Braulio de Diego Martín Catedrático de Matemáticas de Enseñanza Secundaria (excedente). Profesor Titular de Escuela Universitaria. Universidad de Alcalá de Henares.
Agustín Llerena Achútegui Catedrático de Matemáticas de Enseñanza Secundaria. Profesor Asociado. Universidad de Alcalá de Henares.
Francisco José Baena Muñoz Profesor de Enseñanza Secundaria.
María Belén Rodríguez Rodríguez Profesora de Enseñanza Secundaria.
José Manuel Gamboa Mutuberría Catedrático de Álgebra. Universidad Complutense de Madrid.
José María Lorenzo Magán Profesor de Enseñanza Secundaria. Profesor Asociado. Universidad Complutense de Madrid.
MATEM˘A˘TICAS
378 PROBLEMAS
Tomo
4
(1996 a 2005) 2ª EDICIÓN
el ejercicio d n ió c a r a Prep siciones o p O s la e práctico d sores de e f o r P e d al Cuerpo undaria c e S a z n a Enseñ
© Los autores © Editorial Deimos Glorieta del Puente de Segovia, 3 28011 Madrid Tel.: 91 479 23 42 y 669 31 64 06 www.academiadeimos.es
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I.S.B.N: 978-84-86379-32-2 (Obra completa) I.S.B.N: 978-84-86379-86-5 (Tomo 4) Depósito legal: M-7612-2014
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Prólogo
P
resentamos al lector la segunda edición del cuarto volumen de la colección Problemas de Oposiciones a Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas, cuyo primer volumen recogía problemas
propuestos en las citadas oposiciones desde 1969. En este cuarto volumen se resuelven los problemas propuestos desde 1996 a 2005 por los tribunales que han juzgado las oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria, en la especialidad de Matemáticas, en las diferentes Comunidades Autónomas. En esta segunda edición del cuarto volumen de problemas se han mejorado los gráficos, se ha aumentado el tamaño de los subíndices para hacerlos más visibles y se ha incorporado alguna nueva solución que era mejor que la que nosotros escribimos en la primera edición, además de, por supuesto, haber corregido alguna pequeña errata que allí nos pasó desapercibida. Además del índice cronológico, en el que los problemas aparecen ordenados según el año de celebración de la Oposición y la Comunidad en la que fueron propuestos, se ha modificado y precisado el índice temático de problemas, en el que el lector podrá seleccionar todos aquellos problemas referidos a un mismo concepto matemático en los que podrá percibir líneas maestras de demostración que son comunes a muchos problemas parecidos a los tratados. Algunos de los problemas que aparecen en el libro ya fueron propuestos en anteriores convocatorias y figuran resueltos en los volúmenes 1, 2 ó 3 de la colección Problemas de Oposiciones. Matemáticas (véanse las Publicaciones del final del libro). En tales casos hemos optado por remitir al lector al
volumen de los anteriores en el que figura resuelto el problema, o bien, por presentar una solución alternativa cuando contiene ideas sustancialmente diferentes a las expuestas en el volumen citado. En los problemas propuestos por primera vez entre 1996 y 2005 presentamos más de una solución completa en muchos de ellos y, para que el lector no tenga que recurrir a terceros libros, se incluyen unas Observaciones al final de cada problema en la que se enuncian y, eventualmente, se demuestran aquellos resultados que han sido utilizados en la resolución del problema. El lector no debe asustarse por la longitud de alguna de las soluciones propuestas, y es que nuestro empeño en explicar con rigor todo lo que necesita ser explicado provoca que ciertas soluciones se extiendan algo más de lo habitual. Diríase que no nos ha importado sacrificar espacio en aras de la claridad. Aquellos problemas con enunciado ambiguo han sido resueltos en todos los casos a los que nuestra imaginación ha podido llegar y en otros (afortunadamente pocos) en los que se pide probar algo que no puede deducirse de los datos del problema, hemos buscado algún contraejemplo sencillo que certifique lo que se afirma. Por último, queremos agradecer la colaboración de todos aquéllos que han contribuido a que esta segunda edición mejore a la primera. Agradecemos las contribuciones de Fernando García Pérez, Silvia Leal Pardo, José Ledesma Muñoz-Redondo, Manuel López Olmedo, Francisco Padilla Garví, Jorge Quereda Laviña y, en especial, las de Bruno Salgueiro, ninguno de los cuales tiene la más mínima responsabilidad en las deficiencias que con toda seguridad encontrará el lector en el libro y que son achacables en exclusiva a los autores. Madrid, Marzo 2014 LOS AUTORES
Índice cronológico de problemas
Año 1994 Castilla y León................ 94.1, 94.2, 94.3, 94.4
Año 1996 Andalucía........................ 96.1, 96.4, 96.7, 96.9, 96.12 Asturias........................... 96.25, 96.36, 96.55 Cantabria........................ 96.35, 96.38, 96.49, 96.51, 96.54 Castilla – La Mancha…... 96.20, 96.40, 96.45, 96.47 Castilla y León................ 96.18, 96.26, 96.30, 96.34 Cataluña.......................... 96.3, 96.6, 96.10, 96.13, 96.15, 96.33, 96.37, 96.39, 96.42, 96.44, 96.46, 96.48, 96.50, 96.52, 96.53 Extremadura....................96.2, 96.5, 96.8, 96.11 Galicia............................. 96.14, 96.16, 96.17, 96.21, 96.22, 96.23, 96.24, 96.27, 96.28, 96.31, 96.32, 96.41 Madrid............................. 96.19, 96.29, 96.43
Año 1997 Cataluña.......................... 97.1, 97.2, 97.3, 97.4, 97.5, 97.6, 97.7, 97.8, 97.9, 97.10, 97.11, 97.12, 97.13, 97.14, 97.15
Año 1998 Andalucía........................ 98.1, 98.8, 98.13, 98.16, 98.17, 98.22, 98.27
Problemas de Oposiciones 1996-2005
VIII
Asturias........................... 98.3, 98.20, 98.25 Cantabria........................ 98.42, 98.44 Castilla – La Mancha….. 98.5, 98.11, 98.18, 98.24 Castilla y León................ 98.2, 98.9, 98.19, 98.21 Cataluña.......................... 98.6, 98.14, 98.23, 98.30, 98.33, 98.34, 98.35, 98.36, 98.37, 98.39, 98.41, 98.43, 98.45, 98.46, 98.47 Extremadura....................98.4, 98.10, 98.26, 98.29 Melilla..............................98.7, 98.12, 98.15, 98.28 Murcia............................. 98.31, 98.32, 98.38, 98.40
Año 1999 Cataluña......................... 99.3, 99.6, 99.9, 99.14, 99.15, 99.16, 99.17, 99.18, 99.19, 99.20, 99.21, 99.22, 99.23, 99.24, 99.25 Galicia............................. 99.1, 99.2, 99.4, 99.5, 99.7, 99.8, 99.10, 99.11, 99.12, 99.13
Año 2000 Andalucía........................ 00.1, 00.7, 00.13, 00.16, 00.19, 00.31 Canarias.......................... 00.5, 00.14, 00.25, 00.30, 00.35, 00.36, 00.37, 00.38, 00.39, 00.51, 00.54, 00.55, 00.56, 00.57, 00.59, 00.62 Castilla – La Mancha….. 00.3, 00.9, 00.20, 00.28 Castilla y León................ 00.42, 00.45, 00.49, 00.53 Cataluña.......................... 00.32, 00.34, 00.40, 00.41, 00.43, 00.46, 00.47, 00.60, 00.61, 00.63, 00.64, 00.65, 00.66, 00.67, 00.69 Ceuta............................... 00.12, 00.17, 00.22, 00.26 Extremadura....................00.2, 00.8, 00.15, 00.27 Galicia............................. 00.23, 00.33, 00.44, 00.48, 00.50, 00.52, 00.58, 00.68 Madrid............................. 00.4, 00.10, 00.18, 00.21 Murcia............................. 00.6, 00.11, 00.24, 00.29
Índice cronológico de problemas
IX
Año 2001 Com. Valenciana............. 01.3, 01.6, 01.8, 01.9, 01.10 Galicia............................. 01.1, 01.2, 01.4, 01.5, 01.7, 01.11, 01.12, 01.13, 01.14, 01.15
Año 2002 Andalucía........................ 02.5, 02.11, 02.14, 02.30, 02.37 Aragón............................. 02.19, 02.36, 02.40 Baleares........................... 02.27, 02.34, 02.39, 02.42, 02.43 Castilla – La Mancha….. 02.4, 02.8, 02.10, 02.22 Castilla y León............... 02.1, 02.6, 02.17, 02.32 Extremadura....................02.2, 02.7, 02.12, 02.15 Galicia............................. 02.3, 02.9, 02.13, 02.16, 02.18, 02.20, 02.26, 02.29, 02.33, 02.41 Madrid............................. 02.21, 02.23, 02.25, 02.31 Melilla.............................. 02.24, 02.28, 02.35, 02.38
Año 2003 Com. Valenciana............. 03.1, 03.2, 03.3, 03.4, 03.5, 03.6, 03.7, 03.8
Año 2004 Andalucía........................ 04.35, 04.56, 04.57, 04.58, 04.59, 04.60 Aragón............................. 04.1, 04.7, 04.42, 04.43 Asturias........................... 04.2, 04.9, 04.15, 04.20, 04.55 Cantabria........................ 04.11, 04.22, 04.24, 04.29, 04.48 Castilla – La Mancha…... 04.10, 04.21, 04.26, 04.51 Castilla y León................ 04.3, 04.19, 04.44, 04.47
Problemas de Oposiciones 1996-2005
X
Ceuta............................... 04.37, 04.40, 04.41, 04.53, 04.54 Com. Valenciana............. 04.6, 04.16, 04.28, 04.34 Extremadura................... 04.4, 04.14, 04.27, 04.30 Galicia............................. 04.5, 04.12, 04.17, 04.31, 04.33, 04.46, 04.50, 04.62 Madrid............................ 04.8, 04.13, 04.18, 04.23, 04.25, 04.32 Melilla............................. 04.36, 04.39, 04.45, 04.52 Murcia............................ 04.38, 04.49, 04.61
Año 2005 Baleares........................... 05.6, 05.10, 05.13, 05.17, 05.20, 05.24, 05.27, 05.30, 05.32, 05.35 Cataluña.......................... 05.1, 05.2, 05.3, 05.4, 05.5, 05.12, 05.16, 05.19, 05.23, 05.26, 05.29, 05.31, 05.33 Com. Valenciana............. 05.8, 05.15, 05.21, 05.34 Galicia............................. 05.7, 05.9, 05.11, 05.14, 05.18, 05.22, 05.25, 05.28
Índice temático de problemas
Números y combinatoria Sistema de numeración decimal................ 00.4, 02.35, 04.16, 04.20 Otros sistemas de numeración.................. 96.10, 98.21 Identidades combinatorias........................ 96.1, 98.3, 00.22 Problemas de combinatoria....................... 96.34, 98.12, 00.62, 02.35, 02.39, 05.9 Divisibilidad en ℤ . Números primos........ 96.9, 00.19, 00.65, 01.8, 02.23, 03.1, 04.3, 04.16, 04.20, 04.24, 04.26, 04.49, 05.12, 05.13, 05.16, 05.18 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo............................ 98.17, 04.52, 05.21 Congruencias............................................. 98.1, 99.10, 99.19, 99.23, 00.26, 04.49, 05.5, 05.12, 05.16 Expresión decimal de un nº racional. Error relativo............................................ 00.51, 04.24 Progresiones aritméticas y geométricas..... 96.29, 98.12, 98.41, 99.3, 00.59, 02.1, 03.5, 04.28, 04.58, 05.20, 05.21
Álgebra Estructura de grupo. Homomorfismos de grupos........................ 94.1, 96.2, 96.14, 01.1 Estructuras de anillo y cuerpo.................. 98.29, 00.52, 04.14, 04.35 Bases de un espacio vectorial. Cambios de base....................................... 96.1, 99.13, 00.10, 02.31, 04.11 Subespacios vectoriales............................. 96.26, 97.14, 02.7, 02.33, 04.28 Aplicaciones lineales.................................. 99.11, 99.12, 00.23, 00.57, 01.12, 02.7, 02.33, 02.36, 04.11
XII
Problemas de Oposiciones 1996-2005
Espacio dual. Base dual............................ 00.8 Divisibilidad de polinomios. Raíces de un polinomio............................. 96.27, 96.53, 98.5, 98.6, 99.16, 00.11, 00.41, 02.4, 02.12, 02.29, 02.32, 02.40, 04.13, 04.41, 04.46, 05.13 Operaciones con polinomios...................... 99.3, 02.1 Espacios vectoriales de polinomios............ 96.1, 99.11, 99.13, 00.8, 00.10, 00.23, 04.11 Ecuaciones con coeficientes reales............. 96.29, 98.5, 99.16, 00.11, 00.41, 00.55, 01.3, 02.1, 02.29, 02.40, 04.21, 04.41, 04.53, 05.13 Sistemas de ecuaciones con coeficientes reales...................................... 96.40, 01.2, 02.4, 02.27, 04.13, 05.25 Ecuaciones con coeficientes complejos...... 98.32, 99.4, 00.33, 00.49, 01.3, 01.6, 02.18, 04.22, 04.60 Acotación, separación y aproximación de raíces de polinomios............................. 96.27, 02.29 Resolución de ecuaciones diofánticas........ 96.39, 04.1, 04.3 Discusión y resolución de sistemas lineales...................................................... 98.13, 01.2 Operaciones con matrices.......................... 98.42, 00.23, 00.29, 02.36, 05.24 Potencias de matrices............................... 97.10, 97.14, 99.10, 00.29, 00.34, 02.33 Espacios vectoriales de matrices............... 96.26, 97.14, 01.12, 02.7 Diagonalización de matrices...................... 97.10, 02.33 Matrices simétricas. Matrices ortogonales................................. 96.26, 98.39 Cálculo de determinantes.......................... 97.7, 00.22, 02.33, 03.5, 05.24 Inversa de una matriz............................... 97.10, 00.23, 00.29
Cálculo diferencial Números no racionales.............................. 96.35, 04.61 Distintas topologías sobre ℝ .................... 96.22 Aplicaciones continuas.............................. 96.11
XIII
Índice temático de problemas
Conjuntos abiertos y cerrados................... 98.26, 98.39 Adherencia, acumulación, frontera, … de conjuntos de ℝ .................................... 98.20, 02.9 Sucesiones recurrentes............................... 96.32, 97.4, 98.36, 99.10, 00.18, 00.32, 00.45, 00.65, 04.28, 04.40, 04.56, 05.10, 05.13, 05.21 Convergencia de sucesiones. Cálculo de límites...................................... 96.46, 98.28, 98.31, 98.36, 98.44, 99.16, 0.11, 00.20, 00.32, 00.43, 00.44, 00.45, 01.6, 01.8, 02.15, 02.31, 02.42, 03.8, 04.18, 04.40, 04.44, 04.56, 05.10, 05.21 Suma de series........................................... 98.9, 98.18, 98.35, 98.38, 00.20, 00.47, 00.50, 00.60, 02.15, 02.32, 02.34, 03.2, 04.47, 05.10, 05.22 Operaciones con números complejos......... 98.1, 98.47, 04.31, 04.53 Módulo y argumento de un número complejo.................................................... 98.5, 99.4, 04.60 Aplicaciones geométricas de los números complejos.................................... 00.33, 00.49, 01.3, 02.18, 04.22 Expresión analítica de una función........... 01.14, 02.41, 05.1 Composición de funciones......................... 04.15 Funciones exponenciales............................96.18, 00.12, 01.4, 04.59 Funciones logarítmicas.............................. 96.15 Funciones circulares.................................. 97.6, 98.20, 98.30, 01.14 Funciones arco.......................................... 01.4, 01.14 Cálculo de límites...................................... 00.37, 04.56, 04.59, 05.7 Límites y continuidad de funciones. Ramas infinitas......................................... 96.15, 96.18, 96.28, 96.33, 96.45, 97.6, 97.9, 97.11, 98.20, 98.27, 98.30, 00.12, 00.66, 01.4, 01.14, 02.17, 02.20, 02.29, 02.37, 02.43, 04.8, 04.9, 04.15, 04.27, 04.45, 04.59, 05.1, 05.26 Límites en problemas geométricos............ 96.12, 96.38, 00.58 Ecuaciones funcionales.............................. 96.4, 99.14, 04.45, 05.32
XIV
Problemas de Oposiciones 1996-2005
Sucesiones de funciones. Convergencia puntual y uniforme............. 96.19, 99.8, 00.20 Derivabilidad de una función.................... 96.15, 96.18, 96.25, 96.28, 96.33, 96.51, 97.6, 97.9, 98.20, 98.27, 98.30, 00.66, 01.4, 01.14, 02.17, 02.37, 02.41, 04.8, 04.9, 04.15, 04.27, 04.59, 05.1, 05.26 Derivadas sucesivas................................... 01.4, 01.7, 03.6, 04.42 Teorema del valor medio...........................96.13, 98.28, 98.44, 00.36, 02.42, 04.32, 05.6 Crecimiento de una función. Máximos y mínimos. Puntos de inflexión. 96.15, 96.18, 96.21, 96.25, 96.28, 96.33, 96.51 97.6, 97.9, 98.27, 00.12, 00.66, 01.4, 01.14, 02.17, 02.37, 02.41, 04.9, 04.46, 04.49, 04.59, 05.1, 05.26 Máximos y mínimos en problemas geométricos......................... 96.20, 96.30, 96.54, 97.2, 97.13, 98.7, 98.11, 98.23, 98.30, 98.33, 99.6, 99.7, 00.28, 00.35, 00.40, 00.69, 02.24, 02.28, 04.7, 04.25, 05.1, 05.2, 05.30 Desarrollo de una función analítica en serie de potencias................................. 98.22, 00.12, 00.38, 02.42 Suma de una serie de potencias. Serie derivada............................................98.38, 00.47, 00.50, 00.60, 02.32, 05.22 Representación gráfica de una función...... 96.18, 96.28, 96.33, 97.6, 97.9, 98.27, 98.30, 00.66, 01.4, 01.14, 02.17, 02.37, 02.41, 04.9, 04.15, 04.59, 05.1, 05.26 Curvas que se obtienen resolviendo ecuaciones diferenciales............................. 96.8, 98.4, 00.24, 02.2, 02.6, 04.44 Representación gráfica de curvas planas... 99.1, 02.40 Áreas encerradas por curvas..................... 96.45, 99.1, 02.16, 04.48 Longitudes de curvas................................ 99.1 Circunferencia osculatriz........................... 98.16 Curvatura................................................. 02.16, 04.10
XV
Índice temático de problemas
Cálculo integral Suma inferior y superior de una función en un intervalo [a,b]..................... 00.44, 05.8 Integral definida. Propiedades.................. 96.46, 98.40, 04.12 Funciones definidas por una integral........ 96.25, 96.51, 00.12, 02.17, 02.41, 04.49, 05.7, 05.32 La integral definida como límite de sumas de Riemman.............................. 00.43, 00.44, 02.31, 04.18 Integrales eulerianas Γ y β........................ 96.23, 00.20 Cálculo de integrales definidas.................. 02.10, 02.12, 02.20, 02.34, 05.31 Áreas de figuras planas............................. 96.12, 96.30, 96.38, 96.45, 98.18, 98.27, 98.33, 99.1, 99.15, 99.25, 00.20, 00.66, 02.20, 02.34, 04.48, 04.59, 05.2, 05.26 Áreas y volúmenes. Teorema de Guldin... 96.23, 96.36, 96.41, 98.33, 99.7, 00.2, 00.31, 00.39, 00.48, 02.13, 02.24, 04.2, 04.39, 04.49, 05.2 Valor aproximado de una integral............ 98.22 Aplicaciones de las funciones a problemas físicos.................................... 97.12, 98.2, 98.8, 01.10, 02.6, 04.50
Geometría Problemas sobre proporciones................... 98.25, 01.11 La razón aúrea.......................................... 96.6, 04.17 Semejanza. Teorema de Thales................. 96.42, 96.50, 97.15, 00.69, 04.5, 04.54 Áreas de figuras planas............................. 96.3, 96.7, 96.12, 96.20, 96.30, 96.31, 96.38, 97.1, 97.15, 98.23, 98.31, 98.35, 99.9, 99.18, 00.15, 00.58, 00.69, 01.14, 03.8, 04.25 Resolución de triángulos........................... 96.6, 00.3, 00.25, 00.63, 03.4, 04.19, 04.54 Ecuaciones trigonométricas....................... 00.61
XVI
Problemas de Oposiciones 1996-2005
Medidas en triángulos............................... 96.42, 97.5, 97.15, 98.35, 98.46, 99.18, 00.3, 01.2, 02.43, 04.5, 04.19, 04.54, 05.4, 05.11, 05.14, 05.15, 05.23, 05.30, 05.35 Construcción de triángulos....................... 00.1, 01.2 Longitudes en una circunferencia.............. 96.50, 98.31, 04.18 Cuerdas en una circunferencia.................. 02.8, 04.25 Ángulos en una circunferencia.................. 00.58, 00.67 Problemas de tangencia............................ 00.28, 01.9, 04.9, 04.19 Movimientos en el plano........................... 02.14 Aplicaciones de la semejanza a la resolución de ecuaciones............................ 01.3, 02.18 Lugares geométricos.................................. 94.3, 96.24, 96.36, 96.45, 96.48, 98.10, 98.34, 99.2, 00.14, 00.16, 00.64, 01.9, 01.13, 02.5, 02.21, 04.9, 04.29, 04.57, 05.11, 05.19, Medidas en el cubo....................................96.44, 00.5 Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos............................. 96.41, 96.54, 97.2, 98.7, 99.6, 00.48, 01.11, 04.2, 04.7, 04.17 Envolvente de una familia de curvas........ 94.3, 99.24, 02.16 Hélices....................................................... 04.10 Superficies regladas................................... 99.20, 00.2, 02.13 Coordenadas geográficas........................... 00.13 Incidencia y paralelismo............................ 96.16, 98.6, 99.6, 00.30, 00.35, 04.6 Producto escalar de vectores..................... 94.2, 01.10 Desigualdad de Cauchy-Schwarz............... 02.27, 05.9, 05.25 Problemas métricos en el plano................ 02.11, 02.43, 04.25, 05.4, 05.27 Problemas métricos en el espacio.............. 96.44, 98.19, 00.5, 00.22, 00.63, 00.67 Elipse, parábola e hipérbola...................... 98.14, 00.16, 00.31, 00.40, 00.42, 02.21, 02.24, 04.4, 05.2, 05.19 Las cónicas como lugares geométricos...... 96.48, 98.10, 98.11, 98.34, 99.2, 00.64, 02.21, 02.28, 04.4, 05.19 Clasificación de cónicas............................. 98.11, 99.2, 02.13, 02.28
XVII
Índice temático de problemas
Estadística y probabilidad Regla de Laplace...................................... 96.37, 96.43, 97.13, 98.15, 98.45, 00.62, 01.8, 02.39, 03.3, 04.23, 05.3, 05.17, 05.29, 05.33 Propiedades de la probabilidad. Fórmula de inclusión-exclusión................ 97.3, 00.54, 01.15, 02.22, 04.60, 05.3 Probabilidad compuesta............................ 96.39, 96.52, 96.55, 98.3, 98.43, 99.17, 00.6, 00.27, 00.46, 00.47, 00.50, 00.53, 00.60, 01.15, 02.15, 02.26, 02.30, 02.32, 04.36, 04.47, 04.62, 05.22, 05.28, 05.33. Teorema de la probabilidad total............. 96.5, 00.46, 00.50, 04.30, 04.33, 04.37, 04.47, 05.28 Teorema de Bayes..................................... 96.47, 98.15, 04.34, 04.37 Juegos justos............................................. 99.5, 00.53, 00.60, 02.30 Variables discretas unidimensionales........ 96.47, 96.52, 98.9, 98.38, 00.68, 01.15, 02.26, 04.36, 04.37, 04.38, 04.43, 05.22 Variables discretas n-dimensionales.......... 98.24, 04.33, 05.3, 05.29 Variables continuas unidimensionales....... 97.8, 00.9, 00.56, 03.7, 04.38 La distribución normal.............................. 96.49, 96.55 Variables continuas n-dimensionales. Probabilidades geométricas....................... 96.31, 97.13, 98.37, 99.21, 99.22, 00.7, 00.9, 00.21, 01.5, 01.15, 02.19, 02.25, 02.38, 03.3, 04.34, 04.51, 05.34, 05.17 Variables aleatorias mixtas....................... 00.17 Intervalos de confianza............................. 96.17, 04.55 Test de hipótesis....................................... 94.4, 96.49 Tablas de verdad.......................................02.3
Problemas de Oposiciones 1996-2005
98.1. Determine el número complejo A = 1 + z + z 4 + z 9 + z 16 + z 25 + z 36 donde z = e 2πi /7 .
(Andalucía) Solución: La expresión de A puede simplificarse si se tiene en cuenta que z es una de las raíces séptimas de la unidad, esto es, z 7 = 1 . Puede escribirse por ello: 2
z9 = z7 ⋅z2 = z2 ,
z 16 = (z 7 ) ⋅ z 2 = z 2
z 25 = z 9 ⋅ z 16 = z 4 ,
z 36 = (z 7 ) ⋅ z = z
5
resultando así la siguiente expresión para A: A = 1 + z + z 4 + z 2 + z 2 + z 4 + z = 1 + 2 (z + z 2 + z 4 ) Para determinar el valor de z + z 2 + z 4 repárese en que, por ser z ≠ 1 , es
1+ z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 =
z7 −1 =0 z −1
(1) z2
z
Esta igualdad puede “ajustarse” a la expresión obtenida para A si se repara en que las seis raíces
z
3
1
séptimas de la unidad distintas de ésta son conjugadas dos a dos. En concreto:
z4 z5
z6
Problemas de Oposiciones 1996-2005
z 4 = e 8πi /7 = e −6πi /7 = z 3 z 5 = e 10πi /7 = e −4 πi /7 = z 2 z 6 = e 12πi /7 = e −2πi /7 = z Si usamos las propiedades de la conjugación, la igualdad (1) puede escribirse:
1 + (z + z 2 + z 4 ) + z + z 2 + z 4 = 0 o lo que es igual, 1 + 2 Re (z + z 2 + z 4 ) = 0 , y por tanto, Re (z + z 2 + z 4 ) = − 1
(2)
2
por lo que sólo necesitamos ya calcular Im (z + z 2 + z 4 ) . Recurrimos para ello al módulo de z + z 2 + z 4 : z + z2 + z4
2
= (z + z 2 + z 4 ) ⋅ (z + z 2 + z 4 ) = (z + z 2 + z 4 ) ⋅ (z 6 + z 5 + z 3 ) = = z 7 + z 6 + z 4 + z 8 + z 7 + z 5 + z 10 + z 9 + z 7 = = 1 + z6 + z4 + z +1 + z5 + z3 + z2 +1 = 2
y por tanto: z + z2 + z4 = 2
(3)
De (2) y (3) se sigue entonces que: 2
(− 21 )
2
2 + Im (z + z 2 + z 4 ) = ( 2 )
⇒
2
2 4 7 Im (z + z + z ) = 4
Problemas de Oposiciones 1996-2005
Para deducir el signo de Im (z + z 2 + z 4 ) , basta tener en cuenta que Im (z + z 2 + z 4 ) = sen 2π + sen 4π + sen 8π = (sen 2π − sen π ) + sen 4π > 0 7
7
7
7
7
7
por lo que Im (z + z 2 + z 4 ) = 7 . Por último 2
1 7 A = 1 + 2 (z + z 2 + z 4 ) = 1 + 2 − + i = i 7 2 2
00.18.
Los cuatro primeros términos de la sucesión (a n ) de números reales
son a 0 = a 1 = a 2 = a 3 = 0 y su ley de recurrencia es, para n ≥ 0 a n + 4 + a n + 3 + 2a n +2 + a n +1 + a n = 12n Determine el término general de la sucesión en función de n y calcule el término a 90 . INDICACIÓN: x 4 + x 3 + 2 x 2 + x + 1 = (x 2 + 1)(x 2 + x + 1)
(Madrid) Solución: La ley de recurrencia de (a n ) define una ecuación lineal en diferencias con coeficientes constantes. Su solución general se obtiene sumando una solución particular de la misma y la solución general de la homogénea. Para
determinar
la
solución
general
de
la
ecuación
homogénea
a n + 4 + a n + 3 + 2a n +2 + a n +1 + a n = 0 , recurrimos a su ecuación característica x 4 + x 3 + 2 x 2 + x + 1 = (x 2 + 1)(x 2 + x + 1) = 0
Problemas de Oposiciones 1996-2005
Las cuatro soluciones de esta ecuación son cos π ± i sen π , cos 2π ± i sen 2π y 2
2
3
3
dan la solución general de la homogénea, que es: c 0 cos n π + c1 sen n π + c 2 cos 2n π + c 3 sen 2n π 2
2
3
3
Buscamos una solución particular de la ecuación completa usando coeficientes indeterminados. El término independiente de la ecuación completa, 12n , es de la forma p (n ) ⋅ s n , con p (n ) = 12n y s = 1 . Además, s = 1 no es raíz de la ecuación característica de la homogénea, y por tanto puede encontrarse como solución particular un polinomio del mismo grado a lo sumo que 12n , es decir, de grado menor o igual que uno. Sea a n = a + bn
dicho polinomio.
Sustituyendo en la completa resulta: a + b (n + 4) + a + b (n + 3) + 2a + 2b (n + 2) + a + b (n + 1) + a + bn = 12n es decir, 6a + 12b + 6bn = 12n . Identificando coeficientes resulta a = − 4, b = 2 , y la solución particular es a n = −4 + 2n . La solución general de la
ecuación completa es por tanto: a n = −4 + 2n + c 0 cos n π + c1 sen n π + c 2 cos 2n π + c 3 sen 2n π 2
2
3
3
Teniendo en cuenta que los cuatro primeros términos son nulos se determinan los ci . Resultan de esta forma c 0 = 0 , c1 = 6, c 2 = 4 , c 3 = − 4 3 y entonces 3
a n = −4 + 2n + 6 sen n π + 4 cos 2n π − 4 3 sen 2n π 2
3
3
3
El término que ocupa el lugar 90 en la sucesión es: a 90 = −4 + 180 + 6 sen 45π + 4 cos 60π − 4 3 sen 60π = −4 + 180 + 4 = 180 3
Problemas de Oposiciones 1996-2005
98.33. Se considera la familia de elipses x2 a2
y2
+
b2
=1
que pasan por el punto (1,1) . a) Determine la elipse de la familia que encierra una región de área mínima. b) Determine la elipse de la familia que engendra un volumen mínimo al girar alrededor del eje de abscisas.
(Cataluña) El apartado b) figura resuelto en [Vol. 3] pág. 176.
Solución: 2 y2 a) Las elipses de la familia son las que tienen por ecuación x 2 + 2 = 1 y
a
pasan por (1,1) , es decir, aquellas en las que a y b cumplen
1 a2
+ 12 b
b
= 1.
2 y2 El área que encierra la elipse x 2 + 2 = 1 , teniendo en cuenta la simetría
a
b
de la misma respecto de ambos ejes de coordenadas, es cuatro veces el área 2
bajo la gráfica de la función x ֏ b 1 − x 2 entre x = 0 y x = a , es decir, a
S =4
∫
a
0
b 1−
x2 a2
dx
Mediante el cambio de variable x = a sen t , obtenemos:
S =4
∫
0
π /2
b 1 − sen 2 t ⋅ a cos t dt = 4ab
∫
π /2 0
cos 2 t dt =
Problemas de Oposiciones 1996-2005
= 4ab ⋅
1 2
∫
π /2 0
π /2
0
1 2
(1 + cos 2t )dt = 2ab t + sen 2t
= πab
Se trata en consecuencia de minimizar πab , o lo que es igual, minimizar ab con a y b positivos y tales que 12 + 12 = 1 . Pero minimizar el producto de a
factores positivos ab
equivale a minimizar a 2b 2 , que a su vez es
equivalente a maximizar máximo de la función
b
1 a 2b 2
1 ⋅ 1 a 2 b2
= 12 ⋅ 12 . Debemos por tanto calcular el a
b
sabiendo que a, b > 0 y
1 a2
+ 12 = 1 . b
Ahora bien, es conocido que el máximo de un producto de dos factores positivos de suma constante se alcanza cuando ambos factores son iguales. 1 a2
De aquí que en el máximo ocurre que necesariamente a = b y de la igualdad
1 a2
= 12 y, como son a, b > 0 ,
+ 12 b
b
= 1 se deduce que 22 = 1 , a
luego a = b = 2 . La elipse de área mínima es, por tanto, la circunferencia
x 2 + y 2 = 2 , de centro el origen y radio
2 , cuya área es 2π .
2 y2 b) El volumen que engendra la elipse x 2 + 2 = 1 al girar alrededor del eje de
a
b
abscisas es 2
x2 πb 2 b 1 − dx = V =π −a a 2 a2
∫
a
Hay que minimizar
4 3
a
πb 2 2 x 3 4 a − x dx = a x − = πab 2 ( ) 3 −a 3 −a a 2
∫
a
2
2
πab 2 , es decir, ab 2 , con las restricciones a > 0 , b > 0
y 12 + 12 = 1 . Esta última igualdad obliga a que 12 y 12 sean menores a
b
a
b
que 1, y como a y b son positivos, ambos han de ser mayores que 1. Como 2 de la misma igualdad deducimos que b 2 = a2 , la función a minimizar es:
a −1
Problemas de Oposiciones 1996-2005
f : (1, +∞) → ℝ : a ֏ f (a ) = a ⋅
a2
=
a2 −1
a3 a2 −1
Por ser a 2 − 1 > 0 siempre que a > 1 , f es derivable y su derivada es
f ′ (a ) =
a 4 − 3a 2 2
(a 2 − 1)
=
a 2 (a + 3 )(a − 3 ) 2
(a 2 − 1)
El único cero de f ′ en el intervalo (1, +∞) es a = 3 . Como f ′ < 0 en el intervalo (1, 3 ) y f ′ > 0 en el intervalo
(
3, +∞) , f presenta un único
mínimo absoluto en a = 3 . Para dicho valor de a es b 2 = 3 = 3 y por 3−1
tanto b =
6 2
2
. La elipse que engendra el menor volumen al girar alrededor
de OX es así la centrada en el origen y de semiejes
3 y
6 2
, y dicho
volumen mínimo es 4 π ⋅ 3 ⋅ 3 = 2π 3 . 3
00.50.
2
Se realiza un juego entre dos jugadores A y B que ganará aquél que
gane dos partidas. La probabilidad de que el jugador A gane una partida es p, la probabilidad de que el jugador B gane una partida es q, y la probabilidad de que una partida termine en tablas (empate) es r. Calcule la probabilidad de que el jugador A gane el juego.
(Galicia) Primera solución: Sea An el suceso: “A gana el juego en la partida n-ésima” (n ≥ 2) . Es evidente que p (A2 ) = p 2 , mientras que si n ≥ 3 , el suceso An ocurre sólo si se da alguna de las dos situaciones excluyentes que siguen:
Problemas de Oposiciones 1996-2005
En las n − 1 primeras partidas se producen una victoria de A y n − 2 tablas, y en la n-ésima gana A. Como la única victoria de A en las n − 1 primeras partidas puede darse en cualquiera de ellas, la probabilidad de este suceso es
(n − 1) pr n −2 p = (n − 1) p 2r n −2 A gana una partida, B otra y se producen n − 3 tablas en las n − 1 primeras partidas, y A gana la última. La primera victoria de A puede ocurrir en cualquiera de las n − 1 primeras partidas y, fijada ésta, la victoria de B puede darse en cualquiera de las n − 2 partidas restantes. Deducimos de ello que la probabilidad de que esto ocurra es
(n − 1)(n − 2) pqr n −3 p = (n − 1)(n − 2) p 2qr n −3 La probabilidad de que A gane el juego en la partida n-ésima (n ≥ 3) es por tanto la suma de las dos probabilidades anteriores: p (An ) = (n − 1) p 2r n −2 + (n − 1)(n − 2) p 2qr n −3 y la probabilidad de que A gane el juego es entonces:
p (A) = p (A2 ) +
= p2 +
∞
∑ p (An ) =
n =3
∞
∞
n =3
n =3
∑ (n − 1) p 2r n −2 + ∑ (n − 1)(n − 2) p 2qr n −3 =
∞ ∞ = p 2 1 + ∑ (n − 1) r n −2 + q ∑ (n − 1)(n − 2) r n −3 n =3 n =3
Problemas de Oposiciones 1996-2005
Para el cálculo de la suma de las dos series anteriores, podemos recurrir a la derivación sucesiva de la suma de la serie geométrica ∑ n∞= 3 r n −1 . Las series de potencias como la anterior pueden ser derivadas término a término en el interior de su campo de convergencia. Como dicha serie sólo converge si es r < 1 , se tiene para tales valores de r, ∞
∑ r n −1 =
n =3
r2 1−r
⇒
∞
∑ (n − 1) r n −2 =
n =3
d ∞ n −1 d r 2 2r − r 2 = = ∑ r 2 dr 1 − r dr n = 3 (1 − r )
Volviendo a derivar la serie anterior para los mismos valores de r, se tiene: d
∞
∞
d 2r − r 2 2 = 2 3 (1 − r ) (1 − r )
∑ (n − 1)(n − 2) r n −3 = dr ∑ (n − 1) r n −2 = dr
n =3
n =3
y entonces: 2 2r − r 2 2 p (1 + 2q − r ) p (A) = p 2 1 + +q = 2 3 3 (1 − r ) (1 − r ) (1 − r ) probabilidad que, por ser p + q + r = 1 , puede ser escrita en la forma:
p (A) =
p 2 (p + 3q ) 3
(p + q )
Segunda solución: Llamemos pij a la probabilidad que tiene A de ganar el juego después de que A haya ganado i partidas y B haya ganado j partidas. Según esta notación debemos calcular p 00 y es evidente que p2 j = 1 y pi 2 = 0 , para i, j ∈ {0,1} . Distingamos según el resultado de la primera partida:
Problemas de Oposiciones 1996-2005
Si A gana esta primera partida, cosa que hace con probabilidad p, a partir de entonces tiene una probabilidad igual a p10 de ganar el juego.
Si B ha ganado la primera partida, hecho que ocurre con probabilidad q, entonces A tiene una probabilidad igual a p 01 de ganar el juego.
Por último, empatan la primera partida con probabilidad r = 1 − p − q , y desde ese momento A tiene una probabilidad igual a p 00 de ganar. Resulta entonces, como consecuencia del teorema de la probabilidad total, que p 00 = p ⋅ p10 + q ⋅ p 01 + (1 − p − q ) ⋅ p 00 es decir,
(p + q ) ⋅ p 00 = p ⋅ p10 + q ⋅ p 01
(1)
Razonamientos similares a éste para las probabilidades p10 , p01 y p11 permiten obtener: p10 = p ⋅ p20 + q ⋅ p11 + (1 − p − q ) ⋅ p10 p 01 = p ⋅ p11 + q ⋅ p 02 + (1 − p − q ) ⋅ p 01 p11 = p ⋅ p21 + q ⋅ p12 + (1 − p − q ) ⋅ p11 Después de simplificar las igualdades anteriores y unirlas a la (1), se obtiene el siguiente sistema de cuatro ecuaciones: (p + q ) ⋅ p 00 (p + q ) ⋅ p10 (p + q ) ⋅ p 01 (p + q ) ⋅ p11
= p ⋅ p10 + q ⋅ p 01 = p + q ⋅ p11 = p ⋅ p11 =p
Problemas de Oposiciones 1996-2005
La solución del sistema puede ser obtenida con facilidad de abajo hacia arriba, y es: p11 =
p , p +q
p 00 =
1 p +q
p 01 =
p2 2
(p + q )
,
p10 =
p 2 + 2pq 2
(p + q )
y por último p 2 (p + 3q ) 2 2 p ⋅ p + 2pq + q ⋅ p = 2 2 3 (p + q ) (p + q ) (p + q )
PUBLICACIONES
PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 1: 1969 a 1980. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Tercera edición. I.S.B.N. 978-84-86379-33-9. Autores: Braulio de Diego y Elías J. Gordillo. Obra dedicada a la resolución, con todo detalle, de los 509 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 592 pág., ofreciéndose dos métodos de resolución cuando se ha considerado oportuno.
PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 2: 1981 a 1987. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Segunda edición. I.S.B.N. 978-84-86379-36-0. Autores: Braulio de Diego y Elías J. Gordillo. Contiene, en 768 páginas, 773 problemas totalmente1 resueltos que fueron propuestos en las citadas oposiciones, convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías.
PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 3: 1988 a 1995. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Segunda edición. I.S.B.N. 978-84-86379-34-6. Autores: Braulio de Diego, Agustín Llerena y Mariano Llerena. Contiene totalmente1 resueltos 551 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 672 pág., convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías.
PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 4: 1996 a 2005. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Segunda edición. I.S.B.N. 978-84-86379-86-5. Autores: Braulio de Diego, Agustín Llerena, Francisco Baena, Mª Belén Rodríguez, José Manuel Gamboa y José Mª Lorenzo. Contiene totalmente1 resueltos 378 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 1004 páginas, convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías.
PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 5: 2006 a 2012. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. I.S.B.N. 978-84-86379-85-8 Autores: Braulio de Diego, Agustín Llerena, Francisco Baena, Mª Belén Rodríguez, José Manuel Gamboa, José Mª Lorenzo y Bruno Salgueiro. Contiene totalmente1 resueltos 177 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 650 páginas, convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías
TEMAS DE OPOSICIONES A PROFESOR DE ENSEÑANZA SECUNDARIA. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Segunda edición. Tomo 1, I.S.B.N. 978-84-86379-48-3. Tomo 2, I.S.B.N. 978-84-86379-47-6. Tomo 3, I.S.B.N. 978-84-86379-49-0.
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Los problemas propuestos en convocatorias de años anteriores no se resuelven otra vez, sino que se indica un volumen de la misma colección donde figuran resueltos.
Autores: Braulio de Diego, Francisco Padilla y Agustín Llerena. Obra de 3 volúmenes en la que se desarrollan todos los temas del Temario de Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria, especialidad de Matemáticas
PROGRAMACIONES Y UNIDADES DIDÁCTICAS. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Tomo 1, I.S.B.N. 978-84-86379-74-2. Tomo 2, I.S.B.N. 978-84-86379-75-9. Tomo 3, I.S.B.N. 97884-86379-76-6. Tomo 4, 978-84-86379-77-3. Autores: Fernando García, Antonio J. López, Manuel López, José Mª Lorenzo, Jorge Quereda, Manuela Redondo y Mª Teresa Sánchez Figuran desarrolladas las programaciones de las asignaturas de Matemáticas de 1º y 2º de E.S.O. en el Tomo 1; 3º y 4º (Opciones A y B) de E.S.O. en el Tomo 2; las Matemáticas I y II del Bachillerato de Ciencias y Tecnología en el Tomo 3; y las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en el Tomo 4. Además, con cada programación se desarrollan al menos quince unidades didácticas.
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL. Primer curso de Escuelas Técnicas, Escuelas Universitarias y Facultades de Ciencias. Cuarta edición. I.S.B.N. 978-84-86379-00-1. Autores: Braulio de Diego, Elías J. Gordillo y Gerardo Valeiras. Obra dirigida por José Luis Vicente Córdoba (Catedrático de Álgebra de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla). Contiene 427 problemas totalmente resueltos y más de 848 cuestiones. Cada capítulo se inicia con un resumen teórico. Capítulo 1: Matrices. Operaciones elementales. Determinantes. Matriz inversa. Rango o característica de una matriz. Sistemas de ecuaciones lineales: método de reducción de Gauss. Capítulo 2: Espacios vectoriales. Subespacios. Dependencia lineal. Espacio cociente. Base y dimensión. Coordenadas. Cambio de base. Escalonamiento de vectores. Aplicaciones del Teorema de Rouché-Fröbenius. Capítulo 3: Aplicaciones lineales. Núcleo e imagen. Matrices asociadas a una aplicación lineal. Formas lineales. Espacio dual. Capítulo 4: Autovectores y autovalores. Polinomios característico y mínimo. Matrices diagonalizables. Diagonalización de matrices simétricas reales. Formas canónicas de Jordan: métodos de la partición de multiplicidades y de los divisores elementales. Aplicaciones.
EJERCICIOS DE ANÁLISIS (CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL). Primer curso de Escuelas Técnicas, Escuelas Universitarias y Facultades de Ciencias. Quinta edición. I.S.B.N. 978-84-86379-02-5. Autor: Braulio de Diego. Capítulo 1: Interpolación. Capítulo 2: Sucesiones y topología en la recta real. Límites. Capítulo 3: Números complejos. Transformaciones. Capítulo 4: Límites y continuidad de funciones reales de variable real. Capítulo 5: Derivada y diferencial. Capítulo 6: Teoremas del valor medio. Regla de L’Hôpital. Fórmulas de Taylor y Mac Laurin. Curvas. Capítulo 7: Cálculo de primitivas. Integral definida. Integrales impropias. Convergencia. Capítulo 8: Series numéricas. Sucesiones y series funcionales. Convergencia uniforme. Desarrollos en series de potencias. Capítulo 9: Ecuaciones algebraicas. Aproximación de raíces. Eliminación de incógnitas.
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