Zbirka_zadataka,_Teorija_konstrukcija_1.pdf

UNIVERZITET “DžEMAL BIJEDIĆ” U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET

Viši asistent mr. sc. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 SKRIPTA

Mostar, 2006.

TA

UNIVERZITET “DžEMAL BIJEDIĆ” U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET

ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

SKRIPTA

Mostar, 2006.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

Viši asistent mr. sc. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Naziv: Zbirka riješenih zadataka Teorija konstrukcija 1 Skripta Autor:

Tehnički urednici:

TA

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ. viši asistent Građevinskog fakulteta Univerziteta “Džemal Bijedić” u Mostaru

RI P

Sanjin Jahić, student 4. godine Građevinskog fakulteta Kompjuterska obrada:

Sanja Topuz, student 4. godine Građevinskog fakulteta Sanjin Jahić, student 4. godine Građevinskog fakulteta

Izrada crteža i teksta:

Studenti II. godine Građevinskog fakulteta – generacija 2005./’06.

SK

Štampa:

In – Copy d.o.o. Mostar

Sponzorirano:

Service Learning Project: Increasing Community Impact and Educational Outcomes in Higher Education

Website: http://www.americancouncils.org.yu/alumni/servicelearning/scriptbook.htm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Sanja Topuz, student 4. godine Građevinskog fakulteta

SK

Zahvaljujem se American Councils-u na ukazanoj podršci kroz projekat Service Learning, koji se pokazao kao veoma uspješan i pomogao je da studenti mogu da urade nešto korisno i za sebe i za zajednicu. I would like to thank to the American Councils for the support through Service Learning project, which was very successful and helped students to do something useful for themselves and for the community.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

A RI PT Zahvalnica

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET Teorija konstrukcija 1 emer. prof. dr. Ognjen Jokanović, dipl.inž.građ. viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

TA

Nastavni plan i program:
Statika konstrukcija. Proračunske šeme.
Opterećenja konstrukcija. Oslonci ravanskih konstrukcija.
Unutrašnje i vanjske sile. Povezanost između opterećenja, transverzalnih sila i momenata savijanja.
Statička određenost sistema. Kinematička stabilnost nosača.
Statički određeni sistemi.
Puni nosači.Prosta greda. Konzola. Grede sa prepustom.
Uticajne linije za sve pune nosače. Statički i kinematički načini rješavanja uticajnih linija.
Gerberovi nosači. Uticajne linije kod Gerberovih nosača.
Luk sa tri zgloba. Uticajne linije lukova sa tri zgloba.
Rešetkasti nosači. Uticajne linije rešetkastih nosača.
Virtuelna pomjeranja. Virtuelni rad.
Energetske teoreme. Literatura: Đorđe Solovjev:Statika konstrukcija I (1. i 2. dio), Milan Đurić:Statika konstrukcija Uslov izlaska na ispit: Tačno urađeni i predati programski zadaci, a primljeni od predmetnog asistenta. Potpis predmetnog nastavnika. Obaveza studenata je da redovno i kontinuirano rade programske zadatke i predaju u datim rokovima, a krajni rok ispunjenja obaveze je do početka junsko-julskih ispitnih rokova (tačan datum određuje predmetni asistent). Aktivnosti na predavanjima i vježbama: razrada i prezentacije zadataka, domaće zadaće, diskusija na predavanjima Zalaganje studenata tokom godine utiče na ocjenu iz pismenog dijela ispita.

SK

Evidencija pohađanja nastave: Tokom nastave vodi se evidencija o prisustvu studenata, tako da svaki student koji bude neopravdano odsutan više od tri puta, ne ostvaruje pravo na potpis predmetnog nastavnika i/ili asistenta i obavezan je u sljedećoj školskoj godini pohađati nastavu.

Način polaganja ispita: Pismeni i usmeni dio ispita. Pismeni dio ispita se polaže parcijalno i integralno. Ispit se smatra položenim, ako je student dobio 55 bodova i više. Na ocjenu utiše broj bodova, koje je student ostvario zalaganjem na nastavi. Usmeni dio ispita se polaže nakon položenog pismenog dijela.Ukoliko student ne položi usmeni dio ispita iz dva pokušaja, obavezan je ponovo polagati pismeni dio ispita. Vrijeme polaganja usmenog dijela ispita određuje nastavni professor. Konsultacije se održavaju u kabinetu predmetnog asistenta u predviđenom periodu.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Predmet: Predmetni nastavnik: Predmetni asistent:

SK

RI P

Teorija konstrukcija 1 je predmet II. godine studija na Građevinskom fakultetu i izučava statički određene sisteme. Na osnovu dosadašnjeg iskustva ocijenio sam da uobičajeni način izvođenja vježbi, pisanje po tabli sa kratkim objašnjenjima, maksimalno angažuje studente u prepisivanju zadataka sa table i ne ostavlja im vremena da diskutuju o zadatku. Često u nedostatku vremena, u želji da se uradi veći broj zadataka, prepisivanje sa table postaje mehanički dosadan proces. Da bi učinak vježbi bio bolji, uz saglasnost predmetnog profesora, odlučio sam da interaktivnom metodom studentima omogućim lakše razumijevanje gradiva. Nakon teorijskih predavanja svaki student dobija zadatak, koji je obavezan uraditi i onda ga prezentirati na vježbama pred kolegama i predmetnim asistentom. Na ovaj način studenti su aktivni tokom cijele godine, jer direktno učestvuju u nastavnom procesu – vježbama. Pored prezentacije zadatka student je obavezan imati i teoretsko znanje stečeno na predavanjima, a da bi mogao odgovoriti na pitanja koja mogu postaviti prisutni. Na ovaj način student za uspješno prezentiran zadatak i kvalitetne odgovore na pitanja prisutnih, dobija ocjenu koja je dio ocjene iz pismenog dijela ispita iz predmeta Teorija konstrukcija 1. Ovim načinom rada sa studentima, došao sam do saznanja da aktivno učešće studenata u nastavnom procesu omogućuje bolje razumijevanje teoretskih osnova pomenutog predmeta, jer je interesovanje studenata prisutno tokom cijele godine. U toku jedne školske godine novim sistemom rada, na vježbama se obradi mnogo veći broj zadataka, nego što je bio slučaj sa uobičajenim načinom rada. U sklopu projekta Service Learning pod pokroviteljstvom American Councils-a urađena je ova zbirka-skripta. Glavni cilj ovog projekta je bio da studenti budu aktivno uključeni u rad i da mogu kontinuirano pratiti predavanja. U sklopu ovog projekta studenti su trebali jedan zadatak, pored prezentacije i objašnjenja zadatka na vježbama iz predmeta Teorija konstrukcija 1, uraditi koristeći kompjuterske programe MS Word i Autocad. Korištenje kompjuterskih programa MS Word i Autocad-a predstavlja dobru osnovu za buduće inženjere. Kroz ovaj jedan zadatak studenti uče da koriste kompjutersku tehniku koja će im biti potrebna u budućem radu. U zbirci-skripti se nalaze zadaci urađeni na «školski način» iz izučavanih oblasti. Zadaci su složeni prema oblastima. Ova skripta je plod zajedničkog rada studenata i predmetnog asistenta. Cilj ove skripte je da se omogući studentima lakše razumijevanje i potrebni kontinuitet saznanja iz predmeta Teorija konstrukcija 1. Ova skripta je najava buduće knjige namijenjene za studente i inženjere u praksi. Prilikom mog boravka u SAD-u 2004./'05. u programu JFDP (Junior Faculty Development Program) stekao sam dragocjena iskustva, koja ću pokušati ugraditi u novu knjigu. Mostar, septembra 2006. godine

Autor

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

PREDGOVOR

Uvod ............................................................................................ ...........................01 Prosti nosači ............................................................................... ...........................09 Gerberovi nosači ....................................................................................................22 Lukovi na tri zgloba ...............................................................................................34 Rešetkasti nosači ....................................................................................................60 Ispitni zadaci ...........................................................................................................67 Literatura .................................................................................................................78

SK

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

RI P

SADRŽAJ

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Sadržaj

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

UVOD

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

1

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

UVOD

Elementi nosača su: 1) Štapovi 2) Kruti uglovi 3) Oslonci

RI P

Štapovi su prave ili krive linije koje se nalaze u geometrijskim mjestima težišta poprečnih presjeka nekog nosača. Ukoliko su dimenzije poprečnih presjeka male u odnosu na dužinu štapova, tako da štap može da primi samo aksijalno opterećenje, zovemo ga prostim štapom. Ako poprečni presjek ima dimenziju da može da primi i druga opterećenja pored aksijalnih zovemo ga greda. Štapovi mogu biti spojeni zglobno ili kruto.

θ

θ

θ

θ

Kruta veza

SK

Zglobna veza

θ

Čvor je tačka u kome se spajaju 2 ili više štapova ili je to slobodan ilil oslonjen kraj štapa. Sa brojem čvorova raste i broj štapova i krutih uglova i zbog toga proračun i brojanje elemenata se otežava, a nama je cilj da to brojanje smanjimo i na taj način da smanjimo sebi proračun. Strukturno linijske nosače dijelimo na rešetkaste i pune nosače. Rešetkasti linjski nosač sastoji se samo od prostih štapova i oslonaca. Puni nosač je nosač sastavljen od štapova greda i prostih štapova i oslonaca sa ili bez krutih uglova.

a) MOMENTNI ZGLOB je zglobna veza dvaju krutih ploča. Kod ovog zgloba ploča I relativno rotira u odnosu na nepokretnu ploču II oko međupola koji se nalazi u zglobu (i obratno). Ova veza onemogućuje relativno pomjeranje krajeva ploče, ali omogućuje njihovo rotiranje. Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

δ

ZGLOBOVI

2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

Skup tačaka međusobno povezanih u jednu cjelinu zovemo nosač. Zadatak nosača je da obezbijedi nepomjerljivost izvjesnih tačaka međusobno i u odnosu na stalne tačke u prostoru. To se najčešće postiže pravilnim komponovanjem više linijskih nosača koji svaki za sebe ima ograničenu ulogu da samo obezbijedi stabilnost u svojoj ravni, a svi zajedno obezbjeđuju prostornu stabilnost. Nosači koji obezbjeđuju samo nepomjerljivost u svojoj ravni zovemo ravnim linijskim nosačima, dok nosači koji onemogućvaju nepomjerljivost u prostoru zovemo prostornim linijskim nosačima.

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

b) POPREČNI ZGLOB je veza dvaju krutih ploča I i II koja onemogućuje osovinsko razmicanje i relativno rotaciju dodirnih presjeka, a omogućuje poprečno (transverzalno) pomjeranje. Međupol O12 se nalazi u beskonačnosti, a zglob je zamišljen kao veza dva beskonačno mala paralelna štapa zglobno vezanaza dodirne presjeke, a takođe i generalisano linijsko pomjeranje. 12 II

RI P

c) PODUŽNI ZGLOB je veza između ploča I i II koja onemogućuje relativnu rotaciju i poprečno razmicanje dodirnih presjeka, a omogućuje podužno relativno pomjeranje istih. Međupol O12 nalazi se u beskonačnosti na pravcu dodirnih presjeka. Zamišljen je kao veza dva beskonačno mala paralelna štapa u pravcu poprečnih dodirnih presjeka.

SK

δ

OSLONCI

a) POKRETNI OSLONAC je spoljna veza koja sprečava pomjeranje tačke oslanjanja, dok joj dopušta pomjeranje upravno na pravac oslanjanja, a i rotaciju oslonjenog presjeka. To određuje položaj apsolutnog pola oslonjene ploče I koji se nalazi na pravcu oslanjanja.

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

3

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

δ

TA

I

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

VANJSKE I UNUTRAŠNJE SILE

Vanjske sile mogu biti: a) Aktivne, koje su izazvane vanjskim faktorima, bilo dodirom bilo djelovanjem na odstojanju (npr. gravitaciona sila). b) Reaktivne, koje su izazvane aktivnim silama i predstavljaju otpore od oslonaca i uklještenja. Opterećenja na konstrukciju mogu biti: - koncentrisana (dimenzije t, kg, kN, tj. dimenzije sila) - raspodjeljena duž osovine štapa (dimenzije t/m, kg/m, kN/m, tj. dimenzije sila/dužina) U prirodi ne postoje linijska opterećenja već samo površinska (dimenzije sila/površina) i zapreminska (dimenzije sila/zapremina). Postoje još i: - koncentrisani spregovi – momenti (dimenzije tm, kgm, kNm, tj. dimenzija sila × dužina) - raspodjeljeni spregovi – momenti (dimenzija sila × dužina/dužina) Zbirka riješenih zadataka – Skripta 4 Uvod

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

UKLJEŠTENJE kao oslonac onemogućuje svako pomjeranje oslonjene tačke, kao i rotaciju odgovarajućeg poprečnog presjeka.

SK

c)

RI P

b) NEPOKRETNI OSLONAC je oslonac koji sprečava svako linearno pomjeranje oslonjene tačke, a omogućuje rotaciju iste. To definiše položaj apsolutnog pola oslonjene ploče I koji mora biti u oslonjenoj tački A.

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Ako koncentrisana sila djeluje u presjeku 1 pod nekim uglom α, ona ustvari ne djeluje u presjeku 1 osovine nosača nego u presjeku 2 na udaljenosti h/2ctgα. Idealizujući nosač njegovom osovinom prinuđeni smo da ili to imamo u vidu ili da djeluje u presjeku 1, ali da dodamo i spreg M. Ph Ph M = ⋅ sin α ⋅ ctgα = ⋅ cos α 2 2

h/2

α

1

2

TA α

a)

1

2

P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

M

b)

1

RI P

Po dužini djelovanja opterećenja mogu biti: - stalna: sopstvena težina nosača i elementi konstrukcije koji funkcionalno moraju stalno biti prisutni, te snijeg u područjima gdje se pojavljuje, - povremena (korisno opterećenje): vjetar, ljudi, vozila, teret u skladištima, zemljotres itd.

P

α

Slično tome i raspodjeljeno opterećenje pod nagibom daje pri redukciji na osovinu nosača dopunske raspodjeljene spregove intenziteta

m= g × e × cosα

P

h/2

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

2

Prema načinu djelovanja dijelimo ih na: - nepokretna i - pokretna također i na: - direktna i - indirektna.

h

e

α

g [kN/m']

1

2

g [kN/m'] M α

SK

Računska opterećenja određuju se na bazi stvarnih podataka o nosaču, stalnom opterećenju i funkciji nosača, kao i na osnovu važećih propisa za određene vrste konstrukcija. Taj dio statičkog proračuna koji prethodi samom iznalaženju sile u poprečnim presjecima nosača zovemo ANALIZOM OPTEREĆENJA. Prema propisima opterećenja se mogu dijeliti i prema vrstama objekata: - opterećenje zgrada, - opterećenje drumskih mostova, - opterećenje željezničkih mostova itd. Ili prema značaju i učestalosti na: - glavna, - dopunska, - naročita, a prema uticaju na stvarno stanje napona uslijed eventualnih vibracija dijelimo ih na: - statička i - dinamička.

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

1

2

5

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

UNUTRAŠNJE SILE

TA

Dejstvo vanjskih sila na nosač izaziva deformaciju istog i pojavu unutrašnjih sila u presjecima kao rezultante napona. U otpornosti materijala se govori o naponima, ali moramo naglasiti da se ne može govoriti o naponima, ako nije tačno definisana ravan (zamišljen presjek nosača) i tačka u toj ravni. Najčešće se govori o naponima u tačkama presjeka upravnog na osovinu nosača na određenom mjestu osovine, ali ne mora uvijek biti tretiranje napona u presjecima upravnim na osovinu već i presjecima pod određenim uglom različitim od 90°. U statici linijskih nosača smatramo da su opterećenja i osa nosača u istoj ravni. Ako tretiramo unutrašnje sile u nekom presjeku nosača, izrazićemo ih preko napona u presjeku upravnom na osovinu, pa će i naponi biti u ravni nosača. y

p dF

(1)

r

∫

=

M

R dF

p r dF

(2)

F

z

RI P

pdF

Presječna sila R i moment poslije redukcije sile R na težište presjeka izraženi su preko napona formulama (1) i (2). Sile u presjeku preko komponenata su:

∫σ

=

N

x

dF

F

∫τ

=

T

xz

dF

F

M

∫σ

=

dF

xz

F

SK

Smatramo da nema torzionog momenta Mx i momenta oko ose z, Mz. Šematski prikazano: M

M

N

N

T

N

T

T

M T

M

N

N

POGLED

PO

N

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

POGLED

ED

N GL

T

T

N

M

M

M

T

M T

6

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

F

x

p

∫

R =

M

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

N – normalna sila – komponenta rezultante unutrašnje sile R u pravcu x – ose (na osovini nosača). Pozitivna je kada zateže svoj dio štapa. T – transverzalna sila – komponenta rezultante unutrašnje sile R u pravcu z – ose (normalna na osovinu nosača). Pozitivna je kada ima tendenciju da obrće dio štapa oko drugog kraja u smjeru kazaljke na satu. M – momenat savijanja oko ose y, My. Pozitivan je kada izaziva zatezanje donje strane nosača.

SK

RI P

Pri statičkom ispitivanju jedne konstrukcije određuju se izvjesni uticaji, koje vanjsko opterećenje ili izvjesna sredina vrši na konstrukciju. Pod tim uticajima podrazumijevamo: reakcije oslonaca, horizontalni potisak luka ili lančanog nosača, napadne momente, transverzalne i normalne sile u jednom presjeku, ugibanje pojedinih tačaka konstrukcije i dr. Sve ove veličine koje mi ispitujemo, zovemo uticaji i obilježavamo ih sa Z. U slučaju nepokretnih opterećenja uticaje u nosaču tj. u nekom određenom presjeku, možemo odrediti pomoću već poznatih metoda statičkog proračuna. Na osnovu dobiveih vrijednosti unutrašnjih sila možemo naći ekstremne veličine momenata i transverzalnih sila. Ali ako na nosča djeluje pokretno opterećenje, onda se u nosaču ekstremne vrijednosti unutrašnjih sila pojavljaju u različitim presjecima nosača u zavisnosti od kretanja sile. Da bi lakše odredili vrijednosti uticaja od pokretnog opterećenja koristimo se koncentrisanom jediničnom silom od 1kN koja se kreće po nosaču s lijeva na desno ili obrnuto. Udaljenost te jedinične sile od jednog oslonca (npr. od oslonca A) se označava sa x, dok je ukupna dužina nosača L. Kretanje sile po nosaču izaziva uticaje u svim presjecima nosača, pa prema tome i za neki određeni presjek možemo da bez ikakvih problema odredimo vrijednosti unutrašnjih sila, odnosno da nacrtamo uticajnu liniju određenog presjeka na nosaču. Znači, uticajna linija je linija čije ordinate, izmjerene ispod opterećenja, daju veličinu traženog uticaja od jedinične sile od 1 kN u presjeku, za koji je ta linija konstruisana. Površian koju zaklapa uticajna linija sa horizontalom zove se uticajna površina. Osobine uticajnih linija

Traženi uticaj od opterećenja na nosaču dobije se pomoću superpozicije. Uticajne linije crtaju se samo za jedan određeni pravac opterećenja, a mi proučavamo uticajne linije od vertikalnog opterećenja. Moramo razlikovati dijagrame unutrašnjih sila nosača od uticajnih linija, jer se dijagrami unutrašnjih sila crtaju za neko određeno opterećenje, dok se uticajne linije crtaju za neki određeni presjek. Oblici uticajnih linija

Oblik uticajne linije zavisi od konstrukcije nosača i od načina opterećenja, pa prema tome taj oblik može biti pravolinijski, poligonalni ili krivolinijski. Kod svih statički određenih nosača uticajne linije su prave, dok su kod statički neodređenih nosača to krive linije drugog ili višeg stepena. Za slučaj direktnog opterećenja uticajne linije su prave, a za slučaj indirektnog opterećenja uticajne linije su poligonalne oblika. Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

7

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Općenito o uticajnim linijama

TA

UTICAJNE LINIJE

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Ako se sila nalazi u čvoru onda se uticajna linija od indirektnog oslanjanja ne razlikuje od uticajne linije direktnog oslanjanja. Konstruisanje uticajnih linija

Za konstrukciju uticajnih linija postoje dva načina: - statički - kinematički.

RI P

Kinematički način Ovaj način se zasniva na principu virtualnih pomjeranja (princip Lagrange-a). Prema ovom principu ako se neki materijalni sistem nalazi u ravnoteži pod uticajem sila koje na njega djeluju, onda zbir radova pri svakom virtualnom pomjeranju mora biti jednak nuli.

Za primjenu ovog principa dati se sistm odbacivanjem izvjesnih veza pretvara u kinematički lanac (mehanizam) te se pomoću principa virtualnih pomjeranja dobije jednačina za traženi uticaj, a neposredno se dobije oblik uticajne linije. Integracija uticajnih linija

SK

Koncentrisane sile: Z = P×η • P – zadata koncentrisana sila na nosaču • η – ordinata ispod koncentrisane sile P na uticajnoj liniji Ravnomjerno kontinuirano opterećenje: Z=q×F • q – vrijednost opterećenja • F – uticajna površina ispod opterećenja Nejednako podjeljeno opterećenje (trouglasto ili trapezasto): Z = qt × F • qt – vrijednost opterećenja u težištu uticajne površine ispod opterećenja • F – uticajna površina ispod opterećenja Opterećenje spregom: Z = M × tgα • M – vrijednost sprega (momenta) • α – ugao uticajne linije na mjestu na kome napada spreg. Pošto je uticajna linija za reakciju proste grede prava linija, to znači da veličina reakcije od sprega ostaje konstantna ma gdje se nalazio spreg. Uticaj je pozitivan, ako i spreg i nacrtana uticajna linija (bilo koja uticajna linija) okreću u istom smjeru, a negativan ako su im smjerovi okretanja različiti. Granične vrijednosti uticaja

U zavisnosti od sistema uticajne linije mogu biti istog i različitog predznaka. Ako su uticajne površine različitog predznaka, mjesto na uticajnoj liniji gdje se mijenja predznak zove se nulta tačka. U zavisnosti od položaja opterećenja na nosaču, integracija uticajne linije se vrši tako da se opterećenje množi sa predznakom koji ima uticajna površina. Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

8

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

Statički način Sila od 1 kN se postavi na nosač u nekom proizvoljnom položaju na odstojanju x od neke stacionarne tačke nosača (oslonac). Smatrajući opterećenje nepokretnim, određujemo tražene statičke veličine koje se izražavaju u vidu neke jednačine koja sadržava x koji je promjenljiva veličina. Ponekad je potrebno postavljati silu od 1kN na nekoliko različitih tačaka nosača i za svaki položaj pisati odgovarajuću jednačinu, jer uticajna linija može imati nekoliko dijelova, koji imaju različite jednačine. Pa prema tome, uticajna linija se ne može odrediti odjednom za cijeli nosač, već se mora ispitivati dio po dio nosača.

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

PROSTI NOSAČI

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

9

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 1: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE A H =20 kN ∑ X=0 A V = 8,17 kN

-A H +P2 =0 ∑ Y=0

BV =5,83 kN

TA

4 A V +BV +P1 -q1 ⋅ 4-(q 2 -q1 ) ⋅ =0 2 M =0 ∑ A

NORMALNE SILE N A = N dole = -A V = -8,17 kN 2 N desno = N 3lijevo = -A H = -20 kN 2 N1 = N lijevo =0 kN 2

RI P

N B = N 3dole = -BV = -5,83 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

4 2 BV ⋅ 4+P2 ⋅ 3-q1 ⋅ 4 ⋅ 2-((q2 -q1 ) ⋅ ) ⋅ 4 ⋅ -P1 ⋅ 3=0 2 3

N 3desno = N 4 = -P2 = -20kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE TA =T2dole = -A H = -20 kN T1 =T2lijevo = P1 = 10 kN

T2desno = P1 +A V =18,17 kN T3lijevo = -BV = -5,83 kN

SK

TB =T3dole =T3desno =0kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA M A =M B =M1 =M 3 =M 4 =0 M dole = A H ⋅ 3 = 60 kNm 2 M lijevo = P1 ⋅ 3 = 30 kNm 2

M desno = P1 ⋅ 3-A H ⋅ 3 = -30 kNm 2 M max = A v ⋅ 3,2346-A H ⋅ 3+

3,23462 3,23463 P1 ⋅ 6,2346-q1 ⋅ = 2 6 = 2,2 kNm DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

10

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 2: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

∑ X=0

A H =10 kN

AH - P = 0

A V =3,83 kN BV =9,83 kN

TA

∑ Y=0

-A V - q ⋅ 3+BV =0 ∑ M A =0

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

32 BV ⋅ 6-P ⋅ 5-q ⋅ =0 2 2 cosα= 2 2 sinα= 2

NORMALNE SILE

N A =A V ⋅

2 2 +A H ⋅ =9,78 kN 2 2

2 2 2 +A H ⋅ +q ⋅ 3 ⋅ =14,02 kN 2 2 2 N1desno = N1gore = N B = N 2 = N 3 = 0 kN

SK

N1dole = A V ⋅

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE

TA =A H ⋅

2 2 -A V ⋅ = 4,36 kN 2 2

T1dole = A H ⋅

2 2 2 -A V ⋅ -q ⋅ 3 ⋅ =0,12 kN 2 2 2

T3 = T1gore = P = 10 kN

T1desno =TBlijevo = -A V -q ⋅ 3= -9,83 kN TBdesno =T2 =0 kN DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

11

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA

M A = M B = M 2 = M 3 = 0 kNm M1dole =A H ⋅ 3-A V ⋅ 3-q ⋅

32 =9,5 kNm 2

TA

M1gore =P ⋅ 2=20 kNm M1desno =BV ⋅ 3=9,83 ⋅ 3=29,5 kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

RI P

REAKCIJE ∑ X=0

BH +P-(q ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅

2 )=0 2

∑ Y=0

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 3: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

BH =2,0 kN A V =10,0 kN BV =2,0 kN

 2 A V + BV -  q ⋅ 3 2 ⋅  =0 2  

∑ M B =0

SK

A V ⋅ 3-P ⋅ 3=0

2 2 2 sinα= 2 cosα=

NORMALNE SILE N A = N1desno = 0kN

N1dole = N gore = -A V = -10 kN 2

2 = -7,08 kN 2 N 3desno = N lijevo = -P-Bh = -12 kN 4

N dole =N 3gore = -A V ⋅ 2

N gore =N B = N 5 = -BV = -2 kN 4

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

12

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TRANSVERZALNE SILE

TA = T1desno =A V =10 kN T1dole = T2gore = 0 kN 2 = -7,07 kN 2 2 2 T3gore = -A V ⋅ +q ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ = 9,90 kN 2 2 2 T3desno = T4lijevo = - A V +q ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ =2 kN 2 TB = T5gore = -BH = -2 kN

T5dole = T4gore =-BH -P = -12 kN

TA

T2 dole = -A V ⋅

MOMENTI SAVIJANJA

M A = M B =0

RI P

M1 = M 2 =A V ⋅ 3=30 kNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

1,7682 =23,75 kNm 2 2 M 3 =q ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ =36 kNm 2 2 M 4 = -A V ⋅ 3+q ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ =42 kNm 2 M 5 =BH ⋅ 3= 6 kNm

M max =A V ⋅1,75 +4 ⋅

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 4: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

2 Q1 =q1 ⋅ =4 kN 2 Q 2 =q 2 ⋅ 6=12 kN 2 Q3 =q 3 ⋅ =4 kN 2

REAKCIJE

∑ X=0... ∑ Y=0... ∑M

A

=0...

A H =0

A H =0 kN

- Q1 - Q 2 - P- Q 3 + A v + Bv = 0

A V =20,0 kN

1 2 Q1 ⋅ ⋅ 2 - Q 2 ⋅ 3 - P ⋅ 3 + Bv ⋅ 6 - Q3 ⋅ (6 + ) = 0 3 3 Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

BV =20,0 kN

13

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

NORMALNE SILE

N3dole =NB = -Bv = - 20 kN N1 =NA =N2 =0

TA

N3 =N4 =0

TRANSVERZALNE SILE TAlijevo = -Q1 = - 4 kN TAdesno = -Q1 + A v = 16 kN

T2lijevo = TAdesno - q 2 ⋅ 3=10 kN T2desno = T2lijevo - P = -10kN

RI P

TBlijevo = T2desno - q 2 ⋅ 3 = -16kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TBdesno = TBlijevo + Bv = 4 kN T1 =T4 =0

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

SK

MOMENTI SAVIJANJA

2 = -2,67 kNm 3 2 3 Mmax =M2 = -Q1 ⋅ ( + 3) +Av ⋅ 3 - q2 ⋅ 3⋅ = 36,34 kNm 3 2 2 M3desno,lijevo = -Q3 ⋅ = - 2,67 kNm 3 dole MB = M3 = M1 = M4 =0

MA = -Q1 ⋅

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

14

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 5: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE:

A H =0 kN

∑ X=0

A V =34,0 kN

A H =0

M A =68,0 kNm

∑ Y=0

TA

-A V +q ⋅ 4+P =0 ∑ M A =0

RI P

NORMALNE SILE:

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

M A -q ⋅ 4 ⋅ 2-P ⋅ 2=0

N A =A V =34 kN=N1dolje N1lijevo =N desno =0 2

N gore =N 3dole =P =10 kN 2 N 3desno =N 4 =0

SK

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE: TA =-A H =0kN=T1dole T1lijevo =A V =34 kN

T3desno = T4 =-P =-10 kN

T2desno =A V - q· 4=10 kN

T2gore =T3dole = 0kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

15

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA:

MA =M1 =68 kNm M3 = -P ⋅ 2 = -20 kNm

M2 =MA -AV ⋅ 4+q ⋅ 4 ⋅ 2= -20 kNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

M4 =0kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

RI P

PRIMJER 6: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

∑ X=0

-A H +q 2

A H = 6, 0 kN A V =1,8 kN

3 =0 2

BV =4,2 kN

∑ Y=0

A v +BV =q1 ⋅ 3 ∑ M A =0

SK

- BV ⋅ 5 + q1 ⋅ 3 ⋅1,5+q 2

cosα=sinα=

3 2 ⋅ 3=0 2 3

2 2

NORMALNE SILE

N A = N1gore = -A V = -1,8 kN

2 = -2,97 kN 2 3 N1desno =N lijevo =A H -q 2 =0 2 2

N B = N gore = -BV ⋅ 2

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

16

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TRANSVERZALNE SILE TA =-A H = -6 kN q2 ⋅ 3 =0 kN 2 T1desno = -A V =-1,8 kN T1gore =-A H +

T2lijevo =BV =4,2kN 2 =2,97 kN 2

TA

T2gore =TB = BV ⋅

RI P

MOMENTI SAVIJANJA

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MA =MB =0kNm

q2 ⋅ 3 1 ⋅ ⋅ 3= -12 kNm 2 3 M2 =-2 ⋅ BV =-8,40kNm M1 = -AH ⋅ 3+

MMAX = -AH ⋅ 3-AV ⋅ 0,9+ =-12,81 kNm

q2 ⋅ 3 1 q ⋅ 0,92 = ⋅ ⋅ 3+ 1 2 3 2

SK

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

PRIMJER 7:

Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

REAKCIJE

∑ X=0

A H =20,0 kN

A H =P

A V =15,33 kN

∑ Y =0

BV =0,67 kN

AV-4q+BV=0 ∑ M A=0 -BV ·6+4q·4-P·3= 0

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

17

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

NORMALNE SILE N gore A =N 3 =0

N desno =N1lijevo =A V A

2 2 2 +A H -P = 2 2 2

=10,84kN N lijevo =N1desno =0 2

TA

N B =N dole 2 =BV =0,67kN

TAdesno =-A V

RI P

TRANSVERZALNE SILE

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

2 2 2 +A H -P = 2 2 2

=-10,84kN

TAgore =T3 =20kN TB =T2dole =0

T2lijevo =BV =0,67kN

T1desno =BV -4q=-15.33kN

SK

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA M A = 3P = 60kNm

M 1 = P + 2 AH − 2 AV = 29,34kNm

MB = M2 = 0

M min = 0, 056kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

18

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 8: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

A H =20,0 kN A V =36,67 kN

cosα=sinα=0,707

BV =16,67 kN

∑ x=0 A =5 ⋅ q ∑ y=0 P+B -A =0 ∑ M =0 B ⋅ 3-5 ⋅ q ⋅ 2,5=0

TA

H

V

NORMALNE SILE

N A =A H =20kN=N1desno

RI P

N1dole =-A V =-36,67kN=N gore 2

V

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

A

V

N desno =N 3lijevo =-A H +5q=0 2

2 =11,79kN 2

SK

N B =N 3desno =BV ⋅

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE TA =A V =36,67kN=T1desno T1dole =A H =20kN

T2gore =A H -5q=20-20=0

T2desno =-A V =-36,67kN=T3lijevo TB =-BV ⋅

2 =-11,79kN 2

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

19

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA

M A =0kNm M1 =A V ⋅ 3=110kNm

M 2 =A V ⋅ 3-q ⋅ 5 ⋅ 2,5+P ⋅ 5=160kNm M 3 =BV ⋅ 3=50kNm

TA

M B =0kNm

PRIMJER 9: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE A H =0 kN

RI P

ΣX=0 Α H =0

ΣM A =0

A V =90,0 kN BV =60,0 kN

P ⋅ 4-ΒV ⋅1+Q ⋅1=0

ΣY=0

-P+Α V -ΒV -Q=0

; sinα = 2 2 2 cosβ =0,8 ; sinβ =0,6

SK

cosα = 2

D= 42 +32 = 16+9= 25=5 m Q=q ⋅ D=4 ⋅ 5=20 kN

NORMALNE SILE

N A = N1desno = Αv ⋅ 2

2

= 63,64 kN

N1lijevo = N 2 = P ⋅ 2

= 7,07 kN 2 N1dole =N 3gore = -P+Αv = 80kN

N 3desno = -Βv ⋅ 0,6-q ⋅ D ⋅ 0,6 = -48 kN

N lijevo = -Βv ⋅ 0,6= -36 kN 4 N B = N dole = Βv = 60 kN 4

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

20

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TRANSVERZALNE SILE

TA = T1desno = -ΑV ⋅ 2

2

T1lijevo = T2 = -P ⋅ 2

= -7,07 kN

2

= -63,64 kN

T1dole = T3gore = 0 kN T3desno = ΒV ⋅ 0,8+q ⋅ D ⋅ 0,8 = 64 kN

RI P

TB = T4dole = 0 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

T4lijevo = ΒV ⋅ 0,8 = 48 kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA

M A =M B =M 2 =M 4 =0 kNm M 1desno =A V ⋅ 3=270 kNm M 1lijevo =-P ⋅1=-10 kNm

SK

M 1dole =M 3 =-A V ⋅ 3-P ⋅1=280 kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosači

21

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

GERBEROVI NOSAČI

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

22

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 1: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

III-dio Sx=0...BH=0 Sy=0...-Bv+Dv+S1-S2=0 BV=12,692 kN SMA=0...Dv13+4S110S2=0 DV=7,692 kN

NORMALNE SILE NA=AV=5kN=NEgo NdE=0=NG=0 NFd=S1=25kN NB=0=ND NId=-S2= -20kN

2 2 =-10kN=NJ 2

SK

NH=-10 NC=-CH

2 2 -CV =-10 2 kN=NJg 2 2

TRANSVERZALNE SILE TA=-AH=0=TE TEd=AV=5kN=TFl TdF=5-S1=-20kN=TlG 2 TH=-10 2 =-10=TIl 2 TId=-10+20=10kN=TJ TC=0kN=TIg TB=-BV=-12,692kN=TKl TdK=-12,692+S1=12,308kN=TLl TdL=12,308-S2=-7,692kN=TDd TD=0

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

23

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

II-dio Sx=0...CH=10 kN Sy=0...-Cv+S2-10=0 CV=10 kN 2 2 2 ⋅ 2 +3S2=0 SMc=0... -10 2 4-0 2 2 S2=20 kN

RI P

REAKCIJE I-dio Sx=0...AH=0 Sy=0...Av-S1+20=0 AV=5 kN SMA=0...20•5+S1•4=0 S1=25 kN

TA

AH=0 AV=5 kN S1=25 kN CH=10 kN CV=10 kN S2=20 kN BH=0 BV=12,692 kN DV=7,692 kN

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

TA

MOMENTI SAVIJANJA MA=0 kNm ME=AH2=0 kNm MF=AV4=20 kNm MG=AV5-S11=0 kNm MH=0 2 MI=-10 2 1 =-10 kNm 2 MJ=-20+20= 0 kNm MC=0kNm MB=0kNm MK=-BV4=-50,768 kNm ML=-BV10+S16=23,08 kNm MD=0

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

PRIMJER 2: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

S = 10 2 kN DH' = 0 Dv' = 0 Cv = 24 kN Bv = 93,6 kN Av = 47,6 kN AH = 50 kN

Dati nosač rastavimo na pojedine nosače i rješavamo. ∑MD = 0 ∑Y = 0 Dv' + S -10 2 = 0 Dv' = 0

SK

-10 2 ⋅ 2 2 + S ⋅ 2 2 = 0 S = 10 2 kN ∑X =0

DH' = 0

∑X =0

GH – 60 = 0 GH = 60 ∑ Mg = 0

− 60 ⋅ 2 + 5Cv = 0 Cv = 24 kN ∑Y = 0

Cv – Gv = 0 Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

24

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Gv = 24 kN

∑M

A

=0

2 2 2-10 2 ⋅ 2 - 5Bv + 60 ⋅ 3 + 24 ⋅ 7 + 32 ⋅ 5 = 0 2 2 Bv = 93,6 kN ∑Y = 0 2 + Av + 32 = 0 2

Av = 47,6 kN ∑X =0

AH + 10 – 60 = 0 AH = 50 kN NORMALNE SILE

2 2 - Ah ⋅ = 2 2 NA = - 69,02 kN 2 NBL = - AH - S ⋅ = -60 kN 2 NBD = - 60 kN NF = - Cv = - 24 kN

RI P

NA = - Av ⋅

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

24 – 93.6 -10 2 ⋅

TA

-10 2 ⋅

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE:

2 2 - Ah ⋅ = -1,7 kN 2 2 2 2 TE = Av ⋅ - Ah ⋅ - S = -15,84 kN 2 2 THD = Bv - q ⋅ 4 - Cv = 37,6 kN

SK

TA = Av ⋅

2 + q ⋅ 2 = 53,6 kN 2 2 TBD = Av - S ⋅ + q ⋅ 2 - Bv = -40 kN 2 TG = - Cv = -24 kN TFdolje = 60 kN

TBL = Av - S ⋅

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

25

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

RI P

PRIMJER 3: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. EV=0 DV=12,5 kN AV=8 kN S1=8 kN BH=0 BV=4,3 kN CV=1,2 kN

SK

Šema rastavljanja nosača

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

26

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MB = Av ⋅ 5 - AH ⋅ 3 - 3S – 1S + 2q = 64 kNm MG = Av ⋅ 7 - AH ⋅ 3 - 5S – 1S + q ⋅ 4 ⋅ 2 - 93,6 ⋅2 = 0 MF = - 60 ⋅ 2 = - 120 kNm

TA

ME = Av ⋅ 2 - AH ⋅ 2 = -4,8 kNm MH = Av ⋅ 3 - AH ⋅ 3 - S 2 = -27,2 kNm

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

REAKCIJE

∑ X =0 … G2H=0 ∑ Y =0 … -G2V+EV=0 ⇒ EV= G2V=0 ∑ M E=0 … G2V·3=0 ⇒ G2V=0

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

∑ X =0 … G1H-G2H=0 ⇒ G1H= G2H=0 ∑ Y =0 … -G1V-10+DV=0 ⇒ DV=12,5 kN 10 ∑ M D=0 … -10·1+ G1V·4=0 ⇒ G1V·4=10 , G1V= 4 , G1V=2,5 kN ∑ X =0 … AH=0 ∑ Y =0 … AV-q·4+S1=0 ⇒ AV=16-8=8 kN 32 ∑ M E=0 … -q·4·2+ S1·4=0 ⇒ S1·4=32, S1= 4 , S1=8 kN ∑ X =0 … BH=0 ∑ Y =0 … BV- S1+CV+G1V=0 ⇒ BV=8-1,2-2,5=4,3 kN 6 ∑ M E=0 … -5- S1·2+CV·5+G1V·6=0 ⇒ CV·5=5+16-15 , CV= 5 =1,2 kN NORMALNE SILE

N=0 N=0 N=0 N=-8 kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

SK

TRANSVERZALNE SILE

T=0 TG2=10 kN TD=10 kN TG1=10-DV=10-12,5= -2,5 kN TS=-q·4+AV=-16+8= -8 kN

TA=q·4-S1=16-8=8 kN TG2=-G1V=2,5 kN=TCdesno TCdesno=-G1V-CV=3,7 kN=TSdesno TSlijevo=TCdesno+S1=4,3 kN=TBdesno TBlijevo=TBdesno-4,3=0=T4

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

27

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA 3. dio MA=0 M3=S1·2-q·2·1=16-8=8 kNm MG2=0 MC=-S1·3+BV·5+5=2.5 kNm 4. dio MB=-S1·2+CV·5+GV2·6=5 kNm M4=BV·2-S1·4+CV·7+GV2·8=5 kNm MS=GV2·4+CV·3=13,6 kNm

TA

2. dio MG2=0 MD=-GV1·4= -10 kNm MG1=0 MS=-q·4·2+AV·4=-32+32=0

RI P

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

PRIMJER 4: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

SK

S1=15 kN AV=5 Kn AH=10 kN EV=2,5 kN DV=12,67 kN BV=10,23 kN CV=13,6 kN BH=0

REAKCIJE

∑ MA = 0 -10 ⋅ 2 +S1 ⋅ 4 − 20 ⋅ 2 =0 S1 ⋅ 4 = 40 + 20 S1 = 15 kN ∑Y=0 S1 + Av − 20 = 0 Av = 20 − 15 Av = 5 kN ∑X=0 A H=10 kN

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

28

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

1. dio M=0

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

∑ M G2 = 0 −10 + EV ⋅ 4 = 0 Ev = 2,5 kN ∑Y=0 Ev − G2 v = 0

G2 v ⋅ 4 + Dv ⋅ 3 − q ⋅ 4 ⋅ 2 = 0 Dv ⋅ 3 = −2,5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 4 ⋅ 2 Dv = 12, 67 kN ∑Y=0

Dv + G2 v + G1v − 24 = 0 G1v = −12, 67 − 2,5 + 24

RI P

G1v = 8,83 kN ∑X=0 H H G2 = G1 = 0

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

∑ M G1 = 0

TA

G2 v = 2,5 kN ∑X=0 H G2 = 0

∑ MB = 0 v − G1 ⋅ 6 + C v ⋅ 5 − S1 ⋅ 1 = 0 C v ⋅ 5 = 15 + 8,83 ⋅ 6

C v = 13,60 KN ∑Y=0 v Bv − 15 + C v − G1 = 0

Bv = 15 − 13,6 + 8,83

SK

Bv = 10,23KN ∑X = 0 H G1 = BH = 0

NORMALNE SILE

N A = AV = 5KN = N1gore

N1lijevo = − AH = −10 KN = N3, N s1 = − S1 = −15KN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

29

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TRANSVERZALNE SILE T A = − AH = −10 KN = T1

gore

lijevo

= − AV = −5 KN = T2

T2

lijevo

= − AV + 20 = −5 + 20 = 15 KN = T3

T3

lijevo

=0

desno

lijevo

T4

desno

= BV − S 2 = 10,23 − 15 KN = −4,47 = TC

TC

desno

= G1 = 8,83KN = TG1

V

V

T5 = G1 − q ⋅ 1 = 8,83 − 6 = 2,83KN V

T6 = G1 − q ⋅ 2 = 8,83 − 6 ⋅ 2 = −3,17 KN TD

lijevo

= G1 − q ⋅ 3 = 8,83 − 6 ⋅ 3 = −9,17 KN

V

TD

desno

= −G2 + 6 ⋅ 1 = −2,5 + 6 = 3,5 KN

V

V

desno

=0

SK

TE

lijevo

RI P

TG2 = −G2 = −2,5 KN = TE

lijevo

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TB = BV = 10,23KN = T4

desno

TA

T1

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA

∑MA = 0 M 1 = − AH ⋅ 2 = −10 ⋅ 2 = −20 KNm

M 2 = − S1 ⋅ 2 = 15 ⋅ 2 = −30 KNm M3 = 0

MB = 0

M 4 = BV ⋅ 1 = 10,23KNm V

M C = −G1 ⋅ 1 = −8,83KNm M G1 = 0

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

30

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

1 = 8,83 − 3 = 5,83KNm 2 V M 6 = G1 ⋅ 2 − q ⋅ 2 ⋅ 1 = 8,83 ⋅ 2 − 6 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5,66 KNm v

M 5 = G1 ⋅ 1 − q ⋅ 1 ⋅

V

M D = G2 ⋅ 1 − q ⋅ 1 ⋅

1 1 = 2,5 − 6 ⋅ 1 ⋅ = −0,5KNm 2 2

M G2 = 0 l

M8 = 0

1,472 = 6,5 KNm 2 0,58 0,58 ⋅ 0,58 − q ⋅ 0,58 ⋅ = 2,5 ⋅ 0,58 − 6 ⋅ 0,58 ⋅ = 0,44 KNm 2 2

M max ( X =1, 472) = G1 ⋅ 1,472 − q ⋅ 1,472 ⋅ V

RI P

M max( X =0,58) = G2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

V

TA

M E = −10 KNm = M 8

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 5: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

S1= 6,66 kN ↓ AV = 1,66 kN ↑ S2= 26,66 kN ↑ FV = 6,66 kN ↑ BH = 8 kN ← EV = 28,67kN ↓ CV = 20kN ↑ BV = 6,66kN ↓

31

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

∑ X = 0 ... FH = 0 ∑Y = 0 ... FV – S2 + 20kN = 0 ∑MF = 0 ... 20kN·4m –S2·3m =0 S2= 26,66 kN FV = 6,66 kN

TA

REAKCIJE ∑ X = 0 ... AH = 0 ∑ Y = 0 ... AV–S1+5kN = 0 ∑ MA = 0 ... – S1·3m + 5·4m = 0 S1= 6,66 kN AV = 1,66 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

∑ X = 0 ... Q·0,707 – GH = 0 GH = 8 kN ∑ Y = 0 ... GV – RE + S2 -10kN - Q·0,707 = 0 ∑ MG = 0 ... -10kN·6m + S2·5m – RE·2 – 16kNm = 0 EV = 28,67 kN GV = 20 kN

RI P

∑ X = 0 ... BH = GH = 8 kN ∑ Y = 0 ... –BV+S1+RC-GV= 0 ∑ MB = 0 ... –GV·5m + RC·4m+ S1·3m = 0 CV = 20 kN BV = 6,66 kN NORMALNE SILE

SK

NAdolje = AV = 1,66 kN NS1 = 6,66kN NBd = BH = NGl = 8 kN NGgore = GH·0,707-GV ·0,707 = -8,49 kN NS2 = -26,66 kN NEd = GH – 8 kN= 0

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

32

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TRANSVERZALNE SILE

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

TAdolje = 1,66 kN TS1l = 1,66 kN TS1d = 1,66-6,66 = 5 kN TBl = -BV = -6,66 kN TS1d = 0 TCd = RC = 20 kN TGl = 20 kN TGD = 20-GV = 0 TGgore = GH·0,707+GV·0,707 = 19,798 kN TEdolje = 14·1,41 - 8·1,41 = 8,48 kN TEd = GV – RE -8 = -16,65 kN TS2l = -16,65 kN TS2d = -16,65 +26,66 = 10 kN TFd = 6,66 kN = TS2l TS2d = -16,65+26,66 = 20 kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA

SK

MA = 0 MS1gore = AV·3m = 5 kNm MS1dolje = -BV·3m = -20 kNm = MC MEdolje = GV·2m + GH·2 m-16 kNm MEdolje = 40kNm MEdesno = -10kN·1m= -10 kNm MS2l = FV·3m = 20 kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosači

33

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

LUKOVI NA TRI ZGLOBA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

34

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 1: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE: ∑ y=0 -A V +Bv=0

∑ x=0

A H -BH -P=0

M G =0 BV ⋅ 3-BH ⋅ 2=0 desno

TA

∑ M A =0 7 ⋅ BV -2 ⋅ BH -2 ⋅ P=0

α = 45
cos α = 0, 707 sin α = 0, 707

AH = 35, 0 kN AV = 10, 0 kN

BH = 15, 0 kN

NORMALNE SILE

RI P

N1 = 0 = N Adole

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

BV = 10, 0 kN

N Adesno = P − AH = -15 kN = N Glijevo

= 0, 707 BV − 0, 707 BH = N Ggore = N lijevo 2 = -3,53 kN

SK

N B = - BV = N dole 2

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE T1 = P = 20 kN = TA dole

TAdesno = - AV = -10 kN = TGlijevo

TGgore = − 0, 707 BV − 0, 707 BH = = -17, 68 kN = T2lijevo

TB = BH = 15 kN = T2dole

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

35

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA

M A = P ⋅ 2 = 40 KNm M1 = M1 = 0

TA

M 2 = - BH ⋅ 5 = -75 KNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

RI P

PRIMJER 2: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

∑x =0 A = B ∑y=0 A =P ∑ M = 0 P⋅6 + B A

H

H

AH = 60,0 kN AV = 20,0 kN BH = 60,0 kN BV = 0 kN MA = 240,0 kNm

V

H

⋅2− MA = 0

SK

= 0 P ⋅ 6 + 2 ⋅ BH − M A = 0 M Gdesno 1

NORMALNE SILE

N A = AV = 20kN = N Gdole 1

N Gdesno = − AH = −60kN = N Dlijevo 1 N Ddesno = N C = 0

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

36

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TRANSVERZALNE SILE

TA = − AH = TGdole = −60kN 1

TGdesno = − AV = −20 = TDlijevo = TDdesno = TC 1 TEdesno = 0 TDdole = BH = 60 = TGgore 2

TA

TB = 0

MOMENTI SAVIJANJA M A = 240kNm

RI P

M G1 = M G2 = M B = 0

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

M Dlijevo = −80kNm

M Ddesno = 2 ⋅ P = −40kNm

M Ddole = − BH ⋅ 2 = −120kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 3: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE ∑X=0.......AH=BH ∑Y=0.......AV+BV-Q=0 ∑MA=0.......BV·8-B·2-Q·2=0 ∑MGD=0.....BV·4-BH·5=0

AH = 5, 0 kN AV = 13, 75 kN BH = 5, 0 kN BV = 6, 25 kN

Q=q·5=20KN sinα=0,6

cosα=0,8 Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

37

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

NORMALNE SILE

NA=-AH·cosα-AV·sinα = -12,25 kN NGL=NA+Q·sinα = -0,25 kN NB=-BV=-6,25 kN N l2 =-BH·cosα-BV·sinα =

TA

N l2 = -7,75KN=NGD

TRANSVERZALNE SILE

SK

RI P

TA=-AH·sinα+AV·cosα = 8 kN TGl =TA-Q·cosα = -8 kN TB=BH= 5 kN T2l =- BV·cosα+BH·sinα = -2 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA

MA=0 MB=0 Mmax=AV·2-AH·1,5-4·2,5·1 Mmax =10 kNm M2=-BH·2= -10 kNm

DIJAGRAMI MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

38

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 4: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

TA

∑X=0...AH=BH ∑Y=0...AV+BV+q·2=0 ∑MA=0….BV·9+BH·1-q·2·1=0 ∑MG1d=0…BV·3-BH·4=0

AH = 0, 615 kN → AV = 8,82 kN ↓

BH = 0, 615 kN ←

cosα = 0,6

sinα = 0,8

RI P

NORMALNE SILE

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

BV = 0,82 kN ↑

N A = N1dole = AV = 8,82kN N1lijevo = N 2 = 0

N1desno = N Glijevo = − AH = −0, 615kN

N B = N Gdole = − cos α ⋅ BH − sin α ⋅ BV N B = −1, 025kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

SK

TRANSVERZALNE SILE

TA = T1dole = − AH = −0, 615kN

T2 = T1lijevo = 2q = 8kN

T1desno = − AV + 2q = −0,82kN

T1desno = TGlijevo

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

39

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA M A = M B = MG = M2 = 0

M 1dole = −4 AH = −2, 46kNm M 1lijevo = 2q = 8kNm

TA

M 1desno = 8 − 4 Ah = 5,54kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 5: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

RI P

REAKCIJE

Sx=0...AH+BH=P Sy=0...AV+BV=8q SMGd=0… BV ⋅ 8 + BH ⋅ 4 − P ⋅ 4 − q ⋅ 8 ⋅ 4 = 0 SMA=0...Bv·11-q·8·7=0

a=36,86°; cosa=3/5 ; sina=4/5

AH=8,72kN AV=11,63 kN BV=20,36 kN BH =31,28 kN

SK

NORMALNE SILE

N A = − AV ⋅ sin α − Ah ⋅ cos α = 14,54kN N B = − BV ⋅ sin α + Bh ⋅ cos α = 2, 47kN

N Gdesno = N1lijevo = N 5 = N1dole =

= − AH = −8, 72kN

N1desno = N 2lijevo = − AH + P = 31, 28kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

40

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TRANSVERZALNE SILE

TA = − Ah ⋅ sin α + AV ⋅ cos α = 0kN TB = − BV ⋅ cos α − Bh ⋅ sin α = 37, 44kN T2desno = 3q = 12kN

T2lijevo = 12 − BV = 8,36kN

TA

T1dole = T5 = P = 40kN TGdesno = AV = 11, 64kN

MOMENTI SAVIJANJA

2

RI P

Mmax= Bv ⋅ ( 3 + 2, 09 ) + Bh ⋅ 4 −

q ⋅ ( 3 + 2, 099 )

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

2

Mmax=176,94 kNm do M 2 =Bv ⋅ 3+Bh ⋅ 4=189,23 kNm

SK

M1do =-40 ⋅ 4=160 kNm M GL =Av ⋅ 5-Ah ⋅ 4-q ⋅ 2 ⋅1=15,27 kNm M de2 = -q ⋅ 3 ⋅1,5 = -18 kNm M lijevo = -18+BV ⋅ 3 + BH ⋅ 4 = 168,2 kNm 2

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

41

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

REAKCIJE

∑ X = 0 AH + BH = 12 ∑ Y = 0 AV – Bv +Cv = q ⋅ 3 ∑ M = 0 Cv ⋅ 10 + q ⋅ 3 ⋅ 3.5 −q ⋅ 3 ⋅ 8.5 − B A

H

M G1 = 0 MG2 = 0

⋅ 3 − BV ⋅ 4 = 0

CV ⋅ 3 − q ⋅ 4, 24 ⋅ 2,12 = 0 − AH ⋅ 5 = 0

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

PRIMJER 6: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

AH=0 kN AV=6 kN BH=12 kN BV= 6 kN CV=12 kN

NORMALNE SILE

DOLE N A = −Va = −6 kN = N G 2 ,

N

DESNO G1

=

N

LIJEVO 1

=0 ,

DOLE

, N = B = 6 kN = N DESNO N 1 = − AH − BH = 0 − 12 = −12 kN DESNO LIJEVO N 1 = N G1 V

1

SK

B

2

DESNO N C = −CV ⋅ 2 = −8, 49 kN = N G1

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

42

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TRANSVERZALNE SILE

T

= 0,

A

T

DOLE G2

=0 ,

DESNO

LIJEVO

T G 2 = AV = 6 kN = T 1 , DOLE T = − B = −12 kN = T 1 , B

H

2 T C = −CV ⋅ 2 = −8.45 kN , 2

T

G1

DESNO

= −CV ⋅

2 + q ⋅ 4.24 = 8, 45 kN 2

,

T

LIJEVO G1

= −CV + q ⋅ 3 = −12 + 4 ⋅ 3 = 0

TA

=0

T

MOMENTI SAVIJANJA M A = 0 , MB = 0 , MC = 0 ,

M G1 = 0

LIJEVO

RI P

M G2 = 0 ,

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

= A ⋅ 4 = 6 ⋅ 4 = 24 kNm M DOLE M 1 = − BH ⋅ 2 = −24 kNm DESNO M 1 = AV ⋅ 4 − BH ⋅ 2 = 0 1

M2=

V

ql 2 4 ⋅ 4.242 = = 9 kNm 8 8

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 7: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. Σx = 0 AH–BH=0 AH=BH=3,33 kN

ΣM A = 0 BV·7+BH·2–20·8=0 Σy = 0 -AV+BV=P AH=3,33 kN AV=1,90 kN BH=3,33 kN BV=21,90

cos α = 0, 6;sin α = 0,8 Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

43

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

NORMALNE SILE

TA

NA=1,9·0,8+3.33·0,6=3,51kN N1d=3,33 kN NCdole=-1,90 kN N2dole=-1,9-20= -21,20 kN NB=- Bv= -21,20 kN

TRANSVERZALNE SILE

RI P

TA=-1,90·0,6+3,33·0,8=1,52 kN T1d=-1,90 kN TCdole=-3,33 kN T2d =P=20 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

SK

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA M A = M B = MC = 0

M 1 = − AV ⋅ 3 + AH ⋅ 4 = 7, 62kNm

M 2dole = BH ⋅ 2 = 6, 667 kNm

M 2gore = 6, 667 − P ⋅1 = 13,33kNm

M 2desno = − P ⋅1 = −20kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

44

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 8: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

RI P

NB=BH NB=8,33 kN N1=BV-5q=0 NA=0 N desno =AH·cosa=-5kN 2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

NORMALNE SILE

TA

AH=8,33 kN SX=0 AV=0 kN AH=BH BH=8,33 kN SY=0 BV=20,0 kN AV+BV=5q SMB=0 8·AV+6·AH-4·5·2,5=0 MLG=0 3·AV=0 cos α = 0, 6;sin α = 0,8

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

SK

TRANSVERZALNE SILE

TA=AH TA=8,33 kN T2=-AH·sina T2=-8,33·0,8=6,66 kN TG1=BH TG1=8,33 kN TB= -Bv T1D=0

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

45

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

RI P

PRIMJER 9: Za dati nosač i opterećenje odrediti i nacrtati uticajne linije za reakcije i za date presjeke 1 i 2 unutrašnjih sila N, T i M. PRESJEK 1

I POLJE 2≤x≤0 REAKCIJE Σx = 0 AH = BH

II POLJE 0≤x≤2 REAKCIJE Σx = 0 AH = BH

III POLJE 2≤x≤6 REAKCIJE Σx = 0 AH = BH

Σy = 0 Av + Bv = 1

Σy = 0 Av + Bv = 1

Σy = 0 Av + Bv = 1

ΣMA = 0 Bv · 6 + BH · 2 + x = 0

ΣMA = 0 Bv · 6 + BH · 2 - x = 0

ΣMGl = 0 Av · 2 – AH · 5 = 0

AH = BH = -2x⁄13 Av = 1 + 3⁄26 x Bv = - 3x⁄ 26

AH = BH = 2x⁄ 13 Av = 1 – 3x⁄ 26 Bv = 3x⁄ 26

ΣMB = 0 Av · 6 – AH · 2 – P(6 –x) = 0

AH = BH = (6 – x) ⁄ 13 tgα = 0.333 → tgα = 0.333 → Av = 5(6 – x) ⁄ 26 H = AH = BH = 4/ 13 = 0.3077 H = AH = BH = 4/ 13 = 0.3077 Bv = 1 – (5(6 – x) ⁄ 26) Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

46

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

MA=MB=MG=0 M2=AH · 4,0 M2=8,33 · 4,0= 33,22 kNm M1=By·5,0-20·2,5 M1=20·5,0-20·2,5= 50 kNm MS=20·5,0-4·2,5·1,25 = 37,5 kNm

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRESJEK 1 M = - AH · 3.5 M(x = 0) = 0 M(x = 2) = - 1.08

PRESJEK 1 M = - AH · 3.5 M(x = 2) = - 1.08 M(x = 6) = 0

T = - Bv cosα – BH sinα T(x = 0) = 0 T(x = 2) = 0. 369

T = Av cosα – AH sinα T(x = 0) = 0.8 T(x = 2) = 0.43

T = Av cosα – AH sinα T(x = 2) = 0.43 T(x = 2) = 0

N = - Bv sinα + BH cosα N(x = 0) = 0 N(x = 2) = - 0.1077

N = Av sinα + AH cosα N(x = 0) = 0.6 N(x = 2) = 0.7077

N = Av sinα + AH cosα N(x = 2) = 0.7077 N(x = 6) = 0

RI P

UTICAJNE LINIJE ZA REAKCIJE

UTICAJNE LINIJE ZA PRESJEK 1

SK

PRESJEK 2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

PRESJEK 1 M = Bv · 6 – BH · 1.5 M(x = 0) = 0 M(x = 2) = - 0.923

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

47

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

IV POLJE 3≤x≤6 REAKCIJE AH = BH = 6 - x⁄ 13 Av = 5(6 –x)⁄ 26 Bv = 1 - 5(6 –x)⁄ 26

PRESJEK 2 M = Bv · 3 – BH · 3 M(x = 0) = 0 M(x = 2) = - 0.23

III POLJE 2≤x≤3 REAKCIJE Σx = 0 AH = BH Σy = 0 Av + Bv = 1 ΣMGl = 0 Av · 2 – AH · 5 = 0 ΣMB = 0 - Av · 6 + AH · 2 + (6 –x) = 0 AH = BH = 6 - x⁄ 13 Av = 5(6 –x)⁄ 26 Bv = 1 - 5(6 –x)⁄ 26 PRESJEK 2 M = Bv · 3 – BH · 3 M(x = 2) = - 0.23 M(x = 3) = 0. 577

T = - Bv T(x = 2) = 0,23 T(x = 0) = 0

T = - Bv T(x = 0) = 0 T(x = 2) = - 0.23

T = - Bv T(x = 2) = - 0.23 T(x =3) = - 0.423

T = Av T(x = 3) = 0.577 T(x =6) = 0

N = BH N(x = 2) = - 0,3077 N(x = 0) = 0

N = BH N(x = 0) = 0 N(x = 2) = 0.3077

N = BH N(x = 2) = 0.3077 N(x = 3) = 0.23

N = AH N(x = 3) = 0.23 N(x = 6) = 0

PRESJEK 2 M = Av · 3 – AH · 5 M(x = 3) = 0. 577 M(x = 6) = 0

SK

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRESJEK 2 M = Bv · 3 – BH · 3 M(x = 2) = 0.23 M(x = 0) = 0

TA

II POLJE 0≤x≤2 REAKCIJE AH = BH = 2x⁄ 13 Av = 1 – 3x⁄ 26 Bv = 3x⁄ 26

RI P

I POLJE 2≤x≤0 REAKCIJE AH = BH = - 2x⁄ 13 Av = 1 + 3x⁄ 26 Bv = - 3x⁄ 26

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

UTICAJNA LINIJA ZA PRESJEK 2

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

48

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 10: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE ∑MA=0…Bv·8-12·1,5-12·3,5=0 Bv·8=18+42 Bv=7,5 kN ∑X=0…12-AH=0

TA

∑Y=0…Av+Bv=12 Av=12-7,5

AH = 12, 0 kN ← AV = 4,5 kN ↑

V=S1

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

BV = 7, 5 kN ↑

RI P

tgα=0,66 ∑Y=0… tgβ=0,4 V=Htgα+Htgβ=H(tgα+tgβ)=1,06H ∑X=0… S2cosβ=S3cosα = H

-----α-----β-----S3

S2

12

∑MGD=0…

V=1,06H

12

Htgβ

H

7,5

SK

12

Htgα H 4,5

Bv·5+Htgβ·5-H·5=0 H(tgβ-1)= -7,5 H=12, 5 kN

Htgα=8,33 kN Htgβ=5 kN V=13,33 kN

NORMALNE SILE

NA= AV + Htgα = 12,83 kN = N1dol

N1gor= AV·0,705+Htgα·0,705+H·0,705 – AH·0,705 = 9,43 kN = NGl

NB= BV·0,705+ Htgβ·0,705+H·0,705 = 17,68 kN = NGd NA-C=S3= -H/cosα= -15,02 kN

NB-C=S2= -H/cosβ= -13,46 kN NC-G=V=S1= -13,33 kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

49

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TRANSVERZALNE SILE

TA=AH – H = 12-12,5 = -0,5 kN TA = T1dol T1gor=Av·0,705+Htgα·0,705+12·0,70512·0,705= 8,72 kN T2=T1gor – 4·1,5·1,41= 0,25 kN Tx = 0 => Mmax x= 2,18 m

TA

TGl=T1gor – 12·1,41 = -8,25 kN

MOMENTI SAVIJANJA

M1=AH·2-H·2=24-25= -1 kNm M2=Av·1,5+Htgα·1,5+12·3,5-12,5·3,56·0,75·2= 8,49 kNm

RI P

Mmax(x=2,18m)=8,5 kNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 11: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE =0 ∑ X = 0; M Gdesno 1

∑ Y = 0; M ∑M = 0

gore G2

=0

A

AV = − 33 kN ; AH = 19,33 kN BV = 11 kN ;

BH = −7,33 kN CV = 2 kN

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

50

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

NORMALNE SILE N B = B H = 7,33 kN N G1

lijevo

N G1

dolje

NG2

gore

G2

G1

N N = − q ⋅ 3 = −12 kN

= NB = BV + RC = 13 kN = N G1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

dolje

NG2

desno

NG2

dolje

= NN = N A = AV = 33 kN

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

N = − q ⋅ 3 = −12 kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE

= − BH = −7,33 kN

TG1

lijevo G1

TB = BV = 11 kN = T

TG 2

TC = RC = 2 kN

TG 2 lijevo = 20 kN

TG1desno = TC

TN desno = + q ⋅ 3 = 12 kN

TG1dolje = − BH = −7,33 kN gore

=T

= TG1dolje

TG 2 dolje = TA = − AH = −19,33 kN

dolje

SK

T

gore

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

51

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA MA =0 = BV ⋅ 2 = 22 kNm

M G2

MC = 0

MN

desno

desno

= − q ⋅ 4 ⋅ 1,5 = −18 kNm = MN

lijevo

= −.q ⋅ 4 ⋅ 1.5 = −18 kNm

MM

desno

= RC ⋅ 3 = 6 kNm

MK = 0

MM

lijevo

= − M + 6 = −4 kNm

M G2

lijevo

= 20 ⋅ 2 = 40 kNm

M G2

dolje

= − AH ⋅ 3 = −58 kNm

= −22 kNm

MA =0

RI P

M G1

dolje

TA

M G1 = 0

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 12: Za dati sistem hale i opterećenje vjetrom odrediti vrijednosti unutrašnjih sila i nacrtati dijagrame istih.

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

52

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

M G1

M G2 = 0

lijevo

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

REAKCIJE ∑x = 0 …

AH + BH + q1 ⋅ 4 + q1 ⋅ 5 ⋅ sin α + q2 ⋅ 4 + q2 ⋅ 5 ⋅ sin α = 0

∑y = 0…

AV + BV − q1 ⋅ 5 ⋅ cos α + q2 ⋅ 5 ⋅ cos α = 0

∑M

AH = 23,36kN AV = 8, 38kN

A

= 0…

BH = 18, 64kN

BV ⋅ 8 − q1 ⋅ 4 ⋅ 2 − q2 ⋅ 4 ⋅ 2 − q1 ⋅ 5 ⋅ sin α ⋅ 5,5 − q1 ⋅ 5 ⋅ cos α ⋅ 2 −

BV = 16,38kN

TA

− q2 ⋅ 5 ⋅ sin α ⋅ 5,5 + q2 ⋅ 5 ⋅ cos α ⋅ 6 = 0

NORMALNE SILE NA = N1 = N2dole = AV = 8,38kN N2desno = AH ⋅ cosα + AV ⋅ sinα − q1 ⋅ 4 ⋅ cosα N2desno = N3 = NGlijevo

RI P

N2desno = N3 = NGlijevo = 10,91kN NB = N6 = N5dole = −BV = −16,38kN

N5lijevo = −BV ⋅ sinα − BH ⋅ cosα + q2 ⋅ 4 ⋅ cosα N5lijevo = NGdesno

N5lijevo = NGdesno = −18,34kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE

TB = BH = 18, 64 kN

TA = AH = 23, 36 kN

T6 = BH − q2 ⋅ 2 = 14, 64 kN

T1 = AH − q1 ⋅ 2 = 15, 36 kN

T5dole = BH − q2 ⋅ 4 = 10, 64 kN

T2 = AH − q1 ⋅ 4 = 7, 36 kN

T2desno = A H ⋅ sin α − AV ⋅ cos α − q1 ⋅ 4 ⋅ sin α

T5lijevo = BH ⋅ sin α − BV ⋅ cos α − q2 ⋅ 4 ⋅ sin α T5lijevo = −6, 72 kN

T3 = T2desno − q1 ⋅ 2, 5 = −12, 29 kN

T4 = T5lijevo − q2 ⋅ 2, 5 = −11, 72 kN

TGlijevo = T3 − q1 ⋅ 2, 5 = − 22, 29 kN

TGdesno = T4 − q2 ⋅ 2, 5 = −16, 72 kN

SK

T2desno = −2, 29 kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

53

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

M Gdesno = 0 … q1 ⋅ 5 ⋅ 2,5 + q2 ⋅ 4 ⋅ 5 − BH ⋅ 7 + BV ⋅ 4 = 0

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA

MA = 0

MB = 0

22 M 1 = AH ⋅ 2 − q1 ⋅ = 38, 77 kNm 2 M 1 = 38, 72 kNm

M 3 = AH ⋅ 5,5 − AV ⋅ 2 − q1 ⋅ 4 ⋅ 3,5 − q1 ⋅ M 3 = 43, 24 kNm

52 = AH ⋅ 7 − AV ⋅ 4 − q1 ⋅ 4 ⋅ 5 − q1 ⋅ = 0 2

2,52 M 4 = − BH ⋅ 5,5 + BV ⋅ 2 + q2 ⋅ 4 ⋅ 3,5 + q2 ⋅ 2 M 4 = −35,52 kNm M Gdesno = 0

SK

RI P

M

lijevo G

2,52 2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

42 M 2 = AH ⋅ 4 − q1 ⋅ = 61, 43 kNm 2

TA

22 M 6 = − BH ⋅ 2 + q2 ⋅ = −33, 26 kNm 2 42 M 5 = − BH ⋅ 4 + q2 ⋅ = −58,57 kNm 2

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

PRIMJER 13: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

54

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

REAKCIJE

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

4 5 3 cosα = 5

sinα =

∑X = 0…. AH = BH ∑Y = 0…. BV – AV = q · 7 ∑MA = 0.. BV · 10 – q · 7 · 10,5 = 0 MG1d = 0.. BV · 5 + BH · 4 = q · 7 · 5,5

AH = 0,875 kN AV = 0,7 kN BH = 0,875 kN BV = 14,7 kN

∑X = 0…

TA

Ravnoteža tačke A:

S2cosα – AH + S1cosα = 0

3 3 S2 + S1 = 0,875 │· 5 3 5 5

∑Y = 0…

(1)

S2sinα - S1sinα – AV = 0

│· 5

4

RI P

4 4 S2 - S1 = 0,7 5 5

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

S2 + S1 = 1,4583

S2 - S1 = 0,875

Izračunamo jednačine (1) i (2): S2 = 0,875 + S1 0,875 + S1 + S1 = 1,4583 2S1 = 0,5833

(2)

S1 = 0,292 kN S2 = 1,167 kN

Ravnoteža tačke B:

S3cosα - S4cosα + BH = 0 3 3 S4 - S3 = 0,875 │· 5 3 5 5 S4 - S3 = 1,4583 (3)

SK

∑X = 0…

∑Y = 0…

-S3sinα - S4sinα + BV = 0 4 4 S3 + S4 = 14,7 │· 5 4 5 5 S3 + S4 = 18,375 (4)

Izračunamo jednačine (3) i (4): S4 =1,4583 + S3 S3 + S3 + 1,4583 = 18,375 2 S3 = 16,9167

S3 = 8,458 kN S4 = 9,916 kN

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

55

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

NORMALNE SILE

Nd3 = S1cosα + S2cosα = 0,8754 kN NG = Nl7 = 0,8745 kN Nd7 = S1cosα +S2cosα +S3cosα = 5,95 kN N6 = N5 = 5,95 kN N4 = 0 kN

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

NS1 = -0,292 kN NS2 = 1,167 kN NS3 = -8,458 kN NS4 = -9,916 kN N1 = S1cosα = 0,1752 kN N2 = Nl3 = 0,1752 kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE

T1 = S1sinα = 0,2336 kN T2 = T3 = Tl3 = 0,2336 kN Td3 = S1sinα – S2sinα = - 0,7 kN TG = Tl7 = - 0,7 kN T4 = 0 kN

SK

Td5 = q · 1 = 2 kN Tl5 = q· 1 – S4sinα = -5,9328 kN T6 = q· 4 – S4sinα = 0,0672 kN Td7 = q· 7 - S4sinα = 6,068 kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA

M1 = 0 kNm M2 = S1sinα · 3 = 0,7 kNm M3 = S1sinα · 6 = 1,4 kNm MlG = S1sinα · 8 – S2sinα · 2 = 0 kNm M4 = 0 kNm 2 M5 = - q · 1 =-2·1 = -1 kNm 2 2

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

56

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

M6 = - q · 4

2

2

+ S4sinα · 3 = - 16 + 9,916 ·

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

4 · 3 = -16 + 23,8 = - 7,8 kNm 5

2 M7 = - q · 7

+ S4sinα · 6 = - 1,4 kNm 2 MdG = - q · 7 · 5,5 + S4sinα · 8 + S3sinα · 2 = - 77 + 63,46 + 13,53 = 0 kNm

2

+ S4sinα · 2.966 = 7.799 kNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

2 Mmax = - q · 3.966

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

RI P

PRIMJER 14: Za dati nosač i opterećenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

∑ Χ = 0 ... AH + BH – P = 0 ∑ Υ = 0 ... AV + BV – q·9 = 0 ∑ Μ A= 0 ... BV ·10 + BH·10-

SK

q ⋅ 9 ⋅ 8,5 = 0 MGd = 0...BV·6+BH ⋅4 − q ⋅ 9 ⋅ 4,5 = 0

AH = 9, 2 kN AV = 16, 2 kN BH = 10,8 kN BV = 19,8 kN

Sile u čvorovima

ČVOR B

∑Χ = 0

BH + S2·cos α - S1·cos α = 0

∑Υ = 0

BV – S2·sin α - S1 ⋅ sin α = 0 (2)

(1)

3 = 0,6 5 4 sin α = = 0,8 5 cos α =

0,6·S2 = S1·0,6 – 10,8 ⇒ S2 = S1 – 18 ⇒ S2 = 3,37 kN BV - 0,8·( S1 – 18) – S1·0,8 = 0 BV – 0,8·S1 + 14,4 – 0,8·S1 = 0 ⇒ S1= 21,37 kN Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

57

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

ČVOR A

∑Χ = 0

AH – S3·0,8 + S4·0,8 = 0

(1)

∑Υ = 0

AV - S4·0,6 – S3·0,6 = 0

(2)

3 = 0,6 5 4 cos α = = 0,8 5

sin α =

NS2 = − 3,37 kN ; NS3 = − 19,25 kN ;

RI P

NS4 = 7,75 kN N1L = S1·0,6 = 12,82 kN ; N1d = 0 N2d = N1l N2l = N2d – S2·0,6 = 10,80 kN N2l = NGdesno N5dole = S3·0,6 = 11,55 kN N5dole = N3gore= N4 N3dole = N5dole + S4·0,6 = N3dole = 16,2 kN = NGgore

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

NORMALNE SILE NS1 = − 21,37 kN ;

TA

(2) S4 + S3= 27 ⇒ S4 = 7,75 kN (1) 9,2 - S3·0,8 – 0,8·( -S3 + 27) = 0 ⇒ S3 = 19,25kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE

T1d = 0 ;

4 = −17,096 kN 5 T2d = T1l + 4·6 = 6,904kN

SK

T1l= -S1·

T2l = T2d- S2·

4 = 4, 208 kN 5

TGd = T2d + 3·4 = 16,208 kN T5dole = S3·0,8 = 15,4 kN T4gore = T5dole T4dole = T5 – 20 = − 4,6kN T3gore = T4dole T3dole = T4dole – S4·0,8 = T3dole = − 10,8kN = TGgore

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

58

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MOMENTI SAVIJANJA

MB = 0 ; M1 = 0 ; MG = 0 ; M5 = 0 ;

M2desno = 30,57kNm 4 M4gore = S3· ⋅ 3 = 46, 2 kNm 5 4 5

M3gore = S3· ⋅ 6 − 20 ⋅ 3 = 32, 4 kNm Mmax= S1 ⋅ 0,8 ⋅ 4, 274 − q

RI P

Mmax= 36,53 kNm

4.2742 2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

M2desno = S1·sin α ·6 – 24·3 =

TA

MA = 0

SK

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

59

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

REŠETKASTI NOSAČI

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosači

60

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

PRIMJER 1: Odrediti reakcije i sile u zadatim štapovima rešetke.

Definisanje opterećenja: I

II

SK

Q = 4 kN⁄ m’ · 3 m = 12 kN Σx = 0 Σy = 0 ΣMD = 0

DH = 0 Dv + Ev – Q = 0 Ev ·3 – Q · 1.5 = 0

Σx = 0 Σy = 0

FH = 0 Ev + Fv – Q = 0 Ev = 12.00 kN Dv = 6.00 kN Fv = 6.00 kN

REAKCIJE Σx = 0

Σy = 0 ΣMB = 0

2 2 − RC ⋅ =0 2 2 2 2 + RC ⋅ =0 RA − Q − P ⋅ 2 2 2 2 − RA ⋅15 − RC ⋅ 4, 24 + P ⋅ 3 ⋅ + P ⋅9⋅ + Q⋅6 = 0 2 2 RB − P ⋅

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosači

RA = 13,32 kN RB = 10,68 kN RC = 43,40 kN

61

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

REAKCIJE U ŠTAPOVIMA U2, D8, D10 I O2 RITTEROVOM METODOM ČVOR F

RI P

D9 = 3 2 kN D11 = 3 2 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Σy = 0

2 =0 2 2 =6 2

TA

2 − D11 ⋅ 2 2 + D11 ⋅ D9 ⋅ 2 D9 ⋅

Σx = 0

PRESJEK I-I ΣMI = 0 ΣMII = 0 Σy = 0

RB · 3 – O2 · 3 = 0 - Fv · 3 + U2 · 3 = 0 2 2 − Fv + Rc ⋅ − D8 ⋅ =0 2 2

SK

O2 = 10,68 kN U2 = 6,00 kN D8 = 34,91 kN

3º ČVOR C

Σy = 0… - D8

2 2 2 - D10 + RC 2 2 2

=0

D10 =8,49 kN

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosači

62

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

AV = 56 kN BH = 60 kN CH = 40 kN

RI P

REAKCIJE

TA

PRIMJER 2: Odrediti reakcije i sile u označenim štapovima pomoću Riterove metode.

Σx=0 BH - CH – 20 = 0 BH - CH = 20 kN CH = 40 kN

Σy = 0 AV – 6 – 12 – 12 – 6 – 20 = 0 AV – 56 = 0 AV = 56 kN

SK

Σ MC = 0 - AV • 10 + 6 • 8 + 12 • 6 + 12 • 4 + 6 • 2 – 20 • 4 + 20 • 2 + BH • 7 = 0 BH = 60 kN RITEROVA METODA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosači

63

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

SILE U ŠTAPOVIMA ΣM1 = 0

8 68

Σy = 0

13

- D4 •

Σx = 0

O3 •

8 68

8 68

+ D4 •

+ D4 •

− 96 − D4 •

O3 =

2 13

+ U4 = 0

=0

13

U4 = 96 kN

RI P

O3 •

3

TA

2

56 – 6 – 12 – 12 + O3 •

-56 • 6 + 6 • 4 + 12 •2 + U4 • 3 = 0 -336 + 24 + 24 + U4 • 3 = 0 -288 + U4 • 3 = 0 U4 • 3 = 288 288 U4 = 3

2

+ 96 = 0

2    − 96 − D4 •  13   • 26 +   8   68  

13

2

13

- D4 •

68

3

=0

13

SK

8

68

D4 = 2,06 kN

O3 = - 100,12 kN

Σx=0

- O3 •

2

8 68

+ O4 •

8

Σy=0

- O3 •

=0

68

2

+ O4 •

68

2

- V4 – 6 = 0

68

O3 = O4 O3 = -100,12 kN O4 = -100,12 kN

- V4 – 6 = 0

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosači

V4 = - 6 kN

64

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

cos α =

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

PRIMJER 3: Odrediti reakcije i sile u označenim štapovima pomoću Riterove metode.

∑x = 0 ⇒ Α ∑y =0⇒Α B

= 24 kN

V

+ΒV = 20 kN ⇒ΒV = 12KN

= 0 ⇒−ΑV ⋅ 6 + 20 ⋅ 6 − 6 ⋅ 6 −12 ⋅ 3 = 0 ⇒ ΑV =

−120 + 36 + 36 −48 ⇒ ΑV = ⇒ ΑV = 8 kN −6 −6

RI P

∑Μ

H

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

REAKCIJE

AV = 8,0 kN AH = 24,0 kN BV = 12,0 kN

SILE U ŠTAPOVIMA

2 ⋅ 3 + 6 ⋅ 3 = 0 ⇒ S1 ⋅ 6 ⋅ 2 2 ∑ Μ1 = 0 ⇒ S X ⋅ ⋅ 6 − 6 ⋅ 3 = 0 ⇒ S X ⋅ 6 ⋅ 2 2 ∑ Μ 3 = 0 ⇒ S1 ⋅ ⋅ 3 − 12 ⋅ 3 − S 2 ⋅ 3 − S X ⋅ 2

SK

∑ Μ = 0 ⇒ 2S ⋅ 2

1

2 = − 18 ⇒ S1 = − 3 2 kN 2 2 = 18 kN ⇒ S X = 3 2 kN 2 2 54 ⋅ 3 = 0 ⇒ S2 = = S 2 = − 18 kN 2 −3

ČVOR B

2 2 2 − SX ⋅ = 0 ⇒ 12 − S3 ⋅ − 3 = 0 ⇒ S3 = 9 2 kN 2 2 2 2 2 2 ∑ x = 0 ⇒ S4 + 6 + S3 ⋅ − S X ⋅ = 0 ⇒ S4 = −6 − S3 ⋅ + 3 ⇒ S4 = −12 kN 2 2 2

∑ y = 0 ⇒ −12 − S ⋅ 3

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosači

65

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

Dobiveni smjerovi sila u štapovima S1,S2,S3 i S4

PRIMJER 4: Odrediti reakcije i sile u označenim štapovima pomoću Riterove metode.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

REAKCIJE

RI P

Sx=0...Ah+Bh-P=0 Sy=0...Av-Bv-q·4=0 SMA=0...-Bv·8+P·4-q·4·2=0

MGdesno=0...-BV·4-P·3+Bh·7=0 cos α = 0,37;sin α = 0,93 cos β = 0,8;sin β = 0, 6 cos α1 = 0, 707;sin α1 = 0, 707

Ah= 8 kN Av= 22 kN Bv= 6 kN Bh= 12 kN

SK

SILE U ŠTAPOVIMA

PRESJEK I-I

ΣM 1 = 0 ⇒ U 3 ⋅ cos α ⋅ 3,5 + BH ⋅ 5,5 − BV ⋅ 2 − P ⋅1,5 = 0 U3=-18,53kN ΣM 2 = 0 ⇒ O3 ⋅ cos β ⋅ 2 + O3 ⋅ sin β ⋅ 2 + P ⋅ 2 + BH ⋅ 2 − BV ⋅ 2 = 0 O3=-18,57kN Σy = 0 ⇒ − Bv + O3 ⋅ sin β − U 3 ⋅ sin α − V3 = 0 V3=-0,08kN PRESJEK II-II

Σx = 0 ⇒ D3 ⋅ cos α1 − O3 ⋅ cos β − P = 0 D3=-7,27kN Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosači

66

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

ISPITNI ZADACI

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Ispitni zadaci

67

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO-IZVOĐAČKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

RI P

2) Dati kontinuirani nosač pretvoriti u Gerberov nosač tako da (obavezno koristiti trouglove): a) su krajnje reakcije A=0 i G=0 za dati slučaj opterećenja; b) se pojavi momenat savijanja u svakom dijelu nosača za dati slučaj opterećenja, c) Nacrtati uticajne linije za dati presjek na nosačima iz a) i b)

3) Za dati nosač i opterećenje odredite sile u označenim štapovima. Metoda po izboru studenta.

SK

4) Za dati nosač i opterećenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosača i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno). Jedinična sila se kreće po dijelu nosača ABC

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

1) Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila M, T i N, te odrediti grafičkim načinom uticajne linije T1 i N1 za zadati presjek 1.

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoć trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja će se smatrati nevažećim. 4)sve dužine su date u metrima [m] Student:_____________________________ Broj indeksa:_________________________

Mostar,januar/februar 2006.

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžović dipl.inž.građ.

______________________________

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO – IZVOĐAČKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

TA

1) Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila.

SK

3) Za dati nosač i opterećenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosača i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 (sila se kreće od A do B).

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja će se smatrati nevažećim; 3) sve dužine su date u metrima [m]

Student:________________________

Zadatke zadao: v. asst. mr. Rašid Hadžović dipl.inž.građ.

Broj indeksa:______________

_________________________________

Mostar, septembar/oktobar 2005.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

2) Za dati nosač i opterećenje odredite sile u označenim štapovima (metoda prema izboru studenta).

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO – IZVOĐAČKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA 3.00

1) Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila i odrediti Mmax.

3.00

3.00

P=2xZBI [kN]

4.00

TA

q=4xZBI [kNm]

3.00

3.00

RI P

2) Za dati nosač i opterećenje odredite sile u označenim štapovima Riterovom metodom.

3.00

3) Za dati nosač i opterećenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosača i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata i transverzalnih sila; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno). (Sila se kreće po dijelu nosača ABCD, a presjeci se nalaze na udaljenostima a i b.)

SK

q=6xZBI [kN/m]

E

P=2xZBI [kN]

2.00

P=4xZBI [kN]

Presjek 1:

M=10xZBI [kNm]

A

D

Presjek 2:

2.00

B

q=2xZBI [kN/m]

3.00

1.00

2.00

3.00

a=__________ m

C

b=__________ m

1.50

2.50

Student:__________________

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžović dipl.ing.građ.

Broj indeksa:______________

_________________________________

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoć trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja će se smatrati nevažećim. 4) sve dužine su date u metrima [m]

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

4.00

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO – IZVOĐAČKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

RI P

2) Na dati nosač unijeti zglobove tako da: a) se u svim dijelovima nosača pojavi moment savijanja; b) u krajnjim osloncima reakcije budu jednake nuli, i da je reakcija C = 0. c) Nacrtati uticajne linije za dati presjek na nosačima iz a) i b)

SK

3) Za dati nosač i opterećenje odredite sile u označenim štapovima (metoda prema izboru studenta).

4) Za dati nosač i opterećenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosača i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno).

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoć trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja će se smatrati nevažećim. 4) sve dužine su date u metrima [m] Zadatke zadao: Student:__________________ asst. Rašid Hadžović dipl.inž.građ. Broj indeksa:______________

Mostar, septembar/oktobar 2002.

____________________________

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

1) Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila i odrediti Mmax.

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO IZVOĐAČKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA 1) Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila.

TA

3.00

M=10xZBI

2.00

2.00

3.00

RI P

2) Za dati nosač i opterećenje odredite sile u označenim štapovima (metoda prema izboru studenta).

SK

3) Za dati nosač i opterećenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosača i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata i transverzalnih sila; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno). a=

q=4xZBI

b=

P=10xZBI 2

2.00

1

q=2xZBI

2.00

P=4XZBI

2.00

1.00

2.00

4.00

1.00

1.00

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoć trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja će se smatrati nevažećim. 4) sve dužine su date u metrima [m] Student:__________________

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžović dipl.ing.građ.

Broj indeksa:______________

________________________________

Mostar, juni/juli 2006.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

3.00

q=4xZBI

P=2xZBI

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO IZVOĐAČKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA 1) Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila.

4.00

P=10xZBI kN

3.00

2.00

2.00

3.00

3.00

2.00

2.00

2.00

2.00

RI P

2) Za dati nosač i opterećenje odredite sile u označenim štapovima (metoda prema izboru studenta).

2.00

2.00

2.00

2.00

2.00

2.00

2.00

2.00

q=6xZBI kN/m'

2.00

SK

3) Za dati nosač i opterećenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosača i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno).

2.00

P=4xZBI kN

P=2xZBI kN

P=ZBI

2.00

2.00

2.00

1.00

3.00

1.00

1.00

1.00

2.00

2.00

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoć trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja će se smatrati nevažećim. 4) sve dužine su date u metrima [m] Student:__________________

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžović dipl.inž.građ.

Broj indeksa:______________

________________________________

Mostar, juni/juli 2006.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

4.00

TA

q=4xZBI kN/m'

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET HIDROTEHNIČKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

TA

1) Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila M, T i N, te odrediti grafičkim načinom uticajnu liniju M1 u zadatom presjeku 1.

3) Za dati nosač i opterećenje odredite sile u označenim štapovima pomoću Riterove metode.

SK

4) Za dati nosač i opterećenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosača i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno). Jedinična sila se kreće po dijelu nosača ABC

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

2) Dati kontinuirani nosač pretvoriti u Gerberov nosač tako da (obavezno koristiti trouglove): a) se pojavi reakcija momenat savijanja u svim dijelovima nosača za dati slučaj opterećenja; b) naizmjenično smjenjuju primarni i sekundarni dijelovi nosača nezavisno od datog opterećenja, c) Nacrtati uticajne linije za dati presjek na nosačima iz a) i b)

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoć trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja će se smatrati nevažećim. 4)sve dužine su date u metrima [m] Student:_____________________________ Broj indeksa:_________________________

Mostar,januar/februar 2006.

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžović dipl.inž.građ.

______________________________

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 HIDROTEHNIČKI ODSJEK

PISMENI DIO ISPITA

TA

1) Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila i uticajnu liniju M1 u zadatom presjeku 1.

SK

3) Za dati nosač i opterećenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosača i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 (sila se kreće od A do B).

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja će se smatrati nevažećim; 3) sve dužine su date u metrima [m]

Student:________________________

Zadatke zadao: v. asst. mr. Rašid Hadžović dipl.ing.građ.

Broj indeksa:______________

_________________________________

Mostar, januar/februar 2006.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

2) Za dati nosač i opterećenje odredite sile u označenim štapovima (metoda prema izboru studenta).

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET HIDROTEHNIČKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

RI P

2) Za dati nosač i opterećenje odredite sile u označenim štapovima pomoću Riterove metode.

SK

3) Za dati nosač i opterećenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosača i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2.

Student:__________________ Broj indeksa:______________ Mostar, septembar/oktobar 2006.

Presjek 1 a=_______ m Presjek 2 b=________ m

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžović,dipl.inž.građ. _________________________________

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoć trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja će se smatrati nevažećim. 4) sve dužine su date u metrima [m]

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

1) Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila i odrediti “T1” uticajnu liniju u datom presjeku 1.

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET HIDROTEHNIČKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

TA

1) Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila M, T i N, te odrediti grafičkim načinom uticajnu liniju M1 u zadatom presjeku 1.

SK

3) Za dati nosač i opterećenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosača i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata i transverzalnih sila; c) Nacrtati uticajne linije za date presjek 1 (Jedinična sila se kreće po dijelu nosača ABC)

Student:_____________________________

Broj indeksa:_________________________

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

2) Za dati nosač i opterećenje odredite sile u označenim štapovima pomoću Riterove metode.

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžović dipl.inž.građ.

______________________________ Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoć trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja će se smatrati nevažećim. 4)sve dužine su date u metrima [m]

viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI P

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

TA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIĆ» U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

LITERATURA:

Đorđe Solovjev: Statika konstrukcija 1 (1. i 2. dio) Milan Đurić: Statika konstrukcija Prof. Adnan Çakıroğlu i Prof. Dr. Enver Çetmeli: Yapi Statiği – Cilt 1 R.C. Hibbeler: Structural Analysis

SK

1. 2. 3. 4.

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Literatura

78