Ybarra

 

El modelo de admitancia y cálculo de redes. Una red eléctrica típica de transmisión de potencia cubre una gran área geográfica e incluye un gran número y variedad de componentes. En el análisis de sistemas eléctricos grandes, el modelo de la red toma forma de una matriz de la red cuyos elementos son determinados por los parámetros seleccionados. Hay solo dos opciones. La corriente que fluye a través de una componente de la red se puede relacionar con la caída de voltaje a través de ella mediante un parámetro de admitancia o de impedancia. La matriz de admitancias de nodo da el comportamiento en estado estable de todas las componentes que actúan juntas para formar el sistema y se basa en el análisis nodal de las ecuaciones de la red. La matriz de admitancias de nodo de un sistema eléctrico típico de potencia es grande y esparcida y puede obtenerse en una forma sistemática de construcción de bloques. La aproximación de bloques de construcción es la entrada para el desarrollo de algoritmos que consideren los cambios en la red. Debido a que las matrices de las redes eléctricas son muy grande grandes, s, se ocupan softwares que puedan realizar dicha matriz.

Admitancias de rama y de nodo. las componentes de los sistemas de transmisión de potencias se modelan y representa para el análisis monofásico, por medio de impedancias pasivas o admitancias equivalentes qye se acompañan, cuando es necesario, por fuentes activas de voltaje o corriente. Por ejemplo, un generador se puede representar en el estado estable por por un circuito como el de la ecuación 7.1 o el de la ecuación 7.2.

Al dividir toda la expresión entre

 =  + 

(7.1)

 

, se obtiene la ecuación de la corriente para la ecuación 1b.

 

Donde

 = . 

corriente

  Asi, la fem  Asi,

 =  =+  (7.2)       =      = 1   (7.3) , y su impedancia serie

, y su admitancia paralelo

se pueden intercambiar con la fuente de se

 siempre que :

 

Las fuentes

   e

 pueden considerarse como aplicadas externamente en los nodos de las redes

de transmisión, los cuales consisten solamente en ramas pasivas. Los subíndices a y b distinguen las cantidades de rama de las de nodo, las cuales tienen los subíndices m, n, p y q o si no, números. Entonces para el modelado de la red una rama típica puede representar por lla a impedancia por la admitancia admitancia de rama

car acterizan la rama son   según convenga. Las ecuaciones que caracterizan 

 o

 

Donde



 =     =   

 es el reciproco de

corriente de rama



 y

(7.4)

 

 es la caída de tensión a través de la rama en la dirección de la

. La rama típica se obtiene de dos variables asociadas

   e

que están

relacionadas por las ecuaciones (7.4), independientemente de cómo esté conectada la rama a la red. Hay un método más general para poder formular la



 ya que se puede extender a redes

con elementos que tengan acoplamiento mutuo. El método considera primero cada rama por separado para combinarla después con las otras ramas de la red. Supóngase que solamente una admitancia de rama



 se conecta entre los nodos m y n que son

parte de una gran red la cual solo aparece el nodo de referencia en la figura 7.2. se considera como positiva la corriente que se inyecta dentro de la red en cualquiera de sus nodos, mientras es negativa la corriente que deja la red en cualquiera de los nodos. La corriente



en la figura 7.2 es

esa porción de la corriente total que se inyecta en el nodo m y, que pasa a través de misma manera,



. Los voltajes

   



. De la

 es la porción de la corriente que se inyecta en el nodo n que pasa a través de  y

  son los que se presentan, con respecto a la referencia de la red, en los

 =  

nodos m y n, respectivamente. Por la ley de Kirchhoff en el nodo m, forma vectorial estas dos ecuaciones de corriente corr iente son:

[ ] =  11   

(7.5)

. Arregladas en

 

En la ecuación (7.5) las etiquetas o marcas m y n asocian la dirección de



 desde el nodo

m hasta el nodo n con las entradas 1 y -1 que, entonces se dice que estan en la fila m y n, respectivamente. De igual forma, la caída de voltaje en la dirección de

  

 que expresada en forma de vector es

 

(7.6)  = 1 1 [ ]   =    = 1 1 1 1[  [ ] =   (7.7)

tiene la ecuación

 

Se sustituye esta expresión de

 en la ecuación de admitancia

y se tiene

 =

 

y al premultiplicar ambos lados de la ecuación (7.7) por el vector columna de la ecuación (7.5), se obtiene:

 11    1 1 [ ] = [ ]  (7.8)

 

Que se simplifica par tener

    [ ] = [ ]  (7.9) 

 

esta es la ecuación de admitancia de nodo para la rama

 y la matriz de coeficientes es la matriz

de admitancias de nodo. Se observa que los elementos fuera de la diagonal son iguales a los negativos de las admitancias de rama. La matriz de la ecuación (7.9) es singular porque ni el nodo m ni el n se conectan a referencia. En el caso particular en el que uno de los nodos, por ejemplo el n, sea el nodo de referencia, el voltaje asociado a él, en este caso reduce a una ecuación matricial de 1 x 1.

   =  



es cero y la ecuación (7.9) se

 

(7.10)

Que se obtiene al quitar la fila n y la columna n de la matriz de coeficientes. A pesar de su desarrollo desarrollo directo, la ecuación (7.9) (7.9) y el procedimiento que lleva

  

importantes en situaciones más generales. Se observa que el voltaje de rama

       1     11 1 1 =  11 11  (7.11)

los voltajes de nodo corrientes

y de la misma forma, la corriente de rama

a ella son

 se transforma en

 se representa por las

que se inyectan al circuito. La matriz de coeficientes que relaciona los voltajes y

corrientes de nodo de la ecuación e cuación (7.9) se obtiene del hecho que la ecuación ec uación (7.8)

 

Como se verá enseguida esta matriz es de 2 x 2, es un importante bloque de construcción para representar redes más generales. Las etiquetas en las filas y las columnas identifican cada elemento de la matriz de coeficientes por el número de nodo. Por ejemplo, en la primera fila y segunda columna de la ecuación (7.11) la entrada -1 se identifica con los nodos m y n de la figura (7.2) y de manera similar se identifican las otras entradas. Así las matrices de coeficientes de las ecuaciones (7.9) y (7.10) son simplemente matrices de almacenamiento con etiquetas de filas y columnas que se determinan por los nodos terminales de la rama. Cada rama de la red tiene una matriz similar señalada de acuerdo con los nodos de la red a los que la rama se conecta. Las matrices de las ramas individuales simplemente se combinan sumando todos los elementos que tienen etiquetas de fila y columna idénticos con el fin de obtener la matriz de admitancias de nodo de toda la red.

 

Dicha adición origina que la suma de las corrientes de rama que fluyen desde cada nodo a la red sea igual a la corriente total que se inyecta dentro del nodo, en la forma que establece la ley de corrientes de Kirchhoff. En la matriz total, los elementos



 que  que están fuera de la diagonal diagonal son el

negativo de la suma de las admitancias conectadas entre los nodos i y j, y el elemento diagonal es la suma algebraica de las admitancias conectadas al nodo i.



 

 del sistema siempre y cuando, al menos una de las ramas de la red,

El resultado total es la



este conectada al nodo de referencia.

Ramas acopladas mutuamente en



 

El procedimiento que se basa en la matriz de bloques de construcción ahora se extiende a dos ramas mutuamente acopladas que son parte de una red más grande pero que no están inductivamente acopladas a ninguna otra rama.

        [] = [  ] []  (7.12) 

Supóngase que la impedancia de rama de la impedancia mutua

 conectada entre los nodos m y n, esta acoplada a través

 a la impedancia de

de la figura 7.6. Las caídas de voltaje

 que a su vez esta conecta entre los nodos p y q

 debidas a las corrientes de rama

entonces, dadas por la ecuación de impedancias elementales.

  

  están

 

La impedancia mutua

      

 se considera positiva cuando las corrientes

terminales señaladas con puntos en la figura (7.6a); las caídas de voltaje

 entran en las

  tienen entonces

las polaridades mostradas. Al multiplicar la ecuación (7.12) por la inversa dela matriz de impedancias elementales

[  ]− =   1   [ ] = [  ]  (7.13)  

 

Se obtiene la forma de admitancia para las dos ramas

[  ] [] = [] 

(7.14)4)

 

 

que también es simétrica. La matriz de admitancias de la ecuación (7.14), llamada matriz de admitancias elementales de las dos ramas acopladas, corresponde a la figura (7.6b). la admitancia propia elemental

  /(  )   =      =     es igual a

ecuacion (7.13), para

  y expresiones similares se aplican, mediante la

 y para la admitancia mutua elemental

ecuaciones de caída de voltaje



. Se pueden escribir las

 de la figura 7.6 en e n forma matricial.

     ,  ,         =    =      =

En la primera fila de la matriz A de coeficientes se asocia con la admitancia de rama segunda fila se relaciona con la admitancia de rama

 en la figura 7.6 se relaciona

con las corrientes inyectadas por las dos ecuaciones de nodo

     = 

 está relacionada a las corrientes

 se

. Los voltajes de nodo

miden con respecto a la referencia de la red. La corriente de rama corriente de rama

  y la

; similarmente, la

 por las dos ecuaciones de nodo

. Estas cuatro ecuaciones de corriente arregladas en forma de matriz son:

con la matriz de coeficientes igual a la transpuesta de la ecuación (7.15). La ecuación (7.15) se sustituye para las caídas de voltaje en la ecuación (7.14) para encontrar:

 

Y al premultiplicar ambos lados de esta ecuación ecuación por la matriz

 de la ecuación (7.16), se obtiene

Cuando se realizan las multiplicaciones indicadas en la ecuación (7.18), el resultado de las ecuaciones de admitancias de nodo de las dos ramas mutuamente acopladas en forma maricial:

 

  Las dos ramas mutuamente acopladas son realmente parte de una red más grande y así, la matriz de 4 x 4 de la ecuación (7.19), forma parte de una matriz más grande de admitancias de nodo para todo el sistema. Las etiquetas m,n,p y que indican las filas y columnas d de e la matriz del sistema a la que pertenecen los elementos de la ecuación (7.19). Así, por ejemplo, la cantidad que está en la fila n y en la columna p de la matriz de admitancias de nodo del sistema es se hace para los otros elementos e lementos de la ecuación (7.19).



 y en forma similar

La matriz de admitancias de nodo de las dos ramas acopladas se puede formar directamente de una inspección visual de las ecuaciones. Esto resulta más claro cuando se escribe la matriz de coeficientes de la ecuación (7.19) en una forma alternativa:

Para obtener la ecuación (7.20) se multiplica cada elemento de la matriz de admitancias elementales por la matriz de 2 x 2 de bloque de construcción. Las etiquetas que se asignan las filas y columnas de los multiplicadores en la ecuación (7.20) se determinan fácilmente. Primeramente, se observa que la admitancia propia



 se mide entre los nodos m y n con el punto en el nodo m.

de aquí, la matriz de 2 x 2 que multiplica a  en la ecuacion(7.20) tiene filas y columnas etiquetadas como m y n en ese mismo orden. Entonces, la admitancia propia  entre los nodos p





y q se multiplica por la matriz de 2 x 2 con las etiquetas p y q en el orden mostrado ya que el nodo p está señalado con un punto. Finalmente, las etiquetas de las matrices que multiplican a la admitancia mutua



 se asignan fila por fila y después columna c olumna por columna de forma que queden

alineadas y concuerden con los dados para las inductancias propias. En la matriz de admitancias de nodo de las ecuaciones (7.19) y (7.20), la suma de las columnas columnas (y de las filas), es cero. Esto Esto se debe a que ninguno de los nodos m, n, p y q, se ha considerado como nodo de referencia de la red. En el caso especial en el que uno de los nodos, por ejemplo el nodo n, sea en efecto la referencia,



 será cero y no será necesario que aparezca la columna n en la ecuación (7.19); además,



 no

tiene que representarse explícitamente por por que la corriente en el nodo nodo de referencia no es una cantidad independiente. En consecuencia, cuándo el nodo n es la referencia, se pueden eliminar la fila y la columna de ese nodo en las ecuaciones (7.19) y (7.20).

 

Es importante observar que, frecuentemente, los nodos m, n, p, y q no son diferentes. Por ejemplo, supóngase que los nodos n y q son uno y el mismo nodo. En este caso, las columnas n y q de la ecuación (7.19) se pueden combinar puesto que sumar por que

  

 = 

 y las filas correspondientes se pueden

 son parte de la corriente inyectada común.

Una red de admitancias admitancias equivalentes. Se ha mostrado como escribir las ecuaciones de admitancias de nodo para una rama o para cierto número de ramas acopladas mutuamente y que son parte de la red mayor. Ahora se demostrara que tales ecuaciones se pueden interpretar como si representaran una red con una admitancia equivalente con elementos que no se acoplan mutuamente. Esto puede ser útil cuando se forma la



para una red que originalmente tiene elementos acoplados mutuamente.

Las corrientes que se inyectan en los nodos de la figura 7.6 se describen en términos de voltajes y admitancias de nodo por medio de la ecuación (7.19). por ejemplo, la ecuaicon para corriente



en el nodo 3 esta dada por la primera fila de la ecuación e cuación (7.19) como sigue :

 =    +     (7.22) 

 

Al sumar y restar el termino  en el lado derecho de la ecuación (7.22) y combinando términos que tienen coeficientes comunes, se obtiene la ecuación de corrientes de Kirchhoff en el nodo 3

Los dobles subíndices indican las direcciones de las corrientes

,   

  desde el nodo 3 a

cada uno de los otros nodos n, p y q de la figura 7.9a), respectivamente. Un análisis similar de la segunda y tercera filas de la ecuación (7.19) conduce a las ecuaciones para las corrientes

  

 en

forma y estas dos ecuaciones representan las redes parciales de las figuras 7.9b) y c). la cuarta fila de la ecuación (7.19) no conduce a una red parcial separada porque no es independiente de las demás filas. Al combinar las tres redes parciales sin duplicar las ramas, se obtiene un circuito equivalente en la forma de una red de celosías conectada en los los nodos m, n, p y q de la figura 7.9d). en esta red de celosías no tiene ramas mutuamente acopladas pero es equivalente en cada aspecto a las dos ramas originales acopladas puesto que satisface la ecuación (7.19). Por consiguiente las reglas estándar del análisis de circuitos se pueden aplicar a este equivalente.

La matriz de incidencia de la red y



 

Las ecuaciones de admitancias de nodo para cada rama y par de ramas mutuamente acoplado ya se desarrollaron de manera independiente de las otras ramas de la red. Entonces, las matrices de admitancias de nodo de las ramas individual individuales es se combinan con el fin de construir la



 del

sistema. Como se muestra en la figura 7.11, dos de las siete ramas se encuentran mutuamente acopladas. Los pares mutuamente acoplados se describen mediante la ecuación (7.14),

 

mientraskas otras cinco ramas por medio de la ecuación (7.4). se arreglan las siete ecuaciones de rama en una matriz, y se obtiene:

La matriz de coeficientes es la matriz de admitancias elemental que se forma al observar la figura 7.11. cada rama de la red contribuye a un elemento diagonal que es igual al reciproco de su impedancia en cada rama con la excepción del caso de las ramas b y c, que están mutuamente acopladas y tienen elementos determinados por la ecuación (7.13). la ecuación (7.28) se puede escribir de forma compacta para el caso mas general como se muestra a continuación:  

    Donde

 e

 =  

(7.29)

 son los vectores columna respectivos de las ramas de voltaje y corriente mientas

  representa la matriz de admitancias elementales de la red. Las ecuaciones elementales no

dicen nada en relación con la forma en que están configuradas las ramas en el interior de la red. La configuración geométrica de las ramas recibe el nombre de topología y está dada por la llamada grafica dirigida que se muestra en la figura 7.13a). en esta grafica cada rama de la red de la figura 7.11 está representada entre sus nodos y terminales por un segmento de la línea recta con la punta de una flecha dirigida en el sentido de la corriente . Una gráfica se puede describir en términos de una matriz de incedencia o de conexiones. Se pondrá un especial interés en la matriz de incidencia rama-nodo A, que tiene una fila para cada

rama y una columna para cada elemento siguiente regla:



 en la fila i y en la columna j en concordancia con la

Esta regla formaliza el procedimiento general por usarse en la construcción de matrices de coeficientes dadas por las ecuaciones (7.6) y (7.15) para las ramas individuales de una red. Generalmente, se selecciona un nodo de referencia para los cálculos de redes. Por ejemplo, se obtiene la siguiente matriz rectangular de rama-nodo, si se selecciona el nodo 0 cono el de referencia en la figura 7.13 y se aplica la regla de la (7.30)

 

 

A los nodos que no son de referencia en una red se les llama con frecuencia nodos independientes o barras, y cuando se dice que la red tiene N barras, se quiere decir, por lo general. Que hay N nodos independientes sin incluir el de referencia. La matriz A tiene una dimensión fila-columna de B x N elementos para cualquier red con B ramas y N nodos sin considerar el de referencia. Se puede observar que cada fila de la ecuación (7.31) tiene dos elementos que no son cero, pero cuya suma si lo es, excepto para las filas a y g que solo tienen un elemento que no es cero. El voltaje a través de cada rama se puede expresar como la diferencia de los voltajes en ca caa a terminal de barra, medidos con respecto al nodo de referencia. Las caídas de voltaje a través de las ramas están dadas por:

Donde la matriz de coeficientes es la matriz A de la ecuaicion (7.31). Esta es una ilustración del resultado general para una red de N barras:

 =

 

(7.32)

 

Donde



  es el vector de la columna B x 1 de las caídas de voltaje de rama y V es el vector

columna N x 1 de los voltajes de barra medidos con respecto al nodo de referencia seleccionado. Las ecuaciones (7.6) y (7.15) son palicaciones particulares de la ecuación (7.32) para ramas individuales. Además, se puede observar que la ley de corrientes de Kirchhoff en los nodo 1 y 4 de la figura 7.11 da

Donde

 = 1.0000 ∠  90   = 0.68 ∠  135

  son las corrientes externas que se inyectan en los

 

nodos 3 y 4, respectivamente. La matriz de coeficientes en esta ecuación es

. De nuevo esto es

ilustrativo de un resultado general que se aplica a cada red eléctrica, puesto que simplemente establece que la suma de todas las corrientes de rama inciden en el nodo de una red es igual a la corriente que se inyecta en el nodo, en concordancia con la ley de corrientes de Kirchhoff. Por consiguiente, se puede escribir:

Donde



  =

(7.33)

 

 es el vector columna B x 1 de las corrientes de rama e I es el vector columna N x 1 con

un elemento que no es cero para cada barra que tiene una fuente externa de corriente. Las ecuaciones (7.5)y (7.16) son ejemplos particulares de la ecuación (7.33). La matriz A describe por completo la topología de la red y es independiente de los valores articulares de los parámetros de la rama. Por lo tanto, dos configuraciones diferentes de red que empleen las mismas ramas tendrán matrices A diferentes pero la misma



. Por otro lado,

solamente se altera  y no A, si ocurren cambios en los parámetros de la rama manteniendo la misma configuración de la red.



    =   (7.34)

Al multiplicar la ecuación (7.29) por

 se obtiene:

 

El lado derecho de la ecuación 7.34 es igual a I y al sustituirlo por encuentra

{  }=1

(7.35)

 

La ecuación 7.35 se puede escribir en una forma más concisa

=

(7.36)

 



  de la ecuación 7.32, se

 

Donde la matriz de admitancias de barra

La matriz





 es una matriz N x N dada por

 tiene una fila y una columna para cada una de las N barras en la red y asi, la forma

estándar de las cuatro ecuaciones independientes del sistema de ejemplo de la figura 7.11 es

 , ,   , , ,   .

Cuando se especifican las cuatro corrientes incógnitas son los voltajes de barra

  que se inyectan a las barras, las cuatro

  Por lo general, la matriz



  es simétrica, en

cuyo caso, al tomar la transpuesta de cada lado de la ecuación 7.37 se muestra que también es simétrica.

