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ESTADISTICA Y PROBABILIDADES/ ES-241

2012

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE FÍSICA MATEMÁTICA

“

“TRABAJO ENCARGADO N° 02” Segunda práctica calificada ASIGNATURA: Estadística Probabilidades (ES-241) DOCENTE: ING. CIP TAPIA CALDERON Guillermo B. ALUMNO: VERDE CARBAJAL JENCHLUIS CÓDIGO: 16115719 CICLO ACADEMICO: 2012- I. AYACUCHO-PERU INGENIERIA CIVIL-200 I |

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I. CÁLCULOS CON LA SIMBOLIZACIÓN DE DATOS, REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE.- Dada la siguiente Tabla I, calcular los valores numéricos de lo que se pide e interpretar. I-a) Media muestral de X: ̅ e interprete. I-b) Variancia muestral de las X: e interprete estadísticamente. I-c) Media muestral de Y: ̅ e interprete. I-d) Variancia muestral de las Y: e interprete estadísticamente. ∑ I-e) Hallar ̂ ̅ ∑

Tabla I X -3 -2 0 1 2

Y -3 1 3 4 5.5

̅

̂ Interpreta estadísticamente al coeficiente de Regresión Lineal estimada. I-f) ̂ ̅ ̂ ̅ Intersección de la recta con el eje Y Y' I-g) Hallar la ecuación de la recta de la Regresión Lineal estimada ̂ I-h) Si X=14, ¿Cuánto valdría ̂ ? I-i) Pronostique Y cuando X=21. Interprete estadísticamente. I-j) Calcule el coeficiente de Correlación Lineal Simple e intérprete: r I-k) Calcule el Coeficiente de Determinación e intérprete estadísticamente: r2 SOLUCIÓN.

1 2 3 4 5 ∑

a) ̅

b)

X -3 -2 0 1 2 -2

̅

Y -3 1 3 4 5.5 10.5

-2.6 -1.6 0.4 0.6 1.6

( )∑ ( )∑

̅ -5.1 -1.1 0.9 1.9 3.4

13.26 1.76 0.36 1.14 5.44 21.96

( ̅) 6.76 2.56 0.16 0.36 2.56 12.4

( ̅) 26.01 1.21 0.81 3.61 11.56 43.2

( )∑ (

̅)

( )∑

(

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̅)

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c) ̅

( )∑

( )∑

( )∑

d) e) ̂

∑

f) ̂

̅

̂ ̅

g) ̂

̂

̂

(

̅)

( )∑

(

)(

(

∑

∑

∑

) (

̂

)

h) Si X=14, ¿Cuánto valdría ̂ ?

(

∑ √(∑

(

̂ ̂

̂

i) cuando X=21. j) ̂

̅)

)(

)(

)

)

∑ )(∑

)

√(∑

)(∑

)

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√(

)(

)

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II. SUMATORIAS DOBLES Y VALOR NUMÉRICO: DADO EL SIGUIENTE CUADRO II ;donde cada valor corresponde a un valor Xij, desarrolle y calcule su valor numérico: a) ∑ b) ∑

e) ∑ f) ∑ c) ∑

i) j) g) ∑

d) ∑

h) ∑

2

k) l) ∑ ∑

i ,j

1

2

3

4

1

2

4

3

2

2

5

-1

-4

8

3

3

7

1

-2

4

1

2

0

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SOLUCIÓN. a) ∑ b) ∑ c) ∑ d) ∑ e) ∑

11

f) ∑ g) ∑ h) ∑ i) ∑

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j) ∑ k) ∑ (

∑ )]

)] l) ∑ (

] ) ( ) (

[

[(

) )

)

(

(

)

(

]

∑

)]

[

[(

∑

)]

III.

∑

[

] ) ( ) (

[( [

[(

) )

)

(

(

)

(

]

DEMOSTRACIONES USANDO SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS.dada la relación conocida X barra = ∑Xi /n demostrar que: ∑[ ( ∑[ ( ∏

a) b) c)

̅) ̅)

( ̅ ̅ ] ∏

)] ∑ ∏

)]

∑[

∑

(∑

)

̅

]

∏

SOLUCION: a)∑[ (

̅)

( ̅

∑

̅∑

∑ b)∑[ (

̅

∑ ̅ ]

̅) ∑

∑ ̅ c)∏ (

)(

̅

̅ ∑ (∑

∑[ ̅∑

̅

)(

)(

∑

̅(

∑ )

̅

∑

∑

̅)

(∑

̅ ]=∑

∑

∑

̅(

̅

∑ ̅ ̅

∑

̅

) ∑ ̅

̅ ̅)

̅

̅ =∑ [( )(

)=∏

) ∏

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( ∏

)]

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IV.

ORGANIZACIÓN DE DATOS Y CÁLCULOS DE ESTADÍGRAFOS: Los siguientes datos corresponden al muestreo de los diámetros de 50 cojinetes fabricados por una empresa Metal- Mecánica del PARQUE INDUSTRIAL DE TRUJILLO. 0.529 0.538 0.536 0.535 0.535

0.538 0.536 0.528 0.534 0.531

0.532 0.536 0.546 0.540 0.540

0.529 0.526 0.532 0.536 0.532

0.535 0.525 0.535 0.540 0.535

0.536 0.524 0.534 0.532 0.533

0.534 0.530 0.539 0.535 0.535

0.542 0.543 0.527 0.535 0.537

0.537 0.539 0.544 0.528 0.541

0.530 0.542 0.527 0.541 0.537

4.1 Tipología de variable estadística bajo estudio. ¿El tamaño de muestra n es pequeña o grande? Calcular el rango de datos originales Rx 4.2 Determinar el número de intervalos de clase (m) por el método de STURGES ¿existirá un nuevo rango y alguna diferencia de rangos? 4.3 Elaborar un cuadro completo de la Distribución de Diámetros de 50 cojinetes. 4.4 Calcule el Diámetro medio, el Diámetro Mediano y el Diámetro Modal de los datos agrupados. Interprétalos estadísticamente. 4.5 Calcule la Varianza y la Desviación Estándar de datos agrupados. Interprétalos. 4.6 Calcule la Desviación Media y Calcule la Desviación Mediana de datos agrupados. Interprétalos estadísticamente. 4.7 Calcule el Coeficiente de Variación de datos agrupados. Interpretar estadísticamente. 4.8 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos estadísticamente. 4.9 Calcule el Nonagésimo Percentil y Décimo percentil. Interprétalos 4.10 Calcule el Recorrido Intercuartílico y el Semi-Recorrido Intercuartílico. Interpretarlos. 4.11 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos estadísticamente 4.12 Hallar el 1er. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera As? 4.13 Hallar el 2do. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera As? Fórmula: As = β = 4.14Hallar el Coeficiente Percentílico de KURTOSIS. ¿Qué distribución genera K? Fórmula: (Q3 – Q1) / 2(P90 – P10) INGENIERIA CIVIL-200 I |

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4.15 Hallar el Coeficiente de Asimetría de FISHER. ¿Qué distribución genera As? 4.16 Hallar el coeficiente percentilico de KURTOSIS ¿qué distribución genera k? 4.17Comparar en un histograma y curva los estadígrafos de tendencia central o medidas de posición. ¿quédistribución genera As ?

Solución: 4.1 Tipología de variable estadística bajo estudio. ¿El tamaño de muestra n es pequeña o grande? Calcular el rango de datos originales Rx  Es una variable cuantitativa continua (v.c.c).  El tamaño de la muestra es 50, y es una muestra grande por ser mayor a 30. 

4.2 Determinar el número de intervalos de clase (m) por el método de STURGES ¿existirá un nuevo rango y alguna diferencia de rangos? 

(

)

(

)

 Hallamos la amplitud interválica o ancho de la clase “c”.

Entonces Hallamos el nuevo rango con la ecuación: (

)( )

 ………diferencia de rangos

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4.3 Elaborar un cuadro completo de la Distribución de Diámetros de 50 cojinetes. Haciendo uso del nuevo rango obtenido en el problema anterior haremos una distribución:

1 i 1 2 3 4 5 6 7

2 [Yi-1 ,Y'i-1⟩ [0.523-0.527⟩ [0.527-0.531⟩ [0.531-0.535⟩ [0.535-0.539⟩ [0.539-0.543⟩ [0.543-0.547⟩ [0.547-0.551⟩

Cuadro completo de distribución de frecuencias 3 4 5 6 7 8 Yi Ci tabulación ni hi=ni/n Nj 0.525 0.004 II 2 0.04 2 0.529 0.004 IIIII III 8 0.16 10 0.533 0.004 IIIII IIIII IIIII I 16 0.32 26 0.537 0.004 IIIII IIIII III 13 0.26 39 0.541 0.004 IIIII IIIII 10 0.2 49 0.545 0.004 0 0 49 0.549 0.004 I 1 0.02 50 50 1

9 Hj=Ni/n 0.04 0.2 0.52 0.78 0.98 0.98 1

10 Hjx100 4% 20% 52% 78% 98% 98% 100%

4.4 Calcule el Diámetro medio, el Diámetro Mediano y el Diámetro Modal de los datos agrupados. Interprétalos estadísticamente.  El diámetro medio calcularemos mediante la siguiente ecuación.

∑ ∑

Interpretación estadística: El diámetro medio es 0.535

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 El diámetro mediano calcularemos mediante la siguiente ecuación.

̃

[

]

1ro [

2do

(

̃

⟩

)[

]

Interpretación estadística: El diámetro mediano es 0.534 cm supera a lo más al 50% de los diámetros y es superado por no más del 50% de los diámetros restantes.  Calculemos el diámetro modal. [

(

)

(

)

1ro La mayor frecuencia absoluta es: 16 entonces (

)[

(

(

) )[

(

]

[

⟩

)

]

]

Interpretación estadística: El diámetro que más se repite es:

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4.5Calcule la Varianza y la Desviación Estándar de datos agrupados. Interprétalos. ∑

 La variancia.

(

̅)

Interpretación estadística: el valor obtenido nos indica que los datos están bastante concentrados respecto a su media.

√

 La desviación estándar.

√

Interpretación estadística: este resultado nos indica que los valores no están bastante alejados respecto a su promedio

4.6 Calcule la Desviación Media y Calcule la Desviación Mediana de datos agrupados. Interprétalos estadísticamente: 

∑

|

|

Interpretación estadística: éste valor indica que los datos se alejan en Promedio de la media en 0.004



∑

|

̅|

Interpretación estadística: como el valor es muy pequeño nos indica que la Variabilidad es pequeña

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4.7 Calcule el Coeficiente de Variación de datos agrupados. Interpretar estadísticamente.  Interpretación estadística: indica que la distribución de datos es homogénea 

̅

4.8 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos estadísticamente.  Para el primer cuartil [

]

1ro 2do

[0.531-0.535⟩ (

)[

]

Interpretación estadística: el diámetro 0.531625 cm supera a no más de un cuarto de los diámetros, y es superado por no más de los tres cuartos de los diámetros restantes.  Para el tercer cuartil

[

]

1ro 2do

[0.535-0.539⟩ (

)[

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Interpretación estadística: el diámetro cm supera a no más de tres cuarto de los diámetros, y es superado por no más de un cuartos de los diámetros restantes.

4.9 Calcule el Nonagésimo Percentil y Décimo percentil. Interprétalos  Para el nonagésimo percentil [

]

1ro 2do

[0.539-0.543⟩ (

)[

]

Interpretación estadística: el diámetro cm supera a no más de noventa centésimos de los diámetros, y es superado por no más de un centésimo de los diámetros restantes.  Para el décimo percentil [

]

1ro 2do

[0.527-0.531⟩ (

)[

]

Interpretación estadística: el diámetro cm supera a no más de diez centésimos de los diámetros, y es superado por no más de noventa centésimos de los diámetros restantes. INGENIERIA CIVIL-200 I |

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4.10 Calcule el Recorrido Intercuartílico y el Semi-Recorrido Intercuartílico. Interpretarlos. 

Entonces

4.11 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos estadísticamente:  La pregunta ya fue resuelta en el ejercicio 4.8

4.12 Hallar el 1er. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera As? ( ̅

̃)

(

)

¿Qué distribución genera As?

4.13 Hallar el 2do. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera As? Fórmula: As = β =

β= (

β=

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)

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β =0.0959 o sesgada a la derecha

4.18 Hallar el Coeficiente Percentílico de KURTOSIS. ¿Qué distribución genera K? Fórmula: (Q3 – Q1) / 2(P90 – P10) El coeficiente percentilico de KURTOSIS está dado por.

(

)

(

)

4.19 Hallar el Coeficiente de Asimetría de FISHER. ¿Qué distribución genera As?

∑(

As=

)

As= ¿Qué distribución genera As?

4.20 Hallar el coeficiente percentilico de KURTOSIS ¿qué distribución genera k?

(

(

)

(

)

)

¿Qué distribución genera As?

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4.21Comparar en un histograma y curva los estadígrafos de tendencia central o medidas de posición. ¿qué distribución genera As ?

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