XVII Olimpiada Nacional Escolar de Matem Atica (ONEM 2021)

 

Zcjnekfk @fte`» f ftnjf tnjf ]erufdf

» tnjf (CDE@ 1=16) _XNN Cin`pnfkf Dfjncdfi Esjcifr ke @fte`ftnjf f Zebudkf Hfse - Dnvei :

68 ke setne`are ke 1=16 Estn`fkc estuknfdte, rejnae pcr pfrte kei equnpc edjfrbfkc ke if crbfdnzfjn»cd ifs einjntfjncd einjntfjncdes es pcr estfr pfrtnjnpfdkc ed estf etfpf ke if Cin`pnfkf Dfjncdfi Esjcifr ke @fte`»fftnjf. tnjf. [e rejc`edkf`cs teder ed jcdsnkerfjn»cd cd ic snbunedte7 - [nedes [nedes ud tne`pc tne`pc `» fxn`c fxn`c ke 1 ocrfs pfrf resciver estcs retcs `fte`»ftnjcs ftnjcs que te pifdtef`cs. - [ed ed juedtf juedtf que dc est» f per`ntnkc ei usc ke jfijuifkcrfs y ctrcs rejurscs ke jcdsuitf jc`c fpudtes c inarcs. - Fi `c`edtc que jcdsnkeres jcdsnkeres que ofs jui`ndfkc tu pfrtnjnpfjn» pfrtnjnpfjn» cd, cd, ofz edtrebf ke if ocgf ke respuestfs resp uestfs pcr jcrrec jcrrec eiejtr» eiejtr» cdnjc. cdnjc. Ed jfsc ke cjurrnr ud e`pfte se tc`fr»f ed juedtf if ocrf ke edv» edv»Ķc kei jcrrec. jcrr ec. -   Vuekf afgc respcdsfaninkfk ke ics espejnfinstfs, kcjedtes y estuknfdtes if dc knhusn» cd c d ke if prueaf pcr dndb» ud ud `eknc.

- [ednedkc ednedkc ed juedtf juedtf estfs ndknjfjncdes ndknjfjncdes dcs fyukfr» fyukfr» fs fs f que if cin`pnfkf se refinje ke if `egcr cr`f pcsnaie p csnaie..

EZJQNAE EI QEZUI[FKC KE JFKF ]QCAIE@F ED IF OCGF KE QEZ]UEZ[FZ. » ED [CKCZ ICZ JFZCZ EI QEZUI[FKC EZ UD DU@EQC ED[EQC ]CZN[NXC.

6. Ed if rejtf du`» du`»ernjf ernjf se `frjfrcd `frjfrcd ics pudtcs pudtcs   F   y   A , iuebc, se `frj»c ei pudtc   J  tfi que if icdbntuk ke   FJ  es f if icdbntuk ke   JA  jc`c : es f 1. Iuebc, ei seb`edtc   FJ  se knvnkn»c ed jndjc pfrtes nbufies `eknfdte juftrc pudtcs, udc ke ics jufies es  ] . Hndfi`edte, se `frj»c  V ,

  :1 ei pudtc `eknc kei seb`edtc   JA . Zn ei pudtc   ]  jcrrespcdke f if rfjjn»ccd d   y ei pudtc   V 5   ;: jcrrespcdke f if rfjjn»ccd d  , jfijuie if icdbntuk kei seb`edtc   FA . 5 :1 5 F

;: 5

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1. Ed ud expern`e expern`edt dtcc Lusn catuvc catuvc ;= kftcs7 kftcs7 65 kftcs nbufie nbufiess f 6=, 6= kftcs nbu nbufie fiess f 66 y 65

kftcs nbufies f 61, kcdke if `eknfdf es 66. Lusn kesef kesjfrtfr fibudcs ke ics kftcs e`pezfdkc pcr ics `»fs fs brfdkes ke tfi `ckc que if `eknfdf sef 6=. ³Ju»fdtcs fdtcs kftcs Lusn keae kesjfrtf kesj frtfrr jc`c jc `c `»Ķdn`c3 Ķdn `c3 :. Ed ud ud pfrt pfrtnk nkcc ke » utaci utaci se ctcrbf : pudtcs fi equnpc bfdfkcr, = pudtcs fi perkekcr y 6 pudtc f jfkf equnpc ed jfsc ke e`pfte. Ed ei brupc   A  ke if jcpf F`»ernjf ernjf ouac 5 equnpcs

y jufiesqunerf kcs equnpcs gubfrcd ud pfrtnkc. Ke ics 6= pfrtnkcs que se gubfrcd ed tctfi, keter`nde ju»fdtcs fdtcs ter`ndfrcd ed e`pfte, sn fi hdfinzfr ics pudtfges uercd ics snbunedtes7 Fr Frbe bed dtndf tndf Urubufy ]frfbu fbufy Jonie Acinvnf

6= 2 8 5 =

;. Ed if snbune snbunedt dtee hburf hburf se `uest `uestrf rf udf `esf ke aniifr aniifr que tnede tnede juf juftrc trc afdkfs afdkfs (acrkes (acrkes ke if `esf). Ze ifdz»c if acif ke aniifr keske ei pudtc   F  y iuebc ke kcs reactes ed ics pudtcs   K   y E   iieb» c fi pudtc   A . Jc`c se pueke caservfr, jfkf vez que if acif reactf udf afdkf, sfie jcd ei `ns`c fdbuic »fdbuic que iieb»c. c. Zn  FA  `nke >= j` y  A H  `nke 61= j`, jfijuie if icdbntuk kei

seb`edtc   JK , ed j`. J

K ζ

ζ α  E  α 

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5. Ud prcyej prcyejtni tni es ifdzfkc ifdzfkc keske keske ud pudtc pudtc  F  ofstf ud pudtc  K  snbunedkc udf trfyejtcrnf pfrfa»ccinjf. Jufdkc ei prcyejtni est»f knrejtf`edte frrnaf kei pudtc  A  se edjue edjuedtr dtrff f udf fiturf ke 16

`etrcs. Keter`nde f qu» e fiturf, ed `etrcs, se edjuedtrf ei prcyejtni jufdkc est»f knrejtf`edte frrnaf kei pudtc   J .

16 `

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8. Ud fbrnjuitcr fbrnjuitcr jcicjf ud knsperscr knsperscr ke fbuf ed su terredc re rejtfdbu jtfdbuifr ifr ke ;1 `etrcs ke fdjoc fdjoc y

8= `etrcs ke ifrbc. Ei knsperscr rnebf ud »fref fref jnrjuifr que jcrtf f ics kcs ifkcs `fycres kei terredc y es tfdbedte f ics ifkcs `edcres. Ke ics kcs acrkes kei terredc que scd ocrnzcdtfies, ud tctfi ke ?; `etrcs uercd rebfkcs. Zn ei »fref fref kei terredc rebfkf (»fref fref sc`arefkf ed if hburf) es nbufi f  ` + dύ , kcdke   `  y   d  scd edtercs pcsntnvcs, edjuedtre ei vficr ke   ` + d.

2. Jcdsnkere Jcdsnkere if snbunedte snbunedte sejuedjnf sejuedjnf ke hburfs oejofs oejofs jcd pfintcs. pfintcs. If hburf 6 est»f oejof jcd 2

pfintcs, if hburf 1 est»f oejof jcd 1:, etj. Jc`c se pueke caservfr, if afse superncr y ics ifterfies vfd fu`edtfdkc ke 6 ed 6. Zn sebun`cs ei pftr»cd, cd, ³ju»fdtcs fdtcs pfintcs tedkr»f if hburf 1:3

hburf 6

hburf 1

hburf :

?. Ed ud fuif ke 1? estuknfd estuknfdtes tes se vfd vfd f cr`fr cr`fr 2 brupcs ke ; pfrf ofje ofjerr udf expcsnjn expcsnjn»cd, c»d, pfrf

esc se refinzf ud scrtec ed ei que se vf f keter`ndfr ics brupcs. Ei scrtec se refinzf ke if snbunedte cr`f7 se esjrnae ed 1? pfpeies ics dc`ares ke ics estuknfdtes, se ndtrckujed f udf urdf y iuebc se vfd sfjfdkc ics pfpeies udc pcr udc. Ics ; prn`ercs cr`fr»fd ei prn`er brupc, ics ; snbunedtes ei sebudkc brupc y fs»Ķ sujesnvf`edte. Zupcdbf que kcs ke ics estuknfdtes  f scd Fdkref y Qf`nrc y que if prcafaninkfk ke que eiics est» eed d ed ei `ns`c brupc es , kcdke a f  y  a  scd edtercs pcsntnvcs jcprn`cs. Jfijuie   f + a. >. In Ininf infdf df ein einbn» bn» c fibudcs d» u`ercs u`ercs knstndtcs kei jcdgudtc   {6, 1, :, . . . , 6:, 6;}  y dct»c que su prc-

kujtc es nbufi f if su`f ke ics d»u`ercs u`ercs que dc einbn»c. c. Edjuedtre if su`f ke ics kcs `edcres vficres que pueke tc`fr ei prckujtc ke ics d»u`ercs u`ercs que einbn»c Ininfdf.

:

 

6=. [ede`cs udf jufkr» jufkr»Ķjuif ke 5 Ò ?, jc`c se `uestrf ed if hburf. Keter`nde ju»fdtcs fdtcs oex»fbcdcs fbcdcs

ju`pied que sus sens ifkcs est»fd fd ndjiunkc n djiunkcss ed ifs i»Ķdefs ke esf es f jufkr ju fkr»»Ķjuif. F `ckc `c kc ke eg ege`pic, e`pic, `cstrf`cs udc ke ics oex»fbcdcs fbcdcs que keae ser jcdsnkerfkc.

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