Zidani Lukovi Svodovi i Kupole- Seminarski Rad

Грађевински одсек

СЕМИНАРСКИ РАД из предмета ЗИДАНЕ КОНСТРУКЦИЈЕ

ЗИДАНИ ЛУКОВИ, СВОДОВИ И КУПОЛЕ. ГРАЂЕЊЕ И ПРОРАЧУН

Кандидат

РАДОВАНОВИЋ АЛЕКСАНДАР

Предметни наставник: Проф. др РАДОМИР ФОЛИЋ

Асистент: Мр Милорад ТАТОМИРОВИЋ

Нови Сад, 2004

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

1. УВОД - ИСТОРИЈСКИ ОСВРТ НА ЗИДАНЕ ЛУКОВЕ, СВОДОВЕ И КУПОЛЕ Зидани лукови, сводови и куполе, односно засвођени конструкцијски елементи, налазе своју примену још у грађевинарству древних цивилизација. Примена засвођених елемената карактеристична је за крајеве источног Медитерана, као и остале крајеве сиромашне дрветом. Засведени облици датирају од пре најмање 6000 година, и своје корене имају у градитељству Месопотамије. Код човека се веома рано јавила потреба да са релативно малим комадима камена, пресведе, односно одозго затвори, веће зидне отворе. Већи елементи - камене греде биле су веома масивне , неповољне за транспорт, и мале отпорности на затезање. До решења свођења простора дошло се на два начина : испуштањем хоризонталних слојева, и распоредом лучних клинастих елемената, код којих лежишне спојнице иду ка одговарајућем центру кривине. Први начин познат и под именом "лажни лук" (сл. 1) , појавио се у Старом веку у Египту, Асирији, Персији, док други представља лук у правом смислу речи. Овако добијен лук за разлику од греде доминантно је изложен притиску, што материјал типа камена неупоредиво боље подноси. Историјска транзиција од греде ка луку, смањивањем уграђених елемената приказана је на сл. 2.

слика 1.

слика 2.

У старогрчкој архитектури лукови су се примењивали, али не у већем обиму, наиме Грци су више градили тзв. "лажне лукове". Интресантно је да се лук у грчкој архитектури, додуше у скривеном облику, налазио на откривеним киклопским зидовима у Аргосу. Тако ако би из овог зида извадили један камен, образовао би се носећи елемент веома близак луку (сл. 3). Претече Римљана, Етрурци, и пре Грка знали су за свођење , и изводили правилне луке на својим капијама и осталим грађевинама (сл. 4). Нови Сад 2004

1

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

Римљани су од Етрураца преузели форму лука , усавршили, и касније прославили својим грађевинама. Најчешће примењивани облик лука у римској архитектури био је полукружни (сл. 5). Форма лука имала је широку примену и у Средњем веку, у византијској, романској и готској архитектури.

слика 3.

слика 4.

слика 5.

Свод се као конструкцијски елеменат, развијао паралелно са луком. Примењиван је још у доба Рима, а највише у црквеном градитељству Византије, и касније у готској и романској архитектури (сл. 6).

слика 6.

Нови Сад 2004

2

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

Куполе су грађене још у Месопотамији пре око 6000 година, али су тек Римљани развили куполу у најчистијој форми. И Микенски Грци су у XIV веку пне., градили гробнице у виду купола, које су остале сачуване до дан данас (сл. 7). Најпознатија Римска купола је купола Пантеона (сл. 8), у самом Риму, подигнута за време цара Хадријана (128 - 118 пне.). Ова купола је постављена на кружну основу дебљине 6 m, која је формирана од осам масивних зиданих стубова. У византијској архитектури, свакако је најпознатија купола цркве Свете Софије у Цариграду грађене 532-537 (сл. 9).Ова купола сегментног типа са 40 ребара, распона 31 m, и испуном од специјалне опеке која је тако направљена да је пет пута лакша од уобичајене, грандиозно је дело светске архитектонске баштине. За време ренесансе и барока израђене су такође значајне зидане куполе, а најзначајнија за овај период је купола цркве Светог Петра у Ватикану.

слика 7.

слика 8.

слика 9.

Нови Сад 2004

3

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

2. ЗИДАНИ ЛУКОВИ 2.1 ОПШТЕ О ЗИДАНИМ ЛУКОВИМА Зидани лук је конструкцијски елемент закривљеног облика, са конвексном страном нагоре, а изводи се у погодном материјалу камену или опеци. Своју носивост, као и сви засвођени елементи црпи из распореда материјала у простору1. Поједини његови делови од којих је састављен, сложени су на такав начин , да су напрегнути само на притисак, што је у супротности са простом гредом која је једновремено напрегнута и на притисак и на затезање. Стабилност лукова базира се на деловању гравитационог оптерећења, које формира притисак на лежишним спојницама елемента за зидање. На спојницама се јавља трење , које доприноси отпорности на клизање и на губитак кохезије. Унутрашње силе створене деловањем гравитационог оптерећења делују као нека врста претходног напрезања.

2.2. ЕЛЕМЕНТИ ЛУКА Сваки лук има делове који имају и своје нарочите називе (сл. 10): 1. Отпорници су делови лука са обе његове стране између којих се своди лук. Примају притиске и потиске лука. 2. Интрадос је унутрашња површина лука. 3. Екстрадос је спољашња површина лука. 4. Отпорна линија је пресек између површине отпорника и интрадоса. 5. Отпорне тачке су две крајње тачке отпорне линије. 6. Чело или лице је спољашња и предња и задња страна лука. 7. Теме је највиша тачка интрадоса. 8. Темена линија спаја темена предњег и задњег лица лука. 9. Распон је хоризонтално растојање отпорника. 10. Стрела је вертикално растојање темена и отпорне тачке. 11. Јачина лука је вертикално растојање интрадоса и екстрадоса. 12. Дубина лука је растојање предњег и задњег лица мерено у правцу осовине лука, најчешће одговара и дебљини зида у коме се лук налази. 13. Осовина лука добија се спајањем центара лучних линија са оба лица. 14. Борац је први слој лука на отпорницима. 15. Завршац, или кључни камен је слој лука у темену. 16. Лежишне спојнице су простори испуњени малтером између суседних слојева лука. Орјентисане су у правцу центра кривине лука.

1

засвођени елементи се називају и елементи активне форме

Нови Сад 2004

4

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

17. Додирне спојнице су простори испуњени малтером између суседних елемената у једном слоју. 18. Слог елемента лука, је распоред елемената у два суседна узастопна слоја.

слика 10.

Нови Сад 2004

5

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

2.3. ОБЛИЦИ ЛУКОВА Облици лукова стварани су развијањем и усавршавањем конструкције лукова, почев од Рима даље кроз средњовековно градитељство. Они нису били само стилска одлика епохе у којој су настали, већ су стварани и из конструкцијских потреба. По облику лучне линије разликујемо углавном следеће врсте лукова(сл. 11, сл. 12, сл. 13): l 2

1. Полукружни луци имају стрелу једнаку полураспону f = . 2. Сегментни луци су такви код којих је стрела мања од полураспона f <

l 1 1 . Стрела је обично до распона. 2 6 10

3. Равни луци са стрелом једнаком нули и бесконачним полупречником 4. Шиљасти или преломљени луци, карактеристични за готски стил, па се називају још и готски, конструишу се из два центра. 5. Потковичасти (маварски) луци, карактеристични са маварску Шпанију, добијају се помоћу круга чији је центар изнад отпорне линије. 6. Тјудорови луци примењивани у енглеској позној готици. Лучна линија састоји се од две елипсасте линије које се секу. 7. Елипсасти луци су блиски елипси, али им је линија конструисана помоћу делова круга. 8. Елиптични луци имају линију праве елипсе. 9. Елипсасти луци у нагибу, или "лабудов врат", примењивани су као носачи степенишних кракова. 10. Извијени шиљасти луци "магарећа леђа", примењивани су у готици. Линија им је састављена из четири кружна дела. Поред наведених облика постоје и још неки мање значајни облици лука као што су: лук у облику детелине, звездасти лук, лепезасти лук и др.

Нови Сад 2004

6

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

слика 11.

Нови Сад 2004

7

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

слика 12.

слика 13.

2.4. ПРОРАЧУН ЗИДАНИХ ЛУКОВА Да би извршили прорачун који ће бити довољно тачан, и дати прихватљив прорачунски модел, уводимо претпоставке које ће нам ово омогућити. Тако за примену теорије пластичности претпостављамо следеће: -да се не појављује лом клизањем, а да сваку тенденцију ка клизању треба спречити довољно великим силама трења између елемената конструкције; -да зидана конструкција нема чврстоће на затезање, односно спојнице су суве или од малтера са занемарљиво малом чврстоћом, и -да зидана конструкција има велику чврстоћу на притисак, тако да су напрезања тако мала да не долази до дробљења малтера. Савремени концепт конструкцијске анализе заснива се на теорији граничне равнотеже, која се базира управо на теорији пластичности. Овај концепт је доминантан и у прорачуну зиданих засведених конструкција. Зидани лукови се у конструкцијским анализама могу посматрати појединачно, издвојени из конструкције. У прошлости су углавном разматрани појединачно изложени деловању гравитационог оптерећења. Због избегавања великих сила потиска, као мера рационалног грађења узима се стињеност лука (

f ). У функцији распона и/или стреле развијене l

су многе емпириске формуле за одређивање дебљине лука:

Нови Сад 2004

8

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун h = 36650 ⋅ l h = 220 f h = 82 + 182

l + f 2

h = 40000 ⋅ l h = 20000 ⋅ l

(

h = 150 ⋅ 1 + l

)

где је h- дебљина у mm, l- распон у m, и f- стрела у m Анализа утицаја од сталног и покретног оптерећења у луку, најчешће се врши помоћу метода потпорне линије, иако је овај метод карактеристичан за лук на три зглоба, који није осетљив на неједнака слегања. Потпорна линија у случају лука на три зглоба пролази кроз зглобове па је једнозначно дефинисана, док код осталих лукова можемо имати и више могућих потпорних линија. Ако посматрамо равнотежу камена завршца (сл. 14), приметићемо да постоје напони притиска на његовим лежишним спојницама. Резултанте ових напона су силе притиска на спојницама, а тачке у којима делују резултанте су центри притиска, који се морају налазити у оквиру лежишне спојнице. Силе притиска које делују са обе стране, одржавају завршни камен у равнотежи. Исто се дешава и са осталим елементима лука све до камена борца, који преноси силу притиска на отпорник, који мора бити таквих димензија да борац држи у равнотежи.

слика 14.

Основна два проблема анализе лукова су: избор облика лука који ће бити стабилан, и избор отпорника који ће ефикасно прихватити лучне притиске. Положаји центара притисака образују потпорну линију, а елементи лука делују један на други кроз потпорну линију. Потпорна линија зависи од облика лука, оптерећења које делује на лук, као и од особина лежишних спојница.Положај потпорне линије можемо одредити и Нови Сад 2004

9

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

помоћу ланчанице. Наиме равнотежни положај ланчанице образоване обртањем лука, одговара потпорној линији. За једнакоподељено оптерећење потпорну линију можемо одредити и преко израза (сл 15.): y(x ) =

f ⋅ M (x ) M max

2

где је y(x)- вертикална координата осе лука, f- стрела, Mmax- максимални момент просте греде распона лука, М(x)- промена момента просте греде дуж x- осе

слика 15.

Као што видимо потпорна линија за једнакорасподељено оптерећење би била парабола, самим тим би и лукове на овај начин оптерећене требали изводити у облику параболе, јер би били напрегнути само на притисак. За полукружни лук облик потпорне линије је најчешће такав да се пластични зглобови јављају на ослонцима, у темену са обе стране, и под углом од 30 степени у односу на хоризонталу са обе стране.Из овог разлога се полукружни лукови и завршавају управо под 30 степени, а опорци изводе као на сл. 16. Зглобови се јављају на местима на којима потпорна линија додирује границе пресека.

2

овај израз је у статици познат и као рационална оса лука

Нови Сад 2004

10

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

слика 16.

Механизам у луку при стабилним опорцима, настаје формирањем четири зглоба. Уколико се ослонци под дејством потисака лука помере, распон ће се повећати, и лук ће морати да прилагоди свој облик, овом повећању распона. Прилагођавање се одвија кроз ротације које ће се јавити у зглобовима на ослонцима и у темену (сл. 17).

слика 17.

Нови Сад 2004

11

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

Ротације могу изазвати велика напрезања, и пре него што се потпорна линија помери у недопуштену зону, услед чега долази до цепања и гњечења материјала (сл. 18)

слика 18.

Рушење је мање вероватно, ако је оптерећење услед бочних потисака асиметрично, и ослонци се померају у истом смеру (сл. 19). Неке шеме појаве зглобова услед померања ослонаца, дати су на сл. 20.Случај рушења може се догодити и за лук са непомерљивим ослонцима, уколико је оптерећен значајним додатним оптерећењем, које значајно деформише потпорну линију (сл.21).

слика 19.

Нови Сад 2004

12

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

слика 20.

слика 21.

Нови Сад 2004

13

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

2.5 ГРАЂЕЊЕ ЗИДАНИХ ЛУКОВА Извођење зиданих лукова врши се помоћу посебно конструисане помоћне скеле. Ова скела носи лучне елементе за време свођења, све док се лук не заврши и не буде способан да сам себе носи. Скела је састављена од вођица, дасака које су изрезане по пројектованој линији лука, оплате која укрућује вођице и служи као доња подлога луку за време извођења, и носеће конструкције која прима целокупну тежину лука. Потребан број вођица за извођење лука одређује се према дубини и пресеку лука. Најчешће се поставља по једна вођица за сваку полуопеку дубине лука. Оплата се поставља када је дубина лука већа од

1 опеке, у супротном 2

довољне су нам само вођице. Дашчана оплата се ексерима причвршћује за вођице. На сл. 22, 23, 24 приказана је скела за извођење лука. Само свођење почиње истовремено са оба отпорника, да се скела не би асиметрично оптеретила, а завршава се постављањем завршца. Луци се обавезно изводе са непарним бројем елемената, односно у средини лука мора да буде елемент- завршац, а никако спојница. Слојеви се преходно изделе и обележе на оплати, како би се добиле спојнице подједнаких дебљина, а завршац поставио тачно на своје пројектовано место. Завршац се брижљиво убаци у предвиђено место ударом руке, а никако чекићем, да се лук не би растресао, а малтер одвојио од елемената лука. Правац лежишних спојница одређује се помоћу затегнутог канапа, који је постављен у центру лука.

слика 22.

Нови Сад 2004

14

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

слика 23.

слика 24.

Нови Сад 2004

15

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

3. ЗИДАНИ СВОДОВИ 3.1. ОПШТЕ О ЗИДАНИМ СВОДОВИМА Зидани сводови су масивне закривљене конструкције, које прекривају простор, преузимају и на бочне зидове, лукове или стубове, преносе сва покретна и стална оптерећења. Лук се може посматрати као свод мале дубине, па у складу са тим и поједини делови свода и лука су једнаки и сва конструкцијска правила која важе за лукове важе и за сводове. Свод се изводи над основом која садржи потпорне зидове, на које се преноси оптерећење са свода, и чеоне зидове, чија је функција само да ограде засвођену основу, и немају конструктивну улогу.

3.2. ОБЛИЦИ СВОДОВА По облику који заузимају у простору сводове можемо поделити на цилиндричне и сферне. Цилиндрични се добијају од делова облице, конуса или неког сличног тела. Основни облици цилиндричних сводова су: - Полуцилиндрични свод, добија се од половине цилиндра, или дела мањег од половине, и у пресеку има све облике које има и лук, изузев равног облика. -Плитки ( пруски ) свод, разликује се од полуцилиндричног по томе што има мању стрелу, најчешће од

1 1 до распона. Због свог облика изазива 6 10

велике силе потиска. - Манастирски свод, добија се продором двају или више цилиндара, при чему су задржани само они делови који имају изводнице паралелне обимним зидовима. - Крстасти свод, добија се продором двају или више цилиндара, слично као и манастирски, само што су овде задржани они делови који имају изводнице управне на обимне зидове. - Коритасти свод, састоји се од једног полуцилиндра између опораца и две четвртине цилиндра, на сваком крају основе по једна четвртина - Зарубљени свод, састоји се од једног хоризонталног поља, које је према зидовима оивичено са по

1 цилиндра 4

Облици цилиндричних сводова дати су на сл. 25. Сферни сводови добијају се као делови ротационих тела, у првом реду лопте, затим и елипсастог параболоида. Најзанимљивији облици сферног свода су: - Кубе, је полулопта са пречником једнаким дужини дијагонале основе.

Нови Сад 2004

16

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

- Кубе на пандантифима, настаје када се изнад пандантифа, уместо калоте озида нова полулопта са пречником који је једнак страници квадрата основе. Овај мотив се иначе често среће и на споменицима српске бизантинике. - Плитки лоптасти свод (чешки свод ), је полулопта чији је пречник већи од дијагонале основе. Неки облици сферних сводова дати су на сл. 26.

слика 25.

слика 26.

Нови Сад 2004

17

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

3.3. ОСОБЕНОСТИ ЗИДАНИХ СВОДОВА, И ЊИХОВО ГРАЂЕЊЕ 3.3.1. ПОЛУЦИЛИНДРИЧНИ СВОД Један од проблема извођења полуцилиндричног свода, је осветљење простора који свод прекрива. Да би се простор довољно осветлио потребно је да се отвори прозора поставе у висини или преко ослоначке спојнице свода. Зато се свод на висини нешто већој од висине прозора исече, па се простор између ивице овог отвора и зида пресводи другим полуцилиндричним сводом, са изводницама управним на зид прозора. Ова два полуцилиндрична свода се секу по једној просторно кривој линији. На месту сводног рукавца потисак се не преноси на зид већ на просторно криву линију, по којој се сила потиска као по луку преноси на оба зида прозорског отвора. Зид је овим у ширини отвора за прозор потпуно растерећен, али се зато зидови са стране отвора морају јаче димензионисати. На сл.27 приказана је конструкција полуцилиндричног свода, а на сл. 28 ток сила у полуобличастом своду.

слика 27.

слика 28.

Нови Сад 2004

18

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

Полуобличасти сводови се зидају у редовима, а по изводницама облице, уз помоћ скеле која је иста као и скела за извођење лукова. За уобичајена оптерећења и распоне до 4,0 m, имају дебљину у распону од

1 опеке, док 2

се код ослонаца појачавају на 1 опеку. Ово појачање протеже се до оне спојнице која са хоризонталом заклапа угао од 30 степени (сл. 29).

слика 29.

3.3.2. ПЛИТКИ ( ПРУСКИ ) СВОД Најважнија особина ових сводова, је чињеница да имају малу стрелу, што омогућује међуспратне конструкције са малом дебљином. Да би се омогућиле што мање стреле просторија се, или дели на мања поља зидовима ( размак 2,5- 3,0 m ), од којих се свако поље своди са по једним плитким сводом, или се сводови изводе на гвозденим носачима на размаку од око 1 m, ради постизања још мање висине. Потисци сводова са обе стране лука дају вертикалну резултанту, ако су вертикално оптерећени, а ако делује покретно оптерећење, могу дати и косу резултанту. Само преко крајњих поља потисци се преносе на зидове, утолико јаче што је стрела лука мања. Због потисака потребно је повећати дебљину зидова на ослонцима, са унутрашње стране. Плитки пруски свод у оквиру конструкције приказан је на сл.30.

слика 30.

Нови Сад 2004

19

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

Зидање плитких сводова је слично као и зидање полуцилиндричних сводова. За ова зидања довољан је кратки ременат (сл. 31), који се после испуњавања неколико редова помера даље. Сводови распона око 1 m зидају се само помоћу сегментно сечене даске, која се после сваког озиданог реда помера даље.

слика 31.

3.3.3. МАНАСТИРСКИ И КОРИТАСТИ СВОДОВИ Изводе се изнад квадратних, правоугаоних, правилних и неправилних полигоналних основа. Над правоугаоном основом дају у пресеку по краћем распону круг, а у подужном елипсу. Сви обимни зидови једнако примају потисак. За смештај прозора потребни су сводни рукавци као и код полуцилиндричног свода. Зидање свода врши се по изводницама цилиндра, и изискује пуну дашчану оплату. 3.3.4. ЗАРУБЉЕНИ СВОД Од времена увођења гвоздених носача у грађевинарство, цео свод ослања се на оквир од гвоздених носача. Ови гвоздени носачи се у попречном правцу ослањају на зидове, а у подужом су уметнути између предходних, и ослањају се на њихова доња крила. Четвртине облица се зидају између зидова носача, као и полуцилиндрични сводови, а хоризонтално поље се зида као плитки свод. На сл. 32 приказана је шема зарубљеног свода.

Нови Сад 2004

20

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

слика 32.

3.3.5. КРСТАСТИ СВОД Цилиндри се са зидовима секу по полукружним линијама, па се прозори могу сместити и без израде сводних рукаваца. Крстасти свод не оптерећује обимне зидове, а оптерећење се преноси наниже преко путања које образују полуцилиндре, преко продорних линија и преко лукова (сл. 32). Тежина и потисак, односно главни напони свода преносе се на продорне линије, а одатле на углове основе. Имајући ово у виду крстасти свод се може озидати само на четири стуба. Ток сила крстастог свода указује на потребу употребе затега, које се постављају између ослоначких стубова. Крстасти свод се зида опеком у редовима, који су међусобно управни на продорним линијама цилиндра.Зидање почиње из углова и наставља се ка темену свода. За зидање крстастог свода није потребна оплата, наиме довољно је имати неколико шаблонских лукова за одржавање правилне кривине као што је показано на сл. 33.

слика 32.

Нови Сад 2004

21

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

слика 33.

Нови Сад 2004

22

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

4. ЗИДАНЕ КУПОЛЕ 4.1. ОПШТЕ О ЗИДАНИМ КУПОЛАМА Купола по свом облику представља лук који ротира око вертикалне осе која пролази кроз његово теме. Тродимензионална површинска геометрија дозвољава јој и тродимензионални начин ношења оптерећења, што се користи у теорији љуски. Сва оптерећења куполе преносе се на подупираче- ослонце у виду прстена. На тај начин купола се понаша као прстен лукова са заједничким завршцем у темену куполе.

4.2 ОБЛИЦИ ЗИДАНИХ КУПОЛА Различите облике купола добијамо ротирањем различитих облика лукова, па тако најчешће срећемо следеће облике купола: - Шиљата купола, настала ротирањем шиљастог или готског лука. - Сегментна купола, настала ротирањем сегментног лука. - Полукружна купола, настала ротирањем полукружног лука. Ако посматрамо куполу као део конструкције основна подела је на: - Византијска купола, купола која се ослања на бочне лукове и пандантифе. - Ренесансна купола, која се преко тамбурског зида ослања на бочне лукове и пандантифе. Неки облици купола приказани су на сл. 34.

слика 34.

Нови Сад 2004

23

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

4.3. ПРОРАЧУН ЗИДАНИХ КУПОЛА Код прорачуна зиданих купола најбитније је примање прстенастих сила потисака који се јављају у ослоначкој зони, и одређивање оптималне дебљине куполе. За куполе уобичајених распона дебљина је константна, а напони пропорционални унутрашњим силама, које зависе од облика и оптерећења које делује на куполу. Дебљине купола могу се посматрати и у зависности од постигнутог трења на контактима зиданих елемената (сл. 35).

слика 35.

где је t- дебљина куполе, R- распон, а µ -коефицијент трења. На куполу у општем случају, могу, поред сопствене тежине, која је због њихове масивности доминантна, да делују и снег, ветар, као и сеизмички утицаји. Можемо сматрати да се купола у великој мери понаша као мембрана3, па у складу са тим и прорачун по мембранској ( безмоментној ) теорији љуски, даје задовољавајуће резултате. Оптерећења од сопствене тежине и снега су ротационо симетрична, па су смичуће силе једнаке нули: N ϕϑ = N ϑϕ = 0 Од сила имамо меридијалне силе N ϕ и екваторијалне N ϑ . Силе од сопствене тежине се у правцу меридијана повећавају ка ослонцима, док екваторијалне силе мењају знак по висини куполе (сл. 36). 3

чак и за велике дебљине купола одступања од мембранске теорије су мала

Нови Сад 2004

24

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

слика 36.

N ϕ =-

rc ⋅ a 1 + cos ϕ



N ϑ =- rc ⋅ a ⋅  cos ϕ − 

 1  1 + cos ϕ 

Израз N ϑ (силе у хоризонталном прстену), мења знак за ϕ = 51°49′ , тако да су изнад тог круга силе притиска, а испод силе затезања. Оптерећење од ветра и сеизмике, које није ротационо симетрично изазива силе смицања, а меридијалне силе могу бити алтернативног предзнака у зависности од смера деловања оптерећења. Систем ослањања код купола чини посебно формиран прстен, и како материјал није у стању да прими прстенасте силе затезања, прстен је обликован тако да делује као низ независних подупирача (сл. 37).

слика 37. Нови Сад 2004

25

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

И мало померање ових подупирача може изазвати пукотине у правцу меридијана у нижим деловима, које су карактеристичне за све куполе (сл.38.), и углавном нису опасне.

слика 38.

Да би се примили потисци око купола издигнутих над квадратном основом, као систем ослањања могу послужити лукови са све четири стране, полукуполе са све четири стране или са две стране полукуполе, а са две лукови (сл. 39).

слика 39.

4.4. ТРОМПЕ И ПАНДАНТИФИ Тромпе и пандантифи су елементи између полигона лукова разапетих преко масивних стубова основе, и куполе4. Пандантифи су сферични троуглови, који притисак од куполе преносе наниже у ослонац (сл. 40), док тромпе више делују као ослоначки луци, који трансформишу квадратну основу у полигоналну.Тромпе и пандантифи, као и начин на који преносе оптерећење дате су на сл. 40, 41, 42. 4

или тамбура, ако је купола на тамбуру

Нови Сад 2004

26

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

слика 40.

слика 41.

слика 42.

Нови Сад 2004

27

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

4.5. ГРАЂЕЊЕ ЗИДАНИХ КУПОЛА Зидане куполе граде се на исти начин као сферни сводови. Пандантифи се зидају у хоризонталним редовима, а купола се зида у прстенастим, концентричним редовима. За зидање купола није потребна оплата. Сваки озидани прстен када се једном затвори остаје у равнотежи, потребно је само елементе за зидање придржавати док се не обиђе круг. Придржавање се врши помоћу оптерећеног конопца, који се причврсти на полеђину куполе и пребаци преко уграђеног елемента. За одржавање кривине куполе служи летва, која је зглобно везана у средишту куполе, и на којој је обележена дужина полупречника. Она у сваком положају означава по једну тачку унутрашње површине свода, и правац додирних и лежишних спојница. Извођење куполе приказано је на сл. 43. Да би се ускладио однос тежине и распона, често су на куполе додавана ребра (сл. 44), или су извођене као тзв. дупле љуске (сл 45).

слика 43.

Нови Сад 2004

28

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

слика 44.

слика 45.

Нови Сад 2004

29

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

5. ЗАКЉУЧАК Засвођени зидани елементи имају све мању примену у савременом грађевинарству, али је познавање њиховог понашања нужно приликом санација и реконструкција постојећих објеката, најчешће културноисторијских. Од предметних конструкцијских елемената извесну примену још увек је задржао зидани лук, који се изводи више као декоративни елемент, најчешће изнад прозорских отвора и отвора изнад врата. Треба на крају истаћи и то да су велики допринос проучавању понашања засведених зиданих конструкција, дали и два наша велика научна имена, Руђер Бошковић и Милутин Миланковић.

Нови Сад 2004

30

Зидани лукови, сводови и куполе. Грађење и прорачун

СПИСАК ЛИТЕРАТУРЕ: - D. D'Аyala, C. Casapulla: "Limit analysis of hemispherical domes with finite friction". - Крстић К. Петар: "Архитектонске конструкције", Београд 1990, стр. 141-170. - Reda Taha M.M.: "Design of masonry arches". - "Repair and strengthening of Historical monuments and buildings in urban nuclei", Vienna 1984, стр. 17-77. - "Техничар 3"- грађевински приручник, Београд 1984, стр. 119-131. - "Традиција и савремено српско градитељство", Институт за архитектуру и урбанизам Србије, Београд 1995, стр. 141-170. - Huerta Santiago: "Mechanics of masonry vaults: The equilibrium approach", Guimaraes 2001.

Нови Сад 2004

31