Volumen de Sólidos Con Secciones Transversales Conocidas

Volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas Cuando en los volúmenes de sólidos de revolución revolución se rotó rotó alrededor del eje X, la región plana plana limitada por la curva y = f(x), el eje X , las rectas x=a y x=b , se llegó llegó a

donde la expresión

  [   ] se puede interpretar como el área de la sección

transversal del sólido hecha por un plano perpendicular al eje X a una distancia de x unidades con respecto al origen; esta área de l a sección es la de una circunferencia. Si ahora la sección transversal tiene un área A(X) , se puede utilizar el mismo principio para decir el volumen estará dado por

Ejemplo 1:La 1:La base de cierto sólido es la parábola:

       [   ] 

secciones transversales perpendiculares al eje

X son triángulos equiláteros;

Las

encontrar el volumen del sólido. Solución La base del triángulo será 2y, Por ser el triángulo equilátero

    √ 

El área del triángulo es

∆   √   √  Entonces la sección transversal tiene un volumen

∆   √  ∆    √  ∆ Es decir, ∆  √    ∆     [ 0 ] Luego el volumen del sólido es,

4  4            ]  8  

1

Ejemplo 2: Calcular el volumen de una pirámide de base rectangular de dimensiones 2a y a y de altura h . Solución

h-y

h

x

a

Se podría tomar el origen del sistema en el centro del rectángulo, la altura se mide sobre el eje Y con lo cual las secciones transversales perpendiculares esta vez al eje Y son rectángulos de lados 2x , y x . El volumen de una tajada tomada así es

∆∆ ……………………… (1)

Para poder expresar x en términos de y se usa semejanza de triángulos donde

            

reemplazando x en(1) ,se tiene;

  ∆  ∆ De allí que,

           

Luego,

   

que corresponde a la fórmula geométrica Volumen =

  Area de la base)(altura)  2

También se pudo tomar el vértice de la pirámide en el origen , la altura medida sobre el eje

X , el centro de los rectángulos queda sobre el eje X y las secciones

perpendiculares al eje X son rectángulos de lados 2y , y , y ; el volumen de una sección transversal es

∆∆ -

Para expresar y en términos de x, se usan triángulos semejantes con

   , ademas  

Ejemplo 3: Las secciones transversales de cierto sólido por planos perpendiculares al eje Y son semicírculos con diámetros que van desde la curva x =

 hasta la curva

el sólido está entre los puntos de intersección de las dos curvas; encontrar el volumen. Solución

Puntos de intersección :

  8        los puntos son(4 ,2 ) y ( 4, -2)

Como las secciones transversales son perpendiculares al eje Y ,un elemento de volumen estará dado por

∆∆∆ El diámetro de cada semicírculo será ∆  8      8  , el radio entonces Con lo cual

3

Ejemplo 4: Un tronco tiene forma de cilindro circular recto de radio a. A éste tronco se le va a quitar un trozo en forma de cuña haciéndole un corte vertical y otro a un ángulo

, de manera que los dos cortes se interseptan en un diámetro del tronco.

Calcular el volumen de la cuña. Solución

Las secciones son triángulos rectángulos donde un ángulo vale

 La altura de cada

triángulo es z.

 y           Cada cuña tiene espesor ∆; el volumen de cada tajada es ∆    ∆  Como el tronco es circular cada punto (y,z) satisface la ecuación      ;  

Para la base tan  =

   

entonces

Ya se puede hacer el caso particular de que el ángulo sea de 45° ó de 30° ó cualquier otro .

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