Zbirka Resenih Zadataka Iz Matematicke Analize I - FTN
January 12, 2017 | Author: Dejan C | Category: N/A
Short Description
Download Zbirka Resenih Zadataka Iz Matematicke Analize I - FTN...
Description
\
T
.
:
,
Momeilo B. Novkovii Momdilo Novkovie Medie Slavica S. Medii Ilija M. Kovaeevie Kovadevii
-
\::
Biljana N. Carii Carie Vladimir Curid iurii
ZBIRKA RESENIH ZBIRKA REENTH ZADATAKA ZAD ATAKA IZ TZ MATEMATIETTANALIZE MATEMATICKE ANALIZE I
Novi Sad, 2008. Sad,2008.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
MATEMATICKE ZADATAKA IZ MATEMATICKE udzbenika. ZBIRKA Naziv NAZiV UdibCNiKA ZBIRKA RESENIH ZADATAKA ANALIZE I ANALIZEI
Autori: AutoriNovkovii (neformalno Dr) Momdilo Momcilo Novkovié Mr (netormalno Sadu Carie, asistent FTN-a u Novom Sadu Mr Biljana Carii, Slavica Medic, Medii. asistent pripravnik FTN-a u Novom Sadu Vladimir FTN-a u Novom Sadu Vladimir Curie, iurii, asistent FTN-a Sadu Dr Ilija Kovacevic, Kovadevii, redovni redovni profesor FTN-a u Novom Sadu Recenzenti: penziji Beogradu u penziji Matematidkog fakulteta u Beogradu Malisié, redovni profesor profesor Matematickog Dr Jovan Mali5ii, Budincevic, redovni profesor PMF-a u Novom Sadu Dr Mirko Budindevii. 32 fronta32 Narodnog fronta Izdavac: Izdavai: Symbol, Novi Sad, Narodnog
21 Ciriea21. Srumpa: étampa: SP PRINT, Novi Sad, Vladike Cirica
Tirai: 500 TiraZ:500 pije dozvoljeno dozvoljeno reprodukoautora nije prava zadrzana. Bez pismene saglasnosti autora Sva prava zadriana. Bez O Sva umnozavanje na ili umnoZavanje na bilo bilo koji magnetni upis upis ili vanje fotografisanje, magnetni (fotokopiranje, fotografisanje, vanje (fotokopiranje, ove knjige. celini iii delovima) (u ili iii ponovno objavljivanje sadrZaja sadrzaja nacin) nadin) ili
vece Fakulteta Fakulteta tehnickih Sadu na svojoj sednici tehnidkih nauka u Novom Sadu Nastavno-naucno veie Nastavno-naudno je ovu knjigu kao stalni univerzitetski univerzitetski udzbenik. udZbenik. 25. juna 2003. prihvatilo prihvatilo je
CIP -- Katalogizacija u publikaciji Biblioteka Matice srpske, Novi Sad
517(075.8)(076) s 17(o7s.8)(076)
matematiee analize II / Momcilo Momeilo B. B. Novkovic... Novkovii... reSenih zadataka iz matematiEe ZBIRKA resenih print). - 373 str.:: graf. graf. prikazi ;; 373 str. SP print). [et al,] - Novi Sad : Symbol, 2008 (Novi Sad Sad : SP Symbol, 2008 Novi Sad [et al.l 24 24 cm. cm. :
:
1 -4. Bibliografija. Tira± 500. -- Bibliografija: Bibliografija: str. str. 1-4. Bibliogralija. TiraZ
ISBN 978-86-85251-13-9 978-86-8525 l- 13-9 1. MOMM3A0 B. E. 1. HosxosHli, Hoexoeuh, Morrr.ralo asanxsa -- 3aAaiIH a) MatervratuvKa MaTeMaTHmKa aHErAIa3a 3a,qaqu a)
COBISS.SR-ID coBISS.SR-ID 2219259655 t9259655
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
T I
aaieg Uspomeni na naseg Uspaaeni sarudni*a dragog dragry saradnika Novkovica Momcila MomCila Noukouifia
I T
i PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
t f
;
BIOGRAF'IJA BIOGRAFIJA Tuzno je Tuno je ii tesko tesko pisati pisati pod pod ovim ovim okolnostima za za svog svog daka daka ii najblizeg saradnika biografiju. saradnika biografiju. Recima Redima se se ne ne moZe mole iskazati iskazati sve sve sta Sta je je Momdilo Momcilo Novkovié Novkovii za kratko vreme -- 34 godine godine zivota Zivota postigao. postigao. Od decaéiéa dedaiiia sa te5kim detinjstvom sa teskim detinjstvom pribliZio priblizio se odbrani se odbrani doktorske doktorske disertacije. disertacije. Nazalost, Nazalost, do do same same odbrane odbrane nije jer ga nije doslo, doslo, jer ga je tragidna smrt tragicna smrt uu saobraiajnoj saobraéajnoj nesreéi nesreii 30. maja maJa 2001. godine sprecila 2001. godine spredila da veé zavrsenu da vei zavr5enu doktorsku disertaciju disertaciju odbrani. Momcilo Momdilo Bore Bore Novkovii Novkovié roclen roden je 26.05.1967. godine godine u Vrbasu 26.05.1967. Vrbasu u siromasnoj siromainoj radnidkoj porodici. radnickoj porodici. Osnovnu Osnovnu Skolu skolu je zavrsio zavr5io u u rodnom rodnom mestu mestu sa sa odlicnim odlidnim uspehom. Srednju uspehom. Srednju matematicku matematidku gimnaziju (strudni naziv: (strucni naziv: pomoini pomoéni istraZivad istralivac u matematici) matematici) je je zavrsio zavr5io uu Vrbasu Vrbasu sa odlidnim odlicnim uspehom. uspehom. Nosilac Nosilac je je diplome diplome "Vuk Karadlié" KaradZii" ii "Mihajlo Petrovii Petrovié Alas',. Alas". Pri tome je uspesno uspe5no udestvovao ucestvovao na mnogim mnogim takmidenjima takmicenjima iz iz matematike, matematike, fizike, geografije, istorije geografije, istorije itd. itd. Skohke kolske 1986/87 19}6lg7 godine upisuje godine se na upisuje se na Fakultet Fakultet tehnickih tehnidkih nauka, nauka, masinski ma5inski odsek, odsek, smer smer proizvodni sistemi. sistemi. Njegove Njegove studije studije zapravo zapravo pocinju podinju skolske 1987/88 Skolske je nakon 1987/88 godine, jer je nakon upisa na Fakultet Fakultet otisao na oti5ao na na odsluzenje odsluZenje vojnog vojnog roka. Momdilo Novkovii Momcilo Novkovié je osnovne osnovne studije na vreme zavr5io zavrsio na Fakultetu tehnickih tehnidkih nauka nauka uu Novom Novom Sadu, Sadu, masinski ma5inski odsek, odsek, smer proizvodni sistemi smer proizvodni sistemi Diplomirao Diplomirao je je u najkraéem najkraiem moguéem moguiem roku, roku, 23.12.1992. godine odbranom 23.L2.1992. godine odbranom diplomskog diplomskog rada "Utvrdivanje funkcionalnih zavisnosti izmetlu poslovanja i vrednosti imovine izmedu rezultata poslovanja pteduze(,a" sa preduzeéa" sa prosekom 8,38. 8,38. Momdilo Momcilo Novkovié Novkovii se se izdr2avao izdrlavao sam sam za za vreme studija. prodekan student u dva mandata, elan Bio je prodekan dlan Materijalne komisije studenata studenata FTN, elan dlan Saveta Fakulteta, ii te te duznosti duZnosti je savesno obavljao. II pored svog velikog angazovanja angaZovanja na ovim na ovim funkcijama, Momcilo je na Momdilo Novkovié Novkovii je vreme ii sa na vreme sa visokim prosekom prosekom zavrsio zavr5io osnovne osnovne studije studije kao kao treéi treii uu generaciji generaciji od od 450 450 studenata. studenata. Bio Bio je je elan dlan MENSE, Medunarodnog udruzenja Medunarodnog udruZenja natprosedno natprosecno inteligentnih.
Zbog Zbog kadrovskih potreba Fakulteta, kadrovskih potreba Fakulteta, dekanat je preporucio preporudio mladom dekanat je mladom ii perspektivnom Momcilu MomEilu Novkoviéu-Momi NovkoviCu-Momi da da upise upi5e magistarske studije studije iz iz oblasti verovatnoie, statistike Verovatnoée, statistike ii slucajnih je to sludajnih procesa. veliki je procesa. Veliki to bio bio izazov izazoi za za jednog diplomiranog masinskog ma5inskog inZenjera. inzenjera.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
je za vreme magistrirao magistrirao na kratko vreme za kratko oa je upornogdu on talentom ii upornoSiu Ali Ali svojim svojim talentom ocenom 9,67 ,, prosednom sa prosednom je sve ispite u Polonio PoloZio Matematidkom fakultetu Beogradu. gama sa sa gama ii Laplasovim serija serija vremenskih vremenskih modeli modeli "Autoregresivni rad rad a magistarski "Autoregresivni a magistarski je stekao stekao zvanje manje magistra godine, dime je 1997. godine, 13. avgusta avgusta 1997. je 13. raspodelama" odbranio je raspodelama" nauka. matematickih nauka. matematidkih raspodele ii problemi "Marginalne raspodele nazivom "Marginalne pod nazivom Doktorsku disertaciju pod Doktorsku disertaciju vremenskih serija" prijavio je modelima nelinearnim modelima parametara u nekim nelinearnim ocenjivanja parametara ocenjivanja veie vede Matematickog Matematidkog Nastavno-naudno komisije Nastavno-naucno izvegtaj komisije godine. Pozitivan izve5taj 26.02.2001. 26.02.2001. godine. sednici. Nanalost, je 5. 215 sednici. NaZalost, u na svojoj 215 2001. godine na 5. 10. 10. 2001. fakulteta Beogradu prihvatilo je je jedna godine prekinuta prekinuta je 2001. godine 30.05. 2001. desila 30.05. se desila nesreii koja koja se tegkoj saobraiajnoj nesredi te5koj saobradajnoj svojom krivicom, nesreii, ne ne svojom saobradajnoj nesredi, toj saobraiajnoj karijera. U toj naudna karijera. uspe"sna nastavna nastavna ii naudna uspesna izve5taja Komisije Nastavnopozitivnog izvegtaja Prihvatanjem pozitivnog nastradao. Prihvatanjem Momcilo Novkovid je nastradao. Momdilo Novfr+xe(--,*7]u[r,-1. *2 -t)0te J7..[ x2-1rx2-1?Oax2>-It
.
Nule funkcije
koju je y=0. ( x) je vrednost promenljive promenljive x.r za koju Nula funkcij funkcijee y == ff(x)
Parnost ii neparnost funkcije: simetridan ako simetrican skup (skup D je simetriean funkcije y == f(x) definisanosti D funkcije Ako je oblast definisanosti f (x) simetridan je tada: D)) sledi da ii -x za svako XE D siedi svakoxeD -xeE D je ff (-x) = f(x) vrednosti xE D, xe D, parna ako je kaZemo da je parna L. za funkciju /f kazemo 1. f (x) za sve vrednosti XE D. (x),, za sve vrednosti vrednostixeD. (-x) = (x) 2. za funkciju/kaZemo funkciju kazemo da je neparna ako je f (-x)=-f 2. neparna. Funkcija ne mora da bude ni parna ni neparna.
f
f
-f
Periodicnost Periodiinost
f
XE D. (x+a)= svako.r'eD. je f (x + w) = f(x) za svako , takav da daie broj R R kaZe Za funkciju f :: D + x2 x1 f(x2), E I ,, x2e xr, x2 . monotono nerastuca, tadke xl, za svake dve tacke akoza nerastuia, ako
)
(xz) ,, f(x1) f (xt) < ff (x2)
(xi )?f(x2), 1 x2* f(xt)> xi S(x) je konkavna nad intervalom/. intervalom I. konkavnanad funkcijaje S(r) funkcija ,
Ogranicenost Ogranitenost
btoj MI M,,, takav da strane ako postoji broj kaiemo da je ogranicena ogranidena sa donje strane Za funkciju y--f(x) y=f(x) kazemo gornje strane ako postoji broj sa gornje f je ogranicena ogranidena sa je za x E D, f (x) ? M/ Funkcija Funkcija/je svako xe D,f(x)>M7. za svako je ogranicena je !r*",=a
U zadacima gde postoji lim Uzadacimagdepostoji
.
n->«,
(definicija
funkcije data je kasnije) koristiiemo koristicemo einjenicu dinjenicu da je neprekidnosti funkcije
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Graniine vrednosti vrednosti nizova Granicne
11 11
lim f(an)= ff ( Hm an) = f(a). !i:*f !iy,*o,)= f .C-).0
(o,)=
(a). Ukoliko ne dinjenicu, to ne mozemo moZemo da da koristimo predhodnu cinjenicu,
(
.l"->00
ie biti napomenuto. ce graniinih vrednosti nizova osobine granicnih Neke osobine je jigo, tadaje: je: lim bn = b , tada Ako je /im an = aa ii ji$b,=b,
n
r) n-4.0 lim(an±bn)= lim an Hm bn =a±b, !i*(",!bn)= !iy_o,! n->.* li*b, =alb, .b, -- liman limb=ab, z) 1i3", 2) limanbn= li*o, li*b, = a,b , n->0. .e, 3) limcan=climan=ca, 3) li*, = c n->.0 !i*", = c.a 1)
n-->00
n
.
4) 4)
t
liman
Za bn*o ii bbtto fim!=W-=l= 0 limá=" Zab na- bbn lim b bb >°°
ligb,
t n?_k iiako ako je lim a = a ii lim b =b tada 5) Ako je ji12o,=a i" n->e. n-> !i$b,=b tadaie aa3b. bn _ k ii je an za nn2k takvi da daje a,
li*rn n-ac. ( m>k r +alnr-tk-t+...+a lo,m>k a ant o him limaon^+atn^'.+"'+ak -=),b.' k=m n-+* bofim bo + b,n*-' +...+bn + ...+ bn ->°° bm +btitm-t been " I bp jear0,-qako k > m (+0. ft-' k>m o n-).. . hmlli=I, limnn=1 lim4li=t a>0 limna=1, a>o n->.o ,
,
o
0, lo'
-.
l''
l q Il l, L-' q>1 I
dve take q=-l niz Za niz ima dve tadke nagomilavanja nagomilavanja -1 Za q=-1 -l
parni 61anovi dlanovi teze teZe ka logn
rc ,, & a oeporni neparni
ka
o limlogn-o n-)@ n->= n o
, nl
je divergentan.Za < -1 divergentan. Za qq1 o n-> lim =0, ae R, R.a>l tim{=o.6xe n-+- an
--00 .
An
a
lim lim án =0 =0 -, a> -I1 n-0 i-- nt n!
o
lim(1+1)"=e. lim(l+!-f =s'
n-->@ n
Osnovne jednakosti
n(n+1)
r+2+...+n=n(n+l) 1+2+...+n= a z2
2+4+6+...+2n=n(n+1) 2+4+6+...+2n=n(n+l) + 22 12 +22
+... + n2 +...+n2
n(n + 16(2n + 1) _n(n+1)(2n+1) =
1+3+5+...+(2n-1)=n2 1+3+5+...+ (2n-t)=n2 3(2n +
2n(n + I) 42 +...+(2n)2 +... + (2n)2 = 22 + +42 -2n(n+l)(2n+l)
63 .(n+ I)(2n+1)(2n + 3) t2 . 12 +32 +32 +...+(2n+l)2 +...+(2n+1)2 '3=(n+1)(2n!^l)(2n+3) 3
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
12
Granicne vrednosti Graniine vre dnosti nizova ni zova
1. Ispitati:
ogranitenost, ograni6enost, supremum, infimum, infimum, odrediti odrediti take tatke nagomilavanja
1.
3n- I a' =y. 5n+I 5n+1
graniinu i grani6nu
i
vrednost (ukoliko postoji) za { an } sa opStim zaniz niz {an opstim ilanom élanom a,, =
o,= al
t or=77, 5s 1I 11 tl a5=13,... 7 o.r=7' ,o=Tl' ,t=E' a2 11, a;
1
j'3'
a n+1 >) d, dt,+t an
2,
21'
a4
3n+2 3n-1 > 0o (3n+2)(5n+1)-(3n-1)(5n+6) € aa,*1 a >) o a e 3#:26-#> 0 15n2+13n+2-(15n2+13n-6)>0 Sledi, niz Siedi,
W,
n
a
O o
(Sn+6)(5n+1)
8>0
an } je monotono rastudi. rastuii. {a,1je
{
lt a < 1,/ broj I je jedno gornje ogranidenje, , ograni6enje, broj broj j3 < o, ;3 1
00 5=5 , to je lim =!-=0 lim5=5,toje n
n-)02 n-)@
n-> n+*
n--5+11. n...> nll
n n
n-4°.
lim (3 -1) -1 -;n "!X" -n - > .i,'
n-)*
n
n->«,
- Inll ) n+@ lim 33 - lim lim ! -!1 ), n-> n-)@ 1 n _ 3 _ n I
_. II
lim(5+1) lim(5+-)
n--> t11a
lim lim 5+ lim lim:n->0. n n-+* n-)*
nll
Grani6na Granidna vrednost vrednost niza niza I
5Ji'
an } {a,}
{
je
5,
f
,
je taeka nagomilavanja ,uem nagomilavanja niza niza {{a,} an } je
3l 5
I
= sup {{ an an }1=: (pije sup (nije elan dlan niza). J S
Napomena:
Ubudude, kada budemo trazili Ubuduie, granidnu vrednost proizvoda ii kolidnika traLili grani6nu vrednost zbira, proizvoda koliènika dva ili vige vi5e nizova (dve ili nizova (dve ili vige vi5e funkcija) funkcija) odmah demo pravila za iemo primeniti pravila za ra6unske radunske operacije operacije sa granidnim vrednostima grani6nim vrednostima - pretpostavljajuCi pretpostavljajudi da pojedinadna grani6na granidna vrednost da svaka svaka pojedina6na postoji. Ukoliko ne mozemo moZemo da koristimo ta pravila, to de Ce biti posebno napomenuto.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
n
vrednosti Granii ne vre dnos ti ni zov a nizova Grani(ne
2,
13
poiev od kog elana Za prethodni primer odrediti potev se svi naredni nalaze u Clana se g graniine 77 e =0,1. e-okolini granitne vrednosti as za =011.
24
an -al°°
7.
2 2n+1 2'!l
t ) 2 .=2 ,.2, 2n+1 2n+t ,r*1) liy(t+ 2n+ n-+°°
= lim (1 +
2
2n
2
1
2 2n+I 2n+t
,
1
Kako je tim (1 + Kakoje
)
2n+1 n-,,lim(l+7nU)
) 2 =="e ii li*fu-2n=2,toie 2n = 2 to je lim n-+°° 2n+1 ,
2
2
(
(
2n+t 22-.2n
.
2n +I
4n 2n+1
,,*,\fr
2n+I
'n*t'z' , +I = tim (1+ ) z +;+ = 2n +1t1 2n +I ) n->.* :,*lU+r/;7lT
lim (1 + tim(t 17-40*
2n
2
2
1
2n
2 2[2)
=12. I
2
Napomena: Napomena:
1 an
-r" an
je lim Ako 'emu je granidnu vrednost ((I+Lft,1bt,, pri demu Ako trazimo traZimo grani'nu vrednost niza + )° )b" , pri (1 + = e ii limlt+Ly, niza ((1 =e ,-+@ n-40°
Cln
lim b = a --°° ,liybu=o
(aeR, a e R aa mole +co , mol.e da da bude bude ii +*,
(
,
odnosno odnosno
*),),
Qn
je tada tada pigemo pi5emo da da je
!]
!im
1
b
lim ((1 +-)°, )b e =-"u. tim111+Ly,, en -"kb" rt',, = m
an Q,,
,r-+6
I+n2+n l+!' +n =1t (n- 1)!+(n + 1)! = tim (n-1)!+(n+1)n(n-1)!-- tim him 8.,r*(n-1)!+(n+1)! -,r*(n-t)!+(n+t).n(n-t)! -_ li* = ->°° n-+@ ,r-)6 ,-+6 (n+1)! (n+1)! °° (n+1)n(n-1)! (n+l).n(n-l)! )10. °° 2
8.
11-"°
(Vn2+n+n)2 r,[7li * nt' II
9.
(ÿn2 + n + n)2
lim n->°°
3
n +1
= lim n->c.
nn
{v;
;In6 +1
== lim n)e
"-).0
2
n2 n
-n-7))
ro. him (1n+ -,{n-{n u^fJn*Ji
10.
,,
= lim n-,* "-°°1n+
27 2J;
+Vn-; r!r+Ji +Jr-Ji
1+-1+1)2
W n
1+
3
n-
5n"
n6
-=tilim n-,* "->°°
2 T
n+,T71++,1"-.[i "'° ''* ln+Ji
Jn+I+ n-7 rln+Ji *Jr-Ji
-= lim
+?
3
tim(t-+,*** 5n" r-++2
ffiT 2
n->s.1'1+
2 +2 " = 2 sn; ),r == lim (1 + I ) 5n ( Sn 3 11. lim hm (1 timfn3 tim(t*J=16 2 )fi ) = n-a°= ->°° 5n n-»`' n+@ ,-+@ 5n 5n-
ll.
=4.
n+7-(n-J) ,-Ji - lim ,. n*Ji -1r-Jit
n+7+1n-,n n+ ,lr+J n+ + +rln-Jn ,ln+J, - 2J; VT/
3
.
rff*tf -4.
(
2 2
nn" + +nn
..
lim
=1. =1.
+'ll-
zJi
2.%n
= e" a°° 5n? = e =1 ="/377 =eo =1.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
vre dnos ti nizova Granicne Graniine vrednosti
15
n
n-
n = timlrin(rJ7li-nE+nn1)2= 12. 2 [sin(g n2 + n7r+ ng) 12= 12. lim tim sin2g sin2n,[7;o = lim .
J7i
*,
II
n2+n-71 = lim[s1n7r(yn2+n-n)Cosng+ o, g( o 61-n' u m l, n o ( = n->a, - n ) s i n n ttl - n ) c o s n n +,cos r
rr
= liml(-1)n sin9r( n2+n-27 -nd
"
n\, -n) - ", fu)
"
= lim(sin27r( trd n2+n =,!,,I(rin'
=
n2+n-n))=
= lim(sin2lr( n-x.
n-!.
22
lim(sin2 fim(sinz = n)@
g(n2+n-n2) )== tln'+n+n n2+n+n
ffll
n2+n+n n'+n+n gn it' ). )= tim(sin2 4l 11m (sin2 4-l = lim(sin2 = tim(sin2 = ,r-++n+n n,,1n2+n+n 1+1 +1 n lt*L*l g neprekidna za svako je,|g+ svako x, to sin2 x neprekidnaza funkcija y! = sin2x Kako je = kako je funkcija lim Kako =L iikuko n-,111+1 ,rl
.
+1 n lt+-+t
g
je lim sin2(
2
) = sin2 lim
+ 1 +1 13.
lim
sing
1
n
VV
/17-----F n
+
= him sing( n2
1
+1
n 2
=1.
n
rI
"l-*6*otJ7;: n-->
n->02
= sin
I
+n -n+ n)=
g( n2 +nn -n)sinn7d= + cos = lim [sing(Vn2 + n -;,,osntr -n)COSrig+ coslr(J-n\ - ntsinnxf = n
n2 +n rrno(Jfr lim((-1)" sing( n\,+n -- n)) == lim((-l)' il) == - n))
= lim((-1)" sing( rrnr(J n2 = lim((-l)'
= lim ((-1 )" sin (g ( n 2+n-n)
= lim((-1)" tim((4)n sin sn#) =
n)6
g
n
)
It ,ln2 +n+n 712
n+n+n))=
F22+ n+
n
lim((-1)" sin
7
lim((-1)" sin sin$-|.g -= n-»* lim((-l)' n-)@
g(n2+n-n2)))= In2 + n+ n
).
,lt+tf+l+1 1
= 2k -1, kteN E N siedi da sledida je lim za nn=2k-1, (-1)" ==-l -1 za lim(-l)n e N ii lim za n=2k, n = 2k, k teN Kako je (-1)" =1 za lim(*l)'=l n->.0
granidnu vrednost, tj. nije konvergentan. konvergentan. niz -1)" nema grani6nu niz ((-l)'
g - to tim (-1)" sin g g ,in*= sin =1, to sin lim tim sin#=sin -, :t:LFtl' tt-n#-=rirr=,/, n-)@ "--J, ' +1 +1 +!+t +1 +1 +!+t +1 +1 J, lt*!*t
je ttm Kako je him sin
I1
2
I
j
V
n
1
¡1
n
Yr
n
n
postoji. ne postoji.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
16 I6
Graniine vrednosti Granicne vrednosti nizova
Napomena:
z
za n-)@ za lim lim(-t)'sin4 (-1)" sin t+1 1 *!-*t +1
Ovde nismo Ovde nismo mogli mogli da
l,n n
YY
a
a
lim an'b, lim ar. lim b == lim
rinoJn-\t sink n2+1 11->0.
14. L4. tim u*
primenimo pravilo primenimo pravilo da da je
jer lim (-l)' jer (-1)" ne postoji.
bn
n->oo
ri-n2 +1 +n )_ )= -D.#+n ,lnz + I +n n2+1
lim((-1)" sin( Jn2 lim((-t)'.sinn( +t -n)' n2+1 = ni** 2
== lim ((-1 )" . sin lim((-t)n r'rn(n2-+
n)@
I -n22 )) )= lim ((-1)" sin ,-
,Jn2 n2+1 +t
n
>r tim((-t)'.sin$1.
n-'6
rln'+l+n n2+1 +n
n-+w
+n
je lim sin Kako Kako je sin$
= sin sin lim + n+6 tl n'+l+n n-+-rtnz+l+n n2 +1 +n n2 +1 +n lim ( -1)" sin lim(-t)'.sin]-=g. =0 n-,@
)
0 =0 sin} = = sin = 0 ,, to je
n
.
"->°°
n "Jn2
+1 +n +t
Napomena: Napomena:
Ovde OvdenismomoglidazalimFtrsinffprimenimopraviloda nismo mogli da za lim (-1)" sin primenimo pravilo da je 7r
,'l
a
lim lim an .b, bn = a, . um lim = lim an
n2 + 1 + n n'+l+n
b jer lim (-1)' b, (-1)" ne postoji. ier n->ao
-- 6n2 ++4n1)--tnn Inn -- 2ln(n 4n - 1) 2ln(n--2))= 2)) =
15. t5. lim (2n2 + 1)(ln(n3 n--> liyr,_(zn'z
n-i - 6n2 + 4n-1 2n2+1 n3 -,6n2 +4n-1 2n2+1 lim tr^m1t-6fu!!-l ln( ) r2n2+t = In lim ( = ) -htimln'. ;6n2 !4n-I12n2+t n->°° _4n,
2+6
u-r@ n3 n, -4n2 +4n
n(n-2)2 n(n_2)"
.
-
n3-4n2 +4n -(2n2+1) ,3-4r2+4n. 2 -(2n2!t) .(2r2+t) n +1)
- 2n -2n2 1 ) -(2n2+1) n';-4n2+4n (2 I )2n2+1 =1n (1 + 1 lim(I + (1 + h lim lim(t +-.-4!-)-1;3i-,'1-4ttt+4n = ln lim ;-2n .fn2+t =- In n* i--+* n3 "->°° n' n" -4n` +4n n-»* n" -4n'+4n 4n2 4n -4n' +4n
-
3
.-
,.
-(2n2 + I)2 lim -(2n2+1)2
-4n2 +4n hr,i!*;rJ7;;
= ln =
=
-t4n4+4n2+lt lim -(4n4+4n2+1)
ltm-+ e" '''
= iil e't= ln
+4' == -oo .*
n3 -4n2+4n -4'z
Napomena: Napomena:
Kako
4nt -4n2 .. -4n4 lim ---i-=--4n2 -t itn n'; -4n2 +4n e"°° eil-,'-4r2*4,,
0 _+0
-
-
ii lnu_-;.*,kada Ina -ì u 0, tada je , kada z_+0,tadaje
,.
hm iim
-4n4 4n1 -zn2-1 -4n2 -l -;- -4n +4n
_*-oo = In é'°° " lneu-*n-t-412+4,
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Granitne vre vrednosti Graniine dnosti nizova nizova
17 L7
16. 16. U U zavisnosti od od realnog parametra aa diskutovati granicnu realnog parametra graniinu vrednost vrednost niza niza sa sa opstim op5tim n2
clanom ilanom o,r=t#r#', a = - 2n + 1)
a2
-n+2
n
-n+2 +(a-1)n-I
n2
n2 n2-n+2 -n+2 1)an2+(a-1)n-1
,
timlt-2n+!);7.*')'-'
lim lima,,= = lim(n2-2n+ ,r+6 noo n-i r_s* ll. n2 _ n+ 2 -n+2
= (1 + = lim (t+--;-) /7-400 n+6
-
n2-n+2 -.'l''6( -" n*' v+1
,
1
nz n2
-n+2 - n+ 2' n+1 ,*t - !im l',
2
n2 -n+z n2-n+2
^ -f +2-n-l );7.*-',*'
= 1i*rn2 lim(n2-n+2-n-I)an2+(a-1)n-1 = n-°° = n_r@ nn. -n+2 _ n+ 2
n+1 n2-n+2 -n+z {+t ), !2 n' n2-n+2 an2 +(a-/)n-1 +(a-l)n'l -n+2 un'
n+/ 1im en-+..an2+(a-l)n-1 +(q-l)n-l
= ett+-dn'
n+1
'+l je a=0+ je a#0 Ako je a= 0 jig",=e lim an =e ,)a-n+t = e. Ako je a*0+ liga,=e0 liman =e0 =1. =e.Ako 17. 17. Opti opsti ilan clan niza
n
je je ,,, a =11112 +.in --n+ Odrediti realan parametar n+ 1. L odrediti parametar x,takoda A. tako da bude = JJG
lim a = 0 ,, a zatim zatim odrediti pocev poCev od kog ilana Clam niza se svi svi naredni nalaze na n-)0.0 ko"
rastojanju manjem od 0.05 od ove granitne graniine vrednosti.
r;-
n(
n2 +An+)n-1n2 (n2 -2n 2 +1) -2n+l) lim an= = lim limbln2 n +.1n -(n- 1 )) Jn2 +An +(n -1) =- n-)@ +)n-(n-111."1n'+)n+(n-l) lim ,'* n2 n->oo ,,1 n2 + ),n +(n 112 +An + (n -1) - 1) nom°° -sin2 +An + (n 1)
a
-Tm.,,-) -
I 2+2-l+z-! n n ==lim = lim lim = n-).0 n2 + An + n -1 n--»* JTlt*,-t ''* li-lt*L*r-! 1++1-1n Ynnn
().+ 2)n- I (2+2)n-1
2+2 =0
),=-2. = .i=-2.
2
yn2 -r, - 2n l,tr'z
-(n-1)-0 l_ 0 . U R,, pP20. zavisnosti od U zavisnosti qe R V pn2 + qn ,t p, je niz sa t-r[po'G ilanom on== no--1sa opstim op5tim clanom je P,Qe konvergira ka: parametara q odrediti kada ovaj niz divergira, aa kada konvergira parametara pi qodrediti
19. Dat 19.
a) nuli, razliCitomod od nule. b) broju razlieitom
a) b)
n2-2n+1-pn2-qn n-1+pn2+qn n-l*rt Or- *q, = lim - t 2, tltr -ln+t-pn -qn -. )' ---ff iiiii --------'---':lint n - I - i pn- r+gn) -,,.^^ft= n-@ lim(n-1-Vpn n-I+lpn" +qn n-1+11pn2+gn n-l+11 pn'+qn "-°° n-1+pn2+qn "-°° 1
;W
(t-p)n2 (1-p)n2-(2+q)n+1 -(2+q)n+l
= = lim
n-1+11 pn2+qn svako gq niz divergira. za svako za p *1 * I iiza 1l - p *0 #0 > za "-P°°
Za p=1 niz konvergira. a = lim an
n->«,
"
.. -(2+q)n+1 -(2+q)n+l
lrmhim
n'* n-l+ln2 +qn = "-'°°n-I+V"2+gn
+ q1+ !1 -(2+q)+ -(2 n
,Lffi nYn
n1-+1+4 him lim
n
a) a) b) b)
-(2+q) -(2+q)
=-=-1--
22
2
,
e 2
n
YYYYYY
!=-t)q=-2. q= 2
e 2 = -1 lim an=- I -2 =0a l,*o^=4-1=0 q*-2. k#0,, q#-2. lima =-1-5-=k; k*0 liAo, =-l-1=k; 2
.
x
{ x3 } } realnog niza }, {rr, niza {{xn }} konvergiraju, pokazati da ii podnizovi {{*rnl, x2n }, {{rr,-, 20. 20. Ako podnizovi x2-1 }, { xq } realnog realnog niza { x2n }, {{xzo*r}, x2+1 }, {ro*} podnizovi {*r,}, Dokazati da ako podnizovi da ako niz niz konvergira. Dokazati }. (Naéi kontra primer). niz { { }.1Naei {x,, }} konvergiraju, da to ne mora i niz{x,
x
x
} niza a. konvergira ka a. an}} konvergira niza {{ a, { an?, } svaki podniz lo,r a, tada konvergira ka a, tadaii svaki an}} konvergira Ako Ako niz niz {{ c, =C xjn=c lim x3n x2n_) = b lim lim x2n-1 x2n = =a a lim x2n n->o. n->00
n-»*
x2,x4 xz,xq,xb,xg,... ,16,x8 ,..
X
x,.x3,x5,x7.x9.... ! ,lJ 'IS ,xZ 'xg -..
x3 ,x6,x9,...
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Granicne Graniine vrednosti vre dnos ti nizova
L9 19
Niz {{xn, Niz x6 }} je podniz niza niza {{xr, x2, .\6 ,.r l2 x6,-T12
ka a. konvergirakaa. }} ii konvergira
Niz {{x0,, Niz x6 }} je podniz niza niza {{4, x; }} i konvergira ka c. konvergirakac. Konvergentan niz ima jedinstvenu jedinstvenu granidnu vrednost ) aq = granicnu vrednost . = cs. Niz { x_; } je podniz niza { x2n_1 } i konvergira ka b -'3-"9,"15,"2/-
Niz
{
x,_;
}
je podniz
i
niza
{
x3
} i
(1)
b = c.
konvergira ka c
Iz(l)i(2)> a=b=c. Iz(1)i(2) Izvan svake svake se- okoline okoline take talke q a imamo konaan konadan broj broj clanova dlanova niza niza {{*2,} x2, } ii konaan konadan broj broj dlanova clanova niza niza {{*r,-,}. x2n_t }. Znai, Znadi, izvan svake ee -- okoline okoline tacke tadke aa se izvan svake se nalazi nalazi samo konadan broj dlanova konaéan clanova niza {{.r, x }}. Sledi Siedi him x = x, }} je konvergentan. ie konvergentan. n->00 li*r, = a ,, tj.tj. niz {{ x .
Ako uzmemo x _ Akouzmemor, (-l)' ,, n?. , imamo him x2n =1, n2,11 ,imamo M him *rr+t=-l =-1 ii ji$ror=1. him x4 =1 = (-1) li*rrr=1, n->Lx2+/ n->c. Niz nije konvergentan konvergentan jer konvergentan konvergentan niz niz ima samo jednu tacku tadku nagomilavanja. .
2a + 1
21. Neka 21. Neka je niz jan je aat sa sa aat1 = 1I ii aen+r 3 J niz l{a,,}} dat +l==r.'"'l:
aa,t+4 +4
je niz nne e N. N.Pokazati Pokazati da je niz {{a,, an }}
konvergentan ii nati naii njegovu granicnu graniinu vrednost.
.
aClr=1,1, Qt=-, a2 /
I
9 't9
-t 9 9 2a2+1 25+1 18+5 69 -2a.+l a; Qt=5. =3 =3^,18+5= =--=J-=-.... 5' 5 " a2+4 2+q 9+4 a2+4 9+20 29'. 29' 9+20 55
Oeigledno je da je niz Odigledno niz
fan}} niz pozitivnih brojeva, brojeva, tj. ti. aa, > 00 , za za svako svako ne N . {a, { } Pokazimo PokaZimo da je niz an niz { a, } monotono rastuti. rastuii. je 1 Za Za nn= 1 treba pokazati pokazati je at da < a2. a, = ,
.
.9 al= at,5 = 1l3 la,]=3.
a, 0 za svako nzeE N Zbog an>0 zasvako N
a_) n-J. = A=3. je niz 23. 23. Dat je niz {a*}, an }, a1=45 + 3a_1 , n>1. ar =1ll ,, a a, _=|\M, n)7. Pokazati da niz niz konvergira i naéi naii {
.3sI2
graniinu grani6nu vrednost. PokaIimo PokaZimo da je niz niz fan} ograniden. { a, } ograni6en. Za n=1 Za n=,1 treba pokazati da je je 0 b pokazaiemo da je b, > 0 . Primenom Primenom matematieke matematidke indukcije pokazademo < b1 ns(e) > no (e) E N no n6e
da za za svako postoji e>0 e > 0 takvo da Ko5ijev, odnosno da postoji nije Kogijev, } nije an+P - an > e va?ila,*o-o,lrt. da vai takoda pe N ii pe N tako }
.+.#.#.
.
I
(
(1+- +...+-1 ) .*-t'*l*"*!tl= an+p -anl= 1+-1 +...+1 + n+1 + n+2 +...+ lo,*o-o,l=l'-i. 2n n+p n 2 I +* I +...+ /, I * I +...+ I P p 1= *...*n+p 1> *...* = l+ = n+P n+P- n+p n+p n+p n+P n+p n+P n+P n+1 n*2 n+2 n+l 1
1
1
1
1
se p= n dobija dobija se Za Za p=r
n= 1
-. a2n -an I> la2n-o^lrh=*=+ n+n 2n 2 n
I
sledi da nije ni konvergentan. Ko5ijev siedi a, }} nije Kogijev niz {{ an Kako niz ograniden. opadajuii i ogranicen. monotono opadajudi a, } demo iemo pokazati da je monotono Za niz niz {11>,,} Za
n il _= h(n + t) - t t +* 1 +...+1-1nn) + 1 - ln(n+1)-(1 = t + +.... - bn =1+-1 -bn n t*...* 2 n n+1 i2 +...+1*. t a !1 < o ier lnn+1 == 1 - ln(1+1)c" =A za f(x)= .'-+.rn g(x) g(x) lim -e-9-ep lim g(x) S(x) B lim lim
4) 4)'
Um /im
X-9X0
Akoutadkix17";;;,imadesnuilevugranidnuvrednostondaonautojtadkiima Ako u tacki xo funkcija ima desnu i levu granicnu vrednost onda ona u toj tacki ima granidna vrednost jednake. granidnu vrednost ako su leva ii desna graniena granicnu vrednost
o
sin x
t
lim(1+x)r =e lim(t*.r)'t=,
lim .->o .'-'!r;=' x
-+0 -->o
.r
-1
log, (x +1) o lim = lo gu e limlog,(x+1) =logoe -4o l+0 x f
X
se ii za primenjuju se pri traZenju trazenju granidnih granicnih vrednosti nizova primenjuju smo dali pri koje smo Sve Sve napomene koje vrednosti funkcija. funkcij a. trazenje graniènih vrednosti tr ai,enje granidnih r. 1.
=
-
-
+x-2 = (x-l)(xz *'+x-2 +x-2) = lim (x-1)(x2 +x-2) ,. x2 -t-+/;s''+x'+x--i +x-3 +x2 x3 (x-l)(x'' +x2 +x-3) (x-1)(x3 +x'+x-31 -4x+3 -4x+J 3 I1 3 .r'+ 2 .. (x-l)(x+2) ,. x+2 (x-1)(x+2) = lim = lim 2 6 .r-st ,-t 6 +2x+3 x2+2x+3 i1(x-1)(x2+2x+3) 1x-l)(x2 +2x+3) t-91 sz
..
x3 -3x+2 x3 -3x+2=
lim - a.rr.--..,,.--'-;-------i-
aarra/im
x-+t x4 ya x-9l t t t"
.r-+/ A-il
-----------------
-
'tt"
--
L. 2.
alrta /im
+ t2 +t+l Al* -l t4 -1 (t-1)(t3+.t2+t+1)_ +t2 +t+t) /im 6-1 -. (t-t)(t3 - .. ,'it3+t2+t+1 = lim -l = lim - aatrlt-
i;i (t-tXtz+t+l) *'-1{y-1 -1 -1 (t -1)(t +1+1) x-> x -1 ;;if -1 t{i =t t-31. -) I = t -+ l. =t - x=t12, xx-41 Smena: Smena: 4
-,trra-"--'^--
2
r-+t /1
-..,,.-------
+t+l t'+t+l
t
2
44 -
.
3
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
29 29
dnosti funkcija Granicne vrednosti Granii ne vre funkciia
3.
J
*;
x'->2 x-2
x' -5x+6 - 5x + 6
,[-*15 x2 +5 -ïlx3 -1[; +x2 lim# /im 2
+15 *15
+x2 +15 -3+3 x2 -Jx? J7; -3+3 = -it-\-\ts +5
/im
s-+2
-1.,"-
2 -5x+6 x'-5x+6
x-42
X
X
,[r\s +s x2+5-3 .. ,[*s -s limJX3+x2+15-3_lim .. {r\-\ts -3- .t,,,-;. Ji.s -s Jx2+5+3 ttttt---------=limJX2+5-3 - ..rrt-x-+2yz-5x+6 l+2 X2 .C2 x-s?;z-5,r'+6 .Y2 x2 -5x+6 Jx2 -5x+6 x'-5x+6 -5x+6 .r2 ,l x2+S+3 +5 +3 x/2 +g = +*2 +15 +9 +3llxi +x2 +1512 +3Jx' 1x3 +x2 +15)2 +x2 +15 -3 J(x3 .. ilx; {rl.+n-s - x->2 lim ..,..-----------r-+2 x2 x' -5x+6 + x2 +15 +9 +3Vx3 +x2 +15)2 + x3 +x2 +15)2 - 5X + 6 V((xj . x2 +5-9 X2+5-9 lim -= .'.\h,*z x-a2 6)(x2 +s j.r++ ox"fi _ 5x + 5 ++s) 3) (x2 .. *2 -4 *'+*'+15-27 x;+x2+IS-27;' _r.* llmT-.x2-4 =lim -lim = .r+2 ';:, y'-5x+6 x2(x2-5x+6)((x;+x2+15)2 x+6 a j.1[*1, *2 115 as i' -rr* 6xi[@' * rl * ts)' +3Ix=+x2+15+9 + x -12 x' *3-+*'-12 :
t!,t-L-,.* 1
lim
him
x-2 Jx2+5+3 ''-t2,,! *2 +5 +i
x->2 'r-+2
2
x2-5x+6 vz -5x+6
I
.ri-t him
1
;l
''.2 -r-i2(x?+x2+15)2+3Jx?+x2+15+9 il(x3 +x2 +15)2 +-i.{x'' +x2 +15 +9
-
1 1 2 1 + 3x + 6) .!=+.!+ 1 (x- 2)(x 2 +3x+6) (x-2)(x+2) .!-_ to +=-4. ti^(x-2)(x2 lim 27 6 27 (x-2)(x-3) 6 x-2(x-2)(x-3) 27 sJz (x-2)(x-3) 27 66 x-42 ''-1(x-2)(x-3)
= 1i*(x-2)(x+2) = lim
4.
x+Z-Jx2+121 *s *J.+, .. x2+5+ -'Jfutrl = lim /im "[l -
x-+z JSx-Z 3x-2-J3x+2 -ll3x+Z
x->2
=-l-+16-=--. ;I27 *' +121+5 + tu s ,[*' ** -2-V x2 +5 * -3+ -z-*l x2 - +J x+2
,:* x-42
x-+2
+
s
x-2 l-
37-2-2-3 3x+2+2 ^l3x-2 -2-ll3x+2+2 x-2 x-2
+121-5 x+2-22 _rr*{xz x2+5-3+lim +5_-3 * lim li*J**2= ,,*tlx2 ';; *-Z X- 2 x->2 2 x-2 x-Z limJx2+121-5
x-2 x->2 ;-;z -r';i X=3x-2 .. JTx-2 ,. {ii3x+2 -2 -2 -z -2- lim tilti -------------=lim t,ni '....------:x->2
3
x->2 -r+2
x-2 X-Z
x-2 x->2 x-Z .r--+2
Kako je
t-;-- ^=um-477-.5 4 x2 -4 1t = It ,, x2+5+3 +3= lim -3 Jfr ,,... x2-4 17; -s JX2+5-3 lim(x+2)=-, 2 6 6 6 x--02 t=i1':,t.+4=a6' x+3 x->2 X2 2 Xx2 x--02 V t - 1I x-2 1= x+2 +2 1im x+2 -2 x+2 -2 -2 lim ,,... x-2 ,. .l;, ,,...J*+z -z G* lim = 4 v=v' *-z 4' s--32x-2 x-2 x-2 x-42 x-42 7+2+2 1'E, - F':llr' * tu * s{-t'* n!* zs = .. llx'+121-5 JX2+121+5Vx2+121+25 {7*tu-s = llm.-----;-, limJx2+121-5=1im.Jx2+121-5 lim x-2 X-Z x-42 x-2 l+2 x*2 x-2 .r-+2 +t2t+25 VX2 +121 +5Jx2 +121+25 x2 +l2t+st/r2
x
Y,lt#= %,,- ffi=':*# 1:!rT 1i!, r ffi2= lim
=1m =!!,# x-2 2
lim
x->2
75 75lt'm(x+2)= S, *=*!E(x+2)=L,
3x-2 -2 x-2
lim
.c2
3x-2 -2 x-2
3x-2 +2 lim 3x-6 3x-2+2 x2 x-2
1
4
=3 4
i
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Granicne vrednosti G r ani i ne vre dno s ti funkcija funkc i i a
30
ì 3x+2 -2 ,. '{s*+1-z ,. {s*+1-z
3x+2 -2 = lim lim iTri -""-----'--=- =,,7, r-).2 ,-+z x-2
3
x-2 x*2
.r-i
r
x->2
Iti*a2 -2lliva2,ra V3x+2 -23 3x+2 +4 lim ,. 3x-6 3x-6 1I 3 ='.'!, *-z ' 1212= 12' :,[jyaj -23 3x+2+4 aa .r->2 x-2 V3x+2
-2ffi
1 414
4
;;/I
4
x2+5+ x+2-Vx2+121 =_ -r_-,2+5+J*+2-11x2+121 6+4 75 _259 6' 4 75 sledidaje: sledi da je: lim
ygff)i;
Z-n 4 12 x
*ff)i-
x
2 -3)x2-4 x-6).r2-4 = 6)r2-4 m(1 +2x = l m(x+3+2+3 = lmrt x+3 +3
!:,(#)i7 lim(2x2
x->2
150 150'
3
3
x
5.
3 33
-'3x-22 --ll3x+2 [37=2 3x + 2
.r-42 -r-+2
2x2-.r-6 -*-6 . .tx .2'r2 .r +3 x2-4 .r +-? .r'-4
x+3
o .-z-x-6)zx2-.r-6 -. 2x -+1.? 2
^ + lim(1 lim(l+{5'12-r'-.r-6
x+3 X+ 3
x->2 .r-+2
'C y. lim
2x2-x-6 lim ,'r2x2:'t-6
x+2 x2-4 =es-i2x-!-.+3 +i x->2 1z-4
=e'tZt
77 2 7 27 _ =10e7 _rii4 =ern _"fr =,4", =e5
6.
2.lim 2 .
x
1
tettir!lt
e
1
1
lim
(x-2x2't+3) (x-2)(2x+3)
l'm
(.r-2)(.r+2) =e5 x->2 =95 "2(x-2[x+2)
x t t ln -x lnx lnx-lne lnx-t-.. e= lim = lim r-e 1iryJ= = lim in(-)x-e =1n hm(-))Q fim---.Z-= limln(!)fi = =tnlim(x .r->e x)e xx)( ee -Y)e x-e x-ge xe -r)?x-e -r-)e e x- e x->e e x- e xe
lnx-I .. lnx-1 lim timxe
= =
= =
1
1
=lnlim(1+-1)'`e =lnlim(1+x-e)r-e -!-. --pjl*" =lnee =lnlim(l*I-t)Q 1;; e=lnex'e =lnei =1. =lnlim(l+*-" xe e xe .r-+?e-\-)?ee e e .lW 2=1im 1-x limsin lim(1-x)tg-=lim(1-x) =lim nm sn$ = umr t - *)E +2 = .r-)1 7r x-,1 x1 !,!,(, x->1 2 x-)1 sin-21X
7. 7-
1-x u1*^ stn(---)
xf!$ =,:f,4.
-
coscos2
cos cosT
7&C
x l-x-.. 1= lim-= lim -'t sat-(1x-->1 ,inltt-x) T6
= = lim
x->1 'r-+/
It
2)
L
sin 2 (1- x) sinl(t-x)
.n
Ic
2
I
y= y= 1,r"t@ > lnh y= , = (tgx)1+?
lLm (tgx)1+i1+ui2x 8. lryrtts"lffi
7ïx
=-!
|tt**t
1+1n2 x
8.
7i
-2a
1
Z(1- x)
I1
sin(
1
ln(tgx)
1+i11+In2x ;#,h(tgx)
1I sinx x - lncos x sin x sin x-lncosx .. .. lnln sin tim---:-= In = lim ' r01+31+1n2x co x-)0 x;0 x cosx 'r+0 r0 1+11+1n2x 1+ilt+ln2x cos t+'trl l+ln2x
titil in tri yv = lim lim ,,f/i-.tti-=
;;''
lnsinx ln ln sin x ln sin sin x lncos x .. .. I$$n''cosx .. lim Ilm - *-0,1+V/ .r-+01+yI+ r->01+ x'-+0 -r01+V 1+1n2x 1*'1lt*tn'* 1 +ln2 x ln2 x +ln2 x t+4lt+tn2 x . sin sinx sinx sinxx x sin x+ ln x ln-sin ln In xx ln lnln-+ lnx
t!.!t=-------'= Um -
..',.-
*'+0
= lim ----L= x -,i-,
-r-401+V1+1n2x 1*1lt*n'x 'r"+0
-
1.,,.
-
In hxx t;- 4t ti.1 + lim x x -= lim x--)o +V *'0 *'0 't)0 - t+1lr+h2 1 ÷1n2 x x->OI+V 1+1n2xx x -r01+4/1+1712 t+4lt+h2 t+{t+h22 x
r,'-, 4 - lim
-
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
31 3l
vrednosti funkcija Granicne vrednosti.funkci.ia GraniCne
==
ln lnxx
.. lllll:= lim
lnx
=-..
t-.EL
x--to .xO
"x-'ol+ill+1n2x 1*11 t*m, *
I1 = =-=...€. 00-
inx lnx
= lim lllfl
.r-+0
1
1
1
pj x,' lnx lnx \ In3 lnx' =0 . timy=e-* lim y = e-°° =1limyy = lim lim lnln,ty = ln lim =4=O .x->o .x-+o .iJo' =-@ = x+o.x-o .r-it"' '
-
.
ee*
nije tadki x =0 granidna vrednost uu tacki =0 ,, jer ier funkcija fije da ovde ne postoji leva granicna Primetimo da . za < O. 0 definisana za xx-r-L 2
l-sin x) -(1-sinx) lim -t I.l. !im ar(1-sinx)(1+sinx)
.. _-l,m/im
,-1(l-sin-r)(l+sin.r) , -e x-Z =e ' =e
1
t =T =e ="- 24e J
,
(sin 2 lim tim,(sin2 rt. x-+1
-) TrG
(x -1)3
2
--1;a----J-Jlim
x/
2)
1
T'(;'t' (.x_1)
-cos
sin Z
,2
l -.x)
m "o'29 2
cost
*
=e
!i!,(t-ror'Tr-"'iT,--'
(x-I)3 (.r-!)'
)
-tim--Z:-x-8l (X-1)2 (x-l)z(-1-l)=€ (x-1) =e '+tlL2'
e = -e')l
x-91+ t"oa x_)f -_4,,,Jl.o kada -rx-t ==l (0 a !)tx-l 4 =e -o lkada x--1-. x+l-. t kada 2
1E(' 1-"2 m) ' cns2 2
1
-x-+l
(-x -1)3
'-!':';rt =
sin2 2(1-x) ,ir2\tt-t) --,,^l'E::!'rr, lim sin21L-!1 811-*12 | 'r-t 2 x-NI 2(1-x)1 - lim
sin2(2-
= e ="t-,
= ltm (1- cos
t
1
I
11.
-.
I
1
x-Al+sinx 12 ,-11+sin-r
i
1
'ttJ
=
I1
postoji' ()G ne postoji. tim.1sin2 )(x-1); vrednost cm(sin2 Dakle, granidna granicna vrednost
.r-+,1
2
I
I
,i PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
32 32
yrednosti funkcija Graniine vrednosti Granicne funkciia
Ina I -1 =',':i,# Ina n' - ho'a 1 tna' =',%ffi= ln(t+1) !'!,+ x ln(t+1) r-o Ylih ln(t+l) *= a "' 12.
ax
lim
= lim
x-+o
t
r-ao
= lim
t
=
lim
r-,O
lna Ina
a`-1=t, -l =t,
Smena: Smena: a*
ax a*
= ln
Me
=1n
.
t
ln(t+1) =t+15 x-!!!:J), , =t+ l, x= Ina lna
x +0 > t ->0. x->0t-.>0.
Proventi da li postoje sledede Proveriti sledece graniCne granicne vrednosti x
13. tim 13. lim X x+2x-2 x-+2x-2 x x lim 1)ry J-=*, oo, =00, lim lim x -=-00. x-2 X-2 x-2 .r-t2* x-42+ .r-+2- X-2 .r-)2-
Funkcija nema Funkcija nema granienu granidnu vrednost jer jer sa sa jedne strane teli tezi jedne strane Napomenimo da funkcija Napomenimo funkcijaneteLini ne te2i ni +. +-,, ni -00 kada ni * kada x + 22 .
+*,, aa sa sa druge druge *.
.
,
tin-41 x-+0
14. 14. lion
I+ex 1+ ex
lim l1 !r=g. =0 lim l,=1. lim =1 .r-r0+ I x-40+ *-o- !l+e.t 1+ex I+e-r l+e-t lim
1
,
Funkcija nema granicnu granidnu vrednost jer su leva ii desna granicna vrednost u tadki taeki x =0 granidna vrednost = 0 jer razlidite. razli6ite.
x-I -- x-1
15. 15. lim ltttt-
*-r Ix-l) lx - tl
x--+t
x-1 x-1 x-I:== lim x-1 = li^ lim lim 1=1, lim ix-lr= = lim l=1, lim lim x-1 lim-l=-1. ix-li= '-t = lim-1=-1. -' x-/I/ Ix-!I x->1+ x-1 .,-.tx-+I+ fx-,11 .r-+r+ .r--+t+ x-l -(x-1) x-)1+ I+ ,-l- ix-li xI --i .,;:; -tx-t) =x-1 lx-11 Funkcija nema graniìrnu granidnu vrednost jer su leva i desna granicna vrednost u taCki tadki x =1 granidna vrednost = I jer lim lim
7
razlidite. razlicite.
isinxi 16. lim 16. n*ltin*l x-a0 x-+0 xX
Isinxl (sinxl sin x sinx = fim ,r*lti'll lim =1 lim ;*W= = =r, X x-+0+ .r-+0+ XX X X lim
,
.r-+O+ .r-->0+
x-a0 x-+0-
X
lim fim
-sinx -sinx =--r. 1 .
x-+0 x-+0- XX
Funkcija nema granidnu jer su granienu vrednost uu tadki tacki x =0 su leva ii desna granicna graniEna vrednost = 0 jer razli[ite. razlidite.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Neprekidnost Neprekidnost funkcije
33
Neprekidnost funkcije Neprekidnost D -4 R kaZemoda ka2emo da jeneprekidnautadki je neprekidna u taeki xo x6eD E D akozasvako ako za svako ereR* E R+ ff::D-+R postoji SE postoji d'e R+ R+ takvo takvodasvako da svako xxeE D -f(x0)1< e. vaLil*-rol.a D va2i x- xo I< =lff (x) t*)-ft*;lo Ar+0 dx AX Prava AB, gde su A ii B tacke grafika, grafika, naziva se sedica secica te krive, odredena tadkama tackama A ii B. B tadke sa tackom Pustimo da se tacka tadka B teLi da se poklopi sa tadkom A. Secica B krece kreie po krivoj ii da tezi Sedica AB pri poloZaj te tom menja svoj (nagib). Ukoliko postoji granicni granidni polozaj te seaice sedice kada tadka polozaj (nagib). tacka B svoj poloZaj poloZaj naziva tezi ka tacki f(x) u teLika tadki A, A, tada se se prava koja taj polozaj naziva tangenta krive koja zauzima taj krive yy==f(x) tacki A. tadki A. \ Pretpostavimo da je ugao Pretpostavimo ugao o sa pozitivnim smerom x-ose razlicit razlidit od a koji tangenta zaklapa zaklapa sa
delom x-ose, to je (a # Ako sedica AB sa pozitivnim delom euo je ie ßp ugao koji zaklapa secica 2?," *|1. 2). )-f(x) tgR== f(x+Ax)-f(x) --D ly f(x+ 'dr ax ax ,
pa je koeficijent pravca tga izrazom tadku A dat dat izrazom koeficijent pravca tga tangente kroz tacku (x+ (x) f(x) al)f f f(x+dx)-
tga lim tga= tim = f'(x). " = drat->o -W daAx je funkcija (a,b) b) . Izvod f(x) funkcije (x) diferencijabilna nad Imod /'(x) nad intervalom intervalom (a, Neka je funkcija y == ff(x) (a,D) promenljive x, intervalom (a, b) . Ako je ona f(x) x , definisana nad intervalom f (x) je funkcija nezavisne promenljive .
.
diferencijabilna u nekoj tacki tadki x.rr e (a,b) ,, onda onda se njen izvod reda funkcije ((f'(x))' f'(x))' naziva funkcije f(x) naziva drugim izvodom izvodom ili ili izvodom izvodom drugog drugog reda tadki xx,, koji f(x) u tacki demo y' == f"(x) iemo oznaavati oznadavati sa sa y" f'(x) . .
je definisan je nn-- titi izvod (n-l) Ako -1) reda, >_ 2 , tada - tog reda izvod ili ili izvod izvod nn-tog Ako je definisan izvod izvod (n tada je rcda, nn>2, ) ) ) x) . definisan kao izvod funkcije ft"-"(x) funkcije,y == 7{'-t t' . (f("--1)(x))'= =f 1 x1,, tj. f('(") ((x) f{n-t "D' 1
1
.
i
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Diferencijalni racun Diferenciialni raiun
36
Tablica izvoda
Funkcija f(x) /(x)
Izvod Iztod f'(x)
Vai za YaZiza
1. 1
cc=const = const
00
xxeR R
2. 2.
x
1
I
xxeR E R
3J.
n-l
x" .f
nx"-I nx
d
occa_/ a-l (D(
x
nE N, xE R reN,xeR o=!-. Q, qe a) qEN a) a=pEQ, N q
q neparan x=0 neparan broj broj,, x*0
b) a=-P a=L>>1,l, b) qq
q neparan neparan a
xa x
pa-1 &o-l
t a' a
ax lna Ina a'"
d
4. 5. 5.
e
6.
log, logo x
7.
lnI tnl xxl
8. 8.
sin sln x
9. 9.
cosx cos x
10.
tgx
11 11.
ctgx
12. t2.
aresinx arcsan x
e.r.t e
I
broj, XE R broi, xe xE xe R, R, x>0
a>0, a=l, a>0, a* I, xe x R xE R xeR
1
a>0, a#1, x>0 a>0, a*1,
1!
x=0, x*0,
xlna x .t'
x
xreR E R
-sinx -stnx
XE ;re R
IZ
x * + kc k E Z x*!+kn,keZ
cos cos
I -*'7cos COs
x
I
- -----;2x sin sin'x 1
1-
x2
,
2
x= lot ke kE Z x*ktt, ,
l,l.i
IxIa+ g'(x) g'(x) g(x) x->bx-+b- g(x) *--+o* g'(x) x+t' ex) -.+o* g(x)
f(x) Ako Ono I!*l
-)t-, s'(x)
g (x)
,
-> a+ (kada (kada xx+b-), kada -+ b- ), tada -> kada xx-+a* tada ii 11-Q->
ry+t-, g(x) s(x)
,
kada kada xx+a* a+ (kada
x-+b-). x->b-).
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
raiun Diferencijalni Difcrenciialni racun
42
14. L4. lim liln x-j0 x-+0
etgx etg*
eig.x
e's'
e-tgx -2x - 2x --e-tg*
,t---@= lim x-)0 .r-+o
2x 2xs 2x3
= = lim
x 1I -2 cos2 x= -2cos2 ----;--=--__..IIL
etgx +e-tgr + e-'gx e'gx
I =1
_.
=-,
ltm lim
-
..
6x2 e,g.x
..
ets.,
.,.
tl 2
12
rgx ) 2 2 _e-tg* (__i;_)_2. 2cosx(_sinx) cos x(- sin x)
cos x-\ cos'
COS cos'
x:t
2x
+ 4 sin x cos x_ e'g't -e-tg'r +4sinx.ror3, x + 4 sin x cos3 x_ -l .. e'g.x -1 lim - e-'gx +4sinx,rrs3 ) X 12 12 .x-,0 't-+o xx'cos' COS2 x x
l,
cos4 xx-12sin2 -12 é'gx -e-ts*.-++4cos4 "tr-r.COS X COS x co.s .r cos e'g'x
llm lim =-. x-w l2 .r-+o 12
1
COS2 X
ets'Y.ie-tg's e'gx e-'xx
12 x->() 12.r--+0
=-I
1
cOS2 X
ltm lim =-6-r+o 6.x-,0
6x'cos'x cOS2 x 6x2
.r+0 x->o
!gx .6-l)-2 .-+-r-'r' ) 2
12
12
x
sin2 x.cos2 cos2 xx
+4
_ =
I
1 !gx
rr^, + =1 lim( e"'r''= * -=-!-. 12 .i':b'ror, COS' 12
e
6= l
-1gx
l +4)=L= 1. x-12sin' *.ror' vv! *l=L(l+ +4cos4x-12sin2xcoS2x)=1(1+1+4)= "'r-l *4rosa '' 1212"'''''.x->n 12 t2- 22' X COS *' cos22 X x' ,t 15. Nad 15. Naii lim n)0. a>0, n>0. lim:-, á'x r x-9°° eeax ,
__>*
n-2 n-1 n-2 n n-1 (n-l)xn-2 n(n-1) ,. xx'-2 n(n-l) nn ,. xxn-t nn ,. (n-1)x n.)cn-l ,. xx' ,. nx .im-= hm llm uni-= tifti-=-. tirti-=-. L,na = lim llm lim = 2 == =ax ax ax ux ax .** eeo'' gat -r--+,* e a x-)* aa.. ee* a2 a' €o'\ x-)* a a, eeox a x--s* eat
x
x-
-
I =0. lL.ti* -=0. _-
= =.....=
x
a.x
n.r
n lim ea.x ot an 'raa 2 A .x-aoo I
1
*' ,r*{
-
-ro1
-1on
*
-9x
-99
-= lim -98x =50limx | =50 =lim-100x 7i^-1.00'x-t,t =50.timx - :;; =s0.li^-?8'* -- xo t :':;i :;'i 1 -x- J-'" 2\ 2, "" -+22 x-)0 -,7 2 2 ex2 (-?) e-x ex e7 e7 e7 (--) rlt t4t
16. x2 =1imx 16. lim ex100 ri^*-"lo x,0 ;:b *roo =- x-NI
fit
-
x xx
x
22 -96 ---96.--2-il
x l. x, 50! lim lim = 50 49 lim ==.....= 50!.timt, = 50! =50.49.trm* =50!.lim lx--+0 x-4 x-)0 I .r-+0 x-40 x)0 -2
z ex er2
z e.r2
e,x
?
0 50! !im e x2 ==0. ==50!'limeS , x" x-00 -I ex .(-?) ,r',t-41 -r'' I1 .
Iax-10 2
In( x-a) cosxln(x-a) ln(x-a) x-r.o lim x_a 17. =cosa tim r*cosx'ln(x-a) =cosa lim = =cosa. =cosa.ti* ex -17. ;;; .x-oa x-)a x-)a *Ju ln(ex e'\ ln(ex -e°)) ln(e'' -e°) -"a ln@' ) -eo
rr*
-eo
x
a
ee't -e - eu
cosa u ex -e° cosa cosa ,, ,x cosa e'x -ea cosa ., e'' .. e'' -eu ==-cosa e° = cos a lim Um ee = lim llm-=- -eo=-.e =COSA ea .x-sa r-)a x->a x-4a ea ;:;e''(x-a) i-o x-a x-a eo e.x(x-a) e° ea eo
= him cosa =COSA. ---- hm-
..
xx+stnx + sinx 18. rm Um 18.
r-+€ X x je f(x) modemo da da primenimo Lopitalovo g(x)=x. Lopitalovo pravilo = x + sin x , a g(x) = x . Ovde ne moZemo Neka je f(x)=x*sinx,a jer + postoji. lim (1 cos x) ne lim f'(x) f'(x)== !i11(1+cosx) ier lim
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
43 43
Diferenciialni racun raiun Diferencijalni
ti' x-0 * li* sin =0. X
tin'
u* x+sinx= lim(l +sinx) =/, jer je /im tim lim(1+sinx)=l,jerje "+ I = x-40. ,t-+x-4c° J-+-r-)6 X X
,f,
",".°
i ",1- " mogu se se odredivati 00 ", " 00 00 ","-0 "'r i"1I ostali neodredeni izrazi oblika " 00.*"," --o ",","" 0° koristedi Lopitalova pravila (ukoliko su zadovoljeni zadovoljeni uslovi za njegovu primenu).
-
L
a) a)
«0.00 "0.*"
-> a, tada je -> ±00 kada kada xx)Q,tada Ako je je lim f(x)=0 ii g(x) +t*
i
!ly,f(x)=0 -4a
.0
-f
(x) (x)'8(x)= f(x) g(x) = ,:gry, lim xu
lim
xa f
,
oblika " ", ili iztazoblika*l',iti a to je neodredeni neodredeni izraz
g(x) 8,j,.)
*). g(x) lim f(x) = lim 1f( ) s( x) = !h,f xa I:!,ffi,x (
,
x-->a
19.
a to
je neodredeni oblika " izraz oblika neodredeni izraz
-a oo
". ".
1I x1n2x* x-1 rnx=rimA.:l)=fi^ lim 4 = = lim in(x - I) Mx = Iim liruln(x= =-rim'U 1I x-)1 I1 .r-sl x-1 x/ xsI .r-+/ .r-+t -1 x-l .C->1 x->1 -l
In(x-1)
1". m; !nx
=-lm =-lim m
x'-
-x 1
x
-
1
xx22
l.I
!
1-xln(1+-)
lim *lt-xtn(t*/rl= 4i_x In(1 + 1)J = lim u* u*t-*tn:t*;)x=- r*
xx+el
X X).r-)@ x-
jX
xx
I1 -(ln(1+x)+x ( 2)) -(tn(t*L)**-1.e\tt
I
ll
1+-
x .r-)@
x
1+t+LX 1I --= X2 x'
xx"
I
I I
t
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
44
Diferenciialni racun raiun Diferencijalni
t h(t +!1ln(1+1) 1
'
xx*l x+1 -= 1im x lim 1/ x-400 r-+-
= lim = lim
.r-+E .r-)oo
x x
1
1+1
(
x
-7 x
22
X xx-
= lim lir,
;x ;= x->2(x2+2x+1) r)@2x.(x+r)1,*G x-a°'2x2(x+1)2 +2*+t) ex
lim(1+x21n
x->o°
VVV
2
--x`.r-
II
ex
x+l
.. tt . *ex
lim + ln = lim 1 + In lim x2 !'*17** x+1 =1 x-oox2 r*l x->o'x+1 ex
1
a
x2(x+1)2
= =-. 2
1+In
x) = lim x-÷-
x+1
x(x+ l)+ x2 -x(x+1)+x2
3
,w@-,) x[x2
21. 21.
-T;tr . =!A-=
= lim x-,..
2
2
4
= IN = lim
-1 z) x (x+1) 2
1
Coo
Il =* JJ
=.17-1e=
=1
I x+1 e(x+1)-ex) e(x+l)-ex. , 22 .x+l 1+ ln ex (x+t)2 x3 *t exex (x+1)2 2 z..l)+6:l-' x2 x+1 lx" x+l = lim I1 x-*oo 1
ex
,
1
*
,
= lini
!x
x -4o0
-7
1
x
X2
-t
x-(_ x(), 22. +_) ee 2
= = lim
C-i=o
_,W
x2 2 1t.. 2 I1 ex.(x+ !)' *2 x' xi+ex(x+1))_ )= hm(--+--)=-= lim(--+ =-2Z-t-+* x-)- xX x+ 2Z X'+Xx -2.1 1+ ln ex
x+1
x2
0
"1 *. aa* *0 g0 », C) .. "; *"0° 16,,. C)
e
.
»;s ..
je Ø(x) Neka je = f(x)x(x) , f(x)>O Neka (u nekoj je /im ). Ako f(x) > 0 (u nekoj okolini okolini take tadke aa). Ako je f(X)g(X) timflxlsE) 0(x)=f(t)t('), .r-4a
* " -0 " f g(x)=0), -4 00 x) = 0 ), "00(1" x)+ f (x) .r-4a .(1a
neodreden izraz neodreden izraz oblika ""0° ( x) = " ( lim ff(x) 00 " = lim x->a -t-)a
((
g(
(
a
a ii kada kada x -> a
± ili"l*"(limf(x)=I f s(x)+t-
lim g(x) = 0) ili " 1°6 " ( lim (x) =1 ii g(x) -> limg(x)=0) --> a), tada je kada kada xx+a),tadaje -41 -t)a hm lim In g( x ) In ln S( x) = f(x) neodreden 0(x) neodreden izraz lnl(x) izt.az oblika "0.00"i" " 0' " i " 00 0 ". = lim g(x)
.C-ìa
X.
.l->a
*
.C-*a x-1a
*'
-/I -1 + x) x 22. tim(g!-A); zz. lim ( (1 )x x-40 x)0
e
-11
)x ); ,=,(t+x)'' y-((1+x)x e e
t
t 1n(1+x)x = rl ln(1+x)-1J * lny=1 lny- .rn(l+x)* =L.f!.h(t+x)-t1 x ee xxlxx 1
J
I
1
1 -x 1im 1+x t+r-l in y- = hm lim 1 timtny= u^!.1!.h(t+x)-t1= L-.1n(1+ x) -1 1 = 6^tn(I+I)-x lim 6^ -' = x->0 x2 x-0 .r-+0 x0 .r-+0 x s-40 x-+0 2x I l1x 2X x" ) .r+0 ¡
ln(1 + x)
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
t
'-
DifererrciialnirizCun raeun Diferencijalni
45 45
I
'
1-1-x I 1i^ l+x 1+ --1 hm
x -=_!fi^ 1= I =_l x=_Llm 1+x x )x-+oa.(1q16) 2*+olqa 2 2x-0 x-o x(1
:,_
1
2 x-0 x 2.r-+0
'
x + x)
lim
2
1
1
lim
',
2
li*lny=-!*lnlimr=-1 +limn=r-l limy=e 2. liminy=-1lnlimy=-1 x-+o 2 2 x-->n
.
x-+o i.r-+0-2.r-+0'2x+0'
Yi
' t '.? ..:t
li9 .I -;
3
23. Zl.
1ilim
*4+tax x°+Inx
x-o+ r-+o+ 3
x4+1"x l=Y4+lnx
3
In y= =lny 4+lnx 4+Inx
In x 1
3. ?._ '-$-= lim y= lim lim In lny= li* q+nx= = 1iv1 = 3j *--i*"'' x-o+ .r-'i* 4+lnx x-o+ -'-i* ! x-,o+ 31nx 3l'*
, i,.x
x
y=3* tim y=e3. lim iny=31n lny=3=ln lim lim lim y=3 !=ei. x+f ' x-o+ x->0+ x-+o*' x+o+" x-*0+
: ,l
.,t,
24. /im lim (ctgx)h' 24. (ctgx)u`x r-+o* x-o+
y = (ctgx)tu y=(ctgx)1nx t,
In(ctgx) lny = hfttgx) = ¡ny = *. In x
, E
= hm -x = lim -fim-x-umlt--t x-q0+ x4)+
7x I
I .r- 1I t 2
1
In(ctgx) ln(?tgx) y = 1;^ lim lim lim ln lny= ' In x x->o+ x-o+ ,r--ro+ .r-0* lnx
ctgx ctgx
lim 1i^ =x-o+ .r+o+
-1
x slnx sin x x-.)0+ sinx x4+ sin
(
,
-
sin *t x) = 1ip2 nm L= x -rinz =x-o+ x coff,sin2 2 t-o* cos ! sin xx x sin sinx xI
1
- -1
x Um y= lim = -1 lim inlny=-l+ln lim yv=-,1 ' -1 In x-)0+ x+o*'
x+o+ x->0+
:+ lim y=e-t. = e-t
.
r.4)*x-40+
I t
7
Y
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor r
46
Ispitivanje Ispitivanie funkcija funkciia
ISPITIVANJE ISPITIVANJE FUNKCIJA FUNKCUA
r
Asimptote funkcije
(a,*) ((-w,q)) , ae a E R. f(x) intervalom (a,00)((-00,a)), R. Funkcija 0(x) 0(x) je /(x) definisana nad intervalom je limV(il-Q(il1=0. asimptota funkcije f(x) kada Analogno, funkcija Q(x) asimptotafunkcije/(x) ->0.0 ako je lim [f (x) -Ø(x)]=0 Analogno,funkcija 0(x) kada xx-+*
Neka je funkcija
.
x->o.
* ,, ako je je asimptota funkcije/(xJ funkcije f(x) kada - 0(x)] = 0 .KaLe Kate se, takode, --) -0. takocle, da kada x -> je lim [f (x) da t*l-0(ill=0 .
x->,!y2lf (x) - 0(x) pi5e kada.rx -) pige se ff(x) -> +@ (odnosno se funkcijaf(x) asimptotiki ponaga pona5a kao i se funkcija/(x) asimptotski kao 0(x) Q(x) kada Q(x) je sledeii: postoji realan xx-+4 -> -04). Geometrijski smisao sledeci: postoji realan broj broj b, D, takav smisao asimptote je takav da da je za svako (x) proizvoljno > razlika ordinata krivih =0(x) mala b (x i y ruzlikaordinata y = f(x) malazasvako x b i kada x -> -00 ). y=f(x) sepribliZavasvojoj x-+-*). Ako je asimptota asimptota prava, znaei kriva yy== f(x) kaZe se da kriva ima: n ; ne R, kaze mx + n; znaEi 0(x) f (x) ima: Q(x) = nlx 1) m # 0 kosuasimptotu kosu asimptotu 0(x)=rnx+n, 0(x) = mx + n , 1) Za Za m*0 f(x) *) X m[f (x) - (mx + n.)] = 0 ili,ti tnl@-6*!1):0, /im (uzmimo da (m x -400) Po definiciji definiciji je (uzmimo da x-+ l 0, !:*VG)-(na+n)l=o x a J em=limf(x) ppaje = limUtrl-**1. lim [f(x)-mx]. m= 1;* f(x) ,, nn= x.rJE x x->,+X
n, kada Ako postoje brojevi min, -> +00 m i n, kriva y= y = f(x) asimptotu y! == mx ++n, kada x.r -+ +@ . f ( x ) ima za asimptotu Analogno se moraju biti funkcije ne se posmatra slueaj ne moraju biti iste kada x.r -> sludaj kada -) -0 -6 .. Asimptote funkcije .*. . kada x -> odnosno x -+ -> -00 kada 9 +00 F, , odnosno,r 2) m=0 horizontalnu asimptotu 2) Za Za m=0 asimptottt 0(x)=n. S(x)= n. prava 0(x)=n (,lim postoji lim f(x) vidimo da da jeje prava lim Ako ( (x)) Ako postoji 0(x)=n== lim f(x) f(x) f(x)),, vidimo
f
!iy_f(*)
(x)) horizontalna (0(x) kada.rx -) +@ ( x -> horizontalna asimptota funkcije f(x) -+ f (x) kada @(x) == lim ff(x)) ,lim
y=f(x) Funkcija y= f(x) 3) Funkcija
3)
-
). 1.
u taeki =a ako ne postoji postoji okolina tadki xx--a ako ne ima vertikalnu ima vertikalnu asimptotu asimptotu u pravu xx=4 Za pravu =a ka2emo da je ogranieena. kaZemo da ograniilena. Za vertikalna asimptota krive krive f (x) .
take je funkcija funkcija f(x) f(x) tadke aa nad nad kojom kojom je
f
r
.
Monotonost ii ekstremne ekstremne vrednosti funkcije
je f'(x)> (x) je 0, funkcija funkcija ff(x) Neka funkcija funkcija f(x) nad intervalom I.1. Ako je izvod nad f'(x) >0, f(x) ima prvi izvod je f(x) opadajuca monotono rastuca rastuia nad intervalom I,d aa ako je f'(x) 0, funkcija f(x) a ima ako postoji ima minimum (maksimum) ako funkcija taEki c 6>0, takvo takvo da da za za minimum (maksimum) f(x) nu taeki Ako funkcija (a)). (a-6, (x)> (a) (f (x)< Ako funkcija f(a)). u taèki a ima E (a-5, a)v(a, a + 8) f(x) ( (x) < f u tadki a ima xxe a) u (a, a+6)+ > f(a) f f funkcija ima ima ekstremnu ekstremnu vrednost. vrednost. Ako minimum ili ili maksimum ka2emo da da uu taeki minimum maksimum kaZemo tadki aa funkcija je f'(a)=0. i ako postoji postoji f(a) funkcija ima u taeki ekstremnu vrednost je 0 i ako tada funkcija f(x) ima u tadki ekstremnu vrednost a a f'(o) f(x)
f
f(a).
.
Take je f'(x) == 00 zovemo stacionarnim taekama. da se TaEke u kojima je tadkama. Jedna od od mogucnosti moguinosti da
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
47
I.cn itivanie, funkcija funkc i i a Ispitivanje
je da da ispitamo znak prvog ili ne je vrednost ili ima ekstremnu vrednost li u da li u tadki a funkcija ima ispita da izvoda. za XE (a - S, a) je takvo da daza xe(a-6,a) postoji 8>0 d>0 takvo je funkcija ako postoji neprekidna ii ako tadki aa neprekidna funkcija uu tadki Ako Ako je onda funkcija uu tadki aa je f'(x)0) E (a, a +8) je > 0 , ((f'(x)0. f(x) nema minimum ako ako je minimum
f(a)
f(a)
rastuia aa ako je (o) > 0 0 funkcija je uu tadki a rastuda (")(a) je f vrednost u tadki a. U tom sludaju ako je f@
f(a)
opadajuia 0 funkcij tunkcijaa je u tadki a opadajuda. fo) (o)X0x-x0
neprave leve odnosno neprave f(x0) = A(x -x0), odnosno y-f(xil=A(x-xo), je ytadki (xo,f(xil) (x0 f (x0 )) ie u taEki f(x0) = f (x0- )) u f(xo)=f(xo-D ,
(xs,ff(x0-)) (xe- )) je f(x0) taEki (x0, ili je x6 ili tadki x0 tangente (funkcija nije definisana u tadki f (xo- D u tadki f (xo) * f(x0-)) 3) 3)
je y-f(x0-)=A(x-x0). Y-f(xo-)=A(x-xo). ie = ±. Ako je je lim lim f'(x) Ako -f'(x)=!o x-,xo+ t)r6+
f
f(x) = f (x0+) ii 1im lim.I(x)=f(x'*)
jednadina vertikalne vertikalne desne tada tada jednadina
.r->X0+ r-):g+
f
(xo,f (x0 je f(x) (xo* )) u tadki tadki (xo, (ako je tangente (ako tailgente $il))) ,, odnosno neprave vertikalne desne = f (x0+)) f (x) = (xo,f(xo*)) tadki (x0, f(x0+)) * f(x0+)) uutadki je f(x0) x6 ili ilije tangente (funkcija nije definisana u tadki x0 tangente(funkcijanijedefinisanautadki f(xil*f(xl+D
je x=xo. je x=xo leve tangente (xs- ) tada jednadina vertikalne leve (x)== ff(x0-) je lim f'(x) =t* =±0. ii lam tim_ff(x) 4) Ako je tim_f'(x) 4) x->X0x-)xo x-rxo je f(x0) tadki (xo,.f(xo)), (xo, f(xo )) , odnosno neprave vertikalne leve tangente (x0-) ) u tadki (ako je f (xil== f(xo')) (xo'f(xo-il (x0-)) je je f(x0) tadki (x0, * (x0-)) uu tadki ili je xp ili (funkcija nije definisana u tadki tadki x0 (funkcija. nije definisana u ie f(xil*f(x6-D
f
f
f
x=x0. x=xo.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
48
o
Ispitivanje Ispitivanie funkcija funkciia
Konveksnost, konkavnost konkavnost ii prevojne tatke tacke
je f"(x) Ako Ako je > 0 ((f'(x)o >0
(x-2f b-21
)i
x#0 x*0
++++++++++
x
V
++++++
o2 0
++++++ 2
a4 x
D:xER\[0,2) D: xe R\I q2) Nule funkcije
(x-2)'1 I(X-2);
y= v-
=o
x
(x-2); =0t=:.(x-2)3 e(x-2)3 =o e (x-2)3 =oax-2=0x=2 =0 e x-2=0+ x=2 x
Asimptote
(x-2f G4 3
1;=*
lim -r--+0-
=
(x-2)' = F,-rr =- = x 1--;-
prava asimptota funkcije. prava x=0 vertikalnaasimptotafunkcije. x = 0 je ie vertikalna
i
lim .r-+t-
m
n1 nr
= hm
f(x) X
funkcija nema horizontalnu asimptotu.
-
- x-> hm X 1
= lim[f (x) *l= lim [f (ilx] = tt*( lim ( = -t+
-
.-> rJ6
(x-2)2 (x-2)
I(x 2); x
Jx_2 - am (x-21 X x
(x
x) = lim x(.11( x->°°
= lim
r->w
x-2 x-2 =1 X lii(x-2)3
2)?
x
1)
- lim
1
x3
x
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Ispitivanjefunkcija !;gtitivanje funkcija
49
ezf
i .-r-3 x-(x -2) 1.(____x-2) . x-(x-2) (x-2)2 ('-')2 -l _1 *-'l iI 2 x ) x *2 x = l.r-ro m = lim ==-s'!Er;)2=-3 =lim 3 lim(x-2)2 =-3 =lim = x 1,l .t* x-).3 r-c. x -1
i-7 x
2
x2
x-33 je kosa asimptota funkcije kada kada x + lt == x= prava yl
jy
x f(x) = x-2 2-x Tx m2 = lim mz= tim u*l*-21,8-= lim x-4-^o .f x =x-^° .(_+.. .r--^^ x -r_+* xX I xX I
I
(x-2); +x = lim (1x1 j:*l r@ -,*LV .r->. '.J= .YxX
+
n2 nz = lim [f(x)+x]= xl= tim V( x)
.,lim
Y
2
=
-1
(x-2); +x)= * x)= X
YY
3?
(-x
x-)- (-x
== lim lim
x-2 ((_)-'+x)= VVV
)
x
3
3 - ( x-2 ) lim lim =x-o-r. x
+ x) = lim um x(lx(1 x--*--
(x-2)z t -f:lsl x.t
1I
-3 -2 -J
;X
=
prava lz prava y2 =-x* = -x + 33 je kosa asimptota funkcije kada xJ-)-o9. -->-...
Monotonost Monotonost ii ekstremne ekstremne vrednosti
3(x-2)2
1
=
21I(x-2)3
x-(x-2)3 - (x-2)2(3x-x+2) X2
2I(x-2)3 yy
X
x4
2(x+1) (x-2)4
2Jx3(x-2)3
x
=(x+qx-2 =(x+ l) y'>0 (-1,0)wp,-) >0 za xe x E (-1,0)u [2,00) funkcija raste y' 1) u(0, .) funkcija raste za xxeE(-2, y' < (4r2)v(-1,0) 2 00 .
-f
f
Asimptote Asimptote 2x 2x .. n I r/+ )t' I 'r-+/x2 -1 2 ' -l 2x .. nl-'= lim arctg 2x = qYgts(*) arctg(-00) = -n = --'r, .!'!!-""'s;17= 2 x2 -1 lim arctg = arctg. = Itm.arCtgT=Arctga=-
.. arctgf 2x
arctg0 =0 lim arctg x22x = = arct?0 =0 x' -1I
x-000 .r-+6
TC
I
+
Funkcija nema kosu asimptotu.
funkcija nema vertikalnu asimptotu.
prava y=0 y =0 je horizontalna asimptota asimptota funkcije.
Monotonost ii ekstremne ekstremne vrednosti vrednosti .
n, Y
_ =
2(x2 -1)-2x2x I 2x2 -2-4x2 _ I1 -l)-2x.2x _ .2(x2 .2x2 (x2 -1)2 2x 2 = (*r-t)2 (x2-t)2+4x2 (*2-l)2 -1)2 (x2 -1)2 +4x2 (x2 ?x )f 1l+( +('xr_t' 1
-1 -2-2x2 -2-2x2
-1)2 F_tF-
(x2
x
-
-2(1+x2)) _ -2
--2(l+x2 x4 -2x2 +1+ 4x2 xa-2x2+l+4x2 (t+x2)2 (1 +x2)2 1-4-X2 l+x2 y'±1 t-++l 1+
(y=-2x) tgp=y'(0)=-2 (y=-2x) tgß=y'(0)=-2
l+x"x
take konkavnost ii prevojne taCke Konveksnost, konkavnost ,
2.2x 2'2x
tY -----T--;-
'
(l+x2)2 (1+x2)2
4x (1+x2)2 1l+x212
funkcija je konveksna (0,1) y' l)wu (1,a) funkcija za x e (0, y" > 0 0 za prevojna ta6ka tadka funkcije. Tacka (0,0) je prevojna Tadka
Grafik funkcije
6. 6.
2x arcsin# funkcije y == x + arcsin Detaljno Detaljno ispitati ii nacrtati grafik funkcije 1 +x2
Domen Domen 2x
funkcije Nule funkciie 2x e y=x+arcsin#=oQx=0. y=x+aresin
D:xeR -1< -1.3=. U^ lim rrrrfnfr=arcsinl=0 aresin 2x = aresin 0 =0 ligV(r)-r)= r + 1-1-x2
nj n,== lim [f (x)
t
jekosaasimptota. prava prava yy=x = x je kosa asimptota.
Monotonost i ekstremne ekstremne vrednosti
i
1
,
-\
y =1+ Y'=l+
1
2x ,2 l, , 2x llt -1---------;))2 l+x' I 1+x2
2(1+*2 2(1+x2)-2x2x 1-2*.2,
(1+x2)2 11+x212
-1)2 (r**')'f,## (1+x2)2II( x2 +1)2 (x2
l.1+ 22 , lr**' 'f y =1-
y'= j
1
_t, -1+ -'-
2(t-x2) 2(1-x2) x2 (1+x2 11**'1*1 11 II
, xelo,t)
y'>a ÿ> E [0,1) v 0,00) 0 za za xxel0,1)v11,*1
funkcija raste funkcijaraste nema Funkcija Funkcijanemaekstremnihvrednosti. ekstremnih vrednosti.
XE [0,1)
,
2x2
xE (1,00) xe(t'a) ['-#1+ x2 ' 1
@=-
(1+x2)2
211-x21 2(1-x2)
=1+ =l+
2(1-x2) 1I =1+ (x2+1)2-4x2 (1+x2)2
,
Prvi izvod izvod nije definisan za =1. zd x = I. 2 tga= y'= lim tga= lim lim.!'= (1lim.1t--2 -1=Q1q=0 (y=0) 2)-0a=0 x>1+ x-,t+ x--+l+ .r-r/+ l+x' 1+ x
tgß= tg\=
2 lim y' = lim(t+!1=2 lim (1+---T)- 2 lim!'=
r .r-+/-
.r->>.Y-+/-
>>
l+x' I+ x
(y=2x) (y =2x)
Konveksnost, konkavnost ii prevojne take tadke
4x o*= f(l+x2f I (1+x2)2=
u, =z
'
I
4x 4* (1+x2)2
xEOM *elo,t)
'
l@
--/r-t xE xe(t'*)
y'>0 >0 za y" (1, 00) za XE xe(1,*)
funkcij funkcijaa je konveksna
y' < 0 za y'0
'il grafik funkcije funkcije yt = ispitati i nacrtati grafik 7. Detaljno ispitati =]rr1i1*, logl x + I
7.
t Domen
>0 x>a
x horizontalna asimptota kada xx->-' prava y ==0 0 jejehoraontalnaasimptotakada + prava
xox-+o- xx log
funkcije' e :) prava prava x-r = 00 je vertikalna asimptota funkcije.
I
1
.,_,, | -'
-x) + 1 - lim log(-x)+l -xl4l0 1i* -xln10 r, log( lim r-+€ log e loge x->-° x--r* loge =x-»^ x loge € x --* -oo . kada --> funkcije kada
(1) =0 jehorizontalnaasimptota _0 + prava horizontalna asimptota = 0 je prava yy=0
asimPtotu. Funkcija nema kosu asimptotu. ekstremne vrednosti Monotonost ii ekstremne
x>0 x 1-x ----L-^lt* -x-2(1-x) 1-x , -x-2(l- x) 22Jl-x l_-----j-_ 2x2 1- x 2x'.lI-x
X2 x
(
--t
I I
o)_- n
'G ' .,,=)#
t
x-2 1- x 2x2 2x'41-x
(1,2) funkcija raste 2) E(1, y'>0 > 0 za xxe funkcija opada oPada (0,I)w(2,*) v(2, ..) y'0 > 0 za za XxeF*,q E (- ÌO 0) funkcija funkcijaraste raste ,
10
y' < 0 za X E (-00,-1Ó za xe Y't.r-+/-r-+0+ asimptota asimptota funkcije. I e lim x e I"x ==00
ljg*.r* -100
m *,==
t
lim x el" = lim, x.eR =o
,,
C
.r-+/+ x->l+
g prava je vertikalna prava xx==1I je
:e funkcija nema nema horizontalnu asimptotu.
f
hm (x) - lim e"-r =1 x !!**= x!y,* =t
iI e In rr
eh'*(--4-r-, f t I * I r 1 x = h^''"!'''+ nt' = fiml x.etn., -rl= fimxlst,., -1 xx:lnt hn'"''r-' lip =limez".C-1=lim 1n2x)=limx'eñ.r -tl= .*--L xL x-wo [ .r-+6 I .r-16 _ I ]I x-).0 x-)... .*--r* 1n2 x-°° lnz x I ,* L xxx2 x2 = lim 4x -nm ! = lim = | ti* lim *x = lim lim trm 4 = 1 li^ x* == * = |2Z.r-+* 2 x-4.0 lllX x-s* ln' S .r-+* 2 ZlllX Z.r-+ln x 2 ln x =1 Z x-> l t
ni=[imIIII("xer"x-x1=limxei".Y
1
(
1
1
1
1
1
1
-r--+* 1
x xx
>
=
x
funkcija nema nema kosu asimptotu kada kada rx -> Monotonost Monotonost i ekstremne vrednosti vrednosti
*.
x-1 )=eix h'{-t **.r* e-11=r*1r-11="* )=er"x(1xx. ln2x ln2x ln2x ln' x ln' x ln' x
y'=eñx y,=r* +xeitx .(-
1n2
1
1
ln2 x - 1 - (ln x-Ine) 1n2x-1= x - lne). (ln xx-lnl) - n!1
t
t
ee
=0 a 1n2x-1=0 ln2 x-l=0 € < !'=0
ln2 1n2x=1 x=l
< lnx=t/ lnx=±1 > 0 za v (e,1e,*) funkcija raste e
y' 0 0 za ( x2, 1) za x e (x2, v (/,xr) (1, x1) funkcija je konveksna I )w y" y'
in! x1+1 0 tnlxl+t*0
1
xl#e e x#-±e :'t*s l*l*"
Ixl*é l*l+"-t
1
D: D j R\-e,-1 R\{-e,-
a
xl *-1 e lnltnlxl*-I
x)e *00
±e -1
x*!e-t
e,1-}
0, e ",:} :,r, e)JJ)
Parnost ii neparnost funkcije (simetri6na uu odnosu odnosu na yff(-x) == f(x) f (x) = funkcija je parna. Kako je funkcija parna (simetridna osu) dovoljno je posmatrati posmatrati funkciju samo za > x 0 . > . za 0 Nule funkcije funkci.ie ln x + 1 ln x+1 (x)=,,|*l=r*l#l=, f (x)In =0t=> ln x-1 ln x-1 i
L* Fr
r
t
lnx+1lr*tl __l Z\ ' Inx-1 lnx-l
lnx+1 lnx+l _, 1) ' lnx-1 lnx-l lnx+1=lnx-1 lnx+l=lnx*l e 1=-1 I=-l
Inx+1=-Inx+1 lnx+1=-lnx*l t=> a 21nx=0 2lnx-0 e x=1 x-l
Asimptote
lnx+1 !!i:!l=
lnx+1 tn x + t h l= ht=o =1n1=0 x-1 1,.-+a*llnx-l ln x-1 lnx-l x-0+ .r-+o+ | ln lim trm in hl
= ln lim um I .. ->0+
I
i
Y
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Ispitivanje Ispitivanie funkcija .funkcija
70
lim.
!n x + ! i"vertikalna -00 * prava .rx=-/ lnl+41 je vertikalna asimptota funkcije. = lnx-1 = = ' ee' 1
*-!* llnx-ll lnx+1 prava .rx =e = = e je vertikalna asimptota funkcije. uminnlryl lim .-"t lnx-1 = - = llnx-ll
+
e-e-
In x+1!-l= funkcije. lim =o horizontalna asimptota funkcije. li* Inlzl!!'.+ =0 jejehorizontalna = prava yy =0 r+@ llnx-ll lnx-1
Funkcija nema kosu asimptotu.
f(x)=ln
lnx+1
lnx-1
+++++++++++
tnx+l
o b
+ ++
++
]nx lm-l1
o 0il
+++++ ++++++ ++++++i---------i+++++ e 0 0le
lnx+1 b*+1 tnxJ]nx-1
1
e
f-nlnx+l tnx+l xe (0,- -)U(e, I *1 1 00) lln-? , xe(0 =)w(e, lnx-1 I tnx-t
e
'
(x)=1 f (x)= Ilnln-lnx+1 tnx+t,
I e) (-,e) xe (-/ ,
1-lnx I L-lnx I
e
vrednosti Monotonost i ekstremne vrednosti Monotonost
, :)w(e, (0, 1) v (e, xee (0,
X
e
. . (x)= (x) fI^,.
-)
00)
lgn*-l)-(lnx+l).! -2 x-1 x(Inx-1)-(lnx+1) lnx-l z _--_xx -22
2
In
lnx+1 tnx+ I
x-l) x(ln2 x-1)
(ln xx-1)2 - t)2
x(ln 2
ln 2 x) x(1x(l-lnz x)
+++++++++++
lnx+1
0
Ei ++++++++++++ i-------- 1l-lu -lnx
o
f'(x)
/Ie
o0
e
I
0 za za xe x e (0,L)w1e,-1 (0,1) v (e,00) f'(x) n+ 1.r--+0+ -21n x.r-+0+ l-ln'In' xx .Y->n+ -21n* -1
= 2 lim hm x
x
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Ispitivanje Ispitivanjefunkcija funkcija
71 7l
-. -x - 2 = lim -. II llm --=-00 -- =< r+o+ 1I .r-+o+ xx x-)0+ x->(l+ ;x 1 (l,e) XE xe(-,e) -x = hlfl := = lim e
3
tt d=-a=-2
I
1t -tn*1+(lnx+ t)'! 1-lnx x'(1-lnx)+(lnx+1) x=- 2 frrr.r=I-lnx.x' fr (x) ''Y' hx+l (t-lnx)z x(1-ln2x) x(t-ln2 x) (1-lnx)2 ,
I
(:, e)e/ funkcija raste. Funkcija nema ekstremnih ekstremnih vrednosti. f'(x) za XE xe (1, f'(x)>> 00 za e Konveksnost, konkavnost i prevojne take taike
?,, \_ rJt^r-.f"(x) '"'
rL
1xx)J
-2[1-1n2 x+x1-ztnx1'!] -zlt-m' x+x(-2lnx) '
_
x+21nx-1) 2(ln2 20n2x+2lnx-l) x)2
x2(1-1n2 x)2 x2(1-1n2 *'1l-lr2*12 *2 1l-ln2*1' ln2 x+ x+2lnx-1=0, ln x = t, t2+2t-1=0 2 ln x - I =0, lnx=t, t2 + 2t - I =0 e tt.z = -l lJ|,
+++++++++++++ + ++
++
2, s-t-J',
x1 x1 =e-1=
x2 x2 =e-1+.7 =
"-t+Ji
lnx-lnx,
1nx-lnx,
x2
x,
je konveksna funkcija f"(x) > 0 za E (0,x1)w(x2,e)v(e,*) (0, x/ ) u (x2, e) u (e, .) funkcijajekonveksna za xxe f'(x)>0 " je konkavna (xl,-)1 u(-1 x2) funkcija za X funkcijajekonkavna ff'(x) 0 , tj. okolina uu kojoj g(x) monotono raste. funkcija g(x) kojojfunkcija raste. S'@>0,ti.
je da Ocigledno Odigledno je da su su svi svi clanovi dlanovi nizova nizova n.«.
g'(0)=lrO,papostojiokolina 2 >0 pa postoji okolina tacke i g'(0)= =0 tadke xx=0
i
pozitivni je pozitivni ii da an ii {{O^} bn da je {o,I
{
}
}
lim liman=6 an =0
i
i
=0. =o '
f(an)=-1--+ + 2an 2, n cosro, L + sin-rind = f'(
*2
an
an
=1 + = -
i2
-+
-
3 2 cos( a 2n7r) 2no) + sin( sin(! + 2n7t) 2 nr) = = > 0o . 2 2 U +_ 2n7í r,*cos(L2 22
l,
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
' l
Diferencijabilnost funkcije
73
-
f'(b ror{*+ sin2b cos rin{ == 1 + 3n 2 cos( 3n +* 2nn) + rt4lLa sin( 3n + 2nn) _= -1 < 0o f'(b, )) =1 = + za, -*. 2 l+ bn bn :.2 t;rortL 2 2 2 + 2nn
..
2
u svakoj okolini tacke U je I'(x)>0 tadke x=0 posroje take x=0 postoje tadke uu kojima je je f'(x) > 0 ii tadke tacke u kojima je pa ne postoji nijedna f(x)o ,t-r0- |
enA
=e"
=l
t-L 1
z
x -t11lx2
1/x =g'-i-r-"''ll-r2X2 -
= =e'4-'*
-r-+0-
= .r-o0 =e 't'0
l
r
+x;sin
L
4
2x 1=0 l=r*r, *--+o*l4)+ t,i,\f=o
1
lim (t+e* (1+ex)x+Ax+B )'' +Ax+B =1+B, ri*-l
I
L
C=1+B=0C=0 C=l+B=0+C=0
x->o
B=-1 B=-l
ii
xO pa ne postoji okolina take beskonacno mnogo tacaka beskonadno tadke x =0 tadaka uu kojima je =0 u ie f'(x) > 00 ili ie f'(x) pokaZemo da opadajuia. Ostaje da pokazemo rastuda ili monotono opadajuéa. pa je funkcija / monotono rastuia je rastuda, rastuia, funkcija monotono funkcija / sludaj da vali ii na krajevima intervala. Uzmimo slucaj to vaZi E (a, b) svako xxe(a,b)(a) >_ (x) za svako je f(a)>f(x) daie (a,b).Pretpostavimo b) . Pretpostavimo da svako xxee (a, tj. > 0 za zasvako tj. f'(x) f'(x)>0 (o,x) postoji €ee (a, x) takvo da je je f(a). (x) onda, (a)= f (x) na osnovu Rolove teoreme, postoji otda, na Ako je .
f'()= f
f
f
f
f
.
f f funkcije f/ ,, je ff(a)> (x) tada, (a) > f tada, zbog neprekidnosti funkcije nemoguie. Ako je 5ro je nemogude. f'()=0 f (x) f'(€) =0 ,, sto je f()= tl Dakle da je takvo da e (a, x) takvo postoji (e(a,x) Ij > f(x) postoji 17, f(a)> za f(€)=rl'Dakle svako t?, za svako f(a)>t:.>I(x) (a,bl. rastuda u b) f intervalu jerjefunkcija je funkcija / rastuiauintervalu (a, < x , sto jenemoguie je nemogude jer f()> f(x) za za (f(x) (a,b). Slidno se dokazuje ii za drugu krajnju b) Slicno E (a, (x) za svako (a) < f svako xxe mora biti ff(a)< Znaci Znadimorabiti f (x) [a, b] intervala ala la,b): taéku interv tadku _ 0 . =l=f(x)=g(x) zasvako g(x) c(x)
posmatramo funkciju za svako svako x 0 Kako > 0 koristimo drugu Ojlerovu smenu. Kako je
2t+l 2t+1 +x-x2 =xt-l=l+x-*2 =xt-1 1+ x - x2 =*2t2 = x2t2 -2*t+' -2xt+.It I x= "lt----' ,, U t2+1 2(t +1)-2t(2t + I) 2(t2 +t-l) 2t2+t t2+1 _tz +ll-2t(-2t+t) *, _l_+t +t:t) dt. t2+t-1 !t-t _ dx dt = (t2 Or_2(t2 4,=-2(t dt xt-1= _rt_t =2,1. (12 +1)2 (t2+l)2 (t2+t)2 +1)2 tz+l = t2+1 t2+1 t/+l t2+1 t2+l 2
,
IV]
2(t2+t-1) +t - t) _2(t2 (t2+1)2 (t2 + I)2
dx +
--h2
J
+t-1 +t-l t2 +l
t2
dt dt=-2J at = -21f,, t2 +1
c=-
= * c = -2arctg 2arctg = -2arctgt -2arctgt +
l+ y l+ x- x2 x
+C
:
l l i
{ t
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Neodredeni integral intesral
98 98
11.
dx
J
-2x2 -2x2 +5x-2 1 5±3 x1=2,2, 25-16 sxJ-x _) + J.t z ) xt ---5± -la =+ l-, = -r. =! -2x - -5Ji - z.\- +5x-2=0x12= - =o " x2=2 -4 -4 trecu Ojlerovu koristimo,r"ui Ofl"rovu smenu. razlidite korene #"n" koristimo i*u realm r"a*li razlieite Kako kvadratni trinom ima r------;,l - z*' + s x - 2 =t(x-2)-2x2+5x-2=t2(x-2)2 -2x2+5x-2 = t( x - 2) * -2x2 + s x - 2 = t2 x - 2)2 +1 I i t(* -) -2x+1=t2x-2t2 2r2+l ) -') x 2t2 -2(x-2)(x1)=t2(x-2)2 =# = -2(x - 2)(x -11 -2)2 > -2x * I = t2 x -2t" - x= 2
(
2'
tz +2 t2
2
-_w-
4t(t2 +2)-2t(2t2 +t) _4t(t2+2)-2t(2t2+1)-
dx= dx
(t2+2)2
dx dx
s.-, y-2x2 +5x-2 "[-h\ ¡
=
12.
-Jlarctg
= =I
6tdt =- ótdt
(t2+2)2 1t2 +212
6t 2 t +2)2
-3t % t2+2 t2
dt =-2 = *21J
+2
2t2+l 2t2+4)2t2+4 -3t -3t t'+2 t2+2 t'+2 t2+2 t'+2 t2+2
Lt^-.t-.t-.1---r--=t(x-2)=t(2t2+1
''
=arctg
+ j
dt +()2 = -J-2,,,ry# frTV t2
+,c==
=-arctg2x2+Sx-2 + 5x-2 -2x2 +c. c.
(x-ilJl (x - 2)-5
x+1 dx Jx2 +x+1 je a > 0 0 koristimo prvu Ojlerovu smenu. Kako je J
-1 r- +x+1-l-)i)x2 ) +x+l=t2 - ) -2tx+x2;,x=ffi - 't x= t2t--l =t-xx2+x+1=t2-2tx+x2 2t+1 t2 -l it2+t+1 +t+l . 2t(2t+l)-2(t2 2(t2+t+1) 2(t2 +t+il 2t(2t+1)-2(t2-1) -lt dt= _=-x=t- t2-1 dt,- tr-_r-=t-d_r-_:-------: _'---ct--4dt dx= 2t+1 2t+1 2t+l 2t+l (2t+t)'z (2t+t)z (21+1)2 (2t+1)2 ,l11x2+x+1 *2
(2 t2 +2t +4t-1dt= +4t+t+4t-l +2t dt= 1 J 4t2 +4t+1 t2 +2t 2(t2 +t+-t) +t+1) dt=2J t2 x+1 2t+1 .2(t2 41=21 Jf-Ldx=l dx=J ?,*t '4t'+4t+l +4t+1 'Jx2+*+l 't'+t+l 2 4t2 +4t+t 4t2 +4t+1 (2t+l)' t2 +t+1 (2t+1)2 li x2 +x+1 2t+1 2t+l 1 4t-1 l,1 l,1 4t-1 4t-l dt= -II t + l,4t-l '- -=dt dt J| =-Jdt+-J -:ldta:f --:-:-dt=:-t+2 2 (2t+1)2 2' 2'+1,*lf 2 2'12t+tS' 2 2 4(t+ L)2
B A(2t+1)+B = 2At+A+B 4t-1 A 4t-IABA(2t+1)+B2AI+A+B = + =-+-=--+=2t+l' (2t (2t+1)2 (2t+t)2 2t+1 (2t+l)2 (2t+l)2 (2t+1)2 (2t+1)2 + 1)2 A+B=-1 4t-1=2At+A+B, 2A=4, 4t-l=2At+A+8,
sistema jednadina jednaeina su = 22 su A = Re5enja Resenja sistema
ii B=-3. B = -3 .
4t-12 dt 3 dt _11n2t+1 4'-l=rr,=l dt +3 I |'(2t+l)' dt- d' -3t ==!nlrr+rl+3. 2t+1 J2t+1 2J(2t+1)2 2i ' 44 2t+l 2'(2t+!)z 2' '2t+l (2t+1) 1
I
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Neodredeni Neodrecteni integral
99 99
x+l 3 = r*l2 tnlzt+tl* ;-!:J-4*=l dx=t+lnl2t+1I+ r I 'J*2+x+l 2 4( 2t+1 4et+l) x +x+1 )
J
1/I +x+1 +x)+-In2yx *.t*!rml, ,[j-a +x+1 *a +2x+1+ azx+ tl+ =ldZ...t 2 1
2
ll
2
1
2
I
dx
J
II
4L2(Vx2
13.t---L 't*Jl-2x-x2
13.
@ rr
33
+c +c..
+x+1 +x)+11
1+J1-2x-x2
Kako Kako je je c > 0 koristimo drugu Ojlerovu 0 koristimo Ojlerovu smenu.
2t-2 -2t2+1 t=-l t-1 .l t -r-- -' =xt-11-2x-x 1-2x-x t -2xt+1 r=':-' = xt - l + l -2x-x' =x =2-t2+l = *'t2 -2xt+ l= x=t2+1 2
2
2 2
t2+l
t2+1-2t(t-I) 2 t2-2t-1 t2-t t2+1 = it2 -2t-1 a., = 2t\;2t!J.:J)-=-2,' dx=2 d, .rt - r- = r=-+ ;2, -rt dt, - - 2t - t - . xt-1=2 -t2+l (tt+l)2 (t2 +1)2 + 1 (t2 +1) 2 t2 t2+l t2 + 1 t2 +1 t2+l 1t2+l1z t2 -2t-1 t2 -2t-1 -2t-l -2t-l dt -"-dt 2 dx (t2 + (t'+l)' t2 +l)" t'-2t-l I)2 +l)2 -2t-1 dt ., (t2 +I)2 ,I -----------;-r, _ +1)2 = 2J (t2 ;=-2J -- 't ------T- - "t(t-l)(t'+l) . t2t-'-2t-l 2(t'-tl -2t-1 --t)t) t(t-1)02 2(t" 2(t2 t(t-l)(t2 +1) +t) 1+111-2x-x2 l+ I-2x-x2 1+ l*-t2 +1 t2 +1 +l t2 +l -dl
-2t-1 AA +t-1 B , Ct+D _A(t-tXt2 +t)+Bt(t2 +1)+t(t-t)(Ct+D) -2t-l . B = A(t-1)(t2+1)+Bt(t2+1)+t(t-1)(Ct+D) t(t-1)(t2+1) t(t-lxtz +l) tt t-l + (2+1 tz +l +l) t(t-txt2 +1) 41-1)02 t2
t2
-2t - I = A(t - t)(t2 + l)+
Bt(t2 + 1)+ t(t
- t)(Ct + D)
Za t= 0 dobijamo dobijamo A=1. Za t=0 Dalje je C= Za t=1 A=l.Za t=/ dobijamo B=-1. B=-l.Daljeje 0 ii D= 2. C=0 D=2. dx
J
dt dt 25 2dt = -hltl+tnlt t I+ Mit -II2arctgt + c== -l** -tl-2arctgt*c t*-4*= t t-1 t +1 1+JI-2x-x2 t+Jt-2x-x2 =
1nI
t-1
l+ l-2x-x2
gde je r= gdeje t=1+y1-2x-x2
= ln 2arctgt +c =,,1+l-rarctst+c
x
t
vedini slucajeva Ojlerove Ojlerove smene smene uu veiini sludajeva dovode prilidno glomaznih racionalnih do integrala dovode do integrala prilicno racionalnih funkcija, funkcija, pa preporuduje pa se se preporucuje da se one da se one koriste koriste samo samo uu slucajevima sludajevima kada kada nema nema drugih mogudnosti integracije. Razmotridemo moguinosti integracije. Razmotriiemo zbog toga neke neke specijalne specijalne sluCajeve zbog toga sludajeve integrala
koje postoje metodi resavanja *,J..\ +bx+c)dx U* *, )dx za zakoje re5avanja pogodniji od Ojierovih Ojlerovih smena. !ru JR(x,ax2 (x) a) Integral oblika J a)IntegraloblikaI#dx,a*0,gdejeP,(x)polinom,?.togStepenaodx P" dx , a =0 , gde je P (x) polinom n-tog stepena od x
ax2 +bx+c
(n2l), 1), resava re5ava se primenom identiteta
( n
>_
P(x)
dx
je Q_1(x) dx - Q_t(x)yax2 +bx+c +.11 gde je +l!---r . , gde e,-t(x) polinom 1p-=g,,-,1*1J*\bur +bx+c ax'+bx+c +bx+c Jax2 ax tl ax'+bx+c
J
¡¡
,
,,1
2
stepena sa neodredenim stepena n-1 n*l sa neodredenim (nepoznatim) (nepoznatim) koeficijentima, koeficijentima, aa IA neodredena (nepoznata) konstanta. (nepoznata) konstanta. Nademo izvod izvod leve desne jednakosti ii i poslednje jednakosti leve i desne strane strane poslednje sredivanjem sreclivanjem po po stepenima stepenima od x, odreduju od x, odrerluju se se koeficijenti polinoma Q_/(x) koeficijenti polinoma e,_,(x) ii Rl, resavanjem re5avanjem sistema od od n+ n+1I nepoznatih. ,
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Neodredeni integral
100 3J
x . 4# * Bx*qr[t+2.- r' +J dx =(Ax2+Bx+C)Jl+2x !fux J1+2x-x2 ''11,' Jt+r---'z / r, J1+2x-x2 -
u.
= (Ax2
14. J
-3
x2
l-x
+ + (Axz + n.r + c )4 1-x *' +(Ax2+Bx+C) =(2Ax+B)J1+2x - (2A.r + ilrft + L, - x2 + 'Jl+2x-x2 J1+2x-x2 l+2x-x2 J1+2x-x2 JI+2x-x2 Jt+2*-*2 I
X3
I
-
yi X3
+ C)(1+ 2x x' + (Ax2 + Bx Bx+C)(l x)++ .î), = (2Ax+ (2Ax + B)(1 x2 )1+1A*' B)(l +2x- x) =
x; ==-3Ax?+(5A-2B)x2+(2A+3B-C)x+(B+C+) x3 -3 Ax3 + ( 5 A - 2B)x2 + (2A + 38 - C )x + ( B + C + ),)
B+C+.1=O B+C+1=0 2A+38-C=0, -3A=1, 5A-2B=0, 5A-28=0, 2A+3B-C=O, -3A=1, jednadinadobijase )'=4 = --5 C = -16-9 i 2=4 A = -1, -3 Ba=-!, C=-+ dobija se A= sistema jednacina Resavanjem ReSavanjemsistema 3', 6' 6 ,
,
x; J
JI+2x-x2
dx=(-1x2_5x-9)J1+2x-x2 +4J
dx
dx
JJ1+2x-x2
=5
6
6
3
/2-(x-1)2
.
dx dx
J1+2x-x2
-Cx -I=t) dx=dt
dt = aresin t +c = +c aresin L=orrrinl+, r ' J(v Jz =orrrin4+, - t2 ,lrJif L )2 -,' 'lz
_Jf =
x-1
x; J
J1+2x-x2
15. J
z 2 +1
Jx2 +x+1
x +1 x2+l x2 +x+l Jx2+x+1 2
2 +c. +aresin dx=- 2x2 +5x+19 J1+2x-x JI+r*'aorssinL-I
E*''
6
dx = (Ax +B)Jx2
+x+1 ++ 1,1
- AJx2 +x+1 +(Ax+B) +(Ax+ B)
dx
Jx2 +x+1
2x+l
.l
231x2+x+1 2J-'+*rt
x2 +x+l Jx2+x+1
I2x+1
2x2+2=2A(x2+x+1)+2Ax2+2Bx+Ax+B+2.7. 2x2 + 2 = 2A( x2 + x + 1) + 2Ax2 + 2Bx+ Ax + B + 2), 2x2 +22 == 4Ax2 +(3A+2B)x+2A+B+2.Î, + (3A+ 2B)x + 2A+ B + 2X, 2x2 + 4A=2, 3A+2B=0,, 2A+B+22=2 2A+ B+21,=2 3A+28=0 3.^ = 7 jednadina dobija se ," A == 11 . BS==--4 Resavanjem Re5avanjem sistema jednaina -- iI .A=-
,
.lt
z +1 x2+l .x J dx=(x-3)11x2+x+1+7J '2
x l:r'--l---
'J*'+r+l Jx2 +x+1
J
2
4
8
,2'
48
.
8
dx
II. I ..t + (-r JJ,) 2 (x++-)' Z
2) 2' +( 22
x-r -l 3 -r 2-7 =(2-4)Jx
2
I 77l +-Ii-rl x+1+Jx2+x+1 +x+1+81n -r+*+ ,tr' + -- t +c.
8l
2
1..
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
'101 101
integral Neodredeni intesral x22+x+1 +x+l
16. J
x(x+1)+1 x(x+ l)+ I
dx
xVx2-x+1 ;Jx'? - x+ t
xyx2-x+1
x+1 +.=rL+'tL Jx2-x+1 dx+J
dx_
I
,,1
x'-x+l
x+1 dx=AVx2-x+1+AJ lpx=AJ.,\*+t+4#/ xt -x+1 -x+1 x'-x+l -x*t' dx
x2 ,,1
,rl Yx2
2Ax-A 2Ax-A
x+1 x+l ,,1*' Vx2-x+1 -**l
21x1 2-x+1 Ztlx2
-x+l
*
2x+2=2Ax-A+2.1 * 2 = 2Ax - A+ il" 2x
+
A
-*+t
A=2 A=1, 2),= Z+ l- 1=1 A= 1, 2A=2+A
J
2
,tl x2 11
dx
(x --)2
-x+1+ln x-2+x2-x+1I
(*=! x=) 1r,dt = = =J 'm-la*=-La,a-'7ffi -t+1--x+1 =- z \\ r' ) ;\--7dx
x2
1
1
t
t2
dx
t
=
dt
2
x+1 Vx2
-x+1
1
= -ln
-t+1
=
Jr
+42 .,*r o-lf - 2 2
(I-1-) 2
t2
---+ x 2 1
dt
dt
J
t2
t
- ln t- 2 +1t2 -t+1
J
xx2-x+1 xlx'-x+l
Jx2-x+1 rl*2
x+1 dx=Vx2-x+1+3 -*a1al1 I+a*=,ts x' -x+1 - x+ l =1X 2
/
dx
1
-1+1
1
x
x2
- ln -2+yx2-x+1 +11X2 dx=1,x2-x+1+3ln X--1 2
1-1+1x2 -1+ x
x
dx a#0, svodi se na neN Integral oblika J b)Integraloblikat-_+,neN,a*0,svodise.naintegral
b)
,
,
+c.
2
(x-a)"tl (xax2+bx+c +bx+c axn
integral
je fuau j" -a = 1 . Tada smene xx-d=1. prethodnog tipa uvodenjem smene
t"
t
=-
1 at+1 +c dt dt , 122 +bx+c = a( 01 +1 ) 2 +b gde p, p, qq ii r +, =fi.rlo,'+qt+r pt 2 +qt+r , gde +b.a!t yax dx=\tax*=-2, =l*7,2 t t t
z
/I
,
Y
zavise od a, b, c ii a .
1
,
.
17. JI t7.
dx
t**u'J*\x
/ =
x+1=-t2dt
x=Ì-1=1tt
\
x2+2x=(1-t)2+2-2t=1-2t+t2+2t-2t2 =1-t2
(x+1)3yx2+2x II
\
t2
t
t2
t2
/
7 i
I PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor I
102 102
Neodredeni Neodrecleni integral intesral
_t
r, dt
j _f -t2 dt=jl-t2-ldt=f 1-t2dt-fI# =S,IG -!# I+ 1{at I#a1 1-t2 VI-t2 tll-t" tll-t' I ll-t' 1-t2 1-t2 1
t2
=
=
=
¡¡t2dt
1-12
1
1I t; 12 7,1-;r-
at
=
dt
-
=
Y
rI
rf1-t2 +* 1 oaresint-aresint+c= r * rm - o r c sin t * c = = -24
!
t2
x2+2x-1 aresin +c. u - t * ;fi r J-+ 2(x+1) x+1 ffi 1
2
rr
+
1
in
.
IIntegrali nte grali trigonometrijskih trigonometrij skih funkcija
II
Integrali oblika j sin(ar)cos(ßx)dx , jlsin(ac)sin(fu)dx, cos(ar)cos( fEx)dx , gde su oblika Isin(u)cos(fu)dx, sin(ar)sin(ßx)dx , jIcos(w)cos(fu)dx, su a p proizvoljne konstante, resavaju ii ß trigonometrijskih identiteta: re5avaju se primenom trigonometrijskih sin( = sin( ax) m ) cos( cos(ßx) Ftc I =
sin(ax sin( fix) sin(m )) sin{ N ==
[sin(a-ß)x+sin(a+ß)x] o + sin(a + B )xl lbirf - B )x
2
[cos(a-- Bß)x ß)x] coda + B )x - cos(a+ )xl 2 lbor@
p )xl cos(ax)cos( [cos(a cos(ui) cos(fix) + cos(a+ cos(a + ß)x] fuI == ![cos1a - ß)x B )x +
2
1.
flsintxcoslxdx sìn6xcos7xdx ==
1.
l11
fsin I 3xdx = = 3xp:c = =!2 jsin(-x)dx Ib,r,-*)++ sin t1341x 1r,nt-*l* +*,13xdx 2 lsin |2 j[sin(-x)
cos cosl3x+c.. =-cosx--coslJx+c 2 26 226 7 2.
3. 3.
-1 $50 sin 2x +c. jsin3xcos5xdx =I2.j[sin(-2x) -1 . 2x) sin aid Lcos( - cos x * = rlsin3xcossxdx =!tlr,n,-r*)+sin8xld=! 4cos(-2x) -*cos =l f[cos5xfsinlOxsinlsxdx 25x]dx= -1 sin 5x sinl bxstnt 5 *a* = 5x s, - cos cos 25 xldx = L
!
2lJ[cos
+
8
2
l
=
t
z
x+c
! lrrr' fcosxcos5xdx= cosx cos ro,xdx+ * + |2 lcos x cos xdx = f[1 + cos 2xldx + 2 I4 !t, +cos2x]dx+ +I [cos4x+ + ! fffro, I * + cos 6x]dx= sin x + c -1 *x + 6 xfdx = !* Il sin2x+1 ri, 2x + L sin4x+1 sin x + L sin6x+c = =
.
88x + cc =
16
4
I cos8x+c. -cos cosSx+c. =!"os2*44t6 16 4. cosxcos2xcos3xdx =l = fcos x[cos dx = = 4. flcosxcos2xcors*,h *fro, *x + cos cos5x] Sxldx 2 !ro, =
srn
10
5
4 4J'
COS
4 4
8
8
16 t6
4
24
6
..
II II Integrali oblika oblika jt R(sinx, Rlsinx, cosx)dx cosx)dx je podintegralna funkcija racionalna Posmatrajmo Posmatrajmo integral kod racionalna funkcija kod koga je funkcija od od sir sin xx ii cos x. Svaki se svesti cosx. Svaki ovakav integral racionalne funkcije po integral mote moZe se svesti na na integral integral racionalne po novo] novoj
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Neodredeni integral integral Neodreiteni
103
promenljivoj, promenljivoj, smenom smenom ,=rSi. trigonometrijskim obrascima t = tg2 . Koristedi se poznatim poznatim trigonometrijskim Koristeii se
2--=,2t,,
2tg ?tuL
da je sin *='nu' imamo x= imamodaje
-.,
2t
t+t' I+t8 2X 1+t2 t+U2|
ts
,
t-rr2! . t2) 1tg2 u 2- 1? =1.-' r 1+t2 t+W2| I+t8 2 X t+t'
cos = cosx=
.
2dt je dx = (2k+ Ako je je xxe((2k*l)n, e ((2k -1)g, (2k +1)7c), Z , tada je xx=2arctgt+2kx,pa dx=# = 2arctgt + 2kur , pa je t)r), kE ke Z,tadaje
I + t2
da je Siedi Sledi da 2 21 1- t1 2dt yx je R1 R, nova racionalna funkcija. funkcija. = R( R(sin x, cos x)dx nf R t( t )dt,, gde je R1 sin x,cos x = , = R1(t)dt !J !J 1+t2 1+12 1+t2 !
J),fr
#
-J
2t
sinx tin'
tgx
2 dt= d* =(,rL= r) = tf,tC1+t s. 'l+sinx+cosx tI+sinx+cosx dx= - .J=a, 1+t2 2t +1-t2 l*r" \-22 - tJJ) 't+_2t_*!1"_
5.
2
J
l+t' 1+t2 l+t" 1+t2 dt tdt tdt dt 4Ls,- 2t - 'ttt = 't =,t (t+t2)2 45 1+t2+21+1-12 l+t2 +2t+t-t2 (1+12)2 4J2(t+1)(1+t2)-J(t+1)(t2+1)dt= 2(t+txt+i) '1t+t11t2 +11-" 1+12 l+r d, = dt +t2)) t=+l +l)dt=l 2t+1-(1 (t+1)2 -(t2 +1) t+1 21 _rt2t2++2t+t _(t+t2 dt dt_l't+l = dt =J dt dt = J o,*+ dt_[G+l)2 L,, =, J t+1 22't'+l 't"t2 +1 (t+])(tz ++1) ' (t(t+l)(tz 1) + 1)(t2 +l) + 1) +l t2 +1 ' (t+1)(t2 x dt X X +--lntg-+1 +J -+1 tl,. +c. . t dt - J-=-lnit + +11+arctgttl+ arct gt - hilt tnlt+ll+c=-lntg + tl+c = U I t+1 = 2 2 *2 ^1, 2 |2 - ml,r ;.,1., I ^1,' t2 +1 tt
J-
h *
1
1
2
2
;.
22
22
dx dx
6.
J
cosx+2sinx+3
_( tgx .^x_.)_r = -J 2
1+t t+t22
4t
1-t2 4t i----:-r-ji-a 1+t2 l+tz
=
2dt
dt
t=# '2(t'+2t+2) '(t+l)'+l 2( +2t+2) (t+1)2+1 ^ = JI#
1
1+t 2 dt= dt_ J dt=1,.r.11t.2^ t 1-t2 ^rat= +41+3+312 l-t2 +4t+3+3t2 2
1+t2 l+t2
I+t2 l+t2 =arctg(t+1)+c=arctg(tgX+1)+c. = arcts(t + l)+ c = arcts(ts)+ 1l+ c' 2
Data smena desto dovodi do integrala integrala glomaznih racionalnih funkcija, pa je preporudljivo izbegavati je onda kada je to mogude. moguie. Navegdemo Naveliemo neke od specijalnih sludajeva integrala uvesti neku drugu smenu. racionalne funkcije od cos xx,, u kojima od sin xx ii cos kojima je pogodnije uvesti I1 Ako Ir Ako jeje uu
integralu funkcija RR takva takva da integralu oblika oblika IJR(sinx,cosx)dx Rginx,cos x)dx funkcija da je R(sin x,cos x) = cos x) smena sin x == tt (cos xdx = x,*cos x,cos x),, uvodi se smena = -R(sin = dt) . -R(sin x, .
IZ 12
je u Ako je u integralu Ako funkcija RR takva integralu oblika oblika JR(cosx,sinx)dx takva da da !R(cosx,sinx)dx funkcija R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x) uvodi smena x = t (-sin se cos xdx = R(- sin x,cos = -R(sin x,cos x), smena x=t dt). = dt) ,
je
.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
104 104
Neodreileni integral Neodredeni intesral
13 I3
je u Ako Ako je u integralu integralu oblika oblika JR(sinx,cosx)dx funkcija R R takva takva da da je t R(sinx,cos x)dx funkcija je R(*cos R(x,- cos x) = R(sin x, R(- sin x,-cos x,cos cos x) ,, to je R(- cos xtgx,xtgx,-cos cos x) = R(cos xtgx, xtgx,cos cos x) . Dakle = R(cos .
dt uvodi se smena tgx = t (d.=#). (dx = tgx-*t I+ t
sinx-cosx sinx - cosx
-1 o* dx=j-dx= tgx
(tor=t 'tgx = t, xr=nrrtol\ = arctgt
1. Jrsinx+2cosx** , dt =!6dx=lo-=* =ftgr-td*=l'"'" dx= sinx+2cosx tgx+2
7.
"'-'o'| "t-l t-1 =j
dt dt
t-1 t-l
=jt
dt
t+2 T7=l L+t2 (t+2)(t2+1) 1nru,, u,d'
i)=l-t+2
12
t-1 t-l A A Bt+C At2 +A+Bt2 +Ct+2Bt+2C At2+A+Bt2+Ct+2Bt+2C t+2'/a1 (t+2)(t+i) (t+2)(t2 +1) (t+2)(1+t2) t+2 t2+1 (t+2)(t2+1) tt-1 + l)+ Bt +C Xt + 2) - I +T A(t2 +1)+(Bt+C)(t+2) =-f-=
(
A+B=O, 2B+C=1 A+B=0, 28+C=1, A+2C=-l A+2C=-1 3 Za = -2 dobija se Za t =-2 A=-j. se A == Dalje sistema dobija B =1, i C= O"f:" se iz izsistemadobija, -S =-.!i. S sinx-cosx - cosx x=--l33, dtdt +-Jdt=--J 33 , 2t dt +-j 2t dt 1LJ c sinx l,3t-l 3t -1 33, dt Jl---'------------dx=--j l-=--4t=--l l--d[--l-=
-
,
.
1
.
dt
=
sinx+2cosx 55't+2 'sinx+2cosx lOu t'+l t+2 5't'+t 5 t2 +1 55't+2 t+2 10 5St t2 t2 +1 tz +1 +l =-Slnl + z j!tnl,'t2+I-arctgt+c=-lnitgx+2l-101nI . ,l-!arctst +c = -l,rltgx+21-*,^lts2x +t l-1r*. . tg2x+II-x+c. = -i,rlt t+2+IOln
8.
!!t*
sin5x (sin2 x)2 (1- cos2)2 sin xdx = dx = = IJ sin xdx = ft sin q q cos x cos x cos x
t* *
J
##
(1 -t2)2 tq -2t2 =-J j -?!2 dt==-yto =-1(t -t2 l2 o, tg
2 =- cos x 2t +--+c, + =-cosx*-
tg
1
99.
+1t +
=t
=(::,:;, - sin xdx == dto,)=
g 1 dt -jt- dt=-t--+-+c= r, =-!at+z!12at-!radt=-t-?*4*, dt=-Jdt+2jt=
2
2
t
313
+c.
3 cos x 3cos" cosx 3 cos x (sinx=t si n x = t dx dx cos xdx n d.x dx . cosxdr 1l. cosxdx \tt-t_t_-_t_-lcos xdx Jsinx r j j t t sin2x - 2sin2 xcosx xdx sinxsinZx cos = dt 2t xcosx -J 2sin2 2tin2 xcos2 *ror2 x* 2 sin2 sinz x(1-sin2 x(l-sin2 x) x) \cosxdx=dt)
ffi, 1-t2 +t2
*
= J dr== -jro, * I it2 7fa= 2 t2(1-t2) 2 1-t l!2 r' dr+-jt2(1 -t2) ! t.l1+sinxl 1+sinxl+c. _- 11 +Iln =--+-lnl-l+c. 2sinx 4 = =
dt
1
1
1
!1
2
dt
= =
1+t _c== -*Zt +* -ln 1-t I.. *^l _h #
2sinx 4 ll-sinxl I -sinx
/tgx = t, dx = 10.
dx
Jl+sin2x
=
sin x=
dt
cosx=
t ¡¡
=
j lih=itj;l=t'Ji 1+d2t2
2J
''.lE) t2+I)2
-j
=
I 1+t2 j
y1+t2 dt
1 11
2
dt
dt
1+t2
'
t+c
1+t2
1+
=
t2 1+t2
I+t2 = 1+2t2 1+t2
+, =fiarcts(ts*Ji)*, arctg o,,rytJl arctg(tgx)+c
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Neodretleni Neodredeni integral
105
III Integrali III Integrali oblika oblika J(sinox)m(cosfóx)"dx re§avaju se , m,ne pomoiu ojlerovih m,neN N resavaju se pomocu Ojlerovih f6inw)^(cosfuf dx, esci e¡t' +=r-N /eri e formula ,rn*="T sin ax = cosfu=rao fix = ,, cos
-e' ^l-*' 2i 2i2
11. 11.
2
If== [sin3xcos23xdx fsin3xcos23xdx
e.d eóxi jr'ri +3e-.ci hi ,, ehi -3exi +3e-*i -e-3x; +"-3''i j,.r x cos 2 3x +2+e4*i i ehi +C . = (,€*i -e-xi -e-''i ,-r,e3''i -r-'1*i e6''i +2+e-6x; sin' ri;i = "i'ti = ^av;--^=rTr2i )` rTi=7.-(
4
2 ) -8i 4 edx, _2e-3ri _e-gxi _6eii _3e-5i _fxi + 2e3xi +2e3xi +3e-3xi + 3e-hi 3e7x, óex` 3e-5xi + + 3e-7'd +3esxi +6e-n +3e-7n 3e5x; +6e-x; 2e-hi e-9x; _ -3e7xi _e9xi -32i - 32i e9.ci e7xi 7.ri e-7xi e5s; 1, Sx; r . Sri .lri . exi.ri e.citl -7.ri --9ti -S.ri -"?ri -9.ri 1t e "
-
e9x1
-
-
-
-
-e-9x1 -e + J e -e _ -=-G--T* 16 2i 16 2i ra a
-
I ehi e' -Chi -e-".
5 e- -e-.
16T2i
o
e'-
-e"' _
+ 2i 16 r6--*E--T= 16 2i
16
I sin 3._ JJ 1t sin3+ 6 ^x + 33._ =--1 stn 9x+ sin7x-3sin5xsan / x sm J + 6 sinx sln x ----16 16161616-16 16 16 -16 -s'rn -16 - 16 1 'lsingxax+! sin 9xdx+ 31lsinT tI== -L xdx -a sin7xdx31616 fsin5xdx-1 61616 'sin Jsin3xdx+ lsinSxdx lsin3xdx+L lsinxdx= xdx = - -L16 rr---'-'' 16 r 16 16 r 16 r t^3_3_1^3 3 = xcos7x+3 cosT x + _cos.5r + _ cos x _ = cos x+c. x+c cos 5x+1cos3x-3 - 144 cos 9xr44 112 48 il2 80 80 48 88 y
=
1
9
3
.
12. = Jsin22xcos3xdx 12. 1I=lsin22xcosixdx 2x1 2xi
_r-2-ri
, *=,*)r.{" -2x1 )2 2ie
sin2 sinz 2xcos3 2xcosi x=(e
-v-:=
.e-ri *r" +e-.d (e'
-xi
Yi
2e
3. )., =
e3x1 +e-3x; _2*r4.ri ,3.ti e4i' -2+e-4xi +3ex' ++3e-.n *j".ri 3e xi +e-3n "4:i 4i2 8 e7x1 exi e-.d + 3e5x' + 3e3x1 *r-ri 2e3.a _6"-ri óex' _6r-ti *3"i.ri óe-si _2r-3.ri -2e-34 *r-.ri + 3e-3x/ + *3r-jn 3e-5x/ *r"-z.ti + 3e 7x' _ *3r-5.ri _r7"ui *3r5.ri -2dn
-
-
-32 e3xi e-3xi 5 e.ri e-xi 1 e7.r; *"-7'ri _3.eS'ri +e5" +e-S'n _1.e3''i+e-3''i *t6'-T-= -s.{+e-*i =_1.r7'ri -t6 -16' 16 2 16 t6 2 16 +16 22 22 2 1 cosz x - 16 cos5xcos3x+ cos * sx,rr s, + ,o, = 16 cos7xe-7xi
-fi
fi
"os
3
e5x;
1
6fi
fi16
_
S
3Jcos5xdx-1 L fI cos3xdx+ L JI cos t1=-1 cos xdx= I cos z xdx - ![ cos xdx = - L Jcos7xdx-16 = 16 16' 16' s xax - 16 16.cos3 xdx + 16 16'
I sin7x 3 sin 1.sin .- -80 5 - -18 ^ +-6 5x sinjrsin x+ c. sin3x+:sinx+c. 3x =--sin7;112 112 80 18 16 IV IV
Integral oblika [(Pntgr*"osfu Integral J (P(x)earcosfx +Qm(x)e`tsin/x)dx +e^@)e8sinfu)dx.
Posmatrajmo integral ltrlilr* J (Pn(x)e cos fix Posmatrajmo integral + Qm (x)e"r sin gde je fix) dx ,, gde je P (x) polinom n-tog sin Bx)dx P,(x) n -tog fu+Q,(x)eft stepena, Qm(x) stepena, -tog stepena, a a i p ,B proizvoljne rn-tog stepena, a proavoljne konstante. Ovaj Ovaj integral se Q,(x) polinom m resava primenom identiteta re5ava (x)e`x px ) dx= +Q,(x)e` * )"^ cos cos ßx sin fix) dx = Rr(x)e R*( x )e^ sin fix + Tp( x)ee cos cos fix + c, Bx + Q,( x )e* sin J(P I { f,{ fu +T,k(x)e Bx +c,
ai
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
106 t06
Neodredeni intesral integral
su RA (x) ii su Rr(x)
(nepoznatim) sa neodredenim neodredenim (nepoznatim) Tr (x) polinomi polinomi k-tog T1,(x) t-tog stepena stepena sa koeficijentima, a a k= koeficijentima, = max{m,n}. max{ m, n} Diferenciranjem leve leve ii desne desne strane, strane, izjednadavanjem izjednacavanjem jednadina sa koeficijenata uz odgovarajuce koeficijenata odgovarajuie stepene od 2k + 22 jednaina stepene od x ii resavanjem re5avanjem sistema od + polinoma R1,(x) Tr(x) koeficijenti polinoma Rk (x) ii TA (x) . 2k 22 nepoznatih, dobijaju se koeficijenti
gde gde
.
13. e2x cosxdx 13. j(x+ 1).e2'cosxdx I (x + 1)
x/
(Cx+ D). xdx=(Ax+B)e2r COS co, x 1). e2* cos cos xdx sinx+ x+(Cx+D)e2i - (Ax* B). "2* sin J(x+1)e2e !(x+ "2* r/ * . . ((x+1)e2i sin x+(Ax+B)e2'e(2 cos x)+Ce2i x) + C . e2'' COS x + t r' COS A. e2'' sin sin x+ x + co;s cos x+ x+ ro, *x=Ae2x x + ( Ax + B e2'' 2 sin )
=
1'
1
+(Cx+D) x-- sin x) e2i(2 + (Cx + D 1. e2'r cos x 12 cos (x B +C + 2Dfcos [sin x+[(A+2C)x+B+C+2D (x+1)cosx + l)cos x =lpe-C)x+ =[(2A-C)x+A+2B-D ]cosxx A+ 28 - Dlsinx+l(e+ZC)x+
2A-C=O, A+2B-D=O, 2A-C=0, B+C+2D=l A+28-D=0, A+2C=1, A+2C=1, B+C+2D=1 2 Resavanjem dobija se = 1 B=ir,D=-. Re5avanjem sistema sistemadobija r" AA=*,, C==*. =1 =*,, 25 5 5 25 ,
r!.
,
sin x+(Sx+25)e2"r e2'' cos cos x. x. x + t 1. e2'' cos cos xdx=(Sx+2S)e2'C xdx = * l. rin - * ttr * j(x+1)e2"r !( "2* " 14. u.
|
*1.
j[xe2xcosx+(x2 -2)e2xsinxi -21e2*sinx) dx !lxe2"cosx+(x2
x+c/, r/
*'
J[xe2xcosx+(x2 * e* * r le2x ri, * *lo*' +Ex+F ro, * * r * Bx + c )J r'* e2x sinx+[Dx2 - 2 1e2' sin*fd* =f[Ax2 +Bx+C 7"" cos lf *"'* ror, + 1x2 -2)e2xsinxdx=
*'
l r"
*
xe2x sin x=[2Ax+B]e2xsinx+[Ax2+Bx+C] cos + Bx + c e2x(2sinlx+ *r2' cos rn,x+(x2-2)e2x * + ( x2 - 21e2* sin cosx)+ x)+ x =l 2ex + B lez' sinx *l 12 rin *
+[2Dx+E +fzox + E ]e2x x) = je2i(212ror, cos x-- sin x)= cos x+[Dx2+Ex+F x +fo*' * Ex + F)"'* fr" COS = Ex -F i+ [2Ax+B+2Ax2+2Bx+2C-Dx2 rin x*lzo** B + 2Ax2 + 2Bx + 2C - Dx2 = e2i sin -* - rl+ "2'' +e2x cos [Ax2 +Bx+C+2Dx+E+2Dx2 + ro, x*le*' * Bx+ C + 2Dx+ E +2Dx2 +2Ex+2F + 2Ex+ 2F ]= l= "2*
= [(A+2D)x2 +(B+2D+2E)x+C+E+2F +18 +2D + 2E)x+C + E +2Ff] =l1e+zo1x2
ro, x+ ** ," cos
e2"Y
+[(2A-D)x2 + 2B -- E)x + 2C --F (2A+28 sin *l1ze- D)x2 + (2A E)x++ B B+2c Fll e2"r r''' rin* A+2D=0, A+2D=0, B+2D+2E=1, B+2D+2E=1, C+E+2F C+E+2F=0, =0, 2A-D=1,
2A+2B-E=0, 2A+28-E=0, B+2C-F=-2 1 16 1 18 p=2,111. 213 Resavanjem sistema dobija se ,q=4, o=-1, A =? , B=-,C=D=E= F= Resavanjemsistemadobija e=* o=-!-, C=-L, i ' ' "" 55' 125 25 125' 55' 25 25 25 125 t25 18 213)e2xr 6)e2x sinx+(-1 f * #,. cosx+c rr" ror, + x2 -2)e2xsinx}lx sin * + p!- x2 cosx + c t]5 r' - *, - 2 1e2' sinxh, ==(? llf[xe2xco9x+(x2 25 5 25 125 125 *rr2' #)e2 1
x2
1
'
u== sin 5x 5x
(u
=ldv=exdx =
15. 15. II exsin5xdx e* sinSxdx =
du=5 cos 5xdx du =Scos5xdx\
I= =
ex = e-' sin sin 5x-5Jex 5 x- 5l e'' cos 5xdx 5 t:dx =
' =ex [dv=c'dx)y=st ) "u1 cos 5x dui1 =5 sin 5xdx 5 x + du (ut = = cos = -5sinSridx) = ex 5x 251j exsin5xdx e" sin sin 5x 5x 5e'' cos 5x e* sinSxdx = = - 5ex - 25 = y, = ex e'* dx ) vt s'r [rr, = exdx )=
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
107 L07
Neodredeni integral Neodredeni
-
cos5x) 5 x) + c .. e* si sinlxdx r* sin 5x 5 x - 5ex 5e* cos n5xdx = :L (ex = 26 Jex 26' 'I 1
oblika Integrali oblika integracijom. integracijom.
re5avaju se se parcijalnom (x) ea'dx resavaju (x) cos fixdx , JP (x) sin,ßxdx , jP JP lP,1x1'"*dr !f;*lstnpxax, lP,1xlcosftdx,
e kspone ncij alne funkcije I nte grali eksponencijalne Integrali funkcij e
yx,, gde se smenom smenom ex e' == t .. re5ava se od ex e' ,, resava gde je R R racionalna funkcija od oblika JI n1e* Integral oblika R(ex )dx
d
*=#=*,d
je J!n1e.yx=lR(il+,Sto se R(ex )dx = J R(t) , sto znaci znadi da da se je exdx = , pa Tada je e'dx=dr, Tada = dt , odakle je r^ je i" dx = dc t e t na integral racionalne racionalne funkcije od t. integral svodi na ((:
xx
rc. J 16.
arctge2
'\
x
e2
dx ==1"' !-ylge'z dx
2k'l: 2rlih arctgt
=t,x=2lnt t' x = =
-2t dt ,211+e,) lo-=1* e2(1+ex) dt (u=orrrrr+du=4 -'-'o-
Jt(1+t2)
dx =
l= l
\
r,
)
I
2
J--:+ = !m,+1)
dt = t2(t2 t'1t'+11 +1)
1
y
+ t2
t
2
t2(t2
t2dt dt = Jlidt
I*
-J -
dtt2 dt) !ffir,1 lffi* 1+ tt 1+t2-t2 dt- j dt dt 2= 2J # 0+1u, #= +#' *-J1+t2 #.
-
t( 1
)
I
t(1 + t )
l_
dt
t2
+1
=
o,,,r,) -+1 - arctgt t /
J
)+
t
dt
=I
= =
i
t+tz 1+ t
= 2(-arctgt - arctg2 arctg2tt *+ J 2(-lorrtst
tJ
arctgt dt 4! dt = z!*..1!%, = 21 t t2(1+t2)
=
2
t(1 + t )
t
dt
1
i
-InItnl'tI-21n11+t2 = l- *"1 t +
I
(arctgt=z\ arctgt = z I 2) z arctg z t arctgt zdz = J = dt a,=l to"'s!^ l=lrar=f,=arcts't tl+tz 2 2 2 2 =dz | "";=dzl' 1+t2 2
,i
1+t \'l+r'
)i
X -r
Jarctge I #g:* r
2
dx =
arctg2tt + lnll + +,c == + t21+ 2ln) fl+ orrtg, tnl t |I2arctg2tt + 2 - np -'o",' r' - 2arcts2
2arctgt
e2(1+ex) ,z1l+e.r) .r
ex 2arctpei ,*x +ln- e'* 2arctge 2 +c.' arctg2e2 -arctP-e'+ln-+C ' 1+ ex l+e't z e "; \ i
17. u.
Jxt#a. 3x
x
X
=t,
=(";.
e2x+1
-2Z[fi, J dt
= [J at dt =
e
t2
+1
dx==' 2
x = ln t
{=,,'li
-
r* + 3
=Jt= 2 t
2arctgt ++ c == e' = t - 2arctgt ex =
rffi,
Z1-2dt-t dt=Jt21dt-Jt = =
+1
t
2
=
t?!, +1 t
2
t
+1
2arctge' + c . -- 2arctgex
.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
108
Odredeni intepral integral
Odredeni integral Odretleni
x
Uoéimo zatvoren interval Uodimo interval [a, b] e R. KonaCan = {xo, xj,..., }, takav da je Konadan skup tacaka tadaka P P={x11,x1,...,x,}, la,blcR. aa=x0 [a, b] ima neprekidan neprekidan funkcija rpA:ldy,P;+la,b) neprekidna, aa funkcija je aefao,Bol, onda vaZi jednakost = rp(ß) , onda a=g(a), izvod. Ako je izvod. Ako aE [ae,ßn], fr.lao,Fo1, ß E [ao,ßo], a= v(a) , bb=g(P),
Neka je funkcija
t0
fi
u
a
b
(*M"== Jtff(v(t)kó (t)dt tettt))d{t@t. !J ff(x)dx
Parcijalna integracija b] . Tada intervalom [a, vaZi nad intervalom Tada vai v(x) imaju izvode nad funkcije u(x) imaju neprekidne neprekidne izvode Neka funkcije Neka u(x) ii v(x) fa,bl. b b b bb b jednakost IJ u(x)dv(x) u(x)v(x) x )v( il1.--fv(x)du(x). u( x )dv( x ) = u( I v( x )du( x ) . (
a
a
a
bbb b b vdu.. pi$e u obliku udv = krace pise obliku Jludv uvl -J Formula se kraie = uv - lvdu b
4
E
a
Osobine odretlenog odredenog Osobine 1. 1.
4
a
a
integrala integrala a
f(x)dx =0 . je J f(*M*=0. ondajei Ako je funkcija f(x) u taCki a a onda Akoje definisanautadki /(x) definisana oo b b
< b ii If(*M* 2. Ako je aa.* n-+6 _t 2n 2n" 2.
I Koristeci integralnu sumu izraCunati Koristedi izraeunati tf axdx a" dx
.
o 0
Interval lnterval [o,r] [0,1]. oetimo delimo tadkama taekama ,, x; =1, i =0,...,n =]-, =0,...,n. n ii 2 n_I n-l n-11 n-tt ! Z , l a-1 or-l .ri =-(I+a" s,,=fl = E-an +a" +.,.+a , )= =!.1t+an +an )=l .
je Donja Donja Darbuova suma suma je
.
1
n
;=on i='fl
-
D
3.
n
lI . a-1 ar-l
'lo''d*= = lim lim jaxdx n->==n ,*n 'n 1
, a" oi_l -1
n
!'
q.-l a-1 a-1 = lim - . liml = n-+°n n-+6n LI _=o-l Ina lna 1
a" -I an -l
n°° l!*o.a ako je
je a = on =
Odrediti lim odrediti
n
n
-1 = ln
lj",:"
1
n
* n+1 *+ fr + n2
1
a"
n 1*#=",1a l.;) jer je lim
a" an -1 -l 1/n 4n
n2
a= + =I( ,, n2+1 n2 +r n2 n2+22 +22+,..+ n2+n2 n- *n. nn n
/ (L)
22
l
...+ *...* + +
n
n2 + n2 #
+...+
I
1+-22 I+n2 ,*J_*p*,.*3,-i?o '' i ,2 r' '*7n2
1+
1
n
,
n
n
)=1E
n;=1
1+(i)2 t+1LY n n
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
111
intesral Odredeni integral
intervalu [0,1] u intervalu funkcijee y == + gornjaDarbuova Darbuova suma funkcij aa, jeje gornja [0,/]. 1+x2 l+x' L arctg0 =arctst dx * == arctgx o"'s*l!' = arctgl lim a =1 = - arctgo = 4 ko' 1
.
lfi
4. 4.
1
I1
01+x2
-4°°
Odrediti 2 m odrediti
°o=
a ako je a rr****.-*#. I +? +...+ n2
nll*o,akoje
I
1
2
-
11S,i n .n.
2 n 1l.l 1 2
2
n
2
.
+...+-t =-(-*--r ...+:)- -n1=1n a, a =-F+-7-+...+-1-=-(-+-+...+-)=L=-a+a lli=1ll n n nn nn nn nn' n nn n (0, '1l intervalu (0,1) funkcijea y == x u intervalu an a, je gornja Darbuova suma funkcij 2 =1 ... + Z)=jxdx=x lim( ri* 2++ *...*)t =+ =l ** = 2° Z n-+*ll' nno O O 2Z -'°° n nn'
t\ i+ \
1
1
+(
xx -1, x>0 fr*-t.x>0 l*'-1, x >0 g(x) 8(r)=t 1Lx-_0. , x=0. 0 ,x=0, x=0 Q
- xx -I Date su funkcije Ííx) = Datesufunkcijenr=t-
5. 5.
>
,
f(x) ii Da lili su su funkcije funkcije I@) 0 ? Da za xx20? g(x) imaju imaju primitivnu funkciju za f(x) ii g(x) funkcije 16) Da lili funkcije Da da lili imaju imaju isti integrabilne, da su integrabilne, Ako su >_ 0 ? Ako b], aa20? nad intervalom g(x) integrabilne nad intervalom [a, g(x) la,bf, >_
a >_ 0 ? [a, b], bl, a>-0 odredeni integral nad intervalom [4,
lny=xlnx y=xx )=.tr't *lnY=xlnx
L1 x lim 4= fim ln x = lim lim y = lim lim xxlnx= lim lim ln lnv= =x->0+ I ' 1 x->0+ x--+0+ -*-+0+-l1 x->0+ .t-o* x->0+ .r-if x2 x x*2 lim xx=e°=1 xt =eo = I lim
-= in x lntx
=0 = lim lim -x -x=0 x-40+ -r-+0+
x->o+ -r+0'
lim lim
lim xx-1=0 (x* x'' -l=0 (xC-1)= -t)= lim x-,°+ -r-+0+
x->o+ .r-+0+
funkciju' Funkcija Funkcija g(x) pa ima ima primitivnu funkciju. >- 0 , pa za xx20, f(x) je neprekidna za 8(x) za Funkcija Funkcija f(x) nema primitivnu funkciju. x= 0 ima prekid prve vrste pa nema =0 konacno g(x) jer funkcija g(x) f(x) funkcija ier ima konadno Obe su integrabilne; funkcija f (x) jer ier je neprekidna, a funkcija odreileni integral integral jer (x) ii g(x) g(x) imaju isti odredeni >_ 0 .. Funkcije Funkcije f za xx20 radaka prekida za mnogo taCaka f (x) tadaka. konaCno mnogo tgaka. se razlikuju u konadno tele
,
6. 6.
e
1
e
1
1
u=lnx hx
du= o"
e
= = +)= +(xlnx-x)I x =-(xlnx-x)I * tn * - ill: jlnxdx= = Jllnxldx= -( x tn x - * 11,.+ [ tn xdx + [ tn xax =l' [l tnx lax= -- jlnxdx+ . i 1 i dv=dx v=x ) \av=ax=v=x ' :e 1
1
:'
=
1
P
e
I
I
e
1
1
1
e
+e-0-e+1=2-?. .^ 4: -xi4:I =-(0+1)+1-1 =-xlnxi ' +xl *lr*+xlnxi -o - e* t = z -?e . -10 *L1* t -!+, e e ,,= ,*
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
112
Odredeni integral
Povr{ina ravnih likova Povrsina
o
Pravougli koordinatni Pravougli koordinatni sistem Neka je funkcija f(x) zatvorenim intervalom intervalom [a, /(x) neprekidna nad zatvorenim [a, b].
y
x
b b
f
a
a
b
c
a ab
b
(x)dx-lf P =lf P= J f(x)dx (*M* -J f(x)dx
P= -J f (x)dx =-[
P=Jf(x)dx
y
x fix) s6) a b b bbh h P r == JI f (x)dx = ltJ ( f {x)(x) - g(x))dx 1x)dx -J - I g(x)dx s( x)dx = s{ il)ax
f
aauo
f
a
a
b bbb
b
aaao
a
rP = -J x)dx + + J[ f x)dx =1( x) g(x)dx f (x)dx -! g( = [ (f f (x) - g(x))dx s{ il)ax (
{
{
a
l.1. IzraCUnati povr5irtu Izralunati povr§iriu
ograni6enu ograniCenu krivom krivom yy=2arctg(x-l)-x, = 2arctg(x -1) -x, njenom qienom kosom asimptotom i pravama pravama x = 2n , x == 0. =-27r, a'
y=2arctg(x-1)-
Asimpfote: Asimptbte:
y=-x+lt, x-a00 y=-x+ir, J-+6
y=-x-1t, x-4-ea y=-x-n, J-)€
c
y=-x-n -n x=0 0
0
0
P ='ifzarcts( = J[2arctg(x-1)-x+x+n]dx=2 e yx + n Jdx x - I ) - x + x + n)ax = z Jarctg(x-1)dx+n I orrts( * - t I ax -2a
-2n
-2a -2n
-27t -2x,
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Odrecteni integral
113
() (x-l=r\ x-1= t _t * = j arctg(x r x -1)dx = o
)
_j1rc,s -2n
tarctst = tarctgt =
-
l; :ii ) dx = dt
(
dt u= arctgt, du = dt
r* =l:
= !j *,, arctgtdt = =
) 1+ R ::,::,:,= v= t2
dv = dt,
t
)=
0
4 .
= tarctgt m,, ry, _ !
tdt
=
0
Inll + t2I = (x -1)arctg(x *tl=(xt)arctg(r-o -1) ir_-*ult*r*--Ink + (x -1)2I tfllor*== -*^V -2n I
I
-2a
. Ink + (1t + 2702I -2! lnn 2z +znfl== lnlt
( t + 2n)arct == -arctg(-1) 27c) 2n)arctg(-1-arct s( -t ) + (1 s( -t - 2n)
{
- 7t(1 + 2n)arctg(1 2n)arctg( t + + 2tt) 2nl -lnz -2 ln 2 +L *!np Inh + (1 znfl2I =!U + 21) 4
=
00
0
=2n ldx=xl =zn jdx=x I
-2a -2tt
-2a -2t
r =|-zf P= 2 -2(1+2ir)arctg(1+2rc)-In2+ t + 2n)arctg(t +2tc)- ln2 + hlt !nil +{t + zx)rl+ 22 +(1+27021+ zr2 2. 2,
IzraCunati povr5inu ograniCenu Izracunati povr"sinu ograniZenu kru2nicom krulnicom x2 ++y'=g y2 =8 "2 2 y=x -x. Y=x2
i
i
parabolamt y2 parabolama y2 = 7x ii =7x
Tadka A Ta6ka A je presedna preseìrna tacka tadka kruznice kruZnice x2 *2 + +y2 y2 = = 86 ii parabole parabole y2 =7 x. =7x. presedna taCka Tadka B je preseCna Ta6ka tadka krulnice kruZni ce x2 y2 = *2 + * y2 =8 iiparabole parabole
I
L
y=x2-x. y = x2 -x
.
l-t2-z_!l
/
2-22
e=l..tzxax-[t*2 P=j 7xdx-j(x2-x)dx+j 8-x2dx-j(x2-x)dx= x2dx+j 8-x2dx-jx2dx+jxdx= -*)ax+!rlt-*'a*-lt*, -x)dx=J71*ra**iJa-*ra*-i*ra*+i*rt*= 000t10t00 0
1
/
0
1
o
0
.l3
I
(,* r;Jq X 8- x2 + x3 I+( . 8 aresin -r- -1 s x31 + 1 * i,= = = J7, =47 2 2 :*,,i,fr)l',!3 i,. | x21 2
1
2
2
2
1
0
I
t
2{
4
* z * 4 arcsin =2+2+4aresin = 3
L
1
0
2
2
2112
2
0
2
! 1-8+2= *, = +3 - -+4+7L-4aresin +2 + 3 + n - t o,,,ini= 2112
- 1-4aresin - o o,,,,,# - I3 2 !J7
1
I
t
r
t
( i
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Odredeni integral
114
3.
3.
pravama xx=a =a i pravama
= If;tn2x povr5inu ograniienu krivom yy=Jitn2x ogranicenu krivom Izracunati IzraCunati povr"sinu Um P.. x= x=11 ii y=O,azatimnaci ! =0 tazatim nadi li\P
(0o* 27 27 u--+0' 27 2z a0* -3 27 27 27 27 ;;;. a--0* 3 -S 27 "i:i- ao-1 27 tr-i 27 --a
-_---
3
_+-
8
31na-2 3lna- 2 _3 _l
=
aq2
-=
3
1
2
2
.
koordinatni sistem Polarni koordinatni
p = P((0), p@), kriva P= Neka je data kriva
u polarnom koordinatnom sistemu, aa3g3 fi, ß -a 2z ,upolarnom F,l9-ql32x 0
B-p
Q
i
fi
je Pr == JlyG)d(t)dt Tada je yr(t)cp'(t)dt ,, P == flt. y x; xi dt .
6.
6.
.
a a Nati povr"sinu ogranicenu jednim lukom cikloide xx=a(t-sint), Nadipovr5inuograniienujednimlukomcikloide = a(t sint) , y!=a(I-cost), = a(1 cost) , aaeR, E R.
-
-
t1=0 t1:x=0, tt: x=0, y=O Y=0+tt=0 y=0=tz=21t t2 t2 =2r t2 :i x=2ar, x=2att, y=0 xx'(t)-a(l-cost) (t) = a(1- cos t)
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
116 1t6
integral Odrecteni Odredeni intesral
zta
2n 2ta
2tE
2i[
27t
2n 21t
27t 2tr
P= f a2(1- COS t)2dt=a2 fl(t-2cost*cos't)dt=a2 dt-2a2 flcostdt+az cos tdt+ae lcoszttlt= (1 -2 cos t + cos2 t)dt = a2 f!dt-2a2 fcos2tdt= r=1a211-cost)2tlt=q2
0o0000 0 0 0 2 2tt 2 2r 2tr 2r 2r 2tt -2 27 -2 2 ' = a e tf dt-2a2 cos tdt+á ftdt+l fItotztat--2a2tc+a2tr= cos 2tdt=2ae1r+a216=3a2r. dt+á dt*2a2 f!cosut+\3a27t. =o' 2 0 o o00 2 0
0
71
7. 7.
0)
take taike A(p=1,(p=0). A(p=l,rp=0). p=0 P=0+ (p=-00 Q=q p2 p'=aeoe p2 +()2=p2ay+a2e2ar=(1+a2)e2oG, +(p')2 p'=ae° P = p,o, +o,"2o, =(l+a2 )e2oe, {W
l= r=
1+a2d(p=111+az rim'lr,r,{1*1or=W aO
lim je°`° a-t-'aW
1+ a2 )2=e°`° ="ot^lG
1+a2 1+a2 lim fim e°`°(1-eaß')= eualr-eur)-..tt,.n -"11,.; to-+* aCl w-4.0 aA
lim tim e°vi0= e,ef '. 0-7.7 co-+* CO
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
118
.
Odredeni intesral integral Odrefuni
Parametarski oblik Parametarski
f(x) data u parametarskom obliku xx=e0), gdeza Ako je kriva kriva y ==f(x) datauparametarskomobliku = 9(t), yy=Vft), = yr(t) , ttela,Bl E [a, 13] gde za p,la,fl+R,ty:lo,f1-R : [a, )31-> R, y, : [a, ß] funkcije cp R vaki: vaLi: p0) ry(t) imaju imaju neprekidne funkcije neprekidne izvode q>(t) ii yr(t) izvode nad p'(t)>0. zatvorenim intervalom [a,,ß] pri tome >0. zatvorenim intervalom tome q1(t) Tada Tada je ie lo,Fl ii pri =
5. 5.
1+
2
t
fi
cP (t)dt
= 11,19.2(t)+ y/2(t)dt a
B
tj.
/12dt xi2 + yi2 at t=l l= J1142
.
a
Nati dukinu luka krive y = a(sint-tcost), Nadiduiinuluka krive ya(sint -tcost), x=a(cost+tsint),0 x = a(cost + tsint) , 0 5St32tu, t 5 2n, a>0. a> 0 . 4xi == a(sin t + +tt cos cos tt)= at cos a( - sin sin t + sin cos t ) = at y; a(cost -cost sintt)= sintt ) = at sin li == a(cost - cos t + t sin (xi)2 +(yi)'=o't' +(y,' )2 a2 t2 (4)2 2r 2t-22-2r
2r
2r-
a l= a2t2dt=a f tdt=-t2 =2ott2. t= s! rta2iat=aIdt=1.r'| =2a7r2. 0 00
6.
6.
2
0
0
Nati = a(t sint) , !y == d(7a > 0 .. Naii dukinu a(1- cost) duZinu luka cikloide x = cost),, a> -sint), yi ==asint 4xi =a(1-cost), a sin t =a(l -cost), y; (*i)2 t+cos2 t)= (x; )2 +(y,' )2 = a2(1- cos t)2 ++a2 t = a2 -2a2 + a2(sin2 t+cos2 a2 sin2 t=a2 +(yi)2 sinz tt+a21sin2 t1= =a211-cost12 -2a2 sing I -lt' =4a2sin2
=2a2(1-cost)=4a21-cost 2a2 (l - cost) = 4r' = 22 =
4a2
sin2
|
t A1(4)2+(yr)2 =2asin2 stn& = /,a
2n
2R
t.
2
21r .2n
l= =-4a(-1-1)=8a. 1 = 12asin-dt=-4acos-I 4a(-t - t) = 8a. | 2a lnldt = 4acosll = to 22 20 2'o Zapremina obrtnih obnnih tela
o
Pravougli koordinatni sistem Pravougli
je funkcija Neka je [a,b] -> R R neprekidna neprekidna nad Neka funkcija f ::[a,b]-> intervalom [a,b]. krivolinijski trapez, ato sese krivolinijski trapez, cije intervalom dije [o,a]. Ako
stranice su interval [a, b], delovi pravih xx=a = a ii xx=b = b ii stranicesuinterval [a,b],delovipravih a).
-
(y-b)2 b)2 ==a2 a2 (y
..t-
--x2 x2
y-D==na a2-x2 -x y-b=+ I-2 y=D=\4 a2-x2 y=b± -x
ÿ-!==L^
2
(y,)2 x r-,'r2'- X2
x
,,lat-x' a2-x2
4+,* !
YI+(ÿ)2 duor =
M=2.2nJ(b+ya2-x2) 0
uj
= 4nJ(t = --"to'
L ab ,[d+ a2 I
V
a
a2-X2
4 ab "'L'J/_*,
a2 ct
2
-=+
-x2 -x
a
a
a2 -x2 !a'-x'
dx=
a2-x2
! 6ns6 qv6sin x f = = + dx = 8nabaresin aa'o -*z
8nabJ . -L,toz a )dx = +a)dx+4nJ( + ddx + 4nol ( = Stwbi - a)dx 0Va2 -x2 a2 -x2
0) = I * arcsin arcsinA) = 8nab(aresin Sttab(arcsin 1= 4abn2 =
.
dx+2 Z1cJ(b- a2-x2)
X
a -x a2-x2
IG
-x2 o
.
sistem koordinatni sistem Polarni koordinatni
omotaa povrSina P P omotada oko polarne polarne ose, tada je povrsina qla,01.lO,rl oA*eoko ß] e [0, r] obrce p((p),, ep[a, kriva p p== p(rp) Ako se se kriva p(P) ima ima neprekidan prvi izvod nad p = p(op) funkcija p= pretpostavkama da funkcija obrtnog tela, pod pretpostavkama obrascem aataobrascem zatvorenim intervalom [a, zatvorenim intervalom la, ß] B) data n-
Q
( ril sin g dq) dg . sin rp P= 2r JI p( p(v)11p2(v)+ = 27r exl p' kpl * p'2 (yo)
a
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Odretteni integral Odredeni 4. 4.
123 L23
povr5inu lopte poluprecnika polupreinika R. Nati Naii povrsinu
p= je povrgina polarnom koordinatnom R je kruZnice u sistemu, pa pa je jednatina kruznice u polarnom koordinatnom sistemu, povr5ina lopte ie jednadina =R t--t P P=2nJR2sinrpdrp=-2irR2cosrpl =2rlR2 singdg=-2n R2 cosgl
=42tR2. =4n R2 .
n
r
Parametarski oblik Parametarski
kriva y == f(x) data u parametarskom Ako se kriva = v(t) , yy = yr(t) , ttefa,B), e [a, fil, obrie obrte obliku xx=gft), parametarskom obliku =V0), oko x-r -- ose, tada pretpostavkama: oko tada je povr5ina povrgina P omotata omotada obrtnog tela pod pretpostavkama: a) v(t) ima a) funkcija funkcija g(t) imaneprekidan pozitivan prvi izvod nad zatvorenim zatvorenim intervalom neprekidan pozitivan intervalom [a, la, 13] fl,, b) funkcija yr(t) b) prvi i izvod nad zatvorenim zatvorenim nenegativna i je ima prvi neprekidan intervalom intervalonr VG) 1o,01, [a, t6[
fiB-
data obrascem p P == zo:lvltild'(t)+rtr'2 21r J yr(t).j p 2 (t) + V2 (t) dt .. $) at a 5. 5.
Naii Nati povr5inu povr §inu tela nastalog nastalog obrtanjem oko x - ose. obrtanjem jednog svoda cikloide oko
x= a(t- sin t), x; yi =a x=a(t-sint), xi =(1cost), y! =a(l =a(1--cost), sin t cost) , y; =asint =(l-cost), (ri)2 (4)2 +(y; )2 =o'(l-2rost+cosz = a2(1 -2 cos t +cos2 t)+a2 +(yi)2 t)+ a2 sin2 t=2a2(l-cost)=4a2 t = 2a2(1 -cost) = 4a2 sin2 sin? !_
22
&
jer je 31(x;)2 +(y,')2 =2orirl, = 2asin2, jer je sin 0 za 2> [0,2,r]. sin!>o za tE tefo,zr).
Povrsina omotaìra Povr5ina omotada nastalog tela je 2rz 21.2x,.2x 2a t t !-rlr,n!-a, (t -cost)sin!-dt cos t)sin2t dt = (1= 8a2 = 8o'n'fJ sin3 ,int dt =8a2it --tl J(1-cos2 -cos2 2)sin2dt =
27t
p P == 4a2rt to'n'fJ
t
la,
o
"!lt
t
'n" |2'f'n = -t6o2n(-1 - t ) + !!q2n(-t - l) =9 ozn. =-16a2ncost 16a2n"""' = -t6o2nror!-1n 2(1 3 21=-16a2n(-1-1)+16a2n(-1-1)=64a2tt. ,,,,+ 3 3 cOS3
2Ir
1+16a2n
n
dx
6. Nati Naii I/ == J!# cosx+2
6.
nad intervalom nadintervato* x = 1r, cos cosx
Uvedimo smenu smenu tgrri= 2 =t
#,+ t
,
1
(0n) je Za Za XE xe (0,7r)
3n
. fO,*). 2
(O, 2
2
,
dx a*
2dt
,,
= =
[# #= 4* - fr dx
cosx+2
= = Jt
2
1 2t 1-t -----T+ I+t2 l+t'
z
= = 2 J zdt t +3
2
=ff 1+12 d x
tc;tg 2 arctg? arctg t+ct *,, =? o,,,sfr +cl =77arctsl7+c, Ng
'
.
-x SliCno 3 ieje Ir=l#=fr*r,r'$*rr. Slidno za zaXExefr,!t = - arctg? +c2. cos x+2 tg
Or,
)
12
J
2
2
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Odredeni integral Odredeni'i*e sral
124 L24
(il=-4 Kako je funkcija ff(x) =
I 1
cosx+ cos)i+ 2z
nju postoji neodredeni neprekidna svako x to za zanju neprekidna za zaivako neodrecteni
integral nad zadatim intervalom.
I,==
Dakle, 1= lim lim Dakle, lim liml= .Y-411-r-+tr X-->7l J)tKako Kako je
lim 12. lim.12.
.r-,tt'
tg tc;2 ,r lim I = lim lim II1= lim #arctgfi+c1=fr+c1 -3 -)71 S-)ñ x-)t x--+x-{J {J lJ
x
2
zx
tg; ? tg g,, lim +c2 =- +cZ, lim lim 12= Ir= lim arctg *arctg++c2--fr*c2, /¡-2 " ' ll.l S Y11-+ ' xll+ .t-n* 11,l 3 -*-o* 1-l J: je +c] sledi da je + c] ==-fr+rr, - + c2 odnosno da je c2c2 ==#*r,. 2
2
-
7C
71.
,
43 #*r,
43
.43
.
Dakle,
2arctg tgt8; +c xx
f,7qrct877+c
(0,1r), xxcE (0,n-)
E
'x=lt x =71
+c {3
J= 1=
_re
-Lt
n z)att
x
tg--1 t8=
.++c,
arctg Tarctgt'*7*c, alJ 4J 1lJ
xE xe
.3n ). (,3 (r,V).
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
L
125 t25
F unkci ie vise vile promenljivih oromenliivih Funkcije
PROMENLJIVIH FUNKCIJE FUNKCIJE VISE PROMENLJIVIH vaLe ii za Slidne osnove osnove va2e realne promenljive. Slidne dati osnove realnih funkcija dve realm iemo dati Ovde demo vise realnih promenljivih. realm realne funkcije vi5e te2i tadki Mc(xc,y0) M11(xo,lo) tadka M(x,y) M(x,y) teZi z = f(x,y) f(x,y) kada tadka funkcije z= Broj Broj AA je granidna vrednost funkcije postoji Sd > 00 takvo svako e > 00 postoji putanje), ako ako za svako (duZ neke proizvoljne putanje), bilo koji nadin (du2 na bilo pise pi5e se sto se uu obliku Sto < (x,il-elxn )'-9}b
f
;]i,
(x,y) je neprekidna Mo(xo,y0) ako je tadki Mo(xo,yo) neprekidna u tadki Funkcija zz == ff(x,y) Funkcija (xo,yo) ye ) je tadka nagomilavanja definicionog skupa. (xo,yo), (x,y)= y0 ) , (xo, y) = ff (x0, lim ff(x, lim ,r -i -t6 _-)X0
Y->Yo -y-+-Yo
neprekidna. je (x0,ye definisanosti funkcija je u njoj neprekidna. ( xo,yo )) izolovana tadka oblasti definisanosti Ako je (x'y). (x+Ax,y+ly)y) . + dx, y + dy) f (x, je lz= dz = ff (x (x, y) ie funkcije zz== ff (x,y) Totalniprira5taj Totalni prirastaj funkcije je y) ako M(x,y) neprekidna u tadki M(x, (x, y) je neprekidna Funkcija Funkcija z == ff (x,y)
-f
hm dz== limoAz
dv-40 A1,-+0 dv->0
( x + Ax,y + Ay ) - f ( x,y )7= 0 . lim[f(x+dx,y+dy)-f(x,y)]=o. |i*ol f
dv-0 dy-40 Ay10
f
-f
je 7.7= (x, y) , (x+ dx, y) f(x,y), 4z = f(x+Lr,y)popromenljivojx promenljivoj x je (x, y) po funkcije z= ff(x,y) prirastaj funkcije Parcijalniprira5taj Parcijalni (x,y) y) .. ty)- f (x, (x, y + dy) promenljivoj y je d,.z Arz = a po promenljivoj = f (x,y (x,y) funkcijee z= y) po promenljivoj x je izvod funkcij z = ff (x, Parcijalni izvod
f
-f
az A,Z= lim dz ,, =`z ,, f(x+dx,Y)-.Î(x,Y) f (x+ Lr,y)- f (x,Y) = um ' dv--W dx dx ilJo ax tx dv->0 ax ai- ii\o
promenljivoj y je a po promenljivoj
Arz lim (x,y + ty)- f (x,y) ,, dyz ,, f.f(x,Y+dY)-f(x,y) = dy-a0 4-30 ay--+o ay->o Ay Ay Ey dy ay dY az dz=
lim
prira5taj u ovoj y) ako se njen totalni priragtaj tadki M(x, M(x,y) (x,y) y) je diferencijabilna u taEki Funkcija Funkcija zz == ff (x, moze napisati u obliku: tadki moZe A iB i B neki neki brojevi brojevi nezavisni od suA dy) dy , gde su = A dx + B dy + a(dx, dy) dx + ß(dx, Ay).Ay,gde dz Az=A.Ax+8.ly+a(Ax,Ay).Ax+F(Lr, te2e nuli. teZenuli. dx i dy nuli kad Ax i Ay telenulikad Ay) te2e dy) ii ß(dx, Ay ii a(dx, a(Ax,Ay) dx Ax ii dy FU*, dy) a(dx, dy) dx+ ß(dx, dy) dy ox). +(Ay)2 a(dx, dy) dx + ß(dx, dy) dy = dx2 +dy2 (Ax)2 + (Ay)2 (dy)2 = w J(dx)2
(x+Ax,y+Ay) tadaka (x + dx, y + dy) ii je 1/(4x)2 izmettu taEaka rastojanje izmedu ,{@r + (4)2 rastojanje gde je , gde ,
(x,y)(x, Y) 11(4x)2 + (dy)2 B dy + w a.l@ dx + B.Ay dz A. Ax+ Az = A
w== 0 lim @ dr-)0 Ar)0
*
funkcija funkcija je diferencijabilna.
dy--o0 Ay+0
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
126
Funkcije vise promenljivih
a) a)
f
Ako je funkcija zz= (x,y) y) diferencijabilna u tali tadki M(x, = f (x, M(x,y), y) , tada je ii neprekidna uu toj tadki. tacki. b) Ako je funkcija b) funkcija zz=f(x,y) = (x, y) diferencijabilna uu tacki talr0 L* )=--. .. x.r y---Y .. ol 7c lim Itm arctgarctg- = ltm arctg= lim arctg -1= -I = --l x-40 yv 44l x-)0 .r-+0 -Y-+0 y-+o y->0
nije neprekidna, neprekidna, pa funkcija pa nije funkcija nije nije ni diferencijabilna.
)
(0,0) funkcija u tacki tadki (0,0) bi bila Kada bi bi oba parcijalna izvoda funkcija bi Kada oba parcijalna izvoda bila bila neprekidna neprekidna u diferencijabilna u toj sto smo pokazali pokazali da nije tadno, prema tome oba parcijalna diferencijabilna toj tacki, tadki, Sto (0,0) . u tadki (0,0). izvoda ne mogu biti neprekidna neprekidnautaiki Ekstremne vrednosti Ekstrernne vrednosfi D ii tadka tacka Mo(xo,y0) Neka je funkcija z == f(x,y) Mo(xs,y6) je nekoj oblasti D f (x,y) diferencijabilna u nekoj unutragnja unutra5nja tadka iz iz te oblasti.
broj e> dy koji zadovoljavaju zadovoljavaju uslov Ako postoji broj lx ii Ay e > 0 ,, takav da za svako dx (0,0) siedi 0 minimum, (xo yo ) ima je d2z (dx,dy)*(0,0) tadki Mo f(x, y) uu taCki Mo(xo,yo) funkcija z= z=f(x,y) za (dx, dy) # (0,0) funkcija ako je d2z0), ako je je rt -*s2 s2 >0 >0 ii r>0 minimum ako 2) 2) ima imaminimum je rtrt -- s2 0
r
je A(-3,1,-2) tadka je Stacionarna tacka Stacionarna
a2u a2u d'u d'u a2u a2u a2u d2u d'u d'! ---'i-? -o' =2. =o=o- ii' ayaz =, =r' ' a.ray -' '' ay2 ' ' dydz axaz axay = 2' dxd, ax2 dx2= 2, ay,= 4' áz2 dz2= 4' a2u d'u
"'--';-2.
a2U
a2U
a214 a2U a2U 2 2 +2 +2 dxdz dydz a.rar*23'! 4r4r== dxdy + z dz + -2 dx 2 *d2u + dy a*av+z!2! drz onz *d'! or, ddru=d'! u = -'" ---2 *z?'! -'ayaz axaz dydz " dxdz axay dxdy adt2 dx2 dz2 y
a2u
2(dy + dz)2 + 2dz2 >>0 +2(dy+dz)2 +2d22 4dz 2 +4dxdy+4dydz=2(dx+dy)2 + 4dxdy + 4dydz = 2(dx + dy)2 + = 2dx2 +4dy2 + 4dy 2 + +4d22 =2dx?
u(-3,1,-2)=-9. y, z) u(x,y,z) u(-3,1,-2)=-9. Dakle, funkcija u(x,
tadki A(-3,1,-2). ima minimum A(-3,1,-2) . minimum -9 -9 u tacki
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
134 134
prome nl i ivih Funkciie vire Funkcje viie promenijivih
Uslovni U slovni (ve (vezani) zani) ekstremi
f
je data Neka je data funkcija funkcija f ::D+R je data D D c R2 ii neka R definisana definisana na na skupu skupu DcR2 neka je data funkcija { (x, rp : D -+ R . Oznadimo g( x,yy))= Oznacimo sa B skup skup B == {1 1. Pretpostavimo E D :: tp(x, = 0 }. x,yy)) e Pretpostavimo da je je B #* 0. A. KaZemo Kazemo da je skup B odreden skup.B odreclen uslovom ili vezom vezom rp(x, y) = 0 . e(x,y) =0 .
Kazemo da KaZemo da funkcija funkcija z=f(x,y) z= f (x, y) uu tacki tadki A(x,y)eB ima uslovni (vezani) lokalni A(x, y) E B ima uslovni (vezani) (vezani) lokalni maksimum (uslovni (uslovni (vezani) lokalni minimum) gk,il minimum) pri pri uslovu uslovu rp(x, y) = ako postoji postoji broj = 0 ,, ako E 0 , takav da (Bt{a €>> 0,takav dazasvako za svako X \I A }}) nnL(A,e) XeE (B vaii L(A, E) vazi f(X)0) (f(X)>> f(A)), f(A)),tj.(postoji € > 0) f(X) < f(A) (f(x) (za svako svako XE f(X) f(A)). Xe Bn(L(A,e)\{A})) B a(L(A,s)\iA b ftn f(A) (f(X)> jednim imenom Uslovni lokalni maksimum odnosno lokalni maksimum odnosno uslovni uslovni lokalni lokalni minimum jednim imenom zovemo uslovni ili vezani ekstremi. Jednadina Jednaina p( v(x, x,yy)) = 0 zove se jednadina veze. =0
je jednaina jednadina krive Ako krive L :: g(x,y) Ako je v(x, y) =- 0 ,, tada tada se problem problem nalazenja nalaZenja uslovnih uslovnih ekstrema ekstrema funkcije L moze zz= = f(x,y) f(x, y) na na krivoj krivoj L mo1e formulisati formulisati na na slededi sledeii nain: nadin: nadi ekstrem funkcije funkcije z=f(x,y) z= f (x, y) u naii ekstrem u D D pod g(x,y)-*0 uslovom da je rp(x, daje y) =0 . .
Dakle, u nalazenju uslovnog ekstrema funkcije zz=f(x,y) Dakle,unalaZenjuuslovnogekstremafunkcije promenljivexiysenemogu = f(x,y) promenljive x i y se ne mogu vige viSe smatrati kao kao nezavisno promenljive. One povezane relacijom One su povezane relacijom rp(x, p(x,y) y) =0 = 0 ,, koja se, zove jednaeina veze. zove jednadina veze. Da bi prona5li pronagli tacke koje mogu Da bi tadke koje mogu biti biti uslovni uslovni ekstremi ekstremi funkcije (x,y) z = ff(x, pod uslovom z= y) pod uslovom da da jeje rp(x, y) =0 formiramo formiramo Lagran2ovu LagranZovu funkciju e(x,y)=0 aF dF, aF AF ' aF ' F(x, y, 2) = f F(x,y,).)= (x, y) +.iv(x, ),rp(x,y) y) ii izjednacimo izjednadimo prve parcijalne izvode izuod" Ii aFfunkcije lunl(crJe f (x,y)+ ax E:'
ay Y
DA ;7
F(x, y, 2) sa nulom. jednadine F(x,y,l.) nulom. Dobijamo Dobijamo sistem od tri jednacine "aF
r,t)+ 1q",(x,y)=Q, fY(x,y)+.ívC(x,y) = 0, f,f ax = ff= aF
*tI+ Lpn(x,y)=o, av = f,f fy(x,Y)+4y(x,Y)=0,
(*) (*)
{= aF ar
Q(x'l)=0,
-= =wx,y)=0, pomodu pomoiu kojih odredujemo odreilujemo vrednosti A ,t ii koordinate koordinate xr i y mogudih moguiih taaka tadaka ekstrema. Pitanje postojanja ii prirode prirode uslovnih uslovnih ekstrema se pomodu znaka se regava re5ava pomoiu znaka drugog totalnog diferencijala Lagranzove Lagr aniov e funkcije z
z
F z
a !F dxdy+ a l, dyz d*' +2 * z 9^' a*ay +d^' 7rz, IF dxz axay aye dxdY axz dx' dy'
dzF(x,Y) J2 F1 x,y 1 = a =d-'
,
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
promenl.iivih vile promenljivih Funkcije Funkci.ie vise
135
iz dobijenih dobijenih iz xo yo A vrednosti xo,!0,1 za skup vrednosti za skup ,
,
a
dy = 0 dx + YO**YOr=0 Dy dx a Y
(dx,dy)*(0,0). (dx, dy) * (0, 0) . Ako
=0 dx + (*) pod pod uslovom uslovom dy ax dx aY ay ^Ya**{ay=0,
( *)
,
(xo,yo) funkcija tadki (xo,y0) je d2F(x, yo ) < 0 , tada u Weld d2F1xo,yo)) m=_ m=-J2 2m+1=4 2m+l=4)
z' =
4 xz
z
4
4 x
2
l
z a
3(Z) --3(x) i5 t,*f 3 z2 *3x4 = 1,I,' -
(homogena homo g ena diferenci ednacina ) diferencijalna J alna Jjednadina)
L=t*z=xt, Z =t z=xt, Zz'=t*Xt' =t+xt' x
=---t
, 44 I1 4 -3t3 dt 4-t6-3tj , 4 / t 1-=dt 4-t6 t+xt ,+-t'i, =----=--I'a= XI' x-= tt,=2---t-4-=----f dx 3t' 33 dx 312 3t2 33 3t/ 3tz 312
dx dx t", 3t2 3", - I.X dt dt dt d, , 3t2 -d'-ld'=f r x _Jt6+3t3-4 r . = X x t6+ t6 +3t3 3t3-4 t6 +3t3 -4'' -4 1
i+ ln c== f!#-312 - lnitnlx l+,n,
t6+3t3-4
t= r t*
dt = =(':,;;
=
" 3t2dt=dr = o,)= _
r
t 1
=* *rdrl - * I*r+dr4 r2+3r-4 ;= dr
=
r
t
J
=
1
r - t i-lnl r + a l) = on1 r-1 = ln l- rnl r+41) tS (lni ts r+4 +lnixi=lnclns r+4+Inx=lnclnx5 r+4 =lnc 51n r+4
=
"l#
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
reda pn,og reda Diferencijalne jednacine pn'og Diferencijalne jednaiine
141 141
Z3
r-I =c x5-lft3 -1 lr-t -t x xx'\!u4-c+x r+4 ilrt3 +4 =c:x'
3 X3
5
_1
=cx
Z3-X3 Z3
Z
+4Xj
=c
X3
,1
3.
wy -X 2
z' Z3-y2x =!'
=x'sr!* y2 + 4X3 5
C. =c.
'=w' -y
1'-
jednacine y, re5enje diferencijalne diferencijalnejednaiine Nadi NNad opste op5te re"enje
2y 2v
--trx
y' = -
2xy
2
2
jednadina) diferencijalna jednacina) (homogena diferencijalna
t-l)2 x
! =u, - u, yy=xu, =tt* x' tt' = x' u, y' =u+xú x u+u3 2u 2u 2u ,=.a.2u u- u+r3 xu,,==--w=u+xú Ua^.U = -a I.e 1-u l-u' 1-u l-u' l-u' 1-u 1-u l-u? l-u2 du= dx ,17ttu= ,dx 1-u2 1j u(1 + u ) 'x x -< 'u(l+u") X X +u ) u(l+u') u(1 +Cu Bu+C A(1+u2)+Bu2+Cu 1-u2 I-u2 -AA *Bu+C + -A(l+u2)+Bt!2 -uu=u l+u2 u(1 + u2 ) u(I+uz) 1+142 u(1 + u2 ) u(l+u2)
Uvodimosmenu Uvodimo smenu
Y
2
u-
2
2
..
j
U
1-u2=(A+B)u2+Cu+A l-u2 =(A+B).u2 +Cu+A A=1+B=-2 C=0, A=1B=-2 A+B=-1, C=O, A+B=-1, r,1 + lnlul-lnl1+u2I=1nIxl+c nlul-tlt+u2l='u,lxl+c + 1+u2 x ci,c=lnci !,*-#,ou= #=x'ct, c=tnc1 u 1+u2)du= I+ jXx
vv
y
Y
31+y2 -x
-xx'ctciX2+y2 cx2y2 * ci,*fix2 +y2 -x = ct' = x' ct =* t=
x' ct
.1
x'
x2
4.
x2 x'
dodira tangente tacki dodira tangente ii preseka je rastojanje izmetlu tadki rastojanJe izmedu Nad familiju krivih kod kojih Je Nadi familiju -osi odreduje tangenata. na y odsecka koje na duiini odseika sa y -osom jednako duZini tangente sa
f
je nekoj tacki taEki T(x,y) T(x,y) ie tangente uu nekoj Jednadila tangente y = (x) . Jednaina tunkcija y=f(x). je nepoznata funkcija Neka je je (x0=0) = y -xÿ Rastojanje (xr=fl,; yo Rastojanje izmedu y - osi je na y-osi y!-!o=y'1x-x). - yo = (x -x0). Odsecak Odsedak na lo=!-xf'. (l'yil) jeie (tadka (0,y0)) osom sa y tangente sa )-osom (tacka preseka tangente tangente T(x,y) dodira tangente T(x,y) ii preseka tacke taEke dodira .
V(x-o)2 +(y-y+xy')2 =Vx2 +(xy')2 Ix2+(xy)2 =1 ,[W y-xy'I/2 * =lt-xt'l/'
x2+(xy')2=y2-2xyy,+(X3')2 x2 +(xy')2 - y2 -2xvv'+(ry')2
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
142 142
jednaiine prvog reda Diferenci.ialne jednacine Diferencijalne
2xvv' 2xyÿ == v' y2
.Y)
2
(y)2-1
t-t- x =5+ = x 2xy2.y
x2 -- *2 - t'
y = =
2
(homogena diferencijalna diferencijalna jednadina) jednacina)
z.-
x
t,=u, Y :-= lt. t y=xu, y'=u+xú U+ Xll' ! = Xil, y' =
x
x-= u= 2, =' d*=-r;-'= dx 2u
,2-l u2-1
..,,_-,== u+xu '--=i-
du du u2-1 u2-l
du = - dx * 4-n"=-+ u2+1 2u
mlu2 InI u2
X
2u -=-; 2u
1
1
2u
1 -c1 x
+ +tl=-61,l+c= 11= -lnI x I+ c =1n ,rl+.r, ,, c=tnl c=lnlcll c
c y 2 +1= c +l =9, I =L = 1* X xxzr x x
u2+1 = u2
u2-l-2u2 u2+1 u2+l u2-1-2u2
2u
+ x2+y2=c1x. *2 +y2 =ct.x
Jednacine lednaiine koje se svode svode na homogenu
Diferencijalnajednadinaoblikaf=rrffi/gdesua,,a2,b1,b2,c1ic,realni Diferencijalna jednacina oblika y' = f( aix + b1y + c1 gde su a1, a2 b1, b2 c1 i c1 realm ,
,
a2x+b2y+c2 brojevi, aa / neprekidna funkcija, funkcija,mole jednadinu koja mofe se svesti na diferencijalnu diferencijalnu jednacinu koja razdvaja razdvaja promenljive promenljive ili ili na homogenu.
f
a) a) D o=lo-' = a1
u,'l=0.
b1 = 0 . U tom tom slucaju sludaju smenom a1x a,x+b1y*c,=1 + b1y + c1 = t iliili a2x + b2y arx+b2y+c2=, v2t +t L2 --- --J- smenom c2 = dara data -' t u4 a2 b2 bzl lo, jednadina se diferencijalna jednaina diferencijalna se svodi jednadinu koja svodi na na diferencijalnu diferencijalnu jednainu koja razdvaja promenljive promenljive. b) D b) * 0 Uvodimo D*0. Uvodimo smenu smenu xx=X+d, = X + a , y!=Y+p, = Y + fi, gde gde se se aa ii B ß odreduju odrecluju iz iz sistema a1a+ ap+b,B+c, b1ß + c1 =0, b2ß + c2 = a2a+brp+cr=0 jednoznadno odredeni). (a,g a, ß su su jednoznano =0, a2a+ odrecleni). Tada Tada je ( \ Y +b/ ,_ a1X + b1Y f f Y =Y g 1 , X*0 je homogena x *0., aa to to je homogena direrencijarna diferencijalna i a2X+b2Y- a2+b2X/ '' CX) .
0(
a1X
='(ffi)= rl#l=4*1,
jednadina. jednaina.
1.
1.
1-3x I 3t Nadi Naci op5te opste re5enje resenje diferencijalne diferencijalne jednaCine jednacine y' == ;
ÿ'
-3y - 3y . 1+x+ y 1+x+y
l-- 3t --i".1=-J+J=0 =-3+3=0 uvodimosmenu uvodimo smenu 1l+x+y=1 + x +y = t lt," t l+y'=tl 1+y'=t't=> y'=t'-l e y'=t'-1 I1-3x-3y=1-3(x+y)=1-3(t-1)=1-3t+3=4-3t - 3x - 3y = I - 3(x +y) = I - 3(t - l) = I - 3t + 3 =4- 3t 4-3t , = 4-3t 4-2t t { - t =t:-,, t'-1= +1= a 1 =4-}t + -4-3t = ax t t 4-2t =dx V\at t
Kako je D Kakoje = D=l
t j4t= jdx)
I
-at
o p=[ax -2j44?2t4dt=jdx-2 j(1 442t)dt= jdx I;*,=!d, -ttffi,=!ax*-11,,-
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
4-2t
143
Diferencijalne jednacine prvog reda
-i,2 * li*2dt 1
t,
=x+c =x+c
-mP - zl= - -1-1,t-InI4-2tl=x+c
x+c
2
-2(1+x+y)-1nI4-2-2x-2yl=x+c - 1 + x + v ) - tnl4 - 2 - 2x - 2vl= * *, r(
* =c+2 o --2x-2y-1nI-2(x+y-1)I : )' - tt - ml- zt * + v - t )l='
=c1. c, . -2x-21 n - lnl(x + y - I )l= c + | + h 2 = - !, - L y-1nI(x+y-1)I=c+2+1n2
2--2'/'t2
2.
2.
S)dx =0 + (x -2y (2x - y + 4)dy 4)dy +(x jednacine (2x- 2y + 5)dx = 0 .. diferencijalne jednacine rdenje diferencijalne opte resenje Nadi Naéi opste
(2x (2x-y+4)dy = -(x - 2Y + S)dx - y + 4)dy =-(x-2y+5)dx x-2y+5 y,, -x+2y-5 dy x-2y+5 dy -x+2Y-5 2x-y+4 " 2x-y+4 dx dx 2x-y+4
je D= ,=l Kako Kakoje
-I
2
=1-4=-3 O,uvodimosmenu ',1=r-o=-3+0,uvodimosmenu ^' -rl 12 -X -a+2Y-2ß-5 1,, Y'- -X-a+2Y+28-5
"
=Y'. y=Y+ß + p ii ÿy'=y'' x=X+a, x=x+a'!=Y
' 2X+2a-Y 2X+2a-Y-ß+4 - P+a 2a-ß+4=0 2a- B+4=0 -a+2ß-5=0, -a+2P-5=0, se a d== -1 sistema dobija se Resavanjem Re5avanjem sistema -l ii Bß == 2. *'; -tt')!-1+2Y --7*'r! =-' Y' ,' = -X+2Y YX -Y = = 2X 2X-Y
jednadina) diferencijalna jednacina) (homogena diferencijalna (homogena
2-,_+ X
Y L=t=Y =tY=XlY'=t+Xt' =Xt*Y'=t+Xt' x X tz-l +2t-2t+t2_=-t2-1 -1+2t _r_-l t= -1+2t-2t+t2 X't==-!+2t = -1+2t *xf t+Xt' t+xt,=-l+2t 2-t 2-t 2-t 2-t 1 2t dt 2-t d_dX J dX t
?a,=ff-4*-*t;?,=l+ X t2-1 Jtt_ -1 t
2J
2
X
lnIt2-11= 2lnl 2.!trv:ll-!mlt 'l In X+c -' 'z"'lt+tl t+1 2"'"1" -tl=tnx+c
2
ln
t-1 (t+1) t2-1
Y
-1nXcl
Y Y- 12 ,,2 ( ) (X
tV-,, *-'l
lt+tl -1
X
(+1)
1
c--htc1 ln(t2-1)2 Init+ll ml'-trl-,n1t2 =hx-c1, c=Inc] -111 =lnXc1,
(X)2-1
t2z
-c1X/ =r,.x /
Y
-1 (Y-X)XZ --, X -x)x2 =c L-L-s = Ct)L= =_ V-' ' Xa =
(f+1)2[()2 *+1] t1 (X-rIr!* x n l&t, l,* 1,*
u'
1)?
+X)i (Y+X); E
2
Y-X Y -X -c = r'2
----=
(Y +X)' (Y+X);
2
Y=y-2, X=x+1
y-2-x-1 (y-2+x+1)'
y-x-3
-c 2
(y+x-1);
-c
2
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
144
Diferencijalne,jednacine prvo_g reda
3. 3.
Naii Naéi op"te op5te re"enje reSenje diferencijalne diferencijalne jednaiine jednacine y,'=6!t!)2 = x -y
-l
2x-2y+1
1
)2..
-1
je D= Kako je o =ll-'^l=-r*r= =-2 + 2 = 0, 0 , uvodimo uvodimo smenu smenu2x2x-2y+ 2y + 1= I =tt . 2 -2 12-21
"
2(x-y) 2(x-y)=t-1 =t- I
t-3
t-1 t-1 t-1-2 t-3 r-1-2 * -t ==4, .f,x-y-1= -y -, =1-, = 2 =t-3 = x-y 2-1= - 2
=+ =+
=2-t' 2-2y,2-2ÿ 1,)y,=+ f =14y, =t'ÿ 2t 2 2-/ 2-t' (t-3)2 1t-3)2 (t - 3)2 4t2 4t2 -(t2 (t-3)2 ^ ,,=4_{_z_(r-1), -1t2 -6t+9) -6t+g) 2-t'_ -7-=-iT= /'-i = y'=(__2_)2 ,,=17 =(_t__3 )2 t
212
a
2t,
4t2
2
r'"
2t2
dt=dx or=dx
)
--T-
2t2 2t2
212
22 .3t2 +61-9-6t+9 3t2+6t-9-6t+9dt=dx dt=dx
3t'+6t-9 3t2+6t-9 33 3f +6t-9 3t2+6t-9 2t-3 dt-= Jdx + 2t 2 6t+6-15dt=x+c Jdt-2J [dx 3t* 3 i,3 3 312+6t-9 = x+c 3t2+6t-9 10 dt + 6t + rl,, t-3lnI3t2+6t+9I+ =x+c I )2-( 2 =x+c
rti#,
-it#ffi,
I
i' i^l3i
3
ffi t+1-2 t+1
2
2 t+t - z 3i +6t+91+-10 + 6t + gl*!! -1 In - 1 1n1312 =x +c I 33 f-,) 3t-33"lI 2.2 2.2-'lt+t+21 t+1+2 =,*" -2 (2x-2y+ hl 3(2x 2y + t1)2 s1z, 6( x 2y + 1)+91++61n t ) +, )2 + 6(2x - zy - 2y+ t3 e, - 2y + 1)t --3J lnI l.. *
-2 1,
3
4.
Naci Nadi op5te opte re5enje re§enje diferencijalne diferenc[ialnejednaCine jednacine
!*7 f- 4x-y+ = 2x+y-I 2x+y-1 =41*-
4-1 21 l2tl 4a- p+7 =0 ,, 4a-,ß+7=0
je D= Kako je o=11-,'l=o*r=6*0. = 4+2 = 6*0 , uvodimo uvodimosmenu smenu
"
7
2x -2y =x +c 2x -2y +4 =,
^lffil
2
1
4.
I
*.
.
x=X+a, y=Y+fi, y'=Y'. !=y * F, y, =y, .
2a+ 2a+11-1=0 B-l=0 Re5avanjemsistemadobija Re3avanjem sistema dobija se se a =-I ii B= d=-l 3. Q = j.
x=X-l:+X= x=X-1 X=x+1, x+1, y=Y+3Y=y-3, y=y +3*y =!_3, y'=Y' y, =y, Y ,Y 4y' _4X-Y lH Y' (homogena diferencijalna jednadina). diferencijalna jednacina). = =* E (homogena 2X 2X+Y +Y z+_ ^ ÿY 2+X x y' == uu++ X.u' Uvodimo smenu { = Uvodimo uu, Y = =X-u, X. y, Y' X ú. X x = du 4-u 4-u-2u-u2 4-3u-u2 *-u2 u2+3u-4 +3u-4 u+X ,rary.u'-!J! ú = 4-u -x4=1-u u= --u-4-u-2u-u2 2+u 2+u dX dX 2+u 2+u 2+u 2+u -4-3u-u2 2+u 2+u 2+u 2+u 2+u il( ____utt=__ du=--dX u' + 3u-4 X u2+3u-4 ,
.
X-=
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
jednaiine prvog Di.ferencijalne jednacine prvog reda Diferencijalne reda
2+u 2+u
,,
145 145
2+u 2+u A A B Au+4A+ Bu- B - Au+4A+Bu-B - u-1 + (u-l)(u+4) (u+4)(u- l) (u+4)(u-1) u'+3u-4 u2+3u-4 (u-1)(u+4) u-l u+4 =
A+B=1, 4A-B=2 A+B=1,
Re5avanjem sistema dobija r" Resavanjem se A = =1
5
du 3, du 3 22, du du
5J-1+5Ju+4 5'u-l 5'u+4
-l-r-l-=-lu
i B=-2 r, =1. .
,dX dX J' X
!ilniu-11+1lniu+41=-IniXl+c nl u - t n u + 4 l= - tnl x l+ c = - tnl x l+ tn 1 ^t
h{AW
c
1
ln cit k?X,. c= c = tn
= = ln
c
64[,t1' *+In(u+4)2 lnV(u-1); k{tu+q'z ==lniku-1)?(u+4)2 =ln = h+ il(u-1)3(u+4)2 ==!JX .q (Y-X);J(Y+4X)2 +qxf tY -xl3
)
X
(._J)3 c2 =c¡ (X+4)2 ==#,cz=cl tf;-tt,.tf,+$ ,
XS
(y + X)3(Y 4X)2 =c2 > (YE -_x)3 +4x)2 =+ =6, "z Xs Xs XS Y + 4X = y - 3 + 4x a( =y + 4x + I Y-X=y-3-x-1=y-x-4, - X = y - 3 * x - I =! - x -4, YY+4X=y-3+4x+4=y+4x+1 (y (4x + y + l)2 =c2. (y-* x-4)3 * - 4)' .(4x+y+1)2 = cz.
Lineama jednaiina Linearnajednacina je jednaina jednadina koja se To je y'+/(x)y=g(x), gde su se mofe moZe svesti svesti na na oblik oblik y'+ su/i f i gg neprekidne f(x)y= g(x) gde neprekidne ,
funkcije.
a) a) b) b)
é
jednadine dato je obrascem y = Resenje jednaine g(x)e!I(''xL'ax7 = e-!n'ta*lc f (x)d`dx ] . f ("Y)dr [c -J - ! g(x)el Resenje je oblika Re5enje je oblika !y ==uv, uv , gde su v funkcije .Iz y'=tt'v*nv' = u'v+ uv' sledi u ii v od xx.lz siedi da su u funkcije od da je (x)uv je uy' + f(x)uv = u'v + uv' g(x) g(x), + (v'+ odnosno da vu' (v' + f(x)v)u odnosno g(x). , je = g(x) . da vu'+ Nepoznatu f = f(x)v)u =
funkciju funkciju
y
v
1
trazimo uslova v'+ f (x)v = 0 . traZimo iz uslova v'+f(x)v=0.
.
L=-71ry" d = -f (x)dx *
dv
= -J f (x)dx Pri I+=-!f{ilax.Vn
J
.
trazenju traZenju neodre(lenog jer se neodredenog integrala ovde se obzir konstanta, se ne ne uzima uzima uu obzir konstanta, jer se ona ona uu daljem trazenju traZenju resenja skrati. skrati.
"dxvttv
l.1.
g(x)+du=8(x) du = g(x) dx u4= g(x) = J g(x) dx *+ Jdu d*. [au=18(') r dx v
v du =
Naci Naii opste op5te resenje re5enje diferencijalnejednatine diferencijalne jednacine
2
= (x + 1)3, 1)3, x * # -1. t' -*, -1. x+1 y =@+
Uvodimo smenu y! == uu-v, v , y' = = u'v tt'v + uv' 4v' . -
u'v+uv u', + ur' --UV = ( x + I )'? ) -4yy uv=(x+1);
x+l
2
v)u=(x+1); = x + I )3 --Z-vp x+l x+1 (
2 ? v=0) dvd'u =J+l lnlt,l=2lnlx+/l* r,= (x+t)2 dxlnlvl=21nlx+ll x+1,dx = t
,'' --J-r=0 x+1 J+/
V
VLL +(v vy' + 1r'
v
(x+ 1)2 .u' - 1x+ 113 > du=(x+1)dx (x+1)2u'=(x+1); du- (x+ l)dx
v=(x+i)2
l
u=!t' + x+c - u=x2+x+c 2
y = u. vv = *' (** t)2 +x(x+1)2 + x( x+ +c(x+1)2. t )2 + c(x + l)2 !'2 = |x2(x+1)2 2
.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
146 146
Diferencijalne jednacine prvog reda Di.ferencijalne.iedrwiine 3 * d* =* x !y dx
2.
resenje diferencijalne jednacine dy = x + Naéi op5te opste re5enjediferencijalnejednaiine Nadi
2.
-
jednacina) diferencijalna jednadina) y = x2 (linearna diferencijalna * y' --!y= r' (lin"rrna Uvodimosmenu 'v + v' 'tt Uvodimo smenu !y=uv, = u' v , y'=ú !' = tt' v+v'u. ,rl vúy' +(v --X OU= x2X2 + (v' -!vy= vu'+uv'1 uv=x2 v. u + u. v --n. r = *' > v. 1
y' == += x2 r' +*IJy
'dxx'r dx
.
2
xx . I ., r -r - ) dv dxlnvl=lnlxlv=x v-Iv=O v'--v=0 ) lnlvl=lnlx l= v=,r v xxvx x -=; xu'=x2=x xt'= x2 9 y'= x * du=xdx du= xdx ) u=x r=t*, +c X
d=
r
2
2
I
x' x'
+cx. yy=-+cx. = '2 2 Berizulijeva B e rirulii ev a jednacina .i e dnaiina
f
R , aa/ii gg su neprekidne je ae y'+ f(x)y= neprekidne funkcije. de R, jednacina oblika g(x) ya,, gde je To je jednadina oblika y'+ f(x)y = g(x).yo je i jednaeina koja razdvaja promenljive ona je linearna (za (za a =1 ona Za a=0 a=0 iliili a=1 onajeijednadinakojarazdvajapromenljive Za a=,l onajelinearna a=l je sveli je uu tom sveli na linearnu iizaproizvoljno za proizvoljno a, na linearnu y'=y(g(x)-f(x))). bi je a jer je = y(g(x) - f(x) )). Da bi tom slucaju sludaju y'
í
-a , jednadina postaje pa jednacina pa smenu (x) = (1- a)y-a , smenu z(x) z'(x)=11-a)y-o.!', uvodimo =y uvodimo z(x)=yt-a, z'(x)
*+.Î(x)Y-g(x)ya " f(x)'y-s(x)'y' =0/(1-a)y-a =0 --U /'(1-a)'y / (t -d).yy-a*^ (1-a).
í
(x)+.Î(x)(1z'(x)+ a) y y-a f(x)(l-d).y.y-"
-(1-a)g(x) Ya .y-o Y-a =0 -(l-a)s(x)'yo
z'( x)+ ( I - a). f( z`(x)+(I-a) f(x)z(x)-(1-a)g(x)=0. x). z( x)- ( I - a). g( x) = Q .
1. Nati funkciju koja prolazi kroz tacku (-1,-1) sa osobinom da je odsecak tangente 1.NadifunkcijukojaproIazikroztaiku(_1'_1)saosobinomdajeodsecaktangentena
-
jednak kolicniku apscise kvadrata apscise x osi uu svakoj x-osi svakoj tacki taiki jednak koliCniku kvadrata dodira.
ii kvadrata kvadrata ordinate ordinate
na tacke tatke
u nekoj tangente u nekoj taeki tall 1 h' h'll 1 -=--=-h x2+y2 x2+y2 t
ah
dh dt 2y.. h''2y dt dy = h'
ay #= *=#
- + + h =2x(x+y)h'+h Q = áÿ (x+y)+h = 2x( x + )h' + h # =*, v)
v
+y2 )=-h> h'(x2 +YZ)=-h -h'(x2+y2)=h -h'(x'*y')=h) h'(x2
I
h=-1 h I=-InI tl* h=! t#"=1+ a nlhl=-/nl = h=*f x2+y2
dt j h'(t ) dt =-J h
1nI
t
t
1
t
x-y 2dx+ x+y .[+Y r-v Zdy=O =0 --;----;ctx*-;+dY 2 +y xr'+YX +y' +y x" x-y aF aF r+y aF= .r-y aF_ x+y
ay x2+y2 dr x2+y2 h *'+y2 ,2 +y2 '' -=+ x xy af ,t'-v ) F= aF F j
ax -=-
! x ! S(v) ln(x + y)dx rl# 2= v'!arctg!+ S(y) t2 - y-arctg-+ = !-h(*' = l+d"=fr x2 x+y x2+y t +t 2y.v'E'J'.,--'trar +s'(Y) _ x+y2 +s'(Y) x( 2 )+s'(YJ = + + Zv-4.*F1)+S'(il=4,+t';+S'(y)= = F 'J, *, ++y2 +y, "y ,, *y, -,,, *2l*J;+S'(.v,r +y, 6=2' .45
ax= ar x2+y2
2
C1
YJ
2
2
2
1x2
2
1+-
Y
2
)
Y
2
y
2
Y
2
Y
v'
Y
x+y +S'(y)= I,*', s'(Y)=0 s(Y)=c S'(y)=0 - S(Y)=c * S'(y)= x+y {*Y, x2 +y2 = +y2 x'+y' x'+y"
X2
- arctg x= C. x2 + y2 -arctg!=g. hrl*\y'
In
Y v
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
152 152
,
Di.ferenci.ialne.iednaiine Diferencijalne jednacine prvog reda reda
jednaiina 3. Pokazati dadiferencijalna 3. da diferencijalna jednaina
(sx2 + (5x2 +2xy+3yj 2xy + 3y3 )dx + 3(x2 + +xy2 xy2 + +2y31dy=0 2y3 )dy = 0 ima )dx+3(x2 ima integracioni integracioni mnoiitetj mnozitelj oblika oblika h == h(x h(x + y) i nací nadi njeno opte op$te resenje. re5enje.
.
h(x+y).(5x2 +2ry+3y3 )dx+3h(x+y).(x, *ry, +2y3 )dy=g h(x+y)(5x2+2xy+3y3)dx+3h(x+y)(x2+xy2+2y3)dy=0 ah(x+y) (5x2 !P, t *' +2xy+3y3)+h(x+y)(2x+9y2)= + 2*y + 3yi 1 + h( x + y )(2x + 9y, ) = ay dy
=3ah(x+y)(x2+xy2+2y3)+3h(x+y)(2x+y2) jdh(*+,) {x2 + ty2 +2yj 1+3h1x+y)(2x+y2 )
= "E;t4
ax
ah(t) ,{*v x+y=t, h= h(il, -h,hi', ti = t, h=h(t), =
ry aY
,
h, = ni,
ah(t)
Y= t* = 4 ,
hi. ax =h,
,
.r
h,
-6y3)=h(t)(6x+3y2 -6y' ) = h(t)(6x+ 3y2 -2x-9y2) -2r -9y, h'(2x2 ti1Zx2 + + 2xy + 3xy2 2ry + 3ry' - 3y3 3yt ) = h(t)(4xh(t)(4x- 6y2)= 6y' ) = 2h(t)(2x zh(tx2* 3y' ) - 3y2 nilzxl h; x + yy) y1f = [2x(x sy2 (x * ++ y)] 2h(t)(2x 3y2 )) )(2x - 3y2 - 3y2 = 2h(t h;(Sx2 hi(5x2 + 2ry + 3y2 - 3x2 +2xy+3y2 3x2 -3xy2 - 3ry'
1
1
1
-
-
h;(2x 3y2 )( h;(2x-3y2 x + y ) = 2h(t )(2x 3y2 ) )(x+y)=2h(t)(2x-3y2)
dh(t) h(t)
W
=,'
dt
dh(t) dt =4 h(t) +t
*t ## =
h,
=
2
=2
= h(t) * x +y + t h=
= 21nI + lnI mlnlt h(t)I1l= 2 tnl t h( t ) = t2 t2 > h(x+ h( x + yy)) = ( x + y)2 _ (x+ y )2 l= h(t) I
7x+y1215x2 +2ry+3yi 1dx+3(x+y)2(x2 +ry2 +2yi 1dy=g (x+y)2(5x2+2xy+3y3)dx+3(x+y)2(x2+xy2+2y3)dy=0 + 2ry + y2 )(5x2 +2xy+3y3) + 2ty + 3y3 1 = (x2 +2xy+y2)(5x2 *ax -=,t' = 5x2 5x2 +2x3y + 2x3 y+ +3x2y3 3x2y-' +10x3y + l0x3y +4x2y2 + 4x'y' +6xy2 +6ry' +5x2y2 + Sx2y2 +2xy3 = + 2xyj +3y5 + 3ys
aF Dy $=r,r*
y)2(x2 y)2(x2 +xy2 +ry2 +2yi +2y3)1=(3x2 +ry2 +2y3) +2y, )= +6xy+3y2)(x2 =(3x2 +6ry+3y, = Xr, +xy2
= 3x4 +3x3y2 +3*ty'+6x2yj +6x2y3 +6x3y+6x2y3 +12xy4 +12rya +3x2y2 +3xy4 +3rya +6y5 =3x4 +6ys
F(x,y)=!{5x4 F(x,y)= J(5x4 +2x3y+3x2y3 +10x3y+4x2y2 +l0x3y+4x2y2 +6xy4 +6rya +5x2y2 +Sx2y, +2xy3 *2ry, ++3ys 3y5 )dx = 1dx= 1 4 37 +2x 5.4 4 3 2 2 4 5 3 2 =x5+2x y+3x y +3x y +3x +3x2ya *1*'y'+*'y, =tt *1*oy+r''y'' ,.,2 yr 3 +3xy +3^ts5 +S(y)= +s(y)= Jy +x 'y+x y-' *lroy*lt3y2
2
2--' 3--,
3.-
= x5 +3x4y+*''yt +3x4y+x3y3 +3xsy2 +3x3y2 +3x2ya +3x2y4 +*,yt +x2y3 +3xy5 +3rys +S(y) =xs +S(y)
aF(x,y) 9!++=3x4 3x4 +3x3y2 +6x3y+12x2y3 +6x3y+t2x2y3 +3x2y2 +15xy4 +t5rya +5,7y)= +s'(y)= ay dy
5S' > S,(y)=6ys = 6y
2+6x2 3+6x3 4+3x2 2+3 =3x4+3x3 +3x3y2 =3x4 +12rya +6ys Y +6x2y3 Y +6x3y+6x2yi Y +6x2 Y ;+12 xY +3x2y2 Y +3ryr xY 4+6 Y S(y)=y6 +ct = Y6 +c1 S(Y)
(Y)
5
3 3
X5 + x5 +3xay+r'ty'' 3x4y + x y +3xiy2 + 3x3y2 +3x2ya + 3x2y4 + +*,yt + 3xy5 + x2y3 +3rys *y66
=C x2(x3 +3x2y+3xy2 *21*j +3x2y+3ry2 +y3)+y3(x3 +yi 1+y''1*i +312y+3ry2 +yi )=c +3x2y+3xy2 +y3) =C +y3)(x+y)3 =C. (x2 7x2 +y311x+y)3
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Diferencijalne pm o g Difere ncij alne jjednacine e dnaiine prvog
reda re da
153
'
Klero-ova jednaiina jednacina Klero-ova
' -
To je je jednadina jednacina oblika y == ry' ( y') .. Neka je y' = p, xÿ + ff(y') pidemu p , pri emu je p funkcija od od xr . y=xp+f(p), y=xp+f(p), y'=p*xp'+f'(p)'p', y' = p+ xp' + f'( p) p' , p'(x+f'(p))=0. Odavde sledi da je Odavde siedi je ili ili p'=0 p'=0 ili ili x+ x+ f(p)=60 f'(p)=g .
.
p'=0+ p=c)!=cx+f(c) p'=Op=cy=cx+f(c) p) = x+ f'( g(x)+ x = -f'( p) pp== g(x)ay=x. g(x) y = x g(x) x+ x=-f'(p)+ + f[g(x)] f'(p)=0* fl1(il]
, 1. 1.
, i -llt -Pxx
Resiti diferencijalnu jednaCinu jednainu y == xy' Re5iti diferencijalnu xÿ -lny' - lnÿ . p= p(x) y'= p, P+ P=P(x)
y=x'p-lnp y=xp-lnp
y'=p*x.p;-!.p') p'(x-!)=O =P+xp --1pp p(x-I)=0 P P . p'=O p'=0-p=c)y=c.x+lnc p=c y=cx+lnc . xI= 0 p=-1 x-z=0+ p =4,3 !=l-lni-=l+lnx y =1- In-1 =1 + In x p
2. 2.
-
x
x
I, y_!,y,=_4r,,2*o y=z,y=2i,z#0 -(z)? x í)=0, {-Lr!-4.r')=0, z zb z4 z2 z6r4zz-
jednatinu (ÿ Uvodeci smenu yJ=l (y')3 Uvodedismenu = resiti re5iti jednainu )3
--lo(l+ry')=0. y° (y + xy) = 0 .
z-Z
1
(-z')3 (-í)3-z+ xz' =0 -z+ xí =o
.
. .
(singularnore$enje). resenje). (singularno
,
1
1
. .
(singularnorelenje). (singularno res"enje).
zz = = xz'
- (íz')3 (Kleroova diferencijalna jednaCina) diferencijalna jednadina) )3 (Kleroova
íz'=p, =p, z=pdx (
z= xp- p3 ) 7'= z'=p+(x-3p2)p' z=xp-p3 p+(x-3p2 )p' > pp=p+(x-3p2)p' p+(x-3p2 )p' (*-3p2 )p'=0 (x-3p2 p'=0 p' =o ili ili x-3p2 =0. )p'=0 =Q .
= . p'=0 = p=c p=s- z=xc-c3 =!=*c-c'' 1 =xc-c3 = y= y=# 1 y xc - c' x-3p2 =0t+p=tfi p=m"
,tGr x x = ±x +( ) +qy 3 ;=*rt/i , 1
;
±x >z=!.x.8-,r8, )3 3 -(t 3 z
(singularno re"enje). resenje).
Y
"
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor I
I
154
Diferencijalne Diferencijalne jednaiine jednacine prvog reda
154
3.
3.
Resiti diferencijalnu Re$iti
á, a=const. jednaiinu yI =-- xÿ jednacinu xy' + 4, c=const. y v
á
jednadina se svodi na Smenom y'y'== pp jednacina Smenom na yy == xp+ xp++ .. p p , a , , a , y' =p+xp p(xp'(x -3) p2)=0 = p* rp' -* p' =0 * pp' =0 =0 iliili *
p
.
p- = p' p'=0)p-c)y=cx+! p'=0 p=c y=cx+á
.
a-a)"li x=Z= xp2 x--=0= p2 =Ox=
-4p-
=0 =O
c
p2=áp=± =-x= O=*{;
y=±xT-
+
á=±
F
P-
x
x
ax± ax=±2 ax.
Uvodenje parametra parannetra Uvotlenje jednaEine F(x,y,y')=0, U nekim slucajevima F(x, y, y') = 0 , aa da se sludajevima mo2e moZe se se odrediti resenje re3enje jednacine se ne odredi y' kao funkcija od parametra i posebno posebno je vazan od xx ii y .. Postupak se sastoji u uvodenju uvodenju parametra valanza za jeparametar jednadinakojesenemogureSitipo slucajeve sludajeve jednacina koje se ne mogu resiti po y'.Dakle,uzmimoda Dakle, uzmimo da je parametar pp=y'. = . je F jednadine F(x,y, Tako dobijamo dve jednacine pdx.. Ako je F diferencijabilna, imamo p) = 0 ii dy == pdx F(x,y,p)=0 aF Lo**Lor*L1o=s. ..
dx + ax Dx
dy + áp dp = 0O.
áÿ dy'dp'
jednadina mote jednom od Ova se pisati Ova jednacina pisati uu jednom oblika moZe se od oblika
+páÿ )dx +
,*.0*,*+ffae=o (áx áF
dp = 0
ili ili
AF+ p AF + p AF dp = 0 (?+p?)dy+p?dp=0.
je to jedne od F(x, y, p) = 0 ii jedne iz F(x,y,il=O to moguce, mogude, iz Sada, Sada, ukoliko ukoliko je áF)dy áF dy dp Y p jednadine odredi se poslednje dve jednacine p) ili y( p).. Ako smo smo odredili odredili x == x(p) ili y == y(p) x(p) se rx == x( x( p) tada tada .
áx dx
(
{P ) ap je x(p) je =1Iv'Y (p) p)= px'( o)dn +c .. Ako smo odredili y(p) dp *, +c y(p) p) tada je x( p) = odredil i y = ie y( = [j px'(p)dp+c = y( p
1.
1.
jednaiinu (y'13 Re"siti Re5iti diferencijalnu diferencijalnu jednacinu (303
..
=O. 4xyy' + 8y2 8y2 = 0. -- 4xyÿ
y'= p, dy=pdx dy= pdx y'=p,
pi p3 -4xyp+8y2 -4xyp+8y2 =0 > 4ypx pi +8y2 4ypx== p; p; pt-!+8y2 8y'- {*rr-, 2y *= = p2 p * o, y + o = ' 4yp 4yp
4y p 4y p'
Posle diferenciranja imamo
PZ +?)dy, Z)ar, dx= Ldy d* = 1 -22)dp+(t!p dy -4Mp + 7t=* zYp'4y'pp 4y p p p 2
dx=( a* =
2y
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
.
prv o p re Diferencijalne reda ife re nci i alne jednacine D da i e dnaCine prvog
155 15s
lay=r!-4up*(-{p, 1 dy=(p zY-22)dP+(?- p)dY P P
2y
p' p
pP4y' 4y
dp=(p2+-)dy=P -lr' a,=t4-Z*lpy=rt dy o, z 2yp 4y 2vp' 4v' p 4y 2p 4v'p P PP p3-4y2 pt p3-4y2 dy dp=dy dy-2dp dp _pt -4y' dp-4y' .dy _ dp =.rdp -4y z
3 2 pt,-41' P
2y pp =e_=-dy y 2y 2w 2y' T-'
p p 2yp 2yp
jdy =2jdp ='t
I
p
2yp
=2lnl t l+' = nl n''',1, p2ciI, cc=lnc] = rP2 = t ? !y=cip2 * = hl tyIl= tnl pl+c=lnl
*
lnI
tn
2
c
c
je c2 *x==-t-*2''p'2c1 p2 =**2c1p c2 + c3 p, gde je rz =*, = 4-1 +2c i p= = =c21.cqp, 4c2 4c1 4 p2 p 4ctp'p4ct-4cz rP 2+
1 c3 c7
p= , =L1*(x-c2) -rz)
,
cj = 2c2 c3 =2c2.
.
(x-c2)2 = > yy==\1x-c2)' ro(*-rr)',oc4 ==4. =c4(x-c2)2 c3 ci ci
.
C3
jednadina u regenju Konstante c2 c4 mogu se predstaviti preko konstante c2 ii c4 konstante c, tako da jednacina reSenju prakticno praktidno ima samo samo jednu konstantu.
Lagranzova jednacina Lagranlovajednaiina
je pp funkcijaod To je jednadinaoblika jednacina oblika y=xf(y')+g(y').Nekaje y'=p pridemu je y = xf (y') + g(ÿ ) . Neka je y' Toje = p pri'emu funkcija od .r. x xf(p)+ f(p)dx+x f'( p)dp+ g'( y= p)+ g(p) p)dx+ x. f'(p)dp+ g'( p)dp dy = f( = xf( S( il ) dy= pdx pdx- f((P)dx p)dx = (x. ( p(x f(P) g'((P))dP p))dp p))dx = (x (P))dP e (P (x f(P) - .ff((P))dx f'(p)++ 8 S'(p))dp f'( p)++ 8 .
.
a
-f
p- f(p) *0 P-.f(P)*0 dx
.
Î'(P) f't P'l ' x+ jednadina) (linearna diferencijalna * * gr'((p) diferencijalna jednacina) = !dp !) , (linearna ' p-f(p) dP pP-.f(P) f(p) P-f(p) p-f(p)=0= p-f(p)=Op=pi,tadaje p=pl,tadaje jednadine. y= g(pr) singularno resenje xf(pl)+g(pl) reSenje date diferencijalne diferencijalne jednacine. = xf(pt)+
l.
1.
jednaiinu y ==ipr+ Resiti Re5iti diferencijalnu jednacinu (2x + y'). l).
, I . ,.2) y=-xY"-2(Y")2 ) = -,t-l ,{l Smenom
' =P y'=p
Y
-
2 dobijamo xP-2P y= -rp-lp'. dobijarro J Y=-
-
dy = -pdx xdp pdp dy=-pdx-xdppdp
p#0 p*0
> pdx pdx=-pdx-(x+ = -pdx - (x + p)dp p)dp t
2pdx =-(x+ p)dp 2pdx=-(x+
dx xx I dx _1-I x == --I1...(linearna (linearna diferencijalna jednadina). --I 9 y'1+-I --=diferencijalna jednacina). dp 2p 2 dp 2p 2 2p 2p -L22' x= x' = lr'v + l,r.v' = ulr. vv, x=u'v+uv' -I u'v+uv'+ u'v+uv'+ I uv =---1 vu' +(v' v )u= uv=-!)vu'+(v'+u lr=-l 2p 2 2p 2p22p'2 2 ,
1
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
jefuuiine prvog reda Diferencijalne jednacine Diferencijalne
156 1s6€
Jv
t -! , vv ^ dv dv vv dv dv tdo dp ,dv l,do .tlnlvl=-lhl I dv dp -Z v+2-p=0ap=-2p l' +- =g=-=--=,-3--a l-=--l: )lnvl=-2lnlpv=P ol) u= o =-2 --2Jp I I ov = 2p dp 2p vv 2p 2'p 2 1
-+,_-1t du=-1t pz+)
p ,u'=-,) PZÚ 2
du
dp 2 TO=-Z?, s
1
1
1
t +.
t
2
3
2
"'
+ +c du=-1 p2dpu=-1 p2+c du=-7pzdp=u=--p!
,-l
1
-!t'1 x=uv=p-2 x = y. v = p, (-p2+c)=-3p+cp t-i p, + c) = -! n+ cn,2 ,-l 2)-3,t! =-3 p2-cp2 y=-pF:p+cp y=-p(-3 p+cp 2,-io'=-!p2-cp2 1
1
2
:
y' = 0 singularno regenje. p=0 > !'=0* y=0 je singularnore5enje. 2. 2.
jednaCinu y = Re§iti = 2xy'+(!')2 2xÿ +(y')1.. Re5iti diferencijalnu diferencijatnu jednainu
y'=p, dy=Pdx ÿ =P, dy=pdx yy=2xp+pz = 2xp+ pz p + 2x$ + pP = 2p+2xcbc+2p 4dx dx dx dx z
2
dy=2pdx+2(x+P)dP ay = 2 pdx + 2(x + p)dp
pdx = pdx + 2(x + p)dp ) -pdx 2(x + p)dp = 22pdx -pdx == 2(x
p*0 p0
dx2(x+p)_ dx 2(x+ p) 2 ^ 2x 2 dp p p dppp ) jednadina) x'+? +ax= x' diferencijalna jednaCina) = -2 -2 (linearna diferencijalna p P x=uv, =ú v+uv' x=u.v, xx'=lr'.v+u,y' u'v+uv'+? uv =-2 vú +(v'+? v)u =-2 (v' Zv)u u'u + ru' + Zuv = -2 pp = -2 ) vu' + + ...._=--=--^-L
P
,'
4.1v
+2, =0 =
P
v1=-21n1 r? = I+' -4+=ln)hlvl= -ztnlp
dv=-2dp
*=
v=p
p1I =+, = p-22..
2 t dU ^ ) . r, ^ 't ^? ) . ) u=-3p;+c. jdu=-2Jpzdp u=-|o'*r. =-2p2 du=-2pzdp =du=-2p2dp=!au=-2lp2dp = ff--2p2 duP 2 1I 22 cc .2. x=uv=(--p =-3p+P2 x = tw =(-j O' +c) p*F +,).T=3 -) , =-2^ p-zú p-2u'=-,
v
P2
2
3 2
p y = r-1 p+4). 2p+ o' = -02^' +*2' * o' =z' - P!^ y=(-3P+ p2)2P+p2=-43 p p 3 3' pz' 3 pc+p2= pp=0, 0 y = p = 0, y' = 0 je resenje. > 0 singularno re5enje. = !=
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
157
Diferencijalne jednacine viseg reda
viseg reda jednacine viSeg Diferencijalne Diferencijalne jednaiine diferenciialne jednacine Snizavanje Sniinvanj e reda diferencijalne i ednaiine
a)
a)
integracija). y@G) f(x) (direktna integracija). y(" ) (x) = = /(r)
jednaCine y"sin4x y'sin4 x = = sin2x .' diferencijalne jednacine reienje diferencijalne 1. Nati Naii resenje
1.
sin _ 22x
= ,'~ ==':,# Y sin x
x
2 sin
#? sin
=,
X
sin x = t cos x gfux "dx = y' * =(,::T;: = 22! y = ! yy'd* r,)= (cos xdx = dt sin; x sin` x ffi x
J
+CI * r, * r, =2lt t t-t dt ==2Jd = -J"= -) = il 4 = 2J2 +CI sinz x
sin'x
tt'
't''I3
cz . +cif ctgx + cc ix c y'dx = j4 y= y = !Jy'dx= tx + c2 I dx == ctgx+ J d2 * sin x .
y(k), y(k+1), y(")) F(x,yG),y(k*'),..,!(") b) b) F(x, )=0 ,
smena: y(k) smena: Y(k) 2. 2.
j
y) sadrZiy) < k < n (diferencijalna jednadina jednacina koja ne sadrIi 7
..
I (diferencijalna (diferencijalna jednaina jednadina koja ne saddi sadrzi x) ,
.
dz .y =z = z, = 2,.z, ' =d! dx dx=1.+=4.r, dy dydx dx dy y y
yy' =z, z = z(y), y"= y, = z, z=z(y),
=
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
red.a
159 159
vileg reda Diferencijalne jednacine Diferencijalne iednaiine viseg
dy_d(iz) 2)2, itd. ,_ z z,,. + ,2 1. z = zz2. ,._dy'_dy' d_ =- dy' . dy _ d( z'.' ) y, z, + z. y-(zz+(z))z=zz+z(z),itd. = ' - dx dY dy dy dx dx dydx z
yn, =
5. 5.
.
.
(
1
z, 12
( z,
y' . y'-- /7 = y ' y'.
jednacine y' resenje diferencijalne diferencijalne jednaiine Nad re5enje Nadi
z* t =y.
z. z'
dy rdy=f .dz dz * 4= y.#=L t+* z-I y y - t!= fia, z-I dy z
z
z
dz a, = ! a, + !4 dz=jz-1dz=fdz+j a, = !# !$ z-1
lnlyl=j rnltl=
z
=z+lnlz-II+c1 = z + tnl z - I l+ c
1
z
z+lnl z-l l+c,'=cZ(z-l).e',z , c2=e z+Inl z-Ili =c2(z-1)e C|=ectc¡ y=e !=e
dY
I
dy
(ez + zeZ - eZ idz = c2eZdz 'v=Lrr'le'+re'-"'far=czezdz `
dx = 1 dy = 1 c2 =z z2.. z ,a=z)clx=-dr dx *cs c2eZ +c3 x = jdx = c2ez ,=ldx=
(z -1)e` l)e' cz(z* c3 c j,, y c2€' + obliku xx== c2eZ parametarskom obliku ! == c2 Resenje Re5enje je dato u parametarskom za y izrazzay zameniti u izraz od.rx pa zameniti Ovde smo mogli izraziti zz kao funkciju od
x-ç? z=ln c2
x-c3
s, -x--ca-=r=mlx-ci-|,,, eZ=
lr,C2
C2
I
.
c2eZ = x - C3 "r"" =x-c3
1)(x -c3). y = (In v=(hlTl-,x*-,,,. X
C3
C2
6. 6.
jednaCine 3yy' 3yy' Nad reSenje diferencijalne jednacine re5enje diferencijalne Nadi ,
6 .. 51y'12 = =0 - 5(y)2
,
,.
yY'=zrY'=zz' =z, y =zz
'-
3yz' - 5z=0 ) 3yzí-5z2=0 3yzz' - 5zz = 0 + 3yí-5z=0
3y i=** z
t
5
z'
=
í=3z r' =* 3y
5 zI= lnl y I+c + hlzl=]*lrl+c 3 z = 3 j ÿ = z = ÿ +=*-l+=it? dz
5d
s T-:
dz
5 d
lnl
c=In' cl '=''df "=tnl'tl
z= c1 ys
,
I
s
dy=cldx y'=z=cili*y3dy=cix y'=z=c1y3 j^2
jy 3dy=cljdx -Zy =ctx*cz -i;i 3 =c1x+c2 J y'iay=c,!ax=
-
y2(c1x+c2)=-2. i1[/p,*+cr1=-1'
I
e dnaiina linearna dife rencii alna ijednacina arna difereneijalna Homogena H omo ge na line I
' i y
jednadina je jednadina jednacina oblika diferencijalna jednacina Homogena Homogena diferencijalna ar(x),a,(x),"',ar(x) neke gde su su ao(x),a1(x),...,an(x) +ao(x)Y=O, gde +...+a/x)y'+as(x)y=0, an( +a,-,(xy(n-tl +...+a1(x) on(x)y(') x)Y("'+an-1(x)Y{"-11 # 0 .. an(x)*0 neprekidne funkcije ii an(x) n"prekidne jednadine dela jednacine homogenog dela jedno je poznato partikularno regenje re5enje y1(x) poznato jedno partikularno Ako je Ako lilx) homogenog je z=z(x), snaava red z = z(x) , sniZava gde je y = z y1, gde smenom !=z'!t, tada se se smenom (x) , tada y"+a1(x)y'+ao(x)y= y" + a 1(x)y' + a0 (x)y = f f(x), jednadine. diferencijalne diferencijalne jednacine.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor I
I
160
160
Diferenci.ialne.iedrnCine Diferencijalne jednacine vikg vile& reda
Ako Ako znamo dva znamo partikularna re"senja dva partikularna re5enja y1(x) r/x)
i
yr(*) y2(x)
i
jednadine jednacine
y'+a,(x)y'+ao(x)y = ff(x), (x), tada y"+a1(x)y'+a0(x)y= tada je je funkcija funkcija y3(x)=Y2(x)-y,(x) jedno partikularno rs(x)=yz(x)-ylx) jedno resenje homogenog regenje homogenog dela dela jednadine, jednadine jednacine, pa pa se se taj taj deo deo jednacine regava relava smenom smenom yh = y3z ln=!sz opste resenje Opte polazne nehomogene regenje polazne jednadine je je y(x)=yh(x)+y1(x) nehomogene jednaCine y( x) = y{x) + y /x) ili y(x)=yo(x)+yr(x) = yh (x)+ y2(x) . y(x) 1. 1.
Nadi op§te Naci op5te re§enje relenje diferencijalne diferencijalne jednaCine jednaCine
xx,y'+2.y'-ry=0, je yr=t y"+ 2 ÿ- xy = 0, ako ako je
partikularno re"senje. partikularno re5enje.
x.e''-eI -el =ex(-+z í x-1 ,-z' x-l -+z -T=e"(=+z x
ex ex ,, =2.;*, ,, e* -- e'' y=z';, y=z-, yJ =z
x
x ex
x
x2
"
,
x-1)+er(zx-z y, y"=ex(z ="-*(1++zr.f,1+e*1LL
xX
x2 x,
x.
xz
-)
2
)
x--^l xrz2 -2x(x-1))= -2*(*- ll *2, x-1+z x2 xa
-
*,--''-i-)=
I ,. z( ,,1--)+ ,. ,'" z'+í1 ,2 1/ ).l = -2)+Z1---)+;-;'*''(;-?)+ z'(7-7) -="-l " L !*r.t!--l ;-'' x x x x x x x x x )= eY I z'+2.(t-l ).2'+(t-Z*41 2)zi ,1 =". x x[L=-z"+2(I-1)z'+(1-?+ xx x *'rr'-) x
+(
r
Z2
(=exz1
[z_+2.(l_i-)zF+o_._+_y).z].ex I ,.*z.rt-!t.2,+(t-2*4t.11.r.,
*z +2.(i+z e, _2.e., =0 1!*, ,!_\y (1 - 2)) er-zer=0 x J *''-l L xr'-'* x x,2"" ,'z"+(2-?+?)í + p -Z a ?). z' + t -? * 4 * ?-4 -1)z=0 +(1-?+-+-2 z t z"+2z=0 z. + 22, = a xxXxrxx, X X x x2 x x2 -, l. =0 , "
-?
(
. =u, z'=lr' z'=u, z =u ú + 2u = 0 + *=-ru*4!=-2dx u'+2u=0 du = -2u du = -2dx z
tnlul=-2x1c u = -2x +c ) uu=s-2'r+c = e-z.T+c ==ct.e-2* = e` e-2x , ct=€c = 1nI c1 CI -2.Y -2x z=c1 je -2.T dx=-2 e +c2 e +c2 =c +c2, *c2, c;c-t _=c.t.e-2.r - 7=6,,!e-2rdx=-7,e-2* =_Z
dx dxu
z'=u=ct.e-2* z=u=c1 e -2.0
-
-.l e e'' e e-x ee* .-*c2._. y=2.-=c.l y=z-=c; -+C2 l'
2. 2.
|
C
X xx-x
\
I
u
X
.
X
Naci op5te Naii opgte re5enje resenje diferencijalne diferencijalne jednaCine jednaCine (2x + 1)1+ l)y' + (4x -- 2)y' 2)y, -8y se zna da - gy =0 = 0 ako se je njeno partikularno re§enje reSeqie oblika (m obtika emx e^' == const) const) .
y1=e mx ,y1=mew", ,
" y1
2 mx =me
-8em =0 2m2 x + m2 + 4mx - 2m - I = 0 + 2mx(m+ 2)+ 2m2x+m2+4mx-2m-8=0 2) + (m + 2)(m -4)= - 4) = 0 (2x+1)m2emx +(4x-2)memn
(m + 2)(2mx + m -4)=
m = -2 za svako x
y1=e-2x
,
-2.0 . y=z,e-2r y=z e y,=zre-2* ,, y =ze. -2x -2ze-2* 2x =(z -2z)e-2.Y =(zr_22)e-2.r zx z, - 4z' s'"-2* 2z'e-2x e-2* 2z'e-2x e-2t + 4ze !'y" = z"e-2x 4 ze-2* = (z' - 2z' 4 z )e-2-, - 22, - 42, + 4z)e-2x 2x ((2x+1)(z"-4z 2 x + I )( z' - 4z' +4z)é + 4 )e-2' + 4 x - Z )( z, - Zz 1e-2-, -8zé +(4x-2)(z'-2z)é 2x =0 - g ze-2* =0 -2.Y
1
2.Y
z
(
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Diferencijalne Difere nciialne jednaéine viie p reda iednaiiru vikg
161
(2x + l)z' + (-8 x - 4 + 4x - 2)z' + (8x + 4 -- 8x + 4 -- 8)z = =00 (2x+1)z"+(-8x-4+4x-2)í p' , (2x+ l)z'-(4x+6)z'=0 z"=p', z'= p, z'= (2x+1)z"-(4x+6)í =0 ) ,'-!Nr'=g, z"_4x+6í =0, z'=p, 2x+1 2x+ I 4x+6 -j4x+ódx dp 4x+6 p,=!x+6 p
) @-=#*-l+=[ffi* 2x+1 p 2x+1 p j4x+6dx= j2(2x+1)+4dx=2jdx+2j 2dx =2x+21nl2x+11+c t nlol= I# a* 1ffi* 4ffi 2x+1 2x+1 2x+1
P ' 2x+l' 2x+1
I
1nlpl=
-- 2x + 2 tnl 2x +
= z[ a* +
=
l+ c
1+r e2x+21nI 2.r+2lnl 2.c+1 2:+ll+c ,,) ?t p=e C1(2x + 1)2 e2x c j= e` =cl2x+l)2e2*,c,=s'
c
,
z' = p = c1(2x + 1)2e2x z'=p=cr(2x+l)2"2*
(u = (2x + 1)2
z=jz'dx=clj(2x+1)2e2idx= 7 = ! z, dx = c t ! ( 2 x + t 12 e2 dx =1"; *
?
a
2r : :: :r:: I ":,. \dv=e2xdxv=2e
I
I
I
/
3.
3.
=2
2x :1,,.)= v1=-1 1
2
+cle2x (2x+1)2e2x -cl(2x+1)e2x *cp2x +c2 +c, == 2\ (2x+1)2e2i -2cj(2(2x+1)e2x zx - zc, {tQx )e2' - je2xdx) = 2 } tzx 2 (4x2 +1)e2x +c2c, = (4x2 +4x+1-4x-2+2)e2i +cr ==}H*' 4x+ -4x-2+21e2* +c2 =|{l*' 2 2x y=ze-2i =C (4x2+1)+C2 y= cr.é e-2' =L14r2 " 2', {
+ t )2 e2''
+I
!e2' dx1 --
+ t l2 e2*
c
1
1
2x + I 1e2.'
+ 11e2'' +
1
z. e-2.r
I
=
/
dui
1
+
t
u1 =2x+1
=l;: dv ::;::
!
!.
*,,)= 4(2x+1)\
1
1 * -, =c1(2(2x+1)2e2x = c r ( Q * + t )2 e2 -2j(2x+1)e2xdx)= - 2! { z x + I ) e2 dx )
= =
du =
+ I S+
.
jednaCine-y"+ y'+Lr'-!t=0 ako se zna da je x 1 y -0 ako se zna Nati opste re5enje resenje diferencijalne diferencijalne jednaine Nadi op5te x 17-x'
1l-xx
partikularno resenje njeno partikularno reSenje oblika oblika ex e'..
y'=(z'+z+z'+z'1et y=z,ex y=zex,, ÿy'=(z'+z)et +z+z"+í)ex =(z'+z )er ,, y"=(í
(z'+22'+ry"'' x (z+ )ex (z"+ 2í + z)ex +1,LTz'+z)e'-
1-x l-x'
I
1
1-x |-x
z,.e'' ex
=0
x)í =0, r' +Q+fi)z' )z=0 > z"+(2+ z'+e+fi)z'+(1.*-*)z=0 1-x =0, 1-x 1-x 1-x
z"+(2+--2.--)z' + (1 + z
,
1
Z z'
=u, z' =u' =u, z"=u'
1I 1+1-x l+l-x u=( 2-x 2-2x+x 2-x u= 2-2x+xu=.^ xx )u=u (-- - 1)u I u u ' ---)y x-l )u I-x = x-1 l-x = -- 1-x 1-x - -- 1-x l-x' l-x = --1-x
uu' =-(2+ - -( 2 + ,
* t$uu=j(xl1 =,* - 1)dxj rfi - 1)dx *uu=(xl1 I )dx
=t
I )dx
ct =€c ul=lnl x-1l-x+cu=e,-x+tnlx-j=cl(x-1)é lnlul=lnlx-l l-,r+c e14=sct-x+tnl*-tl =ct(x-l)'e-*x,, c1=e` =u=c1(x-1)e-x z' = u = c ,( x - l ). e-'' u=x dv dv=e xdxl= e-''dtt\ z=jz'dx=clj(x-1)e-xdx xe-xdx-cjje-xdx=1 7 = ! z'dx = c t!(x- l).e-'dx =cif =(du=dx = c t!xe-*dx-c 1[e-'d"tt := ', v= le ^:ldu=d* -e ,=-r-'' lnl
í
)
(-xe-x + j[ ee-* dx) je-x = = cl (-xe-x dxl++ cc,e-t c r(-xe-* = cc jt(-xe-t "`
+ c, ) + cle-x -- e-x c,e-'' +C2 e-' )+
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
162 1.62
D Diferencijalne ifere nci i alne jednacine vi ie s reda re da i e dnaiine viseg
i (x e-'r e-_` + = -c -c t(x. +ee-'tx =
y=ze.r y z. e'( =
4.
4.
(-c
fi
.
-
e-.0 ) + c, c2 = -c -clxe-.` e-'' )+ c2 txe-x ++c2
e-'* ++c2)ex cr). e'' ==-cix+c2e`. -c tx* cze'' .
Nad re"senje jednadine + x) y"+ 2y' - 6xy = 4 - 12x2 ako jednaCine (3x3 +x).y'+2y'-6xy=4-12x2 Naii opte op5te reienje ako su su lr=ax*b y, = ax + b ii y2 + C njena dva partikularna partikularna re§enja. Bx+C re5enja. lz == Ax2 + Bx
=ax+b, yi yi =0 y¡ =a, y7=0 !t =ax*b, y1
-
-
-
2a 6x(ax + b)= 6ax2 -6bx+ 2a-- 6x(ax+ b) = 4 - 12x2 12x2 > -6ax2 l2x2 -6bx+ 2a == 4 - 12x2
-6a=-12, 4b=0, -6b=0, 4a=*12,
2a=4 Iz sistema jednadinadobijase jednacina dobija se a= Izsistema a= 2 ii b=0 b =0
= 2x * lt=2x
yz =2e =2A y2 =2Ax+ = 2Ax + B, B, li , y; (3x3 + +x)2A+4Ax+2B-6x(Ax2+Bx+C)=4-12x2 x).2A+4Ax+28-6x.(Axz + Bx+C)=4 l2x2 6C)). x+ 2B = = 4 -12x2 x + 28 -- 6Bx2 + (6A- 6C - l2x2 y2 !z
= Ax2 + Bx +C Bx*C =
,
-6B=-12, 6A-6C=0, 48=-12,6A-6C=0,
2B=4 28=4 jednadinasedobija Iz sistema jedna6ina Izsistema se dobija B=2 ii A=C=I A=C=l
)
y2=x2 y2 = x2
+1 +2x+l +2x
+ I je partikularno relenje resenje homogenog dela jednadine. jednaine. = lz - ! t = x22 +1 Y3=Y2-Y1=x ls yh =z(x2+1), =z'(x2+1)+2xz +t), yÿy'n=z'.(x2 +1)+2xz lh=z'(x2 yf, yh = =z"(x2+1)+2xí z' ( x2 + l ) + 2 xz' +2z+2xí + 2 2 + 2 xz' = + 22 x2 + 1 ). 2' + 4 xz' +2z =(x2+1)z"+4xí 1
-
(3x3 ( 3 x3 +x)(x2 + x)( x2 +1)z"+(3x3 + I )z' + ( 3 x3 +x)4xz'+2(3x; + x)4xz' + 2( 3 x3 + x)z+2(x2 I )z' + 4xz - 6x( x)z + 2( x2 + 1)z' 6x( x2 + I1)z )z = =0
x(3x2+1)(x2+1)z"+(12x4+6x2+2)z'=0 x.(3x2 +t)(x2 +l).2'+(12x4 +6x2 *2).2'=0 p, z'= p',, p=p(x) z'==p, p= p(x) z"=p
í
xx.(3x2 (3x2 +1)(x2 +1) p'+(12x4 +6x2 + 6x2 +2).p=Q +2) p = 0 +l)-p'+(l2xa dp dp pP
12x4+6x2+2 l2xa +6x2 +2 rtr=_).3xa +4x2 +l-x2 +3xa ,,_ dx- 2 3x4+4x2+1-x2+3x4dxx(3x4+4x2+1) x.(3xa +4xz +l) x(3x4+4x2+1) x.(3xa +4x2 +l)
__
dx L^ ^ dx+2
x3x3 x-3x3 2x-6xj dx 2x-6x3 - 2^ dx+ dx xx (x2 +1)(3x2 +1) xx (x'+l)(3x'+l) 4x2 +1 3x4 3x* ++4x'+l 2x-6x; Ax+B 2x-6x3 Ax+B+ Cx+D ) A=-4, , A=4. B=D=O B=D=Q ii C=6 ---;-----=-=:+# (x' (x2 +1)(3.x` 1) +l)(3x' ++l) x2 +1 3x' 3x2 +1 x'+l +l dp = dx 2x 6x 6.* d* Q=-z.d* dx+ dr* ?* -2. xx p +1 x2 +1 3x2 x'+l 3x'+l P a
- -.'
e^
-
----------;-
--
c p=r,ffi,
I=-2 lnI x I- 2 ln1 x2 +11+11113x2 pl=-2tnlxl-r^lx2 1 I+ +tl+mlsx2 ++tl+c
lnI tnlp
= p=
cl
3x2 + 1
x (x +1) z
dx z'=pz= dx=c 7' - p ) z = f[ p pdx = r,1$ffi*x=c = r,!ffi+ f
=cif =''
1
z3 -'' 4\ x
2
/
cr,1
.
!-#. r
1
2dx = +1)2
(x2
(x +1)2 dx 1 1 x Cif! +2cif == -cct - ciarctgx+2ci-arctgx+2ci * r z c prctgx * 2c 1 * 2' +c2z r* -i-.,,+' z x x +1 " (x +1) 2 2(x +1) ¡
dx
2
c= In cil c =tnlcll
X
dx
#
!
-
!""
t
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
,
jednqiine viieg Diferencijalne jednacine viseg reda reda Diferenciialne
't , ' " ,
= cl r=rt.#
z
+ c2
+ 1) x(x z +l)*c2
)
163 163
je regenje re3enje homogenog +11 je homogenog dela yh = z (x2 +l)=X*rr.(x2 +1)=Lc + c2 (x2 +1) ln=2.(x2 x
jednadine, + c2 (x2 +1)+2x polazne jednadine. + 1)+2x regenje re5enje polazne jednaine, pa je y ==ln*!t yh +y, = jednaine. =X*rr.(x2 x
5.
5.
Nati su y1=1 Nadiop5tereSenjejednatine akosu opgte re"senje jednaCine (1-x2)y'+2y=2 (1- x2 )y"+ 2y= 2 ako Jl = I partikularna regenja. partikularna re5enja. ys = lz y2 x2 -1 partikularno re5enje y3 regenje homogenog dela -!tyi = *2 - I je partikularno
= x2 i lz=x2
i y2
njena njenadva dva
1)l), yiy¡, == z'(z'(x2 x2 1) - l)++ 2xz
yh = = z(x2 !n
'
,
1)+2xí +2z+2xí = (x2 1)í +4xí +2z -l1z'+4xz'+22 -l)+2xz'+22+2xz'=1x2 (1x2) [(x2 +2z1+ t - x2 )'f{ *' - 1)z" r)r' *+ 4xz' + 2z)+ 2(x2 x2 1)z=0 - 1)z = 0 (x2 1)2z"+4x(x2 (x2 1)z'+2(x2 =0 +l)z=0 -l-x2 +1)z -l)2r'+4x1x2 -l1z'+21x2 1x2 4x (*2 -l1r'+4*r'-o ) z'+{z'=0; + z'=0; í =u, z"=ú z'=u, z'=u' (x2-1)z"+4xz'=0 X2 -1 4x du 4x du 4x du 4x , ,du ^t 2xdx u'=u -_dx J-= 2J lt'=---a-U l-=-21yh = z"(x2 ri=r'(*2 (
' :
z1
1
xt-l
=, -=----;-dX uu u x2 -1 x2 = ' u xt-l cl
uI=-2lnl x2II+c=ln tnlul= -2tnlx2-r l+c = (x2 -1)2
"1fu|,'
1nI
í=u= z' = tt =
z= = z=
cl
7:F (x2
=(u=x
I# (x 2
e1 1)
,
'x'-l x2 -I
c c=1nI = r, c,
tl#l l2
2
x = n, x 2-1x dx== -', c J dx
+c I# !**', -1 -1)2
[4*1)2
(x2
x2
(x2
==
1
du=dx, dv=(xsdl)2
=ci(Zln =,,, e! x+l x-1 c- ln
+,u°=fu C1
I
-1 ) -
2
+1l xI *,, Jx i)=c1(-1-x-1 =,', x+1 x+1 i,4*lil+, + ijI d 1) - ). *,4#| x2
x
. I+2
2ln
2(x2
4
I
) +c2 = =
cl 2x x+c =,,(,,lil;|. x-1 I 2, c, =-=-+ ^l#l -X x+1 + 4-*,, ;( x+1 *) 1 )+c2, 1 =
yn Yh
4
2
2
x2
c
x-1 ytnl#|.
== (x2 -1)z=c3(x2 -I - t ). z = c.1 x2 1)(ln
x+1
ln
+
cI
c
2
X2
C3
=
4
2x )+c2(x2 11 + cr1x2 -1)
I
-
x2 *1
1)+c2(x2 + c2(x2 -1)+1. xhl#|. -t +t x2x x+1 + *)
Y=Yh+ = c s( x2 - t ! = ! n * ! t =c3(x2-1)(ln
'
6.
6.
)
.
jednadine (x2 Nati 4xy' + 2y = y, =x Naii opgte op5te regenje re5enje diferencijalne 6x ako ako su diferencijalne jednaCine su y, - x ii 1x2 -1)y"+ = 6x - 11y' + 4x1+
+x+1 partikularna regenja. njena dva partikularna resenja. x+1 x2+x+1 x2+x+1-x2-x x2+x+1-r2-, 1I r'=--*-ll-=;7 Y3=Y2 ,s=tz'tt == x2+x+l x+1 x+1 *+t - x= x+1 x2
y, ==*
Y2
: t
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor I
Diferencijalne jednacine vile s reda iednaiine vikg
164
í
zz , í(x+1)-z r' _ ,z v,= n x+ 1 "'n,_z'(x+l)-z= (x+ x+ l (x+ (x+1)2 (x+1)2 1)2 x+1 l)2 z"(x+l)-z _z'(x+l)2 (x+1)2 -2z(x+1) z' _ 2z' 22' * 2z 2, -22(x+l) _ z" ,," =_z'(x+l)-z' Yti rh ' (x+ x+1 x+ I (x+1)2 (x+ t)2 (x+1)3 (x+ l)a (x+ l)3 t)2 (x+1r)2 (x+1)4 It-)z')2 1 ' 2z (x-l)(x+l)l+ ( J
Yn=x+1'Yn=
í
(x-1)(x+1)I
y* * i
"
L x+1 #. ffi,). 4'(h - ffi) (x+1),)+z--=0
+4x( - x+1 + (x+1)2 )
'
+
2
" 2(x-1)+ 4"=)r'*(2(r-l) 4* 2(x+1))z=0 )z,+(2(x-1) 4x (-t-l)z'+,-2(x-!) * 4x (x-1)z"+( ,*2(*+]!p=0 - (x+I)z 2+ x+1 .r+ I x+l' '(x+l)z (x+l)z' x+1 (x+1)2 (x+1) (x+1) 2x-2-4x*2x*2z=0^ 2x-2-4x+2x+2 . ,. , -2x+2+4x Z,, a-'-------";-Z=v (A -1)z + -2x+2+4xz+ 1t-t1Z x+ (x+ x+1I (x+1)2 l)/2 (x-l)z'+22'=01)z"+2z'=0 z"+ r'*J-z'=0, z'=u, 2 í =0, =u, z'=u' x-l x-1 jdu --2j dx 2 fu u'* 22 u=0 ú+ u-Q 2 du -2 a, a, = l@=-21 =- x-L t x-1 x-1 x-l u x-l u x-1 = t ,tu lnI uI =-2lnl x-1 +c lnlul=-2lnlx-t u=#,C2 c1ct=lnc2 =lnc2 l+c, = u=
=o
z"=ú
,'=u= Z =u=
C2 '2
2
(xl)'= (x-1)2
+c;
) z= dr= ---c1-+---c1-+c3 2=lz'dx=l C2 2=d*=--9-16, jídx=j r r (x-'2 x-1 x- I (x-1)2 1)'
Ir, =-fi*;fr' Yn=x2-11 x+1' C C7
C7 C3
C7
!=ln*Y, Y=Yn+Y1-=-;-*;;j*r, x2? 1+x+1Y1 C7
Jednacina konstantnim koeftcije koeficijentima ntima J e dnadina sa konstantnim jednadina oblika Jednaina sa konstantnim koeficijentima koeficijentima je jednacina Jednadina .y'+ao.y=l(x),gdesu an y(n) *en-t.y(n-t) +an_1 y(n-1) +...+a1 an.y(') (i=0,1,...,n)konstante +...+a1 y'+ao y= f(x), gde su ai =0,1,...,n ) konstante a, (i
je y == yh Opste re5enje regenje jednadine jednacine je Op5te * ! p.. ln +yp jednadina, a Jednacina ar'r' an r" + an_1 Jednadina r"-1 + ...* ... + at a1 .rr + ar-1 .r'-t * ao e1, = karakteristidna jednacina, =00 se zove karakteristicna jednadine. r 1, t2,...,tn su koreni (re5enja) (resenja) karakteristicne karakteristidne jednacine.
1)
1)
jednadine su realm Koreni karakteristicne Koreni karakteristidne jednacine realni ii razliciti razliditi
Yn= ln -
n
lc,c1e's'''* i=l i=1 je 4. 2) Ako je ri realan jednadine visestrukosti 2) koren karakteristicne realan koren karakteristidne jednaine vi5estrukosti m m ( m>.1), m>1 ), tada tada uu r¡.x
.
fundamentalni skup re3enja regenja ulaze sledeiih sledecih m lz funkcija er'x x2er¡.x xm-1er;.x . g'i* g'i* e'it ,, Xx er¡.x , ..., ,, s2 , ,,,, xm-l e'i-Y . 3) 3) Neka je koren Neka je koren rirj == daij *+ Fi.ii kompleksan kompleksan koren koren karakteristicne karakteristidne jednadine jednacine (imaginarni deo deo je razlieit razliiit od nule). '' je !yii == s'i Tada je jednadine. er' '"x resenje re5enje date diferencijalne diferencijalne jednacine.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
165 165
viles reda reda Diferenciialne jednacine Diferencijalne iednaiine viseg
"
ax a._c r-x ax+Qxi fl..ci =e' r0i'x'i ' =e' y=e' - goi''(cosßx+ISlnßix) lcos Bix+i sin Brx) = r'i't' e' !i = g'i''t =e' "ai"r+pi't'i .
'
re5enja ulaze pa zbog toga u fundamentalni skup resenja interesuju realna resenja, re5enja, pa Nas interesuju
a
_ , * _
I
' i : ,
sin ßix. l,{yi}==e a ' .x 'sin B,x '
.e
Re{y,. ' 'cos fl R"{r, }=e jx ii Im yi F ix }= eoj"'
' .
: -
.
"ot'*
171>1I ),), tada je rirj=dj* tada uu fundamentalni fundamentalni skup skup vi5estrukosti m m ((m> koren visestrukosti 4) = ai + ßi 4) Ako Ako je Fi.ii koren jednadine ulaze sledeée sledeie funkcije diferencijalne jednaine re5enja date diferencijalne resenja m-1 a.x .cos a x .cos pp, ax .cos ..., xx*-l"oi"' e' cos ß.x cos ß.x, e Brx Fjx, x,edi'x cos ßx,...,
xe'
"oi"r
a.s ax slnßx, xe ' sinßx,..., x.edi'*.sinBrx,...,
eroi'''.sinFjx, '
m-1
a.r
sin ßix. xx^-ledi''.sinprx. e '
koeficiienata Metod jednakih koeficijenata Metod
je a, P,(x) ii Q(x) fie R, R,aa Pm(x) a,Be eat [ Pm( x)cos fix +Qn(x)sinfix]] gde je Ako je Q,,(x) polinomi f(x)=e*lP,(x)cospx+Qn(x)sinfu ie f(x)= re5enje oblika step ena min, ima jedno jedno partikularno resenje stepena m i n, jednadina jedna6ina ima .e^fTolxlcos (x) nepoznati nepoznati polinomi stepena (x) ii RA Rp(x) su Tk Tp(x) + Rk(x)sin j, gde su Ro(x)si, ßx fu+ fu),gde !y 1t = xr 'e'[ Tk (x) cos ßx jednadine. vi5estrukost korena karakteristióne karakteristidne jednaeine. k = max(m,n) max(m, n) ,, a r je visestrukost jednadine,uzimase O. r=0. uzima se r= Ako a+ ß nijere5enjekarakteristidne Ako resenje karakteristióne jednaóine, Bii nije
1. 1.
1+ 3xex y' == x2 y' + y" x2 + 7+ diferencijalne jednacine y" Nadi opte op$te resenje re5enje diferencijalnejednaCine Naci
.
.
y'+y'=0*rt+r'=0)12(r+l)=Qart=r2=0,r,=-1 r;+r2=0 r2(r+1)=0 r1=r2=0, y'ff+y"=0 x
yy =c1+c2x+c3e Yh=ct*c2x*cze-''
.
y'+y'= x2 + l y'+y"=x2+1
+l e^lP^1x1cosfu+Q^(x)sinfu7=x2 ea`[Pm(x)cos fix +Qn(x)sinßx]=x2+1 k=m=2, a+ Bi=0=r=2
a+ßi=0r=2
yi,1 Y,,,
P^(x)=x2 +1, * a=0, ß=0, 0=0, Pm(x)=x2
+Bx+c)=Ax4 +Bx3 +cxz =x2 (Ax2+Bx+C)=Ax4+Bx;+Cx2 =*''(Ax2
2C y,i =24Ax+6B yl,1 =l2Ax2 = 12Ax2 +6Bx+ +6Bx+2g,lir =24Ax+68 !'r, =4Ax;+3Bx2+2Cx, =4A*'+38x2 +2Cx,li, ,
+6Bx+2C = x2 +1 +l 24Ax+68+l2Ax2 24Ax + 6B + 12Ax2 +6Bx+2C=x2 6B)x + 68 6B + 2C == x2 X2 + +1I (24A + 6B)x l2Ax2 12Ax2 ++ (24A+
12A=1, 24A+6B=0, 12A=1, 24A+68=0,
i t i
t r
6B+2C=1 6B+2C=l
3. C= 1, B=-1 i c=1. t2 n=-4 3 3 12
pe5enjasistemajednadinasu A= Resenja sistema jednaóina su A=+,
I1 rT-}I12x 4t -3x +23JX =-x 3
V- =-} "Pt 12 --f 3 . y'+ y" = 3xe'' y'w +y"=3xex
i
2
22 .
2
ß=0, Pm(X)=3x, a=1,, F=0, P^(x)=3x, ea`[Pm(x)cosßx+Qn(x)sin Al= 3xex * a=l "*lP.1x1cospx+Q,(x)sinFx)=3xe' k=m=1, d+ Bi=l*r=0
a+ßi=lr=0
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
166
jednaiine viseg Di.ferencijalne jednacine Diferencijalne viieg reda
166
yp1 =(Ax+B)ex, +(Ax+B)'et Ae' +(Ax+ B) e' ,, !p, =(Ax+B)'e'' , 42= !'u, =Ar* yPZ = Ae'' + Ae* + ( Ax + B )' e'', y/72= 2Aex + =Aex+Aex+(Ax+B)ex, Ae' + ( Ax + B ). e' +Ae"+(Ax+B)e" !'p, li, = 2Ae*
(3A+ Ax+ Ax+ B) B). ex (2A+ Ax+ Ax + B) e' + (2A+ B). ex e' == 3xe* 3xex 2Ax+5A+28=3x, 24=3, 2Ax+SA+2B=3x, 2A=3, 5A+28 =0 SA+2B=0
24 =-4
Re5enja Resenja sistema jednadina su A jednaina su e=1 = ii B=-14 A 2 3 3 t5 15 e yp1=(2x-4) rn, =(|x'1,'r.
. .
Y
.
I a I z 3 c 33 4)ex 15 yp=yp,+yP2=12x4-x+x2+(Zx!p=!pt *lpz= n* -jr' +-x- +(-x-T)'"" +fro *ir' +t)t-frc. é x+Ix4-1 x'+3x2+(3x-15 )ex. ! = ln t ! p =ct * c2x * r,"-. y=yh+yp=cl+c2x+c3 -!r' 4 12 3
.
2
2. 2.
2
,
jednaiine y".Nati ono ono re5enje re§enje y(r) Nadi y'- y"+ 2y'+ 2y =e y(x) jednaine
2rl'+2y'+2y=e
/ -!, zx
koje zadovoljava koje zadovoljava uslov
2
y(0)=1, y(x)=0. 11 lim Y(x)=Q. lQ)=
y'-y"+2y'+2y=0 r3 -Lr'*2r*2=o 'y--Zy'+2y'+2y=o = r'-r2+2r+2=0 22' 2 ,l^1 (r-2)'(r+:)=0 (r-2) (r+-2)=0 = rl=r2=2, rt=12=2, r.,=-V
r=-
2
I y h -c F2* +c2xe2i + crxe2* +c;e + c $' 22x =Cle2., yh
-7,
.
^
-+., 2 y'-2y"+2y'+2y=e2 "y---y-+2y'*2y=e 2" 1 t e,-1*
2C
p,(x) = I a=--2-,, ,ß=0, - e*fP^1x1cos fu+e,(x)sin p*l) o=-f, F = 0, Pm(x)=1 =e[P,,,(x)cos,ßx+Q(x)sin,ßx]
k=m=0, a+ßi=-Zr=1 d+Bi=-:+r=l lI --.e --x 2 h6s-1'* 2 yp=Axe = ,,Y=A(1-2)e !o !'o = tr11 -4)r- ''' 2' 1
1
Z.-A(3-x)e1 y"-A(-1-1+x)e y; = AF:-)*t,;i'2=A(x-1)e 2C,, yi o(; tt,-l= = A|-;k-:' y =A(1-x+1)e 2 2 4 4 4 8 2 4 8 p
1
I
1
"i-;-:1,-:' l
1
r. - Z, e$ - t,,-1. 2t=e 2x+2A(1-x)e 2X+2Axe 2, A(3-k)e od - k- 2Y-?A(x-1)e * 2 A( t - re-;'' + 2 A*"-I'' =,-i' 4
;8
2
4
2
(-8-gA+2A-A)x+(++2)A=1 t-!-Z r7*Z* 2)A = r = A=2S t =! ' 8 8e+ 2A- A)x + ',4 2 25 I -;-, 44 --x yl, xe 2 lp=Vxe' 1
.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
vile s reda Diferencijalne jednacine Diferenciialne iednaiinc vikg
1-
167
'l'' 1
--x )t +c2xe2x ' xe --x CIe2x 2' 2-'+Lxe +c3e 2+ 2 y=cqt'' +c2xezx lcrg y= I
4
25
.
y(0)=ct*cr=l3c.l y(x) = 0 y(0) = c1 +c3 =1 c; ==1l, , lim = c2 = 0 limy(x)=0*ct=c2=0
-
_!., , 2 yy=(25x+1)e Zx. l)e =1|x+ '2s
'
'
;
y' -- 2y" 2y' == xsin2x xsin2x + x + 2 . opte resenje 3. Naii Nad op5te jednacine yM reSenje diferencijalne diferencijalne jednadine 3. . y'-2y'=0 =0, r3rr=2 =2 y"-2y"=0 ) r'? -2r2 =0 - r2(r-2)=0 ,'1r-21=0 - r1rt =r2 ,t -2r'=0 =t2=0,
,
.
D^, yy'-2y"=x sin 2x -2y- = xsin2x
Pm( x)=0 xsin2x=e`xx[Pm(x)cosßx+Q(x)sinßx], d = 0, ß=2, x sin2x = e*lPr(x)cos px+ Q,(x)sin px), a=0, Q,(x) = x, P,(x) =Q F = 2, Q(x)=x, k=m=1 a+ßi=2ir=0, a+ Pi=2i+r=0, k=m=l yu, y =(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x = (Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x sin 2x + C sin2x+2(Cx+ sin 2x + 2(Cx + D)cos2x= D) cos 2x = cos 2x - 2(Ax + B) B)sin2x+C Acos2x-2(Ax+ )'p, == A
I
' i
= (2Cx + A+ 2D ) cos 2x + (-2 Ax - 28 + C ) sin 2x (2Cx+A+2D)cos2x+(-2Ax-2B+C)sin2x =
' I
=2Ccos2x-2(2Cx+A+2D)sin2x-2Asin2x+2(-2Ax-2B+C)cos2x= ri,=2Ccos2x-2(2Cx+A+2D)sin2x-2Asin2x+2(-2Ax-28+C)cos2x= ;= (4Ax-48+4C)cos2x+(4Cx*4D-4A)sin2x (-4 Ax - 4B + 4C )cos 2x + (-4Cx -4D- 4A) sin 2x y't ympi =(4A-BCx-8D-8A)cos2x+(4C+8Ax+88-8C)sin2x = (-4A-8Cx-8D-8A)cos2x+(-4C+8Ax+8B-8C)sin2x
, t i
yh =C1 +C2x+c3e2x Yh=ctlc2x*c7e2x
)cos 2x+ (-l2A-8Cx-8D)cos2x+(-l2C+8Ax+88)sin2x+(8Ax+88-8C)cos2x+ (-12A-8Cx-8D)cos2x+(-12C+8Ax+8B)sin2x+(8Ax+8B-8C +(8Cx +( 8Cx +
8D 8 A) sin sin 2x = 8 D + 8A) = x sin 2x
sin 2x [-12A-8D+8B-8C+(8A-8C)x]cos2x+[-12C+8B+8D+8A+(8A+8C)x]sin2x [-tzA-8D+88-8c +(8A-8c)x]cos2x+ltzc +88+8D+8A+(8A+8c)xlsin2x == xxsin2x -12A-8D+8B-8C=0, 8A-8C=0, 8A-8C=0, -12C+8B+8D+8A=0, -l2C+88+8D+8A=0, 8A+8C=1 -l2A-8D+88-8C=0,
.
Resavanjem sistema dobija se AA== Re5avanjemsistemadobijase
t'
yP, = .1( x+ Yrt =V(t
! t'
|
1fi, n=*,,r=fii 3 =1 ,
16
B=
32
,
C
16
i
D=-*. 16
D=
)cos2x+ 16 (x-1)sin2x ',*lrrorzr+Ltr-l)sin2x 2. i6.
D^'
y"--2y y" x*2 -2y- ==x+2 x+2=e`xx[P,,,(x)cosßx+Q(x)sinfix] x* 2 = e^[P^1x1cos Bx+ Qn(x)sin ful a+13i=0r=2, k=m=1 a+ Bi=0>r=2, k=m=l
P,(x)= x+2 > a=0, d=0, Fß=0, =0, Pn,(x)=x+2
I yp, =x2(Ax+B)=Ax3+Bx2, y pz=x2(Ax+B)=Axj y;,2 =6Ax+2B, yir=6A =3Ax2+2Bx, +8x2, 42 +2Bx,lir=6Ax+28, !'rr=3A*2 yn2 = 6A t 6A-12Ax-4B=x+2 6A- t2Ax-48 = x*2 -12A=1 6A-48=2 l2A=1, 6A-4B=2 i Resavanjem ReSavanjem sistema dobija se se A = = -12 -l ii B == -8 -+ r"128 1I 55z s-8x yp2 =--I' rvp2=-12x --tr I g',
..
3
2
t2'-
t
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor I
168 168
jednaiine vileg reda Diferencijalne Diferencijalne jednaine
1
c1* c 2x + c ?e2'r + + +c2x+c?e2i+1(x+3)cos2x+ Y=Yh+y1,1+yPZ ! = ! n * ! p, * ! p, ==CI { * - I ) sin 2x 1lt, ]l2 ro, Z* + fi16 (x-1)sin2x16
*t - }8 ; x'-3x2. *1 12
Metod M e tod varijaeije v arij acij e konstanti kon stanti
je poznat Ako Ako je poznat funadamentalni funadamentalni skup y2, skup re5enja homogene diferencijalne regenja yl, ,y homogene 1t,12,.......,1jednadine jedna6ine tada se se partikularno tada partikularno resenje moze nati reSenje moZe po formuli naii po yP=C1(x)y1+C2(x)y2+ +C(x)y,gdesufunkcije C(x), i=1,2, ,n odredene Ci(x),i=1,2,......,n to=C/x)'y1+C2(x)'yr*......*Cn(x)'yn,gdesufunkcije jednadina iz sistema jedna6ina Ci( x).y, + Ci(x1.y, +.......++C(x)y C',(x).yn =0 Cl(x)y1+C(x)y2+ =a
+c(x)Y' Ci( x).yi + C)1x1. y', + .......+ Ci(x). yi =0 C,(x)Yi+C'z(x)y2+ =0 i
+ CZ y(,'-t) +c)1x). C(x) yf-t)) == f(x) ci( x). Yin-11 (x) yy-') (x) Ynn-1 Yi-l' ++.......++ Cc',(x). f(r) '
g(x) kod neodredenog integrala Ako se pri tralenju 2, traZenju funkcija funkcija Ci(x) Ci (x) ,, i = , n iz iz C; Ci = g(x) integrala - 1,1,2,......,n g(x)dx partikularno C; (x) = JC(x)dx = J g(x)dx C;(x) ne uzme konstanta tada se dobija relenje. resenje. ICi(x@x = I Prema tome op3te opte re5enje regenje je oblika y! = yh + = ! n * yP ! p. .
x
t . 4. Naii opte re5enje 4. diferencijalne jednaiine 2y' + y = Nati op5te resenje diferencijalne jednacine y"= -e. f - 2y' x . y'-2y'+)=0 (r-l)2 =0 ) 11 =r2=1 12 *2r+l=0 * (r-1)2 y"-2y'+y=0 > r2-2r+1=0 =t2=l '
+c2'x'e'' Yh=C1ex+C2xex lh=cI'e't +c2(x)'x'e'' y =cl(x)ex+c2(x)xex !p=ct(x)'e' Re"savajudi ReSavajuii sistem c'1( x)' e' + c)( x). x. e* = c'1(x)e'r+c'2(x)xex =00 x
Cl (x) c'1( x). ex e*
++ c2c'r((x) ( x + 1) x). (x t ). ex e* = =
e€'*
xX
dobidemo da je dobiiemo
! = c2(x)=Jc'2(x)dx=J xl = !c)1x4dx = 1L =lnl = nl xI cl(x)=-xc2(x)=-x 1 =-1 ci1xl = -x. c)1x1=-r.1 = -t * cl(x)= /x) = Jcl(x)dx=-Jdx=-x lci(x)dx - -!dx = -x c)1 x 1 = -I c2(x)_
c21 x 1
c
xl !yP=-xer+xexIn' p = -xe* + xe- 'lnl x + c2xe* c2xex -- xex * YP c F' * xe* + xer xe*' lnI lnl xxl. !Y = Yh !n + !p= = Clex (
5. a
.
jednaCine y"+3ÿ Nati Nadi opte op5te resenje re5enje diferencijalne y' + 3y' + 2y == diferencijalne jednacine
y'+3y'+2y=g y"+3y'+2y=0 r2+3r+2=0 12 (r+t)(r+2)=Q +3r+2=0 * (r+1)(r+2)=0 _)* *x 1c2e ''' Yh = C/e + c2e-2x lh=ct€
1
=+ 1+ex 7+ex
.
r1 =-1,, r2 =-2 1rt=-l 12=-2
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
D ifere nci i alne jednacine Diferencijalne viie g, reda re dn .i e dnaiine viseg
!p=
C
a
t( x)e-'r + C 2(
169 t69
2a x)e-2'
I
2x +c)(x1e-2'' =0 CI(X)e-x +C'2(x)é ,i(il"-* =o
,
x _2C2(x)é 2.r -C'1(x)é -ci1x1e-*-2ci(x)e-2'=
1
:l e'' i ex
+ 11+
z.Y
Sabiranjem Sabiranjem jednaEina jednaina dobijamo dobijamo
I
L f
,!
** 1+ex
e --Ci(x)e-2' C; (x)e- ==L 1 r e C2 Ci(x)=* (x) =
1+e'' 1+e'
.t,r
-r,
W*1+e'`
.r
c 11 x 1 = ! c'r( xM* = -1 e--dx=-jeC(l+e`)-eYdX=_je'`dx+j C2(x)=JC'2(x)dx=-J = -1 = -! e* dx + !
I.
=-ex+In(ex+1) = -e'' +ln(e't +l)
t
=# 1+e'
C(x)e-x ci(il"'* =
' '
1
1+ ex -r
ex
dx-= 1+e` #.
ex +1) > CI(x)= cilx)=!cl(x)dx=!i7!*=tn(e* jC'1(x)dx=J dx_ln(e'Y+1)
.Y+(ln(ex+1)-e'`)é2x y p=ln(e* +1)e-* +(tn(e'' +l)-ex)e-2x yp=ln(ex+1)e
1+e'
2x y=yh+yp = +c2é +c2e-2t +e--*xln(ex+1)+(ln(ex+1)_e.Y)é ln(e'' +I)+(ln(e'+1)-e'r )e'2x . 2i+é ) =ln*!p=cF-*
j e dnaiina Ojlerova Oj I e ro v a diferencijalna dife r e nc ij alna jednacina
, ' t i
,
(ax+bf ,(nt + An-1(ax+brn-tr(n-I) +...+ Ar(ax+b)y'+hy +Aoy=f(x) (ax+b)"y(")+An_1(ax+b)n-1y'"-1)+...+AI(ax+b)ÿ = f(x) a,b,Ao,A1 ..... An_1 a,b, A6, A1,..., Ar- t -- konstante Ako je ax + b > 0, aat0,smenom *0 , smenom ax ax+b>0, + b= e' t = In(ax + b) , odnosno ax*b=e')t=ln(ax+b),odnosno
q ,, dy dy dt a dt , - ae -t,\.y,=4e 'Yv =:,-=dt + b 'y' dt dx dx ax ax+b dy' dt . -, . -, , a , dy' dt a -r2, . 2t -t,y', = 3-. (yi -y,). yi ), -a é e. yi = a(e-, yi -e y,) l. 4 (y, = o2 r-2, "" y, =a(e dt dx dt dx ax+b at+b
--
y
dy'. dt o2z (-2e-2' . ,. -, w . , 2, 2, w - dy' -3, (yi(yi e-2' (y, o"-t -a 3yi + + 2y, 2yi )1,itd. :- = (-2é (y, , itd. - a33 ee-it (y, - 3y, )+ é Oi-yiil. - y,.)) ae -yiy, J+
v' -'-1 t'dtdxyw dt
da
-a
jednadinu sa konstantnim koeficijentima. data jednadina jednaina se svodi na jednainu
r I r
+ b < 0 , a*0 Za ax a * 0 uvodisesmena uvodi se smena ax+b=-et ax+b10, ax + b = -e' .. je homogeni Za =0 , b* Za aa=0, b*00 dobija dobija se se nehomogena nehomogena linearna jednaina Ciji linearna jednadina Eiji je homogeni deo deo sa konstantnim konstantnim koeficijentima. a=0 ii b=0 koeficijentima. Za Za a=0 se Ao y = f (x) b=0 dobija dobija se , a to nije a to h.y=l(x), jednadina. diferencijalna diferencijalna jednaina.
6,
6. lt
' t
Re3iti ReSiti diferencijalnu (I+r)3 diferencijalnu jednaiinu jednainu (1+ y'+(1+x)y'-y=(1+x)2 x)3 yw+ (1 + x)ÿ -y = (1 + x)2 za > -1. za x x>-1.
1+x=e' I+x=e' +t=ln(l+x) t=ln(1+x) -, i -2, i -7, y, =(yi-yi)e-2, y =e ,, =e-,!1, yi y=(y, yw =13'7-y, 1e-21 , y. =bi-3yi+2yi).e-jt 3y, +2y,) e .r-3'(yi-3yi+2yi1+et ."''yi-y=12' es' 3' (y, - 3y, +2y,) +e eear y,-y =ez, N
e
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
170 170
Diferencijalne jednacine Diferenciialne iednaiine vile vilegs redq reckt Dlr-r2t
y7- 3y; + 3y; -y= Ir-Jlr+Jyt-y=e
e21
yi-3yi+3yi-y=0 y7-3y7 +3y'r-y=0 ) ,3 r3-3r2+3r-1=0 (r-1)3=0 =r2=r3=1l =Q a 11=t2=rr-3r2 +3r-l=Q a (r*t)i yh = cte' + c2te' + c3t2e' lh=cFt+crte'+crt2et
D-r-r2l +3y¡-y=e21 !,-Jl,+5yt-y-e e2' = e2' =e°7[Pm(t)cosßt+Q(t)sinfit] e*lP^g)cos p t +QnG)sinF t)> pi=2 r=0, k=m=0 k=m=0 a+ ßi=2 =
P,,,(t)=1t a=2, Fß=0, ai2, =0, P.(t)=
yp =Ae2i,, !p=2A.e2.' yp =2Ae?',,li=4A."2" yp =4Ae2', yp yi=.8A.e2' =8Ae2t !p=A.s2'
(8A* (8A-12A+6A-A)e21 =e2r A=1. 12A+ 6A- A)e2t = 12' > A= I. 2r 2t
yp = e lp=€ +e2' yy= c F' + c2te' c rte' + c3t2e' c.tt2et + e2' = Cle' ( I +x)2 y == c1 x) + c2 x) In(l + x)2 c t((1I + x) c2((1 I + x). ln( I + x)+ ln2 ( I + x) x)++ (1 x) + cc3j((1t + x) x). 1n2(1
7.
..
Naéi opte resenje jednaCine x2y'+ Naiiop5tere5enjejednadine 2xÿ -2y = x2 +7 za x>0. x > 0. x2/ + 2xy'-2y=x2 + I za t )t=lnx 2,(Y,-Y,) y' = e-' yi, y' = e-2' 0i - yi) y'=e-'Y,, y'=e-
xs1=pt = e'
e21 yi 1 + 2e' .ey¡-2y, ,2' . e-2t (y,=e2i+1 e-' yi - 2y, = 12' + I {ti - Yr)+2e'
"-2'
*
c=>
yi + yi - 2yt ==e2'+1 r'' + I y¡+y¡-2y,
3'1-y1-23'1=0 vi-yi-2y,=o
yr=-) r2+r-2=0 (r-l)(r+2)=0 ) rt=1, rz +r-2=0 ) (r-1)(r+2)=0 11 =l, r2=-2 2' = cie' + c2é !h=cft+c2e-2' yi+yi-2!,=l =1 Y,+Y,-2y, 1t = =e°1 [Pn,(t)cosßt+Q(t)sinßt] e*lP^0)cos P,(t)= l d=0, ß=0, B t+Q,(t)sin B tl) a=0, F =0, Pm(t)=1 Yh
a+ßi=0r=0, a+ pi=0=r=0, k=m=0 k--m=O =0 =A, yp, = !p,=A,!'0,=li,=o --2A= 2A =1t > A=-1 L=-L2 ypi
I
1
lp, =-V YPI ,. t ^ =e2r 2, yt+yt-zyt=e Y,+Y,-2yr e2' ,2' =eG°[Pm(t)cosß7+Q(t)sin ="*fP,(t)cosPt+OnltlstnBtf a+ßi=2r=0, a+ Bi=2*r=0, k=m=0
P^(r)=l ) a=2, e=2, ß=0, f =0, P,(t)=i
y! p2 Ae2i , yp2 y'p, = 2Ae2t ,, yö2 4Ae2' = 2Ae2t liz = 4Ae2r o2 = Ae2t ,
A=44
(4A+2A-2A)e2i (4A+ 2A-2A)e2' =- e2' s2' a 4A=1 4A= I + A= L
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Diferenci.ialne Diferencijalne jednacine vileg .iednaCine viie s reda
171 t71
't, 1I 21 7e''
=4e I oz = yp2
--
e2, + yf,z =c,e' +cre-2t clef + c2e-21 -*-1U' =r,**?-*.*f = yh + y +!p, Ctx + 2 !y =ln*!pr =
8. 8.
x2
..
jednafiine (2x (2x+I)2 Nati Nadi oplte opAte resenje reieqie jednaiine y'+(4x+2)y'-4!=x2 +1)2 y' + (4x + 2)y' -4y = x2 za za 2x+7>0. 2x + I> O.
2x*l=e' 2x+1=e' t=ln(2x+1) +t=ln(2x+l)
.l
r, =lrr, -r" x2=4ezr-2e'+4 = x=+= 21 dy dt 2 , _, , ,dydt2,^-,, .V'. y, =2 e- y, y-dtdx-2x+1 Jt '1' =:.._=_.V.=2.e '' dt dx 2x+l 2x=e, 2x=e'-1x=e -t
y
I
( yi yi ) = q . r-2'21(y,-y;) = +. -=2é'2(-e-ry,+e ,' =d = 2 . e-' . 2(-e-' . yi + r-'1y,)=4é - yi ) 'dtdx dt + dx 4e2,e , I z, I ,,l+,yJ-4y,=e2,-e'+4 4. e2' . e'2t 1yi yi 1+ ne' . é e-' yi .
2J(y,-y)+4e'
I
I F
I F
-41. =-e
1
2, 4yi -4y, =*r'' 4y,-4y,=41 e
,
1
4y; --4y, 4yi 4y, =g =0 ,2 r2
-1=0 - I =0 :)
11
=1, r2=-1 = I , f2 =-l
= cle' + c2é ' yh !h=cF'+c2e-' 1
2,
='Or'' =4e =ecr[Pm(t)cosßt+Q(t)sinßt] = 2, ß=0, Pm(t)= F=0, P,1t1=! *"'' = e'lP^1t lcos B t + Qnft)sin F i> aa=2, 4yi -4y, 4y,-4y,
:
a+ Bi=2=r=0, k=m=0 a+ßi=2r=0,
I
yp1 ! p, =
:
(t6A-4A)e2' (16A-4A)e2r
=Ae2', A' 92' , !'p, yp, =2Ae2t, = 2A'e2' t yP, !'0, =4Ae2, = 4A'e2'
t-
yp, Yo,
: t t
, i
I t
t
t !
424--e
-1 -2e -t, +4
t
=1 e2' > 12A=-112A=f,= =*r',' 4
4
112, 2, e
A= -L A=* 48
=d,
1
,
=-lr'
4yi -4y, 4y,-4y,=-2e
-Ze' a=1, -*"' =e`"[Pm(t)cosßt+Qn(t)sinßt] = e*lP,1t1cos B t + e,ft)sin B fl t a f =0, Prttl=-) = t, ß=0, a+ pi=l+r=1, k=rn=0 a+ßi=lr=1, k=m=0 Pm(t)=2
yp2 !p,
=Ate' At. el,, !'p, yp2 =A(1+t)e', )1;2= t) e' =A(2+t)e' A(t + 1+ I +t). = = A(1 + t).et, yi, = A(1 = A(2+t).et
8A=-2 + 8A e= -L A=-16 =-1= 2216
(8A+ 4At -4At1. e' =-Ze' (8A+4At-4At)é = -!r'
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
Diferencijalne Diferenciialne jednacine .iednaiine vile g reda
172
r,
t,te, =--6t'e
I = yn2
t
{yl -(y, 4yß -4y,
1I
=a =44
P^0)=* a =0, /3=0, r*lr,(,)cos B t +Qn(t)sin P ls a=0, =elP,(1)cos/3t+Q(t)sin/it] 0 =0, P,(t)=
I=
a+/3i=Or=0, d+ pi=0*r=0,
k=m=0 !p.r=A'!'pr=!'rr=0 yp,=Aÿr,=yp3=0 A=-1I -4A= 1 6=-
-4A=!= 4416 I
16
1
r
P-t 16 t6
I y= \=c,e'*cn€-t+ cle + c2e-' J"481616 -L16 -Lr."' t e "2' -16 + 48 e2,
-fi
. * t ). tn(2x + | + t)2 --1(2x+1)ln(2x+1)--1 ty =ci(2x+1)+ = c t(2x + t ) * c2 +1(2x+1)2 16 16 fitz* 48 2x+1 *ex
*.
jednacina resavanja diferencijalnih diferencijalnih iednaiina Neke N eke metode relavanja 1. 1.
= a(x) z, ((a(x)*0) a(x) * 0 ) tako jednaiini y"+? =0 uvesti smenu smenu y!=a(x)'zt y'+Zy'+ y' + yy=0 jednadni x jedna[inu. diferencijalnu jednadnu. re§iti datu diferencijalnu da se uz z' ,, a zatim reliti se anulira koeficijent uz
diferencijalnoj U U diferencijalnoj
í
q' z + a' z' + +áz'+ai z + 24' z + az' ÿ ==a"z+az y' = a'z + qz',, y' a' z' + az' =ci y=az, = a' z+2áz+az" ! = az, y'=az+az 2á z,a 23p'+1o'*2o Z (o'r +(a"+-+a)z=0 +o1r=o +2a)z az"+(2cí (a, z + or' + (2a' qZ a"z+2az + az, +1_ azr s) + az = o ) az' e,z + 2a, z, +az"+?(az+az)+az=0
.+-=o 2a 2a 2a 2o'*-=0 x
x x
-_-- -_-=-; a
a da a da );=-;=;
da da
x
dx
dx dx x
xx
x
x
j=-jl; =-J; da ,da
dx ,dx
a
x
Z, a"= a=-,ci=o'=4 a=1, o'=-4, x xx'x' x x 2
lnlal= -lnlxl tnlal=-trl*l)
-
lí
I . +(-7--7+-1 .2 2 I )z=0 +(+-+1=)z=0 -zx xx'x'x 1=i, r2=-i 12=-i z"+z=0 * r2+1=0 r2=-1 12 +l=0)12 z'+z=0 =-larr=i, z 1 x + c2 sin x) y = o, = I = r, cos x+c2sinx). z=cl x * c2 sin x x :) y=az= Z CoSx+c2 = L (cicos = I cos x x xx (
C
2,
2.
.
2x1+
jednatini 2xy'+ y'++ 2y = smenu x == x(t) x(t) birajud birajudi funkciju uvesti smenu diferencijalnoj jednaCini U diferencijalnoj = 00 uvesti uz g(t) tako da se anulira koeficijent 9(t) takoda "dt o, "
,rl ,y,,\,,u yrr y y" = y" = =+, y: ! -=-*/
"i" x,
"
re§enje za naci opte za x > 0O. op5te re$enje zatimnadi +dt ,, ta zatim
-
I
xt'!r y, x,
(i)2 (ilt
(x)2
(xi)?
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
reda Dikrenci.ialne.iglnaiine Diferencijalne jednacine vileg reda
173 173
2x 1, y;+2y,=0 e vi*+'vi+2v,=s x',y?)+y;+2y,=0e y,2x'x,' ,'l-# 2x(,#-#1*\*zy,=o ,r (.4)3 y+ x, y'2 x, (x,) (x;)- (x,)-
#
. (x' )2 - 2x y,+
. . , (xi)z x,=0 -2x y,+ 2y,=0 ) (x,) -2x'xi=s ,r.W.yi+2y,=o (x/); # 2x
x'
2
'
p'p'. *i ==PPX x¡=p(x), xi = p(x), x, p?-2xP.rP=0 p2 -2x'p'.rp=0
dx z*1=pt'+=+ p 2dp p-2x'p'.r=0 * p-2x P.r =0 - 2.:11-2-= dxPx P
xl= znl nl ? xx=p2 f áx2jdp I! 7= 4Q-p * hl xI=21nI lnl
=
=P
1
x=(x,')2 * = ( *i)2
* x;= xi = *I -
t=2 + "=l= .22
x=
44
t=2Jx
t2
1
x 2dx=dt 11 r* = dt > 2yi +2y, 2y7
* =* 21;=t zG =, = x= 4
)
=0
y,+y, Yi+Y, =0
I^{'" }=sint R"{ei' }=cost, cost +i sin t, RQ{é' ei' =cost+isint, =i,r2=-i, }='i'r l=,o", Im{e" =-i, e"= =0* r, =i,r2
r2+1= +I r2
+c2 sin 2,,r; c2 sin2Ji' 21.;:. + cos2'ti ct cos t, y= * c2 c2 sin sint, cost + y= c1 cost ! = c1 ! = ct
.
2
3. UU
3.
= uvesti uvesti smenu +!n 2(2x++ 1t + + 2)y' + 2(2x 2x(x+ I++2x(x 2 )y = 0O
jednadinu x2 x2 y' diferencijalnu diferencijalnu jednaCinu
jednalina sa konstantnim konstantnim koeficijentima, a zatim je a takvo da se dob[ie jednaCina se dobije xo u, gde je y! = xau, difencijalnu jednaCinu. re§iti re5iti datu difencijalnu JednaCinu.
t' tt + xo tt',, y'=«(a+ xo lt' * *a-I u' +xaú I ) xd-z u + md- ; +axa-1ú y' = q( a - 1)xa-2u+Q'xa-1u y' y'=aXa-1 = @co- u+xau I
xa+
*
2 g x + 2 + x2 )xau =0 l+ (4x x" u'l+ * 4x)[axa-1 ) xa u = u + xo u'l+ (2x2 2ara-1t u' )W"4 u + xau x2 [a(a o -1)xa-ZU *'fo{ Q x' + - l ) *'- u + 2ar!-
*
t
l
t
+ q( a - l ) x" u + 2&o tt' + x'*2 u' + 2M'* u + 46o u + 2 x'* u' + a(a-1)xau+2axa+lu+xa+2uff+2axa+Iu+4axau+2xaú o (4ro*' + 2xa xd*2 1u = 2xo + xa+2 + 4xa+1u,+ 4 xo*l u' + (4xa+1 =0
xa+2u+[2axa+1 +2xo +xo*2fu=0 +4xq*t +2xa +4qr.a +4xa+1 +2sxo*t +4axa u,+fa1a-t1xo +2axa+1 +2xo*21 u'+Ea(ac-1)xa +4xa+1 +2xa+21 xo*2,.+b*o*, +4xo*t sa xa+2 xo*2 dobija se Deljenjem jednadine sa 1 4.2a+4 2d + 4 , Ca(a-1)+4a+2 4 +l + t\uu=0. + W+ = o' * zy' *( u'+(2a+ u' + 1W +2)u X X x.f,[r'.r) = 0 odnosno je 2a+4 daie 2a+4=0, treba da svako xx treba za svako bio konstanta za u' bio uz u' Da bi koeficijent ttz Da bi a=-2. r1 =r2 =-1 (r+t)2 =0 12 +2r+l=0 ) (r+1)2 u'+2u'+u =0 = r2+2r+1=0 u'+2u'+u=0 =0)rt=rz=-l ,
y=cf u=c1e
x+c2xe 'r
x
u
e-`
-Zu= 2 = 2(c1+c2x). y= *-'u=#=4k,+c2x). *c2x€-ra y=x x
x
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
174 174
Diferenci.ialne.iednaiine Diferencijaine jednacine vi.teg vileg reda
4. U 4. u smeni smeni x = ta to odrediti odrediti d a tako tako da da sese diferencijalna jednacina diferencijalna jednaCina xy" 211+ 3x3 3*t )y' )y' + 9x5 9xs y = 9xs (x3 jednaiinu sa + 1)ex l1e" svede ry' --2(1+ syede na na jednacinu 1x3 + sa konstantnim konstantnim 3
koeficijentim koeficijentima, a, a zatim re§iti re5iti datu datu jednaCinu. jednaCinu.
yi . x,Yr xiyi _ yi a(a-1)ta-2 ,,, Y, Y ,v,"_-- (*;f - 1_;f = -;qz;t-ffitr a2t2a-2 -a(a-l)t"-2 Lrt3a_3 (xí);
yi y,= Y, Y, .. ,y=4= ,i ata X, -i do_t,
Y,
(xr)2
Y
va-2
-''
fi ta ( a-1 - ) ta-2 ót3a Y, "ta,, a2t2a-2 - .ru a2t3a-3 Y, -2h-att" - sfa (fd + t). e'3" ma-1 +9tsay, =9tsa(t3a+1)e,'a o2,2a-z ;r;!*vi 2 020_1 fu+efov, (d
,
a
.d-l-1 :t
,"
yi -1u
+
2a z!
Kako Kako je uz je uz
t
?n-t
.
"'
a A-. a
. a-.
,-
ga2fo-2 (tta +1). +6d3a-, + yi' + 9a2t6a-2 6a7 3a-1 ). 9a2fo-2y, * rr. e'3° )Y, Y, _ = 9a2t6a-2(t3
"tid
yi y,"
broj 1, broj ,1, to to da da bi bi diferencijalna diferencijalna jednadina jednaina bila bila sa sa konstantnim
koeficijentima, koeficijentima, uzmimo da je
q=!=) x=t 6a2 =g 2 a=1 6a-2=0 r= rl 3
:
x3 -, r== *'
a-l a-1 *2a 2a 3a-1 +6a3a-t _2 *U*3a-t +6at3a-' ==3a-l +6ar3a-1 =2 ttt t
t
t
,a
g.+.f"(r+1) 9a2fo-2 1fo + l). e''t" = (t + t). e' 9a2t6a-2(t?a+1)é =Y-t s, =(t+1) et = (t + l).e' 9
.
yi-2yi+y,=(t+t).et Y7-2Yr+Y,=(t+1).e, yi-2y; y7- 2Y, +*!, =0 Y, =0 r2 -2r 12 +1 = (r -1)2 =0 -2r+1-(r-I)2 =0t yh !h
.
11
=r2=1 =rr=l
= C1e' +c2te' + c2te' =cFt
yi -zyi +y, =(t+ t).e' Yr-2Y,+Y,=(t+1)e' (t + 1)et = u'fP,(t)tos B t +gn1t1sin p t)* a=1, p^(t1=1a 1 (t+1)e'=e`"[P,n(t)cosßt+Q(t)sinßt] o= l, gß=0, =0, Pm(r)=t+1 a+pi=l*r=2, a+ßi=lr=2, k=m=I k=m=1 y,, =t2(At+B)e' =(At3+Bt2)e', +Bt2 1.e', yp !p=t2(At+B).et=1At3 +Bt2 +3At2 +2Bt).et =(At;+Bt2+3At2+2Bt)e' !'r=(Ati
yli=(et3 = (At; +Bt2 +3At2 +2Bt+3Atz +2Bt+6At+28).et +Bt2+3At2+2Bt+3At2+2Bt+6At+2B)é At3 At3 + Bt2 + +Bt2 +3At2 3At2 +2Bt+3At2 +2Bt+3At2
-4Bt+At; +Bt2 =t+I =t+1 -4Bt+At3
A=, 6'
6A=1 6A=l+e=4,
.l t I yu=( t;+2r2)e' y=(6 O.r'+!.tl ).e'
+2Bt+6At+28-2Ar1 +2Bt+6At+2B - 2At3 -2B12 -28t2 -6At2 --
28=l>B=! 2B=1B=2 - 2
a
, , -1 , I 1 . t;+1 *i.r,t2 r.e, ) =(c1+c2x3+1 !y=c1e'+c2te'+(1 = c Ft +c2te' *(t.,' *, *f,. *o ). =(ct +r2x-, **. x9+1.x6)ex.' 6
2
6
"*'
.
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
175 175
vile s reda Diferencii alne jednacine Diferencijalne iednaiine viseg
5.
5.
jednaCina y'+ ycos2 x = y'tgx y' + ÿ tgx -* ycos2x sin2ZxcosZx xcos2 x smenom diferencijalna jednacina da se se diferencijalna Pokazati da Pokazati = sin opte jednaiinu i naci i naii njeno re5enje. njeno op5te resenje. koeficijentima sinx = sinx = tt svodi na jednacinu sa konstantnim koeficijentima
yi',[J tj
-dy _dy dt yicos 11t2 I - sin2x=y,' rin\ = VIx = yi ..l + = cosx=y,' " =+ dx=+ dtdx dx dt dx -2t ) 1-t2 yilt I y" dt y, _ + yi. =y7(1-t2)-y7't t- I +y7 J - -yi . t =(y, = y"= oi.J 1-t2 + ' = 4. dt ddx dt x 2ztlt-i 1- t2 t 1-t2 yi(t )=i (t -t2 ) -f y(1-12)=t2(1-12) -t2 )-yi. t +yi JG Y,(1-t2)-y7t+y,' y'
d
+).
1
#-y(t 1,11
Yi y, -Y=t2 -Y =t2
r, =1 r2-1=0 12 -l=0 ) r, =-1, = -l , r2 =
yi-y=0 * y;-y=0
1
r1
*c2e-l c2e ' !h=cft = cle' + y;-y=t2 Yi-Y=t2 a=0, f3=0, i ="'fP,ft)cosBt+Q*ft)sinBtf t2 =eQ1[Pn(t)cosfit+Qm(t)sinßt] ) d=0, fr=0, Pn(t)=t2 p=0=r=0, a+i f3=0r=0, k=2 a+ì At? + Bt+c , y'o=2At+B,li=2tr yP =2At+B, yp =2A yp !p==At2+Bt+C, Yh
2A- At2 - Bt -c = t2 2A-At2-Bt-C=t2 B=0, 2A-C=0 C=-2 A=-1 A=-1,, B=0,2A-C=a=C=-2 2 y =-t -z -2 !p=-t,-t)^ +c2e-slnx t sin2 x-2. yy =C1eS%nx x- 2. y = cle' +c2e -2 , *c2€', -t2 = c Fsin' + c2e-tinx -sin2 !=cF' -t'-2, 6.
= x(t) y')xln2x + y = 1n2lnx smenom smenom xx=x(t) jednacina (xy"+ se diferencijalna jednaCina Pokazati da se Pokazati 1xy'+y')xln2x*y=ln21nr resenje. opte re5enje. jednaiinu sa konstantnim nadi njeno op5te koeficijentima i nad konstantnim koeficijentima moie svesti na jednacinu
,
,,,, ,
!,
' *','" -.--.t-4--
lty,
Y, lt'Xtx,
(*i)' (*il'z (x7)2
' x" x h2 ;)+y¡ xln2x+y=1n21nx '¡ = x x t) l-* *,. (xi)2-, xi x2ln2x ,2 lnT* , *ff xln2xY7+y,=ln2lnx xh2 x' yi +y, tn, x Y+(x7)z-x ri (x7); ffi ,,
[ x(( z;2 -
x+v
x
)'
tn2
tn
D
'
'
(x7)2
je uz Kako je uz Kako
=
tn
sa konstantnim jednacina bila bila sa bi diferencijalna yy broj broj .1, 1, to to da da bi diferencijalna jednadina
koeficijentima koeficijentima treba da je xlnx xlnx *2 x2ln2x lr2 *
,
t1 xlnx =c2x1nx, cz=7. c2 =x,, _ xlnx -± 11c =c --,-xt=T=c2xtttx, =cl = =t{ct -dT=ct+ c c ix, (x7)2 dx' dx dxi dx' dxi , =-=--L x+c22xlnx l)xi =c2x1n2 x+c2xlnx *i x, =#=X.#=cz(lnx+ dt dx dt -c2(lnx+1)x,' =slx1r2 ,
-
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
176
176
Di.ferenci.ialne.iednaCine Diferencijalne jednaeine vigeg vileg reda
(*i)2 -x.xi _,_z2 .._r1*'ln2 x-clx2lnz x-c2rxzlnx , 22 (x,)2-xx," 1I xln x= c2xZ1n2x-c2x2ln2x-c2x2lnx xln x=--
(*i)' (xj)3
C2x; clxs ln; lnj xx
c2 c2
c,yi-Ly;+y, - y; + y, ==ln2lnx. 1n2 In x. Uzmimo da 2
Polazna Polazna jednadina jednadinu c1y; jednaina se transformi5e transformie u jednainu
je je
c,=licr=1. c1 =1 i c2 =1
x; x', =xlnx
.
-dt - t#.=!at =Jdt * = +=dt xdx x xln x
ln(lnx)=t ln(Inx)=t
t
lnx=s, Inx=é
s x=ePr ,=r"'
ln2 lnx=ln2 1n2lnx e'=t2 =ln2el
je tn Primetimo Primetimo da da je lnxx > 0 0 zbog zbogoblasti oblasti definisanosti jednadine. definisanosti diferencijalne diferencijalne jednalzine. polazna diferencijalna Sada se polazna jednadina svodi na diferencijalna jednaina yi +* y, y, = na yi y,'-- y,' t2 .. = t2
vi-yi*!,=o y, -y, +yr =0
-i, r.=' *6,
r2 -r+1=0 ,2 r, =!-6 r. -r+l =o =' = r1= ' 1
1
r2
2 2 2 2-1'. r
22'2' 2 t (1--+-1)r 'r (cos t+isin2t), e,,i*?,, 2 2 =e2 ,ror$t+i rir$t) , =
.t Jl.
"i,
ri
(I+1)r (1+1)r V3 *"["'1.*"'l=ri' e = e2 cos--t ,or{, I, e , ,.[ "t 2
t j + Jit+c2e2sinV3t. yh=cle2cos lh =CF' cos-t+cZ, 2 ,I ,,n8,. RF
2
2
,
2
2
2 J It
V3 t ,inq, 2
= e2 sin
",1.*,rI="1,
z
yi-yi+lt=t2 3'r-yr +y,=r ,.
2
f
p^(t1=12 tl= a=ß=0, o= g =0, P,(t)=t2
t2 =e°1 P^(r)cos B t+Q,ft)sinB ] = e'f[Pm(t)cosßt+Q(t)sinßt
a+ a+,1i=0r=0, ft=0+r=0, k=m=2
y'o =2At+B, !ypp =At2+Bt+C, = Atz + Bt +C, yp = 2At+ B, yp l'p =2A =
2l
2A-2AtB+ Atz + Bt+C =t2 > A=1, 2A-2At-B+At2+Bt+C=t2 A= l, B=2, B =2, C=0 C =0 y!p=t2 = t2 + 2t +2t r rJi y=c +cos-t+c2. ,t ,,n& ,*t2 +2t !=ct.ez r
r
2
2
In(tn x)t\'m ln x +1n2 . n2 (In t)*','*($' 0n x) + 21n(In x))' 2 t *r'"
y= ln(ln *x) + c2 sin o{E'n"n = [C1 cos
' f"''
x)
2 tn( tn x
.
C
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
177
vile s reda Diferencijalne Diferenciialnc jednacine iednaiine viieg
.
7.
7
(1 - x)ÿ+ jednaiina 12x dva x)y' + y = (2x -- x2 x2 )y"+ diferencijalna jednacina Data je diferencijalna = xr .. Odrediti bar jednu, dva 1y' + (1jednaCina na = t jednaCina svodi svodi na I f(x) se smenom se smenom da funkciju /, , tako puta diferencijabilnu tako da puta diferencijabilnu funkciju f(x)= jednatine za re5enje date jednacine op$te re§enje jednaiinu sa konstantnim koeficijentima, a zatim naci naii op§te jednacinu x e (0,2) (0, 2) .
f
f
f f
f *y,
, dy dt + yr,f"= y,"f2++yif' dyr dt dy, ,+ , y,=*.*=ri.r, y, =* y, - cit dx =y,. , ,, !,y ==N-.f,+yi.f = dt *.f,+yif'=yif'2 dx dx
y
w
w
x)f')y', + y, == x *' )f" x2 )f'2 y; ++ Px (2x ((2x -- x2 )f' + (l(1-- x)f')y; 17'2yi 12x - x2 " paie je (2x -- x2 f'2 =c x' ))f'' y' treba da bude konstanta, pa sledi da daira i uz y" /, siedi =, Kako uz y stoji broj 1, C = =C (2x-x2)f'2 12x-x21f'2 =c f'2 =** = f'2
f'= f'=#
2x-x
f'== 7'
j l = !+ S = f =cl l-(x-l)' x2 2x-x' 42xtl1-(x-1)2 CI
dX
ct
I
ci
-.
¡-
,r =Vc , cl =G
,
2x-x2
c 1aresin(x-1)+c2 arcsin('r - I ) + c' =ci --
,'l
ct cl
x-1 x-l
2-2x 2-2x
' 31(2x-x2)3 "- 2 *, It 2 ÿ(2x-x2)3 Je*_ x2 )3- l1z*_ +(1-x) (2x - -r2 )' $ x-1 + (t - fl$ cl (2x-x2)cl =o0 ,l2x 2x-x2 ÿ(2x-x2)3 tl{2x - x' - x' )'' l
c
-
1
jednadinu cyi +y= cy; +y x . Uzmimo da je transformise u jednaCinu se transformi5e svako c Za svako c polazna polazna jednadina se = x.
ci =1 i c2 =0. ct=licr=9. = arcsin(x t= arcsin(x -1) - l)
e
x= = sin sintt *+ I1..
jednaCina svodi diferencijalna jednacina Sada se polazna diferencijalna
y' + y == sin sintt + II na y"+ na
y'*y =o y"+y=o 12=-i r2+1=0 l=i, r2=-i +1=0 * 11=i, 12 =cost+isint e''tt =e" =eit =costiisint yh =ci sin t+ c2 cos t !n=ctsint+c2cost y'+y=l y"+y=1 Pr(t)=1, a+ßi=Or=O, d+ Bi=0= r=0, k=0 a=0, ß=O, f =0, Pn(t)=1, =y, =0 A=1 =A, yp, J'0,=Yi,=o*A=I !u,=A, y"+y=sint !'*Y=sinl
P,(t)=0, Q,,,(t)=I ß=1,, P(t)=0, o=0, 9=l sint=e`"[Pn(t)cosfit+Q,,,(t)sln,ßt] sint=edf Pnft)cosBt+Q^Q)sinBtl* a=0, Q*G)=l a+ßi=ir=1, a+ Bi=i+r=1, k=0 y,, =t(Asint+Bcost) !u. =t(Asint+Bcost) y'u. =Asin+Bcost+Atcost-Btsint=(A-Bt)sint+(B+At)cost yp = A sin+ B cos t * At cos t - Bt sin t = ( A - Bt ) sint + ( B + At ) cos t yP, ti, =-Bsint+(A-Bt)cost+Acost-(B+At)sint=(-2B+At)sint+(2A-Bt)cost =-B sint +(A- Bt)cost + Acost-(B+ At)sint =(18+ At)sint+(2A- Bt)cost (-28 ++ 2At) (-2B 2At)sint sint +2Acost + 2Acost == sint
>
B=-!2
A=O, A = 0, O =
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
178 178
Diferencijalne Diferenciialne jednaeine viiep reda iednaiine viseg
-t!t
cost cos t +l +I
y(t ) = c t sin y(t)=cl sintt+c2 + c2 cost cos t -
b't"\ JW
cost =yl-sin2t cost =3,11-(x-1)2 =J =
=J27-7 = J;* - *,
p, --f,arcsin{ 2x-x2(c2 x - I )) + I . aresin(x-1))+1. ty =cl(x-1)+ = c r( x - t ) + JR 2 8.
Nati Nadi
tri puta diferencijabilnu funkciju z= z = f(-x ), x,! x, y > 00 koja zadovoljava l(L), yv
a2z *'f *az ++3xy3 sot y2(3y+4x)a 2x2z = *r ri ,ioL -2x2z=x2eysinx. ,'Ay * aA}.axay ay ax3 y #-
diferencijatnu diferencijalnu jednacinu x2y3
!-t,z=f(t) z=f(t) x=t, yv
az dz ,., , , II ,, az dz ,,, , xx , Z, ctx y dy ay=z,ty=2 ax=z,tx=yZ,, y' d2z aa (t atz I z,+z,(-y2)=-y2 I , x, , I1,,, xx, 1, ,l1 z,,,,) = -7 zi + - zif a'= -r',Z,-y; = -lx z,'i, axay ay aray a, (y '; a2 z d2z-t 1 , t.,, II ,, a3 I1 z'i.-,, ,, , 1I , -,-, Z, zi, d'',=-7. t'., = a. z,tx ;T ax2 dx'= :Iy Z, tx = -. y' Z, Jax3 y' dx'' y Z, yy' Z,
)=-21,
-
.
2
x2y? *'y'
l;
2
zM+3xy;(s^y31-\riz', 4.ri+ y )'y'y'y'y
2
,
Y
y
-; -*ril-t3y3
z
x
z,")-(3y3+4a.y2)(++ry2 11-4ril-z*', - ,,ri z,)-2x2z=x2ey
y
sin,in'
y
y
x
x* x24-3xyz; x2 zi - s tyzi -3x24+3xyz; + 4 x2 zi -2x2z sin *' rin - 3 x2 zi + 3 ryzi +4x2z; - 2 x2 z == x2e'
"i
vy
zi- Szi + lzi -2z= 4-3z,"+4z; e' sint sin t - 2z = et
z7-34 +4z;-2z=0 > r3 zi*szi+lzi-22=o ,3 -3r2+4r-2=0 -3r2 +4r-2=o (r-l)(r2 -2r+2)= (r-1)(r2 rFl -2r+2)=0 + r1=1 r2-2r+2=0 12 -2r+2=0 ) r2=1+i, 12=l+i, r3=1-i b =l-i eí1+1l, +i )t I*i ), }=e'sint =e' e( (cos t+i sin t), et (cos t + i sin t ), Re{e(l+')' - .é' ==e' R"{e( nil, }=e' rrr r,, 1,,,{e"+il' I }= ", cost }= ", ri, t "' "" ^{s( t
zh zh
=cle' +cret +c2e' cost+c3e'sint cost+cpt sint =cPt
zM- 3z¡+ ziSzi + 4z; 4zi -2z si,ntt - 2z == e'et sin
et sint =edIP^(t)cos Bt+e,ft)sin e'sint=e°![Pm(t)cos t+Q(t)sinßt] B fi
a+iB=,1 +i=r=l,k=0 a+ifi=l+ir=1, k=0
* a=1, a= l,
p*(t)=0, Qen(t)= g == l, fi 1 , Pn,(t)=0, (t)=1I
zp = t e'[ Acost+Bsint ] zp=t'e'lacost+Bsintf z'p ( A cos t + B sin t ) + A cos t + B sin t + t( -A sin t + B cos t I ]= ,'p = = e'[f t(Acost+Bsint)+Acost+Bsint+t(-Asint+Bcost) l= "' = ( e'[(A+ e'l( (A+ A+ A+ ( (-A+ B)t)cost + (B B)t)cosr (-A+ B + B)t)sint] B)t) sintl =
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
je*niine vaeg Diferencijalne Diferencij alne jednacine viie g reda
179
-
z'p = zp e' lA + ( A + B )t ) cos t + ( B + ( -A + B )t ) sin t + ( A + ( A + B )t )( sin t ) + ( A + B ) cos t + =e'[A+(A+B)t)cost+(B+(-A+B)t)sint+(A+(A+B)t)(-sint)+(A+B)cost+
'
(-A+ + (B + +(B +(A+ B)t)cost B)t) cost+(A+ B) 2A +2B+ (-A+ B)sint7= +2Bt)cost +(+(-2A+ r'l?a+28 sint]= e'[( 2A +2B +2Bt)cost 28 - 2At)sint] 2At)sinl zi == e'[(2A +2B 2 B +2Bt) + 2 Bt ) cost+(cos t + (-2t + ( 2 A +2B + 2B + +2Bt)(2t++ 2B2 B - 2At)sint 2At ) sin t +(2A 2 Bt )( - sint) sin t ) +2B + 2 Bcost+ cos t + IQe + "'
'
+(+ (*2A+28 2A +2B2At)cost -2Asint)= (-2A+ (4A+ 2Asint ]= e'[( 6B+(2A +2B)t)cost +(6A +(e'[rc\+(+A+28)t)cost 2A- 2B)t 2B)r sin t ] sint) - 2At)cost-
t ' ' ,
e' [(6B + (-2A + (-6A + (-2A €'lrcn+ (-2A-28)t)sint 2B)t)cost - 2B)t) sin t -- 3(2A cost +(4A+ 3(2A+28 2Bt)cost + 2B + 2Bt) cos t e2A++ 2B)t) (-2A+ -3( 2B 2At) sint sin t+ + 4(A+ 4(A+ (A+ B)t) (-A+ B)t)sin B)t)cost 4( B + (-A+ B)t) sint)-2t( cost + 4(B t)-2t(AAcos cos t + B sin t)]= sint)l= -J -2A+ 28 - 2At) = e'sint sint = et
(-2A+4At)cost-28sint=sint (-2A + 4At )cos t -2B sint= sin t A
i
1B
=O, -28=t=B=-* -2B= = -2 =0,
,1, t.
z = zp=-:e'sint e' sin t
'
z =zh +zp = Cie' +c2e' cost +c3e' sin t- 2e'sint z=zh+zp=cte'*cze'cost+c-:e'sint-le'sint
-2
t
2
i-r-r-r-r
x
x
x
, ,
x
- *c2€!- cos-+c3e!' x - x x - sin-x =CteY +c2e'' ,=cF)* cosl+c-re,- sinlr- J*d s;n!.
z
y
p.
9.
sin---e' y
2y
.
y
Naéi Nadi dva puta diferencijabilnu y' ) ,, nad oblaku diferencijabilnu funkciju z = f(x2 obla5du R2 \{(0,0)} t ftO,O;) koja t')4 \x(y')s == 60 .. + 3lny)(y')s + - 3y' (y')t y' -7y(y')l + y2(1
xx' , = I1 y, =-I;f Y Y =7, M
,
Y
;
=
3
x
;
")2 ,, 3x 3(x')2 x' . ,t =-AF= x X EV n.
, Y Y
1l, x" 2?,, X" 1 I 3(x")2 - 1I,+y ynt,y!:+a.r-l=0 y,t,rt(*r)r' y (I+31ny) +8x _=0 *''"*t ,4-3y" 3(x")2 7y i,-3f€t-+3yr-!" -"r'f ' xx (x (xf) -y, xx (x (x')* (x')u (x')' (tt')' (x')" (x')' ) (x (x ) (x ) (x 6f) jednadina) y3 y2 (Ojlerova y3x"-3y2x"+7yx y) = y2(1 +31n diferencijalna jednaina) x' - 3y2 x' +7yx' -8x dil'erencijalna 8x I + 3lny) - = t=lny y=9t y=e' )t=lny 3
3
2
1
)_
(
Primetimo da je zbog oblasti definisanosti diferencijalne diferencijalne jednacine iednadine yy >> 00 .. .
x
-r .
"
"
.
" t xx' = =ee-' xl, xx' ==e2=ee-2' ((x,-x,), xl - xl 1, xx' = e-3' (x,-3x,+2x,) 1 xi - s xi + z xi 1 i
n.
?i
n.
21 rx 8x, -e2j e3iP (x, r'i';'(x"-3x"+2x *7 - 3 xir + 2 xir)x)+7éé + 7 e' e-' xir -8x r + 3 t )I 3 e2' r-2' (xr*7" - *; - 12' ( 1+3t 1 - 3e2'e r 1 "t' x7-64+ xi I 2 xi -8x, 3t + I ) . e2' ezt - A xi + 124 - 8 x, =_ ((3t+1) 1
1
r-
1
I
i,, PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
I
182 t82
Diferencijalne Diferenciialne jednacine vile s reda iednaiine vi.feg
lzxi -8x, xi-axi ++124 4-6x; -8x, =0 =g
-6r2+12r-8=0 ,jr3 -612 +l2r-8=0 ) (r-2)3 =Ort=r2=1-;=2 =0)rt-t2=rr=) xh =Cte21 xh =ct,e2t
+crtuz' +c3t2e2' +c{2e2' +c2te2'
+ t Zxi -8x, 4-64 xi- Axi +124 = 3t + ). - x, =(3t+1)e2i 8
(
I
ez'|
(3t + 1). 12' = eta [P,,,(t)cosßt+Q(t)sin,ßt] P^(t) = 3t + I /3=0, t +Qn1t1sin B tl ) a=2, e - 2, F (3t+1)e21 =0, Pm(t)=3t+1 "*fP^(t)cos B a+ Bi=2) r=3, k=m=1 k=m= I +3nf ]e2' +(4A+28)t3 +3Bt2 xxp=t3(At+81.e2' +Bti )e2', x'p=lZe/ =t;(At+B)e2i =1Alto =(At4+Bt3 =12At4+(4A+2B)t3 1.s2', xP l.e2' (16A+ +6& e2' = +6Bt 4p L4At4 + jl. e21 *; =lneta 4B)t3 +(12A+12B)t2 +(t2A+ t2ay2 +(16A+4B)t;
a+ßi=2r=3,
(72A+ 368)t2 ++(24A+36B)t+6B (24A+ 31ty + aB jl. e21 + (48A+ 8B)t3 + e2t x; L8At4 +(48A+8B)t; +(72A+36B)t2 *; ==laeta
-
j6B)t+68-24At4 + 6B 24A14 8At4 +(48A+88)ts + (72A + 36B)12 +(24A+ + (24A + 36B)t + (48A + 8B)t3 +(72A+368y2 SAta
--(96A+248)ti (96A + 24B)t3 -
+368f -8At4 +(48A+248)t3 +36Bt2 -(72A+72B)t2 =3t+1 -36Bt+24At4 +(48A+24B)C; -(72A+728)t2 -368t+24At4 -BA,ta -8Bt3 -ant3 =3t+l
24At+68=3t+l=A=*,r=t 24At+6B=3t+1 A=- B=6 B=6
e2r
*o =1!-ro *l-rt ).r'' xp=(8t4+6t3) (c 1 +C2t+C;t2+814+ * c2t * c 7t2 * x=xh +xp ,r =.r, -F x,, = * 6t;)e2i l. = (CI "''
lro frt
x(y) =(ct y). y2. y2 . + c2 lny * c 7 ln2 tn' y+= (c 1 +c2lny+c? t + ln4 y+* 6ln'3 y)
f,no,
lnt
{
PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor
View more...
Comments
