VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Systèmes asservis Volume 1 Asservissements linéaires classiques

J.-M. Allenbach

Ecole d’Ingénieurs de Genève Laboratoire d’Automatique

N° 132 Edition 2005

Asservissements linéaires

Table des matières

TABLE DES MATIÈRES 1 INTRODUCTION 1.1 BOUCLE DE RÉGLAGE 1.1.1 Commande à priori et asservissement

1-1

1.2 DOMAINES D'APPLICATION

1-3

1.3 ILLUSTRATIONS

1-5

2 SYSTÈMES LINÉAIRES 2.1 DÉFINITIONS

2-1

2.2 MISE EN ÉQUATIONS

2-3

3 SCHÉMA FONCTIONNEL 3.1 MOTIVATION 3.1.1 Représentation visuelle synthétique

3-1

3.2 MÉTHODE 3.2.1 Règles 3.2.2 Exemples

3-2 3-3

3.A LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE

3-7

3.B LA TRANSFORMATION DE SCHÉMAS

3-13

Jean-Marc Allenbach

TM–1

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Table des matières

4 FONCTION DE TRANSFERT 4.1 GÉNÉRALITÉS 4.1.1 Définition 4.1.2 Combinaisons

4-1 4-2

4.2 FORMES D'ÉCRITURE 4.2.1 Forme canonique 4.2.2 Forme d'Evans 4.2.3 Forme de Bode

4-4 4-4 4-4

4.3 CLASSIFICATION D'UN SYSTÈME

4-6

4.4 RÉPONSES TEMPORELLES 4.4.1 Définition 4.4.2 Réponse libre et forcée 4.4.3 Réponse indicielle 4.4.4 Réponse impulsionnelle 4-7 4.4.5 Réponse à une rampe

4-7 4-7 4-7 4-8

4.5 ANALYSE DE SYSTÈMES FONDAMENTAUX

4.5.1 1er ordre 4.5.2 2e ordre

4-9 4-12

4.6 RÉPONSE HARMONIQUE 4.6.1 Aspect pratique 4.6.2 Sens mathématique

4-19 4-20

4.A RÉSUMÉ DES NOTATIONS

Jean-Marc Allenbach

4-21

TM–2

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Table des matières

5 REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES 5.1 INTRODUCTION

5-1

5.2 NYQUIST 5.2.1 Définition 5.2.2 Méthode de tracé 5.2.3 Assistance de tracé par ordinateur

5-2 5-2 5-3

5.3 BLACK 5.3.1 Définition 5.3.2 Méthode de tracé 5.3.3 Assistance de tracé par ordinateur

5-4 5-4 5-5

5.4 BODE 5.4.1 Définition 5.4.2 Méthode de tracé 5.4.3 Assistance de tracé par ordinateur

5-6 5-6 5-11

5.5 EVANS 5.4.1 Fondements théoriques 5.4.2 Méthode de tracé 5.4.3 Assistance de tracé par ordinateur

Jean-Marc Allenbach

5-12 5-14 5-16

TM–3

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Table des matières

6 STABILITÉ 6.1 DÉFINITIONS 6.1.1 Stabilité statique 6.1.2 Stabilité dynamique 6.1.3 Stabilité d'un système linéaire 6.1.4 Qualité de la stabilité

6-1 6-1 6-1 6-2

6.2 CRITÈRES ALGÉBRIQUES 6.2.1 Critère de Routh 6.2.2 Critère de Hurwitz

6-3 6-4

6.3 CRITÈRE DE NYQUIST 6.3.1 Critère de Nyquist simplifié 6.3.2 Marge de gain 6.3.3 Marge de phase 6.3.5 Valeurs de marge 6.3.6 Critère de Nyquist complet 6.3.7 Tracé de Nyquist assisté

6-6 6-7 6-8 6-8 6-8 6-8

6.4 CRITÈRE DE BLACK 6.4.1 Critère de Black: énoncé 6.4.2 Abaque de Nichols 6.4.3 Tracé de Black assisté

6-9 6-9 6-10

6.5 CRITÈRE DE BODE 6.5.1 Critère du revers. 6.5.2 Relation de Bode et Bayard. 6.5.3 Critère du Bode: énoncé. 6.5.4 Relation entre plan fréquentiel et comportement temporel. 6.5.5 Tracé de Bode assisté

6-11 6-11 6-11 6-12 6-16

6.6 CRITÈRE D'EVANS 6.6.1 Contours d'Evans. 6.6.2 Exemple. 6.6.3 Tracé de Evans assisté 6.6.4 Autres propriétés du lieu des pôles 6.6.5 Zéros ou pôles supplémentaires

6-17 6-17 6-19 6-21 6-22

6.A ANNEXE: RÉSUMÉ DES PARAMÈTRES DE RÉGLAGE

Jean-Marc Allenbach

TM–4

6-25

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Table des matières

7 RÉGULATEURS 7.1 GÉNÉRALITÉS 7.1.1 Tâches du régulateur 7.1.2 Inventaire

7–1 7–1

7.2 RÉGLAGE TOUT–OU–RIEN 7.2.1 Principe 7.2.2 Exemple

7–3 7–3

7.3 RÉGLAGE PROPORTIONNEL 7.3.1 Principe 7.3.2 Statisme

7–7 7–7

7.4 RÉGLAGE PROPORTIONNEL–INTÉGRAL 7.4.1 Approche empirique 7.4.2 Définition 7.4.3 Réponse harmonique

7–10 7–10 7–11

7.5 RÉGLAGE PROPORTIONNEL–INTÉGRAL–DIFFÉRENTIEL 7.5.1 Prévision 7.5.2 Définition 7.5.3 Réponse harmonique 7.5.4 Influence des composants non idéaux

7–12 7–12 7–13 7–13

7.6 AUTRES RÉGLAGES CLASSIQUES 7.6.1 Régulation proportionnelle–différentielle 7.6.2 Régulation PD2 7.6.3 Régulation avance de phase 7.6.4 Régulation retard de phase 7.6.5 Régulation intégrale 7.6.6 Régulation PID parallèle

7.A ANNEXE: PARAMÈTRES DE RÉGULATEURS

7–14 7–14 7–15 7–16 7–17 7–17 7–19

7.B ANNEXE: RÉGULATEURS ANALOGIQUES 7.B.1 Généralités 7.B.2 Montage inverseur 7.B.3 Régulateurs classiques 7.B.4 Montage à bascule 7.B.5 Régulateurs tout–ou–rien.

Jean-Marc Allenbach

7–21 7–21 7–22 7–30 7–31

TM–5

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Asservissements linéaires

Table des matières

8 DIMENSIONNEMENT DE RÉGULATEURS 8.1 INTRODUCTION

8–1

8.2 CRITÈRES EXPÉRIMENTAUX 8.2.1 Mesures typiques 8.2.2 Critère de Ziegler-Nichols 8.2.3 Critère de Chien-Hroner-Reswick 8.2.4 Identification de processus

8–3 8–5 8–5 8–6

8.3 CRITÈRES SUR LA RÉPONSE HARMONIQUE EN BOUCLE OUVERTE 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.3.5 8.3.6 8.3.7 8.3.8

Méthode de Bode Zéros ou pôles supplémentaires Petit retard pur Système à régler avec comportement intégral Méthode de Nyquist Retour non unité Exemples Considérations globales

8–7 8–10 8–14 8–15 8–19 8–20 8–21 8–24

8.4 CRITÈRES SUR LES PÔLES 8.4.1 Déformation du lieu 8.4.2 Hypothèses de calcul 8.4.3 Méthode de calcul 8.4.4 Exemples

8–25 8–27 8–28 8–29

8.5 CRITÈRES SUR LA RÉPONSE HARMONIQUE EN BOUCLE FERMÉE 8.5.1 Approche générale 8.5.2 Critère méplat 8.5.3 Méthode H∞

8–37 8–37 8–38s1

8.6 DIVERS RÉGLAGES 8.7 ÉVALUATION DES MÉTHODES 8.8 RÉGLAGE ROBUSTE

8.6–1 8.7–1 8.8–1

8.A CIRCUIT DE RÉGLAGE 8.B IDENTIFICATION D'UN SYSTÈME 8.C COMPARAISON DE DIMENSIONNEMENTS

8–39 8–40 8–41

Ce cours est régulièrement mis à jour sous : http://eig.unige.ch/~allenbach Jean-Marc Allenbach

TM–6

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Asservissements linéaires

Table des matières

BIBLIOGRAPHIE [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36]

H. BÜHLER: Conception de systèmes automatiques, PPUR, Lausanne. H. BÜHLER: Electronique de réglage et commande, PPUR, Lausanne. L. MARET: Régulation automatique, PPUR, Lausanne. H. BÜHLER: Systèmes échantillonnés I, PPUR, Lausanne. H. BÜHLER: Systèmes échantillonnés II, PPUR, Lausanne. J. NEYRINCK: Théorie des circuits et systèmes, PPUR, Lausanne. GILLE, DECAULNE ET PELEGRIN: Théorie et calcul des asservissements linéaires, Dunod, Paris. M. ROSSI: Simulation d'un essieu moteur, EPFL/LEI, Lausanne. O. FÖLLINGER: Regelungstechnik , Hüthig. B. C. KUO: Automatic Control Systems , Prentice-Hall. E. JUCKER: Equations fondamentales des micromoteurs à courant continu avec rotor sans fer, Portescap, La Chaux-de-Fonds. L. POVY: Identification de processus, Dunod, Paris. L. MARET: Régulation automatique 2, Eivd, Yverdon. J.-M. ALLENBACH: Réglage de système à retard pur, EIG/LAE, Genève. J.-M. ALLENBACH: Réglage de système instable, EIG/LAE, Genève. C. T. CHEN: Analog & Digital Control System Design, Saunders HBJ. W. A. WOLOWICH: Automatic Control Systems, Saunders HBJ. B. C. KUO: Digital Control Systems, Saunders HBJ. M. RIVOIRE, J.-L. FERRIER: Cours d'automatique, Eyrolles, Paris. R. LONGCHAMP: Commande numérique de systèmes dynamiques , PPUR, Lausanne. F. DE CARFORT, C. FOULARD: Asservissements linéaires continus, Dunod, Paris. P. NASLIN: Les régimes variables dans les systèmes linéaires et non linéaires, Dunod, Paris. W. OPPELT: Kleines Handbuch technischer Regelvorgänge, Verlag Chemie GMBH. E. GROSCHEL: Regelungstechnik, R. Oldenburg, München et Wien. F. MILSANT: Asservissements linéaires – analyse et synthèse, Dunod, Paris. H.GASSMANN: Einführung in die Regelungstechnik, Harri Deutsch, Thun M. KUNT: Traitement numérique des signaux, PPUR, Lausanne. DIVERS PROFESSEURS: Cours de mathématique, EIG, Genève. DIVERS PROFESSEURS: Electronique, EIG, Genève. H. BÜHLER: Réglage par logique floue, PPUR, Lausanne. J.-B. DECORZENT : Réglage robuste d’ordre non entier, Diplôme EIG, Genève, 1996. A. OUSTALOUP : La commande Crone, Hermès, Paris, 1991. M.ETIQUE: Régulation automatique, eivd, Yverdon,2003. M.ETIQUE: Régulation numérique, eivd, Yverdon,2003. J.W. HELTON, O. MERINO: Classical Control Using H∞ Methods, Siam, Philadelpia,1998. H. BÜHLER: Réglage par mode de glissement, PPUR, Lausanne.

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TM–7

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Table des matières

GLOSSAIRE Symbole

Description

n OC OCM OM pi R s

Français marge de gain dépassement écart de réglage écart statique échelon unité retard pur fonction de transfert ou transmittance isomorphe réponse impulsionnelle gain limite de pompage fonction de transfert en boucle ouverte fonction de transfert en boucle fermée pour la consigne fonction de transfert en boucle fermée pour la perturbation réponse harmonique ou transmittance isochrone module facteur d'Evans gain statique facteur d'Evans en boucle ouverte gain statique en boucle ouverte gain de dérivation gain d'intégration gain proportionnel du régulateur facteur d'Evans du régulateur facteur d'Evans du système à régler gain statique du système à régler transformée de Laplace ordre du système organe de consigne organe de commande organe de mesure pôle régulateur variable de Laplace

S T T0 TD

système à régler constante de temps période de pompage constante de dérivation

AM D1 e e∞ ε(t) esT G(s) g(t) g0 G0(s) Gcf(s) Gpf(s) G(jω) |G(jω)| k K k0 K0 Kd Ki KP kR ks Ks

L

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Page

English gain margin overshoot control error steady-state error step time delay transfer function

Deutsch Verstärkungsreserve Überschuss Regelfehler statische Fehler Sprungfunktion Totzeitglied Übertragungsfunktion

impulse response ultimate gain open loop transfer function closed loop transfer function for reference

Impuls-Antwort kritische Verstärkung Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises Übertragungsfunktion des Regelkreises (Sollwert)

6-7 4-15 1-1 7-8 3-A1 8-14 4-1 4-7 8-4 6-1 8-15

cloded loop transfer Übertragungsfunktion des function for disturbance Regelkreises (Istwert)

8-15

frequency response

Frequenzgang

4-20

magnitude Evans ratio gain open loop Evans ratio

Betrag Evansfaktor Verstärkung Evansfaktor des offenen Regelkreises Verstärkung des offenen Regelkreises Differenzverstärkung Intergrierverstärkung Reglerverstärkung

4-20 4-4 4-4 5-10

7-12 7-12 7-7

Evans ratio of controller Evansfaktor des Reglers

8-25

Evans ratio of plant

Evansfaktor der Strecke

8-25

plant gain

Verstärkung der Strecke

8-7

Laplace transform order of system reference device actuator sensing device pole controller Laplace-transform variable plant gain time constant ultimate period derivative ratio

Laplace-Transformation Ordnung des Systems Sollwertgeber Stellglied Istwertmessung Pole Regler Laplace-Operator

3-7 4-1 1-1 1-1 1-1 4-4 1-1 3-A1

Strecke Zeitconstante kritische Periode Differenzierzeit

1-1 4-9 8-4 7-12

open loop gain derivative gain integral gain proportional gain

TM–8

5-9

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Asservissements linéaires

αj βi δ δ(t) ε(t) γ(t) ϕ(ω) ϕM ω0

constante de temps de filtre AP constante de temps de filtre RP constante de temps de Ziegler-Nichols constante de temps d'intégration constante d'intégration constante de temps de filtre de lissage temps de montée (0 - 100%) temps de montée (10 - 90%) constante de temps d'organe de mesure dosage de corrélation d'intégrale temps de pic temps de réponse temps mort de ZieglerNichols dosage de corrélation de dérivée valeur ou grandeur de commande signal de commande signal de perturbation valeur ou grandeur de consigne valeur réelle,grandeur réglée régime permanent régime transitoire zéro angle dû au zéro zj angle dû au pôle pi facteur d'amortissement impulsion unité échelon unité réponse indicielle phase marge de phase pulsation naturelle

ω1

pulsation pour module 1

ωc ωp ωr ωπ

pulsation de cassure pseudopulsation pulsation de résonnance pulsation d'opposition de phase réponse libre réponse à conditions initiales nulles schéma fonctionnel

TF Tf Tg Ti TJ Tlc tm tm19 Tmes Tn tp tr Tu Tv u ucm v w y yperm(t) ytrans(t) zj

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Table des matières time constant of phase lead time constant of phase lag time constant of ZieglerNichols integral time constant

Zeitconstante eines Phasenvoreiler Zeitconstante eines Phasennacheiler Ausgleichszeit

7-15

Integrierzeit

7-7 7-12 8-18

rise time (0 - 100%)

Integrierzeit Zeitconstante des Vorfilters Anregelzeit

rise time (10 - 90%)

Anstiegszeit

4-17

measurand time constant

Zeitconstante des Messzeuges Nachstellzeit

8-20 7-10

Zeit des Maximums Ausregelzeit Verzugszeit

4-15 4-10 8-3

Vorhaltezeit

7-12

actuating value

Stellgrösse

1-1

actuating signal disturbance value reference value

Stellwert Störgrösse Führungsgrösse, Sollwert

1-1 1-1 1-1

actual value

Regelgrösse, Istwert

1-1

steady-state response transient response zero angle at zero zj angle at pole pi damping ratio impulse step function step response phase phase margin natural undamped frequency gain crossover frequency corner frequency damped frequency resonant frequency phase crossover frequency zero-input response zero-state response

stationäre Zustand Übergangsvorgang Nullstelle Winkel am Zero zj Winkel am Pole pi Dämpfung delta-Funktion Springfunktion Sprungantwort Phase Phasenrand Schwingfrequenz

4-19 4-19 4-4 554-12 3-A1 3-A1 4-7 56-8 4-12

Durchtrittfrequenz

6-12

Knickfrequenz Kreisfrequenz Resonanzfrequenz Frequenz mit 180° Phasenverschiebung Nulleingang-Antwort Antwort mit Anfangswerten an Null Funktionsplan

6-12 4-14 5-9 6-11

integral ratio prefilter time constant

max overshoot time settling time time delay of ZieglerNichols

block diagramm TM–9

7-16 8-3

4-16

4-7 4-7 3-1 040503

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Table des matières

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Asservissements linéaires

Introduction

CHAPITRE 1: INTRODUCTION 1.1 BOUCLE DE RÉGLAGE 1.1.1. Commande à priori et asservissement. Avant toute chose, il importe de définir ce qu'on entend par système asservi. Cela permet de préciser la finalité des théories qui suivent. On commence par une exemple. Un cycliste sur son vélo dans une descente rectiligne corrige en permanence la trajectoire et l'assiette de son engin pour parvenir à destination. Pour cela, il observe l'inclinaison du vélo et son écart avec le bord de la route, il agit sur le guidon et sur la position de son corps sur la selle. Le même vélo chargé d'un sac de sable, lancé avec une vitesse initiale soigneusement choisie, a fort peu de chance d'atteindre le bas de la pente: il tombera avant. • Le système bicyclette – cycliste est un système asservi. • Le système bicyclette – sac de sable est un système à commande à priori. Chacun se souvient de ses "premiers tours de roue" à vélo: se sentant tomber sur la droite, on avait corrigé et on était tombé sur la gauche. Au deuxième essai, on avait réussi à corriger une seconde fois pour tomber à la troisième oscillation. Peu à peu, on avait appris à corriger juste ce qu'il faut. On perçoit déjà ici la notion de "stabilité" qui sera étudiée au chapitre 6. Les systèmes techniques de réglage ne sont pas comme l'être humain: ils ne sont pas (encore) capables d'apprendre par eux-mêmes. L'ingénieur doit donc les dimensionner pour que, eux aussi, ils corrigent le processus "juste comme il faut": tel est l'objectif de ce cours.

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1–1

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Asservissements linéaires

Introduction

1.1.2 Structure de base Pour illustre le propos, on peut expliciter la structure d'un système asservi à l'aide de l'exemple du paragraphe précédent. v

F OC

w

+

R

ucm

u

OCM

y

S

–

OM

Fig. 1.1 Système

asservi: commande en boucle fermée.

On distingue d'abord S le système à régler proprement dit – le vélo dans notre exemple – et sa grandeur réglée y: sa trajectoire dans l'espace. On peut agir sur le système à régler à travers son organe de commande OCM – les mains du cycliste – par sa grandeur de commande u: la force musculaire. Le régulateur R – le réseau de neurones du cycliste (cerveau et cervelet) – élabore le signal de commande ucm – l'influx nerveux – en fonction de l'écart constaté entre la trajectoire obtenue y, observée à l'aide d'organes de mesure OM – l'oreille interne et les yeux du cycliste – et la trajectoire souhaitée w, la consigne définie par l'organe de consigne OC. Le système peut encore subir une perturbation v – par exemple une bourrasque de vent latéral – susceptible de modifier sa trajectoire. Le principe de l'asservissement – la boucle de réglage – repose sur la réception d'une information en retour de la grandeur réglée vers le régulateur. La structure peut être un peu plus complexe que celle décrite à la figure 1.1 si les mesures sur le système à régler ne se limitent pas à la grandeur réglée seule, mais font appel à des informations complémentaires. Pour la commande à priori, on peut aussi citer un exemple révélateur: le ballon de basket qu'un joueur lance de loin en direction du panier. Dès qu'il est lâché, sa trajectoire est entièrement déterminée par les lois de la physique: il entre et marque 3 points... ou il passe à côté! Il est toutefois à la merci de la moindre perturbation: un simple courant d'air. Dans la technique, la commande à priori nécessite une connaissance extrêmement précise du processus et des lois physiques qui le guide si on veut atteindre l'objectif. On ne peut cependant pas tenir compte du vieillissement de l'installation et encore moins des perturbations qu'il peut subir et qu'on ne peut connaître d'avance.

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Asservissements linéaires

Introduction

1.2 DOMAINES D'APPLICATION L'automatique – particulièrement la technique de réglage – est une branche de synthèse qui nécessite des connaissances dans de nombreux domaines techniques et scientifiques. DIMENSIONNEMENT DU RÉGULATEUR

Physique

Théorie du réglage

Mathématique appliquée

MODÉLISATION DU PROCESSUS

Machines mécaniques Machines hydrauliques Simulation Machines électriques Electronique de puissance

Chimie industrielle

Electronique Algorithmique pour temps réel

Technique de mesure Transmission de données

RÉALISATION DU CIRCUIT DE RÉGLAGE

Fig. 1.2 Pluridisciplinarités des systèmes asservis.

Si on n'a pas trop d'exigences, il est vrai qu'on peut réaliser une installation réglée sans grande connaissances mathématiques et physiques: par exemple le réglage de la chaufferie d'un bâtiment. Il suffit de procéder par essais et ajustages successifs des paramètres de réglage. Si on spécifie simplement qu'on veut optimiser la consommation de mazout, il faut déjà une connaissance approfondie du processus et on doit faire appel à la théorie du réglage qui sera développée dans les chapitres suivants. Pour la majorité des systèmes, la méthode par tâtonnement est trop coûteuse en temps et n'aboutit qu'à des résultats médiocres. Pour certaines applications – centrales nucléaires, astronautique, ... – cette méthode est même très dangereuse. Comme le suggère l'ensemble "modélisation" sur la figure 1.2, les systèmes asservis s'appliquent à tous les domaines de la technique. A y regarder de près, on constate que beaucoup de phénomènes naturels peuvent être décrits avec la théorie du réglage.

Jean-Marc Allenbach

1–3

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Asservissements linéaires

Introduction

1.3 ILLUSTRATIONS. La complexité peu être très variable d'un système asservi à l'autre. De même, il y a une grande variété dans la technologie de réalisation des régulateurs, non seulement en fonction du type d'application, mais aussi en fonction de l'époque de fabrication. Dans un four de cuisine domestique, un relais bimétallique concentre les fonctions d'organe de mesure, d'organe de commande et de régulateur. Sa sortie u ne peut prendre que deux valeurs: corps de chauffe enclenché ou déclenché. L'organe de consigne est le bouton sur la face du four qui permet une précontrainte du bilame. Le régulateur est ici électromécanique. Dans un réservoir de WC, on a un régulateur hydromécanique qui garantit l'ouverture de la vanne dès que le niveau baisse. Il n'y a pas d'organe de consigne puisque le niveau d'eau requis est toujours le même: la position du flotteur qui mesure le niveau est réglé une fois pour toute. Dans un métro automatique, on trouvent plusieurs ordinateurs en dialogue qui portent dans leurs programmes diverses fonctions de réglage assumées sur la base de capteurs de mesure de vitesse, de chemin parcouru, etc. • Réglage de courant ou de couple des moteurs de traction. • Réglage de vitesse de chaque rame. • Réglage de la distance avec le convoi précédent. • Réglage de l'arrêt en gare: les portes du convoi doivent être en face de celles du quai au centimètre près. Tous ces régulateurs doivent être soigneusement dimensionnés et hiérarchisés pour assurer un fonctionnement fiable, confortable et sûr pour les usagers, et aussi économique pour l'entreprise de transport.

Jean-Marc Allenbach

1–4

020917

Asservissements linéaires

Systèmes linéaires

CHAPITRE 2: SYSTÈMES LINÉAIRES 2.1 DÉFINITIONS 2.1.1. Préambule Un système physique est qualifié de linéaire lorsqu'il est régi par des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

2.1.2. Propriétés Soit un système simple muni d'une entrée u(t) et d'une sortie y(t).

u

y

S Fig. 2.1 Système linéaire.

On peut relever deux propriétés d'un tel système: L'homogénéité: Si l'effet d'un signal d'entrée u(t) est le signal y(t), en multipliant le signal d'entrée par un nombre réel k, on peut en déduire l'effet en multipliant la sortie par le même réel. si

u( t ) Þ

y (t ) alors u1 (t ) = k u(t ) Þ

y1 (t ) = k y (t )

(2.1)

La superposition: Si l'effet d'un signal d'entrée u1(t) est le signal y1(t) et celui d'un signal d'entrée u2(t) est le signal y2(t) , l'effet d'un signal d'entrée u(t) qui est la somme des signaux d'entrées précité est le signal y(t) qui peut être calculé par la somme des signaux de sortie correspondants.

si (u1 (t ) Þ y1 (t ) et u2 (t ) Þ y 2 (t ) ) alors u(t ) = u1 (t ) + u2 (t ) Þ

y (t ) = y1 (t ) + y 2 (t )

(2.2)

2.1.3 Modèle linéaire Lorsqu'on décrit un système physique par ses équations, on doit le plus souvent constater que l'usage d'équations différentielles linéaires ne permet que d'approximer la réalité, celle-ci n'étant justement pas linéaire. Cependant, l'approximation obtenue est dans la majorité des cas suffisamment bonne pour qu'on s'en contente dans le domaine de fonctionnement habituel dudit système. Dans ce cours, on traitera essentiellement de systèmes considérés comme linéaires, en apportant parfois quelques commentaires ou remarques qui traiteront de non-linéarités typiques. Les systèmes non linéaires ont souvent une ou des plages de fonctionnement pour lesquelles le comportement est quasi linéaire, on peut donc y appliquer un modèle linéaire en prenant certaines précautions lors du passage d'un domaine à l'autre.

Jean-Marc Allenbach

2–1

030115

Asservissements linéaires

Systèmes linéaires

2.1.4 Systèmes continus Un système est dit continu si tous les signaux qu'on y rencontre sont des fonctions continues au sens mathématique du terme, ou au moins continues par morceaux. Dans ce cours, on traite que de ce type de systèmes jusqu'au chapitre 8 inclus. Les systèmes échantillonnés ont certains signaux qui ne sont définis qu'à certaines valeurs du temps, mais pas entre celles-ci, ont les traite principalement au chapitre 11, et un peu aux chapitres 9, 10, 12 et 13.

2.2 MISE EN ÉQUATIONS 2.2.1. Principe Un système peut le plus souvent être décomposé en parties assez simples, ayant un nombre réduit de signaux d'entrée et sortie. On fait alors appel aux connaissances de physique, d'électromécanique, de génie chimique ou d'autres branches scientifiques pour écrire les équations qui régissent la relation entre les entrées (causes) et les sorties (effets). Après avoir décrit chaque élément, composant, partie ou sous-système, on aboutit à un système d'équations algébriques ou différentielles. 2.2.2 Organisation des équations Pour pouvoir traiter convenablement ces équations, il faut encore "y mettre un peu d'ordre"! Lorsqu'on a modélisé le système, on peut choisir plusieurs voies pour étudier le système. Le chapitre concerné par un bloc est indiqué par en italique à l'extérieur de celui-ci. u

y

S

Lois Physiques 11

Equations différentielles du 1er ordre Modèle d'état 10

Equations différentielles et intégrales

Transformée de Laplace 3

Fonction de transfert 4 5

Analyse temporelle 6

Analyse des racines 6

Réponse harmonique

4

Schéma fonctionnel 3

5

Simulation numérique 9, 11

Analyse fréquentielle 6

Simulation analogique

9

Fig. 2.2 Analyse d'un système linéaire.

Jean-Marc Allenbach

2–2

030115

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

CHAPITRE 3: SCHÉMA FONCTIONNEL 3.1 MOTIVATIONS 3.1.1. Représentation visuelle synthétique Un système physique réel peut être décrit par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Il n'est pas facile – face à un système d'équations différentielles – de percevoir les conséquence sur le système du changement d'un paramètre ou d'une grandeur d'entrée: le cerveau humain a tendance à travailler dans ces circonstances de manière séquentielles, équation après équation. Dans le système réel, les interactions sont simultanées. Ce constat a conduit à développer des représentations synthétique des systèmes qui permettent au cerveau humain de percevoir le fonctionnement de manière globale. Pour l'analyse, on décompose le système en sous-systèmes simples Si pour lesquels il existe une relation Gi algébrique, ou différentielle du premier ordre entre une grandeur physique d'entrée xj et une grandeur physique de sortie xk. Le plus souvent, on transforme les équations différentielles par Laplace (annexe 3.A) afin de n'avoir plus que des relations algébriques. Deux modes de représentation sont essentiellement utilisés: le graphe de fluence et le schéma fonctionnel. Dans le graphe de fluence, on représente les grandeurs physiques par des noeuds et les fonctions par des flèches qui ont un noeud de départ et un noeud d'arrivée (fig. 3.1). Si plusieurs flèches arrivent au même noeud, cela signifie que la grandeur physique concernée est obtenue par la somme des deux fonctions représentées par ces flèches. Dans le schéma fonctionnel, on représente les fonctions par des blocs et les grandeurs physiques par des flèches qui les relient (fig. 3.2). Lorsqu'une grandeur physique est obtenue par sommation, on représente un symbole "somme", souvent un cercle. Ce mode de représentation permet de noter aussi les non-linéarités de manière explicite. Considérons un système d'équations différentielles, traduites ou non dans l'espace de Laplace. ü ï ý ï þ

x 2 = G1 ( x1 ) + G2 ( x 3 ) x 3 = G3 ( x 2 ) x 4 = G4 ( x 2 )

G4

x2

G1

x1

(3.1)

x4 G3

G2

x3 Fig. 3.1 Graphe de fluence.

x1

G1

+ +

Fig. 3.2 Schéma fonctionnel.

Jean-Marc Allenbach

x2

G4

x4

G3

x3

G2

3–1

030116

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

3.2 MÉTHODE 3.2.1 Règles Pour établir le schéma fonctionnel, il est préférable – mais pas obligatoire – de calculer premièrement la transformée de Laplace des équations différentielles (annexe 3.A). En présence d'un système d'équations algébriques en s, on représente successivement chacune d'entre elles à l'aide des symboles présentés à la figure 3.3. Chaque grandeur physique du système est représentée par une seule flèche qui a une origine, mais peut avoir plusieurs destinations. Dans la mesure du possible on essaye d'éviter les blocs "dérivation" en écrivant les équations sous forme "intégration". En effet, la dérivée est délicate à simuler, tant en numérique qu'en analogique. Opération Addition

Symbole linéaire x1

+

x1

+

Soustraction

Relation

x

Intégration x

y = x 1 + x2

y

y = x1 – x2

y

y=kx

x2

– Multiplication par une constante

y + x2

k

t

1 s

y

Dérivation x

Cellule du premier ordre

s

y

k x 1+ sT Symbole non linéaire

y

y = ∫ x (τ ) dτ 0

y=

dx dt

dy k 1 = x− y dt T T

Multiplication

x1

×

y

y = x1 x2

y

y=

x2

Division

x1

÷

x2

x1 x2

Fonction non linéaire

x

y

x

y

y = f(x)

Retard pur y = x(t–T)

Fig. 3.3 Symboles pour le schéma fonctionnel.

J.-M. Allenbach

3–2

040430

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

3.2.2 Exemples Pour commencer, on prend l'exemple d'un filtre RC auquel on impose une tension d'entrée u1 et dont désire connaître la tension de sortie u2.

i1(t) u1(t)

R1

ic(t) C1

R2

u2(t)

Fig. 3.4 Circuit RC: schéma électrique.

Pour établir les équations de ce circuit simple, on applique les règles de calcul de l'électrotechnique. u1 (t ) = R1 i1 (t ) + u2 (t )

       

u2 (t ) = R2 (i1 (t ) − i c (t )) t

u2 ( t ) =

1 i (τ ) d τ C ∫0 c

(3.2)

On applique aux équations (3.2) les règles de la transformée de Laplace. Les deux première équations sont purement algébriques, elles le reste à cause de la linéarité de la transformée de Laplace. L'intégration se traduit dans l'espace de Laplace par une division par s de la grandeur concernée. U 1 ( s) = R1 I 1 ( s) + U 2 ( s)

      

U 2 ( s) = R2 (I 1 ( s) − I c ( s)) 1 U 2 ( s) = I ( s) sC c

(3.3)

On construit le schéma fonctionnel, en commençant par une extrémité du schéma, par exemple par la fin. On exprime U2 à l'aide de la troisième équation, ce qui nécessite de connaître Ic. On exprime ensuite Ic en fonction de I1 et de U2 à l'aide de la deuxième équation. On termine en exprimant I1 en fonction de U1 et U2 à l'aide de la première équation.

u1

1 R1

+ –

i1

ic

+

1 s

1 C

u2

– 1 R2

Fig. 3.5 Circuit RC: schéma fonctionnel.

J.-M. Allenbach

3–3

040430

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

Comme deuxième exemple, on choisit un système purement mécanique. On veut établir le schéma fonctionnel de ce treuil. On applique une force manuelle Fm sur la manivelle de longueur l. On veut déduire à quelle profondeur h se trouve le seau de masse m. On tient compte du frottement visqueux kf sur l'axe principal, mais on néglige les inerties des cylindres, la masse et l'élasticité du câble. On considère que le câble s'enroule en spires jointives sur le tambour de rayon r, en une seule épaisseur. On veut aussi savoir à quelle vitesse ω1 tourne l'axe de la manivelle. On pourrait aussi imaginer que l'utilisateur impose à la manivelle une vitesse ω1 et en déduire la profondeur h et la force Fm.

ω2

Fm N2

kf

l N1

ω1

h

m Fig. 3.6 Treuil manuel.

On établit le couple à l'arbre primaire.

M1 = Fm l

(3.4)

Le couple à l'arbre secondaire est déterminé par le réducteur dont on connaît le nombre de dents de chaque roue.

N2 M N1 1

M2 =

(3.5)

On peut écrire l'équilibre des couples à l'arbre secondaire: loi de Newton pour mouvement circulaire.

J ω& 2 = M 2 − k f ω 2

(3.6)

On détermine encore l'inertie et la vitesse v du seau en fonction du rayon du tambour. La dérivée de la profondeur est la vitesse.

v = ω2 r

(3.7)

2

(3.8) (3.9)

J = mr v = h&

On termine en calculant la vitesse de la manivelle.

ω1 =

N2 ω N1 2

(3.10)

On peut aussi établir le schéma fonctionnel sans effectuer explicitement la transformée de Laplace. On part de (3.6) en disant simplement que ω 2 est l'intégrale de ω& 2 (Fig. 3.7A). L'accélération ω& 2 , selon (3.6) est une différence de signaux divisée par J (Fig. 3.7B).

J.-M. Allenbach

3–4

040430

Asservissements linéaires

ω&2

Schéma fonctionnel

ω2

1 s

M2 + –

A

ω&2

1 J

ω2

1 s

kf

B

Fig 3.7 Schéma fonctionnel de l'équation (3.6).

On complète en amont de M2 avec les équations (3.4) et (3.5) et en aval de ω 2 avec (3.7) et (3.10) qui toutes sont valables dans le temps comme dans l'espace de Laplace. L'équation (3.9) peut s'exprimer comme une intégration pure de v pour obtenir h. La constante J se calcule par (3.8), il n'est pas indispensable de la noter explicitement dans le schéma fonctionnel.

Fm

l

M1 N 2 N1

ω1

M2 +

ω&2

1 J

–

ω2

1 s

r

v

1 s

h

kf

N2 N1

Fig 3.8 Schéma fonctionnel de la figure 3.6.

Si on n'a pas besoin de connaître M1, on peut fusionner les deux premiers blocs multiplication par une constante en un seul. L'autre variante suggérée, si elle est plus proche de l'impression de l'utilisateur qui croit imposer la vitesse de la manivelle, fait apparaître un dérivation au lieu d'une intégration.

ω1

N1 N2

ω2

s

M2

+

kf

ω&2

+

J

Fig. 3.9 Schéma fonctionnel de (3.6) et (3.10) (variante).

Si cette forme est mathématiquement exacte, la réalisation d'un dérivateur en simulation analogique ou numérique est délicate, on essaye donc de l'éviter!

J.-M. Allenbach

3–5

040430

Asservissements linéaires

J.-M. Allenbach

Schéma fonctionnel

3–6

040430

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

3.A TRANSFORMÉE DE LAPLACE 3.A.1 But L'usage fait ici de la transformée de Laplace me peut mieux se comparer qu'à celui fait jadis des logarithmes. Avant l'arrivée des calculatrices et ordinateurs, la multiplications de deux nombres avec nombreux chiffres significatifs était longue et fastidieuse, avec de nombreux risques d'erreur. Pour effectuer le produit de deux nombres A et B, on préférait rechercher dans une table de logarithmes les valeurs de logA et logB. On effectuait la somme des logarithmes, l'opération somme étant dans les logarithmes l'opération correspondant au produit. Il suffisait alors de lire sur la table l'antilogarithme de cette somme pour obtenir le résultat du produit. Un "détour" par les logarithmes permettait de remplacer une opération difficile: un produit, par une simple: une somme. On utilisera ici le "détour" par la transformée de Laplace pour s'épargner de fastidieux calculs intégro–différentiels. 3.A.2 Définitions La transformée de Laplace est étudiée en cours de mathématique [28]. On ne rappelle que quelques règles de base. A toute fonction du temps x(t) correspond une fonction X(s) d'une variable abstraite complexe. s = σ + jω

(3.A1)

On définit la transformée de Laplace de la fonction x(t). Cette définition sous-entend qu'il s'agit d'une fonction causale, c'est à dire nulle pour les valeurs négatives du temps comme les signaux fondamentaux décrits au tableau 3.A1. ∞

X ( s) = ∫ x ( t ) e − st dt

(3.A2)

0

On note la correspondance: X ( s ) = L [ x(t )]

(3.A3)

Il est à noter que x(t) et X(s) expriment le même signal, la même réalité physique, exprimée une fois dans le monde concret: l'espace temps, et une fois dans un monde abstrait: l'espace de Laplace. Toutefois, il serait mathématiquement abusif d'inscrire le signe d'égalité entre x et X. Dans cet ouvrage, on adopte l'écriture (3.A4) pour exprimer l'identité physique de deux signaux dans deux espaces. X ( s) •–o x (t )

(3.A4)

Dans l'espace temps un signal peut être identique à un signal connu x(t), mais décalé d'un temps T. On rappelle l'effet dans l'espace de Laplace sans le démontrer.

e − sT X ( s) •–o x (t − T )

(3.A5)

On rappelle encore la définition de la transformée de Laplace inverse, qui permet le retour dans l'espace temps. x (t ) =

1 2π

Jean-Marc Allenbach

j∞

∫ X ( s) e − st ds

(3.A6)

− j∞

3–7

040501

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

x(t ) = L -1[ X ( s)]

(3.A7)

x (t ) o–• X ( s)

(3.A8)

3.A.3 Applications Ici, on n'utilisera en général pas la définition (3.A2) pour le calcul des transformées, mais les tableaux 3.A2 et 3.A3. Cela peut nécessiter d'exprimer certains signaux complexes sous forme de combinaison linéaire de signaux connus. La méthode pour rechercher la solution d'équations différentielles s'énonce comme suit: 1. Etablissement des équations différentielles décrivant le problème. 2. Traduction des équations temporelles dans l'espace de Laplace à l'aide des tableaux 3.A2 et 3.A3. 3. Recherche de la solution par simple calcul algébrique. 4. Traduction de la solution dans le temps à l'aide des tableaux 3.A2 et 3.A3.

Souvent le résultat trouvé en 3 n'est pas directement lisible dans le tableau 3.A2, souvent, c'est un quotient de polynômes en s. On ne va cependant pas appliquer (3.A6), on préfère décomposer la solution en une somme de fonctions connues. On rappelle le théorème des résidus, sous sa forme applicable au cas d'un numérateur d'ordre m et d'un dénominateur d'ordre n > m dont toutes les racines pi sont distinctes. Num( s) n ri X ( s) = =∑ Den ( s) i =1 s − p i

(3.A9)

Chacun des termes de la somme (3.A9) se trouve dans le tableau 3.A3 (règle 5 ou 1) et on sait que la somme est conservée par la transformée de Laplace (règle 1 du tableau 3.A2). On obtient donc une expression temporelle sous forme de combinaison linéaire de signaux simples. Après les tableaux qui exposent les principaux signaux, leurs transformée et les règles et propriétés fondamentales, on traite un exemple simple.

Jean-Marc Allenbach

3–8

040501

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

TRANSFORMÉE DE LAPLACE

Nom du signal Percussion-unité ou Impulsion de Dirac

Echelon-unité ou Echelon de Heaviside

Diagramme temporel

Expression temporelle

Expression dans Laplace

δ (t )

1

1 ou plus exactement ε (t )

1 s

t ou plus exactement

1 s2

sin(ω 0 t ) ou plus exactement

ω0 s 2 + ω 02

h h∗ ∆t = 1

∆t→0

t

1 t

Rampe-unité ou Echelon de vitesse

1

v(t ) = t ε (t ) 1

t

1 Sinusoïde-unité

t

µ (t ) = sin(ω0 t ) ε (t )

π / ω0 Fig. 3.A01 Signaux fondamentaux dans le temps et leurs transformées.

Jean-Marc Allenbach

3–9

040501

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

TRANSFORMÉE DE LAPLACE

opération

f( t)

F(s)

linéarité

K1 f 1 (t ) + K2 f 2 (t )

retard

f 1 (t − nT )

e − snT F1 ( s)

avance

f 1 (t + nT )

e + snT F1 ( s)

−

α

amortissement

f 1 (t ) e T

dérivée

T f 1 (t )

intégrale

1 T

valeur initiale valeur finale

K1 F1 ( s) + K2 F2 ( s)

t

F1 ( s +

•

α T

)

s T F1 ( s) − f 1 (0)

t

1 F ( s) sT 1

∫ f 1 (τ )dτ 0

lim f 1 ( t )

lim s F1 ( s)

t →0

s →∞

lim f 1 (t )

lim s F1 ( s)

t →∞

s→ 0

Fig. 3.A02 Principales opérations dans le temps et leurs transformées.

Jean-Marc Allenbach

3–10

040501

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

TRANSFORMÉE DE LAPLACE f(t)

F(s)

1

1 s 1

t

s2 2

t2

s3 n!

tn

s n +1

e–at

1 s+a

1 – e–at

a s( s + a )

ω0

sin ω0 t

s 2 + ω02 s

cosω0 t

2

s + ω02 1

t e–at

(s + a) 2

ωx

e − at sin ω x t

( s + a ) 2 + ω x2 s+a

e − at cosω x t

( s + a ) 2 + ω x2

Fig. 3.A03 Principales fonctions du temps et leurs transformées.

Jean-Marc Allenbach

3–11

040501

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

TRANSFORMÉE DE LAPLACE Exemple d'application On veut connaître le courant i(t) qui traverse une impédance L-R à laquelle on applique une tension u(t) = A ε(t). R

L

i(t)

u(t)

On écrit l'équation de maille: L

di ( t ) + R i (t ) = u(t ) dt

(3.A10)

On la traduit dans l'espace de Laplace à l'aide des tableaux 3.A02 et 3.A03: L s I ( s) + R I ( s ) = U ( s )

U ( s) =

A s

(3.A11)

On exprime le courant en fonction de la tension: I ( s) =

U ( s) Ls+R

U ( s) =

A s

(3.A12)

On remplace la tension par son expression: I ( s) =

A s( L s + R )

(3.A13)

On arrange l'expression pour qu'elle ressemble à une de celles du tableau 3.A03: I ( s) =

A a R s( s + a )

avec

a=

R L

(3.A14)

On traduit le retour dans le temps à l'aide du tableau 3.A03: R

− t A i ( t ) = (1 − e L ) R

Jean-Marc Allenbach

(3.A15)

3–12

040501

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

3.B TRANSFORMATIONS DE SCHÉMAS FONCTIONNELS 3.B.1 But Après construction d'un schéma fonctionnel d'après les équations physiques, il peut être utile d'en modifier la structure. On peut par exemple simplifier un groupe de blocs par un bloc unique, mettre en évidence une grandeur mesurable ou démêler des boucles entrelacées. Pour être très général, on désignera les blocs par G1 à G4 qui peuvent dépendre d'un variable s. On donne ici les principales règles utiles, sans prétendre qu'elles sont exhaustives. 3.B.2 Association de blocs Pour les combinaisons de blocs on peut citer cinq règles de base.

u=u1

G1(s)

y1=u2

y2=y

G2(s)

u

G3(s)

y

Fig. 3.B1 Blocs en série.

G3 ( s) = G1 ( s) G2 ( s)

G1(s)

u

G2(s)

(3.B1)

+

y=y1+y2

u

G3(s)

y

+

Fig. 3.B2 Blocs en parallèle.

G3 ( s) = G1 ( s) + G2 ( s)

u

+

(3.B2)

y

G1(s)

u

G3(s)

y

–

G2(s) Fig. 3.B3 Blocs en boucle.

G 3 ( s) =

u

+

G1 ( s) 1 + G1 ( s) G2 ( s)

G1(s)

(3.B3)

G2(s)

y

u

G3(s)

y

– Fig. 3.B4 Système asservi (à retour unité).

G 3 ( s) =

G1 ( s) G2 ( s) 1 + G1 ( s) G2 ( s)

Jean-Marc Allenbach

(3.B4)

3–13

040501

Asservissements linéaires

u

Schéma fonctionnel

y

+

u

G1(s) –

y

+

G4(s)

G3(s) –

G2(s) Fig. 3.B5 Extraction d'un bloc hors d'une boucle de retour.

G 3 ( s) =

G1 ( s) G2 ( s) 1 + G1 ( s) G2 ( s)

G 4 ( s) =

1 G 2 ( s)

(3.B5)

Par ces transformations, on peut faire disparaître des grandeurs internes ou même faire apparaître des grandeurs virtuelles non physiques. On peut aussi, par ces opérations, faciliter la simulation analogique ou numérique (voir chap. 9) 3.B.3 Déplacements de sommateurs Pour les sommateurs on peut citer trois règles de base. On peut permuter des sommateurs en cascade ou les remplacer par un sommateur équivalent. Cette propriété découle de la commutativité de l'addition. On peut aussi avoir besoin de déplacer un sommateur en amont ou en aval d'un bloc.

u1 u2

y=u1±u2±u3

+

u1 u2

±

±

u3

y=u1±u2±u3

+ ±

u1

u3

y=u1±u2±u3

+

u2

±

u3

±

±

Fig. 3.B6 Redisposition de sommateurs.

Y = U1 m U 2 ± U 3

u

G(s)

+ ±

(3.B6)

y

u

+

G(s) ±

x

y x

1

G(s)

Fig. 3.B7 Déplacement de sommateur en amont d'un bloc.

Y ( s) = G ( s)U ( s) ± X ( s)

u1 u2

+

G(s)

(3.B7)

y

±

u1 u2

G(s) G(s)

+

y

±

Fig. 3.B8 Déplacement de sommateur en aval d'un bloc.

Y ( s) = G ( s)(U 1 ( s) ± U 2 ( s))

Jean-Marc Allenbach

(3.B8)

3–14

040501

Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

3.B.4 Déplacements de points d'embranchement

u

G(s)

y

u

y

y

G(s)

y G(s)

Fig. 3.B9 Déplacement d'embranchement en amont d'un bloc.

Y ( s) = G ( s) U ( s)

u=u1

G1(s)

y1=u2

(3.B09)

G2(s)

y2=y

u=u1

y1

y1

G1(s)

y1=u2

G2(s)

y2=y

1

G2(s) Fig. 3.B10 Déplacement d'embranchement en aval d'un bloc.

Y1 ( s) = G1 ( s) U ( s) = G1 ( s) G2 ( s)

1 U ( s) G2 ( s)

(3.B10)

Pour les embranchements, les règles sont très voisines de celles des sommateurs ou comparateurs. En appliquant ces règles, on peut par exemple réduire un schéma compliqué formé de blocs élémentaires à un bloc unique d'expression compliquée.

Jean-Marc Allenbach

3–15

040501

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach

Schéma fonctionnel

3–16

040501

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

CHAPITRE 4: FONCTION DE TRANSFERT 4.1 GÉNÉRALITÉS 4.1.1 Définition On considère un système linéaire à une entrée et une sortie.

u

y

S Fig. 4.1 Système linéaire.

A partir du système d'équations différentielles à coefficients constants qui décrit un tel système, on a établi son équation caractéristique qui exprime la relation entre entrée et sortie. a 0 y (t ) + a1 y (t ) + a 2 y(t ) + ... = b0 u(t ) + b1 u (t ) + b2 u(t ) + ...

(4.1)

On peut traduire l'équation caractéristique dans l'espace de Laplace, grâce à la transformée de Laplace selon les règles énoncées à l'annexe 3.A.entrée et sortie.

a 0 Y ( s) + a1 s Y ( s) + a 2 s 2 Y ( s) +... = b0 U ( s) + b1 s U ( s) + b2 s 2 U ( s) +...

(4.2)

La mise en évidence des variables Y et U fait apparaître deux polynômes en s. (a 0 + a1 s + a 2 s 2 +...+a n s n ) Y ( s) = (b0 + b1 s + b2 s 2 +...+bm s m ) U ( s)

(4.3)

La fonction de transfert – appelée parfois transmittance isomorphe – est défini par le quotient des grandeurs de sortie et d'entrée, exprimées dans l'espace s. Sa valeur est obtenue par le quotient des polynômes en s formés par les coefficients de l'équation caractéristique. G ( s) =

Y ( s) U ( s)

G ( s) =

b0 + b1 s + b2 s 2 + ...+ bm−1 s m−1 + bm a 0 + a1 s + a 2 s 2 + ...+ a n−1 s n−1+ a n

(4.4) sm

N ( s) = D ( s) sn

(4.5)

Dans un système physique réel, le degré n du polynôme dénominateur D(s) sera toujours supérieur ou égal au degré m du polynôme numérateur N(s). Seules des simplifications exagérées peuvent conduire au cas contraire. Si on utilise un tel modèle ultra simplifié, on peut obtenir dans certains contextes des résultats fort éloignés de la réalité, voire aucun résultat si on bute à des singularités numériques. On peut illustrer la définition (4.4) par un exemple: on applique une tension u(t) aux bornes d'une inductance L. Un convertisseur de mesure délivre une tension y(t) proportionnelle au courant i(t) qui traverse l'inductance.

Jean-Marc Allenbach

4–1

020409

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

i

L u

u

y

Gs(s)

y

k Fig. 4.2 Système: schéma électrique et fonction de transfert.

i (t ) =

1t ò u(τ ) d τ L0

(4.6)

y (t ) = k i (t )

(4.7)

Par la transformée de Laplace, on calcule la fonction de transfert en faisant disparaître la variable interne i(t). G s ( s) =

Y ( s) k = U ( s) s L

(4.8)

De la relation (4.4), on peut aussi exprimer la sortie du système lorsqu'on en connaît le signal d'entrée et la fonction de transfert. Y ( s) = Gs ( s ) U ( s )

(4.9)

4.1.2 Combinaisons

Pour calculer la fonction de transfert d'un système, on peut appliquer aux fonctions de transfert de ses sous-systèmes les règles de transformation de schémas exposées à la section 3.3. On n'en rappelle que les principales.

u=u1

G1(s)

y1=u2

G2(s)

y2=y

u

Gs(s)

y

Fig. 4.3 Sous-systèmes en série.

Gs ( s) = G1 ( s) G2 ( s)

u

G1(s) G2(s)

(4.10)

+

y=y1+y2

u

Gs(s)

y

+

Fig. 4.4 Sous-systèmes en parallèle.

Gs ( s) = G1 ( s) + G2 ( s) Jean-Marc Allenbach

(4.11)

4–2

020409

Asservissements linéaires

u

+

Fonction de transfert

y

G1(s)

u

Gs(s)

y

–

G2(s) Fig. 4.5 Système en boucle.

G s ( s) =

G1 ( s) 1 + G1 ( s) G2 ( s)

(4.12)

u

y

+

G1(s)

u

G2(s)

Gs(s)

y

–

Fig. 4.6 Système asservi (à retour unité).

La fonction de transfert globale d'un asservissement se calcule à l'aide des relations (4.10) et (4.12).

Jean-Marc Allenbach

4–3

020409

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

4.2 FORMES D'ÉCRITURE 4.2.1 Forme canonique La forme canonique (4.5) n'est pas toujours adaptée aux besoins des calculs, on utilisera donc des formes mieux adaptées aux besoins.

4.2.2 Forme d'Evans Pour cette forme, on met en évidence les coefficients supérieurs de chaque polynôme et on exprime leurs racines. m

∏ (s − z j )

G ( s) = k

( s − z1 )( s − z 2 )...( s − z m ) j=1 =k n ( s − p1 )( s − p2 )...( s − p n ) ∏ ( s − pi )

(4.13)

i=1

k=

bm an

(4.14)

Les racines zj du numérateur sont appelées zéros et les pi du dénominateur pôles. Le coefficient k est appelé facteur d'Evans. Les racines peuvent être réelles ou complexes. S'il y a un pôle à l'origine de multiplicité α, on peut modifier la présentation de (4.13); selon les règles de Laplace, on conclut que le système décrit par la fonction de transfert G(s) compte α intégrations pures. m

k G ( s) = α s

∏ (s − z j ) j=1 n

(4.15)

∏ ( s − pi )

i=α +1

4.2.3 Forme de Bode Lorsque les racines sont réelles, on met volontiers en facteur les coefficients inférieurs de chaque polynôme et on exprime leurs constantes de temps. m

∏ (1 + s TNj )

K j=1 G ( s) = α n s

(4.16)

∏ (1 + s TDi )

i=α +1

b K= 0 aα

(4.17)

Lorsque α = 0, le coefficient K est appelé gain statique, c'est le gain du système en régime permanent. Lorsque α = 1, on parle de gain en vitesse. On peut exprimer la relation entre le facteur d'Evans et le gain. Jean-Marc Allenbach

4–4

020408

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

m

∏ (−z j ) K=k

j=1 n

(4.18)

∏ ( − pi )

i=α +1

Si le polynôme compte une paire de racines complexes, on modifie (4.16) pour faire apparaître la pulsation naturelle ω0 et le facteur d'amortissement δ; en effet, des constantes de temps complexes n'auraient pas de sens physique. On donne en (4.19) un exemple pour le dénominateur. m

K G ( s) = α s

Jean-Marc Allenbach

∏ (1 + s TNj ) j=1

2δ s 2 n-2 (1 + s + 2 ) ∏ (1 + s TDi ) ω0 ω 0 i=α +1

4–5

(4.19)

020408

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

4.3 CLASSIFICATION Pour identifier rapidement le genre de comportement d'un système, on a l'habitude d'utiliser deux critères. L'ordre d'un système est défini par l'ordre n de l'équation caractéristique, qui est égal au nombre de pôles de la fonction de transfert. C'est encore égal au nombre d'équations différentielles linéairement indépendantes du premier degré qui sont nécessaires et suffisantes pour décrire le système. Le type d'un système est défini par le nombre d'intégrations pures qu'il admet. Cela correspond au degré α de la variable s qu'on peut mettre en évidence au numérateur de la fonction de transfert. On appelle encore système fondamental un système qui n'admet pas de zéro et dont le type est 0. Certains auteurs restreignent encore la définition aux ordres 1 et 2.

Jean-Marc Allenbach

4–6

020430

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

4.4 RÉPONSES TEMPORELLES 4.4.1 Définition On considère un système linéaire à une entrée et une sortie. u

Gs(s)

y

Fig. 4.7 Système linéaire.

La réponse d'un système est l'évolution dans le temps du signal y(t) de sortie d'un système excité par une entrée u(t) connue. La réponse se calcule selon la définition (4.9).

4.4.2 Réponse libre et réponse forcée Lorsque l'entrée u(t) du système est nulle, on distingue deux types de réponse: La réponse forcée s'observe lorsque les conditions initiales du système sont nulles: toutes les grandeurs physiques du système sont nulles pour t = 0. La réponse libre s'observe lorsque les conditions initiales du système ne sont pas nulles: par exemple, il existe un charge de capacité dans un système électrotechnique ou une vitesse initiale dans un système mécanique.

4.4.3 Réponse indicielle Lorsque le système est excité par un échelon unité, nommé parfois saut indiciel, la sortie est appelée réponse indicielle. u( t ) = ε ( t )

Y ( s) =

Gs ( s) s

1 s

o– •

U (s) =

• –o

y (t ) = γ (t )

(4.20) (4.21)

4.4.4 Réponse impulsionnelle Lorsque le système est excité par une impulsion unité, nommée percussion de Dirac, la sortie est appelée réponse impulsionnelle. u(t ) = δ ( t )

o– •

U ( s) = 1

(4.22)

Y ( s) = G s ( s)

• –o

y( t ) = g( t )

(4.23)

Jean-Marc Allenbach

4–7

041102

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

La réponse impulsionnelle est donc la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert du système. Par cette propriété, cette réponse serait intéressante si on pouvait la mesurer, ce qui n'est pas le cas car la percussion de Dirac ne peut être réalisée en pratique que par une approximation assez grossière

4.4.5 Réponse en vitesse Lorsque le système est excité par une rampe unité, la sortie est appelée réponse en vitesse. u( t ) = ν ( t ) = t ε ( t )

o– •

1 U ( s) = 2 s

(4.24)

Gs ( s)

• –o

y( t ) = ρ ( t )

(4.25)

Y (s) =

s2

Jean-Marc Allenbach

4–8

041102

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

4.5 ANALYSE DE SYSTÈMES FONDAMENTAUX 4.5.1 Premier ordre Dans de très nombreux cas, l'analyse d'un système quelconque, basée sur l'étude de son approximation par un système fondamental du premier ou du second ordre, donne des résultats très voisins de la réalité. Dès le troisième ordre, ou pour des systèmes non fondamentaux (présence de zéros non négligeables), la complexité de l'analyse croît de telle manière qu'elle sort du cadre de cet enseignement. On y renoncera donc en sachant qu'il faut être attentif à une différence possible entre une analyse basée sur un deuxième ordre fondamental et le résultat réel. Les correctifs seront apportés par un raisonnement plus qualitatif que quantitatif. On étudie d'abord un système fondamental du premier ordre.

Gs1 ( s) =

Ks 1+ s T

(4.26)

Pour calculer la réponse indicielle du système, on applique la définition (4.21). Le retour dans le temps utilise la décomposition en éléments simples, dont on peut identifier les transformées inverses au tableau 3.A3.

1 Ks Y (s) = s 1+ s T

• –o

t T y( t ) = K s (1 − e ) −

(4.27)

Cette fonction est représentée à la figure 4.8 pour Ks = 1, avec une échelle du temps relative à T.

γ(t) 1,05 0,95 1

0.8

0,632 0.6

0.4

0.2

0 0

1

3 tr

2

4

5

t 6 T

Fig. 4.8 Réponse indicielle d'un système fondamental du premier ordre .

Jean-Marc Allenbach

4–9

041129

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

Pour caractériser le comportement dynamique d'un système, on utilise volontiers le temps de réponse t r. Il est défini comme la durée qui sépare l'instant de saut de l'échelon unité et l'instant où la réponse pénètre définitivement dans la bande à ± 5 % de la valeur finale. On approxime souvent ce temps au triple de la constante de temps, ce que confirme l'instant t r noté à la figure 4.8. tr ≅ 3 T

(4.28)

Par le théorème de la valeur initiale, on peut démontrer la continuité de y(t) pour t = 0 et calculer la pente en cet instant. lim y ( t ) = lim s Y ( s) = 0

t→ 0+

(4.29)

s→∞

s 2 Ks Ks K = lim = s (4.30) T t →0+ s→∞ s →∞ s(1 + s T ) s→∞ 1 +T s En prolongeant la pente à l'origine jusqu'à l'asymptote de la valeur finale, on obtient comme instant de croisement la valeur T. Toutefois, cette méthode – mathématiquement exacte – n'offre pas grand intérêt dans le cas d'une mesure sur une installation: le tracé pratique de la pente à l'origine est trop imprécis à obtenir. Les systèmes d'acquisition de données ont toutefois redonné un peu d'intérêt à cette méthode d'identification de la valeur T, puisque la dérivée en t = 0 peut être calculée numériquement. Toutefois, on préfère déterminer T en cherchant une valeur particulière sur la courbe de réponse indicielle mesurée: lim y&( t ) = lim s ( sY ( s)) = lim

1 y ( T ) = (1 − ) Ks = 0,632 Ks e

(4.31)

Par le théorème de la valeur finale, on peut démontrer que y(t) pour t = ∞ tend bien vers le gain statique Ks, avec une pente qui tend vers zéro. lim y( t ) = lim s Y ( s) = Ks

t →∞

(4.32)

s→0+

s 2 Ks =0 s → 0 + s(1 + s T )

lim y&( t ) = lim s ( sY ( s)) = lim

t →∞

s→0 +

(4.33)

On peut aussi calculer la réponse impulsionnelle. Ks Y ( s) = 1 1+ s T

• –o

t y( t ) = Ks e T −

(4.34)

Comme déjà dit à la section 4.4, cette réponse n'a pas grand sens physique car la percussion unité ne peut pas être réalisée dans la pratique.

Jean-Marc Allenbach

4–10

041129

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

g(t) 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

t T

Fig. 4.9 Réponse impulsionnelle d'un système fondamental du premier ordre .

On peut enfin calculer la réponse à une rampe.

1 Ks Y ( s) = 2 s 1+sT

(4.35)

Pour trouver la fonction du temps, on décompose en éléments simples.

Ks

K T K T Y ( s) = 2 − s + s 1 s s +s T

ρ(t)/T

• –o

t y( t ) = K s (t − T (1 − e T )) −

(4.36)

5 4.5 4 3.5

T

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

1

2

3

4

5

6

t T

Fig. 4.10 Réponse en vitesse d'un système fondamental du premier ordre .

Le tracé reproduit à la figure 4.10 met en évidence que la sortie n'arrivera jamais à rattraper la rampe Ks T. On observe que la valeur de la rampe d'entrée est atteinte par la sortie avec un retard T, appelé traînée. Jean-Marc Allenbach

4–11

041129

Asservissements linéaires

Fonction de transfert

4.5.2 Deuxième ordre On étudie ensuite un système du deuxième ordre d'après sa fonction de transfert. Ks Gs2 ( s) = 2δ s s 2 1+ + 2 ω0 ω0

2π : période naturelle ω0 δ : coefficient d' amortissement

avec ω0 : pulsation naturelle et T0=

(4.37)

On calcule la réponse indicielle par la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert divisée par s.

Y (s) =

1 s

Ks

• –o

2δ s s2 1+ + 2 ω0 ω0

y (t )

(4.38)

Pour décomposer Y(s) en éléments simples, on calcule d'abord les pôles.

p1, 2 =

2δ − ± ω0

4δ 2 ω 02

−

4 ω 02

2

= −ω 0 δ ± ω 0 δ 2 − 1

(4.39)

ω 02 1

A

δ >1⇒

2 pôles réels distincts:

p1,2 = −ω0 δ (1 ± 1 −

B

δ =1⇒

2 pôles réels confondus:

p1 = p2 = −ω0

(4.39B)

C

δ > ω

Þ

G( j ω ) ≅ a

(5.10)

ω >> a Þ

G( j ω ) ≅ ω

(5.11)

Dans la pratique, on étend l'approximation à l'intervalles "plus grand ou égal", ce qui fait que l'erreur maximale d'approximation a lieu pour ω = a: elle vaut 2 (ou 3 [dB]).

| G0 ( jω )| 109 8 a 7 6 5 4 3 2

1 0.1

0.2

0.3 0.4 0.50.6

0.8 1

2

3

4

5 6 7 8 910

ω a

Fig. 5.6 Tracé de Bode, module de (5.7) : valeur exacte et approximation par asymptotes.

Jean-Marc Allenbach

5–6

021010

Asservissements linéaires

Représentations graphiques

Le module a donc une pente de 0 lorsqu'il vaut a et de +1 lorsqu'il vaut ω1. On applique la même méthode pour un pôle unique en –b. G ( s) =

1 s+b

(5.12)

b|G0 ( jω)|0.91 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

0.2

0.1 0.1

0.2

0.3

0.4 0.5 0.6

0.8

1

2

3

4

5

6 7 8 910

ω b

Fig. 5.7 Tracé de Bode, module de (5.12) : valeur exacte et approximation par asymptotes.

Le module a donc une pente de 0 lorsqu'il vaut 1/b et de –1 lorsqu'il vaut ω–1. Pour les fonctions de transfert à pôles et zéros multiples, on tient compte du fait que le module d'un produit est le produit des modules (ou leur somme exprimée en décibels) et le module d'un quotient le quotient des modules. On relève que le module est une fonction continue, y compris aux points de changements de pente. Si des pôles sont proches, leur effet cumulé peut conduire localement à des erreurs supérieures à un facteur 2 . Pour l'argument ou phase, l'approximation n'est pas aussi simple, et il en existe plusieurs. La plus fréquente consiste à multiplier par 90° la pente du module (voir aussi 6.5.2); à la pulsation de cassure, on prend la pente moyenne. Si la partie imaginaire du terme est négative, cela multiplie par –1 la valeur de phase calculée. Soit pour l'exemple (5.7). a >ω → 0 a =ω a > bode(num,den,omega) >> freqs(num,den,omega)

On a aussi développé au Laboratoire d'Automatique de l'eig un programme affbod qui contient tout l'environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat. Par rapport à la fonction standard, on a fait une petite modification qui permet d'afficher la phase comme fonction continue plutôt que comme fonction modulo 2π, avec des valeurs comprises dans l'intervalle [–180° ,180°].

Amp litu d e

(1-3*s)*(1+20*s) Diagramme de Bode : Go(s)= ----------------------------------------------------------------------1 (1+1*s)*(1+2*s)*(1+10*s) 10

0

10

-1

10 -2 10

-1

0

-1

0

10 10 Fré quence [radians/s]

1

10

Ph a se [d e g ré s]

100 0 -100 -200 -300 -2 10

10 10 Fré quence [radians/s] Fig. 5.13 Tracé de Bode de (5.3) obtenu avec affbod. Jean-Marc Allenbach

5–11

1

10

021010

Asservissements linéaires

Représentations graphiques

5.5 REPRÉSENTATION DU LIEU DES PÔLES 5.5.1 Fondements théoriques En étudiant un système du deuxième ordre (§ 4.5.2), on a vu que la valeur de ses pôles est déterminante pour son comportement dynamique. On peut généraliser cette affirmation aux systèmes d'ordre plus élevé. En toute généralité, les pôles, tout comme les zéros, sont des nombres complexes qu'on peut représenter dans le plan. Leur emplacement dans le plan complexe revêt une importance particulière dans l'étude de la stabilité (chap. 6). Dans la pratique, on est souvent placé dans la situation d'un système en boucle fermée Gcf (fig. 5.1) dont on veut étudier le comportement dynamique. On connaît le gain, les pôles et les zéros du système en boucle ouverte G0. Il s'agit donc de tracer l'emplacement des pôles et zéros du système en boucle fermée en fonction de ce qu'on connaît. G 0 ( s) = k 0

( s − z1 )( s − z 2 )K ( s − z m ) N ( s) = k0 0 ( s − p1 )( s − p2 )K ( s − p n ) D0 ( s)

(5.20)

On a vu que, pour des systèmes physiques réels, le degré m du numérateur est plus petit que n, celui du dénominateur. On peut calculer la fonction de transfert en boucle fermée selon (4.12).

Gcf ( s) =

G o ( s) k 0 N 0 ( s) = 1 + Go ( s) k 0 N 0 ( s) + D0 ( s)

(5.21)

Selon la définition des pôles (§ 4.2.2), les pôles en boucle fermée sont les racines du polynôme dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée, soit les solutions de l'équation caractéristique (5.22). k 0 N 0 ( s) + D0 ( s) = 0

(5.22)

On appelle lieu des pôles du système en boucle fermée, ou lieu d'Evans, l'ensemble des points du plan complexe qui sont solution de l'équation caractéristique lorsqu'on fait varier le facteur d'Evans en boucle ouverte k0 de 0 à +∞. On peut injecter (5.20) dans (5.22). k 0 ( s − z1 )( s − z 2 )K ( s − z m ) + ( s − p1 )( s − p2 )K ( s − p n ) = 0

(5.23)

Cette équation a n solutions: les pôles en boucle fermée sont donc en même nombre que les pôles en boucle ouverte. La recherche des solutions de (5.23) doit être entreprise pour chaque valeur de , on n'applique la méthode analytique que si on dispose d'outils informatique pour exécuter ce travail fastidieux et répétitif. On étudiera au paragraphe suivant une méthode graphique qui requiert un minimum de calculs et qu'on applique en absence de moyens de calculs importants. On peut aussi écrire la relation (5.23) en mettant en évidence le facteur d'Evans. − k0 =

( s − p1 )( s − p2 )K ( s − p n ) ( s − z1 )( s − z 2 )K ( s − z m )

(5.24)

Cette équation complexe (5.24) est vérifiée pour tout point du plan complexe – nombre complexe s – qui appartient au lieu des pôles. Elle doit donc être vraie tant pour le module que pour l'argument de ces nombres complexes. Le complexe –k0 a un module de k0 et un argument qui est un multiple impair de π, à cause de son signe négatif. On peut donc récrire (5.24) sous forme de deux équations: module et argument. Jean-Marc Allenbach

5–12

021010

Asservissements linéaires

Représentations graphiques

( s − p1 )( s − p2 )K ( s − p n ) ( s − z1 )( s − z 2 )K ( s − z m ) ( s − p1 )( s − p2 )K ( s − p n ) (2 k + 1) = arg( ) ( s − z1 )( s − z 2 )K ( s − z m ) k0 =

(5.25) k∈N

(5.26)

Avant d'entrer dans la procédure graphique, il est judicieux ici de préciser le sens géométrique de la relation (5.24).

Im s

s – zj

s – pi

αj zj

Re

βi pi

Fig. 5.14 Vecteurs complexes dans le plan d'Evans.

Chaque terme de (5.24) représente un vecteur pointé en s, un point du lieu des pôles, et ayant pour origine soit un pôle pi du système en boucle ouverte soit un zéro zj du système en boucle ouverte. De cette signification géométrique, on peut tirer deux propriétés du lieu des pôles. La condition des modules: Si pour un point du lieu des pôles, on calcule le produit des longueurs (modules) des vecteurs qui le relient aux divers pôles en boucle ouverte et qu'on divise ce résultat par le produit des longueurs des vecteurs qui le relient aux zéros en boucle ouverte, on obtient le facteur d'Evans k0 . Cela résulte de (5.25). n

k0 =

s − p1 s − p2 K s − p n s − z1 s − z 2 K s − z m

=

∏ s − pi i =1 m

(5.27)

∏ s − zj j =1

La condition des angles: Si on calcule la somme des arguments des vecteurs qui le relient aux divers pôles en boucle ouverte et qu'on y soustrait la somme des arguments des vecteurs qui le relient aux zéros en boucle ouverte, on obtient toujours un multiple impair de π. Cela résulte de (5.26). (2 k + 1)π = arg( s − p1 ) + arg( s − p 2 )K+ arg( s − p n ) − arg( s − z1 ) − arg( s − z 2 )K− arg( s − z m ) n

m

i =1

j =1

= å arg( s − p i ) − å arg( s − z j )

Jean-Marc Allenbach

(5.28)

5–13

021010

Asservissements linéaires

Représentations graphiques

On peut citer encore d'autre propriétés. Si on fait tendre k0 vers zéro dans (5.23), on obtient les points de départ du lieu des pôles en boucle fermée: ce sont les pôles en boucle ouverte. Le lieu des pôles compte donc n branches. ( s − p1 )( s − p2 )K ( s − p n ) = 0

(5.29)

Si on fait tendre k0 vers infini dans (5.23), on obtient des points d'arrivée du lieu des pôles en boucle fermée: ce sont les zéros en boucle ouverte. Les n – m autres points d'arrivée des branches sont situés à l'infini. ( s − z1 )( s − z 2 )K ( s − z m ) = 0

(5.30)

Parce que N0 et D0 sont des polynômes en s à coefficients réels, on en déduit que les lieu des pôles est symétrique par rapport à l'axe réel. Cela permet d'alléger le dessin.

5.5.2 Méthode de tracé Le tracé du lieu des pôles se base sur les propriétés décrites au paragraphe précédent et applique les résultats du calcul complexe. On illustre le propos avec l'exemple (5.3).

G 0 ( s) =

− 3 ( s − 0,333)( s + 0,05) ( s + 1)( s + 0,5)( s + 0,1)

(5.31)

D'abord, on place dans le plan complexe les pôles (x) et les zéros (o) du système en boucle ouverte. • Les pôles sont –1, –0,5 et –0,1; les zéros sont –0,05 et +0,333. Une partie de l'axe réel peut faire partie du lieu des pôles: c'est l'ensemble des pôles situés à gauche d'un nombre impair de pôles et zéros réels. Si on a un signe négatif devant un s au numérateur ou dénominateur, celui-ci apparaît en facteur dans l'écriture d'Evans, ce qui retourne la figure autour d'un axe vertical: "gauche" devient "droite". • Les portions de l'axe entre les pôles –1 et –0,5, entre le pôle –0,1 et le zéro –0,05 et à droite du zéro 0,333 appartiennent au lieu des pôles. Les pôles en boucle ouvertes sont des points de départ du lieu, les zéros, des points d'arrivée. Les n–m points d'arrivée restants sont situés à l'infini, selon des directions asymptotiques ξ formant une étoile régulière de centre ca situé sur l'axe réel.

ξ = (1 + 2 q )

π avec q entier quelconque n−m

n

m

i =1

j =1

(5.32)

å pi − å z j

ca =

(5.33)

n−m

Si le facteur d'Evans est négatif, il faut additionner –π aux directions asymptotiques obtenues par (5.32).

Jean-Marc Allenbach

5–14

021010

Asservissements linéaires

Représentations graphiques

2π π = 0; ± avec q = -1; 0;1 et addition de -π 3− 2 3 − 1 + (−0,5) + (−0,1) − (−0,05) − ( 0,333) ca = = −1,833 3− 2

• ξ = (1 + 2 q )

(5.34) (5.35)

Lorsqu'une portion de l'axe réel est comprise entre deux pôles, il existe sur ce tronçon un point de séparation cs à partir duquel les branches divergent en devenant conjuguées complexes. Lorsqu'une portion de l'axe réel est comprise entre deux zéros ou entre un zéro et une direction asymptotique (0 ou π), il existe sur ce tronçon un point de jonction cs vers lequel les branches conjuguées complexes convergent. Les branches complexes arrivent ou partent aux points cs avec une tangente verticale. Avec les moyens de calcul informatique disponible aujourd'hui, on ne va pas plus loin avec le calcul manuel. On donne cependant quelques propriétés à titre d'information. pour trouver les points de séparation, on cherche les solutions de l'égalité (5.36). m

n 1 1 −å =0 j =1 cs − z j i =1 cs − pi

å

(5.36)

• On résout (5.36) avec un algorithme de bissection en partant de deux points qui encadrent à coup sûr la solution en gardant ensuite à chaque fois l'intervalle cadré par un résultat positif et un négatif. On arrête l'algorithme lorsqu'on atteint une précision qui convient. cs1 = −0,725 cs2 = 1,44 (5.37) On peut encore calculer la valeur du facteur d'Evans pour un point quelconque pfx du lieu: il suffit de remplacer s par pfx dans (5.24). On peut aussi calculer les intersection avec des droites remarquables: pfx = ± j x

axe imaginaire (5.38)

pfx = x ± j x

droite à 45° passant par l'origine

droite passant par l'origine à 30° de l'axe imaginaire (5.40)

(5.39)

pfx = x ± j 3 x

On peut enfin calculer la pente ϑ du lieu des pôles en un point pfx quelconque. On a établi cette expression à partir de la condition des angles. m

n

j =1

i =1

θ = å arg( p fx − z j ) − å arg( p fx − p i ) − π

Jean-Marc Allenbach

5–15

(5.41)

021010

Asservissements linéaires

Représentations graphiques

Im 0,5 j –0,725

1,44

Re –1

–0,5

0,5

1

-0,5 j Fig. 5.15 Tracé des pôles de (5.3) .

5.5.3 Assistance de tracé par ordinateur Pour le tracé du lieu des pôles, on fait appel à deux fonctions complémentaires qui assurent respectivement le tracé des pôles en boucle ouverte et celui des pôles en boucle fermée en fonction du gain variable k. >> pzmap(num,den) >> rlocus(num,den,k)

On a aussi développé au Laboratoire d'Automatique de l'eig un programme affevans qui contient tout l'environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat. En outre, on affiche sur le même graphique le contour d'Evans défini par la marge de stabilité absolue et la marge de stabilité relative. Ces notions sont définies au chapitre suivant (§ 6.6.1). (1-3*s)*(1+20*s) Diagramme de Evans: Go(s)= Ko ----------------------------------------------------------------------(1+1*s)*(1+2*s)*(1+10*s) 1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fig. 5.16 Tracé des pôles de (5.3) obtenu avec affevans.

Jean-Marc Allenbach

5–16

021010

Asservissements linéaires

CHAPITRE 6: STABILITÉ 6.1 DÉFINITIONS 6.1.1 Stabilité statique On est intéressé à ce qu'un système soit stable. Encore faut-il s'entendre sur ce qu'est la stabilité. Une première définition consiste à dire qu'un système abandonné hors état d'équilibre doit atteindre ce dernier en un temps raisonnable. Appliqué à un système en boucle fermée, cela signifie que lorsqu'on applique une consigne nulle, la grandeur réglée sera nulle en un temps raisonnable. De là, on peut encore attendre que lorsqu'on applique une consigne constante, la grandeur réglée sera de même valeur que la consigne en un temps raisonnable. 6.1.2 Stabilité dynamique On peut encore attendre que lorsqu'on applique une consigne variable, la grandeur réglée suive la valeur de la consigne sans trop s'en écarter. 6.1.3 Stabilité d'un système linéaire On se limitera dans ce cours à l'étude de système linéaires ou aisément linéarisables. La stabilité la plus intéressante pour l'automaticien est celle d'un système en boucle fermée. w

Gcf

e

+

Go

y

–

Fig. 6.1 Système en boucle fermée.

L'analyse de stabilité décrite à ce chapitre s'applique à un système en boucle fermée dont on connaît la fonction de transfert en boucle ouverte. S'agissant d'un système linéaire, la fonction de transfert en boucle ouverte peut être écrite sous forme de quotient de polynômes multiplié par un paramètre Ko variable.

G o ( s ) = Ko

N o (s) Do ( s )

(6.1)

La fonction de transfert en boucle fermée peut être calculée selon la définition de la boucle fermée (§ 4.1.2), on peut aussi l'écrire sous forme de quotient de polynômes.

Gcf ( s ) =

Go ( s) N (s) = cf 1 + Go ( s ) Df ( s)

(6.2)

On se propose d'étudier ici la réponse libre d'un tel système, d'ordre n: c'est-à-dire l'évolution temporelle d'un système abandonné hors équilibre selon la définition de la stabilité statique. Si toutes les racines du polynôme dénominateur, appelés pôles, sont distinctes, ce qui est toujours vrai pour des systèmes physiques réels, on peut écrire la fonction de transfert sous forme d'une somme d'éléments simples. Jean-Marc Allenbach

6–1

010502

Asservissements linéaires

m

k s ∏ (s − z j ) j =1 n

G cf ( s ) =

n

=

∏ ( s − pi )

c

∑ s − ip

i =1

(6.3) i

i=1

On sait que la réponse libre – exprimée dans le temps – a la même forme mathématique que la réponse impulsionnelle. On sait également que la réponse impulsionnelle peut être calculée par la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert (§ 4.4.4). On peut donc obtenir la réponse libre y(t) par la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert et en utilisant le tableau des transformées. n

G cf ( s)

o – Ÿ y( t ) = ∑ ci e pi t

(6.4)

i =1

On constate que la réponse libre est une combinaison linéaire d'exponentielles; la convergence de cette fonction du temps peut être déterminée en étudiant les exposants des exponentielles qui ne sont rien d'autre que les racines du polynôme dénominateur: les pôles du système. Dans les systèmes asservis, seule la stabilité asymptotique est recherchée, où la valeur finale vaut zéro lorsque la consigne vaut zéro. En revanche, un système à régler est considéré comme stable, même pour la stabilité marginale. Même plus, l'instabilité pour pôles multiples ne se rencontre pas avec les systèmes physiques réels; par exemple, un intégrateur électrique est limité par sa tension de saturation et sa véritable fonction de transfert n'est pas une intégration pure, mais une cellule du premier ordre avec pôle négatif voisin de zéro.

Gint ( s) =

U sat 1 ≅ 1 + s U sat s

(6.5)

Le raisonnement exposé à la figure 6.2 nous apprend qu'un système asservi est stable si tous ses pôles sont à partie réelle strictement négative. Les critères qui permettent d'évaluer la stabilité d'un système asservi portent soit sur la réponse harmonique en boucle ouverte Go(s), soit sur le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée Df(s). 6.1.4 Qualité de la stabilité Certains critères permettent d'apporter une réponse binaire (stable ou instable), d'autres une réponse plus nuancée. Pour un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s) est donnée par la relation (6.1), on peut déterminer le gain Kols qui amène le système en boucle fermée en limite de stabilité. A partir du gain choisi Koch, on peut définir la marge de gain Am, qui, comme son nom l'indique, exprime la marge dont on dispose pour amener le système en limite de stabilité.

Am =

K ols K och

Jean-Marc Allenbach

(6.6)

6–2

010502

Asservissements linéaires

Pôles

Réponse libre

tous réels négatifs

x x

complexes à partie réelle négative

x

un seul pôle nul

stabilité asymptotique

stabilité asymptotique

x

stabilité marginale

x

stabilité marginale

x une seule paire imaginaire

Propriété

x

dès un réel positif

x

instabilité

x

dès une paire complexe à partie réelle positive

instabilité

x

pôles nuls multiples

x

paires imaginaires multiples

x

instabilité

instabilité

x Fig. 6.2 Pôles et stabilité d'un système. Jean-Marc Allenbach

6–3

010502

Asservissements linéaires

6.2

CRITÈRES ALGÉBRIQUES

6.2.1 Critère de Routh Pour cette section, l'approche est purement algébrique et ne requiert pas de représentation graphique. Le polynôme dénominateur du système en boucle fermée est écrit sous sa forme développée et on utilise les propriétés des polynômes pour tirer des conclusions concernant les racines, mais sans les calculer explicitement. Les racines de ce polynôme sont les pôles du système, étudiés à la section 6.1.

Df ( s) = a n s n + a n −1s n−1 +L+ a1s + a 0 = 0

(6.7)

On construit d'abord un tableau de n lignes et (n+1)/2 colonnes, arrondi à l'entier supérieur. Les éléments des deux premières lignes sont les coefficients du polynômes. Pour le reste du tableau, on définit le terme de la ligne i et la colonne j. Ai,j =

n

Ai−1,1 Ai− 2,j+1 − Ai− 2,1 Ai−1,j+1 Ai−1,1 an

n −1

a n-1 a n-1 a n-2 − a n a n-3 n−2 a n-1 K K

(6.8)

a n-2

a n-4

a n-3 a n-1 a n-4 − a n a n-5 a n-1 K

a n-5 a n-1 a n-6 − a n a n-7 a n-1 K

a n-6

K

a n-7 K a n-1 a n-8 − a n a n-9 K a n-1 K K

Fig. 6.3 Tableau de Routh.

Le critère s'énonce comme suit: • Si tous les termes de la première colonne du tableau de Routh sont strictement positifs, les pôles sont à partie réelle négative, le système étudié est stable. • S'il y a k changements de signe dans la première colonne, k pôles ont une partie réelle positive, le système étudié est instable. • Si tous les termes d'une ligne sont nuls, le système étudié est en limite de stabilité.

Avec l'augmentation du degré du polynôme caractéristique, l'établissement du tableau de Routh devient fastidieux. Le tableau 6.4 résume les conditions jusqu'à l'ordre 4. Ordre n du système Première condition Deuxième condition a 0 et a1 > 0 1 − a0 à a2 > 0 2 − a0 à a3 > 0 a1 a 2 − a 0 a 3 > 0 3 a0 à a4 > 0 a1 ( a 3 a 2 − a 0 a 4 ) − a 0 a 32 > 0 4 Fig. 6.4 Stabilité des systèmes jusqu'à l'ordre 4.

Jean-Marc Allenbach

6–4

010502

Asservissements linéaires

6.2.2 Critère de Hurwitz Pour appliquer ce critère, il faut d'abord construire une matrice carrée de dimension n. Elle contient les coefficients du polynôme dès le deuxième, en ordre décroissant disposés dans la diagonale principale. Dans une colonne, les termes supérieurs au terme de la diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre décroissant. Les termes inférieurs à la diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre croissant.

a n-1

a n-3

a n-5 L L

0

an 0

a n-2 a n-1

a n-4 a n-3

M 0

M M

an 0

M M 0

M M 0

O 0 M 0

L

0 M M

a0 O a1

M 0

M M

a2 a3 L L a4

a0 a1 a2

M 0 a0

Fig. 6.5 Matrice de Hurwitz.

Le système linéaire d'ordre n est stable si les n déterminants contenant le premier terme de la matrice de Hurwitz sont positifs. Si on calcule explicitement les déterminants jusqu'à l'ordre 4, on retrouve les conditions résumées à la figure 6.4. On constate que ces critères ne donnent qu'une réponse binaire: stable ou instable, mais pas d'information sur la qualité de la stabilité, contrairement aux critères décrits aux sections suivantes. Dans une situation où on dispose sur ordinateur d'outils mathématiques performants pour le calcul des racines de polynômes ou les tracés de réponse harmonique, ces critères algébriques, dont la mise en œuvre augmente rapidement en volume de calcul avec l'ordre du système, ont perdu considérablement de leur actualité au profit de critères ,donnant des réponse plus complètes.

Jean-Marc Allenbach

6–5

010502

Asservissements linéaires

6.3

CRITÈRE DE NYQUIST

6.3.1 Critère de Nyquist simplifié Pour guider l'exposé, on part de l'exemple d'un système en boucle ouverte stable; c'est dire que sa fonction de transfert Go(s) ne contient pas de pôles à partie réelle négative. Plutôt qu'une démonstration mathématique rigoureuse, on préfère une description plus intuitive faisant appel à un générateur de fonction sinusoïdale permettant d'injecter un signal dans le système jusqu'à ce qu'à l'instant t0, on renvoie la sortie du système sur son entrée.

F

a sin(ω t) t0 w=0

+

e

u

–

Go

y

C

Fig. 6.6 Système pouvant être bouclé par un commutateur.

La sortie du système peut être calculée par la fonction de transfert selon (4.9). Y ( s) = G o ( s) U ( s)

(6.9)

Après un certain temps, on constate que le signal de sortie y(t) est une sinusoïde de même pulsation ω que l'entrée u(t), mais d'amplitude différente, dépendante de la pulsation du signal d'entrée. On constate aussi un déphasage ϕ(ω) dépendant lui aussi de la pulsation du signal d'entrée. y = G (ω ) u

(6.10)

ϕ (ω ) = ω (t ( y ) − t ( u))

Cette constatation nous renvoie à la définition de la réponse harmonique, qui justement exprime le déphasage et le rapport d'amplitude entre sortie et entrée en régime permanent sinusoïdal. On établit la relation en précisant les notations ci-dessus. G (ω ) = Go ( j ω )

et

ϕ (ω ) = arg(Go ( j ω ))

(6.11)

Pour une certaine pulsation qu'on note ωπ, on constate un déphasage de –π entre entrée et sortie. Pour cette valeur particulière de pulsation, le signal y(t) est donc en opposition de phase avec l'entrée u(t), et le signal e(t) est en phase avec l'entrée u(t), à cause du changement de signe. Si la valeur de G(ωπ) est 1, et si on actionne le commutateur à l'instant t0, le système ne va pas constater de différence de signal d'entrée après cet instant, les oscillations vont donc continuer avec une amplitude a. Le système est dit en limite de stabilité. Si la valeur de G(ωπ) est supérieure à 1, le système va constater que le signal d'entrée u(t) a augmenté et il va encore l'amplifier d'un facteur G(ωπ); au fil des oscillations, l'amplitude va croître, le système est dit instable. Si la valeur de G(ωπ) est inférieure à 1, le système va constater que le signal d'entrée u(t) a diminué et il va encore l'atténuer d'un facteur G(ωπ); au fil des oscillations, l'amplitude va décroître, le système est dit stable. Jean-Marc Allenbach

6–6

020409

Asservissements linéaires

Le cas limite de stabilité permet de définir le point critique en fonction de la réponse harmonique.

Go ( j ωπ ) = −1

(6.12)

Pour l'étude de la stabilité du système en boucle fermée, on va tracer dans le plan complexe la réponse harmonique en boucle ouverte et examiner son tracé par rapport au point critique "–1". Si |G(jωπ)| > 1, le système est instable, si |G(jωπ)| < 1, le système est stable. La réponse harmonique est un fonction complexe du paramètre réel pulsation ω. Si on représente Go(jω) pour des pulsations variant de 0 à ∞, on obtient la représentation de Nyquist. Le critère de Nyquist simplifié ou critère du revers s'énonce ainsi: Si, en parcourant la courbe de réponse harmonique en boucle ouverte dans les sens des pulsations croissantes, on laisse le point «–1» à gauche, le système Gcf(s) en boucle fermée est stable.

1/Am

Im

ω Re

ϕm

–1

3

ω

ϕ (ω1 )

2 1 système stable 2 système en limite de stabilité 3 système instable

ω1

ω

|Go(jω)| 1

Fig. 6.7 Stabilité dans le plan de Nyquist.

On est souvent intéressé à une réponse plus nuancée que stable ou instable. Les notions de marge de gain Am ou de phase ϕm permettent d'apporter cette nuance.

6.3.2 Marge de gain La marge de gain permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance – sur l'axe réel – par rapport au point critique –1. L'intersection de la réponse harmonique avec l'axe réel a lieu pour une pulsation notée ωπ, car la phase pour cette pulsation vaut –π. Am =

1 Go ( j ω π )

Jean-Marc Allenbach

avec

arg(Go ( j ωπ )) = −π

6–7

(6.13)

020409

Asservissements linéaires

6.3.3 Marge de phase La marge de phase permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance – angulaire – par rapport au point critique –1. L'intersection de la réponse harmonique avec le cercle unité a lieu pour une pulsation notée ω1, car le module pour cette pulsation vaut 1.

ϕ m = arg(Go ( j ω1 )) + π

avec

Go ( j ω1 ) = 1

(6.14)

6.3.5 Valeurs de marge Dans la pratique, on choisit des valeurs de marge qui donnent un comportement dynamique acceptable: temps de réponse et dépassement. Le choix dépendra du type de système traité: un système électronique à basse tension pourra accepter des dépassements plus élevé qu'un système de puissance. Il dépendra aussi du type de variation imposé par la consigne w: si la consigne varie par saut, pour un même dépassement les marges devront être plus grandes que si la dérivée de la consigne est bornée. 8 [dB] ≤ Am ≤ 15 [dB]

et

30° ≤ ϕ m ≤ 80°

(6.15)

La relation se révèle le plus clairement entre la marge de phase ϕm et le dépassement D1 de la réponse indicielle selon le tableau de l'annexe 6.A. Cette relation s'établit pour un système en boucle ouverte du 2e ordre et de type 1. Pour les systèmes d'ordre plus élevé, la relation, qui sera démontrée au paragraphe 6.5.4, est plus approximative.

6.3.6 Critère de Nyquist complet Dans le cas où le système est instable en boucle ouverte, le critère du revers est inapplicable, on aura recours au critère de Nyquist complet basé sur le théorème de Cauchy [3], [28] qu'on renonce à décrire ici ou sinon au critère d'Evans (§ 6.6.1).

6.3.7 Tracé de Nyquist assisté La fonction affnyq.m, écrite sous MATLAB au Laboratoire d'Automatique de l'EIG permet de faire tracer la réponse harmonique dans le plan de Nyquist. On doit spécifier la fonction de transfert: numérateur et dénominateur à écrire en chaîne de caractères, sous la forme factorisée de Bode. On doit encore indiquer la plage de pulsation à tracer ainsi que la marge de phase qu'on souhaite respecter, cette dernière étant matérialisée sur le graphique par une droite passant par l'origine.

Jean-Marc Allenbach

6–8

020409

Asservissements linéaires

6.4

CRITÈRE DE BLACK

6.4.1 Critère de Black: énoncé Le critère du revers peut aussi être exprimé dans le plan de Black. ici le point «–1» devient le point . Pour pouvoir appliquer le critère, les conditions sont les mêmes que pour le critère de Nyquist: le système en boucle ouverte ne doit compter aucun pôle à partie réelle positive. Un système linéaire Gcf(s) en boucle fermée est stable si, en parcourant le lieu de Black de sa réponse harmonique en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique à droite. 40

135°

20

0

3

2

1

ω1

Am

ωc ωπ

-20

-40

1 système stable 2 système en limite de stabilité 3 système instable

ϕm

-60

-80 -350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

Fig. 6.8 Stabilité dans le plan de Black.

Sur la figure 6.8, les marges de phase et de gain peuvent être lues directement sur les deux axes. La pulsation ω1 est celle qui détermine le point de la réponse harmonique à l'intersection avec l'axe horizontal à 0 [dB]. La pulsation ωπ est celle qui détermine le point de la réponse harmonique à l'intersection avec l'axe vertical à 180° et ωc avec l'axe vertical à 135° . 6.4.2 Abaque de Nichols L'abaque de Nichols est formé d'un système de coordonnées curvilignes, superposé au plan de Black, sur lesquelles on peut directement lire les valeurs de module et d'argument du système en boucle fermée Gcf(jω). Pour appliquer l'abaque, le système bouclé doit être à retour unité. On procède de la manière suivante: • On trace le lieu de Black de la réponse harmonique en boucle ouverte G0(jω) d'après le système de coordonnées rectilignes, comme on l'a décrit précédemment (§ 5.3.2). Par exemple, pour la pulsation ωx, on a calculé module et argument: | G0 ( jω x )| = 2 [ dB ] et arg(G0 ( jω x )) = −125° (6.16) • On peut alors lire sur la même courbe pour une valeur de pulsation donnée les valeurs de module et d'argument du système en boucle fermée Gcf(jω) sur les coordonnées curvilignes. Pour cette même pulsation, et le même point, on lit en coordonnée curviligne: (6.17) | Gcf ( jω x )| ≅ 1[dB] et arg(Gcf ( jω x )) = −50° Jean-Marc Allenbach

6–9

010508

Asservissements linéaires

+ ωx + ωr + ω6

Fig. 6.9 Réponse harmonique dans le plan de Black avec abaque de Nichols.

La pulsation de résonnance ωr est déterminée pour le point où le module de la réponse harmonique en boucle ouverte a la valeur la plus élevée (ici ~1,3 [dB]), ωr a déjà été définie au chapitre 5. On peut encore déterminer la pulsation ω6 ,au-delà de laquelle le module de la réponse harmonique en boucle fermée est toujours plus faible que –6 [dB]. Pour déterminer un comportement dynamique de manière plus nuancée que "stable" ou "instable", on utilise les marges comme pour le critère de Nyquist: La relation se révèle le plus clairement entre la marge de phase ϕm et le dépassement D1 de la réponse indicielle selon le tableau de l'annexe 6.A. Cette relation s'établit pour un système en boucle ouverte du 2e ordre et de type 1. Pour les systèmes d'ordre plus élevé, la relation, qui sera démontrée au paragraphe 6.5.4, est plus approximative.

6.4.3 Tracé de Black assisté La fonction affbla.m, écrite sous MATLAB au Laboratoire d'Automatique de l'EIG permet de faire tracer la réponse harmonique dans le plan de Black et l'abaque de Nichols superposé. On doit spécifier la fonction de transfert: numérateur et dénominateur à écrire en chaîne de caractères, sous la forme factorisée de Bode. On doit encore indiquer la plage de pulsation à tracer.

Jean-Marc Allenbach

6–10

010508

Asservissements linéaires

6.5

CRITÈRE DE BODE

6.5.1 Critère du revers. Le critère du revers s'énonce comme suit dans le plan de Bode, ou dans l'espace fréquentiel: Un système asservi (en boucle fermée) est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en boucle ouverte |G0(jω)| coupe l'axe de module unité pour une phase arg(G0(jω)) supérieure à –180°. 6.5.2 Relation de Bode et Bayard. L'expression (5.5) de la réponse harmonique peut être appliqué à la fonction G0(jω). ln( G0 ( jω )) = ln| G0 ( jω )|+ j arg( G0 ( jω ))

(6.18)

La relation de Bayard et Bode exprime une relation entre la partie réelle et la partie imaginaire d'une fonction complexe F(jx) [6]. De surcroît, si celle-ci est rationnelle en jx, la relation se simplifie notablement. Im( F ( jx)) =

π d(log(Re( F ( jx))) d(log x ) 2

(6.19)

On peut appliquer (6.19) à la fonction G0(jω), en désignant par P(ωx) la pente du module à la pulsation ωx pour un diagramme double logarithmique (§ 5.4.1).

ϕ (ω ) = arg(G0 ( jω )) =

π P(ω ) 2

(6.20)

La relation (6.20) reste le plus souvent valable lorsque le module de la réponse harmonique est approximé par droites. On prendra toutefois garde aux systèmes mal amortis pour lesquels un raisonnement sur l'approximation par droites peut conduire à des conclusions erronées (fig. 5.9). 6.5.3 Critère du Bode: énoncé. Le critère du revers peut être simplifié en appliquant la relation ci-dessus. Un système asservi (en boucle fermée) est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en boucle ouverte |G0(jω)| coupe l'axe de module unité pour une pente supérieure à –2. log|G(jω)| 1

3

2 –1

–1 –1

–2

ω1

1 système stable 2 système en limite de stabilité 3 système instable

ωc

logω

–2 |Go(jω)|

–3

Fig. 6.10 Stabilité dans le plan de Bode. Jean-Marc Allenbach

6–11

020506

Asservissements linéaires

Si l'intersection de la réponse harmonique en boucle ouverte et de l'axe à 100 a lieu avec une pente de –1, le système en boucle fermée est stable, avec –2, il est en limite de stabilité. Il est judicieux d'affiner le critère en exprimant la qualité de la stabilité: "à quelle distance de la pente –2" doit-on placer l'intersection de l'axe avec la pente –1?

6.5.4 Relation entre plan fréquentiel et comportement temporel. Le critère de Bode s'applique à un système en boucle fermée fondamental du 2e ordre, dans lequel la boucle ouverte contient une intégration pure. w

Gcf

e

+

Go

y

– Fig. 6.11 Système en boucle fermée.

G0 ( s ) =

ω1

(6.21)

1 s (1 + s ) ωc log|G0(jω)|

ω1

100

ωc

ϕ(ω) = arg(G0(jω))

logω

logω

–90°

ϕM –180°

Fig. 6.12 Réponse harmonique dans le plan de Bode.

En introduisant (6.21) dans (6.1), on obtient la fonction de transfert en boucle fermée du système présenté à la figure 6.11 et connu par sa fonction de transfert en boucle ouverte. Gcf ( s)

1

(6.22)

1 1 + s2 1+ s ω1 ω1 ω c

Jean-Marc Allenbach

6–12

020506

Asservissements linéaires

On obtient bien un système fondamental du deuxième ordre, qu'on peut comparer à celui étudié au chapitre 4 selon la relation (4.37) à laquelle on fixe un gain statique de 1. 1

Gcf ( s)

(6.23) 2δ 2 1 1+ s +s ω0 ω02 Par identification entre (6.22) et (6.23), on exprime la pulsation propre et le facteur d'amortissement. ω 0 = ω1 ω c (6.24)

δ=

1 ωc 2 ω1

(6.25)

Pour la réponse indicielle en boucle fermée, on reprend les calculs du chapitre 4, en introduisant (6.24) et (6.25) dans (4.46).

γ cf ( t ) = 1 − (cosω p t +

ωp = ω0 1 −

ωc ωc = 4 ω1 2

1

ω 4 1 −1 ωc 4

sin ω p t ) e

−

ω0 ωc t 2 ω1

(6.26)

ω1 −1 ωc

w(t), y(t)

(6.27)

D1

1,05 0,95

t tm

tr

Fig. 6.13 Réponse indicielle en boucle fermée.

On peut exprimer le dépassement et le temps de montée en utilisant les résultats (4.52) et (4.58).

D1 = e

−π ω 4 1 −1 ωc

Jean-Marc Allenbach

(6.28)

6–13

020506

Asservissements linéaires

D1

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.5

1

2

5

10

ω1 ωc

Fig. 6.14 Dépassement en fonction du rapport de pulsation.

2

tm =

ωc

ω 4 1 −1 ωc

tmωc

ω (π − arctan 4 1 − 1 ) ωc

(6.29)

10

8

6

4

2

0 0.1

0.2

0.5

1

2

5

10

ω1 ωc

Fig. 6.15 Temps de montée en fonction du rapport de pulsation.

Pour le temps de réponse, le calcul est fastidieux et on se contentera de donner les valeurs typiques.

Jean-Marc Allenbach

6–14

020506

Asservissements linéaires

A partir de la relation (6.28), on peut exprimer le rapport de pulsation qu'il faut observer sur la réponse harmonique en boucle ouverte pour garantir sur la réponse indicielle en boucle fermée un dépassement inférieur ou égal à D1max prescrit par le cahier des charges.

ωc = ω1

4 π 2 1+ ( ) ln D1

(6.30)

La phase en boucle ouverte peut être calculée de (6.21).

ϕ (ω ) = arg(

ω1 ) + arg( jω

= −90°− arctan

1

ω1 1+ j ωc

)

(6.31)

ω ωc

On en déduit la marge de phase selon (6.14), en introduisant (6.30).

ϕ M = 180°+ϕ (ω1 ) = 90°− arctan 1+ ( = 90°− arctan

ϕM

ω ωc

π 2 ) ln D1 4

(6.32)

90

60

30

0 0.1

0.2

0.5

1

2

5

10

ω1 ωc

Fig. 6.16 Marge de phase en fonction du rapport de pulsation.

Jean-Marc Allenbach

6–15

020506

Asservissements linéaires

Si on met en regard les figures 6.14 et 6.15, on constate qu'on ne peut pas simultanément minimiser le dépassement et le temps de réponse (ou de réponse) mais qu'on doit accepter un compromis. Pour les processus industriels, on requiert souvent un dépassement inférieur à 10 %, pour éviter des transitoires trop élevées pouvant détruire des semiconducteurs: ω1/ωc < 0,7. Pour éviter un temps de réponse trop grand, on prend un rapport assez élevé: ω1/ωc > 0,4. Si on demande un dépassement de 4,3 %, on obtient une réponse indicielle optimale: avec ce dimensionnement, on obtient pour une valeur donnée de ωc le temps de réponse le plus court possible. C'est donc souvent ce choix qui est retenu.

ωc =2 ω1

tm =

4 ,71 ωc

tr =

4 ,2 ωc

ϕ M = 63,5°

(6.33)

Pour éviter tout dépassement, on a un dimensionnement différent.

ωc =4 ω1

tm = ∞

tr =

9 ωc

ϕ M = 76°

(6.34)

Si on accepte un dépassement de 16,3 %, on obtient une réponse indicielle apériodique.

ωc =1 ω1

tm =

2,5 ωc

tr =

5 ωc

ϕ M = 45°

(6.35)

Ces valeurs typiques sont récapitulées à l'annexe 6A. On a l'habitude d'étendre le critère de Bode à tous les systèmes, en raisonnant autour de la pulsation ωc, en admettant que la pente de –1 se prolonge suffisamment loin sur la gauche pour qu'on puisse l'approximer par une intégration et que la pente de –2 se prolonge suffisamment loin sur la droite pour que l'effet des autres valeurs de pente puisse être négligé.

6.5.5 Tracé de Bode assisté La fonction affbod.m, écrite sous MATLAB au Laboratoire d'Automatique de l'EIG permet de faire tracer la réponse harmonique dans le plan de Bode. On doit spécifier la fonction de transfert: numérateur et dénominateur à écrire en chaîne de caractères, sous la forme factorisée de Bode. On doit encore indiquer la plage de pulsation à tracer. Sur le tracé exact, la pulsation ωc n'est pas aisée à déterminer car il n'y a pas de cassure. On utilise la propriété de Bayard et Bode pour la trouver: pour une pente de –1, la phase est de –90°, pour une pente de – 2, la phase est de –180°; comme la pulsation ωc est à la frontière de ces deux pentes on prendra la pulsation pour laquelle on lit une phase de –135°, soit la moyenne des phases à gauche et à droite. Ayant trouvé ωc, on peut mettre en œuvre la relation entre le dépassement D1 de la réponse indicielle et le rapport de pulsation. Par exemple un rapport ωc/ω1 = 2 pour D1 = 4,3%. On peut aussi appliquer le critère de la marge de phase. Par exemple ϕM = 63,5° pour D1 = 4,3%. Les deux méthodes donnent des résultats légèrement différents. De même le rapport de pulsation appliqué sur le module approximé par segments de droites ne donne pas exactement le même résultat que sur le module exact.

Jean-Marc Allenbach

6–16

020506

Asservissements linéaires

6.6

CRITÈRE D'EVANS

6.6.1 Contours d'Evans. On a vu que les attentes pour le système asservi s'exprimaient souvent en termes de temps de réponse et dépassement maximaux de la réponse indicielle. On sait que la stabilité peut être analysée par le lieu des pôles (§ 6.1.2). On peut également y exprimer les voeux du client. Si on considère l'influence du seul pôle négatif pfi, on a vu qu'il introduisait une exponentielle décroissante (§ 4.5.1).

y( t ) = e pfi t

(6.36)

Le temps de réponse peut être approximé à partir du pôle px le plus proche de l'axe imaginaire, en considérant que l'effet des autre pôles s'atténue beaucoup plus rapidement. t rsys ≅

−3 Re( px )

(6.37)

Pour exprimer le temps de réponse demandé par le client, on peut tracer dans le plan des pôles une verticale passant par –ρcli. Pour que le temps de réponse prescrit soit respecté, il suffit d'être sûr que tous les pôles se situent à gauche de –ρcli. On a ainsi défini la marge de stabilité absolue ρcli. ρcli =

3

(6.38)

t rmax

∀ i Re( pfi ) ≤ − ρcli

⇔

t rsys ≤ t rmax

(6.39)

Comme on l'a vu au chapitre 4, le dépassement est lié au coefficient d'amortissement selon la relation (4.62).

ln D1 −δ = π 1−δ 2

(6.40)

Selon la relation (4.49c), les pôles conjugués complexes sont aussi liés au coefficient d'amortissement souhaité. On peut donc exprimer le pôle pf1 dont la partie imaginaire est positive.

pf1 = −ω 0 δ + j ω 0 1 − δ 2 (6.41) On peut, pour ce pôle, établir le quotient de la partie réelle et de sa partie imaginaire. On peut alors définir un angle ψ depuis l'axe imaginaire.

Re( pf1 ) −δ = = − tan Ψ Im( pf1 ) 2 1− δ

Jean-Marc Allenbach

(6.42)

6–17

041125

Asservissements linéaires

On définit alors la marge de stabilité relative ψ cli d'après le dépassement maximal accepté par le client. Si les parties réelle et imaginaire des pôles définissent des angles supérieurs à la marge de stabilité relative, le dépassement du système sera inférieur au dépassement maximal accepté.

− ln D1 ) π D1sys ≤ D1max ⇔ Ψsys ≥ Ψcli

Ψcli = arctan(

(6.43) (6.44)

Autrement dit, tous les pôles doivent se trouver à l'intérieur de la portion du plan limité par deux droites formant un angle ψ cli avec l'axe imaginaire. Les limites de l'espace dans lequel doivent se trouver les pôles pour respecter le cahier des charges sont appelées contour d'Evans. La description dans le lieu des pôles est particulièrement utilisée dans le réglage d'état (sect. 10.4), mais aussi dans le réglage classique (sect. 8.4). Im

ψ

x

Re

−ρ x

Fig. 6.17 Marges de stabilité et contour d'Evans

Le plus souvent, on approxime le comportement d'un système quelconque par celui d'un système fondamental du 2e ordre dont les deux pôles sont placés aux angles du contour d'Evans, On admet donc l'hypothèse que les autres pôles et les zéros sont suffisamment éloignés sur la gauche pour être négligeables. On n'est sûr que le cahier des charges est respecté si et seulement si l'hypothèse cidessus est vérifiée. Pour bien intégrer l'effet de l'emplacement des deux pôles dominants d'un système sur son comportement, on visitera volontiers l'outil pédagogique mis en place par le Laboratoire d'Automatique de Grenoble: www-hadoc.ensieg.inpg.fr/hadoc/continu/n09/r09-07.htm

Jean-Marc Allenbach

6–18

041125

Asservissements linéaires

6.6.2 Exemple. Le traitement d'un exemple concret illustre le propos: on connaît la fonction de transfert en boucle ouverte d'un système. G 0 ( s) =

k 0 ( s + 0,43)

(6.45)

s 2 ( s + 2)

On peut alors faire tracer le lieu des pôles en boucle fermée en faisant varier le gain k 0 de 0 à +∞, selon les méthodes étudiées au chapitre 5 (sect. 5.5). Le tracé est indiqué à la figure 6.18. Le client demande quelles sont les valeurs pour lesquelles il peut ajuster pour que le dépassement soit inférieur à 16,3 % et que le temps de réponse soit inférieur à 6 secondes. On en déduit un contour d'Evans défini par Ψ = 30° et –ρ = –0,5, calculés par (6.43) et (6.38). On calcule les intersections des branches complexes avec la verticale par –ρ et les obliques d'angle Ψ. 1,75 ≤ k 0 ≤ 2,75

(6.46)

On calcule encore l'intersection de la branche réelle avec la verticale par –ρ . k 0 ≤ 5,31

(6.47)

La condition finale est donnée par l'intersection des conditions (6.46) et (6.47), à savoir, la condition (6.46).

6.6.3 Tracé de Evans assisté La fonction affevans.m, écrite sous MATLAB au Laboratoire d'Automatique de l'EIG permet de faire tracer le lieu des pôles en boucle fermée. On doit spécifier la fonction de transfert en boucle ouverte: numérateur et dénominateur à écrire en chaîne de caractères, sous la forme factorisée de Bode. On doit encore indiquer la plage de gain pour laquelle on veut le tracé. Enfin, on doit spécifier le temps de réponse et le dépassement maximaux admis. On n'a plus qu'à réduire progressivement la plage de gain jusqu'à ce que le leu des pôles en boucle fermée soit entièrement inclus dans le contour d'Evans. On peut aussi programmer en MATLAB le calcul des intersections qui nous intéressent.

Jean-Marc Allenbach

6–19

041125

Asservissements linéaires

Go ( s) =

k o ( s + 0,43) s 2 ( s + 2)

Ψ = 30°

px

p 3=–2

Im(p x)=1,17

z1=–0;43 Re(p x)=–0,69

p2 p1

Re

–ρ=–0,5

Fig. 6.18 Lieu des pôles du système donné en (6.45).

Jean-Marc Allenbach

6–20

041125

Asservissements linéaires

6.6.4 Autres propriétés du lieu des pôles Si, conformément à l'hypothèse du paragraphe 6.6.1, on approxime le comportement d'un système étudié à un 2e ordre en ne considérant que les deux pôles dominants p1 et p2, on peut tirer des informations pour la fonction de transfert (4.37): amortissement δ et pulsation naturelle ω0. p1,2 = Re( p1 ) ± j Im( p1 ) δ =

(6.48)

Re( p1 ) = sin Ψ | p1|

(6.49)

2π ω 0 = | p1 | = T0

(6.50)

Im jω 0 p1

jIm(p1)=jω p=

Ψ

jω 0 1 −δ 2 Re

-ω 0

Re(p1)= -ω 0δ

p2

Fig. 6.19 Amortissement et pulsation naturelle dans le lieu des pôles.

Pour l’amortissement, à chaque valeur de δ correspond une droite passant par l’origine formant un angle Ψ avec à la verticale (6.49). Pour la pulsation propre, à chaque valeur de ω0 correspond un cercle de rayon ω0 centré à l'origine (6.50). Selon la figure 4.13, la pulsation propre ne s'observe par une période propre T0 que pour des marges de stabilité assez faibles: Ψ∈]0°, 30°]. Si pour des marges de stabilité plus grandes, la période propre ne peut pas être mesurée sur la réponse indicielle (fig. 4.11 & 4.12), cela n'empêche pas la pulsation propre d'exister!

Jean-Marc Allenbach

6–21

041125

Asservissements linéaires

Sur un tracé d'Evans obtenu par MATLAB, on peut y superposer deux familles de courbes orthogonales avec une fonction appropriée: les cercles correspondant aux pulsations naturelles et les droites correspondant aux facteurs d'amortissement. Sans indication de paramètre, MATLAB choisit les valeurs d'angles et de pulsation, sinon, c'est l'utilisateur qui le précise, comme pour la figure 6.19. »sgrid

6.6.5 Zéros ou pôles supplémentaires Si l'hypothèse du paragraphe 6.6.1 n'est pas vérifiée, les études de la section 4.5 ne sont plus applicables ni non plus le tableau 6.A, on se heurte alors à une grande complexité mathématique pour établir la relation entre le lieu des pôles et le comportement dynamique. On se propose ici d'explorer quelques pistes par l'étude en simulation de l'effet d'un pôle ou d'un zéro supplémentaire à un système fondamental du deuxième ordre. Cette approche expérimentale permet de s'approprier les allures par appréciation pragmatique plutôt que par calcul analytique. On part d'un système du second ordre avec amortissement optimal (réponse indicielle en trait interrompu).

p1

1

C

1.6 1.4

0.5

zA

0

B

1.2

zB

A

1

zC

0.8 0.6

-0.5

0.4 0.2

-1

p2 -2.5

-2

-1.5

-1

0 -0.5

0

0.5

0

1

2

3

4

5

6

Fig. 6.20 Effet d'un zéro supplémentaire.

Un zéro supplémentaire a tendance à augmenter le dépassement d'autant plus qu'il est situé à proximité de l'axe imaginaire; on a un seul dépassement – comportement apériodique – et non un comportement oscillatoire comme on observerait avec un deuxième ordre fondamental qui aurait la même valeur de premier dépassement. Le temps de réponse n'est guère affecté par la position du zéro, il est environ égal au temps de pic du système fondamental de départ. On constate encore que la pente à l'origine de la réponse indicielle est non nulle, comme pour un système fondamental du premier ordre; on doit conclure que la pente n'est pas nulle pour n ≥ 2 mais pour n – m ≥ 2.

Jean-Marc Allenbach

6–22

041125

Asservissements linéaires

p1

1

1

A

0.9

B

0.8

0.5

C

0.7

pA

pB

0.6

pC

0

0.5 0.4 0.3

-0.5

0.2 0.1

-1 -2.5

p2 -2

-1.5

-1

0

-0.5

0

0

0.5

2

4

6

8

10

12

Fig. 6.21 Effet d'un pôle supplémentaire.

Un pôle supplémentaire a tendance à ralentir le système et à réduire voire annuler le dépassement. Le comportement oscillatoire n'est plus apparent dès que le pôle réel est du même ordre de grandeur ou plus à droite que la paire de conjugués complexes. Si le pôle supplémentaire a une partie réelle supérieure au quadruple de celle des pôles dominants, son effet est imperceptible. Pour affiner l'appréciation des effets, on part encore d'un système fondamental du deuxième ordre avec amortissement de 0,24, auquel on ajoute un pôle réel qui vaut près du double de la partie réelle des pôles dominants. 1.5

p1

1 0.8 0.6 0.4

1

0.2

p3

0

3

-0.2

0.5

-0.4 -0.6 -0.8

p2

-1 -1.5

-1

-0.5

0 0

0.5

0

5

10

15

Fig. 6.22 Effet d'un pôle supplémentaire sur un système mal amorti..

Ici, le comportement oscillatoire reste visible, mais il se superpose à un comportement du premier ordre. Le comportement oscillatoire reste quasiment en-dessous de la valeur asymptotique et le "premier dépassement" ne fait que tangenter la valeur asymptotique pour cette valeur de pôle. Avec un pôle plus proche de l'axe imaginaire, il resterait en dessous alors qu'un pôle plus éloigné permettrait un léger dépassement.

Jean-Marc Allenbach

6–23

041125

Asservissements linéaires

Pour mieux s'initier à l'effet de plus de deux pôles ou de combinaison de pôles et zéros, on peut avec profit manier l'outil pédagogique développé à John Hopkins University. http://www.jhu.edu/~signals/explore/index.html

Jean-Marc Allenbach

6–24

041125

ANNEXES AU CHAPITRE 6 Les paramètres déterminants des différents critères de stabilité et leurs relation avec le comportement dynamique en boucle fermée sont regroupés au tableau 6A..

w(t), y(t)

D1

1,05 0,95

t tm

tr

Les conditions d'applications des critères sont regroupées au tableau 6B.

6–25

2001.12.12

6.A ANNEXE: RÉSUMÉ DES PARAMÈTRES DE RÉGLAGE Boucle fermée

Boucle ouverte

Fonction de Pôles transfert (Evans)

δ

6–26

≥1.000 0.707 0.591 0.500 0.450 0.425 0.400 0.383 0.350 0.259 0.215 0.100 0.035

Réponse indicielle

Réponse harmonique

Ψ

D1

tmωc

trωc

90° 45° 36.2° 30° 27° 25° 23.5° 22.5° 20,7° 15° 12.5° 5.7° 2°

0 0.043 0.100 0.163 0.200 0.230 0.250 0.270 0,300 0.430 0.500 0.720 0.900

∞ 4.71 3.23 2.50 2.05 1.9 1.73 1.62 1.43 0.98 0.78 0.34 0.11

9 4.20 6.21 5 4.5 5 6 6 5 5 5.5 6 5.5

ρtr (Evans)

désignation

Q [ ]

3 sans dépassement 0 2.1 optimale 1 3 (apériodique) 1.05 2.6 unipériodique 1.15 2.3 oscillatoire 1.24 3 " 1.3 3 " 1.36 3 " 1.42 3 " 3 " 2 3 " 2.38 3 " 5 3 " 14.3

Q [dB]

ϕm (Ny, Bo, Bl.)

–∞ 0 0.4 1.3 1.9 2.3 2.7 3 6 7.5 14 23

2001.12.12

ρ: marge de stabilité absolue

≥4 2 1.4 1 0.8 0.72 0.64 0.59 0.50 0.27 0.18 0.04 0.005

– – – – – – – –

δ: coefficient d'amortissement ü | ý voir fig. 6.A2 | ϕm: marge de phase (*: valeurs peu raisonnables!) þ

tr: temps de réponse à 5% tm: temps de montée de 0 à 100% D1: dépassement maximal ω1: pulsation pour laquelle le module de la réponse harmonique vaut 1 ( 0[dB]) ωc: pulsation pour laquelle la pente du module de la réponse harmonique – approximé par segments de droites – passe de –1 à –2

Ψ: marge de stabilité relative

≥76° 63.5° 54.5° 45° 39° 35.5° 32.5° *30° *26,5° *15° *10° *2.5° *0.3°

ωc/ω1 tg[ϕm] (Bo.) (Ny.)

Fig. 6.A1 Système asservi à 2e ordre dominant: valeurs des paramètres en fonction du comportement dynamique.

Bode

log|G(jω)|

Evans (Root Locus)

ω1

ωc

logω |Go(jω)|

ψ

x 6–27

Nyquist

1/Am

Re

–1

ϕm

−ρ x

ω1 |Go(jω)|

2001.12.12

Fig. 6.A2 Localisation des paramètres.

Im

ϕ (ω1 )

6.B ANNEXE: CONDITIONS D'APPLICATION DES CRITÈRES DE STABILITÉ CRITÈRE CONDITION(S) POUR L'APPLIQUER

S'APPLIQUE À

CALCUL EXPLICITE DE Gcf NÉCESSAIRE

RENSEIGNE SUR LA QUALITÉ DE LA STABILITÉ

Go rationnelle

Gf

OUI

NON

Hurwitz

Go rationnelle

Gf

OUI

NON

Nyquist

Go stable

Go

NON

OUI

Black

Go stable

Go

NON

OUI

Bode

Go rationnelle Go stable et à déphasage minimal

Go

NON

OUI

Evans

Go rationnelle

Gf

NON

OUI

6–28

Routh

2001.12.12

Fig. 6.B1 Critères pour le comportement dynamique en boucle fermée.

Asservissements linéaires

CHAPITRE 7: RÉGULATEURS 7.1 GÉNÉRALITÉS 7.1.1 Tâches du régulateur On a décrit au chapitre 1 le principe de la boucle de réglage et des éléments qui la composent. Le présent chapitre a pour but d'étudier le seul élément de la boucle sur lequel l'automaticien est habilité à agir: le régulateur. Les autres éléments de la boucle sont regroupés dans ce qu'on appelle le système à régler. v w

e

+

GR

ucm

Gcf Gs

y

– Fig. 7.1 Système en boucle fermée formé d'un régulateur et du système à régler.

La fonction du régulateur est d'agir sur le système à régler par un signal de commande ucm en fonction de l'écart de réglage: différence entre la valeur de consigne w et la valeur actuelle y de la grandeur réglée. On peut attendre du régulateur différentes tâches: • Maintien dans un intervalle prescrit de la grandeur y en présence d'une consigne w constante, malgré la présence de perturbations v: régulation de maintien. • Suivi dans un intervalle prescrit de la consigne w par la grandeur y: régulation de correspondance. • Suivi dynamique de la consigne en présence de perturbations. Le choix et le dimensionnement du régulateur dans une boucle dépend de ce qu'on attend de lui (chap. 8), on commence donc par examiner quels sont les régulateurs dont on dispose, en relevant leur points forts et leur points faibles. 7.1.2 Inventaire On peut distinguer les régulateurs selon deux critères: • relation entre entrée et sortie: linéaire ou non linéaire. • entrée unique, l'écart de réglage ou plusieurs entrées. Les régulateurs classiques sont caractérisés par une entrée unique: l'écart de réglage. Les régulateurs tout-ou-rien ont une sortie ucm qui ne peut prendre que deux ou trois valeurs prédéterminées, choisies en fonction de l'écart de réglage (§ 7.2.1). Exemple: régulateur de température pour un four électrique de cuisine. Les autres sont formés d'une combinaison de trois modules: • Le module P (proportionnel) assure la fonction de réglage de base. • Le module I (intégrateur) annule l'écart statique, assure la précision. • Le module D (dérivateur) améliore la stabilité et accélère le réglage. Le cas échéant, une cellule filtre du premier ordre entre encore dans la construction du régulateur.

Jean-Marc Allenbach

7–1

001205

Asservissements linéaires

On décrira les principaux régulateurs: Le régulateur P (§ 7.3.1) fournit un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage. Exemple: réglage de fréquence d'un groupe turbine–alternateur. Le régulateur PI (§ 7.4.1) fournit un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage et à son intégrale. Exemple: réglage de vitesse d'une voiture récente. Le régulateur PID (§ 7.5.1) fournit un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage, à son intégrale et à sa dérivée. Exemple: réglage standard industriel. Les régulateur PD (§ 7.6.2) et PD2 (§ 7.6.3) fournissent un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage et à sa dérivée, le cas échéant aussi à sa dérivée seconde. Les régulateurs polynômiaux sont aussi des régulateurs linéaires à entrée unique: la relation entre l'entrée et la sortie est caractérisée par un quotient de polynômes en s d'ordre supérieur à 2. Le dimensionnement de ces régulateurs (chap. 8) sera toujours un compromis entre rapidité, stabilité et précision.

Les régulateurs à entrées multiples peuvent aussi être classés en deux groupes selon que la relation entre entrée et sortie est linéaire ou non.. Les régulateurs d'état construisent le signal de commande par combinaison linéaire de grandeurs physiques mesurées sur le système à régler, de la grandeur de consigne et de l'intégrale de l'écart de réglage. Les régulateurs par logique floue construisent le signal de commande par combinaison non linéaire d'un choix limité de grandeurs physiques mesurées sur le système à régler et de la grandeur de consigne. Les régulateurs par mode de glissement s'apparentent aux régulateurs toutou-rien par leur signal de sortie qui ne peut prendre que deux ou trois valeurs prédéterminées, choisies en fonction d'une combinaison linéaire de grandeurs physiques mesurées.

Jean-Marc Allenbach

7–2

001205

Asservissements linéaires

7.2

RÉGLAGE TOUT–OU–RIEN

7.2.1 Principe Un régulateur tout ou rien produit le signal de commande à partir de l'écart de réglage. Si la réalisation de tels régulateurs est souvent facile, l'analyse mathématique de son fonctionnement et de la stabilité du système réglé par lui est loin d'être immédiate. L'action d'un tel régulateur sera la même pour un faible écart de réglage ou pour un écart important, ce qui est souvent peu propice à un comportement dynamique de qualité. L'organe de commutation est souvent un dispositif électromécanique. Un bouilleur pour l'eau chaude domestique possède un thermostat qui enclenche ou déclenche le corps de chauffe selon la température de l'eau dans la cuve. Une analyse intuitive montre que plus on augmente la sensibilité du régulateur aux variations de la grandeur réglée, plus les commutations seront fréquentes; l'usure sera plus importante et la durée de vie plus courte. Pour limiter les commutations, on a recours à deux propriétés: la zone morte et l'hystérèse. ucm

A

ucm

B

e

C

e

D

ucm

ucm

e

e

A simple C avec zone morte

B avec hystérèse D avec zone morte et hystérèses

Fig. 7.2 Régulateurs tout-ou-rien.

Comme l'illustre bien la figure 7.2, la zone morte ou seuil, introduit entre deux zones d'action une zone d'insensibilité dans laquelle le régulateur "ne fait rien". L'hystérèse introduit un décalage de la commutation selon son sens. 7.2.2 Exemple On n'entrera pas dans le détail, mais un exemple nous permet d'illustrer la difficulté mathématique pour un cas simple. Une masse m est ramenée à sa position d'équilibre par une force F, elle est liée à de amortisseurs qui produisent un frottement visqueux de coefficient f. x f/2

m

f/2

F Fig. 7.3 Masselotte encadrée d'amortisseurs.

mx + f x = F Jean-Marc Allenbach

(7.1) 7–3

001205

Asservissements linéaires

On agit par un régulateur à deux positions générant une force d'amplitude A opposée à l'écart de réglage. F = − A sgn( x )

(7.2)

On peut réorganiser les équations pour mettre en évidence deux équations différentielles du premier ordre. C'est le modèle de l'espace d'état qui sera développé au chapitre 10. x = v m v = − f v − A sgn( x )

(7.3)

On trouve comme solutions deux familles de courbes qui dépendent du signe de l'écart de réglage: on obtient ces solutions en remplaçant la fonction signe une fois par "1" et l'autre par "– 1". On renonce aux détails de la démarche. ft

Bm − A e m + t+C x=− f f

x0

v=

ft − Be m

−

(7.5)

A f

Les constantes B et C sont déterminées par les conditions initiales [x0, v0]. On définit une droite de commutation à x = 0. Chaque fois qu'une courbe atteint celle-ci, on change d'équation en définissant de nouvelles conditions initiales. v

60

40

x0,v0

20

x

0

-20

-40

-60 -150

-100

-50

0

Fig. 7.4 Trajectoire x, v avec régulateur tout–ou–rien simple.

Jean-Marc Allenbach

7–4

50

100

150

(A = 6; m = 1; f = 2).

001205

Asservissements linéaires

On constate que la trajectoire dans l'espace d'état décrit une figure d'escargot, mettant en évidence une amplitude décroissante des oscillations, mais aussi une intervalle décroissant entre commutations. Le système converge vers un écart de position nul et une vitesse nulle également. Pour un régulateur avec zone morte, on définit un intervalle de position [–xa, xa]pour lequel on n'applique aucune force correctrice. F=0

(7.6)

Dans cette intervalle, on calcule la nouvelle famille de solutions: des droites. Les limites pour les relations (7.4) et (7.5) sont alors déplacées sur les verticales de commutation passant par –xa, respectivement xa. ft

− xa < x < xa

Bm − x=− e m +C f v=

(7.7)

ft − Be m

v

60

40

x0,v0

20

x

0

-20

-40

-60 -150

-100

-50

0

50

100

150

Fig. 7.5 Trajectoire x, v avec régulateur tout-ou-rien avec zone morte.

Les trajectoires s'achèvent avec une vitesse nulle en un point quelconque de la zone morte. La valeur de consigne n'est donc jamais atteinte. Dans le cas de l'hystérèse, la droite de commutation est décomposée en deux demi-droites passant par –xa, respectivement xa. Les relations (7.4) et (7.5) s'appliquent de part et d'autre de la frontière définie par ces demi droites et la portion d'axe x qui les relie.

Jean-Marc Allenbach

7–5

001205

Asservissements linéaires

v

60

40

x0,v0 cycle limite

20

x

0

-20

-40

-60

-150

-100

-50

0

50

100

150

Fig. 7.6 Trajectoire x, v avec régulateur tout-ou-rien avec hystérèse.

Les trajectoires convergent vers un cycle limite d'amplitude constante, pour lequel l'intervalle entre commutations est constant lui aussi. Paradoxalement, à conditions initiales nulles, le système convergera aussi vers le cycle limite. Le sens de départ dépendra de l'état du régulateur à l'instant initial.

Jean-Marc Allenbach

7–6

001205

Asservissements linéaires

7.3

RÉGLAGE PROPORTIONNEL

7.3.1 Principe Parmi les régulateurs linéaires le plus immédiat est le régulateur proportionnel: son signal de commande est proportionnel à l'écart de réglage.

u cm ( t ) = K P e ( t ) = K P ( w( t ) − y ( t ))

(7.8)

Dans un schéma fonctionnel, on représente un régulateur linéaire par un bloc dans lequel on dessine sa réponse indicielle.

w

e

+ –

ucm

y

Fig. 7.7 Régulateur P: symbole.

La fonction de transfert se réduit pour ce régulateur à un simple nombre réel. GR ( s) = K P

(7.9)

7.3.2 Statisme On est intéressé à savoir si la grandeur réglée y suit correctement la consigne w. En particulier, pour une consigne constante, la sortie s'établit-elle pour la même valeur?

w

e

+

ucm

Gcf Gs

y

– Fig. 7.8 Système en boucle fermée par un régulateur P.

Traitons tout d'abord d'un système à régler comme cellule du premier ordre.

Gs ( s) =

1 1+ sT

(7.10)

La fonction de transfert en boucle ouverte s'obtient par le produit des fonctions de transfert des deux blocs. G o ( s) = K P

1 1+ sT

(7.11)

Ce qui nous intéresse est le comportement du système en boucle fermée; on le calcule par la relation (4.12).

Jean-Marc Allenbach

7–7

040126

Asservissements linéaires

Ce qui nous intéresse est le comportement du système en boucle fermée; on le calcule par la relation (4.12).

1 1 + sT KP Gcf ( s ) = = (7.12) 1 K P + 1 + sT 1 + KP 1 + sT Plutôt que de calculer dans l'espace temps à quelle valeur s'établit y(t), on applique le théorème de la valeur finale. KP

KP 1 lim y(t ) = lim sY ( s ) = lim s( Gcf ( s)) = lim Gcf ( s) = t →∞ s →0 s →0 s s →0 1+ KP

(7.13)

On constate que, quelle que soit la valeur du gain statique KP, la valeur finale de y(t) sera différente de 1. Il apparaît un écart statique e∞.

e∞ = lim e (t ) = lim ( w( t ) − y( t )) = 1 − t →∞

t→∞

KP 1 = 1 + KP 1 + KP

(7.14)

Traitons encore le cas d'un système intégrateur. Gs ( s ) =

1 sT

(7.15)

Ici encore, on calcule la valeur finale.

KP =1 s →0 sT + K P

lim y( t ) = lim Gcf ( s ) = lim

t →∞

s →0

(7.16)

Ici, l'écart statique est nul. Si on traite les cas des fonctions de transfert (7.10) ou (7.15) multipliées par une cellule du premier ou du deuxième ordre, on obtient les mêmes résultats. On en tire que l'écart statique est nul si et seulement si la fonction de transfert en boucle ouverte contient une intégration pure. On peut éliminer l'écart statique pour un point de fonctionnement y0 défini en calculant la valeur ucm0 qu'il faut injecter sur le système pour obtenir ce point. Pour toute valeur de w choisie différente de y0, on observera un écart statique non nul. On superpose au signal de sortie du régulateur la valeur constante calculée.

Gcf w

e

+ –

ucm ucm0

y

+

Gs +

Fig. 7.9 Système en boucle fermée par un régulateur P adapté à un point de fonctionnement. Jean-Marc Allenbach

7–8

041102

Asservissements linéaires

Ce comportement typique du réglage P a conduit à définir le statisme. Le statisme est la déviation de la grandeur à régler, exprimée en pour–cent de son domaine de variation, pour faire varier le signal de commande de 100 % de sa grandeur nominale. Cette définition n'a vraiment de sens qu'en régulation de maintien. S=

100 u cm0 KP y 0

(7.18)

ucm ucm0 1

y y0 Fig. 7.10 Droite de statisme.

Cette notion a été largement utilisée dans les centrales hydroélectriques où la grandeur physique réglée est la fréquence du réseau et le signal de commande est la puissance hydraulique à la turbine.

Jean-Marc Allenbach

7–9

040126

Asservissements linéaires

7.4

SAth74à6

RÉGLAGE PROPORTIONNEL–INTÉGRAL

7.4.1 Approche empirique Pour un système qui peut s'établir pour plusieurs points de fonctionnement, on désire adapter le schéma de la figure 7.9 en variant lentement ucm0 pour annuler l'écart statique pour chaque point de fonctionnement. On peut créer ce signal par l'intégrale pondérée de l'écart de réglage.

Gcf w

e

+

ucm

+

y

Gs +

–

1 Ti ò

Fig. 7.11 Système en boucle fermée par un régulateur PI.

t

1 ucm (t ) = K P e(t ) + ò e(τ ) dτ Ti

(7.19)

0

Il faut souligner qu'il est nécessaire que l'intégrale varie plus lentement que le système à régler sous l'action d'une brusque variation d'écart de réglage, sous peine de provoquer une instabilité du système.

7.4.2 Définition Dans les schémas de réglage, un tel régulateur est représenté par un seul bloc. w

e

+ –

ucm

y

Fig. 7.12 Régulateur PI: symbole.

La fonction de transfert peut être déduite de la relation (7.19) GR ( s ) = K P +

1 s Ti

(7.20)

On préfère souvent écrire la fonction de transfert d'un régulateur sous forme de quotient de polynômes. GR ( s) =

1 + s Tn s Ti

Jean-Marc Allenbach

(7.21)

7–10

010404

Asservissements linéaires

SAth74à6

On appelle le paramètre Ti constante de temps d'intégration et le paramètre Tn temps de corrélation d'intégrale. 7.4.3 Réponse harmonique Pour calculer la réponse harmonique on utilise la forme quotient de la fonction de transfert.

GR ( j ω ) =

1 + j ω Tn j ω Ti

(7.22)

Pour tracer le module on adopte l'approximation vue au chapitre 5: le module d'un nombre complexe est la plus grande de ses deux parties. On obtient ainsi une pente de –1 pour les pulsations inférieures à 1/Tn, et une horizontale pour les supérieures. log| GR ( jω )|

Tn Ti

log ω 1 Tn

1 Ti

Fig. 7.13 Régulateur PI: réponse harmonique.

On se souvient qu'on peut approximer la phase en multipliant la pente du module par 90°. Un PI introduit donc une correction de phase de –90° dans les faibles pulsations et une correction de gain de Tn/Ti pour les pulsations élevées.

Jean-Marc Allenbach

7–11

010404

Asservissements linéaires

7.5

SAth74à6

RÉGLAGE PROPORTIONNEL–INTÉGRAL–DIFFÉRENTIEL

7.5.1 Prévision Pour obtenir une réaction d'un régulateur P ou PI, il doit exister ou avoir existé un écart de réglage. On aimerait bien prévoir l'apparition d'un écart de réglage pour déjà anticiper sur le signal de commande. Cette prévision peut s'obtenir en observant la pente de l'écart de réglage: c'est à dire sa dérivée. On ajoute donc au régulateur PI une composante dérivée. 1 ucm (t ) = K P e(t ) + Ti

t

ò e(τ ) dτ + Td e(t )

(7.23)

0

7.5.2 Définition Dans les schémas de réglage, on représente le PID par un bloc. w

e

+ –

ucm

y

Fig. 7.14 Régulateur PID: symbole.

La fonction de transfert peut être déduite de la relation (7.23) G R ( s) = K P +

1 + s Td s Ti

(7.24)

On peut aussi écrire la fonction de transfert sous forme de quotient de polynômes ou en mettant le gain en facteur. G R ( s) = K P (1 +

G R ( s) =

1 + s TD ) s TJ

(7.25)

(1 + s Tn )(1 + s Tv ) s Ti

(7.26)

Pour passer de l'une à l'autre des trois formes d'écriture, qui toutes sont utilisées dans certaines circonstances, on peut les mettre au dénominateur commun et égaler les termes. On peur avec profit utiliser l'annexe 7.A plutôt que refaire les calculs à chaque fois.

Jean-Marc Allenbach

7–12

010404

Asservissements linéaires

SAth74à6

7.5.3 Réponse harmonique Pour établir la réponse harmonique, on se base sur la forme quotient de la fonction de transfert. GR ( j ω ) =

(1 + j ω Tn )(1 + j ω Tv ) j ω Ti

(7.27)

log| GR ( jω )|

Tn Ti

log ω 1 Tn

1 Ti

1 Tv

Fig. 7.15 Régulateur PID: réponse harmonique.

7.5.4 Influence des composants non idéaux Dans la réalité, un régulateur ne peut présenter un gain infini, ni pour le pulsations élevées, ni pour les faibles. Un régulateur digital est limité par le gain réel des amplificateurs opérationnels qui le constituent. Une autre limitation de gain est le rapport entre la tension de saturation des amplificateurs opérationnels (régulateurs analogiques) ou la plage dynamique de conversion digital–analogique (régulateurs discrets) et l'amplitude des signaux d'entrée. A ces limitations absolues s'ajoute la dégradation des performances dans les pulsations élevées, liées aux amplificateurs opérationnels ou à l'échantillonnage. Cette limite physique est représentée par un filtre du premier ordre qui borne la caractéristique idéale du PID.

Kmax

log| GR ( jω )|

Tn Ti

log ω 1 Ta

1 Tn

1 Ti

1 Tv

1 Tb

1 Tc

Fig. 7.16 Régulateur PID: réponse harmonique.

Pour éviter le risque d'un pic de résonance à la pulsation où la réponse harmonique idéale rejoint la caractéristique limite, on introduit une petite constante de temps Tb, proche de cette pulsation, qui introduit un court palier. On en déduit la fonction de transfert non idéalisée. GR ( s) = K max

Jean-Marc Allenbach

(1 + s Tn )(1 + s Tv ) (1 + s Ta )(1 + s Tb )(1 + s Tc )

7–13

(7.28)

010404

Asservissements linéaires

SAth74à6

7.6

AUTRES RÉGLAGES CLASSIQUES

7.6.1 Régulation proportionnelle–différentielle Pour certains systèmes à comportement intégral, il est parfois judicieux d'utiliser un régulateur avec dénominateur d'ordre 0 et numérateur d'ordre 1. ucm (t ) = K P (e(t ) + TD e(t ))

w

(7.29)

e

+ –

ucm

y

Fig. 7.17 Régulateur PD: symbole.

La fonction de transfert idéale se déduit de la relation (7.29) GR ( s) = K P (1 + s TD )

(7.30)

On en tire la réponse harmonique idéalisée. log| GR ( jω )|

KP

log ω 1 TD

Fig. 7.18 Régulateur PD: réponse harmonique.

7.6.2 Régulation PD2 Dans certains cas, on souhaite compenser deux constantes de temps sans introduire d'intégration. Cela implique une double dérivation. ucm (t ) = K P (e(t ) + (TD1 + TD2 ) e(t ) + TD1 TD2 e(t ) )

(7.31)

G R ( s) = K P (1 + s TD1 ) (1 + s TD2 )

(7.32)

Un tel régulateur est très idéal, et non causal! La double dérivation est propice à amplifier le bruit présent sur les grandeurs mesurées, ce qui est peu propice à la qualité du réglage.

Jean-Marc Allenbach

7–14

010404

Asservissements linéaires

SAth74à6

7.6.3 Régulation avance de phase Dans certaines applications, on souhaite agir sur la phase dans un domaine limité de pulsations. Dans ce cas, on combine un PD avec un filtre du premier ordre, en choisissant une constante de temps de filtrage inférieure à celle de dérivation. 1 + s TD 1 + s TF

G R ( s) = K P

w

e

+ –

(7.33)

ucm

y

Fig. 7.19 Régulateur AP: symbole.

TD KP TF

log| GR ( jω )|

log ω

KP 1 TD

ϕ (ω )

1 TF

45°

log ω 0,1 TD

10 TF

Fig. 7.20 Régulateur AP: réponse harmonique.

On constate que ce régulateur déforme la phase dans le sens positif au voisinage de 1 1 l'intervalle [ ], d'où le nom avance de phase. Rappelons toutefois que la phase est ici TD TF dessinée de façon très grossière, au sens des approximations décrites à la figure 5.6. On peut aussi interpréter le régulateur AP comme un modèle un peu moins idéal du régulateur PD, dans lequel on tient compte que le régulateur ne peut pas avoir un gain infini pour les pulsations élevées. Le symbole évoque aussi celui du PD, où l'impulsion de Dirac est remplacée par une impulsion plus réaliste.

Jean-Marc Allenbach

7–15

010404

Asservissements linéaires

SAth74à6

7.6.4 Régulation retard de phase Comme pour l'avance de phase, on combine un PD avec un filtre du premier ordre, en choisissant ici une constante de temps de filtrage supérieure à celle de dérivation.

1 + s Tn 1 + s Tf

G R ( s) = K P

w

e

+ –

(7.34)

ucm

y

Fig. 7.21 Régulateur RP: symbole.

log| G R ( jω )|

KP log ω

T KP n Tf

1 Tf

ϕ (ω )

–45°

1 Tn

log ω 0,1 Tf

10 Tn

Fig. 7.22 Régulateur RP: réponse harmonique.

Comme son nom l'indique, le régulateur retard de phase déforme la phase dans le domaine négatif pour un intervalle limité de pulsations. On peut aussi interpréter le régulateur RP comme un modèle un peu moins idéal du régulateur PI, dans lequel on tient compte que le régulateur ne peut pas avoir un gain infini pour les pulsations très faibles. Dans ce cas, le gain KP est alors très élevé, et déterminé par les caractéristiques physiques des composants du régulateur. On obtient la constante de temps d'intégration Ti en divisant Tf par le gain KP. Dans ce cas la plage de pulsation pour laquelle la phase est déformée est très large, et cette dernière atteint un minimum proche de –90°. La mise en cascade d'un AP avec un RP réalise un ARP: régulateur à avance et retard de phase, qui permet de modifier phase et module dans un intervalle fini de pulsations, en les conservant intacts à l'extérieur de celui-ci.

Jean-Marc Allenbach

7–16

010404

Asservissements linéaires

SAth74à6

7.6.5 Régulation intégrale Dans de rares cas , où la consigne varie très lentement et le système ne contient pas de composante intégrale, on peut faire appel à un régulateur intégral. Dans ce cas, on prendra garde à choisir une pondération très faible, l'augmentation du degré du polynôme dénominateur ayant tendance à déstabiliser le système en boucle fermée. t

1 ucm (t ) = ò e(τ ) dτ Ti

(7.35)

0

w

e

+ –

ucm

y

Fig. 7.23 Régulateur I: symbole.

G R ( s) =

1 s Ti

(7.36)

7.6.6 Régulation PID parallèle Pour la réalisation électronique compacte d'un PID (voir annexe 7.B), la forme (7.26) est celle qui convient le mieux, mais certains dimensionnements selon (7.25) ne peuvent pas être obtenus avec des paramètres réels (voir annexe 7.A) et les composants du circuit sont forcément réels et ne peuvent en aucun cas être complexes. Dans ce cas, on est amené à choisir une structure parallèle qui transcrit de manière plus directe la forme (7.25), en combinant un P, un I et un PD.

w

e

+ –

ucm1

ucm

+ +

y ucm2

Fig. 7.24 Régulateur PID parallèle: symbole.

On s'arrange pour que le PD soit dimensionné avec un gain de 1, le gain global du PID étant assuré par le P placé après la sommation. G R ( s) = K P (

1 + 1 (1 + s TD )) s TJ

Jean-Marc Allenbach

(7.37)

7–17

010404

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach

SAth74à6

7–18

010404

Asservissements linéaires

7.A

SAth7A.doc

ANNEXE: PARAMÈTRES DE RÉGULATEURS

La fonction de transfert d'un régulateur PID peut s'écrire sous trois formes: G R ( s) = K P +

1 + s Td s Ti

G R ( s) = K P (1 +

G R ( s) =

1 + s TD ) s TJ

(1 + s Tn )(1 + s Tv ) s Ti

Forme somme

(7.24)

Forme somme-gain

(7.25)

Forme quotient

(7.26)

Pour passer de l'une à l'autre des trois formes d'écriture, on peut avec profit utiliser le tableau 7.A1. Pour un régulateur PI, on a simplement au départ Tn, Td ou TD qui est nulle. somme KP T i T d

somme

somme-gain

quotient

somme-gain KP T J T D

quotient Tn Ti Tv

KP

KP

Tn + Tv Ti

Ti

TJ KP

Ti

Td

K P TD

Tn Tv Ti

KP

KP

Tn + Tv Ti

TJ

K P Ti

Tn + Tv

TD

Td KP

Tn Tv Tn + Tv

Tn

4 Td K P Ti (1 + 1 − 2 ) 2 K P Ti

TJ 4 TD (1 + 1 − ) TJ 2

Ti

Ti

TJ KP

Tv

4 Td K P Ti (1 − 1 − 2 ) 2 K P Ti

4T TJ (1 − 1 − D ) TJ 2

Fig. 7.A1 Régulateur PID: paramètres.

Jean-Marc Allenbach

7–19

001208

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach

SAth7A.doc

7–20

001208

Asservissements linéaires

7.B

SAth7B.doc

ANNEXE: RÉGULATEURS ANALOGIQUES

7.B.1 Généralités Pour réaliser un régulateur analogique, on adoptera un montage à amplificateur qui permet de réaliser la fonction de transfert souhaitée dans une large gamme d'utilisation.

ui

ip1

–

ip2

+

ucm

Fig. 7.B01 Amplificateur opérationnel.

u cm = − A u i

(7.B01)

Hypothèses simplificatrices: • Amplification infinie A = ∞. • Courants de polarisations nuls ipi = 0. • Impédance de sortie nulle. • Impédances d'entrée infinies. On souligne que la sortie ucm est comprise entre –usat et +usat. Pour plus d'information, on se reporte au cours d'électronique [29].

7.B.2 Montage inverseur

Ze

Zf

ue

– +

ucm

R0

Fig. 7.B02 Amplificateur opérationnel en montage inverseur.

Pour déterminer la relation entre l'entrée et la sortie, on calcule le quotient des impédances de contre réaction et d'entrée. Les impédances (ou les admittances) sont calculées en appliquant les règles de calcul des circuits RLC.

U cm ( s) = −

Z f ( s) U ( s) Z e ( s) e

(7.B02)

On en déduit facilement la fonction de transfert. Jean-Marc Allenbach

7–21

020117

Asservissements linéaires

G R ( s) = −

SAth7B.doc

Z f ( s) Z e ( s)

(7.B03)

On obtient un quotient de polynômes en s, comme les fonctions de transfert des régulateurs décrits dans ce chapitre. Toutefois, le signe «–» dû au montage inverseur devra être corrigé par un moyen adéquat. On doit encore tenir compte du fait que la fonction de transfert du régulateur est exprimé en fonction des grandeurs physiques (consigne, mesure et signal de commande) alors que celle du montage à amplificateur opérationnel l'est en fonction des signaux électriques (tensions) qui représentent ces grandeurs. On ne doit pas oublier le facteur d'échelle correspondant. La résistance R0 est destinée à égaliser les courants de polarisation. On la calcule à partir des admittances à basse fréquence Yf0 et Ye0, obtenues en posant s = 0. Les amplificateurs opérationnels de conception récente peuvent se contenter d'une résistance R0 nulle. 1 (7.B04) = Ye0 + Yf0 R0 7.B.3 Régulateurs classiques

On propose ici quelques montages à amplificateurs opérationnels, basés sur le montage inverseur et réalisant les régulateurs étudiés aux sections 7.3 à 7.6. Le régulateur P est obtenu en choisissant comme impédances des résistances.

Fig. 7.B03 Régulateur P.

On a les relations: R G R ( s) = − 1 Re Re R1 R0 = Re + R1

(7.B05) (7.B06)

En choisissant arbitrairement une des deux résistances, on peut calculer l'autre d'après le gain de régulateur qu'on veut réaliser. On veillera à ce que la résistance d’entrée Re soit comprise entre 1 K et 1 M. Plus faible, cela risque de trop charger l’équipement amont, plus élevée cela transforme l’entrée en antenne qui capte toutes les perturbations ambiantes.

Jean-Marc Allenbach

7–22

020117

Asservissements linéaires

SAth7B.doc

Le régulateur PI est obtenu en une cellule RC pour l'impédance en contre-réaction.

Fig. 7.B04 Régulateur PI.

On a les relations: G R ( s) = − R0 = Re

1 + sR1 C1 s Re C1

(7.B07) (7.B08)

On choisit arbitrairement un des composants, en général C1 car les valeurs de capacité par décade sont en général moins nombreuses que pour les résistances. On peut calculer les autres d'après les paramètres de régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.21) et (7.B07). Le régulateur PID est obtenu en plaçant deux cellules RC, séparées par un suiveur, pour l'impédance en contre-réaction.

Fig. 7.B05 Régulateur PID: montage à deux ampliops.

Jean-Marc Allenbach

7–23

020117

Asservissements linéaires

SAth7B.doc

On a les relations: G R ( s) = − R0 = Re

(1 + sR1 C1 )(1 + sR2 C2 ) s Re C1

(7.B09) (7.B10)

On choisit arbitrairement les capacités. On peut calculer les résistances d'après les paramètres de régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.26) et (7.B09).

On peut aussi omettre le suiveur entre les deux cellules RC, ce qui simplifie la réalisation mais complique le calcul car les deux circuits RC sont alors couplés. On ne peut donc pas ajuster indépendamment les deux constantes de temps.

Fig. 7.B06 Régulateur PID: montage à un seul ampliop.

On a la relation: G R ( s) = −

(1 + sR1 C1 )(1 + sR2 C2 ) + sR2 C1 s Re C1

(7.B11)

Plutôt que d'exécuter des calculs fastidieux, on peut recourir à l'abaque 7.B07 pour déterminer les composants.

Jean-Marc Allenbach

7–24

020117

Asservissements linéaires

SAth7B.doc

Fig. 7.B07 Abaque pour déterminer les composants d'un régulateur PID: montage à un seul ampliop.

On utilise la procédure suivante: • On trace sur l'abaque une verticale passant par la valeur Tn/Tv donnée par la fonction de transfert calculée du régulateur. • On choisit un rapport C1/C2 qui offre une bonne définition de lecture, puis on choisit arbitrairement C1. • On lit en ordonnée les valeurs R2C2/Tv et R1C1/Tn qui permettent de déterminer R1 et R2. • On calcule Re par identification des dénominateurs.

Jean-Marc Allenbach

7–25

020117

Asservissements linéaires

SAth7B.doc

Pour un régulateur PD, on pourrait mettre une cellule RC comme impédance d'entrée, mais on préfère la placer sur la contre-réaction pour conserver une impédance d'entrée constante en fonction de la fréquence.

Fig. 7.B08 Régulateur PD.

On a les relations: R1 R1 C1 (1 + s ) 4 Re Re R1 R0 = Re + R1

G R ( s) = −

(7.B12) (7.B13)

On choisit arbitrairement la capacité. On peut calculer les résistances d'après les paramètres de régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.30) et (7.B12).

Pour un régulateur AP ou RP, on prend un régulateur PD précédé d'un filtre passif du premier ordre. Les cellules du régulateur sont ainsi bien découplées, ce qui ne serait pas le cas en plaçant simplement une capacité en parallèle sur la contre-réaction. L'ajustage des deux constantes de temps est ainsi indépendant. On accepte d'avoir une impédance d'entrée variable (du simple au double) en fonction de la fréquence.

Jean-Marc Allenbach

7–26

020117

Asservissements linéaires

SAth7B.doc

Fig. 7.B09 Régulateur AP ou RP.

On a les relations: R1 C1 1 + s R 4 G R ( s) = − 1 Re Ce Re 1+ s 4 Re R1 R0 = Re + R1

(7.B14)

(7.B15)

On choisit arbitrairement la capacité. On peut calculer les résistances d'après les paramètres de régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.30) et (7.B12). Un régulateur I n'a qu'une capacité comme contre-réaction.

Fig. 7.B10 Régulateur I.

On a la relation: G R ( s) = −

1

(7.B16)

s Re C1

On choisit arbitrairement la capacité. On peut calcule la résistance d'après la constante d'intégration du régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.36) et (7.B16).

Jean-Marc Allenbach

7–27

020117

Asservissements linéaires

SAth7B.doc

Un comparateur se construit également sur la base du montage inverseur.

Fig. 7.B11 Comparateur.

On a les relations: Rc Rc Ue = − Uw − U Ry y Rw

(7.B17)

On désigne par Kw et Ky les constantes qui lient les grandeurs de consigne et de mesure aux tensions Uw et Uy qui les représentent. U w = Kw w

et

U y = − Ky y

(7.B18)

On peut alors exprimer la tension représentant l'écart de réglage en fonction de celui-ci. Rc Rc U e = −( Kw w − K y) (7.B19) Rw Ry y On choisit arbitrairement la résistance de contre-réaction, puis on calcule les deux autres résistances. Rw = Rc K w U e = −( w − y )

et

Ry = Rc K y

(7.B20) (7.B21)

Enfin, régulateur et comparateur peuvent être combinés autour d'un seul amplificateur opérationnel, au quel cas il faut prendre une convention de signe différente de (7.B18) pour les tensions représentant les grandeurs physiques.

Jean-Marc Allenbach

7–28

020117

Asservissements linéaires

U w = − Kw w

SAth7B.doc

et

U y = Ky y

(7.B22)

Fig. 7.B12 Comparateur combiné avec un PI.

On a les relations: U cm =

Ti =

1 + s R1C1 1 + s R1C1 w− y Rw C1 Ry C1 s s R1 K w R1 K y

(7.B23)

Rw C1 Ry C1 = R1 K w R1 K y

Jean-Marc Allenbach

(7.B24)

7–29

020117

Asservissements linéaires

SAth7B.doc

7.B.4 Montage à bascule

Fig. 7.B13 Amplificateur opérationnel en montage à bascule.

Pour un tel montage, la sortie est toujours en saturation, tout changement de signe, même infime, de la tension différentielle provoque le basculement de la sortie vers l'autre saturation.

ucm ucm2 ue ub–uh ub ub+uh ucm1 Fig. 7.B14 Relation entrée–sortie pour un amplificateur opérationnel en montage à bascule.

Le point de basculement Ub est déterminé par les composants et la tension d'alimentation ±Ualim. Ub =

R2 − R3 U R2 + R3 alim

(7.B25)

L'hystérèse Uh est déterminée par les composants et les tensions de saturation ±Usat. Uh =

R0 U R0 + R1 sat

Jean-Marc Allenbach

(7.B26)

7–30

020117

Asservissements linéaires

SAth7B.doc

7.B.5 Régulateurs tout–ou–rien.

Le montage à bascule décrit au paragraphe précédent permet de réaliser un régulateur à deux positions. Si on ne veut pas l'hystérèse, il suffit de choisir R1 = ∞. Dans ce type de montage aussi, on a plus de composants que d'équations, ce qui nécessite un choix arbitraire de deux résistances. Pour un régulateur à trois positions, on combine deux montages à bascules et un additionneur.

ucm –ucm2 ue ub2–uh2 ub2 ub2+uh2

ub1–uh1

ub1 ub1+uh1

–ucm1 Fig. 7.B14 Relation entrée–sortie pour un régulateur à trois positions.

Fig. 7.B15 Régulateur à trois positions.

Jean-Marc Allenbach

7–31

020117

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach

SAth7B.doc

7–32

020117

Asservissements linéaires

CHAPITRE 8: DIMENSIONNEMENT DE RÉGULATEURS 8.1

INTRODUCTION

On rappelle la structure d'un système réglé, formé du système à régler S proprement dit avec son organe de commande OCM et du régulateur R. v w

F +

R

ucm

u

OCM

S

y

–

Fig. 8.1 Système asservi.

Le but du dimensionnement est de calculer un régulateur – compte tenu du système à régler – qui garantisse que le système asservi F (encadré en trait mixte) remplisse les conditions de fonctionnement requise par le cahier des charges. On peut trouver deux descriptions du comportement dynamique: Description dans le temps: La réponse indicielle (variation de la sortie du système dont l'entrée varie comme une fonction échelon unité) ne doit pas admettre de dépassement supérieur à D1max et son temps de réponse à 5 % doit être inférieur à trmax. y(t) D1max 1

t tr Fig. 8.2 Gabarit de réponse indicielle.

Description fréquentielle: Si on décompose le signal de consigne w selon Fourier, toutes les pulsations inférieures à ωp doivent être transmises sans altération au signal réel y et toutes les pulsations supérieures à ωb doivent être fortement atténuées. |Gcf(s)|

ω ωp

ωb

Fig. 8.3 Gabarit de réponse harmonique.

Jean-Marc Allenbach

8–1

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Asservissements linéaires

Au chapitre 6, on a étudié la stabilité et plus généralement le comportement dynamique d'un système en boucle fermée connu en fonction de la variation de certains de ses paramètres. Au chapitre 7, on a fait l'inventaire des régulateurs classiques et de leurs effets. Les méthodes décrites dans ce chapitre – choix du type de régulateur et calcul de ses coefficients – utilisent largement les notions mises en place aux chapitres précédents; on peut les classer en quatre catégories: 1. On ne dispose pas d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler, mais seulement de mesures sur celui-ci. On applique alors des méthodes pragmatiques qui ont fait leur preuve pour certaines catégories de comportements dynamiques des systèmes asservis (sect. 8.2). 2. On dispose d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler. On compense les pôles dominants de sa fonction de transfert à l'aide des zéros du régulateur qu'on choisit, puis on détermine le gain de ce régulateur en raisonnant dans le plan fréquentiel (critère de Bode) ou dans le plan de Nyquist (critère de la marge de phase) (sect. 8.3). Ces critères supposent un raisonnement fondé sur l'approximation du systèmes asservi par un système fondamental du premier ordre. 3. On dispose d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler. On impose les deux pôles dominants de la fonction de transfert du système asservi, approximé par un système fondamental du deuxième ordre, ils sont choisis d'après le comportement dynamique requis et le régulateur est construit de manière géométrique (sect. 8.4). 4. On dispose d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler. On impose la réponse harmonique du système asservi, optimisée pour s'inscrire dans le gabarit requis (module et argument). On en calcule la fonction de transfert du régulateur (sect. 8.5). Dans tous les cas, on commencera par une définition claire de la structure de réglage en détaillant les différents éléments et on aura recours en général à la linéarisation autour du point de fonctionnement nominal. On commencera par dimensionner les régulateurs des boucles intérieures lorsque la structures prévoit plusieurs boucles de réglage (sect. 8.A).

Jean-Marc Allenbach

8–2

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Asservissements linéaires

8.2

Dimensionnements

CRITÈRES EXPÉRIMENTAUX

8.2.1 Mesures typiques Dans certains cas, il n'est pas possible de déterminer facilement un modèle analytique de l'installation à régler. On n'a donc pas une connaissance mathématique, mais il faut bien avoir une certaine connaissance du système pour dimensionner son régulateur. Celle-ci est obtenue par une mesure sur l'installation réelle. La plus simple à mettre en œuvre est l'essai indiciel. u(t) = ε(t)

S

y(t)

Fig. 8.4 Essai indiciel: schéma-bloc.

On observe la réponse indicielle mesurée. u(t) y(t) Ks

1

t Tu

Tu+Ks*Tg

Fig. 8.5 Essai indiciel: mesure et temps caractéristiques.

On détermine le point d'inflexion (+) sur la réponse indicielle, et la tangente en ce point: les intersections de celle-ci avec l'axe du temps et avec la valeur asymptotique de la réponse indicielle permettent de définir deux temps caractéristiques Tu et Tg. Sur une mesure réelle, le tracé "manuel" de la tangente au point d'inflexion est très imprécise, et peut conduire à de très grandes variations de Tu. L'instant du point d'inflexion correspond à celui du maximum de la dérivée de la réponse indicielle (en pointillé sur la figure 8.5) et la valeur du maximum correspond par définition à la pente en ce point, donc 1/Tg. On aura donc avantage à mesurer la réponse avec un système d'acquisition de données – qui permet de calculer numériquement la dérivée – plutôt qu'avec un simple oscillographe. Les temps caractéristiques Tu et Tg s'obtiennent alors par simple calcul géométrique. Les critères décrits au paragraphes suivants s'appliquent bien pour des systèmes mesurés sans dépassement ou à dépassement très faible, faute de quoi les résultats obtenus seront assez loin des attentes. Certains systèmes ne peuvent pas supporter un tel essai; on leur appliquera donc un autre essai typique, en boucle fermée avec un simple amplificateur de gain g ajustable.

Jean-Marc Allenbach

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Asservissements linéaires

Dimensionnements

w(t) = 0 + –

y(t)

S

g

Fig. 8.6 Essai en limite de pompage: schéma-bloc.

On augmente le gain de l'amplificateur jusqu'à amener le système en boucle fermée en oscillation entretenues. Le système est alors en limite de stabilité: on parle d'un essai en limite de pompage. Lorsque le système est dans cette situation, on relève le gain g0 ajusté ainsi que la période T0 de l'oscillation.

T0

Fig. 8.7 Essai en limite de pompage: mesure et période caractéristique.

On peut exprimer la qualité d'un réglage avec des descriptions normalisées: les indices de performance. On définit ici l'un d'eux, l'indice de performance IAE. ∞

J IAE = ò e(t ) d t

(8.1)

0

Cet indice exprime la surface générée par la différence entre la valeur de consigne et la valeur réelle, l'écart de réglage: e(t) = w(t) – y(t). w(t) y(t)

t

Fig. 8.8 Indice de performance IAE.

Jean-Marc Allenbach

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Asservissements linéaires

Dimensionnements

8.2.2 Critère de Ziegler–Nichols On définit ce critère sur la forme "somme-gain" (7.25) de la fonction de transfert d'un régulateur PID qu'on rappelle en (8.2). G R ( s) = K P (1 +

1 + s TD ) s TJ

(8.2)

L'objectif du critère de Ziegler–Nichols est minimiser l'énergie de réglage, représentée par le critère de performance IAE. Celui-ci laisse libre le choix du type de régulateur. Comme on l'a vu au chapitre 7, on élimine le régulateur P si on veut garantir un écart statique nul et on choisit une composante D si on veut un temps de réglage court, et qu'on est dans un environnement pas trop bruité. Les paramètres de régulateurs ont été optimisés de manière expérimentale sur un grand nombre d'essais. Régulateur

Kp

TJ

TD

P PI PID

Tg/Tu 0,9 Tg/Tu 1,2 Tg/Tu

∞ 3,3 Tu 2 Tu

0 0 0,5 Tu

Fig. 8.9 Dimensionnement de Ziegler-Nichols après essai indiciel.

On peut aussi poursuivre le même objectif après un essai en limite de pompage. Régulateur

Kp

TJ

TD

P PI PID

0,5 g0 0,45 g0 0,6 g0

∞ 0,83 T0 0,5 T0

0 0 0,125 T0

Fig. 8.10 Dimensionnement de Ziegler-Nichols après essai en limite de pompage.

On remarque que le rapport des constantes de temps est de 4. Si on veut exprimer sous la forme quotient (voir annexe 7.A) un régulateur dimensionné par Ziegler–Nichols, on aura dans tous les cas Tn = Tv.

8.2.3 Critère de Chien–Hroner–Reswick On peut aussi rechercher comme objectif une réponse indicielle dont les oscillations seront amorties en moins d'une période: réponse indicielle apériodique. Souvent – mais pas toujours – ce dimensionnement donnera de faibles dépassements: 0 % < D1 < 10 %. Ce critère porte le nom de Chien–Hroner-Reswick, il a aussi été établi suite à de nombreux essais. Les valeurs sont basées sur les temps caractéristiques donnés par un essai indicielle sur le système à régler. On relève qu'un régulateur PID compact (sect. 7.5) n'est pas toujours réalisable avec un tel dimensionnement car on peut obtenir TJ plus petit que 4 TD (voir annexe 7.A), ce qui donnerait des valeurs de capacités ou résistances complexes!!! On utilisera alors un PID à structure parallèle (§ 7.6.6).

Jean-Marc Allenbach

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Asservissements linéaires

Dimensionnements

Régulateur

Kp

TJ

TD

P PI PID

0,3 Tg/Tu 0,35 Tg/Tu 0,6 Tg/Tu

∞ 1,2 Tg Tg

0 0 0,5 Tu

Fig. 8.11 Dimensionnement de Chien-Hroner-Reswick après essai indiciel.

8.2.4 Identification de processus On peut aussi établir un modèle analytique du système à régler à partir d'un essai indiciel sur celui-ci, comme le propose par exemple la méthode de Strejc (annexe 8.B) ou d'essais harmoniques sur le système seul en boucle ouverte. Il existe des stratégies plus avancées de modélisation et de validation de modèle, qui seront présentées de manière plus approfondie au chapitre 9. On opère par développement successifs du modèle en le comparant sur les plans fréquentiel et temporel avec le système réel jusqu'à superposition des comportements dynamique et harmonique de la réalité et de son modèle.

Jean-Marc Allenbach

8–6

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Asservissements linéaires

8.3

CRITÈRES SUR LA RÉPONSE HARMONIQUE EN BOUCLE OUVERTE

8.3.1 Méthode de Bode Pour guider l'exposé, on part de l'exemple d'un système à régler (organe de commande compris) du 3e ordre sans zéro. On choisit un régulateur PID dans l'intention de compenser par les zéros du régulateur les pôles principaux du système à régler. Ks (1 + s T1 )(1 + s T2 )(1 + s T3 )

Gs ( s ) =

(8.3)

avec T1 ≥ T2 >> T3 G R ( s) =

(1 + s Tn )(1 + s Tv ) s Ti

(8.4)

On calcule la fonction de transfert en boucle ouverte.

G o ( s) =

(1 + s Tn )(1 + s Tv ) K s s Ti (1 + s T1 )(1 + s T2 )(1 + s T3 )

(8.5)

En compensant exactement les pôles du système à régler (liés aux constantes de temps dominantes de son dénominateur) par les zéros du régulateur (liés aux constantes de temps de son numérateur) on se ramène à un système en boucle ouverte du 2e ordre de type intégral déjà étudié (§ 6.5.4) dont seul le gain Ks/Ti n'est pas déterminé (fig. 8.12). La constante de temps subsistante est appelée "petite constante de temps" (T3 = Tp). Tn = T1

et

Go ( s ) =

Tv = T2

(8.6)

Ks s Ti (1 + s Tp )

(8.7)

log|G(jω)| |GR(jω)| Ks

ω1 =

Tn Ti

1 1 = Tn T1

Ks Ti

logω ωc =

1 1 = Tv T2

1 T3

|Go(jω)| |Gs(jω)|

Fig. 8.12 Système à régler du 3e ordre et son régulateur: réponses harmoniques.

Jean-Marc Allenbach

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Asservissements linéaires

Le critère de Bode porte sur le rapport de deux pulsations: ωc qui est à la jonction d'un segment de pente –1 et d'une de pente –2 sur la réponse harmonique en boucle ouverte et la pulsation ω1 pour laquelle le module de cette réponse harmonique vaut 1. On a vu qu'il existe une relation entre le rapport de ces deux pulsations et le dépassement sur la réponse indicielle du système asservi. Ainsi, pour obtenir un dépassement de 4,3 % (réponse indicielle optimale), le tableau 6.A1 nous rappelle que ce rapport doit valoir 2. 1 Go ( jω1 ) = 1 = Go ( j ) = 2T p

Ks

(8.8)

1 1 j Ti 1 + j T 2 Tp 2 Tp p

Pour calculer le module d'un nombre complexe, on applique l'approximation maintenant bien connue qui consiste à prendre la plus grande des deux parties (complexe ou imaginaire). 1 = Go ( j

K 1 ) = s Ti 2 Tp 2 Tp

(8.9)

On met en évidence Ti, la seule grandeur encore inconnue. Ti = 2 K s Tp

(8.10)

Le temps de réponse à 5 % peut être tiré du tableau 6.A1 . tr ≅

4,2 = 4,2 Tp ωc

(8.11)

On choisit encore l'exemple d'un système à régler (organe de commande compris) du 2e ordre sans zéro. On choisit un régulateur PI dans l'intention de compenser par le zéro du régulateur le pôle principal du système à régler. G s ( s) =

Ks (1 + s T1 )(1 + s T2 )

(8.12)

avec T1 >> T2 G R ( s) =

1 + s Tn s Ti

(8.13)

Tn = T1

(8.14)

La constante d'intégration se calcule aussi selon la relation (8.10) et la fonction de transfert en boucle ouverte selon (8.7). Il ne faut pas se laisser tenter par le choix d'un PID permettant de compenser la deuxième constante de temps Tv = T2 dans le but d'obtenir un système stable quel que soit le gain 1/Ti. En effet, il existe certainement une constante de temps Jean-Marc Allenbach

8–8

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Asservissements linéaires

plus petite que T2, qu'on a délibérément négligée dans l'élaboration du modèle mathématique, ou même que l'on ignore en raison d'une connaissance trop superficielle du système à régler. Celle-ci amènerait une instabilité du système asservi si on s'avisait d'augmenter par trop le gain en boucle ouverte. De plus, il ne faut pas oublier que des gains élevés peuvent conduire à une saturation de la sortie du régulateur, ce qui rend caduc le raisonnement basé sur un fonctionnement linéaire. Système Gs ( s) = Ks (1 + s T1 )(1 + s Tp ) Ks (1 + s T1 )(1 + s T2 )(1 + s Tp )

Régulateur Tn

Ti

Tv

PI

T1

2 K s Tp

0

PID

T1

2 K s Tp

T2

Fig. 8.13 Dimensionnement de régulateur: critère pour une réponse indicielle optimale.

Pour obtenir des réponses indicielles avec d'autres valeurs de dépassement, on procède de même en lisant la 3e colonne (dépassement attendu) et la dernière colonne (rapport de pulsation ωc/ω1) du tableau 6.A1. Système Gs ( s) = Ks (1 + s T1 )(1 + s Tp ) Ks (1 + s T1 )(1 + s T2 )(1 + s Tp )

Régulateur Tn PI

T1

PID

T1

Ti ωc K T ω1 s p ωc K T ω1 s p

Tv 0 T2

Fig. 8.14 Dimensionnement de régulateur: critère de Bode.

Si on demande une réponse sans dépassement, on calcule la constante d'intégration. Ti = 4 K s Tp

(8.15)

Le temps de réponse à 5 % est alors plus élevé . t r ≅ 9 Tp

(8.16)

Certains cas d'application, notamment en électronique de faible puissance ou lorsqu'on est sûr que la consigne ne varie pas par à-coup mais selon une fonction mathématiquement continue, on peut admettre des dépassements supérieurs à 5 %. On peut alors choisir une réponse indicielle unipériodique qui a un dépassement de 17 %. Ti = K s Tp

(8.17)

Le temps de réponse à 5 % plus élevé, même si le temps de montée est plus court. t r ≅ 5 Tp

Jean-Marc Allenbach

(8.18)

8–9

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Asservissements linéaires

En résumé, la procédure pour le critère de Bode est la suivante, sur un système à régler décrit par une fonction de transfert rationnelle, dont tous les pôles et zéros sont à partie réelle négative: • On compense la ou les constante(s) de temps dominante(s) (pôle(s) dominant(s)) par la ou les constante(s) de temps du régulateur (zéro(s)). • On ne compense jamais la plus petite des constantes de temps connues. • On multiplie le produit du gain statique et de la petite constante de temps par le rapport des pulsations lu sur le tableau 6.A1 en regard du dépassement souhaité.

8.3.2 Zéros ou pôles supplémentaires Pour bien des cas, le système à régler n'a pas l'allure de ceux du tableau 8.14, mais une forme plus compliquée. On décrira ici à quelles conditions un système peut se ramener par approximation à l'un de ceux du tableau 8.14. On observera trois cas: • présence de zéros (degré du numérateur supérieur ou égal à 1) • présence de plusieurs petites constantes de temps • présence de plus de deux constantes de temps considérées comme dominantes.

Prenons comme exemple un système qui admet un zéro: G s ( s) =

K s (1 + s Tz ) (1 + s T1 )(1 + s T2 )(1 + s T3 )

(8.19)

avec T1 ≥ T2 >> T3

Trois cas sont à considérer: • Tz < T3/4 On peut alors approximer (1 + s Tz) par 1, car l'influence du zéro est faible pour les pulsation qui intéresse le réglage. • Tz > 8 T3 On peut simplifier le zéro avec le pôle le plus proche (correspondant par exemple à T2), en se souvenant que le dimensionnement de Bode a lieu pour une pulsation légèrement inférieure ou égale à 1/T3. On obtient une approximation de la fonction de transfert qui nous renvoie au tableau 8.14.Il faut toutefois souligner que la compensation imparfaite de Tz par T2 va influencer le comportement dynamique dans le sens d'un amortissement ou d'une suroscillation selon qu'une brève pente nulle ou une brève pente de – 2 sera insérée dans la pente de –1. G s ( s) =

K s Tz / T2 (1 + s T1 )(1 + s T3 )

(8.20)

• Tz voisine de T3 Il faut alors utiliser une approche plus fine portant sur le module et la phase plutôt que sur le module et sa pente, par exemple le critère de Nyquist (§ 8.3.6). Si la fonction de transfert d'ordre n admet plusieurs petites constantes de temps, on dimensionne le régulateur par rapport à une petite constante de temps équivalente. n

Tp =

å Tk

(8.21)

k =3

Jean-Marc Allenbach

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Asservissements linéaires

On se souvient que le rapport de pulsation est lié à la marge de phase, c'est pourquoi on a représenté la valeur de la phase de m petites constantes de temps et de l'approximation (8.20) qui n'est autre que le développement limité d'ordre 1 du polynôme d'ordre m.

G ( s) =

1 (1 + s Tk / m) m

m=1

m=2 m=3 m=4

0,5

Tk

Tk

Tk

Tk

Fig. 8.15 Phase provoquée par des petites constantes de temps et son approximation par une fonction du premier ordre.

On constate en effet, pour les pulsations inférieures à 0,5/Tk, que les écarts de phase entre la fonction et son approximation sont minimes; celle-ci est donc valide. Avec (8.21), on constate qu'on aurait pu choisir un PI plutôt qu'un PID pour régler le système (8.3) en garantissant aussi un dépassement de 5 %. Le temps de réponse aurait alors été plus long. t r ≅ 4,2 Tp = 4,2 (T2 + T3 )

au lieu de

4,2 T3

(8.22)

Prenons un exemple d'une fonction dont les constantes de temps sont dans un rapport de 10, qu'on règle avec un PI ou un PID pour une réponse indicielle optimale. Gs ( s) =

1 (1 + s 0,1)(1 + s 0,01)(1 + s 0,001)

(8.23)

Si on choisit un régulateur PID, on obtient un temps de réponse de 4,2 [ms] alors qu'avec un PI, on devra se contenter de 46,2 [ms]. Si le cahier des charges permet un temps de réponse assez long par rapport au système à régler, il vaut mieux se contenter d'un PI pour répondre de justesse au cahier des charges plutôt que de vouloir être beaucoup plus rapide. En effet, la composante dérivée a tendance à amplifier le bruit, qui peut être présent sur le signal mesuré, ce qui a des conséquences néfastes sur la qualité du réglage. On a représenté les réponses harmoniques pour ces deux cas. Jean-Marc Allenbach

8–11

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Asservissements linéaires

103 GPID(jω) 102

101

GPI(jω)

100

10–1 Go(pid)(jω) 10–2 Gs(jω)

Go(pi)(jω)

10–3

10–4 100

101

102

103

104

Fig. 8.16 Réponses harmoniques pour un système réglé soit par PI soit par PID.

Si la fonction de transfert admet plus de deux constantes de temps dominantes, la méthode la plus sûre est le réglage cascade. v w=w1

F

F2 +

R1

ucm1=w2

–

+

R2

ucm2

S2

y2=u1

S1

y1 = y

–

Fig. 8.17 Système asservi par réglage cascade.

Le système peut être décomposé en deux sous-systèmes: la grandeur physique de sortie du premier constitue l'entrée du second. Gs ( s) = Gs1 ( s) Gs2 ( s)

(8.24)

On commence par dimensionner le régulateur pour la boucle la plus intérieure pour garantir le comportement dynamique de la sortie du premier sous-système. Jean-Marc Allenbach

8–12

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Asservissements linéaires

On calcule le système à régler pour le régulateur suivant, G's1: mise en série du premier système asservi (dont on ne prend habituellement que le développement limité d'ordre 1) et du deuxième sous-système. G f2 ( s) =

G R2 ( s) Gs2 ( s) 1 + G R2 ( s) Gs2 ( s)

(8.25)

G ' s1 ( s) = G f2 ( s) Gs1 ( s)

(8.26)

Pour terminer, on dimensionne le régulateur suivant pour garantir le comportement dynamique de la sortie y. On peut aussi se contenter de ne compenser que les deux plus grandes constantes de temps par un PID. On obtient alors un temps de réponse relativement long selon la même réflexion que la comparaison entre PI et PID autour de la relation (8.22). t r ≅ 4,2 Tp = 4,2 (T3 + T4 +...)

(8.27)

On peut aussi insérer un correcteur avance de phase entre la sortie du régulateur PID et l'entrée du signal de commande. GAP ( s) =

1 + s Td 1 + s Tf

(8.28)

On utilise Td pour compenser la troisième constante de temps du système à régler et on choisit Tf dans le même ordre de grandeur que les petites constantes de temps du système à régler, selon le temps de réponse requis. Ce n'est qu'ensuite qu'on dimensionne la constante d'intégration Ti du régulateur PID, en fonction du dépassement requis à l'aide du tableau 6.A1. log|G(jω)| |GAP(jω)|

ω1 =

1 1 = Td T3

Ks Ti T3

1 2 (T4 + Tf ) 1 T4

logω 1 Tf

|Go(jω)| |GPIDGs(jω)|

Fig. 8.18 Système à régler du 4e ordre et son régulateur PID suivi de AP: réponses harmonique.

G R ( s) = G PID ( s) GAP ( s)

Jean-Marc Allenbach

(8.29)

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Asservissements linéaires

8.3.3 Petit retard pur L'électronique de puissance (hacheur, convertisseur de courant,...) introduit souvent un petit retard pur qui se traduit par une exponentielle dans la fonction de transfert. Cette fonction n'étant pas rationnelle, on ne peut pas appliquer le critère de Bode. Si le retard pur est nettement plus petit que les constantes dominantes du système à régler, on contourne la difficulté en approximant la fonction exponentielle par son développement limité d'ordre 1. e − s Tr =

1 e

s Tr

≅

1 1 + s Tr

(8.30)

La fonction de transfert étant devenue rationnelle, on peut légitimement y appliquer le critère de Bode. L'approximation est excellente pour les pulsations inférieures à ω = 1 /2 Tr.

1 1 + s Tr

e − s Tr 1

Tr

2 Tr

Tr

Tr

Fig. 8.19 Phase provoquée par un petit retard pur et son approximation par une fonction du premier ordre.

L'approximation du retard pur peut ensuite se combiner avec d'autres constantes de temps pour obtenir une petite constante de temps équivalente selon la relation (8.21). Si l'ordre de grandeur du retard pur est trop proche de celui des constantes dominantes, cette approximation ne convient pas. Il faut alors utiliser une approche n'imposant pas une fonction rationnelle portant sur le module et la phase plutôt que sur le module et sa pente, par exemple le critère de Nyquist (§ 8.3.6).

Jean-Marc Allenbach

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030514

Asservissements linéaires

8.3.4 Système à régler avec comportement intégral. On trouve fréquemment dans les réglages industriels des systèmes à comportement intégral. Les règles des paragraphes précédents ne s'y appliquent pas de manière immédiate. Pour conduire la réflexion, on étudie un système intégral simplifié à l'extrême: une cellule du premier ordre suivie d'une intégration. La perturbation intervient entre les deux blocs.

Gcm ( s) =

1 1 + s Tp

(8.31)

Gs1 ( s) =

1 s T1

(8.32)

Gs ( s) = Gcm ( s) Gs1 ( s) =

1 s T1 (1 + s Tp )

(8.33)

Go ( s) = GR ( s) Gs ( s)

(8.34)

v w

F +

R

u

ucm

OCM

+ +

S1

y

–

Fig. 8.20 Système asservi à comportement intégral.

On est tenté de se contenter d'un simple régulateur P pour lequel on ajuste le gain Kp afin de garantir une réponse harmonique en boucle ouverte dont le module vaille 1 pour la pulsation 1/2Tp. Pour une variation de consigne, on garantit le bon comportement dynamique et un écart statique nul grâce à la présence d'une intégration dans le système à régler. En revanche, dès qu'une perturbation apparaît, le régulateur ne parvient plus à rattraper l'écart de réglage. Pour étudier le comportement dynamique, il faut calculer les fonctions de transfert en boucle fermée par rapport à la consigne (indice c) et par rapport à la perturbation (indice p). G o ( s) 1 + G o ( s) Gs1 ( s) Gpf ( s) = 1 + Go ( s) Gcf ( s) =

(8.35) (8.36)

Si on veut corriger l'erreur due à une perturbation, on a besoin d'une composante intégrale au régulateur: on choisit un PI. Go ( s) =

1 + s Tn s Ti s T1 (1 + s Tp )

(8.37)

On choisit une valeur de Tn plus grande que Tp, de manière à garantir un tronçon de pente –1 sur la réponse harmonique en boucle ouverte.

Jean-Marc Allenbach

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030514

Asservissements linéaires

log|G(jω)|

ω1 =

Tn Ti T1

1 Tn

logω ωc =

1 Tp

|Go(jω)| Fig. 8.21 Système à régler à comportement intégral avec PI: réponse harmonique en boucle ouverte.

Pour un dépassement optimal, on choisit ω1 = 0,5 ωc = 1/(2 Tp). T 1 = n 2 Tp Ti T1

(8.38)

On ne peut pas en tirer la valeur de Ti, mais seulement le rapport Ti/Tn . Ti 2 Tp = Tn T1

(8.39)

Si on exprime Ti à l'aide de (8.39) et qu'on l'introduit dans (8.37), on obtient une expression dépendante de Tn. Go ( s) =

1 + s Tn s 2 Tp s Tn (1 + s Tp )

(8.40)

On étudie les réponse harmoniques en fonction de la valeur de Tn rapportée à Tp: pour des rapports de 4, 30 et 150. Pour faciliter le calcul des réponse harmoniques en boucle fermée, on approxime le module d'une somme au plus grand des deux termes, par analogie au calcul du module d'un nombre complexe. On constate que pour la réponse harmonique en boucle fermée par rapport à la consigne, le choix de Tn n'a pas d'influence: on a un gain de 1 jusqu'à la pulsation 1/2 Tp, du moins avec les approximations utilisées. On peut déduire que le choix de Tn n'a pas d'influence sur la comportement dynamique. On constate que pour la réponse harmonique en boucle fermée par rapport à la perturbation, le choix de Tn a une influence sur la gain à basse fréquence: plus la valeur est petite, plus le gain est faible. On peut déduire que le choix d'une faible valeur de Tn permettra une meilleure atténuation de l'effet de la perturbation en régime établi, et que l'effet sera plus rapidement corrigé. Les essais en simulation (fig. 8.24) le confirment de manière explicite.

Jean-Marc Allenbach

8–16

030514

Asservissements linéaires

log|G(jω)| 1 1 = Tn 30 Tp ω1 =

Tn Ti T1

ωc =

1 Tp

logω

1 1 + Go (jω )

1 1 = Tn 150 Tp 1 1 = Tn 4 Tp

|Go(jω)|

|Gs1(jω)|

Fig. 8.22 Système à régler à comportement intégral avec PI: réponses harmoniques en boucle ouverte.

logω

log|G(jω)| ωc =

1 Tp

|Gcf(jω)|

|Gpf(jω)| Fig. 8.23 Système à régler à comportement intégral avec PI: réponses harmoniques en boucle fermée pour la consigne et la perturbation.

3 2

1

t Tp

Tn/Tp=

1: 4

2: 30

3: 150

Fig. 8.24 Système à régler intégral avec PI: réponse indicielle en boucle fermée pour la perturbation.

Jean-Marc Allenbach

8–17

030514

Asservissements linéaires

1

2

3

4

t Tp

Tn/Tp= Tn/Tp=

1: 4 4: 4

2: 30

3: 150

sans filtre de consigne avec filtre de consigne à Tlc =1,1 Tn

Fig. 8.25 Système à régler intégral avec PI: réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne.

La réponse indicielle pour la consigne réserve des surprises: pour une valeur élevée de Tn, le comportement correspond à notre attente, un dépassement voisin de 5 % et un temps de réponse proche de 4,2 Tp (7 Tp si on considère que le dépassement est légèrement supérieur à 5 %). Pour Tn = 4Tp, le dépassement est supérieur à 40 % et le temps de réponse est voisin de 15 Tp. Si on se reporte à la figure 8.22, on s'aperçoit que les hypothèses du critère de Bode sont loin d'être réunies: la pente de –1 ne s'étend pas jusqu'à –∞ à gauche de la pulsation ωc, mais une zone de pente –2 en est toute proche, qui influence le comportement par une suroscillation. Si on sait que la consigne ne varie pas rapidement, on peut garder ce dimension-nement, sinon, on remédie à ce problème en plaçant un filtre de lissage sur la consigne. Glc ( s) =

1 1 + s Tlc

avec Tlc ≅ Tn

(8.41)

v

F

w

w'

LC

+

R

ucm

u

OCM

+ +

S1

y

–

Fig. 8.26 Système asservi à comportement intégral avec filtre de lissage sur la consigne.

Jean-Marc Allenbach

8–18

030514

Asservissements linéaires

On vérifie le résultat sur la courbe 4 de la figure 8.25, le temps de réponse est voisin de 8 Tp. En raisonnant sur la fonction de transfert en boucle fermée, à partir de (8.35), on remarque qu'on ne peut pas assimiler le système sans filtre de lissage à un système fondamental du 2e ordre. 1 + s Tn 2

Gcf ( s) =

s 2 Tn Tp (1 + sTp ) 1 + s Tn

1+ 2 s 2 Tn Tp (1 + sTp )

=

1 + s Tn

(8.42)

1 + s Tn + s 2 2 Tn Tp + s 3 2 Tn Tp 2

La présence du zéro en –1/Tn provoque la suroscillation constatée sur la courbe 1. Avec le filtre de consigne (8.41), le zéro est compensé et la suroscillation est atténuée. L'hypothèse du système fondamental du 2e ordre est cette fois vérifiée. Gcf ( s) =

1 1 + s Tn + s 2 2 Tn Tp + s 3 2 Tn Tp 2

≅

1

(8.43)

1 + s Tn + s 2 2 Tn Tp

On peut étendre ce dimensionnement à des systèmes à régler dont la constante de temps dominante T1 est vraiment grande par rapport à la dynamique souhaitée du système asservi. On peut alors considérer qu'il s'agit d'un comportement intégral qui n'est absent qu'aux très basses pulsations.

Système Gs ( s ) = Ks s (1 + sTp ) Ks (1 + sT1 )(1 + sTp ) Ks s (1 + sT2 )(1 + sTp ) Ks (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sTp )

Régulateur

Tn

Ti

Tv

PI

4Tp

8 K s Tp 2

0

PI

4Tp

8 K s Tp 2 / T1

0

PID

4Tp

8 K s Tp 2

T2

PID

4Tp

8 K s Tp 2 / T1

T2

Fig. 8.27 Dimensionnement de régulateur: critère de Bode pour comportement intégral.

8.3.5 Méthode de Nyquist Très proche de celle de Bode, cette méthode n'impose pas pour le système à régler une fonction rationnelle. En compensant exactement les pôles du système à régler (liés aux constantes de temps dominantes de son dénominateur) par les zéros du régulateur (liés aux constantes de temps de son numérateur) on se ramène à un système en boucle ouverte du 2e ordre de type intégral (8.7) dont seul le gain Ks/Ti n'est pas déterminé. De là, on fait tracer la réponse harmonique en boucle ouverte pour une valeur arbitraire de Ti, seule grandeur inconnue à ce moment (fig. 8.28). On mesure alors le module pour le point de cette fonction dont la phase est définie par l'avant-dernière colonne à gauche du tableau 6.A1. Il ne reste qu'à multiplier la valeur arbitraire Ti par ce module pour obtenir la valeur nécessaire Ti.

Jean-Marc Allenbach

8–19

040224

Asservissements linéaires

ϕm Go ( jω )

Fig. 8.28 Système à régler du 3e ordre et son régulateur: réponse harmonique.

8.3.6 Retour non unité La fonction de transfert de l'organe de mesure ne peut pas toujours être négligée. Elle peut par exemple introduire un retard du premier ordre.

v w

F +

R

ucm

u

OCM

y

S

– ym

1 1 + s Tmes

Fig. 8.29 Système asservi avec mesure filtrée.

Dans ce cas-là, si on applique les règles habituelles du critère de Bode (§ 8.3.1), on garantit le comportement dynamique de ym et non celui de y. On modifie le schéma pour faire apparaître un retour unité. v w

F +

R

ucm

OCM

u

S

–

y

1 1 + s Tmes

ym

1 + s Tmes 1

y

ym

Fig. 8.30 Système asservi avec mesure filtrée: schéma équivalent.

Jean-Marc Allenbach

8–20

030514

Asservissements linéaires

On exprime la fonction de transfert en boucle fermée de la figure 8.30. Gcf ( s) =

G o ( s) (1 + s Tmes ) 1 + G o ( s)

(8.44)

Go ( s) = GR ( s) Gcm ( s) Gs ( s) Gmes ( s) avec Gmes ( s) =

1 1 + s Tmes

(8.45)

On constate qu'il apparaît un zéro –1/Tmes, ce qui va provoquer une suroscillation sur la réponse indicielle de y comme on l'a vu au paragraphe 8.3.4. En filtrant la grandeur de consigne avec un filtre de même fonction de transfert que l'organe de mesure, on compense le zéro et on retrouve le réglage correct de la grandeur physique réelle plutôt que celui de sa mesure. Il est à noter que la fonction de transfert pour la perturbation n'est pas affectée par le retour unité ou non unité (8.36). v w

F 1 1 + s Tmes

w'

+

R

ucm

OCM

u

S

y

– ym

1 1 + s Tmes

Fig. 8.31 Système asservi avec mesure filtrée et correction de la consigne.

8.3.7 Exemples La fonction de transfert d'un système est donnée, on demande de l'asservir par un régulateur de manière à obtenir une réponse indicielle optimale en un temps de réponse maximal de 420 [ms].

Gs ( s ) =

3(1 + s 0,3333) (1 + s 0,5)(1 + s 0,4 )(1 + s 0,2 )(1 + s 0,1)

(8.46)

On simplifie le zéro du système à régler par son pôle le plus proche (§8.3.2). G s ( s) ≅

2,5 (1 + s 0,5)(1 + s 0,2)(1 + s 0,1)

(8.47)

On compense les constantes de temps dominantes (0,5 et 0,2 [s]) par celles du régulateur en on calcule la constante d'intégration selon la relation (8.10) en prenant 0,1 [s] comme petite constante de temps. La fonction de transfert du régulateur est ainsi déterminée. Jean-Marc Allenbach

8–21

030514

Asservissements linéaires

G R ( s) =

(1 + s 0,5)(1 + s 0,2) s 0,5

(8.48)

On peut prévoir un temps de réponse de 4,2 Tp = 420 [ms]. Il ne reste plus qu'à vérifier le comportement en simulation (fig. 8.31). On voit immédiatement que le dépassement est un peu plus élevé que les 5 % requis, ce qui allonge notablement le temps de réponse, le portant à plus de 800 [ms]. Ceci est dû à l'approximation qu'on à faite en simplifiant un zéro par le pôle proche. En réalité, le zéro est bien présent. L'influence se fait d'autant plus ressentir sur le comportement dynamique que les deux pulsations correspondantes sont voisine de la pulsation de dimensionnement ω1 (1/0,2[rad/s]). Si le pôle et le zéro qui se compensent partiellement étaient éloignés d'un facteur supérieur à 10 au lieu d'être inférieur à 2, l'inexactitude de la compensation n'aurait quasiment pas d'influence. Pour ce système, il suffit de choisir une constante d'intégration un peu plus élevée – par exemple 0,8 [s] pour que le dépassement soit inférieur à 5 % et le temps de réponse considérablement raccourci.

consigne

sortie du régulateur grandeur réglée

Fig. 8.32 Système à régler (8.46) avec PID (8.48): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne.

Pour la méthode de Nyquist, on fait tracer la réponse harmonique en boucle ouverte pour Ti = 1[s] (fig. 8.33). Pour 5 % de dépassement, le tableau 6.A1 nous indique une marge de phase de 63,5°, on recherche donc sur la courbe le point de phase – 116,5°. On lit un module de 0,6221, on en calcule Ti = 0,62 [s]. La fonction de transfert du régulateur est ainsi déterminée. G R ( s) =

(1 + s 0,5)(1 + s 0,2) s 0,62

Jean-Marc Allenbach

(8.49)

8–22

030514

Asservissements linéaires

Fig. 8.33 Système à régler (8.46) avec PID: réponse harmonique en boucle ouverte.

consigne

grandeur réglée

sortie du régulateur

Fig. 8.34 Système à régler (8.46) avec PID (8.49): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne.

Pour le dimensionnement par Nyquist, on peut constater un dépassement un peu plus faible et un temps de réponse un peu plus long que par Bode, mais l'allure générale est voisine.

Jean-Marc Allenbach

8–23

030514

Asservissements linéaires

8.3.8 Considérations globales Dans toute cette section, on suppose que le fonctionnement reste linéaire. Avec les gains élevés et la composante dérivée, il arrive fréquemment que la sortie ucm du régulateur soit saturée pendant un moment. Si tel est le cas, tous les raisonnements tenus jusqu'ici sur le temps de réponse et le dépassement perdent une partie de leur validité. Les indications du tableau 6.A1 ne trouvent plus les hypothèses qui ont permis leur établissement. A titre d'exemple, on a appliqué une limitation de ±10 [V] à la sortie du régulateur (8.48) pour obtenir la réponse indicielle donnée à la figure 8.35. On constate que le dépassement est dans ce cas plus élevé que si la sortie peut prendre transitoirement des valeurs très élevées. Il est difficile de prévoir d'avance si la limitation va rendre le système plus oscillatoire ou plus mou.

consigne

grandeur réglée

sortie du régulateur

Fig. 8.35 Système à régler (8.46) avec PID (8.48): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne avec limitation de la sortie du régulateur (±10 [V]).

Jean-Marc Allenbach

8–24

030514

Asservissements linéaires

8.4

CRITÈRES SUR LES PÔLES

8.4.1 Déformation du lieu Connaissant le lieu de pôles et des zéros d'un système en boucle ouverte, on peut calculer le lieu des pôles en boucle fermée en faisant varier le gain k0 en boucle ouverte. On utilise volontiers un calcul numérique par ordinateur pour obtenir ce tracé, mais on peut avoir recours à une méthode manuelle de tracé (section 5.5). L'emplacement des pôles du système en boucle fermée détermine le comportement dynamique de celui-ci (section 6.6). On peut modéliser le système à régler par une fonction de transfert exprimée sous la forme d'Evans. m

∏ (s − z j ) j =1

G s ( s) = k s n

(8.50)

∏ ( s − pi ) i =1

La fonction de transfert en boucle ouverte est le produit de celle du système et de celle du régulateur. Le facteur d'Evans k0 en boucle ouverte est déduit de celui du système à régler et du facteur d'Evans kR du régulateur.. G 0 ( s) = GR ( s ) Gs ( s) = k 0

k0 = k R ks

N 0 ( s) D0 ( s)

(8.51) (8.52)

On déduit les pôles en boucle fermée à partir de la fonction en boucle ouverte.

G cf ( s) =

k 0 N 0 ( s) k 0 N 0 ( s) + D0 ( s)

(8.53)

Au chapitre 7, on a fait l'inventaire des régulateurs. On se propose ici de les décrire en termes de «pôles et zéros» en observant la déformation qu'ils induisent sur le lieu de pôles en boucle fermée par rapport à celui du système à régler. Un régulateur P est caractérisé par une fonction de transfert sans pôle ni zéro, il ne fait que corriger le gain en boucle ouverte comme facteur du gain du système à régler. G P ( s) = K p

(8.54)

k R = Kp

(8.55)

Un régulateur PI introduit un pôle (à l'origine) et un zéro, et corrige le gain. G PI ( s) =

T kR = n Ti

1 + s Tn s − zn = kR s Ti s−0 1 zn = − pR = 0 Tn

Jean-Marc Allenbach

(8.56)

(8.57)

8–25

020709

Asservissements linéaires

Un régulateur PID introduit un pôle (à l'origine) et deux zéros, et corrige le gain. (1 + s Tn )(1 + s Tv ) ( s − z n )( s − z v ) = kR s Ti s−0 T T 1 1 kR = n v zn = − zv = − pR = 0 Ti Tn Tv

G PID ( s) =

(8.58) (8.59)

Un régulateur PD introduit un zéro et corrige le gain. G PD ( s) = K P (1 + s TD ) = k R ( s − z D ) 1 k R = K P Tv zD = − TD

(8.60) (8.61)

Un régulateur AP ou RP introduit un pôle et un zéro, et corrige le gain. GAP ( s) = K P

T kR = n Ti

1 + s TD s − zD = kR 1 + s TF s − pR 1 1 zD = − pR = − TD TF

(8.62) (8.63)

Les régulateurs classiques introduisent donc un ou deux zéros, et peuvent également introduire un pôle, souvent à l'origine. Il est judicieux de bien percevoir ici comment l'adjonction d'un pôle ou un zéro en boucle ouverte – dus à la mise en place d'un régulateur – influence l'allure du lieu des pôles en boucle fermée. Pour cela, on utilisera les cartes des pôles en boucle fermée obtenus par calcul numérique plutôt qu'une démonstration mathématique ardue. On part à chaque fois du système à régler pour lequel seul le gain varie (a) auquel on ajoute un zéro en différents emplacement (Fig. 8.37 b à d) ou auquel on ajoute successivement un nouveau pôle (Fig. 8.36 b à c). Im

Im

Im Re

Re Re

p1

a

p2

p1

b

p2

p1

p3

c

Fig 8.36 Influence de l'adjonction de pôles sur le lieu des pôles en boucle fermée.

Plus on ajoute de pôles, plus le lieu des pôles est déplacé sur la droite. Un pôle supplémentaire a donc tendance à déstabiliser le système en boucle fermée. On a vu que l'exigence d'écart statique nul impose un système à comportement intégral en boucle ouverte. Ceci conduit le plus souvent au choix d'un régulateur avec composante intégrale qui introduit un pôle à l'origine, ce qui a donc tendance à déstabiliser le système ainsi qu'on vient de le voir.

Jean-Marc Allenbach

8–26

020709

Asservissements linéaires

Im

Im

Re

Re p2

p1

z1

p3

p2

p1

p3

b

a

Im

p 2 z1 p 1

Im

p3

p2

c

p 1 z1

p3

d

Fig 8.37 Influence de l'adjonction d'un zéro sur le lieu des pôles en boucle fermée.

Plus le zéro supplémentaire est placé proche de l'origine, plus le lieu des pôles est déplacé sur la gauche. Un zéro supplémentaire a donc tendance à stabiliser le système en boucle fermée.

8.4.2 Hypothèses de calcul

On a pu déterminer la relation qui existe entre l'emplacement des pôles et le comportement dynamique d'un système fondamental du deuxième ordre (§ 4.5.2). Le cahier des charges pour le comportement dynamique du système réglé est souvent exprimé en terme de dépassement maximal D1max sur la réponse indicielle et de temps de réponse maximal trmax. On en déduit les valeurs limites ρ et Ψ du contour d'Evans qui bornent la portion du plan dans laquelle tous les pôles doivent se trouver.

ρ≅

3

(8.64)

t r max

Ψ = arctan(

− ln( D1max )

π

(8.65)

)

Le tableau 6A donne des valeurs plus précises de ρ et donne celles de Ψ pour quelques valeurs typiques de D1max. La méthode de dimensionnement décrite au paragraphe suivant est basée sur l'hypothèse que le système en boucle fermée obtenu peut être approximé par un système fondamental du deuxième ordre, dont on impose le pôle pf1 (et son conjugué pf2). Les autres pôles et les zéros sont donc considérés comme négligeables.

Jean-Marc Allenbach

8–27

020709

Asservissements linéaires

Im

pf1

ψ

Re –ρ

Fig 8.38 Placement d'un pôle dominant en boucle fermée.

Après calculs et essais, l'expérience montre que – si les pôles pf1 et pf2 font en effet partie des pôles en boucle fermée – l'hypothèse de départ n'est pas vérifiée dans tous les cas. On peut avoir d'autre pôles ou des zéros qui ne sont pas négligeables par rapport à ceux qu'on a choisis. Cependant, on continue à appliquer cette méthode car la relation mathématique entre le comportement dynamique du système est la place de ses n pôles et m zéros est trop lourde à manier. 8.4.3 Méthode de calcul Si le cahier des charges impose un écart statique nul, on doit garantir une composante intégrale pour la fonction de transfert en boucle ouverte (§ 7.3.2). On choisira donc un régulateur qui contient un pôle à l'origine pR = 0. La méthode de dimensionnement se décompose comme suit:

1. On écrit la fonction de transfert du système à régler sous la forme factorisée d'Evans, ce qui met en évidence le facteur d'Evans ks, les pôles et les zéros. 2. On place dans le plan complexe les pôles et les zéros du système à régler et – s'il y a lieu – le pôle à l'origine dû au régulateur. 3. On place un pôle dominant du système en boucle fermée pf1 à l'aide de ρ et Ψ. 4. On applique la condition des angles (5.32) pour déterminer les zéros du régulateur. On rappelle que αj est l'angle que forme avec l'horizontale le vecteur qui relie pf1 à un zéro en boucle ouverte et βi l'angle que forme avec l'horizontale le vecteur qui relie pf1 à un pôle en boucle ouverte. A priori, pour un régulateur à composante intégrale, on choisit un PID. n

m

i =1

j =1

α n + α v = 180°+ βR + ∑ βi − ∑ α j

Jean-Marc Allenbach

(8.66)

8–28

020709

Asservissements linéaires

On rappelle qu'il s'agit d'une somme modulo 360°. S'il n'y a pas de zéros, αj = 0.Une des deux valeurs d'angle devra être choisie arbitrairement. Si la somme est petite – inférieure à Ψ + 90° – on peut choisir αv = 0 et le PID se réduit à un PI. A priori, pour un régulateur sans composante intégrale, on choisit un PD, les AP sont réservé à des cas particuliers. n

m

i =1

j =1

α D = 180°+ ∑ βi − ∑ α j

(8.67)

5. Les intersections entre l'axe réel et les droites passant par pf1 et d'angle αn, αv ou αj définissent les zéros zn, zv ou zD. On déduit les constantes de temps de (8.59) ou (8.61). 6. On calcule le facteur d'Evans en boucle ouverte k0 par la condition des modules (5.31). n

p f1 k0 =

∏ pf1 − pi i=1

m

p f1 − z n p f1 − z v

pour un PID

(8.68)

∏ pf1 − z j j=1

n

∏ pf1 − pi k0 =

i=1

p f1 − z D

m

pour un PD

(8.69)

∏ pf1 − z j j=1

En l'absence de zéro au système à régler, |pf1 – zj| = 1. 7. On termine la séquence en calculant la constante d'intégration ou le gain du régulateur. ks Ti = Tn Tv pour un PID (8.70) k0 k0 KP = pour un PD (8.71) TD k s

8.4.4 Exemples

On connaît un premier système à régler par sa fonction de transfert. Gs ( s) =

3(1 + s 0,3333) (1 + s 0,5)(1 + s 0,4 )(1 + s 0,2 )(1 + s 0,1)

(8.72)

On demande de l'asservir par un régulateur de manière à obtenir une réponse indicielle optimale en un temps de réponse maximal de 420 [ms], sans écart statique. On applique à cet exemple la séquence décrite au paragraphe précédent. 250 ( s + 3) (8.73) 1. Forme d'Evans: Gs ( s) = ( s + 2)( s + 2,5)( s + 5)( s + 10) facteur d' Evans: k s = 250 zéros: z1 = −3 poles: p1 = −2; p1 = −2,5; p1 = −5; p1 = −10 (8.74) 2. On place les pôles et les zéros du système à régler, plus le pôle du régulateur à l'origine sur la figure 8.39. Jean-Marc Allenbach

8–29

020709

Asservissements linéaires

3. ψ = arctan(

− ln( 0,043)

π

) = 45°

(8.75)

3 =7 0,420 On a le pôles dominant: p f1 = −7 ± j 7 4. α n + α v = 180°+135°+126°+123°+105°+67°−120° = 256° On choisit arbitrairement αv pour compenser le pôles dominant: (8.79) On déduit αn : (8.80)

ρ=

(8.76) (8.77) (8.78)

α v = 126° α n = 130°

5.

p

f1

ψ

β

p

β

4

ρ 4

p

β

3

3

z

1

2

p

2

β =α 1

α

v

p =z z 1

v

β

n

n

p

R

R

Fig. 8.39 Lieu des pôles et dimensionnement du régulateur pour le système (8.72).

z v = −2 et z n = −11 , Tv = 0,5 et Tn = 0,909 9,9 8,5 8,3 7,3 7,6 = 61,8 6. k 0 = 8,5 9,1 8,1 250 = 1,82 7. Ti = 0,5 0,909 61,8

(8.81) (8.82) (8.83) (8.84)

On en déduit la fonction de transfert du régulateur. G R ( s) =

(1 + s 0,9)(1 + s 0,5) s 1,82

Jean-Marc Allenbach

(8.85)

8–30

020709

Asservissements linéaires

On peut comparer avec les régulateurs obtenus pour le même cahier des charges par les méthodes de Bode (8.48) et Nyquist (8.49). On vérifie le comportement dynamique obtenu en simulation. 1.2

consigne

1

grandeur ré glé e

0.8

0.6

0.4

0.2

0

sortie du ré gulateur 0

1

2

3

4

5

Fig. 8.40 Système à régler (8.72) avec PID (8.85): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne.

On observe une réponse indicielle fort différente de celle attendue: pas de dépassement et temps de réponse environ de 2,8 [s]. Pour essayer de comprendre ce qui se passe, on fait calculer par MATLAB tous les pôles en boucle fermée du système asservi, pour K0 = 1. 3*(1+0.333*s)*(1+0.5*s)*(1+0.9*s) Diagramme de Evans: Go(s)= Ko -------------------------------------------------------------------1.82*s*(1+0.5*s)*(1+0.4*s)*(1+0.2*s)*(1+0.1*s) 8 o zé ros x pô les en b.o. 6 + pô les en b.f. 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10

-8

-6

-4

-2

0

Fig. 8.41 Système à régler (8.72) avec PID (8.85): lieu de pôles en boucle ouverte et fermée.

Jean-Marc Allenbach

8–31

020709

Asservissements linéaires

On vérifie que le calcul manuel est juste: on a bien une paire de pôles en –7 ± 7j, mais il y en a d'autres: deux pôles en –2 et –3 sont superposés à des zéros qui annulent leur effet et le cinquième pôle est en –0,8, très mal compensé par le zéro en –1,1. Le cinquième pôle est le plus proche de l'origine: c'est en fait le pôle dominant qui à lui seul induirait un temps de réponse de 3,8 [s], mais la présence du zéro en –1,1 et dans une moindre mesure celle des pôles complexes limite le temps de réponse à 2,8 [s]. L'hypothèse d'un système asservi assimilable à un deuxième ordre défini par les pôles choisi en (8.77) n'est donc ici pas vérifiée! Dans cet exemple précis, les dimensionnements pour le même système et le même cahier des charges par Bode (fig. 8.32) ou par Nyquist (fig. 8.34) donnent des résultats plus proches de ce qu'on attend. Plutôt qu'un calcul manuel et géométrique, on peut faire exécuter les calculs par un calculateur numérique, par exemple sous MATLAB. Le logiciel interactif ReguPole a été développé à cette fin au Laboratoire d'Automatique de l'eig.. On l'utilise pour le même dimensionnement:

Fig. 8.42 Système à régler (8.72) : entrée des données et du cahier des charges.

On doit ensuite choisir la structure du réglage, simple (dans notre cas) ou en cascade et spécifier le type de régulateur choisi. Le régulateur est ensuite calculé de manière numérique selon les mêmes équations, et les angles et modules des vecteurs sont aussi déterminés numériquement. Le résultat est donner, en laissant à l'utilisateur le loisir de modifier le choix arbitraire de zv.

Jean-Marc Allenbach

8–32

020709

Asservissements linéaires

Fig. 8.43 Lieu des pôles et dimensionnement numérique du régulateur pour le système (8.72).

On peut ensuite vérifier la réponse indicielle:

Fig. 8.44 Système à régler (8.72) avec PID (8.85): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne.

On observe le même résultat qu'en calcul manuel. On peut corriger le résultat en modifiant légèrement les valeurs du cahier des charges: 0,5 au lieu de 0,42 [s]. Jean-Marc Allenbach

8–33

020709

Asservissements linéaires

Fig. 8.45 Système à régler (8.72) avec PID (8.85): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne après modification des données.

Le cahier des charges est respecté. L'explication se trouve dans le lieu des pôles: les pôles en boucle fermée issus de pR et p2 sont suffisamment proches de z1 et zn pour être compensés. Le pôle en en boucle fermée pf1 est issu des pôles p3 et p4 en boucle ouverte.

Fig. 8.46 Lieu des pôles modifié et dimensionnement numérique du régulateur pour le système (8.72).

Jean-Marc Allenbach

8–34

020709

Asservissements linéaires

On en déduit la fonction de transfert du régulateur. G R ( s) =

(1 + s 0,275)(1 + s 0,5) s 0,6

(8.86)

Par rapport aux méthodes de Bode ou Nyquist, celle d'Evans peut paraître lourde. quoique facilement programmable, comme on vient de le constater. Contrairement aux autres méthodes, Evans n'impose pas que les système à régler soit stable pour pouvoir dimensionner un régulateur, on va donc traiter un exemple de système instable en boucle ouverte: G s ( s) =

1 (1 − s)(1 + s)(1 + s 0,2)

(8.87)

On demande un écart statique nul, un dépassement voisin de 4 % et un temps de réponse voisin de 4 [s]. On écrit la fonction de transfert sous forme d'Evans: G s ( s) =

−5 ( s − 1)( s + 1)( s + 5)

(8.88)

On tire du cahier des charges les pôles dominants en boucle fermée:

ψ = arctan(

− ln( 0,043)

π

) = 45°

ρ=

2 = 0,5 4

p f1 = −0,5 ± j 0,5

p β p

β

3

p

3

f1

2

2 z

v

z

β

(8.89)

β

R

p

1

1

n

Fig. 8.47 Lieu des pôles et dimensionnement du régulateur pour le système (8.87).

On applique la condition des angles:

α n + α v = 180°+135°+162°+45°+6° = 168°

(8.90)

On choisit arbitrairement un des angles αv = 90° z v = −0,5 et z n = −0,61 Tv = 2 et Tn = 1,63 [s] 1,57 0,71 0,71 4,53 k0 = = 13,6 0,5 0,52 −5 Ti = 2 1,63 = −1,2 13,6 Jean-Marc Allenbach

8–35

=>

αn = 78° . (8.91) (8.92) (8.93) (8.95) 020709

Asservissements linéaires

On en déduit la fonction de transfert du régulateur. G R ( s) = −

(1 + s 2)(1 + s 1,63) s 1,2

(8.96)

On peut vérifier le comportement dynamique du système asservi par le régulateur calculé en (8.96).

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

2

4

6

8

10

Fig. 8.48 Système à régler (8.87) avec PID (8.95): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne.

On observe une réponse indicielle qui certes donne un temps de réponse voisin de 4 secondes (4,5 [s]), mais le dépassement est 15 fois plus important que souhaité. Si on observe attentivement le lieu des pôles (fig. 8.47), on constate que les pôles en boucle fermée son bien en –0,5 ± 0,5 j. Mais les deux zéros en boucle ouverte sont aussi des zéros en boucle fermée en –0,5 et –0,6: tout près des pôles! Ici le raisonnement – et le dimensionnement qui en dépend – basé sur la seule étude des pôles dominants en approximant tout système à un système fondamental du 2e ordre est faux! Il faudra donc tenir compte de tous les pôles et des zéros, mais il n'existe plus de méthode rigoureuse, mais seulement une approche pragmatique qui implique un déplacement des pôles et zéros en essayant d'évaluer leur effet: il faut une certaine expérience.

Jean-Marc Allenbach

8–36

020709

Asservissements linéaires

8.5

Dimensionnements

CRITÈRES SUR LA RÉPONSE HARMONIQUE EN BOUCLE FERMÉE

8.5.1 Approche générale Il s'agit – pour ce genre de dimensionnement – de spécifier la réponse harmonique en boucle fermée. De là, on peut calculer la réponse harmonique en boucle ouverte correspondante. Connaissant la réponse harmonique du système à régler, on en déduit celle du régulateur.

8.5.2 Critère méplat Avec le critère méplat , on cherche à obtenir pour le système réglé la bande passante la plus large possible en évitant que le facteur de résonance dépasse 1. Cette description est certes peu précise et n'est que partiellement exprimable mathématiquement; on en tire cependant des performances intéressantes. On prend l'exemple d'un système à régler d'ordre n. G s ( s) =

Ks (1 + s T1 )(1 + s T2 )K (1 + s Tn )

(8.97)

avec T1 ≥ T2 >> T3

Pour atteindre l'objectif, on aligne la (ou les) pulsation(s) de coupure du régulateur (1/Tn, le cas échéant 1/Tv) sur la (ou les) pulsation(s) de coupure du système à régler (1/T1, le cas échéant 1/T2) . On choisit un régulateur à composante intégrale pour garantir un écart statique nul. Le module de la réponse harmonique du système en boucle fermée se présente alors comme un long plat suivi d'un court tronçon de pente –1 et d'une section de pente –2. ω1

ωc

logω

log|G(jω)|

|Gcf(jω)| Fig. 8.49 Réponse harmonique en boucle fermée pour la consigne.

On exprime les pulsations qui caractérisent la réponse harmonique en boucle fermée à partir de la contante d'intégration Ti du régulateur, du gain statique Ks du système à régler et de ses constantes de temps non compensées ( 3 à n avec un PID ou 2 à n avec un PI).

ω1 =

Ks Ti

Jean-Marc Allenbach

ωc =

n 1 avec Tpe = å Tk Tpe k =3

8–37

(8.98)

020913

Asservissements linéaires

Dimensionnements

On exprime le facteur de résonance Qr d'après les relations (5.23) et (6.25).

Qr =

1 1− δ 2 2δ

δ=

avec

1 ωc 2 ω1

(8.99)

Sachant qu'on veut un facteur de résonance de 1, on tire le rapport de pulsation qu'il faut atteindre. de la relation (8.98), on tire la valeur de la constante d'intégration.

δ= 2

Þ

ωc =2 ω1

Þ

Ti = 2 K s Tpe

(8.100)

On retrouve le même résultat que pour le critère de Bode optimal (§ 8.3.1). Système Gs ( s) = Ks (1 + s T1 )(1 + s Tp ) Ks (1 + s T1 )(1 + s T2 )(1 + s Tp )

Régulateur Tn

Ti

Tv

PI

T1

2 K s Tp

0

PID

T1

2 K s Tp

T2

Fig. 8.50 Dimensionnement de régulateur: critère méplat.

C'est intéressant de constater que deux approches très différentes aboutissent au même dimensionnement de régulateur. On déduit de la figure 8.49 qu'un signal de consigne dont le spectre est plus étroit que ωc sera transmis sans atténuation à la grandeur réglée. Si le déphasage n'est pas explicite, la relation de Bode et Bayard (§ 6.5.1) permet en première approximation de déclarer que ce même signal ne subira pas de retard de phase. La forme du signal de consigne sera donc suivie sans déformation par la grandeur réglée. Si on tient compte d'une valeur plus exacte de la phase (figure 5.4), un signal de consigne dont le spectre est plus étroit que 0,5*ωc sera transmis sans déformation.

Jean-Marc Allenbach

8–38

020913

Asservissements linéaires

8.A

Dimensionnements

ANNEXE: CIRCUIT DE RÉGLAGE

Dans la conception d'un système automatisé, la première étape consiste à préciser de manière claire la structure de l'installation réglée, avec sa ou ses boucles de réglage et tous leurs composants. Pour ce faire, il est souvent utile de dessiner un schéma de principe qui met en évidence les composants du circuit de réglage et ses interconnexions. A ce stade, on préfère représenter des blocs qui correspondent à des éléments fonctionnels des machines, avec leurs symboles habituels, plutôt que des blocs "fonction de transfert". Une fois que l'emplacement de chaque régulateur est bien défini, on peut calculer la fonction de transfert du système à régler correspondant par combinaison des fonctions de transfert connues des éléments de la boucle. Ce n'est qu'ensuite qu'on peut aborder le dimensionnement du régulateur lui-même. On peut illustrer le propos par un exemple. Conduite forcée nc +

xc –

+

– x

n Alim = uc +

iec – u

ie –

+

Fig. 8.A1 Schéma de principe d'un système réglé: turbine hydraulique – alternateur synchrone.

On voit bien apparaître les différents réglages: la position du vannage x avec son régulateur à trois positions, la vitesse du groupe n avec son régulateur PI équipé de limiteur, le courant d'excitation ie de la machine synchrone avec son régulateur PI et enfin la tension de phase u du réseau triphasé au stator de la machine. Il est à relever que ce schéma correspond bien à la mise en service du groupe, lorsque la vitesse est proche de la vitesse nominale, le signal n est fourni par conversion de la fréquence f du stator de la machine synchrone en lieu et place de la dynamo tachymétrique. Lorsque le réglage est numérique, il est préférable d'utiliser pour la vitesse un capteur incrémental qui donne un certains nombre d'impulsions par tour, multiple du nombre de périodes de la tension statorique: par exemple une machine à 4 paires de pôles pour roues Pelton aura une vitesse nominale de 750 [t/min], si on l'équipe d'un capteur donnant 64 impulsions par tour, on observera 800 impulsions par secondes, soit 16 impulsions par période de la tension de phase (soit un rapport de 24). L'installation complète nécessite donc quatre dimensionnements de régulateurs, pour lesquels le chapitre 8 propose quelques méthodes. Ce n'est qu'après avoir dimensionné les régulateurs des boucles intérieures qu'on pourra aborder les boucles de réglages superposées.

Jean-Marc Allenbach

8–39

020916

Asservissements linéaires

8.B

Dimensionnements

ANNEXE: IDENTIFICATION D'UN SYSTÈME

8.B.1 Généralités On a vu que la réponse indicielle permettait de le caractériser grossièrement lorsque la description analytique n'est pas disponible. On peut affiner la description en augmentant le nombre de temps caractéristiques sur la réponse indicielle réduite.

u(t) y(t) 1 0,9

tm19 y(ti) 0,1

t Tr Tu

Tg ti

Th

Fig. 8.B1 Essai indiciel: mesure et temps caractéristiques.

8.B.2 Méthode de Strejc Pour des systèmes d'ordre supérieur à 2, comptant le cas échéant un retard pur Tr, on arrive à construire un modèle analytique approché, en utilisant une constante de temps T se multiplicité n. Ces 3 paramètres sont établis à l'aide du tableau de Strejc.

Gs ( s) = K s n 1 2 3 4 5 6 7

Tg/T 1,000 2,718 3,695 4,463 5,119 5,699 6,226

e − sTr (1 + s T ) n Tu/T 0,000 0,282 0,805 1,425 2,100 2,811 3,549

(8.B1) Tu/Tg 0,000 0,104 0,218 0,319 0,410 0,493 0,570

ti/T 0 1 2 3 4 5 6

y(ti) 0,000 0,264 0,323 0,353 0,371 0,384 0,394

Th/T 1,000 2,000 2,500 2,888 3,219 3,510 3,775

Th/Tg 1,000 0,736 0,677 0,647 0,629 0,616 0,606

Fig. 8.B2 Tableau de Strejc.

La procédure est la suivante: • • • •

On relève le quotient Tu/Tg en estimant que Tr est nul. On choisit la valeur du tableau immédiatement inférieure => on tire T et n. On lit sur la ligne une nouvelle valeur de Tu qu'on désigne par Tuch. On calcule le retard pur: Tr = Tu – Tuch.

Jean-Marc Allenbach

8–40

020912

Asservissements linéaires

8.C

Dimensionnements

COMPARAISON DE DIMENSIONNEMENTS

8.C.1 Système du deuxième ordre v w

F +

R

u

ucm

OCM

+ +

S1

y

–

Fig. 8.C1 Système du 2e ordre avec perturbation

Les fonctions de transfert sont les suivantes: Organe de commande: Système principal:

Gcm ( s) =

Gs1 ( s) =

1 1 + s Tp

Tp = 0.01

1 1 + s T1

(11.C1) (11.C2)

On désire étudier le comportement dynamique du système bouclé pour trois valeurs de T1: 0,1 0,2 et 0,5 [s] et 3 variantes de régulateurs: (1) selon le critère de Bode optimal (dépassement ~5 %) (2) selon le critère de Bode pour système intégral sans filtre de consigne (3) selon le critère de Bode pour système intégral avec filtre de consigne Dans chaque cas on choisit un régulateur PI. G R ( s) =

1 + s Tn s Ti

(11.C3)

L'idée est de mettre en évidence l'effet de l'écart entre les constantes de temps du système à régler sur le comportement dynamique du système réglé. Pour chaque essai, on a mis en parallèle deux résultats obtenus par des calculs différents: • Un calcul numérique à partir des coefficients de la fonction de transfert par application du théorème des résidus (EPFL/DE/LEI) [1]. Echelle du temps relative à Tp. n ri 1 y ( t ) o – • G f ( s) = å (11.C4) s i = 0 s − pi n

y(t ) = å ri e p i t

(11.C5)

i =0

• Un calcul numérique à partir du schéma simulink par résolution numérique des équations différentielles par la méthode de Dormand-Prince d'ordre 5 (EIG/LAE). Echelle en [s].

Jean-Marc Allenbach

8–41

020110

Asservissements linéaires

Dimensionnements

8.C.2 Réponses indicielles: critère de Bode optimal. On a d'abord appliqué le critère de Bode optimal (§ 8.3.1, fig 8.13) ou le critère méplat (§ 8.5.2) qui aboutit à la même fonction de transfert du régulateur. G R ( s) =

1 + s 0,1 s 0,02

L=

1 + s 0,2 s 0,02

1 + s 0,5 s 0,02

L=

(11.C6)

On applique d'abord au système un saut de consigne et on observe la réponse indicielle. 1.4 1.2 ( 0.062928 , 1.0432 ) 1.0 ( 0.041444 , 0.95 ) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

Fig. 8.C2 Réponse indicielle par rapport à la consigne: régulateur dimensionné selon le critère de Bode optimal.

La constante dominante T1 est dans chaque cas compensé par la constante Tn du régulateur. L'écart entre les constantes de temps n'a pas d'incidence sur le comportement dynamique du système asservi, pour autant que ucm reste dans la plage de fonctionnement linéaire du régulateur, c'est à dire hors saturation; ce qui est bien le cas dans des simulations numériques. On applique ensuite une variation de perturbation et on observe l'évolution de l'écart de réglage. 0.18 0.16 0.14 T 1/T p

0.12

10

0.10

20

0.08

50

0.06 0 .0 4 0 .0 2 0 -0.02 0

0 .1

0 .2

0.3

0 .4

0 .5

Fig. 8.C3 Réponse indicielle par rapport à une perturbation: régulateur dimensionné selon le critère de Bode optimal.

On constate: Plus l'écart entre la petite constante de temps du système et celle du régulateur (identique à la principale du système) est grand, plus l'effet de la perturbation se fait

Jean-Marc Allenbach

8–42

020110

Asservissements linéaires

Dimensionnements

ressentir longtemps. Le maximum d'écart, lui, varie dans le sens inverse du rapport des constantes de temps.

8.C.3 Réponses indicielles: critère intégral. On a de même appliqué le critère «intégral» (§ 8.3.4, fig 8.27) . G R ( s) =

1 + s 0,04 s 0,0016

L=

1 + s 0,04 s 0,004

L=

1 + s 0,04 s 0,08

(11.C7)

On applique d'abord au système un saut de consigne et on observe la réponse indicielle. 1.4

50 20

1.2

10 1.0 T1/Tp 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Fig. 8.C4 Réponse indicielle par rapport à la consigne: régulateur dimensionné selon le critère pour système à comportement intégral.

On n'observe pas le dépassement de 5 %, mais celui-ci est d'autant plus élevé que le rapport de pulsations est grand. On applique ensuite une variation de perturbation et on observe l'évolution de l'écart de réglage. 0.16 0.14 0.12 T1/Tp 0.10 10 0.08 20 0.06 50 0.04 0.02 0 -0.02

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Fig. 8.C5 Réponse indicielle par rapport à une perturbation: régulateur dimensionné selon le critère pour système à comportement intégral.

Comme dans le cas du dimensionnement «optimal», le maximum de l'écart de réglage varie dans le sens inverse du rapport des constantes de temps. Le temps nécessaire pour atténuer Jean-Marc Allenbach

8–43

020110

Asservissements linéaires

Dimensionnements

l'effet de la perturbation n'est dans ce dimensionnement «intégral» pas affecté par le rapport des constantes de temps; de surcroît, il est dans tous les cas plus court qu'avec le dimensionnement de «Bode optimal». On peut encore placer un filtre du premier ordre sur la grandeur de consigne, avec une constante de temps égale à celle du régulateur, sans optimisation (§ 8.3.4, relation (8.41)). Gfl ( s) =

1 1 + s Tn

(11.C8) 1 .4

1 .2 50 20

1

10 T 1 /T p

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 0

0 .0 5

0 .1

0 .1 5

0 .2

Fig. 8.C6 Réponse indicielle par rapport à la consigne: régulateur dimensionné selon le critère pour système à comportement intégral avec un filtre de consigne.

Dans ce cas, on obtient un dépassement compris entre 0 et 5 %, mais le temps de réponse est environ double de celui obtenu avec «Bode optimal» et plus court qu'en absence de filtre (–20 % dans cet exemple). Le filtre de consigne étant placé en dehors du flux de signal entre la perturbation et la grandeur réglée, la figure 8.C5 reste valable pour cette structure de réglage.

Jean-Marc Allenbach

8–44

020110