X1

ÁLGE ÁL GEBRA BRA -TEMA 1

TE ORÍA ORÍA DE E XPONENT PONE NTE ES

En esta sección examinaremos las propiedades de las expresiones que contienen exponentes, para dicho estudio definamos la operación de potenciación.

IDEAS FUERZA

C uando vayas a aplicar apli car un u n expone exponent nte e a  ( - 5 )2 ≠ - 5 2   ↓ una basenegati negativa va o fr f r accionaria, coloca  ↓ 25 25   é sta st a ent en t r e par par é nt esis. esi s.

I. POTENCIA OTENCIACIÓ CIÓN N Es aquella operación matemática, que consiste en encontrar un número llamado potencia, a partir de otros dos números llamados base y exponente.

T ambié ambié n, es conveni conveniente ente hacer hacer notar not ar la dif erencia entr ent r e:  n 

ax = a .

n 

y ( ax)   =

x1 .x2 .x.4 ..x 4 3

"n factores f actores de x" 

(ax)(ax)(ax)...(ax)  "n factores f actores de x" 

N otar que... que... Si tomamos t omamos só sólo en cuenta cuent a los l os signos, signos, se cumple que: 

 -;nimpar  ( - )n =  ar   + ; n p ar

(+) (+)n =+; parato paratodo don  n 

SUGERENCIAS

Para Paracalcul calcular ar la potencia, debemostener tener pres presente nteconqué clase  deexponent exponente eestamostrabajando. abajando.

2. Expo Expone nent nte e cero cero

1. Expo Expone nent nte e natu natura rall

xn = x . x . x . . . x ; n 14243

a0 = 1 ; a ≠ 0

∈N

"nfactoresdex"

Ejemplos:

Ejemplos: 5

 A) 2 = 2.2.2.2.2 = 32

B) 0 = 0.0.0 =0

C) − 4 4 = −(4) 4 = −(4.4.4.4) = −256

D) (−4)4 = (−4)(−4)(−4)(−4) = 256

 3  2 3 3 E)  2   = 2 ⋅ 2    = 94

2 F) 3 = 3.3 = 9 2 2 2

G) 10 2 = 10.10 = 100

H) (−10)3 =(−10)(−10)(−10) = −1000

UNCP REGULAR 2009 - II

 A) 930 = 1

3

C)

B) 0,000020 = 1 0

  = 1 D)  − 20   3   

−50 = −1

Ojo: 0 0 No está definido 0

0 E)  1 − 1 − 1     = 0  No definido  2 3 6  

3. Expon Exponent ente e nega negativ tivo o

Ejemplos: a −n =

1

1 = ( 1 )n ; a ≠ 0 n a a TEMA 1 / ÁLGEBRA

A cademias P amer

Exigimos más!

B) (− 2)−2 =

3

= 2×2 3 3 4 9

=

= 36 = 729

3. Potencia de una multiplicación o división n n n ( a.b ) = an.b n ;  a   = an    b   b

64 25

En general se cumple que: n n am ≠ ( am )

Ejemplo: 2 2 23 ≠ ( 23)

IDEAS FUERZA

N ota que una expresión puede pasar del numerador al  denominador o viceversa siempre y cuando se le cambia  de signo a su exponente.

↓

↓

29

26

IDEAS FUERZA

Recuerda: 

Ejemplo:  5 −3 a) x −5 = y 3 y x

2  = 32. 5 3    b) 3  -3 

a) am .an = am+ n

5 

b)

= 9 .1 25   = 1 12 5  

n

1. Multiplicación o división de potencias de igual base

n

c)  ( a.b)n = an.bn m

e) ( am ) = ( an ) = an.m

Ejemplos:

= am−n

2 2 2  A) ( − 2.3 )3 = (−2)3.33 B) ( 32. 2−3.7 ) = ( 32) .(2− 3) (72 ) = −8.27 = 34.2−6.72 = −216 4 2 = 3 . 67 2

Ejemplos: B) 2−2.26.2− 3 = 2−2+ 6+ (− 3)

 A) 32.33 = 35 = 243

am = am− n an

Estas propiedades se cumplen para toda clasede exponente  (natural,cero,negativoyfraccionario).

Si no hay divisiones entre cero, se cumple:

m an.am = an + m ; a n a

n

a d)  ab     =    bn

TEOREMAS

= 21 = 2

2 (− 3) 2 9 C)  − 3   = 2 = 49    7   7

Precaución: La regla de la multiplicación o división sólo se aplica a expresiones que tienen la misma base. Por ejemplo la expresión x 5y3 no se puede simplificar, porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes.

II.

RADICACIÓN EN R n a = b ⇔ bn = a

Donde: n=í ndice (n∈ R) a = radicando (a ∈ R ) b = raíz (b ∈ R )

C) ( 3x2y 4 ) ( 4x4.y −2 ) = 3.4.x 2.x 4.y 4.y− 2

= 12x6y2 D)

6

6

B) ( x2.x3 ) = ( x 5 ) = x 30

 A) ( 32 ) = 32.3

1 −2 2 5 D) = 51 − 3 4 43

 3  −2  2 2   C)  2  =  3         

=

Ejemplos:

1 (− 2) 2 =1 4

4-3 = 13 4 = 1 64

 A)

TEOR Í A D E EXPO NENT ES 

2 81 = 2 81− 79 2 79 = 22 =4

 Además se debe cum plir que: Par

+=+

Impar

+=+

Par

− = Noexiste

Impar

−=−

Ejemplos: * 3 − 8 = − 2 porque ( −2 )3 = − 8

2. Potencia de una potencia n

m

( am ) = (an ) = am.n TEMA 1 / ÁLGEBRA

* 2

9 25

2 9 = 35  porque  53    = 25   

UNCP REGULAR 2009 - II

A cademias P amer

TEOR Í A D E EXPO NENT ES 

IDEAS FUERZA

* 3 2 5 16 = 5 2 .1 6

= 5 32 =2

Recordar los tipos de exponentes estudi ados: 

*

an

= a . a . a. . . a ; n ∈ N

0

* a  = 1; a ≠ 0

14243

*

Exigimos más!

4 4

48 = 4 48 243 243

= 4 16 81 = 23

"nfactoresdea " n * a −n = 1n =  a1        a

* 3 − 0,027

* am/n = n am

= − 0,3 porque (− 0,3)3

2 . Raíz de una raíz

1) n m a

= −0,027

2) nk amk = n am

= nm a

  E jemplo:

Ejemplo:

Exponente fraccionario m Sea n

3

n

∈ Q ∧ a  existe, entonces: m

n

a n = am = n a

=39 3. Radicales sucesivos

1/3 1   = 3 − 1 = − 1 *  − 27   27 3   

2

* 82/3 = 3 8 = 2 2 = 4

1)

m n p

a b c

TEOREMAS 3

= n anb ;

na

m an b p c x x x

2)

64 3 64 * 3 27 = 3 27 4 = 3

* 3 − 27.64 = 3 −27 .3 64 = −3 .4 = −12

mn b nmp c

=

n

= a b nb

Ejemplos:

5

49 64 230

1. Raíz de una multiplicación o división n a. b

= na

Ejemplo:

Consideramos expresiones bien definidas, entonces se cumple:

=x

(an+b)p+c mnp

Ejemplo: 3 24 35 5 5 5

Problema 1

=

Problema 2 R  se

verifica.

 r 10 r 2 bb = 9 + 2 − ( 3 ) 4   4 x.2 2 − 2 x +14 = 0 

Calcular el valor de la expresión siguiente cuando: x = 2 e y = 3. 3   − 4  x y 

   y x−2  E =     x2/3 y −1   3 −2   y x   

Entonces se puede afirmar que:

Resolución:  Resolución: 

2

( r) 9r + 210 − 9r 210 22 b 2 → bb = 9 + 2 8− 3 = = = ∴ = 8 8 r

= 3.4 ( −3)2.4 = 3 (− 3) 2

m

Ejemplos:

Si: b, x, r e y

12 (− 3) 8

6

64 = 26 = 26/6 = 2

10

2

2

3

   x y−4   x     y x−2   y3/2 E=  =  4/3  x1/3 y−1   x  1 −2   y3/2 y x    

2

→ 4 x .22 − 2 x +1 = 0 → 22x.22 − 2x +1 = 0 → 2x.22x .2 − 1 = 0 1 4 24 3

0

2 x.2 − 1 = 0 → 2 x.2 = 1 → 2x +1 = 20 ∴x = −1 ⇒ x