Zbirka - Vene 1

M, VENE T. BOGOSLA vav

ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ MATEMATlKE v

\',

1 DVAOESET OSMO IWANJE

, ZA VODZA uD1BENID I NASTAVNA SREDSTVA. BEOGRAD 2IlO1

R,~n:'n(

S\lctOUf Branko\·It, profeso( Pete bcogradske gimnazije, Beograd

U"d"lk t.arko Jovit

Glavnll odgQVDfnl urtdniil 4r Ptllr Pijlnovic

ZllI::daYata

prof. dl DobrOJu Bjtlclic. direklor

S ljllbavljll u,lIlku Jovanu

PREDGOVOR OSAMNAESTOM IZDANJ U

PREGLED SIMBOLA I OZNAKE

Prvo izdaly'e o ve zbirke izaJ/o j e ;z slampe sepfembra 1970. godine. Nap isano je premo nostal/l1om prog ramu ma/ema/ike za I razred g imllGzije (deo ko); s e odnosi 170 algebru). TrinaeS IO i celrnoeSlo izdanje je izmenjeno i doplIlljeno pog lavljima:

o skupovima, Malemalicka logika ; Kombillfl torika.

U petnaesto izdanje 511 uneN odredeni saddo); iz geomelrije. Ova, osamnaesla izdonje prilagodeno j e no vom nostavnom planll i programll iz rna/em a/ike prirodno-matemalickog smera gimnazije. Dopunjeno je sa J28 novih zadafoka, po se znall10 razlikuje ad prelilodnih izdanja. Recenzentu allog adonja, Svetozaru Bronkovicli. profesoru ..Pele beogradske g imnazije u Beogradu, zahvaljujem no pailjivom cilanju nlkopisa i pomoCi II izbonl zadalaka iz skupova i kambinatorike. Po Id in; se zadoci II ovoj zbirci mogll podelili na dye grupe: lakS; ; s rednji (80%) i lei; (20%) . Tei; zadaci su oZl1aceni zvezdicom. H

Zahvalju}em svoj oj suprozi Nadeidi. koja mi je pomogla rukopisa.

11

pripremi i sreilivanju

Beograd. septembra / 992. godille

{.... }

skup

N

skup svih prirodn ih brojeva

Z

skup svih celih broj eva

Q R

skup svih racionalnih broj eva skup svih realnih brojeva

E

pripada

,

"" su znaci osnovnih logickih operacija.

6°.

Konstante i promenljive povezane znacima operacija nazivaju se izrazi. Primeri : 2x, 5m+ 3,y-7,0+ 8b, itd.

7°.

Recenica zapisana matematickim simbolima naziva se formula .

8°, Receruca koja ima sarno jednu istinitosnu vrednost T ( tacno) iii (netaeno), naziva se iskaz.

J.

9°. Iskazne konstante.L i T, iskazna slova 0, b, s, r, P, Q,... i svi slozeni iskazi nastali pomocu znakova logiekih operacija v, fI, ~, ~," nazivaju se iskazne formule . Iskazna formula koja je tacna za sve vrednosti iskaznih slova nazi va se tautologija.

10°. Oznaka za reci: "svaki ", "rna koji", "bilo koji" naziva se univcrzalni kvnntifikator u oznaci V (obmuto slovo A), Oznaka za reci postoji: "najmanje jedan", "makar jedan", "neki", "bar jedan" naziva se egzistencijalni kvantifikator u oznaci 3 (obmuto slovo E) , 9

~):(.4~

-!) ~ .

Koje su ad sledecih recenica iskazi: a) 1 + 1 = 2; bl broj 16 je neparan braj; c) paran broj ::iC mOZl! 11 0 aka su a i b istag znaka; g) a 1 > 0 aka j e (/ nega!ivan braj: h) - a ! < 0 ako je a negalivan broj? 2. Kaji od z,nakova < , >, = , :5,. 2: mozemo stavi!i umesto zvezdice (*) da bi se dobio tacan iskaz: a) 4.4: b) 3 * 5; c) 6 · 51 3. Oat je polinom p(x) = Xl - 6 x + 8:$ O. Odrediti istinilost iskaza: p{l); P(2); p( 3); pi 4); P(5). 4. Odrediti sve parove (x, y ) za koje je fonn ula 2 x + y = 10 iSlinil is-

10.

kaz (x. y E N). Oat je skup A = II. 2, 3;4. 5} . Odrediti vrednosl isti nil0sti sledecih ,v,denja: a) (3 x E A)(x + 3 = 10); b) ('1 x E A )(x + 3 < 10); 0) xE A)(x+ I> x); d)(3 xE Al(x + 3

I

,

3

3+2x 2- 3x 29 p==--- 4-=zax= O' S·. 3 24

q=

3(5- y)- 2( y -I ) = 1+ 3y, za y = 2. pa z,atun odrediti istinitosne vrednosli s[edecih iskaza : a) (pV q)A p; b) (p" q)V q.

, , ,

r (»-< 7)

tl'" .. .1" .... )

1

Dati su iskazi : p == (0 1 _ 2a"(+ 60- I )0.50 1 X = 0.5o Sx- a~x ! + 3a I X - O,50 :x. a.xE~,

q == (a - + lOa+ 25)(0-5)= o j -1 25.aE Q,

,. = (2x -

c)x +x < 40AxEN;

3y)(3x+ 3y )- (4 ):- 5y )' - (6x '

+ 17 y ' ) =

= 40.ry. x. Y E Q.

Odredi li njihove iSlinitosne -vrednosti . pa nn osnovu toga odredm IStinitosne vrednosli sledecih iskaza: a)p=-(qVr);

~

10

I

14.

1V:r< 4)

r(.f 31( x - y)' Pokazati daje p relaeija ekvivaleneije. Odrediti klase ekvivaleneije i

Dati su skupovi A = {a, ,B,y,d} i B

/:A

odgovarajuci kolicnicki skup.

~ B,f =(a

,B

b

d).

y e

d

= {a, b,c.d, e,m} i preslikavanJe

m

Dokazati da j e / preslikavanje I- I.

87.

U skupu eelih brojeva Z definisana j e relaeija p na sledeci nacin : V(x,y)E Z:x p y«> x = y (mod 3)*. Pokazati da je p relaeija ekvivaleneije, zatim odrediti odgovarajuce klase ekviva lencije kolicDicki skup Z/ p.

I..

=

=

98.

Dati su skupovi A (a, b,c) i B {1,2, 3) i preslikavanj e / = ( a,2) ;(b ,2);(c, 2) }. Dokazati daje preslikavanje f konstantno.

U skupu Z eelih brojeva definisana je relaeija p, tako da je: Vex. y) E Z: x p y «> x = y (mod 5). Dokazati da je ova relacija u stvari relaeija ekvivalencije. Odrediti klase ekvivalencije i kolicnicki skup Z / p.

99.

Data je funkcija / =

D.

U skupu S = {l,2,3,4,5,7 ,9, 11}, relacija p " im a isti ostatak kod deIjenja sa 4 " je relaeija ekvivaleDcije. Dokazati .

100.

90.

U skupu N, relacija p "ima isti ostatak deljenja sa 7 " je rel aeij a

(a2 4b

e).

ed 1 3 5

Odrediti inverznu funkciju f - ' za datu.

.

Dato Je presli kavanje

f

=

(I 2 3 4 45).

3 1 2 5 Odrediti : a) / of = /' ; b) f % / = f ' ; c) f of of of

ekvivalencije. Dokazati, zatim naci kolicnick i skup.

f

=f

'.

(I2 21 43 3 4) i g = (1 2 3 4). 3 1 2 1

U skupu R data su preslikavanja: f:x .... 3x+5 i g:x .... 4x+ 6. Izracunati: a) (f 0 g)( 6); b) (f 0 g}(m); c)(g o f)( 6) d)(g 0 f)(m} .

101.

91.

Preslikavanja fig, R .... R definisana su sa f(x} = x' - 4x+ 5 i g(x) 3x-4. Odrediti: a) f'; b} g'; c) fog; d} go/.

102.

93.

Date su funkcije / i g definisane u R :x .... lex) = 2x' - I i x .... g(x) = 4X ' - 3x. Dokazati da za date funkcije vaii, (f 0 g)(x) = (go f)(x).

Date su funkeije: x -+ f (x ) = 3x- 5 i x ~ g(x) = 5x- 3. Odrediti: a) F'(X) i g - ' (X); b) f og i gof; C)/ - I og - I if -lo g.

103.

AIeo je: a) /(x+ 1) = 5x - 3; b) / (2 x - 3) = 3x+ I: e) /(3 - 2x) = 2x+ 5; d) / ( 1- x) = 3 - 2x, odrediti I( x l.

104.

Date su funkeionalne jednaciDe f (x + I) = 3x + 2 i g(2x+ 3) = 2 - 3x. Odrediti : a) I ( x) i g(x); b) I 0 g ;

91.

=

....

U skupuS = (a,b,c,d,e,f},jejedan vojnika, dva porucnika b,c i tri kapetana d,e,f . U skupu S uocena j e relaeija p "mora prvi pozdraviti". Kakva je to relaeija?

9S.

Data je fuokcija x .... lex) = 3x- 2. Dokazati da je pres li kavanje dato ovom fonnulom jedaD-jedaD iDa.

96,

Date su fUDkcije

Odrediti : a) f og ; b) gof; c) / 'og.

e)/ - I og.

105.

Odrediti funkc iju

Dokazati da su bijektivna (I-I iDa) preslikavaDja:

a)f(x)=4x-l;

b)/(x)=5x-6;

3 2 c)/(x)=-x--' 4 3

• xlyznafi x so sadrti u y iii x je einilac za y. Osim ove oznakc, ~cs,o pilcmo x" O(mod y) eilamoxkongruonlno 0 po modulu y, znaei y je deljivo sa X. Ova rel acij. so naziva relacij ~ kODgnlCncijo.

=

a)

l ex) koja zadovoljava

/(X)+2/(~) = X;

e) f(x) + x· I(_x_) 2x-1

funkc ionalnu Jcdnacmu

b)(x -I)I(x) +

/(~) = x~ I:

= 2. 23

106." R esiti funkcionalne j ednacine:

( X -3 ) x +1 a)f 2x +4 = 3x -l ;

2)

(2X+ x+3

4x+ I

b)f - - = - ,; 2x - ~

110.

Napi sati sve permulae ije od eifara 3. 4. 5. 6. 7. koje imaj u 6 na prvom mestu. a 4 na drugom mesru.

I I I.

Ko li ko ima petocifreni h brojeva koji se mogu formi)'ali od clfara

I , 3. 5, 7, 9? 112.

X+2 x +4 cl f ( -) = -; 3x + 5 2x -1

x -I

x +2

113.

U ko li ko penn ulacija el emenala 1,2, 3, ... , 8 sloje elementi 2. 4. 5. 6 jedan pored drugog, i 10: a) u dalOm porelku ; b) u proizvo ljnom porelku?

114.

~) + g(~) = x; x -I x-

Napisi sve celvoroe ifrene brojeve eiji je zbir cifara 10 a elfra deseliea 5.

115.

c)f(x +I)+ xg(x +I) = 2x/\f (Xx + -II) + g (Xx +I -I ) =x- 1.

Ko li ko se cifa)'a uporrebi za numerisanje od prve do 567 slramee neke knj ige (svaku eifrll rae lln ali noliko pUla kol iko se puta pojavljllje)?

116.

Date Sll tri razlic ite prave i na svakoj od njih po 5 razlici lih tacaka. Ko liko ima naj visee rrouglova cija su leme na dale lacke

117.

Datj e sk up taeakaS = {A, B,C,D ,E .F } lakav da latke A.B.C D pripadaju pravoj a, a ratke E i F nj oj paralelnoj pravoj b. Odredtli sve prave takve da svaka sadrZi tacno dYe taeke iz dalog skupa.

118.

Na M il anovom rodendanu svi su se ru kova li sa Milanom i medu sobom . B ilo j e ukupno 13 6 ruko vanja. Koli ko je Milan imao gosliju Da svom radendan u?

119.

Kvadrat straniee 6 cm podeljen je na kvadratne centimetre. Kohko se duzi, a ko li ko kvadala moze uocili na tako dobijenoj slici?

120.

Pomocu vage treba izmeriti sve celobrojne te:b ne od I kg do 13 ~g Koliko nam je najmanje tdgova za 10 potrebno i kolika je lezina lih legova? U ravni su da le dye klase paraleln ih pravih: p , . p ,. P .. · .. p,,, I q,.q" q, ... . q• . P)'ave klase p presecaju prave klase q . Kohko Ie razlicitih paralelograma odredeno ovim pravama (raz!Jtlli paralelogrami Sll oni koji imaju bar dva lemena razli6ta).

107.· Odrediti funkcije f( x) i g( x). koj e zadovo lj avaju sisteme: a) f (2x + 1) + g(x - l ) = x/\ f( 2x + 1)- 2g(x -l ) = 2x' ; b) f(2 x + 1)+ 2g(2x + I) = 2x/\ f(

C) (X- I)

'C )

(X -I ) = x + l, 108.· Ako j e: f~ - 2g-;- = x - 2/\} ~ + g-;(x " 0) tada je fog = go f = I. D okazati. 1.4. Elementi kombinatorike Primedba 1. Neka je E = {e"e"e" ...,e,, } dati skup, onda postoji vise nacina da se od njegovih elemenata. redajuci ih na razne naeine, fonn iraju neki novi skupovi. Pri tome j e vaino utvrditi koliko ee clanova imati ti novi skupovi i kako ee broj clanova tog novog skupa zavisiti od broja elemenata pocetnog skupa. Oblast matematike koj a se bavi problemima ove vrste naziva se ko m binator ik a.

121.

Primedba 2. Zadaci iz kombinatorike koji se resavaj u pom06u fOimula za permutacije P(n) n!, za varij acije V; n(n- I )(n - 2) ... (n - k + I) i za

=

kombinacij eC;

=

= (~) nisu u nastavnom planu i programu. vee su namenjeni

boljim ucenicima za razna takmicenja .

109.

24

Ko liko penn ulaeija od ei fa ra 1. 2, 3.... , 8 poeinje: a) sa 5: b) sa 123; e) sa 8 642 ?

d)f( -X+ I) = -x-2 .

Napisati sve pennutacije od: c) reci OVAJ.

a) cifara 1. 2. 3, 4; b) slova a.b,c. d;

122.

123.

Na koli ko nacina 7 ucenika moze sesti na: a) 5 razlieitih SlO li ca; b) 9 razlicitih SlOlica? Koliko se ~es locifre n ih brojeva moZe sastaviti od eifara O. 1.2.3.4.5 uz uslov da se svaka cifra pojavljuje sarno jednom i da su pam~ clfre jedna uz drugu? (0 je pama cifra) .

Koliko ima cetvorocifrenih prirodnih brojeva napisan ib pomoCli cifara 0, 1,2,3,4,5 ,8 takvib da se: a) cifre mogu ponavljati; .. ? b) cifre ne mogu ponavljati; .. c) cifre mogu ponavljatl , a broj je deljlv sa 5. 125, Kol iko ima petocifrenih prirodnih brojeva napisanih pomocu cifara 0,1 ,2,3 ,4,5,6 takvih da se: a) cifre mogu ponavljati ; .. ? b) cifre ne mogu ponavlj ati; . " c) cifre mogu ponaVljatL a broj l1lje deljlv sa 5 .

124,

U neprovidnoj vrecici se nalaze 10 belih, 2.0 crven i~~ i 30 plavih kuglica. Koliko najmanj e kuglica treba IZVUCI IZ vreclce da blsmo sigurno imali: a) tri crvene kuglice ; b) tri kuglice razlicite boje; c) tri kuglice iste boje. 127, Na koliko nacina je moguce sastav iti strazu, koja se sastoj i od 5 vojnika i jednog oficira ako ima 40 vojnika i 3 oficira?

126,

128,

Koliko razlicitib cetvoroc ifrenih brojeva je moguce napi sati koristeci cifre 1,3 ,5,7,9,0 sarno jedanputa?

129,* Za koje vrednosti n i k j e tacna konjunkcija 2

n + 2 = 8" lI\ C"+ 2 'C"+ = 4:3? V.1:"-1+ 2 'V . k-2 . .1:- 1' .1: - 2

130.* U koUko tacaka se sece 18 pravih, od kojih 5 su paralelne, 6 se seku u tacki A a 4 u tacki B? 131.* Dato je u ravni 10 crvenih i 8 plavih tacaka, tako da bilo koje tri nisu kolineame. Koliko ima trouglova sa temenima u datim tackama kod kojih sva temena nisu iste boje? 132.* Na polici se nalaze 12 razlicitih knjiga, od kojih su 5 iz matematike, 4 iz fizike i 3 iz hemije. Na koliko razlicitih nacina se mogu rasporediti knjige na polici, ako se zna da knjige iz iste oblasti moraju biti uvek jedna pored druge? 133. Elementi skupa S su tacke takve da su svake tri nekolineame, a svake cetiri nekomplanarne. Ako je elementima skupa S odredeno dva put a vise ravni nego pravih, koliko pravih i koliko ravni odreduju elementi skupa S? n! (n - 1)1 20! 102! 134. Skratiti razlomke: a) b) 100! ; c) (n-l)l; d) (n- 3j!'

\8i;

135,

Koliko elemenata s ~drZi skup ako broj svih permutacija od njegovih elemenata: a) l1Ije Vee! od 1 ODD; b) nije manji od 500; c) jednakje 120?

136,

Dat je skup S = {0, I,2,3,4,5}. a) Kol iko se razlicilih ~es tocifrenih prirodnih. brojeva moze formirati od elemenata skupa S, tako da se clfre II nj lma ne ponav ljaju; b) koli ko ima pamih brojeva odredenih u zadatkll pod a)?

137,

Obrazovati sve varijacije druge i trece klase, bez ponavljanja, od elemenata I , 2, 3, 4 i izracunati njihov broj.

138,

Koliko se signala moze naciniti sa 5 razli citih zastava, uzimajuci ih po jednu, po dye, po tri, po cetiri i po pet zajedno?

139.

Koliko se brojeva izmedj u 3 000 i 5 000 moze napisati pomocu cifara 0, 1, 2, ... , 7 ako se oi jedna cifra ne ponavlja u jednom broju ?

140.

Na koliko naCina se od devet kandidata mogu izabrati cetiri osobe oa cetiri razlicite duznosti?

141.

Odeljenje jednog razreda broji 35 uccnika. Oni su medusobno razmenili fotografije . Koliko je ukupno razmenj enih fotografija?

142,

Koliko se brojeva moze napi sati pomocu elemenata skupa M. koji cin e prosti ci nioci broja 2 310. ako Iraieni brojevi sadric po dva razlicita prosta cinioca?

143,

Resiti jednacine: a) V,' = 20; b) V/ = 120; c) 2 ·V/ =V:; d) V," = V,' (V/ je broj varijacije od n elemenata k-te klase).

144,

Dat je SkllP E = (0, l,2,3,4,5}. Koliko se razlicitih prirodnih brojeva veci h od I 000 moze formirati od elemenala skupa E, tako da cifre budu razlicite? Napisati sve kombinacije trece i cetvrte klase bez ponavljanJa od elemenata 1,2, 3, 4,5, 6 i izracunali njihov broj.

145. 146, 147,

148,

149,

Odrediti broj razlicitih trouglova, koji se mogll dobiti spajanjem svih temena sestollgla. Koliko se razlicitih gmpa od po cetiri ucenika moze izabrati od 17 kvalifikovanih, koje ce reprezentovati skolu na matematickom takmicenju? Na jednom sahovskom tumiru ucestvuje dvadeset sahi tao Saki treba da od igra partiju sa svakim. Koliko ce biti odigrano partija na tumiru? Na sahovskom tumiru odigrdno je 45 partija. Ako je svakl SahJS!(l odigrao partiju sa svakim ucesnikom , odrediti broj uce 'nika

27 26

150. 151 .

152. 153.

Koliko podskupova ima skup od 6 elemenata? Koliko nastaje uouglova konstmkeijom svih dijagonala konveksnog dvanaestougla ako im se temena pokl apaju sa temeIllma dvanaestougla7 Odrediti broj dijagonaJa : a) konveksnog petougla; b) konveksnog dvanaestougla: e) konveksnog dvadesetougla; d) konveksnog n-lougla . Dokazati tacnost jednakosti: 6 +C 6 + C6 +C 66 =2 6.) a)C o·+C '6 + C 26 +C 3 4 S b) + C I' + C,' = C / + C,' + C ,s.

co'

154.*

Dat . je sku p... S = 10 'k se raz1'-' .. ' , 1,234 , , ,5} . a) Kol lo ICitl'h petoclfremh broj eva, deljlvlh sa 6. ,moze formirali od elemenata sk upa S. tako da se c.lfre ne ponavljaju! b) Kol lko se razli cilih peloe ifrenih brojeva deljlvlh sa 15, moze fomlirati od el emenata skupa 5, lako da se cifre u tim brojev lma ne ponavljaju7

165.

Zbir broja dijagonala i b~oja strani ca konve ksnog mnogougla iznosi 153 . Odredll l broj razitcltlh lrouglova, koj i je odreden lememma ovog mnogougla .

166.

Unutr~snji ugao pravilnog mnogougla veci je od odgovaraj uceg spolj asnjeg ugla za loit ko , za ko liko je veci od sopstvene peline. Odredlll koitko je razlicilib pravih odredeno lemenima ovog mnogougla.

167.

Izmedu 3 000 i 7 000 oa laze se I 344 broja u koj ima se nij edna cifra ne yonav lj a. Odredili skup A cij i su elemenli arapske cifre pomocu kOj lh se mogu napisati pomenuti brojevi .

168.

Dat je skup S = {A ,B,C, ... }. Elementi skupa S su lemena konveksnog mn ogo ugl a, konstrukcijom svih dijagonala mnogougln dobijeno je 455 razli Citih lrouglova. Odrediti card 5 da ovo vaii.

169.

Elementi skupaS = {A.B ,C .. .. } su lacke od kojih su naj vise dYe kolineam e a n aj v i ~e tri komplaname. Odrediti kardinaJan bro) sk upa S ako je od nj egovih elemenata odredeno 364 razlicitih ravni .

U skupu od 12 laeaka posloji lacno 6 cetvorki komplanamih lacaka .

Koliko razlici lih ravni odredlljll ovi h 12 lacaka7 (Op~tinsko lakmicenj e iz malemalike 1982. god.) U odeljenju una 16 devojcica i 20 decaka. Za odelj enj sku zaj ednicu 155. treba izabrati cetiri ucenika, od kojih je bar jedna devojcica. Na koliko nacina se moze naGiniti izbor7 156.* Koliko ima pelocifrenih prirodnih brojeva ciji je zbi r cifara jednak 57 (Op~tinsko takmicenj e iz malemalike 1984 . god.) Koliko se razliCitih prirodnih brojeva manj ih od 100 000 moze fonn irati od cifara 0, I, 2, 3, 4 , 57 158.* Oat je skup 5 = {1,2,3,4,5,6}. a) Koliko se ra~licitih ~estocifrenih prirodnih brojeva manjih od 600 000 moze nacinili od elemenata skupa 5, tako da se u njima cifre ne ponavljaju; b) koliko ima neparnih brojeva odredenih u zadatku pod a)7 159. Resitijednacine: a)C 2" = 105; b) C; = 1511; c) 5C ]" = C; . 160.* Za koje vrednosti n je istinito tvrdenje:

157.

a)C~ -6.a < x - a < a a - 6.0 S x Sa + 6.0. kraee x = a ± 6.a. Definicija 3. Relativna greska. u aznaei 0, pribliZnog braja 0 je kalicnik apsolutne greskea i apsalutne vrednasti tacnag (pribliinog) braja( x;-' 0 ia;-' 0). tj .

o= .!!.., odnasna 0 = .!!..., aka se ne zna tacna vrednost broj a. 1.1' 1

330.* (

x-5+ l x-5 1)'

2

+

(.1'-5-1.1'-51)'

2

, =(.1'-5)- .

lal

Definicija 4. Graniea relativne greske datag pribliinog broja nazi va se svaki pozitivan bro; 0 ,kaji nije manji od te greske, za koje je 0 S 0a' iii &/ :S 0., J

Rditijednacine (331-334): 331.

a)lxl=2x-4;

b)lx-31=5.

332.

a) 1x - 21 = 2 x + 4;

b) 1x + 21 = 2 x + 4.

42

u

1.1'1

tj. 6.aS 1.1'10 •. Posta je .\'=0, prethodna formula postaje 1'>.a=la lO. iii

o

•

= 6.a lal' 4)

341.

342.

Sa x ", a oznacava se da je a pribli zna vrednost za x. U sledeCim primerima izracunati apsolutnu i relativnu gre~ ku : a) 5 "'4. 6; b) 2.564",2,56; c) 0,88 1"'0, 88: d) 8 ", 7, 98; e) 54,326 ", 54,32; f) 0.9991 ", 0,999.

U kome se intervalu 'a lazi braj x ako je: a) x = 56 m( ± 0.02 m I. b) x = 75 kg(± 0,003 kg); d) x = 8 km(± 0.016 km)? c) x = 25 ± 0,006

343.

Odredi lt granicu apsolutne greske naCi njen e pri mere nj u ld in e ne: kog tela ako se zna da se njegova tezina nalazi izmedll 32, 582 kg 1 32,588 kg.

344.

Odrediti relativnu gre~ku pribliwih brajeva: a) 40 m(± 0,006 Ill); b) 40 kg( ± 0.005 kg); c) 25 m( ± 0,006 m); d) 8 km + (± 0,016 km).

Rastojanje dva mesta na karti iznosi 24,6 cm (± 2 cm). Izracunat'i rastojanje ta dva mesta u priradi ako j e razmera kartel : 2 500000.

346.

Pretvoriti

347.

r:.

Odrediti razliku pribliznih vrednosti brojeva a = 5 86- + 0 00005 . b - 2 746 + 0 0005 . . ' ~ -. ,I -lik' - , • zattm Izracunati apsolutnu i re lati vnu gresk u raz e.

356.

Odrediti praizvod brajeva 0,456 ± 0 0005 i 3 35 + 0 0005' I . " - , Ire all vnu gresku praizvoda.

357.

Date su priblizne vrednosti brajeva

Zaokruziti brajeve: a) 50 864, 196438, 75049 do slotica', b) 65 384, 8 546496, 1487 796 do jedinica treceg reda;

broj ako je granica apsolutne

greske /:; a: aJ 0, I; b) 0,01 ; c) 0,001 ; d) 0,000 I.

c) 5,436; 83 ,6073 ; 0,8965; 8,9987 do stotih ;

Izracunati relativnu gresku pribliznih brojeva: a) 2,5 kg(±0,002 kg) ; b) 5.6 m (±0,07 m) ; c)17,5km(±14m); d)37 ,5m(±24mm).

d) 12.3606; 6,00053 ; 0,5406 do treceg decimalnog mesta .

348.

Relativna greska pribliznog broja a = 8,64. 0 a = 0.005 . [zraclinati granicu apsolutne greske pribliznog braja.

349.

Priblizni brojevi: a) 9,6; b) 0,64; c) 15,0; d) 6,4 dobijeni Sli na osnovu pravila 0 zaokrugljivanju brojeva. U kojim granicama pripada braj cija je pribliina vrednost data? Kolika je granica relativne gre~ke datog braja?

350.

6;

merenj : n dva predmeta utvrde? o da su im duzine a = 5,43 , ) m t b 1,41 (±0,01 ) m, ko)e)e merenje tacmje? va tela su izmerena na istoj vagi, pri cemu se dobi lo: Q = 24 5 O (k-I k,05 ) g; ?Q, = 12.380 ( ±0,05) g. Koje je te[o izmereno ' tacn i)' ~ i o t 0 puta.

355.

358.

345.

3

354.

~~

a = 7,2 ± 0,05 ,b = 3,46 ± 0,03 , c= 5,09 ± 0,004. Izracunati x = _ a_ b +c' /:; x io x.

Zatim izracunati gresku u pracentima.

razloma~ 3. u decimalan

353.

Ako je merena velicina a. apsolutna gre~ka /:; a, relativna Daci jedDu od veliciDa ako su druge dye date: a) 6. a = 0,1, a = 5,63; b) a = 6,425, 0 a% = 4% ; c)6.a=7.8,oa=0,005.

gre~ka

0 a;

351.

Odrediti koliko pouzdanih cifara ima braj a = 2.3752 ako je relativna grdka log broja 0 a = 0,01.

352.

Koliko pouzdanih cifara ima podalak 427,604 (±0,013)?

359.

Koristeci pravilo pame cifre, zaokruz iti do jedinica sledece bra)eve ' 83,5; 254 ,5; 869.5: 2056 ,5. .

360.

Rastojanje iz,?edu dva elektricna stuba mereno je cetiri pUla; u prvom meren)u dobt)eno j e 49.05 m. u drugom 49, 10m. trecem 48.97 ~ 1 cetvrtom 48,87 m. lzracunati srednje rastojanje stubova i zaokruzttt ga u metnma.

361.

Pretvoriti

~ u decimalan braj , pa ga zaokruziti postupno do drugog.

treceg i cetvrtog decimalnog mesta. 362.

Pretvoriti u decimalan braj sledece meSovite raz[ornke:

2

a) 2 -7 (pa ga zaokruZiti na dva decimalna mesta)' . , b) 7

5

'6 (pa ga zaokruZiti do trece vafeee cifre). 45

IV

370.

GLAVA

a) :: = ~ ~ 4a - 3b = 4c - 3d b d Sa + 2b 5c + 2d'

4. PROPORCIONALNOST VELlCINA

b) '::' = ~ = ~ ~ 3a - b + 2c = a - 2b + 3c m 17 p 3111-n+2p 117-2n+3p'

4.1. Razmera i proporcija

a

1° . Ako su a i b realni bro.;;;

(b"" 0) , kolicnik a: b = k , odnosno nazivamo razmerom broje\oa a i b, k je vrednost razmere . I

Dokazati implikacije:

b=

c)'::' = ~ = ~=~~ a + b+c+ d = .::.

k

2".lednakost dveju jednaki h razmera a: b = c: d naziva se proporcij~ : Clanovi a i d su spolj asnj i, a b i c unutrasnji clanovi proporclJ e. Vazl ekvivalencija a: b = c : d ad = be, (abcd "" 0).

m

371.

p

17

q

111

+n+p +q

m'

. abc Ak o Je - = - = - = 4, izracunati : m

a)

p

n

a - 3b + 2c

.

+ 2/

b)a+b+ c m+n +p

3°. lednakost tri iii vise jednakih razmera naziva se produzena proporcija . Vaii ekvivalencij a: abc d 0 a :m=b:n= c: p=d:q-=-=-=- (a,b,c,d, lI7, n,p,q"" ). m n p q

372.

Dokazati implikaciju : (a+ b + c + d):(a- b+c- d)= = (a + b - e - d): (a - b - c + d) ~ a : C = b : d.

36.

373.

Dokazati ekv ivalencij u:

V

lzracunati nepoznati clan x u sledecim proporcijama: a)x :(2+ x) = 10,5:21; b)( x - 3): 15= 21: 35;

5

c) 15:(2 x- I)=- :(x -4); 3

Iz proporcija x : y = 5 : 4, y: z = 8 : 15 i z : 3 = 6 : 2 izracunati x.

365.

Iz produiene proporcije x: y : 6 = 2 : 5 : 3 izracunati x i y.

366.

Iz proporcija a : b = 2 : 3 i b : c = 6: 7 obrazovati produzenu proporciju a: b : c.

367.

Iz proporcija: a) x: y = 8: 5 i y: z = 10: 3; b) x: y= 3: 4 i y: z = 6: 5; obrazovati produzenu proporciju x: y: z.

368.

Dokazati ekvivalencije: a) a: b = m: n b : a = n : m;

b)a :b=m:na:m= b:n.

369.

46

a

Dokazati ekvivalencije: a) a: b = c: d (a + b): b = (c + d): d; b)a : b=e :d (a- b): b= (c- d) :d ; c)(a+ b) :(a- b)=(c+ d):(c- d) a : b=c:d.

317

c

- = -

d)(a+ x):(a- x) = p : q.

364.

m-

b

d

a' + b'

ac + bd

ae + bd

e'

+ d'

374.

Data j e direktna proporcionainost formulom y = 7 x. Izabrati cet iri vrednosti x" x" x" x, za x. tako da je x, : x, : x, : x, = I : 2 : I : 3. Izracunati vrednosti y" y" y, . y. koje odgovaraju vrednostima xI> x" x" x • . Odrediti i uprost iti razmeru Y , :Y,:Y,:Y.· Ispitati tacnost jednakosti y, : y, : y, : y. = x, : x, : x, : x, .

375.

Data je obmuta proporcionalnost formulom y

J

= .:.. lzabrati vrednosti

x x" x,, x, za x, tako da je x, : x, : x, = I : 3: 2. lzracunati vrednosti y" y" y, obmuto proporciona lni sa xI> x,, x "

.. · .. I I I I . .• . dn k . Od re dIt! I uprostltl razmeru - : - : - . Spllatl t a~nost Je a 0 II y , Y2 )" III . II I - : - : - = x, :x, :x, I y, :Y2 :y, = - : - : -. ~

~

~

x,

~

~

47

4.2. Primena proporcija Primedba. Pri resavanju zadataka primenom proporcij a treba prvo utvrditi da Ii su velicine x i y direktn o iii obmuto proporcionalne . Kazemo da su x i y direktno proporeioDalne ukoliko je )' = kx, a obmuto proporei onaln e uko liko

k

za x i y vazi y = -. x 376.

Od 66 kg prediva dobije se 165 m tkanine . Koliko se metara tkanin e dobije od 112 kg prediva?

4.3. Rac un rasp odele i mesanja Prim ed ba . Resavanje zadataka i z racuna raspodele i mesanja se svodi na resavanj e linearnih j ednacina ii i na resavanje sistema sto je detaljno pokazano u resenj ima zadataka. 387.

D va radn ika treba da podele premij u od 270 000 dinara srazmemo svoj im zaradama, koje iznose 650 i 700 dinara po jednom radnom casu. Koji dec premije prip ada svakom radniku?

388.

l edan posao su uze la u akord 3 radnika i zaradi la 246 000 dinara. Prvi radni k je radi o 15 dana po 6 casova, drugi 9 dana po 8 casova. a treei 12 dana po 7 casova. Koj i deo zarade pripada svakom radniku?

389,

Podeliti duz od 456 m na tri dela cije ee duzine biti redom propor. lne b" 2 -9 I. -7. clona roJevlma -, 3 8 12 l edna vrsta mes inga je leg ura bakra, einka i olova, legi ranih po r8zmeri 65 : 34 : 3. Koli ko ima svakog metal a u bloku mesinga tdine 456 kg?

377.

Zupcanik ima 54 zupea i pravi 84 obrtaj a u minutu. Koliko zubaca ima zupcanik ako pravi 126 obrtaja i u prenosu je sa prvim?

378.

Radeei dnevno po 8 casova, 21 radnik za 6 dana izradi 720 metalnih pro fila ; za koliko ee dana 28 radnika, radee i po 7 casov a. izraditi I 260 metalnih pro fila?

379.

Radeei dnevno po 6 casova 40 radnika zavrsi neki posao za 20 dana i za to prime ukupno 192 000 dinara . Koliko dana treba da radi 50 radnika ako rade po 8 casova dnevno, da bi primili ukupno 160 000 dinara?

391.

ledna prostorija osvetljena je sa 15 sijalica od 60 W . Koliko bi si_ jalica od 75 W davalo isto osvetljenje?

Sumu od 728 000 dinflra podeli ti na tTi liea lako da svako sledece dobij e 20% vise od pretb odnlDg.

392.

Iz preosta le dob iti na slobodnom rasprolaganju preduzeee podt:!1

1380.

L.

3111. 382,

I

1 386000 dinara na 2 1 visokokvali fikovanog, 63 kva lifikovana i 126 nekva lifi kovanih radnika po kljucu 12 : 8 : 5. Odrediti pojedinacnu dobit svakog radn ika iz ove tri kategorije.

Za 14 kilograma robe placeno je 980 dinara . Koliko ce se kilograma robe kupiti za 4 340 dinara? 100 norveskih kruna vredi 12 700 dinara. Koliko ce se kruna dobiti za 571 500 dinara?

~.'" 65

radnika iskopa neki kanal za 23 dana. Posle 15 dana 13 radnika napusti posao. Koliko dana treba onima koji su ostali da zavrse ostatak posla?

384.

Neki posao 6 radnika moze da zavrsi za 5 dana. Za koliko ee dana biti gotov isti posao ako posle 2 dana dode jos 3 radnika?

385.

Greda duzine 3 m, sirine 20 em i debljine 100 mm kosta 2 000 dinara. Koliko ee kostati greda duzine 4 m, sirine 30 em i debljine 110 mm?

386.

Od odredene kolicine bakra moze se izvaljati 10 tabli duzine 2 m, §irine 1,5 m debljine 2 mm. Koliko se tabli, duiine 1,2 m, sirine 0,5 m i debljine 4 mm moZe izvaljati od iste kolil!ine bakra?

48

390.

393.

Drvena greda podeljena je po razmeli 5 : 3. Veei deo ima duiinu 1.5 m Odrediti duiinu eele grede.

394.

Tri elektri cna otpora vezana u seriji stoje u razrneri 2 : 3 : 7. Ukupan otpor j e 24 oma. Koli ki su pojedini otpori?

395.

Fabrika ima 4 pogona. Promet pogona A iznos i 8 000 000 dinara za 5 meseci, pogona B 12 000 000 dinara za 7 meseci , pogoDa C 5 000 000 dinara za 6 meseci i pogona. 0 3 000 000 dinara za 10 mesee!. Kako treba rasporediti ostvarenu do bit od 5 520000 dinara na pojedine pogone, srazmerno prometu i vremenu? Koliko vode temperature 40° C i vode temperature 25° C treba pomesati da se dobije 90 litara vode temperature 30° C?

396. 397.

cd

M1insko preduzeee ima dYe vrste braSna, 720 i cd ~ 0 .din ~ I kg. Koliko treba uzeti cd svake ~Tste da se doblJe mclavma tetine I _00 kg cija bi eena bila 640 din . pb kil ogramu? ~9

398.

Jedan zlatar mesa srebro tinoee 600%0 i srebro tinoee 900%0-aobija 600 g fi noee 850%0. Kol iko grama srebra treba uzeti fin oee 600%0, a koliko srebra finoee 900%0?

409.

399.

Koliko treba uzeti sumpome ki selinc j acine 52, a koliko j acine 88% da se dobije mesavina od 144 litra, jacine 72 %?

Na j edn~m p~lj opri vr_ednom dobru ubrano je 13 540 vagona kukuluza. Pos le susenJa tez ln a Istog kukuruza je opala na 10 832 vagona Kohko Je to u procentim a?

410.

400.

Ako se pomesaju 6 kg sumporne kiseline jaCine 0,45 i 14 kg jae inc 0,75, odrediti jacinu mdavine.

Stof)e pojeftini o z~ 12%, 0. za 840 dinara prodaje se jevtimje. Izracunatl koll ko Je stof kostao pre, a koliko posle pojefiinjcnja?

411 .

Koliko zlata finoee 900%0 i zlata finoee 600%0 treba legirati da se dobije 30 kg zlata finoee 800%0?

Norma je prebacena za 22 % i proizvedeno je 89 060 jedinica prolzvoda. lzracunati nonnu .

412.

Zaj edno sa poveeanjem od 16% trgovina je primila 371 200 dln ara. Kohko Je poveeanje?

401 . 402.

Cist vazduh je smesa azota (78 % ) i kiseonika (21 % ), a ostal o cine neki retki gasovi . Koli ko ima svakog sastojka u 546 I vazduh a?

403.

Tri paralelno spojena elektricna otpora stoje u razmeri I : 2 : 5. Ukupan otpor je 10 oma. Izracunati pojedine otpore.

404.

prodatu robu

Na prodaji robe bio je gubitak 6% . Ako je roba prodata za 376 000 dln ara, izrac unati koliko kosta roba. o odbitku 12% provizij e primlj eno je 4 224 000 dinara. Kolika je provizija?

Vinar hoee da pomesa sa vodom 450 I vina koj e prodaje po I 100 din . Koliko litara vode mora sipati da bi litar mesavine prodavao po 900 din?

415.

Kaput je kostao pre poje ninjenja 160 000 dinara, a sada kosta 146 160 dinara. Za koli ko je procenata cena snizena?

4.4. Procentni i promilni raeun

416.

Robi je snizena cena za 20 % i sada iznosi 4 640 dinara. Kolika Je bila stara cena?

417.

Preduzeee planira dobit od 2 542 000 dinara. a ostvari 2 389480 dinara. Kolika je u procentima ostvarena dobit?

418.

Nagrada radni ku po j ednom casu od 6 500 dinara poraste na 7 020 dinara. Koliko je to u proccntima?

419.

Pri obradi gvozdenog protil a orpadak iznosi 2,76 kg. a u procentima 8% . Kolika je td ina protila pre obrade?

420.

Sa 4% troskova za robuje pl aeeno 128960 dinara. Kolikaje bila kupovna cena robe, a koliko je bilo troskova?

421.

Sa povisenjem 15 %, nagrada radnika je 2 875 di nara . Koliko je primao po jednom casu pre povisenja?

422.

Uz marzu od 15 %, jedan metar stofa prodaje se po 5 980 dinara Koli ka je nabavna cena? Sa 5% vlage hektolitarska tezina zita je 84 kg. Kolika je hektolitarska tezina zita posle susenj a ako procenat vlage ostane 2.5 %?

Primedba. U procentnom raeunu pojavljuju se tri promenljive velicine: p procenat, G osnovna vrednost iii glavnica i P procentni iznos iii prinos i stalna velicina 100 (procentni raeun) i I 000 (promilni raeun). U zadac ima glavnica se pojavljuje: 1°. Kao cista glavnica G - procentni raeun do sto. P :p= G: 100; 2°. Kao uveeana glavnica (G + P ) - procentni racun na sto.

P:p=(G+P):(IOO+ p); 3°. Kao umanjena glavnica (G - P) - procentni raeun u sto. P : p = (G - P) : ( 100 - p). 405.

Izracunati 15% rabata od 55 400 dinara.

406.

Sa 6% zarade robaje prodata za I 272 000 dinara. Kolikaje nabavna cena robe?

407.

Robaje sa 5% gubitka prodata za 212 135 dinara. Odrediti nabavnu cenu robe.

408.

Amortizacioni fond preduzeca povecan je od 5 620 000 dinara na 5 844 800 dinara. Koliko je poveejlIJje u procentima?

so

7..a

423.

~ri transportll povree kalira 8%, tako da sada tezi ~;e ki lograma povrea kuplj eno? 425.

10 040 kg. Kohko

Na jednom krosu 1I toku trke otpalo je 15%, te su na cilj stigla 102 ucesnika. Koliko je ucesnika stanovalo? 51

426.

PI; kupov ini robe za gotovo dobij a se popust od 2, 5% . Ako j e na racunu 14 040 dinara. Kolika je prodajn a cena robe ?

440.

Ka mallla s topa na ulog orocen oa 6 mescci iznosi 75% Kolikl JC ul og ako Je na kraJu obracunato 45 000 di nara kamale?

427.

Sa gubitkom od 2%, trgovinsko preduzeee proda 15 400 kg povrca za 452 760 dioara. Kolikaje bila kupovna cenajednog ki lograma povrea?

441.

Sa koj ol11 kamaln om stopom ul og od 540 000 dinara donCC,+DD,+EE,+FF, = (j.,

Suprotan_vektor, vektoru (A,B)je vektor(B, A), odnosno (A,B) = -(B, A).

-

Nula vektor je vektor (A,A) = O.

b) Ako je AA, = m, BB,

-

---- -AC,DD"EE, ,AD,CC, ,FA,AE.

-

Proizvod realnog broja k i vektora v je vektor k v sa svojstvima

-

-

-

528.

1°. Intenzitet vektora k v je Ik vl=lk 1 '1vb

- 2°. Vektori vi k v su istog pravea, - 3°. Vektori vi k v su istog smera ako je k > 0 i suprotnog smera ako je k < O. 517.

519.

-

-

a) AC = 2MK;

- 1(--)

b)MK="2 BC + BA . 529.

b)3u-2v.

Cetvorougao cije dijagonale se uzajamno po love je paralelogram. Dokazati. ~ka3 je ~dgte straniee

AB+AC=2AM.

60

U t:.. ABC tacke M i K su sredi§ta Slraniea AB i Be. Ookazali daje:

Dati su vektori u i v. Konstruisati vektore jednake:

a)3u+2v; 518.

=~, odrediti vcklore

BC trougla ABC. Ookazati da je

Dal je pravilan

seslougaon~ABCDEF .

Ako

1:.- AB = p,- BC = q.-

izracunati vektore CD, DE, EF. FA, AD, EA , AC.

530.

Datje

t:.. ABC,

gde je AC = a, BC

= -b. Nad AC konslrui

aD Je

kvad-

rat ACDE a nad BC, lakode kvadral BCFG. Ako Je AD = P ---_._BG = q, odredite vektore EF, DF, FG , DE u funkciji a, b, pI q

I

61

= PQ c::-

539.

= NQ.

531.

Ookazati ekvivalenciju 1\r£N

532.

Oatje kvadrat ABCD, gdejeCE II BD, E E AD (s lika 4). Ookazati:

- - - aj AC+BD = AD+BC; - - -

-

MP

533,

540 .

-

-

534.

'(--)

2'

AB+ DC . Ookazati.

,

•

,

Neka su~, ako j e:

=~, CA

=

p, 0 2C = g,

. -

Neka su K~ L, M iN sredi~ta stranica AB, Be, CD, DA ¢Ctvorougla ABCD. Pnmenom vektora dokazati da se duzi MK i NL seku u tacki S koja polovi svaku od ovih duzi.

542 .

U trouglu ABC tacke Pi Q dele, redom, stranice BA i Be u odnosu BP:PA=3: 1, BQ :QC=3: 1. Pomocu veklora dokazati da je PQ II AC

543.

Oat je cetvorougao ABCD. Neka su E i F sredine stranica AB i CD. Tada je:

bi ~ proizvoljni vektori . Ispitati kolineamost vektora p i q

-

p= .fi~+ b i q= 2~+ .fib; b) p= bi q= ,J5b; c) p= ~- 2.J3b i q= .J3~- 6b;

536.

d) Ako je G

544.

-

545.

1-

1-

-

duzi EF. tada je 4AG = AB+ AC+ AD;

b)a- b;

.

J

b= (2.- ~

Odrediti vcktore:

c)3a+2b; d)2a-4 b.

-

-

-

Oati su vektori a = (m- I)i +(3m+ 4») i b = (m + I) i + (3m+ 4)j, gde j e m realan parametar. Odredili:

-

-

a) vektor v = 2a- 36 b: b) za koje vrednosti parametra m vektor v je nula vektor? 546.

Vektor ~=(4,2) razloziti po vektorima ;=(2,-1) i b={-4.3). Odrediti koeficijente razlaganja.

547.

Dati su vektori

ABeD, tada jc:

4MO =.&£4+ MB+ MC+ MD, gde je 0 tacka preseka dijagonala paralelograma. Dokazati.

sred i~te

-

Ako je M proizvoJjna tscka u ravni trougla ABC , tada je 1 MI' = '3(MA+ MB+ MC), gde je tacka T tezi~ te trougla. Ookazati.

538. Ako je M proizvoljna tatka u ravni paraJelograma

-

Dati su vektori ; = (- 5,3) i a) a+ b;

I

q = a- b kolineami? 537.

-

e) GA+ GB+ GC+ GD = O. Ookauni .

Neka su a i b proizvoljn i vektori. Kada su vektori p = a+ b

- --

1-

2

d)p = 2a i q=3a+c;

p= 2~- b+ ~ i q= 2.J3~- J3b+ J3~

1-

aj EF+-AB+-DC = AC; b) EP+ - BA+ -CD = BD' 2 2 2 2 ' 1c) AC+-BD = AD+BC = 2EF;

aj

e)

AB-DC . Ookazati . 2

54 1.

SI 4

izracunati 0 20J' 010 ) i 0 2 0 1 ,

ve~to­

Neka su M. i N sredista neparalelnih strani ca BC i AD lTapeza ABeD, a~ F presecnc tacke duzi IvfN j dijagonala .Ie i BD. Tada JC EF =

Oat je jednakokraki pravougli /j, ABC . Nad slranicama su konstrllisani novi jednakokraki pravougli trouglovi BCO p A CO~ i ABOl · AkojeCB

535.

,

Dat je trapez ABCD. Ako je M srediste stranice AD, N srediSte stran icc BC. tada je MN =

sredi,S.::.-.duzi AM , P srcdgte duzi BC. Razloziti vektor NP po rima AB i AF.

,

bj AB+BC+CD = AB+CE.

Oatje pmvilan sestougao ABCDEF. Neka su M sredislc duti DE N

~ = (4,-12), b= (5,- 1) ~ ~ = t3,5).• Dokazali da po-

stoje dva realna broja min lakva da je a = mb+ nco

63 62

548.

-

..

-

Dati su vektori a=(4,1), b=(5,-I)

c = (3,5). Vektor c raz loziti

558.

Odrediti ose simetrije figure koju obrazuju: a) praya I kruznica; b) dye prave; c) dye kruznice; d) dye koncentricne kruznice. Koja od oyih figura ima vi~e osa simetrije i koliko?

559.

Date. su koncentricne kruzn ice k(O, r), K(O,R) i prava p. Dokazati ImphkaclJu: (K n pIA, B} II k n p = {C, D}) => AC =BD.

560.

Date su dye koncentricne kruznice K , (0 , r) , K , (0 ,r, ).I .. K J (S) ,rJ • Dokazall Implikaciju: --

po vektorima a i b. 549.

Datje vektor; =

A~" sa pocetkom A,Sx"

y,) i krajem A, (x" y,).

Odrediti Dekartove koordinate vektora a. 550.

Data su temeoa trougla u Dek3..ltovom koordinatnom sistemu

A( I, - 4), B( 2, 3) i C( - 5, 4). Odrediti Dekaltove koordinate vektora AC, BC i AB i zatim izracunati njihove intenzitete.

551.

Data su temena cetvorougla A( -4,

-22, B(5, - ~C~3) i D( -

5, 0).

Odrediti koordinate vektora: AB, AD, AC, BD, BC i CD, zatim U pravouglom koordinatnom siste~u apscisa vektora a je 6. Ako je

lal = 553.

Odrediti realan parametar m, tako da vektori budu kolioeami.

555.

Data su tri temena paralelograma A(2, 5), B( - I, 2) i C( 6, I). Odrediti cetvrto teme 0 paralelograma.

556.

Sila F

C/

-= 3- 4{.- razlo!eoaje oa dye kompooente, od kojih je Iedna i-

data vektorom F, = 2 i + 8 j. Odrediti drugu komponentu si le F. 5.4. Osna i centralna simetrija 5.4.1. OSNA SIMETRIJA Osna simetrija u odnosu na pravu s je preslikavanje koje proizvoljnu tacku M preslikava u tacku M' = 0 ,( M), tako da je prava s simetrala duii MM'. d,!

Prava s je osa simetrije. Simbolicki: 0, (M) = M' "" s simetrala duzi MM '. 557.

64

Syaka . ~acka M koja pripada jednoj od poluravni odredeoom osom slmetrlJe date duzi AB bliia je onom kraju iste duii koja pripada istoj poluravOl kOJoJ pnpada I tacka M. Dokazati .

562.

Konstruisati trougao najmanjeg obima ako mu dva temena pripadaju kraclma datog ugla, a trece teme se poklapa sa datom tackom u oblasti datog ugla.

563.

Konstruisati romb ako jedna dijagonala ima duiinu d i pripada datoj prayoj a, a krajeYi druge dijagonaJe pripadaju datoj pravoj b i datoj kruzoici K.

564.

Konstruisati trougao ako je pozoato: b, he i a + c.

= (3,-2) i b = (111,4)

554.

Koliko osa simetrije (u ravni) ima: a) kvadrat; b) prayougaonik; c) krui:nica; d) ugao; e) praya; f) dui?

""OIca

561.

10, odrediti ordinatu vektora a.

Odrediti y, tako da tacke A( 1,3), B(3, 5) i C( 4, y) pripadaju istoj pravoj. _

IU

(K, nK J = {A,B}IIK,nK J = {C,D})=> => (AB II CD II AC = BD II AD =BC).

izracunati njihove ioteozitete. 552.

1. _ . . . .

565.* Na obali reke treba da se izgradi vodotoranj, odakle se vodovodom povezuju naselja A i B sa iste strane reke. Odrediti optimaloo mesto yodotomja da duzina vodoyoda bude mioimaJna. 566. * Dati su L xOy i praya p. Koostruisati kvadrat cija dva suproma temen a pripadaju kracima datog ugla, a druga dva pripadaju datoj pravoj p . 567.* U dati trougao upisati trougao oajmanjeg obima cije se jedno teme poklapa sa datom tackom oa j edooj stranici datog trougla. 568.* Konstruisati jedoakokraki Irougao datog obi rna i visine koja odgovara osoovici. 569. * Simetricoe slike ortocentra trougla u odnosu oa srranice trougla pripadaju opisanoj kruZoici oko trougla. Dokazati. 570.* Konstruisati pravougaonik ako su dati jedna srranica i zbir dijagonale i druge stranice. 65

571.* Konstruisati pravougaonik ako su date stranice a i razlika dij agonale i druge stranice d - b. 5.4.2. CENTRALNA SIMETRlJA CentTalna sirnetrija. U OdDOSU na tacku S je preslikavanje koje proizvo ljnu tacku M preslikava u taaku M' = M) takvu daje S sredi ste duzi MM'. Tacka S je centar simetrije.

pravougaonika, a u odnosu na manj e stranice dva puta je bliZi jednoj od druge. Odrediti granice parcele. 580.

U trouglu ABC tacke A,B,C, su sredista stranica trougla. tacka T je teiiste trougla, a A" B"C, su sred ista odgovarajucih duzi TA, TB. TC . Trouglovi A,B,C, i A,B,C, su simetricni u odnosu na lacku T. 00kaz ati .

581.

Na suprotnim (naspramnim) stranicama AB i CD paralelograma ABCD konstruisane su duzi AM = CN. Prava MN sadrti presecnu tacku dijagonala. Dokazati .

582.

Na produzecima stranica paralelograma ABCD konslruisane su lacke A" B" C" D, , tako da su tacke B, C, D. A sredisla odgovarajucih odsecaka AA" BB" CC" DD ,. Kori sleci centralnu simetriju dokazali da je cetvorougao A,B,C ,D, paralelogram.

583.

Ako su tacke A i B, C i D dijametralno suprotne tacke dveju koncentricnih krumica, tada su odsecci AC i BD j ednaki i paralelni, iii pripadaju jednoj pravoj . Dokazati.

584.

Dve spoljasnje kruznice jednakih poluprecnika sa jednom zajednickorn tackom odsecaju Da pravoj , koja sadrZi zajednicku lacku, jednake tetive. Dokazati .

a.c

ok!

Simbolicki: a,(M) 572.

573.

= M'¢SM = SM'.

Konstruisati simetricnu sliku datog cetvorougla u OdDOSU oa centar sirnetrije koji: a) De pripada cetvorouglu; b) pripada cetvorouglu ; c) pripada jednoj stranici cetvorougla ; d) poklapa se sa jednim temenom cetvorougla. Konstruisati simetricnu sliku polukruga u odnosu na centar sirnetrije koji : a) De pripada polukruznici; b) pokJapa se sa centrorn polukruga; c) pokJapa se sa jedDim krajem precnika polukruga.

574.

Dati L xOy preslikati centralDom simetrijom u odnosu Da tacku S (sl. 5).

575.

Dve duzi su centralno sirnetricne prema jedDoj tacki 0 ako i sarno ako su paralelne i r ndudame. Dokazati.

Konstruisati pravougaonik ako je dato jedno teme i dYe l.acke na suprotnim stranicama, koje su si metricne u odnosu na sredlste pravougaonika. 587. Dati su kruini odsecak i tacka M u njemu . Konstruisati duz. cijijedan kraj pripada luku, drugi tetivi odsecka, a tacka AI Je sredl Ie duzi. 588.* Dati su u ravni 1:1 ABC i prave p i q (p.L q). Neka su a, i a y dYe osne simetrije datog trougla. Dokazati da je: . . a) a p(1:1 ABC) o a y CI:1 ABC) = a ,(1:1 ABC), gde Je a . centralna Sl metrija i p n q = (S); b) p_CI:1ABC ) = a . (1:1 ABC), (a= 180°). 586.

x 51. 5

576.

Koliko ceDtara sirnetrije irna figura sastavljena od: a) dye prave koje se seku; b) dye paralelne prave; c) tri paralelne prave razlicito udaljene jedna od druge?

577.

Svaka prava koja sadrii presek dijagonala paralelograma i sece jednu stranicu, sece i suprotnu stranicu. NjeD odsecakje raspolovljen preSeCDOrn tackorn dijagoDala. Dokazati.

578.

Date su tacke A, prava a i kruznica K( 0, r). KODstruisati duz MN sa sredi§tem u tacki A i krajevirna na pravoj a i kruZDici K.

579.

Poplava je uDistila granice pravougaone parcele cija je jedna straDa tri puta veca od druge. Na jedDoj od duzih strana parcele nalazi se pumpa za vodu, a na suprotnoj jedno stablo. Takode, Da parceli se nalazi jedan elektricni stub podjednako udaljen od duzih stranica

66

585.* KODstrui sati trougao ako su date sve tri teiicne linije.

589.* Ako : u a p i a y dYe osne simetrij e neke ravni 1C takve da je p 1. q i

p n q = IS}, dokazati : a) a p 0 a q = a j.; b) a p

°

ay

=a

y

0

a p'

67

t:,. ABC jednaka je i paralelna duzi ~iji su krajevi centri opisane i upisane kruzmce t:,. A' B'C'. Dokazati .

590.* Datje trougao ABC. Ako je p_ (a = 180°) rotacija oko temena A datog trougla, a a

A

centralna simetrija istog trougla, dokazati da je

597.* Konstruisati jednakostran i ~an trougao date stran ice a cij a dva temena pnpadaJu dvema datlm paralelnim pravama, a trece teme trecoj pravoj koja sece date paralelne prave.

OA=P a- · 5.5. Translacija Translacija. Nekaje M bilo koja tacka ravni, a vbilo koji vekt~r. Preslikaje _ MM' = vanie koie tacku M preslikava u M', tako Jef.da _ :J J

v

naziva se

translacija (pornak). Simbolicki : T Ii (M) = M' ¢> MM' = v. 591. Dat je kvadrat ABCD. Odrediti njegove slike nastale translacijom tako da se: a) terne A preslikava u teme C; b) teme A preslikava u srediste straniceBC; c) terne B preslikava u presek dijagonala. 592.

593.

Dat je jednakostranicni trougao ABC. Odrediti njegove slike nastale translacijom tako da se: a) terne A preslikava u A' (BA' = A'C); b) sredi~te stranice AB preslikava u srediste stranice AC. Dataje kruznicaK (0, R) sa precnikom AB. Odrediti translacije koje preslikavaju: a) tacku u tacku A; b) tacku A u srediste poluprecnika OB; c) tacku B u datu tacku M kruznice.

°

594.

tacke B i C tako da B E Ax iCE Ay i da je BC = v iii CB

= v.

601.* Preseci dati trougao ABC pravorn, tako da vektor na oyoj pravoj, izrnedu dye stranice trougla, bude jednak datorn vektoru v, koji pripada ravni ovog trougla. 602.* Date su dye kruznice K" K , i prava p. Konstruisati pravu n paralelnu sa pravom p , na kojoj kruinice K, i K , odsecaju jednake duzi. 603.* Date su kruznice K(O,r), K,(O, r) i dui AB. Konstruisati duz paralelnu i jednaku datoj duzi, a da krajevi pripadaju datim kruinicama. 604.* Dati su vektor~, prava p i kruznica K(O, r) . Konstruisati vektor jednak datorn vektoru v, tako da rnu jedan kraj pripada pravoj p, a drugi kruZnici K. Odsecak prave, koji sadrZi srediste jedne stranice trou.gla i paralela~ je sa drugom stranicom trougla, Jednak Je POlovlru te stramce I polovi i treeu straniou trougla. Dokazati.

a) v= AB;

606.

Konstruisati trapez datih osnovica a i b (a > b) i dijagonala did, .

b)v=BC;

607.

Konstruisati cetvorougao ako su date sve ceriri stranice i du:i koja je odredena sredistirna dYe sup rome stranice.

c) v= CA.

60S.

Konstruisati trougao ako su dati jedan ugao i visine koje polau iz temena druga dva ugla.

609.

Konstruisati trapez ako su dati: a) osnovice i uglovi na veeoj osnovici; b) razlika osnovica, oba kraka i jedna dijagonala; c) obe dijagonale. ugao izmedu dijagonala I krak.

Translacijom preslikati dati trougao ABC za vektor v:

-

Dat je trougao ABC. Translacijorn za vektor u = AA, (AA, tezisna du:i tro~gla) preslikati dati trougao u t:,. A'B'C', zatim translacijom za vektor v= AB preslikati trougao A'B'C' u t:,. A'B'C. Odrediti translaciju za koju se t:,. ABC preslikava u t:,. A'B'C.

596.

600.* Dati su Lx Ay i vektor v, koji pripada rav~ovo.? ug~ O~editi

60S.

-

595.

59S.* Konstruisati jednakostranican trougao date stranice a cija dva temena pripadaju dvema datim paralelnirn pravama, a trece datoj krufuici. 599.* Date su prave '" I"~ I, . Konstruisati duz date duzine, paralelnu sa , , ciji krajevi pripadaju prav.ama " i I,. '

Dati su trougao ABC i njegova slika t:,. A'B'C', dobijena nekorn translacijom. Du:i ciji su krajevi centri opisane i upisane kruxnice 69

68

610.

Dokazati da j e:

a) I ... AB

b)

Iii

0

61 6.

Trollgao A" B" C, j e slika IJ. ABC pri rolacij i za A = 90 0 oko datog centra rotacije. Medijana A, M, IJ. A,B,C, je nonnalna med ijani AM IJ. AMC. Dokazati .

617.

Nad stranicama AB i AC IJ. ABC konstru isani su jednakostranicni trouglovi ABE i A CF. Ako se tacke C i E nc nalaze sa iSle strane stranice AB, a FiB se nalaze sa iste stranc stranice AC, tada je EF = BC. Dokazat!.

618.

Konstruisati jednakokraki trougao sa vrhorn u daloj lack i A i datim uglom pri vrhu a, tako da mu temena osnove pri padaju datoj pravoj I i datoj kruznici K( 0,1').

619.

U dati trougao upisati j ednakokraki trougao ako su dati ugao pri vrhu i polozaj tog vrha na jednoj stranici datog trollgla.

620.

Dati su ugao xOy i tacka A u oblasti ugla. Konstruisati jednakokraki trougao sa vrhom u A i uglom ii = 30°, dok os ta la dva temena B i C pripadajll kracima datog ugla.

t... = 1 ... ;

0

Be

tv =

Al lii+ii ;

C)t ijo /_ii=l a ;

d)

I .... AB

e) Iii

0

0

1 ...

0

t ...

He

tv =

CA

Iv

0

= (. . . ; 0

'ii-

(I ;; identicno preslikavanje).

5.6. Rotacija Rotacija. Ako je M bilo koja tacka ravni. tacka 0 data tacka i a orii,entisani ugao iste ravni. Kazemo daje M' slika ori ginala M doblvena rotaclJom oko lacke 0 za dati ugao; , ako je OM

=OM ' i LMOM ' =;.Tacka 0 je centar

rotacije, a ugao rotacije. Simbolicki : def

p . (M) = M' ¢> OM = OM' /\ LMOM' = a . O.a

611.

Oat je trougao ABC i ugao a = 120°. Rotirati dati trougao za dati ugao: a) ako se centar rotacije poklapa sa jednim tern en om trougla; b) ako centar rotacije pripada datoj tacki 0 van trougla .

612.

Rotirati oko date tacke za dati ugao : a) jednakostranicni trougao; b) kvadrat; c) kruzoicu; d) pravilan ~estougao.

613.

lzvr~iti rotaciju datog trougla

614.

Data su dva podudama, orijentisana u istom smeru, trougla sa neparalelnim stranicama, koji pripadaju istoj ravni. Odrediti centar i ugao fotacije koja preslikava jedan trougao u drugi.

615.

Oat je kvadrat ABCD. Neka je K srediste stranice AB, L srediste stranice BC. Odrediti centar rotacije i ugao fotacije koja preslikava: a) duz AK u BL;

70

ABC oko tacke S za 60°.

- -

621.* Konstruisati jednakostrani cni trougao cija temcna pripadaju trima datim paralelnim pravama. 622. * Konstruisati jednakostranican trollgao, tako da mu temena pripadaj u trima datim koncentricnim kruznicama . 623.* Date su tri paralelne prave. Konstruisati kvadrat, tako da mu temena pripadajll datim pravama. 624.* Date su tacka A i dye paralelne prave p i q. Konstruisati jednakostranisan trougao cije je jedno teme data tacka A, a ostala dva pripadaju datim paralelnim pravama. 625.* Konstruisati kruzni luk ako je dato srediste, odgovarajuci central ni ugao, a da krajevi luka pripadaju dvema datim pravama. 626.* Konstruisati kvadrat sa jednim temenom u datoj taaki A, a temena B i D pripadaju dvema datim paralelnim pravama. 627.* Konstruisati kvadrat sa jednim temenom u datoj tacki A, a temena B i D pripadaju dvema datim koncentricnim kruZnicama. 628.* U dati kvadrat upisati jednakostranican trougao cije jedno teme pri· pada datoj taaki na jednoj stranici kvadrata. 629.* Konstruisati jednakokraki trougao sa vrhom u datoj tacki i uglom pri vrhu 52° 30', tako da mu temena os nove pripadaju dvema datim krumicama.

b) vektor AK u LC.

71

5.7. Neke vafnije teoreme

trouglu, cetvorouglu. mnogouglu i kruznici

0

1°. Ako su a,/3,y unutrasoji uglovi trougla, a a"/3,, y, spoljasnji uglov i. tadaje: a + /3 + y = 180°, a, + /3, + y, = 360 °. /3 = a + y. 2°. Ma koja stranica trougla manjaj e od zbira druge dYe, a veca od njihove razlike. 3°. Ako su a,/3,y,o uoutraSnji uglovi, a a"/3"y,, o, spo lj asoji uglovi cetvorougla, tadaje a + /3 + y + = 360° i a , + /3, + y, + 0, = 360°. n(n - 3) 4°. Broj dijagonala n - ugla j e D n = 2 .

°

5° . Zbir unutrasnjih ug lova n - ugla je Sn = (n - 2) . 180°. .. . . (n-2)·1 80° 6°. UnutrasoJI ugao pravllnog n - ugla Je a = . n 360° 70. Centarlni ugao pravilnog n - ugla je E = - -. n 360° 8°. Spoljasnji ugao pravilnog n - ugla je /3 = - - . n 630.

631.

632.

Mogu Ii memi brojevi unutraSnjih uglova t:rougla da zadovoljavaju razmere: a) I : 2 : 3; b) 3 : 7 : 8; c) I : I : 2 ? Ako mogu, izracunati uglove. U trouglu ABC L A = 25°, L B = 68°. Kroz nj egova temena konstruisane su prave paralelne naspramnim stranama. Izracunati uglove trougla koj i cine ove prave. Odrediti oblik trougla (prema uglovirna) ako je jedan unutrasnji ugao : a) jednak zbiru druga dva; b) veei od druga dva; c) manj i od druga dva.

637.

U ~roug~u A BC simetrala CD ugla y sece stranicu A B pod uglom 'P - 110 . Izracunatl lIglove trougla ako se zoa da je CD =Be.

638.

U ~roug~u ABC simetrala CD ugla y gradi sa stranicom AB ugao 'P - 100 . Izracunatl unutrasnJe uglove trougla ako je BC =CD. Simetrala AE ugla a i visina CD grade ugao .n • . uou. .,.. = 500. Izra~unatl trasnJ e uglove trollgla ako je AE = BE .

639. 640.

Sime~ale ugl ov~f3 i y trougla ABC grade ugao'P. Akojea : cp = I : 2

/3 . y -

I . 4. Izracunatl unutraSnJe uglove lrougla.

641.

U pravouglom . trouglu ugao koji zahvalajll hipotenuzina visina i hipotenuzma tezisna duz je 28°. Odrediti ugao izmedu hipotenuzine tefisoe duzi i simetrale pravog ugla.

642.

U j ednakokrakom trouglu ABC (AB = BC), simetrala ugla BAC i visma AD kOJa odgovara kraku obrazuju ugao od 18°. lzracunati uglove trougla ABC.

643.

U trouglu ABC (BC > A C) uglovi a i /3 razlikujll se za 30°. Ako je D tacka na stranici BC, takva da je AC = CD . [zracunati LBAD.

644.

lzracunati unutrasnj e uglove trougla, ako je poznato da jedan ugao

.

.2d

IZOOSI"3 rugog, odoosno

4I treeeg ugla.

645.

Na produzetku kraka AC jednakokrakog trougla ABC, iza tacke C data je tacka D , tako da je CD = AC. Dokazati da je trougao ABD pravougli.

646.

U trouglu ABC unutrasnji ugao kod temena C je 40°. Simetrale unutrasnjeg i spoljasnjeg ugla kod temena C u preseku sa pravom AB odredujujednakokraki trollgaoCDE.lzracunati uglove trougla ABe.

647.

U pravouglom trouglu hipoteouzina vis ina deli hipotenuzu na dva odsecka cija je razlika jednaka duzini jedne katete. Izracunati uglove trougla.

633.

Dva ugla trougla iznose 60° i 72°. Odrediti uglove koje obrazuju visine trougla koje polaze iz temena datih uglova.

648.

Ako se simetrale dva unutrasnja ugla seku pod uglom od 135°. !ada je trougao pravougli. Dokazati.

634.

Odrediti ugao pod kojim se seku simetrale spoljasnjih uglova na hipotenuzi pravouglog trougla.

649.

635.

Pod koj irn se uglom seku simetrale ostrih uglova u pravouglom trouglu?

U trouglu ABC dati su uglovi a = 44° i y = 78°. Na pravoj AB uocene su tacke DiE, tako dajeD - A - B - E i daje DA = AC i BE =BC. Izracunati uglove LADC i LBEC.

650.

636.

Dokazati da se simetrale uglova a i /3 trougla ABC seku pod uglom

Izracunati unutrasnj e uglove jednakokrakog trougla ako: a) Visina koja odgovara jednom kraku gradi sa drugim krakom ugao od 32°· b) Visine koje odgovaraju kracima seku se pod uglom od 48°;

I{J

72

= 90° + !.2

73

651.

652.

653.

654.

c) Visina koja odgovara kraku i vis ina koja odgovara osnovici seku se pod uglom od 127 0; . . d) Simetrala ugla na osnov ici sa nasprammm krakol11 gradl ugao od 69°. U jednakokrakom trouglu simetrala ug la naoosnovici i vi s ina k.o~­ struisana iz istog temena grade ugao od 15 . izracunatl unlitraSnj e uglove tog trougla.

Ako je M sre~ste stranice AC, N srediste stranice BC trougla ABC, tad a j e 2 MN - AB 1 MN II AB. Dokazati.

662.

Svaka stranica trollgla manj aje od polovine njegovog obima. Dokazati.

663 .

Zbir vis ina trollg la manj a j e od njegovog obima. Dokazali .

664.

Ako za stran ice trougla vazi a < b < c, dokazati :

a) a<

a+b+c

b) c>---":'

3

.

666.

Zbir tezisnib duzi trougla veci je od

jednakokraki.

667.

Sredista stranica romba su temena pravougaonika, a sredista stranica pravougaonika su temena romba. Dokazati.

668.

Sredista stranica j ednakokrakog trapeza su temena jednakostranicnog para lelograma. lspitati : kada je ovaj para lelogram romb, a kada kvadrat.

669.

Sredista stranica cetvoro llgla cij e su dij agonale medusobno nOTmaine Sll temena pravougaonika. Ispitat i kada je ovaj pravougaonik kvadrat.

670.

Ako je AA' tezisna duz trougla ABC, tada su tacne implikacije:

=

Na stranici AB trougla ABC uocena je tatka D tako da je BD Be. Ako je spoljasnj i ugao kod temena B 140°, a unutrasnji kod temena A 35°, dokazati da j e AD = DC.

U trouglu ABC spoljasnji ugao kod tem ena A j e 134°,. unutTasnji

Sirnetrala ugla

1

ugao pod

a trougla ABC gradi sa simetralom y, (spolj asnji

656.· Neka su u trouglu ABC uglovi fJ i y ostri uglovi i neka je fJ > Y. Do-

a) AA'

fJ-y 2 U trouglu ABC stranice AB i A C produzene su preko temena B i C i

= 90°- ~ .

.::....;-=---= PB i PC > PD, tada je PA = PC 1 PB = PD. Dokazan.

75

Duzi AM i AN su tangente duzi kruwice k( 0) koje odgovaraju tacki A. U tacki P na manjem luku MN kruwice konstrUlsana Je tangenta koja sece ove duZi u tackama B i C. Dokazati da je obim trougla ABC konstantan i jednak 2 AM. 677. Zbir unutrasnjih uglova bilo kog n-trougla jednak je (/1 --- 2) . 180°. Dokazati. 678. Zbir spoljasnjih uglova bilo kog konveksnog n-trougla jednak j e 360°. Dokazati. . . n(n --- 3) . 2 Dokazat!. 679. Broj dijagonala bilo kog n-trougla Jednak Je

676.

680. 681.

Tri unutrasnja ugla cetvorougla su 75°, 105° i 100°. Moze Ii se oko ovog cetvorougla opisati kruznica? Na datoj kruwici tacke A, B, C dele kruwicu na t~i dela. [zracunati unutraSnje uglove trougla ABC ako se delov! kruZnlce odnose kao

I : 3 : 5. 682.

684. 685.

Kolnstrui sati skup taeaka iz kojih se data duz AB vidi pod datim ug om a.

691.

Na datoj pravoj p odrediti tacku iz koje se data duz AB vidi pod da. tim uglom :

692.

Konstruisati trougao ABC ako je dato :

a) 45°;

a)a,lu,a;

b) 60°; b)b, h,, /3;

c) 75°;

d) a .

C)C, fc'Y'

693.

Konstruisati proavougli trougao ako je data hipotenuza i njena visina.

694.

Konstruisati jednakokraki trougao ako je data osnovica i ugao pri vrhu.

695.

Konstruisati jednakokrako pravougli trougao ako je data njegova hipotenuza.

696.* Konstruisati pravougli trougao datog obima i visine koja odgovara hipotenuzi.

Date su kruwica K(O) i prava a. Konstruisati tangente date kruznice koje su:

697.

Konstruisati kruznicu koja dodiruje datu pravu p i datu kruwicu K (0 , R) u datoj tacki M.

a) paraleine sa pravom a;

698.

Konstruisati kruznicu koja dodiruje dYe date kruznice K (0, R) i K, (0" R,), i to prvu u datoj tacki M.

b) normaine na pravu a. 683.

690.

Konstruisati kruZnicu koja sadrZi dam tacku A i datu pravu b dodiruje u datoj tacki B. Ako su b i c katete, a hipotenuza pravouglog trougla i r poluprecnik upisane kruZnice, tada je 2 r = b + c --- a. Dokazati.

699.

Konstruisati kruznicu datog poluprecnika r koja dodiruje dye date kruznice K (0, R) i K, (0" R, ). 700. Konstruisati kruznicu koja sadrZi datu tacku A i dodiruje dYe date paralelne prave a i b. 701.* Konstruisati trougao ako su dati jedna stranica, ugao naspram nje i visina koja odgovara toj stranici.

Konstruisati kruZnicu koja dodiruje dye prave koje se seku, i to jednu od njih u datoj tacki. Konstruisati kruznicu datog poluprecnika, koja sadrZi dYe date tacke.

702.

687.* Konstruisati trougao ako su dati dva ugla i poluprecnik opisane kruwice. 688.* Konstruisati trougao ako su dati visina i tezisna duz. koje odgovaraju istoj stranici, i poluprecnik opisane kruwice.

Konstruisati pravougli trougao ako su dati: a) hipotenuza i ortogonalna projekcija jedne katete na hipotenuzi; b) ortogonalne projekcije kateta na hipotenuzi.

703.

Stranice trougla ABC su: a, b i c, as poluobim trougJa. Dodim~ tacke upisane kruwice dele stranice trougla na odsecke: s - a, s --- b ! S --- c. Dokazati. Ako je krak jednakokrakog trapeza arinnericka sredina osnovica, u njemu se moze upisati kruwica. Dokazan. Tezisna duz trougla manja je od njegovog poluobirna. Dokazati.

686.

689.* a) Konstruisati kruznicu datog poluprecnika R koja dodiruje datu pravu h i datu kruznicu k (0, r).

704.

b) Konstruisati kruZnicu koja dodiruje datu kruznicu k (0, R) i datu pravu h u datoj tacki M.

705. 706.

Tezisna duz trougla manja je od poluzbira strunica izmedu kojih se nalazi.

77

707.

Tezisna duz pravouglog trougla koja odgovara hipotenuzi jednaka je polovini hipotenuze. Dokazati .

708.

Visina koja odgovara kraku jednakokrakog lrougla obrazuje sa osnovieom ugao jednak polovini ugla pri vrhu . Dokazati.

709.

Preenik AB i tetiva AC kmzniee k obrazuju ugao od 30°. Tangenla konstruisana u lacki C sece pravu AB u tacki D . Dokazati da j e lrou gao ACD jednakokraki. Na datoj pravoj odrediti tacku iz koje se dala duz vidi pod datim uglom .

710.

711. 712. 713.

U trouglu ABC odrediti lacku iz koj e se sve tri straniee trougla vide pod istim uglom. I lzracunati periferijski ugao nad kruznim Iukom jednak - kruzne . .. 12 1mlJe. Tackama A i B kruzna Iinija je podeljena na dva kruzna Iuka koji stoje u razmeri 5 : 7. izracunati periferij ske uglove koji odgovaraju kruznim lueima .

714.

Izracunati ugao izmedu tangente i tetive ako teliva deli kruznieu na dva luka u razmeri 3 : 7.

715.

Dva podudama kruga seku se pod uglom a = 60°. Izracunati u stepenima manji krufui luk odreden presecnim tackama.

716.

lz jedne krajnje tacke precnika kruzniee k konstruisane su tangenta i seciea koje obrazuju ugao a = 20° 30'. izracunati u stepenima manji Iuk izmedu tangente i seciee.

717.

U tetivnom cetvorouglu dva unutraSnja ugla na jednoj straniei iznose 152° i 134°. Odrediti dmga dva ugla cetvorougl a.

718.

Sirnetrale unutrasnjib uglova rna kog cetvorougla uvek obrazuju tetivni cetvorougao. Dokazati.

719.

U tangentnom cetvorouglu tri uzastopne straniee iznose 5 em, 9 em i 15 em. Izracunati cetvrtu stranicu cetvorougla.

720.

KruZniee k, i k, se dodiruju spolja u tacki A. Ako je prava BC njihova zajednicka spoljasnja tangenta, ugao BAC je pray. Dokazati.

721.

Ako se u tetivnom mnogouglu sa pamim brojem stranica unutrasnji uglovi oznaceredom saa"a"a J , •• • , tadajea, +a J +a , + ...= = a, + a 4 + a 6 + ... Dokazati.

722.

78

Ako se u tangentnom rnnogouglu sa pamim brojem stranica oznace stranice redom sa a" a" a J , •• • , tada je a l + a J + a, + ... = Q , + a, + as + ... Dokazati.

723.

Ako je u jednakokrakom lrouglu osnoviea a j ednaka visini koia

. .

5

J

odgovara osnovlel, tada je R = -8 a' gde J'e R poluprecn - ik oplsane . _ . klUzfllce lrougla. Dokazali . 724.* U pravouglmn trougl~ sim traia pravog ugla istovremeno j e i sime7 tral a ugla kOJ!. obrazuJu vlsma 1 tezisna duz. koje odgovaraju hipotenuzi. Dokazall. 725.

726.

Ako se iz svakog tern ena trougla i njegovog lezista konstruisu norm aine duzi na bilo koju pravu koja ne sece njegove stranice, onda je zblr normala IZ temena tn puta veci od normalne duzi iz tezista. 0 0kazan . Za unutrasnje uglove cetvorougla vaii produfua proporeija

a : 2 = f3 : 3 = y : 4 = LACB. 728.* Na straniei DC dalog kvadrata ABCD dala j e lacka M. Simetrala ugla BAM sece stranieu BC u lacki N. Dokazati daje AM =DM + BN. 729.* Dat je pravougaon ik ABCD u kome je AB > BC. Tacka B, je simelriena tacki B u odnosu na pravu AC, a E je presek praviJl AB, i CD. Dokazati da su trouglovi ADE i CEB, podudarni. 730.* Ako su AM i BN visine trougla ABC, lada je cetvorougao ABMN tetivni. Dokazali .

731. * Neka su uglovi nalegli uz vecu osnovieu jednakokrakog lrapeza jednaki 60° i neka j e manja osnoviea jednaka kraku . Dokazati : da su dijagonale ovog trapeza normalne na kraeima. da polove uglove uz vecu osnov ieu i da se seku pod uglom od 60°. 732.

Neka su D, E iF dodime lacke upi sane kruznice u lrouglu ABC. Dokazati da su uglovi trougla DEF, 90· gde su uglovi a

733.

,f3

!:., 2 90· -

f,

90· - _

i y uglovi trougla ABC.

Simetrale uglova trougla ABC, seku opisanu kruznicu oko trougla u tackama X, Y, Z. Uglovi trougla XYZ su: 90· -

%, 90' - %,

Dokazati . (a , f3 , Y uglovi trougla ABC). 2 U trouglu ABC razlika dvej u stranica jednaka je razlici odse~. on koje je podeljeoa treca stranica dodimom lackom uplsane kruZOlce. Dokazati.

90" -

734.

f!... 2'

1::.

79

735.

Data je poluk.ruZnica precnika AB. Na kruznorn luku date su tacke D i E. Tetive AD i BE, kao i tetive AE i BD seku se u tackarna F I G (tacka F ne pripada polukrugu). Dokazati da je FG .L AB.

736.

Neka je ABCD kvadrat upisan u krug, a P je rna koja tacka na luku AD. Ugao DPA je tri puta veci, od rna kog ugla doblJenog spaJ anJern tacke P sa dva uzastopna ternena kvadrata. Dokazati .

737.

Ako se u pravilnorn petouglu dYe nesusedne stranice produze do svog preseka, oba produZetka jednaka su dijagonali petougla. Dokazati.

752.* Datj e provougli trougao ABC (ugaoC pray) . Neka Sll AD i BF simetrale lIglova (tacka D E BC, F E AC). Tacke MiN su onogonalne proj ekcije taeaka F i D na hipotenuzu. lzracunaj ugao MCN .

738.

Visina rornba polovi njegovu stranicu. Izracunati ugao izmedu visioa romba koje same terne tupog ugla.

753.

Dat je trou gao ABC. Va n trougla konstrui sani su kvadrati ABDE i ACFG. A ko jeCE n BG = {H I, dokazati daje CE =BGiC£J..BG.

754.

Izracunati uoutrasnj i ugao prav ilnog mnogougla, ako je razlika broja dij agonala i straoica 25.

755.

Koji pravilan moogougao ima tri puta veci ugao od spolj aSnjeg?

756.

Izracunati zbir unutrasnjih uglova u vrhovima petokrake zvezde.

757.

Spo ljasnji ugao pravilnog mnogougla je devet puta manji od unutrasnj eg ugla. lzracunati broj dijagonala log mnogougla.

758.

Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveea za 2, tada 'e centralni ugao smanji za 6°. Odredi ti broj dijagonala mnogougla .

759.

Koliko dij agonala ima pravi ln i mnogougao, ciji je zblr unutraSnJlh uglova I 260 ~ Za koliko se poveea zbir stranica poveea za 5? .

739.

Pr~secne tacke simetrala unutrasnjih uglova pravougaonika su te-

750.

S i rnetra l a tl~pog ugla paralelograrna sece jednll njegovu stramcu pod uglorn kOJ I Je Jednak Jednorn od uglova paralelograrna. Izracunati laj ugao.

751.

Sirnetrala ugla koga ci ne dijagonala i stranica romba obrazuje sa drugorn stranicom ugao od 66°. Izraeunati uglove romba.

rnena kvadrata. Dokazati. 740.

Datje krug sa centrorn O. Tangente konstruisane u krajnjirn tackarna precnika AB, seku proizvoljnu tangentu u tackarna C i D. Dokazati da je ugao COD pray.

741.

Projekcije dijagonale paralelograrna na rna kojoj pravoj jednaka je zbiru projekcije dye susedne stranice na istoj pravoj. Dokazati.

742.

Ugao izmedu simetrala dva uzastopna unutrasnja ugla cetvorougla jednak je poluzbiru druga dva ugla tog cetvorougla; a ugao izrnedu simetrala dva uzastopna spoljasnja ugla jednak je poluzbiru ta dva unutaSnja ugla. Dokazati.

unutra~ njih

743.

Ostar ugao izmedu simetrala suprotnih unutraSnjih uglova cetvorougla jeclnak je polurazlici druga dva ugla. Dokazati.

760.

744.

U trouglu ABC simetrale spoljasnjih uglova kod ternena B i C seku se u tacki O. Dokazati da je ugao BOC = 900 _ a . 2 U trouglu ABC, razlika uglova y i f3 iznosi 90°. Simetrala ugla a obrazuje sa stranicom BC ugao od 45°. Dokazati.

761.* Ako se broj stranica mnogougla poveea za I I, ooda s~broj njegovlh dijagonala poveea za 199 1. Odredi ti zbl r unutra~nJlb uglova tog mnogougla. 762. Na hipotenuzi B C pravougl og trougla ABC date su tacke DiE . takve . da je BE = AB i CD = AC. Izracunati ugao DAE .

746.

Vis ina koja odgovara kraku jednakokrakog trapeza jednaka je polovini vece osnovice trapeza. Izracunati uglove trapeza.

747.

U pravouglorn trouglu hipotenuza je dva puta veca od jedne katete. Izracunati ostre uglove trougla.

748.

U trouglu ABC vi sine AF i CE seku se u tacki O. Ako je CO = AB, izracunati ugao A CB.

749.

U jeclnakokrakom trouglu simetrala ugla na osnovici sece krak pod uglom, jednakim uglu na osnovici. Izracunati unutra~nje uglove jednakokrakog trougla. .

763.* Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveea za dva njegov ~ ugao poveea za 9°. Odrediti broj stranica moogougl~ (KlaslfikacloDi ispit iz rnaternatike za up is na tehnicke I rnaternatlcke fakultete u Beogradu 1991.) 764. * Tetiva kruga je za 2 manja od precnika, a odstojanje centra kruga ad tetive za 2 manje od poluprecni ka kruga. Izracunatl duzm.u teu\ e (prijemni ispil iz malernatike za UPIS oa Beogradskl uDlH fZllelJ una . 1991.)

745.

80

uglova mnogougla, ako se broJ

765.* Nekaje u trouglu ABC, AB = AC i ugao kod temena A yet i od 30° i nekaje D tacka na stranici BC takya daje AE = AD. lzracunati ugao EDC. (Prijemni ispit iz matematike za upi s na Beogradski uni yerzitet, juna 1992 .) 766.

Dat je jednakostranicni trougao ABC. Ako se sye tri stranice trougla produze za duzi jednake stranici datog trougla tako da j e A - B - A i A - C - B, i C - A - C" tada je trougao A, B, C, jednako~ stranicni. Dokazati.

767.* Oko trougla ABC opisana je kruZnica k i u tacki C konstruisana je tangenta 1 na nju. Ako praya p para Ie Ina sa tangentom 1 sece strani cu AC u tacki E, a strani cu BC u tacki D , tada j e cetyorougao ABDE tetivni. Dokazati . 768.* Oko trougla ABC opisana je kruznica k i u tacki C konstuisana je tangenta 1 na nju . Ako kruznica k, koj oj je precnik strani ca AB trougla ABC, se6e stranica AC i BC u tackama MiN dokazati da je duz MN paralelna sa tangentom I. 769.

770. 771.

772.

773.

Ugao izmedu krakoya trapeza je pray. Dokazati da j e zbir kyadrata dijagonala jednak zbiru kyadrata osnoyica. . U prayougaoniku ABCD je AB = 2BC. Na stranici AB dataje tacka P takya da je LAPD = LDPC. Izracunati taj ugao. U kyadratu ABCD je M srediste stranice CD , a N je srediste stranice AD. Duz BM i CN seku se u tacki E. Dokazati da je: a) BMl.CN ; b) AE = AB. Dat je paralelogram ABCD. Ako tailka FE AD, F - D - A i DF = AD. Tacka E E AB, A - B - E i AB = BE. Dokazati da je F-C-E. Ako se iz rna koje tacke na simetrali datog ugla xAy konstruisu paralele sa kracima do preseka sa kracima dobiyeni cetvorougao j e romb. Dokazati.

774.

Pod~ozja norma~a konstruisanih iz tacke preseka dijagonala romba na nJegoye stramce Jesu temena prayougaonika. Dokazati.

775.

Simetrale unutrasnjih ugloya prayougaonika obrazuju kvadrat. Dokazati.

776.

Ako je manja osnovica trapeza jednaka zbiru krakova simetrale unutr~njih uglova na vecoj osnovici seku se na manjoj ~snovici. Doka-

zall.

777.* Ako je vee a osnoyica trapeza jedn aka zb iru krakova. ~ imetrale lIgloya na manJoj osnov ici seku se na veeoj osnov ici. Dokazali . 778.* U syakom konyeksnom cervoroug lu zbir dijagonala je eci od zbira dYeJlI naspramlllh strani ca. Dokaza ti . 779.* U konveksnom cetvorouglu zbir dijagonala je veei od poluobima. a manji od obima toga cetyorougla. Dokazati . 780.

U konveksnom cetyorollglu zbir dya spoljasnja ugla jednak je zbiru dva unutrasnja ugla koj i im nisu susedni . Dokazali .

78t.

Dat je trougao ABC. Poluprecnik OA kntga opi sanog oko trougla normal an je l1a prayu B,C" gde Sll B, i C , podnofja visina konslruisanih iz temena B i C. Dokazati.

782.

U jednakokrakom trouglu ugloyi na osnoyici su dva puta vee i od ugl a pri yrhu . Osnoyica trougla je stranica praYilnog pelougla upisanog 1I kruzni ci opisane oko trougla. Dokazati .

783.* U kruznici k(O ,R) upi sani su kvadrat stranice a i jednakostranican trougao stranice b. Dokazati da je a' : b' = 2 : 3. 784.* Ako se iz sredista jedne katete prayouglog trougla konstruise normala na hipotenuzll , tada je razlika kvadrata odsecaka hipotenuze j ednak kvadratu druge katete. Dokazati. 785.

PoslOji Ii mnogougao koji ima: a) 1710 dijagonala: b) 1988 diJagonala . Koliko stran ica imaju trazeni mnogougloyi ?

786.* Neka je D tacka u kojoj krug upi san u pravougli trougao ABC dod,ruj e hipotenuzu AB. Dokazati da tada Yazi jednakost

AC · BC = 2AD ·BD. 787.

Ako se broj stranica konveksnog mnogougla poveea za 5, onda se broj dijagonala po vee a za 45. Odredltl broJ srraOlca prvObltnOg

788.

mnogougla. Oko jednakosrranicnog trougla ABC opisana je kruznic~. a luku BC data j e proizvoljna tacka M. Tada Je BM + eM - AM. Do-

789.

kazati . Ako se broj stranica konyeksnog mnogougla. po~eCa za 5, onda se ao broj dijagonala poveea za 1990. Koliko straOlca Ima rnnogoug sa

790.

takvim osobinama? Broj dijagonala konveksnog mnogougla je 8 puta veei ad broJa stranica. Odrediti zbir unutraSnjih uglo a tog mnogougla.

3

82

VI

797.

GLAVA

6. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI

798.

DatjepolinomP(x)=(r+I) ' _{r+2)(x '+2 x - I) . Sre' d"lit po I'1. .. ' . nom P( x) po opadajuclm stepenima. Odrediti realne parametre a, b, c, tako da su IJolinom' P( ) . Q( ) 'denth;no 'X . d I X I X je na k'I :

I

6.1. Polinomi i opcracijc sa njima

a) P(x) = 2x' - 9x'

+ 13x - 6

= 6x'

+ 29x -

b) P (x)

Definicija 1. Neka su ao,a" a" .... a n dati real ni broj evi. Presli kavanje P kojim se realan broj x preslikava u relan broj ( I) aox· + a,x·-' + a,x·- '+ ... +a" naziva se realan pohnom. Definicija 2. Ako je a o '" 0 broj n naziva se step en polinoma P. sto se zapisuj e n = st P i kaie se da je polinom P n-tog stepena po x. Polinom (\) je sreden po opadajucim stepenima. Polinom moze da bude sreden i po rastucim stepenima promenljive. Bezuov stav. Ostatak r deljenja polinoma P(x) sa x - a, gde j e a konstanta, jednakje p ea), tj . r = pea). Ako je ostatak r = pea) = 0, polinom P( x) je deljiv sa x-a. Potreban i dovoljan uslov da polinomi P( x ) i Q( x) budu identicki jednaki je da koeficijenti njihovih odgovarajucih clanova budu jednaki. 791.

Srediti polinom 2x + 3x ' - 4x + 5x' + 2x' penima.

792.

Sreruti polinome: a) 5 + 2x - 3x' + 4x + 6x' - 2; b) x' + 2x' - x + 4 + 2x' - 3x' - 3 - x' po opadajucim stepenima.

+

I - x' po rastucim ste-

- 23x'

c) P(x) = 12x' - 40x' d) P( x) = x ' - 2x'

e) P( x)

799.

= 2x' -

x'

+ 27 x -

+3 + x+ 4

i Q(x) = ( x - 2)(a1" + bx + c):

+ bx + c); 5 i Q(x) = (31' - I)(ax' + br + c): i Q(x) = (x + I)(al" + bx + c); i Q( x) = (x + 2)(aT ' + bx + c).

12 i Q( x) = (x - I)(ax'

Odrediti kolicnik polinoma: a)(2x' + x- 3):(2x+ 3); b)(3x' c)(2x' + 5x' + 7x+ 4) :(x+ I); d)(2 x' + x' + x- I) :(x' + x + I),

800.

802.

IO ) :(x+ 2);

Odrediti kolicnik polinoma: a)(a'-b'):(a+b);

801.

+x-

b)(a' +b' ): (a+b);

c)(a ' - b ' ) : (a' + ab + b'); d)(x' - 3x' + 3x - I): (x' - 2x + I). Dat je polinom 2a,x' - 4x' + ax - 2a, gde je a jedan parametar. a) Odrediti parametar a tako da dati polinom bude deljiv sa x - 2: b) Odrediti vrednost para metra a tako da ostatak deljenja datog polinoma sa x - 2 bude - 8. Za koje je vrednosti realnih parametara a, b. c polinom F(x) deljiv blnomima: x - I, x + 2. x - 3; a)F(x)= x' +ax ' + bx+c;

793.

Odrediti zbir polinoma 5 + 2x + x' i 6 + 8x + 4 x' + 8x'.

794.

Pomnoziti polinome x' + 2x - 7 i 2x' - x + 3.

b)F( x) = x' - x' +ax'

795.

Dati 5U polinomi P(x) = x' + 2x' - I i Q(x) = x' + x + I. Odrediti polinome: a) P(x) + Q(x); b) P(x) - Q(x); c) P(x)· Q(x).

Koristeci Bezuov stay iii na neki drugi naCin, odreruti ostatak deljenJa polinoma (803-806):

796.

Dati 5U polinomi: W(x) = - 2x' + 3x - I; P(x) = 4x' - 5x + 3; Q(x)=-3x' - 8x+ 7. Odrediti polinome: b) W(x) + P(x) - Q(x); a) W(x) - P(x) + Q(x); c) W(x) - PCx) - Q(x); d) 2W(x) - 3P(x) + Q(x); e) - 3W(x) + 2P(x) - 5Q(x).

84

+ 3x '

803.

(2x' - x'

804.

(3x· - 2x 5

805.

(x'

806.

(2x' - 4x' - 6x'

+ 2x'

- 4x+ I) :(x - I).

+ x' -

- 3x'

+ bx+c?

4x - I) :(x+ 2),

+x-

I): (x

+ ~).

+ 2x - 8): (2x - 3). 5

Odrediti ostatak pri deljenju po linima P(x) po linomol11 f {x) (807-

6.2. Rastavlj a nj e po lin om a na cin iocc

811 ): 807.* P (x) = 808.* P(x)

X 200 -

= X'OOO -

809.* P ( x ) = x 'ooo -

3X ' 99

-

Za rastav pol inoma r . .ljanje " .na cini oce koriste se slede CI,. za'k om" I .onnule: I . Dlstn bllll vm zakon - Izdvajanj e ci nioca ispred za rade

1, f(x) = x' - 4x + 3.

+ 2, f(x) = x' 125x ' 997 + 5, f(x) = x'

4X'998

2. Grup isanj e clanova

- 5x.

811.* Ako polinom P{x ) pri delenjll sa x - I daje ostatak 6. a pri delenjll sa x + 2 ostatak -3 , odrediti ostatak pri delenj u P{x) sa {x - 1)( x + 2)

813.

Odrediti realan raram~tar m tako da poli nom p(x) = x + mx + 3x ' - 2x + 8, bude de lJl v sa x

Za koj e je realne vrednosti parametra n po lino m p{x ) = x' - 311x' + 4( /1 ' + I) x - (n ' + 5) delj iv sa x - I? Odrediti realne vrednosti parametara a i b da polinom

tak 2.

a J - b J = (a - b){ a' + ab + b'). 7. Zbir kllbova J a + b J = {a+ b)(a' - ab + b' }. 8. Kub raz like

a J - 3a' b + 3ob ' - b J = (a - b)' = (a - b)(a - b)(a - b).

9. Kub zbira ___ 823.

817.* Za koje je realne vrednosti parametra m pol inom p{x)= mx ' + Il x' + 7 x + mdeljiv sa 2x+ 3? Od~editi realne brojeve m i /1 tako da polinom p(x) bllde delj iv pohnomom f ( x ), zatim odrediti njihov ko licnik Q( x) (818-822 ):

818.

p(x) = 6x ' + II1X' + 27 x ' + nx' - 5x + 6, f{ x ) = 3x' - 5x + 6.

819.

p(x) = 2x' + 5x' - 17 x' + mx + n, f( x) =, 2x' - x - 6.

820.

p{x ) = x' - 3x' - 4, f( x ) = x '

821.

p(x ) = x'

822.

p(x)

86

= x' + 2x' + 5x ' -

+ II1X + n.

=x ' -

x + n.

= (a + b)(a + b)(a + b).

D okazati identitete:

824.

K oristeci formule (a + b)' = a' kvadrat izraza: b) 3xy - 4; a)2x +3y; d)a- b- c;

f{x) = x ' - x + I.

4x + m, f ( x)

a J + 3a' b + 3ob ' + b J =(a + b)'

ala' - b' = (a- b)(a+ b); b)(a - b) ' = a' - 2ab + b'; c)(a + b) ' = a ' + 2ab + b'; d) a' . - b J = (a - b)( a" + ab + b'}; / e) a J + b J = (a + b}{a ' -ab+ b'); f) (a - b )1 = a J - 3o' b + 3ob ' - b' ; J g)(a + b)J = a J + 3o ' b + 3ob ' + b

· po I'mom p () Dat Je x = x 4 + x , + ax', + bx + c. Od rediti realne bro· j eve a, b i c tako da pri delj enju datog pol inoma sa: x - I, x ~ 2, x - 3 ostaci deljenja budu redom I, 2 i 3.

+ II1X ' + nx - 3,

,

a ' - b' = {a - b){a + b }= {a+ b}(a- b}. 6. Razlika kubova

Odrediti realan parametar m tako da polinom

p(x ) = ax' - bx' - 5x + 4 pri deljenju sa x + 1 daje ostatak 6, a pri delj enju sa x - I daj e osta· 816 •

.

a' + 2ab + b' = (a+ b) ' = (a+ b){a+ b). 4. Kvadrat razli ke V a' - 2ab + b' = {a - b)./= (a - b)(a - b).

+ 2.

x - 3.

815.

3. Kvadrat zb,ra

5. Razlika kvadrata

p{x )= 9(x - m)'{5x - 16) - (x -1 2)( 7 x -1 9) ' , bude delj iv sa 814.

ax+ay + bx + by = x(a+ b)+ y {a+ b)={a+ b)(x + 1').

J

810.* Polinom P(x ) pri delenju sa x + I daje os tatak 3, a pri delenj u sa x - I ostatak 5. Odrediti ostatak pri delenj ll P(x) sa x' - I.

812.

g

ab ±ac = a{b ± c).

2x.

g) 3x -

J3;

+ 2ab + b'

sleva nadesno, odreditt

c)a+b+c;

+ I;

e) 100 - I;

f) I 000

b) a..fi + bJ3;

i).!. x _l.. 2 4

825.

826.

Odrediti kub datih izraza:

a) x + 2;

b) x - I;

d) ax + by;

e)

"

Xl + 3a/;

2

~

~

c)2 x-3y; I a t)- - -.

3

Dopuniti date polinome tako da postanu kvadrati binoma, zatim ih oapisati kao kvadrate biooma:

a) x' + 2x+ ".; , d) x - 4mx + ... ;

b) x ' -12x+ .. .; , 4 . e) a +"5 a + .. .,

c)a' - 24a + ... ;

g)I-4p+ . ..;

h)a ' -ab+ ... ;

h) 25x'

t) a ' + 2.)5;; + .. .;

9 x '+4 y ' + ... ,' k) x '+ y ' + ...,. J.) 16

I)a'

... ;

'1 d)--a" 16

'

g)a' - b';

4

,

,

49

b) - x - - y ' 16' 25

c) - m - 36' 81 '

e) 144a' -' 25x' ;

t) 169x' y' - I;

h)a "" - b"'.

830.

a)(2a+b)'-(x+3y) '; b)4(a-b)'-(2a+I) '; c)(x + 3y)' - 9(x - y)' ; , , d) 4(a + b) ' - (5 - e)' . , , , x y a)8la -!6b; b)81-~25; c)(3x -I)--25;

f)

d)(X-~) -~; e)(2x-F-2~; f)(x- ~r-~ Koristeci formulu a] - b] = (a - b)(o' a)x ] -1; b) x] - 27; 6

d) 64a] - b ; g) 125x] - 8.

88

e) 343x] - 27 y];

+ ab + b '),

rastaviti izraze :

c) 1- 270 ];

f)

+ 5) ' + 343.

) I + 0 00

e

,

'.

]

Ix;

l)(x+I) '+ 125;

b) O.Ol x '

+ XY+25y';

c)a ' +0+ 0.25; 9m2 1)16+ 4+ 3m.

ala ' - 6a'b+ 12ab ' - 8b] ;

b) 27x ] + 27x'y+ 9.ry'

+ y];

c) I + 15m+ 75m' + 125m ' ; d) 8x] -12x' + 6x- I; I I , , , e) - + - a -+a + a ' 27 3 . , I) 27m' - 108m'" + l44mn' -

64,, '.

Koristeci distriburivn i za kon. rasrav,ti na cinioce polinome (836838):

a)(a+ b)' -c'; b) ( x' + y)' -I ; cHx- 2y)' - 9z'; d)(a - 5b)' - a'b'; e) 0,49a' - ( x - )')' ; I - (2x - 5y') '.

S

\I '.

'

a J + h ). raSlav lll Izrazc. c) 8a ] + b ];

9 x' - (.fj) ';

829.

831.

8"

, _ I

Ras taviti na cinioce polinome:

835.

c) 16-a ';

9

+-

6~;

a

d)-2 yz + y' +z '; e)a'-8a 'e +16e';

h) 0,25x' y' - 0,0001.

.!.a' -.!. b' · 4 9 '

d) 27

b)a ' b' +

L.-J a) 4x- + 4x + I;

------

f)

+~;

+ b ] = (a + b)(

)83.Zl Rasta,viti na cioi oce polinome:

Koristeci formulu a' - b' = (a - b)(a + b), rastavi ti izraze (82 71):

b) y' - 25; e) 9a ' -I ;

a) x

J

g) (a

+ 1 + .. .;

+ 0,2 5 -

Koristeci ronnulu a ]

1 0000 ] _ O,OOlb ];

--836.

t;

-

b J a)a '-- a; b)12a S +18a; H d) 2a ' + 6a"; e) xa m +" - xa m ;

. 837. a)' 4ab + 12ae - 8ad; ~'\ c)9aJ b'-6a'b+12a ' ~] ;

c)mr-m'r; I) 2So"'" - ISo" ' .

b) 2(a + b) + x(a + b); d) a(x + I)-b(x+I).

,

"f

~ la)3(x+ y) +ax+0' b)m(x-Y)+l1x-I1), r c)ae+ad- pe - pd; d)a 'x +b'y+a'y+ b'X; e) b(x - 3) + c(x - 3) + 3 - x; p(x+ y + 1) - q(x + y + I)+r( x+ y + I).

f)

Kombinacijom metoda grupisanja i distributivnog zakona. rastaviti oa cinioce polinome (839 - 840): 839. 840.

a) a] + 4a ' + 4a + 16; b)a ] -a'b+ 2ab' - 2b' . J c) x - 3x' + 3x - 9; d) 4a' + 2ab+ 2ac+ be. a) 14ab + l5ac - lOa' - 2 lbe; b) az ' + bz' + az + bz + a + b; c) 8x-' y J z·' - 6xy ' + 16 x ' y J=' - 12· .\ J Y '.. J d) a + a ' b - a 'e - abc;

9

e)o'x + o'v - ox - ay + x + y; f) ax "- + bx- - bx - ax + c-x-, - ex.

852.* a) x ' + x + I;

853.* a) x ' ( y - z) + y'(z - x) + z ' (x _ y );

Rastaviti na cini oce s ledece kvadratne trinome (841-842 ):

b) 111 ' + 6111- 7; e) o' + 50 + 6;

) 84l.7 a) x' - IOx + 9;

L-J d)x' + 7 x + 10; a) 2x' -5x- 3; d) 3y' +20y +J2;

\~

~~ 844. 845.

."Lb) x ' - 2xy + y' - 9; c) 4 - p- + 2P!L.::: q- ; d) 16m ' - 9x ' + 12xy- 4 /; e)a' b ' + e'-:'" 20be - 25; f) x' -1- 2y - yo. b) x " - y -x+ y, d) a'

_

a) 7 x'

a) b'

_

,

I

y-= ;y-

+ ab' -10 -

a) x' - x ' c)xJy' -

.,.,

-

r'-

+ 2x' - 63 x - 8;· x' + yJ; 4b;

c)a ' _a' +a' - I;

849.

- 4a - 4.

P(x) = x' - 2x ' - 7x' + 8x+ 12. P(x) = x' - 2x' - x + _

856.

P(x ) = x' + x ' - 16x' - 4x+ 48.

857.

P( x) = x' - 13x' + 36.

858.

P(x)

859.

P(x) = x' - x' - 13x' + 13x' + 36x - 36.

860.

P(x) = x '

861.

Dok azati Diofanlove identitcte: a)(ax+ by)' + (ay - bx)' = (a ' + b' )(x' + y'): b)(ax - by)' + (ay + bx )' = (0 ' + b' )(x' + y'); c)(ax+ by )' - (ay + bx )' = (0' + b')(x ' - y' ).

+ 27x' - 27; x J - y J + I;

b) x' - x' - x .,.,

862.

Dokazati Lagranzeve identitete: a) ( x' + y' )(0 ' + b' ) - (ax + by) ' = (bx - ay) '; ." , - (aY+ b1'+e:)'' b) (x-" - ) y- " + 2)-)(0+ .b-,+.c-)

,,,,.,-...

-------....-

+ I;

~.,

d) x- y- - X' - y-

+

b) x' + 2x' - x - 2; d) p ' x ' - q' x ' - p '

I.

+ q '.

864.

.--.

+ 1) + (x -

3)(2x - I) - (x - 3)(x'

d) fx + 1)( 4x - 3) - (x + I )(x' - 4) - (x + 1)(x' a) 5x" + 2

-

c) 12x'u + J

20x"; -

27 X U +

851.· a) x' + 4; c)a' +a'b'

b)a"b '" -4a"b" ; ';

d) 4a'" - 100a". b) x·

+ b';

+ 4y';

d) I + x'

3x' - 5x '

+ 3x'

+ 15x' + 4x -

- I lx' - 2h'

+ 4);

+ 2x - 3).

865.

12.

+ lOx + 24.

=

+ (ey - bz)' + (az - ex)'.

Dokazati identitet:

(0 - b) ' + (b - c)' + (e - a )'

d)a ' b ' -a J + 8b' - 8.

a)(x- y)(x' - z')-(x-;- z)(x' _ y ' );

) (x - 3)(x' - x

=x ' -

= (bx + oy)' 863.

b) a'" - I;

b) b(b + 3)(b':' 4) - (2b - 7)(b + 3) + b' - 9;

850.

854. 855.

111 ' + 211111 + II ' - x' + 2.\)' - y' ; c)ax - bx-a- + 2ab- b- ; d) 9+ 6a+a - - b- - 2be - e-.

c) .;-; -

848_

+ a'

Koristeci BezlIov Slav, rastavi li na ci nioce polinome (854-860).

a) 2x - 2y - x' + 2_\), - y'; b) ""'----

847.

+ 110 + 4; f) 6b' -3 9b + .!.8.

c) 60 '

+ ~ab -l:. b' - e,' :

.,

846.

f)x- - Il x+ 24.

b) 2x' - 9x - 35; e) 0' +0-2;

a)a--b -I+a- b; " c) 4a ' - Ill ' - 2a + m,

b)(x + y+ ~) ' - x' _ y ' - z ' ; c) (x' + 5x)(x' + 5x+ 10) + 24; d )(x' + 7x)(x ' + 7x+ 22)+ 120.

c) 2,x' -I Ox- 12;

Kombinacijom raznih metoda rastaviti na faktore polinome (843853 ): ~ a) 0 '

b) x' + x' + I.

= 3(0 -

b)( b - e)( c - 0).

Dokazati da je polinom P(x ) = x" - x ' + x' - x + I pozitlVan za svako x . Dokazati daje polinom P(x) = 11 6 - II ' + II' + II' - II + I pozItivan za sve realne vrednosti n.

866.· Dokazati identitete: a) (0 + b + c) ' = a ' + b' + e' + 2ab + 2ae + 2bc; b) (0- b-e) ' =0 ' + b' + e' - 20b - 2ae+ 2bc;

c)(o+b+ e +d)' = , , _ , = 2ab+ 20c+ 20d+ 2bc + 2bd+ 2cd+a- + b- +c- +d ; b" . d)(o'+b ' )(o'-o "-b - +b , ) - (0 l - b ')( 0 ' + b l ) -_

+ x' . )1

e) (x+ y +

+( x + y - z) ' + ()' + z-

Z )'

X )'

+ (z+ x - y )' =

+ y' + z' ). 867.* Akojea ' + b' +c ' = u i a+ b+ c = v, tadaje

6.3. Operacije sa racionalni m algebarskim izrazima

= 4( x'

, c-, +ab+ac +bc = -1 (u+ ,'-. ' ) D0 kazau.. a-, +b-+ 2

868.* Ako je a + b = u i ab

= v.

tada je a

J

Neka su: A, B, C, D , M polinomi razliciti od nule. 1°. Kolicnik dva cela raeionalna izraza (polinoma) x . d 1'1 r" ' . ' pn. cemu JC e I ac raz lelt od Ilule, nazlva se opstt algebarski razlomak, tj .

p Q'

+ b J = u(u ' - 3v ). Dokazati.

869. * Dokazati da je pol ioom , b, -1 +a-+

~ -I a+ -I

4

2

d . b", -ab "' ) . k varattnnoma.

2

Kombinacijom raznih metoda rastaviti na faktore sledece polinome (870879): 870.

X" - X

S

+ x' -

4(ab + cd)' -(a' + b' -c' - d')'. 872. (x + y + z + xyz)' - (xy + yz + xz + I) '. 873. ( x' _ y ' )' + 2(x' + y' ) + I. 874. a 6 + a s + a' + 2a J + a' + a + I. 875. x' -7 x 3 y+Sx' y'+3 1xy'-30y ' . 876.* (x' + 4x + 8)' + 3x(x' + 4x + 8) + 2x' .

+ x+ I)(x' + x+ 2)- 12. (x + I)(x + 3)(x + S)(x + 7) + 15. (x' + x+ I)(x' + x' + I ) -I.

877.* (x' 879.*

Dokazati da je dati polioom kvadrat drugog polinoma (880-887):

880.

36x· + 12x ' + I.

881.

4(x+ b)(x+ b-a)+a'.

jednim istim polinomom (broj em) razlicitim od nule, tj.

P:M P Q: M = Q' (Q, M "" 0). 4°. Zbir (rafzlika) opstih razlomaka jednakih imeoilaea je identicki jednak opstem razlomku istog imenioea, a brojilae je jednak zbim (razliei) bro ioea, tj . A B A ±B C ± C = -C- , (C., 0).

5°. Proizvod dva opsta razlomka identicki je jednak opstern razlomku ciji je brojilac jednak proizvodu broioea, a imeoilae jednak je proizvodu imenioea, razlomaka koji se mooie, tj . AC A C B . D = BD ' (B ,D" 0).

6°. Kolicnik dva opsta razlomka identicki je jednak proizvodu razlomaka deljenika i reciprocne vrednosti razlomka delioca, tj.

882.* (x + I)'(x' + I) + x' . 883.* 9(a'+

2°. Vre~ost razlomka se. ne menj a ako se brojilae i imenilae pomnoze Jedmm ISUm algebarsklm Izrazom (brojem) razlicitim od nule, tj . P PM Q = QM ' (Q, M "" 0).

3°. Vrednost opsteg razlomka se ne menja ako se brojilae i imenilae podele

I.

871 .

878.*

A :C = A . D

a\)-24(a+~)+34.

BD

885.* x(x - l)(x + I)(x + 2) + I. 886.* (x + alex + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a'.

92

+ I)'

- (a' - I)' (a'

+ I).

BC'

(B CD"" 0). "

Skratiti razlomke (888-896):

884.* a'+(a+I)'+(a'+a)'.

887.* (a'

(Q "" 0).

9ab

888.

4ab a) 6a' b;

889.

(x + 2) ' b) x(a;=t- b) ; a) a --'-::--~2ax+ 2bx 2a'(x + 2)'

b) 18ab;

7a'b . . 21ac' 3a'b'(x + y ) c) 450 '-bJ (x'' + 2xy + y-')'

c)

93

890.

Skratit i raz lomke (898- 907):

x' - x c ) - - -x ' + 2x' + x '

x' - 8x +16 xy- 4 y

I-a ' a) -; a -I

b)'::"""---

898.

(a+b) ' -4 ) a' -9 " e " 2a + 2b + 4 ' ab + 3b - a - 3 Sa ' + IOab + 5b ' x' - I 6a 'b - 3a ' - 3ab ' a) ., ., ; b) 2 ' , , ; c) ab' - a' b lSa - -15b I+a x -- x --a -

a) (a :

+a+

I ) ' - (a - I) '. (a - - a + I) ' - (a+ I)"

d) 891.

(ax + I ) ' - (x+a) '

(a' + b' + c' )' - (a' - b' + c')' d)

e)

4ab' - 4abc

a)

900.

a)

, ' ( l - x )( I- a-)

901.

)n b2n a 2n bm _ b a - a " b) _--=:~_.......:.._ _ a) a'n _ 2a ln bn + anbln ' a ln b m + 2a nb m + b m ' nl

II

892.

899 .

a 211 +

x' 893.*

) a x'

+ x' + I

+ 3x' + 2x' + 2x + I

; b)

b)

a' + 2ab + b' - 4 ., ." a- + 4a- b- + 4

d)

X

895.

a)

896.* a)

c)

,

-

5x + 6

x--3x+2

4a' b' _(a ' + b' - c')' ·

y -+ y +2

+ 3a -

x- -(a+b )x +a

a' - 4 -Ia- 21 ; a + 2a - - Sa - 6

+ 3x)lx- 21

d)

;

897.* Dokazati identitet

a' - (a' + 2a+ 2)'

'"

b)"

a+2

=---" 4

x' - 1+ 1x + Ixl(x-2)

11

"

Y -

X

x

s)

Y

Y ( 1- xy j" - x'y'(X _ y )"

"

a ' + b' + ab ' - 3a' b

" a ' - 2ab - b' ' , b' , , a - + - - c - - d - + 2(ab - cd )

+ 2(ac -

, + xy(x-+Y ' , - )+Y'

, + x-y " + y'

b) (mx+ ny)' - (nx + my) ' (ax + by) ' -(bx+ay) ' "

.

( ' " )x - +a'b' b) x - ,a-+b-

x - +(a+ b)x+ab

bd)"

a ' + b' + c' - d ' + 2(ab+ bc +ac) a ' - b ' - e' - d ' - 2( bd+ be + ed )" x ' + ax ' +ax+a - I

x' + bx ' + bx + b - I"

904.* a , + b ' + a(b "- + c')+b(a "- + c-) a ' - b' + a(b ' + c')-b(a ' + c' ) "

,"

y - 3y - l O x - 4ax , ; c) ,

(a+I)'+a+1

903.

905.*

a ' + b' + a' (b + c)+ b' (a + c) a J _ b' + a'( b+ c) - b' (a + c) "

" 906.*

x' - 6x' + Ilx - 6 (x' - 4x

an- \ + a n

I- a -a - +a a' bc - b'c + 2b 'c ' - be' 2

xlx-31+ x'-9 , , ; 2x - 3x - 9x 2

1

a' + a' b' + b'

2

; b)

_ a 2n -

a' +1-2a'

a' + b' - c' + 2ab , , ' a- + c - b + 2ac

2

I

a 4 + 3a' b' + b' - 2a ' b- 2ab'

894.* a) , c)

e)

X

"

. 3)

a' - b ' + c' - d ' 902.

aTl +) + an + 1 d) a ".. s -a " + ) ,

.t

b)x

(a + b) ' + (a + b) ' + (a + b) + I (a + b)' - (a + b)' + (a + b) - (

b

907.* (a + b + c)' - 5(a + b+ c) ' + 4 (a+ b+ c )' + 3(a + b + c) + 2 " 908. * Odrediti realne brojeve I, m, n ip da se razlomak

x' + lx' + mx' + IIX + p " " " , pos le skracivanJ3 svede na razlomak x + 3x- + x - 5 x ' - 4x+ 5 x-I

(

x' + (8x + 15) I x - 31- 27 , . 909.* A = x"-2x-3+ Ix-31 x ' -6 Ix -5 1- 25x . 910 .* A = , x" - x - 20 + 21 x - 51 x' - 24 1x - 101- 100x 911 .* A

= ,

a)

.

x" -9x -l0-3I x -l01 a' - 16 912.* A = a'-4a'+8a ' -16a+16'

c)

914.

915.

916.

a) a' - 2a i a' + 2a; c) a' + 20b + b' i a'

-

b' ;

b) x' - 2x + I i 3x' - 3; + 6y.

c)

918.

923.

924 .

4 - x' , x - 2 i 2x' - 8x + 8;

b) a' + 8a' + 16a i a' + 12a' + 48a + 64;

+ a' + a + 1 i a' - a' + a-I. a) 9a + 15. 360 ' - 100 i - 9a' + 30a - 25; b) 2ay' - 20, y' - 2y' + Y i 5y' + lO y' + 5y; c) 4a' + 4ab + b', 4a' - b' i 8a ' + b I a) 3x' - 12x' + 12 x, Sx ' + 20x' + 20x' i 3nx' - 12n; b) 4x' + 4xy+ y', 4x' - y ' i 12x' - 12x'y + 3xy" 3 ":2 2 c) 3x - 12x" + 12x, ax + 4ax + 4a i 3bx - 12b, 1

Uprostiti racionalne izraze (919-950): 919.

3 5 7 x +3 x-I a) - + - - -; b ) - - - - - ; x x x 4 4 2x + 1 3x + 1 x - 2 d)~+~-~;

C)

m+n lIl-n 33 '

- - + - -'

e) x - 3 _ x + 3

x -5

x' - 4

+ ,

b

a" - ab 3 + 2x

d)2m~3p 1/1 " p

0+ b ab 2 - 3x

- --;

0 ' -

a' - 4

a- I

- - - 2' 2- d '

4m - 5p mp "

a

b)

+-----. 2- x x+2 '

a" -a- 6

8'

__ _ ' a + 3b

9b '

I

2

x - x

I - x'

I

d)-,- - + - - + - x'

b)

5x x ' - 6x + 9

d)

,5 _ 4 - 3y' 2y " + 6y y' - 9

+ x'

3x - I x' - 9' 3.

'\

c) 2a' - 2. a'

917.

,

12

a)_I_ _ 9x+3 +-2_ , ~ 6; + 3 8x' - 2 2x - I'

d) 2y' - 8 i 3y'

ala ' -10a + 25, 3a + 15 i 2a; b) 3a - 3. a' - I i a + 3; c) 5a - 5b. a' - b' i a' b + ob '; d) 3a - 15. a' - 25 i 5 - 0 , a) x' + xy. xy + y' ix' + 2xy+ y' ; b) 2m' - 4mn + 2n ' . 6m' - 6n' i 18m+ 18n; c) 25a' - lOa + I, 50a ' + 20a + 2 i 25a' - I; d) a s - 81a, a' + 18a' + 81 i 45a - 5a '. a)

a

ab - b 16x - x'

b)x-3 Y _2x - y .

- -'

( 922.

Odrediti najrnanji zajednicki sadrZalac polinoma (913-918) : 913.

92~ a) 4a + 3b

2a- b ~ 10 15 ' 1 I 0' + b' c)-+ - ' 6a 4b ' 6ab "

Skralilili razlomke (909-912):

x-5

925.

)

Xl

+

y2

Xl

y2

, + ---','---

xy xy - y" x" - xy c)6x+5_3(2x-l)+ SOx, x+5 . x- 5 x' - 25'

b) a+ 1 +~_ 2a - I, a + 2 0' - 4 a- 2' a+ I ? 2

d)-,--,=-+ , fI"

0"

- a

"

a -a"

, b .,., z ., a" + a + b" a" - ab + b 2o "b + ' a+b a-b a'-b " x'y' (x' - b')(b' - y') (a ' - x')(a' - y') + . b) --+ a'b' b'(a' - b') a'(a' - b') , a' - bx 3b - 0 0 + 2x c) , + o - ab + bx - ax 2a - 2b 3a - 3x a)

..--.. ) 2x 3x' + 2x + 1 x+1 +.,; a --x-I x' - 1 x" + x + 1 30x' 8 15x+ 5 . b) ---+ - - - - - - -; 9x'-x 6x-2 9x' +6x+l' 1 1 2 c) , + , +,; x +10x+25 x"-10x+25 x"-25 d) 4a' + 9a + 5 _ 1 - 2a a' - 1 a' + a + 1

6 1- a 97

96

92 6.

m -n ); l~ ; / a)(2+~).(Im-n \ m+n

3x - 1 2x + I ' ) x a -- ---+ , ; x-I x- 2 x' - 3x + 2

---7

16 x - 5 x +3 b) - - + - - + --:---x -3 x+5 x' -2 x -15' x- I x -7 12 c) - - - - - + ----:-- - x+1 x + 7 x' +8x+7 · 927.

7a 21a ' ) 6b' :8"b;

X 2x' + 2xy 4xy a)--+ ., 2 .,; 2x - y 2xy +3 y' 4x +4_\ y-3 y'

5x , x+ 5x'

I - l Ox

a' + ax a) - ,: ----.::,. a'x - x 3 b)

5

3x - 3a 930.

+ a - 3x ., ., +

-- '- _ . a-I a+I' ,

x'2 - 1

I

2x + 2a b)

d)

a'

2

I - 25x

2x , , a' - x

ax+ x' x' - a'

., +

+ 25x'

a- x

c)~ . X+I. 931.

()

6x 9x'-I' 10(5x' +2x)

a) 1+ 3x+ - - - - - - -::-'-b)

929.

9x ' I 1+3x 1-3x 3-15x

•

3

+

a' + ab 3x - 3y

.

ab . ,

'

- z·

b)

( I- ~) 1- x

d)

ax +a .(_I_ + ~). x' - x + I · x + I x' + 1 .

/1/ '

. (2X+I 2X-I) 4x c) 2x _ I - 2x + I : 6x + 3;

a)

'

x ' -y'

(

x- 4

a' y- y

,

a) 5 x - -a 5

d)

x'-2x'-x+2 x+2·

a'

:(_x + I);

2b b' a a' a-b

b)

4a'b'

c)

4 +a' 4- -a

I 2 a

,

y b' y x b) a b - +Y x a'x

-

4x' 3a - 3a . c) 4x ' ' 1- 9a'

- -

, ,

+ b' - c'

2ab (a+b)' - c'

x- I

25x' - 110 x + 121 , . x" - 2x - 8

1- - + -

y ' a- a

1+ x- 2

x + 2) :

~ -5a '

+ 2 xy a + b - c

- -a+!

X' -X-3

~~--=­

,

,.

5Y.

a' _ b'

(~-~) :(~ - ~); m n n"

a)

.

2x + 2y x' - 2xy + y-

) b' -a 2 -c' +2ac . x + y-z ; a' +a x 3 + 2x' - x- 2

c ) --

935.

a'+b'

, . , . 1+ 2m+ m" 1- 2m" + m'

17 x - 25a "l ., . 6x' - 6a'

a' - ab a' b + ab'

c) x' - 25 . x' + 5x . ., . 2 ' x" - 3x x - 9

4x ' y' . 8x' / . 15b'c . 5c'b' •

b) - -

e)

a+ x

x' - 1 a 2a' + 2 . . a'+a x'+x'+x+1 (x-I)"

+ y,

---=-:c. ..!...=.!c

b' - y' b- Y d) 3a' _ 3/ . a' + ay+ y "

e)

+--;

a)--'

, b x'

, , I d) I + _a_ . ( I - a) I + b a + a'·

.c) ( x +z x+y ) . z' . -- z X Xl - yz'

15x' 3 - 2x 3 + 2x . b) - - - - - + 2-3x 2+3x 4-9x' 928.

b)(~-I) . (~-!:). x+ 2 2x - I 2'

e)

u - v

3v' u+2 v + u-v

99

98

937,

C) (_a_+_a_+~)a-4

2a+b 2a-b 2a-b 2a+b a) -::----:----:-~-:4a' + b' 4a' - b' ' 4a' - b' 4a'+b'

6-3a

941.

x I - - +1- - 1+ 1. I+x

I

I+a+ - -

I- a c)---1+_1_ 1- a'

d)

I

I-.!

I- x

x3

_

I

1

x

x+y

I)

942.

x- y+ ~

,

x- y

943.

x- y d) _3_xy "------:-_ _ (x _ y)'

b)

1

X

xy

Y +xy

x+y

944.

y) .(x--2+-' y)

x + xy , Y

+Y

--7}

2a

a' - 4x"

x- Y

.

.,

2xy ) . 4xy . y- x' - y')

.

? ,

x- -

a

a)

((~+ b~J(~- b~JHI +b' \C;c- '}

b)

((X: +.!):(-;_.!.+,!,)): (X - y)' +4xy; x

y

y

+

3o(a+ 2)"

y) , 2x + , 4y , , :( 1 ( x- + 2xy x- - 4y - xy - 2y-

x '

x 2- xy _ 2x 2 ) y- 1 (x'y+,i y3_xy'+X' y_x 3 ' ( I - -x

1

4

x ., _ ') 2 '( 1 + 3X+X'). ax - 2a- X- + x - 2ax- 2a X+ 3

X

c)

2

a '

a) ( X+ Y _ X- Y):(X-y+X+Y); . x - Y x+y x+y x - y

1

2 --+

b

2X'+6x - ax - 3o

b)(~+ _X_._

-'---------'-''-- + I

-+-2 +,+ ... +x x X xn

940, a) (

2x - 4

b)

+ x 3 + ... + x· 1

a) ( x + 6x - 12) ·

.

y+1 )(x- - -y)' (-xx+ y Y x

3

x+y-~ x+ y 939,*

x- y _

x + l'

c) ----"'----

x + x'

~

ex + y)3

l'

a + 2b

b

c)_2_ _ a-2 _ 2 2 30+ 6 2a + 4a 3a' + 12a+ 12

x

b)

4a' - 1 .( a 1 a 2) a 3 - a' - a + 1 . a' - 2a + 1 - 1 - a . a + 1 - a + 1 ; (

-- + --

( __y'I)(

a'-4 'a -2'

b) 2a+ a2+b ') : (a +b') - - _~(b+1+2b).

_--'x"--_ __

x

a)

a+2

c) a

2

an

y

y

x

+ a - 2 (a + 2)' - a' _

+) _

3a n

40 2 -

4

1+ 2: x

~). 2 0

-

a

101 100

945.

a)

(z + 4)' -1 2 I ).z l + 2Z'+2Z+4 z- 2 + --- . l ' , ( 6z + (z - 2)' z' - 8 z- 2 z - 2z- + 2z - 4

(

b) -

3

--

a -I

c

946.

)(

1+

' ) '

30 - + 30 +3 a -a

, ,

a- - 1

c) (

:-,-

a -a -

- . -a +1 3

t,~ + 2X~2 - 2X~2}

;

I

8e' m - )(m+2e /II) . +m' - 8e, 2e - m 2e m + 2e

I I 2 4 8 16 949.* a)-- + - - + - - + - - + - _ + _ _ . I- x I+ x I+ x' I +x' I +x' l +x 16 ' b)

y a)( I- 3x + Y )( I_ 2x + Y): (I + , 3 ' , ); x -- 4yx- y x +2 y 2 2m ) 2m' + 2m 4 b) , " + - -; ( m- - m I - m' m - I m- I

d)

I 1 ) 9a' + 1 ' . ( 1-6a+9a' 27a -9a' -3a+I ' 27a ' +1 ' . (27a ' - 18a' + 30) a)

2a' +3a 4a' + 12a+ 9

950.* a)

3o+24a-I)(2a+3) 2a+3+2a+1' 2a-3 ;

3(3-a) 4 6 + - - - --:---a' - 1 a + 1 a' + 2a + 1

d) (

1

_

2 + 4m

948.

a)

((_3_ + x- y

2(5 - a)

3x , . x' + xy + x' - y x+y

102

x' - 8

x+2

,.

1- 4m + 4111 -

_3_;

Y'):

+

(x+2)(x+3)

+

.

(x + 4)(x + 5)' x-., - (x-., - 1) .,-

951.

2x+ 2 . . x' + 4x + 4'

')

9-x' x' - (2x -3)' 4x' - (x - 3) ' '}., ., 2 + .. ; (2 x + 3)- - x- 4x- - (x + 3) 9(x - - I)

I x'

-

,

,

a 4 -a -' +2a-1 ., ., ., (a- + 1) - -a -

a-, - 20

a' + 2a' +a' -1 . a' -I

Ix-1I

I

b) I x + 21+ I x .

x- I '

2.. I x + II

II

')

(a - I) - a -

II + I x + 11 . x' + x '

Ix' -II+ x' , 2.e - 1

x +l

1.. 1- 1

d) ,

x' - I

21;

x' - Ixl ' I I ; x - 2 x +I

+ 2x _ 4) : I., - 21

Dokazati imp1ikaciju

a)(x,", - yA

2x + y ). x' + 2xy + y' x + y

b) 3x - 6(_3_+~. x' + 2X+4). x+2 x- 2

1

e) ( x' I x x-I

Q 3 +a ~ -a-l!

1 - m. 1 - 2m ) . 4m + 2 8m' + 1 . 4m' - 2m + 1 2m - 1

+

I

(x+ I)(x+2)

(x+ 3)(x + 4 ) x ' -( x - I)"-

e) (

c)

c)

+

x -ex - 1) .,- - I c) 2 ., ., + ., ., + ,; (x + 1) - - x - x-(x + 1) - - I x' - (x+ 1)-

C)(a~ 1 - a' ~ 1 + a' _3a + I)(a - ~~:n

b)(

I

x(x +l )

+

947.

3x + 6 2x' - x - 10 ) + . 2x + 2x-+2x+2 2x ' -2x'+2x-2' "

x'-I y' + xy

x'"' + 1 A y '"' I A y '"' OJ=>

.[_I__ 1

1--

lj.x- xy, - :, + y = y' + y+ l; I- x.Y

Y 103

b b a 2 b a - 2b' b)'" -1-1 + -1--1 - - 1- , a

- +-

b)(o'" 0" b '" 0"

0 '" -

- +o

- +a

b

b

956.* Pokazati da je vrednost izraza _I _ 64

x'

ab

4+

~+~ x

c)(x'" 0" y'" 0)'" (

x+ y )J ) (X-y) ' ) x+y 3xy - x - y: xy + I = -3-' 957. (c-a)( c ~

(b - a)(b - c)

953.

-

bc

(0+ b)(o+c)

+

b' -

OC

(b+c)(o + b)

+

c ' - ab (c +o)(c + b)

a+ - - a+b+~ b c ne zavisi od a, b, c.

X2

959.* Pokazati da vrednost izraza

b(abc+a+ c)

+ 2x- llx- 2) :(x + 1- 2x' + X+ 3x + I

3x + I

2), 960.

2+ _3_). a+1

neparan broj za svako a E Z \ { - I}.

a+ - - a+b+~ b c

Pokazati da je vrednost izraza

(

955.* Pokazati da je vrednost izraza

6a' + 50 - 1+ a + 4) :(30 _ a +1

I - - - : - -,(a;>< O. b;>< O. c ;>< 0 ) I I

ne zavisi od a. b i c.

ceo broj za svako x E Z.

(

(1-3)'+121 2

ne zavisi od i ako je 1 '" - 1 " 1 '" - 2 " 1 '" - 3.

b(abc+a+c)

954.· Pokazati da je vrednost izraza (

I )'

21 I ' + 31 + 2 + I ' + 41 + 3 + I' + 51 + 6

4

I

2x

b

( I

--.,--- ' - - - - - - -

I

I-

x-

958.* Pokazati da vrednost izraza

Pokazati da vrednost izraza

4

x

a'b' ab I I ' (a+b)'-3ab a'-b" -J +-J a b pozitivan ako su a i b supromog znaka. a negativan ako su iSlog znaka 1 ako je a '" 0 1\ b '" 0 " Ia I'" b.

y2 Z2 x' + ---:-----'---- + - - - - y' - xy + xz - yz ( z - x )(z- y) x - xy - xz - yz

02

~+~

Pokazati da je izraz I I

a

b)

b) ,

c)

4_

x-

neparan broj za svako xE Z \ {O} .

I I 952.* a) - - - - - + - -- - - + - - - - -

(a- b)(a - c)

4x'(2x + I)

x'

2 _ k + 4k' + 5k' - 6k + 3) : (2k + I + k-l

~). k-I

neparan broj za svako k '" I " k E Z. 961.

Pokazati da izraz

a+b a_b)' (a+b a _ b) ' ( a-b + a+b - a - b- a+b ne zavisi od a i b.1 a I'" b.

104

105

962.* Pod kojim us lovima je tacna jednakost: 1 1 I ~ + + x(x - y)(x - z) y(y- x)(y- z) z(z - x)(z - y) b)

+

x' (x - y)(x - z) b-c

o (a-b)(a -

c)

+

y' + Z (y-z)(y-x) (z-x)(z-y) c- a a- b + (b- c )(b-a) (e-a)(c-b)

I 968.* ( x + y+ I xy z '

= I;

=

222 = - - + -- + - - ; a-b b-e e-a d 963.

m!

ab + be + ae _ I = O? )(e-a)(e -b) (a -b)(a- c) (b - c )(b-a)

a) (~ _ c - x e a

x + y+1 6(x+ y ) + , x+y+2 (x+ y )- -4

+ b)' + (c + d) '

(a

+

Dokazati identitete:

+ , ax ) : (_a_ + e - x + c- - ex

e- x

a"'" 0, c "'" 0, x"'" c;

a

2) = a - c + x,

_

a +c - x

b) (2a + a' + 9b') :(a +~) !!...(I + 3b + 6b) = - a, 3b

0 + 6b

3b

a

(a+b)( c +d) (e + d) '

964.* (y + 3)(x + Y + 3) x«y + 3) ' - x') 965.

966.

967.

106

y-x +3 x(x+y+3)

2x 3 , , + 3 (y+3)- - xx+y+

5 y - 3x+ 2 1 17 x- 25(y+ 2) + , , + + , , . 3(x- y- 2) x - - (y+ 2)" 2(x+ y + 2) 6(x- - (y+ 2n x'-(a +b)' x(a+b) x+a+ bx +a+b x+ y+ b ( x+y-b

x'+(a+b)' x(a+b) ' x -a- b+--'---'x -a-b

(a+b)(c +eI)- (e +d)'

+

,

.,

.,

2

_a_ +_a-,-(c:...+......:,:d.!..)_+-'.(e_+:...eI..!..-)- a- - a(e + d) + (e + d) + a+e+d a - e -d 2a'(e + eI)

a' - (e+ d)" a' - b(e+ d) (a- b)(a-c- d)

972.

9 73.

*

974.

975.*

3b-a 2(a- b)

-,--.,-, +

a+2(e+d) . 3(a-c- eI)

2(a + b) 3(0 + b) ' + 2(a + b) + I ___a-;+_ b_ + _ I-,--_ + , a+b-l (a+b) ' -I (a+b)-+a+b+1 4(x+ y)' + 9(x+ y)+ 5

1-2(x+ y )

6

(x+y)'-I

(x+ y )' +x+ y + 1

i- x - y

(y+ 3) ' + x(y + 3) x(y +3)'-x' 3 +--x+y + 3 5 3x-3(a+b)

976.

-----+

977.

3 ( x +:+b

+x+ y-

b) ' _(x+ y + b _ x + y - b)' x+y+b x+y-b x +y+b

+ b)'

(a+ b) - - (a+ b)(e+d)

a"'" 0, b "'" 0, a "'" - 6b. Uprostiti racionalne izraze (964-981 ):

).

2( x+ y )-1 x + y -2 (a

-

2

971.

3

+

x+ y _ 2(x+ y )- I) . x + y +1

{ 969.

3,

(x+y) + 1 (x+y) ' - x - y +1

--,y_+_3_-_x-,- _ 2x + x( y +3)+x' (y+3) ' - x'

a+b - 3x I 17x-25(a+ b) + + , ' . x'-(a+b)' 2(x+a+b) 6(x- -(a+b)-)

+x- : - b

2x(a+ b) ,): ,4.t(a+ b) ,. x'-(a+b)" x--(a+b)107

3 978.*

( x + y -I

-

3(X + Y )+3(X+ y )2 +3.( X+Y)'-X-Y). , . J (x +yf -I ( x +y) +1

985.* Dokazati implikacij e: a) ( x=

b' + c' - o' 2bc

x + y-( x + y)' 3 979.

+

, 3 ). (a+b)--a-b+1

_ 2(a+b) -I) b I . a+ + 2

980.

(o+c-b)(a+b- c) (a+b+ c)(b+c-a)

A

2(a+ b) ). 2(a+ b)'

_

( (a+ b)' -a- b

b)( x + y + z = OA (x ;e y ;e zA xyz;e 0» ", x 2 + y'2 +Z 2 '" (y- z) '

I-(a+ b) '

+ 2(0+ b) +

(a+ b)'-I

4

+--o +b-I

981.

y=

A(b;eO,C ;eo,lb+ cj ;eo» ) ",( x+ I)(y + 1) = 2;

1 _ 3 ( a+b+1 (a+b) J +I

{ a+b

A

_2_ ob_ _ a 20b - b -,o:!-+.!...-"-b__ + a + b I I 1 I - +-- - +-b 0-2b a b-2a

+ (z -

x)'

+ (x -

y )' =

'3;

1 1 I ) be oe ob c) ( - + - + - = 0 A (abc ;e 0) "' , . + , . +,. = 3; ab c a' b' c · d)(ac + bc = ab A (a;e 1 A b;e 1 A c ;e I» '" 1 I 1 1 - 2c '" - - + - - - - - = - - - - -- I-a l-b I-c ( l- a)(I - b)( I- c) 986.* Dokazati implikacij e: a)(xy + x;e - 1 A yz + y ;e - 1 A zx + z ;e - 1 A xyz = I) '" x y z '" + + = I' xy+x+1 yz + y +1 zx + z +1 '

b) (.qz;e 0 A xyz = I) '"

(x +~)' +(y + ~r +(z +;)' - (x + ;~y+ Hz + ~)=4;

982. • Izracunati vrednost izraza (I + x)(l + y)( 1 + z) ,zax =~, y = 11- P, z = p- m (l-x)(l-y)(I-z) m+11 II+P p+m

'"

983.

",(a-b + b- c +~y_c_+_o_+_b_)=9. c a b A a-b b - c c - o

Dokazati identitet

I a 1

1 1 b+c.b l

' 1

1 a+c I

- +-- - +--

a b+c b la +cl;e b).

2c --,- - 1, (ob ;e 0, a ;e - b, b ;e - c, __ a-c- b

a+c

984.* Dokazati da je vrednost izraza

(~+;r +(~+~r +(~+;)' -(~+~)(~+~)(~+;). konstanta, za abc ;e O.

c)(a+ b+c= OA (abe ;e OAo;e bA b;< cAc ;eo» '"

987.* Dokazati da je za svako 11 E N: I 1 l i n a ) - + - + - + ... + = --; 1·2 2·3 3·4 n(n+l) n+1

1 1 1 1 b)N+ 3 . 5 + 5.7 + ... + (2n-I)(2n+ I) 1 1 1 1 c) 2. 4 + 4. 6 + 6· 8 + ... + 2n(2n + 2) 1 1 1 d)-+-+-+ ... + 6

12

20

,

n-

+

1 3

n+

n

2n+ I; n

2(2n + 2)' n

2= 2n+4' 109

108

988.* Odredite sume: 3 5

1'·2'

2'·3'

7 3"4-

I

2

3

2n + I ." n-(I1+I)-

a ) - - + - - + - -., + ... + .,

nEN ,'

n

b ) - - + - - + - - + ... + , " 1"2' 3" 5' 5"7' (211-1)-(211+1)

996. nE N.

997.

Uprostiti racionalne izraze (989-996):

989.

990.

991.

(~+i)' -(I~-bI)' a' b' (

I

(a + b)'

I)' (I

(_I + _I) + b'

(I-x')(x-x ' )

I- x

x - x'

+

+

X

C,

•-

X

10

+ b\)+ (a:b)'

C,

abc b+c a+c a+b I I 3

- - +-- + - - - - - -

a+c a+ b a+ b + c abc 3+--+--+-b+c a+c a+ b 995.* I I I --+--+-b+c c+a a+ b

1000.

•

I

+ y + z + xyz) +(1 b -I .

I

x)( 1- y)( 1- z)

c -I

+ ( I + x)(1 + ),)(1 + zl,

zax = - - Y = - - ' Z= - a+ I' b+1 c +I ' . a-b b- c . c- a Ako Je x = - - , Y = - - I Z = - -, tada je a+ b b+c e +a (J + x)(l + y)( 1+ z) = (I - x)( 1 - y) (1 - z). Dokazati . Izracunati vrednost izraza

a-x b-x a'+b ' ab A=---+--,zax = - -. b-x a-x x ' - (a +b) x+ab a+b . 1- x I+x . Ako Je A(x) = - - , B(x) = - -, tada Je I+x I- x A(B(x» . B(A(x)) + 1= O. Dokazati. Ako je a + b + e = 0, dokazati da je (1001-1004):

l + b,)+ (a:b) S

~U' -c~) + iC, -a ~C2 -:' b+c

b

x' _ x·

I I I - (b-c) + -(c - a) + - (a- b) abc

I

a

999.

(I-x')(x-x')(x ' -x')+

--+--+--

110

a' - b'

(a + b) '

l ,) +

994.*

998.

I ),.

2 (~+ ~)).

(1- x')(x- x')(x' - x')(x ' - x')

992.* (a+IW

993.*

(a' + b')' - (a ' - b')'

I - x'

--+

A = 2(x

(;;> + b' -

a'

___

a-I

I

(a+b)'-(a-b)'

2(-a:b+c+a-:+ c + a + : _ )+3 c I~_ + +---a + b + c a - b + c a + b - c Izracunati vrednost izraza:

r

(~+H

100t.* a ' + b ' + e ' = 3abe.

1003.*

1004.*

a' a-'-( b - c)

,

a'(a' - 2bc)

, a -(b-e)'

+ +

b'

+

b' -(a-e) ' b'(b' - 2ae) b' -(a-e)'

+

e

3 =-

e' - (a -b) '

4

e'(e' - 2ab)

3 =-

c'-(a-b)'

8

1005.* Odrediti realan parametar m tako da razlomak (x+ y+ I/1z)' + (x+ my+ z)' +(mx+ y+ z)' ima konstantnu , , ( )' , (x-y)"+(y-z)-+ x-zvrednost, za sve vrednosti x. y i z.

III

988.* Odredite sume: 3 5

1'·2'

2'·3'

7 3"4-

I

2

3

2n + I ." n-(I1+I)-

a ) - - + - - + - -., + ... + .,

nEN ,'

n

b ) - - + - - + - - + ... + , " 1"2' 3" 5' 5"7' (211-1)-(211+1)

996. nE N.

997.

Uprostiti racionalne izraze (989-996):

989.

990.

991.

(~+i)' -(I~-bI)' a' b' (

I

(a + b)'

I)' (I

(_I + _I) + b'

(I-x')(x-x ' )

I- x

x - x'

+

+

X

C,

•-

X

10

+ b\)+ (a:b)'

C,

abc b+c a+c a+b I I 3

- - +-- + - - - - - -

a+c a+ b a+ b + c abc 3+--+--+-b+c a+c a+ b 995.* I I I --+--+-b+c c+a a+ b

1000.

•

I

+ y + z + xyz) +(1 b -I .

I

x)( 1- y)( 1- z)

c -I

+ ( I + x)(1 + ),)(1 + zl,

zax = - - Y = - - ' Z= - a+ I' b+1 c +I ' . a-b b- c . c- a Ako Je x = - - , Y = - - I Z = - -, tada je a+ b b+c e +a (J + x)(l + y)( 1+ z) = (I - x)( 1 - y) (1 - z). Dokazati . Izracunati vrednost izraza

a-x b-x a'+b ' ab A=---+--,zax = - -. b-x a-x x ' - (a +b) x+ab a+b . 1- x I+x . Ako Je A(x) = - - , B(x) = - -, tada Je I+x I- x A(B(x» . B(A(x)) + 1= O. Dokazati. Ako je a + b + e = 0, dokazati da je (1001-1004):

l + b,)+ (a:b) S

~U' -c~) + iC, -a ~C2 -:' b+c

b

x' _ x·

I I I - (b-c) + -(c - a) + - (a- b) abc

I

a

999.

(I-x')(x-x')(x ' -x')+

--+--+--

110

a' - b'

(a + b) '

l ,) +

994.*

998.

I ),.

2 (~+ ~)).

(1- x')(x- x')(x' - x')(x ' - x')

992.* (a+IW

993.*

(a' + b')' - (a ' - b')'

I - x'

--+

A = 2(x

(;;> + b' -

a'

___

a-I

I

(a+b)'-(a-b)'

2(-a:b+c+a-:+ c + a + : _ )+3 c I~_ + +---a + b + c a - b + c a + b - c Izracunati vrednost izraza:

r

(~+H

100t.* a ' + b ' + e ' = 3abe.

1003.*

1004.*

a' a-'-( b - c)

,

a'(a' - 2bc)

, a -(b-e)'

+ +

b'

+

b' -(a-e) ' b'(b' - 2ae) b' -(a-e)'

+

e

3 =-

e' - (a -b) '

4

e'(e' - 2ab)

3 =-

c'-(a-b)'

8

1005.* Odrediti realan parametar m tako da razlomak (x+ y+ I/1z)' + (x+ my+ z)' +(mx+ y+ z)' ima konstantnu , , ( )' , (x-y)"+(y-z)-+ x-zvrednost, za sve vrednosti x. y i z.

III

VII G L A V A

Odrediti realan broj m tako da razlomak X l - mx' - 3(3 - m) X - I . ___:::....,_=_-=.~-;;-~..:.--.:..-::--Ima

konslantnll vrednosl

7. H OMOT ETIJA J SLlCNOST

(m-8)x J +3(10-m)x'-18x+8-m za svako x.

7.1. Proporcionalnost velicina. Talesova teoTerna

-.!. + ~ = 0, dokazati da je (1007-1008): abc b+c c +a a+b

Ako je -.!. +

1007.*

--+--+--=-3.

1008.*

- - + - - + - - = - - - - --' b+c a+c a+b abc

abc

abc

:2

m2

n2

p2

m2

a'

b'

c'

X

+ n2 + p2 2

' •

+ Y + z·

SA = SA'

SB = SB"

1010.

Datu duz AB podel iti na Iri dela proporeiona lna duzima clje s u duzine m, 17 i p .

lOll.

Konstruisati tacke koje dele datu duz AB u datorn odnosu Ill : n, gdc su m i 17 date dllzi.

1012.

Na poillpravoj Ax dala je tacka B . Konslruisali na ovoj polupravoj

1013.

AB 5 =-. AC 8 Datu dlli AB podeliti na 5 jednakih delova.

1014.

Ako Sll date duii cije su duzine a i b, konstruisati duz cijaje duiina:

'2

. mnp.x Y Z ' 1009.* Akoje -=-=-1-+ - + , = I, ta daje x Y z a' b' c'

- , +- , +- , = ,

AB p ll q~ A'B'

gde je k koefieijent proporeionalnosti.

a'+b ' + c

2

Talesova teorerna. Neka s u a i b dye prave koje se seku u tacki S, p prava koja ih sece redom u tackarna A i B, q prava koja ih sece u lackama A' i B'. Tadajc'

.

Dokazatl.

.

tackll C , tak 0 daje -

a) a . b', lOIS.

a·b

c

1017. 1018.

1019.

a+ b

,

d) a a

b'

Ako su date duz i cija je duzi na a, b i c, konstrui ali duz cija je duZina: a)-;

1016.

e) a - b,.

a b'

b) - '

a+b b ) - -;

c

a+b e)--. a- c

Tacka C deli duz AB u odnosu AC : CB = 2 : 3. Duzina duzi AC JC 4,8 em. Odrediti duiinu duzi AB i CB. Data je dui AB = 12 em. Odrediti spolja~nju lacku C(A - B - C). tako da je AC :BC = 5 : 2. Tacka C deli duz AB u odnosu A C : BC = 3 : 2. Odredili odnose AC: AB i AB :CB. Kraei ugla MON preseceni su paralelnirn pravarna ,/A , i B~I (A i B su tacke oajedoorn kraku A, i B, oa drugorn). lzracunall duilOu duZl OA ako su OB + OA = 14 m i OB , : OA , = 4: 3. 113

112

1020.

1021.

1022.

1023.

1024.

Neka je T teziste trougla ABC. Konstruisane su prave koj e sadrie tacku T i patalelne su sa AB i AC, i koje seku stranicu BC u tackal113 DiE. a) Odred iti odnose BD :BC i EC : BC; b) Dokazat, da su duzi BD, DE i EC jednake. Na jednom kraku ugl a MON , pocevsi od tell1ena. konstrui su se duzi OA, AB i BC, koje stoje u odnosu I : 2 : 3. Na drllgOll1 kraku konSlruisana je dui OA, = 5cll1.Vazi i BB, II AA , i CC, II AA ,. Odrediti duzinu odsecaka A, B, i B,C,. Dat je trollgao ABC. Na pravoj BC dat je l1lspored tacaka 0 - B - C - E tako da je BD = BC = CE o Neka j e OF li B i EF IIC, a presek pravih FA i BC je tacka M. Dokazati da je: a) MB :BD = = MC :CE; b) jednakost MB = MC; c) tacka A teZiste tToug la DEF. Simetrala unutrasnjeg llgla trollgla ABC deli stranicu naspram lemena iz kojeg polazi na dva odsecka koji su proporeionalni sa ostalim dvema stranieama trougla . Dokazati. Simetrala spo ljalinjeg ugla tTougla ABC deli stranieu naspram temen a iz kojeg polazi na dva odsecka, koji Sll proporeionalni sa ostalim dvema stranieama . Dokazati.

1025.

U trouglu ABC konstruisanaje simetrala ugla A. Straniea AB = 8 cI11, AC= 14 em, a odsecak BD je za 3 em manji od odsecka DC(B- D-C). Izracunati stranieu BC.

1026.

U jednakokrakom trouglu krakje dodimom tackom upi sane kruznice podeljen u razmeri 7: 5 (racunajuci od vrha) . Odrediti odnos kraka i osnoviee.

1027.

Straniee trougla ABC su a, b, c. Nekaje BD simetral a ugla B, 0 presek simetrala uglova B i C. Odrediti odnos 00: OB. 7.2. Homotctija

Ako je 0 data tacka a k dati realan broj razlicit od nule. Preslikavanje u oznaci ho figureF na figuruF' pri kojem svakoj tacki M figureF pridruzuje tackll M' figure F' tako da je

OM ' =kOM, naziva se homotetija. Tacka 0 je eentat homotetije, k je koefieijent homotetije. Simbolicki: ho(F)

114

=F' '*f. ~ OM' = k OM.

1028.

°

Konstruisati h01l10leti cnu sliku za datu pravu (ugao_ trougao, kruzniea) ako Je data tatka centar hOll1otetije i ako jc: I a)k= 2';

I b) k=- 2':

e)k= 2;

d)k=-2.

1029.

Konstruisati h0l110teticnu sli ku datog cetvorougla ABCD ako Je: ... k =-; 3 a) A eentar I10l110tet'Je, 2 b) S eentar b0l110tetije i k = - I, gde je S srediste jedne straniee cetvorougla.

1030.

Primenom homotetij e, datu duz AB podeliti na: a) tri odsecka, koj i su proporeionaln i datil11 odseccima b) pet jednakih delova.

III.

n, p;

1031.

U dati ostrougli /:; ABC upi sati jednakostranican tTougao MNP.

1032.

Konstruisati kruinieu koja dodiruje krake datog ugla xSy i sadrii datu lackll A.

1033.

H0l11010gne simetrale uglova dva homoteticna trougla paralel nc su Dokazali .

Date su dYe kruzniee K(O) i K,(O , ), tako daje K n K, = {MI i dYe pravc p, q, tako da je pn 'I = {M) . Ako je K n pt A. M I. K,flp={M , B), Kflq={C,M} i K , nq={M.D I . lada JC AC II BD . Dokazati . 1035. Date su dYe kruznice . U jednu je upisan cetvorollgao. a u drugu treba upisati cetvorougao sli can prvom. \036. U dati trougao upisati trougao cij e su stranice paralelne trima dalim neparalelnim pravama. 1037.* Konstruisati trapez, ako se duZa osnoviea, jedan krak i visina odnose kao III : n : p i ako Sll dati ostar ugao izmedll duze osnOVlce , drugog kraka, kao i dijagonala koja sadrii teme datog ugla. 1038.* Konstruisati jednakokraki trapez date visine ako se krak. razlika osnoyiea i dijagonala odnose kao Ill: n : p. 1039. Konstruisati paralelogram ako su dati odnos dijagonala. ugao izmedu dijagonala i vis ina koja odgovara JednoJ stran,cl. .. . . I I k su dati odnos nJegovlh 1040. U dati trougao up,sat' para e ogral11 a 0 . . .. d straniea, ostar ugao jednak ug Iu troug Ia .I J'edna straDlea kOJa pnpa a bilo kojoj straniei trougla. 1034.

115

1041.

U dati krui:ni odsecak llpisati pravollgaon ik ako j e odnos dijagonale i jeclne straniee In : n, a duza strana pri pada tetivi kruznog odsecka.

1042.

U dati konveksni kruzni isecak lIpisati : a) kruznieu; b) pravougaonik cije straniee stoj e u odnosu III : 11; c) kvadral.

1050.

1043.* Date su tacke A i B i prava p kojoj ne pripadaj u date tacke. K onstru i· sati krufuieu koja sadrZi date tacke i dod iruj e da tu pravu . 1044 .* Data je tacka A i prave p i I. Konstruisati kruznieu koja sadrZi tacku A i dodiruj e pravu p, a eentar joj pripada pravoj I. 7.3. Slicnost trouglova

0

Ak' . AB BC ojena pnmer -- = - - /I LA = L A ' a ug lovi C i C' su iIi oba ostra

A'B ' B'C ' iIi oba tupa, tada je /';. ABC - /';. A'B'C'.

b) /';. ABC - /';. A'B' C' =>

~ = :!...

h'

S'

a"

d'

ABC- /';. A' B'C' =>.!-.-= a'. pi d2

Datje tToligao ABC straniea AB = 20cm ,BC = 12em I CA = 16em Duz MN paralelna je straniei AB , gde M E BC, N E Ae. Odrediti dllz lvfN ako je elvl = 3 em.

1052.

Odgovarajuce straniee dva sljcna trougla su 15 em i 6 em visina koj aodgovara v ecoj strani ei je 8 em . 1zracunati visinu koja odgovara manjoj stramel.

1053.

Strani ea trougl a AB = 8 em, a visina koja joj odgovara iznosi 6 em: na kom rastojanj ll od temena C treba konstruisati pravu paralelnu sa AB tako daje njen odsecak izrnedu dveju straniea trouglajednak 4 em?

1054.

Dat je jednakokrak i tro ugao osnoviee 3 dm i kraka 6 dm. Odsecak prave, paralelne osnoviei izOledu krakova, jednak je odsecku kraka koji je blizi osnoviei. Odrediti odsecak prave izrnedll krakova.

lOSS.

U trouglu ABC Sll strani ee AB = 15em i AC = IOem. Konstruisana j e simetrala AD ugla A, D E Be. Dliz DE II AB, E E Ae. Odrediti duzi AE , EC i DE .

0

4 ·

~ = !!....

1051.

0 Ak " oa pnmer LA = L A' /I AB AC o je - = - - tadaj'e /';. ABC - /';. A'B'C'. 2 ·

A'B' A'B ' Ak' . AB AC BC 3 · o jeoa pnOler -- = - - = - - tada j·e/';.ABC - /';.A 'B'C' A'B' A'C' B 'C' .

a) /';. ABC - /';. A'B'C' =>

c)/';.

Stavovi 0 slicnosti trouglova. Uocimo trouglove /';. ABC i /';. A 'B 'C'. 1°. Ako je oa primer L A = L A' /I LB = L B ' tad a j e /';. ABC - /';. A'B 'C'.

Data su dva troug la /';. ABC i /';. A' B' C' Ako su od ' .. . . h' . . , b' . . , . govarajuee VIStne h I ,straillee a I a, 0 1011 S IS , povrsine PiP', dokaza II. .Imp I'k .. . I aelje:

'

Tacka D pripada straniei AB trougla ABC, duz DK paraleloa j e straniei AC, tacka K E BC. Odrediti duziou duzi BK ako je AD : DB 5 : 6 i BC 22.

1056.

Straniee trougla su 26 em, 38 em i 46 em, a najmanja straniea njemu slicnog trougla iznosi 13 em. Odrediti ostale straniee drugog trougla.

1057.

1046.

Ako su dva trougla sli coa, onda su ojihove medij ane proporeionalne odgovarajucirn straoiearna. Dokazati.

Straniee troug la su 27 ,2 1 i 18. Odrediti straniee njemu slicnog trougla ako je koefieij ent slicnosti 5 : 3 i konsrruisati ovaj trougao.

1058.

1047.

Visine u j eclnom trouglu su obmuto proporeiooalne odgovarajucim slraoiearna. Dokazati.

Straniee trougla odnose se kao 3 : 6 : 5, a Ilajveca straniea sli cnog tro ug la iznos i 3,6 dm. Odrediti obim drugog trollgla.

1059.

1048.

Proizvod bilo koje dye straniee trougla jednak je proizvodu visine kOja odgovara trecoj straoiei i precoika opisane kruzoiee oko tro ugla. Dokazati .

U trouglovima ABC i PQR L A = L Q, L C = L P, AB = 16 em. AC = 20 em , QR = 12 em i PQ je veca od BC za 13 em. Odredi ti 0 tale straniee oba trougla. Dva troug la su sliena. Zbir dye odgovarajuce visine je 121 cm. a koeficij ent slicnosti iznosi 1,75. Odrediti visine.

1045.

=

1049.

=

Odsecak koji spaja podnozja bilo koje dye visine datog trougla odseea od njega trougao slican datom trouglu . Dokazati.

1060. 1061.

U trouglu ABC dato je AC=30 em, BC=26 em i visina CH=24em. Odrediti poluprecnik opisane krufu iee. 1\7

116

U kruznici poluprecnika 32,5 em upisan je lrollgao ABC Slrane AC = 60 cm i BC = 52 cm. Odrediti vi sinu CH trollgl a. 1063.* Vis ina CD jednakokrakog trougla ABC sa vrhom C secc opisanu kruznicu u tacki E. Dokazati sli cnost trollglova DBC i BCE i taenost jednakosti BC 2 = CD . CE . 1062.

1064.

Krak jednakokrakog trougla je 12 cm, a visina koja odgova ra osnovici je 8 cm. Odrediti polupreenik opisanc kruzniee.

1065_* Tackom K na precniku AB kruzniee konstrllisana je prava I , normalna na ovaj precnik . Proi zvolj na tacka M krllzni cc spojcna JC sa tackama A i B. Prave MA i MB sekll pravll I 1I odgovarajllcim tackama C i D. a) Dokazati jednakost KC . KD = AK . KB ; b) Tacka E simetricna je tacki B 1I odnosli na K. Dokazat i da je t!.KA C -t!.KDE. 1066.* U t!. ABC za lIglove a , f3 i straniee a, b i c vazi impli kaeija f3 = 2 a ~ b ' = a(a + c). Dokazati . 1067. Stranice paralelograma su a i b, a veca visina jednaka je manjoj stranici. Odrediti drugu visinu.

I

1068_

Straniee paralelograma su 16 em i 12 em, a zbir njegovih vis ina je 24,5 cm. Izracunati visine.

1069.

Visine paralelograma su 4 em i 6 em, a obim 30 cm. Izracunati stranice paralelograma.

1070.

Prava p sadrii jedno teme romba i na produZeeima drugih dvejll straniea odseea odsecke. Dokazati da je straniea romba geometrij ska sredina ovih odsecaka.

'

107y* U trapezu ABCD L BCA = L CDA; dokazati da je dijagonala AC geometrijska sredina osnovica trapeza. 1072_ Dijagonale trapeza presecnom tackom pode ljene Sll u odnosu m : n, a srednja linija trapeza je s. 1zracunati osnovice trapeza. 1073_ Osnoviee trapeza 5U a i b, a visina h. Odrediti rastojanj e presecne tacke dijagonal a do vece osnoviee. 1074. Osnovice trapeza su a i b, a krak c. lzracunati pomocli njih duzin u x, za koju treba produziti krak c do preseka sa drugim krakom. 1075. Na geografskoj karti rastojanja izmedu tIi mesta su 6 cm, 5 em, i 4,5 em. Najvece od ovih rastojanja u prirodi iznosi 15 km. Odrediti najmal~e rastojanje u prirodi i razmeru karte. 118

1076.

Utvrdit i kada Sli sli cna: a) dva kvadrata: b) dva romba: e) dva pra vougaoni ka: d) dva paralelograma; e) dva trapcza.

1077.

Straniee petoug la su: 3,5 em; 1,4 em; 2.8 em; 2, I em i 4.2 em NaJmanJa stramea nJ emu siIcnog petougla Je 1,2 em; izratllnali ostal e stranlee ovog pelOugla.

107S.

Najveca stra niea petougla iznos i 14 em. a ob im 46 em. Izracunall obim njemu sli cnog petougla, ako je njegova najveca maniea 21 em. Dve odgovarajllce strani ee slicnih mnogouglova 17.110Se 35 em i 14 cm a razlika njihovih obima je 60 em. Izracunat i njihovc obi me. '

1079. 10SO.

lOSt. IOS2.

U jednakokrakom trouglu osnovice 12 em i kraka 18 cm upisana je kntzniea i konstrui san a je tangenta paralelna osnoviei . IzraClInalI duzinu odsecka tangente izmedu krak ova trougla. StTaniee trougla odnose se kao 2 : 3 : 4. a obim njemll slicnog trougl" iZllosi 83,7 elll. Izraellnati strani ee drugog Irougla.

IOS3.

Strani ee cetvorougla odnose se kao 20 : 15 : 9 . 8, a zbir dYe mllllje straniee njelllu slicnog eetvorougla je 25.5 em. Odred lti stramcc drugog cervorougla. KOl1strui sati t!. ABC akoje dalO:L II = a. L B = f3 i visi naCC I = h .

1084. 108S.

Konstruisati jednakostranican trougao date visine h. Konstruisati trougao sliean dalOm ako mu je data tezisna duz.

IOS6. Konstruisati trougao sli ean datom ali dva puta vecih slraniea. 1087.* Konstruisati trougao ako su data dva ugla i tezisna duz kOja odgovara straniei na kOJoj Sll nal egli dall uglovi. 108S.* KOl1stntisati trougao ako su dati jedna stranlea. jedan ugao na njOj I razmera dye druge straoiee. 1089.· Poluprecniei dveju kntzni ea su R i r, a njihovo eemralno :astojanjc d (d > R + r ). lzraclInati rastojanj e presccnc tacke zajedI1lck Ih unutrasnjih tangenata od s rcdi ~ ta datih krumiea. 1090.• PIimenom slicnosti trouglova dokazati da teziste delI "aku tei!. nl! duz u odnosu 2 : I. 109\.· Dokazati da je konstaman proi zvod odsecaka kOJe ortoeentar Irougla gradi na istoj vi ini. 119

1092.* Neka je E srediste straniee AB kvadrata ABCD. OW'editi u kojoj ra· zmeri duz DE deli dijagonalu AC.

1103.

Kruzniee (0, R) i (0" r) su spoljaiinje sa zajednickom tatkom T. Konstruisana je spoljasnja zajednicka tangenta AB. Dokazau: 1° da je duzina I tangente AB geometrijska srcdina pre nika kruZniee: 2° da se duz AB vidi iz tacke T pod pravim uglom; 3° daje 00 , tangent a kruzniee precnika AB.

1104.

U pravouglom trouglu katete su a i b, njihove projckcije na hipote. nuzi c su p i q hipotenuzi na visina h. Odrediti ostala cetiri elementa ako su data dva : a)b= 156em,q= 144 cm; b) p= 225em, q= 64em; e)a= 136cm, h= 120cm; d)a = 130 em. b= 312em; e) p = 16 el11 , q = 9 em.

1093.* Na osnoviei AB jednakokrakog trougla ABC data je tacka M, tako da je AM = k. Odrediti rastojanje tacke M od krakova ~ ABC u funkeiji a, b, k, gde je AB = a i AC = BC = b. 1094.

U jednakokrakog trougla cija je osnoviea a i krak b, ugao na osnovici 72°. Dokazati da je b = ~a (a + b) .

1095.

Data je kruznica k i tacka M van nje. Iz tacke M konstruisana je tan· genta ( i seciea s, tako da je s n k = {A, B} a Ink = {T} . Ako je MA = 4 em i ME = 9 em, izracunati MT.

1096.

U jednakokrakom trouglu eentar upisane kruzniee deli visinu koja odgovara osnoviei u razmeri 12:5, krakje 60 em. Izracunati osno· vieu.

1097.

Datje jednakokraki trougao ABC sa vrhom B, osnov iee b i krakoma. Ako su AN i CM simetrale uglova A i C, odrediti duz MN.

1105.

Katete pravouglog trougla su 12 em i 35 em. Odrediti medijanu kOJa odgovara hipotenuzi.

1098.

U trouglu ABC prava CD je simetrala ugJa C, tacka E pripada stra· niei BC, B-E -G,DEIIAC, B -D - A. Ako jeBC =a, AC=b, izracunati DE .

1106.

Oat je jednakokraki trougao osnoviee 36 dm i kraka 30 dm. Odredlli visinu koja odgovara osnoviei.

1107.

1099.

TaokaF E AD straniei paralelograma ABCD, A - D - F . BF sece di· jagonaJu AC u E i stranieuDC u G. Ako jeEF = 32 em, i GF =24 em, izracunati BE .

U jednakokrakom tfOlIglu vis ina deli krak na odsecke duZine 7 em 2 em, racunajuci od vrha. Odrediti osnovieu trougla.

1108.

Obim romba iznosi 100 mm, jedna dijagonala 30 mrn. Izracunati drugu dijagonalll romba.

7.4. Primena slicnosti kod pravouglog trougla

1109.

Osnoviee jednakokrakog trapeza su 2 1 em i II em, a visina je 12 em. Odred iti krak.

1110.

Dve kruznice, poluprecnika 15 em i 20 em. seku se .I.zracunou njihovu centralnu razdaljinu ako je duzina njihove Z3Jcdmcke tcll\e 24 em. Precnik kruzniee upisane u jednakokrakom trapezll je gcometriJska sredina osnovica rrapcza. Dokazati. U jednakokrakom lrapezu osnoviea 16 em i 9 em upisnna JC kruiniea. [zracunali poluprecnik kruzniee. U svakom pravouglom trouglu zbir b teta jednak Je zbiru hlpolenuze i precnika upisane kruinice. Dokazall. Srednja linija jednakokrakog trapeza iznosi 4 dm. a visina 3 dm Izracunati dij agonalll trapeza.

Ako je trougao ABC pravougli L C = 90°, a i b katete, c hipotenuza, h hipo· tenuzina visina CC ', p i q duZine odsecaka Be'i AC' na hipotenuzi, tada vaZi: a' = pc, b' = cq, h' = pq, a' + b' = c'. 1100.

Ako je ~ ABC pravougli trougao sa pravim uglom C, C/, b, c redom duZine straniea BC , CA, AB, h duZina vi sine CG', p i q i duzine odsecaka BG' i AG' na hipotenuzi, tada vazi: (1) t1 ACC' - t1 ABC, t1 CBC' - ~ ABC i 6. ACG' - t1 BCG' (2) a' = pc, b' = cq, h' = pq. Dokazati.

c',

1101.

Za svaki pravougli trougao vazi a ' + b' = kateta, c duZina hipotenuze. Dokazati.

1102.

Ako su a i b duzine kateta, h duzina visine, koja odgovara hipotenuzi, · I I 1 , ta da J e - = - + - . 0k 0 azaU.

h'

a'

1111. 1112. 1113.

gde su a i b duzine 1114.

I

b'

121

120

1116.

U pravouglom trapezu razlika kvadrata dijagona la jednaka je razlici Intadrata osnovica. Dokazat i. Konstruisati geometrijsku sredinu za dye date duzi a i b.

1117.

Date su dYe duzi cij e su duzine a i b. Konstruisati duz duzine:

1115.

a)x =

~a' + b';

b) y =~a2 -b ' . Konstruisati odsecak duzine x ako je x = a.Jk , gde je a duzina date duzi, a k pozitivan broj . + cd, gde Sll a, b, c, die date 11l9.* Konstruisati odsecak x ako je x = duzi. e

11IS.

~ab

1120.

Konstruisati duz cij e su duzine redom datu jedinicnu duz,

llit.

Konstruisati duz cij e Sll duzi ne redom : a) x=

~4a 2 + b';

I I I c)-=-+-; 2 2 2 0 x b I I I d ) - = - - -' 2 xl a h2 ' e)x' =a' +ab; X'

= b ' - ab;

gde Sll a i b (a < b) dui.ine datih duzi. 1I22. Konstruisati kvadrat jednak: a) zbiru dva data kvadrata; b) razlici dva data kvadrata. 1I23.* Konstruisati kvadrat jednak: a) zbiru dva data pravougaonika; b) razlici dva data pravougaolllka. 1124.* Odrediti stranicu pravilnog: a) osmougla i b) dvanaestougla u funkciji poluprecnika R opisane kruznice. 1125.* Konstruisati kvadrat jednak razlici dva data jednakostranicna trougla.

122

1127.

Ako su stranice trougla AS.C : a = 2pq, b = p ' - q', c = p ' + 1/ ' . gde su p I,q (p > q) rna kOJI celt brojevi , lada je !Tougao ABC pra. vougl !. DOKazat!. (TakvI trouglovl se nazlvaJu Pitagorini.)

112S.* ~o S,lI a i b katete, a c hipotenllza pravouglog trollgla, tada je I,; + Ii. = 51; , gde su la ' I. I Ie teziSne duzi trougla. Dokll7.ati. 1129. A~o su ;1i b ?sno\ice, c i d kraci, a d, i d, dijagonale trapeza. tada JC d,- + di = c· + d' + 2ab. Dokazat!. 1130.- Prilllenolll Pitagorine teorellle i slicnosti trouglova dokazati da JC

povrsina trollgla P: I

a)P=vs(s-a)(s-bj(s - c),

fi , .fIi, 117 u odnosu na

b) x =~9a 2 - 4b';

f)

1126.- Konstrllisati kvadrat jednak zbiru dva data rornba.

abc

b)P='4R'

cJP=s·r.

gde Sll a, b i c stranice, s poluobim, i P povrsina lrougla. a R I r poillprecnici opisane i lIpisane kruznice trougla. 1131.

Ako Sll a, b i c srranice trollg la ABC i ugao ri < 90°. lada je a' = b ' + c' - 2cb, (Kamoov obrazac), gde je b, ortogonalna projekcija stranicc AC na stranicu AB. Dokazau.

1132.* Ako su a, b i c stranice trougla ABC i ugao A > 90°, onda JC a' = b ' + c' + 2cb" gde je h, ortogonalna projekciJa stranice riC na AB. Ookazati. 1133. Secice AB i CD krui nice k(O ,R ) seku se u tacki P. Tacke A, B. C, D pripadaju krui.nici k. Proizvod odsecaka PA i PB. odnosno PC ! PD. konstantan je. Ookazati. 1134. Ako se tetive AB i CD kruznice k(O,R) seku u tacki P, tada JC PA . PB = PC , PD. Dokazati. 1135. Ako se tetive AB i CD knlznice k(O,R) seku u tacki P. tada JC PA ' PB =PC · PD. Dokazati. 1136. Secica AB kruznice k(O. R) i tangenta ( konstruisana u taNI .111 krllznice k seku se u tacki P. Dokazati da je PM' = PA . PB. 1137.* Datu dui AB = a tackom M podeliti po zlamorn presekll (:;.:crio aweaJ. Primcdba. _ Ako je neka dllz podeljena na dva nejednaka dela tako da je \ ~c. dec geometrij ska sredina cele duii i manjeg dela. kaie se da Je la duz podelj ena po zlatnom preseku. 113S.

Iz spoljaSnje taake P kruznice k( 0, R) konstruisane su m?gcnma dll.l x i secica s, koja sa kruinicom k ob~7.uje odsecke kOjl tOJ~ u ra· zmeri 11/ : n. Ako je duZin8 telive nB setle! Q, odrcdltltangenmu dUL T

1139.

lz spolj asnje tacke P kruzlliee k(O , R) kons truisana je seciea s cij a je spolja~nja dliZina a. Tangentna duz konstruisana iz iste tacke je duzine 2a. [zracunati duzinu tetive x koja pripada sec iei s.

1140.

Straniee tTougla ABC su: BC = 15 em, lie = 13 em i AB = 4 em. Odrediti oblik trougla i izracunati visinu koja odgovara straniei AB.

1141:* Dve dijagonale praviln og petougla sekll se u tacki M . Dokazati da su obe dijagonale tackom M podeljene po z latnom preseku. 1142.* Dal je pravougaon ik ABCD, gde je AB = 2AD. Lz temena A konstruisana je noml ala na dijagonalu BD , koja sece str~ nieu CD u I tacki E. Tada j e duz DE = - DC. Dokazati . 4 11 43.* Dat je paralelogram ABCD. Prava p sadrii terne C i sece dijagonalu BD u tacki F, a stranieu AD u tacki E , tako da je BF = 4DE. Dokazati da je AE = 3DE. 1144.

Date su dYe kruZnice k(O, r) i k, (0,,1',), koje se seku u tackama A i B. Tangentne duz i konstruisane iz ma koje tacke P prave AB na krumice k i k, jednake suo Dokazati.

1145.

Ako je u jednakokrakom trouglu osnoviea jednaka visini koja joj odgovara, ~. a = lIa = 8 em. Izracunati poluprecnik opisane kntmiee.

1146.

U trougao date straniee 30 em i odgovarajuce visine 10 em, upisan je jednakokrako pravougli trougao. tako da je hipotenuza paralelna datoj straniei, a teme pravog ugla pripada datoj straniei . Iz racunati hipotenuzu.

1147.* Dat je pravougaonik ABCD. Iz jednog temena konslruisana je normala na jednu dijagonalu, koja deli pray lIgao u razmeri 3 : I. Izracunati ugao izmedu ove norma Ie i druge dijagonale. 1148.

U jednakokraki trougao osnoviee 18 em i kraka 27 em upisana je kruinica. Izracunati rastojanje dodimih tacaka na kraeima.

1149.

U kruznieu poluprecnika r upisan je jedna\(okraki trougao, kod koga je zbir osnoviee i visine jednak precniku kruzniee. Izracunati visinu.

1150.

U trougao os novice 12 em i odgovarajuce visine 9 em upisan je polukrug. Precnik polukruga paralelan je datoj straniei, krajnje tacke precnika pripadaju drugim dvema stranieama trougla. Polukrug dodiruje datu stranicu. Odrediti poluprecnik polukruga.

1151.

Poluprecnik kruznog isecka je r, a njegova najveca tetiva a, Izracunati poluprecnik kruzniee upisane u kruzni isecak.

124

1152.

Iz ma X' • . koje tacke van kruzniee konstruisane su t"nge u n ta I. se~lea na kruznleu, tako da m edusobno obrawju pray ugao . Tangenlna duz je 12 dm, a tetlva Je 10 dm. izraclln atl poluprecni k kruzniee .

1153.

Poluprecnik kruzniee je 8 dm, teti va AB J'e 12 dm . U tae'k'I I I kon'" strUl san~ Je ta.ngenta IZ tacke B tetiva BC paralelna sa tangentom. Odredltl raslOJanJe tangente i tetive BC.

J 154.* Teti ve AB i Ae kruga k su jednake, a tetiva AD sece BC 1I tacki E. Ako Je AC ~ 12 I AE = 8, izracunati AD. (prij emni ispit IZ malematlke za

UPIS

na Beogradski univerzitel, juna 1992),

1155.* Ako je u trouglu ABC lIgao kod temena A dvapul veci ad lIgla kod temena B, a srramea AC = 2, AB = 3, izracunari stranicu Be. (prijernni ispit iz matcmatike za upis na Beogradski uni verzilet, septembra 199 1, god .).

1156.* U kruznom isecku poluprecnika R. upi sana je kruznica poluprecnika

1157.

· tsec , ' k a Je ' 2a. D 0 kazall. da Je . -1 = -I + -I , r. T etlva r R a U trouglu osnoviee a i vis ine II upi san j e pravougaonik obima 2s. cija dva temena pripadaju osnoviei rrougla, a dntga dva srran icama trougla. [zracunati straniee pravougaonika u funkeiji od a, h is.

1158.

U trouglu straniea a = 13 em. b = 15 em i c = 14 em upisan je kvadrat, tako da mu dva temena pripadaju osnoviei c a preosta la dva stranieama a i b. l zracunati srranieu kvadrata.

1159.

U trouglu straniea a = 30 em , b = 26 em i c = 28 em upisan je pravougaonik obima 50 em, tako da mu dva temena pripadaj u 0 noviei c, a druga dva stranieama a i b. Izracunati stranice pravougaonika.

125

VIII

GLAVA

1165.

Proverit i taenost jcdnakosti: a) sin 54° = cos 36°; b) cos 75° 30' = sin 14° 30'; c) cos ( 30° - a) = sin (60° + a ). 0° < a < 30°.

1166.

Izracunati vrednost izraza : a) ( sin 60° + sin 30° )( sin 60° - si n 30° ); b) 4 sin 30° + 2 cos 30° - 3 tg 30°; c) 2 sin 60° + 4 cos 60° - tg 60°.

1167.

Ako je a = 30°, dokazati da je: 4 - sin a 25 2

8. TRlGONOMETRlJA PRA VOUGLOG TROUG LA 8.1. Trigonometrijske runkcije ostrog ugla. Osnovne trigonometrijske identicnosti. Resavanje pravouglog trougla

=

Ako je trougao ABC pravougli LC 90°, LA hipotenuza, tada vaze sledece definicije : o . a b 30 a i . sm a = -, 2 . cos a = - , . tg a = - • c c b 0

= a , LB = {J ,a i b kat etc c

I- sin a

b

4°. ctg a = - , a

1168.

c c 6°. coseca= - . b' a 1169.

Osnovne trigonometrijske identicnosti: 1°. sin ' a + cos ' a = I, sin a 2°. tga = - - , cosa cosa 3°. ctga = - . - , sma

4°. tg a ctg a = I , 5°. sin a = 6°. cos a =

tg a

--;0=====

1170.

~I + tg ' a I

~I + tg 'a

.

1160.

Date su katete pravouglog trougla : a = 8 cm i b = 6 cm. Odrediti vrednosti svih trigonometrijskih funkcija uglova a i {J.

1161.

Date su stranice a = 4 cm i b = 3 cm pravougaonika ABCD . Odrediti odgovarajuce vrednosti svih trigonometrijskih funkcija ugla koji dijagonala obrazuje: a) sa vecom stranicom; b) sa manjom stranicom pravougaonika.

1162.

Izracunati vrednosti trigonometrijskih funkcija nagibnog llgla dijagonaie kocke prema osoovi.

1163.

Dati su hipotenuza c = 24 em pravouglog trougla i sin a = 0,8. Izracunati katete.

1164.

Taogens jednog od ostrih uglova pravouglog trougla izoosi 0.75. a manja kateta je 18 em. Odrediti dmgu katetu i hipotenuzu.

126

+

= 0 .

I +sin a

Ako je a = 30°, izraC llnati vrednost izraza: 2 a + sin a; b) sin 2 a - cos a ; c) tg 2 a - tg a; d) cotg 2 a + cotg a. a) cos

5° seca=-

.

,

4 cos - a

Dokazati implikacij u: IJ. ° sin a + cos {J a + fJ = 90 "" = tg a . cos a + sin {J . 9 sin a - 3 cos a ... 00 90' Ako Je . = 2. odredltl 19a I ugao a ( < a < ). 2sm a + cosa

1171.

Odrediti vrednosti ostalih trigonomerrijskih funkcija ako je (1171 1172): a' - 4 a) sin a = 0,6; b) ctg a=~.

t 172.

a) tg a = 0,225;

1173.

6a b) cosa = -,--; a-

+9

sin a + cos a Odrediti vrednosl izraza : 3 . 7 5cos a - sm a ako je sin a = - i 0° < a < 90°. 25 Dokazati sledece jednakosli ( 1174- 11 80):

1174.

sin'a + cos' a + sin ' a cos 'a = I.

1175.

sin ' x = cos' x - cos ' x + sin ' x.

1176.

tg ' a - sin ' a = tg ' a ·sin ' a.

1177.

cotg ' a - cos' a = cos ' a cOlg ' a .

,, ' - 9

c) sin a = ,Cl ·

+

1178.

sin a

1 - cos a

=

I + cos a

1193.

a) Kateta a = 28, IS cm i ugao P= 58; b) kateta b = 18 m i ugao P= 36° 36'.

1194.

a) Kateta a = 261 cm i hipotenuza c = 461 em ' ' b) katela a = .Jl7 cm i b = 2.fi em.

sin a

I + tg x + _ 1_)( 1 + tg x - _ 1-) cos x cos x

= 2tg x.

1179.

(

1180.

cos' a ( tg a + 2)(2 tg a + 1)- 5sin a cosa = 2.

1195.

a) Kateta a = ..fj cm i ugao p = 35° 20'; b) hipotenuza c = 26 em i ugao p = 49° 49'.

1181.

Kakav je trougao za cije ostre uglove vazi jednakost sin 1 a + sin' p = I?

1196.

1182.

Dokazati j ednakost tg x ' tg (90° - xl = I, 0° < x < 90°.

U j.ednako~ak~m trou~ lu dati su krak b =53,3 em i ugao na osnoVICI a = 54 42. OdredllI ugao pn vrhu i osnovicu.

1197.

1I83.

Dokazati da je: a) cos ' 18°+ cos ' 36° +cos ' 54° + cos ' 72° = 2; b) tg 1° · tg ZO· tg 3° ... tg 89° = I. b , dokazati da je: . x = -a- + b tg a 'I y = a tg a + - Ak o Je cosa cos a x 2 _ y2 = a 2 _ b2.

U jednakokrakom trouglu dati su osnoviea a = 30 cm i krak b = 113 cm. Odrediti uglove.

1198.

U jednakokrakom trouglu dati su ugao pri vrhu y =46° 48' i krak b = 20 cm. Odrediti osnovicu i ugao na osnoviei.

1199.

U pravilnom devetouglu poluprecnik upisanog kruga je r = 8 em. Izracunati stranicu devetougla i poluprecnik opisanog kruga.

1200.

U pravilnom desetouglu straniee a = 6,34 1cm odrediti poluprecnik opisanog i upisanog kruga .

1201.

Stranica romba je a = 12 cm i gonale romba.

1202.

Drvo baea senku dugu 5,5 cm, a Suncevi zraci padaju pod uglom od 48°. Odrediti visinu drveta.

1203.

Iz dveju tacaka A i B pravog puta AB = 400 m tacka C van tog puta vidi se pod uglovima L CAB = 60° i L CBA = 45°. Izracunali rastojanje tacke C od pUla AB.

1204.

Ova puta ukrstaju se pod uglom od 75°. Jedno meslo udaljeno je od jednog pUla 6 km, a od raskrSca pUleva 12 km. Koliko je to meslo udaljeno od drugog pUla? Dve sile P = 4372 N i Q = 5642 N su uzajarnno normalne . lzracunati ugao koji zaklapa sila P sa rezultantom sila P i Q, kao i velicinu rezultanle. Sa svetionika visine 120 m iznad mora vidi se brod pod depresionim uglom od 15° 30'. Koliko je brod udaljen od svetionika?

1184.

1185.

1186.

. cos a Ako Je x = --P' y = cos a tg p, z = sin a , izracunati vrednost cos . A = x-' - y-, + z 1 . lZfaza Odrediti sin a i cos a ako je: a) 2 sin a + 3 cos a = 3; b) 3 sin a + 4 cos a = 5; c) sin a + cos a = .J2.

1I87.

Dato je tg a + cotg a = m. lzracunati zbir tg ' a + cotg 1 a.

1188.

Ako je sin a - cos a

1189.

Odrediti osnovne elemente pravouglog trougla ako su dati hipotenuza c = 50 cm i ugao a = 28° 24'.

1190.

Izracunati os tale osnovne elemente pravouglog trougla ako su poznate katete: a = 304 cm i b = 297 cm.

=~,

izracunati sin 4 a + cos' a .

Odrediti ostale osnovne elemente pravouglog trougla ako je dato (1191 1I9S):

1191. 1192.

120S.

1206.

a) Hipotenuza c = 65 em i kateta a = 16 cm; b) kateta a = 70 cm i b = 24 cm.

ugao a =

sr. Odrediti

dija-

Odrediti uslove pod kojima vrlejednakosti i dokazati ih (1207-1213):

J5

a) Hipotenuza c = ern i ugao a = 48°; b) kateta a = 30 em i ugao a = 42° 6'.

o~lar

1207.

1 + sin a cosa

--:----:-- + eos )a -sin )a

I

sin a+cosa

+

sin 1 a - 2cosa - I

,.,

cos-a-SIn a

= Ig

I 1

a-

I

129 128

sin' a+cos' 1208.

1209.

a

(sin a

1+2cos'a

, cos-, a ( tg-a

- c0sa)(I- sin acosa) tg' a + I cos a sin a = tg' a - I cosa - sin a cos a + sin a

I)

=

2

I X GLA V A

tga + I

9. LINEARNE JEDNACINE I NEJEDNACINE 9.1. Linearna jednacina sa jednom nepoznatom

a + sin (3) ' + cos' a cos' f3 = (sin a sin f3 + I) '.

1210.

(sin

12l1.

(cos a + cos

3

1212.. I - sin 6

f3)' 6

+ sin'

a - cos a

a sin f3 ' = (cos a cos f3 + I) '.

= ( tg a + ctg a) '.

1213 .• (tg'a + 1- tga):( 1- ctga + ctg'a) = tg ' a . ctga tga

1°. Jednacina (I) ax= b je op~ti oblik lineame jednacine sajednom nepoznalom, gde je x nepoznata. 2°. Broj r je re~enje jednacine (I) ako je ar = b. 3°. Akojea ,. 0 jednacina (I) imajedinstveno resenje x =

~. Zaistaa~ = b. a

a

4°. Ako je a = 0 i b,. 0, jednacina (I) je nemogu~a i nema re~enja . 5°. Ako je a = 0 i b = 0, jednacina (I) je neodredena i ima beskonacno mnogo re§enja. 6°. Jednacine P(x) = 0 i Q(x) = 0 su ekvivalentne ako je tacna formula P(x) 1214. 1215.

1216.

= 00 Q(x) = O.

Dokazati da su ekvivalentne jednacine 23 - 9 x - II = 24 - 15x i 4x 2 - (3 - 2x)(2 + x) = (2x + 1)(3x - 2). Da Ii su ekvivalentne jednacine: 62- 2(2(2(2x+ 1)+ 1)+ 1)= 0 i 15- 2(3x- 4(x-5(2x+5)+ 3)- 2)= 3(4x- 9)? Dokazati da su ekvivalentne jednacine:

4x+ 19- 6x= 12+ 5xi 1-5(4(3(2x-I)- 2)- 3)+4= O. 1217.

Pokazati da je nemoguca jednacina

x-4

3-x

2

2

1---=--. 1218.

Dokazati da je jednacina 1+_ 3x _ 6x+ _ _ _5 = -3x neodredena.

3 1219.

15

5'

Da Ii su ekvivalentne jednacine x + 2 = 2x - 3 i (x - 5)(x + 2) = (x - 5)(~x - I)?

131

130

Za~to

1220.

jednacina

Resiti jednacine (1232- 1234):

x + 8 = 4x - , x - 2

%)

ima beskonacno mnogo

1221.

1222.

1223.

a)

po x jednacine: a)5(x - I) - 4(x- 3) = - 20; b) 10x - 2(2S- 3x) - 3 = 8(2x- 6) - S; c)3x + 5(x + 2)(x - 2) = 5(x - I)(x + I) + 6.

c) SI ; I _

1233.

Resiti po x j ednacine: a) 1- 4x(x + 3)(2x + 9) + (2x + S)l = 0;

1225.

(x -I )(x - 2)+ (x- 2)(x - 3) - 2(x+ I)(x - 8) = O.

1226.

(x + 8)'+(x+3)' = (x +1 2)'+(x-S)'.

1227.

(\3x + 3)' - (Sx + 10)' = (12x - 3)'. Sx(3x + 10) - (8x + 3)' = (3+ 7 x)(3 - 7 x).

1230.

(x - 0,1)' - 3x(x - 2,1 1) = 7,033 - (2x+ 6,8)(x - 0,8).

1231.

Rlesiti jednacine:

1235.

+ u _ 4u + 3 = _ 2 L d) 9z 4+ 4

2'

a)

17

3y-7 = 0; 4

7 - ( 1- -2 - -z) =7z. 9

2

1,3 - 3x 1,8-8x_ 0,4 - Sx. 2 1,2 0,3 '. 0,18 y - 0, OS O,S

0,02 - 2z c) 002 ,

(2x + S)l - 4x(x + 3)(2x+ 9~+ I = O.

c) 2 - 3u 8

7 x - + 6x -7 x + I 1+ I 1+ Sx 2 4 ---- 2 =a)--+ 3' 24 12 6 2 I+ x 10 - 7 x x - -2xI 3 = I; 3 + b) --x+ 3 2 2 6- x x 3+x 1- - - - -c) _ _=-3_+ x _ 2 4 =3.

b) 12y ,

+ S

31 x =-+4' 10 '

2

2

1234.

y

I

C+t _31 ~ I) = I ~ I; 3

po y jednacine: a) 1,3(y - 0,7) - 0,12(y + 10) = Sy - 9,7S; b) 5(y + 2)(2y + 3) - 2(y - 1)(Sy - 4) = 7S; c)(6y - 3)(2y+ 1) - 5(2y+ I)' +(3y-I)' =(y-I)' .

b)2+

x-

d) (z+ 1)--(z-11)=-(2z-S). @Is S 4 II

Re~iti

x+ 2 x-I a) - S- - 3 = -2- - X;

2

b)y_(3 + 1_ 2 S 2

Re~iti

x(Sx -l ) - (x - 4)(Sx- 2) - (3x - 11)(Sx+ 38) = O.

--

+

Y-7) =S- y + 6 2 '

Y

re~enja?

b) (2x + 3)' - (I + 2x)(2x - I) = x' - (x - I)'; c)( Sx - I)' - S( 2x + 4)( 2x - 4) = I + S( x - I)'.

---

3(x+ I) 2( x - 3) 2 S

1236.

I

7- = 2

= 0,4y+ 8,9',

2(2 - 3z)

0,0 1

2,5.

Ispitati konjunkcije: b) x' - x + 1#-01\ Xl + 1= 0; a) x + 3 ~ 0/\ x ' - 9 = 0; c) Sx - 6 ~ 0/\ 2Sx' - 36 = O. .. A 0 A - 01\ B #- 0 re~ iti jednacine: Koristeci ekvivalenclJu - = "" ,

x-3 a)--=O' x+I '

d) 2x + I = I; x -I

B x+1 b ) - = 0; x' + I 6x-1 e) -

2+x

c)

x(x-2 ) _ . , -0, x - 4

=3.

133

Re~iti

;.-:;:J )

po x jednacine:

2x- 9 3x x- 3 3x- I b ) - - + - - = 2' a)--+--=2; 2x- 5 3x - 2 ' x + 3 3x+ I 9x+l I- x 2x+5 c)---3= + - -; 4x - 3 20x - 15 4x - 3 29 4 3 ----= 24 x- S 2x- 16

6

1+4 1+4

1247.

Pokazati da jednacine:

I

Sz - 16

+

0

I

--+--

1240.

4x-6

8x+12

~~~

1241. \ IOx-18 12x' -27 /

1 242:

3-4z

i

I 18x' - 30x

0

I

4

5

2x+3

ISx-27

9(2x-3)

3(x+l) 12x' - 20x + ISx' - 50

2;t--l 3

"';x -

2

x'-3x-4 x' + x-12

1

6x = O.

x+ 16 - - = 0. x+4

1244. - ,-4 - -'-,- - - -.,... , --y y -4y+4 y +5y+6

=0.

O.

2

I +-=0' x· + 2X ' + 4x' x' '

+

1-3x I + 3x

12 = 1- 9x' ;

3

2 3 S+9x b) 6x + I - I - 6x = 36x' - I;

4

7

x'+20x+25 + 4x'+4x+1 I

_

(2x+5)(2.r+l )

3

4

9-4x'

9+12x+ 4x'

1249.· Resiti po y jednacine: a)

3 4y-12

0,75 y - 2 y -6 y +9 ,

= Y1 -9 y ,

y+ 2 7 2 +2 y - 7

4y I 3 1- 6y+ 12y' - Sy' 2(1- 4y') 2 - Sy+ 8y' y c) I _ _ _.::..5-::--.:.- - _ = __I.:..,2~y_-_115y-IO 27 y' -54 y'+36y-8 18 y'-24y+8

b)

.

./

1243:

f)

16z'-9

3(2x+ I) 4x' - 9

--+

1+3x a) 3x _ I

+ 30z - 21 ""

-'----'-=

+

Resiti po x jednacine:

U 9~nx+4X'

--=---

7 - 3z = 12z '

I

emaju resenje .

. d)}

z- I 4z + I 2 3 -+ b)2z'_IS - 4z ' -36 + z+3 2z-6 ) 6Jz +5 -1z +3

,

U

5- z 7 z -I =----Sz - 4z' 8z 2z( z - 2)'

x+1

S - x' 2x' - x' 2x- 3 x' x b ) - - - - = - -; x-2 x+2 4-x'

. esiti po y jednacine:

a)

9-31-21' 13-31 + - - = 0. 16-1' 1-4

--

a)

esiti po z jednacine:

4y+ 11

1246.

2 3x- 24

a)3 y -I_6 y +5+ 9 '11 y-4 3y+9 5y+15 45' 4y - I _ 5y 6y - 4 Y+ I ~--=l+ . b) y -4 3y -12 5y-20 2y-S' y- 3 I c)~- Ily+5 --'---+ -. 2y-l 12(2y-l) 4- 8y 6

2(y+14)

~ y-6- y'-4y-12= y'+3y+2 '

1250.

Resiti po x jednacine (1250-1259) :

a)lxl+2(x-3)=6; b) lx - 2 1=4; c) 13x - 21 + x = 2; d) 21x + II + x - 3 =0: e)lxl+lx-ll= I; f)lx+21+lx- 3 1=5; g) I x-II + I x - 21 + I x - 31 = IS; 4 h)lx-21+lx-II=lx+21; k)2+l x- 6 1=lx- i; 1) I x - 21 + 1x - 31 + 21 x - 41 = 9; m) I x + 11 - 1x 1+ 31 x - 11- 21 x - 21 = x + 2. 13S

134

1251.

1252.

a) :x-21+lx+~= 7;

b)lx +41-lx-71= II;

c) Ix -II-Ix+~= 6;

d) Ix+41-lx-41= 8;

e) Ilx+ 21- ~ = 8;

f) Ilx - 61- 81= 10.

S _6 _ _ + x - S

-x +!

_ 7' - - - - + x - 2

x + 4.fi = 3x.fi - 4.

2x( ..J5 - I) = 3 - x..J5. 1254. (2x-3)' -(x.fi)' = 2(x -.fi)(x-I).

1262.

_ _'--'11'---:-_ _ _ =

1263.

- - - . . , - --

1253.

(2x..J5-I)'-(4x-..J5) ' = (2x - 3..J5)'.

1256.

x+ 2 x +.fi .fi _ I = .fi + I .

1257.

1258.

I

1259.

1264.

I-.fi 1265.

S

I

y-"3

I a)--I - ; = - - 1

3+-

y+-

3

y

y +I-1 y- I

7 C)y+l_y_I="2;

y-I

y +1

3

I

-"3;

3

- y+-

b)~- 4

I

x- S

+

S ! 2

- (x- S)

3 l- x +3

=

4

9

7 6 6

4--x +

+S.

2

3 -+y

-+y 4 4 y+l_y -1 y- I y+ 1 d) y+ I = 2"

1267. 1268.

x

+x_

1

_ _~5____:::__-_

-x+5 _S--+x - 3 7 +x -1 6

= _ _4'--~-7 3 Re§iti po x jednacine: 3x- 5 5x - 3 2x 2x-4 - 4- - - 6h-3

a)----+ 3

1269.

I I--

4

_-,-4_ _ _ + x- 3

y -I

= 3.

= x -12.

3 ..:.5 _ _

1+--

1 - --

+S

4 -x -12

3

4 =_4_. 3 '

Re~iti po x jednacine (1261-1267) : I I a) 1I - 2; b) I

1-I-x

1 2-x-11 3 IS

_ _=-S_ _ _

Rditi po y jednacine:

3-'!' Y

136

5(x - 3)

4 1266.

1261.

7(x- 3)

-

x-3 --+x+2

x

.fi+..J5 1260.

2

2

49

=

S

l - x+9

I I

3 4+ - x+ 1

I

= 3.fi-J3·

72-15 = JIO-I I

37

I

3+

xJ3 + .fi 2x.fi - J3 J3-.fi = J3+.fi . 2J3-.fi x

16 =-

2+ - - - - ; - -

1255.

21.

X-

8

3

4x - 3 _ 2x9 4

5= -3-:

Re§iti po x jednacine (m je realan paramelar): a) m(mx+ I) = 2(2x- 1); b) m'x- m' - 4 = 4m(x-I);

c)m'x+ 4= m(x+4);

d) 10+ 3(x-2)=mx+ 3.

137

1270.

Rcliti po x jednacine (a je realan parametar) : a) I - 30 + 5x = ax - 2a + 4X; b)(x + a)' = x(x + a) + 4a' ;

e)+1271.

l a ,)+a'(x-;)=2.

Re~iti po

y jednacine (a, b, c realni parametri) (1271-1279) : a) (3y - 2c)' - (y - 2c)(2y + c) = 7 y' - 12c'; b) (2y+a)' = 4(y+ I)( y -I)+ 4(y+ 1,25a '); e) y(y - b) - c' = (y - b)(y + b) - cy; d)a(b- y)+ by+ab=a' + b' .

1272.

(a' + 2b' )( x - a) = (2a' + b' )( x + b). 1273. y(a-y)+(b-y)'=a'+3b'. 1274. (x-a)' - (x- b)' + 3(a- b)' = O. 1275.

4( x - a - I)' + 5( x - 30 - 2)' = (3x + I)' .

1276.

«a'-I)x-I)' +(2ax-I)' = «a' + I) x+ I)' . 3ax-(2x- 30)' = (2x+a)(5a- 2x).

1277. 1278. 1279.

4a' - (3x- 2a)' = (5a - x)(5x + 30) - (2x + 3a)'. (2x- 3b)' = (x+ 6b)(x- 9b)( 8x - 12b) - (3b)'. Re~iti po x jednacine (a, b, c, m su realni parametri) (1280-1291).

1280.

a)_3_ _ _ 2_= 3x-7m x-m x+m x 2 _m 2 ' b)(a+b)x _ (a-b)(a-x) (2x+a)(a-b) a-b a+b a+b c x arc 2x) a x __ a +_ x b x e) - - + - - = ;d) - _

a+x a-x a'-b ' 2a+x x-2a ax-2 1281. a j - - + - - = . a+2 a- 2 a' - 4 ' b)3n+x+~= nx-3. n+3 n- 3 n' - 9 ' 3x- 2 x- I 2 e) , +--+-=0· a-2a a-2 a ' d) 2a - x _ 2a + x _ 2ax 1-2a 2a+1 4a'-1 138

b-a

a+b

a+b a-b --x-4ab= - - x. a- b a+ b a+b b-a a'+b' 1283. - - x = - - x + - - a-b a+b 2 1282.

1284.

I

I

(a'+a)x - a ' +a - a+I-~=;;:

1 x I x 1285. - --:- + - - - - - = --:---(a+I) ' a' +a a+1 a' +2a+1 a a-b b 1286. -= +--x x+ 2a- 4b x- 2a+ 4b 2 3a-4x 3a 1287. 3a + 2x 9a' - 4x' 9a ' - 12ax+ 4x' 2 2a- y 2a+ y 1288. --+ -0 y+4 y' -16 y' - 8y+ 16- . a+2b 2az+5bz+b ' bz+b' 1289. - - + --:;,,---- --,z+a 2z ' -2a' 2z"-4az+2a' a-4x a-4x 4 1290. a'-5a+6 a'-a-6

1291.* a) b)

e)

2ax _ = __ a'-b'

+

ax-ab

a+1 a(x+3)

3ax-5 a(x' +2x-3)

o·,

4

x -I '

_3_= 3x+4 x+ 1 x' + 3x+ 2

d) x - I _ ax a- 3 a' + 30+ 9 1292.

o.

+ --- + --bx-ab bx -b'

ax-a'

2m-5 (m-l)(x+ 2)

o.

2lx-a' a' - 27

Rditi po v jednacinu (M, n, w realni brojevi):

M=n(v+w) v-w 1293.

= O.

Re~iti po I jednacinu (R, r, p realni brojevi):

tr+ p

R

tr-p

"

-=-

139

1294.

. . d X' 2x a 1303. * D ata Je Je na"ma ~8 - -;-,- - _ aa+2a+4

Re.siti po s jednacinu (P, r realni brojevi):

P = r:rr (r + s).

1295.

Re.siti po r jednacinu (v, h realni brojevi): 3v = h-(3r - h),

1296.

Pokazati da je re.senje jednacine (po x): .:..(m~-....:I~)(:..::2.:.:. x_+_m2)

broj . a) Re~iti datu j ednacinu po x.

= (x- m)(m- I) + x(m+ I) , m+1

m+1

1304.

m-I

pozitivno (m dati realan broj za koji vaii m;'; 0 i I m I;.; I), 1297.

Pokazati da je

re~enje

m

b) - L _ _ n _ _ np = O. £-1 p-x x' x -I p'

m

-+ I 2

Re~ iti jednacine po x (a, b, e i In realni parametri), (1305-1313):

x - ab x - ae x - be 1305.* - - + - - + - - = a + b + e. a+b a+e b+c

Data je jednacina

x- a x- b x- e I 1306. * - + - - + - - = 2( -+-+ -.

n' - x' x - 2 3 x-I + - - = - - - - (n E Z \ (O}), nx x 2 11

Ako je n E Z \ {O,- I}, onda je re~enj e jednaci ne :

x-I n'+n

a' - x

2x+n' (n+2 )' . = neparan broJ, Dokazati . n+1 n+1

1

be

x+a'

Pokazati da re~enje jednacine

3m 9m 2

-

12mx + 4x 2

4.x;- 3m 9m 2

-

4x'

=

ne zavisi od parametra b.

1)

abc

a+ b- x a+ e- x b+ c- x 4x + + + = 1. e b a a + b+c x+ b x - b b+ x x- b 2x 1308.* - - + - - = +a+b a-b (a+b) ' a'-b' a' x+a+2 x-a-2

1310 •

a- x +2 2(x'-2x+2)+2a(a-x+5) = .2:.._-:-_~_"--_--':" x' _a' - 4a - 4 x+a+2 1

1

. (x-a-b)(x+a+b) + x , +a-' +b , -2ax- 2bx +2ab 2

2x + 3m

~ m.

2 Pokazati da resenje jednacine (a, b, e, realni parametri)

bx-e bx-a -----=1 be ab

ab

=----

2

ne zavisi od realnog pararnetra m ako je m'" 0 i I x I'"

ae

1307.*

1309.*

=

ne zavisi od datih realnih brojeva a i b, (a '" b '" 0, x'" ± a' ).

1302.

m

pozitivno ako su dati realni brojevi a istog znaka i ako je x'" 0 i Ix I'" a,

--- +

1301.

- -

2

Pokazati da je re~enje date jednacine paran broj, 1299.

x+ -

-+ 1

ax+b ax-b 2ax+4 2 ' + , = , x - ax x- + ax x2 _ a2

1298.

b) Za ~oje je vrednosti broja a reknje date jednacine pozitivan b .? c) Kohko treba da bude a da bi re~enje jednacine bilo x = O? roJ. Re~iti jednacine po x (m, n, p realni parametri): x m+ 1 1 In m a)~ _ _2_= ~;

jednacine (po x):

x-I 2 ' gde je a dati realan a-

(x+a+b)" , 13ll.* x+a+ b x-a- b 2(x'-ax-bx+ab)+ 3(ax' -a'-2ab - b' x-a-b x +a+b=

1312.* 2mx(m + 1) + 3x m' - 27

x+ 1 x + , 9 m- 3 m- + 3m +

+ b') . .

o.

, _m_+_2__ 1313.* m(x' + 8)+ 6 +_m_=_ 8-X' x-2 x' +2x+4 141

140

Rditi jednaljine po x (1314-1317): 1314. 1315. 1316. 1317.

3- x 8- x 2 - x 10- x x + 2 5 - x - - + - - + - - = - - - - - + -- . 8 - x 6- x 4 - x 8- x 6 -x 4 - x 2x + 2 5( x - I) 3x - 3 = 3x' + 6x + 3 12x' - 24x + 12 . 2x' - 2 3( x' -2x' +6 ) x +1 x+2 x +3 --+--+--= . x -I x -2 x -3 ( x -I)(x -2)(x -3) 3+ 2x 1+ 2x

-I ) -5+-2x- = 1 - -2(-2x' ' - - -'-7 + 2x

R~iti jedna~ine

1318. 1319.

7 + 16x + 4x'

po x (a, b, c, m ill S/I rea/l1i broievi) (13 18- 1341):

3 x -a-b

3x -7(a+ b) - -2 - = ---'---'"

a-x m+n-a

2ax a+x =---a+m+n a' -(m+n)"

x +a+b

-'---'--- +

x-2(b+c) b+c-2

(b+c)x-2 . (b+c)'-4

1321.

3(a+b)+ x + _-..0.._"":' x -3(a+b) --'-_-'--_

(a+b)x-3 (a+b )' -9 '

1322.

3x- 2 x-I 2 ------+ +--=0. (b+c)(b+c-2) b+c-2 b+c

1323.·

2(m+n)-x 1-2(m+n)

1324.

2(b+c)+x b+c+2

x ' -(a+b)"

1320.

a+b+3

a+b-3

2(m+n)+x 2(m+n)+1

1326.

(a+ b-I)(2x+a+ b) a+b+1

142

(m+ n)' + b' (m+ n)' - x' .

1329.* _ _--:-~3(.:...a.:._+.::...b~)_ __ 9(a+ b) ' - 12(a + b)x + 4x'

4x - (a + b)

1330.

x + (111+ n)x 2( m+ n) - 5 2(111 + 11 )+ 5

1331..

(111 + I1)X + x 3(II1 + n)-2 3(II1 + n)+ 2

1335.

9(a + b)' - 4x' 2x+ 30+ 3b' 2( m+ 11)' + 3(m+ n)+ 5x 4(m+ n)' - 25

1 111- __ x__ 1 x 111+ x

1 x- -

= ---.!!l.. _ _ I x+m

m

x

a+ - a - b a+ b 1336. --x a- b a- - a+ b

2(m+n)x =0 4(m+n)'-1 .

I

1337.

=(x-a- b)(a+ b-I) + x(a+ b+ I) . a+b+1

2

x( 5m+ 5n+ I)+ m+ n - I 9( m+ n)' - 4 1332.* 2(a+ b)(a + b+ I)x+ 3x x + x+ 1 (a+ b)' - 27 a+ b - 3 (a + b)' + 3(a+ b)+ 9 = O. • x - a x - b X- c 3x 1333 . - - + - - + -- = - - b + c c+a a+ b a + b+ c

a+ b ax

1338.

(m+ n)x _ 2lx- (m+ n)' (m+n) ' +3(m+n)+9 - (m+n) ' -27 .

x-I m+n-3

x + b' (lI1 +n) ' - x

b- c a - d a-d b - c 1334. - - - - - + - - - - - = 0 x - a x - b x- c x -d .

I + I + I + I = O. a(x-a) a(x-b-c) (b+c)(x-a) (b+c)(x-b-c)

1325..

1327..

b' - x x + (m+n )'

1328.

a+b-I

(m+ n)x+ b + (m+ n)x- b _ .:...2(~m_+_n-=)_x_+-:-4 (m+n)'-(m+n)x (m+n)'+(m+n)x - (m+n) ' -x"

1339.

a =a- b 2 ab

a bx + a' xa+b a b

+

a+b 2a -b =-a ' + b' x -a a a- b

~ +1-+ 2 = 0.

- - a x

- - b x

143

1340.

1 1 3 1 2 1 3- x+4 2x+ 2 - x+ 1 6 - x-3 - - x+ 1 2 2 + _5__ . 2 + _ _5 =....:.5__ 12 120 10 3 10

1

1

a+1 x+1 x. 1341.* -+- - 1: [a+1 - - - a(x+1) + 1 =ax+l 1 I ax+1 2 [ x+ -

x+ -

a

a

Re~iti j ednacine po

1342.·

1350.* Rditi jednacinu l(ftx» = I, ako je f(x)

Re ~ iti jednacine po x(a, b, c realn i brojevi), (1351-1353):

1351.

1353.-

2x-a

1354.

a+x

+ ax + x

2

ax -I

+

a-x

Ja

a ~ -ax +x~

x-a

x-o-I

x-b

x - b- I

x -o-l

x-0-2

x-b-I

x-b-f

Zbir dva broja j e 45, a njihov kolitnik jednak je 7 : 8. Odrcditi ave

brojeve. 1355. Zbir dva broja je 47. Ako veci podelimo manjim, dobija se koli~nik 2, a ostatak je 5. Koji su to brojevi? 1356. lmenilac jednog razlomka je za 2 veci od brojioca. Ako se oduzme 1 od brojioca i imenioca razlomka I, dobije se 2" Odrcdili razlomak.

x-c 0+ b

1344.· - - + - - + - - = 3 x

1345.*

a

9.2. Primena Iinearnih jednacina sa jednom nepoznatom na rdavanje raznlh problema

1 1 Q- x-__ x __ = __a__ _ 1343.* 1 x 1 a 0+x+x a

x-b c+a

cx- 1

C

Ol

(~+ a~xL~x +~)~=L x-a h+c

aax ccx ----=----

1352,-

x(o, h, c realni parametri) , ( 1342- 1349):

(;-±~~-~)

1357.

Brojilac jednog razlomka je

~ imenioca. Ako brojiocu dodamo 5. a

imeniocu 15, razlomak postaTe

2(a+b a-b) 1346.· a-- .- -a-b) - - +(2-0 {a+b 1+---- =0. a

x

ax

b

ab

x )=2_J_1 +~). 1347,* (a+bJa+_x )_(a_bJa _ _ 'a-h ~ a+b ""~a-b a+b

,(_ a_ 'x- 2a

+x- 2b +_C_) +3 x_ b_

2c 1348.' ~:""':~-=--7:""':=--?1 1 1

a+ b+c.

--+--+-x-2o

1349.'

x-2b

=~. b+ax

x-2c

{a~x)' (b~X),)=2(b~X - a~x)

1358.

~. Odrediti razlomak.

Razlika dva broja je 13,86. Ako vecem broju premestimo decimalni zarez za jedno mesto ulevo. dobije se manji broj. Odrediti brojeve.

Cifra jedinica jednog dvocifrenog broja je za 3..veCa ad . ci~ desetica. Ako podel imo taj broj zbirom cifara. dobl]a se koh~nik 3. a ostatak je 4. Odrediti laj broj . 1360. Cifra jedinica jednog dvocifrenog broja je 2. ~o ~lloga b!"?~a umanjimo za proizvod njegova susedna dva broJ3 doblJa se I . KOJI]c laj broj? 1361. Zbir cifara jednog dvocifrenog b,"?ja je 8:. Ako ci~ razrneni: mesta, pa prvi broj podelimo dru81m. doblJe se koh~mk 2. iii asta je 10. Koji je to broj?

1359.

145

144

1373.

Kcerka je za 18 godina mlada od majke, a pre 5 godina bila je ad majke 4 puta mlada. Koliko je godina m ajei, a koliko kcerei ?

Jedan bazen moze se kroz jednu slavinu napunit i za I cas i 20 mlnula, a kroz drugu s la vInll Ispramiti za 2 casa i 10 minuta. Za koje vreme bt se napunlo bazen kad bl obe slavine bi le otvorene?

1374.

Odrediti taka v ceo poziti van broj da raz lika pro izvoda dva sledeca broja i prethodn a dva bude 600.

14 560.dinara podeliti na :3 liea, tako da svako sledece lice dobije 20% vtse od prethodnog. Koltke de love dobija svako lice?

1375. Za odlican pl asman na takmicenju nagradena su cetiri ucenika nagra-

1362.

Otae ima 45 godina, a sin 22. Kroz koliko ce godina otae biti dva puta stariji od sina?

1363. 1364. 1365.

Rastojanje izmedju dva mesta A i B voz je presao tako da je : polovinu puta pre~ao brzinom 80 km/c, trecinu puta srednjom brz inom 60 km/c, a ostatak, tj. ~estinu puta srednjom brzinom 40 km/c. Odrediti rastojanje izmedu me.sta A i B ako se zna da j e voz proveo 23 casa na putu.

1366.

Autobus je presao rastojanje izmedu mesta A i B brzinom 90 km/e, a od B do A brzinom 60 km/c. Odrediti srednju brzinu autobusa na celom putu u odlasku i povratku.

1367.

Druga kosmicka' brzina veeaje od prve za 3,3 km u sekundi, a treea je veca od druge za 5,2 km u sekundi. Proizvod prve i treee kosmieke brzine brojno je veei od kvadrata druge brzine za 4, 12. Odrediti sve tri kosmicke brzine.

1368.

1369.

1370.

1371.

1372.

Dva planinara, od kojih jedan prelazi 5 km/c a drugi 6 km/ c, krenu istovremeno jedan drugome u susret iz dva mesta udalj ena 55 krn. Posle koliko casova ee se sresti? Iz jednog mesta polazi u 6 casova kamion brzinom 60 kmlc, a 2,5 casa kasnije iz istog mesta i istim praveem polaz i automobil brzinom 80 km/c. Kada i gde ee automobil stiei kamion?

dom od 36 000 din ara. Koliko dobije svaki ucenik ako se nagrada deli u razmeri 1,5 : 2 : 2,5 : 3?

1376.

Ako se strana jednog kvadrata poveea za 2 cm, povr~i na se poveea za 16 em 2. Odrediti srranicu kvadrata.

1377.

Povrsina jednog pravougaonika je za 125 cm 1 veea od povrsine kvadrata nad manj om stranicom. Odrediti stranice pravougaonika ako se razlikuj u za 5 em. 9.3. Linearna funkcija i njen gralik

Oelinicija 1. Funkcija x funkcija.

-'>

f(x) = kx + 11 , (k,

E R) nazi va se lineama

Delinicija 2. Rea lan broj a je nul. funkeije ako je f(a) = 0. Ako je f(x) = 0, tada je kx + n = 0, pa je x = funkcije je -

f' f( -f) tj .

=

%= a. Dakle nul a lineame

k( - %) + n = 0, tack. A( - %,0)je tacka preseka

Dva tela kreeu se po kruznici , ciji je obim 728 m, jednovremeno iz iste tacke u supmtnem praveu. Jedno puelazi u svakoj sekundi 30 tn, drugo 22 m. Posle koliko ee se sekundi ona sresti?

grafika lineame funkeije i ose Ox.

Dva kombajna mogu da poznju izvesnu povrsinu polja zasejanu psenieom za 3 casa i 15 minuta. Jedan od njih bi poznjeo istu povclinu za 7 casova. Koliko bi vremena bilo potrebno drugom kotnbajnu za taj posao?

koordinatni pocetak.

Bazen se puni kroz dye slavine za 3 casa. Sarno jedna slavina napunila bi ga za 4 casa i 20 minuta. Za koje bi vreme napunila bazen druga slavina?

11

Ako je x + 0, y = n, tacka B( 0, n) je presek grafika lineame funkcije i ose:; Dakle n je odsecak na osi Oy. Za n = 0 graftk linearne funkclJe sa

1378. Dati su skup A = {x I x < 611 x E N) i zakon preslikavanja f formulom y = 2x - I, x E A. Odrediti antidomen funkclJe , zanm pnkazati

1379,

f

kao skup uredenih parova.

Neka je f preslikavanj.e skupa R -+ R odredeno fomlU~~ f(x) = 3x - 2. Izracunall : f( - 2); f( - I), f(O), JU( J(3 - f(O)); fU(x»); fU( - x)).

• Posloje lri kosmifke brzine. Telo koje dobije prvu kosmifku brzinu postaje satelit ZeOlIjC; lelo koje dobije drugu kosmifku brzinu postaje satelit Sunea; telo koje dobije treell kosmifku brzinu oslobada se Sunfeve teie i ulazi u zvczdani prostor.

1380,

Neka je f rea lna lineama funkcij a odredena forrnulom= 0)). J(x) = ax + b (a. b realni broJevl). pokazatl daJe feb) fU( 147

146

=3-

Ako je I(x)

1382.

Konstruisati u istom koordinatnom sistemu i pokazati sta imaju zajednicko, a u cemu se razlikuju grafici sledecih funkcija I I I I I a) y = x; y = x + 2; y = x + 4; y = x - 4; y = x - I;

'2

x, pokazati da je l(f( x»

= x.

1381.

'2

'2

'2

1390.

U skupu funkcija y = ( m - 2) x - 3(m - 3), gde je m realan parametar, odrediti In tako da j e x = 5, Y = 7.

1391.

U skupu funkcija I(x) = (a - 2) x - 2 a + 3 odrediti parametar tako da grafik funkcij e odseca na y - osi odsecak duiine 5.

'2

1392.· Ispitati promene i skicirati grafi k funkcij e:

I

x( x' -I) a) y =x-2+ Ix' -Ii

y=--2. 2x I

b) y = '2 x + 3; y = -

'2I x + 3; y = x + 3; y = -

x + 3; y = 2x + 3; c) y

y = - 2x+ 3. 1383.

Prouciti promene i graficki prikazati sledece linearne funkcije :

I a)y=.!. x -I; b) y= - 2x+ 6; c) y= - x - 2; 2

I

2

~y=-x+~

~y='2x+~

0y=-2x+~

a)Y=lxl-l;

b)y=lx-Ii;

c)y=2-lxl;

d)y=12-xl;

e)y=x-Ixl;

0Y=~.

Ixl y=x+-

x i konstruisati njen grafik.

1387.

Oat je skup funkcija y = (4m - 6) x - (3m - 2), (m realan broj). a) Odrediti m tako da funkcija ima nulu x = 2. b) Za nadenu vrednost m ispitati promene i konstruisati grafik funkcije.

1389.

Dato je preslikavanj e I : x -+Ixl- 4, skupa A = {xlxERII- 4!> x !>4} na skup B. . . a) Predstaviti to preslikavanje u pravouglom koordmatnom SISlemu; b) Odrediti skup B.

1395.· Data je realna funkcija I (x ) = ax + b. _ Dokazati da je I(x + 3) - 3J(x + 2) + 3J(x + I) - I(x) -

148

o.

1396.

Odrediti realnu funkciju J koj a zadovolj ava funkoionalnujednacin~ : a) J(x- 2)= x+ 3; b) J( ~+ 1)= 3 x ~?4; c) J(2x)=x+ I. Zatim konstruisati grafik doblJene funkcIJe.

1397.

Date su linearne realne funkcije formulama:

a)/(x)=.!.x-l; 2 d) I(x)

= - x + 2;

b)J( x)= x +3; e) I(x ) =

Odrediti inverzne funkcije

U skupu funkcija y=(0-4)x-(30-10) (0 realan parametar) odrediti parametarotako da tacka M (I , 2) pripada grafiku funkc~Je. Za nadenu vrednost parametra 0 ispitati funkciju i skicirati nJen Date su familije funkcija y= (2m- 5) x + 7 i y = (10 - m) x - 3. Za koje su vrednosti parametra m grafici ovih funkcija paralelni?

f) l y l= x+ lx - 31·

1394.

Datje skup funkcija y = (k - 2) x - (k - I), gde je k real an parametar. Odrediti parametar k tako da njen grafik bude paralelan sa grafikom funkcije y 2 x - 6. Za dobijenu vrednost k ispitati funkciju i konstruisati njen grafik.

grafik.

x -I - oo < x x x !> 4} na skup B. . . a) Predstaviti ovo preslikavanje u pravouglom koordmatnom slstemu. b) Odrediti skup B.

=

1388.

x- I b)y = x -I x l+ -:-I-x_ -I-I

1393.

x

1385.* Ispitati promene funkcije:

Ix + Ii-l x -II 2

= -'-------

e) y = I x I+ I x - 21;

1384.* Ispitati promene i konstruisati grafik sledecih funkcija :

1386.

0

grafike funkcija

'3I x + I;

I -I

c)J(x) = 2x-4; f) I(x) = 5- x.

datlm ' funkcijama i konstruisali

J iJ -I.

. . gra fik I funkcije (1398--1404): ispitati promene i konstrUlsatl

y=..Jx2 +~X2 -IOx +25. r-7"----:1399.* y= ~X2 _ 2x+ 1 - ~x' + 6x + 9. 1398.

149

1400.· y=lx+Wx- 4 1.

Definicija 2. Ureden par realnih brojeva (a, (3) naziva se rdenje sistema ako . aa+b{3=c, I\a _,a+b,{3=c,. Jel l ..

1401.· y = I2x -

1402.1403.1404.· 1405.

1406.

1407.

1408.

41- 1x - II+ 2x - 4. Y = Ix + 21-12x - 41- 2x + J. f(x) = I x- 11- 21x- 41- 2x- 6. f(x) = h- 5 - I x-II+ 21x- 31·

R~nje s istema nanala gla~ j :

fl~, Y =-,u;J! fl y ..... 0 d . x= , g eJc

l!.

=

l!.

l

6=la° 2

. fu nkclJa .. 'onnulom 5x - 3y - 4 p+ 3• O. Odrediti OataJe I' • b drcalnn broj p lako cia nj en grafik: a) sadrii koordmatm poectak; ) a otscca oa y·os; odse~ak 5.

b'b l~albl -albll tl,=lc' 2

tlY = I:~ :j~01c2-a2CI.

C1

(6 l!. )

Oala je lineama funkcija fommlom (2p + I)x+ (3 p - 5)y + .4p = 0, p realan paramelar. Odrediti realan parametar p tako da JC grafik date funkcije : a) prava parale lna sa x-osom; b) prava paralcJoa sa ..,.asom.

2·. Ako je tJ. = 0, fl = 0, 6. y = 0, sistem je neodredcn i ima bes kon a~ no

I·. Ako j e

Data je lineama funkcija fonnulom

)0. Ako je

Odrediti realne brojeve III i n tako da se grafik dale funkc lJc poklapn sa simetralom: a) J kvadranta; b) U kvadranta.

1413.

Oala je funkcija fonnulom Ax+ By+ 6 = 0, (A , B E R). O~rcdi.l i realne brojeve A i B tako da njen grafik sadrii tacku M(I ,2) I daJt paralelan sa grafikom prave y = x+ 5.

1414.

1410.

U pramenu pravih 2x+ y+ 4 + k(x - 2y - 3) = 0, odred iti onu pravu pramena fiji je grafik paralelan sa grafikom prave y = x+ 7.

1411.

U skupu funkcija y = (m - 2)1x l- 3(m- 3), gde je m realan broj. Odrediti realan broj m tako da tacka P( 5, 7 ) pripada grafiku dale funkcije . Za tako dobijeno m ispitari promenc i konstruisati grafik.

1412.

U skupu funkcija y = (m- 4)1x 1- (3m - 10), m realan broj . Odrediti parametar m tako da je x = I, y = 2. Za nadenu vrednost parametra m ispitati funkciju i konstruisati njen grafik. 9.4. Sistem linearnih jednacina

°

DeOnJclJa. 1. .Konjunkcija jednacina I x+h I y = c I A a 2 x+h,y=c pO d _ z . nCJ>C?ZDatim x I y: g e su 0pa2• hI . b2,c" c 2 zadati realni hrojevi, pri cemuJ( bar Jedan od broJeva 01 ,a2 • hI' b2 , C1 ,C2 razlieit od nule naziva se sistem ad dve jcdnaeine sa dYe nepoznate. '

;J!

0, sistem ima jedinslve oo re ~ enje

--t' -t .

J

(3m- 2n+5)x-(m- n)r+ 2m-5n+ 1 = 0, (m, n E R) . ..

Oat je pramen pravih 2x + y+ 4+ k(x - 3y - 10) = 0. Odrcd iti cen. tar pramena.

tl

re~e nja.

mnogo

1409.

150

alx+ bl y = c l Aoz.t+ b~y = c 2 izraleno preko delenni.

1415.

1416.

1417.

~

1418.

fl = 0, .6. J

;J!

0, .6. y

;J!

0, sistem je ncmoguc i nema re!enja.

Da Ii je uredeni par ( -2, 3) rdcnje datog sistema po x, y: 2.t+3y=51\3x+y=-3? Oa Ii je uredena trojka (4, 3, 2) re~enje dalog sistema po x. y, x+ y+ z = 9/\ x+ 2y + 3z = 16/\.t+ 3y + 4= = 2 1? Gausovom melodom rditi sledece sisteme po x, y: a) 2x + 3y = 7 A 3x- 6y = 7; b)5, + 2)' = 29 A 3y- x = I; c) 3x + 5y= 1/\ 3x- 2y= 8: d) 3x + 2y = 26 /\ 6x - 3}' =3. Metodom zamene re~iti sledece sisleme po x, y: a)2x+y =- 1I\4x+3y=l; b)x-2y =71\2x- y =-.8;. c)5x + y= -} A IOx+ 2y= - 2; d) x+ 2y = SA 3x + 6), - I). Grafifki re~iti sledece sisleme po x, y: a)x+ y =5/\x- y = I; b)x+ y =3/\x- y = I; d) x + ). -IAx- y =5. c)x+2 y =8A y =-3 X; 2 Rditisistemepox,y(1418-1426):

_

=:

.

a) 3(x - I ) + 5(y-l)= - 4A 5(x+ 3)- 3(y+ 1)- 64, _b)4(x+ 2)-7(x- y)= 7 A 7(' 0 ima za

re~enje svaki realan broj x >!!..;

1560.

a 2°Z " SVakl rea tan broj x 0, nema resenj a.

1550,

Dva, braja imaj u osob.in~ da je z.bir cetvoros trukog prvog broja i za 4 uveca!10g drugog br~Ja ,J ednak ~O, a razl ika tros trukog pr.... ag broja i

polovme drugog broJa Jednaka Je 22 . Odredit i a ve brojcvc. 1551.

1553.

~o ~e z~ ir br?j ioca i imenioca j ednog razlomka podeli nlzlikom

Imemoca I broJloca , dobija se 6. a ako se od broj ioca i imenioca razlomka oduzme 3, dobija se

1554.

Oya radn ika rreba da lavrSc jed.an pos~o. Ako rade zajedno, zavr~ice taJ posno za 12 dana. Ako radl prvo Jedan radnik 9 dana pa zatim 2 ' drugl'6 dana, zavrs... lce sarno "3 posla. Za koliko ce dana zavrSiti taj

k.

Odrediti razlomak.

Ako se uveci broji lac j ednog razlomka za I a imenilac za 3, dobija sc razlomak -, a aka se oduzme 5 od imcnioca j broj ioca raz lomka, dobij e se

I 3

i

Odrediti razlomak.

1555.

Odrediti sve parove celih brojeva (x, y) cij i je zbir jednak proizvodu.

1568.

1556.

Jedan splav sastavljen od dva metala ima teiinu a kg. Pos le potapanja u vodu splay je laksi za b kg. Odrediti po kol iko kilograma od svakog metala sadrii splay ako se zoa da prvi metal gubi u vodi p% od svoje (dine a drugi meta l q%.

1569.

1557.

Svaki prost neparan broj moze se preds taviti sarno na jedan natin kao razlika kvadrata dva prirodna broja. Dokazati.

1570.

1558.

Na koliko se naeina broj 105 moze predstaviti u ob li ku razlike kvadrata dva cela broja? Napisati sve te oblike.

1559.

Ova radnika mogu da zavrne neki posao za 8 casova. Oesi lo se da je 51 prvi radio 6 Casova, a drugi 9 easova i da Sll zavrnili 56 dec posla. Za

1571.

Zbir eifara troeifrenog brojaje 16. Ako izmene mesta cifrn dese.tica ~ jedinica, dobija se broj za 72 manji od drugog. a ako ~e podeh dal~ broj sa cifrom desetiea. dobiju se kolicnik 16. a ostutukJe 7. Odrcdill troe ifren broj sa ovim osobinama. Odrediti tTi broja ako su dali zbirovi za s\'aka dva od njih.

koliko easova maZe svaki odvojeno da zavrli laj posao?

164

165

1572.

Tri radnika obavljaju neki posao. Prvi i drugi radnik zavrsi li bi taj posao za m dana; drugi i treei za n dana; a treei i prvi za p dana. Za

,

c)(x - 1)-

koliko bi dana svaki od njib sam zavrsio taj posao?

resavanje

/-

a)S(4-3X) x + I" x + 3> 2x - 6;

b) 0,41+

f 9x- 63;

I - 2x

+ -_~ 3

7

+ 51x 18

b) (x + 3)(x - 5)!S 0;

15.80! a) (x - I )(x - 4) > 0; x- 2 c)-->O; 5- x x- I 3 I58}/' a) - - < -; J x- 2 2 6- x c)-- 3. 4-x

2

b) - - < - ;

1582.

Odrediti skup celih broj eva (x, Tn, y E Z) za koji su pozitivni izrazi: 5- x 5 - 2m 9 - 2y . b) ' c)--. ) a4+7m' 4y-1 x-'

1583.

Odrediti skup celih brojeva (x. Izrazl:

IS

e)x-m>(2-x)(m-I).

, x- I 2( x - 3)- - 1/\ 3

I+x x- 3 2x- 7 I d) 2(2x+ I ) > 3 - -5-/\ -9- > 1+-- ; 2 x+ I x+2 x- 3 x- 4 x- 2 x- 5 ) e ) - - - - - < - - + - - / \ - - > I + - -. L 5 4 3 2 3 15 Resiti nejednacine po x (1580- 1581):

20- x-2S->42-+ 3-x. IS

~

V2 l

Resiti date nej ednacine po x (1573-1575):

1574.

,

2)-

x- 3 I > - - - _. - 6 2'

9.6. Linearne nejednacine sa jednom nepoznatom i njihovo

1573.

+ (x-

a) 5x - 4

Tn,

y E Z) za koji su negativni sledeci

b)(8m-l)(II- 2m);

c)(3y+ 7)(4y-IS).

5x-7' 1584.

Resiti nejednacine po x:

x-I

a ) 2-- < 0; x +3 d)

I x -Ii x

< 0;

b) (2x + I)' > 0; x- 5 e)

Ix -II

< I;

x

c)

(X-

1) '

x+2

>0',

x 1)- OA Y < O.

m(x -3)+2x=0 ima rdenje po x manje od 2. 1589.

U jednacini : 2(a - 3x) + x = 4a - lO(x - a) + 36 odrediti parametar a tako da resenj e jednacine po x bude nega tivna.

1590.

Odreditl sve realne vrednasl i parametra m za koje jednaCina:

1591.

m(x-3)+3=m 2 x ima resenje po x veec od 2. a-2x 2-ar U jednacini - - - - - = a - 2, ( a rcalan broj) odrediti rClllan broj a tako da fesenje po2x bude vece od -2.

1592.

'd .. a +x x + -ax

JC

naCl111 - -

1593.

Za koje vrednosti realnog broja n jednacina x 2x- n --+ , = I, ima resenje manj e od I? x-2n x+-2nx

1594.

Data je jednacina po x (b realan broj),

9b'-8 4 -3b- 4b+ Jb 'x + = 2 • 2x+4 2-x; x-4 Resiti jednacinu po x, a zalim odrediti realan broj b taka da je x < I. 1595.

Za koje vrednosti parametra m sistem jednacina po x,

mx+ y=mAx- y=2 ima negativno resenje (x < 01\ Y < O)? 1596.

Odrediti realan parametar a tako da rdenje sistema az - 4y=a+ lA 2x+ 2ay= - I po x, y zadovoljava konjunkciju x> OA y < O.

1599.

)~

/I

lako da

Za koje realne vrednosti parametra

re~e nj e

III re~cnje

po x, y zadovoljava sistema jedna~ina po

x, y: mx-2y=3/\3x +my=4 zadovoljava konj unkciju x > OA Y < O? 16()().* Odrediti parametllf III tako da sistcm : mx + (111- 2)y= 2A 2x+ 3y= - 3 ima reknj a po x, y koja zadovoljavaj u konjunkciju y> I Ax > y. 160 1.

dd"

') a re It I rca· = -a- + -x- (a rea 1an b rOJ. x- I x-I Ian broj a taka da re~enj e jednacine po x bude veec od 6. U

Oat je sislem: 11.'(- y=5/\ 2.'1'+ 3ny= 7.

Oat je sistem: {a+ 3)x- 2(,,+ 3)y= 12 - 3oA(,,+ J)x+(,,+3)y= -I-a. Odrediti sve cele vrednosti parametrn a :za kaje je resenje Sistema po x. y negativno.

Dill je sistem jednacina po x, y: 3(m - 3)x - (m- 3»)/ = 19 - 4mA (m- 3)x - 2(m- 3}y = 3- 3m. gde je In realan parametar. Odredili sve cele vrednosti parametra mz.a koj c je ta~n a konjunkcija. 1603. Dokazati ekvivalenciju I x I:s oA a > 0 - a:S x So. , ..'IZ pret ha dnog zadatka rclil"i nejedn actne : 16(J4,* Primcnom ekvivalencIJc 1602.

')1...2:J (a' + b' + c')(p ' + q' + ,.') = (ap + bq + cr )'. (p q r 0

Nad njegovim 1658. Dat je pravougli trougao ABC( L ACB = 90 katetama konstruisani su kvadrati ADKC i CBHE. Dokazati da je zbir rastojanja tacaka D i H od prave AB jednak duzini hipotenuze AB. 1659. Konstruisati grafik funkcije: ).

,...--=---

y = ~ x' - 2x + I - ~ x'

+ 6x + 9.

1660.* Razlika cetvrtih stepena dva broja od kojih prvi pri .deljenju sa 5 daje ostatak I, a drugi pri deljenju sa 5 daje ostatak 2, deljlva je sa 5. Deka· zati. ax+ b Neka su ab c d x celi broievi. Ako se razlomak +d x maZe skra1661. , , , , J e . titi sak, onda jead - bc deljivo sak , pri cemu jek ceobroj. Dokazab.

1662. Re~iti jednacinu po x (a dati realan broj): x ax 2a' + 3a + 5x

---+

=

2a-52a+5 4a ' - 25 a zatim odrediti realan broj a tako da je x < - I. 1663. Re§iti jednacinu po x (a dati real an broj): 4a' 30+ 3 --=--+ = 2a' +3-, 3x + 4 x' - 1 3x' - 3 x -I a zatim odrediti realan broj a tako da je x > 2.

175 174

Re~iti lineami sistem po x, y (a dati realni broj) : (a - 2)x + (a + 1)' = 20 A 4x + S)' = a + I. a zatim odrediti realan broj a tako da jc tacna konjnnkcija x 2: 0 A y:S: 0 u skupu celi h brojcva.

1676.

1665.

R.e~iti sistem po x, y (a dati realan broj): (a+ 2) x+(a- 2) y= 16 f\ 2x+ 4)' =0 - 2, a zalim odrediti realan broj a tako da je tacna relacija y = 3x.

1671.

1666.

Data je lineama jednacina po x (a dati realan broj):

1664.

< 1.

U ~ek0l!l razredu ~a kraju ~ko lske godine niko nije dobio oeenu odhcan IZ matematlke. Svaki ~esti ucenik bio je vrlo dobar svaki ~reCi dovoljan, a svaki deveti nedovoljan . Broj ucenika je izm~du 20 I 40 . Koliko je ucenika dobilo oeenu 3 i koliko je bilo ucenika u razredu? 4 4 1669," Akojea+ b+c= 0 i a 2 + b 2 +c z = I, i zracunati(l~ + b + c • 1668.

1671." Dokazati da je n )

+ l In

U jednakokrakom IfOliglu ABC, gde je osnoviea AB ::: 30 em, a kraci AG = BC ::: 2S em upisan j e kvadrat straniee x, tako dn mu dvu tcmella pripadaju osnovici a drugs dva kracima AG i Be. I zril~unati

1680.

)'2 + my + 2 podeli sa y- \, kolicnik je J( 1'). a oSlatak R. Aka se isti polinom podeli sa y+ I, kolitnik Je g(y) a ostatak r. Odrediti realan broj III tako do je R r. l J 1682.· Polinom P(x) = X4 + 2x + ax + 2x + b je kvadrat drugog poll· noma, gde su a i b rea lni brojevi. Odrediti drugi polinom i realne bro·

1681." Ako se polinom

=

jeve a i b. U jednaeinama odrediti rcalne brojevc A, B, C i D takoda oni vate za

I yl = x + I x - 31· 1683.

(n EN) deljivo sa 6.

deltoida. Osnovica traugla je c = 56 em, odgovarajuca visinn he = 15 em i teiisna linij a I r: = 17 em. Izracunati stranice a i b lrOugl u.

J

svako x (1683- 1687): x+3 A

Bx+C

(x+1)(x 2 + 1)

x'+ 1

a + 1672 ." Odredltl . . sve cele broJeve . . Je . za kOJe -I takode ceo broj . Aka su x, y. i z takvi brojevi da je x kubova ova tri broja delj iv sa 3.

+y + z =

1) + g( 2x + I)

=2xA Jl x :

0 dokazati da je zbir •

1685.

1675.· Odrediti sva celobrojna rdenja jednacine x~

=x. (x

+ xy + y2

¢

I).

1686.

= 1.

x+2

ABC

+-

X

x' + Xl

-

+-.

X

X -

A

6 I

X-

x{x - I) '

x

2

B

C(+D

-+-+, x I x+1 x-I .'C·+ +

=~+~+

1687.

176

0+ 0

B

--:'~=---- = xJ _ 2X2

I) - g(2x+ I)

x+1

=-+-+ , x- I x+I x' + I

1684.

1674.' Odredjtj J(x) j g(x) ako je:

Jl x :

=-+ ,

A

a-I

1673.

3

1679. Deltoid sc sastoji iz dva jcdnakokraka trougla cija zajednicka 05novica izno~ i 40 em, a krnei po 25 em i 52 elil. Izracunati dijagonale

Prava MN je zajednicka spolja~nja tangenta kruznicn K ! i K 2' kOj·' . . se sek"u II taekama A I B (M 1 N su dodime locke). Izracunati zbir LMAN+LMBN .

1670." Konstruisati grafik fllnkcije

t" .

k~elim~:

=

9a' - 8

Re~ iti jednacinu. a zatim odrediti realan broj a tako da je x

1667.

~u

dva .tcmcna pripadaJu osnovici AB, a dmga dva tako da lzracunatl stramee pravougaomka.

stranicll x kvadrata. 1618. Romb je upisan 1I jednnkokraki trougao ABC, tako da mil jc jedno Ie· me A, a dYe stnmice pripadaju pravama AB i AC. Ako je AC 6cm, Be = 8 COl, izracunati stranicu romba.

4-30' a(4+Jax) = . 2 2x+4 x-2 x -4 x x(5o+1)+(a-l) b) at" + - ' - = 9a~ - 4 30+ 2 30- 2 ~

U jednakokrakom UOUglll gdc su osnovica AD::: 18 em a 1. ~ . ABC, . II..H:tC!

BC = ; I e =) I eill, uplsan JC pravougaonik Cijc su slraniCe

x- I

C ;-+ D (x- Ir (x-1)'

1688.* Resiti jednacinu po x (m realan broj): m(x' + 8) + 6 m m+ 2 ------+--= 8 - x' x- 2 x' + 2x+4 a zatim odred iti realan broj m tako da je I x 1< 4. 1689.* Resiti jednacinu po x (11/ dati realan broj) : 2mx(m+ 1)+ 3x x x+ I ----.:..---:--~--

1690.*

1691.*

1692.*

1693.*

1694.*

1695.

- -- + ,

= 0,

m' - 27 m - 3 m' + 3m + 9 a zatim odrediti realan broj m tako daje I x I< 2. Resiti jednaCinu po x (a realan broj); x+a+2 a-x+2 2(x' -2x+2 ) +2a(a - x+S) x -a-2 x + a + 2 x' - a' -4a -4 a zatim odrediti realan broj a tako da je I x I < I. Resiti jednacinu po x (a dati realan broj): a+1 3ax-S 4 = ax +3a ru;' +2ax-3a x -I ' a zatim odrediti realan broj a tako da je I x I< 2. Resiti jednacinu po x (m dati realan broj ): 2m- S 3 3x+ 4 (m-I)(x+2) x+1 x' +3x+2 ' a zatim odrediti realan broj m tako da je I x I < 1. Prava a sece pravu b, a prava e je paralelna sa b. Sve tri prave Sli komplaname. Odrediti broj tacaka koje su jednako udaljene od sve tri prave. Dokazati identicnost: a'b' b' e' e'a' ----'----+ + = ab+ae+ be. (a-e)(b-e) (b-a)(e-a) (e- b)(a- b)

1697.* Dat je polinom P(x) = x' + mx' + nx' + px + 8. Odrediti realne brojeve 111, nip tako da ovaj po linom bude deljiv sa (x- I )(X' + 6x+ 8). 1698.* U polinomu P( x) = x' + ax' + bx + e, odrediti realne brojeve a, b i c da bude deljiv sa (x - I)] 1699.* U polinomu x' + niX ' +2x' + ~x' - 3x + p, odrediti realne brojeve 111, nip da bude delJlv sa x + I. 1700. Ako je P(x) = 2x + 3, Q(x) = 4x + 9, tada je P(Q(x» = Q(P(x» . 1701.

onda je cetvorougao tetivni. Dokazati. 1696.* Dati su polinomi P( x) = x' - 3x + 2, Q(x) = x' + 3x + 2. Odrediti polinom P(Q( x » , zatim dokazati da je deljiv sa x' + 3x + I.

I

+X

1702. Dat je pravougaonik ABCD, zatim je konstruisana prava AMNF. koja sece dijagonalu BD u M, stranice BC i DC U H..I P. . . a) Dokazati daj e duz AM geometrijska sredma zaduz~ MP I MJV' b) Dokazati da je proizvod DP . BN stalna vehcma I ne zaVISI od izbora secice. . .. CH J'ednaka stranici A8. 1703.* Dat je trougao ABC u kome Je visma . . dn a a) U dati lrougao ABC upisati pravougaomk tako da mu Je 'k . . AB ' I i da se straDlce pravougaom a troug a .' slranica pripada slranlCI odnose kao 111 : n, gde su n~ i n date dU~\ ( pisanih) pravougaonika b) Dokazati da je oblm SVlh tako nasta I u konstantan i jednak 2AB. k .. . k . ti grafik fun clJe 1704.* U istom koordinatnom slstemu onstrUiSa

y =~x-3

i y = x -I x l · 5 ." . ada'u sva resenja sistema a) Osenciti oblast raVDl x Oy kOJoJ pnp J

y ~~ x - 3/\

Ako unutrasnji uglovi cetvorougla cine razmeru: a) 3 : 4 : 5 : 6; b) 5 : 7 : 11 : 13,

1705.* 1706.* \707.* 1708.

178

Dokazati. I- X , . Data J'e funkcija f(x) = - - . Izracunatl fU(x».

y < x -I xl·

.

5 18 ' C(I03)pripadaJugrafiku b) Da Ii tacke A(5,O), B ( - I, - 5) I , 3 funkcije y = - x - 3. . _ _ =d. Dokazau 54 + e' + d' = 4abcd, lada Je a - b - C d b' '_~7 ' 4 + b Ak 0 Je a .' b i d a I lu~ . Ini broJevl a. ,c _? Koji uslov zadovolj avaJu rea d) ' aD najmanju vredno t. a' + d' - 2b(a + C - b) + 2c(c un M . N a tangenma dui konKonstruisati krufuicu koja sadrZ~tacke I P ' a duzmu a. struisana iz date tacke 1m . ' ,+x- 31'= 10. . . Y za kOJe Je X) • Odrediti sve cele broJeve x I 179

1709.

1710.

1711 • 1712.

Vozeci ravnomemo 15 minuta biciklistaje presao polovi nu pU la AB. Orugu polovinu je vozio 6 kmlh manje od prvobitne brzine. Tako je ceo put od A do B presao za 33 minuta. Odrediti brz inu kretanja biciklisre i duzinu puta AB. . x+ -I . ' x-, + - I, = 7' , Izracunarl Ak0 je xx Oat je razlomak ciji j e imenilac za 1998 veti od nj egovog broji oca. I

Ako se datom razlomku dod a -, dobij a se razlomak kojij e za rri puta 5 veci od prvog razlomka. Odredili imenil ac i brojilac datog razlomka. 1713.

Odrediti razlomak koji je jednak razlomku 40 i kod koga je zbir brojioca i imenioca jednak I II . 71

1714.· Ako je x realan broj i ako je x + ~ = 3, odrediri : ' I , I x ) ax+" b)x+- .

x

x· 1715.* Resiti jednacinu .J x' + 2x + I + .JI- 2x+ x' s

,

= 2000.

1716.* Akoje nE N, radaje ~-~+~ jednako 0 iii lakode pripada skupu N. Ookazati. 120 24 30 1717.

Zbir cifara dvocifrenog broja je II , a ako cifre zamene mesla novi broj je za 5 veci od trostrukog trazenog broja. Odrediti raj broj.

1718.* Cifra desetica trocifrenog broja, ciji je zbir cifara IS , jednaka je 5. Zamenom mesra cifara stotica i jedinica dobijeni broj je za 39 veci od dvostrukog prvog broja. Odrediti taj broj . 1719.* Odrediti skup tacaka (x, y) u Oekartovoj ravni koji zadovoljavaj u relaciju

x+lxl= y+lyl.

1720.

Tezisne duzi koje odgovaraju karetamao i b, pravouglog rrougla su . Ok 'd . t+tb t. I '.. 0 azaU a vazl ~ = -5 2 0- + b 4

1721.

Okruzno takmicenj e 1994/95.

Turista je pre~a o 105 km . Oa je dnevilo prelazio po 6 km manje, na putu bi proveo dva dana vise. Koliko kilometa ra dnevno je prelazio turista.

Rditi sistem nejednacina y < x + I" x + 2 y :5 2" y 2: - 2.

Prvi razred

1722.

Dokazali. da broj koji se u dekadnom zapisu pise koriscenjem jedino Clfara 2 I 6, DlJ e razhka kvadrala dva cela broja.

1m . Oat je beskonacan skup S parova prirodnih brojeva. Dokazati da u 10m skupu postoje parovi (0, b) i (x, y) takvi da je a:5 xi b:5 y.

1724. Kako treba izabrali predznake + iii - ispred brojeva pa da vrednost izraza ± I ± 2 ± .. . ± I 995 bude sto bliia nuli? 1725.

Ako svak a dijagonala cetvorougla ABCD po lovi njegovu povrSinu. dokazati da je ABCD paralelogram.

1726.

Nad stranicama Irougla ABC na spoljnu stranu konstruisani su jednakostrani cni trouglovi ADB. BEC i CFA. Dokazati da su duzi AE. BF i CD podudame i da se seku u jednoj lack i. Rcpublicko takmiccnje Novi Sad - 16. marl 1996. Prvi razred

1727. Za vrhove dva stuba visine II i 15 merara, koji su na rastojanju od 9 m, zakacen je kanap duzine 15 m. Na kanap j~ oka~en leZak reg I pusten da kli zi, sve dok se teg ne nade u najOlzoj tach Na kOjoj VIsini ce se nalazili tada teg? 1728. Ako su 0 , b , c, i d pozitivni realni brojevi lakvi da je 50+ b 60+ b . 70+ b _ 8 d 'zracunalI 90+ b - - = - - I - - - , on a, l 9c+d 5c+d 6c +d 7c + d 1729. Neka je 11 prirodan broj i d delitelj 2n ,. Da Ii n ' - d moZe biti potpun kvadrat? 1730. Ali-Baba se nalazi u peci ni 1I kojoj ima zlata i dijamanara. Ki logram zlata kosIa 20 dinara, a kilogram dij amanata kosta 60 dmara ; ;l 20 spolaganjll mu se nalazi jedan kovceg. Pun kovceg zlara IkeZ • g. ,,' 40 k Tetina praznog ov.ega je a pun kovceg dij al1lanala tezi g. k K I' k lata i koliko zanemarljiva. Ali-Baba moze da ponese 100 g.. 0 1 o~. ? dijamanata treba da ponese Ali-Baba da bl naj vIse pro limo . Okrufno takmicenje iz matematilce 21.2.98. Prvi razred

. skup ..1= {19,20..... 9 I. 1731. Koliko troclanih podskupova {a, b,c} 1m3 takvib da je 0 + b + c deljivo sa 3 ?

180

1732.

Neka su a i b realni brojevi za koje vazi = 8, b ) - 3a'b = J6I.

Okruzno takmi cenjc iz matcmatikc 20.2.1999.

a) - 3ab'

1733.

Naci a' + b'. Dokazati da je tacka S centar upisanog kruga trougla ABC aka i gde su G, b i c duzine odgovara. sarno ako je a AS + b BS + cCS

Rcpublicko takmicenje Kragujcvac - 14. mart 1998. Prvi razred • .

.. .

..

a) Rastavltl na ClDloce Izraz: x b) Ispitati da Ii je broj 9'99'

1737.

+ x- y 2 + y 4 .

.4'

I _

1743.

1745.

I Vex, y) = - ( f ( x ) - g(y)) .

x- y

1738.

Dat je izraz *1*3*3'*3)*'''*3'99'*3'99'. Arkadije i Branislav naizmerucno zamenjuju po jednu zvezwcu sa + iIi sa - . Branislav nastoji da broj koji se dobije, posle zamene i poslednje zvezdice, bude deljiv sa 7. Moze Ii Arkadije da ga spreci u tome ako on prvi igra?

1739.

Dat je trouga ABC. Odrediti sve tacke M u njegovoj ravni, taka da trouglovi ABM , BCM i CAM imaju jednake povrsine. Dokazati da osmougao kome su svi unutrasnji uglovi jednaki i kome su duzine svih stranica racionalni brojevi ima centar simetrij e.

+ 2000x''''' _ ... + 2 OOOx' - 2000x+ 2000

Koliko ima parova (x, y) racionalnih brojeva, tako da je 2x'+5y'=I ?

Neka je M unutrasnj a tacka paralelograma ABCD. Dokazali da JC MA + MB + MC + MD manje od obima paralelograma. Okruzno takmicenje iz matcmatikc 20.2.1999.

,

gde x,y;e a. Dokazati da postoje izrazi I(x) i g(y) (tj . takvi da I ne sadrZi y, a g ne sadrii x), tako da se izraz V(x,y) moze, za svaka x, y E R, x;e y, x, y;e a, prikazati u obliku

I

1744. Datje skup A. Medll nj egovim podskllpovima definisemo relaciju- : X , yeA, X - Y ~ X n Y ;e 0 . lspitati da Ii je - refleksivna, simetricna, asimetri cna iIi tranzi tivna.

Prvi razred - B kategorija

,«a -b) (c - x)(c- y) -

(a-xHa - y)-

Oat je konveksan petollgao A, A, A A A . Neka su B B B B . A A A A J " S II ~, ) 4 sre'Sdt~ .stradm :aB 'B ". ' ), A)A" A,A , redom. Oznacimo a /vi i N sre Ista UZI , 4 I B,B). Odrcdlte odnos duzina duzi ,\lIN i A A Oat je pol inom I ,. d'"

P(x) = X"lOO - 2 OOOX ' 999 IzraclInati P( 1999).

+ 3'998 + I prost.

- (c-a)'(b - x)(b- y» ,

182

1742.

Neka su a b, c dati razliciti brojevi iz R \ {O} , i neka je dat izraz V(x,y) =

1740.

1741.

=0,

Jucih stranica. 1734. NaCi sve slozene brojeve n E N koj i ne dele proizvod svih prirodnih brojeva manjih od n . 0 1735. Neka je dat !lABC sa uglovima LA = 500, LB = 60 , i tacke D i £ na stranicama AB i BC redom, tako da je LDCA = LEAC = 30'. Odrediti LCDE.

1736.

Prvi razred - A kategorija

1746.

Ako je n prorodan broj yeti od dya, dokazat i da je broj n" - 128n 6 + 4096

(n)-4n'+8n-8) ' potpun kvadrat prirodnog broja. 1747. Dat je polinom P(x) = x)OOO _ 2000X'999 + 2000x '''' - ... + 2000x' - 2 ooox + 1000. Izracunati P( 1999). 1748. Neka su tacke K i L redom sredista stranica CD. i AD kvadrata ABeD, as presecna tacka duzi BK i CL . a) Dokazati da je cetvorougao ABSL telivni. b) Dokazati da je trougao ASB jednokraki. 1749. Datje skup A. Medu njegovim podskupoYima defi~eSimo relaciju-; X, YeA, X _ Y "" X n Y ;e 0. Ispitati da 11 Je - reflekslvna, simetricna asimetricna iIi tranzitivna. , . b . . 4 '+ I I 6p' + I 1750. Naci sve proste brojeve p takve da su I rOJeYI p prosti. I 3

RES E NJ A

I GLAVA 1. LOGIKA I SKUPOVI 1.1. Osnovne Jogicke operacije 1.

Sve navedene recenice su iskazi.

2.

a)

3.

p( I) = I' - 6 . J + 8 = 3> 0; netacan;

=.

~~;

b) .

p(2)= 2' - 6·2+ 8 = 0; tacan itd . 4.

0 Kako je x = 1 ; Y II x> 0 II 10 - y > 0 => y < 10; posto je y EN i . . 10 - y . y < 10 => Y = 1,2, 3, ... ,9 a x E N I X = - 2 - ' onda je y = 2, 4, 61 8,

a x= 4,3,2 i l. Traieni parovi su: (4,2); (3,4); (3,4); (2,6) i (1,8). 5. 6.

a) 1.; b) T; c) T, T, T. a) T; b) T; c) 1..

7.

a) Broj 3 je jedino resenje; b) Svi eeli brojevi x delioei broja 6. To su: ± I, ± 2. ± 3, ± 6. c) To su brojevi: 1,2, 3,4, 5, 6; d) Jedinstveno resenje x = 4; e) Data formula ima vise resenja. Sva resenja date fonnule je sirup AU B, gde je skup A = {0,-I,-2,-3, ... J, a skup B = (6,7 ,8, .. }.

8.

a)x=I,2,3; b)x=-3V x =3;

c)x=I,2,3;

d)x=6 , 7.

9. x

7

8

9

10

i

3

4

5

6

f(X> 7V x (x E C II x $. A)V (x E C i\ X $. B ) (V'x)(x E CII (X $. AV x$.B) ¢:>(x E Ci\x $. A)V(x E Ci\x$.B) (F) ( V'x)e i\ (~aV ~b) ¢:> (c II ~a) V (c i\ ~b ). Formllie x E A,x E 8 ,x E C oznacene su redorn sa abc. Kako 'e formul~ (F) tautologija, ~to se lako proverava, ovim je dOkazaoa sk~­ povna Jednakost pof f). Sheno se dokazujll i ostale. Dokaz skupovne jednakosti pod h) : A x(B nC) (A X 8)n (A xC), ako i sarno ako (V'x)(xE Ax(BnC)¢:> xE(Ax8)n(AxC». Ovde smo koristili jednakost skllpova. U sledecem koraku cerna koristiti definiciju Dekartovog proizvoda. Cinjenica da neki element x pripada Dekartoyom proizvodu nekih skupova znaei da je x ureden par, recimo x (y, z) tj . Da prva koordinata y pripada prvom skupu, a druga z dmgom skupu. Dakle, jednakost koju dokazujemo tacna je ako vaZe ekvivalencije: (V'y)(Vz)(yE A II z E B n C) ¢:> (y , z) E A x B lI(y,z) E Axe. (K.ori~cena definicij a Dekartovog proizvoda i preseka.) (V'y)(Vz)(y E A II (z E B II z E C)l ¢:>( y EAII z E8 )II(y E AIIzEC). (K.ori~cene definicij e preseka i Dekartovog proizvoda.) Ako sa p oznacimo y E A, sa q z E C i sa r z E C, za dokaz date skupovne jednakosti treba dokazati da je iskazna formula . p II (q II r) .." (p II q) II (p II r) tautologij a. Sto se lako dokazuJe pomocu tab Lice . 71. Na kursu ima 38 slu~alaca; dva jezika uci 15 5Iu~al. aca.

(C,Ol

- - - - - - -?" - - - - - -?" - - - - - "I I

I

I

I

I

I

I

J ~._*_) ___~(C, * ______ ..0-----:( 0,

0-

:

*I

I

AxB

B

SI. 9

193

74.

AxB = {(O,a);(O,b);(O,c);( I ,a);( I,b); (l,c);(2 ,a) ;( 2, b) ;(2,c»)

82.

B x A = {(a, 0);(a, I) ;(a,2);(b, O) ;(b, I) ; (b,2);(c, 0);(c, 1);(c,2»).

83. p = {( 0, I O)~ 1, 9);(2,9);( 3, 7 );( 4,6);(5,5);( 6,4)0,3);(8,2);(9, I);

Njihovi grafovi dati su na slici 10.

,------------------

o C

C 0"""'= - - -- - - - - - - 0

b 0""""':::------------'0 1

o

a O,...c::"'--- -- -- - - -...-:.o

o

L-_________ _ _ _

a

Ax B

SI. 10

A' = Ax A = {(a,a);(a, b) ;(a,c);(b,a);( b, b);(b,c);(c,a); (c,b);(c,c )} .

76.

a) (1 ,2);( 1,3);( 1,4 );( 1,5);( 2, 3);(3,4 );(2,5); (3,4);(3,5); (4,5). b) (1,2,3);( 1,2,4 );( 1,2,5);( 1,3,4 );( 1,3,5);( 1,4,5); (2,3,4 );(2,3,5); (2,4,5); (3,4,5).

= {a,b,c};B = {l,2,3} .

78.

a)(A x A)n(B X B) = {(b,b) ; (b,c);(c,c);(c, b) }. b) (A x A)n (A x B) = {(a, b); (a,c);(b, b);(b,c);(c, b );(c,c)).

79.

A {l ,4,7,IO},B {O, IO},C {IO,12}, AU(BnC) A, B \( AnC)= {10}, P(C \( AUB»= {0,12}, B x A = {(O,I); (0,4);(0,7);(0,10);( I 0, 1);( 10,4); (10,7 );( I 0, 10)}.

80.

A

=

= {0,6,12},B = {0,6,12},C = {6,B, IO,12}. 1.3. Relacije i funkcije

81.

Relacija p = {(-I,-I ); (0, 0); ( 1, 1») VxE A je (x,x)E p(-I,-I)E p ,( O,O)E p,(I , I)E p, pa je refleksivna (51.12) . Na gra fu svaki element ~' 0 , skupa A ima petlju , te nam ta petJja pokazuJe da Je p reflekslvna .

86. I· Relacija p je refleksi vna, jer je "Ix E S:3I(x - x) '" 310 (nula je de-

A

=

85.

SI. 12

77.

=

a) P = {( -2,-1); (- 2,0);( -2, 1);( - 2,1);( -2,2 );( - 2,3);( -1,0); , ...,( 2,3;») ; c) p = {( - 2,- 2); (-I, -I );(0,0);( I, 1);(2,2);( -I , I);( -I, I); (- 2,2;)}; refleksivna i simetricna. d) p = {( - 1,3); (0,2 );( I, I);(2,0);( 3, -I )) simetricna.

00 0

75.

=

84.

0

Bx A

~~~

(IO, IO)}.

2

1 """=---=:,....,..----.-::0 b

P = {( I, I );(2,2);( 3, 3);( 4,4 );( 1,2);( 1,3);( 1,4 );(2,4);(3,4»).

P = {( 1,2);(2,3);(3,4);( 4,5);(5,6»); (sl. II).

Ij iva sa svakim brojem, pa i sa 3). . 2"Relacija p je simetricna ako je 31(x- y) '" x -: y = 3k, ooda Je y-x= -(x- y) = -3k = 3(-k), tj. 31y-x, paJe 31x- y ~ 31y- x i x,y E S. 3° Relacija je tranzitivna ako je: . 31(x_ y) /l31( y_z) ~ x - y =3k/l y - z =3m, ondaJe _ x - z = x- y+ y - z = 3k + 3m= 3(k + m) = 3n, tJ. 31(x - .,,), .. paje 3 1(x - y) /I 31(Y - z) '" 31(x - z); x,y,z E S, zoael pJe relaclJa ekvivalencije. . d k . Relacija p j e razbila (rastavila) skup S na tn po s upa. So = {3,6, 9,12} = {xlx = 3k,kES}, S, = {l,4,7, IO} = {xlx = 3k+l,kES}, . S = {2 5 BII} = {xlx = 3k+2,kES} , tJ. . I .. Prvu 2 , , , .. r en na tri klase ekvlva enclJe. skup S je pomocu relaclJe p rastav J . u u klasu ekvivalencije cine klasu cine brojevi skupa S delJlvl sa g t tak I i trecu kJasu cine clanovi skupaS, koji pri delJenJu sa 3 aJ~ ~s aa je kolienicki skup u brojevi koji pri delJenJu sa 3 daJu ostata , P

3,t

oznaci S / P = (So,S, , S ~21:...,:...(s_1._13_)_ . _ - - - - --::'

,.

o----P o--Y •

3·

I

2·

SI. II

,. A

194

A

(.,

•2 •3

.,

x A =A

·s

l

.,}

SI. t3

I'

M

!XllXllil 0--0 • 0• - 0 ,t

u

II

195

87.

Analogno prethodnom primeru pokazuje se da j e p relacija ekviva_ iencije. K lase ekvivalencije su:

Z. = {0.±3.±6•... } = {3k lk E Z}; Z, = {...• - 5.-2. 1.4.7 •... } = {3k + Ilk E Z} i

Z, = {-4.- 1.2.5.S •... } = {3k + 21k E Z}. paj e kolitnitki skup: Zip = {Z"Z, .Z,}. 88.

Dokaz da je data relacija klasa ekvivalencije izvodi se kao u prethod. nom zadatku. KJase ekviva lcncij e su:

Z. = {5k lk E Z} = 0; Z, = {5k + Ilk E Z} = I; Z, = {5k + 21k E Z} = 2; Z , = {5k + 31k E Z} = 3 i Z, = {5k+4IkE Z} =4.

93. poznato je da proizvod funkcija nije komulativan ali za ove dye vafi ' ' • tj .(f.g)x =32 x 6 -4Sx ( +ISx'-I; 6 (go I)x = 32x - 4 8x~ + 18x 2 -I. Dakle, vali log = go f. 94. Ta reJacijaje a.~tire.~ek~iv~a.je: ni jedan covek nc pozdravlja samog sebe. Ta reiaclJa nLJe nL slmem ena, jer ako x pozdravi prvi y, y ne pozdravi prvi x. Relacija je antisimetricna. Ako x mora da pozdravi prvi y, y mora prvi da pozdravi z, 10 x mora prvi da pozdravi z. Rela. cija p je tranzilivna. 95.

Prema tome. kolil!nicki skup je

Z I p= {Z •• Z,.Z,.Z, .Z.} = 89.

90.

Primed ba 1. Presiikavanje je I-I Gedan -jedan) ukoliko razlicirim likovima XI ,X2 uvek odgovaraju razlicite slike I(x, )J(x!). Ij. za sve

{o.i.i.3.4}

x"x 2 iz domena vati implikacija (I) x, .. x, ~ f(x,)" fix,).

ekvivalencije su: 2 0 = {4}; 2, = {1,5,9}; 22 = {2} ; i Z) = P,7, ) I}; a kolitn icki skup je

Cesto se za dokaz koristi kontrapozicija implikacijc (I), Ij .

Klase

Z I p= {Z •• Z"Z,.Z,} =

.

,

b)g'=9x-16; c)f'g=4x'-20x+26' d)g . f =3x - 12 2 ; b) / og ___ . 2 I

dala jednacina

(\) f(x) + 2f(;) = x, svodi sc na oblik f( ~) + 2f(t) =

7iii

(2)/(~)+2/(X)=~ Iz (I) i (2) dobija se I(x) = 2 - x' (x" 0).

3x

I

4..\"-2

1

b) I(x) = - ( x " 0;1): c) /(» = - - ( x " -: 1). I -x x-I 2

106.

107.

2-7x a)/(x)= x+2 b)/(x)= Ilx-6 ; c)/(x)= ; 13x-5 9x-1O 6x+4' 3-x d)/(x)=--. 3x- 1 a) I(x) =

b)/(x)=

~(x' -I), g(x) = -~(2X' + 3x+ I): x 2 -4x+l I

-x

,g(x)=

x 2 -3x+l x-I

2x

c) I(x) = -2, g(x) = - , (x" 1;2). x-I

108.

198

I

I(x)=-, g(x) = I,/og = gol = I.

x

,(X" I):

109. 1234213431244 123 12432 1423 1424132 1324231432144213 1342234132414231 1423241334 1243 12 1432 243 I 3421 4321.

111. P(5) = 5' = 120. 112. a) 7! = 5040; b) 51 "" 120: c) 4! = 24. til. a) 5! = 120; b) 5! ,4' = 2880. 114. Ima 15 brojeva, i to 5u:1054, 1450.405 1, 4150, 2053,2350, )052. 3250, 11 52,1351,315 1,2251,2 152,1252, 5050. 115. Medu 567 brojeva ima 9 jednocifrenih, 90 dvocifrenih i 468 tTocifrenih. Dakle, 9· 1+ 90·2 + 468·3 = 1593 ciffe. 116. Najvise troug!ova ima aka su svake tri tar!ke sa raznih pravih nekolinearne. Tada trouglove dobijamo medusobnim povezivanjem. Takvih trouglova ima 5· 5· 5 = 125, iii taka 510 za osnovicu uzimamo du1 oa jednoj od pravih, takvih trouglova ima 10·10 = 100 sa osoovicam oa jednoj pravoj - ukupno 3' \ 00 = 300. Prema tome, najveei meguci broj trouglova je 125 + 300 "" 425 trouglova. 117. Irna ukupno IOpravih: AE , AF,BE , BF.CE, CF , DE.DFipravea ib. .. d ' b ' k . n(n+ I) 136 . b'l = c:> 118. Ako Je I on gosuJu. ta a JC rOJ ru ovanJa n(1I + I) = 16 ·17 Q 11 = 16 VII + 1 = 170 n = 16, bilo 16 gostiju.

Ie

Milan 17-ti. 119. Odaberimo bilo koju pravu kvadratnc mrefe. Kako je na njoj 7 taeaka, to je ukupan broj duzi (7 '6): 2 = 21. Kako lakvih pravih ima 14 _ 7 horizontalnih i 7 vertikalnih. ukupan broj dutije 21·\4+ 294. Od uoeenih du:!i 6 ima 1 em, 5 du!i 2 em, 4 dufi ima 3 em, 3 dufi 4 em, 2 du:li 5 em i sarno I duf 6 em. Ukupan broj kvadrata je: 6'6+5'5+ 4·4+ 3·3+ 2 ,2+ )·1 = 9 1 kvadral. 120. Potrebnoje najvi~e 3 tega, i to od 1,3 i 9 kg,jeT je 1=1 ; 2=3-1 ;

3=3: 4=3+1: 5=9-3 -1 : 6 = 9-3: 7=9+1 - 3; 8=9-1: 9=9: 10=9+1: 11=9+3 - 1; 12 = 9+3 i 13=9+3+1.

199

121.

Aka prave klase p presecemo pravama klase q imamo ~+4S 2 duti od kojih je svaka osnovica jednog para leiograma. Na svakoj 5 pravoj k1ase p imamo 6~ = 15 duzi od kojih se svaka moze kombi. novati sa svakom duzi iz prethodne klase. Ukupan broj paTaIclo. grama je 15·45 = 675.

122.

a) Stolice " hiraju" dake na 7·6 ·5 ·4 · 3 = 2 520 naeina' b) Baei " biraju" stol ice oa 9-8'7·6' 5·4·3 = 18 1 440 'nacina.

123.

Aka hi 0 mogla biti on pocetku, lada se broj pamih cifara moze poredati oa 4! naeina, pri cernu svakom od lih rnsporcda odgovara 31 rasporeda parnih cifara, tj . bi la bi 4!· 3! + 144 rasporeda. Kako 0 ne moze biti nn pocetku. treba oduzeti 2! · 31= 12 rasporeda, pa Je trazeni broj 144-12= 132 rasporeda.

124.

125. 126.

a) 5·6·6 · 6 = 1080; b) 5·5·4'3 = 300; c) 5·6·6'2 = 360. a)6·7·7·7·7=14406; b) 6' 6·5 -4-3=2 160; c) 6'7'7·7·5= 10290. a) 10 belih + 30 plavih + 3 crvene = 43 kugl ice; b) 30 plavih + 20 crvenih + I be la = 51 kugJi ca; c) 2 bele + 2 crvene + 2 plave + 1 = 7 kugl ica.

127.

(~O) .(:) = 1974024 nacina.

128.

V.6 - V15 = 300 razliCitih brojeva.

129.

n=11,k=7 .

130.

n8)-m-(m- IH(~)- I)= 124.

131.

2

.

temenOffi. Ukupan broj trazenih trouglova je 360 + 280 = 640.

200

4 137. VZ = 4'3= 12, 1221 31 4 1 13233242 1424 34 43. 138. VI s + V2s + V1~ + V• S + V S = 325 . ~

139. 2·V/ = 2·7 ·6·5 = 420. 140. 3024. 141. ViS = 35 · 34 = 11 90. 142. Elementi skupa M su : 2,3,5,7,1 J, broj Irazenih brojevaje 20. a) Datajednacina ekviva lentna je jedna6ni lI(n - I) = 5·4. Kako su n i n - 1 uzastopni prirodni brojevi , ona je tacna za n =5 i n - 1 = 4, tj. jednacina ima j edinstveno re~cnjc u skupu prirodnih brojeva n =5. b) Data jedoacina ekvivalentna je jcdnacini n(n- 1)(n - 2) = 6· 5·4. kako su n, n - 1 i n - 2 tri uzastopna prirodna broja 10 je n = 6, n - 1= 5 i n - 2 = 4::::- n = 6; c)n=5; d)n =5. 144. TraZeni brojevi su cetvorocifreni 8 4 , petoc ifreni 8 5 , ~es tocifreni 8 4 = V.6 _ Vl6 = 300, 8 : =VS6 - V46 = 600. (Od Braj svih trafenih prirodnih brojeva je 300+600+600= 1500. u-

Od 10 crvenih tacaka maze se konstruisati 10· 9 = 45 duzi sa crve2 nim krajevima. Svaka od tih duzi moze se kombinovati sa 8 plavih tag ·7 caka tako da dobijamo 45· 8 = 360 trouglova. Slicno imamo = 28

Knjige iz matematike medusobno se rasporeduju na 5·4·3' 2 ·1= [20 natina, iz fiz ike 4·3·2·1 = 24 nacina i i2 bemije 3· 2 · 1 = 6 oacina. Kako sa oblastima ima 6 mogucih rasporeda

MFH, MHF.FMH,FHM,HFM ,HNF to je ukupan broj 6 · 120 ·24·6 = 103 680 rasporeda.

134. a) 380; b) 10 302; c) n; d) (n- 2)(n-I). 135. a) n!< lOaD:::::> ns6; b) n!>500=:- n>6; c) n2:5. 136. a) P(6)- P(5) = 6 ' - 5! = 600; b) 5!+5 1+5 1-4! -41=3 12.

143.

p lavih duxi i 28· 10 = 280 troug lova sa dva pl ava i jcdnim crveOim

132.

133. Na osnovu pretpostavke imama n(n - I)(n - 2) n(n - I ) 6 = 2 2 ¢;o n = 8. DakJe, 28 pravih, 56 ravni.

145.

~e:i:u(6b)r~6v.i5~~~P;~i~6U) ~·15.

1 3 1.2.3 '~4 146. = 20. 147. c11 = 2380. 148. = 190. 149. ledna~ina n(n - I) = 45 ekvivalentna je jednafini n(n- 1) = 10·9;

c:

c;o

ojena jedinstvino rdenje je n = 10.

ISO. 64 podskupova. 151. C~l = 220. 201

152.

a) C; - 5 = 5; b) C~2 - 12 = 54; c) C io-20 = 170;

\64.

d}C: -n= n(n-I) -n= n(ll- 3).

-

154.

2

0 ISS. (\6)(23 ) + 156.

2

C ~2 -6·3=202rav ni.

(~6)(;°H'36)eI0) + (~6) = 54 060.

Postoje sarno sledece mogucnosti da se broj 5 napi ~ e kao zbir 5 pri. rodnih brojeva: 5=5+0+0+0+0, 5=4+ 1+0+0+0, 5=3+2+0+0+0, 5=3+1+1+0+0, 5=2+2+1+0+0, 5=2+1 + 1+ \+0 i 5= 1+ 1+1+ 1+1. U svakom od ovih slucajeva izracunavamo broj svih mogucih Ta· sporeda (radi se 0 pennutacijama sa ponavljanjem) i od njega oduzi· mamo broj onih rasporeda koj i pocinju nu lom : 5! 5! 5! 5! 5! 5! 5! -+-+ - + - - + - - + - + - 4! 3! 3! 2!'2! 2!'2! 3! 5! 41 4! 4! 4! 4! 4!) - - + - + - + - + - + - = 70. Dakle 70brojeva. ( 3! 2! 2! 2! 2! 31 '

157.

i

165.

su varijacije sa ponavljanjem, pa je:

Na osnovu pretpostavke slcdi da je n(n - 3) +11= 153 ';:'11(11-1) = 18 ·1 7 n = 18, tj . mnagougaoje 2 osamnacstougao. Brej razlicitih trouglova koji su odredcni tcmenima osarnnaestougla

B I =V 1 -l=5,

je

Trazeni brojevi mogu biti jedllocifreni BI> dvocifrcni B2 , trocifreni B l , cetvorocifreni B4 i petocifreni B s' a OV\ rasporcdi od dalih brojeva

-,

- 6 B 2 =V 2 -6

-6

2

1

-VI =6 _6 =30. -6 B 3 =V J -V2=6)-6 2 =180, -6 -6 4 l B~ =V ~ - V l = 6 _6 = 1080, -6 -6 Bs =Vs-V. = 6 s _6 4 = 6480. Ukupno prirodnih brojcvaje: 5 + 30+ 180+ 1 080+6480=7775 (gde su oduzeti brojevi koji pocinj u sa nulom). ISS.

a) 6!-5!=600; b) 5!+5 !+5 !-41-41-4! =288 .

159.

a) Data jednacina ekvivaJentn21 je jcdnacini n(1I- 1) = 15 '14, odakle sledi daje n= 15 iii n-} = 14, paje n= 15; b) n =31; c) n =23.

160. 8)n9: c)k< lp. 161.

k=6,n=15.

162.

s 7 7 V,~=312=531441; b) 3 =2187; c)3 ·2 =31104.

\63.

a) 210:

202

a) Svi petocifreni .b.rojcv i koj i se m~?u fonni rati od clcmcnata skupa S mogu se gradltl kao pennutacljc bez ponavlj anja ad sledccih podskupova skupa S . SI = {1,2,3, 4,5} ; S 2 = {0,2,3,4,5}; S, = {0. 1.3,4,5):S, '" {0. 1.2, 4,S):S , = {O, I.2.3,5) ;S, = {O, I,2,3,4) . Ka~.o .broJcv, de~jl~ 1 sa.6 moraj.\J biti pami i delj ivi sa 3. a brojevi deljlvi .sa 3.moraj u '.ma.tl takve clf~e d~ je nj ihov zbir takode delj iv sa 3, zaklJucuJcmo da Jcdmo SkUpOVI SI I S~ sadrie takve cifre. Od svih pcrmutacija koje se mogu fonnirati od elemenata skupa S dolaze u obzir sarno onc koje se zavrbvaju brojem 2 iii brojem 4 njih ima 4!+41=48. Analogno, permutacije elemenata skupa S ~ dolaze u obzir sarno kad zavrSavaju brojevima 0,2 i 4, ali pennutacije kojc pocinju nulom a zavrSavaju se sa 2 i 4 nisu petocifreni brojevi, pa ih treba oduzeli. Broj pennutacija koje zavrSavaju sa 2 i 4 je 2(4! - 31) = 36. Ukupan brej petocifrenih brojeva delj ivih sa 6 j e 4! +4! +4!+2(4!-3!)=108. b) 4! +41 +4!-3! =66.

b) 7!=5 040.

166.

C~I = (I:)

= 81 6 trouglova.

Ako je a" u nutra~nji a P" spoljaSnji ugao pravilnog mnogougla, na osnovu pretpostavke je ~a =R .;:.(n-2)·1800 _360° n_2=IOn=12. 5 n~ " 5n n Mnogougao je dvanaestougao. Broj razlititih pravih je

C~1 = (I~)

= 66 pravih .

To su l!e:tvorocifreni brojevi koji pocinju sa 3.4,5 i 6, a to su varijacije trecc klase od n clcmenata, rj. 4 ·V1" = 1344.;:. n(n _ 1)(11- 2) = 366 11(11- 1)(,,- 2) = 8· 7 ·6 n= 8. Skup A ima devct cifara. A;::: {0.1.2, . .. ,8}. 168. c; ;::: 455-=- n(II-1)(n _ 2) = 2730 lI(n-I )(n- 2) = 15·14 '13 0 n= 15v n-I = 14 V n- 2;::: 13~ n= 15. Card S ;::: 15. 169. c; = 364 ~ n(lI- I)(n- 2);::: 21S4 -=- n(n-I )(n- 2) = 14 ·\3·1 2 (:> n= 14v 1/-1 = 13v n - 2= 120 n= 14. Card S= 14. 167.

203

II

GLAVA

2. UVOD U GEOMETRlJU . VEKTORI 2.1. 170.

Ta~ka ,

187.

Neka su tacke A,B,C,D,E. Aka su cet iri lacke na istoj pravoj kojoj ne pripada peta, tada ima 1+4=5 pravih. Aka su dye trojkc ta~aka kolineame, rccimo A,B,e i A,D ,E, lada ima 2+2'2=6. Ako posloji sarnO jedna trojka kolineamih taeaka. lada irna I + I + 3·2 = 8 pravih . Ako nema trojki koli neamih laeaka, tada ima U = 10 pravih. 2

(A ,ClCa, (ADlc. ." ].

(B ,Cl C a.. (B ,D) C a" (C,D) C ao' Broj ravni odredenih sa 5 nekomplanamih taeaka je

5·4·3 100d C )' = (5) 3 =1-2-3= . re d"III sveravm. ana 1ogno zadalku 151.

176.

18 ravni.

a) Broj razli6tih pravih odredenih darim tackama je:

(4)

175.

186.

prava, ravan, od nosi priplldanja i rasporcda

4·3 6, lIosu:(A,BlCa" ' C ,• = 2 =-= I· 2 174.

185. 15 ravni.

Odredeno je 6 ravni, i to: {a, b} C at . {A, B,C} C a ~, {a,G) C a J> (b,Cl C a " (e,A} E a" (e,B} E a o' Odredeno je 5 ravni. ito: ta,C} C 7r I' {A, B,C} C Jf I' {a,b} C it l' {b,C) C It,, {c,B} C

188. Svaka dUl prave a sa jednom duii prave b odreduju jedan eelvorougao. Na pravoj a sa datim tackama A,B,C,D moguce je uociti 6 duii. na pravoj b sa taekama E,F,e moguce je uoeiti 3 duzi . Dakle, ima ukupno 6· 3 = 18 tetvorouglova. 191. Osam. 198. Njihov broj odret1en je obrascem C; = (~) =

prayea, b,e,d, njimaje odredeno 6 ravni, ito: {a,b) C

1t s '

{a,d} C;r} . {b, e} C 1l~ , {b,d} C

177.

c C a.

199.

Dve.

178.

a) IS duzi; b) 20 trouglova.

201.

DYe taeke.

179. 180.

6 ravoi. 3 ravoi.

181.

ceriri.

202.

{e,d} C

{a,e} C

T!~,

T! ,.

I~

Po pretpostavci je AO =OB ACO = OD ~ AO-CO =OB -OD ~ AC=BD(s1.l4).

A

2

o

D

B

2'" Po pretposlayci je m=~AOO=OC~AO + OO=~+oc~m= ~

2.2. Paralelnost Prava a sa svaka m ad tacaka Bl ,B1, B),B.,C adreduju po jednu ra· van i prava b sa svakam ad taeaka AI ' A2 , Al.e adreduju po jednu.ra· van, Ij . 9 ravni. Zatim, trojke taeaka (C,A u B l ); (C , AI'B) lid. odreduju j o~ 12 ravni, dakle odredeno j e ukupno 2 1 ravan.

c

51 14

odakle izlazi daje n = 9 (taeaka).

204

1t S'

T! I'

Ako su date

2.3. Du!, ugao i t rougao

n) = n(n- 1)(n-2) 182. C}" = ( 3 6 ' n(n - I) . = 36 Je n(n- 1) = 72, odnosno n(n- I) = 9'8, 183. Iz uslovs

184.

~ ~~ = 6.

203.

7 em i 2 em.

204. OM =o+b.

20S. l ONekaj~ tacka O-A-8 (51. 15), tadaje MN = ON -OM = lOB- l oA = l(OB-OA)= 2 em. 2 2 2

205

210. Kako je (0- A -C - B)A AC:m= CB:/I) =-

2° Nekaje A-O-B, ondaje:

(OC =OA + AC AOC = OB-CB A AC = mCB ~

MN = MO+ON = ~OA+~OB =~ (OA +OB) = 5 em.

n

/lOC + maC = /lOA + /lA C + mOB - mCB A AC = mGB =n

o

MAN

207.

a) Iz(AM = MBAOE AB)

'" (OM = OA + AM AOM = OB- MB)

~ OM = 1.(OA +OB). 2

b) Iz (AM = MBAOE AB) ~(OM

= MA-OAAOM =OB- MB)

OM = 1 10B-OA L jeT je uvek OM >0. a 2 OB - OA > 0 iii OB - OA < 0 u zavisnosti od izbora lacke O. ::::;0

208.

20M = OB-OA

::::;0

PoStoje(0-A - C-B)A(CB=2AC)~

(OC = OA+AC AOC = OD-CD ACD = 2AC) '" (20C =OA+OB+AC - CBACH = 2AC) ~ 20C = OA+OB-AC '" 30C = OA+OB+OC - AC ~ 30C = OA+OB+OA '" OC = 20A+Oo. 3

209.

PoSta je (0 - A -B)A MA = 0, 75MB AM E AS::::;o (OM = OA + MA A OM = OB- MB A MA = 0,75MB)'" 20M = OA+oB+1MB - MB '" 80M = 40A+4B- MB '" 4 80M = 40B+ 3OB+OB- MB '"

80M = 40B+ 3OB+OM + MB - MB '" 70M = 40B + 30B '" OM= 40B + 30B . 7

,

1Il. 214. lIS. 216.

lime je dok.az zavr'en. Kako je AS = SB = 18 em, konjunkeija AM+ MB = 36A AM :MB = 13~ AM = 9AMB = 27 em, ondaje p(S, M) = 9 em. 30°. 135° i 45°, 110° i 70°, 105° i 75°. 45° i 135°.

21 7.

Idi Id.

211 .

AB :CD = 3;4 Q AB = lCD, odakle zakljucujemo da Ireba duzCD 4 podeliti nn 4 jednaka dela. od kojih Iri poslednja odgovaraju duii AB,

'" 20M = OA+OB + AM - MB

m+"

B

SI. 1S

206.

OC(m+ II ) = "OA + nAC + mOB-nAC =- DC = 1I0A + mOB

!12.

8 8 220. 80°, 100°. ll!. a=72". d • 222. Kako je ugao y unakrsan sa uglom a (slika 16), to su uglovi x i y komplementni . tj, x = 40° a y= 50°. Prema tome, a = (3 = 50°; Y = 40°. 51. 16 223. Kako je a+rp= 180°, P+{) = 180 0 , ip+{)=90°, to je a + {J + rp + {) = 360 0 , odnosno a + {J + 90°= 360°, odak1e je a+p=270' 224. a = 157'30'. 225. LDMB = 99°. 226. a) 20'; b) 20'. 227. L"Os = 126°. 228. 36°; 36° i 144°; 144°,

,

229. a = y= 75', P=d = 105'. 207

230.

a=108°, {J = 72°, y= 18°.

231.

a) 3 em;

232 .

Neka je 0 sed iste duii AB ; M ma koja tacka na produzetku dUi; , tada je: MA = MO + OA, MB = MO - BO. Njihov zbir je:

II I G L A V A

b) 7.5 em.

3. REALNI BROIEVI 3.1. P r egled broj eva . Polje realnih broj eva

MA+ MB= 2MO'" MO= MA+ MB 233.

234.

5

a) LpOq+ LqOr = 180°", 1 LP q + lLqO,' = 90° 2 2 LpOx+LyOr = 90°; b) LrOy = 72° 30'. Neka je CO simetrala ugla ACB i CM proizvoljna po luprava konstruisana u oblasti ugla, tada je: LMCA=LACO+LOCM, LMCB = L BCO - LOCM, a njihova razlika LMCA -LMCB = 2LMCO '" LMCO = l(LMCA -LMCB).

235.

2 Suplementan {J = 84°, komplementaran y= 6°.

237.

o+f=270°.

239. 242 .

120°. 2 em, 4 em, 8 em. 16 em.

243 .

Pomnoziti pretpostavku s AC itd.

244.

12 pretpostavke da je AB = b, AP = III i BP = 111- b sledi da tacka P pripada pravoj AB. Iz CD ;: a, i DP = Il i CP = a+ n sledi da P pri· p ada i pravoj CD.

245.

a) Zbir dve straniee trougla veei j e od treee straniee itd.

246 .

248. 249.

=:'

105° iii I S' iii 35° iii 55°.

Broj iJac razlomka postupno se tran sronn i ~e na sledeCi natin: n' - n = n( n' - I ) = n(n- I)(n+ I ). Posto j e n prirodan broj, to su i n -I ,n i n+ I tri sukeesivna pri rodna broj a. Pro izvod tri uzastopna prirodna broj a uvek je delj iv sa 6, pa je (n - I) n( n+ I ) . . 6 uvek pnrodan broJ.

254.

Oznacimo sa 211 + I rna koj i neparan broj. Onda je: (2n+ 1)2 - 1 = 4n 2+ 4n = 4n(n- I). Po~to je n prirodan broj, to su n i n + J dva sukeesivna prirodna broja, a nj ihov proizvod je uvek paran broj, tj. n(lI+ I);: 2k, kEN, paje proizvod 4n( n + I) = 4· 2k = 8k delj iv sa 8 za ('fIk EN).

lSS.

Kako je I33 1= I OOO+300+30+ 1= 10 )+3'10 1 ' 1+3' 10'1 2 +1)=(10+ 1») =1 11 , timeje dokaz zavr~ en .

Iz prerpostavke da je DA = 2AC sledi da je AC kako e AC + AD = CD = 9. Tacka A,C iD pripadaju istoj pravoJ, tak~d~ lZ. AC +BC = 7 sledi da je CB;: 4, ~ to znaci da A,C iB pripadaJu IslOJ pravoj itd. 84 ° iii 52° i ii 128° iIi 96°.

250.

.i

256.

Neka je da! dvoci fren broj lOa + b, gde je 0 < a + b < 10. Proizvod ( IOa +b )' II =(IOa + b)( IO+I)= IOOa+IO(a+b)+b, time jc dokaz zavden. Primer: 24· 11 = 264; 34 · 11 = 374; 62·1 1= 682.

257. Neka su broj evi n, n+ I, n + 2 tri sukcesivna eela broja, onda je njihova suma n + (n+ 1)+ (n+ 2) = 3n + 3 = 3 (n+ I), Ij. delj iva sa trio

158. Neka su 2n i 2n + 2 dva sukeesivna paroa braja, njibov proizvod je 2n (2n + 2) = 4n(n+l) = 2k,paje4n(n+I);:8k delj ivsa 8 za ( \fnE N ).

259. Neka su s ukeesivni nepam i brojevi 2n - 1 i 2n+ I, onda je (2n+I} 2_ ( 2n _I )2 ;: 4,,2+4n+I-4n 2 +4n - l=8n, Ij. deljivo sa8za ('fInEN).

260. Ako bilo koji neparan broj oznat'imo sa Ie, dobija se

e

k = 2n + 1 ~ = (2n+ I) = 4 (n(n+ 1)+ I. Kakoje: n (n + I) = 2p tada je Ie 2 = 8p+ 1 (p = 0,1,2,3, ... ), odnosDo k' --1 , 9,25,49,' ...

208

209

261.

Da bi se kvadrat celog broja a zavrsavao sa 5, mora bili oblika a = IOn+5(nE N) Q a ~ = (IOn+5) 20 2 = 100n 2 + 1001/+ 25 ~ 2 0 = 100(n 2 + n) + 25, D. broj 0 2 zavrSava se sa 25.

262 .

Aka je A E Z, i aka je on deijiv sa 8 iii 9, cnda je: A

A

A

A

-=mEZA-=nEZ~---=m-no

g 9 g 9 A = 72(m-n) = 72k, gdeje m-n = k E Z. P . A o~1O Je 72 = k E Z , D· aka je A deljiv sa 8 i 9, onda je deljiv i sa 72.

Obmuto. aka je: A A A A -=r=>-=8r=r EZ iii - = p:::>-= 9p=r E Z ci me je 72 9 I 72 8 " dokaz zavrsen. 263 ,

264.

265.

Ako je razlomak - - redukovan, tada je redukovan i razlomak 2 +3 I 211+3 ~ = 2 + --, eime je dokaz zavrSen. n+1 n+1

268. Treba prvo dokazati Icoremu: ako je O l deljivo sa 3, ondaje 0 deljivo sa 3. Uo6mo da se svaki ceo broj a moze napisati u jednom od ovih oblika:

)" 1

{9'"

a= 3n+1 ~a ! = 9n : +6n+1

3n+2

,(n ceobroj).

9n"+ 1211+4

n(n - I)(n+I )+6n. Ovaj izraz je zaista deljiv sa 6, jeT proizvod (n-l)n(lf+ I) od Iri

PoSto je, prema pretpostavci, 0 2 delj iva sa 3,0 2 mora biti jednako 9n 1, odakle s ledi da j e 0 = 3n, odnosno a je dcljivo sa 3. Dokaz da je Jj iracionalan broj izvcSccmo metodom svodenja na protivureenosl. Pretpostavimo suprotno, odnosno da je ..fj kolicnik neka dva eela

sukcesivna eela brojaje delj iv sa 6, a 611 je ocigJedno deljivo sa 6.

braja p i q

Dati izraz maze se transfonnisati u identicnn izraz: 2 n(n +5) 1 = 1/ (71 2 - \)+ 6 = 11«11- 1)(11+ I) + 6» =

Trocifren broj je oblika 100x+ IOy+ Z, x,)"z E N . Kako je po pretpostavci y= X+ z, tadaje: 100x+ IOy+ z = IOOx+ 100x+ z)+ z = IIOx+ lI z = II ( IOx+ z). Dobijeni broj je oeigledno deljiv sa 11. Dati izraz se postupno

transformi~e

Da sledeci naeill :

n' + I ln= n(n' -1+ 12)= n«n-I)(n+ 1)+ 12) = n(n- I)(n + I) + 12n, odnosno sledi tvrdenje. 266.

267. Za II == Odali razlomak poslaje ~, lj. redukovanje. Akoje razlomak . redukovan I. razlomak -511+7 = 2 + __ n+ I _2n+ 3 re dukovan, la da je 5n+7 11+1 2//+3 211+3 ·

Dati razlomak moze se postupno transfonnisati na sledeci oaein:

02"ln::..:.+...:4 = I4n+3 + 7n+ 1= 1+ 7n+ I = 1+ 1 = 14n+3 14n+3 I4n+1 14n+3 14n+3 7n+ 1

= 1+

1

2+ - -

Razlomak

7n+ 1

Je

redukovall, razlomak

7n+ I

:.J3 =

p , gde su p i q uzajamno prosti brojevi , Ij . da je I

q

njihov najveci zajednicki fsktor, jer u prativnom mogli bismo razlomak p prethodno skratiti i prcci na takav slutaj. Tako, poiazimo

q

od pretpostavke: (*).[3 = P; p,qE Z,p,q su uzajamno prosti. Na osnovu (- ) q dobijamo p = q.fj ~ p ' = 3q!. U tom slucaju pl j edeljivosa3. paje i p deljivo sa 3 (prethodna leorema). Dakle, imamo p = Jr,r ~ ~. Tadaje 9r2 = 3q! ~ q! = 3r!. odakle sledi daje q deljivo sa 3, Ie Je L p deljivo sa 3 (prethodna teorema). Prema lOme, pi q imaj~ zajednit~i fakt.o r 3, ~dnosno nis u u~amno prosti. Do~li smo do protlvur~nostl.

To Je kraJ dokaza da je.J3 ~

269. Neka je .fj -

Q.

.J2 = r (r racionalan broj), odakle sledi :

\- r

1

--'-,,-je takode redukovan, paje i dati razlomak redukovan.

..fJ =..fi +r '" 3 = (..fi +r)' .. 3 = 2+.fir,+ r' ",..fi = ~.

2+-7 n+ I

r -I Leva stranajednacine .fi 2 E I , desna strana~ E

1

Q "

.

1

, tj. lC8Clona an

broj jednak. je racionalnom, ~to je nemoguce.

210

211

270.

Kakoje x E H i y E H , onda jex = PI + ql J2 i Y = PI

+ q2J2, zbir

274. Kako jc

x + y = (PI + P2) + (QI + Ql).fi = p' + Q' J2 E H . Analogno se po. kazuje da x- y E H i X' y E H . 272 .

Primcdba I. Broj f (l1) je deljiv sa 2, ako i samo ako j c delj iv u svako m od slucaj eva 11 = 2k i 11 = 2k + 1. Primcdba 2. Broj f en ) je delji v sa 3 aka i sarno ako je deljiv u svakom od slucaj eva 11 = 3k , n = 3k + \ i n = 3k + 2. Potrebno j e dokazati da je dati izraz delji v sa ciniocima broja 6, tj . 2 i 3 . Za dokaz da j e dati broj deljiv sa 2 primenimo primedbu I.

Za n=2 k, imamo za n = 2k

2k (4k + 7)( 14k+l ) 2 = k( 4k+7)(14k +I)E N,

+ I dobija se

(2H 1)( 4H 9)( 14k + 8) = (2k + 1)(4k + 9)(7 H 4)E N .

li S _

= n(n - I)(n + I)(n - 2)( n + 2) + Sn(n - I)(n + I). Prvi sabirakje delj iv sa 10, jer se medu nj egovim ciniocima nalaze 2 i 5, drugi sabirak j c ot igledno delj iv sa 10. t ime j e dokaz zavrSen . 275. Proizvod n( n + 1)( n + 2)( n + 3) je delj iv sa 8, jer je proizvod svaka dva pama broj a, tj: n(n+I ) =2k , (n+I )(n +2 )= 21, (n+2)(n+ l) =2m. k .l,m E N . Proizvod svaka tri uzastopna parna brojaj e deljiv sa 3, samim tim dati proizvod je deljiv sa 3· 8 = 24. 276.

Cinioci datog izraza su 5 uzastopnih celih brojeva, tj. A = (11- 2)(n - 1)I1( n+ I)(n + 2). Ovaj proizvod je deljiv sa 3,5 i 8, pa je deljiv i sa njihovim proizvodom 120.

m.

Za n= 2k, B = 8k(k' +S) = 8k(k' - 1+6) = 8k«k -I )(k + 1) +6) =

2

Za dokaz daje deljiv sa 3 koristimo primedbu 2. Za n = 3k , 3k(6k + 71(21k + I) = k(6k + 7)(2Ik + I)E N; zan= 3k+ I,

( 3k + 1)(6k + 9)(2 IH 8) = (3k + 1)(2k + 3)(2IH 8)E N, 3 zan=3k+2, (3k+ 2)(6k+ 11 )(2Ik+ IS) =(3k + 2 )(6 k+ 11)(7k+S)E N,

3 Cime je dokaz zavrSen .

273.

Primedba 3. Broj f(ll) je deljiv sa 5, ako i sarno ako je deljiv u svakom od slucajeva: Il = 5k, n = 5k + I, n = 5k + 2, Il == 5k + 3, n = 5k +4, (nE N). . .. Primedba 4. Broj fen) je deljiv sa 7, ako i sarno aka je delJlv U svakom od slucajeva: n=7k , n=7k+l, n=7k+2,n==7k+3, n= 7k+4, n= 7k+S,n= 7k+6, (nE N). a) Dati izraz se transformi~e u oblik: n l -n-I8n == n(n-I)(n+ 1) - 18n itd. . b) Dati izraz se transformge na sledeci naCin: n S _ n == n(n· - 1) = nCn - I)(n + 1)(n 2 + 1), i iskoristi se prunedba 3. c) Po~to se dati izraz svede na oblik n 7 - n = n(n t> - I) == . 2 n(nl _ l)(n3 + 1)= n{n-l)(n+ I)(n~ -n+ 1)(n +n+ I), pa se IS' koristi primedba 4.

212

oj

n == n(n 4 -I ) = n( n - 1)(11+ 1)( n 2 - 4+ 5) =

8k(k-I)(k+I)+48k. . Kako je proizvod k(k -l)( k + I) deljiv sa 6, (tri uzastopna cela broja) prvi sabirak je deljiv sa 48, a drugi j e ocigledno deljiv sa 48.

278. Ako je n = 3k , A = 9k 2 + I, ptvi sabirakj e deljiv sa 3, drugi. nije. Za n = 3k + 1 A = 9k 1 + 6k + 2, A nije deljivo sa 3, ostatak Je 2. Za n= 3k+ i.A = ge + 12k +5i u ovall\ slucaj u A nijedeljivo sa 3. 279.

Neka su trai:eni brojevi x, y, 1I i v (1 $ x < Y < /I < v). Na osnovu . .. pretpostavke imamo jednacinu x + y + u + v == xv + yu (x- 1)( v- I) + ( y - I)(u - I) = 2. Kako su x,y, II i v prirodm brOjeVl . . . imamo tri mogucnosti: 10 Ako je(x- 1)( v- I) = Oil ( y -l)(I1- \) == 2, odakle prOlzlazl daJe

=

=

x = 1, Y 2, Ii 3, v proizvoljno; .. 2" Ako je (x - 1)( v-I) = I A (y -I)(u - I) I, doblJase . nezad a volJava'.' x= y= II = v= 2, ovo re~enje, med ullm, . 0 3 Ako je (x- l )(v- 1) == 2 A(y- I)(rl-I) = 0 ne dolazl Uobztf.

=

280. Dokaz sledi iz jednakosti n 1 + 8n + 15 = (n + 4) 2 - I. 281. Za dokaz iskoristiti jednakost n(n1-1)(n% -5n+ 2~») = = (n - 3)(n-2)(n-l) n (n+ 1)+ 20 n(n- I)(n+

. 213

Ako su X,Y. z (x,Y, z < 7) cifre tog broja, tada je 7 2 x+ 7 y + z = 9 2 z+ 9y +xe y= 8(3x-5z). Dakle, y je deljivo sa 8, kako je y < 7, mora biti y = 0, pa je 3x =Sz. Odatle. oa osnovu x < 7, Z < 7, dobija se x = 5, Z = 3. Trazeni broj je 5-7'+0,7+3+248

297. Kako je ~ E N , moze b iti .neparan iii paran. Ako uzmerno da je neparan, tJ. k = 211+ I, tadaJe 3k + I = 3(2n+ 1)+ I = 6n+ 4 slozen broj, zato k mora biti paran broj , pa ce biti za k = 2n. 3k + 1= 6n+ I,

283.

Ako i oa = (lOa + b)( IOc+ d), a b = (J Db + a)(JOd + c), uoci ,azlik. A-B itd.

298. Prost broj moze biti: 1° 3;

285.

a) Primcni identitet a ) + b J = (a+ b)(a ~ - ab + b

282.

31 = 3'1 0+1= 6'5+ 1.

r 3k + I; 3° 3k + 2. Pretpostavku zadalka zadovoljava prvi slucaj p = 3, tj. P + 10 = 13, P + 20 = 23. U drugom slucaju, p+ 20 = 3k+ 2 1je slozen, a u trecem slucaju p + 10 = 3k + 12 j e takode slozen.

2 );

b) Slicno kao pod a); c) 9999 = 100' -I = (100+ 1)( 100- I) itd .;

287.

a to je prost broj. Na pro

d)67' -I = (67 ' + 1)(67 ' + 1)(67+ 1)(67- I)itd.

299. Ako su p i 8p2 + I prosti, tadaje p = 3, jerza p = 3k + 2 i p = 3k + I, broj 8p2 + I je slozen. Za p = 3, 8p2 + 2p+ 1 = 8.3 2 +2,3+ I = 79 je takode prosl broj.

Dati broj se moze napisati u obliku:

300,

4·" (8 + 2)+ 5·" (25+ 5) itd. 291.

a) AB = 16,C = 2,CDB = 256; b) AK = 25, MAK = 625; c) AB = 39,C = 2, DECD = 1521;

d) A = 7,B = 4,CBDE = 2401. 292 , 293, 294,

n J _I (1I-l)(n 2 + 11+ I) . Sarno za n = 6. (uputstvo: - - = ,n - 1 =Slid.) 5 5 a) 2; b)3.

Kako su p, p + I, p+ 2 tri cela sukcesivna broia, 10 j,~ jedan od njih deLjiv sa 3. Zato mora da je p = 3, jer su tada brojevi p. p+ 2, p~.4 prosti. Akoje p+ 1 deljiv sa 3(p> 3)tadaje p+4 =(p+ 1)+3, OIJC

295,

prost broi. Prirodan broi veci od 3 moze irnati jedan od obl ika: 6k,6ktl: 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4 i 6k + 5. Kako su brojevi 6k, 6k + 2, 6k t3 1 6k + 4 slozeni , onda su brojevi oblika 6k + I i 6k + 5 prosti .

296,

Na osnovu prethodnog zadatka irnamo :

(6k+ I) ' = 36k'+ 12k+l = 12k(3k+ I) +I= 120+1, gde je k(3k + 1) = n ceo broj. Takode j e e (6k +S) ' = 36k' + 60k + 25= 12(3k' +5k+ 2)+ I" 12m+ I, gd je m= 3k 1 +5k+ 2 ceo broj.

Za p = 3, 8 p 2 + I = 73 je prost broj . Treba dokazati ako je p "# 3, da je 8p2 + 1 slozen broj . Neka p nije deljivo sa 3. Ij. p= 3k± I. Tada 8p2 + I = 8(3k± 1) 2 + I = 3{24kl± 16k+3), dakle, ako je p = 3k ± I, !ada je 8p2 + I sloZen broj. Broj 8p2 + 1 je prost sarno 7a

p = 3.

30!. Nekaje prirodan broj d najveCi zajedn icki del itelj datih brojeva. Tada je 21n+4=dk. 14n+3 =dm, gde su k i m prirodni brojevi. Mnoi:enjem prve jednacine sa 2, a druge sa 3, dobija se42n+ 8 = 2dk i42n+9= 3dm. Razlika ovih jednacina je (3m- 2k)d = I. Odavde sledi da je d = I. Dakle dati brojevi za rna koji prirodan broj n irnaju najveCi zajednicki deliteij d = I, ~to znaci da su oni uzajamno prosti. JOl, Neka j e x 2_ y2 = p, gde su xi y prirodni brojevi, tadaje . (x+ y)(x - y ) = po I, odatle je x+ y = pA x - y= I. RclenJe ovog sistema J'e x= p+ 1 y = p-l. Dakle, rna koji prosl broj moZe se 2' 2 . p+ l . p-I predstaviti kao razlika kvadrata dva cela broJa I

2

303,

Kakoje 189,

'1 4 _ '12

2 '

= n2(n- I)(n + I), dalje se dokaz svodi na zadatak

304, Neka su uzastopni celi brojevi n-I ,n, n+ llada j : . (n-l )] + n l +(n+ 1)3 = 3n(n 2 + 2). Uoci mogucnostl '1= 3k, n= 3k+ l, n= 3k+2 itd.

215 214

305.

Poslavljene uslove zadovoljava broj A = 2n ( 2n + 1) ( 2n + 2) :::: = 4n(n+ 1)(2n+ 1). Vidi upUISIVO zadatka 272 .

306.

Broj A se svodi na oblik A = (n- 1)(11+ 1)(11 + 3). Za II = 2k + J A = 8k(k + J)(k + 2). k ,k + 1, k + 2 su tri uzastopna cela broja itd. '

307.

.. .. 11 (11+ l)(n+2) DatI Izraz se svod! na ob hk A = za

6

a) A =

k (k + 1)(2k+ I) 6

'

1/

= 2k·

.

. . . , (k ceo broJ). V!d! uputstvo zadatka 189.

b) I I III.

30S.

a) S" = Su =(S ' ) "; c) 5"

= sU =(5 ' )';

b) 9 9' = 9 1l'+1 = ( 3 21 + ') ~ , (9 9 nepamo); d) 7 " =7 u =(7')' .

309.

n. II + I, 11 + 2 i n + 3, tada je n(n + I)(n + 2)(n + 3) + I = (n' + 3n )(n" + 3n+ 2)+ I = 2 = (n 2 + 311)~ + 2(n 2 + 3n )+ 1 =« 11 + 3n)+ 1) 2 = e ,k jc ceo broj.

310.

Dati izraz se moze

Neka su uzastopDli brojevi

ra~aav iti

na ave cinioee

S" +S "~ I + S,,"2 = 5"( 1 +5 + 25) ;;; 3 1·S". Kako su cinioc i dalog izraza 5 i 3 1, oni su uzajamno prosti, to je dati izraz delj iv sa njihovim

Kako 38 nijedcljivo sa 3, kaojedina moguCnostostaje x = 6, n = 36, 666.

315. Kako je 11 1 + 1988n = n ) - 11 + 1989 n = lI(n- 1)(11 + 1)+ 1989n. prvi sabirak je deljiv sa 3,j er je proizvod Iri uzastopna ccl a broja. a drugije otigledDo deljiv sa 3. 316. Ako jea + b+ c = O. onda jea +b= - ci a+c = - b, paje a(a+ b )(a + c) = a ( - b )( -c) = abc = 1999.

317.

319. Ako se odgovaraj uce razl ike kvadrata rastave on cinioce dati izraz post. je 1999+ 1 998+1 997+ ... +3+2+1 = 1999000.

+ 2k + I) delj ivo sa 3. Za n = 3k + 2, n(n' + 2) = (3 k + 2)(9k' + 12k + 6)= = 3(3k + 2)(3e + 4k + 2) je deJjivo sa 3. Kraj dokaza.

= 3(3k + 1)(3k '

312.

m Na osnovu pretpostavke je ( m+ n) + ( m - n) + mn+- = 245.;;. o

m m 2m+mn+ - = 245 0 - (n+ 1)2 = 245.

Kako je

~= t

tojf: k(n':1) 2 = 5'7 2 • Odatlej e k = 5, 11+ I = 1 iii

n

n = 6, a mn = nk = :5. 6 2 = 30. Dakle, m = 30, n = 6.

313. 314.

8"

n

+ 8,,+1 + 8,,+ 2 =

8,,- 1( 8+ 8 2 + 8 1 ) = 584· 8"- ' .

Kakoje l +2+3+ .. ,+ n=

n(n+ l ) 2

·f

b · ,a trocl ren rOJ

Po~t o

320.

je ( 211 - 3X2 n - 1)(211 + 1)(2n+ 3)+ 16 = (4n 2 - I X4n 2 - 9)+ 16 = = 16// 4 - 4011 2 + 25 = (411 2 - 5)1. Kraj dokaza.

321.

a) Neka je x = 0,777 ... raeionalan broj , ako prcthodnu jednacinu pomnozimo sa 10 dobija se l Ox = 7 + 0,717... = 1 + x, odade

Za n = 3k , n( n 2 + 2) = 3k(9k 2 + 2). deljivo sa 3. Za n = 3k+ I, n(n' +2) =(3k + 1)( 9k ' +6k+ 3)=

Po~t o je 2" +2"+1+ 2 "" 2 = r ( I+ 2+4)= 2"·7 = 14' 2"-' , pa je tvrdenj e tacno.

318. Kako je n 1 - 1990n = 171 - n - 1989n=lI(n- I)( n + I)- 3·663n. Proizvod tri uzastopna eela broj a deljiv je sa 6. Po~ to je n paran broj i 3 , 663n j e de lj ivo sa 6. Kraj dokaza.

proizvodom 5 · 31 = ISS.

311.

-

IOOx+ 10x+ x = I l l x, imamo n(n+ 1) 2 = 111x e:> 11( 11 + 1)= 2 ' 3' 37 x e:> 36 · 37 iii 37· 38.

9x = 7 x =

2., je raeionalan broj ; 9

.

b} Neka j e x = 0, 17 17 17 ... racionalan broj. Ako pomno:bmo ovu jednac!:inu sa 100 dobija se 11 100x= 17, 17 17 17 ... 100x = 11+x 99 x = 17 x= 99;

c)~=~. 999

37 '

322. Nekaje.fi +

d 227 ) 99·

m = r (r racionalan broj). Odatle sledi

..fl7 = r - .fi '" 17 = r' - 2r.fi + 2 '" 2T.fi = 15 J2 = r 2 - 15. Kako j e leva strana

ove jednaCine ira. 2r ka f2+.fi7 =r je Clonalan broj, a desna raciooalan. pretpostav -

r2 _

Del~na. Dakle • .fi +

m. je iraciona1an broj .

217

216

323.

Neka je x+..r;; = r (r racionatan broj), lada je ,In = r - II, ~to je nemoguce, jer je na levoj strani jednakosti iracionalan, a na desnoj racionalan broj.

324.

Iz pretpostavke dobija se da je a + b = 2·hob i a - b = 2.fGb. a+b 2~ r.; Ko licnik postednje dye jedna.cine - - =

a- b

325. 326.

341.

=" 2 E I.

a+a :!a 0+101 a-a a)Zaa>O - - = - - = - - =0" zaa o:b =c:d

(2) se takode dokazuje lancem ekvivalencija: (a + bl ob = (c + d);d Q (a + b)d= b(c +d) Q (::::) ad + bd= be + bd ¢:) ad= bc(:) a:b =c:d.

Iz ta~nosti implikacija ( I) i (2) sledi tatnosl impJikacije a). 310. Dokaz cerno izvesli nizom ekvivalencija:

a c 4a 4c 4a 4c 4o-3b 4c-Jd b='d=>b=-;;=-b- 3 =-;;-3=> b = d

Q

~(I) 4a-3b=E. 4c-3d

d

221

220

Znaci imamo takode niz ekvivalencija: a

c

Sa

Sc

Sa

5c

T,=;;¢:)b=d¢:)t;+2=d+

5o+2h b

x ,1 65= 11 2,66, odakle se dobija x = 280 m.

5c + 2d = d ~

=~.

'" (2) 5a+2b 5c + 2d

Iz(l)i(2)je

2

377. Zupcanik ima

d

4o-3b

4c-·3d

.)4;

373.

a c a 2 + b2 Dokaz implikacije - ::: -:;::::> nacin. b d ac + bd

b) 4. :::

ac + bd . . ,sc Izvodl na sledeci c· + d0

378.

IZ:: = E- = k sledi da je a = kb j c = kd, odakle je: b d 1 0 +b 1 eb 1 + hl b\k 1 + \) b . =--'-''-- = ::: ::: -; znac] ac+bd k1bd+bd bd(.e+l) d ac+bd k'bd+bd bd(k'+ I) b :::

a C Dakle:-=-=:>

b

=

k 1 d 1 +d 2

d

01+b

2

ac+bd

c' +d

d

2 '

a1+b 1 ac+bd Dokaiimo i implikaciju - - - = 1 1 ac+bd c +d UeCima niz ekvivalencija:

,

b'

bd

ac+bd

c 2 +d 1

-_a'...:+,-,,- = ac +

x= 30. Treba 30 1 vode ad 40° C i 60 1 ad 2SO C. 397. Vrednost x kg pr\'e vrsle iznosi x· 720 dinara. Vrednosl ( I 200 - xl kg druge vrste iznos i (1 200 - x)· 480 dinam. Vrednosl 1 200 kg mesavine iznosi I 200 .640 dinara. Zbir vrednosti pomeSamh vrsta jednak je vrednosti mesavine: 72:c + (1200 _ x)48 = 1200· 64, odakle se dobija x = 800. Od prve vrste treba uzcti 800 kg, a od dmge vrslC 400 kg

398.

x·20

6x

.

Analogno prethodnom zadatku je:

600., + 900( 600 - x) = 600 ·850, x = 100.

399.

100 = 5' a Irete

Ukupanotpor jeR=R , +R2 - R1. Otpori su RI =4 oma,R 1 =6emai R) = 14 oma.

Srebra finoee 60D"/"" treba 100 grama, a srcbm finatc 900 x = 100.

Po!to su Pip direktno proporcionaln i umanjcnoj glavnici (G _ P) I (100-p), sled;: P :p=(G -P) :(IOO- p) iii P:5=212135:95, odakle dobij amo : p=

4.4. PraceUltni i promilni rae un

405.

Napomena. - U procemnom racunu pojavJjuj u se tri promenljive vel icine : procena! (P) , asnav na vrednos l iii glavn ica (G) i procen!ni iznos iii prinos (P) , a pored (lvih i stalna velicina. broj 100 (ili I 000). U zadacima glavnica se poja.vljuje : a) kao eisla glavn ica (G) od koje se izracunava prinos. U ovom slutaju zadatke resavam o procentni m racllnom od S(Q: b) kao uvecana g lavnica (G + P) - eisla glavnica uvecana za prinos. U ovom slucaju zadatke resavamo procentni rn mcunam na slO; c) kao umanjena g lavnica (G - P) eisln glavnica umanjena za prinos. U ovom slucaju zadatke rdavamo procenlnim racunam U SIO. . . U sva In slucaja iz dye date od trij u promenljivih velitinil G,P I pi broja (l Oa iii I 000) mozemo izracunati tTecu nepoznalu velit inu. 15 dinara rabata dabija se a d glavnice 100 dinara, P dinara ~b~tom dobija se ad glavnice 55 300 dinara. Po~to su prinosi (P i 15) dlrektnO proporc ionalni giavnicama (55 400 i 100), sledi proporcija:

P : 15=554oo:100, 55400·15 . odakle je P = 100 = 83 10 dlllara.

212 135 · 5 95

= 11 165d inara.

Nabavna ceoa jc 212 135 + J I 165 = 223300 dinara. 408.

Prv; iznosje cista. a drugi uvecana glavnica, paje prinos: p = 5 844 800 - 562 000 = 2248 000 dinarn. Fond j e povecan od 5 620 000 dinara na 224 800 dinara. Fane je povecan od 100 dinara na p. paje:

p: 224 800 = 100 ·5620000, odakle jc:

2248000 p= 5620000

4%.

409.

r rva suma je cista. a druga suma umanjena glavnica, paje prinos: P= 13540-10832 = 2 708, a procenat: p=~= 100·2708 = 20%. G 13540

410.

Pre pojefti njenja I m ~tofaje ko~lao 7 000 dinara, posle pojeftinjenja ko~ta 6 160 dinarn .

411.

Poznata je uveeana glavnica, pa je:

G= (G + P)·loo =73000. 100 + p

26

227

Proizvodnja G + P = 89060 jedinica. Nanna G = 73 000 jedin ica.

'33.

l'ovr5i na datog pravougaomka P, = abo PovrSina novog P1 =- 1.30 · 0.7 h = O,9 lab =- O.91P. Dakle, P, manje jc od p~ za 9%.

412.

51 200 dinara.

m.

413.

Paznala jc umanJena glavni ca . pa se iz proparei}c: (G - P):( 100 - p) =- G: 100 iii 37 000 : 94 =- G - IDa dohije Ja jc cena koStanja G =- 400 000 di nara.

Neka je .T - cena prvc knjige, y - cena drugc knjigc. Prcnw uslovu zadatka x=y + 0,25y=I,2Sy. Odatle jc y=""'::"" = O,80x. Ij. m 1.25 y=8 O~ . -

Provizija je 576 000 dinara.

m.

Akoie X stara cena, a ynova cena coda jc y = l.sx..~tle x =-

414. 415.

8.65%.

416.

5 800 dinara.

417.

94%.

418.

8%.

419.

34.5 kg.

420.

Kupovna cena je bi la 124 000 dinara. a tro~kovi 4 960 dinara.

421.

2 500 dinara.

422.

5 200 dinara .

423.

82 kg.

424.

109JJkg.

425.

120 ucesnika.

426.

14 000 dinara.

427.

30 dinara.

428.

28968; 23 376; 62 01 6.

429.

1,5%.

430.

86 000 dinara.

431.

4 896 dinara.

432.

PoSto je I 251 99.9 uveeana glavnica, lada je:

_1 251999 · 2 =2499.

P1002 Kupovna cena robe je I 249500 dinara.

H6.

j :c =-"3 y:; 0,667 y. odnosno za 33"3% trntcno smanJcnJc

I~s' tj.

Aka je x brej uccnika koji je radio veibu. lada jc

~x T ~ X + 14 =- x. oda\'dej\!x = 2Sucenika. 100

100

4.5. Kamatni raf un

Primedba: . Iznos od 100 dinara naraslc na p dmnra ,m I godmu; iznos od K d inara naraSle na I dmara 7...1 t godinu. Kako su ove veliCine direklno proporcionalne 10 je:

t

l : p=K:IOO = t: I ~1

437.

t

t

Kpl

= 100'

Ako je K tllog (kupital), p kama Ina slopa, I kamata. vreme u godinama 1, tada je: J = Kpl = 540000 . 7,5 . 4 = 162 000 dinara.

100 100 438. PO~to je mesec 12-ti deo godine, bite: 1 = K · P'n/ = 108000·8·4 =2880 di nara.

1200 1200 439. POOIO je dan 360-li deo ra¢unske godine, blce: 1 = K· p . d = 75000 · 6· 80 = 1000 din"". 36000 36000 440. Primenom obrasca: K = I 200 I • dobijamo da je K =120000 dinara.

441.

p·nt

10%.

442. 25. april a. 8 4 'e ~ kamala na lllJ dug 443. Aka sa x ozna~imo sumu dugs. onda J 100 Tada sledi jednacina: 229

228

\'·8·4

x+' 100

= 132000dinara.

V GLAVA

odakle je x = 100000 dinara. Dakle, dugje 100000 dinara. a kamala 32 000 di nam.

5. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE

Primedba. - Ovde je kapital uvecan za kamatu, ol1da kamalu i kapilal izracunavamo inleresnim racunima na SIO.

444.

445.

451. a) Prvo dokazati pod udarnost pravougJih trougJova BEC

Ako jc u10g x, ooda je interes na taj dug:

x·6·75 .\"·6·75 . pa slcdi jednanac ina x + 36000 36000 x = 120000 dinarn.

5.1 , Podudarnost fi gura I B EC (EpodnoijevisinehA).odaklc sledidajeLC=LC , itd . I I I b) Dekazati podudamost oba para pra vouglih lrouglova na koje visina ". deli trougao; odatlc slcdi podudamosl trouglova ABC i AIBIC, .

= 121 500, odaklc je

. . .\"·4 · 3 .. Ako sa x oznacl mo SUIll U duga, ondaJc trogodls11Ja kamala na 100 taj dug. Radi toga duznik je primio x - x . 4 . 3. slO iznosi 440 000

100 . 3 =440 000. odaklc jc 100

=/ ~ ,pomocn itro u g l ov i BECiBEC su ' r I I podudarm (SSS ); odatle JC ugao B jednak uglu B, ild. b) Pravougli trougae CDE. gde jc CD = a C£ = 1, i Irougno C,D,E I su poduclami: odatle sJedi cia su ugJovi AEC j A,El ei jednaki . Trouglovi AEC i A,E ,C , Stl takode podudarni itd.

452. a) AkojeCE=I, iCIE ., •

"e.

. 4 dinara . pa sledi j ednacina: x - .\ '

453. a) Trouglovi ACF i " ,C,F, su podudami (SUS); odatle sledi da Je

x = 500 000 dinara. Primedba.- Ako j e kapital umanjen za kamatu, onda sc kamata i kapital i zra~unavaju interesnim racunom u s t~ .

a =a , itd. b) Trouglovi ABQ i A,B,Q, su podudami BQ = sf! ild.

446.

Kapital je 230 000 dinara, a kamata 4 600 dinara .

454. a) Pravougli trouglovi ABO i AIB rD, su podudami (AD = h. ); odalle sledi da je LB = LB I itd .

447.

7700 dinara.

455. Pravougli trouglovi ABC i AIB,C I su podudami (SUU) itd.

448.

K = 220000 d inara, I = 2 200 dinara.

456. Trouglovi BCD i B,C lD , su podudami , paje DB == D,B, i odavde je AB - DB == A, B, - D,B y. AD == A,D , .

449.

J 50 000 dinara .

457.

450.

444 000 dinara.

Pravollgli Irouglovi ADM i BDM su podudami (SUS); OOatle sledi da je AM = ME i L MAD = - L MBD itd.

466.

Posmalrajmo trouglove ABC i fDC (51. 3). Po~to je: BC = CD (pretpostavka). Ll = L2 = 90° (pretposlavka). L3 = L4 (unakrsni); ladaje flABC = flCDE::::;> BA = DE = 70 m.

467.

Bez uputstva .

468.

Bez Uputstva.

469.

Bez Uputstva.

230

"

231

470 .

a) Cet vorougao B,C 1A/1 j c Irapez; b) Cetvorougao AC 1A,B , j c pa11lIe!ogmm. nJcgove dijagonalc se polovc.

479. Neka j e D1-I18B 1(H EBB I ) , tada jc DH =FB I • Jz podudamosll trouglova BDE i BDH i iz prethodnc jcdnakosli sledl DE = DN = FBI' Dak le : BE +CF = FBI +CF = CB 1 •

47 1.

Iz podudamosti Irollglova BAF i CAE sledi Ivrdcnj e.

480.

472.

Neka je ,-1£ = Ali = CF = CG. Tvrdi mo da j e cClvoroligao £FOII p ravougaonik Za isla /:1A£H ;;:: nCFG (zas to?). Odalle sledi da je EH = F G. Iz podudarnosli trouglova BEF i DGI-! sledi da jt:' EF = H G. Daklc, ccrvorougao EFGH je paralelogram. Medut im. LAEH + LBEF = 90°, jer jcLAEH = 90°- LA, L BEF = 90° - LB. LA + L b = 180°. paj eLFEI-I = 90 ~, slo znllcida j e laj paralelogram pravougaonik.

473.

Konsrruise se CEII BD i C ,D .II B 1D , cetvorouglovi BECD i 8 su paralclogrami , 11ACE :; 11AI C I D I itd. Bez uputslva.

475.

Aka jc CM .lBB ' tada j c Irougao CMB podudaran sa trouglom AIl 'D, pa je BM = AA'. CClvorougao MCC 'B 'j epravougllollik CC' = MB' ild.

476.

Neka j e prava Cx II AB i neka je Jn x = {D} (sI. 17). Tada su trouglovi MCD i CDN podudanti j er je: CD =CD.LCDM = LCDN =90°,

477.

478.

,

232

I1DAC == !l.BCE (I stav) ~ BE = DC; a kako je DC = DB :!> BE = BD i Irougao DBE je jed nakokraki (sl. 18).

D B

A

SI 18

Posmalraj mo trouglove FBM i EDN (sl. 19). Kako je FB = ED =

J.., AB '

L I = L2 (naizmenicni), L3 =L4 (sa paraJelni m

kracima), tada j e MBAf :; IJ.EDN (II slav) =- BM = ND. Posmatraj mo takode trouglove: AFL i PBM, gde je EPJ! BD. Kako ~ c AF = FB (po pretpostavci), L5 = L 3 (saglnsni). L6 =~ I {sagiasl1I l. lada je t!v1FL;: tJ.FBM (II stay) =- FI. =8M. Po~ta JC PI. = M" . imamo 8M = JUN = ND. sto j e trebalo dokazati.

0

D E C

C

M

,

,

,

" E

51. 17

Troug)ovi BNM,CNP, APM Sli podudam i jer je AM = 8N = CP = a + d (a stranica troug la ABC), . lova BM = CN = AP = d i LB = LC = L A. Iz podudamosl l troug sledi tvrdenje MN = NP = PM. . k ' BE.lAD i CHAD, Neka je AD lei isna duz tro ugla ABC I ne a J C ' . eDE FE AD, E E AD. Iz podudam osl'i pravouglih trouglo va BDE I sledi daje BE =CF.

tada je

481.

L NCD = LCAB , LABC = LMCD (uglovi sa para lclnim kracima). lz podudam osti sledi da j e CM = CN, pa je LTougao MCN jednakokraki .

r

1£I C ID I

474.

1° DB = DC (Tacka D pripada sllnelrali DF duzi BC), te je Do8eD jednakokraki. LDBC = LOCB = LBAC ~ L DA C =L BCE. Posto je BC = AC (po pretpostavci) i E CE = DA (po pretpostavci),

SI. 19

51 20

1° Tacka D Es (s j e simetrala duzi BC) (51. 20), pa je DB = DC. Trougao DBC je jcdnakokraki . 2° M DC '" Me£ (1) itd. ' (FE AA'). tada 483. Ako JC AA' visinajednakokrakog I~ugl a, a?MFHA . su trouglovi AMF i EME podudaml (zaJIO. ) lid. 484. Posmatrati Irouglove ABN I. BC'M ,zall m trouglove ASP I ACM

482.

485.

a) Neka je E sredi ste stTanice BC. Pomocni trou gao ABE se laka konstrui se, jer su mu poznate sve tri stranice

(~, c. I 2

tTo ugao

"

b) POl11ocni tro ugao ABE se moze kOnShl.lisat i, jer Sll mu poznatedve stranice i jedan ugao (c, I u' fJ).

486.

a) Ako je D podnozje v isi ne h., pomocni h'ollgao ABD se laka konstrllise. Poznati Sll kat eta h. i ostar llgao a. b) Iskoristiti llputst vo pod a).

487.

a) Neka je D podnozje vis in e h 0) i ugao a, pomocm !rougao ABF je odreden katelOm AF = b - 0, uglom A = a i uglom F = 135·.

496. a) POl11ocni pravougli trougao ABE je odreden ka!etom AE =a + d. uglom A = 90° i llg lom E = 22° 30' itd. b) Pomocni pravougli trougao BEC je odreden ~atetom BE ~ d - Cl. uglom B = 90° i ug lom E = 67° 30': BC je s!ramca kvadrala lId . 497. a) Trougao AEC je odreden stranicom AE =(I + b. stranicom AC = ~ i uglom E = 45°. Simetrala duzi CE u preseku sa AE odreduJu !eme itd. '. t' jer su pozna!e katt:!a • k b) Pravougli trougao ABE moze se onslrulsa I k"C ' d AB = ai katetaBE = b + d. Simetralasduii AE seceDE u lac 1 It 235

234

c) Trougao AMC se moze konstruisati : poznati . u: . stranica AM = a - b, stranica AC = d i llgao I'l'l = 135°. Presek simetrale s duii MC sa pravorn AM odrduje terne B pravollgaonika itd . d) Pravougli trollgao AB N je odreden katetama AB = a i BN = d - h, te se lako konstruise. Simetrala sd uz i AN sece pravuBN u tacki C itct.

498.

499.

a) Moze se konstruisati trollgao ABC jer su puznatc dye stran ice i visina koja odgovarajednoj od njih. b) Moze se konstruisati trougao ABO. gde je 0 presek dijagonala. c) Moze se konstruisati trougao ABC, gde je llgao B = 180°- a ild. d) Moze se konsrruisa ti pravougli trougao AEO, gde je E projekcija preseka dijagona la 0 na stranicll AB. a) Moze se konstruisati pravougli trougao ABO, gde su 0 presek dijagonala, ugao A

= ~ i ugao 0 = 90° itd.

uglom M

500.

d) Trougao ABL se moze konstruisati , jer su mu poznati d, d, _ . _ 350 AL = - - - AB - C/ I ugao M - 1 . 2 2' a) NekajeCEl1 AD. TrougaoEB C se moze konstruisatijer su poznate EB = a - b, EC = d i njegova visina h itd. b) Trougao EBC se moze konstruisati jer su poznati : EB =C/ - b, BC = c, ugaoE = a(CEIIAD). . c) Neka je CEII BD, E pripada pravoj AB. Trougao AEC se. moze konstrllisati posto su poznati: AE = a + b, AC = d" EC = d, ltd d) Trollgao EBC se moze konstrui sati posto su poznati: BE =C/ - b, ugao E = a i visina koja odgovara stranici EB itd. Koristi ti uputStvO iz prethodnog zadatka.

502.

Koristiti uputstvo iz prethodnog zadatka.

503.

Bez uputstva . 5.2. Ortogonalnost pravih

506.

= C/, ' AM = 2" + 2 .'

= 45°, pa se moze konstruisati.

501.

j

Kako je MA = ME (za5to?), trougao MAB j e jednakokraki, MB je nj egoya yisina, paje MD 1. AB . Sli cno M ,D1.AB, dak le ravan odredena tackama MDM, normalna je sa dYe prave koje se seku i koje joj pripadaj u itd.

a

ravni. Ugao p ravc

a.J3

a.J2

' b) - - em ; e)-- em. 509. a) -em 2 '2 2

M

B

p

M,

510. 60° (trougao MAB j e jednakostraniean). 511.

2 b) Moze se konstruisati pravoug li trOll gao ABO, poznate su katete d, . d, AO = - , OB = - . d d

2 2. . c) Trougao ABM Je odreden stral11cama AB

508. Neka je D sediste dllZi AB. Dokazite da je rayan odredena tackarna M,D i M, normalna na duzi AB (sl. 21).

AB

SUI

= 2a (vidi prethodni zadatak) .

512. 9 em.

513. Neka prava p prodire ravan n u tacki K, praya p, je projekeija praye p na ravan n; a i b prave koje pripadaju ravni n i simetricne su sa p, (51. 22). UoCite na pravoj p tacku P M i odredite nj enu projekciju M, na pravoj p,. Kroz tacku M, konstruisite pravu c 1.p, i odredite a n c={A}ib n c = {B }. Koristeci podudarnost trougloya KM,A i KM ,B dokazite da su podudarni i trouglovi KMA i KMB , itd.

St 22

514. Konstruisite ravan a 1. p, koja sadrZi datu tacku A i ravan f3 1. q, koja takode sadrii datu tacku A

(sl. 23). Odredite presek ove dye

j

ravni

Traieno geometrijsko mesto taeaka je simetrijs ka ravan date duzi.

ravni , ~. a n f3 = c. Posto prava c pripada ravni a 1. p, sledi da je c 1. p, a posto prava c pripada i ravni f3 1. q, to je c 1. q. Dakle, c je trazena prava. Ako pretpostayirno da ravni a i f3 imaju vise zajednickih pravih, tom slucaju

St lJ

237

236

ravni a i f3 ~i sc P?klapalc i prave p i q bi bile Ilonnalne nn jcdnu istu ravan. To b~ znac l ~o da su ~n7 ~cdusobno paralelne, ~to je SUprotnQ pretpostave.l . Zn.aci pmva ~ JeJedl n a ~rava koja sadrli A i nonnalnaje pravama p I q, lJ. zadatak Ima samo Jedno resenjc.

515.

(2) AC = .fa' + a' =

U trouglu ABC, AC = BC (sl. 24) AB pripada ravni n , C, je projekcija lemena C na ravan (CC,..Ln) AB = 6m ,CC , = 2 m i AC = Sm. Oa bismo odrcdil i

CD

LIAB,s) = LABC = 45·,

5.3. Vcklori

517.

U proizvolj noj tack i 0 odrediti vcklor Oil. = );;, a zatim vcklOr

Ab = 2 -;; vektor DB jc trazeni veklor tj. DB =l,; + 2" (sl. 26). 17 tackeD konSlru isati vektor O,A, = 3,;. Latim vcktor Ab == -2-; I

G ,

Neka je 1fSJr, pray dicdar. tacka A i B na njegovim stranama i A, iB, njihove projekcije na iviei s diedra . (sl. 25). Oato je da je AA, BB, a em i A,B,: AA , 12. Tra:!c se: L(AB,ll), L(AB,J'C,) i L (AB , s). Na osnovu pretposl 2AM = AB+BC+BM+CM= AM=AC+CM

51. 25

= AB+ DC+

0

= AB+ BC. Vektori BM i eM su dva suprotna

vektora. pa je njihov zbiT nula vcklor.

239 238

520.

Neka su A I BI C I sredi~ la siranic.a BC, AC i AB Irougl a ABC -

-

AA '

q=.J5 p,vektori pi qsu kolinearni: c);' = J3 p. kolincarn i; b)

I'

BB I eC I su veklori koj i se poklapaju sa odgovarajuCim lei.isnim

Jinijama AA I • BBI.CC I • ladaje

d) q = p+ (I, nisu koli ncami ;

BC AB CA AAI =AB+-: eC I =CA + - ; BB I =8C+ - . -

2 2 2

Zbir ov ih jednakosti daje

-

BC

AAI+BBJ+CC I = AB+ -

CA

-

AB

-

+ - + CA+ - + BC =

e)

536.

Nisll nikad koJin cami.

537.

lskorisliti daje MT = At4+ AT, Ivrr = 1\ifB+BT i AfT = MC+CT itd.

539.

Vektor NP moze se izraziti nu ovaj naein : NP= NM+ MD+DC+ CP, NP = NA+ AB+ BP. Zbir ovih jcdnakosti se svorli na sledeci naein: 3- 2 NP = MD+ DC+ AB = ZAB- AF.

222 3- -

3 _ . = Z( BC+CA+AB)=Z 0 = 0 ; AA, +BB ,+CC, = O,tj.

,,8- AD.

521.

AC = AB+ AD. DB =

522.

OA = AB+ AD OB = :!B- AD

523.

2 ' DC = AB+ AD

2' 00= AD- AB

2 ' -1---

AB = Z(AC- BD), BC

-1 -

--

-

= Z( AC+ BD),

I

528. DE=-p, EF=-q, AD=2q, AE= aq- p,

..

..

529.

..

..

-

DF=a-p+q, FG=-b, DG=a+q-(p+b ),

-

EF=2a- p+q.

------

1- '

-

-

1-

54 1. Akoje P srediste duzi NL i 0 proizvoljna lacka, tadaJc:

.. b)AC=2(m+n), DDI =-111, EE l =-n, AD=4n, - CC =2(111-11), AE=4n-2m, CC =n-Ill. AC=p+q, CD=q-p, FA=p-q.

)-

(VektorDC=-AF, avektor MD="2AB).

-

I

-

-

CD = Z(BD- AC ), DA = Z(AC+ BD). 527.

-

Odavde sledi NP = - AB- - AF. 4 2

2 1 --

1 -

q= J3 p, kol ineami .

-

534.

010 )=p+ q+r: 0 10)=q+2p; O 2 °1 =2q.

535.

Veklori

pi qsu kolineami ako je p= k q, gde jc k E R. Kako je

q= 2(.fi~+ b) =.fi p, vektori j, i q,u kolineami;

-

1 ----

(I)OP = ::;(OA+ OB+ OC+OD). Slicno, ako je Q

-

s rcdi ~te

duzi UK, takode:

1----

(2) OQ = -(OA+ OB+ OC+ OD). 4

Iz(I) i (2) ,'edi (3)P"Q. . Kako tacka P pripada duzi NL, a tacka Q duii MK i znamo daJe (4) NLn MK = {S}, 10 iz (3) i(4) sledi P" Q =S. _ _ _ _ 3- 3542. Kako je, PQ PB+ BQ BP+ BQ, BP BA , BQ ::;BC.

=

=-

=::;

=

10

3 3je PQ=-(BC-BA ),,-AC. 4 4 PoltojePQ = ~AC, v.kton PQ i AC su kolineami (PQ II AC). 241

240

543.

a) Na osnovu sl. 29 ocigledno je:

(I) (2)

546.

/IIa

AB+BC~AC.AD+DC~AC;

-

1-

-

1-

EF~-AB+8C- - DC

2 2' Zbir jednakosti (2) dobija se

-

1-

-

(111- 4/1) i+ (-111+ 311»):::: 4 i+ 2j.

A

51. 29

Kombinovanje (3) i (4) dobija se AB+ DC+ 2EF 1- 1 EF+ - AB+ -DC = AC, ~to je trcbalo dokazati.

= 2 AC

2, n:::: -2.

;48.

c=-a+-b.

-

II -

15-

14

14

549.

Aka je 0 koordinatni pocetak pravoug[og Dekartovog sistema, (adajc

-



a= OA l - 00 1 i OA I ::::

~=(Xl ~CG+

GD,DA

~DG+

-----AG+ GB+BG+GC+CG+GD+DG+GA - - - BC+CA+DA

GA,

~AB+

'0, ~toje trebalo dokazati.

AC 551.

j, OA l

::::

x: i+

Yl

j.

XI')'2 - )'1)'

~

IAB I ~ s.J2;BC ~ (-1, 1), ~CJ~ sF2;

(-6,8),

IACJ~

10;

AB~(9,-3), AD~(-I,2),AC~(S.5),BD~(-IO,5). ~

(-6,-3).

552. 8 iii -8. Vektori AB i AC su kolincami, y = 6.

554. IZ jednakosti

b=k~:mi+4j'= k(3i-2})

dobijll se k=-2 i

m=-6. 555. D(9,4).

9) - - ./277

b) a- b ~ -7, '2 ,10- bl ~ -2-;

_ _ _ F-F (x y) Kakoje F = FI + F,. " , '1 5.1U. NekaJe druga komponenta 51 e , 1 - " _ • ondaje 2i+8j+xi+ YJ=3i- LACK. Na isti nacin je LAMB> L AKB. Na osnovu ove dye nejednakosti sledi nejednakost LAMB> L ACB.

728.

Odrediti na pravoj DC , iza D u odnosu na C, tacku E tako da je ED = NB (sl. 51). Trougao ABN podudaran je trouglu ADE,

Iz trougla AA,B sledi daje:

< C + ~, a iz trougla AA ,C da j e:

lskoristiti osobinu srednje linije trapeza.

726. a = 45°,

Ako se uzme zbir ovih nejednakosti, dobija se tvrdenje. 707.

::s~n(~ru~~ 2~ =

Neka simetrala s katete BC sece ovu katetu u tacki E, a hipotenuzu u tacki M. Kako je ME = MC, to je y = 0, pa je MC = MB (sl. 50). PostojeE+ 0 = 90°, ia + y = 90°, i y= otojea = E, paje MA = ME. Odatle sledi da je MA = MC = ME, sto je trebalo dokazati.

pajeLBAN Ugao MAE

o

..

c

=LEAD = ~. 2

a

N

= LEAD = 90°-'2'

712.

a = 15°.

713.

a = 75° , f3 = 105°.

714.

a = 54°.

715.

a = 120°.

716.

f3 = 41°.

717.

28° i 46°.

719.

11 em iii 21 em.

720.

Nema uputstva.

721.

Nema uputstva.

730. Stranica AB je zajednicka hipotenuza pravouglih trouglova ABM i ABN. Tacke A, B, M i pripadaju kruiniei k sa eentrom u tacki 0, kOJa je srediste duii AB itd.

722.

Nema uputstva.

732. Neka je EFD dobijeni trougao (51. 52),

paje MA = ME =DM +DE = =DM+NB.

c

•

A

y S1.51

729.

M

LCAB = LDCA, kao naizmenicni. LCAB = LCAB" Jer je prava AB, simetricna sa pravom AB u odnosu na CA . Dakle,. L DCA = L CAB, paje trougao AEC jednakokrak (AE . = .EC). DalJe je CB, = CB = DA i L DEA = L CEB" kao unakrsm, pa Je trougao ADE podudaran sa trouglomCB,E .

,

A

St 50

tada je ugao EDF =

.!. L EOF = 2

a =-I( 180 °-a)=90 °--. 2 2 258

259

A

I UgaoDEF = -LDOF = 2

736. Uglovi: APB,BPC i CPD su med usobno jednaki, kao perifenjski nad jednaklm tetl vama ltd .

..t..( 1800 - ,8) = 90 - ,8

2

2

I UgaoEFD = -LEOD = 2

I 10 8 ° - y) = 90° 2" Y = "2( c

(primedba. Periferijski ugao jednak je polovini centra lnog nad istom tetivom).

733.

Nekaje M tatka preseka stranica AB i DC, trougloviBMC i AMC SlI jednakokraki, izracunati njihove uglove itd.

738.

rp = 60°.

739.

Bez uputstva .

740.

Neka je dodima [acka proi zvoljne tangente: tada je L AOC = L COE = aiL BOD = L DOE = (J (zasto?). Tadajc 2a + 2,8 180° L COD = a + ,8 = = = 90°. 2 2

742.

Neka je E presecna [atka simetrale lInlltr3snjih uglova a 1 f3 cetvorougla ABCD. Iskoristiti [eoremu 0 zbiru unutraSnJih uglova trougla AEB i cetvorougla ABCD itd .

743.

Neka se simetrale unutrasnjih uglova a i y seku 1I tacki £ pod ostrim uglom x. Unutrasnji ugao kod temena £ cetvorougla ABCD Je ISO° - x. l skoristiti teoremu 0 zbiru unutrasnjih uglova cetvorouglova ABCD i AECD itd.

745.

Simetra1a ug1a a gradi sa stranicom BC ugao

SI. 52

Na osnovu primedbe u pretbodnom zadatku imamo da je I ,8 L ZXA = L ZCA = Y' L ABY = L YXA = (s1. 53), paje

"2

737.

2"

L zxy = L ZXA + L AXY = y+,8 = lS0 0- a = 900 - a 2 2 2 Slic no za druga dva ug1a.

F

x = ,8 + I!:... lz sistema a + ,8 + y = 180°" Y- ,B = 90°, sleduje da je 2

a + 2y = 270°, ~ + Y = 135°. lz jednacine x + y +

%= 180° proizlazl

daje x = 180° -1 35°= 45°.

SI. 53

734.

SI. 54

746.

30°, 150°.

747.

60°, 30°.

Neka suD,E iF dodirne tacke, ito: B-D4::,C-E-A , A-F-B. Tada jeBD =BF, CD =CE, AE = AF (tangentne duii), dalj eje

748.

lz podudarnosti trouglova ABF i COF sledi da je [rougao AFC jednakokrako pravougli , pa je ugao 45°.

BC - AB = BD +CD -BF - AF = = BD + CE - BD - AE = CE - AE, sto je trebalo dokazati.

749.

72°, 36°.

750. 60°.

735.

260

Uglovi ABD i AEB su pravi (sl. 54). Prema tome, AE i BD su visine trougla ABF, FN je treca visina, tj. FG.L AB.

751. 88°, 92°.

261

752.

Primenom podudarnosti trougloB N va imarno: I I iz podudamosti trouglova BCF i o BMF sledi BC = BM. [z podudarnosti trouglova ACD i AND sledi AC == AN . C Trouglovi BCM i ACN sujednakokraki (sl. 55). ISOo-,8 Iz trouglaBCM sledi ugao M == , 2 . troug Ia AC'N s Ie d'1 d a Je . ugao N = ISOo- a a lZ 2 Odatle proizlazi da je ugao MCN =

767.

A

SI. 55

a +,8 == 45°. 2

753.

Iz podudamosti trouglova ABC i AEC sl edi daje BC == EC, odatle L ABC == L CEA == rp. Iz trougla BHE ~ L H + 45°+rp + 45°-rp == ISO o ~ L H == 900~ BC.L CE.

754.

144°.

755.

Osmougao.

756.

IS0°.

757.

170 dijagonala.

758.

360° 360° - - - - - ==

6°~ n(n+ 2)= 1200~ n(n+ 2) == 10 · 12 ~ n+2 n = IOv n+2 == 12 ~ n = 10; 35dijagonala.

759.

27.

760.

sn+S - sn

761.

31 500°.

762.

45°.

763.

t == S.

765.

AD == AE + DE = 8 + 10 == IS. (BE' = SO, BE' == ED . AE,

766.

= (n - 2 + 5)lS00-(n - 2)ISO° = 900°.

Kako je 1:1 BA,B, itd.

0

768. Cetvorou gao ABMN je tetiv ni , pa je ugao MNB = 180° - a. Ij . ugao MNC == a. lIgao rCB == a (ugao izmedu IJngenre i reti ve !. Kako JC L MNC == L NCr == a. dakle naizmenicni lIglovi su jednaki. prave MN i I SlI paral elne. 769.

Neka je AD n BC == {S) i L ASB == 90°, to je: (1 ) AC' == AS' + CS ' (2) BC ' ==BS' +DS ' (3) AB ' ==A S' +BS' (4) DC' == DS ' + CS' . Zbir(l) i (2)je AC' +BC' == AS ' +CS ' +BS ' +DS', a zbir(3) i (4) AB ' +DC' = AS' +BS ' +DS ' +CS '. Odatleje AC' +BC' == AB ' +DC'; cimeje dokaz zavr~en .

770. Kako je L CPD == L APD == L PDC to j o PC == CD = 2BC, pa je L BPC == 30°. Trazeni ugao j e L APD == 75°.

772. Trouglovi BEC i DCF su podudarn i. Iz podudamosli sledi .da je L BEC == L DCF i L BCE == L DFC i L EBC == L BCD (nalzmenicni). U trouglu BEC je : L BEC + L BCE + L BCD == 1.80· ~Ii L DCF + L BCE + L BCD == 180°. Znaci duzi EC , CF pnpadaJu jednoj pravoj.

173. Neka je tacka M na simetrali datog ugla i BMI IAx(B E Ayl i CMllAy (C E Ax). Prema tome, cetvorougao ACMB je paralelo~~ pa je BM = AC ,CM == AB. Trougao AMC je jednakokrak, (zasto . ) pa je CA == MC == MB = AB, t ime j e dokaz zavrsen.

= CB,C, 6.

(SUS), odatle sledi da je A,B, == B,C,

774. Neka je OE .LAB i OC.L CD (sl. 56), to OE i OC pripadaju jednoj pravoj , takode OF i OH pripadaju jednoj pmvoj. Sem wga Je OE == OF = OC == OH jer su to visine podudamih trouglo va AOB BOC COD AOD. Prema tome. dijagonale EG I . FH c"elvoro, , , la cetvorougao ugla EFCH su Jednake i uzaj amno se polove, pa Je ) pravougaonik.

262

leorem u

771. a) Trouglovi BCM i CDN su podudami . pa je L MBC == L NCD. Kako je L NCD + L NCB == 90°, to je L AlfBC + L NCB = 90·. odatle L BEC == 90°. b) Cetvorougao ABEN j e teli vni . pa j e L AEB = L ANB. Kako je L ANB == L CMB == L MBA, to je trougao ABE jednakokraki.

n

ED == 10).

Iskoristil'i teo remu 0 uglu izmedu tangenle i telive trans ferzalnim uglov ima.

775.

Kako je svaki od uglovaEAD, EDA jednak po 45°, lIgao AED = 90'. S druge strane DE I AE tj . cetvorollgao EFGH je praVOli I" paralelogram. Medlltim GF = CF - CG, EF = DF -DE , POsto~~ CF = DF I = DF to Je GF = EF, tJ. cetvorollgao EFGH je kva. drat (s l. 57). itd.

IIBG

II CG

779.

Ako iskori stimo oznake i sli ku prethodnog zadatka imamo:

Ilc

SI58

781.

x+y>~x+z>~z+/I>~y+/I>d

x+y+z+u>a+c x+y+z+lI>b+d Kako je y+ z = I, X+ II = / (I) i (2) postaju (3) I+/>a+c i I+/>b+d,

a

Ako su unutrasnji uglovi a, f3, y, a spoljaSnji a" f3 " y" 0, tada je a + f3 + y + a= 3600~ y+o = 180' - a+ 180' -f3. Kako je a , = 180° - a, f3, = 180° - f3, dobijamo neposredno da je y + = a, + f3, . Kraj dokaza.

a

51 59

Neka je AI tangenta u tacki A krut nice opisane oko trougla ABC. Kako je cetvorougao BCB ,C, tetivni (sI.S9) to je f3+'P = I~O'. ~ druge strane, 'P + 0= 180°. pa je f3 = O. Kako Je f3 = w (za§IO.) sl.edl da je = w. Dakle, Alii C,B" (OA .LAI), ~tO jc trcbalo dokazau .

a

Zbirovi prve i trece nejednacine, zatim druge i cetvrte su :

(I) (2)

< 1+ / < CI + b + c + d, sto je i trebalo dokazatl.

782.

Neka je ugao pri vrbu a a uglovi na osnovici f3 i Y(f3 = y), ta~ Je = y = 2a, pa je a + f3 + y = Sa = 180° '" ~ = 36°,.8 = ~ = 72 :. Centralni ugao BOC = 72°. Manji luk BC Je petma kruzne 1t00Je a tetiva BC stranica pravilnog petougla.

f3

~to je trebalo dokazati .

265

264

78 3.

783.

784.

. r;; b r:; d . a b a' 2 K a k oJea=R..;2, = R..;3 , o atleJe r;;= r;;~ -, = - . ..;2 ..;3 b3

VI GLAVA

a) Na osnovu pretpostavke imamo 11(11- 3) ~-~= 1710~ 11(11- 3) = 3420~ 11(11-3)= 60·5 7

785.

6.1. Polinomi i opcracije sa njima

791. ~

11= 60.

2 Dakle, rnnogougao ima 60 stranica. b) Nema resenja. 786.

6. RACIONALNI ALGEBARSKJ IZRAZI

NekajeuL'.ABC , L C =90° , CD=DB, BE=p, AE=q, ladaje p ' = BD ' - DE ' , q' = AD ' - DE 'Njihova razlika p' - q' = AD ' - BD ' = AD ' - CD ' = Ae '.

1- 2x + 4x'+5x'.

a)3x'+6x+3; b)x' - x l +x ' -I+1. 793. ll+lOx+4x' +9x 3 794. 2x' + 3Xl -13x' + 13x-11. 792.

795. a) Xl +3x' + x; 796. a) -9x ' + 3;

Neka su x,y, z tangentne duzi konstruisane iz temena A, B,C. Tada je (x+ z) ' +( y + z) ' = ( x + y )' ~ xz + y z + z' = xy ~ xz + xy+ yz + z ' = 2.D' ~ ( y + z)(x+ z ) = 2xy. Kraj dokaza.

797. P(x) = 3 - x '-

Na osnovu pretpostavke je

798.

+x' -x-2; c) x ' -'- 3x' +x' - x + 1. e) 29x' + 21 x - 26. b)

Xl

a) Za odredivanje koeficijenata a, b,e treba da iskoristimo teoremu: dva polinoma su identicki jednaka ako su im odgovarajuCi koefi cijenti uz iste stepene jednaki. Sredeni polinom

11(11-3) +45= (11+5)(11+2) ~ 1011= 80~ 11= 8. 2 2

Q(x) = ax l + (b - 2a)x' + (e - 2b)x - 2e.

786.

Neka je D tacka duZi AM takva da je MD = ME . Trougao BMD je jednakostranican BD = BM . lz podudamosti trouglova ABD i BMC sledi daje AD =CM, paje AM = AD+DM =CM+BM.

Ako iskoristimo navedenu teoremu dobija se: P(x) = Q(x) ¢> ax l + (b- 20)x ' +(c- 2b)x - 2c = 2x ' -9x' Daljom primenom teoreme dobija se:

787.

Ako je broj stranica mnogougla 11, tada je n(n-3) (n+5)(n+2) 388 -'--~ + I 990 = ~ n = .

2

790.

Kako je n(n; 3) =

0= 211 b- 2a = -911 x- 2b = 1311-2e = -6", a=2I1b=-5I1e=3. Dakle, vrednosti realnih parametara za koje je P(x) = Q(x)su o = 2, b = - 5, e = 3; b)a=6,b=-17,e= 12; c)a=4,b=-12,e =5; d) a = I, b = -3, e = 3; e) ne postoji polinom ax' + bx +e koj i

2

8n~ n =

19. Pa je (19- 2)180 ° = 3060°.

zadovoljava postavljeni uslov. a) x-I;

b) 3x- 5;

800.

a) a- b;

b) a' -ab+ b' ; c) a- b;

801.

a) a = I;

b) a = 0,5.

802. a)a=-2,b=-5,e=6; 804. 80S.

Ostatak r

r=

= p( I) = I,

c) 2x'

+ 3x+ 4; d) 2x -

799.

803.

266

+ 13.< -6.

I.

d) x -I.

b)a=-7 , b= l,c=6.

(Bezuov stay).

p(-2) = 255.

r=1-~)=-~:' 267

_1 ~5.

806.

r= 1%)=

807.

0 tatak deljenja polinoma P( x ) sa f(x) j c linearn i polinom rex) = ax+ b, lj . P(x) re x ) ( I) - - = Ql x) + ¢> P( x ) = Q(x)f( x ) + CLf + b.

f(x)

6.2. Rastavljanje pOlinoma na cini oce

824.

808.

r = 2.

809.

re x } = 5.

810.

Kako je (I) p(x) = (x+ I)(x- I)Q(x)+ax+ b. Primenom BezlIovog stava P( I) 5, P( - I} 3. Za x = I i x = -I iz (I) sled i 0 + b = 51\ - 0+ b = 3. Odatle je 0 = I, b = 4. Dakle, ostatak delenja P(x) sa x' - I je rex ) = x + 4.

= =

f (x )

Za date polinome dobija se P(x} = Q( x )( x - 3}(x -l ) +ox +b. KakojeP( 3}= -I a P( I} = - 3, tad a iz ( I) imamo 30+ b = -11\ 0+ b = -3. Odavde je 0= I. b= -4.r(x} = x-4.

a} 4x'+ 12xy + 9y' ; c) «0+ b) +c)' 0' + b' +c' + 2ab + 2ac + 2bc' d) (a - ( b + c))' a' + b' + c' - 2ab - 2ac - 2b; h) 2a' + 2abJ6 + 3b'. .

825. 826.

a) x " + 6x'

a) x' +2x+ I =( x+ I)';

=

811.

rex) = 3x+ 3.

812.

Primeni Bezubv stav, m = -1.

813.

m l = Sv nI, = 1.

814.

/' = p( I) = 0 ¢> -n' + 4n ' - 3n = 0 -n(n - I)(n- 3) = 0 ¢> n l OV n, = Iv n, 3.

827.

+y

6

4

2x y'

a) (x - I)(x+ I);

f) a' +2..Jsa+5= (0 + ..fs)';

' b b' b , I) 1 a- -a + 4 = (a >-;

2

= (x ' + y' )';

I) 0'

c) (4-0 )(4 +a);

f) (3x - ..fi)(3x+..fi);

+ 0,25- a =(0 -

0.5)'.

e) (Ja-I }(Ja+ I);

g) (x 'y -O, I)(x' y +O,I );

h) (0,5xy - 0,0 I) '(O,Sxy + 0,0 I).

828.

=

d) x' -4mx+ 4m' = (x - 2m)';

,4 4 e)o ' + - a+ - ' 5 25' ' ( 1-2pt , ; g)I - 4p+p-= k} x·

=

b) 8x' - 36x' y + 5.>:)" _ ~ I y'.

+ 12x + 8;

a}(ia-ib)(~a+ib} b)(~x-~Y'Hx+~Y'}

f~ - or~ +a)(i+a')(~+a'}

=

g) (0 - b)(a + b)(a' + b' ).

815. 816.

0 = 3, b =0. 0 = -31, b = 71, c= -42.

829. a) (a+ b - c}(a + b + c); c) (x - 2y - 3z )( x - 2y + 3z); d) (0- 5b-ab)(0- Sb+ab); t) ( 1- 2x+ 5/)( 1+ 2x - 5y ' ).

817.

m=6.

830.

818.

12 identiteta ).., ., ) ., +d) 6x s +mx4 +27x +IIX - -5x+6 = (Jx--5x+6)(ax +bx-+cr proizlazi da je 0 2, b 3, c = 0, d = I, m = -1 9 i n -I S. Kolicnik Q(x) = 2x' - 3x' + 1.

=

=-

=

820.

m = -14, n = 24, Q(x} = x' + 3x - 4. m=O,n=I,Q(x)=x,'+l iii m=0,n=-4,Q(x}=x'-4.

821.

m = -4, n = 4, Q(x) = x- 3-

822.

m=7,n= I,Qlx) = x'+3x+7.

819.

831.

a) (20+ b- x- 3y)(2a+ 2b + x+ 3y); b) (40- 2b+ 1}(- 2b - I);

c) 8x(3y- x); d} (20+ 2b+c- 5)(20+ 2b - c+ 5). a) (30- 2b)(3o+ 2b)(90' + 4b' );

b)(~xy-SX~XY+ sXix' y' + 25} d}(x- 3)(x + 2);

e)(2x-~X2X+~); IS IS 269

268

t)(X -~)(X -I ). 832.

843.

a) (x -I )(x' + x + I); c) ( 1- 3a)( 1+ 3a + 9a'); d) (4a - b' )( 16a ' +4ab' + b'); t) ( IDa - 0, I b)( I OOa' + ab + 0, I b ' ). (x + 2)(x' - 2x + 4);

844.

°

833.

d)

845.

(3+ ~ Y)(9- ~ Y + ± i }

846.

e) ( I + 0, Ix)( I- 0, Ix + 0,0 Ix'); g) (a + 12)(a ' + 3a -I ). 834.

835.

836.

e;

a) (2x + I) ';

b) ( O, lx + Sy )' ; c) (a+ D,S) ';

d)(y - z)';

e)(a ' - 4c)' ;

h)

a) (a - 2W;

b) (3 x+ y )3;

c ) ( I+Sm)3;

d) ( 2x -I )3;

e) (j+a' f

t) ( 3m- 411 )3 .

a) a(a- b);

b) 6a 3(2a' + 3); c) mr( l - m); e)aMx(a" -I ); t) 50" + I(a" + 2 - 3).

d)2a"(a+3);

+ 2)'.

837.

a)4a( b+3c -2d ); b) (a+b)( 2+ x); c ) 3a' b( 3ab - 2 + 4b ' ); d) (x + I)(a - b).

838.

a) (x + y)( 3+a ); c)(c +d)(a -p); e) (x - 3)( b+c-I);

b) ( m+I1 )(x - y); d)(a' + b')(x + y); t) (x + y + I)(p - q+r).

a)(a+ 4 )(a+ 4); + 3);

b)(a - b)(a' + 2b'); d) (2a+ b)(2a + c).

839.

c) ( x- 3)(x'

840.

841. 842.

847.

c)(2a+ 1)( 3a~ 1) 3(2b-I )(b

a) (a- b)(a+ b+ I ); c) (2a-m )(2a+m-I );

b) (x- y- 3)(x- y+ 3); d) (4 111 - 3x+ 2Y)(4111+ 3x- 2y ):

t) (x- y- I)(x+ y+ I). b) (x - y)(x+ y_I); d) (a + 1)(a+2)(a - 2).

a) ( x - y)( 2 - x + y); b) (lI1+n+x- y)( m+n- .< + y ); c) (a - b )( x - a + b); d) (3 + a + b - c)( 3+ a - b + c) a) (7 x + 2)( x+ 3)( x - 3); b) (x- I)' {x+ I); c) (x- y )' (x+ y ); d) (y' + I)(x-I)(x+ I). a) (a+ b)(b- 2)( b+ 2); b) ( x + 2)( x - 1)( x ' + x + I ): c) (a- I)(a+ I) '(a ' - a+ I ); d) (x - I)(x+ I)(p- q)( p ' qp + q').

848.

a) (x -I )(x+ I)(x+ 3)(x' - 3x + 9); b) (a -I )(a+ I)(a ' - a+ I)(a' + a+ I); c) (x- I)( y - I)(x' + x + I)(y' + y+ I); d) (a + 2)(b -I )(b+ I)(a' - 2a+ 4).

849.

a) (x - y )(x - z )( z - y ); c)(x- 3)(x - 4);

b) (b - 4)(b - I)(b+ 3):

d)(x+ I)(2a+4). 850. a) 5x"(x - 2)(x+2); b) a"b"(b-2)(b+2); c) 3x u +'(x u +, - 3)( x u +, +3); d) 4a"(a" -5)(a" +5). 851.

a) x ' +4 = x ' +4x'+ 4- 4x' = (x'+2) ' -4x' =

(x' - 2x+ 2)(x ' - 2x + 2); b) (x ' + 2 ~J' + 2y' )( x' - 2xy + 2y'); c) (a ' + ab + b' )( a ' - 2ab + b' ); d) I +x ' + x ' = ( I + x' )' - x' = ( I- x + x')(I+x+x'). 852. a) x 5 + x + 1= x 5 - x' + x' + x + I = x'(x' - I)+x' +x+,1 = = x' (x- I)(x' + x + I) +( x' + x + I)= (x'+x+ I)(x' - x' + I), b) x ' + x ' + I = x' + 2x' + 1- x' = , =(x ' - x ' )(x' + x' + 1) = (x' - x' + 1)(x' + X+ I)( .t' - x+ 1)

a)(2a- 3c)( 7b - Sa ); b) (a+b)(z ' + z +I ); c) 2x/( 2x' + 1)(4xz' -3y); d) a(a +b)(a- c); e) ( x + y )(a' -a+ I); t) (a+ b+ c)(x -I )x. a) ( x - I)( x - 9); b) (m+ 7)(m- I); c) 2(x + I)(x - 6); d)( x + 2)( x + 5); e)(a+ 6)(a-I); t) (x - 3)( x - 8). a)(2x + I)( x - 3); b) (2 x + S)(x-7); d) (3y+ 2)( y + 6); e)( y + 2)(a-I);

a) (a+ b+ c)(a + b - c); c) (2 - p+ q)(2 + p- q); e) (ab - c - S)(ab- c +5);

853. a) (x - y)(x - z)(y - z ): b)(x+ y + Z)3 - x ) - , (y' + =') (x + y + z - x)«x+ y + z) ' + x{x+ y + z )+ x') • - (y+z)(y' - yz - z' )= = (y + z)(3x' + 3xy+ 3xy+ 3xz + 3yz) 3(.1'+ =)(x+ y)(x+ .); J

:»;

.

=

=

=

271

270

c) Neka je x' + 5x = y, lada je: Y(r+ 10)+ 24 = y' + 10 y+ 24 = (y+ 4)(y+ 6) = (x- + Sx+ 4)(x' + 5x+ 6) = (x+ I)(x+ 3)(x+ 4)(x+ 2).

854.

876. (x+ 2)(x+ 4)(x' + Sx+ 8), (smena: x' + 4x+ 8 = I). 877- (x- I)(x+2)(x' +x+S), (smena: x' +x+ I = y).

Po~to s~

prosti cinioci broja 12: ± 1,±2,±3.±4,±6,± 12, treba odre. dltlkoJI cmlOc an uliradali polinom. Kako je P(-I) = 0 10 je P( .) delJlv sa x+1. Kolicnik je Q(x) = x' -3x ' -4 x+ l2. DakJ/ P(x)=(x+ I)(x' - 3x' -4x+ 12). Ponovimo posrupak za polinOl;1 q(x), 9(2~ = O. polinom Q(x) je deljiv sa x - 2, odgovarajllci kohcntk Je x- - x- 6, pa je: P(x) = (x+ I)(x- 2)(x' - x- 6) = (x+ I)(x- 2)(x+ 2)(x- 3).

878.

879.

880.

856. 857.

P(x) = (x+ 3)(x+ 2)(x- 2)(x- 3).

882.

858.

P(x)

859.

P(x) = (x+ 3)(x+ 2)(x- I)(x- 2)(x- 3).

860.

P(x)=(x-I)( x + 1)(x+2)(x -3)(x +4 ).

864.

Dati polinom P(x) = x(x- I)(x ' + x+ 1)(x 8 + I) + I, paje za x> Ii x< 0 P(x» O. S druge strane, P(x) = xl2 + ( 1- x)( I + x' ( I + x + x' + x' + x' pa Je za 0 < x < I lakode P(x) > 0, Ij. polinom P(x) je pozilivan za svako x.

P(x)

= (x+ 2)(x+ I)(x-I)(x- 2)(x -

= x' (x' + I) + X 4 + (x' + I)' + x( x ' + I) - I = = ( x +1 )(x ' +2x-+x)=x(x+I)'(x' +I). ' (6x'

+ I)'.

881. (2x+ 2b - a)'. ")

.,

.,

2

')

.,

2

(x+1 ) -(x-+I)+x-=(x +1)-+2 x(x-+I)+x = (x'+I+x)'.

I 883. Smena, a + -a

3).

»,

865.

«x' + I)+x)(x' +(x' + 1»- 1= '

= (x+ I)(x- I)(x- 2). P(x) = (x+ 4)(x+ 2)(x- 2)(x- 3).

855.

Mnozenjem krajn iih i srednjih cinioca proizvoda d I' I' al po mom se . bl'k( f ' svo d1nao , 1 x +8x+7)(x-+8x+IS)+IS. Smenom x- + 8x + 7 ~ y, postllpno se dobijaju cinioci dalog oli p noma (x+ 2)(x+ 6)(x - + 8x + 10).

.

= I, tada Je

,

1

a +-2 a

= 1, -

...

2 dall pohnom poslaJe '

884. (a' +a+I )'. 885. (x'+x-I)'. 886.

Dati polinom se svodi 11a oblik:

(x' + Sax + 4a' )(x' + Sax + 6a') + a" = =(x' + Sax)' + I Oa '(x' + Sax) + 2Sa' =(x ' + Sax + Sa' )'.

Kako je Pen) = (n' - n + I), s ledi da je Pen) > 0 za svako n.

870.

,), I b- . ( (x - I)(x+ I)(x '

871.

(-a+ b+c+ d)(a- b + c+ d)(a+ b- c+ d)(a+ b+c- d) .

872. 873.

(x- l )(x +l )(y -I )(y+ I)( z- I)( z +l~

888.

a) 3a' (a,b;e 0);

c) -, (a,c;e 0).

(x' + y')' +2(x' + y')+ 1-4x'y' =( x' + y' + 1) ' -4x'y' = = (x' + y' + I-hy)(x' + y' + 1+ 2xy).

1 2

889.

x +2 a)--,(a;e0,x;e-2); 2a . •

b).I., (x;e 0, a;e -b)" 2 m-3 f ) - , (y;e 0, m;e -3). a x-4 b) - , (y;e 0, x;e 4);

869.

2-a-

(1)' = (a(a+ I »". , 887 . a-'a+

+ I)(x ' + I)

+ I)(a' -

ild.

874.

(a+ I)'(a'

875.

Smenom x = ty, dati polinom postaje

=..:.

6.3. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

a+ I).

y'(t' -7t '+St ' +3It-30)=y'(t-I)(t-3)(1-5)(1+2), je t

'

cinioci polinoma su (x- y)(x - 3y)(x- Sy)(x+ 2y).

2

d)-I,(x ;e2); kako 890.

a) -(a+ I), (a;e I);

a

b) -, (a,b;e 0);

3c

y

y

273 272

d)

891.

a+b+2 2 , (a+b+2'" 0);

)

892.

893.

b

an n

!

, (a, b"'O,b"i c );

,

+ bn

\

b , (a'" O, a'" b~; a - n 1 d) a(a-I)' (a '" 0, a ~ -'-I);

a)

b) -"~I ' (b '" 0, a '" -I)' a + '

x '+ x ' + 1+ 2' x +2x-+2x (x'+x+I) ' ' +a'b' + b' + 2a'b ' - 2a' b- 2ab' (a'+b') ' -(CI-b) ' = ' = (a--ab+b ') (a' + b' -ab)' (a' -ab+ b')(a' +ab+ b' ) a' +ab+ b' .

x- + x+ I

a+b-c a) a_b+ c ,(a+b+c",O);

,

I - , (xy ,: 0, 1- Y

899.

a) -

900.

a)

°.

bc (0+ b-c,: 0) (b+c) ' -a" o+c- b,:

5 b) Y =I , (Y "'-2); c) x-3a,(x,:0). x-b a) Ako je x < 3,lx- ~ = -(x- 3), onda je:

xlx- 31+ x ' -9 (x-3)(-x+x+3) 3(x-3) 2x' - 3x' - 9x x(2x' - 6x+ 3x- 9) = x(x- 3)(2x+ 3) 3 = x(2x-3)' (x'" 3). Ako je x ~ 3,lx- ~ = x- 3, ondaje:

(x-3)(2x+3) x(x-3)(2x+3)

1

b;

b)(x - o)( x -b ) (x;e -a. x ,:-b).

,

b)a+I,(a"'±I); d)

0-

x'" ± I);

0+ b- c - d CI- b+ c - d a+b+c-d 902. a-b- c -d x +a- l 903. x +b- l a+b 904. a-b'

901.

x-3 a) x_I , (x",2);

xlx-31+x'-9 2x' -3x' -9x

x x +1 x+1 +1 d) za "'r < -I ) - - - ,' za x E [- 10] x , -" -, zax > 0 x 2- x x - 2' 0+2 (x + y )' a) (0'" 0); b) " " a-2 x -+xy+ y-

e) an (CI- I), (CI '" 0, 0 ,: -I).

x ' -x+ I

a+b-2

896.

898.

(x' + I) ' - x '

a)

1

x

all -I

.. ., x '" +x 2 +I-x.

c) a_b+2 , (a+b"'-2);

895.

I

c) - -, za x < 2; - za x ~ 2;

e) I, (x'" ± I, a '" ± I).

bt'

894.

1 I - za 0 < 2; - - zaa~ 2' 0+1 CI+3 '

b) -

I b) - , - ,(a'" ± I, x'" + I)' a- -I - ,

a+b a) 3(a- b) ' (a± b); d a(b+c)

a-3 e) b_I,(a",-3).

3

=~,(x'" 3, x"'-'2);

a' + b' , ,, (a+b+ c"' O). a- - ba+b+1 906. a+b-I 907. (a + b + c + 2)(a+ b + c + I), (smena: a+ b +c x). 908. Na osnovu uslova zadatka daii razlomak je skracen kvadratnim polinomom ax' + bx + c zato vaze identiteti : x' +3x' +x"':'5= (ax ' +bx + c)(x -I ) i x' + lx' + mx ' + /IX + P =(ax' + bx+ c)(x' - 4x + 5), odakle se dobije: a= I, b=4,c = 5, 1= 0.m = -6.,, = i p=25. 909. Za x < 3, A = x+ I; za x = 3; neodreden ; za x > 3, A = x+ 3.

90S.

=

=

°

910. 911.

Za x < 5, A = x + 3; za x = 5, m:odreden; za x> 5 A = x- I. Za x < 10, A = x+ 6; za x = 10, neodreden: za x > 10, A = x+ 12. 275

274

912.

a+2 A = - - (a;.o ±2). a-2

925.

=

913.

a) S = a(a- 2)(a+ 2); c) S = ( y + b) ' (a- b);

b) S 3( x -I) ' ( x+ I ); d) S = 6 y(y - I)( y + I).

914.

a)S=6a(a-S)'(a+5); c) S = 5ob(a+ b)(a- b);

d) S = -3(a - S)(a+ S).

.915.

a) S = xy(x + y) ' ; c) S = 2(50-1) ' (50+ 1)' ;

b) S = 18(m- n) ' (m+ n); d) S = -Sara ' + 9 )'(a ' - 9).

916.

a) S = -2(x- 2)'(x+ 2); c) S = 2(a' + 1)(a' -I).

b)S=a(a+4) 3;

917. 918. ' O, y'" O,X"' -)')· x+Y , XJI ' 2a x+Y , ,,(x'" O,y '" 0). c) 3(a-4)' (Ial'" 2,a'" 4); d)

2a+ I a) - 2 -' (r! '" J);

b) -a, (a '" O, b '" 0).

a) _1_ , a+2x

943.

2xy a), , x +Y

'"

x-2y e) - 2- , (x '" 0, y '"

944.

945.

a)

2bc

9

2

949.

b)

4a' +4a-5 (2a+1) (2a-3) ,

d) 0,

(1m!>'

(lal >' ~). 2 '

H

b) 9,(I~ >' 2.x '" I);

(I~ '" 2,1·~ '" I).

. I I 2 d ' a)P ostoJe--+--=--, on aJe: x-I x+1 I- x I I 2 2 2 4 - + - - + - - = - - + -- = - -. I- x I+x I+ x' I- x' I+ x' I_ x' Dodavanjem ovom zbiru cetvrtog razlomka, zatim petog i sestog dobija se konacno:

I+x'

3,1~ "'~) .

1 b) -, (x'" - 3, x '" -I , x >' 2a). 2,x '" a 2 ' x- Y ,(x'" 0, y '" O,I~ y); b) -,(I~'" y.y>' 0); y

(x '"

4m (m>'Om>'I )' (m-I)'" ,

I I 2 4 8 16 32 - + - - + - - + - - + - - + - -'6= - - , I- x I+x I+x ' I+x' l+ x

I c) 6a' (a '" O,a '" -2 ). 942.

n

a) -,(I~'" y); x- y

x +2

Y- +x'

941.

(rl '"

c) - ,

x'" O,X'+I.

,(x"'y, I~"'2 y);b)

I c) - , (r! '" I); a-I

c) 0, (x '" y'" O,x '" - y); 939.

x-y

947. a) 9a',

a- 2b

a)

~x-2~

c) I, (a '" -I).

d) 2ab.(a '" 0, b '" 0);

e)(u - v)', (1/ '" \I). 4a' + b' a) 2ab ;

946. a)

0, 1~ '"

.

(b+c-a)2 ' a+2 e) a'+1 ,(a '" O,r! '" l,a '" 3). 1 a) , I, I; 3 -x 'b) za x < - 2, - - ; za - 2 $ x+2

5- X 2 , ,--3 X < 2, - - ; a za x -+-=--,0 II Idkl ' I ' -+-+ a ClzaZl:

ab

c

abc

a-b b- c c- a) b '--= (--+--+-c a ' b c-a

I I I 3 3 -+-+-=--J J a b' c a'b ab "

2b ' ac'

1+-

Dakle,

Mnozenjem ove jednakosti sa abc dobija se:

bc + a~ a' b-

a-b +!!..=-!:.+ c -a)(_ c +_a + _ b )= ( ca b b-a b - c c-a

+ a~ = _ 3C(.!. +.!.) = _ 3C(-'!') = 3, c-

abc

J

986.

a) Prvi razlomak tvrdenja prosiri se sa z a drugi sa zx i iskoristi daje xyz = 1. b) Posle identicnih transformacija leva strana tvrdenja postaje: ".,

x- +y+z ' +

X 'l y 2 + X 2 Z 'l+y2 Z 'l

, (.\yz)-

J

2c' 2a' 2b' 3 2(a +b J +c ) 2·3abc = 3 +-+-+-= + =3+--= ab bc ac abc abc J = 3+ 6= 9, jer je a + b + c = 0=> a + b' + c ' = 3abc.

sto je trebalo dokazati .

987.

a) Leva strana se postupno transformise na sledeci nacin

I 1·2

1 2·3

I 3·4

= (1-

i)+(i-~) + (~- ~)+ ... +(;- n~ I) =

- + - + - + ... +

+6-

1 y x) z yz xz xy - xyz+-+-+-+-+ - + - +- = ( xyx y z.xyzxzyz

1

n + 1-1

n+1

n+l

= 1- - - =

1 m(n+l)

=

X' • d0 kaz zavr,en. x = -n- "lme Je

n+I'

b), c), d), analogno pod a). 988.

. OClgledna jednakost

c) proizvod:

.

a-b + b-c + c-a)._c_= I+_c_.(b-C + c -a)= ( cab a-b b-I a b c b'-bc+ac-a' = 1+--' a-b ab

k (k+l)

1

= 1-'2';

=- -

,

k'

5 2' :3'

3' ·4' = 3' -

1 za k (k+I)'

= 1,2,3, ... n

I

= 2' -3'; 1

2n + I

42'"'' n'(n + I) =;;a - (n + I) "

Sumiranjem gomjih jednakosti dobija se: 3 5 7 2n+ 1 _ n(n+2).

-+--+--+ + ,' 1"2' 2"3' 3'·4' .. , n'(n+I)' (n+l)

a-b ~ ~ c = -(a + b), to posmatrani proizvod ima vrednost

b) n(n+ 1),. 2(2n+ 1)-

1 + 2c' . Na isti naCin dobijaju se proizvodi: 989.

990.

282

+1

7

c c(a-b)-(a'-b') = 1+--' a-b ab

= 1+_c_. (a- b)(c-(a+ b» = 1+ ~(c - (a+ b)); posto je

ab

3

postaJe I' .2 '

2k 1

1.

23

991. 992.

4. a J bJ

'

993.

abc.

994.

a+ b+c (uputstvo:

995.

0+ b (uputstvo: 3 = I I l). 0+ b+ c (brojilac napisi u obliku:

996.

+c

(-a:: + c 997. 998. 999.

1000.

100),

1002.

3 = I + I + I ) a+b+ c a+b+ c a+b+ c o+b+ c'

++

1005.

e = O.

Sredivanjem ove jednakosti dobija se F(x,y, z) = AX' +Ay' +Az ' + Bxy+8xz + 8yz . gde je

160bc

(I

b' c' - , lreci - . 8ac 8ab 3 8

Ako je vrednost razlomka e = eonst. tada je

(x+ y+ mz) ' + (x + my + Z)' + ( IIIX+ y+ :) ' (x - y) ' +(y- z)' +(x - z) '

+1)+(0_2:+c+1)+L+2:_c+I)

+a)(I +b)( I +

c)

A = m' - 2e+ 2, B = 4m+ 2c+ 2.

Zamenom datih vrednosti za x, y i z, dobije se tvrdenje.

F(x, y, z) = 0 ¢;> A = 01\ B = 0 ¢ m = -2. -2(a' +b' +ob) ab I- x 1_I+x 1+ I + x = -4x + 1= 0 A(B(x)) B(A(x)) + I = 1- x I + x 1- 1- x 4x ' 1+ - 1+ x (x;e ±I,x;eO). I-x

1006.

Slicno prethodnom zadatku,

1007.

Iz pretpostavke

I

I

o

b

-+ -

In

= SV m= 6.

I .. a+ b ab = - - , postupno se doblJ a - - = -~.

a+ e = __ oe __ b+e = __ b b2 ' a a+b + __ a+c + _ b+c __ _= e b a

Ako se kuhira pretpostavka dohija se lanae ekvivalencija (a+ b) ' = (_e) ' a ' + b J + 3ab(a+ b) = _ c ' a + b J + e J = -3ob(a+ b) = 3obe. ' lz pretpostavke b + c = -a, a + c = - b i a + b = - c, zamenom ove vrednosti u datu jednakost dobija se tvrdenje.

Iz pretpostavke sledi da je a + b = -c, a + c = - b, pa je a' -(b-e) ' = (a+ b-c)(a+ c- b) = 4be, analogno b' - (a- c) ' = 4ac, c' - (a - b)' = 4ab. Ako se iskoristi prethodni zadatak d je a J + b ' + c ' = 3obc, dokaz se lako izvodi. 1004. Ako se iskoristi uputstvo iz prethodnog zadatka i ekvivalencija a+b+e= 0 b'+c' =a'-2bc, tadaje prvi sabirak

1003.

o' (a ' - 2be) = a'(a ' - 2bc) a' -(b- e)' (a' +(b- c)')(a'-(b- e)' ) = a' (a ' - 2be) _ a' . . = (?' 4b )4b - 8b ,analogno dmgl sablrak _a c c c .. . . a' b' c' a J + bJ + c J NJlhovzblrJe-+ - + = = 8 be 8ae 8ab 8abe

e

C

-bc.. nJlhov zb"Ir Je a2'

I I)

C'

.

-ab ~I - + -J+ -J . KakoJe aJ b c

' _I + _I) J = ( _ _I) J _I + _I + _I = _ 3 , odatle sledl. tvrdenJe. ( a b c a J b J c J abc

1008. 1009.

Vidi uputstvo prethodnog zadatka. III n p . . bl'k Pretpostavka _ = _ = - = k, se moze napisatl u 0 I U. X Y z . (I) m = lex 1\ n = Icy 1\ P = Ia. Zbir kvadriranih jednacma (I) Je m' +n' + p ' = k'(x'+ y' + z')

(2) k' = m' + n' + p ' x ' +y' +z"

2 5

284

VII

· (I) se moze - napisatl . . u 0 bl'leu m kx n ky p kS lstem 1 - = - / \ - = - / \ _ = -.:. a a b bee Zbir njihovih kvadrataje nl

,

n

2

p,

y 2 Z ') 2 (2 - + - + - =k ' I= k -

.,x

(3) - 2+ - + -=ka b2 c2

1z (2) i (3) sledi tvrdenje.

Q2

7. HOMOTETlJA I SLiCNOST

"t

b

2

c2

GLAV A

7.1. Proporcionalnost velicina. Talesova teorema

.

1010.

Kon~trukcija. Na polupravoj Ax odredimo redom tacke C, D i F tako da je A C = m, CD = n i DF = p (51. 60). Zatim konstrui~emo DN IIFB i CMIIFB. Tacke M i N dele datu duz u datoj razmeri. Dokaz. - Primenom Talesove teoreme dobija se: AM:MN :NB = AC:CD:DF iIi AM:MN :NB = m:n :p. Dakle, tacke MiN dele duz AB u razmeri m:n:p.

x F

m

p

o

n n

c

p

N

A

B

SI. 60

1011.

Na polupravoj Ax odredimo tacke C, D i F tako ~a je AC = m i = CF = n (51. 6 1), zat im konstrui~imo DB IICM 1CN IIFB.

CD

x m

1

m/ ,?y:.C

D

N A

,,8

SI. 61

287

286

Dokaz. - Primenom Talesove teoreme dobija se : (1) MA

= CA = m

MB

CD

1024.

i

n

Iskoristite dokaz pretbodnog zadatka (sl. 63). Kako je BD IICN , CN Sllnetrala spoljasnjeg llgla kod temena C prema Talesovoj teor ' eml dobija se AN :NB = AC :CD. '

~

(2) NA = CA = m. NB CF n

Tacka M deli duz AB unutTa~ njom podelom II razmeri 111 : 11, a tacka II' "dlIZ• AB spo I'" . . razmen. m :l1 , tj.. -MA =NA JasnJom po de Iom u IstOj -. d eu

MB

Iskoristiti resenj e prethodnog zadatka.

1013.

Na polupravoj Ax odredimo tacke M " M 2' M J ' M, i M I tako da je AM, = M,M , = M , M , = M , M , = M , M zatim " M,N . II M ,B, M )N 311 M ,B itd. Neka je x duzina trazene duzi. Kako je x = ab ¢> x :a = b:I, prime· nom Talesove teoreme konstruise se trazena duz. a

b)x=-¢>b:l=a:x; b a-b c) x = - - ¢> (a+ b):1 = (a- b):x; a+b a ' - b' d) x = ¢>a :(a-b)=(a+b):x. a

N

1025.

Neka je DC = x, tad a je BD = x - 3. Kako je (x - 3) :x = 8: 14, (na osnovu prethodna dva zadatka) odatle je x = 7 em, BC = II em.

1026.

= 7 :5, odatle AB :EB = 12:5 (sl. 64). Posto je BE = BD, aBD = BC , toje AB :BD = 12:5ili AB:BC = 12:10 = 6:5. Kako je AE :EB

2

o

1015.

Analogno prethodnom zadatku.

1016.

AB = 12 em, CB

1017.

BC = 8 em.

1018.

3:5; 5:2.

1019.

6 m.

1020.

BD:BC

1021. 1023.

10 em i IS em. SI. 62 NekajeCM simetrala llgla LACB, aBDIICM i A-C-D. Prema Talesovoj teoremi imamo proporeiju (sl. 62) (1)

B

Slika 63 .

1012.

1014.

A

NB

= 7,2 em. Slika 64.

1027.

= 1:3; EC:BC = 1:3.

A

AM:MB = AC:CD.

Kako je y = y'; y = 0, y' = E, to je E = 0, t!.CBD jednako~a~~.. =CD. Proporeija (I) postaje AM:MB = AC:CB. Kraj 0

U trouglu ABC sime~la ugla B deli stranieu AC na dva deja tako da je DC:AD = a:c¢> (DC + AD)DC = (a+ c):a¢>

ab .... bDC =(a+c):a¢> DC = -.

a+C U trouglu BCD kODstruisana je simetrala CD ugla C, odatle:

OD OB

DC

b

=-;-= a+c'

CB

29 288

7.2. Romotetija 1028.

Na polupravoj CxllAB (sl. 65) postupno prenosimo odseckeCD = III DE=n, EF=p. Prave Ac nBF= {S}, SDnAB={M} i ' SEnAB = {N}. Na osnovu homotetije H(S ,k) dobija se AM :m = MN :n = NB :p. Da bismo podelili duz AB na pet jednakih delova, na polupravu Cx nanosimo pet jednakih duzi, postupno kao u prethodnom slucaju (sl. 66). ,........!!L... ,....!!....,

s

sadni tacku A i paralelan je sa 0, M iii 0, M" tj .: AO'II MO , i i 0' su sredista trazene kru:znice . Ako A prip~da oblasti datog ugla xSy i LxSz < 180·, zadatak ima dva resenja.

o M,IIAO. Tacke 0

y

s

• s 51. 68

1034. Kruznice K i K su inverzno homoteticne u odnosu na centar homotetije M.

R

51. 65

51. 66

Ovaj nacin deljenja duii na jednake delove je op~ tiji i jednostavnij i, jer je potrebno lenjirom i ~estarom konstruisati sarno jednu polupravu paralelnu datoj. 1031.

Proizvoljna dui M,P" ciji krajevi pripadaju dvema stranieama tro· ugla ABC (sl. 67) je straniea jednakostranicnog l:!.M, N ,P, koji je homotetican sa trazenim trouglom MNP u homotetijiH(A,K). Teme N trazenog trougla je presek poluprave AN, i strane BC. SI. 67

1032.

Neka je xSy dati ugao i A data tacka u oblasti ugla (sl. 68). Sredi ~te trazene krufuice pripada simetrali SI datog ugla xSy. Proizvoljna tacka 0, simetrale SI je sredi~te kruZnice K, (0,), koja dodiruje krake datog ugla. Konstruisana krufuica K, (0,) i traZena kruiniea su homoteticne u homotetiji H(S,K). Tacki A traZene kruznice odgovaraju dye homoteticne tacke M i M, kruznice K(O,). poluprecmk

Hom~teticna slika duii AC je duz BD itd.

1035. Iskoristiti homotetiju kruznica itd. 1036. Konstruisati jednakokraki trougao osnov!ce n i kraka m, zalim dopu-

niti trougao do jednakokrakog trapeza dl)agonale p, pa potom Iskoristiti datu visinu i homotetiju sa centrom u )ednom od temena tra-

peza. .. . AB B C =n vlSlna p d , - 111, ! ' 'z' 1037. Konstruisati trapez AB,C,D, tako ale i LA = a dati ugao . Trapez AB,C ,D , je homotetlcan sa tra emm trapezom ABeD, sa centrom homotetije A itd.

1039. Analogno prethodnom zadatku. 1040. Nema uputstva. I' K tru' sati pravoug I trOuAko)' en 1041. Neka je 0 srediste tetive datog odsecka. ODS. I k . tacka 0 sredlste stete n.

gao cija je kateta n, hlpotenuza m, . ugaoDik je bostranica a m dijagoDala pravougaonika, trrlent .~rav~k 0 'td . ' . tar homotetl)e ta~ e I . motencan sa oVlm u odnosu na cen . .... trU kruZnog iseC!ka. k . 1042. Iskoristiti homoteti)u CI)I Je centar u cen . In - {s} i neka je K '(O') rna o)a 1043. Neka je I simetrala duil ~B, !' - . AB i tangenti p. KruZnica kruZnica sa sredistem na slmetralt duZl centrom homotetije u K'(O') i traZena kruznica homotencne su sa

!

tacki S. 291

290

1044.

Nekaje pn/= {S} . aK'(O') bilo koja kruzniea . a sredistem na pra. voj I. Trazena kruzn iea homoteticna j e sa kruzni eo m K 'r 0 ' ) I sa ~e n . trom homotetije u taeki S.

1060.

44 cm. 77 cm.

1061.

16,25 cm .

1062.

48 cm.

7.3. Slicnost trouglova

1063.

Nema uputstva .

1064. 1066.

9 cm. Na polupravoj A B treba odrediti tacku E tako da je BE tad a j e tlAEC - MCB itd.

1045.

BK = 12.

1048.

U MBC. CH 1.AB, CD = 2R (R poluprecnik opisane kruznice) - (s l. 69). Potrebno je dokazati da je AC B C =CD ·CH . Dokaz. - Kako je LA = LH = 90°, LB = LD (zasto?) =- tlCHB - tlCAD => CH :CA = CB :CD CA ·CB = CD ·CH . Ako iskoristimo uobieajene oznake CA = b, CB = G, CH = he> CD = 2R , tvrdenje se moze napisati u obliku G ' b = 2R . hO casp > 0, pajesina = cosf3 ¢:> sin a = 5in(900-,8)0 ' o a = 90 -fJ a + fJ = 90°, tj. trougao je pravougli .

1191.

a) a = 1,662 em, b = 1,496 em, ,8 = 42".

1183.

Karistiti obrasce za komplementame uglove .

1192.

a)b=63em,a =1 4" IS.

Jl8S.

A= L

1193.

a)e=53,12em,b=45,05em.

1186.

a) Iz sistema 2sina+3cosa = 31\5in 2 a+cos 2 a = 1, nalazirno

1194.

a) b = 380 em, a = 34" 39'.

~). . 3 4. ..fi b)sma=-,cosa =-' c) sma = cosa = -

1195. a) b = 1,228 em, e = 2, 123 em.

1181.

2

2

1

(sin a = OAcosa= l)V(Sina= 12 Acosa = 13 13 '

5

5'

1197.

2 .

( )'

.

I

.

I

3

::::.2smacosa= l --:::>sinacosa=4 8'

4

sin a+cos 4 a= 2 (sin a)2 + (C05 2 a)l + 25in 2acos l a _ 2sin 2 acos 2 a =

(. ,

"

.

(3)'

sm a +cos a) -2(sm a cOSa) 2= 1-2_

1189.

g

23 =_. 32

Za ostre uglove pravouglog trougla vazi a + f3 = 90", odakle je: ,8 = 90"-28"24' = 61 " 36'. Iz definicije Irigonometrijskih funkeija u pravouglom trouglu je : a . - = sm a c:> 0= csin a c:> a = 50sin 28"24' e ' paje: 5;::: 50'0,47562 em::::: 23 78 em. ' Slieno je: b - = cos a x =3, tj . re~ enje date j edn a~ i ne je x = 1 I 1237. a)x=-O,6; b)x =-4; e) x=l; d)x =1 2.

1215.

Nisu.

123B. a)y=3;

1217. 1218. 1219. 1221.

Tvrdenje je ta~no jer se data jednatina svodi Da O· x = 3. Data jednalina je neodredena jer se svodi na obtik o·x = O.

1239.

a)a ER I {O,2} ; b)xE 0. e),=3.

1240.

x= - H~ "'%)

1241.

x=3,(IxI "' %)

1242.

x=-3,(I~"' ~ , x "'0)

Nisu, jer im se skupovi

re~enj a De

poklapaju.

a) -27; b) neodredena; e) 7. I

a)2;b)l;e)-3 1223. a) -3; b) - 1,1; e) nemogul • . 1224. x = 10. 1225. x = -4. 1226. x = 12. 1222.

x=2

1227. 1228. x = 9. 1229. x =- 3. 1230. x = 1,1. 1231. 1232. 1233. 1234. 1235.

I I a) 3; b) 13; e) 5-; d)-.

3

a) 0,1; b) 20; e) O,BOB.

Data konjunkcija x+ 3 ~ OA x 2 - 9 = 0 .. x+ 3 '" OA (x - 3Xx+ 3) = 0 .. 00 x-3= 0, odnosoo x = 3, tj . Rdenje date konjunkcije je x = 3; 6 b)x=-I; e) x = - -. 5

x = 16, (x'"

e) \fYER ' {H

3, x'" -4 ).

Y = 22. (I~ '" 2, Y '" - 3). Y = - 50, (y" 6, y " - I, y" - 3). 5 1='2,(111"'4).

1247. Nema rclenjc. Z~ to? I 9 124B. a)x =-I; b)x =); e)x =- B,5; d)x=\ii '

5

a) Nemoguca; b) 3; e) 7; d) 19. 5 a) Neodre4ena; b) 13; e) 3.

•

1243. 1244. 1245. 1246.

b)y =9;

1249.

I a)y =-I; b) y =-'6; e) y =4.

1250. a) Aka je x < 0, data jedn3cina: 1~+2(x-3)= 6 -x+2x - 6 = 6,, x = 41\ X 2: 0o o0c datc °ednafinc jc x = 4. Konjunkcija je ta~na za x = 4: daklc rek ~ J I

b)x=-2vx=6; e) x =Ov x =l; d)x =-5vx=); 301

e)O:5xS l; f)-2::>xs3; h)xl=lVX1=3; k)x2:6; II

1251.

l)x 1 = Iv Xl =-; m)x=-2V x ?:: 2. 2 a)xE[-5.2]; b)xE[7.+o');c)xE(-~,5];

12 66.

x= 15.

1267.

x = 20.

'268.

a) x= 3; b) x=24.

1269.

a) Data jedna~ ina j e ekvivalentna jednacini:

(m- 2)(m+ 2)x = -(111+ 2). Za egzistenciju rdenja date jednacine u zavisnosti od realnog parametra posloje slcdcce mogucnosti : I s lucaj . - Ako je ( m- 2)(m+ 2);t. 0, ti.

1252.

m yt.. ±2, Tada data jednacina irna broj ~ kao jedinstveno r~nje.

17

1253.

J(3,Js + 2) x= . 41

1254.

:c=

1255.

49,Js x=--.

2 -111 II slucaj. - Za 111-2 = 0, tj. m= 2. Po~to smo za m dobili sasvim odredenu vrednost, prethodno cerna odrediti jednacinu koja odgovara loj vrednosti, To je jednacina: (2 - 2)4x= -4, U. O· x= -\ i cna je nemoguca.

41 - ,[2 46

ill slucaj . - Ako je m+ 2 = O. Ij. m = - 2. Za tu vrednost parametra m data jednacina se svodi na jednaCinu o·x = O. svaki realan broj jc njeno rcienjc . b) Ako jc m -;C. ±2, m;t; 0, jednacina ima jedinstvcno reSenje

80

m-2

1256.

1257. 1258.

m(m+ 2) Za m= -2 j IJ = ajednacina sesvodi na a·x= 16, odnosno O'x= 4; jednacina je nemoguca. Za m = 2 jedllacina se svodi na O' x = 0, pa je neadredena i ima bezbraj rclenja. . 4 c) Aka je In;t! 0 i m;t! I, jednacina imajedins[veno re~nJe;.

43

x= (12 -7.,[6)( I + ,(2).

Za m = 0 nemaguca, za m = I neodredena. 1259.

d) Za

2 I

1260.

a)y=3; b)y=2';

1261.

a) x=

1262.

x = 24. x = 2. x = 10. x= 24.

1263. 1264. \265.

308

I 2';

b) x= -2.

d) y= 3.

III -;C.

3 rdenjeje _I_, a za m= 3jednacinaje nemoguca.

m-3 1270. a) Za a;t; I re~enje je x = -I, a za a = I neodredena; b) za a ~ a resenje jc x = 40, za a = 0, neodredena; a+1 . c) aka J'e a -;C. 0 i a -;C. -I resenje x = - , L'l a = 0 nemoguctl. ,

1271.

a) b) c) d)

a'

=

Za c;t: 0 re~enjc je y= le. za c O. neadrdena: . za a;t: I re~enje je y = a+ I, za a = I, neodredena~ za b;t: c reSenje je y = b+c. za b = c, neodredcna. za a ;t: b rdenje je y = b - a, za b = 0, neodredena.

309

1272.

a

2

I

+ 2b . (a;(x-ab-ae -be --+-- +- a+b a+ c b+e I

¢>

I

I

x -ab-ae - be= 011--+--+ - - ' ; O. a+b a+c b+ c

Odavde izlazi da je resenje date jednacine:

x=ab+ae+ be.

r

1300.

b) za a > -1, jer je a'

p ;< 0, r ;< R).

, (r;< 0).

1295.

3h"

;<

4(a+l) , ; a + 2a+ 2

a) Za a '" 0, x =

¢>

M) = w(n, (v ;< W, n;< M). M-n

1292.

1303.

Ako je _1_ + _1_ + _1_ = 0, data jednacina postaje identitet

a+ b

a+e

b+ e

i zadovoljena je za svako

X.

1306. Data jednacina ekvivalentna je jednacini:

-b _!_!)+( X- b _!_2.)=0 ( ~_.!._!)+(X be b ae ob b e

¢>

e

0

0

(x- a- b- e)(_1 +.!. +.!.) =O.

Ako je abc ;e 0,

be

ae

ob

.2.. +.!. +.2.. ,; 0, resenje date jednacine je be

ac

ab

x=a+b+ e. 3\3

312

1307.

Data jedn a~in a je ekvivalentna jednacini:

(a+

I)+( + 1)= {I I I) a+b+c-x ,o(a+b+ c-x -+-+-

~-x + I)+(a +~- x +

=4-

4x a+b+c

1117.

b+:-X

abc

-4

a+b+ c

lllS.

=0

4 )=0

.c:>

1308.

III 4

x =a+b+ cl\-+-+- abc

a+b+c

;e O.

Slicno prethodnom zadalku data j ednacina ekvivalentna j e jednacini:

xl +(X-b xl ( x-b a-b --;; + a _b

x+b ( a+b --;; ~

2

ab-bx a(a+ b)

ab-bx a(a- b)

~(ab-b,.1

I

,\a(a+b)

2

b-X) (a+b)2 = 0

2(ab-bx) (a+ b)'(a - b)

I _

a(a -b)

1322.

2

)-0

(a+b)'(a-b) -

1323.

.

1310.

a- 2 a+2 a+b x =l-.

1311.

x=

X=--.

(a- b)'

l;e

Aka je b + c

x=

0

Odatleje ab-bx= De x=a za ab:;t:. 0 i a:;t:. ±b.

1309.

x =6(a + b),(lxl-.ea+b). Prlmedb a. U zadacima od 1318 do 1332, treba koristiti smenu za 13 18,0 + b = c, za 1319. m+ n = b ild. a' 1319. Za a;e ±(m+ n) re~enje jedna6ne je x= - ' - m+n-o 1320. Za b+c 2, a;e 0 re~enje jednacine je x = 8(b +c)- 2 za b+c ' b+ c = 0, jednacina je nemoguCa . . . d ,. . 18(a +b) - l ,za 1321. Za Ia+ bl ;t:.3,a+ b ;e 0 rdenJ eJe nal,:LOeJex= a+b a + b = 0 j ednacina j e nemoguca.

I

(a +b+c- J 1.+.!.+!b c a+b+ c

\0

7

x=g'

;at

0, b +c;ll!: 2, b+ c;;o! - 3 rdeoje jednacine je

6 - c-b c + b+3

I . . .. 4{m+n)1 AkoJ', Im+nlot- m+notl re~enJeJednac!meJex = I ,a 2" -m-n

aka je m+ n = I jedna6na je nemoguca, 1324.

Ako je a ot 0, o+b+c x=

X;C

a, x ;t b+ c, a+ b+c ~ 0, b '# - c. rdenje je

132S.

2 m+n+3 Aka je m+ n ot 2 i m+ n ~ 3 re~enje jednaC!ine je x = 2(m+ n- 2>' a 1 • za m + n = 2 jednacina je nemog uca ,

1326.

Za

la+ bl'# I i 0+ b ot 0 reSenje jednaC!ineje x='2(a+b-I) ·.

m+n 1327. Za Im+ n Iot x rcl:enje je x = U'

2(a+ b) -I

I

Za m;e 3, x = - - , za m = 3 neodredena a za m = - 3 nemaguca. m-l 2m+2 1313. x=

" 132S. Akoj, Ixl"(m+n) 1 rclenJ'J,x -i

1314.

1330.

1315.

x= 1. x= 3.

1316.

x =O.

1331.

1312.

m-2

314

1329.

3(a+b) e Za '# ~(a+ b) i 0+ b ~ 0 rc~enje jednacin je x = 8 2 2 2(m+n)+l SO ' xZa l m+nl;e"2 ,m+n;e 1m n 3' -2(m+n)-3 . I Zalm+nl"~; m+n,,-I, x= 3(m+n+lj' 3

Ixl

+;e

lIS

1332.

Za 0+ h ... ±3, jednaCina ima jedinstveno resenj e x = - -

1333.

Data j ednacina ekvivalentna je jednacini:

__

a+b+3'

1345.

x=

1346.

x = b, (x ... 0, a ... 0, b ... 0).

x-o cI) +33x - - I ) + (x-b - - - I ) + (-x--=Oe:o (h+c c+a 0+ b a+ b+ c

1347.

x=ab, (a ... ±b).

J 1 1 1 (x -o-h-c~b+ c + c+a + o+b -

1348.

x = a + b + c. Uputstvo . Brojilac napisati u obliku

3) a+b+c =0.

(X~a2a + 1)+C~b2b + 1)+ C~C2C + I}

Odatle se dobija resenje jednacine x = a+ b + c.

1334.

Data jednacina ekvivalentna je laneu ekvivaleneija

(b - e)(-I- -

x-a

_1_) _(a _ d)(_I__1_) = ° x -d x -b x - e

(b - c)(a- d) (x -a)(x- d)

°

(a - d)(b - c) = (x- b)(x-c)

¢'>

(x- b )(x- c) = (x- a)(x- d)

ad- be ,. a+d-b-e

(x"'a,b,c,d i a+ b ... b+e). 1335.

x = m, (m ... 0).

1336. 1337.

x = ab, (101'" b). x = b, (ab ... 0).

1338.

x=

1340. 1341.

a' + 2b' a+b

2a x = --,(a'" b,x'" a, x ... b). a+b

1350.

x = I, za a ... b; za 0 = b neodredena.

1351.

Za a'" c, x =

1352.

Za a ... 0, x

1353.

Neka je x - a = I, x - b = u, tada data jednacina se svodi oa jednacinu u 2 - 3u = 12 - 31. Ako se vratimo na nepoznatu x dobij a se 2(a - b)x = (a - b )(a+ b+ 3). Ako je a ... b;t :!: I, jedinslveno resenje

,(Ia l;eb). x=

x =_2_ (x ... .!. x ... .!. a+b ... a+b' a' b'

o) .

I . .. Za x ... - - resenJe Je x =

4a

+I

1342. 1343.

x = -2a, (x ... 0, x;e ±a). x=a, (a ... O,X ... 0).

1344.

x = a + b + e, (data jednacina je ekvivalentna jednacini _I)+(x- b _I)+(x-e ( x-a b+e e+a a+b

-I)

2a-

za a = 0 neodredena.

.

. Ako Je a = b, neodredena.

1354.

- 2- .

a

3

=- "

a+b+3 2

a+c 2 ' za a = c neodrede na. a-+ac+ c

,

9.2. Primena linearnih jednacina sa jednom nepolnatom na resavanje raznih problema

x =-91.

a

316

1349.

¢'>

(a+d-b-e)x=ad-be ¢'> x =

1339.

1 ,(x ... ± I). a- +a+ 1 ,

x:(45-x)= 7 :8; 21 i 24. 5 1355. _x_=2+__; 14i 33. 47-x 47-x 3 1356. 5

= 0).

317

1357.

"3

. broJ!"1 ae 2 x. N a osnovu uslova Neka je imenilae razlornka x, lada Je zadatka je: 2

jednaka je 7,9 km/s, druga kosmicka brzina jednaka je 11 2 kmls treea kosmieka brzina jednaka je 16,4 kmls . " 1368.

51 + 61 = 55, posle 5 easova.

1369.

601 = 80C t - 2,5); u 16 h posle 300 km.

3 Razlomak koji zadovoljava postavljeni uslov ne postoji.

1370.

301 + 221 = 728; posle 14 sekundi.

1358.

15,4; 1,54.

1371.

1359.

25.

1360.

lednaeina koja izlazi iz postavljenog uslova je neodredena, pa su traieni brojevi: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.

1361.

36.

1362.

45+ x = 2(x+ 22); kroz jednu godinu.

-x+5 3 x+ 15

.!. 2x + 15 = x + 15x = O.

1363. (x- 5)4 = x+ 18- 5; majka ima 29 godina, keerka 11 godina. 1364. (x+ 1)(x+ 2)-(x-1)(x- 2) = 600 ¢> x = 100. 1365.

1372.

(I I I)

- + - + - 5= 1,30 dana. 10 IS x

_1_ + '!']3 = 1;9easova i 45 minura. [4.!.3 x

1_] x = 1; 3 easa i 28 miDuta.

_I __

1373.

Neka je traieno rastojanje x km. Tada je rastojanje po etapama:

[

I.!. 2.!. 3

xkmxkm''''km . ! "6 ' a vreme po etapama Je:

"2

x

"3

x

x

.l..; ..1.. i ~. 80 60

1374. x+(x+ 20~) +(6':'+ 6':" 20) = 14500; 100

5 100

1375.

I. 4000 d; ll. 4800 d; ill. 5760 d. I. 6000; II. 8000; ill. 10 000; IV. 12000.

odakle nalazimo da je x = 1440 km.

1376.

3 em.

x

x

Neka je srednja brzina jednaka x km/c, a rastojanje izmedu A i B, 9.3. Lineama funkclja I njen grafik

s kilometara. Tada je: ss2s 112 -+-=-¢>-+-=-I\s¢O 9060 x 9060x ' 2'180

¢>

1367.

5

Po uslovu zadatka je:

160 + 180 + 240 = 23,

x

1366.

40

6

x =- - = 72 km/c.

1378. 1379.

5

Ako je pFYa kosmicka brzina x km u sekundi, tada je druga (x+3,3) km u sekundi, a treea (x+3,3+5,2 ) kID u sekundi. Na osnovu pretpostavke sledi: x(x+ 8,5) =(x+ 3,3)2 + 4, 12, odakle nalazimo da je x= 7,9 km u sekundi, tj.: prva kosmicka brzioB

Antidomen

) (59)}

B = {1,3,5,7,9};f = {(l,I),(2,3),(3,5),(4,7, ,

1380.

.

I( -2) = -5; 1(0) = - 8; 1(3 - 1.(0)) = I; l(f(x» = 3 (3x- 2)- 2 = 9x- 8, l(f( -x» = 3 (3 (-x)- 2)- 2 =-9x- 8. I(b)=ab+b }~/(b) = 1(f(0» = a (a'O+ b)+ b == ab+ b

I(f(O»)'

1381. l(f(x» == 3 - (3 - x) == x. 318

319

1382.

a) Grafici svib funkcija zaklapaju isti ugao sa x - os om a imaju razlicite odsecke Da y - osi (51. 87);

1385.

Ako je x < 0, tada je x y=x--=x-l. x Ako je x > 0, tada je x y=x+-=x+l. x

x SI. 92

Promene date funkcije prikazane su tabelom: x

y 51. 87

a) Za x < 0, y = -x-I, a za x ~ 0, y = x - I. PromeDe date funkcije su prikazaoe tabelom, a grafik ima oblik (51. 89).

I:: '"

x Y

/

II

-I

-I

0

0

'"

-I

/

0

/

e) graftk je prikazan na slici 90; f) grafik je prikazan Da slici 91. 1

+1

/

+'"

a grafikje prikazan na slici 92. Tacke A iB ne pripadaju graflku jerza x 0 funkcija nije definisana.

=

1386. m= 2, y= 2x-4. 1387. k = 4, y = 2x - 3. 1388.0=2, y=-2x+4. 1389. m= 5. 1390. m = 4, Y = 2x - 3. 1391. 0=-1, f(x)=-3x+5. 1392. a) Za x I, y=2x -2; za - I < x < I, y =- 2; b) akoje x 0 za x> 5' 1534. a) Za

z(l -m )=

101" b i ab .. 0 relenje je (a+ b,a- b).

Za

b) zaa b .. 0 J'ed'mstvenordenJe . (a+b . 0 - - , _a - b) zaab=Oslstemne· dreden; 2 2

2:e::b;t 0 reknje (a: b,a: b). je

d) (0

3

-

b

3

,0

3

+b

l

).

1535. «m+n)',(m-n)').

a za

ab = 0

sislem j e neo-

.

m+2

Kombinovanjem (I) sa sve ui jednacine dalOg sistema dobija se:

y =a+ c -b, x =a+b- c. (a+b-e, a+ c - b). 1532.

m 2 +m+ 1

m;t;

m2 +m+1 m+2

ml+m+ ]

m+Z

2

m _ 1

1 = - -. m+2 (m -I )

m=--,

m+Z

2

m 2 +m+1

m+2

1

-m

=

(m _I )(I _ m ) +2 -

m

J dao 'sistem ima jedioslVeno reknje :

m+ I I ( I +m)') (- m+2'm+2' m+2 ' , . J-ednu jednatmu: Za m = I dati sistem se SVodl same na x+y+z =l, ~ja za x=aER i neodreden J'e i ima beskonac!no ~og~ ---Aena troika - -"cnje sIstema W~ 'J y ={JER,z=l-a- fJ ,paJe l~ (a.f3.I- a - fJla E R AfJ E R> 333

332

9.5. Primcna sistema lin ea rnih j cdna fina n. i . . re avanJe rll2n1h problema

Za m= -2jednacina (1) poslaje: O(x+ y + z) = 3, fada je sislem nemoguc; b) sumiranjem sve tri jednacine dobija se:

1550.

(0+ b+c)(-,+ y + z) ~ O. Kakojea+b+ c~ O. ondaje x+ y+z = 0, paje x+ y= -z. z+x=-y.y +z=-x.

x

1552.

0, 0, (0+ b)(-z)-cz + b-a~ 0,

1553.

(b+c)(-x)-ax+ c -b~

odakle se dobija jedinstveno rdenje

1554.

L:~!c' a:~:c ' a!~:c).

1555.

1547.

(b 1 - be + c 2 , 0 2 -ac + c 2 , a 2 - ab+ b 1 ). Ako se prva jednaeina podeli sa ab, druga sa ac, a treea sa be.

(abe.,e 0) dobija se sislem

yxcxzbzya b a o b a c a c c b bc

.

.,'

-+-= -11- + - = -11-+- = - . Zblr sve tn Jednacme

1556.

c2ab

acbc

(C-d)(b-d) (a-d)(c-d) (b-d)(O-d)) 1548. ( (c-o)(b-o) '(0- b)(c- b)' (b c)(a- b) . 1549.

(a-3

6

~

'3'

a+ 6 a+ 12)

3 •

3

.

x

.

(6,3).

S 7

9 7 Na osnovu pretpostavke dobija se jednafina: y'" (x-I)(y- I)= I. Po~to celi brojevi x- I i y - I imaju proizvod I, 10 tra1eni par (x, y ) mora bili re~e nj e sistema: (x-I = Ill y -I = I)V(x- 1 =- ll\y-I=-I ), odakle izlazi

relenjc (0. 0) ;!i (2, 2). OlOaee se sa x i y teiine u ki logramimn prvog i f rugog metala u splavu. Na osnovu prerposlavke dobija se sistem: px qy 100b-aq ap- IOOb x+ y=al\-+-=bo x= I\y= 100 100 p-q p-q

. . -+-+X Y Z=I-( C . slstemaJe - +b -O + -). Odavde Je

ab

22; (9, 10).

xy ~x +

c) (-obc,ab+ bc+ac,-a- b-c). 1546.

f~

1551___ (x+ 3):(y + 3) = 1 : 2 1I.l = 2 +~; sistem J'e neodreden

Dalje dati sistem svodi se na oblik: (c+o)(- y )-by+o-c~

4x+(y+ 4 ) ~ SOA 3-,-

1557.

Neka je p prost nepat8n broj. a x i y prirodni brojcvi. Tada je: x'- y' ~ p"' (x - y)(x+ y)~ p. Po~to je p prost broj , tada Je: p+1 p-I x - y= I l\x+ y= P Q x = 2 I \ y = 2' Dakle, prost broj p moie se predslaviti kao razlika kvadrato dva . p-I prirodnabrojax 2 - yl akojcx= p+ " Y=T'

1558. Na osnovu prerposlBvke sledi: 25 _ 7' 2S =5' 25x' - y' ~ IDS'" (x- y)(x+ y)~ I·IOS~ 3· .Poslednja jednaCina ekvivalentna JC slsleml~35)V (x- y = 7 II (x-I ~ IA x+ y ~ 10S)V(x- y= 3AX+ yAx+ y~ IS)V(x- y~ SAX+ y~ 21), odakle izlazi da je:

1

1

2 _ tl2 _

IOS~S3 ' -S2 ' ~19 ' -16 ' -16 ~13 -8 -

42. 335

334

1559. 1560.

I I I 6 9 51 _+ _ = _1\_+ - = - , xy

8

. 2 14 casova I 18 - casa. xy56 3

I

I

I

9

6

2

x

y

12

x

y

3

_+ _= -11-+-=-,18

mn+np- mp

Az =

np +pm-nm

2 mnp pm +mn-pn'

dana I 36 dana.

x+ y

1562.

x - y =5A IOx+ y =2+

1563.

9s-m 9s+m x + y = sA lOx+ y = lOy-x-m, x= -I-S-' y= - I-S-'

lO y + x

2mnp

lIy=

.

9.6. Linca rne nej ednacine sa jedoom nepoznatom I njlhoyo relava nje

IOx + y lOT ' b . . 56 1561. ='':''';''' 4r. 3 3 1569.

x 3 z 3 x+ y + z = SOA- = 3+-A-= 3+-;(IS, 6,57).

1570.

x+ y+ z = 16 /\ lOOx+ 1Oy+ z-(IOOx+ 10z + y) = 72/\

y

y

x

x

lOOx + 10y+ z 7 ===!...:...~ = 76 + -. Tra!eni broj je 69 1.

y

1571.

Ako su trafeni brojevi x, y, z, a dati zbirovi a, h, c tada je:

1576.

5.

1577.

-I.

1578.

a) Razlikujemo tri slutaja: 1° ako je m> 0, tadaje mx > 3 x > ~, paje re!enje svaki broj koji

m 3 Je ve",1 od-; m r ako je m < 0, tada je mx > 3 x < ~, pa je rclenje svaki broj koji m . .. d 3 Je manJI 0 - ; m r ako je m= 0, lada nejednac!ina g1asi O'x>3; i oerna ni jedno .

•.

~enje ;

. b) za m= Ije 0 ' x< 3, paje x ma koji realan bro);

(~+~)m= I A (~+;)m= I A (;+~)P= 1

akoje m> I, tadaje

m+2 x 0" x-4> O)V(x-\ < 0/\ x- 4 < 0) e (x> JAx>4)V(x< l/\x 4v x< I. Prema lome, polazna nejednacina je ekvivalenrna sa disjunkcijom x>4v x< I. b) Iskoristite ekvivalenciju AD O)V( A > DAB < 0); -3 sxs5; c) Iskonstlte ekvivalenciju

A B > 0 (A >OAB > O)V(A 0 => ac < be =>

a a+c a b +aca(b+c)-c_ b b+c time je tvrdenje dokazano. 1621.

Primedba. - I" AritmetRka sredina A POZilivnih hrojeva a i h je: O ) ~(a-b)"+4ab

c)tE(-I,2S;O,75).

,

~4ab

(au)'

a: "..Jab, b

-2- "a b

tj. A "G.

Dalje slede ekviva\encije:

a+b "a+b -2-~",abo 2ab (2)

1619.

=>0+6 a+ b < h+ b

".

• ) xE (-~,-6)U(-*,+~} b) xE

a

a+' ,3 61+'), (3 6>+', 36>+6), (k

0.

Kad Branislav zameni zvezdicu nekim znakom, Arkadije zamenjuje zvezdicu istim znakom ispred drugog broja iz istog para. Dobijeni broj, ocigledno, pri deljenju sa 7 daje ostatak I.

Neka je S, neka tacka za koju vaii:

aAS,+bBS ,+ cCS, = O. Imamo(a+b+c)SS, =O"'SS, =O",S , =S. 358

= 0,1,2,3, ... ,333).

1739.

Tacka M se ne moze naiaziti na nekoj od pravih AB, AC,BC. Prema tome, imamo sledece slucajeve:

359

(I) M je unutar t. ABC. Tada je P(t. ABM) =P(t. BCM) = P(t. CAM) =

1741.

NekajeP sredi§te dui:i A,A,. TadajeB,PB,B, paralelogram, paje N sredi~te duzi PB,; 1 MN je srednja linija trougla B,PB" tj.MN = -ZPB,. a Kako je PB, srednja linija trougla A,A,A" sledi da je MN = 4'

1742.

Oznacimo sa a broj I 999. Tada je

I 3P(t. ABC).

Ako bi se M nalaxi la unutar nekog od trouglova ABT,BCT.CAT (T je tei:i~te t. ABC), re~imo uoutar t. ABT, irnali bismoP(t. ABM) hA = hR' gde su hA i h. rastojanja tacaka A,B od prave CM redom, pa je AS = SB. P(t. ACM) =P(t. ABM) => P(t. ACS) = P(t. BMS) => CS = SM. Dakle, dijagonale cetvorougla ABCM se polove. Prema tome, postoje ukupno 4 traZene tacke M : tezi ~ te t. ABC, i tri tacke simetricne temenima trougla u odnosu na sredi~ta naspramnih stranica. 1740.

Neka je A"A" ... A, osmougao kao u zadatku i neka su a"a" ...a, dutine njegovih stranica. Dokatimo da je cetvorougao A,A,A,A , paralelogram. Neka su p,q,r,sprave koje same temena A, i A" A, i A" A, i A" A, i A" redom, aP,Q,R,S preseene tacke pravih p i q, q i r, r i s, sip, redom. Lako je dokazati da j e eetvorougao PQRS pravougaoDl'k

,fi

X"

~IJe

• PS,fi ,fi I. su straDlce = a, '-+a, +a,'2 - 2

,fi

.

RQ = a, '-+a, +a, ' -. Kaleo Je PS

2 2 ,fi a, -a, = (a , +a, - a, -a, ) · -.

..

P(1 999) = pea) = a"lllO - (a + l)a 1999 + ...-(a+ I)a+ a+ I = a'ooo _a"lllO _a'999 +a'999 + .. .+ a ' _a' -a+a+ I = I. 1743.

= I takvi daje

2( :' )' + ~ : ' )' = I. Tada je 2p,' + 5Pi = q', odnosno q' == 2p,'(mod5). Znaei 51 q i 51 p" pa 2515p;. Dakle 51 p ,. To je kontradikcija sa pretpostavkom NZD(p" p" q) = I. 1744.

I) A = 0. Tada je - simetricna, antisimetricna i tranzitivna, a nije refleksivna. 2) A irna tacno jedan element. Tada - oije refleksivoa, a jeste simetriena, antisimetricna i tranzitivna. 3) Ako A ima bar dva elementa, tada - oije oi refleksivna, ni aotisimetriena, oi tranzitivoa, a jeste simetricoa.

1745.

Neka prava koja prolazi kroz M i paralelna je sa BC sece AB i DC u tackama P i R, a prava koja sadrZi M i paralelna je AB oeka sece AD i BC u tackama S i Q. Tada je MA < AP + MP = AS + AP. Slicno MBnc opcracije . . . . . . . 187 194 I 4 E1cmcnti kombonatonke .. . •... 199

U . Rdocije ,funkcijc: . . . . . . . . • . .

"GLA A 2 UVOD U GEOMETRJJU .. . . . . . . . .. 204 2.1 Tatka. prava. novan. Odnosi pripadanJa i rasporcda . . . . . . . . . . 204 2 2. Paralelnost . . . . . •. . 204 2.3. Dut i usoc .... . .... . •. .. . . 205 III GLAVA 3. REALNI BROJEVI . . . . . . .... . .. . 209 3. L Prcgled brojeva. Polje rcalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . 209 3.2. Priblitnc: vrcdno'tL ApsoluUla i rcl81ivna grcSka. Gnonica grclkc. Znatajne cifre i zaokrugljivanje brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 IVGLAVA 4. PROPORCIONALNOST VEUCINA . . . . . 4. L Razmera i proporeija . . . . . . . . . . . 4.2. Primena proporcije . . . . . . . . . . 4.3. Raton raspodelc i melanj> . . . . . . 4.4. Proccntni i promilni meun .. 4.5. Kam.tni roeun . . . . . . . . . .. . .

22 1 22 1 222 224 226 229

366

· 273

7. HOMOTETIJA I SLiCNOST 7.1. Proporcionaloa vclieina. Talesova teorems ... . 1.2. Homotctija . . . . . . . . . . . . 7.3. SliCnosttrouglova ... . ... . 7.4. Primena sJitnosti kod pravouglog trougla ... . . . . .. . . .. .

· . 287

· 287 · 290 . 292 · 295

VIII GLAVA

ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE I Dvadesel sedmo izdanje

/zdom c

ZAVOD ZA UDZBENIKE I NASTAVNA SREDSTVA Beograd. Obili~v venae 5

Likovni urednik

Mr TAMARA POPOVIC· NOVAKOVIC

8. TRJGONOMETRJJA PRA VOUGLOG TROUGLA . . . . . . . . . . . .. : . 30) 8. 1. Trigonometrijske funkeije oltrog ugJa Osnovne trigonomctrijskc identiCnoslL Re!8vanje pnovouglog trougl • . . . . . . . . . . . . . .. . . . 303

u/uor SELMA COLOVIC Korice

i.ELJK0 DUROVIC

IX GLAVA

252

XGLAVA 10. RAZNI ZADACI .

.. 267 . . 267

Mr Vent T. Bogoslavov

VII GLAVA

236 239 244 244 246 247 250

231 231

VIGLAVA 6. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI 6. J. Polinomi i operacijc sa njima . ..

· 269

9. L1NEARNE JEDNACINE I NEJED· NACINE . . . . . . . . . . . . . . · 306 9.1. Lineamnjednatina sa jcdnom nepoznatom . . . . . . . . . · 306 9.2. Primcna linearni hjednatina sa jednom nepoznalom na rdavanje raznih problema . . . . . . . . . · 317 9.3 . Lincama funkcija i njen grafik . , · 319 9.4. Sislem lineami hj edna~i na ... , . . · 323 9.5. Primena sistema Iineamih jcdnaeina nn re~ava nj e raznih problema . · 335 9.6. Lineame nejednatine sajednom nepoznatom i njihovo rdavanje .. . .. 33.7 9.7. Grafi~ka intcrprctaeija sistema lincamih ncjednaeina sa dve nepoznale, Re~av8njc problema lineamog programiranja . . . . . . . 342

VGLAVA 5. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE ... 5. L Podudamost figuno . . . . . . . . .. S.2. Onogonalnost pravc i rav"i. Ugao pravc i ravni . . . . . . . .. 5.3. Vektari . . . . . . . . . . . 5.4. Osna i centralna simctrija ... . .. .. SA. L Osn. simetrij> . . . . . . . . . . . 5.4.2. Centroln. simetrija . . . . . ... 5.5. Translaeij • . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Rotaeij. . . . . . . . . . . . . . .. " 5.7. Neke vamijc: teoreme 0 trouglu. ectvorouglu. mnogouglu i krufnici . ..

6.2. Rastavljanje polinoma no l!iniDce 6.3. Operacijc sa racionalnim algebarskim izrazima . . . . . . .

Grafil ki urt!dnik

DUSAN KNE2:EVlC Korekrorr

ZORICA BACKOVIC GORJCA MARKOVIC TATJANA ZORiC Konrpjul~rska obrada RADOYANOVI C' "P.S. Tech "

Obirn: 23 l tampm k. l.bai