Weibull

 

Distribución de Weibull Ernst Hjalmar Waloddi Weibull (1939). Weibull  (1939). “A statistical distribution function of wide applicability” (Una función de distribución estadística de amplia aplicabilidad)

La distribución de Weibull es una distribución versátil que se puede utilizar para modelar  una amplia gama de aplicaciones en ingeniería, investigación médica, control de calidad, finanzas y climatología. Por ejemplo, la distribución distribución se utiliza frecuentemente frecuentemente con análisis de fiabilidad para modelar datos de tiempo antes de falla. La distribución de Weibull también se utiliza para modelar datos asimétricos del proceso en el análisis de capacidad. La distribución de Weibull se describe según los parámetros de forma, escala y valor  umbral y también se conoce como la distribución de Weibull de 3 parámetros. El caso en el que el parámetro de valor umbral es cero se conoce como la distribución de Weibu Weibullll de 2 parámetros. La distribución de Weibull de 2 parámetros se define solo para variables positivas. Una distribución de Weibull de 3 parámetros parámetros puede funcionar con ceros y datos negativos, pero todos los datos para una distribución de Weibull de 2 parámetros deben ser mayores que cero. Dependiendo de los valores de sus parámetros, la distribución de Weibull puede adoptar  varias formas. 2.Efecto del parámetro de forma El parámetro de forma describe la manera en que se distribuyen los datos. Una forma de 3 se aproxima a una curva normal. Un valor de forma bajo, por ejemplo 1, da una curva con asimetría hacia la derecha. Un valor de forma alto, por  ejemplo 10, da una curva con asimetría hacia la izquierda.

 

Efecto del parámetro de escala La escala, o vida característica, es el percentil 63.2 de los datos. La escala define la posición de la curva de Weibull respect respecto o del valor de umbral, lo cual es similar a la manera en que la media define la posición de una curva normal. Una escala de 20, por ejemplo, indica que el 63.2% de los equipos fallará en las primeras 20 horas después del tiempo umbral.

Efecto del parámetro de valor umbral El parám parámet etro ro de valor valor umbral umbral descr describ ibe e un de despl splaz azami amien ento to de la distri distribu bució ción n al alejá ejánd ndos ose e del del 0. Un va valor lor umbra umbrall nega negativ tivo o de despl splaz aza a la distri distribu bució ción n ha hacia cia la izquierda, mientras que un valor umbral positivo desplaza la distribución hacia la derecha. Todos los datos deben ser mayores que el valor umbral. La distribución de Weibull de 2 parámetros es igual a la distribución de Weibull de 3 parámetros con un valor umbral de 0. Por ejemplo, la distribución de Weibull de 3 parámetros (3,100,50) tiene la misma forma y dispersión que la distribución de Weibull de 2 parámetros (3,100), pero está desplazada 50 unidades hacia la derecha.

 

3.¿Por qué usamos Weibull? El us uso o de la func funció ión n de dist distri ribu buci ción ón de Weib Weibul ulll en los los estu estudi dios os de fiab fiabil ilid idad ad de componentes se debe principalmente a la gran diversidad de formas que este modelo puede tomar, dependiendo de los valores de los parámetros característicos. Esto nos permite usar un mismo modelo, independientemente de que la forma varíe la tasa de fallos del componente estudiado, simplificando en gran medida la tarea de análisis de los resultados. Si no usáramos este modelo, cualquier análisis de los resultados obtenidos durante el ensayo de los componentes implicaría necesariamente un estudio previo de los datos, para determinar cuál de los diferentes modelos existentes se asemeja más a los datos obtenidos. Esto conllevaría un mayor tiempo de análisis y una mayor probabilidad de error, debido a que una mala elección del modelo implicaría dar un resultado erróneo.  Al aplicar Weibull, Weibull, el estudio previo de los datos se reduce únicamente únicamente a una inspección inspección visual en busca de posibles datos anómalos que distorsionen los resultados. ¿Weibull tiene fiabilidad? La distribución de Weibull es la distribución que más se utiliza para modelar datos de fia fiabi bilid lidad ad.. Esta Esta distri distribu bució ción n es fácil fácil de inter interpre pretar tar y muy muy ve versá rsátil til.. En el an análi álisis sis de fiabilidad, esta distribución se puede usar para responder a preguntas tales como: 

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¿Qué porcentaje de los elementos se espera falle durante el período de quemado? Por ejemplo, ¿qué porcentaje de los fusibles se espera que falle durante el período de quemado de 8 horas? ¿Cuántos reclamos de garantía pueden esperarse durante la fase de vida útil? Por  ejemplo, ¿cuántos reclamos de garantía se espera recibir durante la vida útil de 50,000 millas de este neumático? ¿Cuándo se espera que se produzca un desgaste rápido? Por ejemplo, ¿cuándo debe programarse mantenimiento regular para evitar que los motores entren en una fase de desgaste?

La distribución de la Weibull puede modelar datos son asimétricos hacia derecha, asimétricos hacia izquierda o simétricos. Por que lo tanto, la distribución se la utiliza para

 

evaluar la fiabilidad en diversas aplicaciones, aplicaciones, incluyendo tubos de vacío, condensadores, condensadores, rodamientos de esferas, relés y resistencia de los materiales. La distribución de Weibull también puede modelar una función de riesgo que sea decreciente, creciente o constante, lo que le permite describir cualquier fase de la vida útil de un elemento. La distribución de Weibull podría no funcionar con la misma eficacia cuando se trate de fallas de productos causadas por reacciones químicas o un proceso de degradación como la corrosión, que puede ser la causa de la falla de los semiconductores. Por lo general, este tipo de situaciones se modelan usando la distribución lognormal. Distribución de Rayleigh Cuando la distribución de Weibull tiene un parámetro de forma de 2, se conoce como la distribución de Rayleigh. Esta distribución suele utilizarse para describir datos de medición en el campo de la ingeniería de comunicaciones, comunicaciones, tales como las medicion mediciones es de la pérdida de retorn retorno o de entra entrada da,, inyec inyecció ción, n, de la band banda a la later teral al de modul modulaci ación ón,, supres supresión ión de portadora y atenuación de RF. Esta distribución también se utiliza con frecuencia en las pruebas de vida útil de los dispositivos de electro vacío. Modelo del eslabón más débil La distribución de Weibull también puede modelar una distribución de vida útil con muchos procesos idénticos e independientes que conducen a una falla, donde el primero en llegar  a una etapa crítica determina el tiempo de falla. La teoría del valor extremo sirve de base para este modelo de "eslabón más débil", donde muchos defectos compiten por ser el eventu eve ntual al lugar lugar de la fal falla. la. De Debid bido o a que que la distri distribu bució ción n de Weibu Weibullll se pu pued ede e de deriv rivar  ar  te teór óric icam amen ente te de la dist distri ribu buci ción ón de valo valorr ex extr trem emo o más más pe pequ queñ eño, o, ta tamb mbié ién n pu pued ede e proporcionar proporcion ar un modelo eficaz para aplicaciones de eslabón más débil como las fallas de conde con dens nsad adore ores, s, rodami rodamien ento tos s de esfer esferas as,, relés relés y resist resisten encia cia de los los mater material iales. es. Sin embargo, si la variable de interés puede asumir valores negativ negativos, os, la distribución distribución de valor  extremo más pequeño es una mejor opción, porque la distribución de Weibull solo puede modelar valores positivos debido a su límite inferior de 0. Ejemplo 1: Condensadores Unos condensadores fueron sometidos a un alto nivel de esfuerzo para obtener datos de falla (en horas). Los datos de falla se modelaron usando una distribución de Weibull.

 

Ejemplo 2: Filamentos Una empresa de bombillas produce filamentos incandescentes que no se espera que se desgasten durante un período prolongado de uso normal. Los ingenieros de la empresa desea desean n garan garantiz tizar ar el func funcion ionami amien ento to de las bomb bombill illas as po porr 10 añ años os.. Lo Los s ingen ingenier ieros os someten a esfuerzo las bombillas para simular un uso prolongado y registran las horas hasta la falla para cada bombilla.

4.Curva Típica de Flujo de Fallas  Fallas   Existen diferentes causas de falla en los equipos debido a un diseño inadecuado, al mal uso y operación, y a la edad. Cuando el sistema opera en ambientes para los cuales no fue diseñado; por mala operación, al no suministrarse buen cuidado y mantenimiento. Sin embargo, existe un patrón general de fallas al cual todos los equipos están expuestos, que se llama Curva Típica de Fallas, esta curva representa los diferentes tipos de falla que un equipo o componente sufre durante el periodo de tiempo desde la puesta en operación hasta que termina su ciclo de vida útil.

 

El parámetro de forma, es utilizado para clasificar las fallas, para β1 son fallas debidas al desga desgaste ste o la edad edad,, en este este ca caso so la co confi nfiab abili ilida dad d y el costo costo de dell de desem sempe peño ño pu pued ede e mejorarse optimizando el mantenimiento preventivo.

La Función de Confiabilidad Weibull  Weibull  La función de confiabilidad Weibull es la razón entre la función de n de distribución y la función de confiabilidad dadas por:

 

El parámetro de localización ɣ se utiliza cuando existe muy baja probabilidad de falla por algún  periodo de tiempo. Cuando el parámetro de localización es negativo significa que el equipo puede fallar antes de ser puesto en funcionamiento. Lo anterior se utiliza para modelar fallas causadas por  el transporte del equipo. La función de confiabilidad Weibull Weibull se inicia en 1, dado que se supone que al iniciar la misión todos los equipos se encuentran en buenas condiciones y conforme pasa el tiempo la confiabilidad va disminuyendo, para valores de β menores de 1 la función de confiabilidad disminuye de manera asintótica. Al igual que la función de densidad, para valores de β=1 la función de confiabilidad asume la forma exponencial .

5. ¿Qué obtenemos al Aplicar el Método de Weibull?  Al aplicar Weibull se obtiene la distribución distribución de fallos del conjunto de donde proviene la muestra, únicamente ajustando los parámetros del modelo al conjunto de componentes ensayados. Los parámetros característicos de la función de Weibull se pueden extraer  directamente de la muestra, usando para este fin diferentes métodos que se explicarán más adelante. Esto permite conseguir un modelo estadístico que representa con mayor o menor exactitud la distribución de los fallos del conjunto o lote de donde provienen los componentes ensayados. Al conocer la distribución de los fallos, se puede responder a pregunta preg untas s del tipo: tipo: ¿Cuantos ¿Cuantos compone componentes ntes fallarán fallarán durante durante el prim primer er año?, año?, ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo de garantía tendrá que tener el componente para que únicamente fallen el 1% durante ese periodo? etc. A parte de las preguntas anteriores, el modelo obtenido también permite responder a una pregunta tan importante para nuestro departamento como: ¿El 5% de los componentes del lote fallarán por encima o por debajo del target? que es el criterio usado para decidir si un lote es OK o NG. Método de los Momentos Se trata de un método de obtención de estimadores muy intuitivo. Básicamente, consiste en igualar los momentos momentos poblacionales (que sean función del o los parámetros a estimar) con los momentos muéstrales y despejar el parámetro a estimar.  Así, por ejemplo, la esperanza esperanza de una variable aleatoria se estimaría por la media muestral; la varianza, por la varianza muestral; etc. La princi principa pall ve venta ntaja ja de este este méto método do es su simpl simplici icida dad. d. Sin Sin embarg embargo, o, au aunq nque ue los estimadores estimadore s así obtenidos son consistentes, consistentes, en general, general, no son centrados centrados ni eficientes.  Además, en ciertos casos puede puede proporcionar proporcionar estimaciones estimaciones absurdas. absurdas. Método de Máxima Verosimilitud La idea fundamental de este método es tomar como estimación del parámetro estudiado el valor que haga máxima la probabilidad de obtener la muestra observada.

6.Relación entre los parámetros de Weibull

 

 Al ajustar el parámetro de forma, β, de la distribució distribución n de Weibull, Weibull, se puede modelar las características de muchas distribuciones diferentes de vida útil.

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