Volumen de Un Sólido en Función de Las Áreas de Las Secciones Transeversales

 

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«Una Universidad joven Formando líderes Para el desarrollo de la Región y el País» País»

INTRODUCCIÓN En este módulo se definirá el volumen de un sólido cuyas secciones transversales son planos paralelos entre sí. Existe un método conocido como el principio de Cavalieri para calcular volúmenes de sóli só lido dos. s. Su Supo pong ngam amos os qu que e te tene nemo mos s un cu cuer erpo po só sóli lido do co como mo el de la fi figu gura ra 1 1.1 .1 y denotemos por    !   !  "x# el áre área a de su secc sección ión transversa transversall medi medida da a una distancia distancia x de un plano de referencia. $e acuerdo con el principio de Cavalieri% Cavalieri% el volumen & del sólido está dado dado por '

$onde  a y ( son las distancias mínima y máxima a partir del plano de referencia. Estas $onde  ideas son las que nos proponemos presentar de manera intuitiva en la primera sección de este módulo.

OBJETIVOS )sa )sarr la integraci integración ón en aplicacio icaciones nes geométr geométrica icas. s. En par particu ticular lar%% usar el pri princi ncipio pio de Ca Cava valilier erii pa para ra determinarr el volumen de un sólido que tiene secciones planas de área conocid determina conocida% a% usando el método de re(anadas.

PREGUNTA PREVIAS Sea  *a+ un cilindro circular recto de radio  radio a y altura , . Sea *(+ un cilindro circular inclinado de rad ra dio a y altura ,. - i en e n a y ( el mi mis smo volumen/ umen/ "&er 0igura#. Explique su respuesta. respuest a.

DEFINICIÓN

1

 

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Cuando en los volúmenes de revolución se rotó alrededor del ee

por la curva

el ee

la expresión

las rectas

y

se llegó a

la región plana limitada

donde

se puede interpretar como el área de la sección transversal

del sólido ,ec,a por un plano perpendicular al ee a una distancia de unidades con respecto al origen2 esta área de la sección es la de una circunferencia. Si a,ora la sección transversal tiene un área estará dado por

se puede utili3ar el mismo principio para decir el volumen

CRITERIOS i)

Si las secciones son perpendiculares perpendiculares al ee 4% el volumen del solido S es dado por la fórmula

$onde !"x# es el área de la sección en 4

ii)

Si las secciones secciones son perpendiculares perpendiculares al ee 5% el volumen del solido S es dado por la formula

2

 

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$onde ! "y# es el área de la sección en 5

NOTA: Cuando usamos la fórmula del volumen

es importante recordar 

que !"x# es el área de una sección transversal móvil o(tenida al cortar con un plano que contiene x% y perpendicular al ee x.

Ejemplo 1

Calcule el volumen de la cuña determinada por un cilindro recto de radio “r”, un plano perpendicular al eje del cilindro y otro intersecando al primero con un ángulo α a lo largo de un diámetro de la sección plana circular



 

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Tomemos el plano xy perpendicular el eje del cilindro y el origen O sobre este eje. La ecuac ecu ació ión n de la ci circ rcunf unfer eren enci ciaa C, qu quee re resu sult ltaa de in inte ters rsec ecar ar el ci cili lindr ndro o co con n el pl plan ano o  perpendicular a su eje, tiene como ecuación. Toda sección plana del sólido perpendicular al eje xy formando un ángulo “!en la abscisa es un triángulo rectángulo de base y altura "or tanto su área será

# en consecuencia su $olumen estará dado por

!

 

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Ejemplo 2: $emostrar que el volumen de la esfera e radio  es.

r

y #r

$

%

r

Sol!"i#$: Si colocamos la esfera de modo que su entro esté en el origen% entonces el plano corta la esfera en un círculo cuyo radio es.

 !plicamos definición de volumen% con %& '  y (&  % resulta

"

 

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Ejemplo 3: )n cilindro% cuya (ase es una elipse% está cortado por un plano inclinado que pasa por el Ee menor de la Elipse. Calcular el volumen del sólido *S+ generado% con las dimensiones indicadas en la figura'

Solución:

&

 

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Pime *+o,o: 6as secciones transversales generadas son rectángulos de área !"x#% utili3ando la

ecuaci ecu ación ón de la eli elipse pse tenemo tenemos' s'

am(ién a m(ién podemos notar que'

de lo cual cual despea despeando ndo *y+ tenemo tenemos' s'

por lo tanto despeando *,+ tenemos'

7or lo tanto el volumen del sólido será'

Se-!$,o *+o,o: Considerando triángulos rectángulos inscritos tenemos'

'

 

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$e la ecuación de la elipse

$el primer método tenemos que

por lo tanto

El volumen del sólido viene dado por'

(