VJEROVATNOCA

November 18, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A

Short Description

Download VJEROVATNOCA...

Description

VJEROVATNO ´ CA I STATISTIKA Zoran Mitrović Elektrotehniˇcki fakultet u Banjaluci

2 Sadrˇzaj

1 Predgovor 5 2 Prostor vjerovatnoća 7 2.1 Prostor elementarnih dogadaja dogadaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Relacije i operacije sa dogadajima . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Aksiome teorije vjerovatnoće vjerovatnoće . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Osobine vjerovatnoće . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Uslovna vjerovatnoća 15 3.1 Uslovna vjerovatnoća . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Nezavisni dogadaji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Fomula potpune vjerovatnoće . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4 Bajesova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Viˇsestruka ispitivanja 27 4.1 Bernulijeva ˇsema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Najvjerovatniji broj pojavljivanja pojavljivanja dogadaja . . . . . . . . . . . . 28 4.3 Puasonova raspodjela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 Normalna (Gausova) raspodjela raspodjela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5 Sluˇcajne promjenljive 35

5.1 Definicija i neki primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 Zakon raspodjele sluˇcajne promjenljive

diskretnog tipa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3 Funkcija raspodjele sluˇcajne promjenljive . . . . . . . . . . . . . 37 5.4 Sluˇcajne promjenljive neprekidnog tipa . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.5 Pregled vaˇznijih raspodjela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 4 SADR ˇ

ZAJ 6 Sluˇcajni vektori 43 6.1 Sluˇcajni vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.2 Funkcija raspodjele sluˇcajnog vektora . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3 Uslovne raspodjele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.4 Funkcije sluˇcajnih promjenljivih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7 Numeriˇcke karakteristike sluˇcajnih promjenljivih 51 7.1 Matematiˇcko oˇcekivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2 Varijansa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.3 Kovarijansa i koeficijent korelacije korelacije . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 7.4 Matematiˇcko oˇcekivanje i varijansa nekih raspodjela . . . . . . . 57

7.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8 Karakteristiˇcne funkcije 61

8.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.2 Osnovne osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.3 Karakteristiˇcne funkcije nekih raspodjela . . . . . . . . . . . . . . 65

8.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 9 Graniˇcne teoreme 67

9.1 ˇ

Cebiˇsevljeva nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 9.2 Neke graniˇcne teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.3 Vrste konvergencija u teoriji vjerovatnoće vjerovatnoće . . . . . . . . . . . . . 69 9.4 Centralna graniˇcna teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 10 Matematiˇcka statistika 73 10.1 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 10.2 Ocjenjivanje parametara parametara raspodjela . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 74 10.3 Intervali povjerenja za nepoznatu binomnu vjerovatnoću . . . . . 77 10.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 11 Sluˇcajni procesi 79

11.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 11.2 Lanci Markova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 11.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 12 Literatura 83 Glava 1 Predgovor 5 6 GLAVA 1. PREDGOVOR Glava 2 Prostor vjerovatnoća Uslovi nekog eksperimenta (opita) ne moraju jednoznaˇcno odredivati rezultat. Na primjer ako se eksperiment sastoji u ”bacanju”novˇcića rezultat nije jednoznaˇcan, jer se moˇze desiti da padne pismo (P) ili grb (G). Moˇzemo Moˇzemo reći da se u ovom sluˇcaju radi o sluˇcajnoj pojavi. Izuˇcavanjem zakonitosti sluˇcajnih

pojava bavi se teorija vjerovatnoće. Teorija vjerovatnoće se poˇcela razvijati u 16. vijeku. Prva knjiga iz ove oblasti o blasti je ”De Ludo Aleae” (O igri kockom), koja je ˇstampana 1663. godine. Njen autor

je Girolamo Cardano. Osnivaˇcem moderne teorije vjerovatnoće smatra se Aleksandar Kolmogorov. On

je 1933. godine dao aksiomatsko aksiomatsko zasnivanje teorije vjerovatnoće. Teorija vjerovatnoće je sastavni dio nekoliko nauˇcnih oblasti

na primjer: teorije telekomunikacija, telekomunikacija, teorije pouzdanosti, teorije informacija, teorije automatskog upravljanj upravljanja. a. 2.1 Prostor elementarnih dogadaja Definicija 2.1. • Skup Ω svih mogućih ishoda nekog opita naziva se prostor elementarnih e lementarnih dogadaja. • Sluˇcajan dogadaj (dogadaj) je bilo koji podskup skupa Ω. • Nemoguć dogadaj oznaˇcavamo sa ∅, a Ω je siguran dogadaj.

Primjer 2.1. 1. Baca se kocka i registruje broj koji je pao na gornjoj strani. Neka je A dogadaj koji oznaˇcava da je pao paran broj. Tada je Ω = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 - i A = ω2, ω4, ω6 -, gdje je ωk−pao je broj k. 2. Novˇcić se baca ˇcetiri puta i registruje koliko je ukupno puta palo pismo.

Neka je A dogadaj: broj pisama jednak je broju grbova. Tada je Ω = GGGG, GGGP, . . . , P P P P -. Broj elemenata skupa Ω je 2

4 = 16. Dogadaj A = {GGP P, GP GP, GP P G, P GGP, P GP G, P P GG} 7 8 GLAVA 2. PROSTOR VJEROVATNO ´ CA i ima 6 elemenata. 3. Novˇcić se baca do pojave grba. Ovde je Ω = G, P G, P P G, . . .- i ima beskonaˇcno elemenata. 4. Gada se kruˇzna meta polupreˇcnika r i registruje udaljenost pogotka od

centra mete. Neka je ∞ oznaka za promaˇsaj. Tada je Ω = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ r} ∪ {∞}. U ovom sluˇcaju Ω ima neprebrojivo elemenata. Primjer 2.2. U kutiji se nalaze ˇcetiri listića oznaˇcena brojevima 1, 2, 3, 4. Odrediti skup ishoda, ako se listići izvlaˇce jedan po jedan do pojave neparnog

broja (bez vraćanja). Ω = 1, 3, 21, 23, 41, 43, 241, 243, 421, 423}.

2.2 Relacije i operacije sa dogadajima U skupu Ω definiˇsemo relacije i operacije sa dogadajima na isti naˇcin kao i

sa skupovima: • Ako dogadaj A implicira dogadaj B, to oznaˇcavamo sa A ⊆ B. • Dogadaji A i B su ekvivalentni ako vrijedi A ⊆ B i B ⊆ A. • Suprotan dogadaj dogadaja A oznaˇcavamo sa A

C ili A i vrijedi A C = ω ∈ Ω : ω / ∈ A}. • Presjek dogadaja A i B oznaˇcavamo sa A ∩ B i vrijedi A ∩ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B}. • Uniju dogadaja A i B oznaˇcavamo sa A ∪ B i vrijedi

A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∨ ω ∈ B}. • Razlika dogadaja A i B je dogadaj A \ B za koji ko ji vrijedi

A \ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω / ∈ B}. Primjer 2.3. Neka se opit sastoji u bacanju kocke i neka je dogadaj A−pao je paran broj, B−pao je neparan broj, C−pao je prost broj. Odrediti dogadaje

A ∪ B, B ∩ C i C. Ω = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6

},

A = ω2, ω4, ω6 -, B = ω1, ω3, ω5 -, C = ω2, ω3, ω5

}, ∪

A C = {ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 -, B ∩ C = ω3, ω5 -, C = ω1, ω4, ω6

}. 2.3. AKSIOME TEORIJE VJEROVATNO ´ CE 9 Prebrojiva unija odnosno presjek dogadaja Ai , i ∈ N definiˇse se na sljedeći na ˇcin: [ i∈N Ai = ω ∈ Ω : (∃i ∈ N) ω ∈ Ai

}, \ i∈N Ai = ω ∈ Ω : (∀i ∈ N) ω ∈ Ai

}. Navedimo i neke osobine definisanih operacija i relacija: 1. A ∪ A = A, A ∩ A = A, 2. A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, 3. A ∪ Ω = Ω, A ∩ Ω = A, 4. A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, 5. (A C ) C

= A, ∅ C = Ω, Ω

C ∅

= , 6. A ∪ A C = Ω, A ∩ A

C = ∅, 7. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, 8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), 9. (A ∪ B) C =A C ∩ B

C , (A ∩ B)

C =A C ∪ B

C . 2.3 Aksiome teorije vjerovatnoće U aksiomatskom zasnivanju teorije vjerovatnoće znaˇcajan je pojam ς−polja

dogadaja. Definicija 2.2. Neka je Ω prostor elementarnih dogadaja i P (Ω) familija svih

podskupova od Ω. Skup F ⊆ P (Ω) nazivamo ς−polje dogadaja ako vrijedi: 1. Ω ∈ F ,

2. A ∈ F ⇒ A C ∈ F , 3. (∀i ∈ N)Ai ∈ F ⇒

S i∈N Ai ∈ F . Primjer 2.4. (i) Neka je Ω proizvoljan skup i F = ∅, Ω}. Tada je F ς−polje

dogadaja. (ii) Neka je Ω = ω1, ω2

}, familija F = {∅, {ω1 -, ω2 -, ω1, ω2 -- je ς−polje

dogadaja. (iii) Neka je Ω = ω1, ω2, ω3, ω4

}, familija F = {∅, Ω{ω1 -, ω3 -, ω2, ω3, ω4

}} nije ς−polje dogadaja. Teorema 2.1. Neka je F ς−polje dogadaja. Tada vrijedi:

1. ∅ ∈ F , 10 GLAVA 2. PROSTOR VJEROVATNO ´ CA 2. A, B ∈ F ⇒ A ∩ B, A \ B ∈ F ,

3. Ai ∈ F , i ∈ N ⇒ T i∈N Ai ∈ F. Definisaćemo sada pojam vjerovatnoće koristeći aksiomatski pristup A. Kolmogorova. Definicija 2.3. Neka je Ω prostor elementarnih dogadaja i F ς−polje dogadaja. Funkcija P : F → R je vjerovatnoća ako vrijedi: 1. P (A) ≥ 0, (∀A ∈ F ), 2. P (Ω) = 1,

3. P ( ∞ P

i=1 Ai ) = ∞ P

i=1 P (Ai ) za sve Ai ∈ F , i ∈ N takve de ja Ai ∩ Aj = ∅, i 6 = j. Ove osobine redom zovu se: nenegativnost, normiranost i ς−aditivnost.

Broj P (A) je vjerovatnoća dogadaja A. Uredena trojka (Ω, F , P ) se zove prostor vjerovatnoća. Navedimo neke primjere. Primjer 2.5. (Konaˇcan prostor vjerovatnoća) Neka je n ∈ N i Ω = ω1, . . . , ω

n -, F = P (Ω) i p i ≥ 0, i = 1, . . . , n, takvi da je

nP i=1 p

i = 1. Funkcija P : F → R definisana sa

P (A) = X i∈I p i , I = j : ωj ∈ A},

je vjerovatnoća. Ako je p i= 1 n , i = 1, . . . , n kaˇzemo da se radi o klasiˇcnoj ili Laplasovoj

definiciji vjerovatnoće. Primjer 2.6. Odrediti vjerovatnoće svih mogućih zbirova pri bacanju dvije kocke. Primjer 2.7. (Geometrijska definicija vjerovatnoće) Neka je Ω skup u

R 2 ˇcija je povrˇsina µ(Ω) pozitivna i konaˇcna. Neka je

F = {A ⊆ Ω : A ima povr ˇsinu }. Definiˇsimo P : F → R tako t ako da je

P (A) = µ(A) µ(Ω)

. U ovom sluˇcaju funkcija P je vjerovatnoća. Ovde se radi o geometrijskoj definiciji vjerovatnoće.

2.4. OSOBINE VJEROVATNO ´ CE 11 Primjer 2.8. Na kruˇznici polupreˇcnika R sluˇcajno su izabrane tri tr i taˇcke A, B i

C. Kolika je vjerovatnoća da je trougao ABC oˇstrougli? Rjeˇsenje. Neka je x duˇzina luka kruˇznice koji spaja taˇcke A i B, a y duˇzina luka kruˇznice koji spaja B i C. Izbor taˇcaka A, B i C jednoznaˇcno odreduje brojeve x, y za koje vaˇzi 0 < x, 0 < y, x  y < 2Rπ. Znaˇci, Ω = (x, y)|x > 0, y > 0, x  y < 2Rπ-. Trougao ABC je oˇstrougli ako je x < Rπ, y < Rπ, x  y > Rπ.

Sada je A = {(x, y) ∈ Ω|x < Rπ, y < Rπ, x + y > Rπ}. Znaˇci,

P (A) = m(A) m(Ω)

= 1 2 R 2 π

2 2R 2 π

2

= 1 4 . 2.4 Osobine vjerovatnoće U ovoj sekciji navodimo neke osobine vjerovatnoće koje slijede iz definicije: • Aditivnost, P (

nP i=1 Ai ) = nP i=1 P (Ai ), • Monotonost, A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B), • 0 ≤ P (A) ≤ 1, • Vjerovatnoća suprotnog dogadaja, P (A

C ) = 1 − P (A), • Vjerovatnoća unije dva dogadaja, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B), • Princip ukljuˇcnosti-iskljuˇcnosti,

P( k [ i=1 Ai ) = kX i=1 P (Ai ) −

X

1≤i 0, dolazimo do pojma uslovne raspodjele. Pretpostavimo da su X i Y diskretne sluˇcajne promjenljive. Tada je p(x i |y j ) = P (X = x i |Y = y j ) = P (X = x i ,Y=y j ) P (Y = y j ) = p ij q j . Analogno je q(y j |x i ) = P (Y = y j |X = x

i)= P (Y = y j , X = x i) P (X = x i) = p ij p i . Primjer 6.2. Zakon raspodjele sluˇcajnog vektora dat je tabelom X\Y 1 2 3 0 2 27 6 27 0 8 27 10 6 27 6 27 12 27

20 6 27 0 6 27 3 1 27 00 1 27 3 27 18 27 6 27 Naći uslovnu raspodjelu X|Y = 2. Rezultat. X|Y = 2 : µ 0123 1 3 1 3 1 3

0 ¶ . Definicija 6.3. Sluˇcajne promjenljive X i Y su nezavisne ako vrijedi

P (X < x, Y < y) = P (X < x)P (Y < y) za sve x, y ∈ R. Ako su X i Y nezavisne tada vrijedi F (x, y) = FX (x)FY (y), x, y ∈ R, gdje je F (x, y) funkcija raspodjele sluˇcajnog vektora (X < Y ), a FX (x)(FY

(y)) funkcija raspodjele sluˇcajne promjenljive X(Y ). Ako su X i Y diskretne sluˇcajne promjenljive tada je nezavisnost ekvivalentna

uslovu p(x i , yj ) = p(x i )q(y j ), i ∈ I, j ∈ J. Primjer 6.3. X i Y su nezavisne sluˇcajne promjenljive sa Poasonovom raspodjelom P (λ). Naći raspodjelu sluˇcajne promjenljive X|X  Y = m. Rjeˇsenje.

P {X = k|X + Y = m} = P {X = k, X + Y = m} P {X + Y = m} , k = 0, 1, . . . , m. 6.4. FUNKCIJE SLU ˇ

CAJNIH PROMJENLJIVIH 47 P X = k, X  Y = m- = P X = k, Y = m − k-. Sada zbog nezavisnosti

sluˇca jnih promjenljivih promjenljivih X i Y je P X = k, X  Y = m- = P X = k-P Y = m − k- = λ

k k! ·e −λ

· λ m−k (m−k)!

e −λ

= ¡ m k ¢ λ

m m! e −2λ

, k = 0, 1, . . . , m. P {X + Y = m} = mP i=0 P X = i, Y = m − i- =

=

mP i=0 P X = i-P Y = m − i- =

== mP i=0 ¡ m i ¢ λ

m m! e −2λ

= λ

m m! e −2λ

mP i=0 ¡ m i ¢ = (2λ)

m m! e −2λ

. Sada je P {X = k|X + Y = m} = ¡ m k ¢ λ

m m! e −2λ (2λ)

m m! e −2λ

= 1 2 m µ m k

¶

. Znaˇci X|X  Y = m ima binomnu raspodjelu B(m,

1 2 )., 6.4 Funkcije sluˇcajnih promjenljivih

Neka je X = (X1, . . . , X n ) viˇsedimenzionalna sluˇcajna pomjenljiva i

g:R n → R

data funkcija. Tada je funkcija Y : Ω → R

data sa Y = g ◦ X sluˇcajna promjenljiva. Ovde se bavimo problemom odredivanja raspodjele sluˇcajne promjenljive Y ako

je poznata funkcija g i raspodjela X. Smatraćemo da je n = 1, u opˇstem sluˇcaju su potrebna neka razmatranja iz analize funkcija viˇse promjenljivih ˇsto prelazi

okvire ovoga kursa. Ramotrimo prvo sljedeće primjere. primjere. Primjer 6.4. Neka X ima Poasonovu raspodjelu P (λ). Definiˇsimo Y = X

2 i Z = sin πX

2 . Odrediti zakon raspodjele za Y i Z.

Rje senje. Imamo da je

P (X = k) = e −λ λ

k k! , k = 0, 1, . . . Sluˇcajna promjenljiva Y = X

2 moˇze uzimati samo vrijednosti koje su kvadrati prirodnih brojeva i nule, pri ˇcemu je

P (Y = k 2 ) = P (X = k) = e −λ λ

k k! , k = 0, 1, . . . 48 GLAVA 6. SLU ˇ

CAJNI VEKTORI Sluˇcajna promjenljiva Z uzima vrijednosti iz skupa −1, 0, 1-. Imamo da je

P (Z = 0) = ∞ X

k=0 P (X = 2k) = e −λ ∞ X

k 0

λ

2k (2k)! =e −λ chλ. Na sliˇcan naˇcin nalazimo

P (Z = 1) = e −λ shλ  sin λ

2 i P (Z = −1) = e −λ shλ − sin λ

2 . Primjer 6.5. Sluˇcajna promjenljiva X ima normalnu raspodjelu N (0, 1) 1 ) i sluˇcajna

promjenljiva Y ima log normalnu raspodjelu, to jest Y = e X . Odrediti raspodjelu sluˇcajne promjenljive Y . Rjeˇsenje. Za funkciju raspodjele FY sluˇcajne promjenljive Y vrijedi

FY (y) = P (Y < y) = P (e X < y) = 0, y ≤ 0,

FY

(y) = P (X < ln y) = 1 √ 2π

ln y Z −∞

e −

t 2 2 dt, y > 0. Gustina sluˇcajne promjenljive Y je

f Y= ( 1 √ 2πy

e −

ln 2 y 2,y>0 0, y ≤ 0. Koristeći ideje date u prethodnim primjerima dobijamo opˇsti rezultat. Diskretan sluˇcaj. Neka je data sluˇcajna promjenljiva X sa zakonom raspodjele

X:

µ x 1 x 2···x i ··· p 1 p 2···p i ··· ¶ i funkcija g : R → R.

Odredimo zakon raspodjele sluˇcajne promjenljive Y = g ◦ X. Vrijedi P (Y = g(x i )) = X j∈Ii P (X = x j ), gdje je I i = {j : g(x i ) = g(x j )}.

Neprekidan slu caj. Neka je X neprekidna slu cajna promjenljiva sa funkcijom

raspodjele vjerovatnoća FX (x). Tada za funkciju raspodjele vjerovatn vjerovatnoća oća FY (y) sluˇcajne promjenljive Y imamo

FY (y) = P (Y < y) = P (g(X) < y) = P (x ∈ g −1 (−∞, y )). Na kraju, zavrˇsimo sa jednim primjerom.

6.5. ZADACI 49 Primjer 6.6. Neka su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive i

P (X = k) = P (Y = k) = q k p, k = 0, 1, 2, . . . , p ∈ (0, 1), q = 1 − p Sluˇcajne promjenljive Z i W definisane su sa Z = Y − X, W = min(X, Y ).

(i) Pokazati da je P (W = w, Z = z) = p 2 q 2w+|z| , w ≥ 0, z ∈ Z.

(ii) Odrediti P (W = w). (iii) Odrediti P (Z = z). promje nljive? (iv) Da li su Z i W nezavisne sluˇcajne promjenljive? Rjeˇsenje. (i) Ako je Y − X = Z < 0 tada je w = W = Y i X = Y − Z = w  |z|. Dakle,

P (W = w, Z = z) z ) = P (Y = w, X = w + |z|) = p 2 q

2w+|z|

. Ako je Y − X = Z ≥ 0 tada je w = W = X i Y = X  Z = w  z. Dakle,

P (W = w, Z = z) z ) = P (X = w, Y = w + z) = p 2 q 2w+z . (ii) P (W = w) = ∞ X z=−∞

p 2 q 2w+|z| = p 2 q 2w [2 ∞ X

z=0 q |z| − 1] = p

2 q

2w

µ 2 p − 1

¶ = p(2 − p)q

2w . (iii) P (Z = z) = ∞ X

w=0 p 2 q 2w+|z| =p 2 q |z| 1 1 − q

2 = pq |z| 2 − p

.

(iv) Sluˇcajne promjenljive Z i W su nezavisne jer vrijedi

P (Z = z, W = w) = P (Z = z)P (W = w). 6.5 Zadaci 1. Zakon raspodjele sluˇcajne promjnljive X dat sa

P (X = k) = 2 −k

, k ∈ N. Odrediti zakon raspodjele sluˇcajne promjenljive Y = 2 cos c os πx

2 . 2. Sluˇcajna promjenljiva X ima unifomnu raspodjelu na intervalu *0, 1+. Odrediti raspodjelu sluˇcajne

promjenljive Y = X 2 . 50 GLAVA 6. SLU ˇ

CAJNI VEKTORI 3. Sluˇcajna promjenljiva X ima gustinu

f (x) = ½ e −x

, x > 0, 0 x ≤ 0. Odrediti gustinu sluˇcajne promjenljive Y = (X − 1)

2 . 4. Sluˇcajna promjenljiva X ima Koˇsijevu raspodjelu

f (x) =

1 π

· 1 1+x 2 . Naći gustinu sluˇcajne promjenljive

Y= 2X 1 − X

2 . Glava 7 Numeriˇcke karakteristike sluˇcajnih promjenljivih 7.1 Matematiˇcko oˇcekivanje

Neka je Ω = ω1, ω2, . . . , ω n }iX: µ x 1 x 2···x k p 1

p

2···p k ¶ . Oznaˇcimo sa Ai = ω ∈ Ω : X(ω) = x

i }, i = 1, 2, . . . , k. Ako je |Ai |=n i , i = 1, 2, . . . , k imamo p i= ni n , pa za srednju vrijednost X(ω1)  X(ω2)  · · ·  X(ωn

) n sluˇcajne promjenljive X imamo

n 1 x 1+n 2 x 2+···+n k x k

n

= kX i=1 p i x i . Prethodno razmatranje je motiv za sljedeću definiciju. definiciju. Definicija 7.1. Neka je X diskretna sluˇcajna promjenljiva ˇciji je zakon raspodjele vjerovatnoća dat sa

X: µ x 1 x 2···x n ··· p 1 p 2···p n ··· ¶ . Matematiˇcko oˇcekivanje sluˇcajne promjenljive X je broj

E(X) =

∞ X

n=1 x n p n , 51 52GLAVA 7. NUMERI ˇ

CKE KARAKTERISTIKE SLU ˇ

CAJNIH PROMJENLJIVIH ako je dati red apsolutno konvergentan. Za neprekidnu sluˇcajnu promjenljivu sa gustinom raspodjele f , matematiˇcko oˇcekivanje definiˇse se sa

E(X) = Z ∞ −∞

xf (x)dx, ako je integral apsolutno konvergentan. Primjer 7.1. Neka je X sluˇcajna promjenljiva koja predstavlja broj na gornjoj

strani kocke. Ovde je E(X) = 3.5. 3 .5. Primjer 7.2. Neka X ima Koˇsijevu raspodjelu, to jest radi se o sluˇcajnoj promjenljivoj ˇcija je gustina

raspodjele f (x) = 1 π(1  x

2

2

) , x ∈ R. U ovom sluˇcaju ne postoji E(X), jer je

Z ∞ −∞

|x| π(1  x

2 ) dx = ∞,

pa integral Z ∞ −∞

x π(1  x

2 ) dx, ne kovergira apsolutno. Neka je X sluˇcajna promjenljiva i g : R → R data funkcija. Ako je X

diskretnog tipa onda je E(g(X)) = ∞ X

n=1 g(x n

)p

n . U sluˇcaju da je X neprekidnog tipa sa gustinom f onda je

E(g(X)) = Z ∞ −∞

g(x)f (x)dx. Primjer 7.3. (i) Neka je X: µ −2 2

1 2 1 2 ¶ . Odrediti E(X 2 ). Ovde je g(x) = x 2 , x ∈ R, pa vrijedi v rijedi E(X 2 ) = (−2)

2

1

2 +2 2 1 2 = 0. 7.2. VARIJANSA 53 (ii) X je sluˇcajna promjenljiva koja oznaˇcava duˇzinu preˇcnika kruga i vrijedi

X : U (5, 7). Odrediti matematiˇcko oˇcekivanje povrˇsine kruga. U ovom sluˇcaju je g(x) = π

2 ¡ x 2 ¢ 2 , pa je E Ã π

2 µ X 2 ¶ 2 ! =

Z

7 5 π

2 x 2 4 · 1 2 dx = 109π

2 12 . U sljedećoj teoremi dajemo osnovne osobine matematiˇckog oˇcekivanja.

Teorema 7.1. 1. Neka je c ∈ R tada je E(c) = c, 2. ako je c ∈ R i X sluˇcajna promjenljiva tada je E(cX ) = cE (X), 3. ako su X i Y sluˇcajne promjenljive tada je E(X  Y ) = E(X)  E(Y ), 4. ako su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive tada je

E(X · Y ) = E(X) · E(Y ). Primjer 7.4. Naći matematiˇcko oˇcekivanje zbira broja taˇcaka t aˇcaka pri bacanju dvije

kocke. Rjeˇsenje. Neka su X i Y sluˇcajne promjenljive-broj taˇcaka koji se pojavio na

prvoj, odnosno na drugoj kocki. Prema osobini 3. imamo E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). Sada, na osnovu primjera 7.1 dobijamo E(X + Y ) = 3.5 + 3.5 = 7. Primjer 7.5. Za sluˇcajnu promjenljivu X vrijedi E(X) = 100.

Odrediti E(2X + 6).

Rjeˇsenje. Vrijede formule

E(cX ) = cE (X), E (X + c) = E(X) + E(c) = E(X + c). Dakle, E(2X + 6) = 2E(X) + 6 = 206. 7.2 Varijansa Matematiˇcko oˇcekivanje daje informaciju o sluˇcajnoj promjenljivoj koja je

ne opisuje u potpunosti. Ilustrujmo to sljedećim primjerom. Primjer 7.6. Neka je X: µ −1 0 1

1 3 1 3 1 3 ¶ iY: µ −100 50 100

1 2 0 1 2 ¶ . Tada je E(X) = E(Y ) = 0.

Dakle, potrebno je posmatrati i odstupanje sluˇcajne promjenljive od E(X),

to jest |X −E(X)|. Izraz (X −E(X))

2 takode daje odstupanje ali je jednostavniji za analizu. 54GLAVA 7. NUMERI ˇ

CKE KARAKTERISTIKE SLU ˇ

CAJNIH PROMJENLJIVIH Definicija 7.2. Varijansa (disperzija) sluˇcajne promjenljive X je V ar(X) = E(X − E(X))

2 . Koristi se i oznaka D 2 (X) = E(X − E(X))

2 . Broj p V ar(X) se naziva standardna devijacija. Osnovne osobine varijanse sadrˇzane su u sljedećoj teoremi.

Teorema 7.2. 1. V ar(X) = E(X 2 ) − E

2 (X), 2. V ar(X) ≥ 0,

3. ako je c ∈ R onda je V ar(c) = 0,

4. V ar(cX ) = c

2 V ar(X), 5. ako su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive onda je

V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ). Primjedba 7.1. Ako je V ar(X) = 0 onda je P (X = c) = 1 i kaˇze se da je X = c skoro sigurno (s. s.). Primjer 7.7. Odredimo V ar(I A ), to jest varijansu indikatora dogadaja A. Sluˇcajna promjenljiva I

A je definisana sa (vidi primjer 5.1) I A (ω) =

½ 1, ω ∈ A, 0, ω / ∈ A.

Imamo P (IA = 1) = P (A), P (IA = 0) = 1 − P (A). V ar(I A) = p − p

2 = p(1 − p).

Primjer 7.8. Ako je X: µ 123 p

1

p 2 p 3 ¶ sluˇcajna promjenljiva kod koje je E(X) = 2 i V ar(X) =

2 3 odrediti p 1 , p2 i p 3. Rjeˇsenje. Vrijedi

p 1+p 2+p 3 = 1, osim toga, kako je E(X) = 2 imamo p 1 + 2p 2 + 3p 3 = 2. Dalje, V ar(X) = E(X

2

) − E

2 (X) = 2 3 , pa je p 1 + 4p 2 + 9p 3 − 4 =

2 3 . Sada iz p 1+p 2+p 3 =1 7.3. KOVARIJANSA I KOEFICIJENT KORELACIJE 55 p 1 + 2p 2 + 3p

3

=2 p 1 + 4p 2 + 9p 3= 14 3 , dobijamo p 1=p 2=p 3= 1 3 . 7.3 Kovarijansa i koeficijent korelacije Definicija 7.3. Neka je X sluˇcajna promjenljiva. Osnovni momenat k−tog

reda je E(X k ), k = 0, 1, 2, . . . Centralni momenat k−tog reda je E(X − E(X))

k , k = 0, 1, 2, . . .

Matematiˇcko oˇcekivanje je osnovni momenat prvog reda, a varijansa je centralni momenat drugog

reda. Ako postoji osnovni momenat k−tog reda (k ≥ 2) onda postoje i momenti i−tog

reda i ∈ {0, 1, . . . , k − 1}. Naime, neka je Z ∞ −∞

|x k f (x)|dx < ∞,

tada je Z ∞ −∞

|x i f (x)|dx = Z −1 −∞

|x k f (x)|dx + Z 1 −1

|x k

f (x)|dx +

Z ∞

1 |x k f (x)|dx ≤ ≤ 1 

Z ∞ −∞

|x k f (x)|dx < ∞. Definicija 7.4. Neka su X i Y sluˇcajne promjenljive. Broj E((X − E(X))(Y − E(Y )) nazivamo kovarijacija i oznaˇcavamo sa cov(X, Y ).

Osnovne osobine kovarijacije su : 1. cov(X, Y ) = cov(Y, X ), 2. cov(X, X) = V ar(X), 3. cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), 4. ako su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive onda je cov(X, Y ) = 0.

56GLAVA 7. NUMERI ˇ

CKE KARAKTERISTIKE SLU ˇ

CAJNIH PROMJENLJIVIH Primjer 7.9. Neka sluˇcajni vektor (X, Y ) ima zakon raspodjele vjerovatnoća Y \X -1 0 1

0

1 12 1 2 1 12 2 1 12 1 6 1 12 Naći cov(X, Y ). Rjeˇsnje. Zakoni raspodjela za X, Y i XY su

X: µ −1 0 1

1 6 2 3 1 6 ¶ ,Y: µ 02

2

3 1 3 ¶ , XY : µ −2 0 2

1 12 5 6 1 12 ¶ . Sada je E(X) = 0, E (Y ) = 2 3 i E(XY ) = 0, pa je cov(X, Y ) = 0. Primjetimo da X i Y nisu nezavisne, jer na primjer P (X < 0) = 1 6 , P (Y < 2) = 2 3 i P (X < 0, Y < 2) = 1

12

, tako da je P (X < 0, Y < 2) 6 = P (X < 0)P (Y < 2). Definicija 7.5. Sluˇcajna promjenljiva X 0 = X − E(X) naziva se centralizovana sluˇcajna promjenljiva. Sluˇcajna promjenljiva

X ⋆

= X − E(X)

p V ar(X) naziva se standardizovana sluˇcajna promjenljiva. Kovarijacija standardizovanih sluˇcajnih promjenljivih

X ⋆

iY ⋆

naziva se koeficijent korelacije sluˇcajnih promjenljivih X i Y i oznaˇcava se sa ρ

XY . Dakle, ρ

XY = cov(X ⋆

,Y

⋆

)) = E Ã X − E(X)

p V ar(X) · Y − E(Y )

p V ar(Y ) ! = E(XY ) − E(X)E(Y )

p V ar(X) p V ar(Y ) . Osobine koeficijenta korelacije : 1. ρXX = 1,

2. ρ XY = ρY X

, 3. |ρ XY | ≤ 1, 4. ako su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive onda je ρ

XY = 0, 5. ρ

XY ∈ {−1, 1} ako i samo ako postoje a, b ∈ R takvi da je Y = aX + b

skoro sigurno.

7.4. MATEMATI ˇ

CKO O ˇ

CEKIVANJE I VARIJANSA NEKIH RASPODJELA57 Primjedba 7.2. Za sluˇcajne promjenljive X i Y kaˇzemo da su : • nekorelisane ako je ρ

XY = 0, • pozitivno korelisane ako je ρ

XY > 0, • negativno korelisane ako je ρ

XY < 0. Primjer 7.10. Sluˇcajne promjenljive X i Y su nezavisne sa zakonom raspodjele

µ 01 1 2 1 2 ¶ . Neka je U = minX, m inX, Y - i V = maxX, Y -. Naći koeficijent korelacije ρ

U,V . Rjeˇsenje. Raspodjela sluˇcajnog vektora (U, V ) je data sljedećom tabelom

U \V 0 1 0 0.25 0.5 1 0 0.25

Koeficijent korelacije

ρ

U,V = E(UV ) − E(U )E(V )

p V ar(U ) p V ar(V ) = 0.25 − 0.25 · 0.75 √

3 4 √ 3 4 = 1 3 . 7.4 Matematiˇcko oˇcekivanje i varijansa nekih raspodjela

1. Bernoullijeva P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p. E(X) = p, V ar(X) = p(1 − p).

2. Binomna B(n, p) P (X = k) = µ n k

¶

p k (1 − p) n−k

, k = 0, . . . , n. E(X) = np, V ar(X) = np(1 − p).

3. Geometrijska P (X = k) = p(1 − p) k−1

, k = 1, 2, . . . E(X) = 1 p , V ar(X) = 1 − p

p 2 . 58GLAVA 7. NUMERI ˇ

CKE KARAKTERISTIKE SLU ˇ

CAJNIH PROMJENLJIVIH 4. Hipergeometrijska Hipergeometrijska P (X = k) = µ m k

¶µ

n−m r − k

¶ µ n r ¶ , k = 0, . . . , r, r ≤ m < n.

E(X) = rm n , V ar(X) = rm(n − m)(n − r)

n 2 (n − 1)

. 5. Negativna binomna P (X = k) = µ k − 1 r − 1

¶ p r (1 − p) k−r

, k = r, r + 1, . . . E(X) =

r

p , V ar(X) = r(1 − p)

p 2 . 6. Poissonova P (λ)

P (X = k) = e −λ λ

k k! , k = 0, 1, . . . E(X) = λ, V ar(X) = λ.

7. Uniformna U (a, b) f (x) = 1 b − a

, x ∈ [a, b]. E(X) = a+b 2 , V ar(X) = (b − a)

2 12 . 8. Eksponencijalna E (λ)

f (x) = λe

−λx , x ≥ 0, λ > 0.

E(X) = 1 λ

, V ar(X) = 1 λ

2 . 9. Normalna N (µ, ς 2 ) f (x) = 1 ς √ 2π

e − (x−µ)

2 2ς

2 , x ∈ R. E(X) = µ, V ar(X) = ς

2 .

7.5. ZADACI 59

7.5 Zadaci 1. Ako je X : U (a, b), odrediti E(X) i V ar(X). 2. Sluˇcajne promjenljive

X: µ −2 0 2

1 4 0 3 4 ¶ iY: µ 1234 1 5 3 5 1 5 0 ¶ su nezavisne. Odrediti E(XY ) i V ar(X + Y ). 3. Za sluˇcajnu promjenljivu X vrijedi E(X) = 10 i V ar(X) = 5. Odrediti

E(X 2 ), E (2X  6) i V ar(−3X  5).

4. Neka je X sluˇcajna promjenljiva. Pokazati da je

|E(X)| ≤ E(X

2 )+ 1 4 . 5. X i Y su nezavisne sluˇcajne promjenljive sa Poasonovom raspodjelom P (λ). Naći E(X|X  Y = m).

60GLAVA 7. NUMERI ˇ

CKE KARAKTERISTIKE SLU ˇ

CAJNIH PROMJENLJIVIH Glava 8 Karakteristiˇcne funkcije

8.1 Uvod Kompleksna sluˇcajna promjenljiva Z = X  iY je j e preslikavanje skupa Ω u skup C. Matematiˇcko oˇcekivanje sluˇcajne promjenljive Z je kompleksan broj E(Z) = E(X)  iE (Y ). U ovoj sekciji sekc iji uvodimo pojam karakteristiˇcne funkcije kao matematiˇcko oˇcekivanje komplesne sluˇcajne promjenljive. Ideja potiˇce od matematiˇcara Ljapunova. Naime, on je koristio metodu karakteristiˇcnih funkcija da bi doˇsao do graniˇcnih teorema, koje izuˇcavamo u sljedećoj glavi. Definicija 8.1. Karakteristiˇcna funkcija ϕ sluˇcajne promjenljive X : Ω → R

je funkcija ϕ : R → C, ϕ(t) = E(e

itX ).

Ako je f gustina slu cajne promjenljive X, tada je ϕ(t) =

∞

Z −∞

e itx f (x)dx, a ako je sa p k = P (X = x k ) dat zakon raspodjele diskretne sluˇcajne promjenljive

X, onda je ϕ(t) =

X k e itxk p k . Napomenimo da se na osnovu veze izmedju originala o riginala i slike Furijeove transformacije moˇze pokazati da vrijedi f (x) = 1 2π ∞

Z −∞ ϕ(t)e

−itx

dt, ako je X neprekidnog tipa i p k= 1 2π π

Z −π ϕ(t)e −itxk

dt, 61 62 GLAVA 8. KARAKTERISTI ˇ

CNE FUNKCIJE ako je X diskretnog tipa. Primjer 8.1. Odrediti karaktristiˇcnu funkciju sluˇcajne promjenljive X ˇcija je

gustina vjerovatnoće v jerovatnoće f (x) = 1 2 e −|x|

. Rjeˇsenje. Iz definicije karakteristiˇcne funkcije dobijamo ϕ(t) =

1 2

∞

Z −∞

e itx e −|x|

dx = 1 2

0 Z −∞

e itx e x dx + ∞

Z 0 e itx e −x

dx

= 1 1+t 2 . 8.2 Osnovne osobine Osnovne osobine karakteistiˇcne funkcije su :

1. ϕ(0) = 1, |ϕ(t)| ≤ 1, ϕ(−t) = ϕ (t). 2. Ako je X sluˇcajna promjenljiva i a, b ∈ R, tada je ϕaX+b(t) = e

ibt ϕX (at).

3. Ako postoji momenat E(X n ), tada je ϕ

(n) (0) = i n E(X n ). 4. Ako su X i Y nezavisne sluˇcajne promjenljive, tada je ϕX+Y

(t) = ϕX (t) · ϕY (t). Primjedba 8.1. Matematiˇckom indukcijom se pokazuje da za nezavisne sluˇcajne

promjenljive X1, . . . , X n

vrijedi ϕX1+···+Xn

(t) = ϕX1 (t) · · · ϕXn (t). Kao posljedicu osobine 3. dobijamo da za karateristiˇcnu funkciju vrijedi ϕ(t) =

nX k=0 i k E(X k ) k! t k + o(t n ), ako postoje momenti E(X k ), k = 1, 2, . . . , n. Sljedeći primjer pokazuje da ne vrijedi obrnuto tvrdenje u 4. 8.2. OSNOVNE OSOBINE 63 Primjer 8.2. Zakon raspodjele sluˇcajnog vektora (X, Y ) odreden je tablicom

Y \X 0 1 3

0 1

9 0 2 9 1 2 9 1 9 0 30 2 9 1 9 Pokazati da za karakteristiˇcne funkcije ϕX+Y , ϕX , ϕ

Y vrijedi ϕX+Y

(t) = ϕX (t)ϕY (t) ali da su sluˇcajne promjenljive X i Y zavisne. Rjeˇsenje.

hX (t) = 3 9 +

3 9

e it + 3 9 e 3it = 1+e it +e 3it 3 h Y (t) = 3 9 + 3 9 e it + 3 9 e

3it =

1+e it +e 3it 3 Sluˇcajna promjenljiva X  Y ima sledeći zakon raspodjele r aspodjele

X+Y: µ 012346 1 9 2 9 1 9 2 9 2 9 1 9 ¶ . Dakle, ϕX+Y

(t) = 1

9 (1 + 2e

it +e 2it + 2e 3it + 2e 4it +e 6it )= µ 1+e it +e 3it 3 ¶2 , pa imamo ϕX+Y

(t) = ϕX (t)ϕY (t). Sluˇcajne promjenljive X i Y su zavisne jer je, na primjer

P {X = 0} = P {Y = 1} = 1 3 , P {X = 0, Y = 1} =

2 9

, pa je P {X = 0}P {Y = 1} 6 = P {X = 0, Y = 1}. Sljedeća teorema je poznata kao teorema o neprekidnosti. Teorema 8.1. Neka su (ϕn (t)) i (Fn (x)) nizovi karakteristiˇcnih funkcija i odgovarajućih funkcija raspodjele. Ako ϕn (t) → ϕ(t), ϕ je neprekidna u 0 i F je funkcija raspodjele koja odgovara karakteristiˇcnoj funkciji ϕ, onda Fn (x) → F (x) u svakoj taˇcki naprekidnosti funkcije F .

64 GLAVA 8. KARAKTERISTI ˇ

CNE FUNKCIJE Primjer 8.3. Neka je X1, X2, . . . niz nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih takvih

da je Xk : µ −1 1

1 2 1 2 ¶ , k = 1, 2, . . . i

X= ∞ X

k=1 Xk 2 k . Dokazati da X ima uniformnu raspodjelu U (−1, 1). Rjeˇsenje. Raspodjelu za X odredićemo pomoću karakteristiˇcnih funkcija. Za sluˇcajnu promjenljivu Xk karakteristiˇcna funkcija je

hXk (t) = 1 2 e −it

+ 1 2 e it = cos t, k = 1, 2, . . . . Neka je Y n= nX k=1 Xk

2 k

, poˇsto su sluˇcajne promjenljive X1, X2, . . . nezavisne, za karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne promjenljive Y

n vrijedi ϕYn

(t) = Q n k=1 ϕ X

k 2k (t) = Q n k=1 cos t 2 k = cos t 2 cos t 2 2 . . . cos

t 2

n= = sin t 2 sin t 2 · sin t 2 2 sin t 22 · sin t 22 2 sin t 23 ··· sin t 2 n−1

2 sin t

2 n

= sin t 2 n sin t 2 n . Sada je ϕYn (t) →

sin t t , n → ∞. Znaˇci, niz karakteristiˇcnih funkcija ϕYn

konvergira za svako t 6 = 0 ka funkciji ϕ(t) =

sin t t ,t6=0 Poˇsto, limt→0

sin t t = 1, ϕ se moˇze definisati u nuli h(0) = 1 da bi bila neprekidna. Poˇsto je ϕYn (0) = 1 za svako n = 1, 2, . . . imamo da niz karakteristiˇcnih funkcija ϕYn

konvergira za svako t ∈ R ka funkciji ϕ(t) =

½ sin t t ,t6=0 1 , t = 0. Karakteristiˇcna funkcija za uniformnu raspodjelu U (−1, 1), je ϕU =

e it − e −it

2it , kako je sin t t = e it − e −it

2it , to na osnovu teoreme o neprekidnosti zakljuˇcujemo da X ima uniformnu raspodjelu U (−1, 1).

8.3. KARAKTERISTI ˇ

CNE FUNKCIJE NEKIH RASPODJELA 65

8.3 Karakteristiˇcne funkcije nekih raspodjela 1. Bernoullijeva

P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p. ϕ(t) = 1 − p  pe

it . 2. Binomna B(n, p) P (X = k) = µ n k ¶ p k (1 − p) n−k

, k = 0, . . . , n. ϕ(t) = (1 − p  pe

it ) n . 3. Geometrijska P (X = k) = p(1 − p) k−1

, k = 1, 2, . . . ϕ(t) =

pe it

1 − (1 − p)e

it

. 4. Poissonova P (λ)

P (X = k) = e −λ λ

k k! , k = 0, 1, . . . ϕ = e λ(e

it −1)

. 5. Uniformna U (a, b) f (x) = 1 b − a

, x ∈ [a, b]. ϕ(t) =

e itb − e

ita it(b − a)

. 6. Eksponencijalna E (λ) f (x) = λe

−λx , x ≥ 0, λ > 0.

ϕ(t) = λ λ − it

. 7. Normalna N (µ, ς

2 ) f (x) = 1 ς √ 2π

e − (x−µ)

2 2ς

2 , x ∈ R. ϕ = e iµt− ς

2 t 2 2 .

66 GLAVA 8. KARAKTERISTI ˇ

CNE FUNKCIJE 8.4 Zadaci 1. Sluˇcajne promjenljive X1, X2, X3 su nezavisne sa raspodjelama:

P {X1 = k} = 1 2 k , P {X2 = k} = 2 3 k , P {X3 = k} = 4 5 k , k ∈ N. Koristeći karakteristiˇcne funkcije naći raspodjelu za sluˇcajnu promjenljivu

X, gdje je X = X1 + X2 + X3. 2. Neka X ima binomnu raspodjelu B(n, p). Naći E(X 3 ). 3. Karakteristiˇcne funkcije nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih X i Y su

hX (t) = e 2e it −2

ih Y

(t) = µ 1 4 ¶ 10 ¡ 3e it +1 ¢ 10 . Odrediti P (X + Y = 2), P (XY = 0) i E(XY ). 4. Sluˇcajna promjenljiva X ima karakteristiˇcnu funkciju h(t). Izraˇcunati

V ar(sin X) + V ar(cos X) preko h(1). 5. Sluˇcajne promjenljive X1, . . . , X

n su nezavisne i vrijedi Xi : N (µi , ς

2 i ), i = 1, . . . , n. Odrediti raspodjelu sluˇcajne promjenljive

X=a

1X1 + a 2X2 + · · · + a

nXn + b, gdje su a 1 , a2 ,...,a n , b realni brojevi. Glava 9 Graniˇcne teoreme

9.1 ˇ Cebiˇsevljeva nejednakost Ako znamo funkciju raspodjele vjerovatnoća moˇzemo odrediti vjerovatnoću dogadaja |X| ≥ ǫ-, ǫ > 0. Na primjer, ako je X neprekidna sluˇcajna promjenljiva sa gustinom f , onda je P (|X| ≥ ǫ) =

Z −ǫ −∞

f (x)dx + Z ∞ ǫ

f (x)dx. Ovde dajemo ocjenu gornje granice vjerovatnoće P (|X| ≥ ǫ), ako je X nenegativna sluˇcajna

promjenljiva. Teorema 9.1. (Nejednakost Markova) Neka je X nenegativna sluˇcajna promjenljiva. Ako postoji E(X

k

), k ∈ N tada je P (X ≥ ǫ) ≤

E(X k ) ǫ

k za svako ǫ > 0.

Posljedica nejednakosti Markova je sljedeća nejednakost poznata kao ˇ Cebiˇsevljeva

nejednakost. Teorema 9.2. Ako postoji V ar(X), tada je P (|X − E(X)| ≥ ǫ) ≤

V ar(X) ǫ

2 . Primjer 9.1. Sluˇcajna promjenljiva X ima pozitivn u varijansu. Pokazati da je

P Ã − √

10 < X − E(X)

p V ar(X) < √

10 !

> 0.9. Rjeˇsenje. Kako je

P Ã − √

10 < X − E(X)

p V ar(X) < √

10 ! = 1 − P

Ã¯ X − E(X)

p V ar(X) ¯ ≥ √

10 ! 67 68 GLAVA 9. GRANI ˇ

CNE TEOREME i

E Ã X − E(X)

p V ar(X) ! 2 = 1, koristeći nejednakost ˇ Cebiˇseva imamo

P Ã − √

10 < X − E(X)

p V ar(X) < √

10 ! ≥ 1 −

1 10 = 0.9.

Primjer 9.2. Koliko je potrebno sprovesti nezavisnih ispitivanja da bi, sa vjerovatnoćom ne manjom od 0.979 vaˇzila nejednakost

¯ Xn n − p

¯ < 0.01, gdje je Xn broj pozitivnih realizacija u n ispitivanja, a p = 0.3 vjerovatnoća pozitivne realizacije realizacije u jednom ispitivanju. Naći ocjenu za najmanji broj ispitivanja koristeći nejednakost ˇ Cebiˇseva. Rjeˇsenje. Sluˇcajna promjenljiva Xn

ima binomnu raspodjelu B(n, 0.3), pa je E(X) = 3n 10 , V ar(X) = 21n 100 . Koristeći nejednakost ˇ Cebiˇseva dobijamo

P µ¯ Xn

n − p

¯ ≥ 0.01

¶ < V ar( Xn n ) 0.01 2 , to jest P µ¯ Xn n − p

¯ ≥ 0.01

¶ < 2100 n . Znaˇci, treba naći takvo n da vaˇzi

P µ¯

Xn n

− p

¯ < 0.01 ¶ > 1 −

2100 n ≥ 0.979. Rjeˇsavanjem ove nejednaˇcine dobijamo n ≥ 10

5 . 9.2 Neke graniˇcne teoreme U opitu bacanja homogenog noˇcića vjerovatnoća pojave grba (pisma) je

1 2 . To se dovodi u vezu sa grupisanjem relativne uˇcestalosti

Sn n oko 1 2 , pri velikom ponavljanju opita. Medutim, nije moguće dokazati lim n→∞

Sn

n =

1 2 . 9.3. VRSTE KONVERGENCIJA U TEORIJI VJEROVATNO ´ CE 69 Postupa se na drugi naˇcin. Za proizvoljan ǫ > 0 posmatra se vjerovanoća

P µ¯ Sn n − p

¯ < ǫ

¶ . Ako za svaki ǫ > 0 vrijedi

lim n→∞

P µ¯ Sn n − p

¯ < ǫ

¶

= 1, onda imamo opradanje statistiˇcke definicije vjerovatnoće.

Sljedeća teorema dokazuje se koristeći ˇ Cebiˇsevljevu nejednakost. Teorema 9.3. (Bernoulli)Neka je ǫ > 0 i Sn

: B(n, p), tada je lim n→∞

P µ¯ Sn n − p

¯ < ǫ

¶ = 1 (9.1) Primjedba 9.1. Formula 9.1 ekvivalentna je sa lim n→∞

P µ¯ Sn n − p

¯ ≥ ǫ

¶

= 0. Teorema 9.4. (

ˇ Cebiˇsev) Neka je (Xn ) niz nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih, sa uniformno ograniˇcenim varijansama, to jest, postoji c ∈ R tako da je za svaki

n ∈ N V ar(Xn ) ≤ c. Tada za svaki ǫ > 0 vrijedi

lim n→∞

P Ã¯ 1 n nX i=1 Xi −

1 n nX i=1 E(Xi ) ¯ < ǫ

! = 1 (9.2) Teorema 9.5. (Hinˇcin) Neka je (Xn ) niz nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih,sa ostom raspodjelom i matematiˇckim oˇckivanjem m ∈ R. Tada je za svako ǫ > 0

lim n→∞

P Ã¯ 1 n nX i=1 Xi − m

¯ < ǫ

! = 1. (9.3) Uoˇcimo da su formule (9.1), (9.2) i (9.3) istog tipa. Definisaćemo pojmove pomoću kojih se navedene teoreme mogu iskazati na isti naˇcin. To nas dovodi do raliˇcitih konvergencija u teoriji vjerovatnoće.

9.3 Vrste konvergencija u teoriji vjerovatnoće Definicija 9.1. Neka su X, X, X2, X 2, . . . sluˇcajne promjenljive. 1. Kaˇzemo da niz (Xn

) strogo konvergira ili konvergira skoro sigurno ka sluˇcajnoj promjenljivoj X ako je

P ( lim n→∞

Xn = X) = 1. 70 GLAVA 9. GRANI ˇ

CNE TEOREME 2. Niz (Xn ) konvergira u vjerovatnoći ka X ako je

lim n→∞

P (|Xn − X| ≥ ǫ) = 0 (∀ǫ > 0).

3. Niz (Xn ) konvergira ka X u raspodjeli ili slabo konergira ako je lim n→∞

P (Xn < x) = P (X < x). 4. Za dato p ≥ 1 kaˇzemo da niz (Xn ) Lp−konvergira ka X ako je

lim n→∞ E|Xn − X|

p = 0. Ako je p = 2 kaˇzemo da niz (Xn

) konvergira u srednjem kvadratnom. Definicija 9.2. Ako niz aritmetiˇckih sredina (Xn

) (Xn = 1 n nP i=1 Xi ), konvergira u vjerovatnoći ka 1 n nP

i=1 E(Xi ) kaˇzemo da za niz (Xn

) vaˇzi slabi zakon velikih

brojeva. Ako niz (Xn ) konvergira skoro sigurno ka 1 n nP i=1 E(Xi ) kaˇzemo da za niz (Xn

) vaˇzi jaki zakon velikih brojeva.

Teoreme 9.3, 9.4 i 9.5 zovu se Bernulijev, ˇ Cebiˇsev i Hinˇcinov zakon velikih

brojeva. To su slabi zakoni velikih brojeva. Navedimo i jedan jaki zakon velikih brojeva. Teorema 9.6. (Borel) Za Bernulijevu ˇsemu vrijedi

Sn n → p skoro sigurno. 9.4 Centralna graniˇcna teorema

Teorema 9.7. Neka je (Xn ) niz nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih sa istom raspodjelom, za koje je E(Xn) = m i V ar(Xn) = ς

2 za svaki n ∈ N. Tada vrijedi

lim n→∞

P (Y ⋆

n < x) = 1 √ 2π

x Z −∞

e −

t 2 2 dt, gdje je Y ⋆

n = X1  · · ·  Xn − n · m ς √

n . Primjer 9.3. Broj ljudi koji udu u jednu robnu kuću u toku jednog minuta ima

P (6) raspodjelu. a) Kolika je vjerovatnoća da u toku dva sata u robnu kuću ude bar 700 ljudi?

9.5. ZADACI 71 b) Koliko vremena treba da prode da bi sa vjerovatnoćom 0.95 u robnu kuću uˇslo

bar 700 ljudi? Rjeˇsenje. Neka je Xi sluˇcajna promjenljiva koja predstavlja broj ljudi koji udu u robnu kuću toku i− tog minuta. Xi

ima P (6) raspodjelu, pa je E(Xi ) = 6, V ar(Xi ) = 6. Broj ljudi koji udu u toku n minuta je Y n= nP i=1 Xi i vrijedi E(Y n ) = 6n, V ar(Y n ) = 6n. Poˇsto su sluˇcajne promjenljive X1, X2, . . . X

n nezavisne i sve imaju istu raspodjelu vaˇzi centralna graniˇcna teorema, t eorema, znaˇci raspodjela

Y n − E(Y

n ) p V ar(Y

n )

teˇzi ka normalnoj raspodjeli N (0, 1).

a) P (Y n ≥ 700) = 1 − P (Y

n < 700), pa kako je P µ Y n − 720 √

6 · 120 < −0.745

¶ ≈ φ(−0.745) ≈ 0.77,

imamo da je P (Y n ≥ 700) ≈ 0.77.

b) P (Y n ≥ 700) ≈ 1 − φ

µ 700 − 6n √

6n ¶ , pa iz 1−φ

1

φ

µ 700 − 6n

√

6n ¶ = 0.95 nalazimo 700 − 6n √

6n = −1.645. Odavde dobijamo da je n ≈ 124.15, pa je traˇzeno vrijeme 125 minuta.

9.5 Zadaci 1. Sluˇcajna promjenljiva X data je funkcijom gustine

f (x) = ½ x m m! e −x , x ≥ 0

0, x < 0. Dokazati, koristeći nejednakost ˇ Cebiˇseva, da je

P (0 < X < 2(m + 1)) > m

m+1 . 72 GLAVA 9. GRANI

ˇ

CNE TEOREME 2. Pretpostavimo da nezavisne sluˇcajne promjenljive X1, X2, X2 , . . . , X30, imaju uniformnu raspodjelu na *0, 1+. Neka je sluˇcajna promjenljiva Y definisana

sa Y = X1 + X2 + · · · + X30. Koristeći centralnu graniˇcnu teoremu odrediti P (13 ≤ Y ≤ 18). 1 , . . . , n su nezavisne i vrijedi 3. Sluˇcajne promjenljive Xi , i = 1,

P µ Xi = 5 4 ¶ =P µ Xi = 4 5 ¶ = 1 2 , i = 1, . . . , n. Neka je Y = nQ

i 1 Xi odrediti P (Y ≤ 0.001). Kolika je ta vjerovatnoća ako

je n = 1000. 4. Primjenom centralne graniˇcne teoreme na niz nezavisnih sluˇcajnih promjenljivih sa P (1)

raspodjelom, dokazati da je lim n→∞

e −n

nX k=0 n k k! = 1 2 . 5. Raˇcunar vrˇsi obraˇcun elektriˇcne energije e nergije kod 100 korisnika. Vrijeme obraˇcuna

za svakog korisnika ima eksponencijalnu eksponencijalnu raspodjelu sa oˇcekivanjem 3 sekunde i nezavisno je od drugih korisnika. Naći vjerovatnoću da će obraˇcun trajati t rajati

izmedu 3 i 6 minuta. Glava 10 Matematiˇcka statistika Matematiˇcka statistika je blisko povezana sa teorijom vjerovatnoće. Cilj je

da se na osnovu rezultata eksperimenata donesu zakljuˇcci o zakonima raspodjela i numeriˇckim karakteristikama sluˇcajnih promjenljivih.

10.1 Osnovni pojmovi Skup Ω elemenata ω naziva se populacija ili generalni ge neralni skup. Za svaki

ω ∈ Ω posmatra se neka numeri ˇcka karakteristika X(ω) koja se naziva obiljeˇzje. Primjer 10.1. Populacija je skup svih stanovnika neke zemlje. Obiljeˇzje svakog

stanovnika je npr. visina ili godine starosti. Primjer 10.2. Svi proizvodi jedne fabrike ˇcine populaciju. Obiljeˇzje svakog

proizvoda je npr. njegova cijena. ˇ Cesto je komplikovano registrovati obiljeˇzje za svaki elemenat eleme nat populacije. Zato se obiljeˇzje registruje na dijelu populacije (uzorak), pa se dobijena raspodjela smatra raspodjelom cijele populacije. Vaˇzno je da uzorak dobro odraˇzava

(reprezentuje) populaciju. Ovo se rjeˇsava tako da se uzorak bira sluˇcajno. Tada je populacija skup svih mogućih ishoda ω. Prema tome, obiljeˇzje X(ω), ω ∈ Ω je sluˇcajna promjenljiva. Dakle, treba odrediti funkciju raspodjele F (x) sluˇcajne

promjenljive X. Uzorak obima n je n−torka ω1, . . . , ω n sluˇcajnih ishoda iz Ω i naziva se sluˇcajni uzorak. Sluˇcajan uzorak (X1, . . . , X

n ) je prost sluˇcajan uzorak ako su sluˇcajne promjenljive Xi , i = 1, . . . , n nezavisne i sa istom

raspodjelom. Posmatraćemo samo proste sluˇcajne uzorke koje ćemo jednostavnije zvati uzorcima. Kada je izabran uzorak, sluˇcajna promjenljiva (X1, . . . , X

n ) postaje n−torka

(x 1 ,...,x n ) ∈ R

n i naziva se realizovani uzorak.

Neka je X obiljeˇzje sa funkcijom raspodjele F (x) i neka je (X1, . . . , X

n ) prost uzorak. Funkcija koja svakom x ∈ R dodjeljuje relativnu ˇcestalost dogadaja (X < x) u n opita naziva se empirijska funkcija raspodjele i oznaˇcava se sa 73 74 GLAVA 10. MATEMATI ˇ

CKA STATISTIKA Sn . Neka je I (Xi 0 vrijedi

P µ p ∈ · Sn n − ǫ,

Sn n  ǫ

¸¶ ≥ 1 −

1 4nǫ

2 . (10.1) Naime, nejednakost (10.1) slijedi iz nejednakosti ˇ Cebiˇseva

P µ¯ Sn n − p

¯¶ ≤ ǫ) ≥ 1 −

p(1 − p) nǫ

2

i ˇcinjenice da funkcija ϕ(p) = p(1 − p) ima maksimum, koji je jednak

1 4 i koji se dostiˇze za p =

1 2 . Interval £ Sn n − ǫ,

Sn n  ǫ

¤ naziva se interval povjerenja povjerenja za nepoznatu vjerovatnoću p. Primjer 10.4. U sluˇcaju da je n = 1000 odrediti duˇzinu intervala povjerenja

kome sa vjerovatnoćom 0.99 pripada parametar p. Rjeˇsenje. Iz uslova 1 −

1 4nǫ

2 = 0.99, za n = 1000 dobijamo ǫ ≈ 0.316. Dakle,

duˇzina intervala povjerenja je 0.632.

Neka Sn ima binomnu raspodjelu sa nepoznatim parametrom p. Tada za nule x

1ix 2, (x 1 < x2 ) kvadratnog polinoma p(x) = (n 2 +c 2 n)x 2 − (c

2 n + 2nS n )x + S 2 n vrijedi P (x 1 ≤ p ≤ x 2) ≈ 2Φ(c) − 1. (10.2)

Naime, na osnovu Muavr-Laplasove teoreme imamo P Ã¯ Sn − np

p np(1 − p)

¯

≤ c

! ≈ 2Φ(c) − 1.

Kako je nejednakost ¯ Sn − np

p np(1 − p)

¯ ≤ c

ekvivalentna sa (n 2 +c 2 n)p 2 − (c

2 n + 2nS n )p + S 2 n ≤ 0

to za nule x

1ix 2 polinoma p(x) vrijedi

P (x 1 ≤ p ≤ x 2) = P Ã¯ Sn − np

p np(1 − p)

¯ ≤ c

! ≈ 2Φ(c) − 1.

78 GLAVA 10. MATEMATI ˇ

CKA STATISTIKA Primjer 10.5. Na osnovu 10.2 odrediti 95% interval povjerenja za nepoznati parametar p ako je n = 1000 i Sn = 540. Rjeˇsenje. Iz uslova 2Φ(c) − 1 = 0.95 dobijamo c = 1.96. Kako je n = 1000 i

Sn = 540 imamo p(x) = 1003841, 6x 2 − 1083841, 6x + 291600

odakle slijedi x 1 = 0.509, x2

= 0.570. Dakle, u konkretnom sluˇcaju dobijamo da

je 95% interval povjerenja povjerenja [0.509, 0.570]. 10.4 Zadaci

1. Obiljeˇzje X ima raspodjelu odredenu gustinom

f (x) =

α

c ¡ c x ¢ α1

,x>c 0 , x ≤ c gdje je α > 0. Na osnovu uzorka obima n ocijeniti parametar α. IIspitati spitati

centriranost tako dobijene ocjene. 2. Obiljeˇzje X ima raspodjelu r aspodjelu datu funkcijom gustine

f (x) = ½ 2 a 2 e −

2 a

√

x ,x>0

0 , x ≤ 0.

Na osnovu uzorka obima n, metodom m etodom maksimalne vjerodostojnosti vjerodostojnosti ocijeniti parametar a. Da li je tako dobijena ocjena centrirana ? 3. Gustina sluˇcajne promjenljive X je

f (x) = ½ λ

x λ1 , x > 1 0 , x ≤ 1, gdje je λ > 0. Na osnovu uzorka obima n ocijeniti parametar λ. Ispitati

centriranost tako dobijene ocjene. 4. Ako je u 1000 10 00 bacanja novˇcića pismo palo 525 puta, odrediti 99% interval

povjerenja za npoznatu vjerovatnoću padanja pisma. 5. Ako je u 100 10 0 izvedenih slobodnih bacanja koˇsarkaˇs pogodio koˇs 75 puta

odrediti 95% interval povjerenja za nepoznatu vjerovatnoću ubacivanja lopte u koˇs u jednom bacanju.

Glava 11 Sluˇcajni procesi

11.1 Uvod Neka je (Ω, F, P ) prostor vjerovatnoća i T skup vrijednosti parametra tt.. Sluˇcajni proces je je familija sluˇcajnih promjenljivih Xt

}, t ∈ T. Indeks t se obˇcno interpretira kao vrijeme, a za skup T se uzima skup (0, ∞) ili neki nje njegov gov

podskup. Ako je T diskretan podskup, tada se radi o procesu sa diskretnim vremenom, a u protivnom imamo proces sa neprekidnim vremenom. Za sluˇcajni

proces moˇzemo reći da je funkcija, koja pri svakom fiksiranom t ∈ T je sluˇcajna promjenljiva X(t, ω) = X(t), ω ∈ Ω. Ako je ω = ω0 fiksirano , tada je X(t, ω0)

nesluˇcajna funkcija i zove se realizacija ili trajektorija procesa. Ako je T prebrojiv skup, tada se radi o sluˇcajnom nizu, a ako je T neprebrojiv tada imamo sluˇcajni proces. Neka je data funkcija raspodjele sluˇcajnog vektora

(X(t1), X (t2), . . . , X (t n )). Sluˇcajni proces kod koga su sve konaˇcnodimenzionalne raspodjele normalne nazivamo Gaussovim sluˇcajnim procesom. Nesluˇcajna funkcija

m(t) = E(X(t)) je matematiˇcko oˇcekivanje sluˇcajnog procesa, K(t, s) = E(X(t) − m(t))(X(s) − m(s))

je njegova korelaciona korelaciona funkcija. 11.2 Lanci Markova U daljem posmatraćemo sluˇcajne procese kod kojih je skup T prebrojiv. Neka je dat niz sluˇcajnih promjenljivih (Xn ), kod koga sve sluˇcajne promjenljive imaju iste konaˇcne ili prebrojive skupove vrijednosti (skupove

stanja). 79 80 GLAVA 11. SLU ˇ

CAJNI PROCESI Smatraćemo da je skup vrijednosti {0, 1, . . . , } ili neki njegov podskup. Ako vrijednost koju je postigla sluˇcajna promjenljiva Xn

potpuno odredjuje zakon

raspodjele sluˇcajne promjenljive Xn1 i taj zakon raspodjele ne zavisi od vrijednosti koje su postigle sluˇcajne promjenljive Xk

, k < n, tada t ada za niz (Xn

) kaˇzemo da ˇcini lanac Markova. Dakle, niz (Xn ) sluˇcajnih promjenljivih je

lanac Markova ako vrijedi v rijedi P (Xn = x n |Xk1 =x k1 ,...,X kr =x kr ) = P (Xn = x n |Xk1 =x k1 ) za sve proizvoljne prirodne brojeve n > k1 > k2 > . . . > kr . Ova osobina govori o tome da vjerovatnoća da se dati sistem u trenutku n + 1 nalazi u datom stanju, ako je poznato njegovo stanje u trenutku n, ne zavisi od ponaˇsanja tog sistema u proˇslosti to jest prije trenutka n. Vjerovatnoća da se sluˇcajna promjenljiva Xn1 nadje u stanju j , ako je poznato

da se Xn nalazi u stanju i naziva se vjerovatnoća prelaza. Imamo p

n,n+1 ij = P (x n+1 = j |Xn = i). Ako vjerovatnoće p n,n+1 ij ne zavise od n lanac je homogen. Oznaˇcimo sa p

ij (n) vjerovatnoće prelaza iz stanja i u stanje j za n koraka. Matrice Mn = [p ij (n)] se zovu matrice vjerovatnoća prelaza prelaza za n koraka. Kod njih su svi elementi nenegativni i zbir u svakoj vrsti je 1.} Koristeći teoremu o totalnoj vjerovatnoći imamo da je za 1 ≤ m ≤ n, p ij (n) = X k p ik (m)p kj (n − m). To su jednaˇcine Kormogorova-ˇ Cepmena. Matriˇcni oblik je Mn = MmMn−m,

odavde je Mn = M n

1 . Ako postoji prirodan broj n tako da su svi elementi matrice Mn strogo pozitivni, tada za svako j = 1, 1 , 2, . . . , postoji graniˇcna vrijednost

lim n→∞

p ij (n) = p ∗

j , koja ne zavisi od i. Brojevi p ∗

j zovu se finalne vjerovatnoće. Finalne vjerovatnoće se mogu dobiti iz sistema jednaˇcina:

X j p ∗

j = 1, X k p

∗

k p

kj = p ∗

j , j = 1, 2, . . . Lanac koji ima finalne vjerovatnoće zove se ergodiˇcan.

11.3. ZADACI 81 11.3 Zadaci 1. Vjerovatnoće prelaza u lancu Markova zadane su matricom M=

1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 1 6 1 4 1

2 1 4

(a) Da li je lanac homogen? (b) Koliko je p 13, a koliko je p 23 ? (c) Koliko je p 13 (2)? (d) Naći M2. 2. Dokazati da lanac sa matricom vjerovatnoća prelaza M= µ 01 10 ¶ nije ergodiˇcan. 3. Dokazati da je ergodiˇcan er godiˇcan lanac sa matricom prelaza za jedan korak

µ 1 4 3 4 1 3

2 3 ¶

i naći finalne vjerovatnoće. 4. Lanac Markova zadat je matricom prelaza

0001 0001 1 2 1 2 00 0010

. Ispitati da li je lanac ergodiˇcan er godiˇcan i naći asimptotsko ponaˇsanje vjerovatnoća

prelaza p ij (n) kad n → ∞.

5. U kutiji se nalazi jedna bijela i jedna crna kuglica. Na sluˇcajan naˇcin se izvlaˇci po jedna kuglica, pri ˇcemu se ona odmah vraća u kutiju zajedno sa joˇs jednom je dnom

kuglicom suprotne boje. Neka je Xn broj bijelih kuglica u kutiji prije n−tog izvlaˇcenja. Da li je Xn

Markovski proces? Opisati stanja sistema i odrediti

vjerovatnoće prelaza u jednom koraku. 82 GLAVA 11. SLU ˇ

CAJNI PROCESI Glava 12 Literatura 83

VJEROVATNOCA

Short Description

Description

Comments

We need your help!