Zill Dennis - Calculo Vectorial - Analisis De Fourier Y Analisis Complejo(optimizado) - copia.pdf

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Tercera edi.ción : 111· '"

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MATEMÁTICAS·AVANZADAS PARA INGENIERÍA : 2: 1

CÁLCULO VECTORIAL, ANÁLISIS DE fOURIER Y ANÁLISIS COMPLEJO '

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·- ·~ tv11chael R. Cullen (ti.nado) ·

Loyola Marymount UniverJty l

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Traducción técnica: Dr. Emilio Sordo Zabay Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Azcapotza/co .

Revisión técnica: Juan Carlos del Valle Sotelo

Heriberto Aguilar Juárez

,

Departamento de Física y Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

División de Ciencias Básicas

::,

Facultad de Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de M~xico 11 '

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Ignacio Ramírez ·Vargas

José Martín Villegas Gonzál~t

Departamento de Ingeniería Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Hidalgo

Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías (CUCE/), Universidad de Guadalajara

MÉXICO• BOGOTÁ• BUENOS AIRES• CARACAS• GUATEMALA• LISBOA MADRID • NUEVA YORK• SAN JUAN •SANTIAGO• AUCKLAND LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SAO PAULO SINGAPUR• SAN LUIS• SIDNEY • TORONTO

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Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos Director editorial: Ricúdo A. del Bosque Alayón Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas Supervisor d.e producción: Zeferino Garc.ía García Traductor: Carlos Roberto Coi·dero Pedraza MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA 2: . CÁLCULO VECTORIAL, ANÁLISIS DE FOURIER Y ANÁLISIS COMPLE.J:O Tercera edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

Ja McGraw-Hill

•

. lnteramericana ·

DERECHOS RESERVADOS © 2008 respecto a la primera edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, /ne. Edificio Punta Santa Fe Prolong~ción Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN-10: 970-10-6510-7 ISBN-13: 978-970-10-6510-5 Traducido de la tercera edición en inglés de la obra ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS, by Dennis G. Zill and Michael R. Cullen. Copyright© 2006 by Jones and Bartlett Publishers, Inc., págs i-xiv, xviii-xxxiii, 299-566, 651-929, app-9-app-14, ans-14-ans-21, ans-30-ans-49, i-l-i-23. All rights reserved. ISBN-10: 0-7637-4591-X ISBN-13 : 978-0-7637-4591-2 1234567890

09765432108

Impreso en México Impreso por Litográfica Ingramex

Printed in Mexico Printed by Litografica Ingramex

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A diferencia de un curso de "cálculo" o de "ecuaciones diferenciales'', donde el contenido del curso está mu y estandari zado, el contenido de un curso titulado " matemáticas para ingepi ería" algunas veces val-fa de for ma considerable entre dos instituciones académicas di stintas . Por lo tanto, U!l texto sobre matemáticas avanzadas para ingeniería es un compendio de muchos temas matemáticos, todos los cuales están relacionados en términos generales por la conve niencia de su necesidad o su utilidad en cursos y carreras subsiguientes de ciencia e ingeniería. En realidad , no hay un límite para la cantidad de temas que se pueden incluir en un tex to como el que ahora nos ocupa. En consecuencia, este libro representa la opinión de los autores, en este momento, acerca de lo que constituyen "las matemáticas de ingeniería''.

11 Contenido del texto

)

El presente tomo fu e dividido en tres partes, en las cuales sigue n1ani fies ta nuestra creencia de que la columna vertebral de las matemáticas relacionadas con la ciencia y la ingeniería es la teoría y las apli caciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales,

Parte 1: Cálculo vectorial (capítulos 1 a 3) El capítulo l ,Vectores, y el 3, Cálculo vectorial, incluyen muchos de los temas que se cubren en el tercer semestre de una secuencia de cálculo: vectores geométricos, fun ciones vectoriales, deri vadas, direccionales, integrales de línea, integrales dobles y triples, integrales de' superficie, y los teoremas de Green, Stokes y ele la divergencia. El capítulo 2, Matrices, es una introducción a los sistemas de ecuaciones algebraicas, los determinantes y el álgebra matricial con énfas is especial en aquellos ti pos de matrices útiles en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Las secciones sobre criptografía, códigos para la.corrección de errores, el método de los mí11imos cuadrados y los modelos compartimentales discretos se presentan como aplicaciones del álgebra matricial.

1:·

/i:

Parte 11: Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciale? (capítulos 4 a 8) En esta sección se presenta el material medul ar de las series de Fourier y de los problemas sobte valores en la fro ntera. En el capítulo 4, Funciones ortog;n.ales y series de

:.11.::

V

Fourier, se presentan los temas fundamentales de los conjuntos de funciones ortogonales y la expansión de funciones en términos de una serie infinita de funciones ortogonales. Estos temas se utilizan más adelante en los capítulos 5 y 6, donde se resuelven problemas de valor en ia frontera en distintos sistemas de coordenadas: rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas, mediante la aplica~ión del método de separación de variables. En el capítulo 7, Método de la transformada integral, los problemas de valor en la frontera se resuelven por medio de las transformadas integrales de Laplace y Fourier.

Parte llf: Análisis complejo (capítulos 9 a 12) Los capítulos 9, 10, 11 y 12 cubren los t~mas elementales de los números complejos a través de la aplicación de transformaciones conformes en la solución del problema de Dirichlet. Este material en sí mismo puede cubrir fácilmente un curso trimestral de introducción a variables complejas.

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Principales caracteristicas de Matemáticas · .__.a_v_a_n_za_d_a_s_I_I______._______ ____

1

• Todo el texto se modernizó a fondo para preparar a los ingenieros y científicos con las habilidades matemáticas requeridas para estar a la altura de los desafíos tecnológicos actuales. • Se han agregado, al inicio del libro, nuevos proyectos de ciencia e ingeniería aportados por importantes matemáticos. E,stos proyectos están relaciona¡ios con los temas del texto. • Se han añadido muchos problemas. Además, fueron reorganizados muchos grupos de ejercicios y, en algunos casos, se reescribieron por completo para seguir el flujo del desarrollo presentado en la sección y facilitar más la asignación de tareas. Los grupos de ejercicios también enfatizan la elaboraci\)n de conceptos. • Hay un gran énfasis tanto en las ecuaciones diferenciales como en los modelos matemáticos. La noción de un modelo matemático está entretejida a lo largo de todo el texto, y se analiza la constmcción y las desventajas de diferentes modelos. • En la sección 5.6 se agregó otro método para resolver problemas de valor en la frontera no homogéneos . • En los capítulos 5 y 6 se concede mayorénfasis al problema de Neumann. • A lo largo de los capítulos 4, 5 y 6, la confusa mezcla,de símbolos como A2 y Y=A en la solución de problemas de valor en la frontera de dos puntos se ha reemplazado por el uso consistente de A: A lo largo del análisis se hace énfasis en los tres casos A = a 2 , A =O y A= -a 2.

Diseño del texto El texto cuenta con un formato más amplio y un diseño atractivo, lo cual hace que sea placentero leer y aprender de él. Todas las figuras cuentan con textos explicativos. Se han agregado más comentarios y anotaciones al margen en todo el libro. Cada capítulo tiene una página de presentación que incluye una tabla de contenidos y una breve introducción al material que se estudiará. Al final de cada capítulo se incluyen ejercicios de i·evisión. Después de los apéndices se proporcionan respuestas a los problemas impares seleccionados.

vi

PREFACIO A LA TERCERA EDICIÓN EN INGLÉS

Agradecimientos Deseo agradecer a las siguientes personas que generosamente destinaron tiempo de sus ocupadas agendas para proporcionar los proyectos incluidos en el texto: Anton M. Jopko, Departamento de Física y Astronomía, McMaster Urliversity. Wan-en S. Wright, Departamento 'de Matemáticas, Loyola Marymount University. Gareth Williams, Departamento de Matemáticas y Ciencias Computacionales, Stetson University. Jeff Dodd, Departamento de Computación y Ciencias de la Información, Jacksonville State Uni,versity. Matheus Grasselli, Departamento de Matemáticas y Estadística, McMaster University.

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Dmitry P~lino~sky, Departamento de Matemáticas y Estadística, McMaster University. También es un gusto poder agradecer a las siguientes personas por sus comentarios y suger'encias de mejora: ,

,,'

Sonia Henckel, Lawrence Technological University. Donald Hartig, California Polytechnic State University, San Luis Obispo. ;

1

Jeff Dodd, Jacksonville State University. Victor Elias, University of Western Ontario. Cecilia Knoll, ,Florida Institute of Technology. William.Criminale, University ofWashington. Stan Freidlander, Bronx Community College. Herman Gollwitzer, Drexel University. Robert Hunt, Humboldt State University. Ronald Guenther, Oregon State University. Noel Harbertson, California State University. Gary Stoudt, Indiana University of Pennsylvania. La tarea de compilar un texto de esta magnitud fue, en pocas palabras , latga y difícil. A lo largo deJ. proceso de pasar cientos de páginas manuscritas por muchas manos, es indudable que se nos pudieron haber escapado algunos errores, por lo cual me disculpo de antemano. . Dennis G. Zill Los Angeles,

1

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PREFACIO A LA TERCERA EDICIÓN EN INGLÉS

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vii

Prólogo a la edición en español ' ·'

1' ,

Para que la selección de temas pudiera ser flexible, el texto original en inglés fue dividido en cinco partes o subdivisiones principales. Para la edición en español, se optó por dividir el texto en dos volúmenes que se pueden manejar de manera independiente. El primero abo.rda principalmente las ecuaciones diferenciales .ordinarias y parciales. En este segundo tomo se reúnen los temas relacionados con el cálculo vectorial, sin dejar a un lado el análisis de Fourier y las ecuaciones en derivadas parciales. Esto es lo que ha~e que, aunque los dos tornos se complementen perfectamente, también puedan funcionar de manera independiente de· acuerdo con las características y necesidades del curso. Queremos agradecer de manera especial las valiosas aportaciones y comentarios de los siguientes profesores, que sin duda alguna han enriquecido esta edición: Angel Varela, ITEC Arturo Patrón, ITEC Aureliano Castro, UAS, Escuela de Ingeniería Eduardo Soberanes, ITESM Culiacán José Calderón Lamas, ITEC José Carlos Aragón Hernández, ITEC José Humberto Jacobo Escobar, UAS, Facultad de Ciencias Químico Biológicas Juan Castañeda, VAS, Facultad de Ciencias Quírh.ico Biológicas Juana Murillo Cas'tro, UAS, Escuela de Ingeniería Luis Felipe Flores, ITLM Manuel Ramón Apodaca Sánchez, ITLM Marcial Arrambi Díaz, ITC Marco Antonio Rodríguez Rodríguez, ITLM ,Osear Guerrero, ITESM Culiacán Ramón Duarte, UAS, Escuela de Ingeniería Raúl Soto López, UDO Culiacán

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ix

Contenido Prefacio a la tercera edición en inglés v Prólogo a la edición en español ix Proyecto para la sección 2.1 Red de dos puertos en circuitos Gareth ~illiams, Ph.D. eléctricos xv Proyecto para la sección 2.2 Flujo de tráfico xvii Gareth Williams, Ph.D. Proyecto para la sección 2.15 Dependencia de la resistividad Anton M. Jopko, Ph.D. en la temperatura xix Proyecto para la sección 3.16 Superficies minimas xx Jeff Dodd, Ph.D. Proyecto para la sección 6.3 El átomo ,de hidrógeno xxii Matheus Grasselli, Ph.D. Proyecto para la sección 7.4 La desigualdad de incertidumbre en el , Jeff Dodd, Ph.D. procesamiento de señales xxv Proyecto para la sección 7.4 Difracción de Fraunhofer Anton M. Jopko, Ph.D. a través de una abertura circular xxvii Proyecto para la sección 8.2 Inestabilidades en métodos Dmitry .Pelinovsky, Ph.D. numéricos xxix

Parte

1

Vectores, matrices y cálculo vectorial

Capítulo· ·1 Vectores 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

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1

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3

4

Vectores en .el espacio 2 D 5 Vectores en el espacio 3 D 11 Producto escalar 16 Producto vectorial 23 Lineas y planos ~n el espacio 3Ó 28 Espacios ve~toriales 35 Proceso de ortogonaliZación de Gram-Schmidt 44 Ejercicios de repaso del capitulo 1 49

1 ·

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xi

Capítulo 2 Matrices 51 Álgebra matricial 52 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales 61 Rango 'de una matriz 72 Determinantes 77 Propiedades de los determinantes 82 Inversa de una matriz 89 · 2.6.1 Cálculo de la inversa 89 2.6.2 Utilización de la inversa para resolver sistemas 95 2.7 Regla de Cramer 99 2.8 El problema del valor propio 102 2.9 Potencias de las matrices 108 2.10 Matrices ortogonales 112 2.11 Aproximación de valores propios 119 2.12 · Diagonalización 126 2.13 Criptografia 135 . 2.14 Codigo corrector de errores 138 2.15 Método de los minimos cuadrados 144 2.16 Modelos discretos de compartimiento 147 Ejercicios de ,repaso del capitulo 2 151

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Capítulo 3 Cálculo vectorial 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3. 7 3.8 3.9 3.10 3 .11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17

. Parte

2

155

Funciones vectoriales 156 Movimiento sobre una curva 162 Curvatura y componentes de la aceleración 167 Derivadas parciales 171 Derivada direccional 178 Planos tangentes y lineas normales 184 Divergencia y rotacional 187 Integrales de linea 193 Independencia de la trayectoria 202 Integrales dobles 209 Integrales dobles en coordenadas p~lares 218 Teorema de Green 223 Integrales de superficie 228 Teorema de Stokes 237 Integrales triples 243 Teorema de la. divergencia 254 Cambio de variables en i'ntegrales múltiples 260 Ejercicios de repaso del capitulo 3 26 7

Series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales 271

Capítulo 4 Funciones ortogonales y series de Fourier 272 4.1 4.2

xii

CONTENIDO

Funciones ortogonales 273 Series de Fourier 278

4.3 4.4 4.5 4.6

Series de Fourier de cosenos y senos 283 Series complejas de Fourier 290 Problema de Sturm-Liouville 294 Series de Bessel y de Legendre 301 4.6.1 Serie de Fourier-Bessel 302 4.6.2 Serie de Fourier-Legendre 305 Ejercicios de repaso del capitulo 4 308 1

11

1:,, : ,

Capítulo 5 Problemas de valores en la frontera

en coordenadas rectangulares 309 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5. 7 5.8

Ecuaciones diferenciales parciales separables 310 Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la frontera 314 La ecuación de calor 319 La ecuación de onda 322 ,La ecuación de La place 3 27 Problemas de valores en la frontera no homo,géneos 332 Desarrollos en series ortogonales 339 Serie de Fourier con dos variables 343 Ejercicios de repaso del capitulo. 5 346

1 •

Capítulo 6 Problemas de:valores en la frontera en otros

sistemas coordenados 348 6.1 6.2 6.3

Problemas en coordenadas polares 349 .Problemas en coordenadas polar~s y cilindricas: · funciones de Bessel · 3 54 Problemas en coordenadas esféricas: polinomios de Legendre 360 Ejercicios de repaso del capitulo 6 ~63

Capítulo 7 Método de la transformada integral 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

¡; li

1¡,:· 1

365

.función de error 366 'Aplicaciones de la transformada de Laplace 367 ·Integral de Fourier 3 75 Transformadas de Fourier 380 Transformada rápida de Fourier 386 Ejercicios de repaso del capitulo 7 395

! !!'

:;:,.

Capítulo 8 $oluciones numéricas de ecuaciones diferenciales

parciales 397 8.1 8.2 8.3

La ecuación de Laplace 398 La ecuación de calor 403 La ecuación de onda 409 Ejercicios de repaso del capitulo 8 412 . CONTENIDO

xiii

Parte

3

Análisis complejo

415

capítulo 9 Funciones de una variable compleja 416 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9. 7 · 9.8

Números complejos 417 Potencias y raíces 421 Conjuntos en el plano complejo 425 Funciones de una variable compleja 428 Ecuaciones de ·cauchy-Riemann 434 Funciones exponenciales y Logaritmicas 439 Funciones trigonométricas e hiperbólicas 445 Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas 449 Ejercicios de repaso del capitulo 9 452

Capítulo 1o Integración en el plano complejo

453

10.1 Integrales de contorno 454 10.2 Teorema de Cauchy-Goursat 459 10.3 Independencia de La trayectoria 464 10.4 Fórn~ulas integrales de Cauchy 4 70 Ejercicios de repaso del capitulo 10 475

Capítulo 11 Series y residuos 477 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

Sucesiones y series 4 78 Serie de Taylor 483 Series de Laurent 489 Ceros y polos 497 Resid.uos y teorema del residuo 500 Cálculo de integrales reales 506 Ejercicios de repaso capitulo 11 512

Capítulo 12 Transformaciones conformes 514 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

Funciones complejas como transformaciones 515 Transformaciones conformes 519 Transformaciones racionales Lineales 526 Transformaciones de Schwarz-Christoffel 532 Fórmulas integrales de Poisson 537 Aplicaciones 541 Ejercicios de repaso del capitulo 12 548

Apéndice · Transformaciones conformes Respuestas a los problemas seleccionados de nú·mero impar RESP-1 Índice

xiv

CONTENIDO

1-1

AP-1

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Matemáticas avanzadas para · ( . ingeniería 11: !''

1::1;

Cálculo vectorial, análisis de Fourier :· .'./ · y análisis complejo . ,. !' !'

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1

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una forma lineal y determinan la matriz de transmisión. Nuestro método será constrnir dos ecuacipnes / una que exprese a V2 en términos de V, e 11, y la otra qtje.exprese a 12 en . términos ,de V1 e 11. Posteriormente combinaremos estas dos ecuaciones en una sola ecuación matrici'!l. Utilizamos Ja siguiente ley:

2.1

Red de dos puertos en , circuitos eléctricos

Ley de Ohm: La caída de voltaje a través de una resistencia es equivalente a la corriente muüiplicada por la resistencia. i:

Gareth Williams, Ph.D. · Departamento de Matemáticas y Ciencias Computacionales, Stetson University

La caída de yoltaje a través de la resistdrtc,ia será V 1 ~ V2 . La corriente a través de la resistencja es 11 • Por tanto, Ja ley de Ohm establece que V¡ - Fi = 11R. La corriente 11 pasa a través de Ja resistencia 'R y existe co,mo 11• De esta forma, 12 = 11• Primero escribimos estas dos ecuaciones en la forma estándar,

Muchas redes eléctricas están diseñadas para aceptar señales en ciertos puntos y producir una ve11sión modificada de éstas. El aneglo general se ilustra en la figura 1.

V2 = V 1 f¡

/2

t V

t V

Red de·dos puertos

1

t

Rl 1

12 = OV 1

+ 11

y luego como una ecuación t1rntricial,

t f¡

-

(1 (V 12 = o 2

12

)

-R)(V')' 1, '.

'

l

'

Figura 1

Red eléctrica La matriz de transmisión es (

Una corriente 11 a un voltaje V 1 se envía sobre una red de dos puertos, y ésta determina de alguna forma la corriente de salida 12 al voltaje V2 . En la práctica, la relación entre las corrientes y voltajes de entrada y salida por lo general es lineal, y se encuentran relacionadas por una ecuación matricial:

La matriz de coeficientes

' G:)~ AG'). (~:) ~ s(~). c·J ~e(~:) Al sustituir (

V2

t

~:) de la primera ecuación, en la !~egunda

obtenemos

t

l¡

1 ' '

El voltaje y la corriente de salida serán 3. volts. y 1 ampere respectivamente. En Ja práctica, se colocan en serie varias1·redes \ie dos puertos estándar como· la que se describió arriba para .obtener un cambio de voltaje y corriente deseado. Considere las tres redes de dos puertos de la fig ura 3, cuyas matrices de transmisión son A, B y C. :' Al considerar cada red de forma independiente, tenemos que ,

12

R

o

(~:) =G -~)e)= G)..:·

triz de transmisión del puerro. La matriz define a la red de dos puertos . En la figura 2 se presenta un ejemplo de una red de dos puertos . La parte interior consiste en una resistencia R conectada como se muestra. Podemos demostrar que las corrientes y los voltajes en efecto se comportan de

V¡

1 -R).: De esta

forma si R equivale a 2 ohms y el voltaje' y coriiente de entrada son V 1 = 5 volts e 11 = 1 ampere, respectivamente, obtenemos ' '

ª12) se denomina ma(ªª1121 ª22

l¡

1

12

Figura 2 Red de dos puertos I¡

+ V¡

12 A

t

/3

/2

/3

+ V3

B

t

I¡

Figura 3

12

+ , V2

/4

.v+

e

f

f

12

/3

/3

/4

Dos puertos en serie

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.1 Red de dos puertos en circuitos eléctricos

XV

,

Al sustituir la última matriz

(V) ¡:

2. La corriente a través de R 1 es 11 - 12 . La caída de voltaje a través de R 1 es V1• La corriente a través de R 2 es 12 . La Cé)Ída de voltaje a través de R 2 es V1 - V2 •

en la tercera ecua- ,

ción obtenemos

'

¡'1

t

V1

V2

L~~--_,____+

De este' modo las tr.es redes de dos puertos serán equivalentes a una sola. La matriz de transmisión de esta red de dos puertos será el producto CBA de los puertos iridividuales. Observe que la ubicación de cada puerto en la secuencia es relevante debido a que las matrices no son conmutativas bajo la multiplicación.

/1

Figura 5

Red de dos puertos para el problema 2

3. La corriente a través de R 1 es1 1• La caída de voltaje a través de R 1 es V1 - V2 • La corriente a través de R 2 es 11 - 12 . La caída de voltaje a través de R 2 es V2 •

Problemas relacionados En los problemas 1-3, determine las matrices de transmisión de las redes de dos puertos que se muestran en la figura . 1. V1 = V2 debido a que las terminales se conectan de

11

forma directa. La corriente a través de la resistencia R es 11 - 12 • La caída de voltaje a través de R será V1•

Figura 6

4. La red de dos puertos de la figura 7 consiste de tres redes de dos puertos colocadas en serie. Las matrices de transmisión son las que se muestran.

11 R

V1

t / 2'

/1

Figura 4

Red de dos puertos para el problema 1

3 a mperes

+

2 volts

t

c

12

l

xvi

12

+ t

- 1) O. 1

a)

¿Cuál es la matriz de transmisión de la red de dos puertos compuesta?

b)

Si el .voltaje de el1trada equivale a 3 volts y la corriente a 2 amperes, determine el voltaje ·y la corrieúte de salida.

12

13

/3

+ f

(: ~)

V2 12

Figura 7

Red de dos puertos para el problema 3

V3 /3

' 13

/4

+

( 3 - 1) -1 1

V

t /4

Redes de dos puertos en serie para el prob lema 4

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.1 Red de dos puertos en ci rcuitos eléctricos

j

Intersección B: Tráfico de entrada= 350 + 125. Tráficodesalida=x 1 + x 4 . Portanto ,x 1 +~4 = f75.

2.2

1

1:

I.n tersección C: Tráfico de entrada = x 3 + x 4 . . Tráfico de salid a '= 600 + 300. Por tanto, x~

Flujo de tráfico

X4 =

Gareth Williams, Ph.D. Departamento de Matemáticas y Ciencias Computacionales, · Stetson University

Intersección D: Tráfico de entrada = 800 + 250. Tráfico de sa lida = x 2 + x 3 . Por tai1to x 2 X3 = ]

225 'vph

-©-

Cal le Du va l

B

X¡

e -l "'"

bO

:r:

125 v~h

u

Ca lle Monroe

u

D

x3,

e

300 ~· p h

V

600 vph

Suponga que se aplican las siguientes leyes de tráfico:

Todo el tráfico que ingresa a una intersección debe abandonarla. Esta restricción de la conservación del flujo (compárela con la regla de nodos de Kirchhoff) nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales: Intersección A: Tráfico de entrada = x 1 + x 2 . Tráfico de sa lida = 400 + 225. Por tanto , x 1 =

625 . .

+

X2

+

+ +

X¡

X3 X2

+

X3

X4 X4

= = = =

625 475 900 1050

I'.. 1

Puede em pl ea rse e l método de elim inacióq· de Gauss-Jordan para resolver este sistema de ec u ac.i ~ nes . La matriz au mentada y la forma reducida escalqúada por renglón son las siguientes:

(~

o o o o o 1 o 1

625 ) Ope1ac1ones ( 1 o o 1!475 ) 475 de renglones O 1 O - 1 . 150 '

o o l ' 1 ~ºº o o o o:,: . o

=>

900 1050

.

"

+

X¡

X2

X4 X4

+

X4

= 475 = 150 = 900.

1:'

Al expr,e sar cada variabl e principal en térrninmr de la variable. restante, obtenemos ' = - x4

X2 =

X4

X3 =

-x4

+ 475 + 150 + 900. 1

Como podría e~perarse, el sistema de ecu~iones , cuenta con varias soluciones, por lo que es pbsible tener varios flujos de tráfico . Un conductor cuenta con. una cierta cantidad de opciones en las intersecciones . . !i\hora utilicemos este modelo matemático para obtene¡. más información sobre el flujo de tráfico. Suponga 'que se requiere realizar trabajos de mantenimiento en el · segmento DC ele Ca ll ~ Monroe .' Es deseable conthr con un flujo de tráfico x 3 lo más pequeño posible pdra este : segmento de calle. Los flujos pueden controlarse. a lo largo de diversas bifurcaciones por medio de semµforos. ¿Cuál sería el valor mínimo de X3 sobre DC que nb ocasione una congestión de tráfico? Para resolver esta pregunta, emplearemos el sistema de ecuaciones 'anterior. Los ·flujos .de tráfico no deben ser negativos (un flujo negativo podría interpretarse como tráfico que 'se des- · ~laza en la dirección incorrecta en una calle de un solo

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.2 Flujo de tráfico

'f ·I

1 1

l1

E l sistema de ecuaciones que corresponde con ySta forma reducida escalonada por renglón es

X¡

Figura 1 Centro de la ciudad de Jackso nvi lle, Florida

X2

X¡

-¡;;

-¡;;

250 vph

,,¡;.

.!,! X4

.!,! "'2

800 vph

350 vph

A

+

1i

X3

:¡¡ o

050 .

Estas restricciones sobre el tráfico se describÚ1 empleando el sigui ente ~ i s tema de ec uaciones lineale's::'

El análisis de redes, como lo observamos en el análi sis de las reglas de nodo y lazo de Kirchhoff en la sección 2.2, juega un papel importante en la ingeniería eléctrica. En años recientes;. los conceptos y herramientas de este análisis de redes han resultado útiles en muchos otros campos, como en la teoría de la información y el estudio de sistemas de transporte. El siguiente análi sis del flujo de tráfico a través de una red de caminos durante las horas pico ilustra cómo en la práctica pueden surgir sistemas de ecuaciones lineales con muchas soluciones. Considere la red típica ele calles de la figura J. Representa un área del centro de la ciudad de Jacksonvi lle, Florida. Las calles son de un solo sentido, las flec has indican la dirección del flujo del tráfico. E l flujo del tráfico de entrada y sa lida de la red se mide en términos de vehículos por hora (vph).. Las cifras que se proporcionan se basan en las horas de tráfico pico de mitad de semana, de 7 a 9 A .M . y de 4 a 6 P.M. Se deberá permitir un incremento de 2 por ciento en el flujo general durante la tarde del viernes: Construyamos un modelo matemático que· pueda utili zarse para analizar esta red.

400 vph

+

900.

xvii

sentido). La tercera ecuación en el sistema nos indica que x3 será un · mínimo cuando x4 sea lo más grande posible, siemp1'e que no exceda de 900. El valor más grande que x4 puede llegar a tener sin ocasionar valores negativos de x 1 o de x2 es 475. De este modq, el valor más pequeño de x3 será -475 + 900, o 425. Todo trabajo de mantenimiento sobre la Calle Monroe deberá permitir un volumen de tráfico de al menos 425 vph. En la práctica, las redes son mucho más vastas que la analizada aquí, llevando a sistemas de ecuacioiles lineales más grandes, que 'sen manipuladas mediante computadoras. Es posible ingresar diversos valores para las variables en una computadora con el fin de crear escenarios distintos.

momento? (Las unidades de flujo están dadas en vehículos por hora.) 3. La figura 4 representa el tráfico que ingresa y sale de otro tipo de glorieta usada en Europa continental. Tales glorietas aseguran el flujo continuo de tráfico , en las intersecciones de calles. Construya ecuaciones lineales que describan el flujo del tráfico sobre las distintas bifurcaciones. Utilice estas ecuaciones para determinar el flujo mínimo posible sobre x 1• ¿Cuáles son los demás fü1jos en este momento? (No es necesario · calcular la forma reducida escalonada por renglones. Utilice el hecho de que el flujo de tráfico no puede ser negativo.)

Problemas relacionados 1. Construya un modelo matemático que describa el flujo

de tráfico en la red de calles señalada en la figura 2. Todas las avenidas son calles de un solo sentido en las direcciones indicadas. Las unidades están dadas en vehículos por hora (vph). Proporcione dos flujos de tráfico posibl~s. ¿Cuál es el flujo mínimo posible que puede esperarse sobre el tramo AB? •200

130

100

1oo------'A"-+-----'J-\..c1 ---=8=+---~150 Figura 4 X4 '~

100

Flujo de tráfico del problema 3

~ X2

e

D

,

50

4. La figura 5 describe un flujo de tráfico, con las unidades en vehículos por hora (vph).

X3 ·~

50

~

50

Figura 2 Flujo de tráfico del problema 1

a)

Construya un sistema de ecuaciones lineales que describa este flujo .

b)

El tiempo total que toma a los vehículos recorl·er cualquier segmento de calle es p,roporcional · al tráfico sobre dicho segmento. Por ejemplo, el tiempo total que toma a x 1 vehículos recorrer AB serán kx 1 minutos. Suponiendo que la constante es la misma para todas las secciones de calles, el tiempo total para que 200 vehículos recorran esta red será kx 1 :+ 2kx 2 + kx 3 + 2kx4 + kx 5 • ¿Cuál será el tiempo total si k = 4? Proporciqne un tiempo promedio para cada automóvil.

2. La figura 3 representa el tráfico que ingresa y sale de una glorieta. Tales intersecciones son muy comunes en Europa. Con.struya, un modelo matemático que describa el flujo del tráfico sobre las diversas bifurcaciones. ¿Cuál es el flujo mínimo posible teórico sobre la rama BC? ¿Cuáles son los otros flujos en dicho

B

200

A

D

F

Figura . 3

xviii

Flujo de tráfico del problema 2

Figura 5

E

Flujo de tráfico para el problema 4

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.2 Flujo de tráfico

200 ,

2.1 5

Dependencia de la resistividad en la temperatura Anton M. Jopko, Ph.D. Departamento de Física y Astronomía, McMaster University

Problemas relacionados 1

Deseamos ajustar puntos de info rmación (x;~[ y;) utilizando la ecuación cuadrática general y = qx2!'+ bx + e en el sentido de mínimos cuadrados. Con 'tan splo tres puntos de infor mación no sería necesario eU> rocedi miento de mínimos cuadrados. En nuestro caso, contamos con siete puntos ele info rmación.

y,)

Y2

l. Constru ya el :rector columna Y =

' )'7

Un conductor de longitud L y área transversal unifo rme A tiene una resistencia R dada por R = P,L/A, pues el conductor está hecho de un material con resistividad p. Sin embargo, la resistividad no es constante para todas las temperaturas del conductor. Cuando la corriente flu ye a través del ·conductor, se genera calor, lo que eleva su temperatu ra. A este proceso se le conoce como calentamiento de Joule .. En general, mientras más alta sea la temperatura, más alta sePá la resistividad y en última instancia la resistencia. Esto significa que debe conocerse la resistividad a la temperatura de trabajo del conductor. Modelamos la resistividad a la temperatu ra Te del conductor por medio de la función cuadrática dada por

p(Tc)

=

Po + rx(Tc - T0 )

+ f3 (Tc - T0 ) 2

donde Te representa la temperatura del conductor en grados Celsius, T0 es la temperatura ambiente y Po es la resistividad a temperatu ra ambiente. Los coefi cientes p 0 , rx y f3 s~ determinan por medio de Ja experimentación. El tungsteno es un conductor con un punto de fu sión muy elevado , que se utili za para fa bricar los fil amentos de las lámparas incandescentes . Suponga que Ja información en la tabla está medida pam la resistividad del tungsteno., En Jos problemas sigui entes, presentamos un procedimiento de mínimos cuadrados para encontrar Jos valores de p0 , a y {3 . Imagen © Abtestock Asumi remos que T0 = 20º C.

20

5.60

40

5.65

80

5.70

200

7.82

500

11.l

700

20 .2

l 000

30 .5

,"

A = (~ ;; :)· x:¡

X7

2. fügn ""' el veeto·· eolomnn

1

x· ~

G:J

eonte ngn

los coefi cientes mínimos cuad raclos. ' Calc~ l'e el vector

x• = (A7At 'ATY. 3. Utili zando la ecuación cuadrática ele lnínini!~·s cuadrados, prediga la resisti vidad del tungsteno ~¡ 300ºC,. 4. Si un conductor ele, tungsteno a temperatu ra ,ambie nte tiene una res istencia de 5 ohms, utili ce el res ultado del pro blema 3 para predecir su resistencia a una temperatura de 300ºC. 5. Encuentre el error RMS (raíz cuadrada ele la medi a de los cuadrados) ele la ecuación cuacli·ática mínimos !i: cuadrados,

rle

.-

Resistividad (fi-m) x 10-s

'

:y/a m~ tri z

:.

(

1i

!!:

n.

L"

(Y; - Y;*)2 ,

i= 1

donde y * = AX* es el valor de mínimos cuadrados de Y. :: · 6. Explique, en términos generales, lo, que ::significa el error RMS o de raíz cuadrada de la media de los cuadrados . •¡, '

'

1

7. Realice la predicción de la resistividad d~l: conductor de tungsteno a 2 OOOºC. ¿Qué tan confia ble es este valor?

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.15 Dependencia de la resistividad en la temperatura

''

r:

¡

h•

.'!"

xix

Superficies minimas Jeff Dodd, Ph.D.

Departamentp de Matemáticas, Computación y Ciencias de la Información, Jacksonville State University Al sumergir un marco · de alambre en una solución jabonosa y retirarlo cuidadosamente, se forma una película tensionada de jabón sostenida por el alambre. Si el marco de alambre es plano, como los anillos circulares que se utilizan frecuentemente para hacer burbujas, entonces la película.de jabón será plana. Sin embargo, si el marco se dobla de una forma más i~teresante, se generará a su vez una superficie más interesante. Un personaje legendario en el estudio de estas formas fue el físico belga Joseph Plateau (1801-1883). A pesar de ser ciego (como resultado de mirar fijamente al Sol por 25 segundos , cuando experimentaba sobre la fisiología de la visión), condujo una extensa serie de experimentos con películas de jabón, utilizando una solución especial de glicerina y jabón inventada por él mismo con la que sus películas de jabón podían durar horas . Plateau tarribién trabajó exhaustivamente con burbujas de jabón. (Gracias a laboriosas y cuidadosas observaciones, fue capaz de conjeturar algunos principios bellamente simples que gobiernan la geometría de los racimos de burbujas de jabón, conocidos como "reglas de Plateau".) Plateau se dio cuenta de que una película de jabón queda .constituida de forma que se minimiza la energía debido a la tensión superficial o, lo que es· equivalente~ se minimiza el área superficial rodeada por el alambre. Él reto a los matemáticos para que propusieran una descripción general de dichas superficies minimizadoras de área, o superficies mínimas. En consecuencia, el problema de determinar la superficie de la menor área restringida por cierta frontera se conoce como "problema de Plateau". En los tiempos. de Plateau, el estudio matemático de superficies mínimas había comenzado casi un siglo antes con el trabajo de Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange. Las matemáticas necesarias para resolver muchas de las conjeturas y problemas de Plateau no se desarrollaron sino hasta el siglo xx. De hecho, el estudio de superficies mínimas sigue siendo actualmente un área de investigacióh activa, y los matemáticos se esfuerzan todavía por mantenerse al corriente · con sus aplicaciones existentes y con las que tiene en potencia. En muchas de las ciencias físicas y biológicas abundan aplicaciones . En los últimos años se ha puesto

XX

mucha atención en las aplicaciones a la nanotecnología en la ingeniería molecular y en la ciencia de materiales . Algunas superficies mínimas muy exóticas, recienterrlente descubiertas matemáticamente, han sido observadas en "copolímeros de bloque'', esto es, moléculas compuestas por dos tiras de diferentes polímeros que se repelen entre sí. Las moléculas se acomodan de tal manera que las fronteras entre las partes disímiles forman superficies mínimas. Este caso es una aplicación típica, ya que la interfaz entre dos sustancias que se repelen entre sí tiende a ser una superficie mínima, al menos aproximadamente. Existen aplicaciones más abstrusas como la descripción relativista general de los agujeros negros. También hay aplicaciones en los procesos de diseño. Por ejemplo, los ingenieros a veces utilizan superficies mínimas para diseñar estructuras en. las que los esfuerzos se distribuyan lo más uniformemente posible a fin de maximizar su durabilidad. Finalmente, las superficies mínimas son estéticamente agradables y se emplean comúnmente en arquitectura y arte, ii;icluyendo las esculturas del reconocido matemático-artista Helaman Ferguson. * Considérese a continuación una versión simple del problema de Plateau: Sea R una región cerrada y acotada en el plano xy por una curva suave cerrada simple segmentada C. Sea z = g(x, y) una función dada definida sobre C. (La gráfica de g es nuestro "marco de alambre" .) De todas las funciones z = u(x, y) que tienen segundas derivadas parciales continuas sobre R, tales que u(x, y) = g(x, y) sobre C, caracterice aquella ·cuya gráfica sobre R tiene el área superficial más pequeña posible. Para resolver este problema, se. comienza con (2) de la definición 3.11 del texto. El área superficial A de la gráfica de u sobre R está dada por A(u) =

Jf v1

+

[u.h,y)] 2

+

JJVu(x,y)ll2 dA.

+

[uy(x,y)]2dA

R

=

Jf v1 R

Ahora tome cualquier función w(x, y) tal que w =O sobre C y considere la siguiente función real: F(t) =A(u + tw) . para valores pequeños de t. Si u es la función gue mini. miza a A sobre todas las funciones que tienen Iqs valores determinados por g sobre C, entonces t = O es un valor crítico para F; esto es, F' (O) = O. Observe que

F'(t) =

:!__JJv1 dt '

+

llVu + rVwll 2

dA

R

=

ff :t Vl

+

llV'u + tV'wll 2 dA

R

*Para otras superficies, véase www.hel asculpt.com/gallery

PROYECTO PARA LA SECCIÓN .3.16 Superficies mínimas

=e

Problemas relacionados

·Utilice la sustitución r

1. Utilice la definición de norma en términos del prod ucto escalar para mostrar que

r = e cosh - - , donde e y d son constai}tes. ' e 1,

F'(O)

=

ff V I : ull Vull2 . '\lw dA. 11

2. Suponga que h es una función y F es un campo vectori al, defi nidos sobre R de manera que las primeras derivadas parciales de h y las dos fun ciones compo. nentes de F son continuas sobre R. Utilice la siguiente identidad vectori al

(u-d)

cosh u para mostrar que

;

Observe que ésta es la superfic ie obtenida al revolucio11 ar un a catenari a (véase sección 3. 10 del tomo I) alrededor del eje z. Esta superficie de 'revoh;ción se conoce como catenoide. La catenoide fue la primera superficie míniina no plana descrita (por Euler alrededor ele 1740). Un a película de jabón form ~d a enfre dos anillos coax iales toma esta forma, iy nq!la fo rma ele un cono o de un cilindro! Véase la fi gura:',L .,

di v (hF)' = h di v F + (grad h) · F (Problema 27, ejercicios 3.7) y la for mulación alter. nativa del teorema de Green dada en ( 1) de la secc ión 3 .16 para mostrar que

i (hF· n)ds= JJ (hdiv F + (grad h) ·F) dA. C

R

3. Aplique esta última identidad al resultado del problema 1 para mostrar que

Jf w di v (

Vl :ull VullJ

dA = O.

11

Como esto último es .cierto para cualqui er fun ción w(x, y) tal que w = O sobre C, entonces debe cumpli rse que div (

, \J u

VI

+

)

l Vull2

= O.

4. Muestre que la última ecuación del problema 3 puede expresarse como la siguiente ec uación di fe rencial parci al no lineal

(1

+ u; )uu + ( l + u;. )uy.v -

Figura 1 Catenoide 1 1

8. Utilice la regla ele la cadena y las coordeniidas polares· para mostrar que si u = f( 8), entonces u.= ce + d, donde e y d son constantes. Esta superficie -~a espiral generada por una línea horizontal que rota : ~ lrededor del eje z con velocidad angular constante, niientras ·se eleva a lo largo del eje z con velocidad constante- ·se conoce co mo helicoide, y fue la segunda superficie mínima no plana descrita (Jean Bapti ste M e.u snier la describió en 1776) . De la fi gura 2 se puede 'reconocer el helicoide como modelo para las cuchillas curvas rotatorias ele maquinarias co1110 las barrena's p~l-a postes, excavadoras de hielo y sopladoras de nieve. ¡:·

2u,.uyit,Y = O.

Esta ecuación, conocida co1110 ecuación de superficie mínima, la escribió Lagrange por primera vez en 1760. 5. Muestre que si 4 es una función sólo de x o só,lo de y, entonces la gráfica de u es un pl ano . 6. Utilice la regla de la cadena y las coordenadas polares para mosfrar que si u ;:::: f( r), entonces

Figura 2 Helicoide

rf"(r ) + .f'(r) (l + [.f'( r) J2) = O 7. La EDO de seg undo orden del problema 6 es un a EDO separable ele primer orden en f' (r). Utilice el método de separación de va riables (que se expone en la sección 2.2 del tomo 1) para mostrar que si u = f( r), entonces du dr

v ,.2¡c2 _

Epilogo La mayoría ele las superficies mínimas sdn geométricamente más complicadas que Ja catenoicle y e,L helicoide, y sólo pueden representarse conveniente'ri!iente en forma paramétri ca, más que corno gráfi ~as de funci ones. El estúclio de las parametrizac iones de superficies mínimas tiene conexiones profundas con las fonciones armónicas y el análisis complejo, tema de la parte 3 de este texto. li

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 3.16 Superficies mínimas

:·I'

xxi

EL átomQ de hidrógeno Matheus Grasselli, Ph.D.

Departamento de Matemáticas y Estadística, McMaster University El átomo de hidrógeno representó uno de los problemas sin resolver más importantes en la física a principios del siglo veinte. Con únicamente un protón y un electrón, ofrece el ejemplo más simple posible que debía ser explicado por cualquier modelo atómico. La descripción clásica era la de un electrón en órbita alrededor de un protón debido a una atracción eléctrica. Sin embargo, la hipótesis era inconsistente, debido a que · para moverse alrededor del protón, el electrón necesita acelerarse. Toda partícula cargada y acelerada emite ondas electromagnéticas. Entonces, con el tiempo, el electrón debía perder energía cinética y eventualmente colapsarse hacia el núcleo del átomo. Para complicar ~ún más las cosas, ¡:t partir de información espectroscópica se sabía que .el gas de hidrógeno emite luz con longitudes de onda muy específicas, las llamadas líneas espectrales. Además, estas líneas espectrales que podían observarse en el rango visible satisfacían una fórmula empírica enunciada por primera ve·z por J. J. Balmer en 1885. Si la longitud ct'e onda es indicada por A, ·entonces las líneas espectrales de lo que actualmente se denomina la serie de Balmer estarán definidas por

Figura 1 Modelo planetario de Bohr del átomo de hidrógeno: en este modelo, un electrón puede ocupar únicamente ciertas órbitas alrededor de un núcleo que consiste de un protón

Problemas relacionados l. Suponga, como se muestra en la figura 1, que el elec-

trón cuenta con una masa m y una carga -e, y que se desplaza en una órbita circu lar de radio r alrededor del protón , el cual tiene una carga e y una masa mucho mayor. Utilice las fórmulas clásicas de la fuerza eléctrica para .cargas puntuales con el objetivo de deducir que la energía mecánica total (cinética más potencial) para el electrón en esta órbita es

donde e0 es la permi~ividad del espacio. Adiciona lmente, deduzca que el momento angular clási'co para esta órbita es 0

(1)

donde RH es una constante para .la cual el niejor valor empírico es 10 967 757.6 ± 1.2 m- 1• • Todo modelo atómico razonable no sólo debía explicar la estabilidad del átomo de hidrógeno, sino que también debía generar una explicación para las líneas espectrales con frecuencias que satisfacían esta fórmula. El ·primer modelo de este tipo fue propuesto por Niels Bohr en 1913 , utilizando una ingeniosa combinación de argumentos clásicos y dos "postulados cuánticos". Bohr asu.mió que el electrón se encue;1tra restringido a un movimiento en órbitas con un momento angular "cuantizado", es decir, en múltiplos enteros de una constante dada. Observe la figura 1. Además, los átomos emiten energía en forma de ondas electromagnéticas únicamente cuando el, electrón salta de una órbita fija a otra. Las frecuencias de estas ondas están dadas por la fórmula 'de Planck 11E = lív, donde /1E es la difo.rencia de energía entre las órbitas y lí es la constante de Planck. Intente reproducir los pasos de Bohr mediante la resolución de los problemas 1-3.

xxii

(2)

E=

L=

(3)

2. Ahora utilicemos el pri'mer postulado de Bohr: asuma que el momento angu lar es de la forma L = nlí, donde n = l, 2, . . . . Sustituya esta expresión en la ecuación (3) y encuentre una ,expresión para el radio orbital r como una función de n. Inserte esta función en la ecuación (2) y obtenga una expresión para los niveles de energía cuántica de~ átomo de hidrógeno. 3 . Ahora estamos listos para utilizar el segundo postulado de Bohr. Suponga que un electrón realiza una transició,n desde el nivel de energía Ek al nivel de energía E,,, para enteros k > n. Utilice la fórmula 11E = lív y · la relación Av = e (donde e representa la velocidad · de la luz) para deducir que la longitud de onda emitida por esta transición t;s

1 A

=

me

4 (

1 k21) ·

81í\:5c n2

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 6.3 El átomo ·de hidrógeno

-

(4)

_¡ r

Asignemos n == 2 en la ecuación (4) y concluimos 4

me que esto genera la serie de Balmer con RH = - 3 - 2- . h t;oC Ahora, realice ,una investigación para los valores de las constantes que aparecen en esta fó rmula y calcule RH. ¿Su valor es comparable con el valor empírico? Por

m.M

último , reempl ace m por la masa reducida - - -. m. + M (donde Mes la masa del protón) y sorpréndase con la notable precisión de este resultado. A pesar de su éxito ev idente, el modelo de Bohr tenía como detalle el que llevaba la teoría clásica lo más lejos posib'le y luego la complementaba con postulados cuánticos específicos cuando era necesario . Esta situación fue acertada mente considerada como insatisfac toria e inspiró a los físicos a desarrollar una teoría mucho más completa del fenóm'e no atómico, lo que dio paso al nacimiento de la mecánica cuántica. En el núcleo de ella hay una ecuació n di fe rencial parcial propuesta por Erwin Schrodinger en 1926 en un documento con un título 's ugerente "La cuanti zación como un problema de vaiores propios". La ecuació n de Schrodinger dependiente del tiempo para un sistema físico de masa m suj eto a un potencial V(x) es f¡,2

--;-

2m

V2 '1'(x) + V(x)'l'(x)

=

E'l!(x),

(5)

donde V 2 representa al operador laplaciano y E es el valor (escalar) para la energía total del sistema en el estado estacionario 'I' (x) .' Aquí x == (x, y , z) representa un punto en el espacio de posición de tres din,1ensiones. La interpretación correcta de la función 'l'(x) implica argumentos probabilísticos refi nados. Para nuestro problema es suficiente decir que 'l' (x) contiene toda la 'información que se puede obtener físicamente acerca del sistema en consideración. Nuestro propósito ahora, siguiendo el espíritu del documento otiginal de Schrodinger, será obtener los niveles de energía E 11 para el átomo de hidrógeno como los valores posibles de energía para los cuales la ecuación (5) admite una solución . Ahora intente resolver el siguiente problema. e2

4. Deb ido a que la energía potencial V(r) = - - -

,

.

47Te0 r

depende únicamente del radio r, para este problema es natural considerar coordenadas esféricas ( r, (), cf>) definidas por las ecuaciones

x = r sen () cos cf>, y = r sen () sen cf>, z = r cos () . Comience por escribir la ecuación (5) en estas coordenadas [recuerde la expres ión para el operador de Laplace en coordenadas esféri cas en (2) de la sección 6.3]. Ahora t1tili zamos la separación de variables con

'l'(x) = R(r)®(e)(cf>) para mostrar que el componente radial R(r) satisface a : 1

i:

( -e- + E) R = -k ~in (6) R" + -2 R' + -2m r h2 47Te0r ñ.2r2 2

donde k es una constante. En la solución del problema 4 debería haber encontrado que la técnica de separación de va ri ables divide la ec ua c~ó n ele Schroclinger en dos parter una , que depende u111 camente de r y la otra que depende solamente de () y cf>. Cada una de estas p(\rtes debe ser equivalente a ~na constante, que denominamos k. Si buscáramos la solución ele la parte angular (J1a que . involucra a (} y e/>), encontraría mos que k es un :número cuántico relacionado con el momento angular del átomo. Para el resto de este proyecto, consideraremos el caso k == O, que corresponde con los estaclps co n momento angular cero. ; En este punto proceda con los problemas 5-·7 . 1

S. Establezca k == O en la ecuación (6) y consid~'re su límite cuando r ~ oo. Demuestre que e- e'., donde

C = )-

2~~E

(7)

es una solución de esta ecuación limitante. 6. Con base en el ejercicio anterior, considere una solución general de la forma R('r) = J( r) e-'Cr Pª,l~ª una fun ción analítica f (r). Mediante procedimiento~ : analíticos, la función f (r) posee una expansión de series

J(r)

= ªº + a1r + a 212 + ...

Sustituya esta serie en la ecuación (6) (con k == 0) y dedtiz°ca que los coeficientes a; satisfacen la relación recursiva

jC - B

ª1 = 2.(·+ 1)ªJ - I• .J .J

j

! , 2,

(8) ';

me 2

donde B = - -- 2

47TeJi

7. Demu estre qu e el límite de la ecuac ión (8) para

2C

,!

valores grandes dejes a1 = -.--ªJ - 1> que.es ¡fa serie , .J + l ' ' 2 tle potencia para la función e c,.. Conc luya que la única forma ele hacer que la función R(r) di smúrnya a cero a medida que r se vuelve más grancle :.e's que la serie de potencias para f( r) termine después de un número finito de términos. Por último , observe que esto sucede si y sólo si nC == B para algún en~~rn n. , Nuestro, probl ema final en este proyecto será generar los niveles .de energía del átomo ele hidr.6 geno como un a consecuencia del trabajo rea lizacl'ri:: hasta aquí. Deberá observar que la existencia de niveles ele energía cuantizados no necesitan ser postu)aclos, sino más bien deducidos a partir del análisis mat~m'á ti co de la 'ecuación de Schroclinger. Mientras que los pasos·

¡,

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 6.3 El átomo de hidrógeno

J

xxiii

de deducción son más complicados que los seguidos por Bohr, debe ser evidente que la eliminación de los axiomas de cuantizaCión específicos de Bohr fue un logro importante alcanzado por Schrüdinger, razón por la cual recibió el Premio Nobel de física en 1933. 8. Utilice la condición expresada en el ejercicio previo y las fórmulas obtenidas para C y B para concluir que

xxiv

las energías permitidas para el átomo de hidrógeno en un estado con momento angular cero son me 4 E"=

(47Tso) 221í-2n2

(9)

que deben coincidir con los niveles de energía que encontró para el átomo de Bohr del problema 2.

PROYECTO PARA LA SECCIÓN . 6.3 El átomo de hidrógeno

La desigualdad de incertidumbre en el procesamiento de ·señales Jeff Dodd, Ph.D.

Departamento de Matemáticas, Computación y Ciencias de la Información, Jacksonville· Sta.te University Los ingenieros en comunicaciones interpretan a la transformada de Fourier como la descomposición de una señal flx) que lleva información, donde x rep1'esenta al tiempo, en una superposición de "tonos" sinusoidales puros que tienen frecuencias representadas por una variable real. De hecho, los ingenieros usualmente consideran la representación en el "dominio de la frecuencia" resultante, tanto o más que la representación en el "dominio del tiempo" (esto es, ¡la señal misma!). Un aspecto fundamental del procesamiento de señales es que cuanto más estrecha es una señal en el dominio del tiempo, más amplia es en el dominio de la frecuencia.·También, cuanto más estrecha es una señal en el dominio de la frecuencia, más amplia es en el dominio del tiempo. Este efecto es importante porque, en la práctica, una señal debe enviarse en un tiempo limitado y utilizando un intervalo limitado o "banda" de frecuencias. En este proyecto se describe e 'investiga este equilibrio entre duración y ancho de barlda, tanto cualitativa como cuantitativamente. Los resultados de esta investigación respaldan una regla práctica comúnmente citada: una cierta banda de frecuencias es proporcional al producto de la duración en tiempo por el ancho de la banda de frecuencias.

Problemas ·relacionados Se emplean la forma compleja de la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier, dadas en (5) y (6) de la sección 7.4. Se utiliza la notación /(a) para denotar la transformada de Fourier de una función f(x) en una forma compacta que explicita su dependencia def, esto es;/(a) = F{f(x)}. Se considera quef es una función real, y se comienza revi&ando dos propiedades simples de J. l. Mostrar que si a > O, entonces /(-a) = /(a). Así,

para cualquier a, 1/(-a)I = i/(a)¡. (Aquí, las notaciones y lzl representan el conjugado y el módulo de un número complejo z, respectivamente.)

z

2. Si k es un número real, supóngase que Ík(x) = f(x - k). Mostrar que

De manera que recorrer una señal en el tiempo no afecta a los valores de J/(a)I en el dominio de las frecuencias. t . I' Tomando en cuenta estos hechos, ahora ~e procede a considerar el efecto de estrechar o ampliar una señal en el dominio del tiempo simplemente escalando la variable temporal. · 3. Si e es un número positivo, considérese quefh'.') =f(cx). Muestre que i! ,,

11'

,,i:

De forma que al estrechar la función señal f e'1 el dominio del tiempo (e> 1), se ensancha su transformada en el dominio de la frecuencia, y al ampliar l~ función ' señal f en el dominio del tiempo (e < 1), se estrecha su transformada en el dominio de la frecuenqia. Para cuantificar el efecto que se observa el problema 3, se necesita establecer una medida de'l "ancho" de la gráfica de una función . La medida más ,tomúnmente utilizada .es el ancho de la raíz cuadra~a de la media de los cuadrados, que cuando se aplica a una señal f en los dominios del tiempo y de ' la frecuencia , conduce a un valor cuadrático medio (o 1·aíz c~adrada de la media de los cuadrados) de duración D(j) y un valor cuadrático medio de ancho de banda B(f ), dados por

bri

f" . x [f(x) ] dx . f [f(x) ]2 2

2

[D(f)] 2 =

---: -

,,•1, '

--

dx

-oo

y

.

f oo a2 ¡/(a)J2 da [B(f)]2 =

_-_ oooo--~

f

i/(a)J 2da

¡!

,,i'

-oo

De manera que el ancho de banda y la duración se calculan en relación a los "centros" de a = ,ó·y x = O debido a que, según los problemas l y 2, la gráfica de lf(a)l 2 es simétrica con respecto a a =O en el dominio de la frecuencia, y la señal puede reco1terse horizontalmente en el dominio del tiempo sin~ :afectar la gráfica de i/(a)l 2 en el dominio de las frecuencias. 4. Muestre que para una familia de funcione's fc..(x) ,definida en 'el problema 3, D(fc) · B(fc) es independi·~nte de c. 5. Muestre que para la familia de funciones fc(x)

D(fc) · B(fc)

\12

= -

2

.

= e -c~'I,

' '

[Sugerencia: Según eL:problema :· '

4, f (x) = f 1(x). La integral de Fourier i1ecesaha puede obtenerse rápidamente del ejemplo 3 de la sección 7.3. Para calcular las integrales para D(j) y B(f), considere la integración por partes y por fracciones parciales, respectivamente.] ' La duración y el ancho de banda de una señal son en : cierta fon~a inversamente proporcional~s entre sí cuando se escala la variable de tiempo. ¿Qué se puede

PROYECTO PARA LA SECClÓN 7.4 La desigualdad de incertidumbre en el procesamiento de señales

XXV

decir al respecto de la constante de proporcionalidad ? ¿Qué tan pequeño puede ser D(f) · B(f)? Es de destacar que existe un límite inferior par O, entonces kAB tiene la misma dirección que el vector AB; si k < O, --> --> --> eptonces kAB tiene direq:ión opuesta a la de AB . Cuando k =;:O, se dice que OAB = O es el vector cero.* Dos vectores son paralelos si, y sólo si, entre ellos son múltiplos escalares diferentes de cero.Véase la figura 1.3.

AB

AB

cD .

AB,

-AB,

AB,

A a)

· - ~ ~1D ,B

- - ----

I

• Suma y resta Dos vectores pueden compartir un punto inicial común·, como el punto A de la figura 1.4a). Así, si los vectores no paralelos y AC son los lados de un paralelogramo como el de la figura l.4b), se dice que el vector que se halla en la diagonal princi-----7 '-----+ -----t pal, o AD, es la suma de AB y AC. Se escribe -->

-----+

t

/ '

I

-----+

--7

I

-7

AD=AB+AC 'I

I

'e A

AB y AC se define como -----t

I

'

I

--->

AD= AB + AC.

La diferencia entre los vectores

I

I

I -7

AB

----r->

/

--

----t

AB - AC = AB + (-AC).

b)

Figura 1.4 --->

El vector

AD es la

-->

suma de AB y AC

*Cuando se pregunta cuál es la dirección de O normalmente se responde que al vector cero se le puede asignar cualquier di~ección. Específicamente, se necesita el O para poder tener un álgebra vectori al.

1.1 Vectores en el espacio 2D

5

--------- , B

-7

- AC a)

13:-AB~At A

-7

AC b) --->

-->

-->

Como se ve en la figura l .5a), la resta AB - AC se interpreta como la diagonal principal --> --> del paralelog.r amo cuyos lados son AB y -AC. Sin embargo, como se muestra en la figura 1.5b), también es posible interpretar la misma resta vectorial como el tercer lado del triángulo con lados AiÍ y AC . En esta segunda interpretación, se observa que la resta --> --> --> vectorial CB = AB - AC apunta hacia el punto terminal del vector del cual se está restando el segundo vector. Si AB = AC entonces -->

-->

AB -AC =O. • Vectores en un plano coordenado Para describir analíticamente un vector, supóngase -para el resto de esta sección- que los vectores considerados se encuentran en un plai1o coordenado bidimensional o 2D. Al conjunto de todos los vectores en el plano se le denomina R 2 . El vector mostrado en la figura 1.6, con punto inicial en el origen O y punto terminal P(x 1, y 1), se denomina el vector de posición del punto P y se escribe como

Figura 1.5 El vector CB es la resta de AB menos M

11 Componentes En general, un vector a en R2 es cualquier par ordenado de números reales,

o Figura 1.6

Vector de posición (x+4,y+3)

,Y

""/ a)

Los números a, y a2 se conocen como los componentes del vector a. Como se mostrará en el primer ejemplo, el vector a no es 'necesariamente un vector de posición.

Ejemplo 1 . Vector de posición El desplazamiento entre los puntos (x, y) y (x + 4, y + 3) de la figura 1.7 a) se escribe ( 4, 3). Como se ve en la figura 1.7b), el vector de posición de (4, 3) es el vector que inicia en el origen y tenliina en el punto P(4 , 3). O Tanto la suma y resta de vectores, como la multiplicación de vectores por escalares, etc., se defin((n en función de sus componentes.

y

P(4, 3)

DEFINICIÓN 1.1 '

.

~

:

.

Suma, multiplicación escalar, igualdad

Sean a= (a 1, a 2) y b = (b 1, b2) vectores en R 2 . i) Suma: a+ b = (a 1 + b 1, a2 + b 2)

' o b)

Figura 1. 7 Los vectores en a) y b) son los mismos

(1)

ii) Multiplicación escalar: ka = (ka,, ka 2 ) iii) Igualdad: a = b

si, y sólo si,

a 1 = b 1, a 2 = b2

(2)

(3)

B Resta Utilizando (2) 1 se define el negativo de un vector b como -b

= (-l)b = (-b,, -b2).

La resta o diferencia de dos vectores se define entonces como

a - b = a+ (-b) = (a 1 - b 1, a2 - b2) .

6

CAPÍTULO 1 Vectores

(4)

---->

---->

En la figura l.8a) se ilustra la suma de los vectores OP 1 y OP 2 . En la figura l.8b), el vector con punto inicial P 1 y punto terminal P 2 , es la resta de los vectores de posición

M,

Como se muestra en la figura l.8b), el vector

M

puede dibujars'e comenzando por el

o¡;;,

punto terminal de ~ y finalizando en el punto terminal de o también como el .vector de posición cuyo punto terminal tiene coordenadas (x2-x 1, y2 - y 1). Recuérdese y se cons,ideran iguales, puesto que tienen la misma magnitud y la misma que dirección .

OP

M

OP

a)

y

Ejemplo 2 Suma y resta de dos vectores Si a= ( 1, 4) y b = (-6, 3), encuentre a+ b, a - by 2a + 3b.

Solución

Se utilizan (1), (2) y (4). ,

a+ b = ( 1+(-6), 4 + 3) = (-5, 7)

b)

a-b = (1-(-6), 4-3) = (7, 1)

---->

--->

2a + 3b = (2, 8) + (-18, 9) = (-16, 17).

O

Figura 1.8 En b), ,OP y P1P2 son el mismo vector

Propiedades La definición de un vector por medio de sus componentes se utiliza para verificar cada una d~ las siguientes propiedades de Jos vectores en R2: Propiedades de los vectores i) a+b=b+a

(ley conmutativa)

ii) a+ (b + c) = (a+ b) + c

(ley asociativa)

iii) a+ O = a

(identidad aditiva)

iv) a+ (-a)= O

(inverso aditivo)

v) k(a

+ b)

= ka+ kb,

k es un escalar

vi) (k 1 + k2)a = k 1a + k2a,

k 1 y k2 son escalares

vii) k1 (k2a) = (k1k2)a,

k 1 y k2 son escalares

viii)

la = a (vector cero)

ix) Oa =O

.El vector cero, O, de las propiedades iii), iv) y ix ) se define c?mo

o= (0,0). Magnitud La magnitud, longitud o norma de un vector a se denota como llall . Con base en el teorema de Pitágoras y la figura 1.9, se. define la magnitud-de un vector

Claramente, ll a ll

2:

y

O para cualquier vector a, y lla ll = O si , y sólo si, a = O. Por ejemplo,

si a = (6, -2), entonces lla ll = V6 2

+

(-2)2 =

\/40 =

ª1

2\/10.

Vectores unitarios

.

Un vector que tiene magnitud 1 se ·denomina vector unitario. Se puede obtener un vector unitario u en la misma dirección que un vector a no nulo, mµltiplicando a por el recíproco de su magnitud. El vector u = ( 1/lla ll)a es un vector unitario, ya que

1.1 Vectores en el espacio 20

Figura 1.9 rectángulo

Un triángulo

'"

,,.1::

7

Ejemplo 3 Vectores uni.tarios Dado a = (2, _:_l), genere un vector unitario con la misma dirección que dirección opuesta.

V

4 + (-1 )2 Solu ción. La magnitud del vector a es llall = tario con la misma dirección que a·es el múltiplo escalar

1

1

_/ 2

=

ay otro con

Vs.Así, un vector uni-

-1)

vsª = vs (2, -1).. \ vs' vs .

u =

Un vector unitario con la dirección opuesta a a es el negativo de u:

o Si a y b son vectores y c 1 y c2 son escalares, entonces la expresión c 1a + c 2 b se denomina una combinación lineal de a y b. Como se muestra a continuación, cualquier vector en R2 puede escribirse como una combinación lineal de dos vectores especiales. , • Vectores i, j Teniendo presentes (1) y (2), cualquier vector a = (a 1, a2) puede escribirse como una suma: ' y

(5)

A los vectores unitarios (1, O) y (O, 1) usualmente se les asignan ,los símbolos especiales i y j . Véase la figura l.lOa) . Así, si

i

=

(1, O)

y

j = (O, 1),

a)

Entonces (5) se convierte en

y

a 1i b)

(6)

Se dice que los vectores unitarios i y j forman una base para el sistema de vectores bidimensionales, puesto que cualquier vector a puede escribirse como una combinación lineal única de i y j. Si a= a 1i + a 2j es un vector de posición , entonces la figura l.lOb) muestra que a es la sumi). de los vectores a 1i y a 2j , que tienen al origen como punto inicial común y se halla sobre los ejes x y y, respectivamente. El escalar a 1 se llama la componente horizontal de a, y el escalar a2 se denomina la componente vertical de a .

Figura ·1 .10 i y j forman .una base para R2

Ejemplo 4

Operaciones vectoriales utilizando i y j

a) ( 4, 7) =

4i + 7j

b) (2i - 5j)

+ (8i + 13j)

e) lli + jll =

=

lOi + 8j

\/2

d) 10(3i - j) = 30i - lOj

y b = 9i + 6j son pa~·alelos, ya que bes un múltiplo escalar de a. Se observa que b = ~ a. · O

e) a = 6i + 4j

Ejemplo 5

Gráficas de suma vectorial y de resta vectorial

Sean a = 4i + 2j y b = -2i + 5j. Graficar a+ by a - b.

8

CAPÍTULO 1 Vectores

Solución Las gráficas de a+ b = 2i + 7j y a - b = 6i- 3j se ilustran en las figuras 1.1 la) y 1.1 lb), respectivamente.

y

y

.,;

"

a)

1 '

b)

1:

1

o

Figura 1.11 Suma a + b en a); resta a - b en b)

En los problem~s 1-8, encuentre a) 3a, b) a + b, e) a - b, d) lla + bll y e) lla - bll.

b)

e)

lüi + 15j

d) ' 2(i - j) - 3{~ i -•

e)

8i + 12j

f)

l. a = 2i + 4j, b = -i + 4j

2. a= (1, 1), b = (2, 3)

• 3 • - 1- 2 J

a) - 4i- 6j

I '

ti j)

l.

(Si + j) - (7i + 4j)

22. Determine ·un escalar e de manera que a = 3i b = -i + 9j sean paralelos

3. a= (4, O), b = (0,-5) 4. a = 61 1• - 61 J,• b = 21 1• ;'- 65 J.

+cj y

En los problemas 23 y 24, encuentre a + (b +e) para lps vecto. res dados. .: ·

5. a = -3i+2j, b = 7j 6. a = (1 , 3), b = -5a

23. a= (5 , 1), b = (-2, 4), e = (3, 10)

7. a = -b, b = 2i - 9j

24. a= ( 1, 1), b = (4, 3), e = (0, -2)

8. a= (7, 10), b = (1,2) En los problemas 9-14, encu.entre a) 4a - 2b y b) - 3a - 5b. 9. a= (1, -3), b = (-1, 1) 1O. a = i + j, b = 3i - 2j '

11. a = i - j , b = -3i + 4j

12. a= (2,0), b = (0,-3)

B. a=(4,10), b ~ -2(1 , 3)

14. a=(3,1)+(-l,2), b=(6,5) - (l,2)

~s problema,s 15-18, encuentre el vector

-¡;:p;. Grafique

P 1P 2 y su vector de posición c01respondiente.

15. P 1(3, 2), P 2 (5, 7)

16. P 1(-2, -1), P2 (4, -5)

17. P 1(3, 3), P 2(5, 5)

18. P 1(0, 3), P 2(2, O)

19. Encuent1'.e el punto terminal del vector si su punto inicial es (-3 , 10). 20. Encuentre. el punto inicial del vector su punto terminal es ( 4, 7).

-¡;:p;

= 4i + 8j

-¡;:p; = (-5 , -1) si

21. Determine cuáles de los siguientes vectores son paralelos a a = :ii + 6j.

En los problemas 25-28, encuentre un vector unitario a) con la misma dirección que a, y b) con dirección opuesta a a·.'

25. a = (2, 2)

26. a = (- 3,4)

27. a= (O, -5)

28. a = (1 , -

1

\/3;:'

En los problemas 29 y 30, a= (2, 8) y b = (3, 4).,Encuentre un vector unitai:io con la misma dirección que el vector indi~ado . ·,,, 29. a+ b

30. 2a ..:. 3b

En los problemas 31 y 32, encuentre un vector b que sea paralelo al vector dado y tenga la magnitud indicada. ,: · 31. a = 3i + 7j, llbll = 2

32. a = ~ i - ~ j, ilbll = 3

33. Encuentre un vector con dirección opuesta a a =: { 4, 1O), pero ~ partes más largo . . 34. Puesto que a = ( 1, 1) y b = ( - 1, O), encuentre µn vector con la misma dirección que a + b, pero 5 Vr;!ces más largo. :

1.1 Vectores en el espacio 20

1·

.f

En los problemas 35 y 36, utilice la figura correspondiente para dibujar el vector indicado. ·

a) Considere que llF111= µllF,,11, dondeµ. es el coeficiente de fricción, para mostrar que tan = µ.. El pie

e

no se deslizará para ángulos menores o iguales a

36. a+ (b +e)

35. 3b-a

b)

a

Figura 1.12 Vectores para el problema 35

Si µ. = 0.6 para un tacón de hule que golpea una banqueta de asfalto, encuentre el ángulo de "no , deslizamiento".

e

. Figura 1.13 Vectores para el problema 36

Fgi 1 1 1 1 1 1

En los problemas 37 y 38, exprese al vector x en función de los vectores a y b . 37.

e.

F

.38.

11

______ _ J

F

Figura 1.18 Vector F del problema 45. 46. Un semáforo de 200 lb cuelga en equilibrio de dos cables. Como muestra la figura 1.19b), se considera que el peso del semáforo se representa por w y las fuerzas en los dos cables por F 1 y F2 • De la figura l.19c), se observa que una condición de equilibrio es

Figura 1.14 Vector x del problema 37

Figura 1.15 Vector x del problema 38

(7) Observe el problema 39. Si

. w = -200j En los problemas 39 y 40, utilice la figura correspondiente para demostrar el resultado. proporcionado. 39. a

+b + e = O

40. a + b + ,e + d = O

D

a

Figura 1.16 Vectores para el problema 39

CllFdl cos 20º)i + CllFdl sen 20º)j = -CllF2 ll cos 15º)i + CllF 2 ll sen lSº)j,

F1 = F2

utilice (7) para determinar las magnitudes de F 1 y F 2 . [Sugerencia: Vuelva a 'leer el inciso iii) de la definición 1.1 .)

a

Figura 1.17 , Vectores para el problema 40 a)

En los próblemas 41 y 42, exprese al veCtor a = 2i + 3j como una combinación lineal de los vectores b y e proporcionados. 41. b = i+j , c=i-j

42. b ='= -2i + 4j, e = Si + 7j

Se dice que un vector es tangente a' una curva en un punto si es paralelo a la tangente en el punto. En los problemas 43 y 44, encuentre un vector unitario tangente a la curva proporcionada en el punto indicado. ' 43. y= ;\-x2 + 1, (2, 2)

w b)

44. y~ - x2 + 3x, (0, O)

45. Al caminar, el pie de una persona golpea el suelo con una fuerza F fmmando un ángulo con respecto a la vertical. En la figura 1.18, el vector F se descompone en sus componentes vectoriales F 8 , que es paralela al terreno, y F,,, que es perpendicular al mismo. Con el propósito de que el pie no se deslice, la fuerza F 8 debe contrarrestarse con la fuerza opuesta de fricción F1 ; esto es, F¡ = -F8 .

e

10

CAPÍTULO 1 Vectores

W

,

e)

Figura 1.19

Tres vectores de fuerza del problema 46

47. Una carga eléctrica Q se distribuye uniformemente a lo largo del eje y entre y = - a y y = a. Vea la figura 1.20.

La fuerza total ejercida sobre la carga q en el eje x debida a la carga Q es F = F) + Fyj donde

= 47TBo

=-

F

y

fª

qQ

~x

-a

qQ 41TBo

Y

49. Utilizando vectores, muestre que el segmento de línea que se encuentra entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene l'a mif~d de su longitud. . ::

Ldy

2a(L2 + y2)3/2

fª 2a(L +

ydy

-a

2

50. Un avión sale de un' aeropuerto localizado en el origen O y vuela 150 millas en la dirección 20º norte, ~esde el este, hacia la ciudad Á. Desde A, el aeroplano :vuela entonces 200 millas en la dirección 23° oeste, desde el norte, hacia la ciudad B. Desde B, el avión vuela 240 millas en la dirección 10º sur, desde el oeste, h~ia la ciudad C. Exprese la ubicación de la ciudad CcoiTio un vector r tal como se lnuestra en la figura 1.21.Encúei1tre la distancia desde O hasta C. ::

y2)3l2.

Determine F. y

Q

a

L

q

! ,,

I'

e

-a

Figura 1.20 Carga sobre el eje x del problema 47

48. Utilizando vectores, muestre que las diagonales de un · paralelogramo se bisecan entre sí. [Sugerencia: Suponga que M es el punto medio, de una diagonal y N, el punto medio de la otra.]

11 1.l

o Figura 1.21

Avión del problema 50

)

Vectores en el espacio 3 D

• Introducción En el plano, o espacio 2D, una forma de describir la posición de un punto P es asignarle coordenadas relatiyas a dos ejes mutuame~te ortogonales, o perpendiculares, llamados los ejes y y x. Si P es el punto de intersección entre la ,línea x = a (perpendicular al eje x) y la línea y= b (perpendicular al eje y), se dice entonces que el par ordenado (a, b) son las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Véase la figura 1.22. En esta sección se amplían los conceptos de coordenadas cartesianas y vectores a tres dimensiones.

• Sistema coordenado rectangular en el espacio 3 D En tres dimensiones, o espacio 3D, un sistema coordenado rectangular se construye utilizando tres ejes mutuamente ortogonales. El puntq en el que estos ejes se intersecan se denomina el origen O. Estos ejes, mostrados en la ,figura, 1.23a), se nombran de acuerdo con la llamada regla

z

plano

z =c

// /

/

/

/

/

x

y '1

'

y=b - --------·~0·/)) 1

11:

1 1 1

" ' '

1 1 1

o

x ,

1

x =a

Figura 1.22 Coordenadas ::: rectangulares en el espacio 2b

:," -----------

// P(a, b, e) ('------

/ plano

1

X =~ 1.

1,

1

b a)

Figura 1.23

mano derecha b)

Coordenadas rectangulares en el espacio 3D '

1.2 Vectores.en el espacio 3D

1i'

¡

h' 'I'

"

11'

de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha -apuntando en la dirección del eje x positivo- se doblan hacia el eje y positivo, entonces el pulgar apuntará en la dirección de un nuevo eje perpendicular al plano de los ejes x y ·y. Este nuevo eje se nombra como eje z. Las líneas punteadas de la figura l.23a) representan al eje negativo. Ahora, si

x

=

a,

y=

b,

z= e

son planos perpendiculares al eje x; eje y y eje z, respectivamente. Entonces, el punto P en el que estos planos se intersecan se representa por una tripleta ordenada de números (a, b, e) conocidos como las .coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Los números a, by e son, a su vez,.llamados las coordenadas x, y y z de P(a, b, e). Vea la figura l.23b).

Octantes Cada par de ejes coordenados de.termina un plano coordenado. Como se muestra en la figura 1.24, los ejes x y y determinan al plano xy, los ejes x y z determinan al plano xz, etc. Los planos coordenados dividen al espacio 3D en ocho partes conocidas como octantes. El octante en el cual las tres coordenadas de un punto son positivas se denomina el primer octante. No existe consenso para la denominación de los otros siete octantes. La siguiente tabla resume las coordenadas de un punto, ya sea en un eje coordenado o en un plano coordenado. Corno se ve en Ja tabla, se describe también, por ejemplo, el plano xy a través de la sencilla ecuación z = O. Análogamente, el plano xz es y =O y el plano yz

y X

Figura 1.24

Octantes

es x

=O. Ejes

~

////

/

+ 1

X

(3, -3, - 1)

z

1

O, 0) (0, b, O) (O, O, e)

xy

(a, b,

xz

(a,

yz

(0, b, e)

(a,

Coordenadas

O) O, e)

~/

/''/

y

Ejemplo 1

Gráficas de tres puntos

1 ,...,/

-------r-----

Figura 1.25

Plano

/

l

,/

r----- -:- -

l

/

y

---,1 ,.../ 11

(-2, -2, 0) /

X

(4, 5, 6)

1 1 1 1

Coordenadas

Puntos del ejemplo 1

Grafique los puntos (4, 5, 6), (3, -3, -1) y (-2, -2, O).

Solución De los tres puntos mostrados en la figura 1.25, únicamente (4, 5, 6) se encuentra en el primer octante. El punto (-2, -2, O) se encuentra en el plano xy. O

111 Fórmula de la distancia Para hallar la distancia entre dos puntos P 1(x 1, y 1, z1) y Pi(x2 , Ji, z2) del espacio 3D, considérese su proyección sobre el plano xy. Como se muestra en Ja: figura 1.26, la distancia entre (x¡, y 1, 0) y (x2 , y 2 , O) se deduce a partir de la conocida fórmula de Ja distancia en el plano, y es igual a V(x2 - x 1)2 + (y 2 - y 1)2. Si las coordenadas de P3 son (X2 , y2, z1), entonces el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo P 1P2P 3 lleva a Figura 1.26 Distancia d entre dos puntos del espacio 3D

o

(1)

Ejemplo 2

Distancia entre dos puntos

Encuentre la distancia entre (2, -3, 6) y (-1, -7, 4) .

Solución Al seleccionar P 2 como (2, -3 , 6) y P 1 como (-1, -7, 4), la fórmula (1) da d

= ' V(2 - (-·1))2 + (-3 - (-7)) 2 + (6 - 4)2

=

\129.

o

&11 Fórmula del punto medio La fórmula para determinar el punto medio de un segmento de línea entre dos puntos del espacio 3D se desarrolla de forma análoga a la del

12

CAPÍTULO 1 Vectores

espacio 2D. Si P 1(x 1, y 1, z 1) y P2(x2, Yi, z2) son dos puntos distintos, entonces las coordenadas del punto medio del segmento de línea que existe entre ellos son (

Ejemplo 3

x 1 + x2 y, + Y2 Z1 + Z2 ) 2 . 2 ' 2 '

(2 )

.·,·

Coordenadas de un punto medio

Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de línea entre los dos puntos del ejemplo 2.

Sol'Ución De (2) se obtiene

(~, ~ s, s).

2+( - 1) -3+( - 7) 6+4) (

2

'

2

'

2

' o

o

i

.:" ,':

• Vectores en el espacio 30 Un vector a en el espacio 3D es cualquier tripleta ordenada de números reales

donde a1, a2 y a3 son las componentes del vector. El conjunto de todos los vectores del espacio 3D se denota por el símbolo R3 • El vector de posición de un punto P(x" y 1, z1) en ---> el espacio es el vector OP .= (x 1, y 1, z 1) cuyo punto inici~l es el origen O y cuyo punto terminal es P. Ver la figura 1.27. Las definiciones por componentes de la suma, resta, multiplicación escalar, etc:, son generalizaciones naturales de aquéllas para vectores en R 2 .

,..0----1:. /-/~- y

__________v1 /., X

Figura 1.27 Vector de posición

DEFINICIÓN .1.2

.

Definiciones por componentes en el espacio 3D

Sea a= (a,, a2 , a 3) y b = (b 1, b2 , b3) vectores en R 3 .

i) Suma: a+ b = (a 1 + b 1, a2 + b2, a3 + b 3) ii) Multiplicación escalar: ka = (ka 1, ka2 , ka3)

a

iii) Igualdad: a= b si, y sólo si, a 1 = b 1, 2 = b2, a3 iv) Negativo: -b = (-l)b = (-b 1, -b 2 , -b3)

= a+ (-b) = (a 1 - b,, a2 vi) Vector cero: O = (O, O, O) vii) Magnitud: llall = Y,.-a-i_+_a_~_+_a_~ v) Resta: a - b

----+

=

b3 I"

i

b2, a 3 - b 3)

----+

Si OP 1 y OP2 son los vectores de posición de los puntos P1(x" y 1, z 1) y Pi(x2, Yi, z2), · ------> entonces el vector P 1P2 está dado por (3)

M

Al igual que en el espacio 2D, puede dibujarse tanto como un vector cuyo punto inicial es P 1 y cuyo punto terminal es P2 o como un vector de posición OP cuyo pun- . to terminal es

P(x2 - x ,, Y2 -y,, Z2 - z,).

Figura 1.28 mismo vector

Vea la figura 1.28.

Ejemplo 4

X

OP y f;P;

son ,el !

:vector entre dos puntos

Encuentre el vector (l, 8, 3).

M

si los puntos P 1 y P2 están dados por P 1(4, 6, -2) y P2

1.2 Vectore~ en el espacio 30

i:

lp

''"

Solución Si los vectores de posición de los puntos son CJP;

= (4, 6, - 2) y

O?; =

(1, 8, 3),

entonces a partir de (3) se tiene ->

---+

P 1P 2 = OP 2

Ejemplos z

---+

-

OP 1 = (1 - 4, 8 - 6, 3 - (-2)) = (-3, 2, 5).

Magnitud_de un vector

Con base en el inciso vii) de Ja definición 1.2, se observa que a unitario, ya que

= (-

~ , ~, ~ ) es un vector

k

o

, } - -- -- - - )'

Vectores i, j, k En la sección anterior se vio que los vectores unitarios i = (1, O) y j = (O, 1) son una base para el sistema de vectores bidimensionales, puesto que cualquier vec;tor a del espacio 2D puede escribirse como una combinacióq lineal de i y j : a = a 1i + a 2 j. Para el sistema de vectores tridimensionales, el conjunto de vectores unitarios siguiente proporciona una base

X

a)

i = (1 , 0 , O), ~-----+----)'

azj

i

_______________ 1,/I / / X

/

j = (O, 1, O), , k = (O, O, 1).

Cualquier vector a = (a 1, a2 , a 3) del espacio 3D puede expresarse como una combinación lineal de i, j y k,: (a 1, a 2, a 3) = (a 1, O, O) + (O, ai. O) + (O, O, a 3)

,

b)

Figura 1.29 base para R3

o

i, j y k forman una

a 1( 1, O, O) + a 2(0, 1, O) + a 3(0, O, 1),

a: =

Esto es,

a 1i + a 2j + a 3k.

Los vectores i, j y k se ilu stran en la fi gura l.29a). En la fig ura l.29b) se observa que un vector de po.s ición a = a 1i + a 2j + a 3k es la suma de los vectores a 1i, a 2j y a 3k , que se encuentran sobre los ejes ordenados y tienen el ,origen como punto inicial común .

Ejemplo 6

Vector expresado en términos de i, j, k

El vector a = (7, - 5, 13) es el mismo que a = 7i - 5j + 13k.

o

Cuando la tercera dimensión se toma en cuenta, cualquier vector en el plano xy se describe en forma equivalente a un vector tridimensional que se halla sobre el plano coordenado z =O. Aunque los vectores (al> a 2) y (a1> a2, O) no son técnicamente·iguales, se pasa por alto la diferencia. Esto es debido a que, por ejemplo, se denota (1, O) y ( 1, O, O) mediante el mismo símbolo i. Pero para evitar cualquier confusión posible, en lo sucesivo los vectores se consideran siempre tridimensionales, y los símbolos i y j representan únicamente ( 1, O, O) y (O, 1, O), respectivamente. En forma similar, un vector en el plano xy o en el plano .xz debe tener una componente nula. En el plano yz, un vector

En el plano xz, un vector

Ejemplo 7

Vector en el plano xz

a) El vector a= Si+ 3k está en el plano coordenado xz. b)

14

11si +. 3kll = V s2 +Y=

\/34.

o

CAPÍTULO 1 Vectores

..

..

Ejemplo 8

Co mbinación lineal

Si a = 3i - 4j + 8k y b = i - 4k, encuentre 5a - 2b. SQlución Se considera b un vector trídimensional por Jo que se escribe, para destacarlo, b = i + Oj .'... 4k. De 5a = 15i - 20j + 40k

y

2b = 2i + Oj - 8k

5a - 2b = (15i - 20j + 40k) - (2i + Oj - 8k)

se tiene

o

= 13i - 20j + 48k.

•

EJERCICIOS 1.2 ... ' •

'

•,

•

,

'

,

,~

• •

( ,,

,' 1, < ,':

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¡j ~ '

..,,1

•,.t', ,

,

Lás respues~as 'a _los "p~qblemas'_ímp~re~· s,eleccionados comienzan en·"1a' página ~,~SP- L •

•

,

f

••

En los problemas 1-6, grafique el punto dado. Utilice los mismos ejes coordenados. l. (1,1,5) 2. (0, O, 4) 3. (3, 4, O) 4. (6, O, O) 6. (5, -4, 3) 5. (6, -2, O) En los problemas 7-1 O, descúba geométricamente todos lbs puntos P(x, y, z) que satisfacen las condiciones dadas. 7. Z = 5 8. X= 1 9. X= 2, y,= 3 10. X= 4, y= -1, Z = 7 11 . Proporcione las coordenadas de los vértices del paralelepípedo rectangular cuyos lados son los planos coordenados y los planos x = 2, y = 5, z = 8. 12. En Ja figura 1.30, se muestran dos vértices de un paralelepípedo rectangular cuyos lados son paralelos a los planos coordenados. Encuentre las coordenadas de los seis vértices restantes. (-1, 6, 7)

•

a)

(3, 4, -5), (-2, 8, -5)

b)

(1, -1, 1), (1, -1, -1)

e)

(-2, 1, 2), (2, 4, 2)

I '

,,1:

.1'.

En los problemas 15-20, describa Ja ubicación de Jos:"puntos P(x, y , z) que satisface Ja ecuación o las ecuaciones dadas.

2

16. x + y2 +.i =

?''

2

:

2

15. xyz = O 2

17. (x+ 1) +(y-2) +(z +3) =O 18. (x - 2)(z - 8) = O

19.

z2 -25 =O

20.

X= y= Z

"

' ,"

,En los problemas 21 y 22, encµentre la distancia entre los tos proporcionados. 2 1. (3, -1, 2), (6, 4, 8)

22. (-1, -3, 5), (0,

~,

pun~

3)

23. Enc~entre la distancia desde el punto (7, -3, -4) hasta a) el plano yz y b,) el eje x. ,¡:,

"

En los problemas 25-28, los tres puntos proporcionados forman un triángulo. Determine qué triángulos son isósceles .' y cuál~s ' son triángulos rectángulos. 1

X

¡; ·

25. (O, O, O), (3, 6, -6), (2, 1, 2)

Para lelepípedo rectangular del prob lema 12

26. (O, O, O), (1, 2, 4), (3, 2, 2 '

13. Considere el punto P(-2, 5, 4). a) Si se dibujan líneas desde P que sean perpendiculares' a los planos coordenados, ¿cuáles son las coordenadas del punto localizado en la base de cada perpendicular? b) Si se dibuja una línea que va de Pal plano z = -2, ¿cuáles son las coordenadas del punto en la base de Ja perpendicular? e) Encuentre el punto del plano x = 3 más cercano a P. 14. Detennine una ecuación de un plano paralelo a.un plano coordenado que contenga los pares de puntos proporcionados.

¡;

,,

Vl)

27. (1, 2, 3), (4, 1, 3), (4, 6, 4)

''

'I: ; ''

28. (1, 1, -1), (1, 1, 1), (O, -1, l)

' '

En los problemas 29 y 30, utilice la fórmula de la distancia para , demostrar que los puntos proporcionados son colineal~s. 29. P 1(1 , 2, O), P2(-2, -2, -3), P 3 (7, 10, 6) 30. P 1(2 , 3, 2), P 2 (1, 4, 4), P 3(5, O, -4)

, En los problemas 31 y 32, encuentre la incógnita.

Vii

31. P 1(x, 2, 3), P 2(2, 1, l); d(P 1, P 2 ) = 32. Pi(x, x, 1), P2(0, 3, 5); d(P 1, P2) = 5

1.2 Vectores en el espacio 30

' "

24. Encuentre Ja distancia desde el punto (-6, 2, ~3) hasta ' a) el plano xz y b) el origen.

~ ~ Figura 1.30

•r.

" .1::

,,

t's

1

En los problemas 33 y 34, encuentre las coordenadas del punto medio del segmento.de línea que une a los puntos proporcionados. 33. (l,3,~),(7,-2, ~ )

47 · ll11:11ll

34. (0,5,-8),(4,1,-6)

35. Las coordenadas del punto medio del segmento de línea que une a P 1(xI> y 1, z1.) y P 2 (2, 3, 6) son (- 1, -4, 8) . Encuentre las coordenadas de P 1• 36. Sea P 3 el punto medio del segmento de línea entre P 1(-3, 4, 1) y Pi(-5, 8, 3). Encuentre las coordenadas

'del punto medio del segmento de línea que une a los puntos a) P 1 y P3 y b) P3. y P2• En los problemas 3(-40, encuentre el vector

M.

37. P 1(3, 4, 5), P 2(0, -2, 6)

+

5

1111:1111

48. llhlla + llallb

49. Encuentre un vector unitario cuya dirección sea apueste: a a = (10, -5, 10).

50. Encuentre un vector unitario con la misma dirección que a = i - 3j + 2k. , 51. Encuentre un vector b que sea 4 veces más largo que a = i - j + k y tenga su misma dirección. 52. Encuentre un vector b para el cual llhll = ~ y sea paralelo a a = (-6, 3, -2) pero con dirección opuesta. 53. Utilizando los vectores a y b que se muestran en la figura 1.31; dibuje el "vector promedio" ~(a + b ).

38. P 1(-2, 4, O), Pi(6, ~ , 8) 39. P 1(0, - 1, 0),, P 2 (2, O, 1) 40.

P1CL

z

L 5), Pi(- ~ , -L 12)

a

En los problemas 41-48, a = (1, -3 , 2), b = (- 1, 1, 1) y e = (2, 6, 9). Encuentre el vect01: o el e$calar indicados. 41. a+ (b +e)

42. 2a - (b - e)

43. b + 2(a - 3c)

44. 4(a + 2c) - 6b

45. ,lla + el!

46. llcll ll2hll

X

Figura 1.31

11 1.l

L_ b

Vectores para el problema 53

)

Producto escalar

Introducción En esta sección y la siguiente, se, consideran 'dos tipos de producto entre vectores, consecuencia del estudio de la mecáuica y también la electri~idad y el magnetismo. El primero de estos productos se conoce como producto escalar, producto punto o producto interior.

a)

~

Una definición El producto escalar entre dos vectores a y b resulta ser un escalar y se denota comúnmente como a · b.

b

Producto escalar de dos vectores

b)

El producto escalar de dos vectores a y b es el escalar (1)

a. b = llallllhll cose, a

b e)

,

Figura 1.32 Ángulo() en (1)

donde e es el ángulo entre los vectores, de fonna que o :5

e :5 7T.

L~ figura 1.32 ilustra el ángulo e,en tres casos. Si los vectores a y b no son paralelos, entonces e es el más pequei'ío de los dos ángulos posibles entre ellos.

Ejemplo 1

Producto escalar utilizando (1)

De (1) se obtiene i·i=l,

j·j=l,

k·k=l,

Puesto que Ílill = llill = [[k[[ = 1, y, en cada caso, cose= l.

16

CAPÍIULO 1 Vectores

(2)

o

• Formulación por componentes del produ cto escalar El producto escalar puede expresarse en función de los componentes de dos vectores . Suponga que es el ángulo comprendido entre los vectores a = a 1i + a 2j + a 3k y b = b 1i + b 2j + b 3k. Entonces el vector

e

c = b - a = (b 1 - a 1)i + (b 2 - a 2)j + (b 3 - a 3)k

2

2

2

2

__:

211all llbll cos

e

2 1

o

llall llbll cos

e = ! Cllbll 2 + llall2 -

2

2

P·

. !::

b

es el tercer lado del triángulo indicado en la figura 1.33. Por la ley de cosenos, se escribe 11c11 = llbll + 11a11

n

e ,:

llcll

2

).

Figura 1.33 Vector e l!tilizaclo para la deducción de (4)

(3)

2

Utilizando llall = a + ai +a}, llbll = bf + b} + bf , llb - all = (b 1 - a 1) + (b 2 - a2)2 + (b; - a 3 ) 2 , se simplifica el lado derecho de la segunda ecuación en (3) para obtener a 1b1 + a2b2 + a 3b3 . J;>uesto que el lado izquierdo de esta ecuación es la definición del producto escalar, se acaba de deducir una formulación alternativa del mismo:

·' ¡¡

1:: i::

(4) En otras palabras, el producto escalar de dos vectores es la suma de los prod1:1ctos de sus

componentes correspondientes.

Ejemplo 2

Producto escalar utilizando (4)

Si 'a = lüi + 2j - 6k y b = -

a ·b •

Propiedade s

! i + 4j -

...~ ~ :

3k, entonces a partir de (4) se obtiene que

~ (10) (-~) + (2)(4) + (-6)(-'-3) = 21.

.

o

El producto escalar posee las siguientes propiedades. Propiedades del producto escalar

, ..

i) a · b = O si a =;o O o b = O

i

ii) a·b=b· ,a

(ley \:Onmutativa)

iii) a · (b + c) = a · b + a · c

(ley distributiva)

iv) a · (k):>) = (ka) · b = k(a · b),

k es un escalar

v) a · a 2:: O

vi) a · a = llall 2 Cada una dli! estas propiedades, con excepción posiblemente de iii), deberían ser evidentes a partir de (1). Cabe señalar que vi) establece que la magnitud de un vector

a = a 1i+ a 2 j + a 3k Puede escribirse en términos del producto escalar: ,,1::

Se puede utilizar (4) para demostrar iii): si a= a 1i + a2j + a 3k, b = b 1i +' b2j + b3k y 'c = c 1i + c2j + c3 k, entonces se tiene de (4) que

(a 1b 1 + a 2b2 + a 3 b 3 ) + (a 1c 1 + a2 ~ 2 + a 3c3 )

a· b +a· c. • Vectores ortogon ales tonces que

Si a y b son vectores no nulos, la definición 1.3 implica en-

e es agudo, a . b O

ii) iii)

si, y sólo ~ i,

:'

11

1.3 Producto escalar ' ¡,,' ""

En el último caso, el único número en [O, 7T] para el que cos 8 = O es 8 = 7T/2. Cuando sucede esto, se dice que los vectores son .perpendiculares u ortogonales. De esta fo rma se llega al siguiente resultado:

Criterio para vectores ortogonales Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si, y sólo si, a · b = O. Puesto que O · b = O para cualquier vector b, el vector cero se considera ortogonal a cualquier vector.

i, j, k son vectores ortogonales

Ejemplo 3

Del teorema 1.1 , y del hecho que el producto escalar es conmutativo, se tiene inmediatamente que

. .

. . ·o

J•j = j -.1 = . •

j · k = k · j = O,

k · i = i · k = O.

(5)

o

Vectores ortogonales

Ejemplo 4

Si a = -3i - j + 4k y b = 2i .+ 14j + Sk, entonces a· b = (-3)(2) + (- 1)(14) + (4)(5) = O. A parti r dlfl teorema 1.1, se concluye que a y b son ortogonales .

o

Án gulo entre dos vectores Al igualar las dos formulaciones del producto escalar, (1) y (4 ), se dete1~mi n a el ángulo entre dos vectores a partir de

(6)

Ángulo entre dos vectores

Ejemplo 5

Encuentre el ángulo entre a = 2i + 3j + k y b = - i + 5j + k .

Solución A pa~tir de llall =

.\/14, llhll ~ V27, a· b = cos8 =

y entonces 8

=

cos- 1

(v;2)

14, se observa de (6) que

V42

14

\/i4V27

= --

9

= 0.77 radianes o 8 = 44.9º.

o

a = a 1i + a 2 j + a 3k del espacio 3D, los áng,ulos a, /3 y y que forma a con lds vectores unitarios i, j y k, respectivamente, se denominan ángulos directores de a . Véase la figura 1.34. Ahora, de (6),

11 Cosenos directores Para un vector no nulo a

a· i

~--1---y

_ __ _ _ ______ _ J /

/

/

/

/

/

CI ,

Á"ngulos directores

cos

{3 y y

18

= lla ll llill'

a· j a· k cos /3 = llalllUll ' · cosy = llalll lkll '

Que se simplifica'n para llegar a

X

Figura 1.34

COSCI'

CAPÍTULO 1 Vectores

ª1 ª = n;rr·

cos f3 =

ª2 M'

Se dice que cos a, cos {3 y cos y son los cosenos directores de a. Los cosenos directores de un vector no nulo a son simplemente las componentes del vector unitario (l/llall)a:

r

1 ª1 . ª2 . a3 . . ¡¡;ji a =¡¡;ji 1 + ¡¡;ji J +¡¡;ji k = (cosa) 1 + ( cos{3) J + ( cosy) k. Como la magnitud de ( l/llall)a es 1, de

Ejemplo 6

l~

"

anterior ecuación se tiene que

Ángulos y cosenos directores

Encuentre los cosenos direetores y los ángulos directores del vector a = 2i. + 5j + 4k. · Solución De llall = Y2 2 + 5 2 + 4 2 = rectores son cosa=

3

\/45 =

'o:

2

5

4

Vs, cosf3 =

Vs, cosy =

Vs.

3

·• ,

3Vs, se observa que los cosenos di-

3

1

I!1.

,,

Los ángulos directores son

a= cos- 1 {3 = cos- 1 · ')' = cos- 1

( ~) =

3 ( ~) 3 ( ~) 3

o

1.27 radianes

1',

a= 72.7º

i"

= 0.73 radianes

o

{3 = 41.8°

= 0.93 radianes

o

y = 53.4º.

o !"

:,p

Del ejemplo 6 se observa que

4 25 16 cos 2a + cos 2{3 + cos 2 y = - + - + - =l . 45 45 45 • Componente de a sobre b · La ley distributiva y (5) permiten expresar las componentes de un vector· a = a 1i + a 2j + a 3k en términos del producto escalar:

a 1 = a · i,

a3 = a · k.

a2 = a · j ,

'

,,:'

(7)

Simbólicamente, los componentes de a se escriben como comp¡a = a · i,

compka = a · k.

compja = a · j ,

(8)

A continuación se ve que los resultados indicados en (8) se utilizan para encontrar la componente de a sobre un vector arbitrario b . Nótese que en cualquiera de los dos casos mostrados en la figura 1.35,

~ llall cos ()

1

(9)

compba = llall cos 8. En la figura l.35b), cpmpba ; =

3i + Sj .

De (11) se tiene que el trabajo realizado es W = (2i + 4j) · (3i + Sj) = 26 N-m.

Figura 1.3 7 Proyecciones de a sobre i, j y k

o

• Proyección de a sobre b Como se ilustra en la figura l .37, la proyección de un vector a en cualquiera de las direcciones determinadas por i, j , k es simplemente el vector resultante de multiplicar la cornponente de a en la dirección especificada por un vector unitario en esa dirección ; por ejemplo, proy¡~

= (comp¡a)i = (a · i)i = a 1i

etc. La figura l .38 muestra el caso general de la proyección de a sobre b : vector _I_ b umtano llbll ~

proyba

= (compba)

Cl~ll b) = (:: :) b

---------Proyba Ejemplo 9 Proyección de un vector sobre otro vector Figura 1.38 sobre b

20

Proyección de a

Encuentre la proyección de a = 4i + j sobre el vector b = 2i + 3j. Grafique.

CAPÍTULO 1 Vectores

(12)

Solución En primer lugar, se.calculan las componentes de a ,y b. Como llhll = encuentra a partir de (10) que

\/i3, se y

. 1 . . 11 compba = (41 + j) · • !.:: (21 + 3J) = • 1.;:· V 13 V 13 .

b

Así, de (11), a

) ( • !.:: 1 ) (2i + 3J) . = -22 i !.:: proyba = ( • 11 V 13 V 13 13

33 j. + -'-

-1""'~=+---+--1- x

1: '

13

1'·.

La gráfica de este vector se muestra en la figura 1.39.

EJERCICIOS l .3 .

.

e= n/4 12, e = 1Tl6

llhll = 5,

2. llall = 6,

llhll =

5. a·c

6. a · (b +e)

7. a· (4b)

8. b ·(a..'.. e) 10. (2b) · (3c) 12. (2a) · (a - 2b)

11. a· (a + b +e)

13.

' •

' 14. (e · b) a

15. Determine qué pares de los siguientes vectores son ortogonales entre sí: a)

(2, O, l) .

b)

3i + 2j - k

e)

2i-j - k

d)

i-4j + 6k

e)

(1, .:_1, l)

f)

(-4, 3, 8)

a = 2i - cj + 3k, b =· 3i + 2j + 4k

b)

a = (e, t, e), b '= (-3 ~ 4, e)

::

22. a = 2i + j , b = -3i - 4j

23. a = (2, 4;, O), b = (-1, -1, 4) 24. a = y 1, l) que sea ortogonal tanto a a = (3, l, -1) como a b = (-3, 2, 2).

y

18. Un rombo es un paralelogramo de ángulos oblicuos que tiene sus cuatro lados iguales. Utilice el producto escalar para mostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

C

B

X

Figura 1.40

Diago nal del problema 29

19. Verifique que el vector

a·b c = b-W2a es ortogonal al vector a .

30. Muestre que si los vectores .no nulos a y b son or~6go­ nales, entonces sus cosenos directores satisfacen

cos

O' 1

'cos

0' 2

+ cos {3 1 cos

/3 2 + cos 'Yi

cos ')'2 ~ O.

0

1.3 Producto esca la r

.:: 21

'¡::· .'

.

1

31. Un avión se encuentra a 4 km de altura, 5 km al sur y 7 km al este de un aeropuerto. Véase la figura 1.41. Encuentre los ángulos directores del avión. altura

~-

aeropuerto

1

41 //

5

s

48. Una fuerza constante F de magnitud 3 lb se aplica al bloque mostrado en la figura 1.43. F tiene la misma dirección que el vector a = 3i + 4j. Encuentre el trabajo realizado, en la 'dirección del movimiento, si el bloque se mueve desde P 1(3, l) hasta Pi(9, 3). Considere que la distancia 'se mide en pies.

/

.E

-----------~--V 7

Figura 1.41 Avión del problema 31

32. Obtenga un vector unitario cuyos ángulos directores sean iguales con respecto a los tres ejes coordenados.

Figura 1.43 Bloque del problema 48

En los problemas 33-36, a= (1, -1, 3) y b = (2, 6, 3). Encuentre el número indicado. 33. compba 35. comp.(b - a)

34. comp 3 b 36. comp2b(a + b)

En los problemas 37 y 38, encuentre la componente del vector proporcionado en la dirección del origen al punto indicado. 37. a = 4i + 6j, P(3, 10) 38. a ~ (2, 1, -1), P(l , -1, 1)

En los problemas 39-42, encuentre la proyba. · 39. a = -Si + 5j, b = -3i + 4j 40. a = 4i + 2j, b = -3i + j

49. En la molécula de metano CH 4 , los átomos de hidrógeno se localizan en los cuatro vértices de un tetraedro regular. Véase la figura 1.44. La distancia entre el centro de un átomo de hidrógeno y el centro de un átomo de carbono es de 1.1 O angstroms (1 angstrom = 10- 10 m); y el ángulo de unión hidrógeno-carbono-hidrógeno es de = 109.5°. Utilizando únicamente métodos vectoriales, encuentre la distancia entre dos átomos de hidrógeno.

e

41. a = -i - 2j + 7k, b == 6i - 3j - 2k 42. a= (1, 1, 1), b = (-2, 2, -1)

Figura 1.44 Molécula del problema 49

En los pr9blemas 43 y 44, a = 4i + 3j y b = -i + j. Encuentre el vector indicado. 43. proy(a+b)a 44. proy(a- b)b 45. Un trineo se jala horizontalmente sobre hielo con una cuerda atada a su parte frontal. El trineo se mueve 100 pies gracias a una fuerza de 20 libras que actúa en un ángulo de 60º con respecto a la horizontal. Encuentre el trabajo realizado. 46. Encuentre el trabajo realizado si el punto en el que la fuerza constante F = 4i + 3j + 5k se aplica a un objeto y éste se mueve de P 1(3 , 1, -2) a Pi(2, 4, 6). Considere que llFll se mide en newtons y lldll en metros. 47. Un bloque de peso w se jala a lo largo de una superficie hohzontal sin fricción por medio de una fuerza constante F, de ma$nitud 30 newtons, en la dirección dada por el vector d . Véase la figura 1.42. Considere que lldll se mide en metros.

50. Utilice el producto escalar para demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz: la · bl ::::; llall llbll . 51. Utilice el producto escalar para demostrar la desigualdad triangular lla + bll ::::; llall + llbll . [Sugerencia: Considere la propiedad vi) del producto escalar.] 52. Demuestre que el vector n = ai + bj es perpendicular a la línea cuya·ecuación es ax+ by+ e =O. [Sugerencia: Sean P 1(x 1, y 1) y P 2(x2 , Ji) puntos diferentes sobre la línea.] 53. Utilice el resultado del problema 52 y la figura 1.45 para mostrar que la distanciad desde un punto P 1(x 1, y 1) a una línea ax+ by+ e = O es d = lax 1 + by 1 + el/ Ya 2

a) ¿Cuál es el trabajo realizado por el peso w? b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza F si d = 4i + 3j?

22

CAPÍTULO 1 Vectores

b2 •

P¡(X¡, )'¡) ~' 1' 1 ' 1 ' \ 1 1 1 1 1 1

----F Figura 1.42 Bloque del problema 47

+

n

y

', '

\

'

'

', '

'

',

1 1 1 1

ax+by+c=O

Figura 1.45 Distancia d en el problema 53

11~_1_.4_·~_P_r_o_du_c_t_o_v_e_ct_o_n_·a_L~~~~~~~~) 11 Introducción En r:;ontraste con el producto escalar; que es un escalar o un número, el siguiente producto especial de aos vectores a y b es otro vector que se denomina producto vectorial o producto cruz. ·

B

Una definición

El producto vectorial ·de los vectores a y b se denota por a X b.

DEFINICIÓN 1.4

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores a y b en R 3 es el vector a X b = (llall llhll se~ O)n,

e

.i:·

(1)

e ::;

donde es el ángulo entre los vectores de forma que O ::::; 1T y n es un vector unitario perpendicular al plano que forman a y b, cuya dirección está dada por la regla de la mano derecha.

1 •

I! "!•

Como se observa en la figura 1.46a), si los dedos de la mano derecha apuntan a lo largo del vector a y entonces se doblan hacia el vector b, el dedo pulg'a r proporciona la dirección den y, por lo tanto, de a X b . En la figura l.46b) la regla de la mano derecha muestra la dirección de b X a. mano derecha

a)

Figura 1.46

b)

Regla de la mano derecha,

Ejemplo 1

n torque como producto vectorial

y

En física se dice que una fuerza F que actúa sobre el extremo de un vector posición r, como se muestra en la figura 1.47, produce un torque T definido por T = r X F. Por ejemplo, si llFll = 20 N, llrll = 3.5 m y 30º, entonces a partir de (1) llTll = (3.5)(20)sen 30º ~ 35 N-m. Si F y r están en el plano de la página, la regla de la mano derecha implica que la dirección de Tes· perpendicular a la página y hacia afuera (hacia el lector). Como se muestra en la figura 1.48, cuando se aplica una fuerza F a una llave inglesa, la magnitud del tórque Tes una medida del efecto de giro alrededor del punto pivote P y el vector T se dirige a lo largo del eje del tornill~. En .e'ste caso T apunta hacia adentro de la página. O

e=

mPropiedades ' El producto vectorial tiene las siguientes propiedades. Propiedades del producto vectorial i) a X b = O si a = O o ii) a X b = -b X a iii) a X (b + c) = (a X b) +(a X iv) (a+ b) X c = (a X c) + (b X v) a X (kb) = (ka) X b = k(a X vi) a

---1Fe A~

e;\

1 --'-

1

- + " " " ' - - - - - --,i; 1:'' x !!

Figura 1.47 Vectores

del· ejem~lo

1

pf.;J;:~ . O) ~ c ~r': Fi;

b=O c) c) b),

llFll sen

'

(leyes distributivas)

'

Figura 1.48 Vectores del ejemplo 1 ·· ::,

k es un escalar

X a= O

vii) a· (a x b) =O viii) b ·(a X b) = 0

1'

i'

1.4 Producto vectorial

:: 23 1

:I"

e

La propiedad vi) viene de (1), puesto que = O. Las propiedades vii) y viii) son simplemente enunciados que se infieren de que a X b es perpendicular al plano que contiene a a y b . La propiedad ii) debería ser intuitivamente clara a partir de la figura 1.46. .

'

e = Oo e = 1T, entoüces sen e = O, por lo que se debe cumplir que a X b = O. Esto se plantea for-

• Vect ores paralelos Cuando el ángulo entre dos vectores no nulos es malmente en el siguiente teorema.

Criterio para

vectore~

paralelos

Dos vectores no nulos a y b son paralelos si, y sólo si, a X b = O.

Ejemplo 2 a)

Vectores paralelos

A partir de la propiedad vi) se tiene

i b)

~

i = O,

j X j = O,

k X k = O.

(2)

Si a = 2i + j - k y b = - 6i - 3j + 3k .= -3a, entonces a y b son paralelos. Por lo tanto, a partir del teorema 1.2, a X b = O. Obsérvese que este resultado O también se obtiene combinando las propiedades v) y vi).

De, (1), si a

= i , b = j , entonces

z

(3)

Pero, puesto que un vector unitario perpendicular al plano que contiene a i y j, con dirección dada por la regla de la mano derecha, es k, se tiene de (3) que n = k. En otras palabras:

i X j=k. X

Figura 1.49 ejemplo 3

Ejemplo 3 Nemotecnia del

Nemotecnia

Los productos vectoriales de cualquier par de vectores en el conjunto i, j, k pueden obtenerse utilizando la nemotecnia circular ilustrada én la figura l.49, esto es,

j k}

i X = j X k =i k X i=j

y a partir de la propiedad ii)

,

{j

-k

X i = k X j = -i i X k= - j .

(4)

o

• Definición alterna del producto vectorial Al igual que con el producto escalar, se puede utilizar la ley distributiva iii) para llegar a una formulación alterna del producto vectorial: ' a X b = (a 1i + a2 j + a 3 k) X (b 1i + b2j + b3 k)

= a 1i X (b 1i + b2 j + b3k) + a 2 j X (b 1i + b2 j + b3k)

+ a3k X (b ¡i + b2j + b3k) = a 1b 1(i X i) + a 1b2 (i X j) + a 1b3(i X k)

+ a2b 1(j

X i)

+ a2b 2(j

X j)

+ a2b 3(j

X k)

+ a 3b 1(k X i) + a3b2(k X j )' + a3b3(k X k).

(5)

De los.resultados e'n (2) y (4), (5) se simplifica en (6)

24

CAPÍTULO 1 Vectores

•

.

Se observa que las componentes del vector en (6) pueden escribirse como determinantes de orden 2:

(7) A su vez, (7) se escribe como un determinante de orden 3:

j

k

(8) La expresión del lado derecho .en (8) no es un determinante real, puesto que no todos sus valores son escalares ; (8) es simplemente una manera de recordar la complicada expre· sión (6) .

Producto vectorial

Ejemplo 4

Sean a = 4i - 2j + Sk y b = 3i + j - k. Encuentre a X b.

Solución A partir de (8) se tiene j

a

X

b

= 4

-2

. 5 =

1-2

1

-1

3 =

k

o

-3i + 19j + l ük .

La fo1m ulació~ del producto vectorial proporcionada en (7) permite demostrar algunas de las propiedades i)-viii). Por ejemplo, para demostrar ii) se escribe

a

X

b =

2 2 ª31¡ - 1ª1b¡ b3 ª31j + 1b¡ª1 ªb2lk 1b2 ª b3 + lb¡a ab31j - lb¡a b21k 1 3 ª2 -(1:: ab331¡ - lb¡a ab331j + lb¡a 1 ::lk) = - 1::

.· =

bt . 1 a3

1

-b

X

a.

1

La demostración de la propiedad iii) se deja como ejercicio.

• Produ ctos especiales El llamado triple producto escalar de los vectores a, b y e es a · (b

X

e). Entonces, 1

a · (b

X

e) =

=

(a.1i + aj+ a3k) · [lbC22 arC22

b31¡ - lb¡ b31j +lb¡ ' b21k C3 C¡ C3 C¡ C2

J

1

b3 . 1- a lb¡ C3 I+· a3lb¡ C¡ b2 C3 2C¡ b3 C2 I·

Así, se observa que

a · (b

X

a3 ª1 ª2 b2 b3 . C2 C3

e)= b¡ C¡

(9)

Además se tiene, de las propiedades de los determinantes, que a · (b x e) = (a X b) · c. 1.4 Producto vectorial

a r----- - ------ - --~ 1 1 1

/

h

=llall sen e

/

1

,,__._.....__ _ _ _._1' / llbll

/

b

',---------------7 / '' / / ', / ' ',,

11

''

/

a X (b X c) = (a · c)b - (a · b)c.

/

a)

a

El triple producto vectorial de los vectores a, by ces a X (b X c). Se deja como ejer-. cicio demostrar que (10)

• Áreas y volumen Dos vectores no nulos y no paralelos a y b pueden considerarse los lados de un paralelogramo. El área A de un paralelogramo es A= (base)(altura). De la figura l .50a), se observa que A = llhll(llall sen 8) = llall llhll sen 8 o

(11)

A= lla X hll.

/

/

b

Al igual que en la figura l.50b), se observa que el área de un triángulo de lados a y b es

b)

Figura 1.50 Área de un paralelogramo en a); área de un triángulo en b)

1

(12)

A= 211a X bll.

De manera semejante, si los vectores a, b y c no se hallan sobre el mismo plano, entonces el volumen del paralelepípedo con aristas a, b y c que se.muestran en la figura 1.51 es

V= (área de la base)(altura)

= llb

X cll lcompb xcal

= llb X cll

o

la· (llb ~ cll b

X c)I

(13)

V = la · (b X c)I.

Debido a este Óltimo resultado, al triple producto escalar también se le conoce como el producto caja de a, b y c.

Figura 1.51 · Volumen de un paralelepípedb

Ejemplo 'S

Área de un triángulo.

Halle el área del triángulo determinado por los puntos P 1(1, 1, 1), P 2 (2, 3,. 4) y P 3(3, O, -1). ----t

------+

:

Solución Los vectores P 1P2 y P 1P3 pueden tomarse como dos lados del triángulo . --+ --+ Como P 1P 2 = i + 2j + 3k y P 1P3 =: i - 3j - 5k, se tiene

j 2

-3 =

k

3=1-~· -531. 111 -5 1

-

31. 11

-5 J + 1

-i + 8j-5k.

De (12) se observa qu,e el área es A =

~ 11-i + 8j -

5kll =

%VIO unidades cuadradas

' o

• Vectores coplanares Cuando los vectores se hallan en el mismo plano se dice que son coplanares. Se acaba de ver que si los vectores a, b y c no son coplanares, entonces necesariamente a · (b X c) i= O, ya que el volumen de un paralelepípedo con atistas a, by c tiene volumen diferente de cero. En forma equivalente, esto s,ignifica que si a · (b X c) = O, entonces los vectores a, b y c son, coplanares. ·como la proposición opuesta también es cie1ta, se tiene que

a · (b

26

X

c)

=

O si, y sólo si, a, b y c son coplanares.

CAPÍTULO 1 Vectores

•

Comentarios Al trabajar con vectores, se debe tener cuidado de no mezclar los símbolos · y X con los símbolos para la multiplicación mdinaria, y ser especialmente cuidadosos en el uso, o ausencia, de paréntesis. Por ejemplo, expresiones como

aXbXe

a·b x e

a·b ·e

a · be

no están bien definidas o carecen de significado. '

EJERCICIOS 1.4

·

2. 3. 4. 5. 6. 7.

a = a =

.

'

.

j, b = 3j +' 5k 2i + j, b = 4i - k (1, -3, 1), b = (2, O, 4) (1, 1, 1), b = (-5, 2, 3) 2i - j + 2k, b = -i + 3j - k 4i + j - 5k, b = 2i + 3j - k (!,O, b = (4, 6, O)

¡1

.

-

-

= 2i + 4j -

k; • .,•

38. b X a

37. a X (3b) 39. (-a) X b 41. (a X b) X e 43. a· (b X e)

40. lla X bll 42. (a X b) · e 44. (4a) · (b X e)

En los problemas 45 y 46, a) verifique que el cuadrilátero, proporcionado sea un paralelogramo, y b) encuentre el área_' del paralelogramo.

! ),

8. a = (O, 5, O), b = (2, -3, 4) 9. a = (2, 2, -4), b = (-3, -3, 6) 10. a= (8, 1, -6), b = (1, -2, 10) '--->

-

En los problemas 37-44, a X b = 4i - 3j + 6k y e Encuentre el vector o el escalar indicados.

=i-

a= a= a= a=

.

La~ respuestas a l9s problemas impares seleccio~ados comi~nzan en la página RESP-2.· ,

En los problemas 1-10, e,n cuentre a X h. l. a

.

45. --->

(l,-3,4)

En los problemas 11y12, encuentre P 1P2 X P 1P3 .

11. P 1(2, 1, 3), P2 (0, 3, -1), PJ(-1 , 2, 4) 12. P 1(0, O, 1), Pz(O, 1, 2), P 3(1, 2, 3)

y

En los problemas 13 y 14, encuentre un vector que sea perpendicular tanto a a como a b . 13. a = 2i

+ 7j - 4k,

b = i

+j - k

Figura 1.52

14. a= (-1, -2, 4), b = (4, -1 , O) En los problemas 15 y 16, verifique que a· (a X b) =O y que b · (a X b) = O. ,

Paralelogramo del problema 45

46.

15. a= (5, -2, 1), b;,,, (2, O, -7) 16. a = i b = 2i - 2j + 6k

!

b.

En los problemas 17 y 18, a) calcule b X e a continuación, a X (b X e). b) Verifique los resultados de la parte a) por medio de (10) de esta sección. 17. a = i - j + 2k

18. a = 3i - 4k b = 2i + j + k b = i + 2j - k e = -i + 5j + 8k e= 3i + j + k En los problemas 19-36, encuentre el vector o el escalar indicados sin usar (8), (9) o (10). 19. (2i)Xj

20. i X (-3k) '

21. k X (2i - j)

22. i X (j X k) 24. (2i - j + 5k) X i 26. i X k - 2(j X i)

23. [(2k) X (3j)] X (4j)

25. (i + j) X (i + 5k) 27. k · (j X k) 29. 114j - 5(i X j)ll 31. i X (i X j) 33. (i X i) X j 35. 2j · [i X (j - 3k)]

28. i · [j X (-k)] 30. (i X j) · (3j X i) 32. (i X j) X i 34. (i · i)(i X j)

36. (i X k) X (j X i)

(2, O, 2)

y p,4, 1) X

Figura 1.53

Paralelogramo del problema 46

En los problei'nas 47-50, halle el área del triángulo determina-, ,· do por los puntos proporcionados. '' 47. .f 1(1, 1, 1), 48. P 1(0, O, O), 49. P 1(1, 2, 4), 50. P 1(1, O, 3),

Pz(l , 2, 1), P 3(1, 1, 2) Pz(O, 1, 2), P 3 (2, 2, O) Pz(l, -1, 3), ? 3(-1, -1, 2) P 2 (0, O, 6), P 3(2, 4 , 5)

En los problemas 51 y 52, encuentre el volumen del paralele- , pípedo para el cual los vectores proporcionados son tres aristas. " 1

51. ~ = i + j, b = -i + 4j, e = 2i + 2j + 2k 52. a = 3i + j + k, b = i + 4j + k , e = i + j + 5k

53. Determine si los vectores a = 4i + 6j, b 6j - 6k y e = ~ i + 3j + ~ k son coplapares.

=

-2i + ·'

1.4 Producto vectorial "'"

1

54. Determine si los cuatro puntos P 1(1, 1, -2), P 2(4, O, -3), P3(1, -5, 10) y ? 4(- 7, 2, 4) se encuentran en el mismo plano. ' 55. Como se muestra en la figura 1.54, el vector a se halla en el plano .xy y el vector b, a lo largo del eje z positivo. Sus magnitudes son llall = 6.4 llhll = 5.

de difracción con rayos X de cristales utilizan la "malla recíproca", que tiene como base ,a X b b X c c X a C = -- -- A= B '= - - - c·(a x b) a · (b X c) b · (c X a) a) Una determinada malla tiene vectores base a = i, b = j y c = (i + j + k) . Encuentre los vectores base para la malla recíproca.

y

t

a) Utilice la definición 1.4 para encontrar lla X bll . b) Utilice la regla de lá mano derecha para encontrar la dirección a X b.

c)

b) La celda unitaria de la malla recíproca es el paralelepípedo con aristas A, B y C, mientras que la celda unitaria ' de la malla original es el paralelepípedo con aristas a, b y c. Muestre que el volumen de la celda unitaria de la malla recíproca es el recíproco del volumen de la celda unitaria de la malta original. [Sugerencia: Comience con B X C y utilice (10).]

Utilice la parte b) para expresar a X ben función de los vectores unitarios i, j, k.

z b

58. Utilice (7) para demostrar la propiedad iii) del producto vectorial.

Figura 1.54 Vectores para el problema 55

X

56. Dos vectores a y b se encuentran en el plano xz de forma que el ángulo entre ellos es de 120º. Si llall = V27 y llhll = 8, encuentre todos los valores posibles de a X b. · 57. Una malla tt'idimensional es una colección de combinaciones enteras de tres vectores base no c~planares a , b y c. En cristalografía, una malla puede especificar las ubicaciones ,de los átomos en un cristal. Los estudios

l ts J

P(x,y,z)

,59. Demuestre a X (b X c) = (a · c)b - (a· b)c.

60. Demuestre o refute ¡i X (b X c) = (a X b) X c.

61. Demuestre a · (b X c) = (a X b) · c. 62. Demuestre a X (b X c) + b X (c X a)+ c X (a X b)

=O. 63. Demuestre la identidad de Lagrange: 2 2 2 2 lla X hll = llall llhll - (a · b) 64. ¿a X b = a X c implica

q~e

b

= c?

65. Muestre que (a+ b) X (a - b) = 2b X a .

Lineas y planos en eL:espacio 30

)

• Introducción En esta sección se analiza cómo encontrar diversas ecuaciones de líneas y planos en el espacio 3D.

m Líneas: ecuación vectorial Al igual que en el plano, dos puntos distintos cualesquiera del espacio 3D determinan una única líi:iea entre ellos. Para encontrar una ecuación de la línea que pasa por P 1(x¡, y 1, z 1') y P 2(x2, Y2· z2), se considera que P(x, y, z) es cualquier punto X

Figura 1.55 Línea que pasa por diferentes puntos en el espacio 3D

r 1 = ~ y r2 = sobre la línea. En la figura 1.55, si de r = vector a = r 2 - r 1 es paralelo al vector r - r 2. Así,

OP,

Z5P";, se observa que el (1)

Si se escribe a = r 2 - rr = (x2 - xi, Y2 -y¡, Z2 ...'.. z1) =(a¡, ª 2· a 3), ento'nces (1) implica que una ecuación vectorial para la línea

(2)

5Eª es

r = r 2 +ta.

Formulación alternativa de la ecuación vectorial.

El vector a se denomina un vector director de la línea. Puesto que r - r 1 es también paralelo a 5E,,, una ecuación vectorial alternativa para la línea es r = r 1 +ta. Desde luego, r = r 1 + t(-a) y r == r 1 + t(ka), siendo k un escalar diferente de cero, son también ecuaciones para 5E a·

Ejemplo 1

Ecuación vectorial de una línea

Encuentre una ecuación vectorial para la línea que pasa por (2, -1, 8) y (5, 6, -3) .

28

CAPÍTULO 1 Vectores

Solución Defina a= (2 - 5, - 1 - 6, 8 - (-3)) = (-3, -7, 11). Las siguientes tres son posibles ecuaciones vectoriales para la línea:

(x, y, z) = (2, -1, 8) + t(-3 , -7, 11)

(3)

(5, 6, -3) + t(-3, -7, 11)

(4)

(x, y, z)

=

(x, y, z) = (5, 6, -3) + t(3, 7, -11). •

Ecuaciones paramétricas

(x, y, z)

= =

(5)

o

Si se escribe (2) como

(x2 + t(x2 - x 1), Y2 + t( Yi -y 1), z2 + t(z2 - z1)) (x2 ;+- a 1t, y 2 + a2t, z2 + a3t)

e igualando componentes, se obtiene

x '= x 2 +a 1t,

y= Y2 +a2t,

(6)

z = z2 +a 3t.

Las ecuaciones en (6) se denominan ecuaciones paramétricas para la línea que pasa por P 1 y P 2 . Al incrementar el parámetro t desde -oo hasta oo, puede pensarse que el punto P (x, y, z) traza la línea completa. Si el parámetro t se restringe a un intervalo cerrado [t0 , t 1], entonces P (x, y, z) traza un segmento de línea que comiq1za en el punto correspondiente a t0 y finaliza en el punto correspondiente a t 1. Por ejemplo, en la figura 1.55, si - 1 ::::: t::::: O, entonces P(x, y, z) traza el segmento de línea que comienza en P 1(x 1, y 1, z1) y finaliza en P2(x 2 , J2, z2) .

Ejemplo 2

Ecuaciones paramétricas de una línea

Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea del ejemplo 1.

Solución A paitir de (3), se tiene que

x=2-3t,

y=-l-7t,

z =8+llt.

(7)

Un conjunto alterno de ecuaciones paramétricas se obtiene a partir de (5): X=

5 + 3t,

y = 6 + 7t,

-3 - l lt.

Z =

Note que el valor t = O en (7) resulta en (2, - 1, 8), mientras que t en (8), para obtener el mismo punto.

Ejemplo 3

(8) =

o

-1 debe utilizarse

Vector paralelo a una línea

Encuentre un vector a que sea paralelo a la línea Y',ª cuyas ecuaciones paramétricas son 4 + 9t, y= -14 + 5t, z = 1 - 3t.

X=

Solución Los coeficientes (o un múltiplo constante diferente de cero de los coeficientes) del pai·ámet:ro en cada ecuación son las componentes de un vector pai·alelo a la línea. Así, O a = 9i + 5j - 3k es pai·alelo a Y', ª y, por lo tanto, es un vector director de la línea. • Ecuaciones simétricas A partir de (6), se observa que es posible eliminar el pai·ámetro si se escribe X -

X2

Y - Y2

Z -

t= - - - = - - - = -

a,

ª2

-

Z2

a3

siempre y cuando los tres números' a 1, a2 y a 3 no sean nulos. Se dice que las ecuaciones resultantes

(9) son ecuaciones simétricas para la línea que pasa por P 1 y P 2 .

1.5 Líneas y planos en el espacio 30

Ecuaciones simétricas de una línea

Ejemplo 4

Encuentre ecua_ciones simétricas para la línea que pasa por (4, 10, - 6) y (7 , 9, 2).

Solución Defina a 1 = 7 -4 = 3, a2 = 9-10 obtienen ecuaciones simétricas para la lí9ea

x-7 3

= -1 ya 3 = 2- (-6) = 8. A partir de (9) se z -2 8

y-9 -1

o

Si uno de los números a 1, a 2 o a 3 es cero en (6), se utilizan las dos ecuaciones restantes para eliminar el parámetro t. Por ejemplo, si 17 1 = O, a 2 =I= O, a 3 =I= O, entonces (6) conduce a Y - Y2

Z - Z2

ª2

a3

t= - - = - - .

Y - Y2

En este caso, son ecuaciones simétricas para la línea.

Ejemplos

Ecuaciones simétricas de una línea

Encuentre ecuaciones simétricas para la línea que pasa por (5, 3, 1) y (2, 1, 1).

Solución Defina a 1 = 5 - 2 = 3, a 2 = 3 - 1 = 2 ya 3 = 1 - 1 = O. De la explicación anterior, se tiene que las siguientes ecuaciones son simétricas para Ja línea

y-3

x ·- 5

-2-,

3

z=

l.

En otras palabras, las ecuaciones simétricas describen una línea en el plano z = 1.

O

Una línea en el espacio también se.determina especificando un punto P¡(X¡, y¡, z,) y ' un vector director no nulo a. Por el punto P¡, únicamente pasa una línea 5.Eª· paralela al vector dado. Si P(x, y , z) es un punto sobre la línea 5.Em mostrada en la figura 1.56, entonces , como antes,

OP - O?; = ta Ejemplo 6

o

r = r 1 +ta.

Línea paralela a un vector

Escriba ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas para la línea que pasa por (4, 6, - 3) y es paralela a a = 5i - lüj + 2k.

Solución

Con, a 1 = 5, a2 = -10 y a 3 = 2 se tiene inmediatamente

Vectoriales: Paramétricas: Simétricas:

(x, y, z) X=

= (4, 6; -3) + t(5, -10, 2)

4 + 5t,

x- 4 5

y = 6 - lÜt,

y- 6 - 10

z +3 2

Z

= -3 + 2t

o

• Planos: ecuación vectoria l En la .figura 1.57 d.) se ilustra que a través de un punto dado p L(X¡' Yt' Z1) pasan un número infinito de planos. Sin embargo, como se muestra en la figura l.57b), si se especifican un punto P 1 y un vector n, únicamente existe un plano Oy y =

y

> O, x + y

= xy

> O. Así, la suma x + y se encuentra en V;

V está cerrada bajo la suma. ii) Como la multiplicación de números reales positivos es conmutativa, se tiene que para todos los x = x y y = y en V, x + y = xy = yx = y + x. Así, la suma es conmutativa.

1.6 Espacios vectoriales

'.

! j

37

,¡'!

iii) Para todos los x = x, y =

y, z = z en V,

x + (y+ z) = x(yz) = (xy)z = (x +y)+ z. Así, la suma es ·asociativa. iv) Como 1 + x = lx =

.

x = x y x + 1 = xl = x = x, el vector Oes 1 = l.

1

v) S1 se define -x = - , entonces X

X+ (-x)

1

=X X

' 1 = 1 = 1 =o y (-x) +X= - X= 1 = 1 =o. .

X

,

Por lo tanto, el negativo de un vector es su recíproco.

> O es cualquier vector, entonces kx = Así, V está cerrado bajo la multiplicación escalar.

vi) Si k es cualquier escalar y x = x

vii) Si

Y!'> O.

k es cualquier escalar, entonces

k(x +y) = (xy/ =Y!'/= kx + ky. viii) Para los escalares k1y k2 ,

(k 1 + k2)x =

x(k1+k2l:::::

;r} u 2), donde u 1 = (3, 1), u2 = (1 , 1), es una pase para R 2 • Transforme B en una base orto normal B" = {w 1, w2}.

Solución Se selecciona v 1 como u 1: v 1 = (3, 1). Entonces, a partir de la segunda ecuación de (3) ,' con u 2 · v 1 = 4 y v 1 · v 1 = 10, se obtiene e) v 1 y v2 son ortogonales ·

Figura 1.64 Los vectores ortogonales v1 y v2 se definen en términos de u1 y u2 •

V

2

4

\ l 3)

= ( l , 1\I - (3 1\ = - -5' -5 . l'O , I

El conjunto B' = {v1> v2} = ((3, 1), (-J.~ )} es una base ortogonal para R2 . El último paso consiste en normalizar los vectores v 1 y v2:

u,

' 1

1 \ -3- -l- ) W1 = --v1= llv1ll Viü'

VlO

y

- '1

n) BaseB

La base B se muestra en la figura l.65a), y la nueva base ortonormal B" = {w 1, w 2} se muestra con las flechas en la figura l.65b). O

W¡

En el ejemplo 3 se puedeseleccionarcualquiervectordeB = {u 1, u 2} como el vectorv 1. Sin embargo, eligiendo v1 = u2 = (1, 1), se obtiene una base ortonormal diferente; esto es,

-1 b) Base 8"

Figura 1.65 ejemplo 3

Las dos bases del

B" = {w 1, w 2), donde w 1 = (l/Vl, l/Vl) y w 2 = (l/Vl , - l/Vl). Véase los problemas 5-8 de los ejercicios 1.7.

• Const rucción de una base ortogonal para R3 Ahora supóngase que E= {u1> u 2, u 3}

es u.na base para R 3 . Entonces, el conjunto B' = {v 1> v2, v3), donde

(4)

R

Es una base ortogonal para 3 . De nuevo, si esto no se ve claramente, calcúlese v 1 • v2, V1 . .V3 y V2 . V3. Puesto que los vectores v 1 y v2 de la lista (4) son ortogonales por la forma en que se generaron', el conjunto {v1> v2 } debe sú linealmente independiente (véase el problema 46

CAP'ÍTULO 1 Vectores

36 de los ejercicios 1.6). Así1 W2 = Sg(v1> v2) es necesariamente un subespacio bidi-

u3· v1) (U3 'V2) , mensional de R 3 • Ahora, el vector x = ( - v 1 + - - - v2 es un vector en W2 , V¡'V¡ Vz'V2 porque es una combinación lineal de v 1 y.v2 • Al vector x se le denomina la proyección ortogonal de u3 sobre el subespacio W2 y se denota generalmente como x = proyw u3 . En la figura 1.66, x es el vector negro remarcado. Obsérvese, también, que x es la sJma de dos proyecciones. Utilizando (12) de la sección 1.3, se escribe Figura 1.66 Los vectores v1 , v, 2 , v3 obtenidos del proceso de Gr~!lnSchmidt ~: (5)

La diferencia v3 = .u3 - x es ortogonal ax. En efecto, v3 es ortogonal a v 1 y v2 y a todos los vectores en W2 . Ésta es precisamente la misma idea de (3) . En ese contexto, v2 = u2 - x, donde x es la proyección de u2 sobre el subespacio unidimensional W 1 = Sg(v 1) de R 2 . Análo.gamente a (5), se tiene

1 ,

''

1

(6)

1 ·

Ejemplo 4 Proceso de Gram-Schmidt en R3

''

'

'

El conjunto B = {u 1, u2, u3 }, donde U¡=

(1, 1, 1), u2

= (1, 2, 2), u3 = (1, 1, 0)

3

es una base para R • Transfolme B en una base ortonormal B".

Solución Se elige v 1 como u1: v 1 = (1, 1, 1). Entonces, de la segunda ecuación de (4), con u2 · v 1 = 5 y v 1 • v 1 = 3, se obtiene Vz

=

5 (1,2,2)-3(1, 1, 1)

Ahora con u3 · v,1 := 2, v 1 • v 1 = 3, u3 · v2 = da por resultado

2

t yv

.V3 = (1, 1, 0) - 3(1, 1, 1) + 1 o) + \ , , \

= 11

=

/o \

/ 2 1 1) \-3'3'3 .

=

2 •

v2 = ~ ,la tercera ecuación de (4)

1/ -3,2 3'1 31) 2\

2'- -2 - -2) +' \ -1 -1 -1) -3' 3' 3 3' 6' 6

_!_ _ _!_).

, 2'

''

2

"I

t»

El conjunto B' = ·(v 1, v2, v 3 } ~ ((1, 1, 1), (-L L (O, t, -t)l .es una base ortogonal para R3 . Como en el ejemplo 3, Ja tarea 1¡e concluye normalizando cad,a vector en B'.

V6

V2

N

1 •' 3, llv 2 11 = - -. , llv 3 ll = - - y W; = V;, 1, = 1, 2, 3, se encuen2 3 tra que una base ortonormaJ para R3 .es B" = (w 1, w 2 , w 3 }, donde . .

Utilizando llvill =

' ¡:; V

Se reconoce que d conjunto B" es Ja base ortonormaJ para R3 examinada en el ejemplo 1.

o 1. 7 Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

Esta sección concluye con un teorema que resume el caso más general del proceso de Gram-Schmidt para R". Este proceso de ortogonalización se usa sobre cualquier conjunto S linealmente independiente, por lo que se utiliza para encontrar bases ortonormales en subespacios de R".

TEOREMA 1.6 -

.

.

.

'

'

.

~

.

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

º"

Sea B = { u2, ... , 0 111 }, con m:::::; n, una base para el subespacio W111 de R". Entonces {v 1, v2,... , v111 }, donde V1

=U¡

, - (Uz •V¡) Vz = Uz -- V¡ V¡• V¡ U3 • V1) • Vz) V3 = U3 - ( - V1 - (U3 -- Vz V1 • V1 Vz • Vz

V111

= ll111 - ("111 •v1)' V1 - (º111. Vz) Vz - ... - ( U111. V111-1 ) V111-l•

V1 • V1 . Vz • Vz V111 _1 • V111 _¡ es una base ortogonal para W111 • Una base ortonormal para W111 es

Comentarios Si bien los razonamientos anteriores se han centrado en R", el proceso de 'ortogonalización resumido en (7) del teorema 1.6 es váliqo para todos los espacios vectoriales V sobre los cuales se defina un producto interior (u, v). En este caso, se reemplaza el símbolo R" de (7) con las palabras "un espacio V con producto interior" y cada símbolo de producto escalar u · v con (u, v). Véanse los problemas 17 y 18 de los ejercicios 1.7.

1 1

En los problemas 1 y 2, verifique que la base B para el espacio vectorial proporcionado sea ortonormal. Utilice el teorema 1.5 para encontrar las coordemdas del vector u relativo a la base B. Después escriba u como una pombinación lineal de los vectores base. l. B

= {(

2. B= { /

~~' 153)' ( 153, - ~~)}'

Rz;

u =

(4, 2)

(~·~·- ~). (o.,-~.-~).

2 1 ' 1 )} \ - \/6, \/6, - \/6 ,

3

R

;

u = (5, - l , 6)

En los problemas 3 y 4, verifique que la base B del espacio vectorial proporcionado sea ortogonal. Utilice el teorema 1.5 como una ayuda en Ja búsqueda' de las coordenadas del vector u relativas a la base B . Después escriba u como una combinación lineal de los vectores base. 3. B= t(l,O,l),(O,l,0),(-1,0,l), R3 ; u = (10, 7, -13)

48

CAPÍTULO 1 Vectores

4. B = {(2, 1, -2, O), (1, 2, 2, 1), (3, -4, 1, 3), (5, -2, 4, -9)}, R4; u = (1, 2, 4, 3) En los problemas 5-8, utilice el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt (3) para transformar la base proporcionada B = {u 1, u2 } para R2 en una base ortogonal B' = {v 1, v 2 ), Después, genere una base ortonormal B" = {w 1, w 2 }. a) En prim~r lugar, construya B" utilizando v 1, u 1•

b) A continuación construya B" utilizando v1, u 2 . e) Dibuje By cada base B". 5. B ~ {(-3,2),(-1, -:1)) 6. B= {(-3,4),(-1,0)) 7. B = {(l, 1), (1, O)} 8. B={(S,7),(1,-2)) En los problemas 9-12, utilice el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt (4) para transfonnar la base proporcionada B 3 = {u 1, u2, u3 } para R en una base ortogonal B' = {v 1, v2, v3}. A continuación genere una base ortonormal B" = {w 1, w 2 , w 3 } .

9. B = {(l,[, O), (1, 2, 2), (2, 2, 1)) 10. B = ((-3, 1, 1), (1, 1, O), (-1, 4, 1))

{(!, !, 1), (-1,

11. B =

1,

-!), (-1, !, l)}

Para el producto interior (p, q) definido para P2 en los problemas 17 y 18, la norma llP(x)ll de un polinomio p se define como · 1:· 11,

12. B = {(l, 1, 1), (9, -1, 1), (-1, 4, -2))

1

En los problemas 13 y 14, los vectores proporcionados funcionan como claro para 1.m subespado W de R3 . Utilice el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a fin de construir una base ortonormal para dicho subespacio. ·

llP(x)ll 2 = (p, p) = '

f

1

p 2(x) dx.

- 1

Utilice esta norma en los problei;nas 19 y 20.

13. U¡ = (1, 5, 2), U2 = ' (-2, 1, 1)

19. Construya una base ortonormal B" a partir del B' obteni: do en el problema 17. 1

14. U¡ = (1, 2, 3), U2 = (3, 4, 1)

li•

20. Construya una base ortonormal B" a partir del B' ob~~nido en el problema 18 . .

En los problemas 15 y 16, los vectores proporcionados funcionan como claro para un subespaci'o W de R4 . Utilice el proceso de ortogonalización de Gram-S chmidt a fin de construir una base ortonormal para qicho subespacio.

1'

En los problemas 21 y 22, sea p(x) = 9x2 - 6x + 5 un vector en P 2 . Utilice el teorema 1.5 y la base ortonormal B" indWada para encontrar las coordenadas p(x) relativas a B". A continuación escriba p(x) ·como una combinación lineal de los vectores base. li

15. U¡ = ( 1, - 1, J, -l ),'U2 = (1, 3,0, J)

16. U¡ = (4, O, 2, - 1), U2 = (2, !, -1, 1), U3 = (1, 1, - 1, O)

1

!'

•,

En los problemas 17 y 18, un producto interior definido sobre el espacio vectorial P2 de todos los polinomios de grado menor o igual a 2 está dado por

(p, q)

f

=

Problemas de razonamiento

1

p(x )q(x)dx.

U¡ (1, 1, 3), U2 = ( 1,4, l)yu3 = ( 1, 10, -3), .' '

Utilice el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para transformar la base proporcionada B de P2 en una base ortogonal E'. ·

·

~

x, x 2 + 1, 1 - x 2 }

. _,, .:t- .~:.T:í~''

..

~i~f.{,:-\:trf''s! ~ ~Xf"~;~::~'!'!';t.r>·: ~·t;, ~r ... :· ,J"~~:{'-/~~.-:;,.~:"'··:.r¡;,.\:

1

1

1

es linealmente dependiente en R3 , puesto que u~ = -2u 1 + 3u2. Comente qué es lo que se espera de la aplicación a estos vectores del proceso ,de Gram-S,c hmidt1;en (4). A continuación, desarrolle el proceso de ortogd:halización.

17. B = ( 1, x, x 2 } -

. '"

' '

23. El conjunto de vectores (u 1, u 2 , u 3 }, donde

- 1

18. B = ( x 2

22. B" del problema 20 :

21. B" del problema 19

·,: .

·1

1'

·

1

EJEl,l~_ICl~~:· ~~ '. l.l~.P~.~~~P:~!~ O, a 3) es un espacio vectorial bajo la suma y la multiplicación escalar definidas por

(al> O, a 3) + (b1> O, b3)

=

(a 1 + b 1, O, a 3 + b3)

k(a1> O, a 3) = (ka 1, O, a 3) es un espacio vectorial. 50. Determine si los vectores (1, 1, 2), (O, 2, 3), y (O, 1, -1) son linealmente independientes en R3 • 51. Determine si el conjunto de polinomios en P11 que satisfacen la condicióri d 2pldx 2 = O es un subespacio de P11 •

Si así es, encuentre una base para el subespacio. 52. ,Recuérdese que la intersección de dos conjuntos W1 y W 2 es el conjunto de todos los elementos comunes a ambos, y que la unión de W1 y W 2 es el conjunto de elementos que están en W1 o W2• Considere que W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V. Demuestre o refute, por medi,o de un contraejemplo, las siguientes proposiciones: a)

W1 n W2 es un subespacio de V.

b)

W1 u W2 es un subespacio de V.

i¡

CAPÍTU ;LO .

2 Matrices

1

•

¡: '

11Estructura del capítulo 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

2.6

2.7 2.8 2.9

2.10 2.11 2.12 2.13 2.14

2.15 2.16

Álgebra matricial Sistemas de ecuaci~nes algebraicas lineales Rango de una matriz Determinantes Propiedades de los determinantes Inversa de una matriz 2.6.1 Cálculo de la inversa 2.6.2 Utilización pe la inversa para resolver sistemas Regla de Cramer ' El problema del valor propio Potencias de las matrices Matrices ortogonales Aproximación de valores propios Diagonalización Criptografía Código corrector de errores Método de los mínimos cuadrados Modelos discr.etos de compartimiento Ejercicios de repaso del capítulo 2

)

:/

En Las matemáticas, con frecuencia enfrentamos La tarea de manejar arreglos de números o funciones. A uno de dichos arreglos se Le denomina matriz. La invención de La teoría de matrices se debe al eminente matemático inglés Arthur Cayley (1821-1895). 51 i,

.. 'l'

11

2.1

)

Álgebra matri.cial

• Introducción En la última sección' del capítulo 1 vimos que un vector en R" es una n-tupla ordenada (x 1, x2, .. . , x,,). Los vectores a menudo se escriben como un arTeglo horizontal o vertical sin comas:

. . . X) "

C)

o

(1)

A cada uno de Jos arreglos mostrados en (1) se le denomina matriz. Nuestro objetivo en esta sección es el estudio del álgebra de tales arreglos .

•

Una definición Los ruTeglos mostrados en (1) son casos especiales de (2) en la defi-

nidón que sigue.

DEFINICIÓN 2.1 ... ~

. .1t»

Matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números o funciones:

e

ª12

ª21

ª22

a111'.

ª1112

ª'") ª211

ª111;1

(2)

.

A los números o funciones incluidos en el arreglo (2) 'se les llama entidades o elementos de la matriz. Si una matriz tiene m renglones y n columnas decimos que su tamaño es de m por n (y se escribe m X n) . Una ll!atriz den X n. se denomina matriz cuadrada o matriz de orden n. Una matriz de 1 X 1 es simplemente una constante o función. Por ejemplo, A =

(~ ~ ·~) es una matriz de 2 X 3 mientras q~e 7

o

-2

6 -1

o \/3

(3)

7T

es una matriz cuadrada de 4 X 4 o una matriz de orden 4. A lo largo de este libro denotaremos a una matriz mediante una letra mayúscula en negritas , tal como A, B, C, X . El elemento que aparece en el renglón i-ésimo y' en la columnaj-ésima de .una matriz A de m X n se escribe como ªu· Por lo tanto, una matriz A de m X n se abrevia como A ";" (au) 111 x ,,. En una matriz cuadrada de n X n a los elementos a 11 , a 22 , . . . , a,,,, se les llama elementos de la diagonal principal. Los elerrientos de la diagonal principal de la ma~riz B mostrada en (3) son 9, -2, -1 y -4.

DEFINICIÓN

i :i - '. .' ·

Una matriz den X 1,

52

CA PÍTULO 2 Matrices

Vectores columna y renglón

se llama vector columna. Una matriz de 1 X n,

se llama vec~or renglón.

Igualdad de matrices 1;

Dos matrices A y B de m X n son iguales si ªu= bu para cada i y j .

J' ·

En otras palaµras, dos matrices son iguales si, y sólo si, tienen el mismo elementos correspondientes son iguales .

t~maño

y sus

Ejemplo 1 Igualdad a)

(1 1) (]

Las matrices

· 1

1

y

1)

1

<

1

no son iguales puesto que el tamaño de la '

''

3

o o

-4 2

3)JR,+ R, (¡ _ lR 2 ~ o

- 1 8

2

- 4 -1

l

- 1

l

-:- 2

o o

o

-~) 2

.

·º

Puesto que la última matriz está en la forma escalonada, y debido a que la última matriz tiene dos renglones diferentes de cero, a partir del inciso iii) del teorema 2.4 podemos O concluir que rango(A) = 2.

Ejemplo 3 Independencia y dependencia lineales Determine si el conjunto de vectores u 1 = (2, 1, 1), u 2 linealmente dependiente o linealmente independiente.

'O=

(O, 3, O), u 3 = (3; 1, 2), en R 3· es ·

Solución A partir del análisis anterior, debe ser claro que si formai:nos una matriz A con los vectores dados como renglones, y si reducimos por renglones la matriz A a una matriz escalonada B con rango 3, entonces el conjunto de vectores es linealmente independiente. Si rango(A) < 3, entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente. En este caso, resulta sencillo convertir la reducción de renglones hasta una forma de renglones escalonados, ¡·i

;

operaciones

==> con renglones

Por lo tanto, rango(A) = 3 y el conjunto de vectores 11 1, u 2 , u 3 es linealmente independiente.

o

2.3 Rango de una matriz

Como se mencionó anteriormente, los vectores de una matriz escalonada A pueden servir como base par¡¡ el espacio de renglones. En el ejemplo 3, podemos observar que una base para el espacio de renglones de A es la base estándar (l, O, O), (O, l', O), (O, O, 1) de R 3.

& Rango y sistemas lineales .El concepto de rango puede asociarse con la resolución de sistemas lineales de ecuaciol1es algebraicas. Suponga que AX = B es un sistema lineal y que (AIB) representa la matriz aumentada del sistema. En el ejemplo 7 de la sección 2.2, observamos que el sistema X¡

+

X2

X2 =

4X¡ -

2x 1 -

=

3x

2

J

-6

= 8

era inconsistente. La inconsistencia del sistema se puede observar en el hecho de que 1 después de escribir la matriz aumentada (AIB) en forma escalonada reducida,

( ~2

-1 - '3

-~)8

1)

o1 2 o 16

operaciones =} co n renglones

(

º)

o1 º.l o o o1

(2)

el último renglón es diferente de cero . Desde luego, esta reducción muestra que rango(AIB) = 3. Sin embargo, observe también que el resultado en (2) indica el rango(A) = 2 debido a que

1 I) ' (2 _ 3 4 ' -1

operaciones =}

con renglones

(1o O)

1.

Ü

Q

Ya hemos ilustrado un caso especial del teorema siguiente.

Consistencia de AX = B Un sistema lineal de ecuaciones AX = B es consistente si, y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes A es el mismo que el de la matriz aumentada del sistema (AIB). , En el ejemplo 6 de la sección 2.2, pudimos observar que el sistema x 1 + 3x2

-

2x3 = -7

4x 1 + x 2

+ 3x3 = 5

2x 1 - 5x2

+ 7x3 =

(3)

19

era consistente y tenía una número infinito de soluciones. Despejamos dos de las incógnitas, x ¡ y x2 , en términos de la incógnita x3_·restante, la cual nombramos como el parámetro t. En una solución de un sistema, el número de parámetros está. relacionado con el rango de la matriz de coeficientes A.

TEOREMA 2.6 '

.., , '

Número de parámetros en una solución

Suponga que un ~istema lineal AX = B con m ecuaciones y n incógnitas es consistente. Si la matriz de coeficientes A es de rango r, entonces la solución del sistema contiene n - r parámetros.

74

CAPÍTULO 2 Matrices

Para el sistema (3),

~partir

(~

3 1

-5

de la reducción de renglones podemos observar

-2 -7) 3

(1

operaciones

5

o l

Ü

con ,:.:Iones

o o

7 19

1 2)

- 1 -3

,i: 1:

o o

que rango(A) = rango(AIB) = 2, y por ende el sistema es consistente de acuerdo con el teorema 2. 5. Con n = 3, vernos que a partir del teorema 2.6 d número de parámetros presentes en la solución es 3 - 2 = 1. El diagrama siguiente expresa la conexión que hay entre el concepto de rango de una matriz y la solución de un sistema lineal. Para 111.ecuaciones lineales con Dos casos: B = O, B

11

incógnitas AX = B.

* O. Sea rango(A) = r. A~=O

Siempre consistente

Infinidad de soluciones:

Solución única: X= O

rango(A) < 11 ,

rango(A) = n

n - r parámeu·os

arbitrarios en la solución

_,

1

'·

AX=B, B*Q·

1

!

i

+

t Solución única: rango(A) = n

Consistente:

Inconsistente:

rango(A) = rango(AIB)

rango(A) < rango(AIB)

i

I ·

,·

i Infinidad de soluciones: rango(A) < 11 , n - r parámetros

arbitrarios en la solución

Comentarios No hemos mencionado la conexión que hay entre las columnas de una matriz A y el rango de A. Resulta que el número máximo de col.umnas independientes que una matriz A puede tener debe ser igual al número máximo de renglones independientes. En la terminología de los espacios vectoriales, el espacio de renglones RA de la matriz A tiene l 3.

.. ' .

::

1

81

1

En los problemas 1 a 4, suponga que

A~ ( ~

3 -1 3

-2

19.

D

2. M 32

En los problemas 5

~

3.

4.

C 13

2 1.

C 22

8, suponga que

(;

A=

2 2

4 - 2

o

23.

-ü

24.

Encuentre los siguientes menores o cofactores. 5.

6.

M 33

M 41

7.

C 23

En los problemas 9 a 14, evalúe el determinante de la matriz . dada.

11.

13.

(_~

(1;

!) Á

12.

2:

J

14.

(! ') ,2

-~

27.

(-3 - Á -4 ) -2 5 - Á

En los problemas 15 a 28, 'evalúe el determinante de la matriz dada mediante.la expansión por cofactores.

Go D GD o

16.

5·

17.

7

6

18.

(¡ D 9

6

Go n -1) G -3

-1 2

-2

2 - 4

,D

y 3

y 3 +y

(l

5

-3 3

- 2

1

8

o

2 o 3 o 1 4 2 o o 2 -1 o o o 4 o o o o

29.

~)

26.

-1 3 1 3

2

1-3 - Á 10 15- Á 2 1- Á

o

1 3

2-Á

30.

9

1·1 2.5

22.

4

5

(! 2

28. 2

o

1

-2

5

o

6

- 1

~)

2 1

o o -2 6 o 5

o o

2 - 1 - 1 1 -2 3

o o

En los problemas 29 y 30, encuentre los valores de Á que satisfagan la ~cu ación dada.

o

2

15.

25.

10. (2)

9. (-7)

20.

e D (-¡ GD e:, 4:J -3 .L3

l

8.

C 34

2 2

6 8

-1

Encuentre los siguientes menores o cofactores. l. M 12

(: D 5

3

o

-1 1 =O -Á

Propiedades de Los. determinantes

.)

. • Introducción En esta sección vamos a considerar algunas de las muchas propiedades de los determinantes. El .objetivo de nuestro estudio es emplear estas propiedades para desai.Tollar medios de evaluación de un determinante como una alternativa pai.·a la expansión por cofactores.

• Propiedades La phmera propiedad establece que el determinante de una matriz' de n X n y su transpuesta son iguales.

82

CAPÍTU LO 2 Matrices

Determinante de una transpuesta ,: li

Si AT es la transpuesta de la matriz A den X n, entonces det AT = det A.

Por ejemplo, para la matriz A = detA =

G. 7) -4

, se tiene AT =

5. 71 = - 41 3 -4 1

(5 3) . 7

.

-4

detAT =

y

li.

Observe que

157

31

-4

= -41.

Puesto que la transposición de una matriz tiene el efecto de intercambiar sus renglones y columnas, el significado del teorema 2.8 es que los enunciados que tienen que ver con determinantes y con los renglones de una matriz también son válidos cuando la palabra "renglón" se reemplaza por la palabra "columna".

Dos renglones idénticos Si cualesquiera dos renglones (columnas) de una matriz A de n x n son iguales, entonces det A = O.

Ejemplo 1 Matriz co.n dos renglones idénticos Puesto que la segunda y la tercera columnas de la matriz A = a partir del

~eorema

(469

2.9 se puede deducir que

6 2 2 det A

4

=

2

2

O.

=

9 2 2 Usted deberá verificar .lo anterior expandiendo por cofactores el determinante.

O

Renglón o columna con ceros Si todos los elementos presentes en un renglón (columna) de una matriz A den X n son cero, entonces det A = O. Demostración Suponga que el i-ésimo renglón de A está constituido por ceros. De aquí que, en la expansión por cofactores de det A a lo largo del i-ésimo renglón, todos O los productos sean cero y, en consecuencia, det A = O. Por ejemplo, del teorema 2.1 O se puede deducir inmediatamente 'que columna cero renglón

cero~ I~

º1

-6

=O

y

J.

4

6

o

l

5

O = O.

8

-1

o

Intercambio de renglones Si Bes la matriz que se obtiene al intercambiar cualquier par de renglones (columnas) de una matriz A den X n, entonces det B = -det A. '.

2.5 Propiedades de los determinantes

.83

Por ejemplo, si B es la matriz que se obtiene al intercambiar los renglones primero y tercero de A ~

4 -19) . ( 6

O 7

2

3

, entonces, a partir del teorema 2.11 tenemos

'

1 3

2

o

- 1 9

4

7

- 6

- 1 9

2

det B = 6 4

.

O 7 = - det A.

3

Usted puede comprobar lo anterior calculando ambos determinantes.

Constante múltiple de un reng lón Si B es la matriz que se obtiene a partir de una matriz A de n X n multiplicando un renglón (columna) por un número k real diferente de cero, entonces det B = k det A.

'

'

Demostración Suponga que los elementos presentes en el i-ési mo renglón de A se multiplican por el número' k. Llamemos B a la matri z resultante. Al ex pandir por cofac tores la matriz B a lo largo del i-ésimo renglón nos da det B

+ · · · + ka;,,C;,, k(a¡¡C;1 + a;2 Ci2 + · · · + a;,,C;,,) 7 k det A. ka; 1C; 1 + ka;2 C;2

=

o

expansión por cofactores de det A a lo largo del i-ésimo renglón

Ejemplo 2

a)

l 2~

4 b) 5 7

Teoremas 2.12 y 2.9 de. la primera columna

de la segunda colu mna

del segundo renglón

J,

J,

J,

i!I~ 5 1~ 2 -2 4

81=

16

5.

8141 ~I = 5 . 8 . 2¡~ ~I = 80(1 -

de la segunda columna

del teorema 2. 9

J,

J,

- ] =

4 (-2) 5

-2

7

- 1 - 1 ' 1 = ( - 2) .

2)

=· -80

o= o

Q

-2

-2

Determinante de un producto de matrices . Si tanto A como B son matrices de n X n, entonces det AB = det A · det B. En otras palabras, el determinante de un producto de dos matri ces de n. X n es igual al producto de los determinantes. ,

Ejemplo 3

Determinante de un producto de matrices

S~ponga que A = det AB

=

G-·~) y

-24 , det A

=

B=

-8, det B

det A · detB

84

CAPÍTULO 2 Matrices

(

'._~

= 3,

- :).

~ntonces AB =

( -

l~

.

22

-9

). Ahora

y así podemos observar que

= (-8)(3) =

-24

= det AB.

o

Determinante ina lterado Suponga que B es la matriz obtenida a partir de una matriz A de n X n multiplicando los elementos de un renglón (columna) por un número real k diferente de cero, y sumando luego el resultado a los elementos correspondientes de otro renglón (columna). Entonces det B = det A.

Ejemplo 4

Un múltiplo de un re nglón sumado a otro 5

• l

~ ~) qu~

"

3 y la matriz B está definid,a como la matriz que se ' ' 4 -1 4 obtiene a partir de A mediante la operación elemental de renglones,

Suponga que A

A

= (

=

4 4

( ~ -~l ~ )

- ) R, + R,

(

==}

5 - 1~

l

2)

-~ - ~

= B.

Al expandir por cofactores a lo largo de,. digamos, la segunda columna, encontramos que O det A = 45 y det B = 45. El estudiante deberá comprobar este resultado.

I ·

Determina nte de una matriz triangu lar

1

,:

Suponga que A es una matriz triangular den X n (superior o inferior). Entonces

donde a 11 ,

a 22 , ... ,

:,I•

a,,,, son los elementos de la diagonal principal de A.

Comprobación Demostremos el resultado de una matriz triangular inferior de 3 X 3 A=

(ª"

o

ª 21

ª 22

a 31

a 32

º)

I"

I,

o .

a 33

Al expandir det A por cofactores a lo largo del primer renglón nos da 0

detA = a 11

lª

22

,a 32

Ejemplo 5

º1=

ª11(a22a 33 -

O·

a 32) = a'11ª22a 33.

o

a 33

Determinante de una matriz t riangular

a) El determinante de la matriz triangular inferior

es

3 2 detA = 5 7

o 6 9 2

o o -4 4

o o= o

0

3 . 6 "(-4). (-2) = 144.

-2

2.5 Propiedades de los determinantes

; ,,,1:

.'I

85'

o b) El determinante de la matriz diagonal A =

C3 o D"' ~

6

o o o 6 o =(-3)·6·4=-72. o o 4

-3 detA =

o

Reducción de .renglones · Evaluar el determinante de una matriz den x n emplean. do el método de expansión por cofactores requiere de un esfuerzo colosal cuando la matriz es de orden superior. Para expandir el determinante de, digamos, una matriz de 5 x 5 con elementos diferentes de cero se requiere la evaluación de cinco cofactores que son los determinantes de submatl'ices de 4 x 4; cada una de éstas, a su vez, requiere de cuatro cofactores adicionales que son los determinantes de submatrices de 3 x 3, etc. Existe un método más práctico (y programable) para evaluar el determinante de una matriz. Este método se basa en la reducción de una matriz a una forma triangular, mediante operacione's de renglón, y en el hecho de que los determinantes de las matrices triangulares son fáciles de evaluar (consulte el teorema 2.15).

Ejemplo 6 Reducción de un determinante a su ·forma triangular Evolúool dotecmih•nte de A

~ -~ (

-! D

Solución {)

2

7

detA = -4

-3

2

2

4

8

6 = 2 -4

2 -3

7

2

4

2

2

(2 es un factor común en el tercer renglón: teorerna 2.12)

4

-2 -4 ' -3

2

2

7

6 2

4

- 20

5

18

6

2

7

-2

1

2

o o

5 - 10

(4 veces el primer renglón sumado al segundo: teorema 2.14)

4

18 (-6 veces el primer renglón sumado al tercero: teorema 2.14)

- 17

2

4

5

18

o o

19

-20

(Intercambio de los renglones primero y tercero: teorema 2.11)

(2 veces el segundo renglón sumado al tercero : teorema 2.14)

= (-2)(1)(5)(19) = -190 (Teorema 2.15)

o

Nuestro teorema final tiene que ver coi1 los cofactores. En la sección 2.4 estudiamos que un determinante det A de una matriz A den X n. podría ser evaluado mediante la expansión de cofactores a lo largo de cualquier renglón (columna). Esto significa que los n

86

CAPÍTULO 2 Matrices

elementos ªu de un renglón (columna) se multiplican por los cofactores correspondientes Cu y que los n productos se suman. Sin embargo, si los elementos ªu de un renglón (au de una columna) de A se multiplican por los cofactores correspondientes CkJ de un renglón diferente (C;k de una columna diferente) , la suma de los n productos es igual a cero.

Una propiedad de los cofactores Suponga que A es una matriz de n X n . Si a; 1, a;2 , • .• , a;11 son los elementos presentes en el renglón i-ésimo y ckl> ck2> . • . , ckll son los cofactores de los elementos ubicados eh el k-ésimo renglón, entonces

Si a 11 , a 21 ,. . . , a 111 son los, elementos de la columnaj-ésima y C 1k> cofactores de los elementos de la k-ésima columna, entonces

C 2k, • . • , C 11 k

son los

. Demo straci ón Se demostrarán los resultados por renglones. Sea B la matriz que se obtiene ,a partir de A permitiendo que los elementos del i-ésimo renglón de A sean los mismos que hay en el k-ésimo ·renglón, es decir, a; 1 ak 1, a;2 ak2> .. . , a;11 ak,,. Puesto que B tiene dos renglones iguales, a partir del teorema 2.9 se puede deducir que det B = O. La expansión por cofactores a lo largo del k-ésimo renglón proporciona entonces el resultado deseado:

=

O = det B = =

ak 1C k 1 G¡¡ ckl

=

=

+ a k2Ck2 + · · · + ak11 Ck 11 + a;2Ck2 + . . . + a ;11Ck,,.

I • 1

o

Ejemplo 7 Cofactores del tercer renglón y elementos del primer renglón

2 7)

- 3

2

4

8

''

. Ahora suponga que multiplicamos los ele-

mentos del primer renglón por los cofactores del tercero y sumamos los resultados; esto es,

ª11C3 ¡

+ ª1 2C 32 + a13C33

=

61-~ ~I + 2(-I -~ ~I) + 7 1~~ -~1

=

6(25) + 2( - 40) + 7(-10)

En los problemas 1 a 10, establezca el o los teoremas apropiados de esta sección que justifiquen la igualdad dada. No expanda por cofactores los determinantes,. l.

3.

I~

!I -1~ ~I

1 -~

1 2 5. 4 2

=

-:1 = 1-~ -:1

2.

4.

3 2 1 18 = 62 1 3 5 9 -4 5 9 - 12

I~

!I I~ ~I

1 o o oo2 o o

-2

oo o1 o oo

1

!

o

= O.

6.

4 2 18 5 9 -12 1 2 3

1 2' 3 4 2 18 5 9 -12

o

=

' 1

5 2 1 7. o2 o6

o o o o

'1 2 3 9. 4 5 6

7 8 9

6 8 -9 4

=O

1 2 3 8. 2 6 3 5 -8 -4

=o

4 7 2 5 8 3 6 9

2.5 Propiedades de los determinantes

~1

,¡,,I'

·'

ooo o 2 oo oo3 o ooo4

ooo oo2 o o3 oo 4 o o o

1

10.

23. Considere la matriz a a

A=

En los problemas 11 a 14, evalúe el determinante de la matriz dada usando el resultado, ª1 b1 C1

11. A=

13. e =

("' ª' ) C¡

14. D =

(ª'

- ª1 b¡

ª 2 b2 a3 b3

C2 -

b+2.

c +l

c +2

24. Considere la matri z

ª2 3b2 3b3

Cª' ª') 6b 1

C2

C3

a3

z· x+ y

En los problemas 25 a 32, utilice el procedimiento que se ilustra en el ejemplo 6 para evaluar el determinante de la matriz que se proporciona.

25.

e,) C2

1)

Sin utilizar expansión, demuestre que det A = O.

b3 a2

b+l

Sin utilizar expansión, evalúe det A.

- a, ) 'c3 -

a

X+ Z

2c1

b2

1 + 2).,

y

12. B =

-a2

b1

be

ª 2 a3 b2 b3 = 5. C2 C3

ª2 b3 b2 b¡ C3 C2 C¡

( - a,

(

+

27.

C3

G_: D

(-! -~ -~) 9 - 9

En los probl em~s 15 a 18, evalúe el determinante de la matriz dada sin expandir por cofactores. 29.

26.

28.

G~ -D ( -~ ~ -~)

6

l

- 2

2

(~ ~~ !) (r~ ~ ;) ~ ~ L~) ~ ~) _ ,;

3 0.

31 . (

32

( ;

:

33. Proceda como en el ejemplo 6, y clemuesq·e que

1 a b e ? ª 2 b2 e

= (b -

a)(c - a)(c - b).

1

En los problemas 19 y 20, verifique si det A = det AT pat'a la matriz A que se proporciona . . 2 19.

A= ( ! 1 2

-~) -1

20.

A=

21 O3 45) (7 2 -1

a b e d 34. Evalúe . [Su.gerencia: Consulte ª 2 b2 c 2 d2 el problema 33 .] ª ·3 b3 c3 cP En los problemas 35 y 36, verifique el teorema 2.16 mediante la evaluación de a21C 11 + a22 C 12 + a23 C 13 y a 13C 12 + a23 C22 + a 33 C32 en la matri z dada.

2 1. Considere las matrices

36. A =

( -~ ~ ~ ) -

2 2 - 3 Verifique si det, AB = det A det B. 22. Suponga que A es una matriz de n X n tal que A 2 donde A2 = AA . Demuestre que det A = ± 1.

88

37. Sea A =

1,

CAPÍTULO 2 Matrices

=

G-~)y det(A

B

= ( _ ~ _:)Verifique si

+ B)

* det A + det B.

38. Suponga que A es una matriz de 5 X 5 para la que det A= - 7. ¿Cuál es el valor de det(2A)?

a)

Compare el número de operaciones necesarias para ambos métodos utilizando una matriz de 25,¡:x 25 .

39. Se dice que una matriz A de /1 X n es antisimétrica si AT = -A. Si A es una matriz antisimétrica de 5 X 5, demuestre ·que det A = O.

b)

Si una computadora puede realizar 50000 operaci~nes por segundo, compare los tiempos qu_e le tomaría a la computadora evalu.ar el determinante de una matriz de 25 X 25 utilizando la expansión por cofactores y la reducción de renglones.

1:· 0

40. Toma alrededor de 11! multiplicaciones evaluar el determinante de una matriz de /1 X /1 utilizando la expansión por cofactores, núentras que por el método de reducción de renglones, ilustrado en el ejemplo 6, se requiere de sólo 113/3 operaciones aritméticas.

d

i' l'.

..;

11 2.6

)

Inversa de una matriz

m Introducción

El concepto del determinante de una matriz cuadrada den X un papel importante en esta sección y en la siguiente.

/1

tendrá

,• ¡,

Cálculo de la inversa En el sistema de los números reales, si a es un número diferente de cero, entonces existe un número b tal que ab = ba = l. El número b se llama inverso· multiplicativo de a y se denota mediante a- 1• En una matriz cuadrada A también es importante saber si podemos calcular otra matriz cuadrada B del mismo orden tal que AB = BA = l. Tenemos la definición siguiente.

Inversa de una matriz Sea A una mat1:iz de /1 X n. Si existe una matriz B de /1 X

AB

=

BA

/1

I · ;

' ,'

tal que

= 1,

(1)

donde 1 es la matriz identidad de /1 X 11, entonces se dice que la matriz A es no singular o invertible. Se afirma que la matriz B es la inversa de A. Por ejemplo, la matriz A = B= (

l - 1

-1) 2

(2 1) 1

1

'

es no singular o invertible ya que la matriz

'

es su inversa. Para comprobar esto, observe que

AB

BA

y

=G = (

l -1

~)( _~

-1) (1o 2

=

.

~) =

-~)G ~) = Gº)l

1 ' ' i:

=

. l.

A diferencia del sistema de los números reales, donde cada número a diferente de cero tiene un inverso multiplicativo, no toda matriz A de n X n diferente de cero tiene una inversa.

Por ejemplo, si A =

AB =

h12 (~ o1) yB = (b11 b ) , entonces b21 22

G •'

2.6 Inversa de una matriz

,· 89

+

La inspección de este resultado muestra que es posible obtener la matriz identidad 1 de 2 X 2, puesto que no hay, forma de seleccionar b 11 , b 12 , b21 y b22 para obtener 1 como el elemento presente en el segundo renglón y la segunda columna. Hemos dembstrado que la matriz A =

Importante.

]

l..____~

(~ ~)no tiene inversa.

Una matriz den X n que iio tiene inversa se denomina matriz singular. Si A es no singular, su inversa se expresa como B = A - i . Observe que en la notación A - i el símbolo - 1 no es un exponente; en otras palabras, A_, no es un recíproco. Asimismo, si A es no singular, su inversa es única.

11 Propiedades El teorema siguiente relaciona algunas propiedades de la inversa de una matriz. ;

r

·:

TEOREMA' 2 ..J..7 '

!

;..\"

/·:·~r:

~ ' -

1

\¡ '

''

~

Propiedades de la inversa •

Sean A y B matrices no singulares. i) (A- 1) -

1

=A

ii) (AB) - = B - 1A ~ 1 . 1

iii) (AT) - 1 = (A-

f

1

Demostración de i) Esta parte del teorema establece que si A es no singular, entonces su inversa A' 1 también es no singular y su inversa es A . Para demostrar que A - 1 es no singular, debemos demostrar que puede encontrarse una matriz B tal que A - 1B = BA ~ 1 = l. Sin embargo, como suponemos que A es no singular, a partir de (1) sabemos que AA - 1 ·= A - 1A = 1 y, de manera equivalente, A - 1A = AA - 1 = l. La última ecuación matricial indica que la matriz requerida, la inversa de A_,, es B = A. Como consecuencia, (A - 1) - 1 =A. O El teorema 2.17 ii) se puede hacer extensivo a cualquier número finito de matrices no singulares: ' (A 1A 2

•••

Ak)- 1 = A¡ 1A -k1-

1 •••

A!',

esto es, la inversa de un producto de matrices no singulares es el producto de las inversas en sentido contrario. ' En el estudio que sigue vamos a considerar dos maneras diferentes de encontrar A - i para una matriz no singular A. El primer método utiliza determinantes, mientras que el segundo emplea las operaciones elementales de renglones estudiadas en la sección 2.2 ..

11 Método de la adjunta Recuerde que en la expresión (6) dada en la sección 2.4 mos-

tramos que el cofactor cij del elemento aij de una matriz A den X n es cij = (- lY + jMij, donde Mij es el menor de aij; esto es, el determinante de la submatriz (n - 1) X (n - 1) que se obtiene eliminando el i-ésimo renglón y laj-ésima columna de A. '

Matriz adjunta Sea A una matriz de n x n. La matriz que representa a la transpuesta de la matriz de cofactores conespondientes a los elementos de A:

e C21

C1 2 C22

~111

C112

e,} e dlll C211 d,,11

C1 2

-

C21 C22

C111 ) C,12

C211

~1111

se conoce como la adjunta de A, y se representa como adj A.

90

CAPÍTULO 2 Matrices

El teorema siguiente proporciona una fórmula breve de la inversa de una matriz no singular en términos de la ac;!junta de la matriz. Sin embargo, debido a los determinantes involucrados, este método es poco manejable para n ;:::: 4.

Cálculo de la inversa Sea A una matriz de n X n. Si el det A =/= O, entonces 1 A- 1 = ( --)adj A. detA

Demostración que

(2)

Para efectos de brevedad, demostramos el caso cuando n = .3. Observe ·

A(adj A)=

ª12

( ª" ª 21

ª 22

a 23 ª"

G31

G32

a 33

)C"

o

(T

C 21

C1 2

C 22

C13

C 23

e,,)

''

C 33

1:,,

C 32

1

d~J

detA

o

(3)

' '

., "

puesto que det A = a, 1C11 + a12 C12 + a; 3C;3, para i = 1, 2, 3 son las expansiones por cofactores de det A a lo largo de los renglones primero, segundo y tercero , y I ·

ª11C21 + ª12C22 + a13C23

=O

ª11C31 + ª1 2C 32 + a13C33

=O

ª 2 1C11 + a 22 C1 2 '+ a 23 C13

=O

ª21C31 + ª22C32 + a23C33

= O·

G31C11 + G32C1 2 + G33C1 3

=o

a31C21 + a32C22 + a 33C 23

=O

1

en vista del teorema 2.16. Por lo tanto, (3) es lo mismo que

º) o o

A)(~

A(adj A)= (det

'

'

o

~

1

= (det A)I

o A(l/det A) adj A = l. De manera similar, es posible demostrar exactamente de igual O manera que ((l/det A) adj A)A =l. Así, por definición, A- 1 = (l/det A)adj A. Para alguna referencia futura, obser:-'emos en el caso de una matr,iz no singular de 2X2

ii:

'"

. ...

,:

A = ( ª11

ª21

que los cofactores son C 11 adjA= (C11 C 21

= -a21, C 21 = -a 12 y C 22 = a 11 . En este caso,

="' a 22 , C 12

C1 2J C22

=(

- a2 1)T

ª 22 -a1 2

-a

( -

11

a 22

- a 21

-

1

D D

3 4 5 6

-5

o

2R 1 +R 2 5R 1 + R3

o o 1 o o 1 2 o

1

2 2

1

2 3 5 1 l 5 217 25 o

G o G o Go o Go o Go

==>

iR2 jR,

==>

- R2 + R3

==>

1 1

22 33 17 1

TO 2 ! !

2 2

==> - ~R3 +R1 -~R 3 + R 2

1

1

1

1

5

1

D D o D -3)

o o 1

3 3

3 1 - 3

30 6

2 2

1

3 3

3

- 10

l 5

o- 2 o -8

l

==>

1

3

5 1

l

30R3

o

5 1

5

5

17

-1~

- 10

Puesto que 1 aparece a la izquierda de la línea vertical, podemos concluir que la matriz ubicada a la derecha de la línea es A - 1=

(

-2

5

-~

17 -10

-3)

-1~

o

. .

Si la reducción de renglones de (All) nos lleva a la situación operaciones

(A ll)

==>

(B IC) ,

con renglones

donde la matriz B contiene un renglón de ceros, entonces A es necesariamente singular. ·ya que reducir más B siempre nos da otra matriz con un renglón de ceros, nunca podremos transformar A en l.

Ejemplo 5 Lo mot

K¡

(2 + \Í2}

G}

A= (- 21 -~}

\12}

(_ ~)

= (_~).

K1

K3 =

= (2 -

K3 =

2

A=(~ ~} K2 =

K¡

(

~~) K1

=

En los .problemas 7 a 22, calcule los valores y vectores propiq:s de la matriz dada. r:

7. (-1-7 ~) 9.

11. '

(~}

ª·

(~! -~)

10.

(=~ ~)

14.

, _ G =~ D 17.

·(-~

o

19.

~)

_:

o

-2

(~ ~ -~) 1

-1

2.8 El problema del valor propio

16.

lB.

20.

';

e ~)

12. ( 11

~:)

13. ( 40

G.~) -~)

G l~) G~ D G~ D

1

11:

:i'

'I

G -~ D 107· I•

.l'!1

22.

G~ D

un 1. Las matrices estocásticas son de gran importancia en la teoría de la probabilidad. a)

Compruebe que

A=(~

1

Los valores propios de A- son los recíprocos de los valores propios de una matriz A no singular. Además, los vectores propios de A y A- 1 son iguales. En los problemas 23 y 24, compruebe estos hechos para la matriz dada.

23. A =

G ~)

24. A =

A=(~

~)

26

(41 -~2 -511)

A= (

-q

o s p s 1, o s q s 1, l

A=(!

y

4 1

3

1

3

son matrices estocásticas.

Una matriz A es singular si, y sólo si A =O es un eigenvalor. En los problemas 25 y 26, compruebe que una matriz A dada es singular. Calcule la ecuación característica de A y demuestre que A = O es un eigenvalor.

25.

- p),

b)

~ =: D

Tareas para el laboratorio de cómputo

Utilice un programa de cómputo para álgebra lineal o un sistema asistido por computadora para encontrar los valores y vectores propios de la matriz A de 3 X 3 de la parte a). Forme al menos seis matrices estocásticas más de diferentes tamaños, 2 X 2, 3 X 3, 4 X 4 y 5 X 5. Calcule los valores y vectores propios de cada matriz. Si encuentra un patrón, formule una conjetura y después trate de demostrarla.

e) En la matriz A de 3 X 3 de la parte a), i.¡tilice un programa de cómputo para calcular A 2 , A 3 , A 4 , ... Repita el proceso en las matrices que usted formó en b). Si encuentra un patrón, formule una conjetura y después trate de demostrarla,

27. Se dice que una matriz cuadrada A es una matriz estocástica si ninguno de sus elementos es negativo y la suma de los elementos de cada renglón (o la suma de los elementps de cada columna) da como resultado máximo

)

Potencias de las matrices

11 2.9

Introducción En algunas ocasiones es importante poder calcular de manera rápida una potencia de A"', siendo m un entero positivo, de una matriz A den X n: A"'= AAA··· A. ~ 111

número de factores

, Desde luego, el cálculo de A"' podría hacerse con un programa de cómputo apropiado o escribiendo un programa corto; sin embargo, aún así, usted debe estar consciente de que no resulta eficiente utilizar la fuerza bruta para realizar multiplicaciones sucesivas: A 2 = AA , A 3 = AA 2, A4 = AAAA = A(A 3 ) = A 2A 2 , y así por el estilo.

Cálculo de A"' Vamos a esquematizar un método alterno para efectuar el cálculo de A"' mediante el teorema siguiente, el cual se conoce como teorema Cayley-Hamilton.

li

,;.~ '.

. .•

. ... ''·'

~!

' •

!! •

' ', ; - '

'

, ' •' '

,. TEOREMA>2 .. 2-6 .:: · .... ,\ 2-

;•'

-;#,

'

Teorema Cayley-Hamilton

>

Una matriz A den x n satisface su propia ecuación característica.

, Si (- l)"A" + c11 _ 1A" - 1 + · · · + c 1A + c 0 =O es la ecuación característica de A, entonces el teore11rn 2-26 establece que, (- l)"A"

108

, CAPÍTULO 2 Matrices

+c

A" -

11 _ ' 1

1

+ · · · + c 1A + c01 =

O.

(1)

'

•

Matri ces de ord en 2

La ecuación característica de la matriz de 2 X 2 A =

(-2 -1

es A2 - A - 2 = O, y los valores propios de A son A1 = - 1 y A2 = 2. El teorema 2.26 implica que A 2 - A .- 21 = O, o, despejando el valor más elevado de A, A 2 = 21 +A .

(2)

Ahora, si multiplicamos (2) por A, obtenemos A 3 = 2A + A 2 , y si utilizamos otra vez (2) para eliminar A 2 en el lado derecho de esta nueva ecuación, entonces A 3 = 2A + A 2 = 2A + (21 + A) = 21 + 3A.

1:

Al continuar de esta manera--en otras palabras, multiplicando el último resultado por A y utilizando (2) para eliminar A2- obtenemos la sucesión de potencias de A. expresada· solamente en términos de la matriz identidad 1 y A:

l'

A4 = 61 + 5A A 5 = 10I+llA

(3)

6

A = 221+21A y así sucesivamente (compruébelo) . Así, por ejemplo,

º) + 1

2 - 1

21( -

4)

84). 85

= ( - 20

3

- 21

(4)

Ahora podemos determinar ck sin efectuar en realidad las multiplicaciones y sustituciones sucesivas como hicimos en (3). En primera instancia, observe que debido a que la

.

. (-2 4)

ecuación carac;terística de la matriz A =

'

- 1

3

puede escribirse como /\ 2 = 2 + A,

'

resultados similares a (3) deben ser válidos para los valores propios A1 = - 1 y A2 = 2, estoes,A 3 = 2 + 3A,A 4 = 6 + 5A , A5 = 10 + 11A , A6 = 22 + 21A , . . . . Se puede deducir entonces que las ecuaciones

(5) son válidas para el mismo par de constantes c0 y c 1. Podemos determinar la.s constantes c0 y c 1 fijando simplemente los valores A = -1 y A = 2 en la última ecuación de (5) y resolviendo el .sistema resultante ele dos ecuaciones con dos incógnitas. La solución del sistema (-1) 111 =Ca + C¡(-1 ) 2111 = Ca+ C¡(2)

c

c:

es 0 = 1[2 111 + 2(-1)111 ], = h2 111 - (-1 )111 ]. Ahora, sustituyel)do estos coeficientes en la primera ecuación de (5), sumando las dos matrices y simplificando cada elemento, obtenemos ' 111 111 111 111 1[ - 2 + 4( - 1) ) H 2 - (-1) A111 = 3 (6) ( -H2111 - (-1) 111 J H 2111 + 2 - ( - i )11/ J . .

J)

;' I

Usted deberá comprobar el.resultado ele (4) estableciendo el valor m = 6 en (6) . Observe que (5) y (6) son válidas para m ::::: O ya que Aº= 1 y A 1 =A . • Matrices de ord en n Si la matriz A fuera de 3 X 3, entonc¡;:s la ecuación característica (1) sería una.ecuación polinomial cúbica y la analogía de (2) nos permitiría expresar A 3 en términos de 1, A y A 2 . Podemos proceder como se acaba de ilustrar y escribir cualquier potencia de A 111 en términos de 1, A y A 2 . En general, para una matriz A de n X n, podemos escribir

·¡ ,

·.:=

A 111 = c01 + c 1A + c 2A 2 + ·· ·· + c11 _ 1A 11 - 1, donde cada uno de los coeficientes ck> k = O, 1, . .. , n - 1, depende del valor de m.

2. 9 Potencias de las matrices

'. '

; 1:

·1 ,. ' '

Ejemplo 1 Am para una matriz de 3 Calcule A"' para A= ( -

X 3

~ ~ -~).

o

-1

Solución La ecuación característica de A es -A 3 + 2A 2 + A - 2 = O o A3 = - 2 + A + 2A 2, y los valores propios son A1 = - 1, A2 = l y A3 = 2. A partir del análisis anterior, sabemos que los mismos coeficientes son válidos en las dos ,ecuaciones siguientes: (7)

A su vez, asignai· A. = - 1, A = 1, A = 2 en la última ecuación genera tres ecuaciones con tres incógnitas: (-1)111 = Co -

l

2 = c0 111

= Co

+

(8)

+ 2c; + 4c2 .

Resolver (8) nos da Co = C¡

=

t [3 + (-1)

111

2"'],

-

2[1 - (-1) 111 ],

Cz = i[-3

+ ( - 1) + 2 111

111

+ 1].

Después de calcular A2 , sustituimos estos coeficientes en la primera ecuación de (7) y simplificamos los elementos de la matriz resultante. El resultado es

·H9 -

111

1

111

111

2 + - (-1)"'J . ![2 - (-1) ] A111 = l - 2111 • 2111 111 1 111 H3 - 2 + - (-1)'"] ![2 - (-1) 111 ] Por ejemplo, con m = 10,

(

A

º=

1

(-~~~~ l~~~ -341

341

1

H-9 + 2 + + 7(-1.) ] ) · 2"' - 1 . H-3 + 2111 + 1 + 7(-1) 111 ] 111

111

341) 1023 . 342

o

• Cálculo de la inversa Suponga que A es una matriz no singular. El que A satisfaga su propia ecuación característica puede utilizarse para calcular A - J como una combinación lineal de potencias de A. Por ejemplo, acabamos de ver que la matriz no singular A =

(-2 4) -1

3

satisface A 2

'

,-

'

A - 21 = O. Despejando la matriz identidad obtenemos

1 = ~A 2 - A. Multiplicando el último resultado por A - 1, encontramos que A- 1 =!A - ~ l. En otras palabras,

-2 (

4)-J

-1 3

=

l(-2

2\-1

4)- 1(1 3

2\o

º) 1

=

(-~ -2

2). 1

(9)

Comentarios Existen algunos problemas evidentes al usar el método recién mostrado para calcular A111 • Si, por ejemplo, la matriz del ejemplo 1 tuviera un eigenvalor de multiplicid~d dos, entonces tendríamos, en lugar de tres ecuaciones y tres incógnitas como en (8), solamente dos ecuaciones con tres Incógnitas. ¿Cómo calculamos los coeficientes únicos c0 , c 1 y c2 ? Consulte los problemas 11 a 14 de los ejercicios 2.9. También, en el caso de matrices de tamaños grandes que tienen valores propios diferentes, el cálculo de c0 , c 1, c2 , ••• , e,,_ 1 es muy tedioso de hacer a mano.

110

CAPÍTULO 2 Matrices

En los problemas 1 y 2, demuestre que la matriz dada satisface sd propia ecuación característica. a)

c)

A= G~)

b)

A=G -i) -d

A= 1:

En los problemas 3 a 1O, utilice el método presentado en esta sección para calcular A"'. Aplique el resultado así obtenido y encuentre el vaior de la potencia indicada de la matriz A. 3.

A=

5. A=

(-1

3) 2 4 ·m , = 3

(84 5o} , m = 5

4. A= ( 6.

A=

5 - 3) · m = 4 -3 5 ,

(-1o - 3}m, = 2

6

1::

14. En su obra Liber Abbaci, publicada en 1202, Leonai:do

Fibonacci de Pisa realizó especulaciones acerca de la 'reproducción de los conejos: '

¿Cuántos pares de conejos se tendrán. en un año si, comenzando con. un solo par, cada mes un par engendrd un. nuevo par que a su vez puede procrear a partir segundo mes en adelante ? :·

tez

,La respuesta a esta pregunta está contenida en una set cuencia conocida como serie de Fibonacci . Después de cada mes 11 = O 1·2 3 4 Pares adultos 1 2 3 5

5

Pares bebés , O 1 1 2 3

5

Inicio

6

8 9 10 11 12

7

8 13 21 8 13

Pares totales 1 2 3 5 8 13 21 34

1

10. A

=

(

-

o1 -~ 2

-!

º)

O ;m - 2

=

8

'

En los problemas 11 a 12, demuestre que la matriz dada tiene un eigenvalor ,.\ 1 de multiplicidad dos. Corno consecuencia, las ecuaciones ,.\"' = c0 + c 1,.\ (Problema 11) y ,.\"' = c0 + c 1,.\ + c2,.\ 2 (Problema 12) no p1:oporcionan las suficientes ecuaciones independientes como para formar un sistema y determinar los coeficientes c;. Utilice la derivada (con respecto a,.\) para cada una de estas ecuaciones evaluada eri ,.\ 1 como la ecuación extra necesaria p'ara formar un sistema. Calcule A"' y utilice este fesultado para calcular la potencia indicada de la matriz A. 11.

A=(_~~} m~6

12.

A = (-~

2

l'

-3 -6

Cada uno de los tres renglones que describen a los pares de conejos es una serie de Fibonacci y puede definirse ' recursivamente empleando una ecuación diferenciai' de segundo orden x,, = x,, _ 2 + x,, _ 1> n = 2, 3, .. .., donde x 0 y x 1 dependen del renglón. Por ejemplo, para 'et primer renglón que designa pares adultos de co1~ejo~, Xo = ] , X¡ = l. d' a) Si dejamos que y,, _ 1 = x,, _ 2 , entonces y,, = x,, _ 1; y . la ecuación de diferencia puede escribirse cómo un: sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden '

x,, = x,, -

1

+ y,, -

1 ! !!'

y,, = x,, - 1·

:!'

EscribaestesistemaenlaforrnamatricialX,, = AX,, ~ 1, n. 2, 3, ...

=

-1)

b) Demuestre que

-2 ; m = S

o

13 . Demuestre que ,.\ = O es un eigenvalor de cada matriz.

En este caso, el coeficiente c0 de la ecuación característica (1) es O. Calcule A"' en cada caso. En las partes a) y b), explique por qué no es necesario despejar en ningún sistema los coeficientes c; para determinar A 111 •

A"' =

1 ' ((1 + Vs)'" +I - (l - Vs)'" +I 2 +IVs 2(1 + Vs) 2(1 - Vs) 111

111

111

-

o

2(1 + Vs) 111

(1 + Vs)(l

Vs) Vs)"' - (1 - Vs)(l + Vs) _ ·

2.9 Potendas de las matrices

2(1

111

7

) 111 ,

111; 11·

' ¡• •

·'

,

!

Vs)

donde A1 = (1 y A2 = valores propios distintos de A.

! (1 + Vs) son los

cluidas a continuación son nilpotentes? Si alguna es nilpotente, ¿cuál es su índice? b)

c) Utilice el resultado obtenido en la parte a) para demostrar que X,, = A" - 1X 1• Aplique el último resultado y el de la parte b) para calcular el número de pares adultos, de pares bebés y de pares totales de conejos después del doceavo mes.

G~D

En los problemas 15 y 16, utilice el procedimiento que se ilus· · • tra en (9) para calcular A ~ 1•

15.

A= G-:)

16.

A=(-~ ~ -~) o

- 1

17. Se dice que una matriz A de n X n diferente de cero es nilpotente de índice m si mes el entero positivo mas pequeño para el que A111 = O. ¿Qué matrices de las in-.

11 2.10

(-2.2 -22)

j)

(~ r ~ ~)

18. a) Explique por qué cualquier matriz nilpotente A es singular. [Suge rencia : Revise la sección 2.5.] b) Demuestre que todos los valores propios de una matriz nilpotente A son cero. [Sug erencia: Utilice la expresión Ü) presentada en la sección 2.8.]

)

Matrices ortogonales

Introducción En esta sección vamós a utilizar algunas propiedades elementales de los números complejos. Suponga que z = a + ib denota un número complejo, donde a y b son números reales y el símbolo i está definido por i2 = - l. Si = a - ib es el conjugado de z, entonces la igualdad z = o a + ib = a. - ib implica que b = O. En otras palabras, si z = entot1ces z es un número real. Además, se comprueba fáciln1ente a2 que el producto de un númei·o complejo z y su conjugado es un número real: ú 2 2 2 + b • La magnitud de z se define como el número real lzl = + b . La magnitud de z puede expresarse en términos del product~ ú: lzl = a 2 + b2 = lú l, o lzl2 = z z. En la sección 9 .1 puede encontrarse un análisis detallado de los números complejos. Existen muchos tipos de matrices especiales, pero son dos los que se presentan. con mucha frecuencia en las aplicaciones: matrices simétricas (página 57) y matrices ortogonales (página 98). En esta sección vamos a estudiar ambos tipos con más detalle.

z,

z

z

z

Y

Matrices simétricas simétrica. ·

Ya

=

Comencemos recordando la definición formal de una matriz

Matriz simétrica Una matriz A den X n es simétrica si A = A7, donde A 7 es la transpuesta de A. La demostración del teorema siguiente está en función de· las propiedades de los números complejos estudiadas en el repaso incluido al comienzo de esta sección .

Valores propios reales Sea A una matriz simétrica con elementos reales. Por lo tanto, los valores propios de A son reales.

Demostratión Si K es un vector propio correspondiente a un valor propio A de A, entonces AK = AK. El conjugado de la última ecuación es

· AK=AK.

112

CAPÍTULO 2 Matrices

(1)

puesto que los elementos de A son reales, tenemos A = A , y entonces (1) es (2)

AK = A K. 1

Enseguida calculamos la transpuesta de (2), aprovechamos que A es simétrica y multiplicamos la ecµación resultante en el ~do derec~ ~or K:

KTAK

= A K 7K.

(3)

\

Sin embargo, cuando multiplicamos el miembro derecho de AK 'mos

=

AK por

K7 , obtene(4)

Restar (4) de (3) nos da (5)

Ahora i(T es una matriz de 1 X n y K es una matriz de n X 1, por lo que el producto i(TK es la matriz KTK = (lkil 2 + lk212 + · · · + lki) de 1 X l. Ya que por definición, K i= O, la úlüpa expresiór'.___es una cantidad positiva. Por lo tanto, a partir de (5) podemos O concluir que A - A = O o A =A. Esto implica que A es un número real.

En R" el producto interno o producto punto de dos vectores x

=

(x 1, x2 ,

• •• ,

x,,) y

y= (y 1, Yi, . . . , y,,) está dado por

I " 1'

X·

y= x 1 y 1

+ x 2 y 2 + · · · + x,, y,,.

(6)

, (X¡)

7y

Ahora, si X y Y son vectores columna den. X 1, X =

Y=

( ~;),entonces y,,

x,, la matriz análoga de (6) es X' y= xTy = (x ¡y¡

+ X2Y2 + ' ' ' + x,,y,).*

Desde luego, para los vectores columna dados , YTX columna X es~á dada por

llXll =

~

=

vXTX =

=

(7)

X 7Y. La norma de un vector

YxT + x~ + · · · + x~.

Vectores propios ortogonales Sea A una matriz simétrica de n. X n.. Entonces los vectores propios correspondien' tes a los distintos (diferentes) valores propios son ortogonales.

Demostració'n Sean A1 y A2 dos valores propios distintos de A correspondientes a los vectores propios K 1 y K 2 , respectivamente. Deseamos demosnar que K 1 • K 2 =

KrK 2 =O. Ahora, por definición, debemos tener (8)

*Puesto que una matri z de l X l es simplemente un escalar, de aquí en adelante eliminaremos los paréntesis y escribiremos = x 1 y 1 + x 2 Yi + · · · + x,. y ,,. '

xry

2.10 Matrices ortogonales

¡;. .. 1:

113

Calculamos la transpuesta de la primera de estas ecuaciones, utilizamos Ar = A, y después multiplicamos el resultado de la de1:echa por K 2 :

(9) La segunda ecuación incluida en (8) está, multiplicada en su primer miembro por K{: (10)

Restar (1 O) de (9) nos da

o

Puesto que A. 1 =/= A. 2 , se puede deducir que K{K2 = O.

Ejemplo 1 Vectores propios ortogonales Los valores propios de una matriz simétrica A = ( -

'

~

-1 -1

o

D A,~ O.A, ~ son

1

y A3 = -2. A su vez, los vectores propios correspondientes son

Puesto que todos los valores propios son diferentes, tenemos

KiK,

~ (1 O 1) ( - ; ) ~ 1 ·

KiK,

~ (1 o

Kf K,

~ (-1 1

1) ( _

(-1)

+ O· 1 + 1 · 1 = O

D~ D~ (-

1) (_

1 . 1 +o. 2

+ 1 . (-1)

1) . 1 + 1 . 2

~o

+ 1 -( -

1)

= o.

o

En el ejemplo 3 de la sección 2.8 pudimos observar que probablemente no se puedan encontrar n vectores propios linealmente independientes para una matriz A de n X n cuando algunos de los valores propios están repetidos. Sin embargo, una matriz simétrica es la excepción. Es demostrable que un conjunto den vectores propios linealmente independientes puede calcularse siempre para una matri:z. simétrica A de n X n aun cuando existan algunos valores propios repetidos : (Consulte el ejemplo 4 de la sección 2.8.) A partir de la expresión (2) incluida eh la sección 2.6, podemos deducir que un conjunto de vectores x1, x2 , • • • , x,, en R" es ortonormal si cada par de vectores diferentes es oúogonal y cada vector presente' en el conjunto es un vector unitario. En términos del producto interno de vectores; el conjunto es ortononnal si X¡ºXj=Ü,

i=/=j,

i,j=l,2, .. ·.,n

La última condición establece simplemente que

m Matriz ortogonal

y

X¡ºX¡=l,

llx;ll

=

i = l,2, ...

,/1..

~ = 1, i = 1, 2, ... , n..

· El concepto de un conjunto ortonormal de vectores juega un papel importante en la consideración del siguiente tipo de matriz.

114

CAPÍ'TULO 2 Matrices

Matriz ortogonal Una matriz A no singular den X n es ortogonal si A -

I

=

AT.

En otras palab ras, A es ortogo nal si ATA = l.

Ejemplo 2 Matrices ortogona les a) La matriz identidad 1 den X n es una matriz ortogonal. Por ejemplo, en el caso de la

identidad de 3 x 3

se puede observar fác ilmente que ¡T = 1 y ¡T 1 = 11 = l.

1

1: .

!•

b) La matriz

!'

-¡ !)

A~ Cl

es ortogonal. Para poder apreciar lo anterior, solamente necesitamos comprobar que ATA= 1:

o

1 ••

I •

"

:i'¡,

Criterio para la existencia de una matriz ortogonal Una matriz A de n X n es ortogonal si , y sólo si, sus columnas X 1, X2 , ... , X,. forman un conjunto ortonormal.

Demostración parcial Supongamos que A es una matriz ortogonal de n X n con columnas x,, X2, .. . , X,.. De aquí que los renglones de AT sean x¡, X[, ... , x,;. Sin embargo, puesto que A es ortogonal, ATA = I; esto es,

ATA =

ex,

xr:x,

~f X2 ~rx2

x:i·x , x;,x2

x¡x,) (

o

1

:;: : ~ !

1

'!'

.!'

!)

o

Se puede deducir, a.partir de la definición de igualdad de matrices, que

XfX1=

O,

i =/= ),

i , j = 1, 2, ... , n

y

XfX; =

1,

i = 1, 2, .. . , n.

Esto significa que las columnas de la matriz ortogonal forman un conjunto ortonormal de n vectores. O Si escribimos las columnas de la matriz del inciso b) del ejemplo 2 como

2.10 Matrices ortogonales

entonces los vectores son ortogonales :

l -l)(-!) xrx, ~ l -ll(!) xrx, ~ H 1 {!) xrx, ~ (j

= - -2 +. -4 - -2 = o

rl

¡

9

9

9

--2 + -2 - -4 =o 9

9

9

4

2

2

9

9

9

-- + - + -

=o

y son vectores unitari os:

-i(!) ~ i * ~ ~ if ¡)~ ~ ~ i ~ l ll(I) ~ ~ i *~ +

X2TX 2 -- ( -

l3

l

+

+

+

+

+

1

Construcción de una .matriz ortogonal Si una matriz simétrica A den X n tienen valores propios di stintos A1> A2 , ... , A11 , a partir del teorema 2.28 se puede deducir que los vectores propios K 1, K2, ... , K11 son mutuamente ortogonales. Multiplicando cada vector por el recíproco de su normal, obtenemos un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales, esto es, un conjunto ortonormal. Por lo tanto, podemos construir una matriz ortogonal elaborando una matriz P den X n cuyas columnas sean es'os vectores propios normalizados de A.

Ejemplo 3

Construcción de una matriz ortogonal

En el ejemplo 1 se c;;omprobó que los vectores propios

de la matriz simétrica A dada son ortogonales. Ahora, las normas de los vectores propios son

Por ende, un conjunto ortonormal de vectores es

116

CAPÍTULO 2 Matrices

1

1

1

V2 o

v3

V6

1

2

v3

V6

l

l

l

Vi

v3

V6

Se utilizan estos vectores como columnas para obtener la matriz ortogonal

1

l

1

V2

v'.3

V6

l

2

o

P=

!;

V3

V6

1

1

l

V2

V3

V6

1':

Usted debe comprobar que pT = p - 1•

o

En la sección siguiente se utilizará la técnica de construcción de una matriz ortogonal a partir de l_os vectores propios de una matriz simétrica. No malinterprete t:;l teorema 2.28. Siempre es posible calcular n vectores propios linealmente independientes para una matriz simétrica real A de n X n.' Sin embargo, el teorema no establece que todos los vectores propios sean mutuamente ortogonales. El conjunto de vectores propios corre~pondientes a los distintos valores propios son ortogonales; sin embargo, los diferentes vectores propios correspondientes a un eigenvalor repetido pueden no ser ortogonales. Considere la matriz simétrica del ejemplo siguiente.

Ejemplo 4 Utilizac'ión del proceso de Gram-Schmidt En la matriz simétrica

1 •

'

4 -8

-4)

- 1

-8

- 1

se encontró que los valores propios son,\ 1 = ,\ 2 = -9 y ,\ 3 = 9. Procediendo como en la sección 2.8, para,\ 1 = ,\ 2 = - 9, encontramos que

(A +

' ( 16 9110) = 4

4

- 4 -1

º)

-4 o -1 l O

(o o -io oº) . 1

operaciones

'

~ con renglones

1

O

4

o oo

A partir de la última matriz observamos que k 1 = -~k2 + ~k3 . Los parámetros k 2 = l, k 3 = l seguidos de k2 = -4, k 3 = O nos dan, a su vez, los distintos vectores propios

Ahora, para ,\ 1 = 9,

(A - 9110)

indio. quo K;

~

.

·, '

.,·

=

(

- 2 4

4

-4

-17

-4

_'._ 1

- 1 - 17

operaciones ~ con renglones

( _:) " un tmoo· 'octm prnpio. "i

;·

Observe que, de acuerdo con el teorema 2.28, el vector K 3 es ortogonal con respecto a K 1 y K 2 ; sin embargo K 1 y K 2 , vectores propios correspondientes al valor propio repetido,\ 1 = .:__ 9, no son ortogonales ya que K 1 • K 2 = -4 O. '

*

2.10 ' Matrices ortogonales

'u7

Utilizamos el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt (consulte la página 46) para transformar el conjunto {K 1, K2 } en un conjunto ortogonal. Sea V 1 = K 1 y, por lo tanto,

El conjunto {V 1, V 2 } es un conjunto ortogonal de vectores (compruébelo). Además , el conjunto {V 1, V2 , K 3 } es un conjunto ortogonal de vectores propios. Utilizando las normales llV ill = \/2, llV 211~ 3 y llK 3 ll = 3 \/2, obtenemos un conjunto de vectores ortonormales l

,O

3 2 - 3 2 3

1

V2

4

-

'

1

v0.

3Vl 1 3Vl ' 1

3Vl

por lo que la matriz

o P=

1

V2 l

V2

4

3 2 -3 2 3

3Vl 1 3Vl 1 3Vl

o

es ortogonal.

Comentarios Para una matriz simétrica real de n X n con valores propios repetidos, siempre es posible calcular, más que construir, un conjunto den vectores propios mutuamente ortogonales. En , otras palabras, el proceso de Gram-Schmidt no necesariamente tiene que utilizarse. Consulte el problema 23 dado en la sección de ejercicios 2.10.

En los problemas 1 a 4, a) comprnebe que los vectores columna indicados son vectores propios de la matriz simétrica dada, b) identifique los valores propios correspondientes y c) compruebe que los vectores columna son ortogonales.

~);

-8

V2 2

3

6

V3

\/6

o

CAPÍTLJLO 2 Matrices

V6

V2 2

118

V3 3

6

V3

\/6

3

3

En los problemas 5 a 10, determine si la matriz dada es ortogonal. '

6.

B.

G~ G~

J)

n

o !? o 10.

_.' 1o1) 17

~ ~ ~

(

En los problemas 21 y 22, a) compruebe que los vectores columna indicados son vectores propios de la matriz simétri-I•: ca dada. b) Identifique los valores propios correspondiente~ ~· e) Proceda como en el ejemplo 4 y utilice el proceso de Gram,. Schmidt para construir una matriz ortogonal P a partir de lo~ . ' ' vectores- propios.

'o

· o H .o

8

17

En los problemas 11 a 18, proceda como en el ejemplo 3 para construir una matriz ortogonal a de los vectores propios de la matriz simétrica dada. (Las respuestas no son únicas .) 11.

13.

15.

17.

1 (9 1 (3

~) ~)

(~ ~

12.

14.

D

G ~)

1 •

!

' (1 ~)

G D

n:D u~~ 16.

23. En el ejemplo' 4, utilice la ecuación k 1 = -~k2 + ~k 3 y ,· seleccione dos diferentes conjuntos de valores para k2::: y k3 en tal forma que los vectores propios K 1 y K 2 searu:: 01:togonales.

l

-2) 10

18.

24. Construya una matriz ortogonal a partir de los vectores ' · propios de

-7

En los problemas 19 y 20, utilice el teorema 2.29 para calcular los valores de a y b de tal forma que la matriz dada sea ortogonal. 19.

G :)

20 . (l/ Vsa5

b

l/Vs

)

25. Demuestre que si A y B son matrices ortogonales de n X n, entonces AB es ortogonal. 1

1~2_.1_1_

_A_p_r_o_x_im_a_c_i_ó_n_d_e_v_a_Lo_r_e_s~p_r_o_pi_o_s_ _ _~

f

11 Introducción

Recuerde que \Jªra calcular los valores propios de una matriz A debemos encontrar las raíces de la ecuación polinomial p(A) = det(A - Al) = O. Si A es una matriz de tamaño grande, los cálculos para obtener esta ecuación característica podrían volverse una pesadilla. Además, aunque pudiésemos calcular la ecuación característica exacta, es probable que tuviéramos que utilizar un procedimiento numÚico para aproximar sus raíces. Existen procedimientos numéricos alternos para aproximar valores propios y los correspondientes vectores propios. El procedimiento que consideraremos en esta sección tiene que ver con matrices que poseen un valor propio dominante.

"

;::

11 Una defin ición

Un valor propio dominante de una matriz cuadr'ada A es uno cuyo valor absoluto es mayor que el vakir absoluto de cada uno de los valores propios re~tantes. En la definición siguiente, enunciamos de modo formal este último enunciado.

2.11 Aproximación de valores propios

119 ,,::

.r

Valor propio dominante Hagamos que A1, A2, .•. , Ak> ... , A11 expresen los valores propios de una 1natriz A de n x n. Se dice que el valor propio Ak es el valor propio dominante de A si pero i =/= k. Se llama vector propio dominante de A a un valor propio c01Tespondiente a Ak.

En el ejemplo 2 de la sección 2.8, observamos que los valores propios de la matriz

A=U

2

-1 -2

son A1 '= O, A2 = -4 y A3 = 3. Puesto que 1-41 > Oy1 - 41>3, podemos observar que A: 2 = -4 es el valor propiu dominante de A.

Ejemplo 1 Matrices sin ningún valor propio dominante a) La matriz A = (

2

o'-

º) 2

tiene valores

p1~opios A

1

= - 2 y A2 = 2. Puesto que

IAil = IA 2 1 = 2, se puede deducir que no existe valor propio dominante. b) Los valores propios de la matriz

A=

(

º) o o 2 O

'

'o 5

~

sonA 1 = 2,A 2 = A3 =5.

De nuevo, la matriz no tiene valor propio dominante.

o

11 Método de las potencias Supongamos que la matriz A de n X n tiene un valor propio dominante A1• La técnica iterativa para aproximar un vector propio dominante correspondiente se debe al matemático alemán Richard Von Mises (1883-1953) y se llama método de las potencias. La idea básica de este procedimiento es calcular, en primera instancia, una aproximación a un vector propio dominante empleando la secuencia · X;=AX; _ 1,

i= 1,2,3,. . .,

(1)

donde X 0 representa un vector de n X 1 diferente de cero que es un primer intento o aproximación del vector propio buscado. Iterando (1) resulta X 1 = AX 0

X2 = AX 1 = A2X0 X111 = AX 111 _

1

(2)

= A111 X0 .

Bajo ciertas circunstancias, para valores grandes de m el vector definido como X111 =;o A 111 X 0 es una aproximación de un vector propio domin ante. Para conceptualizar mejor lo anterior, formulemos algunos supuestos adicionales acerca de la matriz A. Supongamos q'ue los valores propios de A son tales ,que

y que los n vectores propios correspondientes K 1, K 2, ... , K 11 son linealmente independientes. Debido a este último supuesto, K 1, K 2, .. • , K 11 puede servir como base para R"

120

CAPÍTULO 2 Matrices

(consulte la sección 1.6). Por lo tanto, para cualquier vector X 0 de n X 1 diferente de cero, se pueden calcular constantes e1, c2 , • • • , e,, tales que (3) También supondremos que X 0 se selecciona de tal forma que c 1 por A obtenemos

Puesto que AK 1 = A1K 1, AK2 = A2K 2 , sarse como

... ,

* O. Multiplicando (3)

AK,, = A,,K," la última línea puede expre-

(4) Multiplicamos (4) por A y resulta

A2X0

=

c 1A1AK 1 + c2 A. 2AK 2 + · · · + c11 A11 AK 11

=

c 1A~K 1 + c2AfK2

+··· + c,,A}Kw

Continuamos de .esta forma y encontramos que (5) =

(

A')! c 1K 1

(A)"'

(A)"' )

+ c2 A~ K2 + · · · + e,, ,\': K,, .

. ¡"

(6) 1 ·

Puesto que IA i1 > IA;I para i = 2, 3, . . . , n, tenemos IA/A i1 < l y, como consecuencia, lím111 _.00 (A /A 1)'" = O. Por lo tanto, confoi·me m ~ co, podemos observar a partir de (6) ' ' que (7) Puesto que un múltiplo constante diferente de cero de un vector propio es otro vector propio, podemos deducir a partir de (7) que para valores grandes de m, y tomando en cuenta todas las suposiciones formuladas, la matriz de n X 1 X111 = A111 X0 es una aproximación a un vector propio dominante asociado con el valor propio dominante A 1• La rapidez con la que este método converge depende del cociente A2/A 1: si \Ai/A 1\ es muy pequeño, entonces la convergencia es rápida, mientras que si \A 2/A i1 tiene un valor cercano a la unidad, la convergencia es lenta. Desde luego, esta información no es tan útil como parece debido a que, en general, no conocemos con antelación los valores propios. Falta, entonces, aproximar el valor propio dominante en sí mismo. Lo anterior se puede llevar a cabo mediante el producto interno. Si K es un vector propio de una matriz A correspondiente al valor p!'opio A., tenemos AK = AK, y así tenemos que AK · K = AK · K. Como AK · K y K · K son escalares, podemos despejar Aen esta última ecuación: AK·K A= _K_·_K-. De aquí que, si X 111 = A 111 X 0 es una aproximación de un vector propio dominante obtenido por iteración de (1), ent\:mces el valor propio A 1 dominante puede aproximarse por medio del cociente AX 111 ·X 111 Á1 = (8) ·x111 ·X111

' i

.,·

El cociente presentado en (8) es conocido como cociente de Rayleigh.

Ejemplo 2

Utilización de l método de las potencias

Utilice el método de las potencias para aproximar el valor propio dominante y el corres4 2 ). pondiente vector propio dominante de A = ( ' 3 -1

2.11 Aproximación de valores propios

121

r

Solución Puesto que no conocemos los valores propios y los vectores propios, podemos emplea1: X 0 = (

~). Los prime1Ú dos términos de la secuencia de vectores definida

por (1) son

-~)G) = (~) ~)(~) G!).

-

=

Los cinco vectores restantes obtenidos de esta forma se proporcionan en la tabla siguient~:

5

4

3

6

7

89 304) ( 44588 A estas alturas, aparente'm ente no hemos llegado a ningún .lado, ya que los elementos de los vectores de la tabla parecen estar aumentando sin límites. Sin embargo, tenga en cuenta que (7) indica que estamos obteniendo una constante múltiple de un vector. Si el método de las potencias converge entonces, por factorización del elemento con valor absoluto más grande de X 111 (para un valor de m gt'ande), obtendremos una aproximación razonable de un vector propio dominante. A partir de la tabla, X7

,=,

89

304(0.4~ 33 }

(9)

Parece que los vectores se aproximan a los múltiplos escalares de

( 0 ~ 5 ).

Ahora utilizamos (8) para aproximar el valor propio dominante A 1• Primero

AX 7 AX 7 • X7 X1. X1

4

=(3

2)( 1 ) - 1 0.4993

tenemo~

(4.9986)

= 2.5007

= ( 4:9986)T( '1 ) = 6.2472 2.5007

=

0.4993

(o: 4~93J(o.4~93) = 1.2493.

Por último, tenemos

A1 = ,

AX 7 • X7 X 7 • X7

6.2472 1.2493

= ---

=

5.0006.

El lector deberá utilizar el procedimiento de la sección 2.7 para verificar que los valores propio(s y 1o)s correspondientes vectores propios de A son A1 = 5, A2 1 ~=

.

-3 .

= -2, K 1 =

( 0~ 5 ) y o

Escalamiento Tal como acabamos de ver, la iteración de (!) a menudo resulta en vectores cuyos elementos se vuelven muy grandes en valor absoluto. Desde luego, los números grandes pueden causar problemas si se utiliza una computadora para realizar un gran número de iteraciones. El resultado en (9) sugiere que una forma de evitar esta dificultad es mediante el uso de un vector de escalamiento en cada etapa de la iteración. Para efectuar el escalamiento, simplemente multiplicamos el vector AX 0 por el recíproco del elemento que tenga el valor absoluto más gran'de. Es decir, multiplicamos AX 0

122

CAPÍTULO 2 Matrices

=

Xt ) ( x,,;

A esta matriz resultante, cuyos elementos son ahora menores o iguales a lé\ unidad, la llamamos X 1• Repetimos el proceso con el vector AX 1 para obtener el vector escalado X2 , y así sucesivamente.

Ejemplo 3 Vuelta al ejemplo 2 Repita las iteraciones del ejemplo 2 utilizando los vectores escalados.

Solución

(~

A partir de AX0 =

Xi

. (4'3

A partir de AX 1 =

2)(

-1

X2

_

~)G) = (~)definimos

~(i) (o.3~33).

=

=

1

0.3333

)

=

(4.6666) 2.6667 ' definimos

l (4.6666) 4.6666 2.6667

=

1::

( =

1

)

0.5714 .

Proseguimos de 'esta manera hasta construir la tabla siguiente:

5

4

3

6

7

1 •

!

En contraste cou la tabla del ejemplo 3, a partir de esta tabla re.sulta evidente que los vectores se aproximan a (

1

).

O

0.5

11 Método de la def la ción Después de que hemos encontrado el valor propio dominante A1 de una matriz A; podría aún ser necesario calcular los valores propios no dominantes . El procedimiento que se analizará a continuación es una modificación del método de pote1icias y se denomina método de deflación. Limitaremos el análisis al caso donde A es una matriz simétrica. Suponga que A1 y K 1 son, respectivamente, el valor propio dominante y 'un vector propio normalizado correspondiente* (es decir, llKdl = 1) de una matriz simétrica A. Además, suponga que los valores propios de A son tales que

Puede demostrarse que la matriz

,! '

'"" . ¡'

;

i'.'

(10)

tiene valores propios O, A2 , A3, ... , A,, y que los vectores propios de B son también los vectores propios de A. Observe que A2 es ahora el valor propio dominante de B. Aplicamos el método de las potencias a B para aproximar A2 y un vector propio correspondiente.

11.

.,·

Ejemplo 4 Empleo del método de deflación Utilice el método de deflación para

~proximar

A= (

~ -1

los valores propios de

2

-~). º·

*Consulte el ejemplo 3 de la sección 2. 1O.

2.11 Aproximación de valores propios

' :"

Solución Comenzamos utilizando el método de las potencias con escalamiento a fin de encontrar el valor propio dominante y un vector propio correspondiente de A. Sdocdoo.ndo X0

= (:), podemo< ob