Zbirka Zadataka Iz Matematike I Dio
January 5, 2017 | Author: Adela B | Category: N/A
Short Description
Download Zbirka Zadataka Iz Matematike I Dio...
Description
Saraievo,2OOr
BLAGoTALUdTc LJUBo pEne
71RIKz,AD
Iz-WEWII(E I DIO
Sarajevo,2005.
Naziv publikacije: ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE
I dio Autor: Dr. Blagota Ludi6 Mr'. Ljubo Peji6
Recenzenti: Dr. Hamid Dr$evi6 Dr. Lejla Smajlovi6
IzdavaE: Ekonomski fakultet u Sarajevu IzdavaEka djelatnost
TadavaEa: Dekan Prof. dr. Muris eiEi6
Urcdnik: Prof. dr. Hman Muratovi€
DTP: Rasim Kova€evi€, dipl. matemtiEar
Godina
5ffit*#.-panja: TiraZ: 500 primjeraka
€mU:t.o.o. Foinica Odgovorno lie Stam pariiel
,,Sramparija
Sefrzqa Buljina
- Kotologizocfio u Publikociji Nocionolno i univezitetsko bibliotekq, Bosne i Hercegovine, Sorojevo
CIP
5t2(075.8) (076.1) 5t7.5(075.8) 8076..|) LUelC, Blogoto Zbirko zodqtoko. Dio I / Blogoto Ludi6, Ljubo Peji6. - Sorojevo : Ekonomski fokultet, 2m5' 285 str. : grof. Prikozi
:24 cm
- 605 l. Peji6, Ljubo
-8
lsBN 9958
coBlss.
BH-
67
lD 13904390
Mi5ljenjem Upravnog odbora Uprave za indireKno oporezivanje broi 15-03-05-28/05 od 15. OE.)O[S. godine, publikacija je proizvod iz ilana 13. tadka 13. Zakona o porezu na promet proiaroda i usluga, na diji se promet ne placa porez na promet proiaroda.
SADRZAJ
I.
ELEMENTI OPSTE ALGEBRE
1. El.nt*nti opite ug"bt" 1.1. El"*enti matematidke logike
........
.. .. . . . 1 . .. . 1 .. .. ....4
operacije I.I.2. Irkurtt" fot*,rl" 1.1.3. Kvantif,katori .. ..... . r]l 1.1.1. Oroorrrre logi;k"
r.2.
Ukupovi
.... . . ..6
......
rk,rpu ... ... 1.2.2. Jednakost rk,rporru I.2.3. Komlement rknpu 1.2.4. Unija skupova (u) 1.2.5. Preslek rk,rporru (n) .. L.2.6. R*liku ,k,rpolru (\) .. I.2.7. Simetriina t*liku (A) tupova 1.2.8. Partitivni .k,rp ,,..... t.2.9. Uredeni p*. D"k*tov t'roizvod ....
......... .7 ........ .7 .....7 ......8 ..... 8
L.z.I. Podrk,tp
.
.....
T\I
.
.. 10 .. .....10 .....10 .
relacije
1.3.1. Ornorno
.......
13
o*bl.r" relacije
ili futcija Vrste proliku*nja ..
.....I7 ........18
r.4. Ptolikarranje 1.4.1.
.... . ..9
........9
.
1.3. .binarne
1
.. 1.4.3. Kompozicija funlcija .. . . 1.5. Bi"atne operacije .... 1.5.1. Orrrorrn" o*birr" operacija 1.4.2. Irrrr"rrrro preslikavanle ..
.
.....:.
..19
.. ..19
........23 .. . ..
. . . 23
II - ELEMENTI LINTEARNE
ALGEBRE
c) it /t Z. IVlatrice ..
..
q1 n Z.I. Usnovnipojmovi.... oq '1.'1.
........27
n Uperacije sa
matricama 2.3. Determinante
r g?1 n 'I L.tr.L. Jsobine determinanta
..
.
rnatrica 2.5. Ra"g matrice 2.6. Matriinejednaiine..
..
3.3.
Matriinametoda....
o,t
/1 J.4. Gausova
I
metoda
.......44 ........44 sa
n
nepoznanica
.
........
+. Vektorski prostor
4.1.Ostotnipojmovi.... {.2. Sist**i
'ektora
44
........47
......
3.5. R;"Su*nje i saglasnost nehomogenog sistema od * linearnih jednadina n nepoznatih . .. ... .. 3.6. Sist"* linearnih homogenih / rr I I
33
........40
.
lin"*nih ;ednaiina
.. ..
....34
3.1.Ostounipojmovi.... 3.2. N"ho*ogeni sistem od n
... 28 ...29 ...29
.)tl T '1.4. Inverzna
3. Sirt"*i linearnih 3ednadina
.. .27
jedna6ina
...
49
sa 56 59
.... 64 ........64 ........66 ...
FUNKCIJE REALNE PROMJENLJIVE
1. Pojam funkcije ,"uln. promjenlli
2. Crufi.i elementarnih T\T. o. ' I\rzovl .... /l^.vlfl +. \rranrcna vr{ednost
...... ....Tg
funkcija tunkcije
4.1. Upor"divan;e beskorraino 4.2. 0graniienost funLcije
5.
r.
...
10J
. 118
*ulih i beskona6rro rr"likih.,o"libiou ...
5.1. Osnolrrr" orobirr" t"pr"kidrrih
119 119
.......l3b
funkci;a
6. Difet"ncijalni ra6un funkcije jedne promjenjl;irr"
f,rt"i;"
.. funkcija
6.2. 0sno'tnapravila diferenciranja 6.3. Tubli.aizvod,aosnovnih 6.4. Ir"od sloZene
84
.. ..
N.pr"kidnostfunLcije 6.1. Ir"od
.....
..
130
....
14b
..
14b
.......146 .......146
fu*"i3"
......
6.5. Ir"odi funkci3a koje nisu eksplicitno 6.6. Diferencijal
funlcije
zadaft
151
...154
.. 157 6.7. Ir"od i diferencijul .,"ktor-frrtk"i;* ko-pl"ksr,e i matridne funkcije .. .. 165 6.8. Irrrodi i diferenci5ali .iSeg reda .. . 174 6.9. 0srro.rne teoreme diferencg alrrog raduna 6.9.1. Rolonu, Langraiova i Koiijeva
tmrema
.......180 .. 184
teorema 6.9.3. G3lo.onu i Maklorenova for-rrlu 6.9.2. Lopitalova
7. Ispitivanje
futcija
pomo6u izvoda
..
....... 189
.
.
Nejedntosti 7.2. Ekstremne vrijednosti funkcije 7.1. RaS6eqje i opadanje funkcije.
7.3. NaSveia i najmanja vrijednost funLci;e na segmentu lll
.. ...
204
...203 ....210
...
.. .218
fu"kcije
7.4. Ko"l*"nost, konveksnost i prevojne taike 7.5. Asi*ptote
futcije . .
7.6. KonstruLcija gtuf,ku
8. F,tnk.ije viie
funkcije
promjenl;i"ih
8.2. Pa.cilalni izvodi i totalni diferencijal 8.2.1. Parcijalni
.
....
....
3i,l;:',jj:.1**;il,; [ot*,tlu
.. . ..
:: :
. vrijednosti futciie dvije promj"ttlit'"
8.5. Te;lorova i Maklor"torru
..
..:
8.6.1. Dorroljni uslovi za egzistenciju lokalnih ekstrema
ekstremi 8.7.1. Metod eliminacije 8.7.2. LangraZov metod
8.7. Utlo"ni (vezani)
lv
....220
.......251 .....251
izvodi
8.2.2. Tot*ltidiferencilal
..
.......224 .....228
8.1. Ornonni pojmovi, graniina vrijednost i neptekidnost
8.6. Ekstrernne
..
..
.
260
... .. 260 .....264
iT, .. .. ....272
...274 .. .. .. 275 -..279
....279 ....279
1.
Elementi opste agebre
1.1. Elementi matematidke
logike
Svaka redenica koja ima smisla i kojoj se moZe pridruZiti sarno jedna od istinitosti vrijednosti tadan (T) ili netadan (-J_) naziva se iskaz (ili sud) . Iskaze obidno oznadavamo malim slovima p,Q,r,... a istinitosnu vrijednost iskaza oznadavamo sa r (p), r (q), .... Iskazi su napr. reienice: p :"Sarajevo je najveci grad u Evropi', q ,"2 + 3 . 4 :14, pri iemu je ,(p): _L, r(q) : T. Redenica "Matematika je veoma interesantna nauka" nije iskaz, jer je za nekog ta redenica tabna, a za nekog nije. Ni redenica " r +3: 5" nije iskaz sve dok z ne uzme odredenu vrijednost. Za n :2 to je taian iskaa, a za sve ostale vrijednosti je netadan iskaz. Od iskaza se, logibkim operacijama, prave sloZeni iskaai, koji mogu biti tadni ili netadni, Sto zavisi od polaanih isk#a.
1.1.1. Osnovne logieke operacije 1.1.1.1. Negacija Iskaza (-) Neka je dat neki isl
1,,
b) -(1ne N)(Vrn€N)mz,be}, gdje je fu : \at - a2 - alt b2 : o,r * az - aB, bz - 2at r az +og dini
a:
ar
*
a,z
(L,2,4),a2: (-1,0,m),ae
:
(0,2,4),a.a: 1-1,0,0);
bazu, pa odrediti komplemente vektora
*
as
u odnosu na novu bazu
Rjeienje:
7. Dati su vektori
ar:
a) Zakoje vrijednosti parame tra msu dati vektori linearno zavisni? b) U sludaju zavisnosti odrediti sve baae datog skupa vektora. c) Izraziti
preostale vektore pomo6u jedne od baza.
68
Rje5enje: a)
Dati vektori odredeni su sa po tri komponente, pa pripadaju euklidskom prostoru .83. U tom prostoru najve6i mogu6i broj iinearno nezavisnih vektora je tri, a svaka detiri su linearno zavisni. Zato su linearno zavisni i dati vektori bez obzira na wijednost parametra m,Sto se moZe provjeriti odrerdivanjem ra,nga matrice M sistema vektora:
lr -1 0 -1\
tw:l2 o 2 o l,r(M) 7@z)) funkcija je neopadaju6a (nerastu6a), a ako je /(rr) < f(rz) 11(rr) > f(rz)), funkcija je rastu6a (opadajuca). Sve se one nazivaju monotonim.
: p(y) !uk* da je y : f (p(y)) ili F'(tp(il,fi: 0, onda se g(y) naziva inverznom funkcijom funkcije U : f @) koja se oznaiava i
4" Ako postoji tunkcija x funkcija r : sa
"f-1.
(f , X -'Y,f-7 :Y -- X i f(f-L(s)) 73
:
U, Yy
€Yi f-L(/(r)) : r, Vr e X.
Primjeri:
1. Dati su skupovi X : {1,2,3} iY : {0,0,5}. Odrediti sve jednoznadne f , X ---+ Y. Da Ii neka od tih funkcija obostrano jednoznaina? Rje5enje:
fi (2) :
0,
Na slidan nadin prikazuju se i ostale jednoznaine funkcije, definisane na cijelom skupu
X:
Jedna od jednoznadnih funkcija fi(3) 5, Sto se moZe Prikazati kao
:
h, y
funkcije
---*
Y
definisana je sa:
/r(1)
:
0,
(tz a\ /4:\b 3\ B\ /5:\o . (r2 3\ /e:\o ,.(tz ,-.(tz " /r'[o s)' s o o), i o)' o o), 3\ 23\ /8:\5 9\. k(t /7:\5 ru,(!? ''(tz 5) 5 o)' 5 '\u o s), Ni jedna od inverznih funkcija f;!,(1, - 1,. . . ,8) nije jednoznadna, na primjel, /il preslikava element 0 skupa Y u dva raalidita elementa skupa X (1 i 3), ti. iz fsL(a) + /tl(b) ne slijedi af b (a,b eY. Zato ni jedna od funkcija ft, Q: I,2,...,8) ne moie biti ni obostrano jednoznaina. Primijetimo da flL i /tl nisu definisane na cijelom skupu Y. Oblast definisanih tunkcija i;t i" st up iO), u obl*t definisa,nosti funkcije /tt i* skup {5} o
2. Dati su skupovi X
:
{1,2,3}
iY : {2,4,6}. Odrediti sve jednoznadne funkcije
f t X --+Y i njihove inverzne funkcije. Koje inverzne funkci.ie su jednoznadne? o 3. Neka je preslikavanje f : R* [-1,1] zadato jednako56u f (r): sinr. Odrediti: ((-+,+)), d) /-1(0), ") /-'(;), a) f(0), b) / (t-+ ,El), ") f f) /-1
(+),
s)
/-1([-1,1]),
h)
/-1((-1,1)), i) /-1 (t0,tl)'
Rje5enje:
:0, b) / (-+) - -1, f (il: a) /(0)
:
sin$
1 i ako argument sinusa uzima sve vrijednosti od tada ie vrijednost sinusa mijenja od -1 do *1. Dakle, [-1,1], {sinr : -$ f
(l-9,+)l:
3" 3E}:
74
-L, do $,
c) Analogno b) je: f ((-L*g)) : {sinr : r e (-$,il} : (-1, 1), d) Kako je sin r :0 akoje tr : kr, k eZ,toje /-1(0) - {r : sinr : 0}, e) Ako je sinr: |, to je r: (-1)"arcsin $+nn: (-1)" + A + ntr, n €2,
:
(-1') $ + nn,n € Z, f) Analogno ka,o pode) imamo: f-t (+): pa ie .f -1
(+)
: {r: sinr +}:e\T*ntr,n€2,
: {r : f (r):
sinr € [-1, 1]]. Pokazimo da je /-1([-1,1]) : lR. Neka je u € /-1([-1,1]) i o: sintr, tada je f (n): d,, ot€ [-1,1], pa je r € ((-1)'larcsin a*ntr),r € IR, i slijedi da je /-1([-1,1]) c lR. Ako je r €.R, tada je sinr€ [-1,1] i r€ /-1([-1,1]), tj. Rc /-1([-1,1]). Dakle, /-1([-1,1]) :R, h) L jednakosti sinr: *1 odredujemo skup A: {r: s: T lnn}, n €Z vrijednosti r koje ne pripadaju /-1((-1, 1)), pa je na osnovu g) /-1((-1, 1)) : R \ A. i) Imamo: l-'_([q,-*]) : {":sinr€ [0,+]]. Neka je n e f-L ([0,]]) i o: sinr, tada je o € 10, il i": (-l)"arcsinr*nn,n €2. Ako je n:2k -fiksno, tada je r : arcsin a t 2ky i pri promjeni vrijednosti o od 0 do I promjenlji\xa r se mijenja od 2kr do (z/c + *) tj. r € lztur, (zte + *) "]. ", Ako j9 n:?!r*1-fiksno, tada jer: -arcsinr +(2k*1)zr izacle [0,*], r e l(zte + 8) (2k + t)rl. ",
g) /-1([-1,1])
(.u- lzren,(zrc+ *)"1), (, l(2k+fi)tr,(zk+ 1)"1) \kez, / \kez / Vati io!ra!1o, akor elzkn,(zte +f)'r] ili rel(zte+t)",(2k+1)zr], tada srijedi,
/-'([0,*])
.
sinr € [0,]]. Dakre,
/-, ([0,]l) :
(
(, [(2k+ ft)n,(2k+ 1)"]) . , / \tc€z /
.U-lzrnr,(zre+ 6)"1)
\kez, 4. Neka je "f r R + [-1, t] i /(r): cosn. Odrediti: a) f(0), b) / (f;), c) f (l-t,tl), d) / ((-g ,q)\, 0
/-'(*),
s)
5. Zafunkciju /,
/-1 ([-1,0]), h) /-,
zadatu sa: 1)
[0,
E] -lR
b)
/ ([6,$]),
a)
/ ([0,6]),
e)
r-r({*,1,f})
([o,f]),
c)
")
i) /-1
/ ([0,6]),
(l-+,+l) .
f(r) : tgr, 2) f(d :
/-1 ((0,11), d) /-1
o
75
ctg rodrediti:
([#,f,r]),
( ,", -1 0) tj. w(2r*ar):0, (r € D,w > 0). Kako ie'' * 0, to je w : -2r za svako r e D,5to je nemogu6e jer je r,;-konstanta o L2. Data je tunkcija a)
u: p6fug.
Odrediti inverznu funkciju,
b) Odrediti oblast definisanosti date funkcije c) Da
li je data funkcija periodiEna?
78
i njene inverzne funkcije,
Rje5enje:
a) Inverzna funkcija je y:3arcsin(ell*r - I), b) oblast definisanosti tunkcije je skup D : {re R; ffiT + sinS + 0 i t*sin$ > 0}, odakle ie D: {r e R; rlSkri,*T +(6k *4)r,keZ}.
Dt: (--,0) U [#,**), i njen osnovni period je w : 6r o
Oblast definisanosti inverzne funkcije je skup
c) Data funkcija jeste periodidna 1-3. Data je funkcija f (r)
a) Odrediti
12 -4 :Gjq'
inverznu funkciju,
b) Odrediti oblast definisanosti
date funkcije i njene inverzne funkcije,
c) Ispitati parnost funkcija f i f -1. Rje5enje:
a) uzmimo da je z - ,|ffi, odakle je r f -t (r) b) Oblast definisanosti date funkcije je skup D : (-m, -3) Oblast definisanosti funkcije
Df
/-1
je skup
U l-2,21.
-, -{r€ IR; -i"'+; 14 - L2r2 * 16 € R) - {r € lR; 14 -{r € IR; ; (r - :xt) (" - ixzX" - {ts) (" - r,4)
L2r2
+ 16
odakle je Df _,
c) F\rnkcija f (r) nije parna.
:
Dvoznabnom funkcijom f -t(r) *r, + jednoznadne funkcije tzv. grane funkcije f-r(r). Neka su to fi(r) + + ta i F\rnkcije /r(r) i /2(r) su parne o
lt/Fwm
: -**' l'/W
14. Odrediti period
s: #76r,
u)
n,
b)
2r,
: -4* - |vM.
sljede6ih funkcija:
a) U :3*sinzrr, b) g
") Rezultat:
fz(r)
su definisane bar dvije
0
c)
: 2sinr-3cosr,
")
U:5*2sin(l-c),
u: sinr* !sin2r+$sin3r.
2n,
d)
r,
e)
r, f) 2tr o 79
d) y
:
tS
(r+3),
15. Odrediti oblast definisanosti funkcija:
a: #*, b) g: d) A:A: \h+I+ $-r+er/', a)
h)
a: ffi,
Rezultat: a) D :
1)
, e)
c)
u: fffir,
A:12 -4*ln(-z),
y:lnarcsinffi, i) g:
(2
- sinr)*.
b) D : (-*, *), c) D: (-oo,-1) U(-1,1)U(1,+m), d) D:l-1,0) U(0,3J, e) D: (--,0), f) D:l-4,-2), g) D: {" > 0,xf lur,le :0,1,...}, h) D: [-1,0)U(0,1),
i)
D:
(--,
2) U (2,3) U (3,
(-2,,81, j)
16. Dokazati
da
D:
**),
lR o
i"mffi:
2rn(r/F + |
- r)
iodrediti oblast definisanosti funkcije
kr\/"Z+r-" \/fi'+l+t Rezultat: D
: (-6, *oo)
17. Odrediti
inverznu funkciju date funkcije i njihovu oblast definisanosti:
a)a c)
o
,c)ro
tr'
-h
\
a-Ioso@'+tffi1
,o, Pod kojim je uslovima funkcija f Rje5enje:
-r jednozna(na?
+W: \M'zpordobijaser-tfu'+ : Funkcija 3r). f-t(")je jednoznadna i D f :D1-1 : IR. f-L(*) t@t* b) Df - R.. Inverzna funkcija, data a,nalitidkim izraaom, je U : tarccos(lnffi + 2kn, le e Z. Ona je jednoznadna ako se postavi uslov: g € [0, n],(g t 0,k - 0). < 1}. Funkcija Kako..je cosgf - hffi, to je Dy-t : {r e $,-1 S h# t -+ et je rastuda, pa je Dy-t: {" € R,: Sry# < r} : {r e R,i < #} n {r e R, ffi se} : ((-m,-1)u l#,+*)) nl#e,-l) : [F*,-t). a)
RjeSaranjem jednadine y
3y). Dakle,
F\rnkcija f jednoznadne grane,
fr(")
l-a- -a-vT'
-t (r) ima bar dvije
d) Dr
Df-t
- R \ tInt, ln ry,hT,...,ln ry,...)
o
18. Odrediti parnost i periodicnost sljeddih funkcija: a)
y-los(r*'ffiy,
c) y-
cosr-sinr* 1,
b)
y- W+
d) y-
sin
*
r)2
r(r + 2).
Rje5enje:
a) F\rnkcija nije ni parna, ni neparna, ni periodidna,
b) F\rnkcija je parna, ali nije periodidna, c) funkcija nije ni parna, ni neparna, ali je periodidna sa periodom tt :27r, d) F\rnkcija nije ni parna, ni neparna. Period funkcije je w : 2, jer je sinz,(r + 2) : sinzr[(r+cr) * 2]+2k7i,(r e IR,, > 0) ekvivalentno sa zr(e +iy:r[(r+'w) +i]+ 2letr,keZ,(x €lR,c..r>0),tj.qr(t:2kr(keZ,w>0). Najmanjipozitivanbroj r.r za koji je tadna jednakost a :2lc je a :2 za lc: 1 r 19- Odrediti eksplicitni oblik funkcije jednako56u
sinr-cosA:0,
f , lT,Yl -
n€
|
31
5a'l
Lz'T),
[4zr,5rl koja
y€
je
zadata implicitno
[an,Sn]. (1)
Rje5enje: [Jzmimo da je sinr l+,+1 , e € [-1,lJ. Tada jednadina cosy segmentu [an,54'] ima jedinstveno rje5enje, Sto znaei da postoji funkcija
gr
-: _* lan,Snl. f: l|L-"2'. bz'l 2 | ,
J
Da bismo odredili analitiiki izraa funkcije .f, jednakost (1) napisemo u obliku '71 sinr -sm(t-a):u,
odakle je
2sinrycosry-0. 81
(2)
_
q na
Iz (2) slijedi da funkcija y ima dvije vrijednosti 7l
u:r-]+2kn,n€2,
(3)
U: -r+:2 + 2kn, n €v''
(4)
U sludaju (3) funkcija ne zadovoljava zadate uslove. U relaciji @) iz uslova r €
l+,n
fu"t
"i;e
shjedi da
je9 e[(2n-2)n,(2n-
1 ;"'
a:
-tr+
l)ur']
c fltr,Srlzan:3,
..1+,+) +, Z LZ L
paeksplicitni oblik
o
J
20. Odrediti eksplicitni oblik funkcije
f ,ln,2n\---, f+,+l Lz z l zadate implicitno sin
r *cos U :0,
r€ fn,Ztrl, A€
(1)
l+,T1.
Rezultat:
v--r*ryo 2L. Odrediti eksplicitni oblik funkcije -l
+ [1,31 f : lzi ,2n]+ lz'TJ zadate implicitno cos
fr -sin
U
:0, r
eltr,ZnJ,
Rezultat:
a-r-+o 82
lr
3".]
A€ l=.^-l' y2' 2 J
(1)
22. Napisati u eksplicitnom obliku a) *2
-
y2 -
4,
sljedede funkcije,
b) 2r3 .a2
implicitno date:
c) er*Y
Rezultat:
y-*rEry,
+ ffit c) y-log32 -r, d) a-*5 23. Odrediti eksplicitni oblik funkcije f (") date u parametarskom obliku: a) r- 0cost,U:asinf,0 b) r- 0cost,A:asint,T c) rtE, - sin t +cos t,U: cos2 (t - ? - sin(t + T), d) r - tgt,U : sin 2t + 2cos2t, e) 12 -logzt*2,A:t2 L,(t€lR+), a)
b)
a-
1f
f) r- #+,a: ffi,0
s)
r- #,a:#,-oo
Rje5enje:
a) Kako je funkcija r + acosf, f e [0,2r] bijekcija [0,2-] -* I-o.ol, to Vr e[-a,aliz jednakosti r : acos t odredimo jedinstvenu vrijednost t : o,rccos koja pripada segmentu f [0,n]. Uvr5tavanjem ove vrijednosti u drugu jednakost, dobidemo y : osin(arccos fi) :
: o{r:$,
,@
tj. y
b) Neka je r*u
: \/;r42, x e l-a,al,
u € [0,n'], to je
jednakosti.r- -acosy. Funkcija u --+ -acos u je bijekcija
[0, o'J
a,rccor
arccos
(-;)
jednakost, dobi6emo : y
- n,
- - lm,
c)
y-
e)
A-2212-4_1, f) r_
tr2
r
t € [n,Ztr]. Pri tome je, ir, prve
-+ [-o, o], pa za svako n € l-o,
fi.
o1
je u
€ f- a, a\,
lcosa-
d) Koristedi
dobijase
u-2W,
ffi,oay
83
-
IJvr5tavanjem ove vrijednosti u drugu
2. Grafici elementarnih funkcija Porno6u grafika G osnovnih elementranih funkcija A naotati grafici sljede6ih funkcija:
:
f @), neposredno se mogu
A: f @ - a) - translacija gra,fika G paralelno r-osi za wijednost a, 2) y: f(r) + b - translacija grafikona G paralelno g - osi, zab, 7)
3)
y:
4)
y:
5)
g: -f
6)
U: f ?")
- uve6anje srafika G c puta,
"f(x) f (kr)-
smanjenje apcisa grafika G k puta,
(n) - simetribno preslikavanje grafika G u odnosu na r-osu,
- simetridno preslikavanje grafika G u odnosu na
Pomo6u grafika G, funkcije
/(r),
gf-osu
mogu se pribliZno nacrtati grafici funkcija:
y: fu.,, 2o U: l/(r)1, 3o u: /(l"l), 4o y: f(x)+g(x), So y: f (x) . s@), 6" y: ffi, f a: /[p(o)], itd r"
o
U daljem radu, na osnovu grafika G funkcije 'sanih
A.: f (r), crtaiemo grafike transformi-
funkcija.
24. Na osnovu pravila a) y
:
(* -2)2,
1) nacrtati grafike funkcija:
b)
g: loglp(r -2),
Rje5enje:
a) (sl.
1),
b)
(s1.
2),
c) (sl. 3) o 84
c) y
: fu.
v
\ y=*'
\
Y
2.5
2.5
2
2
\
1 1
\
y=
1.5
y= (x-2)2
1.5
\
tog*x
-0.5
\
-0.5
-L
-1
-1.5
sI .2.
\l -)
1
v 6
1 \ Y=; \
5 4
v- x2+3 /
t
1
\-1
0' " \' : ( _/i"i; Kako ie u :1 /(r)l to da bismo nacrtali grafik tunkcije s : t lti: .,, l/(r)1, ria osnovu Srafika G funkcije U l@), potrebno je dio grafika funkcije a : f @), ^) d)
koji se nalazi iznad s-ose ostaviti bez promjene, a dio grafika G ispod r-ose simetridno preslikati u odnosu na tu osu.
38. Nacrtati
grafike funkcija:
a)y:lrl, b)y:lr*11, ")U: lt-lrll. Rje5enje: a) (sl. 20), b) (sl. 21), c) (sl. 22) o 89
Y
!= lx+11
S) Neka je dat grafik G funkcije
A: f @). Nacrtati grafik funkcije g:
Da bismo nacrtali grafik funkcije y -- f
potrebnojenacrtatigrafikfunkcije
(lrl)
f (l"l).
na osnovu grafika G funkcije A
U: f@)zar)
:
0pagasimetridnopreslikatiuodnosu
na y-osu.
39. Nacrtati grafike funkcija: a) y
- \/Wl,
b) y
- losg l"l,
c) y
-
sin
l"l.
Rje5enje: a) (t1. 23),
b) (rl.
24),
c) (sl. 25) o
Y
1.5 1
y=1ogg
y=1ffi[
lxl
sI .24.
90
f @)
Y
-l-rn \l /
\o=sinrxl n
n
z
2
-0.5
\,
j
sl .25. 40. Nacrtati
grafike funkcija:
u)a:lzr2-alxl+sl,
b)
y: l#81, ") u: (1)t"-t+r, d)y: -arctg gr-L).
Rje5enje: a) Nacrtali smo Srafik funkcije cemo nacrtati grafik funkcije U
U:2r2
-8rf
Szan
)
:
U
:
2r2
2r2
-
-
Slrl
8r
* 5 (vidi sl. 19). Kako je 12 :
lrl2, to
* 5l prema pravilu 8). Nacrtamo parabolu
0, pa je simetridno preslikamo uodnosu nay-osu (sl. 26). Prema
pravilu 7) nacrtamo grafik date funkcije (sl. 27).
y= | 2x2-B
lxl+5
|
Y=2x2
b) Datu funkciju napi5imo u obliku y: lL + fu|, pa grafit crtamo sljedeiim redom: 1) Grafik funkcije A : * sma,tramo poznatim, 2) Crtamo grafik funkcije U : 11 ft, Crtamo grafik funkgije a : fu,4) Crtamo $afik funkcije u : L + Crtamo grafik #,5) funkcije y : lr + (sl. 28).
"iTl,
91
lr
+l
2l
x+3
I
(x-+)+1
-r -r
S1 .28
c) Kako ie y: (})t"-t * 1 : i1;lt"-tl * 1, to 6emo grafik crtati ovim redom: 1) Grafik funkcije ,': G)'smatrarno poznatim, 2) Crtamo grafik funkcije a : -(L)t'
3) Crtamo grafik funkcile y
,
: (t)t('-t', n) Crbamo grafik funkcije g,: (l)t("-t) * t (rn.
2e).
d) Datu funkciju napi5imo u drugom obliku: U: -arctegx - 1) : -arctga(" - 1) i crtamo grafik sljede6im redom: 1) Grafik funkcije y : arctgx smatramo poznatim, 2) Crtamo grafik funkcije 9 : arctg4s,3) Crtamo grafik funkcije U: arctg+(" - t), 4) Crtamo grafik tunkcije U: -arcte4(r - i), (tl. 30) e
y--arctg
(4x-1-
)
sI .30. 4L. Nacrtati grafike funkcija:
a)af) U -
j) s e) Neka
1+#, b)a- ft-1,
(0, 25)r+3, g) y 3arctg (3r + 1),
c)
y-ffi, y-\ffi\, ,c)
i) y-\arcsin ry
h) y - - arcsin +, -k) -22r-r, l) y Zarccos u
je poznat grafik G funkcije y
v- \ffi-
Pri crtanju grafika funkcije y -
-
#,
-
_ f (").
f (*),
TL
92
:
e) g - 3*-2, 2arctg (2* - 1),
Pomo6u njega nacrtati grafik funkcije
2t treba postupiti na ovaj nadin:
10
Konstruisati grafik G funkcije
At:
f (x),
2" Odstraniti oblast u kojoj je funkcija W: f @) negativna, 30 Povu6i pravu
U: l,
40 Prema nulama funkcije W tim tadkama,
:
f (r), odredi
se
karakter tangente krive g
:
f (*)
5o Odrediti brzinu rasta funkcije A
6o Kriva
y
-
vidu pravilo: ispod presjeka s pravom
A
1 je \m,
f @), a iznad,presjeka s pravom
y-
1je
tm.
f@)
o
42. Nacrtati grafik funkcija:
a)a-\m,
z, c)y- ffi,
b)y-v
d)v-@
Rje5enje:
a) Nacrtamo grafik funkcije Rrnkcija y
- \m
h
raste sporije od prave,
(rl.
t
je nula prvog reda funkcije
AL.
31),
b) (sl. 32),
c) Budu6i da je At
- n2 3r polinom drugog reda, to ie kriva rasti brzinom prave, dakle, imaie dvije kose asimptote. Asimptote odredujemo na sljedeii nadin: I 4
tj.
asimptote su prave: y
d) (tl. 34) o
- r - g i U - -n + t, (rl. Bg),
93
=x
(x-2)'{
Uodimo da je grafik funkcije A : t/ar2 * br * c gornja polovina hiprebole (kao u c) za a > 0, gornja polovina elipse (kao u b) zao < 0 i gornji polukrug zd" e : -1.
43.
Pomo6u grafika funkcije f
u)
y:
Rjeienje: a)
(s1.
fu,
b)
(x):
/ : l/(z)1,
35), b) (sl. 36), yv
12
c)
- 4r nacrtati grafike funkcija:
u:
\tI6
c) (sl. 37) o
y=lx2 - 4 x
\l / -\-L Y=x2 - 4x 44. Nacrtati grafike funkcUat
a)
Io)
y-**{n,
b)
y-+ym,
Pomo6u grafika G funkcije
c) y -
*/sinr,
d) A -*1@
o
U: f @) nacrtati grafik grafik funkcije U: iM.
Kubni korjen postoji za sve realne brojeve, pa je funkcija y sve vrijednosti z - a zakojeje definisana funkcija At: f (r).
: I[o (Ns fiksirano) ve6i od nekog proizvoljnog broja M rka?emo da niz konvergira beskonadnosti i piZemo ,l5g frn: oo. Svaki ograniden niz koji ima samo jednu tadku nagomilavanja, a konergentan je i granidna vrijednost mu je jednaka a. Svaki monoton i ograniden niz je konvergentan
Potreban i dovoljan uslov da bi niz {xn]; konvergirao jeste da za svako e > 0 postoji broj N(e) takav da je lr2 - rn+pl < e zarz > N(e) i p > 0 (Ko5ijev teorem). Za granidne vrijednosti konvergentnih nizova vaZe sljededa pravila:
lirn un, lim r' I n-+oo lo n+3C lim (rr, + ttn\: fL---+@ -
2o ,r$o("" 'yr) :
n\*"' Jgu", r\m !!- 'S"" (\n--+&v'3o n'* ' gn nIrya" lim an#o).
Ako je
,rS "" :
0'
rn
se naziva beskonadno mala'
Niz {r2} elemenata metrid}og prostora ,E konvergira broju o, e E ako za svako e > 0 postoji prirodan broj N(e) takav da je p(xp,a) < e zaYn > 1V(e). Prirodan broj N(e) moZemo zamijeniti realnim pozitivnim brojem o ukoliko iz nejednakosti n>a slijedi n>Ial:ru(e). 104
Ako je u prostorulRm zadan
(i
:
nizrn: (frtn,fr2nt...,fi*r),n € N, takav da1ffifrin,
1,2,. .. ,nx)) ladaje niz konvergentan i vaii jednakost
,r$"" : (rlgrtn,rrl* Analogno, ako je t B zadat niz
('l!) At:
I
[,,*t takav da
fr2n>...,,r19 r*n).
"l\)
,g \
,n
"g,)
l, *.*,
l,lim &, b-- 1,2,...,ffi, e:1,2,...,n),onje rk--+oo " lim *-t:
,hm "lt) "l!) tc--+oo --
,tim
konvergentan i vaZi jednakost
,f,+oo
"n
,lim Ap:
, lc, € N[
lr-+oo
lim
k-*oo
1.
"nl
lim
,lim "#,
k-*oo
6_-+@
,*)"
Napisati nekoliko dlanova niza diji je op5ti dlan rp: a) rn-- *, b) xn: e) *n: 1-t1" + |,
f,, ") *n: fa1, f) *n: (-1)'cosn7r.
d)
*n: (-L)*,
Rje5enje: u) e)
2.
r,i,},:..,
*,+, I,..., 0,i, -6,..., f) 1,1,1,...o ") b)
*,?,1,...,
d) -1,1,-11
Napisati opSte dlanove niza datih sa nekoliko prvih dlanova:
a) -1, Rje5enje: a)
t,t,
..
rn: #,
.,
b) *, -3, 1, -t,.
b)
: (-Dn+I,
",, 3. Ispitati monotonost i ogranibenost.
.) ")
(#),
b)
.
.,
c) 1,0, -1,0,
1, . . ..
rn:
o
c)
sinn|
nizova:
(ffi), .) (#+*), d) (cosnf),
((-1)"sinrzg), f)
(nsin
ffi),
s)
(rz
105
"orffi),
h) (t
- *).
Rje3enje:
a) Niz monotono
opada, jer je za svako n € N,
n€N,0.*.+,
t,
i ograniden je, jer je za svako
#
b) Nz je monotono rastu6i i ograniden, c) Niz je monotono rastu6i i ograniden, d) Niz nije monoton ali je ograniben, e) Niz nije monoton ali je ograniden,
f)
Niz nije monoton ali je ograniden, g) Niz nije monoton ali je ograniden,
h)
Niz je monotono rastu6i i ograniden o
4. Dat je niz {ffi}.
eoUzati
da je njegova granidna
dazan > N(e), bude zadovoljen uslov
l*n- il .
wijednost
}.
Odrediti lf (e) takav,
O,Ot.
Rje3enje:
: *, j"t i" lnn- al : l# - tl : ffi < € za svako 2). tz lrn - : #+A < 0,01 slijedi da je n, t T, pa je N(e) ) 25 o "l ", ie 5. Pokazati da niz T : rnt rL € N konvergira broju 2. Grarridna vrijednost je a
Rje5enje:
2j1: *.Zasvako E ) 0, lN(e) € N takav da je 7y{4 < e (vidi'realne brojeve). Tada zaVn > N(e) vaZi nejedb{ott * < e pa je l*n - 2l < e ti. Imamo,
lim a,r, :2
n+lc
6.
lrr-21:|ry
-
o
Dat je niz
rn:1
+
$P.
Dokaaati da je
)ry"":
ilanova niza t'a,n e-okoline te granidne wijednosti ako ie
1,
a zatlm odrediti koliko je
e:
10-1.
Rje3enje:
jee > 0 irn € (1 -e,1+6), ti. lrn- 1l < ezasver, € Nzakoje je * W - tl . e ti. h< e. Otudaieln t l, ti. Iog2n> lost. Otuaa ielxn- 1l < e lt'zan Neka
>
#
Prema tome, van e-okoline broja
1
nalaai
* [+tr] dlanova niza {xJ}nay-
za€:10-1 je t+F] : [#] :[3,32] :3,ti.svidlanovi nnzd,n]4senalazeu okolini (t - #,1+ t) tadke 1. Samo prva tri 6lana su van te okoline o 106
7.
Koristedi definiciju granidne vrijednosti niza, dokazati da je: a)
,lg
ffi:
?, b) Jgo* m*,,L : o, .) JlS, *q#,:
?.
Koliko ilanova ovih nizova se nalazi van e-okoline granidne vrijednosti ako je e : I0-2?
Rezultat: a) N(e)
-
11,
b) prvih [tOt/t1 (samo konadno mnogo) dlanova niza je van e-okoline tadke 0, [tOti'1 - 16100, c) lr(e) :22 o
8. Koristedi definiciju a)
gra,nidne vrijednosti niza, dolazati da je:
,I$ #^2 : +a,
U)
: Jgg("2 - na) - -@, c) ,l]g log | -*. --
, n
,.
-
r
Koliko ilanova ovih nizova ne prevazilaai gornje ogranidenje M, odnosno donje ogranidenje
-M
ako
je
M:
102.
RjeSenje:
-- lU + \/WTMI
a) Prvih N(M)
M.
Svi ostali su ve6i. Za
9.
:
102
je
N:
200,
:
3 dlanova niza je ve6 od donjeg ograrridenja,
19100
ila,nova niza je ve6e od donjeg ogranidenja o
b) Sarno prvih N c) Prvih N
M:
ilanova niza je manje od gornjeg ogranidenja
{r"},
je:. ffi*n, n,B"" ako a) rn: L l- *, b) *n: 1 * c) xn: (-1)" (r + ;h), #, d)rn:(-11n*t (z+*), e)rn:1* n*L*rcosff, f)rp: korT+(-t)"-r] Za nizove
n € N odrediti inf{xn}, sup{rrr};
n.
Rje5enje:
a) Skup vrijednosti nrza {rn}n€jv je skup {rrr;7? € N}: {1 + *,t+t,t + i,...}. : 9z : ,r. Kako;e Dati niz je monotono opadaju6i, pa je : t, to je
inf c,". : 1.'?'=-oo Em rh: -neN
_lim-m tl+oo
tn: I. Broj 1 je jedina taeka nagomilavanja
b) Skup vrijednosti niza {xn]tn€N je skup {cp,n € N}
Dati niznijemonoton. Medutim,r2lr-1: otuda i" t
ui|ir"r*-l
,$gr"
;E$""
;{*"" ;:$"r*
{1- *,t+t,l-1,1++,.. .}. < 1+ #u:x2prasvakofue X. jERr"". Niz rzh-r je monotono rastu6i
1- tnst :
107
:
datog niza,
.ittf _rzk-t - #, > t - fi : t2ta-!,k e N, pa ie kg,n/ Niz r2pje monotono opadajuti: r2gr'r1) : 1+ # S 1 + #,-' plp,"zr - 12 : $. xat o j. ,lg5 nn: l, to i" ,F__* *n : ]H*n N
(po
/ce
k): rz&+r)-t-
1
c) inf*rn : -3, ;ERr-
:
t, F* tn
konvergentan,
d)
,?lo
*n: -1,;:R,*:5' #H rn:
e) Kako ie r+n-z
jll
1r2n-r l
: -t i rn : ",l*.
-2
n4nt pri demu ie
: P**": ,,4b r4n-2: ,,lg _riry^qn: -lin^ *n (r + ffi) : z, rL---+@
to je
1
2'
e'v
nn
je
1, nrz {*n}rze
,nI nije
i -lim nn:2' {ra"-z} 0-
opadajudi a
ffi) :
{r+"}
tn
o, ;ER,
rastu6i niz,
: E*"" -
n--+@
f) Sljede6a
detiri podniza odreduju tatke nagomilavanj a riza
(
fr4n-3:
(4ry_
\cos-
/
_3)" +.r) z /
-
(+n
_ 3) : 4n _
z1r
1) : [cos- z - / -2(4n / An-L)r +1): 4n-!, fr4n-r: (cos: Z / 4ntr | I4n: -r) ar,: o.
fr4n-2:
@n
\cos
Kako
j"
,"lgg"an-3: nly:*rnn-r
I :
'T,-+F
a) nnc) nn
,l$""
2),
T2n-r: *co. to je sup rrz : *oo, a :0, rn : -oo i Iim rn: *@ i ,liL x4n a
,r\n*
F**
ako je:
#cos ry,tu€N,
b)
rys: (t + *)" (-1)n + sinff,n € N,
Rje5enje: a)
b)
*_W**" - J*o
J,
/
,n4n-2- -€r pa i" jEi, tn: -6 10. Na6i lim zn i
{rn}nex
nrn-z:
-+, tt
lim
??--+oo
-e-h' l-
u$nva-mnsn-r-
lim frJn: nn: ?z-+oo
,rF* fin 108
n1-JJ.
1,
o
Iim x4n-0, c) Iim rrr: fr--+OO
lim tn- Iim xqn-z:1r n"+(n
n-+@
TI+OO
11. Odrediti inf{rp}, sup{rp},
n\**n, "Bo"'
ako je:
rn: t# * !45!1, b) *n: ry, c) rn: @P, d) ,n: (sin T + el)-t) n, e) rn: sin T, f) rn: sin ff + e*)" a)
.
Rezultat:
- -1' ;:$"" : 3' u$5 rn: o' Is nn: r' b) tnf rn: r, np: *ao, *oo, ,y._-*"": m u)
;81,""
;ERr"n:
c)
n€N-rn: inf
2,
sup_
n€N
rn
:
3,
inf Iim rr, n€N-rn: rr'-+Oo -
e) '
i\f^,*r: lim rr: -#1 n-+6
n€N
sup 02
neN
rn: -4 - *, ;:R,", =+
o;ef"
12. Odrediti tabke nagomilavanja
nn:
cosn
rllTt
:
Iim rr,
rt---rcp
:
-% n
sup trn: Iim rrr: -F, n€N n--+oo
d)
je: a)
rr,
2-+oo -lig
b)
+
: 1,
r'--+oo -Em
F-*_
frn
:
2,
*oo,
rn: 4, xn: -4,
,B rn: $
nizova datih opitim ilanom i na6i
*n: 1 * 2(-ty+t,
c)
*n: \#.
n--fu--**n,
o
r[5""
ut o
RjeSenje:
a) Napi5imo nekoliko prvih dlanora niza:
-1,
1,
T2
ograniien i divergent&r, lim frn
fr2n+L
lim -1, n+@
r'1
frn
b) Tadke nagomilavanja su - 1 i 3. Niz je ograniden i divergent&r, lim rn ??-+oo Iim frn -: 3,
- - 1,
n->@
c) Tadka nagomilavanja je 0. Niz je ogranieen i konvergentan,
109
usr"r:rrl}5
fr6:Q
t
13. Odrediti tadke nagomilavanja i utvrditi
?l)"*, b) *n: #, (-1)" sinff, f) rn:
a) xn: e) nn:
c)
konvergenciju nizova:
rn: ?L)""*',
d)
xn:
c'osrtr'trt
3-n.
Rezultat: a) Tabka nagomilavanja je 0; konvergira,
b) Taaka nagomilavanja je 1; konvergira,
-1 i 1; divergira, su -1 i 1; divergira, su -1 i 1; divergira,
c) Tadke nagomilavanja su
d) Taike nagomilavanja e) Tadke nagomilavanja
f) Tadka
nagomilavanja je 0; konvergira o
14. Odrediti graniine wijednosti
nizova:
ffi, b)*n:ffi, c) rn:W,
a) frn':
d)",:##{,,1=1S'
Rje5enje:
a) 1,
r:--- L+#. _ 1, Iim nz:fzn+gb) -r nJoo -rrgb#*
d)mffi-,,%ffi, L5. Odrediti
c) 1, s+Z
Iim # rl---+oo 2n*fi
granidne vrijednosti nizova:
c) nn:2f .or 2n - #, f,+ #, b) nn nl)-ffi+ #r.7ftn. a) ?, b) 0, c) -*, d) -3 o
a) nn: d) nn,: (cos
Rezultat:
L6. Izradunati
granidne vrijednosti nizova: (zn*r)(n+2) lim c) ' r7,+& 6W,
d)JgW, e)m(rffi-fi), r)Jis%, s)Jgffi, h)J%(ffi- ffi1 ' TL->&
.
110
Rje3enje: rr
lim a) ' n+@ # {n.*L
1
??-)oo lt , I
y'-a I l-"'-r-*t : g, : 6* 5* (z'r+/Xnt=z) -V-S d)' n-+6 {n4+n+3 n--+oe L+A
e) MnoZenjem i dijeljenjem datogizraza sa y^ ({-n+r:y6')(t/-n+t+t/n) lim
l/n + L + t/n, dobija se:
??--+oo 1t1"+r+t+ - r'i'& --J-:0 @a@ f) Racionalisanjem brojioca, dobija se: 6^ 6/&+n-n)('/ffi+n) _ Iim __l_:
- "' o
dji& g) 1,
n'3& 11/-=-a11n) - "1 h) mnoZenjem i dijeljenjem sa (\/ATn+l+
rD--+oo
z
nb/&+n+n) -
u^&-z-t' (r/nz+n+L*t/nz-n+l)
17. Odrediti
b)
rn:nifr- +ffiTW=, g)
*n:n6ffi+t-
i) xn-
(sinn!)
Rezultat: a) -2, b)
il-3,
se:
nn:ffi;, c)rn:ffi-^,
f) nvl: h)
dobija
granidne wijednosti nizova zaAatih op5tim dlanom:
a)rn:#*#, d)
t/ffi - n+I),
.
nv.
tffi-nz -9,
h+ #. &,
1; ") *.
k)or
e)
d)
-gVA,
,n: Jr*
6:&,
y n+Vn+\/n i) nn: f,cosns k)
rn:
Q r, r)
w),
c)m @.ffi,.?f;,...\n),
e),mh(*+ffi +ffi) 111
ffi,
h"orffi - rhffi
lt/2,
18. Nadi sljedede granidne vrijednosti:
a),tgL(** $+*-.-+
t/-n-
s)
1, h) t{r,
i) -+,
Rje5enje: a) Uzmimo da je Sn
:
*+
it
+
:t
+
sn-Lsn:++ (;, - ;,) *(*- #) : L+ (++ t +...+ ;-) - W, Sn: r+
1
ry+.
Tada je
* + (T -W) -W :
r I + !+.. + fi, - W: *'E
-fiL,vaje
1
:,"1g5 (t . - T):,,1gg (r + z ,"rgs, :,,r|sls -,lg* -2 nr%& + ;+"5:z.
#
+
Ovdje smo koristili to da
:"1&l
za proizvoljno e > 0, ako ie n > t
: nfit : u
+?,
;- - T) : +"'+
t.
t: Jg5 & :0,
: h.,
#
b) Primijetimo da je
g+fi+...+#: ;g(#+#+ c) Kako je
(t-*) +(*-i) +'+(*-#) .-+#"n) :,t5g(r-#) =r,
\n-ffi,.W"'2W-zt*i+"'+h
+ 2T
izan
2
/1 \ 1l+...+ 1+nlZw \/
(rh
kada n
vrijednost datog izraza ie
a)
:,,g
(,t#+frtu
"B
---+
oo
i granidna
2,
:,,s %#h?itffiiL :,,rgo 6#ffiffifiv :
h(+ * 4+
"' +
ry):,,g #:
1
o,
r
19. Odrediti granidne vrijednosti:
-t .= a T7 1 +... + ,n+@ffi(.ffi+ffi+"'+W
a) lim =L (
u),g (* * fi +...* m-#ruar), LL2
*,.*r*, d),lg t2+22+#::'*n2 "),lS.
"'+23+... *n3 e) Iim*, ' fL+6
f)
i)
i)
Tl,=
,Ilgb(*)"#H+,
m)
,gW,
1-5 Y+r -sn*2 lim h) s) ^^/ hm otn^-''?bW) rz-t& gW)
,H" Vf*)" + (i)
n)
Rezultat:
,lgffia,
o
,rt*
u)
1, U) l,
e)
|, koristiti (r' + 23 + -. - tn3- /n(n+r)\2\
h)
-1, i) 3,:) i,
(r + 2 + .- . *
c) {, koristiti
r) ,rggffi, ,ggffi, r:*
k)
@+2) !+(n+1)!
n: ry\,
d)
': \ry) )' t) t' k)0, l)0, m) o, n) o,o)1o
\
+,
s) 1'
2O. Dolsazati da je: a)
]y*n" -
0, z& lql
lim *:0,&) c)I?,+@ -
d)
1,
f)
m ffi-0, e) Jgg nqn - o za lql
_lirgr_.ry-o, ??-).OO '
t'
a
Rje5enje: a) Ako jeq:0, to jeprva jednakost oiigledna. Neka jee > 0 i 0 osnovu Bernulijeve nejednadine, imamo:
< lql < 1. Tada, na
1)
Odatle je
lql je lql >
: lq"l "Eidt
i A > 0-proizvoljno. Tada iz nejednakosti lql" :(t + (lql - 1))' > 1 + n(lql- 1) > "(lql Slijedi da je lql" Neka
1
- 1) > A.
b) Jednakost slijedi iz nejednakosti 0
i iz toga da G)" ---+ o kada TL + oo' f)Zaa: ljednakost je odigledna. Neka je a 1+ nr-; n +(w- 1))'
0< *
w-l
)
L, tada
je f/A>
€
Irto, tada
je:
J5g W-,rl*b
113
fr
1, ((1
**)"
>
h) Pokazirno da je n!
t (3)". Primijeniiemo
matematicku indukciju. Nejednakost
je tadna za n. : r. Ako je ona tadna za nj tada za n + | imamo: (n + l)! : nl(n * 1) > (3)n Qt + 1) : (+)"*t t (t+)"*t. Posljednja nejednakost vaZi,jer je
d),
1
ffi 'r
-a \\
1
n!
1+1+ *tt 1+1+ *+
*l+ rl
-1-F
Jednakost nuli i egzistencija granidne vrijednosti proizllazi iz nejednakosti: koja vaii zasvako e > 0 pri n > .
o. h.
fu
21. Dokazati
da
: *.e,
f
je niz
rrr: (t + :)" ne N ,
)
monotono rastu6i i ogranidne odozgo, a niz
n€N)
Un
monotono opadaju6i i ograniden odozdo
i da je
/
1\', / !) '*' .;) -J,ru(1 + '%(1 22. \afi
granidne vrijednosti:
"i ,\'L
(,+)",
b)
Jl% F + *)'", ") ,$g
(#)'"*',
(r * uh)', k. N, "),rgg (ry)'", 0,lgg (9), "lg s) ,gt n(tn(n+ 1) - Inn), h) JllB" @) a)
RjeSenje:
b)
e2,
c)_liu \ rt'TL, ' f7,+@ (#r1zn+t-Jiry ??+@ ft:
(t_f a1y
rr4
23.
Kakoi",l!5
:
n!5g(r+r +*.+$+...+*.) ". e:_2++++#+...+f, +ffigdje je0 < O < 1i izraiunati broj
G+*)":
e, dokazati da;"
Izvesti formulu: e s tadno56u do 10-c.
Rje3enje: n(n-I)(n-2) 3!
:
(I + *)": 1* #+?.%!#+ 1 r -_ __t -r. .. *n(n-L)(n-?)..-(n-k+t) r. .. -n(n-r)(n-2)...2.r *...+ kl nl. nn
Prelaskom na granidnu vrijednost u nejednakosti
rn
*
e+"'+
n,
h(r-*) +&(r-*) (r-3) +...+#(r-*) (r- il
+
(r-f)
r."a"
e) 2+# + S+..'+ fi: gp,kojavaiizasvako /c. Kako u skupu {316} nema najve6eg elementa, to za k : n je gn : 2 + +.+ # +.. . + f, < e, tj. znak jednakosti je nemogu6. Osim toga, rn: (t + *)" .2 + *+ t + ... + S.- gr,r. Na : : je ovaj nadin rn I ln 1 r i rr\** tn e. Otuda slijedi aa rr!5g Un e. Prelaskom na granidnu wijednost u nejednakosti ypan - un : + ... + 1,,+rn + & d.^T. ffi(t*# +#+ ) :6.m. # zafiksno nim '-1 oo, dobi6emo 0 < e - a" < ffi. oznadimo sa o : < o < 1 dobi6emo trazenu #,0 formulu. Nejednaksot 0 < e-An. #. < 10-5 vaiizara ) 8, pa je ??
--+ oo, dobi6emo nejednakost
e
x2+ jr + t + i + t + # + # + # -
24. Dola,zati nejednakosti u)
")
2,Tr828
o
:
G.+ *): < fi, n e N, b) (3)" < n! < "(+)", "air 0 JM > 0: Vc M(e) < e,Sto pi5emo , lim f A.
lcl--m
Funkcija
(r):
/(r)
+ l/(c)-Al
lrl>
ima u tadki re granidnu vrijednost slijeva (sdesna) ako
lA € lR nV€ > 0,3d(e) > 0 : 0 ( ro - r < 6 (0 I. Ispitaierno zakojer > 0 jezadovoljenanejednakost eLl* > M. erl*, Mjeekvivalentno salnetl* >InM,tj. * t tnM, odakle i" * < #m. Dakle, za sve r za kojeje 0 0 i
*
2h)
: 4.
kada
r : L * h, h > 0 slijedi da je
L2I
r*
1, h
"jpo(-r+
+ }paie rlgo{2" +2) : 1)
:
;gb(-(l -
h)
*
1)
: g.
5.
Odrediti lijevu i desnu granidnu wijednost funkcije u ta6ki
r:
: fu, n:2, b) a : *"#, n:r, c) a : ffie-", r:*L, or=.If , : t, n: r, e) a: d) gr: I " {t***ti,
a) a
#, (zr+t,
r>\ (a-r_r :x:r,x:r, s)y:ttil'rc|,n:0, r 0,b > 0), c) /(r) : rsin *, g("): xQ, (o > o), r * o, d) /(r) - 1-cosr, g(t):12, r-0, /(") :tg7., g(t):r, n-+0, ") r, g(x) #, (n € N), x o, f) /(r)
r'
0,
: : tGi : *oo' r'--+ m (r + #) , e) /(r) # - fu, s(d:
Rje5enje: a) Kako j"
]g6 H b) Ako je a > b, tj.
: a
1, to su
sinr i tgr ekvivalentne beskonaino male velidine,
- b >0, tada je 15; ifi
Iirq ro-b
r-+0
-
0, tj . fro je beskonabno
mala vi5eg reda od rb (*o brZe teii nuli od rb). 0,
Zaa re,Ca
tj. ro je beskonadno
mala niZeg
od rb,
c) Uzmimo da je
je r - liot
0
# :
z-O g\fr)
htq trr-o sin f
7->0
mala velidina vi5eg reda od
(o
r22
ro.
Za
,. f(r\ o,: rI i". Jtjb ffi
:
jrgSsin
|.
O"a granidna vrijednost ne postoji, jer kada
| -' oo, sin I
-1 i l pasursinf irneuporedljivebeskonadnomalevelidine. Zaa> L, ti. a-1 > 0i" ]tjb ffi:Hb#: O*granidna vrijednost ne postoji, ]Eb# pa su f (r) i g(r) neuporedljive beskonadno male velitine, osciliraizmedu
: : t, to su besi" JT' m : j'gt ]\"0+ (Y)' "* "ri:,,''#: konadno male velidine /(r) i S@) istog redai 1- cosr :$ +o(x2), n -0, e) Iz nejednakosti l1 - cos rl:2sin2$ < lrl slijedi da je liqcos tr: I,;tjbry : lt* +" ' # : 1, p& su tgr i r ekvivalentne beskonadno male velidine. Dakle, tgr : x I o(r), r + 0. (Analogno, t, jryo %q : 1 je sinr : n I o(r), r-* 0), d) Kako
\E+r:t,pdje 1* x:tn ir:tn-I,onda je In3ff=: : # : r. znai.ji f (*) i e(r) su ekvivalentne bes-
f) Uzmimo da je
Jg
$*
jt"l
ffi
konadnomalevelidine,tj.r lffi1 +#*o(#), r )0, g) F\mkcije f (r) i g(") su ekvivalentne beskonadno male velidine 7. Uporediti beskonadno male velidine f (") i g(n): a) f(n):sin2r, c) /(r):2a -1,
Rezultat: a) Istog
o
g(x):n, r---+0, b) /(r)-1-cos/, g(x)-_sinr, r---+0, g(r):r, t-'-+0, d) /(r) : #, g(*):Y, @>0),
"+too.
reda, b) Vi5eg reda," c) Istog reda, d) Za a'< 2, g(x) je vi5eg reda u odnosu na /(r). Za a) 2, f (r) i g(s) su neuporedljive beskonadno male rcliiine r 8.
Uporediti beskonadno velike velidine l@) i g(x): a) /(r) :x2-3, g(a):r3+3r, a -r, oo, b) /(r):E-L\, g(r):r2+2x*J, ff c) /(r) : lt", g(x): n2; n -* oor d) /(r) : \/TTVT, i@) : r, x -r oo, + L. e) f ("): ;!, g(*): A|-.-.', r
+
oor
Rezultat: a) NiZeg
9.
reda,
b) Vi5eg reda, c) NiZeg reda,
It[eka tr -> 0. Dokaaati jednakosti:
d) Ekvivalentne, e) Istog reda
: o(n-'), e ) 0, L I nr * o(r), d) arctg I: O(L), e) (1 + *)n:IInr+%!"2 +o1r21, f) (aszt-\n:O(er2+r1, r>A. a) rsin
"ft -: c) (1 + r)n
r3/2
+0(13/27, b) lnr
123
o
10. Ako o(f (r)) oznadava beskonadno malu velidinu vi5eg reda u odnosu na /(r), kada tr '-'+ xlt dokazati sljede6a pravila za radunanje: a) o(r") + o(rb) : o(r"), c: min{o,b}, (a,b > 0), tr '0, b) o(r") 'o@\: o(no+b), (o,b > 0),r -- 0, c) k'o(ra): o(to), (o >
d)ro'o(r"):o(ro*o), (o> -&,a >0),tr'0, 0),r
---+
0),r -* e) [o(r")J':o(r.oo), (a,a
0,
0.
Rje5enje: DokaZimo, na primjer, osobinu b). Tbeba pokazati da je 0(zo) .o(rb) beskonadno mala
veli6inavi5egredao6*a*bka,dar-*0,tj.trebapokazatidaje}g6w:0.Kako
:"}sw:Jgb#$to(*o),odnosnoo(xb)ozna6avabeskonadnomalu 9!P :lE6 velidinu viseg reda od ro,odnosno *b , to:" I : 0o lE5
L1. Izradunati granidne vrijednosti: a) e)
jSrm, r.
lim r?-tr!s b)'tr->*.*ffi' r-3 f ) littL
,2 -I
rim4,
t->0
'
"r
fr->J
\ffi-2t
- *)*, i) "IT* "llg*(ffi k) lim tft-{a+tffi'
i)
.)
,IH-ffi, !#-L. tT
g)
Iim
t->0 t/ tz+L6-4'
{tF
+m
-z'F+
Iim d) 'r+*@
-st-
--1
h) --/ lim VL*t-nVL-t -
i-;b r + r7'
)
t+a
Rje5enje: a) Kako je ar2
yx##':
b) Kako
*
* c:
- r)(x - x2), to ie : r I : ]'s, 8=]85i ;s rE -2, t
*
bx
:
ffi
nadno male kada
v5
rr-
Iim #
ffi,
: ##,
r -r aoo, to ju ,jT*
..lL-;' c)ffi_ {r2 Ve?l+ t-r-oo Vffi
a(x
t-
v;8
L
Kako je
ffi:
,E:
-1, L24
111 a runkcije Ttpt7
o,
lrl, a W
- n)to je "If,- ffi
su besko-
:
{ r+t/n+t[r d)t s lim +l@ 1/ r*L
1
tJ
e) Racionalisanjem brojioca dobija
lim frffi-'Dfi@+tD r(1ffi,+th r+o f)
;5^o
se:
t@+\n
Racionalisanjem imenioca dobija se:
g) Mnozenjem brojioca i imenioca sa
limry rT
r-+0 t/ r" +1+1-
Jry,
1 Ft
2\/ 2'
eW@:
6ffi11
Jtjb(\6TT * + 4), dobija
2)
:
4,
se:
'
GM_vF)G,M+@W
h) Dati izraz jednak je: lim r->0 2 r+0 i) Izraz J7 + I - r je neodreden kada
2
$r
r+
*oor pa je neophodna sljede6a transfor:x*-v &-rL-r& macija: r(r/F+t-*) :r(r/F +t-fl@ . Posljednja '{az+l+r t+++l \f L 1 jednakost va.Zi samo za n > 0, pa j" :,IT* t x) + 2' Kada o lL*ar+t "]j1,*(y'7
r-+-oo,
t/F +
izraz
i) Irnamo:
- r---+4
"IT*
k) Imamt,:
:i'r}
e)
h) r)
vr-
nije neodreden, pa
je lim x(r/F + t-*):-oo(+m):-oo, l.
"5+;"*rffi1sa21ffi
- r;+*t
({i:{4-*
r/?-rfg+..F
-
: ;:$ : lim \tr;T_a ' r._a. \ {;r;2 / t ' \F+o))-4o -
I
\ffia-at --=--
r'lg-"-)
"/za-
sljedede graniine vrijednosti:
,Hnffi,
b)J%ffi, c)j'*w,
is(* #),r)j'gl"M;\ffi,
%!, "rjlr, li+
tr-+too
2s6,ffi-r-t) rrrrr *
- zvw * d
r(rffi
/
L2. Izraiunati a)
11nr
I-r
i)
6m-r),
Jso
ffi, m) Ii+
i)
s)igt
ffi, "li1-
Gffi-n)n, L25
k)
"-li1*
%=e,
41
") "lip_(
!IT;+F - \/T:T +7\
Rezultat: u)
-1q,
b)
-12, .) $,
j) +1,(r -* *oo), k) -1, n) *1, (r -* *oo) o 13. Koriste6i ekvivalentnost
")
h,
h)
*oo),
-#,
i) ;,
m) 0,
beskonabno malih velibina, odrediti granidne vrijednosti:
Jgb@*,
b)
l\#,
")
.)]TrW,
d)jSryJ,nez, \ r' q6-l s, jgl ffiA, (*,n €
#,
f) ") -t, 1, r) I) *oo,(r -* -m) it,@ *
d)
z),
h)
jg1
G+*-#),
r)
rn,n€N,
)n#Oa,
jT, W,
i) jt$ (Gi7+*\o=r(Jtl7-'\n, n € N.
RjeSenje: a) It[a osnovu Njutnove binomne formule imamo:
hrq (cl*z - C'*n' + liq QT*'-chn21t2*o(t2) - r--_+0 - r_>O \ b) Uzimarno da je r- 1 + t i t ---+ 0 kada r --) 1,
mn(n-m) 2
i
r. mt+oQ
paiel51#
rrl
jgb nt l;pi- nt
r- 1+t), d)'Neka je t/T+r - 1- t, tada jer: (t+t)" - 1. Uzmimo daie lrl < 1, pa je 1- lrl < frGi < 1+ lrl, odakle:" JIb itr+r: 1, ti. t -+ 0 kada r * 0, pa imamo: f' Dakle' ffTi: 1* ft+ o(r1' r +0' ;rnlY$J-: rlsrt#'=i : Js c)
ry
(smjena:
e) Kada fr
+
7, imamo da
je:
ffiR- zffi-z$+ffi o(r
-
7),
paielgW (fGffi:t),
"iro:
tffi,:3
+ o(r-T),
+
#)
ffi
+ o(r -T),
*t)*"), h) #, (1-x:t), il I*b 6/@+')n=,b/W-")n : ;ijb !@xgffi)"-l + o(r)): : I5r(" (\fr + x)n-t + 9) :2n o r)
**,
d #,(r:
(1
126
s(1
+#) +
aorn+aLrn-L +...+an
L4. Neka je R(*)
€ R,oo +0,b0+ 0. Dokazatr da je
bor*+bLrffi)r
oozan Iim R(*)
fr->@
*oo
za n-ffi,
0 zan
Dokaz: Neka
veliko
ie n > m. Tadaje ln(r)l
lrl. Kako i"
hln-mlo"+oq+ --,r',
"Bol*l'-*ffi:
t*'-*lnl ^dovorjno l;E;#l' : es. je Tn: n, to i" '
to
Ako
oo,
"lggr?(r)
j""Bor?(r):"wffi:ffi.Akojefl1ffi,to,zadovoljnovelikolr|,je ln(")l .6fu1#l,odakle
j",[gft(r):
15. Neka je P(r): aotrn *a1xn-L+ lim *oo o c+oo lP(")l -
"'+
s
3
au di e IR, (i :1,2,...,n).Dokazati
L6. Neka je P(") -o,Lfr*a2rz +- . . + ctrnfrn i m e Z. Dokazti
tr. Dot 0, tj. funkcija je ograni[ena slijeva (odo{o). g-r2j z 0 stiiediar;" xato;"i+ *n > L+ | :!. oatte, o < /(r) S 8, -* < r < *oo o O6igledno je da je f
26. Ispitati
r,^i"ffi: i;-+ft
ft s|
ogranidenost funkcije
Iz nejednakosti
/(t) :
<
ltt'r'sin2 $ na intervalu (0,e)'
RjeSenje: Kako je 0 < sin2 $ ( 1, a funkcija c -- lnr monotono rastuii, to je -tl. t @) je ogranidena zdesna (odozgo). Uzmimo da ie rn : fuf (r) 3 man{0,lne}, Tada, poiev5i od nekog broja ft;, xn pripada nekom intervalu (0,e) i f@n):lnzf:o.-;_: - ln(t + (n + *)) r -(n + i) r -oo kada n ---+ oo, ti. tunkcija /(r) j" neogranidena slijeva (odozdo)o
27. Polazati dafunkcija gornju
M:1.
f(r): fr
uintervalu0
132
(r(
ooimadonjugranicu
n't,:0,a
Rje5enje: Ocigledno je da je 0
f (*)
za o <
Kako
oo. Neka je e proizvoljnoi 0 < 6 < 1. Tada je
:
r < -L1_r, pu i. o.lfl*{/(r)}
o.
L-e
je #
sup {/(') }
0(z(oo
28.
0 fd > 0 tako da je nejednakost (1) zadovoljena
(ro 0 proizvoljno. Za svako fiksno ro € lR imamo: lan
lolln- "ol < e akoi" lr-rol < Tfo : d, b) Neka jee > 0proizvoljnoire € lR. Tada jelr2_ r7l:l(r-*r)'*2rs(r-ro)l
*b
- axo- bl :
l*-*ol2 +2lnl.lr-tol < e, ako j" lr-rol < 1frffi+r- lrol :d, c) Za svako
:
l*-rol
€
s
ffi
S
*#- ( e, ako ie lr - rol < 1\14'e :
d.
Neprekidnost
l{rr[ : ilrl < € za lrl < e3 : d. < lrsl. Ako je arctg(ro+h) -arctgno:t,tada d) Neka j" l"ol > 0 i lhJ :lr"ol je tgt : ,*fu,. Kako ie ltl S ltgtl za ltl < E, to je larctg ("0 + h) - arctg"ol : funkcije u tadki rs slijedi iz nejednakosti
je lhl : l*-*ol.
1), tako da iz (1) slijedi (2)
lrln l"ll Neka
je e > 0 proizvoljno mali broj. Zalxl< min
T _ Ei lrl tn2 e2
{A,#,+):6(e)
je
t/d
E. Otud aiz (2) slijedi da ie lr ln l"ll 138
< rfr <
< l"l < d, dime je pokazano
za svako n zakoieje 0 Kako je /(0)
@
1, to funkcija nije neprekidna u tadki
da
je liq
ro
:
f(*): li-^"lnlzl :
g.
0 (sl. 65). Prekid je otklonjiv.
F(r): {"ttl"'l trt-\ t je neprekidna za svako r e IR. Primijetimo da funkcija h@) : rln lrl nije definisana, pa prema tome ni neprekidna za r:0. F\rnkcija f{r) se moZe dodefinisati, tako da bude defi.nisana a i neprekidna na cijelom intervalu (-*, *oo). Time se dobija ba5 funkcija Dovoljno je umjesto
/(0)g1 uzeti da je /(0)340.
Funkcija
F(r).
t < & tIn2 (t > 1). U odjeljku Realni brojevi dokazali smo da (n IQ. < ,/n e Neka je t > L -proizvoljan realan broj. Postoji prirodan broj n. takav da je n 0 -proizvoljno zadati broj. Tada i. l/(t) - /(g)l : lt2,-A2l: : l* allr + yl< (l"l + lsl)lr - al < 2tlr - sl < e zaVr,a e (-l,l) n lr - vl 2,Vn € N, pa funkcija nii.e ravnomjerno neprekidna,
f)
R^avnomjerno neprekidna,
g) Neka iern- T7,7TtUn:T?,T+*,n e N. Tada l*n-Ynl: * *0 kadan-+ oo, a 17@il - f fu")|, E Vn ) ffi, pd funkcija nije rarmomjerno neprekidna, h) Funkcija je ravnomjerno neprekidna o
16. Pokaaati
L7.
da je neogranidena funkcija
f
(r):r*sinr
ravnomjerno neprekidna na lR
o
Dolcazati da suma i proizvod konadnog broja ravnomjerno neprekidnih funkcija na intervalu (o, b) je ravnomjerno neprekidna funkcija na intervalu (4, b) e
1-8. Ispitati ravnomjernu neprekidnost sljede6ih funkcija: a)
Y- JF +t,r€1R.,
d) u-
b)
y:
r/7rn*,0
1 ie f'(t) onda
je /i(1)
:
iezaa|-b:eia:e,tj. zab:0 ia:e u taiki r: l. dok zaaf eilib l0 funkcijanijediferencijabilna da
/l(1) - Ac-+O^lint +:e,stoznadi funkcijadiferencijabilnai za
t:
I,
c) Odigledno je da je za r da je
= : ("*W) ol,g,o* {.:" :::It|:,
tEW: olg,o*
r: -2, pai,
+ -2
data funkcija neprekidna i diferencijabilna. Uzmimo slijedi da
"jg*/(r):,j9r*(2r+6):2: je funkcija neprekidna i u tacki r
,I\r_t-zr-2)
2,
-
f'-(-z): tadki
oJTo
r - -2,
_:
d) Rrnkcija u
r/0i r*rn:#, i r+r7r.
u
ima izvod za svako r € lR, a funkcija o: lcos$l imaizvod'za k e Z, pa je funkcUa /(") : u,' 'u diferencijabilna za svako r I 0
Razmotrimo sludaj kada je n
:
0 148
i r : xk.
Ako je
#
:
hlcosf;l, to ;e
/'(O): lgbrtcosf;l :0, ti. funkcija ima izvod u tadki n:0. Zan:
16 imamo da je
fL(+)
ft,nlt**l.o'(ry+ (W
n (rln t 2
(2k
\"'u
I
')) )
I
f'@n ) ne postoji 4. Pokazati da je tunkcija
/(c)
:
{ttt',"
x:rk:kTrkeZo
o. Ispitati diferencijabilnost funkcije
/(r)
,
*|Rt*
diferencijabilna u tadkama
ako je:
:lrl, b) /(r) : {""il*' It|, c) /(r) : tra|, d) /(r): a)
o
/(")
{ff,
{I'*-"1,,
Rezultat:
Ial,.
a) F\rnkcija je diferencijabilna za r f 0, b) Funkcija je diferencijabilna za r f 0, c) F\rnkcija je diferencijabilna, d) F\rnkcija nije diferencijabilna u taiki r : 1 r
6.
zatunkciju
!(*)
:
tl'
|'tB {arcts [1* lim f'(*) i utvrdit da li postoji /'(0). \ t+0-e
odrediti:
/l(0), 4(0),
Rezultat f'-(0)- oo, 4(0) /i(0) 7.
I
f'(n), //(o) ne postoji
o
"Ug* Odrediti lijevi i desni izvod u tadkama prekida sljede6ih funkcija: a)
(4 ^" **o , /(c): { Tf', [ 1, r:0
c)
/(r)
:
Rezultat: a) /l(o) c) /l(o)
{*"?F' :
*oo,
:tl,
/j-(o): o,
:0, 4(0) - -@,
b)
x#o f /(r): { -l-. ;F' t 0, r:0
d)
/(")
b) /l(0) d) /1(0)
:
{'.:'f
:t
,
' :tZ
- -F, 11(o) : o, - -1, /i(0): *oo r L49
"gg*
f'(r),
8.
:
pokaaati da je funkcija f (r) iako u toj tadki ne postoji ni lijevi ni desni izvod.
{%sin},
neprekidna u tadki
#3,
r:
0
Rje5enje:
i" lTo (*frt sin;) : 0, /(0) : 0, to je prema definiciji neprekidnosti funl@#9 : kcije u tadki, funkcija /(r) neprekidna u tadki n :0. Po5to ie /i(0) : nlj3* Kako
:
o\T*
" "tsinf, i za h #, t
h
hr,
:
fir, tc---+ toor i. *IT* Wsinfr
nm -4 too, je .lim
izvodi ne postoje u tabki
r:0
o
:
arcsinh2,
rysinf, k-+*oo Tsrn6; ''k
:
izilazt da desni 1, to proizilazi
0, a za
i lijevi
'
9. Koriste6i osnovna pravila i tablicu izvoda odrediti prvi izvod sljede6ih funkcija: a) u: ar4-bx2, b) gr: 3x5 -r3+8n-2, c) y : t+!+$+,,fr, d) y :2t -3'5r, e)
g:
e*
+!nr- kt\fr, il a:sinr*cosr*tgr,
g) a
:2+t{F - ** #-
Rezultat: a)
d) \,
y':4ar3 -zbr,
b)
u':llra
*3r2
+8,
ln2-3.5rln5, e) t:e'-f{r, {:?f 111
g) A'
:
nT"+;2
c)
f)
y': -h - # *#,
g':
cosu
- t*W'
-sinr* #,
10. Odrediti prve izvode sljede6ih funkcija: a\ y: rsinr, b) y -- r\nr, c) A: (3r2 +2r *S)Inr, d) g : sinrlnr, e) y: tF@ *lnr), f) U: re', g) U: r2e2', h) y: (2cosr - sinr)et. Rje5enje: Na osnovu pravila za na)aienje izvoda proizvoda dvije funkcije, dobija se:
r*rcosr, b) y':.1*lnr, 2+ *, d) /:cosrlnr*ff, f) u' : (r * l)en, g) g' : (*' +2r)er, h) / :(cosr a) u--fr,u:sinr,y! :sin c) {: (6r+ 2)lnx*3r*
e) 3sin
{ --W,
r)e'
o
11. Odrediti izvod sljede6ih funkcija: a)
u: ffi,
f) y :
ry9,
b)
s: g)
c) y: ffi, #ffi#, ln3eir#+coss.
U:
150
d)
s:
H,
e)
u: ffi+rctgr,
Rjeienje: Primjenom pravila za nalailenje izvoda koliinika dvije funkcije, dobija a) u
6.4.
: r + L,'u : r - l, A :
ff, A'
se:
: tu#fo : 1LiF#Dj : - (*kr,
Izvod, sloZene funkcije
:
f (u) a rr : p(r), tada y nazivamo funkcijom od funkcije ili sloZenom r, tj. y: f (e@D. Ako su funkcije f (u) i rp(r) diferencijabilne, tada je # : # - # ih yL fL.L/*. Formule izvoda osnovnih funkcija dobijaju sada op5ti oblik:
Ako je y tunkcijom od
-
1.
(un)'
(o")'
3.
("")' :- eu ' Itr' ,
(lr,
5.
(loeo lrl) 'l
7.
(cos u)'
9.
- k,
(ctg u)'
:
au ln
lul)'-
(sin u)'
(ts u)' :
e,
{, u
u.
cos
ut
,
ut^
cos2
(arcsinu)t -
SIN- U
a' L,,', a )
u'
L
lm)
11.
(arccosu)t
- -L.
(arctg
u)': L 1 * u2'
13.
(arcctgu) |
- -
(rh u)'
-
15.
(.h u)'
17.
(cth u)'
-
\mr u' ^. 1= + Lr2'
sh rr - 'tr',
(th
: - sh2tt' !,
.
151
ch
u.
ut
u)': ch2u' =4
,
o,
a*
1,
L2. Odrediti izvod sljededih funkcija: a)
y-(3+*2)5,
e)
a -rnts$, f) a _ r"u#,
h)
b)
a-ratctEr,
c)
y-
ffi,
d) y
-nfir,
s) a
a-t"ffi*arcts*,o€R'
Rje3enje: a) Data funkcija moZe se napisati u obliku A y' sua -r..t' 5(3 + r2)n(g +
:
b) y - eu, u - arctgr,
/r_
,
rT
-
c) Ako je
u5
1
Pa
ie At : ,atcts"
Odavde je
: yL. u'r - z|- fu-.nfu;.
2
- ffit
*r, P& ie y - lnu, odakle ie Y' : : : &(tg il'" "' ;il*r,
d) Neka ie u e) a'
r)
:
3+ n2,paie
#r,
* tg2r
2, pa je yL
jeu-
Sdje
{"_
1
2
ffi,
vL:
s) v'
h) v'
13. Odrediti izvod sljededih funkcija: a)
y-(*'-r+r)-r'**t,
b)
u-7*2*2r,
y=rarcsin,l l"ft * arct1\fr j) y -arctg e2* * rn ,ffi. h)
I
t
c)
A-Z*'\ffi,
d)
A-
In
1*sin
1-sin
r r
;
s)y--rffi*rn/#, tfr,
i) y _ ln(l * sin' *)
2 sin
rarctg (sin r),
Rezultat: a)
A': 2r2e2r*3, b) y' :7*2+zsh
7(2r+2),
d) v' L52
c)
y': #[(atn
2)r2+(4 rnz)r*1]
,
f) a'
zvsffi
i) y' : -2cos rarctg
h) a'
N N, L4. Na6i izvod sljedeiih funkcija:
(sin
*
o,l Y
s(ffiyi +@'
l3
r),
j)
"o"2 ri,t%t
s
,,1
@-r@
a) v
b) c)
a- a@-ztfrurcts@+1 v- hltg(t+t) | ilk 3#rur4, n2
d)
n2
a- #rm#*#arctg
Rezultat: \
u)
15.
18
Neka su u (c),
a)
12
L\ ^/
(2@*'
H-,*
a':ffi, b) u':@ni@, ,
,
1
+t))
r
| 1 {:"i"4"*r, ")
r\
d)
+3.
{: 1r,ft*"T . ,
a
o(r) diferencijabilne funkcije. Odrediti izvod funkcije y : f (x),
/("):yP,u)0,
b)
/(r) : I/d,uf 0,u)0, .) /("):log,, a,u)
5g.2
ako je:
0,u >0.
QieSenje: a) Datu funkciju A : ua moZemo napisati u obliku y : eornu, pa primijeniti formulu za odredivanje izvoda eksponencijalne funkcije. Tada j", U' : (earnulr : eurnu(alnu)/ :
u'(r'Inu + u{). Izvod ovakvih funkcija moZe se odrediti i primjenom tzv. metoda logaritamskog diferenciranja. Naime, logirtmovanjem lijeve i desne strane jednakosti u : r.tru , dobi6emo h g a\n u, odakle je diferenciranjem : r*' u + .'{, odoos no yt : u, (at In u + o*),
-
*
ln b) Slidno kao pod a), kada umjesto u pi5enro
|, c) Kako je logob: #* b ie y: H, u # r. /: (H)t - uu'rw,-ubtna
otuda diferenciranjem dobijamo
16. Odrediti izvod datih funkcija metodom logaritamskog
a)U=(ril")"*', y: (Inr)t
b) g :d,in,,
diferenciranja:
d) y
")U:(1+f;"-t,
:nx,
u)
y:rbr,
f)
Rje5enje: . a) Logaritmiranjem se dobija lny : cosrlnsinr, odakle je, poslije diferenciranja d : (cos r)/ ln sin c * cos r(ln sin r)/ : (sin r)"* c-l 1cos2 - rin) r ln sinr),
"
153
b) ln 91 : sinr Inr, g! : trsinr(cosrlnr + %c)'
c)a':(+)"-' (t'+-6), d)a':f(lnt*l), e) a'
:2nlnt-t1t",
f) a' : [nr)r(ln(lnr)
* #) .
O.S. Izvodi funkcija koje nisu eksplicitno zadate 1) Izvod inverzne funkcije
*:
Diferencijabilna monotona funkcij a f : (o, b) f-'(g) eiji se izvod izradunava prema formuli:
-*
R., 34
I
0 ima inverznu funkciju
tll
"n: ,L:
gr.
2) Izvod implicitne funkciie Ako je U : f @) diferencijabilna funkcija zadata formulom F(r,y) : tj. F(r, f (r)) : 0 i ako ie F[(r,y) + 0, onda je
r vL: S) Izvod
Fl(r,o'\ili :ffi,il : ft@t",/(r)))
g
d
o.
funkciie date u parametarskom obliku
Ako jefunkcija f zadata parametarski: r: p(t)iy:rbft),a funkcije f ,p,1h diferencijabilne i tpl(t) f 0, tada je:
< t < B, gdje su
aL:ro:H:m a Y\"t E 17. Odrediti a)
r!
ako je:
g:rllnr,n)0,
b)
r:3u5 +2a2 +a, L54
c)
y: {i,
d)
gr:
en
+n'
Rjeienje: a) Kako j" gL: @ *Inr)t : 1 * * t 0, to je data funkcija strogo monotono rastu6a za r > 0. Dakle, ona ima inverznu funkciju i rtn: #,
b) Kako je c) aL
r|:
: #,
d) Kako
18. Odrediti
h:
l5y4 a rto
*
a) r3 + rzA
*
1,
fo je
: 3+/F,
i" yL: er + l,
*
49
to je
{r: tsrfr4*r,
r|: #e.
implicitno zadanih funkcija:
* y2 :0,
b)
eu
d)arctgA-y*r:0.
-
e-* + rU
:0,
c) e' singr
- e-u cosfi :
0,
Rje5enje:
a) Kako je
d":
F(r,U):rs **2U+92, F!(r,U):3r2 +2ry, F[(r,U):12 *2y,to
-ffi : -##,
12
je
t 2a # o,
b) Po5to je F(r, U) : ev - e-n
I
rA, a F!(r,U)
: e-t + y, F[(r,A) :
{.:-ffi:-#?#!,e!*r+0,
ev
*r,
to je
F(z,U): e'siny-e-ecosx, F[(r,U): e'sing* e-usinr, f[@,d: : *ffiffffi, eo cos u * e-v cosx f 0, e'cos g -f e-v cosu, to ie {r: -ffi c) Kako je
d) aL
19. Odrediti yL implicitno zadanih funkcija: a)
,222 c)r5*As:o,3
lnr + e-*
d) r-A*arcctgy, e) enY-12+y3
-0,
f)
Rezultat:
+y,r#0, b) ffi,a* -b, c) -|ft,
a)
"Y 20. Izrdunati izvod inverznih funkcija: a)
d)
fi+l, e) *, r) #o
a-'r*t*u, b)a-2r-ry, c)u-2r2-14
Rezultat a)rl
4t a-F
#, b)#,
c)
#o 155
21. Odrediti {n funkcija datih u parametarskom obliku: a) n :3t3 + 9t,g :1e , b) r : t2,y : |t3, . c) c:2ln(ctgt),U: tgt*ctgt, d) r: etsint,A: etcost.
RjeSenje:
*: ffi,
b) vL: |t, aL: c) x!r: #u,ir: -ffi,aL: ffi - ctg 2t,t+ $,k ez, d) rtr: et(cost * sint), y't: et("ost - sint), 9l : ffi ' 22. Odrediti /r funkcija datih u parametarskom obliku: a) r: nsinf - sinnt, A: ncosf * cosnt, b) r: a(t - sint), U: a(L c) r: arccos #,9: arcsin #, d) r: *+r,a: (#)'. a)
cosf),
Rezultat: a)
-W,
23. Odrediti
b)
ctg$,t/zkr,lc € v,,
c)
fi@ i fi(") , ako su funkcije h i fz
yL: -1, { 1,
t t
3, d) ho
zadate i mplici tno sistemom jednadina:
Y?-Ylrrr:2 Yl+a?*2t:r' RjeSenje: Uvr5tavanjem vrijednosti 91
: f{n) i Az: fz(r) ,t dati sistem jednadina, dobi6emo: /i(") - t3@*3r=2 t?@+f?@)*2r:L'
Odatle je, diferenciranjem
t?@t't@)
-fl(") tL@)+1-Q
fl(*) +fz(")fi@)+1-Q t7@ -r3(") * 0, slijedi da je fir)- f{r) fz@) /r (r)
Ako je determinanta
,
fi@): wrfvi#tnan.
24. Odrediti ftt(r) i fl@), ako gr1 : h@) i gr: f2(x) zailovoljavaju jednadine: 13:O,A?+A'r:r', b) euw*uzsinu - l- x,y?+"y3: u) ggz+ ffi.) yr + rbfut + yil +uz * sinr : 0, rh(a? + a| + *21 : *156
fi2,
6.6. Diferencijal funkcije Geometrijsla interpretacija izvoda Ako je funkcija
jeLyl gdje o
-*
0 kada
A:
f @),
i diferecijala
r e (a,b) diferencijabilna u taiki y:
Ar -* 0. Odatle
n1t ixg
€ (o,b), tada
Lr:u ta'
(1)
:
(2)
je
Lu
at
Ln
* aLr.
Glavni dro { Lr prirasta Ag funkcije, linearan s obzirom na Ar, nazivamo diferencijalom funkcije i oznaiavamo ga sa dy: dy
:
yt
L,r.
r dobijamo da je dr : i Lr : Lr, pa je diferencijal proizdy : gtdn. (3) Ovaj obrazac ostaje u rnZnosti i u sludaju da je r funkcija neke druge nezavisno
Specijalno, za funkciju voljne funkcije / u taiki r
promjenljive.
L
(L) slijedi da je Ag N dy
ili
(4) f (r + Ar) * /(r) + tj. za dovoljno mali dn : Lr prirast funkcije pribliZno je jednak njenom diferencijalu. Pri tome se dini apsolutna gre5ka l\y -dgrl i relativna d : l\v-:!vl.
|'@)tx
Geometrijski, diferencijal predstavlja prira5taj ordinate tangente konstruisane u tadki Ar: dr (sl. 65).
M(*o,1(ro)) koje odgovara prira5taju
Y=f (x
Xe
Xs +AX
sl.55. 157
Koeficijent pravca tangente krive y : f (r) u tadki M (ro,/("0)) je prvi izvod f '(*) u tatln M(ro,,f(ro)), tj. tS a: f'(ro). Jednadina tangente glasi: g -A0: f'(*o)(r -"0). Jednadina normnale u
taiki M(ro,11ro)) glasi: r - ro : -
1t@o)(A
-
Aa).
25. Odrediti diferencijal funkcija: a) A : 13 +3n, b) gr: 2n d) y arcsinfr, e) a
3-r + \/i, c) A : n€'", :u.a-2, f) a : arctgff.
:
-
Rje5enje:
* 3x)tdr : (3r2 + 3)dr :3(r2 * I)dr, b) d,A : (2' - 3-o + t/r)t dr : (2'ln2 * 3-' ln 3 + #)d,r, c) du : 1re*2)td*: e2 (z* * l)d,r, a)
dg:
(r3
d) Kako je d(arcsin to je d(arcsin
fr)
1fr)
:
(arcsin
t"l{L-+ '
u)'tu,u:
fii d,u : d(fi) :
26. Odrediti
d) y a) y
W
: -"#d,n,
'
e) Prema pravilu diferenciranj a ranlomaka ie
f) d,(arct1?-
-haQ"D
d(
#) _
a2
du-ud(u2) a4
du
2udu
&-T,u#0,
o
diferencij al sljededih funkcij a:
c) y- # *arcts*, -Jr2 *Jr, b) y - tm, arcsin |, e) a - (2t - 5)8, f) s : ,tn.
13
Rezultat:
- 3(r - t)zdr, b) du - ffi, c) da--ffi. d) du - -#, e) d,u - L6(2t- 5)'dt, f ) ds- 4t3 ett dt a) da
27. Odrediti: a)
#@t -2l.6 -*s), b) ,r*r(ry).
Rje5enje: Kako je df (")
du
(5)
gdje je u-diferencijabilna funkcija neke promjenljive, to date primjere moi,emo rije5iti na dva nadina. 158
2no
a) Uzmimo da je Lt,: 13. Tada, naosnovu prve jdnakosti (5), imamo: a1$t*t
-
-Jr6,rf
0.
-rs): fut"-2u-u3):(u-2u-u,)' - 1- 4u-Juz - t-
Do ovog rezultata moZemo do6i koriste6i drugu jednakost iz
d(r3-2r6-rn)
----,6)
(s",-r2n'-gng)dn _ - ------W6-- - r -
_
1
4r3
-316,rf
(l):
4r3
#@t -
d@\=f) : ffi,1\ /a / - \ t/n t *%ttt
2u{u rcoso-sinr - =:#:,rf - J rt) o
28. Izradunati prira5taj i diferencijal funkcije
-
re)
:
0,
b) Analogno kao pod a). Uzmimo da je u : 12, pa je d, lsinr\ -d- f "t"f\ --!-;- ,rcosc;sinr - /sinlF\t - t/ucost/ulin^/u
d, lsinrr d(t#) : _ffi-: - i&f A@\=;):
2z.6
-:ffi:,tf\,lli 4
a:3r2 -nzar: I i Ar:0,01 i na6i
greSku prilikom zamjene prira5taj a diferencij alom.
Rje5enje:
Lg: 3(r*Ar)2-(r+Lx)-3r2+x : (6r-1)4r*3A12, dry: (6r-1)Ar, to r: I i Ar : 0,01 dobija: LU :0, 0503 i dA :0,0500. Apsolutna greika pribliZne jednakosti Ly = dy ie l\y - dUl : 0,0003. Za relativnu gre5ku pribliZne wijednosti jednakosti Ly * d,y vimase odnos W Sto iznosi 0,6Yo o Kako se za
je
29. Odrediti pribliZnu vrijednost cos 610. Rje3enje:
r :
: I i A,x : *g1o : ft u formuli (4), dobi6emo: cos61o: cos(60o + 1"): cos($ + #) A, cos$ -,rsin$ = 0,5- o,,0I7.+:0,48b . Uzmimo da je
arc60o
30. Odrediti pribliZnu vrijednost Vm. RjeSenje:
(r): \/i. Kako j" f'(x): #, to je, na osnovu formule (4), gdie je n proizvoljan prirodan b1oj. tE +M x \/x + #, Analogno, W: W6 N iM * #rrur. 6 : 5,08 o Uzmimo da je f
31. Odrediti pribliZnu wijednost: a)
sin31", b) tg44o, c) arctg1,05, d) ffi0.
Rezultat: a)
0,515, b) 0,965,
")
t
+ 0,025
nr
0,81, d) 2,S907 r 159
32. Izrahtnati prira"Staj funkcije i diferencijal funkcije:
L'r:0,01, -frzar:Ii :9 i Ar : 0,002. A : \/r za fr a)
y--2r2
b)
y:
13
-2rzafi: -2i Lr-- 0,02, c)
Rezultat:
Ay:0,0302, d,a:0,03, b) Ag/ :0,202404, dy:0,2, c) Ag/:0,00033, dry: o,ooo3 r
a)
33. Izradunati prira5taj funkcije i diferencijal date funkcije, pa izradunati apsolutnu i relativnu gre5ku koja se dobije pri zamjeni prira5taja diferencijalom: a\ g : 13 -
3n2
*
I0 za
r:
3
i Ar
:
0,001, b) y : t/* ,u r
: I i Ar :
0,61.
Rezultat: a) Lg: 0,009006001, dU : 0,009, apsolutna gre5ka 0,00006001, relativna 0, 000666 b) Ag : 0, 1, d,y : A,L667, Ly - dU :0,0667, W: -0,667o
34. Date suparametarske
jet:3idt:0.02.
jednabine krive
r:1t
t3,U:L+*. Izradunati dni dy ako
Rezultat:
d,s:0,54,
dU
:0,12
o
35. Date su paxametarske jednadine kruga r : acost, y pomodu t i dt, a zatim dgr pomodu r,y i dr.
: asinf. Izradunati dn i dy
Rezultat:
dr - -a,sin tdt, dy 36. Dokazati pribliZnu formulu odnosu na
W
N
a
o,n.
Dokaz: Neka
f
je l"l
@): tF|
dega
37.
je
Dai 0, p&, ipak, posmatrana jednadina ,r" -oz" imati vise od jednog realnog korijena o da funkcija f (r) : rn + pr * g ne moZe imati vi5e od dva realna korijena ukoliko je n, paran broj i vi5e od tri za nepaxno n o
84. Dokazati
85. U intervalima (-1, 1) i (1,2) odrediti tadke u kojima je tangenta povuiena na krivu f (n) : (*, - 1)(r - 2) paralelna s u-osom. Rezultat: ix1
_
2-tfr
2+\n
,frz
86. Ispitati da li data funkcija ispunjava
uslove LagranZove teoreme na zadatom intervalu. Ukoliko zadovoljava, odrediti vrijednost za c:
a) /(r) d) /(r)
:2r - x2, [1,3f, b) /(r) : : arctgr, [0,1].
en
- r, lr,2], c) /(r) :
lr2
-
11,
[0,2],
RjeSenje: a) Data funkcija neprekidna je na intervalu [1,3] i diferencijabilna na intervalu (1,3), pa prema LagranZovoj teoremi (3c € (1,3)) (-1) Q 2c)(3 1), odakle je
:
-
c:2,
-
b) Funkcija je neprekidna na intervalu [1,2] i diferencijabilna na intervalu (1.2), pa prema LagranZovoj teoremi (3c € (1, 2)) e2 - e - 1 - ("' - I)(2 - 1). odakle je c :
In(e-1)+1,
c) F\rnkcija
/(r) nije diferencijabilna
za
x:
L,
d) Funkcija je neprekidna na intervalu [0,1] i diferencijabilna na intervalu (0, 1), pa prema LagranZovoj teoremi (3c € (0, 1)) on : -|. fu(l - 0), odakle je c:
{g"
87. Ispitati da li data funkcija
ispunjava uslove LagranZove teoreme na zadatom intervalu. Ukoliko zadovoljava, odrediti vrijednost za c:
a)
/(r) - r -
x3,
Rezultat: a) c: -1, b) c:
e
1-2,11, b)
- T,
/(r) : lnr,
c) Funkcija
/(r) 182
[1,
e],
c)
/(r) -- +/A, [-1, 1].
nije diferencijabilna za
o:
0
o
88. Odrediti koordinate tadke u kojoj je tangenta krive y gdje je:
a) f (r): 13 * r, A(t,2), B(2,10), b) c) /(r) :\ntr, A(e,1), B(e2,2).
/(r) - 4-
: f (r) paralelna tetivi ,4,8,
12, A1-2,0), B(1,3),
Rje5enje:
a) Koeficijent pravca tangente u traZenoj tacki date krive jednak je koeficijentu prave koja sadrZi tetivu AB,tako da apscisu ctraiene tacke moZemo odrediti iz uslova : f'(c), tj. Jc2* r : 8, odakle je c : rf, ut : -1fr. Kako se radi o tetivi sa W "
rr : I i 12 : 2, to je tra.zena apscisa (1,2), pa koordinate tra^zene ": 1f, € tadke'" (/1, *lil, b) (-*,f,o), (e2 - e,tn(e2 - e)) . apscisama
")
89. Primjenom
LagranZove teoreme dokaaati da je:
* arccos ,: T za r € [-1, 1], b) 2 arctg r * arcsin ;+I : 7r za n € [1, +oo) , a) arcsinr
c) lsina
-
sinbl < la - bl,
q+.h#.+zal0
eo
:1
J
1,
z-+0*
r--+0*
"A
vt-w r. t-arctgr tr+@ 1
arctgr)
: b)
-
1
fr->O
1)' ,C) lim (tn ' xt-*0+ ' fr'
..
. -1*) 2lntgr
e) Kako je (tS frlzcosr ,*2
:
e2cosrlntgr
"
l%" -2lim =g-2lim r tsr n*# tgo t ":E sec
li*- (ts d2
cos
n-i
n : eo :
;gb(t *
98. Odrediti
-effii
2lim ,-E
sec ,t
ffi
tg
r
1,
\' ''i'*oefi-r-l ^#tn(t+r2) i hm ln(l + 12) ee*-n-L
f) Kako je (1+ r\r#to je
-T-
r\ F-"r-t -
,2 o
granidne vrijednosti:
188
r-+oefi-1
.
,2tnx
"i)
-,
,IT-ffir,
r) rim (te(sinz)\ 'i;i'o
o)
Rezultat: f;)
"li6nC#",*r,p)
# o\ ( s/ ri-
\'t"Gd/ '
")
(+)+
"ll3+
m0 + r)
\tu;Fl/
(hr)rrn'
"IT*W, \;;;'
#,b) 0, c)2, d) 0, e) er, f) a-b, s) *, h) 1, i) 1, j) rr, \
rt, ^) e-?, r) e-*, nj) 0, o) 1, p) 0, r) 1, ,; ,-{.
e?, l) i,
6.9.3. Tejlorova i Maklorenova formula Tejlorova (8. Thylor) formula na intervalu je f , (a,b) -+ R i neka 3/(n+t1 na (a,b). Tada Yr,rs e (a,b)AVp > dava,ii formula: Neka
0lO
takvo
f(x):7@o)-+f,@o)-g#f,,(*o\+...+#,(,)(ro) - co)"+l y@+D(xo+ O(r _ ,' (1 - o)"1+_1_(r (")tp
"o)),
(0 <
o<
1).
U specijalnom sludaju, kada je o0 : 0, imamo Maklorenovu formulu (C. Maclaurin):
f(r):/(0)+frr,rol+fir,'{o)+...+frtoltol*ffiF7@+t)1@x), (o 0 za svako x e (a,b) funkcija raste na [a,b], (2) Ako je f'(r) < 0 funkcija opada na [a,b], (3) Ako ie f'(r) : 0 za svako r € (a,b) funkcija je konstantna na
[a, b].
129. Odrediti intervale monotonosti sljede6ih funkcija: a) y
:2x3 -gr2 +12r, b) g:
rh,
Rje3enje:
")
y
: #,
d) a
:*
a) Kako j"U':6("-1)("2): Ozza.rl: l i x2:2i y,>Azar e (-m,1) i x e (2,*oo), to funkcija raste na intervalima (-cc, 1) i (2, **), a opada na intervalu (1,2),jer je { 0 za lrl < 1, to funkcija rastezar€ (-1,1). Kako i"{ 1, tofunkcijaopada zar€ (-oo, - 1) i r € (1, *-), d) F\rnkcija je definisanazar + -L. Kako j"t : > 0 zasvako r € IR., to funkcija raste za
&
r € lR o
130. Odrediti intervale u kojima su funkcije rastuie, a) A e) A-
r\nr,
b) A - 12 lnr, c) A -
lnr*1,
f)
lnlrl,
odnosno opadajude:
d) A:
A- ln(r+2), g) U:In
ZIn
12
*12 ,h)
Rje5enje:
a) F\rnkcija je definisa&azar > 0. funkcija raste za r e (e-r,*oo),
i"{ : Inr*
Po5to a opada za n
1
a
r,
(1
le
zar
t"
zar
> 0 zar> e -1, to slijedi da
€ (0, e-1),
__L . ^ b) F\rnkcijajedefinisanazar > 0. Kako jeU':x(2lnr+1) > 0zax> e-2, to funkcija raste za x € ("-* ,**), a opada za x € (0, e-*;, c) F\rnkcija je definisana za R\{0}. Poito je
(I
.t lrl' I v:W:l_:
EI
\lul odnosno ll' a opada za
: *. to je yt > 0 za r ) r € (-x,0),
d) Data funkcija
0, A'
zar>o zar -2. Kako j" A' : # , 0 za r iz oblasti definisanosti, funkcija je rastu6a.
g) Ftmkcija je definisartazar e IR. Kako ie{: #;t>0zar > 0 tofunkcijaraste re (0,**), aopada zar 02a, e(t,T),
tofunkcijaraste za
zar€ (0,$) izax e (T,hr), jerleia{evrijednosti ,y, 0. Kako ie g' : ftsinT > 0 za 0 < fr < r i 2kr . # < r *zletr,k e N, to funkcija r strogo raste za e (1, +oo) i za e tr e x. u intervalima (fi, /c e N j. { < 0, pa u njima funkcija stroso opada. Ako je t u-0, taaa, Loristeei parnost funkcije, / > 0 za n € (-*,-#), k e N, pa funkcija strogo raste za
r
r (#,#), 205
#r),
r € (-;8,-#),a
strogo opada za
jer je u tim intervalima
r €(-*,-1)
i za r €
(-#,-*),k
d < A,
c) Data funkcija definisana je za r e IR\Lfr_q7 {e#"lk e V,}. Po5to j" za svako
d)
r
e N,
iz oblasti definisanosti, to je funkcija rastu6a,
A'
:1
+
"*z
,rl
>
0
i" y' :2cosr(l - 2sinr) > 0 zar € (0, 8) i * € (+,ff) i za * € $,?tr), to funkcija raste u navedenim intervalima, a opada za r € (t,+) i za r € (T, !f), j", Po5to
je u tim intervalima At .--0,
e) Flrnkcija raste na intervalu @-18+zkn,"W+zko), a opada na pW"+2htr,"l$n+zt'n1,
leeZo
133. Odrediti intervale monotonosti funkcija: l-r+"'2 ,lt - 3r2 2r, b) v- *r+ft, c)y-r-€*, d) a-#, e) A-2r2 -lnr, f) a- r * cosr, g) y - ln(r + tffi\ h) u-rtffi,a )0, i) a-arccot#, i) u-r(L+*)" \
a) y
,
Rezultat: a) F\nkcija raste za r € ($, +*1, a opada za r € (-*,t), b) F'unkcijaraste zar €. (--,-1) i zax € (1,+oo), aopada zar € (-1,1), c) Fbnkcija raste za r € (-*,0), a opada za r e (0, +m), d) F\rnkcijaraste zar€{e,*m), aopada zar€ (0,1) i zar€ (1,e), e) Za, e (*,*m) funkcija raste, a opada za r € (0,+),
f)
F\rnkcija monotono raste,
g) F\rnkcija monotono raste, h) Fbnkcija raste za r e (0, io),
a opada za
r
e (f;a,a) o
134. Dokazati da ako su funkcije p(r) i {.t(r) n-puta diferencijabilne (t) i rp(k)1zo; ,p(k)@fi, k : 0, 1,2,...,n- 1, (2) a 9{")1z-1 , t1r(")1r) za r > re, (B) tada
p(r)>z!(x)zan>ro.
lp J"
Dokaz:
:
Ako na funkciju u@-r) ,(n-t) -rp(n-t) primijenimo LagranZovu teoremu o srednjim wijednostima na intervalu fxa,rl, ima,6emo:
u(n-t) (")
-
u@-1) (ro) 206
-
r,t(n)
(r)
(r -
r0) ,
odakle je, na osnovu (2)
i
(3),
u(n-r)(r) Analogno dokazuje se da je u("-z) 1s) > 0,
>0, tlro. itd. u(r) > 0, tj. p(r) > {(r)
za n
}
:xs o
135. Dokazati nejednakosti:
"- $ .n1t*r) < r, n > 0, c)r-qr1 L + r, r + 0, b)
Dokaz: a) Neka je p(x): er irh@):L*r. Kako j" p(0) :th(Q), p'(x) >r1.,'(r) zan) 0, to na osnovu primjera 134. slijedi da je p(r) > ,b@), za x > 0. Uzmimo da je r : za
r(
-t
0, dobi6emo:
: e-t, rltft) : L - t, t > 0. > rb'(t), t ) 0, to je rp(r) > $(t) zat> 0,tj. e'>L+r za fi10, g(t)
Kako je p(0)
:4)(0),,p'(t)
b) Neka j. p(x)
p(0) :
- r-1,rb@): ln(l *r), n(r):
x,
x)
Q. Odigledno je da je
rh@) :?(0) i p'(r) < rlt' @) < n' @) za n > 0, pa je, na osnovu primjera
p(r) 12 za 0 < r < r), to, na osnovu prethodnog primjera, moZemo zakljuditi da je 7T
v@) 1
36.
Doka zati slijedeie nejednakosti
o
2
:
*), .e < (1 +|;'+t, x ) o, r' - 1 > o(* - 1), o ) 2, r > I, ") d) W - VA < tF - a, fr ) L, r > a> 0,
b) (1 +
e)
1+2\nr1*',r>0,
2ln(l1o) r)-ff-ffi d #ln(l s1
ta+2
>o,r>0,
+ |1 + t"21t + *)
*tl n r-*+*-
- 4-^*+p > o, r > o,
ffi(sinr fz) + (A(rr) > A(tz)), (A(ti < A(tz)). Za matrice A i B ka2emo da je A > B (A < -B), ako je aU > bu @ti j :Ir2r..-rn.
i,
139. odrediti intervale monotonosti slijede6ih matribnih funkcija:
a)
A(t): (.tili t
t, + ,t3 *,r, )
,
.ar"t\ : (".!' ch2t ry 1t1+t)' \sh2t c) A(t) : (;TJJ,il'l *",Ii;."') b) A(r) \'
'
209
7.2. Ekstremne vrijednosti funkcije je funkcija A -- f (r) diferncijabilna u nekoj e-okolini tadke r : tro i neka je f'(*o):0. Tada, ako je f'(*) >0zaVr € ("0 - €,n0) i f'(r) 0, Ako je
f"@d:
0, pitanje ekstremnih vrijednosti se rje5ava pomo6u izvoda vi5eg reda.
140. Odrediti lokalne ekstremne wijednosti funkcija:
a) y:3r2 -2x, b) y --.(r - z)'(* + 1)3.
y:
rs +2r2
*r-4,
c)
g:3ra -4*3 -12* +2, d)
Rje5enje:
a) Kako
j"g' :2(3r- 1):0 zax:!iU" -6 > 0zasvakor, slijedi dafunkcijaima
Iokalni minimum za
tr: t i y*nn: -1,
210
b) I(ako je a' biti samo u tackatna I(ako je A" (- *l
-3 irz 1
rr1
| fr2.
lokalni minimum, a u tacki
Mz(-1,-#)
0, to data funkcija u tacki lokalni maksimum,
c) Kako j" A' -1, 12 mogu biti samo u tadkama rL, 12 i rs. Za njihovo
Data funkcija u tadkama Mr(-l,-3) Ms(0,2) ima lokalni maksimum,
d)
Mt(- + ,4) ima
odreclivanje koristi6emo tabelu:
i M2(2,-30)
ima lokatni minimum, a u tabki
Po5to jey'q:5(x-2)(x+t)2(x-f):0zax1- -1, ,r:t i13:2, tolokalni ekstremumi mogu biti sarno u tadkama rrt fr2 i rg. Odredidemo ih na osnsvu promjene znaka funkcije U' pri prolazu kroz tadke 11, 12 i rs:
r (r*12 r-B4 r-2
4
-1 +
0
+ 0
+ +
+
0
+ + +
U
/
0
v'
+
v
/
0
+
0
/
n
+
2
o
\
Data funkcija u tadki U{t;8,4) ima lokalni maksimum, a u tabki M2(2,0) lokalni minimum. Kako fiinkcija U' pn prolazu kroz tadku c,L: -l ne mijenja znak, to u tadki xr: -l data funkcija nema ekstremuma .
141. Na6i lokalne ekstremne wijednosti funkcija:
rm*rF,
2LT
Rje5enje:
a)Datafunkcijajedefinisanazat+|0.Kakoj"a,:w:0zatt:4i r,2: 16, agtt: dfop, to ie gtt( ) < 0, agtt(t6) t d, pu'funkcija ima u tadki b)
M{4,1) lokalni maksimum, a u tadki M2(16,25) lokalni minimum, r_r\./.r./ I Data funkcUa je definisana za Vr € lR. Po5to j" y' -- $2l}J-
a"
c)
: zar w (+) > 0, slijedi da funkcija ima u talki M1(|,-#) lokalni minimum,
F\rnkcija je definisanaza
lrl < 1. Kako j" g' :
za
ffi:0
n u
*r: -iri *r: h,
a/,:ffi,tojea,,(h)(0,&a,,?h)}0,Paslijedidafunkcijautadki Ut(ir,$; ima maksimum, a u tabki Ur(-#r,-|) minimum, d)Datafunkcijadefinisanajeza|r|)1.Kakoj"/:wl0zasvakor iz te oblasti definisanosti, to funkcija nema ekstremnih vrijednosti,
e) F\rnkcija ima maksimum u Mt(*,*W i minimum u M2(1,0) o 142. Odrediti lokalne ekstremne wijednosti funkcija:
a)y-r\nr, b)y r-lnr, c)y-ry, e)
a -2ln(1 + r) + +
- r,
f) y -arcts r
d)y
-|
fnlr
r
€
IR.
Rje5enje:
a) F\rnkcija je definisanazar > 0. Kako j"y': lnr* 1:0 zar:€-r,dyrt: f,to je U" @-L) : e ) 0, pa'funkcija u tacki Mt(e-r , -"-L) ima minimum, b) F\rnkcija jedefinisanazar > 0. Kaiio j"yt:#:0zar:1, a /'(I) > 0, slijedi da funkcija u taiki :1[(1, 1) ima minimum. c) F\rnkcija definisana je zar > 0. Po5to j" y' : -V :0 za r: 1, a ylt : ff, Va j. U" (t) < 0, odakle slijedi da funkcija u tadki M{1,1) ima maksimum, d) F\rnkcfja je definisartazar > 0. Kako j"Ut:ry:0zat: t €ta{' :W {'(") < 0, to slijedi da funkcija u tacki Mr(e,}) ima maksimum,
'
e) Datafunkcija je definisanazatr > nema ekstremuma,
f)
Flrnkcija ima maksimum u
-1.
Po5to
j"l :S
Mr(l, T- *1"2), jer j"
2L2
y':ffi:O
r 0zar za
n:l
e R, funkcija a y'(1) <
0r
143. Na6i lokalne ekstremne vrijednosti funkcija:
a)A:r2e-', b)y:*r"*, c)A:(l-x)en, d)g: #{r, e) y : f) a : lrle-@-tl,r € lR. + "* "-*,
Rje5enje:
a) F\rnkcija je definisana za svako r € lR. po$to i" U, : r(2 t)s-* : 0 zaur : 0 i t2 : 2, a A't : (*, - 4r * 2)e-r, to je A,,e), 0, u A,,e) ( 0, pa funkcija u tadki Mt(0,0) ima minimum, a u tadki Mz(2,4e-2) maksimum,
b) Data funkcija je definisana za * 0: Kako ie A, : er \e* : 0 za r : t L, a /'(+) > 0, to tunkcija u ta6ki ur(t,fo) i^mi,iimum, c) F\rnkcija je definisanazaVr e lR. Kako je{: -rer:0zar:0,a{,(0) < 0, to funkcija u tabki M{0,1) ima maksimum, d) F\nkcija je definisanazax+ -3. Podto ieut : +fj# :02atr: ayil(-I) > 0, to funkcija u tadki M{-1,*)
e) F\rnkcija je definisanaza vr e lR. Kako
j.
y,
:
*@Z
to funkcija ima u tadki M1(0,2) minimum,
f)
-1,
(,'-
i*u -irri*,r*,
- "-t1 :0
za
r :0, t,(0)
>
0,
Fbnkcija ima maksimum u tadkama Mt(-L,e-2y, M211,1), a minimum u tadki Ms(0, O) .
144. Na6i lokalne ekstremume funkcija:
U:sinr*coso, b) g:_sin3r*cos3 n, fi e[A,hr), c) A-r*cosr, d) y: r *tgx, e) y : *), * +0, f(0) :0. "-hOn*sin Rje5enje: a)
j" A' :cosr - sinr :
: {' : 4 za r : f, + zlur, a g" : -* :
a) Kako
funkcija ima za s minimum Urnin:
b) Kako j"{.:
0 za
x
X+
kr, k € Z, aU,, :
,u * .:
[ +2kzr lokalni maksimum,
-tn,
Ssinrcosc(sinr-cosr)
-sinr-
cosc, to je
T * 2kn, k e Z, pa slijedi da data um'a : {i, a za x : ! +zkr lokalni
:0zarr:0,
nz: X,:trs:
xt:
$, nl.n-1: T, lo: ff, a{' :3(sinr*cosr)(Ssintrcosr- 1), to i" y"(q i o, {'G) > 0, a"(T) < 0, {'(") a0, {'(+) < 0, y',(+) ) 0, pa funkcija u tadkama M1 (0,] ), Uz($, t) i Me(T, ima maksimum, a u tadkam u tt t 4X, - - *) $1, U u1n, - ty i tWa(T,-l) minimum, 2t3
c) Kako j" y' : 1 -sin r : 0 za tr : $ +2lur, k e 2,, a U't : - cos r, to je A" (E +Zkn) : 0, u /" : sinr i g"' (q +2ktr) : 1 imamo da funkcija u tadkama unG *Zkr,$ + zkrl, ke
V, nema ekstremuma,
d) Kako i" A' :1 + ;h > 0 za r € lR, to data funkcija nema ekstremnih vrijednosti, e) F\rnkcija ima minimum u taiki 1141(0,0) o 145. Odrediti vrijednost parametra a tako da funkcija za r: $. Du li je to maksimum ili minimum?
A
:
asin
r * { sin 3r ima ekstremum
Rje5enje: Po5to
j" y' :
acosr
*
cosSr
:
0 za x
su: Ut :2cosr*cos3e iy" : funkcija ima maksimum u tadki U{5,^fZ\ .
2sinr*$sin3r
146. Odrediti parametre
fit : I i 12 : ). minimum za rt:
ai
btako dafunkcija
: [,
a: 2. Izvodi funkcije g :
to je
-2sin r-3sin3r.
A: alnr*
Kako
j"y"(T) < 0, to
bn2+rimaekstremumeza
Pokazati da za te vrijednosti parametara 1, a maksimum za, x2: l.
i
o,
b data funkcija ima
Rje5enje: Po5to datafunkcija imaekstremne vrijednosti z;0,fr1
_1ifZ-2,
paje
zafrti12,toi"A' : fi+ZUr * 1:0
a+2b: 1l+ a-
a+8b: 2) bF\rnkciia y * 12 +r ima minumum zB, 11 -jer-?hrje
maksimum,
A"
2
3 1
6'
t
jer je a"0)
Q)
147. Jedan hotel, sa 40 soba izdaje te sobe po cijeni 100 DE\l dner':to. Ako se cijena poveia za 5 DEM, jedna soba ostaje prazna, a ako se poveia za I0 DEII dvije sobe ostaju prazne, itd. Tbo5kovi odrZavanja po sobi su 10 DEM dnevno. Koliko treba da bude cijena izdavar{a sobe pa da zarada hotela bude maksimalna.
Rje5enje:
r
:
(40- r)(100 + 5r) Oznabimo sa y zaradu, a sa broi praanih soba, tada je A 11, odnosno za cijenu po sobi od 155 (40 r) . 10. Maksimalna vrijednost g je za n
:
-
DEM
o
2t4
-
148. Na6i najveiu zapreminu valjka upisanog u datu kupu (sl. 6Z). Rje5enje:
rtl
sl
.57
fI
Neka je zadata kupa sa visinom i radijusom osnovice .R. Oznadimo sa valjka i sa r radijus osnovice valjka upisanog u datu kupu. Neka je lBtutl
h visinu
: *. Tada : : : lPBl r tglK MA r # i r R - x. Zapremina valjka je V : rr2h. U naiem primjeru V(r):,r(R- d2s#. Kako jeV,(r): #(n- d@- 3") :0 zar: Ri r : *, to funkcija V(r) ima *ukri*utn r vrijednost y(+) : finHR2 za r : * . 7, :
149. Medu pravim kruZnim kupama date povrSine P odrediti onu koja ima najve6u zapreminu.
Rezultat:
p- 1 tP - Wlupreinik osnovice r n: ir,/f
150. Medu prarim kruZnim kupama koje
su opisane oko lopte poluprednika
r odrediti
onu
koja ima najmanju zaprenrinu.
Rezultat:
R:rtfr,H:4ro LloL. Izvozjedne zemlje bio je u 1000 tona: 1985. godine 120; 1988. godine 200; a 1990. godine 180. Odrediti funkciju izvoza oblika U : an2 -tbr *c i odrediti godinu kada je izvoz iz rastenja pre5ao u op_adanje. Rje3enje: Godine izvoza obiljeZimo na r-osi tkao Sto 1985. godinu uzmemo kao koordinatni po6etak. Prema tome 1985. obiljeZi6emo sa 0, 1988. gd. sa 3, a 1990. sa 5. Na y-osi 2L5
prenosimo izvoz tzrailen u tonama. F\rnkcija Ms(5, 180), p& mora biti:
ie pro6i kroz tadke
Mo(O, 120), Ms(3,200) i
odakle je
ga* 3b+ c-
ifi) ' )
25a+5b*c-
&
b: - -+, J
4B:, 3'
c: r2o.
Tra"ilena funkcij a izvoza je
y: -r!*' + qe?*+ 120. JJ
Kako j" U' : -ffr+ $ : 0 za x izvoz pre5ao iz rastenja u opadanje
152. Tijelo
se krede po zakonu
Rezultat: umoo:64m/sec
s:
:
r
3,32, toje g u 3-ioj godini, odnosno 1g88. godini
-f3 + 18t2 + 10r. Odrediti njegovu
maksimalnu brzinu.
o
153. Na6i pravougaonik najve6e povriine koji je upisan u krug poluprednika r. Rezultat: ThaZeni pravougaonik je kvadrat strane rt/i .
154. Medu pravouglim paralelopipedima date powsine P dija je osnovica kvadrat, odrediti onaj koji ima najve6u zapreminu. Rezultat: Kocka
iice
f !.
155. U loptu poluprednika
IR
upisati prav kruZni cilindar maksimalne zapremine.
Rje5enje:
sl .59. 2L6
Oznadimo visinu cilindra sa
r. Tada (sl. 63) je poluprednik osnovice cilindra
!as 22
1_
AC2
-
BCz
i{+n, - t2, 'l
a zapremina cilindra
1-
v(*)
ttrlt 4,
edje je r € [0,2ft] . Tleba odrediti maksimalnu vrijednost funkcije V (*) na intervalu rR2 in*t 0 za * Iz(0) O, [0, 2,R]. Kako je Vt (r) furABt=.J i v(zL): 0, to trazeni cilindar maksimalne zapremine ima visinu 'Y .
:
:
-
: #,a
: V(4y :
156. Odrediti minimum funkcije f (x)
:
ma>r{2lrl, lt +
rl}.
Rje5enje:
.
-t
Ako je2lxl > 11+rl, to je ma: 3 nema ekstremuma.
Vrijednost funkcije na krajevima datog intervala jggte: /(1) : 6 i f (t) slijedi da funkcija ima najve6u vrijednost /(;) : T, a najmanju /(5)
160. Odrediti najma,nju i najve6u wijednost datih funkcija na naanadenom intervalu: a) a d) y
:
x2
-4n+6, [-3,10],
:2r, f-L,sf,
e) g
b)
a
-Jr+21, [-10,10],
: affi;,=lx2l0,2rl. 2t9
c) a
: *+I,
[+,100],
Rezultat:
m:2, M - 66, b) *:0, M : I32, c) m:2, M: 100,01, d) m: |, M :32, e) Na datom intervalu funkcija nema ni najmanju ni najve6u vrijednost o
a)
161. Odrediti najmanju vrijednost sljede6ih funkcija u datom intervalu: a)
a:**t"t -*r'-X*+1,
c)u:
[-3,2],
-sin(asinr), lo,+1, a)oo
b)
gr:
Df],
sinkrr,ll,4),
162. Odrediti najve6u vrijednost sljedeiih funkcija u naznadenom intervalu:
a)a:@-r)2(r-2)2, [-3,4], b)s: (r , ,'' c) y: =n {[4 . "F ,u,url o. 7
A.
Konkavnost, konveksnost
:
Gfu,
[-r,r],
i prevojne tatke funkcije
Neka je funkcija y f (r) neprekidna sa neprekidnim izvodima na intervalu [o,b] i neka postoii f"(*) za svako e (a,b). Tada, ako je f"(*) > 0 (f"(r) < 0) za srako r € (a,b), grafik funkcije je konkavan (konveksa,n) na intervalu [4, b].
r
r:
ro. Da bi tadka Mo(xo,;(ro)) neprekidna funkcija u okolini tadke bila prevojna tadka grafika funkcije, potrebno je da bude y" (ro): 0. Dovolian uslov da bi tadka Mo bila prevojna taika grafika funkcije U f @) jeste da i" {'(*) razlibitog znalsa, u intewalima (re - €,ro) i ("0, ro * e), e > 0 o Neka ie
f"(r)
:
163. Odrediti prevojne tadke i intrevale kom'eksnosti i konkavnosti funkcija: a) a : 13 -
6x2
r
l2r * 4, b) y -
lo-11 ' c)y:ffi,d)g:
o{p,
n2e-',
: Y, f\ A: rsin(lnr), : e2' + 14, h) g : r * cosr, i) y : n2 +2sinx, i) y- 1 - l*3 - zl, k) y : (l + *)e-*' + *, l) g : arccos i* +3r- 8.
e) U g) y
220
Rje5enje:
:6(r - 2) :0 za n:2, u /' > A za n ) 2, to je data funkcija konkavna u intervalu (2,+oo), a konveksna u intrevalu (-oo,2), jer je zasvako r 12,A" 0 za r e @t,**), to je grafik funkcije konveksan na intevalu (0, eB), a konkavan na intervalu (e8, *oo). Prevojna tadka grafika funkcije je
d)
Kako
'
i" A" : (*' -
/e
\"''
4r *2)e-" u (2+
:
0 za xL
g\ ,"t )'
22I
:
Z
-
f)
j"A": j(coslnr-sinlnr) :0zar: s[*kn, k e ZiU" 0zar+T +2br,to je
sinr)
funkcija konkavna za k eZ,
kn,$ +
$ +Zkr , k e
Z. Prevojne
ta6ke su Mpl$ *2letr, ($ +Ztcn1z1,
Kako je
( J-12 a-1",
1
za l"l za l*l
l"l l"l
to je funkcija konveksna za l*l > t/2, a konkavnazalrl funkcije su M16n,\ i Mz?tn, 1),
k) funkcija konveks
l) funkcija
<
Prevojne tadke grafika
^n.
na za l*l
je konkavna za tr
L64. Pokaaati da je grafik funkcije
zary A
- In(r2
1)
uvijek konveksan.
Dokaz: Kako
i. u" : -ffi
konveksna za te wijednosti
< 0 zasvako rr
165. Pokaaati da prevojne tadke krive
r iz oblasti definisanosti, to je funkcija uvijek
y: rsinr
pripadaju krivoj
y'(q+ r') : 4*'
Dokaz:
r - rsinx :0 za r -- #f2, to funkcija ima prevojne taike za ,: W. Uvr5tavanje wijednosti r u datu funkciju, dobi6emo A:2cosr. Zamjenom Kako
j" u" :
wijednosti x i y
l
2cos
datu krivu y'(++
*'):4r2 222
dobi6emo traZeni identitet o
166. Odrediti intervale konveksnosti, konkavnosti i prevojne tadke funkcija:
: 15 - ror2 tJr, a) g : fi, c) a : VW:Tfr,, d) A : r *sinr, e)y:"-*', f)y:*tn#, a) y
g) y
:
eaxctsr
)
h)
A
:
Z
_
lr5
_ tl.,
1)y:ffi-5x, i)s: ft-1*Br. Rezultat: a) F\rnkcija je konkavna za r € (-oo, 1), a konveksna za fr €. (I,**),
r:
I je prevojna
tadka,
b) funkcija je konkavna za r €
rc)
ryje
3+2rAr (0, T)1
a konveksna za r
€ ( 3+2\re , *oo), tadka 3
prevoina tadh,
(-*, *tfr) i 10, /5) funkcija je konveksna, a konkavna na intervalima e\re,0) i (/5, +m). Tadke x:0 i r: *t/5 su prevojne tadke,
Na intervalima
d) Na intervalima (2len,(2k + l)r), k e Z, furftflja je konkavna, a konveksna na intervalima l(2k+I)r,(2k*2)rl, k e V,. Tadke n: lcr, k eZ, prevojne su tadke, e) Na intervalima (-oo, -il i (h,*oo) funkcija je konveksna, a konkavna na intervalu eh,ft). Prevojne tadke iu +ir,
r:
f)
F\rnkcija je konkavnazar prevojna je ta6ka,
g) Na intervalu
e (0, 10e1@, a konveksnaza
r
e (L\e1fr,, *oo); r: I\etfe
(-*, j) nrnt.ilu je konveksna, a na intenalu
(|.
prevojna je tadka,
h)
F\mkcija je konveksna za z €
tadkajer:0,
i) j)
(-m,0)
+*;
U (1, **), a konkavna za tr
konkavna,
a)
'L' r+0, a_{""il*' :t8,,, b) u- !*ucos+, ro, t o.
223
1
2
€ (0, 1). Prevojna
Rrnkcija je konkavna na intervalima (0, 1) i (3, +oo), a konveksna na (1,3), F\rnkcija je konveksna za n
L67. Odrediti tadke prevoja, ako postoje, u nulama datih funkcija:
r:
Rezultat: a) Prevoja nema, b) Prevoja nema
o
168. Odrediti intervale konveksnosti sijededih funkcija: a) f c) /
:X ---+Y, tr:(t+t)2, a:(t-I)2, b) /' X--Y, n:tlnt, y:-Get-Jt2, : X ---+Y, tr :(f +t;*, A :(t +t;1+*.
Rezultat: a) Grafikfunkcije jekonkavan zat> -1, b)ZaO je konveksan, c) Grafik funkcije je konkavan o
0 za y
I I I
I I I
b) 1o F\rnkcija je definisanazax2 -4+ 0, odnosno r (-2,2)
U (2, +oo).
20 Nule funkcije y > 0 za r e
surl - -1 irz-
(-*,
(ND
I *2, pa je D: (-m,-2)U
L. Znakfunkcije: y 0zasvakor € R\{0}, tofunkcijanema ekstremnih vrijednosti, vei stalno raste. Prevojne tadke su: P1(-/$ ,-*), P2(0,0) i Ps({g,*l Funkcija je konkavnazar € (-oo, -rfg) i r € (0,/3), a konveksna prava
za
u:2r.
Kako
r e (-t/3,0) i r € (/5, +oo). Grafik funkcije je prikazan na (sl. 76) o
173. Konstruisati grafike funkcija: a)
a-@*Dlf,
b)
y-
t+r
c) y-1+nz\m, d)
,
Rje5enje:
a-W.
v ML
-t I
I I
I I I
Itlz 1
sl .78
2
a) F\rnkcija je definisana za svako nema asimptota. Kako
i" {
r
€ lR. Nule funkcije su t
: ryW
: -L i r
:0 za q: -fr i 12
g'(0): oo, tofunkcijautaiki znakuokolinitadke *: -hir:0i ima maksimum, a u tadki Mz(0,0) minimum. pobto
i" l,
: *W
2
-1 i
M1
(-t
A'mijenja
,N 0,35)
:0 za nL: -r i 12: -nri6 i ns: 4, 232
.
to
su tadke:
P1(-1,0),
Pr(t#,N
funkcije. funkcija je konveksna zan e za
r
, -/-
€ (-1,-#)
i
r
€
i h(#,E
0, 12)
(-*,
(#,+oo).
0,49) prevojne tadke date
-1) i r e e#,1#),a
konkavna
Grafik funkcije je prikazan na (sl. 77).
D: (-*,-1) u (-1,*oo). Nule funkcije su r:aifr:1.Vertikalnaasimptotajepravar:_|.Kakoj"a,:ffi:o za r : -3 i x : t i Ut (I) : *m, to funkcija u tadkama Mt(-3,ry 3, 9) i M2(L,,0)
b) Oblasti definisanosti date funkcije je
ima minumum, a u taiki Ms(+, N 0,2) maksimum. Prevojna tadka je 16 € (-8, -7). Funkcija je konveksrra za r € (-oo, rs) i r € (-1, f*), a konkavna za r € (16, -1). Grafik tunkcije je dat na (sl. 78).
c) Oblast definisanosti date funkcije je D: [-1,+oo).
Funkcija nema nula. Funkcija M1(-!,nz 1,3) (max)i
nema asimptote. Ekstremne vrijednosti funkcije su u tadkama:
Mz(0,1) (rnin). Prevojna tadka j* na (sl. 79).
p(-* +W,x l,L7). Grafik funkcije je prikazan v
Y 2r
3r
L
I
I
-2
-45 o
.2
0.4
-
1-
x
14
v:z
\
-1
S1
.80.
-2
{
3
Y:-x+ 2
d) F\mkcija jedefinisanazasvakor e R.. Nulefunkcijesu r:Aix:2. Kosa asimptota je prava g : -x *?. F\rnkcija je iznad asimptote kada r ---+.*oo, a ispod kada r + -6o. Presjedna tadka funkcije i asimptote je A(fr, $). Kako je 4-3t ^l za r: t i y/ mijenja znak u okolini tabke * -- fi, [o funkcija u v - siffi:0 taiki M1($ ,N L,03) ima maksimum. PoSto j" g'(O) : {(2): *oo, to postoje dvije
:
:
tarrgente normalne na o osu: r 2. F\rnkcija !r okolini tadke c 0ir znak sa na pa data funkcija ima minimum u tadki M2(0,0).
-
/
*
F\rnkcija nema prevojnih tadat *oo funkcija nema asimptotu. Vertikalne asimptote su: ,: -{3 i tr: +\/5.funkcija irna minimum u tadki Mt(J,*), u maksimum u ta6ki Mz(-L, -*l Grafik je prikazan na (sl. 87). v
v
4r
h)
F\rnkcija je definisaf,La za svako
+oo). F\rnkciia nema nula,
(2,
je prava A :
r gr
zakoje ie x2 - 2r
{
0, tj.
D:
(*oo,0) U (0,2) U
em :
> 0 za svako x € D. Kako jr
L horizontalna asimptota kada
r+
1, to
"_lig*
*oo.
Pobtoi",1T_u: ,!T+ou: *oo i to su prave r:0 "UB*u: ,!y_ra:01,
i
r:
: 0 za r : Ii grl mijenja Zvertikalne asimptote. Kako je u' : A&"** znak (sa * na -) u okolini tadke r: L, to funkcija u tadki M(I,t) ima maksimum. Grafik funkcije je prikazan na (sl. 88) o L75. Konstruiasti grafike funkcija:
a)y- r\nr, b)y-ry, c)!. #,,C)Ae)
y-r*ry,
1-ln
fr,
r
f) u-ln(r2 -zr+z).
Rje5enje:
a) funkcija je definisana
r
za e (0, +oo). Nula funkcije je krajevima oblasti definisanosti:
lim rlnr r---+0*
Iim
r---+0*
lnr 1
i
237
0i
r:
1. Pona5anje funkcije na
lim rlnr-
r_+*oO
*oo.
F\rnkcija ima minimum u tadki M(!,-!). Nema prevojnih tadaka kavna. Grafik funkcije je prikaaan na (sl. 89).
i
uvijek je kon-
Y
0.5 0.4 0.2
r0.2 -0.4
sI .90
-0.5
b)
y:0, je P({&,#)
:
r e (0, **),
nula je r L. Horizontalna asimptota funkcije Maksimum funkcije je u tadki tW(",|). Prevojna tadka je Grafik nacrtan na (sl. 90).
F\rnkcija je definisarra za a vertikalna ie
u:0.
c) F\rnkcija jedefinisanazar e (0,1)U(1,+m).
Kadar*
0+
i f(r)
---+
0_.
F\rn-
kcija nema horizontalnih i kosih asimptota. Vertikalna asimptota je r : 1, jer je : -*. Minimurn funkcije je u tadki M(e,e), a pre#c : *oo i
,Ifro
,Ipo#
vojna tabka ie e1e2,$). F\nkcija je konveksnaza konkavna za x € (l,e'). Grafik je nacrtan na (sl. 91). v v
5r
d)
r € (0,1) i r € (e2,*m), a
0.2
:
F\rnkcija je definis ana za r e (0, +oo). Nula funkcije je r e. Horizontalna asimptota funkcije ie A a vertikalna c 0. Minimum funkcije je u tadki M("2,-*), " prevojna tadka je P(e2{e,&l.Grafik je nacrtan na (sl. 92).
:0,
:
238
e) funkcija je definisana za r €
Inr
rs € (3,t). (rl.
Kako U
j"
(0,
+oo). Kako je r +
ry
Inr
rje5avanje ove jednadine dobija da je A@a) 93).
,!5t*(" + Yl
- -F,
to je
r:
0 vertikalna asimptota. Kosa asimptota je
: r i grafik funkcije je iznad asimptote ka"d,a r + *oo. Tacka A(I,D je presjedna
tacka kose asimptote i grafika funkcije. F\rnkcija nema ekstremnih wijednosti, ve6 monotono raste na cijelom interrialu deflnisanosti. Prevojna tadka je p(e1G,nz 4, g). F\rnkcija je konvel.\F 0 za r a I yt mijenj a - na *) u okolini tadke tr : I - *,1 tofunkcija ima minimum u tadki M(l 1 tangenta krive. Kako i"g" u i,,IFo yt +a slijedi da je
:
znak (ru
1 2r Tt-7-a )t &,
: nO1ffi:
r:
O
it : 0 i U" mijenja znak (sa * na -) u okolini tabke tr : O,to funkcija ima prevojnu tadku P(0,0). Grafikl funkcije prikazan je na (sl. 96). b) F\rnkcija nije definisana za r € [*1,1]. Nuta funkcije je rs e (L,\f2). Kako je + In(r2 1)) -oo t * ln(r2 1)) *oo, to su prave fr za
:
-
"jr5_o("
:
-
"Ifro("
vertikalne asimptote. Horizontalnih i kosih asimptota nema. Po5to
0zax - -1 +\n, to funkcijau taiki r:
i"A'
-l-\n
: W
:
imamaksimum. KaJo je prevojnih y" : +W I 0jezasvako r e D i /' < 0 za r e D, tofunkcija nema na 6itavoj oblasti definisanosti. Grafik funkcije je dat na (sl. tadaka, konveksna e7).
v
v
2r
1r
0.75 0.5 I
0
-2
.25
0.5
_L
S1.98
0.7s
i I
-a
I
4
c) F\rnkcija je definisatrrazar e (-oo,l): D. Nulafunkcije je r:0 i g l0zar e D. ' F\rnkcija nema asimptota, jer je - -€, ,Ipoy - 0- i Y -- +*. "IT_ "JlT*v Kako j" / : ln(l -r)[n(l -r) + 2]:0 zar:0 i r: L- * to tunkcija ima maksimum u tadki Mr(0,0), a minimum u tadki 240
uz(L- b,-hl.Tadka P(l- L,-Ll
jeprevojnatadkafunkcijejerje rrt - 2lrn(!=?)+rl :0iAtt(l-1):0iA,, mijenjaznak (ru - na*) uokolini tadke r:rj. zuntcija je konveksnazar€ (-oo, t-t),a konkavna za x € (1 - :, 1). Grafik funkci;e je prikaaan na (sr. 9g). d) F\rnkcija je definisanazasvako r € (-oo, I): D. Nula funkcije je r:0iy > 0 za r ( 0, ay 0, umin:u(T) - -3; a,,(t) - -8, umar:s(T):8,u,,(T) - -1 0}, b-at Tadke u kojima yt nije definisan: {r e lR, 12 +b < 0} ne pripadaju oblasti o,t v - u/@Ti]EF-D, tkao da funkcija moZe imati ekstremu m za r - - 1 sarno ako je g' (_l) : 0, tj F\rnkcija
.
b-ar Kako je U"
(1)
,totadkeukojimay,,nijedefiniSana:{r€R,r2+b<
{("r+b)5 pripadaju oblasti D, tako da y ima prevojnu tacku za
tj.
8a*6b-ab
Izsistema (1)
* b- 0 t * 6b -
" i (z) se dobija' { go
a)
(a
-
0
tu_0
r
-0.
(2)
odakle je
- o' ili b) f o- 2-2
ab
la-
a)Zaa,-0ib:0je f (r)
T
r
{12 -
l*l'
( 1, r
sgnr- { 0, rI I
\ -1, n I
0 0
0,
I@) : sgnn za x f a. Kako je zasve r < 0, /(r) - -1, to je /'(r) : 0, ft'(r) : 0 (r < 0), tj. ni ft(r) ni f"(*) ne mijenja znakza r ( 0, pani u okolini tadakar: -1 i
r: -2. Iz togarcaloga, dobijena funkcija ne zadovoljava uslove zadatL 0 da za sve tadke M(*,y), zakoie je ispunjena nejednakost M Mo < r jeste Neka
je funkcija z
:
lf@,il-Al0, odnosno uunutra5njosti kruga 12 +y2 tj. D : {(*,il|,*' + a' < I,r € lR,y e R}.
0A
*
+
y2- 9 > 0 An2 +u2 l0}
:
{(r, illr2 + U2 : 9}
.
188. Odrediti oblast definisanosti funkcija:
z-r+r", b) z-ln(y2-4r+8) d) z-ffi. e): rr-arccosg, a)
g)
z-
arccos(rz + y2 -
,
2), h) z
i)
z- In(rh(y-r)).
Rezultat:
D: {(r,$ln*0,y *0,r € lR,g € IR}, b) t: {(*,U)l*.* +2,x e R, g € IR), D: {(x,dl*2 +a2 tg,r€ lR,y € R}, d) D: {(r,il!*>0,a2 > r}, D: {(r,y)l-t 0 zald,nl+ld,ul+ld"l* 0, pa u tatki M1(2,0, -1) funkcija ima minimum i f*in: f(2,0,-1) - -1. Poito je # f (Ur) : 2dr2 - L2dg2 +4d22 +Adndz, za dr : dz : 0, dy * 0, d2 f (Mil < 0, azady:0, dr: dz *0, d2f (tttt2) > 0, to &f (Mz) mijenja znak zavisno od dn, du, Stacionarne tadke sr: M1(2,0,
:
H:2, {"+:
dz, pa u tadki M2 funkcija nema ekstremum
239. Odrediti
o
stacionaxne tadke datih funkcija:
: zxs + nu2 + 5r2 + a2, b) z : e2'(r + y2 + zy), c) z: rU@ - r - U), d\ z: (2ar - r211zUy - u2), e) z :sinr * sing * cos(r + y), (0 I r I T,0 < U 3 on), a) z
f) z: Rezultat:
a)
m,
g)
z: ut/w r + ntRv-
M1(0,0), Mz(*$,0), M3(- 1,2),
c) M1(0,0),
Ma(-L,-2), b) M1(*,-1),
M2(0, a), Ms(a,0), M+(&,&),
276
d)
Mt (0,0), Mz(O,2b), Ms(a,b), Ma(2a,0), M5(2a,2b),
e)
w(t,t),
.
t) Mr(*,fi), s) Mt(-3,-3)
240. Odrediti ekstremne wijednosti funkcije z
zadate implicitno relacijom:
z(r2 + 22) + 3(2a2 + 1) + 8(rz Rje3enje:
- y) -
4r
:
0.
0z I 2z-r Az 2-3A 0r z*2r ' 0A z*Ztr'
Stacionarne tadke dobijemo iz sistema
L-22-r:0 2-3Y:Q z(r2 + r') + 3(2u2 + t) + 8(nz - y) - 4n: o.
ffi(-$ ,3,4\ i ur(4,?,4).Kako 022 (z *2r)?z# 1) (1 - 2z - r)(# *rl
Stacionarne tadke su:
(z
012
*
je
2r)2
o2z e *2r)(-z#l (1 zz - dyy 0r0y
(z
w:w,
* 2*)2
022 Q+22)(-s)-(2
)
-silft
# t %je jednako 0, to je 022 3z -2 3 A2z ^ 022 arr:@, a*aa:u, 6rr:- ,+2n
i u stacionarnim tadkama
i
' L(x,a):
3(32 - 2) -ffi#,
A(Ml)
: L(Mz):2 ) 0,
pa funkcija z imaekstremum i u tadki Mr i u tatl 0n A(Ml) ) 0, &utadki M2 maksimum n-{ . o A A(M2) > a i z*6n: O#, zrno,n :
jer je
277
jer je
A(M2):-{6<
24L
Odrediti ekstremne wijednosti date funkcije:
12*ra*a2 2r-3a, b) z-(r-\2 + @-D2 *3, c) z (r-\2*2a2, d) z - ra(6 - r - a), e) z- e*'-ss (8 2r * y), f) z : en-u (n2 - 2y2), a) z
er-y (*, + a2), h)
s) z
L+r-y
i) z-
z-raln(r2+a2),
i\ 7 rl^/
\ffit
Rezultat: u)
:3, : "*in: t(t, f ) : -5, b) ,*in: ,(L,2): c) z*in: z(I,0) 0, d) ,*or: z(2,2) 8, ,*o*: z(J,-!) : 4, f) ,*o, : z(-4,-2) :8"-2, ")
g)
z*a:
z(0,0)
:
0,
,*rn: ,Gh,*t[hl : -*",, zmst: ,\*h,-h): i) z*or: z(1,-1) : 3, i) z*m: z(4,2) :6 .
h)
242. Odrediti ekstremne wijednosti funkcije z a) xa +yu + rn -2a2(r2 +92 c) x2
I
-lTl&I
d)
zadate implicitno:
a>
+y'+ r'-2x-l2g -42- 10:0,
Rezultat: a) zmin z(0,0)
b) zntin c) zmin
+ t'):0,
L*,
d)
: art, zrnin :
z(*:a,*a) rfr,
-::
zmar
278
0, b) 12 rryz-*y' -13:0,
+
*2a2
- z2r*z:0.
: -"\E +&,
zmo,r
:
z(0,0)
:
-ar/2,
8.7. Uslovni (vezani) ekstrem Pretpostavimo da treba odrediti maksimume i minimume funkcije z: f(n,y) pod. uslovom da su r i y vezani jednacinom g(x,g) : 0. Ovakve ekstreme nazivamo uslovnim. Za izradunavanje uslovnih ekstrema koristi se metod eliminacije i LagranZov metod.
8.7.1. Metod eliminacije Ako je mogu6e rije5iti jednadinu veze p(x,9) : 0 po jednoj promjenljivoj, na primjer po u, u : rlt@), gdje je p(x,rb@D: 0, onda 6e lokalni ekstremum funkcije jedne promjenljive F(r) : l(r,rh@D biti istowemeno uslovni ekstremum funkcije z: f (r,g).
8.7.2. LagranZov metod Pri odredivanju uslovnih ekstrema, prvo formirarno LagranZovu funkciju
F(x,y,))
:
/(r,
il
+
^p@,d,
gdje je ,\ proizvoljan realan parametar. Uslovni ekstremi su ekstremi funkcije F'(r, gr) koje ispitujemo na slijede6i nadin:
Iz jednadina
AF 0z ,0p n n6;:u,
a;:
a**
;_
;_
Y,:
p(t,g)
AF: 02,,0p _r a,\
: oY n_;_ dY
n
v,
:0,
odredi6emo vrijednosti r, U i ), tj. taike M(r,g) u kojima furrk,.ija moZe imati ekstrem. Egzistenciju i karakter ekstrema u stacionarnim tadkama .r1/(r. y) odredujemo koriste6i dtug, diferencijal funkcije F (r, y):
d2F:ffia*, +zffia*ar*#ar2 pri uslovu koji veziju dn i dy,
tj.
00.
g: nytyz
ako
ie 12 +y2:2,g*
z:2,
Rje5enje: LagranZova funkcija je
F(r,U, z) : xy
I
9#
*
zy -f
\(*2
+
A2
-
2) + Az@
* z-
: U * 2\tr : 0, 4# : n * z * 2A1yf ,\2 : 9E : U * Az : 0, 12 *U2 : 2, y I z : 2. r: u: z:
2)
g,
lr : -*,lz : : -dft -
Rjesenje dobijenog sistema jeste: 1, -1, pa stacionarna tadka j" M(\,1,1). Kako je&F:2At(drz +d,U2)*2d,xd,y+za"ay to je za Ar 'd2F pa je dzF -6*z da2 2d,rdg + 2d,zdy. Iz uslova je: dy
:
-
t
-6*z -3dy2 -2d22 0. a) z
281
Rezultat: a) z*in - z(-L,-2)
b) ,*o*
- -5, z,nro,r :
z(I,21
:5,
: z(I, t) : 1, c) z*in : ,(g*b" {&t : ## ,
: ,(*.l,+4) : ff, z*tn: z(*2,*3) : e) z*n: ,(3,8): #,
d) t*on
,
-59,
f) g*m : -1 u tadkama: M{-L,L,I), M2(I, -1, 1) i Ms(1,1, -1), M+(-1,1, -1) i M5(I,-1,1),
Ms(1,1,
-1), grn'a : I
za
1r i Msert,ft Mz(*,-rt,h) h), tre\ft' &),9mar h,h)i r-d, uu(ft uu{un? -{r, - h, - ft\, # "" h, - h, ft), -Jr, h) z*m: t@+b - {FWy, zmar : *(o+ b + t/7TF7,
g) gmin
11
1
,
i) g*o*: g(T,6,6): I .
247. Medu pravougaonicima datog obima 2l odrediti pravougaonih najve6e pow5ine. Rje5enje: Ako su r i g stranice pravougaonika, tada treba da bude z : r'A Odakle slijedi da kvadrat sa stranicottt { i*u najvedu powsinu o
248.
:
max,
r*y-I :
0.
Neka se medu pravouglim trouglovima zadate hipotenuze c nade onaj koji ima najve6u povr5inu.
Rje3enje:
P:Lra:max
ili
z:tra:max)fi2 +y2 -e:0.
249. Na6i pravougli paralelopiped
odakle
jex:a: ft.
najved'e zirl)renilne sa zadatim zbirom ivica.
Rje5enje: Ako oznadimo sa
r,
A, z dimenzije paralelopipeda, tada treba da bude
V:ryz:max, r+g*z:o,. Odakle
ieV*o,
: fi ,ur : : z :$, ) : -+ . U
250. U prav kruZni konus poluprednika
osnove .R i visine h upisati vatjak maksimalne zapre-
mine, tako da donja osnova valjka IeLi na osnovi konusa, a gornja dodiruje izvodnice konusa. 282
Rezultat:
vmar:
ry
.
251. Na parabolu 12 :2A odrediti tacku koja je najbliZa pravoj
r - A - 2:0.
Rje5enje: Rastojanje ma koje tadke M(*o,go) od prave dato je obrascem d -- gr+-2. Po5to taika M(*o,gs) mora lei,ati na paraboli x2 : 29, bi6e r2o : 2Ao. Dakle, treba na6i ekstremnu wijednost funkcije d(*,il : uz uslov 12 - 2y : g. tazena tacka je
M(r,l)
T
o
252. Odrediti najkra6e rastojanje
tadke na elipsoidu 12 +2y2 +422
:
1
od ravni
r*g* z :
4.
RjeSenje: Rastojanje tadke
M(*,y,2)
od,ravni
r *y*z:4
je
d,:lrt#=|.
LagranZova
F: (r+U* z- +)'+ ),(r2 +2y'+422 - 1). Uzeli smo kvadrat od tf\d,,rbog lakseg ra,iunanja. d*i^: o(h,#,#r) : &# . funkcija je
253. Odrediti najkrade rastojanje tadke M(I,O) od elipsoida
4r2
* 9A2: 36.
Rezultat:
d,*m:
h'
254. Odrediti taiku ravni 3r-22: 0 tako da suma kvadrata odstojanja te tadke od tadaka I,t(L.I,1) i N(2,3,4) bude najmanja. Rje5enje: Iz usiora zadatka slijedi da treba prona6i ekstremume funkcije
g: (r-\2 +@-
t)2 +
("-L)2 +(r-Z)2 +(u-il2 +(z-4)2
tazena taika i" M(#,2,$fi)
uz uslov
Jr-22:0.
.
255. Dat je trougao ABC. U unutra5njosti tog trougla odrediti tadku koja ima osobinu da je suma kvadrata njenih rastojanja od tjemena A, B i C minimalna.
283
Rezultat: TeZiSte
trougla ABC
o
256. U datu loptu poluprednil
View more...
Comments
