VM - Unidad I. Cinematica de Vibraciones

CINEMATICA DE LAS VIBRACIONES Definiciones. Una vibración es, en su sentido más general, un movimiento periódico, es decir, un movimiento que se repite con todas sus características después de un cierto intervalo de tiempo llamado periodo de la vibración, designado generalmente por el símbolo T. Una gráfica de desplazamiento x contra el tiempo, puede resultar una curva sumamente complicada. Como un ejemplo, la Figura 1 muestra la curva del movimiento observado en el pedestal de las chumaceras de una turbina de vapor.

Fig. 1. Función periódica y armónica, mostrando el periodo T y la amplitud x0

1.1 Grados de libertad Sistemas de un grado de libertad (Respuesta libre) Un modelo simple para estudiar vibraciones es un resorte (como el que se utiliza en la suspensión de un auto) con un extremo fijo y una masa adherida en el otro extremo. En la Figura 2 se muestra una representación esquemática de un sistema masa-resorte con un grado de libertad.

Fig. 2 Masa-resorte con un grado de libertad.

Ignorando la masa del resorte en sí, las fuerzas que actúan sobre la masa son la fuerza de gravedad (m· g) y la fuerza de restauración del resorte (fk). La naturaleza de la fuerza del resorte se puede deducir al realizar un experimento estático simple. El que consiste en aumentar la masa adherida y medir el desplazamiento de la masa (x), tal como se muestra en la Figura 3.

Fig. 3 Experimento de un resorte y su desplazamiento con diferentes masa

De donde se obtiene la siguiente relación:

fk = kx La constante k se denomina rigidez del resorte y es una característica propia de cada resorte. Se considera ahora un resorte en posición horizontal como el de la Figura 4, el que es elongado x0 desde su posición de equilibrio. La masa del objeto es m y la rigidez del resorte es k. La única fuerza actuando sobre la masa es la fuerza del resorte.

Fig. 4 Sistema masa resorte horizontal Por suma de fuerzas se obtiene la ecuación de movimiento en la dirección x:

Donde ¨x (t) denota la segunda derivada del desplazamiento (i.e., la aceleración). La solución de esta ecuación se puede escribir como:

Esto describe un movimiento oscilatorio de frecuencia Wn y amplitud. A Wn se denomina frecuencia natural, determina el intervalo de tiempo en el que la función se repite. ⦰ denominada fase, determina el valor inicial de la función sinusoidal. La fase se mide en radianes (rad), mientras que la frecuencia se mide en radianes por segundo (rad/s). En la Figura 5 se ilustran tres sistemas de un grado de libertad. Para estos casos se obtienen las siguientes frecuencias naturales y periodos de oscilación:

Fig. 5 Ejemplos de sistemas de un grado de libertad (pequeños desplazamientos)

1.2 Movimiento armónico y su representación El movimiento armónico es un movimiento vibratorio en el que la posición, velocidad y aceleración se pueden describir mediante funciones senoidales o cosenoidales. Existe el llamado Movimiento Armónico Simple (MAS) que es un movimiento periódico y oscilatorio, producido por una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento. En el MAS la velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos. El MAS puede considerarse como la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme en función del tiempo en el cual el desplazamiento angular , como se muestra en la Figura 6.

Fig. 6 Proyección del circulo en función de

El MAS está dado por la función: Las ecuaciones del movimiento armónico simple son las siguientes: a) Elongación

b) Velocidad del MAS

c) Aceleración del MAS

1.2.1 Uso de fasores para la suma resta, multiplicación y división. El desplazamiento de una partícula que se mueve con un MAS se puede considerar como la componente X de un vector de longitud OP’ = A; este vector rota en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de O con velocidad angular y en cada instante forma un ángulo con el eje X.

Una sinusoide está definida como una función de la forma: ó También se puede expresar como:

Dónde:  

es la unidad imaginaria da la parte real del numero complejo “z”

Según la fórmula de Euler;

Y la representación fasor de esta sinusoide se define de la siguiente forma:

De tal forma que:

Así, el fasor y es el número complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Simplificada queda:

Se procede a la aritmética fasorial; lo mismo que con otras cantidades complejas, el uso de la forma exponencial polar simplifica las multiplicaciones y divisiones, mientras que la forma rectangular simplifica las sumas y restas.

SUMA Si

RESTA Si

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN