X. Caicedo - Elementos de Logica y Calculabilidad

Elementos de logica y calculabilidad

Xavier Caicedo F.

Departamento de Matematicas Universidad de los Andes

Contenido

Introduccion, ix

Primera parte

EI cl'Iiculo de proposiciones

Capitulo 1 Sintaxis,3

1.1 Simbolizacion

3

1.2 Formulas bien formadas, induccion en formulas

8

1.3 Descomposicion tinica, conectivo principal

12

1.4 El arbol de una formula, definiciones recutsivas

16

1.5 Supresion de parentesis

20

1.6 Notacion polaca

21

1.7 Decidibilidad

28

I"~-"--------"-"-~

I

Capitulo 2 Deduccion formal, 35

2.1 calculo Proposicional Axiomatico

37

2.2 Deducci6n con premisas, reglas derivadas

40

2.3 Teorema de 1a deducci6n

44

2.4 Reducci6n al absurdo

48

3.1 Valuaciones, validez

56

3.2 Completitud

62

4.1 Algebra Proposicional

71

,4.2 Conjuntos completos de conectivos

76

14.3 Formas normales, funciones booleanas

80

Capitulo 3 Semantica, 55

Capitulo 4 Equivalencia,71

Capitulo 5 Resolucion en el cruculo de proposiciones, 89

Capitulo 6 Compacidad, Conjuntos infinitos de premisas, 95

6.1 Lema de Konig 6.2 Compacidad

96 100

Segunda parte

Calculo de predicados

Capitulo 1 Simbolizacion,.107

1.1 Predicruios, relacio!leS, cuantificadores

108

1.2 Igualdad, funciones

116

1.3 Conceptos primitivos y definidos

121

1.4 Sintaxis

126

2.1 Estructuras

135

2.2 Validez

143

2.3 Isomorfismo

149

3.1 kdomatizaci6n del Calculo de Predicados

155

3.2 Validez del sistema axiomatico

164

3.3 Especi£icaci6n existencial

169

3.4 Equivalencia, Forma Prenexa

173

4.1 Forma Normal de Skolem

181

4.2 Teorema de Herbrand

185

Capitulo 2 Semantica, 135

Capitulo 3 Deducci6n Formal, 155

Capitulo 4 Resoluci6n en el calculo de predicados, 181

:i

r ,

4.3 Metodo de Resoluci6n

190

4.4 Demostraci6n del Teorema de Herbrand

193

1.1 Conjuntos enumerables y no enumerables

200

1.2 Conjuntos efectivamente enumerables

206

1.3 Existencia de conjuntos no efectivamente enumerables

212

1.4 Conjuntos decidibles

216

2.1 Funciones recursivas primitivas

221

2.2 Funciones r.ecursivas

228

2.3 Conjuntos f,-o/.:ursivos

231

2.4 Funciones defmidas de relaciones

235

2.5 Conjuntos recursivamente enumerables

239

2.6 Funciones recursivas parciales

244

Tercera parte CaIculabilidad

Capitulo 1 Enumerabilidad efectiva, deddibilidad, 199 !.

Capitulo 2 Funciones recursivas, 221

Capitulo 3 Maquinas de Turing, 247

Capitulo 4 Elproblema de Ia parada, 279

Capitulo 5 Recursividad de funciones Turing-calculables, 293

B1iobliografia, 315

3.1 Maquinas de Turing

247

3.2 Ejemplos

256

3.3 Turing- Calculabilidad de Funciones recursivas

266

4.1 Maquinas Universales

279

4.2 EI problema de Ia parada

288

5.1 Codificacian recurslva de sucesiones finitas

293

5.2 Recursividad de Ia [uncian de Ackermann

298

5.3 Toda [uncian Turing-calculable es recursiva

301

5.4 Forma normal de Kleene

309

r:

I!I,

,I

Explicar el sentido en que se toman las palabras, determinar bien su significado, es ir por el atajo de la verdad, es suprimir obstaculos y disputas interminables, tan prerjudiciales como inUtiles.

I''!

i'

11

F.J. de Caldas, "Del inJlujo del clima sobre los seres organizados"

r

II

i!

!!

1

ir ,

J

1~r

,

;:.1

f

I':!

r ,~

;;:'

*'~"

'JI

:

Introducci6n

Cuando se habla de l6gica moderna se usa referirse a ella como "L6gica Formal", "L6gica Simb6lica", "L6gica Matematica". Hist6ricamente tal terminologfa ha aparecido en el orden indicado. Podemos afirmar que la L6gica Formal es par 10 menos tan antigua como los escritos de Arist6teles, en donde ya se observa que la validez de los silogismos depende de su forma y no del significado particular de las proposiciones que los componen. En esta etapa los sfmbolos son meros auxiliares en la clasificaci6n de las diversas formas de argumen,tos. La L6gica Simb6lica en cambia tiene su precursor en Leibnitz, uno de los creadores del Calculo Infinitesimal, quien se interes6 por el problema 4e descubrir una "characteristica universa lis ", es decir un metoda para simbolizar proposiciones y argumentos de Matematica y Metaffsica y "calcular" can las formas simb6licas en orden a averiguar su verdad 0 validez. Este deseo se cristaliza, apoyado par los progresos del Hamada "metoda axiomatico", en el siglo XIX can los trabajos de George Boole, De Morgan, Frege, Shroeder, Pierce, y Peano. Puede decirse que esta etapa culmina en 1910 - 1913 can la monumental Principia Mathematica de Whithead y Russell, en donde una gran porci6n del raciocinio matematico se reduce a un calculo simb6lico. El desarrollo posterior corresponde ala L6gica matemdtica, cuando los sistemas formales mismos se convierten en objetos de estudio par metodos matematicos . (Metamatemiitica). Son Hilbert, LOwenheim, SkoIem, Godel, y Tarski, entre otms, los principales propiciadores en Ia primera mitad del siglo XX de este desarrollo,. el cual nos ha dado resultados muy profundos en los Fundamentos de la Matematica y en la Teorfa de Calculabilidad Efectiva, resutados que inciden radicalmente en areas que van desde la pura especu-

x

laci6n filos6fica hasta las aplicaciones practicas de la Matematica. Por otra parte la L6gica se ha convertido er un instrumento poderosfsimo para el estudio de las Matematicas mismas, de manera que ha IIegado a conformar una de las grandes areas en que se divide su estudio, junto con las tradicionales como Analisis y Algebra.

]

Primera parte

E1 Calculo de Proposiciones

Capitulo 1

Sintaxis

1.\-,'.

1.1 Simbolizaci6n La idea de simbolizar proposiciones 0 partes de las proposiciones dellenguaje ordinario con el objeto de hacer explfcitas sus conexiones l6gicas se remonta par 10 menos hasta Arist6teles (384 - 322 A.C.). Expresiones como "todo S es P" fueron usadas por Arist6teles para simbolizar todas las afirmaciones de la forma: "todo hombre es mortal", "todos los metales brillan", "todos los gatos son pardos", etc .. Esto permiti6 establecer la validez de ciertos argumentos de una forma dada, independientemente de los significados del sujeto S y predicado P de cada proposici6n involucrada. Este es d caso, por ejemplo, del silogismo : si "Todo S es P" y "Ningun P es Q" entonces "Ningun S es Q", el cual en notaci6n tradicional se podrfa expresar: Todo S es P Ningun P es Q Ningun S es Q. Otro ejemplo mas sencillo seria : de "Algun S es P" se sigue "Algun P es S". EI anal isis 16gico de las proposiciones a traves de la conexi6n sujeto-predicado esta incluido en el Ca1culo de Predicados que estudiaremos mas adelante (Cap. II). El Calculo de Proposiciones que presentamos en este capitulo estudia por el contrario las conexiones logic as de las proposiciones dcsde un punta de vista mas general. Analizaremos las proposiciones

'1

I

4

Sintaxis

solamente en cuanto estas puedan estar compuestas 0 ser combinaci6n de proposiciones mas sencillas. Este analisis nos llevara a ciertas proposiciones at6micas que no se dejan descomponer mas, y que simbolizaremos por letras como p, q, r, etc. Ciertas partfculas y expresiones lingiifsticas que conectan proposiciones se simbolizaran tambien por sfmbolos especiales. Sera claro que la validez de muchos argumentos s610 depende de la forma como las proposiciones involucradas se combinan a partir de las at6micas por medio de estos "conectivos". Considere por ejemplo el argumento siguiente: Juan tiene 20 afios 0 22 afios Si Juan tiene 22 afios, entonces naci6 antes que Pedro. Juan no naci6 antes que Pedro. Juan tiene 20 afios. 1;-

't

i,I

I I

Evidentemente las cuatro oraciones estan formadas por combinaciones de las siguientes proposiciones at6micas: p: Juan tiene 20 afios q: Juan tiene 22 afios

II , II I,

r: Juan napi6 antes que Pedro en la forma:

i

l

l.p6q 2. Si q entonces r. 3. No es el caso que r. p

Ahora bien, el argumento es correcto no importa eual sea el significado de p, q, r. Si llamamos proposicion a cualquier expresi6n para la cual tenga sentido decir que es verdadera 0 falsa (aunque no tengamos manera de saber cual es el caso), y suponemos que p, q, r representan cualesquiera propos iciones, tenemos la siguiente demostraci6n informal del argumento simb6lico anterior: si las premisas 1, 2, 3 son verdaderas, entonces p debe ser verdadera ; de fo contrario par la premisa 1, al ser fa/sa p deberia ser

i

I .!

5

1.1 Simbolizaci6n

verdadera q; ahora, por fa premisa 2 al ser verdadera q serla verdadera r; pero esto contradirfa fa premisa 3 que estamos suponiendo cierta. Es claro que la validez del argumento se basa solamente en el significado de los conectivos: "_ 6 _", "si _ entonces _"; "no es el caso que _", y no en el de lasproposiciones p, q, r. Muchas expresiones del lenguaje ordinario conectan proposiciones para formar nuevas proposiciones, pero desde cierto punto de vista todas son substituibles por los siguientes conectivos cuya simbolizaci6n indicamos: P 6 q

(incluye el caso en que ambos p y q son ciertos )

pv q

si p entollces q

(de p se sigue q, p implica, ...)

p::)q

(no es cierto p, es falso p, ...)

~p

IW

es el CGJO que p pyq

pAq

P si y solamente si q

p-q

EI anterior argumento quedarfa: p~q

q ::) r p

Tambien podrfa expresarse como una sola proposici6n compleja: ((p v q)

A

(q ::)r)

A ( .....

r)) ::)p.

Esta ultima oraci6n es siempre verdadera, es decir es verdadera cualquiera que sea el significado de p, q y r, como 10 hemos demostrado en el parrafo anterior. Podrfamos decir que e[ objeto de la Logica es hallar estas formas absolutamente verdaderas, estas verdades logicas. "

Note la importancia de los panSntesis para evitar ambigiiedades. La propo-

I i I

I,.

6

Sintaxis

slClOn: "Viene Ana y si viene Luis viene Marfa" debe simbolizarse p 1\ (q :J r). Si omitimos los parentesis queda p 1\ q :J r, que podrfa interpretarse alternativamente como: "Si vienen Ana y Luis entonces viene Marfa", alterandose el significado de la frase. La ultima proposicion debe simbolizarse (p 1\ q) :J r, y puede darse el caso de que esta proposicion sea verdadera y la primera falsa. 2

Ejemplo La proposicion compuesta : "Si x es par entonces x2 es par. Si x2 es par entonces no es impar. Ademas, x es par 0 impar. Por 10 tanto, si x2 es impar

entonces x es impar." se puede simbolizar a partir de las proposiciones atomicas: p: x es par r: x2 es par q: x es impar s: x 2 es impar como: «p :J r)

1\

(r :J

~

s)

1\

(p

V

q»:J (s :J q).

A pesar de que la conclusion de esta implicacion es verdadera si se entiende que hablamos de numeros naturales, Ia forma proposicional completa no es siempre verdadera, se puede dar significados a las Ietras p, q, r, s bajo los cuales la proposicion es falsa. Utilice por ejemplo los significados originales dados arriba, pero cambiando x 2 por 3x. Finalmente observamos que cuando hem os hablado aquf de argumentos, validez, demostraciones, etc. nos hem os referido a 'su significado intuitivo en el raciocinio ordinario, matematico 0 extramatematico. Uno de los objetivos principales de la logica es dar un sentido preciso a estos conceptos.

Ejercicios 1. Simbolice de Ia forma mas fina posible, es decir use letras s6lo para aquellas proposiciones que no son compuesta de otras (proposiciones at6micas).

a. Si Juan viene a la fiesta, Luis vendra. Si Luis viene Marfa tam bien. Pero Marfa viene solo si Juan viene. Par 10 tanto, Luis no vendra a la fiesta. b. x es primo si y solo si x no es 1 y no tiene divisores propios.

3

7

1.1 Simbolizacion

c. Si ella es alta 0 rubia entonces debe llamar la atenci6n. Por 10 tanto, si el portera estaba en la puerta y no dorm fa, es imposible que ella haya entrado sin que ella haya visto . .d. Si 12 divide any amy si cuando x divide tanto a m como n, se tiene que x oS 12, entonces existen a y b tales que 12 =am+bn. 2.

Demuestre que el argumento: p:::lq q:::l...,r svp r:::ls . es correcto, independientemente del significado de p, q, r, s.

3.

ii I,

il

:

Simbolice:

:1, !

x es par 0 impar pero no ambos x es par si y solo si x 2 es par si x es impar entonces x 2 es impar Demuestre que el argumento simbolizado no es correcto independientemente del significado de las proposiciones. l Que premisa se podrfa aiiadir para que el argumento resulte correcto, independientemente de su significado? 4.

Cad a uno de los conectivos siguientes es expresable como p:::l q 0 como q :::l p. Indique cUlil es el caso: a. p, si q b. P solamente si q c. peon la condici6n de que q d. pes condici6n suficiente para q e. p es condici6n necesaria para q f. P se sigue de q.

I I.1:

I·

!

t

8

5:

Sintaxis

1.:

Simbolice de la manera mas fina posible: Maria no vendra a la fiesta a menos que Luis venga.

d( 0

6. EI simbol.o v se reserva para la interpretaci6n inclusiva de la disyunci6n 6, es decir p v q incluye como posibilidad eI caso en que ambas proposiciones son verdaderas. Suponga que v simboliza el 6 exclusivo (p v q significa : s61.o p 6 s610 q) a. Exprese p v q en terminos de v, ~ e 1\ b. Exprese p v q en terminos de v. e 1\ •

•

1.2 Formulas bien formadas,induccion en formulas Definimos en esta secci6n de una manera precisa el lenguaje formal con que vamos a trabajar. Como hem os visto en la secci6n anterior la forma y las relaciones estructurales entre las expresiones simb6licas reflejan de alguna manera las propiedades y relaciones de [as conceptos que elias pretenden denotar. Esto justifica el estudio de las expresiones mismas como combinaciones de sfmbolos. El alfabeto del lenguaje del Ca1culo de Proposiciones consiste de los siguientes sim bolos: Conectivos proposicionales Parentesis

()

Letras proposicionales

pqrstuvw Pi PZ P3··· qi qZ q3···

Los conectivos proposicionales se IIaman respectivamente negaci6n, conjuncian, disyunci6n, implicacian y equivalencia. Los parentesis se distingucn como parentesis izquierdo "(" y derecho ")". Si V denota el conjunto

9

1.2 F6nnulas bien fonnadas, inducci6n en f6nnulas

de sfmbolos de este alfabeto, llamaremos y* al conjunto de todas las cadenas o sucesiones finitas de sfmbolos de V, con posibles repeticiones, por ejemplo: . . IncluiremQsppr conveniencia en Y· una cadena vaC£a que no contiene. sfmbolos y' que denotaremos A. Utilizaremos letras griegas a, ~,y ';.;' para denotar cadenas arbitrarias de sfmbolos. Si a = al ... a n E Y· Y ~ = bl ... bk E Y· entonces aj3= al ... anb1 ... bk sera la yuxtaposici6n 0 concatenacion de a y 13. En particular para ·Ia cadena vacfa tendremos Aa =aA = a . . . .

'.'-'

Entre todas esas cadenas especificaremos par medio de la definici6n siguiente ciertas expresiones que lIamaremos formulas bien formadas 0 fufs. La definici6n es constructiva ya que da "instrucciones" para construir fufs.

Definicion 1. Una cadena de sfmbolos es una fbf si y solo obtenerse par medio de las reglas siguientes:

51

puede

Flo Las letras proposicionales son fbfs.

F2. Si a es fbf entonces F3. Si a y fbfs.

~(a)

es fbf.

13 son fbfs, entonces (a)A(j3), (a)v(j3), (a)::>(j3) y (a)-(j3) son

Ejemp[o Las expresiones de las lfneas siguientes son fbfs. Las de la primera !fnea 10 son por (FI). Las demas provienen de fbfs en lfneas anteriores, de acuerdo con (F2) y (F3),

',j

'I'.',

r

q

p

(P)A (q)

«p) " (q» «(p) " (q»

s (r) v (s)

~(q)

......

«~(q)

v (r)

« ~(q»)

vCr»~

«~(q)) v (r»)

:::l

~

«r) v (s»

(~

«r) v (s»

10

Sintaxis

En cambio, la expresi6n p)1I q::>::>(q) no es fbf. Basta observar que (Fl) s610 produce letras proposicionales y las reglas (F2) y (F3) s610 producen cadenas que comienzan en "~" 0 en "(". La siguiente cadena tam poco es bien formada, hecho cuya demostraci6n es mas diffcil: ~(~(~(P) II «r)v (s»::> (P»).

La siguiente propiedad de las fufs esta implfcita en la definici6n. Nos dice que toda fbf se puede "analizar" por medio de fufs mas simples: F4. Toda fbf es una letra proposicional 0 tiene una de las formas ~ (a), (a)1I (13), (a)v (13), (a)::> (13) 0 (a)::> (13), en donde a y 13 son tambien fbfs. L1amamos ;:s al conjunto de las fbfs. Para cada conectivo proposicional podemos definir UEa operacion en V*: F

~

:a

F

II :

I-~

(a)

a, j3l-(a) 11(13)

F v : a, j3l-(a) v (13) F::>: a,

f I-(a)::> (13)

F ++ : a, 131-(a) ++(13) Un subconjunto J de V* es induetivo si es cerrado bajo tales operaciones. Por supuesto ;:s y V* mismo son inductivos. El siguiente lema muestra que ;:s es el conjunto inductivo mas pequeno que contiene las letras proposicionales.

Lema 1. Si J es un conjunto inductivo que contiene las letras proposicionales entonces ;:s C J Demostraci6n. Por inducci6n en n demos tram os que si una fbf a de ;:s tiene n ocurrencias de conectivos entonces a EJ. n = O. Entonces a es letra proposicional y a EJ por hip6tesis. Suponga la hipotesis de inducci6n cierta para toda k