Vj_integrali

ˇ RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE

Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika dr. Josipa Matejaˇs. Zadatke je izabrala, pripremila i rijeˇsila Ksenija Pukˇsec (demonstratorica iz matematike na EF). Materijale je pregledala i recenzirala Martina Naki´c (demonstratorica iz matematike na EF). Tehniˇcku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio je Kreˇsimir Bokuli´c (demonstrator iz raˇcunarstva na PMF-MO).

1

INTEGRALI

1. Izraˇcunajte

R

x2 +

√

x+


√ 3 x dx

Rjeˇsenje: Z

x2 +

√

Z Z Z
√ √ √ 3 x + 3 x dx = x2 dx + xdx + xdx = Z Z Z 1 1 2 = x dx + x 2 dx + x 3 dx = 1

1

x 2 +1 x 3 +1 x2+1 + + +C = = 2 + 1 12 + 1 13 + 1 3

4

x3 x 2 x 3 = + 3 + 4 +C = 3 2 3 3 2 3 3 4 x + x2 + x3 + C = 3 3 4

2

R 2. Izraˇcunajte (3x2 −

1 √ )dx. 3 x

Rjeˇsenje:

Z

Z Z 1 1 2 √ dx = (3x − √ )dx = 3x dx − 3 x 3 x Z Z 1 1 √ dx = = 3 x2 dx − 3 x Z Z 1 1 = 3 x2 dx − 1 dx = 3 x Z 2 Z −1 1 x 2 dx = = 3 x2 dx − 3 −1 1 x 2 +1 x2+1 − · +C = =3· 2 + 1 3 −1 + 1 2 2

1

x3 1 x 2 =3· − · 1 +C = 3 3 2 1 1 = x3 − · 2x 2 + C = 3 2 1 = x3 − x 2 + C 3

3

R 3. Izraˇcunajte (4x +

√1 )dx. x

Rjeˇsenje:

Z

Z Z 1 1 (4x + √ )dx = 4xdx + √ dx = x x Z Z Z Z −1 1 xdx + x 2 dx = = 4 xdx + 1 dx = 4 x2 −1 x 2 +1 x1+1 + +C = =4· 1 + 1 −1 + 1 2 1

x2 x 2 =4· + 1 +C = 2 2 1

= 2x2 + 2x 2 + C = √ = 2x2 + 2 x + C

4

R √ 1 4. Izraˇcunajte (−x3 + x + x 3 )dx. Rjeˇsenje:

Z

3

(−x +

√

1 3

Z

Z

3

√

x + x )dx = −x dx + xdx + Z Z Z 1 1 3 = − x dx + x 2 dx + x 3 dx = 1

1

x 2 +1 x3+1 x 3 +1 + =− + +C = 3 + 1 12 + 1 13 + 1 3

4

x4 x 2 x 3 =− + 3 + 4 +C = 4 2 3 4 2 3 3 4 x = − + x2 + x3 + C = 4 3 4 4 2 √ 3 4 x = − + x x + x3 + C 4 3 4

5

Z

1

x 3 dx =

R 5. Izraˇcunajte 4xlnxdx. Rjeˇsenje: Z



 u = lnx dv = 4xdx R 4xlnxdx = = du = x1 dx v = 4xdx = 2x2 Z Z 1 2 = u · v − vdu = lnx · 2x − 2x2 · dx = Z Z x = 2x2 lnx − 2xdx = 2x2 lnx − 2 xdx = = 2x2 lnx − 2 ·

x2 + C = 2x2 lnx − x2 + C 2

6

6. Izraˇcunajte

R

xex dx.

Rjeˇsenje:

 u = x dv = ex dx = xe dx = du = dx v = ex Z Z = u · v − vdu = xex − ex dx = xex − ex + C Z

x



7

7. Izraˇcunajte

R

2x−2 x2 −2x+9 dx.

Rjeˇsenje:

  2x − 2 t = x2 − 2x + 9 = dx = dt = (2x − 2)dx x2 − 2x + 9 Z dt = = ln|t| + C = ln|x2 − 2x + 9| + C t Z

8. Izraˇcunajte

R

lnx x dx.

Rjeˇsenje:

  lnx t = lnx = dx = dt = x1 dx x Z t2 ln2 x = tdt = + C = +C 2 2 Z

8

9. Izraˇcunajte

R

2

xex dx.

Rjeˇsenje:

 Z t = x2 dt x2 xe dx = dt = 2xdx/ : 2 = et = 2 dt = xdx 2 Z 1 1 2 1 = et dt = et + C = ex + C 2 2 2 

Z

10. Izraˇcunajte

R

3

6x2 ex dx.

Rjeˇsenje:

 t = x3 3 6x2 ex dx = dt = 3x2 dx/ · 2 = 2dt = 6x2 dx Z 3 = 2et dt = 2et + C = 2ex + C 

Z

9

11. Izraˇcunajte

R

√

e

x

dx.

Rjeˇsenje: 2 √  t = x ⇒ t = x = e x dx = 2tdt = dx Z Z t = e 2tdt = 2 tet dt =   u = t dv = et dt = = du = dt v = et   Z = 2 t · et − et dt = 2(tet − et ) + C = √ √ √ = 2( xe x − e x ) + C = √ √ √x = 2 xe − 2e x + C Z

√

10

12. Izraˇcunajte odredeni integral

R 4 1+√x 1

x2

dx.

Rjeˇsenje: √ √ Z 4 x 1 1+ x dx = ( + )dx = 2 x2 x2 1 x 1 Z 4 Z 4 Z 4  −3 −3 −2 −2 x dx + x 2 dx = = x + x 2 dx = 1 1 1 ! −3 −2+1 +1 4 x x2 = = + −3 1 −2 + 1 2 +1 ! −1 x−1 x 2 4 = + −1 = 1 −1 2   −1 4 −1 = −x − 2x 2 1 =     1 −1 1 2 4 2 2 =− −√ − − −√ = = −√ x 4 1 x 1 4 1 1 7 =− −1+1+2= 4 4 Z

4

11

13. Izraˇcunajte

√ x x + 2dx. −1

R2

Rjeˇsenje:

2

√

  t = x + 2, x = t − 2 = x x + 2dx = dt = dx −1 Z 2 Z 2 1 3 1 = (t − 2)t 2 dt = (t 2 − 2t 2 )dt =

Z

−1

−1

2 3 2 = t − 2 · t 2 |2−1 = 5 3 5 3 2 4 = (x + 2) 2 − (x + 2) 2 |2−1 = 5 3 5 2

2 5 4 3 46 2 5 4 3 = ( · 42 − · 42 ) − ( · 12 − · 12 ) = 5 3 5 3 15

12

14. Odredite parametar b ∈ R, b > −1, takav da vrijedi

1 b+1

Rb

−1 (3x

2

+2x)dx = 4.

Rjeˇsenje:

Z b  Z b Z b 1 1 2 2 (3x + 2x)dx = 3x dx + 2xdx = b + 1 −1 b+1 −1 −1 !  Z b  Z b 3 2 b 1 x x 1 = 3 x2 dx + 2 xdx = (3 · + 2 · ) = b+1 b+1 3 2 −1 −1 −1 b ! 1 1 = (x3 + x2 ) = (b3 + b2 − (−1 + 1)) = b+1 b+1 −1 b3 + b2 b2 (b + 1) = = = b2 b+1 b+1 2 b =4 b=2

13

15. Odredite parametar a ∈ R, a > 0 takav da vrijedi

Ra √ 1 2 0 x 3x + 1dx = − 9 .

Rjeˇsenje:

 2 Z a√ Z a√ t = 3x + 1 a p dt 1 2 t = tdt = x 3x + 1dx = dt = 6xdx/ : 6 = 6 6 0 dt 0 0 6 = xdx 3 a 3 a 3 a t 2 (3x2 + 1) 2 1 t 2 = 3 = = = 6 9 9 

Z

2 0

0

3 1 1 = (3a2 + 1) 2 − 9 9 3 1 1 2 1 (3a + 1) 2 − = − 9 9 9 3 1 2 (3a + 1) 2 = 0 9 3a2 + 1 = 0 3a2 6= −1

Ne postoji takav a ∈ R

14

0

16. Odredite parametar a ∈ R, a > 0 takav da je a

R1

a

0

xe2x dx = 12 .

Rjeˇsenje: 1 a

 2x u = x dv = e dx R 2x xe2x dx = a du = dx v = e dx = .. ∗ ∗.. = 21 e2x 0   Z Z t = 2x dt 1 1 1 t = et dt = et = e2x ∗∗ ⇒ dt = 2dx/ : 2 = e 2 2 2 2 dt 2 = dx     1 Z 1 2x 1 2x 1 2x 1 1 2x a a x· e − e dx = a x e − · e = 2 2 2 2 2    0 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 = a a ea − ea + =a ea − ea + = 2 4 4 2a 4 4 1 2 1 2 1 = e a − ae a + a 2 4 4 1 1 2 1 2 1 e a − ae a + a = 2 4 4 2  2 1 1 1 1 ea − a − + a=0 2 4 2 4     2 1 1 1 1 ea − a − − a =0 2 4 2 4    1 1  2 − a ea − 1 = 0 2 4 Z



2

2

2

e a − 1 = 0 ⇒ e a = 1 ⇒ e a = e0 2 = 0 ⇒ 2 = 0 ⇒⇐ a 2

Ne postoji a za koji je e a − 1 = 0. 1 1 − a=0⇒a=2 2 4 Konaˇcno rjeˇsenje: a=2

15

17. Neka je a ∈ R, a > 1. Odredite za koje vrijednosti parametara a vrijedi Z

a2

(xln2 x)−1 dx =

a

1 4

Rjeˇsenje:

a2

a2

  1 t = lnx dx = (xln x) dx = = 2 dt = x1 dx a a xln x a2 Z a2 Z a2 −1 dt t 1 1 2 2 −2 a a = = = t dt = | = − | = − a a 2 t −1 t lnx a a a 1 1 1 −1 + 2 1 1 =− + = = =− 2+ lna lna 2lna lna 2lna 2lna 1 1 = 2lna 4 2lna = 4/ : 2 lna = 2/e− Z

2

−1

Z

elna = e2 a = e2

16

18. Izraˇcunajte harmonijsku srednju vrijednost funkcije f (x) = x1 na intervalu [1, 2]. (Harmonijska se srednja vrijednost funkcije f(x) na intervalu [a, b] definira kao H = R b−a b dx ). a f (x)

Rjeˇsenje:

2−1 1 H = R 2 dx = R 2 = xdx 1 1 1 x

1 = x2 2 2 1

22 2

1 −

12 2

17

=

1 2−

1 2

1 x1+1 2 1+1 1 =

1 3 2

=

= 2 3

19. Izraˇcunajte geometrijsku srednju vrijednost funkcije f (x) = ex na intervalu [0, 1]. (Geometrijska Rse srednja vrijednost funkcije f(x) na intervalu [a, b] b 1 definira kao G = e b−a a lnf (x)dx ). Rjeˇsenje:

1

R1

x

R1

G = e 1−0 0 lne dx = e 0 xdx = 1 1 √ x1+1 x2 12 02 = e 1+1 0 = e 2 0 = e 2 − 2 = e

18

20. Odredite veliˇcinu povrˇsine koju omeduju grafovi funkcija y = 4 − x2 i y = x4 − 16. Rjeˇsenje: y = 4 − x2 a = −1 < 0 ⇒

\

x=0⇒y=4

Sjeciˇste krivulje s x-osi: 4 − x2 = 0 x2 = 4 x = ±2

y = x4 − 16 [ a=1>0⇒ x = 0 ⇒ y = −16 Sjeciˇste krivulje s x-osi: x4 − 16 = 0 x4 = 16 x = ±2

19

Sjeciˇste krivulja: 4 − x2 = x4 − 16 4 − x2 − x4 + 16 = 0 −x4 − x2 + 20 = 0 √ x2 = t ⇒ x = t −t2 − t + 20 = 0 1±9 t1,2 = −2 6 t1 = −5 t2 = 4 √ x = 4 = ±2

Z

2 2

Z

4

2

(4 − x − x + 16)dx =

P = −2

(−x4 − x2 + 20)dx =

−2

 =

 2 x5 x3 13 − − + 20x = 61 5 3 15 −2

20

21. Izraˇcunajte povrˇsinu lika omedenog grafovima funkcija y(x) = x3 i y(x) = 4x Rjeˇsenje: Sjeciˇsta krivulja: x3 = 4x x3 − 4x = 0 x(x2 − 4) = 0

x=0 x2 = 4 x = ±2

21

P = P1 + P2 P1 = P 2 P = 2P1  2  Z 2 4 2 x x =4 P1 = (4x − x3 )dx = 4 − 2 4 0 0 P = 2P1 = 2 · 4 = 8

22

22. Izraˇcunajte √ mjerni broj povrˇsine lika omedenog grafovima funkcije f (x) = x − 4, osi apscisa te pravcem x=8. Rjeˇsenje:

Z 8 Z 8   √ 1 t = x − 4 p = x − 4dx = (x − 4) 2 dx = = dt = dx 4 4 3 8 8 Z 8 t 2 2 1 3 = t 2 dt = 3 = (x − 4) 2 = 3 4 4 2 4 2 3 2 16 = · 42 − · 0 = 3 3 3

23

23. Odredite veliˇcinu povrˇsine omedene sa y = lnx, y = 0 i x = 11. Rjeˇsenje:

11

 u = lnx dv = dx = du = x1 dx v = x 1 Z 11 11 1 = lnx · x − x · dx = xlnx − x = x 1 1 = 11 · ln11 − 11 − 1 · ln1 + 1 = 11ln11 − 10 ≈ 16, 377 P =

Z

lnxdx =



24

24. Izraˇcunajte povrˇsinu omedenu krivuljama y = lnx, y = −1, x = 3. Rjeˇsenje:

Sjeciˇste: lnx = −1/e− x = e−1 Z 3 Z 3 Z 3 p= (lnx + 1)dx = lnxdx + dx = e−1 e−1 e−1 3   u = lnx dv = dx = = (xlnx − x + x) = −1 du = x1 dx v = x e 3 −1 −1 −1 = xlnx e−1 = 3ln3 − e lne = 3ln3 + e = = 3.663716307

25

25. Izraˇcunajte povrˇsinu omedenu krivuljama y = −lnx, y = 1 i x = 3. Rjeˇsenje:

Sjeciˇste: −lnx = 1/ · (−1) lnx = −1/e− x = e−1 Z 3 Z 3 Z 3 P = (1 + lnx)dx = dx + lnxdx = e−1 e−1 e−1   u = lnx dv = dx = = du = x1 dx v = x 3 Z 3 1 = x + lnx · x − x · dx = (x + xlnx − x) = x e−1 e−1 3 = xlnx e−1 = 3ln3 − e−1 lne−1 = 3ln3 + e−1 = = 3.663716307 26

26. Odredite op´ce rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe y + y 0 = 0. Rjeˇsenje:

y+

dy =0 dx

dy = −y/ · dx dx dy = −ydx/ : y Z dy = −dx/ y Z

Z dy = −dx y lnx = −x + lnC/e− y = e−x+lnC y = e−x · elnC y = Ce−x

27

27. Odredite op´ce rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe y 0 − 2y = 0 Rjeˇsenje:

y 0 − 2y = 0 y 0 = 2y dy = 2y/ · dx dx dy = 2ydx/ : y Z dy = 2dx/ y Z Z dy = 2dx y lny = 2x + C/e− y = e2x+lnC y = e2x · elnC y = C · e2x

28

28. Rijeˇsite diferencijalnu jednadˇzbu y 0 = 3x2 y 2 uz uvijet y(0) = 1. Rjeˇsenje:

y 0 = 3x2 y 2 dy = 3x2 y 2 / · dx dx dy = 3x2 y 2 dx/ : y 2 Z dy 2 = 3x dx/ 2 y Z Z y −2 dy = 3

x2 dx

y −1 x3 =3· +C −1 3 1 − = x3 + C/ · y y y(x3 + C) = −1/ : (x3 + C) −1 y= 3 x +C y(0) = −

1 C

1 = 1 ⇒ C = −1 ⇒ C −1 −1 y= 3 = x − 1 −(1 − x3 ) 1 y= 1 − x3 −

29

29. Promjena koliˇ cine radne snage zadovoljava diferencijalnu jednadˇzbu √ 4 dL cina radne snage, a t vrijeme. Izraˇcunajte dt = 0.018 L, gdje je L koliˇ vremensku putanju kretanja koliˇcine radne snage ako je njena poˇcetna vrijednost L(0) = 1. Rjeˇsenje: √ dL 4 = 0.018 L/ · dt dt 1 1 dL = 0.018L 4 dt/ : L 4 Z −1 L 4 dL = 0.018dt/ Z Z −1 L 4 dL = 0.018dt 3 4 3 L 4 = 0.018t + C/ · 3 4 3 4 4 L = 0.0135t + C/() 3 4

L = (0, 0135t + C) 3 4

L(0) = C 3 4

C3 = 1 ⇒ C = 1 4

L(t) = (0.0135t + 1) 3

30

1

−2 30. Stopa kretanja stanovniˇstva jedne drˇzave opisana je relacijom dH dt = 0.98t . Ako je u poˇcetnom trenutku t=0 poˇcetno stanovniˇstvo bilo H(0)=14 380, izvedite vremensku putanju kretanja stanovniˇstva H(t).

Rjeˇsenje:

−1 dH = 0.98t 2 / · dt dt Z −1

dH = 0.98t 2 dt/ Z Z −1 dH = 0.98t 2 dt 1

H = 0.98

t2

+C √ H(t) = 1.96 t + C 1 2

H(0) = C ⇒ C = 14380 √ H(t) = 1.96 t + 14380

31

dK 31. Neto investicije I(t) se definiraju kao stopa akumuliranja kapitala dt , gdje √ dK je t vrijeme, tj. dt = I(t). Ako su neto investicije I(t) = 4 t, poˇcetni kapital K(0)=1, izraˇcunajte funkciju kapitala. (Uputa: rijeˇsite diferencijalnu jednadˇzbu dK dt = I(t)).

Rjeˇsenje:

dK = I(t) dt √ dK = 4 t/ · dt dt Z √ dK = 4 tdt/ Z Z √ dK = 4 tdt 3

K=4

t2 3 2

+C

8 3 K = t2 + C 3 K(0) = C ⇒ C = 1 8 √ K(t) = t t + 1 3

32

32. Funkcija potraˇzuje p(Q) = 42 − 5Q − Q2 , gdje je Q koliˇcina proizvodnje, predstavlja cijenu koju je potroˇsaˇc voljan platiti za razliˇcite koliˇcine proizvodnje. Ako je ravnoteˇ R Q0 zna cijena p0 = 6, onda je potroˇsaˇcev probitak (benefit) jednak 0 p(Q)dQ − Q0 p0 , gdje je Q0 ravnoteˇzna koliˇcina. Izraˇcunajte potroˇsaˇcev probitak za ovaj konkretan sluˇcaj. Rjeˇsenje:

42 − 5Q − Q2 = 6 Q2 + 5Q − 36 = 0 Q0 = 4 3 4 2 320 Q Q − ) = (42 − 5Q − Q2 )dQ = (42Q − 5 2 3 0 3 0 Z Q0 Z 4 p(Q)dQ − Q0 p0 = (42 − 5Q − Q2 )dQ − 4 · 6 = Z

0

4

0

248 320 − 24 = = 82.67 = 3 3

33

33. Odredite sve funkcije y(x) za koje vrijedi Ey,x = 2lnx. Rjeˇsenje:

Ey,x = 2lnx. x dy dx · = 2lnx/ · y dx Zx dx dy = 2lnx · / Zy Z x dy 2lnx = dx y x   Z Z dy lnx t = lnx =2 dx = dt = x1 dx y x Z lny = 2 tdt t2 + lnC 2 lny = ln2 x + lnC/e− lny = 2 ·

y = eln

2

x+lnC

2

y = eln x · elnC
lnx y = elnx ·C y = xlnx · C y = Cxlnx

34

34. Pronadite funkciju potraˇznje u ovisnosti o cijeni, q(p), ako joj je koeficijent elastiˇcnosti u odnosu na cijenu Eq,p = − 51 i q(1)=3. Rjeˇsenje:

Eq,p = −

1 5

p dq 1 dp · =− /· q dp 5 Zp dq 1 dp =− / q 5 p Z Z 1 dp dq = − q 5 p 1 lnq = − lnp + lnC 5 −1 lnq = lnp 5 + lnC 1

lnq = ln(p− 5 · C)/e− 1

q = p− 5 · C 1

q(1) = 1− 5 · C = C ⇒ C = 3 1

q(p) = 3p− 5

35

35. Odredite funkciju potraˇznje q=q(p) kao funkciju cijene p, ako je uz jediniˇcnu −p cijenu potraˇznja q jednaka 10, te vrijedi da je Eq,p = 2(101−p) . Rjeˇsenje:

−p 2(101 − p) p dq −p dp · = /· q dp 2(101 − p) p Z dq −dp = / q 2(101 − p)   Z Z t = 101 − p dq −1 dp = = dt = −dp/ · (−1) q 2 101 − p −dt = dp Z 1 −dt lnq = − 2 t 1 lnq = lnt + lnC 2 1 lnq = ln(101 − p) + lnC 2 1 lnq = ln(101 − p) 2 + lnC p lnq = ln[ 101 − p · C]/e− p q = 101 − p · C q(1) = 10C 10C = 10/ : 10 C=1 p q(p) = 101 − p Eq,p =

36

36. Pronadite funkciju ukupnih troˇskova T(Q) za koju je ET,Q = su troˇskovi jednaki 1. Rjeˇsenje:

p ET,Q = Q p Q dT dQ · = Q/ · T dQ Q √ Z dT Q = dQ/ T Q Z Z 1 dT = Q− 2 dQ T 1 Q2 lnT = 1 + lnC p2 lnT = 2 Q + lnC/e− √

T = e2 T = e2

√

Q+lnC

Q

· elnC √

T = Ce2

√ 2 0

T (0) = C · e

Q

T (0) = 1 = C · e0 = C · 1 = C ⇒ C = 1 √ 2 Q

T (Q) = 1 · e T (Q) = e2

37

√

Q

√

Q, a fiksni

37. Pronadite funkciju ukupnih prihoda R(Q) ako joj je koeficijent elastiˇcnosti u odnosu na proizvodnju ER,Q = 41 i R(1)=15. Rjeˇsenje:

ER,Q =

1 4

Q dR 1 dQ · = /· R dQ 4 ZQ dR 1 dQ = / R 4 Q Z Z dR 1 dQ = R 4 Q 1 lnR = lnQ + lnC 4 1 lnR = lnQ 4 + lnC 1

lnR = ln(Q 4 · C)/e− 1

R = Q4 · C 1

R(1) = 1 4 · C = C ⇒ C = 15 1

R(Q) = 15Q 4

38

38. Odredite funkciju ukupnih prihoda R=R(Q) kao funkciju proizvodnje Q ako je Eπ,Q = −Q, gdje je π(Q) graniˇcni prihod, a π(0) = 2. (Uputa: R(0)=0). Rjeˇsenje: Eπ,Q = −Q dQ Q dπ · = −Q/ · π dQ Z Q dπ = −dQ/ π Z Z dπ = −dQ π lnπ = −Q + lnC/e− π = e−Q+lnC π = e−Q · elnC π = e−Q · C π(0) = C ⇒ C = 2 π(Q) = 2e−Q   Z Z Z t = −Q R(Q) = π(Q)dQ = 2e−Q dQ = 2 e−Q dQ = dt = −dQ = −dt = dQ Z Z = 2 et · (−dt) = −2 et dt = −2et + C = −2e−Q + C R(0) = −2 + C −2 + C = 0 C=2 R(Q) = −2e−Q + 2 39

39. Odredite funkciju ukupnih prihoda R=R(Q) kao funkciju proizvodnje Q ako 4Q je Eπ,Q = 2Q−3 , gdje je π(Q) graniˇcni prihod, a π(0) = 9. (Uputa: R(0)=0). Rjeˇsenje: 4Q 2Q − 3 4Q dQ Q dπ · = /· π dQ 2Q − 3 Z Q dπ 4 = dQ/ π 2Q − 3   Z Z t = 2Q − 3 dQ dπ =4 = dt = 2dQ/ : 2 π 2Q − 3 dt 2 = dQ Z dt 2 lnπ = 4 Z t dt lnπ = 4 Z2t 1 dt lnπ = 4 · 2 t lnπ = 2lnt + lnC lnπ = 2ln(2Q − 3) + lnC lnπ = ln(2Q − 3)2 + lnC   2 lnπ = ln (2Q − 3) · C e− Eπ,Q =

π = C(2Q − 3)2

40

π(0) = 9C 9C = 9/ : 9 C=1 π(Q) = (2Q − 3)2   Z Z t = 2Q − 3 R(Q) = π(Q)dQ = (2Q − 3)2 dQ = dt = 2dQ/ : 2 = dt 2 = dQ Z Z 1 1 t3 t3 2 dt 2 = t = t dt = +C = +C = 2 2 23 6 3 (2Q − 3) +C = 6 −27 R(0) = +C 6 27 − +C =0 6 27 C= 6 (2Q − 3)3 27 R(Q) = + 6 6

41

40. Elastiˇcnost potraˇznje q prema promjeni cijene p dana je sa Eq,p = a, pri ˇcemu je a pozitivna konstanta. Odredite parametar a takav da je q(1)=1. Rjeˇsenje:

Eq,p = a, a>0 a =?, q(1) = 1 dp p dq · = a/ · q dp Zp dq dp =a· / Zp Zq dp dq = a q p lnq = alnp + lnC lnq = ln(C · pa ) q = C · pa q(1) = C · 1a = C · 1 = C ⇒ C = 1 q(p) = pa · 1 = pa q(1) = 1a = 1 q(1) = 1, ∀a > 0

42

41. Zadana je funkcija graniˇcnih troˇskova t(Q) = 6Q2 − Q + 1, gdje je Q koliˇcina proizvodnje. Ako su fiksni troˇskovi 10, izraˇcunajte funkciju ukupnih troˇskova T(Q). Rjeˇsenje:

Z T (Q) =

Z t(Q)dQ =

(6Q2 − Q + 1)dQ =

Q2 Q3 Q2 3 − + Q + C = 2Q − +Q+C =6 3 2 2 T (0) = 10 T (0) = C ⇒ C = 10 Q2 3 T (Q) = 2Q − + Q + 10 2

43

√ 42. Zadana je funkcija graniˇcnih troˇskova t(Q) = Q. Izvedite funkciju ukupnih troˇskova ako su ukupni troˇskovi na nivou proizvodnje Q=9 jednaki 10. Rjeˇsenje:

Z T (Q) =

t(Q)dQ =

Z p

2 3 2 p QdQ = Q 2 + C = Q Q + C 3 3

T (9) = 10 T (9) = 18 + C = 10 ⇒ C = −8 2 p T (Q) = Q Q − 8 3

44

43. Dana je funkcija graniˇcnih troˇskova t=t(Q) formulom t(Q) = (Q + 1)lnQ, gdje je Q proizvodnja. Odredite funkciju ukupnih troˇskova ako na nivou proizvodnje Q=1, ukupni troˇskovi iznose 43 . Rjeˇsenje:

Z T (Q) =

"

#

u = lnQ dv = (Q + 1)dQ R 2 = 1 du = Q dQ v = (Q + 1)dQ = Q2 + Q  2   Z  2 Q Q 1 = + Q lnQ − +Q dQ = 2 2 Q   2 Z 2 Q + 2Q 1 Q + Q lnQ − · dQ = = 2 2 Q  2  Z Q Q+2 = + Q lnQ − dQ 2 2   2 Z 1 Q + Q lnQ − (Q + 2)dQ = = 2 2  2  Q 1 Q2 1 = + Q lnQ − − · 2Q + C = 2 2 2 2   1 1 2 Q + Q lnQ − Q2 − Q + C = 2 4 Z

t(Q)dQ =

(Q + 1)lnQdQ =

45

T (1) =

3 4

 1 5 1 2 · 1 + 1 ln1 − · 12 − 1 + C = − + C T (1) = 2 4 4 3 5 − +C = ⇒C =2  4 4 1 1 2 T (Q) = Q + Q lnQ − Q2 − Q + 2 2 4 

46

44. Zadana je funkcija graniˇcnih troˇskova t(Q) = (1 + Q)e−Q gdje je Q koliˇcina proizvodnje. Odredite funkciju prosjeˇcnih troˇskova ako fiksni troˇskovi iznose 100. Rjeˇsenje:

  −Q u=1+Q dv = e dQ R T (Q) = t(Q)dQ = (1 + Q)e dQ = = du = dQ v = e−Q dQ = −e−Q Z Z −Q −Q −Q = (1 + Q) · (−e ) − −e dQ = (1 + Q) · (−e ) + e−Q dQ = Z

Z

−Q

= (1 + Q) · (−e−Q ) − e−Q + C = e−Q (−1 − Q − 1) + C = = (−2 − Q) · e−Q + C T (0) = 100 T (0) = (−2 − 0) · e + C = −2 · 1 + C = −2 + C −2 + C = 100 C = 102 −0

T (Q) = (−2 − Q) · e−Q + 102 T (Q) Q (−2 − Q) · e−Q + 102 A(Q) = Q A(Q) =

47

45. Zadana je funkcija graniˇcnih prihoda r(Q) = ukupnih prihoda.

√

Q + 1. Izraˇcunajte funkciju

Rjeˇsenje:

Z R(Q) =

r(Q)dQ = =

Z √

Z p Z

tdt =

  t=Q+1 = Q + 1dQ = dt = dQ 3

1 2

t dt =

t2 3 2

+C =

3 2 2 3 = t 2 + C = (Q + 1) 2 + C 3 3

R(0) = 0 3 2 2 · (0 + 1) 2 + C = + C 3 3 2 +C =0 3 2 C=− 3 3 2 2 R(Q) = (Q + 1) 2 − 3 3 p 2 2 R(Q) = (Q + 1) Q + 1 − 3 3

R(0) =

48

1

46. Dana je funkcija graniˇcnih troˇskova t(Q) = Q 4 i cijena u ovisnosti o koliˇcini proizvodnje, p(Q)=2-Q. Ako su fiksni troˇskovi nula, izraˇcunajte funkciju dobiti. Rjeˇsenje:

D(Q) = R(Q) − T (Q) R(Q) = p(Q) · Q R(Q) = (2 − Q) · Q

Z T (Q) =

Z

1 4 5 Q 4 dQ = Q 4 + C 5 T (0) = 0 T (0) = C ⇒C=0 4 5 T (Q) = Q 4 5 4 5 D(Q) = Q(2 − Q) − Q 4 5

t(Q)dQ =

49

47. Zadana je funkcija graniˇcnih troˇskova t(Q) = 2Q2 − Q + (Q + 1)−1 i cijena p(Q)=5-Q u ovisnosti o koliˇcini proizvodnje Q. Ako su fiksni troˇskovi 3, odredite funkciju dobiti. Rjeˇsenje: D(Q) = R(Q) − T (Q) R(Q) = p(Q) · Q R(Q) = (5 − Q) · Q Z

Z

T (Q) = t(Q)dQ = (2Q2 − Q + (Q + 1)−1 )dQ = Z Z Z = 2Q2 dQ − QdQ + (Q + 1)−1 dQ =   Z Q3 Q2 1 t=Q+1 =2· − + dQ = = dt = dQ 3 2 Q+1 Z 2 3 1 2 dt 2 3 1 2 = Q − Q + ln(Q + 1) + C = Q − Q + 3 2 t 3 2 T (0) = 3 T (0) = C ⇒C=3 2 1 T (Q) = Q3 − Q2 + ln(Q + 1) + 3 3 2 2 1 D(Q) = (5 − Q) · Q − Q3 + Q2 − ln(Q + 1) − 3 3 2 2 1 D(Q) = 5Q − Q2 − Q3 + Q2 − ln(Q + 1) − 3 3 2 1 2 D(Q) = − Q3 − Q2 + 5Q − ln(Q + 1) − 3 3 2 50

48. Zadana je funkcija graniˇcnih troˇskova t(Q) = 3Q2 − 2Q − 4lnQ i cijena √ p(Q) = 20 − Q u ovisnosti o koliˇcini proizvodnje Q. Ako su ukupni troˇskovi za jediniˇcnu proizvodnju jednaki 5, odredite funkciju dobiti. Rjeˇsenje: D(Q) = R(Q) − T (Q) R(Q) = p(Q) · Q p R(Q) = 20 − Q · Q Z

Z

(3Q2 − 2Q − 4lnQ)dQ = Z Z Z 2 = 3 Q dQ − 2 QdQ − 4 lnQdQ

T (Q) =

Z

t(Q)dQ =



 Z u = lnQ dv = dQ 1 lnQdQ = dQ = = lnQ · Q − Q · du = Q1 dQ v = Q Q = QlnQ − Q + C

Q3 Q2 T (Q) = 3 · −2· − 4(QlnQ − Q) + C 3 2 T (Q) = Q3 − Q2 − 4Q(lnQ − 1) + C T (1) = 5 3 2 T (1) = 1 − 1 − 4 · 1(ln1 − 1) + C = −4ln1 + 4 + C = 4 + C 4+C =5 C=1 T (Q) = Q3 − Q2 − 4Q(lnQ − 1) + 1 p D(Q) = Q 20 − Q − Q3 + Q2 + 4Q(lnQ − 1) − 1

51

49. Zadana je funkcija graniˇcnih troˇskova t(Q) = Qe2Q . Ako su fiksni troˇskovi 3 4 , a cijena po jedinici proizvoda 3.56, odredite funkciju dobiti. (Uputa: dobit=prihod-troˇskovi.) Rjeˇsenje: D(Q) = R(Q) − T (Q) R(Q) = p · Q R(Q) = 3.56Q Z T (Q) =

Z t(Q)dQ =

u=Q dv = e2Q dQ R Qe dQ = du = dQ v = e2Q dQ = ... ∗ ... = 21 e2Q 

2Q

 Z t = 2Q dt 1 2Q e dQ = dt = 2dQ/ : 2 = et = e2Q 2 2 dt 2 = dQ 

Z ∗⇒v=

1 T (Q) = Q · e2Q − 2

Z

1 2Q 1 1 1 e dQ = Qe2Q − · e2Q + C = 2 2 2 2 1 1 = Qe2Q − e2Q + C 2 4 3 T (0) = 4 −1 T (0) = +C 4 1 3 − +C = 4 4 C=1 1 1 T (Q) = Qe2Q − e2Q + 1 2 4 1 2Q 1 2Q D(Q) = 3.56Q − Qe + e − 1 2 4 52



50. Zadana je funkcija graniˇcnih prihoda π(Q) = (1 − 2Q)e−2Q . Ako su troˇskovi po jedinici proizvoda 10, a fiksni troˇskovi 2.2, odredite funkciju dobiti. (Uputa: dobit=prihod-troˇskovi). Rjeˇsenje: D(Q) = R(Q) − T (Q) T (Q) = 10Q + 2.2  −2Q u = 1 − 2Q dv = e dQ R R(Q) = π(Q)dQ = (1 − 2Q)e−2Q dQ = du = −2dQ v = e−2Q dQ     Z Z t = −2Q dt 1 1 −2Q t e dQ = dt = −2dQ/ : 2 = e − = − e−2Q ⇒ v = − e−2Q 2 2 2 − dt2 = dQ Z



Z

 Z   1 −2Q −1 −2Q − e (−2dQ) = R(Q) = (1 − 2Q) · − e 2 2   Z −1 −2Q = (1 − 2Q) · e − e−2Q dQ = 2   1 −2Q 1 = (1 − 2Q) · − e + e−2Q + C = 2 2 1 = e−2Q (−1 + 2Q + 1) + C = Qe−2Q + C 2 R(0) = 0 R(0) = C ⇒C=0 

R(Q) = Qe−2Q D(Q) = Qe−2Q − 10Q − 2.2

53