XXI Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 4 de Diciembre de 2012

XXI Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 4 de Diciembre de 2012 Nivel A – Primer Día Problema 1

Decimos que un número entero positivo  N  es equilibrado si la diferencia entre dígitos que están en posiciones vecinas es 0, 1 ó –1. Por ejemplo, los números 232, 555 y 876 son equilibrados y los números 244 y 890 no son equilibrados. ¿Cuántos números equilibrados de tres dígitos hay?

Problema 2

Se quiere ubicar los números pares del 2 al 20, uno en cada círculo, sin que se repitan, de modo que las sumas de los tres números ubicados en cada lado del pentágono sean iguales entre sí y que la suma de los tres números ubicados en los círculos pintados de gris sea múltiplo de 13. El 2 ya está ubicado. Determinar la ubicación de los demás números. Dar todas las posibilidades.

Problema 3

Encontrar el mayor número de fichas rectangulares de 4 × 1 que se pueden colocar en una cuadrícula de 10 × 10, de tal manera que cualesquiera dos fichas no se tocan, ni en sus lados ni en sus vértices. Aclaración: Cada ficha debe cubrir exactamente cuatro cuadraditos de la cuadrícula.

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XXI Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 5 de Diciembre de 2012 Nivel A – Segundo Día Problema 4

Davi es un niño muy curioso. Tiene un recipiente en forma de paralelepípedo con sus tres dimensiones (ancho, largo y alto) de medidas enteras, positivas y distintas. El recipiente está completamente lleno de dos líquidos que no se mezclan, A y B, siendo el volumen de A un 36% del volumen de B. Davi observa que, al apoyar horizontalmente el recipiente sobre cualquiera de sus seis caras, la altura que alcanza cada uno de los dos líquidos es un número entero. ¿Cuál es el menor volumen que podría tener el recipiente de Davi? Problema 5

Una tabla cuadriculada tiene 100 columnas y una cantidad desconocida de filas. Comenzando por la primera columna se escribieron los primeros números naturales en forma ordenada, un número por casilla, sin saltear números ni casillas, del modo que indica la figura. Se sabe que el número 38 quedó escrito en la segunda columna y que el 107 quedó escrito en la misma fila que el 38. ¿Cuántas filas puede tener la tabla? Dar todas las posibilidades. En cada caso indicar qué número quedó escrito en la casilla que está en la fila 1 y columna 100.

Problema 6

Alan juega un solitario en la computadora. Al comienzo, Alan elige un número entero positivo n. Luego elige un divisor impar positivo de n. Si el divisor elegido es d = 1, la computadora reemplaza n por n+1. Si el divisor elegido es un número d  mayor que 1, la computadora reemplaza n por el resultado de dividir n por d. Alan continúa el juego eligiendo un divisor d del nuevo número. Por ejemplo: d =1 d =3 d  = 1  → 21  → 7 → → 8  → ...... 20  →

¿Puede Alan elegir apropiadamente el número inicial n y jugar de manera que nunca aparezca una potencia de 3?

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XXI Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 4 de Diciembre de 2012 Nivel 1 – Primer Día Problema 1

ˆ = 45º , BC = 1 y E es el punto del lado  AC tal que EC = 1. En el triángulo ABC,  ABC  La perpendicular a  AC  que pasa por  E  corta a la prolongación de  BC  en el punto  D de modo que CD = 2 y C está en el interior de  DB. Determinar la medida de los ángulos del triángulo  ABD.

Problema 2

Hallar el menor entero positivo k para el cual las 100 fracciones 50 k + 49

,

50 k

+ 51

,

51 k + 50

,

51 k

+ 52

, . . . ,

99 k

,

+ 98

99 k

+ 10 0

son irreducibles.

Problema 3

Abel tiene infinitas piezas de los tipos A y B. Las piezas del tipo A tienen 5 cuadraditos de lado 1 y las del tipo ti po B tienen 6 cuadraditos de lado 1, como se muestra abajo:

2

Abel quiere cubrir totalmente un tablero de n × n , dividido en n cuadraditos de lado 1, usando algunas de estas piezas, sin dejar huecos, sin superponer piezas y sin salirse del tablero. ¿Cuál es el menor n para el cual puede hacerlo?

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XXI Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 5 de Diciembre de 2012 Nivel 1 – Segundo Día Problema 4

Sea  N  un número entero positivo tal que el único cuadrado perfecto que lo divide es 1. Hallar la cantidad de múltiplos positivos de  N  que tienen exactamente  N  divisores positivos.

Problema 5

Sea  ABCD un cuadrilátero convexo. Los puntos P y Q de los lados  AB y  AD, 1  ABCD). respectivamente, son tales que área( ABQ) = área( ADP) = área( ABCD 3 La intersección de PQ y la diagonal  AC es el punto  R.  AR Calcular la razón .  RC 

Problema 6

Se tienen 1000 bolitas distribuidas en 79 cajas idénticas. Puede haber cajas vacías pero no pueden estar todas las bolitas en la misma caja. Las operaciones permitidas son dos: • Pasar de una caja a otra exactamente 13 bolitas. • Pasar de una caja a otra exactamente 66 bolitas. Las bolitas están distribuidas de tal manera que es imposible juntar las 1000 bolitas en una sola caja realizando cualquier sucesión de operaciones permitidas. ¿Cuántas bolitas hay en cada caja? Dar todas las posibilidades.

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XXI Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 4 de Diciembre de 2012 Nivel 2 – Primer Día

Problema 1

En el triángulo  ABC  los puntos  M  y  N  están en los segmentos  AB y  AC , respectivamente, de modo que  MN  sea paralelo a  BC  y tangente a la circunferencia inscrita al triángulo  ABC . Sea K  el punto en el que la circunferencia inscrita del triángulo  AMN  es tangente a  MN . Se sabe que  MN=4,  BC=12 y que  MK  y KN  tienen longitudes enteras. Demostrar que el triángulo  ABC es equilátero o rectángulo.

Problema 2

Sobre un tablero cuadrado de 2012 × 2012 se ubican triminós, como los de la figura, fi gura, sin que se superpongan (cada triminó cubre exactamente 3 casillas del tablero). Determinar cuántos triminós se pueden colocar como máximo en el tablero si se cumple que para cualesquiera dos filas y cualesquiera dos columnas, al menos una de las cuatro casillas de la intersección no está cubierta por un triminó.

Problema 3

Sea n ∈  tal que n 3 + 1 es divisible por 56, y d16 + d 2 6 + L + d k 6 es divisible por 112,

donde d1 , d 2 ,K , d k  son todos los divisores positivos de n . ¿Cuál es el menor número de divisores positivos que puede tener n?

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XXI Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 5 de Diciembre de 2012 Nivel 2 – Segundo Día

Problema 4

Para cada entero positivo n defi defini nimo moss s (n) como la suma de los dígitos de n. Encontrar el menor entero positivo k tal que s ( k ) = s ( 2k ) = s (3k ) = ... = s ( 2011k ) = s ( 2012k ) . 

Problema 5

Un número entero n > 2 se dice k-beta si se pueden elegir dos números distintos del conjunto {1,2,3,..., n} tales que su producto sea igual a k  veces la suma de los otros n − 2 números. Para cada entero positivo k, encontrar todos los números k-beta.

Problema 6

Dados varios enteros no negativos, una movida legal es cambiar un entero positivo a elegido entre ellos de la siguiente manera. Si a es impar, se lo reemplaza por a − 1 ; si a es par, se lo reemplaza por a − 1 o por a − 2 . Dos jugadores  A y B hacen movidas legales por turnos, comenzando con los números 1, 2, … , n; A juega primero. Un  jugador gana si al cabo cab o de una movida su ya se obtiene la sucesión de d e n ceros (así que no hay más movidas posibles). Para cada n , determinar quién tiene estrategia ganadora.

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XXI Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 4 de Diciembre de 2012 Nivel 3 – Primer Día

Problema 1

Diremos que un entero positivo n es apocalíptico si entre sus divisores positivos hay seis distintos cuya suma es igual a 3528. Por ejemplo, 2012 es apocalíptico, pues sus seis divisores 1, 2, 4, 503, 1006 y 2012 sumados dan 3528. Determinar cuál es el menor entero positivo apocalíptico.

Problema 2

Un rectángulo está dividido en n 2 rectángulos más pequeños mediante n − 1 rectas horizontales y n − 1 rectas verticales. Entre esos rectángulos hay exactamente 5660 que no son congruentes. ¿Para qué valor mínimo de n es esto posible?

Problema 3

Sea T  un triángulo no isósceles y n ≥ 4 un entero. Demostrar que se puede dividir a T  en n triángulos y trazar en cada uno de ellos una bisectriz interior de modo tal que esas n bisectrices sean paralelas.

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XXI Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 5 de Diciembre de 2012 Nivel 3 –Segundo Día

Problema 4

Determinar, en cada caso, todos los números reales  x tales que: a)  x  +  2 x  + ... + 2012 x  = 2013 ; b)  x  +  2 x  + ... + 2013 x  = 2014 . Aclaración:  x  denota la parte entera de  x, la cual se define como el mayor número entero que es menor o igual a  x.

Problema 5

Sean a ≥ 2 y n ≥ 3 enteros. Demostrar que uno de los números an

+ 1,

a n+1 + 1, ... , a 2 n − 2 + 1,

no comparte ningún divisor impar mayor que 1 con ninguno de los demás números.

Problema 6

En cada cada casilla casilla de un un tabler tablero o de 100 100 × 100 hay escrito un número entero. La operación permitida es elegir cuatro casillas que formen una de las figuras

o cualesquiera de sus rotaciones, y sumarle 1 a cada uno de los cuatro números. El