Zbirka-zadataka-iz-matematike-za-4-razred-Adem-Huskić-2.pdf

ZBIRKA ZADATAKA

IZ MATEMATIKE za 4. razred srednjih skola

lP "SVJETLOST" d.d. Zavod za. udZbenike i nastavna sredstva SARAJEVO, 2004.

lzdavac: IP "SVJETLOST" d.d. Zavod za udibenike i nastavna sredstva Direktor: Sefik ZUPCEVIC Za izdavaca: Abdu:;;elam RUSTEMPASIC Urcdnik: Ante BAl'."1C Rccenzenti: Dr. Hasan JAMAK, Prirodno-matematicki fakultct Sarajevo Amira IMAMOVIC, Zenica Omer KURTANOVIC, Bihac Leletor: Zulejha TERZIC Korektor: Autor Tehnicki uredni.k: Fikrct DAlJTOV1C Naslovna strana: Mira GOGf(: I)TP: Autor :Stampa: DOO "C.P.A." TojsiCi-Kaicsija

PREDGOVOR Ova zbirka zadataka namijenjena je ucenicima cetvrtog razreda srednjih skola koji u svojim nastavnim programima imaju matematiku (girnnazije, tehniCke i srodne skole), Nastala je kao plod dugogodisl~jeg rada s ucenicima i potTage za raznim prirucnicima koji bi pomogli realizaciju programa. sadri. osam poglavlja s preko 3000 zadataka. Poglavlja su: Matematicka indukcija i binomna formula Trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog brojll Kombinatorika SkuI' realnih brojeva Nizovi. Arilmct.icki geometrijski nlZ, Grankna vfijednost Geornetrijski red 6. Funkcija 7. Diferencijalni racon 8. !ntegrnlni raClll1.

Zbirka 1. 2. 3. 4. 5.

niza.

Tiraz: 1.500 primjeraka

err Kat[l]ogizllcija U pllhlikaciji Nacionalna i univerzitetska bibliotcka Bosne i Hcrcegovine, Sarajevo

,! 51 (075.3) (076.1)

" t

HUSKIC., Adem ~?ir~a zadataka iz matc.l~atikc z~ 4. razrcd srednJlh skola! Adem Huooc. - SaraJevo:

I

vjetlos.t, 2004. - 3R4 S.iT': graf. prikazi; 24 em

ISBN 9958-10-714-7 COBTSS_BI-QD 13329670 ~

..- . .

---

Fcderalno Ministarstvo obraz!)vanJa, Hauke, kulturc i ~pofta, na OSIlOVU odohrcnji\ Vijeeu za odabir udzbcnika od 01.08.2001. godinc, RjcScnjclTI broj 03-38-32632/02 odobri!o jc ovaj udzbcnik 7.3 npotrcbu. SITOgO je zabranjeno svako kopinmjc, umno7..avanjc i prdtampavanje udzhcnika bez odobrenja Izdavaca. Ncovlastcno kopirnnjc, ulTIllof.avanjc i prdtampavanje predstavlju krivic!lo djelo.

Zadaci Sll hirani tako da zadovoljc potrebe i interesovanja uccnika cetvrtog razreda srednjih skala. Njihov raspored jc takav da su jednostavni zadaci stavljeni ns pocetak u svakoj grupi jcdnovrsnih zadataka, a zatirn slijede nesto 1"ezi zadac!. Zadaci koji su, po mojoj procjenj, nesto "tezi" oznaceni su sa z\~jezdicom iza broja zadatka. Mnogi zadaci su potpuno rijeseni i njihova ljesenja navedena su 11 c1rugom dijeiu zbirkc. Za sve zadatkc dati su rczultati, a za pojedine zadatke su navcdene i kljucne upute kojc vode ka jednom nacinn rjesavanja zadatka. Ovo se posebno odnClsi na llteze" zadatkc izZbirke. Na pocctku svakog poglavlja navedene su neophodne definic.ije, teoreme i formule koje omogucavaju laksc snaiazenjc prilikom ljdavanja zadataka i koristenja zhirke. Nadam se da ce Zbirka korisno posluz.iti uccnicima cetvrtog razreda srednjih skola, kao i njihovim profesorima matematikc, kao vazan komplemcntaran prirucnik postojecem udibeniku matematike i olaksati realizaciju programa nastavnog predrneta i pripre111t1 rnaturskih i drugih ispita. Na kraju posebnu zahvalnosl upucujem recenzelltima koji SD mi pomog!i korisnim pdmjedbama i sugestijama i time doprinijeli poboJjsanju kvaIitcta ove Zbirke zadataka. Autor

ISBN 9958-10-714-7

3

1.

MATEMATICKAINDUKCIJA BINOMNA FORMULA

1.1.

Matematicka indukcija

U dokazirna relaciJa-koje kao vafijablu sadrze ,prirodan broj princip matematic~e lndukcije:

n,. Cesto se koristi

Ak . . 0 jeT.(n) tv .. rd~j.'a kOja.z-aViS.i {)d vrijednosti. pr.i. r. 0.dnog .brOj 3". iStinl.'.ta ia n no (2:1) i ako se ua osnovu pretpostavke"da tvrdnja vrijedi za n =-k;;:: Do, dokaze da. l!'yrdnaj vrijedi i za n=k+l, ouda je tvrdo,ia istinita,z3 svaki prirodan broj R.

'='1

r:a svaki pt'irodan broj n ) po definiciji, vrijedi: n! = 0-(0-1)'(0-2)· ... -3,2,·1. l lzraz n! cita se "0 fak.orUel". Po detiniciji vrijedi. i; 11- =_ 1., 01 = 1.

L La) 1.2.a)

Izracunati vrijednost datog izra7....a: 4! b) 5! 9' 2l! b)

~

7!

201

1.3.a) 5' + 6!

Uprostiti date izraze: b) (n+I)! n n(n+1) (n+1)! b) (211+1)! 1.5.a) 1.4.a) n!

cJ 0)

(2n -I)!

1.6.a) ~-~~_ n' (11+1)1

b)

~I~+~_I~ (n+2)!

0)

(n+3)!

r

1.7.*

d) 8! 12! d)

iO!

0) 12! + 1l! -101

b) 7! - 5!

(n -I)'

oj 71 3! c) 01

6! 1 (11+ 1)1 (n-2)(n-3) '[(I1+I)(n-4)' 5!(n-5)!

n! n(n-I)(n·' 2) n! (n - 2)!

5! n(n+I)

n(n-I)!] 12(11-4)!3! .

Dokazati da vrijede identitct.i: 13'-1']' b) ~·~'·=Il! 1.8.a) -'-'~' =6!

7'+6' 8

1.9.a) I.lO.a)

(n+l)! n!

b)

~~-~

(n-l)!

44!..:1:.'i:5 ! 46

cJ

155

~~-=n+l

nl

/1·(11·-2)!

(11+1)! 3!(n-l)!

n!

c)

~~=n

(n -1)1

b)

= 441

L,

(n-2)'= ... (n-l)! 11-1

1

1

n!

(11+1)1

(11-1)!(n+1)

5

1.l1.a)

(n + 5)!

~~-- ~(11+5)(n+4)(n+3)(17+2)(n+l)

(11-3)! - - =(11-3)(n-4) (n-5)!

b)

n1

U skupu prirodnih brojeva rijesiti date jednacine Uednadzbe): 1.12.a) (11+2)'=110 n!

b)

(x+I)!~42 (x I)!

b)

1.14.a) (x + I)! ~ 90 (x-I)!

b)

1. 13 .a)

U5.a)

_"_'_= 20n! (n-5)! (n-3)!

(2x-3), x

b)

bn~jev3

U skupu prirodnih

(x~4)!

(/1+1)!

1.19.a)

'.1.20_a) b)

]+2+J+.20 2)!

1.23.

12

---=--

6

(x+l)!

30

(x+l)!=30

(2x)!

, 2' 3' , _ 11(11 + 1)(2n + 1)(311' + 3n ~ I) 1 + + + ... +n .

2

(x~l)!

x'-(x-l)!~.1..

d)

n

2n2+211+1 +=--'-== l1(n+l)

n2

22}2

-+-+-+~. c~--:=--

1-3

3·5

5·7

14.2'

.

(211-1)(2n+l)

n

n 4n+l'

---4(n+4)

11(211+3)

n+1

n(n + 1) 2(2n+ I) -

/1(n+l)(112+n+l)

_ · c - - + ... "T- - - - - - = --'..--""-1·3 3·5 (211- 1)(211 + I) 6(2/1 + 1)

1

2

3

11

n+2

1.32.

-+-+-+ .. +~::::2----o 2 22 22 211 211

1.33.

i+·--+~+~-+

3

5

7

4

36

144

2n+ I

J

n'(n+i}'

(n+lY

... +-----_ =:2---0

•

0

1.34_ US.a)

23 + 4' + 6 3 + ... + (2n)3 ~ 2112(n + 1)2 7

b)

1.36.a)

1 --- + + ... + - - - - - - 1·2·3·4 2·3·4·5 n(n + lXn+2Xn+3) I --- + a(a+l)

(a+l)(a+2)

+

1 (a + 2)(a+3)

1[1

3 -;;

1. ] (n+ IXn+2Xn+3) . n

+ ... + ----"----

a(a+n)

(a+n·'I)(a+n)

1.37.

1 2 4 8 2" 1 2,,+1 - - + - - , +--, + - - 8+ ... + - -2" ~--+--:;j' l+a 1+a J+a l+a i+a a-I 1_a 2 1·l!+2 ·2!+ ... + n 'n!~ (n + I)!-I

1.38.

1+2+4+8+"'+:z;;:::;-~2

b)

3

7

15

2" -1

,."

b)

j

1.40.a) 61/13 + Un IAIca)' ! .42.0)

31 511

+ 211+1

*n -nl

b} t717.5211-1+231l~i

c>," 19j7.S 2n +12'6 11

b) 5717

1715"+3 + 11'''+' V

11+2

+8

2

11 + 8 2n+ 1 I .4 "J.a ) 5915 n +2 + ')6.5 ~ 1 }.44.:a) 5412211+1_9n2 +3n-2

145. a)

1053 1 3

2n +2

c) 64

1'1+11/

b)

1716'''' + 19'" ..

b) "'''''',

914" +1511-1.

147.:a) 25i, 2"+2 ·3" +5n-4

bi

lAS.a) ]712511+3 + 5!1 . r+ 2

b) 371211+5

.

i .50. *a) b)

c)

0)

8

b)

--+--+ ... +-->1.

+5 31'1+1 <

8

4

512! n12 _n _n + 1, n neparan braj.

1001(7+72 +7 +7'+ ... +7"') ,zan~4k,kEN. 3

n+l

n+2

3n+1

1.56.0) 211 > n 3 , n 210

b)

3" >n, 4 n'?:.8.

=> an >b

tl

n!> 2", n24

b)

,

J .58.a) 2

(

1.59.

(l+x)11 >l-t-J1x, x>-l, X*O, n>l.

1.60.a)

- - < - - 11'22 11+-1 (n!)2'

1.61.a)

(2)"

4"

V

2

J'I"

b) l2--'1 >n, n> I n;

>n!, n>2

4" (2n)1 b) - - < - - 11>1-

(211)1

2n+1

(n1)2'

,

~N

b) n!

> n! > (;)", n?::6. • \J

a" b,n > 1, 11 EN.

1.62.

2"" (a" +b") > (a+ b)", a+b > 0,

1.63.

(coso.. + isioo..)" :::;; cosna + isin na - Moivret-ova formula.

Primjenom matematicke indukcije dokazati: . (n+l)a . nfJ. .... · ..,..-sm . --'-

sm~····

1.64. sina +sin2ct. +.,.+sinna

2 .a

2

Cl.

*- 2krt,ke z .

sm2 • 2

'

SInX

. 3x + sm . 5 x + ... + Sin . ('L.H-l ) x = ---:-Sin nx + sm

smx

(n + i)a . na cos ------. sm1.66. cosa + cos 2et + .. + cos na = 2 2 . a

u

-:j:

21m, k

E

Z

sm-

I

2

Sll

tacnc nejednakosti:

1

1

I

1

1

n+1 1

11+2

n+3 1

2n 1

2

--+-----+--+ ... +->-, 1 n+2

--+-~+--+

n+1

I

2/1 >n2, n:2: 5.

1•65 .

481 n 3 + 20n, n parwI braj.

I

b)

1116 211 +3 11 +2 +3 11 , 11 ....

cos-cos---cos~cos-·

2

n

sin 211+1a

n

1.70. coscx·cos2a·cos4a·cos8a· ... ·cos2 a

1.84.a) (.Ja+b

= - - ,- - .

2"+ sina

lxlx1x

]x1

x

1,72, !gx+-Ig-+-tg-+_·tg-+.,,+-Ig- = -ctg--2ctg2x. 2 2 4 4 8' 8 2" 2" 2" 2n . IIX ' (a+-------··.x n- I ) Sffi--sm

1.73.* sinC'J.+sin (c:.+x)+sin (a+2-x)+ .. +sin[(x+(n-J)x}=-_2 _____ . x sm-2

.J.__ ,

x:f:.21m. kEZ,

a) 1.93.

=[\OJ. "let +\["Ia,,-jb + (nla b +"'+[ " I)a b,,·j +(")I.,n lj 2) \n-l nC2

'k \. -J

.2.

n(I1-·1)(71-2)· ··(/l···k+. k!

\.78,a)

---------

Primjenom binomne fonnu1e razviti: (3+b )2 b) (a+b)J (a+l/ 0) (a-I)' (a_2)4 b) (x+3)' ( I ,4 b) (I+J2)'

Ia+-l ,

( ] + i )6

I,82,a)

Cia + Vb)7

10

(a+i)7

b) b)

(x2+2a)'

bJ 0)

r

c) (2a-b)"

c) (2a+7b)" c) 1,01 G

0) \/1,002

1.97. Odrcdi!i pctnaesli clan u razvijeno111 obliku binoma

1

(J - i)' (a + 2ii (a'_b2 )'

(Va _Vb)7

po

.

c) 0)

oj oj oj 0)

c) 0)

LIOLa)

(a-bi (l +X)7 (2+x)'

(r " ,'1/3 - I) ( i - 3)5 (1_ 2i)8 (3a'-2y)'

(a+~r,

1.98. Odrediti peti c_Ian u razvijenom obliku bino111a (2x£ Odrediti srcdfui clan u razvoju hinoma: (1 + a)20 b) (I-li)'o

1.100,a) (a+I)3O

a}

1,79,a) 1.80,a) 1.8 La)

cJ ( )a 2 -1 +1

izraCllnati (1 "~J2r1 s tacnoscu do O,OOL

1.99,a)

.74.* Metodom matcmaticke indukcUe dokazati istinitost binomne formule.

L75.a) 1.76.a) Lna)

b) JI,003

(~+~)'

1.96> Odrediti cctvrti clan u razvijcnom obliku binoma (a + 1i.)8 .

I leo]a je pdzna!a pod nazivombinomn2 formula, pri cemu 50 binomni koetki,ient(: ! L

(2,003)10

2

11

I dcfiniciJ';: (n\j

b) (..Ia+.Ja+b)4

c)

1.95. Odrediti oS111i clan u razvljcnOl'D obliku binoma (x + 3);0.

r":z;- svaki pri::odan -bn~j- n i k~n vrije.di fonmila

I

(Ta-~J

1.94. Odn:-diti jedanacsti clan u razvijenom oblikll binoma {a + X)15

BillOmll2! formula

I (a + b)"

+ra=b)"

b)

1.85. Napisati prva dva clana u razvqju binorna: b) (3a+5)l!w aJ (X+I)50 1.86. Napisati dva posljednja clana u razvoju binorna: a) (a+2)3O b) (x-I)" 1.87. Koriste6i binomnu formulu izracunati: a) 1,02' b) 0,99' 1,88, Izracunati 1,00SI2 s tacnoscu do 0,01. 41 1.89. Izracunati 1,0004 s tacnosctl do 0,001. 18 1.90. Tzracunati 1,0005 s tacnoscu do 0,00 J. 1.9 L Tzracunati O,851~ s tacnoscu do 0,01. 1.92. Tzracunati pribliznu vrijednost izraza:

_1___ + _1_ + __1_ +- ... + __1_ = ctg:x _ ctg2 11 x. sin 2x sin 4x sin 8x sin 211 x

L71.*

(Ta+~J

1.83,a)

211 sin ~.:"_

L

(217+2"b)" ,'"

2

104, *a)

rFa + _I J'O l

a

Fa

c) (a -

.[3)50

b) (x'+ax)"

0)

(V4 +lfi)66

b) (

c)

(x' +xv)16

b)

.103,a) ( -·+h \ x /

if;;) g .

b)

b)

a-bJ3'"

(l2aFa VaT "sa +

va 3 ,;c,\ ---,

[ r 0)

3

Va)

( r ('(J;' rr r Va-_~ \fa

I ( sinx+-cosx

-~ 2~'{

c)

0)

sm x \ x

x cosx

I-~+--

(!.Jx +iY)' 11

Odrediti dva srednja clana u razloZenom obliku binoma:

Ll05.a) (2x+I)"

b)

(l/5+~i)41

L 106_a)

b)

(

b)

(a~+b~)'

c)

1.121. U razvijenom obliku binorna ( x 5 +

(a+J3)IOl

(l

)

1.122. Odrediti clan u razvijenom obliku binorna

(

(aFa + a'}

1.109'* Koeficijent treceg clana u razvijenom obliku binoma

1.1 ! O. U razvoju binoma ,,3

a)

1 )" ( x + Xl

J

cJ Osmi clan

(

I)?

x 2 +x

)' ta

( Fa+.~-

\

b)

(-+a' Va ")" a

c)

1I

1I

razvijenom obliku binoma ( ',Ix +

,.118. Nati koeficijcnt

liZ

x

8

1I

razvoju binoma

1.119. U razvijenom obliku binoma

(E + ',Ix) 9

(.Jb - Jt)'

[J _))

18

_

koji sadrZi x 10

+

Vx

r

~x)

ne

(~ __;)'o naci clan koji sadrZi

je 153. Odrediti clan koji ne sadrzi x.

1.128. Na6i peti clan u razvijenom obliku binoma ( [; + odnos koeficijenata treceg i drugog clana jednak -

~r, ako je

.!2.. 2

1.129.* Odrediti Clan koji ne sadrZi xu razvoju binoma (x -1 + Fx)" , ako .Ie adnos binomnih koeficijenata cetvrtog i sestog ciana jednak 5: 18. 1.\30. U razvoju binoma

(I

:!_Va +

\.. 6

I~~J" zbir kocficijenata prva tfi cIana

~a28

je 79. Odrediti clan koji ne sadrZi a.

. b'moma I . I "J 1. U'razvoJu

(aV;

I ) " Zb'If koe fi" - - + ,-----_ ICIJenata pos I'Jed' fiJa tn. 6 l.{j aL8

clanaje 79_ Odrediti clan koji ne sadrzi a. X4.

'\" [.120. U razvijenorn obliku binoma Fx +~) naci clan koji saddi x 3 •

(\

\

[V x·J; r

razvijenom oblikll binoma

razvijenom obliku binoma

.

."

(E + I)" koji saddi ,,4 ! .116. Odrediti Clan u razvijenom obliku binoma (Fa -+. .Jb )11 koji sadrzi as.

1.1 17. Odrcditi clan

.125. Odrediti n aka peti clan

obliku binoma

Ll14. Odrediti clan u razvijenom obliku binoma (x + 2)14 koji sadrii x 7 1I

(a' +~r

medusobno su jednaki. Koji clan ovog razvoja ne sadrZi x ?

c)

.113. Odrediti clan koji ne sadrii b u razvoju datog binoma

1.115. Odrediti clan

,/I

zavisi od x. 1.126. Odrediti n ako je zbir binomnih koeficijenata prvog,drugog i tre6eg ciana u razvoju binoma (a -J +- a 2 ) n jednaka 46. .127. Zbir binomnih koeficijenata drugog i treceg cIana u razlozenom

112. Odrediti clan koji ne sadrii a u razvoju clatog binoma: 1

_~

1.124. Koeticijenti cetvrtog i trinaestog Clana u razvoju binoma

j

)

b)

koji

jednak 105.

b) x7 cJ 1.11 I. Odrediti clan koji ne saddi x u binomnom razvoju:

a)

r

19a- Ii J

(~ + 3x " odrediti koeficijent uz: ~x

(a'~b' +)h'~

21

'~J" jednak je 66. Odrediti srednji clan tog razvoja.

jednakje 66. Odrediti : a) Treei Clan b) Pet, clan

•

naci clan koji ne zavisi od x.

sadrzi b , 1.123. Odrediti n ako je binomni koeficijent treceg ciana u razvoju binoma

a" . 'fx .. ax'

2

1000

b \"

a+'4)

1.108.* Koeficijent treeeg claoa u razvijenom obliku binoma

a)

)0

1.132. U razvoju binoma

(V;;- - ~ Jzbir koeficijenata prvog i trecog

clanaje l37. Odrediti clan koji ne sadrzi a.

13

1. I 33'.* U razvoju binoma

(l U - ~ YrazIika binomnih koeficijenata .

obliku binoma [

treceg i drugog clana je 35. Odrediti clan koji sadrii a'.

(l.[;?" + Fa)

I. I 34. * U razvoju binoma 1. J3 5. * U razvoju binoma

7

odrediti Clan koji sadri'; a.

(,Ix + \IX , ~)" zbir svih binomnih koeficijenata

\

1. I 36. * Koji clan II razvoju binoma

r 7a +:

a-

\a _a +1 2

\)10

a-a

3

Vb'

,Y!,)" je I 87. Koji Clan sadrii b ? 'Va 6

3

ciana sa kraja u razloienom obliku binoma

r

(xV-; - J;,

jednaka

je 78. Koji clan ne sadrzi x ? l.147. Odnos koeficijenata petog i treceg clana u razvoju binoma

ne sadrzi a?

2

Za koju vrijednost varijable x je treei clan u razvQju binorna

(x''''"' + x)' jednak IOO?

[x~ -V x2~r jednakje 14:3. Odrediti I

['1"./3.J; + ifJ)" jednak 2772 ?

sedmi clan razvoja.

1.148. * Zbir binomnih koeficijenata tri posljednja clana u razvijenom

b )"

obliku binoma ( ~ + \ v2 x - 1

L 138. Za koju vrljednost varijable xje sesti clan u razvoju binorna

,

1 +

1,146. Sum a binomnih koeficijenata drugog ciana od pocetka i treceg

je za 240 manji od zbira binomnih koeficijenata od (a+b)2n. Odrediti treci clan u razvoju prvog binoma.

1. T37,

1.145. Odnos binornnih koeficijenata cetvrtog i drugog clana u razvijenom

va)

jednakje 22, a zbir treceg i petog

61anaje 135. Odrediti vrijednost varijable x.

..

1.139.* Devetl clan u razvoJu bmoma

[.JlO

f' (';X)50 g x

210'-1:;:'1'° + -_,-)1 Je 450. x-

(

I01o,E

+_1_1' "'110 )

6

je 240.

Odrediti x.

yY,

je 3500000.

Odrediti vrijednost varijable x. 1.14 L * Za koju vrijednost varijable xje koeficijent cetvrtog clana u razvijenom obliku binoma (a + b) IOgl--·2 jednak eksponentu binoma? 1.142. Peti clan u razvijenam obliku binoma

("~ + ;,,)1 {.t2 4-{t4

1.150.* Prvi, tree! i cetvrti clan u razlozenom obliku binoma (r+ redom, su 8, 6 i ]. Odrediti vrijednosti varijabli x, y i z.

Odrediti vrijednost varijable x. 1. 140. * Cetvrti cian u razvoju binoma

l.l49.* Treei clan u razloienom obliku binoma

(if; + x-I)' jednakje :5..

.152.* Odrediti peti clan u razvoju binoma clan tog razvojajednak

(ifi.- J~J,

akoje posljednji

(3!JCn -lo"S.

9

Odrediti vrijednost varijable x. 1.143. KQji clan u razvijenom obliku datog binoma, sadrZi a i b na isti eksponent:

1.144. lJ razvijenom obliku binoma

[ai J;; +

r

zbir svih binomnih

koeficijenatajednakje 128. Odrediti clan koji sadrii a 5

14

r'

151. * Dmgi, tre6i i cetvrti clan u razlo.zenorn obliku binoma (x + y redom, su 240, 720 i 1080. Odrediti vrijednost varijabIi x, y i z.

t53.* Odnos tre6eg i petog koeficijenta u razvoju binoma a-'2' [

~a31 J" jednakje ~.

, Odrediti clan koji sadrzi a -2. 154. * U raziozenom obliku binoma (Xh + x-4) 11 binomni koeficijent treceg clanaje za 44 veci od koeficijenta drugog< Koji clan ne sadrzi x ?

1.155* Odrediti onaj cian u raziozenom obliku trinoma (1 +

x' + :2 )12

koji ne sadrzi x. 1.I56. * Naci koefieijent uz x' u razloienam obliku izraza (I + x

2

_

x') 9 .

15

5

1.157.* Naci koeficijent uz x u razlozenom obliku izraza (1-x+x5io. Odrediti clanove koji su cijeli brojevi u razvoju datog binoma: L158.*a) (.J3+1)' b) (2+\15)13 c) (.J3+.Ji)1O 1.159.*a)

(';/3+'«2)18

b)

(ifs +\12)20

c)

(if?, +!J2)IOO

1.160. Dokazatidaje (l+.Ji)" + (l-.Ji)" c\jelibroj. Odrediti clanove koji ne sadr.ze iracionalnc brojeve u razvijenom obliku binoma:

l.J61*a)

(Vi +.Ji)'

b) (ifj +7.fi)24

c)

(Vs +..[3)5

1.162.*a)

(Vs +..[3)"

b)

(Vs +7./12)17

c)

(Vi +.Ji)14

Odrediti sve racionalne clanove u razvijenom obliku binoma: 1.163.*a)

l3

'J5

(13 +22

b)

[~.1J24 3 5 +2'

c)

(.J5 _.Ji)1O

Koliko racionalnih clanova irna razloieni oblik binoma 1.165.*a) (.Ji + if?,)lOO

b)

(7.fi+if?,)'OO

c)

(ifz + 1!J3) 100 ?

i.166.*a) (..[3+'15)'24

b) (.Ji+V3)'00

c)

(if7+'I5)30?

1.167. Zbir binomnih koeficijenata treceg clana od pocetka i tre6eg s kraja u razlozenom obliku binoma (if?, + V4)" je 9900. Odrediti racionalne clanove ovog razvoja. 1.168.* NaCi najveci clan u razlozenom obliku binoma:

a) (l+.J2)'o ] .169. Izracunati vrijednost izraza:

b)

(~J+ 2(~) +22( ~)+ 23m+ 24(!J+2 5(:)+2 0(:). 170. Odrediti zbir koeficijenata polinoma koji se dobije razvojcm datog binoma: b) (4x+2)1G c) (l-3x)21 a) (2x+I)'

!.l7l.a)

1.181.

(fi+.J2)'01

1.182.

1.1 83.

1.184.

!.l72.a)

1.185*

16

17

[KORJENOVAN,IE: J.]

86*

i z = r( co, s(p+i sillcp),

OJ,/I =

..

--- + (n-I)'

31(n-3)!

1

1

2~

5'(n-5)!

(n-])'

n'

,

+.l)"

I MNOZEN,m

I Akoje

.1 89, * Dokazati da za n ? 3 vriiedi nejednakost

.190. '" Dokazati da za n ? 3 vrljedi nejednakost

/1"+'

z, =1)

I

< 3.

n

{f;l(cos b, 0 > d)~> 3. (3) h. c

I~I=~

(a> b)

:::3:.>

c

d

= 1o+c . a-c=1o-c) (ac=1oc. E.=!'.)

(a+c

c

c

J

fi b) 13 c) .f5 4.2. Na orojnaj osi odrediti date intervale realnih broje'lm: a) [-2.5] b) [A, I] c) [-3,2) 4J. Date realne brojeve napisati u decimalnolll obliku: 4 2 0) 5 ~ b) ~ 5 7 6 4.4. Date decirnalne brojeve napisati

a> c a+c > 10 'I- d a -0 > h· d ( so

1

0)

b)

a) 0,333133 .. 4.5. Dokazati da vrijedi

> bJ. E. = !'. ) c

d

"">

(a+c > b+e ,a-c> bee)

(a>1o. c> 0)

=>

(ac > be

E. >!'.

7.

(a>h, c

ac