Zbrojenie Przeciwskurczowe Obliczenia Zalecenia Konstrukcyjne w Budownictwie Powszechnym

XVII OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA WARSZTAT PRACY PROJEKTANTA KONSTRUKCJI Ustroń, 20 ÷ 23 lutego 2002 r.

Kazimierz Flaga

ZBROJENIE PRZECIWSKURCZOWE, OBLICZENIA, ZALECENIA KONSTRUKCYJNE W BUDOWNICTWIE POWSZECHNYM 1. Uwagi ogólne Problemy skurczu betonu, jego wpływ na pracę statyczno-wytrzymałościową konstrukcji z betonu oraz na konieczne zbrojenie przeciwskurczowe w strefach przypowierzchniowych elementów z betonu traktowane są przez kolejne polskie normy do obliczania konstrukcji betonowych, żelbetowych i sprężonych - zupełnie marginalnie. Nic też dziwnego, że wiele z tych elementów czy też konstrukcji ulega nieprzewidzianemu zarysowaniu, mimo że projektant spełnił - w swoim przeświadczeniu - wszystkie wymagania polskich norm. Autor spotkał się z tym problemem wielokrotnie przy ekspertyzach czy też ocenach stanu technicznego konstrukcji z betonu, dochodząc do wniosku, że: a) sposób nauczania tych problemów na polskich uczelniach technicznych jest niewystarczający, b) projektanci, za przykładem polskich norm przedkładają wzory i procedury obliczeniowe nad fizyczne uwarunkowania pracy zaprojektowanych przez nich konstrukcji. W odniesieniu do zagadnienia a) często uważa się, że problem skurczu betonu jest zagadnieniem technologicznym i jako takie nie powinno być szerzej rozpatrywane przez wysokiej klasy specjalistów od obliczeń, lubiących czyste schematy obciążeniowe, materiałowe i obliczeniowe. W zagadnieniu b) chodzi najczęściej o niewiedzę z zakresu oddziaływania środowiska na beton, ciągłej wymiany masy i ciepła z otoczeniem, istnienia wewnątrz betonu niestacjonarnych i nieliniowych pól wilgotności i temperatury, generujących w przekrojach znaczne naprężenia własne. Wymiary przekrojów, cechy wytrzymałościowe materiałów, obciążenia są widoczne, a przynajmniej można je sobie wyobrazić. Natomiast wymiana masy czy ciepła, pola termiczne i wilgotnościowe, a także naprężenia własne są niewidoczne, wręcz abstrakcyjne, i wyobrażenie ich sobie wymaga odpowiedniego przygotowania z zakresu chemii fizycznej i fizyki ciał koloidalno - kapilarno - porowatych, którego najczęściej absolwent wydziałów budownictwa polskich politechnik nie posiada.

Efekty tego stanu rzeczy przejawiają się często w niedostatecznej jakości elementów i konstrukcji z betonu, która rzutuje na ich trwałość, zwłaszcza w skażonym czy agresywnym środowisku.

2 Przegląd polskich norm do obliczania konstrukcji z betonu w aspekcie uwzględniania skurczu betonu 2.1 PN-56/B-03260 „Konstrukcje żelbetowe. Obliczenia statyczne i projektowanie” [1] W p. 6.2. „Temperatura i skurcz betonu” podano w 6.2.1, że: „Zabezpieczenie budynków od ujemnego wpływu sił wywoływanego przez skurcz betonu i temperaturę może nastąpić albo przez wykonanie odpowiednich przerw dylatacyjnych lub przez uwzględnienie wpływu skurczu i temperatury w obliczeniu statycznym, albo wreszcie przez zastosowanie obu sposobów jednocześnie”, zaś w 6.2.4., że: „Wpływ skurczu należy uważać za równoważny z obniżeniem się temperatury o 15 oC w zwykłych i o 20 oC w lekkich betonach”. W p. 5.4.5.3.podano wymóg: „W belkach wyższych niż 1 m należy zaprojektować wkładki przy powierzchniach bocznych o średnicy d ≥ 8 mm, w odstępach nie większych niż 50 cm”.

2.2 PN-66/B-03320 „Konstrukcje z betonu sprężonego” [2] W p. 4.3.3. „Pełzanie i skurcz betonu (metoda bardziej dokładna)” podano tablicę 2.1. pt. „Wartości odkształcenia jednostkowego ε sk w zależności od pielęgnacji betonu i wieku betonu”, jak niżej: Tablica 2.1

Wartości odkształcenia jednostkowego ε sk w zależności od pielęgnacji betonu i wieku betonu

Wiek betonu w chwili sprężenia w dobach

Orientacyjny stosunek wytrzymałości betonu do wytrzymałości wymaganej

7 14 28 90

0,75 0,90 1,00 1,25

Rd R28

Odkształcenie jednostkowe skurczowe ε sk w zależności od pielęgnacji betonu wykonanego przy użyciu cementu portlandzkiego beton przechowywany w beton przechowywany w powietrzu o wilgotności powietrzu względnej do 70 % o wilgotności względnej do (powietrze wilgotne) 35 % (powietrze suche) 0,00026 0,00032 0,00024 0,00030 0,00020 0,00026 0,00014 0,00018

Dalej podano w tym punkcie, że: „W przypadku naparzania betonu można przyjąć wartości odkształcenia jednostkowego skurczowego ε sk ... jak dla betonu o pełnej wytrzymałości”.

W p. 10.2.6.2. występuje wymóg: „Pręty przeciwskurczowe i montażowe w kierunku podłużnym belek i płyt należy przyjmować o średnicy co najmniej 4,5 mm w takiej liczbie, aby ich łączny przekrój był równy co najmniej 0,2 % przekroju betonu i odstęp między prętami nie przekraczał 33 cm. Zbrojenie podłużne można uwzględnić w obliczeniach wytrzymałości, zarówno na ściskanie, jak i na rozciąganie”.

2.3 PN-76/B-03264 „Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie” [3] W p. 2.2.2. „Odkształcenia skurczowe” podano, że: „Wartości odkształceń skurczowych εs betonu na jednostkę długości należy przyjmować: - w konstrukcjach betonowych ε s = 0,0003, - w konstrukcjach żelbetowych ε s = 0,0002, - w konstrukcjach sprężonych - odpowiednio do wieku betonu w chwili sprężenia i wilgotności środowiska - zgodnie z tabl. 2.2, jak niżej: Tablica 2.2 Wiek betonu w chwili sprężenia w dobach 7 14 28 90

Wartości odkształceń skurczowych ε s suche (< 40 %) 0,00032 0,00028 0,00024 0,00017

Środowisko (wilgotność względna) zwykłe (40-70 %) 0,00026 0,00023 0,00020 0,00014

wilgotne (> 70 %) 0,00019 0,00017 0,00015 0,00010

Dalej podano, że: „W przypadku przyspieszenia twardnienia betonu przez naparzanie, skurcz betonu należy przyjmować jak dla elementów sprężonych po 14 dniach twardnienia. Dla konstrukcji znajdujących się w wodzie skurcz betonu ε s = 0”. W p. 6.1.1. zalecono sprawdzenie elementów żelbetowych osiowo i mimośrodowo rozciąganych 1 kategorii rysoodporności na możliwość pojawienia się rys prostopadłych do osi elementu, z warunku: R − σ bs N ≤ bzk (2.1) 1 e + F fp W fp gdzie:

σ bs oznacza naprężenie na sprawdzanej krawędzi przekroju wywołane skurczem

betonu (wartość bezwzględna). Wartości σ bs dla przekroju symetrycznego, symetrycznie zbrojonego należy obliczać wg wzoru: ε E (2.2) σ bs = s b 1 1+ nµ Wzór na σ bs nie uwzględniał relaksacji naprężeń skurczowych wywołanych pełzaniem betonu, stąd b. często zachodziło, iż σ bs > Rbzk i siła rysująca wychodziła ujemna.

W p. 9.2.1.7. wprowadzono wymóg: „W belkach żelbetowych oraz w belkach sprężonych 3 kategorii rysoodporności, jeżeli wysokość przekroju belki jest większa od 70 cm - przy powierzchniach bocznych należy umieszczać podłużne pręty konstrukcyjne w rozstawie nie większym niż 40 cm. Sumaryczny przekrój tych prętów powinien być nie mniejszy niż 0,1 % przekroju poprzecznego belki”. W p. 9.5.1. „Odkształcenia konstrukcji od wpływu temperatury i skurczu betonu” postanowiono, że: „Wpływ skurczu w konstrukcjach żelbetowych można przyjmować za równoważny z obniżeniem się temperatury o 15 oC”.

2.4 PN-84/B-03264 „Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie” [4] W p. 2.2.2. „Odkształcenia skurczowe” podtrzymano ustalenia normy z 1976 r. z wyjątkiem wartości ε s dla konstrukcji żelbetowych, które można było przyjmować na

ε s = 0,00015. Ponadto w tablicy 2.2 dotyczącej wartości jednostkowego odkształcenia skurczowego ε s w konstrukcjach sprężonych zmieniono granicę wilgotności poziomie

względnej środowiska z 70 % na 75 %. W p. 6.1. przy sprawdzaniu stanu granicznego pojawienia się rys w elementach rozciąganych przyjęto we wzorze (1) wartość σ bs = 0, tzn. nie uwzględniono zmniejszenia się siły rysującej w wyniku naprężeń rozciągających, wymuszonych w przekroju przez opór wkładek zbrojeniowych. W p. 9.2.1.5. zapisano, że: „W belkach żelbetowych i sprężonych 3 kategorii rysoodporności, jeżeli wysokość przekroju belki jest większa niż 0,7 m, przy powierzchniach bocznych należy umieszczać podłużne pręty konstrukcyjne o średnicy nie mniejszej niż 8 mm w rozstawie nie większym niż 0,4 m”. W p. 9.5.1. „Odkształcenia konstrukcji od wpływu temperatury i skurczu betonu” postanowiono jak w normie z 1976 r.

2.5 PN-91/S-10042 „Obiekty mostowe. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Projektowanie” [5] W roku 1991 ukazała się norma do projektowania betonowych konstrukcji mostowych, bazująca na FIP Recommendations opartych na CEB-FIP Model Code (MC 78) z czerwca 1982 r., normie DIN 1045 z 1988 r., normie SIA 162 E z 1989 r. i normie BS 5400 z 1984 r. Wprowadziła ona do polskiego mostownictwa szereg zmian i uściśleń w stosunku do poprzedniej normy mostowej PN-58/B-03261. W zakresie skurczu betonu postanawia ona w p. 3.6.1., że „wartości jednostkowe odkształcenia skurczu ε so należy przyjmować odpowiednio do wieku betonu w chwili zmiany obciążenia (sprężenia) i wilgotności środowiska, w którym znajduje się konstrukcja po tym obciążeniu (sprężeniu). Jeśli nie ma innych udokumentowanych źródeł wartość odkształcenia skurczu ε so należy przyjmować wg tablicy 2.3, jak niżej:

Tablica 2.3 Wiek betonu w chwili obciążenia dni 7 28 90

Wartości odkształceń skurczu betonu zwykłego, ε so , ‰ Grubość zastępcza e m , mm 600 150 Wilgotność względna %

150 50 0,43 0,32 0,19

600 80

0,31 0,30 0,28

0,26 0,23 0,16

0,21 0,21 0,20

„Podane w tablicy 2.3 wartości odkształceń skurczu .......... dotyczą typowych warunków technologicznych i normalnych warunków dojrzewania dla określonych zakresów wilgotności i grubości zastępczej. Wartości grubości zastępczej e m należy obliczać wg wzoru: 2 Ab em = (2.3) u w którym: Ab - pole przekroju betonu, u - obwód pola przekroju betonu, stykającego się z powietrzem, przynajmniej okresowo. Dla betonów znajdujących się stale pod wodą należy przyjmować ε so = 0. W przypadku stosowania przyspieszonego dojrzewania betonu przez podgrzewanie wartość

ε so należy

przyjmować jak dla betonu obciążonego po 7 dniach twardnienia”. Norma podaje również sposób uwzględnienia wpływu składu mieszanki betonu, ilości zbrojenia i czasu obciążenia na wartość odkształcenia ε so . W p. 12.4.9. „Minimalny procent zbrojenia w strefie rozciąganej ze względu na rozwarcie rys” norma stanowi, że: „Dodatkowe zbrojenie przypowierzchniowe (przeciwskurczowe) należy stosować do wszystkich powierzchni zewnętrznych i narażonych na wpływy atmosferyczne. Ilość zbrojenia przypowierzchniowego siatkowego powinna odpowiadać co najmniej 0,3 % objętości betonu strefy współpracującej, w obu kierunkach. Ilość ta obejmuje łączne zbrojenie przypowierzchniowe przy obu przeciwległych krawędziach przekroju poprzecznego elementu, stanowiące po 50 % każde”. „Rolę tego zbrojenia mogą pełnić siatki zbrojenia głównego i rozdzielczego, dodatkowe siatki przeciwskurczowe (np. przy powierzchniach zewnętrznych filarów i przyczółków betonowych) lub kombinacja strzemion i podłużnych prętów przeciwskurczowych (przy powierzchniach zewnętrznych belek)”. „Przy wysokich belkach zaleca się stopniowanie podłużnych prętów umieszczonych przy obu powierzchniach bocznych - gęściej od strony rozciąganych prętów głównych”. „Dla części przekroju elementu masywnego o najmniejszym wymiarze co najmniej 400 mm należy określić taką ilość zbrojenia przypowierzchniowego jak dla przekroju skrzynkowego o ściankach 200 mm grubości. Ilość tę należy umieścić w rozpatrywanej części elementu masywnego”. „Pręty zbrojenia siatkowego powinny być ułożone ortogonalnie i równomiernie. Jeśli nie występuje zagrożenie skurczu (zarysowania skurczowego) należy zmniejszyć ilość zbrojenia przypowierzchniowego do 60 % ilości minimalnych”.

Jak z powyższego wynika norma mostowa PN-91/S-10042 po raz pierwszy w Polsce wprowadziła obowiązek stosowania zbrojenia przypowierzchniowego (przeciwskurczowego) do wszystkich betonowych powierzchni zewnętrznych i narażonych na wpływy atmosferyczne.

2.6 PrPN-B-03264 „Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie” [6] Jest to najnowszy projekt normy PN-B-03264 będący nowelizacją PN-B-03264:1999, uwzględniający kolejne uściślenia Eurocodu 2. W projekcie tym, w p. 2.2.3. „Pełzanie i skurcz betonu” zapisano, że: „Wartości końcowego ....... odkształcenia skurczowego ε cs (∞, ts) – podano w tablicy 2.4”, jak niżej: Tablica 2.4 Miejsce elementu wewnątrz na zewnątrz

Końcowe odkształcenie skurczowe ε cs (∞, t s ) (‰) Wilgotność względna RH (%) 50 80

Miarodajny wymiar ho = 2 Ac u (mm) ≤ 150 0,60 0,33

600 0,50 0,28

„W tablicy - Ac oznacza pole przekroju elementu, u obwód tego pola. Dla wartości pośrednich dopuszcza się interpolację liniową. Wartości ..... odkształceń skurczowych ε cs (t, ts) w rozważanej chwili t - określać można wg załącznika B”. W załączniku B (informacyjnym) podano sposób obliczania ε cs (t, ts) wg ENV 1992-1-1:1991. Punkt 6.2. projektu normy „Nominalne pole przekroju zbrojenia” podaje zasadę obliczania minimalnego pola As przekroju zbrojenia rozciąganego, wymaganego z uwagi na ograniczenie szerokości rys spowodowanych naprężeniami wywołanymi przez odkształcenia wymuszone przyczynami wewnętrznymi (skurcz) lub zewnętrznymi (osiadanie podpór). Punkt ten wiąże się pośrednio z problemem zbrojenia przeciwskurczowego i będzie omówiony w dalszej części niniejszej pracy. Punkt 8.1.7. projektu normy poświęcony jest zbrojeniu przypowierzchniowemu. Nie ma w nim jednak wzmianki o tym, że zbrojenie przypowierzchniowe może być także zbrojeniem przeciwskurczowym. Punkt dotyczy zbrojenia przypowierzchniowego mającego na celu ograniczenie szerokości rys w belkach o wysokości większej niż 1 m oraz zbrojenia przypowierzchniowego przeciwdziałającego odłupywaniu się otuliny betonu w belkach zbrojonych wiązkami prętów lub prętami o średnicy większej niż 25 mm. W p. 9.3.1.5. „Zbrojenie belek” jest wymóg: „W belkach żelbetowych i sprężonych, w których dopuszcza się zarysowanie, jeżeli wysokość przekroju belki jest większa niż 700 mm, przy powierzchniach bocznych należy umieszczać podłużne pręty konstrukcyjne o średnicy nie mniejszej niż 8 mm w rozstawie nie większym niż 350 mm”. W p. 9.7.1. „Odkształcenia konstrukcji od wpływu temperatury i skurczu betonu” powtórzono za poprzednimi normami zapis, że: „Wpływ skurczu w konstrukcjach żelbetowych można przyjmować za równoważny z obniżeniem się temperatury o 15 oC”.

2.7. Podsumowanie Jak wynika z powyższych zestawień polskich norm z lat 1956-2001 do projektowania konstrukcji z betonu, w zakresie zagadnień związanych ze skurczem betonu, wpływem skurczu na wartości sił wewnętrznych, zbrojeniem przeciwskurczowym - dochodziło na przestrzeni lat do kolejnych uściśleń, ale niewystarczających. Problemy te wymagają szerszego naświetlenia.

3. Skurcz betonu wg Eurokodu-2 Chcąc poczynić dalsze rozważania związane ze zbrojeniem przeciwskurczowym w konstrukcjach betonowych w budownictwie powszechnym, należy przede wszystkim dość precyzyjnie określić wartość skurczu betonu w tych konstrukcjach. W roku 1991 ukazała się pierwsza wersja Eurokodu 2: „Projektowanie konstrukcji z betonu - Część 1: Reguły generalne i reguły dla budynków”, opracowana przez European Committee for Standarisation (CEN) i oznaczona jako ENV-1992-1-1: 1991. Dość szybko bo już w 1992 r. Instytut Techniki Budowlanej w Warszawie wydał „Wersję polską ENV 1992-1-1: 1991” [7] zaś w 1993 r., - „Postanowienia Krajowe do ENV 1992-11: 1991” [8]. Oba te dokumenty stały się podstawą do prac nad znowelizowaniem PN-84/B03264 w duchu zaleceń europejskich, co związane było integralnie z dążeniami Polski do wejścia w skład Unii Europejskiej. W rezultacie w roku 1994 powstała pierwsza wersja znowelizowanej normy pod nazwą PrPN-B-03264, która ostatecznie została wdrożona w roku 1999 jako PN-B-03264:1999 [9]. Równolegle Zespół Autorski pod patronatem Sekcji Konstrukcji Betonowych KILiW PAN opracował w 1997 roku 3. tomowe dzieło pt. „Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych według Eurokodu 2” [10], w ramach uzyskanego z KBN grantu. Dzieło to miało stanowić komentarz do zmian wprowadzonych w PN-B-03264:1999. Niestety w ostatnich 2. latach doszło do znacznego przyśpieszenia prac związanych z przekształceniem Eurokodu 2 (ENV 1992) w normę europejską EN 1992 tak, iż w czerwcu 1999 r. ukazał się pierwszy Draft EN 1992-1 (1st draft) [11] wprowadzający zmiany do ustaleń ENV 1992-1-1:1991. W ślad za tym PKN opracował kolejną nowelizację normy PNB-03264:1999 pod nazwą PrPN-B-03264 [6], która jednakże nie może być wersją ostateczną, bo w październiku 2001 r. pojawił się Draft EN 1992-1-1-1:2001 [12], wprowadzający dalsze zmiany. Zmiany następują tak szybko, że trudno przedstawić stałą podstawę do dalszych rozważań. Rozwiązania zaprezentowane przez ENV 1992-1-1-1:1991 zostały w polskiej literaturze technicznej dokładnie przedyskutowane i wydaje się, że mogą one stanowić podstawę do dalszej dyskusji, usankcjonowaną normą PN -B-03264:1999. Zatem według ENV 1992-1-1-1:1991 [10], odkształcenia skurczu zależą od składu betonu (przede wszystkim od rodzaju i zawartości cementu w 1 m3 betonu oraz od wartości współczynnika wodno-cementowego W/C, klasy wytrzymałości, wieku, wilgotności środowiska oraz wymiarów elementu. Odkształcenia spowodowane przez skurcz i pęcznienie betonu zwykłego klas C12/15 do C 50/60 (wg normy PN-B-03264: 1999 - klas B15 do B60) wystawionego na oddziaływanie średniej wilgotności względnej RH w przedziale od 40% do 100% i średniej temperatury T w przedziale od 10o C do 20o C, można obliczać ze wzoru:

ε cs (t , t s ) = ε cso β s (t − t s ) w którym: ε cso

(3.1)

- podstawowe odkształcenie skurczowe,

βs t ts ,

- współczynnik określający postęp skurczu, - wiek betonu w rozważanej chwili, w dniach, - wiek betonu na początku rozpatrywanego procesu skurczu lub pęcznienia, w dniach. Podstawowe odkształcenie skurczowe można wyznaczyć ze wzoru:

w którym:

ε cso = ε s ( f cm ) β RH

(3.2)

ε s ( f cm ) = [160 + β sc (90 − f cm )]10 −6

(3.3)

ε s ( f cm ) - współczynnik skurczu zależny od średniej wytrzymałości betonu po 28 dniach f cm (MPa), 4 − dla cementów wolno twardniejących  β sc = 5 - dla cementów zwykych i szybko twardniejących 8 - dla szybko twardniejących cementów wysokiej wytrzymaości  (przechowywanie na powietrzu) - 1,55 β sRH dla 40 % ≤ RH ≤ 99 % β RH =  + 0,25 dla RH ≥ 99 % (przechowywanie w wodzie)  W powyższych danych β sRH oznacza współczynnik określony wzorem:

β sRH = 1 − (RH/100)3

(3.4)

a RH - względną wilgotność (w %) otaczającego beton powietrza. Współczynnik β s (t − t s ) we wzorze (3.1), opisujący postęp skurczu w czasie, można wyznaczyć z zależności:  t − ts β s (t − t s ) =   0,035 h 2 + t − t o s  w którym:

   

0 ,5

(3.5)

ho oznacza miarodajny wymiar elementu, w mm, równy: ho =

2 Ac u

(3.6)

We wzorze (3.6): Ac - powierzchnia przekroju poprzecznego elementu, u - obwód przekroju wystawiony na działanie powietrza (czyli na wymianę wilgoci zawartej w betonie, z otoczeniem). Jak stwierdza się w [13], powyższy sposób obliczania wartości skurczu stosuje się wtedy, gdy konieczne jest dokładne oszacowanie zmian skurczu w czasie, np. przy wyznaczaniu efektów odkształceń reologicznych betonu. Średni wskaźnik zmienności wyników powyższej prognozy dotyczącej skurczu, oceniony na podstawie skomputeryzowanego banku danych z wyników badań laboratoryjnych, jest rzędu 35 %. Dokładność przyjętych metod obliczania wpływu skurczu (i pełzania) betonu powinna odpowiadać wiarygodności danych, opisujących te zjawiska i znaczeniu ich wpływu na rozważany stan graniczny. Zgodnie z EC2 efekty skurczu (i pełzania) betonu należy w zasadzie uwzględniać tylko dla stanów granicznych użytkowalności oraz przy obliczaniu efektów drugiego rzędu w stanach granicznych nośności, spowodowanych odkształceniami konstrukcji. Konieczne jest ponadto uwzględnienie wpływu pełzania w wypadku, kiedy może ono w sposób znaczący obniżać stateczność konstrukcji. Jeżeli nie wymaga się dużej dokładności oceny to można za końcowe wartości odkształceń skurczowych ε cs∞ betonu zwykłego przyjąć dane zawarte w tabl. 3.1. Tablica 3.1 Miejsce elementu wewnątrz na zewnątrz

Końcowe wartości odkształceń skurczowych ε cs∞ (‰) Wilgotność względna RH (%) 30 80

Miarodajny wymiar elementu

ho = 2 Ac u (mm)

≤ 150 -0,60 -0,33

600 -0,50 -0,28

Wartości podane w tabl. 3.1 dotyczą średniej temperatury betonu w przedziale 10 oC do 20 oC, co pozwala przyjąć, że uwzględniają one wahania temperatury w ciągu roku w granicach od -10 oC do + 40 oC. Można je stosować przy zmianach wilgotności względnej powietrza od RH = 20 % do RH = 100 %. Dla wartości pośrednich RH i ho dopuszcza się interpolację liniową. Wartości ε cs∞ w tabl. 3.1 zostały określone dla betonu o konsystencji plastycznej klas S2 i S3 (zgodnie z p. 7.2.1 ENV 206). Dla betonu o konsystencji wilgotnej S1 wartości te należy pomnożyć przez współczynnik 0,70, a dla konsystencji półciekłej S4 - przez 1,20. W przypadku betonów z superplastyfikatorami wartości skurczu ε cs∞ w tabl. 3.1 odnoszą się do konsystencji mieszanki przed dodaniem superplastyfikatorów. Metoda obliczania odkształceń skurczowych betonu przedstawiona w EC2 jest zaczerpnięta z CEB-FIP M.C.1990 [13]. Przy wskaźniku zmienności wynoszącym ν = 35 %, dolne i górne wartości odkształceń skurczowych mogą się znacznie różnić od obliczonych zgodnie z EC2, wartości średnich. I tak, kwantyle 5 i 10 % oraz 90 i 95 % zmiennych losowych ε cs (t, t s ) wynoszą:

ε cs 0,05 = 0,42 ε cs ,

ε cs 0,10 = 0,55 ε cs ,

ε cs 0,95 = 1,58 ε cs ,

ε cs 0,90 = 1,45 ε cs .

Co się tyczy wartości t s we wzorze (3.1), to CEB-FIP M.C.1990 [13] podaje tylko informację, że dla t s < 14 dni przy dojrzewaniu w normalnej temperaturze, wpływ skurczu na dodatkowe naprężenia i odkształcenia (duża wilgotność elementów, bardzo często jeszcze zadeskowanych) jest mało istotny. Na rys. 3.1 przedstawiono wykresy zależności współczynnika postępu skurczu w czasie β s (t − t s ) w funkcji miarodajnego wymiaru elementu ho , sporządzone na podstawie wzorów (3.5) i (3.6).

Rys.3.1. Funkcje β s (t − t s ) przy różnych wartościach ho [14] Wynika z nich wyraźnie, że skurcz rozwija się zupełnie inaczej w elementach o małej ( ho = 50 mm), średniej ( ho = 200 mm) i dużej masywności ( ho = 800 mm). Zjawisko to jest związane głównie z szybkością odparowania nadmiaru wody zarobowej, znajdującej się we wnętrzu elementu betonowego. W elementach o ho = 800 mm średni skurcz betonu po 70 latach osiąga poziom skurczu 4-letniego dla elementów o ho = 200 mm i 3,5 miesięcznego dla elementów o ho = 50 mm. W literaturze technicznej można znaleźć wiele metod obliczania odkształceń skurczowych ε cs (t, t s ) . Wśród nich wyróżnić można [15] metodę CEP-FIP M.C. 1978 i DIN-4227, metody Bažanta i Panuli ("BaP - Model") oraz przyjętą w EC2 metodę CEBFIP M.C. 1990. W metodach tych wyraźnie rozdzielono zależność odkształcenia skurczowego od takich czynników jak wytrzymałość, konsystencja, rodzaj cementu, wskaźnik C/W, współczynnik dyfuzji, względna wilgotności środowiska RH i miarodajny wymiar elementu ho . Na rys. 3.2. i 3.3 podano za H. Raszką [15] porównanie wyników obliczeń odkształceń skurczowych ε cs wg powyższych trzech metod dla betonu o f ck = 20 MPa i konsystencji gęstoplastycznej, dla trzech wartości ho = 50 mm (krzywe "a"), 200 mm (krzywe "b") i 800 mm (krzywe "c"), dwóch wartości RH = 40 % (rys. 3.2) i RH = 80 % (rys. 3.3) oraz

temperatury środowiska T = 20 oC. Cyframi oznaczono: 1 - wartości wg "Model Code 1978", 2 - wg "BaP-Model", 3 - wg "Model Code 1990" oraz 4 - wg PN-84/B-03264 [4] dla konstrukcji sprężonych.

Rys.3.2. Odkształcenia skurczowe ε cs (t, t s ) przy RH = 40 %

-

Wykresy na rys. 3.2 i 3.3 wyraźnie wskazują na: duże różnice w ocenie skurczu, zależne od zastosowanej teorii, silną zależność skurczu od wilgotności środowiska RH i sprowadzonego wymiaru elementu ho ,

znaczne różnice pomiędzy wartościami ε cs (t, t s ) przyjmowanymi w PN [4], a wartościami wynikającymi z przeanalizowanych metod. W polskich normach [3, 4] nie uwzględniano wpływu masywności elementu na skurcz betonu. Stąd, przy RH = 40 %, dość dobra zgodność z wartościami EC2 dla ho = 200 mm i

-

ε cs (t, t s ) przez polskie normy wynosi już około 40 %. Przy RH = 80 % występuje dość dobra zgodność z wartościami EC2 dla ho ≅ 100 mm i (t − t s ) = 0 ÷ 400 dni, a dla (t − t s ) = 70 lat niedoszacowanie skurczu wynosi około 20 %.

(t − t s ) = 0 ÷ 400 dni. Dla (t − t s ) = 70 lat niedoszacowanie

Rys.3.3. Odkształcenia skurczowe ε cs (t, t s ) przy RH = 80 % Z powyższego wynika, że przy adaptacji EC2 dla warunków polskich, zagadnienie odkształceń skurczowych powinno być potraktowane z dużo większą uwagą niż to czyniono dotychczas. Dotyczy to zwłaszcza tych przypadków, gdy odkształcenia skurczowe mają znaczny wpływ na siły wewnętrzne w konstrukcji (np. w ustrojach statycznie niewyznaczalnych i w konstrukcjach sprężonych). Należy również zwrócić uwagę na wartości odkształceń skurczowych zalecane przez dawne PN dla konstrukcji betonowych ( ε cs = 0,0003 [3, 4]) oraz konstrukcji żelbetowych ( ε cs = 0,0002 [3] i ε cs = 0,00015 [4]). Po pierwsze, w świetle powyższych wywodów wartość ε cs zależy silnie od wymiaru ho elementu i wilgotności RH środowiska. Po drugie, nie powinno się podawać obniżonych wartości ε cs dla żelbetu, bez żadnego komentarza. Beton w konstrukcjach betonowych i żelbetowych ma ten sam skurcz swobodny ε cs . W żelbecie skurcz ten jest hamowany przez opór wkładek zbrojeniowych, a więc w badaniach obserwuje się wartości ε csRC mniejsze niż ε cs . Te dwie wielkości powinny się różnić oznaczeniami. Przybliżona zależność pomiędzy ε csRC a ε cs , wyprowadzona przez autora w pracy [16] dla elementu pryzmatycznego o przekroju symetrycznym, symetrycznie zbrojonym, ma postać:

ε csRC = ε cs (1 − α 3 ) k 3 gdzie:

α3 =

no µ o Es A + As 2 , no = , µ o = s1 = ρ1 + ρ 2 E cm (t s ) Ac 1 + no µ o

(3.7)

k3

- współczynnik relaksacji naprężeń skurczowych w wyniku pełzania betonu; dla zmodyfikowanej teorii starzenia jest [17]: 1 k3 = (3.8) 1 + β α 3Φ (∞, t o )

Ecm (ts)- moduł sprężystości betonu na rozciąganie w momencie rozpoczęcia zjawiska skurczu; można przyjąć Ecm (ts) = Ecm, β - funkcja starzenia; dla obciążenia skurczem β ≅ 0,8, Φ (∞, to) - współczynnik pełzania. Na przykład (Przykład I), dla belki o przekroju 300/600 mm ( ho = 200 mm), ρ1 = ρ2 = 200 0,01 (µo = 0,02), n o = = 6,9 (beton klasy B20), β ≅ 0,8, Φ (∞, to) = 2,4 (jak dla 29,0 obciążenia przyłożonego po 28 dniach przy RH = 50 %), otrzymuje się:

α3 =

0,02 ⋅ 6,9 = 0,121; 1 + 0,02 ⋅ 6,9

k3 =

1 = 0,811 1 + 0,8 ⋅ 0,121 ⋅ 2,4

ε csRC = ε cs (1 − 0,121) 0,811 = 0,713 ε cs czyli np. dla ε cs = - 0,00030 → ε csRC = - 0,000214. Różnica w wartościach skurczu ε csRC i ε cs wywołuje wymuszone naprężenia ściskające w stali σ ss i rozciągające w betonie σ cs . Dla wyżej rozpatrzonego przekroju symetrycznego, symetrycznie zbrojonego:

σ ss = ε cs E s (1 − α 3 ) k 3

(3.9)

σ cs = −ε cs E cm α 3 k 3

(3.10)

co dla ε cs = - 0,00030, Ecm = 29,0 GPa, E s = 200 GPa, α 3 = 0,121, k 3 = 0,811 daje wartości σ ss = - 42,8 MPa (ściskanie) i σ cs = 0,85 MPa (rozciąganie). Naprężenie σ cs = 0,85 MPa = 0,39 f ctm = 0,57 f ctk jest naprężeniem znaczącym, obniżającym siłę rysującą przekrój i powinno być w analizie stanów granicznych użytkowalności uwzględnione.

4. Zmiany w ocenie wielkości skurczu betonu wprowadzone przez Draft EN 1992-1-1:2001 [12] Całkowite odkształcenie skurczowe ε cs składa się z dwóch składników, odkształcenia skurczowego na skutek wysychania ε cd i samoczynnego odkształcenia skurczowego ε ca . Odkształcenie skurczowe na skutek wysychania rozwija się powoli, ponieważ jest funkcją migracji wody przez twardniejący beton. Samoczynne odkształcenie skurczowe rozwija się

podczas twardnienia betonu: ważna jego część narasta we wczesnym okresie po zaformowaniu. Skurcz samoczynny jest liniową funkcją wytrzymałości betonu. Powinien on być brany pod uwagę gdy nowy beton jest formowany w zetknięciu z betonem stwardniałym. Wartości całkowitego odkształcenia skurczowego ε cs obliczamy z formuły:

ε cs = ε cd + ε ca

(4.1)

Końcowa wartość odkształcenia skurczowego na skutek wypychania ε cd ,∞ może być wzięta z tablicy 4.1. Tablica ta podaje oczekiwane wartości średnie, przy współczynniku zmienności na poziomie 30 %, obliczone na podstawie wzorów podanych w załączniku B do Draftu. Tablica 4.1

Końcowe wartości skurczu swobodnego na skutek wysychania ε cd ,∞ (w ‰) dla betonu

f ck f ck ,cube (MPa) 20/25 40/50 60/75 80/95 90/105

20 -0,75 -0,60 -0,48 -0,39 -0,35

Względna wilgotność RH (w %) 40 60 80 90 -0,70 -0,59 -0,40 -0,20 -0,56 -0,47 -0,29 -0,16 -0,45 -0,38 -0,24 -0,13 -0,36 -0,30 -0,19 -0,11 -0,33 -0,27 -0,17 0,06

100 0,12 0,10 0,08 0,06 0,06

Rozwój w czasie odkształcenia skurczowego na skutek wysychania przebiega według formuły:

(

)

ε cd (t ) = β ds t − t s ⋅ ε cd ,∞

(4.2)

w której funkcja rozwoju skurczu w czasie jest zdefiniowana jako:

β ds

  (t − t s ) (t − t s ) =   2  350 (ho h1 ) + (t − t s )

0, 5

(4.3)

gdzie:

t ts ho

- wiek betonu w rozpatrywanym momencie (dni), - wiek betonu (dni) w momencie początku skurczu na skutek wysychania (albo narastania). Normalnie odpowiada to końcowi pielęgnacji betonu, = 2 Ac/u - miarodajny wymiar (mm) przekroju elementu,

h1 = 100 mm. Samoczynne odkształcenie skurczowe wyraża się przez:

ε ca (t ) = β cc (t )⋅ ε ca,∞ gdzie:

ε ca ,∞ = −2,5( f ck − 10)10−6

(4.4)

s s

   28  0,5   β cc (t ) = exps 1 -     (4.5)    t    - współczynnik zależny od rodzaju cementu: = 0,20 - dla szybko twardniejących cementów wysokiej wytrzymałości, = 0,25 - dla normalnie i szybko twardniejących cementów, = 0,38 - dla wolno twardniejących cementów.

Rozwój w czasie samoczynnego odkształcenia skurczowego określa formuła:

(

β as = 1 − exp - 0,2 t 0,5

)

(4.6)

Jak wynika z powyższych danych, Draft prEN 1992-1-1:2001 znacznie uściślił wielkości odkształceń skurczowych betonu. Zmieniły się przy tym szczegółowe zasady obliczania wartości skurczu końcowego wywołanego przez wysychanie betonu (tzw. skurcz fizyczny) ε cd ,∞ . Należy go obliczać ze wzoru:   f ε cd ,∞ = (220 + 110α ds1 ) ⋅ exp - α ds2 ⋅ cm f cmo     RH β RH = −1,551 −    RH o 

   

3

  

(4.7)

dla RH 50 MPa narastanie może zaistnieć przy niższej względnej wilgotności z powodu poprzedzającej redukcji wewnętrznej względnej wilgotności spowodowanej niepełnym wysychaniem betonu.

5. Ustalenia co do wartości odkształceń skurczowych betonu w warunkach polskich W świetle wszystkich wyżej przytoczonych poglądów i zaleceń, wydaje się za konieczne przyjąć następujące ustalenia: 1) Wartości odkształceń skurczowych przyjmowanych do obliczeń należy określać dokładnie, w oparciu o dane rozdziału 4 niniejszej pracy. 2) Skurcz samoczynny (tzw. skurcz plastyczny) ε ca powinien być uwzględniany w obliczeniach konstrukcji zespolonych typu beton-beton, w odniesieniu do betonu nowego, położonego na warstwie betonu starego (stwardniałego). 3) Skurcz wywołany przez wysychanie betonu (tzw. skurcz fizyczny ε cd jest dla większości przypadków skurczem wywołującym naprężenia skurczowe w konstrukcjach i elementach z betonu i jego wielkości będą miarodajne do obliczeń. 4) Wartość odkształcenia skurczowego elementu czy konstrukcji żelbetowej różni się od wartości swobodnego odkształcenia skurczowego betonu ε cs , czy też ε cd . Przyczyną jest opór wkładek zbrojeniowych przeciw skurczowi. O ile opór ten jest niewielki w początkowym okresie dojrzewania betonu, w czasie gdy ujawnia się skurcz samoczynny (plastyczny) i gdy cechy sprężyste betonu są jeszcze mało rozwinięte, o tyle w późniejszym okresie, gdy ujawnia się skurcz fizyczny, opór ten jest duży i wywołuje zrównoważony stan naprężeń wymuszonych w przekroju elementu. Wówczas kosztem zmniejszonego skurczu ε csRC dochodzi w przekroju najczęściej do ściskania stali zbrojeniowej i rozciągania betonu. Zagadnienie to zobrazowano w rozdziale 3. niniejszej pracy. Podano tam sposób obliczania odkształcenia skurczowego elementu żelbetowego symetrycznego, symetrycznie zbrojonego. W przedstawionym tam przykładzie, redukcja odkształcenia skurczowego elementu żelbetowego, w stosunku do elementu betonowego, wyniosła około 30 %. Redukcję na podobnym poziomie założyła norma PN-76/B-03264, zaś na poziomie 50 % - norma PN-84/B-03264. 5) Wartość odkształcenia skurczowego elementu w konstrukcji żelbetowej zależy od stopnia zbrojenia, miarodajnego wymiaru ho , wilgotności powietrza, klasy betonu. Może być zatem różna w poszczególnych elementach konstrukcji. Przyjmowanie do obliczeń statycznych skurczu jako równoważnego z obniżeniem się temperatury o 15 oC jest dużym przybliżeniem. Odpowiada ono odkształceniu skurczowemu elementów w konstrukcji żelbetowej ε csRC = 0,00015 = constans.

Przykładowo (Przykład II) w ramie portalowej z betonu klasy B25, pracującej w środowisku o RH = 40 %, wartości ε cd wyniosą po 10 latach (365 dniach), przy założeniu, że t s = 7 dni: -

w słupach o przekroju 400/800 mm - ho = 266,7 mm

β ds

  (3650 − 7 ) (3650 − 7 ) =   2  350 (266,7 / 100 ) + (3650 − 7 )

0, 5

= 0,771

ε cd (3650) = -0,771 ⋅ 0,70 = 0,540 ‰ = -0,00054 -

w ryglu o przekroju 400/1500 mm

- ho = 315,8 mm

  (3650 − 7 ) β ds (3650 − 7 ) =   = 0,676 2  350 (315,8 / 100) + (3650 − 7 )

ε cd (3650) = -0,676 ⋅ 0,70 = 0,473 ‰ = -0,00047. Dopiero w stosunku do tych wartości należy przeprowadzić obliczenie ε csRC . Zakładając, że słupy i rygle są silnie obustronnie zbrojone o stopniu zbrojenia ρ1 = ρ 2 = 0,02 (µ o = 0,04) uzyskamy dla betonu klasy B25 (E cm = 30,0 GPa ) przy β = 0,8 i przyłożeniu obciążenia po 28 dniach: 200,0 no = = 6,67 - dla słupów: φ (∞, t o ) = 2,51, 30,0

α3 =

0,04 ⋅ 6,67 = 0,211 1 + 0,04 ⋅ 6,67

k3 =

1 = 0,702 1 + 0,8 ⋅ 0,211 ⋅ 2,51

ε csRC = - 0,000540 (1 - 0,211) ⋅ 0,702 = - 0,00030 (redukcja o 44 %) -

dla rygla: k3 =

φ (∞, t o ) = 2,46,

n o = 6,67,

α 3 = 0,211

1 = 0,707 1 + 0,8 ⋅ 0,211 ⋅ 2,46

ε csRC = - 0,000473 (1 - 0,211) ⋅ 0,707 = - 0,00026 (redukcja o 44 %)

Powyższe wartości ε csRC są znacznie większe niż zakładały to dawne polskie normy, tzn.

ε csRC = 0,00015. Gdyby w/w rama była wykonana z betonu klasy B50 ( E cm = 35,0) i pracowała w środowisku o RH = 80 %, wówczas uzyskalibyśmy: - w słupach

ε cd (3650) = - 0,771 ⋅ 0,29 = 0,224 ‰, φ (∞, t o ) = 1,94,

k3 =

no =

200,0 = 5,71 , 35,0

α 3 = 0,186 ,

1 = 0,776 1 + 0,8 ⋅ 0,186 ⋅ 1,94

ε csRC = - 0,000224 (1 - 0,186) ⋅ 0,776 = - 0,00014 (redukcja o 37 %)

-

w ryglu

φ (∞, t o ) = 1,91, k3 =

n o = 5,71,

α 3 = 0,186 ,

1 = 0,779 1 + 0,8 ⋅ 0,186 ⋅ 1,91

ε csRC = - 0,000196 (1 - 0,186) ⋅ 0,779 = - 0,00012 (redukcja o 37 %) a więc mniej niż ε csRC = 0,00015. Przykład ten wskazuje na celowość wykonywania bardziej szczegółowych obliczeń wartości ε csRC dla analizy statyczno-wytrzymałościowej konstrukcji z betonu zbrojonego.

6. Naprężenia skurczowe w konstrukcji wymuszone przez więzy zewnętrzne Najczęściej uwzględnianymi w obliczeniach statyczno-wytrzymałościowych konstrukcji z betonu są siły uogólnione wywołane w ustroju przez więzy zewnętrzne. Więzy te mogą być sztywne (np. w przypadku stropów połączonych z wzajemnie oddalonymi trzonami komunikacyjnymi) lub podatne (np. w połączeniach rygli z podatnymi słupami w ramach). W obu tych przypadkach należy zastosować dodatkowy schemat obliczeń statycznych, uwzględniający wartość skurczu średniego w przekroju jak dla żelbetu, tzn. ε csRC , obliczonego wg zasad podanych w rozdziale 5. W granicznych dwóch przypadkach (belka nieważka) mamy:

a) w przypadku braku więzów zewnętrznych (rys. 6.1.a) - tylko przemieszczenie swobodne o wartości ε csRC , bez dodatkowej siły rozciągającej N, b) w przypadku więzów sztywnych (rys. 6.1.b) - rozciąganie w pręcie wywołane siłą E N = −ε csRC Ac E cm (1 + no µ o ) = −ε cs Ac E cm k 3 , bez przemieszczenia, gdzie n o = s , E cm µ o = ρ1 + ρ 2 . Dla przypadku pośredniego (rys. 6.1.c), z więzami podatnymi, odkształcenie skurczowe ε csRC dzieli się na dwie części: - beznaprężeniową - naprężeniową

- γ ε csRC , - (1 − γ

) ε csRC

( γ ≤ 1,0 ), ,

N1 = - ( 1 − γ

wywołującą ) ε csRC

rozciąganie

siłą

Ac E cm (1 + no µ o ) .

Rys. 6.1. W ustrojach np. mostowych wszędzie, gdzie jest to możliwe, dąży się do eliminowania wpływu naprężeniowej części odkształcenia (1 − γ ) ε csRC na siły wewnętrzne w ustroju przez stosowanie łożysk przesuwnych, przerw dylatacyjnych itp. Wówczas rola tej części odkształcenia skurczowego może stać się zupełnie drugorzędna. Podobny przypadek może zaistnieć dla żelbetowej płyty fundamentowej, jeżeli zapewnimy jej w miarę swobodne przemieszczenia skurczowe po podłożu gruntowym lub izolacji na warstwie chudego betonu. W przypadku więzów sztywnych, generowane w ustroju wewnętrzne siły rozciągające są zazwyczaj tak duże, że powodują zarysowanie przekroju - skrośne przy przewadze siły osiowej N (mimośrodowe rozciąganie z małym mimośrodem), lub jednostronne przy współdziałaniu dużego momentu zginającego M (mimośrodowe rozciąganie z dużym mimośrodem). Zarysowanie skurczowe wywołane więzami zewnętrznymi nie zawsze musi być szkodliwe dla konstrukcji. Powoduje ono bowiem rozładowanie niepożądanego stanu naprężeń rozciągających w betonie i ściskających w stali (przy więzach podatnych). Na przykład powstanie „n” rys skurczowych o szerokości „wk” w elemencie wg rys. 6.1.b o odległości „l”, spowoduje spadek siły N o wartość:

∆N =

n ⋅ wk Ac E cm (1 + n o µ o ) l

(6.1)

Odpowiada to wartości:

γ =

n ⋅ wk ∆N = N l ⋅ ε csRC

⋅

1 1 + no µ o

(6.2)

Średnie naprężenie rozciągające w betonie spadnie przy tym z wartości:

σ csI =

N = −ε csRC E cm (1 + n o µ o ) Ac

(6.3)

do wartości:

σ csI ' = (1 − γ )σ cs = −ε csRC (1 − γ ) E cm (1 + no µ o )

(6.4)

Przykładowo (Przykład III), dla n = 10, wk = 0,15 mm, l = 10 ⋅ 103 mm, ε csRC = 0,0002, Ecm = 30,0 GPa (beton B25), no = 0,04

γ=

10 ⋅ 0,15 10 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 − 4

= 0,750

σ csI = 0,0002 ⋅ 30 ⋅ 103 (1 + 6,67 ⋅ 0,04) = = 7,60 MPa » f ctm = 2,20 MPa I σ cs' = (1 - 0,750 ⋅ 7,60 = 1,90 MPa < f ctm = 2,20 MPa

Średnie naprężenie w stali na całym odcinku l, σss = 0, przy czym lokalnie stal będzie rozciągana (w rysach) i ściskana na środkowych odcinkach między rysami. Omawiane naprężenia σ csI nie są jedynym efektem oddziaływania skurczu na konstrukcje z betonu. Efekt ten uwzględnia się w obliczeniach statycznowytrzymałościowych konstrukcji poprzez wpływ na siły uogólnione w konstrukcji, a tym samym jej stany graniczne nośności i użytkowalności.

7. Naprężenia skurczowe w konstrukcji wymuszone przez więzy wewnętrzne (opór zbrojenia) Drugą część oddziaływania skurczu na konstrukcje z betonu stanowią naprężenia wymuszone w przekrojach poszczególnych jej elementach przez więzy wewnętrzne w postaci oporu prętów zbrojenia przeciw skurczowi swobodnemu ε cs . Więzy te wywołują zazwyczaj naprężenia rozciągające w betonie i ściskające w stali zbrojeniowej. Dzięki

istnieniu tych więzów odkształcenia skurczowe w elementach żelbetowych ε csRC są mniejsze niż w betonowych ε cs , ale w przekroju każdego z elementów pojawia się dodatkowe pole naprężeń σ csII , które zazwyczaj jest pomijane w analizach wytrzymałościowych.

Rys. 7.1. W symetrycznym, symetrycznie zbrojonym przekroju żelbetowym oraz skurczu liniowym i jednorodnym w przekroju (rys. 7.1.), wartości tych naprężeń wynoszą [16, 18]:

σ ssII = ε cs E s (1 − a 3 )k 3 ; ściskanie

(7.1a)

σ csII = −ε cs E cm a 3 k 3 ; rozciąganie

(7.1b)

Na przykład (Przykład IV), dla elementu z betonu klasy B20, ρ1 = ρ2 = 0,01 (µo = 0,02), no = 6,9 otrzymamy: E cm = 29,0, ε cs = - 0,00030, a = 0,121, k3 = 0,811 (jak w przykładzie I).

σ ssII = - 3,0 ⋅ 10-4 ⋅ 200 ⋅ 103 (1 - 0,121) ⋅ 0,811 = - 42,8 MPa , σ csII = 3,0 ⋅ 10-4 ⋅ 29,0 ⋅ 0,121 ⋅0,811 = 0,85 MPa = 0,45 f ctm < f ctk = 1,30 MPa

Rys. 7.2. W rozważonym schemacie otrzymuje się najmniejsze wartości naprężeń rozciągających

σ . Wartości największe na krawędzi rozciąganej otrzymuje się w przypadku belki teowej II cs

pojedynczo zbrojonej. Dla belki prostokątnej pojedynczo zbrojonej (rys.7.2.) uzyskuje się następujące wyrażenia [16, 18]:

(

)

σ ssII = ε cs E s 1 − a ' k 3 ,

(7.2a)

σ csII = −ε cs E cm a '' k 3 ,

(7.2b)

σ csII' = −ε cs E cm a ''' k 3 ,

(7.2c)

gdzie: 2

a' =

no µo η 1 + 6e h 1 − 6e h  e ; a '' = a ' ⋅ ; a ''' = a ' ⋅ ; η = 1 + 12   ;  h 1 + no µo η η η

k3 =

1 1 + β a φ ( ∞, t o ) '

(7.3)

Na przykład (Przykład V), dla elementu z betonu klasy B25, E s = 200 GPa,

E cm = 30 GPa, no = 6,67, µo = ρ1 = 0,015, ε cs = - 3,0 ⋅ 10-4, β = 0,8, φ ( ∞, t s ) = 2,4, ' ''' e/h = 0,4, η = 2,92, a = 0,226, a '' = 0,263, a = - 0,108, k3 = 0,697, otrzymamy:

σ ssII = - 3,0 ⋅ 10-4 ⋅ 200 ⋅ 103 (1 - 0,226) ⋅ 0,697 = - 32,4 MPa , σ csII = 3,0 ⋅ 10-4 ⋅ 30,0 ⋅ 103 ⋅ 0,263 ⋅ 0,697 = 1,65 MPa = 0,75 f ctm > f ctk = = 1,50 MPa ,

σ csII' = - 3,0 ⋅ 10-4 ⋅ 30,0 ⋅ 103 ⋅ 0,108 ⋅ 0,697 = - 0,68 MPa , Z powyższych przykładów wynika, że naprężenia wymuszone σ csII mogą osiągać znaczne wartości. Szczególnie duże są te naprężenia w wysokich przekrojach teowych, powszechnie stosowanych w mostownictwie. W pracach [17, 19] oszacowano, że naprężenia te w dwóch konkretnych obiektach mostowych wyniosły (rys. 7.3): 1) σ csII = 1,31 MPa = 0,82 f ctm > f ctk = 1,10 MPa 2) σ csII = 1,25 MPa = 0,66 f ctm < f ctk = 1,30 MPa

Rys. 7.3. Wykresy naprężeń skurczowych σ csII (w MPa) spowodowane oporem zbrojenia w rozpatrywanych belkach Naprężenia skurczowe σ csII zwiększają swe wartości ze wzrostem skurczu betonu w czasie, podobnie jak naprężenia σ csI . Miarą relaksacji tych naprężeń w wyniku pełzania betonu jest wartość współczynnika k3, którą w odniesieniu do betonu zbrojonego można obliczyć z formuł (3.8) lub (7.3), a także z przybliżonej zależności wg [20]: k3 =

1 1 + 0,2φ (∞,t s )

(7.4)

Jeżeli φ ( ∞, t s ) = 2,4 to k 3 = 0,68. W omawianych przykładach wartość tego współczynnika obliczona z formuł (3.8) lub (7.3) wyniosła odpowiednio: 0,81, 0,71, 0,78, 0,70. Naprężenia rozciągające w betonie σ csII , o tak dużych wartościach jak to wykazano powyżej, są bardzo niekorzystne. Zmniejszają one bowiem wyraźnie moment rysujący Mcr czy też siłę rysującą Ncr w elemencie, przyśpieszając proces jego zarysowania. Z kolei rzutuje to na mniejszą sztywność elementu oraz jego obniżoną odporność korozyjną. Natomiast korzyści wynikające ze ściskających naprężeń σ ssII w stali zbrojeniowej są iluzoryczne, gdyż w momencie zarysowania skurczowego elementu naprężenia te zanikają i ich wpływ na podwyższenie nośności przekroju jest niewielki.

8. Naprężenia skurczowe własne w przekroju Opisane w p. 6 i 7 dwie składowe naprężeń skurczowych σ cs w przekroju elementu żelbetowego są w pewnym stopniu niezależne od konstruktora, determinowanego schematem statycznym konstrukcji czy też rozkładem zbrojenia w elementach. Powinien on

jednakże mieć wpływ na obniżenie wartości σ cs w zastosowanym betonie przez odpowiednią technologię użytej mieszanki betonowej. Wchodzą tu w grę takie czynniki jak zastosowanie niskiego W/C, niskiego zużycia cementu i superplastyfikatorów, zastosowanie odpowiedniej technologii zagęszczania jak np. odpowietrzanie betonu itp. Istnieje natomiast jeszcze trzecia składowa odkształceń i naprężeń skurczowych w przekroju elementów z betonu, która powinna być koniecznie poddana kontroli konstruktora. Są to naprężenia skurczowe własne, wywołane w przekroju przez nieliniowe i równocześnie niestacjonarne pola wilgotności w elemencie. Współczynnik W/C w mieszance betonowej wynosi zazwyczaj 0,4÷0,6, podczas gdy do pełnej hydratacji cementu potrzeba około Wh/C = 0,25. Nadmiar wody zarobowej ponad tę wartość wyparowuje z betonu przez powierzchnie zewnętrzne elementu. Pod wpływem zaistniałego gradientu stężenia powstają w przekroju nieliniowe i niestacjonarne pola wilgotności (rys. 8.1), które są przyczyną powstawania pewnego dodatku naprężeń skurczowych σ csIII , rozciągających włókna przypowierzchniowe elementu i ściskających włókna w głębi przekroju. Naprężenia te, samorównoważące się w przekroju, wywołane są przez opór jednych warstw betonu w stosunku do innych pod wpływem ich tendencji do nierównomiernych przemieszczeń skurczowych.

Rys. 8.1. Gradient przypowierzchniowy omawianych pól wilgotności

dU (τ ) dx

jest największy po p

rozdeskowaniu konstrukcji; z biegiem czasu wilgotność wnętrza elementu dąży do wyrównania się i stabilizuje się na poziomie równowagi higrometrycznej z otaczającą atmosferą. Naprężenia własne σ csIII mogą być obliczone ze wzoru: ∞

d∆U p (τ )

τ1

dτ

σ csIII = k 3 β w ∫ E ct (τ ) gdzie:

βw

dτ

(8.1)

- współczynnik liniowy odkształcalności wilgotnościowej betonu dla jednostkowej zmiany wilgotności wagowej; można wg [21] przyjmować mm / mm βw = 3,0 ⋅ 10-2 , g/g

Ect (τ) - współczynnik sprężystości betonu na rozciąganie; zazwyczaj przyjmuje się Ect (τ) = Ecm (τ).

Rys. 8.2.

Rys. 8.3.

Odkształcenia skurczowe ε cs odpowiadające za naprężenia skurczowe σ csI i σ csII są funkcją średniej zmiany wilgotności U (τ) w przekroju (rys. 8.2):

ε csI ≡ ε csII = β w [U kr − U śr (τ )] = β w ∆U śr (τ ) , natomiast:

[

]

ε csIII = β w U śr (τ ) − U p (τ ) = β w ∆U p (τ ) ,

(8.2) (8.3)

Zależności ∆U śr (τ ) i ∆U p (τ ) przedstawiono na rys. 8.2. Widać na ich podstawie wyraźnie, że o ile odkształcenia skurczowe ε csI , II z biegiem czasu mają tendencję rosnącą , o tyle odkształcenia skurczowe ε csIII , odpowiadające za naprężenia σ csIII , po osiągnięciu maksimum w krótkim czasie po rozdeskowaniu konstrukcji, mają później tendencję malejącą. Szacowanie wartości naprężeń σ csIII nastręcza wiele trudności. Zazwyczaj konstruktorowi nie znany jest termin rozdeskowania konstrukcji, pogoda panująca podczas dojrzewania betonu, zastosowane sposoby pielęgnacji powierzchni. Ważnym jest takie sterowanie procesem rozdeskowania, aby ekstremum wartości σ csIII było poniżej krzywej

wytrzymałości betonu na rozciąganie f ctm (τ ) - por. rys. 8.3. W przeciwnym razie dojdzie do zarysowania stref przypowierzchniowych elementu we wczesnym okresie jego "„życia". Z jednej strony spowoduje to „rozładowanie” niepożądanego stanu naprężeń własnych, z drugiej strony jednak rysy te pozostaną w elemencie w sposób trwały, co oznacza częściową degradację przekroju z punktu widzenia jego wytrzymałości i sztywności, a w dalszej konsekwencji - jego trwałości. Próbę oszacowania naprężeń σ csIII podjęto w pracach [19, 22], a odkształceń ε csIII w

pracy [23]. Obliczone na podstawie pracy [22] największe naprężenia σ csIII , przy założeniu betonu klasy B25 i k3 = 0,7, wyniosłoby 1,28 MPa = 0,58 f ctm < f ctk = 1,50 MPa, a na

podstawie pracy [23] - przy założeniu betonu klasy B20 i k3 = 0,7 - σ csIII = 1,87 MPa = 0,98 f ctm > f ctk = 1,30 MPa. Wskazuje to na duże znaczenie omawianych naprężeń, zwłaszcza, że naprężenia te sumują się zazwyczaj z naprężeniami skurczowymi σ csI i σ csII (I , II , III ) ≥ f (por. rys. 8.4), tak iż prawdopodobieństwo zaistnienia Σ σ cs ctm (τ ) jest bardzo

duże. Należy tu jednakże zaznaczyć, że ekstrema poszczególnych składników f ctm (τ ) tej sumy nie występują jednocześnie, co łagodzi ostrość powyższego zapisu.

Rys. 8.4. Naprężenia σ csIII maleją tym szybciej, im mniejsza jest grubość zastępcza elementu. Zachodzi tu zatem zjawisko odwrotne niż w odniesieniu do naprężeń σ csII , które rosną tym szybciej im mniejsza jest grubość zastępcza elementu. W elementach niemasywnych dominującą rolę odgrywają naprężenia σ csII , podczas gdy w masywnych - σ csIII . Relaksacja naprężeń σ csIII w wyniku pełzania betonu zachodzi dużo wyraźniej w elementach masywnych, niż w elementach o małej masywności. Według [20] współczynnik relaksacji k3 dla naprężeń skurczowych własnych może być określony z zależności przybliżonej: 1 k3 = + 0,2 (8.4) 2φ (∞,t s ) Tak więc przy φ (∞,t s ) = 2,0 (długotrwałe oddziaływanie naprężeń σ csIII w elemencie

masywnym) k3 = 0,45, przy φ (∞,t s ) = 1,0 (zanikające w czasie oddziaływanie naprężeń

σ csIII w elemencie o małej masywności k3 = 0,70.

9. Obliczanie ilości przypowierzchniowego zbrojenia przeciwskurczowego (I , II , III ) = Największe wartości sumaryczne rozciągające naprężenia skurczowe Σ σ cs

σ csI + σ csII + σ csIII osiągają w skrajnych, przypowierzchniowych strefach przekroju i strefy te wymagają przede wszystkim zabezpieczenia przed zarysowaniem skurczowym.

W przypadku elementów żelbetowych nasyconych zbrojeniem problem dodatkowego przypowierzchniowego zbrojenia przeciwskurczowego jest najczęściej nieistotny, gdyż istniejące wkładki zbrojenia zabezpieczają te strefy przed zarysowaniem lub też ograniczają szerokość rozwarcia powstających rys skurczowych; z rozciąganiem betonu od skurczu najczęściej sumują się naprężenia rozciągające od pracy elementu na obciążenia zewnętrzne i morfologia powstających rys pochodzi od obu tych zjawisk łącznie.

Rys. 9.1. Obliczeniowy rozkład naprężeń własnych σ csIII w przekrojach betonowych Największy problem stwarzają przypowierzchniowe strefy elementów masywnych (m ≤ 2 m-1 - rys. 9.1b) i o średniej masywności (2 < m < 15 m-1 - rys. 9.1a), w których zbrojenie ze względów obliczeniowych nie jest potrzebne. Należą do nich m.in. boczne powierzchnie podpór mostowych, wysokich belek żelbetowych, górne powierzchnie grubych płyt żelbetowych. Oddziaływujące na nie naprężenia skurczowe σ csIII powodują bardzo często zarysowania ich powierzchni we wczesnym okresie po rozdeskowaniu. Przez moduł powierzchniowy elementu [21, 24] rozumie się tu wyrażenie: m=

uc , [m-1] vc

(9.1)

gdzie: - powierzchnia elementu wystawiona na wymianę wilgoci zawartej w betonie z otoczeniem [m2], vc - objętość betonu w elemencie [m3]. Dla płyty lub ściany o dominującym wymiarze „h” (grubość), w przypadku obustronnej wymiany wilgoci, moduł powierzchniowy wynosi: uc

m=

2 ⋅ l1 ⋅ l 2 2 = , [m-1]. l1 ⋅ l 2 ⋅ h h

(9.2)

Przy jednostronnej wymianie wilgoci (np. płyta fundamentowa na zaizolowanym podłożu): m=

l1 ⋅ l 2 1 = , [m-1]. l1 ⋅ l 2 ⋅ h h

(9.3)

Dla pręta pryzmatycznego o długości l » a lub l » dc (gdzie a - wymiar boku pręta o przekroju kwadratowym, dc - średnica pręta o przekroju kołowym), z wymianą wilgoci przez całą powierzchnię zewnętrzną, zachodzi: 4 4 = , [m-1]. (9.4) a d Dla bloku sześciennego o boku a z wymianą wilgoci przez wszystkie powierzchnie zewnętrzne, mamy: m=

m=

6 , [m-1]. a

(9.5)

2 = 20 m-1 > 15,0 m-1 i jest 0,10 niemasywna, podczas gdy płytowy ustrój nośny w moście o grubości h = 1,20 m ma 2 = 1,67 < 2,0 m-1, co oznacza, że jest masywny. Masywną będzie również płyta m= 1,20 fundamentowa z jednostronną wymianą wilgoci, przy grubości h wynoszącej: Płyta stropowa o grubości h = 0,10 m ma m =

h≥

1 1 = = 0,50 m. m 2,0

Typowe belki żelbetowe i sprężone stosowane w budownictwie powszechnym mają moduł powierzchniowy m = 7÷14 m-1, zaś belki stosowane w budownictwie - m = 3÷7 m-1. Są to zatem elementy o średniej masywności, w pierwszym przypadku bardziej zbliżone do elementów niemasywnych, w drugim - do elementów masywnych. W elementach niemasywnych dominują wymuszone naprężenia skurczowe σ csI + σ csII , w elementach masywnych - własne naprężenia skurczowe σ csIII . Elementy niemasywne (m ≥ 15,0 m-1) nie wymagają dodatkowego zbrojenia przeciwskurczowego III (przypowierzchniowego), dla przeniesienia naprężeń σ cs . Mogą one wymagać takiego zbrojenia dla przeniesienia naprężeń wymuszonych σ csI + σ csII . Między modułem powierzchniowym elementu „m”, a jego miarodajnym wymiarem „ho” istnieje dla elementów płytowych i pryzmatycznych następująca zależność: m=

uc 2 Ac u ⋅ 1,0 2 = = = , [m-1] v c Ac ⋅ 1,0 ho ⋅ Ac ho

(9.6)

Jak wykazano w p. 8 już same naprężenia skurczowe własne σ csIII mogą osiągać wartości zbliżone lub przekraczające wartość wytrzymałości średniej betonu na rozciąganie fctm. Jeśli weźmiemy pod uwagę fakt sumowania się w rzeczywistych konstrukcjach z betonu naprężeń σ csIII z naprężeniami σ csII + σ csI , wówczas prawdopodobieństwo przekroczenia przez sumaryczne naprężenia

(

)

I II III ∑ σ cs + σ cs + σ cs wytrzymałości fctm znacznie się powiększa. Z

rys. 8.4 wynika, że naprężenia te są największe na krawędzi elementu, przez który odbywa się wymiana masy (wilgoci) z otoczeniem i - przesuwając się w głąb elementu - szybko spadają. Najbardziej narażona zatem na rozciągające naprężenia skurczowe jest przypowierzchniowa strefa elementów konstrukcyjnych z betonu. Dokładne oszacowanie grubości tej strefy jest praktycznie niemożliwe. Zależy ona od podatności konstrukcji na obciążenie skurczem, stopnia zbrojenia elementów, cech fizycznych mieszanki betonowej, pielęgnacji betonu i warunków dojrzewania, wilgotności i temperatury środowiska zewnętrznego, masywności elementu, itp. Stąd też oszacowanie grubości tej strefy „b1”, może być tylko przybliżone. Najczęściej przyjmuje się, że grubość „b1” wynika z rozkładu w przekroju naprężeń własnych σ csIII . Grubość ta w stosunku do grubości elementu ”b” jest zdecydowanie inna w elementach o średniej masywności i masywnych. W elementach o średniej masywności kształt pola naprężeń własnych σ csIII w przekroju (w przybliżeniu podobny do kształtu pola wilgotności) zbliżony jest do paraboli stopnia trzeciego i wówczas b1 ≅ 0,185 b. W elementach masywnych wykres pola wilgotności zbliża się do parabol wyższych stopni, a nawet - w elementach bardzo grubych z uwagi na bezwładność wilgotnościową środkowej części elementu oraz bardziej zaawansowaną dojrzałość z uwagi na samoocieplenie pod wpływem ciepła hydratacji cementu - przyjmuje charakter jak na rys. 9.1b [24]. Wówczas grubość „b1” można przyjąć w przybliżeniu na podstawie doświadczeń. Wynosi ona około (0,05÷0,15) b, więcej w elementach o współczynniku masywności zbliżonym do m = 2,0 m-1, mniej w elementach o dużej grubości (m «2,0 m-1). Kolejne założenie jakie należy przyjąć, to kształt wykresu naprężeń w rozciąganej, przypowierzchniowej strefie elementu. Wykazany w p. 6, 7 i 8 sposób obliczania naprężeń skurczowych σ csI , σ csII i σ csIII bazował na teorii sprężystości. Podane w tych rozdziałach wzory uwzględniały tylko cechy sprężyste betonu (Ecm = constans) oraz lepkie - przez wprowadzenie współczynnika relaksacji naprężeń skurczowych na skutek pełzania - k3. Nie uwzględniały one jednak cech plastycznych betonu, których udział jest tym większy im naprężenie skurczowe jest bliższe wartości fctm (por. rys. 9.2).

Rys. 9.2. Udział cech plastycznych jest ponadto bardziej znaczący w betonach niższych klas (np. B20), mniej w betonach klas wysokich (np. B50) - por. rys. 9.2b.

Obciążenie skurczem jest obciążeniem dystorsyjnym, o charakterze kinematycznym, tzn. wiodącym jest odkształcenie skurczowe εcs, a pochodną wielkością jest naprężenie skurczowe σcs. Stąd do zarysowania skurczowego dochodzi, gdy suma I II III ∑ (1 − γ ) ε cs + ε cs + ε cs osiągnie wartość większą od wydłużalności granicznej betonu na

[

]

ε ct'

rozciąganie . Wówczas naprężenie rozciągające w betonie wynosi fctm. Sytuację tę przedstawia rys. 9.3.

Rys. 9.3. Diagram naprężeń rozciągających w przypowierzchniowej strefie betonu Większość autorów potrzebną ilość zbrojenia przeciwskurczowego w strefie o szerokości „b1” oblicza wychodząc z diagramu naprężeń, przedstawionego na rys. 9.3. Różnice dotyczą tego, jaką wartość naprężenia fct przyjmuje się za graniczną. Czy fctm, czy fctk. czy też jeszcze inną. Następnie, czy rzeczywisty diagram naprężeń rozciągających σ ctrzecz aproksymuje się prostokątem o wymiarach fct ⋅ b1 ⋅ (1,0 m), czy też prostokątem o uśrednionej szerokości δ ⋅ b1 (δ ≤ 1,0), czy też trójkątem o szerokości podstawy „b1” i wysokości fct. I wreszcie, czy uwzględnia się współpracę betonu przy rozciąganiu ze stalą zbrojenia przeciwskurczowego, czy też nie. Zakłada się przy tym, że w momencie pojawienia się rysy skurczowej całą bryłę naprężeń rozciągających w strefie o szerokości „b1” przenosi stal zbrojenia przypowierzchniowego. Naprężenie w tej stali nie może przekroczyć granicy plastyczności fyk, tak aby możliwa była kontrola szerokości rys skurczowych. Poniżej zestawiono kilka możliwych podejść do rozpatrywanego zagadnienia. F. Leonhardt [26] wymaga, aby spełniony był warunek:

ρ ss = gdzie:

f ctk ,0,95 Ass ≥ Act f yk

ρss - stopień zbrojenia przeciwskurczowego w strefie o szerokości b1, fctk,0,95 - kwantyl 95 % wytrzymałości losowej betonu na rozciąganie (MPa), fyk - wytrzymałość charakterystyczna stali zbrojeniowej (MPa).

(9.7)

We wzorze tym przyjęto wytrzymałość graniczną w momencie zarysowania betonu na wysokim poziomie, równym fctk,0,95 oraz prostokątny wykres naprężeń w strefie rozciąganej. H. Rüsch i D. Jungwirth [20] proponują obliczać ρss z wzoru:

ρ ss ≥ (1 + nµ )

f ct f ≅ 1,05 ctm f yk f yk

(9.8)

gdzie fct jest wytrzymałością betonu na rozciąganie, szacowaną w przybliżeniu jako wartość średnia z fctk,0,05 i fctm, z uwzględnieniem wpływu wieku betonu na wzrost wytrzymałości na rozciąganie. Wzór zakłada prostokątny wykres naprężeń rozciągających oraz sprężystą współpracę betonu z wkładkami zbrojenia przeciwskurczowego [(1 + nµ) = (1 + no ρss)], tuż przed zarysowaniem. Według SIA 162 [27] ilość minimalnego zbrojenia zabezpieczającego przed powstaniem rys oblicza się z wzoru:

ρ ss ≥

α f ct f yk

(9.9)

gdzie α jest współczynnikiem zależnym od rozstawu prętów przypowierzchniowych i wynosi α = 1,0 dla ep = 10 cm oraz α = 1,4 dla ep = epmax = 30 cm. fct jest wytrzymałością betonu na rozciąganie przyjmowaną w wysokości 2,00 MPa dla betonów klas niższych od B 35/25 (oznaczenia według [27]) oraz 2,50 MPa dla pozostałych klas betonu. W pracach [18, 28] K. Flaga zaproponował zależność: 0,55

f ctk f ≤ ρ ss ≤ 1,10 ctk f yk f yk

(9.10)

f ctm f ≤ ρ ss ≤ 1,10 ctm f yk f yk

(9.11)

później skorygowaną [29] do postaci: 0,55

obl wartości fctm tylko we włóknach Dolna granica odpowiada osiągnięciu przez naprężenia σ cs skrajnych rozciąganej strefy przypowierzchniowej (w przybliżeniu trójkątny wykres naprężeń rozciągających), natomiast górna granica odpowiada założeniu uplastycznienia całej tej strefy (prostokątny wykres naprężeń rozciągających). Wzory (9.10) i (9.11) uwzględniają również plastyczną współpracę betonu z wkładkami zbrojenia przeciwskurczowego, tuż przed zarysowaniem (1,10 ≅ 1 + 2 no ρss). I wreszcie Eurokod 2 [7, 8], a w ślad za nim norma PrPN-B-03264 [6] w p. 6.2 podaje wzór, ważny dla minimalnego pola As przekroju zbrojenia rozciąganego, wymaganego z uwagi na ograniczenie szerokości rys spowodowanych naprężeniami wywołanymi przez odkształcenia wymuszone przyczynami wewnętrznymi (skurcz) lub zewnętrznymi (osiadanie podpór), w postaci:

As = kc ⋅ k ⋅ fct,eff ⋅

Act σs

(9.12)

gdzie: kc k fct,eff Act

σs

- współczynnik uwzględniający rozkład naprężeń w przekroju w chwili poprzedzającej zarysowanie, - współczynnik uwzględniający wpływ nierównomiernych naprężeń samorównoważących się w ustroju, - średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie w chwili spodziewanego zarysowania, - pole przekroju strefy rozciąganej elementu w chwili poprzedzającej zarysowanie, - maksymalne naprężenie przyjęte w zbrojeniu rozciąganym natychmiast po zarysowaniu, zależne od średnicy prętów.

Wzór (9.12) można łatwo adaptować do obliczenia zbrojenia przeciwskurczowego w przypowierzchniowych strefach elementów konstrukcyjnych z betonu, przyjmując: - kc = 1,0 (jak przy rozciąganiu osiowym), - k = 0,8 (z uwagi na niepełne „wypełnienie” prostokąta o szerokości b1 przez pole naprężeń rozciągających), - Act = b1 ⋅ 1,0 m. Wówczas:

ρ ss ≥ 0,8 ⋅

f ct ,eff

(9.13) σs Wartość fct,eff zależy od terminu spodziewanego zarysowania skurczowego. W przypadku braku ściślejszych informacji zaleca się przyjmować fct,eff = fctm odpowiednio do projektowanej klasy betonu, lub do klasy betonu w momencie spodziewanego zarysowania. Eurokod 2 sugeruje [7, 8, 11], że jeżeli zarysowanie nie nastąpi wcześniej niż po 28 dniach wówczas jako minimalną należy przyjmować fct,eff = 3,0 MPa. K. Flaga dyskutuje z tą sugestią w pracy [30], proponując przyjąć fct,eff = 2,0 MPa dla betonów klas do B20, 2,5 MPa - dla betonów klas do B30 i 3,0 MPa - dla betonów klas wyższych. Wartość σs naprężeń w zbrojeniu rozciąganym można przyjąć równą fyk z tym, że z uwagi na nieprzekroczenie granicznej szerokości rys - może być potrzebne obniżenie tego naprężenia. Stosowny przykład będzie przytoczony w dalszej części niniejszej pracy. W tablicy 9.1 podano wyniki analizy porównawczej stopnia zbrojenia przeciwskurczowego ρss, obliczonego z wzorów (9.7), (9.8), (9.9), (9.11) i (9.13), dla 2 klas betonu (B20 i B50) i 2 klas stali (A-I i A-III). Do obliczeń przyjęto fctm = 1,9 MPa i 3,5 MPa, fctk,0,95 = 2,5 MPa i 4,6 MPa, fctk = 1,3 MPa i 2,5 MPa, fct,eff = fctm ≥ 3,0 MPa, fyk = 240 MPa i 410 MPa, α = 1,2.

Tablica 9.1. Wartości minimalnego stopnia zbrojenia przeciwskurczowego ρss Stal fyk [MPa]

Klasa betonu

ρ ssmin według wzoru (9.7)

(9.8)

(9.9)

(9.11)*

(9.13)

Wartość średnia 0,0092 0,0145 0,0055 0,0085

B20 0,0104 0,0070 0,0100 0,0087 0,0100 B50 0,0192 0,0131 0,0125 0,0160 0,0117 B20 0,0070 0,0041 0,0055 0,0051 0,0059 410 B50 0,0112 0,0077 0,0073 0,0094 0,0068 * wartości obliczone ze wzoru ρss = 1,10 fctm/fyk. Jak wynika z powyższej tablicy, różnice między wartościami ρ ssmin obliczone z 240

przytoczonych wzorów są dość znaczne, rzędu ± 25 % w stosunku do wartości średnich. Wartości ρ ssmin zbliżone do powyższych wartości średnich można uzyskać jako średnią arytmetyczną z wartości obliczonych według wzorów (9.11) i (9.13). Reasumując można stwierdzić, że stopień zbrojenia przeciwskurczowego w przypowierzchniowych strefach elementów konstrukcyjnych z betonu powinien wynosić dla stali o fyk = 240 MPa - od 0,90 do 1,45 % dla betonu klas od B20 do B50 oraz dla stali o fyk = 410 MPa - 0,55 do 0,85 % dla betonu klas jak wyżej. Przykład VI. Belka mostowa o przekroju 600/3000 mm wykonana jest z betonu klasy B30 o fctm = 2,6 MPa i zbrojona prętami ze stali 18G2 o fyk = 355 MPa. Należy określić ilość zbrojenia przeciwskurczowego przy powierzchniach bocznych belki.

Moduł powierzchniowy: m=

u c 2 (0,60 + 3,00 ) = = 4,0 m-1 0,60 ⋅ 3,00 vc

> 2,0 m-1 < 15,0 m-1.

Jest to zatem element o średniej masywności wymagający zbrojenia przypowierzchniowego. Grubość strefy rozciąganej: b1 = 0,185 ⋅ 600 = 111 mm. Konieczny stopień zbrojenia przeciwskurczowego: - z wzoru (9.5) 2,60 ρ ss ≥ 1,10 = 0,0081 355 - z wzoru (9.7) 3,00 = 0,0068 . ρ ss ≥ 0,8 355 Wartość średnia ρss = 0,0075. Konieczne pole przekroju zbrojenia przeciwskurczowego: Ass = ρss ⋅ b1 ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 0,0075 ⋅ 111 ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 832,5 mm2 = 8,33 cm2/1 mb konturu a więc na przykład φ 14 co 185 mm o Ass = 8,32 cm2/1 mb.

Zbrojenie to powinno być umieszczone w pobliżu środka ciężkości bryły naprężeń rozciągających w betonie i rozmieszczone równomiernie zarówno poziomo jak i pionowo, z uwagi na podobny rozwój odkształceń i naprężeń skurczowych. Dużo większe prawdopodobieństwo przekroczenia przez naprężenia σcs wartości fctm zachodzi dla kierunku poziomego, gdyż sumują się tu naprężenia skurczowe wymuszone przez zbrojenie główne σ ctII z naprężeniami własnymi σ ctIII - por. rys. 9.4. W kierunku pionowym występują tylko naprężenia σ ctIII , gdyż naprężenia wymuszone przez opór strzemion σ ctII są stosunkowo małe. Stąd też obliczone powyżej zbrojenie Ass należy w pełni zastosować jako pręty podłużne przy obu bocznych powierzchniach belki. W kierunku pionowym ilość tego zbrojenia może być zredukowana maksimum do połowy (por. wzór 9.11), a według normy [5] (por. p. 2.5) do 60 % ilości minimalnych. Ostatecznie przyjęto dla kierunku pionowego: Asspion = 0,6 ⋅ 8,33 = 5,00 cm2/1 mb a więc na przykład φ 14 co 300 mm, na całej długości belki. Na odcinkach ścinania powinny to być pręty dodatkowe, w postaci np. dodatkowych strzemion [31]. Poza odcinkami ścinania, rolę tę mogą pełnić pionowe ramiona strzemion stosowanych ze względów konstrukcyjnych. Przykład VII. Belka żelbetowa o przekroju 300/800 mm wykonana z analogicznych materiałów jak w przykładzie VI. 2 (0,30 + 0,80 ) m= = 12,2 m-1 > 2,0 m-1 0,30 ⋅ 0,80 < 15,0 m-1 b1 = 0,185 ⋅ 300 = 55,5 mm. Element o średniej masywności, bliskiej elementów niemasywnych; małe obl prawdopodobieństwo osiągnięcia przez naprężenia σ cs wartości porównywalnych z

wytrzymałością fctm. 2,60 = 0,0040 ρ ss ≥ 0,55 355 Ass = 0,0040 ⋅ 55,5 ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 222 mm2 = 2,22 cm2/1 mb konturu a więc na przykład φ 10 co 350 mm o Ass = 2,26 cm2/1 mb.

Zbrojenie powyższe jest zgodne z wymogami Pr PN-B-03264 [6] w zakresie dodatkowego zbrojenia podłużnego. Powinno być ono również uwzględnione w tej ilości przy konstruowaniu pionowych ramion strzemion w tej belce.

Rys. 9.4. Zmienność naprężeń skurczowych σ csII i σ csIII , w przekroju belki mostowej o dużej wysokości (żelbetowej lub sprężonej) W pracy [29] autorzy zestawili ilości przypowierzchniowego zbrojenia podłużnego, wymaganego przez różne normy w belkach wysokich z betonu. Stopień tego zbrojenia odniesiony do pola przekroju poprzecznego b ⋅ h, przy każdej z powierzchni belek o szerokości b = 400 mm wyniósł: 0,025 % (wg PN-56/B-03260), 0,031 % (wg PN-84/B-03264), 0,050 % (wg PN-76/B03264), 0,066 % (wg ACI), 0,100 % (wg SIA oraz DIN), 0,150 % (wg PN-91/S-10042). Stosunek między wartościami skrajnymi wynosi tu 6 i dotyczy 2. polskich norm, starej z 1956 r. i nowej z 1991 r. Dane te świadczą o wzrastającym w Polsce zrozumieniu dla przypowierzchniowego zbrojenia przeciwskurczowego. Aby przeliczyć powyższe dane na wartości porównywalne z b b tablicą 9.1, należy je pomnożyć przez czynnik κ = = = 5,4. b1 0,185 b

Otrzymany wówczas ρss = 0,00135 (dla PN-56/B-03260), ρss = 0,0054 (dla SIA i DIN) i

ρss = 0,0081 (dla PN-91/S-10042). Dopiero wartości ρss wg norm SIA 162 [27], DIN 1075 [32] i PN-91/S-10042 [5] są porównywalne z wartościami ρ ssmin z tablicy 9.1. Aktualny projekt Pr PN-B-03264 [6] wymaga w analizowanym przypadku tylko: 1 1000 1 ⋅κ = ⋅ 0,50 ⋅ 10 2 ⋅ ⋅ 5,4 = 0,0019 « ρ ssmin bh 350 400 ⋅ 1000 z tablicy 9.1, a więc stanowczo za mało.

ρ ss = n ⋅ A1s ⋅

10. Średnica i rozstaw zbrojenia przeciwskurczowego Zastosowanie zbrojenia przeciwskurczowego w ilości obliczonej według zasad podanych w p. 9 nie wyczerpuje zagadnienia. Zapewnia ono jedynie to, że nieciągłość powstała w strefie przypowierzchniowej na skutek zarysowania skurczowego zostaje „zszyta” przez zbrojenie przeciwskurczowe, w którym w momencie powstania rysy nie zostaje przekroczona granica plastyczności fyk. Pozwala to na kontrolę szerokości powstałych rys skurczowych wk. Szerokość ta przy naprężeniu w stali równym fyk może być za duża z punktu widzenia trwałości elementu. Powstaje zatem kolejny problem, a to średnicy i rozstawu zbrojenia przeciwskurczowego w ilości Ass, zapewniających odpowiednią dopuszczalną morfologię rys skurczowych w strefach przypowierzchniowych elementu. Według H. Rüscha i D. Jungwirtha [20] zapewnienie warunku wk < wlim wymaga zastosowania zbrojenia o średnicy φs spełniającej warunek:

φs ≤ gdzie:

3τ 1 ⋅ wlim ⋅ E s

(10.1)

f yk2

τ1

- wytrzymałość na przyczepność betonu do stali zbrojeniowej; w przypadku prętów zabetonowanych w pozycji poziomej można przyjąć τ1 = 0,15 fcm, fcm - średnia wytrzymałość betonu na ściskanie. Dla rozpatrzonego w p. 9 przykładu VI otrzymalibyśmy, przy wlim = 0,3 mm i fcm = 33 MPa:

φs ≤

3 ⋅ 0,15 ⋅ 0,33 ⋅ 0,3 ⋅ 200 ⋅ 10 3 355 2

= 7,1 mm.

Dla większej średnicy zastosowanego zbrojenia przeciwskurczowego φ należy zmniejszyć naprężenie w stali do wartości:

σ s = f yk 3 φ s φ

(10.2)

oraz stosownie podnieść stopień zbrojenia przeciwskurczowego, z wartości ρss do wartości ρ1ss.

W rozpatrywanym przykładzie VI prowadzi to do wartości:

σ s = 355 3 7,1 14 = 283,1 MPa ρ1ss =

355 ⋅ 0,0075 = 0,0094 283,1

0,0094 ⋅ 8,33 = 10,45 cm2/1 mb konturu, 0,0075 a więc należy zastosować φ 14 co 150 mm o A1ss = 10,27 cm2/1 mb. Gdyby zastosować pręty o średnicy φ = 18 mm, wówczas A1ss =

σ s = 355 3 7,1 18 = 260,3 MPa ρ1ss =

355 ⋅ 0,0075 = 0,0102 260,3

0,0102 ⋅ 8,33 = 11,36 cm2/1 mb konturu, 0,0075 a więc pręty φ 18 co 225 mm o A1ss = 11,29 cm2/1 mb. Ważnym zagadnieniem jest nie tylko właściwa średnica zbrojenia przeciwskurczowego, ale również jego rozstaw. Rozstaw powinien być taki, aby korzystne oddziaływanie prętów przeciwskurczowych obejmowało całą przypowierzchniową strefę rozciąganą betonu, a nie tylko najbliższe okolice tych prętów. Pręty przeciwskurczowe zwiększają wydłużalność graniczną betonu do wartości ε ct" , określonej np. przez G.D. Ciskreliego [32] wzorem: A1ss =

 ρ ε ct" = ε ct' 1 +  φ   gdzie:

ρ φ ε ct'

(10.3)

- stopień zbrojenia; w przypadku zbrojenia przeciwskurczowego ρ = ρss lub ρ = ρ1ss , - średnica zbrojenia (w m), - wydłużalność graniczna betonu niezbrojonego, przyjmowana najczęściej na

poziomie 1 ⋅ 10-4. Odnosząc się do przykładu VI zastosowanie zbrojenia przeciwskurczowego z prętów φ 14 mm co 150 mm spowodowało wzrost wydłużalności granicznej betonu w rozciąganej strefie przypowierzchniowej do wartości:  0,0094  ε ct" = 1 ⋅ 10 − 4 1 +  = 1,67 ⋅ 10-4 0 , 014  

a więc o 67 %. Wzrost ten dotyczy najbliższej okolicy prętów przeciwskurczowych, w dalszej od nich odległości maleje do zera. Wzrost ε ct' do wartości ε ct" oznacza, że w okolicy prętów przeciwskurczowych nie dochodzi z chwilą osiągnięcia przez naprężenia skurczowe wartości σcs = fctm do nagłego zarysowania, ale - z uwagi na kinematyczny charakter obciążenia - dochodzi do dekompresji w betonie spowodowanej degradacją struktury betonu na skutek mikrozarysowań. Struktura ta jest jednak „zszyta” przez zbrojenie i ujawnienie się rys skurczowych zachodzi dopiero po osiągnięciu przez odkształcenie skurczowe wartości εcs ≥ ε ct" (rys. 10.1).

Rys. 10.1. Diagram σct - εct betonu rozciąganego przy obciążeniu typu kinematycznego (np. skurczem betonu) Według G.D. Ciskreliego [33], oddziaływanie prętów zbrojeniowych na rozciągany beton sięga na odległość e = 6 φ przy φ ≤ 3 mm i e = 3 φ przy średnicach większych, według F. Leonhardta [26] - na odległość e = 7 φ poza lico pręta, według normy [5] - na odległość e = 7,5 φ od osi pręta. Wariant najbardziej optymistyczny e = 7,5 φ od osi pręta wskazuje, że osiowa odległość prętów zbrojenia przeciwskurczowego nie powinna być większa niż s = 2e = 15 φ . Rozstawy prętów z przykładu VI odpowiadają temu warunkowi, podczas gdy rozstaw s = 350 mm dla prętów φ 10 z przykładu VII warunku tego nie spełnia i zbrojenie to nie będzie efektywne. Na zakończenie należy zwrócić uwagę na fakt, że naprężenia skurczowe są zmienne w czasie, jedne σ csI , σ csII rosną z czasem, inne σ ctIII z czasem maleją. Stąd też jeżeli ilość zbrojenia przeciwskurczowego w strefach przypowierzchniowych jest podyktowana naprężeniami własnymi σ ctIII , wówczas należy spodziewać się z biegiem czasu zamykania

(

)

( )

się rys skurczowych (o ile powstaną) i zmniejszenia się naprężeń σ ssIII w zbrojeniu przeciwskurczowym. Pręty tego zbrojenia mogą być wówczas przydatne do innych celów, jak np. do współpracy z betonem przy przenoszeniu obciążeń zewnętrznych i innych oddziaływań (np. termicznych). Jeśli natomiast ilość zbrojenia przeciwskurczowego jest podyktowana sumowaniem się naprężeń σ csIII z naprężeniami σ csI i σ csII (rys. 8.4), wówczas powstałe rysy skurczowe mogą w czasie nawet się rozszerzyć, i stąd należy dużą wagę przywiązać zarówno do ilości jak i średnicy oraz rozstawu prętów zbrojenia przypowierzchniowego. Dotyczy to np. dolnych

stref ścian bocznych wysokich belek żelbetowych i sprężonych, gdzie naprężenia skurczowe σ bsII i σ bsIII sumują się w przęsłach z naprężeniami rozciągającymi od pracy belek na zginanie. W takich przypadkach np. norma [5] zaleca stopniowanie podłużnych prętów przy obu powierzchniach bocznych - gęściej od strony rozciąganych prętów głównych. F. Leonhardt [34] wręcz zaleca stopniowanie tych prętów wg rysunku 10.2.

Rys. 10.2. Rozkład poziomych prętów przypowierzchniowych dla wysokiej belki mostowej

11. Uwagi końcowe Praca niniejsza, mimo swojej obszerności, nie wyczerpuje całości zagadnienia. Nie można bowiem zagadnienia naprężeń skurczowych rozpatrywać w oderwaniu od naprężeń termicznych [35], wywołanych w konstrukcji bądź przez wpływy wewnętrzne (ciepło hydratacji cementu) bądź przez wpływy zewnętrzne (zmiany temperatury otoczenia, insolacja itp.). W elementach niemasywnych i o średniej masywności rzędu m ≥ 10 m-1 dominują naprężenia skurczowe wymuszone, w elementach masywnych i o średniej masywności m < 10 m-1 - naprężenia skurczowe plus naprężenia termiczne, własne i wymuszone. I tu, każdy przypadek należy rozpatrywać oddzielnie. Oddziaływanie naprężeń termicznych i skurczowych jest w zasadzie podobne, z tym, że odkształcenia skurczowe są ujemne, termiczne mogą być dodatnie (np. podczas rozgrzewu elementu przez ciepło hydratacji cementu) lub ujemne (np. podczas stygnięcia tego elementu). Ponadto ekstremalne wartości odkształceń termicznych i skurczowych mogą występować w różnym czasie. Stąd też podanie ogólnych reguł postępowania nastręcza duże trudności. Klasycznym przykładem mogą tu być zagadnienia związane z połączeniem ścian z fundamentami, np. bardzo dużych trzonów z płytami fundamentowymi znacznej grubości, ścian zbiorników i basenów z fundamentami. Zazwyczaj jest tak, że ściany te wykonujemy z dużym opóźnieniem w stosunku do realizacji płyt fundamentowych. W płytach tych doszło już do stabilizacji termicznej oraz w dużym stopniu zaistniały już odkształcenia skurczowe. Nowo zabetonowana ściana (najczęściej o średniej masywności, np. dla h = 0,4 m, m = 5,0 m-1) najpierw rozszerza się termicznie pod wpływem ciepła hydratacji cementu. Tzw. szok termiczny zachodzi w pierwszych 50-80 godzinach dojrzewania [25], gdy beton

jest najpierw ciałem o cechach cieczy lepkiej, a później ciałem pseudo stałym, o małym zaawansowaniu cech sprężystych. Z biegiem czasu beton w ścianie twardnieje i zaczyna się wychładzać, kurcząc się termicznie. Do skurczu tego dodaje się skurcz fizyczny. Temu łącznemu odkształceniu termiczno-skurczowemu stawia opór wcześniej wykonany fundament, który dla rozpatrywanej ściany jest więzem zewnętrznym o dużej sztywności. Na skutek istnienia tego więzu dochodzi do zaistnienia dużych sił w strefie stykowej tych dwóch elementów; ściana jest mimośrodowo rozciągana, a fundament mimośrodowo ściskany. Prowadzi to najczęściej do znaczących zarysowań skrośnych w dolnej części ściany (rys. 11.1).

Rys. 11.1. Zapobiec im można układając w ścianie dodatkowe zbrojenie poziome obliczone przy założeniu, że ściana jest rozciągana na całej grubości „h”, tzn. Acs = h ⋅ 1,0 m, na podstawie analogicznych wzorów, jak przypowierzchniowe zbrojenie przeciwskurczowe (por. pkt 9). Na przykład (przykład VIII) dodatkowe zbrojenie poziome ściany dla przeniesienia rozciągających naprężeń termiczno-skurczowych, dla betonu klasy B20, stali 34GS o fyk = 410 MPa i grubości ściany h = 400 mm, zgodnie z tablicą 9.1 powinno wynosić: ρss = 0,0055 Ass = ρss ⋅ h ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 0,0055 ⋅ 400 ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 2200 mm2 = 22,0 cm2/1 mb wysokości. Dano zbrojenie poziome w 3 warstwach na grubości ściany z prętów φ 14 co 150 mm o A1ss = 30,8 m2/» Ass = 22,0 cm2/1 mb, z uwagi na ograniczenie szerokości rys do wk ≤ wlim = 0,3 mm. W kierunku pionowym należy, z uwagi na skurczowe naprężenia własne, zastosować zbrojenie: - w 2. warstwach zewnętrznych ρss = 0,0055 Ass = 0,0055 ⋅ 0,185 ⋅ 400 ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 407,0 mm2 = 4,07 cm2/1 mb szerokości,

a więc np. pręty φ 10 co 150 mm o A1ss = 5,27 cm2/1 mb z uwagi na ograniczenie szerokości rys do wk ≤ wlim = 0,3 mm. -

w warstwie wewnętrznej zbrojenie konstrukcyjne w ilości 20 % zbrojenia poziomego: 30,8 A1ss = 0,20 ⋅ = 2,05 cm2/1 mb szerokości, a więc np. pręty φ 8 co 250 mm o 3 A1ss = 2,00 cm2 na 1 mb.

Sposób zbrojenia przedmiotowej ściany dla zabezpieczenia przed skutkami naprężeń termiczno-skurczowych przedstawiono na rys. 11.2.

Rys. 11.2. Piśmiennictwo [1] PN-56/B-03260. Konstrukcje żelbetowe. Obliczenia statyczne i projektowanie. [2] PN-66/B-03320. Konstrukcje z betonu sprężonego. Obliczenia statyczne i projektowanie. [3] PN-76/B-03264. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie. [4] PN-84/B-03264. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie. [5] PN-914/S-10042. Obiekty mostowe. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Projektowanie. [6] Pr PN-B-03264. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie. [7] Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu. Część 1. Reguły ogólne i reguły dla budynków. Tom I. Wersja polska ENV 1992-1-1:1991, ITB Warszawa 1992.

[8] Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu. Część 1. Reguły ogólne i reguły dla budynków. Tom II. Postanowienia krajowe do ENV 1992-1-1:1991. 2-ga wersja. ITB Warszawa 1993. [9] PN-B-03264:1999: Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie. [10] Praca zbiorowa: Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych według Eurokodu 2.Trzy tomowe opracowanie dla KBN, Warszawa 1997. [11] Eurokode 2: Design of concrete structures - Part 1: General rules and rules for buildings. Wersja angielska EN 1992-1 (1st draft), July 1999. [12] Eurokode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. Wersja angielska EN 1992-1-1 (1st draft), October 2001. [13] Comité Euro - International du Beton: CEB-FIP Model Code 1990. Design Code. CEB Bulletin No 213/214. Thomas Telford Services Ltd. London 1993. [14] Raszka H.: Skurcz betonu - geneza, objawy i przebieg w czasie. Inżynieria i Budownictwo, nr 2/1995. [15] Raszka H.: Uogólnione metody obliczania przewidywanych odkształceń skurczowych elementów betonowych. Inżynieria i Budownictwo, nr 1/1990. [16] Flaga K.: Wpływ pól wilgotnościowych na zarysowanie i nośność konstrukcji żelbetowych. Księga Referatów I Ogólnopolskiego Sympozjum „Wpływy środowiskowe na budowle i ludzi”. Lublin, XII. 1994. [17] Flaga K., Furtak K., Jargiełło J.: Zastosowanie zmodyfikowanej teorii starzenia do oceny relaksacji naprężeń skurczowych w elementach żelbetowych. Archiwum Inżynierii Lądowej, tom XXX, z. 4/1984. [18] Flaga K.: Skurcz betonu a trwałość mostów betonowych. Inżynieria i Budownictwo, nr 7-8/1988. [19] Flaga K.: Praca zbrojenia przeciwskurczowego w wysokich belkach żelbetowych. Księga Referatów XXVIII Konferencji Naukowej KILiW PAN i KN PZITB. WarszawaKrynica, IX. 1982. [20] Rüsch, Jungwirth D.: Skurcz i pełzanie w konstrukcjach betonowych. Arkady, Warszawa 1979. [21] Aleksandrowskij S.W.: Rascziot bietonnych i żelezobietonnych konstrukcij na temperaturnyje i włażnostnyje wozdiejstwia. Strojizdat, Moskwa 1966. [22] Flaga K., Andreasik M.: Naprężenia termiczno-skurczowe w masywnych elementach betonowych. Księga Referatów XXXIII Konferencji Naukowej KILiW PAN i KN PZITB. Gliwice-Krynica, IX. 1987. [23] Flaga K., Wilczyński T.: Odkształcenia skurczowe w pryzmatycznych elementach betonowych obciążonych niejednorodnym polem wilgoci. Zeszyt Naukowy Komisji Budownictwa O/K PAN. Ossolineum, Wrocław 1982. [24] Flaga K.: Wpływ czasu na mosty żelbetowe i z betonu sprężonego. Inżynieria i Budownictwo, nr 6/1997. [25] Flaga K.: Naprężenia własne termiczne „makro” w elementach i konstrukcjach z betonu. Cement, Wapno, Gips, nr 4-5/1991. [26] Leonhardt F.: Cracks and Crack Control at Concrete Structures. IABSE Periodica, nr 1/1987. [27] SIA Norme 162. Ouvrages en béton. Societe Suisse des Ingenieurs et des Architectes. Zürich 1989.

[28] Flaga K., Wilczyński T.: O obliczaniu przypowierzchniowego zbrojenia przeciwskurczowego w elementach z betonu. Inżynieria i Budownictwo, nr 11-12/1983. [29] Flaga K., Furtak K.: Projektowanie konstrukcyjnego zbrojenia przeciwskurczowego w elementach żelbetowych. Księga Referatów XXXVIII Konferencji Naukowej KILiW PAN i KN PZITB, Łódź-Krynica, IX.1992. [30] Flaga K. Minimalne zbrojenie ze względu na stan graniczny zarysowania. Inżynieria i Budownictwo, nr 2/1995. [31] Holst K.H.: Brücken aus Stahlbeton und Spannbeton. Ernst und Sohn, Berlin 1985. [32] DIN 1075: Betonbrücken, Bemessung und Ausführung. [33] Ciskreli G.D.: O rastiażimosti armirowanych bietonow. Bieton i Żelezobieton, nr 19/1964. [34] Leonhardt F.: Podstawy budowy mostów betonowych. Przekład z niemieckiego Józef Głomb i Feliks Lipski. WKiŁ, Warszawa 1982. [35] Andreasik M.: Naprężenia termiczno-skurczowe w masywach betonowych. Praca doktorska, Kraków 1982.