Zoran Mitrovic - Vjerovatnoca i Statistika

´ I STATISTIKA VJEROVATNOCA Zoran Mitrovi´c Elektrotehniˇcki fakultet u Banjaluci

2

Sadrˇ zaj 1 Predgovor

5

2 Prostor vjerovatno´ ca 2.1 Prostor elementarnih dogadaja . . 2.2 Relacije i operacije sa dogadajima 2.3 Aksiome teorije vjerovatno´ce . . . 2.4 Osobine vjerovatno´ce . . . . . . . . 2.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

7 7 8 9 11 13

3 Uslovna vjerovatno´ ca 3.1 Uslovna vjerovatno´ca . . . . . 3.2 Nezavisni dogadaji . . . . . . 3.3 Fomula potpune vjerovatno´ce 3.4 Bajesova formula . . . . . . . 3.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

15 15 16 17 18 19

. . . . . . dogadaja . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

27 27 28 29 30 33

. . . . . . . . . . . . .

35 35

. . . . .

36 37 39 40 42

. . . . .

. . . . .

4 Viˇ sestruka ispitivanja 4.1 Bernulijeva ˇsema . . . . . . . . . 4.2 Najvjerovatniji broj pojavljivanja 4.3 Puasonova raspodjela . . . . . . 4.4 Normalna (Gausova) raspodjela . 4.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

5 Sluˇ cajne promjenljive 5.1 Definicija i neki primjeri . . . . . . . . . . 5.2 Zakon raspodjele sluˇcajne promjenljive diskretnog tipa . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Funkcija raspodjele sluˇcajne promjenljive 5.4 Sluˇcajne promjenljive neprekidnog tipa . . 5.5 Pregled vaˇznijih raspodjela . . . . . . . . 5.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

ˇ SADRZAJ

4 6 Sluˇ cajni vektori 6.1 Sluˇcajni vektori . . . . . . . . . . . . . 6.2 Funkcija raspodjele sluˇcajnog vektora 6.3 Uslovne raspodjele . . . . . . . . . . . 6.4 Funkcije sluˇcajnih promjenljivih . . . . 6.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

43 43 45 46 47 49

7 Numeriˇ cke karakteristike sluˇ cajnih promjenljivih 7.1 Matematiˇcko oˇcekivanje . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Varijansa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Kovarijansa i koeficijent korelacije . . . . . . . . . . 7.4 Matematiˇcko oˇcekivanje i varijansa nekih raspodjela 7.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

51 51 53 55 57 59

8 Karakteristiˇ cne funkcije 8.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Osnovne osobine . . . . . . . 8.3 Karakteristiˇcne funkcije nekih 8.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . raspodjela . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

61 61 62 65 66

. . . . . . . . . . . . . . . . vjerovatno´ce . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

67 67 68 69 70 71

10 Matematiˇ cka statistika 10.1 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Ocjenjivanje parametara raspodjela . . . . . . . . . . . . 10.3 Intervali povjerenja za nepoznatu binomnu vjerovatno´cu 10.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

73 73 74 77 78

9 Graniˇ cne teoreme ˇ sevljeva nejednakost . . 9.1 Cebiˇ 9.2 Neke graniˇcne teoreme . . . 9.3 Vrste konvergencija u teoriji 9.4 Centralna graniˇcna teorema 9.5 Zadaci . . . . . . . . . . . .

11 Sluˇ cajni procesi 79 11.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 11.2 Lanci Markova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 11.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 12 Literatura

83

Glava 1

Predgovor

5

6

GLAVA 1. PREDGOVOR

Glava 2

Prostor vjerovatno´ ca Uslovi nekog eksperimenta (opita) ne moraju jednoznaˇcno odredivati rezultat. Na primjer ako se eksperiment sastoji u ”bacanju”novˇci´ca rezultat nije jednoznaˇcan, jer se moˇze desiti da padne pismo (P) ili grb (G). Moˇzemo re´ci da se u ovom sluˇcaju radi o sluˇcajnoj pojavi. Izuˇcavanjem zakonitosti sluˇcajnih pojava bavi se teorija vjerovatno´ce. Teorija vjerovatno´ce se poˇcela razvijati u 16. vijeku. Prva knjiga iz ove oblasti je ”De Ludo Aleae” (O igri kockom), koja je ˇstampana 1663. godine. Njen autor je Girolamo Cardano. Osnivaˇcem moderne teorije vjerovatno´ce smatra se Aleksandar Kolmogorov. On je 1933. godine dao aksiomatsko zasnivanje teorije vjerovatno´ce. Teorija vjerovatno´ce je sastavni dio nekoliko nauˇcnih oblasti na primjer: teorije telekomunikacija, teorije pouzdanosti, teorije informacija, teorije automatskog upravljanja.

2.1

Prostor elementarnih dogadaja

Definicija 2.1. • Skup Ω svih mogu´cih ishoda nekog opita naziva se prostor elementarnih dogadaja. • Sluˇ cajan dogadaj (dogadaj) je bilo koji podskup skupa Ω. • Nemogu´ c dogadaj oznaˇcavamo sa ∅, a Ω je siguran dogadaj.

Primjer 2.1. 1. Baca se kocka i registruje broj koji je pao na gornjoj strani. Neka je A dogadaj koji oznaˇcava da je pao paran broj. Tada je Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 } i A = {ω2 , ω4 , ω6 }, gdje je ωk −pao je broj k. 2. Novˇci´c se baca ˇcetiri puta i registruje koliko je ukupno puta palo pismo. Neka je A dogadaj: broj pisama jednak je broju grbova. Tada je Ω = {GGGG, GGGP, . . . , P P P P }.

Broj elemenata skupa Ω je 24 = 16. Dogadaj

A = {GGP P, GP GP, GP P G, P GGP, P GP G, P P GG} 7

´ GLAVA 2. PROSTOR VJEROVATNOCA

8 i ima 6 elemenata.

3. Novˇci´c se baca do pojave grba. Ovde je Ω = {G, P G, P P G, . . .} i ima beskonaˇcno elemenata. 4. Gada se kruˇzna meta polupreˇcnika r i registruje udaljenost pogotka od centra mete. Neka je ∞ oznaka za promaˇsaj. Tada je Ω = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ r} ∪ {∞}. U ovom sluˇcaju Ω ima neprebrojivo elemenata. Primjer 2.2. U kutiji se nalaze ˇcetiri listi´ca oznaˇcena brojevima 1, 2, 3, 4. Odrediti skup ishoda, ako se listi´ci izvlaˇce jedan po jedan do pojave neparnog broja (bez vra´canja). Ω = {1, 3, 21, 23, 41, 43, 241, 243, 421, 423}.

2.2

Relacije i operacije sa dogadajima

U skupu Ω definiˇsemo relacije i operacije sa dogadajima na isti naˇcin kao i sa skupovima: • Ako dogadaj A implicira dogadaj B, to oznaˇcavamo sa A ⊆ B. • Dogadaji A i B su ekvivalentni ako vrijedi A ⊆ B i B ⊆ A. • Suprotan dogadaj dogadaja A oznaˇcavamo sa AC ili A i vrijedi AC = {ω ∈ Ω : ω ∈ / A}.

• Presjek dogadaja A i B oznaˇcavamo sa A ∩ B i vrijedi A ∩ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B}. • Uniju dogadaja A i B oznaˇcavamo sa A ∪ B i vrijedi A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∨ ω ∈ B}. • Razlika dogadaja A i B je dogadaj A \ B za koji vrijedi A \ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ / B}. Primjer 2.3. Neka se opit sastoji u bacanju kocke i neka je dogadaj A−pao je paran broj, B−pao je neparan broj, C−pao je prost broj. Odrediti dogadaje A ∪ B, B ∩ C i C. Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 },

A = {ω2 , ω4 , ω6 }, B = {ω1 , ω3 , ω5 }, C = {ω2 , ω3 , ω5 },

A ∪ C = {ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 }, B ∩ C = {ω3 , ω5 }, C = {ω1 , ω4 , ω6 }.

´ 2.3. AKSIOME TEORIJE VJEROVATNOCE

9

Prebrojiva unija odnosno presjek dogadaja Ai , i ∈ N definiˇse se na sljede´ci naˇcin: \ [ Ai = {ω ∈ Ω : (∃i ∈ N) ω ∈ Ai }, Ai = {ω ∈ Ω : (∀i ∈ N) ω ∈ Ai }. i∈N

i∈N

Navedimo i neke osobine definisanih operacija i relacija: 1. A ∪ A = A, A ∩ A = A, 2. A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, 3. A ∪ Ω = Ω, A ∩ Ω = A, 4. A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, 5. (AC )C = A, ∅C = Ω, ΩC = ∅, 6. A ∪ AC = Ω, A ∩ AC = ∅, 7. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, 8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), 9. (A ∪ B)C = AC ∩ B C , (A ∩ B)C = AC ∪ B C .

2.3

Aksiome teorije vjerovatno´ ce

U aksiomatskom zasnivanju teorije vjerovatno´ce znaˇcajan je pojam σ−polja dogadaja. Definicija 2.2. Neka je Ω prostor elementarnih dogadaja i P(Ω) familija svih podskupova od Ω. Skup F ⊆ P(Ω) nazivamo σ−polje dogadaja ako vrijedi: 1. Ω ∈ F, 2. A ∈ F ⇒ AC ∈ F, 3. (∀i ∈ N)Ai ∈ F ⇒

S

i∈N

Ai ∈ F.

Primjer 2.4. (i) Neka je Ω proizvoljan skup i F = {∅, Ω}. Tada je F σ−polje dogadaja. (ii) Neka je Ω = {ω1 , ω2 }, familija F = {∅, {ω1 }, {ω2 }, {ω1 , ω2 }} je σ−polje dogadaja. (iii) Neka je Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 }, familija F = {∅, Ω{ω1 }, {ω3 }, {ω2 , ω3 , ω4 }} nije σ−polje dogadaja. Teorema 2.1. Neka je F σ−polje dogadaja. Tada vrijedi: 1. ∅ ∈ F,

´ GLAVA 2. PROSTOR VJEROVATNOCA

10

2. A, B ∈ F ⇒ A ∩ B, A \ B ∈ F , T Ai ∈ F. 3. Ai ∈ F, i ∈ N ⇒ i∈N

Definisa´cemo sada pojam vjerovatno´ce koriste´ci aksiomatski pristup A. Kolmogorova. Definicija 2.3. Neka je Ω prostor elementarnih dogadaja i F σ−polje dogadaja. Funkcija P : F → R je vjerovatno´ca ako vrijedi: 1. P (A) ≥ 0, (∀A ∈ F), 2. P (Ω) = 1, +∞ P

3. P (

i=1

Ai ) =

+∞ P i=1

P (Ai ) za sve Ai ∈ F, i ∈ N takve de ja Ai ∩Aj = ∅, i 6= j.

Ove osobine redom zovu se: nenegativnost, normiranost i σ−aditivnost. Broj P (A) je vjerovatno´ ca dogadaja A. Uredena trojka (Ω, F, P ) se zove prostor vjerovatno´ ca. Navedimo neke primjere. Primjer 2.5. (Konaˇ can prostor vjerovatno´ ca) Neka je n ∈ N i n P Ω = {ω1 , . . . , ωn }, F = P(Ω) i pi ≥ 0, i = 1, . . . , n, takvi da je pi = 1.

Funkcija P : F → R definisana sa X P (A) = pi , I = {j : ωj ∈ A},

i=1

i∈I

je vjerovatno´ca. Ako je pi = n1 , i = 1, . . . , n kaˇzemo da se radi o klasiˇ cnoj ili Laplasovoj definiciji vjerovatno´ce. Primjer 2.6. Odrediti vjerovatno´ce svih mogu´cih zbirova pri bacanju dvije kocke. Primjer 2.7. (Geometrijska definicija vjerovatno´ ce) Neka je Ω skup u R2 ˇcija je povrˇsina µ(Ω) pozitivna i konaˇcna. Neka je F = {A ⊆ Ω : A ima povrˇsinu }. Definiˇsimo P : F → R tako da je P (A) =

µ(A) . µ(Ω)

U ovom sluˇcaju funkcija P je vjerovatno´ca. Ovde se radi o geometrijskoj definiciji vjerovatno´ce.

´ 2.4. OSOBINE VJEROVATNOCE

11

Primjer 2.8. Na kruˇznici polupreˇcnika R sluˇcajno su izabrane tri taˇcke A, B i C. Kolika je vjerovatno´ca da je trougao ABC oˇstrougli? Rjeˇsenje. Neka je x duˇzina luka kruˇznice koji spaja taˇcke A i B, a y duˇzina luka kruˇznice koji spaja B i C. Izbor taˇcaka A, B i C jednoznaˇcno odreduje brojeve x, y za koje vaˇzi 0 < x, 0 < y, x + y < 2Rπ. Znaˇci, Ω = {(x, y)|x > 0, y > 0, x + y < 2Rπ}. Trougao ABC je oˇstrougli ako je x < Rπ, y < Rπ, x + y > Rπ. Sada je A = {(x, y) ∈ Ω|x < Rπ, y < Rπ, x + y > Rπ}. Znaˇci, 1 2 2 R π m(A) 1 P (A) = = 2 2 2 = . m(Ω) 2R π 4

2.4

Osobine vjerovatno´ ce

U ovoj sekciji navodimo neke osobine vjerovatno´ce koje slijede iz definicije: • Aditivnost, P (

n P

Ai ) =

i=1

n P

P (Ai ),

i=1

• Monotonost, A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B), • 0 ≤ P (A) ≤ 1, • Vjerovatno´ca suprotnog dogadaja, P (AC ) = 1 − P (A), • Vjerovatno´ca unije dva dogadaja, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B), • Princip ukljuˇcnosti-iskljuˇcnosti, P(

k [

i=1

Ai ) =

k X i=1

P (Ai ) −

X

1≤i 0, P (B)

dolazimo do pojma uslovne raspodjele. Pretpostavimo da su X i Y diskretne sluˇcajne promjenljive. Tada je p(xi |yj ) = P (X = xi |Y = yj ) =

P (X = xi , Y = yj ) pij . = P (Y = yj ) qj

Analogno je q(yj |xi ) = P (Y = yj |X = xi ) =

pij P (Y = yj , X = xi ) = . P (X = xi ) pi

Primjer 6.2. Zakon raspodjele sluˇcajnog vektora dat je tabelom X\Y 0 1 2 3

1

2

2 27

6 27 6 27 6 27

6 27

0

0 0

18 27

6 27

0 0

1 27 3 27

Na´ci uslovnu raspodjelu X|Y = 2. Rezultat. µ 0 X|Y = 2 : 1 3

3 0

1

2

1 3

1 3

8 27 12 27 6 27 1 27

3 0

¶

.

Definicija 6.3. Sluˇcajne promjenljive X i Y su nezavisne ako vrijedi P (X < x, Y < y) = P (X < x)P (Y < y) za sve x, y ∈ R. Ako su X i Y nezavisne tada vrijedi F (x, y) = FX (x)FY (y), x, y ∈ R, gdje je F (x, y) funkcija raspodjele sluˇcajnog vektora (X < Y ), a FX (x)(FY (y)) funkcija raspodjele sluˇcajne promjenljive X(Y ). Ako su X i Y diskretne sluˇcajne promjenljive tada je nezavisnost ekvivalentna uslovu p(xi , yj ) = p(xi )q(yj ), i ∈ I, j ∈ J. Primjer 6.3. X i Y su nezavisne sluˇcajne promjenljive sa Poasonovom raspodjelom P(λ). Na´ci raspodjelu sluˇcajne promjenljive X|X + Y = m. Rjeˇsenje. P {X = k|X + Y = m} =

P {X = k, X + Y = m} , k = 0, 1, . . . , m. P {X + Y = m}

ˇ 6.4. FUNKCIJE SLUCAJNIH PROMJENLJIVIH

47

P {X = k, X + Y = m} = P {X = k, Y = m − k}. Sada zbog nezavisnosti sluˇcajnih promjenljivih X i Y je P {X = k, X + Y = m} = P {X = k}P {Y = m − k} = ¡ ¢ λm −2λ λk λm−k −λ −λ · (m−k)! e = m , k = 0, 1, . . . , m. k! · e k m! e P {X + Y = m} = =

m P

i=0

=

i=0

P {X = i, Y = m − i} =

P {X = i}P {Y = m − i} =

=

m ¡ ¢ m P m λ

i=0

Sada je

m P

i

m!

e−2λ =

λm −2λ m! e

P {X = k|X + Y = m} =

m ¡ ¢ P m

i=0

¡m¢ λm

i

−2λ k m! e (2λ)m −2λ m! e

=

(2λ)m −2λ . m! e

=

µ ¶ 1 m . 2m k

Znaˇci X|X + Y = m ima binomnu raspodjelu B(m, 12 ).,

6.4

Funkcije sluˇ cajnih promjenljivih

Neka je X = (X1 , . . . , Xn ) viˇsedimenzionalna sluˇcajna pomjenljiva i g : Rn → R data funkcija. Tada je funkcija Y :Ω→R data sa Y =g◦X

sluˇcajna promjenljiva. Ovde se bavimo problemom odredivanja raspodjele sluˇcajne promjenljive Y ako je poznata funkcija g i raspodjela X. Smatra´cemo da je n = 1, u opˇstem sluˇcaju su potrebna neka razmatranja iz analize funkcija viˇse promjenljivih ˇsto prelazi okvire ovoga kursa. Ramotrimo prvo sljede´ce primjere. Primjer 6.4. Neka X ima Poasonovu raspodjelu P(λ). Definiˇsimo Y = X 2 i πX Z = sin . Odrediti zakon raspodjele za Y i Z. 2 Rjeˇsenje. Imamo da je P (X = k) = e−λ

λk , k = 0, 1, . . . k!

Sluˇcajna promjenljiva Y = X 2 moˇze uzimati samo vrijednosti koje su kvadrati prirodnih brojeva i nule, pri ˇcemu je P (Y = k 2 ) = P (X = k) = e−λ

λk , k = 0, 1, . . . k!

ˇ GLAVA 6. SLUCAJNI VEKTORI

48

Sluˇcajna promjenljiva Z uzima vrijednosti iz skupa {−1, 0, 1}. Imamo da je P (Z = 0) =

+∞ X

P (X = 2k) = e−λ

k=0

+∞ X λ2k = e−λ chλ. (2k)!

k=0

Na sliˇcan naˇcin nalazimo P (Z = 1) = e−λ

shλ + sin λ 2

i

shλ − sin λ . 2 Primjer 6.5. Sluˇcajna promjenljiva X ima normalnu raspodjelu N (0, 1) i sluˇcajna promjenljiva Y ima log normalnu raspodjelu, to jest Y = eX . Odrediti raspodjelu sluˇcajne promjenljive Y . Rjeˇsenje. Za funkciju raspodjele FY sluˇcajne promjenljive Y vrijedi P (Z = −1) = e−λ

FY (y) = P (Y < y) = P (eX < y) = 0, y ≤ 0, 1 FY (y) = P (X < ln y) = √ 2π Gustina sluˇcajne promjenljive Y je ( fY =

Zln y

t2

e− 2 dt, y > 0.

−∞

2

ln y √ 1 e− 2 , 2πy

0,

y>0 y ≤ 0.

Koriste´ci ideje date u prethodnim primjerima dobijamo opˇsti rezultat. Diskretan sluˇ caj. Neka je data sluˇcajna promjenljiva X sa zakonom raspodjele ¶ µ x1 x2 · · · xi · · · X: p1 p 2 · · · p i · · · i funkcija g : R → R.

Odredimo zakon raspodjele sluˇcajne promjenljive Y = g ◦ X. Vrijedi X P (Y = g(xi )) = P (X = xj ), j∈Ii

gdje je Ii = {j : g(xi ) = g(xj )}.

Neprekidan sluˇ caj. Neka je X neprekidna sluˇcajna promjenljiva sa funkcijom raspodjele vjerovatno´ca FX (x). Tada za funkciju raspodjele vjerovatno´ca FY (y) sluˇcajne promjenljive Y imamo FY (y) = P (Y < y) = P (g(X) < y) = P (x ∈ g −1 (−∞, y)). Na kraju, zavrˇsimo sa jednim primjerom.

6.5. ZADACI

49

Primjer 6.6. Neka su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive i P (X = k) = P (Y = k) = q k p, k = 0, 1, 2, . . . , p ∈ (0, 1), q = 1 − p Sluˇcajne promjenljive Z i W definisane su sa Z = Y − X, W = min(X, Y ). (i) Pokazati da je P (W = w, Z = z) = p2 q 2w+|z| , w ≥ 0, z ∈ Z. (ii) Odrediti P (W = w). (iii) Odrediti P (Z = z). (iv) Da li su Z i W nezavisne sluˇcajne promjenljive? Rjeˇsenje. (i) Ako je Y − X = Z < 0 tada je w = W = Y i X = Y − Z = w + |z|. Dakle, P (W = w, Z = z) = P (Y = w, X = w + |z|) = p2 q 2w+|z| . Ako je Y − X = Z ≥ 0 tada je w = W = X i Y = X + Z = w + z. Dakle, P (W = w, Z = z) = P (X = w, Y = w + z) = p2 q 2w+z . (ii) P (W = w) =

+∞ X

p2 q 2w+|z| =

z=−∞ 2 2w

p q

[2

+∞ X

q

|z|

z=0

(iii)

P (Z = z) =

2 2w

− 1] = p q

+∞ X

w=0

µ

¶ 2 − 1 = p(2 − p)q 2w . p

p2 q 2w+|z| = p2 q |z|

pq |z| 1 = . 1 − q2 2−p

(iv) Sluˇcajne promjenljive Z i W su nezavisne jer vrijedi P (Z = z, W = w) = P (Z = z)P (W = w).

6.5

Zadaci

1. Zakon raspodjele sluˇcajne promjnljive X dat sa P (X = k) = 2−k , k ∈ N. Odrediti zakon raspodjele sluˇcajne promjenljive Y = 2 cos πx 2 . 2. Sluˇcajna promjenljiva X ima unifomnu raspodjelu na intervalu [0, 1]. Odrediti raspodjelu sluˇcajne promjenljive Y = X 2 .

ˇ GLAVA 6. SLUCAJNI VEKTORI

50

3. Sluˇcajna promjenljiva X ima gustinu ½ −x e , x > 0, f (x) = 0 x ≤ 0. Odrediti gustinu sluˇcajne promjenljive Y = (X − 1)2 . 4. Sluˇcajna promjenljiva X ima Koˇsijevu raspodjelu f (x) =

1 1 · . π 1 + x2

Na´ci gustinu sluˇcajne promjenljive Y =

2X . 1 − X2

Glava 7

Numeriˇ cke karakteristike sluˇ cajnih promjenljivih 7.1

Matematiˇ cko oˇ cekivanje

Neka je Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } i X :

µ

x1 p1

··· ···

x2 p2

xk pk

¶

. Oznaˇcimo sa

Ai = {ω ∈ Ω : X(ω) = xi }, i = 1, 2, . . . , k. Ako je |Ai | = ni , i = 1, 2, . . . , k imamo pi =

ni n,

pa za srednju vrijednost

X(ω1 ) + X(ω2 ) + · · · + X(ωn ) n sluˇcajne promjenljive X imamo k

X n1 x1 + n2 x2 + · · · + nk xk = pi xi . n i=1 Prethodno razmatranje je motiv za sljede´cu definiciju. Definicija 7.1. Neka je X diskretna sluˇcajna promjenljiva ˇciji je zakon raspodjele vjerovatno´ca dat sa ¶ µ x 1 x2 · · · x n · · · . X: p1 p2 · · · pn · · · Matematiˇ cko oˇ cekivanje sluˇcajne promjenljive X je broj E(X) =

+∞ X

n=1

51

xn pn ,

ˇ ˇ 52GLAVA 7. NUMERICKE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIH PROMJENLJIVIH ako je dati red apsolutno konvergentan. Za neprekidnu sluˇcajnu promjenljivu sa gustinom raspodjele f , matematiˇcko oˇcekivanje definiˇse se sa E(X) =

Z

+∞

xf (x)dx,

−∞

ako je integral apsolutno konvergentan. Primjer 7.1. Neka je X sluˇcajna promjenljiva koja predstavlja broj na gornjoj strani kocke. Ovde je E(X) = 3.5. Primjer 7.2. Neka X ima Koˇsijevu raspodjelu, to jest radi se o sluˇcajnoj promjenljivoj ˇcija je gustina raspodjele f (x) =

1 , x ∈ R. π(1 + x2 )

U ovom sluˇcaju ne postoji E(X), jer je Z

+∞

−∞

pa integral

Z

|x| dx = +∞, π(1 + x2 ) +∞

−∞

x dx, π(1 + x2 )

ne kovergira apsolutno. Neka je X sluˇcajna promjenljiva i g : R → R data funkcija. Ako je X diskretnog tipa onda je E(g(X)) =

+∞ X

g(xn )pn .

n=1

U sluˇcaju da je X neprekidnog tipa sa gustinom f onda je E(g(X)) =

Z

+∞

g(x)f (x)dx.

−∞

Primjer 7.3. (i) Neka je X:

µ

−2 1 2

2 1 2

¶

.

Odrediti E(X 2 ). Ovde je g(x) = x2 , x ∈ R, pa vrijedi E(X 2 ) = (−2)2

1 1 + 22 = 0. 2 2

7.2. VARIJANSA

53

(ii) X je sluˇcajna promjenljiva koja oznaˇcava duˇzinu preˇcnika kruga i vrijedi X : U(5, 7). Odrediti matematiˇcko oˇcekivanje povrˇsine kruga. U ovom sluˇcaju ¡ ¢2 je g(x) = π 2 x2 , pa je E

Ã

π

2

µ

X 2

¶2 !

=

Z

7

π2 5

109π 2 x2 1 · dx = . 4 2 12

U sljede´coj teoremi dajemo osnovne osobine matematiˇckog oˇcekivanja. Teorema 7.1.

1. Neka je c ∈ R tada je E(c) = c,

2. ako je c ∈ R i X sluˇcajna promjenljiva tada je E(cX) = cE(X), 3. ako su X i Y sluˇcajne promjenljive tada je E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), 4. ako su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive tada je E(X · Y ) = E(X) · E(Y ). Primjer 7.4. Na´ci matematiˇcko oˇcekivanje zbira broja taˇcaka pri bacanju dvije kocke. Rjeˇsenje. Neka su X i Y sluˇcajne promjenljive-broj taˇcaka koji se pojavio na prvoj, odnosno na drugoj kocki. Prema osobini 3. imamo E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). Sada, na osnovu primjera 7.1 dobijamo E(X + Y ) = 3.5 + 3.5 = 7. Primjer 7.5. Za sluˇcajnu promjenljivu X vrijedi E(X) = 100. Odrediti E(2X + 6). Rjeˇsenje. Vrijede formule E(cX) = cE(X), E(X + c) = E(X) + E(c) = E(X + c). Dakle, E(2X + 6) = 2E(X) + 6 = 206.

7.2

Varijansa

Matematiˇcko oˇcekivanje daje informaciju o sluˇcajnoj promjenljivoj koja je ne opisuje u potpunosti. Ilustrujmo to sljede´cim primjerom. Primjer 7.6. Neka je µ −1 X: 1

0

1

1 3

1 3

3

¶

iY :

µ

−100 50 100 1 1 0 2 2

¶

.

Tada je E(X) = E(Y ) = 0. Dakle, potrebno je posmatrati i odstupanje sluˇcajne promjenljive od E(X), to jest |X −E(X)|. Izraz (X −E(X))2 takode daje odstupanje ali je jednostavniji za analizu.

ˇ ˇ 54GLAVA 7. NUMERICKE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIH PROMJENLJIVIH Definicija 7.2. Varijansa (disperzija) sluˇcajne promjenljive X je V ar(X) = E(X − E(X))2 . p Koristi se i oznaka D2 (X) = E(X − E(X))2 . Broj V ar(X) se naziva standardna devijacija. Osnovne osobine varijanse sadrˇzane su u sljede´coj teoremi. Teorema 7.2.

1. V ar(X) = E(X 2 ) − E 2 (X),

2. V ar(X) ≥ 0, 3. ako je c ∈ R onda je V ar(c) = 0, 4. V ar(cX) = c2 V ar(X), 5. ako su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive onda je V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ). Primjedba 7.1. Ako je V ar(X) = 0 onda je P (X = c) = 1 i kaˇze se da je X = c skoro sigurno (s. s.). Primjer 7.7. Odredimo V ar(IA ), to jest varijansu indikatora dogadaja A. Sluˇcajna promjenljiva IA je definisana sa (vidi primjer 5.1) ½ 1, ω ∈ A, IA (ω) = 0, ω ∈ / A. Imamo P (IA = 1) = P (A), P (IA = 0) = 1 − P (A). V ar(IA ) = p − p2 = p(1 − p). Primjer 7.8. Ako je X:

µ

1 p1

2 p2

3 p3

¶

sluˇcajna promjenljiva kod koje je E(X) = 2 i V ar(X) = Rjeˇsenje. Vrijedi p1 + p2 + p3 = 1, osim toga, kako je E(X) = 2 imamo p1 + 2p2 + 3p3 = 2. Dalje, V ar(X) = E(X 2 ) − E 2 (X) = pa je p1 + 4p2 + 9p3 − 4 = Sada iz p1 + p2 + p3 = 1

2 . 3

2 , 3

2 3

odrediti p1 , p2 i p3 .

7.3. KOVARIJANSA I KOEFICIJENT KORELACIJE

55

p1 + 2p2 + 3p3 = 2 p1 + 4p2 + 9p3 = dobijamo p1 = p2 = p3 =

7.3

14 , 3 1 . 3

Kovarijansa i koeficijent korelacije

Definicija 7.3. Neka je X sluˇcajna promjenljiva. Osnovni momenat k−tog reda je E(X k ), k = 0, 1, 2, . . . Centralni momenat k−tog reda je E(X − E(X))k , k = 0, 1, 2, . . . Matematiˇcko oˇcekivanje je osnovni momenat prvog reda, a varijansa je centralni momenat drugog reda. Ako postoji osnovni momenat k−tog reda (k ≥ 2) onda postoje i momenti i−tog reda i ∈ {0, 1, . . . , k − 1}. Naime, neka je Z

+∞

−∞

|xk f (x)|dx < +∞,

tada je Z

+∞

−∞

i

|x f (x)|dx =

Z

−1

−∞

k

|x f (x)|dx +

≤1+

Z

Z

1 k

−1

|x f (x)|dx +

Z

1

+∞

|xk f (x)|dx ≤

+∞ −∞

|xk f (x)|dx < +∞.

Definicija 7.4. Neka su X i Y sluˇcajne promjenljive. Broj E((X − E(X))(Y − E(Y )) nazivamo kovarijacija i oznaˇcavamo sa cov(X, Y ). Osnovne osobine kovarijacije su : 1. cov(X, Y ) = cov(Y, X), 2. cov(X, X) = V ar(X), 3. cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), 4. ako su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive onda je cov(X, Y ) = 0.

ˇ ˇ 56GLAVA 7. NUMERICKE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIH PROMJENLJIVIH Primjer 7.9. Neka sluˇcajni vektor (X, Y ) ima zakon raspodjele vjerovatno´ca Y \X 0 2

-1

0

1

1 12 1 12

1 2 1 6

1 12 1 12

Na´ci cov(X, Y ). Rjeˇsnje. Zakoni raspodjela za X, Y i XY su ¶ µ ¶ µ µ 0 2 −2 −1 0 1 , Y : , XY : X: 1 2 1 2 1 1 6

3

6

3

3

12

0

2

5 6

1 12

¶

.

Sada je E(X) = 0, E(Y ) = 23 i E(XY ) = 0, pa je cov(X, Y ) = 0. Primjetimo da X i Y nisu nezavisne, jer na primjer P (X < 0) =

1 2 1 , P (Y < 2) = i P (X < 0, Y < 2) = , 6 3 12

tako da je P (X < 0, Y < 2) 6= P (X < 0)P (Y < 2). Definicija 7.5. Sluˇcajna promjenljiva X 0 = X − E(X) naziva se centralizovana sluˇcajna promjenljiva. Sluˇcajna promjenljiva X − E(X) X⋆ = p V ar(X)

naziva se standardizovana sluˇcajna promjenljiva. Kovarijacija standardizovanih sluˇcajnih promjenljivih X ⋆ i Y ⋆ naziva se koeficijent korelacije sluˇcajnih promjenljivih X i Y i oznaˇcava se sa ρXY . Dakle, ⋆

⋆

ρXY = cov(X , Y )) = E

Ã

X − E(X) Y − E(Y ) p ·p V ar(X) V ar(Y )

Osobine koeficijenta korelacije :

!

E(XY ) − E(X)E(Y ) p . = p V ar(X) V ar(Y )

1. ρXX = 1, 2. ρXY = ρY X , 3. |ρXY | ≤ 1, 4. ako su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive onda je ρXY = 0, 5. ρXY ∈ {−1, 1} ako i samo ako postoje a, b ∈ R takvi da je Y = aX + b skoro sigurno.

ˇ ˇ 7.4. MATEMATICKO OCEKIVANJE I VARIJANSA NEKIH RASPODJELA57 Primjedba 7.2. Za sluˇcajne promjenljive X i Y kaˇzemo da su : • nekorelisane ako je ρXY = 0, • pozitivno korelisane ako je ρXY > 0, • negativno korelisane ako je ρXY < 0. Primjer 7.10. Sluˇcajne promjenljive X i Y su nezavisne sa zakonom raspodjele µ ¶ 0 1 . 1 1 2

2

Neka je U = min{X, Y } i V = max{X, Y }. Na´ci koeficijent korelacije ρU,V . Rjeˇsenje. Raspodjela sluˇcajnog vektora (U, V ) je data sljede´com tabelom U \V 0 1

0 0.25 0

1 0.5 0.25

Koeficijent korelacije 0.25 − 0.25 · 0.75 E(U V ) − E(U )E(V ) 1 √ √ p = ρU,V = p = . 3 3 3 V ar(U ) V ar(V ) 4 4

7.4

Matematiˇ cko oˇ cekivanje i varijansa nekih raspodjela

1. Bernoullijeva P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p. E(X) = p, V ar(X) = p(1 − p). 2. Binomna B(n, p) P (X = k) =

µ

n k

¶

pk (1 − p)n−k , k = 0, . . . , n.

E(X) = np, V ar(X) = np(1 − p). 3. Geometrijska P (X = k) = p(1 − p)k−1 , k = 1, 2, . . . E(X) =

1 1−p . , V ar(X) = p p2

ˇ ˇ 58GLAVA 7. NUMERICKE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIH PROMJENLJIVIH 4. Hipergeometrijska µ

m k

P (X = k) =

E(X) =

¶µ µ

n r

n−m r−k ¶

¶

, k = 0, . . . , r, r ≤ m < n.

rm(n − m)(n − r) rm , V ar(X) = . n n2 (n − 1)

5. Negativna binomna P (X = k) =

µ

k−1 r−1

E(X) =

¶

pr (1 − p)k−r , k = r, r + 1, . . .

r(1 − p) r , V ar(X) = . p p2

6. Poissonova P(λ) P (X = k) = e−λ

λk , k = 0, 1, . . . k!

E(X) = λ, V ar(X) = λ. 7. Uniformna U(a, b) f (x) = E(X) =

1 , x ∈ [a, b]. b−a

(b − a)2 a+b , V ar(X) = . 2 12

8. Eksponencijalna E(λ) f (x) = λe−λx , x ≥ 0, λ > 0. E(X) =

1 1 , V ar(X) = 2 . λ λ

9. Normalna N (µ, σ 2 ) f (x) =

(x−µ)2 1 √ e− 2σ2 , x ∈ R. σ 2π

E(X) = µ, V ar(X) = σ 2 .

7.5. ZADACI

7.5

59

Zadaci

1. Ako je X : U(a, b), odrediti E(X) i V ar(X). 2. Sluˇcajne promjenljive µ −2 0 X: 1 0 4

2 3 4

¶

iY :

µ

1

2

3

1 5

3 5

1 5

4 0

¶

su nezavisne. Odrediti E(XY ) i V ar(X + Y ). 3. Za sluˇcajnu promjenljivu X vrijedi E(X) = 10 i V ar(X) = 5. Odrediti E(X 2 ), E(2X + 6) i V ar(−3X + 5). 4. Neka je X sluˇcajna promjenljiva. Pokazati da je 1 |E(X)| ≤ E(X 2 ) + . 4 5. X i Y su nezavisne sluˇcajne promjenljive sa Poasonovom raspodjelom P(λ). Na´ci E(X|X + Y = m).

ˇ ˇ 60GLAVA 7. NUMERICKE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIH PROMJENLJIVIH

Glava 8

Karakteristiˇ cne funkcije 8.1

Uvod

Kompleksna sluˇcajna promjenljiva Z = X + iY je preslikavanje skupa Ω u skup C. Matematiˇcko oˇcekivanje sluˇcajne promjenljive Z je kompleksan broj E(Z) = E(X) + iE(Y ). U ovoj sekciji uvodimo pojam karakteristiˇcne funkcije kao matematiˇcko oˇcekivanje komplesne sluˇcajne promjenljive. Ideja potiˇce od matematiˇcara Ljapunova. Naime, on je koristio metodu karakteristiˇcnih funkcija da bi doˇsao do graniˇcnih teorema, koje izuˇcavamo u sljede´coj glavi. Definicija 8.1. Karakteristiˇ cna funkcija ϕ sluˇcajne promjenljive X : Ω → R je funkcija ϕ : R → C, ϕ(t) = E(eitX ). Ako je f gustina sluˇcajne promjenljive X, tada je +∞ Z ϕ(t) = eitx f (x)dx, −∞

a ako je sa pk = P (X = xk ) dat zakon raspodjele diskretne sluˇcajne promjenljive X, onda je X eitxk pk . ϕ(t) = k

Napomenimo da se na osnovu veze izmedju originala i slike Furijeove transformacije moˇze pokazati da vrijedi 1 f (x) = 2π

+∞ Z ϕ(t)e−itx dt,

−∞

ako je X neprekidnog tipa i 1 pk = 2π

Zπ

ϕ(t)e−itxk dt,

−π

61

ˇ GLAVA 8. KARAKTERISTICNE FUNKCIJE

62 ako je X diskretnog tipa.

Primjer 8.1. Odrediti karaktristiˇcnu funkciju sluˇcajne promjenljive X ˇcija je gustina vjerovatno´ce 1 f (x) = e−|x| . 2 Rjeˇsenje. Iz definicije karakteristiˇcne funkcije dobijamo 1 ϕ(t) = 2

  0 +∞ +∞ Z Z Z 1 1 eitx e−|x| dx =  eitx ex dx + eitx e−x dx = . 2 1 + t2

−∞

8.2

−∞

0

Osnovne osobine

Osnovne osobine karakteistiˇcne funkcije su : 1. ϕ(0) = 1, |ϕ(t)| ≤ 1, ϕ(−t) = ϕ(t). 2. Ako je X sluˇcajna promjenljiva i a, b ∈ R, tada je ϕaX+b (t) = eibt ϕX (at). 3. Ako postoji momenat E(X n ), tada je ϕ(n) (0) = in E(X n ). 4. Ako su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive, tada je ϕX+Y (t) = ϕX (t) · ϕY (t). Primjedba 8.1. Matematiˇckom indukcijom se pokazuje da za nezavisne sluˇcajne promjenljive X1 , . . . , Xn vrijedi ϕX1 +···+Xn (t) = ϕX1 (t) · · · ϕXn (t). Kao posljedicu osobine 3. dobijamo da za karateristiˇcnu funkciju vrijedi ϕ(t) =

n X ik E(X k )

k=0

k!

tk + o(tn ),

ako postoje momenti E(X k ), k = 1, 2, . . . , n. Sljede´ci primjer pokazuje da ne vrijedi obrnuto tvrdenje u 4.

8.2. OSNOVNE OSOBINE

63

Primjer 8.2. Zakon raspodjele sluˇcajnog vektora (X, Y ) odreden je tablicom Y \X

0

1

3

0

1 9

0

2 9

1

2 9

1 9

0

3

0

2 9

1 9

Pokazati da za karakteristiˇcne funkcije ϕX+Y , ϕX , ϕY vrijedi ϕX+Y (t) = ϕX (t)ϕY (t) ali da su sluˇcajne promjenljive X i Y zavisne. Rjeˇsenje. 3 3 3 1 + eit + e3it hX (t) = + eit + e3it = 9 9 9 3 it 3 3 3 1 + e + e3it hY (t) = + eit + e3it = 9 9 9 3 Sluˇcajna promjenljiva X + Y ima slede´ci zakon raspodjele µ ¶ 0 1 2 3 4 6 X +Y : . 2 1 2 2 1 1 9

9

9

9

9

9

Dakle, ϕX+Y (t) =

1 (1 + 2eit + e2it + 2e3it + 2e4it + e6it ) = 9

µ

1 + eit + e3it 3

¶2

,

pa imamo ϕX+Y (t) = ϕX (t)ϕY (t). Sluˇcajne promjenljive X i Y su zavisne jer je, na primjer P {X = 0} = P {Y = 1} =

2 1 , P {X = 0, Y = 1} = , 3 9

pa je P {X = 0}P {Y = 1} 6= P {X = 0, Y = 1}. Sljede´ca teorema je poznata kao teorema o neprekidnosti. Teorema 8.1. Neka su (ϕn (t)) i (Fn (x)) nizovi karakteristiˇcnih funkcija i odgovaraju´cih funkcija raspodjele. Ako ϕn (t) → ϕ(t), ϕ je neprekidna u 0 i F je funkcija raspodjele koja odgovara karakteristiˇcnoj funkciji ϕ, onda Fn (x) → F (x) u svakoj taˇcki naprekidnosti funkcije F .

ˇ GLAVA 8. KARAKTERISTICNE FUNKCIJE

64

Primjer 8.3. Neka je X1 , X2 , . . . niz nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih takvih da je µ ¶ −1 1 , k = 1, 2, . . . Xk : 1 1 2

2

i

+∞ X Xk

X=

k=1

2k

.

Dokazati da X ima uniformnu raspodjelu U(−1, 1). Rjeˇsenje. Raspodjelu za X odredi´cemo pomo´cu karakteristiˇcnih funkcija. Za sluˇcajnu promjenljivu Xk karakteristiˇcna funkcija je hXk (t) =

1 −it 1 it e + e = cos t, k = 1, 2, . . . . 2 2

Neka je Yn =

n X Xk

k=1

2k

,

poˇsto su sluˇcajne promjenljive X1 , X2 , . . . nezavisne, za karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne promjenljive Yn vrijedi Qn Qn ϕYn (t) = k=1 ϕ Xk (t) = k=1 cos 2tk = cos 2t cos 2t2 . . . cos 2tn = 2k . sin t sin t sin 2t t t = 2sin · 2 sin22t · · · 2 sin2n−1 = 2n sin t · t sin 2 sin t sin tn n 2

22

23

2

2

Sada je ϕYn (t) → sint t , n → +∞. Znaˇci, niz karakteristiˇcnih funkcija ϕYn konvergira za svako t 6= 0 ka funkciji ϕ(t) =

sin t , t 6= 0 t

Poˇsto, limt→0 sint t = 1, ϕ se moˇze definisati u nuli h(0) = 1 da bi bila neprekidna. Poˇsto je ϕYn (0) = 1 za svako n = 1, 2, . . . imamo da niz karakteristiˇcnih funkcija ϕYn konvergira za svako t ∈ R ka funkciji ½ sin t , t 6= 0 t ϕ(t) = 1 , t = 0. Karakteristiˇcna funkcija za uniformnu raspodjelu U(−1, 1), je ϕU = kako je

eit − e−it , 2it

eit − e−it sin t = , t 2it to na osnovu teoreme o neprekidnosti zakljuˇcujemo da X ima uniformnu raspodjelu U(−1, 1).

ˇ 8.3. KARAKTERISTICNE FUNKCIJE NEKIH RASPODJELA

8.3

Karakteristiˇ cne funkcije nekih raspodjela

1. Bernoullijeva P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p. ϕ(t) = 1 − p + peit . 2. Binomna B(n, p) P (X = k) =

µ

n k

¶

pk (1 − p)n−k , k = 0, . . . , n.

ϕ(t) = (1 − p + peit )n . 3. Geometrijska P (X = k) = p(1 − p)k−1 , k = 1, 2, . . . ϕ(t) =

peit . 1 − (1 − p)eit

4. Poissonova P(λ) P (X = k) = e−λ

λk , k = 0, 1, . . . k! it

ϕ = eλ(e 5. Uniformna U(a, b)

f (x) =

−1)

.

1 , x ∈ [a, b]. b−a

ϕ(t) =

eitb − eita . it(b − a)

6. Eksponencijalna E(λ) f (x) = λe−λx , x ≥ 0, λ > 0. ϕ(t) =

λ . λ − it

7. Normalna N (µ, σ 2 ) f (x) =

(x−µ)2 1 √ e− 2σ2 , x ∈ R. σ 2π

ϕ = eiµt−

σ 2 t2 2

.

65

ˇ GLAVA 8. KARAKTERISTICNE FUNKCIJE

66

8.4

Zadaci

1. Sluˇcajne promjenljive X1 , X2 , X3 su nezavisne sa raspodjelama: P {X1 = k} =

1 2 4 , P {X2 = k} = k , P {X3 = k} = k , k ∈ N. k 2 3 5

Koriste´ci karakteristiˇcne funkcije na´ci raspodjelu za sluˇcajnu promjenljivu X, gdje je X = X1 + X 2 + X3 . 2. Neka X ima binomnu raspodjelu B(n, p). Na´ci E(X 3 ). 3. Karakteristiˇcne funkcije nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih X i Y su hX (t) = e2e

it

−2

i hY (t) =

Odrediti

µ ¶10 ¡ it ¢10 1 3e + 1 . 4

P (X + Y = 2), P (XY = 0) i E(XY ). 4. Sluˇcajna promjenljiva X ima karakteristiˇcnu funkciju h(t). Izraˇcunati V ar(sin X) + V ar(cos X) preko h(1). 5. Sluˇcajne promjenljive X1 , . . . , Xn su nezavisne i vrijedi Xi : N (µi , σi2 ), i = 1, . . . , n. Odrediti raspodjelu sluˇcajne promjenljive X = a1 X1 + a2 X2 + · · · + an Xn + b, gdje su a1 , a2 , . . . , an , b realni brojevi.

Glava 9

Graniˇ cne teoreme 9.1

ˇ Cebiˇ sevljeva nejednakost

Ako znamo funkciju raspodjele vjerovatno´ca moˇzemo odrediti vjerovatno´cu dogadaja {|X| ≥ ǫ}, ǫ > 0. Na primjer, ako je X neprekidna sluˇcajna promjenljiva sa gustinom f , onda je Z +∞ Z −ǫ f (x)dx + f (x)dx. P (|X| ≥ ǫ) = −∞

ǫ

Ovde dajemo ocjenu gornje granice vjerovatno´ce P (|X| ≥ ǫ), ako je X nenegativna sluˇcajna promjenljiva. Teorema 9.1. (Nejednakost Markova) Neka je X nenegativna sluˇcajna promjenljiva. Ako postoji E(X k ), k ∈ N tada je P (X ≥ ǫ) ≤

E(X k ) za svako ǫ > 0. ǫk

ˇ sevljeva Posljedica nejednakosti Markova je sljede´ca nejednakost poznata kao Cebiˇ nejednakost. Teorema 9.2. Ako postoji V ar(X), tada je P (|X − E(X)| ≥ ǫ) ≤

V ar(X) . ǫ2

Primjer 9.1. Sluˇcajna promjenljiva X ima pozitivnu varijansu. Pokazati da je ! à √ X − E(X) √ P − 10 < p < 10 > 0.9. V ar(X) Rjeˇsenje. Kako je ¯ à ! ï ! ¯ X − E(X) ¯ √ √ X − E(X) √ ¯ ¯ P − 10 < p < 10 = 1 − P ¯ p ¯ ≥ 10 ¯ V ar(X) ¯ V ar(X) 67

ˇ GLAVA 9. GRANICNE TEOREME

68 i E

Ã

X − E(X) p V ar(X)

!2

= 1,

ˇ seva imamo koriste´ci nejednakost Cebiˇ ! Ã √ X − E(X) √ 1 < 10 ≥ 1 − = 0.9. P − 10 < p 10 V ar(X)

Primjer 9.2. Koliko je potrebno sprovesti nezavisnih ispitivanja da bi, sa vjerovatno´com ne manjom od 0.979 vaˇzila nejednakost ¯ ¯ ¯ ¯ Xn ¯ < 0.01, ¯ − p ¯ ¯ n

gdje je Xn broj pozitivnih realizacija u n ispitivanja, a p = 0.3 vjerovatno´ca pozitivne realizacije u jednom ispitivanju. Na´ci ocjenu za najmanji broj ispitivanja ˇ seva. koriste´ci nejednakost Cebiˇ Rjeˇsenje. Sluˇcajna promjenljiva Xn ima binomnu raspodjelu B(n, 0.3), pa je E(X) =

3n 21n , V ar(X) = . 10 100

ˇ seva dobijamo Koriste´ci nejednakost Cebiˇ

to jest

¯ ¶ µ¯ ¯ ¯ Xn V ar( Xnn ) ¯ P ¯ − p¯¯ ≥ 0.01 < , n 0.012 ¯ µ¯ ¶ ¯ Xn ¯ 2100 ¯ ¯ P ¯ − p¯ ≥ 0.01 < . n n

Znaˇci, treba na´ci takvo n da vaˇzi ¯ µ¯ ¶ ¯ Xn ¯ 2100 ¯ ¯ P ¯ − p¯ < 0.01 > 1 − ≥ 0.979. n n Rjeˇsavanjem ove nejednaˇcine dobijamo n ≥ 105 .

9.2

Neke graniˇ cne teoreme

U opitu bacanja homogenog noˇci´ca vjerovatno´ca pojave grba (pisma) je 12 . To se dovodi u vezu sa grupisanjem relativne uˇcestalosti Snn oko 12 , pri velikom ponavljanju opita. Medutim, nije mogu´ce dokazati lim

n→+∞

1 Sn = . n 2

´ 9.3. VRSTE KONVERGENCIJA U TEORIJI VJEROVATNOCE

69

Postupa se na drugi naˇcin. Za proizvoljan ǫ > 0 posmatra se vjerovano´ca ¯ ¶ µ¯ ¯ ¯ Sn ¯ ¯ P ¯ − p¯ < ǫ . n

Ako za svaki ǫ > 0 vrijedi

¯ ¶ µ¯ ¯ ¯ Sn ¯ ¯ lim P ¯ − p¯ < ǫ = 1, n→+∞ n

onda imamo opradanje statistiˇcke definicije vjerovatno´ce. ˇ sevljevu nejednakost. Sljede´ca teorema dokazuje se koriste´ci Cebiˇ Teorema 9.3. (Bernoulli)Neka je ǫ > 0 i Sn : B(n, p), tada je ¯ ¶ µ¯ ¯ ¯ Sn ¯ − p¯¯ < ǫ = 1 lim P ¯ n→+∞ n

(9.1)

Primjedba 9.1. Formula 9.1 ekvivalentna je sa ¯ ¶ µ¯ ¯ Sn ¯ lim P ¯¯ − p¯¯ ≥ ǫ = 0. n→+∞ n

ˇ sev) Neka je (Xn ) niz nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih, Teorema 9.4. (Cebiˇ sa uniformno ograniˇcenim varijansama, to jest, postoji c ∈ R tako da je za svaki n ∈ N V ar(Xn ) ≤ c. Tada za svaki ǫ > 0 vrijedi ¯ ! ï n n ¯ ¯1 X 1X ¯ ¯ (9.2) lim P ¯ Xi − E(Xi )¯ < ǫ = 1 n→+∞ ¯ ¯n n i=1

i=1

Teorema 9.5. (Hinˇcin) Neka je (Xn ) niz nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih,sa ostom raspodjelom i matematiˇckim oˇckivanjem m ∈ R. Tada je za svako ǫ > 0 ¯ ! ï n ¯1 X ¯ ¯ ¯ lim P ¯ (9.3) Xi − m¯ < ǫ = 1. n→+∞ ¯n ¯ i=1

Uoˇcimo da su formule (9.1), (9.2) i (9.3) istog tipa. Definisa´cemo pojmove pomo´cu kojih se navedene teoreme mogu iskazati na isti naˇcin. To nas dovodi do raliˇcitih konvergencija u teoriji vjerovatno´ce.

9.3

Vrste konvergencija u teoriji vjerovatno´ ce

Definicija 9.1. Neka su X, X, X2 , . . . sluˇcajne promjenljive. 1. Kaˇzemo da niz (Xn ) strogo konvergira ili konvergira skoro sigurno ka sluˇcajnoj promjenljivoj X ako je P ( lim Xn = X) = 1. n→+∞

ˇ GLAVA 9. GRANICNE TEOREME

70

2. Niz (Xn ) konvergira u vjerovatno´ ci ka X ako je lim P (|Xn − X| ≥ ǫ) = 0 (∀ǫ > 0).

n→+∞

3. Niz (Xn ) konvergira ka X u raspodjeli ili slabo konergira ako je lim P (Xn < x) = P (X < x).

n→+∞

4. Za dato p ≥ 1 kaˇzemo da niz (Xn ) Lp −konvergira ka X ako je lim E|Xn − X|p = 0.

n→+∞

Ako je p = 2 kaˇzemo da niz (Xn ) konvergira u srednjem kvadratnom. Definicija 9.2. Ako niz aritmetiˇckih sredina (Xn ) (Xn = u vjerovatno´ci ka brojeva.

1 n

n P

1 n

n P

Xi ), konvergira

i=1

E(Xi ) kaˇzemo da za niz (Xn ) vaˇzi slabi zakon velikih

i=1

Ako niz (Xn ) konvergira skoro sigurno ka vaˇzi jaki zakon velikih brojeva.

1 n

n P

E(Xi ) kaˇzemo da za niz (Xn )

i=1

ˇ sev i Hinˇcinov zakon velikih Teoreme 9.3, 9.4 i 9.5 zovu se Bernulijev, Cebiˇ brojeva. To su slabi zakoni velikih brojeva. Navedimo i jedan jaki zakon velikih brojeva. Teorema 9.6. (Borel) Za Bernulijevu ˇsemu vrijedi Sn → p skoro sigurno. n

9.4

Centralna graniˇ cna teorema

Teorema 9.7. Neka je (Xn ) niz nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih sa istom raspodjelom, za koje je E(Xn ) = m i V ar(Xn ) = σ 2 za svaki n ∈ N. Tada vrijedi Zx t2 1 ⋆ e− 2 dt, lim P (Yn < x) = √ n→+∞ 2π −∞

gdje je Yn⋆ =

X1 + · · · + X n − n · m √ . σ n

Primjer 9.3. Broj ljudi koji udu u jednu robnu ku´cu u toku jednog minuta ima P(6) raspodjelu. a) Kolika je vjerovatno´ca da u toku dva sata u robnu ku´cu ude bar 700 ljudi?

9.5. ZADACI

71

b) Koliko vremena treba da prode da bi sa vjerovatno´com 0.95 u robnu ku´cu uˇslo bar 700 ljudi? Rjeˇsenje. Neka je Xi sluˇcajna promjenljiva koja predstavlja broj ljudi koji udu u robnu ku´cu toku i− tog minuta. Xi ima P(6) raspodjelu, pa je E(Xi ) = n P 6, V ar(Xi ) = 6. Broj ljudi koji udu u toku n minuta je Yn = Xi i vrijedi i=1

E(Yn ) = 6n, V ar(Yn ) = 6n.

Poˇsto su sluˇcajne promjenljive X1 , X2 , . . . Xn nezavisne i sve imaju istu raspodjelu vaˇzi centralna graniˇcna teorema, znaˇci raspodjela Yn − E(Yn ) p V ar(Yn )

teˇzi ka normalnoj raspodjeli N (0, 1). a) P (Yn ≥ 700) = 1 − P (Yn < 700), pa kako je ¶ µ Yn − 720 √ < −0.745 ≈ φ(−0.745) ≈ 0.77, P 6 · 120 imamo da je P (Yn ≥ 700) ≈ 0.77. b) P (Yn ≥ 700) ≈ 1 − φ pa iz 1−φ

µ

700 − 6n √ 6n

µ

700 − 6n √ 6n

¶

= 0.95

¶

,

nalazimo

700 − 6n √ = −1.645. 6n Odavde dobijamo da je n ≈ 124.15, pa je traˇzeno vrijeme 125 minuta.

9.5

Zadaci

1. Sluˇcajna promjenljiva X data je funkcijom gustine ½ xm −x , x≥0 m! e f (x) = 0, x < 0. ˇ seva, da je Dokazati, koriste´ci nejednakost Cebiˇ P (0 < X < 2(m + 1)) >

m . m+1

ˇ GLAVA 9. GRANICNE TEOREME

72

2. Pretpostavimo da nezavisne sluˇcajne promjenljive X1 , X2 , . . . , X30 , imaju uniformnu raspodjelu na [0, 1]. Neka je sluˇcajna promjenljiva Y definisana sa Y = X1 + X2 + · · · + X30 . Koriste´ci centralnu graniˇcnu teoremu odrediti P (13 ≤ Y ≤ 18). 3. Sluˇcajne promjenljive Xi , i = 1, . . . , n su nezavisne i vrijedi µ ¶ µ ¶ 5 4 1 P Xi = = P Xi = = , i = 1, . . . , n. 4 5 2 Neka je Y = je n = 1000.

n Q

i=1

Xi odrediti P (Y ≤ 0.001). Kolika je ta vjerovatno´ca ako

4. Primjenom centralne graniˇcne teoreme na niz nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih sa P(1) raspodjelom, dokazati da je lim e−n

n→+∞

n X nk

k=0

k!

=

1 . 2

5. Raˇcunar vrˇsi obraˇcun elektriˇcne energije kod 100 korisnika. Vrijeme obraˇcuna za svakog korisnika ima eksponencijalnu raspodjelu sa oˇcekivanjem 3 sekunde i nezavisno je od drugih korisnika. Na´ci vjerovatno´cu da ´ce obraˇcun trajati izmedu 3 i 6 minuta.

Glava 10

Matematiˇ cka statistika Matematiˇcka statistika je blisko povezana sa teorijom vjerovatno´ce. Cilj je da se na osnovu rezultata eksperimenata donesu zakljuˇcci o zakonima raspodjela i numeriˇckim karakteristikama sluˇcajnih promjenljivih.

10.1

Osnovni pojmovi

Skup Ω elemenata ω naziva se populacija ili generalni skup. Za svaki ω ∈ Ω posmatra se neka numeriˇcka karakteristika X(ω) koja se naziva obiljeˇ zje. Primjer 10.1. Populacija je skup svih stanovnika neke zemlje. Obiljeˇzje svakog stanovnika je npr. visina ili godine starosti. Primjer 10.2. Svi proizvodi jedne fabrike ˇcine populaciju. Obiljeˇzje svakog proizvoda je npr. njegova cijena. ˇ Cesto je komplikovano registrovati obiljeˇzje za svaki elemenat populacije. Zato se obiljeˇzje registruje na dijelu populacije (uzorak), pa se dobijena raspodjela smatra raspodjelom cijele populacije. Vaˇzno je da uzorak dobro odraˇzava (reprezentuje) populaciju. Ovo se rjeˇsava tako da se uzorak bira sluˇcajno. Tada je populacija skup svih mogu´cih ishoda ω. Prema tome, obiljeˇzje X(ω), ω ∈ Ω je sluˇcajna promjenljiva. Dakle, treba odrediti funkciju raspodjele F (x) sluˇcajne promjenljive X. Uzorak obima n je n−torka ω1 , . . . , ωn sluˇcajnih ishoda iz Ω i naziva se sluˇ cajni uzorak. cajan uzorak ako su sluˇcajne promSluˇcajan uzorak (X1 , . . . , Xn ) je prost sluˇ jenljive Xi , i = 1, . . . , n nezavisne i sa istom raspodjelom. Posmatra´cemo samo proste sluˇcajne uzorke koje ´cemo jednostavnije zvati uzorcima. Kada je izabran uzorak, sluˇcajna promjenljiva (X1 , . . . , Xn ) postaje n−torka (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn i naziva se realizovani uzorak. Neka je X obiljeˇzje sa funkcijom raspodjele F (x) i neka je (X1 , . . . , Xn ) prost uzorak. Funkcija koja svakom x ∈ R dodjeljuje relativnu ˇcestalost dogadaja (X < x) u n opita naziva se empirijska funkcija raspodjele i oznaˇcava se sa 73

ˇ GLAVA 10. MATEMATICKA STATISTIKA

74

Sn . Neka je I(Xi 0 vrijedi ¸¶ µ · Sn 1 Sn − ǫ, +ǫ ≥1− . (10.1) P p∈ n n 4nǫ2 ˇ seva Naime, nejednakost (10.1) slijedi iz nejednakosti Cebiˇ ¯¶ µ¯ ¯ Sn ¯ p(1 − p) P ¯¯ − p¯¯ ≤ ǫ) ≥ 1 − n nǫ2

i ˇcinjenice da funkcija ϕ(p) = p(1 − p) ima maksimum, koji je jednak 14 i koji se dostiˇze za p = 12 . ¤ £ Interval Snn − ǫ, Snn + ǫ naziva se interval povjerenja za nepoznatu vjerovatno´cu p. Primjer 10.4. U sluˇcaju da je n = 1000 odrediti duˇzinu intervala povjerenja kome sa vjerovatno´com 0.99 pripada parametar p. 1 Rjeˇsenje. Iz uslova 1 − 4nǫ 2 = 0.99, za n = 1000 dobijamo ǫ ≈ 0.316. Dakle, duˇzina intervala povjerenja je 0.632. Neka Sn ima binomnu raspodjelu sa nepoznatim parametrom p. Tada za nule x1 i x2 , (x1 < x2 ) kvadratnog polinoma p(x) = (n2 + c2 n)x2 − (c2 n + 2nSn )x + Sn2 vrijedi P (x1 ≤ p ≤ x2 ) ≈ 2Φ(c) − 1. Naime, na osnovu Muavr-Laplasove teoreme imamo ¯ ï ! ¯ S − np ¯ ¯ ¯ n P ¯p ¯ ≤ c ≈ 2Φ(c) − 1. ¯ np(1 − p) ¯

Kako je nejednakost

ekvivalentna sa

¯ ¯ ¯ S − np ¯ ¯ ¯ n ¯≤c ¯p ¯ np(1 − p) ¯

(n2 + c2 n)p2 − (c2 n + 2nSn )p + Sn2 ≤ 0 to za nule x1 i x2 polinoma p(x) vrijedi ¯ ! ï ¯ S − np ¯ ¯ ¯ n P (x1 ≤ p ≤ x2 ) = P ¯ p ¯ ≤ c ≈ 2Φ(c) − 1. ¯ np(1 − p) ¯

(10.2)

ˇ GLAVA 10. MATEMATICKA STATISTIKA

78

Primjer 10.5. Na osnovu 10.2 odrediti 95% interval povjerenja za nepoznati parametar p ako je n = 1000 i Sn = 540. Rjeˇsenje. Iz uslova 2Φ(c) − 1 = 0.95 dobijamo c = 1.96. Kako je n = 1000 i Sn = 540 imamo p(x) = 1003841, 6x2 − 1083841, 6x + 291600 odakle slijedi x1 = 0.509, x2 = 0.570. Dakle, u konkretnom sluˇcaju dobijamo da je 95% interval povjerenja [0.509, 0.570].

10.4

Zadaci

1. Obiljeˇzje X ima raspodjelu odredenu gustinom  ¡ ¢α+1  αc xc ,x > c f (x) =  0 ,x ≤ c

gdje je α > 0. Na osnovu uzorka obima n ocijeniti parametar α. Ispitati centriranost tako dobijene ocjene.

2. Obiljeˇzje X ima raspodjelu datu funkcijom gustine ½ 2 − 2 √x a ,x > 0 a2 e f (x) = 0 , x ≤ 0. Na osnovu uzorka obima n, metodom maksimalne vjerodostojnosti ocijeniti parametar a. Da li je tako dobijena ocjena centrirana ? 3. Gustina sluˇcajne promjenljive X je ½ λ xλ+1 f (x) = 0

,x > 1 , x ≤ 1,

gdje je λ > 0. Na osnovu uzorka obima n ocijeniti parametar λ. Ispitati centriranost tako dobijene ocjene. 4. Ako je u 1000 bacanja novˇci´ca pismo palo 525 puta, odrediti 99% interval povjerenja za npoznatu vjerovatno´cu padanja pisma. 5. Ako je u 100 izvedenih slobodnih bacanja koˇsarkaˇs pogodio koˇs 75 puta odrediti 95% interval povjerenja za nepoznatu vjerovatno´cu ubacivanja lopte u koˇs u jednom bacanju.

Glava 11

Sluˇ cajni procesi 11.1

Uvod

Neka je (Ω, F, P ) prostor vjerovatno´ca i T skup vrijednosti parametra t. Sluˇ cajni proces je familija sluˇcajnih promjenljivih {Xt }, t ∈ T. Indeks t se obˇcno interpretira kao vrijeme, a za skup T se uzima skup (0, +∞) ili neki njegov podskup. Ako je T diskretan podskup, tada se radi o procesu sa diskretnim vremenom, a u protivnom imamo proces sa neprekidnim vremenom. Za sluˇcajni proces moˇzemo re´ci da je funkcija, koja pri svakom fiksiranom t ∈ T je sluˇcajna promjenljiva X(t, ω) = X(t), ω ∈ Ω. Ako je ω = ω0 fiksirano , tada je X(t, ω0 ) nesluˇcajna funkcija i zove se realizacija ili trajektorija procesa. Ako je T prebrojiv skup, tada se radi o sluˇcajnom nizu, a ako je T neprebrojiv tada imamo sluˇcajni proces. Neka je data funkcija raspodjele sluˇcajnog vektora (X(t1 ), X(t2 ), . . . , X(tn )). Sluˇcajni proces kod koga su sve konaˇcnodimenzionalne raspodjele normalne nazivamo Gaussovim sluˇcajnim procesom. Nesluˇcajna funkcija m(t) = E(X(t)) je matematiˇ cko oˇ cekivanje sluˇcajnog procesa, K(t, s) = E(X(t) − m(t))(X(s) − m(s)) je njegova korelaciona funkcija.

11.2

Lanci Markova

U daljem posmatra´cemo sluˇcajne procese kod kojih je skup T prebrojiv. Neka je dat niz sluˇcajnih promjenljivih (Xn ), kod koga sve sluˇcajne promjenljive imaju iste konaˇcne ili prebrojive skupove vrijednosti (skupove stanja). 79

ˇ GLAVA 11. SLUCAJNI PROCESI

80

Smatra´cemo da je skup vrijednosti {0, 1, . . . , } ili neki njegov podskup. Ako vrijednost koju je postigla sluˇcajna promjenljiva Xn potpuno odredjuje zakon raspodjele sluˇcajne promjenljive Xn+1 i taj zakon raspodjele ne zavisi od vrijednosti koje su postigle sluˇcajne promjenljive Xk , k < n, tada za niz (Xn ) kaˇzemo da ˇcini lanac Markova. Dakle, niz (Xn ) sluˇcajnih promjenljivih je lanac Markova ako vrijedi P (Xn = xn |Xk1 = xk1 , . . . , Xkr = xkr ) = P (Xn = xn |Xk1 = xk1 ) za sve proizvoljne prirodne brojeve n > k1 > k2 > . . . > kr . Ova osobina govori o tome da vjerovatno´ca da se dati sistem u trenutku n + 1 nalazi u datom stanju, ako je poznato njegovo stanje u trenutku n, ne zavisi od ponaˇsanja tog sistema u proˇslosti to jest prije trenutka n. Vjerovatno´ca da se sluˇcajna promjenljiva Xn+1 nadje u stanju j, ako je poznato da se Xn nalazi u stanju i naziva se vjerovatno´ ca prelaza. Imamo = P (xn+1 = j|Xn = i). pn,n+1 ij Ako vjerovatno´ce pn,n+1 ne zavise od n lanac je homogen. ij Oznaˇcimo sa pij (n) vjerovatno´ce prelaza iz stanja i u stanje j za n koraka. ca prelaza za n koraka. Matrice Mn = [pij (n)] se zovu matrice vjerovatno´ Kod njih su svi elementi nenegativni i zbir u svakoj vrsti je 1.} Koriste´ci teoremu o totalnoj vjerovatno´ci imamo da je za 1 ≤ m ≤ n, pij (n) =

X k

pik (m)pkj (n − m).

ˇ To su jednaˇ cine Kormogorova-Cepmena. Matriˇcni oblik je Mn = Mm Mn−m , odavde je Mn = M1n . Ako postoji prirodan broj n tako da su svi elementi matrice Mn strogo pozitivni, tada za svako j = 1, 2, . . . , postoji graniˇcna vrijednost lim pij (n) = p∗j ,

n→+∞

koja ne zavisi od i. Brojevi p∗j zovu se finalne vjerovatno´ ce. Finalne vjerovatno´ce se mogu dobiti iz sistema jednaˇcina: X j

p∗j = 1,

X

p∗k pkj = p∗j , j = 1, 2, . . .

k

Lanac koji ima finalne vjerovatno´ce zove se ergodiˇ can.

11.3. ZADACI

11.3

81

Zadaci

1. Vjerovatno´ce prelaza u lancu Markova zadane su matricom  1 1 1  M =

3 1 2 1 4

3 1 3 1 2

3 1 6 1 4



(a) Da li je lanac homogen? (b) Koliko je p13 , a koliko je p23 ? (c) Koliko je p13 (2)? (d) Na´ci M2 . 2. Dokazati da lanac sa matricom vjerovatno´ca prelaza ¶ µ 0 1 M= 1 0 nije ergodiˇcan. 3. Dokazati da je ergodiˇcan lanac sa matricom prelaza za jedan korak µ 1 3 ¶ 4 1 3

4 2 3

i na´ci finalne vjerovatno´ce. 4. Lanac Markova zadat je matricom prelaza  0 0 0 1  0 0 0 1  1 1  0 0 2 2 0 0 1 0



 . 

Ispitati da li je lanac ergodiˇcan i na´ci asimptotsko ponaˇsanje vjerovatno´ca prelaza pij (n) kad n → +∞. 5. U kutiji se nalazi jedna bijela i jedna crna kuglica. Na sluˇcajan naˇcin se izvlaˇci po jedna kuglica, pri ˇcemu se ona odmah vra´ca u kutiju zajedno sa joˇs jednom kuglicom suprotne boje. Neka je Xn broj bijelih kuglica u kutiji prije n−tog izvlaˇcenja. Da li je Xn Markovski proces? Opisati stanja sistema i odrediti vjerovatno´ce prelaza u jednom koraku.

82

ˇ GLAVA 11. SLUCAJNI PROCESI

Glava 12

Literatura

83