Volumen FINAL

Volumen de sólidos de revolución generadas por curvas en coordenadas cartesianas

Camila Cjuro, Adisha Corrales, Christofer Salinas Facultad de Ingeniería, Universidad Privada de Tacna Matemática II Msc. Inés Gladys Sotto Chavez 31 de mayo del 2023

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Índice Objetivos ..........................................................................................................................2 Marco Teórico ..................................................................................................................3 Método del disco ..........................................................................................................3 Fórmulas...…………………….…………………………………………………4 Recomendaciones …………………………...…………………………………..4 Ejercicios resueltos...…………………………………………………………….4 Ejercicios propuestos...…………………………………………………………..7 Método del anillo circular ...........................................................................................8 Fórmulas ...............................................................................................................9 Ejercicios resueltos...……………………………………………………...…....11 Ejercicios propuestos...…………………………………………………………15 Método de la corteza cilíndrica .................................................................................16 Fórmula ……………………….………………………………………………..16 Ejercicios resueltos ..............................................................................................16 Ejercicios propuestos……………………………………………...……………18 Cálculos y resultados .....................................................................................................19 Respuestas a las preguntas............................................................................................20 Conclusiones ...................................................................................................................19 Referencias Bibliográficas ............................................................................................19

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Objetivos Para el actual trabajo de investigación, es de suma importancia conocer los objetivos específicos y generales, de esta manera podremos conocer y aplicar los diferentes métodos de volumen de solidos de revolución generadas por curvas en coordenadas cartesianas. Objetivo General: Aprender la forma de aplicar los diferentes métodos de volumen de solidos de revolución generadas por curvas en coordenadas cartesianas en el campo de la ingeniería. Objetivos Específicos: Demostrar la aplicación de volúmenes de solidos empleando cada uno de los métodos y formulas existentes. El objetivo general nos ayudará a demostrar y explicar a nuestra audiencia la aplicación de los métodos y formulas del tema en el campo de la ingeniería, la correcta investigación de la información requerida para la exposición de nuestro tema será elemental para el cumplimiento de este objetivo. El objetivo específico complementara al objetivo general ya que este nos ayudara a llegar a la meta de nuestro trabajo de investigación que es demostrar la aplicación de volúmenes de sólidos y formulas existentes. ¿Cómo los diferentes métodos nos ayudarán a resolver problemas de volumen de solidos de revolución generadas por curvas en coordenadas cartesianas en el campo de la ingeniería?

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Marco Teórico

Método de Discos El método de los discos consiste en tomar una sección transversal de la figura, que al momento de hacerla girar alrededor de algún eje genera una forma determinada. Es como girar una región plana alrededor de un eje donde obtendremos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio (R) y e anchura ( 𝜔) es: VOLUMEN DEL DICO: 𝜋𝑅 2 𝑤

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, hacen (n) particiones en el grafica

Estas divisiones determinan en solido (n) discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo teniendo en cuenta que el volumen de un disco es 𝜋𝑅 2 𝑤 , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del solido es:

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Formula del volumen por discos Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que: 𝑏

2

𝑉 = ∫ 𝜋(𝑓(𝑥)) ⅆ𝑥 𝑎

Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar: 𝑑

2

𝑣 = ∫ 𝜋(𝑓(𝑦)) ⅆ𝑦 𝑐

Recomendación: •

Antes de comenzar a esbozar diversos ejemplos de estos métodos, estableceremos algunas pautas que les ayudarán a resolver problemas sobre sólidos de revolución.

•

Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.

•

Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.

•

Establecer los límites de integración.

•

Por último, integrar para hallar el volumen deseado.

Ejercicios resueltos EJEMPLO 1: Ejercicio: Calcular el volumen del solido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje y la región limitada por la curva y = 2𝑥 2 , la recta y=8 y el eje de las ordenadas 𝑦

Y= 2𝑥 2 → 𝑥 = √2 = 𝑓(𝑦) 2

2

2

2 𝑦 𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓(𝑦)) ⅆ𝑦 = 𝜋 ∫ (√ ) ⅆ𝑦 = 𝜋 ∫ 2 0 0 2

0

𝑦 ⅆ𝑦 2

5

𝑉=

𝑦2 82 𝜋|1 = 𝜋 → 𝑣 = 16𝜋𝑢3 4 𝑦

Ejercicio: Hallar el volumen del solido de Revolución generado al rotar la región acotada por 𝑥 2/3 + 𝑦 2/3 = 𝑎2/3 alrededor del eje y. Solución: 3/2

𝑥 2/3 + 𝑦 2/3 = 𝑎2/3 → 𝑥 = (𝑎2/3 − 𝑦 2/3 ) 𝑎

2

𝑎

3

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓(𝑦)) ⅆ𝑦 = 𝜋 ∫ (𝑎2/3 − 𝑦 2/3 ) dy −𝑎

−𝑎 𝑎

𝑉 = 𝜋 ∫−𝑎(𝑎2 − 3𝑎2/3 𝑦 2 + 3𝑎2/3 𝑦 2/3 − 𝑦 2

6

𝑉 = 𝑎2 𝑦

9𝑎4/3 𝑦 5/3 9𝑎2/3 𝑦 7/3 𝑦 3 𝑎 + − |∫ 5 7 3 −𝑎

𝜋 →𝑉=

32𝑎3 𝜋 𝑢3 105

Ejercicio: Determinar el volumen del solido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje x la región limitada por las rectas By – x – 3 = 0, x=0, x=12 y el eje de las abscisas. 𝑥

3𝑦 − 𝑥 − 3 = 0 → 3 + 1 12

2

12

𝑣 = 𝜋 ∫ (𝐹(𝜈)) ⅆ𝑥 = 𝜋 ∫ 0 12

𝑣 = 𝜋∫ ( 0

0

2 𝑥 ( + 1) ⅆ𝑥 3

12 𝑥 2 2𝑥 𝑥3 𝑥2 + + 1) ⅆ𝑥 = + +𝑥∫ 9 3 27 3 0

𝜋

7

𝑣=(

123 122 + + 12) 𝜋 = (64 + 48 + 12 )𝜋 → 𝑉 = 124𝜋𝑢3 27 3

Ejercicios propuestos 1. Determina el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por la curva 𝑦 = √𝑥 de 0 a 4 alrededor del eje X. (Método de Disco) 2. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por la curva 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 y las rectas x= 2, x=11, alrededor del eje x. (Método de disco) 3. Obtén el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región limitada por la curva 𝑓(𝑥) = √𝑥 y las rectas x=0, x=3 alrededor del eje x. (Método de disco).

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Método del anillo circular La idea de este método es bastante similar a la idea del método del disco. La diferencia es que el método de los anillos se usa cuando giramos una región limitada por dos curvas alrededor de un eje, en lugar de girar una curva. En palabras más simples: buscamos el volumen encerrado entre las dos curvas (al hacerlas girar). El eje x, ya no es el límite de la región que estoy girando. En este caso, siempre habrá una diferencia de volumen Si una región del plano se hace girar alrededor de un eje paralelo al eje x, de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales, perpendiculares al eje de rotación, son anillos con centro en el eje de revolución. Entonces el volumen del sólido esta dado por donde R es el radio del disco exterior y r es el radio del disco interior expresados en términos de la variable de integración.

Sugerencias para calcular volúmenes por el método de discos o arandelas •

Haga un dibujo de la región que se va a rotar alrededor de un eje.

•

Dibuje el eje de rotación. Si el eje de rotación es paralelo al eje “x”, la variable de integración es “x”. Si el eje de rotación es paralelo al eje “y”, la variable de integración es “y”.

•

identifique si el sólido de revolución está formado por discos o por anillos y escriba la fórmula correspondiente.

•

Según sea el caso, escriba R y r, en términos de la variable de integración. para hacer esto hay que obtener la diferencia entre una función y la función del eje de rotación, o esta diferencia al revés, de tal forma que el radio sea positivo.

• Calcule la integral utilizando los mismos límites de integración que se utilizarían para calcular el área de la región que se va a rotar.

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Formulas: 1.1 Rotación alrededor del eje x:

Este es un sólido con un agujero en el medio. En este caso, siempre habrá una diferencia de volúmenes. El volumen será la diferencia entre el volumen de la región más grande y el volumen de la región más pequeña. Simplemente hay que encontrar los dos radios: el radio exterior (RE) y el radio interior (RI) En el caso de que simplemente esté girando alrededor del eje x, el radio externo será la función de arriba, en el caso de la figura f(x) y el radio interno será la función de abajo. En el caso de la figura, g(x)

1.2 Rotación alrededor del eje x:

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En este caso, esta recta y=L se convierte en el eje de revolución. A continuación, los radios exterior e interior no son f(x) y g(x), porque la distancia al eje de revolución se convierte en la distancia de cada curva hasta esta línea y=L. En definitiva, ocurre como vimos al principio, donde hay que restar el valor L.

1.3 Rotación alrededor del eje y:

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En este caso, lo único que cambia es que ambas funciones deben definirse en función de la variable y. Al igual que con el volumen de un sólido generado por la rotación de una región limitada por una curva y el eje, la variable independiente debe ser la misma del eje sobre el cual se realiza la rotación. Es decir, se debe escribir la f(x) como f(y) como vimos más arriba. Simplemente hay que despejar x en función de y e integrar con la fórmula conocida.

Ejercicios resueltos EJEMPLO 1: Encuentre volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor de la recta y = −2 la región limitada por la curva y x = , la recta y = 2 y el eje y. Utilice el método de anillos SOLUCION: La figura muestra la región del plano que se va a rotar, así como el eje de rotación. En la figura también se muestra un elemento diferencial. Observe que el diferencial no está pegado al eje de rotación, por lo que los elementos diferenciales de volumen son anillos con un radio interior r y un radio exterior R.

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En la siguiente figura se muestra un dibujo aproximado del sólido de revolución, se dibuja también un elemento diferencial que tiene la forma de un anillo, con centro en la recta y = −2

El volumen del sólido está dado por:

Como se observa en la figura superior, el radio exterior del anillo R, es la diferencia entre dos funciones cuya variable independiente es x. La mayor es la recta 1 y = 2 y la menor es la recta que corresponde al eje de rotación 𝑦2 = −2 , entonces

El radio interior del anillo r también es la diferencia entre dos funciones, la 2

mayor es la función raíz cuadrada 𝑦3 = √𝑥 y la menor es la recta horizontal que corresponde al eje de rotación 𝑦2 = −2 , entonces

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Los límites de integración se obtienen de la región que se está rotando y como la variable de integración es x, los límites son 0 y 4. El volumen es

EJEMPLO 2: Encuentre volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor de la recta x = 1 la región limitada por la curva 𝑦 2 +x − 1 = 0 y la recta x - 2y + 2 = 0 Utilice el método de anillos. SOLUCION: Como los puntos de intersección no se obtienen fácilmente, hay que resolver el sistema de ecuaciones. Despejando x en ambas ecuaciones e igualando se tiene

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Al evaluar estos valores de y en cualquiera de las ecuaciones se obtiene que los puntos de intersección son (-8,-3) y (0,1) La figura muestra la región del plano que se va a rotar, así como el eje de rotación. En la figura también se muestra un elemento diferencial. Observe que el diferencial no está pegado al eje de rotación, por lo que los elementos diferenciales de volumen son anillos con un radio interior r y un radio exterior R.

En la siguiente figura se muestra un dibujo aproximado del sólido de revolución, se dibuja también un elemento diferencial que tiene la forma de un anillo, con centro en la recta x = 1

El volumen del sólido está dado por

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Como se observa en la figura superior, el radio exterior del anillo R es la diferencia entre dos funciones cuya variable independiente es y. La mayor es la recta 𝑥1 = 1 que corresponde al eje de rotación y la menor es la recta 𝑥2 = 2𝑦 − 2

El radio interior del anillo r también es la diferencia entre dos funciones de variable independiente y, la mayor es la recta 𝑥1 = 1 que corresponde al eje de rotación y la menor es la parábola 𝑥3 = 1 − 𝑦 2, entonces

Los límites de integración se obtienen de la región que se está rotando y como la variable de integración es y, los límites son de -3 y 1. El volumen es

Ejercicios para clase •

Calcule el volumen del solido que se genera al rotar la región limitada por:

•

Hallar el volumen del solido de revolución que resulta al girar alrededor del eje y, la región limitada por las funciones f(x)=2x y g(x)=𝑥 2

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Método de la corteza cilíndrica Sea 𝑓 una función real de variable real tal que 𝑓(𝑥) ≥ 0. Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ tal que 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏. Sea R una región acotada por las curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 y el eje x. Entonces, el volumen del sólido de revolución que se obtiene por la rotación (360°) de la región R alrededor del eje y es: 𝑏

𝑉𝑅 = ∫ 2𝜋𝑥𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 𝑎

Ejercicios resueltos 1. Encuentre el volumen del solido engendrado al girar sobre el eje y la región limitada por la curva 𝑦 = (𝑥 − 2)3 , el eje x y la recta 𝑥 = 3. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠:

(𝑥 − 2)3 = 0 𝑥−2 = 0 𝑥=2 𝑥=3

𝑏

𝑉 = ∫ 2𝜋𝑥𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 𝑎 3

3

2𝜋 ∫2 𝑥(𝑥 − 2)3 ⅆ𝑥 ⟹ 2𝜋 ∫2 (𝑥 4 − 6𝑥 3 + 12𝑥 2 − 8𝑥)ⅆ𝑥 2𝜋 [(

𝑥 5 6𝑥 4 12𝑥 3 8𝑥 2 3 − + − )| ] 2 5 4 3 2 𝑅𝑝𝑡𝑎 =

14𝜋 3 𝑢 10

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2. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las gráficas de 𝑥 + 𝑦 2 + 3𝑦 − 6 = 0, 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 alrededor de la recta 𝑦 = 3. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠:

−𝑦 2 − 3𝑦 + 6 = 3 − 𝑦 0 = 𝑦2 + 2𝑦 − 3 𝑦

3

𝑦

−1

(𝑦 + 3)(𝑦 − 1) 𝑦 = −3 𝑦=1

𝑉 = 2𝜋𝑟ℎ∆𝑦 1

𝑉 = 2𝜋 ∫ (3 − 𝑦)[(6 − 3𝑦 − 𝑦2 ) − (3 − 𝑦)]ⅆ𝑦 −3 1

𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑦 3 − 𝑦 2 − 9𝑦 + 9)ⅆ𝑦 −3

𝑅𝑝𝑡𝑎 =

256𝜋 3 𝑢 3

3. Calcule el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor de la recta 𝑥 = 1 la región limitada por las gráficas de 𝑦 = |𝑥 2 − 2𝑥 − 3|, 𝑦 + 1 = 0, 𝑥 − 1 = 0, 𝑥 − 4 = 0. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠: 𝑦 = |𝑥 2 − 2𝑥 − 3| 𝑥

−3

𝑥

1

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) 𝑥=3 𝑥 = −1

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𝑉 = 2𝜋𝑟ℎ∆𝑥 4

𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑥 − 1)[|𝑥 2 − 2𝑥 − 3| + 1]ⅆ𝑥 1

|𝑥 2 − 2𝑥 − 3| = |(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)| = {

−(𝑥 2 − 2𝑥 − 3), 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 } 𝑥 2 − 2𝑥 − 3, 3≤𝑥≤4

3

4

𝑉 = 2𝜋 {∫ (𝑥 − 1)[(−𝑥 2 + 2𝑥 + 3) + 1]ⅆ𝑥 + ∫ (𝑥 − 1)[(𝑥 2 − 2𝑥 − 3) + 1]ⅆ𝑥 } 1

3 3

4 2

𝑉 = 2𝜋 {∫ (−4 + 2𝑥 + 3𝑥 − 𝑥

3 )ⅆ𝑥

+ ∫ (2 − 3𝑥 2 + 𝑥 3 )ⅆ𝑥}

1

3

𝑉 = 2𝜋 (6 + 𝑅𝑝𝑡𝑎 =

35 ) 4

59𝜋 3 𝑢 2

Ejercicios propuestos: 1. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región alrededor de la recta L, donde: 𝐿: 𝑦 = 0; 𝑅: 𝑦 = (𝑥 − 1)−3 , 𝑥 = −1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 𝑅𝑝𝑡𝑎 =

31𝜋 3 𝑢 160

2. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región alrededor de la recta L, donde: 𝐿: 𝑦 = 0; 𝑅: 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 8𝑥 − 4, 𝑦 = 0. 𝑅𝑝𝑡𝑎 =

𝜋 3 𝑢 105

3. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región alrededor de la recta L, donde: 𝐿: 𝑦 = −1; 𝑅: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑥 = 1

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Cálculos y resultados Ejercicio con aplicación a la Ingeniería Una estudiante de la Universidad Privada de Tacna tiene que realizar distintos análisis de agua para poder demostrar los analitos presentes en las muestras. Para poder realizar dichas muestras cuenta con varios recipientes, ella desea saber cuál es el que tiene mayor capacidad, por lo que le pregunta al jefe de laboratorio, Él le responde que la 𝑥2

empresa que moldeo los recipientes hizo girar el molde en 𝑦 = 9.5 alrededor del eje y, además, debe estar acotada por y=12. ¿Cuánto litros de la muestra caben en el recipiente para que la estudiante logre la mayor capacidad del agua a analizar?

𝑦=

𝑥2 9.5

9,5𝑦 = 𝑥 2 √9,5𝑦 = 𝑥 𝑑

𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑔(𝑦)]2 ⅆ𝑦 𝑐 12

2

12

𝑉 = 𝜋 ∫ [√9,5𝑦] ⅆ𝑦 ⟹ 𝑉 = 𝜋 ∫ 9,5𝑦 ⅆ𝑦 0

0

12 𝑉 = 𝜋[4,75𝑦 2 ] 0 𝑉 = 𝜋[4,75(12)2 ] − 𝜋[4,75(0)2 ] 𝑉 = 𝜋. 684𝑐𝑚3 𝑉 = 2148,8494𝑐𝑚3

20 1𝑚 3 2148,8494 𝑐𝑚 ∗ ( ) 100𝑐𝑚 3

2148,8494 𝑐𝑚3 ∗

1𝑚3 1000000 𝑐𝑚3

2148,8494𝑚3 = 0,0021488494𝑚3 1000000 𝐶 = 0,0021488494𝑚3 ∗ 1000 = 2,1488 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

Respuestas a las preguntas 1.- ¿Se logro aprender aplicar los diferentes métodos de volumen de solidos de revolución generadas por curvas en coordenadas cartesianas en el campo de la Ingeniería? Si se lograron ya que se puedo demostrar que con las diferentes teorías se pudieron dar resoluciones a ejercicios que se asemejaban a los problemas que se pueden encontrar en el campo de los practicantes o estudiantes de la carrera de Ingeniería ya que tomaron ejemplos y relaciones matemáticas donde es necesario la aplicación de este método y sus fórmulas, ya que en la información se pudo explicar cómo los métodos de volumen de solidos con las fórmulas y datos a tomar a la hora de resolver los ejercicios se pudo ver un claro entendimiento. 2.- ¿Se logro el objetivo de demostrar la aplicación de volúmenes de solidos empleando cada uno de los métodos y formulas existentes? SI ya que se logró dar una clara introducción de cómo usar cada una de los métodos para demostrando en que situaciones poder implementarlas y poder diferéncialos ya que los gráficos a mostrar hay tener un buen raciocinio y entendimiento de las palabras ya que una palabra puede decir aplicar un método en específico , como también, el manejo de las fórmulas fue muy importante por el hecho que se pudo lograr un dominio completo poniendo aprueba el conocimiento, se lograron ver algunos momentos de emplearlas para el libre desarrollo como explicarlo a los compañeros en plena clase dándoles una alimentación de que trata el tema y el uso que se puede dar. Se lograron dar visualizaciones de las diferentes teorías encontradas para que se pueda relacionar y explicar el tema con un mayor entendimiento, como también, demostrar cada detalle de cómo se debe plasmar los discos o en que eje va para poder dar la lógica analítica que conlleve a la resolución de los ejercicios.

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Conclusiones: Se logro aprender, explicar y desarrollar cada uno de los métodos para poder hallar el volumen de los sólidos de revolución, siguiendo sus teoremas, aplicando formulas, y resolviendo los diferentes ejercicios establecidos, además de proporcionar ejercicios para resolver próximamente. Además, se pudo demostrar la aplicación mediante los diferentes métodos para hallar el volumen de un solido de revolución.

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Referencias: (S/f). Matematicaenlinea.com. Recuperado el 31 de mayo de 2023, de https://matematicaenlinea.com/recursos/wp-content/uploads/2019/06/3-Discosy-anillos.pdf (S/f-b). Matematicaenlinea.com. Recuperado el 31 de mayo de 2023, de https://matematicaenlinea.com/recursos/wp-content/uploads/2019/06/4-Discosy-anillos.pdf Cálculo de Volúmenes – Discos y Anillos. (s/f). Calculisto.com. Recuperado el 31 de mayo de 2023, de https://www.calculisto.com/topics/aplicaciones-de-lasintegrales/441 MITACC M. y TORO L. (2009). Tópicos de Cálculo Volumen 2. Perú. Thales S.R.L. https://www.academia.edu/40415086/To_picos_de_Ca_lculo_Vol_2_Ma_ximo_ Mitacc_and_Luis_Toro Volúmenes: discos o anillos. (s/f). Matematicaenlinea.com. Recuperado el 31 de mayo de 2023, de https://matematicaenlinea.com/recursos/basica2/unidad-5aplicaciones-de-la-integral/volumenes-discos-o-anillos/ (S/f) Volúmenes de solidos de revolución. Recuperado el 20 de junio 2016, de https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf (S/f) Problemas de aplicación de integral volumen de solidos de revolución método. Recuperado (2020), de https://www.academia.edu/44436927/PROBLEMAS_DE_APLICACI%C3%93 N_DE_LA_INTEGRAL_VOLUMEN_DE_S%C3%93LIDOS_DE_REVOLUCI %C3%93N_M%C3%89TODO