Yapı Statiği 2
April 14, 2018 | Author: Ömer Karagöz | Category: N/A
Short Description
Download Yapı Statiği 2...
Description
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ESOGÜ-MMF 1970
Yayındır çoğaltılamaz
1
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
İÇİNDEKİLER SAYFA
BÖLÜM 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
İzostatik sistemler ve İşaret Kabulü………………………………………. Mesnetler……………………………………………………………………. İzostatik Sistemlerin Çözüm ve Örnekler………………………………… Hiperstatik Sistemler……………………………………………………….. Sistemlerin Çözümünde yapılan Kabuller………………………………..
BÖLÜM 2 2.1 2.2 2.3
Virtüel İş……………………………………………………………………... Betti Teoremi………………………………………………………………... Maxwell Prensibi…………………………………………………………….
BÖLÜM 3 3.1 3.2 3.3
Mohr Metodu………………………………………………………………... Castigliano I Teoremi………………………………………………………. Castigliano II Teoremi………………………………………………………
BÖLÜM 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
Açı Metodu………………………………………………………………….. Düğüm Noktaları Sabit Sistemlerde Açı Metodu………………………... Ankastrelik Momentlerinin Bulunması……………………………………. Düğün Noktaları Sabit Sistemlere Ait Örnekler………………………….. Düğüm Noktaları Hareketli Sistemlerin Açı Metoduyla Çözümü………. Simetrik Sistemler Açı Metoduyla Çözümü……………………………… Simetrik Sistem Simetrik Yükleme………………………………………... Simetrik Sistem Antimetrik Yükleme……………………………………… Isı Etkisi………………………………………………………………………
BÖLÜM 5 5.1 5.2 5.3
Cross Metodu……………………………………………………………….. Düğüm Noktaları Sabit Sistemlerin Cross Yöntemiyle Çözümü……..... Düğüm Noktaları Hareketli Sistemlerin Cross Yöntemiyle Çözümü……
BÖLÜM 6 6.1 6.2 6.3
Kuvvet Metodu……………………………….......................................... Simetrik Sistemler………………………………………………………….. Üç Moment Denklemi……………………………………………………….
BÖLÜM 7 7.1. 7.2. 7.2.
EKLER EK1 EK2 EK3
2
57
97
136
229
272
357 Matris Metodları…………………………………………………………….. Kafes Sistemlerin Matris Metodu İle Çözümü ……………………………. Çerçeve Sistemlerin Matris Metodu İle Çözümü…………………………………
Alan Çarpım Tablosu……………………………………………………..... Ankastrelik Moment Tablosu……………………………………………… Kaynaklar
Yayındır çoğaltılamaz
2
397 398 399
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
BÖLÜM 1 1.1. İZOSTATİK SİSTEMLER VE İŞARET KABULÜ Kolon ve kirişlerden oluşan yapı sistemlerinin boyutlandırılmasında esas olan, a. Kesme kuvveti (V) b. Moment (M) c. Eksenel kuvvet (N) kesit tesirleri yapı elemanının dolaysıyla sisteminin, a. Kesit ve fiziksel b. Mesnet c. Yük özelliklerine göre belirlenir. Kesit tesirlerinin işaretlerinin belirlenmesinde elemanların şekil değiştirmeleri esas olmak üzere yapılmasına karşın değişik kabuller yapılarak değişik işaret kabulleri kullanılabilmektedir. Literatürdeki mevcut kaynaklarda eksenel kuvvet işaretinde bir farklılık olmamakla birlikte moment ve kesme kuvvetlerinin çizimlerinde değişik işaret kabullerine rastlamak mümkündür. Bu notlarda kullanılan işaret kabulü aşağıdaki gibidir. Yüksüz
(kendi ağırlığı ihmal)
P
P Yüklü (P)
M
M
(kendi ağırlığı ihmal)
Çekme
Basınç -
+
-
Basınç
+
M
Çekme
M
P
-
V
V
V
V
KESME KUVVETİ İŞARET KABULÜ
EĞİLME MOMENTİ İŞARET KABULÜ
P P
+
P
Basınç
Çekme EKSENEL KUVVET İŞARET KABULÜ
Çekme Bölgesi
Yayındır çoğaltılamaz
Basınç Bölgesi
3
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Yukarıdaki şekillerden de anlaşılabileceği gibi, eğilme momentinden dolayı elemanının uzayan yani çekme meydana gelen kısmı artı diğer kısmı ise basınç bölgesi olarak kabul edilmiştir. Bu notlarda moment alanı elemanın çekme meydana getiren yüzüne çizilmiştir. Kesme kuvvetinde ise kesiti saat yönünde döndürmeye çalışan kesme kuvveti artı tersi eksi olarak kabul edilmiştir. Eksenel kuvvette ise kesitin boyunu kısaltmaya çalışan basınç kuvveti eksi kesitin boyunu uzatmaya çalışan çekme kuvveti ise artı olarak kabul edilmiştir.
Eğilmeden Çekme çatlağı
Diyagonal Kesme çatlağı
Eğilmeden Çekme çatlağı
Diyagonal Kesme çatlağı
Diyagonal Kesme çatlağı
Eğilmeden Çekme çatlağı
Basınç Bölgesi
P
Eğilmeden Çekme çatlağı
Yayındır çoğaltılamaz
Eğilmeden Çekme çatlağı
4
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Yayındır çoğaltılamaz
5
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Yayındır çoğaltılamaz
Bölüm1
6
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1: Şekilde verilen 200 N’luk kuvvetin A noktasına taşınması.
y
200 N 45o B 4m
A
x
8m [Varignon, 1654-1722].
Çözüm: 200 N A noktasına şekildeki gibi dik mesafe ile çarpımıyla taşınır y y
200 N 2
d=(2 +2 ) =2.828 m
o
45
45o
MA=200x2.828=565.6 kNm
B
y
200 N
2 0.5
B
B
200 N
m
4
m
4m
45o
4
A
4m
A
x
A
x
d
565.6 kNm
565.6 kNm
VEYA 200 N birleşenlerine ayrılarak matris formatıyla moment ifadesi yazılarak taşınır.
j k i MA =rxF= −8 4 0 =−565.6k −141.4 141.4 0
y
y
200 N
200 N 45o
45o 141.4 N
B
B 141.4 N
4m
r
4m
A m
A
x
x
8
565.6 kNm
1. MOMENT [BİR KUVVETİN DİK BİR EKSENE GÖRE] Moment; bir kuvvetin bir noktaya dik mesafesi ile çarpımından oluşan kuvvet çiftine denir. Düzlem kuvvetlerin momenti aşağıda kısaca örnek üzerinde açıklanmıştır.
P=4 kN L1=3
m
L2= 5
y
m
P=100N o
60 B
A
B P=100N
M A = P x L = 4 x 5 = 20 kNm
x L= 6m
Px=100cos60=50 N
B
MB = 4 x 3 = 12 kNm
L= 6m
MA = P xL = 86.6 x 6 + 50 x0 = 519.6Nm
Yayındır çoğaltılamaz
7
A
Py=100sin60=86.6 N
o
60
x
http://mizan.ogu.edu.tr.
A
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
y
F
Fy rx
My
F
y
x
Fyj
Fx ry
z Fxi
r
Mo
Fzk
yj Mxi
Mz=rx Fy- ry Fx
xi
Myj
x
zk
x x’e paralel y’ye dik olanlar Mz oluşturur
Mzk
r = xi+ yj+ zk z
F =Fxi +Fyj +Fzk
y’ye paralel x’e dik olanlar Mz oluşturur
Mo =rxF Mo =Mxi +Myj +Mzk
Momentin İşaret: Vektörel çarpım işaret kuralından çıkar. Veya M=rxF olmasından dolayı F kuvveti indis (x,y,z) eksenine bitiştirilir ve saat dönüşü + tersi – alınarak vektörel çarpım işaret kuralı ile aynı olduğu görülür. MOMENT, 1. Verilen kuvvet-kuvvetlerin eksenlerindeki birleşenleri 2. Kuvvet-kuvvetlerin uygulandığı nokta ile moment alınacak nokta arasındaki noktaların yer vektörleri
i 3. 1. ve 2. deki değerler kullanılarak M = x F x
j y Fy
k z ile MOMENT-MOMENTLER hesaplanır. Fz
4. Moment hesabı için gerekli olan matris tablodaki gibi oluşturulur. M
=
i x Fx
j y Fy
k z Fz
→Eksenlerin doğrultman kosinüsleri →F kuvvetinin uygulama noktası koordinatları →F kuvvetinin bileşenleri
i j k M = x y z = Fz y − Fy z i − [ Fz x − Fx z ] j + Fy x − Fx y k Myj F F F x y z Mx = Fz y − Fy z
My = − [ Fz x − Fx z ]
M y = −[ Fz x − Fx z ]
[
Mxi M x = Fz y − Fy z
Mz = Fy x − Fx y
z
Yayındır çoğaltılamaz
y
8
x
Mzk
[
M z = Fy x − Fx y
]
http://mizan.ogu.edu.tr.
]
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Mx, My ve Mz değerleri skaler olup F kuvvetinin O merkezinden geçen eksenlere göre momentleridir. Bu momentler; F kuvvetinin rijit cisme eksenleri etrafında uyguladığı döndürme uygulamalarıdır
j k j k j k i i i Mo = 3 0 0 =0 MA = 3 5 0 =5x40 = 200Nm MB = 3 0 8 =−8x40 =−320Nm 40 0 0 40 0 0 40 0 0 y A-
5m
Mx =[2x50 − 2x30]i= 40i j k i Mo = 3 2 2 Nm = My =−[3x50 − 2x40]i =70 j 40 30 50 Mz =[3x50 − 2x40]i=70k
0
x
3m -B
z
F=40 N
8m
Mx = 240i j k j k k i i i j MB = 3 0 8 =My = −[8x40]j=−320 j+0 2 8 =Mx =[8x30]i= 240i+0 0 68−2 =0 = My = −320 j 40 0 0 0 30 0 0 0 50 Mz =0 y
F=300 N 2m 3m
0 m
2
8m z B
x
F=400 N
F=500 N
Özellik 1: M momentinin Mx skaler birleşeni M ile x ekseni üzerindeki birim vektör i’nin skaler çarpımından;
M .i = [M x i + M y j + M z k ] . i = [M x i.i + M y j.i + M z k.i ] = M x [1] + 0 + 0 = M x olarak elde edilir. Buna göre M momentinin herhangi bir n eksenine göre Mn momenti n ekseni üzerindeki un birim vektörü ile [Mn =M un] çarpımıdır. Yukarıda klasik olarak momentler vektörel olarak aşağıdaki şekilde aynısının bulunduğu görülür. P=4 kN L1=3
m
y
L2= 5
m
P=100N 60o
B M A = P x L = 4 x 5 = 20 kNm
A
B P=100N
x L= 6m
C
Py=100sin60=86.6 N
o
60
MB = 4 x 3 = 12 kNm
B
L= 6m
MC = P x L = 86.6 x 6 + 50 x 0 = 519.6Nm
M = r xF
Yayındır çoğaltılamaz
r = xi + yj + zk
F = Fxi + Fyj + Fzk
9
M = M xi + M yj + M zk
http://mizan.ogu.edu.tr.
C
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
MA
MB
MC
i = x F x i = x F x i = x F x
j y Fy j y Fy j y Fy
Bölüm1
k i j z = − 5 0 Fz 0 − 4 k i j z = 3 0 Fz 0 − 4
k 0 = [0]i + [0] j + [[ −4 ] x [ −5 ] − 0]k = 20 kNm 0 k 0 = [0]i + [0] j + [− 4 x3 − 0]k = −12 kNm 0
k i j k z = −6 0 0 = [0]i + [0] j + [[ −86.6 ] x [ −6 ] − 0]k = 519 .6 Nm Fz 50 − 86.6 0
ÖRNEK 2: Şekilde verilen sistemde; a: x, y ve z eksenlerindeki momentleri, b: AD doğrultusundaki momenti hesaplayınız. z
E
10
200 kN
A
20
B 20 400 kN
C
20
O
y
12
8
D
a: Verilen kuvvetin eksenlerdeki birleşenleri, x
rDE =[ −12i−18 j+ 40k] F =
200 [ −12i−18 j+ 40k]=[ −52.77i−79.16 j+175.90k ] 122 +182 + 402
rMO =[12i+8 j+ 20k] 24.66F =
400 122 + 82 + 202
[12i+8 j+ 20k]=[194.65i+129.77 j+324.41k ]
x, y ve z eksenlerine göre moment, DO =12i+ 8 j
MO =12i+8 j+ 20k yer vektörleri ile hesaplanır.
j k i j k [1407.2 −0.12]i−[2110.8 −0.08] j+[ −527.76 + 0.04]k i M0 = 12 8 0 + 12 8 20 = −52.77 −79.16 175.90 194.65 129.77 324.41 [1407.08i− 2110.72j−527.72k]kNm Eğer her eksenin momenti ayrı hesaplanırsa matristeki aranan eksen numarasına 1 diğerlerine 0 yazılarak ayrı ayrı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.
1x'momenti Mx = 12 −52.77
1x'momenti 0 0 8 0 + 12 8 20 = 1[1407.2 −0.12]=1407.08kNm −79.16 175.90 194.65 129.77 324.41 0
0
0 1y'momenti 0 0 1y'momenti 0 My = − 12 8 0 + 12 8 20 = − 1[2110.80 −0.08] = −2110.72kNm −52.77 −79.16 175.90 194.65 129.77 324.41
Yayındır çoğaltılamaz
10
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
0 0 1z'momenti 0 0 1z'momenti Mz = 12 8 0 8 20 + 12 = 1[ −527.76 + 0.04]= −527.72kNm −52.77 −79.16 175.90 194.65 129.77 324.41 b: AD doğrultusundaki momenti bulmak için tüm kuvvetler A noktasına taşınır ve sonra AD doğrultman değerleri ile çarpılarak AD doğrultusundaki moment aşağıdaki şekilde hesaplanır. A
E
rAD=(0-12)i+(0-8)j+(40-0)k=-12i-8j+40k
z
20
10
200 kN
B
j k j k i i M = 12 0 8 − 40 + 0 − 40 = A −57.77 −79.16 175.9200N 194.65 129.77 324.41400N A moment =[ −1759.2i+200 j−487.76k ] +5190.8i−7786 j= 3431.6i −7586 j −487.76k 200 MAD =MA irAD = 3431.6i −7586 j −487.76k i 12i+8 j−40k =00 42.52
20 400 kN
C
20
O
y
12
8 D x
VEYA; AD doğrultusundaki momenti bulmak için tüm kuvvetler D noktasına taşınır ve sonra DA doğrultman değerleri ile çarpılarak DA doğrultusundaki moment aşağıdaki şekilde yukarıda hesaplanan AD doğrultusuyla aynı olarak hesaplanır. j k j k i i M = 0 0 0 + −12 −8 0 = D −57.77 −79.16 175.9200N 194.65 129.77 324.41400N D moment =[0i+0j+0k ] −2595.28i+3892.92j−0.04k = −2595.28i +3692.92j −0.04k 200 MAD =MA irAD = −2595.28i 3692.92 j +0.04k i −12i−8j+ 40k =000 42.52
ÖRNEK 3: Şekilde verilen kuvvet (100 N, 200 N ve 400 N) ve momentin (600 Nm), a) AB doğrultusunda oluşturacağı momenti (MAB) b) Orjinden 14 m uzaktati S-S doğrultusundaki momenti (Mss) hesaplayınız. Çözüm a: Eksenler üzerinde olmayan kuvvetlerin ve momentlerin birleşenleri bulunur. y
y
600 Nm
−6 j+ 4k FAC =200 =−166.41j+110.94k 62 + 42
2m
B
−2i+2j−2k MP =600 =−346.42i+346.42j−346.42k 22 +22 +22
C 400 N
100N 6m
z
2m
S O m
z
x
6
4m 200 N A
B noktasındaki momenti bulunarak AB doğrutusundaki birim vektörle çarpılarak MBA aşağıdaki şekilde bulunur.
Yayındır çoğaltılamaz
11
2m P
http://mizan.ogu.edu.tr.
14m
x
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
j k i j k i j k i M =[ −346.42i+346.42j−346.42k] + 0 0 4 + 6 + 6 0 4 0 0 P B 100 0 0 0 −400 0 0 −166.41 110.94 200N 100N 400N B =[ −346.42i+346.42j−346.42k ]P + −−4 x100 j+ 4x400i−6x400k −6x110.94 j−6x166.41k = 1253.58i +80.78 j −3744.88k B noktasında bulunan MB = 1253.58i +80.78 j −3744.88k momenti hangi doğrultuya taşınacak ise o yöndeki birim vektörle (dogrultman cosinüsleri) çarpılarak taşınır.
Örnekte AB doğrultusunda taşınması isteniğine göre bu yöndeki birim vektör;
uAB =
−6i+ 6 j− 4k 62 + 62 + 42
=−0.64i+ 0.64 j−0.426k
ise
MAB =MB iuAB =[ 1253.58i +80.78 j −3744.88k ]iskaler [−0.64i+ 0.64 j−0.426k ] MAB =(1253.58x( −0.64))i.i+(80.98x0.64)j.j+( −3744.88x( −0.426))k.k =−802.29 + 51.83 +1596.79 = 846.20Nm VEYA A noktasındaki moment bulunarak da M AB aşağıdaki gibi aynısı bulunur. j k j k j k i i i M =[ −346.42i+346.42j−346.42k] + −6 6 0 0 0 + 6 0 + 6 − 4 P A 100 0 0100N 0 −400 0400N 0 −166.41 110.94200N A moment [ −346.42i+346.42j−346.42k ]P −600k +00+00= −346.42i +346.42j −946.42k M AB =M A i uAB = −346.42i +346.42j −946.42k i[ −0.64i+0.64 j−0.426k ]=846.59 Nm
Çözüm b: Kuvvetlerin eksenlere göre analizleri yukarıda yapılmıştı. Burada S noktasında tüm kuvvetlerden oluşan moment hesaplanır ve S doğrusu boyunca hesaplanan doğrulman değerleri ile çarpılarak S doğrultusundaki moment aşağıdaki şekilde hesaplanır. j k j k j k i i i M =[ −346.42i+346.42j−346.42k] + −14 6 4 + −8 6 4 + −8 6 4 P S 100 0 0100N 0 −400 0400N 0 −166.41 110.94200N S moment [ −346.42i + 346.42j −346.42k]P +[ 00i + 400j + 600k]100 +[1600i + 00 j + 3200k]400 +[1331.28i + 877.52j +1331.28k]400 += 2584.86i +1623.94 j +4784.86k M =M i u = 2584.86i +1623.94 j +4784.86k i[ j]=1623.94 Nm S A ss
Yayındır çoğaltılamaz
12
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 4: Şekildeki çıkmalı kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi. 10 kN
2 kN/m
45o
6m
3m
Çözüm: ilk önce sistemin mesnet tepki kuvvetleri bulunur ve sonra kesim yapılarak her noktanın kesit tesirleri [V, M ve N] bulunur. 2 kN/m
7.07
7.07 kN By=2.465 kN
Ay=16.605 kN 7.07
V M
7.07
-
2.47
-
V
N
N=-7.07 kN M=-7.07x kN X=3 M=-21.21 kNm
V=-7.07 kN
x
+
9.54 21.21
V M
7.07
N
M
Ay=16.605 kN m 3
+
V=-7.07+2X+16.605 kN N=-7.07 kN 2 M=16.605x-7.07(3+x)-2x /2
x
1.52 7.07 N
-
Yapı sistemlerinde yük, kesme kuvveti ve moment arasındaki ilişki
4.4. KESME KUVVETİ İLE MOMENT ARASINDAKİ İLİŞKİ dx
B
A L
x
Çekme Bölgesi
P B
A
Kesme
-
V
M
+
Kesit
Basınç Bölgesi T.E.
q(dx)
L
+
T.E.
B
A
M+dM
M
s V+dV
V
V
dx
M
Moment
Çelik Kesit
ΣFy=0
V - q (dx) – [V + dV]= 0 -q (dx) – [dV]= 0
dV=- q (dx)
dV =−q dx
(Kesme kuvvetinin türevi yayılı yükün değerini verir.)
ΣMs=0 V dx + M -q (dx) (dx /2) – [M + dM]= 0
Vdx = dM
dM= V dx
(Momentin türevi ise kesme kuvvetinin değerini verir.) 2 Not: dx küçük bir dilim olduğu için dx = 0 alınmıştır.
2
Yayındır çoğaltılamaz
13
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
L P
Kesme +
V +
V -
M
M Moment q
j
j
V
j
M dV=qdx
i
i
x
dx
VEYA
j
Vj − Vi = ∫ q dx i j
Mj − Mi = ∫ V dx i
Yayındır çoğaltılamaz
dM=Vdx i
dx
x
dx
x
Buna göre yayılı yükün alanı kesme kuvvetini verir. Kesme kuvvetinin alanı momenti verir.
14
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1.2: Şekildeki konsol kirişin kesme ve momet bağıntılarının elde edilmesi 4 kN/m
A m
6
Konsol kirişin A mesnedindeki kesit tesirleri aşağıdaki şekilde bulunur. x2 3
12 kN
x 3
48 kNm 48 kNm
x
M z
V
m
4
12 kN
12 kN
ΣFy=0
12 −
x2 −V = 0 3
ΣMz=0 − 48 + 12 x −
V = 12 −
x2 x −M= 0 3 3
x2 3
M = 12 x − 48 −
x3 9
x2 22 x3 23 = 12 − = 10.67kN − 48 = 12x2 − − 48 = − 24.89kNm M2 = 12x − 3 3 9 9 x2 42 x3 43 x = 4 ⇒ V4 = 12 − = 12 − = 6.67kN M4 = 12x − − 48 = 12x4 − − 48 = − 7.11kNm 3 3 9 9 x2 62 x3 63 x=6 V6 = 12 − = 12 − =0 M6 = 12x − − 48 = 12x6 − − 48 = 0 3 3 9 9 x = 2⇒
V2 = 12 −
12 kN
2o
+ A 6m
48 kNm
o
3
A 6m
Yayındır çoğaltılamaz
15
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 4.3: Verilen kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi. 6 kN/m
4 kN 6 kN A
B
3m
9m
Çözüm: Sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır. b
a
36 kN 6 kN/m
4 kN 6 kN A 3m
A Y = 21.33
a
∑F
=0
x
Bx = 6
B 9m b
B Y = 18.67
6 − Bx = 0 Bx = 6 kN
q =[qx/ L]=0.5x
4 kN
∑M
A
∑M
B
=0
=0
6 x12 2 x 5 − 4 x 3 − By 9 = 0 B y = 18.67 kN
M
6 kN
N
x a-a
V
6 x12 2 x 4 + 4 x12 − A y 9 = 0 By = 21.33 kN
a-a ve b-b kesitlerinde kesimler yapılarak kesit tesirleri aşağıdaki şekilde hesaplanır. ∑ Fx = 0
∑F
N+ 6= 0
=0
y
V − 4 − 0.5x[x / 2] = 0
∑M = 0
x = 3 m → N = −6 kN
N = −6 V = 4 + 0.25 x 2
x = 3m → V = 6.25 kN
M = −[ 4 x + x 3 0.25 / 3 ]
M + 4 x + 0.5 x[0.5 x ][ x / 3 ] = 0
x = 3 m → M = −14.25 kNm
q =[qx/ L]=0.5x
4 kN
M
6 kN
N
A x b-b
V A Y = 21.33
∑F
=0
∑F
= 0 V + 4 − 21.33 + 0.5x[x / 2] = 0 V = 17.33 − 0.25 x 2
x
y
∑M
x
=0
N+ 6 = 0
N = −6kN
x = 7.5m → N = −6kN
Mx + 4x − 21.33[x − 3] + 0.5x[0.5x][x / 3] = 0
Yayındır çoğaltılamaz
16
x = 12m → N = −6kN x = 3m + 4.5m = 7.5m → V = 3.27kN
Mx = −63.99 + 17.33x − x 3 0.25 / 3
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
b
a
36 kN 6 kN/m
4 kN
x = 7.5
m
→ M x = 30.83 kNm
6 kN A 3m
x = 12 m → M x = 0
B
A Y = 21.33
a
9m b
B Y = 18.67
6.25
-
-
4
15.08
Bx = 6
[V]
+ x=8.33
14.25
18.67
+
[M]
6.25 6
[N]
-
Maksimum açıklık momenti V=0 da olduğuna göre,
Q=0
4 + [0.5x] x [0.5] − 21.33 = 0
17.33 x= 0.25
[1/ 2]
= 8.33
x = 8.33 →→ maxMaç = 21.33[x − 3] − 4x − 8.33 [0.5x][0.5][8.33 / 3] − 14.25 = 32.20kNm İstenirse sağ yönden de kesim yapılarak sonuçlar kontrol edilebilir.
∑F
=0
qx =
6[12 − x] = 6 − 0.5x 12
x
N+ 6 = 0
N = −6kN
x = 9m → N = −6 kN
V + ([[6 − 0.5x] + 6] x) / 2 − 18.67 = 0 V = 18.67 + 0.25x 2 − 6x
x = 12m → N = −6kN
x = 4.5 ise V = 3.27kN
Mx + [6 − 0.5x] x x / 2 + 0.5xx[ 0.5][2x / 3] − 18.67x = 0 Mx = 18.67 x − 3x 2 + 0.5x 3 / 6
x = 4.5 ise Mx = 30.86kN x=9
ise Mx = 14.22 kN
6 [12 − x ] 12 M
6 kN/m
N
6 kN B
V x
B Y = 18.67
Yayındır çoğaltılamaz
17
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1.3. V, M ve N diyagramları ile [açMmax=?] momentinin hesaplanması. 4 kN/m C
3m
4 kN/m
4 kNm D
C
3m
4 kN
4 kN 2m
2m A
4 kNm D
Serbest cisim diyagramı [uygulanan yükler ile bulunması gereken mesnet tepkileri ]
B
B m
E
BX
m
5
2
BY
AY
Çözüm: İlk önce mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
∑ MA = 0
4 x 5 x 2.5 + 4 x 2 + 4 − 5 xB y = 0
B y = 12.40 kN
∑ MB = 0
4 x 5 x 2.5 − 4 x 2 − 4 − 5 x A y = 0
A y = 7.60 kN
∑ Fx = 0 4 − B x = 0 B x = 4 kN
VEYA: Kirişin E noktasında momentin sıfır (4 dış momenttir bu yüzden dikkate alınmaz veya bu noktada yazılan moment bağıntısı bu dış momente eşitlenir) olacağından E noktasına göre moment alarak Bx tepkisi bulunabilir. Yani momenti bilinen bir noktaya göre moment alınarak uygun mesnet tepki kuvvetleri hesaplanabilir (B noktasına göre moment yazılarak Bx bilinmeyeni bulunamaz) ∑ ME = 0
7.6 x 7 − 4 x3 − 4 x 5 x 2.5 + 12.4 x 2 + 4 + 5 x B x = 0
B x = 4.00 kN
∑ ME = 0
7.6 x 7 − 4 x3 − 4 x 5 x 2.5 + 12.4 x 2 + 4 + 5 x B x = 4
B x = 4.00 kN
N
N M
V
N + 7.6 = 0 N = −7.60kN
∑ Fy = 0 V = 0
x
M
V
M=0
x
∑ Fx = 0
4 kN AY=7.6
∑ Fx = 0 N + 7.6 = 0 N = −7.60kN
∑ Fy = 0 V + 4 = 0
V = −4
AY=7.6
N M
M = −4x
∑ Fx = 0 N + 12.4 = 0 N = −12.4kN
x =1 m
M = −4kNm
∑ Fy = 0 V − 4 = 0
x = 3m M = −12kNm V=4
x
∑ Mx = 0 M + 4x = 0
V
B
∑ Mx = 0 M + 4x = 0 4 kN/m
M = −4x
x = 1m
M = −4kNm
x = 5m M = −20kNm
M N
C x
V
4 kN
AY=7.6
Yayındır çoğaltılamaz
BX=4 BY=12.4
18
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
∑ Fx = 0 N + 4 = 0 N = −4kN x = 2m
V = −0.4 kNm
∑ Fy = 0 7.6 − V − 4x = 0
x = 5m V = −12.4kNm
∑ Mx = 0 7.6 x − 4xx[1/ 2] − M − 4[3] = 0 x = 2m
V = 7.6 − 4x
M = −4.8 kNm
M = 7.6x − 2x 2 − 12
x = 5m M = −24kNm
∑ Fx = 0 N + 4 = 0 N = −4kN
M
4 kN/m
4 kNm
N
∑ Fy = 0 12.4 + V − 4x = 0 x = 2m
V = −4.4 kNm
V = −12.4 + 4x
V
x
D
E
x = 5m V = 7.6kNm
∑ Mx = 0 M + 4 + 4xx[1/ 2] + 4[5] − 12.4x = 0
B
M = 12.4x − 2x 2 − 24
BX=4 BY=12.4
x = 2m
M = −7.2 kNm
x = 5m M = −12kNm
Sistemin Q, M ve N diyagramları aşağıdaki şekilde elde edilmiştir. 24 -
5-x1 x
4.0
C
D
-
-
Eksenel kuvvet
7.6
A
4
7.6
4.78 12
5-x
+ -
-
12.4 -
-
-
x1 Kesme kuvveti
-
4 20
Moment
B 12.4
4
Maksimum açıklık momentinin hesabı aşağıdaki gibi yapılabilir. [V=0’daki x benzer üçgen bağıntılarından da bulunarak maksimum moment hesaplanabilir]
x 5−x = 7.6 12.4
x = 1.9 m max M aç = 7.6 [1.9 ] − 4 [ 3 ] − 1.9[ 4 ][1.9 / 2 ] = −4.78 kNm
VEYA DİĞER YÖNDEN
x1 5 − x1 = 12.4 7.6
x1 = 3.1 m maxMaç = 12.4[3.1] − 4[5] − 3.1[4][3.1/ 2] − 4 = −4.78kNm
VEYA aşağıdaki formüller kullanılarak da aynı değerler aşağıdaki gibi bulunur. SOL YÖNDEN ⇒ x =
V 7.6 V2 [7.6]2 = = 1.9 max Maç = ± Mmesnet = − 12 = −4.78 kNm q 4 2q 2x4
SAĞYÖNDEN ⇐ x1 =
V 12.4 V2 [12.4]2 = = 3.1 max Maç = ± Mmesnet = − 24 = −4.78 kNm q 4 2q 2x4
NOT:
Maksimum açıklık momenti her zaman artı moment olacak diye bir yaklaşım olmamalıdır. Maksimum moment artı işaretli en büyük olan moment veya sıfıra en yakın olan eksi işaretli momenttir.
Yayındır çoğaltılamaz
19
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi. 2 kN/m
2 kN/m
C
C 4m E
E
B
4 kN
4 kN
B
m
1.78
3m
8 kNm
8 kNm
A
F
F
3.12m
2m
AY
4m
4
∑ Fx = 0
Dx = 4kN
DY
∑ MD = 0 ∑ MA = 0
N
DX
D
D m
4 x 5 − 2 x 4 x 6 − 8 + 8A y = 0
A y = 4.5 kN
4 x 3 + 2 x 4 x 2 − 8 + 4 x 2 + 8D y = 0
D y = 3.5 kN
M
Q x
∑Fx = 0 ∑Fy = 0
N+7.6=0
N=−7.6 kN
V =0 M=0
AY=4.5
N N
[Yatay kuvvetlerin toplamı]H=4
M
M
V
V 4 kN
B
45o
x
x
B
4 kN
V=4.5-2x [Düşey kuvvetlerin toplamı] A
A AY=4.5
AY=4.5
Hcosα α α
Vsinα α
M x = 2 = 4.5 x 2 − 4 x 2 − 2 x 2 x 1 = −3 kNm
α
M x = 4 = 4.5 x 4 − 4 x 4 − 2 x 4 x 2 = −14 kNm
4 kN
B
x
20
H=[4]
V
V=4.5-qx
AY=4.5
Yayındır çoğaltılamaz
Vcosα kN
Hsinα α
4 kN
B
x
AY=4.5
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
x = 0 ⇒ V = [4.5]cos 45 − [4]sin 45 = 0.354 kN V = V cos α − Hsin α = [4.5 − 2x]cos 45 − 4 sin 45 x = 2 ⇒ V = [4.5 − 2x]cos 45 − 4 sin 45 = −2.48 kN x = 4 ⇒ V = [4.5 − 2x]cos 45 − 4 sin 45 = −5.30 kN x = 0 ⇒ N = −6.01 N =− (Hcos α+ Vsinα)=− [4cos45 + [[4.5 − 2x]sin45] = 6.01−1.414x x = 2 ⇒ N = −3.17 x = 4 ⇒ N = −0.354
N
2 kN/m
66o
C
M H=4
V
V=3.5 66o
4 kN
B
V
H=4
V=3.5
M
[b]
N
8 kNm
[a] AY 4 3.5 D
ME = 4.5 x [ 4 + 1.78 ] − 2 x 4 x [2 + 1.78 ] = −4.23 kNm [ a ] ME = 3.5 x 2.22 − 4 x5 + 8 = −4.23 kNm [b ]
V = V cos α − Hsin α = [− 3.5] cos[−66] − 4 sin[−66] = −2.23 [a][b]
N = − [H cos α + V sin α ] = 4 cos[ −66 ] + [ −3.5 ] sin[ −66 ] = 4 cos[ −66 ] + [ −3.5 ] cos[ 90 − 66 ] = 4.82 [ a ][b ] 2 kN/m C
N 66o
4 kN
M H=4
B
V 8 kNm AY
66o H=4
4 V=3.5
V=3.5
M [a]
3.5 D
V [b]
N
MF = 4.5 x [4 + 3.12] − 2 x 4 x [2 + 3.12] + 4 x 3 − 8 = −4.92kNm[a]
MF = 3.5 x 0.88 − 4 x 2 = −4.92 kNm [b]
V ve N Yük olmadığı için yukarıdakinin aynısı olur.
V = V cos α − H sin α = 3.5 cos 66 − 4 sin 66 = 3.5 cos 66 − 4 cos 24 = −2.23 kN
N = H cos α + V sin α) = 4 cos 66 + 3.5 sin 66 = 4 cos 66 + 3.5 cos[ 90 − 66 ] = 4.82
Yayındır çoğaltılamaz
21
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Çubuk üzerinde yük olmadığı için x’in değişimi ile sadece moment değişir. V ve N değişmez.
M = x[3.5 cos 66] − x[4 sin 66]
N 66o
x = 2.19 ⇒ MF = 2.19[3.5 cos 66] − 2.19[4 sin 66] = −4.89kNm
M H=4
V
M = x[3.5 cos 66] − x[4 sin 66] + 8
4
x V=3.5
x = 2.19 + 3.32 ⇒ MF = 5.51[3.5cos 66] − 5.51[4 sin66] + 8 = 4.29kNm
3.5 D
x = 2.19 + 3.32 + 4.34 ⇒ MF = 9.85[3.5 cos 66] − 9.85[4 sin66] + 8 = −13.97kNm 2 kN/m N C 66o
4.34m
M H=4
V
B
4 kN
E
V=3.5
3.32m
8 kNm F
x
2.19m
AY
8 kNm
DX DY 4
D
3.5
Sistemin V, M ve N diyagramları aşağıda verilmiştir. 5.30 +
14.00
0.35 4.82
C C
C -
E
6.01
E
B 0.35
E B
B 2.23
M
V A
A
F
4.92
A
3.08
4.50
F
N F
D
D
D 2.23
Yayındır çoğaltılamaz
22
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen 3 mafsallı çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi. C
C
10 kN
1.5m 20 kNm
10 kN
20 kNm
m
m 10 kN/m 3
10 kN/m 3
B
B
D
D
3m
3m
10 kN/m
10 kN/m
EX
E
E
EY 2m
2m A
A m
2m
4
2m
AX
m
3
4m
AY
2m
2m
3m
Çözüm: Mesnet ve mafsalda moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır. ∑ MA = 0
5 ⋅ 10 ⋅ 2.5 − 20 + 10 ⋅ (4 + 2) + 10 ⋅ 3 ⋅ (1.5 + 8) − 2EX − 11EY = 0
∑ MC = 0
2 ⋅ 10 + 10 ⋅ 3 ⋅ (1.5 + 4) + 6EX − 7E Y = 0
EX = 13.94 N
6EX − 7EY = −185
2EX + 11E Y = 450
E Y = 38.375 N
∑ ME = 0
5 ⋅ 10 ⋅ 0.5 − 10 ⋅ 5 − 20 − 10 ⋅ 3 ⋅ 1.5 + 11A Y − 2A X = 0
∑ MC = 0
4 A Y − 8A X − 5 ⋅ 10 ⋅ (2.5 + 3) − 20 = 0
A Y = 1.625 N A = −36.063 N 4A Y − 8A X = 295 X
11A Y − 2A X = 90
C
20 kNm
V20kNmsol = − 13.94 kN B
10 kN/m
-
+
AX=36.063 4m AY=1.625
C
20 kNm
− 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) − 20dış = 40.91 kNm
VBsol = [1.625cos51.34 − ( −36.063 + 10 ⋅ 5)sin51.34 = −9.87 kN NBsol = − [( −36.063 + 10 ⋅ 5)cos51.34 + 1.625 sin51.34 ] = − 9.98 kN MBsol = 1.625 Ay ⋅ 4 + 36.063 Ax ⋅ 5 − 10yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2) = 61.82 kNm VA = V cos α − Hsin α = [1.625cos51.34 − ( −36.063)sin51.34 = 29.18 kN NA = − (Hcos α + V sin α) = − [( −36.063)cos51.34 + 1.625sin51.34 ] = 21.26 kN MA = 0
MC = 1.625Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 3) − 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 3) − 20 = 0.00 kNm V20kNmsol = − 13.94 kN
B
N20kNmsol = − 1.625 kN
M20kNmsol = 1.625Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 1.5)
N20kNmsol = − 1.625 kN
M20kNmsol = 1.625Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 1.5) − 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) − 20dış = 40.91 kNm
10 kN/m VBsağ = V cos α − Hsin α = [ 1.625 cos90 − ( −36.063 + 10 ⋅ 5) sin90 = −13.94 kN NBsağ = − (Hcos α + V sin α) = − [ ( −36.063 + 10 ⋅ 5) cos90 + 1.625 sin90 ] = − 1.625 kN MBsağ 1.5m = 1.625 Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 1.5) − 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) = 40.91 kNm AX=36.063 4m AY=1.625
Yayındır çoğaltılamaz
23
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
N M
V
Vorta = V cos α − Hsin α = [1.625cos51.34 − ( −36.063 + 10 ⋅ 2.5)sin51.34 = 9.65 kN
10 kN/m m
2.5 AX=36.063
Norta = − (Hcos α + V sin α ) = − [( −36.063 + 10 ⋅ 2.5)cos51.34 + 1.625sin51.34 ] = 5.64 kN Morta = 1.625Ax ⋅ (4 / 2) + 36.063Ay ⋅ 2.5 − 10Yayılı ⋅ 2.5 ⋅ (2.5 / 2) = 62.16 kNm
4m AY=1.625
C
10 kN m 10 kN/m 3
F
VDsağ = V cos α − Hsin α = [− 38.375 + 10q ⋅ 3]cos[−45] − 13.94 sin[−45] = 3.94 kN
D
NDsağ = − (Hcos α + V sin α ) = − [13.94 cos( −45) + [− 38.375 + 10q ⋅ 3] sin( −45)] = − 15.77 kN MDsağ = 38.375Ey ⋅ 3 − 13.94Ex ⋅ 3 − 10 Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2) = 28.305 kNm
+
VEsol = V cos α − Hsin α = [ − 38.375]cos[ −45] − 13.94 sin[ −45] = −17.28 kN
-
3m Ex=13.94
NEsol = − (Hcos α + V sin α) = − [(13.94)cos( −45) + [− 38.375]sin( −45)] = − 36.99 kN
Ey=38.375
2m
MEsol = 0 2m
3m
2m
MDsol = 38.375Ey ⋅ 7 − 13.94Ex ⋅ 6 − 10 Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2 + 2 + 2) − 10 ⋅ 2 = 0.000
C
10 kN m 10 kN/m 3
F
VFsol = V cos α − Hsin α = [− 38.375 + 10q ⋅ 3 + 10]cos[−37] − 13.94 sin[−37] = −9.69 kN NFsol = − (Hcos α + V sin α ) = − [13.94cos( −37) + [− 38.375 + 10q ⋅ 3 + 10] sin( −37)] = −10.17 kN
D
MFsol = 38.375Ey ⋅ 5 − 13.94Ex ⋅ 4.5 − 10Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2 + 2) = 24.145 kNm
3m
VFsağ = V cos α − Hsin α = [− 38.375 + 10q ⋅ 3]cos[ −37] − 13.94 sin[ −37] = 1.70 kN
+
NFsağ = − (Hcos α + V sin α ) = − [13.94cos( −37) + [ − 38.375 + 10q ⋅ 3]sin( −37)] = −16.18 kN
-
Ex=13.94 Ey=38.375
MFsağ = 38.375Ey ⋅ 5 − 13.94Ex ⋅ 4.5 − 10Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2 + 2) = 24.145 kNm 2m
C
F noktasının sağındaki kesit tesirlerinin diğer yönden bulunuşu yandaki gibidir.
2m
3m
2m
10 kN
20 kNm F B
VFsağ = [−10 + 1.625] cos[ −37] − [ −36.063 + 10 ⋅ 5] sin[−37] = 1.66 kN
10 kN/m
NFsağ = − [[−36.063 + 10 ⋅ 5] cos( −37) + [−10 + 1.625] sin( −37)] = 16.16 kN MFsağ = 1.625 ⋅ 6 + 36.063 Ax ⋅ 6.5 − 10 Yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) − 20 = 24.16 kNm
AX=36.063 4m AY=1.625
10.17 13.94
16.18 24.15
20.91
1.63
15.77
9.98
40.91
9.66
61.82
9.87
1.66
0.79m
3.93
28.30 29.85 36.99 69.30
m
4.75 N alanı
17.28 V alanı
V2 17.282 = = 29.85 2q 2 ⋅ (10 /(cos 45)2 ) M alanı
21.26 29.18
Yayındır çoğaltılamaz
24
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen 3 mafsallı çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi. 10 kN
1 1m 1m
20 kNm
8 kN
10 kN
m
10 kN
6 kN
II
IV
III 20 kNm
m
3
1m m 1 1m
10 kN
6 kN G
8 kN I
B
BX
3m
3m 3m
BY A
2m
3m
3m
3m
AX
2m AY
3m
3m
3m
Çözüm: Mesnet ve mafsalda moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır. ∑ MA = 0 sağ
∑ MG
8 ⋅ 10 + 10 ⋅ 5 + 6 ⋅ 9 + 8 ⋅ 3 + 20 − 3BX − 8BY = 0
= 0 3 ⋅ 10 + 10 ⋅ 6 + 20 + 6BX − 6BY = 0
∑ MB = 0
6 ⋅ 6 − 10 ⋅ 3 + 20 + 8A Y − 3A X = 0
sol
∑ MG = 0
2A Y − 9A X − 6 ⋅ 8 = 0
3BX + 8BY = 228 BX = 7.39 kN BY = 25.73 kN − 6BX + 6BY = 110
8A Y − 3A X = −26 A Y = −5.73 kNyön ters A X = −6.61kNyön ters 2A Y − 9A X = 48
VGsol = [−5.73cos77.4 − 1.39 sin77.4 = −2.60 kN Nsol G = − [ −5.73 sin77.4 + 1.39co s77.4 = 5.29 kN sol G
M
6 kN
10 kN 10 kN
G
= 6.61⋅ 9 − 5.73 ⋅ 2 − 8 ⋅ 6 = 0.03 kNm
II
VI = [−5.73cos77.4 − 1.39 sin77.4 = −2.60 kN
III 20 kNm
8 kN
NI = − [ −5.73 sin77.4 + 1.39co s77.4 = 5.29 kN
I
MI = 6.61⋅ 3 − 5.73 ⋅ 0.67 = 16.00 kNm VI = [−5.73cos77.4 − ( −6.61)sin77.4 = 5.20 kN
-
AX=6.61 A
NI = − [ −5.73 sin77.4 + ( −6.61)co s77.4 = 7.03 kN
+
BX=7.39
3m 3m
BY=25.73
m
2 3m AY=5.73
MI = 6.61⋅ 3 − 5.73 ⋅ 0.67 = 16.00 kNm
B
IV
1m 1m 1m
m
3
3m
VAsağ = V cos α − Hsin α = [−5.73cos77.4 − ( −6.61)sin77.4 = 5.20 kN Nsağ = − (Hcos α + V sin α ) = − [ −5.73 sin77.4 + ( −6.61)co s77.4 = 7.03 kN A
VGsağ = V cos α − Hsin α = [−5.73cos18.43 − 7.39( − sin18.43) = −3.10 kN ğ Nsa = − (Hcos α + V sin α ) = − [ −5.73 ( − sin18.43) + 7.39co s18.43 = −8.82 kN G
6 kN
VIIsağ = [−15.73cos18.43 − 7.39(− sin18.43) = −12.58 kN
10 kN 10 kN
G II
III 20 kNm
8 kN I
+
AX=6.61 A
m
-
m
2 3m AY=5.73
BX=7.39
IV
B
MIIsağ = 25.73 ⋅ 3 − 10 ⋅ 3 − 7.39 ⋅ 5 − 20 = −9.76 kNm VIIIsağ = [−25.73cos18.43 − 7.39(− sin18.43) = −22.06 kN
3m
NIIIsağ = − [ −25.73( − sin18.43) + 7.39co s18.43] = −15.14 kN
BY=25.73 m
3
MIIIsağ = −7.39 ⋅ 4 − 20 = −49.56 kNm
3m
NBsağ = − [ −25.73sin 45 + 7.39co s 45] = −12.96 kN
Yayındır çoğaltılamaz
NIIsağ = − [ −15.73( − sin18.43) + 7.39co s18.43] = −11.98 kN
3m
VBsağ = − 25.73cos 45 − 7.39 sin 45 = −23.42 kN MBsağ = −20 kNm
1 1m 1m
VIVsağ = − 25.73cos 45 − 7.39 sin 45 = −23.42 kN sağ NIV = − [ −25.73sin 45 + 7.39cos 45] = 12.96 kN sağ MIV = −25.73 ⋅ 3 − 7.39 ⋅ 3 − 20 = −119.36 kNm
25
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
22.06
12.58
3.10
Bölüm1
49.56
9.76
2.60
119.36
8.82 11.98
5.29 V kesme
15.14
15.99
12.96
20.00
23.42
M alanı
N eksenel 7.03
5.20
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi. 10 kN/m
∑ MA = 0
C
8 ⋅ 10 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 − 8BY = 0
E
4m
∑ Fx = 0 A X = 10 kN A
D
2m
∑ MB = 0
B
4m
A Y = 45 kN
BY = 35 kN
10 kN
− 8 ⋅ 10 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 + 8A Y = 0
4m
Çözüm: Mesnette moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır. VCsol = V cos α − Hsin α = [45 cos90 − 10 sin90] = −10 kN
VCsağ = [45 cos 45 − 10( − sin 45)] = 38.89 kN
Nsol C = − (Hcos α + V sin α ) = − [45 sin90 + 10 co s90] = −45 kN
NCsağ = − [45( − sin 45) + 10 co s 45] = 24.75 kN
sol C
M
= −10 ⋅ 4 = −40 kNm
MCsağ = −10 ⋅ 4 = −40 kNm
VDsol = [5 cos 45 − 10( − sin 45)] = −10.61 kN
VDsağ = [5 cos 45 − 10 sin 45] = −3.54 kN
NDsol = − [5( − sin 45 ) + 10 co s 45] = −3.54 kN
NDsağ = − [5 sin 45 + 10 co s 45] = −10.61kN
sol D
M
= 45 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 ⋅ 2 = 100 kNm
MDsağ = 45 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 ⋅ 2 = 100 kNm
VEsol = [−35 cos 45 − 10 sin 45] = −31.82 kN sol E
N
VEsağ = [−35 cos90 − 0 sin 45] = 0 kN
= − [ −35 sin 45 + 10 co s 45] = 17.68 kN
NEsağ = − [−35 sin90 + 0 co s 45] = 35 kN
MEsol = 45 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 = 0 kNm
MEsağ = 45 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 = 0 kNm 24.75
31.82
40
17.68
38.89 3.54 10
45.00
100
10.61 V kesme
M moment
3.54 10.61 N eksenel 35.00
ÖRNEK 2.4. Şekilde verilen sistemin V, M ve N diyagramlarının belirlenmesi. 10 kN
10 kNm
H
10 kN
5 kN
5 kN/m
4m
3 kN/m G
B
I
2m
E
C
5
m
10 kN 5m D
A 2
Yayındır çoğaltılamaz
m
6
m
F 6
m
26
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
10 kN
10 kN
H
H
10 kN
10 kNm
10 kN 5 kN/m
5 kN/m 10 kN
I
5 kN B
B
20 kN
20 kN 10 kN
A
3 kN/m
G
2m
A 2
4m
m
5
ΣFy= 0
m
5
m
F
10 kN
Gx = 10 kN
E
C
10 kN
5 kN 6m 24.33kN
Taşınan parçanın mesnet tepki kuvvetleri, ΣFx= 0
m
4m
2m
10 kN
4
19.67kN
Ay + Gy = 10 + 5 x 4 = 30
ΣMA= 0
6 Gy –5 x 4 x 4 +10 x 10 - 10 x 6 = 0
ΣMG= 0
6 Ay –5 x 4 x 2 – 10 x 6 + 10 x 4 = 0
Gy= 20 kN Ay= 10 kN
Taşıyan parçanın mesnet tepki kuvvetleri, ΣFx= 0
Dx = 10 –10 + 5 = 5 kN
ΣFy= 0
ΣMD= 0
10 x 10 – 20 x 2 + 3 x 8 x 2 + 5 x 14 – 10 – 10 x 5 -6 Fy =0
ΣMF= 0
-10 x 5 + 10x10 – 20x8-3 x 8 x 4 + 5x14-10+6 Dy =0
V
Dy + Fy = 3 x 8 + 20 = 44 kN
H
Fy=19.67 kN
Dy=24.33 kN
VAsağ = V cos α − Hsin α = 10cos78.69 − 0 sin78.69 = 1.96 kN sağ A
N
α=78.69
A
10 kN
= − [0cos78.69 + 10 sin78.69] = −9.81 kN
10 kN
10 kN
VBsol = V cos α − Hsin α = − 10 cos 63.43 − 10 sin( −63.43) = 4.47 kN NBsol = − (Hcos α + V sin α ) = − (10 cos 64.43 − 10 sin( −64.43) = − 13.41kN
β=63.43
H V
MBA= 10 x 2 = 20 kNm
MBH= 10 x 4 – 10 x 2 = 20 kNm
10
-
MBG= 10 x 2 –10 x 2+10 x 4 = 40 kNm MCG= -(20 x 2 +3 x 2 x 1)= -46 kNm
5 +
13.41
MCD= 10 x 5 +5 x 10 = 100 kNm
+
+
N alanı
MCE= 19.67x 6 –5 x 4 – 18 x 3 +10 = 54 kNm MEC= -5 x 4 +10 = -10 kNm 26.00 +
-
MEI= -5 x 4 +10 = -10 kNm
15.00
+ 10
46
-
+ +
24.33
+
5.00 4.47
9.81
19.67
1.67
10
100
+ 20
54
+
10
20 V alanı
+
40
25 M alanı
1.96
5.00
Yayındır çoğaltılamaz
19.67
3.16
27
http://mizan.ogu.edu.tr.
-
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
1.2. MESNETLER Bir sistemin, mesnet reaksiyonları dahil bütün kesit tesirlerinin belirlenmesi için ΣFx=0, ΣFy=0 ve ΣM=0 denge denklemleri belirlenebiliyor ise sistem izostatiktir. İzostatik sistemlerde mesnet şekilleri ve yükleme durumu etkin olduğu için burada kısa ve genel bir inceleme yapılmaktadır. Menet şekli
Tip Konum
Reaksiyonlar
Kayıcı
Kenar
Ry
Rx=0 Ry≠0
R
Ry=R cosα α α Rx=R sinα
Rx Ry
Rx≠0 Ry≠0
Orta
Eğik
α
α
Sabit
Kenar Orta
Eğik
α
Ry
Ankastre
Rx
M
Tam
Ry Rx
Kayıcı
Labil
Bilinmeyenler Moment Dönüş
M
M=0
ϕ≠0
M≠ ≠0
ϕ=0
Ry=R cosα α Rx=R sinα α Rx≠0 Ry≠0 Rx≠0 Ry=0
Labil
Labil
Yayındır çoğaltılamaz
28
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
1.3. İZOSTATİK SİSTEMLERİN ÇÖZÜM ÖRNEKLERİ ÖRNEK 4.10: Şekilde verilen çıkmalı kirişin V,N ve M diyagramlarının çizimi. 1000 N
B
A 2m
3m
6 N/m
3 N/m
400 N
6m
3m
3m
2m
6m
A ve B noktalarında ΣMA=0 ve ΣMB=0 yazılarak mesnet tepki kuvvetleeri bulunur. ΣMA=0
-400x2-1000sin30x5+3x6x6+6+6x6x0.5x(3+6+3+2+6x2/3)-20By=0
By=-143.10 N
ΣMB=0
-400x22-1000sin30x25-3x6x14+6-6x6x0.5x(6/3)-20Ay=0
Ay=1079.10 N
500 866
A 2m
3m
6 N/m
3 N/m
400 N
6 Nm B
3m 1079.1
6m
2m
3m
6m
143.1
900 500 Kesme
+ 143.10
161.1
179.1 2762.7
3300
1742.1
1500
2O 1252.8
1258.8 930.6 Moment
Eksenel
-
866
3O
ÖRNEK 2.1. Kirişin kesme kuvvet, moment ve normal kuvvet alanın belirlenmesi. 4 kN
4 kN C
6 kN
4m
4m B
A
4m MA
B
AX
10m
Yayındır çoğaltılamaz
C
6 kN
4m
m
AY
29
10
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
VC= - 4 kN
NC = -6 kN
MC= 4 x 4 =16 kNm
VB= 6 kN
NC = - 4 kN
MB= 4 x 4 – 6 x 4 =-8 kNm
Ay= 4 kN
Ax= -6 kN
MA= -(8 + 4 x 10) = -48 kNm 4
-
6
-
C +
V
-
6
8
M
8
6
+
+
-
B
4
16 C
- 4
N A
B
A
+
48
C
GERBER KİRİŞLER Gerber kiriş, 1. Hiperstatik sistemlerin mafsallarla izostatik hale getirilmiş 2. Basit, çıkmalı ve konsol kirişlerin mafsallarla birbirine bağlanmış Durumlarının, a. Taşıyıcı b. İzostatik sistemlere denir. Gerber kirişler uygulamada çatı aşıklarında ve köprü kirişlerinde kullanılır. Gerber kirişlerin oluşturulmasında kirişlerin labil olmamasına dikkat edilmelidir. Aşağıda bazı gerber kiriş çözüm örnekleri bulunmaktadır. Aşağıda örnek olarak verilen hiperstatik mütemadi kirişin izostatik olarak (gerber) çözümü için mafsallarla değişik durumlarda yapmak mümkündür.
4 kN/m
2
4 kN/m
2
m
5m
G
6
5m
6
m
6
3 kN/m
6 kN 6m
m
G
m
3 kN/m
6 kN m
8
m
4 kN/m
8m
2m
5
3 kN/m
6 kN G
m
6m
6m
G
8m
ÖRNEK 2.3. Şekilde verilen mütemadi kirişi gerber kiriş haline getirerek kesme kuvvet ve moment alanın belirlenmesi. 4 kN/m
2
m
5
3 kN/m
6 kN 6m
m
8m
6m
Bu mütemadi kiriş iki şekilde gerber kiriş haline getirilebilir. 4 kN/m
1. Durum 2m
5
m
3 kN/m
6 kN G
6m
6m
G
8m
Sistem bir taşınan ve 2 taşıyan izostatik sistem haline getirilmiştir. Taşınan sistem çözülerek mesnet tepkileri taşıyan sistemlere yük olarak yüklenir.
Yayındır çoğaltılamaz
30
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
6 kN 4 kN/m 2m
m
3
5m
3
6 kN
Taşınan
G
G m
3 kN/m
3
G
m G
3
m
8
4 kN/m
m
2m
5m
G1y=3
3m
G2y=3
m
3m
3
G
G
3 kN/m
3m
8
m
Taşıyanlar
ΣMA=0 ΣMB=0
5By –3 x 8 – 4 x 7 x 1.5 = 0
10.20
By= 13.20 kN
5Ay + 3 x 3 – 4 x 7 x 3.5 = 0
10.89
8
3
Ay= 17.80 kN
13.12
9.8
ΣMC=0
8Dy +3 x 3 – 3 x 8 x 4 =0
ΣMD=0
8Cy - 3 x 11 – 3 x 8 x 4=0
9.0
Dy= 10.88 kN
9.0
8.0
M
Cy= 16.12 kN 9.0
MAB
V2 9.8 2 = ± MA = − 8 = 4.01 kNm 2q 2x4
MCD =
MGG
V2 13.122 ± MC = − 9 = 19.69 kNm 2q 2x3 4 kN/m
2. Durum 2m
6m
4 kN/m 2m
5m
MDC =
V2 10.882 ± MD = − 0 = 19.73kNm 2q 2x3 3 kN/m 8m
6m
3 kN/m
6 kN
G1
6m
G2 8m
6m
4 kN/m 2m
3m
3 kN/m G1y=3.33 4 kN/m G1y=3.33
6 kN
6m
2m
Devam edecek
19.73
6x6 = = 9.00kNm 4
6 kN
5m
V
3
G2y=6 3 kN/m
6m
4m
4m
ΣMA= 0
3 G1y –5 x 4 x 0.5 = 0
ΣMG= 0 3Ay - 5x4x2.5 =0
ΣMD= 0
4 G2y –3 x 4 x 2 = 0
ΣMC= 0
10 By +3 x 4 x 2 + 6 x 4 – 6 x 5 – 3.33 x 12 – 2 x 4 x 11 = 0
By= 11.00 kN
ΣMB= 0
10 Cy +3.33 x 2 +4 x 2 x 1– 6 x 14 – 6 x 5 – 3 x 4 x 12 = 0
Cy= 24.33 kN
G1y= 3.33 kN G2y= 6.00 kN
Ay= 16.67 kN
Dy= 6.00 kN
11.33 8.00
6.00
6.33
0.33
V
8.67 18.00 48.00
14.66
16.31
8.00
M 1.40
MAG1 =
V2 8.672 ± MA = − 8 = 1.40 kNm 2q 2x4
Yayındır çoğaltılamaz
6.00
MB = −(3.33 x 2 + 4 x 2 x1) = −14.66 kNm
31
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
MC = −(6 x 4 + 3 x 4 x 2) = −48.00kNm 2
MDG2 =
M6t = − (3.33 x 7 + 4 x 2 x 6) + 11x 5 = −16.51 kNm
2
V 6 ± MD = − 0 = 6.00 tm 2q 2x3
MG2D =
veya
V2 62 ± MD = − 0 = 6.00 2q 2x3
Bazı sistemlerin moment ve kesme kuvvet alanları
L qL 3
qL 2
2qL 5 3qL 8
qL 2
qL 6
qL 10
qL 2
qL 2 2
qL 8
qL2 8
qL2 12
5qL 8
qL2 15
2
qL2 8
2o =s
3
qL 12
o
=
3o
qL2 24
2qL
7qL 20 3qL 20
qL2 30
qL2 20
9qL2 128
9 3
ÖRNEK 1.8: Şekilde yükleme durumu, kesiti ve σemniyet=200 N/mm τem=50 N/mm olarak 2
2
verilen kirişin emniyetle taşıyabileceği q yükünün belirlenmesi. q kN/m
70 20 40
2m
8m
30
∑ MA = 0
q x10 x 5 − 8B y = 0
B y = 6.25q
∑ MB = 0
q x10 x 3 − 8 A y = 0
A y = 3.75q
4.25q Kesme kuvvet alanı 2q 3.75q
70
2q
20 Moment alanı
y′ = y / 2 = 36.154 / 2 = 18.077
y = 36.154
30 (3.75q)2 max Maç = = 7.03q 2xq
y=
Kesitin atalet momentinin hesaplanması
70 x 20 x 50 + 30 x 40 x 20 = 36.154 cm 70 x 20 + 40 x 30
bh3 bh3 70 x 203 + A d2 + + A d2 = + 70 x 20 x (50 − 36.154)2 12 12 12 30 x 403 + + 30 x 40 x (36.154 − 20)2 = 788205.13 cm4 12 M y 7.03 q(105 ) = = 36.154 = 200.......................................q = 6.2kg / cm I 788205.13
Ix = Ix1 + Ix2 =
σem
τem =
V Ay′ 4.25 q(103 ) x 36.154 x 30 x (36.154 / 2) = = 50.........q = 14.2kg / cm Ib 788205.13 x 30
Kirişin emniyetle taşıyabileceği q= 6.20 kg/cm olarak alınır. q= 14.2 kg/cm olarak alınması durumunda normal gerilme emniyetle taşınamaz.
Yayındır çoğaltılamaz
32
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
1.4. HİPERSTATİK SİSTEMLER Bir sistemin, mesnet reaksiyonları dahil bütün kesit tesirleri, 1. ΣFx=0
ΣFy=0
ΣM=0
denge denklemleri elde edilen sistemlere izostatik sistemler. Bu üç denge denklemleri ile mesnet reaksiyonları ve kesit tesirleri bulınamayan sistemlere ise hiperstatik sistemler denir. Bu üç temel denklem dışında yazılan ilave denklem sayısına sistemin hiperstatiklik derecesi denir. Bir sistemin hiperstatiklik derecesi, verilen sistemi izostatik sistemlere ayırarak yazılan denge denklemleri ile giderilir ve sistemin kesit tesirleri bulunur. Eğer bir sistemin hiperstatiklik derecesi mesnet reaksiyonları kaldırılarak gideriliyor ise dıştan, bazı elemanlardaki kesit tesirleri kaldırılarak gideriliyor ise içten ve her ikisi birlikte yapılarak gideriliyor ise hem içten hem dıştan hiperstatik olarak aşağıdaki şekillerdeki gibi tanımlamak mümkündür. Yapı sistemlerindeki hiperstatiklik derecesi çözüm yöntemine göre değişiklik göstermektedir. Bu durum kuvvet ve açı metoduna göre aşağıda örnekler üzerinde açıklanmaktadır. M1
M1
M1
M2 M3
M3 M1+ M2+ M3
Dıştan hiperstatik
M1
M1+M3 Mbilinmiyor Vbilinmiyor Nbilinmiyor
b Dıştan hiperstatik
M=0 Vbilinmiyor Mbilinmiyor Nbilinmiyor Vbilinmiyor Nbilinmiyor
İçten hiperstatik
c c
M=0 Vbilinmiyor Nbilinmiyor
a: Sistemdeki mesnet tepkisi sayısı b: Hiperstatik kısmın kesit tesiri sayısı c: Hiperstatik kısmın izostatik hale gelince ki parça sayısı h: hiperstatiklik derecesi
a
a
a=6 b=2 c=2 h=a +b -3c=6+2-3x2=2o hiperstatik c a Dıştan hiperstatik
b c c
olmak üzere,
a
a=8 b=3 c=3 (mafsal=mesnet) h=a +b -3c=8+3-3x3=2o hiperstatik
h=a +b -3c
h>0 sistem hiperstatik
h=0 sistem izostatik h < 0 sistem labil
a=2 b=0 c=1 h=2+0-3x1=-1 sistem Labil (sadece
a=3 b=0 c=1 h=2+1-3x1=0 sistem izostatik
çubuk-menet eksenine dik yük olması durumu için taşıyıcıdır.)
a=7 b=5 c=3 h=7+5-3x3=3 sistem 3. dereceden hiperstatik
a=4 b=2 c=2 h=4+2-3x2=0 sistem izostatik
Mesnet ve Çubuk Mesnet ve uç kuvvetleri
Yayındır çoğaltılamaz
a
33
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Verilen Sistem
Bölüm1
Serbest cisim diyagramı
Serbest cisim diyagramı
Serbest cisim diyagramı
a=6 b=3 c=2 a=6 b=9 c=4 a=6 b=0 c=1 h=6+3-3x2=3 h=6+9-3x4=3 h=3+0-3x1=3 [Dıştan] sistem 3. dereceden hiperstatik sistem 3. dereceden hiperstatik sistem 3. dereceden hiperstatik
a=6 b=0 c=1 h=3+0-3x1=3 [Dıştan]
a=6 b=3 c=2 h=6+3-3x2=3
a=6 b=9 c=4 h=6+9-3x4=3
sistem 3. dereceden hiperstatik sistem 3. dereceden hiperstatik sistem 3. dereceden hiperstatik
a=6 b=3 c=1 h=6+3-3x1=6
a=6 b=6 c=2 h=6+6-3x2=6
a=6 b=12 c=4 h=6+12-3x4=6
sistem 6. dereceden hiperstatik sistem 6. dereceden hiperstatik sistem 6. dereceden hiperstatik
a=3 b=6 c=1 h=3+6-3x1=6
a=3 b=9 c=2 h=3+9-3x2=6
a=3 b=18 c=5 h=3+18-3x5=6
sistem 6. dereceden hiperstatik sistem 6. dereceden hiperstatik sistem 6. dereceden hiperstatik
18. dereceden
11. dereceden Yatay yüklerde labil
22. dereceden
17. dereceden
Sistem 6. dereceden hiperstatik
15. dereceden hiperstatik a=3 b=18 c=3 h=3+18-3x3=12 sistem 12. dereceden M=çubuk sayısı a=mesnet tepkisi sayısı N=düğüm sayısı C=mafsal sayısı h=3M+a –(3N+C)=3x3+6-(3x4+1)=2o hiperstatik
Yayındır çoğaltılamaz
Dıştan hiperstatik
M=çubuk sayısı a=mesnet tepkisi sayısı N=düğüm sayısı C=mafsal sayısı h=3M+a –(3N+C)=3x5+6-(3x6+2)=1o hiperstatik
34
a=4 b=6 c=2 h=4+6-3x2=4 sistem 4. dereceden hiperstatik
a=6 b=4 c=3 h=6+4-3x3=1o
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Hiperstatik sistemlerin çözüm metodlarına göre hiperstatiklik derecelerin belirlenmesi;
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Sistemdeki iki ucu mafsallı çubuk sayısı S1 Sistemdeki bir ucu mafsallı bir ucu rijit çubuk sayısı S2 Sistemdeki iki ucu rijit çubuk sayısı S3 Sistemdeki mesnet tepkisi sayısı a Sistemdeki mafsallı düğüm noktası sayısı (mesnetler dahil) d1 Sistemdeki rijit düğüm noktası sayısı (mesnetler dahil) d2
olmak üzere aşağıdaki şekilde bulmak mümkündür. n = S1 + 2 S2 + 3 S3 + a – ( 2 d1 + 3 d2)
Kuvvet metoduna göre,
Şekil değiştirme büyüklükleri yöntemine göre,
m = 2 d 1 + 3 d2 - a
Şekil değiştirme büyüklükleri yönteminin özel durumu olan AÇI yönteminde bilinmeyenler açılardır. Eksenel kuvvet şekil değiştirmeleri ihmal edildiğinden hiperstatiklik derecesi olan m değeri oldukca küçülür. ÖRNEK 1.9: Şekilde verilen çerçevenin hiperstatiklik derecesini, a) Kuvvet yöntemine göre b) Şekil değiştirme büyüklükleri yöntemine göre belirleyiniz. 16
12 7
8 14
11 4
9
5 10
6 13
1
2
3
A
B
C
1. Sistemdeki iki ucu mafsallı çubuk sayısı S1=1 (11) 2. Sistemdeki bir ucu mafsallı bir ucu rijit çubuk sayısı S2=6 (3,13,14,8,10,4) 3. Sistemdeki iki ucu rijit çubuk sayısı S3=8 (1,7,12,16,9,6,5,2) 4. Sistemdeki mesnet tepkisi sayısı a=8 5. Sistemdeki mafsallı düğüm noktası sayısı (mesnetler dahil) d1=1 6. Sistemdeki rijit düğüm noktası sayısı (mesnetler dahil) d2=11 a. Kuvvet metoduna göre, n = S1 + 2 S2 + 3 S3 + a – ( 2 d1 + 3 d2) n = 1 + 2 x 6 + 3 x 8 + 8 – ( 2 x 1 + 3 x 11)= 10 b. Şekil değiştirme büyüklükleri yöntemine göre, m = 2 d1 + 3 d2 – a
m = 2 x 1 + 3 x 11 – 8 = 27
Yapılar yatay yüklere maruz kaldığı zaman yapının kirişleri döşemelerle birlikte diğer yapı elemanı kolonlara göre oldukça rijit kalmaktadır. Ikiriş =∞ Ikiriş = normal
Ikiriş =∞
Normal Çerçeve
Yayındır çoğaltılamaz
Kesme Çerçeve
35
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Bundan dolayı kirişlerin rijitliğini kolon rijitliğinden çok büyük olduklarından sonsuz kabul ederek (kirişlerin deformasyon yapmadığını kabul ederek) kolonların kirişlere ankastre bağlı olarak (ϕ=0) alınmaktadır. Kabul edilen bu çerçevelere kesme çerçeveleri denir. Kesme çerçevelerinde kolon rijitlikleri birim yüklemeler yapılarak bulunur. Çerçevelerin kesme çerçevesi olarak kabul edilmesiyle bilinmeyen sayısı yatay deplasman sayısına inmektedir. Çünkü kolonlar kirişlere ankastre bağlı olduğu kabul edildiği için buralardaki dönüş açıları sıfır (ϕ=0) olmaktadır. Yapılar yatay yüklere maruz kaldığında yapının kirişleri döşemelerle birlikte diğer yapı elemanı kolonlara göre oldukça rijit kalmaktadır. Ι tüm kirişler=∞
ϕ5
δ5
Ikiriş =∞
ϕ4
δ4
Ikiriş = normal
ϕ3 ϕ2
δ3 δ2 Ikiriş =∞
Normal Çerçeve
ϕ1
δ1 Kesme çerçevesi 5 bilinmeyen [5 δ [veya katsayısı kadar]]
Kesme Çerçeve
I5
δ5
I4
δ4
I3 I2
δ3 δ2
I1
δ1
ϕ10 ϕ9 ϕ8 ϕ7 ϕ6
Klasik çerçeve 15 bilinmeyen [5 δ, 10 ϕ]
Şekil 5.5.. Kesme ve klasik çerçevenin karşılaştırılması Çerçeve sistemlerin şekil değiştirmesinde kiriş rijitliklerinin etkisi aşağıdaki gibidir. F
EI=∞ ∞
F
F
EI=0
EI
Şekil 5.7. Kiriş rijitliğin çerçeve davranışına etkisi 1.5. HİPERSTATİK SİSTEMLERİN ÇÖZÜMÜNDE YAPILAN KABULLER 1. BERNOULLİ (1705) hipotezi (h > hassasiyet azalır.
İlk durum Yüksek kirişlerde geçerli
h
olmayabilir.
L L
Bernoulli
dx
ds≡dx alınır ve 1. mertebe etkisi geçerli olur.
(Düzlem kalması)
Eğilmiş hal
Navier
ds>dx
(Dik kalması)
Şekil değiştirmemiş ilk hal Şekil değiştirmiş hal
Yayındır çoğaltılamaz
36
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
2. Bazı elastik cisimlerin belirli yük sınırları altında gerilme-şekil değiştirme bağıntıları lineer olarak değiştiğini belirten HOOKE kanunları geçerlidir ( Robert Hooke, 1660).
ε1 =
Normal gerilme hali σ
σ1 E
Kayma gerilmesi τ
τ1 = G γ 1
τ1
σ1
tan α = E
ε1
tan α = G
ε
γ1
γ
3. Elemanların boyca uzama-kısalma durumlarının hesaba katılmadığı birinci mertebe teorisi geçerlidir. Yani şekil değiştirmeler elamanın boyutları yanında oldukça küçükse denge denklemlerinde şekil değiştirmemiş boyutlar kullanılır. İkinci mertebe teorisi kullanılmamaktadır. q
5 ql 4 δ= 384 EI
Deplasman δ
Elastik eğri L’
L
Bu elemanda yazılacak denge denklemlerin kiriş açıklığı şekil değiştirmeden sonraki L’ olmasına karşın L açıklığı kullanılmasıdır. 4. Yukarıda verilen 2. ve 3. maddelerin geçerli olması halinde süperpozisyon kuralları geçerlidir. Eğer bir sistemin bir noktasındaki kesit tesirleri ve şekil değiştirmeler sistem üzerindeki yüklerin her biri için bulunan değerlerin işaretleri ile toplamına eşittir. Aşağıdaki örnekte kirişin orta noktasındaki deplasman için yapılan süperpozisyon görülmektedir. 5. Hook kanunun geçerli olmasından dolayı elemanlar lineer elastik olduğu için sistemdeki şekil değiştirme üzerindeki yüke bağlıdır. Yani kuvvetler ve şekil değiştirmeler orantılıdır. Bu 2 durum aşağıdaki örnekte açıklanmaktadır. [Örnek q= 2 t/m L=10 m EI= 10080 tm ]
Yayındır çoğaltılamaz
37
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
q
4q
Deplasman δ
Elastik eğri L’
Deplasman δ
Elastik eğri L’
L
δ=
L
5 ql 5 2 x 10 = 384 EI 384 10080
4
4
= 0.0258 m
δ=
4 x 5 ql 5 ql 4 = = 0.1032 384 EI 96 EI 4
1.6. ELASTİK ŞEKİL DEĞİŞTİRMELER Sistemler kendi ağırlıklarından, üzerine uygulanan yüklerden ve servis süresince karşılaşabilecekleri yüklemelerden (ısı, rüzgar ve deprem gibi) dolayı şekil değiştirirler. Bu şekil değiştirmeler; 1. Sınır koşulları: mesnetlerde deplasmanın sıfır olması, ankastre mesnet dönmezken sabit ve kayıcı mesnetlerde dönmenin olması 2. Uygunluk koşulları: aşağıdaki simetrik sistemin kendi ağırlığından dolayı açıklıklarda teğet eğimlerinin sıfır olması, mesnetin sağı ve solundaki teğet eğimlerinin eşit ve ters işaretli olması, uygulanan her bir kuvvetin şekil değiştirmiş durumda etki etmesi, P
Olarak hesaplarda dikkate alınır. L
L
L L Tekil yükten şekil değiştirme
Kendi ağırlığından şekil değiştirme
Sistemlerde şekil değiştirmeler en genel haliyle Eksenel kuvvetten, momentten ve kesme kuvvetinden dolayı veya bunların karışımından oluşur. İncelenen sistemlerde şekil değiştirmelerin bilinmesi, 1. Hiperstatik sistemlerin çözümünde gerekli olan ilave denklemlerin elde edilmesinde 2. Rijitlik oranının belirlenmesinde 3. 2. mertebe ektilerin kontrolünde Hesap hassasiyetini ve çözümü kolaylaştırmaktadır. Aşağıda şekil değiştirmeler herbir durum için ayrı ayrı hesaplanmaktadır. 1. Eksenel kuvvetten dolayı oluşan şekil değiştirmeler EA= Eksenel Rijitlik Yüksüz Yüksüz
N
Yük uygulanmış
dL
dL
N
EA
dL
Yüklü
dL
∆dLuzama ∆dL
N N ∆dl σ ∆dl = ε . dl = dl = dl dl E EA ÖRNEK 1.10: Verilen çubuktaki birim uzamayı ve gerilmeyi hesaplayınız. (E=3.105 kg/cm2, N=200 t )
ε=
Yüksüz
ε=
ε=
∆dl dl
∆dl = ε .dl =
σ N dl = dl E EA
∆dl =
Yüklü
5
2.10 500 = 1.667 cm 3.105.(20x10)
∆dl 1.667 N = = 0.00333 σ = = ε .E = 0.00333 x 300.000 = 1000kg / cm2 A dl 500
20 cm
EA
dL=500 cm
dL
10 cm kesit
∆dL=???
N=200 t
Yayındır çoğaltılamaz
38
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1.11: Kendi ağırlığından dolayı uç noktasındaki deplasman δC=? (ρρ: özgül ağırlık A: alan ) ρAL Normal kuvvet diyagramı EA
L
+
Nx =Wx = ρ A x
ρAx
x C
Wx
Küçük x boyundaki uzama, x boyundaki normal kuvvet alanının eksenel rijitliğe bölünmesi sonucu,
dδ =
N ρ Ax x NL = x dx = dx EA EA x EA x
L
δC = ∫ dδ = 0
L
L ρ x2 ρ Ax x ρx ρ L2 dx = dx = = ∫ ∫ 0 EA x 0 E 2E 0 2E
L
olarak bulunur. Kısaca çubuğun ucundaki deplasman eksenel kuvvet alanın EA’ya bölümüdür. Şekil koni olduğu zaman oluşan uç noktasındaki deplasman ise aşağıdaki şekilde hesaplanır. y ρAL =
ρ π ro2L 3
ro
L
Nx rx x
x
δc
Wx
Koninin kesit yarıçapı ile boyu arasındaki bezerlik yazılır.
r x ro = x L
rx =
x ro L
[rx: kesilen x boyundaki parçacığı kesitin yarıçapı]
π x rx2 π x 3 ro2 = 3 3L2 3 2 ρ π x ro Kesilen x boyundaki parçacığın kütlesi W= 3L2 π ro2 x 2 Kesilen x boyundaki parçacığın kesit alanı A = π rx2 = L2 Kesilen x boyundaki parçacığın hacmi
V=
Çubuk boyunca ağırlığından dolayı oluşan deplasman ise aşağıdaki şekilde hesaplanır.
ρ π ro2 3 x 2 W ρ L ρ L2 δ=∫ dx = ∫ 3L 2 dx = xdx = ∫ 3E 0 6E πr 0 EA 0 E 2o x 2 L L
L
Yayındır çoğaltılamaz
39
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1.12: Kademeli düşey çubuğun kendi ağırlığından dolayı uç noktasındaki δC=? (ρρ: özgül ağırlık olup bütün çubuklarda eşittir.) 10MA
10EA
M
8EA
8İA
İ
6EA
δ1 =
6ZA
Z
NA N2 δ 2 = ρ + 2E 2E
4AA
4EA A
2NA
PN NN2 A ρ N 2 ρ = = EA 22EA 2E
Eksenel kuvvet diyagramı
NZ 2 AZ Z 2 δ 3 = ρ + + 3E 3E 2E
2EA N C
Nİ Aİ 3Zİ İ 2 δ 4 = ρ + + + 4E 2E 4E 2E
TOPLAM UÇ NOKTASI DEPLASMANI
, M=İ=Z=A=N=L
NM 2MA 3MZ 4Mİ M2 δ5 = ρ + + + + 5E 5E 5E 2E 5E
δ C = δ1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 + δ 5 =
29 L2ρ olarak bulunur. 4E
ÖRNEK 1.13: Kademeli düşey çubuğun uç noktasındaki δC=?. (E=2.103 kg/ cm2 ve kendi ağırlığı ihmal )
➀
δ1 =
0.5m
PL (15 + 15 − 7 − 15 + 45)103 x 50 = = 0.1325 cm EA 100 x 2.105
100cm2
➁ 80 cm2 ➂ 50 cm2
δ2 =
m
0.4
15kN
15kN 7kN ➂
0.4m
δ3 =
15kN 0.3m ➃
20 cm2
10 cm2 ➄
PL (15 − 7 − 15 + 45)103 x 40 = = 0.095 cm EA 80 x 2.105 PL ( −7 − 15 + 45)103 x 40 = = 0.092 cm EA 50 x 2.105
δ4 =
0.3m
PL ( −15 + 45)103 x 30 = = 0.225 cm EA 20 x 2.105
45kN
δ5 =
PL (45)103 x 30 = = 0.675 cm EA 20 x 2.105
δ C = δ 1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 + δ 5 = 0.1325 + 0.095 + 0.092 + 0.225 + 0.675 = 1.22 cm
2. Eğilme momentinden dolayı oluşan şekil değiştirme ρ ρ
dϕ
dϕ 1 ve 2 noktalarından çizilen dikler (normaller)
t x
1
t.e
2
M
Kiriş dilimi
M
u
y
dϕ dl
Yayındır çoğaltılamaz
ϕ2
dϕ12
ϕ1
∆dl
40
http://mizan.ogu.edu.tr.
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
1 dϕ = ρ dl
dl ρ
dϕ =
ε=
M = ∫ [(σ dA)kuvvet u]moment = ∫ E
∆dl u dϕ u = = dl dl ρ
u E EI EI dϕ u dA = [ ∫ u2 dA ]Atalet Momenti = = ise ρ ρ ρ dl
dϕ =
M dl EI
ϕt= eksen dönüş açısı, bu açı çok küçük olduğundan radyan değeri eğimine eşit alınabilir. ϕt ≅ y
’
dϕ M = dl EI
EI
dϕ =M dl
y'' =
d2 y dϕ M = =− dl dl EI
[elastik eğrinin diferansiyel denklemi] x
Dönüş yönü 2
2
d y
M d M =− =−q 2 EI dx dx 2 y : deplasman (elastik eğri)
α=400
M
α=00
α=200
yııı = − V / EI Kesme
y
y ıv = q / EI yük (kesmenin türevi – yüke eşit olduğu için – işareti + olur)
M
α=400
yı :dönüş açısı y ıı = −M / EI :moment y’ azalan
y”< 0
+
Uygulama: Tabloda verilen konsol kirişlerin uç deplasman ve dönüş açılarının hesabı Yayılı yük
Konsol kiriş
Üçgen yayılı yük q
q
A
c
x
c
x
L
L
Mx =
Moment M. D. denklemi
yıı = −
M qx 2 =− EI 2EI
yı = −
qx 3 + C1 6EI
qx 2 2
Mx =
[x = L yı = 0 ⇒ C1 =
qL3 6EI
yıı = −
M qx 3 =− EI 6LEI
y' = −
M qx 4 =− + C1 EI 24LEI
qx 3 6L
x = L ' de y ' = 0 ⇒ C1 =
qL3 24EI
Dönüş y' = −
qx 3 qL3 + 6EI 6EI
y=−
qx 4 qL3 x + + C2 24EI 6EI
y=−
qx 4 qL3 x qL4 + − 24EI 6EI 8EI
y' = −
[x = L y = 0 ⇒ C2 = −
qL4 8EI
qx 4 qL3 + 24LEI 24EI
y=−
qx 5 qL3 x + + C2 120LEI 24EI
y=−
qx 5 qL3 x qL4 + − 120LEI 24EI 30EI
x = L y = 0 C2 = −
E. Eğri
ϕc L
Yayındır çoğaltılamaz
q
q
A
x=0
x =0
ϕc =
qL3 6EI
+
+
c
ϕc
δc
c
δc
x
x
L x =0
δc = −
x =0
qL4 8EI
ϕc =
41
qL3 24EI
x =0
δc = −
qL4 30EI
http://mizan.ogu.edu.tr.
qL4 30EI
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Uygulama: Tabloda verilen konsol kirişlerin uç deplasman ve dönüş açılarının hesabı Tekil yük
Konsol kiriş
Moment P
A
A
c
x L
Moment M. D. denklemi
c
x
M*
L
Mx = Px yıı = −
M Px =− EI EI
y' = −
M Px 2 =− + C1 EI 2EI
Mx = M * M M* =− EI EI M M* x y' = − = − + C1 EI EI yıı = −
x = L 'de y ' = 0 ⇒ C1 =
PL2 2EI
x = L 'de y ' = 0 ⇒ C1 =
M*L EI
Dönüş y' = −
y=−
Px 3 PL2 x + + C2 6EI 2EI
y=−
Px 3 PL2 x PL3 + − 6EI 2EI 3EI
Px 2 PL2 + 2EI 2EI
y' = −
x = L y = 0 C2 = −
PL3 3EI
M* x M*L + EI EI
y=−
M * x 2 M * Lx + + C2 2EI EI
y=−
M * x 2 M * Lx M * L2 + − 2EI EI 2EI
x = L y = 0 C2 = −
M * L2 2EI
E. Eğri
P
A
ϕc
c
A
ϕc
δc
x x =0
L x =0
PL3 2EI
ϕc =
M*
δc
x
L
x=0
c
δc = −
x =0
PL3 3EI
ϕc =
x =0
M*L EI
δc = −
M * L2 2EI
Uygulama: Tabloda verilen konsol kirişlerin uç deplasman ve dönüş açılarının hesabı Yayılı yük
Konsol kiriş
Üçgen yayılı yük q c
x L
Bazı sistemlerin momentleri uzun olmasından dolayı süperpozisyon yöntemini kullanmak daha kısa yoldan çözüme ulaştırabilir. (3. bölümde Mohr yöntemi ile hesaplandı) q
A
q x
L
L
Mx =
Moment M. D. denklemi
yıı = − yı = −
qx 3 + C1 6EI
c
x
c
qx 2 2
Mx = −
M qx 2 =− EI 2EI
[x = L yı = 0 ⇒ C1 =
yıı = − qL3 6EI
y' = −
M qx 4 = + C1 EI 24LEI
qx 3 6L
M qx 3 = EI 6LEI
x = L 'de y ' = 0 ⇒ C1 = −
qL3 24EI
Dönüş y' = −
qx 3 qL3 + 6EI 6EI
y=−
qx 4 qL3 x + + C2 24EI 6EI
y=−
qx 4 qL3 x qL4 + − 24EI 6EI 8EI
y' =
[x = L y = 0 ⇒ C2 = −
qL4 8EI
qx 4 qL3 − 24LEI 24EI
y=
qx 5 qL3 x − + C2 120LEI 24EI
y=
qx 5 qL3 x qL4 − + 120LEI 24EI 30EI
x = L y = 0 C2 =
E. Eğri
Yayındır çoğaltılamaz
42
http://mizan.ogu.edu.tr.
qL4 30EI
İzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ϕc
x =0
ϕc =
δc = −
x =0
q
c
x L
x =0
qL4 6EI
Toplam dönüş ϕc =
Toplam
δc
x
L
x=0
c
δc
ϕc
q
A
x =0
qL4 8EI
ϕc = −
x =0
qL3 24EI
δc =
x =0
qL3 qL3 qL3 − = 6EI 24EI 8EI
Toplam deplasman δc = −
qL4 30EI
qL4 qL4 11qL4 + =− 8EI 30EI 120EI
2. Kesme kuvvetinden dolayı oluşan şekil değiştirme Kesme kuvvetini maruz bir kirişte aralarında dx kadar mesafe bulunan iki nokta kesme kuvveti doğrultusunda birbirine göre dy kadar bir yer değiştirme yaparlar. Bu aşağıda açıklanmaktadır.
τ
V
x
τ1
y
γ
dy
Kesme kuvvet diyagramı
tan α = G
V
dx
γ
γ1
γ
View more...
Comments
