Workouts in Intermediate Microeconomics

).tnemtrapa na gnivah ton ro gnivah neewte b tnere�idni e b lliw i remusnoc ecnis ,dednamed stnemtrapa fo seititnauq tnere�id owt e b lliw ereht ,ecirp noitavreser s’i remusnoc emos ot lauqe si ecirp tekram eht nehW :tniH( .hparg gniwollof eht ni evruc dnamed tekram eht tolP )a( 5 H

51 G

81 F

01 E

53 03 D C

52 B

04 = A =

ecirP nosreP

).stnemyap tner yliad gnie b sa sre bmun eseht fo kniht ,llams sre bmun eht peek oT( .wole b nevig era secirp noitavreser riehT .tnemtrapa na tner ot tnaw ohw elpoe p 8 evah ew taht eso ppuS )3( 1.1

.egnar eht ni ecirp tsewol dna tsehgih eht eht rof ksa lliw ew suhT .dnamed slauqe ylppus erehw secirp fo egnar a e b yllacipyt lliw ereht ,ereh desu e pahs ”esac -riats“ eht evah sevruc dnamed nehw taht evresbo osla dluohs uoY .tnemtrapa eno ro orez gnivah neewte b tnere�idni e b lliw remusnoc eht ecirp noitavreser eht ta yltcaxe dna ,stnemtrapa orez dnam -ed lliw remusnoc eht ecirp noitavreser eht evo ba ecirp yna ta ,tnemtrapa eno dnamed lliw remusnoc eht ecirp noitavreser eht wole b ecirp yna tA .tnemtrapa eht gnitner ton ro gnitner neewte b tnere�idni tsuj si eh erehw ecirp taht si remusnoc a fo ecirp noitavreser eht taht re bmemeR .txet eht ni desu ew taht evruc dnamed ”dehtooms“ eht naht rehtar sremusnoc eht fo secirp noitavreser eht morf detcurtsnoc evruc dnamed eurt eht htiw krow ew smelborp eht fo tsom nI .txet eht ni de bircsed tekram tnemtrapa eht no snoitairav emos enimaxe retpahc siht ni smelborp ehT .noitcudortn I

tekra M ehT 1 retpahC

E MA N

.muinimodnoc eht yub ot ediced , . . . , C , B fi stnemtrapa fo secirp muirbiliuqe eht etaluclac nehT .elbat eht ni ,A nmuloc ni srews -na ruoy retnE ?ecirp tsewol eht e b lliw tahW ?stnemtrapa fo ylppus eht lauqe lliw stnemtrapa rof dnamed eht hcihw ta ecirp tsehgih eht e b lliw tahW .muinimodnoc eht yub ot sediced A nosre p taht eso ppuS )a( .muinimodnoc a otni denrut si meht fo 1 taht dna tekram eht ni stinu 5 yllanigiro era ereht taht eso ppuS )3( 2.1

. 5 1$ o t 01 $

?secirp muirbiliuqe fo egnar

eht si tahW .stinu 6 ot sesaercni stnemtrapa fo ylppus eht fi tahW )e(

. D ,C , B ,A

?stnemtrapa gnitteg

pu dne H–A elpoe p eht fo hcihw ,stnemtrapa 4 fo ylppus a htiW )d(

. 5 1$

?stinu 5 ot

lauqe dnamed tekram eht ekam dluow taht ecirp tsewol eht si tahW )c(

.8 1$

?stinu

5 ot lauqe stnemtrapa rof dnamed eht ekam dluow taht ecirp tsehgih eht si tahW .secirp muirbiliuqe e b lliw taht secirp fo egnar elohw a si ereht esac siht nI .stinu 5 ta dex� si stnemtrapa fo ylppus eht eso ppuS )b(

s tnem t rapA 8 7 6

5

4

3

2

1

0

01 02 03 04 05 06 eci rP

)1 .hC(

TEKRA M E HT

2

.tuo nezorf era H dna ,G ,F elihw ,tnemtrapa na teg ot eganam E dna ,D ,C ,B ,A elpoe p taht eso ppus rehtruF .9$ fo tner mumixam a stes drao b lortnoc-tner ytic eht taht dna detner e b ot stnemtrapa 5 era ereht taht eso ppuS )2( 4.1

.F ,D ,C ,B ,A

?stnem

-trapa eht teg dluow slaudividni hcihw ,detner erew stnemtrapa 5 fI ) f(

. 8 41 $

?stnemtrapa 5 lla detner eh fi ekam dluoc eh eunever

mumixam eht si tahw ,slaudividni eht lla fo secirp noitavreser eht wenk eh dna ,ecirp tnere�id a laudividni hcae egrahc dluoc droldnal siht fI )e(

. F , D , C ,B , A . 81 $

?stnemtrapa teg dluow ohW )d(

?eunever sih ezimixam ot egrahc eh dluow ecirp tahw

,stnemtrapa 5 yltcaxe tner ot wal yb deriuqer erew tsilo ponom eht fI )c(

. D , C ,B , A

7

8

01

5

07

04

09

?stnemtrapa teg dluow F–A elpoe p eht fo hcihW )b(

09

51

81

6

5

0 01 52 4

09 03 3

07 53 2

04 04 1

euneveR ecirP re bmuN

).stnemtrapa lla rof ecirp eno egrahc tsum eh taht emussA( .stnemtrapa 8 ,. . . ,2 ,1 stner eh fi ekam nac tsilo -ponom eht taht eunever dna ecirp mumixam eht htiw xo b eht ni lliF )a( .seunever sih ezimixam ytitnauq dna ecirp hcihw enimreted ot gniyrt si eh taht dna stnemtrapa eht lla snwo tsilo ponom a taht won eso ppuS )2( 3.1

.s e Y

?ecirp muirbiliuqe na llits ecirp taht sI .muinim

-odnoc a otni denrut saw stnemtrapa eht fo eno taht eso ppuS

. 81

?ylppus slauqe dnamed hcihw ta ecirp tsehgih eht si tahW .stnemtrapa 01 dna ecirp noitavreser hcae ta elpoe p owt erew ereht taht eso ppuS )b(

G

H

52

52

81

81

51

81

52

52

F

E

51 81 D

51

51

81

51

81

C

ecirp woL

81

B

ecirp hgiH

A

nosreP

E MA N

3

G

H

01

0

. em as e ht s ’ tI

?sdroldnal

eht no deivel si xat eht fi sne ppah tahw ot erapmoc siht seod woH )d(

.8 1$

si tnuoma sihT .xat eht

sulp tner reh ro sih fo stsisnoc syap retner a ecirp latot eht ,esruoc fO )c(

. 3 1$

.detner e b ot stnemtrapa 5 era ereht

fi ecirp muirbiliuqe mumixam eht enimreted noitamrofni siht gnisU )b(

31 F

5 E

03 D

52 C

02 B

53

ecirP noitavreseR

A

nosreP

.secirp noitavreser eseht htiw wole b xo b eht ni lliF ?ytic eht ot stnemtrapa no xat 5$ a yap ot dah hcae yeht fi droldnal eht ot yap ot gnilliw e b dluow yeht taht mumixam eht si tahW .1.1 melborP ni elpoe p fo puorg eht redisnoc ,noitseuq siht rewsna oT )a( ?sretner no deso pmi saw xat eht daetsni fi ne ppah dluow tahW .sretner eht ot gnola dessap teg ton dluow sdroldnal no xat a taht deugra ew txet eht nI )2( 5.1

. em as e ht s’ t I

?emoctuo tekram eht ot erapmoc siht seod woH )d(

. F ,D , C ,B ,A

?stnemtrapa 5 eht ni pu dne lliw evo ba de bircsed sremusnoc eht

fo hcihw ,dewolla gnittelbus detimilnu htiw lortnoc tner evah uoy fI )c(

.8 1$

?tnemyap

telbus eht rof degrahc e b nac taht tnuoma mumixam eht e b lliw tahW )b(

.8 1$ y ap o t g n il li w si o hw ,F

ot telbus dluow tnemtrapa na rof 01$

y l no ya p o t gn il l iw s i o h w , E

).snoitcirtser lortnoc

-tner ytic eht edave nac telbus ohw elpoe p taht emussA( ?muirbiliuqe ni mohw ot telbus lliw ohw—decitcarp ,tsael ta ,ro—lagel si gnittelbus fI )a( )1 .hC(

TEKRA M E HT

4

fo tnuoma eht setoned tnio p sihT .sixa latnoziroh eht ot enil eht dnetxe dna stnio p eseht neewte b enil thgiarts eht warD .enil tegdub eht no e b ot wonk uoy taht ,)01 ,01( dna )5 ,02( ,stnio p owt eht tolP .sixa lacitrev eht no daerb dna sixa latnoziroh eht no ela erusaeM .yllacihparg melborp siht evlos dluoc uoY ?dne ps ot evah ehs seod yenom hcum woh ,eltto b re p rallod 1 si ela fo ecirp eht fI .daerb fo sevaol 01 dna ela fo seltto b 01 si emocni eritne reh sdne ps ehs fi dro�a nac ehs taht eldnub ytidommoc rehtonA .daerb fo sevaol 5 dna ela fo seltto b 02 dro�a tsuj nac ehs ,emocni reh fo lla sdne ps ehs fI .daerb dna ela ylno semusnoc leruaL :e lpmaxE .enil tegdub eht ward ot noitamrofni hguone evah uoy os ,stnio p owt hguorht nward e b nac enil euqinu a taht wonk uoy ,seitidommoc owt tsuj era ereht fi ,nehT ?dro�a tsuj nac remusnoc eht taht seldnub ytidom -moc owt wonk uoy tub ,emocni ro secirp dlot ton era uoy fi tahW .enil tegdub s’eltryM si sihT .meht neewte b enil thgiarts a ward nehT .hparg ruoy no stnio p owt eseht kraM .sixa lacitrev eht no )05 ,0( tnio p eht thguorht sessap osla enil tegdub reh erofrehT .selppa on dna sananab 05 dro�a nac ehs ,sananab no emocni reh fo lla sdne ps ehs fI .sixa latnoziroh eht no )0 ,52( tnio p eht hguorht seog enil tegdub reh eroferehT .sananab on dna selppa 52 dro�a nac ehs ,selppa no emocni reh fo lla sdne ps ehs fi taht ecitoN .sixa lacitrev eht no sananab dna sixa latnoziroh eht no derusaem era selppa erehw ,enil tegdub reh hparg ot era uoY .hcae rallod 1 tsoc sananab dna hcae srallod 2 tsoc selppA .sananab dna selppa ylno semusnoc ehS .dne ps ot srallod 05 sah eltryM :e lpmaxE .stnio p hto b hguorht snur taht enil thgiarts eht gniward dna ”dro�a tsuj“ nac ehs taht seldnub ytidommoc owt gnidn� yb enil teg -dub s’remusnoc a tcurtsnoc nac uoy ,emocni dna secirp wonk uoy fI .rehto eht no eil dro�a tonnac remusnoc eht taht stnio p eht fo lla dna enil eht fo edis eno no eil dro�a nac remusnoc eht taht stnio p eht fo llA .tes tegdub eht fo yradnuo b eht si enil tegdub ehT .evitagennon hto b 2x dna 1x htiw dna m = 2x 2p + 1x 1p noitauqe htiw tnemges enil eht tsuj si enil tegdub eht ,hparg a nO .m ≤ 2x 2p+ 1x 1p taht hcus ,) 2x , 1x( ,eldnub noitpmusnoc yna dro�a nac ehs neht ,m emocni sah remusnoc eht fi dna ,2 do og rof 2p dna 1 doog rof 1p era secirp eht fI .sixa lacitrev eht no 2 doog fo seititnauq dna sixa latnoziroh eht no 1 doog fo seititnauq htiw hparg lanoisnemid-owt a no tnio p a yb detneserper e b nac eldnub noitpmusnoc ynA .) 2x , 1x( ,el d -nub noitpmusnoc eht emusnoc ot dias si 2 doog fo stinu 2x dna 1 d oog fo stinu 1x semusnoc ohw remusnoc a ,sdoog owt tsuj era ereht erehW .ysae yrev era gnihparg eht dna arbegla eht hto b esuace b ,trats ot ecalp doog a era stes tegduB .arbegla dna shparg htiw snoitautis cimonoce gnibircs -ed ni slliks ruoy dliub ot dengised era stuokrow esehT .noitcudortn I

tniartsnoC tegduB E MA N

2 retpahC

.erutidne pxe yenom no tniartsnoc a ot noitidda ni ,evah nac uoy tahw no stniartsnoc rehto era ereht erehw seciohc deniartsnoc ot deilppa e b nac ”tes tegdub“ a fo aedi eht taht eeS •

.evitagen si secirp eht fo erom ro eno fi ekil skool tes tegdub eht tahw wonK • .tnuoma evitiso p emas eht yb deilpitlum era secirp lla dna emocni nehw tes tegdub eht ot sne ppah tahw wonk dna eriaremun fo tpecnoc eht dnatsrednU • .stes tegdub no emocni dna secirp ni segnahc fo stce�e eht hparG • .enil tegdub eht no stnio p owt nevig era uoy nehw ro emocni dna secirp nevig era uoy nehw hparg a no tes tegdub eht ward dna enil tegdub eht rof noitauqe na etirW •

:gniwollof eht od ot elba e b lliw uoy taht e poh ew ,tuokrow siht detelpmoc evah uoy nehW .03 = 2 × 5 + 1 × 02 e b tsum emocni reh eroferehT .emocni reh sa hcum sa stsoc )5 ,02( eldnub ehT .srallod 2 si daerb fo ecirp eht os ,rallod 1 si ela fo ecirp ehT .ela sa hcum sa eciwt stsoc daerb oS .daerb fo sevaol 5 artxe na dro�a ot elba reh sekam ela fo seltto b 01 pu gnivig taht e b tsum ti ,emas eht tsoc )01 ,01( dna )5 ,02( seldnub eht ecniS .swollof sa nosaer nac uoy ,ylevitanretlA .dro�a nac ehs seltto b fo re bmun tsegral eht ot lauqe si srallod ni emocni reh ,eltto b a rallod 1 stsoc ela ecniS .ela no yenom reh fo lla sdne ps ehs fi dro�a nac leruaL ela )2 .hC(

T NIARTS N OC TEG D UB

6

.esac hcae rof enil tegdub a ward ,wole b hparg eht nO )0( 2.2 .)e( traP ni tegdub eht htiw dro�a tonnac tub )a( traP ni tegdub eht htiw dro�a dluoc uoy taht seldnub ytidommoc gnitneserper aera eht ni edahs ot licne p ro kni kcalb esU .)a( traP ni tegdub eht htiw yub ot dro�a ton dluoc tub )e( traP ni tegdub eht htiw dro�a nac uoy taht seldnub ytid om -moc gnitneserper aera eht ni edahs ot kni eulb esu ,margaid ruoy nO ) f( tegdub siht ward ot kni kcalb esU

.03 = 2x5 + 1x5

.enil .noitauqe

tegdub ruoy nwod etirW .5$ ta niamer seitid ommoc hto b fo secirp eht elihw ,03$ ot sllaf dne ps ot dewolla era uoy tnuoma eht taht eso ppuS )e( .enil tegdub wen ruoy ward ot kni der esu ,evo ba hparg eht nO

= 2x5 + 1x5

.04

.noitauqe tegdub wen ruoy nwod etirW .emas eht syats

esle gnihtyreve elihw 5$ ot sllaf 1 ytid ommoc fo ecirp eht taht eso ppuS )d( 1x 8

6

4

2

0

gnidahS eulB 2 eniL kcalB 4 gnidahS kcalB 6

eniL deR eniL eulB

8 2x

hparg eht ni enil tegdub ruoy ward ot kni eulb esU

.8

.wole b ?yub uoy

dluoc hcum woh ,2 ytidommoc no emocni ruoy fo lla tne ps uoy fI )c(

.4

?yub

uoy dluoc hcum woh ,1 ytid ommoc no emocni ruoy lla tne ps uoy fI )b(

.04 = 2x5 + 1x01

.noitauqe tegdub ruoy nwod etirW )a(

.tinu re p 5$ stsoc 2 ytidommoc dna ,tinu re p 01$ stsoc 1 ytidom -moC .seitidommoc owt no dne ps ot 04$ fo emocni na evah uoY )0( 1.2 E MA N

7

x 61

21

8

4

0

4

8

21

61 y

.wole b hparg eht ni enil tegdub eht ward dna seldnub noitpmusnoc owt eseht kraM )a( . y fo stinu 2 dna x fo stinu 21 ro y do og fo stinu 6 dna x doog fo stinu 4 rehtie dro�a nac uoy ,emocni eritne ruoy dne ps uoy fi taht hcus si tegdub ruoY )0( 3.2 1x 02

51

01

5

0

5 eniL deR 01 eniL kcalB eniL eulB

51

02 2x

)?1 d oog no tegdub eritne ruoy dne ps uoy fi dro�a uoy dluoc 1 doog fo hcum woH :tniH .kni kcalb ro licne p esU( . 1p51 = m , 2p = 1p )d( ).kni kcalb esU( .01 = m ,1 = 2p ,0 = 1p )c( ).kni der esU( .02 = m ,2 = 2p ,1 = 1p )b( ).kni eulb esU( .51 = m ,1 = 2p ,1 = 1p )a( )2 .hC(

T NIARTS N OC TEG D UB

8

. 6$

s rab ydnaC 23

42

61 21

8

0

8

61

42

23 skoob cimoC ?ecnawolla ylkeew s’ymA si tahW .wole b xo b eht ni enil tegdub

reh warD .stnec 05 si rab ydnac a fo ecirp ehT .keew a skoo b cimoc 4 dna srab ydnac 01 dro�a tsuj osla dluoc ehS .keew a skoo b cimoc 8 dna srab ydnac 8 dro�a dluoc ehs ,ecnawolla eritne reh tne ps ymA fI )1( 5.2

. 0 01 $

? Y fo stinu 05 dna X fo stinu 001 dro�a yltcaxe

llits nac eh taht os esir ot evah emocni s’yhpruM dluow hcum woH )a( .4 ta deniamer Y fo ecirp ehT .3 ot 2 morf esor X fo ecirp ehT . Y fo stinu 05 dna X fo stinu 001 gnimusnoc saw yhpruM )1( 4.2

.84 = y6 + x3

.3 si x fo ecirp eht erehw tub

,enil tegdub emas eht uoy sevig taht noitauqe tegdub rehtona etirW ) f(

.61 = y2 + x

.1 si x fo ecirp

eht erehw ,enil tegdub siht uoy sevig taht noitauqe tegdub a etirW )e(

.8 ?yub uoy dluoc y hcum woh , y no emocni ruoy fo lla tne ps uoy fI )d(

. 61 ?yub uoy dluoc x hcum woh ,x no emocni ruoy fo lla tne ps uoy fI )c(

. 2/ 1

? y fo ecirp eht ot x fo ecirp eht fo oitar eht si tahW )b( E MA N

9

.0

?yub eh nac

settessac oediv ynam woh ,egabrag fo skcas orez stpecca dnumdE fI )a( .hcae 6$ mih tsoc settessac oediV .emocni fo ecruos rehto on sah eH .ecirp taht ta sehsiw eh sa egabrag hcum sa tpecca nac dnumdE .ti gnikat rof kcas re p 2$ mih yap elpoe p taht si egabrag eht stpecca eh taht nosaer ehT .nimrev detrossa dna staog yllib yb netae si ti erehw draykcab sih ni ti speek tub remrof eht tae yllautca t’nseod eH .settessac oediv kc or knup dna egabrag yleman ,seitidommoc owt semusnoc hcnetS dnumdE )0( 7.2

. oN ?egnahc eht erofe b saw ti naht tnere�id yna tes tegdub s’rannuG sI

= J3 + M2 + P

.081

.noitauqe tegdub wen s’rannuG nwod etirW )e(

. sn wo r c 0 8 1

?egnahc eht erofe b dro�a

dluoc eh taht seldnub ytidommoc emas eht dro�a ot elba yltcaxe e b ot mih rof e b ot evah ycnerruc wen eht ni emocni s’rannuG dluow tahW )d(

. sn wo rc 3

?maj fo ecirp eht si tahw ,ycnerruc wen eht fo smret nI )c(

. s nw or c 2

?sllabtaem fo ecirp eht

si tahw ,ycnerruc wen eht fo smret nI .tsap eht ni sa ylppa secirp evita -ler emas eht elihw ycnerruc wen eht fo tinu eno stsoc seotato p fo kcas A .eriaremun eht e b dluow seotato p taht hcus ,ycnerruc fo tinu wen a ecud ortni ot dediced saw ti eroferehT .snezitic ynam rof tluc�id ylgnitaic -urcxe seotato p rof gnippohs edam sihT .2 yb gniylpitlum ta doog ton era yeht tub ,elpoe p revelc yrev lareneg ni era yrtnuoc siht fo snezitic ehT )b(

.063 = J6 + M4 + P2

.raey a ni rannuG yb demusnoc maj fo sraj fo

re bmun eht rof J dna ,sllabtaem fo skcorc fo re bmun eht rof M ,seotato p fo skcas fo re bmun eht rof dnats P teL .raey re p snworc 063 fo emocni na sah ohw rannuG deman nezitic a rof noitauqe tegdub a nwod etirW )a( .raj re p snworc 6 stsoc maj dna ,kcorc re p snworc 4 tsoc sllabtaem ,kcas re p snworc 2 tsoc se otatoP .os ro sraey 05 tsal eht rof elbats ylba -kramer nee b evah secirP .maj dna ,sllabtaem ,seotato p :seitidommoc eerht ylno era ereht ,aeS citlaB eht raen yrtnuoc llams a nI )0( 6.2 )2 .hC(

T NIARTS N OC TEG D UB

01

sehceeps naici tiloP 001 57 05

52

0

52

05

57

001 sehceeps ro ta r tsinimdA

.keew re p 05$ fo noisne p a seviecer ttemmE ,sehcee ps gnimusnoc rof diap si eh tahw ot noitidda nI . X dooG ti llac llahs ew dna tinu re p 51$ stsoc ti taht uoy llet nac ew tub ,si doog taht tahw esolcsid ot ton deerga evah eW .yap tsum eh hcihw rof doog eno semusnoc ttemmE ).sesion edur gnikam morf niarfer ot ytiliba sih dna ecnarae ppa dehsiugnitsid sih fo esuace b serutcel cilbup ta sriahc ytpme ll� pleh ot dnamed taerg ni si ttemmE( .srotartsinimda ytisrevinu ot gninetsil rof ruoh re p 2$ dna snaicitilo p ot gninetsil rof ruoh re p 1$ diap si eH .srotartsinimda ytisrevinu dna snaicitilo p yb sehcee ps semusnoc ttemmE .ttemmE rehtorb sih redisnoc ,dd o si dnumdE kniht uoy fI )0( 8.2 se t tessac oediV 02 51

01

5

0

5 teS tegduB 01

eniL tegduB

51

02 egab raG

.tes tegdub sih ni edahs dna enil tegdub s’dnumdE warD )d(

.0 = G2 − C6

.enil tegdub sih rof noitauqe na nwod etirW )c(

.5

?yub

eh nac settessac oediv ynam woh ,egabrag fo skcas 51 stpecca eh fI )b( E MA N

11

.ygoloicos fo segap 06 dna scimonoce fo segap 03 daer osla dluoc ehs emit fo tnuoma emas eht nI .ygoloicos fo segap 03 dna scimonoce fo segap 04 daer ot emit sah ehS .ygoloicos dna scimonoce ni smaxe rof gniraperp si ahtraM )0( 01.2

.023 = M05 + W02

?dro�a dluoc eh taht yeksihw dna slaem tnaruatser

fo snoitanibmoc eht yb de�sitas e b tsum noitauqe tahW .keew re p seohs sinnet rengised fo riap eno yub lliw eh taht senimreted eh taht eso ppuS )c( W

T 02 5

8

M

.sixa hcae htiw tes tegdub eht fo snoitcesretni eht le baL .tes tegdub sih wohs ot margaid lanoisnemid-eerht a warD )b(

.004 = M05 + T08 + W02

.semusnoc

eh taht slaem tnaruatser temruog fo re bmun eht rof M dna ,seohs sinnet fo sriap fo re bmun eht rof sdnats T ,yeksihw fo seltto b fo re bmun eht rof sdnats W erehw ,nahtanoJ rof noitauqe tegdub a nwod etirW )a( .dne ps ot keew a 004$ sah nahtanoJ ,ynomila dna sexat sih diap sah eh retfA .laem re p 05$ si slaem tnaruatser temruog fo ecirp eht dna ,riap re p 08$ si seohs sinnet rengised fo ecirp eht ,eltto b re p 02$ si yeksihw fo dnarb s’nahtanoJ fo ecirp ehT .stnaruatser temruog hcnerF ni slaem dna ,seohs sinnet rengis -ed ,yeksihw hctocS dednelbnu ,sd oog eerht semusnoc nahtanoJ ”.sti -mil ytidommoc-owt gnin�noc esoht nworgtuo“ ,sdrow nwo sih ni ,sah eH .reywal suore psorp a si eippuY enotsgniviL nahtanoJ )0( 9.2 .keew re p X dooG fo stinu 01 demusnoc eh fi ttemmE rof elbisso p e b dluow taht sehcee ps fo sdnik owt eht fo snoitpmusnoc fo suc ol eht gniwohs margaid lanoisnemid-owt a ward ,evo ba hparg eht nO )b(

.05 = A2 − P1 − X51

.keew re p emusnoc

ot dro�a dluoc ttemmE taht )A( srotartsinimda ytisrevinu yb sehcee ps fo sruoh dna ,) P( snaicitilo p yb sehcee ps fo sruoh , X dooG ,seitidommoc eerht eht fo snoitanibmoc esoht gnitats noitauqe tegdub a nwod etirW )a( )2 .hC(

T NIARTS N OC TEG D UB

21

.tegdub sih naht erom on sdne ps eh fi hcaer nac eh sreywal dna s’ABM fo snoitanibmoc eht lla sedulcni hcihw ,tes tegdub eht le bal dna ,ni edahs ,hctekS .oN ?sexa eht ot yaw eht lla dnetxe enil siht seoD .tegdub gnisitrevda eritne sih sdne ps eh fi niatbo nac eh taht sbut toh htiw sreywal yb dna s’.A.B.M tnecer yb sgnidaer fo re bmun fo snoitanibmoc eht gniwohs ”enil tegdub“ a warD )d(

00 0, 4

yb dna s’.A.B.M tnecer

00 0, 8

.sbut toh htiw sreywal yb daer e b dluow da siH

.noitacilbup hcae no tegdub gnisitrevda sih fo flah tne ps eh eso ppuS )c(

00 0, 5

yb dna s’.A.B.M tnecer

0 00 ,6

.sbut toh htiw sreywal yb daer e b lliw da sih

,noitacilbup remusnoc eht no tegdub gnisitrevda eritne sih sdne ps eh fI )b( .sbut toh htiw sreywal yb dna s’.A.B.M tnecer

0 00 ,0 1

0 00 ,3

yb daer e b lliw da sih ,noitacil

-bup ssenisub eht no tegdub gnisitrevda eritne sih sdne ps yrraH fI )a( .rehto eht sdaer enizagam eno sdaer ohw ydo bon dna ,da eno naht erom sdaer ydo boN :4 tcaF .sbut toh nwo ohw sreywal 052 dna s’.A.B.M tnecer 003 yb daer e b lliw noitacilbup remusnoc eht ni da hcaE :3 tcaF .sbut toh htiw sreywal 003 dna s’.A.B.M tnecer 000,1 yb daer e b lliw enizagam ssenisub eht ni da hcaE :2 tcaF .hcae 052$ tsoc enizagam remusnoc eht ni sda dna hcae 005$ tsoc enizagam ssenisub gniro b eht ni sdA :1 tcaF .ainrofilaC ni devil yeht hsiw ohw elpoe p rof noitacilbup remusnoc ydnert a dna enizagam ssenisub gniro b a ,snoitacilbup owt ni gnisitrevda gniredisnoc si yrraH .sbut toh nwo ohw sreywal dna seerged .A.B.M fo stneipicer tnecer era tcudorp wen siht yub ot ylekil tsom elpoe p eht taht swohs hcraeser tekraM .ihsus detardyhed fo dnik wen a gnisitrevda no dne ps ot 000,5$ sah e pyH yrraH )1( 11.2

. s eg ap 0 5

?scimonoce gnidaer emit reh fo lla

dne ps ot dediced ehs fi daer ehs dluoc scimonoce fo segap ynam woH )b( ).enil eritne eht enimreted ot elba e b dluohs uoy os ,enil tegdub reh no stnio p owt evah ?scimonoce no enon dna ygoloicos no uoY :tniH( .segap 051 emit reh fo lla dne ps ot dediced ehs fi daer ehs dluoc ygoloicos fo segap ynam woh ,emit reh setac olla ehs woh no dne ped ton seod tcej bus rehtie fo daer nac ehs taht ruoh re p segap fo re bmun eht taht gnimussA )a( E MA N

31

nevig ,dro�a nac dloraH taht seldnub ytid ommoc eht fo lla gniniatnoc ”tes tegdub“ eht ni edahS .03 si emocni der esohw dna 01 si emocni eulb esohw dloraH deman naognuM a rof )kni eulb htiw( tegdub eulb eht dna )kni der htiw( tegdub der eht ward ,wole b hparg eht nO )a( .mug elbbub fo tinu re p sucr 6 dna aisorbma fo tinu re p )stinu ycnerruc der( sucr 2 era secirp der ehT • .mug elbbub fo tinu re p uc b 1 dna aisorbma fo tinu re p )tinu ycnerruc eulb rof sdnats uc b( uc b 1 era secirp eulb ehT • .ssel ot doog hcae fo erom referp snaognuM llA .mug elbbub dna aisorbma ,ognuM no sdoog remusnoc owt tsuj era erehT •

.ecilo p yratenom tneic�e dna sselhtur s’ognuM yb decrofne yltcirts si noitibihorp siht dna ,rehto eht rof yenom fo dnik eno edart ot neddibrof si tI ).tcej bo na yub ot sretsiger hto b ta yap ot evah uoy dna ,sretsiger hsac owt evah ylpmis spohs ehT( .yenom eulb ni ecirp yenom-eulb sti dna yenom der ni ecirp yenom -der s’tcej bo taht yap ot sah naognuM a ,tcej bo na yub ot redro nI .emocni eulb a dna emocni der a—semocni owt sah naognuM yrevE .ecirp yenom-eulb a dna ecirp yenom-der a—secirp owt sah ytidommoc yrevE .yenom der dna yenom eulb ,yenom fo sdnik owt evah yeht ,ognuM tenalp eht nO )0( 21.2 0001 x s reywaL 61 21

8

5

4

3

2

teS tegduB

0

4 6

b

8

c 01

a

enil tegduB

21

61 0001 x s'ABM

.2

?but toh a htiw reywal a yb

gnidaer lanoitidda na teg ot ec�ircas eh tsum s’.A.B.M yb sgnidaer ynam woh ,tegdub gnisitrevda dex� a htiW .61 = L2 + M noitauqe htiw enil eht no seil taht tnemges enil a si enil tegdub sihT .reywal a yb daer gnie b da na fo secnatsni fo re bmun eht rof dnats L dna .A.B.M na yb daer gnie b da na fo secnatsni fo re bmun eht rof dnats M teL )e( )2 .hC(

T NIARTS N OC TEG D UB

41

.sruo fo rehtie ekil yletomer si meht fo rehtien ,sexes owt sah ognuM hguoht -lA ”.ti“ ,nuonorp lartuen-redneg eht yb snaognuM lla ot refer eW ∗ ,e b lliw ti resahcrup fo dnik hcihw gniralced erofeB .egnahc ton od secirp taht dna ,mrofer siht retfa emocni emas eht sah dloraH taht eso ppuS .semocni der rieht ylno gnidne ps ,yenom der ni sesahcrup rieht fo lla ekam tsum sdeR .semocni eulb rieht ylno gnidne ps ,secirp eulb eht ta yenom eulb ni sesahcrup rieht fo lla ekam tsum seulB .lla ta gnihtyna syub ti erofe b )”deR“ a( resahcruP yenoM -deR a ro )”eulB“ a( resahcruP yenoM-eulB a rehtie e b ot flesti eralced tsum ognuM no enoyreve ,daetsnI .secirp hto b yap ot sah ydo bon tuB .emocni der a dna emocni eulb a evah lliw naognuM yreve dna ,ecirp der a dna ecirp eulb a evah lliw doog yreve ,seicnerruc owt evah ot eunitnoc lliw ognuM .emehcs gniwollof eht eso porp yehT .ksa yeht ”?gnihtyreve rof secirp owt yap ot evah enoyreve dluohs yhW“ .riafnu era selur ycnerruc eht taht eveile b ognuM no sremrofer cimonoce lacidar fo puorg A )c(

.e n il te gd ub de r eh t e di s ni yl tc ir t s eb t su m en o , s te gdu b h to b y fs it as ot os , en i l te gd u b de r eh t ed is tu o y l tc ir ts se i l e ni l t e gd ub eu l b eh T ).senil tegdub s’sydalG warD :tniH( .e b yam setsat sti tahw rettam on emocni eulb eritne sti dne ps ton lliw sydalG taht si ti woh nialpxE .02 fo emocni eulb a sah sydalG tub ,dloraH sa emocni der emas eht sah dna secaf dloraH taht secirp emas eht secaf ,sydalG ,naognuM rehtonA )b( aiso rbmA 02 51

01

5

0

eniL deR 5 seniL eulB

01

51

02 muG

.sdo og fo eldnub a fo tsoc yenom-der eht dna tsoc yenom-eulb eht hto b yap ot yenom der hguone dna yenom eulb hguone evah ot sah dloraH ,re bmemeR .stniartsnoc tegdub owt ∗sti E MA N

51

.t eg du b ek at n i- lo ho c la n a ro te gd ub lo re ts e lo hc a r o te g du b e ir ol ac a ev ah y am el p oe p- -s e lp ma xe r eh t O .t eg du b y en om a d na t e gd ub em it a y fs it a s y ls uoen a tl um is ot e v ah el po eP .y e no m sa l le w sa em it s ek at s ei ti d om mo c y na m fo n oi tp m us no C

?gnimusnoc nehw

pu esu elpoe p taht ecruoser ecracs ylno eht yenom sI ?tniartsnoc tegdub eno naht erom yfsitas ylsuoenatlumis tsum elpoe p erehw htrae no snoitau -tis fo kniht uoy naC ?luficnaf os yllaer stegdub naognuM erA )0( 31.2

aiso rbmA 02 51

01

5

0

eniL deR 5 eniL eulB

01

51

02 muG .seldnub elbaniatta eht fo lla ni edahs ,wole b margaid eht nO .yenom der htiw ti gniyub dna ”deR“ a e b ot flesti gniralced yb eldnub eht dro�a nac dloraH fi ro yenom eulb htiw eldnub eht gniyub dna ”eulB“ a e b ot flesti gniralced yb ti dro�a nac dloraH fi ”elbaniatta“ eldnub ytidommoc a llac su teL .rehto eht ro noitaralced eno gnikam yb dro�a dluoc ti taht seldnub ytidommoc fo tes eht setalpmetnoc dloraH )2 .hC(

T NIARTS N OC TEG D UB

61

hctarcs no sgniward emos gnikam yb siht fo flesruoy ecnivnoc dluohs uoY .ti gnola thgir eht ot evom uoy sa ylpeets erom reve drawpu se pols evruc ecnere�idni eht taht e b tsum ti ,esac eht e b ot siht roF .stnio pdne eht ot derreferp era )stnio pdne eht tpecxe( enil eht no stnio p eht lla ,evruc ecnere�idni emas eht no stnio p owt yna neewte b enil a ward uoy fi taht e b tsum ti neht ,secnereferp xevnoc yltcirts sah atsacoJ fI .ti wole b ro no stnio p eht fo lla ot evruc ecnere�idni siht evo ba stnio p eht lla sreferp ehs taht e b tsum ti ,gninaelcesuoh setah dna gnicnad sevol ehs esuaceB .gnipols drawpu e b tsum atsacoJ rof evruc ecnere�idni na oS .gnicnad artxe eht fo erusaelp eht rof etasne pmoc tsuj dluohs gnipeekesuoh artxe eht fo niap ehT .gninaelcesuoh erom dna gnicnad erom did ehs erehw stnio p e b ot evah dluow tnio p siht ot tnere�idni e b dluow taht stnio p rehtO .gninaelcesuoh emit on dna gnicnad yad a sruoh 4 sdne ps ehs ,tnio p siht tA .ti ot txen 4 a etirw dna sixa lacitrev eht pu syaw elttil a tnio p a kraM ”.gnicnad fo yad re p sruoH“ sixa lacitrev eht le baL ”.gninaelcesuoh fo yad re p sruoH“ sixa latnoziroh eht le baL .sexa fo riap a ward dna re pap hctarcs fo eceip a ekaT .e pahs rieht tuo ba sgniht emos enimreted ot noitamrofni hguone si ereht tub ,og sevruc ecnere�idni reh erehw yltcaxe su llet ot ereh noitamrofni hguone ton si erehT .secnereferp reh htiw tnetsisnoc si taht evruc ecnere�idni na ward ot yrt su teL .si ehs yppah ssel eht ,esuoh gninaelc sdne ps ehs emit erom eht tub ,gnicnad fo derit steg reven dna ytivitca rehto yna ot gnicnad sreferp ehS .secnereferp xevnoc yltcirts sah ehS .gninaelcesuoh setah dna ecnad ot sevol atsacoJ :e lpmaxE .ti hguorht evruc ecnere�idni na ward dna werd uoy eno tsr� eht ot derreferp si taht tnio p rehtona kcip woN .evruc ecnere�idni eno uoy sevig sihT .melborp eht yb deriuqer serutaef eht stce�er ward uoy enil eht fo e pahs eht taht erus gnikam ,stnio p hcus gnitcennoc evruc a ward ,elbisso p fI ”?tnio p siht ot tnere�idni dn� remusnoc eht dluow hparg eht no stnio p rehto tahW“ ,flesruoy ksa dna hparg ruoy no tnio p a kram neht ,meht le bal dna re pap hctarcs no sexa emos warD ”.eld ood dna kniht“ ot si srewsna dn� ot wonk ew yaw tse b ehT .koo btxet ruoy ni erehwemos gnidih srewsna eht dn� lliw uoy taht tce pxe t’nod dna ,melborp a ta kool uoy nehw rewsna eht ees yletaidemmi tonnac uoy fi detnio ppasid ro desirprus e b t’noD .thguoht erom elttil a seriuqer sihT .noitamrofni siht htiw tnetsisnoc era taht sevruc ecnere�idni hcteks ot uoy ksa dna secnereferp s’remusnoc eht tuo ba noitamrofni ”evitatilauq“ ylno uoy evig ew ,smelborp emos ni tuB .noitauqe nwonk a hparg si od ot evah uoy lla nehT .evruc ecnere�idni eht rof alumrof a uoy evig ew semitemoS .sevruc ecnere�idni ward ot uoy ksa smelborp eht fo tsoM .hparg fo dnik emas eht no secnereferp s’remusnoc eht tuo ba noitamrofni tup ot nrael uoy ,noitces siht nI .dro�a nac remusnoc a taht seldnub ytidommoc fo tes eht wohs ot shparg esu ot woh denrael uoy noitces suoiverp eht nI .noitcudortn I

secnereferP E MA N

3 retpahC

.seldnub eseht ot )5 ,02( sreferp ylkaew eilrahC taht hcus seldnub ytidommoc fo tes eht ni edahs ot kni eulb esU .)51 ,01( eldnub eht ot sreferp ylkaew eilrahC taht seldnub ytid ommoc fo tes eht ni edahs ot licne p esU )b( .)51 ,01( tnio p eht hguorht gnissap evruc ecnere�idni eht rof ,kni der gnisu ,emas eht oD .kni eulb gnisu ,evruc siht hcteks dna ,)5 ,02( tnio p eht hguorht sessap taht evruc ecnere�idni eht no eil taht stnio p lareves tolp ,wole b hparg eht nO )a( . Ax/051 = Bx taht hcus seldnub fo tes eht si )51 ,01( eldnub eht dna ) Bx , Ax( neewte b tnere�idni tsuj si eilrahC taht hcus ) Bx , Ax( seldnub fo tes ehT . Ax/001 = Bx taht hcus seldnub lla fo tes eht si )5 ,02( dna ) Bx , Ax( neewte b tnere�idni si eilrahC taht hcus ) Bx , Ax( seldnub noitpmusnoc fo tes eht taht sne ppah tI .sananab fo slehsub 5 dna selppa fo slehsub 02 demusnoc eilrahC ,raey tsaL .) Bx , Ax( sa nettirw si raey re p sananab fo slehsub Bx dna raey re p selppa fo slehsub Ax semusnoc eilrahC erehw eldnub noitpmusnoc ehT .esle gnihton semusnoc eH .sananab dna selppa hto b sekil eilrahC )0( 1.3 .etelpmoc si ti rehtehw dna ,evixe�er si ti rehtehw ,evitisnart si sgniht fo sriap neewt -e b noitaler rehto yna ro noitaler ecnereferp a rehtehw enimreteD • ”.noitutitsbus fo etar lanigram gnihsinimid“ stibihxe evruc ecnere�idni na rehtehw enim -reted ot elba e b dna si noitutitsbus fo etar lanigram eht tahw wonK • .xevnoc era secnereferp rehtehw dna stes xev -noc era eseht rehtehw enimreted dna stes derreferp ylkaew yfitnedI •

.sdoog erom ro eno fo ”hcum oot“ teg nac ohw tub tnio p a ot pu sdoog sekil ohw enoemos rof sevruc ecnere�idni warD • .seitidom -moc hto b ro eno sekilsid ohw enoemos rof sevruc ecnere�idni warD •

.stnemelpmoc tcefre p dna setutitsbus tcefre p fo sesac laice ps eht rof sevruc ecnere�idni warD •

.sevruc ecnere�idni c�ice ps nevig ,meht neewte b tnere�idni si ro rehtona ot eldnub eno sreferp remusnoc a rehtehw enimreteD •

.evruc eht no tnio p yna ta e pols sti dn� dna ,evruc siht ward ,evruc ecnere�idni na rof alumrof eht neviG •

:gniwollof eht od ot elba e b lliw uoy taht e poh ew ,tuokrow siht detelpmoc evah uoy nehW .thgir eht ot sevom eno sa re peets gnitteg dna )4 ,0( tnio p eht hguorht gnissap evruc gnipols-drawpu na warD .re pap )3 .hC(

SEC NEREFERP

81

.tnio p taht ta

n oi tu ti t sb us

fo

e ta r

lanigram sih sa nwonk

si ,) Bx , Ax( ,tnio p a hguorht evruc ecnere�idni s’eilrahC fo e pols ehT )j(

.o N

?tes

xevnoc a )5 ,02( ot roirefni sredisnoc eilrahC taht seldnub fo tes eht sI )i(

.s eY

?tes xevnoc a )5 ,02( ot sreferp

ylkaew eilrahC taht seldnub fo tes eht sI .tes eht ni osla si meht neewte b tnemges enil eht ,tes eht ni stnio p owt yna rof fi xevnoc si tes A )h(

.)51 ,01( ∼ )5 ,03( )c(

. eu rT

.)5 ,02( � )51 ,01( )d(

.e ur T

.)01 ,01( � )5 ,02( )e(

. eu rT

.)1.9 ,11( � )4 ,42( ) f(

.e sl aF

.)94 ,2( � )41 ,11( )g(

. eu rT

”.eslaf“ ro ”eurt“ etirw ,secnereferp s’eilrahC tuo ba stnemetats gniwollof eht fo hcae roF selppA 04 03

02

01

0

gnidahS eulB 01

ev ruC eulB

02 gnidahS licneP ev ruC deR

03

04 sananaB

E MA N

91

.3/2−

).e pols eht etamitse dna

ylluferac margaid ruoy ward ot evah lliw uoy ,suluclac wonk t’nod uoy fI .evruc a fo e pols eht etaluclac ot yaw eht suluclac morf llaceR :tniH( ?)8 ,9( tnio p eht ta evruc ecnere�idni s’esorbmA fo e pols eht si tahW )c(

. se Y

?tes xevnoc

a )61 ,1( ot sreferp esorbmA taht seldnub fo tes eht sI .seldnub eseht ot )0 ,63( sreferp ylkaew esorbmA taht hcus ) 2x , 1x( seldnub ytidommoc lla fo tes eht ni edahs ot kni der esU .)61 ,1( eldnub eht ot sreferp ylkaew esorbmA taht seldnub ytid ommoc fo tes eht ni edahs ot licne p esU )b( .)0 ,63( tnio p eht hguorht gnissap evruc ecnere�idni eht rof ,kni der gnisu ,emas eht oD .kni eulb gnisu ,evruc siht hcteks dna ,)61 ,1( tnio p eht hguorht sessap taht evruc ecnere�idni eht no eil taht stnio p lareves tolp ,wole b hparg eht nO )a( . 1x 4 − 42 = 2x dna 0 ≥ 2x ,0 ≥ 1x taht hcus seldnub fo tes eht si )0 ,63( √ ∼ ) 2x , 1x( taht hcus ) 2x , 1x( seldnub fo tes ehT . 1x 4 − 02 = 2x dna √ ,0 ≥ 2x ,0 ≥ 1x taht hcus seldnub fo tes eht si )61 ,1( dna ) 2x , 1x( neewte b tnere�idni si esorbmA taht hcus ) 2x , 1x( seldnub noitpmusnoc fo tes ehT .) 2x , 1x( sa nettirw si keew re p seirre b fo stinu 2x dna keew re p stun fo stinu 1x semusnoc esorbmA erehw eldnub noitpmusnoc ehT .sdoog hto b sekil eh ,yletanutroF .seirre b dna stun ylno semusnoc esorbmA )0( 2.3

. se Y

?noitutitsbus fo etar lanigram gnihsi

-nimid tibihxe eilrahC rof nward evah uoy sevruc ecnere�idni eht oD )n(

.)52.−(

?)5 ,02( tnio p eht ta noitutitsbus fo etar lanigram sih si tahW )m(

.4−

?)02 ,5( tnio p eht ta noitutitsbus fo etar lanigram sih si tahW )l(

.1−

.)01 ,01(

,tnio p eht ta noitutitsbus fo etar lanigram s’eilrahC dniF ).siht rof drow ruo ekat ot evah lliw uoy ,suluclac wonk t’nod uoy fI( . A2x/001− si esac siht ni hcihw ,evitavired sti tsuj si evruc a fo e pols eht taht re bmemer lliw suluclac wonk ohw uoy fo esohT . Ax/001 = Bx noitauqe eht sah )01 ,01( tnio p eht hguorht evruc ecnere�idni s’eilrahC taht re bmemeR )k( )3 .hC(

SEC NEREFERP

02

.sevruc ecnere�idni eseht ward ot kni eulb esU .ree b fo snac ecnuo-8 dna snac ecnuo-61 neewt -e b sevruc ecnere�idni s’yelrihS fo emos ward ,wole b hparg eht nO )a(

.sah ehs ree b hcum woh tuo ba serac ylno ehs ,ni semoc ree b taht snac eht fo ezis eht tuo ba erac t’nseod ehs os ,rotaregirfer gib a dna bmuht gnorts a sah ehS .VT no ”amarelwoB fo tseB ehT“ gnihctaw elihw gnineve hcae ree b gniknird fo tibah eht ni si kcapxiS yelrihS )0( 3.3

.s eY

?secnereferp xevnoc evah esorbmA seoD )g(

. se Y

?noitutitsbus fo etar lanigram gnihsi

-nimid tibihxe esorbmA rof nward evah uoy sevruc ecnere�idni eht oD ) f(

3/2−

.1−

?)61 ,4( tnio p eht ta

?)21 ,9( tnio p eht ta evruc ecnere�idni sih fo e pols eht si tahW )e(

s tu N 04

03

02

ev ruC eulB

01

0

gnidahS deR 01

ev ruC deR gnidahS licneP

02

03

04 sei r reB

.1−

?)21 ,4( tnio p eht ta evruc ecnere�idni sih fo e pols eht si tahW )d( E MA N

12

.sdn� eh tahw tuo ba secnereferp s’omlE e bircsed taht sevruc ecnere�idni emos ward ot si ksat ruoy ,stekc o p sih sehcraes omlE elihW .rette b eht ,yub nac eh erom eht ;tekco p sih ni egnahc eht htiw yub ot elba e b lliw eh sknird tfos ynam woh si tuo ba serac eh gniht ylno eht taht ytsriht os si omlE .thgis ni si eno on ;ne po era serots oN .enihcam eht fo tuo emoc gnihtyna ekam lliw snioc fo noitanibmoc rehto oN .emid a dna sretrauq owt—egnahc tcaxe seriuqer enihcam ekoC ehT .yadnuS ytsud dna toh a no enihcam ekoC a ta flesmih sdn� omlE )0( 4.3

.sevruc ecnere�idni s’eniarroL fo emos ward ot kni der esu ,evo ba hparg eht nO ).ree b gnitsaw tuo ba selpurcs larom on sah ehS( .knis eht otni ssecxe eht sruo p ehs nac eht ni secnuo 8 naht erom si ereht fi ,ree b elats setah ehs dna ree b ekil t’nseod tac reh ecniS .emit eno yna ta ree b fo ssalg ecnuo-8 na flesreh swolla ylno ehS ”.ertaehT eceipretsaM“ sehctaw ehs elihw ree b a evah ot sekil ehciuQ eniarroL )b(

ecnuo-61 8

6

4

2

0

2

seniL deR

4 seniL eulB

6

8 ecnuo-8

)3 .hC(

SEC NEREFERP

22

hparg ruoy ward ,yticilpmis roF( .tekc o p sih ni semid dna sretrauq neewt -e b sevruc ecnere�idni s’omlE fo owt ro eno ward ot kni kcalb ro licne p esu ,evo ba hparg eht nO .yadrutaS no erotsgurd eht ta ekoC no tekco p sih ni yenom eht fo lla dne ps ot snalp omlE taht eso ppuS .tnemyap ni sretrauq dna semid fo noitanibmoc yna ekat lliw nosre pselas ehT .ecnuo na stnec 4 fo ecirp a ta tnaw uoy sa ekoC hcum sa uoy lles lliw taht niat -nuof ad os a sah erotsgurd sihT .ne po nee b evah dluow teerts eht ssorca erotsgurd eht ,yadrutaS a no enihcam ekoC eht ta devirra dah omlE fI ) f(

.o N .oN

?tnio p ssilb a evah omlE seoD )e(

?ssel ot yenom fo sdnik hto b fo erom referp syawla omlE seoD )d(

.s eY ?sretrauq dna semid neewte b secnereferp xevnoc evah omlE seoD )c( .sevruc ecnere�idni ton ”,sdnab“ ecnere�idni sah omlE taht ecitoN .semid 2 dna sretrauq 4 gnivah ot tnere�idni tsuj era skniht omlE taht snoitanibmoc lla fo gnitsisnoc aera eht ni edahs ot kni eulb esu woN ).enihcam eht ni ssel -esu e b dluow yeht ,esruoc fo ,tub ,semid fo ro sretrauq fo snoitcarf evah ot omlE rof elbisso p si ti taht enigamI( .emid 1 dna sretrauq 2 gnivah ot tnere�idni tsuj era skniht omlE taht semid dna sretrauq fo snoitanib -moc lla fo gnitsisnoc hparg eht no aera eht ni edahs ot kni der esU )b(

.2 ?semid 2 dna sretrauq 4 sah eh fi yub eh nac sknird tfos ynam woH .knird tfos 1 yub nac eh ,stekco p sih ni emid a dna sretrauq 2 sah omlE fI )a( s re t rau Q 8 6

4

2

senil kcalB

0

2

4 gnidahs eulB

gnidahs deR

6

8 semi D

E MA N

32

.si ehs reippah eht ,noitanibmoc etirovaf reh ot si ehs resolc ehT .keew re p gnitad fo sruoh 51 dna gniyduts fo sruoh 02 si hcihw ,noitanibmoc etirovaf reh dnuora selcric cirtnecnoc era gnitad tne ps keew re p sruoh dna gniyduts tne ps keew re p sruoh neewte b sevruc ecnere�idni reh tcaf nI .gnitad emit emos dna gniyduts emit emos dne ps ot sekil emoshtooT yssolF )0( 6.3

scimonoce gniydu ts s ruoH 8 6 4

2

0

2

4 noi tce rid ecne refe rP

6

8 y ro tsih gniydu ts s ruoH

.r ep ee t S

?meht fo eno gnola thgir ot tfel

morf evom uoy sa retta� ro re peets teg sevruc ecnere�idni s’ydnaR oD )b(

.e v it ag eN

?evitagen

ro evitiso p e b evruc ecnere�idni na fo e pols eht lliW .yrotsih gniyduts tne ps keew re p sruoh dna scimonoce gniyduts tne ps keew re p sruoh era seitid ommoc owt eht erehw ydnaR rof evruc ecnere�idni na hctekS )a( .secnereferp xevnoc yltcirts sah ydnaR tuB .si eh yppah ssel eht ,tcej bus rehtie gniyduts sdne ps eh emit erom ehT .yrotsih dna scimonoce hto b gniyduts setah kcaptaR ydnaR )0( 5.3

.5.2− epols htiw stnemges eniL

.sdrow ni sevruc

ecnere�idni wen eseht e bircseD ).eulav rieht fo noitcarf gnidno pserroc eht ta detpecca era semid lanoitcarf dna sretrauq lanoitcarf s’omlE fi sa )3 .hC(

SEC NEREFERP

42

ekac e talocohC 01

noi tce rid ecne refe rP sev ruc deR

sev ruc eulB

mae rc ecI

.maerc eci dna ekac fo stnuoma tnere�id htiw setalp neewte b secnereferp reh gnitciped sevruc ecnere�idni emos ward ot kni der esu ,wole b hparg eht nO .tnaw t’nse od ehs taht etalp reh no gnihtyna evael ot reh wolla stnerap reh taht tub ,erofe b sa era secnereferp s’naoJ taht eso ppuS )a( .sexa eht le bal ot erus eB .maerc eci dna ekac fo stnuoma tnere�id htiw setalp neewte b secnereferp reh tciped taht sevruc ecnere�idni fo tes a ward ot kni eulb esu ,wole b sexa eht nI .etalp reh no tup gnihtyreve tae ot reh eriuqer stnerap s’naoJ .ssel ot maerc eci erom sreferp syawla naoJ .yppah ssel reh sekam ekac erom gnitae dna ,ekac fo derit steg ehs ,ekac fo secils 01 retfa tub ,maerc eci dna ekac etaloc ohc sekil naoJ )0( 7.3 gniydu ts s ruoH 04 03

02

01

0

)3,52( )8,03(

01 )51,02( 02

noi tce rid ecne refe rP

03

04 gni tad s ruoH

.referp dluow yssolF evo ba dessucsid snoitacolla emit owt eht fo hcihw etartsulli ot margaid ruoy esu dna sevruc ecnere�idni s’yssolF fo wef a ward ,wole b sexa eht nO )b( )?enalp eht ni stnio p owt neewte b ecnatsid eht rof alumrof eht re bmemeR :tniH( .seY ?keew a sruoh 8 gnitad dna keew a sruoh 03 gniyduts e b ot referp ehs dluoW .keew a sruoh 3 gnitad dna keew a sruoh 52 gniyduts yltnerruc si yssolF taht eso ppuS )a( 52

E MA N

.s eY

?snoitanibmoc eseht

revo secnereferp xevnoc evah ycnaN seoD .05 = 2x dna 06 = 1x sa llew sa yltcaxe sekil ycnaN taht snoitanibmoc eht gniwohs evruc ecnere�idni na ward ot kni eulb esu oslA .07 = 2x dna 02 = 1x sa llew sa yltcaxe sekil ycnaN taht smaxe noce reh no serocs fo snoitanibmoc eht fo lla gniwohs evruc ecnere�idni na ward ot kni eulb esu ,evo ba hparg eht nO )e(

.) 05 , 06 (

?05 = 2x

dna 06 = 1x ro 07 = 2x dna 02 = 1x ,referp ycnaN dluow serocs fo noitanibmoc hcihW .mretdim dnoces eht no erocs reh e b 2x dna mretdim tsr� eht no erocs reh e b 1x teL .eno rehgih eht sdracsid nretS rosseforP ,edarg rewol eht gnidracsid fo daetsnI .smretdim owt sevig nretS rosseforP .nretS rosseforP morf scimonoce ni esruoc a gnikat osla si ycnaN )d( m re tdim ts rif no eda rG 08 06 04

02

0

noi tce rid ecne refe rP 02 sev ruc eulB sev ruc deR

04

06

08 m re tdim dnoces no eda rG

. oN

?snoitanibmoc eseht revo secnereferp xevnoc evah ycnaN seoD )c(

.06 = 2x dna 06 = 1x sa hcum sa yltcaxe sekil ycnaN taht snoitanibmoc eht gniwohs evruc ecnere�idni na ward ot kni der esu oslA .07 = 2x dna 02 = 1x sa hcum sa yltcaxe sekil ycnaN taht serocs fo snoitanibmoc eht fo lla gniwohs evruc ecnere�idni na ward ot kni der esu ,wole b hparg eht nO )b(

. ) 07 ,0 2(

?06 = 2x dna 06 = 1x ro

07 = 2x dna 02 = 1x ,referp ycnaN dluow serocs fo noitanibmoc hcihW .mretdim dnoces eht no erocs reh e b 2x dna mretdim tsr� eht no erocs reh e b 1x teL .esruoc siht ni edarg reh ezimixam ot stnaw renreL ycnaN )a( .edarg esruoc eht setaluclac eh nehw smretdim eht no steg tneduts a taht serocs owt eht fo rehgih eht sesu ylno eH .ssalc snoitacin -ummoc sih ni smretdim owt sevig syawla traehdo oG rosseforP )0( 8.3 )3 .hC(

SEC NEREFERP

62

. 01 $

? �uts rehto no dne ps ot

yad re p evah eh seod yenom hcum woh ,no on ta hcnul stae hplaR fI )a( ).sruoh fo sre bmun regetni sa llew sa sruoh fo snoitcarf rof eurt si sihT( .t − 5$ fo ecirp a rof ti yub nac eh ,noon erofe b sruoh t hcnul sih stae eh fi ylralimiS .t − 5$ fo ecirp a rof hcnul sih yub ot elba si eh ,noon retfa sruoh t litnu hcnul sih syaled eh fI .5$ stsoc noon ta hcnuL .�uts rehto dna hcnul no dne ps ot yad a srallod 51 sah hplaR .renid lacol sih yb detomorp ”srehcnul etal“ dna ”slaice ps drib ylrae“ eht gnidnetta yb sdo og noitpmusnoc rehto yub nac eh os yenom evas ot sekil osla eh ,revewoH .noon 21 ta hcnul tae ot sekil digiR hplaR )2( 01.3

. s eY sodacovA 04 03

?secnereferp xevnoc evah yraM seoD )d(

02

01

0 54 01

2/1- epolS

02 2- epolS 03

04 s tiu rfepa rG

.)G02 ,A02( hguorht evruc ecnere�idni rehtona warD .)G01 ,A01( eldnub hguorht yraM rof evruc ecnere�idni na ward ,hparg siht nO )c( .odac ova eno teg ot )s(tiurfe parg

2 /1

pu evig ot gnilliw tsuj si ehs ,sodacova naht stiurfe parg rewef sah ehs nehw taht snaem sihT .2/1− si sodacova naht stiurfe parg rewef sah ehs erehw stnio p ta evruc ecnere�idni na fo e pols eht ,hparg emas eht nO )b( .odacova eno teg ot )s(tiurfe parg

2

pu

evig ot gnilliw si ehs ,sodacova naht stiurfe parg erom sah ehs nehw taht snaem sihT .2− si sodac ova naht stiurfe parg erom sah ehs erehw tnio p yna hguorht evruc ecnere�idni na fo e pols eht ,wole b hparg eht nO )a( dna stiurfe parg ,sdoog owt emusnoc ot sevol alonarG yraM

.sodacova )0( 9.3

E MA N

72

sregrubeseehC 04 03 02

01

0

01 02 03 04 ekoC yrrehC .wole b detciped si yrneH rof evruc ecnere�idni lacipyt A .keew a sekoC yrrehC 02 dna sregrubeseehc 02 gnimusnoc yltnerruc si revonaH yrneH )0( 11.3 emiT 2

1

21

11

01 0

5

01

51

02 yenoM

.M.A 11 ta hcnul sih tae ot gnisoohc hplaR htiw tnetsisnoc e b dluow taht sevruc ecnere�idni emos ward ,hparg emas siht nO .dro�a tsuj nac hplaR taht �uts rehto rof yenom dna emit laem fo snoitanibmoc swohs taht enil nekorb eht ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO )c(

. 21 $

?.M.P 2 ta

eta eh fi �uts rehto rof tfel evah eh dluow yad re p yenom hcum woH )b( )3 .hC(

SEC NEREFERP

82

seikooC 61

51 41 31 21

11 01

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

)1,31( 1 2 3

)4,8(

4 5 6

)7,2(

7 8 9 01 11 21 kliM

.yrots siht htiw tnetsisnoc era taht ymmoT rof sevruc ecnere�idni emos ward ot kni kcalb esU )a( .dednamed rehtom sih tahw naht rette b mih no decrof retsis sih taht teid eht dekil eh taht timda ot dah eh ,rehtom sih ot retal denialpmoc ymmoT hguohtlA .klim erom rof degge b dna tae mih edam ehs taht seikooc 5 tsal eht tuo ba ylrettib denialpmoc ymmoT taht tcaf eht etipsed ,klim fo ssalg 1 mih evag ylno dna seikooc 31 tae mih edam retsis citsidas s’ymmoT ,enog saw rehtom sih nehw yad enO .yad re p seiko oc 2 mih swolla ylno dna klim fo sessalg 7 knird mih sekam rehtom siH .�o rette b mih sekam erom mih gnivig ,d oof rehtie fo tnuoma etirovaf sih naht ssel sah eh revenehW .�o esrow mih sekam erom llits mih gnivig ,doof rehtie fo tnuoma etirovaf sih naht erom sah eh revenehW .yad re p klim fo sessalg 4 dna seikooc 8 sah eh nehw tseippah si tiwT ymmoT )1( 21.3

. ek oC 1 r of s re gr ub e se eh c 2

?level noitpmusnoc tnerruc

sih ta tup yats ot gnilliw e b yrneH dluow egnahcxe fo etar tahw tA )c(

. se Y

?re�o siht tpecca eh dluoW .ekoC artxe na teg dluow eh ,pu evag

yrneH regrubeseehc yreve rof :dnuora yaw rehto eht erew ti fi tahW )b(

.o N

?siht od ot tnaw yrneH dluow ,pu evag eh ekoC

yreve rof regrubeseehc artxe eno yrneH edart ot dere�o enoemos fI )a( E MA N

92

?etelpmoc secnereferp wen s’dioretS hcaoC erA ) f(

.o N

?evitisnart secnereferp wen s’dioretS hcaoC erA )g(

.s eY

”.elbarapmoc ton era B dna A“ syas ylpmis dioretS hcaoC ,sesac rehto lla nI .tneide bo yllauqe era dna ,tsaf yllauqe era ,emas eht hgiew yeht fi B dna A neewte b tnere�idni si eH .sgniht eerht lla ta rette b si B reyalp fi A ot B sreferp eh dna ,seulav dioretS taht scitsiretcarahc eht fo eerht lla ni rette b si A reyalp fi B reyalp ot A reyalp sreferp dioretS ,secnereferp wen sih ot gnidroccA .sreyalp gnigduj fo yaw sih egnahc ot sediced dioretS hcaoC ,snosaes gnisol lareves retfA )e(

. oN

?secnereferp evitisnart evah dioretS hcaoC seoD )d(

. es u oh gn it s eW o t i zz uc a J s re fe rp eH

?asrev eciv ro izzucaJ ot esuohgnitseW referp dioretS se oD )c(

. iz zu ca J o t tn io pt o H s re fe rp eH

?asrev eciv ro izzucaJ ot tnio ptoH referp dioretS seoD )b(

. t ni op to H o t e su o hg ni ts e W s re fe rp eH

?asrev eciv ro tnio ptoH ot esuohgnitseW referp dioretS seoD )a(

.tneide bo ylemertxe si dna ,dee ps egareva ta snur ,sdnuo p 051 shgiew izzucaJ yrreJ .tneide bosid yrev si dna ,tsaf yrev snur ,sdnuo p 042 shgiew tnio ptoH dloraH .tneide bo ylriaf si dna ,ylwols yrev snur ,sdnuo p 043 shgiew esuohgnitseW rubliW .meht neewte b tnere�idni si dioretS ,esiwrehtO .A ot B sreferp dioretS neht ,scitsiretcarahc eerht eseht fo owt ni A naht rette b si B fi tub , B ot A sreferp dioretS hcaoC neht ,scitsiretcarahc eerht eseht fo owt ni B reyalp naht rette b si A reyalp fI .tneide bo dna ,tsaf ,gib e b ot sreyalp sih sekil dioretS hcaoC )0( 31.3 ).1 = | 2x| + | 1x| taht hcus ) 2x , 1x( stnio p fo sucol eht fo hparg a ward dna re pap parcs fo eceip a ekat uoy taht tseggus ew ,sevruc ecnere�idni s’tiwT .srM ward ot yrt uoy erofeB :tniH( .noitpmusnoc s’ymmoT rof sevruc ecnere�idni s’tiwT .srM fo wef a hcteks ot evo ba hparg eht ni kni eulb esU .si ymmoT skniht ehs �o esrow eht ,si D regral ehT .|c − 2| + |m − 7| = D yb eldnub lamitpo eht morf erutraped sih serusaem ehs ,)m ,c( ,yas ,eldnub rehto emos semusnoc ymmoT fI .seulav etulosba yb snoitaived serusaem ehS .seiko oc 2 dna klim fo sessalg 7 si emusnoc ot mih rof tnuoma lamitpo eht taht seveile b rehtom s’ymmoT )b( )3 .hC(

SEC NEREFERP

03

. B ∼ A )a(

.e u rT

.A ∼ B )b(

.e u rT

.eslaf fo eurt si ti rehtehw enimreted snoisserpxe gniwollof eht fo hcae roF .to p eht ni ee�oc fo snoo psaet 5.51 gnisu dewerb saw C puc dna to p eht ni ee�oc fo snoo psaet 57.41 gnisu dewerb saw B puC .to p eht ni ee�oc fo snoo psaet 41 gnisu dewerb saw A puC .to p puc-xis ’snoslO eht ni dewerb lla C dna , B ,A spuc dere�o si noslO taht eso ppuS . B dna A spuc neewte b ecnere�id eht llet t’nac noslO fi B ∼ A etirw su teL .meht neewte b ecnere�id eht llet t’nac ro , B ot A sreferp rehtie noslO fi B � A etirw su teL . B puc ot A puc sreferp noslO fi B � A etirw su tel ,ee�oc fo spuc tnere�id owt era B dna A erehW .to p re p noo psaet eno naht rellams secnere�id hsiugnitsid tonnac eh tuB .ti did ehs taht llet nac noslO ,to p puc-xis reh ni noo psaet eno naht erom yb ee�oc fo tnuoma eht segnahc ehs fi taht derevocsid sah noslO .srM ,sraey eht revO .secnere�id llams hsiugnitsid t’nac eh tuB .rette b eht regnorts eht ,ee�oc gnorts sekil noslO )0( 51.3

. oN

?evitisnart ,gni

-tov yb denimreted sa ”,secnereferp evitcelloc“ s’ylimaf raeB eht erA )d(

.renniw eht susrev yenoH ne ht ,s kc o li dl oG s u sr ev s bu rG

?rennid rof doof

etirovaf sih teg ot stnaw eh fi tseggus raeB ybaB dluohs redro tahW )c(

. sb u rG

?nesohc steg hcihW .sburg .sv renniw eht neht

dna skcolidloG .sv yenoh redisnoc yeht taht daetsni stseggus amaM )b(

. sk co l id lo G ?nesohc e b lliw evitanretla hcihW .skcolidloG .sv tsetnoc taht fo renniw eht neht dna ,sburg .sv yenoh redisnoc tsr� yeht taht stseggus apaP )a( .sgniknar ylimaf eht enimreted etov ytiroj am a tel dna sevitanretla fo riap hcae ekat ot ediced yehT .)sburg ,yenoh ,skc olidloG( si gniknar s’raeB apaP elihw ,)yenoh ,skcolidloG ,sburg( seciohc eht sknar raeB amaM .)skcolidloG ,sburg ,yenoh( si seitilibisso p eht fo gniknar sih taht syas raeB ybaB .ren -nid rof evah ot tahw ediced ot gniyrt si ylimaf raeB ehT )0( 41.3

. se Y

?evixe�er secnereferp wen s’dioretS hcaoC erA )h( E MA N

13

.oN

. s eY

.evitisnart ,� ,noitaler ”naht-rette b“ s’noslO si )r(

?evitisnart ,∼ ,noitaler ”ecnere�id-eht-llet-t’nac“ s’noslO sI )q(

. oN

?evitisnart ,� ,noitaler ”sa-doog-sa-tsael-ta“ s’noslO sI )p(

. C � A )n(

. e sl aF

.A � C )o(

.e ur T

.e s la F

. C � B )m(

. C ∼ B )c(

.e ur T

. C ∼ A )d(

. es la F

.A ∼ C )e(

. es la F

. B � A ) f(

. e ur T

.A � B )g(

.e u rT

. C � B )h(

.e ur T

. C � A )i(

.e sl aF

.A � C )j(

. eu rT

. B � A )k(

. es l aF

.A � B )l(

.e s la F

)3 .hC(

SEC NEREFERP

23

teL .noitcnuf ytilitu s’ruhtrA fo noitamrofsnart gnisaercni cinotonom a si noitcnuf ytilitu s’lisaB taht yas ew eroferehT .)asrev eciv dna( ∗ U esaercni osla lliw U sesaercni taht noitpmusnoc ni egnahc yna taht e b tsum ti ,tnats -noc a sunim U fo elpitlum evitiso p a si ∗ U ecniS .noitcnuf ytilitu s’ruhtrA si ) 2x , 1x( U erehw ,01 − ) 2x , 1x( U3 = ) 2x , 1x( ∗ U taht ecitoN .01 − 2x 1x3 = ) 2x , 1x( ∗ U noitcnuf ytilitu eht sah ,lisaB ,elcnu s’ruhtrA :e lpmaxE .3/4− = 1x/ 2x− si )4 ,3( tnio p eht ta noitutitsbus fo etar lanigram s’ruhtrA eroferehT . 1x si 2 doog fo ytilitu lanigram eht dna 2x si 1 d oog fo ytilitu lanigram eht ,) 2x , 1x( tnio p eht tA . 1x/21 = 2x noitauqe htiw evruc eht ward tsuj ,)4 ,3( hguorht evruc ecnere�idni s’ruhtrA ward ot eroferehT . 1x/21 = 2x ot tnelaviuqe si noitauqe tsal sihT .21 = 2x 1x taht hcus ) 2x , 1x( lla fo stsisnoc tnio p siht hguorht evruc ecnere�idni ehT .21 = 4 × 3 = )4 ,3( U etaluclac ,tsriF .)4 ,3( tnio p eht hguorht sessap taht ruhtrA rof evruc ecnere�idni eht dn� su teL . 2x 1x = ) 2x , 1x( U si noitcnuf ytilitu s’ruhtrA :e lpmaxE ).seitilitu lanigram esu ot uoy eriuqer smelborp retal nehw tsil siht ot refer nac uoy ,flesruoy eseht etupmoc t’nac uoy fi nevE .snoitcnuf ytilitu deretnuocne ylnommoc rof snoitcnuf ytilitu lanigram eht tsil ew ,koo bkrow eht fo noitces siht fo gninnige b eht ta ,oslA .koo btxet ruoy ni de bircsed dohtem eht yb ytilitu lanigram ot noitamixorppa na etaluclac nac uoy ,lla ta suluclac yna wonk t’nod uoy fI( .tnatsnoc a sa doog rehto eht fo tnuoma eht gnitaert ,doog taht fo tnuoma eht ot tce pser htiw ytilitu fo evitavired eht ekat tsuj uoy ,doog rehtie fo ytilitu lanigram eht dn� oT .ysae si seitilitu lanigram gnitaluclac ,suluclac fo tib ynit a neve wonk ohw uoy fo esoht roF .2 doog fo ytilitu lanigram eht ot 1 doog fo ytilitu lanigram eht fo oitar eht sunim si evruc ecnere�idni na fo epols eht taht si tcaf tneinevnoc dna tnatro pmi nA .noitutitsbus fo etar lanigram eht sa nwonk si ) 2x , 1x( tnio p a hguorht gnissap evruc ecnere�idni eht fo e pols eht ,sixa lacitrev eht no 2 do og dna sixa latnoziroh eht no dehparg si 1 doog nehw taht retpahc suoiverp eht morf llaceR .eldnub ytidommoc yna hguorht gnissap evruc ecnere�idni eht dn� nac uoy neht ,noitcnuf ytilitu s’remusnoc a wonk uoy fI .ytilitu emas eht dengissa era yeht fi seldnub owt neewte b tnere�idni e b lliw ehs neht ,) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu eht sah remusnoc a fI .) � y , �x( ot ) y ,x( sreferp remusnoc eht fi ylno dna fi ) � y , �x( eldnub naht re bmun ytilitu rehgih a steg ) y ,x( eldnub ytidommoc taht yaw a hcus ni dengissa era sre bmun ehT .eldnub ytidommoc hcae ot re bmun ytilitu a sngissa taht noitcnuf a si secnereferp s’nosre p a stneserper taht noitcnuf ytilitu A .noitcnuf ytilitu eht ,secne -referp gnibircsed fo yaw rehtona yduts ew ereH .sevruc ecnere�idni dna secnereferp tuo ba denrael uoy ,retpahc suoiverp eht nI .noitcudortn I

y tili t U E MA N

4 retpahC

.smelborp retal ni snoitcnuf ytilitu eseht retnuocne uoy nehw ecnerefer rof esicrexe siht fo ypoc a peek dna koo bkrow eht fo kcab eht morf srewsna eht fo tser eht ni ll� ,suluclac yna wonk ton od uoy fI .raenil era snoitcnuf ytilitu eht esuace b ysae era eerht esehT .ko o btxet eht ni snoitin�ed eht gnisu yb tsuj snoitcnuf ytilitu eerht tsr� eht eldnah nac uoy ,tnetsixenon ro ykahs si suluclac ruoy fi nevE .ezeerb a e b ot siht dn� lliw uoy ,suluclac wonk uoy fI .won meht wonk ot teg ot aedi doog a si ti os ,sretpahc lareves ni rae ppaer lliw snoitcnuf ytilitu esehT .snoitcnuf ytilitu nommoc emos rof noitutitsbus fo setar lanigram dna seitilitu lanigram etaluclac ot uoy sksa esicrexe sihT .retal kcuts teg uoy fi meht ta kool dna kcab emoc nac uoY .smelborp niam eht ot no teg dna meht piks—daeha og ,gniro b dna ysae sesicrexe pu mraw eht dn� uoy fI .segap rewsna ruoy ni era sesicrexe pu mraw l la ot srewsna ehT .smelborp retal ni dedeen era taht snoitaluclac od ot woh ees uoy pleh ot ereh era esehT .stuokroW ni dn� lliw uoy taht ”sesicre -xe pu mraw“ lareves fo tsr� eht si sihT .esicrexE pU mraW 0.4

.ytilitu salguoD-bboC dna ,ytilitu raenilisauq ,sevruc ecne -re�idni deknik rehto dna ,stnemelpmoc tcefre p ,setutitsbus tcefre p sa hcus secnereferp deiduts ylnommoc rof snoitcnuf ytilitu ezingoceR • .stnemelpmoc tcefre p era sdoog nehw dna setutitsbus tcef -re p era sdoog nehw secnereferp tneserper taht snoitcnuf ytilitu dniF • .secnereferp tuo ba seilpmi taht tahw wonk dna rehtona fo ”noitam -rofsnart cinotonom“ a tsuj si noitcnuf ytilitu eno rehtehw enimreteD • .noitcnuf ytilitu eht wonk uoy nehw noitutitsbus fo setar lanigram dna seitilitu lanigram etaluclaC • .noitcnuf ytilitu eht wonk uoy nehw eldnub ytid ommoc de�ice ps a hguorht evruc ecnere�idni na warD • :gniwollof eht od ot elba e b lliw uoy taht e poh ew ,tuokrow siht dehsin� evah uoy nehW

.seldnub ytidommoc fo riap yna neewte b noitaler ecnereferp emas eht evah tsum sremusnoc eseht neht ,rehto hcae fo snoitamrofsnart gnisaercni cinotonom era snoitcnuf ytilitu ’sremusnoc owt fi esuace b ,ne ppah dluow siht taht ecnavda ni nwonk evah dluoc eW .)4 ,3( hguorht evruc ecnere�idni s’ruhtrA sa evruc emas eht yltcaxe si sihT . 1x/21 = 2x ,yltnelaviuqe ro ,21 = 2x 1x dn� uoY .3 yb sedis hto b gnidivid dna noitauqe eht fo sedis hto b ot 01 gnidda yb noisserpxe tsal siht yfilpmiS .62 = 01 − 2x 1x3 taht hcus ) 2x , 1x( lla fo stsisnoc tnio p siht hguorht gnissap evruc ecnere�idni ehT .62 = 01 − 4 × 3 × 3 = )4 ,3( ∗ U taht dn� ew tsriF .)4 ,3( tnio p eht hguorht evruc ecnere�idni s’lisaB dn� su )4 .hC(

YTILIT U

43

2x − 1x 1−a� � a+ 1x − b+ 2x

�

�

2+ 1x − 1+ 2x � 1xb � − 2xa 1x/ 2x−

) 1x( � v− 1x/1− 1 x − 1√

b/a−

3/2− 3/2−

) 2x , 1x( SR M

2 xa 1−a

1 xa 1−a

2 x 1 xa b 1−a 2x

2x 1xb 1−b a 1x

1 + 2x

2 + 1x

b + 2x

a + 1x

1 1

) 1x( � v 1x/1

2

3

4

6

a

b

1 x 1√

1

) 2x , 1x( 2U M

) 2x , 1x( 1U M

2x a

+ a1x

)b + 2x()a + 1x( )1 + 2x()2 + 1x( 2x 1x b a 2x 1x 2x 2x 2x

+ ) 1x( v + 1x nl + 1x 2 √

2x b

2x6 2x3

+ 1xa

+ 1x4 + 1x2

) 2x , 1x(u

E MA N

53

fo noitpmusnoc sih si 1x erehw , 1x 4 − 42 = 2x noitauqe eht dah evruc √ ecnere�idni rehtona dna , 1x 4 − 02 = 2x noitauqe eht dah evruc ecneref √ -fidni enO .sevruc ecnere�idni sih fo owt was uoY .seirre b dna stun no evirht ot seunitnoc ,retpahc tsal eht ni tem uoy mohw ,esorbmA )0( 2.4 )?edart tuohtiw e b dluow eh sa �o-llew sa e b ot redro ni deen eh seod selppa ynam woh ,sananab 02 sah eh fI .sananab 02 fo latot a evah lliw eh ,sananab 51 eilrahC sevig annoD fI :tniH( .03 ?gnidart tuo ba tnere�idni tsael ta ro edart ot gnilliw e b ot mih stce pxe ehs fi sananab 51 rof nruter ni eilrahC morf dnamed dluoc annoD taht selppa fo re bmun tsegral eht si tahW .seY ?edart siht sekam eh fi )5 ,04( naht rette b sekil eh taht eldnub a evah eilrahC dluoW .selppa 52 reh evig lliw eh fi sananab 51 eilrahC evig ot sre�o annoD )b( selppA 04 03

02

01

0

01

02

03

04 sananaB

.)5 ,04( eldnub eht sa llew sa yltcaxe sekil eilrahC taht seldnub eht fo lla gniwohs evruc ecnere�idni eht ward ,wole b hparg eht Ax nO . = Bx noitauqe eht sah )5 ,04( hguorht evruc ecnere�idni eht 002 oS

.0 02

= Bx Ax taht hcus ) Bx , Ax( seldnub ytid ommoc lla sedulcni

)5 ,04( hguorht evruc ecnere�idni ehT

. 00 2

= )5 ,04( U si )5 ,04( eld

-nub eht rof ytilitu s’eilrahC .sananab 5 dna selppa 04 sah eilrahC )a( . Bx Ax = ) Bx , Ax( U e b ot sne ppah noitcnuf ytilitu s’eilrahC taht uoy gnillet yb siht od eW .sevruc ecnere�idni s’eilrahC fo l la dn� nac uoy os noitamrofni hguone uoy evig ew melborp siht nI .sevruc ecnere�idni sih fo owt ta ko ol a dah eW .sananab dna selppa semusnoc eilrahC ?3 retpahC morf eilrahC re bmemeR )0( 1.4 )4 .hC(

YTILIT U

63

.segnahc

2x

elbairav eht nehw egnahc ton seod

noitutitsbus fo etar lanigram sih taht ytre porp laice ps eht sah noitcnuf ytilitu s’esorbmA taht ees ew , 2x dna 1x ,selbairav owt eht fo noitcnuf a sa ) 2x , 1x( SR M etirw syawla ew hguohtlA . 1x /2− = ) 2x , 1x( SR M

√

si sihT .) 2x , 1x( eldnub ytidommoc gnimusnoc si eh nehw noitutitsbus fo etar lanigram s’esorbmA rof noisserpxe lareneg a etirw nac eW )d(

.3/2−

?)02 ,9( eldnub eht

gnimusnoc si eh nehw noitutitsbus fo etar lanigram s’esorbmA si tahW .3/2− ).rewsna laciremun a eviG( ?)01 ,9( eldnub eht gnimusnoc si eh

nehw ,) 2x , 1x( SR M ,noitutitsbus fo etar lanigram s’esorbmA si tahW )c( s tu N 02

51

01

5

0

5

01

)01,9(

51

02 sei r reB

)?noitcnuf ytilitu eht wonk uoy nehw tnere�idni era seldnub owt rehtehw kcehc uoy od woH :tniH( .oN ?evruc ecne -re�idni emas eht no seldnub owt eseht erA .)4,05( dna )02,81( seldnub evah dluow uoy ,eldnub hcae ni do og hcae fo tnuoma eht delbuod uoy fI .)2,52( eldnub eht dna )01,9( eldnub eht neewte b tnere�idni si esorbmA ,yfirev nac uoy sA .tnio p siht hguorht gnissap evruc ecnere�idni na hcteks dna noitpmusnoc lanigiro s’esorbmA etacidni ,wole b hparg eht nO )b(

. 41

?emusnoc esorbmA seod seirre b fo stinu ynam woh

,egnahc eht retfA .erofe b saw eh sa �o-llew sa tsuj si eh taht os seirre b hguone nevig si eh tub ,stinu 4 ot decuder si stun fo noitpmusnoc siH .seirre b fo stinu 01 dna stun fo stinu 9 demusnoc yllanigiro esorbmA )a( . 2x + 1x 4 = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu eht yb √ detneserper e b nac secnereferp sih ,tcaf nI .ytilitu raenilisauq sah esorb -mA taht dlot e b nac ti woN .seirre b fo noitpmusnoc sih si 2x dna stun E MA N

73

,seilper truB ”.em htiw edart ot tnaw dluohs uoy neht ,noitutitsbus fo etar lanigram ruoy naht erom uoy evig ot re�o I fI .em evig uoy eikooc yreve rof klim fo sessalg 3 uoy evig ot dere�o I .klim fo ssalg artxe na sa uoy ot hcum sa eciwt ylno htrow si eikooc artxe na taht snaem tahT .2− si noitutitsbus fo etar lanigram ruoy ,truB“ ,truB ot syas einrE )d( .hparg ruoy no )51 ,1( eldnub eht kraM ?noisiced esiw a

.27 = )6 ,4( U < 36 = )51 ,1( U ,seY siht saW .edart ot sesufer truB

.)51 ,1(

eldnub eht evah dluow eh

,edart siht sekam truB fI .seikooc 3 einrE evig lliw truB fi klim fo sessalg 9 truB evig ot sre�o einrE .)6 ,4( eldnub eht sah yltnerruc truB )c( seikooC 61 21

8

4

0

eniL kcalB ev ruc eulB

4 a 8

eniL deR b

21

61 klim fo sessalG

.6 − )2 + 1x(/27

= 2x si )6 ,4( tnio p eht hguorht evruc ecnere�idni

s’truB rof noitauqe eht ,yllatnedicnI .evruc ecnere�idni siht ni hcteks ot ( stnio p kni eulb esU .) 21 ,2( dna ,) ,7( ,)0, 01 2 eht hguorht sessap )6 ,4( tnio p eht hguorht evruc ecnere�idni ehT )b( .)6 ,4( tnio p eht ta evruc ecnere�idni s’remusnoc eht ot enil tnegnat eht si werd tsuj uoy enil ehT ).rettam lliw sliated ecnis ,esicerp dna taen ylriaf hparg siht ekam ot yrT( .)6 ,4( tnio p eht hguorht e pols siht htiw enil a ward ot kni kcalb ro licne p esU .2− ?)6 ,4( eldnub eht gnimusnoc si eh erehw tnio p eht ta evruc ecnere�idni s’truB fo e pols eht si tahW )a(

.semusnoc eh taht klim fo sessalg fo re bmun eht si 2x dna seiko oc fo re bmun eht si erehw ,)6 + 2x()2 + 1x( = ) 2x , 1x( U si noitcnuf ytilitu s’truB )0( 3.4 1x

)4 .hC(

YTILIT U

83

x 02

51

01 01=x

5 ev ruc ecne reffidni deR 01=y2

0

5

01

senil eulB

51

02 y

. oN

?secnereferp xevnoc evah lihP seoD .01 = ) y ,x( U

hcihw gnola evruc ecnere�idni eht ni hcteks ot kni der esu woN )c(

. 01 ,01 = y2 dna 01 < x fI

. 01

= ) y ,x( U neht

= ) y ,x( U neht ,01 < y2 dna 01 = x fI )b(

.01 = y2 si noitauqe esohw enil eht le bal dna ward ot kni eulb esu oslA .01 = x si noitauqe esohw enil eht le bal dna ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO )a( .} y2 ,x{xam = ) y ,x( U si noitcnuf ytilitu s’ppuR lihP )0( 4.4 . BA hparg ruoy no tnemges enil siht le baL .edart tuohtiw saw eh naht �o rette b truB ekam taht sedart stneserper enil siht fo tnemges a ylnO .klim fo sessalg 3 yreve rof eikooc 1 fo etar eht ta )seikooc rof klim ro( klim rof seikooc gnidart yb eveihca nac truB taht seldnub eht fo lla swohs enil sihT .)6 ,4( tnio p eht hguorht 3− e pols htiw enil a ward ot kni der esu ,hparg ruoy nO )e(

.)6 ,4( U = 27 = )21 ,2( U ,oN ot tcej bo truB dluoW

?klim fo sessalg 6 rof seikooc 2 pu gnivig

.27 = )6 ,4( U > 57 = )9 ,3( U ,seY

?klim fo sessalg 3 rof eikooc 1 pu evig ot gnilliw e b truB dluoW ”.ees uoy ,senil thgiarts ton era sevruc ecnere�idni yM .edart a gib o ot si seikooc 3 rof klim fo sessalg 9 tub ,uoy evig I eikooc yreve rof klim fo sessalg 2 naht erom teg I erehw sedart l lams ekam ot gnilliw ma I taht snaem tahT .2− si noitutitsbus fo etar lanigram ym taht thgir era uoy ,einrE“ E MA N

93

.21 = 2x + 1x2 hcihw rof stnio p fo sucol eht ward ot kni eulb esu osla dna ,21 = 2x2 + 1x hcihw rof stnio p fo sucol eht wohs ot kni eulb esU . 2x + 1x2 = 2x2 + 1x hcihw gnola stnio p fo sucol eht ward ot licne p a esu ,wole b hparg eht nO )a( .seirf hcnerf fo noitpmusnoc sih si 2x dna spihc nroc fo noitpmusnoc sih si 1x erehw ,} 2x + 1x2 , 2x2 + 1x{nim = ) 2x , 1x(u noitcnuf ytilitu eht sah alozzaM yrraH )0( 7.4

.seergasid eniarroL sr e fe rp y el ri hS

. )0 ,3 ( o t ) 2, 0(

.eldnub tsr� eht naht rette b eldnub dnoces

eht sekil eniarroL elihw ,eldnub dnoces eht naht rette b eldnub tsr� eht sekil yelrihS taht hcus seldnub ytidommoc owt fo elpmaxe na eviG )d(

.o N = ) y ,x( U noitcnuf ytilitu eht dluoW

?secnereferp reh tneserper Y3 + X

.s eY

?secnereferp reh tneserper

) Y01 + X5( = ) y ,x( U noitcnuf ytilitu eht dluoW

2

. se Y

?secnereferp

s’yelrihS tneserper Y002 + X001 = ) Y ,X( U ytilitu noitcnuf eht dluoW )c(

. Y + X = ) Y ,X(u .secnereferp s’eniarroL stneserper taht noitcnuf ytilitu a etirw woN )b(

. Y2 + X = ) Y ,X(u

.snac ecnuo-61 fo

re bmun eht rof dnats Y dna snac ecnuo-8 fo re bmun eht rof dnats X teL .ree b fo snac ecnuo-61 dna snac ecnuo-8 fo desirpmoc seldnub ytidommoc neewte b secnereferp s’yelrihS stneserper taht noitcnuf ytilitu a etirW )a( .nac ecnuo-8 na naht esrow ro rette b on si nac ecnuo-61 a skniht ehs os ,ree b elats setah dna emit a ta secnuo 8 sknird ylno eniarroL .snac ecnuo-8 owt sa d oog sa tsuj si ree b fo nac ecnuo-61 a skniht yelrihS ?retpahc tsal eht morf ehciuQ eniarroL dna kcapxiS yelrihS re bmemeR )0( 6.4

. n oi ta mr o fs na rt cinotonom yna ro ,} 2x , 1x{nim

= ) 2x , 1x( U .ylevitce ps

-er 2 dna 1 stset no 2x dna 1x serocs tset fo snoitanibmoc evitanret -la revo secnereferp s’ycnaN stneserper taht noitcnuf ytilitu a etirW )a(

.esruoc eht rof erocs elbisso p tsehgih eht teg ot stnaw ycnaN .smaxe owt eht no steg ehs taht serocs eht fo muminim eht si esruoc eht rof erocs reh dna ,esruoc eht ni snoitanimaxe owt ekat lliw ehS .esruoc scimonoce s’nretS rosseforP gnikat si renreL ycnaN ,llacer yam uoy sA )0( 5.4 )4 .hC(

YTILIT U

04

,x − y2 = }x − y2 , y − x2{nim nehW .01 = x − y2 hcihw gnola enil eht ward ot kni eulb esU .)01 ,01( ?01 fo ytilitu a annaV sevig siht no tnio p tahW . y = x hcihw ta stnio p fo sucol eht ward ot licne p esU )a( .01 si ytilitu s’annaV hcihw gnola evruc ecnere�idni eht ward ot yrt su tel ,wole b hparg eht nO .ytrap eht ta nem fo re bmun eht si y dna nemow fo re bmun eht si x erehw }x − y2 , y − x2{nim = ) y ,x( U noitcnuf ytilitu eht yb detneserper e b nac seitrap gnoma secnereferp s’annaV ,tcaf nI .seitrap reh ta nemow sa nem ynam sa yltcaxe gnivah rof ecnereferp gnorts a sah osla ehS .seitrap egral evah ot sekil eigooB annaV )1( 8.4

.2

?seirf hcnerf fo tinu eno rof edart

ot gnilliw e b eh dluow spihc nroc fo stinu ynam woh ,seirf hcnerf fo stinu 2 dna spihc nroc fo stinu 5 gnimusnoc si yrraH erehw tnio p eht tA )d(

spihc n roC 8 6

4

2

0

enil licneP

senil eulB

2 enil deR 4 enil kcalB 6 senil eulB 8 sei rf hcne rF )?alonarG yraM fo uoy sdnimer taht alozzaM yrraH tuo ba gnihtyna ereht sI :tniH( .6 si ytilitu s’yrraH hcihw gnola evruc ecnere�idni eht ni hcteks ot kni der esU .21 si ytilitu s’yrraH hcihw gnola evruc ecnere�idni eht ni hcteks ot kni kcalb esU )c(

. 21 dna

81

= )2 ,8(u eroferehT

.2 1

= 2x2 + 1x

= 2x + 1x2 taht sees eno ,)2 ,8( = ) 2x , 1x( eldnub eht tA

.21 ≥ 2x + 1x2 dna 21 ≥ 2x2 + 1x :de�sitas era seitilauqeni gniwollof eht fo htob erehw noiger eht ni edahs ,nward evah uoy hparg eht nO )b( E MA N

14

rof tniH( .ton si ti fi ”oN“ dna noitamrofsnart cinotonom evitiso p a si f noitcnuf eht fi ”seY“ etirw ,wole b esac hcae nI .)) y ,x(u( f = ) y ,x( v yb detaler era ) y ,x( v dna ) y ,x(u snoitcnuf ytilitu eht taht eso ppuS )0( 9.4 x 02

51

01

5

0 senil eulB

senil de r ylggiuqS

5 enil licneP

01

51

02 y

.V

?te b

-ahpla eht fo rettel tahw ekil de pahs era sevruc ecnere�idni s’annaV )d(

.31

?ytrap reh ta evah ehs

se od nem ynam woh ,nemow 01 dna nem 01 gnivah sa do og sa yltcaxe si ytrap eht skniht ehs fi dna ,nem naht nemow erom dna ytrap reh ta nemow 61 sah annaV fI .22 ?ytrap eht ta evah ehs seod nem ynam woh ,nemow 01 dna nem 01 gnivah sa doog sa yltcaxe si ytrap eht skniht ehs fi dna ,nemow naht nem erom dna ytrap reh ta nemow 61 sah annaV fI )c(

.e s ro W

?ytrap reh ot

emac nem erom 5 fi ytrap esrow a ro ytrap rette b a saw ti kniht annaV dluoW .ytrap s’annaV ta nemow 01 dna nem 9 era ereht taht eso ppuS )b( .)01 ,01( sa llew sa tsael ta sekil annaV taht snoitanibmoc lla stneserper taht hparg eht no aera eht ni edahs ot licne p esU . y − x2 = }x − y2 , y − x2{nim hcihw rof enil eulb wen siht fo trap eht revo enil der ylggiuqs a warD .01 = y − x2 hcihw gnola enil eulb a ward woN .nemow eroM ?)nem naht nemow erom ,nemow naht nem erom( era ereht erehw tub )01 ,01( sa doog sa tsuj era skniht annaV taht snoitanibmoc eht lla swohs sihT .x − y2 = }x − y2 , y − x2{nim = ) y ,x( U hcihw rof enil eulb eht fo trap eht revo enil der ylggiuqs a warD .nemow

e ro M

?)nem naht nemow erom ,nemow naht nem erom( era ereht )4 .hC(

YTILIT U

24

s rekca rc laminA 8 6

4

2

)2,8(

0

2

4

)4,6(

6

8 snaeB

.snae b fo secnuo 4 dna srekcarc lamina fo secnuo 6 gnivah ot tnere�idni sdn� ehs taht stnio p fo sucol eht hcteks oslA .snae b fo secnuo 2 dna srekcarc lamina fo secnuo 8 gnivah ot tnere�idni sdn� ahtraM taht stnio p fo sucol eht hcteks ,wole b hparg eht nO )a( .semus -noc ehs taht snae b fo secnuo fo re bmun eht si b dna semusnoc ehs taht srekcarc lamina fo secnuo fo re bmun eht si a erehw ,001/ba = )b ,a( U noit -cnuf ytilitu eht yb detneserper secnereferp sah tsedoM ahtraM )0( 01.4

.s eY . oN . se Y .s eY

.u/1− = )u( f )g( .u/1 = )u( f ) f(

. u−e− = )u( f )e( .u 01gol = )u( f )d(

.u32 − 000 ,5 = )u( f )b(

. oN

.000 ,001 − u = )u( f )c(

.s eY

. se Y

.u295141.3 = )u( f )a(

).evitiso p si evitavired sti fi u fo noitcnuf gnisaercni na si )u( f noitcnuf elbaitnere�id A :sresu suluclac E MA N

34

.o N

?secnereferp xevnoc evah ylliW seoD

e ht t a d er e tn ec se l cr ic r et ra uQ

. ni gi ro ?yeht era eru

-g� cirtemoeg fo dnik tahW .sevruc ecnere�idni sih fo wef a warD )a( . 22x + 21x = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu eht yb detneserper era 2x dna 1x fo stnuoma evitagen -non niatnoc taht seldnub revo secnereferp s’releehW ylliW )0( 11.4

. no i ta mr of s na rt c in o tono m a yb r ef fi d y ln o s no it c nu f y ti li tu r ie hT

?sevruc eht

ward ot gnivah tuohtiw ne ppah ot gniog saw siht llet uoy dluoc woH )e(

.e cn e re ff id o n s i er e hT

?ahtraM rof werd uoy esoht dna ahtreB rof werd uoy

sevruc ecnere�idni eht neewte b ecnere�id eht tuo ba yas uoy nac tahW )d(

. s eY

?s’ahtreB erA

. s eY

s rekca rc laminA 8 6

4

?xevnoc secnereferp s’ahtraM erA )c(

2

)2,8(

0

2

4

)4,6(

6

8 snaeB

.snae b fo secnuo 4 dna srekcarc lamina fo secnuo 6 gnivah ot tnere�idni sdn� ehs taht stnio p fo sucol eht hcteks oslA .snae b fo secnuo 2 dna srekcarc lamina fo secnuo 8 gnivah ot tnere�idni sdn� ahtreB taht stnio p fo sucol eht hcteks ,wole b hparg eht nO .semusnoc ehs taht snae b fo secnuo fo re bmun eht si b dna semusnoc ehs taht sre -kcarc lamina fo secnuo fo re bmun eht si a erehw , 2b 2a000 ,1 = )b ,a( V noitcnuf ytilitu eht yb detneserper secnereferp sah yssarB ahtreB )b( )4 .hC(

YTILIT U

44

H dna ,selpirt T ,selbuod D ,sklaw W ,selgnis S sah rettab a fi ,suhT( .nosaes eht ni steg rettab eht taht sesab latot fo re bmun eht e b B teL .nos -aes a ni steg rettab a taht sklaw fo re bmun eht sulp stih fo re bmun eht e b A teL ”.detaerc snur“ sllac eh hcihw ,xedni gniwollof eht seso porp semaJ ,snoitaredisnoc eseht tce�er oT .selgnis owt sa do og sa ton tub ,elgnis a naht rette b si stab-ta owt ni elbuod a taht seugra semaJ .elgnis a sa doog sa tsomla si klaw a hguohtla ”,sklaw“ rof tiderc evig ton od yeht erom -rehtruF .stih esab artxe sa emas eht tsuj selgnis taert segareva gnittaB .ytivitcudorp evisne�o sih fo erusaem etauqeda na ton si egareva gnittab s’reyalp llabesab a taht seugra tcartsbA l labesaB semaJ l liB ehT .seldnub ytidommoc ot noitacilppa ni detimil ton si stcej bo fo tes a revo gniredro ecnereferp a enimreted ot seulav laciremun gningissa fo aedi ehT )0( 31.4

. 2]) 2x , 1x( v[ = ) 2x ,1x(u taht ec it o N

).erauqs si boB eoJ taht dias evah emoS :tniH( ?s’lA fo noit

-amrofsnart cinotonom a si noitcnuf ytilitu s’boB e oJ taht wohs uoy naC ?secnereferp emas eht tneserper ) 2x , 1x( v dna ) 2x , 1x(u oD )c(

. se Y

.1−

= ) 2x , 1x( SR M .noitutitsbus fo etar lanigram s’lA etupmoC

. 1x + 2x = ) 2x , 1x( v noitcnuf ytilitu a sah ,lA ,nisuoc thgiarts s’boB eoJ )b(

.1−

= ) 2x , 1x( SR M :noitutitsbus fo etar lanigram s’boB eoJ etupmoC )a( . 22x + 2x 1x2 + 21x = ) 2x , 1x(u yb nevig noitcnuf ytilitu a sah boB eoJ )0( 21.4 1x 8

6

4

2

su luc laC

0

2

4

6

8 2x

E MA N

54

sklaw sulp s tih fo rebmu N 063

003

042

081

021

06

0

08

061

042

023 llemma rT nnywG

004

lleB

sggoB

084 sesab la to t fo rebmu N

.detaerc-snur fo re bmun emas eht ot dael taht B dna A fo snoitanibmoc tneserper dluohs sevruc ecnere�idni esehT .dettolp evah uoy stnio p ruof eht fo hcae hguorht eno ”,sevruc ecnere�idni“ ruof warD .sreyalp eht fo hcae yb deveihca B dna A fo snoitanibmoc eht tolp ,wole b hparg eht nO .noitaluclac fo yticilpmis rof meht erongi lliw ew dna ,llams era sreyalp eseht rof tab ta semit fo re bmun eht ni secnere�id ehT )c(

. nn y wG d na sg go B ?llemmarT ot referp ehs dluow )s(reyalp hcihw ,xedni detaerc-snur eht no ylno desab ,sreyalp eseht gnoma gniredro ecnereferp a sah ydo bemos fI )b(

.1 71

= CR ,

3 83

=B,

00 3

= A ,nnywG

roF .751 = CR ,983 = B ,562 = A ,llemmarT roF .991 = CR ,924 = B ,503 = A ,sggoB roF .341 = CR ,804 = B ,722 = A ,lleB roF .sreyalp eseht fo hcae rof xedni detaerc snur eht , CR dna ,sesab latot fo re bmun eht B ,sklaw sulp stih fo re bmun eht ,A etaluclac nac eW .snur emoh 7 dna ,selpirt 31 ,selbuod 63 ,selgnis 261 ,sklaw 28 dah eH .semit 176 dettab nnywG ynoT ,7891 nI .snur emoh 82 dna ,selpirt 3 ,selbuod 43 ,selgnis 041 ,sklaw 06 dah eH .semit 756 dettab llemmarT nalA ,7891 nI .snur emoh 42 dna ,selpirt 6 ,selbuod 04 ,selgnis 031 ,sklaw 501 dah eH .semit 656 dettab sggoB edaW ,7891 nI .snur emoh 74 dna ,selpirt 4 ,selbuod 23 ,selgnis 501 ,sklaw 93 dah eH .semit 946 dettab lleB egroeG ,7891 nI )a( . CR sih dellac e b lliw dna N/ BA e b ot den�ed si nosaes eht ni detaerc snur fo xedni sih nehT .stab rettab eht semit fo re bmun eht e b N teL ). H4 + T3 + D2 + W + S = B dna W + H + T + D + S = A neht ,snur emoh )4 .hC(

YTILIT U

64

selgniS 02 51

01

5

0

)0,02( 5

)5,01( noi tce rid ecne refe rP

)01,0(

01

51

02 snu r emoH

.s eY ?snur emoh dna selgnis neewte b secnereferp xevnoc gnivah rettab eht htiw tnetsisnoc siht sI

. n ah t r et ae rG

?)01 ,0( U ot lauqe ro naht

ssel ro naht retaerg )5 ,2/x( U sI .hparg ruoy no )5 ,2/x( tnio p eht kram ,trap suoiverp eht ni rof devlos uoy selgnis fo re bmun eht si x erehW )c( .)01 ,0( U = )0 ,x( U erehw ,)0 ,x( dna )01 ,0( stnio p eht kraM .snur emoh gnittih sa xedni detaerc-snur emas eht mih on dna selgnis 02 evig dluow selgnis on dna snur emoh 01 gnittiH .snur emoh dna selgnis neewte b evruc ecnere�idni na fo e pahs eht tuo ba tuo dn� ot yrt s’teL )b(

.001/) y4 + x() y + x( = ) y ,x( U si noitcnuf ytilitu eht rof alumrof eht nehT .xedni detaerc -snur eht si snur emoh dna selgnis fo snoitanibmoc evitanretla etaulave ew hcihw yb ) y ,x( U noitcnuf ytilitu eht taht eso ppuS .stab-ta 001 ni snur emoh fo re bmun eht e b y dna selgnis fo re bmun eht e b x teL )a( .nur emoh a stih ro ,elgnis a rof stih ,tuo na sekam rehtie syawla dna semit 001 stab ohw rettab a redisnoC .melborp gnidecerp eht ni dessucsid xedni detaerc-snur eht snrecnoc melborp sihT )0( 41.4 E MA N

74

)4 .hC(

YTILIT U

84

.secirp rieht sa noitro porp emas eht ni era sdoog owt yna fo seitilitu lanigram eht nehw sne ppah ycnegnat a taht re bmemer uoy sa gnol sa seog siht yaw hcihw re bmemer ot laicurc yllaer t’nsi tI . 1U M/ 2U M− ro 2U M/ 1U M− si noitutitsbus fo etar lanigram eht rehtehw gnire bmemer elbuort evah elpoe p emoS ∗ dna 021 = 1x dn� ew ,snwonknu owt ni snoitauqe owt eseht gnivloS .081 = 2x3 + 1x si noitauqe tegdub eht esac siht nI .noitauqe tegdub eht si noitauqe rehto ehT . 2x dna 1x ,snwonknu owt eht rof evlos ot deen ew snoitauqe owt eht fo eno si sihT . 1x = 2x6 evah ew ,noisserpxe siht gniyfilpmiS .3/1− = 2p/ 1p− = 1x/ 2x2− nehw enil tegdub sih ot tnegnat e b lliw evruc ecnere�idni sih taht seilpmi sihT . 1x/ 2x2− = 21x/ 2x 1x2− = ) 2x , 1x( 2U M/) 2x , 1x( 1U M− si noitutitsbus fo etar lanigram sih erof -erehT . 21x = ) 2x , 1x( 2U M dna 2x 1x2 = ) 2x , 1x( 1U M ,nehT .081 si emocni sih dna ,3 = 2p si 2 doog fo ecirp eht ,1 = 1p si 1 d oog fo ecirp ehT . 2x 21x = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu eht sah remusnoc A :e lpmaxE .) 2x , 1x( ∗ rof evlos nac uoy snoitauqe owt eseht htiW .m = 2x 2p + 1x 1p noitauqe tegdub eht si noitauqe rehto tahT .noitauqe rehtona deen ew ,s’x eht rof evlos ot e poh ew fI . 2x dna 1x ,snwonknu owt eht ni noitauqe eno su sevig sihT . 2p/ 1p = ) 2x , 1x( 2U M/) 2x , 1x( 1U M nehw ) 2x , 1x( tnio p eht ta enil tegdub eht ot tnegnat si evruc ecnere�idni na eroferehT . 2p/ 1p− si enil tegdub eht fo e pols ehT ).noitutitsbus fo etar lanigram eht sa nwonk osla si e pols sihT( .) 2x , 1x( 2U M/) 2x , 1x( 1U M− oitar eht si ) 2x , 1x( ta evruc ecnere�idni na fo e pols eht woN .tnio p taht ta e pols emas eht evah yeht fi ) 2x , 1x( tnio p a ta tnegnat era evruc ecnere�idni na dna enil tegdub ehT .emocni s’remusnoc eht dna ,sdoog hto b fo secirp eht ,noitcnuf ytilitu s’remusnoc eht dlot era ew fi ycnegnat fo tnio p a dn� uoy woh si ereH .d oog eno tsuj gnimusnoc ni sezilaice ps remusnoc eht erehw ”renroc“ a )iii( ;evruc ecnere�idni na ni knik a )ii( ;enil tegdub eht dna evruc ecnere�idni na neewte b ycnegnat a )i( :era esehT .secalp ylekil fo sdnik eerht era ereht ,uoy sllet koo btxet ruoy sA ?secalp ylekil eht era erehW ”.secalp ylekil eht ni kool“ si noitseuq siht ot rewsna ehT ”?hcaer nac remusnoc eht taht evruc ecnere�idni elbarised tsom eht dn� I od woH“ ,flesruoy ksa ot evah uoy ,siht od ot yrt uoy nehw tuB .tegdub sih nevig hcaer nac eh taht evruc ecnere�idni ”tse b“ eht esoohc lliw remusnoc ehT .sevruc ecnere�idni sih fo emos hparg nac uoy ,secnereferp s’remusnoc eht wonk osla uoy fI .teg -dub s’remusnoc a hparg ot woh wonk uoy ,emocni dna secirp neviG .tegdub nevig a morf remusnoc gnizimixam-ytilitu a yb nesohc eldnub ytidommoc eht yduts uoy retpahc siht nI .meht htiw gnihtemos od dna rehtegot saedi owt eseht tup ot emit eht si woN .secne -referp deiduts evah uoy dna ,stegdub deiduts evah uoY .noitcudortn I

eciohC E MA N

5 retpahC

.licne p ro kni kcalb htiw evruc siht hcteks dna 003 fo ytilitu a eilrahC sevig taht evruc ecnere�idni eht no stnio p wef a tolp woN .kni der htiw evruc siht hcteks dna 051 fo ytilitu a eilrahC sevig taht evruc ecnere�idni eht no stnio p wef a tolP ).etarucca enil siht ekam ot yrt dna relur a esU( .enil tegdub s’eilrahC ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO )a(

.04 si emocni s’eilrahC dna ,2 si sananab fo ecirp eht ,1 si selppa fo ecirp eht taht eso ppuS . Bx Ax = ) Bx , Ax( U si noitcnuf ytilitu s’eilrahC taht llaceR .sananab dna selppa eht fo eilrahC htiw niaga nige b eW )0( 1.5

.snoitautis dlrow-laer ni esira taht stegdub raenilnon fo sdnik emos htiw edam seciohc ot denrael evah uoy sd ohtem eht ylppA • .muirbiliuqe fo se pyt evo ba eht fo hcae gnitartsulli margaid a warD • .tes tegdub eht fo renroc a ta sne ppah dro�a nac remusnoc a eldnub tse b eht erehw selpmaxe dradnats ezingoceR • .sevruc ecnere�idni deknik htiw remus -noc a rof emocni dna secirp nevig ,eldnub elbadro�a tse b eht dniF • .ycnegnat fo tnio p a ta sne ppah eldnub elba -dro�a tse b eht erehw snoitcnuf ytilitu elpmis fo esac eht ni emocni dna secirp nevig ta dro�a nac remusnoc a eldnub tse b eht etaluclaC • :gniwollof eht od ot elba e b lliw uoy taht e poh ew ,sesicrexe eseht dehsin� evah uoy nehW .)02 ,06( = ) 2x , 1x( eldnub eht sesoohc remusnoc eht taht wonk ew oS .02 = 2x dna 06 = 1x taht dn� ot snoitauqe owt eseht evloS .041 = 2x + 1x2 si hcihw ,noitauqe tegdub reh si noitauqe dnoces ehT . 2x dna 1x snwonknu eht gnidn� rof deen ew snoitauqe owt eht fo eno su sevig siht os ,srenroc eht fo eno ta noitanibmoc a esoohc lliw ehS . 2x3 = 1x enil eht gnola eil lla s’L eht fo srenroc ehT .de pahs-L era sevruc ecnere�idni reH .041 si emocni reh dna ,1 si 2x fo ecirp eht ,2 si 1x fo ecirp ehT .} 2x3 , 1x{nim = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu eht sah remusnoc A :e lpmaxE .sesicrexe wef a krow uoy nehw skrow siht woh yltcaxe ees lliw uoY .renroc a ta ro stnio p yknik eht fo eno ta era uoy taht uoy sllet taht noitauqe na si esu nac uoy taht noitauqe dnoces ehT .noitauqe tegdub eht evah llits ew tuB .htiw krow ot noitauqe ycnegnat eht evah t’nod ew oS .enil tegdub eht fo e pols eht lauqe ot sevruc ecnere�idni eht fo e pols eht deen t’nod ew ,srenroc ta ro sknik ta muirbiliuqe roF .)02 ,021( = ) 2x , 1x( eldnub eht sesoohc remusnoc eht taht wonk ew eroferehT .02 = 2x )5 .hC( ECI O HC

05

.stnio p eseht fo lla hguorht sessap taht enil a ward ot licne p esU .evruc ecnere�idni tnere�id a no tnio p a ot sdno pserroc snoitulos eseht fo hcaE .noitauqe siht ot snoitulos ynam era erehT .2/1− = Ax/ Bx− .) Bx , Ax( ta evruc ecnere�idni na ot tnegnat si enil tegdub eht taht seilpmi taht noitauqe na etirW ) f( .)rewsna laciremun a evig(

2/1−

si enil tegdub s’eilrahC fo e pols

ehT .) Bx , Ax( ta evruc ecnere�idni sih fo e pols eht si sihT . Ax/ Bx− = ) Bx , Ax( SR M si noitutitsbus fo etar lanigram s’eilrahC taht dn� lliw uoy ,noitcnuf ytilitu s’eilrahC rof seitilitu lanigram fo oitar eht etaluclac uoy fi ,tcaf nI . Bx dna Ax fo noitcnuf a si noitutitsbus fo etar lanigram s’eilrahC ,) Bx , Ax( ,tnio p yna tA .si taht eno dn� ot yrt s’teL .enil tegdub s’eilrahC ot tnegnat si werd uoy taht sevruc ecnere�idni eht fo rehtieN )e( .A tnio p taht le baL .051 naht ytilitu rehgih a mih sevig taht dna dro�a nac eilrahC taht tnio p a kram ,hparg ruoy nO )d(

. oN . se Y

?003 fo ytilitu a mih evig taht seldnub yna dro�a eilrahC naC )c( ?051 fo ytilitu a mih evig taht seldnub yna dro�a eilrahC naC )b(

selppA 04 03

02

01

enil tegdub eulB

a e

0

01

02

enil licneP ev ruc kcalB

03 sev ruc deR 04 sananaB E MA N

15

. se Y

?tegdub siht

htiw 63 fo ytilitu a eveihca aralC naC .enil tegdub reh ni warD .11 fo emocni na sah aralC taht dna 1 si d oog hcae fo ecirp eht taht eso ppuS )b( X 61

21 11

8

4

0

4

8 11

63=U

21

61 Y

hcteks ,wole b sexa eht nO

.63 = U rof evruc ecnere�idni s’aralC 2+ X = Y .)8 ,2( = ) Y ,X( tnio p 63

.1 −

eht hguorht seog taht evruc ecnere�idni s’aralC rof noitauqe na etirW )a( . Y doog fo noitpmusnoc reh si Y dna X doog fo noitpmusnoc reh si X erehw ,)1 + Y()2 + X( = ) Y ,X( U si noitcnuf ytilitu s’aralC )0( 2.5

.t i hc u ot ts uJ

?ti hcuot reven ro ,ti

hcuot tsuj ,enil tegdub s’eilrahC ssorc evruc ecnere�idni siht seoD .)01,02( hguorht evruc ecnere�idni sih ward ot kni der esu ,evo ba hparg eht nO )i(

.0 0 2

?)01 ,02( eldnub eht semusnoc eh fi ytilitu s’eilrahC si tahW )h(

.noitidnoc ycnegnat eht dna noitauqe tegdub sih yb nevig snoitauqe suoenatlumis owt eht gnivlos yb rewsna ruoy yfireV .01 = Bx dna 02 = Ax erehw sneppah sihT . E na htiw eldnub elbadro�a tse b siht le bal ,hparg ruoy nO .sdo og hto b fo erom gniyub yb rette b od ot dro�a nac eh ,enil tegdub sih fo edisni seil tnio p eht fI .ti dro�a t’nac eh ,enil tegdub sih fo edistuo si tnio p eht fI .enil tegdub sih no eil osla tsum tI .ni delicne p tsuj uoy enil eht no erehwemos eil tsum dro�a nac eilrahC taht eldnub tse b ehT )g( )5 .hC( ECI O HC

25

.s t in u 9

?seirre b fo stinu ynam woH

. st in u 61

?eso ohc eh

lliw stun fo stinu ynam woH .)licne p htiw( enil tegdub wen sih warD .43 si emocni s’esorbmA tub ,erofe b sa era secirp eht taht eso ppus woN )e( .)der ni( evruc ecnere�idni siht hcteks dna 52 fo ytilitu a mih sevig taht evruc ecnere�idni eht no stnio p emos dniF )d(

. s ti nu 4

?seirre b fo stinu ynam woH )c(

.s ti nu 61

?yub ot esoohc eh seod stun fo stinu ynam woH .kni eulb htiw

enil tegdub s’esorbmA warD .42 si emocni s’esorbmA dna ,2 si seirre b fo tinu a fo ecirp eht ,1 si stun fo tinu a fo ecirp eht taht eso ppuS )b( .meht hguorht evruc ecnere�idni der a ward dna wole b sexa eht no stnio p eseht tolP .) 02 ,0( dna ,) 61 ,1( ,) 21 ,4( ,)

8

,9( ,)4 ,61( era ytilitu emas eht mih evig taht stnio p

rehtO .02 fo ytilitu a esorbmA sevig )0 ,52( eldnub ytidommoc ehT )a( .seirre b fo noitpmusnoc sih si 2x dna stun fo noitpmusnoc sih si 1x erehw , 2x + 1x 4 = ) 2x , 1x( U √ noitcnuf ytilitu a sah ,remusnoc yrre b dna tun eht ,esorbmA )0( 3.5

.6

= Y dna

5

=X

dn� ew , Y dna X ,snwonknu owt eht rof snoitauqe owt eseht gnivloS ) f(

.11 = Y + X

si noitauqe tegdub ehT )e(

.1 =

2+ X 1+ Y

noitauqe eht evah

ew ,oitar ecirp eht ot lauqe SRM eht fo eulav etulosba eht tes ew fI )d( X . 21+ − +Y

si noit

-utitsbus fo etar lanigram s’aralC ,) Y ,X( ,eldnub ytidommoc eht tA )c( E MA N

35

.tnio p eno yb erocs reh esaercni lliw ehs ,noitanimaxe dnoces eht rof gniyduts sdne ps ehs setunim 02 yreve roF .ti no orez a teg lliw ehs noitanimaxe dnoces eht rof lla ta yduts t’nseod ehs fI .tnio p eno yb erocs reh esaercni lliw ehs ,noitanimaxe tsr� eht rof gniyduts sdne ps ehs taht setunim 01 yreve roF .ti no orez fo erocs a teg lliw ehs ,lla ta yduts t’nseod ehs fi noitanimaxe tsr� eht no taht swonk ehS .elbisso p sa erocs llarevo na hgih sa teg ot stnaw ehs dna ,smaxe owt eseht rof gniyduts ot setunim 002,1 fo latot a etoved ot dediced sah ehS .snoitanimaxe owt eht no serocs reh fo muminim eht e b lliw esruoc eht rof erocs llarevo reH .esruoc siht ni snoitanimaxe owt era erehT .esruoc scimonoce reh rof gniyduts ni emit reh etacolla ot woh ediced ot gniyrt si renreL ycnaN )1( 4.5

.o N

?)0 ,9(

tnio p eht naht rette b sekil eh taht seldnub yna dro�a esorbmA naC )i(

.e v ru c ec ne re f fi dn I

?evruc

ecnere�idni eht ro enil tegdub eht ,tnio p siht ta re peets si hcihW )h(

.2/1−

?tnio p siht ta enil tegdub sih fo e pols eht si tahW )g(

.3/2−

?)0 ,9( tnio p eht ta evruc ecnere�idni sih fo

e pols eht si tahW .)0 ,9( tnio p eht hguorht sessap taht evruc ecnere�idni eht hctekS .)eulb ni( enil tegdub sih warD .9 ylno si emocni s’esorbmA tub ,2 si seirre b fo ecirp eht dna 1 llits si stun fo ecirp eht taht eso p -puS ”.noitulos yradnuo b“ a si ereht erehw esac a erolpxe su tel woN ) f( s tu N 03

52

02

51

01

5

0 enil eulB

enil licneP

ev ruc deR

ev ruc deR

5

enil eulB

01

51

02 sei r reB

)5 .hC( ECI O HC

45

gniyduts setunim 1m sdne ps ehs fI .snoitanimaxe owt eseht rof gniyduts setunim 004 fo latot a dne ps ot sediced ycnaN .snoitanimaxe owt eht no serocs reh fo mumixam eht e b lliw esruoc eht rof edarg llarevo reH .snoit -animaxe owt sekat osla ycnaN ,esruoc snoitacinummoc reh nI )1( 5.5 -animaxe dnoces eht rof gniyduts setunim eht rof gniyduts setunim

0 04

00 8

.noit dna noitanimaxe tsr�

gnidne ps yb erocs llarevo reh ezimixam

lliw ycnaN ,gniyduts setunim 002,1 fo latot a sdne ps ehs taht neviG )e(

.)04 ,04(

= ) 2x , 1x( tnio p eht ta sne ppah sihT .senil eseht fo noit

-cesretni eht enimreted ot snwonknu owt ni snoitauqe owt eseht evloS )d(

.002 ,1 = 2x02 + 1x01

.enil tegdub s’ycnaN rof noitauqe na etirW )c(

. 2 x = 1x

.sevruc ecnere�idni

s’ycnaN fo sknik eht hguorht gnissap enil eht rof noitauqe na etirW )b( 1 tse t no e rocS 021

001

08

06

04

02

0

enil tegduB 02 a

04

sev ruc ecne reffidni depahs "L"

06

08 2 tse t no e rocS

.tnio p siht hguorht evruc ecnere�idni s’ycnaN warD .A rettel eht htiw tegdub s’ycnaN stih enil siht erehw tnio p eht le baL .sevruc ecnere�idni s’ycnaN ni sknik eht hguorht seog taht enil thgiarts a ward ,hparg ruoy nO .ycnaN rof ”sevruc ecneref -fidni“ eerht ro owt ward ,hparg emas eht nO .gniyduts fo setunim 002,1 fo latot a htiw eveihca nac ehs taht smaxe owt eht no serocs fo snoitanib -moc suoirav eht gniwohs ”enil tegdub“ a ward ,wole b hparg eht nO )a( E MA N

55

.)2 ,4( eldnub eht sa llew sa yltcaxe sekil eh taht seldnub eht sniatnoc taht remlE rof evruc ecnere�idni eht ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO )d(

si ytilitu sih , y fo stinu 3 dna x fo stinu 4 semusnoc remlE fI )a(

.4

si ytilitu sih , y fo stinu 2 dna x fo stinu 4 semusnoc remlE fI )b(

.4

si ytilitu sih , y fo stinu 2 dna x fo stinu 5 semusnoc remlE fI )c(

.4

.} 2 y ,x{nim = ) y ,x( U si noitcnuf ytilitu s’remlE )0( 6.5 1 tse t no e rocS 08 06

04

02

0

noi tce rid ecne refe rP

e rocs lla revo .xaM

02

04

06

08 2 tse t no e rocS

.08

e b neht lliw esruoc eht rof erocs llarevo reH )c(

.noitanimaxe dnoces eht no tsr� eht no

08

0

dna noitanimaxe

fo erocs a gniveihca yb erocs llarevo reh ezimixam

lliw ycnaN ,gniyduts setunim 004 fo latot a sdne ps ehs taht neviG )b( .esruoc eht ni erocs llarevo tse b eht reh sevig taht enil tegdub s’ycnaN no tnio p eht dn� ,hparg ruoy nO .ycnaN rof ”sevruc ecnere�idni“ eerht ro owt ward ,hparg emas eht nO .gniyduts fo setunim 004 fo latot a htiw eveihca nac ehs taht smaxe owt eht no serocs fo snoitan -ibmoc suoirav eht gniwohs ”enil tegdub“ a ward ,wole b hparg eht nO )a( .01/ 2m = 2x e b lliw maxe siht no erocs reh ,noitanimaxe dnoces eht rof gniyduts setunim 2m sdne ps ehs fI .5/ 1m = 1x e b lliw maxe siht no erocs reh ,noitanimaxe tsr� eht rof )5 .hC(

ECI O HC

65

.6 fo ytilitu a suniL evig taht seldnub gnitcennoc evruc ecnere�idni eht hcteks ot kni kcalb esU .)3 ,3( = ) y ,x( tnio p eht hguorht gnissap evruc ecnere�idni eht ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO )a( . y3 + x = ) y ,x( U noitcnuf ytilitu eht sah suniL )0( 7.5 ).x fo stinu 001 sesoohc eh fi gnidnamed e b tsum eh y hcum woh tuo ba kniht tuB .noitseuq siht rewsna ot noitamrofni elttil o ot si ereht kniht thgim uoy tsr� tA :tniH( .051,1 ?emocni s’remlE si tahW .x fo stinu 001 syub remlE dna 51 si y fo ecirp eht dna 01 si x fo ecirp eht taht eso ppuS )h(

x 42

02

61

21

8

4

0

ev ruc kcalB eldnub nesohC

)5,61(

enil kcalB

4

8 sev ruc eulB

21

ev ruc eulB 61 y

.) 2, 4 (

?noitautis siht ni esoohc remlE seod

eldnub tahW .8 si emocni sih dna ,2 si y fo ecirp eht ,1 si x fo ecirp eht nehw enil tegdub s’remlE ward ot kni kcalb esu ,hparg emas eht nO )g(

.2y = x

?evruc

siht rof noitauqe eht si tahW .sknik evah sevruc ecnere�idni s’remlE hcihw ta stnio p fo sucol eht wohs ot kni kcalb esu ,hparg ruoy nO ) f( .)5 ,61( tnio p eht hguorht sessap taht evruc ecnere�idni eht dna )1 ,1( eldnub eht sa llew sa yltcaxe sekil eh taht seldnub sniatnoc taht remlE rof evruc ecnere�idni eht ward ot kni eulb esu ,hparg emas eht nO )e( E MA N

75

).llew sa ruoh na fo noitcarf yna rof sdloh sihT( .llib ruoy morf srallod t tcuded ot teg uoy ,no on 21 retfa ro erofe b sruoh t hcnul rof pu wohs uoy fi :emit hcnul ta sdworc eht ecuder ot ycilo p gniwollof eht detpoda sah ,thguohT rof d ooF ,renid etirovaf siH ?3 retpahC morf digiR hplaR dneirf ruo re bmemeR )2( 8.5

. ) 0, 8(

?8 si emocni sih dna ,4 si

y fo ecirp eht ,1 si x fo ecirp eht fi esoohc suniL dluow eldnub tahW )c(

.) 4, 0(

?noitautis siht ni eso ohc suniL seod

eldnub tahW .8 si emocni sih dna 2 si y fo ecirp eht dna 1 si x fo ecirp eht fi enil tegdub s’suniL ward ot kni der esu ,hparg emas eht nO )b(

X 61

21 ev ruc eulB

8

4

ev ruc )3,3( kcalB enil deR

0

4

8

21

61 Y

)5 .hC( ECI O HC

85

.tinu re p 1$ ta doof yub ot sesu eh ,seitilitu eht gniyap retfa revo tfel si revetahW .htnom re p 3$ stsoc ti ,eerged a yb tnemtrapa sih looc ot gninoitidnoc-ria esu oT .)seerged net ti esiar ot htnom re p 02$ ro( htnom re p 2$ stsoc ti ,eerged eno yb tnemtrapa sih fo erutare pmet eht esiar oT .ti slooc eh nehw stsoc gninoitidnoc-ria dna tnemtrapa sih staeh eh nehw stsoc gnitaeh fo tsisnoc sesne pxe seitilitu siH .tnemtrapa sih ni seitilitu dna d oof sih rof yap tsum eh 001$ siht fo tuO .htnom a 001$ gninrae ,yroeht ecirp etaidemretni ni redarg a emoce b sah eoJ ,yb teg ot redro nI .tnemtrapa na no tner eht dna noitiut sih srevoc taht pihswollef a sah eH .U gib eht ta devirra tsuj sah darG eoJ )0( 9.5

.M.A 11 ta tae ot gnisoohc sih htiw tnetsisnoc e b dluow taht hplaR rof sevruc ecnere�idni der emos warD .paehc yltneic�us si d oof eht fi emit rehtona ta tae ot gnilliw si eh taht tub ,no on 21 si emit hcnul derreferp s’hplaR taht llaceR )b(

)?.M.A 11 ta ?.M.P 1 ta ?noon ta eta eh fi tfel evah eh dluow yenom hcum woH :tniH( .01$ stsoc noon ta hcnul taht dna dne ps ot latot 02$ sah eh taht emussA .hcnul naht rehto sgniht no dne ps ot evah lliw eh taht yenom fo tnuoma eht serusaem sixa lacitrev eht dna ,hcnul stae eh taht yad fo emit eht serusaem sixa latnoziroh eht ,hparg siht nO .tes tegdub s’hplaR wohs ot kni eulb esU )a(

emiT 2

1

21

11

01 0

5

tes tegdub eulB

01 sev ruc deR 51

02 yenoM

E MA N

95

. re b me ce D dn a t s ug uA

?evruc ecnere�idni sih fo e pols

eht ot lauqe tniartsnoc tegdub s’eoJ fo e pols eht si shtnom tahw nI )d( .tsuguA ni naht re bmeceD ni �o rette b si eoJ )iii( .re bmetpeS ni rehtien dna ,tsuguA ni gninoitidnoc-ria ,re bmeceD ni ecanruf eht esu ot sesoohc eoJ )ii( .ti looc ro ti taeh ot gnihton mih tsoc ti fi seerged 56 e b dluow tnemtrapa sih rof erutare pmet etirovaf siH )i( .eurt era gniwollof eht taht yaw a hcus ni eoJ rof sevruc ecnere�idni )ykniknu( htooms wef a warD )c( .)kni der ni( tsuguA dna )kni eulb ni( re bmeceD fo shtnom eht rof stniartsnoc tegdub s’eoJ ward ,evo ba desu uoy hparg emas eht nO .seerged 58 si edistuo erutare pmet eht elihw scimonoceorcam dnatsrednu ot gniyrt si eoJ roo p tsuguA ni dna seerged 03 si erutare pmet edistuo eht ,re bmeceD nI )b( ).enil thgiarts elgnis a yb dednuo b ton si tes tegdub sih ,yltnerappA .dro�a nac eoJ taht stnio p eerht dnuof tsuj evah uoY :tniH( .)kni kcalb htiw( tniartsnoc tegdub re bmetpeS s’e oJ wohs ,wole b hparg eht nO .d oof no dne ps ot tfel 07$ evah dluow eh ,seerged 05 ot mo or eht delo oc eh fI .do of no dne ps ot tfel

08 $

evah dluow eh ,seerged 07 ot mo or eht detaeh eh fI

.doof no dne ps ot tfel 001$ evah lliw eh dna seerged 06 e b lliw moor sih ni erutare pmet eht ,gnilooc ro gnitaeh no gnihton sdne ps eh fI .seerged 06 si tnemtrapa sih fo erutare pmet eht ,re bmetpeS ni sevirra tsr� e oJ nehW )a( e ru ta repmeT 001

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

02

04

06 tnia r tsnoc tegdub deR tnia r tsnoc tegdub kcalB

tnia r tsnoc tegdub eulB 08

tsuguA

rebme tpeS

rebmece D 001

021 dooF

)5 .hC( ECI O HC

06

.stnemges enil owt eseht ward ot kni der esU .)000 ,06 ,0( = ) X ,C( tnio p eht ot )000,03,000,03( = ) X ,C( morf snur tnemges enil sihT .sretupmoc no 000,03$ naht ssel sdne ps .S.H.C erehw sesac eht ot sdno pserroc tnemges enil rehtonA )c(

. )0 00 ,0 4 , 0 00 ,0 3(

= ) X ,C(

tnio p eht ot )0 ,000 ,07( = ) X ,C( tnio p eht morf snur tnemges enil sihT .sretupmoc no 000,03$ tsael ta sdne ps .S.H.C erehw sesac eht se bircsed stnemges eseht fo enO .stnemges enil gnipols-drawnwod etarapes owt sah tes tegdub s’loohcS hgiH lartneC fo yradnuo b eht ,detpoda si B nalp fI )b( .detpoda si A nalp fi lo ohcS hgiH lartneC rof enil teg -dub eht ward ot kni kcalb esU .000 ,07 = X + C .detpoda si A nalp fi tegdub s’loohcS hgiH lartneC rof noitauqe na etirW )a( .000,01$ ot detimil e b dluow etats eht morf teg dluoc loohcs hgih yna taht sdnuf gnihctam fo tnuoma mumixam eht taht tpecxe ,C nalp ekil si nalp sihT :D nalP .stnec 05 loohcs eht evig lliw etats eht ,sredro lo ohcs hgih a taht sretupmoc fo htrow s’rallod yreve roF ”.tnarg gnihctam“ a si C nalP :C nalP .sretupmoc no erutidne pxe sti esaercni ot evah t’nse od ti tub ,tnarg eht eviecer ton seod ti esac hcihw ni ,etapicitrap ot ton esoohc nac lo ohcs hgih ynA .sretupmoc no sdne ps yltnerruc ti naht erom 000,01$ tsael ta tne ps loohcs eht sa gnol os ,loohcs hgih yna ot tnarg 000,01$ a evig dluow nalp sihT :B nalP .dehsiw ti sa dne ps dluoc loohcs eht taht etats eht ni loohcs hgih hcae ot 000,01$ fo tnarg a evig dluow nalp sihT :A nalP .deso porp nee b evah snalp gniwollof ehT .noitcidsiruj sti rednu sloohcs hgih eht ni ”ycare -til retupmoc“ egaruocne ot stnaw noissimmoC noitacudE etatS ehT .sretupmoc no 000,02$ dne ps ot snalp yltnerruc .S.H.C .sgniht rehto no serutidne pxe si X dna sretupmoc no erutidne p -xe si C erehw ,000 ,06 = X + C si noitauqe tegdub sti os ,�uts rehto dna sretupmoc no dne ps ot 000,06$ sah loohcS hgiH lartneC )0( 01.5 ).hparg ruoy ta ylluferac ko oL :tniH( naht regral on dna

2-

.3

naht rellams on e b tsum ti taht wonk

od ew tub ,yltcaxe noitutitsbus fo etar lanigram sih enimreted tonnac ew ,re bmetpeS ni tnemtrapa sih slooc ron staeh rehtien eoJ ecniS ) f(

.3

si SRM sih ,tsuguA nI

. 2-

si tiehnerhaF seerged

dna doof neewte b noitutitsbus fo etar lanigram s’eoJ re bmeceD nI )e( E MA N

16

.sretupmoc no sdne ps .S.H.C taht tnuoma eht tce�a lliw melborp tsal eht ni de bircsed snalp suoirav eht woh enimreted ot yrt su teL . 2 X C = ) X ,C( U noitcnuf ytilitu eht yb detneserper e b nac taht secnereferp sah loohcS hgiH lartneC taht eso ppuS )0( 11.5 s re tupmoc fo h t row s rallod fo sdnasuohT 06

05

04

03

02

01

0

01

02

)B nalp( enil tegdub deR

03

)C nalp( enil tegdub eulB

04

05

)D nalp( enil tegdub licneP )A nalp( enil tegdub kcalB

06 sgnih t reh to fo h t row s rallod fo sdnasuohT

.enil tegdub siht ward ot licne p esU eht fo e pols ehT

.5.−

.1−

si tnemges re peets

si tnemges enil retta� eht fo e pols ehT ) f(

. 00 0, 05 si slairetam lanoitcurtsni rehto no erutidne pxe dna

0 00 , 02

si sre

-tupmoc no erutidne pxe erehw tnio p eht ta tcesretni taht stnemges enil owt fo stsisnoc tegdub s’tcirtsid lo ohcs eht ,detpoda si D nalp fI )e(

. 00 0, 0 6= X+ C5 .

.enil tegdub siht ward ot kni eulb esU noitauqe eht sah enil tegdub sti eroferehT .sgniht

rehto no dne ps ot tfel srallod C5. − 000 ,06 = X evah lliw ti neht ,sretup -moc no srallod C sdne ps loohcS hgiH lartneC dna detpoda si C nalp fI )d( )5 .hC( ECI O HC

26

.)8 ,08( ?ssorc senil tegdub owt eht od erehW .nalp dnoces eht sesoohc ohw enoemos rof enil tegdub a ward ot kni der esU .nalp tsr� eht seso ohc ohw enoemos rof enil tegdub a hcteks ot kni kcalb esu ,wole b hparg eht nO )a(

.dne ps ot htnom re p 02$ fo latot a evah uoy taht eso ppuS .ekam uoy taht llac enohp lac ol hcae rof stnec 5 degrahc e b dna htnom re p 8$ yap nac uoy ,ylevitanretlA .llac re p egrahc lanoitidda on ta ,tnaw uoy sa sllac enohp lacol ynam sa ekam nac uoy htnom re p 21$ fo eef a roF .snalp gnicirp tnere�id owt neewte b esoohc ot eno swolla ynapmoc enohpelet ehT )0( 21.5

.3 33 , 32

.tniartsnoc tegdub sti ot tcej bus ytilitu s’tcirtsid eht sezim

-ixam taht sretupmoc no erutidne pxe eht dn� ,detpoda si D nalp fI ) f(

.0 00 , 04

.tniartsnoc tegdub sti ot tcej bus ytilitu s’tcirtsid eht sezim

-ixam taht sretupmoc no erutidne pxe eht dn� ,detpoda si C nalp fI )e(

.0 00 ,0 3

).hparg ruoy ta

kooL :tniH( .tniartsnoc tegdub sti ot tcej bus ytilitu s’tcirtsid eht sezim -ixam taht sretupmoc no erutidne pxe eht dn� ,detpoda si B nalp fI )d(

. en i l t eg du b eh T

?enil tegdub eht ro evruc ecnere�idni eht

,re peets si hcihw ,tnio p siht tA .detpoda si B nalp fi )000,04 ,000,03( tnio p eht hguorht sessap taht evruc ecnere�idni eht hcteks ,hparg ruoy nO )c(

.3 33 , 32

.tniartsnoc tegdub sti ot tcej bus ytilitu s’tcirtsid eht sezim

-ixam taht sretupmoc no erutidne pxe eht dn� ,detpoda si A nalp fI )b(

. 00 0, 02

.tniarts

-noc tegdub sti ot tcej bus ytilitu s’tcirtsid eht sezimixam taht sretupmoc no erutidne pxe eht dn� ,snalp wen eht fo enon stpoda etats eht fI )a( E MA N

36

.roivahe b siht htiw tnetsisnoc era taht ecilA rof sevruc ecnere�idni warD . C eldnub eht ro A eldnub eht rehtie naht rette b B eldnub eht ekil tsum ehs ,gge 1 yub ot seso ohc ecilA fI . C ti le bal dna tnio p siht tolP .)6 ,2( si sgge 2 syub ehs erehw tnio p ehT )b( . B ti le bal dna tnio p siht tolP ).ynne p a fo 4/1 si gnihtraf A( .) 43 2 ,1( si gge 1 syub ehs erehw tnio p eht ,hparg ruoy nO .A ti le bal dna tnio p siht tolP .)8 ,0( si sgge on syub ehs erehw tnio p ehT .stnio p eerht tsuj fo stsisnoc tes tegdub reh nehT .sgge lanoitcarf on tub ,peehS eht morf sgge 2 ro ,1 ,0 rehtie yub nac ehs taht dna dne ps ot ecne p 8 fo latot a sah ecilA taht eso ppuS .yrots siht htiw tnetsisnoc era taht sevruc ecnere�idni dna tes tegdub a ward ot yrt su teL )a( ”.wonk uoy ,ecin lla ta e b t’nthgim yehT“ ,flesreh ot thguoht ehs roF .retnuoc eht no nwod yenom eht tup ehs sa ,ecilA dias ”,esaelp eno evah ll’I nehT“ .peehS eht dias ”,owt yub uoy fi hto b meht tae tsum uoy ylnO“ .esrup reh tuo gnikat ,dias ecilA ”?eno naht re paehc era owt nehT“ .deilper peehS eht ”,owt rof ecne powt—eno rof gnihtraf ecne peviF“ ”?meht lles uoy od woH“ .yldimit dias ehs ”.esaelp ,gge na yub ot ekil dluohs I“ .elbacce pmi si gninosaer reh ,deedni ,tub ,esnesnon gniklat si ecilA taht mees yam ti ,ecnalg tsr� tA .sisylana cimonoce fo tib ecin a stneserp ecilA s’llorraC ereH .sgniht gnilzzup tuo ba gninos -aer luferac devol llorraC .tsitneics lacitilo p dna ,naicigol ,naicitamehtam a saw ,ssalG gnikooL eht hguorhT dna dnalrednoW ni ecilA fo rohtua ,)8981-2381( llorraC siweL .nuf rof tsuj—elzzup a si sihT )1( 31.5 .dnoces eht ot nalp tsr� eht sreferp ohw enoemos rof evruc ecnere�idni na ward ot kni eulb esU .tsr� eht ot nalp dnoces eht sreferp ohw eno -emos rof sevruc ecnere�idni ward ot licne p esu ,evo ba hparg eht nO )b( sllac enohp lacoL 021

001

08

06

04

02

0

4 enil kcalB enil deR

ev ruc eulB

8

21 ev ruc licneP 61 sdoog reh t O

)5 .hC( ECI O HC

46

sggE 4

3

2

1

b

0

2

4 c

6 a

8

sdoog reh t O

E MA N

56

)5 .hC( ECI O HC

66

.orez si 2p ot tce pser htiw )m , 2p , 1p( 1x fo evitavired eht taht sne ppah tsuj tI .m dna , 2p , 1p fo noitcnuf a sa 1 d ooG rof dnamed gnitirw ni mrah on si ereht ,llitS .ecirp s’do og rehto eht no ton tub emocni no dna ecirp nwo s’doog eht no sdne ped doog a rof dnamed ,ytilitu salguoD-bboC htiw ,elpmaxe roF .selbairav eseht fo lla yb detce�a e b ton yam doog a rof dnamed ,snoitcnuf ytilitu emos roF ∗ siht ni sne ppah tahW .noitcnuf dnamed a sa esnes ekam t’nseod ti neht ,evitagen si snoisserpxe eseht fo rehtie fI .0 > 2p01 − 1p2 + m dna 0 > 2p01 + 1p2 − m fi ylno evitiso p e b lliw snoisserpxe eseht taht ecitoN .dnuof tsuj ew ”snoitcnuf dnamed“ eht htiw tuo ba yrrow ot tfel gniht eno si erehT 2p2 . = 2x 2p01 − 1p2 + m 1p2 = 1x + 1p2 − m 2p01

si ”snoitcnuf dnamed“ owt eht rof noitulos eht taht dn� lliw uoY .arbegla loohcs hgih gnisu ,flesruoy snoitauqe eseht evlos nac uoY . 2x dna 1x ,snwonknu owt eht ni snoitauqe raenil owt su sevig sihT .m = 2x 2p + 1x 1p ,noitauqe tegdub eht yfsitas osla tsum nesohc eldnub ehT . 2p01 + 2x 2p = 1p2 + 1x 1p sdn� eno ,noitauqe ycnegnat eht gniylpitlum-ssorC .)2 + 1x(/)01 + 2x( = 2p/ 1p si ”noitauqe ycnegnat“ eht eroferehT .2 + 1x = ) 2x , 1x( 2U M dna 01 + 2x = ) 2x , 1x( 1U M ,noitcnuf ytilitu siht roF .noitutitsbus fo etar lanigram eht slauqe oitar ecirp eht fi ) 2x , 1x( ta evruc ecnere�idni eht ot tnegnat e b lliw enil tegdub ehT .enil tegdub reh ot tnegnat si evruc ecnere�idni reh hcihw ta enil tegdub reh no ) 2x , 1x( eldnub ytidommoc a dn� ot deen ew ,)m , 2p , 1p( 2x dna )m , 2p , 1p( 1x dn� oT .)01 + 2x()2 + 1x( = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu htiw remusnoc a redisnoC :e lpmaxE .sehcuot ti taht evruc ecnere�idni tsehgih eht dna enil tegdub reh neewte b ycnegnat fo tnio p a sesoohc remusnoc eht ,sknik on evah sevruc ecnere�idni dna seitid ommoc lla fo stnuoma evitiso p gnisoohc si remusnoc eht nehW .)m , 2p , 1p( 2x dna )m , 2p , 1p( 1x ∗ sa 2 dna 1 sdo oG rof snoitcnuf dnamed etirw ew ,sd oog owt era ereht erehW .emocni no dna sdo og rehto fo ecirp eht no osla tub ,ecirp nwo sti no ylno ton dne ped yam dednamed d oog hcae fo tnuoma eht ,lareneg nI .tnaw dluow remusnoc a do og hcae fo hcum woh ,eman ot tnaw thgim uoy emocni dna secirp yna rof su llet hcihw ,snoitcnuf dnamed dn� eW .rehtruf pets a aedi siht ekat ew ,retpahc siht nI .noitautis emocni-ecirp c�ice ps a ni esoohc dluow noitcnuf ytilitu nevig a htiw remusnoc a taht eldnub ytidommoc eht dnuof uoy ,retpahc suoiverp eht nI .noitcudortn I

dname D E MA N

6 retpahC

. Ax/ Bx = Bp/ Ap

:de�sitas si noitauqe gniwollof eht fi ) Bx , Ax(

tnio p eht ta enil tegdub sih ot tnegnat e b lliw evruc ecnere�idni s’eil -rahC . Bp/ Ap− si enil tegdub s’eilrahC fo e pols ehT . Ax/ Bx− = ) Bx , Ax( 2U M/) Bx , Ax( 1U M− si ) Bx , Ax( eldnub eht ta evruc ecneref

-fidni s’eilrahC fo e pols ehT .m = Bx Bp+ Ax Ap si enil tegdub s’eilrahC rof noitauqe eht ,m si emocni s’eilrahC dna Bp dna Ap era secirp eht nehW )a( .)m , Bp , Ap( Bx ,sananab rof noitcnuf dnamed sih dna ,)m , Bp , Ap( Ax ,selppa rof noit -cnuf dnamed sih dn� ot tnaw eW . Bx Ax = ) Bx , Ax( U si noitcnuf yti -litu siH .sananab dna selppa gnimusnoc llits—kcab si eilrahC )0( 1.6 .noitauqe dnamed elpmis a nevig ,evruc dnamed esrevni na fo noitauqe eht etaluclaC •

.dnamed tuo ba noitamrofni ta gnikool morf seitissecen dna ,seiruxul ,sdoog roirefni ,sd oog lamron ezingoceR • .evruc dnamed a ta gnikool morf setutitsbus dna stnemelpmoc ezingoceR • .sevruc ecnere�idni enil-thgiarts htiw sremusnoc rof dna sevruc ecnere�idni deknik htiw sremusnoc rof snoitcnuf dnamed dniF •

.snoit -cnuf ytilitu raenilisauq htiw sremusnoc rof snoitcnuf dnamed dniF • .snoitcnuf ytilitu ralimis rehto dna salguoD-bboC htiw sremusnoc rof snoitcnuf dnamed dniF •

:gniwollof eht od ot elba e b lliw uoy taht e poh ew ,tuokrow siht dehsin� evah uoy nehW .uoy htiw kcits lliw gnikniht fo tibah eht tub ,tegrof lliw uoy salumroF .salumrof eziromem tsuj t’noD .shparg htiw eldd� dna knihT .od ot uoy tnaw ew tahw si tahT .gniod era uoy tahw tuo ba kniht dna hparg a ward ot evah yam uoy netfo tuB .ysae ytterp yllausu era snoitatupmoc ,sesac ynnuf eht nI .siht si nosaer ruO ”.sesac ynnuf“ rehto dna ,sevruc ecnere�idni enil thgiarts ,sevruc ecne -re�idni yknik ot noitnetta hcum os yap ew yhw rednow thgim uoY .dnamed rof evlos neht nac uoy ,noitauqe tegdub eht dna noitauqe siht htiW ”.era sknik eht erehw“ uoy sllet taht noitauqe na dn� lliw uoy ,noitauqe ycnegnat a gnidn� fo daetsni ,yllacipyT .arbegla elttil a gniod dna smargaid ta gnikool yb ylisae etiuq snoitcnuf dnamed eht rof evlos ot elba e b lliw uoy ,sknik htiw smelborp eht nI .knik a ta detacol si taht eldnub a esoohc yam ehs ,sevruc ecnere�idni reh ni sknik sah remusnoc a nehW .enil tegdub reh ot tnegnat e b ton lliw evruc ecnere�idni reh ,tnio p siht tA .d oog eno ylno semusnoc ehs erehw ”noitulos yradnuo b“ a esoohc lliw remusnoc eht taht si esac )6 .hC(

D NA ME D

86

= 1x si noitulos ehT .noitauqe tegdub . 1p 2p2 2� � eht gnisu neve tuohtiw 1x rof evlos nac uoy ,enil tegdub eht fo e pols eht ot lauqe e pols siht gnitteS

. 1x2√ −

si ) 2x , 1x( ta evruc ecnere�idni

s’esorbmA fo e pols ehT .stun rof noitcnuf dnamed sih dn� su teL )a(

.seirre b fo noitpmusnoc sih si 2x dna stun fo noitpmus -noc sih si 1x erehw , 2x + 1x 4 = ) 2x , 1x( U si noitcnuf ytilitu s’esorb √ -mA .seirre b dna stun sih dna esorbmA ot nruter sthguoht ruO )0( 3.6

. ) b+ a( /a

? 1x no dne ps re bmem ylimaf taht lliw emocni

reh ro sih fo noitcarf tahw ,sre bmun evitiso p era c dna ,b ,a erehw 2bx a1xc = ) y ,x( U noitcnuf ytilitu a sah re bmem ylimaf a fI .tnatsnoc evitiso p a yb deilpitlum e b yam seitilitu rieht ro ,tnere�id e b yam stneno pxe eht tub ,snoitcnuf ytilitu ralimis evah ylimaf s’guoD fo sre bmem rehtO )c(

. 5/ 2

? 1x no dne ps salguoD

seod emocni sih fo noitcarf tahw ,dro�a nac eh eldnub tse b eht gnimusnoc si eh nehW ).enil tegdub sih fo e pols eht htiw evruc ecnere�idni sih fo e pols eht setauqe taht noitauqe eht ta kooL :tniH( .3/2 = 12xx 12pp neht ,) 2x , 1x( ta evruc ecnere�idni sih ot tnegnat si enil tegdub s’dle�nroC fI )b(

. 1x3/ 2x2−

si ) 2x , 1x( tnio p eht ta evruc ecnere�idni s’dle�nroC fo e pols ehT )a(

. 2p dna 1p era 2x dna 1x fo secirp ehT . 32x 21x = ) 2x , 1x(u noitcnuf ytilitu eht yb detneserper era secnereferp s’dle�nroC salguoD )0( 2.6

.2/1

?siht si noitcarf tahW .sananab no emocni

sih fo noitcarf emas eht sdne ps syawla eilrahC .sananab fo ecirp eht dna emocni no ylno sdne ped sananab rof dnamed eht ,ylralimiS .selppa fo ecirp eht dna emocni no ylno sdne ped selppa rof noitcnuf dnamed eht ,noitcnuf ytilitu s’eilrahC rof tuB .emocni no dna seitidommoc hto b fo ecirp eht no dne ped lliw seitidommoc hto b rof dnamed eht ,lareneg nI )c(

. Bmp2 = )m , Bp , Ap( Bx A si sananab rof noitcnuf dnamed sih dna , p2 = )m , Bp , Ap( Ax si selp m -pa rof noitcnuf dnamed s’eilrahC . Bx dna Ax rof snoitauqe owt eseht evloS .dednamed eldnub eht yb de�sitas e b tsum taht ,noitauqe ycneg -nat eht dna noitauqe tegdub eht ,snoitauqe owt evah won uoY )b( E MA N

96

).)m , tp , sp(t tp si seikniwT no sdne ps eh taht yenom fo tnuoma ehT :tniH( . sp elbairav eht yleman , sp dna , tp ,m selbairav eerht eht fo eno ylno no sdne ped ti taht ytre porp railuce p eht sah seikniwT no sdne ps eh taht yenom fo tnuoma latot eht neht ,sdoog hto b syub elbbirF fi ,noitcnuf ytilitu laice ps siht rof taht ecitoN )c(

. tp/ sp = )m , tp , sp(t

si seikniwT

rof noitcnuf dnamed s’dlanoD .emocni sih no ton dna oitar ecirp eht no ylno sdne ped seikniwT rof noitcnuf dnamed s’dlanoD ,sd oog hto b syub eh fi taht wohs ot trap tsal eht ni dnuof uoy noitauqe eht esu nac uoY )b( ).1 si s ot tce pser htiw s fo evitavired eht dna ,t/1 si t ot tce pser htiw t nl fo evitavired ehT :tniH( . sp/ tp = t/1 .spmats fo ecirp eht ot seikniwT fo ecirp eht fo oitar eht ot lauqe si spmats rof ytilitu lanigram sih ot seikniwT rof ytilitu lanigram s’elbbirF fo oitar eht taht syas taht noisserpxe na etirW )a( .m si emocni s’dlanoD . tp si seikniwT fo ecirp eht dna sp si spmats fo ecirp ehT .semusnoc eh seikniwT fo re bmun eht si t dna stcelloc eh spmats fo re bmun eht si s erehw t nl + s = )t ,s(u noitcnuf ytilitu eht yb detneserper era secnereferp s’elbbirF taht tuo snrut tI .seikniwT ssetsoH era semusnoc elbbirF taht spmats naht rehto sgniht ylno ehT .rotcelloc pmats a si elbbirF dlanoD )0( 4.6

.6 1

> M fi ylno dna fi

sd oog hto b fo tnuoma evitiso p a dnamed lliw esorbmA ,2 = 2p dna 1 = 1p secirp eht ta taht ees ew ,salumrof eht ta gnikooL .stun no emocni sih fo lla dne ps ot si tegdub siht htiw od nac esorbmA taht tse b ehT .0 ≥ 2x nehw evruc ecnere�idni na ot tnegnat ton si 9 = 2x2 + 1x enil tegdub eht taht e b tsum ti , 2x rof noitulos evitagen a teg ew ecniS . 5.3− = 2x dna ,

61

= 1x dn� uoy ,)b( dna )a( straP ni dnuof ew salumrof

eht otni sre bmun eseht gulp uoy fI .9 = M dna ,2 = 2p ,1 = 1p ,elpmaxe taht nI .seirre b on dna stun ylno demusnoc esorbmA erehw ”,noitulos yradnuo b“ a ta deko ol ew ,5 retpahC ni esorbmA detisiv ew nehW )c( 2p = 2x si rewsna ehT .secirp dna emocni fo . 12pp 4 − M noitcnuf a sa 2x rof evlos dna noitauqe tegdub eht otni 1x rof dnuof uoy taht noitulos eht gulP . M = 2x 2p + 1x 1p taht su sllet noitauqe tegdub ehT .dnamed lliw eh taht 1x fo tnuoma eht rof devlos uoy ,)a( traP nI .noitauqe tegdub eht deen ew woN .seirre b rof dnamed sih dn� su teL )b(

)6 .hC(

D NA ME D

07

.der ni sevruc ecnere�idni reh fo emos ward dna ,kni eulb ni enil tegdub s’yelrihS ward ,wole b hparg eht nO .1$ stsoc ree b ecnuo-61 a dna 57.$ stsoc ree b ecnuo-8 na taht eso ppuS .ree b no dne ps ot 03$ sah ehs taht dna reh ot elbaliava ree b fo sezis ylno eht era eseht taht eso ppuS .ree b fo nac ecnuo-61 eno sa doog sa yltcaxe era ree b fo snac ecnuo-8 owt taht skniht ,llacer lliw uoy sa ,kcapxiS yelrihS )0( 5.6 sei ti tnau Q 8 6

4

2

5.0

0

1 2

4

enil eulB

6

enil deR

8 emocnI ).1$ naht ssel semocni rof meht ward neht ,1$ naht retaerg semocni rof sevruc legnE eht ward tsriF :tniH( .kni eulb ni spmats rof evruc legnE sih dna kni der ni seikniwT rof evruc legnE s’elbbirF ward ,wole b hparg eht nO .1$ si spmats fo ecirp eht dna 2$ si seikniwT fo ecirp eht taht eso ppuS )g(

.s eY ). sp > m taht emussA( ?thgir ehs sI .spmats no lla ti sdne ps syawla eh ,rallod artxe na steg dlanoD revenehw taht snialpmoc efiw s’dlanoD ) f(

. tp/m = t

).mumitpo yradnuo b fo noissucsid eht llaceR :tniH( ?e b seikniwT rof dnamed sih dluow tahW 0 = s

?e b spmats egatso p rof dnamed s’elbbirF dluow tahw , sp < m fI .spmats egatso p fo stnuoma evitagen gnidnamed e b ot mih rof esnes on sekam ti yleruS . sp < m fi evitagen si nwod etorw tsuj uoy noisserpxe ehT )e( sp .1 − m = s . tp si seikniwT fo ecirp eht dna sp si spmats fo ecirp eht ,m si emocni sih fi yub lliw eh spmats fo re bmun eht rof noisserpxe na dn� ot seikniwT rof noitcnuf dnamed s’dla -noD dna noitauqe tegdub eht esU .spmats no tne ps e b tsum seikniwT no tne ps ton si taht yenom yna ,sdo og owt ylno era ereht ecniS )d(

E MA N

17

)?te�uM ssiM tuo ba yknik gnihtemos deciton uoy evaH :tniH( .sevruc ecnere�idni reh fo emos tolp dna ,enil tegdub s’te�uM ssiM ward ,wole b hparg eht nO .tinu re p 1$ tsoc sdruC .tinu re p 57.$ stsoc yehW .02$ fo emocni na sah ehS .sdruc fo tinu re p yehw fo stinu 2 fo oitar eht ni si yehw dna sdruc reh emusnoc lliw ehs yaw ylno eht tcaf nI ”.os tsuj“ sgniht evah ot sekil syawla te�uM ssiM )0( 6.6 .snoitanibmoc elbadro�a yna neewte b tnere�idni e b lliw ehs , 8p =

61p

fI

, 8p2 >

61p

.0 fI

2

si dnamed lliw ehs sree b ecnuo-61 fo re bmun eht neht

. 61p/m

si dnamed lliw ehs sree b ecnuo-61 fo re bmun eht

neht , 8p2 < 61p fI .m e b emocni reh tel dna , 61p dna 8p e b sree b ecnuo-61 dna ecnuo-8 fo secirp eht teL .emocni dna secirp lareneg fo noitcnuf a sa sree b ecnuo-61 rof noitcnuf dnamed s’yelrihS e bircsed ot yrt su tel woN )e(

. 0 5. $

?sree b

ecnuo-8 fo ecirp eht e b tsum tahw ,sree b ecnuo-61 emos dna sree b ecnuo-8 emos sesoohc yelrihS fi dna hcae 1$ si sree b ecnuo-61 fo ecirp eht fI )d(

. s na c 57

?neht yub ehs lliw sree b

ecnuo-8 ynam woH ?04.$ ot sllaf sree b ecnuo-8 fo ecirp eht fi tahW )c(

.o N

?sree b ecnuo-8 erom yub ehs lliW .55.$ ot sllaf sree b ecnuo-8

fo ecirp eht dna 1$ sniamer sree b ecnuo-61 fo ecirp eht taht eso ppuS )b(

. sn a c e cn uo - 61

?hcae

fo emos yub ehs lliw ro ,yub ehs lliw nac ezis hcihw ,secirp eseht tA )a( snac ecnuo-61 04 03

02

01

0

ev ruc deR

01 sev ruc deR

02

03

enil tegdub eulB

04 snac ecnuo-8

)6 .hC(

D NA ME D

27

.l la t a to N fo gnitnalp reh esaercni ehs dluohs hcum woH

ar t xe 0 0 1

?sllehs elkcoc

. s ll eb re vl is

?slle b revlis fo gnitnalp reh esaercni ehs dluohs hcum

woh ,nedrag reh rof teef erauqs 001 artxe na seriuqca ylneddus ehs fI )b( ).melborp dnamed yranidro na erew ti fi sa melborp eht evloS .ecaps rof ”tniartsnoc tegdub“ reh nwod etirW :tniH( .sllehs elkc oc 84 dna slleb revlis 803 tnalp dluohs yraM ,nedrag reh fo ezis eht nevig ,ytilitu reh ezimixam oT )a( .eerf rof sdees fo sdnik hto b steg ehS .teef erauqs 4 pu ekat hcae sllehs elkcoc dna toof erauqs 1 pu ekat hcae slle b revliS .sllehs elkcoc dna slle b revlis neewte b etacolla ot nedrag reh ni teef erauqs 005 sah ehS .sllehs elkcoc fo re bmun eht si c dna nedrag reh ni slle b revlis fo re bmun eht si b erehw , 2c − c001 + b = )c ,b( U si noitcnuf ytilitu s’yraM )1( 7.6 ).noitauqe tegdub reh si noitauqe dnoces ehT .sdruc sa yehw hcum sa eciwt semusnoc ehs taht uoy sllet noitauqe enO .snwonknu owt ni snoit 2/ cp+ wp

wp

= )m , wp , cp( D .emocni reh si m dna ,yehw fo ecirp eht si

.

-auqe owt gnivlos yb sdnamed reh rof evlos nac uoY :tniH(

m ,sdruc fo

ecirp eht si cp erehw ,emocni reh fo dna yehw dna sdruc fo secirp eht fo noitcnuf a sa yehw rof noitcnuf dnamed s’te�uM ssiM nwod etirW )b( sd ruC 23

42

61

8

0

enil tegduB 8

sev ruc ecne reffidnI

61

42 c2 = w

23 yeh W

. st i nu 6 1

?yehw fo stinu ynam woH

. st in u 8

?noitautis siht ni dnamed te�uM ssiM lliw sdruc fo stinu ynam woH )a( E MA N

37

ehT .scitsitatS robaL fo koobdnaH dehsilbup yllaunna eht ni dnuof e b nac atad cimonoce gnitseretni rehto fo htlaew a dna seiduts tegdub esehT .xedni ecirp remusnoc eht elipmoc ot stluser eht sesu dna stegdub ylimaf fo seiduts sekam yllacidoire p scitsitatS ro baL fo uaeruB s’tnemnrevog .S.U ehT .tcaf lautca no desab melborp a yrt ot ekil dluow uoy ,secalp dna elpoe p yranigami htiw smelborp eht fo lla retfa spahreP )0( 9.6

5 .3

dna aococ fo stinu

3

sdnamed re psaC

.eseehc fo stinu

.1/3 = 2/x2

”.evruc“ ecnere�idni sih fo e pols eht slauqe ”enil“ tegdub s’re psaC fo e pols eht ,) y ,x( tnio p eht ta taht syas taht noitauqe na etirW )b( aocoC 61

21

8

4

0

4 enil tegdub eulB 8 sev ruc ecne reffidni deR

21

61 eseehC

.sevruc ecnere�idni sih fo eerht ro owt hcteks ot kni der esU .kni eulb ni tes tegdub s’re psaC fo yradnuo b eht ward ,wole b hparg eht nO )a( . y + x3 = ) y ,x( U si noitcnuf ytilitu s’re psaC .eseehc fo noitpmusnoc sih si y dna aococ fo noitpmusnoc sih si x erehw 61 = y2 + 2x si ,erofereht ,noitauqe tegdub s’re psaC .tinu re p 2$ fo ecirp a ta yaw lausu eht ni dlos si eseehC .srallod 2x fo latot a re psaC tsoc lliw aococ fo stinu x ,tcaf nI .tinu re p yap ot sah eno ecirp eht rehgih eht ,mih morf syub eno aoc oc erom eht dna reilppus eno ylno si erehT .yaw lausunu na ni dlos si aocoC .61$ fo emocni na sah eH .eseehc dna aoc oc semusnoc re psaC )0( 8.6

. 29 1

naht retaerg e b tsum nedrag reh ni teef erauqs fo re bmun eht

taht wonk ew neht ,sllehs elkcoc dna slle b revlis hto b sworg yraM fI )d(

.63

?worg ehs dluow sllehs

elkcoc ynam woh ,nedrag reh ni teef erauqs 441 ylno dah yraM fI )c( )6 .hC(

D NA ME D

47

. no itat r op sn ar t ,g n ih to lc , em oh m or f ya wa d oo F

?slevel emocni tsom ta sdoog

yruxul fo noitin�ed s’koo btxet ruoy yfsitas sdoog eseht fo hcihW )c(

. me ht f o ll A

?sdo og lamron era sd oog eseht fo hcihW )b( .2.6 elbaT etelpmoC )a(

D

E

91

31

2.5

1.6

82

03

11

21

71

41

61 8 .9 92 1.4 12 C

41 0.9 03 7.4 22 B

8.7 7.6 53 8.3 62 A

noitatro psnarT gnihtolC gnisuoH emoH morf yawA dooF emoH ta deraperP dooF puorG emocnI

tegduB ylimaF fo noitac ollA egatnecreP 2.6 elbaT

80241 0943 8402 5471 5024 278 8481 E

5147 4551 2221 038 3402 483 2831 D

2715 9301 628 805 8051 312 8701 C

6363 547 915 823 0901 171 387 B

1871 463 931 911 626 86 564 A

serutidne pxE latoT rehtO noitatro psnarT gnihtolC gnisuoH emoH morf yawA dooF emoH ta deraperP dooF puorG emocnI

1691 ni spuorG emocnI suoiraV rof yrogetaC yb serutidne pxE 1.6 elbaT .tsehgih eht si E puorG dna puorg emocni tsewol eht si A puorG .semocni ralimis dah lla spuorg eseht fo hcae nihtiw elpoeP .1691 ni setatS detinU eht ni spuorg emocni tnere�id 5 rof sd oog fo seirogetac roj am niatrec no serut -idne pxe dna serutidne pxe noitpmusnoc tnerruc latot tro per wole b selbat E MA N

57

.s ek a c r o f d na me d se s ae rc ni e la fo ec ir p eh t n i es ae rc n i nA A

.e tu t it sb us

.nialpxE ?tnemelpmoc a ro sekac rof etutitsbus a ela sI )a(

.tinu re p 1$ si ela fo ecirp eht dna ,001$ si emocni s’ycreP .sekac fo noitpmusnoc sih si cq dna ,sekac fo ecirp eht si cp ,ela fo ecirp eht si ap ,emocni sih si m erehw , ap02 + cp03 − m = cq si sekac rof noitcnuf dnamed siH .ela dna sekac semusnoc ycreP )0( 01.6 sdoog cificeps no e ru tidnepxE 0003

0522

0051

057

0

3

6

9 enil licneP

enil deR

enil eulB

21

)s rallod fo sdnasuoh t( se ru tidnepxe la toT

. r ep ee t s s te g y t i s s ec e n a r o f e v r u c e ht , s e s i r em o c ni s a r e t t a l f s t eg y r u x ul a r o f ev r u c e h T

?ytissecen a rof evruc legnE na

fo e pahs eht morf re�id yruxul a rof evruc legnE na fo e pahs eht seod woH .gnihtolc rof evruc legnE na ward ot licne p esU .emoh morf yawa doof rof evruc legnE na ward ot kni eulb esU .emoh ta deraperp do of rof evruc legnE eht ward ot kni der esU ).evruc siht gniward fo seso prup rof emocni sa noitpmusnoc tnerruc no erutidne pxe latot esU( ”.sevruc legnE“ ward ot 1.6 elbaT morf noitamrofni eht esu ,wole b hparg eht nO )e(

. g ni su oh ,e m oh t a d er a pe rp do oF

?slevel emocni tsom ta sdoog

ytissecen fo noitin�ed s’koo btxet ruoy yfsitas sdo og eseht fo hcihW )d( )6 .hC(

D NA ME D

67

.kni der htiw enil tegdub wen rieht ward ,hparg eht nO .01 si keew re p yub nac yeht sno puoc fo re bmun mumixam eht ,revewoH .1$ stuotS eht stsoc no puoc hcaE .d oof fo htrow 2$ rof degnahcxe e b nac taht sno puoc yub dna ycnega eht ot og nac yeht taht snaem sihT .spmats doof rof elbigile emoce b ylneddus stuotS ehT )a( .A rettel eht htiw eldnub noitpmusnoc rieht le baL .enil tegdub a ward ot kni kcalb esu ,wole b hparg eht nO .tinu re p 1$ stsoc d ooF .sd oog rehto lla no 04$ dna doof no 04$ gnidne ps ,keew a 08$ no od gnikam era yehT .sremusnoc lanoitar niamer tub ,semit drah no nellaf evah tuotS yraM dna drahciR )0( 11.6

sekac fo rebmu N 021 09 06

03

0

1

eniL eulB

2

3

eniL deR

4 eci rP .sekac rof

evruc dnamed esrevni wen s’ycreP ni ward ot kni der esU

= cp

.03/ cq − 5

.sekac rof dnamed esrevni s’ycreP rof noitauqe na etirW .ereht

sniamer dna tinu re p 05.2$ ot sesir ela fo ecirp eht taht eso ppuS )d( ward ot kni eulb esU

.03/ cq − 4 = cp

. 3$

.sekac rof evruc dnamed esrevni s’ycreP ?sekac 03 yub ycreP dluow ecirp tahw tA

.1$ ta sniamer ela fo ecirp eht dna 001$ si emocni

erehw sekac rof noitcnuf dnamed esrevni s’ycreP rof noitauqe na etirW )c(

. cp03 − 021 = cq

.1$ dna 001$ ta dex� dleh era ela fo ecirp eht dna

emocni erehw sekac rof noitcnuf dnamed s’ycreP rof noitauqe na etirW )b( E MA N

77

?smaxe hto b no srewsna tcerroc fo re bmun emas eht evah tneduts eht lliW .yaw elbisso p tneic�e tsom eht ni smaxe owt eht neewte b emit eht setacolla dna smaxe owt eht rof gniyduts setunim M fo latot a sdne ps tneduts siht taht eso ppuS .maxe dnoces eht rof gniyduts fo setunim 2P stsoc noitanimaxe dnoces eht no thgir steg ehs ro eh taht rewsna yrevE .maxe tsr� eht rof gniyduts fo setunim 1P stsoc noitanimaxe tsr� eht no thgir steg tneduts eht taht rewsna yrevE .srewsna tcerroc on steg ehs ro eh ,noitanimaxe na rof yduts ton seod tneduts a fi taht eso ppuS )a( .erocs s’eno gnivorpmi fo stsoc emit eht fo noitcnuf a sa serocs maxe dna semit yduts fo eciohc s’nosre p a rof noitulos lareneg a dn� lliw ew ,noitces siht nI .seod ehs naht ssel yduts ot esoohc lliw emos dna ,seod ehs naht erom yduts ot eso ohc lliw elpoe p emoS .ycnaN naht rewols nrael emos dna retsaf nrael ssalc s’ycnaN ni elpoe p emoS .smaxe owt eht neewte b setunim 0021 etacolla ot reh rof yaw tse b eht dnuof uoy ,retpahc tsal eht nI .emit yduts fo setunim 02 reh stsoc rewsna tcerroc hcae ,maxe dnoces eht roF .emit yduts fo setunim 01 ycnaN stsoc rewsna tcerroc hcae ,maxe tsr� eht roF .snoitanimaxe owt no steg ehs srewsna tcerroc fo re bmun eht fo muminim eht si erocs llarevo reh hcihw ni esruoc scimonoce na gnikat si renreL ycnaN ,re bmemer yam uoy sA )2( 21.6

su luc laC

dooF 021

001

08

06

04 54

02

0

enil tegdub kcalB 02

enil tegdub deR

04

a

tniop noi tpmusnoc we N

06

08

001

021 sgnih t reh to fo h t row s rallo D

. st in u 5

?margorp pmats doof eht retne yeht ecno yub yeht

lliw do of erom hcum woh ,secnereferp citehtomoh evah stuotS eht fI )b( )6 .hC(

D NA ME D

87

.noitulos detaluclac ylisae ,taen a si ereht taht ees lliw uoy ,elttil a ti tuo ba kniht dna evruc ecnere�idni eht hparg uoy nehw tuB .noitseuq siht rewsna ot noitamrofni hguone ylraen ton si ereht taht rae ppa dluow ti ,ecnalg tsr� tA .uoy rof elzzup a si ereH )1( 31.6

.f la h n ah t ss eL

?s’ycnaN fo flah naht ssel ro ,flah ot lauqe

,flah naht retaerg e b esruoc eht rof erocs sih lliW

.2/1

.gniyduts

sdne ps ycnaN emit fo tnuoma eht ot gniyduts sdne ps dE emit fo tnuoma eht fo oitar eht dniF .ytilitu sih ezimixam ot sa os emit yduts fo tnuoma sih sesoohc osla dE .04 = 2P dna 02 = 1P ,mih rof taht os ,ycnaN sekat ti sa gnihtyna nrael ot gnol sa eciwt yltcaxe dE sekat ti tcaf nI .ycnaN naht ylwols erom snrael dE tuB .A fo eulav emas eht htiw ,s’ycnaN ekil tsuj si noitcnuf ytilitu s’dE .ssalc s’ycnaN ni tneduts a si sugnuF dE )d(

. 0001,63 = A ,ycnaN rof ,tcaf nI .noitcnuf ytilitu s’ycnaN ni A elbairav eht rof evlos ot noitamrofni hguone su sevig sihT .smaxe owt eht rof gniyduts setunim 002 ,1 = M fo latot a tne ps ehS .02 = 2P dna 01 = 1P ,ycnaN roF .flesreh rof emit yduts fo tnuoma gnizimixam-ytilitu eht esohc ehS .evo ba detneserp eno eht ekil noitcnuf ytilitu a sah renreL ycnaN )c( . 2) 2P+1 1P(A = S fo esruoc eht rof erocs llarevo na evah lliw ehs ro eh ,smaxe owt eht neewte b ylesiw ti setacolla dna emit yduts fo tnuoma gnizimixam-ytilitu eht seso ohc tneduts eht fI .A dna , 2P , 1P selbairav eht 2 1 fo noitcnuf a e b lliw rewsna ruoY . ) P+ P(A = M .ytilitu s’tneduts 1 eht sezimixam taht , M ,emit yduts fo tnuoma eht dn� ot M ot tce pser + 1P etutitsbuS htiw etaitnere�id neht dna noitcnuf ytilitu eht ni S rof 2PM + 1P = S fo erocs llarevo na teg lliw smaxe owt eht neewte b ylesiw . 2PM emit siht setacolla dna setunim M rof seiduts ohw tneduts a taht dnuof uoy ,melborp siht fo )a( traP nI .gniyduts sekilsid tneduts eht hcum woh stce�er taht elbairav a si A dna ,gniyduts sdne ps tneduts eht setunim fo re bmun eht si M ,esruoc eht rof erocs llarevo s’tneduts eht si S erehw ,2 M

2 − S = ) M ,S( U A

noitcnuf ytilitu eht sah tneduts a taht eso ppuS )b( .maxe dnoces eht rof gniyduts setunim

S 1P

S 2P

dna maxe tsr� eht rof gniyduts

dne ps tsum tneduts siht ,gniyduts fo tnuoma latot elbis

-so p tsellams eht htiw , S fo erocs llarevo na teg ot stnaw tneduts siht fI = S : M dna , 2P , 1P ,selbairav eerht eht fo noitcnuf a sa esruoc + 1P . 2PM

eht rof erocs llarevo s’tneduts siht rof alumrof lareneg a etirW

.s eY

E MA N

97

spih W 04 03

02

01

0

04 = x4 )01,51(

01 04 = y + x2 02

ev ruc ecne reffidnI

03

04 s tekcaj reh taeL

.002 = 5 × 01 + 01 × 51

?emocni s’okniK si tahw ,woN

. 5$

?tnio p siht sesoohc okniK fi stekcaj rehtael fo ecirp eht e b tsum tahW

.2−

?)01 ,51( ta evruc ecnere�idni siht fo e pols eht si tahW .)01 ,51(

tnio p eht hguorht sessap taht okniK rof evruc ecnere�idni eht hparG )a( .emocni s’okniK dn� ot era uoY .01$ si spihw fo ecirp ehT .stekcaj rehtael 01 dna spihw 51 gnimusnoc si okniK .stekcaj rehtael fo noitpmusnoc sih si y dna spihw fo noitpmusnoc sih si x erehw ,} y + x2 ,x4{nim = ) y ,x( U si noitcnuf ytilitu s’okniK .stekcaj rehtael dna spihw no yenom sih lla sdne ps okniK )6 .hC(

D NA ME D

08

oitar ecirp serye psaL eht ,raey tnerruc eht sa 0991 dna raey esab eht sa detaert si 0891 fI .61 = )2 × 4( + )4 × 2( si secirp 0991 ta eldnub emas siht fo tsoc ehT .01 = )2 × 3( + )4 × 1( si secirp 0891 ta eldnub 0891 eht fo tsoc ehT .)3 ,3( eldnub eht demusnoc remusnoc eht dna )4 ,2( erew secirp eht ,0991 nI .)2 ,4( eldnub eht demusnoc remusnoc a dna )3 ,1( erew secirp eht ,0891 nI .sdoog owt tsuj era ereht taht eso ppuS :e lpmaxE .xedni ecirp ehcsaaP eht dellac si xedni eht neht ,eldnub ecnerefer eht si eldnub noitpmusnoc s’raey tnerruc eht fI .xedni ecirp seryepsaL eht dellac si xedni ecirp gnitluser eht ,eldnub ecnerefer eht si eldnub raey -esab eht fI .seldnub tnere�id e b lliw eseht yllacipyT .raey esab eht ni demusnoc eldnub eht esu ot si ytilibisso p rehto ehT .eldnub ecnerefer eht rof eldnub noitpmusnoc s’raey tnerruc eht esu ot si ytilibisso p enO .dnim ot emoc eldnub ecnerefer eht rof seciohc elbanosaer owT .eldnub ytid ommoc ”ecnerefer“ emos fo sraey owt eht ni stsoc eht erapmoc ot si nosirapmoc siht ekam ot yaw enO ”.raey esab“ emos ni level ecirp eht htiw ”raey tnerruc“ eht ni level ecirp eht erapmoc ot tnaw ew taht eso ppus su teL .noitro porp emas eht ni degnahc secirp lla taht esac eht ylirassecen ton si ti ,ytidommoc eno naht erom si ereht fI .secalp tnere�id owt ro semit tnere�id owt neewte b slevel ecirp egareva fo nosirapmoc a si xedni ecirp A .sexedni ytitnauq dna ecirp tuo ba smelborp emos evah osla lliw uoY .)4 ,1( ot derreferp delaever yltcerid si )3 ,2( remusnoc siht rof taht yas nac ew os ,)4 ,1( secirp ta 31 ylno stsoc )2 ,5( eldnub eht ,elpmaxe roF .41 fo emocni na sah ehs nehw ,)4 ,1( secirp ta dro�a nac ehs taht seldnub rehto eht lla ot derreferp delaever yltcerid si )3 ,2( eldnuB .41 = )4 × 3( + )1 × 2( si secirp eseht ta ) A2x , A1x( eldnub fo tsoc ehT .)4 ,1( = ) A2p , A1p( secirp ta )3 ,2( = ) A2x , A1x( eldnub eht syub remusnoc a taht eso ppuS .rehtona ot derreferp delaever si eldnub eno rehtehw kcehc uoy woh fo elpmaxe na ta kool su teL :e lpmaxE .A ot derreferp delaever yltcerid ton si B neht , B ot derreferp delaever yltcerid si A fi taht syas moixa kaew ehT . B ot derreferp delaever yltcerid si A ,reh rof taht yas ew , B dro�a nac ehs nehw A sesoohc ydo bemos fI .A evah nac uoy nehw B esoohc reven lliw uoy neht , B naht rette b A ekil uoy fi tuB . B naht rette b A ekil tsum uoy , B dah evah dluoc uoy nehw A eso ohc uoy fi taht si moixa siht dnihe b aedi ehT .A dro�a osla nac ehs hcihw ni tegdub yna morf B eldnub esoohc reven lliw ehs neht , B eldnub dro�a nac ehs nehw A eldnub ytidommoc sesoohc remusnoc a fI .gniwollof eht syas moixa sihT .ecnere -ferp delaever fo moixa kaew eht si loot niam ehT .secnereferp s’remusnoc eht tuo ba gnihtemos ecuded tsum uoy dna roivahe b dnamed s’remusnoc a tuo ba noitamrofni nevig era uoy :dnuora ssecorp siht nrut ew retpahc siht nI .roivahe b dnamed reh ro sih rof devlos uoy neht dna secnere -ferp s’remusnoc a nevig erew uoy ,noitces tsal eht nI .noitcudortn I

ecnereferP delaeveR E MA N

7 retpahC

. oN

?ecnere

-ferp delaever fo moixa kaew eht htiw tnetsisnoc roivahe b s’eidloG sI )b( .B le bal eht htiw tegdub dnoces eht morf eciohc reh dna ,A le bal eht htiw tegdub tsr� eht morf eciohc reh kraM .kni eulb ni enil tegdub dnoces reh dna kni der ni enil tegdub tsr� s’eidloG wohs ,wole b hparg eht nO )a( .)0 ,01( eldnub eht seso ohc ehs ,)3 ,6( era secirp nehw dna ,)6 ,6( eldnub eht sesoohc eidloG ,)6 ,4( era secirp nehW )0( 1.7 .seirtnuoc ssorca dna emit ssorca gnie b-llew fo snosirapmoc ekam ot ecnereferp delaever fo aedi eht esU •

.roivahe b tuo ba snoit -cuded lacigol ekam ot secnereferp delaever fo moixa kaew eht esU •

.sexedni ytitnauq dna ecirp serye psaL dna ehcsaaP etaluclac ,atad noitpmusnoc dna ecirp neviG • .rehtona ot derreferp si eldnub ytidommoc eno rehtehw noitpmusnoc dna secirp tuo ba atad nevig morf ediceD •

:gniwollof eht od ot elba e b lliw uoy taht e poh ew ,noitces siht detelpmoc evah uoy nehW .61/81 si xedni ytitnauq ehcsaaP eht eroferehT .61 si secirp 0991 ta eldnub 0891 eht fo tsoc eht dna 81 si secirp 0991 ta eldnub 0991 eht fo tsoc ehT .01/21 si xedni ytitnauq serye psaL eht os ,01 si secirp 0891 ta eldnub 0891 eht fo tsoc eht dna 21 si secirp 0891 ta eldnub 0991 eht fo tsoc ehT .secirp 0891 ta eldnub 0891 eht fo tsoc eht ot secirp 0891 ta eldnub 0991 eht fo tsoc eht fo oitar eht si xedni ytitnauq serye psaL eht ,evo ba elpmaxe eht nI :e lpmaxE .secirp ecnerefer sa secirp tnerruc sesu xedni ytitnauq ehcsaaP eht dna ,secirp ecnerefer eht sa secirp raey-esab eht sesu xedni ytitnauq serye psaL ehT .xedni ytitnauq ehcsaaP eht dna xedni ytitnauq seryepsaL eht ,seitilibisso p elbanosaer owt tsael ta era ereht niagA .secirp ecnerefer emos ta detaulave seldnub ’sdoire p owt eht fo tsoc eht erapmoc dluoc ew emit sihT ?2 doog fo tnuoma eht ni segnahc ot evitaler 1 d oog fo tnuoma eht ni segnahc thgiew uoy od woH .melborp ralimis a stneserp sd oire p owt eht ni demusnoc �uts fo ”ytitnauq“ eht fo xedni na gnikaM .soitar ecirp tnere�id evig sehcaorppa owt eht ,yltnere�id dethgiew era segnahc ecirp eht esuace b tub ,esor secirp taht etacidni sexedni ecirp hto b taht ecitoN .21/81 si xedni ecirp ehcsaaP eht eroferehT .secirp 0891 ta 21 = )3 × 3( + )3 × 1( tsoc eldnub emas ehT .secirp 0991 ta 81 = )3 × 4( + )3 × 2( stsoc eldnub 0991 ehT .secirp 0891 ta eldnub emas eht fo tsoc eht ot secirp 0991 ta eldnub 0991 eht fo tsoc eht fo oitar eht dn� uoy ,oitar ecirp ehcsaaP eht etaluclac oT .01/61 si )7 .hC(

EC NEREFERP DELAEVER

28

.5 4 $

?won emocni s’ydderF si tahW )d(

. sd nu o p 54

?sugarapsa no

emocni sih fo lla tne ps eh fi won dro�a eh nac sugarapsa hcum woH )c(

. se Y

.2/1−

?enil siht fo e pols eht si tahW

?A tnio p eht hguorht og enil tegdub wen ruoy seoD .wole b

hparg eht no enil tegdub wen siht ward ot kni der esU .secirp wen eht ta elbadro�a tsuj saw )51,51( fo eldnub noitpmusnoc dlo sih taht os degnahc dah emocni s’ydderF ,ecnahc yB .dnuo p a 1$ ta deniamer sugarapsa fo ecirp eht tub ,dnuo p a 2$ ot esor seotamot fo ecirp eht keew txen ehT )b(

.0 3$

?emocni s’ydderF si tahW )a(

.A rettel eht htiw eldnub noitpmusnoc s’ydderF le baL .wole b margaid eht ni enil tegdub eht wohs ot kni eulb esU .hcae fo sdnuo p 51 demusnoc ydderF ,dnuo p a 1$ hcae erew seotamot dna sugarapsa fo secirp eht nehw ,keew enO .snrae eh sa hcum sa sdne ps eh keew hcae os ,worromot fo skniht reven eh ;dnim t’nseod ydderF tuB .rehtaew eht no gnidne ped emocni gnitautcu� a sedivorp hcihw ,gnivil a rof sallerbmu slles eH .dlrow eht fo trap s’ydderF ni sporc lanosaes ylhgih era hcihw ,seotamot dna sugarapsa ylno semusnoc cilorF ydderF )0( 2.7

1 dooG 02 51

01

5

0

b enil deR

a

5

01

enil eulB

51

02 2 dooG E MA N

38

,s ec ne r ef er p em as e h t dah ye ht f I . e lp ma xe r of , da er b 0 d n a e ni w 5. 7

.setsat s’erreiP sa emas eht

ton era setsat s’boB taht wonk dluow ew ,eldnub siht thguo b boB fi ,taht hcus daerb dna eniw fo eldnub noitpmusnoc a fo elpmaxe na eviG .emocni sih fo lla sdne ps boB taht eso ppuS .erofe b sa si noitpmusnoc s’erreiP taht dna evo ba sa era boB dna erreiP rof semocni dna secirp eso ppuS )b(

. t fe l e mo cn i e va h l li ts d na e l dn ub s ’ er re iP d r of fa na c e H r et te b s i bo B

.f fo

.nialpxE ?asrev eciv ro erreiP naht �o rette b

si boB rehtehw llet uoy nac ,setsat emas eht evah erreiP dna boB fI )a( .yad re p 51$ fo emocni na sah boB .ssalg re p srallod 2 si eniw fo ecirp eht dna faol re p rallod 2/1 si daerb fo ecirp eht ,boB roF .eniw dna daerb semusnoc osla boB .yad re p daerb fo sevaol 4 dna eniw fo sessalg 6 semusnoc erreiP .yad re p scnarf 04 fo emocni na sah erreiP .ssalg re p scnarf 4 si eniw fo ecirp eht dna ,faol re p scnarf 4 si daerb fo ecirp eht ,erreiP roF .eniw dna daerb semusnoc erreiP )0( 3.7 suga rapsA 04 03

02

01

0

01

enil deR a gnidahs licneP

02

enil eulB

03

04 seo tamoT

.o N

?eno der eht ot enil eulb eht morf segnahc

tegdub sih nehw seotamot fo noitpmusnoc sih esaercni dluow eh taht elbisso p ti sI .tegdub siht htiw esahcrup ton lliw yletin�ed eh taht enil tegdub der wen s’ydderF no sdo og fo seldnub eht edahs ot licne p esU )e( )7 .hC(

EC NEREFERP DELAEVER

48

1x 04

03

02

01

0

gnidahs deR e

b

c

01 d 02

03

gnidahs eulB a

04 2x

.C eldnub eht sa doog sa tsael ta era niatrec era uoy taht stnio p eht fo lla kni eulb ni ylthgil edahS .ecnereferp delaever fo moixa gnorts eht sye bo eh taht dna secnereferp cinotonom dna xevnoc sah dlanoR taht dlot era uoy taht eso ppuS )d( .C eldnub eht naht dlanoR rof esrow era niatrec era uoy taht stnio p eht fo lla kni der ni ylthgil edahS )c(

.s eY

?ecnereferP

delaeveR fo moixA kaeW eht htiw tnetsisnoc roivahe b s’dlanoR sI )b( .E dna ,D ,C ,B ,A srettel eht yb esac hcae ni nesohc tnio p eht le bal dna senil tegdub sih fo hcae hctekS )a( 01 51 51 01 53 2x

2p

1x

2 1 1 2 1

01 5 01 53 5

1 3 1 1 1 1p

E D C B A noitautiS

.snoit -autis emocni-ecirp tnere�id 5 ni devresbo saw roivahe b esohw dlanoR deman remusnoc a fo sdnamed eht dna secirp fo elbat a si ereH )0( 4.7

.e ld n ub s ’r eh to e h t s tc ej er t ub d ro f fa na c h c ae e c ni s , PR AW s et a lo iv si ht E MA N

58

.od ot uoy rof wef a evael ew tub ,sexo b eht fo emos ni dell� evah eW .B nmuloC ,A woR ni 72 tup os ,72 = )2 × 8( + )4 × 2( + )3 × 1( si secirp A-noitautis eht ta detaulave ,eldnub B-noitautiS eht fo eulav ehT .)2 ,4 ,3( eldnub thguo b remusnoc eht B noitautiS nI .A nmuloC ,A woR ni 82 tup ew os ,82 = )3 × 8( + )1 × 2( + )2 × 1( erofereht si A secirp ta A eldnub siht fo tsoc ehT .)8 ,2 ,1( secirp ta )3 ,1 ,2( eldnub thguo b remusnoc eht ,A noitautiS ni taht ees ew ,evo ba elbat eht morF .secirp A noitautiS ta A noitautiS ni desahcrup eldnub eht fo eulav eht tup ew ,A nmuloC dna A woR ni ,elpmaxe roF .secirp i-noitautiS eht ta eldnub j-noitautiS eht fo eulav eht etirw ,xirtam eht fo j nmuloC dna i woR ni C dna ,B ,A srettel eht fo yna rof dnats j dna i erehW .swollof sa wole b elbat eht ni ll� lliw eW )a(

2x

3x

6 4 1

2 2 3

2 3 2 1x

2 8 8 3p

1 1 2 2p

3 4 1 1p

C B A noitautiS

.snoit -autis tnere�id eerht ni secirp tnere�id eerht ta sd oog tnere�id eerht rof seciohc dna secirp devresbo emos setartsulli taht elbat a si ereH )0( 6.7

. ll et o t no it a mr of ni e l tt il o ot s i er e hT

?llet ot noitamrofni elttil oot ereht si

ro ,nwo sih ro secirp dna emocni s’tsroH evah ot referp legiN dluoW )b(

.r e vo t fe l y en o m h t iw el dnu b n wo s ih d r of fa n ac eh ,t eg du b s ’ le gi N hti W . nw o si h ot t eg du b s ’l eg i N sr e fe rp ts ro H .rewsna ruoy nialpxE ?llet ot noitamrofni elttil o ot ereht si ro ,nwo sih ro secirp dna emocni s’legiN ,referp tsroH dluow emocni dna secirp hcihW )a(

.y fo stinu 9 dna x fo stinu 01 syub legiN .tinu re p diuq 7 mih stsoc y do og dna tinu re p diuq 9 legiN stsoc x dooG . y fo stinu 11 dna x fo stinu 8 no skram 761 fo emocni eritne sih sdne ps tsroH . y fo tinu re p skram 5 dna x fo tinu re p skram 41 yap ot sah tsroH . y dna x ,sdoog owt ylno emusnoc hcae yehT .secirp tnere�id ecaf yeht ylniatrec dna ,secnereferp tnere�id evah yeht ylbissoP .seirtnuoc tnere�id ni evil legiN dna tsroH )0( 5.7 )7 .hC(

EC NEREFERP DELAEVER

68

eoJ .eerged 1 yb erutare pmet eht esiar ot htnom re p 1$ stsoc ylno ti ,s’eoJ naht detalusni rette b hcum si tnemtrapa reh ecniS .yraurbeF fo htnom eht rof llib gnitaeh eht dna droldnal reh yb degrahc 04$ fo egrahc ecivres ylhtnom eht yap e oJ taht si sksa ydnaM llA .)sala( ytpme e b lliw tnemtrapa reh os dna htnom eht rof ne psA ot og ot snalp ,ecneics lacitilo p ot scimonoce morf sroj am dehctiws sah ohw ,ydnaM .tnemtrapa reh ni yraurbeF fo htnom eht gnidne ps ni detseretni e b dluow e oJ fi sksa ydnaM .mret tsal dedarg eh smelborp yroeht ecirp esohw stneduts eht fo eno ,ananaM ydnaM si tI .sgnir enohp eht nehw tnemtrapa sih ni gnirevihs si ,5 retpahC ni tem ew mohw ,darG eoJ dna ,yraunaJ si tI )0( 7.7

. se Y

?ecnereferP delaeveR fo

moixA gnortS eht etaloiv snoitavresbo eseht oD . j ot derreferp delaever yltceridni si i noitavresbo fi I na htiw j nmuloC ,i woR ni ll� woN )c(

A

—

B

I

—

D

I

B

C

D

I

D

—

C

A

noitautiS

.oN

?PRAW etaloiv snoitavresbo

eseht oD .i nmuloC , j woR ni D a osla dna j nmuloC i woR ni D a si ereht , j dna i emos rof fi PRAW fo noitaloiv a e b lliw erehT .i nmuloC ,i woR ni yrtne eht ot lauqe ro naht ssel si )a( trap ni elbat eht fo yrtne ji eht ni re bmun eht fi j nmuloC i woR ni D a si ereht ,yllareneG .knalb A nmuloC ,B woR ni yrtne eht evael ew oS .A noitautiS ot derreferp delaev -er yltcerid ton si B noitautiS eroferehT .eldnub A-noitautiS eht dro�a ton dluoc remusnoc eht ,B noitautiS ni ,oS .33 si secirp B-noitautiS ta eldnub A-noitautiS eht fo tsoc ehT .23 si secirp B-noitautiS ta eldnub B-noitautiS eht fo tsoc ehT .A nmuloC ,B woR redisnoc su tel woN .B nmuloC ,A woR ni D a tup ew os ,eldnub B-noitautiS eht ot derreferp delaever yltcerid si eldnub A-noitautiS eht eroferehT .72 tsoc hcihw ,eld -nub B-noitautiS eht dro�a osla dluoc eh ,secirp A-noitautiS ta taht ees eW .82$ si erutidne pxe s’remusnoc eht A noitautiS ni ,elpmaxe roF .eld -nub j-noitautiS eht ot derreferp delaever yltcerid si eldnub i-noitautiS eht fi D a htiw wole b elbat eht fo j nmuloC dna i woR ni yrtne eht ni lliF )b(

B

C

72

03

23

03

71

61

31

C

A

82

B

33 A

seititnauQ/secirP

E MA N

78

nees nee b ton sah dna lo o previL ni renroc teerts a no rehtom gniga sih denodnaba ohw motto bhcniP cirdeC riS fo ecnarae ppasid eht gnitagitsev -ni si reteP droL .ecnereferp delaever cisnerof fo seuqinhcet tsetal eht ni deloohcs ,tsigolonimirc dehsiugnitsid a si ymmoP reteP droL )0( 8.7 e ru ta repmeT 08

07

06

05

04

03

02

01

0

02 enil tegdub ' reffo we N'

04

enil tegdub evoM 06

08 enil tegdub evom t'no D 001

021 dooF

.s ee rg e d 04

evo ba tnemtrapa

s’ydnaM ni erutare pmet eht peek ot snalp eh taht llet nac ew re�o siht detpecca eoJ taht tcaf eht morF .re�o s’ydnaM stpecca won e oJ .re�o wen s’ydnaM stpecca eh fi enil tegdub s’e oJ warD .egrahc ecivres eht flah yap ot sre�o ydnaM .noisiced sih reh sllet dna ydnaM sllac eoJ )c(

. se e rg ed 0 6

naht ssel

fo erutare pmet a ta tnemtrapa sih peek ot nalp tsum e oJ taht ecnereferp delaever fo elpicnirp eht gnisu ,llet nac ew ,siht morF .gnivom ton �o rette b e b dluow eh taht sediced eoJ ,flesmih senil eseht gniward retfA )b( .evom t’nseod eh fi enil tegdub sih ward ,hparg emas eht no dna tnemtrapa s’ydnaM ot sevom eh fi yraurbeF rof enil tegdub s’eoJ warD )a( .tinu re p 1$ llits si doof fo ecirp ehT .tnemtrapa sih no tner eht diap sah eh retfa seitilitu dna doof no dne ps ot tfel htnom a 001$ sah dna krowemoh gnidarg llits si eoJ .eerged 1 yb erutare pmet tnemtrapa sih esiar ot htnom re p 2$ mih stsoc ti dna ,yraurbeF ni tiehnerhaF seerged 02 segareva erutare pmet roodtuo ehT .egrahc ecivres 04$ eht evah dluow eh tub ,re paehc e b dluow gnitaeh ,devom eh fI .ti taeh ot evah t’now eh tub tnemtrapa tnerruc sih no tner yap ot evah llits lliw eh ,re�o s’ydnaM stpecca eh fI .sesum dna no kcab s�umrae sih stup eoJ .worromot wonk reh tel lliw eh syas dna reh sknaht )7 .hC(

EC NEREFERP DELAEVER

88

.esohc eh eldnub eht dna enil tegdub s’cirdeC riS eso pmire pus ,hparg siht nO .sesoohc hcae taht eldnub noitpmusnoc eht le baL .eno hcae rof kni fo roloc tnere�id a gnisu ,sevitiguf eerht eht fo hcae rof enil tegdub eht warD )a(

.margolik re p sdnuo p dnalsI dnalklaF 02 stsoc egasuas dna sdnuo p dnalsI dnalklaF 01 stsoc ree b fo retil a ,seohS yeooG nI .keew re p ree b fo sretil 03 dna egasuas fo smargolik 5 semusnoc nosnevetS — nosnevetS drahciR • .margolik re p srallod dnalaeZ weN 2 stsoc egasuas dna srallod dnalaeZ weN 2 stsoc ree b fo retil a ,gahS htroN nI .keew re p ree b fo sretil 01 dna egasuas fo smargolik 5 semusnoc gninnaM — gninnaM drahciR • .margolik re p srallod naidanaC 2 stsoc egasuas dna retil re p rallod naidanaC 1 stsoc ree b oiratnO ,yeknoM ssarB nI .egasuas fo smargolik 02 dna ree b fo sretil 5 emusnoc ot nwonk si eefAcM — eefAcM notserP .R • .margolik re p dnuo p hsilgnE 1 tsoc egasuas dna retil re p dnuo p hsilgnE 1 tsoc ree b ,emit taht tA .keew re p ree b fo sretil 02 dna egasuas fo smargolik 01 demusnoc cirdeC riS ,erutraped sih erofe b raey eht nI — motto bhcniP cirdeC riS •

:gniwollof eht laever sreissod riehT .egasuas dna ree b no semocni eritne rieht dne ps ,cirdeC riS ekil ,nemeltneg eseht fo eerht llA .nosnevetS dna ,gninnaM ,eefAcM fo roivahe b noitpmusnoc eht derevocsid osla sah eh ,noitavresbo luferac yB .liated etunim ni stibah noitpmusnoc sih dedrocer hcihw ,yraid s’cirdeC riS deniatbo sah reteP droL .sdnalsI dnalklaF ,seohS yeooG fo nosnevetS drahciR dna ,dnalaeZ weN ,gahS htroN fo gninnaM drahciR ,adanaC ,oiratnO ,yeknoM ssarB fo eefAcM notserP .R ,stce p -sus eerht era erehT .eripmE eht ni erehwemos eman demussa na rednu gnivil si dna dnalgnE tfel cirdeC riS taht denrael sah reteP droL .ecnis 98

E MA N

thguo b yeht fi sgniht rehto no dne ps yeht dluoc hcum woH

. 00 3$

?sno puoc d oof no yenom rieht lla tne ps yeht fi yub yeht dluoc d oof hcum woh ,noitpo no puoc eht esohc yeht fI .tnarg eht htiw evah dluow yeht taht enil tegdub eht ward ot kni kcalb esu woN .C eciohc tnerruc rieht le bal dna kni der ni enil tegdub dlo rieht ward ,wole b hparg eht nO )a( .swollof sa deec orp uoy ,egdelwonk cimonoce fo dnuf gniworg ruoy no gniwarD .eso ohc ot noitpo hcihw no ediced meht pleh ot deksa nee b evah uoy ,dneirf ylimaf a sA .sre bwaCcM eht rof doog lamron a si dooF ).sno puoc eseht lleser ot dewolla ton era yllarutan yehT( .eceipa 1$ rof sno puoc doof 2$ fo re bmun yna gniyub dna ,tnaw yeht yaw yna dne ps nac yeht taht keew re p 05$ fo tnarg a gniviecer neewte b eciohc a meht sevig taht decudortni nee b sah margorp eraflew wen A .sgniht rehto no 05$ dna doof no keew a 001$ dne ps yehT .teem sdne gnikam emit hguot a gnivah si ylimaf re bwaCcM ehT )1( 9.7

. sd n al kl aF

ni gnivil e b tsum eh

,setsat sih degnahc ton sah eh fi dna yliratnulov tfel cirdeC riS fi eroferehT .erofe b saw eh naht �o rette b e b ot evah dluow eh neht ,yliratnulov tfel cirdeC riS fI“ .decnuonna reteP droL ,regnol tib a gnikniht retfA )c(

.e ef Ac M

?eno hcihW ”.tneconni

si stce psus eht fo eno taht em sllet ecnereferp delaeveR .stce psus eht fo eno etanimile nac I ,setsat sih degnahc sah cirdeC riS sselnU“ .decnuon -na reteP droL ,stnemom wef a rof sreissod eht gniredno p retfA )b(

reeB 04

03

02

01

0

gninnaM nosneve tS

mo t tobhcniP

01

02

eefAcM

03

04 egasuaS )7 .hC(

EC NEREFERP DELAEVER

09

.ekat ot ton meht desivda uoy margorp eht htiw �o rette b e b dluow sre bwaCcM eht hcihw rof dna doog lamron a ton si doof hcihw rof sevruc ecnere�idni ward tub ,evo ba margaid eht no werd uoy senil tegdub emas eht ward ,wole b sexa eht nO ”?su rof do og lamron a saw doof rehtehw nwonk t’ndah uoy fi od ot tahw em llet ot elba nee b evah uoy dluoW“ ,sksa neht dna pleh ruoy rof uoy sknaht re bwaCcM .rM )d(

. t na ts no c si er u ti dn epx e re h to ne hw ne ve d oo f e ro m t eg na c u oy

esuace b

n o pu oc

eht esoohc dluohs uoY .ekam

ot eciohc hcihw uoy llet ot elba e b ot noitamrofni hguone evah I“ .sre b -waCcM eht ot tro per uoy ,nward evah uoy hparg eht gniyduts retfA )c( .B dna A tnemges enil siht fo sdne eht le baL .noitpo tnarg mus-pmul eht esohc yeht fi e b ylbisso p dluoc eldnub noitpmusnoc rieht erehw enil tegdub kcalb eht fo noitro p eht nekrad ,erofe b desahcrup yeht tahw gniwonk dna ,sre bwaCcM eht rof d oog lamron a si d oof taht tcaf eht gnisU )b( dooF 042

012

081

051

021

09

06

03

0

b

03 c enil tegdub deR

06

enil tegdub eulB 09

a

021

051

enil tegdub kcalB

081 sgnih t reh t O

esoohc yeht fi enil tegdub rieht ward ot kni eulb esU

.noitpo no puoc eht ? d o of o n

. 05 1$

E MA N

19

emos edam evah ew taht denraw e b dluohs redaer ehT( .wole b detsil era 0981 dna 0581 ni ylimaf hsidewS ssalc-gnikrow a rof seldnub noit -pmusnoc lacipyt ,ko o b s’ladryM ni dehsilbup selbat eht no desaB 460. 31. 58. 91. 3191

150. 01. 66. 61. 0981

440. 80. 43. 41. 0581

230. 70. 82. 41. 0381

seotatoP kliM taeM ruolF niarG

.retil rep ronork hsidewS ni si hcihw ,klim rof tpecxe ,margolik rep ronork hsidewS ni era secirP nedewS ni sd o oF elpatS fo secirP .tegdub doof hsidewS eht fo 3/2 tuo ba rof detnuocca sdo of elpats ruof eseht ,doire p emit siht nI .seotato p dna ,klim ,taem ,ruo� rof ,3191 dna ,0981 ,0581 ,0381 ni secirp sevig wole b elbat ehT .0981 ni niaga dna 0581 ni ylimaf ssalc-gnikrow egareva na yb demusnoc do og hcae fo seititnauq eht fo setamitse osla era erehT .ee�oc dna ,ragus ,sgge ,seldnac wollat ,doowhcrib ,taem reednier ,fee b ,hs�d oc detlas ,daerb eyr drah ,staorg tao sa hcus sdoog rof secirp fo sraey 001 dn� nac uoy ko o b siht nI .nedewS ni gniviL fo tsoC ehT dellac koo b a ni dehsilbup saw sihT .0391 litnu 0381 morf nedewS ni sexedni ecirp dna secirp fo seires lacirotsih deliated yllacitsatnaf a detcelloc ytisrevinU mlohkc otS ta setaicossa sih fo puorg a dna )scimonoce ni ezirp le boN a now retal ohw( ladryM rannuG tsimonoce hsidewS eht ,3391 nI )0( 01.7 dooF 042

012

081

051

021

09

06

03

0

b

03 c enil tegdub deR

06

enil tegdub eulB 09

a

021 enil tegdub kcalB

051

081 sgnih t reh t O

)7 .hC(

EC NEREFERP DELAEVER

29

.9 2. 1

.sdoof elpats ruof fo puorg siht rof 0581 raey esab htiw 0981

rof xedni ecirp serye psaL eht etaluclaC .sthgiew rof seititnauq 0581 gnisu detaluclac si 0581 raey esab htiw 0981 rof xedni ecirp serye psaL ehT )e(

.4 4. 1

.0581 raey esab

htiw 0981 rof xedni ytitnauq ehcsaaP eht etaluclaC .secirp 0981 ta eldnub 0581 eht fo eulav eht ot secirp 0981 ta eldnub 0981 eht fo eulav eht fo oitar eht si 0581 raey esab htiw 0981 rof xedni ytitnauq ehcsaaP ehT )d(

. 93 .1

.0581 raey esab htiw 0981 rof noitpmusnoc doof

elpats fo xedni ytitnauq serye psaL eht etaluclaC .secirp 0581 ta eldnub 0581 eht fo eulav eht ot secirp 0581 ta eldnub 0981 eht fo eulav eht fo oitar eht si 0581 raey esab htiw 0981 rof xedni ytitnauq serye psaL ehT )c(

.s eY

?eldnub 0581 eht ot derreferp delaever eldnub 0981 eht sI )b(

1.44

6.16

0. 94

3. 86

1. 36

1. 19

5.87

7.311

eldnub 0981

secirP 3191 ta tsoC secirP 0981 ta tsoC secirP 0581 ta tsoC secirP 0381 ta tsoC

eldnub 0581

tsoC

secirP ’sraeY suoiraV ta seldnuB 0981 dna 0581 fo tsoC .secirp ’sraey suoirav ta sdoof elpats fo seldnub 0981 dna 0581 eht fo tsoc launna eht stro per hcihw ,wole b elbat eht etelpmoC )a( 002 081 24 022 0981

002 021 22 561 0581

se otatoP kliM taeM ruolF niarG

.raey rep sretil ni derusaem si hcihw ,klim rof tpecxe ,raey rep smargolik ni derusaem era seititnauQ ylimaF hsidewS lacipyT a yb demusnoC seititnauQ ).yduts lanigiro eht ni noitamrofni deliated erom hcum eht morf selbat elpmis eseht ward ot snoitac�ilpmis dna snoitamixorppa E MA N

39

.delpirt emocni s’remusnoc yreve elihw delbuod yltcaxe sdoog lla fo ecirp eht ,5891 dna 0691 neewte b taht eso ppuS )0( 21.7

0581

2 1.

.ronork hsidewS tuo ba htrow si yadot rallod .S.U a taht yas dluow ew ,ronork

hsidewS 0581 ot evitaler srallod tnerruc fo eulav eht etamitse ot siht esu ew fI .53.8 .ronork hsidewS 0581 ni secirp ot evitaler srallod naciremA tnerruc ni secirp erapmoc ot xedni ecirp serye psaL a etaluclac ,sthgiew sa 0581 ni sd oof elpats fo eldnub noitpmusnoc hsidewS eht gnisU )c(

. 91 9$

?0581 ni ylimaf

ssalc-gnikrow hsidewS a yb demusnoc eldnub noitpmusnoc llarevo emas eht emusnoc ot secirp tnerruc ta naciremA na tsoc ti dluow hcum woh tuo ba ,0581 ni nedewS ni erew yeht tahw ot yadot setatS detinU eht ni ralimis era selpats d oof eht fo ecirp eht ot evitaler sdoog rehto fo secirp eht fI .tegdub doof s’ylimaf egareva eht fo 3/2 tuo ba etutitsnoc noitseuq tsal eht ni dessucsid selpats ruof eht ,nrut nI .doof no tne ps saw tegdub s’ylimaf egareva eht fo 3/2 tuo ba ,0581 ni taht setamitse ladryM )b(

.8 04 $

?0581 ni ylimaf ssalc

-gnikrow hsidewS egareva na yb desahcrup seitidommoc doof elpats fo eld -nub eht yub ot secirp s’yadot ta naciremA na tsoc ti dluow hcum woH )a( .ronork hsidewS 0581 na fo eulav eht ot evitaler rallod SU tnerruc a fo eulav eht etamitse ot ti esu dna seirtnuoc ssorca dna emit ssorca xedni ecirp serye psaL a etupmoc osla nac eW .margolik re p 1$ tuo ba si seotato p fo ecirp eht dna ,retil re p 05.$ tuo ba si klim fo ecirp eht ,margolik re p 57.3$ tuo ba si taem fo ecirp eht ,margolik re p 04.$ tuo ba si ruo� fo ecirp eht ,yadot setatS detinU eht nI .0581 ni ylimaf hsidewS egareva na yb demusnoc eldnub eht esahcrup ot secirp s’yadot ta ylimaf naciremA na tsoc dluow ti tahw fo aedi na teg ot yrt su teL .noitseuq suoiverp eht ni selbat eht morf sward noitseuq sihT )0( 11.7 .sdoog eseht no sdne ps 0981 fo rekrow hsidewS lacipyt eht taht tnuoma eht fo 96. noitcarf eht dne ps dluow eh ,srekrow 0581 lacipyt yb demusnoc saw taht selpats d oof fo eldnub emas eht esahcrup ot dediced 0981 ni edewS a fI )g( .0581 fo rekrow hsidewS lacipyt eht seod sa sdoof eseht no hcum sa semit 93.1 dne ps ot evah dluow eh ,0581 ni sdoof elpats fo eldnub 0981 eht dro�a ot 0581 ni hguone hcir erew edewS a fI ) f( )7 .hC(

EC NEREFERP DELAEVER

49

seiP 06

05

04

03

02

01 enil tegdub kcalB

enil tegdub eulB

0

01

02

03

enil tegdub deR

04

05

06 reeB

.ree b dna seip taem rof enil tegdub dlo rieht hcteks ot kni der esU .01$ fo xat emocni na yap ot dah yeht tub ,keew re p 06$ e b ot desu emocni ssorg riehT .nac re p 1$ saw ree b dna hcae 2$ tsoc ot desu seip taeM .ree b dna seip taem ylno emusnoc aliehS dna mroN )1( 31.7

. no it ro p or p em as e ht n i se s ae rc n i d o og h c ae f o no it pm u sn oc eh t , se cn e re fe r p ci te h to mo h ht iW . % 05 y b tu o d e tf ih s en i l t eg d ub s ’y d ob yr ev E .% 05 y b ,s eY

.nialpxE ?desaerc

-ni evah tsum noitpmusnoc ananab latot egatnecre p tahw yb enimret -ed uoy nac ,secnereferp citehtomoh sah ydo byreve fI .seY ?esaerc -ni noitpmusnoc ananab latot lliw ,doog lamron a era sananab fI )b(

.2 yl tc ax E tahW

. 2 y lt ca xE

?xedni ecirp ehcsaaP eht tuo ba

?2 ot lauqe yltcaxe ro ,2 naht retaerg ,2 naht

ssel e b 0691 raey esab htiw ,5891 rof xedni ecirp serye psaL eht dluoW )a( E MA N

59

eht esu ot yrT :tniH(

. ht oB

).ecnereferp delaever fo elpicnirp ?eunever emas eht esiar sexat fo stes

hto b fi dexat seip taem dna ree b hto b gnivah ro dexat ree b tsuj gnivah �o rette b aliehS dna mroN erA .noitces tsal eht ni xat eht ot sdno pser -roc taht aliehS dna mroN rof enil tegdub eht ward ot kni kcalb esU )e( .dnuof tsuj uoy tnuoma eht fo xat emocni na ot tnelaviuqe si d oog hcae no xat a gib woh tuo erug� nac uoy woN .02$ ?ree b no xat 1$ eht sa eunever emas eht esiar ot ekat ti dluow xat emocni na egral woH ).xat emocni na sa emas eht si tce�e eht ,etar emas eht ta dexat era sd oog hto b fI :tniH( .dlos eip taem yreve rof $ dna dlos 1 ree b fo eltto b yreve rof

05.

$ stcelloc xat wen sihT .esiar ot desu ree b

no xat eht sa aliehS dna mroN morf yenom fo tnuoma emas eht yltcaxe esiar ot hguone hgih tes saw sd oog hto b rof etar xat wen ehT .xat eht fo tnuoma lluf eht yb pu tnew hcae seip taem fo ecirp eht dna ree b fo ecirp eht taht eso ppus dna ,etar egatnecre p emas eht ta seip taem dna ree b htob xat ot dediced tnemnrevog eht ,ree b gnixat tsuj fo daetsni taht eso ppuS .gnikniht luferac emos eriuqer lliw melborp eht fo trap sihT )d(

.0 2 $ eunever hcum woH

?aliehS dna mroN morf esiar xat siht did

.0 1- -e m as e ht de ya tS

?seip taem fo

noitpmusnoc rieht ot dene ppah tahW .keew re p snac 02 ot noitpmusnoc ree b rieht ecuder ot aliehS dna mroN decudni ree b no xat selas ehT )c( .kni eulb ni enil tegdub wen rieht ward ,egnahc ton did seip taem fo ecirp eht dna emocni xat-erp s’aliehS dna mroN taht gnimussA .nac re p 2$ ot ecirp sti gnisiar ,ree b no nac re p 1$ fo xat selas a tup ot dna xat emocni eht etanimile ot dediced tnemnrevog ehT )b(

.0 1

?yub yeht did seip taem ynam woH .seip taem no emocni

rieht fo tser eht tne ps dna keew re p ree b fo snac 03 yub ot desu yehT )a( )7 .hC(

EC NEREFERP DELAEVER

69

egnahc ecirp a fo stce�e noitutitsbus dna emocni ykstulS eht wohS •

.doog a rof noitcnuf dnamed eht wonk uoy fi egnahc ecirp c�ice ps a fo tce�e noitutitsbus dna tce�e emocni ykstulS dniF •

:gniwollof eht od ot elba e b lliw uoy taht e poh ew ,tuokrow siht detelpmoc evah uoy nehW .2 do og rof dnamed eht ecuder ot dekrow esaercni ecirp eht fo tce�e noitutitsbus eht dna tce�e emocni eht hto b ,elpmaxe siht ni taht ecitoN .2 doog fo stinu 1− = 5 − 4 si tce�e emocni eht esac siht nI .tce�e emocni eht si eldnub dlo eht dro�a tsuj reh tel ot degnahc dah emocni reh fi dednamed evah dluow ehs tahw dna egnahc ecirp eht retfa dednamed yllautca ehs tahw neewte b ecnere�id ehT .4 = )42 ,3 ,1( 2D saw egnahc ecirp eht retfa 2 d oog rof dnamed lautca reH .42$ ta deyats emocni reH .egnahc yl laer t’ndid emocni s’remusnoc ruO .stinu 1− = 6 − 5 si 2 doog rof dnamed reh no egnahc ecirp eht fo tce�e noitutitsbus eht os ,2 fo stinu 6 thguo b ehs egnahc eht erofeB .2 doog fo stinu 5 = )03 ,3 ,1( 2D dnamed dluow ehs ,secirp wen eht ta ,03$ fo emocni na tA .03$ = )6 × 3( + )21 × 1( e b ot evah dluow emocni wen reh ,eldnub dlo reh dro�a yltcaxe dluoc ehs taht os hguone degnahc dah emocni reh ,3$ ot esor 2 d oog fo ecirp eht nehw ,fI .2 doog fo stinu 6 dna 1 doog fo stinu 21 dnamed lliw ehs yllaitini eroferehT . 2p2/m = )m , 2p , 1p( 2D si 2 doog rof noitcnuf dnamed reh dna 1p2/m = )m , 2p , 1p( 1D si 1 d o og rof noitcnuf dnamed s’remusnoc siht taht dn� lliw uoy ,6 dna 5 sretpahC ni denrael uoy sdohtem eht gnisU .1$ ta deyats 1 do og fo ecirp eht dna 3$ ot esor 2 doog fo ecirp eht nehT .2$ saw 2 doog fo ecirp eht dna 1$ saw 1 d oog fo ecirp eht yllaitinI .42$ fo emocni na dna 2x 1x = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu eht sah remusnoc A :e lpmaxE .snoitcerid etiso ppo ni tca stce�e noitutitsbus dna emocni ,do og roirefni na si doog eht fi tuB .dnamed ecuder ot etare po tce�e noitutitsbus dna emocni eht hto b neht ,doog lamron a si nesir sah ecirp esohw doog eht fi eroferehT .emocni fo ssol a fo tce�e eht ot tnelaviuqe si doog a fo ecirp eht ni esaercni na fo tce�e emocni eht taht wonk osla eW .ti rof dnamed eht ecuder tsum doog a fo ecirp eht gnisaercni fo tcef -fe noitutitsbus eht taht wonk ew ,ralucitrap nI .trapa ti gnikat tuohtiw elohw eht tuo ba wonk t’ndluow ew taht seceip eht tuo ba sgniht wonk ew esuaceB ?segnahc lacitehto pyh owt fo mus eht otni egnahc laer a gnikaerb htiw rehto b ew od yhW .tce�e emocni eht dellac si dnamed s’remusnoc eht ni egnahc eht fo tser ehT .eldnub noitpmusnoc dlo reh dro�a yltcaxe dluoc remusnoc eht taht yaw a hcus ni emit emas eht ta degnahc emoc -ni fi dene ppah evah dluow taht egnahc eht si egnahc ecirp a fo tce�e noitutitsbus ehT .tce�e emocni na dna tce�e noitutitsbus a ,stce�e tcnit -sid owt gnivah sa egnahc ecirp a fo kniht ot lufesu si tI .noitcudortn I

noitauqE ykstulS E MA N

8 retpahC

eht sI .sananab rof dnamed eht no tce�e latot eht dna ,tce�e noitutitsbus eht ,tce�e emocni eht le bal ,sixa lacitrev eht gnolA .sixa lacitrev eht ot C morf eno dna ,sixa lacitrev eht ot B morf eno ,sixa lacitrev eht ot A morf eno ,hparg ruoy no senil latnoziroh 3 warD .egnahc ecirp eht retfa sesoohc yllautca eh taht eldnub eht no C le bal eht tuP .egnahc ecirp eht retfa enil tegdub lautca s’eilrahC ward ot kni eulb esU .sananab 02 dna selppa

02

syub yllautca eilrahC ,egnahc ecirp eht retfA )d(

.erom 5 woH

.s a na na b e ro M

?rewef ro erom ynam

?sananab rewef ro sananab erom yub mih

ekam sananab fo ecirp eht ni llaf eht fo tce�e noitutitsbus eht seoD )c( . B rettel eht htiw secirp wen eht dna emocni siht ta esoohc dluow eilrahC taht eldnub eht le baL .secirp eseht dna emocni siht ot gnidno pserroc enil tegdub eht ward ot kni der esU .sananab 51 dna selppa 51 emusnoc dluow eilrahC ,secirp wen eht dna emocni siht htiW

.0 3

nee b evah

dluow emocni wen sih ,eldnub noitpmusnoc dlo sih dro�a yltcaxe dluoc eh taht os degnahc dah emocni s’eilrahC ,egnahc ecirp eht retfa ,fI )b( .eldnub noit -pmusnoc nesohc sih no A le bal eht tup dna enil tegdub lanigiro s’eilrahC ward ot kni kcalb esu ,wole b hparg eht nO .yad re p sananab 01 dna selppa

02

demusnoc eilrahC ,egnahc ecirp eht erofeB )a(

.1$ ot sllaf ylneddus sananab fo ecirp ehT .yad a 04$ si emocni s’eilrahC dna ,2$ si sananab fo ecirp eht ,1$ si selppa fo ecirp ehT . Bx Ax = ) Bx , Ax( U si noitcnuf ytilitu siH .sananab dna selppa emusnoc ot seunitnoc ,si eh taht nairategev ,eilrahC eltneG )0( 1.8 .roivahe b tuo ba secnerefni emos ward ot stce�e noitutitsbus dna emocni ylppA .esor ecirp esohw doog eht rof dnamed sesaerced ylsuougibmanu esaercni ecirp a fo tce�e noitutitsbus eht taht wohS .esira thgim d oog ne�iG a fo esac eht woh wohs ot margaid evruc-ecnere�idni na esU .salguoD-bboC dna ,stnemelpmoc tcefre p ,setutitsbus tcefre p sa hcus snoitcnuf yti -litu laice ps rof stce�e noitutitsbus dna emocni ykstulS eht dniF .margaid evruc ecnere�idni na no egnahc ecirp a fo stce�e noitutitsbus dna emocni skciH eht wohS .margaid evruc ecnere�idni na no )8 .hC(

• • • • •

N OITA U QE YKST ULS

89

.sdnuo p 03 si teralc elbatius fo eltto b a fo ecirp eht dna ,sdnuo p 005,7 si emocni s’elliveN .sdnamed eh taht teralc fo seltto b fo re bmun eht si q dna ,)sdnuo p hsitirB ni( teralc fo ecirp eht si p ,emocni sih si m erehw ,p2 − m20. = q si teralc ytilauq -hgih rof noitcnuf dnamed s’elliveN ,slevel tnerruc ta dex� era sdo og rehto lla fo secirp eht nehW .eniw en� si noissap s’elliveN )0( 2.8

. or eZ

?selppa

rof dnamed eht no sananab fo ecirp eht ni egnahc eht fo tce�e latot eht si tahW .eroM ?rewef ro selppa erom emusnoc eilrahC ekam sananab fo ecirp eht ni llaf eht fo tce�e emocni eht seoD ro erom ynam woH

.r ew eF

. r e w ef 5

?rewef

?rewef ro selppa erom emusnoc eilrahC

ekam sananab fo ecirp eht ni llaf eht fo tce�e noitutitsbus eht seoD ) f(

. er om 5 ynam woH

.e ro M

?rewef ynam woh ro erom

?rewef ro sananab erom emusnoc mih ekam tce�e

emocni eht seoD .yad re p

01

$ fo emocni sih ni

e sa er c ni

)esaerced ,esaercni( na fo tce�e eht sa emas eht si sananab rof dnamed s’eilrahC no sananab fo ecirp eht ni llaf eht fo tce�e emocni ehT )e( selppA 04 03

02

01

0

enil kcalB 01 noi tu ti tsbuS

a b

emocnI 02

c

la toT

03

enil deR enil eulB

04 sananaB

. e ni l

d eR

?erofe b werd uoy taht enil kcalb eht ro enil der eht ot lellarap enil eulb E MA N

99

X

021

09

57 34 53

03

F C

E

5.22 03

Y .01$ = Yp dna 4$ = Xp secirp gnicaf ,003$ fo emocni na htiw muirbiliuqe ni si goZ .goZ gniK doog fo sevruc ecnere�idni eht dna tniartsnoc tegdub eht swohs hcihw ,wole b erug� eht redisnoC .”tcef -fe noitutitsbus skciH“ eht sebircsed taht ”tce�E noitutitsbuS rehtonA“ deltitne noitces eht daer evah uoy fi ylno melborp siht oD :etoN )0( 3.8

. s el tt ob 81

yb dnamed sih

2

dna seltto b

de cu d er

)decuder ,desaercni( tce�e emocni eht

yb dnamed sih

-ni( tce�e noitutitsbus ehT

.0 2

d ec u de r

)decuder ,desaerc

yb desaerced dednamed elliveN taht

seltto b fo re bmun eht ,04 ot 03 morf esor teralc fo ecirp eht nehW )d(

.s el tt o b 07

?dnamed elliveN dluow

teralc hcum woh ,04 fo ecirp a dna 005,7 fo emocni lanigiro sih tA )c(

.s el t to b 88

?yub elliveN dluow seltto b ynam

woh ,sdnuo p 04 fo ecirp a dna ,emocni siht tA

.s dn uo p 0 04 ,8

?egnahc ecirp eht erofe b thguo b eh taht sdo og rehto fo tnuoma eht dna teralc fo tnuoma eht dro�a ot elba yltcaxe e b ot redro ni evah ot evah elliveN dluow emocni hcum woh ,sdnuo p 04 ot esor teralc fo ecirp eht fI )b(

.0 9

?yub elliveN lliw teralc fo seltto b ynam woH )a( )8 .hC(

N OITA U QE YKST ULS

001

x 34

03

522

003 emocnI

.shparg ruoy hto b no sexa eht le bal ot erus eB .evo ba hparg eht ni noitamrofni eht nevig elbanosaer e b dluow taht X dooG rof evruc dnamed a dna evruc legnE na hcteks ,wole b sexa eht nO )g(

. do og r oi re f ni n A .F

tnio p eht ot

?doog roirefni na ro doog lamron a X sI ) f(

E

tnio p eht morf tnemevom eht ot sdno ps

-erroc tce�e noitutitsbus eht elihw

C

tnio p eht ot

F

tnio p eht morf tnemevom eht ot sdno pserroc tce�e emocni ehT )e(

.C

E

tnio p eht ot

tnio p eht

morf noitpmusnoc egnahc ot si egnahc ecirp eht fo tce�e latot ehT )d(

. 57 $

?)secirp wen eht ta evruc ecnere�idni dlo sih hcaer

ot dro�a ot elba tsuj mih ekam ot ,.e.i( stce�e noitutitsbus dna emocni naiskciH eht etalosi ot goZ morf yawa nekat e b tsum emocni hcum woH )c(

.5 3

?emusnoc goZ lliw X hcum woh ,tnatsnoc

yats Y fo ecirp eht dna emocni elihw ,05.2$ ot sllaf X fo ecirp eht fI )b(

. 03

?emusnoc goZ seod X hcum woH )a(

E MA N

101

.A sa sesoohc ehs taht tnio p eht le bal dna ,kni der ni niatta nac ehs taht evruc ecnere�idni tsehgih eht warD .kni eulb ni enil tegdub reh ward ,dne ps ot 021$ sah eduaM fi dna 5$ = hp dna 4$ = dp ylevitce pser era skcohylloh dna smuinihpled fo secirp eht fI )b(

. tc ef fe e mo cn i ot e ud l lA ?tce�e noitutitsbus eht ot eud si trap tahw dna tce�e emocni eht ot eud si noitpmusnoc ni egnahc eht fo trap tahW

.s eY

?meht fo erom

yub eduaM lliw ,tinu a 3$ ot sesaerced smuinihpled fo ecirp eht fI )a(

.tinu a 5$ tsoc skc ohylloh dna tinu a 4$ tsoc smuinihpleD .kc ohylloh eno sa d oog sa tsuj si muinihpled eno ;setutitsbus tcefre p era skc ohylloh dna smuinihpled taht skniht ehS .skcohylloh dna smuinihpled no emocni reh fo l la sdne ps eduaM )0( 4.8

x 53

03

1 2 5.2 3 4

eci rP

)8 .hC(

N OITA U QE YKST ULS

201

.2 9

?02 = yp dna 4 = xp secirp ta ,emocni fo level

wen siht ta x rof dnamed sih e b dluow tahW

. 02 9

?e b emocni wen

sih dluow tahw ,02 = yp dna 4 = xp ta eldnub ytidommoc dlo sih dro�a yltcaxe dluoc eh taht os emit emas eht ta egnahc ot erew emocni sih fI )a(

. 00 1

ot

08

morf egnahc lliw x rof dnamed sih neht ,4$ ot sllaf x fo ecirp eht fI .02$ si y fo ecirp eht dna ,5$ si x fo ecirp eht ,000,1$ si emocni siH . xp5/m2 = )m , yp , xp(x si x do og rof noitcnuf dnamed s’dle�nroC salguoD )0( 6.8

.t ce f fe em oc ni l lA

?tce�e emocni eht ot eud si trap tahw dna ,tce�e noitutitsbus

eht ot eud si dnamed ni egnahc eht fo trap tahw ,segnahc doog eno fo ecirp eht fI .stnemelpmoc tcefre p era sdoog owt taht eso ppuS )1( 5.8

. tc ef f e n o it ut it s bu s ll A

?tce�e noitutitsbus eht

ot eud saw trap tahw dna tce�e emocni eht ot eud saw dnamed s’eduaM ni egnahc eht fo trap tahw ,3$ ot llef skcohylloh fo ecirp eht nehW )e(

. 02 1$

?A

eldnub ytidommoc dlo reh dro�a yltcaxe tsuj dluoc ehs taht os ,llef skcoh -ylloh fo ecirp eht retfa e b ot evah emocni s’eduaM dluow hcum woH )d( . B sa won seso ohc ehs tnio p eht le baL .kni der htiw hcaer won nac ehs taht evruc ecnere�idni tsehgih eht warD .kni kcalb ni enil tegdub wen reh warD .egnahc ton seod smuinihpled fo ecirp eht elihw ,tinu a 3$ ot llaf skc ohylloh fo ecirp eht tel woN )c( skcohylloH 04 03

02

01

0

b enil eulB 01 sev ruc deR 02 enil kcalB a

03

04 smuinihple D

E MA N

301

. J rettel eht htiw eldnub noitpmusnoc yraunaJ sih le bal dna kni eulb htiw enil tegdub yraunaJ s’C .rM warD .setteragic fo skcap 04 dna maerc eci fo stnip 03 thguo b C .rM ,secirp eseht htiw decaF .tnip re p 2$ tsoc maerc eci elihw ,kcap re p 1$ saw setteragic fo ecirp eht ,yraunaJ nI )a(

.raey eht fo nosaes eht yb detce�anu era maerc eci dna setteragic rof secnereferp s’C .rM .maerc eci dna setteragic no htnom re p 001$ dne ps ot flesmih swolla remusnoC .rM )1( 7.8

. C eldnub siht le bal dna enil tegdub siht htiw esoohc dluow eh taht eldnub eht dniF .A ,eldnub dlo sih yub ot salguoD swolla tsuj taht emocni na htiw tub secirp wen eht htiw enil tegdub a ward ot kni kcalb esu ,evo ba hparg eht nO )d(

x 023

082

042

002

061

021

08

04

0

enil eulB c

enil kcalB

a

b

enil kcalB

02

04

06

08 y

. B yb egnahc eht retfa eldnub noitpmusnoc sih le baL .egnahc ecirp eht retfa enil tegdub s’dle�nroC salguoD ward ot kni kcalb esU .A tnio p siht le bal dna hparg ruoy no secirp eseht ta sesoohc eh eldnub eht etacoL .egnahc ecirp eht erofe b enil tegdub s’dle�nroC salguoD ward ot kni eulb esu ,wole b sexa eht nO )c(

. 00 1

29

ot

morf dnamed ni egnahc a si egnahc ecirp eht fo tce�e emocni ehT ot

08

. 29

morf dnamed ni egnahc a si tce�e noitutitsbus ehT )b( )8 .hC(

N OITA U QE YKST ULS

401

)esaerced ,esaercni( na fo tce�e eht ekil si egnahc ecirp siht fo tce�e emocni ehT .maerc eci

ss e l

) fo tnuoma emas eht ,ssel ,erom(

yub mih sekam maerc eci fo noitpmusnoc sih no egnahc ecirp siht fo tce�e emocni eht taht e b tsum ti ,orez saw noitpmusnoc maerc eci sih ni egnahc latot eht dna eurt si siht ecniS .maerc eci erom ) fo tnuoma emas eht ,erom ,ssel( dna setteragic

s se l

) fo tnuoma emas eht ,erom ,ssel( yub

mih ekam dluow egnahc ecirp siht fo tce�e noitutitsbus ehT . F rettel eht htiw eldnub yraurbeF sih kram dna kni der htiw enil tegdub yraurbeF s’C .rM warD .setteragic fo skcap 23 dna maerc eci fo stnip 03 demusnoc C .rM .kcap re p 52.1$ ot esor setteragic fo ecirp eht tub ,tnip re p 2$ tsoc llits maerc eci dna dne ps ot 001$ dah niaga C .rM ,yraurbeF nI )b( se t te ragiC 001

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

01 enil tegdub eulB

02 F A

J

enil tegdub deR

03

04 enil tegdub kcalB

05

enil tegdub licneP

06

07

08

09

001 mae rc ecI

E MA N

501

erew se otato p rehtehw enimreted ,noitamrofni siht morF .sdoog rehto ot evitaler nwod tnew seotato p fo ecirp eht dna pu tnew emocni laer oS .ruo� niarg fo ecirp eht sa etar emas eht tuo ba ta dna ,klim ro taem rehtie fo ecirp eht naht yldipar ssel esor seotato p fo ecirp ehT .esor ,xedni ytitnauq ehcsaaP eht ro serye psaL eht rehtie yb derusaem sa ,desahcrup selpats doof fo tnuoma eht ecnis ,0981 dna 0581 neewte b pu enog evah tsum emocni laeR .sraey hto b ni emas eht saw noitpmusnoc otatoP )a( .0981 dna 0581 ni nedewS ni noitpmusnoc dna secirp do of gnivlovni melborp a deiduts ew ,retpahc tsal eht nI )2( 9.8

. oN

?PRAW yfsitas eh seoD .yaM ni

maerc eci fo stnip 52 dna setteragic fo skcap 04 syub C .rM ,tcaf nI )c(

. yr au r be F ni n ah t ya M ni f f o r et te b si e H ?shtnom ro htnom hcihW .htnom suoiverp eno tsael ta ni saw eh naht �o rette b si eh rehtehw enimreted nac eno ,desahcrup eh tahw gniwonk tuo -htiW .enil dehsad a htiw tegdub yaM sih warD .maerc eci dna setteragic no dne ps ot 031$ dah neht eH .teerts eht ni gniyl 03$ dnuof C .rM ,reve -woh ,erots eht ot yaw eht nO .tnip re p 2$ ot denruter ecirp eht ,dedne maerc eci no elas eht sa dna kcap re p 2$ ta deyats setteragic ,yaM nI )b(

. ff o r et te B ni naht �o esrow ro �o rette b eh saW

?llet eno t’nac ro ,yraurbeF

.f fo e sr oW

?yraunaJ ni

naht �o esrow ro �o rette b eh saW .A rettel eht htiw eldnub lirpA sih le bal dna licne p htiw enil tegdub lirpA sih warD .maerc eci fo stnip 23 dna setteragic fo skcap 43 thguo b remusnoC .rM .tnip re p 1$ rof elas no llits saw maerc eci dna kcap re p 2$ ot esor secirp etteragic ,lirpA nI )a( .melborp suoiverp eht morf remusnoC .rM fo serutnevda eht htiw seunitnoc melborp sihT )1( 8.8

. l le t t ’n ac u o y w o N

?kcap re p 2$ ot desaercni dah

setteragic fo ecirp eht fi egnahc noitseuq tsal eht ot rewsna ruoy seod woH ?nosirapmoc a hcus ekam ton uoy nac ro ,�o esrow

. ff o re tt eB

,yraunaJ ni naht �o rette b eh sI .kni kcalb htiw enil tegdub hcraM sih warD .kcap re p 05.1$ ot desaercni ,elihwnaem ,secirp etteragiC .tnip re p 1$ rof elas no saw maerc ecI .dne ps ot 001$ dah niaga C .rM ,hcraM nI )c( .doog

la mr o n

)lartuen ,roirefni ,lamron( )n(a si maerc eci taht

stseggus evah ew noitamrofni eht eroferehT .emocni sih ni )8 .hC(

e s ae rc ed

N OITA U QE YKST ULS

601

.A ti le bal dna hparg ruoy no esoohc lliw ahtagA taht selim ssalc-dnoces dna -tsr� fo noitanibmoc eht etacoL .siraP ot lubnatsI morf ecnatsid eritne eht reh yrrac ot tneic�us era taht stekcit ssalc-dnoces dna -tsr� fo snoitanibmoc fo sucol eht wohs ot kni eulb esU .002$ reh htiw esahcrup ot dro�a tsuj nac ahtagA taht stekcit ssalc-dnoces dna -tsr� fo snoitanibmoc fo sucol eht wohs ot kni der esu ,wole b hparg eht nO )a( .ssalc tsr� ni siraP ot yaw eht lla reh teg ot yenom hguone ton si 002$ dna ,siraP ot yaw eht lla teg tsum ehs tub ,ot dro�a nac ehs sa hcum sa ssalc tsr� levart lliw ehS .pirt reh rof stekcit reh no 002$ eritne reh dne ps ot snalp ahtagA .yaw eht no tae ot sehciw -dnas re bmucuc fo lluf esactius a dna hsurbhtoot reh sah llits ehs ,ylikcuL .stekcit reh yub ot hcihw htiw tfel 002$ ylno sah ehs ,raazab lubnatsI na ni erutnevdasim a fo esuace b tub ,levart ssalc-dnoces ot ssalc-tsr� sreferp hcum ahtagA .egairrac ssalc-tsr� a rof elim a stnec 02 dna egairrac ssalc -dnoces a rof elim a stnec 01 si ecirp ehT .egairrac ssalc-dnoces a ni yaw eht fo tser eht levart dna egairrac ssalc-tsr� a ni yenruoj eht fo noitcarf yna ekam ot esoohc nac relevart A .selim 005,1 si ecnatsid ehT .siraP ot lubnatsI morf sserpxE tneirO eht no levart tsum ahtagA )1( 01.8

.d o og ne ff iG a t on yl ba bo r p er e w seo ta to p oS .t n at sn oc de ya t s dn a me d o ta top t uB

. se ot at o p r of

d na me d e sa e rc ed os la dl uo w e mo c ni ni es ir eh t d na dn am e d e s ae rced dl uo w s e ot at op fo e ci rp eh t n i ll a f eht n e ht , do o g ne ff iG a er e w s eo ta t op f I

?doog ne�iG a erew se ot

-ato p taht ylekil si ti rehtehw atad eseht morf llet osla eno naC )b(

. d oo g ro ir e fn i na e b t su m s e ot at op oS

. es a er cn i to n di d n o it pm us n oc ot at op

t uB .s e ot at op ro f dn a me d e ht e sa er c ni d lu ow em oc n i n i es i r e ht dn a e ci rp ot at op n i ll af eh t ht o b , do og l am ro n a e re w se ot a to p fI .rewsna ruoy nialpxE .doog roirefni na ro lamron a ylekil tsom E MA N

701

?reh rof doog ne�iG a ti sI

. oN

.s eY ?ahtagA rof doog lamron a levart

ssalc-dnoces sI ).snwonknu owt ni snoitauqe raenil owt evlos ot evah lliw uoy noitulos tcaxe na roF :tniH( .66.666 ?won ssalc dnoces yb levart ehs seod selim ynam woH . B tnio p siht le baL ).002$ no pirt elim 005,1 eht ekam llits dna ot dro�a nac ehs sa ssalc-tsr� hcum sa levart ot gniog si ehs ,re bmemeR( .esoohc won dluow ehs taht stekcit ssalc-dnoces dna ssalc-tsr� fo noitanibmoc eht etac ol ,hparg ruoy nO .secirp eseht ta 002$ reh htiw dro�a nac ehs taht stekcit ssalc-dnoces dna ssalc-tsr� fo snoitanibmoc eht wohs ot licne p esu ,evo ba werd uoy taht hparg eht nO .02.$ ta deniamer stekcit ssalc-tsr� fo ecirp eht elihw 50.$ ot llef stekcit ssalc-dnoces fo ecirp eht ,stekcit reh yub ot ydaer saw ehs erofe b tsuJ )d(

.0 00 ,1 si hcaoc ssalc-dnoces yb slevart ehs taht selim fo re bmun ehT )c(

.005 ,1 = 2m + 1m ,002 = 2m1. + 1m2.

.hcaoc ssalc-dnoces yb

levart ot seso ohc ehs selim fo re bmun eht dna hcaoc ssalc-tsr� yb levart ot sesoohc ehs selim fo re bmun eht dn� ot evlos nac uoy taht snoitauqe owt nwod etirW .hcaoc ssalc-dnoces yb slevart ehs selim fo re bmun eht e b dna hcaoc ssalc-tsr� yb slevart ehs selim fo re bmun eht e b 1m teL )b( 2m

selim ssalc-dnoceS 0061 0021 008

a

c

enil deR

004

0

enil kcalB

004

008

b enil eulB

0021

enil licneP

0061 selim ssalc- ts riF )8 .hC(

N OITA U QE YKST ULS

801

.33.333−

.e no N

?tce�e emocni na ot eud saw egnahc a fo hcum woH

?tce�e noitutitsbus a ot eud saw stekcit ssalc-dnoces rof dnam

-ed s’ahtagA ni egnahc a fo hcum woh ,50.$ ot 01.$ morf llef stekcit ssalc -dnoces fo ecirp eht nehW .66.666 ?)gabdnah tsol reh dnuof ehs erofe b stekcit yna yub t’ndid ehs gnimussa( won ssalc dnoces yb levart ehs lliw selim ynam woH .niaga gabdnah reh sdn� ahtagA roo p ,yllaniF )a(

.0 00 ,1 ?won ssalc dnoces yb levart ehs lliw selim ynam woH . C a htiw sesoohc ehs taht tnio p eht le baL .ssol reh gnirevocsid retfa dro�a tsuj nac ehs taht stekcit ssalc-dnoces dna -tsr� fo snoitanibmoc fo sucol eht ward ot kni kcalb esu ,melborp suoiverp eht ni detrats uoy hparg eht nO .05$ ?esol ehs did yenom hcum woH .secirp dlo eht ta desahcrup evah dluow ehs taht stekcit ssalc-dnoces dna -tsr� fo noitanibmoc eht dro�a yltcaxe dluoc ehs ,secirp wen eht ta taht os hguone tsuj saw tsol ehs yenom eht ,kcos reh ni yenom reh fo tsom tpek ehs hguohtlA .gabdnah reh decalpsim ahtagA ,stekcit yna thguo b dah ehs erofe b tsuj dna ,levart ssalc-dnoces rof elim re p 50.$ ot elim re p 01.$ morf egnahc ecirp eht retfa tsuJ .melborp suoiverp eht morf ,ahtagA fo serutnevda eht htiw eunitnoc eW )0( 11.8 E MA N

901

)8 .hC(

N OITA U QE YKST ULS

011

.erusiel on ekat ot esohc ehs fi evah dluow ehs emocni eht si emocni lluf s’rekrow A ”.emocni lluf“ yb deyalp won si ledom doog-remusnoc yranidro eht ni emocni yb deyalp si taht elor ehT .erusiel fo ecirp eht si etar egaw ehT .1 ta ”sdoog rehto“ fo ecirp eht tes ew snoitacilppa tsom nI .sdo og rof yawa edart yam eh hcihw fo emos ,erusiel fo tnemwodne laitini na gnivah sa remusnoc eht fo kniht ew ,ylppus ro bal yduts oT .dnah ta melborp eht rof tniartsnoc tegdub etairporppa eht gnidn� si ”ykcirt“ ro wen lla ta si taht gniht ylno ehT .sdoog rehto dna erusiel neewte b gnisoohc si ohw remusnoc a fo roivahe b eht redisnoc ew ,ylppus ro bal yduts oT .ylppus ro bal fo yroeht eht si tnemwodne laitini na morf gnidart fo noitacilppa gnitseretni tsom eht spahreP .03 = ) F × 2( + )R × 1( taht hcus ) F ,R( eldnub yna emusnoc nac tnasae p eht eroferehT .03 = )5 × 2( + )02 × 1( si tnemwodne s’tnasae p eht fo eulav ehT .tinu re p nauy 2 si hs� fo ecirp eht dna ,tinu re p nauy 1 si ecir fo ecirp ehT .hs� fo stinu 5 dna ecir fo stinu 02 evah lliw eh ,sedart on sekam eh fi taht eso ppuS .meht emusnoc ot stnaw eh hcihw ni noitro porp emas eht ni ylirassecen ton tub ,hs� emos dna ecir emos sworg eH .hs� dna ecir ylno semusnoc tnasae p A :e lpmaxE .5 retpahC ni denrael uoy sdohtem emas eht gnisu ,sesoohc remusnoc eht eldnub eht dn� nac uoy ,noitauqe tegdub eht evah uoy ecnO .noitauqe sti nwod etirw ro enil eht ward rehtie nac uoy ,e pols sti wonk uoy dna enil a no tnio p eno wonk uoy fi ,lla retfA .enil tegdub s’remusnoc eht rof noitauqe na etirw syawla nac uoy neht ,tnemwodne laitini s’remusnoc eht wonk uoy dna secirp eht wonk uoy fi eroferehT .2 do og fo stinu 2p/ 1p yltcaxe teg nac eh ,pu sevig remusnoc eht 1 doog fo tinu yreve rof ecnis ,eurt si sihT . 2p/ 1p− eb tsum enil tegdub eht fo epols eht , 2p dna 1p era secirp eht fi ,dnoceS .tnemwodne laitini sih dro�a syawla nac remusnoc eht ,era secirp eht tahw rettam on ,esuace b eurt si sihT .enil tegdub s’remusnoc eht no eil tsum tnemwodne laitini eht ,tsriF .sgniht owt eciton ,tnemwodne laitini sih naht rehto emocni fo ecruos on sah ohw dna tnemwodne laitini na morf gnidart si ohw remusnoc a rof enil tegdub a enimreted oT .evruc ecnere�idni na dna enil tegdub sih neewte b ycnegnat fo tnio p a dn� neht dna enil tegdub sih dn� uoy ,secirp nevig ta sdnamed remusnoc a hcum woh tuo dn� oT .ereh llew uoy evres lliw denrael ydaerla evah uoy taht seuqinhcet ehT .rehto eht gniyub dna do og eno gnilles yb tnemwodne laitini sih morf yawa edart nac remusnoc A .edam era sedart yna erofe b snwo remusnoc eht sdoog fo eldnub eht si hcihw ,tnemwod -ne laitini na sah remusnoc eht ,retpahc siht nI .sd oog yub ot hcihw htiw yenom emos dah ohw tub ,sdo og yna gninwo tuohtiw tuo trats ohw sremus -noc fo roivahe b eht deiduts ew ,sretpahc suoiverp nI .noitcudortn I

gnilleS dna gniyuB E MA N

9 retpahC

hto b gnilbuod seod tce�e tahW .08

= K8 + Q2

.noitauqe tegdub

s’gahsibA etirw ,8 si stauqmuk fo ecirp eht dna 2 si secniuq fo ecirp eht fI .04 = K4 + Q .noitauqe tegdub s’gahsibA etirw ,4 si stauqmuk fo ecirp eht dna 1 si secniuq fo ecirp eht fI . E rettel eht htiw eldnub tnemwodne eht le bal dna ,kni eulb gnisu ,tes tegdub s’gahsibA warD )b( secniu Q 04 03

02

e enil eulB

01

0

enil ylggiuqS c

01

enil deR

02

03

04 s tauqmuK

.0 1

?secniuq tuohtiw od ot

gnilliw saw ehs fi evah ehs dluoc stauqmuk ynam woH

.0 4

?stauqmuk

tuohtiw od ot gnilliw saw ehs fi evah ehs dluoc secniuq ynam woH )a( .tseretni fo seitidommoc rehto on era erehT .secniuq fo ecirp eht semit ruof si stauqmuk fo ecirp ehT .secirp tekram rieht ta stauqmuk ro secniuq rehtie lles ro yub nac ehs tub ,ecruos rehto yna morf emocni on sah ehS .stauqmuk 5 dna secniuq 02 snwo ybelppA gahsibA )0( 1.9 .001 = C + R5 si noitauqe tegdub s’niwrehS eroferehT .yad re p 001$ = )81 × 5$( + 01$ si )emocni lluf sih( tnemwodne laitini sih fo eulav ehT .tnemwodne laitini sih fo eulav eht naht yad re p erom on stsoc ti fi ) C ,R( eldnub emusnoc ot dro�a nac eh ,ruoh na 5$ si egaw sih fI .sdo og rehto no yad re p dne ps ot sah eh srallod fo re bmun eht e b C tel dna ,yad re p sah eh taht erusiel fo tnuoma eht e b R teL .sdoog rehto rof yad a 01$ dna yad a erusiel fo sruoh 81 si tnemwodne laitini s’niwrehS eroferehT .sd oog rehto fo stinu 01 dna erusiel fo sruoh 81 evah lliw eh ,lla ta sedart on sekam niwrehS fI .tinu re p 1$ si sdoog rehto fo ecirp ehT .ton ro skrow eh rehtehw yad a 01$ mih sevig taht noisne p a seviecer osla eH .ruoh re p 5$ fo egaw a rof sehsiw eh sa yad a sruoh ynam sa krow nac eH .erusiel dna ro bal neewte b sedivid eh hcihw yad a sruoh 81 sah niwrehS :e lpmaxE )9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

211

01

.tnalpgge fo sdnuo p

01

dna se otamot fo sdnuo p

emusnoc won lliw oiraM .kni kcalb ro licne p gnisu ,enil tegdub

sih warD .5$ ta deyats tnalpgge fo ecirp eht elihw ,51$ ot esor seotamot fo ecirp eht ,kcab gnihtyna yub ot ecnahc a dah eh erofeB .noitpmusnoc nwo sih rof tnalpgge dna seotamot emos kcab yub ot gnidnetni ,002$ fo latot a rof tekram eht ta porc eritne sih dlos dah oiraM taht eso ppuS )d( .stnalpgge

51

dna se otamot

51

fo gnitsisnoc

eldnub noitpmusnoc a esoohc won lliw eH .kni der gnisu ,enil tegdub wen sih warD .003$ ?won tnemwodne s’oiraM fo eulav eht si tahW .dnuo p a 5$ ta syats tnalpgge fo ecirp eht elihw ,dnuo p a 51$ ot sesir seotamot fo ecirp eht ,sedart yna sekam oiraM erofe b taht eso ppuS )c( .A eldnub siht le bal dna sesoohc oiraM taht eldnub noitpmusnoc eht hguorht evruc ecnere�idni eht warD .tnalpgge fo sdnuo p 02 dna seotamot fo sdnuop 02 gnimusnoc pu sdne oiraM .enil tegdub s’oiraM ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO )b(

. 00 2$ ?selbategev fo tnemwodne s’oiraM fo eulav yratenom eht si tahW )a( .dnuo p re p 5$ saw elbategev hcae fo ecirp eht emit taht tA .seotamot fo sdnuo p 01 dna tnalpgge fo sdnuo p 03 dedleiy nedrag sih keew enO .oitar 1:1 a ni rehtegot meht esu swonk eh se picer ylno eht ecnis ,oiraM rof stnemelpmoc tcefre p era seotamot dna stnalpggE .tekram eht ni emos slles eh dna ,selbategev eseht fo emos semusnoc eH .seotamot dna tnalpgge sesiar eh erehw nedrag llams a sah oiraM )0( 2.9 .esoohc ton lliw ehs erus e b nac ew taht enil tegdub der s’gahsibA fo noitro p eht revo enil ylggiuqs a ekam ,hparg eht nO .esoohc ton lliw gahsibA erus e b nac ew taht enil tegdub der reh no stnio p emos era ereht neht ,ecnereferp delaever fo moixa kaew eht sye bo gahsibA fI )e( .kni der gnisu ,enil tegdub wen s’gahsibA ward ,evo ba margaid eht nO .secniuq sa emas eht tsoc stauqmuk taht os sllaf stauqmuk fo ecirp eht taht eso ppus , C delle bal eldnub eht snwo dna secniuq 01 dlos sah ehs retfa ,woN )d( . C rettel eht htiw hparg ruoy ni eldnub noitpmusnoc lan� reh le baL .secniuq 01 lles ot sediced gahsibA taht eso ppuS )c(

.t ce ff e oN ?dro�a nac gahsibA taht seldnub ytidommoc fo tes eht no evah secirp E MA N

311

fo 57− dna A fo 051 . st in u 05 2

.B ?sdnamed ten s’attecuL era tahW )c(

.s ti n u 5 21 rof dnA

?B

?A rof sdnamed ssorg s’attecuL era tahW )b(

. E tnemwodne laitini reh le baL .enil tegdub reh ward ot kni der esu ,wole b hparg eht nI . B fo stinu 002 dna A fo stinu 001 reh evig srerimda s’attecuL taht eso ppuS )a( .semusnoc ehs B fo tnuoma eht si b dna semusnoc ehs A fo tnuoma eht si a erehw ,ba = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu s’attecuL .2 = Bp ecirp eht ta B dna 1 = Ap ecirp eht ta A lles ro yub syawla nac ehs tub ,ni meht emusnoc ot stnaw ehs hcihw ni snoitro porp eht ni sdoog eseht teg syawla t’nseod ehS .srerimda ynam reh morf seitidommoc eseht fo stfig si emocni fo ecruos ylno reH . B dna A ,sd oog owt ylno semusnoc attecuL )0( 3.9 seo tamoT 04 03

02

01

0

01

enil kcalB enil eulB a

02

03 enil deR

.5−

04 tnalpggE

saw seotamot rof dnamed eht ni egnahc latot ehT

.5+

saw tce�e emocni tnemwodne eht ot eud seotamot rof dnamed eht ni egnahc ehT

.01−

saw tce�e emocni yranidro eht ot eud seotamot

.0

rof dnamed eht ni egnahc ehT

saw tce�e noitutitsbus eht

ot eud seotamot rof dnamed eht ni egnahc eht ,snoitcasnart yna edam oiraM erofe b 5$ morf 51$ ot esor seotamot fo ecirp eht taht gnimussA )e( )9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

411

t’nseod emocni reh ,esac rettal eht nI . B do o g fo rel le s te n a s i eh s es ua c eb re ro op r eh s ek am nI

Bp

n i l l af e ht , e sa c r em r of e ht

.egnahc ecirp eht fo emit eht ta yenom ro sdo og gnidloh saw

ehs rehtehw no gnidne ped tnere�id si noitpmusnoc reh yhw nialpxE )g(

.s ti nu 0 52 0 52

?A d oog hcum woH

.s ti nu

?emusnoc ot eso ohc ehs lliw B do og hcum woH .retal eldnub

noitpmusnoc reh yub ot yenom eht esu ot gninnalp ,yenom rof stfig reh fo lla degnahcxe dah attecuL ,llef B doog fo ecirp eht erofe b taht eso ppuS ) f( A dooG 003

522

051

57

0

001 e

002

enil tegdub deR

enil tegdub eulB

003

004

005

006 B dooG

. s ti nu 0 01 y b s es ae rc e d tI noitpmusnoc s’attecuL ot sne ppah tahW

.s es i r t I

. st in u 5 2

?A d oog fo

?hcum woh yB

?llaf ro esir B doog fo noitpmusnoc s’attecuL seoD )e(

.kni eulb gnisu ,hparg ruoy no secirp eseht ta enil tegdub s’attecuL warD .1 ta syats A d oog fo ecirp eht dna ,1 ot sllaf B d oog fo ecirp eht ,sedart yna edam sah attecuL erofe b taht eso ppuS )d( E MA N

511

ykstulS eht dna C ot A morf tnemevom eht si tce�e noitutitsbus ykstulS eht taht os C tnio p a warD . B muirbiliuqe wen eht dna A muirbiliuqe dlo eht le baL .sixa lacitrev eht no ”sdoog rehto lla“ dna sixa latnozi -roh eht no ”seotato p“ tuP .dene ppah evah dluoc siht woh wohs ,wole b sexa eht nI .roivahe b s’yddaP nialpxe ot elba saw eh ,hparg a fo pleh eht htiW .seotato p fo reilppus ten a saw yddaP taht dere bmemer eh neht tuB .dnamed ecuder ot deso ppus saw do og ne�iG a fo ecirp eht ni esaerced a taht thguoht ohw ,tsimonoce egalliv eht dehsinotsa siht tsr� tA .noit -pmusnoc otato p sih desaercni yddaP tub ,llef seotato p fo ecirp ehT .mraf otato p llams a sah ohw ,yddaP rof doog ne�iG a era se otatoP )0( 5.9 1X enil tegdub kcalB

enil tegdub eulB

e

2X

.won meht esoohc t’now ehs PRAW y B . se c ir p dl o eh t t a t ne mw od n e re h na ht 1 do o g fo s se l ht iw s e ld nu b eh t dr of fa d lu oc e hS

.e ld n ub d lo r e h d ro f fa llit s n ac e hs

, t eg du b we n e h t h ti w n e ht ,s ll af 1 p f I .o N .nialpxE ?erofe b naht 1 doog fo ssel emusnoc lliw allicsirP taht ne ppah ti dluoC .ecnereferp delaever fo moixa kaew eht se�sitas allicsirP .enil teg -dub wen reh wohs ot kni eulb esU .edart on edam allicsirP hcihw ta level eht wole b sllaf 1 doog fo ecirp eht tub ,emas eht syats 2 d oog fo ecirp eht taht eso ppuS .stcaf eseht htiw tnetsisnoc e b dluow taht allicsirP rof evruc ecnere�idni na dna enil tegdub a ward ot kni kcalb ro licne p esU .sdo og hto b fo stnuoma evitiso p htiw dewodne si ehs dna ,sevruc ecnere�idni reh ni sknik on sah allicsirP .tnemwodne reh semusnoc tsuj dna secirp gniog eht ta edart ni egagne ot ton lamitpo ti sdn� allicsirP )0( 4.9

. eg na hc )9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

611

.A rettel eht htiw sesoohc ehs taht tnio p eht kraM .selim 005,1 yltcaxe reh ekat lliw taht stekcit fo snoitan -ibmoc eht wohs ot kni eulb esU .secirp dlo eht ta dro�a dluoc ehs taht stekcit fo snoitanibmoc eht wohs ot licne p esu ,wole b hparg eht nO )a(

.thguo b ydaerla dah ehs taht stekcit eht evah did ehs tub ,tekcit fo dnik rehtie yub ot tfel yenom on dah ahtagA .elim a 50.$ rof stekcit ssalc-dnoces lles ro yub ot dna elim a 02.$ rof stekcit ssalc-tsr� lles ro yub ot elbisso p saw ti niart eht no taht derevocsid osla ehS .02.$ ta deniamer stekcit ssalc-tsr� fo ecirp eht elihw 50.$ ot nellaf dah stekcit ssalc-dnoces fo ecirp eht taht tnemezama reh ot derevocsid ehs ,niart eht dedrao b ehs retfA .dro�a dluoc ehs sa ssalc tsr� fo selim ynam sa htiw ,siraP ot yaw eht lla levart ot reh delbane taht stekcit thguo b ehS .01.$ saw stekcit ssalc-dnoces fo ecirp eht dna 02.$ saw stekcit ssalc-tsr� fo ecirp eht nehw sserpxE tneirO eht no stekcit ssalc-dnoces dna ssalc-tsr� yub ot hcihw htiw 002$ ylno dah ehS .siraP ot lubnatsI morf selim 005,1 levart ot dah ehS .retpahc suoiverp eht morf ,ahtagA fo sliavart eht llaceR )0( 6.9

seo ta toP

e b

c

a

d sdoog reh to llA

).thgiarts yrots elohw eht teg ot re pap hctarcs emos no snur yrd wef a ekam ot deen lliw ylbaborp uoY :gninraW( . D yb secnatsmucric eseht rednu tnio p noitpmusnoc wen eht le baL .emocni yenom dah ylno tub ,se otato p yna nwo t’ndid yddaP fi seotato p fo ecirp eht ni llaf a fo tce�e eht gniwohs enil tegdub a ward ,siht od oT .do og ne�iG a era seotato p taht wohs ot evah ot gniog osla era uoy ,hparg emas siht nO . B ot C morf tnemevom eht si tce�e emocni E MA N

711

?krow eh lliw yad re p sruoh ynam woH

.0 1

.8 ?esoohc eh lliw yad re p

erusiel fo sruoh ynam woh ,R C = ) C ,R( U noitcnuf ytilitu eht sah goC .rM fI ).mih rof faol ot esle ydo bemos gniyap yb ”erusiel yub“ tonnac eh ,erusiel fo tnemwodne sih fo emos ”lles“ ybereht dna krow ot esoohc nac goC hguohtla taht re bmemer ,hparg ruoy ward ruoy nehW( .A rettel eht htiw wole b hparg eht no tnio p siht kraM .erusiel sih fo lla speek tub ,krow t’nse od eh erehw tnio p eht si tnemwodne laitini siH .wole b hparg eht ni enil tegdub sih ward ot kni eulb esU .061 = R8 + C .erusiel dna noitpmusnoc neewte b tegdub sih rof noitauqe na etirW .yad re p emocni ro balnon fo 61$ sah eh taht eso ppus dna ,erusiel ro ro bal ot etoved ot yad re p sruoh 81 sah dna ruoh na 8$ snrae goC .rM taht eso ppuS )a( .sesoohc eh taht erusiel fo sruoh fo re bmun eht e b R tel dna sdo og remusnoc no dne ps ot sah eh srallod fo re bmun eht e b C teL .w fo etar egaw a ta sehsiw eh sa yad re p sruoh ynam sa krow nac eH .yrotcaf enihcam a ni skrow goC .rM )0( 7.9

.e m as e hT

?stekcit ssalc-dnoces fo

tnuoma emas eht ro ,ssel ,erom eso ohc ehs seoD .egnahc ecirp eht tuo ba tuo gnidn� retfa sesoohc ehs taht tnio p eht wohs ,hparg ruoy nO )c( .niart eht drao b no ylppa taht secirp wen eht ta stekcit fo tnemwodne reh gnidart yb ,niart eht no si ehs nehw dro�a nac ehs taht levart ssalc-dnoces dna ssalc-tsr� fo snoitanibmoc eht fo lla gniwohs enil a ward ot kni der esU )b( selim ssalc-dnoceS 0061 0021 008

004

0

enil deR

a

004

008 enil eulB

enil licneP 0021

0061 selim ssalc- ts riF

)9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

811

si C fo ecirp eht ,w si R fo ecirp eht nehw R rof dnamed eht gnidn� sa emas eht tsuj si siht taht ecitoN :tniH( .emocni ro balnon fo dna segaw fo noitcnuf a sa dnamed lliw goC .rM taht erusiel fo tnuoma eht dn� ,snoitcnuf dnamed no retpahc eht ni desu uoy sdohtem emas eht gnisU .w81 + m = Rw + C noitauqe eht sah enil tegdub s’goC .erusiel dna ro bal neewte b edivid ot sruoh 81 sah eh taht emussa ,erofe b sA .m$ fo emocni ro balnon a dna ruoh re p w$ fo egaw a sah goC .rM taht eso ppuS )d(

.6

?krow ot esoohc eh seod sruoh ynam

woH .enil tegdub sih ward ot kni kcalb esU .yad re p 84$ ot sesir emocni ro balnon sih taht tub ruoh na 8$ seviecer llits goC .rM taht eso ppuS )c(

.6 3$ yb sesaercni yllautca noitpmusnoc sih os dna ,sruoh ot sesoohc eh ,enil tegdub wen sih htiw tuB

. 23 $

3 8 1

krow

?noitpmusnoc no

dne ps ot yad hcae evah eh dluow yenom erom hcum woh ,esaercni egaw eht erofe b did eh sa sruoh ynam sa yltcaxe krow ot deunitnoc goC .rM fI ).emocni ro balnon ni yad a 61$ sah llits eH( .enil tegdub wen sih ward ot kni der esU .ruoh na 21$ ot esor etar egaw s’goC .rM taht eso ppuS )b( e rusieL 42

02

61

21

8

4

0

a 04 enil tegdub eulB 08 enil tegdub kcalB 021

061 enil tegdub deR

002

042 noi tpmusnoC

E MA N

911

.sruoh

03

02

e b lliw ylppus ro bal lamitpo sih taht snaem sihT .sruoh

si emusnoc ot esoohc lliw derF taht erusiel fo tnuoma ehT )d(

)?noitcnuf ytilitu salguoD-bboC a htiw enoemos fo noitcnuf dnamed eht rof evlos ot woh re bmemeR :tniH( .051$ ?esoohc eh dluow noitpmusnoc hcum woh ,tegdub evo ba eht ot tcej bus ytilitu s’derF dezimixam uoy fI )c( .005,7 dna ,005,4 ,000,3 fo slevel ytilitu derF evig taht sevruc ecnere�idni eht hcteks ot kni eulb esu ,hparg emas eht nO )?hparg ruoy no era stnio p rehto tahW .lla ta erusiel on evah ot esohc eh fi evah dluow eh noitanibmoc eht dniF .lla ta krow t’ndid eh fi evah dluoc eh taht serutidne pxe noitpmusnoc dna erusiel fo noitanibmoc eht dniF :tniH( .enil tegdub s’derF wohs ot kni kcalb esu ,wole b hparg eht nO )b( .sixa latnoziroh eht ot yaw eht lla nur t’nseod enil tegdub siht taht si ecnere�id ylno ehT .erusiel fo tinu re p fo ecirp a dna noitpmusnoc fo 5$ tinu re p 1$ fo ecirp a ta sdoog owt eseht yub nac ohw enoemos rof enil tegdub a ekil si noitpmusnoc dna erusiel rof ”enil tegdub“ s’derF .003$ erofereht si emit erusiel sih fo eulav tekram eht dna ecnawolla yenom sih hto b gnidulcni ,eldnub tnemwodne s’derF fo eulav yenom ehT .yenom rof ”lles“ thgim eh hcihw fo emos ,erusiel fo sruoh 05 dna noitpmusnoc no dne ps ot yenom fo 05$ fo stsisnoc taht tnemwodne na sah derF )a( .L C = )L ,C( U si noitpmusnoc no dne ps ot yenom dna erusiel rof noitcnuf ytilitu s’derF .ruoh na 5$ rof lleB ocaT ybraen a ta keew re p sruoh ynam sa krow nac eH .keew a sruoh 05 si sessalc scimonoce rof gniyduts dna ,hteet gnihsurb ,gnipeels ekil seitivitca yrassecen rof gniwolla retfa tfel sah eh taht emit erusiel fo tnuoma ehT .seitilibisso p eht setagitsevni ylmulg derF oS .stnerap sih yas ”,boj a teg ,yenom erom tnaw uoy fI“ .liava on ot sksa eh tuB .sksa eh ”?yenom gnidne ps rof keew a 05$ no evil enoyna nac woH“ .emoh morf steg eh taht skcehc regaem eht tnemelppus ot woh tuo erug� ot gniyrt si dna egelloc ta devirra tsuj sah derF )0( 8.9

. w2/m − 9

si ro bal rof noitcnuf ylppus s’goC .rM

= )m ,w(R − 81 erofereht

.) w2/m( + 9

= )m ,w(R

si erusiel rof noitcnuf dnamed s’goC .rM ).w81 + m si emocni dna ,1 )9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

021

e rusieL 08 06

04

02

0

001

002

003

enil tegdub deR enil tegdub eulB

004 noi tpmusnoC

).wole b hparg eht no kni eulb esU( .emocni ro bal fo noitaxat ro ydisbus tnemnrevog on si erehT )a( .smargorp tnemnrevog gniwollof eht morf gnitluser egroeG rof stniartsnoc tegdub eht hctekS .ro bal dna erusiel neewte b etacolla ot keew re p sruoh 08 sah egroeG ,peek -pu ylido b rof yrassecen seitivitca eht fo lla rof emit gniwolla retfA .ref -fins e�urt a sa boj sih ni ruoh re p 5$ snrae nosnhoJ egroeG )0( 9.9 e rusieL 06

05

04

03

02

01

0

)0003( ev ruc ecne reffidni eulB

05 )0054( ev ruc ecne reffidni eulB

001

051 enil tegdub kcalB

002

)0057( ev ruc ecne reffidni eulB

052

003 noi tpmusnoC

E MA N

121

).wole b hparg eht no kni eulb esU( .keew a sruoh 02 naht erom skrow ohw enoyna ot 001$ fo tnemyap a sevig tnemnrevog eht ,krow egaruocne ot evitnecni na sa tub ,%05 ta dexat era segaw llA )e(

).evo ba hparg eht no kni der esU( .xat eht morf tpmexe era ro bal fo sruoh 02 tsr� eht taht noitpecxe eht htiw ,ylppa )c( traP ni sa snoitidnoc emas ehT )d(

e rusieL 08 06

04

02

0

enil tegdub eulB 001

002 enil tegdub deR

003

004 noi tpmusnoC

).wole b hparg eht no kni eulb esU( .xat emocni %05 a ot tcej bus era segaw lla dna ,001$ eht eviecer ton se od eh skrow eh fI .001$ fo tnemyap a seviecer eh ,gnikrow ton si laudividni na fI )c(

).evo ba hparg eht no kni der esU( .xat emocni %05 a ot tcej bus si keew re p 001$ evo ba emocni ro bal lla tuB .emocni ro bal fo keew re p 001$ tsr� eht no xat on si erehT .tnemnrevog eht morf keew re p 001$ fo tnemyap mus-pmul a eviecer slaudividni llA )b( )9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

221

1.04 8.93 7.93 5.04 1.83 1.24 4.74 0.15 0.95 dekroW sruoH

47.01 66.9 65.8 68.6 72.5 96.3 11.3 36.2 98.1 egaW

3891 0791 0691 0591 0491 0391 0291 9091 0981 raeY

.srallod 3891 ni era segaW .)472 .p( imeiN tre blA yb ,yrotsiH cimonocE .S.U dna 3891 ,scitsitatS robaL fo koobdnaH :secruoS 3891-0981 ,gnirutcafunaM .S.U ni keeW kroW fo htgneL dna segaW ylruoH .keew re p sruoh 04 tuo ba ta tnatsnoc ylbakramer deyats sah keew krow eht fo htgnel eht ,setar egaw laer fo htworg gniunitnoc etipsed ,0391 retfa tuB .yllacitamard decuder saw keew krow eht fo htgnel eht ,0391 ot 0981 morf d oire p eht nI .tneserp eht ot 0981 morf ylidaets nesir evah gnirutcafunam ni setar egaw laer ,setatS detinU eht nI )0( 01.9

e rusieL 08 06

04

02

0

enil tegdub eulB 001

002

003

004 noi tpmusnoC

E MA N

321

eht ,doire p siht roF .tnecre p tub ,tnecre p

93

02

ylno yb esor sgninrae ylkeew

yb esor setar egaw ,9091 dna 0981 neewteB )d(

.tnatsnoc ylhguor syats keew krow e ht o s ,t uo

r e ht o h ca e le cn ac s tc ef fe

e mo c ni t ne m wo dn e d n a no it ut i ts bu S

?ruoh na

4$ evo ba segaw ta sne ppah tahw nialpxe uoy dluow woH .etanimod ot srae ppa tce�e emocni tnemwodne )emocni tnemwodne ,noitut -itsbus( eht ,ruoh na 4$ wole b setar egaw tA .keewkrow )retrohs ,regnol( a dna erusiel

er om

r et r oh s

)ssel ,erom( esoohc elpoe p ekam ot

sdnet tce�e emocni tnemwodne eht ,doog lamron a si erusiel fI .keewkrow )retrohs ,regnol( a rof ekam dluow enola tce�e noitutitsbus

re gn o l

ehT .tce�e noitutitsbus a dna tce�e emocni tnemwodne na hto b sah segaw ni esaercni nA .etar egaw eht nevig ,krow ot keew a sruoh suoi -rav gnisoohc srekrow htiw tnetsisnoc e b dluoc elbat siht ni atad ehT )c(

.r e tr oh S

?sesir etar egaw eht sa retrohs

ro regnol teg keewkrow eht seod ,ruoh na 4$ wole b setar egaw tA )b( keew rep k row fo s ruoH 06

05

04

02

03

01

0

2

4

6

8

01

21 )s rallod 3891 ni( e ta r egaw yl ruoH

.wole b hparg eht no ”evruc ylppus ro bal“ a tolp ot atad eseht esU )a( )9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

421

.emitrevo dekrow ehs fi e b dluow ehs erehw trap eht rof kni der esU .emitrevo krow ton seod ehs fi e b dluow ehs erehw enil tegdub reh fo trap eht rof kni eulb esU .061 = c dna

04

= r erehw tnio p eht ta ti ni knik a sah ”enil“ tegdub s’ydneW )b(

.0 4

?krow ot esoohc caM lliw sruoh ynam woH )a(

.krow ot sruoh fo re bmun eht esoohc nac hcaE .erusiel si r dna noitpmusnoc si c erehw , rc = U noitcnuf ytilitu a sah hcaE .ro bal naht rehto secruos morf emocni yna sah rehtien dna erusiel dna krow neewte b etac olla ot keew a sruoh 08 sah hcaE .skrow eh sruoh ynam woh rettam on ruoh na 5$ steg caM .keew a sruoh 04 dnoye b ruoh yreve rof ruoh na 6$ dna skrow ehs taht sruoh 04 tsr� eht rof ruoh na 4$ steg ydneW .stnaruatser doof tsaf ni krow caM dna ydneW )0( 21.9

.8

?ledom s’iridoH lE ni tse b si yad re p peels fo sruoh ynam woH )b(

.e ma s eh t sy at S

?esaercni segaw sa emas eht yats ro ,esaerced

,esaercni gnipeels fo tnuoma lamitpo eht seod ,ledom s’iridoH lE nI )a(

”.etar egaw eht gnie b w htiw ,)s − 42(w = x erehw ,s 2x = u mrof eht fo noitcnuf ytilitu a sezimixam remusnoc eht ,s peels fo sruoh dna x gnie b noitpmusnoc yliaD .yad a ni sruoh 42 era ereht emussA“ .sisylana gniwollof eht dere�o ,5791 ,71 .lov ,dlofinaM ”,gnipeelS fo scimonocE ehT“ elcitra keehc-ni-eugnot cissalc a ni ,sasnaK fo ytisrevinU eht fo irid oH lE demahoM rosseforP )0( 11.9

erusiel

e r om

niag eht

.0981 ni koot yeht naht 9091 ni )ssel ,erom( ekat ot esohc yeht ecnis ,htlaew s’rekrow ni

se ta t sr ed nu

)setatsrednu ,setatsrevo( sgninrae ni niag E MA N

521

).krow ot emit fo tnuoma tse b eht esohc dna boj s’caM dah ehs fi e b dluow ytilitu reh tahw etaluclaC .eciohc tse b reh sekam ehs nehw ytilitu s’ydneW etaluclaC :tniH( .caM ?boj rette b eht sah ohW .boj rette b eht sah ohw tuo ba eerga ot elba e b lliw yeht ,secnereferp emas eht evah caM dna ydneW ecniS .stce pser rehto lla ni elbaeerga yllauqe era sboj eht taht eso ppuS ) f(

.6 .6 4 .)3.33 ,002( tse b eht si tahW

?krow ehs lliw keew a sruoh ynam woH

= ) r ,c( ?enil tegdub der eht morf ydneW rof eciohc

. se Y

?emitrevo krow ot esoohc ydneW lliW )e(

.tnio p siht hguorht evruc ecnere�idni reh ward ot kni kcalb esu ,hparg ruoy nO .keew a 061$ fo latot a nrae dna sruoh krow dluow ehs 04 ,dekrow ehs sruoh ynam woh rettam on ruoh na 4$ diap saw ydneW fI )d( ).e pols sti wonk uoy dna enil eht no tnio p eno wonk uoy ,enil der eht roF :tniH( .004 = r6 + c noitauqe htiw enil a no seil werd uoy taht enil der ehT

.023 = r4 + c

noitauqe htiw enil a no seil werd uoy taht tnemges enil eulb ehT )c(

e rusieL 08 06

04

02

0

enil fo t rap eulB 001

002

003 enil fo t rap deR 004 noi tpmusnoC

)9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

621

fo ruoh yreve rof ruoh na 02$ dna keew re p dekrow eh taht sruoh 04 tsr� eht rof ruoh na 01$ ylno mih yap dluow yeht ,ruoh re p 02$ mih gniyap fo daetsni taht dediced yehT .sruoh 04 naht erom krow ot yllaW detnaw dna tcej orp rieht etelpmoc ot yrruh taerg a ni erew llawyrD dna ztilG )d( .llawyrD dna ztilG rof dekrow eh nehw dna deyolpme-fles saw eh nehw sruoh gnikrow fo eciohc sih htiw tnetsisnoc era taht sevruc ecnere�idni ward ,hparg eht nO .sevruc ecnere�idni sih ni sknik on dna secnereferp xevnoc sah yllaW )c( .enil tegdub wen s’yllaW ni ward ,evo ba werd uoy hparg eht nO .keew re p sruoh 04 ylno krow ot esohc llits yllaW .dekil eh sa sruoh ynam sa krow dluoc eh taht dias dna ruoh na 02$ yllaW dere�o yehT .etelpmoc ot boj hsur a dah ,llawyrD dna ztilG ,mr� noitcurtsnoc ehT .keew re p sruoh 04 krow ot esohc yllaW ,deyolpme-fles elihW )b(

.086 ,1 = R01 + I

.noitauqe tegdub s’yllaW nwod etirW )a(

e rusieL 042

002

061

021 821

08

04

0

004

008

0021

0061 enil tegdub deR

0002

0042 emocnI

.dro�a nac yllaW taht emocni dna erusiel ylkeew fo snoitanibmoc suoirav eht gniwohs ,tes tegdub s’yllaW ward ,wole b hparg eht nO .erusiel dna ro bal neewte b etacolla ot keew re p sruoh 861 sah eH .ro bal sih naht rehto emocni fo ecruos on sah yllaW .sekil eh sa sruoh ynam sa krow nac eh dna krow sih rof ruoh re p 01$ segrahc eH .re bmulp a si re piP yllaW )1( 31.9 E MA N

721

.21

?esoohc eh lliw erusiel fo sruoh ynam woh ,ro bal sih rof segaw

orez steg tub sekil eh sa yad a sruoh ynam sa krow nac yelduD fI )a( .tinu re p 1$ si sdoog noitpmusnoc fo ecirp ehT .secruos ro balnon morf yad a 02$ fo emocni na sah eH .erusiel dna krow neewte b edivid ot yad a sruoh 61 sah eH .yad re p sah eh erusiel fo tnuoma eht si R erehw , 2)R − 21( − C = )R ,C( U si noitcnuf ytilitu s’yelduD )2( 51.9 e rusieL 42

05

042 emocnI

)?42 = l enil lacitrev eht tih eciohc lautca reh hguorht evruc ecnere�idni eht seod erehW :tniH( .sixa lacitrev eht no emocni dna sixa latnoziroh eht no erusiel tuP .skramer reh dna roivahe b s’yticileF htiw tnetsisnoc era taht sevruc ecnere�idni dna enil tegdub a ward ,wole b sexa eht nO )a( .enil tegdub reh dna sevruc ecnere�idni reh mih wohs ehs taht stsisni citpeks ehT .nigram eht no elbarisednu tub egareva no elbarised e b yam krow taht snialpxe yltneitap ,lanoitar yleritne si ohw ,yticileF ”?yenom erom nrae dna sruoh erom krow uoy t’nod yhw ,lla ta gnikrow ton naht rette b boj eht ekil uoy fI“ ,sksa citpeks A .lla ta gnikrow tuohtiw emocni emas eht edam ehs fi e b dluow ehs naht boj siht ta gnikrow reippah si ehs taht gnitseretni os si boj eht syas ehS .yad a sruoh 5 ylno krow ot seso ohc ehS .sehsiw ehs sa yad a sruoh ynam sa krow nac dna ruoh na 01$ diap si ehS .boj reh sevol yticileF )1( 41.9

. er oM

?eludehcs yap siht htiw keew re p sruoh 04 naht ssel

ro sruoh 04 naht erom krow yllaW lliW .eludehcs yap siht htiw sesoohc yllaW taht tnio p eht hguorht evruc ecnere�idni eht warD .eludehcs yap siht htiw enil tegdub s’yllaW ni hcteks ot kni der esu ,evo ba werd uoy taht hparg eht nO .keew re p sruoh 04 dnoye b dekrow eh taht ”emitrevo“ )9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

821

.8

?krow ot esoohc eh dluow sruoh

ynam woh ;yad re p 02$ saw emocni ro balnon xat-erofe b sih dna ruoh na 01$ ta deniamer egaw xat-erofe b sih taht eso ppus dna ,emocni sih fo lla no tnecre p 02 fo xat emocni na yap ot sah yelduD taht eso ppuS )d(

.7

?krow ot esoohc eh dluow

sruoh ynam woh ,yad a 5$ ot desaerced emocni ro balnon s’yelduD fI )c(

.9

).erusiel

rof dnamed sih sunim 61 si ylppus ot sehsiw eh ro bal fo tnuoma eht taht re bmemeR .ylppus ro bal sih rof evloS .tniartsnoc tegdub s’yelduD nwod etirW :tniH( ?krow ot esoohc eh lliw sruoh ynam woh ,ruoh na 01$ fo etar egaw a rof sehsiw eh sa yad a sruoh ynam sa krow nac yelduD fI )b( E MA N

921

)9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

031

-noc no noita�ni fo stce�e eht enimreted ot deksa e b osla lliw uoY .emusnoc ot 05.511 htiw mih sevael sihT .121 fo emocni 2-doire p sih fo tuo 05.5 yap tsum eh ,2 d oire p ni tseretni dna lapicnirp kcab yap oT .1 doire p ni 501 emusnoc ot redro ni 5 worro b tsum eh ,001 ylno si emocni 1-doire p s’remusnoc eht ecniS .05.511 = 2c dna 501 = 1c si noitulos ehT . 2c dna 1c rof evlos ot noitauqe tegdub eht htiw rehtegot noitauqe siht ekaT .1.1 = 1c/ 2c taht hcus eldnub a esoohc tsum remusnoc eht os , 1c = 2U M dna 2c = 1U M tuB .1.1 = 2U M/ 1U M taht os eldnub noitpmusnoc a esoohc lliw remusnoc ehT .1.1 = r + 1 si 2 do og fo ecirp eht ot 1 doog fo ecirp eht fo oitar ehT .012 = 1.1/121 + 001 = 1.1/ 2c + 1c tniartsnoc tegdub s’remusnoc eht nehT .2 doire p ni 121 dna 1 doire p ni 001 emocni sah remusnoc eht dna ,%01 si etar tseretni eht ,noita�ni on si erehT . 2c 1c = ) 2c , 1c( U noitcnuf ytilitu eht sah remusnoc A :e lpmaxE .noitpmusnoc 1-doire p sih dna emocni 1-doire p sih neewte b ecnere�id eht tsuj si gnivas s’remusnoc eht ecnis ,gnivas dn� osla nac uoy ,doire p hcae ni noitpmusnoc rof devlos gnivaH .wonk ydaerla uoy sd ohtem eht gnisu 2 dna 1 sdoire p ni noit -pmusnoc rof dnamed sih dn� nac uoy ,doire p hcae ni emocni s’remusnoc eht dna ,etar tseretni eht ,noitcnuf ytilitu s’remusnoc a nevig era uoy fi eroferehT . )r2+m1( + 1m si ”emocni“ dna ,) r + 1(/1 si ”2 d oog“ fo ecirp eht ,1 si ”1 doog“ fo ecirp eht erehw ,sretpahc suoiverp ni deiduts uoy taht tniartsnoc tegdub dradnats eht ekil tsuj skool tniartsnoc tegdub sihT r+1 r+1 . + 1m = + 1c 2m 2c syawla si sdoire p owt eht ni noitpmusnoc gnisoohc rof noitauqe tegdub s’remusnoc eht taht raelc emoce b dluohs ti ,txet eht yduts dna sesicrexe eht krow uoy sA . r2+m1 + 1m si ,2 doire p ni yaper ylbisso p dluoc eh sa yenom hcum sa deworro b eh fi ,yub dluoc remusnoc siht taht noitpmusnoc 1 -doire p fo tnuoma latot ehT .noita�ni on si ereht taht dna 2 doire p ni 2m dna 1 doire p ni 1m fo emocni na sah remusnoc a taht eso ppuS .sd oire p tnere�id owt eht ni emocni taert uoy yaw eht ni si kcirt dnoces ehT .etar tseretni eht si r erehw ,) r + 1(/1 e b ot tuo snrut ecirp sihT .noitpmusnoc 2-doire p fo tinu artxe na teg ot pu evig ot evah uoy taht noitpmusnoc 1-doire p fo tnuoma eht si noitpmus -noc 2-doire p fo ”ecirp“ eht neht ,eriaremun eht noitpmusnoc 1-doire p ekam uoy fI .seitid ommoc tcnitsid owt sa 2 doirep ni noitpmusnoc dna 1 doirep ni noitpmusnoc taert ot si kcirt enO ”.skcirt“ owt gnisu e b lliw eW .sdoire p emit owt fo rehtie ni demusnoc e b nac doog siht tub ,doog remusnoc eno ylno si ereht erehw selpmaxe redisnoc yllausu lliw ew ,emit revo noitpmusnoc no noitnetta suc of ot redro nI .denrael ydaerla evah uoy taht seuqinhcet sesu gnivas remusnoc fo yroeht ehT .noitcudortn I

eciohC laropmetretn I E MA N

01 retpahC

. 2p/m)a − 1( = 2x dna 1p/ma = 1x era sd oog eht rof snoitcnuf dnamed eht neht ,m = 2x 2p + 1x 1p mrof ”dradnats“ eht fo si tniartsnoc tegdub eht dna a−12x a1x = ) 2x , 1x(u mrof eht sah ytilitu fi taht reilrae was eW .ylevitce pser 2 dna 1 sd oire p ni snoitpmusnoc reh era 2c dna 1c erehw dna 1 < a < 0 erehw , a−12c a1c = ) 2c , 1c( U noitcnuf ytilitu salguoD-bboC a sah ylloM )0( 2.01

eht si tahW

.) r + 1(−

.e u la v t n es er P

?enil tegdub s’enirgereP fo e pols .tnemwodne sih fo )eulav tneserp

,eulav erutuf( eht si sihT . ) r2+1( + 1m ?1 doire p ni emusnoc nac eh m tsom eht si tahw ,2 doire p ni gnihtyna emusnoc ton seod enirgereP fI )c(

.e u la v e ru tu F erutuf( eht si sihT

.tnemwodne sih fo )eulav tneserp ,eulav

. 2m + ) r + 1( 1m

?2 doire p ni emusnoc nac eh

tsom eht si tahw ,1 doire p ni gnihtyna emusnoc ton seod enirgereP fI )b(

. )r+1( + 1m = 2m

) r+1( 2c

+ 1c

.smret eulav

tneserp ni tniartsnoc tegdub laro pmetretni s’enirgereP nwod etirW )a( . r si etar tseretni eht eso ppuS .ylevitce pser 2 dna 1 sdoire p ni ) 2m , 1m( snrae dna ) 2c , 1c( semusnoc elkciP enirgereP )0( 1.01 .egral era setar tseretni dna setar noita�ni fi noitamixorppa doog a hcus ton si siht ,ees lliw uoy sA .60. − 01. ∼ 830. ,si taht ,)esac siht ni %6( etar noita�ni eht dna )esac siht ni %01( ,etar tseretni lanimon eht neewte b ecnere�id eht yb detamixorppa ylesolc si tseretni fo etar laer eht ,llams hto b era etar noita�ni dna etar tseretni eht nehW .830. tuo ba si tseretni fo etar laer eht esac siht nI .tseretni fo etar laer eht sa nwonk si noitauqe siht sevlos taht r fo eulav ehT .) r + 1(/1 = 469. erehw , r erew etar tseretni eht dna noita�ni on erew ereht fi e b dluow tniartsnoc tegdub eht sa emas eht si tniartsnoc tegdub sihT .012 = 2c469. + 1c si noitauqe tegdub sih neht ,degnahcnu si doire p hcae ni emocni yenom s’remusnoc eht fI .noitpmusnoc 2-doire p fo stinu 469. = 01.1/60.1 si noit -pmusnoc 2-doire p fo tinu a teg ot pu evig ot evah uoy taht noitpmusnoc 1-doire p fo tnuoma eht eroferehT .tinu re p srallod 60.1 tsoc 2 d oire p ni sd oog ,noita�ni eht fo esuace b tuB .2 doire p ni 01.1$ kcab teg lliw uoy ,tseretni %01 htiw kcab ti teg dna 1 doire p ni 1$ evas uoy fi nehT .1 si sdoog 1-d oire p fo ecirp eht taht eso ppus dna ,%6 fo etar noita�ni na e b ot dene ppah ereht ,elpmaxe suoiverp eht ni taht eso ppuS :e lpmaxE .tniartsnoc tegdub eht ot sne ppah tahw ees ot si noita�ni fo stce�e eht gnidnatsrednu ot yek ehT .roivahe b remus )01 .hC(

ECI O HC LAR OP METRET NI

231

.noita�ni on si ereht dna raey siht tinu re p 1$ tsoc sdoog noitpmusnoC .%01 fo etar tseretni na ta yenom dnel dna worro b nac eH .raey txen 001,1$ fo emocni na stce pxe eh dna ,raey siht 000,2$ fo emocni na sah ybelkciN )0( 3.01

.1 doire p ni sgnivas reh dna noitpmusnoc 2-doire p reh 1-doire p reh

e s ae rc ed

e s ae rc ni

e s ae rc ni

lliw tI .noitpmusnoc

lliw etar tseretni eht ni esaercni nA )d(

. 2m8. + 1m) r + 1(8. reH

= 2c si 2 doire p ni noitpmusnoc rof noitcnuf dnamed

.) r + 1(/ 2m2. + 1m2.

= 1c si 1 doire p ni noitpmusnoc

rof noitcnuf dnamed reH . r dna , 2m , 1m fo noitcnuf a sa d oire p hcae ni noitpmusnoc rof snoitcnuf dnamed s’ylloM rof evlos ,2. = a fI )c(

.) r + 1(/ 2m + 1m tahW

.1

?m si tahW

.) r + 1(/1

? 2p si

? 1p si tahw ,tniartsnoc tegdub s’ylloM fo smret nI .mrof

dradnats eht fo eno ot tniartsnoc tegdub siht erapmoc ot tnaw eW )b(

.) r + 1(/ 2m + 1m = ) r + 1(/ 2c + 1c

.seulav tneserp fo smret ni tniartsnoc tegdub reh nwod etirW

.2 doire p ni 2m dna 1 doire p ni 1m si emocni s’ylloM taht eso ppuS )a( E MA N

331

ruoy no A tnio p siht le baL .2 d oire p ni stinu stinu

005,1

0 56 ,1

.margaid dna 1 doire p ni

emusnoc lliw ybelkciN .snoitauqe owt eseht evloS )d(

.000 ,3 = 1.1/ 2C + 1C = 1.1

.noitauqe tegdub s’ybelkciN nwod etirw oslA

. 1C/ 2C

.%01 si etar tseretni eht nehw enil tegdub sih fo e pols eht ot

lauqe si evruc ecnere�idni s’ybelkciN fo e pols eht taht setats taht noitauqe na etirW .1.1− ?enil tegdub s’ybelkciN fo e pols eht si tahW )c(

. 1C/2C− = SRM

). 2C , 1C selbairav eht fo noitcnuf a

e b lliw rewsna ruoY( .raey txen noitpmusnoc dna raey siht noitpmusnoc neewte b noitutitsbus fo etar lanigram s’ybelkciN rof noisserpxe na etirW . 2C 1C = ) 2C , 1C( U noitcnuf ytilitu eht sah ybelkciN taht eso ppuS )b( .E rettel eht htiw tnemwodne s’yblekciN le baL .dro�a nac eh taht raey txen noitpmusnoc dna raey siht noitpmusnoc fo snoitanibmoc eht wohs ,kni eulb htiW .003,3$ ?tnemwodne sih fo eulav erutuf eht si tahW

.0 00 , 3$

?tnemwodne s’ybelkciN fo eulav tneserp eht si tahW )a(

s000,1 ni raey sih t noi tpmusnoC 4 3 2 1

0

enil ylggiuqS 1

e

enil eulB

a

enil deR

2

3

4 s000,1 ni raey txen noi tpmusnoC )01 .hC(

ECI O HC LAR OP METRET NI

431

).doire p txen eht ni 3$ kcab yap ot evah uoy ,worro b uoy rallod yreve rof neht ,%002 si etar tseretni eht fI .doire p txen eht ni 1$ kcab teg uoy ,evas uoy taht rallod yreve rof ,%0 si etar tseretni eht fI :etoN( .%0 fo etar a ta yenom dnel nac eh dna ,%002 fo etar tseretni na ta yenom worro b nac eH .doire p hcae 02$ fo tnemwodne na sah setreaL )1( 5.01

. d oi re p dn oc es e ht n i no it p mu sn oc er om o t da el ht ob st ce f fe n oi tu t it sb us d na e mo c ni e hT .e ur T

”.d oire p dnoces eht ni noitpmusnoc

erom eso ohc revas a ekam ylirassecen lliw etar tseretni eht ni esaerc -ni na ,sdoog lamron era noitpmusnoc erutuf dna tnerruc hto b fI“ )b(

. et an im o d dl uo c t ce f fe re ht iE .noitcerid etisoppo ni skrow tceffe emocni ,revas a roF .erom evas dna 1 doirep ni ss e l emu sn oc mi h s ek am t c ef fe n oi tu t it sb uS .e sl a F

”.erom evas revas a ekam ylirassecen lliw etar tseretni eht ni

esaercni na ,sdo og lamron era noitpmusnoc erutuf dna tnerruc hto b fI“ )a( .stce�e noitutitsbus dna emocni otni noitiso pmoced ykstulS eht no desab ,tcerroc si rewsna ruoy yhw nialpxe nehT .eslaf ro eurt si stnemetats gniwollof eht fo hcae rehtehw ediceD )0( 4.01

.7 .1 45 ?hcum woH

05 7, 1

. ev aS

?doire p tsr� eht ni evas ro worro b eh lliW )h(

dna 1 doire p ni stinu

3 . 85 4, 1

.2 d oire p ni stinu emusnoc lliw ybelkciN

.%02 si etar tseretni eht nehw eciohc lamitpo s’ybelkciN rof evloS )g( ).PRAW fo kniht dna seye ruoy esolC :tniH( .e b ton nac eciohc taht erehw enil tegdub wen sih fo trap eht revo kram ylggiuqs a warD .enil tegdub wen sih fo strap niatrec no e b tonnac eciohc wen sih taht enimreted nac uoy ,noitcnuf ytilitu sih gniwonk tuohtiw neve ,etar tseretni %01 a ta A tnio p eht esohc ybelkciN taht gniwonK .%02 ot esor etar tseretni eht fi e b dluow enil tegdub s’ybelkciN tahw wohs ot kni der esu hparg ruoy nO ) f(

.0 05 ?hcum woH

. e va S

?doire p tsr� eht ni evas ro worro b eh lliW )e( E MA N

531

.5891 dna 4891 sraey eht rof seirtnuoc lareves ni sllib yrusaert no nruter fo etar launna eht dna etar noita�ni eht stro per wole b elbat ehT )0( 6.01

.t c ej or p si ht ni st se v ni e h fi d ro f fa t’ na c e h , er of eb droffa dluoc eh sgniht emos tuB .yllanigiro dr o ff a t ’n dluo c e h sg ni ht e mo s dr of f a n ac e H . ll et t ’ na C

.nialpxE ?secnereferp sih tuo ba erom gniwonk

tuohtiw llet eno t’nac rO ?tcej orp rehtie esoohc t’ndid eh fi naht tcej orp siht gnisoohc yb �o esrow ro �o rette b setreaL sI .tcej orp siht sesoohc eh fi setreaL ot elbaliava tes tegdub eht ward ot kni kcalb ro licne p esU .tcej orp tsr� eht od t’nac eh ,tcej orp siht seso ohc eh fi tuB .evo ba sa dnel dna worro b nac eh eso ppus niagA .03 = 2m ,51 = 1m tnemwodne eht htiw setreaL evael dluow taht tcej orp evitanretla na redisnoC )c(

. g ni ts ev n i t uo ht iw dr o ff a d lu oc e h el dn u b yn a te g o t d ne l ro wo r ro b na c eh , tc e jo rp e ht n i s ts ev ni eh f I .f fo re tt eB .nialpxE ?secnereferp sih tuo ba gnihtemos gniwonk tuohtiw llet eno t’nac rO ?gnidnel ro gniworro b rof seitilibisso p sih nevig tcej orp siht ni gnitsevni yb �o esrow ro �o rette b e b setreaL dluoW .evo ba hparg eht ni tes tegdub wen eht ward ot kni der esU .tseretni %0 ta dnel ro tseretni %002 ta worro b llits nac eh ,tcej orp eht ni gnitsevni sediseB .51 = 2m dna 03 = 1m htiw mih evael dluow taht tcej orp a ni tsevni dluoc setreaL )b( 1C 04

03

02

01

enil kcalB enil eulB

0

01

02

03

enil deR

04 2C

).enil thgiarts elgnis a ton si tes tegdub eht fo yradnuo b ehT :tniH( .wole b hparg eht ni tes tegdub sih etartsulli ot kni eulb esU )a( )01 .hC( ECI O HC LAR OP METRET NI

631

.evo ba dnuof uoy taht

% 8. 01 7

sihT .%5 fo etar tseretni laer a dleiy dluow

rewsna eht htiw stsartnoc

%7 . 77 6

fo etar lanimon a

gnidleiy dno b a taht su llet dluow noitamixorppa eht ,5891 ni anitnegrA roF .%75.12− uoy sevig alumrof tcaxe erom eht elihw ,4891 ni

learsI rof

%3.78−

uoy sevig noitamixorppa ehT .noitamixorppa

ro o p a si siht noita�ni hgih yrev htiw seirtnuoc rof tuB

. %9 7. 5

uoy sevig txet eht yb detseggus dohtem tcaxe erom eht elihw

%6

uoy sevig noitamixorppa eht ,4891 ni setatS detinU eht roF .noita�ni fo etar wol a htiw seirtnuoc rof etar laer eht ot noitamixorppa do og a sevig nruter fo etar lanimon eht morf etar noita�ni eht gnitcartbuS )c(

. %1 . 7

?5891 ni %5 fo nruter fo etar laer a

evig ot e b ot evah napaJ ni dno b a no nruter fo etar lanimon eht dluow tahW .%8.017 ?5891 ni %5 fo nruter fo etar laer a evig ot e b ot evah anitnegrA ni dno b a no nruter fo etar lanimon eht dluow tahW )b(

.tseretni fo setar laer tcaxe eht etupmoc ot tseretni fo etar laer tcaxe eht rof sevig koo btxet ruoy taht alumrof eht esu ,wole b elbat eht nI )a(

AN AN 9.31 2.4 1.4 1.012 5.7 5891 ,etaR tseretnI %

AN AN 3.51 3.5 6.3 3.712 6.9 4891 ,etaR tseretnI %

0.2 2.276 8.5 2.0− 8.0 1.84 9.1 5891 ,etaR noita�nI %

6.0 0.09 2.9 2.2 1.3 6.403 6.3 4891 ,etaR noita�nI %

napaJ anitnegrA ylatI ynamreG .W dnalreztiwS learsI setatS detinU yrtnuoC

seirtnuoC detceleS rof etaR tseretnI dna etaR noita�nI E MA N

731

.yub ot emocni eulb hguone sah ti taht noitpmusnoc s’doire p txen dna tnerruc fo snoitanibmoc esoht fo lla gnitciped ,enil tegdub eulb s’enaJ ward ,wole b hparg eht nO .aisorbma fo snoga� 57 rof ecirp eulb eht yap ot ycnerruc eulb hguone ti evig dluow sihT .raey txen s’.u.c.b

0 51

evah

dluow ti ,knab yenom-eulb eht ta emocni eulb s’raey siht fo lla devas enaJ fI .aisorbma fo snoga� 001 rof ecirp eulb eht yap ot hguone e b dluow ti ,doire p tsr� eht ni emocni eulb sti fo lla tne ps enaJ fI )a(

.raey txen emas eht e b lliw dna raey siht noga� re p .u.c.r eno si aisorbma fo ecirp ycnerruc der ehT .raey txen noga� re p s’.u.c.b owt e b lliw dna raey siht noga� re p .u.c.b eno si aisorbma fo ecirp ycnerruc eulb ehT .stinu ycnerruc eulb on dna stinu ycnerruc der 001 e b lliw emocni sti ,raey txeN .stinu ycnerruc der on dna stinu ycnerruc eulb 001 si raey siht emocni s’enaJ .raey txen dna raey siht neewte b noitpmusnoc sti etacolla ot woh ediced tsum ti tub ,aisorbma ,ytidommoc eno ylno semusnoc enaJ deman naognuM A .etar tseretni launna %52 a ta yenom der dnel dna worro b nac uoy erehw knab yenom-der a si erehT .etar tseretni launna %05 a ta yenom eulb dnel dna worro b nac uoy erehw knab yenom -eulb a si erehT .rehto eht rof yenom fo dnik eno edart ot dewolla reve si ydo bon dna ,ecirp yenom-der a dna ecirp yenom-eulb a sah gnihtyrevE .yenom der htiw ecno dna yenom eulb htiw ecno ,eciwt ti rof yap ot evah uoy ognuM ni gnihtemos yub ot taht llaceR .yenom eulb dna yenom der ,yenom fo sdnik owt era ereht dna ,serutaerc revelc ,ylloj era sreknab dna stsimonoceorcam ,ognuM nO .ognuM tenalp eht ot nruter eW )0( 7.01

75.12−

4 .9 0 1

5. 0

3 3. 3

0. 3

4. 4

6 .5

6. 7

4891

5891

7. 5

5. 5

ylatI ynamreG .W dnalreztiwS learsI setatS detinU yrtnuoC

5891 dna 4891 ni tseretnI fo setaR laeR

)01 .hC( ECI O HC LAR OP METRET NI

831

.seicnerruc hto b htiw yap ot sah ti taht nevig dro�a nac enaJ taht noitpmusnoc aisorbma erutuf dna tnerruc fo snoitanibmoc esoht fo lla ni edahS .enil tegdub der sti dna enil tegdub eulb s’enaJ ward ,wole b sexa eht nO )d(

.%52 e hT

.%52−

. 08

si yenom der no tseretni fo etar laer

si yenom eulb no tseretni fo etar laer )tcaxe( ehT )c(

?worro b ti dluoc ycnerruc der hcum woh ,emocni der s’d oire p

txen htiw tseretni htiw kcab yap nac ti sa ycnerruc der hcum sa worro b ot dna d oire p txen eht ni emocni der on dne ps ot dennalp enaJ fI )b(

doi rep sih t aiso rbmA 001 57 05

52

0

52

05

57

001 doi rep txen aiso rbmA

E MA N

931

).setar tseretni eulb ni egnahc eht erofe b C ta emusnoc ot esohc enaJ nehw detcejer tub elbaliava erew seldnub tahw tuo ba knihT .ecnereferp delaever fo elpicnirp eht ylppA :tniH( .e b ylbisso p dluoc dnamed wen s’enaJ erehw enil tegdub wen eht fo trap eht ni edahs ,hparg ruoy nO .egnahc ton seod etar tseretni der eht dna sesir etar tseretni eulb eht fi tes tegdub lanigiro s’enaJ ot sne ppah tahw wohs ,hparg gniwollof eht nO ) f(

. C a htiw ti kram dna hparg ruoy no tnio p a hcus dniF .enil tegdub der sti htaeneb dna enil tegdub eulb sti no etare po ot lamitpo ti sdn� enaJ taht tuo snrut tI )e(

doi rep sih t aiso rbmA 001 57 05

52

enil eulB

0

52

05 c 57

enil deR

001 doi rep txen aiso rbmA

)01 .hC( ECI O HC LAR OP METRET NI

041

.2 doire p ni 001,1$ nrae lliw eh dna 1 doire p ni 000,2$ snrae yevraH .%12 si etar tseretni ehT .1 doire p ni faol re p 1$ si daerb fo ecirp ehT .2 doire p ni daerb fo noitpmusnoc sih si 2c dna 1 doire p ni daerb fo noitpmusnoc sih si 1c erehw ,} 2c , 1c{nim = ) 2c , 1c( U si noitcnuf ytilitu s’tibaH yevraH )1( 9.01

. ss e L

?1 doire p ni tnuoma emas eht

ro ,ssel ,erom emusnoc mih ekam etar tseretni eht ni esaercni na dluow ,2 doire p ni 000,55 $ dna ,1 doire p ni orez si emocni s’eldnaK .rM fI )c(

.doirep txen kcab erom steg eh , se ta r t s er et ni re h gi h ht iw t u b , tn uo m a em a s e h t s e va s eH .e ro M

?doire p dnoces eht ni ssel

ro erom emusnoc mih ekam etar tseretni eht ni esaercni na dluoW )b(

.0 = 2m dna )) r + 1(/ 2m + 1m(5. si 1c rof dn am e d s i H .e ma s eh t ya tS

?emas eht yats ro ,esaerc

-ed ,esaercni noitpmusnoc 1-doire p sih lliw ,sesir etar tseretni eht fI )a( .01. = r etar tseretni eht ta dnel dna worro b nac eH .2 doire p ni noitpmusnoc si 2c dna 1 d oire p ni noitpmus -noc si 1c erehw , 2c 1c = ) 2c , 1c( U si noitcnuf ytilitu siH .sgnivas sih no evil dna eriter lliw eh doire p dnoces eht nI .000,05$ nrae lliw eh d oire p tsr� eht nI .sdoire p owt rof evil ylno lliw eldnaK .B .O .rM )0( 8.01

doi rep sih t aiso rbmA 001 57 05

52

enil eulB

0

52

05

enil eulb we N

c enil deR

noige r dedahS

57

001 doi rep txen aiso rbmA E MA N

141

noi tpmusnoc s' raey sihT 6311

0001 1111 051 enil deR

enil kcalB

009

enil eulB

0511 0521

noi tpmusnoc s' raey txe N

.sexa eht stih enil tegdub eht erehw wohs ot hparg ruoy no sre bmun tuP .sixa lacitrev eht no noitpmusnoc s’raey txen dna sixa latnoziroh eht no noitpmusnoc s’raey siht htiw ,egalliv eht rof seitilibisso p noitpmusnoc gniwohs ”,enil tegdub“ a ward ot kni der esU )a( .raey txen noitpmusnoc si 2c dna ,raey siht noitpmusnoc si 1c erehw 2c 1c = ) 2c , 1c( U ,snoitcnuf ytilitu salguoD-bboC evah sregalliv ehT .raey a ni derots si tahw fo %52 tae lliw star tub ,txen eht ot raey eno morf derots e b nac nroC .dlrow edistuo eht htiw edart on si erehT .slehsub 051 e b lliw ti raey txeN .slehsub 000,1 e b lliw tsevrah eht raey sihT .stsevrah dab htiw etanretla stsevrah dooG .nroc si porc ylno eht ,egalliv niatnuom detalosi na nI )2( 01.01

.025 ,3 = 2c1.1 + 1c12.1

.noitamrofni

wen siht nevig ,daerb 2-d oire p dna 1-doire p rof noitauqe tegdub s’yev -raH nwod etirW .01.1 $ tsoc lliw daerb fo faol a ,2 doire p ni nehT .etar noita�ni %01 a si ereht tub ,%12 llits si etar tseretni eht ,erofe b sa emas eht si sd oire p hto b ni emocni yenom s’yevraH taht eso ppuS )c(

.2.704 = 12.2/025 ,3 − 000 ,2

sevas eH .8.295 ,1 = 12.2/025 ,3 = 1c dnif ot

t eg du b e ht o tn i e tu ti t sb uS . 2 c = 1 c sk ci p eH ).regetni na ylirassecen ton si rewsna ehT( ?evas eh seod yenom hcum woh dna doire p tsr� eht ni emusnoc yevraH seod daerb hcum woH )b(

.025 ,3 = 2c + 1c12.1

.noita�ni on

gnimussa ,eulav erutuf fo smret ni tniartsnoc tegdub s’yevraH etirW )a( )01 .hC(

ECI O HC LAR OP METRET NI

241

) . 87 91 n i e vi t ag en er ew y e hT ( . hg ih t on er ew se t ar ts er et n i la eR

. no i ta lf ni s aw

o s tu b , hg ih e re w se t ar ts er et n i l an im oN .gnidaelsim era stnialpmoc hcus yhw nialpxE

.semit nredom ni

sthgieh hcus dehcaer reven dah setar tseretni ,tcaf nI .s07 etal eht ni setar tseretni hgih eht tuo ba laed taerg a denialpmoc elpoeP )a(

0891

5891

0.001

0.031

4.011

331

4. 01

3 .2

6.11

5.7

90 .1

70 .5

7. 3 − 2.7

3.11 1.88 2.97 8791

6.1 8.5 2.4 1.96 3.66 5791

1.2 4.6 3.4 2.94 1.74 0791

1.1 0.4

etaR .tnI laeR etaR .tnI lanimoN

9.2

etaR noita�nI %

4.93 3.83

raeY fo dnE ,IPC raeY fo tratS ,IPC

5691

raeY

5891-5691 ,setatS detinU eht ni tseretnI dna noita�nI .elbat siht etelpmoC .sraey tnecer emos ni setatS detinU eht rof setar noita�ni dna setar tseretni egatnecre p sdrocer wole b elbat ehT )0( 11.01 .secnatsmucric eseht rednu egalliv eht rof enil tegdub eht ward ot licne p ro kni kcalb esu ,hparg ruoy nO .egalliv eht fo tuo ro otni deluah niarg fo lehsub yreve rof lehsub re p 01.$ fo tsoc noitatro psnart a si ereht taht tpecxe noitseuq eht fo trap tsal eht ni sa si lla taht eso ppuS )d(

. sl e hs ub 42 6 sl eh s ub 86 5

doire p dnoces eht dna

d oire p tsr� eht ni emusnoc won dluow yeht tnuoma

eht rof evloS .sregalliv eht rof enil tegdub wen eht ward ot kni eulb esu ,hparg ruoy nO .%01 fo etar tseretni na ta yenom dnel dna worro b ot elba osla era yehT .lehsub re p 1$ si hcihw ,ecirp dlrow eht ta nroc lles dna yub ot elba era sregalliv eht woN .dlrow eht fo tser eht htiw edart ot elba si egalliv eht won taht os egalliv eht ot tliub si daor a taht eso ppuS )c(

.s le hs u b 0 54 woH

?raey txen emusnoc sregalliv eht lliw nroc hcum

. sl e hs ub 00 1

0 06

?tae star eht lliw hcum woH

. s le hs ub

?raey siht emusnoc sregalliv eht lliw nroc hcum woH )b( E MA N

341

noi tpmusnoc 1-doi reP 08 06 04

02

0 enil eulB

sev ruc deR

02 e

04 a

06

08 noi tpmusnoc 2-doi reP

.sevruc ecnere�idni s’ahsraM fo owt ro eno ward ot kni der esu hparg emas eht nO .%05 fo etar tseretni eht ta sdnel ro sworro b dna raj eikooc eht ni stsevni ehs fi dro�a nac ehs seldnub eht fo lla gniwohs enil tegdub eht ward ,tnemwodne laitini reh delle bal uoy erehw hparg eht nO .%05 fo etar tseretni na ta dnel dna worro b nac ahsraM taht eso ppuS )b(

. s eY ?raj eikooc eht ni tsevni ahsraM dluohs ,dnel ro worro b tonnac ehs fI .noitpmusnoc 2-doire p yub ot sdeecorp eht desu dna ,2 doire p ni ti dlos ,1 doire p ni raj eiko oc eht thguo b tub yenom yna dnel ro worro b ton did ehs fi evah dluow ehs taht ,A ,eldnub noitpmusnoc eht le bal ,hparg emas eht nO .raj eikooc eht yub t’nseod ehs fi dro�a nac ehs taht noitpmusnoc 2-doire p dna 1-doire p fo snoitanibmoc gniwohs enil tegdub eht ward ot kni eulb esu dna , E ,tnemwodne laitini reh le bal ,wole b hparg eht nO )a( .doire p eno rof ti erots ot gnihton reh stsoc ti dna ,raj eikooc eht morf st�ene b noitpmusnoc on sevired ehS .2 doire p ni 02$ rof lles nac ehs niatrec si ehs taht dna 1 d oire p ni 21$ rof elas rof si taht raj eiko oc a srevocsid ehs ,pohs euqitna na nI .2 doire p ni 04$ dna 1 doire p ni 02$ si tnemwodne laitini reH . 2c + 1c = ) 2c , 1c( U ylpmis si noitcnuf ytilitu reH .2 d oire p ni ro 1 doire p ni semusnoc ehs rehtehw erac t’nseod wolleM ahsraM )1( 21.01

eht ta sdo og noitpmusnoc fo stinu

69 .

.9791 fo gninnige b yub ot gnivas ruoy fo sdeec orp

eht esu ot elba e b dluow uoy ,tseretni ta yenom ruoy devas dna 8791 fo gninnige b eht ta sd oog noitpmusnoc fo tinu a pu evag uoy fI .6891 fo gninnige b eht ta sdoog noitpmusnoc fo stinu 50.1 yub ot gnivas ruoy fo sdeecorp eht esu dluoc uoy ,tseretni ta yenom ruoy devas dna 5891 fo gninnige b eht ta sdo og noitpmusnoc fo tinu a pu evag uoy fI )b( )01 .hC(

ECI O HC LAR OP METRET NI

441

. oN ?raj eiko oc eht ni tsevni ehs dluohs ,%001 fo etar tseretni na ta hcum sa dnel ro worro b nac ehs fI

. se Y

?raj eikooc eht ni tsevni ehs dluohs

,%05 fo etar tseretni na ta dnel dna worro b nac ehs fI

. oN

?raj eikooc

eht yub ehs dluohs ,dnel ro worro b tonnac ehs fI .} 2c , 1c{nim si noitcnuf ytilitu s’ahsraM taht os ,stnemelpmoc tcefre p era yeht ,setutitsbus tcef -re p gnie b sdoire p owt eht ni noitpmusnoc fo daetsni taht eso ppuS )c( 541

E MA N

)01 .hC( ECI O HC LAR OP METRET NI

641

rof eniw eht lles ot gniog si rotsevni lanoitar on tuB .51$ rof lles ot evah dluow ti ,raey tsr� eht ni knurd si eniw eht fI .knurd e b lliw ti nehw osla tub rof lles lliw eniw eht tahw ylno ton enimreted nac eW .%5 si etar tseretni ehT .sllaf ti knird ot yap ot gnilliw era elpoe p tnuoma eht dna etaroireted ot strats ti ,taht retfA .62$ yap ot gnilliw e b dluow yeht taht retfa raey eht dna ,52$ yap ot gnilliw e b dluow yeht raey txeN .raey siht eniw niatrec a knird ot eltto b a 51$ yap ot gnilliw e b lliw elpoeP :e lpmaxE .eulav tneserp sti ezimixam ot sa yaw a hcus ni deganam si ti fi sdleiy tessa eht taht wo� hsac eht fo eulav tneserp eht e b lliw tahw ksa tsum eno ,tessa na hcus fo ecirp eht dn� oT .desu si tessa eht woh no sdne ped tessa na morf wo� hsac eht erehw eno si melborp tluc�id erom ylthgils A .013 ,958 ,1$ ∼

)50.1( 2)50.1( $ + 000 ,000 ,1 000 ,000 ,1

e b lliw ,4991 ,1 yraunaJ fo tnio pdnats eht morf deweiv ,wo� siht fo eulav tneserp ehT .sraey 2 ni 000,000,1$ rehtona dna raey 1 ni 000,000,1$ fo wo� hsac a ot tnelaviuqe si tnetap eht ,emit taht tA ?4991 ,1 yraunaJ no e b tnetap eht fo ecirp eht lliw tahW .esle gnihtyna ni gnitsevni morf teg dluoc eno naht tnetap siht ni gnitsevni yb nruter fo etar rehgih a teg dluow eno ,ssel rof dlos ti fi ecnis ,842,327,2$ naht ssel rof lles t’ndluow tnetap ehT .won morf raey 1 gnitrats ,sraey 3 rof knab eht morf raey a 000,000,1$ tcelloc dluoc uoy ,tseretni %5 ta 842,327,2$ tup uoy fi ecnis tnetap eht rof tnuoma siht naht erom yap dluow ydo boN )50.1( )50.1( )50.1( .842 ,327 ,2$ ∼ 3 + 2 + $ 000 ,000 ,1 000 ,000 ,1 000 ,000 ,1 si wo� hsac siht fo eulav tneserp ehT .sraey 3 rof gniunitnoc dna won morf raey 1 gnitrats raey yreve 000,000,1$ meht evig lliw tnetap eht gninwo taht ezilaer sreyub laitneto p ,3991 ,1 yraunaJ nO .3991 ,1 yraunaJ no e b lliw sthgir tnetap eht fo ecirp gnilles eht tahw tuo erug� su teL .%5 si etar tseretni ehT .13 re bmeceD no detcelloc lla era raey yna rof sti -forp taht eso ppus su tel ,yticilpmis roF .seripxe tnetap eht litnu raey re p 000,000,1$ fo t�orp a ekam lliw tnetap eht snwo reveohW .gurd eht ecud -orp nac enoyna emit hcihw ta ,6991 ,1 yraunaJ no eripxe lliw tnetap ehT .enicidem wen a rof tnetap eht snwo mr� gnirutcafunam gurd A :e lpmaxE .snoitacilpmi eseht fo lareves erolpxe lliw uoy ereH .stessa elbarud fo gnicirp eht rof snoitacilpmi gnitseretni ynam sah noitidnoc sihT .e b lliw ecirp muirbiliuqe tekram sti tahw tciderp nac uoy ,tessa na yb detareneg wo� hsac eht dna tseretni fo etar eht wonk uoy fi suhT .emas eht e b tsum stessa lla no nruter fo etar eht muirbiliuqe ni taht si stekram tessa rof noitidnoc muirbiliuqe latnemadnuf ehT .noitcudortn I

stekra M tessA 11 retpahC

E MA N

.srallod

) r + 1(/ tX

t

si

won morf sraey t srallod tX syap taht tessa na fo eulav tneserp ehT ) f( .srallod

) r + 1(/X

2

si ,won morf sraey 2 deviecer e b ot , X$ fo eulav tneserp ehT )e( .srallod

) r + 1(/X−

si won morf raey eno X$ yap ot noitagilbo na fo eulav tneserp ehT )d( .srallod

) r + 1(/X

si won morf raey eno deviecer X$

fo eulav tneserp ehT .won morf raey eno X$ dna won thgir srallod

+ 1(/X

)r

gnitteg neewte b tnere�idni e b dluow uoy ,0 > X yna roF )c(

.1$ htrow tseretni dna lapicnirp wardhtiw ot uoy elbane dluow won thgir knab eht ni detiso ped esuace b ,won srallod ) r + 1(/1$ gnitteg dna won morf raey

) r + 1(/1

eno )s(rallod

1

gnitteg neewte b tnere�idni e b dluow uoY )b(

.knab eht morf srallod

r +1

kcab teg dluoc uoy won morf raey

eno neht ,knab eht ni rallod eht tup uoy fi esuace b ,won morf raey eno ,srallod r+1 dna won 1$ gnitteg neewte b tnere�idni e b dluow uoY )a( .reverof emas eht niamer lliw etar tseretni eht taht dna r fo etar tseretni launna na ta dnel dna worro b hto b nac uoy taht emussa ,selpmaxe gniwollof eht fo lla nI .seu -lav tneserp no smelborp wef a era ereH .esicrexE pU mraW 0.11 .52$ rof lles lliw ti ,won morf raey 1 dna ,18.32$ e b lliw ecirp gnilles tnerruc stI .raey 1 retfa knurd e b lliw eniw eht taht edulcnoc ew ,oS .52$ rof ti gnilles dna raey 1 rof eniw eht gnidloh fo eulav tneserp eht naht ssel si sihT .85.32$ = 2)50.1(/62$ si sraey 2 rof ti gnirots dna eniw eht gniyub fo eulav tneserp eht os ,62$ htrow e b lliw eniw eht ,sraey 2 nI ?sraey 2 rof eniw eht otno dloh ot tnaw srotsevni lliW .raey siht knurd e b lliw enon dna ,sreknird dibtuo tsum srotsevni oS .eniw eht rof 18.32$ = 50.1/52$ tsael ta yap ot gnilliw era srotsevni ,%5 si etar tseretni eht nehW .tseretni fo etar eht naht rette b si hcihw ,nruter fo etar %66.66 a si sihT .retal raey eno 52$ rof lles lliw ti esuace b ,raey tsr� eht ni 51$ )11 .hC(

STEKRA M TESSA

841

.erca rep 364$ ∼

)1.1(/002 ,1$

01

?e b ot dnal eht fo ecirp tekram eht tce pxe ew nac tahW )a( .%01 si etar tseretni ehT .detsevrah era seert eht litnu dnal siht morf eunever on osla tub ,sesne pxe gnitare po ro sexat on era erehT .erca re p 002$ htrow e b lliw ,devomer nee b evah seert eht retfa ,dnal ehT .erca re p 000,1$ rof dlos e b nac seert samtsirhC gnidnats eht ,emit taht tA .tsevrah rof ydaer e b lliw seert eht ,won morf sraey net ,1 re bmeceD nO .seert samtsirhC htiw detnalp nee b sah dnal fo aera nA )0( 1.11 .srallod

= 2)1.1(/012 ,1 + )1.1(/055−

005

?won morf sraey owt 012,1$

kcab uoy yap lliw dna won morf raey eno 055$ tuo yap ot uoy seriuqer taht tessa na fo eulav tneserp eht si tahw ,%01 si etar tseretni eht fI )k(

. 0 00 ,0 1$ ,rallod tseraen eht ot ,e b lliw ,reverof raey a 000,1$ gniviecer fo eulav tneserp ehT

. 90 9 $

,rallod tseraen eht ot ,e b lliw won morf raey

eno 000,1$ gniviecer fo eulav tneserp eht ,%01 si etar tseretni eht fI )j(

. r/X den�ed llew si mus siht ,0 > r revenehW .seires

ot lauqe si dna

ci r te mo eg

a sa

nwonk si seires sihT . ) r + 1(/X 1=i seires etin�ni eht etaulave i ∞� ot si reverof raey a X$ fo eulav tneserp eht etaluclac ot yaw rehtonA )i( sa do og sa tsuj si won thgir srallod

lliw srallod

r/X

r/X

.reverof raey a X$ gnitteg gnivah eroferehT . X$ e b

fo tnuocca knab a no deviecer tseretni launna ehT

.lapicnirp ruoy gnitsuahxe reve tuohtiw ,reverof ,raey re p X$ uoy evig dluow knab eht taht os knab eht ni deen uoy yenom fo tnuoma eht tuo erug� ot si yaw enO .syaw tnere�id owt ni detupmoc e b nac reverof raey re p X$ ,tnuoma tnatsnoc a syap taht tessa na fo eulav tneserp ehT )h( .srallod

+ 1(/ 2X + ) r + 1(/ 1X

01

) r + 1(/ 01X + 2) r

si won morf sraey net

01X$

dna ,sraey owt

ni 2X$ ,won morf raey eno 1X$ syap taht tessa na fo eulav tneserp ehT )g( E MA N

941

eht gnitcartbus yb tcartnoc s’eihcrA fo eulav tneserp eht dn� nac uoy eroferehT .won morf sraey 12 gnitrats ,reverof ,raey hcae 000,05$ kcab yap mih sekam tub ,reverof raey a 000,05$ mih syap taht tcartnoc a fo eulav tneserp eht sa emas eht si tcartnoc lautca s’eihcrA fo eulav tneserp ehT .sraey 02 retfa pots stnemyap ehT .reverof raey a 000 ,05$ teg ot gniog ton si eihcrA tuB .reverof raey a 000,05$ teg ot gniog erew eh fi tcartnoc s’eihcrA fo eulav tneserp eht dnuof uoy ,trap tsal eht nI .000,005$ ?raey eno ni gnitrats ,reverof raey a 000,05$ diap taht ytiute pre p a yub ot tsoc ti dluow hcum woH )c(

. 01 $ ?raey 1 ni gnitrats ,reverof raey re p 1$ srieh sih dna mih yap dluow taht ytiute pre p a eihcrA yub ot maet eht tsoc ti dluow hcum woH .reverof %01 ta niamer ot detce pxe si dna %01 si etar tseretni eht taht eso ppuS )b( :seog ti woh si ereH .mih rof noitaluclac eht tuo nosaer ot deirt rehtorb sih oS .seulav tneserp revoc t’ndid ”tnemeganaM stro pS“ no esruoc egelloc s’eihcrA

. 1$ n ah t s se l si er utu f

eh t ni de vi e ce r r al lo d a f o e u la v t ne ser p e h t e c ni s ,0 00 , 00 0, 1$ n a ht s se l si s rae y 0 2 r o f r ae y a 0 00 , 05 $ f o eu l av t n es er p eh T .os si siht yhw sdrow ni nialpxE .srallod noillim a flah naht ssel htrow si tcartnoc sih ,tcaf nI .erianoillim a ton si eh taht eihcrA ot snialpxe ,scimonoce ni deroj am ohw ,kciwneF ,rehtorb s’eihcrA )a( ”.erianoillim tnatsni“ na emoce b sah eihcrA taht eralced sretirw stro pS .emag elgnis a yalp tonnac dna derujni si eh fi neve yenom eht fo lla teg lliw eh seetnaraug taht esualc a sniatnoc tcartnoc ehT .sraey 02 txen rof raey hcae tnemllatsni wen eno htiw dna won morf raey eno gnitrats raey re p 000,05$ fo stnemllatsni 02 ni diap e b lliw dna 000,000,1$ htrow si tcartnoc eht taht yas yehT .alo baraP eihcrA ,kcabretrauq wen lanemonehp a fo gningis eht ecnuonna senileF tiorteD eht rof stnega yticilbuP )0( 2.11

.3 6 4$ ll it S fo erca na fo ecirp tekram eht e b lliw tahW

?dnal

. sr ae y 0 1 r et fA

?dnal dna seert rof deviecer stnemyap eht fo eulav tneserp eht ezimixam ot tuc e b seert eht dluohs nehW .erca na 002$ rof dlos e b syawla nac doots seert eht hcihw no dnal eht ,tuc era seert eht retfA .sraey 02 txen eht rof raey re p 001$ yb esaercni lliw eulav sti dna 000,1$ htrow si seert fo erca na ,dlo sraey 01 era seert eht retfA .orez si dlo sraey 01 era yeht erofe b tuc era yeht fi eulav riehT .raey yna ni dlos e b dluoc tub ,sraey 01 retfa dlos e b ot evah ton od seert samtsirhC eht taht eso ppuS )b( )11 .hC(

STEKRA M TESSA

051

dn� yeht ,noitauqe siht gnivloS

. S) r + 1(

. r/1

= S taht

= 1 + S si noitauqe sihT

. S elbairav eht ylno gnivlovni noitauqe elpmis a sserpxe nac yeht ,rehteg -ot egdelwonk rieht tup sisehtitnA rosseforP dna sisehT rosseforP fI )a( .S) r + 1( = . . . +

3) r

+ 1( ) r + 1( ) r + 1( +1 +2 + 1 1 1

,si tahT ).r+1 yb eulav tneserp sti ylpitlum uoy ,raey a yb maerts emocni yna ecnavda uoy fi esuace b eurt si sihT( .won morf raey a gnitrats ,raey a 1$ fo eulav tneserp eht sa egral sa semit r + 1 e b ot sah won thgir gnitrats ,reverof raey a 1$ fo eulav tneserp eht taht swonk eh ,tuB .rehtie S rof alumrof eht re bmemer t’nac eH .espal yromem ralimis a morf sre�us sisehtitnA rosseforP .... +

3) r

+ 1( ) r + 1( ) r + 1( +2 + +1=1+S 1 1 1

taht swonk eh oS .rehgih 1$ e b dluow mus eht fo eulav tneserp eht ,won morf raey a naht rehtar ,yadot evirra ot erew tnemyap tsr� eht fi taht si swonk eh llA .mus siht rof alumrof de�ilpmis eht re bmemer t’nac eh tub ,... +

3) r

+ 1( ) r + 1( r + 1 =S +2 + 1 1 1

seires etin�ni eht yb desserpxe si maerts siht fo eulav eht taht swonk eH .reverof gniunitnoc dna won morf raey 1 gnitrats ,raey a 1$ fo stnemyap fo maerts a fo eulav tneserp eht rof alumrof eht revo gnilzzup si sisehT rosseforP )0( 3.11

.000 ,524$ = 000 ,05 × 05.8 ).51. =

.tcartnoc s’eihcrA fo eulav tneserp eht etaluclac woN ) f(

) r + 1(/1 si sraey 02 ni diap e b ot 1$ fo eulav tneserp ehT :tniH( ?won morf sraey 12 gnitrats ,reverof raey re p 000,05$ fo

02

.0 00 , 57 $

eulav tneserp eht si tahw ,%01 ta niamer lliw dna si etar tseretni eht fI )e( 02 yltcaxe ,ecno ta lla deviecer e b ot

00 0 ,0 05

.won morf sraey $ fo mus pmul a sa

eulav tneserp emas eht sah won morf sraey 12 gnitrats ,raey a 000,05$ fo stnemyap fo maerts a ,%01 ta niamer lliw dna si etar tseretni eht fI )d( .reverof raey a 000,05$ fo eulav tneserp eht morf won morf sraey 12 gnitrats ,reverof raey a 000,05$ fo eulav tneserp E MA N

151

.x20. tsoc sah tI

?etar tseretni tekram eht ta x$

eht denaol evah ot naht rehtar gnitniap eht dloh ot uoy tsoc ti sah hcum woh ,raey a ni ti lles dna won gnitniap eht rof x$ fo ecirp a yap uoy fI )a( .gnilles ro gnisahcrup ni stsoc egarekorb on era ereht emussA .%01 si gnidnel dna gniworro b rof etar tseretni tekram ehT .reverof raey re p %8 yb esir ot gnitniap niatrec a fo ecirp eht tce pxe uoY )0( 5.11

.s ra ey 0 01

?eulav tekram tsetaerg eht evah seert eht od ega tahw tA )b(

.s r ae y 57

?teg seert eht tel naynuB .rM

dluohs dlo woh ,tnemtsevni na sa seert eht ni detseretni ylno si eh fI )a( ).)t( g = )t( F/)t( F neht , e = )t( F fi taht suluclac yratnemele morf � � )t(g swollof tI :tniH( .ega fo sraey 57 hcaer seert eht litnu %5 naht retaerg e b lliw seert eht fo eulav tekram eht fo htworg fo etar ehT .knab eht ni yenom no raey re p %5 fo etar tseretni na nrae nac naynuB .rM . t100.−t02.e = )t( W noitcnuf eht yb nevig si 2 sraey t fo ega eht hcaer seert ruoy tel uoy fi teg lliw uoy taht re bmul eht fo eulav tekram ehT .seert ruoy tuc dluohs uoy nehw ediced ot gniyrt era dna ,.cnI ,stseroF naynuB .P fo reganam ssenisub eht era uoY )0( 4.11

. r/) K)r1+1( − 1( = ) K( S dn� yeht ,) K( S rof noitauqe siht gnivloS

su luc laC

si ) K( S rof alumrof eht taht

.) r + 1() K( S

=

K) r+1(

1

− 1 + ) K( S si noitauqe sihT .) K( S rof devlos e b dluoc taht noitauqe na deciton srosseforp owt eht ,rehtegot snoitavresbo owt rieht gnittuP .) r + 1( yb eulav tneserp sti gniylpitlum ot tnelaviuqe osla si raey a yb stnemyap fo maerts yna pu gnidee ps taht tuo stnio p sisehtitnA rosseforP ) r + 1( .K − 1 + ) K( S = 1

1− K) r

+ 1(

1

+ ... +

2) r

+ 1( ) r + 1( +1 + 1 1

e b dluow stnemyap fo maerts gnitluser eht fo eulav tneserp eht ,reilrae raey 1 emac stnemyap eht fo hcae fi taht seciton sisehT rosseforP ) r + 1( ) r + 1( ) r + 1( .K + ... + 2 = ) K( S + 1 1 1 taht ees yeht dna ) K( S re bmun siht llac ot eerga yehT .sraey K rof gniunitnoc dna raey txen gnitrats raey re p 1$ fo maerts a fo eulav tneserp eht rof alumrof eht nettogrof osla evah srosseforp owt ehT )b( )11 .hC(

STEKRA M TESSA

251

. e sa c re p 00 5$ ?knurd tsr� si ti emit eht ta e b C eniW fo ecirp eht lliw tahW )d( )?%01 ot teg eniw gnidloh no nruter fo etar eht seod nehW :tniH( ?ti knird ot sreknird rof dna sgnidloh rieht �o lles ot

.s r ae y 6

srotsevni rof elihwhtrow semoce b tsr� ti nehw e b C eniW lliw dlo woH )c( )?knurd e b B eniW lliw nehW :tniH(

.0 0 2$

?B

eniW rof esac re p yap ot gnilliw e b dluow yelhsA tsom eht si tahW )b(

. 00 2$

?A

eniW rof esac re p yap ot gnilliw e b dluow yelhsA tsom eht si tahW )a( .sraey 02 txen eht rof raey re p esac re p 05$ yb esir lliw ti knird ot yap ot gnilliw e b lliw yeht tnuoma eht dna ti knird ot esac re p 052$ yap ot gnilliw e b lliw yeht ,won morf raey eno tuB .won thgir C eniW knird ot esac re p 001$ yap ot gnilliw e b dluow sreknird eniW • .sraey 03 txen eht rof raey re p esac re p 01$ yb esir lliw dna raey eno ni esac a 022$ e b lliw B eniW knird ot yap ot gnilliw e b dluow sreknird eniw taht tnuoma eht tcaf nI .evorpmi lliw B eniW ,raey eno retfa gnitaroireted fo daetsni tuB .A eniW morf elbahsiugnitsidni si B eniW ,won morf raey eno litnu won morF • .raey yreve elbaulav ssel semoce b dna setaroireted yllaudarg eniw eht ,taht retfA .yadot morf raey eno eniw siht knird ot esac a 022$ yap ot gnilliw e b lliw sreknird eniw tcaf nI .evorpmi lliw ti ,raey eno rof erutam ot dewolla si A eniW fi tuB .yad ot A eniW knird ot esac a 571$ yltcaxe yap dluow sreknird eniW • .elbigilgen era stsoc egarots dna gnildnah taht emussa su tel ,elpmis snoitaluclac ruo peek oT .eniw fo sdnik eerht ta gnikool si eH .%01 fo etar tseretni launna na ta sekil eh sa hcum sa dnel dna worro b nac eH .seso prup tnemtsevni rof eniw fo daolkcurt a gniyub fo gnikniht si yelhsA )2( 6.11

. 00 0, 5$ ?gnitniap eht yub ot yap ot gnilliw e b uoy dluohs hcum woH )c(

.001 = x20.

gnitniap eht yub ot gnilliw tsuj e b dluow

uoy hcihw ta x ecirp eht rof evlos nac uoy taht noitauqe na etirW .sllaw ruoy no gnitniap eht evah ot raey a 001$ yap ot gnilliw e b dluow uoY )b( E MA N

351

ya p o t e va h l li w y eh T

.% 01 ?sresahcrup tcartta ot redro ni

yap ot evah sdno b lapicinum fo seussi wen lliw etar tseretni tahW ) f(

. or ez o t ti ec u de r d lu ow t I

?egnahc ton did setar tseretni eht fi sdno b

lapicinum rof dnamed eht ot od wal xat eht ni egnahc eht dluow tahW )e(

?desaercni e b emocni xat-retfa s’rehsiF lliw hcum woh

.0 00 , 03 $

?desaercni e b emocni xat-retfa s’retnuH lliw hcum woH

.0 5 2$

,soiloftro p rieht tsujda ot dewolla era retnuH dna rehsiF dna ,egnahc ton od sdno b fo se pyt owt eht no setar tseretni eht fI .dexat e b lliw emocni tseretni on hcihw rednu nalp xat wen a gniredisnoc si tnemnrevog ehT )d(

.0 52 $ .0

?sdno b morf tseretni sih no yap retnuH seod xat hcum woH ?sdno b morf tseretni sih no yap rehsiF seod xat hcum woh

,sdno b ni 000,01$ sah retnuH dna sdno b ni 000,000,1$ sah rehsiF fI )c(

. sd n ob y ra ni dr o y ub dl uo hs k c al B

? yub eh

dluohs sdno b fo dnik hcihW .sdno b yranidro morf emocni sih no %52 ylno ta dexat si dna nworB rehsiF naht yenom ssel sekam kcalB retnuH )b(

.s dn ob la pi c in um yu b d lu oh s nw or B

?sdno b yranidro ro sdno b

lapicinum yub eh dluohs ,%7 si sdno b lapicinum no etar tseretni eht fI )a( .lla ta dexat ton si sdno b lapicinum no tseretnI .tseretni %01 yap sdno b yranidrO .sdno b yranidro morf emocni sih no %04 ta dexat si nworB rehsiF )0( 7.11

. 61.1/005$

.tuo ti gnitaluclac tuohtiw noitaton

laitneno pxe ni rewsna ruoy sserpxE )?emit lamitpo eht ta reknird a ot ti slles eh fi tnemtsevni sih fo eulav tneserp eht si tahW :tniH( ? C eniW fo esac a rof yadot yap ot gnilliw e b dluow yelhsA taht tsom eht si tahW )e( )11 .hC(

STEKRA M TESSA

451

.000,2$ fo eulav ecaf sti syap dna deriter si dno b eht emit hcihw ta ,sraey eerht txen eht fo hcae rof 002$ syap dno b ehT .ynapmoC semaJ eht yb deussi ,700 re bmun laires ,dno b a snwo oN .rD )0( 9.11

. re ll am s s i e ci rp n i eg na hc t ne c re p e hT

?etar tseretni eht naht rellams

ro regral sdoire p neewte b esaercni ecirp fo etar egatnecre p eht sI ) f(

dna tp fo noitcnuf a sa

1+tp

. r5 − tp) r + 1( =

1 + tp

.r

rof trap evo ba eht ni noitauqe eht evloS )e(

. t)r+1( = 5 − tp

.noitauqe na sa noitaler siht sserpxE

t ne s er p eh T

1+t) r+1( 5− 1+tp

. l au qe eb ts um se ul av

?sd oire p owt eht ni lio fo lerrab a fo elas morf

st�orp fo eulav tneserp eht neewte b noitaler eht tuo ba eurt e b tsum tahw ,sd oire p owt eht fo hcae ni lio ylppus ot gnilliw si mr� eht fI )d(

.t) r +1(/)5 − tp(

?t doire p ni lio fo lerrab a gnitcartxe morf t�orp

fo eulav tneserp eht si tahW

. 1+t) r + 1(/)5 − 1+tp(

?1 + t doire p ni

lio fo lerrab a gnitcartxe morf st�orp eht fo eulav tneserp eht si tahW )c(

.5 − 1+tp

?1 + t doire p ni ekam ti

seod t�orp hcum woh ,1 + t d oire p ni lio fo lerrab a stcartxe mr� a fI )b(

.5 − tp

?t doire p ni ekam

ti seod t�orp hcum woh ,t d oire p ni lio fo lerrab a stcartxe mr� a fI )a( .etar tseretni eht e b r tel dna tp yb detoned e b t doire p ni ecirp eht teL .dnuorg eht morf lio tcartxe ot lerrab re p srallod 5$ stsoc ti taht eso ppuS .dnuorg eht fo tuo lio eht teg ot yltsoc si ti taht eso ppus won tub ,stsoc noitcudorp orez gnimussa lio rof tekram eht dessucsid ew txet eht nI )0( 8.11

. % 01 sl au qe d le i y r i eh t li tn u l la f ll iw s dn o b d l o e ht f o e c ir p eh T

?yllanigiro dleiy %7 a dah hcihw ,sdno b lapicin

-um dlo eht fo ecirp tekram eht ot ne ppah lliw kniht uoy od tahW )g( E MA N

551

.gnitalusni eht rof 005$ dna retaeh ralos eht rof 000,7$ si noitpo siht fo tsoc latoT .orez ot stsoc leuf sih ecuder yltnenamre p lliw eh ,siht seod eh fI .tinu gnitaeh ralos a llatsni dna ,sllaw eht dna citta eht etalusnI .C nalP .005$ si sllaw eht dna citta eht gnitalusni fo tsoc latoT .%02 yb noitpmusnoc leuf sih ecuder yltnen -amre p lliw eh ,siht seod eh fI .sllaw eht dna citta eht etalusnI .B nalP .003$ si citta eht gnitalusni fo tsoc latoT .%51 yb noitpmusnoc leuf sih ecuder yltnenamre p lliw eh ,siht se od eh fI .citta eht tsuj etalusnI .A nalP .snoitpo gniwollof eht mih ot stseggus rotcartnoc noitalusni nA .raey re p 003$ segareva gnitaeh emoh rof llib leuf launna siH .emoh detalusni ylro o p ,egral a snwo htrowsgnillihC )0( 01.11

. r ep ae hc w on s i na l p y ld ra ts a d eh t ec ni s , r eg na d er oM ?oN .rD morf regnad ssel ro erom ni e b dlrow eht dluow ,%01 erew etar tseretni eht fI

.m el b or p eh t fo tr a p t sr i f e ht

ni detaluclac eulav tneserp eht si hcihw , 23 . 27 2, 2$

?margorp yldratsad siht ecnan� ot yadot deen

oN .rD lliw yenom hcum woh ,%5 si etar tseretni eht fI .000,2$ rof tliub e b nac ti hcihw fo dne eht ta ,poleved ot sraey eerht ekat lliw mae b paz ytsan ehT .raey a 002$ rosseforp eht yap ot evah lliw oN .rD ,noitiso p ytisrevinu sih morf wonK rosseforP erul ot redro nI .mae b paz ytsan a poleved ot wonK rosseforP serih oN .rD ,dlrow eht yortsed ot redro nI )d(

. oN fi tahW

. s eY

?%5 si etar tseretni eht

?%01 si etar tseretni eht fi seY .sM ot on ro sey yas

oN .rD dluohS .700 dno b semaJ eht rof 002,2$ oN .rD sre�o seY .sM )c(

.23.272 ,2 = 350.1/000 ,2 + 350.1/002 + 250.1/002 + 50.1/002 ?%5 fo etar tseretni na ta 700 dno b semaJ si elbaulav woH )b(

.000 ,2 = 31.1/000 ,2 + 31.1/002 + 21.1/002 + 1.1/002

?%01 fo

etar tseretni na ta oN .rD ot htrow 700 dno b semaJ eht si hcum woH )a( )11 .hC(

STEKRA M TESSA

651

.ssel teg ohw esoht naht elba erom e b ot dnet noitacude erom teg ohw elpoe p esoht taht ylekil si ti esuace b ,flesti noitacude ot nruter eht etats -revo ylbaborp secnere�id emocni esehT .raey re p 000,04$ saw s’.D.hP htiw snosre p fo emocni egaw egareva ehT .raey re p 000,82$ saw seerged s’retsam htiw snosre p fo emocni egaw egareva ehT .raey re p 000,42$ saw seerged s’rolehcab htiw snosre p fo emocni egaw egareva ehT .raey re p 000,31$ saw setaudarg loohcs hgih fo emocni egaw egareva ehT .deveihca gniloohcs fo level eht yb 44–53 dega snosre p fo 4891 ni emocni egaw laun -na egareva eht stro per )11 .oN ,07-P seireS ,stro peR noitalupoP tnerruC( noitacilbup susnec tnecer A .noitseuq siht no thgil emos sworht taht noit -acude dna emocni no atad stcelloc uaeruB susneC .S.U ehT ?elihwhtrow yllaicnan� si noitacude egelloc a fi derednow reve uoy evaH )1( 11.11

.C

?%5

.B

fi eso ohc htrowsgnillihC dluohs laso porp hcihW

.0 0 2, 1$

?B nalP

.0 09 $

?%01 era setar tseretni

.0 00 , 6$

?C nalP

?A nalP ).%)x − y( ta detnuocsid

emocni fo maerts tnatsnoc a fo taht sa emas eht e b dluohs eulav tneserp sti ,% y ta detnuocsid gnie b dna %x ta gniworg si emocni fo maerts a fI :tniH( ?%01 era setar tseretni fi slaso porp eerht eht fo hcae morf sgnivas leuf fo eulav tneserp eht si tahW .raey re p %5 yb esir ot detce pxe era secirp leuf taht tub ydisbus tnemnrevog on si ereht taht eso ppuS ) f(

.C

.B

?%5

?%01 setar tseretni

ta esoohc won eh dluow noitpo hcihW .ecived gnitaeh ralos ro noitalusni yna fo tsoc eht fo flah yap ot sre�o tnemnrevog eht taht eso ppuS )e(

.B

?%5 fo etar

launna na ta dnel dna worro b nac eh fi esoohc eh dluohs noitpo hcihW )d(

.A ?%01 fo etar tseretni launna na ta dnel dna worro b nac eh fi esoohc eh dluohs noitpo hcihw ,tnatsnoc niamer ot detce pxe si leuf fo ecirp eht fI )c(

nalP

.005 ,4− = 005 ,7 − 000 ,3

.001 = 005 − 006

?B nalP

.051 = 003 − 054

?C ?A

nalP :si nalp hcae fo tsoc tneserp eht dna eulav tneserp eht neewte b ecne -re�id ehT .ekatrednu ot yenom fo erutidne pxe na seriuqer nalp hcaE )b(

.0 0 0, 3$

?C nalP

. 00 6$

?B nalP

. 05 4$

?A nalP :era seulav

tneserp ehT .%01 si etar tseretni eht fi snoitpo eerht eht fo hcae morf leuf no devas srallod eht fo eulav tneserp eht etaluclaC .reverof tsal lliw noitalusni eht dna esuoh eht taht snoitaluclac fo yticilpmis rof emussA )a( E MA N

751

.0 0 0, 26 1$

?egelloc

ot og ton seod ehs fi sgninrae emitefil reh fo eulav tneserp eht e b dluow tahw ,56 ega ta eriter dluow dna level lanoitacude reh rof egaw egareva eht nrae dluow ehs gnimussA .egelloc ot gniog ro krow ot kcab gniog tuo ba gnikniht si ehs dna ,stluda ylraen era nerdlihc reH .dlo sraey 54 won si ehs taht eso ppuS .tnio p taht ta noitacude reh de ppots dna loohcs hgih gnihsin� retfa thgir deirram ohw enoemos fo esac eht redisnoC )e(

.2 17 ,0 6 4$

?emocni emitefil ruoy fo eulav tneserp eht e b

dluow tahW .raey re p 000,04$ ta sraey 93 rof krow uoy neht dna sraey 8 rof sgninrae on evah lliw uoy ,.D.hP a teg uoy fi taht emussA .D.hP a teg uoy fi sgninrae emitefil ruoy fo eulav tneserp eht etaluclac yllaniF )d(

.9 43 ,1 6 3$

?emocni emitefil ruoy fo eulav tneserp eht e b dluow

tahW .raey re p 000,82$ ta sraey 14 rof krow uoy neht dna sraey 6 rof sgninrae on evah uoy ,s’retsam a teg uoy fi taht emussA .eerged s’retsam a teg uoy fi sgninrae emitefil ruoy fo eulav tneserp eht etaluclac woN )c(

. 14 4, 6 43 $

?sgninrae emitefil

ruoy fo eulav tneserp eht e b dluow tahW .raey re p 000,42$ ta sraey 34 rof krow dluow uoy ,egelloc morf gnitaudarg retfa taht emussA .egelloc morf etaudarg uoy litnu segaw yna nrae ton od dna sraey 4 rof egelloc ot og uoy fi sgninrae emit efil ruoy fo eulav tneserp eht etamitse ot tnaw uoy dna ,81 ega ta loohcs hgih morf detaudarg tsuj evah uoy gniso ppus ,niagA )b(

.3 5 7, 33 2$ ).won morf sraey 74 gnitrats ,reverof raey a 000,31$ fo eulav tneserp eht siht morf tcartbuS .reverof raey a 000,31$ fo eulav tneserp eht tuo dn� tsriF :tniH( .sgninrae emitefil ruoy fo eulav tneserp eht dniF .%5 si etar tseretni eht taht emussA ).melborp siht rof elpmis sgniht peek s’tel tub ,ega rieht htiw yrav segaw s’elpoe p taht tnuocca otni ekat ot tnaw dluow uoy ,ylluferac erom siht od ot gniog erew uoy fI( .efil ruoy fo tser eht rof raey a 000,31$ ekam dluow uoy taht osla emussA .eriter neht dna 56 era uoy litnu ,sraey 74 rof krow dluow uoy taht emussA .snoitpmussa emos ekam ot evah uoy ,siht od oT .yletaidemmi boj a ekat tub egelloc ot og ton od uoy fi sgninrae emitefil ruoy fo eulav tneserp eht etamitse ot tnaw uoY .81 ega ta loohcs hgih morf detaudarg tsuj evah uoy taht eso ppuS )a( .noitacude ot eud lla era secnere�id egaw detro per eht fi nruter eht e b dluow tahw ees su tel ,noitacude ot snruter fo aedi hguor a teg ot tsuj tuB .noitacude ot naht rehtar ytiliba ot nruter a ,erofereht ,si ecnere�id emocni eht fo emoS )11 .hC(

STEKRA M TESSA

851

s’rolehcab a gnitteg retfa sraey 4 sekat eerged lacidem a taht dna eerged s’rolehcab a gnitteg sraey 4 sdne ps eno retfa sraey 2 sekat ssenisub ni eerged decnavda na taht eso ppuS .raey re p 000,54$ snrae enicidem ni eerged a htiw nosre p egareva eht dna raey re p 000,83$ snrae ssenisub ni eerged decnavda na htiw nosre p egareva eht taht swohs elbat emas ehT )b(

. sn o it an al p xe la it ra p d oo g r eh to lareves era ereht tbuod oN .ecrof robal eh t n i s t na pi ci t ra p e mi t- ll u f t on er a o hw snosrep ynam yletanoitroporpsid edulcni srojam ygolohcysp dna srojam hsilgnE eht spa h re P

. e ca lp te k ra m e h t y b d eu l av si

dn a e cr a cs s i s ci m on oc e ni ll ew o d ot ytiliba eht taht tseggus dluow srehtO

. ti

od ot u oy te g ot h g ih e b o t s ah y ap eh t gn i ro b os s i , ec ne i cs y ra ut ro m ro gn itn uo cc a e ki l , s ci mo no c e ta h t ya s t hg im e mo S

?secnere�id eseht rof noitanalpxe yna fo kniht uoy naC )a(

.raey re p 000,41$ tuo ba sroj am hsilgnE dna raey a 000,51$ tuo ba egareva sroj am ygolohcysP .000,72$ tuo ba era sreenigne rof dna raey re p 000,82$ tuo ba era stsimonoce rof semocni egaw egareva ehT .gnireenigne dna scimonoce era sroj am evitarcul tsom eht ,seerged s’rolehcab roF .eerged a steg eno hcihw ni dle� eht yb emocni egaw gni -tro per selbat era erehT .e b thgim ereht taht stseggus melborp tsal eht ni dessucsid noitacilbup susnec .S.U ehT ?tro�e siht lla rof sdrawer yna rieht erA .roj am tluc�id a si scimonoce ,deciton evah yam uoy sA )0( 21.11

.no i ti ut f o e ul a v t ne se rp e ht sd ee cx e em oc n i re h fo e ul av t ne se r p e ht ni n ia g eh t , se Y

.nialpxE ?egelloc ot og ot reh rof

elihwhtrow yllaicnan� ti si ,raey re p 000,5$ si noitiut egelloc fI )g(

. 0 99 ,3 12 $

?56 si ehs litnu boj a sekat neht dna sraey 4 rof egelloc

ot seog ehs fi sgninrae emitefil reh fo eulav tneserp eht e b dluow tahW ) f( E MA N

951

.56.41 =

)1.1(/52 + 5

01

).95.2 = 011.1 :tniH( ?onaug-ikik fo ecirp tnerruc eht e b tsum tahW .won morf sraey 01 detsuahxe e b lliw onaug-ikik fo stiso ped eht taht tpecxe ylsuoiverp dias evah ew sa si gnihtyreve taht eso ppuS )b( ).onaug citehtnys fo tsoc eht ,03$ e b lliw ecirp eht dna detsuahxe e b lliw ylppus eht nehw ,won morf raey eno ,yad eht litnu pu thgir ti lles ot gnilliw e b tsum yeht taht wonk ew tuB .detsuahxe si ylppus latot eht erofe b emit rehto yna ta ro won thgir onaug-ikik rieht gnilles neewte b tnere�idni e b tsum srelles ,muirbiliuqe nI :tniH( .37.72 = 1.1/52 + 5 si sihT

.5 2 $ fo e ul av tn e se rp e ht + 5 $ e ht e b ts um dl ei f e ht o t d er e vi le d on au g f o ec ir p eh T ?sdle� pinrut eht ot dereviled onaug-ikik fo ecirp tnerruc eht e b tsum tahw ,muirbiliuqe nI .lles ot tfel evah yeht onaug yna rof not a 52$ fo nruter ten a teg dluow yeht ,raey txen taht wonk stiso ped onaug eht fo srenwo ehT .neve kaerb tsuj lliw yrtsudni onaug-ikik citehtnys eht taht os ,03$ e b ot evah lliw sdle� eht ot dereviled onaug-ikik fo ecirp eht ,raey txeN .won morf raey eno yltcaxe detsuahxe e b lliw oknitS no stiso ped eht fo tsal eht ,onaug-ikik rof noitcnuf dnamed eht dna ecirp tnerruc eht neviG )a( .seitidommoc lla rof stekram evitite pmoc yltcefre p era erehT .%01 si oknitS no etar tseretni ehT .not re p 03$ fo tsoc a ta sdle� pinrut eht ot ti reviled ot dna onaug-ikik morf elbahsiugnitsidni tcudorp a ecudorp ot elbisso p ti sekam noitcudorp fo dohtem sihT .retaw pmaws dna sko o btxet ecneics lacitilo p morf onaug-ikik gnizisehtnys fo yaw a desived evah oknitS no stsitneics eht yletanutroF .detsuahxe e b ot tuo ba si onaug drib-ikik fo kc ots s’yrtnuoc eht ,yletanutrofnU .sdle� eht ot ti reviled dna onaug drib-ikik enim ot not re p 5$ stsoc tI .drib-ikik dellib-rossics tnaig tcnitxe-won eht yb detiso ped saw hcihw onaug yb dezilitref nee b evah sdle� pinrut eht seirutnec roF .gniworg pinrut si yrtsudni lapicnirp eht ,oknitS tenalp eht nO )0( 31.11

. 0 00 ,0 36 $ . 0 00 ,6 95 $

.enicidem rof noitaluclac ralimis a ekaM

.56 ta gniriter litnu eerged siht htiw enoemos rof etar

egaw egareva eht nrae dna ssenisub ni eerged decnavda na teg lliw ohw roines gnitaudarg a rof sgninrae emitefil fo eulav tneserp eht dn� ,50. = r fI .egelloc dehsin� tsuj evah dna dlo sraey 22 era uoy taht eso ppuS .eerged )11 .hC(

STEKRA M TESSA

061

,x$ esol dluow uoy ,seireS eht ot ti ekam t’ndid yeht dna sdeR eht no x$ te b uoy fI .noitpmusnoc no dne ps ot x01 + 000 ,1 = Wc evah dluow uoy ,seireS eht ot ti edam yeht dna sdeR eht no x$ te b uoy fi ,gnitte b erofe b 000,1$ dah uoy ecniS .x$ fo ssol ten a evah uoy ,t’nod yeht fi tub ,x01$ fo niag ten a ekam uoy ,seireS eht ot ti ekam sdeR eht fi neht ,sdeR eht no x$ te b uoy fi taht snaem 1 ot 01 fo sddo ta sdeR eht no gnitteB .seireS eht gnikam ton rieht no tnegnitnoc noitpmusnoc ruoy e b W Nc dna seireS dlroW eht gnikam sdeR eht no tnegnitnoc noitpmusnoc ruoy e b Wc teL .seireS dlroW eht ekam t’nod sdeR eht fi sral lod dna seireS dlroW eht ekam sdeR eht fi sral lod era seitidommoc tnegnitnoc ehT . 2c 2π + 1c 1π si noitcnuf ytilitu nretsnegroM √ √ -nnamueN nov ruoy dna sisehto pyh ytilitu detce pxe eht se�sitas roivahe b ruoY .sdoog noitpmusnoc no dne ps ot 000,1$ evah ot niatrec era uoy ,te b t’nod uoy fI .2. = π si seireS dlroW eht ot ti ekam lliw sdeR eht taht ytilibaborp eht kniht uoY .sdeR eht tsniaga 1 ot 01 fo sdd o ta uoy htiw te b lliw relbmag lac ol A .raey siht seireS dlroW eht ot ti ekam lliw sdeR itannicniC eht rehtehw no gnitte b fo gnikniht era uoY :e lpmaxE .tniartsnoc tegdub sih ot tcej bus noitcnuf ytilitu siht gnizimixam yb denimreted si roivahe b s’remusnoc ehT .) 2c(u 2π + ) 1c(u 1π = ) 2c , 1c( U ,mrof lanoitcnuf laice ps eht sah noitcnuf ytilitu nretsnegroM-nnamueN nov eht neht , 2c dna 1c era snoitpmusnoc tnegnitnoc eht fi dna , 2π dna 1π seitilibaborp htiw 2 dna 1 ,stneve owt era ereht fI .sisehtopyh ytilitu detcepxe eht dellac si mrof siht sekat ytilitu taht noitpmussa ehT .ytilitu nretsnegroM -nnamueN nov sa nwonk mrof laice ps eht sekat taht noitcnuf ytilitu a yb desserpxe e b nac secnereferp eseht taht emussa ot elbanosaer si ti netfO .seitidommoc tnegnitnoc fo snoitanibmoc suoirav tuo ba sleef eh woh yb denimreted e b lliw ecnarusni yub ot ssengnilliw sih dna selbmag suoirav ekat ot ssengnilliw s’remusnoc A .ytilitu nretsnegroM-nnamueN nov fo noiton eht si taht dna ,aedi wen rehto eno stneserp retpahc sihT .dro�a nac remusnoc a taht seldnub ytidommoc tnegnitnoc fo tes eht se�ice ps yltcerroc taht tniartsnoc tegdub a dn� ot si kcirt dnoces ehT .sneppah B fi noitpmus -noc sa ytidommoc tnegnitnoc rehtona dna sneppah A fi noitpmusnoc sa ytidommoc tnegnitnoc eno en�ed ew neht ,ne ppah dluoc B ro A stneve owt fo rehtie fI .seitidommoc tnegnitnoc llac ew hcihw ,seitid ommoc wen tnevni ew ,emit sihT .seitid ommoc tnere�id sa setad tnere�id ta seit -idommoc gnitaert fo kcirt eht ot ralimis si skcirt wen eseht fo enO .gnilbmag dna ,ecnarusni ,gnikat ksir yduts ot sdohtem emas eht esu nac uoy taht os ,skcirt ralimis emos nrael lliw uoy ereH .eciohc laro pmetretni gniyduts rof wonk ydaerla uoy seuqinhcet esu ot uoy wolla taht skcirt emos denrael uoy ,11 retpahC nI .noitcudortn I

ytniatrecn U E MA N

21 retpahC

eht suhT .erahs re p

5

$ fo ssol a ekam lliw eh neht ,devorp

-pa ton si metsys sno paew eht fi dna ,kcots fo serahs x syub rodnoC fI .x5 + 000 ,05$ = Ac si ,devorppa gnie b metsys eht no tnegnitnoc ,emusnoc nac eh tnuoma eht suhT .erahs re p 5$ fo t�orp a ekam lliw eh ,devorp -pa si metsys sno paew eht fi dna ,kc ots fo serahs x syub rodnoC fI )a( .scitatS lareneG ni kcots yub ot tuo ba si rodnoC .stessa efas yltcefre p ni detsevni si hcihw fo lla ,000,05$ si htlaew latot s’rodnoC . A Nc nl 52. + Ac nl 57. = ) A Nc , Ac( U si noitcnuf ytilitu nretsnegroM-nnamueN nov s’rodnoC .devorppa ton si metsys eht fi noitpmusnoc sih e b A Nc dna devorppa si metsys eht fi noitpmusnoc s’rodnoC e b Ac teL .4/1 si devorppa e b ton lliw ti taht ytilibaborp eht dna 4/3 si devorppa e b lliw metsys eht taht ytilibaborp eht taht dediced sah rodnoC ,swonk eh tahw fo sisab eht nO .thguoht yllareneg si naht devorppa e b ot ylekil erom hcum si metsys sno paew eht taht derevocsid sah rodnoC zzuB ,kcabkciK namssergnoC rof regnessem a sa yticapac sih nI .erahs a 5$ ot llaf lliw kcots eht fo eulav eht ,devorppa ton si tcej orp eht fi dna ,erahs a 51$ ot erahs re p 01$ morf esir lliw scitatS lareneG ni kcots fo eulav eht ,devorppa si metsys wen eht fi ,deednI .scitatS lareneG ,rotcartnoc esnefed eht rof elbat�orp yrev e b lliw ti ,devorppa si metsys eht fI .metsys sno paew wen evisne pxe na poleved ot ton ro rehtehw ediced ot gniog si ssergnoC ,skeew wef txen eht nI )0( 1.21 ).ynne p tseraen eht ot snoitulos eht dednuor eW( .29.676$ evah lliw uoy ,ton fI .08.032 ,4$ = 80.323 × 01 + 000 ,1$ evah lliw uoy ,seireS eht ot ti ekam sdeR eht fI .sdeR eht no 80.323$ gnitte b yb eldnub siht eveihca uoY .29.676$ = W Nc dna 77.032 ,4$ = Wc taht seilpmi noitauqe tegdub eht htiw rehtegot ,noitauqe sihT . Wc61. = W Nc taht dn� lliw uoy ,noisserpxe gnitluser eht yfilpmis dna oitar ecirp eht ot lauqe W Nc dna Wc neewte b noitutitsbus fo etar lanigram eht tes uoy fI .ti gnikam ton rieht no tnegnitnoc noitpmusnoc sa hcum sa 01/1 stsoc seireS dlroW eht gnikam sdeR eht no tnegnitnoc noitpmusnoc taht ees uoy ,tniartsnoc tegdub eht morF .melborp remusnoc siht evlos nac uoy ,railimaf won era taht seuqinhcet gnisU .001 ,1 = W Nc + Wc1. ,tniartsnoc tegdub eht ot tcej bus W Nc 8. + Wc 2. = ) W Nc , Wc( U ezimixam ot √ √ ) W Nc , Wc( eldnub noitpmusnoc tnegnitnoc ruoy esoohc lliw uoy nehT ).tnatsnoc evitiso p a yb sedis hto b gniylpitlum yb syaw tnelaviuqe ynam ni nettirw e b nac noitauqe tegdub emas ehT( .001 ,1 = W Nc + Wc1. ,yltnelaviuqe ro ,000 ,11 = W Nc01 + Wc dn� ot smret egnarraer dna noitauqe tsr� eht otni x rof noisserpxe siht etutitsbuS . W Nc − 000 ,1 = x evah ew ,noitauqe dnoces eht morF .noitauqe tegdub a rof evlos ot snoitauqe owt evo ba eht esu nac eW ).re bmun evitagen a gnie b x htiw ,ylppa snoitauqe emas eht taht ees lliw uoy ,sdeR eht tsniaga te b uoy erehw esac eht rof noissucsid siht fo tser eht hguorht krow uoy fI .x$ esol uoy ,seireS eht ot ti ekam yeht fi dna x1. fo niag ten a ekam uoy ,seireS eht ot ti ekam ot liaf yeht dna sdeR eht tsniaga x$ te b uoy fI .sddo emas eht ta sdeR eht tsniaga te b osla dluoc uoY( .rellams W Nc dna regral Wc ekam nac uoy ,te b uoy taht x$ tnuoma eht gnisaercni yB .x − 000 ,1 = W Nc evah dluow uoy dna )21 .hC(

YT NIATREC N U

261

.x1. − 000 ,005

=

F Nc

emusnoc ot elba e b lliw eh neht ,doo� on

si ereht dna ecnarusni fo tnuoma siht sah ylliW fI

.x9. + 000 ,05

= Fc emusnoc ot elba e b lliw eh ,muimerp ecnarusni sih gniyap retfa nehT .d oo� a fo tneve eht ni x$ mih syap taht ecnarusni rof detcartnoc sah ylliW taht eso ppuS .st�ene b ecnarusni ni x$ steg eh ,d oo� a si ereht fi neht ,x$ rof serusni ylliW fI ).d oo� a si ereht ton ro rehtehw diap e b tsum muimerp ecnarusni ehT( .x1. fo muimerp ecnarusni na yap tsum ylliW ,d oo� a fo esac ni x$ mih syap taht ecnarusni yub oT )b(

.)000 ,005 ,000 ,05(

= ) F Nc , Fc( e b lliw

eldnub ytidommoc tnegnitnoc s’ylliW os ,yrotcaf sih fo eulav eht lauqe lliw noitpmusnoc s’ylliW ,ycnegnitnoc hcae ni neht ,ecnarusni on syub eh fI )a( . F Nc 9. + Fc 1. = ) F Nc , Fc( U √ √ si noitcnuf ytilitu nretsnegroM-nnamueN nov s’ylliW .doo� on si ereht fi sral lod etoned F Nc dna doo� a si ereht fi sral lod ytidommoc tnegnitnoc eht etoned Fc teL .01/1 si gnirps siht do o� a e b lliw ereht taht ytilibaborp eht taht skniht ylliW .egarevoc fo htrow 1$ hcae rof 01.$ fo tsoc a ta ecnarusni doo� yub nac ylliW .000,05$ ylno htrow e b lliw yrotcaf eht fo tfel si tahw neht ,doo� a si ereht fI .000,005$ htrow e b lliw yrotcaf eht ,d oo� on si ereht fI .yrotcaf sih fo elas eht fo sdeecorp eht si evah lliw eh emocni ylno ehT .eriter dna yrotcaf eht lles ot snalp ylliW ,remmus txeN .secneuqesnoc suortsasid htiw ,gnirps eht ni sdoo� yllanoisacco taht revir a ot esolc detacol ,yrotcaf etaloc ohc llams a snwo ylliW )0( 2.21 .scitatS lareneG ni kcots fo serahs -moc tnegnitnoc siht eriuqca oT

00 0, 5

yub tsum eh ,eldnub ytidom

. )0 0 0, 52 ,0 0 0, 57 (

= ) A Nc , Ac(

si eldnub ytidommoc tnegnitnoc lamitpo sih taht sdn� rodnoC )d( ).x/a si x ot tce pser htiw x nl a fo evitavired eht ,tnatsnoc yna si a erehW :rednimeR( .3 = A Nc/ Ac taht sdn� eh ,noitauqe eht se�ilpmis dna secirp evitaler rieht ot lauqe seitid ommoc tnegnitnoc owt eht neewte b noitutitsbus fo etar lanigram sih stes eh fI .tegdub sih ot tcej bus noitcnuf ytilitu nretsnegroM -nnamueN nov sih sezimixam ylpmis eh ,yub ot kcots hcum woh ediced oT .dehsinup dna thguac e b lliw eh taht nrecnoc yna evah eh seod ron ,noit -amrofni edisni no gnidart tuo ba smlauq larom on sah rodnoC zzuB )c( .000 ,05 =

A Nc

5.

+ Ac

5.

sa nettirw e b nac tniartsnoc teg

-dub siH .snoitauqe owt eseht morf x gnitanimile yb ) A Nc , Ac( seldnub yti -d ommoc tnegnitnoc no tniartsnoc tegdub s’rodnoC rof evlos nac uoY )b(

.x5 − 000 ,05

=

A Nc

si ,devorppa gnie b ton metsys eht no tnegnitnoc ,emusnoc nac eh tnuoma E MA N

361

”.sliat pu semoc nioc“ e b 2 tnevE tel dna ”sdaeh pu semoc nioc“ e b 1 tnevE teL ).oot rotaluclac a esu ot uoy rof lufpleh e b lliw ti taht dn� lliw uoY .samtsirhC tsal mih evag ,remlE ,nos sih taht rotaluclac tekco p eht sesu ecneralC( .noisiced sih gnikam si ecneralC ,srotoM nesnuB ta revo ec�o pihsrelaed rac sih fo ycavirp eht nI .ytniatrec htiw 000,01$ evah lliw ecneralC ,te b eht tpecca t’nse od eh fI .2/1 hto b era sliat fo ytilibaborp eht dna sdaeh fo ytilibaborp eht taht os ,nioc riaf a si nioc ehT .000,1$ ecneralC yap tsum remlajH ,sliat pu semoc nioc eht fi dna 000,1$ remlajH yap tsum ecneralC ,sdaeh pu semoc nioc eht fi ,si tahT .nioc a fo ssot eht fo emoctuo eht no 000,1$ mih te b ot dere�o sah ,tsivqgnI remlajH ,dneirf s’ecneralC . 2c

√

2π

+ 1c

√

1π

= ) 2π , 1π , 2c , 1c(u

noitcnuf ytilitu detce p -xe eht yb detneserper era seldnub ytid ommoc tnegnitnoc gnoma secnere -ferp siH .rezimixam ytilitu detce pxe na si nesnuB ecneralC )0( 3.21

. 0 00 ,5 4$ si yap ot evah lliw eh taht muimerp ecnarusni fo tnuoma ehT .doo� a si ereht fi lliw ylliW

0 0 0, 05 4$

mih yap lliw taht ycilo p ecnarusni na yub

.)000 ,554 ,000 ,554(

=) Fc , F Nc( si hcihw ,eldnub

noitpmusnoc lamitpo sih rof evlos nac uoy ,noitauqe tegdub sih wonk uoy dna , Fc dna F Nc emusnoc lliw eh hcihw ni oitar eht wonk uoy ecniS )e(

.1 = Fc/ F Nc oitar eht ni seitid ommoc tnegnitnoc owt eht emusnoc ot esoohc lliw ylliW taht dn� uoy ,noitauqe siht gnivloS

.9− =

re bmun eht

ot lauqe noitutitsbus fo etar lanigram siht tes tsum uoy ,seitidommoc tnegnitnoc fo eldnub lamitpo sih dn� oT . FFNc√1. − = ) Fc , F Nc( SR M c 9. si ,doo� a si ereht fi sral lod dna doo� on si e√reht fi sral lod ,seitidom -moc tnegnitnoc owt eht neewte b noitutitsbus fo etar lanigram s’ylliW )d(

. 0 00 ,5 54 = Fc

1.

+ F Nc9. sa nettirw e b nac 1 si

F Nc

fo ”ecirp“ eht hcihw

ni noitauqe tegdub eht fo mrof ehT .noitauqe tegdub tnelaviuqe na sdleiy tnatsnoc evitiso p a yb noitauqe tegdub a fo sedis hto b gniylpitlum ecnis ,noitauqe tegdub emas eht gnitirw fo syaw tnelaviuqe ynam era ereht esruoc fO .ylliW rof noitauqe tegdub a uoy sevig sihT .evo ba dnuof uoy taht F Nc dna Fc rof snoitauqe owt eht morf x etanimile nac uoY )c( )21 .hC(

YT NIATREC N U

461

”.te b eht

e ka t

dluohs I eroferehT

ym ,te b eht ekat t’ndid I fI

.0 01

.5 .2 2 1

e b dluow ytilitu detce pxe

e b dluow ytilitu detce pxe ym

,te b eht koot I fI ?te b eht ekat I dluoW .000,05$ niw dluow I ,sliat pu emac ti fi tub ,000,01$ ym tsol I ,sdaeh pu emac nioc riaf a fi erehw te b ot ecnahc a dah I eso ppuS .laed doog yllaer a em dere�o ydo bemos fi tahw ,tuB .te b yranidro na tsuj no yenom ym fo lla gnisol no ecnahc a ekat ot tnaw t’ndluow I ,esruoc fo ,lleW“ ,skniht neht ecneralC )b(

e b dluow te b

17 .0 7

eht ekat t’ndid eh fi ytilitu detce pxe sih elihw ,

.te b a hcus e b dluow te b

. 00 1

ekat ton dluow eh taht sedulcnoc eh eroferehT

eht koot eh fi ytilitu detce pxe siH .000,02$ evah dluow eh ,sliat pu emac ti fi dna srallod 0 evah dluow eh ,sdaeh pu emac nioc eht fi nehT ?sliat fi sniw dna sdaeh fi sesol eh erehw ,nioc a fo ssot eht no 000,01$ eritne sih te b eh fi tahW .selbmag gib yllaer tuo ba skniht tsr� ecneralC )a( .ylesolc erom noit -cnuf ytilitu detce pxe sih yduts ot sediced )melborp tsal eht ni de bircsed erew ksir drawot secnereferp esohw( nesnuB ecneralC ,pu demraw rotal -uclac sih sah eh ecnis os ,srotoM nesnuB ta yad wols a si tI )0( 4.21

.oN

?te b eht ekat ecneralC se oD

.ylgnidrocca noisiced sih sekam dna rehgih si hcihw senimreted ecneralC ,te b ton se od eh fi dna ste b eh fi ytilitu detce pxe sih detaluclac gnivaH )d(

.0 01

e b lliw ytilitu detce pxe sih ,te b t’nseod eh fi eroferehT

0 00 ,0 1

.srallod

evah lliw eh ,2 tnevE ni dna srallod

00 0, 01

evah lliw eh ,1 tnevE ni neht ,te b ot ton sediced ecneralC fI )c(

.6 47 8 .9 9

).rotaluclac taht esU( e b lliw remlajH htiw te b eht stpecca eh fi ytilitu detce pxe

s’ecneralC eroferehT . 2c 2 + 1c 2 alumrof eht yb de bircsed √1 √1 e b nac 2 tnevE ni 2c dna 1 tnevE ni 1c steg eh hcihw ni elbmag a rof ytilitu detce pxe s’ecneralC ,2/1 si tneve hcae fo ytilibaborp eht ecniS )b( .srallod

00 0, 9

00 0, 11

evah lliw eh ,2 tnevE ni dna srallod

evah lliw eh ,1 tnevE ni neht ,te b eht stpecca ecneralC fI )a( E MA N

561

tnio p siht dniF .sne ppah 1 tnevE fi

. C ti le bal dna evo ba erugiF eht no 000,04 dna sneppah 2 tnevE

fi orez steg eh hcihw ni tnio p a dna hparg eht no B tnio p neewte b tneref -fidni e b lliw ecneralC ,elpmaxe siht nI .desrever era semoctuo ot sezirp fo tnemngissa eht taht tpecxe emas eht era taht selbmag owt neewte b tnere�idni e b lliw ecneralC eroferehT .ezirp sih senimreted taht esuace b ylno pu nrut sliat ro sdaeh rehtehw serac ecneralC dna ,nioc riaf a si nioc ehT .evruc ecnere�idni siht no tnio p driht a dn� ylkciuq nac uoY )e( )000,1 x( 1 tnevE ni yenoM 04 03 02 01

0

c

a

01 d 02

03 b

04

)000,1 x( 2 tnevE ni yenoM

siht le bal ,wole b hparg eht nO

.0 00 ,0 4

. B tnio p si 2 tnevE ni yenom dna

orez si 1 tnevE ni yenom erehw si rehto ehT .A tnio p siht le bal ,wole b hparg eht nO .000,01$ si stneve hto b ni yenom erehw si stnio p eseht fo enO ).ee�oc gninrom rof efaC xo brettahC eht ot revo sdaeh eh elihw ,mih rof trap siht krow ot evah lliw uoy os ,seitidommoc tnegnitnoc ro sevruc ecnere�idni fo draeh reven sah ecneralC rooP( .2 tnevE ni yenom dna 1 tnevE ni yenom ,seitidommoc tnegnitnoc eht neewte b evruc ecnere�id -ni s’ecneralC no stnio p owt uoy sevig trap tsal eht ot rewsna ruoY )d(

.000 ,04

= x si noitulos ehT

.x 12 = 001 √

si etirw dluohs uoy taht noitauqe ehT .000 ,01 = x erehw si noitseuq s’ecneralC ot rewsna ehT .x rof noitauqe siht evloS .2 tnevE ni x dna 1 tnevE ni noitpmusnoc orez htiw tfel si eh taht hcus te b a sekam eh fi ytilitu s’ecneralC rof noisserpxe na nwod etirw uoy ,noitauqe eht fo edis thgir eht nO .te b t’nseod eh fi ytilitu s’ecneralC nwod etirw dluow uoy ,noitauqe ruoy fo edis tfel eht nO .noitauqe na gnivlos yb rewsna eht dn� ot reisae si ti tub ,rorre dna lairt yb rewsna eht dn� ot tnaw thgim ,o ot ,uoY .rewsna eht dnuof ecneralC ,rorre dna lairt emos retfA ”?ekat ot em rof eno do og a te b eht ekam ot redro ni sliat fo tneve eht ni niw ot evah dluow I taht tnuoma tsellams eht si tahw ,sdaeh pu semoc nioc eht fi 000,01$ ym esol I erehw te b a ekam I fI“ ,flesmih sksa retal ecneralC )c( )21 .hC(

YT NIATREC N U

661

.)001 ,001( tnio p eht hguorht gnissap evruc ecnere�idni s’lraE hcteks ot wole b hparg eht no kni eulb esU .22c 34 + 21c 14 = u noitauqe eht yb detneserper eb nac , 2c ,2 tnevE no tnegnitnoc emocni dna , 1c ,1 tnevE no tnegnitnoc emocni neewte b secnere -ferp s’lraE .edaps a ton si drac eht taht tneve eht e b 2 tnevE teL .edaps a si sdrac fo kced riaf a morf nward drac a taht tneve eht e b 1 tnevE teL )c(

. ton ro t i g ni k at t uo ba t ne re ff i dn i ts uj s i eH

?te b siht ekat ot gnilliw e b lraE dluoW

.0 0 0, 01

?te b

taht sekat eh fi ytilitu detce pxe s’lraE si tahW .02$ fo daetsni 001$ te b dluow yeht taht tpecxe lraE htiw te b emas eht ekam ot dere�o ynneK ,syaw sih degnahc evah thgim lraE kniht ot detrats yeht nehw tsuJ )b(

.0 00 , 01 ,

00 4, 8 08

.te b eht desufer eh eroferehT e b dluow te b eht ekat ton did eh fi ytilitu detce pxe sih dna e b dluow te b eht koot eh fi ytilitu detce pxe s’lraE .srallod

evah dluow eh ,te b eht tsol eh fi dna srallod

02 1

evah

dluow lraE ,te b eht now eh fI .4/3 saw te b eht esol dluow lraE taht ytilibaborp eht dna 4/1 saw te b eht niw dluow lraE taht ytilibaborp eht ,taehc t’ndluow ynneK taht deveile b lraE taht gnimussA .kced eht morf edaps a tuc ton dluow lraE taht 02$ lraE te b ot dere�o dna sdrac fo kced a de�uhs noslO ynneK .001$ dah lraE ,emit eht tA .ekat ot mih teg dluoc yeht te b a dab woh tsuj tuo ba gniklat ot tog yehT .ni de ppots lraE nehw nrevat s’gookS ta nwod erew syo b eht fo emos ,yad rehto eht tsuJ )a( . 22c 2π + 21c 1π = ) 2π , 1π , 2c , 1c(u noitcnuf ytilitu detce pxe eht yb detneserper era seldnub ytid ommoc tneg -nitnoc revo secnereferp siH .elbmag ot sekil lraE taht tuo snrut tI .llew yrev tuo dekrow ton sah ,lraE ,wal-ni-nos s’tsivqgnI remlajH )0( 5.21 .dele bal evah uoy taht stnio p eht hguorht evruc ecnere�idni eritne eht ni hcteks woN . D ti le bal dna tnio p siht tolp ,evo ba sexa eht nO ).x rof noitauqe gnitluser eht evlos nehT .2 tnevE ni x + 000 ,01$ dna 1 tnevE ni 000 ,5$ − 000 ,01$ gnivah fo ytilitu eht tup ,noitauqe eht fo edis thgir eht no dna noitauqe na fo edis tfel eht no gnitte b ton fo ytilitu eht tup ,melborp siht evlos oT :tniH( .pu nrut sliat fi srallod 37.517,6 sniw eh erehw dna pu nrut sdaeh fi 000,5$ sesol eh erehw elbmag eht si lla ta gnilbmag ton sa ecneralC rof evruc ecnere�idni emas eht no si taht elbmag rehtonA ) f( E MA N

761

. E ti le bal dna ,onisac eht htiw ste b on sekam eh fi noitpmusnoc tnegnitnoc fo ”tnemwodne“ s’maS kram ,wole b hparg eht nI .sselhtrow si no puoc niar ruoy ,niar t’nseod ti fI .yad suoiverp eht no thguo b uoy no puoc niar yreve rof 2$ uoy evig lliw onisac eht ,yad txen eht sniar ti fI .hcae 1$ rof ”sno puoc niar“ detad slles onisac ehT .yad txen eht yniar ro ynnus e b lliw ti rehtehw no ste b gnitpecca si tI .kcimmig wen a sah ytiC citnaltA ni sonisac eht fo enO )a(

.seno yniar dna seno ynnus ,syad fo sdnik owt ylno era ereht taht eso ppus lliw ew ,yticilpmis roF .01$ sekam ylno maS sniar ti fi dna ,03$ sekam maS senihs nus eht fI .ytiC citnaltA ni klaw -drao b eht ta sessalgnus gnilles gnivil sih sekam maS klawediS )1( 6.21

.)001 ,001( hguorht sessap taht eno eht gnidulc -ni ,sevruc ecnere�idni s’lraE fo owt wohs ot kni der esu ,hparg eht nO .22c 12 + 21c 12 = u alumrof eht yb detneserper era 2 tnevE no tnegnit -noc emocni dna 1 tnevE no tnegnitnoc emocni neewte b secnereferp s’lraE nehT .2/1 ytilibaborp sah tneve hcae eso ppuS .der si nward drac eht taht tneve eht e b 2 tneve teL .kcalb si drac eht taht tneve eht e b 1 tnevE teL .sdrac fo kced riaf a morf nward si drac a taht eso ppuS .tnere�id era seitilibaborp eht erehw seitid ommoc tnegnitnoc neewte b sevruc ecneref -fidni s’lraE wal-ni-nos s’remlajH ward su tel ,hparg emas eht nO )d(

1 tnevE ni yenoM 002 051 001

05

sev ruc deR

0

05

ev ruc eulB 001

051

002 2 tnevE ni yenoM

)21 .hC(

YT NIATREC N U

861

.5. = π si niar lliw ti taht ytilibaborp ehT .niar lliw ti taht ytilibaborp eht si π dna ,sniar ti fi noitpmusnoc sih fo eulav rallod eht si rc ,senihs ti fi noitpmusnoc sih fo eulav rallod eht si sc erehw , πrc π−1sc = ) π , rc , sc(u

erutan fo setats owt eht ni noitpmusnoc rof noit -cnuf ytilitu eht sah ,melborp suoiverp eht morf ,maS klawediS )0( 7.21

.1 s i e ci rp e hT ?senihs ti fi noitpmusnoc fo htrow s’rallod a fo ecirp eht si tahw ,1 ot lauqe tes si sniar ti nehw noitpmusnoc fo htrow s’rallod a fo ecirp eht fI )e( .stekcit enihsnus gniyub yb eveihca nac maS taht seldnub noitpmusnoc tnegnitnoc fo enil tegdub eht ni hcteks ot kni der esu ,evo ba hparg eht nO .seod ti fi gnihton dna niar t’nse od ti fi 2$ uoy sevig onisac eht ,stekcit eseht htiW .1$ tsoc osla stekcit esehT .sno puoc enihsnus slles osla onisac eht taht eso ppuS )d(

s i e po ls e h T

.1−

?tnemwodne laitini sih fo tfel eht ot dna evo ba

stnio p ta enil tegdub s’maS fo e pols eht si tahW ).meht fo stnuoma evita -gen ton tub ,sno puoc lanoitcarf yub nac eh taht emussA( .sno puoc niar gniyub yb eveihca nac maS taht noitpmusnoc fo snrettap rehto eht fo lla gnitneserper enil tegdub eht ward ot kni eulb esu ,hparg emas eht nO )c( .A ti le baL .onisac eht morf sno puoc niar 01 gniyub yb eveihca dluoc eh taht nus no tnegnitnoc noitpmusnoc dna niar no tnegnitnoc noitpmusnoc fo noitanibmoc eht kram ,hparg emas eht nO )b( sC 04

03

02

01

0

enil deR 01

e

enil eulB

a

02

03

04 rC E MA N

961

et al uc l ac eW

.019 = 000 ,000 ,1 9. + 000 ,01 1. √ √

?ytilitu detce pxe s’nhoJ ylliB si tahW )a(

.reerac sih dne ot hguone yldab derujni e b lliw nhoJ ylliB taht ecnahc %01 a si erehT .nwot emoh sih ni rotatilicaf lavomer esufer a sa tcartnoc 000,01$ a eviecer lliw eh ,reerac llabtoof sih sdne yrujni na fI .llabtoof lanoissef -orp gniyalp rof tcartnoc 000,000,1$ a eviecer lliw eh ,derujni ylsuoires ton si eh fI .llabtoof egelloc fo raey roines sih gninnige b si nhoJ ylliB .skcurt yreviled azzip dna stibbarkcaj nurtuo nac dna sdnuo p 003 tuo ba shgiew osla nhoJ ylliB .c = )c(u mrof eht fo noitcnuf ytilitu nretsnegroM -nnamueN nov a sah ,sa√ xeT ,eohS eluM fo niksgiP nhoJ ylliB )0( 9.21

.n oi t pm us no c s ’ ma S sa e ma s eh t si s ih T no

?noitpmusnoc s’maS ot erapmoc siht seod woH .syad yniar eht

02

dna syad ynnus eht no

02

emusnoc lliw nagroM

:rewsnA ?e b noitpmusnoc fo nrettap lamitpo s’nagroM lliw tahW )c(

. se y s i r ew sn a eh t os ,s’maS fo gol larutan eht tsuj si noitcnuf y ti li tu s’ n ag ro M

?rehto eht fo noitamrofsnart cinotonom

a eno sI ?s’maS ot erapmoc noitcnuf ytilitu s’nagroM se od woH )b(

. rc nl 12 + sc nl 12 = u

?e b

) rc , sc( gnimusnoc fo ytilitu detce pxe sih dluow tahw ,yad yreve nus fo ecnahc %05 a dna niar fo ecnahc %05 a si ereht taht seveile b nagroM fI )a( .nac maS sa onisac eht htiw laed emas eht yltcaxe ekam nac eH .seod maS sa emocni emas eht yltcaxe sekam dna ytiC citnaltA ni hcae b rehtona no sessalgnus slles osla rehtorb s’maS .c nl = )c(u si htlaew rof noitcnuf ytilitu nretsnegroM-nnamueN nov siH .rezimixam ytilitu detce p -xe na si nretsnamueN nov nagroM rehtorb s’maS klawediS )0( 8.21

.0 1

?yub ot maS rof lamitpo ti si sno puoc niar ynam woH )b(

. st in u 02

?niar no lanoitidnoc

emusnoc ot maS rof lamitpo ti si noitpmusnoc fo stinu ynam woH )a( )21 .hC(

YT NIATREC N U

071

.sddo eseht ta 002$ laitini ruoy morf gnitte b yb evah dluoc uoy taht ”niw snoraB re bboR eht fi yenom“ dna ”niw sraoB eht fi yenom“ fo snoitanibmoc eht fo lla stneserper taht enil a ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO .esol yeht fi srallod 051 dna niw sraoB eht fi srallod

00 3

fo latot a evah lliw uoy ,delttes

era snoitagilbo gnilbmag lla retfa neht ,sraoB eht no 05$ te b uoy fI .niw sraoB eht ton ro rehtehw 002$ evah lliw uoy ,lla ta te b ton od uoy fI )a(

).seit fo ytilibisso p eht erongi su tel ,muidet diova oT( .002$ deecxe ton od sessol gnilbmag ruoy sa gnol os snoraB re bboR eht no ro sraoB eht no rehtie ,ekil uoy sa te b a egral sa ekam ot elba era uoy taht eso ppuS .esol snoraB re bboR eht fi 02$ mih yap ot esimorp ruoy rof nruter ni ,niw snoraB re bboR eht fi 01$ uoy yap lliw ohw enoemos dn� nac uoy ,snoraB re bboR eht no 01$ te b ot tnaw uoy fi ylralimiS .niw snoraB re bboR eht fi 01$ mih yap ot esimorp ruoy rof nruter ni niw sraoB eht fi 02$ uoy yap ot eerga lliw ohw enoemos dn� nac uoy ,sraoB eht no 01$ te b ot tnaw uoy fi yas ot si tahT .sraoB nedloG eht tsniaga 1 ot 2 era sddo gniog eht taht srae ppa tI .snoraB re bboR eht slavir lanoitidart rieht yalp ot deludehcs era ,sraoB nedloG eht ,maet ruoY .yadrutaS txen emaG giB eht no gnitte b tuo ba gnikniht era dna 002$ evah uoY )1( 01.21

.009 ,171 = p

.p − 000 ,000 ,1

.p rof noitauqe siht evloS )c(

= 019 si noitauqe ehT

.ycilo p ecnarusni na hcus rof ya� p ot gnilliw e b dluow nhoJ ylliB taht ecirp tsegral eht dn� ot devlos e b nac taht noitauqe na etirW .mih ot dene p -pah tahw rettam on p − 000 ,000 ,1$ fo emocni na evah ot erus e b dluow eh neht ,egelloc ni elihw yrujni gnidne-reerac a dere�us eh fi 000,000,1$ mih evig dluow taht ycilo p ecnarusni na rof p$ syap nhoJ ylliB fI )b( E MA N

171

noitcnuf ytilitu nretsnegroM-nnamueN nov ruoy taht eso ppuS .yrettol taht htiw �o-llew sa tsuj e b ot ytniatrec htiw nevig e b ot evah dluow uoy yenom fo tnuoma eht si yrettol a fo tnelaviuqe ytniatrec ehT )2( 11.21 .evo ba dessucsid ste b owt eht gnikam yb dehcaer uoy taht D tnio p eht le bal ,hparg siht nO .enutrofsim s’kcabretrauq eht fo swen eht erofe b edam uoy te b eht ot sddo wen eht ta ste b elbisso p gnidda yb flesruoy rof egnarra dluoc uoy taht ”niw snoraB re bboR eht fi yenom“ dna ”niw sraoB eht fi yenom“ fo snoitanibmoc eht gniwohs ,evo ba edam uoy margaid eht no enil a ward ot kni der esU )d(

. 00 2 $

?sessol ruoy �o gniyap dna

sgninniw ruoy gnitcelloc retfa tfel evah uoy lliw yenom hcum woh ,niw snoraB re bboR eht fI .052$ ?tfel evah uoy lliw yenom hcum woh ,rehto eht morf sessol ruoy dna te b eno morf sgninniw ruoy tcelloc uoy retfa neht ,niw sraoB eht fI .sddo wen eht ta snoraB re bboR eht no 05$ te b osla won uoy tub ,te b tsr� ruoy peek uoy taht eso ppuS .sddo wen eht ta ste b wen ekam nac uoy tub ,te b lanigiro ruoy lecnac tonnac uoY .maet gnisol eht no te b uoy fi esol dluow uoy taht tnuoma eht sa emas eht si maet gninniw eht no te b uoy fi niw dluow uoy tnuoma eht dna maet rehtie no te b won nac uoy ,si tahT .1 ot 1 ro ”yenom neve“ ot sraoB eht tsniaga 1 ot 2 morf tfihs sddo tekram ehT .emag eht ssim lliw dna noitanimaxe mretdim scimonoce hguot a gnirud bmuht deniarps a dere�us kcabretrauq noraB re bboR rats eht taht decnuonna si ti ,te b siht edam evah uoy retfa taht eso ppuS . C a htiw hparg eht no nesohc evah uoy tnio p eht le baL .sraoB eht no 05$ te b ot ediced uoy thguoht luferac retfA )c( . E na htiw lla ta te b ton did uoy fi e b dluow uoy erehw hparg siht no tnio p eht le baL )b( niw s raoB eh t fi yenoM 004 003 002

001

0

001 c d

enil eulB

e

002

003 enil deR 004 esol s raoB eh t fi yenoM

)21 .hC(

YT NIATREC N U

271

. 00 4 ,8 42 $

e b lliw htlaew xat-retfa sih sne ppah tahw

rettam on taht esnes eht ni derusni ylluf e b lliw eh ,ecnarusni fo htrow 000,061$ syub naD fI .ynapmoc eht morf 000,001$ eviecer osla lliw eh ,snrub esuoh sih fi tub ,sne ppah tahw rettam on ynapmoc eht ot 000,1$ yap lliw eh ,ecnarusni fo htrow 000,001$ syub eh fi elpmaxe roF .ecnarus -ni fo 001$ re p 1$ fo ecirp a ta ecnarusni yub nac eh taht eso ppuS )c(

.4 0 0, 84 2$

.ecnarusni er� yub

t’nse od eh fi secaf eh yrettol eht fo tnelaviuqe ytniatrec eht etaluclaC )b(

. 89 4$ .ecnarusni er� yub t’nseod eh fi ytilitu detce pxe sih etaluclaC )a( .10. si nwod nrub lliw emoh sih taht ytilibaborp ehT .000,052$ e b lliw htlaew latot sih dna 000,002$ htrow e b lliw ti ,nrub t’nseod emoh sih fI .000,09$ fo htlaew latot a mih gnivig ,000,04$ ylno htrow e b dluow no tliub si ti tol eht dna esuoh sih fo sniamer eht ,nwod snrub esuoh sih fI .ser� tserof fo stol era ereht erehw aera na ni detac ol si taht esuoh a snwo osla eh dna stessa efas ni 000,05$ sah naD .htlaew sih si c erehw ,c fo eulav detce pxe eht ezimixam ot seirt ohw retreva ksir a si egdirtr√ aP naD )0( 21.21

.5 20 ,3 $

.ne ppah ton seod 1 tnevE fi 001$ dna sne p

-pah 1 tnevE fi 000,01$ gniviecer fo tnelaviuqe ytniatrec eht etaluclaC )d(

.2) 2/1 y5. + 2/1x5.(

.ne ppah ton seod 1 tnevE fi y$

dna sne ppah 1 tnevE fi x$ uoy sevig taht yrettol a fo tnelaviuqe ytniatrec eht rof alumrof lareneg a etirw ,5. = π dna noitcnuf ytilitu siht neviG )c( ).stneve hto b ni 009,4$ eviecer uoy neht ,ytniatrec htiw 009,4$ eviecer uoy fI :tniH( ?e b ytilitu ruoy dluow tahw ,009,4$ eviecer ot erus erew uoy fI )b(

. 07

= 55

.01 × 5. + 001 × 5.

.ne ppah ton seod 1 tnevE fi 001$ dna sne ppah 1 tnevE fi

000,01$ uoy sevig taht yrettol a fo ytilitu eht etaluclac ,5. = π fI )a( .ne ppah ton se od 1 tnevE taht ytilibaborp eht si π − 1 dna sne ppah 1 tnevE taht ytilibaborp eht si π erehw , y ) π − 1( + x π = ) π , y ,x( U si ne ppah ton seod 1 tnevE √ fi y dna sne ppah 1 tnevE fi √x tnuoma na uoy evig taht seirettol revo E MA N

371

. 00 1$

?pihs reh ot sthgir eht lles lliw

ehs hcihw ta ecirp muminim eht si tahW .emocni latot si c erehw ,c fo eulav detce pxe eht ezimixam ot stnaw ehs taht hcus ytilitu nretsneg√ roM -nnamueN nov a sah aitroP .orez e b lliw htlaew reh dna emoc reven lliw ti ,yadot ni emoc ton seod ti fI .006,1$ eviecer lliw ehs ,yad ot ni emoc seod ti fI .yadot evirra lliw ti taht ecnahc %52 a si ereht taht dedulcnoc sah dna ni emoc ot pihs reh rof emit gnol a gnitiaw nee b sah aitroP )0( 31.21

.008 ,842

√

si ytilitu detce pxe sih dna , 004,842$

si htlaew

sih fo tnelaviuqe ytniatrec eht ,ecnarusni lluf syub eh fi eroferehT )d( )21 .hC(

YT NIATREC N U

471

. m σx = x σ dradnats eht rof noitauqe eht si tahW

?oiloftro p eht fo noitaived

. fr)x − 1( + mrx = xr

?oiloftro p eht no nruter fo etar detce pxe eht rof noitauqe eht si tahw ,tessa yksir eht ni stsevni hcnyL .sM htlaew fo tnecre p eht si x fI )a( . mσ fo noitaived dradnats a dna mr fo nruter fo etar detce pxe na sah taht )slammam egral ot sretac taht pohs anihc a( tessa yksir a si dnoces eht dna , fr fo nruter fo etar a sre�o taht tessa eerf-ksir a si tsr� ehT :stessa owt fo eciohc a sah hcnyL .sM )3( 1.31 .ecirp tnerruc sti yb dedivid ecirp ni egnahc detce pxe sti si tessa na no nruter fo etar detce pxe eht taht oot re bmemeR .tnemtsujda ksir eht sulp nruter fo etar eerf-ksir eht fo mus eht ot lauqe si tessa yna no nruter fo etar detce pxe eht taht ledoM gnicirP tessA latipaC eht morf tluser eht ylppa ot deksa e b osla lliw uoY ).tsewhtron eht ot eil lliw seldnub rette b eht ,erom ot derreferp si ksir ssel fi dna sixa latnoziroh eht no dettolp si noitaived dradnats eht fi taht re bmemeR( .secnereferp reh nevig nruter detce pxe dna ksir fo eciohc lamitpo s’remusnoc eht dn� ot sisylana enil tegdub–evruc ecnere�idni lausu eht ylppa neht nac uoY .tessa yksir eht ni detsevni htlaew s’remusnoc eht fo tnecre p x sah taht oiloftro p eht fo noitaived dradnats eht yb dedivid snruter owt eht neewte b ecnere�id eht e b lliw enil tegdub eht fo e pols eht oS .ksir emos sbrosba osla ehs tuB .tessa efas eht no nruter fo etar eht dna tessa yksir eht rof nruter fo etar detce pxe eht neewte b ecnere�id eht tnuoma taht no sniag ehs ,tessa yksir eht otni htlaew reh fo tnecre p x stup remusnoc eht sa woN .)noitaived dradnats orez( ksir on dna nruter fo etar efas eht fo noitanibmoc eht e b lliw tniartsnoc tegdub siht no tnio p eno ,tessa efas eht ni htlaew reh fo lla tup syawla nac remusnoc a ecniS .tniartsnoc tegdub a secaf ohw dna oiloftro p reh fo ksir eht dna nruter detce pxe eht revo secnereferp sah ohw remusnoc a fo melborp eht ta kool lliw uoy semitemoS .tessa yksir eht ni dleh htlaew s’remusnoc eht fo noitcarf eht semit tessa yksir eht no nruter eht fo noitaived dradnats eht tsuj si nruter oiloftro p eht fo noitaived dradnats ehT .hcae ni dleh htlaew s’remusnoc eht fo snoitcarf eht era sthgiew eht erehw ,tessa yksir eht no nruter fo etar detce pxe eht dna tessa efas eht no nruter fo etar eht fo egareva dethgiew a tsuj si oiloftro p a no nruter fo etar detce pxe ehT .tessa efas a dna tessa yksir a neewte b yllamitpo htlaew rieht edivid ot hsiw ohw sremusnoc fo smelborp eht evlos lliw uoy ereH .noitcudortn I

stessA yksiR 31 retpahC

E MA N

.%5 = aσ dna %71= ar htiw A tessA

.r et t eB

.%52 = bσ dna %03= br htiw B tessA

. e sr oW

.stessa eht fo hcae retfa ”emas“ ro ”,esrow“ ”,rette b“ drow eht etirW ?seso ohc ehs tessa yksir revehcihw ni htlaew reh fo noitcarf a tsevni nac ehs taht dna emit a ta tessa yksir eno ni tsevni ylno nac ehs gnimussa ,tessa yksir tneserp reh ot referp hcnyL .sM dluow stessa yksir gniwollof eht fo hcihW )e( noi taived d radna tS 04 03 02

01

0

0=U 01 5=U 02 enil tegduB

03 01=U 04 n ru te r de tcepxE

eht ni enil tegdub siht tolP

.01 + xσ = xr

.wole b hparg ?secaf hcnyL .sM ”enil

tegdub“ eht rof alumrof eht si tahw ,%01 si mσ dna ,%02 si mr ,%01 si fr fI .etar eerf-ksir eht ta dnel ro worro b nac hcnyL .sM taht eso ppuS )d(

.03 = 01 × 1 − 02 × 2 = xr teg

ot 2 = x htiw fr)x − 1( + mrx = xr alumrof eht

yl pp A

).tessa yksir eht ni htlaew reh fo %002 gnitsevni ekil tsuj si

sihT :tniH( ?tessa yksir eht ni ti stsevni dna htlaew laitini reh fo %001 ot lauqe tnuoma na sworro b ehs fi nruter detce pxe s’hcnyL .sM e b lliw tahw ,01 = mσ dna ,01 = fr ,02 = mr fI .tessa yksir eht ni ti tsevni dna fr etar tseretni eht ta yenom worro b nac hcnyL .sM taht eso ppuS )c(

. fr + xσ f mσm = xr .sseniksir s’oiloftrop eht fo smret ni oiloftrop r− r eht no nruter fo etar eht rof noisserpxe na evired ,noitauqe tsr� eht otni tluser eht gnitutitsbus dna x rof evo ba noitauqe dnoces eht gnivlos yB )b( )31 .hC(

STESSA YKSIR

671

ehT

noi taived d radna tS 02 51 01

5

0

sev ruc ecne reffidnI 01

eciohc lami tp O

02

enil tegduB

03

04 n ru te r de tcepxE

.wole b hparg eht no ”enil tegdub“ siht tolP )d(

.01 + xσ2 = xr si enil tegdub .stpecca eh noitaived dradnats eht fo noitcnuf a sa htlaew

s’htimS .rM no nruter detce pxe eht rof snoitauqe owt evo ba eht evloS )c(

.x01 = xσ

?htlaew sih fo noitaived dradnats eht e b lliw

tahw ,tessa yksir eht ni htlaew sih fo tnecre p x stsevni htimS .rM fI )b(

.)x − 1(01 + x03 = xr

?nruter detce pxe sih e b lliw

tahw ,tessa yksir eht ni htlaew sih fo tnecre p x stsevni htimS .rM fI )a( .%0 fo noitaived dradnats a dna %01 fo nruter detce pxe na sah taht tessa efas a dna ,%01 fo noitaived dradnats a dna %03 fo nruter detce pxe na sah taht tessa yksir a ,stessa owt neewte b oiloftro p sih gnidivid gnitalpmetnoc si htimS renneF )3( 2.31

.tessa yksir eht ni gn ih ty n a t s ev ni to n ll iw eh S

.). . . ,1 ,0 = ) xσ , xr(u

ylpmi taht xσ dna xr fo snoitanibmoc eht hparg ,.g.e ;gnirewsna erof -e b sevruc ecnere�idni s’hcnyL .sM fo wef a hparg ot tnaw thgim uoY( ?tessa yksir lanigiro eht ni tsevni ehs lliw oiloftro p reh fo hcum woH . xσ2− xr = ) xσ , xr(u mrof eht sah noitcnuf ytilitu s’hcnyL .sM eso ppuS ) f(

. r et te B

.%41 = dσ dna %52= dr htiw D tessA

.e ma S

.%1 = cσ dna %11= cr htiw C tessA E MA N

771

.%01 dradnats eht si tahW

.% 01

?esac siht ni nruter fo etar sih fo noitaived ?erutsap dnoces sih rof erutsap siht syub

eh fi tnemtsevni latot sih no nruter fo etar detce pxe s’ahplA flA si tahW .ekil si rehtaew eht tahw rettam on raey re p 005$ fo nruter detce pxe na sdleiy erutsap sihT .sdoo� reven taht dnal wol no detacol si enO )a( .yub nac eh taht serutsap elbisso p owt era erehT .erutsap dnoces a ni tsevni ot stnaw eh taht 000,5$ rehtona sah flA remraF .egareva naht t�orp ssel 001$ rehtona snaem egareva wole b niar fo hcni yreve dna t�orp ni 001$ artxe na snaem egareva evo ba niar fo hcni yrevE .001$ fo noitaived dradnats a htiw 005$ si erutsap siht morf nruter detce pxe ehT .000,5$ si erutsap siht fo eulav tekram ehT .roo p si dleiy eht sraey yrd ni ;doog si dleiy eht sraey yniar nI .si ereht niar hcum woh no gnidne ped elbairav modnar a si erutsap siht morf mih ot nruter ehT .llih ydnas a no detac ol erutsap a sah ahplA flA remraF )2( 4.31

0p

1p E

001

0 11

0 01

521

002

0 42

04

84

08

88

0 3/2 2 5.1

0 iβ

01

22

51

02

03

02 52 01 ir

02 02 mr

01 0 01 01 01 fr

.doire p txen eht ni i tessa fo ecirp detce pxe eht si 1p E dna i tessa fo ecirp tnerruc eht si 0p elbat siht nI .elbat gniwollof eht etelp -moc ,dilav si led oM gnicirP tessA latipaC eht taht gnimussA )2( 3.31

.5. = x si rewsna e hT

.)x − 1(01 + x03 = xr = 02 sevlos taht

x na dnif ew ,)a( traP ot rewsna eht gnisU

?tessa yksir eht ni tsevni htimS .rM dluohs htlaew sih fo noitcarf tahW )g( .hparg eht ni ti hguorht evruc ecnere�idni na dna eciohc lamitpo s’htimS .rM tolP ) f( ).tniartsnoc tegdub eht si snoitauqe eht fo enO .snwonknu owt ni snoitauqe owt evlos ot deen lliw uoY :tniH( .5 si xσ

fo eulav lamitpo sih dna ,

02

si xr fo eulav lamitpo s’htimS .rM

neht ,} xσ2 − 03 , xr{nim = ) xσ , xr(u si noitcnuf ytilitu s’htimS .rM fI )e( )31 .hC(

STESSA YKSIR

871

.ksir rewol dna nruter detcepxe emas eht sah ti ecnis er ut sa p dn o ce s e ht e so o hc d lu oh s e H

?yhw dna

yub eh dluohs serutsap owt eseht fo hcihw ,retreva ksir a si flA fI )c(

.%0

?esac siht ni tnemtsevni latot sih no nruter fo etar

eht fo noitaived dradnats eht si tahW

.%01

?tnemtsevni latot sih no

nruter fo etar detce pxe sih si tahw ,llih ydnas eht no erutsap lanigiro sih speek dna erutsap siht syub flA fI .egareva naht t�orp ssel 001$ rehtona snaem egareva evo ba niar fo hcni yreve dna t�orp ni 001$ artxe na snaem egareva woleb niar fo hcni yrevE .001$ si noitaived dradnats eht dna 005$ si erutsap siht morf nruter detce pxe ehT .000,5$ stsoc osla erutsap sihT .sdoo� ti sraey tew ni tub sraey yrd ni sdleiy d oog yrev sevig sihT .revir eht fo egde yrev eht no detacol si yub dluoc eh taht erutsap rehtonA )b( E MA N

971

)31 .hC(

STESSA YKSIR

081

etaluclac nac eW .05 dna 001 fo sthgieh dna 5 fo esab a htiw dioze part a si evruc dnamed eht rednu aera ehT .5 = q nehw 05 fo thgieh a dna 0 = q nehw 001 fo thgieh a sah evruc dnamed esrevni ehT :rewsnA ?orez ot d oog eht fo noitpmusnoc sih gnicuder rof mih etasne pmoc ot mih yap ot evah uoy dluow yenom hcum woH .doog eht fo stinu 5 sah yltnerruc remusnoc eht taht dna q01 − 001 = ) q( P yb nevig si evruc dnamed esrevni eht taht eso ppuS :e lpmaxE snoitairav tnelaviuqe dna gnitasne pmoc gnitaluclaC •

sulprus s’remusnoc ni egnahc eht dna sulprus s’remusnoc gnitaluclaC •

:ecitcarp lliw uoy retpahc siht nI .raenilisauq era secnereferp fi emas eht e b lliw snoitairav tnelaviuqe dna gnitasne pmoc eht dna sulprus s’remusnoc ni egnahc eht ,lareneg ni tnere�id hguohtlA .secirp wen eht gnicaf ,e b dluow ehs sa �o llew sa reh ekam ot secirp dlo eht ta remusnoc eht morf yawa ekat ot yrassecen e b dluow ti taht yenom fo tnuoma eht si noitairav tnelaviuqe eht ;secirp dlo eht gnicaf saw ehs sa �o llew sa e b ot secirp wen eht ta deen dluow remusnoc eht taht emocni artxe fo tnuoma eht si noitairav gnitasne pmoc eht taht llaceR .noitairav tnelaviuqe eht dna noitairav gnitasne pmoc eht fo saedi eht esu nac ew ,serusaem tcaxe erom tnaw ew fi ,revewoH .noitamixorppa doog a e b netfo lliw ti tub ,ytilitu fo erusaem tcaxe na e b ton lliw sulprus s’remusnoc ,mrof tnere�id a sah noitcnuf ytilitu eht fI .ytilitu ni egnahc a fo erusaem yratenom a si sulprus s’remusnoc ni egnahc eht dna ,ytilitu fo erusaem tcaxe na sa sevres sulprus s’remusnoc ,esac siht ni suhT .m + )x(u serusaem doog rehto eht no erutidne pxe eht sunim evruc dnamed eht rednu aera eht dna ,)x(u serusaem evruc dnamed eht rednu aera eht ,m + )x(u ,mrof raenilisauq eht sekat noitcnuf ytilitu eht nehW .sulprus s’remusnoc )ten( eht etaluclac ot redro ni erutidne pxe siht tcartbus tsum ew neht ,doog eht esahcrup ot redro ni tnuoma emos yap ot sah remusnoc eht fI .doog eht fo noitpmusnoc eht fo t�ene b latot ro sulprus s’remusnoc ssorg dellac si aera sihT .tnuoma taht ot pu evruc dnamed eht rednu aera eht tsuj si doog eht fo tnuoma emos emusnoc ot yap ot ssengnilliw latot eht ,smret cirtemoeg nI .doog eht fo noitpmusnoc eht rof yap ot ssengnilliw latot eht su sevig tinu hcae rof yap-ot-sessengnilliw eht fo mus eht eroferehT .tinu lanigram eht rof yap ot ssengnilliw eht—desahcrup d oog eht fo tinu tsal eht rof yap ot gnilliw si remusnoc eht hcum woh serusaem evruc dnamed eht fo thgieh ehT :swollof sa si cigol cisab ehT .ti rof evruc dnamed s’remusnoc eht nevig doog a fo noitaulav s’remus -noc a erusaem ot syaw yduts lliw uoy retpahc siht nI .noitcudortn I

sulpruS s’remusnoC E MA N

41 retpahC

5 H

51 G

81 F

01 E

53 03 D C

52 B

04 = A =

ecirP nosreP

:1 retpahC morf nekat stnemtrapa rof secirp noitavreser fo elbat eht si ereH )0( 2.41

.0 52 ,1 ?noitpmusnoc daem morf sulprus s’remusnoc ten sih si tahW )d(

. 00 5, 2

?daem no dne ps eh seod yenom hcum woH )c(

. 05 7, 3

?noit

-pmusnoc siht morf teg eh se od sulprus s’remusnoc ssorg hcum woH )b(

.0 5

?emusnoc eh lliw daem

fo sdraknat ynam woh ,draknat re p sgnillihs 05 si daem fo ecirp eht fI )a( .sgnillihs ni daem fo ecirp eht si p erehw ,p − 001 = )p( D yb nevig si daem fo sdraknat rof noitcnuf dnamed sih dna ,daem semusnoc sulP riS )0( 1.41 .5 = 5 − 01 si noitairav tnelaviuqe eht eroferehT .5 fo ytilitu a teg ot 5 fo emocni na deen dluow ehs ,egnahc ecirp eht erofeB .01 = 01 − 02 si noitairav gnitasne pmoc eht erofereht ;01 fo ytilitu a teg ot 02$ deen dluow ehs egnahc ecirp eht retfA .5 fo ytilitu a teg dna )5 ,0( eldnub eht emusnoc lliw ehs ,egnahc secirp eht retfA .01 fo ytilitu a teg dna )0 ,01( eldnub eht emusnoc yllaitini lliw remusnoc eht ,setutitsbus tcefre p era sdoog owt eht ecniS :rewsnA .snoitairav tnelaviuqe dna gnitasne pmoc eht etaluclac ,)2 ,4( ot egnahc secirp eht fI .01 emocni sah dna )2 ,1( secirp secaf remusnoc eht yllaitinI . 2x + 1x = ) 2x , 1x(u noitcnuf ytilitu a sah remusnoc a taht eso ppuS :e lpmaxE .521$ erofereht si sulprus ten ni enilced ehT .ssel 052$ = 05 × 5 dne ps ot sah eh ,dnah rehto eht nO .573$ yb enilced st�ene b ssorg sih taht evo ba was ew ,esac siht nI ?mih etasne pmoc ot yrassecen e b dluow yenom hcum woh ,orez ot sesahcrup sih ecuder ot mih eriuqer uoy fI .tinu re p 05$ fo ecirp a ta stinu 5 eht gnisahcrup si remusnoc eht taht won eso ppuS :e lpmaxE .573$ = )05 + 001( 12 × 5 = A evah ew esac siht nI 2 .) 2thgieh + 1thgieh( × 1

esab

=

dioze part a fo aerA

alumrof eht gniylppa yb dioze part siht fo aera eht )41 .hC(

S ULPR US S ’RE M US N OC

281

. 05 2, 5$

?05$ si sgulprae fo ecirp

eht fi sgniht rehto no dne ps ot yenom dna sgulprae rof ytilitu latot sih si tahW .htnom a dne ps ot latot ni 000,4$ sah odomisauQ taht eso ppuS )e(

. 02 ?emusnoc eh lliw sgulprae ynam woh ,08$ si sgulprae fo ecirp eht fI )d(

. 05 ?emusnoc eh lliw sgulprae ynam woh ,05$ si sgulprae fo ecirp eht fI )c(

.x − 001 = p . ra e ni li sa u Q

?sgulprae rof evruc dnamed esrevni sih si tahW )b(

?evah odomisauQ seod noitcnuf ytilitu fo dnik tahW )a( .y +

2 − x001 = ) y ,x(u x

2

yb nevig si y sdoog rehto no dne ps ot yenom dna x sgulprae rof noitcnuf ytilitu siH .sgniht rehto dna sgulprae semusnoc od omisauQ )0( 3.41

su luc laC

.4 ?esaercni sulprus ten eht seod hcum woh ,91$ ot senilced tner eht fI ) f(

.0 ?esaercni sulprus ssorg eht seod hcum woh ,91$ ot senilced tner eht fI )e(

.0 3 1

?tekram eht ni sulprus

’sremusnoc ssorg latot eht si tahw ,02$ si tner muirbiliuqe eht fI )d(

.05

?tekram eht ni detareneg

sulprus ’sremusnoc ten latot eht si tahw ,02$ si tner muirbiliuqe eht fI )c(

.5

?B nosre p roF

. 02

?A nosre p rof tekram siht ni detareneg sulprus )ten( s’remusnoc eht si tahw ,02$ e b ot tuo snrut tnemtrapa na rof tner muirbiliuqe eht fI )b(

.D , C, B, A

?stnemtrapa teg lliw sremusnoc

hcihw ,02$ e b ot tuo snrut tnemtrapa na rof tner muirbiliuqe eht fI )a( E MA N

381

. 04

?secirp wen eseht gnisu B ot tnere�idni si taht eldnub a esahcrup

ot deen dluow haraS taht yenom fo tnuoma muminim eht si tahW )d(

. 03

?A eldnub ot tnere�idni si taht eldnub a esahcrup

ot redro ni deen ehs se od yenom hcum woH .1 si sd oog rehto rof ecirp ecnerefer eht dna 2 si sre bmucuc rof ecirp ecnerefer eht taht eso ppuS )c(

.0 3

? B ot tnere�idni si taht eldnub a esahcrup ot redro

ni deen dluow haraS taht yenom fo tnuoma muminim eht si tahW )b(

.0 2

?A ot tnere�idni si taht eldnub a esahcrup ot redro

ni deen dluow haraS taht yenom fo tnuoma muminim eht si tahW )a(

srebmucuC 04 03

02

01

0

01

B

02 03 A

04

sdoog rehtO

.1 hto b era ”sdoog rehto“ fo ecirp ecnerefer eht dna sre bmucuc fo ecirp ecnerefer eht taht eso ppuS .sdoog rehto dna sre bmucuc neewte b sevruc ecnere�idni s’pmaG haraS fo noitatneserper a ees uoy ,wole b hparg eht nI )2( 4.41

. 05 0, 1

?08$ ot 05$ morf

segnahc ecirp eht nehw sulprus s’remusnoc )ten( ni egnahc eht si tahW )h( ot 05$ morf segnahc ecirp eht nehw

0 50 ,1

.08$ yb sesaerced ytilitU )g(

. 0 02 ,4 $

?08$ si sgulprae

fo ecirp eht fi sgniht rehto dna sgulprae rof ytilitu latot sih si tahW ) f( )41 .hC(

S ULPR US S ’RE M US N OC

481

. 9$

?enil tegdub )der( siht evah ot secirp

lanigiro eht ta deen ecinreB dluow emocni hcum woH .secirp lanigiro eht ta eldnub siht hguorht sessap taht enil tegdub eht kni der htiw warD ?evruc ecnere�idni wen eht hcaer ot emocni hguone tsuj dah

.)3 ,3(

dna secirp lanigiro eht decaf ehs fi esoohc ecinreB dluow eldnub tahW )c( .sgniht rehto no dne ps ot srallod dna sgnirrae fo sriap

3

3

si eldnub lamitpo wen reH .evo ba

hparg eht no tniartsnoc tegdub wen reh ward ,kni eulb gnisU .emas eht syats emocni s’ecinreB dna 3$ ot sesir sgnirrae fo riap a fo ecirp ehT )b(

sgni r rae fo s riaP 61 21

8

4

enil deR

0

4

8

senil eulB senil licneP

21

enil kcalB

61 sgnih t reh to rof s ralloD .sgniht rehto no dne ps ot srallod sriap

4

4

dna sgnirrae fo

si eldnub lamitpo reH .tniartsnoc tegdub reh dna sevruc

ecnere�idni s’ecinreB fo emos wole b hparg eht no licne p ni warD )a( .21 si emocni reh dna )1 ,2( = ) yp , xp( secirp secaf ehS .sgniht rehto no dne ps ot srallod si y dna sgnirrae fo sriap si x erehw ,} y ,x{nim = ) y ,x(u yb detneserper e b nac secnereferp s’ecinreB )2( 5.41

. re wo l

. B ot tnere�idni eldnub a esahcrup ot sdeen ehs tnuoma

eht naht )rewol ,rehgih( e b tsum A ot tnere�idni eldnub a esahcrup ot sdeen ehs yenom fo tnuoma eht ,secaf haraS secirp tahw rettam oN )e( E MA N

581

. 46 .0 1$ ?erofe b sa �o-llew sa tsuj e b ot segasuas no dne ps ot evah ot deen eh dluow yenom hcum woh ,semag oediv s’hcirlU fo lla yawa ko ot ew fI )d(

lamiced owt ot �o dnuoR( .segasuas fo htrow ’srallod

.4 6. 01 52 . 9

).secalp si eldnub siht morf ytilitu siH

dna semag oediv

3

sdnam

-ed hcirlU nehT .01$ si emocni s’hcirlU dna 52.$ tsoc semag oediV )c(

.p + 1 − m = y

no dne ps ot srallod eht rof noitcnuf dnamed siH

si segasuas

.1 − xp/1 = x

si hcihw ,semag oediv rof noitcnuf dnamed sih teg ot enola noitauqe siht evlos nac uoy ,secnereferp raenilisauq sah hcirlU ecniS )b(

. xp = )1 + x(/1

)?6 retpahC

morf elbbirF dlanoD re bmemeR :tniH ( .oitar ecirp eht slauqe noitut -itsbus fo etar lanigram s’hcirlU taht syas taht noisserpxe na etirW )a( .emocni sih e b m dna emag oediv a fo ecirp eht e b xp teL .segasuas no sdne ps eh taht srallod fo re bmun eht si y dna syalp eh semag oediv fo re bmun eht si x erehw y + )1 + x(nl = ) y ,x(u yb detneserper e b nac secnereferp sih ,tcaf nI .segasuas dna semag oediv sekil hcirlU )0( 6.41

.g ni t as ne pm o C ,gnitasne pmoc( eht si sihT

.4 $

su luc laC

.emocni ni noitairav )tnelaviuqe

yb esir ot evah dluow emocni lanigiro

s’ecinreB ,eldnub lanigiro reh htiw saw ehs sa �o-llew sa e b ot redro nI ) f(

. 61 $ ?tegdub siht htiw evah ecinreB dluow emocni hcum woH .secirp wen eht ta eldnub siht hguorht sessap taht enil tegdub eht kni kcalb htiw warD ?evruc ecnere�idni lanigiro reh hcaer ot emocni hguone tsuj

.)4 ,4(

dah dna secirp wen eht decaf ehs fi esoohc ecinreB dluow eldnub tahW )e(

. tn el av i uq E ni noitairav )tnelaviuqe ,gnitasne pmoc( eht si sihT

. 3$

.emocni

si esaercni

ecirp eht diova ot yap dluow ecinreB taht tnuoma mumixam ehT )d( )41 .hC(

S ULPR US S ’RE M US N OC

681

.)3 ,0( dluow eldnub tahW

?1$ ot esor deef woc fo ecirp eht fi yub ehs

.)4/11 ,2/1(

?yub ehs seod eldnub tahW .05.$

si deef fo ecirp eht taht dna 3$ si emocni yliad s’atiloL taht eso ppuS )d(

.2/ 2)p −1( + m = u

.emocni siht dna ecirp siht ta syojne ehs taht

level ytilitu eht tuo dn� ot noitcnuf ytilitu reh otni sre bmun eseht gulP )c(

.)p − 1(p − m

).yah yub ot

desu si deef no dne ps t’nseod ehs taht yenom ehT :tniH( ?esoohc atiloL seod yah hcum woh ,m si emocni reh dna p si deef woc fo ecirp eht fI )b(

.x − 1 = p

).)x( � f = p gnittes ylpmis yb dnuof si y + )x( f

ytilitu raenilisauq htiw enoemos rof noitcnuf dnamed esrevni eht ,p si x fo ecirp eht dna eriaremun eht si y nehW .raenilisauq si noitcnuf ytilitu s’atiloL :tniH( .deef woc rof noitcnuf dnamed esrevni s’atiloL etirW )a( .1 ≤ p < 0 erehw ,p yb detoned e b lliw deef woc fo ecirp eht dna ,1$ syawla si yah fo ecirp ehT .yah dna deef woc no sehsiw ehs sa dne ps ot dewolla si ehs taht m$ fo emocni na sah atiloL .tniartsnoc tegdub reh ot tcej bus ytilitu reh sezimixam syawla dna noitazimitpo dna stegdub fo seiretsym eht ni detcurtsni nee b sah atiloL .yah fo noitpmusnoc reh si y dna deef woc fo noitpmusnoc reh si x erehw , y + 2/ 2x − x = ) y ,x( U noitcnuf ytilitu eht yb detneserper era secnereferp reH .yah dna )stao dna nroc dnuorg fo edam( deef woc ,sdoog owt ylno semusnoc ,woc nietsloH gnimrahc dna tnegilletni na ,atiloL )1( 7.41

.52.$

su luc laC

?xat eht fo snaem

yb hcirlU morf tcelloc tnemnrevog eht did yenom hcum woH

54.−

?xat eht ot eud sulprus remusnoc s’hcirlU ni egnahc eht si tahW )g(

. 91 . 01 $

?ecalp ni saw xat eht retfa desahcrup eh eldnub eht

htiw sa �o-llew sa tsuj e b ot segasuas no dne ps ot evah ot evah eh dluow yenom hcum woh ,semag oediv s’hcirlU fo lla yawa ko ot ew fi woN ) f( ).secalp lamiced owt ot �o dnuoR( siht morf ytilitu siH .segasuas fo htrow ’srallod

1

. 9 1. 01

5.9

si eldnub

dna emag oediv

sdnamed hcirlU ,ecalp ni xat eht htiW .sremusnoc ot lluf ni no

dessap si dna semag oediv no tup si 52.$ fo xat tnemesuma na woN )e( E MA N

781

.slle b eht gnir t’ndid ehs fi naht �o esrow si dna sretsilb lufniap spoleved ehs ,01 > x fI .01 ≤ x rof x3 + m = )x ,m(u si ytilitu reh ,gnignir lle b fo sruoh si x dna ,sd oog rehto no erutidne pxe si m erehW .yad a sruoh 01 ot pu rof slle b hcruhc eht gnir ot sevol otoM .Q .sM )2( 01.41

.009 = )03 × 06( 21

woh ,ecirp siht tA .sriahc

03

?sulprus s’recudorp sih si hcum

ecudorp lliw lraK ,001$ si sriahc fo

ecirp eht fI .gnihton ecud orp lliw eh ,04 wole b secirp tA .04 > p ,ecirp yreve ta sriahc 02 − 2/p ecud orp ot gnilliw si tsilatipaK lraK )1( 9.41

ni e g na hc eh T

.63$− si sulprus s’remusnoc

.46 = )8 × 61( 12 fo sulprus

s ’r e mu snoc t e n ro f ,s re g ru b 8 s dn a me d eh ,4 1$ t A

.0 01 $ si su lp ru s s ’r em us n oc ,0 1$

e ci rp tA

?sulprus s’remusnoc ni egnahc s’enotstnilF .rM si

tahW .regrub a 41$ ot regrub a 01$ morf ecirp eht esiar ot sediced ,sregruB suruasotnorB fo reilppus ylno eht ,kc ordeB fo nwot ehT )b(

. 00 1 $ )ten( fo level sih si tahW

.0 02 $

?sulprus s’remusnoc

?lla ta sregrub on naht rehtar

tnuoma siht evah ot yap ot gnilliw e b eh dluow yenom hcum woH )a( .srallod 01 fo ecirp a ta sregrub 01 gnimusnoc yltnerruc si enotstnilF .rM .b2 − 03 = )b( P si sregruB suruasotnorB rof noitcnuf dnamed esrevni sih dna secnereferp raenilisauq sah enotstnilF .F )2( 8.41

.8/1

?gnitteg atiloL si

sulprus s’remusnoc )ten( hcum woh ,3$ emocni dna 05.$ ecirp eht tA )g(

.e ma S

?emas eht yeht era ro

,noitairav tnelaviuqe eht ro gnitasne pmoc eht ,reggib si hcihW .noitairav eht sa nwonk si tnuoma sihT .8/1 ?secirp dlo

gn it as n ep mo c

eht ta saw ehs sa �o-llew sa reh ekam ot atiloL yap ot evah uoy dluow yenom artxe hcum woH .1$ ot esor deef woc fo ecirp eht taht eso ppuS ) f( .noitairav eht sa nwonk si tnuoma sihT

.8/1

t ne l av iu qe

?1$ ot esir deef woc fo ecirp

eht gnivah diova ot yap ot gnilliw e b atiloL dluow yenom hcum woH )e( )41 .hC(

S ULPR US S ’RE M US N OC

881

. 0 3$

?emocni hcum woh fo ssol a sa dab sa si ,eerf rof slle b eht gnir

dluoc ehs hcihw ni noitautis eht ot derapmoc sa ,xat sihT

0

.s ru oh

?won od ehs seod gnignir hcum woH .ruoh na 4$ ot gnignir lle b

fo ecirp eht sesiar notxes ehT .nialpmoc ot eunitnoc sregalliv ehT )c(

.0 2$ dab sa si seitivitca reh no xat sihT

?emocni hcum woh fo ssol a sa

.s r uo h 01

?won od ehs seod

gnignir hcum woH .egelivirp eht rof ruoh re p 2$ syap ehs sa gnol os sekil ehs sa hcum sa slle b eht gnir reh tel ot sre�o dna stneler notxes ehT )b( fo srallod

5 1$

.emocni gnisol sa dab sa tsuj sa ti sdrager ehs tcaf nI .otoM

.sM rof swen dab si sihT .yad re p gnignir lle b fo sruoh 5 ot otoM .sM tcirtser ot dediced sah notxes eht ,sregalliv eht morf stnialpmoc ot euD )a( .sruoh 01 rof lle b eht gnir ot reh swolla notxes eht dna 001$ ot lauqe si emocni reH E MA N

981

)41 .hC(

S ULPR US S ’RE M US N OC

091

.)3 + p(/p2−

. 2−)3 + p( = )p( D )e(

.p − 06 = )p( D )a(

.)p − 06(/p−

.pb − a = )p( D )b(

.)pb − a(/pb−

. 2−p04 = )p( D )c(

.2−

. b−pA = )p( D )d(

. b−

.)p6 − 03(/p6− si dnamed fo yticitsale ecirp eht os ,)p6 − 03(/p = q/p dna 6− = pd/)p( Dd nehT .p6 − 03 = )p( D ,evruc dnamed raenil eht redisnoc ,elpmaxe na sA .p ,ecirp eht fo noitcnuf a e b yllacipyt lliw rewsna ehT .dnamed fo yticitsale ecirp eht rof noisserp -xe na dn� ,noitcnuf dnamed hcae roF .seiticitsale ecirp no sllird emos era ereH ).seiticitsale gnitaluclaC( .esicrexE pU mraW 0.51 . q/p yb ti ylpitlum dna pd/)p( Dd etaluclac ot deen ylno uoy ,p si ecirp eht nehw dnamed fo yticitsale ecirp eht etaluclac ot tnaw uoy dna ,)p( D si noitcnuf dnamed eht fI .suluclac elttil a wonk uoy fi ysae yllaice pse era smelborp esehT .dnamed fo seiticitsale emoc -ni ro/dna ecirp etaluclac ot uoy ksa smelborp eht fo emos ,yllaniF .srallod ni derusaem si doog rehto eht fo ytitnauq eht dna emocni si m erehw ,) ∗p − m ,1(u = )m ,0(u se�sitas ∗p ecirp noitavreser eht ,yllacitamehtaM .lla ta doog eht gni -vah ton dna ecirp taht ta d oog eht gnivah neewte b tnere�idni remusnoc eht sekam taht ecirp eht si ecirp noitavreser eht taht llaceR .doog a rof ecirp noitavreser s’remusnoc a dn� ot deen lliw uoy semitemoS .orez semoce b dnamed laudividni emos taht hguone hgih si ecirp tekram eht revenehw ti ni knik a evah lliw evruc dnamed tekram ehT .dnamed tekram eht teg ot yllatnoziroh sdnamed laudividni eht mus uoy ,yllacihparG .seititnauq dda ot si dnamed tekram eht ot sdnamed laudividni morf gniog ni re bmemer ot gniht yek ehT .ecirp taht ta sdnamed laudividni eht fo mus eht ylpmis si ecirp nevig yna ta dnamed tekram ehT .sevruc dnamed laudividni morf evruc dnamed tekram eht tcurtsnoc ot uoy ksa lliw retpahc siht ni smelborp emoS .noitcudortn I

dname D tekra M 51 retpahC

E MA N

.o re z t a s ni am eR

?stnec 01 yb sesir ecirp nehw llaf dnamed

ylkeew seod hcum woh ,nollag re p 01$ si enilosag fo ecirp eht nehW )h(

.s n ol la g 51

?stnec 01 yb sesir ecirp nehw llaf dnamed

ylkeew seod hcum woh ,nollag re p 05.4$ si enilosag fo ecirp eht nehW )g(

.s n ol la g 56

?stnec 01 yb sesir ecirp nehw llaf dnamed

ylkeew seod hcum woh ,nollag re p 1$ si enilosag fo ecirp eht nehW ) f(

.5 = p dna 4 = p tA

?sknik evah evruc dnamed tekram eht seod secirp tahw tA )e(

.nwot elohw eht rof evruc dnamed tekram eht ward ot kni der esU .srenwo egdoD yb dnamed latot gnitneserper evruc dnamed eht ward ot kni kcalb esU .srenwo kciuB yb dnamed latot eht gnitnes -erper evruc dnamed eht ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO )d(

.0 08

?3 fo ecirp a ta

pmuP saG ni sremusnoc lla yb dednamed tnuoma latot eht si tahW )c(

.0 03 . 00 5

?srenwo egd oD lla yb dednamed tnuoma latot eht si tahW

?srenwo kciuB lla yb dednamed tnuoma latot eht si tahW )b(

.6 ?renwo egdoD laudividni hcae yb dnA

.5

?renwO kciuB laudiv

-idni hcae yb dednamed tnuoma latot eht si tahw ,3$ si ecirp eht fI )a( .srenwo egdoD 05 dna ,srenwo kciuB 001 ,sremus -noc 051 sah pmuP saG taht eso ppuS ).srallod ni derusaem si ecirp dna keew re p snollag ni derusaem era seititnauQ( .5 > p rof 0 = )p( DD dna 5 ≤ p rof p3 − 51 = )p( DD noitcnuf dnamed a sah renwo egdoD yrevE .4 > p fi 0 = )p( BD dna 4 ≤ p rof p5 − 02 = )p( BD enilosag rof noit -cnuf dnamed a sah renwo kciuB yrevE .srenwo egdoD dna srenwo kciuB ,sremusnoc fo sdnik owt era ereht ,atokaD htuoS ,pmuP saG nI )0( 1.51

.)a + p(/pb− )51 .hC(

. b−)a + p( = )p( D ) f( D NA ME D TEKRA M

291

.)p4 − 09(/p4−

yticitsale ecirp eht si tahW

.)p − 002(/p−

?dnamed ’srenwo te p fo ?srehsilo p god cirtcele

rof dnamed ’sredeerb god fo yticitsale ecirp eht si tahw ,p ecirp tA )a( .}0 ,p4 − 09{xam = oq si srehsilo p god cirtcele rof srenwo te p fo noitcnuf dnamed eht dna ,}0 ,p − 002{xam = bq si srehsilo p god cirtcele rof sredeerb god fo noitcnuf dnamed ehT )0( 3.51

. q/02

= ) q(p �

.p nl 2 − 02 nl = )p( D nl )d(

.4/) q nl − 01( = ) q(p

.p4 − 01 = )p( D nl )c(

. 2 q/000 ,01 = ) q(p .01 < q fi 2/ q − 5 = ) q(p

.p /001 = )p( D )b( √

.}0 ,p2 − 01{xam = )p( D )a(

.evruc dnamed esrevni eht etupmoc ,sevruc dnamed gniwollof eht fo hcae roF )0( 2.51 keew rep snollaG 0003

0052

0002

0051

0001

005

0

enil kcalB 1

enil deR

2 enil eulB 3

4

5

6 nollag rep s ralloD

E MA N

391

. yl n o s re de er B

?hto b ot ro ,ylno srenwo te p

ot ,ylno sredeerb ot dlos e b srehsilo p god cirtcele lliw ,eunever ezimixam ot si srelles eht fo laog eht fI .001$ ?dezimixam e b srehsilo p god cirtcele fo elas eht morf eunever eht lliw ecirp tahw tA

. 00 1$

?1−

ot lauqe yticitsale ecirp eht si evruc dnamed tekram eht no erehW )e(

.p − 002

?knik eht evo ba secirp rof noitcnuf dnamed tekram eht si tahW

− 092

.p5

?knik eht wole b secirp rof noitcnuf dnamed tekram eht si tahW

.0 5. 2 2$

.evruc dnamed eht ni knik a si ereht hcihw ta dna srehsilo p

god rof dnamed latot evitiso p si ereht hcihw ta ecirp oreznon a dniF )d(

.licne p ni evruc dnamed tekram eht dna ,kni der ni evruc dnamed ’srenwo te p eht ,kni eulb ni evruc dnamed ’sredeerb god eht ward ,wole b hparg eht nO )c(

.5 2. 1 1$ .0 01 $

?1− ot lauqe yticitsale ’srenwo te p eht si ecirp tahw tA

?1− ot lauqe yticitsale ’sredeerb god eht si ecirp tahw tA )b( )51 .hC(

D NA ME D TEKRA M

491

.1

.1 ?000 ,1 = m dna 2 = p nehW

?005 ,1 = m dna 3 = p nehW

.1

?005 = m dna

2 = p nehw rettil yttik rof dnamed fo yticitsale emocni eht si tahW )b(

dna 4 = p nehW

.3−

.4−

?005 = m dna 3 = p nehW

.2−

?005 ,1 = m ?005 = m

dna 2 = p nehw rettil yttik rof dnamed fo yticitsale ecirp eht si tahW )a( .emocni si m dna rettil yttik fo ecirp eht si p erehw ,m nl + p − 000 ,1 = )p( D nl si ,sdnuo p ni ,rettil yttik rof dnamed ehT )0( 4.51

su luc laC

y ti tnau Q 003 092

052

002

051

001 09

05

0

enil deR

5.22

enil licneP

05

enil eulB

001

051

002

052

003 eci rP

E MA N

591

.1 doog rof evruc dnamed tekram eht tolp ,3 fo htlaew a evah hcae eibraB dna neK fI )b(

. 1$

?1 doog

.1 + m = 2)1 + 1p − m(

ecirp noitavreser s’eibraB si tahW

.2/)1 + m( = p

rof ecirp noitavreser s’neK si tahW

?1 d oog rof

.1 doog rof ecirp noitavreser s’eibraB dn� ot devlos e b nac taht noitauqe na etirw ,1 doog fo ecirp eht si 1p dna htlaew s’eibraB si m erehW )a( .tinu re p 1$ fo ecirp a ta dro�a nac ehs ro eh taht 2 doog fo ytitnauq yna yub nac nosre p rehtiE .tinu 1 naht erom yub ot ro stinu lanoitcarf yub ot ydo byna rof elbisso pmi si tI .1 doog fo stinu 0 ro 1 doog fo tinu 1 yub nac nosre p A .)1 + 2x()1 + 1x( = ) 2x , 1x( Bu si noitcnuf ytilitu s’eibraB dna 2x + 1x = ) 2x , 1x( Ku si noitcnuf ytilitu s’neK )0( 6.51

.)1 − b(/a = p

tahw tA

?1− ot lauqe dnamed fo yticitsale ecirp eht si ecirp

.)a + p(/pb−

.p ecirp ta dnamed fo yticitsale ecirp eht

rof noisserpxe na etaluclaC .1 > b dna 0 > a erehw b−)a + p( = )p( q mrof lareneg erom eht sekat selgnard rof noitcnuf dnamed eht taht eso ppuS )d(

.1 = p sevig g ni vl o s d n a gn i ta it ne r ef fi D

.noitidnoc redro-dnoces

eht kcehc ot tegrof t’noD .ecirp gnizimixam-eunever eht dn� ot suluclac esU . )1 + p(/p = qp = )p(R .ecirp rieht fo noitcnuf a 2 sa selgnard fo elas eht morf eunever latot rof noisserpxe na etirW )c(

. 1 s la uq e e ci r p e h t ne hW

?1−

ot lauqe selgnard rof dnamed fo yticitsale ecirp eht si ecirp tahw tA )b(

.)1 + p(/p2−

?p ecirp ta dnamed fo yticitsale ecirp eht si tahW )a(

. 2−)1 + p( = )p( q si selgnard rof noitcnuf dnamed ehT )0( 5.51

.1

?dnamed fo yticitsale emocni ehT

.p −

su luc laC

?m

si emocni dna p si ecirp nehw dnamed fo yticitsale ecirp eht si tahW )c( )51 .hC(

D NA ME D TEKRA M

691

− 02 = ) q(p

.000 ,01/ q .noitcnuf dnamed esrevni eht nwod etirW )a(

.srotatce ps 000,001 sdloh muidats llabtoof s’ytisrevinu ehT .eunever ezimixam ot sa os secirp tekcit sih stes ohw rotcerid citelhta suoicirava dna revelc a sah ytisrevinu ehT .p000 ,01 − 000 ,002 = )p( D si ytisrevinu nretsewdim egral a ta emag lacipyt a rof stekcit llabtoof rof noitcnuf dnamed ehT )0( 9.51

.5 = Q

?ecirp taht ta dlos e b lliw sfraz ynam woH )b(

.5 = P

?mumi

-xam a ta e b elas rieht morf dezilaer eunever latot lliw ecirp tahw tA )a( ,Q − 01 = P si sfraz rof noitcnuf dnamed eht fI )0( 8.51

.3/2− .3/1

?soy-oy rof dnamed fo yticitsale ecirp eht si tahW )b(

?soy-oy rof dnamed fo yticitsale emocni eht si tahW )a(

,1 si p dna 001 si M fI .emocni si M dna soy-oy fo ecirp eht si p erehw , M 0011 + p2 − 4 = ) M ,p( D si soy-oy rof noitcnuf dnamed ehT )0( 7.51 y ti tnau Q 4 3

2

1

0

1

2

3

4 eci rP

E MA N

791

− 03 = ) q(p

.000 ,01/ q ?noitcnuf dnamed esrevni wen eht si tahW .p000 ,01

− 000 ,003 = )p( q si noitcnuf dnamed wen ehT .drawpu tfihs ot stekcit llabtoof rof evruc dnamed eht desuac snosaes gninniw fo seires A ) f(

. se Y ?lluf e b muidats eht lliW ,ytitnauq siht tA

.0

.1−

?dnamed fo yticitsale ecirp eht si tahw

?eunever lanigram si tahw ,ytitnauq siht tA )e(

.0 0 0, 00 1 tahW

. 01 $

?ecirp siht ta dlos e b lliw ytitnauq

?eunever mumixam eht etareneg lliw ecirp tahW )d(

0001 x y ti tnau Q 061

041

021

001

08

06

04

02

0

enil deR 5

01 enil eulB 51 enil kcalB

02

y ticapac muida tS

52 enil deR 03 eci rP

.muidats eht fo yticapac eht gnitneserper enil eulb lacitrev a ward osla ,hparg ruoy nO .noitcnuf eunever lanigram eht ward ot kni der esu dna noitcnuf dnamed esrevni eht ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO )c(

000 ,5/ q − 02 = RM

eht fo noitcnuf a sa

000 ,01/ 2 q − q02 = ) q(R

.dlos stekcit fo re bmun eunever lanigram dna

eunever latot rof snoisserpxe etirW )b( )51 .hC(

D NA ME D TEKRA M

891

. st a es 00 0, 05 1

?eso ohc eh dluohs muidats a egral woh

,selas tekcit morf eunever sih ezimixam ot stnaw rotcerid citelhta eht fI .lluf muidats eht peek ot sa os stekcit sih ecirp tsum rotcerid citelhta ehT .hctih eno ylno si erehT .ytisrevinu eht ot ti etanod dna ekil dluow rotcerid citelhta eht sa muidats a egral sa dliub ot sre�o sunmula suolaez A )c(

. 00 0, 05 2 $

).eunever ezimixam ot stnaw llits rotcerid

citelhta ehT :tniH( ?staes wen 000,06

.0 00 , 05 2$

?staes wen

000,05 gnidda yb emag re p eunever eht esaercni eh dluoc hcum woH )b(

. 00 9, 9

?eunever sih ezimixam ot ecirp tekcit eht detsujda dna yti

-capac s’muidats eht ot staes wen 000,1 dedda eh fi selas tekcit morf emag re p eunever latot eht esaercni rotcerid citelhta eht dluoc hcum woH )a( .p000 ,01 − 000 ,003 = )p( q yb nevig si gnicaf won si eh noitcnuf dnamed eht taht llaceR .muidats llabto of eht fo ezis eht dnapxe ot slaso porp eerht morf niag dluow eh eunever artxe eht gnire -disnoc si melborp tsal eht ni dessucsid rotcerid citelhta ehT )0( 01.51

.2− = �

si noitanibmoc

ytitnauq ecirp siht ta stekcit rof dnamed fo yticitsale ehT

. 01

si

taes artxe na gnilles morf eunever lanigram sih ,siht seod eh nehW )j(

. 02 $ ecirp a ta stekcit

00 0, 00 1

fo

lles dluohs eh ,eunever sih ezimixam ot

redro ni ,eroferehT .muidats eht fo yticapac eht ot pu slles eh taht staes fo re bmun yna rof evitiso p si eunever lanigram sih taht seciton eH .tog t’nsah eh staes lles tonnac eh ,si rotcerid citelhta eht hguoht revelC .muidats eht fo yticapac eht naht retaerg si evruc dnamed rehgih wen eht nevig eunever latot ezimixam dluow taht ytitnauq eht ,evo ba deciton uoy sA )i(

. 0 00 ,0 51 ?ecirp siht ta dlos e b dluow ytitnauq tahW

. 51 $

?eunever

mumixam etareneg dluow ecirp tahw ,yticapac muidats gnirongI )h( .noitcnuf eunever lanigram wen eht ward ot kni kcalb esu dna noitcnuf dnamed wen eht ward ot kni der esU .000 ,5/ q − 03 = ) q(R M .tuptuo fo noitcnuf a sa eunever lanigram rof noisserpxe na etirW )g( E MA N

991

)51 .hC(

D NA ME D TEKRA M

002

.rettub kay rof )kni der htiw( evruc ylppus eht dna )kni eulb htiw( evruc dnamed eht ward ,wole b sexa eht nO )a(

.stinu dnuo p-derdnuh ni derusaem era deilppus dna dednamed seititnauQ .sdnuo p derdnuh re p srallod ni derusaem ,sreilppus yb deviecer ecirp eht si sp dna srednamed yb diap ecirp eht si dp erehw ,03 − sp2 si ylppus eht dna dp4 − 021 yb nevig si rettub kay rof dnamed ehT )0( 1.61

.055 = q dna 5.22 = sp nehT .54 = dp dn� ot noitauqe siht evloS . dp01 + 001 = dp01 − 000 ,1 evah uoy dna ,noitauqe tsr� eht ni sp rof 2/ dp noisserpxe eht etutitsbuS . dp dna sp ,snwonknu owt eht ni snoitauqe owt evah ew woN .2/ dp = sp taht e b tsum ti os ,sremusnoc yb diap ecirp eht fo flah teg ylno srelles eht taht e b tsum ti ,sremusnoc yb diap ecirp eht fo flah ot lauqe xat a stcelloc tnemnrevog eht ecniS . sp02 + 001 = dp01 − 000 ,1 taht os ,dnamed lauqe tsum ylppus ,muirbiliuqe nI .seititnauq dna secirp muirbiliuqe eht dn� su teL .sremus -noc yb diap ecirp eht fo flah ot lauqe xat a stcelloc tnemnrevog eht ,dlos tinu hcae roF .sreilppus yb deviecer ecirp eht si sp erehw , sp02 + 001 = q si x rof noitcnuf ylppus ehT .sremusnoc yb diap ecirp eht si dp erehw , dp01 − 000 ,1 = q si x ytidommoc rof noitcnuf dnamed ehT :e lpmaxE .sreilppus yb deviecer ecirp ten eht ot srednamed yb diap ecirp eht setaler taht noitauqe eht dna dnamed ot lauqe ylppus stes taht noitauqe eht era snoitauqe owt ehT . dp dna sp snwonknu owt eht ni snoitauqe owt fo metsys a gnivlos yb muirbiliuqe rof evlos nac eno nehT . dp dna sp ,selbairav etarapes yb secirp owt eseht etoned ot aedi do og a si ti ,srednamed morf secirp tnere�id ecaf sreilppus ,seidisbus dna sexat htiw sne ppah sa ,fi tuB .dnamed dna ylppus sezilauqe taht ecirp eht rof sevlos dna ,p ,elbairav ecirp emas eht fo snoitcnuf sa dnamed dna ylppus setirw eno ,srednamed yb diap ecirp eht sa emas eht si sreilppus yb deviecer ecirp eht erehW .dnamed ot lauqe ylppus stes taht noitauqe na gnitirw yb seititnauq dna secirp muirbiliuqe rof evlos ot tnaw yllacipyt lliw uoy ,wole b smelborp eht nI .stsimonoce rof rettub dna daerb era smelborp dnamed dna ylppuS .noitcudortn I

muirbiliuqE E MA N

61 retpahC

.05 − dp2

?decudorp si

rettub kay hcum woh , dp si sremusnoc yb diap ecirp eht nehW

.5 + dp

?ecudorp yeht tinu hcae rof srecudorp yb deviecer tnuoma latot eht si tahw ,rettub kay rof srednamed yb diap ecirp eht si dp fI .srecud orp ot rettub kay fo sdnuo p derdnuh re p 5$ fo ydisbus a gniyap yb srecudorp dna sremusnoc rettub kay nekcirts eveiler ot sediced tnemnrevog ehT ) f( . 2q dna 2p meht le bal dna hparg eht no ytitnauq dna ecirp muirbiliuqe wen eht etacoL .0 si ytitnauq eht dna 03 si ecirp muirbiliuqe wen ehT )e(

.06 − p2 = p4 − 021

.rettub kay

fo ecirp muirbiliuqe wen eht dn� ot evlos dluow uoy taht noitauqe eht nwod etirW .eludehcs ylppus wen eht warD .erofe b sa sniamer eludehcs dnamed ehT .06 − sp2 ot stfihs eludehcs ylppus ehT .skay eht fo dnal -emoh lanoitidart ,se ppets oihO lartnec eht sekirts thguord elbirret A )d( . 1q dna 1p meht le bal dna ,hparg eht no ytitnauq dna ecirp muirbiliuqe eht etac oL .02 ?ytitnauq muirbiliuqe eht si tahW

. 5 2$

?rettub kay fo ecirp muirbiliuqe eht si tahW )c(

.03 − p2 = p4 − 021 evloS

.ecirp

muirbiliuqe eht dn� ot evlos dluow uoy taht noitauqe eht nwod etirW )b( re t tub kaY 021

001

08

06

04

02 1q

2q

0

enil eulB

1p 2p

enil deR

02

04

06

08 eci rP

)61 .hC(

M UIRBILI U QE

202

tahw tA

. 02

.03

.0 1$

?stinu 02 ylno ylppus sreilppus eht dluow ecirp

?ecirp taht ta ylppus sreilppus dluow seltsorht ynam woH

?dednamed e b seltsorht 02 dluow ecirp tahw tA .seltsorht 02 ylno

gnilles ot yrtsudni eht tcirtser ot sediced tnemnrevog eht taht eso ppuS )b(

.5 2 muirbiliuqe eht dna

51

sel tso rhT 04 03

si ytitnauq

si seltsorht fo ecirp muirbiliuqe ehT )a(

02

01

0

ylppuS ssol thgiewdae D

01

02

03 dnameD

04 eci rP

.kni eulb gnisu ,seltsorht rof sevruc ylppus dna dnamed eht ward ,wole b sexa eht nO .p + 01 = )p( S p − 04 = )p( D :srallod ni ecirp eht si p erehw ,seltsorht rof snoitauqe dnamed dna ylppus eht era ereH )0( 2.61

.3/02

e b dluow ytitnauq muirbiliuqe ehT

.6/071

?sremus

-noc yb diap ecirp ten muirbiliuqe eht e b dluow tahW .srecudorp naht rehtar sremusnoc ot ydisbus eht diap dah tnemnrevog eht eso ppuS )h(

,6/071 = dp

.3/02 = 05 − 3/071 = q

?won rettub kay fo ytitnauq muirbiliuqe eht dna

sremusnoc yb diap ecirp muirbiliuqe eht era tahW

= 05 − dp2

. dp4 − 021

.margorp ydisbus eht nevig ,sremusnoc yb diap

ecirp muirbiliuqe eht rof devlos e b nac taht noitauqe na nwod etirW )g( E MA N

302

. P5 = ) P( S evruc ylppus eht dna P5 − 002 = ) P( D si hs�doc detlas rof evruc dnamed ehT )0( 4.61

. oN

?nossel

re p 4$ fo xat a naht srednamed rof ro sreilppus rof stce�e tnere�id yna evah ycilo p siht dluoW .snossel iks fo noitpmusnoc no xat 01$ eht gniniat -niam elihw noitcudorp no ydisbus 6$ a seso porp eH .ydisbus a evresed dna roo p era srotcurtsni iks ,dexat e b ot evresed dna hcir era sremusnoc nossel iks hguohtla taht stseggus etats suoniatnuom a morf rotanes A )d(

.8 4 6 2$

e b dluow nevig snossel fo re bmun latot ehT .nossel re p

e b dluow sremusnoc yb diap

Dp

ecirp muirbiliuqe eht ,xat 01$ eht

htiW . Dp dna Sp snwonknu owt eht rof snoitauqe owt eseht evloS )c(

. Sp3 = Dp2 − 001

slauqe ylppus taht setats taht noitauqe na etirW

.dnamed

.01 + Sp = Dp

.sreilppus yb deviecer ecirp eht ot srednamed yb diap ecirp eht setaler taht noitauqe na etirW .sremusnoc no deso pmi si nossel iks re p 01$ fo xat A )b(

. 06 muirbiliuqe eht si tahW

Dp2 − 001

.0 2 $

?ytitnauq

?ecirp muirbiliuqe eht si tahW )a(

. Sp3 = ) Sp( S yb nevig si evruc ylppus eht dna = ) Dp( D yb nevig si snossel iks rof evruc dnamed ehT )0( 3.61

. 52 $ )?elgnairt a fo aera eht rof alumrof eht si tahW :tniH( ?srallod ni desserp -xe siht si hcum woH .02 ot seltsorht fo ylppus eht gnitcirtser morf ssol thgiewdaed eht stneserper taht aera eht ni edahs ,evo ba hparg eht nO )d(

.0 1 $

?sno puoc eseht fo ecirp muirbiliuqe eht e b dluow tahw

,tekram ne po eht no dlos dna thguo b yleerf erew sno puoc noitar eht fI .d oog eht rof yap ot yenom fo tnuoma yrassecen eht htiw gnola no puoc noitar a tneserp ot deen dluow remusnoc a ,eltsorht a yub ot redro ni nehT .sno puoc noitar 02 eussi ot tnemnrevog eht rof si siht od ot yaw enO .seltsorht 02 ylppus meht evah ot ekat dluow ti taht ecirp muminim eht naht erom eviecer ot yrtsudni eht ni smr� eht tnaw t’nseod ti tub ,thguo b era seltsorht 02 ylno taht erus ekam ot stnaw tnemnrevog ehT )c( )61 .hC(

M UIRBILI U QE

402

.0 1$

?ecirp muirbiliuqe eht si tahW )a(

. P = ) P( S si noitcnuf ylppus eht dna , P/001 = ) P( D si sewe onirem rof noitcnuf dnamed ehT )0( 5.61 nO

.ssol thgiewdaed eht stneserper taht aera eht ni edahs ,hparg ruoy e b lliw xat siht ot eud ssol thgiewdaed ehT )c(

.2/5 × 2 = 5

.5 9

e b lliw dlos ytitnauq muirbiliuqe ehT

eht yb deviecer ecirp wen eht dna

12$

. 91 $

e b lliw sreilppus

e b lliw srednamed eht yb diap

ecirp muirbiliuqe wen ehT .srednamed yb diap tinu re p ecirp eht sniamer sixa lacitrev eht no ecirp eht erehw ,evruc ylppus wen eht ward ot kni der esU .hs�doc detlas no decalp si dlos tinu re p 2$ fo xat ytitnauq A )b(

hsifdoc fo y ti tnau Q 002 051 001

05

0

ylppuS eulB ylppus deR ssol thgiewdae D

01

02

03 dname D

. 00 1 muirbiliuqe eht dna

0 2$

04 eci rP si dlos ytitnauq

si ecirp tekram muirbiliuqe ehT .evruc ylppus

eht dna evruc dnamed eht ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO )a( E MA N

502

. E rettel eht htiw raelc stekram hto b hcihw ta noitanibmoc ecirp euqinu eht le baL .sedreMaL fo ylppus eht slauqe sedreMaL rof dnamed eht hcihw ta snoitanibmoc ecirp esoht stneserper taht enil dnoces a warD .shcilkcerhcS rof dnamed eht slauqe shcilkcerhcS fo ylppus eht taht hcus sedreMaL dna shcilkcerhcS rof secirp fo snoitanibmoc lla stneserper taht enil a ward ,wole b margaid eht nO )c(

.01

si sedreMaL fo ecirp muirbiliuqe eht dna

02

si shcilkcerhcS

fo ecirp muirbiliuqe eht taht sdn� eno ,snoitauqe owt eseht gnivloS )b(

.051 = SP − LP3 − 002

dna 001 = LP2 − SP4 − 002 era snoitauqe ehT

.ylppus slauqe krow s’retniap hcae rof dnamed eht taht noitidnoc muirbiliuqe eht etats taht snoitauqe suoenatlumis owt nwod etirW )a(

.gnitniap edreMaL a dna gnitniap hcilkcerhcS a fo srallod ni ecirp eht ylevitce pser era LP dna SP erehw , SP − LP3 − 002 = ) P( LD si sedreMaL rof noitcnuf dnamed eht dna , LP2 − SP4 − 002 = ) P( SD si shcilkcerhcS rof noitcnuf dnamed ehT .krow s’retniap rehto eht fo ecirp eht dna ecirp nwo sti no hto b sdne ped krow s’retniap rehtie rof dnamed eht eroferehT .elyts ni ralimis yrev gnie b sa sruessionnoc yb dedrager era sretniap owt ehT .051 si edreMaL yb sgnitniap fo kcots s’dlrow eht dna ,001 si hcilkcerhcS yb sgnitniap fo kcots latot s’dlrow ehT .sretniap tsinoisserpmi yrutnec -htneetenin erucsbo ylba�itsuj owt era edreMaL dna hcilkcerhcS )0( 6.61

.5

?ytitnauq muirbiliuqe eht si tahW

.5 $

sreilppus eht yb deviecer ecirp muirbiliuqe eht si tahW

?sewe onirem rof

. 0 2$

?won

sewe onirem rof srednamed eht yb diap ecirp muirbiliuqe eht si tahW .sreilppus yb deviecer ecirp eht semit ruof si srednamed yb diap ecirp eht taht os sewe onirem no deso pmi si %003 fo xat merolav da nA )c(

. 01

?ytitnauq muirbiliuqe eht si tahW )b( )61 .hC(

M UIRBILI U QE

602

).esac ralucitrap siht ni ylppa taht � dna a stnatsnoc eht rof evlos ot melborp eht fo atad eht esu ot evah uoY .a tnatsnoc emos rof �pa = )p( D neht ,� ot lauqe yticitsale ecirp tnatsnoc a sah evruc dnamed eht fI :tniH( .kni eulb htiw wole b noitcnuf dnamed siht hparG .p/000 ,06 = q .noitcnuf dnamed eht rof noitauqe na etirW )a(

.stinu 000,6 si dednamed tnuoma latot eht ,tinu re p 01$ si laemtao fo ecirp eht nehW .1− ot lauqe dna tnatsnoc si laemtao rof dnamed fo yticitsale ecirp ehT )0( 7.61

. � E secirp fo noitanibmoc muirbiliuqe wen eht le bal ,margaid ruoy nO .er� eht retfa shcilkcerhcS fo ylppus eht slauqe shcilkcerhcS rof dnamed eht hcihw ta snoitanibmoc ecirp fo suc ol eht swohs taht enil a ward ot kni der esu ,evo ba werd uoy margaid eht nO )e(

.9

saw sedreMaL fo ecirp muirbiliuqe eht dna

32

saw shcil

-kcerhcS fo ecirp muirbiliuqe eht ,er� eht retfA .shcilkcerhcS 01 fo latot a deyortsed er� ehT .hcilkcerhcS yb skrow fo snoitcelloc tsegral s’dlrow eht fo eno deyortsed ,nagihciM ,kcmartmaH ni yella gnilwo b a ni er� A )d(

sP 04

03

'e

02

01

e

0

01 sedneM aL 02

enil deR

03 hcilkce rhcS 04 lP

E MA N

702

.8791 ,notroN .W .W ,htuoS nottoC eht fo ymonocE lacitiloP ehT ,thgirW nivaG * .d oire p eritne siht gnirud raey re p %5 tuo ba yb drawtuo detfihs evah ot detamitse si nottoc naciremA rof evruc dnamed eht ,yrtsudni elitxet hsitirB eht fo noisnapxe dipar eht ot euD .1− yletamixorppa saw htuoS naciremA eht morf nottoc rof dnamed fo yticitsale ecirp eht ,0681–0281 ,doire p raW liviC–erp eht rof etacid -ni seiduts cirtemonoce taht stro per *nairotsih cimonoce nA )0( 8.61

. t ne cr ep ) y − x( tuoba yB

?esir ecirp muirbiliuqe eht lliw egatnecre p

tahw yletamixorppa yB .% y yb thgir stfihs evruc ylppus eht dna %x yb drawtuo stfihs evruc dnamed eht melborp evo ba eht ni taht eso ppuS )e( .hparg ruoy no evruc ylppus wen eht dna evruc dnamed wen eht ward ot kni der esU .tnecrep 5 tuoba yb esor tI ?esir ecirp muirbiliuqe eht did yletamixorppa egatnecre p tahw yB )d(

.052 ,5

ytitnauq dna

15.21

ecirp muirbiliuqe wen eht rof evloS

.%5 yb thgir eht ot stfihs tub lacitrev sniamer evruc ylppus eht taht eso p -puS .p/000 ,66 = q .noitcnuf dnamed eht rof noitauqe wen eht nwod etirW .%01 yb drawtuo stfihs evruc dnamed eht taht eso ppuS )c( . E na htiw muirbiliuqe eht le bal dna hparg ruoy no evruc ylppus eht wohS .21$ ?ecirp muir -biliuqe eht si tahw ,stinu 000,5 ta citsaleni yltcefre p si ylppus eht fI )b( )sdnasuoh t( y ti tnau Q 21

01

8

6

4

2

0

5

senil eulB

e senil deR

01

51

02 eci rP

)61 .hC(

M UIRBILI U QE

802

e lb uo d dl uo w tI

. eg na hc t’ n di d d na me d fi ?nottoc fo ecirp eht no tce�e eht e b dluow

tciderp uoy dluow tahW .raw eht tuohguorht level taht ta deniamer dna %05 tuo ba yb llef noitcudorP .htuoS eht ni noitcudorp nottoc no tce�e gnitatsaved a dah ,1681 ni gninnige b ,raW liviC naciremA ehT )d(

.% 5 .1

)?tahw e b

tsum yticitsale ecirp nur-gnol eht neht ,evruc ylppus nur-gnol eht gnola tnemevom a si egnahc ytitnauq eht fI ].rewsna reilrae ruoy eeS[ .raey re p % 2 yb esor ecirp dna raey re p %3 tuo ba yb esor ytitnauq 0681 ot 0281 morF :tniH( ?e b ot evah ylppus fo yticitsale eht dluow tahw ,evruc ylppus nur-gnol gnipols-drawpu na gnola tnemevom a sa deterpretni e b ot si setatS detinU eht yb deilppus nottoc fo ytitnauq eht ni egnahc eht fI )c( no t toc fo y ti tnau Q 04 03 02

01

0

01

02

03

04 no t toc fo eci rP

.004 tahW

.004

?01$ si ecirp eht nehw eunever latot eht si

?02$ si ecirp eht nehw eunever latot eht si tahW .nottoc

rof evruc dnamed eht hparg ,02 osla si ytitnauq eht ,02$ si ecirp eht nehw taht gnimussa dna ,1− fo yticitsale ecirp tnatsnoc a gnimussA )b(

. ra e y a % 2 tu ob a y b es ir dl uo w tI

?doire p siht gnirud nottoc fo

ecirp eht fo egnahc fo etar eht e b tsum )yletamixorppa( tahw ,raey re p %3 yb werg setatS detinU eht ni noitcudorp nottoc ,doire p siht gnirud fI )a( E MA N

902

5 .7 5 .9

?srednamed yb diap ecirp muirbiliuqe wen eht si tahW

.s tn ec .s tn ec

?sreilppus yb deviecer ecirp muirbiliuqe wen eht si tahW

. 5. 3

?ytitnauq muirbiliuqe wen eht si tahW .sremusnoc yb diap ecirp eht naht rehgih stnec 2 si srelles yb deviecer ecirp eht won tub ,deilppus ytitnauq eht slauqe dednamed ytitnauq eht taht e b tsum llits ti muirbiliuqe ni neht ,sreworg ananab ot diap si dnuo p re p stnec 2 fo ydisbus a fI )b(

. s tn ec 9

.3

?ecirp tekram muirbiliuqe eht si tahW

?ytitnauq muirbiliuqe eht si tahw ,seidisbus ro sexat on era ereht fI )a( .stnec ni derusaem era secirp erehw , sQ + 6 = sP si noitcnuf ylppus esrevni eht dna dQ3 − 81 = dP si sananab rof noitcnuf dnamed esrevni ehT )0( 01.61

. 0 00 ,0 82 muirbiliuqe wen eht si tahW si tahW

. 21 $

. 7$

?ytitnauq

?sreilppus yb deviecer ecirp wen eht

?sremusnoc yb diap ecirp muirbiliuqe wen eht si tahW

.secudorp eh taht eltto b yreve rof eltto b re p 5$ fo xat a yap tsum rekam eniw eht taht hcus xat wen a secudortni tnemnrevog eht taht eso ppuS )b(

.000 ,004 muirbiliuqe eht si tahW

.0 1 $

?ytitnauq

?ecirp muirbiliuqe eht si tahW )a(

. P000 ,04 si deilppus seltto b fo re bmun ehT .)srallod .S.U ni( eltto b re p ecirp eht si P erehw , P000 ,06 − 000 ,000 ,1$ si raey re p dednamed yannodrahc fo seltto b fo re bmun ehT )0( 9.61

.s le v el dl o ri eh t ot r ev oc er dl uo w y eh T

?neht secirp nottoc ot dene ppah kniht

uoy od tahW .level tuptuo rawerp sti deniager yletamixorppa htuoS eht ,0091 tuo ba yB .degnahcnu yletamixorppa deniamer nottoc naciremA rof evruc dnamed eht ,yrutnec htneetenin eht fo redniamer eht rof dna ,s0681 eht ni dedne yrtsudni elitxet hsitirB eht fo noisnapxe ehT ) f(

.emas eht yats dluow eunever eht ,1−

f o y ti ci ts a le s ah dn a me d e h t e c ni S

?htuoS

eht ni sremraf nottoc fo eunever latot no tce�e eht e b dluow tahW )e( )61 .hC(

M UIRBILI U QE

012

.0 4 2

.stcej bus s’atunaK yb demusnoc stunoc oc fo

re bmun latot muirbiliuqe eht dna , latot muirbiliuqe eht ,

5 / 42

Sp

. Sp004 − 004 ,2

08 4

decudorp stunococ fo re bmun

fo eulav muirbiliuqe eht rof evloS )e(

si stcej bus sih dna atunaK yb keew

re p dednamed stunococ fo re bmun latot eht , Sp si sreilppus yb deviecer ecirp eht nehw ,eroferehT .stcej bus eht yb dednamed tnuoma eht eciwt si stcej bus sih dna gnik eht yb dednamed tnuoma latot eht ,stcej bus eht yb demusnoc tunoc oc yreve rof tunococ a semusnoc gnik eht ecniS )d(

ec ni S

. Sp002 − 002 ,1 emusnoc yeht , Sp2 = Dp ).noitcnuf dnamed eht otni etutitsbus dna

Sp

fo smret ni

Dp sserpxE :tniH( ?noitpmusnoc nwo rieht rof dnamed stcej bus s’gnik eht lliw stunoc oc ynam woh , Sp si sreilppus ot diap ecirp eht nehW )c(

. Sp2

? flesmih rof tunococ artxe na teg ot stcej bus

s’gnik eht fo eno tsoc ti seod hcum woh , Sp si srelles eht yb deviecer si taht ecirp eht nehW .gnik eht ot 5 evig dna stunococ 01 esahcrup ot evah dluow eh ,flesmih rof stunococ 5 detnaw tcej bus a fi ,suhT .xat a sa gnik eht ot tunococ a yap ot evah dluow tunococ a demusnoc ohw tcej bus yreve taht deriuqer gnik ehT .redraL layoR eht rof stunococ tcelloc ot redro ni stcej bus sih xat ot dediced atunaK gniK ,yad enO )b(

. 00 6 -biliuqe eht dna

6

e b lliw deilppus ytitnauq muir

e b lliw stunococ fo ecirp muirbiliuqe ehT )a(

. P001 = )p( S si sreworg tunococ s’dnalsi eht yb keew re p deilppus e b lliw taht stunoc oc fo re bmun ehT .esu nwo rieht rof keew re p stunococ P001 − 002 ,1 = ) P( D dnamed lliw stcej bus s’atunaK gniK neht , P si stunococ fo ecirp eht fI .stunococ si porc yramirp esohw ,llotA gnittuN ,dnalsi laciport llams a selur atunaK gniK )1( 11.61

. %3 3 .8 -

).egnahc egatnecre p fo smret ni rewsna ruoy etatS(

?tnatsnoc syats selppa fo ecirp eht fi ,ydisbus ananab eht fo ecneuqesnoc a sa dednamed selppa fo ytitnauq eht ot ne ppah lliw tahw ,5.+ si selppa dna sananab neewte b dnamed fo yticitsale-ssorc eht fI .%66.61.ecirp lanigiro eht fo egatnecre p a sa ecirp ni egnahc eht sserpxE )c( E MA N

112

.tunococ re p

5/84

fo

ecirp a diap sremusnoc eht dna ,gnik eht ot xat rieht gniyap retfa tunococ re p 5/42 tog sre peekpohs ehT .sremusnoc eht ot dlos gnie b stunoc oc

042 = 2/084

ni detluser nalp sihT .gnik eht ot tunococ eno yap

ot evah dluow re peekpohs eht ,remusnoc a ot dlos tunococ yreve roF .xat eht gniyap rof elbisno pser e b dluow stunococ eht dlos ohw sre peekpohs eht ,woN .xat tunococ eht degnahc gnik eht ,erehpsomta elitsoh eht yb deirroW .ecalap eht hguorht daerps noitulover fo sre psihw dna ,gnik eht ot stunococ artxe eht gniyap detneser stcej bus s’atunaK gniK ) f( )61 .hC(

M UIRBILI U QE

212

on tub rezodllub sih rof 000,6$ yap ot gnilliw e b dluow rotare po rezodllub lanoisseforp a taht swonk eilrahC .sdnekeew no seso prup lanoitaercer rof ylno srezodllub esu ohw elpoe p dna srotare po rezodllub lanoisseforp era esehT .srezodllub gniyub ni detseretni era elpoe p fo sdnik owT .000,1$ rof relaselohw a ot ti lles ot evah lliw eh ,yadot remotsuc a ot rezodllub sih lles t’nseod eh fI .rezodllub dlo na gnilles yb ylkciuq yenom esiar ot sdeen dna hsac fo trohs nur sah eH .nwot amohalkO teiuq a ni tnempiuqe noitcurtsnoc desu slles ppolP eilrahC )2( 2.71

. 02 $ ro f ti t e g d l uo w o ni A ?yap eh dluow hcum woh dna daeheso om eht teg dluow ohW ?dib srehto eht fo hcae dluow hcum woH hcum woH

0 0 1$

02$

5$

?dib ikkrE dluohs

?niag detce pxe sih ezimixam ot redro ni dib oniA

dluohs hcum woh ,daehesoom eht rof seulav ’srehto eht swonk reddib on fi dna noitcua ecirp-dnoces ,dib-delaes a ni ti slles reenoitcua eht fI )b(

. 02 $ r of t i te g d lu ow o ni A

?yap reyub eht dluow hcum woh yletamixorppa dna daehesoom

eht teg dluow ohw ,noitcua hsilgnE na ni ti slles reenoitcua eht fI )a( .snoitaulav ’srehto hcae wonk t’nod yeht dna edulloc ton od sreddib ehT .srehto eht fo hcae ot 5$ dna ,ikkrE ot 02$ ,oniA ot 001$ htrow si daeheso om ehT .ittaM dna ,ahuJ ,unnaH ,ikkrE ,oniA :ecnad -netta ni sreddib 5 era erehT .noitcua yb dlos gnie b si daehesoom de�uts lufituae b a ,nagihciM ,gnimme phsI ni esuoh noitcua s’ovioT tA )1( 1.71 .ylhgih tsom ti seulav ohw reyub eht ot dlos si tcej bo eht fi ylno tneic�e e b lliw tcej bo elgnis a rof noitcua na ,seitilanretxe fo ecnesba eht nI .ycneic�e sti ni osla tub ,d ohtem noitcua na morf detareneg eunever eht ni ylno ton detseretni netfo era srennalp laicoS .tcej bo eht gnilles morf eunever detce pxe rieht ezimixam taht selur gnidn� ni detseretni era srelleS .snoitatce pxe citsilibaborp emos evah tub sreyub laitneto p fo yap ot ssengnilliw eht wonk ton od yllacipyt noitcua yb tcej bo na lles ot gniyrt era ohw esohT .syap reddib hcae hcum woh dna dlos gnie b tcej bo eht steg ohw senimreted edam sdib fo yarra eht hcihw ni yaw eht dna stnapicitrap rof serudecorp gniddib yfice ps selur ehT .selur fo tes a yb de bircsed si noitcua nA .noitcudortn I

snoitcuA 71 retpahC

E MA N

teg lliw ohW

. 00 5, 4$ s di b re su lan oi ta er c eR

. 00 0 ,6 $ sd ib l an oi ss e fo rP

?eviecer eilrahC

lliw sdib tahw ,resu lanoitaercer a si eno dna rotare po rezodllub lanois -seforp a si reddib eno fI .000,6$ ?rezodllub sih rof eviecer eil -rahC lliw hcum woH

.0 0 0, 6$

?dib hcae lliw hcum woh ,srota

-re po rezodllub lanoisseforp era sreddib hto b fI .yllanoitar dib sreyub laitneto p hto b taht dna 3 dohtem yb slles eilrahC taht eso ppuS )d(

. 0 05 ,4 $ ?rezodllub sih rof eviecer eh lliw hcum woh ,2 dohtem yb slles eilrahC fI )c(

+ 000 ,6$ × )4/3($

.057 ,4$ = 000 ,1$ × )4/1(

?eunever detce pxe sih si tahW

. 4/ 1

?relaselohw eht ot rezodllub eht lles ot evah lliw eh taht ytilibaborp eht si tahW .4/3 ?sreyub owt eht fo eno ot rezodllub eht lles ot elba e b lliw eh taht ytilibaborp eht si tahw ,1 dohtem yb slles eilrahC fI )b(

.2 /1 meht fo eno taht ytilibaborp eht si tahW

.4 / 1

-ercer era hto b taht ytilibaborp eht si tahW

?e pyt hcae fo si

?sresu rezodllub lanoita

.4 / 1

?srotare po rezodllub

lanoisseforp era sreyub laitneto p hto b taht ytilibaborp eht si tahW )a( ).sreddib hto b yb dib ecirp eht ta reddib siht ot rezodllub eht lles dna modnar ta sreddib hgih eht fo eno esoohc ,eit a si ereht fi( dib tsehgih dnoces eht ta reddib hgih eht ot rezodllub eht lles dna noitcua dib-delaes a nuR .3 dohteM • .ecirp taht sre�o ohw enoyna ot ti lles dna eulav reyub s’resu rezodllub lanoitaercer a ot lauqe ecirp a tsoP .2 dohteM •

.relaselohw eht ot ti lles ,ecirp taht ta rezodllub eht sekat ydo bon fi dna 000,6$ fo ecirp a tsoP .1 dohteM •

:rezodllub eht gnilles fo syaw eerht gniwollof eht sredisnoc eilrahC .resu lanoitaercer a gnie b fo 2/1 fo ytilibaborp a dna rotare po rezodllub lanoisseforp a gnie b fo 2/1 fo ytilibaborp a sah meht fo hcae taht seveile b eh dna e pyt s’rehto eht fo tnedne pedni si rotare po rezodllub lanoisseforp a si rehtie taht ytilibaborp eht taht seveile b eilrahC .rehto hcae wonk t’nod yltnedive sreyub owt esehT .noitcua sih ot emoc evah sreyub laitneto p owt ylno taht revocsid ot detnio ppasid si eilrahC ”.yadoT elaS rezodlluB“ .wodniw sih ni ngis a stup eilrahC .erom on tub 005 ,4$ yap ot gnilliw e b dluow resu lanoitaercer dnekeew a elihw ,erom )71 .hC(

S N OITC UA

412

ne h t s i f fo ya p d et ce px e si H . C$ eh ,e si wr e ht O

te g ll iw

.0 00 , 6$ t eg l li w e h , 00 0, 6$

f o sn o it au lav

ev ah s re dd i b h t ob f I

. no it au l av e urt s i h d i b l l iw r e dd ib h ca e , 3 d oh te m h t iW

.000 ,6$ < C fi 2 dohtem yb gnilles naht �o

-yap detce pxe rehgih a eilrahC evig lliw 3 dohtem yb gnilles taht wohS )d(

. C)4/3( + 005 ,1$ = C$ × )4/3( + 000 ,6$ × )4/1($ ). C fo noitcnuf a si rewsna ehT( ?eunever detce pxe sih si tahw ,noitcua

dib-delaes ecirp-dnoces eht ,3 dohtem yb rezodllub sih slles eilrahC fI )c(

. C$

?eunever detce pxe sih si tahw ,srotare po rezodllub

lanoitaercer fo C ecirp noitavreser eht ot lauqe ecirp a stso p eilrahC fI )b(

× )4/3($

.057 ,4$ = 000 ,1$ × )4/1( + 000 ,6$

?srotare po rezodllub lanoisseforp fo ecirp noitavreser eht

ot lauqe ecirp a stso p eh fi e b eunever detce pxe s’eilrahC lliw tahW )a(

. C fo ezis eht no sdne ped eunever detce pxe tsehgih eht eilrahC sevig taht dohtem selas eht hcihw ni yaw eht erolpxe ot tnaw ew woN .005 ,4$ = C erehw esac laice ps eht htiw tlaed ew melborp suoiverp eht nI .eilrahC ot nwonk si hcihw 000 ,6$ < C tnuoma na si srezodllub lanoitaercer fo yap ot ssengnilliw eht tub ,erofe b sa si esle llA .melborp emas eht fo noisrev dezilareneg ylthgils a ta kool lliw ew emit sihT .ppolP eilrahC ,dneirf detci�a yllaicnan� ruo tisiver eW )2( 3.71

. 3 d o ht eM

?eunever

detce pxe tsehgih eht eilrahC evig lliw sd ohtem eerht eht fo hcihW )e(

.578 ,4$ = 005 ,4$ × )4/3( + 000 ,6$ × )4/1($

?3 d ohtem yb rezodllub eht gnilles morf eunever detce pxe s’eilrahC e b lliw tahW woH

.0 05 , 4$

. 00 5, 4$

?rezodllub sih rof eviecer eilrahC lliw hcum

?dib hcae lliw hcum woh ,sresu rezodllub lanoita

-ercer era sreddib hto b fI lliw yenom hcum woH

.0 05 ,4 $

?rezodllub sih rof teg eilrahC

.l an o is se fo r p e hT

?rezodllub eht

E MA N

512

hcae rof enil ylbmessa wen eht gnidliub fo stsoc eht no nwo rieht fo hcraes -er yrotarolpxe emos enod evah sreenigne dna seips lairtsudni s’sretoocS lareneG .enil ylbmessa wen eht dliub ot elba e b dluow ohw srotcart -noc owt era erehT .sto bor fo esu evisnetxe sekam taht eno wen a htiw enil ylbmessa dlo sti ecalper ot dediced sah sreto ocS lareneG )2( 5.71

057 ,4$ > C ?evo ba deso porp gnilles fo sdohtem owt rehto eht fo rehtie naht eunever detce pxe rehgih a eilrahC evig 3 dohtem dluow C fo seulav hcihw tA )d(

.e no N

?evo ba

deso porp gnilles fo sdohtem owt rehto eht fo rehtie naht eunever detce pxe rehgih a eilrahC evig 2 dohtem dluow )yna fi( C fo seulav hcihw tA )c(

.057 ,4$ < C ?evo ba deso porp gnilles fo sdohtem owt rehto eht fo rehtie naht eunever detce pxe rehgih a eilrahC evig 1 dohtem dluow C fo seulav hcihw tA )b(

.)2/ C( + 000 ,3$ dna ,

C

si 3 dohtem gnisu morf eunever detce pxe sih

si 2 d ohtem gnisu morf eunever detce pxe sih , 5735 si

1 dohtem gnisu morf eunever detce pxe s’eilrahC ,sreyub eerht htiW )a( .owt rehto eht fo se pyt eht fo tnedne pedni si ytilibaborp siht taht dna rotare po rezodllub lanoitaercer a sa rotare po rezodllub lanoisseforp a e b ot ylekil yllauqe si ,owt rehto eht ekil ,reyub siht taht seveile b eilrahC .srae ppa reyub laitneto p driht a nehw rezodllub sih lles ot tuo ba tsuj si eilrahC . C yap ot gnilliw era sresu lanoitaercer dna rezodllub a rof 000,6$ yap ot gnilliw era srotare po rezodllub lanoisseforP .melborp suoiverp eht ni sa si gnihtyrevE .nwot emoh s’ppolP eilrahC fo steerts ytsud eht daert ew niaga teY )3( 4.71

.33.333 ,4 < C revenehw esac eht si hcihw C4

,

3

+ 005 ,1 > 057 ,4 nehw sneppah sihT

?3 dohtem

yb naht 1 d ohtem yb gnilles �o rette b eilrahC si C fo seulav tahw roF ) f(

.957 ,4 = 000 ,1)4/1( + 000 ,6)4/3($ > C

?1 dohtem

yb naht 2 d ohtem yb gnilles �o rette b eilrahC si C fo seulav tahw roF )e(

.000 ,6$ < C revenehw C > C)4/3( + 005 ,1$ tuB .C $ s te g e h

2 dohtem htiW . C)4/3( + 005 ,1$ )71 .hC( S N OITC UA

612

w o l eh t t a r e d d i b w o l e ht o t t c a rt no c u oy f I .n o i t c u a e h t

f o s e l u r e h t n o sd n e p ed

d i b l l i w s r ot c a r t n o c t a h t t n u om a e hT

?ekam

eh taht tseggus uoy dluow rewsna tahW .noitseuq s’namriahc eht derewsna dna egaruoc sih pu denommus tnatnuocca gnikool-dimit A .deraor eh ”?eno rewol eht naht rehtar dib rehgih eht yap ot tnaw reve uoy dluow htrae no yhW .sdib owt eht fo rewol eht yap ot su rof elbat�orp erom si ti taht ees nac loof ynA !metsys gniddib diputs a tahW“ .degartuo saw eh ,emehcs gniddib detseggus ’stnatnuocca eht fo dlot saw sretoocS lareneG fo namriahc deriah-revlis ,gnikool-dehsiugnitsid eht nehW )c( 9 1

9

9

L+ 3M+ 5H

.sretoocS lareneG ot tcej orp eht fo tsoc detce pxe

eht rof L dna , M , H selbairav eht fo smret ni noisserpxe na etirW ?L yap ot evah lliw ti taht ytilibaborp eht si tahW evah lliw ti taht ytilibaborp eht si tahW

9/ 5

3 /1

9 /1

? M yap ot

?enod boj eht teg ot

H yap ot evah lliw ti taht ytilibaborp eht si tahW .stnatnuocca eht yb detseggus msinahcem gniddib eht sesu sreto ocS lareneG taht eso ppuS )b(

.n oi t au la v eu r t s ih di b dl u ow hc aE

?st�orp detce pxe rieht ezimixam

ot redro ni )edulloc tonnac yeht taht gnimussa( esu srotcartnoc eht fo hcae dluohs ygetarts gniddib tahw ,enod si siht fI ).tcartnoc eht teg ot modnar ta detceles e b lliw sreddib eht fo eno ,reddib wol rof eit a si ereht fI( .rotcartnoc rehto eht yb dib tnuoma eht reddib wol eht yap lliw tub reddib wol eht ot tcartnoc eht drawa lliw ti taht ecnuonna ti taht dna enil ylbmessa eht gnitcurtsnoc rof srotcartnoc owt eht morf sdib delaes tpecca sretooocS lareneG taht detseggus sretoocS lareneG ta stnatnuoccA )a( .edulloc ton lliw srotcartnoc eht taht tned�noc si sretoocS lareneG .L ro , M , H e b ot ylekil yllauqe era stsoc s’rehto eht taht skniht tub stsoc nwo sti swonk rotcartnoc hcaE .srotcartnoc owt eht neewte b tnedne pedni si stsoc fo noitubirtsid ytilibaborp eht taht dna L si tsoc eht taht 3/1 dna , M si tsoc eht taht 3/1 , H si tsoc eht taht 3/1 si ytilibaborp eht rotcartnoc hcae rof taht si ti evig ot elba nee b evah srotagitsevni s’sretoocS lareneG taht noitamrofni tse b ehT .L ro , M , H era smr� eht fo rehtie fo stsoc eht rehtehw enimreted ot elba nee b ton sah sreto ocS lareneG ,yletanutrofnU .L > M > H erehw ,L dna , M , H seulav elbisso p eerht fo eno ekat lliw tsoc siht ,mr� hcae rof taht derevocsid evah yehT .srotcartnoc owt eht fo E MA N

712

.stnatnuocca eht yb deso porp noitcua reddib-dnoces eht htiw si ti sa emas eht e b dluow sretoocS lareneG ot tcej orp eht fo tsoc detce pxe eht ,seigetarts eseht desu srotcartnoc eht fi dna ,seigetarts dexim fo esu eht evlovni dluow seigetarts gniddib ni muirbiliuqe ylno eht neht , H dna L neewte b re bmun yna dib ot dewolla nee b dah sreddib fI .L dna , M , H era sdib elbatpecca ylno eht taht detsisni ton dah eh fi sretoocS lare -neG rof yldab os tuo dekrow evah ton thgim emehcs s’namriahc ehT * dib lliw eh taht dna L ro , M , H fo stsoc evah ot ylekil yllauqe si rotcart -noc rehto eht taht eveile b uoY .srotcartnoc owt eht fo eno era uoy taht eso ppuS .L dna , M , H fo seulav )lla ton tub( emos rof esac eht si siht taht wohs lliw ew ereH .sreddib rof seigetarts muirbiliuqe era evo ba deso p -orp seigetarts gniddap-dib eht taht detartsnomed tey ton evah eW ) f(

. em eh cs ’s tn at n uo cc a e h T

*?emehcs s’namriahc eht ro emehcs

’stnatnuocca eht ,sreto ocS lareneG rof tsoc detce pxe rewol a ni tluser lliw 3 3 semehcs owt eht fo hcihW M + 2 H ?sretoocS lareneG ot tcej orp 1 eht fo tsoc detce pxe eht si tahw ,ygetarts siht esu srotcartnoc fI . M ro H era stsoc reh fi H dib lliw ehs dna ,L era stsoc reh fi M dib lliw rotcartnoc A .yaw gniwollof eht ni sdib rieht gniddap fo ygetarts eht esu srotcartnoc hto b taht dna detpoda si emehcs gniddib s’namriahc eht taht eso ppuS )e(

.tiforp a ekam dna tcartnoc

e h t te g t hg im

eh t ah t e c na hc a si e re h t L n ah t re hg ih s di b eh fI

.t car tn oc e h t s t eg e h to n ro

r eh t eh w s t if or p or ez e ka m o t e ru s s i ,L s d i b e h f I . o N

eh

?L dib ot L fo stsoc htiw rotcartnoc a

rof elihwhtrow e b reve ti dluow ,detpoda si emehcs s’namriahc eht fI ”).dib sih ta mih ot ti drawa dna sreddib eht fo eno tceles ylmodnar lliw ew ,eit a si ereht fI( .sdib flesmih eh ecirp eht ta reddib wol eht ot tcartnoc eht drawa lliw ew dna ,L ro , M , H fo sdib ylno tpecca lliw ew ,L ro , M , H rehtie era stsoc ’srotcartnoc eht taht wonk ew ecniS .ylesiw ti od su tel tub ,sdib delaes fo snaem yb tcartnoc eht drawa su teL“ .nalp gniwollof eht deso porp dna stnatnuocca eht derongi namriahc ehT )d(

. di b t se w ol dn oc es e h t t a t c ar tn oc uoy

fi d lu ow y e ht n ah t t nu om a r e hg ih a

di b l li w sr ed d ib l l a ne h t ,d ib )71 .hC(

s ’ re dd ib S N OITC UA

812

.004 = x ).evitavired a ekaT :tniH( .t�orp detce pxe reh sezimixam taht x dib eht dniF .)000 ,1/x()x − 008($ .x$ sdib ehs fi t�orp detce pxe reh rof alumrof a etirW

000 ,1/x

x -0 08 $

?gur eht steg ehs fi t�orp reh si tahW

?gur eht teg lliw ehs taht ytilibaborp eht si tahw )000,1

dna 0 neewte b re bmun a si x erehw( gur eht rof x$ sdib lirpA fI .mih ot htrow si gur eht tahw yltcaxe dib lliw traB taht eso ppus niagA )c(

.0 21 $

?006$ sdib ehs fi t�orp detce pxe reh si tahW

?006$ rof gur eht steg ehs fi t�orp reh si tahW

. 0 1/ 6

. 00 2$ ?gur eht

teg lliw ehs taht ytilibaborp eht si tahw ,gur eht rof 006$ sdib lirpA fI .mih ot htrow si gur eht tahw yltcaxe yap lliw traB taht eso ppuS )b(

. 07 $

?007$ sdib ehs fi t�orp detce pxe reh si tahW

reh si tahw ,007$ rof gur eht steg ehs fI

. 01 / 7

. 0 01 $

?t�orp

?gur eht teg lliw ehs

taht ytilibaborp eht si tahw ,gur eht rof 007$ sdib ehs fI .mih ot htrow si gur eht tahw yltcaxe dib lliw traB taht skniht lirpA taht eso ppuS )a( .t�orp detce pxe reh ezimixam ot sa yaw a hcus ni dib reh ekam ot stnaw ehS .orez e b lliw t�orp reh ,gur eht teg t’nse od ehs fi dna ,ti rof syap ehs tahw dna 008$ neewte b ecnere�id eht e b lliw t�orp reh ,gur eht steg ehs fI .lirpA ot 008$ htrow yllautca si gur ehT .000 ,1/X si X naht ssel ta gur eht seulav reddib rehto eht taht ytilibaborp eht taht seveile b reddib hcae ,000,1 dna 0 neewte b X re bmun yna rof eroferehT .000,1$ dna 0 neewte b tnuoma yna ta gur eht eulav ot ylekil yllauqe si rehto eht taht seveile b reddib hcaE .dib s’reddib tsehgih eht ta reddib tsehgih eht ot gur eht lles lliw dna reddib hcae morf sdib delaes tpecca lliw ehs taht syas relles ehT .ti ta kool a sekat reddib hcae dna tuo thguorb si gur tsal ehT .traB dna lirpA ,tfel sreddib owt ylno era ereht noitcua gur euqitna na ta yad eht ni etaL )3( 6.71

L > H4 − M5

?H

dib ot e b uoy ot elbaliava ygetarts tse b eht lliw L dna , M , H fo seulav tahw roF ?L era stsoc ruoy fi tahW . M ro L dib uoy fi orez ro evitagen dna H dib uoy fi evitiso p e b lliw st�orp detce pxe ruoy , M era stsoc ruoy fI . H dib ot naht rette b on od nac uoy , H era stsoc ruoy fi ylsuoivbO .L era stsoc sih nehw M dib lliw eh dna H ro M era stsoc sih nehw H E MA N

912

sezimixam dib tahW

.0 04 $

?esac siht ni t�orp detce pxe reh

.000 ,1/x2)x − 008($

.reh ot 008$ htrow si

gur eht nehw x$ dib reh fo noitcnuf a sa t�orp detce pxe reh rof alumrof a etirW .000 ,1/x2 ?005$ < x$ erehw x$ sdib ehs fi ti teg lliw ehs taht ytilibaborp eht si tahW .lirpA ot 008$ htrow si gur eht taht eso ppuS )c(

.0 03 $

?003$ sdib ehs fi t�orp detce pxe reh si tahW

?gur eht steg dna 003$ sdib ehs fi t�orp reh si tahW

. 01 /6

. 00 5$ ?ti rof

003$ sdib ehs fi gur eht teg lliw ehs taht ytilibaborp eht si tahW

00 6$

naht ssel si traB ot gur eht fo eulav eht fi gur eht teg ylno lliw lirpA .ti rof 003$ sdib ehs dna lirpA ot 008$ htrow si gur eht eht taht eso ppuS )b(

.0 05 $

n a ht er om d ib r e ve n l li w tr aB

ecnis ,005$ revo tsuj gniddib yb

er us r of

?dib reve dluow traB taht tnuoma tsehgih eht

.0 0 5$

?10.005$ naht erom dib ot lirpA rof yap reven

t i te g n ac e hS ti dluow yhW

si tahw ,mih ot htrow si gur eht tahw fo flah sdib syawla traB fI )a( .mih ot htrow si gur eht sa hcum sa flah ylno dib dluow traB taht deveile b ehs fi od ot lirpA rof gniht tse b eht dluow tahw ees s’teL .eulav lluf sih dib lliw traB taht eveile b ot lirpA rof elbanosaer mees t’nseod ti ,esac eht si siht fI .reh ot htrow si gur eht sa hcum sa flah ylno dib lliw ehs neht ,mih ot htrow si gur eht sa hcum sa yltcaxe dib lliw traB taht seveile b lirpA fi taht dnuof uoy ,yltcerroc melborp suoiverp eht did uoy fI )3( 7.71

.2/ V = x

).evitavired a ekaT :tnih emaS( .t�orp detce pxe reh

ezimixam lliw taht x$ dib eht etaluclac woN

)000 ,1/x()x − V($

.x$ sdib ehs fi x dna V selbairav eht fo smret ni t�orp detce pxe reh sesserpxe taht alumrof a etirW .mih ot htrow si gur eht tahw yltcaxe dib lliw traB taht seveile b ehs dna V$ si lirpA ot gur eht fo eulav eht taht eso ppuS .rewsna lareneg a gnidn� drawot rehtruf elttil a og su tel woN )d( )71 .hC(

S N OITC UA

022

rac a rof dib eh lliw hcum woH

× 5/3

0 01 $

?tset etsat sih sliaf taht

046$ = 001 × 5/2 + 000 ,1

?tset etsat sih sessap taht rac a rof dib lA lliw hcum woH )d(

0

?rac desu

d oog a si ti taht ytilibaborp eht si tahw ,tset etsat s’lA sliaf rac a fI )c(

4 /3

?rac desu

doog a si ti taht ytilibaborp eht si tahw ,tset etsat s’lA sessap rac a fI )b( .noitcua eulav

no mm oc

)etavirp ,nommoc( a fo elpmaxe na si tnemnorivne noitcua sihT )a( .rac yreve rof eulav detce pxe sih sdib ,tset etsat sih fo stluser eht tnuocca otni gnikat dna ,kcitspid yreve skcil ,noitcua yreve sdnetta lA .tset sih liaf snomel eht fo 3/1 tub ,tset etsat s’lA liaf reven lliw rac d oog A .kcitspid eht fo �o lio eht gnikcil yb nomel a tceted ,syawla ton tub ,semitemos nac lA .esacknarC lA si noitpecxe ylno ehT .snomel eht gnoma morf srac doog gnikcip ta eciohc modnar naht rette b on od nac snoitcua eht dnetta ohw sreyub eht fo lla tsomlA .denoitcua era yeht erofe b setunim wef a rof srac desu eht revo kool ot dewolla era sreyuB .reyub yna ot 001$ ylno htrow si nomel a dna reyub yna ot 000,1$ htrow si rac desu doog A .srac desu doog era flah dna snomel era esuoH noitcuA s’d oR ta dlos era taht srac eht fo flah ,egareva nO .dib s’reddib tsehgih-dnoces eht ta reddib tsehgih eht ot dlos si rac desu hcaE .yadseuT yreve snoitcua rac-desu dib -delaes sdloh ,nogerO ,tfahsknarC tneB ni esuoH noitcuA s’doR )2( 8.71

. se Y

?stce pxe rehto eht taht noitca eht ekat lliw hcae

,sfeile b eseht nevig taht esnes eht ni gnimr�noc-fles e b sfeile b eseht lliW .sfeile b eseht nevig t�orp detce pxe rieht ezimixam ot tca hto b yeht taht osla eso ppuS .eulav lautca reh fo flah dib lliw lirpA taht seveile b traB dna eulav lautca sih fo flah dib lliw traB taht seveile b lirpA taht eso ppuS )e(

.2/ V = x nehw 0

si x ot t ce ps er ht iw e vi ta v ir ed e hT

.000 ,1/x2)x − V( ezimixaM

.eulav eurt nwo reh fo flah dib

ot si lirpA rof gniht tse b eht taht wohS .eulav eurt sih fo flah dib lliw traB taht seveile b ehs dna V$ ta gur eht seulav lirpA taht eso ppuS )d( E MA N

122

.ekaf a sa ti sezingocer yoreL taht ytilibaborp eht fo tnedne pedni si ekaf a sa ti sezingocer evetS taht ytilibaborp eht ,ekaf yna roF .tset �ins s’yoreL ssap ot erus era sgnitniap eniuneG .tset �ins sih ssap meht fo flah dna tset �ins sih liaf sekaf eht fo flaH .evetS sa yaw emas eht ni sekaf stceted yoreL .2/1 si tset �ins s’evetS sessap ekaf a taht ytilibaborp eht tcaf nI .sekaf lla tceted tonnac eh ,revewoH .ekaf a ylniatrec si ti neht ,tset �ins sih sliaf gnitniap a fi taht sdn� evetS .meht gnillems yb sekaf era sgnitniap eht rehtehw sseug ot yrt hcae yoreL dna evetS ,noitce psni feirb a ylno dewolla era yeht esuaceB .sdib rieht ecalp tsum neht dna y�eirb sgnitniap eht tce psni ot dewolla era sreyub ,sdib rieht ecalp yeht erofeB .sselhtrow si ekaf A .000,1$ htrow si euqitna eniuneg A .ekaf a ro eniuneg si ti rehtehw niatrec rof wonk lliw ydo byreve neht dna ,dezylana ylluferac e b lliw ti ,desahcrup si gnitniap a retfA .eniuneg era tser eht dna ,sekaf era yrellag eht ta dlos era taht sgnitniap eht fo tnecre p ythgiE .ainrofilaC ,onserF ni yrellag tra na ta sgnitniap euqitna yub yoreL dna evetS )3( 9.71

04 5$ ?tset sih sessap taht rac a no e b t�orp detce pxe s’lA lliw tahW )j(

.m eh t

ro f 00 1$ y ap

ll i w eh d n a s ra c d oo g eh t f o ll a t e g ll iw lA

).dib tsehgih-dnoces eht ta reddib tsehgih eht ot dlos era srac

taht llaceR( ?ecirp tahw ta dna srac d oog eht teg lliw ohw ,tset eht fo stluser eht nevig ,srac lla rof eulav detce pxe sih sdib lA dna ,tset etsat s’lA liaf taht srac rof seulav detce pxe rieht dib lA naht rehto sreddib fI )i(

0 01 $

?dib yeht lliw hcum woh ,tset etsat s’lA deliaf sah ti taht

nevig ,rac a rof eulav detce pxe rieht dib lA naht rehto sreddib eht fI )h(

.y e no m e so L ?ycilo p siht wollof yeht fi neve kaerb ro ,yenom esol ,yenom ekam sreddib evian lliW 001$ ?rac detceles ylmodnar a rof seulav detce pxe rieht dib syawla yeht fi teg sreddib evian taht srac fo eulav detce pxe eht si tahW )g(

oN

?tset etsat s’lA dessap taht rac a teg reve reddib

evian a lliw ,rac detceles ylmodnar a fo eulav detce pxe eht dib sreddib evian eht dna rac desu yreve rof eulav detce pxe sih sdib lA taht neviG ) f(

0 55 $

?dib eh dluow hcum woH

.elbaliava esoht gnoma morf rac detceles ylmodnar a rof eulav detce pxe sih dib esuoH noitcuA s’doR ta reddib evian a ,rac hcae rof taht eso ppuS )e( )71 .hC( S N OITC UA

222

eht yap ot gnilliw si yoreL taht swonk evetS taht eso ppuS

e v it ag en

?evitagen ro evitiso p e b t�orp detce pxe sih lliw ,tset �ins sih sessap taht gnitniap yreve rof 003$ yap ot sre�o evetS fI

3.

?ti teg

dna ti no dib lliw evetS taht dna ekaf a si gnitniap detceles ylmodnar a taht ytilibaborp eht si tahW 1. ?ti yub ot elba si evetS taht dna eniuneg si gnitniap detceles ylmodnar a taht ytilibaborp eht si tahw ,tset �ins nwo sih sessap taht gnitniap yreve no dib ot sediced evetS fI .2/1 ylno si ti steg evetS taht ytilibaborp eht ,gnitniap a no dib hto b yoreL dna evetS fi taht llaceR .tset �ins sih sessap taht gnitniap yna yub ot re�o lliw yoreL taht seveile b evetS taht eso ppuS .003$ fo ecirp evreser a stes esuoh noitcua eht ,sremotsuc ylno eht era yoreL dna evetS nehw yad eht nO )c(

2.

:ytilibaborP .stset ’srelaed hto b sliaf dna ekaF .E •

2.

:ytilibaborP .s’evetS sliaf tub tset s’yoreL sessap dna ekaF .D •

2.

:ytilibaborP .s’yoreL sliaf tub tset s’evetS sessap dna ekaF .C •

2. 2.

:ytilibaborP .stset ’srelaed hto b sessap dna ekaF .B • :ytilibaborP .stset ’srelaed hto b sessap dna eniuneG .A •

.hcae fo ytilibaborp eht rof sknalb eht ni lliF .semoctuo elbisso p ev� era ereht ,yoreL dna evetS hto b yb de�ins dna modnar ta detceles si gnitniap a fI :gniwollof eht sredisnoc evetS ,tset �ins sih sessap taht gnitniap a rof dib ot hcum woh gnidiced nI .esuoh noitcua eht ta derae ppa evah sremotsuc rehto oN .sgnitniap eht fo lla gn�ins ,noitcua eht ta rehto hcae ees yoreL dna evetS ,yad rehtona nO )b(

. 33 . 33 3$

?gnitniap eht yub ot gnilliw

e b dluow eh hcihw ta ecirp detso p tsehgih eht si tahW .ti stnaw eh fi ecirp detso p eht rof gnitniap eht yub nac eh taht sezilaer evetS 3/1 ).tset sih ssap taht seuqitna eniuneg fo re bmun eht deecxe lliw tset s’evetS ssap taht sekaf fo re bmun eht ,sgnitniap d oog naht nommoc erom hcum era sekaf ecniS :tniH( ?gnitniap doog a si ti taht ytilibaborp eht si tahw ,tset sih dessap sah ti taht neviG .tset sih sessap ti dna ,gnitniap a s�ins eH .derae ppa evah sreddib rehto yna ron yoreL rehtien taht srevocsid dna sevirra evetS ,esolc ot tuo ba si esuoh noitcua eht sa ,yad enO )a( .ecirp detso p eht ta nosre p taht ot lles dna modnar ta meht fo eno tceles lliw esuoh noitcua eht ,gnitniap eht yub ot sre�o nosre p eno naht erom fI .elas eht fo yad eht no ecirp detso p eht ta yub ot re�o nettirw a timbus nac sreyub laitnetoP .gnitniap hcae rof ecirp a stso p esuoh noitcua ehT E MA N

322

ecnere�id eht yb t�orp s’relaed rac a erusaem ew taht eso ppuS

8/ 1

).srelaed rehto eht ot L$ dna einrA ot H$ htrow si rac eht fi ylno ne ppah lliw sihT :tniH( ?ti no secalp eh eulav eht naht ecirp rewol a rof rac a steg einrA taht yad nevig yna no ytilibaborp eht si tahw ,rac desu yreve rof noitaulav lautca sih sdib relaed yreve dna noisulloc on si ereht fI )d(

2/)L + H($ morf eunever detce pxe s’o peR si tahW

2/1

seviecer o peR taht ytilibaborp eht si tahW

?elas eht

?rac desu s’yad taht rof L$

2/ 1

?rac desu s’yad taht

rof H$ seviecer o peR taht ytilibaborp eht si tahw ,yad nevig yna nO )c(

L$

? H$ ta rac eht

eulav srelaed owt naht rewef nehw syad no rac desu a rof teg o peR lliw hcum woH H$ ? H$ ta rac eht eulav srelaed eerht ro owt nehw syad no rac desu a rof teg o peR lliw hcum woh ,edulloc ton od srelaed eht fI )b(

L$

?rac desu a no L$ fo eulav a secalp eh nehw yad a no rac desu

a rof dib relaed a dluohs hcum woH

H$

?rac desu a no H$ fo eulav a

secalp eh nehw yad a no rac desu a rof dib relaed a dluohs hcum woH )a( .sreddib pot lla yb dib ecirp eht ta reddib pot detceles ylmodnar a ot dlos e b lliw rac s’yad taht os dna dib tsehgih eht ot lauqe si dib tsehgih-dnoces eht neht ,dib tsehgih eht rof eit a si ereht fI .reddib tsehgih-dnoces eht yb dib ecirp eht ta dib tsehgih eht htiw relaed eht ot rac eht lles lliw ynapmoc ecnan� o peR ehT .denoitcua gnie b rac desu eht rof sdib nettirw timbus srelaed rac-desu eht yad hcaE .srelaed rehto eht yb decalp seulav eht fo tnedne pedni si yad nevig a no rac a no secalp relaed hcae taht eulav ehT .2/1 ytilibaborp htiw L$ eulav wol a dna 2/1 ytilibaborp htiw H$ eulav hgih a sekat hcihw elbairav modnar a si yad nevig yna no ,relaed yna ot srac desu eseht fo eno fo eulav ehT .tol rac sih ta dnamed ni noitairav ot esno pser ni yad ot yad morf ylmodnar setautcu� rac desu rehtona rof yap ot ssengnilliw esohw relaed rac-desu a si sreddib eseht fo hcaE .ynraC dna ,yenraB ,einrA ,srac eseht no dib ohw sreddib eerht ylno era erehT .elibomotua dessesso per a slles ti hcihw ni noitcua ecirp-dnoces ,dib-delaes a sdloh ynapmoc ecnan� o peR eht yad yrevE )2( 01.71

05 2 $

?tset �ins nwo sih sessap taht

gnitniap a rof yap ot gnilliw e b dluohs evetS taht ecirp evreser tsehgih eht si tahW .tset �ins s’yoreL sessap taht gnitniap yna rof ecirp evreser )71 .hC( S N OITC UA

422

.7891 ,ymonocE lacitiloP fo lanruoJ eht ni llahsraM tre boR dna maharG leinaD yb ”snoitcuA hsilgnE dna ,ecirp-dnoceS ,tcej bO-elgniS ta roivah -eB reddiB evisulloC“ ,re pap a no ylevisnetxe sward noissucsid ruO *

. se Y

8/)L − H( > 6/)L − H(

.nialpxE ?edulloc ton did yeht fi dluow yeht naht tnemeerga

evisulloc siht htiw st�orp detce pxe rehgih ekam srelaed eerht eht oD )b(

re p t�orp detce pxe s’yenraB si tahW

6/ 1

6/)L − H($

?yad

?mih ot H$ htrow yllautca

si ti nehw L$ rof rac eht steg yenraB taht ytilibaborp eht si tahw ,yad nevig yna no neht ,L$ dib syawla ot eerga ynraC dna ,yenraB ,einrA fI )a( ”.tsom ti eulav ohw elpoe p eht fo eno ot seog syawla ti neht ,htrow sti kniht ew tahw dib ew nehW .eulav hgih a evah ew fi ti teg ot era ew sa eulav wol a evah ew fi rac eht teg ot ylekil sa tsuj era ew ,emas eht dib lla ew nehw ,si elbuort eht tub ,yenom emos evas lliw ew neht ,L$ dib lla ew fI .aedi doog a s’taht erus os ton m’I“ ,dias yenraB ”?snoitcua rac-desu s’o peR ni L$ dib syawla ot eerga ew t’nod yhW“ ,dere psihw neht dna ko ol lufthguoht a tog einrA ”.yenom yna sekam su fo enon ,sne ppah taht nehw dna , H$ rof og srac desu eht emit eht flah tuo bA“ ,denialp -moc ynraC .gnikam erew yeht st�orp wol eht dna srac desu rof gniyap erew yeht secirp hgih eht tuo ba gniklat ot tog dna laicos hcruhc a ta teem ot dene ppah melborp suoiverp eht fo ynraC dna ,yenraB ,einrA *”.gnir gniddib“ a si gniddib evisulloc secit -carp taht puorg a rof eman nommoc ehT .srucco gniddib evisulloc taht ecnedive dnuof evah sretirw ynaM .snoitcua dib-delaes ni sreddib gnoma noisulloc snrecnoc )wollof taht owt eht dna( melborp sihT )3( 11.71

L)8/1( + H)8/7( = )2/)L + H(( + )8/)L − H(3(

?tekram eht ni stnapicitrap lla

fo st�orp detce pxe eht fo mus eht si tahW .edulloc ton od srelaed eht dna noitcua ecirp-dnoces ,dib-delaes a yb dlos era srac desU .o peR yb dezilaer eunever detce pxe eht dna srelaed rac eerht eht fo st�orp detce pxe eht fo mus eht si tekram eht ni stnapicitrap lla fo t�orp latot detce pxe ehT )e(

8/)L − H(

?t�orp detce pxe s’einrA si tahw ,yad detceles ylmodnar

a nO .ti rof syap eh tahw dna mih ot htrow si rac a tahw neewte b E MA N

522

.noitcua tuokconk eht ni gniddib ”tsenoh“ serusne taht msinahcem siht no noitairav a tneserp llahsraM dna maharG .dib ot thgir eht steg ohw sa llew sa noitcua eht morf detubirtsider eunever eht tce�a sdib s’eno ecnis ,noitcua tuokconk eht ni ygetarts tse b eht si siht taht esac eht ylirassecen ton si tI *

0

si L$ ta rac desu a seulav ohw enoemos

ot noitcua tuokconk eht gninniw fo eulav ehT

.L − H$

e b tsum

H$ ta rac desu a seulav ohw enoemos ot noitcua tuokconk eht gninniw fo eulav eht eroferehT .L$ fo ecirp a rof ti teg lliw eh dna noitcua dib-delaes ecirp-dnoces s’o peR ni rac siht rof H$ dib nac eh taht swonk eh neht , H$ ta rac desu s’yad eht seulav noitcua tuokconk eht fo renniw eht fI )a( *.noitcua tuokc onk eht gninniw fo eulav lautca sih sdib reddib hcae ,noitcua tuokconk eht ni taht emussa ,melborp siht roF .ynraC dna ,yenraB ,einrA gnoma yllauqe dedivid si noitcua ”tuokconk“ eht morf detcelloc si taht eunever ehT ”.tuokconk“ a si nwonk si siht ekil noitcua noitcuaerp A .L$ dib tsum sreddib owt rehto eht elihw ,sekil eh gnihtyna dib nac gniddib noitcuaerp siht sniw ohw relaed ehT .noitcua s’yad taht ni reddib hgih ylno eht e b ot thgir eht rof dib yeht hcihw ni sevlesmeht gnoma noitcua noitcuaerp ecirp-dnoces ,dib-delaes a dloh lliw ynraC dna yenraB ,einrA ,noitcua sti sdloh o peR erofe b ,yad yrevE .emehcs s’einrA si ereH ”.su fo lla rof st�orp esaercni lliw taht emehcs a fo thguoht ev’I .esle ydo bemos ot H$ htrow si ti hguohtla L$ ylno ta ti seulav rac s’keew eht steg ohw eno eht taht sne ppah semitemos ti ,L$ dib lla ew nehW“ :srehto eht ot deso porp einrA .aedi rehtona dah einrA yad eno litnu ,skeew lareves rof ”wol dib syawla“ fo ygetarts eht decitcarp ylippah ynraC dna ,yenraB ,einrA )2( 21.71

.oN

?yltneic�e detacolla srac eht era ,melborp

siht ni sa edulloc srelaed eht fI

.s e Y

?yltneic�e detacolla srac eht

era ,noisulloc on si ereht fi ,noitcua ecirp-dnoces ,dib-delaes a htiW .ti seulav relaed rehto emos naht ssel ti seulav ohw relaed a fo sdnah eht ni pu sdniw reven rac a fi yltneic�e detacolla e b ot dias era srac ehT )d(

r el la mS ?edulloc ton od srelaed eht nehw era yeht naht rellams ro regral st�orp latot detce pxe eseht erA

2/)L + H( = L +6/)L − H(3

.edulloc

srelaed eht erehw esac eht ni )srelaed eerht eht sa llew sa o peR gnidulcni( tekram eht ni stnapicitrap lla fo st�orp latot detce pxe eht etaluclaC )c( )71 .hC(

S N OITC UA

622

ssel dna

8/7

8 /7

naht ssel si L/H fi elbat�orp

naht retaerg si L/H oitar eht fi ecirp noitavreser on

gnittes naht o peR rof elbat�orp erom e b lliw dib on steg ti hcihw rof srac gniyortsed dna H$ wole b ylthgils tsuj si taht ecirp evreser a gnitteS )b(

.R)8/7($

e b lliw t�orp detce pxe

s’o peR os , 8/7 si R$ rof rac nevig a lles nac o peR taht ytilibaborp eht ,ygetarts siht wollof yeht fI ”.L$ ta ti eulav yeht nehw gnihton dib ot dna H$ ta rac a eulav yeht nehw R$ dib ot hcae rof si od nac yeht tse b eht ,edulloc ynraC dna ,yenraB ,einrA fi neve neht ,R$ wole b ecirp yna ta lles ot sesufer dna snug sti ot skcits o peR fI“ .deunitnoc tsimonoce ehT )a( .tsimonoce eht deilper ”,htam eht od tsuJ“ .laic�o o peR a dias ”,etsaw a tahw tuB“ ).tnaligiv naht ssel era nwotemoh s’o peR ni seitirohtua noitcetorp latnemnorivne eht ,yldaS( .revir eht otni rac s’yad taht pmud tsuj neht ,R$ ruoy sa egral sa dib a teg t’nod uoy fi dna ,sreddib eseht fo eno ot R$ rof ti lles ,R$ fo dib eno tsael ta teg uoy fI ?)L$ naht regral hcum esruoc fo tub( H$ naht rewol tib elttil a tsuj si hcihw R$ ecirp evreser a tes uoy t’nod yhW“ :detseggus tsimonoce ehT .scimonoceorciM etaidemretnI deiduts dah ohw tsimonoce na erih ot daetsni dediced yeht dna deliaverp sdaeh relooc tub ,ynraC dna ,yenraB ,einrA hsinup ot nam tih a gnirih deso porp srotcerid fo drao b eht fo sre bmem emoS .ssima saw gnihtemos taht desseug sklof o peR eht ,rac a rof dib hgih eno naht erom tog reven o peR hcihw gnirud skeew lareves fo egassap eht retfA )2( 31.71

8 /) L -H ( 7

).noitcua tuokconk eht morf eunever

eht fo erahs s’relaed hcae edulcni ot re bmemeR( ?srelaed rac eerht eht fo hcae fo t�orp latot detce pxe eht si tahw ,detpoda si emehcs s’einrA fI )d( .noitcua s’o peR ni reddib hgih ylno eht e b ot thgir eht rof

L− H

syap noitcua tuokconk eht fo renniw eht , H$ ta rac desu eht eulav sreyub erom ro owt nehw syad nO .tuokconk eht gninniw fo seulav lautca rieht dib srelaed ,noitcua tuokconk eht ni taht emussa ot eunitnoc eW )c(

L − H$

fo

t�orp latot a sekam eulav reyub hgih eht htiw relaed eht ,yad siht nO .ti rof L$ o peR syap eh dna H$ eulav htiw relaed ylno eht ot og lliw rac desu s’yad eht ,esac siht nI .noitcua s’o peR ni reddib hgih ylno eht e b syap relaed eht ,noitcua tuokconk eht ni ,esac ot thgir eht rof 0 siht nI ni

0

L − H$

dib lliw srelaed owt rehto eht dna noitcua tuokconk eht dib lliw H$ eulav htiw relaed eht ,L$ ta ti eulav owt

rehto eht dna H$ ta rac desu eht seulav relaed eno nehw yad a nO )b( E MA N

722

)71 .hC( S N OITC UA

822

.elacs ot snruter gnisaercni era ereht snaem sihT . 4/5t yb tuptuo fo tnuoma eht ylpitlum uoy ,t yb stupni lla fo stnuoma eht ylpitlum uoy nehw eroferehT .) 2x , 1x( f 4/5t = 2x 1x 4/5t 4/3 2/1 = ) 2xt , 1xt( f teg uoY .noitauqe tsal eht morf t gnivlovni snoisserpxe eht tuo rotcaf ,) 2x , 1x( f ot ) 2xt , 1xt( f erapmoc oT . 4/3) 2xt( 2/1) 1xt( = ) 2xt , 1xt( f e b lliw tuptuo neht ,t yb tupni hcae fo tnuoma eht ylpitlum ew fI . 2x 1x = ) 2x , 1x( f noitcnuf noitcudorp eht redisnoC :e lpmaxE 4/3 2/1

.elacs ot snruter gnisaerced era ereht neht ,t naht ssel yb deilpitlum si tuptuo fI .elacs ot snruter tnatsnoc era ereht ,t yltcaxe yb deilpitlum si tuptuo fI .elacs ot snruter gnisaercni era ereht neht ,t naht erom yb tuptuo seilpitlum t yb stupni gniylpitlum fI .1 > t re bmun a yb deilpitlum si tupni yreve fo tnuoma eht fi tuptuo ni egnahc eht htiw denrecnoc era ew ereH ”.elacs ot snruter“ etagitsevni ew woN .4 fo tuptuo na evah lliw mr� dnoces eht dna 2 fo tuptuo na evah lliw mr� tsr� eht neht ,)1 ,1( = ) 2x , 1x( noitanibmoc tupni eht evah smr� hto b fI .ygolonhcet emas eht evah ton od ylniatrec yeht tub ,stnauq osi emas eht evah lliw smr� owt eht taht eurt si tI . 2) 2x + 1x( = ) 2x , 1x( ∗ f noitcnuf noitcudorp eht sah rehtona dna , 2x + 1x = ) 2x , 1x( f noitcnuf noitcudorp eht sah mr� eno taht eso ppus tuB .tegdub yreve morf seciohc emas eht ekam dluow dna ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu eht htiw nosre p a sa sevruc ecnere�idni emas eht evah dluow ) 2x , 1x( ∗ U noitcnuf ytilitu eht dah ohw nosre p A . 2) 2x + 1x( = ) 2x , 1x( ∗ U noitcnuf ytilitu eht dluow os neht ,secnereferp s’nosre p a stneserper 2x + 1x = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu eht fI :e lpmaxE .seigolonhcet tnere�id e bircsed rehto hcae fo snoitamrofsnart cinotonom era taht snoit -cnuf noitcud orp tnere�id owt ,tsartnoc nI ”.snoitamrofsnart cinotonom ot pu euqinu“ ylno erew snoitcnuf ytilitu taht re bmemeR .snoitcnuf ytilitu dna snoitcnuf noitcudorp neewte b ecnere�id tnatro pmi eno si erehT .snoitcnuf noitcudorp fo selpmaxe sa desu e b osla nac snoitcnuf ytilitu fo selpmaxe sa evag ew taht snoitcnuf eht fo tsoM .) 2x , 1x( 2P M/) 2x , 1x( 1P M ,stcudorp lanigram eht fo oitar eht si ) 2x , 1x( noitanibmoc tupni eht ta tnauqosi na fo e pols eht ,yroeht noitcudorp nI .) 2x , 1x( 2U M/) 2x , 1x( 1U M ,seitilitu lanigram fo oitar eht si ) 2x , 1x( eldnub eht ta evruc ecnere�idni na fo e pols eht taht dnuof uoy ,yroeht remusnoc nI .tuptuo emas eht evig hcihw fo lla ,snoitanibmoc tupni fo suc -ol a si tnauqosi na ,yroeht noitcud orp nI .ytilitu emas eht remusnoc a evig hcihw fo lla ,seldnub ytidommoc fo sucol a si evruc ecnere�idni na ,yroeht ytilitu nI .snoitcnuf ytilitu fo yroeht eht slellarap ylesolc ti esuace b ,uoy ot railimaf kool lliw yroeht sihT .sesu ti stupni eht ot mr� a fo tuptuo gnital -er ,snoitcnuf noitcudorp htiw krow uoy retpahc siht nI .noitcudortn I

ygolonhceT E MA N

81 retpahC

.smelborp retal rof ecnerefer lufesu a e b lliw elbat ehT .kcab eht ni srewsna eht morf elbat siht ni ll� dluohs suluclac wonk ton od ohw uoy fo esohT . 2x 4− = 2P M/ 1P M− √ si SR T ehT . 2x1√2 si esac siht ni hcihw ,dex� 1x gnidloh , 2x ot tce pser htiw ) 2x , 1x( f fo evitavired eht si 2x fo tcudorp lanigram ehT .2 tsuj si sihT .dex� 2x gnidloh , 1x ot tce pser htiw ) 2x , 1x( f fo evitavired eht si 1x fo tcudorp lanigram ehT . 2x + 1x2 = ) 2x , 1x( f noitcnuf noitcudorp eht √ redisnoc ,elpmaxe na sA .snoitcnuf noitcudorp deretnuocne yltneuqerf lareves rof noitutitsbus fo setar lacinhcet dna stcudorp lanigram etaluc -lac ot si esicrexe siht fo trap tsr� ehT .esicrexE pU mraW 0.81 .sesaercni 2x sa sesaerced 2x fo tcudorp lanigram eht taht wohs nac uoy ,ylralimiS . 1x ot tce pser htiw tcudorp lanigram eht fo evitavired eht gnikat yb yfirev nac uoy sa , 1x fo noitcnuf gnisaerced a si sihT . 2x 1x 12 si 1 rotcaf fo tcudorp lanigram 4/3 2/1− ehT . 2x 1x = ) 2x , 1x( f noitcnuf noitcudorp eht redisnoC :e lpmaxE 4/3 2/1

.orez ro ,evitiso p ,evitagen si rotcaf taht fo tnuoma eht ot tce pser htiw noitcnuf noitcudorp eht fo evitavired dnoces eht rehtehw no gnidne ped sesaercni rotcaf eht fo tnuoma eht sa tnatsnoc yats ro ,esaercni ,esaerced lliw rotcaf a fo tcud orp lanigram eht eroferehT .rotcaf taht fo tnuoma eht ot tce pser htiw tuptuo fo evitavired tsr� eht si rotcaf a fo tcudorp lanigram eht taht ezingocer lliw suluclac wonk ohw uoy fo esohT .srotcaf rehto fo tnuoma eht gnignahc tuohtiw rotcaf taht fo tnuoma eht esaercni uoy sa sesaerced ro sesaercni noitcudorp fo rotcaf elgnis hcae fo tcudorp lanigram eht rehtehw enimreted ot deksa e b osla lliw uoY .elacs ot snruter tnatsnoc sah noitcnuf noitcudorp siht taht swollof tI .t yb deilpitlum osla si tuptuo ,t yb deilpitlum era stupni lla nehw eroferehT .) 2x , 1x( ft = } 2x , 1x{nim t = } 2x , 1x{t nim = } 2xt , 1xt{nim = ) 2xt , 1xt( f nehT .} 2x , 1x{nim = ) 2x , 1x( f e b noitcnuf noitcudorp eht teL :e lpmaxE )81 .hC(

YG OL O N HCET

032

2x − 1x 1−a� � 2x − 1x 1−a � � b − 2x a2 √ a+ 1x − b+ 2x

�

�

2+ 1x − 1+ 2x � 1xb � − 2xa 1x3 − 2x 1x 2x

−

) 2x 1−b a

+ a1x( 1−a2xab

2 xa 1−a 2 x 2 b√

a + 1x

) 2x 1−b a

+ a1x( 1−a1xab

1 xa 1−a

a b + 2x

2 + 1x 2x 1xb C 1−b a 2x 1x 4 4/1− 4/1 3 1x05

b/a−

2/1−

) 2x , 1x( SR T

1 + 2x

) 2x b a 2x a 2x

a

b

2x 1x C b a 2x 1x 4/3 4/1 2x 1x05 2x b

+ 1xa

2x2

) 2x , 1x( 1P M

+ a1x( + a1x

b + 1xa √

)b + 2x()a + 1x( )1 + 2x()2 + 1x(

1xa C 2x b 1−a 2x 1x 4 4/3 4/3− 1

2x05

1

2 ) 2x , 1x( 2P M

+ 1x

) 2x , 1x( f

noitutitsbuS fo setaR lacinhceT dna stcud orP lanigraM

E MA N

132

.L/61

= T noitauqe eht yfsitas lla

slehsub 4 fo tuptuo na reh sevig taht tnauqosi eht no stnio p ehT .stnio p eseht hguorht snur taht tnauq osi noitcudorp a hctekS .slehsub 4 fo tuptuo na reh evig taht snoitanibmoc tupni emos tolp ,wole b hparg eht nO )a(

.sehcae p fo slehsub 2 T 2 L = ) T ,L( f si 1 1 tuptuo reh ,sesu ehs dnal fo stinu fo re bmun eht si T dna sesu ehs ro bal fo stinu fo re bmun eht si L erehW .sehcae p sesiar allenurP )0( 1.81

1P M

2P M

C

C

D

D

C

I

D

D

C

D

D

D

D

D

C D D

2 1 x + x 3/1 3/1 3� � ) 2x( 5.)1 + 1x(

5.

2x

C

√

+ 1x

2x 1x 4/3 4/1

I

2x 1x2. 2

D

2x2 + 1x √ + 1x

C

2x2

elacS

) 2x , 1x( f

.deirav si enola rotcaf taht fo tnuoma eht sa ,gnisaerced ro ,tnatsnoc ,gnisaercni si )2 rotcaf( 1 rotcaf fo tcudorp lanigram eht rehtehw no gnidne ped ,nmuloc )driht( dnoces eht ni D ro , C , I na tuP .elacs ot snruter gnisaerced ro ,tnatsnoc ,gnisaercni sah noitcnuf noitcudorp eht fi nmuloc tsr� eht ni D ro , C , I na tup ,wole b elbat eht ni noitcnuf noitcudorp hcae roF

stcud orP lanigraM ni segnahC dna elacS ot snruteR

)81 .hC(

YG OL O N HCET

232

ruobaL 61

21

8

4

enil eulB

0

2

4 enil deR enil LPM deR

6

8 tup tu O

.r e tt al F retta� ro re peets gnitteg evruc siht sI

?esaercni ro bal fo tnuoma eht sa

. r ob al

fo

t c ud or p

lanigram eht sa nwonk si evruc siht fo e pols ehT .meht le bal dna 61 dna ,9 ,4 ,1 ,0 si ro bal fo tnuoma eht hcihw ta hparg ruoy no stnio p eht etacoL .dnal fo tinu 1 sah ehs fi tupni ro bal fo noitcnuf a sa tuptuo s’allenurP gniwohs evruc a ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO .sesu ehs dnal fo tnuoma eht yrav tonnac allenurP ,nur trohs eht nI )c(

. el a cs o t sn ru t er tn at s no C

.elacs ot snruter

)gnisaerced ,gnisaercni ,tnatsnoc( stibihxe noitcnuf noitcudorp sihT )b( L 61

21

8

4

0

2

4

6

8 T

E MA N

332

. 2x 1x 21 .) 2x , 1x( 2/3 2/1− tnio p eht ta 1x fo tcudorp lanigram eht rof noisserpxe na etirW )a( . 2x 1x = ) 2x , 1x( f 2/3 2/1 dna salguoD-bboC si noitcnuf noitcudorp eht eso ppuS )0( 3.81 fi

e sa er c ni

lanigram ehT eht si tahW

su luc laC

.tib elttil a yb desaercni si 2x fo tnuoma eht )tnatsnoc yats ,esaerced ,esaercni( lliw 1x fo tcudorp

.0 .0

? 2x ni esaercni llams a fo tcud orp lanigram ? 1x ni esaercni llams a fo tcudorp lanigram eht

si tahW .02 = 2x = 1x dna } 2x , 1x{nim = ) 2x , 1x( f taht eso ppuS )b( .elacs ot snruter

t na ts no c

,gnisaercni( setartsnomed ygolonhcet sihT

)gnisaerced ,tnatsnoc

.y ti n if ni

si 1x dna

2x neewte b noitutitsbus fo etar lacinhcet ehT . 2x ni sesaercni llams rof )sesaerced ,tnatsnoc sniamer ,sesaercni( dna

t na ts n oc sn ia me r ,

0

si tcudorp lanigram eht 2x roF . 1x ni sesaercni llams rof

t na ts n oc sn ia me r 1

)sesaerced ,tnatsnoc sniamer ,sesaercni( dna

si 1x rof tcudorp lanigram ehT . 2x < 1x taht eso ppuS )a(

.} 2x , 1x{nim = ) 2x , 1x( f dna snoitro porp dex� ni desu era 2x dna 1x eso ppuS )0( 2.81 .4 ta dex� si dnal fo tnuoma eht nehw tupni ro bal fo noitcnuf a sa ro bal fo tcudorp lanigram gniwohs evruc a ward ot kni der esu oslA .tupni ro bal fo noitcnuf a sa tuptuo gniwohs evo ba hparg eht no evruc wen a ward ot kni der esU .dnal fo stinu 4 ot drahcro reh fo ezis eht sesaercni ehs taht eso ppuS .ro bal fo sa llew sa dnal fo tupni reh egnahc nac allenurP ,nur gnol eht nI )e(

.4 = L nehw 52. dna 1 = L nehw 5. si PM eht os ,L 2/1 si evitavireD √

.evo ba dnuof tuptuo ro bal ni

esaercni tinu eht morf tluser eht htiw ti erapmoc dna )1 ,1( noitanibmoc tupni eht ta ro bal fo tcudorp lanigram eht etupmoc ,suluclac wonk uoy ?ro bal fI .42. ≈ 2 − 5 ?ro bal fo stinu 4 .14. ≈ 1 − 2

√

√

fo tinu 1 desu ylsuoiverp ehs nehw ro bal fo tinu artxe na gnidda morf teg ehs seod tuptuo artxe hcum woh ,dnal fo tinu 1 sah ehs gnimussA )d( )81 .hC(

YG OL O N HCET

432

.nur trohs eht ni tupni ro bal fo noitcnuf a sa ro bal fo tcudorp egareva eht ward ot kni kcalb esU .tupni ro bal fo tnuoma eht yb dedivid tuptuo latot sa den�ed si ro bal fo tcudorp egareva ehT .nur trohs eht ni tupni ro bal fo noitcnuf a sa ro bal fo tcudorp lanigram eht ward ot kni der esU .nur trohs eht ni tupni ro bal fo noitcnuf a sa tuptuo ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO .elbairav si ro baL .stinu 4 ta dex� si latipac ,nur trohs eht nI )b(

)gnisaerced ,gnisaercni ,tnatsnoc( era erehT )a(

g n is ae rc e d

.)gnisaerced ,gnisaercni ,tnats si ro bal fo tcudorp lanigram ehT .elacs ot snrut

tn at sn o c

-noc( -er

.desu latipac fo tnuoma eht K dna desu ro bal fo tnuoma eht si L erehw , K + 2/L = )L ,K( f si selgarf rof noitcnuf noitcudorp ehT )0( 4.81 √ .elacs ot snruter

g ni s ae rc ni

)gnisaerced ,tnatsnoc ,gnisaercni( setartsnomed ygolonhcet sihT )g(

. se Y ?noitutitsbus fo etar lacinhcet gnihsinimid evah ygolonhcet siht seoD ) f(

. 1x3/ 2x−

si 1x dna 2x neewte b noitutitsbus fo etar lacinhcet ehT )e(

. 1x fo tcudorp lanigram eht

se sa e rc ni

)sesaerc

-ed ,degnahcnu sevael ,sesaercni( 2x fo tnuoma eht ni esaercni nA )d(

sesaercni llams rof -ni( ti dna ,

s es ae rc n i

2x 1x2/3 2/1 2/1

. 2x ni )sesaerced ,tnatsnoc sniamer ,sesaerc

si 2 rotcaf fo tcud orp lanigram ehT )c(

.dex� 2x gnidloh , 1x ni sesaercni llams rof

se s ae rc ed

)tnatsnoc sniamer ,sesaerced ,sesaercni( 1x fo tcudorp lanigram ehT )b( E MA N

532

.tnalp retsknI eht ta stuanregguj 04 gnicud orp rof tnauq osi eht ward ot kni der esU .tnalp tnilF eht ta stuan -regguj 04 rof tnauq osi eht ward ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO )a(

.stupni eht era 2x dna 1x erehw ,} 2x , 1x2{nim = ) 2x , 1x( If ot gnidrocca secudorp tnalp retsknI eht dna } 2x2 , 1x{nim = ) 2x , 1x( Ff ot gnidrocca secudorp tnalp tnilF ehT .retsknI ni eno dna tnilF ni eno ,stuanregguj gnicudorp rof stnalp owt sah noitaro proC sretsnoM lareneG )0( 5.81

ruobaL 61

21

8

4

0 enil deR

enil kcalB

2

4 enil eulB

6

8 selga rF

)81 .hC(

YG OL O N HCET

632

gnitciped aera eht ni edahs ot kni eulb esu ,wole b margaid eht nO

= B4 + A2

.061

.srekrow 061 yltcaxe gnisu decudorp e b dluoc taht B

dna A stcudorp fo snoitanibmoc eht sserpxe ot noitauqe na etirW )a( .tuptuo fo tinu re p srekrow 4 seriuqer B tcudorP .tuptuo fo tinu re p srekrow 2 seriuqer A tcudorP .stcudorp owt fo rehtie ekam ot dengissa e b dluoc ohw srekrow 061 fo werc a eganam uoY )0( 6.81

.s eY

?xevnoc

mr� siht ot elbaliava ygolonhcet eht sI .stnalp owt eht neewte b rennam yna ni noitcudorp tilps nac ti fi tuptuo fo stinu 04 gnicudorp rof tnauqosi s’mr� eht ward ot ne p kcalb a esU .tnalp retsknI eht ni stuanregguj 01 dna tnalp tnilF eht ni stuanregguj 03 ecud orp ot si ti fi otot ni sdeen mr� eht taht stupni owt eht fo hcae fo hcum woh swohs taht tnio p eht c a htiw le baL .tnalp retsknI eht ni stuanregguj 03 dna tnalp tnilF eht ni stuanregguj 01 ecudorp ot si mr� eht fi otot ni dedeen si stupni owt eht fo hcae fo hcum woh swohs taht tnio p eht hparg ruoy no b a htiw le baL )c( .tnalp retsknI eht ta 02 dna tnalp tnilF eht ta 02 ,stuanregguj 04 fo latot a ecudorp ot sdeen mr� eht taht stupni owt eht fo hcae fo tnuoma latot eht gnitneserper tnio p eht ,hparg eht no a na htiw le baL .02 = 2x ,01 = 1x ?tnalp retsknI eht ta stuanregguj 02 ecudorp ot deen mr� eht lliw tupni hcae fo hcum woH .01 = 2x ,02 = 1x ?tnalp tnilF eht ta stuanregguj 02 ecudorp ot deen mr� eht lliw tupni hcae fo hcum woH .tnalp hcae ta stuanregguj 02 ecud orp ot sehsiw mr� eht taht eso ppuS )b( 1X 08

06

04

02

0

tnauqosi kcalB 02

c a

tnauqosi eulB

b 04

tnauqosi deR

06

08 2X

732

E MA N

?elacs ot snruter tnatsnoc evah smr� eseht fo hto b ro rehtie oD .} y ,x{nim + x = ) y ,x( f noitcnuf noitcudorp eht sah mr� dnoces A .mr� siht rof stnauqosi noitcudorp fo elpuoc a hcteks ot kni der esu ,wole b hparg eht nO .} y + x ,x2{nim = ) y ,x( f noitcnuf noitcud orp eht sah mr� A )0( 7.81

.0 7

?desunu tfel e b lliw ynam woH

. sr e kr oW

?eno

hcihW .stupni eht fo eno fo ylppus eritne ruoy esu ton lliw uoy ,tnuoma siht ecudorp uoy fI .stinu 54 ?ecudorp dluoc uoy taht A tcudorp fo tnuoma tsegral eht si tahw ,slevohs 081 dna srekrow 061 evah uoy fI )e(

.081 = B2 + A4 dna = B4 + A2

061

?tnio p siht enimreted ot evlos uoy dluow snoitauqe

tahw ,hparg eht evah t’ndid uoy fI .slevohs eht fo lla dna ro bal eht fo lla pu esu taht stupni fo noitanibmoc elbisaef eht etacol margaid ruoy nO )d( .slevohs fo ylppus detimil eht dna ro bal fo ylppus detimil eht hto b tnuocca otni sekat eno nehw snoitanibmoc tuptuo elbisso p stnes -erper taht aera eht edahs ot kni kcalb esu ,margaid emas eht nO )c(

.081 = B2 + A4

.slevohs 081 yltcaxe eriuqer taht B dna A

fo snoitanibmoc fo tes eht rof noitauqe na nwod etirW .ylppus ro bal eht tuo ba seirrow on erew ereht fi slevohs 081 htiw decudorp e b dluoc taht B dna A fo snoitanibmoc gnitciped aera eht ni edahs ot kni der esu ,nward tsuj evah uoy hparg eht nO .srekrow 4 dna slevohs 2 seriuqer decudorp B tcud orp fo tinu yreve taht dna srekrow 2 sa llew sa slevohs 4 fo esu eht seriuqer decudorp si taht A tcudorp fo tinu yreve taht won eso ppuS )b( A 08

06

04

gnidahs eulB

02

0

02

a gnidahs kcalB

04

gnidahs deR

06

08 B

).lla ta gnihton od ot srekrow emos rof elbisso p osla si ti taht emussA( .srekrow 061 htiw decudorp e b dluoc taht B dna A fo snoitanibmoc eht )81 .hC(

YG OL O N HCET

832

.1 < a dna 0 > b dna 0 > C llA

?1 rotcaf rof tcudorp

lanigram gnisaerced ereht si C dna ,b ,a fo seulav evitiso p tahw roF )b(

ot snruter gnisaercni ot snruter tnatsnoc

?elacs

.1 = b + a dna 0 > C llA

?elacs

.1 > b + a dna 0 > C llA .1 < b + a dna 0 > C llA

?elacs ot

snruter gnisaerced ereht era C dna ,b ,a fo seulav evitiso p tahw roF )a( .stnatsnoc evitiso p era C dna ,b ,a erehw , 2bx a1x C = ) 2x , 1x( f si noitcnuf noitcudorp eht taht eso ppuS )0( 9.81

.) 3x , 2x , 1x( ft > ) 3x , 2x , 1x( f c+b+at = c) 3xt( b) 2xt( a) 1xt(A = ) 3xt , 2xt , 1xt( f ,1 > t yna roF .elacs ot snruter gnisaercni era ereht taht evorP .1 > c + b + a erehw , 3cx 2bx a1xA = ) 3x , 2x , 1x( f mrof eht sah noitcnuf noitcud orp eht eso ppuS )0( 8.81 x 04

03

02

01

s tnauqosi kcalB

0

01

02 s tnauqosi deR

03

04 y

.mr� dnoces eht rof stnauqosi fo elpuoc a ward ot kni kcalb esu ,hparg emas eht nO .od htoB E MA N

932

.elpmaxe rof ,0 = 2x ,4 = 1x

.tuptuo

elbuod naht ssel lliw stupni hto b fo tnuoma eht gnilbuod taht hcus stupni fo noitanibmoc a dniF .elpmaxe rof ,4 = 2x ,1 = 1x .tuptuo fo tnuoma eht elbuod naht erom lliw stupni hto b fo tnuoma eht gnilbuod taht hcus stupni fo noitanibmoc a dniF .desu era

sr ot c af eh t hc ih w n i oi ta r eh t n o gn i dn ep ed t ne re f fi d er a e l ac s ot s nr u te R

?e b siht nac woH

.elacs ot snruter gnisaerced ro ,elacs ot snruter tnatsnoc ,elacs ot snruter gnisaercni fo noitin�ed eht yfsitas ton se od noitcnuf noitcudorp sihT )b(

s e sa er cn i

.sesaercni 2 rotcaf fo tnuoma eht sa )tnatsnoc syats ,sesaerced ,sesaercni( 2 rotcaf fo tcud orp

lanigram ehT .sesaercni 1 rotcaf fo tnuoma eht sa

s es a er ce d

)tnatsnoc syats ,sesaerced ,sesaercni( 1 rotcaf fo tcud orp lanigram ehT )a( . 22x + 1x √ = ) 2x , 1x( f noitcnuf noitcudorp eht sah mr� a taht eso ppuS )0( 11.81

.1 > ba gnisaercnI

.1 = ba

?elacs ot snruter tnatsnoC

?elacs ot snruter

.1 < ba

?elacs

ot snruter gnisaerced ereht era b dna a fo seulav evitiso p tahw roF )a( .stnatsnoc evitiso p era b dna a erehw , ) a2x + a1x( b = ) 2x , 1x( f si noitcnuf noitcudorp eht taht eso ppuS )0( 01.81

. se ul a v e vi ti so p l la r oF

?noitutitsbus fo etar

lacinhcet gnihsinimid ereht si C dna ,b ,a fo seulav evitiso p tahw roF )c( )81 .hC(

YG OL O N HCET

042

eciohc tuptuo-tupni sti fi noitazimixam t�orp htiw tnetsisnoc si roivahe b s’mr� a taht wonk uoy ,yllacihparG .nesohc tupni eht fo tnuoma eht fo noitcnuf a sa decudorp tuptuo fo tnuoma eht rof ti evlos nehT .secirp tuptuo dna tupni nevig eht ta st�orp s’mr� eht rof noitauqe na nwod etirw tsuj ,enil t�orposi na rof noitauqe eht teg oT .secirp tuptuo dna tupni nevig emos rof t�orp fo tnuoma emas eht dleiy taht snoitanibmoc tuptuo-tupni eht fo lla setaler enil t�orposi nA .senil t�orposi s’mr� eht fo emos tolp ot deen lliw uoy siht od oT .roivahe b gnizimixam-t�orp htiw tnetsisnoc si smr� fo roivahe b devresbo eht rehtehw enimreted ot deksa era uoy ,noitazimixam t�orp fo moixa kaew eht no smelborp eht nI .desu era srotcaf eht hcihw ni oitar eht enimreted ot tneic�us ylno era snoitauqe owt eseht taht tuo snrut ti ,elacs ot snruter tnatsnoc era ereht fI .seititnauq rotcaf owt eht enimreted ot hguone era snoitauqe owt eseht ,elacs ot snruter gnisaerced era ereht fI .seititnauq rotcaf nwonknu owt eht ni snoitauqe owt sevig sihT .egaw sti ot lauqe si srotcaf owt eht fo hcae fo tcudorp lanigram eht fo eulav eht taht e b tsum ti ,st�orp sti gnizimixam si mr� eht fi nehT .stupni owt sesu taht mr� evitite pmoc a fo esac eht redisnoC .stupni sti fo lla yrav ot elba si mr� a ,nur gnol eht nI .tuptuo fo stinu 1w/p8 = 1x4 2/1 ecudorp ot esoohc lliw mr� eht taht ees ew ,noitcnuf noitcudorp eht otni siht gniggulP . 2) 1w/p2( = 1x dn� eW . 1x rof siht evlos nac ew woN 1x2p evah ew ,egaw sti ot lauqe 1 rotcaf fo tcud orp lanigram . 1w = 2/1− eht fo eulav eht gnitteS . 1x2 ot lauqe si tcudorp lanigram sihT . 1x ot 2/1− tce pser htiw tuptuo fo evitavired eht gnikat yb detaluclac si 1x fo tcudorp lanigram ehT . 1x4 = )61 , 1x( f ot lauqe tuptuo evah ew ,61 e b tsum 2/1 nur trohs eht ni desu 2 rotcaf fo tnuoma eht ecniS .ecudorp lliw ti tuptuo fo tnuoma eht dna esu lliw mr� eht taht 1x fo tnuoma eht dn� ot tnaw eW . 1w e b 1 rotcaf fo tinu re p syap ti ecirp eht tel dna ,p e b tuptuo s’mr� eht fo ecirp eht teL .1 rotcaf fo tnuoma eht si esoohc ot mr� eht rof tfel si taht gniht ylno eht ,nur trohs eht nI .nur trohs eht ni ytitnauq siht yrav ot elbanu si dna 2 rotcaf fo stinu 61 gnisu si mr� siht taht eso p -puS . 2x 1x = ) 2x , 1x( f noitcnuf noitcudorp eht sah mr� A :e lpmaxE 2/1 2/1

.nur trohs eht ni elbairav e b yam meht fo emos ylno ,srotcaf lareves sesu mr� a fi nevE .egaw eht ot lauqe si tcudorp lanigram sti fo eulav eht taht os rotcaf elbairav eht fo hguone gnirih yb st�orp sti ezimixam lliw mr� eht nehT .sesaercni ytitnauq sti sa sesaerced rotcaf siht fo tcudorp lanigram eht taht dna rotcaf eno ylno fo tnuoma eht yrav nac mr� evitite pmoc gnizimixam -t�orp a taht eso ppuS .llew sa stupni rof ecirp tekram eht yap ot sah ti neht ,stupni sti rof ete pmoc tsum osla ti fI .tuptuo sti rof ecirp tekram eht naht erom egrahc tonnac yrtsudni evitite pmoc a ni mr� A .noitcudortn I

noitazimixa M t�orP E MA N

91 retpahC

tupni ruobaL 42

02

61

21

8

4

0 4 8 21 3.31

ev ruc eulB enil ylggiuqS

42

enil deR 63 senil kcalB 84 tup tu O

hcum woh ,stsoc rehto on sah mr� eht fI hcum woH

.8

?ecudorp ti lliw tuptuo

.4 2

?e b st�orp latot sti lliw

. 42

?erih mr� eht lliw ro bal fo stinu ynam woH )b(

.elbisso p yllautca era taht stuptuo fo stsisnoc taht )4 ,0( hguorht enil t�orposi eht fo trap eht revo enil ylggiuqs a ekaM .enoN ?elbis -so p yllautca era taht stnio p tuptuo-tupni fo tsisnoc )21 ,0( hguorht enil t�orposi eht no stnio p ynam woH .2 epols evah lla yehT ?senil t�orposi eht fo hcae fo e pols eht si tahW .)4 ,0( tnio p eht hguorht sessap taht enil t�orposi eht dna ,)8 ,0( hguorht sessap taht enil t�orposi eht ,)21 ,0( tnio p eht hguorht sessap taht enil t�orposi eht ward ot kni kcalb esU .kni eulb gnisu ,noitcnuf noitcudorp eht fo hparg eht hcteks dna noitcnuf noitcudorp s’mr� siht fo hparg eht no stnio p wef a tolP )a( .3 = p si tuptuo fo tinu re p ecirp eht dna 6 = w si ro bal fo tinu re p tsoc ehT ). 1−bLba alumrof eht yb nevig si L fo tcudorp lanigram eht neht ,noitcudorp fo rotcaf emos fo tnuoma eht si L erehw dna ,stnatsnoc era b dna a erehw , bLa si tuptuo latot fi—suluclac wonk ton od ohw esoht roF( .sesu ti ro bal fo tnuoma eht si L erehw , 3/2L6 = )L( f yb nevig si mr� evitite pmoc a fo noitcnuf noitcudorp nur-trohs ehT )0( 1.91 .sd oire p rehto eht fo senil t�orposi eht wole b seil doire p hcae ni )91 .hC(

N OITAZI MIXA M TIF ORP

242

suoethgir fo re bmun eht si pr erehw ,}p ,h{nim = pr :mrof gniwollof eht sah noitcnuf noitcudorp ehT .gnihcaerp dna )elbaliava ylediw era ohw( snehtaeh :ssec orp siht ni dedeen stupni owt era erehT .slaudividni suoethgir otni meht smrofer dna snehtaeh sekat deJ rehtorB )0( 3.91

.0 04 $ ti se od t�orp hcum woH eht si tahW

.61

?sexat retfa ekam

?tuptuo fo tnuoma gnizimixam-t�orp

.)x05 − x 004( × 05. = π √

.tupni fo tnuoma

eht fo noitcnuf a sa st�orp xat-retfa sti nwod etirW .st�orp sti fo %05 ta dexat si mr� eht ,seidisbus dna sexat eseht fo daetsni taht eso ppuS )d( ).tupni fo tnuoma gnizimixam-t�orp eht rof evlos dna tupni sti fo noitcnuf a sa t�orp s’mr� eht rof noisserpxe na etirw ot si siht evlos ot yaw doog A :tniH( .046$ ?won ekam ti seod t�orp hcum woH

. 61

. 61

?level tuptuo wen sti si tahW

?level tupni wen sti si tahW .01$ yb dezidisbus si tupni sti fo

ecirp eht dna tuptuo sti fo tinu re p 02$ dexat si mr� eht taht eso ppuS )c(

. 00 8$ ?st�orp sezimixam ti nehw ekam ti seod st�orp hcum woH ?tuptuo fo

. 61

. 61

?tupni fo tnuoma gnizimixam-t�orp eht si tahW )b(

.x05 − x 004 = π √

.tupni fo tnuoma eht

fo noitcnuf a sa t�orp s’mr� eht setats taht noitcnuf a nwod etirW )a( .tinu re p 05$ stsoc tupni ehT .tinu re p 001$ rof slles ytidommoc ehT .tupni fo stinu fo re bmun eht si x erehw ,x 4 = )x( f noitcnuf noitcudorp a ot gnidrocca ytidommoc lanoitaercer a√ ecud orp ot tupni elgnis a sesu mr� selegnA soL A )0( 2.91

su luc laC

.tu pt uo g ni s ae rc n i yb e ni l t if o rp os i r eh gi h a hc ae r na c mr i f eh t ,s w oh s m a rg ai d e h t s A ,yhw nialpxE

.s e Y

.margaid ruoy ot gnirrefer

?ecirp wen eht ta tuptuo sti esaercni mr� eht

lliW .tuptuo dna tupni fo eciohc dlo sti hguorht sessap taht mr� eht rof enil t�orposi wen eht ward ot kni der esu ,hparg eht nO .p ta sniamer tuptuo fo ecirp eht dna ,4 ot sllaf ro bal fo egaw eht taht eso ppuS )c( E MA N

342

ni desu erew ecaps esuoheraw lla ,daetsni ,fi yad hcae decud orp e b dluoc redic fo sguj ynam woH .002 ?yad eno ni decudorp e b dluoc selppa fo sexo b ynam woh ,selppa fo noitcudorp eht rof desu erew ecaps esuoheraw lla fi dna ,seitilicaf esuoheraw no erew snoitatimil yticapac ylno eht fI )a( .seitilicaf gnisserp fo stinu 052 dna ,seitilicaf gnitarc fo stinu 006 ,ecaps esuoheraw fo stinu 002,1 :era yad hcae elbaliava stnuoma latot ehT .seitilicaf gnisserp fo tinu 1 dna ,seitilicaf gnitarc fo stinu 2 ,ecaps esuoheraw fo stinu 3 seriuqer redic fo guj A .seitilicaf gnisserp on dna ,seit -ilicaf gnitarc fo stinu 2 ,ecaps esuoheraw fo stinu 6 seriuqer selppa fo xo b A .seitilicaf gnisserp dna ,seitilicaf gnitarc ,ecaps esuoheraw :sdnik eerht fo snoitatimil yticapac sah s’eillA .redic fo sguj dna selppa fo sexo b ,stcu -d orp owt slles dna klub ni selppa sesahcrup .cnI ,selppA s’eillA )0( 4.91

.0 , s > w fI

.p¯

?detrevnoc e b lliw snehtaeh ynam woh ?detrevnoc e b lliw snehtaeh ynam woh ,s < w fI )d(

h

p _

pr

.¯p = h erehw tupni eht fo tnuoma eht etacidni dna ,sexa eht le baL .wole b hparg eht ni noitcnuf noitcudorp siht fo e pahs eht hctekS )c(

.0 ?esac siht ni nehtaeh lanoitidda na fo tcud orp lanigram eht fo eulav eht si tahW ?snehtaeh fo tcud orp lanigram eht si tahw ,¯p > h fI )b( .0

.s tahW

?nehtaeh lanoitidda na fo tcud orp lanigram eht fo eulav eht si

.1

?snehtaeh fo tcudorp lanigram eht si tahw ,¯p < h fI )a(

.tehporp gnizimixam-t�orp a si deJ taht dna ¯p ta dex� si gnihcaerp fo tnuoma eht eso ppuS .snomres sih ot meht tcartta ot w fo tnemyap a snehtaeh re�o tsum deJ .drocca nwo rieht fo snomres s’deJ ot kco� ton od snehtaeh ,yas ot daS .trevnoc lufetarg eht morf s fo tnemyap a seviecer deJ ,detrevnoc nosre p yreve roF .gnihcaerp fo sruoh fo re bmun eht si p dna ,snomres s’deJ dnetta ohw snehtaeh fo re bmun eht si h ,decudorp snosre p )91 .hC(

N OITAZI MIXA M TIF ORP

442

. 00 0, 1$ selppa fo sexo b

002

era seunever latoT .redic fo sguj

0

dna

gnicudorp si s’eillA ,nalp noitcudorp gnizimixam

-t�orp eht tA .yad re p 000,1$ fo eunever a etareneg dluow taht redic dna selppa fo selas fo snoitanibmoc eht wohs ot enil kcalb a warD .guj re p 2$ rof redic dna selppa fo xo b re p 5$ rof selppa lles nac s’eillA )e( selppA 006

005

004

003

002

001

0

enil deR 001 enil kcalB

002

003 enil eulB 004 enil euneve r kcalB 005

006 rediC

.selppA s’eillA rof redic dna selppa fo noitcudorp yliad fo snoitanibmoc elbisaef stneserper taht aera eht edahs woN )d(

.0 52 ynam woH

.r e bm un e ti ni fn i nA

?redic fo sguj

?stniartsnoc rehto on dna

yticapac gnisserp eht tuo ba yrrow ot dah ylno eh fi ecud orp eillA dluoc selppa fo sexo b ynam woH .seitilicaf gnisserp no snoitatimil ot eud snoit -anibmoc tuptuo no stniartsnoc tneserper ot enil kcalb a ward yllaniF )c(

. 00 3

?redic fo sguj ynam woH

. 00 3

?yticapac gnitarc tuo ba yrrow ot dah ylno eh fi ecudorp eillA dluoc selppa fo sexo b ynam woH .yticapac gnitarc no snoitatimil ot tuptuo no stniarts -noc eht tneserper ot enil der a ward ,gninosaer emas eht gniwolloF )b( .snoitanibmoc noitcud orp no tniartsnoc ecaps esuoheraw eht tneserper ot hparg gniwollof eht ni enil eulb a warD .004 ?stniartsnoc yticapac rehto on erew ereht dna redic fo noitcud orp eht E MA N

542

tupnI 21

01

8

6

4

2

0

2

4

3 doi reP

6 2 doi reP 8

01

1 doi reP

21 tup tu O

.senil tiforposi 3 lla woleb si t ah t no ig e r eh T

?sdrow ni noiger siht e bircsed uoy dluow woH

.elbaliava si taht ecnedive eht morf llet nac eno sa raf sa elbisaef e b dluoc taht snoitanibmoc tuptuo-tupni stneserper taht hparg eht no noiger eht ni edahs ,ytilibat�orp delaever fo yroeht eht gnisU .x52. + 2 = y

,x5. + 1 = y ,x = y

?senil eerht eseht rof snoitauqe eht

era tahW .nesohc yllautca noitanibmoc eht sa doire p taht st�orp emas eht dleiy dluow taht tuptuo dna tupni fo snoitanibmoc gniwohs ,sd oire p eerht eht fo hcae rof enil t�orposi na ward ,wole b margaid eht nI )b(

.x w − y p = π

.p tuptuo fo ecirp eht dna ,w tupni eht fo tsoc

tinu-re p eht ,secudorp ti y tuptuo fo tnuoma eht ,sesu ti x tupni fo tnuoma eht fo noitcnuf a sa , π ,st�orp s’mr� eht sevig taht noitauqe na etirW )a( 1 1 1 p

52. 5. 1 w

8 3 1 x

4 5.2 1 y

3 2 1 doireP

:gniwollof eht dn� dna sdoire p eerht revo roivahe b s’mr� eht evresbo uoY .p yb detoned si tuptuo eht fo ecirp eht dna w yb detoned si rotcaf eht fo tinu re p ecirp ehT .ti ecudorp ot ,x ,tupni eno sesu dna , y ,tuptuo eno secudorp mr� gnizimixam-t�orp A )0( 5.91 )91 .hC(

N OITAZI MIXA M TIF ORP

642

lio fo sle r rab noilliM 21

01

8

6

4

2

0

01 2

04 deR 02

4

6

04

8

01

21 enilosag fo sle r rab noilliM

.kni der ni 04 a htiw ti le baL .eciohc noitcudorp dna enil t�orposi s’liO floG ward kni der gnisU .04 dna ,02 ,01 meht le baL .sdoire p tnere�id eerht eht rof seciohc dna senil t�orposi s’liO llihS tolp ,kni kcalb gnisU )a( .lio fo slerrab noillim 8 gnisu enilosag fo slerrab noillim 5.3 decudorp floG ,04$ tih enilosag fo ecirp eht nehw tub ,02$ dna 01$ saw enilosag fo ecirp eht nehw emas eht yltcaxe did )I I I hcnuL .E nitraM yb deganam si hcihw( liO floG .enilosag fo slerrab noillim 5 ecudorp ot lio fo slerrab noillim 01 desu llihS ,lerrab a 04$ saw enilosag fo ecirp eht nehw ,yllaniF .lio fo slerrab noillim 4 gnisu enilosag fo slerrab noillim 3 decud orp llihS ,lerrab a 02$ saw enilosag fo ecirp eht nehW .lerrab a 01$ saw enilosag fo ecirp eht nehw lio fo slerrab noillim 1 gnisu enilosag fo slerrab noillim 1 decudorp liO llihS .noitcudorp enilosag ot tupni ylno eht si lio taht emussa ew ,yticilpmis roF .lerrab a 01$ ta tnatsnoc deniamer lio fo tsoc eht elihw ,yltnac�ingis detautcu� enilosag fo ecirp eht ,sdrocer eseht yb derevoc doire p emit eht gniruD .enilosag secudorp dna lio syub seinapmoc eseht fo hcaE .ynapmoC liO floG eht dna ynapmoC liO llihS eht ,yub thgim eh taht seiren�er owt fo sdrocer laicnan� eht gninimaxe si eno b-T .st�orp rehgih ta meht etare po ot seirt neht dna ,meht syub ,st�orp gnizimixam ton era taht seinapmoc rof skool eh taht snaem sihT .rediar etaro proc a si snekciP eno b-T )0( 6.91 E MA N

742

.tnemugra trohs a evig dna ,on ro sey dno pseR ?)MPAW( roivaheB gnizimixaM t�orP fo moi -xA kaeW eht yb nevorp e b nac snoitiso porp gniwollof eht fo hcihW .0 ≥ x∆w∆ − y∆p∆ ,noitazimixaM t�orP fo moixA kaeW eht ye bo tsum eciohc tuptuo eht dna eciohc tupni eht ,ecirp tuptuo dna tupni eht ni segnahc yna rof taht wonk ew nehT .noitcudorp fo rotcaf eno esu ylno dna ,st�orp ezimixam ot tpmetta ,tekram evitite pmoc a ni etare po smr� taht eso ppuS )0( 8.91

.04$ s aw l i o fo ec i rp

ne hw e s oh c ti t ah w naht

n oi ta ni b mo c s ih t g ni s oo hc y b s ti fo r p erom e da m ev ah dl u ow ti n e ht , dl uo c t i f I . oN ?ton yhw ro yhW ?noitanibmoc tuptuo-tupni siht ecudorp ot ti rof elbisaef yllacigolonhcet e b ti dluow ,st�orp sezimixam syawla llihS taht gnimussA .hparg ruoy no tnio p siht kraM .lio fo slerrab noillim 8 morf enilosag fo slerrab noillim 5 ecudorp ot elba e b ot evah dluow liO llihS siht od ot redro nI .’nikcurT no paC ,smraf nekcihc sih rof tee� yreviled sih leuf ot ecud orp yeht enilosag eht esu ot stnaw eH .liO llihS gniyub ni detseretni yrev si llits eh tuB .st�orp sti gnizimixam nee b ylbaborp sah ti taht sediced snekciP eno b-T ,liO llihS gniyduts ylluferac retfA )0( 7.91

.0 2$ s a w s a g fo ec ir p neh w d i d t i s a g ni tc a y b y en o m e r om e da m eva h dl u oc fl o G , 0 4$ sa w sa g fo e ci rp ne hW . se Y .nialpxE ?st�orp gnizimixam ton si liO floG taht ecnedive yna ereht sI )d(

. M PA W y fs it a s a ta d eh T .o N .nialpxE ?st�orp gnizimixam ton si liO llihS taht ecnedive yna ereht sI )c(

. n oi ll im 06 $

?04$ saw enilosag fo ecirp eht nehw ekam yllautca floG did

st�orp tahW

.n oi l li m 08 $

?lerrab a 02$ saw ecirp eht nehw

did ti taht tnuoma emas eht ecudorp ot nesohc dah ti fi lerrab a 04$ saw enilosag fo ecirp eht nehw edam evah liO floG dluoc st�orp hcum woH )b( )91 .hC(

N OITAZI MIXA M TIF ORP

842

). N fo noitcnuf a sa rezilitref fo tcudorp lanigram s’dnulgokS nwod gnitirw yb tratS :tniH( ?dnuo p a p$ si rezilitref fo ecirp eht dna lehsub a 3$

.p33.33 − 002

si nroc fo ecirp eht nehw erca re p esu dnulgokS lliw rezilitref hcum woH .rezilitref fo tnuoma emas eht htiw teg dluow dnulgoH sa erca re p nroc hcum sa eciwt yltcaxe steg eh ,seilppa eh taht rezilitref fo tnuoma yna rof ,tcaf nI .dnulgoH naht dnal rette b sah ,dnulgokS ,ro bhgien s’dnulgoH )c(

.004/ 2 N − N + 03

.sesu eh rezilitref fo tnuoma eht fo

noitcnuf a sa erca re p dleiy s’dnulgoH remraF setats taht noitcnuf a nwod etirW ).suluclac largetni ysae fo tib a re bmemer ohw esoht rof ylnO( )b(

.p66.66 − 002

?st�orp ezimixam ot redro ni erca

re p esu eh dluohs rezilitref fo sdnuo p ynam woh ,)3 < p erehw( dnuo p re p p$ si rezilitref fo ecirp eht dna lehsub a 3$ si nroc fo ecirp eht fI )a( .rezilitref fo dnuo p re p nroc fo slehsub 002/N − 1 si rezilitref fo tcudorp lanigram eht ,dnal fo erca na ot rezilitref fo sdnuo p N seilppa eh nehW .rezilitref on seilppa eh fi erca re p nroc fo slehsub 03 teg nac eh ,mraf sih no taht derevocsid sah dnulgoH remraF )1( 9.91

.n ep p ah to nn ac hcihw ,0 ≥ )+()+( − )−()+( si nrettap ngiS . oN

.tupni eht fo erom esu lliw mr� eht neht ,tuptuo ssel secudorp

mr� eht dna esaercni tupni eht dna tuptuo eht fo ecirp eht hto b fI )c(

.0 ≥ x∆ w∆− syas MPAW os ,0 = p∆

t’ ns eo d t up tu o fo e ci rp fI

.s eY

, eg na hc .tupni eht fo

erom ro tnuoma emas eht esu lliw mr� eht taht ylpmi lliw ecirp tupni eht ni esaerced a neht ,tnatsnoc sniamer tuptuo eht fo ecirp eht fI )b(

.0 ≥ y∆p∆ syas MPAW os ,0 = w∆

t ’n se o d t u pn i f o ec i rp fI . se Y

, eg na hc .tuptuo ssel

ro tnuoma emas eht ecudorp lliw mr� eht taht ylpmi lliw tuptuo eht fo ecirp eht ni esaerced a neht ,egnahc ton seod tupni eht fo ecirp eht fI )a( E MA N

942

. 2w si 2 rotcaf fo ecirp eht dna , 1w si 1 rotcaf fo ecirp eht ,4 si tuptuo sti fo ecirp ehT . 2x 1x = ) 2x , 1x( f 2/1 2/1 noitcnuf noitcudorp a dna srotcaf elbairav owt sah mr� A )0( 11.91

.1

?ekam ti lliw t�orp hcum woH

?ecudorp ti lliw tuptuo hcum woH fo stinu ynam woH

.1

.1

.1

?dnamed ti lliw 2 rotcaf

?dnamed mr� eht lliw 1 rotcaf fo stinu

ynam woh ,1 si 2 rotcaf fo egaw eht dna ,2 si 1 rotcaf fo egaw eht fI )b( ). 1x rof noitulos eht dn� ot 2x rof noitulos ruoy esu yllaniF .setar egaw owt eht fo noitcnuf a sa 2x rof evlos dna noitauqe dnoces eht otni rewsna eht etutitsbus nehT .segaw rotcaf eht fo dna 2x fo noitcnuf a sa 1x rof evlos ot noitauqe tsr� eht esu dluoc uoY :tniH( .) 2w 1w(/4 = 2x dna ) 2w 1w(/8 = 1x sevig 2 2 3 sihT . 2w dna 1w fo noitcnuf a sa st�orp s’mr� eht ezimixam taht 2 dna 1 srotcaf fo stnuoma eht evig ot , 2x dna 1x ,snwonknu owt eht ni snoitauqe 2x 1x .2 rotcaf fo egaw eht ot lauqe si 2 owt evloS . 2w = 4/3− 2/1 rotcaf fo tcudorp lanigram eht fo eulav eht taht syas taht noitauqe na 1x2 1 rotcaf fo egaw eht ot lauqe si 1 rotcaf fo dna 1w = 2x 4/1 2/1− tcudorp lanigram eht fo eulav eht taht syas taht noitauqe na etirW )a( . 2w fo egaw a seviecer 2 rotcaf dna 1w fo egaw a seviecer 1 rotcaF .4 si tuptuo sti fo ecirp ehT . 2x 1x = ) 2x , 1x( f 4/1 2/1 ,noitcnuf noitcudorp a dna srotcaf elbairav owt sah mr� A )0( 01.91

. re zi l it re f ts om eht tog dnal tseb ehT .dleiy ni ecnereffid e ri tn e e h t es ua c to n d id r ez i li tr eF

.rezi

-litref fo ytivitcudorp eht fo aedi gnidaelsim a teg dluow ,dnal rieht fo ytilauq eht evresbo t’ndluoc tub stupni rezilitref rieht dna sdleiy nroc s’dnulgokS dna s’dnulgoH ta dekool ohw enoemos woh nialpxE )e(

.s eo d . H

na ht

re zi l it ref e ro m se su .S tu b ,r ez i li tr ef fo stnuoma lauqe desu yeht fi .H sa hcum s a ec iw t e cu d or p dl uo w .S . h cu m sa e ci wt n ah t er o M

.nialpxE ?s’dnulgoH sa hcum sa eciwt yltcaxe ro

hcum sa eciwt naht ssel ,hcum sa eciwt naht erom e b tuptuo s’dnulgokS lliw ,st�orp gnizimixam hto b era dnulgokS dna dnulgoH nehW )d( )91 .hC(

N OITAZI MIXA M TIF ORP

052

eht dna ,

1 ro tcaF 61 21

8

4

0 4 _ 9 4

8

21

61 2 ro tcaF

.3 / 8 9 /6 1

tuptuo gnizimixam-t�orp

2 rotcaf fo tnuoma gnizimixam-t�orp eht ,

0

1 rotcaf fo tnuoma gnizimixam-t�orp eht dn� ,3 si 2 rotcaf fo ecirp eht dna ,2 si 1 rotcaf fo ecirp eht ,4 si doog tuptuo eht fo ecirp eht fI )a( .4 fo tuptuo na ot dna 3 fo tupuo na ot gnidno pserroc stnauqosi noitcudorp ward ,wole b hparg eht nO . 2x4 + 1x2 = ) 2x , 1x( f noitcnuf noitcudorp a dna srotcaf elbairav owt sah mr� A√ )1( 21.91

. oN

? 2x dna 1x rof yleuqinu snoitauqe ytivitcudorp

lanigram owt eht evlos ot elbisso p ti si ,noitcnuf noitcudorp siht roF )b(

. 2 /1

= 2x/ 1x

2x 1x2 taht ylpmi snoitauqe owt eseht , 2w2 = 1w fI . 2w = 2/1− 2/1 dna 1w = 2x 1x2 .egaw sti ot lauqe si rotcaf hcae fo tcu 2/1 2/1− -dorp lanigram eht fo eulav eht taht yas taht snoitauqe owt eht etirW )a( E MA N

152

)91 .hC(

N OITAZI MIXA M TIF ORP

252

erew ereht erehw sesac htiw dna senil thgiarts erew ”sevruc“ ecnere�idni s’remusnoc eht erehw sesac htiw tlaed osla uoy ,yroeht remusnoc nI .001/061 = )61 ,1 ,1( 2x + )61 ,1 ,1( 1x = )61 ,1 ,1(c evah ew ,1 = 2w = 1w ecnis ecnatsni siht nI .)61 , 2w , 1w( 2x 2w + )61 , 2w , 1w( 1x 1w = )61 , 2w , 1w(c si tsoc sihT .stinu 61 gnicudorp fo tsoc eht etaluclac won nac ew ,rotcaf hcae fo ecirp eht wonk ew ecnis dna tuptuo fo stinu 61 ecud -orp ot desu e b lliw taht rotcaf hcae fo tnuoma eht wonk ew ecniS .001/441 = )61 ,1 ,1( 2x dna 001/61 = )61 ,1 ,1( 1x gniyas yb siht sserp -xe eW .61 = y tuptuo dna ,1 = 2w ,1 = 1w segaw eht no lanoitidnoc ,2 dna 1 srotcaf rof sdnamed rotcaf lanoitidnoc eht sa nwonk era hparg -arap suoiverp eht ni rof devlos ew taht 2x dna 1x stnuoma ehT .001/441 = 1x9 = 2x nehT .001/61 = 1x evah ew , 1x rof siht gnivloS .4 = 1x 01 ot rehtruf se�ilpmis noitauqe sihT .4 = 1x9 3 + 1x √ √ teg ot noitauqe suoiverp eht ni 2x rof etutitsbus nac ew , 1x9 =√2x ecniS .4 = 2x 3 + 1x yltnelaviuqe ro ,61 = 2) 2x 3 + 1x ( noitauqe eht yfsi √ √ √ √ -tas tsum rof gnikool era ew tnio p eht oS .tuptuo fo stinu 61 ecudorp ot yaw tse paehc eht rof gnikool era eW . 1x9 = 2x enil eht no erehwemos eil ot sah nesohc stupni fo noitanibmoc eht taht wonk ew oS . 1x9 = 2x ot de�ilpmis e b nac noitauqe sihT .1− = 2w/ 1w− = 2/1) 1x/ 2x()3/1(− evah tsum ew eroferehT . 2/1) 1x/ 2x()3/1(− = ) 2x , 1x( SR T dn� uoy ,)81 retpahC ni esicrexe pu mraw eht morf pu ti ko ol ro( noitutits -bus fo etar lacinhcet eht etaluclac uoy fI . 2w/ 1w− slauqe noitutits -bus fo etar lacinhcet eht erehw tnio p a rof gnikool e b lliw eW .tup -tuo fo stinu 61 ecudorp ot yaw tse paehc eht dn� su teL .1 = 2w si 2 rotcaf fo ecirp eht dna 1 = 1w si 1 rotcaf fo ecirp ehT . 2) 2x 3 √ + 1x ( = ) 2x , 1x( f noitcnuf noitcudorp eht sah mr� A .elpmaxE √ .decudorp gnie b si tnuoma derised eht taht uoy sllet taht noitauqe eht si noitauqe dnoces ruoy oS .ti ecudorp ot yaw tse paehc eht dn� tsum dna ecud orp ot stnaw eh tuptuo hcum woh dlot era uoy daetsni ;gnidne ps si recudorp eht hcum woh ecnavda ni wonk t’nod uoy emit sihT .noitauqe eno uoy sevig noitidnoc ycnegnat eht niaga ,yroeht noitaziminim-tsoc nI .noitauqe tegdub eht saw desu uoy noitauqe dnoces ehT .tnio p nesohc s’remusnoc eht etacol ot deen uoy snoitauqe owt eht fo eno ylno uoy sevig ycnegnat a gnidn� ,yroeht remusnoc ni ,llacer uoy sA ”.enil tsocosi“ na dna ”tnauqosi noitcudorp“ a si ereht ,yroeht recudorp nI ”.enil tegdub“ a dna ”evruc ecnere�idni“ na si ereht ,yroeht remusnoc nI .enil thgiarts a dna enil devruc a neewte b ycnegnat fo tnio p a rof kool uoy ,seiroeht hto b nI .yaw elbisso p tse paehc eht ni tuptuo fo tnuoma dex� a ecudorp ot gniyrt si taht mr� a fo roivahe b eht yduts uoy retpahc siht nI .dne ps ot yenom fo tnuoma dex� a sah eh taht tniartsnoc eht ot tcej bus ytilitu sih ezimixam ot seirt ohw remus -noc a deiduts uoy ,eciohc remusnoc no retpahc eht nI .noitcudortn I

noitazimini M tsoC E MA N

02 retpahC

.01

= 2x ,

0

= 1x ?tuptuo fo stinu 02 ecudorp ot

reh rof yaw tse paehc eht si tahw ,)1 ,1( secirp rotcaf secaf enidaN fI )e( ?tuptuo fo stinu y ecudorp ot redro ni deen ehs dluow ro bal . 2y delliks hcum woh ,tuptuo ecudorp ot ro bal delliks ylno sesu enidaN fI )d(

.y

?tuptuo fo stinu y ecudorp ot redro ni deen ehs

dluow ro bal delliksnu hcum woh ,ro bal delliksnu ylno sesu enidaN fI )c(

.t n at sn oC

?elacs ot snruter tnats

-noc ro ,gnisaerced ,gnisaercni tibihxe noitcnuf noitcudorp siht seoD )b( 1x 04

03

02

01

s tinu 02 s tinu 04

0

01

02

03

04 2x

.tuptuo fo stinu 04 ecud orp lliw taht snoitanibmoc tupni gnitneserper tnauqosi rehtona warD .tuptuo fo stinu 02 ecudorp lliw taht snoitanibmoc tupni gnitneserper tnauqosi noitcudorp a ward ,wole b hparg eht nI )a( .syolpme ehs taht ro bal delliks fo tnuoma eht si 2x dna ro bal delliksnu fo tnuoma eht si 1x erehw , 2x2 + 1x = ) 2x , 1x( f si noit -cnuf noitcudorp s’mr� reH .erawtfos yldneirf-resu slles enidaN )0( 1.02 .skrow siht woh wohs taht sesicrexe emos dn� lliw uoY .smr� gniziminim -tsoc fo esac eht ni emas eht yltcaxe tsomla si snoitulos yradnuo b dna sknik htiw yrots ehT .no gniog si tahw uoy llet dluow margaid eht ta kool luferac a yllausU .knik a ta ro yradnuo b a ta rucco thgim eciohc s’remusnoc eht taht dnuof uoy nehT .sevruc ecnere�idni eht ni sknik )02 .hC(

N OITAZI MI NI M TS OC

452

.s t in u 5

?deen ti dluow cniz hcum woH

.s ti n u 0 1

?deen ti

dluow re ppoc hcum woh ,seiretnor�e 01 ecudorp ot detnaw mr� eht fI )c(

.t n at sn oC

?elacs ot snruter tnats

-noc ro ,gnisaerced ,gnisaercni tibihxe noitcnuf noitcudorp siht seoD )b( 1x 04

03

02

01

0

1 2 =2 x_ 1 x 01

02

03

04 2x

.wole b hparg eht ni noitcnuf noitcud orp siht rof tnauqosi lacipyt a etartsullI )a( .noitcudorp ni sesu ti taht cniz fo tnuoma eht si 2x dna sesu ti re ppoc fo tnuoma eht si 1x erehw ,} 2x2 , 1x{nim = ) 2x , 1x( f :yb nevig si noitcnuf noitcudorp ehT .snoitro porp dex� ni desu ,cniz dna re ppoc fo yolla na si ssarb wonk uoy sA .seiretnor�e nezarb secudorp skrowssarB oiratnO ehT )0( 2.02

. y}2/ 2w , 1w{nim

= ) y , 2w , 1w(c

?tuptuo fo stinu y gnicud orp fo tsoc lam

-inim eht e b lliw tahw ,) 2w , 1w( secirp rotcaf secaf enidaN fI )h(

= } 2w01 , 1w02{nim = c

.} 2w , 1w2{nim 01

?tuptuo fo stinu 02 gnicudorp fo

tsoc laminim eht e b lliw tahw ,) 2w , 1w( secirp rotcaf secaf enidaN fI )g(

.0

= 2x ,

02

= 1x ?tuptuo fo stinu 02 ecudorp ot

reh rof yaw tse paehc eht si tahw ,)3 ,1( secirp rotcaf secaf enidaN fI ) f( E MA N

552

tnatsnoc era ereht taht ecitoN :tniH(

. y01

).elacs ot snruter ?tsoc siht dluow hcum

woH ?yaw elbisso p tse paehc eht ni stinu y ecud orp ot esu mr� eht dluow senihcam ynam woh dna 8/y ro bal fo stinu ynam woH )d(

2 /y

. 00 4

= )04 ,01 ,04(c :secirp rotcaf eseht ta stinu 04 gnicud orp fo tsoc

eht etaluclaC .secirp rotcaf evo ba eht nevig ,yaw elbisso p tse paehc eht ni tuptuo fo stinu 04 ecud orp ot desu era taht 02 senihcam fo rebmun eht dna

st in u 5

ro bal fo tnuoma eht etaluclaC .04 fo tuptuo

na ot gnidno pserroc tnauq osi noitcud orp eht hcteks ,hparg eht nO )c(

.4

).enil tsoc osi eht fo e pols eht slauqe tnauqosi

noitcudorp eht fo e pols eht erehw tnio p a ta ecudorp lliw mr� ehT :tniH( .rekrow re p esu dluow ti senihcam fo re bmun eht dniF .yaw elbisso p tse paehc eht ni tuptuo sti ecudorp ot stnaw mr� eht taht eso ppuS )b(

.4 -

?senil

tsocosi eseht fo e pols eht si tahW .002$ tsoc taht snoitanibmoc gniwohs enil tsocosi rehtona dna 004$ tsoc taht ro bal dna senihcam fo snoitanib -moc gniwohs ,mr� siht rof enil tsocosi na ward ,wole b hparg eht nO )a( .01$ si enihcam a gnisu fo tsoc eht dna tinu re p 04$ si ro bal fo tsoc ehT .senihcam fo re bmun eht si M dna desu ro bal fo stinu fo re bmun eht si L erehw , 2/1 M 2/1L4 = ) M ,L( f noitcnuf noitcud orp eht ot gnidrocca tuptuo ecudorp ot senihcam dna ro bal sesu mr� A )0( 3.02

. y)2/2w + 1w(

su luc laC

?seiretnor�e y gnicudorp fo

tsoc laminim eht e b lliw tahw ,) 2w , 1w( secirp rotcaf secaf mr� eht fI ) f(

. 2w5 + 1w01 = )01 , 2w ,1w(c

?seiretnor�e 01 ecudorp

ot tsoc tse paehc eht si tahw ,) 2w , 1w( secirp rotcaf secaf mr� eht fI )e(

. 5 1$ ts oc l liw tI .yaw tsepaehc eht si siht os ,)5 ,01( eldnub eh t gn is u y b t u pt uo f o s ti n u 01 ec u do rp n ac t I

ylno

?tsoc siht lliw hcum woH ?seiretnor�e 01 ecudorp ot

ti rof yaw tse paehc eht si tahw ,)1 ,1( secirp rotcaf secaf mr� eht fI )d( )02 .hC(

N OITAZI MI NI M TS OC

652

.)2 ,3 ,1 ,4( era ) 4x , 3x , 2x , 1x( stupni fo secirp ehT )0( 5.02

. 2/3 y 2w 1w2 = )y , 2w , 1w( 2x 2w + )y , 2w , 1w( 1x 1w = )y , 2w , 1w(c 2/1 2/1 si 2w dna 1w secirp rotcaf ta stinu y gnicudorp fo lraE ot tsoc ehT )d( ).seititnauq tupni eht rof evlos ot rewsna eht fo trap tsal eht ni dnuof uoy noitauqe eht dna noit -cnuf noitcudorp eht esU :tniH( . 2w/ y 1w = )y , 2w , 1w( 2x si 2/3 2/1 2/1 esu lliw eh taht ro bal fo sruoh fo re bmun eht dna

1w/ y 2w 2/3 2/1 2/1

= ) y , 2w , 1w( 1x si esu lliw eh snomel fo sdnuo p fo re bmun eht neht ,elbisso p yaw tse paehc eht ni stinu y ecudorp ot gniog si eh fI )c( ).enil tsocosi sih fo e pols eht ot lauqe tnauqosi sih fo e pols eht teS :tniH( .snomel fo dnuo p re p ro bal fo sruoh 2w/ 1w esu ot si edanomel ecudorp ot lraE rof yaw tse paehc eht ,srezeeuqs-nomel rof etar egaw eht si 2w dna snomel fo dnuo p a fo tsoc eht si 1w erehW )b(

. gn i sa er ce D

?elacs ot snruter gnisaercni ro

,elacs ot snruter gnisaerced ,elacs ot snruter tnatsnoc evah lraE seoD )a( .meht gnizeeuqs tne ps sruoh-ro bal fo re bmun eht si 2x dna ,sesu eh snomel fo sdnuo p fo re bmun eht si 1x ,snollag ni derusaem si tuptuo erehw , 2x 1x = ) 2x , 1x( f si noitcnuf noitcudorp siH .aihpledalihP ni renroc 3/1 3/1 teerts ysub a no tekram evitite pmoc a ni edanomel slles lraE )0( 4.02 ruobaL 04 03

02

01

enil tsocosi 004$

0

01

enil tsocosi 002$ 02

03

04 senihcaM E MA N

752

.ruoh re p tw stsoc klat dna gab re p fw stsoc rezilitref eso ppuS . f2 + t = h yltcaxe si decudorp stnalp yppah fo re bmun eht ,stnalp reh ot sklat ehs sruoh fo re bmun eht si t dna desu rezilitref fo sgab fo re bmun eht si f erehW ).etsat roo p ylemertxe ni si rezilitref rof etutitsbus tcefre p a gnie b klat ’srotartsinimda ytisrevinu tuo ba snoitavresbo suolovirF :gninraW( .klat dna rezilitref deen ylno stnalp yppah taht dnuof sah olF .gninedrag fo dohtem evitanretla na sesu ehS .rotartsinimda ytisrevinu a si ,worG olF ,retsis s’eoJ )1( 7.02

.h 22w + h 1w = )h , 2w , 1w(c si noitcnuf tsoc s’e oJ , 2w stsoc retaw fo tinu hcae dna 1w stsoc thgil fo tinu hcae fI )d( .2/h

= )h , 2w , 1w(w

si retaw rof noitcnuf dnamed rotcaf lanoitidnoc sih dna

h

= )h , 2w , 1w(l si thgil rof noitcnuf dnamed rotcaf lanoitidnoc s’e oJ )c(

.)2 ,4(

?deriuqer retaw dna thgil fo stnuoma mum

-inim eht era tahw ,stnalp yppah 4 ecudorp ot stnaw eoJ eso ppuS fI )b(

.r et aw fo tinu 2/1

?tnalp yppah a ecudorp llits dna esu nac eh retaw

fo tnuoma tsael eht si tahw ,thgil fo tinu 1 gnisu si eoJ eso ppuS )a( .}w2 ,l{nim = h si noitcnuf noitcudorp s’e oJ ,suhT .detsaw si ssel ro erom yna dna ,retaw sa thgil hcum sa eciwt eriuqer stnalp taht deciton eoJ ,tcaf nI .w ,retaw dna ,l ,thgil fo tnuoma eht no sdne ped ,h ,stnalp yppah fo re bmun eht taht dnuof sah ,renedrag roodni diva na ,worG eoJ )0( 6.02

.5 $ ?tuptuo fo tinu eno gnicudorp fo tsoc muminim eht si tahw ,} 4x , 3x{nim + } 2x , 1x{nim = ) 2x , 1x( f yb nevig si noitcnuf noitcudorp eht fI )d(

.3 $ ?tuptuo fo tinu eno gnicudorp fo tsoc muminim eht si tahw ,} 4x + 3x , 2x + 1x{nim = ) 4x , 3x , 2x , 1x( f yb nevig si noitcnuf noitcudorp eht fI )c(

.2 $

?tuptuo fo tinu eno gnicudorp fo tsoc muminim

eht si tahw , 4x + 3x = ) 4x , 3x( f yb nevig si noitcnuf noitcudorp eht fI )b(

.5 $

?tuptuo fo tinu eno gnicudorp fo tsoc muminim eht si

tahw ,} 2x , 1x{nim = ) 2x , 1x( f yb nevig si noitcnuf noitcudorp eht fI )a( )02 .hC(

N OITAZI MI NI M TS OC

852

snaebyoS 004 003

002

001

0

001 521 002

003

004 n roC

.margaid gniwollof eht ni senil tsocosi dna snoitanibmoc tupni eerht eseht hparG )a( .snekcihc fo pooc hcae rof nroc on dna snae byos fo slehsub 052 desu yeht ,lehsub a 01$ saw snae byos fo ecirp eht dna lehsub a 02$ saw nroc fo ecirp eht nehW .snekcihc fo pooc re p snae byos on dna nroc fo slehsub 003 desu yeht ,lehsub a 01$ saw nroc fo ecirp eht dna lehsub a 02$ saw snae byos fo ecirp eht nehW .snekcihc fo pooc hcae rof snae byos fo slehsub 051 dna nroc fo slehsub 05 desu yeht ,lehsub a 01$ saw nroc fo ecirp eht dna lehsub a 01$ saw snae byos fo ecirp eht nehw ,sreganam sih yb dettimbus atad eht ot gnidroc -cA .hcae fo secirp eht no gnidne ped ,nroc dna snae byos fo erutxim a no snekcihc sih sdeef eH .snekcihC s’snekciP ,smraf nekcihc sih tuo ba denrec -noc s’eh woN ?rediar etaro proc eht ,snekciP eno b-T re bmemeR )0( 8.02 .2/ fw > tw fi fi

h

0

dna 2/ fw < tw

= )h , tw , fw(t si klat rof dnamed rotcaf lanoitidnoc reH )d(

.h} tw , f2 {nim w

= )h , tw , fw(c si noitcnuf tsoc s’olF )c(

. kl a t o t r ep a eh c e b d l uo w t I

?tnalp yppah eno esiar

ot klat ro rezilitref esu ot olF rof re paehc e b ti dluow ,2/ fw < tw fI )b(

.gab 2/1 ?tnalp yppah eno rof deen ehs lliw rezilitref fo sgab ynam woh ,lla ta stnalp reh ot klat t’nseod ehs fI

. ru o h 1

?tnalp yppah eno stnaw

ehs fi etoved ehs tsum klat fo sruoh ynam woh ,rezilitref on sesu olF fI )a( E MA N

952

. w001

?tuptuo fo stinu 01 ecudorp

ot tsoc ti se od tahw ,tinu re p w stsoc tupni eht fI

.s t in u 00 1

?tuptuo fo stinu 01 ecud orp ot ekat ti seod tupni fo stinu ynam woH )b(

. gn is a er ce D ?elacs ot snruter gnisaerced ro ,tnatsnoc ,gnisaercni evah mr� eht se oD )a( .x = )x( f si noitcnuf noitcudorp stI .tupni eno ylno gnisu tuptuo sti secud√orp stooR dellac mr� lacigolaeneg A )0( 9.02

. ne s oh c n ee b ev a h t’ndluow eldnub nesohc eht ,eldnub taht sa hcum sa decudorp ti fI .)01 ,02( secirp ta desu yllautca eldnub eht naht ssel stsoc eldnub siht ,)01 ,02( secirp tA .oN

?snae byos

fo slehsub 05 dna slehsub 051 gnisu snekcihc fo pooc a ecudorp ot elbis -so p e b ti nac ,stsoc gniziminim syawla erew sreganam s’snekciP fI )e(

. 00 5 ,2 $ eht fi

. 00 5, 3$

?01 = cp ,02 = sp erew secirp

?02 = cp ,01 = sp erew secirp eht fi

. 00 0, 2$

?01 = cp dna 01 = sp erew secirp eht fi snekcihc fo po oc re p tsoc d ohtem noitcudorp siht dluow hcum woH .snekcihc fo pooc a ecudorp ot snae byos fo slehsub 05 dna nroc fo slehsub 051 esu lliw sreganam sih hcihw ta snae byos dna nroc fo secirp yna era ereht rehtehw srednow snekciP )d(

. M C AW y f s i ta s a t a d e h t e c n i s , ec n e d i v e h c u s o n s i e r e h T ?ton yhw ro yhW ?stsoc gniziminim ton erew sreganam s’snekciP taht ecnedive yna ereht sI )c(

. 00 0, 3 $

?)01 ,02( erew secirp eht nehW

erew secirp eht nehW

.0 0 0, 2$

. 00 5, 2$

?)02 ,01(

?)01 ,01( erew secirp eht nehw

snekcihc fo pooc re p dne ps sreganam ’snekciP did yenom hcum woH )b( )02 .hC(

N OITAZI MI NI M TS OC

062

.reed 5 ecud orp lliw taht snoitanibmoc tupni gnitneserper tnauqosi noitcud orp rehtona warD .reed 4 ecud orp lliw taht snoitanibmoc tupni gnitneserper tnauqosi noitcudorp a ward ,wole b hparg eht nI )a( .decudorp reed fo re bmun eht si ) 2x , 1x( f dna ,desu ro bal fo tnuoma eht si 2x ,desu citsalp fo tnuoma eht si 1x erehw , 2/1)} 2x2 , 1x{nim( = ) 2x , 1x( f yb nevig si noitcnuf noit -cudorp reH ”.kcub a ekam ot gnihtyna tub“ ,amrI syas ”,krow drah s’tI“ .stnemanro nwal rof reed citsalp secudorp stfarcidnaH s’amrI )0( 11.02

.y /w √

= ) y ,w( CA ?slaem erauqs

y gnicudorp fo tsoc egareva eht si tahw ,tinu re p w stsoc tupni eht fI )d(

.y w √

?slaem erauqs

y ecudorp ot tsoc ti seod tahw ,tinu re p w stsoc tupni eht fI

.y √

?slaem erauqs y ecudorp ot ekat ti seod tupni fo stinu ynam woH )c(

. w21

?slaem erauqs

441 ecudorp ot tsoc ti seod tahw ,tinu re p w stsoc tupni eht fI

.2 1

?slaem erauqs 441 ecudorp ot ekat ti seod tupni fo stinu ynam woH )b(

. gn is a er cn I

?elacs

ot snruter gnisaerced ro ,tnatsnoc ,gnisaercni evah airetefac eht seoD )a( .decudorp slaem erauqs fo re bmun eht si )x( f dna tupni fo tnuoma eht si x erehw , 2x = )x( f si noitcnuf noitcudorp s’airetefac ehT ”.devlovni si sugnuf“ taht syas ecruos nehctik evitatirohtua na tub ,si tneidergni taht tahw yas ot dewolla ton era eW .ssecorp noitcudorp elbakramer rehtar a dna tupni eno ylno gnisu ,slaem erauqs secudorp airetefac ytisrevinu A )0( 01.02

.wy

= ) y ,w( CA ?stinu

y gnicudorp fo tsoc egareva eht si tahw ,tinu re p w stsoc tupni eht fI )d(

.w2y

?tuptuo fo

stinu y ecudorp ot tsoc ti seod tahw ,tinu re p w stsoc tupni eht fI

.2y

?tuptuo fo stinu y ecudorp ot ekat ti seod tupni fo stinu ynam woH )c( 162

E MA N

.decudorp reed fo re bmun eht si ) 2x , 1x( f dna ,desu do ow fo tnuoma eht si 2x ,desu citsalp fo tnuoma eht si 1x erehw , 2/1) 2x + 1x2( = ) 2x , 1x( f yb nevig si noitcnuf noitcud orp s’lA ”.eod eht deen I esuace b“ ssenisub eht sekil eh syas lA .citsalp dna doow ylno–ro bal yna esu t’nseod eH .yletelpmoc ssec orp noitcud orp eht etamotua ot yaw a dnuof sah lA .stnemanro nwal rof reed citsalp sekam osla frawdraeD lA )0( 21.02

. 2 y)2/ 2w + 1w(

= ) y , 2w , 1w(c si ygolonhcet

siht htiw reed y gnicudorp fo tsoc eht ,) 2w , 1w( secirp rotcaf eht tA ) f(

.2/ 2 y3

= ) y ,1 ,1(c si ygolonhcet

siht htiw reed y gnicud orp fo tsoc eht ,)1 ,1( secirp rotcaf eht tA )e(

. 05 . 73 $

?tsoc siht seod hcum woH

.) 5. 2 1, 52 ( es U

?reed 5 ecudorp ot yaw tse paehc eht si tahw ,)1 ,1( secirp rotcaf eht tA )d(

. 42 $

?tsoc siht seod hcum woH

. )8 , 61 ( es U

?reed 4 ecud orp

ot reh rof yaw tse paehc eht si tahw ,)1 ,1( secirp rotcaf secaf amrI fI )c(

. el ac s o t s nr u te r gn is a er ce D

?elacs ot snruter tnats

-noc ro ,gnisaerced ,gnisaercni tibihxe noitcnuf noitcudorp siht seoD )b( 1x 04

03

02

01

0

1 2 =2 x_ 1 x 01

02 reed 5 fo tup tu O

reed 4 fo tup tu O

03

04 2x

)02 .hC(

N OITAZI MI NI M TS OC

262

09 9, 4

.s ti nu ?reed 001 ekam ot redro ni deen lA dluow citsalp hcum woH )a(

.nur trohs eht ni neve ,sesu eh taht citsalp fo tnuoma eht egnahc nac eh taht eso ppuS .doow fo stinu 02 gnisu htiw kcuts si dna nur trohs eht ni sesu eh taht d oow fo tnuoma eht yrav tonnac melborp tsal eht morf frawdraeD lA taht eso ppuS )0( 31.02

.2 y

= ) y ,1 ,3(c si ygolonhcet

siht htiw reed y gnicudorp fo tsoc eht ,)1 ,3( secirp rotcaf eht tA ) f(

.2/2 y

= ) y ,1 ,1(c si ygolonhcet

siht htiw reed y gnicud orp fo tsoc eht ,)1 ,1( secirp rotcaf eht tA )e(

. 81 $

?tsoc siht se od hcum woH

.)0 ,81(

?reed

6 ecudorp ot yaw tse paehc eht si tahw ,)1 ,1( secirp rotcaf eht tA )d(

.8$

?tsoc siht se od hcum woH

.)0 ,8(

?reed 4 ecudorp

ot mih rof yaw tse paehc eht si tahw ,)1 ,1( secirp rotcaf secaf lA fI )c(

. el ac s o t s nr u te r gn is a er ce D

?elacs ot snruter tnats

-noc ro ,gnisaerced ,gnisaercni tibihxe noitcnuf noitcudorp siht seoD )b( 1x 04

03

02 81

01

0

8

reed 4 fo tup tu O

01 61

reed 6 fo tup tu O

02

03 63 04 2x

.reed 6 ecud orp lliw taht snoitanibmoc tupni gnitneserper tnauqosi noitcud orp rehtona warD .reed 4 ecud orp lliw taht snoitanibmoc tupni gnitneserper tnauqosi noitcudorp a ward ,wole b hparg eht nI )a( E MA N

362

.2/)02 − 2 y( + 02 = ) y ,1 ,1(c

.secirp rotcaf eseht ta noitcnuf tsoc nur-trohs s’lA nwod etirW )c(

.0 10 , 5$

?reed 001 ekam ot lA tsoc ti dluow hcum woh

,tinu re p 1$ si do ow fo tsoc eht dna tinu re p 1$ si citsalp fo tsoc eht fI )b( )02 .hC(

N OITAZI MI NI M TS OC

462

.02 = c fi sevruc tsoc lanigram dna egareva s’ottO ward wole b hparg eht nI )c(

.c .c

= ) y( C M :noitcnuf tsoc lanigram s’ottO nwod etirW ?esaercni stsoc sih od hcum woh yb ,slles ottO otua lanoitidda

yreve roF

.c

= ) y( CA ?noitcnuf tsoc egareva s’ottO si tahW )b(

. yc

= ) y( C T :srac y slles eh

gnimussa stsoc latot s’ottO rof noitauqe eht nwod etirW 02 slles eh fi tahW

.c01

.c02

?srac

?srac 01 slles eh fi tsoc latot sih si tahW )a(

.stsoc rehto on sah dna hcae c$ rof sotua syub ottO .srac slles ,sotuA s’ottO fo renwo ,rraC ottO .rM )0( 1.12 . y lla rof tsoc latot egareva naht ssel si tsoc lanigram taht osla ecitoN .sesaercni y sa sesaerced tsoc latot egareva ,mr� siht rof taht ecitoN . y/01 + 01 = y/) y01 + 001( era stsoc latot egarevA . y lla rof 01 si tsoc lanigraM . y lla rof 01 = y/ y01 era stsoc elbairav egareva os , y01 era stsoc elbairav latoT . y/001 si evruc tsoc dex� egareva eht fo noitauqe eht os ,001 era stsoc dex� latoT .sevruc tsoc suoirav sti rof snoitauqe eht dn� su teL . y01 + 001 = ) y( C noitcnuf tsoc latot eht sah mr� A :e lpmaxE .tsoc elbairav egareva fo muminim eht rof ylralimis dna tsoc egareva ot lauqe tsoc lanigram tes ylpmis uoy ,evruc tsoc egareva eht no tnio p muminim eht dn� ot oS .stnio p muminim rieht ta evruc tsoc elbairav egareva eht dna evruc tsoc egareva eht hto b stcesretni evruc tsoc lanigram eht taht re bmemeR .suluclac wonk t’nod uoy fi ,sesaercni tuptuo sa tsoc ni esaercni fo etar eht ro—tuptuo ot tce pser htiw noitcnuf tsoc latot eht fo evitavired eht si noitcnuf tsoc lanigram ehT .tuptuo fo level eht , y yb noitcnuf tsoc etairporppa eht edivid tsuj ,tsoc elbairav egareva dna ,tsoc dex� egareva ,tsoc )latot( egareva eht teg oT .tsoc elbairav dna ,segnahc tuptuo sa egnahc t’nse od taht trap eht ,tsoc dex� otni dedivid e b nac tsoc latoT .snoitcnuf tsoc no krow ot eunitnoc uoy ereH .noitcudortn I

sevruC tsoC 12 retpahC

E MA N

.s4

:stsoC lanigraM

:stsoC dexiF egarevA

.s/01

:stsoC latoT egarevA

.s/01 + s2 .s2

:stsoC elbairaV egarevA

.01 . 2s2

:stsoC dexiF latoT

:stsoC elbairaV latoT s’tneD

:gniwollof eht etelpmoc esaelP .ni emoc uoy erehw s’taht dna . . . sgniht rehto ot detrevid saw noitnetta s’tneD tuB .01 + 2s2 = )s( C T si srac s gniriaper fo tsoc latot eht taht dnuof eH .snoitidnoc tsoc sih etaluclac ot dediced dna od ot esle elttil dah yltnecer tneD .ssenisub riaper otua eht ni si ,rraC tneD ,rehtorb s’ottO )0( 2.12 .evo ba hparg eht no evruc tsoc egareva s’ottO ward ot kni der esu ,001$ = b fI )e(

.c tsoc lanigram sih dna , sih ,

b + yc

= ) y( C M si evruc

y/b + c

= ) y( CA won si evruc tsoc egareva

= ) y( C T won si evruc tsoc latot s’ottO .slaicremmoc

noisivelet suoixonbo ecudorp ot raey a b$ yap ot sah ottO eso ppuS )d(

tup tu O 04 03

02

01

0

01 02=CM=CA 02

03

enil deR

04 CM ,CA

)12 .hC( SEVR UC TS OC

662

-nim tsoc egareva si tuptuo fo tnuoma tahw tA

= CA

:noitcnuf tsoc egareva reh dna

.005/ y + ) y/005( 052/ y = C M

:noitcnuf tsoc lanigram reh nwod etirw ,teef erauqs 005 sah ehs fI )b(

.2 $

?tsoc egareva si hcum woh ,tuptuo fo level siht tA

.0 02

002 ?deziminim tsoc egareva si tuptuo fo tnuoma tahw tA . + 00y2 y = CA :noitcnuf tsoc egareva reh dna 00y1 = C M :noitcnuf tsoc lanigram reh nwod etirw ,ecaps roo� fo teef erauqs 002 sah ehs fI )a( .htnom re p F/ 2 y = ) y( vc e b lliw stsoc elbairav reh ,htnom a steuquo b y slles dna ecaps roo� fo teef erauqs F sah ehs fi taht setamitse yraM .toof erauqs a 1$ e b lliw tner ylhtnom ehT .teef erauqs 000,1 ro ,teef erauqs 005 ,teef erauqs 002 ,sezis roo� tnere�id eerht fo eciohc reh sah ehS .llam wen a ni ,rehsuP lateP eht ,pohs rewo� a ne po ot stnaw ailongaM yraM )0( 4.12

. ra ey r ep s ra c 84

?rehsams ciluardyh eht yub ot mih yap dluow ti hcihw rof

raey re p srac fo re bmun tsellams eht si tahW

. 1 d o ht eM

dluohs d ohtem hcihw ,raey re p srac 05 skcerw xeR fI

?esu eh

. 2 do ht eM

?esu eh dluohs d ohtem hcihw ,raey re p srac 04 skcerw xeR fI )c(

.5 era stsoc eseht dohtem dnoces eht roF a dna

y/002 + 1 .01 + y5

.1

dna

y/01 + 5

noitcnuf tsoc lanigram

noitcnuf tsoc egareva na sah dohtem tsr� ehT )b(

= ) y( 2C T ,

002 + y

= ) y( 1C T :raey re p tuptuo

si y erehw ,sdohtem owt eht rof snoitcnuf tsoc latot eht nwod etirW )a( .hcae 5$ fo tsoc a ta srac eht yrub ot ,poocS ,rehtorb rraC tsal eht gniyap dna 01$ stsoc dna raey eno tsal lliw taht levohs a gnisahcrup sevlovni dohtem dnoces eht ;noivilbo otni dehsams rac yreve rof 1$ gnidne ps neht dna nwo ot raey a 002$ stsoc taht rehsams rac ciluardyh a gnisahcrup sevlovni tsr� ehT .srac yortsed ot sdohtem owt fo eno esu nac xeR .dray knuj a snwo ,rraC xeR ,rehtorb driht A )0( 3.12 E MA N

762

, 4/3L 2 J1. = Q 1

si noitcnuf noitcudorp siH .stsinootrac dna sekoj dlo era sdeen eh stupni ylno ehT .sko o b cimoc sehsilbup eileeFcaM eihcuoT )0( 5.12 .CMRL dna CARL meht le baL .hparg ruoy ni evruc tsoc lanigram nur-gnol reh dna evruc tsoc egareva nur-gnol s’yraM wohs ot rekram wolley esU )e( s tneuquoB 0021

0001

008

006

004

002

0

1 )enil wolley( CARL=CMRL 2

ca cm senil kcalB

ca

ca senil eulB cm

senil deR

cm

3

4 s rallo D . C M sevruc tsoc lanigram eht dna CA sevruc tsoc egareva eht le baL .teef erauqs 000,1 sah ehs fi evruc tsoc lanigram reh dna evruc tsoc egareva reh wohs ot kni kcalb esU .teef erauqs 005 sah ehs fi evruc tsoc lanigram reh dna evruc tsoc egareva reh wohs ot kni eulb esU .teef erauqs 002 sah ehs fi sevruc tsoc lanigram reh dna evruc tsoc egareva s’yraM wohs ot kni der esU )d(

.2 $ . 00 0, 1

hcum woh ,tuptuo fo level siht tA si tuptuo fo tnuoma tahw tA

?tsoc egareva si

?deziminim tsoc egareva

.000 ,1/ y + ) y/000 ,1( = CA 005/ y = C M

:noitcnuf tsoc egareva reh dna

:noitcnuf tsoc

lanigram reh nwod etirw ,ecaps roo� fo teef erauqs 000,1 sah ehs fI )c(

. 2$ ?tsoc egareva si hcum woh ,tuptuo fo level siht tA

. 00 5

?dezimi

)12 .hC( SEVR UC TS OC

862

-rec era sekoj lanoitcarF( .ro bal fo sruoh

6.5 ≈

).elbawolla ylniat

)4/3( 5/401

5/2

dna sekoj 4.7 ≈ )3/4( 5/401 esu ot si koob cimoc eno 5/3 yltcaxe ecudorp ot yaw tse paehc eht ,ruoh re p 2$ stsoc ro bal tsino ot -rac dna hcae 1$ tsoc sekoj dlo fi dna ,elbairav era stupni lla fI )a( .tro per gniwollof eht deraperp ,txet ruoy ni 91 retpahC ot xidne ppa eht deiduts ylluferac sah ohw ,sicnarF riS .erutcip nur-gnol eht yduts ot ,eileeFcaM sicnarF riS ,rehtorb sih sksa eihcuoT )1( 7.12

.Q/001 + 3/1Q2 .3/ 3/1Q8

su luc laC

si noitcnuf tsoc egareva nur-trohs siH )d( si noitcnuf tsoc lanigram nur-trohs siH )c(

.001 + 3/4Q2 tuptuo sih fo noitcnuf a sa tsoc latot nur-trohs s’eihcuoT nwod etirW )b(

. 3/4Q

?skoo b

cimoc Q ecud orp redro ni erih ot evah eh dluow ro bal hcum woH .sehsiw eh sa ro bal hcum sa erih ot elba si tub )hcae 1$ diap eh hcihw rof( sekoj dlo 001 yltcaxe htiw kcuts si eihcuoT ,nur trohs eht ni taht eso ppuS )a( .2$ si ro bal ’stsinootrac fo etar egaw eht taht dna hcae 1$ rof desahcrup e b nac sekoj dlo taht secnuonna ,e porG -caM rednaG ,reganam ssenisub elbicsari s’eileeFcaM eihcuoT )0( 6.12

. gn i sa er ce D

?sesaercni ro bal fo tnuoma

eht sa gnisaercni ro gnisaerced ro bal fo tcudorp lanigram eht sI

= PM

4/1L4

3

.L fo noitcnuf a sa ro bal ’stsinootrac fo tcudorp lanigram

eht rof noisserpxe na etirw ,001 si desu sekoj dlo fo re bmun eht fI )b(

.)L ,J( ft > )L ,J( f 4/5t = )Lt ,Jt( f ecnis elacs ot snruter gnisaercni st i bi hx e tI

.rewsna ruoy nialpxE

?elacs ot snruter tnats

-noc ro ,gnisaerced ,gnisaercni tibihxe ssecorp noitcudorp siht seoD )a( .decudorp skoo b cimoc fo re bmun eht si Q dna ,stupni sa desu ro bal ’stsi -nootrac fo sruoh fo re bmun eht L ,desu sekoj dlo fo re bmun eht si J erehw E MA N

962

.6 $

?tuptuo fo stinu 01 gnicud orp

fo tsoc muminim eht e b lliw tahw ,3$ = r dna 2$ = w fI . K5 + L2 = Y mrof eht fo noitcnuf noitcudorp a sah mr� evitite pmoc A )0( 9.12

.0 = y tA

?tsoc

lanigram lauqe tsoc elbairav egareva se od tuptuo fo level tahw tA )e(

. y4 = C VA

si noitcnuf tsoc elbairav egareva ehT )d(

.2 = y

si

noitcudorp fo tsoc egareva muminim eht sdleiy taht tuptuo fo level ehT )c(

. y8 = C M

si noitcnuf tsoc lanigram ehT )b(

. 6y1 + y4 = CA

si noitcnuf tsoc egareva ehT )a(

.61 + 2 y4 = ) y(c noitcnuf tsoc eht redisnoC )0( 8.12

. 4/52

yb deilpitlum si decudorp skoo b cimoc

fo re bmun eht ,stupni hto b fo tnuoma eht elbuod ew nehw tuB .tnirp ew skoo b cimoc ynam woh rettam on emas eht era ro bal dna sekoj esu ot hcihw ni snoitro porp tse paehc eht ,noitcnuf noitcudorp ruo neviG )c( .srallod

7 .8 1

tsoc dluow sihT )b(

)12 .hC( SEVR UC TS OC

072

.evruc ylppus s’tneD tolp osla dna ,sevruc evo ba eht tolp ,wole b hparg eht nO .s4 ot lauqe si tsoc lanigram sih dna , ,

s/001 + s2

s2

ot lauqe si tsoc elbairav egareva sih

ot lauqe si tsoc egareva s’tneD taht seilpmi sihT )a(

.001 + 2s2 = )s(c si srac s gniriaper fo tsoc latot eht taht dnuof tneD ?ssenisub riaper otua eht ni si ohw ,rraC tneD rehtorb s’ottO re bmemeR )0( 1.22 .tuptuo orez ecud orp ot esoohc lliw mr� eht ,04 < p ecirp yna rof ,tcaf nI .lla ta gnihton gnicudorp �o rette b e b dluow tI .yenom gnisol e b lliw tI .001 = 02 × 5 fo eunever latot dna 052 = 05 × 5 fo stsoc latot evah lliw ti neht tuB .stinu 5 ecud orp ot si tnuoma evitiso p a secudorp ti fi od nac mr� eht tse b eht ,02 si ecirp eht nehw eroferehT .05 = 5/002 + 5 × 2 era stsoc egareva sti ,stinu 5 ylno secudorp mr� eht nehW .tuptuo fo stinu 4/02 = 5 ecud orp lliw ti ,tsoc lanigram nur-gnol slauqe ecirp erehw secudorp mr� eht fi ,02 fo ecirp a tA ?ylppus mr� eht lliw hcum woh ,02 = p fi tahw ,elpmaxe roF .04 < p taht eso ppuS .04 > p revenehw 4/p = y evah ew nehT .p fo noitcnuf a sa y rof noisserpxe siht evlos tsuj ew ,ecirp fo noitcnuf a sa deilppus ytitnauq dn� ot tnaw ew fI .01 > y rof y4 = p noitauqe eht sah evruc ylppus nur-gnol eht oS .01 > y hcihw rof evruc tsoc lanigram nur-gnol eht fo eceip eht si evruc ylppus nur-gnol eht eroferehT .01 > y nehw ) y( C M < ) y( CA taht dn� ot ytilauqeni siht yfilpmiS . y4 < y/002 + y2 nehw sne ppah sihT ?) y( C M < ) y( CA taht eurt ti si nehW .egral yrev si y2 esuace b egral yrev semoce b ) y( CA ,egral yrev si y nehW .egral yrev semoce b y/002 esuace b egral yrev semoce b ) y( CA ,orez ot esolc steg y sA .evruc depahs -U a si sihT . y/002 + y2 = ) y( CA era mr� siht fo stsoc egareva nur-gnol , y si tuptuo nehW .evruc tsoc egareva nur-gnol eht evo ba seil taht evruc siht fo noitro p eht si evruc ylppus nur-gnol ehT .4 e pols htiw nigiro eht hguorht enil thgiarts gnipols-drawpu na si evruc tsoc lanigram nur-gnol eht taht dn� ew neht ,sixa lacitrev eht no srallod dna sixa latnoziroh eht no tuptuo hparg ew fI . y4 = ) y( C M si y si tuptuo sti nehw tsoc lanigram s’mr� ehT .evruc ylppus nur-gnol sti dn� su teL .0 = )0(c dna 0 > y rof 002 + 2 y2 = ) y(c noitcnuf tsoc nur-gnol eht sah mr� A :e lpmaxE .evruc tsoc egareva nur-gnol sti evo ba seil dna gnipols-drawpu si taht evruc tsoc lanigram nur-trohs sti fo noitro p eht si mr� evitite pmoc a fo evruc ylppus nur-gnol ehT .evruc tsoc elbairav egareva sti evo ba seil dna gnipols drawpu si taht evruc tsoc lanigram nur-trohs sti fo noitro p eht si mr� evitite pmoc a fo evruc ylppus nur-trohs ehT .noitcudortn I

ylppuS mriF E MA N

22 retpahC

naht retaerg si tuptuo fi sesir tuptuo sa gnisir dna

.4

si tuptuo nehw tsoc elbairav egareva slauqe tsoc lanigraM )e(

.4

4

naht ssel si tuptuo fi sesir tuptuo sa gnillaf si tsoc elbairav egarevA )d( .noitcnuf tsoc elbairav egareva eht fo dna noitcnuf tsoc lanigram eht fo hparg a le bal dna hcteks ,wole b sexa eht nO )c( ).)0(c − ) y(c lauqe stsoc elbairav latot taht ecitoN :tniH(

+ y8 − 2 y

.03

= ) y( C VA si noitcnuf tsoc elbairav egareva s’mr� ehT )b(

.03 + y61 − 2 y3

= ) y( C M si noitcnuf tsoc lanigram s’mr� ehT )a(

.5 + y03 + 2 y8 − 3 y = ) y(c :noitcnuf tsoc nur-trohs gniwollof eht sah mr� evitite pmoc A )0( 2.22

su luc laC

.st�orp latot dna ,eunever latot ,stsoc latot :saera gniwollof eht le bal dna ni edahs ,hparg evo ba eht nO .st�orp sih sezimixam tneD dna 04$ si ecirp tekram eht eso ppuS )c(

. 01 tneD lliw srac ynam woh ,04$ si ecirp tekram eht fI

.5

?riaper ?riaper

ot gnilliw e b tneD lliw srac ynam woh ,02$ si ecirp tekram eht fI )b( tup tu O 02

51

01

5

s tsoC

cva

tifo rP cm

0

02

04

euneveR ca

06

ylppuS 08 s rallo D

)22 .hC(

YLPP US

MRIF

272

. 00 1$

?ekam eh lliw t�orp hcum woH

?yub eh lliw rezilitref fo skcas ynam woH

. 00 1

.0 01

?ecudorp rogerG

-cM .rM lliw segabbac ynam woh ,hcae 2$ si segabbac fo ecirp eht fI )c(

.05/ y

= ) y( C M . y fo noitcnuf a sa ,tsoc lanigram sih rof

noisserpxe na etirw ,hctap egabbac sih ot deilppa rezilitref fo tnuoma eht gniyrav yb si tuptuo sih yrav nac rogerGcM .rM taht yaw ylno eht fI )b(

.001/ 2 y

?segabbac y ecudorp

ot dedeen rezilitref fo tnuoma eht fo tsoc latot eht si tahW

. 00 1$

?segabbac 001 ecudorp ot dedeen rezilitref eht fo tsoc latot eht si tahW )a( .kcas re p 1$ stsoc rezilitreF .x 01 si steg eh taht segabbac fo tnuoma eht ,rezilitref fo skcas x sesu eh fI √ .rezilitref si rof syap rogerGcM .rM taht tupni ylno ehT .tnemyolpme evitanretla on dn� nac reteP dna yspolF taht dna segabbac naht rehto gnihton rof desu e b nac dnal eht taht gnie b emit eht rof emussA .segaw tuohtiw hctap egabbac eht ni krow ot ,reteP ,nos sih dna ,yspolF ,efiw sih secrof eH .hctap egabbac erca-5 a snwo rogerGcM .rM )0( 3.22 y 8

6

4

2

su luc laC

0

01

02

cva

03 cm

04 s tsoC

. 24

?tuptuo fo

.4

stinu 6 yltcaxe ylppus mr� eht dluow ecirp tahw tA

si ecirp

yna ta ylppus reve lliw mr� eht taht tnuoma evitiso p tsellams ehT )g(

. 41

naht ssel si ecirp eht fi tuptuo orez ylppus lliw mr� ehT ) f( E MA N

372

.sniatnuom 02 naht erom secudorp eh fi

00 0 ,2 $

si niatnuom a

gnicudorp fo tsoc lanigram ehT .sniatnuom 02 naht rewef secudorp eh fi si yelnatS rof niatnuom a gnicudorp fo tsoc lanigram ehT )a(

00 0, 1 $

.esnecil s’rehsam-llihelom a rof 000,01$ yap ot evah dluow yelnatS ,sllihelom morf sniatnuom ecudorp ot noissimre p latnemnrevog teg ot red -ro nI .tcartnoc siht rednu syub eh taht sllihelom eht lleser ton nac eh tub ,sehsiw eh fi sllihelom 000,2 naht rewef yub nac eh taht syas ylticilpxe tcartnoc noitpo siH .hcae 01$ ta sllihelom 000,2 ot pu yub ot mih stimre p taht ”noitpo“ na thguo b natS ,oga sraey wef A .hcae 02$ si sllihelom fo ecirp tekram tnerruc ehT .niatnuom 1 ekam ot sllihelom 001 sekat ti taht dna elacs ot snruter tnatsnoc ta decudorp era sniatnuom eso ppuS .sniatnuom fo noitcud orp eht ni desu tupni ylno eht era sllihelom taht emussa su tel ,melborp siht fo seso prup eht rof os ,tro�e on tsomla htiw siht od nac eH .sllihelom fo tuo sniatnuom sekam droF yelnatS )1( 5.22

.01 woH

.01 2 √

√

?ecirp taht ta ylppus eh dluow hcum

?muirbiliuqe nur-gnol ni ytitnauq evitiso p a ylppus

lliw eh hcihw ta ecirp tsewol eht si tahw ,tekram evitite pmoc a nI )c(

.01

√

?deziminim tsoc egareva sih si ytitnauq tahw tA

.01 √

?tsoc egareva sih ot lauqe tsoc lanigram sih si ytitnauq tahw tA )b(

. y/01 + y tsoc egareva sih si tahW

. y2

?noitcnuf

?noitcnuf tsoc lanigram sih si tahW )a(

).orez si tuptuo fo stinu orez gnicudorp fo tsoc sih ,si tahT( .0 = )0(c dna 0 > y rof 01 + 2 y = ) y(c si noitcnuf tsoc latot siH .acitapeh sih rof suomaf si ,tsilabreh eht ,nireveS )0( 4.22

. p oh st ae w S

?pohstaews eht ni krow ot reteP

dna yspolF tup eh dluohs ro segabbac worg ot eunitnoc eh dluohS )e(

. 2)01/ y( + 003 = ) y(c ?segabbac y gnicudorp fo tsoc latot s’rogerGcM .rM si tahw woN .segab -bac on teg dluow eh ,ro bal rieht tuohtiW .hctap egabbac eht ni krow ot emit on evah dluow yeht tub ,tekc o p dluoc rogerGcM .rM hcihw ,remmus eht rof 003$ nrae rehtegot dluow reteP dna yspolF .pohstaews lac ol a ni reteP dna yspolF rof sboj remmus dn� dluoc eh taht snrael rogerG -cM .rM tub ,erofe b sa niamer segabbac fo dna rezilitref fo ecirp ehT )d( )22 .hC(

YLPP US MRIF

472

ynam sa yub nac ehS .esrup klis a ekam ot ro bal reh fo ruoh 1 dna rae s’wos eno sekat tI .os od ot woh swonk ohw dlrow eht ni nosre p ylno eht si ehS .srae ’swos fo tuo sesrup klis sekam hgielselleW ydaL )1( 6.22

.sniatnuom orez ecudorp d na sl li he l om s ih fo l la ll es l li w eH

?won

ecud orp yelnatS lliw sniatnuom ynam woh ,006,1$ sniamer sniatnuom fo ecirp eht fI .evruc tsoc lanigram wen s’yelnatS ward ot licne p a esu ,evo ba hparg eht nO .ecirp tekram eht ta tcartnoc noitpo eht rednu desahcrup eh taht sllihelom eht lleser ot mih swolla taht tcartnoc noitpo s’yelnatS ni esualc a derevocsid sah ,ezaelS toilE ,reywal s’yelnatS )e(

. 00 0 , 2 1 $

,e ef e s n e c il

eht gnidulcxe stiforp sih fo tnuoma eht si eg r a h c

dl u o c ye h t mu m i x a m e h T

?ssenisub fo tuo

mih gnivird tuohtiw egrahc dluoc tnemnrevog eht taht esnecil a rof eef ?hturt eht gnillet yelnatS sI .ssenisub fo tsehgih eht si tahW .oN tuo og ot evah lliw eh os seod ti fi taht smialc yelnatS .000,11$ ot esnecil s’rehsam-llihelom a fo ecirp eht gnisiar gniredisnoc si tnemnrevog ehT )d(

.s ni at n uo m 02

?ecudorp

yelnatS lliw sniatnuom ynam woh ,006,1$ si sniatnuom fo ecirp eht fI )c( tup tu O 04

03

02

01

0

0001 ev ruc cm eulB 0002 ev ruc ca deR

ev ruc cm licneP

0003

0004 s rallo D

.)kni der ni( evruc tsoc egareva sih dna )kni eulb ni( evruc tsoc lanigram s’droF yelnatS wohs ,wole b hparg eht nO )b( E MA N

572

.423/ 2p = )p( S e b lliw noitcnuf ylppus sih ,ruoh re p 9$ si etar egaw eht dna dnuo p re p 4$ tsoc snomel fI 2/1

y3

.9/ 2p

= )p( S si noitcnuf ylppus sih dna

= ) y( C M si noitcnuf tsoc lanigram s’lraE ,p si edanomel fo ecirp

eht dna ,ruoh re p 1$ si etar egaw eht ,dnuo p re p 1$ tsoc snomel fI )a( .decudorp edanomel fo stinu fo re bmun eht si y erehw , 2/3 y 2w 1w2 = ) y , 2w , 1w(c si noitcnuf tsoc sih ,tuo dnuof 2/1 2/1 uoy sA .meht gnizeeuqs sdne ps eh sruoh fo re bmun eht si 2x dna sesu eh snomel fo sdnuo p fo re bmun eht si 1x erehw , 2x 1x = ) 2x , 1x( f 3/1 3/1 si noitcnuf noitcud orp s’lraE .snoitcnuf tsoc no retpahc eht ni mih tem uoY ?aihpledalihP ni edanomel slles ohw ,lraE re bmemeR )0( 7.22

su luc laC

. es i wr eh to 0 ,6 > p rof 8 = )p( S

).sesrup klis fo ylppus eht ecneh

dna krow ot esoohc lliw ehs sruoh fo re bmun eht senimreted sihT .sesrup klis gnikam yb nrae nac .W ydaL taht ”etar egaw“ eht senimreted sesrup klis fo ecirp ehT :tniH( ?sesrup klis rof noitcnuf ylppus eht si tahW )e(

. 6$

?sesrup klis yna ekam lliw ehs hcihw ta

ecirp tsewol eht si tahw ,ssertsmaes a sa ruoh na 5$ nrae nac ehs fI )d(

.1 − p

?sesu ehs taht srae ’swos eht rof syap ehs retfa esrup re p nrae

hgielselleW ydaL lliw yenom hcum woh ,p$ si sesrup klis fo ecirp eht fI )c(

. sr u oh 8

?krow ehs dluow

hcum woh ,ssertsmaes a sa ruoh na w$ fo egaw a nrae dluoc ehs fI )b( ).noitcnuf ytilitu salguoD-bboC a htiw enoemos rof noitcnuf dnamed eht dn� ot woh llacer dna tniartsnoc tegdub s’hgielselleW ydaL nwod etirw ?krow ehs dluow sruoh ynam ,tnuoma siht rof evlos oT :tniH( .8 woh ,pohs taews eht ni dekrow ehs fI .pohstaews a ni ssertsmaes a sa ruoh na 5$ nrae nac ehs ro sesrup klis ekam rehtie nac hgielselleW ydaL )a( .gnikrow ot ro erusiel ot rehtie etoved nac ehs taht yad a sruoh 42 sah hgielselleW ydaL .sah ehs taht erusiel fo tnuoma eht si r dna sdo og noitpmusnoc no dne ps ot sah ehs taht yad re p yenom fo tnuoma eht si c erehw , 3/2 r 3/1c = ) r ,c( U noitcnuf salguoD-bboC a si noitcnuf ytilitu reH .ro bal reh naht emocni fo ecruos rehto on sah hgielselleW ydaL .hcae 1$ rof sekil ehs sa srae ’swos )22 .hC(

YLPP US

MRIF

672

.8/3 y w

?doolb fo stnip y gnitcartxe fo tsoc eht si tahW )b(

.8/ 3 y ?doolb fo stnip y tcartxe ot deen kcaJ seod senots ynam woH )a( .p$ rof d oolb fo tnip hcae lles nac kcaJ .hcae w$ kcaJ tsoc senotS . 3 x2 = )x( f si meht morf tcartxe nac eh do olb fo stnip fo re bmun 1 eht ,senots x sah eh fI .enots a morf d oolb teg nac ynneB kcaJ )0( 9.22

.) 2w + 1w2(/p

= ) 2w , 1w ,p( S

si ylppus ot esoohc lliw ehs stinu fo re bmun eht ,p fo ecirp tuptuo na dna secirp rotcaf eseht tA . y) 2w + 1w2( = ) y , 2w , 1w( C M noitcnuf a si tsoc lanigram reh , 2w dna 1w secirp rotcaf ta ,yllareneg eroM )d(

. 4 83 lliw t�orp hcum woH

.6 1

?ekam ehs

?ecud orp ehs lliw ynam woh ,1 = 2w = 1w

dna ,84 = p si slles ehs stnemanro nwal eht fo ecirp evitite pmoc eht fI )c(

.2/ y3

= ) y( CA e b dluow tuptuo fo tinu re p tsoc

egareva reh ,secirp rotcaf eseht tA

.3/p

= )p( S si p ecirp ta ylppus

dluow ehs taht tuptuo fo stinu fo re bmun ehT

. y3

= ) y( C M si tuptuo

fo stinu y gnicudorp fo tsoc lanigram s’amrI neht ,1 = 2w = 1w fI )b(

. 2 y)2/ 2w + 1w(

= ) y , 2w , 1w(c si noitcnuf tsoc s’amrI )a(

.ro bal fo tinu re p egaw eht e b 2w dna citsalp fo tinu re p ecirp eht e b 1w teL .decudorp stnemanro nwal fo re bmun eht si ) 2x , 1x( f dna ,desu ro bal fo tnuoma eht si 2x ,desu citsalp fo tnuoma eht si 1x erehw , 2/1)} 2x2 , 1x{nim( = ) 2x , 1x( f noitcnuf noitcudorp eht sah stfarcidnah s’amrI ,snoitcnuf tsoc no retpahc eht morf llacer yam uoy sA )0( 8.22

.2w 1w9/ 2p

su luc laC

= ) 2w , 1w ,p( S si ylppus

s’lraE ,selbairav eerht eseht fo noitcnuf a sA . 2w , 1w ,p ,selbairav eerht eht no sdne ped ylppus lliw lraE taht tnuoma ehT . y 2w 1w3 2/1 2/1 2/1 = ) y , 2w , 1w( C M si edanomel fo stinu y gnicudorp si eh nehw tsoc lanig -ram sih ,ro bal rof 2w dna snomel rof 1w secirp tA .etar egaw eht dna snomel fo ecirp eht no sdne ped tsoc lanigram s’lraE ,lareneg nI )b( E MA N

772

enilosag fo sle r raB 001 57 05

52

0

02 03 04

enil deR senil eulB

enil kcalB

06

08 enilosag fo eci rP .kni eulb gnisu wole b margaid eht ni evruc ylppus ’srennaM ssiM tolP )c( .retfaereht 05 ot pu

5+y

51 + y

dna enilosag fo slerrab

e b lliw enilosag rof evruc tsoc lanigram ehT .slerrab

05 dnoye b syub ti taht erom yna rof lerrab a 51$ yap tsum tub lerrab a 5$ rof lio edurc fo slerrab 05 yub nac yren�er eht taht eso ppuS )b(

. op + y op

. y dna

fo noitcnuf a sa enilosag gnicudorp fo tsoc lanigram eht sserpxE )a(

.lio edurc fo lerrab a fo ecirp eht si op erehw , y op + 2/ 2 y = ) y(c noitcnuf tsoc eht yb de bircsed era enilosag fo slerrab y gnicud orp fo stsoc latoT .enilosag gnin�er ni devlovni stsoc rehto emos era ereht lio fo tsoc eht ot noitidda nI .enilosag fo lerrab 1 ecudorp ot lio edurc fo lerrab 1 sekat tI .enilosag otni lio edurc strevnoc ,amohalkO ,kcoR yrD ni yren�eR srennaM ssiM ehT )1( 01.22

. 2/1) w3/p8(02 = Y

?hcae w$ tsoc

senots nehw doolb rof noitcnuf ylppus etagergga eht si tahw ,yaw emas eht ni enots a morf d oolb teg osla nac ohw sevitaler 91 sah kcaJ fI )d(

. 2/1) w3/p8( = y = y

?hcae w$ tsoc senots nehW

. 2/1)3/p(

?hcae 8$ tsoc senots nehw noitcnuf ylppus s’kcaJ si tahW )c( )22 .hC(

YLPP US

MRIF

872

ni nroc rof evruc ylppus a tolP

.01 − p5 = )p( S

.wole b hparg eht ?nroc fo tuptuo

gnizimixam-t�orp s’remraf eht e b lliw tahw ,p ecirp tekram eht tA )d(

.2/) y − 04(p + y − 02/ 2 y − yp = 2/) y − 04(p

+ ) y(c − yp

.deviecer dnik ni stnemyap fo eulav eht tnuocca otni

gnikat ,nroc fo ecirp tekram eht dna tuptuo sih fo noitcnuf a sa st�orp s’remraf eht rof noisserpxe na etirW .selipkcots tnemnrevog eht morf slehsub 2/) y − 04( teg lliw eh ,nroc fo slehsub y worg ot sediced remraf eht fI .margorp )KIP( dniK ni tnemyaP a secud ortni won tnemnrevog ehT )c(

.01 − p01

= )p( S ?nroc fo

ecirp eht fo noitcnuf a sa nroc fo evruc ylppus s’remraf eht si tahW )b(

. sl eh s ub 0 4

?worg

remraf siht lliw nroc hcum woh ,lehsub a 5$ si nroc fo ecirp eht fI )a( . y + )02/ 2 y( = ) y(c noitcnuf tsoc eht yb nevig si nroc fo slehsub y gniworg fo tsoc s’remraf a taht eso ppuS )2( 11.22

.s l er ra b 02

?won ylppus srennaM ssiM

lliw enilosag hcum woh ,lerrab a 03$ ta latnoziroh si evruc dnamed eht fI .kni kcalb gnisu evo ba hparg eht no evruc ylppus siht tolP .rennam emas eht ni lerrab a fo snoitcarf yub nac ti taht emussA .01 − p

= )p( S

?won e b evruc ylppus ’srennaM ssiM lliw tahW .51$ rof yub

yeht taht lio fo lerrab hcae rof 5$ ta lio fo lerrab eno yub ot seiren�er stimre p taht decudortni si margorp tnemeltitne na taht eso ppus woN ) f(

.s le r ra b 51 o t es a er ce d dl u ow t I

?egnahc

tuptuo reh dluow woh ,lio edurc lla rof lerrab a 51$ yap ot dah tub ,5$ rof edurc fo slerrab 05 tsr� eht teg regnol on dluoc srennaM ssiM fI )e(

. s l e r r ab 52

?ylppus ehs lliw enilosag hcum woH .kni der gnisu evo ba

hparg eht no evruc dnamed siht tolP .lerrab re p 03$ fo ecirp a ta enil -osag rof evruc dnamed latnoziroh a secaf srennaM ssiM taht eso ppuS )d( E MA N

972

.evo ba hparg ruoy ni )tnemyap KIP eht morf nroc eht gnidulcni( nroc fo evruc ylppus latot eht etartsulli ot kni der esU )i(

.51 + p5.2 = )p( S T t eg ot t ne m ya p K IP dn a ev ru c y lp pu s m uS ?p ecirp tekram eht fo noitcnuf a sa ,tnemyap KIP dna noitcud -orp hto b gnitnuoc ,tekram eht ot ylppus eh lliw nroc hcum woH )h(

oS

.p5.2 − 52 steg eh

.2/) y − 04( si tnemyap sih dna ,01 − p5

= )p ( S s i e v r u c y l p p u s s i H

.tnemyap KIP eht fo ezis

eht rof alumrof a etirw ,5$ = p dna 2$ = p neewte b ecirp yna tA )g(

. 05 .2 1$

?margorp KIP eht ni e b ot sesoohc eh

gnimussa ,selipkcots tnemnrevog eht morf teg eh lliw nroc fo slehsub ynam woH .slehsub 51 ?ylppus eh lliw nroc hcum woh ,5$ = p fI ) f(

woH

?ecudorp eh lliw nroc fo slehsub ynam woh ,2$ = p fI )e(

.0

?selipkcots tnemnrevog eht morf teg eh lliw slehsub ynam

.02

n roc fo slehsuB 06

05

04

03

02

01

0

1

2

3

4

enil deR

5

6 eci rP

)22 .hC(

YLPP US MRIF

082

emong a ,raey a retfA .raey eno yltcaxe tsal lliw dna 000,1$ stsoc taht tnempiuqe fo eceip a si dlom emong A .ro bal dna ,retsalp ,dlom emong a deen uoY .swollof sa si ssenisub emong nedrag eht ni ygolonhcet ehT .semong nedrag retsalp sekam ,grewZ ,nisuoc s’ frawdraeD lA )1( 1.32

.4 > p rof 42 − p6 = )p( S

.4 − p = )p( 3s ,8 − p2 = )p( 2s ,21 − p3 = )p( 1s )d(

.4 > p rof 009 ,1 − p005

= )p( S ,4 ≤ p ≤ 3 rof 003 − p001 = )p( S ,3 < p rof 0 = )p( S

.3 − p = )p( 2s noitcnuf ylppus a evah hcae

smr� 001 dna 8 − p2 = )p( 1s noitcnuf ylppus a evah hcae smr� 002 )c(

= )p( S ,1 ≤ p rof p2 = )p( S .p6 = )p( S

.1 > p rof 1 − p3

.1 − p = )p( 2s ,p2 = )p( 1s )b(

.p3 = )p( 3s ,p2 = )p( 2s ,p = )p( 1s )a(

.sesac gniwollof eht fo hcae ni noitcnuf ylppus tekram eht tcurtsnoc ot yrt woN .2$ evo ba secirp ta tuptuo ylppus smr� hto b dna ,2$ wole b secirp ta tuptuo evitiso p a seilppus mr� tsr� eht ylno ,si taht ;2 > p rof 2 − p2 = )p( S dna 2 ≤ p rof p = )p( S si noitcnuf ylppus tekram eht neht ,2 − p = )p( 2s dna p = )p( 1s era snoitcnuf ylppus mr� eht fi ,elpmaxe roF .ti ni sknik evah yam noitcnuf ylppus tekram eht taht re bmemer ot si ereh kcirt ehT .snoitcnuf ylppus mr� raenil morf snoitcnuf ylppus tekram gnidn� no uoy rof sllird emos era ereH .esicrexE pU mraW 0.32 .morf emoc snoitcnuf ylppus erehw fo egdelwonk ruoy fo esu ekam lliw uoy ,selpmaxe eseht nI .seitivitca lagelli fo scimonoce eht ni smelborp emos ot sisylana dnamed dna ylppus ylppa retpahc siht fo snoitseuq eerht tsal ehT .orez ot deilppus ytitnauq sti secuder mr� emos taht hguone wol semoce b ecirp tekram eht erehw ti ni knik a evah lliw evruc ylppus yrtsudni ehT .secirp ton ,seititnauq dda ot re bmemeR .mr� laudividni hcae morf gnimoc tuptuo fo ylppus eht pu dda tsuj ,tuptuo fo ylppus yrtsudni eht dn� oT .noitcudortn I

ylppuS yrtsudn I 32 retpahC

E MA N

-lod

7

uoY .srallod

wole b si semong fo ecirp eht fi semong on ecudorp dluow

7

evo ba si semong fo ecirp eht fi semong 005 ecud

-orp dluow uoy ,dlom emong dellatsni ylwen eno yltcaxe evah uoy fI )c(

.o N

?semong 005 naht erom ecudorp ot nur trohs eht ni elbisso p

ti si ,tnempiuqe siht htiW

.7 $

tsoc elbairav egareva ruoy si tahW

?semong 005 ot pu gnicud orp rof

.7 $

?semong 005 ot pu ecudorp

uoy fi noitcudorp fo tsoc lanigram nur-trohs ruoy si tahw ;tnalp ruoy ni dlom emong dellatsni ylwen eno yltcaxe evah uoy taht eso ppuS )b(

. 00 1, 1$ ).raey eht fo dne eht ta sselhtrow dna tuo nrow e b lliw enihcam eht taht re bmemeR( ?enihcam eht yub ot elihwhtrow e b ot si ti fi ro bal dna retsalp fo stsoc eht deecxe ot evah eunever ruoy dluow hcum woh yb ,emit taht ta ti rof diap dna 1 yraunaJ no dlom emong a fo yreviled deviecer uoy fI .001,1$ ?retal raey eno knab eht fo tuo teg ot tce pxe uoy dluoc yenom hcum woh ,1 yraunaJ no knab eht ni 000,1$ detsevni uoy fI )a( .13 re bmeceD yb samtsirhC fo etad eht etam -ixorppa su tel ,snoitaluclac fo yticilpmis rof oslA .raey tsap eht gnirud enod evah yeht krow eht rof samtsirhC ta ylno diap era sreilppus retsalp dna seeyolpme eht taht dna samtsirhC ta dlos era dlom emong eht fo efil raey-eno eht gnirud dliub uoy taht semong eht fo lla taht emussa lliw ew ,snoitaluclac fo yticilpmis roF .dereviled si ti nehw ti rof yap ot evah uoy ,dlom emong wen a yub uoy nehW .%01 si etar tseretni ehT .muirbiliuqe nur-gnol ni si yrtsudni eht dna ,erutuf eht ni segnahc yna stce pxe ydo b -oN .degnahc ton sah ygolonhcet eht dna sraey ynam rof tnatsnoc nee b evah stupni fo secirP .ecirp eht si p dna raey re p dlos semong nedrag fo re bmun latot eht si )p( D erehw ,p000 ,5 − 000 ,06 = )p( D nee b sah yrtsud -ni emong-nedrag eht gnicaf noitcnuf dnamed eht ,sraey ynam roF .semong nedrag gnikam naht rehto gnihtyna rof sselesu era sdlom emonG .ti yortsed dluow ti evom oT .ereht kcuts si ti ,tnalp ruoy ni dellatsni si dlom emong a nehW .1 yraunaJ txen eht no dereviled si ti litnu deredro si dlom emong a emit eht morf raey elohw eno sekat ti dna ,raey nevig yna fo 1 yraunaJ no sredro sekat ylno yrotcaf dlom-emong ehT .yrotcaf dlom-emong eht morf ti redro-laice ps ot evah uoy ,eno tliub ylwen a teg oT .nur trohs eht ni degnahc e b tonnac yrtsudni eht ni sdlom emong fo re bmun ehT .no os dna ,ro bal dna retsalp no raey a 007$ ylno dne ps uoy ,dlom emong a htiw raey a semong 001 ylno ecudorp ot tnaw uoy fI .nur trohs eht ni elbairav era desu ro bal dna retsalp fo stnuoma latot ehT .ro bal dna retsalp fo htrow 7$ fo latot a esu ot evah osla uoy ,ekam uoy taht emong yreve roF .raey re p semong 005 ekam nac uoy ,dlom emong a htiW .eulav parcs on sah dna tuo nrow yletelpmoc si dlom )32 .hC(

YLPP US YRTS U D NI

282

etar tahW

.s eY

.% 01 1

?ekam eh did nruter fo

?dlom emong eht ni tnemtsevni sih no nruter fo etar

%01 a naht erom ekam eh diD

.0 01 ,2

$ fo wo� hsac ten a deviecer

eh ,retsalp fo sreilppus eht dna srekrow eht diap eh nehw dna raey eht gnirud edam dah eh semong eht dlos eh nehw ,4991 ,1 yraunaJ nO .yad taht no ti rof 000,1$ diap eh ,deerga nee b dah sa ,dna ,3991 ,1 yraunaJ no dereviled saw taht dlom emong a thguo b grewZ nisuoC .02.9$ ?semong nedrag fo ecirp muirbiliuqe eht e b lliw tahW

. 0 00 ,4 1

?semong nedrag fo tuptuo latot muirbiliuqe eht e b lliw tahw ,3991 nI )a( .yreviled no segrahc ti ecirp eht egnahc t’nac ti os ,oga raey a 000,1$ rof meht lles ot detcartnoc sdlom emong nedrag fo rerutcafunam ehT .oga raey eno edam sredro morf denimreted ydaerla si 3991 ni desu e b ot elbaliava sdlom fo re bmun eht ,esruoc fo tub ,4991 ,1 yraunaJ no dereviled e b ot sdlom emong rof redro sih egnahc ot yd o byreve rof yad eht ni hguone ylrae emac tnemecnuonna ehT .swen siht yb degnahc ton saw 3991 ni semong rof noitcnuf dnamed ’sremusnoc taht emussA .emong re p 5$ ot 7$ morf emong a ecudorp ot dedeen ro bal dna retsalp eht fo tsoc eht decuder ti tub ,sdlom emas eht gnisu semong nedrag ecudorp ot elbisso p ti edam retsalp wen sihT .decnuonna saw retsalp fo dnik wen a fo noitnevni eht ,3991 ,1 yraunaJ no ,yrtsudni eht ni enoyreve fo esirprus etelpmoc eht oT .melborp suoiverp eht ni de bircsed sa saw gnihtyreve yllaitini taht eso ppuS .yrtsudni emong-nedrag eht fo yduts ruo eunitnoc eW )1( 2.32

.s eY ?ecirp muirbiliuqe nur-gnol a siht sI e b dluow sdlom ynam woH

.8 2

.0 0 0, 41

?raey hcae desahcrup ?raey hcae dednamed e b

dluow semong ynam woh ,noitces tsal eht ni dnuof uoy ecirp eht tA )e(

. oN muirbiliuqe nur-gnol eht dluoC

. 0 2. 9$

?siht naht rewol e b ecirp ?knab eht morf teg uoy sa

nruter fo etar emas eht sevig dlom emong a ni gnitsevni hcihw ta semong rof ecirp tsewol eht si tahW .seY ?knab eht ni yenom ruoy gnittup morf nruter eht naht rehgih siht sI

.% 0 5

?dlom emong a ni gnitsevni

yb 000,1$ ruoy no ekam uoy dluow nruter fo etar tahw ,ecirp rehgih a ta enon dna hcae 01$ rof dekil uoy sa semong ynam sa lles dluoc uoy fI )d( .srallod

7

si semong fo ecirp eht fi 005 dna 0 neewte b

semong fo re bmun yna gnicudorp neewte b tnere�idni e b dluow uoY .sral E MA N

382

.3991 ni yticapac ot pu desu e b sdlom emong lla eroferehT

. 8$

ll iw

)ton lliw ,lliw(

si ,xat eht gnidulcni ,emong nedrag

a gnicudorp fo tsoc lanigram eht ,dlom emong nedrag a evah uoy fI )b(

.0 2. 9$ e b ot evah neht dluow ecirp tekram eht taht ees ew ,noitcnuf dnamed eht neviG .semong

0 00 ,4 1

ecudorp lliw yeht ,3991 ni yticapac ot

pu ecud orp srekam emong fi taht ees ew ,3991 ,1 yraunaJ no yreviled rof deredro sdlom emong fo re bmun eht smelborp suoiverp morf gnillaceR )a( .sesimorp eseht fo tuo kcab t’ndluoc yeht dna ,deredro yeht taht dlom emong hcae rof 000,1$ yap ot gnisimorp stcartnoc dengis dah srekam emonG .oga raey a deredro ydaerla nee b dah 3991 ni desu e b ot sdlom emong eht esruoc fO .4991 rof sdlom emong fo sredro rieht egnahc ot srecudorp emong rof emit saw ereht taht os yad eht ni hguone ylrae emac tnemecnuonna ehT .xat 1$ a yap tsum rerutcafunam eht ,decudorp emong nedrag yreve roF .semong nedrag fo noitcud orp eht no xat a gnicudortni yb yrtsudni emong nedrag eht dehsinotsa tnemnrevog eht tub ,yrtsudni eht fo noitpircsed lanigiro ruo ni taht morf snoitcnuf dnamed ro ygolonhcet ni segnahc on erew ereht ,3991 ,1 yraunaJ nO )1( 3.32

. 02 .7 $

?semong fo ecirp muirbiliuqe wen eht e b lliw tahW .muir

-biliuqe nur-gnol wen a hcaer lliw yrtsudni eht ,emit tneic�us fo egassap eht retfA .regraL ?raey suoiverp eht deredro re bmun eht sa emas eht ro ,rellams ,regral e b ti lliW ?4991 ,1 yraunaJ no yreviled rof dered -ro semong nedrag fo re bmun eht ot ne ppah lliw kniht uoy od tahW )c(

. 90 9, 1$ ?dlom wen s’nikhcnuM rof yap ot gnilliw e b dluow grewZ taht tsom eht si tahw ,%01 si sdnuf lanoitidda fo stnemtsevni evitanretla no ekam nac grewZ taht nruter fo etar tse b eht fI .909,1$ ?rof ti lles ot gnilliw e b dluow eh taht ecirp tsewol eht si tahW

.o N

?000,1$ rof dlom

sih lles ot gnilliw e b eh dluohs neht ,%01 si gnidnel dna gniworro b rof hto b ,secaf nikhcnuM taht etar tseretni eht fI .raey eno ni 001,2 $ fo wo� hsac ten a teg lliw eh ,dlom sih speek nikhcnuM fI .tnalp nwo sih ni ti gnillatsni dna nikhcnuM morf dlom wen s’nikhcnuM gniyub gniredisnoc si ,yenom erom emos tsevni ot yaw a rof gnikool si ohw ,grewZ ,yad siht nO .3991 ,1 yraunaJ no dereviled e b ot si taht dlom emong a sah eh dna ,semong nedrag sekam osla ,nikhcnuM ,ro bhgien s’grewZ )b( )32 .hC(

YLPP US YRTS U D NI

482

.secirp gnisiar ybereht ,ylppus t c ir t s e r d n a e s ae r c n i x a t e h t et a p i c i t na d l u o w s r ec u d o r p e h T

.oN

?ton yhw ro yhW ?xat on

erew ereht fi naht �o esrow e b ylirassecen semong nedrag fo srecudorp eht dluoW .4991 ,1 yraunaJ litnu tce�e otni og ton dluow xat eht taht tub ,semong nedrag no xat 1$ a e b dluow ereht taht decnuonna dah tnemnrevog eht ,3991 ,1 yraunaJ fo gninrom eht ni ylrae taht eso ppuS )h(

.t nu o ma e ma S

?emong re p

xat eht sa tnuoma emas eht ro ,ssel ,erom yb pu og semong fo ecirp eht did ,nur gnol eht nI .srecudorP ?sremusnoc eht ro srecudorp eht ,semong nedrag no xat eht gniyap pu dne dluow ohw ,nur trohs eht nI )g(

. 02 .0 1$ ?semong fo ecirp muirbiliuqe wen eht saw tahW .muirbiliuqe nur-gnol wen a dehcaer yrtsudni eht ,emit tneic�us fo egassap eht retfA .snoitid -noc ylppus ro dnamed ni ro xat eht ni segnahc rehtruf yna detce pxe ydo b -on dna ,sraey ynam rof ecalp ni tfel saw semong nedrag no xat ehT ) f(

. r el la mS

?raey suoiverp eht deredro re bmun eht sa

emas eht ro ,rellams ,regral e b ti lliW ?4991 ,1 yraunaJ no yreviled rof deredro sdlom emong fo re bmun eht ot ne ppah lliw kniht uoy od tahW )e(

.5 4 .5 45 $

?dlom wen s’nikhcnuM rof yap ot gnilliw

e b eh dluohs hcum woH .tnemtsevni sih no nruter fo etar %01 a sekam eh taht os hguone paehc ti teg nac eh fi ti yub dluow grewZ llits tub ,xat eht tuohtiw saw ti naht tnemtsevni evitcartta ssel a dlom s’nikhcnuM sekam xat eht tuo ba gniwonK .3991 ,1 yraunaJ no dereviled e b ot si taht dlom emong a sah osla ,nikhcnuM ,ro bhgien s’grewZ taht re bmemeR )d(

.%04−

?emit taht ta rof

000,1$ diap dna oga raey a deredro eh taht dlom emong nedrag a ni tnem -tsevni sih no ekam grewZ nisuoc s’ frawdraeD lliw nruter fo etar tahW ?semong nedrag fo ecirp eht e b lliw tahW .000,41

.0 2. 9 $

?semong nedrag fo tuptuo latot eht e b lliw tahw ,3991 nI )c( E MA N

582

.05 = ∗ Y

?yrtsudni eht fo tuptuo muirbiliuqe eht e b lliw tahW )e(

eht e b lliw tahW

.1 = ∗ y

.2 = ∗p

?mr� hcae fo tuptuo muirbiliuqe

?ecirp muirbiliuqe eht e b lliw tahW )d(

.05 = ∗n syas hcihw ,2/2n

= 2 − 25 = )p(D sevig sihT

.2 = ∗p ta sseuG

).skrow ti fi ees dna e b lliw ecirp yrtsudni eht tahw ta sseug a ekaT

:tniH( ?yrtsudni eht ni smr� fo re bmun muirbiliuqe eht e b lliw tahW )c(

.2 = ∗p

?dlos e b nac tcudorp eht hcihw ta ecirp tsellams eht si tahW )b(

.2/pn = Y ?evruc ylppus yrtsudni eht e b lliw tahw ,yrtsudni eht ni smr� n era ereht fI .2/p = )p( S ?mr� laudividni na fo evruc ylppus eht si tahW )a( ).regetni na e b ot evah seod smr� fo re bmun eht tub ,re bmun regetni na e b ot evah ton seod mr� a fo tuptuo ehT( .p − 25 = )p( D yb nevig si yrtsudni siht rof evruc dnamed eht yllaitini taht eso ppuS .0 = )0(c dna 0 > y rof 1 + 2 y = ) y(c snoitcnuf tsoc lacitnedi evah hcihw fo lla ,smr� fo re bmun egral a htiw yrtsudni evitite pmoc a redisnoC )0( 4.32

.sremusnoc yb diap ecirp eht es ia r l li w si hT .y rt s ud ni e ht re t ne o t me ht t eg ot e c ir p tn e rr uc r e hg ih a ek at ll iw ti ,erutuf ni ’’sesirprus‘‘ ralimis tcepxe s r ek am em o ng s ek am x a t es ir pr u s a fI

?woH

?seilppus dna secirp muirbiliuqe tce�a siht lliW .sraey retal ni decudortni sexat erom e b lliw ereht taht suoicipsus srekam emong sekam 3991 yrau -naJ ni xat eht fo noitcudortni eht taht eso ppuS ?erutuf eht ni ”sesirprus“ ralimis e b dluow ereht taht suoicipsus smr� gnikam tuohtiw sexat ”esirp -rus“ ecud ortni dluoc tnemnrevog eht taht eso ppus ot elbanosaer ti sI )i( )32 .hC(

YLPP US YRTS U D NI

682

ynam woH tahW

. 00 1 ,1

.5

. 55

?muirbiliuqe ni e b ereht lliw sbacixat

?yad re p sedir fo re bmun muirbiliuqe eht si

).tsoc lanigram lauqe tsum ecirp ,muirbiliuqe evitite p

-moc nI :tniH( ?edir re p ecirp muirbiliuqe evitite pmoc eht si tahW )a( .evitite pmoc yltcefre p si yrtsudni eht taht emussA .srallod ni derusaem si ecirp dna ,yad re p sedir ni derusaem si dnamed erehw ,p02 − 002 ,1 = )p( D yb nevig e b sedir ixat rof noitcnuf dnamed eht teL .yad re p spirt 02 fo yticapac a sah ixat egareva eht taht dna ,5$ si edir ixat a fo pirt re p tsoc lanigram tnatsnoc eht taht eso ppus su teL .sdradnats ytefas niatrec de�sitas sbac dna srevird eht sa gnol sa ecivres ixat edivorp dluoc mr� elbatce pser ynA .secivres ixat ni tekram eerf ssel-ro-erom a dah ro braH maH fo nwot eht ,0991 nI )3( 5.32

. or eZ tahW

.1 = y

?mr� hcae fo st�orp muirbiliuqe eht e b lliw

?mr� hcae fo tuptuo muirbiliuqe eht e b lliw tahW )i(

muirbiliuqe eht e b lliw tahW

?smr� fo re bmun muirbiliuqe eht e b

. 15

?ecirp

.2

lliw tahW .p−35 = )p( D ot stfihs evruc dnamed eht taht eso ppus woN )h(

muirbiliuqe eht e b lliw tahW muirbiliuqe eht e b lliw tahW

= p − 5.25 evloS

?mr� hcae fo tuptuo

.10.1 = ∗ y

?mr� hcae fo st�orp

. 20 . d nu or A

.20.2 = ∗p teg ot 2/p05

?ecirp muirbiliuqe eht e b lliw tahW )g(

.s mri f 0 5 e b d l uo w e re h t muirbiliuqe ni eroferehT .yenom esol dluow mrif wen A .2 < 35/501 = ∗p rof evloS .2/p15

= p − 5.25 eb dluow noitauqe dnamed-ylppus

eh T . sm ri f 1 5 eb dl u ow e re ht ,d e re tn e mr if w en a fI

)?st�orp evitagennon ekam dna tekram eht retne

mr� wen a naC :tniH( ?smr� fo re bmun muirbiliuqe eht e b lliw tahW .p − 5.25 = )p( D ot stfihs evruc dnamed eht taht eso ppus woN ) f( E MA N

782

.nwot fo retnec eht ot taehw fo lehsub a tro psnart ot elim a stnec 01 stsoc ti ,revewoH .taehw worg ot lehsub a 5$ stsoc ylno ti dna ,lehsub a 01$ si nwot fo retnec eht ta tekram eht ta taehw fo ecirp ehT .nialp sselerutaef egral a fo elddim eht ni detac ol gnie b sa ytic eht fo knihT .ytic a gnidnuorrus esu dnal larutlucirga fo nrettap muirbiliuqe eht enimreted lliw ew ,melborp siht nI )2( 6.32 .tnuoma siht

n ah t e ro m

)sa emas eht ,naht

ssel ,naht erom( e b dluow deussi esnecil bacixat rehtona evah ot yap ot gnilliw e b dluow sremusnoc taht tnuoma latot ehT .000,510,4$ ?deussi gnie b reve morf secnecil wen yna tneverp ot yap ot gnilliw e b dluow rehtegot srenwo bacixat lla taht tnuoma latot eht si tahW .hcae

0 00 ,3 7 $

?deussi gnie b morf sesnecil wen yna tneverp ot yap

ot gnilliw e b renwo bacixat tnerruc hcae dluow yenom hcum woH )g(

. g ni ht oN ?eraf wen siht ta htrow e b esnecil bacixat a dluow hcum woh ,erom yna worg ot gniog ton si ro braH maH ni dnamed taht gnimussA ) f(

.1

?ekat siht dluow sesnecil

erom ynam woH .5$ ot edir re p ecirp bacixat eht ecuder ot sesnecil wen hguone eussi ot 5991 ni dediced noissimmoc eht taht eso ppuS )e(

. 00 0, 37 $

?esnecil bacixat a fo ecirp tekram

eht e b dluow tahw ,reverof tnatsnoc niamer ot detce pxe erew sesnecil fo re bmun eht dna ,dnamed ,stsoc dna %01 saw etar tseretni eht fI )d(

. 0 03 ,7 $

?raey re p esnecil bacixat re p t�orp

eht saw tahw ,yad yreve detare po ixat eht fI bacixat re p t�orp eht saw tahW

. 1$

. 02

?yad re p esnecil

?esnecil bacixat a gniriuqca htiw

detaicossa stsoc yna gnitcelgen ,5991 ni edir re p t�orp eht saw tahW )c(

.6 $

?5991 ni edir a fo

ecirp muirbiliuqe eht saw tahW .p02 − 022 ,1 = )p( D emoce b dah sedir bacixat rof evruc dnamed eht tub ,degnahc ton dah stsoc 5991 nI .erutuf eht ni deussi e b lliw sesnecil wen on tub ,sedir fo ylppus eht slauqe sedir rof dnamed eht taht os seraf bacixat eht tsujda ot eunitnoc dluow ti taht detats drao b ehT .sbac gnitsixe eht fo hcae ot esnecil a deussi dna drao b gnisnecil bacixat a detaerc ro braH maH fo licnuoc ytic eht 0991 nI )b( )32 .hC(

YLPP US YRTS U D NI

882

.yrtsudni eht ni gnitare po smr� 4 ro ,3 ,2 ,1 era ereht fi smr� eseht yb detareneg sevruc ylppus yrtsudni ruof eht le bal dna tolP .2/p = )p( iS yb nevig evruc ylppus emas eht evah yrtsudni nevig a ni smr� lla eso ppuS )0( 8.32

. 01 ?3 mriF

.0

tuptuo eht si tahW

?2 mriF

.5 1

.5

?tuptuO

?ecirp siht ta 1 mr� rof level

.5

?ecirp tekram gnitluser

eht si tahw ,51 = )p( D mrof eht sah evruc dnamed tekram eht fI )a( y ti tnau Q 04

03

02

01

0

5

01

ylppus y r tsudnI

51 1 S

3 S

2 S

02 eci rP

.evruc ylppus yrtsudni gnitluser eht dna sevruc ylppus eerht eht fo hcae tolp wole b hparg eht nO .ylevitce pser p2 = )p( 3S dna ,5 − p = )p( 2S ,p = )p( 1S :snoitcnuf ylppus gniwollof eht evah smr� eht eso ppuS .smr� eerht htiw yrtsudni na redisnoC )1( 7.32

. s el im 0 5

?orez

htrow e b ot dnal rof e b ot evah uoy od tekram eht morf yawa raf woH )c(

= t ne R

.t001 − 000 ,5

?rof tner tekram eht morf selim t detacol dnal fo erca na lliw

hcum woH .dnal fo erca na no slehsub 000,1 worg nac uoy eso ppuS )b(

.t01. − 5 = lehsub rep tiforP

.tekram ot detro psnart taehw fo lehsub re p t�orp sti rof alumrof a nwod etirw ,nwot fo retnec eht morf selim t detac ol si mraf a fI )a( E MA N

982

.ecirp tekram eht fo level muirbiliuqe nur-gnol eht etacidni ,oslA .kni eulb gnisu sevruc tsoc lanig -ram dna egareva s’mr� evitatneserper a ward ,wole b margaid eht nO )a(

.yrtsudni eht ni smr� rehto eht fo lla sa evruc tsoc egareva de pahs-U emas eht evah dna yrtsudni siht retne nac ydo bynA .yrtsudni elcillo p eht otni yrtne eerf si erehT )0( 9.32

.3 dluow smr� ynam woH

?tekram a hcus ni etare po

. 8. 4 d na 02 .3 $

?tuptuo dna ecirp

muirbiliuqe eht e b dluow tahw ,woN ?p − 8 = )p( D ot lauqe saw dnamed tekram eht taht tpecxe dleh evo ba sa snoitidnoc lacitnedi eht fi tahW )b(

.2 dluow smr� ynam woH

?tekram a hcus ni tsixe

. 5. 3

= ytitnauq , 05.3$ = ecirp :rewsnA

?5.3 = )p( D ot lauqe saw dnamed tekram eht fi yrtsudni eht ni tuptuo dna ecirp muirbiliuqe eht e b dluow tahw ,yenom gnisol e b dluow yeht ,3$ wole b saw ecirp eht fi taht hcus erutcurts tsoc a dah smr� eht fo lla fI )a(

y ti tnau Q 04

03

02

01

0

5

01

51 3 S

4 S

2 S

1 S

02 eci rP

)32 .hC(

YLPP US YRTS U D NI

092

. 0 00 ,5 1$ ?yrtsudni eht ni tsoc elbairav egareva eht si tahw ,tnaruatser gnitsixe na morf 000,58$ rof raey a rof desael e b nac esnecil rouqil a fi dna ,raey a 000,001$ si eunever s’tnaruatser egareva eht fI .noitite pmoc tcefre p etamixorppa ylesolc yrtsudni siht fo snoitidnoc eht taht eso ppuS .srenwo tnaruatser rehto ot derrefsnart ylisae e b yam yeht taht dna detimil si sesnecil fo re bmun eht taht eso ppuS .esnecil a evah ot deriuqer si segare -ve b cilohocla slles taht tnaruatser a ,seitinummoc ynam nI )0( 01.32 ,esaercni(

e sa er cn i

.)esaerced ,emas eht yats dluow yrtsudni eht ni gnitare po mr� hcae rof

level tuptuo eht dna ,yrtsudni eht ni gnitare po smr� ,emas eht ,erom( e b dluow ereht ,

es ae rc n i

re w e f

)rewef

)esaerced ,esaercni(

dluow ecirp tekram eht :gniwollof eht tciderp dluow ledom evitite pmoc eht xat eht fo noitiso pmi eht ot detsujda sah yrtsudni eht retfA .kni kcalb gnisu hparg evo ba eht no snoitidnoc tsoc wen eht warD .yrtsud -ni eht ni mr� yreve no ,l ,xat a seso pmi tnemnrevog eht fi tahW )c( .)esaerced ,emas eht yats ,esaercni(

y at S

. em as e ht

dluow yrtsudni eht ni gnitare po mr� hcae rof level tuptuo eht

dna ,yrtsudni eht ni gnitare po smr� dluow ereht ,

t

tnuoma yb

re we f

)rewef ,emas eht ,erom( e b

e s ae rc ni

)esaerced ,esaercni(

dluow ecirp tekram eht :gniwollof eht tciderp dluow ledom evitite pmoc eht ,xat eht fo noitiso pmi eht ot detsujda sah yrtsudni eht retfA .hparg evo ba eht no snoitidnoc wen eht ward ot kni der esU .yrtsudni eht yb dlos tuptuo fo tinu yreve no ,t ,xat a seso pmi tnemnrevog eht eso ppuS )b( y ti tnau Q 04

03

02

01

0

cm eulB

ca eulB

5 P

ca kcalB

l+P 01

ca deR

t+P 51 cm deR 02 eci rP

E MA N

192

.snoitcnuf tsoc dna snoitcnuf dnamed lautca eht fo setamitse doog emos evah ot gnitseretni yrev e b dluow tI .noitartsulli rof pu edam tsuj era esu ew sre b -mun eht tub ,tcaf lautca no desab si melborp siht dnihe b yrots ehT ∗

. 00 4, 6

?dliw

nailartsuA eht morf devomer yltnenamre p e b lliw sootakcoc ynam woH ?muirbiliuqe ni setatS detinU eht ni dlos e b lliw sootakcoc

.0 02 , 3

evil ynam woH .erutan ot denruter erew sootakcoc detacs�noc eht nehw ecirp muirbiliuqe eht sa emas eht e b ot evah lliw so otakcoc delggums fo ecirp muirbiliuqe eht taht e b tsum ti ,latnoziroh si evruc ylppus eht ecniS .egnahc ycilo p siht morf egnahc ton od ootakc oc a gnilggums morf st�orp ehT .tekram naciremA eht ni meht dlos seitirohtua smotsuc eht ,dliw eht ot sootakcoc detacs�noc evil gninruter fo daetsni taht eso ppuS )e(

.111 ,7 = 54./002 ,3

?sreyub .S.U sehcaer sdrib evil

fo re bmun siht taht redro ni ailartsuA ni thguac e b tsum sootakc oc ynam woH .002,3 ?ecirp muirbiliuqe eht ta raey re p setatS detinU eht ni dlos e b lliw sootakcoc delggums ynam woH .raey re p p02 − 002 ,7 = )p( D si setatS detinU eht ni sootakcoc delggums rof noitcnuf dnamed ehT )d( relggums-torrap a seod ecirp tahw tA :tniH(

.0 02 $

)?neve kaerb tsuj ecirp tekram eht

ta enil latnoziroh a e b lliw storrap delggums rof eludehcs ylppus ehT )c(

.09$ = 04 + 005 × 01.$

?torrap re p ,gnippihs dna gnirutpac

fo tsoc eht dna sen� detce pxe gnidulcni ,tsoc detce pxe eht si tahW )b(

.p54.

?torrap a

gnippihs morf relggums-torrap a ot eunever ssorg detce pxe eht si tahw ,p si storrap delggums fo ecirp eht nehw eroferehT .54. si detacs�nocnu dna evila reyub eht hcaer lliw torrap delggums a taht ytilibaborp ehT )a( .sairetefac ytisrevinu ot detanod era daed dnuof era taht sootakc oc ∗ detacs�noC .dliw eht ot denruter era evila era taht sootakcoc detacs�noC .degrahc si 005$ fo en� a dna detacs�noc si drib eht esac hcihw ni ,dere -vocsid gnie b fo ecnahc %01 a sah ootakcoc delggums hcaE .tisnart ni eid de ppihs sootakcoc eht fo %05 tuo ba dna sdrib eht rof citamuart ylemertxe si sihT .sesactius ni de ppihs dna deggurd era storrap delggumS .drib re p 04$ tuo ba si setatS detinU eht ot mih gnippihs dna ootakcoc nailartsuA na gnirutpac fo tsoc ehT .de poleved sah sootakc oc ni tekram lagelli nA .storrap egral eseht fo tro pxe eht dewaltuo evah seitirohtua nailartsuA eht ,sootakcoc fo snoitalupo p dliw eht tcetorp ot redro nI )2( 11.32 )32 .hC(

YLPP US YRTS U D NI

292

.ytitnauq dna ecirp muirbiliuqe eht le baL .kni eulb htiw snroh soreconihr rof sevruc dnamed dna ylppus dlrow ward dna wole b sexa eht le baL .deyortsed era acirfA htuoS ni decudorp snroh soreconihr eht fo lla taht eso ppuS )a(

.esuoheraw a ni derots ro deyortsed rehtie erew snroh eht daetsnI .snroh eseht gnilles yb emirc lanoitanretni ot etubirtnoc ton did acirfA htuoS ,lagelli saw snroh soreconihr ni edart lanoitanretni ecnis taht denialpxe ylduorp nedraw emag nacirfA htuoS ehT ”?sesuac larutan fo eid taht ro detsevrah era taht slamina eht morf snroh eht htiw od uoy od“ ,reweivretni eht deksa ”,neht tahW“ .sesoreconihr fo noitalupo prevo tneverp ot redro ni ”detsevrah“ e b ot evah neve sesoreconihr emos taht denialpxe nedraw emag nacirfA htuoS a ,avoN seires noisivelet eht morf margorp tnecer a nI .dere psorp sah acirfA htuoS fo noitalupo p soreconihr eht dna yletelpmoc tsomla gnihcao p tneverp ot elba erew ereht snedraw emaG .acirfA htuoS ni snoitalupo p soreconihr htiw skrap emag egral osla era erehT .acirfA tsaE ni ecrofne ot elbisso pmi tsomla gnihcao p tsniaga swal edam evah gnihcao p rof sdrawer hgih hcuS .soreconihr eno gnillik ylpmis yb segaw s’raey a flah nrae nac rehcao p a taht hgih os nesir sah sraey tnecer ni snroh soreconihr fo ecirp ehT .srehcao p yb detelped yllatot tsomla nee b sah skrap eseht fo noitalupo p soreconihr eht ,ayneK fo skrap emag eht ni sesoreconihr llik ot lagelli si ti hguohtlA .acirfA tsaE fo sesoreconihr eht rof etanutrofnu tsom e b ot devorp sah sihT .seitre porp caisidorhpa degella sti rof anihC dna napaJ ni dezirp si soreconihr eht fo nroh ehT )0( 21.32

. 00 4, 6

?tekram .S.U eht rof ailartsuA ni thguac

.0 4$

ni dlos e b dluow sootakcoc ynam woH

. 00 4, 6

e b ot evah dluow sootakcoc ynam woH

?setatS detinU eht

?setatS detinU eht ni

sootakcoc fo ecirp muirbiliuqe eht e b dluow tahW .elbigilgen si dohtem siht yb tisnart ni shtaed fo re bmun eht taht dna egac elbatrofmoc a ni setatS detinU eht ot ootakc oc a pihs dna erutpac ot 04$ tuo ba stsoc ti taht eso ppuS .dezilagel si so otakcoc ni edart eht taht eso ppuS ) f( E MA N

392

ytilibaborp eht taht eso ppuS .reilppus eht en� dna anaujiram eht ezies yeht ,srelaed fo sdnah eht ni ro gniworg anaujiram dn� seitirohtua anauj -iram eht revenehw tuB .sreyub ot ti gnireviled dna anaujiram gniworg rof ecnuo re p 5$ fo tsoc lanigram tnatsnoc a si ereht taht eso ppuS .stcej bo yteicos hcihw ot anaujiram fo noitpmusnoc eht si tI .stuorps slessurb ro nroc teews gniworg naht lufmrah erom on si flesti ni hcihw ,ytivitca larotsap elpmis a si ,elpmaxe rof ,anaujiram fo gniworg ehT .sgurd ticilli si elpmaxe doog A .noitpmusnoc tcirtser ot sehsiw tub seitivitca ylppus eht gnitcirtser ni tseretni ralucitrap on sah yteic os taht srae ppa ti ,seitid ommoc rehto fo esac eht nI .detiolpxerevo gnie b morf snoitalupo p dliw eht tcetorp ot ylpmis si noitcirtser eht rof evitom ehT .ste p sa sootakc oc evah ot snailartsuA rof lagel si ti deednI .uoy rof dab si ootakcoc a gnivah esuac -e b ton si setatS detinU eht ot so otakcoc fo noitatro pxe eht gnitcirtser rof nosaer nailartsuA eht ,ylralimiS .sesoreconihr rof dab si ytivitca ylppus eht esuace b tub ,sre bibmi caisidorhpa fo serusaelp dekciw eht tuo ba nrec -noc fo esuace b detibihorp ton si snroh soreconihr fo elas ehT )1( 31.32

. de sa e rc eD -hcao p soreconihr fo tnuoma eht dluoW

?desaerced ro desaercni e b gni

. de s ae rc eD

desaercni e b snroh soreconihr fo ecirp dlrow eht dluoW

?desaerced ro

. de s ae rc nI

?desaerced ro desaercni e b snroh sorec onihr fo noitpmusnoc dlrow dluow ,siht od ot erew acirfA htuoS fI .sevruc ro evruc detfihs eht etartsulli ot kni der esU .thgir eht ot evruc ylppuS ?noitcer -id tahw ni dna tfihs dluow margaid ruoy ni sevruc eht fo hcihw ,tek -ram dlrow eht no snroh soreconihr sti lles ot erew acirfA htuoS fI )b( y ti tnau Q

b Q

a Q

)eulB( D

b P aP

)deR( S

)eulB( S

eci rP

)32 .hC(

YLPP US YRTS U D NI

492

.e ci rp eh t g nir ew ol , th g ir e ht ot t f ih s ll iw e vr uc yl ppu s e ht es u ac eb es ae r cn i ll iw no it p mu sn oC

.nialp

-xE ?deyortsed erew ti fi naht dlos erew anaujiram detacs�noc fi retaerg e b dluow noitpmusnoc taht kniht uoy od ,noitcudorp anauji -ram ni tsoc lanigram tnatsnoc naht rehtar gnisaercni erew ereht fI )d(

. e ma s eh t ya tS )emas eht yats ,esaerced ,esaercni( lliw anaujiram fo ecirp ehT )c(

. B4.11 − A

?anaujiram fo noitpmusnoc muirbiliuqe eht e b lliw

tahW .tekram ne po eht no dlos tub deyortsed ton si anaujiram detacs�noc taht eso ppuS . B4.11 − A ?anaujiram fo noitpmusnoc muirbiliuqe

eht e b lliw tahw ,deyortsed si anaujiram detacs�noc lla fI .p B − A = Q noitauqe eht sah anaujiram rof noitcnuf dnamed eht taht eso ppuS )b(

. 4 .1 1$ .3 − p7.

?anaujiram fo ecirp muirbiliuqe eht e b dluow neht tahW ?anaujiram fo ecnuo na gnilles morf relaed a ot sen� fo

ten eunever detce pxe eht si tahw ,ecnuo re p p$ si ”ecirp teerts“ eht fI )a( .ecnuo re p 01$ si thguac era uoy fi en� eht taht dna 3. si dezies si anaujiram taht E MA N

592

)32 .hC(

YLPP US YRTS U D NI

692

.evruc eunever lanigram eht tolp ot kni der esu ,hparg emas eht nO .wole b hparg eht ni evruc siht tolp ot kni kcalb esU .dlos seip fo re bmun eht serusaem y dna stnec ni derusaem si ecirp eht erehw , y − 001 = ) y(p saw seip noegip rof evruc dnamed esrevni eht ,ssenisub sih detrats tsr� eh nehW )a( .krap eht ni elbaliava slairetam war fo seilppus tnadnuba eht ot eud orez era stsoc siH .kraP lartneC ni ycaciled siht fo reilppus ylno eht si nagroM .kraP lartneC ni trachsup a morf seip noegip slles nagroM reteP )0( 2.42

. 00 8

= ∗Q si lles ot gnoB rosseforp rof skoo b fo ytitnauq

gnizimixam-t�orp ehT dna

05/Q − 02

.4

= )Q( C M si noitcnuf tsoc lanigram eht

= )Q(R M si noitcnuf eunever lanigram ehT )c(

.Q4 + 000 ,1 = )Q( C si ko o b s’gnoB rosseforP gnicudorp rof noitcnuf tsoc latot ehT )b(

.001/ 2Q − Q02

= )Q(R si koo b s’gnoB rosseforP rof noitcnuf eunever latot ehT )a(

.detnirp ko o b yreve rof koo b re p 4$ fo tsoc lanigram a si ereht ,tsoc putes eht ot noitidda nI .detnirp e b nac seipoc yna erofe b yrassecen si tsoc putes sihT .e pyt ni koo b eht tes ot 000,1$ tsoc lliw tI .ecirp sti si P erehw , P001 − 000 ,2 = Q e b lliw koo b siht rof evruc dnamed eht taht stseggus hcraeser tekraM .tnauqosI ruoY pU dellac si tI .scimonocE knuP ni koo btxet tsr� eht nettirw tsuj sah gnoB rosseforP )0( 1.42 . yb2 − a = ) y(R M mrof eht sekat syawla evruc eunever lanigram eht , yb − a = ) y(p ,evruc dnamed esrevni raenil a htiW .yllacihparg evruc eunever lanigram eht dn� ot ysae si ti ,dnamed raenil fo esac laice ps eht ni tuB .ytitnauq eht ot tce pser htiw noitcnuf eunever latot eht fo evitavired eht gnikat yb dnuof e b nac noitcnuf eunever lanigram eht ,lareneg nI .noitcnuf dnamed eht otni tuptuo gnizimixam-t�orp eht gniggulp yb ecirp s’tsilo ponom eht dn� uoy ,tuptuo siht rof devlos gnivaH .tsoc lanigram ot lauqe si eunever lanigram hcihw ta tuptuo eht rof gnivlos yb dnuof si tsilo ponom a fo tuptuo gnizimixam-t�orp ehT .noitcudortn I

ylopono M E MA N

42 retpahC

.srallod dnasuoht

6 32

7

?dlos e b yeht lliw ecirp tahw tA .dnasuoht

?setatS detinU eht ni dlos e b won lliw selibomotua esenapaJ

ynam woH .000,2$ fo tnemnrevog .S.U eht ot xat a yap tsum srerutcafu -nam esenapaJ eht setatS detinU eht ot detro pxe rac yreve rof taht yaw a hcus ni srac esenapaJ no ytud tro pmi na seso pmi setatS detinU eht ,sre -rutcafunam rac naciremA morf erusserp ot esno pser ni taht eso ppuS )b( .srallod noillib

2 .1

?srac esenapaJ

no latot ni dne ps snaciremA lliw yenom hcum woH .dnasuoht

04 2

?setatS detinU eht ni dlos srac esenapaJ fo re bmun muirbiliuqe eht e b lliw tahw 000,5$ fo ecirp a ta latnoziroh si eludehcs ylppus eht fI )a( .srallod fo sdnasuoht ni srac esenapaJ fo ecirp eht si P erehw , P2 − 052 e b lliw )srac fo sdnasuoht ni( srac fo selas launna taht hcus si setatS detinU eht ni srac esenapaJ rof noitcnuf dnamed eht taht eso ppuS )0( 3.42

.e ip r ep st n ec 5 .7 3 tahW

. 57

?ecirp gnizimixam-t�orp wen eht si

?ecirp wen siht ta tuptuo gnizimixam-t�orp sih si tahW )d(

.kni kcalb htiw hparg emas eht no evruc eunever lanigram wen eht tolP .evo ba hparg eht ni evruc siht tolp ot kni eulb esU .2/ y − 57 = ) y(p ot detfihs dah evruc dnamed eht taht deciton eh ,shtnom lareves rof ssenisub ni nee b dah reteP retfA )c(

. s tn ec 0 5 tahW

. 05

?eip re p egrahc reteP lliw ecirp

?st�orp s’reteP ezimixam lliw tuptuo fo level tahW )b(

seip noegiP 521

051

001

enil eulB

57

05

0

52

enil deR

senil kcalB

52

05

57

001 s tneC

)42 .hC(

YL OP O N O M

892

.srallod noillim

2 74

?sesnecil tro pxe fo elas

eht morf eunever latot s’tnemnrevog esenapaJ eht e b lliw hcum woH )g( ).esnecil tro pxe na evah uoy fi rof dlos e b nac ti hcum woh dna rac a ecudorp ot stsoc ti tahw tuo ba knihT :tniH( .srallod dnasuoht 2 ?esnecil tro pxe na rof tnem -nrevog esenapaJ eht yap ot gnilliw e b mr� esenapaJ a lliw hcum woH ) f( .srallod dnasuoht

7

?srac rieht rof aciremA

ni egrahc ot elba e b yeht lliw ecirp tahw ,aciremA ni dlos e b lliw srac esenapaJ 000,632 ylno taht wonk yeht fi dna evruc dnamed naciremA eht wonk smr� esenapaJ eht fI .smr� esenapaJ eht ot sesnecil eseht slles dna sesnecil tro pxe 000,632 ylno eussi ot seerga tnemnrevog esenapaJ eht taht rehtruf eso ppuS .esnecil tro pxe na evah tsum setatS detinU eht ot detro p -xe rac yreve taht gniriuqer yb stro pxe rieht niartser ot eerga esenapaJ eht taht eso ppuS .setatS detinU eht ot srac fo stro pxe rieht no ”snoit -cirtser tro pxe yratnulov“ eso pmi ot tnemnrevog esenapaJ eht sedausre p tnemnrevog .S.U eht ,ytud tro pmi na gniso pmi fo daetsni taht eso ppuS )e( )sdnasuoh t( so tua esenapaJ 003

052

002

051

001

05

0

dname D 2

ylppuS senil eulB

4 5 6

enil deR y tud h tiw ylppuS

7 8

)sdnasuoh t( eci rP

.eludehcs ylppus wen eht ward ot kni der esU .erofe b sa syats eludehcs dnamed eht dna stfihs eludehcs ylppus eht ,deso pmi si ytud tro pmi eht retfA .deso pmi si ytud tro pmi eht erofe b seludehcs ylppus dna dnamed eht wohs ot kni eulb esU .sixa lacitrev eht no derus -aem si sremusnoc naciremA yb diap ecirp eht ,wole b hparg eht nO )d( .srallod noillim

2 74

? �irat siht htiw tcelloc tnemnrevog .S.U eht lliw eunever hcum woH )c( E MA N

992

.3−

-er ladnacs fo tnuoma eht no dne ped yticitsale ecirp eht seoD

?detro p

. se Y

?secirp lla revo tnatsnoc yticitsale ecirp eht sI

.o N

.ynmulaC yliaD eht rof dnamed fo yticitsale ecirp eht etaluclaC )a( .Q01. + S01$ si ladnacs fo sehcni nmuloc S htiw re pap eht fo seipoc Q gnitnirp fo tsoc latot eht eroferehT .re pap eht ni detro per ladnacs fo tnuoma eht fo tnedne pedni si tinu re p tsoc eht dna ypoc re p 01.$ tsoc esehT .re pap eht reviled dna tnirp ot yenom stsoc ti noitidda nI .dlos sre pap fo re bmun eht fo tnedne pedni era stsoc esehT . S01$ si ladnacs fo stinu S gnitro per fo tsoc ehT .ladnacs fo seirots tnirp dna ,tide ,etirw ot secruoser sekat ti ,revewoH .harromoG ni ytidommoc ecracs a ton era sladnacS .ecirp eht si P dna ,re pap eht ni detro per ladnacs fo sehcni nmuloc fo re bmun eht si S ,yad re p dlos seussi fo re bmun eht si Q erehw , 3− P 2/1 S51 = Q si noitcnuf dnamed ehT .detro per ladnacs fo tnuoma eht dna ecirp eht no sdne ped re pap eht rof dnamed ehT .ynmulaC yliaD eht ,re papswen eno ylno si ereht ,yesreJ weN ,harromoG nI )1( 5.42

.3

?tuptuo sti e b lliw tahW .tsilo ponom eht fo st�orp

eht no 01$ fo xat mus pmul a stup tnemnrevog eht taht won eso ppuS )c(

. 5. 2

?noitaxat fo mrof siht rednu tuptuo sti

e b lliw tahW .2$ tnemnrevog eht yap ot sah ti slles ti tinu hcae rof taht os tsilo ponom siht no xat a tup ot sediced tnemnrevog eht eso ppuS )b(

.3

?tuptuo fo level gnizimixam-t�orp sti e b lliw tahW )a(

. 2 y = ) y(c yb nevig evruc tsoc a dna y − 21 = ) y(p yb nevig evruc dnamed esrevni na sah tsilo ponom A )0( 4.42

.t if o rp e ro m y lp m i s t so c r ew ol , eu ne ve r r e hg iH

.r ew ol e ra s t so c , tu pt uo

s s el si e r eh t ec n iS

. me ht t uo ht iw na ht

s lo rt no c t r op xe h ti w r et ae rg s i t ne m nr ev og d na se in ap m oc e se na pa J fo e u ne ve r l at oT ?slortnoc tro pxe ot timbus ”yliratnulov“ esenapaJ eht thgim yhW )i(

25 6. 1

.srallod noillib ?srac esenapaJ no dne ps snaciremA lliw yenom hcum woH )h( )42 .hC(

YL OP O N O M

003

)?ecnereferp delaever fo aedi eht re bmemeR :tniH( .etare po ot eso ohc dluow tsilo pon -om eht hcihw no evruc dnamed wen siht fo trap eht kram ot ne p der a esU .evruc dnamed lanigiro eht naht retta� si dna tnio p gnizimixam -t�orp eht hguorht sessap taht evruc dnamed rehtona ward woN )b(

.001 = p ,001 = y tA

?etare po

ot eso ohc ti lliw evruc siht no erehw ,stsoc orez sah tsilo ponom eht fI )a( . y − 002 = ) y( 1p ,evruc dnamed esrevni eht ward ot kni kcalb esu ,wole b hparg eht nI )0( 6.42

. 5 .4 32 ,1

?st�orp sti sezimixam ti fi ynmulaC

yliaD eht rof t�orp fo tnuoma eht si tahw dna seipoc ynam woH

.s e hc ni 6 54 .3 2 1

3 8 3, 94

dlos era

?tnirp ti dluohs ladnacs

fo sehcni nmuloc ynam woh ,ladnacs fo tnuoma gnizimixam-t�orp eht stnirp dna ,ecirp gnizimixam-t�orp sti segrahc ynmulaC yliaD eht fI )e(

. S01 − 2/1 S22.222 = S01

− ) 2/1 S44.444 ,4(50.= stiforP

.enola S fo noitcnuf a sa

st�orp rof noisserpxe na etirw ot Q rof ) S(Q etutitsbus ,noitces tsal eht ni dnuof uoy taht ) S(Q rof noitulos eht gnisU . S01 − Q01. − Q51.

= st if or P

. S dna Q fo noitcnuf a sa st�orp rof noisserpxe na

etirw ,ecirp gnizimixam-t�orp eht segrahc re pap eht taht gnimussA )d(

. 2/1 S44.444 ,4 = = Q

)51.( 2/1 S51

3−

= ) S(Q : S fo noitcnuf a sa dlos seipoc fo re bmun eht rof

noisserpxe lareneg a etirW

. 44 4, 4 4

).regetni tseraen eht ot

dnuoR( ?lles ti dluow seipoc ynam woh ,ladnacs fo sehcni nmuloc 001 stnirp dna ecirp gnizimixam-t�orp eht segrahc ynmulaC yliaD eht fI )c(

. 50 .$

si

re papswen hcae gnireviled dna gnitnirp fo tsoc lanigram eht dna ecirp eht neewte b ecnere�id eht ,ecirp siht segrahc re papswen eht nehW .51.$ .re papswen re p egrahc ot ynmulaC eht rof ecirp gnizimixam-t�orp eht rof evloS .tsoc lanigram ot lauqe eunever lanigram tes lliw ynmulaC yliaD eht ,st�orp ezimixam oT .) 1� + 1( P = R M taht re bmemeR )b( E MA N

103

y ti tnau Q 002

051

001

05

0

05

eniL deR

001

051

eniL kcalB

002 eci rP

. re g ra L

.evruc dnamed lanigiro eht ta dah ti naht evruc

dnamed wen eht ta st�orp )rellams ,regral( evah dluow tsilo ponom ehT )c( )42 .hC(

YL OP O N O M

203

egrahc ti dluohs ecirp tahw dna

,0 0 5, 72

lles ti dluohs seipoc

ynam woh ,seirtnuoc hto b ni ecirp emas eht egrahc tsum lliwScM fI )a( .secudorp ti taht ygrO fo seipoc fo re bmun latot eht si Q erehw ,Q2$ + 000 ,05$ = )Q( C noitcnuf tsoc a sah rehsilbup siH .srallod .S .U ni derusaem dnalgnE ni ecirp sti si 2P erehw , 2P005 − 000 ,01 = 2Q si dnalgnE ni supo s’egdulS rof dnamed ehT .srallod .S.U ni derusaem aciremA ni ecirp eht si 1P erehw , 1P000 ,2 − 000 ,05 = 1Q si setatS detinU eht ni ko o b siht rof dnamed eht taht setamitse ,lliwScM warG ,rehsilbup siH .yreggiP eht ni ygrO ,koo b wen gnitsugsid a nettirw tsuj sah egdulS dnanidreF )0( 1.52 .33.332 e b lliw 2 tekram ni degrahc ecirp ehT .33.381 e b lliw 1 tekram ni degrahc ecirp ehT .snoitcnuf dnamed eht otni seititnauq eseht gniggulp yb tekram hcae ni degrahc ecirp eht dn� nac eW .76.66 = 2q dna 76.61 = 1q dn� ew , 2q dna 1q rof snwonknu owt ni snoitauqe owt eseht gnivloS .) 2q + 1q(2 = 2q2 − 003 dna ) 2q + 1q(2 = 1q2 − 002 snoitauqe owt eht su sevig sihT .tsoc lanigram ot lauqe tekram hcae ni eunever lanigram stes mr� eht ,st�orp sti ezimixam oT .) 2q + 1q(2 era stsoc lanigram s’mr� ehT . 2q2 − 003 si eunever lanigram ,2 tekram nI . 1q2 − 002 si eunever lanigram s’mr� eht ,1 tekram nI .tekram hcae ni egrahc lliw ti taht secirp eht dn� su teL .stekram owt eht neewte b etanimircsid ecirp ot elba si mr� ehT . 2) 2q + 1q( = ) 2q + 1q( C si noitcnuf tsoc latot s’mr� ehT . 2q − 003 = 2p si 2 tekram ni evruc dnamed esrevni ehT . 1q − 002 = 1p si 1 tekram ni evruc dnamed esrevni ehT .stekram owt ni slles tsilo ponom A :e lpmaxE .tsoc lanigram tnatsnoc eht slauqe eunever lanigram hcihw rof tekram hcae ni seititnauq eht dn� si od ot evah uoy lla ecnis ,reisae neve si boj ruoy ,tnatsnoc si tsoc lanigram fi ,esruoc fO .stekram owt eht ni dlos seititnauq nwonknu owt eht rof evlos nac uoy taht snoitauqe owt emoce b neht snoitidnoc gnizimixam -t�orp ehT .stekram owt eht ni dlos seititnauq fo mus eht fo noitcnuf a sa tsoc lanigram etirw ot dna tekram taht ni dlos ytitnauq fo noitcnuf a sa tekram hcae ni eunever lanigram etirw ot si smelborp eseht gnivlos rof kcirt ehT .tuptuo latot sih no sdne ped dna stekram hto b rof emas eht si noitcud orp fo tsoc lanigram sih ,ecalp eno ni tuptuo sih fo lla secud orp eh ecniS .noitcudorp fo tsoc lanigram eht ot lauqe e b ot tekram hcae ni eunever lanigram eht stnaw rotanimircsid ecirp a taht re bmemeR .scitilo p ni dna scimonoce ni noitaitnere�id tcudorp rednu noitite pmoc tuo ba gnikniht fo yaw lufesu a su evig sledom laitaps tuo ba denrael snossel taht wohs ew dna rof detnuocca era stsoc noitatro psnart erehw ,stekram laitaps ot detaler smelborp osla era erehT .stsilo ponom yb noitanimircsid ecirp fo seitilibisso p eht erolpxe retpahc siht ni smelborP .noitcudortn I

roivaheB ylopono M 52 retpahC

E MA N

.sretupmoc 001 ecudorp ot 000,000,1$ sekat ti dna elacs ot snruter tnatsnoc stibihxe ssecorp noitcudorp s’ananaB .Q001 − 000 ,52 = fR M Q05 − 000 ,52 = fP

Q04 − 000 ,02 = dR M Q02 − 000 ,02 = dP

:swollof sa era stekram owt eht htiw detaicossa sevruc eunever lanigram dna dnamed ehT .tekram rehto eht ni desu e b tonnac tekram eno ni desahcrup ananaB a ,seilppus rewo p eht ni secnere�id fo esuaceB .stekram ngierof dna citsemod eht ni hto b sretupmoc ananaB slles ynapmoC retupmoC ananaB )1( 3.52

.0

su luc laC

e b dluow esac siht ni ssol thgiewdaed ehT

.hctef dluow ti ecirp tsehgih eht ta tuptuo fo tinu hcae lles dna tsilo ponom gnitanimircsid yltcefre p a sa etare po dluoc tsilo ponom siht eso ppuS ) f(

. 00 4

? mr �

siht fo roivahe b citsilo ponom eht ot eud ssol thgiewdaed eht si tahW )e(

.04

?mr� siht rof tuptuo fo level lamitpo yllaicos eht si tahW )d(

.0 2 $

?mr� siht rof ecirp lamitpo yllaicos eht si tahW )c(

. 06 $ .02

?ecirp gnizimixam-t�orp sti si tahW )b(

?tuptuo fo level gnizimixam-t�orp sti si tahW )a(

.02 fo stsoc lanigram tnatsnoc sah dna , y2 − 001 = ) y(p ,evruc dnamed esrevni na secaf ylo ponom A )0( 2.52

. 0 00 ,5 52 $ sti lliw hcum woH

.0 05 , 4

.1 1$

?e b st�orp latot

?dnalgnE ni egrahc ti dluohs ecirp tahW

?dnalgnE ni lles ti dluohs seipoc ynam woH

. 05 .3 1$ . 00 0, 32

?setatS detinU eht ni egrahc ti dluohs ecirp tahW

?setatS detinU eht ni lles ti dluohs seipoc ynam woh ,st�orp ezimixam ot stnaw dna ,yrtnuoc hcae ni ecirp tnere�id a egrahc nac lliwScM fI )b(

.0 0 5, 25 2$ ?e b st�orp esoht lliw hcum woh dna ,st�orp sti ezimixam ot )52 .hC(

3 1$

R OIVA HEB YL OP O N O M

403

s’ananaB era tahW .hcae srallod sretupmoc

051

ni sretupmoc

.0 00 ,5 7 3, 2$ 0 0 5, 71

dna hcae srallod

0 52

0 0 0, 51

?st�orp latot

ta tekram ngierof eht ni ta tekram citsemod eht

lles lliw ti ,st�orp sti gnizimixam si ananaB fI )c(

s re tupmoC ananaB 008

007

006

005

004

003

002

enil licneP

001

0

enil eulB

enil deR

CMRL CARL

01

enil kcalB 02

03

04

05

06 )s000,1( s ralloD

.kni eulb ni tekram ngierof eht rof evruc eunever lanigram eht dna kni der ni tekram ngierof eht rof evruc dnamed eht warD .licne p ni tekram citsemod eht rof evruc eunever lanigram eht dna kni kcalb ni tekram citsemod eht rof evruc dnamed eht warD )b( .hparg eht no sevruc tsoc lanigram dna egareva eht warD )?segnahc tuptuo sa egnahc tsoc egareva nur-gnol seod ,elacs ot snruter tnatsnoc era ereht fI :tniH( = )Q( C M si noitcnuf tsoc lanigram nur-gnol sti dna

.0 00 , 01 $ 00 0, 0 1$

= )Q( CA si noitcnuf tsoc egareva nur-gnol s’ananaB )a( E MA N

503

ecirp tahW

. 03

.0 9$

?egrahc tsilo ponom eht lliw

?tuptuo fo level gnizimixam-t�orp sih si tahW )a(

. y − 021 = ) y( P yb nevig evruc dnamed a secaf dna 2 y = ) y(c yb nevig noitcnuf tsoc a sah tsilo ponom A )0( 4.52

. 48 2 ,9 8$ y b e sa e rc eD

?noitanimircsid

ecirp ecitcarp regnol on nac ti taht won egnahc st�orp s’ananaB lliw woH ?egrahc ti lliw ecirp tahW .004 ?lles ananaB dluohs

.4 1 7, 51 $

sretupmoc ananaB ynam woh ,degnahc t’nevah stsoc taht neviG ) f( s re tupmoC ananaB 008

007

006

005

004

003

002

001

enil kcalB

CMRL CARL

0

01

02

enil eulB

03

04 )s000,1( s rallo D

.ananaB gnicaf )kni kcalb htiw( evruc eunever lanigram dna )kni eulb htiw( evruc dnamed esrevni wen eht ward ,wole b hparg eht nO ).stsoc noitatro psnart erongI( .rehto eht ni krow ot detrevnoc ylsseltsoc e b ot tekram rehtie rof tliub retupmoc ananaB a swolla taht kcirt gniriw a tuo serug� ydo bemos taht eso ppuS )e(

. c it sa le s se L

?degrahc si ecirp rehgih eht erehw tekram eht ni citsale ssel ro

erom dnamed sI

.33.2−

ecirp eht si tahW

.3−

?tekram ngierof eht ni dnamed fo yticitsale ?tekram citsemod eht ni dnamed fo yticit

-sale ecirp eht si tahw ,ytitnauq dna ecirp gnizimixam-t�orp eht tA )d( )52 .hC(

R OIVA HEB YL OP O N O M

603

?dlos e b lliw stekcit tneduts ynam woH

.5 7. 2 $

?stneduts ot degrahc

e b lliw ecirp tahW .secirp tnere�id stnedutsnon dna stneduts gnigrahc yb st�orp sti esaercni nac dnarG eht nehT .sdrac DI tneduts ot ssecca evah ton od stnedutsnon dna stekcit rieht lleser tonnac stnedutS .sdrac DI lo ohcs rieht wohs stneduts gnikam yb rood eht ta stnedutsnon eht morf stneduts eht etarapes yletarucca nac reihsac eht taht eso ppuS )c(

. 08 ?stneduts ot dlos e b dluow stekcit ynam woH dluow st�orp hcum woH ecirp tahw tA

. 08 1

. 3$

?stnedutsnon oT

.0 4$

. 00 1

?ekam dnarG eht

?dlos e b stekcit fo re bmun siht dluow

?ydo byreve ot ecirp eno segrahc ti fi lles ot reta

-ehT dnarG eht rof stekcit fo re bmun gnizimixam-t�orp eht si tahW )b(

.06/ TQ − 6

= ) TQ( TP neht si noitcnuf dnamed esrevni

eht ,secirp fo egnar siht revO

. TP06 − 063

= ) TP( TQ si stekcit

eivom rof noitcnuf dnamed etagergga eht ,05.5$ dna 0 neewte b secirp ta neht ,ydo byreve ot , TP ,ecirp elgnis a segrahc retaehT dnarG eht fI )a( . NP02 − 041 = NQ si sreogeivom tnedutsnon rof dnamed ylthgin ehT . SP ecirp ta stneduts yb dednamed stekcit eivom fo re bmun eht si SQ erehw , SP04−022 = SQ si stneduts yb seivom retaehT dnarG rof dnamed ylthgin ehT .orez era stsoc sti ,desolc si retaeht eht fi taht emussa ,yticilpmis roF .eivom eht ot emoc elpoe p ynam woh fo sseldrager ,no os dna ,srehsu ,sml� rof 005$ fo tnuoma ylthgin dex� a yap ot evah srenwo eht ,ne po si retaeht eht fI .snootrac ynnuB sguB dna cisum nagro evil ot sreog eivom gnivirra-ylrae staert dna sml� lausunu swohs retaeht sihT .nwot egelloc dezis-muidem a ni esuoh eivom a si retaehT dnarG ehT )1( 5.52

.5 2

?e b tuptuo fo level gnizimixam-t�orp sti dluow tahW .tuptuo

tinu re p 02$ fo tsilo ponom eht no xat c�ice ps a tup uoy taht eso ppuS )e(

. 04 ?gniliec ecirp siht ta ecudorp tsilo ponom eht lliw tuptuo hcum woH )d(

.0 8$

?esoohc

uoy dluohs gniliec ecirp tahw ,sulprus recud orp sulp remusnoc ezimixam ot sa os tsilo ponom siht rof gniliec ecirp a esoohc ot detnaw uoy fI )c(

. 03

?e b tuptuo

sti dluow tahw ,tsilo ponom siht no 001$ fo xat mus pmul a tup uoy fI )b( E MA N

703

.meht le bal dna wole b hparg eht ni snoitcnuf dnamed eseht ward esaelP .liame aiv selcitra gnidnes fo tsoc lanigram orez a sah lanruoJ ehT ).stnec ni derusaem era secirP( .x − 08 = )x( UP noitcnuf dnamed esrevni na evah setaudargrednu eht dna x − 001 = )x( EP noitcnuf dnamed esrevni na evah sevitucexe ehT .raey re p stseuqer resu a taht selcitra fo re bmun eht e b x teL .sevitucexe level-hgih dna scimonoce orcim gniyduts setaudarg -rednu suoinuce pmi ,sresu laitneto p fo se pyt owt era ereht taht setacidni hcraeser tekram riehT .liame yb sredaer ot selcitra swen dnes lliw hcihw ecivres wen a gnire�o gniredisnoc si lanruoJ teertS llaM ehT )2( 6.52

.0 5. 23 $ hcum woH

.4$

?tnemegnarra siht rednu ekam dnarG eht se od t�orp ?stnedutsnon ot degrahc si ecirp tahW

era stekcit tnedutsnon ynam woH ecirp tahW

. 09

tneduts ynam woH

. 52 .3 $

.0 6

?dlos

?stneduts ot degrahc si

?st�orp ezimixam ot lles dnarG eht dluohs stekcit

.575 − 2/ SQ72 + 04/ S2Q3− = 005

− ) SQ − 051() SQ/02 + 2/1−( + )04/ SQ − 2/11( SQ ).srewsna suoiverp ruoy gnisu snoitutitsbus ekaM :tniH( .ylno

SQ

re bmun eht fo noitcnuf a sa st�orp retaehT dnarG rof noisserpxe na ).noitcnuf dnamed tned etirW .02/ SQ + 2/1− = NP

-utsnon esrevni eht dn� tsriF :tniH( .dlos stekcit tneduts fo re bmun eht fo noitcnuf a sa stekcit tnedutsnon fo ecirp eht rof noisserpxe na etirW . SQ − 051 = NQ ?stnedutsnon ot dlos e b nac taht

stekcit fo re bmun mumixam eht si tahw ,stneduts ot dlos era stekcit SQ dna staes 051 si retaeht eht fo yticapac eht fI .stnedutsnon ot dna stneduts ot secirp etarapes gnigrahc yb st�orp ezimixam ot stnaw reganam eht taht dna elpoe p 051 ylno dloh nac retaehT dnarG eht taht eso ppuS .trap siht od nac uoy fi ees ,suluclac wonk uoy fI )d(

. 05 .7 4 $ eht lliw t�orp hcum woH woH

.0 5. 3 $

.0 7

?ekam retaehT dnarG

?dlos e b lliw stekcit tnedutsnon ynam

?stnedutsnon ot degrahc e b lliw ecirp tahW )52 .hC(

. 01 1

R OIVA HEB YL OP O N O M

803

dnif ot 23 − 84 = p − 05 evloS

.43$ = p ?yap ot gnilliw era seta

-udargrednu eht ecirp tsehgih eht ta raey a 08 sre�o ti fi raey re p selcitra 001 rof egrahc nac lanruoJ eht taht ecirp mumixam eht eht si tahW )e(

.8 4 $

?raey re p selcitra 08 demus

-noc yeht fi teg sevitucexe eht dluow sulprus remusnoc )ssorg( tahW )d(

. 23 $

?noitpircsbus elcitra-08 eht rof yap lliw setaudargrednu eht taht

ecirp tsehgih eht s’tahW .raey re p selcitra 001 ot pu swolla taht rehto eht raey re p selcitra 08 ot pu swolla taht eno :segakcap owt sre�o ti taht eso ppuS .meht rof lamitpo si taht eno eht tceles-fles sresu eht stel dna ,segakcap owt sre�o ylpmis ti esac siht nI .setaudargrednu era hcihw dna sevitucexe era sresu hcihw yfitnedi tonnac lanruoJ eht taht eso ppuS )c( raey re p

23 $

dna sevitucexe eht ot raey re p

.stneduts eht ot raey re p selcitra eht ot selcitra

00 1

05 $ 08

.stneduts eht ot egrahc lliw tI )b( dna sevitucexe

re�o lliw ti st�orp latot ezimixam ot stnaw ti fI

.raey re p ecirp dex� a rof raey re p selcitra fo re bmun dex� a yub nac sresu erehw nalp a re�o ot sediced tI .sevitucexe era hcihw dna setaudarg -rednu era sresu eht fo hcihw yfitnedi nac lanruoJ eht taht eso ppuS )a( y ti tnau Q 021

001

08

06

04

0

02

U X - 08 = ) X( P

02

04

06 E X - 001 = ) X( P 08

001

021 eci rP

E MA N

903

.023 = 021 + 002 naht ssel e b ot evah dluow ecirp eht ,sresahcrup rossec orpdrow eht ot eldnub eht lles ot redro nI .snoitseuq gniwollof eht flesmih sksa sreirraB lliB ,eldnub eht ecirp ot woh enimreted ot redro nI .deldnub sa llew sa yletarapes stcudorp eht sre�o osla tfoSythgiM taht emussa su teL )a( .eldnub a gnitaerc ot tsoc lanigram orez a si erehT )3 .egakcap erawtfos rehtie fo seipoc artxe gnicudorp ot tsoc lanigram orez a si erehT )2 .puorg siht sa scitsiret -carahc emas eht evah lliw stcudorp tfoSythgiM fo sresahcrup weN )1 :gniwollof eht emussa yam uoy snoitseuq gniwollof eht gnirewsna nI .rossecorpdrow eht rof erom 001$ ot pu dne ps ot gnilliw e b dluow yehT .teehsdaerps eht ylno thguo b elpoe p 04 )3 .teehsdaerps eht rof erom 021$ ot pu dne ps ot gnilliw e b dluow yehT .rossecorpdrow eht ylno thguo b elpoe p 04 )2 .hto b thguo b elpoe p 02 )1 :stcaf gniwollof eht pu denrut raey tsal eht ni segakcap eseht fo rehtie desahcrup ohw elpoe p 001 fo yevrus gnitekram A .052$ rof teehsdaerps eht dna 002$ rof rossecorpdrow eht slles tfoSythgiM taht eso ppuS .setanimod stce�e owt eseht fo hcihw no sdne ped gnildnub fo ytilibat�orp ehT .eldnub eht fo stneno pmoc laudividni eht rof dnamed a fo ssel si ereht ecnis nwod og seunever )2 dna ;eldnub eht fo selas lanoitidda ot ot eud pu og seunever )1 :selas no stce�e owt sah ecirp detnuocsid a ta ti gnilles dna erawtfos gnildnub ,ynapmoc eht fo tnio pweiv eht morF .ecirp eno rof stcudorp erawtfos fo riap eht gnilles dna rehtegot teehsdaerps rieht dna rossecorpdrow gnilles-tse b rieht gnildnub :ygetarts gnitekram wen a gnitalpmetnoc si ,erawtfos tfoSythgiM fo OEC ,sreirraB lliB )2( 7.52

. 06

?selcitra 06 fo egakcap tneduts a ro selcitra 08 fo egakcap tneduts

a gnire�o yb st�orp rehgih ekam lanruoJ teertS l laM eht dluow ,stneduts fo re bmun eht slauqe noitalupo p eht ni sevitucexe fo re bmun eht fI )i(

. 83 $

?egakcap tneduts

eht naht rehtar egakcap siht yub ot sevitucexe tce pxe dna egakcap elcitra 001 rof egrahc dluoc lanruoJ teertS l laM eht taht tsom eht si tahW )h(

.2 1$

?egakcap tneduts eht gniyub

morf teg sevitucexe dluow sulprus remusnoc ten hcum woh ,ecirp siht ta selcitra 06 fo ”egakcap tneduts“ a sre�o lanruoJ teertS l laM eht fI )g(

. 03 $

?egakcap siht yub ot tneduts

teg llits dna egrahc dluoc ti tsom eht si tahW .egakcap tneduts eht ni selcitra 06 ylno edulcni ot sediced lanruoJ teertS l laM eht taht eso ppuS ) f( )52 .hC(

R OIVA HEB YL OP O N O M

013

.t × 054 + )t − 001( × 522

.gnildnub on si ereht fi t fo noitcnuf

a sa st�orp etaluclaC .ylno teehsdaerps eht yub lliw 2/)t − 001( dna ylno rossecorpdrow eht yub lliw 2/)t − 001( dna ,stcudorp hto b yub lliw elpoe p 001 eht fo t gnildnub tuohtiw taht eveile b yeht taht sediced dna yevrus tekram rieht fo ytilibailer eht tuo ba seirrow tfoSythgiM taht eso ppuS )i(

. el dn u b

?eldnub ton ro eldnub ot elbat�orp erom ti sI )h(

000 ,23 = 023 × 001

?eldnub eht htiw st�orp eht e b dluow tahW )g(

.000 ,72 = 052 ∗ 04 + 002 ∗ 04

+ )052 + 002( × 02 eb dluow stiforp ,eldnub eht tu oh ti W

?eldnub eht gnire�o tuohtiw e b st�orp dluow tahW ) f(

. ec i rp e lb at if o rp e ro m eh t si 0 23 $

?tes ti dluohs ecirp tahw ,eldnub eht sre�o tfoSythgiM fI )e(

.000 ,92 = 002 × 04 + 053 × 04 + 053

× 02 era stiforp latoT

.t e eh sd ae r ps e ht

to n tu b ,r os s ec or pd r ow e ht y ub el p oe p 04

, el dn ub

eht yub ot gnilliw eb dluow dna

y ln o te e hs da e rp s th g uo b e lp oe p 0 4 h to b yu b dl u ow el po ep 0 2

, ya wy na

?053$ ta eldnub eht decirp

ti fi sresu 001 fo puorg a no e b st�orp s’tfoSythgiM dluow tahW )d(

.000 ,23$ = 023 × 001 era stiforp

o s e ld nu b e h t sy ub e no y re vE

?023$ ta eldnub eht

decirp ti fi sresu 001 fo puorg a no e b st�orp s’tfoSythgiM dluow tahW )c(

.053 = 001 + 052

naht ssel

e b ot evah dluow ecirp eht ,sresu teehsdaerps eht ot lles ot redro nI )b( E MA N

113

.5 2

?rotisiv lacipyt a yb yad re p nekat

e b lliw sedir ynam woh ,t�orp ezimixam ot ecirp eht stes moT .loC fI )b(

= ) x (p

.05/x − 1

?sedir rof noitcnuf dnamed esrevni s’nosre p hcae si tahW )a(

.orez yllaitnesse si edir a fo tsoc lanigram ehT .dewolla ton era sedir evitagen dna emas eht hcum ytterp si dlroW sivlE stisiv ohw enoyrevE .edir a fo ecirp eht si p erehw ,sedir p05 − 05 = x ekat lliw nosre p hcae dna ,yad re p elpoe p 000,1 tcartta lliw dlroW sivlE taht serug� moT .loC .letoH nrubtraeH eht ni rennid tae dna kcoR esuohliaJ eht bmilc ,setuhC edeuS eulB eht ni sdipar eht edir nac uoy :snoitcartta gniticxe fo re bmun a serutaef dlroW sivlE .dlroW sivlE ,krap tnemesuma tsewen sih ne po ot tuo ba si rekraB moT .loC )0( 8.52

. e ta ci dn i e v ob a s n oi ta lu c la c eh t na h t el ba t if or p er om ta h t sn ae m s ih T

ne ve e b dl uo w g n il dn u b .e l dn ub eh t r of 0 23 $ y a p

o t gn i ll iw e b dl u ow t ub , te eh s daer ps e h t r o f 0 5 2$ r o ro ss ec o rp dr o w

eh t ro f 00 2 $

y ap ot gn il li w to n e re w oh w s re m usno c em o s e ra er eh t

t ah t e b y am t i ,s eY

?gnildnub

fo ytilibat�orp eht tuo ba edam evah ew snoitaluclac eht tuo ba yas siht seod tahW ?eldnub eht rof dnamed fo ecruos lanoitidda yna ereht sI .secirp fo tes lanigiro eht ta smargorp eht fo eno tsael ta esahcrup dluow ohw sremotsuc htiw ylno denrecnoc nee b sah raf os sisylana sihT )l(

. me ht el dnu b ot el ba ti f or p to n si

ti ,y aw y na st cu dor p

h to b y ub dl uo w sr es a hc ru p w en 00 1 e ht fo 2 4 erom fi oS .22.24 = t dnif ot stiforp

na ht

ow t eh t s et au q e ta ht t

eh t r of e v lo S

?eldnub eht re�o ot elbat�orpnu e b ti dluow t fo seulav tahw tA )k(

. 0 00 23 $

?eldnub eht htiw st�orp era tahW )j( )52 .hC(

R OIVA HEB YL OP O N O M

213

.001/ q − 51 = p

.noitcnuf dnamed esrevni s’yella gnilwo b siht rof alumrof a etirW )c(

.)p − 51( × 001

.gnilwo b fo thgin re p p$ segrahc ti fi evah lliw nwot fo egde eht ta yella gnilwo b a taht sremotsuc fo re bmun eht rof alumrof a etirW )b(

.0 05

?gnilwo b

fo thgin re p 01$ degrahc ti fi keew re p evah yella gnilwo b siht dluow sremotsuc ynam woH . selim 5 ot pU ?ereht lwo b ot levart ot gnilliw e b yellaV gnirtS fo nezitic a lliw raf woh ,gnilwo b fo thgin a rof 01$ segrahc ti fI .nwot fo egde rehtie ta syella gnilwo b eht fo eno redisnoC )a( .51$ deecxe ton seod yella gnilwo b eht yb degrahc ecirp eht dna stsoc levart gnidulcni gnilwo b fo tsoc eht fi keew a ecno lwo b ot gnilliw era yehT .secnereferp emas eht evah nwot eht fo snezitic eht fo llA .elim re p 1$ era enilosag dna emit gnidulcni stsoc levarT .nwot fo retnec tcaxe eht ta detacol si eno dna ,nwot fo egde htuos eht no stimil ytic eht ta detacol si meht fo eno ,nwot fo egde htron eht no stimil ytic eht ta detacol si eseht fo enO .syella gnilwo b eerht ylno sah ytic eht ,snoitaluger gninoz tcirts fo esuaceB .nwot fo egde htuos eht ro htron eht rehtie no stimil ytic eht edistuo sevil ydo bon ,niarret ykcor eht fo esuaceB .elim re p elpoe p 001 fo ytisned mrofinu a sah noitalupo p eht ,nwot eht nihtiW .ediw kcolb 1 tuo ba ylno dna ,htuos ot htron morf gninnur ,gnol selim 63 si dna sniatnuom owt neewte b dezeeuqs si yellaV gnirtS fo ytic ehT )1( 9.52

.0

fo edir re p ecirp a egrahc dna

5 2$

fo eef

noissimda na tes dluow eh ,�irat trap-owt a esu ot dediced moT .loC fI )h(

. 52

?ytitnauq

dna ecirp siht ta detareneg e b dluow sulprus ’sremusnoc hcum woH )g(

.0 5

?desahcrup e b dluow sedir

ynam woh ,edir a rof ecirp tneic�e oteraP eht degrahc moT .loC fI ) f(

. or eZ 05 .2 1 $

?edir a fo ecirp tneic�e oteraP eht si tahW )e( ?nosre p re p e b st�orp s’moT .loC lliw tahW )d(

. s tn ec 0 5

?e b edir a fo ecirp eht lliw tahW )c(

E MA N

313

.sweiv nwo rieht ot tseraen si noitiso p detats esohw etadidnac eht rof etov syawla sretoV .elacs thgir-tfel eno-orez eht no noitiso p lacitilo p nwo rieht etats yllacilbup ot decrof era ec�o rof setadidnaC .x tnio p eht ta detacol e b ot dias era sweiv s’nezitic taht ,noitalupo p s’etats eht fo x noitcarf eht fo sweiv eht fo thgir eht ot era taht sweiv sah nezitic a fI .1 tnio p ta e b ot dias si sweiv gniw-thgir emertse tsom eht htiw nezitic eht dna 0 tnio p ta e b ot dias si sweiv gniw-tfel emertxe tsom eht htiw nezitic ehT .yaw gniwollof eht ni sweiv lacitilo p s’nezitic a fo ”noitacol“ eht en�ed nac eW .murtce ps thgir-tfel a no deyarra yltaen e b nac taht sweiv lacitilo p lanoisnemid-eno evah lla sretov ehT .detcele gnie b si evitatneserper wen a tseW .S.U eht ni erehwemos tcirtsid lanoissergnoc a nI )1( 01.52

.h t uo s se li m 21 en o d na re tn ec nw ot eh t f o ht r on s el i m 21 d et ac o l e b dl u ow en O

?syella gnilwo b owt eseht fo hcae rof

noitacol gnizimixam-t�orp a e b dluow tahW

.oN

?nwot fo retnec eht

ni yella gnilwo b gnitsixe eht ot txen gnitac ol yb st�orp sti evorpmi nwot fo egde eht ta syella eht fo rehtie dluoW .si ti erehw yats ot dettimmoc si nwot fo retnec eht ni yella gnilwo b ehT .tsoc emas eht tuo ba ta ekil yeht taht nwot ni erehwyna etacol nac dna sesael rieht esol ot tuo ba era nwot fo dne eht ta syella gnilwo b eht fo htoB .syella gnilwo b 3 ylno ot sesnecil gnitare po eussi ot seunitnoc tub ,etacol nac syella gnilwo b eht erehw no snoitcirtser gninoz sti sexaler ytic eht taht eso ppuS )g(

.s el im 6

?evil sremotsuc tnatsid tsom sti lliw nwot fo retnec eht morf yawa

raf woH

. 00 2, 1

?keew re p evah ti lliw sremotsuc ynam woH

. 9$

?egrahc ti lliw ecirp tahw ,st�orp sti sezimixam dna remotsuc re p 3$ fo stsoc lanigram sah osla nwot fo retnec eht ni yella gnilwo b eht fI ) f(

. ) p- 51 (* 2

?keew re p evah ti lliw sremotsuc ynam woh ,p$ fo ecirp

a segrahc ti fI .nwot fo retnec eht ni yella gnilwo b eht redisnoc woN )e(

. s el im 6

?evil remotsuc tnatsid tsom rieht se od nwot fo

egde eht morf yawa raf woH

. 9$

?egrahc yeht lliw ecirp tahW

.0 06

?evah yeht lliw sremotsuc ynam woH ).nwot ni syella gnilwo b rehto eht morf noitite pmoc on ecaf syella gnilwo b eseht taht emussa gnie b emit eht roF( .st�orp ezimixam ot secirp rieht tes dna remotsuc re p 3$ fo tsoc lanigram a evah nwot fo dne eht ta syella gnilwo b eht taht eso ppuS )d( )52 .hC(

R OIVA HEB YL OP O N O M

413

.semoctuo gnitov eht stce�a gnisitrevda siht dna ,setov rof gnisitrevda no snoitubirtnoc ngiapmac rieht fo emos tsael ta dne ps yllacipyt setadidnaC .emertxe tib a si noitpmussa sihT *

3/2 = y ,3/1 = x

.rehto eht fo noitiso p eht nevig snoitubirtnoc

ngiapmac sih sezimixam taht noitiso p eht sekat hcae taht hcus setadid -nac owt eht rof snoitiso p lacigoloedi fo riap euqinu eht rof evloS )b( a ekaT :tniH(

2/)x + 1((

).orez ot lauqe ti tes dna evitavired = y si etadidnac gniw-thgir eht rof

noitiso p gnizimixam-noitubirtnoc eht ,x ta detac ol si etadidnac gniw-tfel eht fI 2/ y = x si etadidnac gniw-tfel eht rof noitiso p gnizimixam -noitubirtnoc eht , y ta detac ol si etadidnac gniw-thgir eht fI )a( .)x − y() y − 1( C$ e b lliw etadidnac gniw-thgir eht yb deviecer snoitubirtnoc ngiapmac latot dna )x − y(x C$ e b lliw etadidnac gniw-tfel eht yb deviecer snoitubirtnoc ngiapmac latot neht , y ta detac ol si etadidnac gniw-thgir eht dna x ta detacol si etadid -nac gniw-tfel eht fi taht hcus C tnatsnoc emos si ereht taht emussa ew ,yllac�ice pS .setadidnac owt eht neewte b ecnatsid eht ot lanoitro porp si etadidnac etirovaf reh ro sih ot setubirtnoc retov tsimertxe na taht sral -lod fo re bmun ehT .snoitubirtnoc ngiapmac on ekam sretov etaredom taht dna sweiv nwo reh ro sih ot tsesolc si noitiso p esohw etadidnac eht ot setubirtnoc retov tsimertxe hcae taht emussA .setadidnac owt eht fo snoitiso p eht neewte b eil sweiv lacitilo p esohw eno sa retov etaredom a dna ,etadidnac tsomthgir eht fo thgir eht ot eil sweiv lacitilo p esohw retov a sa tsimertxe gniw-thgir a ,etadidnac tsomtfel eht fo tfel eht ot eil sweiv lacitilo p esohw retov a sa tsimertxe gniw-tfel a en�ed su teL *.rehto eht fo noitiso p eht nevig ,seviecer eh snoitubirtnoc ngiapmac fo tnuoma eht ezimixam ot sa yaw a hcus ni noitacol lacigoloedi sih sesoohc etadidnac hcae eroferehT .eviecer yeht taht snoitubirtnoc ngiapmac fo tnuoma eht tuo ba ylno tub teg yeht taht setov fo re bmun eht tuo ba erac ton od setadidnac owt eht fi ne ppah lliw tahw etagitsevni su tel ,melborp suoiverp eht yb de bircsed tcirtsid lanoissergnoc eht nI )2( 11.52

.2 /1 tn io p

eh t ta s i no i ti so p ta ht

d n a , no it i so p em as e ht es o oh c s et ad i dn ac ht ob hc ih w n i en o si m u ir bi li u qe y ln o eh T .muirbiliuqe siht e bircsed ,os fI ?etadidnac rehto eht fo noitiso p eht nevig noitiso p tse b eht sesoohc etadidnac hcae hcihw ni muirbiliuqe na ereht sI .elbisso p sa setov ynam sa gnitteg tuo ba ylno serac etadidnac hcae taht eso ppuS .taes lanoissergnoc eht rof setadidnac owt era erehT )a( ).rof etov ot hcihw ediced ot nioc a pi� sretov ,etadidnac tseraen rof eit a si ereht fI( E MA N

513

.4/3 = y dna 4/1 = x sdleiy snoitauqe suoenatlumis gnitluser eht gnivlos dna y ot tcepser htiw rettal

e ht d na x ot t ce ps er

htiw noisserpxe remrof eht gnitaitnereffiD . 4/ )x − y( + )x − y() y − 1( C eb lliw � 2 � e ta d id na c gn i w- th gi r eh t y b d e vi ec er

snoitubirtnoc latoT 4/ 2)x − y( + )x − y(x C � � e b l l iw et ad id n ac g ni w tf e l eh t yb d e vi ec er s no it ub i rt no c

l a to T

.4/3 = y dna

4/1 = x erehw srucco ,etadidnac rehto eht fo noitiso p eht nevig ,snoit -ubirtnoc ngiapmac rieht gnizimixam hcae era setadidnac gniw-thgir dna -tfel eht hcihw ni snoitiso p euqinu eht esac siht ni taht wohS .etadid -nac derreferp-erom rieht morf ecnatsid lacigoloedi rieht dna etadidnac derreferp-ssel rieht morf ecnatsid lacigoloedi nwo rieht neewte b ecneref -fid eht ot noitro porp ni etubirtnoc yeht taht dna etadidnac derreferp rieht ot etubirtnoc ,stsimertxe ekil ,setared om taht eso ppuS .noitiso p s’lavir rieht fo taht ot naht noitiso p rieht ot resolc era sweiv esohw setare -dom morf snoitubirtnoc ngiapmac tcelloc osla nac setadidnac ,edis sih no stsimertxe morf snoitubirtnoc gnitcelloc ot noitidda ni taht eso ppuS )c( )52 .hC(

R OIVA HEB YL OP O N O M

613

.52.21 = ∗x su sevig noitauqe siht gnivloS

.4 = x61 − 002 noitauqe eht su sevig ecirp rotcaf ot lauqe tcudorp eunever lanigram gnitteS .x61 − 002 = xPR M mrof eht evah lliw noitcnuf tcudorp eunever lanigram ehT .x)x8 − 002( = x2)x4 − 001( = )x(R :x2 = y etutitsbus ew ,tupni eht fo noitcnuf a sa eunever dn� oT . y) y2 − 001( = y) y(p = ) y(R si tuptuo fo noitcnuf a sa euneveR .rotcaf eht fo ecirp eht slauqe tcudorp eunever lanigram eht erehw tnio p eht ot pu rotcaf eht yolpme lliw tsilo ponom ehT :rewsnA ?noitcnuf noitcudorp emas eht dah yrtsudni eht ni smr� eht lla fi yolpme yrtsudni evitite pmoc a dluow rotcaf eht fo hcum woH ?yolpme ot tnaw tsilo ponom eht lliw noitcudorp fo rotcaf eht fo hcum woH .tinu re p 4$ stsoc rotcaf eht dna ,x2 = y mrof elpmis eht sekat noitcnuf noitcudorp ehT . y2 − 001 = ) y(p mrof eht fo tuptuo rof evruc dnamed a secaf tsilo ponom a eso ppuS :e lpmaxE .tsilo ponom rehtona yb desu si taht d oog a secudorp tsilo ponom a hcihw ni ,ylppus rotcaf fo elpmaxe gnitseretni na redisnoc ew ,yllaniF .syub ti hcum woh no sdne ped rotcaf eht rof yap ot sah ti ecirp eht taht sezingocer ynos -ponom eht esuace b mr� evitite pmoc ralimis a naht rotcaf a fo ssel serih tsinosponom ehT :ylo ponom a fo esac eht ot ralimis yrev si ynosponom fo esac ehT .doog emos fo reyub elgnis a yb detanimod tekram a fo esac eht si hcihw ,ynosponom si sretpahc siht ni yduts ew gniht rehtonA .tcudorp lanigram eulav eht naht ssel e b lliw rotcaf a fo tinu artxe na fo tcudorp eunever lanigram eht os ,nwod ecirp eht ecrof lliw noitcudorp sti gnisaercni taht tcaf eht fo tnuocca ekat ot sah tsilo ponom A .tsilo ponom rof re�id yeht tub ,tcudorp lanigram eht fo eulav eht sa emas eht si tcudorp eunever lanigram eht ,mr� evitite pmoc a roF .rotcaf a fo tinu artxe na gnirih yb decudorp eunever artxe eht si tcud orp eunever lanigram ehT .rotcaf eht fo ecirp eht slauqe tcud orp lanigram eulav eht erehw tnio p eht litnu pu rotcaf a erih lliw mr� evitite pmoc a taht seilpmi noitazimixam t�orp evitite pmoc fo cigol yranidro ehT .rotcaf eht fo tinu artxe na gnirih yb decudorp tuptuo art -xe eht fo eulav eht tsuj si tcudorp lanigram eulav ehT .mr� evitite pmoc a seod naht stupni ssel esu ot tnaw lareneg ni lliw ti eroferehT .dezin -agro ylevitite pmoc erew yrtsudni eht fi naht tuptuo ssel ecudorp lliw ti ,yrtsudni emos ni tsilo ponom a si mr� a fI .tsilo ponom a fo noisic -ed dnamed rotcaf eht enimaxe lliw uoy retpahc siht nI .noitcudortn I

stekra M rotcaF 62 retpahC

E MA N

. c+0200,1 = ∗p ?pU elbbuB rotubirtsid eht yb degrahc ecirp muirbiliuqe eht si tahW )a( .noitcudorp fo stsoc orez sah ti taht eso ppus ew yticilpmis roF .tsilo ponom gnizimixam-t�orp a sa sevahe b dna aera eht ni retaw larenim fo reilppus ylno eht si riA yrreP .riA yrreP reilppus rieht morf eltto b re p c ta retaw larenim sesahcrup ,pU elbbuB ,sgnirpS reztleS ni retaw larenim fo rotubirtsid elos ehT .p si eltto b re p ecirp eht fi retaw larenim fo seltto b rof raey re p dnamed eht si )p( D ereH .p − 000 ,1 = )p( D noitcnuf dnamed eht ot gnidrocca retaw larenim fo seltto b emusnoc ,nagihciM ,sgnirpS reztleS fo stnediser ehT )0( 2.62

. 00 0 ,0 02 $ si t�orp hcum woH

. 13 $

?edam

?srassacamitna fo ecirp eht si tahW )c(

. 01 1$ taht etar egaw eht si tahW

.0 00 ,1

.0 00 , 01

?syap ti

?esu ti se od ro bal hcum woH )b(

).tuptuo gnizimixam–t�orp eht rof

evloS .tuptuo fo noitcnuf a sa t�orp sti neht dna tuptuo sti fo noitcnuf a sa stsoc latot s’mr� eht etirw nac uoy os snoitutitsbus ekaM .tuptuo fo level yna rof stnemeriuqer tupni ro bal eht dn� ot noitcnuf noitcudorp eht esU :tniH( .nautnagraG rof tuptuo gnizimixam-t�orp eht dniF )a( .yad re p selas fo re bmun eht si Q dna ecirp eht si P erehw , 00Q0,1 − 14 = P si srassacamitna rof evruc dnamed ehT .tuptuo yliad si Q dna ylppus ro bal yliad si L erehw ,L01 = Q ,noitcnuf noitcudorp a htiw decudorp era srassacamitnA .demrofre p krow fo syad -nosre p fo re bmun eht si L dna egaw yliad eht si W erehw ,L1. + 01 = W si ereht noitauqe ylppus ro bal eht dna ,leurgatnaP ni yrtsudni rehto on si erehT .leurgatnaP fo nwot eht ni detac ol si yrotcaf stI .srassacamitna fo noitcud orp eht ni ylo ponom a sah sesirpretnE nautnagraG )0( 1.62 .5.42 = 2/ ∗ y = ∗x rof evlos nac ew ,x2 = y si noitcnuf noitcud orp eht ecniS .94 = ∗ y seilpmi hcihw , y2 − 001 = 2 noitauqe eht teg ot noitcnuf dnamed eht otni siht gulp eW ?ecirp siht ta dednamed e b dluow tuptuo hcum woH .2 = ∗p os ,4 = 2p noitauqe eht su sevig sihT .4 ot lauqe saw tcudorp lanigram eht fo eulav eht erehw tnio p eht ot pu rotcaf eht yolpme dluow yrtsudni eht neht ,evitite pmoc erew yrtsudni eht fI )62 .hC(

STEKRA M R OTCAF

813

.dlos se pat fo re bmun eht ,x fo noitcnuf a sa cisum s’ekacesooM rof noitcnuf dnamed esrevni eht e b )x(p teL .stsoc noitubirtsid ro gnirutcafunam rehto on era erehT .e pat re p c meht tsoc se pat latigid knalb dna ,e pat latigid no dedivorp ylno si cisum s’ekaceso oM .ekacesooM puorg kc or suomaf eht fo sgnidrocer eht no ylo po -nom a sah )RUPU( sgnidroceR dnuorgrednU alusnineP re ppU )0( 3.62

su luc laC

. eS C > 2/ 2005 = iS C

?sulprus ’sremusnoc fo level suoiverp eht htiw erapmoc siht

seod woH ?detareneg sulprus ’sremusnoc fo tnuoma latot eht si tahW )k(

. 2005 = pπ

?mr� degrem wen eht fo st�orp eht era tahW )j(

.005 = ) ∗p(D dna 005 = ∗p

?retaw larenim rof ytitnauq

dna ecirp wen eht e b lliw tahW .siht seod riA yrreP taht eso ppuS )i(

. 2052 × 01

?tuo ti yub ot pU

elbbuB ot yap ot deen dluow riA yrreP taht tnemyap mus pmul muminim eht si tahW .raey re p %01 ta tnatsnoc e b ot detce pxe si etar tseretni eht taht dna reverof tsisre p ot detce pxe si noitautis siht taht eso ppuS )h(

.2/ 2052 = eS C

?tekram siht ni detareneg si sulprus s’remusnoc hcum woH )g(

.052 · 005 = pπ

?riA yrreP fo st�orp eht era tahW ) f(

. 2052 = )005 − 057()052 − 005( = bπ

?pU elbbuB fo st�orp eht era tahW )e(

.052 = ) ∗c ( D

?riA yrreP yb dlos ytitnauq muirbiliuqe eht si tahW )d(

.005 = ∗c

?riA yrreP recudorp eht yb degrahc ecirp muirbiliuqe eht si tahW )c(

= ) ∗p ( D

. c−0200,1

?pU elbbuB yb dlos ytitnauq muirbiliuqe eht si tahW )b( E MA N

913

.c − ∗∗p2

?rof lles e pat ekacesooM

wen a lliw hcum woh ,e pat ekacesooM a fo ypoc a fo ecirp eht si

. em a s e ht e ra se ci r p e hT

∗∗

p fI ) f(

?)a( traP ni denimreted ecirp

eht ot erapmoc e pat ekacesooM a fo ypoc a fo ecirp eht seod woH )e(

.2/ ∗x =

∗∗

x

o s , ∗x =

∗∗

x2 taht

se es e no ,s no i tc nu f t if or p ow t eh t mo rF ?noitcud orp fo level gnizimixam-t�orp remrof eht ot erapmoc ti seod woH .RUPU yb noitcudorp fo level gnizimixam-t�orp eht e b

∗∗

x teL )d(

.xc2 − x)x2(p2 = xc − x]c − )x2(p + )x2(p[

.se pat x secudorp ti fi st�orp s’RUPU rof noisserpxe na etirW )c(

.yp o c a g ni ll es mo rf ti fo rp s i mr e t dn o ce s e ht ; gn i ne ts il ro f y ap -o t- s se ng ni l li w eh t s i m r et t sr if e hT

.]c − )x2(p[ + )x2(p rof

e pa t el g ni s a

l l es n ac R UP U os ,t e kr am eh t h ca er s ep at x2 ,sepat x secudorp RUPU fI

).ypoc a gnilles morf

st�orp eht dna ,ti ot gninetsil fo erusaelp eht :e pat wen a rof dnamed fo secruos owt era erehT :tniH( .RUPU gnicaf se pat lanigiro rof evruc dnamed esrevni eht evireD ?ypoc a fo ecirp eht ot detaler e pat lanigiro na fo ecirp eht si woH .tekram yradnoces eht no ti lles dna e pat eht fo ypoc elgnis a ekam ot ytinutro ppo eht fo egatnavda ekat snaf ekacesooM llA )b( .syap tsilo ponom eht ecirp emas eht ,e pat re p c sremusnoc eht tsoc se pat knalB .seipoc rehtruf ekam ot desu e b tonnac seipoc eht taht sezingocer dna slanigro eht dna seipoc eht neewte b ecnere�id eht ees nac enoyreve ,revewoH .elas ro esu rieht ot sreirrab on era ereht dna ,e pat dedrocererp lanigiro eht rof eulav noitpmusnoc ni etutitsbus tcefre p a era seipoc ehT .e pat latigid dedrocererp a fo ypoc 1 ylno dna 1 ekam ot resu eht swolla taht elbaliava ylediw semoce b redrocer e pat latigid remusnoc fo dnik wen a woN

.c = ∗x) ∗x( �p + ) ∗x(p

).deipoc e b tonnac se pat taht emussa ,trap siht nI( .slles ti hcihw ta ecirp eht e b ∗p dna decudorp tnuoma gnizimixam-t�orp eht e b ∗x tel ,ecnerefer erutuf roF ?noitazimixam t�orp rof noitidnoc redro-tsr� eht si tahW )a( )62 .hC(

STEKRA M R OTCAF

023

. Aq5. − 002 = 20./) Aq10. − 4( = ) Aq( CR si noitcnuf noitcaer s’noslraC eroferehT .2 = Cq20. − Aq10. − 6 noitauqe eht yfsitas ot Cq sesoohc eh fi dezimixam e b lliw st�orp s’noslraC . Cq2 − C2 q10. − Cq Aq10. − Cq6 = Cq2 − Cq) Cq10. − Aq10. − 6( = Cq2 − ) Cq + Aq(p e b lliw st�orp s’noslraC neht ,stinu Aq ecudorp ot gniog si nosrednA taht swonk noslraC fI .yaw emas eht ni noitcnuf noitcaer s’noslraC dn� nac eW . Cq5. − 052 = 20./) Cq10. − 5( = ) Cq( AR dn� ot noitauqe suoiverp eht morf evlos eW . Cq ekab ot gniog si noslraC taht swonk eh fi tuptuo tse b s’nosrednA su sllet ) Cq( AR ,noitcnuf noitcaer s’nosrednA ).orez ot lauqe Aq ot tce pser htiw st�orp fo evitavired eht gnittes yb yltcerid ro tsoc lanigram sih ot lauqe eunever lanigram s’A gnittes yb rehtie tuo siht dn� nac uoY( .1 = Cq10. − Aq20. − 6 nehw dezimixam si noisserpxe sihT . Aq − Aq Cq10. − A2 q10. − Aq6 ezimixam ot Aq eso ohc lliw nosrednA neht ,stinu Cq ekab ot gniog si noslraC fi eroferehT . Aq − Aq Cq10. − A2 q10. − Aq6 = Aq

− Aq) Cq10. − Aq10. − 6( = Aq − Aqp

era st�orp sih os , Aq tsuj si daerb fo stinu Aq gnicudorp fo tsoc latot eht ,nosrednA roF .) Cq + Aq(10. − 6 e b lliw ecirp dna Cq + Aq e b lliw tuptuo latot ,sevaol Aq sekab nosrednA fi neht ,sevaol Cq sekab noslraC fI .noitcnuf noitcaer tonruoC s’nosrednA dn� su teL .yad re p dlos sevaol fo re bmun latot eht si q erehw , q10. − 6 = ) q(p si htaerB s’refieH ni daerb rof noitcnuf dnamed esrevni ehT .meht fo hto b rof orez era stsoc dexiF .faol re p 2$ fo stsoc lanigram tnatsnoc sah noslraC .daerb fo faol re p 1$ fo stsoc lanigram tnatsnoc sah nosrednA .ecnere�id eht llet nac ydo bon—s’noslraC ekil tsuj setsat daerb s’nosrednA .noslraC dna nosrednA ,srekab owt era ereht ,nisnocsiW ,htaerB s’refieH nI :e lpmaxE .smr� owt eht fo stuptuo muirbiliuqe tonruoC eht teg ot ylsuoenatlumis snoitauqe owt eseht evloS .noitcnuf noitcaer s’B mr� uoy evig spets suogolana ;noitcnuf noitcaer eno uoy sevig tuptuo detce pxe s’B mr� fo noitcnuf a sa tuptuo s’A mr� rof noitauqe siht gnivloS .tsoc lanigram sti ot lauqe )stuptuo eseht fo mus eht no sdne ped ecirp yrtsudni detce pxe eht ecnis B mr� fo tuptuo detce pxe eht dna A mr� fo tuptuo eht no sdne ped hcihw( eunever lanigram sti stes A mr� ,st�orp ezimixam oT .smr� eht era B dna A erehw , Bq + Aq ,yas ,tuptuo yrtsudni eht no sdne p -ed ecirp yrtsudni ehT .ecudorp ot mr� rehto eht stce pxe ti taht tuptuo eht nevig st�orp sti ezimixam ot tuptuo nwo sti sesoohc mr� hcae ,noit -ite pmoc tonruoC nI .roivahe b ylo pogilo fo stros rehto dna ,noitite pmoc gre blekcatS ,noitite pmoc tonruoC ni egagne smr� eht nehw semoctuo yrt -sudni dna mr� rof smelborp evlos lliw uoy retpahc siht nI .noitcudortn I

ylopogil O 72 retpahC

E MA N

slles lraC taht re bmun eht si Cq erehw , Sq + Cq = q si tekram eht ta dlos snikpmup fo re bmun latot ehT .p006 ,1 − 002 ,3 = q si snikpmup rof noitcnuf dnamed eht erehw ,tekram eht ta snikpmup fo srelles ylno eht era yehT .atosenniM ,tisihctiW ekaL ni tekraM ’sremraF eht ta snikpmup rieht lles ohw sreworg nikpmup lavir owt era nomiS dna lraC )0( 1.72 .sevaol 571 fo hcae no 57.1$ ekam lliw nosrednA dna sevaol 051 fo hcae no faol re p 57.$ ekam won lliw noslraC .57.2 = )051 + 571(10. − 6 e b lliw daerb fo ecirp ehT .sevaol 571 = 051 × 5. − 052 ecudorp lliw nosrednA neht ,sevaol 051 secudorp noslraC fI ). Cq rof gnivlos dna orez ot st�orp fo evitavired eht gnittes yb yltcerid ro tsoc lanigram ot lauqe eunever lanigram gnittes yb rehtie siht dniF( .051 = Cq nehw dezimixam era st�orp siH . C2 q500. − Cq5.1 = Cq2 − Cq) Cq500. − 5.3( = Cq2 − Cqp e b lliw st�orp s’noslraC nehT . Cq500. − 5.3 = ) Cq5. + 052(10. − 6 = p e b lliw ecirp eht ,sevaol Cq sekab noslraC fI .t�orp siht sezimixam taht ytitnauq eht esoohc lliw noslraC .tuptuo nwo sih fo noitcnuf a sa ylpmis t�orp s’noslraC etirw nac ew ,daerb fo ecirp eht ecneh dna noitcud orp latot senimreted noisiced noitcudorp s’noslraC ecniS . Cq5. + 052 = Cq5. − 052 + Cq = ) Cq( AR + Cq e b lliw htaerB s’refieH ni dekab e b lliw taht daerb fo tnuoma latot eht neht ,daerb fo sevaol Cq sekab eh fi taht swonk noslraC eroferehT . cq5. − 052 = ) Cq( AR si noitcnuf noitcaer s’nosrednA taht swonk noslraC .redael gre blekcatS a ekil tca nac noslraC neht ,siht swonk nosrednA taht swonk noslraC fi dna nevo sih ni sah noslraC daerb hcum woh tuo sdn� syawla nosrednA fI .detrats steg nosrednA erofe b nevo eht ni daerb sih sah dna nosrednA naht reilrae ruoh na pu steg syawla noslraC esuace b si siht spahreP .redael gre blekcatS fo elor eht syalp htaerB s’refieH fo srekab eht fo eno taht eso ppuS :e lpmaxE .tuptuo gre blekcatS s’rewollof eht teg ot noitcnuf noitcaer s’rewollof eht ot ni gulp dna tuptuo gre blekcatS s’redael eht rof noisserpxe siht evlos nac uoY .redael eht rof tsoc lanigram slauqe eunever lanigram syas taht dna Lq tsuj no sdne ped taht noisserpxe na nwod etirw nac uoy ,noitcnuf dnamed esrevni eht otni ti etutitsbus dna noitcnuf noitcaer s’rewollof eht teg uoy ecno oS .eunever lanigram s’redael eht nac os ,ylno Lq fo noitcnuf a sa desserpxe e b nac ecirp yrtsudni eht ecniS .) Lq( FR + Lq no ,si taht ,tuptuo s’rewollof eht dna tuptuo nwo reh fo mus eht no sdne ped ecirp yrtsudni eht taht swonk redael eht oS .tsr� , Lq ,tuptuo nwo reh esoohc ot steg dna rewollof eht fo noitcnuf noitcaer eht swonk redael ehT .rotite pmoc tonruoC a rof sa yaw emas eht ni detcurtsnoc si ,) Lq( FR ,noitcnuf noitcaer siH .ecudorp ot redael eht stce pxe eh taht tuptuo fo tnuoma eht no sdne ped eciohc tuptuo gnizimixam-t�orp s’rewollof eht ,noitite pmoc gre blekcatS nI .sevaol 001 fo hcae no 1$ sekam noslraC dna sevaol 002 fo hcae no 2$ fo t�orp a sekam nosrednA ,muirbiliuqe tonruoC ni nehT .3$ = )001 + 002(10. − 6 si ecirp muirbiliuqe tonruoC ehT .rekab hcae fo st�orp eht rof dna ecirp muirbiliuqe tonruoC eht rof evlos osla nac ew woN .001 = C¯q dna 002 = A¯q taht dn� ew snwonknu owt ni snoitauqe owt eseht gnivloS .) A¯q( CR = C¯q dna ) C¯q( AR = A¯q taht era snoitidnoc muirbiliuqe tonruoC ehT . C¯q dna A¯q yb seititnauq muirbiliuqe tonruoC eht etoned su teL )72 .hC(

YL OP OGIL O

223

).b dna a stnatsnoc eht dn� ot evah uoY . 1−St qb − a mrof eht fo noisserpxe raenil a si sihT :tniH( .2/ Sq − 002 ,1 = ) 1−St q( CtR ,noitcnuf noitcaer s’lraC dn� 1−t ot rewsna tsal eht ni etorw uoy noitauqe eht esU .raey tsal tuptuo s’nomiS fo noitcnuf a sa e b dluow raey siht tuptuo gnizimixam-t�orp s’lraC tahw su sllet taht noitcnuf a si ,) 1−St q( CtR ,noitcnuf noitcaer tonruoC s’lraC )e(

.5. = 008/ Ct q − 006 ,1/ 1−St q − 2

.noitauqe gniwollof eht sevlos lraC , 1−St q saw raey tsal tuptuo s’nomiS

nehw raey siht tuptuo s’lraC dn� ot taht snaem sihT .tsoc lanigram sih ot lauqe raey siht eunever lanigram sih stes taht raey siht tuptuo eht sesoohc eh ,t�orp siht ezimixam oT .raey siht st�orp sih sezimixam taht tnuoma eht lles nac eh taht os raey siht snikpmup hguone stnalp lraC eroferehT .raey tsal dlos eh taht 1−St q tnuoma eht morf secudorp eh taht snikpmup fo tnuoma eht egnahc reven lliw nomiS taht seveile b lraC )d(

.008/ Ct q − 006 ,1/1−St q − 2

e b lliw raey siht eunever lanigram

sih ,raey siht snikpmup Ct q slles ,flesmih ,eh fi taht seveile b lraC neht ,raey tsal snikpmup 1−St q dlos nomiS fi ,yllareneg eroM .008/ Ct q − 57.1 e b lliw raey siht eunever lanigram s’lraC ,raey tsal snikpmup 004 dlos nomiS fi eroferehT .006 ,1/ Ct q − 57.1 = 006 ,1/ Ct q − 006 ,1/004 − 2 = p si secaf eh taht noitcnuf dnamed esrevni eht neht raey siht snikpmup Ct q slles eh fi taht seveile b lraC ,raey tsal snikpmup 004 dlos nomiS fI )c(

.006 ,1/) Ct q + 1−St q( − 2

e b lliw raey siht

snikpmup fo ecirp eht ,raey siht snikpmup Ct q slles ,lraC ,eh fi taht skniht lraC ,t raey fo gnirps eht ni neht ,1 − t raey ni snikpmup 1−St q dlos nomiS ?raey siht snikpmup 002,1 slles lraC fi e b lliw snikpmup fI .1 fo ecirp eht kniht lraC seod tahw ,raey tsal snikpmup 004 dlos nomiS fI .raey siht niaga snikpmup 004 lles lliw nomiS taht seveile b lraC ,raey tsal snikpmup 004 dlos nomiS fi ,elpmaxe rof ,oS .raey tsal dlos eh sa raey siht re bmun emas eht lles lliw remraf rehto eht taht semussa remraf hcae ,tcaf nI .raey tsal remraf rehto eht yb dlos erew snikpmup ynam woh wonk hcae yeht dna noitcnuf dnamed lacol eht wonk hto b yehT .worg ot snikpmup ynam woh sediced sremraf eht fo hcae ,gnirps yrevE )b(

. 05 . $ e hT

si remraf rehtie rof nikpmup a gnicudorp fo tsoc lanigram

.006 ,1/1

= b dna

2

= a erehw ,) Sq + Cq(b − a = p

si tekraM ’sremraF eht ta snikpmup rof noitcnuf dnamed esrevni ehT )a( .secudorp eh snikpmup ynam woh rettam on nikpmup re p 05.$ si remraf rehtie rof snikpmup gnicudorp fo tsoc ehT .slles nomiS taht re bmun eht si Sq dna E MA N

323

.tnalp ot ynam woh tuo ba noisiced nwo sih sekam eh erofe b noitamrofni siht sah nomiS .raey siht lles ot gniog yllautca si lraC ynam woh sees nomiS ,raey tsal did eh taht snikpmup fo tnuoma emas eht lles lliw lraC taht gnimussa fo daetsni eroferehT ).secudorp eh taht nikpmup yreve lles lliw lraC taht osla eso ppuS( .llaf eht ni tsevrah lliw lraC ynam woh dna detnalp lraC snikpmup ynam woh sdle� s’lraC ta gnikool yb llet nac eh dna ,lraC morf daor eht nwod tsuj sevil nomiS woN .nac nomiS naht reilrae keew eno snikpmup sih tnalp nac lraC eroferehT .s’nomiS fo �o swaht ti erofe b keew a dle� nikpmup s’lraC fo �o swaht wons eht ,gnirps yrevE .liated eno rof tpecxe melborp tsal eht ni ti de bircsed ew sa si tisihctiW ekaL ni tekram nikpmup eht taht eso ppuS )0( 2.72

.004$ remraf hcae seod t�orp hcum woH fo ecirp ehT

.0 0 6, 1

.1 $

?ekam

si tekram taht ni snikpmup

si tisihctiW ekaL ni tekraM ’sremraF eht ot

thguorb snikpmup fo tnuoma latot ehT .tuptuo fo stinu

00 8

secudorp

,muirbiliuqe tonruoC ni ,remraf hcaE .remraf hcae rof tuptuo muirbil -iuqe na rof trap tsal eht ni nwod etorw uoy snoitauqe owt eht evloS )i(

2/ Cq − 002 ,1 = sq

.2/ Sq − 002 ,1 = Cq dna

).snoitcnuf noitcaer eht esU :tniH( .doire p

txen eht ni tnuoma emas eht ecudorp ot tnaw hto b lliw yeht neht , Sq gni -cudorp si nomiS dna Cq gnicudorp si lraC fi ,taht hcus Cq dna Sq stuptuo dn� ot devlos e b dluoc taht snoitauqe suoenatlumis owt nwod etirW )h(

.0 08

?s’nomiS tuo ba woH

0 08

?gnigrevnoc e b ot

rae ppa tuptuo s’lraC seod tuptuo fo level tahw oT .seires siht ni smret erom lareves tuo krow ot re pap dna ne p ro rotaluclac a esU .058 ?ecudorp nomiS dluow ynam woH woh ,3 raey nI

.0 01 ,1

. 05 6

?ecudorp lraC dluow ynam

?ecud orp nomiS dluow ynam woH

.0 07

?ecudorp lraC dluow ynam woh ,2 raey nI .snikpmup 000,1 decud -orp nomiS dna snikpmup 002 decudorp lraC ,1 raey ni taht eso ppuS )g( ).noitcnuf noitcaer s’lraC dn� ot desu uoy seno eht ot spets ralimis gniwollof yb tuo siht krow dluoc uoy ,sseug ot ekil t’nod uoy fi ,esruoc fO( .2/ Cq − 002 ,1 = ) 1−Ct q( StR si noitcnuf noitcaer s’nomiS taht 1 −t sseug nac ew ,ti gnitaluclac neve tuohtiw eroferehT .nomiS dna lraC yb deyalp selor eht ni cirtemmys yletelpmoc si melborp eht taht ecitoN .seod lraC taht yaw emas eht ni snoisiced sih sekam nomiS taht eso ppuS ) f( )72 .hC(

YL OP OGIL O

423

t u pt uo e ht fi o S .m uirb i li uq e t on r uo C ni n ah t r e gr al

era muirbiliuqe grebelkcatS

n i st if o rp s ’l ra C

. oN

)?muirbiliuqe tonruoC ni sti

-forp sih htiw erapmoc yeht od woH ?evo ba muirbiliuqe eht ni st�orp s’lraC era tahW :tniH( .nialpxE ?siht od ot tseretni s’lraC ni e b ti dluoW .detnalp eh nehw raey siht rof snalp s’rehto eht wonk dluow meht fo rehtien taht os detnalp nomiS taht emit emas eht litnu gni -tnalp sih yaled ot lraC rof elbisso p e b dluow ti ,ot detnaw eh fI )e( .muirbiliuqe

g r eb el kc a tS

nwonk si ereh ssucsid ew e pyt eht fo muirbiliuqe nA nomiS seod t�orp hcum woH woH

. 8 /7 $

.0 54 $

.5 2 2 $

a sa ?ekam

?ekam lraC se od t�orp hcum

.tekraM ’sremraF tisihctiW ekaL eht ni snikpmup fo

ecirp muirbiliuqe eht dniF eht dniF

. 00 2 ,1

.006

.nomiS rof tuptuo gnizimixam-t�orp

.lraC rof tuptuo gnizimixam-t�orp eht dniF )d(

.006 ,1/ Ct q − 52.1

. Ct q fo noitcnuf a sa t raey

ni eunever lanigram s’lraC rof noisserpxe na etirW

− Ct q52.1

.002 ,3/ 2) Ct q(

. Ct q ,tuptuo nwo sih fo noitcnuf a sa t raey ni eunever

latot s’lraC rof noisserpxe na etirw woN .raey siht secudorp lraC taht snikpmup fo re bmun eht ot detaler si tekraM ’sremraF eht ni raey siht snikpmup fo ecirp eht woh dnuof uoy ,melborp eht fo trap tsal eht nI )c(

.002 ,3/ Ct q − 52.1

e b lliw tekram eht ni snikpmup fo ecirp eht

, Cq si tuptuo nwo sih fi taht swonk lraC eroferehT e b lliw srecudorp owt eht fo tuptuo latot eht dna

.2/ Ct q + 002 ,1 2/ Ct q − 002 ,1

lles dna ecudorp lliw nomiS neht , Ct q si tuptuo s’lraC fi ,ralucitrap nI .secud orp lraC taht tnuoma eht yb denimreted e b lliw raey siht ecudorp lliw nomiS taht tnuoma eht taht swonk lraC eroferehT .noisiced sih ekam lliw nomiS woh sdnatsrednu eh ,snikpmup sih stnalp lraC nehW )b(

.2/ Ct q − 002 ,1

.melborp tsal eht ni dnuof uoy snoitcnuf noitcaer eht re bmemeR :tniH

= St q si raey siht ecudorp ot tnuoma gnizimixam-t�orp eht taht swonk nomiS neht ,raey siht Ct q dleiy ot snikpmup hguone stnalp lraC fI )a( E MA N

523

.wole b hparg eht no tnio p muirbiliuqe eht etacidni dna sevruc noitcaer owt eht ward ,esac tonruoC eht roF )d(

.6 3$ ecirp tekram eht dna ,

61

ecudorp dluow mr� hcae ,

e b dluow

23

eb

dluow tuptuo yrtsudni ,tnio p muirbiliuqe tonruoC eht ta gnitare po erew smr� eht fI .2/ 1y − 42 = 2y e b dluow 2 mriF fo noitcnuf noitcaer

ehT ).ereh orez ton si tsoc lanigram eht ,koo btxet ruoy ni elpmaxe eht ekilnU :rednimeR( .2/ 2y − 42 = 1y e b dluow 1 mriF rof noitcnuf noitcaer ehT .tekram eht ni detare po smr� tonruoC owt taht eso ppuS )c(

.4$

e b dluow ecirp yrtsudni eht dna ,

84

e b dluow tuptuo

yrtsudni eht ,evitite pmoc yltcefre p erew yrtsudni tuorps-nae b eht fI )b(

.2−$

e hT

.4 $

ot lauqe si tuptuo ni esaercni tinu-eno a rof ecirp ni egnahc ot lauqe si yrtsudni eht ni mr� yna rof tsoc lanigram ehT )a(

. y4 = ) y( C T yb nevig si yrtsudni eht ni mr� yna rof noitcnuf tsoc latot eht dna , Y2 − 001 = ) Y( P yb nevig si stuorps nae b rof evruc dnamed tekram esrevni ehT )0( 4.72

.054 meht fo eno hcae seod t�orp hcum woH hcae se od hcum woH

.0 02 ,1

.0 0 6

?ekam

?ecudorp meht fo eno

?otot ni ecudorp yeht dluohs snikpmup

ynam woh ,st�orp tnioj rieht ezimixam oT .snikpmup fo re bmun emas eht ecud orp hcae ot dna yltnioj tuptuo latot rieht enimreted ot ediced yehT .tnemeerga gnitekram a ngis nomiS dna lraC taht eso ppuS )0( 3.72

. tu pt uo s ih w on k ot n om iS t n aw l li w l r aC , mu ir b il iu qe to nr u oC a si e mi t gn i tn al p re tf a li tn u ra ey s ih t t u pt uo s ’r eh t o eh t sw on k r e ht ie n ne hw )72 .hC(

YL OP OGIL O

623

.dlos snollag fo re bmun eht si q dna nollag re p ecirp eht si p erehw , q02. − 02$ = p si retaw larenim s’hcnirG rof evruc dnamed esrevni ehT .retaw siht eltto b ot nollag re p 2$ hcnirG stsoc tI .eltto b ot serac hcnirG sa retaw larenim hcum sa htrof selbrub ylsseltsoc taht gnirps retaw larenim a fo renwo elos eht si hcnirG )0( 5.72

.8 2$ yrtsudni na seilpmi sihT

.2 1

fo ecirp dna

63

gnicudorp rewollof eht dna

fo tuptuo

42

fo tuptuo na gnicudorp redael eht ni stluser melborp siht gnivloS sa nettirw

. 1y4 − 1y])2/ 1y − 42 + 1y(2 − 001[ 1yxam

e b nac redael eht rof melborp noitazimixam ehT .rewollof a sa sevahe b mr� rehto eht dna redael gre belkcatS a sa stca mr� eno eso ppuS )g(

.2 2 $ y b e s ae rc ni dl u ow s ti f or P

?tinu eno yb tuptuo sti desaercni ti fi st�orp nwo

s’mr� a ot ne ppah dluow tahw ,tuptuo yrtsudni ni egnahc a ot tcaer ton dluow mr� rehto eht taht semussa smr� gnidulloc eht fo eno fI .tuptuo fo stnuoma lauqe gnicudorp era smr� gnidulloc eht fo hto b eso ppuS ) f(

.2 5$ 42

lauqe dluow ecirp tekram eht dna

e b dluow tuptuo yrtsudni ,edulloc ot dediced smr� owt eht fI )e(

1y 42

81

21

6

0

noi tcnuf noi tcae r s'1 m riF

noi tcnuf noi tcae r s'2 m riF

e

6

21

81

42 2y

E MA N

723

Q 08

06

04

02

cm

0

02

04

ca rm

06

08 CM ,RM

.sevruc tsoc lanigram dna egareva eht dna ,evruc eunever lanigram eht le bal dna hcteks ,wole b hparg eht nO )a( .lla ta sei� enalp eht fi q01+000 ,2$ era stsoc yliad latot ,suhT .regnessap re p 01$ fo tsoc lanigram a si ereht ,noitidda nI .sregnessap fo re bmun eht fo sseldrager enalpria eht y� ot yrassecen si taht yad re p 000,2$ fo tsoc dex� ”daehrevo“ na si erehT ).spirt yaw-eno sekam yd o bon taht emussA( .yad re p sregnessap fo re bmun eht si q erehw ,p2 − 061 = q si spirt dnuor rof eludehcs dnamed eht ,yad re p noitcerid hcae ni pirt eno sekam ssortablA fI .euqubuD dna airoeP neewte b levart ria no ylo ponom a sah senilriA ssortablA )1( 6.72

. 33 .9 $ ?muirbiliuqe tonruoC eht ni ecirp eht si tahW

.3/05

?bburG rof tup

-tuo muirbiliuqe tonruoC eht si tahW .nwo sih fo tnedne pedni si noisiced ytitnauq s’rehto eht taht eveile b hcae bburG dna hcnirG taht eso ppuS .erofe b sa sniamer retaw larenim rof dnamed tekram latoT .ti eltto b dna dnuorg eht fo tuo retaw sih teg ot eltto b a 6$ bburG stsoc ti taht tub ,retaw s’hcnirG sa doog sa tsuj si taht retaw larenim secudorp taht gnirps larenim a sdn� bburG ,ro bhgien s’hcnirG taht ,won ,eso ppuS )c(

.5 04 $ ?ekam eh seod t�orp hcum woH

. 11 $

?ytitnauq gnizimixam-t�orp eht

secudorp eh fi retaw larenim fo nollag re p teg hcnirG seod ecirp tahW )b(

. 54 rof q fo eciohc gnizimixam-t�orp eht dniF

.hcnirG

. q2 − q) q02. − 02(

= ) q(Π : q fo noitcnuf a sa st�orp rof noisserpxe na nwod etirW )a( )72 .hC(

YL OP OGIL O

823

taht sooragnak fo re bmun eht sesoohc dna tcaer lliw annA woh swonk xelA .lles ot xelA stce pxe ehs taht so oragnak fo re bmun eht no desab , 1q ,lles ot so oragnak fo re bmun gnizimixam-t�orp reh sesoohc annA .ailartsuA ,yendyS ni so oragnak fo srelles ylno eht era annA dna xelA )0( 7.72

.0 04 $

?st�orp dna ,

08

,seititnauq ,

0 4$

,ecirp eht e b lliw

tahw ,stsilo pogilo tonruoC sa tca smr� owt eht fi dna tsr� eht sa noitcnuf tsoc emas eht sah mr� dnoces eht fI .nwo sti fo enalp a htiw tekram eht deretne mr� rehtona dna enalp eno htiw kcuts AA taht eso ppuS )g(

.o N

?enalp dnoces a dda ot esoohc ti

dluow ,rotite pmoc rehtona yb yrtne tneverp dluoc AA fI st�orp sti dluow hcum woH

. 54 $

.0 41

. 00 9$

?e b

?lles ti dluow stekcit ynam woH

?egrahc ti dluow ecirp tahw ,enalp tsr� eht sa yticapac dna

stsoc emas eht htiw enalp dnoces a dedda AA fI .senalp fo re bmun eht fo sseldrager tnatsnoc era enalp re p stsoc daehrevo eht taht emussa su teL ) f(

. 00 0, 2$ =π,

06 $

= p ?ekam ti dluow t�orp hcum woh dna tuptuo sti ezim

-ixam ot egrahc ti dluohs ecirp tahw ,tekram eht sretne enilria rehto on fi dna enalp elgnis siht htiw kcits tsum AA fI .sregnessap 08 fo yticapac a dah enalpria lanigiro eht taht eso ppuS .p4 − 023 = q emoce b ot selb -uod secalp owt eht neewte b spirt enalpria rof dnamed eht ,tluser a sA .selbuod secalp hto b fo noitalupo p eht ecneuqesnoc ni dna nwonk ylediw semoce b euqubuD dna airoeP ni efil thgin gnibborht eht taht eso ppuS )e(

. ya d r e p 00 9$ tu ob a e b d lu ow s e ss ol ; o N

?t�orp a ekam tnartne wen eht dluow ,ylo poud

tonruoC a emace b neht yrtsudni eht fi dna tekram airoeP-euqubuD eht retne ot erew senilriA ssortablA sa stsoc emas eht htiw mr� rehtona fI )d(

. n o i ll i m 6 . 1 $ t u o bA

).reverof

degnahcnu niamer snoitidnoc tsoc dna dnamed taht gnimussA( .etuor airoeP-euqubuD eht no ylo ponom s’senilriA ssortablA nwo ot yap ot gni -lliw e b enoemos dluow hcum woh ,raey re p %01 si etar tseretni eht fI )c(

. ya d re p 05 4$ = π ,

07

54

= q ,

= p .senilriA ssortablA rof st�orp

yliad latot dna ytitnauq dna ecirp gnizimixam-t�orp eht etaluclaC )b( E MA N

923

.p001 − 000 ,1

= )p( mD si lles nac ti taht tnuoma eht ,p ecirp a stes tsilo ponom eht fI )b(

.p05

= )p( S si p ecirp ta rotces evitite pmoc eht morf ylppus latot ehT

.p = y

?smr� evitite pmoc eht fo eno fo evruc ylppus eht si tahW )a( .p05 − 000 ,1 = )p( D

yb nevig si tcud orp eht rof evruc dnamed ehT .stsoc lanigram 0 sah taht tsilo ponom eno si erehT .2/ 2 y = ) y(c yb nevig snoitcnuf tsoc lacitnedi evah dna rennam evitite pmoc a ni evahe b taht smr� 05 era erehT .erutcurts gniwollof eht htiw yrtsudni na redisnoC )0( 8.72

.0 08 $ lliw tahW

. 00 2 2q

?e b ecirp yrtsudni eht

?lles annA lliw sooragnak ynam woH

xelA lliw sooragnak ynam woH ?ylno

.0 04

?lles

. 2q2 − 002 ,1 = ) 2q(R M

fo noitcnuf a sa eunever lanigram s’xelA si tahW )e(

. 2q − 002 ,1 = ) 2q( P

sa ecirp tekram eht e b lliw tahW

?ylno 2q fo noitcnuf a

. 2q2/1 + 004

?dlos e b lliw taht

sooragnak fo re bmun latot eht si tahw ,so oragnak 2q slles xelA fi woN )d(

. 2q2/1

?sooragnak 1q slles flesreh ehs fi e b eunever

= ) 2q + 1q(R M

?) 2q(R ,noitcnuf noitcaer s’annA si tahW )c(

− 004 = ) 2q(R

. 2q2 − 1q4 − 000 ,2

lanigram nwo reh lliw tahw ,sooragnak 2q lles ot xelA stce pxe annA fI )b( .rewollof eht si redael eht si

x el A

an nA

dna

.srotite pmoc gre blekcatS era annA dna xelA )a(

.lles ot ooragnak a esiar ot 004$ stsoc tI .) 2q + 1q(2 − 000 ,2 = ) 2q + 1q( P si so oragnak rof noitcnuf dnamed esrevni ehT .tnuocca otni noitamrofni siht gnikat retfa , 2q ,lles lliw flesreh ehs )72 .hC(

YL OP OGIL O

033

. 2)2/571(

?st�orp s’mr� egral eht e b lliw tahW

?ytitnauq muirbiliuqe eht e b lliw tahW

.2/522

.2/571

?ecirp muirbiliuqe

eht e b lliw tahW .tsilo ponom laer a sa evahe b dna ssenisub eht fo tuo smr� evitite pmoc eht ecrof dluoc mr� egral eht taht eso ppus yllaniF )d(

.0 5. 21 3 $

?st�orp s’mr� egral eht e b lliw tahW )c(

.5 .7 31 eht yb deilppus ytitnauq muirbiliuqe eht dna eht yb deilppus ytitnauq ehT

.0 5. 73 $

e b lliw smr� evitite pmoc

.5 2

e b lliw mr� egral

e b lliw ecirp muirbiliuqe

eht ,noitautis siht nI .mr� egral eht ot og neht dna ot elba era yeht sa hcum sa yub dna smr� evitite pmoc eht ot tsr� og syawla sremotsuc taht emussa ew siht ledom ot redro nI .ecirp gnizimixam-t�orp a tes dna rewo p tekram sti tiolpxe ot stpmetta mr� egral eht taht won eso ppuS )b(

.0 51 eht e b lliw tahW

.05

?ytitnauq muirbiliuqe

?ecirp muirbiliuqe eht e b lliw tahW .tuptuo

fo level orez a ta etare po ot decrof si mr� egral eht taht eso ppuS )a( . y52 = ) y(c si mr� egral eno eht rof noitcnuf tsoc ehT .p − 002 = )p( D si tcud orp eht rof evruc dnamed ehT .p + 001 = )p( S si rehtegot nekat smr� llams eht fo evruc ylppus ehT .smr� llams ynam dna mr� egral eno htiw tekram a redisnoC )0( 9.72

.057 = cy + my ni dlos tuptuo fo tnuoma latot eht e b lliw tahW

?yrtsudni siht

.052 = 5 × 05

?ecirp siht ta edivorp rotces evitite pmoc eht lliw tuptuo hcum woH )d(

.5 = p tahW

.0 05

=

my

?ecirp gnizimixam-t�orp s’tsilo ponom eht si

si tuptuo gnizimixam-t�orp s’tsilo ponom ehT )c( E MA N

133

sevil ohw enoyna ot reviled t’now eH( .mih fo selim 02 − p nihtiw sevil ohw remraf yna ot eerf rof reviled ot sesimorp dna p$ ecirp a stes eH .sevots -kooc fo yreviled eerf sre�o neB ,noitatro psnart fo tsoc eht rof yap sreyub lla gnikam dna ecirp esab elgnis a gnittes fo daetsni taht eso ppuS )c(

. 00 0, 5 $ sevotskooc

001

fo t�orp latot a ekam dna

lles dluow neB .mih morf selim

05

fo ecnatsid

a ta detac ol e b dluow remotsuc tnatsid tsom s’neB ).p ot tce pser htiw st�orp rof noisserpxe siht etaitnere�id woN .secirp fo noitcnuf a sa st�orp etorw tsuj uoY :tniH( .07$ si ecirp esab gnizimixam-t�orp s’neB )b(

= )02 − p()p − 021(2

.)004 ,2 − 2p − p041(2

:segrahc eh taht ,p$ ,ecirp esab eht fo

noitcnuf a sa t�orp latot s’neB etirW .evots re p 02 − p fo t�orp a ekam dluow neB nehT .meht gnireviled dna sevots eht gniyub naht stsoc rehto on sah neB taht emussA ).tsew sih ot sa llew sa tsae sih ot lles dluoc eh seno eht tnuoc ot re bmemeR( .)p − 021(2 ?lles dluoc eh sevotsko oc fo re bmun latot eht e b dluow tahw ,meht gnireviled rof elim a 1$ degrahc eh fi dna ,021 < p erehw sevotsko oc rof p$ fo ecirp esab a tes neB fI )a(

.sevotskooc 061 fo latot a rof ,tsae sih ot selim 08 nihtiw gnivil sremraf eht ot sevotskooc 08 lles dluoc eh ,04$ si ecirp esab sih fi ,ylralimiS .mih fo tsew gnivil sremraf eht ot sevotskooc 08 lles dluoc neB ,04$ fo ecirp esab a ta eroferehT .evotsko oc a evah ot yreviled fo ecirp eht sulp 04$ yap ot gnilliw e b dluow sgnirpS gnicnuoB fo selim 08 nihtiw devil ohw remraf yna ,04$ erew ecirp esab eht fi taht swollof ti ,021$ saw remraf yreve fo ecirp noitavreser eht ecniS .54$ fo egrahc gniluah a sulp ecirp esab 04$ ,evots a teg ot 58$ yap ot evah dluow uoy ,sgnirpS gnicnuoB fo tsew selim 54 devil uoy dna 04$ saw sevots fo ecirp esab eht fi ,elpmaxe roF .yreviled fo tsoc eht ecirp eht ot dedda dna sevots rof p$ fo ecirp esab a degrahc eromniK neB .evots eno naht erom rof esu dah yd o boN .eno evah ton ot naht rehtar evots a evah ot 021$ ot pu yap ot gnilliw e b dluow meht fo yna ,si tahT .evotsko oc nori tsac a rof 021$ fo ecirp noitavreser a dah daor eht gnola mraf yreve fo srenwo ehT .noitcerid rehtie ni daor eht no srelaed evots rehto on erew erehT .elim re p 1$ saw evots a gniluah fo tsoc eht dna elim yreve mraf eno saw ereht ,daor taht gnolA .nwot hguorht tsew dna tsae nar taht daor a gnola devil sgnirpS gnicnuoB ni dedart ohw sremraf ylno ehT .erots sih ot dereviled ,hcae 02$ rof dehsiw eh sa sevots ynam sa yub dluoc eH .sgnirpS gnicnuoB ni relaed evots ylno eht saw eromniK neB .iruossiM ,sgnirpS gnicnuoB fo nwot eht ot tao b revir yb de ppihs e b dluoc sevotS .tro psnart ot evisne pxe erew sevots yvaeh dna ,roo p erew sdaor ,trapa raf devil elpoe p tub ,derised hcum erew sevotsko oc nori tsac ,devirra sdaorliar eht erofe b tsewdiM naciremA eht fo aera etomer a nI )2( 01.72 )72 .hC(

YL OP OGIL O

su luc laC

233

taht sgnirpS gnicnuoB fo tsew eht ot ∗x ecnatsid eht rof devlos e b dluoc taht noitauqe na nwod etirw , Hp si s’yeuH dna Bp si ecirp esab s’neB fI )a( .yeuH yb dereviled evots a evah ot )x − 04( + Hp dna neB morf dereviled evots a evah ot x + Bp fo latot a yap ot evah dluow neB fo tsew selim x sevil ohw ydo bemos , Hp si ecirp esab s’yeuH dna Bp si ecirp esab s’neB fI .)021$ deecxe ton se od ecirp dereviled eht sa gnol os( meht ot ylpaehc tsom reviled ot gnilliw si ohw relles eht morf yub dluow yeuH dna neB neewte b evil ohw sremraF .yreviled rof elim re p 1$ fo egrahc a sdda dna tsae sdnes eh sevots rof , Hp ,ecirp esab a stes yeuH taht eso ppuS .yreviled rof elim re p 1$ fo egrahc a sdda dna tsew sdnes eh sevots rof , Bp ,ecirp esab a stes neB taht eso ppuS .yeuH nac oS .tsew spihs eh sevotsko oc eht dna tsae spihs eh sevotskooc eht rof secirp esab tnere�id egrahc nac neB esuace b ,siht od nac eW .meht neewte b devil ohw sremotsuc eht rof ete pmoc dluow yeht woh no noitnetta ruo etartnecnoc su teL .daor eht no srelaed evots ylno eht erew neB dna yeuH .hcae 02$ rof erots sih ot niart yb dereviled sevotskooc teg ot elba osla saw ,enihsnuS yeuH ,worruF peeD ni re peekerots ehT .sgnirpS gnicnuoB fo tsew ,daor eht nwod selim 04 tsuj ,worruF peeD fo nwot eht ot kcart a tliub daorliar eht ,sevots yna gnilles ot dnuora tog eh erofe b ,neB rof yletanutrofnu ,lleW .ylo pogilo no retpahc siht ni gniod si ,st�orp ylo ponom sih gnitcelloc ylteiuq sdoow eht ni �o sevil ohw ,eromniK neB tahw derednow uoy spahreP )2( 11.72

su luc laC

.t soc t ro ps na r t fo t en s se l ya p ot g ni l li w e ra o hw , sr em ra f y aw a ra f o t e ci rp t e n r ew ol a d na

s r em ra f yb r ae n ot , ts oc

t ro ps n ar t fo te n , ec ir p re h gi h a s eg ra h c eH . s en o y awar a f d na s re mr a f yb r ae n n ee wt eb e t an im i rcsi d- e ci rp n a c eh , y re vi l ed r of sy a p ne B f I

?seireviled nwo rieht rof yap sremraf eht erehw

emehcs eht naht rehtar flesmih yreviled fo tsoc eht syap eh erehw emehcs gnicirp siht esu ot neB rof elbat�orp erom si ti yhw nialpxe uoy naC ?ekam eh dluow t�orp hcum woH )?evotskooc a luah ot

.0 00 , 01 $

sah eh taht ecnatsid egareva eht si tahW :tniH(

. 0 00 ,4 1$

?sevots

eht gniyub fo tsoc eht dna seireviled fo tsoc eht gnidulcni ,e b stsoc latot sih dluow hcum woH 000,42$ ?e b eunever latot sih dluow hcum woH

.0 02

?reviled neB dluow sevotskooc ynam woH

.0 2 1$

?p

tes eh dluohs hgih woh ,yaw siht ni ecirp ot gniog si eh fI ).ti reviled dna evots a yub ot p$ naht erom mih stsoc neht ti esuace b ,taht naht rehtruf E MA N

333

n eB

morf yub lliw remraf sihT .remraf siht ot reviled ot

0 0 .0 5$

egrahc lliw yeuH eroferehT .99.92$ si hcihw ,ynne p a ssel tsoc s’neB dna ,05$ si hcihw ,remraf siht ot gnireviled fo tsoc latot nwo sih fo mumixam eht egrahc lliw yeuH . 99.94$ si sre bmun owt eseht fo mumixam ehT .99.94$ si hcihw ,ynne p a ssel tsoc s’yeuH dna ,03$ si hcihw ,tsoc nwo sih fo mumixam eht egrahc lliw neB .tsae selim 03 ti luah ot 03$ dna evots eht teg ot 02$ ,05$ si mih ot ti gnireviled fo tsoc latot s’yeuH .tsew selim 01 ti gniluah rof 01$ dna evots eht teg ot 02$ ,03$ si mih ot gnireviled fo tsoc latot s’neB ,neB fo tsew selim 01 sevil remraf a fi ,elpmaxe roF .ynne p a ssel mih ot gnireviled fo tsoc latot s’neB dna remraf siht ot gnireviled fo tsoc latot nwo s’yeuH fo mumixam eht ot lauqe ecirp a rof neB fo tsew selim x sevil ohw remraf a ot evots a reviled ot sre�o yeuH taht eso ppuS .ynne p 1 ssel remraf emas eht ot gnireviled fo tsoc latot s’yeuH dna remraf taht ot evots a gnireviled fo tsoc latot s’neB fo mumixam eht ot lauqe ecirp a rof mih fo tsew selim x sevil ohw remraf a ot evots a reviled ot sre�o neB taht eso ppuS .gnitanimircsid ecirp yb meht neewte b evil ohw sremotsuc eht rof ete pmoc ot dediced yeuH dna neB taht eso ppuS )e(

. 00 8$ no ekam eh seod t�orp hcum woH

.0 2

lles neB seod sevotskooc ynam woH

?selas eseht

?mih fo tsew gnivil sremraf ot

.06 = Hp = Bp

).snoitauqe

owt tsal eht evlos ylsuoenatlumis taht Hp dna Bp secirp dniF :tniH( ?gniod si yug rehto eht tahw nevig eciohc gnizimixam-t�orp a si hcae taht hcus yeuH rof ecirp esab a dna neB rof ecirp esab a dn� uoy naC )d( ).noitseuq tsal eht ot rewsna eht dna melborp eht fo yrtemmys eht esU :tniH( .2/ Bp + 03 = Hp ?st�orp s’yeuH ezimixam lliw Hp fo eciohc tahw ,seso ohc yeuH ecirp tahw rettam on , Bp ta yats lliw ecirp s’neB taht skniht yeuH taht eso ppuS ).orez ot lauqe ecirp sih ot tce pser htiw st�orp s’neB fo evitavired eht teS :tniH( .2/ Hp + 03

= Bp

?st�orp s’neB ezimixam lliw

Bp

fo eciohc tahw ,sesoohc neB

ecirp tahw rettam on , Hp ta yats lliw ecirp s’yeuH taht skniht neB fI )c(

.)02 − Bp()2/) Bp − Hp( + 02(

. Hp dna

Bp fo noitcnuf gniwollof eht sa desserpxe e b nac st�orp s’neB ,slles eh taht evotskooc yreve no 02 − Bp fo t�orp a sekam neB taht gnillaceR )b(

.sevotskooc

2/) Hp − Bp( + 02

2/) Bp − Hp( + 02

esab s’neB fI

lles lliw yeuH dna sevotskooc

lles lliw neB neht , Hp si s’yeuH dna Bp si ecirp

.) ∗x − 04( + Hp = ∗x + Bp

.sdnetxe tekram s’neB

)72 .hC(

YL OP OGIL O

433

.o N

?sremraf emos ot segrahc

eh ecirp eht gnignahc yb st�orp sih esaercni ot meht fo rehtie rof yaw yna ereht si ,yaw siht ni gnicirp era yeuH dna neB fI .004$ ?ekam tnahcrem hcae seod st�orp hcum woH .st�orp s’tnahcrem hcae gnitneser -per aera eht ni edahs ,edam uoy hparg eht nO .meht neewteb

y aw di m e v il oh w es oh T

?meht neewte b yawdim evil ohw

esoht ro stnahcrem eht ot tsesolc evil ohw esoht ,ylpaehc tsom dereviled sevots teg sremraf hcihw ,dehparg tsuj uoy seicilo p gnicirp eht htiW ) f(

neB fo tsew seliM 04 03 02

01

0

enil eulB enil deR tifo rp s'neB tifo rp s'yeuH

02

04

enil licneP 06

08 s rallo D .neB morf sevil eh tsew raf woh fo noitcnuf a sa remraf a ot elbaliava ecirp tsewol eht kram ot licne p esU .neB fo tsew selim x sevil ohw remraf a ot evotskooc a gnireviled fo yeuH ot tsoc latot eht hparg ot kni der esU .mih fo tsew selim x sevil ohw remraf a ot gnireviled fo neB ot tsoc eht hparg ot kni eulb esu ,wole b hparg eht nO .evots a fo yreviled rof x − 99.95 yap tsum yeuH morf syub dna yeuH fo tsae selim x sevil ohw remraf A .mih ot dereviled evotskooc a evah ot srallod x − 99.95 yap tsum neB morf syub dna neB fo tsew selim x sevil ohw remraf A .yeuH morf yub lliw yeuH fo selim 02 nihtiw evil ohw sremraf lla dna neB morf yub lliw neB fo selim

02

nihtiw evil ohw sremraf lla ,ycilo p gnicirp siht evah

stnahcrem owt eht nehW .ynne p eno yb re paehc si mih ot ecirp esohw E MA N

533

)72 .hC(

YL OP OGIL O

633

ot rehtehw esoohc ot sah yenneK .spihs poort eht bmo b ot se poh yen -neK larimdA .S.U .raelc e b ot ylekil si rehtaew eht erehw ,niatirB weN fo htuos ro ,yggof e b ot ylekil si ti erehw ,niatirB weN fo htron levart rehtie dluoc tee� esenapaJ ehT .aeniuG weN ot aeS kcramsiB eht ssorca ,niatirB weN ni luabaR fo tro p eht morf spoort esenapaJ tro psnart tsum arumamI larimdA .3491 ni c�icaP htuoS eht ni tes si emag sihT :e lpmaxE ”.naelC“ ygetarts eht esohc hto b yeht fi �o rette b e b dluow snosre p hto b hguoht neve ,eurt si siht taht eciton ot gnitseretni si tI .muirbiliuqe ygetarts tnanimod a si ”naelC t’noD“ esoohc setammoor hto b erehw emoc -tuo eht eroferehT ”.naelC t’noD“ sesoohc ehs fi �o rette b si airotciV ,od ot sesoohc tre blA tahw rettam on taht swohs gninosaer ralimiS .tre blA rof ygetarts tnanimod a si ”naelC t’noD“ eroferehT .gninaelc naht gni -naelc ton �o rette b si tre blA ,naelc ot ton sesoohc airotciV fi esiwekiL .naelc ot esohc eh fi e b dluow eh naht gninaelc ton �o rette b e b lliw tre blA neht ,naelc ot sesoohc airotciV fi taht eciton ,emag siht nI

1 ,1 0 ,8 8 ,0 5 ,5 naelC t’noD naelC airotciV

naelC t’noD tre blA naelC

mo oR ytriD–mo oR naelC

.wole b xo b eht ni nwohs era ”naelC t’noD“ dna ”naelC“ seigetarts eht morf s�oyap ehT .1 fo ytilitu a sah hcae dna ssem a syats mo or eht ,moor eht snaelc rehtien fI .8 fo ytilitu a sah moor eht naelc t’nseod ohw nosre p eht dna ,0 fo ytilitu a sah gninaelc eht seod ohw nosre p eht ,mo or eht naelc t’nseod rehto eht dna snaelc eno fI .5 fo �oyap a teg hcae yeht ,moor eht naelc hto b fI .moor eht naelc ot sekil rehtien tub ,moor ytrid a ot moor naelc a sreferp meht fo hcaE .setammoor era airotciV dna tre blA :e lpmaxE .muirbiliuqe ygetarts dexim a evah seod ti tub ,muirbiliuqe hsaN ygetarts erup on sah driht ehT .muirbiliuqe ygetarts tnanimod a ton si taht seigetarts erup ni muirbiliuqe hsaN a sah dnoces ehT .muirbiliuqe ygetarts tnanimod a sah emag tsr� ehT .semag nosre p-owt fo selpmaxe eerht re�o ew noitcudortni siht nI .noitcudortn I

yroehT emaG 82 retpahC

E MA N

.yroeht emag tuo ba erom gnidaer ni detseretni enoyna ot ko o b siht dnemmocer eW .9891 ,revoD ro 7591 ,yeliW nhoJ ,snoisiceD dna semaG s’a�iaR dna ecuL ni dessucsid si elpmaxe sihT ∗ eht fo edis tfel eht otni llab eht kcik ot yrt nac eh ro laog eht fo edis thgir eht otni llab eht kcik ot yrt nac eH .seigetarts elbisso p owt sah rekcik ehT .eilaog s’maet gniso ppo eht si kcik sih tsniaga dnefed ot dewolla reyalp ylno ehT .kcik eerf a dedrawa nee b sah reyalp reccos A :e lpmaxE .muirbiliuqe na evig ot dedeen si tahw tsuj si siht semitemoS .meht neewte b ylmodnar esoohc ot gnilliw osla si eh neht ,seigetarts owt neewte b tnere�idni si reyalp a fI .seigetarts dexim ni muirbiliuqe hsaN a sah ta ko ol ew dnik eht fo emag reyalp-owt yreve tuB ”.seigetarts erup ni muirbiliuqe hsaN“ a evah ton od semag reyalp-owt emoS .ti no egamad yvaeh detci�ni dna tee� esenapaJ eht ∗ dnuof snaciremA eht hcraes s’yad a tuo ba retfA .htroN eht no hcraes sih detartnecnoc yenneK dna etuor nrehtroN eht esohc arumamI ,tuo dekrow yllautca sgniht sA .egnahc ot tnaw dluow rehto eht ro larimda eno ,seciohc fo noitanibmoc rehto yna rof taht yfirev nac uoY .yltnere�id tca ot evit -necni na sah rehtien neht ”,htroN“ eso ohc hto b fi eroferehT .yaw rehtie syad owt rof de bmo b e b ot detce pxe e b nac eh ecnis ,htuos ro htron gni -og neewte b tnere�idni si arumamI ,htron eht no setartnecnoc yenneK fi ,eromrehtruF .htuoS seso ohc )yenneK( eh fi yad eno ylno dna htroN sesoohc )yenneK( eh fi gnibmo b fo syad owt detce pxe na steg yenneK neht ,htroN seog arumamI fi taht eciton ,siht kcehc oT .etuor nrehtron eht no hcraes sih setartnecnoc yenneK dna etuor nrehtron eht sesoohc arumamI erehw si emag siht rof muirbiliuqe hsaN ylno ehT .se od arum -amI tahw no sdne ped eciohc tse b siH .yenneK rof ygetarts tnanimod on si ereht ecnis ,muirbiliuqe ygetarts tnanimod a evah ton seod emag sihT

3− ,3 1− ,1 2− ,2 2− ,2 htuoS htroN arumamI

htuoS yenneK htroN

aeS kcramsiB eht fo elttaB ehT

.�oyap s’yenneK fo evitagen eht si �oyap s’arumamI ,emoctuo hcae roF ”.emag mus-orez“ a sa deled om si emag ehT .wole b xo b eht ni nwohs era emoctuo hcae morf arumamI dna yenneK ot s�oyap ehT .semoctuo eht fo hcae rof emit gnibmo b fo syad fo re bmun eht detamitse sah �ats s’yenneK .aeniuG weN ni lavirra sti litnu ti bmo b nac eh ,yovnoc eht sdn� eh ecnO .etuor nrehtuoS eht ro nrehtroN eht no tfarcria ecnassiannocer sih etartnecnoc )82 .hC(

YR OE HT E MAG

833

si eilaog eht ot �oyap detce pxe ehT .thgir gnipmuj morf sa tfel gnipmuj morf �oyap detce pxe emas eht steg eilaog eht taht hcus e b tsum tfel gni -kcik fo Kπ ytilibaborp s’rekcik eht ,muirbiliuqe nI .muirbiliuqe ygetarts dexim a ni tfel skcik rekcik eht taht ytilibaborp eht dn� su tel woN .muirbiliuqe ygetarts dexim a ni tfel se og eilaog eht taht ytilibaborp eht e b ot sah sihT .3/1 = Gπ dn� ew ,noitauqe siht evlos ew fI .) Gπ − 1(5. = Gπ nehw dezilauqe era s�oyap detce pxe owt esehT .) Gπ − 1(5. si tfel gnikcik morf rekcik eht ot �oyap detce pxe eht oS .emit eht flah erocs ylno lliw eh neht nevE . Gπ − 1 ytilibaborp htiw sne ppah sihT .thgir spmuj eilaog eht fi si erocs nac eh taht yaw ylno eht neht ,tfel eht ot skcik rekcik eht fI . Gπ tsuj erofereht si thgir eht ot skcik eh fi rekcik eht ot �oyap detce pxe ehT .thgir seog eilaog eht nehw erocs ton lliw eh dna tfel seog eilaog eht nehw erocs lliw eh ,thgir eht ot skcik eh fi taht sezilaer rekcik ehT .thgir pmuj lliw eh taht ytilibaborp eht e b Gπ − 1 dna tfel pmuj lliw eilaog eht taht ytilibaborp eht e b Gπ teL .gniod si eilaog eht tahw no dne ped tfel eht ot dna thgir eht ot gnikcik morf s�oyap ehT .edis rehtie ot gnikcik morf emas eht si �oyap detce pxe eht fi ylno ygetarts modnar a esoohc ot gnilliw e b lliw rekcik ehT .modnar ta nesohc si ygetarts s’reyalp hcae muirbiliuqe ygetarts dexim siht nI .seigetarts dexim muirbiliuqe fo riap a si dn� nac ew tahW .t’nsi eilaog eht erehw kcik ot stnaw syawla rekcik eht dna gnikcik si rekcik eht erehw e b ot stnaw syawla eilaog ehT .noitca s’rehto eht ot esno pser tse b eht gnikam si hcae taht hcus ytniatrec htiw nekat snoitca fo noitanibmoc on si erehT .seigetarts erup ni muirbiliuqe hsaN on sah emag sihT

0 ,1 5. ,5. 1 ,0 0 ,1 thgiR kciK tfeL kciK rekciK

thgiR pmuJ eilaoG tfeL pmuJ

kciK eerF ehT

.0 fo �oyap a rekcik eht dna 1 fo �oyap a steg eilaog eht ,laog eht ekam ton se od rekcik eht fi dna 0 fo �oyap a eilaog eht dna 1 fo �oyap a steg rekcik eht ,laog eht sekam rekcik eht fi erehw ,xirtam �oyap gniwollof eht ot su sdael yrots sihT .emit eht fo flah ylno erocs lliw rekcik eht neht ,thgir eht ot spmuj eilaog eht dna ten eht fo edis tfel eht ot skcik rekcik eht tuB .erocs syawla lliw rekcik eht ,tfel spmuj eilaog eht dna ten eht fo edis thgir eht ot skcik eh fI .tfel gnito ohs ta doog os ton si tub ,ten eht fo edis thgir eht ot tohs etarucca yrev a sah rekcik ehT .llab eht spots syawla eilaog eht neht ,kcik ot gniog si rekcik eht erehw yltcerroc sesseug eilaog eht fi taht eso ppus su teL .ten eht fo edis thgir eht ot ro tfel eht ot rehtie gnipmuj yb flesmih timmoc tsum eh erofe b gniog si llab eht erehw enimreted ot eilaog eht rof emit ton si erehT .laog 933

E MA N

roivaheB laminA ”,gninoitidnoC tnare pO fo snaeM yb deidutS sgiP ni roivaheB laicoS“ ,)9791( eseeM dna niwdlaB ∗

0 ,0 4 ,6 01 ,1− 9 ,1− tiaW ss e r P giP giB

tiaW giP elttiL sserP

giP elttiL–giP giB

).tnemire pxe eseeM-niwdlaB eht ni s�oyap eht htiw tnetsisnoc era sezis evitaler rieht tub ,pu edam tsuj era sre bmun esehT( .swollof sa era s�oyap ehT .yawa mih hsup ot elba si gip gib eht erofe b deef eht fo 3/2 tae ot elba si gip elttil eht neht ,hguort eht ta stiaw gip elttil eht dna revel eht sesserp gip gib eht fI .noitartsurf ni hctaw ot sah gip elttil eht dna deef eht fo lla steg gip gib eht ,hguort eht ta stiaw gip gib eht dna revel eht sesserp gip elttil eht fI .sbir eht ni eko p a steg gip elttil eht dna deef eht fo lla steg gip gib eht ,revel eht sserp sgip hto b fI .deef yna steg rehtien ,hguort eht ta tiaw sgip hto b fI .hguorT eht ta tiaW si ygetarts rehto ehT .reveL eht sserP si ygetarts enO .seigetarts elbisso p owt sah gip hcae hcihw ni ,emag a yb noitautis siht tneserper su teL .yawa mih hsup dna hguort eht ot nur ot elba saw gip gib eht erofe b deefgip eht fo emos teg ot gip elttil eht rof emit e b dluow ereht ,revel eht desserp gip gib eht fI .yna gnitteg morf gip elttil eht peek dna deefgip eht fo lla tae dluow gip gib eht neht ,revel eht sserp dluow gip elttil eht fI .ne p eht fo dne rehto eht ta hguort a ni rae ppa dluow deefgip fo gnivres a ,desserp saw revel eht nehW .dne rehto eht ta hguort a dna dne eno ta revel a dah taht ne p a otni—eno gib a dna eno elttil a—sgip owt tup stsigolohcysp owt ,tnemire pxe suomaf a nI .eurt si ti erehw elpmaxe na si ∗ ereh ,esac eht syawla si siht mialc t’nod ew elihW ”.htrae eht tirehni llahs keem eht“ taht naem dluoc ti tahw derednow evah uoy spahreP )0( 1.82 .3/2 = Kπ ,ygetarts dexim muirbiliuqe eht ni taht dn� ew noitauqe siht gnivloS . Kπ5. − 1 = Kπ seriuqer thgir gnipmuj ro tfel gnipmuj morf eilaog eht ot �oyap eht gnizilauqE . Kπ5. − 1 = Kπ5. + ) Kπ − 1( si thgir gnipmuj morf eilaog eht ot �oyap detce pxe eht eroferehT . Kπ5. ylno si kcik eht sekam dna tfel skcik rekcik eht taht ytilibaborp eht ,thgir spmuj eilaog eht fi os ,emit eht flah ti sekam ylno eh ,ten eht fo edis tfel dednefednu eht ot gnikcik si rekcik eht nehW .llab eht pots lliw eilaog eht dna thgir kcik lliw rekcik eht ,) Kπ − 1( ytilibaborp htiw neht ,thgir spmuj eilaog eht fI . Kπ si tfel gniog morf eilaog eht ot �oyap detce pxe eht os ,thgir skcik eh fi erocs lliw dna tfel skcik eh fi erocs ton lliw rekcik eht neht ,tfel spmuj eilaog eht fI .erocs ton se od rekcik eht taht ytilibaborp eht )82 .hC(

YR OE HT E MAG

043

elam A ”.seigetarts“ evitanretla owt sah eh ,tci�noc fo noitautis a otni snur elam a fI .selamef htiw etam ot ytinutro ppo eht revo selam rehto htiw tci�noc otni emoc yltneuqerf seice ps niatrec a fo selaM .noitulove fo yroeht eht ni yroeht emag fo sesu eht etartsulli ot htimS dranyaM nhoJ tsigoloib eht yb de poleved elpmaxe na no desab si melborp sihT )1( 3.82

. mu ir b il iu qe h sa N a s y aw la s i mu ir b il iu qe yg et ar t s tn an im o d A .s eY

?yhW

?muirbiliuqe

hsaN a e b ti tsum muirbiliuqe ygetarts tnanimod a si )tfel ,pot( fI )c(

.d > b ;e > a

?de�sitas e b tsum

seitilauqeni evo ba eht fo hcihw neht ,muirbiliuqe hsaN a si )tfel ,pot( fI )b( .h >

f

dna ,g >

c

,

d

>b,

e

>a

taht wonk ew neht ,muirbiliuqe ygetarts tnanimod a si )tfel ,pot( fI )a(

mottoB A reyalP poT

h ,g f ,e d ,c b ,a thgiR tfeL B reyalP

xirtaM emaG A

.xirtam emag gniwollof eht redisnoC )0( 2.82

. gi p e lt t iL

?muirbiliuqe hsaN ni deef erom steg gip hcihW )c(

).muirbiliuqe hsaN yb detciderp e b dluow taht tluser eht saw devresbo yeht tluser eht ,emag a sa tnemire pxe siht terpretni ton did eseeM dna niwdlaB elihw ,yllatnedicnI(

.sesserp gip gib dna stiaw gip elttil erehw s i m ui rb i li uq e hs aN y l no e hT

?muirbiliuqe hsaN eno

naht erom evah emag eht se oD .emag siht rof muirbiliuqe hsaN a dniF )b(

.oN sI

. ti aW , se Y

?gip gib eht rof ygetarts tnanimod a ereht

?gip elttil eht rof ygetarts tnanimod a ereht sI )a( E MA N

143

.0

e b dluow �oyap sih tub ,kwaH a retnuocne ot erus e b niaga dluow

eh ,ygetarts evoD eht detpoda elam siht ,daetsni fI

.5−

fo �oyap a

teg dluow dna kwaH rehtona retnuocne ot erus e b dluow ygetarts kwaH eht detpoda ohw elam a neht ,skwaH ekil detca selam rehto eht lla fI )c(

. kw aH a e b o t s ya p ti , ev o D a g ni te em e ra u oy t ah t wo nk u oy fI

.sevoD ekil tca selam lla hcihw

ni muirbiliuqe na e b tonnac ereht yhw nialpxe ,elbat�orp ssel era taht seigetarts revo nesohc e b ot dnet elbat�orp erom era taht seigetarts fI )b(

.4

fo �oyap egareva na eviecer dluow eh ,sevoD

ekil detca selam rehto lla nehw evoD a ekil detca elam a fI .retnuocne yreve no 01 fo �oyap a yojne erofereht dluow dna detaerter syawla lavir sih taht dn� dluow kwaH a ekil detca taht elam ynA .sevoD ekil tca tserof eht ni selam rehto eht fo lla eso ppus ,elpmaxe roF .sevoD si taht noitro porp eht dna skwaH si taht syug rehto eht fo noitro porp eht no sdne ped fleseno ygetarts rehtie gnitpoda ot �oyap ehT .evoD a ekil ro kwaH a ekil evahe b lliw steem eh taht lamina rehtona rehtehw ecnavda ni llet tonnac eh taht eso ppuS .e pyt siht fo snoitautis tci�noc ynam retnuocne lliw elam a ,tserof eht hguorht gnirednaw elihw woN )a(

4 ,4 01 ,0 0 ,01 5− ,5− evoD kwaH B laminA

evoD A laminA kwaH

emaG evoD-kwaH ehT

.wole b xo b eht ni detciped era s�oyap esehT .stpoda hcae ygetarts hcihw no dne ped retnuocne elgnis a ni selam owt fo hcae ot s�oyap detce pxe ehT .�o srednaw dna dero b steg ro meht fo eno sesoohc rehtie elamef eht yllautnevE .elihw a rof dnuora turts hto b yeht ,evoD rehtona steem dna evoD gniyalp si lamina na fI .noitalpmetnoc etabilec ot �o sknils evoD eht dna elamef eht htiw etam ot steg kwaH eht ,evoD gniyalp si ohw lamina na steem dna kwaH gniyalp si eh fI .elttab ni derujni ylsuoires era hto b yeht ,kwaH gniyalp si ohw elam rehtona steem dna kwaH syalp lamina na fI .thg� ot strats tneno ppo sih fi staerter tub yrevarb fo yalpsid a sekam eh esac hcihw ni ”,evoD“ yalp nac eh rO .truh yldab si ro sniw rehtie eh litnu elam rehto eht thg� lliw eh esac hcihw ni ”kwaH“ yalp nac )82 .hC(

YR OE HT E MAG

243

. E yb margaid ruoy ni noitro porp muirbiliuqe eht le baL .p si skwaH era ohw noitalupo p elam eht fo noitro porp eht nehw ,kwaH ,ygetarts eht ot �oyap egareva eht hparg ot kni der esU .p si skwaH era ohw noitalupo p elam eht fo noitro porp eht nehw evoD ygetarts eht ot �oyap egareva eht hparg ot kni eulb esu ,wole b sexa eht nO )h(

.11/6

= p taht seriuqer sihT .sevoD sa llew sa yltcaxe od

skwaH eulav siht ta taht hcus p fo eulav eht rof noitauqe siht evloS )g(

.p51 − 01 = p4 − 4

.sevoD ot s�oyap

eht sa emas eht si skwaH ot �oyap eht ,p si skwaH ekil stca taht noital -upo p eht fo noitro porp eht nehw taht setats taht noitauqe na etirW ) f(

.4 × )p − 1( + 0 × p

e b lliw p si noitalupo p eht ni skwaH

fo noitro porp eht nehw evoD a gnie b ot �oyap egareva eht eroferehT .)p − 1( tuo ba si evoD rehtona gniteem fo ytilibaborp eht dna p tuo ba si kwaH a gniteem fo ytilibaborp eht ,evoD a ekil stca eno fi ,ylralimiS .p51 − 01 = 01 × )p − 1( + )5−( × p e b tsum ,p si noitalupo p eht ni skwaH fo noitcarf eht nehw kwaH a gnie b ot �oyap egareva eht eroferehT .p − 1 tuo ba si evoD a steem eh hcihw ni sretnuocne s’eno fo noitcarf eht dna p tuo ba si kwaH rehtona steem eh hcihw ni sretnuocne s’eno fo noitcarf eht ,kwaH a ekil stca eno fi nehT .p si ygetarts kwaH eht sesoohc taht noitalupo p elam egral a fo noitcarf eht taht eso ppuS .ygetarts evoD eht esohc tser eht dna ygetarts kwaH eht esohc selam eht fo noitcarf emos hcihw ni muirbiliuqe na e b thgim ereht rehtehw ksa thgim ew ,ygetarts emas eht sesoohc ydo byreve hcihw ni muirbiliuqe na ton si ereht ecniS )e(

. ev oD ya lp o t el bat if or p e b d lu ow ti , kw aH sy al p e n oy re ve f I

.skwaH ekil detca slami

-na eht fo lla erehw muirbiliuqe na e b ton dluoc ereht yhw nialpxE )d( E MA N

343

0 ,0 0 ,0 0 ,0 0001 ,0001 emoH yatS ytraP ot oG leirbaG

emoH yatS enilegnavE ytraP ot oG

dniK dnoceS eht fo sretnuocnE esolC

.wole b xirtam eht yb de bircsed era s�oyap ehT .meht fo hto b rof orez si gniteem ton ot �oyap ehT .meht fo hcae rof 000,1 si gniteem ot �oyap ehT .esiwrehto ton ylerus lliw yeht dna ,ytrap eht ot og hto b yeht fi teem ylerus lliw yehT .ydutS dna emoH yatS ro ytraP giB eht ot oG era esehT .meht fo hcae rof elbaliava seigetarts elbisso p owt era erehT .emit tsr� eht tem yeht nehw sre bmun enohp ro seman egnahcxe ot togrof yeht tub ,niaga rehto hcae teem ot yletare psed tnaw yehT .rexim namhserf a ta tem leirbaG dna enilegnavE )1( 4.82

. re so lC ?muirbiliuqe morf yawa rehtruf ro muirbiliuqe drawot kcab snoitro porp eht evom ot dnet segnahc lliw ,muirbiliuqe fo tuo era snoitro porp ygetarts eht fi neht ,syalp erutuf ni yltneuqerf erom detpoda e b ot sdnet ygetarts elbat�orp erom eht fI .kwaH ?rette b seod ygetarts hcihw , E naht ssel ylthgils si skwaH fo noitro porp eht fI

.e vo D

?rette b seod yge

-tarts hcihw , E naht retaerg ylthgils si skwaH fo noitro porp eht fI )i( skwah fo ega tnec reP 001 57 05

eniL eulB

52

0

e

2

4

6

eniL deR

8 ffoyaP

)82 .hC(

YR OE HT E MAG

443

005 ,005 0 ,0 ytraP giB

0 ,0 0001 ,0001 ytraP elttiL leirbaG

ytraP giB enilegnavE ytraP elttiL

sretnuocnE esolC eroM

:si emag siht rof xirtam �oyap ehT .orez si meht fo hto b ot �oyap eht ,seitrap tnere�id ot og yeht fI .005 ylno si meht fo hcae ot �oyap detce pxe eht ,ytrap eguh eht ta rehto hcae dn� dluow yeht taht ecnahc 05-05 a ylno si ereht ecniS .ytrap elttil eht ot og hto b yeht fi 000,1 si meht fo hcae ot �oyap detce pxe ehT .rehto hcae ees reven thgim yeht hcihw ta ytrap eguh a dna ereht tnew hto b yeht fi teem ot erus e b dluow yeht hcihw ta ytrap elttil a si erehT .ot og thgim yeht taht seitrap owt era ereht won tuB .rehto hcae dn� ot etare psed llits era leirbaG dna enilegnavE .tib elttil a emag eht egnahc su teL )d(

. og o s la l liw e hs r o e h , yt ra p eh t ot og l li w re ht o e ht t ah t ec na h c yn a si e re ht t ah t s e ve il eb re yal p re ht ie f I

.e no y ll is

a sm ee s t i , mu irb il i uq e hs aN a si )t hg ir ,m o tt ob ( hg uo ht l A

?ton yhw ro yhW ?srehto naht elbanos

-aer erom mees dnuof uoy taht airbiliuqe hsaN erup eht fo yna oD )c(

. )th gi r , mo tt o b( d na )t fe l , p ot ( :o wt e ra er eh T

.emag siht rof airbiliuqe hsaN ygetarts-erup eht fo lla dniF )b(

.) t fe l , po t( s i en o y ln o e hT

?seigetarts tnanimod ylkaew gnisu era sreyalp

hto b erehw emag siht ni emoctuo yna ereht sI .ygetarts rehto yna gnisu morf �oyap eht sa hgih sa tsael ta si ygetarts siht gnisu morf �oyap eht fi reyalp a rof ygetarts tnanimod ylkaew a e b ot dias si ygetarts A )a( E MA N

543

2 ,1 0 ,0 are pO

0 ,0 1 ,2 gniltserW ellehciM

are pO regoR gniltserW

sexeS eht fo elttaB

.klus dna emoh yats hto b dluow yeht ,dene ppah siht fI .og ot erehw no eerga t’ndid yeht taht e b dluow emoctuo tsrow eht taht kniht hto b yehT .gniltserw dum eht ees ot tnew hto b yeht taht e b dluow eciohc dnoces reH .are po eht ot tnew hto b fi referp dluow ellehciM .are po eht ot og ot meht fo hto b rof e b dluow eciohc dnoces siH .gniltserw dum ees ot tnew meht fo hto b fi tseippah e b dluow regoR .are po eht ot og ro hctam gniltserw eht ot og ,snoitca elbisso p owt era ereht ,meht fo hcae roF .thgin yadrutaS txen rof seitivitca tnemniatretne rieht gninnalp era yehT .are po nailatI sreferp ellehciM elihw ,gniltserw dum ’seidal ot nur setsat s’regoR .tnemniatretne ni setsat tnere�id yrev evah ,ynapmoc s’rehto hcae yojne yltaerg yeht hguohtla ,regoR dna ellehciM meht llac su tel ,elpoe p owT .siht ekil seog yrots ehT ”.sexeS eht fo elttaB ehT“ sa stsiroeht emag ot nwonk ,emag suomaf a si sihT )1( 5.82

. ytr ap el tt il e ht es o oh c ll iw r eh t o eh t t ci d erp ya m hc ae n eh t ,t i s wo n k re ht o eh t ta h t sw on k hc ae dn a xi rt a m e m ag e ht w on k h t ob f I

?xirtam emag

eht sdnatsrednu ehs ro eh taht swonk rehto eht taht swonk hcae dna ,ti sdnatsrednu rehto eht taht wonk hto b fi ,xirtam emag eht dnatsrednu sreyalp hto b fi egreme thgim muirbiliuqe roire pus oteraP eht yhw nos -aer yna fo kniht uoy naC .oN ?ytrap elttil eht dnetta ot hto b meht ecnivnoc ot hguone e b taht dluoW .ytrap elttil eht ot og dluow rehto eht taht ecnahc thgils emos saw ereht taht thguoht nosre p hcae taht eso ppuS .rehto eht ot roire pus oteraP si airbiliuqe hsaN eht fo enO ) f(

.y tr ap g i b eh t o t og h to B )2 ( . yt ra p e l tt il eh t ot og ht o B ) 1 ( tahW

.oN

?seigetarts erup ni airbiliuqe hsaN owt eht era

?muirbiliuqe ygetarts tnanimod a evah emag siht seoD )e( )82 .hC(

YR OE HT E MAG

643

.ton seod eht dnasevrews reganeet eno er e hw s e mo ct uo ow t e h T owt eht era tahW

.oN

0 ,0 2 ,1 evrewS t’noD yoreL

?seigetarts erup ni airbiliuqe hsaN

?ygetarts tnanimod a evah emag siht seoD )a(

1 ,2 1 ,1 evrewS

evrewS t’noD boB eoJ evrewS

nekcihC

.gniwollof eht si emag e pyt-nekcihc a rof xirtam �oyap A .latipsoh eht ni pu dne hto b uoy ,sevrews rehtien fI .snekcihc hto b era uoy ,evrews hto b uoy fI .nekcihc eht si yug rehto eht dna oreh eht era uoy nehT .t’nod uoy dna sevrews yug rehto eht taht si uoy ot ne ppah nac taht gniht tse b ehT ”.nekcihc“ si daor eht fo tuo evrews ot eno tsr� ehT .dee ps taerg ta rehto hcae drawot evird srac pu-de puos ni sreganeet owT ”.nekcihC“ sa stsiro -eht emag ot nwonk ,emag nosre p-owt suomaf rehtona si sihT )1( 6.82

.3/2 ytilibaborp htiw gniltserw dum dna 3/1 ytilibaborp htiw arepo sesoohc regoR .3/1 ytilibaborp htiw gniltserw dna 3/2 ytilibaborp htiw arepo el eh c iM

s es oo hc

.seigetarts dexim ni muirbiliuqe hsaN a dniF )c(

.gniltserw dum ot og htoB h to B

.a re po o t og

.emag siht rof seigetarts erup ni airbiliuqe hsaN owt dniF )b(

.o N

?muirbiliuqe

ygetarts tnanimod a evah emag siht seoD )”.emag mus oreznon“ a dellac si ti esiwrehtO ”.emag mus-orez“ a dellac si siht ,os fI( .oN ?semoctuo lla revo tnatsnoc regoR dna ellehciM ot s�oyap eht fo mus eht sI )a( E MA N

743

.wole b xirtam eht ni s�oyap eht ni lliF .enon steg deN dna maerc eci fo poocs eno steg htuR ,htuR dn� ton seod eh fI .enon steg htuR dna maerc eci fo poocs eno steg deN ,htuR sdn� eh fI .secalp hto b ni ton tub sriatsnwod ro sriatspu kool nac deN .sriatsnwod ro sriatspu sedih htuR .siht ekil se og tI .esuma ot seunitnoc ti tub ,emag elpmis a si tI ”.keeS dna ediH“ yalp ot evol htuR dna deN )0( 8.82

.s li at % 0 5 dn a s da eh % 05 htiw ezimodnar uoy dna ,nioc riaf a esoohc I

).emag eht ni stsixe yrtemmys fo tol a taht ezingocer ot pleh

yam tI( ?emag siht rof muirbiliuqe ygetarts dexim hsaN eht si tahW )d(

. ni oc ri a f A

?sessol ym

eziminim ot eso ohc I dluohs nioc fo e pyt tahW .eciohc ym wonk lliw uoy taht dna ,)sdaeh pu semoc ti taht ytilibaborp eht si e pyt s’nioc a erehw( ssot lliw I taht nioc fo e pyt eht esoohc ot elba ma I taht eso ppus ,woN )c(

. s ll ac r uo y ez i mo dn ar ro ,syawla sliat ,syawla sdaeh llac nac uoY . re tt a m t’ ns eo d tI

?ygetarts tse b ruoy si tahW ?emit

eht fo %05 sliat dna emit eht fo %05 sdaeh pu semoc nioc eht fi tahW )b(

.s da e h l l ac sy aw lA ?ygetarts tse b ruoy si tahw woN .emit eht fo %02 sliat dna emit eht fo %08 sdaeh pu semoc dna decnalabnu si nioc eht taht eso ppuS )a(

.s da eh l la c s ya w lA

?eusrup ot uoy rof ygetarts tse b eht si tahW .sdaeh

pu semoc syawla nioc eht taht wonk uoy taht eso ppuS .nioc eht peek ot teg uoy ,yltcerroc nioc eht llac uoy fI .sliat ro sdaeh rehtie llac uoy ,ria eht ni si ti elihw dna ,nioc a pi� I :emag gniwollof eht eso porp I )0( 7.82

.2/1 ytilibaborp htiw ygetarts hcae y al P

.emag siht rof seigetarts dexim ni muirbiliuqe hsaN a dniF )b( )82 .hC(

YR OE HT E MAG

843

0 ,1 1 ,0 1 ,0 0 ,2 sriatsnwoD sriatspU htuR

sriatsnwoD deN sriatspU

keeS dna ediH decnavdA

.wole b hparg eht ni s�oyap eht ni lliF .poocs eno steg ehs reh dn� t’nseod eh fi tub ,maerc eci on steg ehs ,htuR sdn� deN fI .poocs eno steg eh ,sriatsnwod reh sdn� eh fi tub ,maerc eci fo spoocs owt steg eh ,sriatspu htuR sdn� deN fi woN .elttil a pu ti nevil ot yaw a fo kniht htuR dna deN ,emag siht gniyalp fo sraey retfA )c(

. 2 /1 y ti li ba b or p ht i w s r ia ts nw o d s e hc ra es de N d n a s r ia ts nwo d se di h h tu R ;2 /1

y ti li ba b or p ht iw sr ia tsp u

s eh cr a es d eN dn a s ri at s pu se di h h tu R .emag siht rof seigetarts dexim ni muirbiliuqe hsaN a dniF )b(

. en o n e r a er eh T ni airbiliuqe hsaN eht era tahW

.s eY

0 ,1 1 ,0 1 ,0 0 ,1 sriatsnwoD sriatspU htuR

?seigetarts erup

?emag mus-orez a siht sI )a(

sriatsnwoD deN sriatspU

keeS dna ediH

E MA N

943

. Kπ

si erocs ton lliw rekcik eht taht ytilibaborp eht ,tfel

spmuj eilaog eht fi neht , Kπ ytilibaborp htiw tfel skcik rekcik eht fI )d(

. p+p 1 = Gπ ).p fo noitcnuf a e b lliw rewsna ruoY( .rekcik eht rof gnirocs fo ytilibaborp emas eht ot dael thgir gnikcik dna tfel gnikcik sekam taht Gπ ytilibaborp eht dniF )c( .) Gπ − 1(p

si gnirocs fo ytilibaborp sih ,tfel

skcik rekcik eht fi neht , Gπ ytilibaborp htiw tfel spmuj eilaog eht fI )b(

. Gπ

si gnirocs fo ytilibaborp sih ,thgir

skcik rekcik eht fi neht , Gπ ytilibaborp htiw tfel spmuj eilaog eht fI )a( .segnahc p sa egnahc seitilibaborp muirbiliuqe eht woh ees ot tnaw lliw eW .p si thgir eht ot spmuj eilaog eht dna tfel eht ot skcik eh fi erocs lliw rekcik eht taht ytilibaborp eht woN

0 ,1 p,p-1 1 ,0 0 ,1 thgiR kciK tfeL kciK rekciK

thgiR pmuJ eilaoG tfeL pmuJ

kciK eerF ehT

.swollof sa si xirtam �oyap eht eso ppuS .tib elttil a tsuj xirtam �oyap eht ezilareneg lliw ew ,emit siht tuB .noitces siht ot noitcudortni eht ni dessucsid saw taht elpmaxe reccos eht ta kool rehtona evah s’teL )1( 9.82

.2 /1

?htuR dn� deN lliw emit

eht fo noitcarf tahw ,seigetarts muirbiliuqe esu hto b fI

. em it e ht

2/ 1 sr ia t sn wo d sk oo l de N . em i t e ht fo 3 /2 sr ia t sn wo d s e di h h tu R dexim tahW

.o N

?dn� uoy nac muirbiliuqe ygetarts

?seigetarts erup ni airbiliuqe hsaN yna ereht erA )d( )82 .hC(

YR OE HT E MAG

053

-netta muirbiliuqe eht le baL .)a( traP ni denoitnem uoy snoitauqe owt eht fo hcae tneserper taht senil eht ward ,sexa gniwollof eht nO )c(

.0 5

?ecnadnetta ylthgin muirbiliuqe eht si tahW )b(

. y = x dna x8. + 01 = y

?s’dranyaM ta ecnadnetta muir

-biliuqe eht dn� ot evlos uoy tsum snoitauqe suoenatlumis owt tahW )a( .dnetta ot detce pxe era ohw re bmun eht ot lauqe si tnaruatser eht dnetta yllautca ohw elpoe p fo re bmun eht taht eurt e b tsum ti ,muirbiliuqe nI .X8. + 01 = Y si s’dranyaM ot emoc yllautca ohw elpoe p fo re bmun eht neht , X e b lliw gnineve na ni s’dranyaM ta sremotsuc fo re bmun eht taht tce pxe elpoe p fi ,ralucitrap nI .ees ot tce pxe yeht elpoe p ynam woh no sdne ped s’dranyaM ta rae ppa ohw sremotsuc lanoitidda fo re bmun ehT .emoc elpoe p rehto ynam woh erac t’nod dna oiccaprac eht rof emoc ohw gnineve re p sremotsuc 01 fo eroc drah a ,revewoh ,si erehT .s’dran -yaM ot emoc ohw dnik eht fo elpoe p rehto yb nees e b dna ees ot emoc s’dranyaM ot emoc ohw elpoe p tsoM .secnatsbus dekoocnu rehto dna oic -caprac ni sezilaice ps taht ortsib ydnert a si ssorC s’dranyaM )0( 01.82

.n et f o e ro m e di s d oo g o t k ci k n ac re kc ik oS .edis doog s’rekcik eht sdnefed eilaog eht netfo ssel eht ,steg edis kaew s’rekcik eht re t te b eh T

.dnatsrednu thgim recnuonna stro ps VT a neve

taht yaw a ni sne ppah siht yhw nialpxE

. se s ae rc eD

?esaerced

ro esaercni tfel eht ot skcik rekcik eht taht ytilibaborp muirbiliuqe eht seod ,sesaercni p sA .dednefednu si ti nehw laog eht fo edis tfel eht otni llab eht gnikcik ta si rekcik eht do og woh su sllet p elbairav ehT )g(

. p+1 1

.thgir gnipmuj ro tfel gnipmuj

morf lauqe eilaog eht ot �oyap eht sekam taht

+ Kπ)p − 1(

Kπ

ytilibaborp eht dniF ) f(

.) Kπ − 1(

si erocs ton lliw rekcik eht taht ytilibaborp eht ,thgir

spmuj eilaog eht fi neht , Kπ ytilibaborp htiw tfel skcik rekcik eht fI )e( E MA N

153

.}0 ,X2 − 021{xam = Y suhT .0 dna X2 − 021 ,sre bmun owt eht fo regral eht e b lliw , Y ,s’igoY ta pu wohs ohw elpoe p fo re bmun eht neht , X e b lliw s’igoY ta dworc eht taht tce pxe sremotsuc raluger s’igoY fI .sdworc etah ohw se pyt elbaicosnu yb detneuqerf si llirG dna raB s’igoY )0( 11.82

. 05

?ti si tahW .eulav gnitimil emos drawot dnet lliw ecnadnettA )h(

. 8. 0 3

?thgin driht eht no ecnadnetta eht e b lliw tahW )g(

. 62

?thgin dnoces eht no ecnadnetta e b lliw tahW

.02 si ecnadnetta ,ne po si s’dranyaM taht thgin tsr� eht no taht eso ppuS . tX8. + 01 = tY ,t emit yna tA .1 − t yad no ecnadnetta lautca si 1−tY dna t yad no ecnadnetta detce pxe si tX erehw , 1−tY = tX nehT .egde -lwonk cilbup si ecnadnetta s’thgin tsal taht dna ecnadnetta s’thgin tsal no ecnadnetta s’thginot tuo ba snoitatce pxe sesab enoyreve taht eso ppuS ) f(

.4

?) flesmih sedise b( tcartta remotsuc

ydaets wen eht did sremotsuc lanoitidda ynam woH .degnahc taht noit -auqe eht gnitneserper enil wen a ward ot kni roloc tnere�id a esU )e(

.55 = y = x os ,x = y dna x8. + 11 = y .sremotsuc fo re bmun muirbiliuqe wen eht rof evlos dna s’dranyaM ta ecnadnetta gninimreted snoitauqe wen eht nwod etirW .ereht tae srehto ynam woh rettam on thgin yreve s’dranyaM ta stae eh ,01 rehto eht ekiL .aera eht ot sevom tsaisuhtne oiccaprac lanoitidda eno taht eso ppuS )d( x 08

06

04

02

0

Y= X 02

X8.+01=Y X8.+11=Y

e

04

06

08 y

)82 .hC(

.level ecnad YR OE HT E MAG

253

eht pleh ot sa yaw a hcus ni evahe b ot lamina na secudni taht eneg tnat -um A .noitceles fo tinu eht era )seneg ,gnikae ps yltcirts ro( slaudividni taht sezisahpme ygoloib ni gnikniht nredoM .seice ps eht fo t�ene b eht rof detceles era stiart lamina taht detnarg rof ti ekat netfo ssent� lacigoloib dna noitceles larutan fo snoissucsid ralupoP .ygoloib ni snoitacilppa gni -tanicsaf ynam evah sisylana muirbiliuqe dna saedi cimonocE )2( 21.82

. syad de r eb mu n- d do no gn im oc y b ts u jd a o t t rams eb dl uo w t i , sy a d de re b mu n- ne v e n o hgih dn a s ya d de re bm u n- dd o n o wo l si e cn a dn etta f I . s ’t hg i no t fo ro t ci de rp do o g a to n si e cn ad n et ta s ’t hg i n ts a l ta h t e c it on d’ ye hT ?owt ro yad a naht erom fo snaps yromem evah sremotsuc s’igoY fo emos tsael ta fi ledom siht htiw gnorw si yas uoy dluow tahW )c(

.0 ?yad htnin-ytenin ehT e hT

.0 8

.021

?yad driht ehT

?yad htderdnuh ehT ?yad htf� ehT

. 02

.0

. 02 1

?yad htruof

?yad dnoces eht no pu wohs lliw

ynam woH .ssenisub fo yad tsr� eht no s’igoY ta pu wohs sremotsuc 05 taht eso ppuS .thgin suoiverp eht no re bmun eht sa emas eht e b ot thgin nevig yna no sremotsuc fo re bmun eht tce pxe elpoe p taht eso ppuS )b( x 08

06

04

02

0 Y= X 02

e

04

06 X2-021=Y 08 y

.wole b sexa eht no muirbiliuqe siht gnitcip -ed margaid a warD .s’igoY ta ecnadnetta muirbiliuqe eht rof evloS )a( E MA N

353

. DI 5 − 8 eb dluow sesseccus fo re bmun detce pxe reH .sed osipe gnitsen 8 evah dluow emit yreve wor -rub nwo reh gud ohw psaw a ,syad 04 fo doire p a revo eroferehT tsuj si . DI 58 − 1

sworrub rieht esol ton od ohw spsaw gniggid eht fo noitcarf eht nehT )a( .sgge rieht yal dna sworrub rieht kcots yllufsseccus lliw spsaw rehto yb dedavni ton era ohw spsaw eht lla taht osla emussA . DI 58 = DI 54 12 neht si spsaw rehto ot sworrub rieht esol ohw spsaw gniggid fo noitcarf ehT .sworrub rieht peek ot teg dna thg� rieht niw lliw dedavni era ohw sreggid eht fo flaH ).1 < DI 54 taht gnie b emit eht rof emussA( . DI 54 tuo ba e b lliw dedavni era taht spsaw gniggid eht fo noitcarf ehT .srehto fo sworrub eht edavni taht spsaw fo re bmun eht e b I tel dna sworrub nwo rieht gid taht spsaw fo re bmun eht e b D teL .sniw redavni eht emit eht flah dna thg� eht sniw tsen eht fo rednuof eht emit eht flah ,teem yeht nehw taht eso ppuS .sredavni rof syad 4 ylno sekat edosipe gnitsen egareva eht taht eso ppuS .sdidytak htiw ti kcots ot seirt dna worrub nwo sti sgid taht psaw a rof syad 5 sekat edosipe gnitsen egareva eht eso ppuS .yaw evitce�e ssel a ni evahe b ot meht del taht seneg fo esne pxe eht ta re psorp dluow yaw evitce�e erom eht ni evahe b ot spsaw del taht eneg a taht tce pxe dluow ew neht ,rehto eht naht evitce�e erom erew ygetarts eno fI .rehto eht sa gnirps�o gnicudorp rof emit sti esu ot psaw a rof yaw a evitce�e sa si ygetarts hcae hcihw ni muirbiliuqe lacigoloib a gnivresbo era ew taht ylekil si ti ,srehto yb nuge b sworrub edavni emos dna sworrub nwo rieht gid spsaw emos ecniS .tsen eht ni gge reh yal ot steg renniw ehT .kcab semoc reven dna yawa seog thg� eht fo resol ehT .thg� yeht ,teem yllan� redavni eht dna rednuof eht nehW .kcots eht ot dda ot ,flesreh ,sdidytak gnihctac trats lliw redavni ehT .sdidytak htiw dekcots yllaitrap dna psaw rehtona yb gud nee b sah taht worrub a retne lliw psaw A .seinoloc psaw reggid ni yltneuqerf sne ppah sihT .sdidytak gnitnuh tuo si ehs elihw worrub s’esle ydo bemos otni kaens ot si psaw elamef a rof ygetarts evitanretla nA .gnimusnoc-emit si sdidytak gnihctac dna sworrub gniggid tuB .niaga revo ssec orp eht strats dna ,re bmahc doof eht �o sesolc ,worrub eht ni gge elgnis a syal ehs ,sdidytak lareves detalumucca sah ehs nehW .hctah yeht nehw gnirps�o reh rof doof sa desu e b ot worrub reh ni serots ehs esehT .sdidytak stnuh dna sdle� eht ot tuo seog psaw a ,worrub reh gud sah ehs retfA .sworrub nwo rieht gid spsaw eseht fo emoS .sworrub dnuorgrednu ni tsen suenomuenhci xehpS psaw reggid eht fo selameF ”.sdne ps lamina na hcihw ycnerruc eht si emiT“ ,srohtua eht ot gnidroccA .emitefil sti fo esruoc eht revo noitcud orper fo etar detce pxe s’lamina laudividni na ezimixam taht seigetarts laroivahe b ni stluser noitceles larutan taht niatniam yehT ”.psaW reggiD a ni ygetartS gnitseN elbatS yliranoitul -ovE“ dellac ,snikwaD .R dna ,nefarG .A ,nnamkcorB .J .H yb ,9791 ,ygoloiB laciteroehT fo lanruoJ eht ni re pap a si noitartsulli doog A .seice ps eht ot si roivahe b taht laic�ene b woh rettam on ,detanimile e b noos lliw eneg taht yrrac taht slaudividni eht fo esne pxe eht ta seice ps )82 .hC(

YR OE HT E MAG

453

re ht r uF

D _I

e

5 enil kcalB

) D/I(5-8 enil eulB

sseccuS

. ya wa ?yawa rehtruf evom ro muirbiliuqe drawot nruter sredavni

dna sreggid fo snoitro porp eht dluow ,muirbiliuqe fo thgir eht ot elttil a tsuj delggoj tog noitalupo p eht ,muirbiliuqe ni gnie b retfa ,fI .sesaercni eno evitce�e erom eht gnitpoda spsaw fo noitro porp eht ,rehto eht naht evitce�e erom si ygetarts eno fi taht eso ppuS .edavnI ?psaw lau -dividni yna rof ygetarts evitce�e erom eht si hcihw , DI fo level siht tA ?kcalb eht ro eulb eht ,rehgih si enil hcihw ,eulav muirbiliuqe

.k ca l B

eht naht reggib tib elttil a tsuj si DI erehw ,gnissorc eht fo thgir eht ot tsuJ .muirbiliuqe si siht taht eciton dna ssorc senil owt eseht erehw tnio p eht le baL . DI fo seulav lla rof emas eht si re bmun siht taht ecitoN .sredav -ni rof doire p yad-04 a ni sesseccus fo re bmun detce pxe eht hparg ot kni kcalb esU . DI fo noitcnuf a si sesseccus fo re bmun eht erehw emit yreve sworrub nwo rieht gid taht spsaw rof doire p yad-04 a ni sesseccus fo re b -mun detce pxe eht hparg ot kni eulb esu ,wole b sexa eht nO .elbats e b ot rae ppa t’nseod dnuof ew muirbiliuqe eht :ereh melborp a si ereht tuB )d(

. 53

si rewsna ehT .sredavni dna sreggid rof sesseccus fo

re bmun detce pxe eht setauqe tsuj taht DI fo eulav laciremun eht rof evloS . DI noisserpxe eht niatnoc dluohs nettirw tsuj evah uoy noitauqe ehT )c(

.5 = DI 5 − 8 .srehto yb gud sworrub edavni syawla ohw spsaw sa llew sa yltcaxe od sworrub nwo rieht gid syawla ohw spsaw taht noitidnoc eht sesserpxe taht noitauqe na etirW e b dluow sesseccus fo re bmun detce pxe reh ,egareva no emit .5 eht flah lufsseccus si ehs taht gnimussA .snoisavni 01 rof emit evah dluow ecnahc a dah ehs emit yreve edavni ot esohc ohw psaw a ,syad 04 nI )b( E MA N

553

.s e Y

D _I

e

sseccuS

?elbats muirbiliuqe siht sI . DI fo soitar lla revo tnatsnoc

si gnidavni ot �oyap eht hcihw ni dna sesaercni DI sa ygetarts evitce�e ylgnisaercni na si worrub nwo s’eno gniggid hcihw ni muirbiliuqe na wohs ,wole b sexa eht nO .sredavni fo re bmun eht fo noitcnuf gnisaerced a naht rehtar gnisaercni na si yal ot steg rednuof a taht sgge fo re bmun detce pxe eht taht e b thgim ti ,sredavni morf sdidytak htiw pleh hguone teg dna hguone netfo selttab rieht niw srednuof fI .emit emos rednuof eht evas yam sihT .sdidytak htiw worrub eht kcots ot pleh seod psaw gnidavni na taht devresbo yehT .ytilibats ot dael dluow taht ledom eht ni segnahc elbisso p rof dnuora tsac dna ytilibatsni ylekil siht deciton srohtua ehT )e( )82 .hC(

YR OE HT E MAG

653

latot eht fo noitacolla elbisaef a stneserper xo b eht ni tnio p yna taht erus -ne snoitnevnoc eseht ,sailhad fo ylppus latot eht si xo b eht fo thgieh eht dna sailemac fo ylppus latot eht si xo b eht fo htdiw eht ecniS .noryB yb demusnoc sailhad fo re bmun eht si xo b eht fo pot eht ot A morf ecnatsid eht dna ,noryB yb demusnoc sailemac fo re bmun latot eht si xo b eht fo edis thgir eht ot A morf 9 ecnatsid ehT .sailhad dna sailemac fo noitpmus -noc s’noryB senimreted osla tnio p sihT .ecilA rof sailhad fo re bmun eht si xo b eht fo motto b eht ot A morf 9 ecnatsid eht dna ecilA rof sailemac fo re bmun eht si xo b eht fo edis tfel eht ot A morf 51 ecnatsid ehT .xo b htrowegdE eht ni )9 ,51( = A tnio p eht yb detneserper si noitacolla sihT .)3 ,9( eldnub eht steg noryB dna )9 ,51( eldnub eht steg ecilA erehw noit -acolla eht ,elpmaxe rof ,redisnoC .xo b eht ni tnio p elgnis a yb de bircsed ylluf si noryB dna ecilA neewte b srewo� fo noitacolla elbisaef ynA sailemaC 42 81

21

6

ecilA 0

6 21 noryB

sailhaD

.21 = 8 + 4 si xo b eht fo thgieh eht dna 42 = 8 + 61 erofereht si xo b eht fo htdiw ehT .meht neewte b evah noryB dna ecilA taht sailhad fo re bmun latot eht si thgieh esohw dna sailemac fo re bmun latot eht si htdiw esohw xo b a ward tsr� ew ,srewo� fo snoitac olla elbisso p eht e bircsed oT .rehto hcae htiw ylno edart yeht dna ,sdoog rehto on emusnoc yehT .sailhad 8 dna sailemac 8 sah noryB .sailhad 4 dna sailemac 61 sah ecilA .sailhad dna sailemac ,sdo og owt emusnoc noryB dna ecilA :e lpmaxE .edart ni degagne srenedrag owt fo elpmaxe na htiw tuo uoy trats lliw eW .loot thgir eht yltcaxe si xo b htrowegdE eht ,muirbiliuqe egnahcxe fo tcej bus eht gnicud ortni fo eso prup eht rof oS .seitidommoc ynam dna sredart ynam fo esac eht ot ylecin dnetxe ledom siht morf deniag sthgisni eht taht tuo snrut ti tuB .seitidommoc owt naht erom dna elpoe p owt naht erom sah dlrow laer eht taht wonk stsimonocE .seitidommoc owt ni gnilaed sredart owt fo esac eht tuo ba yas ot si ereht gnihtyreve tuo ba tsuj llet ot xo b htrowegdE na esu nac eno tcaf nI .sevruc dna stnio p ,senil wef a htiw deyalpsid si noitamrofni fo tnuoma gnizama nA .ytuae b fo gniht a si xob htrowegdE ehT .noitcudortn I

egnahcxE 92 retpahC

E MA N

si 2 d oog rof noitcnuf dnamed s’eiggaM taht seilpmi tniartsnoc tegdub reh htiw rehtegot ,tcaf sihT . 2x = 1x erehw emusnoc ot esoohc lliw ehs ,eiggaM rof stnemelpmoc tcefre p era 2 dna 1 sdoog ecniS .5 = 2p2/ 2p01 si 2 doog rof dnamed s’knarF eroferehT . 2p01 si emocni sih ,2 doog fo stinu 01 dna 1 doog fo stinu 0 si tnemwodne laitini s’knarF ecniS .emocni sih si m erehw , 2p2/m si 2 doog rof noitcnuf dnamed s’knarF taht dn� ew ,6 retpahC ni denrael seuqinhcet eht gnisU . 2p fo noitcnuf a sa 2 do og rof snoitcnuf dnamed s’eiggaM dna s’knarF dn� dna 1 = 1p teS .knarF dna eiggaM rof muirbiliuqe evitite pmoc a dn� su teL .2 do og fo stinu 5 dna 1 doog fo stinu 02 si tnemwodne laitini s’eiggaM .2 do og fo stinu 01 dna 1 doog fo stinu 0 si tnemwodne laitini s’knarF .} 2x , 1x{nim = ) 2x , 1x( U si s’eiggaM dna 2x 1x = ) 2x , 1x( U si noitcnuf ytilitu s’knarF :e lpmaxE .seititnauq enimreted ot snoitcnuf dnamed eht otni ecirp siht gulP • ).1 d oog rof dnamed eht slauqe 1 do og fo ylppus eht taht eurt e b osla tsum ti ,2 do og fo dnamed eht slauqe 2 doog fo ylppus eht nehW( .2 doog fo ylppus eht ot lauqe 2 do og rof dnamed eht sekam taht 2p fo eulav eht rof noitauqe siht evloS • .2 doog fo stnemwodne laitini ’stnapicitrap lla fo latot eht ot lauqe sremusnoc lla yb dednamed 2 doog fo tnuoma latot eht stes taht noitauqe na etirW • . 2p fo noitcnuf a sa 2 doog rof dnamed s’remusnoc hcae etaluclac ,1 ta dleh 1 doog fo ecirp eht htiW • .2 doog fo ecirp eht e b 2p tel dna 1 ot lauqe 1 doog fo ecirp eht tes ot tneinevnoc si ti ,2 doog ot 1 do og fo secirp fo oitar eht no ylno sdne ped doog rehtie rof dnamed ecniS • .seititnauq dna secirp muirbiliuqe etaluclac ot yaw doog a netfo si erudecorp gniwollof eht ,sdo og owt htiw ymonoce na roF .muirbiliuqe evitite pmoc a dn� ot uoy ksa smelborp emoS .xo b htrowegdE eht fo lanogaid eht tsuj si elpmaxe siht ni tes oteraP eht oS .2/1− = Bc/ Bd− revenehw ycnegnat ecin a ni pu elzzun lliw sevruc ecnere�idni s’noryB dna s’ecilA eroferehT . Bc/ Bd− si hcihw ,noitutitsbus fo etar lanigram sih ot lauqe si evruc ecnere�idni sih fo e pols eht ,) Bd , Bc( eldnub eht gnimusnoc si noryB nehW .sdoog owt eht fo noitpmusnoc sih no sdne ped evruc ecnere�idni s’noryB fo e pols ehT .2/1− si tnio p yna ta evruc ecnere�idni s’ecilA fo e pols ehT .emas eht era se pols eht fi ycnegnat e b lliw erehT .s’noryB ot tnegnat era sevruc ecnere�idni s’ecilA erehw stnio p fo tes eht si evruc tcartnoc ro tes oteraP ehT .margaid eht ni sa revo de ppi� e b lliw sevruc ecnere�idni eseht ,xo b eht fo renroc thgir re ppu eht morf derusaem era noryB rof seititnauq ecnis tub ,salo bre pyh ralugnatcer e b lliw sevruc ecnere�idni sih ,ytilitu salguoD-bboC sah noryB ecniS .)21 ,0( tnio p eht ot )0 ,42( tnio p eht morf snur taht enil a e b lliw ,elpmaxe rof ,tnemwodne laitini reh hguorht sessap taht evruc ecnere�idni ehT .2/1− e pols htiw senil thgiarts e b lliw sevruc ecnere�idni s’ecilA .dc = )d ,c( U si noitnuf ytilitu s’noryB dna d2 + c = )d ,c( U si noitcnuf ytilitu s’ecilA taht eso ppus woN .)4 ,61( = E tnio p eht yb detneserper si noitacolla laitini eht ,esac siht nI .xo b htrowegdE eht no noitacolla laitini eht kram ot lufesu si tI .sailhad dna sailemac fo ylppus )92 .hC( EG NA HCXE

853

)”.revo de ppilhP“ era sevruc ecnere�idni sih os ,renroc thgir re ppu eht morf derusaem era pilihP rof seititnauq taht re bmemeR( .tnemwodne laitini sih hguorht sessap taht evruc ecnere�idni s’wollawS pilihP ni ward ot kni eulb esU .tnemwodne laitini sih hguorht sessap taht evruc ecnere�idni s’ppaZ sirroM ward ot kni der esU . E ti le bal dna tnemwodne laitini eht kram ,margaid siht nO )a(

skooB 08

06

04

enil e kcalB

02

si r roM 0

ev ruc eulB

ev ruc deR

02

04

pilihP

eni W

.xo b eht fo renroc thgir re ppu eht morf derusaem si s’pilihP dna ,tfel rewol eht morf derusaem si noitpmusnoc s’sirroM ,wole b xo b htrowegdE eht nI .wb = )w ,b( U ,noitcnuf ytilitu salguoD-bboC a sah eH .xevnoc dna eltbus erom era secnereferp s’pilihP .semusnoc eh eniw fo seltto b fo re bmun eht si w dna semusnoc eh skoo b fo re bmun eht si b erehw ,w + b = )w ,b( U si noitcnuf ytilitu siH .setutitsbus tcefre p era eniw fo eltto b a dna koo b a ,sirroM roF .rehto hcae naht rehto enoyna htiw sedart on ekam dna stessa rehto on evah yehT .eniw fo seltto b 03 dna skoo b 02 fo tnemwodne laitini na sah pilihP .eniw fo seltto b 01 dna skoo b 06 fo tnemwodne laitini na sah sirroM .sko o b dna eniw emusnoc wollawS pilihP dna ppaZ sirroM )0( 1.92 .2 do og fo stinu 01 dnamed lliw eiggaM dna 2 doog fo stinu 5 dnamed lliw knarF ,ecirp muirbiliuqe eht tA .2 = 2p si ecirp muirbiliuqe eht taht sdn� eno ,noitauqe siht gnivloS .51 =

) 2p + 1( +5 ) 2p5 + 02(

nehw ylppus slauqe dnamed eroferehT .stinu 51 ot sdda hcihw ,tnemwodne tinu 5 s’eiggaM sulp tnemwodne tinu 01 s’knarF si 2 doog fo ylppus latot ehT .) 2p + 1(/) 2p5 + 02( + 5 ot pu sdda 2 doog rof dnamed s’eiggaM sulp dnamed s’knarF .) 2p + 1(/) 2p5 + 02( si dnamed s’eiggaM , 2p ecirp ta eroferehT . 2p5 + 02 si emocni reh ,2 doog fo stinu 5 dna 1 doog fo stinu 02 si tnemwodne reh ecniS .) 2p + 1(/m E MA N

953

. se Y

?skoo b dna eniw hto b rof dnamed lauqe ylppus dluow

,evo ba did pilihP dna sirroM sa yaw emas eht ni devahe b se pyt pilihP eht fo hcae dna se pyt sirroM eht fo hcae fI .seY ?secirp muirbiliuqe evitite pmoc e b llits pilihP dna sirroM rof secirp muirbiliuqe e b ot dnuof uoy taht secirp eht dluoW .pilihP sa setsat dna tnemwodne emas eht dah se pyt pilihP eht fo hcaE .sirroM sa setsat emas eht dna tnemwodne emas eht dah se pyt sirroM eht fo hcaE .pilihP ekil tsuj elpoe p 000,1 dna sirroM ekil tsuj elpoe p 000,1 fo detsisnoc ymonoce na taht eso ppuS ) f(

. oN

?)51 ,55( eldnub

eht naht rette b sekil eh taht eldnub a dro�a sirroM nac ,secirp eseht tA .emocni sih sa emas eht )naht ssel ,naht erom ,sa emas eht( si emusnoc t’nseod pilihP taht eniw eht fo lla dna skoo b eht fo lla gnimus -noc fo sirroM ot tsoc eht ,secirp eseht ta eroferehT .07 si emocni s’sirroM ,evo ba dnuof uoy taht secirp muirbiliuqe evitite pmoc eht tA )e( .eniw fo seltto b dna skoo b

55

51

emusnoc lliw eh ,emusnoc t’nse od pilihP taht eniw

eht fo lla dna skoo b eht fo lla semusnoc ppaZ sirroM fI .eniw fo seltto b emusnoc ot esoohc lliw pilihP ,secirp dna skoo b 52

52

eseht tA

. 05

?tnemwodne laitini s’wollawS pilihP fo eulav eht si tahw

,noitseuq eht fo trap tsal eht ni dnuof uoy secirp muirbiliuqe eht tA )d(

.1

e b tsum muirbiliuqe evitite pmoc

ni eniw fo ecirp eht neht ,eriaremun eht sko o b ekam ew fi taht wonk ew eroferehT .1 si skoob fo ecirp eht ot eniw fo ecirp eht fo oitar eht taht e b tsum ti ,os od ot mih rof redro ni tuB .eniw emos dna skoo b emos semusnoc sirroM taht e b ot evah lliw ti ,muirbiliuqe evitite pmoc a tA )c( .snoitacolla lamitpo oteraP fo sucol eht ward ot evo ba margaid eht no kni kcalb esU . Pb

= Pw

noitauqe eht se�sitas sd oog hto b fo stnuoma evitiso p emusnoc

hto b erehw noitacolla lamitpo oteraP yreve eroferehT

. Pb/ Pw−

si SRM sih ,) Pw , Pb( ,eldnub eht semusnoc pilihP nehW

.1 -

ot

lauqe si noitutitsbus fo etar lanigram s’sirroM ,semusnoc eh tahw rettam oN .lauqe era noitutitsbus fo setar lanigram rieht taht e b tsum ti ,doog hcae fo emos emusnoc elpoe p hto b erehw ,mumitpo oteraP yna tA )b( )92 .hC( EG NA HCXE

063

. NP

4 + NB = ) NP , NB( NU �

si noitcnuf ytilitu s’liosthgiN rosseforP

. IP 2 + IB = ) IP , IB( IU � si noitcnuf ytilitu s’ecafretnI naeD .sedutitalp dna sedimorb egnahc -xe liosthgiN diteF .J rosseforP dna ecafretnI .Z retsoF naeD )0( 3.92

.x ob e ht fo renroc s’regriB morf gnidnetxe 1 epols ht iw eni l eh t n o ei l sn oi t ac ol la tn e ic if fe ot er a P

)?e b ot sah sucol tneic�e oteraP eht erehw tuo ba uoy llet

taht se od tahW .d oog rehto eht fo tnuoma taht naht ssel dah eh fi do og rehtie fo tnuoma evitiso p a regriB evig ot tneic�eni e b dluow ti ,sdoog owt eht sdnamed eh hcihw ni snoitro porp eht fo ytidigir eht fo esuace b taht eciton tuB .ereh hcum pleh t’now suluclac ,yknik si regriB ecniS :tniH( .snoitacolla lamitpo oteraP fo sucol eht wohs ot kni kcalb esU )b(

eseehC 8 6

4

2

di r tsA 0

sev ruc deR

enil kcalB

2 sev ruc eulB

reg riB

e

4

gni r reH

.s’regriB rof kni der dna s’dirtsA rof kni eulb gnisu ,nosre p hcae rof sevruc ecnere�idni tnere�id owt ward ,xo b htrowegdE ruoy nI .thgir re ppu eht morf s’regriB dna tfel rewol eht morf noitpmusnoc s’dirtsA erusaeM .sevruc ecnere�idni wef a ni gnihcteks dna noitacolla laitini eht gniwohs ,xo b htrowegdE na warD )a( ).regriB rof eseehc dna gnirreh fo stnuoma era BC dna BH dna ,dirtsA rof eseehc dna gnirreh fo stnuoma eht era AC dna AH ereH( .} BC , BH{nim = ) BC , BH( U si noit -cnuf ytilitu siH .nosre p elbixe�ni erom a si regriB . AC AH = ) AC , AH( U si noitcnuf ytilitu s’dirtsA .eseehc fo stinu 7 dna gnirreh on sah tnemwod -ne laitini s’regriB .eseehc fo tinu 1 dna gnirreh fo stinu 4 si tnemwodne laitini s’dirtsA .eseehc dna gnirreh ,seitid ommoc owt dna ,regriB dna dirtsA ,sremusnoc owt htiw ymonoce egnahcxe llams a redisnoC )0( 2.92 E MA N

163

2.3 = IP

ot lauqe dna tnatsnoc era

NP

.8.21 = NP

dna

dna IP ,evruc tcartnoc eht no

erehwyreve taht dn� ew ,snwonknu owt ni snoitauqe owt eseht gnivloS )e( .sedutitalp fo tnemwodne latot eht lauqe tsum sedutitalp fo noitpmusnoc latot eht ecnis , 61 = NP + IP taht e b tsum ti evruc tcartnoc eht gnola taht wonk osla ew tuB )d( . NP dna IP snwonknu owt eht ni noitauqe eno su sevig sihT .evruc tcartnoc eht no stnio p lla ta 4/1 = NP/ IP taht ees ew noitauqe siht morF )c( .sedimorb fo noitpmusnoc sih no ton dna sedutitalp fo noitpmusnoc sih no ylno sdne ped noitutitsbus fo etar lanigram s’nosre p hcae esuace b elpmis yllaice pse si noitauqe sihT .2/ NP = IP

√

√

.noitidnoc siht setats taht noitauqe na etirW .s’liosthgiN rosseforP slauqe noitutitsbus fo etar lanigram s’ecafretnI naeD ,evruc tcartnoc eht nO )b(

. NP2− eb lliw noit 2/1− -utitsbus fo etar lanigram sih ,sedimorb NB dna sedutitalp NP semusnoc IP− e b lliw noitutitsbus fo etar lanig liosthgiN rosseforP fI . 2/1− -ram sih ,sedimorb IB dna sedutitalp IP semusnoc ecafretnI naeD fI )a( sedimo rB 61 21

8

4

ecaf re tnI 0

enil eulB 2.3

4

ev ruc licneP 8 ev ruc deR

21

e

61 lios thgi N

sedu ti talP

.sedutitalp 4 dna sedimorb 8 si tnemwodne laitini s’liosthgiN rossef -orP .sedutitalp 21 dna sedimorb 8 si tnemwodne laitini s’ecafretnI naeD )92 .hC( EG NA HCXE

263

.tnemwodne laitini eht ni sremusnoc owt eht fo hcae rof eniw dna ehciuq fo seititnauq eht le bal ,xo b eht fo sedis eht nO . W ti le bal dna ,xo b ruoy ni noitacolla laitini eht etacoL ).eniw fo ylppus latot eht ot lauqe thgieh eht dna ehciuq fo ylppus latot eht ot lauqe xo b eht fo htgnel eht ekam uoy taht erus eB( .xo b eht fo renroc thgir re ppu eht morf eibraB rof sd oog dna xo b eht fo renroc tfel rewol eht morf neK rof sd oog erusaeM .sixa lacitrev eht no eniw dna sixa latnoziroh eht no ehciuq tuP .noitautis siht etartsulli ot ,wole b xo b htrowegdE na warD )a(

.eibraB rof eniw dna ehciuq fo stnuoma era BW dna BQ dna neK rof eniw dna ehciuq fo stnuoma eht era KW dna KQ erehw , BW BQ = ) BW , BQ( U sa noitcnuf ytilitu s’eibraB dna KW KQ = ) KW , KQ( U ,sa noitcnuf ytilitu s’neK etirw eW .snoitcnuf ytilitu lacit -nedi evah eibraB dna neK .eniw fo stinu 6 dna ehciuq fo tinu 1 si tnemwod -ne laitini s’eibraB .eniw fo stinu 2 dna ehciuq fo stinu 3 si tnemwodne laitini s’neK .eniw dna ehciuq ,seitidommoc owt dna ,eibraB dna neK deman ,sremusnoc owt tsuj sniatnoc ymonoce egnahcxe elttil A )0( 4.92

. 2.31√ = ecirp edimorb/ecirp

edutitalp ,8.21 =

NP

,2.3 =

IP

.mumitpo

oteraP yreve ta e b ot evah noitutitsbus fo setar lanigram eht tahw wonk uoy esuace b muirbiliuqe evitite pmoc ta e b ot evah secirp eht tahw wonk uoY .seititnauq dna secirp muirbiliuqe evitite pmoc eht dniF )g(

.xo b htrowegdE eht ni enil

l at n oz ir oh

)lanogaid ,latnoziroh ,lacitrev( a si evruc tcartnoc ehT .stnio p lamit -po oteraP fo sucol eht wohs ot kni eulb esU .edam uoy xo b htrowegdE eht ni eseht fo wef a warD .sevruc ecnere�idni der sah liosthgiN ros -seforP .sevruc ecnere�idni delicne p yarg kciht sah ecafretnI naeD . E rettel eht htiw tnemwodne laitini eht le bal ,xo b htrowegdE eht nI ) f( 363

E MA N

eht wonk uoy dna tnemwodne laitini s’neK wonk uoY .evo ba secirp muir -biliuqe evitite pmoc dnuof uoY :tniH( .eniw 4 ,ehciuq 2 ?eldnub noitpmusnoc s’eibraB tuo ba woH

. e ni w 4 , eh ci u q 2

?muirbiliuqe evitite pmoc ni eldnub noitpmusnoc s’neK e b tsum tahW ) f(

.2

=

Wp/ Qp

,muirbiliuqe evitite pmoc a ta taht wonk ew ,tneic�e

oteraP e b tsum muirbiliuqe evitite pmoc taht wonk ew ecnis ,eroferehT e b lliw evruc ecnere�idni s’neK fo e pols eht ,sd oog hto b emusnoc

.2−

snosre p hto b erehw ,noitacolla tneic�e oteraP yna ta ,elpmaxe siht nI )e( )?e b snoitro porp esoht tsum tahw ,ehciuq sa eniw hcum sa eciwt emusnoc tsum yeht rehtegot fi dna ,rehto hcae sa snoitro porp emas eht ni sd oog owt emusnoc hcae tsum elpoe p owt fI :tniH( .tneic�e oteraP era taht stnio p fo sucol eht wohs ,hparg ruoy nO )d(

. KQ/ KW =

BQ/ BW

.nosre p hcae yb doog hcae fo snoitpmusnoc eht fo

smret ni noitidnoc siht setats taht noitauqe na etirW .s’eibraB lauqe tsum eniw dna ehciuq neewte b noitutitsbus fo etar lanigram s’neK ,doog hcae fo emos emusnoc hto b erehw noitacolla lamitpo oteraP yna tA )c( .6 si ytilitu reh hcihw ni snoitacolla swohs taht eibraB rof evruc ecnere�idni na ward ot kni der esU .6 si ytilitu sih hcihw ni snoit -acolla swohs taht neK rof evruc ecnere�idni na ward ot kni eulb esU )b( ehciu Q 4

2 s tniop tneiciffe w o te raP ev ruc eulB

neK 0

2

4 ec ev ruc deR enil kcalB eib raB

6

8 eni W )92 .hC( EG NA HCXE

463

s’ycuL redisnoc ,noitauqe dnoces a dn� oT .snwonknu owt ni noitauqe eno su sevig sihT .42 = Sb 2 + sa ,tniartsnoc tegdub eht yfsitas ot evah lliw noitpmusnoc s’suniL ,muirbiliuqe evititite pmoc tA .sananab fo noitpmusnoc sih e b Sb tel dna selppa fo noitpmusnoc s’suniL e b Sa teL )b(

. 2/ 1

e b tsum sananab fo ecirp eht ot selppa

fo ecirp eht fo oitar eht ,muirbiliuqe evitite pmoc ni ,ymonoce siht nI )a(

selppA 21

6

suniL 0

sev ruc eulB enil kcalB

ycuL

6

sev ruc deR e 21 sananaB

.snoitac olla lamitpo oteraP eht fo lla hguorht enil a ward ot kni kcalb esU .kni eulb ni sevruc ecnere�idni s’suniL fo owt dna kni der ni sevruc ecnere�idni s’ycuL fo owt warD . E rettel eht htiw hparg eht no tnio p tnemwodne laitini eht le baL .renroc tfel rewol eht morf derusaem era suniL rof sd oog dna xo b eht fo renroc thgir re ppu eht morf derusaem era ycuL rof sdoog ,wole b xo b htrowegdE eht nI .selppa on dna sananab 21 sah yllaitini suniL .sananab on dna selppa 21 sah yllaitini ycuL .}b2 ,a{nim = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu s’kniK ycuL .sananab fo noitpmusnoc sih si b dna selppa fo noitpmusnoc sih si a erehw ,b2 + a = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu s’thgiartS suniL )0( 5.92 .)kni kcalb htiw( enil tegdub evitite pmoc s’neK ward dna noitacolla muirbiliuqe evitite pmoc eht ni ward ,eibraB dna neK rof xo b htrowegdE eht nO )g( ).noitpmusnoc s’eibraB dn� ot ysae e b dluohs ti ,stnemwodne rieht fo mus eht slauqe eibraB dna neK yb noitpmusnoc latot taht gniwonk dna noitpmusnoc s’neK rof devlos gnivaH .muirbiliuqe evitite pmoc ni dnamed sih etupmoc nac uoy ,secirp eht dna emocni sih gniwonK .secirp evitite pmoc ta tnemwodne sih fo eulav eht e b lliw emocni s’neK muirbiliuqe nI .secirp muirbiliuqe E MA N

563

.tnio p siht hguorht sessap taht rubliW rof evruc ecnere�idni eht ward ot kni eulb esU .tnio p siht hguorht sessap taht ettolrahC rof evruc ecnere�idni eht ward ot kni der esU . E ti le bal dna tnemwodne laitini eht kram ,wole b hparg eht nO )a(

.sananab 8 dna selppa 61 fo tnemwodne laitini na sah rubliW .sananab 8 dna selppa on fo tnemwodne laitini na sah ettolrahC .b 2 + a = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu siH .sananab dna selppa hto b sekil rub√ liW .semusnoc ehs sananab fo re bmun eht si b dna semusnoc ehs selppa fo re bmun eht si a erehw , 2b 14 − a = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu reH .sananab setah dna selppa sevol ettolrahC )0( 7.92

.2

?sd oog owt eseht neewte b noitutitsbus fo etar lanigram

s’ B remusnoc si tahW .2 fo sdo og owt eht neewte b noitutitsbus fo etar lanigram a sah A remusnoc taht dna sdoog hto b gnimusnoc era sremusnoc hto b taht nwonk si ti noitac olla tneic�e oteraP nevig emos tA .sdoog owt dna sremusnoc owt htiw ymonoce egnahcxe erup a redisnoC )0( 6.92

selppa fo stinu

6

dna selppa fo stinu

.sananab fo stinu 3 dna emusnoc lliw ycuL .sananab fo stinu 9

6

emusnoc lliw suniL .ycuL dna suniL yb

muirbiliuqe evitite pmoc ni demusnoc sananab dna selppa fo seititnauq eht dn� ot evo ba dnuof uoy taht snoitauqe owt eht evlos nac uoY )c(

.2

=

sb−21

sa−21

.semusnoc ehs taht ananab yreve rof selppa

taht wonk ew eroferehT

2

semusnoc ycuL

erehw seldnub ta rucco sknik ehT .stnio p knik reh fo eno ta gnimusnoc e b lliw ycuL ,muirbiliuqe evitite pmoc a tA .sananab sb− 21 dna selppa sa − 21 emusnoc lliw ycuL eroferehT .sananab fo ylppus latot eht slauqe sananab fo noitpmusnoc latot dna selppa fo ylppus latot eht slauqe selppa fo noitpmusnoc latot ,muirbiliuqe evitite pmoc nI .noitpmusnoc )92 .hC( EG NA HCXE

663

.tnuoma rellams eht sah eh hcihw fo diuqil eht ot tnere�idni si dna sah eh taht diuqil fo stnuoma owt eht fo regral eht tuo ba ylno serac meht fo hcae ,si tahT .sah hcae taht eciuj fo tnuoma eht si j dna klim fo tnuoma eht si m erehw ,} j ,m{xam = ) j ,m(u yb nevig noitcnuf ytilitu emas eht sah hcaE .sevlesmeht neewte b edivid ot eciuj fo spuc 8 dna klim fo spuc 8 evah �eJ dna ttuM )0( 8.92 .selppa selppa

2 41

dna sananab dna sananab

0 61

emusnoc lliw ettolrahC dna emusnoc lliw rubliW ,ymonoce

rubliW-ettolrahC eht rof ,muirbiliuqe evitite pmoc nI

. 4/ 1

si sananab

61 yltcaxe emusnoc ot tnaw lliw eh hcihw ta sananab fo ecirp ylno eht e b lliw selppa fo ytilitu neht ,eriaremun eht era selppa fI .1 lanigram sih dna

4 /1

e b lliw sananab rof ytilitu lanigram sih ,sananab

fo re bmun siht gnimusnoc si rubliW fI .sananab

61

gnimusnoc

e b tsum rubliW ,muirbiliuqe evitite pmoc a ta taht wonk ew os ,ylppus latot eht lauqe tsum doog hcae fo noitpmusnoc latot eht dna lamitpo oteraP e b tsum noitacolla muirbiliuqe evitite pmoc a taht wonk eW )c( .rubliW dna ettolrahC neewte b sananab dna selppa fo snoitacolla lamitpo oteraP fo sucol eht kram ot kni kcalb esu ,evo ba hparg eht nO ?noitac olla lamitpo oteraP a ta gnimusnoc e b ettolrahC nac .0 sananab ynam woh ,meht sekil rubliW dna sananab setah ettolrahC fI )b( sananaB 61

21

8

e t tol rahC 0

4

e 4

enil eulB

8

enil deR

21

enil kcalB

61 selppA

rubli W

E MA N

763

.klim fo sessalg 8 dna seikooc 7 sa llew sa tsuj sekil ymmoT taht snoitanibmoc fo sucol eht gnitneserper ”evruc“ ecnere�idni na ward ot kni der esu ,hparg emas eht nO .)4 ,8( sa doog sa tsuj si skniht ehs taht snoitanibmoc fo suc ol eht ward ot kni der esu ,oslA .)6 ,6( sa ymmoT rof d oog sa yltcaxe era skniht tiwT .srM taht snoitanibmoc fo sucol eht ward ot kni eulb esu ,wole b sexa eht nO .5 si stnuoma laedi reh morf secnere�id eht fo seulav etulosba eht fo mus eht os ,klim fo sessalg wef oot 1 dna seikooc ynam o ot 4 sah eh taht seveile b tiwT .srM ,klim fo sessalg 6 sknird dna seiko oc 6 stae ymmoT fi ,elpmaxe roF .stnuoma laedi eht dna demusnoc doof hcae fo stnuoma eht neewte b secnere�id eht fo seulav etulosba eht fo mus eht si rellams eht reihtlaeh si teid a ,weiv reh nI .yad re p seikooc 2 dna klim fo sessalg 7 e b dluow ymmoT rof teid tcefre p eht taht seveile b ehS .elttil o ot sa dab sa si gnihtyna fo hcum oot taht seveile b ehS .noitirtun no sweiv gnorts sah ,tiwT .srM ,rehtom s’ymmoT .)4,8( dnuora deretnec selcric cirtnecnoc era sevruc ecnere�idni sih dna yad re p klim fo sessalg 4 dna seikooc 8 sah eh nehw tseippah si ymmoT .3 retpahC morf tiwT ymmoT re bmemeR )1( 9.92

kliM 8

6

4

2 ) t tuM( sev ruc eulB

tniop deR

t tuM 0

2

)ffeJ( sev ruc eulB

4

tniop deR

6

8 eciuJ

ffeJ

).snoitulos yradnuo b rof kooL :tniH( .snoitacolla lamitpo oteraP fo suc ol eht wohs ot kni der esU .hcae rof sevruc ecnere�idni fo elpuoc a wohs ot kni eulb esU .�eJ dna ttuM rof xo b htrowegdE na hctekS )a( )92 .hC( EG NA HCXE

863

.og tsum sisylana eht woh fo aedi doog a uoy sevig ledom elpmis siht ,tneserp eht roF .msilaer ylhtrae erom ni dliub taht ledom siht fo snoisrev detacilpmoc-erom yduts dluow uoy ,scimonoceorcam ni sesruoc decnavda nI .elpmis dna trohs si efil erehw tenalp yranigami na no elcyc efil eht dna gnivas fo scimonoce eht snrecnoc tI .eciohc laro pmetretni no retpahc eht ni denrael uoy sgniht eht fo emos htiw sisylana muirbiliuqe senibmoc melborp sihT )2( 01.92

. 7 ,2

tnio p eht ot tnio p taht morf dna

7, 5

tnio p eht ot )4,8(

tnio p eht morf nur esehT .stnemges enil owt fo tsisnoc dluohs werd tsuj uoy taht stnio p lamitpo oteraP fo sucol ehT .mih rof esrow si skniht tiwT .srM taht eldnub a si eldnub siht ot sreferp ymmoT taht eldnub yna fi lamitpo oteraP si eldnub a ,noitautis siht nI .ymmoT rof klim dna seiko oc fo seldnub ”lamitpo oteraP“ fo sucol eht hcteks ot kni kcalb esU )b( .rette b ti sekil eh snaem ymmoT rof ”rette b“ erehw dna ,reihtlaeh si ti skniht ehs snaem tiwT .srM rof ”rette b“ erehw ,klim fo sessalg 8 dna seikooc 7 naht rette b era eerga rehtom sih dna ymmoT hto b taht klim dna seikooc fo snoitanibmoc fo gnitsisnoc aera eht ni edahs ,hparg eht nO )a( seikooC 61

41

21

01

8

6

4

2

0

2

4

enil kcalB

6 ev ruc de r s'ymmoT

8

01

ev ruc eulB

ev ruc deR

21

41

61 kliM

E MA N

963

. ∗ I 2N

si tnuoma sihT .serutaerc gnuoy yb denrae

tnuoma latot eht slauqe 2 d oire p ni ekac fo ylppus latot eht ,ylralimiS . I 1N si latot siht os ,ekac fo stinu I snrae hcae dna serutaerc dlo 1N era erehT .doire p siht ni ekac on nrae serutaerc gnuoy ecnis ,serutaerc dlo lla fo sgninrae ekac latot eht slauqe 1 doire p ni ekac fo ylppus latot ehT )c(

.2 2.

?doire p hcae ni tnuoma emas eht emusnoc

ot tnaw dluow serutaerc gnuoy taht redro ni e b ot evah r dluow tahw ,55. = a fI .2/1 = a ?orez si etar tseretni eht fi doire p hcae ni tnuoma emas eht esoohc ti dluow a fo eulav tahw roF

. ∗ Ia

?1 doire p

ni eso ohc erutaerc gnuoy a dluow ekac hcum woh ,orez si etar tseretni eht fI ).p/ W)a − 1( = 2c si 2 d oog rof dnamed dna p/ Wa = 1c si 1 doog rof noitcnuf dnamed s’erutaerc a neht ,evo ba deso porp mrof eht fo si noitcnuf ytilitu sti dna W = 2c 2p + 1c 1p si enil tegdub sti fI :tniH( . I)a − 1( ∗

= 2c

2 d oire p ni dna

) r + 1(/ ∗ Ia = 1c

dnamed s’erutaerc gnuoy a rof noisserpxe na etirW

= 2c

2 doire p ni dna

Ia = 1c

1 doire p ni ekac rof

.) r + 1( I)a − 1(

1 doire p ni ekac rof dnamed

s’erutaerc dlo na rof noisserpxe na nwod etirw , r si etar tseretni eht fI )b(

:serutaerc gnuoy rof dna

.) r + 1(/ ∗ I = ) r + 1(/2c + 1c

I = ) r + 1(/2c + 1c

:serutaerc

dlo rof noitauqe tegdub siht nwod etirW .emocni sti fo eulav tneserp eht slauqe eldnub noitpmusnoc sti fo eulav tneserp eht taht noitidnoc eht yb denimreted si erutaerc yna rof enil tegdub ehT .) r + 1(/ I ∗ serutaerc gnuoy rof dna

I

serutaerc dlo rof emocni fo

.) r + 1(/2c + 1c

eulav tneserp eht nwod etirW

.) 2c , 1c( eldnub

noitpmusnoc a fo eulav tneserp eht rof noisserpxe na etirw ,)1 ta tes si ecirp sti ,si taht( ,eriaremun eht e b ot nekat si ekac tnerruc fI )a( .1 ≤ a ≤ 0 taht hcus re bmun a si a erehw , a−12c a1c = ) 2c , 1c( U si noitcnuf ytilitu sihT .sdoire p owt eht ni ekac revo secnereferp gnitneserper ,snoitcnuf ytilitu lacitnedi evah ,gnuoy dna dlo ,serutaerc llA .2 doire p ni ekac si 2c dna 1 doire p ni ekac si 1c erehw ,) 2c , 1c( sriap era serutaerc ot tseretni fo seldnub noitpmusnoc ehT .serut -aerc gnuoy 2N dna serutaerc dlo 1N era erehT .2 doire p ni ekac fo stinu I fo emocni na dna 1 doire p ni emocni on evah serutaerc gnuoY .2 doire p ∗ ni emocni on dna 1 doire p ni ekac fo stinu I fo emocni na evah serutaerc dlO ”.gnuoy“ dna ”dlo“ ,serutaerc fo sdnik owt era erehT .sdoire p emit owt dna ,ekac ,ytidommoc eno tsuj si ereht ognorD tenalp eht nO )92 .hC( EG NA HCXE

073

.%01 = r

neht ,12/11 = a fI

.1 = )a − 1( + ) r + 1()a − 1( neht ,∗ I = I 2N

= 1N f I

− 1 ( 1N

d na

. ∗ I 2N = ∗ I)a − 1( 2N + ) r + 1( I)a

f i 2 d oi re p r o f d na me d = y lp p uS

).wal s’sarlaW setartsulli sihT( .ekac 2-doire p rof dnamed dna ylppus ezilauqe osla lliw ekac 1-doire p rof dnamed dna ylppus sezilauqe taht etar tseretni eht taht wohs ,noitces tsal eht fo dne eht ta esac laice ps eht nI ) f(

.%01 = r .12/11 = a dna ∗ I = I dna 2N = 1N nehw esac laice ps eht rof noitauqe siht evloS

.1 −

)a−1( I 1N a ∗ I 2N

=r

. ∗ I dna , I , 2N , 1N nevig

, r fo eulav muirbiliuqe eht rof noisserpxe lareneg a etirW

+1(/ ∗ Ia 2N+ Ia 1N

. I 1N = ) r

.ylppus eht ot lauqe ekac 1-doire p rof dnamed

eht stes taht noitauqe na etirw ,noitces tsal eht fo stluser eht gnisU )e(

.) r + 1(/ ∗ Ia 2N + Ia 1N

si r etar tseretni ta ekac 1-doire p rof

dnamed latot eht ,serutaerc gnuoy 2N dna serutaerc dlo 1N era ereht ecniS si erutaerc gnuoy hcae yb ekac 1-doire p rof dnamed

.) r + 1(/ ∗ Ia eht dna

Ia

si erutaerc dlo hcae yb ekac 1-doire p rof dnamed eht

neht , r si etar tseretni eht fI .ylppus lauqe tsum ekac 2-doire p rof dnamed eht ylralimis dna ,ekac 1-doire p fo ylppus latot lauqe tsum ekac 1-d oire p rof serutaerc fo dnamed latot eht ,etar tseretni muirbiliuqe eht tA )d( E MA N

173

)92 .hC( EG NA HCXE

273

. to pS ?smelborp koo bkrow gnivlos ni egatnavda evitarapmoc sah owt eseht fo hcihW .ruoh re p 2 fo etar eht ta smelborp koo bkrow evlos dna ruoh re p segap 6 fo etar eht ta sre pap mret etirw nac to pS .ruoh re p 3 fo etar eht ta smelborp koo bkrow evlos dna ruoh re p segap 01 fo etar eht ta sre pap mret etirw nac piT .egelloc otni tog yllan� to pS dna piT )0( 1.03

.yah otni serca 05 gniniamer eht dna taehw otni serca 05 stup B remraF dna taehw otni dnal sih fo lla stup A remraF fi taehw fo slehsub 000,6 gnicudorp era yeht taht nevig elbisso p yah tsom eht teg lliw yeht nehT .taehw fo slehsub 000,6 ecudorp ot ediced yeht taht eso ppuS .yah ot dnal sih fo lla setoved B remraF elihw yah ot serca 02 dna taehw ot serca 08 setoved A remraF fi deniatbo e b lliw rehtegot ecud orp ylbisso p nac yeht yah tsom eht ,taehw fo slehsub 000,4 ecudorp ot gniog era yeht taht neviG .taehw fo slehsub 000,4 ylno ecudorp ot ediced yeht taht eso ppuS .snot 001 e b lliw noitcudorp yah latot dna slehsub 000,5 e b lliw noitcudorp taehw latot neht ,yah ot dnal sih fo lla setoved B remraF dna taehw ot dnal sih fo lla setoved A remraF fI .yah ni ”ezilaice ps“ B remraf dna taehw ni ”ezilaice ps“ A remraF evah ot si noitcudorp egnarra ot yaw tneic�e ehT .B remraF rof 02 = 1/02 dna A remraF rof 52 = 2/05 si yah fo snot ot taehw fo slehsub fo oitar eht ecnis ,taehw fo noitcudorp eht ni egatnavda evitarapmoc sah ,dnah rehto eht no ,A remraF .B remraF rof 50. = 02/1 dna A remraF rof 40. = 05/2 erca re p taehw fo slehsub ot yah fo snot fo oitar eht esuace b eurt si sihT .yah fo noitcudorp eht ni egatnavda evitarapmoc sah dnal s’B remraF ,yah dna taehw htob rof rette b si dnal s’A remraF hguohtla ,taht ecitoN .yah fo not 1 ylno dna taehw fo slehsub 02 ylno sdleiy dnal sih fo erca hcaE .d oog os ton si dnal sih tub ,serca 001 sah osla B remraF .yah fo snot 2 mih evig lliw yah ot stnalp eh taht dnal sih fo erca hcaE .taehw fo slehsub 05 mih evig lliw taehw ot stnalp eh taht dnal sih fo erca hcaE .yah dna taehw ,sporc owt worg ot elba si dna serca 001 sah A remraF .dlrow edistuo eht htiw edart ton od yehT .sremraf meht fo hto b ,ti no elpoe p owt ylno htiw dnalsi na enigami su tel ,yticilpmis roF :e lpmaxE .seitiliba etulosba naht rehtar seitivitca tnere�id ni seitiliba evitaler rieht ot gnidrocca ezilaice ps dluohs elpoe p taht stseggus ycneic�e taht ylpmis si elpicnirp ehT .egatnavda evitarapmoc fo elpicnirp eht ot noitnetta laice ps yap eW .stes ytilibis -so p noitcud orp ediwymonoce erolpxe ew noitces siht nI .noitcudortn I

noitcudorP E MA N

03 retpahC

.8 = 2/ C + F .reitnorf ytilibisso p noitcudorp s’nosniboR si taht tnemges enil eht rof noitauqe na etirW .yad re p stunococ dna hs� neewte b reitnorf ytilibisso p noitcudorp s’nosniboR wohs ,wole b hparg eht nO .ruoh re p stunococ 2 rehtag nac eh dna ruoh re p hs� 1 hctac nac eH .hs� gnihctac ro stunococ gnirehtag emit siht dne ps rehtie nac eH .do of gnirehtag yad a sruoh 8 yltcaxe dne ps lliw eh taht dediced sah eosurC nosniboR )0( 2.03

osla lliw

p iT

t o pS

.sre pap mret emos etirw dna sre pap mret gnitirw ni ezilaice ps ot eunitnoc lliw

neht ,sre pap mret fo segap

.sre pap mret eht fo lla etirw lliw

06 pi T

naht erom ecudorp yeht fI neht ,sre pap mret fo segap 06

naht ssel ecud orp yeht fI .reitnorf ytilibisso p noitcudorp tnioj rieht tolp hparg evo ba eht nO .reitnorf ytilibisso p noitcudorp tnioj rieht no seil taht smelborp koo bkrow dna sre pap mret fo noitanibmoc a ecud orp ot dna rehtegot krow ot ediced yehT .yad a sruoh 6 krow hcae to pS dna piT )a(

segaP 021

001 69

08

06

04 63

02

0 topS piT 21 8102 tnioJ 03 04

06

08 smelbo rP

)03 .hC(

N OITC U D ORP

473

secud orp ro bal s’ruoh nA .ygolonhcet elacs ot snruter tnatsnoc a si erehT .egaw nevig emos ta tnaw I sa ro bal hcum sa erih nac I erehw tekram ro bal evitite pmoc a ot ssecca evah I taht dneterp s’tel dnA .1$ fo ecirp a evah dna eriaremun eht era hs� taht emussa s’teL ?gniod yllautca ma I tahw tsuj od em ekam ot e b ot evah ecirp eht dluow tahW“ ,srednow eH .stunococ dna hs� secudorp taht mr� evitite pmoc a gninnur si eh taht sdneterp eh os ,od ot esle elttil sah nosniboR ,dnalsi sih no kcaB )c( . dna

0 5. $

8

$ fo emocni yliad a nosniboR gnivig

ot lauqe stunococ fo ecirp eht ,1$ ot lauqe hs� fo ecirp eht

gnittes yb siht od dluoc eH .yad re p stunoc oc 8 dna hs� 4 emusnoc ot nosniboR detnaw eh taht dediced rennalp laicos a taht eso ppuS .05.$ ?hs� sa stunoc oc ynam sa eciwt emusnoc ot eso ohc dluow eh taht redro ni tsoc ot evah stunococ dluow hcum woh ,hs� re p 1$ tsoc hs� fI .stunoc oc ro hs� rehtie yub nac eh erehw erots yrecorg a ot txen sevil dna deriter si tub ,c�icaP eht ni dnalsi na no detalosi ton si nosniboR eso ppuS )b( ).tes tegdub a ekil tsuj skool tes ytilibisso p noitcud orp sih ,ygolonhcet siht rof tuB .tes ytilibisso p noitcudorp sih ni seil eldnub eht taht tniartsnoc eht ot tcej bus ytilitu sih sezimixam taht eldnub a esoohc lliw nosniboR :tniH( ?tcelloc eh lliw stunococ .8 ynam woH

.4

?yad re p hctac ot eso ohc nosniboR lliw hs� ynam

woH .8 fo ytilitu a mih sevig taht evruc ecnere�idni eht hcteks osla dna ,4 fo ytilitu a nosniboR sevig taht evruc ecnere�idni eht hcteks ,evo ba hparg eht nO .noitpmusnoc tunococ yliad sih si C dna noitpmusnoc hs� yliad sih si F erehw , C F = ) C , F( U si noitcnuf ytilitu s’nosniboR )a( hsiF 61

21

8

4

0

8 fo y tili tU 4

8 rei tno rf y tilibissop noi tcudo rP 4 fo y tili tU

21

61 s tunocoC

E MA N

573

ot kni eulb esu dna edart t’nseod eh fi reitnorf ytilibisso p noitcud orp s’nosniboR ward ot kni kcalb esu ,evo ba hparg eht nO .dnalsi rehto eht morf stunococ sih teg lliw dna hsif ylno ecudorp ot sesoohc eh ,dnalsi siht htiw edart ot sediced nosniboR fI .sdnalsi eht neewte b gniwor rof nruter ni hs� 2 evah ot evah dluow eh taht dias tub ,dnalsi nwo sih no deliaverp taht etar egnahcxe emas eht ta nosniboR htiw edart ot dere�o evitan ehT .ymonoce evitite pmoc a dah osla dnalsi sihT .tunoc oc a dn� ot ruoh 1 sekat ti taht dna gnihs� fo sruoh 4 yreve rof hs� 1 ylno hctac dluoc eno ,dnalsi sih no taht detro per evitan ehT .dnalsi tnere�id a morf emac ohw evitan a saw eonac siht nI .dnalsi sih fo edis rehto eht no retaw eht ni e onac rehtona was nosniboR ,retal syad lareveS )a(

. g ni da rt

y b g ni ht on

niag nac eh ,sdoog owt eht mrofsnart nac eh hc ih w t a et ar

e h t sa e ma s eh t e ra se ci rp

r ie ht e cn iS . re ht i eN yub eh dluow ,os fI

.o N

?asrev eciv ro stunococ lles dna hs�

?mih htiw gnidart yb niag nosniboR dluoW

”.dnalsi ruoy ot revo gniwor rof tnemyap sa hs� 1 em evig ot evah lliw fo etar egnahcxe eht uoy tuB“ .eh dias ”,hs� a rof stunoc oc 2 ta hs� rof stunococ ro stunococ rof hs� rehtie uoy edart lliw I“ .secirp eseht ta eosurC htiw edart ot dere�o evitan ehT .05.$ nee b evah tsum dnalsi gniro bhgien eht no stunococ fo ecirp ehT .eriaremun eht erew hs� taht dna dnalsi sih no ymonoce evitite pmoc a saw ereht taht dias evitan ehT .tunoc oc a dn� ot ruoh 1 dna hs� a hctac ot sruoh 2 sekat ti ,dnalsi sih no taht dias evitan ehT .stunoc oc dna hs� no devil lla yeht taht dna elpoe p 001 erew ereht dnalsi sih no taht nosniboR dlot evitan ehT .dnalsi ybraen a fo evitan a saw eonac eht nI .retaw eht ni eonac a was eosurC nosniboR ,hcae b eht gnola gniklaw elihw ,yad enO .melborp suoiverp eht morf eosurC nosniboR fo yrots eht eunitnoc eW )0( 3.03 ”.stunoc oc fo re bmun evitiso p etin� a ecud orp ot gnilliw e b I dluow ,ecirp siht ta ylno dna ecirp siht tA .05.$ si tunococ a gnicudorp fo tsoc eht ,dnuof tsuj I etar egaw eht tA .stunococ fo re bmun evitiso p a ecudorp ot em ecudni ot e b ot evah stunococ fo ecirp eht dluow tahw woN .ruoh re p 1 $ si hs� fo tnuoma etin� evitiso p a ecudorp ot esoohc em ekam dluow taht etar egaw elbisso p ylno eht oS .eno yreve no t�orp a ekam dluow I ecnis hs� ynam yletin�ni ecudorp ot tnaw dluow I ,ruoh re p $ wole b segaw tA .hs� a 1 ecudorp ot 1$ naht erom em tsoc dluow ti esuace b ,lla ta hs� yna ecudorp t’ndluow I ,ruoh re p 1 $ evoba segaw tA .stunococ 2 ro hs� eno )03 .hC(

N OITC U D ORP

673

.ecudorp ot tahw fo eciohc lamitpo eht sekam eh fi remusnoc a sa elor sih ni secaf eh taht tegdub eht ward ot kni eulb esU .klim ni ezilaicepS ?sd oog hto b ecudorp ro ,taehw ni ezilaice ps ,klim ni ezilaice ps remraf siht lliw ,secirp muirbiliuqe eht neviG .dnalsi eht fo edis htron eht morf remraf lacipyt a rof tes ytilibisso p noitcudorp eht ward ot kni kcalb esu ,wole b margaid eht nO )a(

.klim fo stinu 4 rof segnahcxe taehw fo tinu 1 dna muirbiliuqe evitite pmoc ni si ymonoce ehT .w2 − 04 = m noitauqe eht se�sitas taht taehw dna klim fo stnuoma evitagen-non fo noitanibmoc yna ecud orp nac smraf eseht fo hcaE .smraf 06 era dnalsi eht fo edis htuos eht nO .w6 − 06 = m noitauqe eht se�sitas taht taehw dna klim fo stnuoma evitagen-non fo noitanibmoc yna ecudorp nac smraf eseht fo hcaE .smraf 04 era dnalsi eht fo edis htron eht nO .taehw dna klim ,dnalsi siht no demusnoc era seitidommoc owt ylnO .dlrow edistuo eht htiw edart ot lagelli ti edam sah satireV fo elsI ehT )0( 4.03

. se Y ?edart t’ndid eh fi evah dluow eh eldnub eht naht rette b eldnub siht ekil eh seoD .stunococ 21 ,hsif 3 ?emusnoc ot esoohc eh lliw eldnub tahw ,siht seod eh fI .redart dnoces eht htiw sedart dna yletairp -orppa sezilaice ps eh fi ”enil tegdub“ s’e osurC rof noitauqe na etirW )b(

hsiF 61

21

8

4

0

8 fo y tili tU 4

8 rei tno rf y tilibissop noi tcudo rP 4 fo y tili tU

21

61 s tunocoC

.redart eht yap ot hs� 2 yawa ekat ot re bmemeR .yletairporppa sezilaice ps dna edart ot sesoohc eh fi dro�a nac eh seldnub eht wohs E MA N

773

fo etar egnahcxe na ta taehw rof klim ro klim rof taehw rehtie egnahcxe ot re�o dna satireV revocsid sredart gnikiV lufecae p taht eso ppuS )c( taeh W 08 06

04

02

enil licneP

0

02 enil kcalB

04

enil deR enil eulB

06

08 kliM

.ecudorp ot tahw fo eciohc lamitpo eht sekam eh fi remusnoc a sa elor sih ni secaf eh taht tegdub eht ward ot kni eulb esU .taehw ni ezilaicepS ?sdoog hto b ecudorp ro ,taehw ni ezilaice ps ,klim ni ezilaice ps remraf siht lliw ,secirp muirbiliuqe eht neviG .dnalsi eht fo edis htuos eht morf remraf lacipyt a rof tes ytilibisso p noitcudorp eht ward ot kni kcalb esu ,wole b margaid eht nO )b( taeh W 08 06

04

02 01 51

0

enil kcalB enil eulB

02

enil licneP 04

enil deR

06

08 kliM

)03 .hC(

N OITC U D ORP

873

.mug elbbub fo tinu re p s’ucr 4 dna aisorbma fo tinu re p s’ucr 2 era secirp yenom-der ehT .mug elbbub fo tinu re p uc b 1 dna aisorbma fo tinu re p uc b 1 era secirp yenom-eulb ehT .ecirp yenom-der a dna ecirp yenom-eulb a ,gnihtyreve rof secirp owt erew ereht ,yllanigirO .yenoM deR dna yenoM eulB fo gnitsisnoc metsys ycnerruc-owt egnarts a evah yehT .2 retpahC fo snaognuM eht sdneirf ruo llaceR )0( 5.03

. d et se n to n er a s re nr eht uo s ro f s en il t eg du b ev it a nr et la o wt

e hT

”.sdne ped ti“ e b ot

sah snoitseuq owt tsal eht fo eno ot rewsna ruoy taht si ti yhw nialpxE

.noitpmusnoc tuoba secnereferp sd n ep eD

?won etov srenrehtuos eht lliw woH

r ie ht no

. r ov af

nI

?won etov srenrehtron eht lliw woH .noisiced noitcud orp thgir eht sekam eh fi secirp eseht ta remraf fo dnik hcae rof enil tegdub eht hcteks ot licne p esU .klim ni gnizilaiceps ot hctiws won

dl u ow sr e nr eh tu o S .s eY

?tuptuo sih egnahc remraf fo

e pyt rehtie dluoW .asrev eciv dna klim fo tinu 1 rof taehw fo tinu 1 fo ecirp eht ta edart ot dere�o dah sgnikiV eht ,klim fo stinu 3 rof taehw fo tinu 1 fo etar eht ta segnahcxe ekam ot gnire�o fo daetsni taht eso ppuS ) f(

.s re n re ht uo s r of ti s kn ir hs y lt ci r ts dn a s re nr e ht ro n r o f tes te gd ub e ht s eg ra l ne y lt ci r ts e gn ah c eh T

?secnereferp

noitpmusnoc s’sremraf eht tuo ba gnihtyna gniwonk tuohtiw snoitseuq owt tsal eht ot rewsna etin�ed a ekam nac uoy taht ti si woH .tsniagA ?etov srenrehtuos eht lliw woH

.r ov a f nI

?etov srenrehtron eht

lliw woh ,dnalsi eht fo dne sih fo tseretni hs�les eht ni setov enoyreve taht gnimussA .setov 06 teg dne htuos eht morf sredle eht dna setov 04 teg dnalsi eht fo dne htron eht morf sredle ehT .re�o gnikiV eht tpecca ot rehtehw no etov ot teem lliw satireV fo sredle fo licnuoc ehT )e( .ecud orp ot tahw fo eciohc thgir eht ekam sremraf eht dna dewolla si edart eerf fi sremraf nrehtuos rof tegdub eht ward ot kni der esu ,shparg owt eht fo dnoces eht nO .ecud orp ot tahw fo eciohc thgir eht ekam sremraf eht dna dewolla si edart eerf fi sremraf nrehtron rof tegdub eht ward ot kni der esu ,evo ba shparg owt eht fo tsr� eht nO )d(

.oN

?tuptuo sih egnahc remraf fo e pyt rehtie dluow ,oitar ecirp siht

tA .dnalsi eht no oitar ecirp wen eht e b lliw siht neht ,sgnikiV eht htiw edart eerf swolla satireV fo elsI eht fI .klim fo stinu 3 rof taehw fo tinu 1 E MA N

973

. 12 − eb dluow epols ehT

?yenom fo dnik

taht fo tuo nar ti erofe b enil tegdub siht fo e pols eht e b dluow tahW ) f(

.a is or b ma f o s ti nu 2 1 ?yenom roloc taht fo tuo nar ti erofe b yub ti dluoc aisorbma hcum woH )e(

.y cn e rr uc d er e hT

?esu ti

dluow ycnerruc hcihw ,aisorbma fo tib elttil a esahcrup ot dediced ti dna mug elbbub no sroloc hto b fo yenom sti fo lla gnidne ps erew dloraH fI )d(

.a i so rb ma f o st i nu 1 2

?aisorbma no yenom der sti fo lla dna yenom

eulb sti fo lla tne ps ti fi emusnoc ti dluoc aisorbma hcum woH )c(

. mu g e lb bu b f o s t in u 51

?mug elbbub no

yenom der sti dna yenom eulb sti fo lla tne ps ti fi emusnoc dloraH dluoc mug elbbub hcum woh ,htiw nige b oT .detutitsni si mrofer siht fi tes teg -dub s’dloraH tcurtsnoc ot tnaw eW .referp yeht revehcihw ,ecirp yenom -der eht ro ecirp yenom-eulb eht rehtie ta sdoog esahcrup ot dewolla e b dluohs snaognuM taht mroftalp a no sngiapmac ytrap eciohC eerF ehT )b( aiso rbmA 02 51

21

01

9

5

tes tegdub a t raP

6 9

)9,21(

0

5

01

51

tes tegdub j t raP

02 mug elbbuB

).oga shtnom wef a noitseuq siht derewsna uoY :tniH( .wole b hparg eht ni tes tegdub sti ward ,esahcrup yna rof seicnerruc htob ni yap ot sah ti fI .42 fo emocni der a dna 9 fo emocni eulb a sah dloraH )a( )03 .hC(

N OITC U D ORP

083

.ycnerruc rehtie gnisu aisorbma dna mug elbbub esahcrup dluoc ti fi hparg evo ba eht ni tes tegdub s’dloraH ward ot snoitseuq evo ba eht ot srewsna ruoy esU )j(

.1− eb dluow epols ehT

?yenom fo dnik

taht fo tuo nar ti erofe b enil tegdub siht fo e pols eht e b dluow tahW )i(

. m u g e l b b u b f o s t i nu 9 y u b d l u o c e H

?yenom

roloc taht fo tuo nar ti erofe b yub ti dluoc mug elbbub hcum woH )h(

.y cn er r uc eu lb e hT

?esu ti dluow

ycnerruc hcihw ,mug elbbub fo tib elttil a esahcrup ot dediced ti dna aisorbma no sroloc hto b fo yenom sti fo lla gnidne ps erew dloraH fI )g( 183

E MA N

)03 .hC(

N OITC U D ORP

283

.rehto eht ot eno referp syawla tub sevitanretla tnere�id owt yna neewte b tnere�idni reven era slaudividni taht eso ppus osla su tel ,gnie b emit eht roF .secnereferp evitisnart dna ,evixe�er ,etelpmoc sah laudividni yreve taht dna morf esoohc ot sevitanretla fo re bmun etin� a era ereht taht eso ppuS . y ”sa doog sa tsael ta yllaicos“ si x neht , y rof tnuoc adroB eht sa emas eht ro naht rellams si x fo tnuoc adroB eht fi , y dna x ,sevitanretla owt yna roF .tnuoc adroB sti dellac si evitanretla na rof erocs latot ehT .sretov lla revo dedda neht era evitanretla hcae rof serocs ’sretov ehT .no os dna ,2 a eciohc dnoces ruoy ,1 a eciohc tsr� ruoy evig uoy ,sevitanretla 01 era ereht fI .sevitanretla eht fo lla knar ot deksa si retov hcaE .gnitov redro-knar sa nwonk osla , tnuoc adroB eht si noitaler ecnereferp laicos a gninimreted fo dohtem elbisso p enO )2( 1.13 .5/ W4 = 2Y 1 dna 5/ W = 1Y sekam rennalp eht eroferehT . 1Y4 = 2Y oS .2 = 2YY√ taht dn� ew ,oitar ecirp eht ot lauqe SRM reh gnitteS . W = 2Y + 1Y2 o√t tcej bus 2Y + 1Y sezimixam rennalp eht nehT . W = 2Y + 1Y2 si tegdub s’rennalp e√ ht tah√ t eso ppus ,elpmaxe roF ).de bbor yltneuqerf si 1 nosre p spahre p ro ,yenom sesol dna luftegrof si 1 nosre p spahreP( .2 nosre p ot naht 1 nosre p ot yenom evig ot rennalp eht rof ”evisne pxe erom“ si ti taht daetsni eso ppuS .2/ W = 2Y = 1Y stes ehs taht dn� lliw uoy ,siht evlos uoy nehW .1 si hcihw ecirp evitaler eht ot lauqe elpoe p owt eht rof emocni neewte b noitutitsbus fo etar lanigram reh tes dluow rennalp eht eroferehT .1 si nosre p hcae rof emocni fo ”ecirp“ eht erehw ”tniartsnoc tegdub“ a dna 2Y dna 1Y neewte b sevruc ecnere�idni xevnoc yranidro evah dluow rennalp sihT .tnuoma dex� emos si W erehw , W = 2Y + 1Y taht hcus noitubirtsid emocni yna ecrofne nac ehs taht dna etac olla ot yenom fo tnuoma dex� a sah rennalp eht taht eso ppuS .steg i nosre p taht emocni fo tnuoma eht si iY erehw 2Y + 1Y ezimixam ot sa os elpoe p 2 neewte b emocni etacolla ot stnaw ehs√ taht d√ ediced sah rennalp laicos A :e lpmaxE .nwo sih ot eldnub s’remusnoc rehto eht sreferp remusnoc rehtien ”,noitacolla riaf“ a ni ,oslA .lauqe e b lliw noitutitsbus fo setar lanigram ’sremusnoc eht ,xo b htrowegdE eht edisni noitacolla lamitpo oteraP a rof taht re bmemeR .stnih owT .tniartsnoc tegdub a dna secnereferp nevig eldnub lamitpo s’remusnoc a rof gnivlos ot suogolana si smelborp tsal eseht gnivlos rof dohtem ehT .snoitcnuf eraflew laicos nevig emos rof snoitacolla lamitpo dn� ot yrt osla lliw uoY .snoitaler eraflew eseht yb de�sitas era secnereferp laudividni gnitagerg -ga rof smoixa worrA eht fo hcihw ees ot kcehc lliw uoY .secnereferp laicos gninimreted fo syaw suoirav ta kool lliw uoy ereH .noitcudortn I

erafleW E MA N

13 retpahC

.reitnorf ytilitu eht tolp ,wole b hparg eht nO .002 = BU2 + AU yb nevig si slaudividni owt rof reitnorf ytilibisso p ytilitu eht eso ppuS )2( 2.13

. x t ae b y eg na hc e ht r et fa dn a , y ta e b x e gn ah c eh t e ro fe B eciv

.asrev

r o y na ht re tt e b sa w x re h te hw t uo ba

dn i m s i h de g na hc y do bo n tu b , de g na hc z fo gn ik na r e ht ,e lp ma x e ev ob a e ht n I . oN

.nialp

-xE ?sevitanretla rehto knar yeht woh no ton dna y susrev x knar elpoe p woh no ylno dne ped y dna x neewte b secnereferp laicos taht ytre porp eht evah tnuoc adroB eht yb den�ed noitaler ecnereferp laicos eht seoD )d(

.5

? z roF

.3

? y roF

.4

?x rof tnuoc

adroB eht si tahw woN .driht x ,dnoces z ,tsr� y ot gniknar sih segnahc dna desserpmi ylbarovaf si ,srae eht yb nerdlihc nwo sih pu skcip ohw ,2 retoV .driht z ,dnoces y ,tsr� x ot gniknar sih segnahc dna dellappa si ,flesmih srae egral rehtar sah ohw ,1 retoV .srae eht yb elgae b a detfil ecno z etadidnac taht derevocsid si ti taht eso ppus woN .5 ? z roF

.4

? y roF

.3

?x rof tnuoc adroB eht si tahW .driht

z dna ,dnoces x ,tsr� y ,setadidnac eht sknar 2 retoV taht eso ppuS .driht y dna ,dnoces z ,tsr� x ,setadidnac eht sknar 1 retoV taht eso ppuS . z dna , y ,x ,setadidnac eerht dna sretov owt era ereht taht eso ppuS )c(

. y fo sk na r eh t f o mus eht naht regral eb tsum x fo sknar eht fo m u s e h t n eh T

. y n ah t k na r r e hg ih a x

ev i g t su m en o yr ev e ne ht , y fo d ae ha x s kn ar yd ob yr e ve f I

. s eY

.rewsna ruoy nialpxE ? y ot derreferp

yllaicos sa x knar tnuoc adroB eht lliw , y ot x sreferp enoyreve fI )b(

. se Y . se Y

?evitisnarT

. se Y

?evixe�eR

?etelpmoc yaw siht ni den�ed gniredro ecnereferp laicos eht sI )a( )13 .hC(

ERAFLE W

483

.meht ot evig ot 000,1$ fo latot a sah ehS .yllauqe meht fo hto b sevol ehs dna B dna A deman nerdlihc owt sah tnerap A )2( 3.13 .mumixam salguoD-bboC eht hguorht enil eraflewosi salguoD-bboC a ward ot kni eulb esU .mumixam naislwaR eht hguorht enil eraflewosi naislwaR a ward ot kni der esU .mumixam naehcszteiN eht hguorht enil eraflewosi naehcszteiN a ward ot kni kcalb esU .hparg evo ba eht no amixam laicos eerht eht wohS )d( ).noitcnuf ytilitu salguoD-bboC a htiw melborp noitazimixam s’remusnoc eht dna melborp noitazimixam siht neewte b seitiralimis eht tuo ba kniht ot tnaw thgim uoY :tniH( .05 si BU dna 001 slauqe AU erehw dezimi -xam si eraflew laic os ,reitnorf ytilibisso p ytilitu evo ba eht htiw ,esac siht nI . BU AU = ) BU , AU( W yb nevig si eraflew laicos taht eso ppuS )c( 2/1

2/1

. 66 . 66

slauqe

BU

dna

6 6. 66

slauqe AU erehw reitnorf ytilib

-isso p ytilitu evo ba eht no dezimixam si noitcnuf eraflew laicos eht neht ,} BU , AU{nim = ) BU , AU( W ,noiretirc naislwaR a esu ew daetsni fI )b(

.0

ot lauqe

BU

dna

0 02

ot lauqe AU tes dluow eno ,evo ba

nwohs reitnorf ytilibisso p ytilitu eht no ,} BU , AU{xam = ) BU , AU( W ”,noitcnuf eraflew laic os naehcszteiN“ a ezimixam ot redro nI )a(

AU 002

051

001

05

0

rei tno rf y tili tU 05

enil eulB enil deR

001

051 enil kcalB 002 BU

E MA N

583

.A

?sdoog erom emusnoc lliw dlihc hcihW

.A

?yenom erom

teg lliw dlihc hcihw ,b + a = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu s’rehtom eht fI )a( .000 ,1 = b2 + a si tniartsnoc tegdub s’tnerap eht suhT .B rof 2$ dna A rof 1$ stsoc sd oog noitpmusnoc fo tinu eno taht os sdoog noitpmusnoc erusaem lliw eW .steg B taht tnuoma eht b dna steg A taht sdo og noitpmusnoc fo tnuoma eht e b a teL .sdne ps eh taht rallod yreve rof nac B sa sdoog noitpmusnoc hcum sa eciwt teg ot elba si A taht os B naht re ppohs tneic�e erom hcum a si A taht eso ppus ,melborp suoiverp eht nI )2( 4.13

. se l cr ic re tr a uq e ra se vruc e cn e re ff id n i , xe vn oc t o n er a se cn e re ferp r eH . d li hc en o o t g ni h ty re ve se vi g e hS .esac siht ni 1 ot lauqe noitutitsbus fo etar lanigram reh tes t’nseod ehs yhw nialpxE ?nerdlihc reh neewte b yenom eht edivid ot esoohc ehs lliw woH . 2b + 2a = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu reh taht eso ppuS ) f( ).dlihc hcae ot yenom evig ot emas eht stsoc ti ecnis 1 ot lauqe b dna a neewte b noitutitsbus fo etar lanigram reh stes tnerap eht taht e b tsum tI .reilrae deiduts ew smelborp remusnoc eht ekil tsuj si sihT .000 ,1 = b + a taht tniartsnoc eht ot tcej bus )b ,a( U ezimixam ot si melborp s’tnerap eht taht eciton ew ,sesac evo ba eht fo hcae nI :tniH(

.a sr ev eciv ro ,0 = b ,000 ,1$ = a

?yenom eht edivid ot esoohc

ehs lliw woH .}b ,a{xam = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu reh taht eso ppuS )e(

.005$ = b = a

?yenom eht edivid ot esoohc

ehs lliw woH .}b ,a{nim = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu reh taht eso ppuS )d(

.005$ = b = a

?yenom eht edivid ot eso ohc ehs

lliw woH .b gol + a gol = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu reh taht eso ppuS )c(

.005$ = b = a

?yenom eht edivid ot esoohc

ehs lliw woH . 1b − a1 − = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu reh taht eso ppuS )b(

.005$ = b = a

?yenom eht edivid ot esoohc ehs lliw woH .B ot

sevig ehs yenom fo tnuoma eht si b dna A ot sevig ehs yenom fo tnuoma eht si a erehw ,b + a = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu s’tnerap ehT )a( √ √ )13 .hC(

ERAFLE W

683

y tili tu s'no t ro N 02 51

01

5

0

52

05

57

001 y tili tu s'hplaR

.wole b hparg eht no reitnorf ytilibisso p ytilitu eht tolP )b(

.01 si tahw ,orez ot ytilitu s’hplaR tes ew fI

?od nac notroN tse b eht

.0 0 1

?eveihca nac hplaR

ytilitu elbisso p tsehgih eht si tahw ,orez ot ytilitu s’notroN tes ew fI )a( .)ylevitce pser notroN dna hplaR yfingis N dna R erehw( 001 = N U + RU ,noitauqe gniwollof eht yb 2 nevig si taht reitnorf ytilibisso p ytilitu a evah hplaR dna notroN )1( 5.13

su luc laC

. tn u om a em as e ht e m us no c ye hT .B

?erom emusnoc ot teg lliw dlihc hcihW

?yenom erom teg

lliw dlihc hcihw ,}b ,a{nim = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu s’rehtom eht fI )e(

.A .A

?erom emusnoc ot teg lliw dlihc hcihW

?yenom erom teg lliw

dlihc hcihw ,}b ,a{xam = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu s’rehtom eht fI )d(

. tn u om a em as e ht em u sn oc ye hT teg lliw dlihc hcihW

?erom emusnoc ot

. ye n om e ro m st eg B

?yenom erom teg

lliw dlihc hcihw , 1b − a1 − = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu s’rehtom eht fI )c(

. er om s em u sn oc A

?erom emusnoc ot teg lliw dlihc hcihW

. y e n o m f o t n uo m a e m a s eh t t e g y e h T

?yenom erom

teg lliw dlihc hcihw ,b × a = )b ,a( U si noitcnuf ytilitu s’rehtom eht fI )b( E MA N

783

si noitcnuf ytilitu s’divaD dna PO + PA2 = ) PO , PA( PU si noitcnuf yti -litu s’luaP .segnaro dna selppa emusnoc divaD dna luaP )2( 7.13

. ma rg ai d e e S

?esac siht ni snoitacolla riaf eht era tahW )b(

0

01

regoR

x

riaF senil kcalB sev ruc eulB

sev ruc deR senil kcalB riaF nod roG

01 y

).xevnocnon era sevruc ecnere�idni eht taht ecitoN :tniH( .kni kcalb htiw snoitacolla lamitpo oteraP eht kram dna sevruc ecnere�idni rieht fo emos gniwohs xo b htrowegdE na warD )a( .seno der sah nodroG .sevruc ecnere�idni eulb sah regoR .meht neewte b dedivid e b ot y fo stinu 01 dna x fo stinu 01 era erehT . 2 y + 2x = ) y ,x( U ,snoitcnuf ytilitu lacitnedi evah nodroG dna regoR )2( 6.13

. NU81 + RU = W ?stneserp notroN noitcnuf eraflew laicos eht si tahW .noitubirtsid tse b eht si 9 =

NU

,91 =

RU

taht seveile b ,dnah rehto eht no ,notroN )e(

. NU01 + RU = W )?noitcnuf eraflew laicos s’hplaR fo e pols eht si tahW :tniH( ?noitcnuf eraflew laicos s’hplaR saw tahW .noitavresbo siht smr�noc taht noitcnuf eraflew laicos seitilitu-eht-fo-mus-dethgiew a ot noitulos noitazimixam eht stneserp dna ,eraflew fo noitubirtsid tse b eht si 5 = NU ,57 = RU taht skniht hplaR .noitcnuf eraflew laicos etairporppa na gnizimixam yb nevig si noitacolla laedi eht taht eveile b notroN dna hplaR htoB )d(

. NU2− = RNUUdd .evruc ytilibisso p ytilitu evo ba eht fo e pols eht rof noitauqe na evireD )c( )13 .hC(

ERAFLE W

883

eh tub ,ittehgaps sekil oemoR .ittehgaps ,d oog eno ylno emusnoc yeht ,evol sediseB .oemoR sevol teiluJ dna teiluJ sevol oemoR )3( 8.13 .snoitacolla riaf eht kram ,xo b htrowegdE ruoy nO )d(

.81 ≥ DO2 + DA

.kni der htiw margaid ruoy no ni meht edahs dna ytilauqeni na htiw stnio p eseht e bircseD .s’luaP ot eldnub nwo sih sreferp divaD erehw snoitac olla eht dn� ot evo ba desu uoy taht ot ralimis erudecorp a esU )c(

.81 ≥ PO + PA2

.s’divaD ot noitac olla nwo sih sreferp luaP

taht hcus snoitacolla eht fo lla ni edahs ot kni eulb esu ,xo b htrowegdE ruoy ni woN . PO dna PA selbairav eht ylno gnivlovni ytilauqeni gnitluser eht etirW .snoitauqe eseht fo tsr� eht morf DO dna DA etanimile ot 21 = DO + PO dna 21 = DA + PA ,snoitacolla elbisaef ta taht tcaf eht esU )b(

DO + DA2

. PO2 + PA ≥ DO2 + DA

≥ PO + PA2

d na

.s’luaP sekil eh sa llew sa eldnub nwo sih

sekil divaD taht syas taht ytilauqeni rehtona etirw dna s’divaD sekil eh sa llew sa eldnub nwo sih sekil luaP taht syas taht ytilauqeni eno etirW )a( selppA

luaP lami tpo o te raP

21

0

riaF gnidahs deR

sev ruc eulB sev ruc deR

lami tpo o te raP

gnidahs eulB 21 segna r O

diva D

.hparg ruoy no snoitacolla lamitpo oteraP eht kraM .sevruc ecnere�idni rieht fo emos gniwohs xo b htrowegdE na warD .seno der sah divaD .sevruc ecnere�idni eulb sah luaP .divaD dna luaP neewte b edivid ot segnaro 21 dna selppa 21 fo latot a era erehT .divaD dna luaP rof snoitpmusnoc egnaro era DO dna PO dna ,divaD dna luaP rof snoitpmusnoc elppa era DA dna PA erehw , DO2 + DA = ) DO , DA( DU E MA N

983

.tnio p etirovaf s’teiluJ dna tnio p etirovaf s’oemoR wohs ,evo ba werd uoy enil htrowegdE eht nO )e(

.teiluJ rof ittehgaps etoned tfel ot thgir morf ecnatsid eht dna oemoR rof ittehgaps etoned thgir ot tfel morf ecnatsid eht teL .wole b enil htrowegdE eht redisnoC .stod ecnere�idni evah tsuj lliw ew ,sevruc ecnere�idni fo daetsni dna ”enil htrowegdE“ na si deen ew lla ,elpoe p owt neewte b etacolla ot doog eno tsuj evah ew nehW .ti ni sevruc ecnere�idni htiw xo b htrowegdE na werd ew ,elpoe p owt neewte b sd oog owt etacolla ot dah ew nehW )d(

. it t eh ga ps f o st in u 8 ts ae l t a st eg no sr e p hc ae h ci hw ni s no i ta co ll a e h t fo l la er a sn oi t ac ol la l am it p o o te ra P eh T

).rehto eht ot eno morf tfig a

yb desaercni e b lliw ytilitu ’snosre p hto b fi lamitpo oteraP e b ton lliw noitacolla nA :tniH( ?snoitacolla lamitpo oteraP eht era tahW )c(

.8 evig ehs dluow hcum woH

.61

?oemoR

? flesreh rof ekat ehs dluow hcum

woh ,ot detnaw ehs sa yltcaxe ittehgaps eht etacolla ot tog teiluJ fI )b( )?tniartsnoc tegdub eht si tahW .tniartsnoc tegdub a htiw sdoog owt neewte b gnisoohc noitcnuf ytilitu salguoD-bboC a htiw remusnoc a rof melborp eciohc eht ekil tsuj yllamrof si melborp siht taht ecitoN :tniH( .8 ?teiluJ evig eh dluow hcum woH .61 ? flesmih evig eh dluow hcum woh ,ot detnaw eh sa yltcaxe ittehgaps fo stinu 42 eht etacolla ot tog oemoR fI .3/2 = a taht eso ppuS )a( .teiluJ dna oemoR neewte b dedivid e b ot ittehgaps fo stinu 42 fo latot a si erehT .ylevitce pser teiluJ rof ittehgaps fo tnuoma eht dna oemoR rof ittehgaps fo tnuoma eht era RS dna JS erehw , a−R1 S aJS = ) RS , JS( JU si noitcnuf ytilitu s’teiluJ dna a−1JS Ra S = ) JS , RS( RU si noitcnuf ytilitu s’oemoR .yppah oemoR sekam ittehgaps taht swonk ehs dna yppah e b ot oemoR sekil osla ehs tub ,ittehgaps sekil teiluJ .yppah reh sekam ittehgaps taht swonk eh dna yppah e b ot teiluJ sekil osla )13 .hC(

ERAFLE W

093

. oN

?yeksihw

fo strauq 2 emusnoc ot hcae meht rof lamitpo oteraP ti si ,yeksihw eht fo emos yawa worht ot elbisso p si ti fI .0 ?eb meht fo hcae fo ytilitu eht dluow tahw ,meht neewte b yllauqe strauq 2 gniniamer eht dedivid yeht dna yeksihw rieht fo strauq 2 dellips rae b a fI .2− ?e b meht fo hcae fo ytilitu eht lliw tahw ,yeksihw fo strauq 2 steg meht fo hcae fI )b(

.f le s mi h r o f l lA

,yeksihw eht fo lla etacolla ot tog dle�taH fI

?ti etacolla eh dluow woh

.f le s mi h ro f ll A

?ti etacolla eh dluow woh ,yeksihw eht fo lla etacolla ot tog yoCcM fI )a( .detac olla e b ot yeksihw fo strauq 4 era erehT .)strauq ni derusaem hto b( noitpmusnoc yeksihw yliad s’dle�taH si HW dna noitpmusnoc yeksihw yliad s’yoCcM si MW erehw , HW − MW = ) HW , MW( MU si noitcnuf ytilitu s’yoCcM dna 2 MW− HW = ) MW , HW( HU si noitcnuf ytilitu s’dle�taH .yeksihw ssel evah 2 ot rehto eht stnaw hcae ,yppah e b ot rehto hcae rof etah yeht esuaceB .yeksihw nroc evol tub rehto hcae etah yoCcM dna dle�taH )2( 9.13

. t i da h r eh to e ht r eh t ar d lu ow tu b ,s ev l es me ht r of it t eh ga ps ek i l ht oB .t i e ka t o t tn a w t’ ns e od e h t ub , oe mo R o t i tt eh g ap s e v ig o t s t na w t ei lu J . t i ek a t o t t na w t’ ns eo d e h s t ub , te il uJ ot it te h ga ps ev ig o t s tn aw oe mo R

?tuo ba eergasid teiluJ

dna oemoR od tahw snoitacolla lamitpo oteraP eht ta ,3/1 = a nehW )g(

.stnio p lamitpo oteraP fo suc ol eht dna stnio p etirovaf s’elpoe p owt eht gniwohs ,wole b enil htrowegdE eht le baL ? flesreh rof esoohc ehs dluow hcum woh ,ittehgaps eht .8 etacolla ot tog teiluJ fI

.8

? flesmih rof esoohc eh dluow hcum

woh ,ittehgaps eht etac olla ot tog oemoR fI .3/1 = a taht eso ppuS ) f( E MA N

193

3

. st ra uq ?yawa worht yeht dluohs hcum woh ,yeksihw fo stnuoma lauqe

emusnoc tsum yeht dna yeksihw emos yawa worht ot elbisso p si ti fI )c( )13 .hC(

ERAFLE W

293

.tao b a gnitare po fo tsoc eht gnitacidni enil eht tolp ,hparg emas eht nI .x000 ,2 − 000 ,01 = )x( P M ,tcudorp lanigram eht dna ,x/)x( f = )x( PA ,tcudorp egareva eht rof sevruc eht tolp ,wole b hparg eht nI )a(

.) 2x − x01(000 ,1$ = )x( f e b lliw htnom re p hctac retsbol eht morf eunever latot eht ,yaB daehesroH ni gnitare po stao b x era ereht fI .2 .tao b retsbol a etare po ot htnom a srallod 000,2$ stsoc tI .1 :siht si noitautis eht fo scimonoce ehT .eussi ot stimre p ynam woh enimreted ot gniyrt si dna sretsbol part ot stimre p seussi daehesroH fo licnuoc nwot ehT .retsbol eht sa nwonk osla ,sunacirema suramoh ,naecatsurc elbatceled eht yb detibahni si taht yab a no seil ,sttesuhcassaM ,daehesroH fo egalliv euqserutcip ehT )2( 1.23

.tinu 1 yb noitcudorp etsaw sti ecuder ot yrotcaf eht e birb ot dro�a dluoc sremusnoc eht yltnedivE .005,3$ ot 006,3$ morf llaf lliw st�orp s’yrotcaf eht ,stinu 5 ot 6 morf decuder si etsaw fo tnuoma eht fI .005,1$ si tinu 1 yb etsaw fo tnuoma eht ecuder ot yap ot gnilliw e b lliw elpoe p taht tnuoma latot eht ,elpoe p 000,1 era ereht ecniS .tinu 1 yb X ecuder ot srallod 5.1 yap ot gnilliw e b lliw ehs ,ekal eht ni yad a sruoh 5.1 gnidne ps si nosre p hcae nehw taht snoitcnuf ytilitu eht morf ecitoN ).orez ot lauqe iY ot tce pser htiw ytilitu fo evitavired eht teS( .5.1 = iY gnisoohc yb ytilitu sezimixam remusnoc hcae ,6 = X nehW ).orez ot lauqe X ot tce pser htiw st�orp fo evitavired eht teS( .6 = X gnisoohc yb st�orp sti ezimixam lliw yrotcaf ehT .yltnedne pedni snoisiced rieht ekam sremusnoc eht dna yrotcaf eht taht eso ppus ,oslA .ekal eht gnisu rof sremusnoc ot egrahc on si ereht dna ekal eht otni etsaw gnipmup no snoitcirtser on era ereht taht eso ppuS .semocni lacitnedi dna , iY X − 2iY − iY9 + iC = ) X , iC , iY( U ,snoitcnuf ytilitu lacitnedi evah sremusnoC . 2 X001 − X002 ,1 e b lliw st�orp sti ,ekal eht otni etsaw fo stinu X spmup mr� eht fI .sdo og noitpmusnoc no sdne ps i nosre p taht srallod fo re bmun eht e b iC tel dna ,ekal eht ni gnitao b dna gnimmiws sdne ps i nosre p taht yad re p sruoh fo re bmun eht e b iY teL .ekal eht otni spmup mr� eht taht etsaw fo tnuoma eht e b X teL .elpoe p 000,1 yb noitaercer rof desu osla si ekal ehT .ekal ybraen a otni etsaw sti spmup yrotcaf egral A :e lpmaxE .seitilanretxe htiw gnilaed rof stnemegnarra lanoitutitsni dna smsinahcem evitanretla fo secneuqesnoc eht erolpxe uoy ,sesicrexe eseht nI .tneic�e oteraP ton yllacipyt si snoitca nesohc yltned -ne pedni morf emoctuo eht ,seitilanretxe era ereht nehW .noitcudortn I

seitilanretxE E MA N

23 retpahC

selppa fo tnuoma muirbiliuqe eht dna

.0 51 00 1

e b lliw decudorp

e b lliw decudorp yenoh

fo tnuoma muirbiliuqe eht ,yltnedne pedni etare po hcae smr� eht fI )a( .3$ si selppa fo ecirp eht dna 2$ si yenoh fo ecirp ehT . H − 001/ 2A = )A( Ac dna 001/ 2 H = ) H( Hc era smr� owt eht fo snoitcnuf tsoc ehT . H yb derusaem e b decudorp yenoh fo tnuoma eht dna A yb derusaem e b decudorp selppa fo tnuoma eht teL .mr� evitite pmoc a sa stca hcae dna drahcro elppa na ot txen detacol si mraf yenoh a taht eso ppuS )2( 2.23

.h tn om r e p 00 0 ,4 $

).htnom re p srallod dnasuoht ) F + 2( e b dluow

htnom a rof tao b a gnitare po fo tsoc lanigram eht ,htnom re p srallod dnasuoht F fo eef esnecil a htiW :tniH( ?timre p gniretsbol a rof htnom re p egrahc ti dluohs hcum woh ,st�orp latot sezimixam taht re bmun eht ot stao b fo re bmun eht tcirtser ot stnaw ,sttesuhcassaM ,daehesroH fI )d(

.s ta ob 4 = x ro ,2 = x2 − 01 evig ot tsoc ot lauqe P M te S

?st�orp latot sezimixam stao b fo re bmun tahW )c(

.s ta ob 8

)?st�orp orez era ereht

erofe b retne tsum stao b ynam woH :tniH( ?sttesuhcassaM ,daehesroH ni sretsbol part lliw stao b ynam woh ,egrahc fo eerf era stimre p eht fI )b( x 21

01

8

6

4

0

2

2

tsoC

4

PM PA

6

8

01

21 PM ,PA

)23 .hC(

SEITILA NRETXE

493

r ep s ru oh 5

.y ad ).d ot tce pser htiw ezimixam dna ,h rof d000 ,1

gnitutitsbus ,noitcnuf ytilitu eht etirweR :tniH( ?tnediser lacipyt eht fo ytilitu eht ezimixam ot si evitcej bo eht fi dewolla e b enoyreve dluohs gnivird hcum woH .evird ot dewolla si enoyna taht sruoh fo re bmun latot eht gnitcirtser wal a ssap ot dediced stnediser eht taht eso ppuS )e(

. 46

?roterubraC lE fo tnediser lacipyt

a fo level ytilitu eht e b lliw tahw ,yad a sruoh 6 sevird yd o byreve fI )d(

. 65

?tnediser hcae fo ytilitu eht e b lliw tahW )c(

. 00 0, 8

?snosre p rehto yb gnivird

fo h tnuoma latot eht si tahw neht ,d tse b sih sesoohc ydo byreve fI )b( )?)h ,d ,m( U sezimixam d fo eulav tahW :tniH(

.8

?evird ot

esoohc eh lliw yad re p sruoh ynam woh ,evird srehto taht tnuoma eht tcef -fa t’now seod eh gnivird fo tnuoma eht taht seveile b laudividni na fI )a( .rac a evird ot gnihton stsoc ti eso ppus ,elpmis snoitaluclac peek oT .yad re p 04$ fo emocni na sah roterubraC lE ni nosre p yrevE .hcae 1$ si scaM giB fo ecirp ehT .roterubraC lE fo stnediser rehto lla yb enod )yad re p sruoh-nosre p ni derusaem( gnivird fo tnuoma latot eht si h dna ,sevird ,flesmih ,eh taht yad re p sruoh fo re bmun eht si d ,scaM giB fo noitpmusnoc yliad s’tnediser eht si m erehw ,000 ,1/h6 − 2d − d61 + m = )h ,d ,m( U si noitcnuf ytilitu s’tnediser lacipyt A .c�art yb desuac noitullo p dna ,esion ,noitsegnoc eht tuo ba snialpmoc ydo byreve ,evird ot sekil ydo byreve elihW .esle ydo byreve ekil tsuj si nwot ni yd o byrevE .nwot dnuora rac ruoy evird ot tpecxe od ot hcum ton si ereht ,100,1 noitalupo p ,ainrofilaC ,roterubraC lE nI )2( 3.23

. ti n u re p 1$

?ylppus tneic�e na ecudni ot

dezidisbus e b ot evah noitcudorp yenoh dluow hcum woh ,etarapes deyats smr� eht fI .051 ?yenoh fo tuptuo tneic�e yllaic os eht si tahW )c(

.0 51 . 05 1

?selppa fo tnuoma gnizimixam-t�orp eht e b dluow tahW

?mr� denibmoc eht rof yenoh fo tuptuo gnizimixam-t�orp eht

e b dluow tahW .degrem smr� elppa dna yenoh eht taht eso ppuS )b( E MA N

593

esu dna ,tnio p siht hguorht sessap taht moT rof evruc ecnere�idni eht hcteks ot kni der esU .A le bal eht htiw evo ba xo b eht no tnemwodne laitini siht kraM .keew a seikooc nezod 2 emusnoc dluow nosre p hcae dna ,cisum on e b dluow erehT .slaed on ekam yrreJ dna moT fi noitautis eht setoned esac siht ni tnemwodne laitini ehT .cisum yalp ot noissimre p s’etammoor ruoy evah tsum uoy taht si ycilo p s’mrod eht eso ppuS )a( seikooC 84

63

42

21

moT 0

eniL eulB a gnidahS eulB eniL deR

02

04 eniL deR 06 eniL eulB b

08 cisuM

y r reJ

”.yrreJ rof seikooc“ e b xo b eht fo edis thgir eht morf tnio p eht fo ecnatsid eht dna ”moT rof seikooc“ e b xo b eht fo edis tfel eht morf tnio p eht fo ecnatsid eht teL .keew re p moor rieht ni deyalp cisum fo sruoh fo re bmun latot eht tneserper tnio p a fo thgieh eht tel ,xo b eht nI .ton ro ti sekil eh rehtehw ,cisum fo sruoh fo re bmun emas eht emusnoc tsum hcaE .doog cilbup a si moor rieht ni cisum tuB .84 lauqe tsum keew re p semusnoc yrreJ taht re bmun eht sulp keew re p semusnoc moT taht seikooc fo re bmun eht ,sd oog etavirp era seikooc ecniS .sixa lacitrev eht no cisum fo sruoh dna sixa latnoziroh eht no seikooc sah xo b ehT .xo b htrowegdE na ekil skool taht xo b a htiw noitautis siht e bircsed nac eW .seikooc fo ecruos rehto on evah yehT .emoh morf tnes seikooc pihc etalocohc nezod owt teg hcae yrreJ dna moT ,keew yrevE .21/ 2 M − JC = ) M , JC( U si noitcnuf ytilitu siH .cisum fo sdnik lla setah yrreJ .moor rieht ni si eh elihw deyalp si taht keew re p cisum duol fo sruoh fo re bmun eht si M dna keew re p stae eh seikooc fo re bmun eht si TC erehw , M + TC = ) M , TC( TU si noitcnuf ytilitu siH .speels eh nehw neve ,cisum duol sekil moT .mo or rieht ni rehtegot keew a sruoh 08 fo latot a dne ps yehT .setammoor era yrreJ dna moT )3( 4.23

.6$

).tnuoma ”thgir“ eht gnivird si eh nehw scaM giB dna gnivird

neewte b noitutitsbus fo etar lanigram s’laudividni na lauqe ot evah dluow ecirp sihT :tniH( ?gnivird fo ruoh re p e b ot evah xat eht dluow hcum woH .gnivird no xat a htiw deveihca e b dluoc evitcej bo emas ehT ) f( )23 .hC(

SEITILA NRETXE

693

relewej eht fo st�orp dna

.23 = Jx e hT

dna

8 5 0, 1$

32 = Cx

.8 40 ,2

era

era erots gnihtolc eht fo st�orP

era gnisitrevda fo stnuoma muirbiliuqe

.0 = Jx4 − Cx + 501

dna 0 = Cx4 − Jx + 06

sa nettirw era snoitauqe owt esehT .orez si gnisitrevda nwo sti ot tce pser htiw st�orp s’relewej eht fo evitavired eht taht seriuqer noitauqe rehto ehT .orez si gnisitrevda nwo sti ot tce pser htiw st�orp s’erots gnihtolc eht fo evitavired eht taht syas snoitauqe eseht fo enO .snwonknu owt ni snoitauqe owt gnivlos yb erots hcae rof gnisitrevda fo tnuoma muirbiliuqe eht dn� nac ew neht ,erutidne pxe gnisitrevda nwo sti fo tnedne pedni si gnisitrevda fo tnuoma s’erots rehto eht taht seveile b erots hcae fI )a( ).gnisitrevda gnidulcni ,stsoc l la fo ten st�orp era eseht ,esac hcae nI( . J2x2 − Jx) Cx + 501( = ) Jx , Cx( JΠ era erots yrlewej eht fo yad re p st�orp latot eht dna , C2x2 − Cx) Jx + 06( = ) Jx , Cx( CΠ era erots gnihtolc eht fo yad re p st�orp latot eht neht ,yad re p gnisitrevda no Jx$ sdne ps relewej eht dna ,gnisitrevda no yad re p Cx$ sdne ps erots gnihtolc eht fI .erots gniro bhgien eht ta pohs ot emac ohw sremotsuc emos stcartta osla erots hcaE .yad re p gnisitrevda no sdne ps erots eht taht yenom fo tnuoma eht no sdne ped erots rehtie ta pohs ot gnidnetni llam gnippohs eht ot emoc ohw sremotsuc fo re bmun ehT .llam gnippohs llams a ni edis yb edis detac ol era erots yrlewej a dna erots gnihtolc A )0( 5.23

. se Y

su luc laC

? B tnio p ta era

yeht naht �o rette b edam e b yrreJ dna moT htob nac ,secruoser elbaliava eht neviG .tnio p siht hguorht sessap taht yrreJ rof evruc ecnere�idni eht hcteks ot kni eulb esu dna ,tnio p siht hguorht sessap taht moT rof evruc ecnere�idni eht hcteks ot kni der esU . B ti le bal dna evo ba xo b eht ni tnio p tnemwodne siht kraM .keew re p seikooc nezod 2 semusnoc hcae erehw dna rehtegot moor eht ni era yeht taht keew re p sruoh 08 eht fo lla rof cisum syalp moT hcihw ni eno si tnemwodne laitini eht nehT .cisum yalp ot noissimre p s’etammoor ruoy deen t’nod uoY ”.luos eht rof d oog si llor-n-kcor“ si ycilo p s’mrod eht taht ,ylevitanretla ,eso ppuS )b( .A tnio p ta era yeht naht �o rette b setammoor hto b ekam dluow taht snoitautis gnitneserper stnio p eht ni edahs ot kni eulb esU ].thgir eht drawot era taht stnio p ot xo b eht fo edis tfel eht drawot era taht stnio p sreferp eh os ,xo b eht fo edis thgir eht morf derusaem era yrreJ rof seiko oC )2( .seno rehgih ot hparg eht no stnio p rewol sreferp eh os ,cisum setah eH )1( :sgniht owt re bmemer ,evruc ecnere�idni s’yrreJ ward uoy nehW :tniH[ .tnio p siht hguorht sessap taht yrreJ rof evruc ecnere�idni eht hcteks ot kni eulb E MA N

793

si c erehw , 2l − c = )l ,c( U noitcnuf ytilitu a sah remusnoc yreve tcaf nI .gniod si thgir sih no ro bhgien eht tahw serac ydo bon ,ylsuoiruC .tfel sih no ro bhgien eht yb noitpmusnoc fo suoivne yrev si tub ytidommoc eht emusnoc ot sekil regattoc hcaE .sro bhgien owt rieht fo weiv lluf ni snwal tnorf rieht no ti emusnoc lla yeht dna ,ytidommoc eno ylno si erehT .tfel sih no eno dna thgir sih no eno ,sro bhgien owt sah regattoc hcaE .ekal eht dnuora elcric a ni evil yeht dna ,meht fo 001 era erehT .hcnub yrovasnu na era suoidivnI ekaL fo serohs eht no sregattoc ehT )2( 6.23

. 05 . 78 4, 3$ ?e b st�orp latot eht dluow hcum woH

ye h t , se Y

.r eh gi h e b d lu ow

?yltnedne pedni snoisiced rieht edam yeht nehw

e b dluow st�orp latot sa emas eht ro ,rewol ,rehgih e b lliw st�orp latot rehtehw enimreted uoy nac ,st�orp lautca gnitaluclac tuohtiW .54$ =

Jx

dna

05 . 73 $

=

Cx

eso ohc dluow mr� elgnis ehT .st�orp

’serots owt eht fo mus eht ezimixam ot sa os gnisitrevda fo stnuoma eht sesoohc taht mr� elgnis a yb denwo era tub erofe b sa snoitcnuf t�orp emas eht evah erots yrlewej eht dna erots gnihtolc eht taht eso ppuS )d(

.2 8 .0 01 ,2 $ 2 7 .2 60 ,1 $ lliw eh dna Cx

e b lliw st�orp ym esac siht nI .

4 6. 42

=

Cx

e b lliw st�orp sih dna

14 .2 3

= Jx esoohc

esoohc lliw I ,st�orp nwo ym ezimixam ot

esoohc neht dna noitcnuf t�orp ym otni Jx fo eulav siht etutitsbus I fI = Jx taht dn� I ,siht od I nehW .gnisitrevda nwo ym

.4/ Cx+4/501

fo noitcnuf a sa gnisitrevda fo tnuoma sih rof gnivlos dna orez ot lauqe gnisitrevda nwo sih ot tce pser htiw st�orp sih fo evitavired eht gnittes yb , Cx fo eciohc ym ot noitcnuf noitcaer sih etaluclac nac I .ylgnidrocca roivahe b sih tsujda ot evah lliw eh ,gniod ma I tahw mih llet I nehW .od ot gniog si eh tahw sediced relewej eht erofe b od lliw I gnisitrevda hcum woh ediced nac I taht eso ppuS .swollof sa flesreh ot snosaer ehS .serots hto b fo snoitcnuf t�orp eht swonk erots gnihtolc eht fo renwo eht taht eso ppuS )c(

.3 2 $

tuo ba fo t�orp artxe na erots gnihtolc eht evig dluow

relewej eht yb gnisitrevda fo htrow s’rallod artxe na dna

2 3$

tuo ba

fo t�orp artxe na relewej eht evig dluow erots gnihtolc eht yb gnisitrev -da fo htrow s’rallod a ,evo ba detaluclac uoy taht gnisitrevda fo tnuoma muirbiliuqe eht gniod era serots owt eht nehW .erutidne pxe gnisitrev -da s’erots gnihtolc eht ot tce pser htiw st�orp s’relewej eht fo evitavired eht ot lauqe yletamixorppa si erots gnihtolc eht yb gnisitrevda fo htrow s’rallod artxe na morf teg dluow relewej eht taht t�orp artxe ehT )b( )23 .hC(

SEITILA NRETXE

893

.stinu 5 .s ti n u 5 2

?emusnoc ymmaT lliw Y ytivitca fo hcum woH

?emusnoc ot esoohc miJ lliw X ytivitca fo hcum woH

.emusnoc lliw yeht Y dna X ytivitca hcum woh tuo ba rehto hcae htiw sniagrab on ekam yeht taht rehtruf eso ppuS .flah rehto eht ot thgir a sah ymmaT dna emocni tnioj rieht flah ot thgir a sah miJ taht eso ppuS )a( .tinu re p 001$ stsoc Y ytivitcA .tinu re p 02$ stsoc X ytivitcA .semusnoc miJ taht X ytivitca fo stinu fo re bmun eht si x dna ,semusnoc ehs taht Y ytivitca fo stinu fo re bmun eht si y , Y ytivitca naht rehto sdoog no sdne ps ehs yenom fo tnuoma eht si Tc erehw ,x01 − y nl 005 + Tc = TU si noitcnuf ytilitu s’ymmaT .raey re p semusnoc ymmaT taht Y ytivitca fo stinu fo re bmun eht si y dna ,raey re p semusnoc eh taht X ytivitca fo stinu fo re bmun eht si x ,tibah sih naht rehto sdoog no raey re p sdne ps eh yenom eht si Jc erehw , y01 − x nl 005 + Jc = JU si noitcnuf ytilitu s’miJ .dne ps ot raey a 000,000,1$ ylno fo latot a evah ymmaT dna miJ ,sesrever etanutrofnu fo seires a ot euD .seusrup ymmaT taht Y ytivitca fo tnuoma eht e b y dna seusrup miJ taht X ytivitca fo tnuoma eht e b x teL . Y ytivitca ,tibah s’ymmaT dna , X ytivitca llac lliw ew ,tibah s’miJ .rehto eht syonna taht tibah elttil a sah hcae ,dlrow tcefre pmi siht ni nommoc oot lla si sA .efiL ni dna ssenisuB ni srentrap era ymmaT dna miJ )0( 7.23

.001

?sre bmem

sti lla t�ene b ot etare pooc dluoc taht puorg tsellams eht si egral woH ) f(

. oN .oN

?elpoe p eerht fo puorg a tuo ba woH )e(

?yawa gnihtemos gniworht yb ro meht neewte b noitpmusnoc

gnitubirtsider yb rehtie �o rette b hto b sevlesmeht ekam elpoe p owt yna naC .tinu 1 gnimusnoc si ekal eht dnuora ydo byreve taht eso ppuS )d(

.2/1

?tnuoma

emas eht emusnoc ot era lla fi noitpmusnoc elbisso p tse b eht si tahW )c(

. f fo re tt eB

? �o esrow ro �o rette b e b slaudividni

lla lliW .tinu a fo 4/3 ylno semusnoc remusnoc hcae taht eso ppuS )b(

.0

.level ytilitu sih etaluclaC )a(

.ti semusnoc dna doog noitpmusnoc eht fo tinu 1 snwo remusnoc hcae taht eso ppuS .tfel eht no ro bhgien sih yb noitpmusnoc si l dna noitpmusnoc nwo sih E MA N

993

eht ,senalp fo re bmun siht gnidnal si tro pria eht taht neviG

. 42

si

tro pria eht rof st�orp sezimixam taht yad re p senalp fo re bmun eht ,sdliub re poleved eht sesuoh ynam woh rettam oN .ytivitca fo level nwo sti no ediced nac hcae taht dna re poleved eht dna tro pria eht neewte b kcurts e b nac sniagrab on taht eso ppuS :”gniniagraB oN htiw esoohC ot eerF“ )a( .re poleved eht dna tro pria eht neewte b gniniagrab tuo ba dna selur lanoitutitsni tuo ba snoitpmussa suoirav rednu emoctuo eht redisnoc su teL . Y X − 2 Y − Y06 era st�orp latot s’re poleved eht dna , 2 X − X84 era st�orp latot s’tro pria ehT .sdliub re poleved eht taht sesuoh fo re bmun eht e b Y tel dna yad re p y� taht senalp fo re bmun eht e b X teL .sekam re poleved eht taht st�orp fo tnuoma eht si rewol eht ,y� taht senalp erom ehT .dnal eht fo eulav eht secuder tro pria eht morf esion tub ,dnal siht no sesuoh dliub ot ekil dluow re poleved ehT .re poleved gnisuoh a yb denwo dnal fo tcart egral a ot txen detacol si tro pria nA )0( 8.23

. 1-

si yaw siht ni detcurtsnoc

reitnorf ytilibisso p ytilitu eht fo e pols ehT .reitnorf ytilibisso p ytilitu eht no tnio p tnere�id a ot sdno pserroc erutidne pxe siht gnidivid fo yaw elbisso p hcaE . Tc dna Jc no tne ps si 000,000,1$ eht fo tser ehT . 43.787 si ymmaT dna miJ yb Y dna X stibah gniyonna eht no erutidne pxe latot eht ,reitnorf siht gnolA ).rewsna siht dn� ot elbat gol a ro rotaluclac a deen uoY( .68.361,100,1 = CU + JU noitauqe eht yb de bircsed si reitnorf ytilibisso p ytilitu eht taht dn� ew , y011 − x03 − y nl 005 + x nl 005 + 000 ,000 ,1 = ) y ,x , Tc( TU + ) y ,x , Jc( JU noitauqe eht otni sre bmun eseht gulp ew fI . 45.4 = y dna 76.61 = x erehw mumixam eht dn� ew ,orez ot lauqe y dna x ot tce pser htiw sevitavired laitrap eht gnitteS .) y ,x , Tc( TU + ) y ,x , Jc( JU ezimixam ot sa os y dna x esoohc won su teL . y011 − x03 − y nl 005 + x nl 005 + 000 ,000 ,1 = y01 − y nl 005 +

x01 − x nl 005 + y001 − x02 − 000 ,000 ,1 = ) y ,x , Tc( TU + ) y ,x , Jc( JU

etirw nac ew eroferehT . y001 − x02 −000 ,000 ,1 = Tc+ Jc taht tniartsnoc tegdub ylimaf eht morf wonk ew tuB . y01 − y nl 005 + x01 − x nl 005 + Tc + Jc = x01 − y nl 005 + Tc + y02 − x nl 005 + Jc =

) y ,x , Tc( TU + ) y ,x , Jc( JU

taht ecitoN .seitilitu rieht fo mus eht gnizimixam yb dnuof e b nac tnemges siht ,eromrehtruF .tnemges enil thgiarts a sedulcni reitnorf ytilibisso p yti -litu rieht ,snoitcnuf ytilitu raenilisauq evah ymmaT dna miJ esuaceB )b( )23 .hC(

SEITILA NRETXE

004

sti ecuder ot tro pria eht teg ot sediced re poleved ehT

.s eY

?st�orp

tsol s’tro pria eht fo lla rof yap ot sah re poleved eht fi yad re p thgi� eno kcab tuc ot tro pria eht gnibirb yb st�orp ten sih esaercni re poleved eht dluoc ”,eso ohc ot eerf“ fo eno saw noitautis lanigiro eht fI .tnedne ped -ni niamer re poleved eht dna tro pria eht taht eso ppuS :”gnilaeD“ )b(

.8 00 ,1 ot lauqe neht era st�orp latoT dezimixam era st�orp latoT

.4 2

= Y dna

21

= X nehw

Y X − 2 Y − Y06 + 2 X − X84

e b dluow Y dna X fo noitcnuf a sa desserpxe ,st�orp latoT .st�orp tnioj ezimixam ot hto b deganam dna tro pria eht dna dnal s’re polev -ed eht thguo b mr� elgnis a taht eso ppuS :”etaremolgnoC ehT“ )a( .melborp suoiverp eht morf re poleved eht dna tro pria eht snrecnoc melborp sihT )1( 9.23

.1 89

e b lliw st�orp rieht fo mus ehT

eht fo st�orp latot dna .senalp

9

00 9

. 18

su luc laC

e b lliw tro pria

e b lliw re poleved eht fo st�orp latoT

dnal ot esoohc lliw tro pria eht ,segamad fo ten ,st�orp

03

sti ezimixam oT .nwo� era senalp ynam woh rettam on sesuoh

dliub ot esoohc lliw re poleved eht ,st�orp ten sih ezimixam oT . 2 Y − Y06 = Y X + Y X − 2 Y − Y06 e b lliw segamad fo tnemyap ni seviecer eh tnuoma eht gnidulcni st�orp s’re poleved ehT . Y X − 2 X − X84 e b lliw segamad diap sah ti retfa st�orp s’tro pria eht neht ,sesuoh Y sdliub re poleved eht dna senalp X sei� tro pria eht fi eroferehT . Y X e b lliw re poleved eht ot dedrawa segamad fo tnuoma latot eht ,nwo� erew senalp on fi Y − Y06 e b dluow st�orp sih dna Y X − 2 Y − Y06 era st�orp s’re poleved 2 eht ecniS .seulav ytre porp s’re poleved eht ot segamad lla rof elbail tro pria eht sekam taht dessap si wal a taht eso ppuS :”esidaraP s’reywaL“ )c(

.0 09 03

fo st�orp latot evah lliw dna sesuoh

dliub lliw re poleved ehT .y� lliw senalp on nehT .re poleved

eht no ytilanretxe na eso pmi yeht esuace b tro pria eht ta senalp dnal ot lagelli ti sekam ecnanidro lacol a taht eso ppuS :”noitibihorP tcirtS“ )b(

.0 09

e b lliw st�orp rieht fo mus ehT

67 5

re poleved eht fo st�orp latot dna latoT

.8 1

. 42 3

e b lliw

e b lliw tro pria eht fo st�orp

si st�orp s’re poleved eht sezimixam taht sesuoh fo re bmun E MA N

104

573 ,452 = 54 × 057 ,4 + 5.23 × 052 ,1

?otatoP tseW ot otatoP tsaE morf gnilevart sretummoc yb tne ps yad re p setunim-nosre p fo re bmun latot eht e b dluow tahW

5 .2 3

. s et un im

?krow ot teg ot otatoP elddiM hguorht evord ohw sretum

-moc ekat ti dluow gnol woh ,esac siht nI

. 0 52 ,1

?otatoP elddiM

hguorht daor eht esu ot wolla rennalp laic os eht dluow yad re p sretum .daor -moc ynam woH .54) N − 000 ,6( + ) 001 + 02( N N otatoP elddiM eht no levart ot dettimre p sretummoc fo N re bmun eht fo noitcnuf a sa otatoP tseW ot otatoP tsaE morf gnilevart sretummoc yb tne ps yad re p setunim-nosre p fo re bmun latot eht rof noisserpxe na etirW .otatoP tseW ot otatoP tsaE morf gnilevart sretummoc yb tne ps yad re p setunim-nosre p fo re bmun latot eht eziminim ot sa os yaw siht levart ot dettimre p snosre p fo re bmun eht tes dna otatoP elddiM hguorht daor eht ot ssecca dellortnoc rennalp laicos a taht eso ppuS )b(

.000 ,072 = 000 ,6 × 54

?otatoP tseW ot otatoP tsaE morf gnilevart sretummoc yb tne ps yad re p setunim-nosre p fo re bmun latot eht e b lliw tahW

. 0 05 ,2

?otatoP elddiM hguorht daor eht esu lliw sretummoc ynam woh muir -biliuqe ni ,daor rehtie gnisu rof degrahc era sllot on taht gnimussA )a( .001/N + 02 si otatoP elddiM hguorht otatoP tseW ot otatoP tsaE morf evird ot sekat ti taht setunim fo re bmun eht neht , N si daor siht esu ohw sretummoc fo re bmun eht fi ,tcaf nI .detsegnoc teg nac daor siht tuB .snaem siht yb otatoP tseW ot otatoP tsaE morf levart ot setunim 02 ylno ekat dluow ti ,detsegnocnu erew ti fi dna ,retrohs hcum si otatoP elddiM hguorht daor ehT .snaem siht yb otatoP tseW ot otatoP tsaE morf teg ot setunim 54 sekat ti dna tuo badnuor si evird eht tub ,detsegnocnu yleritne si yaweerF eniltleB ehT .seotatoP eht selcric taht yaweerF eniltleB eht ekat ot si yaw rehto ehT .otatoP elddiM fo traeh eht thguorht ,nwot ssorca thgiarts evird ot si yaw enO .pirt eht ekam ot syaw owt era erehT .krow ot teg ot sekat ti emit eht eziminim ot yrt lla sretummoC .otatoP tseW ot otatoP tsaE morf levart tsum sretummoc 000,6 ,gninrom yrevE )1( 01.23

.2 1

?etanimile ot tro pria eht

yap eh dluohs yad re p sthgi� ynam woh ,st�orp ten nwo sih ezimixam oT .sthgi� fo noitcuder eht morf gnimoc st�orp tsol lla rof gniyap yb sthgi� )23 .hC(

SEITILA NRETXE

204

devas e b lliw emit gnitummoc fo setunim-nosre p ynam woH

54

s et un im

?krow ot teg ot yawhgih otatoP elddiM eht fo sresu ekat ti lliw

gnol woH

00 0, 5

?yawhgih otatoP elddiM eht esu lliw sretummoc

ynam woh ,sllot on dna yticapac dednapxe htiw ,muirbiliuqe wen eht nI .yawhgih otatoP elddiM eht esu ohw sretummoc fo re bmun eht si N erehw ,002/N + 02 yb nevig si yawhgih otatoP elddiM eht no otatoP tseW ot otatoP tsaE morf levart ot sekat ti emit fo tnuoma eht ,yticapac delbuod eht htiW .yticapac sti elbuod ot sa os yawhgih otatoP elddiM eht dliuber ot daetsni sediced dna sllot c�art gniso pmi fo aedi eht stcejer tnemnrevog natilo portem otatoP retaerG eht taht eso ppuS )2( 11.23

. ff o r e tt eb e ra ll a o s , e un ev er morf yad rep w6.2$ tuoba kcab

l lo t e ht

st e g y d ob yr ev e t uB

. d et sa w er ew

e un ev er

l lo t f i ne v e f fo es ro w e b dl u ow yd ob on s uh T .o t at oP el dd i M

hguorht og ot llot

eh t g ni y ap d na en i lt le B eht no gn i le va rt s et u ni m

54 gn id n ep s n e ew teb tn er e ff id ni

er a o t at oP el dd iM h gu or ht le va r t oh w sr e tu mm oc dn a kr ow o t g ni l evar t s et u ni m 54 dn e ps l li ts en i lt le B eh t

n o le va rt o hw

s r et um mo c , ec a lp ni l l ot eh t h ti W . kr ow ot g n il ev a rt

s et un i m 54 t ne ps sr e tu mm oc l la

, e ca lp ni s aw l lo t eh t e ro fe B

.srallod ni remusnoc

re p niag eht etaulave dna sllot eht tuohtiw saw ehs ro eh naht �o rette b si retummoc yreve ycilo p siht htiw taht wohS . w526 ,51$ ?llot siht morf yad re p tcelloc ti lliw eunever hcum woH

. w5.21$

?llot eht tes

ti dluohs hgih woh ,otatoP tseW ot otatoP tsaE morf gnitummoc dne ps elpoe p taht emit fo tnuoma latot eht eziminim ot sa yaw a hcus ni llot eht seso ohc tnemnrevog eht fI .sretummoc 000,6 lla gnoma yllauqe llot siht morf eunever eht sedivid dna daor otatoP elddiM eht gnisu rof llot a segrahc tnemnrevog natilo portem otatoP retaerG eht taht dna etunim re p w$ ta gnitummoc morf devas emit eulav sretummoc taht eso ppuS )c( E MA N

304

. oN

?srallod xat rieht fo esu

d oog a e b lliw noisnapxe yticapac siht taht kniht lliw elpoe p kniht uoy oD ?yawhgih otatoP elddiM eht fo yticapac eht gnidnapxe yb 0 )23 .hC(

SEITILA NRETXE

404

.sklaw kciD hcihw htiw dee ps eht w dna sedir semaJ taht ruoh re p selim ni dee ps eht e b s teL .sd oow eht ni ekih ot sekil tuotS kciD elihw ,nodnaba sselkcer htiw tserof eht hguorht ekib sih sedir nosveL miJ )2( 2.33

.9 2

?ekat ehs lliw snottub ynam woH

.001$ si htlaew reh yllaitinI .x nl noitcnuf ytilitu nretsnegroM-nnamueN nov htiw ,htlaew reh fo ytilitu detce pxe eht tuo ba serac ehS .hcae 01$ rof lles nac ehs hcihw ,snottub x htiw yawa steg ehs ,09. ytilibaborp htiW .x3 fo en� a syap dna snottub x htiw thguac si ehs ,01. ytilibaborp htiW .rezimixam ytilitu detce pxe na si llerroN emadaM taht emussa woN )d(

.0 5 .4

?snottub 01 gnikat ot flesreh timil ot

llerroN emadaM ecudni ot e b ot evah nottub re p en� eht se od tahW )c(

. 51

?t�orp detce pxe reh sezimixam

ehs gnimussa ,ekat ot yrt llerroN emadaM lliw snottub ynam woH .ecnef eht morf orez stcelloc ehs dna detacs�noc era snottub reh lla esac hcihw ni ,thguac si ehs fi en� eht yap ot sah ylno ehs ,revewoH .nottub re p 3$ si snottub x gnilaets thguac si ehs fi en� eht dna ,001$ sah llerroN emadaM yllaitinI ).lla ta yna sekat ehs fi nottub 1 tsael ta ekat lliw llerroN emadaM taht emussA( .x nl 5 diap e b lliw ehs ,snottub x sreviled llerroN emadaM fI .snottub rof ecirp ta� a reh yap regnol on lliw eh taht secnuonna ecnef s’llerroN emadaM ,snottub fo ylppusrevo na ot euD )b(

.0 05 ,4

?snottub gnilaets morf llerroN

emadaM egaruocsid lliw taht en� tsellams eht si tahW .st�orp detce pxe reh si tuo ba serac llerroN emadaM taht gniht ylno eht taht eso ppuS )a( .nelots evah yeht snottub yna tiefrof dna en� eht yap tsum eseht dna ,seveiht nottub lla fo tnecre p 01 tuo ba hctac ecilo p ehT .snottub fo re bmun yna gnilaets thguac si enoemos fi srallod F fo en� a si erehT .tfeht nottub tsniaga wal a sah adirolF .05 si yad a ni laets nac ehs snottub fo re bmun mumixam ehT .01$ rof ecnef a ot nottub hcae lles nac ehS .seuqituo b evisne pxe ni stekcaj rengised morf snottub dlog gnilaets yb adirolF ni gnivil reh sekam llerroN emadaM )2( 1.33 .wal ni esira taht seussi otni sthgisni lufesu edivorp nac sretpahc reilrae ni denrael uoy seuqinhcet eht taht ees ot desaelp e b lliw uoy taht e poh eW .txet ruoy ni dnuof scimon -oce dna wal fo yevrus eht no desab era smelborp esehT .noitcudortn I

waL 33 retpahC

E MA N

.esac re p srallod

0 05

5. 7

si ecirp gnizimixam t�orp eht dna ,retaw fo sesac

si ytitnauq gnizimixam-t�orp ehT .wole b hparg eht ni evruc tsoc

lanigram eht dna ,evruc eunever lanigram eht ,evruc dnamed eht warD )a( .htnom re p sesac 000 ,1 ni derusaem si ytitnauq eht dna srallod dnalaeZ weN ni derusaem si ecirp eht ereH .002/ 2x = )x(c si retaw fo seltto b x gnicudorp fo tsoc eht dna ,002/x − 01 = )x(p si dnalsI htuoS eht ni retaw deltto b rof dnamed ehT .dnalsI htuoS eht ni retaw deltto b no ylo ponom a sah irreD ,secnatsmucric suotiutrof fo re bmun a ot euD ”.dlrow eht fo motto b eht“ morf retaw deltto b slles ,dnalaeZ weN ,hcruhctsirhC fo retaW delttoB irreD )2( 3.33

. ru oh r ep s el im 4

edir dluohs miJ dna

ru oh r e p e li m 1

klaw dluohs

kciD ?evom ot kciD dna miJ rof sdee ps lamitpo yllaicos eht era tahW )d(

. ru oh r e p s el im 4 .r uo h r e p s el im 4

?edir miJ lliw tsaf woH

?klaw kciD lliw tsaf woH .kciD no seso pmi

eh taht stsoc yna yap tsum dna ytilibail lluf sah won miJ taht eso ppuS )c(

.r u oh r ep se li m 9 tsaf woH

.r uo h re p e li m 1

?edir miJ lliw

?klaw eh lliw tsaf woh ,tnedicca

na fo tsoc eritne eht yap ot sah kciD fI ).tnedicca na ni stsoc elbagilgen rucni lliw dna kciD naht rett� si miJ taht emussA( . 2w + 6s1 = )w ,s(c 2 2 :sevom hcae taht dee ps eht no sdne ped tnedicca na hcus fo kciD ot tsoc detce pxe eht taht eso ppuS .kciD otni nur lliw miJ taht ecnahc emos si ereht ,tserof emas eht ni gnivom hto b era kciD dna miJ ecnis ,salA )b(

. r u o h r e p s e l im 9 lliw tsaf woH

.r uo h r ep se li m 4

?edir miJ

?klaw kciD lliw tsaf woH )a(

.m + w − w 4 = kciDU √ m + s − s 6 = mi JU √ .sah eh yenom hcum woh dna sklaw eh tsaf woh no sdne ped ytilitu s’kciD elihw ,sah eh srallod ynam woh dna sedir eh tsaf woh no sdne ped ytilitu s’miJ )33 .hC(

WAL

604

.hparg gniwollof eht ni evruc dnamed esrevni dna ,evruc tsoc lanigram ,evruc eunever lanigram eht warD .ecirp dna tuptuo fo slevel wen eht rof evloS )c(

.002/x − 21 = )x(p

?evruc dnamed esrevni wen eht rof noitauqe eht si tahW

p u t i st fi h S

2$ yb

?retaw deltto b rof dnamed eht ecneu�ni etaber

siht seod woH .tnemnrevog eht morf esac re p 2$ eviecer lliw retaw delt -to b fo resahcrup hcae ,ralucitrap nI .retaw deltto b fo sremusnoc eht ot setaber etubirtsid ot desu e b lliw st�orp detacs�noc eseht fo traP .sti -forp s’irreD fo tnecre p 05 etacs�noc lliw yeht raey gnimoc eht gnirud taht ecnuonna yehT .yrtsudni retaw deltto b eht gnizilo ponom rof sretaw irreD tsniaga noitca gnirb won seitirohtua tsurtitna dnalaeZ weN ehT )b(

y ti tnau Q 0021

0001

008

006

005

004

002

0

2 rm 4 5 6 dname D

5.7 8

01 cm 21 eci rP

E MA N

704

y ti tnau Q 0021

0001

008

006 526

004

002

0

2

4 rm 6 8 8 _8 1

dnameD

01 cm 21 eci rP

)33 .hC(

WAL

804

46$

?sbonKrooD yub ot tnaw srenwo

retupmoc lla fo flah taht seveile b ydo byreve taht nevig ,sbonKro oD yub ot tnaw yllautca srenwo retupmoc eht fo flah hcihw ta ecirp eht si tahW ).2/1 = x evo ba yltcerid evruc dnamed eht no tnio p eht si sihT( .2/1 si sbonKrooD fo erahs tekram lautca eht hcihw ta tnio p eht no tod der a kram ,2/1 = s htiw werd tsuj uoy taht evruc dnamed eht nO )b( .2/1 = s evruc siht le baL .2/1 = s si erahs tekram deviecre p s’sbonK -rooD hcihw ni esac eht ni erahs tekram lautca ot ecirp gnitaler evruc dnamed eht ward ,wole b hparg eht nO .1 noitauqE yb nevig si sbonK -rooD rof evruc dnamed eht neht ,s si erahs tekram deviecre p eht fI )a( .x erahs tekram lautca sti lauqe tsum s erahs tekram deviecre p s’sbonKrooD dna ,egreme lliw hturt eht ,nur gnol eht nI .syaw suoucipsnoc ni seipoc yawa gnivig dna ,stsilanruoj yldneirf ot stfig dna rouqil gnivig ,gnisitrevda ,yticilbup yb sbonKro oD fo erahs tekram deviecre p eht ecneu�ni nac tfoSythgiM ,nur trohs eht nI )1(

.)x − 1(s652 = p

alumrof eht yb s erahs tekram deviecre p dna p ecirp eht ot detaler si x erehw ,x e b lliw erahs tekram lautca sti neht ,p$ si sbonKrooD fo ecirp eht dna s si erahs tekram deviecre p s’sbonKro oD fi taht derevocsid evah srehcraeser tekraM .sretupmoc rieht no dellatsni sbonKrooD evah ot p$ tsael ta yap ot gnilliw e b dluow taht srenwo retup -moc lla fo noitcarf eht si erahs tekram lautca sti neht ,p si sbonKrooD fo ecirp eht nehW .sbonKrooD gnisu si seveileb cilbup eht taht sretup -moc lla fo noitcarf eht si sbonKrooD rof erahs tekram deviecrep ehT .e b ot erahs tekram s’sbonKrooD eveile b yeht regral eht retaerg si sretupmoc rieht no sbonKrooD evah ot yap ot gnilliw era elpoe p tnuoma eht ,metsys gnitare po emas eht evah ohw elpoe p htiw sel� paws ot reisae si ti esuaceB .sbonKrooD dellac metsys gnitare po retupmoc wen a ecudortni ot tuo ba si ynapmoc erawtfos tfoSythgiM fo tnediserp eht ,sreirraB lliB )2( 1.43 .smelborp fo tes siht ni etartsulli ew sa ,ygolonhcet noitamrofni fo scimonoce eht otni sthgisni lufrewo p yrev re�o nac esruoc siht ni denrael evah uoy taht sloot cimonoce ehT .ton kniht eW .ymonocE weN siht dnatsrednu ot ”scimonoce wen“ a evah ot yrassecen si ti taht kniht emoS .emusnoc dna ecud orp ew yaw eht dezinoit -ulover sah ygolonhcet noitamrofni taht ezingocer lla eW .noitcudortn I

ygolonhceT noitamrofn I 43 retpahC

E MA N

deviecre p hcus enO .erahs tekram deviecre p eht ot lauqe si 84$ rof sbonK -rooD yub ot tnaw yllautca dluow ohw sremusnoc fo noitcarf eht taht hcus serahs tekram deviecre p tnere�id eerht era erehT .ecirp taht htiw skcits dna sbonKrooD rof 84$ fo ecirp a stes tfoSythgiM taht eso ppuS )g( ).dettolp ydaerla evah uoy taht stnio p der eht lla hguorht og tsum ward uoy evruc eht taht etoN :tniH( .evruc eht fo noitamixorppa na ni hcteks dna evruc siht no stnio p wef a tolp ,evo ba hparg eht nO .)x − 1(x652 = p yb nevig si evruc dnamed eht os ,x = s taht e b tsum ti ,esac eht si siht fI .x serahs tekram lautca eht sa emas eht era s serahs tekram deviecre p ’srenwo retupmoc taht emussa ew erehw ,sbonKrooD rof evruc dnamed nur-gnol eht ward won su teL ) f( .s si erahs tekram deviecre p eht taht nevig ,s si erahs tekram lautca eht hcihw ta ecirp eht gniwohs ,1 dna ,8/7 ,4/3 ,8/1 = s ot gnidno pserroc sevruc dnamed eht no skram der ekam ,4/1 = s dna 2/1 = s rof did uoy sa tsuJ )e(

8 4$

?4/1 osla sbonKrooD fo erahs tekram lautca

eht si ecirp tahw ta ,4/1 si sbonKrooD fo erahs tekram deviecre p eht fI ).4/1 = x evo ba yltcerid evruc dnamed siht no tnio p eht si sihT( .4/1 si sbonKrooD fo erahs tekram lautca eht hcihw ta tnio p eht no tod der a tup ,4/1 = s fo erahs tekram deviecre p a rof evruc dnamed eht nO )d( )sh tnee txis ni( e rahS tek raM lau tcA 61

41

21

01

8

6

4

2

0

8/1=S 4/1=S

23

2/1=S

46 4/3=S 69

821

061 8/7=S 291 1=S 422

652 yaP o t ssengnilli W

.1 ,8/7 ,4/3 ,4/1 ,8/1= s :seulav gniwollof eht fo hcae no sekat s erahs tekram deviecre p s’sbonKrooD erehw esac eht rof evruc dnamed etarapes a le bal dna ward ,hparg emas eht nO )c( )43 .hC(

YG OL O N HCET N OITA MR OF NI

014

?tahw ,os fI

,9 25 8 . .3 38 .

. 3 55 35 8. ?timil a gnihcaorppa e b ot mees yeht oD

. 43 58

sdoire p wef txen eht rof serahs tekram lautca eht nwod etirW doire p driht eht ,

5 7.

doire p dnoces eht ni erahs tekram

lautca eht dn� ,2/1 saw doire p tsr� eht ni erahs tekram lautca eht fI )a( ).lufesu rotaluclac a dn� lliw uoy ,snoitseuq gniwollof eht rewsna oT( .ecirp siht segnahc reven dna 23$ = p ta ecirp eht stes sbonKrooD taht emussa su teL .d oire p txen eht rof erahs tekram etaluclac nac ew ,doire p emit yna rof erahs tekram lautca wonk ew fi ,alumrof siht htiW .0 = tx neht ,0 ≤ 1−tx652/p fI .1 ≤ 1−tx652/p revenehw ) 1−tx652/p( − 1 = tx taht dn� ew ,noitauqe siht gnignarraeR .de�sitas si ) tx − 1( 1−tx652 = p noitauqe eht ,t doire p ni erahs tekram lautca eht si tx erehw nehT .d oire p suoiverp eht ni erahs tekram lautca eht ot lauqe si doire p yna ni erahs tekram deviecre p eht taht emussa dna ,melborp suoiverp eht ni nevig sa si sbonKrooD rof dnamed taht eso ppuS )1( 2.43

.98.65$ = 3/2 × 3/1 × 652$ eb dluohs ecirP .3/2 = x

ne hw

yln o de if si t as s i n o it id no c r e dr o dn oc es

e hT

.0 = x ro 3/2 = x

t ah t s ei l pm i h ci hw xd

, 2x3 = x2 seilpmi sihT .0 = ) 3x − 2x(652 d

si noitidnoc redro-tsrif ehT .3/2 = x

.krow

ruoy wohs dna suluclac esU ).)x − 1( 2x652 = xp si euneveR :tniH( ?erahs tekram siht niatniam ot redro ni egrahc ti dluohs ecirp tahw dna eunever sti ezimixam ot redro ni eso ohc tfoSythgiM dluohs x erahs tekram tahw ,erahs tekram deviecre p eht ot lauqe erahs tekram lautca eht sekam taht ecirp a dna x erahs tekram deviecre p a seso ohc tfoSythgiM taht gnimussA .deniatniam dna decrofnier e b lliw snoitpecre p reilrae eht dna x e b osla lliw noitcarf tekram lautca eht ,)x − 1(x652 = p ecirp a segrahc tfoSythgiM fi dna x si erahs tekram deviecre p s’sbonKrooD fI .1 dna 0 neewte b re bmun yna ta erahs tekram deviecre p sti tes yliraro pmet nac tfoSythgiM ,ecneu�ni aidem dna gnisitrevda sti gnisu yb taht eso ppuS )h(

4/3 = s dna 4/1 = s

?seitilibisso p owt rehto eht era tahW .0 si erahs tekram E MA N

114

tsaE .noitide wen a yb decalper e b lliw ti emit hcihw ta ,sraey owt rof tnirp ni e b lliw koo b siht fo noitide tsr� ehT .sserP naisirF tsaE yb dehsil -bup e b lliw hcihw ,dedaehel dduM eht rof scimonoceorciM ,txet scimon -oce de�ilpmis ylhgih ,wen a nettirw sah �upemerK rosseforP )2( 4.43

9

?krowten eht rof pu ngis lliw otot ni sremusnoc

ynam woh ,ecalp ni ydisbus eht htiW .tcennoc yeht nehw degrahc era yeht ecirp eht ot lauqe tsael ta e b lliw seulav reyub rieht fi ylno pu ngis lliw taht evitavresnoc os niamer sresu taht emussA .54$ fo tsoc lluf eht yap ot evah lliw pu sngis ohw enoyreve ,taht retfA .52$ rof tcennoc ot owt txen eht swolla tnemnrevog eht ,pu deko oh era sresu owt tsr� eht retfA .hcae 01$ rof tcennoc ot dewolla era sresu owt tsr� ehT .metsys eht fo ”sresu reenoip“ ezidisbus ot sre�o tnemnrevog eht taht eso ppuS )c(

0

?54$ si ecirp eht

fi pu ngis lliw elpoe p ynam woH .pu sngis ehs sa noos sa diap ehs ecirp eht sa hgih sa tsael ta e b lliw eulav reyub reh sselnu krowten eht rof pu ngis lliw ydo bon dna evitavresnoc yrev era sremusnoc taht eso ppuS .54$ si krowten eht ot remusnoc hcae pu gnikooh fo tsoc eht taht dna evitite p -moc si krowten retupmoc eht seilppus taht yrtsudni eht taht eso ppuS )b(

54 $

?neve kaerb ro t�orp a ekam rehtie meht fo lla dna tekram

eht ot pu kooh dluoc sremotsuc 9 hcihw ta ecirp tsehgih eht si tahW )a( .no os dna 01$ si yap ot ssengnilliw s’2 remusnoc ,5$ si yap ot ssengnilliw s’1 remusnoc ,krowten eht ot detcennoc era elpoe p 5 fi suhT .detcennoc snosre p fo re bmun latot eht semit i si krowten eht ot tcennoc ot yap ot ssengnilliw s’i remusnoc ,i hcae rof ,tcaf nI .ti ot detcennoc era ohw snosre p fo re bmun latot eht no sdne ped krowten eht ot tcennoc ot yap ot ssengnilliw s’remusnoc hcaE .31 remusnoc ot pu no os dna ,3$ fo eulav laitinii na sah 3 remusnoc ,2$ fo eulav laitini na sah 2 remusnoc ,krowten eht ot pu gnikooh rof 1$ fo eulav laitini na sah 1 remusnoC .krowten retupmoc wen a ot tcennoc ot rehtehw gniredisnoc era sremusnoc 31 fo puorg A )1( 3.43

.2 3 $ fo ec ir p a h ti w e ra h t oB era

se ra hs te kr a m mu i rb il iu q e

.54641.0 = x dna 55358.0 = x

sn o it ul oS

n oi t au qe si hT

.0 = 8/1 + x − 2x seilpmi

?snoitulos owt era ereht taht tcaf eht fo

ekam uoy od tahW .23$ = p erehw esac eht ni x ¯ rof noitauqe siht evloS .)x ¯ 652/p( − 1 = x ¯ taht e b tsum ti ,x ¯ tnatsnoc a ot segrevnoc erahs tek -ram s’sbonKrooD fi ,p ta tnatsnoc dleh si ecirp nehw taht ecitoN )b( )43 .hC(

YG OL O N HCET N OITA MR OF NI

214

.t na t sn oc ni a me r d lu ow t I ?tnatsnoc deniamer 2p dna desaercni erew 1p fi tnatsnoc niamer ro ,esaerc -ed ,esaercni sraey owt revo dlos seipoc fo re bmun latot eht dluoW )c(

.) 2p4.( k D + ) 2p( 2D = ) 2p4.( k D + ) 2p4. − 1p( 1D

− ) 2p( 2D + ) 2p4. − 1p( 1D

.2 dna 1 sraey ni 2p dna 1p secirp

ta sraey owt revo lles nac naisirF tsaE taht dedaehel dduM eht rof scimon -oceorciM fo seipoc wen fo re bmun latot eht rof noisserpxe na etirW )b(

.) 2p4.( k D + ) 2p4. − 1p( 1D − ) 2p( 2D

.2 raey ni 2p dna 1 raey

ni 1p secirp stes ti fi noitacilbup retfa raey dnoces eht ni lles nac sserP naisirF tsaE taht seipoc wen fo re bmun eht rof noisserpxe na etirW )a(

.) 2p( 2D = 2q si noitacilbup fo raey dnoces eht ni desahcrup era taht ,desu dna wen ,seipoc fo re bmun latot ehT ).seipoc desu dna wen gniyub neewte b tnere�idni erew stneduts taht os seipoc desu decirp serotskoo b tub ,seipoc desu ot wen derreferp stneduts fi emas eht e b dluow stluser ehT( .erots koo b eht ni seipoc wen sa emas eht tsoc seipoc desu taht dna ypoc desu a ro ypoc wen a gniyub neewte b tnere�idni era stneduts taht emussa su tel ,snoit -aluclac fo yticilpmis roF .koo b eht fo ypoc desu a ro ypoc wen a rehtie yub ,revewoh ,nac stneduts esehT .elbaliava e b neht lliw noitide wen a ecnis ,seipoc desu rieht lleser ot elba e b ton lliw noitacilbup fo raey dno -ces eht ni dedaehel dduM eht rof scimonoceorciM yub ohw stnedutS .) 2p4.0( kD − ) 2p4.0 − 1p( 1D e b lliw raey tsr� eht fo dne eht ta elbaliava seipoc desu fo re bmun eht taht swollof tI .) 2p4.0( kD ,noitcnuf dnamed ”sre peek“ a yb nevig si ecnerefer rof tpek ro degamad rehtie era taht skoo b fo re bmun ehT . 2p4.0 ecirp elaser eht si ti gnigamad fo ro ypoc dlo s’eno gnipeek fo tsoc ehT .dloser e b tonnac yeht taht os sko o b rieht egamad lliw emos dna ,ecnerefer erutuf rof seipoc rieht peek ot tnaw lliw noitacilbup fo raey tsr� eht ni koo b eht esu ohw stneduts eht fo emoS .) 2p4.0 − 1p( 1D = 1q ,noitcnuf dnamed a yb nevig si noitacilbup fo raey tsr� eht ni dednamed seipoc fo re bmun ehT . 2p4.0 − 1p si raey eht fo dne eht ta ti gnilleser dna ,ssalc rof ti gnisu ,raey tsr� eht ni ko o b eht gniyub fo tneduts a ot tsoc ten ehT . 2p ,ecirp raey-dnoces eht fo %04 rof serotskoo b ot skoo btxet desu rieht lleser nac stneduts ,noitacilbup fo raey tsr� eht fo dne eht tA .noitacilbup retfa sraey owt eulav elaser orez evah lliw noitide tsr� eht fo seipoc desu taht dna noitacilbup retfa raey eno dedaehel dduM eht rof scimonoceorciM fo seipoc desu rof tekram evitca na e b lliw ereht taht erawa era koo b eht yub ohw stneduts eht dna rehsilbup ehT .noitacilbup fo raey dnoces eht ni dlos seipoc wen rof degrahc ecirp eht e b 2p tel dna noitacilbup fo raey tsr� eht ni dlos seipoc wen rof degrahc ecirp eht e b 1p teL .slles ti taht ypoc hcae rof c$ fo tsoc lanigram tnatsnoc a yap tsum dna koo b eht ni stnemtsevni tsoc dex� sti lla edam ydaerla sah sserP naisirF 314

E MA N

.p = 2p = 1p taht os ,sraey hto b ni ecirp emas eht egrahc ot denimreted si sserP naisirF tsaE taht emussA ).esruoc eht gnikat si ehs elihw koo b eht evah ot yap ot ssengnilliw reh sa taerg sa flah si koo b eht gnipeek rof yap ot ssengni -lliw s’enoyreve taht noitpmussa eht htiw tnetsisnoc si noitpmussa sihT( .) 2p8.0 − 09(001 = ) 2p4.0( kD si raey tsr� eht retfa ecnerefer rof peek ro egamad rehtie elpoe p taht sko o b fo re bmun ehT .) 2p − 09(001 = ) 2p( 2D ) 2p4.0 + 1p − 09( 001 = ) 2p4.0 − 1p( 1D eb snoitcnuf dnamed eht tel dna slles ti taht dedaehel dduM eht rof scimonoce -orciM fo ypoc hcae rof 01$ = c fo tsoc lanigram tnatsnoc a sah ,melborp suoiverp eht ni dessucsid ,sserP naisirF tsaE taht eso ppuS )2( 5.43

))p4.( k D + )p( 2D()c − p(

.p fo noitcnuf a sa sraey owt txen eht revo stsoc elbairav fo

ten eunever s’naisirF tsaE rof noisserpxe na etirW . 2p = 1p = p tes tsum ti suhT .dlos si ti taht sraey hto b ni noitide tsr� eht rof ecirp emas eht egrahc tsum ti taht dediced sah naisirF tsaE taht eso ppuS ) f(

. re ws n a

su oi ve r p mo rf si ht t c ar tb uS

.)) 2p4.( k D + ) 2p(2D(c

s i t so c e lb a ir aV

. ) 2p4.( k D + ) 2p( 2D )c − 2p( + ) 2p4. − 1p( 1D) 2p − 1p( � �

sa nettirw e b nac ecnere�id siht taht wohS .stsoc elbairav sti dna eunever latot sti neewte b ecnere�id eht ezimixam tsum naisirF tsaE ,sraey owt txen eht revo st�orp latot sti ezimixam oT )e(

.)) 2p4.( k D + )2p( 2D(2p + ) 2p4. − 1p( 1D) 2p

− 1p( = )) 2p4.( k D + ) 2p4. − 1p(1D − ) 2p( 2D(2p + ) 2p4. − 1p( 1D 1p

. 2p dna 1p secirp stes ti fi sraey owt txen eht revo eviecer

lliw sserP naisirF tsaE taht eunever latot eht rof noisserpxe na etirW )d( )43 .hC(

YG OL O N HCET N OITA MR OF NI

414

.)p − 09()01 − p(002

.p fo noitcnuf a sa stsoc elbairav fo ten eunever latot rof noisserpxe na etirw ,oslA .

) p- 0 9( 00 2

raey hcae ni p si ecirp eht fi sraey owt fo

esruoc eht revo dlos seipoc fo re bmun latot eht rof noisserpxe na etirW )a( .01$ sniamer dlos ypoc hcae fo tsoc elbairav ehT .degrahc ecirp eht si p erehw ,)p − 09(001 e b lliw sraey owt eht fo hcae ni dednamed e b lliw taht seipoc wen fo re bmun eht ,esac siht nI .seipoc wen e b lliw desahcrup era taht seipoc lla dna tekram koo b desu eht yortsed lliw ti ,raey eno retfa noitide wen a secudorp ti fI .sraey owt retfa naht rehtar raey eno retfa dedaehel dduM eht rof scimonoceorciM fo noitide wen a ecudorp ot elbati -forp e b dluow ti rehtehw ediced ot gniyrt si sserP naisirF tsaE )2( 6.43

e b lliw

. 0 04 ,2

e b lliw

. 00 5 ,4 63 $ sraey owt eht revo stsoc elbairav fo ten eunever latoT

raey dnoces eht ni stneduts yb desahcrup seipoc wen fo re bmun latot ehT ).ti gnisu rof p ecirp lluf eht yap ot evah yeht os ,koo b eht lleser tonnac yeht taht wonk raey dnoces eht ni stneduts re bmemeR( .005,3 e b lliw raey dnoces eht ni stneduts yb desahcrup seipoc fo re bmun latot ehT .001,1 si skoo b desu sa dloser era taht seipoc fo re bmun latot e hT

. 00 7, 5

. 33 $

e b lliw raey tsr� eht ni dlos seipoc fo re bmun latot ehT

si ti gnilleser dna txet eht gniyub fo raey tsr� eht ni stneduts ot

tsoc ten eht ,ecirp siht tA

.55$ = p

.sraey owt tsr� eht revo stsoc

elbairav fo ten eunever latot sti sezimixam taht p ecirp eht rof evloS )c(

000 ,081 − 2p081 − p008 ,91 = )p081 − 000 ,81()01

− p(

.p ecirp eht fo noitcnuf a sa sraey owt tsr� eht revo ,stsoc

elbairav fo ten ,eunever latot s’naisirF tsaE rof noisserpxe na etirW )b(

p081 − 000 ,81 = ))p8. − 09(001 + )p

− 09(001 = ) 2p4.( k D + )p( 2D

e r a s el a s l a t oT

.p081 − 000 ,81 ot lauqe era sraey owt eht revo seipoc wen fo selas latot eht taht wohs ,sraey dnoces dna tsr� eht ni dedaehel dduM eht rof scimonoceorciM rof p ecirp emas eht segrahc sserP naisirF tsaE fI )a( E MA N

514

.n oi s se rp xe siht dnapxE .) 2p8.1 − 081()01 − 2p( + ) 2p4.

+ 1p − 09() 2p − 1p(001

si e cn e re ff id s i hT

. 008 ,1 − 2p2.2 − 1p − 2p 1p4.1 + 2p801 + 1p09 001 2 2 � � ot lauqe si stsoc elbairav dna seunever neewte b ecnere�id eht , 2p dna 1p secirp ta taht wohS )b(

) 2p8.1 − 041(001

= )) 2p4. + 1p − 07( − ) 2p8.1 − 041( + ) 2p4. + 1p − 07(( 001 . 1p no ton tub 2p no sdne ped re bmun siht taht wohs dna 2p dna 1p

secirp ta dlos seipoc wen fo re bmun latot eht rof noisserpxe na etirW )a( .sdoire p owt eht ni 2p dna 1p secirp tnere�id owt stes ti taht eso ppuS .smelborp suoiverp eht ni sa era stsoc dna sdnamed taht dna sraey owt ret -fa ylno noitide wen a sehsilbup sserP naisirF tsaE taht eso ppuS )3( 7.43

.s t ne du t s r eh t o eh t r of re tt e b si ra e y en o r e tf A .l l es ot n al p d na n oi t ac ilbu p fo ra e y ts ri f e ht n i e sr uo c e h t e ka t

o hw s t ne du t s

r o f r e tt eb si s ra e y o wt re tf A

).stneduts lla rof

emas eht ton si rewsna ehT :tniH( ?stneduts rof rette b e b dluow hcihW ?sraey owt retfa ro raey eno retfa noitide

.s r ae y o wt r et f A

wen a ecudorp ot sserP naisirF tsaE rof elbat�orp erom e b ti dluoW )e(

. 0 00 ,0 23 $

e b lliw ,raey eno retfa noitide

wen a stekram ti fi ,stsoc elbairav fo ten eunever latot s’naisirF tsaE )d(

.0 0 0, 4 dluow raey dnoces eht ni dlos skoo b fo re bmun latot eht dna ,

eb

0 00 ,4

e b dluow raey tsr� eht ni dlos skoo b wen fo re bmun latot ehT )c(

.0 5$ .stsoc elbairav fo ten eunever latot sezimixam taht ecirp eht dniF )b( )43 .hC(

YG OL O N HCET N OITA MR OF NI

614

. 0 52 $ er a re ti r wh ce zC ot gn i hcti ws f o s ts oc e ht e li h w

00 3$ e ra

ne t sa F e su o t gn iu n it no c f o e u la v t ne se rp e ht , se Y

.nialpxE ?retirwhcezC ot hctiws sremotsuc sti lliw ,os fI

.d oire p re p 03$ ot skcehc fo ecirp eht gnisiar gnitalpmetnoc si netsaF )c(

05$

era stsoc gnihctiws sih snaem sihT .margorp eht gnisahcrup

yb ylpmis retirwhcezC ot hctiws nac remotsuc netsaF A .d oire p re p 02$ rof skcehc sti slles dna 05$ rof slles osla retirwhcezC .netsaF naht rehto enoyna yb dlos era taht stekcap ll�er kcehc esu tonnac netsaF taht tpecxe asrev eciv dna od nac netsaF gnihtyreve od nac retirwhcezC .retirwhcezC dellac tcudorp evitce�e yllauqe na secudorp rotite pmoc s’netsaF )b(

.0 5 2$ = 0 1. /0 2+ 0 5

si netsaF fo pihsrenwo fo tsoc

latot ehT ). r/x fo eulav tneserp a sah doire p txen gnitrats x fo stnemyap fo maerts a :tniH( ?remusnoc eht yb edam stnemyap fo maerts eht fo eulav tneserp eht si tahw ,doire p re p 01. = r si etar tseretni eht fI )a( .sdoire p fo re bmun etin�ni na rof margorp eht sesu remusnoc eht taht yticilpmis rof emussA .d oire p tneuqesbus hcae ni skcehc no 02$ sdne ps dna 1 d oire p ni 05$ rof netsaF sesahcrup remusnoc a taht eso ppuS .tsoc ta skcehc eht slles tootnI dna ecud orp ot 02$ tsoc netsaF rof stekcap ll�er kcehC .skcehc fo egakcap a sedulcni dna 05$ rof slles ,netsaF ,flesti margorp ehT .eraw -tfos gnitirwkcehc secudorp to otnI ynapmoc yellaV nociliS ehT )2( 8.43

.0 5$ f o ts oc a s ah rettal eht dna 06$ = 05 × 4. − 08$ fo tsoc ten a s a h re mr of e hT

.ti sdracsid neht dna raey dnoces eht fo

gninnige b eht ta koo b eht syub ohw tneduts a rof tsoc eht htiw raey tsr� eht fo dne eht ta ti slleser dna dehsilbup tsr� si ti nehw koo b eht syub ohw tneduts a rof dedaehel dduM eht rof scimonoceorciM gnisu fo tsoc eht erapmoc , 2p dna 1p gnizimixam-t�orp sti sesoohc sserP naisirF tsaE fI )d(

05$ = 2p ,08$ = 1p

.st�orp ezimixam ecneh dna stsoc elbairav dna eunever latot

neewte b ecnere�id eht ezimixam taht 2p dna 1p secirp eht etaluclaC )c( E MA N

714

. r e ti r w h c e z C

?yub remusnoc eht

lliw hcihw ,lacitnedi si erawtfos eht fo ytilanoitcnuf eht fI .skcehc rof 02$ gniyap dna retirwhcezC rof 05$ gniyap susrev ,skcehc rof doire p re p 52$ gniyap dna 05$ fo ecirp a ta netsaF gniyub gnitalpmetnoc si remotsuc wen A .52$ ta segakcap ll�er kcehc sti ecirp ot seunitnoc tootnI taht eso ppuS .eerf rof elbaliava margorp siht sekam dna atad gnitrevnoc fo tsoc eht setanimile taht margorp retupmoc a setirw enoemos taht eso ppuS )i(

. em as e ht s i tI gnihctiws latot ot erapmoc siht seod woH t�orp fo eulav tneserp eht si tahW

= 01./x

e vl o S

. 0 51 $

?stsoc

?ecirp siht morf

.53 = x rof 001 + 052

?skcehc sti rof egrahc nac tootnI taht ecirp

tsehgih eht si tahw ,noisrevnoc atad fo tsoc eht rof secnawolla gnikaM )h(

. 05 1$

si hcihw

tsoc noisrevnoc atad eht sulp margorp wen eht fo tsoc eht si gnihctiws fo tsoc latot ehT .001$ ta seulav remusnoc eht taht noisrevnoc atad fo sruoh lareves sevlovni osla gnihctiws fo tsoc eht taht won eso ppuS )g(

. em as e ht s i t I siht seod woH

?tsoc gnihctiws remotsuc eht ot erapmoc

.05 = 01./5 = V P

?noitseuq tsal eht ni denim

-reted re bmun eht ot lauqe skcehc fo ecirp eht stes ti fi steg netsaF taht remotsuc re p t�orp eht fo eulav tneserp eht si tahW .5$ ?doire p re p sremotsuc sti fo hcae morf skcehc no ekam netsaF seod t�orp tahw ,hctiws sremotsuc sti gnikam tuohtiw nac ti taht ecirp tsehgih eht segrahc ti fI ) f(

.52 = x dnif ot 052 = 01./x noitauqe eht evloS ).retirwhcezC ot gnihctiws fo eulav tneserp eht htiw netsaF htiw gniyats fo eulav tneserp eht erapmoC .tnuoma siht e b x teL :tniH( ?gnihctiws ot tnere�idni e b tsuj sremotsuc s’netsaF lliw skcehc rof ecirp tahw tA )e(

.0 52 $ si r et ir w hc ez C o t gn ih c ti ws

fo eu la v t ne se rp

e ht e li hw 0 22 $ e ra n e ts aF esu ot g ni u ni tn oc f o eu l av tn es er p e hT

. oN

?hctiws sremotsuc sti

lliW .doire p re p 22$ ot skcehc fo ecirp eht gnisiar setalpmetnoc netsaF )d( )43 .hC(

YG OL O N HCET N OITA MR OF NI

814

08

= gp + cp taht os ,

04

= gp dna

04

= cp taht dn� ew ,snwonknu owt ni snoitauqe owt eseht gnivloS )d(

. cp2 − 021 = gp

si cp fo noitcnuf a sa gp fo eciohc

lamitpo ehT .noisiced gnicirp s’yraidisbus egaugnal eht redisnoc woN )c(

. gp2 − 021 = cp

. gp fo noitcnuf a sa cp fo eciohc lamitpo eht etaluclac ot orez ot lauqe

tluser eht tes dna cp ot tce pser htiw noitcnuf t�orp siht etaitnere�iD )b(

. cp] gp − cp − 021[

si )stsoc dex�

gnitcelgen( noitcnuf t�orp s’ynapmoc pihc eht , gp ta tes si egaugnal eht fo ecirp eht fI .ynapmoc hcae rof elbigilgen era stsoc lanigram taht emussA .yraidisbus rehto eht fo noisiced gnicirp eht tce�a ton lliw ecirp nwo sti ni egnahc a taht gnimussa elihw ,st�orp sti ezimixam ot sa os tcudorp sti ecirp lliw seiraidisbus eht fo hcaE .egaugnal eht ecudorp ot eno dna pihc eht ecudorp ot eno ,seiraidisbus tnedne pedni owt pu stes yllaitini loS )a( .) gp + cp( − 021 = x e b lliw metsys egaugnal-pihc eht rof dnamed eht , gp ecirp a rof egaugnal eht dna cp ecirp a rof pihc eht slles ti fi taht setamitse loS .pihcavauG eht no nur ylno nac avauG dna ,avauG nur ot desu e b ylno nac pihc ehT .pihcavauG eht ,pihc yrateirporp a no snur hcihw ,avauG ,egaugnal wen a detnevni yltnecer sah smetsysorciM loS )2( 9.43

. 53 $ ot sk ce hc st i f o e c ir p eh t es i ar d na 0 5$ r o f n op uo c n wo s ti eu ss I thgim woH

. ne ts a F

?re�o netsaF eht ot dno pser retirwhcezC

?no puoc siht dere�o tootnI fi yub yeht dluow

margorp hcihW .skcehc eht fo tsoc eht gnitcelgen ,flesti erawtfos eht fo tsoc eht ta kool ylno dna dethgistrohs era sremusnoc taht eso ppuS )k(

. 05 $ e b d lu oh s tn uo c si d eh t ta ht dnif ot 01./02 + 05 = d − 01./52 + 05 evloS

?retirwhcezC dna netsaF gnisahcrup neewte b tnere�idni sremusnoc ekam ot tes ot evah ti dluow ecirp tahW .ecirp esahcrup raluger eht fo �o 05$ fo tnuocsid a sre�o taht no puoc a etubirtsid ot sediced tootnI )j( E MA N

914

.e ma s eh t n i am er y eh T

?emiger suoiverp eht fo esoht ot

erapmoc eunever s’muigleB htuoS dna erutidne pxe yrarbil seod woH )c(

.slanruoj fo riap eht rof hcum siht yap ot gnilliw era yeht taht

d et ac i dn i y da er la

ev ah s ei ra r bi l e cn is ,0 00 , 2$ ot ec ir p e ht e si ar

na c ye hT

?ecirp siht tes yeht nac hgih woh ,degnahc

t’nevah stegdub dna secnereferp yrarbil gnimussA .lanruoj hcae fo ecirp eht sesiar muigleB htuoS ,egahrromeh eunever eht mets ot redro nI )b(

001

. ?lles muigleB htuoS lliw lanruoj hcae fo snoitpircsbus

ynam woh ,emehcs gniriap siht rednU .siht gniod ot tsoc latnemercni on si ereht ,cinortcele era seipoc eht ecniS .lanruoj rehto eht erahs ot naol yrarbilretni esu ot eerga yehT .scimonoceagiG ot gnibircsbus riap hcae fo re bmem eno dna scimonoceonaN ot gnibircsbus riap hcae fo re bmem eno htiw ,sriap mrof ot ediced seitisrevinu ,stsoc rewol ot tpmetta na nI )a( .000,1$ tsael ta si lanruoj hcae rof yap ot ssengnilliw rieht ,ecnereferp delaever yB .muig -leB htuoS ot raey re p 000,2$ gniyap hcae ,slanruoj hto b ot e bircsbus lla seitisrevinu pot 002 ehT .raey re p 000,1$ fo lanruoj re p tsoc noit -pircsbus a ta seirarbil ytisrevinu ot lanruoj hcae fo noisrev cinortcele eht rof esnecil a sre�o tI .stsimonoce orcam llat rof lanruoj a ,scimonoceagiG dna ,stsimonoceorcim trohs gnoma gniwollof layol a sah hcihw ,scimonoce -onaN lanruoj cimedaca eht secudorp sserP muigleB htuoS )2( 01.43

. me ts y s de ta rg e tn I sekam hcihW hcihW

. me ts y s d e ta rg et n I

.m et sy s de t ar ge tn I

?t�orp erom

?sremusnoc rof rette b si

?rewol si hcihW .seiraidisbus

etarapes eht dna metsys detargetni eht yb degrahc secirp eht erapmoC )g(

.06

= p enimreted ot orez ot nois

-serpxe gnitluser eht tes dna p ot tce pser htiw t�orp siht etaitnere�iD ) f(

.p]p − 021[

si noitcnuf t�orp s’gnitupmoC avauG

.eldnub eht fo ecirp eht e b p teL .egaugnal eht dna pihc eht fo gnitsisnoc metsys deldnub a slles hcihw gnitupmoC avauG pu stes ti os ,emosre bmuc si metsys yraidisbus tnedne pedni eht taht sediced smetsysorciM loS )e( )43 .hC(

YG OL O N HCET N OITA MR OF NI

024

.n ao l yr ar b il re tn i r o f ts oc

s no it c as na rt

eh t ya p ot ev ah dl uo w y eht e cn is f fo e sr o w e b dl u ow

seirarbil ,slanruoj htob

t hg uo b l l it s y e ht g ni mu ss A

?egnahc rews

-na ruoy dluow woh ,naol yrarbilretni fo tsoc a erew ereht fI )d( E MA N

124

)43 .hC(

YG OL O N HCET N OITA MR OF NI

224

stnatibahni ,stce pser rehto ni re�id yam yeht hguohtlA .knir gnitaks nwot eht ,doog cilbup eno si erehT .ela s’ttabaL ,doog etavirp eno ylno emus -noc tarksuM fo snezitiC .elpoe p 000,1 sah ,oiratnO ,tarksuM )0( 1.53 . iB i /)1 − iA i ( = G evah ew ,G rof siht aht seriuqer� ycneic�e oteraP eroferehT gnivloS .1 = G) iB i ( − iA i t� �)G iB −� iA( i .G) iB ( − iA i = si noitutitsbus fo setar lanigram fo �iB − iA si SRM s’i nosre p fo eulav seulav � etulosba � fo mus eht dna G etulosba eht eroferehT .G iB − iA si i nosre p rof sdoog cilbup fo ytilitu lanigram eht dna 1 si sdo og etavirp fo ytilitu lanigram ehT .sdo og etavirp fo ytilitu lanigram eht ot sdoog cilbup fo ytilitu lanigram eht fo oitar eht si sdoog etavirp dna sdoog cilbup neewte b noitutitsbus fo etar lanigram s’i nosre p fo eulav etulosba ehT .1 si oitar ecirp eht os ,seulav rallod ni sdoog hto b erusaem ew elpmaxe siht nI .sd oog etavirp dna cilbup fo secirp evitaler eht ot lauqe sdoog etavirp dna cilbup neewte b noitutitsbus fo setar lanigram fo seulav etulosba eht fo mus eht tes tsum ew ,steerts sti gnix� no dne ps ot nwot siht rof yenom fo tnuoma lamitpo oteraP eht dn� oT .steerts sti gnix� no sdne ps nwot eht taht yenom fo tnuoma eht si G dna sdoog etavirp no dne ps ot sah i nosre p taht yenom fo tnuoma eht si iX erehw , G iB − G iA + iX = )G , iX( U si i nosre p fo noitcnuf ytilitu ehT 2 .steerts ytic eht fo ytilauq eht ni dna noitpmusnoc etavirp ni ylno detseret -ni era mohw fo lla ,elpoe p 000,5 sah nwot nretsewdim teiuq A :e lpmaxE .sdoog etavirp fo smret ni sdoog cilbup fo tsoc lanig -ram eht lauqe tsum sd oog etavirp dna skrower� neewte b noitutitsbus fo setar lanigram ’sreweiv fo seulav etulosba eht fo mus eht taht snaem sihT .skrower� fo tsoc lanigram eht lauqe skrower� fo tnuoma eht ni esaercni lanigram a rof yap ot gnilliw era sreweiv taht tnuoma eht fo mus eht taht seriuqer ycneic�e ,daetsnI .sruoy lauqe sehciwdnas mah dna skrower� neewte b noitutitsbus fo etar lanigram ym taht eriuqer ton seod ycneic�E .su fo hcae rof skrower� fo tnuoma emas eht e b lliw ereht ,dleh si wohs skrower� lacol eht nehw neht ,nwot emas eht ni evil I dna uoy fI .sdo og etavirp owt eht fo stnuoma tnere�id emusnoc yam ew ,revewoh ,re�id setsat ruo fI .lauqe e b tsum noitutitsbus fo setar lanigram ruo neht ,sananab dna sehciwdnas mah emusnoc hto b I dna uoy fi taht sdnamed ycneic�e ,sdoog etavirp htiW .sdoog etavirp rof esoht morf tnere�id era sdo og cilbup fo noitac olla tneic�e rof snoitidnoc ehT .emit emas eht ta skrower� gnihctaw ro nedrag lufituae b a ta gnikool yojne hto b nac I dna uoY .demusnoc yltnioj e b nac yehT .rettam tneref -fid a era sdoog cilbuP ).seno tnere�id tae tsum ew tub ,sehciwdnas mah tae hto b nac ew esruoc fO( .hciwdnas mah emas eht tae tonnac I ,hciw -dnas mah a tae uoy fI .rehtona yb demusnoc ylsuoenatlumis e b tonnac nosre p eno yb demusnoc sdoog etavirp fo tinu A .sdoog etavirp gnimus -noc sremusnoc hs�les deiduts ew sretpahc suoiverp nI .noitcudortn I

sdooG cilbuP E MA N

53 retpahC

xat siht hcihw morf snwot fo sderdnuh era ereht tuB .desaercni e b ot evah lliw tnemnrevog laicnivorp eht ot diap sexat ,ydisbus siht rof yap ot taht eurt si tI .oiratnO ni tarksuM ekil snwot fo sderdnuh era erehT .oiratnO fo ecnivorp eht fo snezitic lla yb derahs e b lliw ydisbus siht fo stsoc ehT .snwot lla ni sknir gnitaks fo tsoc eht fo %05 yap lliw tnemnre -vog laicnivorp ehT .sknir gnitaks lac ol gnizidisbus yb erutluc naidanaC etomorp ot sediced noissimmoc larutluc oiratnO eht taht eso ppuS ) f(

. em as e hT

?knir lamitpo

oteraP eht sa ezis emas eht ro ,naht rellams ,naht regral e b ti lliw sretov eht yb dednamed ezis eht si taht knir gnitaks a seilppus nwot eht fI )e(

.001 = G

?elpmaxe ruo ni taht

si G hcum woH .G fo tnuoma taht rof setov dna tniartsnoc tegdub sih ot tcej bus ytilitu sih sezimixam taht G dna iX fo noitanibmoc eht rof sevlos ylpmis retov a ,rof etov ot knir gnitaks a gib woh ediced ot redro nI .000 ,1 = 001/G + iX sa tniartsnoc tegdub s’retov a etirw nac ew eroferehT )d(

.001/G − 000 ,1

si dro�a ot elba e b lliw eh taht ela s’ttabaL fo

tnuoma eht neht ,G si knir gnitaks eht fo ezis eht fi taht sezilaer nezitic a ,siht gniwonK .knir gnitaks eht fo tsoc eht fo erahs rieht yap ot evah lliw yeht taht ezilaer snezitiC .e b dluohs knir gnitaks eht gib woh no etov tarksuM fo snezitic eht raey yrevE .001/G$ = 000 ,1/G01$ si knir gnitaks eht rof yap ot nezitic laudividni na yb diap llib xat eht nehT .G01$ e b lliw knir gnitaks sti no nwot eht yb erutidne pxe latoT .knir gnitaks eht fo tsoc eht fo erahs lauqe na syap nwot ni enoyreve taht eso ppuS )c(

.001 = G oS .01 = 020G1 000 ,1 .G fo tnuoma tneic�e oteraP eht rof ti evlos dna noitauqe siht etirW .tsoc lanigram slauqe noitutitsbus fo setar lanigram fo seulav etulosba fo mus eht taht noitidnoc eht setats taht noitauqe na etirw ot elba e b won dluohs uoy ,noitutitsbus fo etar lanigram emas eht htiw lla ,nwot ni elpoe p 000,1 era ereht ecniS )b( .01

?)ela s’ttabaL fo smret ni derusaem( knir

gnitaks fo retem erauqs artxe na fo tsoc lanigram eht si tahW

2

G/001

.nezitic lacipyt a rof ela s’ttabaL dna knir gnitaks neewte b noitutitsbus fo etar lanigram eht fo eulav etulosba eht rof noisserpxe na nwod etirW )a( .raey re p 000,1$ fo emocni na sah tarksuM ni sevil ohw enoyrevE .retem erauqs re p 01$ si knir gnitaks eht fo ecirp eht dna eltto b re p 1$ si ela s’ttabaL fo ecirp ehT .sretem erauqs ni derusaem ,knir gnitaks nwot eht fo ezis eht si G dna i nezitic yb demusnoc s’ttabaL fo seltto b fo re bmun eht si iX erehw ,G/001 − iX = )G , iX( U si noitcnuf sihT .noitcnuf ytilitu emas eht evah )53 .hC( S D O OG CILB UP

424

.srallod RW sah yaR dna ,dne ps ot srallod BW sah boB .afos eht teg t’nod yeht fi 0 = S dna ,afos eht teg yeht fi 1 = S ,sdoog rehto no dne ps ot evah yaR dna boB taht yenom fo stnuoma eht era RM dna BM snoisserpxe eseht nI . RM) S + 2( = ) RM ,S( Ru si noitcnuf ytilitu s’yaR dna , BM) S + 1( = ) BM ,S( Bu si noitcnuf ytilitu s’boB .mo or gnivil rieht ni taerg kool dluow taht afos dlo-raey-52 a to ps yeht tekram ae� a nI .raey eht rof tnemtrapa na gnirahs era ohw sroj am scimonoce yrgnuh owt era yaR dna boB )0( 4.53

.5 26

.po�woC rof skrower� fo tnuoma lamitpo oteraP eht dniF )b(

.) g 04(/1 √

.klim dna skrower� neewte b noitut

-itsbus fo etar lanigram s’nezitic hcae fo eulav etulosba eht rof evloS )a( ).dewaltuo si skrower� fo esu etavirP( .aznagavartxe yluJ fo htruoF s’nwot eht ni dedolpxe skrower� fo stinu fo re bmun eht si g dna i nezitic yb demusnoc raey re p klim fo snollag fo re bmun eht si ix erehw ,02/g + ix = ) g , ix( iU si i nezitic √ hcae fo noitcnuf ytilitu ehT .snoitcnuf ytilitu lacitnedi evah yeht ,tcaf nI .emas eht hcum ytterp lla era po�woC ni elpoeP .tinu re p klim fo nollag 1 tsoc skroweriF .skrower� gnihctaw dna klim gniknird—sgniht owt ylno ni detseretni era snezitic ehT .yluJ fo htruoF eht no wohs skrower� a evah yeht raey yrevE .elpoe p 000,1 sah ,nisnocsiW ,po�woC )0( 3.53

. eg lu d ni re vo ll a o s

, la em n wo f o ts o c ll u f n ah t ss el

s ya p hc aE

.metsys tneic�eni na e b yam siht yhw nialpxE )b(

.2 $

?02$ stsoc taht

rezite ppa na gniredro fo meht fo eno yna ot tsoc lanoitidda eht si tahW )a( .meht gnoma yllauqe dedivid e b lliw llib latot eht taht eerga dna tnaruatser evisne pxe na ta rehtegot rennid evah elpoe p neT )0( 2.53

. oN

?ycneic�e cimonoce etomorp ydisbus siht seoD )g(

).noitanibmoc gnizimixam-ytilitu eht rof evlos nehT .erofe b sa hcum sa flah ylno knir eht fo ezis eht gnisaercni fo tsoc eht dna erofe b sa egral sa flah ylno e b lliw sexat lacol taht gnivresbo slaudividni rof tniartsnoc tegdub eht etirweR :tniH( .2 001 = G ?rof etov

√

tarksuM fo snezitic dluow knir gnitaks a egral woh yletamixorppa ,woN .detcelgen ylefas e b nac etats eht ot yap ot evah snezitic sti sexat eht no tarksuM ni serutidne pxe ni esaercni na fo tce�e eht taht os ,detcelloc si E MA N

524

).emocni ,doog etavirp eno dna H do og cilbup eno htiw ledom a sa emas eht yllamrof si led om siht taht ecitoN :tniH( .000 ,1 = H . H lamitpo oteraP eht dniF

.05 = H50.

.krow ot edylC dna einnoB rof sruoh fo

re bmun lamitpo oteraP eht rof devlos e b nac taht noitauqe na etirW )c(

. 0 5$ lliw yenom artxe hcum woH

?ruoh artxe na krow yeht fi ekam yeht

. H50.

. H fo noitcnuf a sa tnuoma siht

rof noisserpxe na etirW .yenom dna krow neewte b noitutitsbus fo setar lanigram rieht fo seulav etulosba eht fo mus eht ot lauqe yletamixorppa si tnuoma sihT .edylC etasne pmoc ot dedeen si taht tnuoma eht dna einnoB etasne pmoc ot dedeen si tahw fo mus eht si ruoh artxe na krow ot gnivah rof hto b meht etasne pmoc ot dedeen e b dluow taht yenom fo tnuoma latot eht neht ,sruoh H gnikrow hto b era edylC dna einnoB fI )b(

. H10.−

?sdo og etavirp fo ytilitu lanigram sih ot krow fo sruoh fo

ytilitu lanigram s’edylC fo oitar eht si tahW

. H40.−

?sd oog etavirp

fo ytilitu lanigram reh ot krow fo sruoh fo ytilitu lanigram s’einnoB fo oitar eht si tahw , H si krow hto b yeht taht sruoh fo re bmun eht fI )a( .edylC rof dna einnoB rof noitpmusnoc no tne ps yenom fo stnuoma launna eht era CC dna BC erehw , 2 H500. − CC = ) H , CC( CU si noitcnuf ytilitu s’edylC dna H20. − BC = ) H , BC( BU si noitcnuf ytilitu s’einnoB .edylC dna einnoB 2 fo gnitsisnoc ytinummoc nosre p owt eht rof ”dab“ cilbup a ekil si ”ro bal fo sruoh“ elbairav eht os ,sruoh fo re bmun emas eht krow tsum hto b yeht ,rehtegot krow tsum yeht ecniS .raey re p krow yeht taht sruoh fo re bmun eht si H erehw , H05 si raey re p t�orp latot riehT .pihsrentrap rieht morf t�orp si emocni fo ecruos ylno riehT .rehtegot krow ot evah yeht ,krow yeht revenehW .srentrap ssenisub era edylC dna einnoB )0( 5.53

. 57 $

naht retaerg on

si afos eht fo tsoc eht sa gnol os ti gniyub ton revo tnemevorpmi oteraP a evah dna afos eht yub dluoc yeht ,�uts rehto dna safos no dne ps ot 57$ = RW fo latot a sah yaR dna 001$ = BW fo latot a sah boB fI )c(

.3/RW = Rp sevig hcihw ,) Rp − RW(3

?afos eht rof ecirp noitavreser s’boB si tahW )a(

= B W ev lo S

?afos eht rof ecirp noitavreser s’yaR si tahW )b(

= RW2 evloS

.2/ BW = Bp teg ot ) Bp − BW(2 )53 .hC( S D O OG CILB UP

624

.f o ss e L

.yllauqe meht staert taht

mumitpo oteraP eht sa do og cilbup ) fo tnuoma emas eht ,fo ssel ,fo erom( evah lliw esrow nivleM dna rette b ycuL taert taht amitpo oteraP ehT )g(

.000 ,8$ = G +

MX

+ LX

dna 2/1 = G/ MX snoitauqe eht yfsitas taht s n oi ta co l la e h T

.snoitacolla lamitpo oteraP fo tes eht e bircseD ) f(

.000 ,2$ = G dna 000 ,1$ st e g n i vl eM ; 0 00 ,5 $ s te g yc uL

.000,2$ naht erom

steg ycuL hcihw ni mumitpo oteraP rehtona fo elpmaxe na eviG )e(

.000 ,5$ = G dna 005$ y c uL ; 00 5 ,2 $ s t eg n iv le M : el pm ax e en O

st eg .sdo og

etavirp fo htrow 000,2$ naht ssel steg ycuL dna 000,2$ naht erom steg nivleM hcihw ni emoctuo lamitpo oteraP rehtona fo elpmaxe na eviG )d(

. se Y

?emoctuo tneic�e oteraP a siht

sI .sdoog cilbup no 000,4$ gniniamer eht dne ps yeht dna sevlesmeht rof sdoog etavirp no 000,2$ dne ps hcae ycuL dna nivleM taht eso ppuS )c(

.1 = G/ MX + 2/1

.doog cilbup eht fo ytitnauq tneic�e oteraP

eht fo noisivorp rof noitidnoc eht sesserpxe taht noitauqe na etirW )b(

.G/ MX eulav etulosba eht si tahW

.2/1

?s’nivleM fo

?sdo og etavirp dna cilbup neewte b

noitutitsbus fo etar lanigram s’ycuL fo eulav etulosba eht si tahW )a( .sdoog cilbup no dna meht fo hcae rof sdoog etavirp no dne ps ot meht neewte b raey re p 000,8$ fo latot a evah nivleM dna ycuL .sdoog cilbup no dne ps yeht taht yenom fo tnuoma eht si G erehw dna nivleM rof dna ycuL rof sdoog etavirp no tne ps yenom fo stnuoma eht era MX dna LX erehw ,G MX si noitcnuf ytilitu s’nivleM dna G + LX2 si noitcnuf ytilitu s’ycuL .erahs yeht hcihw ,tner eht dna ,gnitaeh dlohesuoh eht ,rotaregirfer eht ekil sdo og cilbup no emocni rieht fo emos dna yletarapes emusnoc yeht taht gnihtolc dna d oof ekil sdoog etavirp no emocni rieht fo emos dne ps yehT .tnemtrapa na erahs nivleM dna ycuL )0( 6.53 E MA N

724

.x semit eno taht sexat eht dna x semit

2

n oi l li m 6

si yap ot sah erutaerc si tnemnrevog eht ot

tsoc latot eht ,erutaerc hcae ot tnemnrevog eht yb dedivorp era snossel x fi ,sexat fo tnuoma emas eht syap ydo byreve nehw ,yllareneg eroM )b(

.s a dn of 0 1

?sexat sti diap sah ti retfa

daerb no dne ps ot tfel evah erutaerc ro o p a lliw hcum woH

06

. sa dn of

?sexat sti diap sah ti retfa daerb no dne ps ot tfel evah erutaerc hcir

a lliw hcum woh ,nevig era snossel 02 fI nezitic yreve lliw sexat hcum woH

.sadnof 04

?yap ot evah

.s a dn of n o il li m 0 21

?snossel no serutidne pxe tnemnrevog latot e b lliw hcum woh ,snossel 02 steg o pmuJ fo nezitic yreve fI ”.xat daeh“ a sa nwonk si xat a hcus ,daeh eno yltcaxe sah erutaerc yreve erehw ,o pmuJ sa hcus ,stenalp nO .sexat fo tnuoma lauqe na yap o pmuJ no erutaerc yreve gnikam yb rof diap si etats eht yb dedivorp snossel sciborea eht fo tsoc eht taht eso ppuS )a( .etov ytiroj am yb denimreted e b lliw deilppus e b ot sciborea fo tnuoma eht dna ,ycarcomed a si o pmuJ .meht rof yap ot dedeen tnuoma eht naht sexat ssel ro erom on stcelloc dna snossel sciborea gnidivorp naht sesne pxe rehto on sah tnemnrevog ehT .o pmuJ fo snezitic eht morf detcelloc sexat yb rof diap si snossel dedivorp-etats eht fo tsoc sihT .nossel re p sadnof 2 si snossel sciborea fo etats eht ot tsoc ehT .faol re p adnof 1 si daerb fo ecirp ehT .o pmuJ no erutaerc yreve ot snossel sciborea fo tnuoma emas eht sevig etats ehT .sdoog etavirp era yeht taht tcaf eht etipsed etats eht yb dedivorp era snossel sciborea tub ,yaw lausu eht ni dlos si daerB .o pmuJ no serutaerc hcir noillim eno dna serutaerc ro o p noillim owt era erehT .)o pmuJ no tinu ycnerruc eht( sadnof 05 fo emocni na sah erutaerc roo p yreve dna sadnof 001 fo emocni na sah o pmuJ no erutaerc hcir hcaE .roo p eht dna hcir eht ,spuorg emocni tne -re�id owt era ereht ,emas eht lla era setsat hguohtlA .daerb dna snossel sciborea fo snoitpmusnoc s’i era iB dna iA erehw , iB iA = ) iB , iA( iU 2/1 2/1 mrof eht fo snoitcnuf ytilitu salguoD-bboC evah lla snezitic ehT .daerb dna snossel sciborea ,sd oog owt era ereht o pmuJ tenalp eht nO .seimonoce nretseW nredom ni sdoog etavirp deilppus ylcilbup fo selpmaxe tnatro pmi fo kniht nac uoy rehtehw ees ot uoy ot ti evael eW .sd oog etavirp fo noisivorp cilbup yb desiar seussi ycneic�e eht htiw slaed osla melborp sihT ”?ylcilbup sdoog etavirp erup ylppus tnemnrevog eht gnivah rovaf lliw snezitic fo ytiroj am a taht tce pxe ew nac nehw ,ycarc omeD a nI“ ,si noitseuq ehT .htrae siht fo stnediser snrecnoc taht eussi lacitcarp yrev a htiw slaed ti tub ,noitacol luficnaf a ni tes si melborp sihT )0( 7.53 )53 .hC(

S D O OG CILB UP

824

.A000 ,000 ,6 = A3 × 000 ,000 ,1 + A5.1 × 000 ,000 ,2 si eunever latot ,hcir 000,000,1 dna roop 00 0 ,0 00 , 2 er a e re h T

.snossel A fo tsoc latot eht e b

lliw detcelloc eunever xat latot taht wohs ,erutaerc hcae ot nevig era snossel A fI .sadnof A5.1 e b lliw nosre p ro o p a rof llib xat eht dna sadnof A3 e b lliw nosre p hcir a rof llib xat eht ,o pmuJ no erutaerc hcae ot dere�o era snossel sciborea A fI .snossel eht rof syap eune -ver xat taht os tes si etar xat ehT .xat emocni lanoitro porp a yb rof diap era tub deilppus ylcilbup niamer snossel sciborea taht eso ppuS )g(

.5 2

?teg ro o p eht lliw daerb hcum woH

eht lliw daerb hcum woH

.5 .2 1

.0 5

?teg hcir

?teg ro o p eht lliw ynam woH

. 52

?teg hcir eht lliw snossel sciborea ynam woH .tinu re p sadnof 2 ta syats snossel fo ecirp eht dna tinu re p adnof 1 ta syats daerb fo ecirp eht taht eso ppuS .sekil ti sa daerb hcum sa dna sekil ti sa snossel ynam sa yub ot dewolla si erutaerc yrevE .detcelloc era sexat on dna ylcilbup deilppus era snossel on taht os ”,dezitavirp“ era snossel sciborea taht eso ppuS ) f(

. 52

?teg roo p eht lliw daerb hcum woH

?teg hcir eht lliw daerb hcum woH

. 5. 21

. 57

?dedivorp e b lliw snossel

sciborea ynam woh ,elur ytiroj am yb denimreted si emoctuo eht fI )e( ).tegdub etairporppa na htiw dnamed salguoD-bboC eht rof evlos ot evah tsuj uoy esac hcae nI :tniH( ?deilppus evah ot referp elpoe p roo p eht dluow ynam woH

.5 .2 1 . 52

?deilppus evah ot referp elpoe p hcir eht dluow snossel ynam woH

.enoyreve ot stnuoma lauqe ni tnemnrevog eht yb dedivorp era snossel lla dna xat daeh a yb rof diap era snossel sciborea eht taht eso ppuS )d(

. B n o d ne ps ot sadnof A2 − I evah

uo y , se xa t r et fA

.sadnof A2 era sexat ruoy ,dedivorp era sn os s el A fI

.esac eht si siht yhw nialpxE .emocni sti si I erehw

, I = B + A2 tniartsnoc tegdub eht ot tcej bus noitcnuf ytilitu salguoD -bboC a ezimixam ot gniyrt si ohw ,i ,remusnoc a yb decaf taht sa emas eht yllamrof si taht melborp eciohc a secaf erutaerc hcae ,ecruos rehtona morf snossel erom teg ot elba ydo bon dna tnuoma emas eht gnitteg ydo b -yreve htiw dedivorp ylcilbup e b ot gniog era snossel sciborea ecniS )c( E MA N

924

ro op

.x at em oc n i l an o it ro por p ,n oi t az it av i rp r ef er p h ci R

tsal eht nialpxE noitazitavirp sI -ro porp a sI

.o N .oN

. se Y

re fe rp .srewsna owt

?xat emocni lanoitro porp eht ot roire pus oteraP ?xat daeh eht ot roire pus oteraP xat emocni lanoit

?xat daeh eht ot roire pus oteraP noitazitavirp sI )j(

).stoor eht tuo gnitaluclac naht rehtar sto or erauqs sa .xat emocni lanoitro porp eht red

seitilitu eseht sserpxE( .76.614 √

- nU

.5.213 √

.noitazitavirp rednU

.5.213 √

.xat daeh eht rednu

erutaerc roo p hcae fo ytilitu eht etaluclac woN ).noitcnuf ytilitu eht otni eseht gulp dna ,steg nosre p hcir a taht snossel sciborea fo noitpmusnoc eht dna daerb fo noitpmusnoc eht rof evlos ,esac hcae nI :tniH( .3.338 .xat emocni lanoitro porp a rednU

5.739

.052 ,1

√

√

.noitazitavirp rednU

.xat daeh a rednu erutaerc hcir a fo ytilitu eht etaluclaC )i(

√

. 52

eht dluow daerb hcum woH

.3/05

.05

?teg roo p

?teg hcir eht dluow daerb hcum woH

?elur ytiroj am rednu nesohc e b dluow atipac re p snossel sciborea

fo ytitnauq tahW

.3/05

?rovaf roo p eht dluow ynam woH

.3/05

?rovaf hcir eht dluow erutaerc re p snossel sciborea ynam woh ,setar xat eseht htiW

.05 = B + A5.1

-dub tnaveler eht si tahW

?erutaerc roo p a rof tniartsnoc teg

.001 = B + A3

?rof etov ot snossel

sciborea ynam woh gnidiced ni redisnoc nosre p hcir a dluow tniartsnoc teg -dub tahw ,evo ba dessucsid emehcs xat emocni lanoitro porp eht htiW )h(

.A000 ,000 ,6 si tsoc latot ,s ad no f 2 t so c sn o ss el d n a sn o ss el A st eg h ca e fI . l la n i e lp o ep 00 0, 00 0 ,3 e ra e re hT )53 .hC( S D O OG CILB UP

034

.e d ar t o re z eb d lu o w e re ht o S . noit c ud or p fo t so c e ht n ah t s se l si h ci hw ,1 1$ e b dl u ow y ap o t ss e ng ni ll i w e ga re vA . oN

?tekram eht ni rae ppa srene prahs licne p fo se pyt owt eht fo

seititnauq )evitiso p( lauqe hcihw ni muirbiliuqe na e b ereht dluoC )c(

.s e la s o n e b d lu ow er eh t mu ir b il iu qe ni oS .t cu d or p y ti la u q- wo l r of hc um ta ht ya p t ’n ow s re mu s noc ,0 5. 1 1$ n ah t ss el r o f ll es t ’n ow sr el le S

?muirbiliuqe ni dlos e b ot tce pxe uoy dluow srene prahs

ytilauq-wol ynam woH .srelles ytilauq-hgih on erew ereht taht eso ppuS )b(

. 05 .1 1 $

?ecirp muirbiliuqe eht e b lliw tahW .ytilauq

hgih fo era tekram eht no rae ppa ot dewolla smeti ylno eht taht os ,lag -elli si srene prahs-licne p cirtcele ytilauq-wol fo elas eht taht eso ppuS )a( .ylevitite pmoc evahe b srerutcafunam llA .05.11$ fo tsoc tinu tnatsnoc a ta tcudorp eht erutcafunam nac rerutcafunam fo e pyt hcaE .) q − 1(8 + q41 ta tce psorp siht eulav yeht neht ,tcudorp ytilauq-wol a gnitteg fo q − 1 dna tcudorp ytilauq-hgih a gnitteg fo q ytilibaborp evah yeht fi ;lartuen ksir era sremusnoc ehT .esahcrup retfa tcudorp eht fo ytilauq eht enimreted nac yeht ,revewoH .rerutcafunam eht yfitnedi yeht nac ron ;tcudorp ytilauq-wol a dna tcudorp ytilauq-hgih a neewte b hsiug -nitsid tonnac sremotsuc ,esahcrup fo emit eht tA .8$ ta deulav era taht seno doog ssel ecudorp srerutcafunam ”ytilauq-woL“ .41$ ta eulav sremus -noc taht srene prahs d oog yrev ecudorp srerutcafunam ”ytilauq-hgiH“ .srecud orp rene prahs-licne p cirtcele fo se pyt owt era erehT )0( 1.63 .meht tuo ba kniht stsimonoce taht yaw eht dna smelborp eseht fo elpmas a uoy swohs retpahc sihT .no gniog si krow gniugirtni hcum hcihw ni ,scimonoce orcim fo hcnarb wen ylevit -aler a si sevitnecni dna noitamrofni fo scimonoce ehT .noitcudortn I

noitamrofn I E MA N

63 retpahC

ytivitcudorp-wol eht dna esruoc scimonoceorcim eht ekat ot esoohc lla srekrow ytivitcudorp-hgih eht taht eso ppuS .esruoc scimonoceorcim eht sekat laudividni na ton ro rehtehw evresbo nac mr� ehT .tuc egaw 6$ a sa dab sa tsuj si ti kniht srekrow ytivitcudorp-wol eht dna ,tuc egaw 3$ a sa dab sa tsuj si esruoc siht gnikat taht kniht srekrow ytivitcudorp -hgih ehT .edaS eD .M rosseforP yb thguat ,loohcs thgin ni esruoc scimonoceorcim a sre�o egelloc ytinummoc lacol eht taht eso ppuS )b(

. 05 .2 1$

si tnuoma sihT .tcudorp lanigram rieht fo eulav

egareva eht diap e b lliw srekrow ,evitite pmoc si tekram ro bal eht fI )a( .e pyt hcihw fo era srekrow hcihw enimreted ot hguone ylesolc krow rieht rotinom ot elba e b t’now ti ,meht derih sah ti retfa nevE .srekrow fo sdnik owt eht neewte b ecnere�id eht llet yltcerid tonnac mr� A .dnik hcae fo srekrow fo sre bmun lauqe era erehT .51$ htrow tcudorp lanigram )tnatsnoc( a sah dnik rehto eht dna 01$ htrow tcudorp lanigram )tnatsnoc( a sah dnik enO .srekrow fo sdnik owt yltcaxe era ereht ,anaidnI ,dneB tseW nI )0( 2.63

. s ul pr us ’sre m us no c e vi t is op d na

tu p tu o si e re ht

muirbiliuqe ni neht ,dennab era stcudorp y t ilau q- w ol f I . su lp ru s ’s re mu s no c on d na tup tu o on e b ll i w e re ht , na b o n si e re ht fI

?srene prahs-licne p cirtcele ytilauq-wol fo noitcudorp dennab

tnemnrevog eht fi od ti dluow doog tahw ,noitseuq tsal eht ni de bircsed eciohc noitcudorp eht ekam ot elba si recudorp hcae taht gnimussA )e(

.8$ s i yt il au q w ol r o f y a p- ot -s s en gn il liw e h t dna 11$ eb lliw stsoc ,tuptuo ytilauq-wol ecudorp srecudorp lla fI .tsoc noitcudorp rewol a sah ti ecnis tcudorp ytilauq-wol e h t e c ud or p dl u ow sr ec ud o rP . ed ar t o N

?muir

-biliuqe ni ne ppah ot tce pxe ew dluow tahw ,rettal eht rof 11$ dna rem -rof eht rof 05.11$ fo tsoc tinu a htiw ,rene prahs-licne p ytilauq-wol a ro ytilauq-hgih a rehtie erutcafunam ot esoohc nac recud orp hcae taht eso ppuS .ygolonhcet eht tuo ba snoitpmussa ruo egnahc ew woN )d( )63 .hC(

N OITA MR OF NI

234

0 05 ,1 $

?egaw siht saw tahw

,evitite pmoc erew stekram ro bal fI .egaw emas eht diap saw enoyreve os ,ro bal fo se pyt owt eht hsiugnitsid ot yaw on saw ereht ,syad dlo eht nI .elihwhtrow e b ot evisne pxe oot si stnemhsilpmocca krow laudividni gnirotinoM .hturt eht llet syawla sodnaK .sodnaK e b ot mialc lliw yeht ,ksa uoy fI .srail dehsilpmocca era dna sodnaK ekil tsuj kool seztulK .sodnaK sa seztulK ynam sa eciwt yltcaxe sah amginE .htnom re p 005,2$ htrow si ro bal esohw ,sodnaK dna htnom re p 000,1$ htrow si ro bal esohw seztulK ,srekrow fo sdnik owt era ereht ,oihO ,amginE nI )1( 3.63 gnitarapes a

e b t ’n o w

ytivitcudorp-wol eht rof

4$

.e pyt siht fo muirbiliuqe )e b t’now ,e b lliw( ereht eroferehT .srekrow

1$

dna srekrow ytivitcudorp-hgih eht rof

e b lliw esruoc scimonoceorcim s’ �upemerK gnikat morf st�ene b

ten eht neht ,ti gnikat ton srekrow ytivitcudorp-wol dna esruoc eht gnikat srekrow ytivitcudorp-hgih htiw muirbiliuqe gnitarapes a si ereht fI )e(

.0 1$

e b lliw esruoc

scimonoceorcim eht ekat t’nod ohw elpoe p rof egaw eht dna

5 1$

eb

lliw esruoc scimonoceorcim eht ekat ohw elpoe p rof egaw evitite pmoc eht ,ot ton esoohc lla srekrow ytivitcudorp-wol eht dna esruoc scimonoce orcim eht ekat ot eso ohc lla srekrow ytivitcudorp-hgih eht fI .tuc egaw 4$ a sa dab sa si esruoc s’ �upemerK gnikat taht kniht srekrow ytivitcud orp-wol dna ,tuc egaw 1$ a sa dab sa si esruoc s’ �upemerK gnikat taht kniht srekrow ytivitcudorp-hgiH .edaS eD naht rette b mih ekil stneduts tsael ta tub ,detareggaxe era smialc s’ �upemerK rosseforP ”.VT no spaos eht sa nuf sa dna ecneics lacitilo p sa ysae sa“ scimonoce ekam ot ytiliba sih no flesmih sedirp �upemerK .�upemerK notroM rosseforP si tnemecalper siH .seulav ylimaf fo scimonoce eht no sevitaatneserper drawyaw erut -cel ot ,notgnihsaW ot �o dellac si edaS eD rosseforP taht eso ppuS )d( gnitarapes a

e b l l iw

ytivitcud orp-wol eht rof

2$

.e pyt siht fo muirbiliuqe )e b t’now ,e b lliw( ereht eroferehT .srekrow

1− $

dna srekrow ytivitcudorp-hgih eht rof

e b lliw esruoc scimonoceorcim eht gnikat morf st�ene b ten

eht neht ,ti gnikat ton srekrow ytivitcudorp-wol dna esruoc eht gnikat srekrow ytivitcudorp-hgih htiw ,muirbiliuqe gnitarapes a si ereht fI )c(

. 01 $

e b lliw esruoc scimonoceorcim eht ekat

t’nod ohw elpoe p rof egaw eht dna

5 1$

e b lliw esruoc scimonoceorcim

eht ekat ohw elpoe p rof egaw evitite pmoc ehT .ot ton esoohc lla srekrow E MA N

334

eh t ec nis , es ru o c

eh t e k at d lu ow so dn aK

ne ht ,h tno m a 0 00 ,1 $ t eg t on o d o hw el po ep d na 0 05,2 $ t eg es ru oc e ht e k at o hw e so ht f I . se Y

?ytivitcud orp eurt rieht ot gnidrocca diap erew esruoc

eht koot ohw esoht erehw dna ti koot seztulK eht fo enon dna esruoc sih koot lla sodnaK eht hcihw ni muirbiliuqe na e b won ereht dluoW .htnom a sruoh 02 rof serutcel fo esruoc a evig ot dediced eh oS ”.erom nrael“ thgim slipup sih ,htnom re p serutcel erom evag eh fi taht dediced dna erutcel gib sih fo stluser eht yb detnio ppasid saw rosseforp ehT )d(

.0

?serutcel s’rosseforp eht

dednetta dah ohw esoht rof yap smr� dluow muimerp egaw a fo hcum woh ,emoctuo siht devresbo gnivaH .ydobyrevE ?serutcel eht dnetta dluow ohw ,ylgnidrocca serutcel eht gnidnetta rof sesuno b dere�o dna mr� llams tsr� eht ni ytivitcudorp ni tnemevorpmi eht yb ytivitcudorp devorpmi serutcel s’rosseforp eht ot gninetsil taht deveile b sreyolpme fI .mih ot netsil dluow ohw amginE ni srero bal eht lla ot erutcel dluoc eh erehw muirotidua eguh a dnuof eH .stro�e sih dnapxe ot dediced rosseforp eht ”,ytivitcud orp ro bal no serutcel sih fo tce�e“ eht gnivresbo retfA )c(

. 00 5, 2$

ot

pu dib saw egaw rieht ,sodnaK erew seires erutcel lanigiro eht ot netsil ot deerga ohw esoht lla ecniS .reyolpme lanigiro rieht morf yawa meht dib ot deirt yeht oS .ton dah ohw esoht naht evitcudorp erom erew serutcel s’rosseforp eht ot denetsil dah ohw esoht taht deciton smr� rehtO )b(

.0 05 , 2$ o t 00 5, 1$ m or f- - 00 0, 1$ y b es i R

?seeyolpme s’mr� eht fo ytivitcud orp egareva eht ot

ne ppah dluow tahW

. sm r et

. bo j t pe cc a to n dl uo w s ez tu lK

ese ht t a d er ih eb dl uo c so dn aK

er oM .n o ya ts dl uo w s od na K . ev ae l s ez t ul K l lA

d lu ow

?ecrof ro bal s’mr� eht ot ne ppah dluow tahW

.serutcel s’rosseforp eht dnetta eh taht detsisni tub htnom a 55$ fo esiar yap a seeyolpme sti fo hcae evag mr� eht taht eso ppuS .05$ gnisol sa dab sa saw erutcel s’ruoh hcae ,odnaK a oT .001$ gnisol sa dab sa saw erutcel s’ruoh hcae ,ztulK a oT .llud ylgnitaicurcxe e b ot meht dnuof sodnaK dna seztulK hto b tub ,ytivitcud orp no tce�e on dah serutcel esehT .mr� llams eno fo seeyolpme eht ot eneigyh lanosre p dna scimonoceorcam no erutcel ylhtnom eerf a evig ot dere�o klat ot sevol ohw rosseforp A )a( )63 .hC(

N OITA MR OF NI

434

.evah yeht egdelwonk eht nevig ,rac eht fo eulav detce pxe eht yap ot gnilliw era yeht ,yub yeht rac eht fo ytilauq eht fo erus ton era sreyub eseht nehW .nomel a rof 003$ ylno yap dluow tub ,rac desu doog a rof 005,2$ yap ot gnilliw e b dluow ohw sreyub fo re bmun egral a era erehT .005,1$ teg t’nac yeht fi meht peek lliw tub ,005,1$ naht retaerg ecirp yna rof meht lles ot gnilliw e b lliw srac desu doog fo srenwO .002$ naht retaerg ecirp yna rof srac rieht fo dir teg ot yppah e b lliw snomel fo srenwO .hcihw era hcihw wonk srenwo lanigiro eht tpecxe yd o bon taht si melborp ehT ”.doog“ era srac eseht fo 001 dna ”snomel“ era srac eseht fo 001 taht swonk ydo byrevE .srac desu rieht lles ot tnaw ohw elpoe p 002 era ereht ,nagihciM ,tekcubtsuR nI )0( 5.63

. 05 .2 $

?rof ti tner eh dluow hcum woH .eef ta� a

rof kcaJ ot tuo dle�yah sih tner ot sediced dlanoDcaM taht tub ,elbaliava regnol on si ste�ael tuo gnissap rof ytinutro ppo eht taht won eso ppuS )e(

.0 5. 3$ ?yah fo selab fo re bmun tneic�e eht gnicudorp rof dlanoDcaM morf eviecer ot evah eh dluow hcum woH .reveostahw tro�e on sevlovni taht ytivitca na ,ste�ael tuo gnissap rof 1$ eviecer dluow kcaJ taht eso ppuS )d(

.05.2$ = 05.2 − 5

?t�orp ten s’dlanoDcaM si tahW )c(

.05.2$ = 01/ 25 ?tnuoma tneic�e eht krow ot mih teg ot mih yap ot evah dlanoDcaM dluow hcum woh ,orez si erehwesle nrae dluoc kcaJ taht tsom eht fI )b(

.5

?tuc ot kcaJ rof yah fo selab fo re bmun tneic�e eht si tahW )a(

.01/ 2x = )x(c si sruoh x gnikrow fo kcaJ ot tsoc ehT .1$ rof slles yah fo elab hcaE .yah fo selab x ecudorp nac eh sruoh x rof skrow kcaJ fI .kcaJ ,eeyolpme elgnis a sah eH .yah secudorp dlanoDcaM dlO )1( 4.63

s ru oh 5 1

?muirbiliuqe gnitarapes a niatniam llits

dna erutcel dluoc rosseforp eht sruoh fo re bmun tsellams eht si tahW )e(

. 0 05 ,1 $

si m u im er p eg aw

eh t dn a ht n om a 00 0, 2 $ st so c se ru t ce l fo n i ap eh t

ec ni s , e sr uo c e ht ek a t to n d lu ow

se zt u lK . 00 5 ,1 $ s i m ui me r p eg a w

eh t t ub

, 00 0 ,1 $ s ts oc er ut c el f o s r uo h 0 2 f o ni ap E MA N

534

.evah yeht noitamrofni eht nevig ,eulav detce pxe sti ta ti eulav yeht ,niatrec rof rac a fo eulav eht wonk t’nod yeht fi si tahT .lartuen-ksir lla era sreyub rac-desu laitnetoP .2/ V si V$ naht ssel htrow era taht elas rof elbaliava srac desu fo re bmun eht ,000,2$ dna 0 neewte b V yna rof ,raey yna nI .de bircsed ylpmis etiuq si tekram eht no srac desu fo seulav fo noitubirtsid ehT . V$ eulav fo rac a rof V$ yap ot gnilliw e b dluow hcihw fo eno yna ,sreyub laitneto p fo re bmun egral yrev a si erehT .yap ot gnilliw e b dluow seitilauq sti tuo ba lla wenk ohw reyub a hcihw , V ,eulav a sah rac hcaE .seipolaj dlo rieht tuo ba gniyl tuo ba selpurcs on evah tfahsknarC weN ni srenwo rac-desu eht ,snezitic led om stce pser rehto ni era yeht hguoht ,ylbatnemaL .meht ta gnikool yb trapa meht llet t’nac sreyub laitneto p tub ,srac rieht tuo ba dab si tahw dna doog si tahw yltcaxe wonk srenwo lanigiro riehT .ytilauq ni laed taerg a yrav srac desu esehT .meht lles tsum dna srac dnoces peek ot ecalp on evah srac dlo eht fo srenwo lanigiro ehT .srac wen yub dna srac desu rieht lles ,ainavlysnneP ,tfahsknarC weN fo snezitic 000,1 ,raey hcaE )1( 6.63

. dl os e r a s no me l eh t y ln o er eh w mu irb il iu q e na

os l a

s i er eh T . 02 6 ,1 $ fo e cir p a ta d lo s sr a c l l a s ah m ui rb il i uq e e nO

.tekcubtsuR ni ecalp ekat

dluow taht airbiliuqe ro muirbiliuqe elbisso p eht e bircseD

. se Y

?dlos

.s eY

?dlos era srac desu lla hcihw ni muirbiliuqe na e b ereht dluoW

. s eY

erew snomel eht ylno hcihw ni muirbiliuqe na e b ereht dluoW

?ecirp siht ta srac desu rieht lles ot gnilliw e b srac desu do og fo srenwo dluoW .026,1$ ?rac desu a rof yap ot gnilliw e b sreyub dluow hcum woH .snomel 08 dna srac d oog 021 era ereht taht erawa si nwot ni enoyreve ,dnik hcae fo srac 001 gnie b ereht fo daetsni taht eso ppuS )b(

. 003 $ eb l li w ra c d e su a f o e ci r P l li w s r en wo n om eL d oo G

. ll es

.l le s t ’n o w sr en wo r ac

.tekcubtsuR ni ecalp ekat dluow taht muirbiliuqe eht e bircseD

?ecirp siht ta srac desu rieht lles ot gnilliw e b srac desu doog fo

. oN

?dlos era srac desu lla hcihw ni muirbiliuqe na e b ereht dluoW

. oN

srenwo dluoW

. 00 4, 1 $

?rac desu a rof yap ot gnilliw e b sreyub

dluow hcum woh ,elas rof erew tekcubtsuR ni srac desu 002 lla fI )a( )63 .hC(

N OITA MR OF NI

634

. 00 2$ r of l le s l li w

dn a de si a rp pa n u

e b l l iw sr ac 0 02 ts ro w e hT

?rof lles yeht lliw

tahw dna desiarppanu dlos e b lliw srac ynam woh ,muirbiliuqe nI )e(

= 2/X evloS

.004$ = X teg ot 002 − X

?rac lanigram siht fo eulav eht e b lliw tahW

.desiarppa ti gnivah dna desiarppanu rac sih gnilles neewte b tnere�idni tsuj e b lliw rac siht fo renwo ehT .desiarppa gnie b tuohtiw dlos e b lliw rac siht naht esrow srac lla dna desiarppa e b lliw rac siht naht rette b srac lla taht hcus ytilauq lanigram fo rac a e b lliw ereht ,muirbiliuqe nI )d(

.2/X$ ?desiarppa ti gnivah tuohtiw ti dlos uoy fi teg uoy dluow yenom hcum woH

.002 − X$

?eulav eurt sti rof ti dlos neht dna desiarppa ti

dah uoy fi tfel evah uoy dluow yenom hcum woh , X$ htrow si rac ruoy fi neht ,lasiarppa tuohtiw dlos era X$ naht ssel htrow era taht srac eht lla dna desiarppa era X$ naht erom htrow era taht srac eht lla fI )c(

.2/X$

)? X$

naht ssel htrow srac fo tes eht morf ward modnar a fo eulav detce pxe eht si tahW :tniH( ?e b srac desu desiarppanu fo ecirp tekram eht lliw tahw ,lasiarppa tuohtiw dlos era X$ naht ssel htrow era taht srac eht lla dna desiarppa era X$ naht erom htrow era taht srac eht lla fI )b(

.0 00 , 00 0, 1$ fo eunever latot rof 000,1$ rof lles lla d ’y e hT

?srac rieht rof srenwo rac-desu yb deviecer eunever

latot eht e b dluow tahw dna e b tfahsknarC htroN ni srac desu rof ecirp tekram eht dluow tahw ,desiarppa rac rieht dah ydo bon fI )a( .rof lles srac desiarppanu eht tahw dna ,desiarppa teg srac hcihw ,skrow muirbiliuqe eht woh yltcaxe ruo erug� ot yrt s’teL .seulav eurt rieht rof meht lles nac yeht os ,desiarppa srac rieht teg ot 002$ eht d oR yap ot gnilliw e b lliw srac doog yrev htiw elpoe p tuB .era srac rieht dab woh dlrow eht llet d oR evah ot 002$ yap ot tnaw ot gniog ton era srac elbirret htiw elpoeP .002$ stsoc lasiarppa etarucca na gnitteg taht si melborp ylno ehT .slasiarppa sti ni tsenoh yltcefre p dna etarucca yltcefre p e b ot nwonk si egaraG s’doR . V eulav eurt sti dn� dna rac desu yna tuo tset lliw tfahsknarC weN ni egaraG s’doR E MA N

734

.000 ,1$ = ∗ X

evloS

. ∗ X fo eulav muirbiliuqe eht rof noitauqe siht

. ∗ X = 005 + 2/ ∗ X

.tekram eht otni ∗ X naht ssel ytilauq

fo srac lla ecudni ot hguone yltcaxe si yap ot gnilliw era sreyub taht ecirp eht hcihw ta , ∗ X fo eulav muirbiliuqe eht rof noitauqe na etirW )c(

.005 + 2/ ∗ X

na ht s se l h tr o w sr aC

e b dluow srac desu hcihw ,ecirp siht tA

.005 + 2/ ∗ X

?elas rof ?rac desu

a rof yap ot gnilliw e b sreyub dluow tahW . ∗ X naht rehgih ytilauq fo srac lla peek srenwo lanigiro tub ,dlos era ∗ X naht rewol ytilauq fo srac lla taht eso ppus dna 000,2 dna 0 neewte b re bmun emos e b ∗ X teL )b(

. 00 5, 1$ n ah t ss el h tr ow es oh T desu hcihW yreve dluoW

.o N

?tekram eht no rae ppa dluow srac

?ecirp siht ta lles ot gnilliw e b renwo rac desu

. 0 05 ,1 $

?rof lles srac desu dluow tahW .elas rof

era eloH toP ni srac desu eht lla taht swonk ydo byreve taht eso ppuS )a( .tekram eht no seitilauq fo noitubirtsid eht fo egdelwonk rieht nevig ,eulav detce pxe sti yap ot gnilliw era yeht ,rac a fo ytilauq eht fo erus ton era sreyub nehW .ti rof 005 + X yap ot gnilliw e b dluow ehs , X ytilauq fo saw rac a taht wenk reyub a fI . X naht retaerg ecirp yna rof ti lles ot gnilliw e b lliw renwo lanigiro sti , X ytilauq fo si rac a fI .2/X si X naht rewol ytilauq fo srac fo re bmun eht ,000,2 dna 0 neewte b X re bmun yna roF .hturt eht tuo dn� yeht neht ;meht thguo b evah yeht litnu sreyub laitneto p ot emas eht kool srac desu llA .htrow era srac rieht tahw yltcaxe wonk srenwo lanigirO .ytilauq ni yrav srac esehT .srac desu rieht lles ot tnaw elpoe p 000,1 ,aigroeG ,eloH toP nI )2( 7.63

.000 ,048 = 002 × 008 − 000 ,000 ,1$

?slasiarppa sti rof diap nee b sah egaraG s’doR retfa ,srac desu fo

srenwo lla fo eunever ten latot eht e b lliw tahw ,muirbiliuqe nI ) f( )63 .hC(

N OITA MR OF NI

834

.sezziuq eht no llew od ot ysae ti dn� krowemoh rieht enod evah ohw stneduts ,ecneH .sre bmun tnere�id htiw sezziuq stuokroW eht yllaitnesse era esehT .el� meti-tset eht morf snoisrev evitanretla eht gnisu ,os ro keew rehto yreve ziuq ssalc-ni trohs a evah ew mret eht gniruD .puorg yduts a htiw ro sevlesmeht yb rehtie ,retpahc hcae rof stuokroW ni snoitseuq ziuq eht lla hguorht krow ot stneduts eht llet ew esruoc siht hcaet ew nehW .sezziuq ssalc-ni rof ro ecitcarp tneduts rof smelborp lanoitidda edivorp ot desu e b nac yehT .cigol lanret -ni emas eht tub seulav laciremun tnere�id esu sezziuq eseht ni snoitseuq ehT .stuokroW fo kcab eht ni noitseuq ziuq hcae fo snoisrev evitanretla sniatnoc el� meti-tset ehT .koo btxet eht htiw dere�o el� meti-tset eht fo esu ekam nac esruoc rieht rof stuokroW detpoda evah ohw srotcurtsnI .ysae ytterp e b lliw noitseuq ziuq eht ,melborp koo bkrow gnidno pserroc eht dootsrednu dna dekrow evah uoy fi taht os ,smelborp koo bkrow eht no snoitairav thgils era snoitseuq eht yllacipyT .retpahc hcae ni smelborp koo bkrow eht no desab sezziuq eciohc-elpitlum trohs sniatnoc noitces sihT

SEZZ I U Q

)63 .hC( SEZZI U Q

044

.050,1 )d( .053 )c( .005 )b( .007 )a( ?eldnub lanigiro sih dro�a llits dluoc eh taht os esir ot evah emocni s’yhpruM dluow hcum woh ,8 ot esor y fo ecirp eht dna 5 ot esor x fo ecirp eht fI .4 saw y fo ecirp eht dna 2 saw x fo ecirp eht nehw y fo stinu 05 dna x fo stinu 001 emusnoc ot desu yhpruM ,4.2 melborP nI 3.2 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( .61 )d( .43 )c( .81 )b( .62 )a( ?yub uoy dluoc y fo stinu ynam woh , y no emocni ruoy fo lla tne ps uoy fi neht , y fo stinu 6 dna x fo stinu 01 ro , y fo stinu 41 dna x fo stinu 6 rehtie dro�a yltcaxe dluoc uoy fi ,3.2 melborP nI 2.2 .21 = ) 2x + 1x(8 )e( .31 = 2x7 + 1x3 )d( .6 = 2x3 + 1x )c( .21 = )8(/) 2x + 1x( )b( .21 = 6/ 2x + 2/ 1x )a( sa nettirw e b nac enil tegdub ruoy rof noitauqe eht neht ,tinu re p 6$ stsoc 2 ytidommoc fi dna ,tinu re p 2$ stsoc 1 ytidommoc fi ,dne ps ot 21$ fo emocni na evah uoy fi ,1.2 melborP nI 1.2

teS tegduB ehT E MA N

2 ziu Q

.)0 ,005,1( dna )000,3 ,0( )c( .)000,6 ,005,1( dna )005,3 ,000,3( )b( .)000,5 ,005,1( dna )000,3 ,005,2( )a( stnio p owt eht neewte b snur taht tnemges enil a gnola seulav regetni eht yb detneserper e b dluow tegdub gnisitrevda sih htiw hcaer dluoc eh mohw sbut toh htiw sreywal dna s’A.B.M tnecer fo snoitanibmoc eht neht ,003$ erew enizagam remusnoc eht ni sda fo ecirp eht dna 006$ erew enizagam ssenisub gniro b eht ni sda fo ecirp eht fi ,gnisitrevda no dne ps ot 000,3$ dah yrraH fI .s’.A.B.M 003 dna sreywal 052 yb daer era noitacilbup remusnoc eht ni sdA .sA.B.M 000,1 dna sreywal 003 yb daer era enizagam ssenisub gniro b eht ni sda ,11.2 melborP nI 6.2 .evo ba eht fo llA )e( .08 = S + E )d( .011 = S + E2 )c( .05 = S + 2/ E )b( .07 = S + E )a( ?ygoloicos fo segap 03 dna scimonoce fo segap 04 daer ot sekat ti emit eht ni daer dluoc ehs taht , S ,ygoloicos dna , E ,scimonoce fo segap fo snoitanibmoc se bircsed snoitauqe eseht fo hcihw neht ,ygoloicos fo segap 05 dna scimonoce fo segap 03 daer dluoc ahtraM ,ygoloicos fo segap 03 dna scimonoce fo segap 04 daer ot reh sekat ti taht emit fo tnuoma emas eht ni fi ,01.2 melborP nI 5.2 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( .G − 483 = V6 )d( .483 = G84 − V6 )c( .483 = G84 + V6 )b( .G84 = V6 )a( :noitauqe eht yb de bircs -ed si enil tegdub sih neht ,483$ fo ecnawolla na mih dnes sevitaler sih fi dna egabrag gnitpecca rof kcas re p 84$ diap si dnumdE fI .settesac oediv kc or knup rof hcae 6$ yap tsum dnumdE ,7.2 melborP nI 4.2 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( )2 .hC(

TES TEG D UB E HT

244

.mug elbbub dna aisorbma fo stnuoma lauqe semusnoc ti )e( .mug elbbub fo stinu 51 tsael ta semusnoc ti )d( .aisorbma sa mugelbbub hcum sa eciwt yltcaxe semusnoc ti )c( .aisorbma fo stinu 5 tsael ta semusnoc ti )b( .mug elbbub fo stinu 5 tsael ta semusnoc ti )a( taht e b tsum ti neht ,emocni der sti fo lla ton tub ,emocni eulb sti fo lla sdne ps ekI fI ).ycnerruc eulb ni ecno ,ycnerruc der ni ecno ,yub uoy tahw rof eciwt yap ot evah uoY .mug elbbub fo tinu re p sucr 6 dna aisorbma fo tinu re p )stinu ycnerruc der( sucr 2 era secirp deR .mug elbbub fo tinu re p uc b 1 dna aisorbma fo tinu re p )tinu ycnerruc eulb( uc b 1 era secirp eulb taht llaceR( .01 fo emocni eulb a dna 04 fo emocni der a sah ekI .ekI dellac erutaerc driht a si ereht ,21.2 melborP ni dessucsid ,ognuM fo ymonoce eht nI 7.2 .)000,5 ,0( dna )0 ,000,2( )e( .)000,6 ,0( dna )0 ,000,3( )d( 344

E MA N

)2 .hC(

TES TEG D UB E HT

444

.s’nretS rosseforP e b t’ndluoc tub s’traehdo oG rosseforP e b dluoc ssalc siht )a( taht e b tsum ti eroferehT .)03,05( tnio p eht ta orez fo e pols a sah evruc ecnere�idni reh ,lacitrev eht no erocs mretdim dnoces reh dna sixa latnoziroh eht no derusaem si erocs mretdim tsr� eht nehW .mretdim dnoces reh no 03 dna mretdim tsr� reh no 05 fo serocs sah ycnaN ,sessalc reh fo eno nI .edarg mretdim tsrow reh ylno tnuoc lliw ohw nretS rosseforP morf dna edarg mretdim tse b reh ylno tnuoc lliw ohw traeh -dooG rosseforP morf esruoc a gnikat si renreL ycnaN ,8.3 melborP nI 3.3 1− )e( 7− )d( 2− )c( 1/6− )b( 6/1− )a( ?)6,1( si eldnub noitpmusnoc sih nehw evruc ecnere�idni s’esorbmA fo e pols eht si tahw ,sixa lacitrev eht no 2 doog dna sixa latnoziroh eht no nward si 1 doog fI .sevruc ecneref -fidni rehgih ot dno pserroc stnatsnoc regral erehw , 1x4 − tnatsnoc = 2x 2/1 noitauqe eht htiw sevruc ecnere�idni sah esorbmA ,2.3 melborP nI 2.3 .seldnub eseht fo enon )e( .seldnub eseht fo eerht lla )d( .)11,11( )c( .)41,8( )b( .)7,51( )a( :eldnub gniwollof eht ot )51,7( eldnub eht sreferp yltcirts eilrahC .sevruc ecneref -fidni rette b ot dno pserroc stnatsnoc regral erehw , Ax/tnatsnoc = Bx noitauqe eht evah sevruc ecnere�idni s’eilrahC ,1.3 melborP nI 1.3

secnereferP E MA N

3 ziu Q

.tcerroc era evo ba eht fo enoN )e( .tcerroc era snoitpo eseht fo eno naht eroM )d( .)71,51( )c( .)81,01( )b( .)9,91( )a( :eldnub gniwollof eht ot )91,9( eldnub eht sreferp yltcirts eilrahC .sevruc ecneref -fidni rette b ot dno pserroc stnatsnoc regral erehw , Ax/tnatsnoc = Bx noitauqe eht evah sevruc ecnere�idni s’eilrahC ,1.3 melborP nI 6.3 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( .)8 ,2( dna ,)6 ,2( ,)7 ,3( stnio p eht )d( .)7,2( )c( .)8,3( dna ,)7,4( ,)5,2( stnio p eht )b( .)5,4( )a( hguorht sessap osla )6 ,3( = )m ,c( tnio p eht hguorht sessap taht evruc ecnere�id -ni s’rehtom s’ymmoT .klim fo sessalg 7 dna seikooc 2 ,si taht–)7,2( si ymmoT rof eldnub etirovaf reH .secnere�id eht fo seulav etulosba eht fo mus eht yb ymmoT rof eldnub etirovaf reh morf eldnub yna fo erutrap -ed eht serusaem rehtom s’tiwT ymmoT taht llacer ,21.3 melborP nI 5.3 .stiurfe parg 05.62 )e( .stiurfe parg 52 )d( .stiurfe parg 22 )c( .stiurfe parg 23 )b( .stiurfe parg 82 )a( dna sodac ova 43 sah taht eldnub rehtona dna stiurfe parg 63 dna sodacova 42 htiw eldnub a neewte b tnere�idni e b dluow yraM .2/1− si e pols eht ,stiurfe parg naht sodacova erom sah ehs revenehW .2− si evruc ecneref -fidni reh fo e pols eht ,sodacova naht stiurfe parg erom sah ehs revenehw neht ,sixa lacitrev eht no stiurfe parg dna sixa latnoziroh eht no sodacova htiw sevruc ecnere�idni s’alonarG yraM hparg ew fi ,9.3 melborP nI 4.3 .s’nretS ro s’traehdooG rehtie e b dluoc ssalc siht )d( .s’nretS ro s’traehdo oG rehtie e b t’ndluoc ssalc siht )c( .s’traeh -do oG rosseforP e b t’ndluoc tub s’nretS rosseforP e b dluoc ssalc siht )b( )3 .hC(

SEC NEREFERP

644

8 )c( 52 )b( 11 )a( ?stun fo stinu 04 lanoitidda na rof nruter ni pu evig ot gnilliw e b dluow eh taht seirre b fo re bmun tsegral eht si tahw neht ,seirre b fo stinu 41 dna stun fo stinu 18 gnimusnoc yllaitini si esorbmA fI . 2x + 1x4 = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu eht sah esorbmA ,2.4 melborP nI 3.4 2/1

.01/1− )e( .5/1− )d( .01− )c( .5− )b( .02− )a( si noitpmusnoc tnerruc sih ta evruc ecnere�idni sih fo e pols eht ,sixa lacitrev eht no sananab dna sixa latnoziroh eht no selppa tup ew fi neht ,sananab 001 dna selppa 02 gnimusnoc si eilrahC nehW .semusnoc eh taht ,ylevitce pser ,sananab dna selppa fo sre bmun eht era B dna A erehw BA = ) B ,A( U si noitcnuf ytilitu s’eilrahC ,1.4 melborP nI 2.4 .sananab 051 )e( .sananab 851 )d( .sananab 251 )c( .sananab 05 )b( .sananab 52 )a( dna selppa 2 semusnoc eh erehw tnio p eht hguorht ssap osla lliw sananab 03 dna selppa 01 hguorht gnissap evruc ecnere�idni siH . Bx Ax = ) Bx , Ax( U noitcnuf ytilitu eht sah eilrahC ,1.4 melborP nI 1.4

y tili t U E MA N

4 ziu Q

. y2 = x enil eht gnola knik a ni teem hcihw tnem -ges enil de pols ylevitiso p a dna tnemges enil latnoziroh a fo tsisnoc )e( . y = x enil eht gnola teem hcihw tnemges enil de pols ylevitagen a dna tnemges enil de pols ylevitiso p a fo tsisnoc )d( . y = x enil eht gnola knik a ni teem hcihw tnem -ges enil de pols ylevitagen a dna tnemges enil latnoziroh a fo tsisnoc )c( . y2 = x enil eht gnola knik a ni teem hcihw tnemges enil latnoziroh a dna tnemges enil lacitrev a fo tsisnoc )b( .x2 = y enil eht gnola knik a ni teem hcihw tnemges enil latnoziroh a dna tnemges enil lacitrev a fo tsisnoc )a( sevruc ecnere�idni reh ,sixa lacitrev eht no y dna sixa latnoziroh eht no derusaem si x erehW .} y3 , y + x2{nim = ) y ,x( U noitcnuf ytilitu eht sah lehtE retsis s’ppuR lihP 6.4 .spihc nroc dna seirf hcnerf fo stnuoma lauqe emusnoc )e( .hto b emusnoc thgim tub ,spihc nroc sa seirf hcnerf hcum sa tsael ta emusnoc )d( .hto b emusnoc thgim tub ,seirf hcnerf sa spihc nroc hcum sa tsael ta emusnoc )c( .seirf hcnerf no emocni sih fo lla dne ps yletin�ed )b( .spihc nroc no emocni sih fo lla dne ps yletin�ed )a( lliw yrraH neht ,tinu re p srallod 5 si seirf hcnerf fo ecirp eht dna tinu re p )s(rallod 5 si spihc nroc fo ecirp eht fI .seirf hcnerf dna spihc nroc no dne ps ot 04$ sah eH .} 2x + 1x2 , 2x2 + 1x{nim = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu eht sah alozzaM yrraH ,7.4 melborP nI 5.4 .secnereferp s’sanoJ tneserper TON se od evo ba eht fo eno naht eroM )e( .000 ,01 − 2x02 + 1x03 = ) 2x , 1x( U )d( .} 2x2 , 1x3{nim = ) 2x , 1x( U )c( . 22x4 + 2x 1x21 + 21x9 = ) 2x , 1x( U )b( .000 ,1 + 2x2 + 1x3 = ) 2x , 1x( U )a( ?secnereferp s’sanoJ tneserper TON dluow taht eno ylno eht si snoitcnuf ytilitu gniwollof eht fo hcihW .2 doog fo stinu 3 rof etutitsbus tcefre p a syawla si 1 do og fo stinu 2 taht skniht sanoJ .2 dna 1 sdoog emusnoc ohw sanoJ nisuoc a sah 21.4 melborP morf ,boB eoJ 4.4 2 )e( 4 )d( )4 .hC(

YTILIT U

844

32 )d( 21 )c( 42 )b( 2 )a( ?gnimusnoc ehs si Y do og fo stinu ynam woh , X doog fo stinu 01 gnimusnoc si ehs dna 2− si noitutitsbus fo etar lanigram s’aralC fI .)1 + Y()2 + X( = ) Y ,X( U si noitcnuf ytilitu s’aralC ,2.5 melborP nI 3.5 4 )e( 11 )d( 01 )c( 51 )b( 8 )a( ?dro�a nac eilrahC taht eldnub tse b eht ni deniatnoc era selppa ynam woh ,6 si sananab fo ecirp eht dna 5 si selppa fo ecirp eht ,04 si emocni s’eilrahC fi ,1.5 melborP nI 2.5 081 )e( 21 )d( 021 )c( 03 )b( 06 )a( ?tniartsnoc tegdub sih ot tcej bus ytilitu sih sezimixam taht eldnub eht sesoohc eh fi emusnoc eh dluow sananab fo stinu ynam woh ,042 erew emocni s’eilrahC fI .2 si sananab fo ecirp eht dna 1 si selppa fo ecirp eht , Bx Ax = ) Bx , Ax( U noitcnuf ytilitu a sah eilrahC ,1.5 melborP nI 1.5

eciohC E MA N

5 ziu Q

.llet ot noitamrofni hguone ton si erehT )e( 508 )d( 509 )c( 571 )b( 016,1 )a( ?e b emocni s’remlE tsum tahw , y fo stinu 7 emusnoc ot seso ohc remlE dna ,01 si y fo ecirp eht ,51 si x fo ecirp eht fI .} 2 y ,x{nim = ) y ,x( U si noitcnuf ytilitu s’remlE ,6.5 melborP nI 6.5 21 )e( 8 )d( 81 )c( 9 )b( 56 )a( ?esoohc esorbmA lliw seirre b fo stinu ynam woh ,001 si emocni sih dna ,4 si seirre b fo ecirp eht ,1 si stun fo ecirp eht fI . 2x + 1x4 si noitcnuf ytilitu s’esorbmA 5.5 2/1

23 )e( 76 )d( 821 )c( 46 )b( 2 )a( ?esoohc esorbmA lliw stun fo stinu ynam woh ,27 si emocni sih dna ,4 si seirre b fo ecirp eht ,1 si stun fo ecirp eht fI . 2x + 1x4 = ) 2x , 1x( U si noitcnuf ytilitu s’esorbmA ,3.5 melborP nI 4.5 2/1

5 )e( )5 .hC( ECI O HC

054

9 )d( 7 )c( 5 )b( 91 )a( ?dnamed wemolohtraB lliw stun fo stinu ynam woH .1 si )seirre b( 2 doog fo ecirp eht dna ,4 si )stun( 1 do og fo ecirp eht ,15 si emocni siH . 2x + 1x42 2/1 = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu a sah wemolohtraB rehtorb s’esorbmA 3.6 . Ap/m Bp52.1 )e( . Ap/m08.0 )d( .) Bp + Ap(/m )c( .m Ap52.0 )b( .) Ap2(/m )a( si selppa rof dnamed s’eilrahC neht ,m si emocni sih dna , Bp si sananab fo ecirp eht , Ap si selppa fo ecirp eht , BX A4 X si noitcnuf ytilitu s’eilrahC fI ).1.6 melborP eeS( 2.6 . M = BX01 + AX09 )e( . AX4 = BX )d( . BX4 = AX )c( . AX = BX )b( . AX9 = BX4 )a( :de�sitas si noitauqe gniwollof eht revenehw sevruc ecnere�idni sih fo eno ot tnegnat si enil tegdub s’eilrahC neht ,hcae stnec 01 tsoc sananab dna ,hcae stnec 09 tsoc selppa , BX A4 X si noitcnuf ytilitu s’eilrahC fI ) .1.6 melborP eeS( 1.6

dname D E MA N

6 ziu Q

:dnamed lliw okniK ,06$ si stekcaj rehtael fo ecirp eht dna 02$ si spihw fo ecirp eht fI .stekcaj rehtael fo re bmun eht si j dna snwo eh taht spihw fo re bmun eht si w erehw ,} j21 + w3 ,w7{nim = ) j ,w( U si noitcnuf ytilitu s’okniK ).31.6 melborP eeS( 7.6 42 )e( 11 )d( 32 )c( 21 )b( 9 )a( ?emusnoc eh lliw aococ fo stinu ynam woh ,471$ si emocni s’re psaC dna ,8 si eseehc fo ecirp eht , 2x si aococ fo stinu x fo tsoc latot eht fI .eseehc fo noitpmusnoc sih si y dna aococ fo noitpmusnoc sih si x erehw , y + x3 si noitcnuf ytilitu s’re psaC taht llacer ,8.6 melborP nI 6.6 .51/m )e( .m3 )d( .m = W6 + C3 )c( .3/m6 )b( .3/m )a( e b lliw sdruc rof dnamed reh ,m si emocni s’tte�uM ssiM fi neht ,6 si yehw fo ecirp eht dna 3 si sdruc fo ecirp eht fI .sdruc fo tinu re p yehw fo stinu 2 gnimusnoc no stsisni te�uM ssiM taht llacer ,6.6 melborP nI 5.6 .rewsna eht enimreted ot noitamrofni hguone ton si erehT )e( 01 )d( 03 )c( 4 )b( 51 )a( ?dnamed wemolohtraB lliw seirre b fo stinu ynam woH .1 si seirre b fo ecirp eht dna ,2 si stun fo ecirp eht ,32 si emocni siH . 2x + 1x8 2/1 = ) 2x , 1x( U noitcnuf ytilitu a sah wemolohtraB rehtorb s’esorbmA 4.6 61 )e( )6 .hC(

D NA ME D

254

354

.stekcaj rehtael ylno )e( .spihw sa stekcaj rehtael ynam sa semit 4 )d( .stekcaj rehtael sa spihw ynam sa semit 3 )c( .spihw sa stekcaj rehtael ynam sa semit 5 )b( .stekcaj rehtael sa spihw ynam sa semit 6 )a( E MA N

)6 .hC(

D NA ME D

454

).rewsna tcerroc ylraen tsom eht kciP( ?secirp raey-esab ot evitaler secirp tnerruc fo xedni ecirp serye psaL eht si tahw ,ylevitce pser 01 dna 52 era 2 doog dna 1 doog fo snoitpmusnoc tnerruc sih dna ,3 si 2 d oog fo ecirp eht dna 1 si 1 doog fo ecirp eht ,raey tnerruc eht ni fI .51 = 2x dna ,5 = 1x ,1 = 2p ,3 = 1p erehw ,D noitautiS ni sa e b raey esab eht ni snoitpmusnoc dna secirp eht teL .4.7 melborP ni dlanoR fo esac eht redisnocer su teL 3.7 .�o llew yllauqe era irneH dna boB taht )e( .secnereferp delaever fo moixa kaew eht etaloiv meht fo hto b taht )d( .irneH naht �o rette b si boB taht )c( .boB naht �o rette b si irneH taht )b( .rehto eht naht rette b si eno rehtehw tuo ba gnihton )a( ecuded nac ew ,eniw dna daerb fo noitpmusnoc si tuo ba serac meht fo rehtie taht gniht ylno eht fi dna ,irneH sa setsat emas eht sah boB fI .eniw fo ssalg re p 2$ dna daerb fo faol re p 05.$ syap dna yad re p 51$ fo emocni na sah boB taht llaceR .yad re p daerb fo sevaol 4 dna eniw fo sessalg 6 semusnoc irneH .daerb fo faol re p scnarf 6 dna eniw fo ssalg re p scnarf 3 yap ot sah eh erehw nwot a ni sevil irneH dneirf s’erreiP ,3.7 melborP nI 2.7 .PRAW setaloiv ehs taht ecnedive on si ereht dna )6,6( ot derreferp delaever si )0,01( eldnub eht )e( .PRAW setaloiv ehs dna )6,6( ot derreferp delaever si )0,01( eldnub eht )d( .PRAW setaloiv eidloG )c( .rehto eht ot derreferp delaever si eldnub rehtien )b( .PRAW setaloiv ehs taht ecnedive on si ereht tub )0,01( ot derreferp delaever si )6,6( eldnub eht )a( taht edulcnoc dluoc ew neht ,)5,5( era secirp nehw )0 ,01( eldnub eht sesoohc ehs dna )3,6( era secirp nehw )6,6( eldnub eht seso ohc ehs taht erew eidloG tuo ba dah ew noitamrofni ylno eht fi ,1.7 melborP nI 1.7

ecnereferP delaeveR E MA N

7 ziu Q

.noitamrofni rehtruf tuohtiw enimreted ot elbisso p ton )e( .05.3 )d( .05.2 )c( .76.4 )b( .6 )a( si 0581 ni secirp ot evitaler 0991 ni secirp fo xedni ecirp ehcsaaP .tinu re p slereggod 4 saw y fo ecirp eht dna tinu re p slereggod 01 saw x fo ecirp eht ,0991 nI .tinu re p slereggod 2 saw y fo ecirp eht dna ,tinu re p lereggod 1 saw x fo ecirp eht 0581 nI .lereggod eht si noire pyH fo ycnerruc ehT .} y2 ,x{nim = ) y ,x( U noitcnuf ytilitu a sah devil reve sah ohw remusnoc yreve ,noire pyH tenalp eht nO 5.7 .noitamrofni siht morf enimreted ot elbisso p ton )e( .52.6 )d( .33.3 )c( .5 )b( .57.3 )a( si 0091 ni level ecirp eht ot evitaler 0991 ni level ecirp eht rof xedni ecirp serye psaL ehT .slegarf 5 saw 2 doog fo ecirp eht dna slegarf 5 saw 1 doog fo ecirp eht ,0991 nI .slegarf 021 saw emocni atipac reP .slegarf 2 saw 2 do og fo ecirp eht dna legarf 1 saw 1 doog fo ecirp eht ,0091 ni tenalp siht nO .legarf eht si ainegomoH ni ycnerruc ehT . yx = ) y ,x( U noitcnuf ytilitu eht sah dna y dna x sdo og owt ylno semus -noc devil reve sah ohw remusnoc yreve ,ainegomoH tenalp eht nO 4.7 05.2 )e( 57.0 )d( 1 )c( 38.1 )b( 76.1 )a( )7 .hC(

EC NEREFERP DELAEVER

654

.02 yb dnamed sih desaercni )b( .02 yb dnamed sih decuder )a( egnahc ecirp eht fo tce�e noitutitsbus ehT .04 ot esor teralc fo ecirp ehT .teralc fo eltto b re p 03 fo ecirp a yap ot dah yllaitini eh dna 000,6 si emocni s’niloC .ecirp si p dna emocni si m erehw ,p2 − m20. = q yleman ,elliveN sa teralc rof noitcnuf dnamed emas eht sah niloC .niloC deman dneirf a sah ,2.8 melborP ni ,elliveN 3.8 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( .selppa 57.31 )d( .selppa 57.8 )c( .selppa 7 )b( .selppa 05.71 )a( yb noitpmusnoc sih secuder noitpmusnoc elppa s’eilrahC no tce�e noitutitsbus eht ,tnatsnoc deyats sananab fo ecirp eht dna 8 ot desaercni selppa fo ecirp eht fI .04$ e b ot desu emocni sih dna ,2$ e b ot desu sananab fo ecirp eht dna 1$ e b ot desu selppa fo ecirp ehT . Bx Ax si noitcnuf ytilitu s’eilrahC ,1.8 melborP nI 2.8 .051$ )e( .52.65$ )d( .57.81$ )c( .67$ )b( .05.73$ )a( fo emocni yliad a evah ot evah dluow eilrahC ,eldnub dlo sih dro�a tsuj ot elba e b ot redro ni neht ,52.1$ ot llef sananab fo ecirp eht dna 52.1$ ot desaercni selppa fo ecirp eht fI .yad re p 04$ saw emocni siH .tinu re p 2$ saw sananab fo ecirp eht dna tinu re p 1$ e b ot desu selppa fo ecirp ehT . Bx Ax si noitcnuf ytilitu s’eilrahC ,1.8 melborP nI 1.8

noitauqE ykstulS E MA N

8 ziu Q

.tce�e emocni eht ot eud e b lliw egnahc eht fo 4/3 noitcarf eht )e( .tce�e emocni eht ot eud e b lliw egnahc eht fo 4/1 noitcarf eht )d( .tce�e noitutits -bus eht ot eud e b lliw smuinihpled rof dnamed ni egnahc eritne eht )c( .skcohylloh rof dnamed eht ni egnahc on e b lliw ereht )b( .tce�e noitutitsbus eht naht reggib e b lliw smuinihpled rof dnamed ni egnahc eht fo tce�e emocni eht )a( ,tinu re p 9$ ot sesir smuinihpled fo ecirp eht fi dna ,tinu re p 6$ tsoc skc ohylloh dna tinu re p 5$ tsoc yltnerruc smuinihpled fI .eno rof eno ,setutitsbus tcefre p era skcohylloh dna smuinihpled skniht eduaM ,4.8 melborP nI 6.8 003 )e( 000,1 )d( 054 )c( 050,1 )b( 009 )a( ?ssalc dnoces yb levart ehs lliw selim ynam woH .elim re p 03.0$ si stekcit ssalc-dnoces fo ecirp eht dna elim re p 05.0$ si stekcit ssalc-tsr� fo ecirp eht taht eso ppuS .selim 005,1 fo latot a levart ot sdeen ehS .pirt reh rof stekcit no dne ps ot 075$ dah 01.8 melborP ni ahtagA taht eso ppuS 5.8 .tce�e noitutitsbus eht sa gnorts sa semit 3 si )e( .tce�e noitutitsbus eht sa gnorts sa eciwt yltcaxe si )d( .dnamed ni egnahc eritne eht rof stnuocca )c( .1 doog rof dnamed egnahc ton se od )b( .tce�e noitutitsbus eht sa gnorts sa semit 4 si )a( egnahc ecirp eht fo tce�e emocni eht neht ,1 ta syats 1 doog fo ecirp eht elihw ,4 ot 3 morf segnahc 2 doog fo ecirp eht fi dna 021 emocni sah remusnoc a fI .1 do oG fo tinu re p 2 do oG fo stinu 2 fo oitar eht ni meht semus -noc syawla remusnoc a dna stnemelpmoc tcefre p era 2 dna 1 sdooG 4.8 .81 yb dnamed sih decuder )e( .23 yb dnamed sih decuder )d( .8 yb dnamed sih decuder )c( )8 .hC(

N OITA U QE YKST ULS

854

.04 si erusiel sih dna 052 si emocni sih erehw knik a sah enil tegdub s’.J .rD )b( .erusiel fo stinu 05 sekat eh erehw tnio p eht ta ti ni knik a sah enil tegdub s’.J .rD )a( .tnecre p 04 fo etar a ta dexat si 002$ evo ba emocni ro bal lla tub ,dexatnu si emocni ro bal sih fo keew re p 002$ tsr� eht taht eso ppuS .keew re p 05$ fo tnemyap mus pmul a si ro bal morf sgninrae sih sedise b emocni rehto ylno siH .erusiel dna ro bal neewte b etacolla ot sruoh 08 sah dna ro bal sih rof ruoh re p 5$ snrae nosnhoJ .rD ).)b(9.9 melborP eeS( 3.9 .lehsub 1 tsael ta yb noitpmusnoc otamot sih esaerced )e( .slehsub 7 yb tnalpgge fo noitpmusnoc sih esaerced )d( .slehsub 7 yb tnalpgge fo noitpmusnoc sih esaercni )c( .slehsub 5 tsael ta yb noitpmusnoc tnalpgge sih esaerced )b( .slehsub 5 yb noitpmusnoc tnalpgge sih esaercni )a( dluow eh ,egnahc ecirp eht retfA .degnahcnu deyats se otamot fo ecirp eht elihw ,lehsub re p 03$ ot esor tnalpgge fo ecirp eht tub ,elbategev hcae rof lehsub re p 01$ fo secirp decaf yllaitini eH .seotamot fo slehsub 01 dna tnalpgge fo slehsub 03 sdleiy nedrag siH .se otamot fo lehsub re p tnalpgge fo lehsub eno fo oitar eht ni seotamot dna tnalpgge semusnoc 2.9 melborP ni oiraM taht eso ppuS 2.9 01 )e( 31 )d( 01 )c( 91 )b( 62 )a( ?stauqmuk no yenom reh fo lla tne ps ehs fi dro�a ehs dluoc stauqmuk ynam woh ,secniuq fo ecirp eht semit 3 si stauqmuk fo ecirp eht fi dna ,stauqmuk 01 dna secniuq 9 denwo gahsibA fi ,1.9 melborP nI 1.9

gnilleS dna gniyuB E MA N

9 ziu Q

.noitpmusnoc no yad re p srallod 672 )a( dne ps ot mih swolla taht erusiel dna ro bal fo noitanibmoc a esoohc lliw eh ,ruoh re p srallod 31 fo etar egaw a dna yad re p srallod 24 fo emocni ro balnon a sah eh fI .erusiel ta sdne ps eh taht yad re p sruoh fo re bmun eht si R dna noitpmusnoc no sdne ps eh taht yad re p srallod fo re bmun eht si C erehw R C = )R ,C( U si noitcnuf ytilitu siH .erusiel dna ro bal neewte b edivid ot yad re p sruoh 81 sah 7.9 melborP ni goC .rM 6.9 .R31 + 892 = C )e( .R31 + 052 = C )d( .823 = 31/ C + R )c( .052 = C + R31 )b( .61 = C + R31 )a( :sa nettirw e b nac ,evah ot dro�a nac eh taht erusiel dna noitpmusnoc fo snoitanibmoc gnisserpxe ,noitauqe tegdub sih ,skrow eh nehw ruoh re p srallod 31 fo etar egaw a steg dna yad re p emocni ro balnon fo srallod 61 sah eh fI .erusiel ta sdne ps eh taht yad re p sruoh fo re bmun eht si R dna noitpmusnoc no sdne ps eh taht yad re p srallod fo re bmun eht si C erehw R C = )R ,C( U si noitcnuf ytilitu siH .erusiel dna ro bal neewte b edivid ot yad a sruoh 81 sah 7.9 melborP ni goC .rM 5.9 9 )e( 01 )d( 8 )c( 7 )b( 6 )a( ?yad re p esoohc eh lliw erusiel fo sruoh ynam woh ,ruoh re p 6$ fo egaw a diap si dna yad re p 04$ fo emocni ro balnon a sah yelduD fI .erusiel dna krow neewte b edivid ot yad re p sruoh 61 sah eH .yad re p noitpmusnoc si C dna erusiel si R erehw , 2)R − 21( − C = )R ,C( U noitcnuf ytilitu a sah ,51.9 melborP ni ,yelduD 4.9 .enil thgiarts latnoziroh a si taht eceip a sah enil tegdub s’.J .rD )e( .ylppus ro bal evitiso p a ot sdno pserroc taht ti fo trap eht ni sknik on sah enil tegdub s’.J .rD )d( .3− erehwyreve si enil tegdub s’.J .rD fo e pols ehT )c( )9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

064

164

.noitpmusnoc no yad re p srallod 702 )e( .noitpmusnoc no yad re p srallod 831 )d( .noitpmusnoc no yad re p srallod 951 )c( .noitpmusnoc no yad re p srallod 821 )b( E MA N

)9 .hC(

G NILLES D NA G NIY UB

264

.esaercni dluow sd oire p hto b ni noitpmusnoc sih )c( .003 yb esaercni dluow 2 d oire p ni noitpmusnoc sih tub ,egnahc ton dluow sgnivas sih )b( .esaercni osla dluow 2 doire p ni noitpmusnoc sih dna %2 yb esaercni dluow sgnivas sih )a( ,%21 ot %01 morf desaercni etar tseretni eht dna 1 doire p ni 000,03 fo emocni na dah eh fI .2 d oire p ni emocni on evah lliw eH .2 d oire p ni noitpmusnoc sih si 2c dna 1 doire p ni noitpmusnoc sih si 1c erehw 2c 1c noitcnuf ytilitu a sah 8.01 melborP fo ,eldnaK .B .O .rM 3.01 .004 yb esaercni )e( .tnatsnoc yats )d( 08 yb esaercni )c( .061 yb esaercni )b( .elbuod )a( dluow 1 doire p ni noitpmusnoc reh ,emas eht deyats 2 doire p ni emocni reh dna delbuod 1 d oire p ni emocni reh fI .01.0 erew etar tseretni eht dna 04.0 = a erehw , a−12c a1c erew noitcnuf ytilitu reh taht eso ppuS .2 doire p ni 055 emocni dna 1 doire p ni 004$ emocni dah 2.01 melborP morf ylloM taht eso ppuS 2.01 .501,5 )e( .503,4 )d( .551,2 )c( .001,2 )b( .561,2 )a( si tnem -wodne sih fo eulav tneserp eht ,50.0 si etar tseretni eht fi dna )5631,008( snrae dna )551,1 ,000,1( semusnoc 1.01 melborP ni enirgereP fI 1.01

eciohC laropmetretn I E MA N

01 ziu Q

03.0 )e( 0 )d( 02.0 )c( 01.0 )b( 04.0 )a( ?2 doire p ni sa 1 d oire p ni tnuoma emas eht emusnoc ot esoohc ehs lliw etar tseretni tahw tA .2 d oire p ni emocni reh sa egral sa semit 2 si 1 doire p ni emocni reH .2 doire p ni noitpmusnoc reh si 2c dna 1 d oire p ni noitpmusnoc reh si 1c , 2c38.0 + 1c = ) 2c , 1c( U noitcnuf ytilitu a sah ecneitaP 6.01 2/1

2/1

.002,1 )e( .051,3 )d( .001,4 )c( .000,1 )b( .001,2 )a( ?raey siht niarg fo slehsub 000,1 emusnoc yeht fi raey txen emusnoc sregalliv eht dluoc niarg hcum woh ,raey a rof derots si taht niarg yna fo %05 tae star fi dna ,001,1 e b lliw raey txen tsevrah eht dna 000,3 si raey siht tsevrah eht fi ,01.01 melborP ni egalliv eht nI 5.01 527 )e( 054,1 )d( 05.263 )c( 76.142 )b( 05.780,1 )a( ?1 doire p ni daerb no dne ps ot eso ohc yevraH dluow hcum woh ,50.0 erew etar tseretni eht fi dna ,2 d oire p ni 014 dna ,1 d oire p ni 520,1 fo emocni na dah eh fI .} 2c , 1c{nim = ) 2c , 1c( U noitcnuf ytilitu a sah 9.01 melborP ni tibaH yevraH 4.01 .esaerced osla dluow 2 d oire p ni noit -pmusnoc sih dna %21 yb esaerced dluow 1 doire p ni noitpmusnoc sih )e( .esaerced dluow sdoire p hto b ni noitpmusnoc sih )d( )01 .hC( ECI O HC LAR OP METRET NI

464

).5.11 melborP eeS( ?euqitna siht yub ot yap ot gnilliw e b uoy dluow hcum woH .raey a rof euqitna eht gninwo fo erusaelp eht rof srallod 002 fo latot a yap ot gnilliw e b dluow uoY .won morf raey a ti gnilles dna euqitna na gniyub fo gnikniht era uoY .%6 si etar tseretni ehT .raey txen eht gnirud %2 yb esir ot detce pxe si euqitna na fo ecirp ehT 3.11 .snalp eht fo enon gnisu �o tse b si eH )e( .doog yllauqe era B dna A snalP )d( .C nalP )c( .B nalP )b( .A nalP )a( ?srevihS rof tse b eht si nalp hcihw ,reverof tsal boj noitalusni eht dna esuoh sih dna %01 si etar tseretni eht fI .srallod 000,11 mih tsoc dluow C nalP dna ,srallod 009,1 mih tsoc dluow B nalP ,srallod 000,1 srevihS tsoc dluow boj noitalusni A nalP ehT .rehtegotla leuf gnitaeh rof deen sih etanimile lliw C nalp dna ,%02 yb ti ecuder lliw B nalp ,%51 yb llib leuf launna sih ecuder lliw A nalP .raey re p srallod 000,1 si gnitaeh emoh rof llib leuf launna s’srevihS .esuoh regral a sah srevihS tuB .htrowsgnillihC sa esuoh sih gnitalusni rof snoitpo emas eht secaf ohw ,srevihS ,ro bhgien a sah 01.11 melborP morf ,htrowsgnillihC 2.11 16$ )e( 044$ )d( 001$ )c( 04$ )b( 65$ )a( ).rewsna tsesolc eht kciP( ?tnemtsevni na sa ti syub eh fi eniw eht rof yap ot gnilliw e b yelhsA dluow hcum woH .%01 si etar tseretni ehT .sega eniw eht taht raey hcae srallod 01 yb esir lliw yap ot gnilliw era sreknird eniw taht tnuoma ehT .won thgir ti knird ot srallod 04 yap ot gnilliw era sreknird eniW .D eniW ,eniw rehtona derevocsid sah ,6.11 melborP ni ,yelhsA 1.11

stekra M tessA E MA N

11 ziu Q

000,7$ )e( 000,27$ )d( 54.545,45$ )c( 000,5$ )b( 000,6$ )a( ?emit rehto yna ta gnihton dna ,won morf sraey owt srallod 232,1 ,won morf raey eno srallod 055,5 mih yap lliw taht tessa na rof yap ot gnilliw e b rotsevni lanoitar a dluow hcum woh ,reverof %11 niamer lliw dna ,%11 si etar tseretni eht fI 6.11 .82.611 )e( .45.0 )d( .41.7 )c( .68.1 )b( .ytin�ni )a( ?sre bmun gniwollof eht fo hcihw ot tsesolc si . . . , 368.0 , 268.0 ,68.0 ,1 seires cirtemoeg etin�ni eht fo mus ehT 5.11 .sre bmun evo ba eht fo yna naht sseL )e( .sre bmun evo ba eht fo yna naht eroM )d( 004,14$ )c( 004,05$ )b( 000,9$ )a( ?won thgir dno b siht rof yap rotsevni lanoitar a dluow hcum woh ,%01 ta niamer ot detce pxe si dna %01 si etar tseretni eht fI .dno b eht fo eulav ecaf eht ot lauqe ecirp a ta renwo sti morf dno b eht kcab syub ynapmoc eht ,si tahT ”.eulav ecaf ta dno b eht meeder“ lliw dno b eht deussi taht ynapmoc eht ,won morf sraey 64 ,tnemyap tseretni lan� eht fo emit eht tA .sraey 64 txen eht rof raey yreve fo dne eht ta tseretni ni srallod 009 yap lliw tI .srallod 000,9 fo eulav ecaf a sah dno b A 4.11 000,2$ )e( 000,5$ )d( 002$ )c( 002,4$ )b( 33.333,3$ )a( )11 .hC(

STEKRA M TESSA

664

.000,4 ot lauqe ro naht retaerg x rof x + 000 ,8 = )x(u erehw dna x2 = )x(u ,000 ,4 < x yna rof erehw ) 2c(u)p − 1( + ) 1c(up noitcnuf ytilitu htiw rezimixam ytilitu detce pxe na si kniK yllaS 3.21 .do o� on si ereht fi e b dluow ti tahw fo 7/1 e b lliw htlaew sih ecna -rusni sih stcelloc eh retfa ,doo� a si ereht fi taht os ecnarusni hguone )e( .do o� on si ereht fi e b dluow ti tahw fo 4/1 e b lliw htlaew sih ,ecnarus -ni sih stcelloc eh retfa ,doo� a si ereht fi taht os ecnarusni hguone )d( .ton ro doo� a si ereht rehtehw emas eht e b lliw htlaew sih ,ecna -rusni sih stcelloc eh retfa ,doo� a si ereht fi taht os ecnarusni hguone )c( .do o� on si ereht fi e b dluow ti tahw fo 9/1 e b lliw htlaew sih ecna -rusni sih stcelloc eh retfa ,doo� a si ereht fi taht os ecnarusni hguone )b( .d oo� a fo ytiliba -borp eht sdeecxe ecnarusni fo rallod re p tsoc eht ecnis ecnarusni on )a( yub dluohs ylliW .doo� a si ereht fi ynapmoc eht morf x$ kcab steg eh tub ,ton ro doo� a si ereht rehtehw 71/x3$ ynapmoc ecnarusni eht yap tsum eh ,ecnarusni fo htrow x$ syub eh fi erehw ecnarusni yub nac ylliW .doo� a si ereht fi 0 dna d oo� on si ereht fi 000,006$ si yrotcaf s’ylliW fo eulav ehT .51/1 = p si do o� a fo ytilibaborp ehT .ylevitce pser ,doo� on no dna doo� a no tnegnitnoc htlaew sih e b f nc dna fc teL .doo� on fo ytilibaborp eht si p − 1 dna doo� a fo ytilibaborp eht si p erehw fnc)p − 1( + fcp noitcnuf ytilitu eht sah eH .yrotcaf 2/1 2/1 etalocohc sih si htlaew fo ecruos ylno s’ylliW ).2.21 melborP eeS( 2.21 .040,81 )e( .020,9 )d( .000,001 )c( .srallod noillim 52 dna noillim 42 neewte b )b( .015,4 )a( si ytilitu detce pxe siH .9. si derujni e b ton lliw eh taht ytilibaborp eht dna 1. si derujni e b lliw eh taht ytilibaborp ehT .000,01$ ylno e b lliw emocni sih ,derujni si eh fI .srallod noillim 52 fo emocni na eviecer lliw eh ,nosaes siht derujni ton si ylliB fI . 2/1c = )c( U noit -cnuf ytilitu nretsnegroM-nnamueN nov a sah ylliB ,9.21 melborP nI 1.21

ytniatrecn U E MA N

21 ziu Q

.stekcit naganalF 006 dna stekcit navilluS 002 yuB )e( .stekcit naganalF 003 dna stekcit navilluS 002 yuB )d( .stekcit navilluS sa stekcit naganalF ynam sa yltcaxe yuB )c( .stekcit naganalF 006 dna stekcit navilluS 004 yuB )b( .lla ta elbmag t’noD )a( ?ytilitu detce pxe sih ezimixam dluow seigetarts gniwollof eht fo hcihW .htlaew sih fo gol larutan eht fo eulav detce pxe eht ezimixam ot seirt ohw retreva ksir a si ycnalC .gninniw fo 2/1 fo ytilibaborp a evah hcae srethg� owt eht taht seveile b ycnalC .hcae 4$ tsoc stekcit naganalF ehT .sniw naganalF fi 01$ �o yap lliw taht sno puoc emos erots rehtona ni sdn� osla eH .sniw navilluS fi hcae 01$ �o yap lliw taht 6$ rof sno puoc yub nac eh taht sdn� eH .naganalF dna navilluS neewte b hctam gnixo b a no te b ot snalp eH .008,4$ sah ycnalC 5.21 .045 ,1 < Z fi yrettol eht dna 045 ,1 > Z )e( .271 ,1 < Z fi yrettol eht dna 271 ,1 > Z )d( .009 < Z fi yrettol eht dna 009 > Z )c( .279 ,1 < Z fi yrettol eht dna 279 ,1 > Z )b( .444 ,1 < Z fi yrettol eht dna 444 ,1 > Z )a( fi tnemyap erus eht esoohc lliw rubliW .06.0 ytilibaborp htiw 009$ seviecer eh dna 04.0 ytilibaborp htiw 005,2$ seviecer eh hcihw ni yrettol a ro Z$ fo tnemyap erus a gnitteg neewte b eciohc a dere�o si rubliW . 2c semusnoc eh taht ytilibaborp eht si p − 1 dna 1c semusnoc eh taht ytilibaborp eht si p erehw 2c)p − 1( 2/1 + 1cp si noitcnuf ytilitu detce pxe s’nitraM ).11.21 melborP eeS( 4.21 2/1

.eurt era evo ba eht fo enoN )e( .000,8 naht ssel htlaew htiw reh sevael ti taht ecnahc a si ereht fi te b a ekat reven lliw yllaS )d( .�oyap ten detce pxe evitiso p a sah taht te b yna ekat lliw yllaS ,000,4 gnideecxe htlaew reh fo ecnahc on evlovni taht ste b roF )c( .000,4 naht erom si emocni reh fi esreva ksir dna 000,4 naht ssel si emocni reh fi lartuen ksir e b lliw yllaS )b( .000,4 naht erom si emocni reh fi gnivol ksir tub 000,4 naht ssel si emocni reh fi esreva ksir e b lliw yllaS )a( )21 .hC(

YT NIATREC N U

864

.05.4 )e( .05.1− )d( .05.1 )c( .3− )b( .3 )a( si enil tegdub siht fo e pols eht ,niatbo nac htimS taht snoitanibmoc eht gnitciped ,sixa latnoziroh eht no noitaived dradnats dna sixa lacitrev eht no nruter detce pxe htiw ”enil tegdub“ a ward ew fI .stessa owt eht sdloh eh hcihw ni snoitro porp eht gnignahc yb oiloftro p sih fo ecnairav eht dna nruter fo etar detce pxe eht retla nac eH .5 fo noitaived dradnats a sah dna 03 fo nruter fo etar detce pxe na mih sevig hcihw fo eno dna noitaived dradnats orez htiw 51 fo nruter fo etar detce pxe na mih sevig hcihw fo eno ,stessa owt neewte b oiloftro p sih edivid tsum 2.31 melborP fo htimS renneF taht eso ppuS 2.31 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( . %05.2 )d( .%52.1 )c( .%52.4 )b( .%36.0 )a( :e b lliw oiloftro p siht no nruter reh fo noitaived dradnats eht neht ,%57.81 nruter fo etar detce pxe htiw oiloftro p a sesoohc ehs fI .5 noitaived dradnats htiw ,%03 nruter fo etar detce pxe htiw tessa yksir a dna %51 fo nruter fo etar er�-erus a sre�o taht tessa eerf-ksir a gnisu oiloftro p reh pu ekam nac 1.31 melborP ni hcnyL .sM taht eso ppuS 1.31

stessA yksiR E MA N

31 ziu Q

)31 .hC(

STESSA YKSIR

074

.76.8$ )b( .02.5$ )a( ot tsesolc e b dluow )keew re p srallod ni derusaem( egnahc ecirp taht fo noitairav gnitasne pmoc eht ,4$ ot esor sgnirrae fo ecirp eht fi neht ,sgnirrae fo riap re p 2$ fo ecirp a gniyap saw dna keew re p 31$ fo emocni na dah yllanigiro ehs fI ).keew re p sgnirrae fo sriap fo sre bmun lanoitcarf syub ehs taht ytilibisso p eht wolla eW( .sgniht rehto no dne ps ot tfel sah ehs keew re p srallod fo re bmun eht si y dna keew re p syub ehs sgnirrae fo sriap fo re bmun eht si x erehw } y ,x{nim = ) y ,x(u noitcnuf ytilitu eht sah 5.41 melborP ni ecinreB 3.41 .574,2 yb sesaercni )e( .57.816 yb sesaercni )d( .522 yb sllaf )c( .05.7323 yb sllaf )b( .05.732,1 yb sllaf )a( sulprus s’remusnoc ten reh neht ,59$ ot 05$ morf sesir sgulprae fo ecirp eht fi dna ,�uts rehto dna sgulprae no dne ps ot 000,01$ sah ehs fI .�uts rehto no dne ps ot revo tfel yenom si m dna sgulprae fo noitpmusnoc sih si x erehw m + 2/ 2x − x001 = )m ,x( U noitcnuf ytilitu eht sah 3.41 melborP ni od omisauQ .sM 2.41 000,6 )e( 52.651 )d( 526 )c( 52 )b( 05.213 )a( ?sulprus remusnoc ten s’sulP riS si hcum woh ,57 si daem fo ecirp eht fI .p − 001 = )p( D noitauqe eht yb nevig si taht daem rof noitcnuf dnamed a sah sulP riS ,1.41 melborP nI 1.41

sulpruS s’remusnoC E MA N

41 ziu Q

.81.2 )e( .81.6 )d( .81.0 )c( .06.3 )b( .81.4 )a( e b lliw ytilitu reh ,dro�a nac ehs snoitanibmoc esoht gnoma morf tse b sekil ehs taht deef woc dna yah fo noitanibmoc eht seso ohc atiloL fi dna ,4 si emocni reh dna ,1 si yah fo ecirp eht ,04.0 si deef woc fo ecirp eht fI .yah fo noitpmusnoc reh si y dna deef woc fo noitpmusnoc reh si x erehw y + 2/ 2x − x = ) y ,x( U si noitcnuf ytilitu s’atiloL ,7.41 melborP nI 5.41 .22.43$ )e( .22.6$ )d( .211$ )c( .65$ )b( .44.21$ )a( saw egnahc ecirp eht fo noitairav tnelaviuqe eht neht ,8$ ot pu tnew sgnirrae fo ecirp eht nehw sgnirrae rof 1$ fo ecirp a gniyap saw dna 61$ fo emocni na dah ) �uts rehto rof tfel yenom si y dna sgnirrae fo noitpmus -noc reh si x erehw } y ,x{nim si noitcnuf ytilitu esohw( ecinreB fI 4.41 .33.61$ )e( .33.71$ )d( .33.81$ )c( )41 .hC(

S ULPR US S ’RE M US N OC

274

.6 )c( .05.1 )b( .21 )a( e b dluow 1 doog rof ecirp noitavreser reh ,82 erew emocni reh fi nehT .)2 + 2x()4 + 1x( noitcnuf ytilitu eht yb detneserper erew secnereferp s’eibraB taht eso ppus , 2x fo seulav evitiso p lla rof dna 1 ro orez ot lauqe 1x roF .stinu orez ro tinu 1 era yub nac eibraB taht 1 do og fo seititnauq ylno eht ,6.51 melborP nI 3.51 .28.1− )e( .19.0− )d( .54.5− )c( .46.3− )b( .72.7− )a( si dnamed fo yticitsale ecirp eht neht ,01 si selgnard fo ecirp eht fI . 2−)1 + p( = )p( D yb nevig si selgnard rof noitcnuf dnamed eht ,5.51 melborP nI 2.51 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( 051 )d( 522 )c( 57 )b( 003 )a( ?pmuP saG ni dednamed enilosag fo tnuoma latot eht si tahw ,4 si enilosag fo ecirp eht fI .sre -nwo egdoD 05 dna srenwo kciuB 001 sah ,.D.S ,pmuP saG taht eso ppuS .5 > p rof 0 dna 5 ot lauqe ro naht ssel p rof p3 − 51 si dnamed s’renwo egdoD yrevE .4 > p rof 0 dna 4 ot lauqe ro naht ssel p rof p5 − 02 si enil -osag rof dnamed s’renwo kciuB yreve ,atokaD htuoS ,pmuP saG nI 1.51

dname D tekra M E MA N

51 ziu Q

.52.0− )e( .31.0− )d( .57.0− )c( .83.0− )b( .05.0− )a( si stekcit rof dnamed fo yticitsale ecirp eht neht ,4 si stekcit fo ecirp eht fI .stekcit fo ecirp eht si p erehw ,p000 ,01 −000 ,002 = )p( D yb nevig si stekcit rof dnamed eht ,9.51 melborP nI 5.51 01 )e( 76.1 )d( 76.6 )c( 05.2 )b( 33.3 )a( ?tekcit re p egrahc ot ytisrevinu siht rof ecirp gnizimixam-eunever eht si tahw ,staes 000,05 si ytisrevinu taht ta muidats eht fo yticapac eht fI .p000 ,21 − 000 ,08 si emag hcae ta stekcit llabtoof rof dnamed eht erehw ytisrevinu rehtona si 9.51 melborP ni ytisrevinu eht sa ecnerefnoc llabtoof emas eht nI 4.51 .04.0 )e( .2 )d( )51 .hC(

D NA ME D TEKRA M

474

e b lliw sreilppus yb deviecer ecirp eht ,muirbiliuqe nI .sremusnoc yb diap ecirp eht si dp erehw , dp001 − 023 ,8 = ) dp( D yb nevig si stcej bus s’gnik eht yb stunococ rof dnamed ehT .sreilppus yb deviecer ecirp eht si sp erehw , sp001 = ) sp( S yb nevig si stunococ fo ylppus ehT .meht snrub dna elip egral a ni stcelloc eh taht stunococ eht fo lla stup gnik ehT .semusnoc tcej bus eht taht tunococ yreve rof stunococ 4 mih sevig stcej bus sih fo hcae taht sdnamed 11.61 melborP morf atunaK gniK taht eso ppuS 3.61 72 )e( 63 )d( 81 )c( 51 )b( 9 )a( ?ecirp gniliec eht ta dnamed ssecxe etanimile ot e b ot evah tnemtrapa re p ydisbus ylkeew eht dluow hcum woH .dnamed ot lauqe ylppus ekam ot ydisbus a fo hguone sdroldnal yap ot deerga seitirohtua eht ,egatrohs gnisuoh a diova oT .keew re p snworc 01 naht erom rof tnemtrapa na tner ot lagelli ti edam seitirohtua ehT .keew re p snworc ni etar latner eht si p erehw p4 − 411 = q yb nevig saw noitcnuf dnamed nur gnol eht dna p2 + 81 = q yb nevig saw stnem -trapa latner mo or-owt fo noitcnuf ylppus nur-gnol ehT .hgih oot erew stner taht dediced seitirohtua civic eht ,yawa raf ytic dedworc a nI 2.61 .05.92 )e( .82 )d( .62 )c( .05.71 )b( .13 )a( ot sllaf dlos tiurfe parg fo ytitnauq eht ,deso pmi si xat eht nehW .lles yeht taht tiurfe parg fo tinu hcae rof sreilppus no deso pmi si 72 fo xat A . q2 + 71 = p yb den�ed si noitcnuf ylppus esrevni ehT .dlos stinu fo re bmun eht si q erehw , q7 − 692 = p noitauqe eht yb den�ed si tiurfe parg rof noitcnuf dnamed esrevni ehT.3.61 melborP enod evah uoy fi reisae e b lliw melborp sihT 1.61

muirbiliuqE E MA N

61 ziu Q

.61 )e( .43 )d( .24 )c( .52 )b( .8 )a( si shcilkcerhcS fo ecirp muirbiliuqe eht neht ,09 si sedremaL fo ylppus dlrow eht dna 001 si shcilkcerhcS fo ylppus dlrow eht fI .sedreMaL dna shcilkcerhcS fo ecirp eht ylevitce pser era LP dna SP erehw , SP − LP3 − 002 si sedreMaL rof noitcnuf dnamed eht dna LP2 − SP4 − 002 si shcilkcerhcS rof noitcnuf dnamed eht ,6.61 melborP nI 4.61 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( .802 )d( .06.14 )c( .42 )b( .61 )a( )61 .hC(

M UIRBILI U QE

674

.002,1$ naht erom ylthgils rof adniL )d( .denimreted ylmodnar si ti steg sreyub owt eseht fo hcihW .002,1$ tuo ba rof eilataN ro adniL rehtie )c( .002,1$ tuo ba rof eilataN )b( .007,1$ tuo ba rof adniL )a( ot dlos e b lliw tenibac eht ,tseretni-fles lanoitar rieht ni dib sreddib eht fI .007$ ta ti seulav avE dna ,007,1$ ta ti seulav adniL ,059$ ta ti seulav idieH ,002,1$ ta tenibac eht seulav eilataN .edulloc ton od dna rehto hcae htiw detniauqcanu era sreddib esehT .avE dna ,adniL ,idieH ,eilataN ,sreddib ruof era erehT .noitcua hsilgnE na fo snaem yb dlos gnie b si tenibac euqitna nA 2.71 766,662$ )e( 766,666$ )d( 766,664$ )c( 470,474$ )b( 000,005$ )a( ).rewsna tsesolc eht esoohC( ?elas eht morf eunever detce pxe s’knab eht e b lliw tahw ,)noitcua yerkciV( noitcua dib-delaes reddib-dnoces a fo snaem yb esuoh eht slles s’relddiF tsriF fI .sreyub neewte b tnedne pedni era seitilibaborp eseht taht seveile b srelddiF tsriF .000,002$ ta ti gniulav fo 3/1 fo ytilibaborp a dna ,000,005$ ta ti gniulav fo 3/1 fo ytilibaborp a ,000,007$ ta esuoh eht gniulav fo 3/1 fo ytilibaborp a sah meht fo hcae taht seveile b ecneire pxe suoiverp sti fo sisab eht no tub sreddib eseht fo yna fo yap ot ssengnilliw eht wonk ton seod s’relddiF tsriF .eislE dna ,aliehS ,esseJ ,esuoh eht rof sreddib eerht era erehT .noitcua ta esuoh eht gnilles si dna egagtrom emoh a no desolcerof sah knaB s’relddiF tsriF 1.71

snoitcuA E MA N

71 ziu Q

.000,36$ )d( .000,54$ )c( .000,18$ )b( .000,37$ )a( naht ssel ylthgils si gnitniap eht gnilles morf eunever detce pxe s’relaed eht ,edulloc ton od dna yllanoitar dib sreddib owt eht taht gnimussA .s’rehto eht fo taht fo tnedne pedni si eulav s’reyub hcae fo noitubirtsid ytilibaborp ehT .seulav eerht eseht fo hcae gnivah fo 3/1 fo ytilibaborp a sah reddib hcae taht seveile b relaed ehT .000,54$ dna ,000,18$ ,000,09$ ,seulav eerht eht fo eno ekat lliw yap ot ssengnilliw s’reddib hcae taht seveile b relaed ehT .sreddib owt era erehT .gnitniap eht nrub lliw eh ,ecirp noitavreser sih sa hgih sa dib a teg ot sliaf eh fI .000,18$ wole b ylthgils fo ecirp noitavreser a htiw noitcua hsilgnE na fo snaem yb gnitniap lio na lles ot sediced relaed A 4.71 .003,6$ )e( .001,2$ )d( .007,2$ )c( .003,3$ )b( .005,4$ )a( si elibomotua eht gnilles morf eunever detce pxe s’relaed eht ,edulloc ton od dna yllanoitar dib sreddib owt eht taht gnimussA .noitaulav s’rehto eht fo tnedne pedni era sreddib owt eht fo seitilibaborp eht dna ,yap ot sessengnilliw eseht fo hcae gnivah fo 3/1 fo ytilibaborp a sah reddib hcaE .009$ dna ,007,2$ ,003,6$ ,ekat thgim yap ot ssengnilliw s’reddib hcae taht seulav elbisso p eerht ylno era ereht taht seveile b relaed ehT .sreddib owt era erehT .009$ fo ecirp noitavreser a htiw noitcua hsilgnE na fo snaem yb elibomotua euqitna na lles ot sediced relaed A 3.71 .denimreted ylmodnar si ti steg sreyub owt eseht fo hcihW .059$ tuo ba rof eilataN ro adniL rehtie )e( )71 .hC( S N OITC UA

874

.emit eht fo 21/1 ylno srac do og teg lliw sreddib lamroN .tset sih liaf taht srac rof 051$ dna tset sih ssap taht srac rof 003$ )e( .emit eht fo 6/1 ylno srac do og teg lliw sreddib lamroN .tset sih liaf taht srac rof 052$ dna tset sih ssap taht srac rof 006$ )d( .emit eht fo 6/1 ylno srac do og teg lliw sreddib lamroN .tset sih liaf taht srac rof 051$ dna tset sih ssap taht srac rof 005$ )c( .snomel ylno teg lliw sreddib lamroN .tset sih liaf taht srac rof 005$ dna tset sih ssap taht srac rof 057$ )b( .snomel ylno teg lliw sreddib lamroN .tset sih liaf taht srac rof 051$ dna tset sih ssap taht srac rof 528$ )a( :dib lliw lA .tset sih fo stluser eht nevig rac yreve fo eulav detce pxe sih sdib dna ,kcitspid yreve skcil ,noitcua yreve sdnetta lA .tset sih liaf snomel eht fo flah tub ,tset s’lA sliaf reven rac doog A .kcitspid s’rac eht no lio eht gnitsat yb snomel tceted semitemos nac lA taht llaceR .esacknarC lA si noitpecxe ylno ehT .srac desu eseht gnoma morf modnar ta gnikcip naht rette b on od nac sreyub tsoM .reyub yna ot 051$ htrow si nomel A .reyub yna ot 005,1$ htrow si rac desu d oog A .srac desu d oog era 3/1 dna snomel era denoitcua era taht srac eht fo 3/2 ,egareva nO .dib s’reddib tsehgih-dnoces eht ta reddib tsehgih eht ot dlos si rac hcaE .yadsendeW yreve snoitcua rac desu dib -delaes sdloh ,nogerO ,pac buH deniolruP ni esuoH noitcuA s’yrreJ 5.71 .000,27$ )e( 974

E MA N

)71 .hC( S N OITC UA

084

.0 )d( .612 )c( .692,1 )b( .677,7 )a( yb deilpitlum e b lliw tuptuo sti ,6 yb deilpitlum si tupni hcae fo tnuoma eht fI .} 2 y/) 6x − 6 z( , 4 y , y/ 5x{nim = ) z , y ,x( f si noitcnuf noitcudorp stI .noitcudorp fo srotcaf 3 sesu mr� A 3.81 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( .elacs ot snruter tnatsnoc )d( .x rotcaf rof tcud orp lanigram gnisaercni dna elacs ot snruter gnisaerced )c( .x rotcaf fo tcud orp lanigram gnisaerced dna elacs ot snruter gnisaercni )b( .x rotcaf rof tcudorp lanigram gnihsininimid dna elacs ot snruter gnisaerced )a( sah mr� sihT . 03.0− y 07.0x = ) y ,x( f noitcnuf noitcudorp eht sah mr� A 2.81 . 07.0−2x03.0 = 1x )e( . 03.0−1x04 = 2x )d( .3 = 2x/ 1x )c( . 33.31x04 = 2x )b( . 3−1x04 = 2x )a( noitauqe eht sah 01/304 si tuptuo hcihw no tnauqosi ehT . 03.02x 09.01x = ) 2x , 1x( f noitcnuf noitcudorp eht sah mr� A .1.81 melborP enod evah uoy fi reisae e b lliw melborp sihT 1.81

ygolonhceT E MA N

81 ziu Q

.1 naht retaerg si tuptuo fi elacs ot snruter gnisaerced dna 1 naht ssel si tuptuo fi elacs ot snruter gnisaercni )e( .esiwrehto elacs ot snruter gnisaerced dna 1 > y + x fi elacs ot snruter gnisaercni )d( .elacs ot snruter tnatsnoc )c( .elacs ot snruter gnisaerced )b( .elacs ot snruter gnisaercni )a( sah mr� siht ,evitiso p era stupni hto b fo stnuoma eht nehW .0 > y dna 0 > x reve -nehw 1) 01.0 y + 01.0x(02.1 = ) y ,x( f noitcnuf noitcudorp a sah mr� A 4.81 . z dna , y ,x fo eciohc lanigiro eht no sdne ped rewsna ehT )e( )81 .hC(

YG OL O N HCET

284

.tuptuo fo ecirp eht gniwonk tuohtiw llet t’nac eW )d( . 2x2 = 1x )c( . 2x05.0 = 1x )b( . 2x = 1x )a( ?st�orp ezimixam ot stnaw ti fi 2 dna 1 srotcaf esu mr� eht dluohs snoitro porp tahw ni ,61 si 2 rotcaf fo ecirp eht dna 8 si 1 rotcaf fo ecirp eht fI . 2x 1x = ) 2x , 1x( f si noitcnuf noitcudorp eht ,11.91 melborP nI 3.91 2/1 2/1

382 )e( 545 )d( 421,1 )c( 872 )b( 065 )a( ?st�orp sezimixam ti fi ekam mr� eht lliw st�orp hcum woh ,tinu re p 53 si tupni eht fo tsoc eht dna tinu re p 07 si decudorp ytidommoc eht fo ecirp eht fI . 2/1x4 = )x( f yb nevig si noitcnuf noitcudorp eht ,2.91 melborP nI 2.91 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( 291 )d( 23 )c( 46 )b( 821 )a( ?erih mr� eht lliw ro bal fo stinu ynam woh ,8 si tuptuo fo ecirp eht dna 8 si ro bal fo tinu re p tsoc eht taht eso ppuS . 3/2L6 = )L( F si noitcnuf noitcud orp eht ,1.91 melborP nI 1.91

noitazimixa M t�orP E MA N

91 ziu Q

002 )e( 882 )d( 47 )c( 082 )b( 041 )a( ?st�orp sih ezimixam ot redro ni esu dnulgoH remraF dluohs erca re p rezilitref fo sdnuo p ynam woh neht ,dnuo p re p 02.1$ si rezilitref fo ecirp eht dna lehsub re p 4$ si nroc fo ecirp eht fI .nroc fo slehsub )002/N( − 1 si rezilitref fo tcudorp lanigram eht ,erca re p rezilit -ref fo sdnuo p N seilppa dnulgoH remraF nehw ,9.91 melborP nI 4.91 . 2x61 = 1x )e( )91 .hC(

N OITAZI MIXA M TIF ORP

484

.051$ )c( .762$ )b( .021$ )a( e b lliw tuptuo fo stinu 6 gnicud orp fo tsoc latot eht neht ,tinu re p 46$ si senihcam fo tsoc eht dna tinu re p 52$ si ro bal fo tsoc eht fI .desu senihcam fo re bmun eht si M dna ro bal fo stinu fo re bmun eht si L erehw , 2/1 M 2/1L4 = ) M ,L( f si noitcnuf noitcudorp eht ,3.02 melborP nI 3.02 33.333,6 )e( 21 )d( 76.0 )c( 76.666 )b( 33.6 )a( ?decudorp era yolla eht fo stinu 000,4 nehw tinu re p tsoc egareva eht si tahw ,2 si cniz fo ecirp eht dna 2 si re ppoc fo ecirp eht fi ,dedeen era stupni rehto on fI .decudorp yolla fo tinu hcae rof cniz fo stinu 3 dna re ppoc fo stinu 3 seriuqer tuptuo fo tinu eno erehw ,snoitro porp dex� ni cniz dna re ppoc sesu hcihw detnevni si yolla wen a taht eso ppus ,2.02 melborP nI 2.02 571 )e( 578 )d( 002 )c( 051 )b( 055,1 )a( ?tuptuo fo stinu 05 ecudorp ot reh tsoc ti lliw hcum woh ,2 rotcaf rof 4 dna 1 rotcaf rof 9 era secirp rotcaf eht fI . 2x + 1x3 noitcnuf noitcudorp a sah 1.02 melborP ni enidaN taht eso ppuS 1.02

noitazimini M tsoC E MA N

02 ziu Q

keew re p 2$ )e( keew re p 5$ )d( keew re p 51$ )c( keew re p 02$ )b( keew re p 01$ )a( ?s’WEW naht stsoc latot s’WNW era regral erom hcum woh ,tuptuo emas eht ecudorp tsum dna ,seod WEW sa srero bal ynam sa eciwt esu tsum ti taht neviG .sesu WEW sa ro bal hcum sa eciwt esu ot ti seriuqer OEC yttod sti tub ,keew re p stegdiw 01 secudorp osla WNW .elbisso p yaw tse paehc eht ni stegdiw 01 eseht ecudorp ot sa os noitanibmoc tupni sti gniso ohc ,keew re p stegdiw 01 secud orp WEW .tinu re p 1$ ta latipac dna tinu re p 1$ ta ro bal erih nac ynapmoc hcaE .ro bal fo tupni eht si L dna latipac fo tupni eht si K erehw L K = y noitcnuf noitcudorp emas eht htiw stegdiw ecudorp ,steg 2/1 2/1 -diW citsito peN yldliW dna stegdiW tneic�E yldekciW ,smr� owT 6.02 .23$ )e( .8$ )d( .652$ )c( .07$ )b( .46$ )a( si reed 8 gnicudorp fo tsoc eht neht ,tinu re p 4$ si doow fo tsoc eht dna tinu re p 2$ si citsalp fo tsoc eht fI .desu doow fo tnuoma eht si 2x dna citsalp fo tnuoma eht si 1x erehw 2/1) 2x + 1x2( = ) 2x , 1x( f si reed rof noitcnuf noitcudorp s’lA ,21.02 melborP nI 5.02 .579 )e( .059,1 )d( .006,1 )c( .004,1 )b( .005,1 )a( si tuptuo fo stinu 002 gnicud orp fo tsoc latot nur-trohs eht ,tinu re p 7 si senihcam fo tsoc eht dna tinu re p 8 si ro bal fo tsoc eht fI .senihcam 52 esu tsum 2/1 M 2/1L4 = ) M ,L( F noitcnuf noitcudorp sah hcihw 3.02 melborP ni mr� eht ,nur trohs eht ni taht eso ppuS 4.02 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( .042$ )d( )02 .hC(

N OITAZI MI NI M TS OC

684

006,1 )a( ? n ur trohs eht ni lles ehs dluohs htnom re p steuquo b ynam woh ,tinu re p 3$ si teuquo b a fo ecirp eht fi dna ,nur trohs eht ni erots reh dnapxe ot ro esael eht fo tuo teg ot elba ton si ehs fi dna teef erauqs 006,1 htiw pohs a rof esael a dengis sah yraM fI .pohs reh ni ecaps fo teef erauqs fo re bmun eht si F erehw dna htnom re p slles ehs steuquo b fo re bmun eht si y erehw F/ 2 y ot lauqe stsoc elbairav sah 4.12 melborP ni ailongaM yraM 3.12 .raey re p srac 052 tsael ta fo eso psid ot snalp eh )e( .raey re p srac 005 naht erom on fo eso psid ot snalp eh )d( .raey re p srac 015 tsael ta fo eso psid ot snalp eh )c( .raey re p srac 052 naht erom on fo eso psid ot snalp eh )b( .raey re p srac 005 tsael ta fo eso psid ot snalp eh )a( fi rehsams rehsams ytilauq-hgih siht yub ot mih rof elihwhtrow e b dluow ti ,rac re p 08.0$ fo tsoc a ta srac fo eso psid dluoc eh rehsams siht htiw fi dna nwo ot raey re p 003$ tsoc taht rehsams rac ciluardyh ytilauq-hgih a yub ot xeR rof elbisso p osla si ti fI .rac re p 1$ fo tsoc lanigram a ta srac sehsams taht dna nwo ot raey a 002$ stsoc taht rehsams rac ytilauq-wol a yub dluoc eh ro ,srac eht yrub ot poocS rehtorb sih ot rac a 5$ yap dna raey eno stsal taht levohs a rof 01$ yap dluoc rraC xeR ,3.12 melborP nI 2.12 .05.79 )e( .072 )d( .591 )c( .931 )b( .531 )a( e b lliw stsoc elbairav egareva sih ,srac 51 sriaper eh fi neht ,06 + s57 + 2s4 era stsoc latot s’rraC tneD .rM fi ,2.12 melborP nI 1.12

sevruC tsoC E MA N

12 ziu Q

.6 )e( .3/2 )d( .3 )c( .21 )b( .9 )a( = L/ J oitar eht ni ro bal dna sekoj gnisu seriuqer skoo b scimoc ecud orp ot yaw tse paehc eht neht ,ruoh re p 81$ stsoc ro bal ’stsinootrac dna hcae 2$ tsoc sekoj dlo fI .ro bal ’stsinootrac dna sekoj hto b yrav nac eihcuoT taht eso ppuS . 4/3L 2/1 J1. si skoo b cimoc rof noitcnuf noitcudorp s’eileeFcM eihcuoT taht llaceR 5.12 .073,1 )e( .405,5 )d( .022,8 )c( .047,2 )b( .084,5 )a( si skoo b scimoc 42 gnicudorp fo tsoc latot eht neht ,5 si stsinootrac rof etar egaw eht fI .hcae srallod 6 diap eh hcihw rof sekoj dlo 009 htiw kcuts si eihcuoT .ro bal ’stsinootrac fo sruoh fo re bmun eht si L dna desu sekoj dlo fo re bmun eht si J erehw , 4/3L 2/1 J1. si noitcnuf noitcudorp s’eileeFcaM eihcuoT 4.12 046,2 )e( 006,3 )d( 004,2 )c( 008 )b( )12 .hC( SEVR UC TS OC

884

.31 )e( .8 )d( .4 )c( .42 )b( .61 )a( naht retaerg si ecirp eht sa gnol os ,tuptuo fo tnuoma evitiso p a ylppus lliw ti ,nur gnol eht nI .8 + 2 q2 = ) q( C noitcnuf tsoc nur-gnol eht sah mr� A 3.22 .}p8 ,p6{nim = )p( S )e( .p8 = )p( S )d( . 2} 2w2 , 1w{nim p = )p( S )c( . 2} 2w2 , 1w{xam p = )p( S )b( .61/p = )p( S )a( :noitauqe eht yb nevig si noitcnuf ylppus reh neht ,4 = 2w si 2 rotcaf fo ecirp eht dna 6 = 1w si 1 rotcaf fo ecirp eht fI . 2/1)} 2x2 , 1x{nim( = ) 2x , 1x( f si noitcnuf noitcudorp s’amrI taht eso ppus ,9.22 melborP nI 2.22 81 )e( 9 )d( 21 )c( 0 )b( 6 )a( ?st�orp sezimixam eh fi keew re p x� eh lliw srac ynam woh ,nur gnol eht ni neht ,63 si rac a gniriaper rof seviecer eh ecirp eht fI .291 + 2s3 = )s(c si keew re p srac s gniriaper fo tsoc latot nur-gnol s’rraC tneD taht eso ppuS 1.22

ylppuS mriF E MA N

22 ziu Q

)22 .hC(

YLPP US MRIF

094

.02.9$ )b( .71$ )a( e b dluow 3991 ni semong nedrag fo ecirp muirbiliuqe eht nehT .dlos emong nedrag yreve no 01$ fo xat a decudort -ni tnemnrevog eht dna ,emong re p 7$ ta deniamer ro bal dna retsalp fo tsoc eht ,3991 ,1 yraunaJ no taht dna 1.32 melborP ni de bircsed sa muir -biliuqe nur gnol ni saw yrtsudni emong nedrag eht taht eso ppuS 3.32 .4 yb sllaf tI )e( .8 yb sesir tI )d( .tnatsnoc syats tI )c( .1 yb sllaf tI )b( .1 yb sesir tI )a( ?semong fo ecirp muirbiliuqe eht ot ne ppah lliw tahw ,egnahc ton seod evruc dnamed eht fI .8 ot degnahc dah emong a ekam ot dedeen ro bal dna retsalp eht fo tsoc eht taht ,sdlom emong rof sredro egnahc ot etal ot saw ti retfa 3991 ,1 yraunaJ no ,esirprus s’enoyreve ot derevocsid saw ti taht ,2.32 melborP ni sa ,eso ppuS .1.32 melborP ni de bircsed secnatsmucric eht nevig muir -biliuqe nur-gnol ni saw yrtsudni emong nedrag eht taht eso ppuS 2.32 08.01$ )e( 09.9$ )d( 02.11$ )c( 81$ )b( 9$ )a( ?nur gnol eht ni ylppus evitiso p a e b dluow ereht hcihw ta semong fo ecirp tsewol eht si tahw ,melborp eht ni sa si esle gnihtyreve dna emong re p 9$ si ro bal dna retsalp fo tsoc eht fi ,1.32 melborP nI 1.32

ylppuS yrtsudn I E MA N

32 ziu Q

.stsoc elbairav latot enimreted ot nevig noitamrofni hguone ton si erehT )e( 9$ )d( 05.31$ )c( 7$ )b( 81$ )a( ?stsoc elbairav latot sti era tahw ,tuptuo fo stinu 3 secudorp mr� a fI .2/p = )p( iS si mr� yna fo evruc ylppus eht ,8.32 melborP nI 6.32 .6$ )e( .4$ )d( .52$ )c( .9$ )b( .52.11$ )a( si ecnuo re p anaujiram fo ecirp muirbiliuqe eht neht ,ecnuo re p 02$ si thguac si re ppihs a fi en� eht dna 02.0 si dezies si anaujiram fo tnempihs yna taht ytilibaborp eht fI .sreyub ot ti gnireviled dna anaujiram gniworg rof ecnuo re p 5$ fo tsoc lanigram tnatsnoc a si ereht ,ecnerefretni tnemnrevog fo ecnesba eht ni ,31.32 melborP nI 5.32 .002$ )e( .76$ )d( .58$ )c( .031$ )b( .98.882$ )a( e b lliw .S .U eht ni sootakc oc fo ecirp muirbiliuqe eht neht ,009$ ot desaercni si ootakc oc delggums hcae rof deso pmi en� eht fI .den� si relggums eht esac hcihw ni ,derevocsid gnie b fo ytilibaborp %01 a sah ootakcoc delggums hcaE .tisnart ni eid sootakc oc delggums eht fo flaH .S .U eht ot sesactius ni delggums dna deggurd era sootakcoC .drib re p 04$ tuo ba si .S .U eht ot mih gnitro psnart dna ootakc oc a gnirutpac fo tsoc eht taht eso ppuS 4.32 .72$ )e( .01$ )d( .7$ )c( )32 .hC(

YLPP US YRTS U D NI

294

.tnatsnoc ecirp sti evael )d( .4$ yb ecirp sti esaercni )c( .21$ yb ecirp sti esaercni )b( .8$ yb ecirp sti esaercni )a( lliw ylo ponom eht ,xat eht retfA .tuptuo fo tinu re p srallod 8 fo xat a yap tsum ti won tub ,dexat ton saw ti tsap eht nI .srallod ni derusaem era stsoc dna secirp erehw , y5 = ) y(c era stsoc latot sti dna y − 07 = ) y(p noitauqe eht yb de bircsed noitcnuf dnamed esrevni na secaf ylo ponom gnizimixam-t�orp A 3.42 evo ba eht fo enoN )e( 012 )d( 041 )c( 41 )b( 47 )a( ?st�orp s’reteP ezimixam lliw tuptuo fo level tahw neht ,2/ y − 07 = ) y(p si seip noegip rof dnamed eht fi ,2.42 melborP nI 2.42 .seipoc 056 gnilles dna tese pyt ti gnivah )e( .seipoc 006,2 gnilles dna tese pyt ti gnivah )d( .seipoc yna gnilles ton dna tese pyt ti gnivah ton )c( .seipoc 005,1 gnilles dna tese pyt ti gnivah )b( .seipoc 003,1 gnilles dna tese pyt ti gnivah )a( yb st�orp sih ezimixam dluow eh ,4$ si koo b artxe na gnitnirp fo tsoc lanigram eht dna ,000,01 si tese pyt koo b eht gnivah fo tsoc eht ,p001 − 000 ,3 = Q si koo b s’gnoB rof eludehcs dnamed eht fi ,1.42 melborP nI 1.42

ylopono M E MA N

42 ziu Q

.tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( .spolS fo stinu 41 ecud orp lliw mr� ehT )d( .decud orp e b spolS on taht tse b si ti ,ycneic�e laicos fo weiv fo tnio p eht morF )c( .ecirp orez ta spolS re�o mr� eht taht gnitsisni dna 95 fo ydisbus a mr� eht yap tnemnrevog eht gnivah yb deveihca e b dluoc tnemevorpmi oteraP A )b( .spolS fo stinu 7 ecud orp lliw mr� ehT )a( .yrtsudni wen siht ni tsilo ponom a e b nac ti ,spolS no tnetap a sah rotnevni eht ecniS .45 fo tsoc dex� a ekatrednu tsum mr� eht ,decudorp e b nac spolS yna erofe b tuB .retawhtab ni devlossid skoo b scimonoceorcam denoihsaf-dlo morf tsoc lanigram orez ta edam e b nac spolS .p − 41 = q noitauqe eht yb nevig si spolS rof dnamed eht os ,tce�e siht rof yenom yap ot gnilliw era elpoe p emoS .sekoj s’nosnhoJ rosseforP dna cisum s’kleW ecnerwaL rof gnivarc a elpoe p sevig ti tub ,doog yrev etsat t’nseod tI .spolS dellac egareve b wen a detnevni sah mr� A 4.42 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( )42 .hC(

YL OP O N O M

494

. 2p esiaR )b( . 2p rewoL )a( ?st�orp stsilo ponom eht esiar ot erus si snoitca gniwollof eht fo hcihW .01.0− si tekram dnoces eht ni yticitsale ecirp eht dna 05.1− si tekram tsr� eht ni yticitsale ecirp eht ,secirp eseht tA .tekram rehto eht ni 8 dna tekram eno ni 4 segrahc tI .rehto eht ni dloser reven era tekram eno ni dlos sdoog taht hcus stekram etarapes owt ni slles tsilo ponom gnitanimircsid-ecirp A 3.52 .144 )e( .646,2 )d( .288 )c( .12 )b( .467,1 )a( e b lliw st�orp latot sti ,noitanimircsid ecirp tcefre p ecitcarp ot elba si tsilo ponom siht fI .stsoc dex� orez dna 61 fo stsoc lanigram tnatsnoc sah dna y2 − 001 = ) y(p yb de bircsed evruc dnamed a secaf tsilo ponom A ).2.52 melborP eeS( 2.52 .81 )e( .41 )d( .0 )c( .21 )b( .6 )a( e b lliw .S.U eht ni degrahc ecirp eht dna dnalgnE ni degrahc ecirp eht neewte b ecnere�id eht neht ,dnalgnE ni ecirp eht si 2p erehw 2p002 − 008 ,2 yb nevig si dnalgnE ni dnamed eht fi dna .S.U eht ni ecirp eht si 1p erehw , 1p009 − 004 ,32 = 1Q yb nevig si .S.U eht ni dnamed fI ).1.52 melborP eeS( 1.52

roivaheB ylopono M E MA N

52 ziu Q

.seipoc 004 gnilles dna tese pyt ti gnivah )e( .seipoc 006,1 gnilles dna tese pyt ti gnivah )d( .seipoc yna gnilles ton dna tese pyt ti gnivah ton )c( .seipoc 000,1 gnilles dna tese pyt ti gnivah )b( .seipoc 008 gnilles dna tese pyt ti gnivah )a( yb st�orp sih ezimixam dluow eh neht ,stsoc rehto on sah eh fi dna ,4 si ypoc artxe na gnitnirp fo tsoc lanigram eht fi ,000,8 si tese pyt koo b eht gnivah fo tsoc eht fI .p001 − 000 ,2 = Q noitcnuf eht yb nevig si koo b wen s’eromgnoB rosseforP rof dnamed ehT 4.52 . 1p rewol dna 2p esiaR )e( . 2p dna 1p hto b esiaR )d( . 2p rewol dna 1p esiaR )c( )52 .hC(

R OIVA HEB YL OP O N O M

694

si stnaruatseR naisale baR rof tuptuo gnizimixam-t�orp ehT .000 ,1/Q − 57.03 = P yb nevig si stnaruatseR naisiale baR ta slaem rof evruc dnamed ehT .ro bal fo tinu re p L1. + 04 fo egaw a yap tsum ti ,ro bal fo stinu L erih ot redro ni taht sdn� stnar -uatseR naisiale baR .decud orp slaem fo re bmun eht si Q dna sesu ti ro bal fo tnuoma eht si L erehw ,L04 = Q si noitcnuf noitcudorp stI .muned -ouD re ppU fo nwot eht ni ylo ponom a sah stnaruatseR naisiale baR 3.62 042 sulp etar egaw eht slauqe )e( .08 sulp etar egaw eht slauqe )d( .061 sulp etar egaw eht slauqe )c( .etar egaw eht eciwt si )b( .etar egaw eht slauqe )a( ro bal fo tinu lanoitidda na fo tsoc lanigram eht ,keew re p ro bal fo stinu 000,1 gnirih yltnerruc si ytisrevinu eht fI .ro bal fo tinu re p diap egaw ylkeew eht si w dna keew re p ro bal fo stinu fo re bmun si L erehw L80.0 + 06 = w yb nevig si nwot llams a ni ytisrevinu egral a rof evruc ylppus ro bal eht taht eso ppuS 2.62 .05.7 )e( .52.1 )d( .05.2 )c( .05.22 )b( .51 )a( si tnemegnarra siht rednu sremusnoc yb diap ecirp ehT .st�orp ezimixam ot tuptuo na sesoohc rotubirtsid eht ,c fo tsoc lanigram sih neviG .eunever latot s’recudorp eht sezimixam c ecirp eht erehw ,eltto b re p c fo ecirp a rotubirtsid eht segrahc recudorp ehT .tsoc orez ta retaw larenim ecud orp ot elba si ohw recudorp tsilo ponom a morf syub ohw ,rotubirtsid citsilo ponom a yb sremusnoc ot deilppus si retaw lareniM .sremusnoc yb desahcrup seltto b fo re bmun eht si q dna sremusnoc yb diap eltto b re p ecirp eht si p erehw , q21 − 03 = p yb nevig si retaw larenim rof evruc dnamed eht ,2.62 melborP ni taht eso ppuS 1.62

stekra M rotcaF E MA N

62 ziu Q

)62 .hC(

.057,1 )e( .000,3 )d( .005,3 )c( .000,82 )b( .000,41 )a( STEKRA M R OTCAF

894

?muirbiliuqe ni tuptuo s’hcnirG si hcum woH .57$ fo stsoc lanigram sah bburG dna 51$ fo stsoc lanigram tnatsnoc sah hcnirG .detibihorp era stro pmI .bburG dna hcnirG ,stsilo poud tonruoC owt eht tsuj fo stsisnoc yrtsudni ehT .dlos ytitnauq latot eht si Q dna ecirp eht si p erehw Q2. − 063$ = p yb nevig si eniw rof dnamed ehT .worg ot tluc�id si eniw erehw yrtnuoc llams a ni ssenisub eniw eht otni og bburG dna hcnirG taht eso ppus ,5.72 melborP nI 3.72 .stinu 31.81 )e( .stinu 02 )d( .stinu 01 )c( .stinu 51 )b( .stinu 03 )a( e b dluow noitcudorp s’mr� hcae muirbiliuqe ni neht ,stsilo poud tonruoC owt fo detsisnoc yrtsudni eht fi dna , Y05 = ) Y( C T erew mr� yna rof stinu y gnicudorp fo tsoc latot eht dna Y4 − 092 = ) Y( P yb nevig erew stuorps nae b rof dnamed esrevni eht ,4.72 melborP ni fI 2.72 . sQ − 006 ,9 )e( .2/ sQ − 002 ,3 )d( . sQ006 ,1 − 002 ,31 )c( . sQ008 − 002 ,31 )b( .2/ sQ − 004 ,6 )a( = ) sQ( CR si noitcnuf noitcaer s’lraC .st�orp sih ezimixam ot redro ni ecudorp dluohs lraC snikpmup ynam woh su sllet noitcnuf noitcaer eht neht ,raey siht snikpmup sQ ecudorp ot gniog si nomiS taht seveile b lraC fI .decudorp nikpmup hcae rof 05.0$ fo tsoc lanigram tnatsnoc a sah remraf hcae taht rehtruf eso ppuS .snikpmup fo ecirp eht si P dna tekram eht hcaer taht snikpmup fo re bmun latot eht si Q erehw , P008 − 002 ,31 = Q fo snikpmup rof noitcnuf dnamed a ecaf 1.72 melborP ni nomiS dna lraC stsilo poud eht taht eso ppuS 1.72

ylopogil O E MA N

72 ziu Q

fi st�orp tnioj ezimixam lliw yeht ,tnemegnarra letrac siht rednU .yllauqe st�orp yrtsudni latot tilps ot egnarra dna letrac a mrof smr� owt ehT .i mr� fo tuptuo eht si iq erehw 2iq = ) iq( C noitcnuf tsoc a sah i mr� hcae dna tnalp gnirutcafunam eno sah mr� hcaE . q3 − 001 ,2 = p yb nevig si semehpotsalb rof evruc dnamed ehT .yrtsudni emehpotsalb eht ni smr� owt era erehT 6.72 .05 )e( .004 )d( .003 )c( .001 )b( .002 )a( e b lliw smr� owt eht yb tuptuo latot ,muirbiliuqe nI .tuptuo fo tinu re p 08$ fo tsoc lanigram tnatsnoc a sah mr� hcaE .rewollof a dna ,redael gre belkcatS a ,smr� owt sah yrtsudni eht taht eso ppuS .tuptuo yrtsudni latot si Q dna ecirp eht si P erehw ,Q2 − 088 = P yb nevig si stuorps nae b rof evruc dnamed tekram eht taht eso ppus ,4.72 melborP nI 5.72 .004,2 )e( .002 )d( .002 )c( .053 )b( .001 )a( fo t�orp yliad a ekam lliw dna yad re p thgi� eno nur lliw tsilo poud hcae ,muirbiliuqe tonruoC nI .sregnessap 08 fo yticapac a sah thgi� hcaE .thgi� eht no sregnessap fo re bmun eht si q erehw q04 + 007 era etuor siht no thgi� a gninnur fo stsoc latoT .)2/Q − 001 = p os( p2 − 002 = Q si yad re p stekcit rof evruc dnamed eht dna ,etuor euqubuD-airoeP eht evres stsilo poud tonruoC owt taht eso ppus ,6.72 melborP nI 4.72 520,2 )e( 05.210,1 )d( 05.733 )c( 053,1 )b( 576 )a( )72 .hC(

YL OP OGIL O

005

.st�orp eht gnittilps dna ylo ponom a sa etare po rehto eht gnivah ,stnalp owt eht fo eno nwod tuhs yeht )e( .meht secudorp mr� hcihw rettam on ,stinu 33.332 fo latot a ecudorp yeht )d( .stinu 053 fo latot a ecudorp hcae yeht fi ylno dna )c( .meht secudorp mr� hcihw rettam on ,stinu 003 fo latot a ecudorp yeht )b( .tnalp sti ni stinu 051 secudorp mr� hcae fi ylno dna )a( 105

E MA N

)72 .hC(

YL OP OGIL O

205

.07.0 ytilibaborp htiw thgiarts sevird dna 03.0 ytilibaborp htiw sevrews reyalp hcae hcihw ni ygetarts dexim a )d( .04.0 ytilibaborp htiw sevrews rehto eht dna 06.0 ytiliba -borp htiw sevrews reyalp eno hcihw ni muirbiliuqe ygetarts dexim a )c( .thgiarts gnivird dna gnivrews neewte b etanretla sreyalp hcihw ni seigetarts dexim owt )b( .04.0 ytilibaborp htiw thgiarts sevird dna 06.0 ytiliba -borp htiw sevrews reyalp hcae hcihw ni muirbiliuqe ygetarts dexim a )a( dna airbiliuqe ygetarts erup owt sah emag sihT .thgiartS evirD ot sesoohc osla reyalp rehto eht fi 84− fo �oyap a dna sevrews reyalp rehto eht fi 23 fo �oyap a steg thgiartS evirD ot sesoohc ohw reyalp A .seod reyalp rehto eht tahw fo sseldrager ,orez fo �oyap a steg dna ”nekcihC“ dellac si evrewS ot sesoohc ohw reyalp A .thgiartS evirD dna evrewS .seigetarts elbisso p owt era erehT ”.nekcihc“ fo emag a ni degagne era sreyalp owT ).6.82 melborP eeS( 2.82 .seigetarts dexim gnisu e b tsum sgip eht )e( .orez fo �oyap a teg lliw giP elttiL )d( .hguort eht ta tiaw lliw sgip hto b )c( .5 fo �oyap a teg lliw giP giB dna 5 fo �oyap a teg lliw giP elttiL )b( .4 fo �oyap a teg lliw giP giB dna 2 fo �oyap a teg lliw giP elttiL )a( ,muirbiliuqe hsaN nI .2 steg giP elttiL dna 4 steg giP giB neht ,stiaw giP elttiL dna sesserp giP giB fi ,yllaniF .0 steg giP elttiL dna 01 steg giP giB neht ,stiaw giP giB dna nottub eht sesserp giP elttiL fI .5 steg giP elttiL dna 5 steg giP giB neht nottub eht sserp sgip hto b fI .4 teg hto b ,tiaW eso ohc sgip hto b fI .hguorT eht ta tiaW dna ,nottuB eht sserP ,seig -etarts elbisso p owt evah giP elttiL dna giP giB ).1.82 melborP eeS( 1.82

yroehT emaG E MA N

82 ziu Q

36 )e( 09 )d( 45 )c( 75.83 )b( 72 )a( ?bulc siht rof ecnadnetta muirbiliuqe nur-gnol a si tahW . X07.0 + 72 si keew txen dnetta lliw ohw elpoe p fo re bmun eht neht , X si keew siht gniteem bulc eht dnetta ohw snosre p fo re bmun eht fI ).11.82 melborP eeS( 5.82 .1 )e( .76.0 )d( .80.0 )c( .71.0 )b( .33.0 )a( si kwaH syalp taht noitalupo p latot eht fo noitro porp eht nehw sne ppah sihT .llew yllauqe od ot sevoD dna skwaH tce pxe dluow ew ,muirbiliuqe nI .0 steg evoD syalp taht eno eht dna 3 fo �oyap a steg kwaH syalp taht eno eht ,evoD syalp rehto eht dna kwaH syalp eno fi dna 1 si reyalp hcae ot �oyap eht ,evoD yalp hto b fI .kwaH yalp hto b fi 4− si reyalp hcae ot �oyap eht ,3.82 melborP ni dessucsid emag evoD-kwaH eht ni taht eso ppuS 4.82 .06.0 ytilibaborp htiw edis thgir eht ot nur )e( .rehto eht ro edis eno ot ytilibaborp lauqe htiw nur )d( .77.0 ytilibaborp htiw edis thgir eht ot nur )c( .36.0 ytilibaborp htiw edis thgir eht ot nur )b( .edis thgir eht ot nur ot erus e b )a( dluow nagihciM ,muirbiliuqe hsaN nI .seigetarts muirbiliuqe hsaN esoohc sedis htoB .niw ot sdray 5 niag ot sdeen nagihciM dna emag eht fo yalp tsal eht si tI .04.0 ytilibaborp htiw sdray 5 tsael ta niag llits dluow nagihciM ,thgir nar nagihciM nehw edis thgir eht dednefed tneno ppo eht fi tuB .niag on rof de ppots e b dluow nagihciM ,tfel nar nagihciM dna edis tfel eht dednefed esnefed eht fI .sdray 5 tsael ta niag ot erus si nagihciM ,edis gnorw eht no setartnecnoc tneno ppo eht fI .enil s’nagihciM fo edis thgir eht ro edis tfel eht no rehtie etartnecnoc nac esnefed ehT .edis thgir eht ot llab eht nur dna ,enil eht fo edis tfel eht ot llab eht nur :seigetarts owt ylno dah hcaoc llabto of nagihciM dlo ehT 3.82 .seigetarts dexim on )e( )82 .hC(

YR OE HT E MAG

405

sniatnoc evruc tcartnoc eht neht ,xo b eht fo renroc tfel rewol eht morf snoitpmusnoc s’sirroM erusaem ew fi dna sixa lacitrev eht no eniw dna sixa latnoziroh eht no skoo b htiw xo b htrowegdE na ward ew fI .wb = )w ,b( U noitcnuf ytilitu eht sah pilihP dna w42 + b6 = )w ,b( U noitcnuf ytilitu eht sah sirroM taht eso ppus ,1.92 melborP nI 3.92 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( .demusnoc ehs taht eniw fo stinu 01 yreve rof ehciuq fo stinu 6 emusnoc dluow eibraB )d( .demusnoc eh taht eniw fo stinu 02 yreve rof ehciuq fo stinu 9 emusnoc dluow neK )c( .neK sa ehciuq hcum sa eciwt emusnoc dluow eibraB )b( .eniw fo stinu 01 yreve rof ehciuq fo stinu 3 emusnoc dluow neK )a( ,d oog hcae fo emos emusnoc snosre p hto b erehw noitacolla lamitpo oteraP yna ta neht ,eniw fo stinu 01 dna ehciuq fo stinu 6 erew tnemwodne s’eibraB dna eniw fo stinu 01 dna ehciuq fo stinu 3 erew tnemwodne laitini s’neK fI . BW BQ = ) BW , BQ( U si noitcnuf ytilitu s’eibraB dna = ) KW , KQ( U si noitcnuf ytilitu s’neK ,4.92 melborP nI 2.92 KW KQ

.semusnoc ehs taht sananab 6 yreve rof selppa 6 fo oitar eht ni sananab dna selppa semusnoc siroD )e( .seod siroD naht elppa re p sananab erom semusnoc eilrahC )d( .sananab dna selppa fo sre bmun lauqe semusnoc siroD )c( .semusnoc eh taht sananab 81 yreve rof selppa 9 semusnoc eilrahC )b( .siroD sa selppa fo re bmun emas eht semusnoc eilrahC )a( ,noitacolla lamitpo oteraP yreve tA .snoitpmusnoc ananab dna elppa reh era DB dna DA erehw DB DA = ) DB , DA( U si noitcnuf ytilitu s’siroD .noitpmusnoc ananab sih si CB dna noitpmusnoc elppa sih si CA erehw CB CA = ) CB , CA( U si noitcnuf ytilitu s’eilrahC .sananab 6 dna selppa 6 fo tnemwodne laitini na sah siroD .sananab 21 dna selppa 3 fo tnemwodne laitini na sah eilrahC .sananab dna selppa ,sdo og owt era erehT .siroD dna eilrahC elpoe p owt sah ymonoce nA 1.92

egnahcxE E MA N

92 ziu Q

.segde rehto on tub xo b htrowegdE eht fo egde thgir )d( .xo b htrowegdE eht fo egde motto b dna egde tfel )c( .segde rehto on tub xo b htrowegdE eht fo egde motto b )b( .segde rehto on tub xo b htrowegdE eht fo egde tfel )a( eht sedulcni snoitacolla lamitpo oteraP fo tes eht neht ,xo b eht fo renroc tfel rewol eht morf ecnatsid eht yb ttuM rof sdoog erusaem ew fi dna sixa lacitrev eht no eciuj dna sixa latnoziroh eht no klim htiw xo b htrowegdE na ward ew fI .eciuj fo stinu 6 dna klim fo stinu 4 htiw dewodne yllaitini si �eJ .eciuj fo stinu 2 dna klim fo stinu 4 htiw dewodne yllaitini si ttuM . j + m2 = ) j ,m( U si noitcnuf ytilitu s’ �eJ dna } j ,m3{xam = ) j ,m( U si noitcnuf ytilitu s’ttuM ,8.92 melborP ni taht eso ppuS 5.92 .p = }6 ,4{nim )e( .6 = p2/4 + p/6 )d( .p = 6/4 )c( .p = 4/6 )b( .4 = 2 + )1 + p(/6 )a( taht seilpmi sihT .tekram gnirreh eht ni ylppus slauqe dnamed taht e b tsum ti ,eriaremun eht si eseehc dna gnirreh fo ecirp muirbiliuqe evitite pmoc a si p erehW .gnirreh on dna eseehc fo stinu 6 era stnemwodne laitini s’regriB dna ,gnirreh fo stinu 4 dna eseehc on si tnemwodne laitini s’dirtsA .} BC , BH{nim si noitcnuf ytilitu s’regriB . AC AH = ) AC , aH( U si noitcnuf ytilitu s’dirtsA ,2.92 melborP nI 4.92 .thgir ot tfel morf evom uoy sa retta� steg taht evruc a )e( .xo b eht fo renroc thgir re ppu eht hguorht gnissap 4/1 e pols htiw enil thgiarts a )d( .xo b eht fo renroc tfel rewol eht hguorht gnissap 4/1 e pols htiw enil thgiarts a )c( .thgir ot tfel morf evom uoy sa re peets steg taht evruc a )b( .tfel rewol eht ot xo b eht fo renroc thgir re ppu eht morf gninnur enil thgiarts a )a( )92 .hC( EG NA HCXE

605

.sedutitalp 5 semusnoc ecafretnI )e( .sedimorb 3 semusnoc ecafretnI )d( .sedimorb 7 semusnoc ecafretnI )c( .sedutitalp 8 semusnoc ecafretnI )b( .ecaf -retnI sa sedutitalp ot sedimorb fo oitar emas eht semusnoc liosthgiN )a( taht e b tsum ti ,sd oog hto b fo stnuoma evitiso p emusnoc snosre p hto b erehw noitacolla tneic�e oteraP yna ta neht ,sedutitalp 52 dna sedimorb 7 si tnemwodne laitini s’ecafretnI fi dna sedutitalp 51 dna sedimorb 7 si tnemwodne laitini s’liosthgiN fI . IP2 2/1 + IB = ) IP , IB( IU si noitcnuf ytilitu s’ecafretnI naeD dna NP4 + NB si 2/1 ,) NP , NB( NU ,noitcnuf ytilitu s’liosthgiN rosseforP ,3.92 melborP nI 6.92 .xo b htrowegdE eht fo egde pot dna egde thgir )e( 705

E MA N

)92 .hC( EG NA HCXE

805

.sdad -ood dna swageeg hto b gnicudorp ni egatnavda evitarapmoc sah lliB )d( .sdad -ood dna swageeg hto b gnicud orp ni egatnavda evitarapmoc sah lA )c( .sdadood gnicudorp ni egatnavda evitarapmoc sah lA dna ,swageeg gnicudorp ni egatnavda evitarapmoc sah lliB )b( .sdadood gnicudorp ni egatnavda evitarapmoc sah lliB dna ,swageeg gnicudorp ni egatnavda evitarapmoc sah lA )a( ,rehto eht naht suoido erom ksat eno sdn� meht fo rehtien taht gnimussA .ruoh re p sdadood 6 ro ruoh re p swageeg 2 ekam nac lliB .ruoh re p sdad ood 51 ro ruoh re p swageeg 3 ekam nac lA .sdad ood dna swageeg sekam hcihw yrotcaf llams a ni srekrow ylno eht era lliB dna lA 2.03 .ylno smelborp ko o bkrow od lliw to pS dna ylno sre pap mret etirw lliw piT )e( .ylno smelborp ko o bkrow od lliw piT dna ylno sre pap mret etirw lliw to pS )d( .ksat hcae ta emit emos dne ps lliw stneduts hto b )c( .ksat hcae ta emit emos dne ps lliw to pS dna sre pap mret gnitirw emit sih fo lla dne ps lliw piT )b( .ksat hcae ta emit emos dne ps lliw piT dna sre pap mret gnitirw emit sih fo lla dne ps lliw to pS )a( ,smelborp koo bkrow 03 ecudorp yeht taht nevig elbisso p sa re pap mret fo segap ynam sa ecudorp yeht fi neht tuptuo rieht erahs ot dna ,sruoh 7 fo latot a krow ot ediced hcae yeht fI .ruoh na ni smelborp koo bkrow 6 evlos ro sre pap mret fo segap 2 etirw nac to pS elihw ,ruoh na ni smelborp ko o bkrow 02 evlos ro sre pap mret fo segap 5 etirw nac piT ,1.03 melborP ni taht eso ppuS 1.03

noitcudorP E MA N

03 ziu Q

,noitacolla lamitpo oteraP yreve tA . W M = ) W , M( U mrof eht fo snoitcnuf ytilitu evah lla dnalsi eht fo snezitic ehT .tib elttil a tsuj evah emos ,dnal fo stol evah snezitic emoS .taehw fo stinu 73 ro klim fo stinu 61 rehtie ecudorp lliw dnal fo erca nA .dnal fo serca 000,1 era erehT .dnal si ecruoser ecracs ylno ehT .klim dna taehw ,sdoog owt ylno era ereht dnalsi niatrec a nO 5.03 .52.0 si hs� fo ecirp eht dna 021 si emocni sih )e( .52.0 si hs� fo ecirp eht dna 291 si emocni sih )d( .4 si hs� fo ecirp eht dna 042 si emocni sih )c( .4 si hs� fo ecirp eht dna 84 si emocni sih )b( .4 si hs� fo ecirp eht dna 291 si emocni sih )a( erehw dna ,1 si stunoc oc fo ecirp eht erehw tekram evitite pmoc a ni stunococ dna hs� yub dluoc eh fi e b dluow ti sa emas eht e b lliw noitpmusnoc sih ,stunococ gnikcip dna hs� gnihctac neewte b yaw elbisso p tse b eht ni emit sih setacolla eh fI .stunococ fo noitpmusnoc sih si C dna hs� fo noitpmusnoc sih si F erehw C F = ) C , F( U si noitcnuf ytilitu siH .ruoh re p stunoc oc 61 kcip nac eh ro ruoh re p hs� 4 hctac nac eH .hs� gnihctac ro stunococ gnirehtag dne ps ot yad re p sruoh 21 yltcaxe sah eosurC nosniboR ).2.03 melborP eeS( 4.03 .)01,9( ta gnitcesretni ,tnemges enil latnoziroh a dna tnemges enil lacitrev a )e( .)81,01( ta gnitcesretni ,tnemeges enil latnoziroh a dna tnemges enil lacitrev a )d( .)0,02( ot )81,01( morf gninnur rehto eht dna )81,01( ot)72,0( morf gninnur eno ,stnemges enil owt yb )c( .)0,91( ot )01,9( morf gninnur rehto eht dna )01,9( ot )82,0( morf gninnur eno stnemges enil owt yb )b( .)0,91( ot )81,01( morf gninnur rehtona dna )81,01( ot )82,0( morf gninnur eno ,stnemges enil owt yb )a( dednuo b si tes tegdub s’dloraH neht ,sixa ,lacitrev eht no mugelbbub dna ,sixa latnoziroh eht no si aisorbma fI .1 si mugelbbub fo ecirp eulb eht dna 1 si mugelbbub fo ecirp der ehT .2 si aisorbma fo ecirp eulb eht dna 1 si aisorbma fo ecirp der ehT .dne ps ot yenom eulb fo stinu 81 dna dne ps ot yenom der fo stinu 01 sah dloraH .ecirp der eht ta yenom der htiw ro ,ecirp eulb eht ta yenom eulb htiw rehtie ti rof gniyap yb doog a yub nac uoY .ecirp eulb a dna ecirp der a sah ytidommoc hcae dna emocni yenom-eulb a dna emocni yenom-der a sah remusnoc yrevE ).5.03 melborP eeS( 3.03 .sdado od gnicud orp ni egatnavda evitarapmoc evah snosre p hto b )e( )03 .hC(

N OITC U D ORP

015

.noitacolla lamitpo oteraP yreve ta eurt si evo ba eht fo enoN )e( .1− si taehw dna klim neewte b noitutitsbus fo etar lanigram s’remusnoc yreve )d( .eldnub ytidommoc emas eht emusnoc snezitic lla )c( .000,8 si noitcudorp klim latot )b( .decudorp taehw fo stinu fo re bmun eht slauqe decudorp klim fo stinu fo re bmun eht )a( 115

E MA N

)03 .hC(

N OITC U D ORP

215

.snoit -idnoc gniwollof eht gniyfsitas snoitacolla lla fo tsisnoc snoitac olla ”riaf“ ehT .segnaro 8 dna selppa 8 si meht neewte b dedivid e b ot segnaro dna selppa fo ylppus latot ehT .segnaro dna selppa fo snoitpmusnoc s’divaD era DO dna DA dna segnaro dna selppa fo snoitpmusnoc s’luaP era PO dna PA erehw ,ylevitce pser , DO5 + DA = U dna PO + PA5 = U snoit -cnuf ytilitu evah 7.13 melborP morf divaD dna luaP taht eso ppuS 3.13 .B ytic ni dlihc eht sa yenom hcum sa semit 05.1 A ytic ni dlihc eht evig )e( .A ytic ni dlihc eht sa yenom hcum sa semit 05.1 B ytic ni dlihc eht evig )d( .B ytic ni dlihc eht sa yenom hcum sa semit 3 A ytic ni dlihc eht evig )c( .A ytic ni dlihc eht sa yenom hcum sa semit 3 B ytic ni dlihc eht evig )b( .B ytic ni dlihc eht rof sdoog ssel yub lliw siht hguoht neve ,000,2$ dlihc hcae evig )a( ot eso ohc lliw ehS .ylevitce pser B dna A seitic ni gnivil nerdlihc eht fo snoitpmusnoc eht era BC dna AC erehw , BC AC = ) BC , AC( U si noitcnuf ytilitu reH .nerdlihc owt reh ot 000,4$ fo latot a evig ot stnaw tnerap ehT .000,9$ fo emocni na sah B ytic ni dlihc eht dna 000,3 fo emocni na sah A ytic ni dlihc ehT .A ytic ni gnivil fo tsoc eht semit 3 si B ytic ni gnivil fo tsoc ehT .gnivil fo stsoc tnere�id htiw seitic ni gnivil nerdlihc owt sah tnerap A 2.13 .driht ni gnimoc x htiw ,z dna y neewte b eit a si erehT )e( .driht ni gnimoc z htiw ,y dna x neewte b eit a si erehT )d( .z etadidnaC )c( .y etadidnaC )b( .x etadidnaC )a( ?sniw etadidnac hcihW .driht x ,dnoces z ,tsr� y ,setadidnac eht knar sretov 8 ;driht x ,dnoces y ,tsr� z ,setadidnac eht knar 6 ;driht y ,dnoces z ,tsr� x setadidnac eht knar sretov 4 ;driht z ,dnoces y ,tsr� x setadidnac eht knar sretov 7 :sretov 52 era erehT .eciohc driht a ot 3 dna eciohc dnoces a ot 2 ,eciohc tsr� a ot dedrawa si 1 fo erocs a erehw z dna ,y ,x ,setadidnac 3 neewte b noitcele na ediced ot desu si tnuoc adroB A 1.13

erafleW E MA N

13 ziu Q

.keerc eht ni tser eht llips dna nollag 1 )e( .keerc eht ni tser eht llips dna snollag 8 )d( .keerc eht ni snollag 42 llips dna snollag 2 )c( .keerc eht ni snollag 02 llips dna snollag 4 )b( .snollag 41 )a( hcae meht evig dluohs �irehs ehT .yllauqe meht taert ot stnaw eh dna ,elbisso p sa yppah sa e b ot hto b meht stnaw �irehs eht ,nosaer emos roF .meht ot kcab evig dluoc eh taht yksihw detacs�noc fo stinu 82 fo latot a sah �irehs ehT .snollag ni derusaem ,noitpmusnoc yksihw s’yoCcM si MW dna noitpmus -noc yksihw s’dle�taH si HW erehw , HW − MW = U si ytilitu s’yoCcM 8/2 dna MW − HW = U si noitcnuf ytilitu s’dle�taH .yksihw nroc emusnoc 8/2 hto b yehT .rehto hcae rof dertah htiw nrub yoCcM dna dle�taH 5.13 .ittehgaps fo stinu 46 naht erom sah ehs fi ittehgaps emos oemoR evig ot tnaw dluow teiluJ )e( .ittehgaps fo stinu 06 naht erom sah eh fi ittehgaps emos teiluJ evig ot tnaw dluow oemoR )d( .ittehgaps eht edivid ot woh tuo ba eergasid reven dluow teiluJ dna oemoR )c( .stinu 26 naht erom sah ehs fi ittehgaps emos oemoR evig ot tnaw dluow teiluJ )b( .ittehgaps fo stinu 84 naht erom dah eh fi ittehgaps emos teiluJ evig ot tnaw dluow oemoR )a( .meht neewte b edivid ot ittehgaps fo stinu 69 evah yehT .s’teiluJ si JS dna noitpmusnoc ittehgaps s’oemoR si RS erehw , 8JS R4 S = U noitcnuf ytilitu eht sah teiluJ dna 4JS R8 S = U noitcnuf ytilitu eht sah 8.13 melborP ni oemoR taht eso ppuS 4.13 . PO + PA5 tsael ta si

DO5 + DA

dna , DO5 + DA tsael ta si PO + PA5 )e(

.8 tsael ta si SO + SA dna ,8 tsael ta si .84 tsael ta si .84 tsael ta si

DO5

DO01

DO

+ DA )d(

+ DA2 dna ,84 tsael ta si PO + PA5 )c(

+ DA2 dna ,84 tsael ta si

PO2

. PO = DO dna )13 .hC(

+ PA01 )b(

PA

=

DA

ERAFLE W

)a( 415

.004 = 2A dna 053 = 1A )d( .053 = 2A dna 002 = 1A )c( .053 = 2A = 1A )b( .053 = 2A dna 571 = 1A )a( taht swollof tI .renwo elgnis a yb detare po era smr� eht fi selppa fo tuptuo eht e b 2A tel dna ,yltnedne pedni etare po smr� eht fi selppa fo tuptuo eht e b 1A teL .tinu re p 7 si selppa fo ecirp eht dna 8 si yenoh fo ecirp ehT .ylevitce pser decud orp selppa dna yenoh fo stinu fo re bmun eht era A dna H erehw ,001/ 2A = )A , H( AC si drahcro elppa eht fo noitcnuf tsoc eht dna A1 − 001/ 2 H = )A , H( HC si yraipa eht fo noitcnuf tsoc ehT .selppa secudorp drahcro elppa eht dna yenoh secud orp yraipa ehT .drahcro elppa na ot txen detacol si yraipa nA 2.23 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( .41 = 2 X dna 42 = 1 X )d( .01 = 2 X dna 02 = 1 X )c( .8 = 2 X dna 01 = 1 X )b( .02 = 2 X dna 02 = 1 X )a( .2 X e b lliw yab eht ni stao b fo re bmun eht ,st�orp latot ezimixam ot detaluger si yab eht ni etare po taht stao b fo re bmun eht fI .1 X e b lliw retne taht stao b fo re bmun eht neht ,tnartne wen a yb edam e b ot t�orp on si ereht litnu yab eht otni emoc stao b wen dna yrtne no snoitcirtser on era ereht fI .) 2x − x32(000 ,1$ si yab eht ni stao b retsbol morf eunever ylhtnom latot eht ,yab eht ni etare po stao b retsbol X fi taht eso ppuS .htnom re p 000,3$ si tao b retsbol a gnitare po fo tsoc eht ,sttesuhcassaM ,daehesroH ni taht eso ppuS 1.23

seitilanretxE E MA N

23 ziu Q

e b lliw erots gnihtolc eht yb tne ps tnuoma ehT .dne ps ot hcum woh gnidiced erofe b desitrevda erots gnihtolc eht hcum woh tuo dn� lliw relewej eht taht gniwonk ,tsr� gnisitrevda fo tnuoma sih esoohc ot steg erots gnihtolc ehT . 2 J2 − J) C + 24( e b lliw relewej eht fo st�orp eht dna 2 C2 − C) J + 84( e b lliw erots gnihtolc eht fo st�orp eht neht ,gnisitrevda no srallod J sdne ps relewej eht dna gnisitrevda no srallod C sdne ps erots gnihtolc eht fI .llam gnippohs a ni edis yb edis detac ol era relewej a dna erots gnihtolc A ).5.23 melborP eeS( 5.23 .91 = 2 H dna 51 = 1 H )e( .51 = 2 H dna 61 = 1 H )d( .41 = 2 H dna 61 = 1 H )c( .61 = 2 H dna 41 = 1 H )b( .41 = 2 H = 1 H )a( nehT .st�orp s’re poleved ot senalp eht yb enod Y X ”segamad“ latot eht re poleved eht yap ot sah tro pria eht dna yltnedne ped -ni detare po era tnempoleved gnisuoh eht dna tro pria eht fi tliub sesuoh fo re bmun eht e b 2 H teL .tnempoleved gnisuoh eht dna tro pria eht snwo ynapmoc gnizimixam-t�orp elgnis a fi tliub sesuoh fo re bmun eht e b 1 H teL . Y X − 2 Y − Y23 era re poleved eht fo st�orp dna 2 X − X22 era tro pria eht fo st�orp ,tnempoleved gnisuoh eht ni sesuoh fo re bmun eht si Y dna yad re p dnal taht senalp fo re bmun eht si X erehW .tnempoleved gnisuoh a ot txen detacol si tro pria nA ).9.23 ,8.23 smelborP eeS( 4.23 .0 = 2 D dna 42 = 1 D )e( .0 = 2 D dna 5 = 1 D )d( .2 = 2 D dna 4 = 1 D )c( .2 = 2 D = 1 D )b( .1 = 2 D dna 2 = 1 D )a( erehw ,yad re p sruoh 2 D evord hcae fi �o tse b e b lla dluow yeht ,tnuoma emas eht evird lla yeht fI .yad re p sruoh 1 D evird lla lliw yeht ,srehto yb enod gnivird fo tnuoma eht tce�a ton lliw gnivird nwo sih taht seveile b nezitic hcae fI .setsat emas eht evah nwot emoh s’nitraM ni elpoe p eht llA .gnivird fo ruoh re p 05.$ tsoc sriaper otua dna saG .sriaper otua dna enilosag sedise b �uts rehto no dne ps ot tfel sah eh yenom fo tnuoma eht si c dna nwot emoh sih ni elpoe p rehto yb dnuora gnivird tne ps yad re p sruoh fo re bmun eht si h ,dnuora gnivird sdne ps eh taht yad re p sruoh fo re bmun eht si d erehw ,h2 − 2d − d5 + c2 = )h ,d ,c( U si ytilitu s’nitraM 3.23 .053 = 2A dna 004 = 1A )e( )23 .hC(

SEITILA NRETXE

615

715

.05.43 )e( .05.11 )d( .96 )c( .64 )b( .17.61 )a( E MA N

)23 .hC(

SEITILA NRETXE

815

.51 = w dna 51 = s )e( .5 = w dna 01 = s )d( .01 = w dna 5 = s )c( .5 = w dna 5 = s )b( .01 = w dna 01 = s )a( ?evom miJ dna kciD lliw tsaf woh ,ytilibail on si ereht fI . 2w + 2s = )w ,s( Dc osla si kciD ot tnedicca na fo tsoc eht dna , 2w + 2s = )w ,s( Jc si miJ ot tnedicca na fo tsoc ehT .m + w01 si noitcnuf ytilitu sih ;m yenom sah dna w dee ps ta sklaw kciD .m + s01 si noitcnuf ytilitu sih ;m yenom sah dna s dee ps ta sedir miJ .2.33 melborP ni de bircsed ,kciD dna miJ redisnoC 2.33 21 )e( 11 )d( 9 )c( 5.5 )b( 5.4 )a( ?snottub 5 gnikat ot llerroN madaM timil ot tnaw ew fi e b en� eht dluohs gib woH .ecnef reh morf gnihtyna tcelloc tonnac ehs ,thguac si ehs fI .thguac gnitteg fo ecnahc tnecre p 01 a sah ehs dna ,thguac si ehs fi x F en� a yap ot sah ehS .ecnef reh ot snottub x sreviled ehs fi x gol 5 steg ehS .1.33 melborP ni ,llerroN emadaM redisnoC 1.33

waL E MA N

33 ziu Q

)33 .hC(

WAL

025

gnilliw era ohw raey tsr� eht ni esruoc eht gnikat stneduts fo re bmun ehT . v000 ,1 − 000 ,06 si raey a rof koo b eht fo ypoc a nwo ot v$ yap ot gnilliw stneduts fo re bmun eht ,noitacilbup fo raey tsr� eht nI .)2/ 2p( − 1p erofereht si raey tsr� eht gnirud koo b eht gninwo fo tneduts a ot tsoc ehT ).seipoc desu dna wen neewte b tnere�idni era stnedutS( . 2p rof raey dnoces eht ni stneduts ot meht lleser dna 2/ 2p rof seipoc desu kcab yub serotskoo b ,raey tsr� eht retfA .raey dnoces eht ni 2p dna raey tsr� eht ni 1p fo ecirp a segrahc rehsilbup ehT .noitide wen a yb decalper e b lliw ti hcihw retfa ,sraey owt rof sessalc ni desu e b lliw ko o b sihT .dehsilbup nee b tsuj sah ko o btxet yldneirf-resu ,wen s’ �upemerK rosseforP 3.43 53$ )e( 04$ )d( 52$ )c( 33$ )b( 04$ )a( ?neve kaerb tsael ta ro t�orp a ekam rehtie dna krowten eht ot tcennoc lla dluoc sremusnoc 7 hcihw ta ecirp tsehgih eht si tahW .n semit k ot lauqe krowten siht ot gnole b ot yap ot ssengnilliw sah n e pyt fo remusnoc a ,) fleseno gnidulcni( krowten eht ot detcennoc sremusnoc fo re bmun eht si k erehW .no os dna ,3 e pyt fo si 3 remusnoc ,2 e pyt fo si 2 remusnoc ,1 e pyt fo si 1 remusnoC .krowten snoitacinummoc wen a ot tcennoc ot rehtehw ediced ot gniyrt era sremusnoc nevelE 2.43 .652$ )e( .821$ )d( .69$ )c( .46$ )b( .651$ )a( si 4/3 fo erahs tekram a niatsus dluoc sbonKro oD hcihw ta ecirp tsehgih eht ,nur gnol eht ni neht ,)x − 1(s215 = p noit -auqe eht yb t erahs tekram lautca dna s erahs tekram deviecre p ot detal -er si metsys gnitare po sbonKrooD eht rof noitcnuf dnamed eht fI 1.43

ygolonhceT noitamrofn I E MA N

43 ziu Q

. 2p005 ,1 − 000 ,011 )e( .)2/ 2p + 1p(000 ,1 − 000 ,011 )d( . 2p000 ,3 − 000 ,021 )c( .)2/ 2p − 1p(000 ,1 − 000 ,021 )b( . 2p000 ,1 − 1p000 ,1 − 000 ,021 )a( e b lliw sraey owt eht revo slles rehsilbup eht taht koo b eht fo seipoc fo re bmun latot eht neht ,raey dnoces eht ni 1p ≤ 2p dna raey tsr� eht ni 1p fo ecirp a stes rehsilbup eht fI .p000 ,1 − 000 ,05 si koo b eht fo ypoc a rof p$ tsael ta yap ot gnilliw era dna raey dnoces eht ni esruoc eht gnikat era ohw snosre p fo re bmun ehT .w000 ,5 − 000 ,06 si raey eht fo dne eht ta ti lles naht rehtar ecnerefer rof koo b eht peek ot w$ yap ot )43 .hC(

YG OL O N HCET N OITA MR OF NI

225

.008$ )d( .054$ )c( .005$ )b( .002,1$ )a( si ti tuohtiw naht �o rette b e b hto b ot egnarra llits dna afos eht rof yap dluoc yeht taht tnuoma mumixam ehT .�uts rehto dna afos eht no dne ps ot 000,2$ fo latot a sah yaR .�uts rehto dna afos eht no dne ps ot 008$ fo latot a sah boB .snoitpmusnoc etavirp rieht no dne ps ot ylevitce pser evah yeht yenom fo stnuoma eht era RM dna BM erehw dna od yeht fi 1 = S dna afos eht teg t’nod yeht fi 0 = S erehw , RM) S +4( = ) RM ,S( RU si noitcnuf ytilitu s’yaR dna , BM) S + 1( = ) BM ,S( BU si noitcnuf ytilitu s’boB .afos a gniyub fo gnikniht era yehT .4.53 melborP ni yaR dna boB llaceR 2.53 .tcerroc era snoitpo rehto eht fo enoN )e( sretem erauqs 561 )d( sretem erauqs 001 )c( sretem erauqs 002 )b( sretem erauqs 08 )a( ?knir gnitaks nwot eht rof ezis tneic�e oteraP eht si tahW .000,5$ tsael ta fo emocni na sah enoyrevE .retem erauqs re p 5$ si ytic eht ot knir gnitaks eht fo tsoc ehT .eltto b re p 1$ si ela fo ecirp ehT .sretem erauqs ni knir gnitaks eht fo ezis eht si Y dna i yb demusnoc ela fo seltto b fo re bmun eht si iX erehw , Y /46 − iX = ) Y , iX( iU si noitcnuf ytilitu s’enoyrevE .ela s’ttabaL ,doog etavirp elgnis a dna knir gnitaks nwot eht ,d oog cil -bup elgnis a sah ,tarksuM ekil ,yeknoM ssarB .005 noitalupo p ,yeknoM ssarB fo nwot eht si ,oiratnO ,tarksuM fo nwot eht fo htron tsuJ 1.53

sdooG cilbuP E MA N

53 ziu Q

.rewsna eht enimreted ot elba e b ot ereh noitamrofni hguone ton si erehT )e( 000,4 )d( 050,8 )c( 000,61 )b( 000,8 )a( ?sd oog cilbup no tne ps yeht od hcum woH .000,8 si noitpmusnoc etavirp s’ycuL no tne ps si taht tnuoma eht hcihw ni serutidne pxe fo nrettap lamitpo oteraP a no eerga yehT .000,23 si sdoog cilbup dna sd oog etavirp no dne ps ot evah yeht tnuoma latot ehT .serutidne pxe noitpmusnoc etavirp evitce pser rieht era MX dna LX erehw dna tnemtrapa rieht ni erahs yeht sdoog cilbup eht no serutidne p -xe rieht si G erehw ,G MX si noitcnuf ytilitu s’nivleM dna ,G + LX2 si noitcnuf ytilitu s’ycuL .6.53 melborP morf nivleM dna ycuL llaceR 4.53 .056 )e( .055 )d( .002,1 )c( .008,1 )b( .003,1 )a( si raey re p krow yeht sruoh fo re bmun eht taht e b tsum ti ,noitubirtsid emocni dna krow fo sruoh fo eciohc lamitpo oteraP a dn� yeht fI .raey re p krow yeht sruoh fo re bmun eht si H dna snoitpmusnoc sd oog etavirp rieht era CC dna BC erehw , 2 H10.0 − CC = ) H , CC( CU dna H10.0 − BC = ) H , BC( BU ,ylevitce pser ,era snoitcnuf ytilitu riehT .raey 2 re p krow yeht sruoh fo re bmun eht si H erehw , H84 era st�orp latot rieht taht eso ppuS .5.53 melborP morf edylC dna einnoB llaceR 3.53 .006,1$ )e( )53 .hC( S D O OG CILB UP

425

.ytin�ni sehcaorppa H sa timil eht ni ylno )d( . H fo seulav evitiso p lla rof )c( .02 > H dna 08 < H fi )b( .02 > H dna 04 < H fi )a( htnom re p 000,1$ diap si ton seod ohw ydo byna dna htnom re p 000,5$ diap si serutcel fo sruoh H fo esruoc a sdnetta ohw ydo byna hcihw ni muirbiliuqe gnitarapes a e b lliw erehT .odnaK a rof 001$ dna ztulK a rof 002$ gnisol sa dab sa si serutcel llud fo ruoh na ot gninetsiL .seztulK naht ecneitap erom evah ,revewoh ,sodnaK .ytivitcudorp laudividni rotinom ot evisne pxe oot si ti dna ,meht gniksa ro meht ta gnikool yb sodnaK morf seztulK llet t’nac uoY .htnom re p 000,5$ fo ytivitcudorp evah sodnaK dna 000,1$ fo ytivitcudorp evah seztulK ,oihO ,amginE ni taht eso ppuS 2.63 .31 diap era srekrow ytivitcudorp-wol dna 61 diap era dna esruoc eht ekat srekrow ytivitcudorp-hgih hcihw ni muirbiliuqe gnitarapes a si erehT )e( .01 diap era dna esruoc eht ekat ton od srekrow ytivitcudorp-wol dna 02 diap era dna esruoc eht ekat srekrow ytivitcudorp-hgih hcihw ni muirbiliuqe gnitarapes a si erehT )d( .31 diap si ydo byreve hcihw ni muirbiliuqe gniloo p a si ereht tub ,muirbiliuqe gnitarapes on si erehT )c( .muirbiliuqe gnilo o p on dna muirbiliuqe gnitarapes on si erehT )b( .01 diap era dna esruoc eht ekat ton od srekrow ytivitcudorp-wol dna 61 diap era dna esruoc eht ekat srekrow ytivitcudorp-hgih hcihw ni muirbiliuqe gnitarapes a si erehT )a( .7 fo tuc egaw a sa dab sa si ti kniht srekrow ytivitcudorp-wol dna ,4 fo tuc egaw a sa dab sa si esruoc siht gnikat kniht srekrow ytivitcudorp -hgiH .scimonoceorcim ni esruoc a sre�o egelloc ytinummoc lacol ehT .rekrow fo e pyt hcae fo sre bmun lauqe sah ytinummoc ehT .61 fo stcudorp lanigram evah srekrow ytivitcudorp-hgih dna 01 fo stcudorp lanigram evah srekrow ytivitcudorp-wol taht eso ppus ,2.63 melborP ni sA 1.63

noitamrofn I E MA N

63 ziu Q

.004$ )e( .002$ )d( .003$ )c( .005$ )b( .001$ )a( tsael ta si eulav rieht fi ylno dna fi desiarppa srac rieht evah lliw srenwo rac ,muirbiliuqe nI .desiarppanu rac eht lles nac eh ro ,)ylbiderc dna yletarucca( rac eht esiarppa ot 001$ resiarppa eht yap dna resiarppa na ot rac sih ekat rehtie nac renwo nA .ti yub yeht litnu ytilauq s’rac a enimreted t’nac sreyub tub ,htrow era srac rieht tahw wonk srenwo lanigirO .srac desu rieht lles tsum srenwo lanigirO .2/ V si V naht ssel eulav fo srac desu fo re bmun eht taht hcus si tekram eht no srac desu 0001 eht fo noitubirtsid ytilauq eht ,.aP ,hctulC tnruB ni taht eso ppuS 4.63 .001,2 rof lles srac desu doog dna 004 rof lles snomel hcihw ni muirbiliuqe na e b lliw erehT )e( .007 rof lles srac desu lla hcihw ni muirbiliuqe na e b lliw erehT )d( .001,1 rof lles srac desu doog dna 003 rof lles snomel hcihw ni muirbiliuqe na e b lliw erehT )c( .004 rof lles yeht dna snomel era tekram eht no srac desu lla hcihw ni eno si muirbiliuqe ylno ehT )b( .052,1$ rof lles srac desu lla hcihw ni muirbiliuqe na e b lliw erehT )a( .wonk srenwo lanigiro tub ,dab morf srac doog llet t’nac sreyuB .rac d oog a rof 001,2$ dna nomel a rof 004$ yap ot gnilliw era ohw sreyub laitneto p fo re bmun egral a si erehT .001,1$ naht rewol si ecirp eht fi meht peek lliw tub 001,1$ evo ba secirp rof meht lles ot gnilliw era srac desu doog fo srenwO .003$ rof meht lles ot gnilliw era snomel fo srenwO .snomel era meht fo flah dna ,do og era meht fo flaH .elas rof srac desu 002 era ereht ,nagihciM ,tekcubtsuR nI 3.63 .05.71 > H dna 53 < H fi )e( )63 .hC(

N OITA MR OF NI

625