Wilcoxon

INTRODUCCION En el presente artículo se pretende dar una Visión general de lo que es la prueba de Wilcoxón de la suma de rangos, para éstos tratan aspectos tales como:

-

-

El signo que utiliza sólo los signos más y menos de las diferencias entre las obseraciones y ! en el caso de una muestra, o los signos más y menos de las diferencias entro los pares de obseraciones en el caso de la muestra pareada Es una prueba no paramétrica que sire para comparar la mediana de dos muestra muestras s relacion relacionadas adas y también también determin determinar ar si existen existen diferen diferencias cias entre entre estas"

#ebe #ebe su nomb nombre re a $ran $ran% % Wilc Wilcox oxon on,, quie quien n fue fue un quími uímico co y esta estadí díst stic ico o estadounidense conocido por el desarrollo de diersas pruebas estadísticas no para paramé métr tric icas as que que la publ public icó ó en &'() &'()"" Es una una prue prueba ba no para paramé métr tric ica a de comparación de dos muestras relacionadas"

CAPITULO I

1 DISEÑO DE LA INVESTIGACION

1.1OBJETIVO GENERAL

•

#esarrollar la prueba de Wilcoxon de la suma de rangos"

1.2OBEJTIVOS ESPECÍFICOS

• • • •

*nterpretar correctamente las pruebas no paramétricas" Extender los conocimientos del tema brindado en el curso Estadística **"  +plicarlo a nuestra ida cotidiana en problemas de ingeniería"  +plicar otros métodos estadísticos con el fin de resoler los problemas estadísticos a mayor confiabilidad"

CAPÍTULO II 2 MARCO TEORICO ESTADISTICA NO PARAMETRICA on procedimientos estadísticos para prueba de -ipótesis que no requieren de la suposición de la normalidad de la población de la cual fue extraída la muestra y se pueden aplicar a datos de tipo cuantitatio y cualitatio" VE./+0+

-

.o se requiere de los supuestos paramétricos e puede usar para ariables no numéricas" 1álculos fáciles, originados por tama2os de muestra peque2os" on conenientes cuando no se conoce la distribución de la población"  3os métodos no paramétricos se aplican a una gran

ariedad de situaciones, ya que no se requiere que cumplan ciertas condiciones como lo es el de la distribución normal de los datos como es el caso de los métodos paramétricos

-

 e aplican principalmente cuando empleamos datos

nominales , como es el caso en muc-as de las respuestas que se emplean en las encuestas y en muc-as pruebas de psicología y pedagogía

-

us cálculos son más sencillos y nos permiten una

interpretación mas fácil de entender y aplicar, aunque la potencia de las pruebas es menor a las pruebas parámetricas

#EVE./+0+ 4

5tilizan menor información de la ariable"

4

Es menos potente que los resultados obtenidos en los métodos paramétricos"

PRUEBA DE SUMA DE RANGOS DE WILCOXON 1uando se trata de ariables medibles en por lo menos una escala ordinal y pueden suponerse poblaciones continuas la prueba no paramétrica más potente es la de Wilcoxon" 3a -ipótesis nula del contraste postula que las muestras proceden de poblaciones con la misma distribución de probabilidad6 la -ipótesis alternatia establece que -ay diferencias respecto a la tendencia central de las poblaciones y puede ser direccional o no" El contraste se basa en el comportamiento de las diferencias entre las puntuaciones de los elementos de cada par asociado, teniendo en cuenta no sólo el signo, sino también la magnitud de la diferencia" ea la diferencia entre las puntuaciones de la pare7a i8ésima6 si alguna de estas diferencias es nula la pare7a correspondiente se elimina del análisis, de forma que el tama2o de la muestra es n, el n9mero de diferencias no nulas" + continuación se asignan rangos desde & -asta n atendiendo 9nicamente al alor absoluto de las di y se suman los rangos correspondientes a las diferencias positias y a las diferencias negatias por separado" i la -ipótesis nula es cierta,  e ; tienen el mismo alor central y es de esperar que los rangos se distribuyan aleatoriamente entre las diferencias positias y negatias y, por tanto, que ambas sumas de rangos sean aproximadamente iguales" El estadístico de prueba, /, es la menor de las dos sumas de rangos" 1uando n < &) la distribución muestral de / ba7o el supuesto de que =! es cierta se aproxima a una normal de parámetros:

El estadístico de prueba es el alor >:

?ue se distribuye seg9n una normal tipificada" @ara el niel de significación deseado se rec-azará la -ipótesis nula si > pertenece a la región crítica localizada en las dos colas o en una cola de la normal tipificada, seg9n la naturaleza de la -ipótesis alternatia" 1uando es peque2o al menos uno de los tama2os muéstrales en un problema de dos muestras, la prueba t requiere la suposición de normalidad Aal menos aproximadamenteB" =ay situaciones, sin embargo, en las que un inestigador  desearía usar una prueba álida incluso si las distribuciones fundamentales son bastante no normales" + continuación se describe esa prueba, llamada prueba Wilcoxon de suma de rangos" 5n nombre alternatio para el procedimiento es prueba Cann8W-itney, aun cuando el estadístico de la prueba Cann 8 W-itney se expresa a eces en una forma ligeramente diferente de la prueba Wilcoxon" El procedimiento de la prueba Wilcoxon es libre de distribución porque tendrá el niel deseado de significación para una clase muy grande de distribuciones fundamentales" uposiciones: &, " " " , m y ;&, " " " , ;n son dos muestras aleatorias independientes de distribuciones continuas con medias D& y D, respectiamente" 3as

distribuciones  y ; tienen la misma forma y dispersión, con la 9nica diferencia posible entre las dos estando en los alores de D& y D"

1uando =!: D& 8 D  F G! es erdadera, la distribución  es desplazada por una cantidad G! a la derec-a de la distribución ;, mientras que cuando =! es falsa el desplazamiento es por una cantidad diferente a G!"

DESARROLLO DE LA PRUEBA CUANDO m=3, =! 1onsidere probar primero = !: D& 8 D F !" i D & es en realidad muc-o mayor  que D, entonces casi todas las x obseradas caerán a la derec-a de las y obseradas" .o obstante, si =! es erdadera, entonces los alores obserados de las dos muestras deben estar entremezclados" El estadístico de prueba dará una cuantificación de cuánta mezcla -ay en las dos muestras" 1onsidere el caso mFH, nF(" Entonces si las tres x obseradas estuieran a la derec-a de las cuatro y obseradas, esto sería una fuerte eidencia para rec-azar =! a faor de =a: D& 8 D I !6 una conclusión seme7ante es apropiada si las tres x caen deba7o de las cuatro y" uponga que se agrupan las  y las ; en una muestra combinada de tama2o m J n F K y se ordenan estas obseraciones de menor a mayor, con la más peque2a recibiendo el rango & y la mayor el rango K" i casi todos los rangos más grandes o los rangos más peque2os se asociaran con obseraciones , se empezaría a dudar de = !" Esto sugiere el estadístico de prueba" W F la suma de los rangos de la muestra combinada asociada con obseraciones de  A&)"HB @ara los alores de m y n ba7o consideración, el alor más peque2o posible de W es L F & J  J H F M Asi las tres x son menores que las cuatro yB, y el máximo alor  posible es L F ) J M J K F &N Asi las tres x son mayores que las cuatro yB"

1omo e7emplo, suponga que x& F H"&!, x F &"MK, xH F "!&, y& F )"K, y F &"N', yH F H"NM y y( F !"&'" Entonces la muestra ordenada agrupada es 8H"&!, !"&', &"MK, &"N', "!&, H"NM y )"K" 3os rangos  para esta muestra son & Apara 8H"&!B, H Apara &"MKB y ) Apara "!&B, de modo que el alor calculado de W es L F & J H J ) F '"

El procedimiento de prueba basado en el estadístico A&)"HB es rec-azar = ! si el alor calculado de L es Odemasiado extremoP, es decir, Q c para una prueba de cola superior, R c para una prueba de cola inferior, y ya sea Qc & o Rc para una prueba de dos colas" 3aAsB constanteAsB críticaAsB c Ac &, c B deben escogerse de modo que la prueba tenga el niel deseado de significación S" @ara er cómo debería -acerse esto, recuerde que cuando = ! es erdadera, las siete obseraciones proienen de la misma población" Esto significa que ba7o = !, cualquier posible triple de rangos asociado con las tres x, por e7emplo A&, (, )B, AH, ), MB o A), M, KB tiene la misma probabilidad que cualquier otro posible triple de rango" 1omo -ay AKTHB F H) posibles triples de rango, ba7o = ! cada triple de rango tiene probabilidad" &TH)" #e una lista de los H) triples de rango y el alor L asociado con cada uno, la distribución de probabilidad de W puede determinarse de inmediato" @or e7emplo, -ay cuatro triples de rango que tienen alor L de &&, A&, H, KB, A&, (, MB, A, H, MB y A, (, )B, por lo que @ AW F &&B F (TH)" El resumen de la lista y cálculos aparece en la tabla &)"("

3a distribución de la tabla &)"( es simétrica alrededor del alor L F AM J &NBT F &, que es el alor central de la lista ordenada de posibles alores de W" Esto es porque los dos triples de rango Ar, s, tB Acon r U s U tB y AN 8 t, N 8 s, N8 rB tienen alores de L simétricos alrededor de &, de modo que para cada triple

con alor L deba7o de &, -ay un triple con alor L arriba de & en la misma cantidad" i la -ipótesis alternatia es =a: D & 8 D  < !, entonces = ! debe ser rec-azada a faor de =a para alores W grandes" i se escoge como la región de rec-azo al con7unto de alores W &K, &N, S F @ Atipo * de errorB F @ Arec-azar =! cuando =! es erdaderaB F @ AW F &K o &N cuando = ! es erdaderaB F &TH) J &TH) F TH) F !"!)K6 la región &K, &N por tanto especifica una prueba con niel de significación de alrededor de !"!)" #el mismo modo, la región M, K, que es apropiada para = a: D & 8 D U !, tiene S F !"!)K X !"!)" 3a región M, K, &K, &N, que es apropiada para la alternatia de dos lados, tiene S F (TH) F !"&&(" El alor W para la información dada arios párrafos atrás era L F ', que está más bien cerca del alor central &, de modo que = ! no sería rec-azada a ning9n niel S razonable para cualquiera de las tres = a"

DESCRIPCI"N GENERAL DE LA PRUEBA WILCOXON DE SUMA DE RANGOS 3a -ipótesis nula = !: D& 8 D F G! se mane7a restando G ! de cada i y usando las Ai 8 G!B como las i se usaron preiamente" Yecordando que para cualquier  entero positio Z, la suma de los primeros Z enteros es ZAZ J &BT, el mínimo alor posible del estadístico W es mAmJ &BT, que se presenta cuando las Ai G!B están todas a la izquierda de la muestra ;" El máximo alor posible de W se presenta cuando las Ai 8 G !B están por completo a la derec-a de las ;6 en este caso, W F An J &B J [ J Am J nB F Asuma de los primeros m J n enterosB 8 Asuma de los primeros n enterosB, que da mAm J n J &BT" +l igual que con el caso especial m F H, n F (, la distribución de W es simétrica alrededor del alor  que está a la mitad entre los alores mínimo y máximo6 este alor central es mAm J n J &BT" #ebido a esta simetría, las probabilidades que comprenden alores críticos de cola inferior se pueden obtener de los correspondientes alores de cola superior"