Vjerojatnost i Statistika

Gradevinsko-arhitektonski fakultet SveuOiIita u Splitu

VJEROJATNOST I STATISTIKA

Prof. dr. sc. B.VrdoUak

Split, 2007.

Sadraj Predgovor

I. dio

VII

ELEMENTI TEORTJE VJEROJATNOSTI

1. Pojam dogadaja I vjerojatnost dogadaja 1.1. Slueajni dogadaji 1.2. Operacije s dogadajina 1.3. Vjerojatnost dogadaja 1.3.1. Vjerojatnost a posteriori 1.3.2. Vjerojatnost dogadaja pri jednako moguéirn ishodima 1.3.3. Geometrijske vjerojatnosti 1.3.4. Vjerojatnosni prostor 1.3.5. Diskretni vjerojatnosni prostor 1.3.6. Slueaj neprebrojivog skupa Q 1.4. Uvjetna vjerojatnost i nezavisnost dogadaja 1.5. Formula potpune vjerojatnosti i Bayesova formula

1

.

.

.

3 3 6 9 9 10 12 14 17 19 20 22

2. Sueajne varijable i distribucije 2.1. Pojam sluëajne varijable 2.2. Diskretne distribucije 2.3. Kontinuirane distribucije 2.4. Funkcija distribucije sluaajne varijable

25 25 27 31 35

3. Karakteristjene vrijednosti I funkcije slueajuih varijabli

43 43 47 50 53 55

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Oeekivanje slueajne varijable Medijan sluãajne varijable Disperzija slueajne varijable Momenti sluèajne varijable Karakteristiena funkcija

4. Neke znaèajne distribucije 4.1. Binomna distribucija 4.2. Poissonova distribucija 4.3. Normana ill Gaussova distribucija 4.4. Gama-distribucija

61 61 66 70 81

III

SADR2AJ83 4.5. Funlccije slueajnih varijabli

.

5. Dvodimenzionalne sluëajne varijable i distribucije 5.1. Pojam àluaajnog vektora 5.2. Diskretrie dvodimenzionalne distribucije 5.3. Kontinuiraae dvodimenzionalne distribucije 5.4. Funkcija distribucije 5.5. Marginalne distribucije 5.6. Uvjetne distribucije 5.7. Nezavisnost slueajnih varijabli 5.8. Funkcije slueajnih varij abli 5.9. Momenti dvodimenzionalne distribucije 5.10. Koeficijent korelacije 5.11. Regresija 5.12. Linearna regresija 5.13. Opéa linearna regresija 5.14. Nelinearna regresija

101 105 107 111 116 118 121 125 127 128

6. Viedirnenzjona1ne sluëajne varijable 6.1. n—djmenzjoxialne sluoajne varijable I distribucije 6.2. Zakoni velikift brojeva i centralni graniëni teorem 6.3. Uvod u teoriju slueajnih procesa 6.3.1. Pojarn slueajnog procesa 6.3.2. Sluëajni lanci, Markovlje’vi lanci 6.3.3. Markovljevi procesi

129 129 132 138 138 140 143

IL dio

147

OSNOVE MATEMATIOKE STATISTIKE

7. Osnove teorije uzoraka 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.

Populacija i slueajni uzorak Prilcazivanje statistiakih podataka Empirijska funkcija distribucije Neke znaëajne statistike Neke znaëajne distribucije 7.5.1. Pearsonova x2 —distribncij a 7.5.2. Studentova t—distribucija 7.5.3. Fisherova F—distribucija 7.6. Distribucije nekih statistika 7.6.1. Sredina uzorka 7.6.2. Disperzija uzorka 7.6.3. Kvocijent sredine i disperzije uzorka 7.6.4. Kvocijent disperzija dvaju uzoraka 7.6.5. Koeficijent korelacije uzorka

9191939698

[1

Ii

rUi

149

149 151 154 156 159 159 163 165 166 166 167 168 168 170

U F’

SADRAJ

V

8. Procjene parametara 8.1. Toakasta procjena parametara 8.1.1. Metoda maksimalne vjerojatnosti 8.1.2. Metoda momenata 8.2. Intervali povjerenja 8.2.1. Jntrval povjerenja za nepoznatu vjerojatnost p 8.2.2. Intervali povjerenja za parametre normalne distribucije

171 171 175 181 185 186 188

195 9. Testiranje parametarskih hipoteza 195 0.1. Parametarski testovi 9.1.1. Testiranje hipoteze H0 (p = p) protiv H1 (p 0 i13) kada je disperzija a2 199 poznata 200 9.1.2. Testiranje hipoteze H0 (p = p) protiv H1 (p p3) kada a2 nije poznato 203 9.1.3. Testiranje hipoteze H0 (p = P2) protiv H1 (p1 P2) 204 9.1.4. Testiranje hipoteze o disperziji H0 (a2 = a) protiv H1 (a2 > a) 205 9.1.5. Testiranje hipoteze o nepromjenljivosti disperzije 9.1.6. Testiranje hipoteze o koeficijentu korelacije H0 (Px,y =0) protiv alterna­ 206 tivne H1 (Px,Y 51Z 0) 207 9.2. Neparametarski testovi 207 9.2.1. Hikvadrat test 213 9.2.2. Testiranje nezavisnosti 215 9.2.3. Kolmogorov-Smirnovljev test 219 9.2.4. Testiranje jednakosti distribucija -

10.Regresija na osnovu uzorka 10.1. Metoda najmanjih kvadrata 10.2. Opei zadatak regresije na osnovu uzorka 10.3. Linearna regresija 10.3.1. Proejene I intervali povjerenja u modelu linearne regresije 10.3.2. Testiranje hipoteza o koeficijentu linearne regresije 10.4. Nelinearna regresija 10.5. Viestruka linearna regresija 10.5.1. Gauss-Markovljev i fundamentalni teorem 10.5.2. Procjene i intervali povjerenja za regresijske parametre 10.6. Viestruka nehnearna regresija

221 221 223 225 227 235 237 243 246 248 250

Dodatak A. Osnove komblnatorjke A.1. Permutacije A.2. Varijacije A.3. Kombinacije

253 254 256 258

Dodatak B. Statistieke tablice

263

.

Literatura

.

283

C-

C

c-fl

CiDi

C

1. Pojam dogadaja I vjerojatnost dogadaja 1.1.

Slueajni dogadaji

U mnogiin struënim i znanstvenim istraivanjima izvode se odredeni pokusi ill eksperimenti. Cesto je cilj istraivanja formalizacija odnosa medu objektima istraivanja, a to znaëi i da je sve veéi znaëaj primjene rnatematike u raznim istraivanjima. U pitanju su deterministieki I sluãajni pokusi. Kod deterministiëkih pokusa ishod pokusa je jednoznaeno odreden uvjetima pokusa. Na primjer, pratimo slobodan pad predmeta koji je isputen s visine h metara iznad odredene pohe. Zanima nas dogadaj A “da predmet padne na tu plohu u vremenu od 3 do 4 sekunde”. gdje je g = 9, 81 rn/s2 Kako je vrijeme slobodnog pada odredeno formulom t = ubrzanje tee pri slobodnom padu, to ée dogadaj A nastupiti samo ako visina h ispunjava uvjet 3 < < 411144,145 rn < h < 78,48 rn. Na primjer, u sluëaju visine h = 5Dm vrijeme slobodnog pada predmeta je t = 3, 193 s. Daide, vrijeme slobodnog pada ovisi iskljueivo o visini

h. Ako umjesto slobodnog pada promatramo pad nekog predmeta u nekoj sredini (no u vaku­ umu) onda ishod pokusa nije determiniran samo visinom h. U pitanju su i drugi uvjeti koji utjeeu na ishod pokusa (na primjer, obik I teina predmeta, otpor sredine, utjecaj vjetra) pa je ishod pokusa slueajan. Navedimo jo jedan primjer. Promatramo gibauje toeke p0 odredenom pravcu brzinom v (t) = at2 (funkcija vremena t), gdje je a > 0 parametar. Zanima nas dogadaj A da srednja brzina v3,. gibanja toëke u prvih 30 sekundi bude izmedu 90 rn/s i 120 rn/s°. T

Imamo: v37

=

+

=

4J’v (0 dt 0

30

=

f0 at2dt

30 .

=

I

0

=

300a rn/s

,

gdje je I predeni put u

vremenu T. Na osnovi uvjeta pokusa, treba biti 90 < 300a < 120, tj. 0,3 < a < 0,4. Prema tome, dogadaj A nastupit ée samo ako parametar a ispunjava uvjet 0, 3 < a < 0, 4. U ovom pokusu ishod pokusa potpuno je determiniran izborom parametra a. Ako umjesto toeke promatramo gibanje nekog predmeta, onda ishod pokusa nije determiniran samo veliëinom a, jer tada djeluju i drugi uvjeti koji ntjeëu na ishod pokusa koje nismo u stanju determinirano iskazati (na primjer, djelovanje otpora sredine i vjetra). U ovom sluëaju ishod pokusa je slueajan, a Sam pokus nazivamo sluãajnim pokusom. U takvom sluëajnom pokusu nismo u stanju toëno predvidjeti kada êe nastupiti dogadaj A. -

3

1.1. Sluajni dogadaji Predmet naeg promatranja bit ée nedeterministieki odnosno sluèajni pokusi, koje Oemo kraóe zvati pokusi. To su pokusi aiji ishodi, tj. rezultati nisu jednoznaeno odredeni i ne mogu se unaprijed predvidjeti na temeiju uvjeta pokusa. Medutim, ako se takvi pokusi ponavijaju dovoljno mnogo puta, dolazi se do odgovarajuáih zakonitosti. Proueavanje tih zakonitosti I jest predmet teorije vjerojatnosti. Pod pokusom podrazumijevat éeino tzv. statistieki pokus koji zadovoijava slijedeOe uvjete. (a) Moe se ponavijati proizvoljan broj puta. (b) Unaprijed se definira to se registrira u pokusu i poznati su svi moguéi ishodi. (c) Ishod pojedinaenog pokusa nije unaprijed poznat. U opisivanju pokusa koristimo skupove. Skup svih moguéih ishoda odredenog pokusa oz­ naëavat éemo s Q. Elemente skupa Q zvat éemo I toekarna. n

Primjer 1. Najjednostavniji primjer sluëajnog pokusa jest bacanje novëiéa. Misli se na novëiá koji je simetrièan i hornogen (geometrijski simetriëan I naëinjen od homogenog materijala). Registrira se pojava pisma (F) iii pojava glave (G). Skup svih moguéih ishoda iii rezultata je skup Primjer 2. Kod pokusa bacanje kocke pretpostavimo da je kocka simetriena i homogena, a stranice su joj oznaëene s tookama od jedan do est. Registrira se broj koji se pojavi na kocki (na gornjoj strand kocke). Skup moguih ishoda je =

{1,2,3,4,5,6}.

Primjer 3. Uzmimo da se novãió baca dva puta uzastopno (iii bacaju se dva oznaëena novëiéa). Skup moguCih ishoda fr skup uredenih parova

[

gdje prva koordinata u uredenom paru predstavlja ishod u prvom bacanju, a druga ishod u drugoni bacanju. Primjer 4. Novëié se baca 5 puta uzastopno (iii baca se pet noveiêa) I registnira se koliko se ukupno puta pojavilo pismo. Skup moguéih rezultata je

c2={0,1,2,3,4,o}. Primjer 5. Kocka se baca dva puta uzastopno (ill bacaju se dvije oznaëene kocke). Skup mogueih ishoda je

FT

.

Ii

[k 9

Q—{(i,j):i,j=1,2,...,6}.

b

To jeskup uredenih parova (i,j) , i = 1,2,... ,6, j = 1,2,... ,6, gdje prvakoordinata predstavlja broj koji se pojavio u prvom bacanju, a druga broj koji se pojavio u drugom bacanju. Ovaj skup ima 62 = 36 elernenata (broj varijacija s ponavljanjem drugog razreda od 6 elemenata).

[j

Primjer 6. Proizvode se odredeni artikli sve dok 5€ ne proizvede 100 ispravnih. Registrira se broj proizvedenih artikala. Za skup moguéih ishoda najjednostavnije je uzeti

c2={i00,ioi,...}.

U U [1

1. Pojam dogadaja i vjerojatnost dogadaja

5

Ustvari, znamo da ée broj proizvedenih artika].a biti konaëan, au ako ga ograniëimo s nekim brojem n ne moemo biti sigurni da ãe uvjet biti zadovoDen. Primjer 7. Iz sk1adita se uzimajedan stroj I registrira se njegova duijina trajanja. Za skup svih moguéih ishoda mote se uzeti vremenski interval [0, T], gdje je 2’ maksimalno vrijeme rada nekog stroja, all je jednostavnije uzeti beskonaean interval 12 jet

=

[0,oo),

3€ teko reêi koje vrijeme T koje sigurno neOe biti

premaeno.

Primjer 8. Na odredenom mjestu i u odredeno vrijeme mjeri se temperatura 2’ i vlanost zraka V (a postocima). Skup moguéih ishoda je skup toeaka

12{(T,V)eR2:TjTT2, OV $ znaëi da je uredaj ispravan poslije s sati rada. Jednakost (2.4) iskazuje da je poslije .s sati ispravnog rada vjerojatnost da uredaj bude ispravan jo barem t sati jednaka vjerojatnosti da je uredaj ispravan poslije t sati od ukljueenja. DaMe, kao da je uredaj ‘zaboravio’ daje veô radios sati (slika 2.6.). Prirnjer 12. Cauchyeva distribucija je distribucija definirana furikcijom gustoée:

f(x)=

—OO