RLC série

Calculs Calculs d’impédances

1.

Exercice 4 : Impédance caractéristique 1

RC série :

Z eq  = R  +

RL série :

Z eq  = R + jLω  

RC parallèle :

Z eq  =

Z eq  =

=

1 1 R 

RL parallèle :

 jC ω

+

R

jC ω 

=

R  1 +  jRC ω 

=

 jRL ω  R + jL ω 

+  jC ω 

1 1

1 +  jRC ω 

RLC série :

Z eq  = R +

RLC parallèle :

Z eq  =

1

 jC ω

+ jLω  =

1 1 R

+  jC ω +

=

1

1 +  jRC ω − LC ω 2 jC ω 

 jRL   jRL ω  R + jLω − RLC ω    2

jL ω 

1.

On a Z = jLω + AB 

 jC ω + Et ZAB  =Z

⇔Z (1−LC LCω2 + jCωZ ) = jLω(2−LCω2 ) +(1−LCω2) Z   

L Il faut donc : Z = 2 − LC ω 2 ) = ( C 2. Résistor si Z réelle, donc si 2L  2 2 > L ω

2 L  C 

2

1.

2

⇔ ω <

Donc :

2.

  1  C ′ = C  1 +  ( RC ω )2     ⇔ R   ′ 2 R  = 1 + ( RC ω ) 

 R   L′ = L 1 + 2 2   L ω   2

et

+ jL ω 

L  =4 C 

 

Il y aura un

+  jC  ω 

3.

4.

Ainsi:

r + jL ω  1 +  jrC ω − LC  ω 2 r 2 + ( L ω )

Z = Z eq  =

2

2

(1 − L C ω ) + ( r C ω   ) 2

I = I =

2

= 23 4 Ω

E E  . = = 0,44 A Z e q  Z 

I1 E   I = = j C ⋅ E   ω   1 Z  C    E   I   = E = 2  Z L  r + j L ω   I = I1 + I2    I 1 = I 1 = C ω E = 0,628 A I2 On a  2 2 2 r + L ω  = 1,06 A I 2 = I 2 = E   A r g ( r + j L ω ) = A r c  tan  L ω   = 8 4 °  r     

E

1.

 jRL   jRL ω  R + jL ω  −RLC ω 2 ⋅E = ⋅E = ⋅E U R  =  jRL   jRL ω  1 ZC + Z LR  R + jLω − RLCω   2 +  jCω R + jL ω  Z LR 

Ainsi :

Calcul de tensions et de courants

=

Exercice 10 : Courant indépendant du dipôle

 jRL ω  Idem… Z = R ′ + jL′ω  = Z   = série  R + jL ω 

 L ω   R ′ = R 1 + 2  R  

1 r + jL ω 

Exercice 7 : Dipôles RL équivalents

Donc

1

LC 

Donc : (1 − RCR ′C ′ω 2 ) + j ω ( R ′C ′ + RC − RC ′ ) = 0

2

Z eq  =

− L ω   

1 +  jR ′C ′ω  R  2 dipôles équivalents : Z = = Z  = série   jC ′ω 1 + jRC ω 

2

 jC ω 

phénomène de surtension aux bornes du condensateur.

2

Exercice 6 : Dipôles RC équivalents

 partie réelle ) ( partie  RCR ′C ′ω 2 = 0 Et 1 − RCR  R ′C ′ + RC − RC ′  = 0 ( partie imaginaire )   partie imaginaire 

1

Exercice 9 : Intensité dans une association de dipôles

 jLω + Z 

C

Facteur de qualité Q  = 1

R

 jLω + Z  = jLω +  1− LCω2 + jCω Z  

1

R+

E E   = = 0,54A I = I = 2 1   1   Et:  R + j  L ω − R 2 +  L ω −  C ω   C ω     ϕ  = Arg (I ) = Arg (E  ) − Arg Z = Arc tan  1  Lω   − 1   = 86°    eq   i  C ω   R   U R = U  R  = ...  R ⋅ E   U  R  = 1 ϕ  = Arg (U    ) = ... = 86°  R+ + jL ω  R   R 2. On a :   jC ω  U = U   = ...  C  E jC ω    C ⇒ U  C  = 1  ϕ C = Arg (U C   ) = ... = −4° R+ + jL ω  ω   jC     U L = U  L  = ...  jLω ⋅ E  U  L  =  1  ϕ  = Arg (U L   ) = ... = 176° R+ + jL ω   L   jC  ω  

3.

Exercice 5 : Impédance caractéristique 1

E 

( )

jL ω 

1

E On a Z = R + 1 + jLω ,  donc I  = eq  =  jC ω  Z eq 

2.

I =

U  R  R 

=

2 −LC ω 

R (1 − LC ω 2 ) + jLω  

i(t) indépendant de R si

ω  =  =

1 LC 

?

⋅ E 

 

SOLUTION des EXERCICES – EC5 / ME5 – Feuille 22/3  /3 Exercice 11 : Caculs d’intensités 1.

I1 =

1 ω  R + jL ω 

Calcul de déphasages

⋅ E   et I 2 = jC ω ⋅ E .  (I2=0,488A)

Exercice 15 : Courant et tension en phase

E   I1 = I1 = = 0,512 A  2. Calcul :  R 2 + L 2ω 2  I2 I = I1+I2 ϕ  = Arg I = − Ar c  tan  L ω   = −9 ° ( 1 1)     R   E 3. Graphiquement... R + jL ω  1 Z eq  = = I1 1 (1 − LC ω2 ) + jRC ω    jC ω + R + jL ω  On vérifie : 2 2  E (1 − LC ω 2 ) + ( RC ω   )  = 0,62 A I = I = R 2 + L 2ω 2 ⇒    Lω   RC ω   + Arc t an  = 39° ϕ i  = 0 − Arc tan   2  R    1 − LC ω   

1.

R  + Y  eq  =

2.

On a

Z eq  = j L ω +

1  jC  ω  +

1

= j L ω  +  

2. 3.

4.

C’est à dire: ⇒

1.

 

(Partie imaginaire nulle, il reste la partie réelle = Req) Alors: I = E / Req = 4,3A. U = U AB = jLω I = L ω I = U AB =  206V     Tensions  AB  RI   = 260V   U BD = U BD = Z R C ⋅  I = 2 2 2 + 1 R C  ω   Intensités : I1 = UBD / R = 2,6A et I 2 = |I2| = |jCωUBD| = 3,4A.

 

  2.

=

r R C )  ( L + rR

⇒

2

r − R L C ω 

ω  =

1 LC 

L − r 2C  L − R 2C  

2

Or A r g ( Z 1 ) + A r g ( I m 1 ) = A r g ( Z 2 ) + A r g ( I m    2 ) π 

Z1 = r+jLω

2

Angle droit entre Z1 et Z2 SSI Pythagore est respectée:

 jLω

1

2

 1  2 2  C ω   = Z 1 + Z 2   2 2  2  1  1   2 2 2  r L r L = + + + − ω ω  ( ) Cω   C ω           

Ainsi:

 

2.

1   1 + R 2 C ω − L ω   

1  1   2R 2  C ω  − C  +   1 L ω    L ω 2   ⇔ =0 3 2  2 2 1     1 + R 2  C ω  −   L ω     

On retrouve la pulsation de coupure: ω = ω  = 0

1 − LC ω

2

A rg rg Z 1 − A r g Z  2 =

1.

Z LC 

dU   =0 d ω 

+ R )C

L  C  = 2 r + L 2 ω  2

r 1

C ω 

Z2 = r + jL jLω   +

 jC ω 

1  jC ω 

 jLω

Exercice 17 : Caractéristiques d’une bobine réelle

 jL ω  2 1 U= ⋅ E = 1 − LC ω  ⋅ E = ⋅E  jL ω  1  R + Z LC   R + 1 + jR C ω −  1− LC ω 2 L ω   Amplitude: E  U = U   = 2

On dérive:

(r

 ( r + R )C ω   ω ( L + r RC )   Ar c t a n  = Arc ta  n   2  1 − LC ω   r − R LC ω  2     

Donc on a également :

R ′ 1 ⋅U  E  → k  = R + R ′ US = R  1 +  jRC  ′ω  1+ ⋅ R ′ 1 + jR ′C ω   

Exercice 14 : Résonance en tension

2.

i = Y eq ⋅ u   ,  donc u et i sont en

ou

Et i1(t) et i2(t) en quadrature Arg ( I ) − Ar g ( I    ) = π  m1 m 1

Exercice 13 : Sonde d’oscilloscope

1.

(1 − L C ω 2 ) + j ( r + R )C ω   ( r − R L C ω 2 ) + j ω  ( L + r R C ) 

E m = Z 1 ⋅ I m 1 = Z 2 ⋅ I m  2  

R R C  = 36, 4Ω et L = = 0,12H 2 2 2 1+ R C ω 1 + R 2C 2ω 2  

Il faut R’C = RC’ (ne dépend dépend plus plus de la fréquence) fréquence)

 jC  ω 

On a e = Z 1 ⋅ i 1 = Z 2 ⋅ i 2    ou en amplitude complexe:

2

2.

 jC  ω  1 + 1 + j R C ω r + j L ω  

Exercice 16 : Déphasage entre deux branches

R 

Relation:

r + jL ω

=

( )

R  1 +  jR C  ω 

1.

1

phase si A r g Y     = 0 eq 

  )  R 2C ω   ou Z = jL ω + R (1 − j R C ω  ω  R j L   = + −    eq eq 1 + R 2C 2ω 2 1 + R 2C 2ω 2   

Ainsi: R = eq 

+

1

On a u = Z eq ⋅ i

Exercice 12 : Calculs d’intensités 1.

1

=

Y  eq 

1 L C 

Y est nécessairement d’amplitude plus faible que X, car le circuit est passif, et il d’agit de la tension aux bornes d’une R. Attention, une surtension ne peut apparaître qu’aux bornes d’un C ou d’une L (qui ( qui stockent l’énergie). On a  et on lit sur R  UY =

⋅ U   X   1   R + r + j  L ω   − C  ω    la courbe un déphasage de π/4, donc :  1   π   L ω − 1 C  ω    A r g  R + r + j  L ω  −  = = A r c ta  n    C ω    4   R + r   

Ainsi : 3.

R + r = L ω  −

On lit un gain

G  =

U  Y   U  X  

1 C  ω  =

1 = 2

R 

1   R + r + j  L ω   −  C  ω   

Donc : 1

2

R

=

(R + r )

2

 

+  L ω  −

1  C ω  

2

Exercice 22 : Calcul d’intensité efficace

R 

=

2 ( R + r  )

2

1.

(

2

4.

On en déduit : L =

1 

 R + r + C  ω   = 25 m H 

 

ω

2.

 

R 

UY =

⋅ U  X  

1.

 en phase

R  R + r + j L ω    + 1 +  jR C  ω   U  Y      R  ⇒ A rg   = 0 = − A r g  R + r + j L ω   +   U X    1 + j R C ω      R 2C  D’où : ... L = = 4 4 m H   1 + R 2C  2 ω  2

2.

P active : P = Re ( Z ) × I 2 e

3.

R  1 +  jR C  ω 

R   = r + 1 + R 2C  2ω 2 

 2  × I e    

(

)

( ) ( L ω  − 1C ω ) = ( 1C  ′ω ) 2

Z  =

1 R

+

1 1 jL ω 

= +  jC ω 

P = Re( Z ) ×I  e  =

 

R 

2

1   + C ω − 2 Lω  R   PC = PL = 0, et PR = RIR2, avec I R  =

Z L //C  R + Z L //C 

⋅I =

1

3.

1  1  1 + R  jC ω +   jL ω  

= 2, 7 − 1, 0j 

P  = 13,6 A Re ( Z  )

2

2

(

⇔

Ue2

+

) (

)

−2R ⋅ R ⋅U e 2  

( R 2 + 4L2π 2f  2 ) ( R 2 + 4L2π 2f  2 ) ⇔ U e 2 ( R 2 + 4 L2π 2f 2 ) = 2R 2U e 2   

1

C =

2

2 L ω 2

 

2

=0

mH     ⇒ L = 38mH

= 13 3 µ F  

Puissance consommée

P  =

Ue2 = Re( Z )

R ×U  e 2

(R + R )

2

dP  =0 d ω  R = Rg .

⇔ ...

⇔ ω = ω opt  =

2

1   +  L ω − C ω  

1 LC 

Exo 25 : Etude d’un transfert de puissance électrique

2

2.

Z = R 2 + X  2 = 100Ω  0 Z = R + jX = 50Ω + j ⋅ 87Ω = Z 0 ⋅ e   ⇒   X   α  = Arc tan   = 60°  R    P C  On a PC = V2 I cos(Ψ) ⇒ I = = 36,4 A V  2 ⋅ c o s ( Ψ )  j α 

3.

On a v = v + Z ⋅ i  ,  d’où : V1 ⋅e jθ =V2 +Z0 ⋅e jα ⋅I ⋅ej ψ   =V2 +Z0 ⋅I ,    1 2

4.

et ainsi : V 1 = V 2 + Z 0 I = 25,6 k V      θ  = 0 Puissances : PG = V1  I cos(Ψ) = 466kW, P C  = 400kW, et PL = R I2  = 66kW, on retrouve le bilan de puissance PG = PC + PL, et le rendement : η = PC /PG = 86%.

2

R × I  e 2

=

 jC ω  1 + jR2C ω  

U R ⋅U e       1 R ⋅U R ⋅U   ⇒ P  = Reff = ⋅ 2 2e 2 = 2 ω  R + jL ω  R R  R + L ω R + 4L2π 2f 2    

1  L ω  

+ j C ω −

1 × I   2 e 

2

2.

R

 

, on en déduit :

1 1

2.

1.

Exercice 21 : Circuit RLC parallèle 1.

R1

+

 g 

Dans les deux branches: P et P’

Même puissance si :

1

⇔ R = Ropt  = 2Lπ f

1.

 U e2 U  e  2 2 P R I R R   = × = × = ×  e  Z  2  R 2 + L ω  − 1  C ω   2 2 U  e   P ′ = R × I ′2 = R × U e = R ×   e  2 2  Z  ′ R 2 + 1  C  ′ω 

2.

1 R2 + 1 jC ω

Exercice 24 : Circuit RLC série alimenté par un GBF

équivalente nte dans 2 branches Exercice 20 : Puissance équivale 1.

+

1

=

2

U  R  =

2.

 

Exercice 19 : Association de dipôles Impédance : Z = r + j L ω    +

1

On en déduit: I = e 

dP  =0 dR 

Puissance en Régime Sinusoïdal Forcé

1.

1

énergétiquee d’un circuit Exercice 23 : Etude énergétiqu

Exercice 18 : Mesure d’une inductance On a

Z=

R1

)

Et : 2( R + r ) = 4R2 ⇒ R + r = ±R 2 ⇒ r = R   2 −1 = 21Ω

1

Impédance:

Facteur de Puissance

. 2

1   1 + R C ω −  L ω  

moteur Exercice 26 : Puissance d’un moteur 

2

1.  et I = R

⋅ I  

Z L // C  R + Z L // C 

⋅ I  e  .

R  =

U   P  2 2 2 = 20,4 Ω et Z = e  = 31,4Ω = R + L ω  , donc 2 I  e  I  e 

Lω  =

1 ω 

Z 2 − R 2 = 23,9Ω  et L =

1 ω 

Z 2 − R 2 = 76 mH  

2.

FP = P / S = cos φ (en sinus) = P / (UeIe) = 0,65

3.

Il faut I = C ωU = I sin ϕ ⇒ C = I  e  sin ϕ  = 77µ F C e e  ω U  e 

4.

 

 

 

Intérêt : Moins faire chauffer les lignes lignes EDF... EDF... donc moins de pertes inutiles à puissance active égale.

SOLUTION des EXERCICES – EC5 / ME5 – Feuille 3/3 /3 3 /3 Exercice 27 : Relèvement d’un facteur de puissance 1. 2.

Courant dans le moteur : I = e 

P 

en posant

= 33,3 A

U  e  ⋅ c os (ϕ  )

IC U φ I P  U  e  ⋅ c o s ( 0 )

= 20 A

On mesure sur le schéma, ou on peut calculer : 



 2

cos ϕ =

 

⇒ I 3 = I 3 = I 3 ⋅I 3 = I

I3 = I1 −I 2

et

 2

2

2

2

I 1 + I 2 − I  3 = 0, 88 2I 1I  2

2 1

e = E 2 ⋅ e On a    Z = R + jLω 

 jω t 

⇒i =

e  Z 

2. 2. + I 2 − 2I 1I 2 c  os  ϕ 

et 2.

Tracé : On a  I =

2

2

 IC  = I sin ϕ − I sin ϕ′ = I

φ'

= 0,26 A

Et I = C ω E C 

⇒C =

U

I

(

2

2

)

1 − cos ϕ − 1 −cos ϕ′ =80   , 0mA

I  e  ( sin ϕ − sin ϕ ′ ) ω U  e 

= 10,6 nF

 

 

Phénomène de Résonance Exercice 30 : Résonance d’un RLC série 1.

Résonance en tension : 1.1.On a U   = Cm 

Em = 1 +  jRC ω − LC ω 2

E m 

1 +  j 

R

…

2

2

+ x 

Q 2

R 

=

E m 

1  1 +  jQ  x  −  x   

Em

 

R 1 + Q 2  x  −

1 x  

2

=

E m  RD ′

2.3. Maximum pour le dénominateur D’ minimum :

IC

φ 2

U Rm

I  m  =

( )

 R + L ω 

Donc :

2.2. Intensité réelle :

ϕ  = Arg Em − Arg ( Z ) 

F P = cos ϕ  = 0, 86 86

 E 

L  C 

Résonance en courant : 2.1. Intensité complexe : I   = m 

⇒ ϕ  = 28, 5 °

D’où ϕ  = − Arc tan  2 Lπ  f   = −31,1 °     R 

1

t o u j o u r s po ss ib le  

2

Exercice 29 : Facteur de puissance d’une installation 1.

ω 0 RC

=

 1 1  x = 1 − 2Q  2 po ssib le si Q  > 2  ω  = 0 2 maxima possibles :   1 2   ω = ω 0 1 − 2Q  2 = ω0 1 − 2σ  U Cm (ω  = 0 ) = E m   Valeurs :  Q ⋅ E m  U  Cm (ω = ω r  ) = 1  1−  4Q  2 

I1 (40A)

I3 (30A)

(1 − x 2 )

2 solutions : 

I2 (12A)

2.

1

E m 

x = 0

. On a

Exercice 28 : Méthode des 3 ampèremètres Représentation :

Q  =

1.3. Maximum de U Cm   minimum du dénominateur D2 : dD  2 =0 ⇔ 2 (1 − x 2 ) ( − 2 x  ) + 2 x  2 = 0 Q  dx   1  ⇔ 2 x  2 − 2 (1 − x  2 )  = 0  Q  

baissé la valeur efficace du courant absorbé, donc les pertes par effet Joule dans la ligne, c’est le C qui fournit le surplus de courant déphasé demandé par le moteur, plus le réseau. Il faut IC = Ie sin(φ) = 26,6A = Cω U e, donc C = Ie sin(φ)/ωUe = 386 μF.

1.

LC 

1.2. Ainsi : U = U   = Cm Cm  

3.

5.

et

ω 0

ω 

Déjà vu en TD... voir schéma... on peut remettre U et I en phase en compensant la partie complexe de l’impédance, pour tendre vers P = S (F P = 1). Aucun surcoût de conso, car le condensateur ne consomme pas de Puissance active, il ne fait que relever le F P. 4. Si FP = 1, nouveau courant : I ′ = e 

1

On peut aussi définir la pulsation réduite x  = ω 

On a r  = P  = 3,97 Ω et L = r  ta n ϕ  = 1 7 m H   . 2 I  e 

ω 0 =

1 ω Q  ω 0

−

ω

2

ω 0

2

,

 

dD ′2 =0 dx

2



1  1 1  x −  = 2Q 2x  1 −  2  = 0 2  x    x   x   x  = 0 ω  = 0 ⇔ ⇔ x  = 1 ω = ω 0 ⇔ 2Q 2 1 +

→0 I  m   ω →0 Expressions Expressions :   E m  I m  (ω = ω 0 ) = R  

(constante ) 

2.4. Résonance en tension : pas toujours possible (il faut un faible amortissement), peut atteindre des valeurs supérieures à Em  (surtension), la pulsation de résonance et la valeur du maximum dépendent du facteur de qualité Q (selon l’amortissement). Résonance en courant : toujours possible, mais la valeur atteinte est constante, toujours la même quel que soit le facteur de qualité, il s’agit de E m /R, il n’y a donc pas de surintensité dans un RLC série. La pulsation de résonance ne dépend pas non plus de Q

Exercice 3311 : Résonance en tension d’un circuit RLC 1.

2.

Sans calculs : on on considère les cas limites : ω  0 : C équivalent éq uivalent à un circuit ouvert, donc u S = ue. ω  +∞ : C équivalent éq uivalent à un court-circuit, donc uS = 0. Par conséquent le filtre est passe-bas.  Lω 0 le 1   = pulsation de coupure du filtre et Q= ω 0 =  = facteur de qualité, augmente quand l’amortissement diminue (meilleur qualité  plus d’oscillation)

4.

Transfert :  H ( x ) = Gain :

uS u E

=

Z C  R + ZC + Z L

= ... =

1

G = H ( x) =

(1 −  x ) 2

2

1 2

1 − x + jx Q

, idem exo 31

( Q)

+  x

2

Maximum ? Si le dénominateur est minimuim : dD  2 =0 ⇔ 2 (1 − x 2 ) ( − 2 x  ) + 2 x  2 = 0 Q  dx   1  ⇔ 2 x  2 − 2 (1 − x  2 )  = 0  Q  

Allongement l(t) = x(t) – x A(t).

2.

Equation : xɺɺ (t ) + ω0 x (t ) = ω 0 x A (t )  

2

3/4. En cplx :

X =

ω 0 2 2

2

ω0 − ω 

2

⋅X A

⇒ X   =



x 

ϕ  = − A r c  t a n 

GdB 14 -2

-1

1

Q 2 = 0,5 -20

2 log x

Q 1 = 5

-40 -60 φ (°) -2

-1

1

2 log x

-90° Q 2 = 0,5 Q 1 = 5 -180°

 ω   1−   ω 0 

2

Exercice 33 : Oscillations forcées dans un liquide m − M   g  . k  2. Equation : mxɺɺ + hxɺ + kx = kx A  1.

Equilibre : PFS … l eq  = l 0 +

3.

Résonance : h >

1.

   Q (1 − x  2 )    Tracer le diagramme de Bode de ce filtre pour Q 1 = 5 et Q 2 = 0,5.

Bode ? Gain + phase

X  A

2km 

Exercice 34 : Système élastique de deux masses

toujours possible   x = 0  2 solutions :  1 1 = Qlim  x = 1 − 2Q 2 possible si Q > 2  Valeurs max du gain : Q  G max  = 1 1− 4Q  2 5.

1.

 R

 LC   LC 

3.

Exercice 32 : Oscillateur avec excitation sinus

2.

mSɺɺ = F A (t ) , S (t ) = 2

−F  0

m ω 2

Equation : xɺɺ (t ) + 2ω0 x (t ) = 2

cos (ω t )   −F  0  ω 0 

2

  cos (ω t ) m   ω  

F    ω   1 3. Solution : X   = 0  0  m   ω   −ω 2 + 2ω 0 2