Villon M, 2007 Hidrología Estadística

Instituto Tecnológico de:

80 70 60

I

50

\rl I

40

-

30 20 10 0

:l§Q.!€a\Nlñ6És¡-eo !Qto\o€\o€¡--rF-a€-áoi aaia\aaao\aá6áááá ÉÉÉÉÉÉÉÉrÉ*-i

Béja

tüüd-u@U@gnúa-

EElsta.d-ústü@4.

Máximo Vil6n Béiar

Contenido Materia

contenido. PróIogo..... básicos... muestral.... Eventos

pagma

.................]

.................. 5

................ 11

............... 15 .......... 15 .......... 16 l.3Definiciónclásicadeprobabilidad......... .............17 1.4 Definición axiomática de probabilidad......... ....... 18 1.5 Período de retorno ...........21 1.6 Concepto de riesgo:.................. ..........22 1.7 Cálculo de la probabilidad empírica o experimental.............26 1.8 Variables a1eatorias................ -...........28 Variable aleatoria discreta ...................30 ...............30 Variable aleatoria continua... 1.9 Distribuciones....... ...........31 Función de de densidad de probabilidad de una variable ...........32 aleatoria discreta..... Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria ...........33 continua

1. Conceptos

1.1 Espacio 1.2

Contenido

-

Hidrologfa Estadística

Página (6)

a una Función de distribución acumulada, correspondiente """"' 36 distribución discreta" una a Función de distribución acumulada, correspondiente """"'37 distribución continua """""""'44 1.10 Valor esPerado """" 40 1.11 Momentos de una distribución """"""""46 Momento respecto al origen media la """"""'46 a resiecto Momento ."rrruiton """""""""'41 Media de una distribución

Nlediana Moda........

Varianza de una distribución Sesgo de una

"""""'48 """" 48 """""""""49

"""""""'

""""""""""49 """""""" 50

distribución

Curtosis

1.12T-¡:ansfbrmaciUlllinealdevariablesaieatorias'..........,..,.,...,62 """""' 65 1.13 Problemas propuestos """""'

muestra

""""""13 Distribuciones de frecuencia de una 2. _z"|Representacióntabularygraficadelasmuestras,.,.........'.....73 Z.ZProcedimiento de cálculo'

,3 R"p*tentación grá1irca Histograma...........""' rárfgáro de frecuencia """""""

83 """""""""'15 """""""""""

""""'

"":"""""""""""'

83 84

""' Función ¿" A"uti¿ud de probabilidad empírica Función¿"¿ist'iuuciónacumuladaoempírica..'................'...86 """"" 88 2.4 Problemas propuestos """""""

,3. Medidas de las

distribuciones""""""

""""""""""""

85

91

3'lMedidaso"scripivasdelasdistribucionesdefrecuencias...:91 ^Á

central La media aritmética La media Ponderada'

3.2 Medidas de tendencia

"""""">+ """""' 95 oÁ

-

página (7)

La media geométrica .........97 La mediana............... .........98 La moda ......... 100 Comparación entre la media, la mediana y la moda.............. 101 3.3 Medidas de dispersión .......... ...........102 Rango....... ......L02 Yariatza... ......102 Desviación estándar.... ..... 105 Coeficientes de variación............ ....... 107 3.4 Medida de simetría y asimetría ........107 Sesgo........ ...... L07 3.5 Medida de achatamiento.......... ........ 110 Curtosis.... ...... I 10 3.6 Momentos lineales (L-moments).............:................. .......... t 17 3.7 Problemas propuestos............ .......... 133

parámetros ....137 4.1 Definición de parámetros ................. 137 4.2Definición de estimadores............... .................. 138 4.3 Métodos de estimación de parámetros ............... 140 Método gráfrco ............,... 140 Método de mínimos cuadrados................ ............145 Método de momentos ............................... ........... 148 Método de máxima verosimilitud............. ........... 161 4.4 Problemas propuestos............ ..........L67

4. Estimación de

de bondad y ajuste..... Definición............ .5.2 Ajuste gráfico .5.3 Prueba de Chi-cuadrado........

...............171 ..........171 ................172 ...........174 5.4 Prueba de Smirnov-Kolmogorov............... ........ 181 ..........192 .5.5 Problemas propuestos............

.5. Pruebas

5.1

Contenido

-

página (8)

teóricas Introducción......... gaussiana

6. Distribüciones 6.1 6.2 Distribución normal o

Hidrologfa Estadfstica

-

página (9)

estadístico............... saltos ............ propuestos..............

"""" 195

8.4 Análisis Análisis de Análisis de tendencias 8.5 Problemas

..........195

""'197

...........314 .............315 ...........319 ...,....330

extensión Definiciones......... 9.2Técmcas................ 9.3 Proceso

9. Completación y 9.1

...335 ..........335 .........336 .........337 9.4 Criterios para mejorar los estimados de los parámetros ......341 ......342 9.5 Problemas

6.7 Distribución 6.8 Problemas

log-Gumbel................ """""""""'257

propuestos...'..........

""""262

propuestos................

'10. Generación de números

aleatorios..

.....347

10.1 Generación de números aleatorios uniformemente distribuidos ...........347 10.2 Generación de números aleatorios normales independientes

..'....... """""""'267 """"'267 Covarianza.......-.-........268 ............'. correlación'.........'. """"268 correlación..'....... """""269 """""""'269 correlación determinación...""""' """"""""'27O

...............

7. Correlación y regresión 7.1 7.2 Correlación 7.3 Medidas de 7.4 Análisis de 7.5 Coeficiente de 7.6 Coeficiente de

......... 35 1 10.3 Generación de números aleatorios log-normales independientes 10.4 Problemas

........... propuestos...........

I

l. Intervalos

.......... 353

.........355

confianzl..........

..............359 puntual y por estimación intervalos................ 359 11.1 Estimación ll.2lntervalo de confiatzapata la media de una distribución normal, cuya varianza es ..............361 I1.3 Intervalo de confialzapara la media de una distribución normal, con varianza desconocida............. .............365 11.4 Intervalo de confianzaparalavaianza de la distribución ..........368 I L5 Problemas .........377 de

conocida............

consistencia.--........ Introducción......-..

8. Análisis de 8.1

"""'"""' """""

307 307

normal...... propuestos........... Bibliografía

á.¡ ¡ráriris doble

masa.............".".'....... """"""""312

consu1tada................

..............373

Fconr.,iiao - página (10)

Anexo A. Transformada de Laplace y función gamma.......,.'.......377 ...,.,........,.,.379 A.1 A.2Latransformada de Laplace.............. .............'..380 A. 3 Ejercicios propuestos transformada de LapaIce ................. 396 .....'......398 A.4 Función ....,.........407 A.5 Ejercicios propuestos funcidn

Justificación

gamma

Anexo B: Funciones

trigonométricas

........409

Apéndice: Tablas estadísticas y papeles probabilísticos .....'.........413 Otras

publicaciones...,

Prólogo

gamma

..............435

Los estudios hidrológicos requieren del análisis de

cuantiosa información hidrometeológica; esta información puede consistir de datos de precipitación, caudales, temperatura, evaporación, etc.

Los datos recopilados, solo representan una información en bruto, si éstos se organizan y analizan en forma adecuada, proporcionan al hidrólogo una herramienta de gran utilidad, que le

pero

permite tomar decisiones en el diseño de estructuras hidráulicas.

úiliza los conceptos de probabilidades y estadística, siendo este campo, una de las primeras áreas de la ciencia e ingeniería, en usar los conceptos Para el análisis de la información, la hidrología

I

l

cstadísticos, en un esfuerzo para analtzar los fenómenos naturales.

I

I

La presente publicación bajo el nombre de Hidrología Estadística, 3¡tá orientada a ayudar a comprender los principios fundamentales dc la probabilidad y la estadística, aplicada ala hidrología, así como, mosffar algunas herramientas estadísticas, que han sido aplicadas gon éxito, en la solución de problemas hidrológicos. Prra la simplificación del análisis de la abundante información, se Fquiere del uso de la computadora digital, es por eso, que el autor hl desarollando la aplicación HidroEsta, que tiene la finalidad de Prccesar fácilmente esta información. Ella se utiliza en la solución d¡ los ejemplos resueltos.

F Prólogo

-

Hidrología Estadística

página (12)

La publicación cubre los siguientes temas:

! capitulo I,

conceptos básicos, incluyendo los eventos, probabilidades, variables aleatorias, distribuciones, función densidad, función acumulada, valor esperado, momentos y

.

.

capítulo

II,

capítulo

III,

distribuciones de frecuencia de una muestra, su representación tabular y gráfica, y su procedimiento de cálculo.

de las

distribuciones, como media, mediana, moda, medidas de dispersión, medidas de simetría y asimetría, y medidas de achatamiento, también se incluye el cálculo de los parámetros estadísticos utilizando la técnica de los

medidas

momentos lineales.

. .

capítulo IV, estimación de parámetros, mediante método gráfico, mínimos cuadrados, momentos y máxima verosimilitud.

capítulo V, pruebas de bondad de ajuste, dentro de las cuales se contemplan el ajuste gráfico, Chi-cuadrado y SmirnovKolmogorov.

. .

capítulo IX, completación y extensión de series hidrológicas, utilizando la correlación lineal, para llenar registros con valores incompletos, o para extender registros cortos, con base en otros

. .

X, técnicas de generación de números aleatorios uniformes, normales y log-normales, y de series sintéticas. capítulo

capítulo XI, la estimación de los intervalos de confianza, parala media y varianza de la población, a partir de datos muestrales.

Como anexo se incluye la transformada de Laplace y la función gamma completa, conceptos matemáticos de gran importancia, que ayudan a simplificar los cálculos que se realizan en la estimación de parámetros y distribuciones teóricas. También, se incluye un listados de funciones trigonométricas, que ayudan al lector, en los ejercicios de transformada de Laplace. Por otro lado, se incluye un apéndice con las tablas estadísticas más usuales, las cuales ayudan en los cálculos a realizar, así como los papeles probabilísticos normal, log-normal, Gumbel y log-Gumbel.

capítulo VI, distribuciones teóricas más utilizadas en hidrología, como la normal, log-normal, gamma, log-Pearson tipo III, Gumbel y log-Gumbel.

capítulo

VII,

conceptos

de

correlación

y

regresión, los

y

coeficientes de correlación determinación, las ecuaciones de regresión lineal y no lineal simple, las ecuaciones de regresión lineal y no lineal múltiple, y la ecuación de regresión polinomial.

.

página (13)

registros mas largos.

transformación lineal de variables aleatorias.

.

-

capítulo VIII, análisis de consistencia, como el análisis visual, doble masa, estadístico con los análisis de saltos y tendencias.

El autor desea expresar su agradecimiento, a aquellas personas que de una u otra manera, han estado involucradas con la elaboración de enta publicación, como por ejemplo: los estudiantes de la Escuela de ,lngeniería Agrícola, quienes utilizaron, como texto la versión proliminar de esta publicación, en el curso Estadística Aplicada, el dlscñador gráfrco, Rafael Murillo que trabajó con las ilustraciones, cl estudiante Gerardo Espinoza, por la dígitalización de parte del toxto y Alexis Rodríguez del Instituto Costarricense de Electricidad (lCE), por sus acertadas sugerencias.

,7 Prólogo

-

página(l4)

Un agradecimiento muy especial, al Comité Regional de Recursos Hidráulicos (CRRH), por el apoyo económico, pors financiar la primera edición, y por hacer llegar el libro a todos los países de Centroamérica.

Máximo Villón Béjar

Conceptos básicos 1.1 Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

un

experimento, no es posible determinar con seguridad su resultado, si se puede, definir con precisión un listado de los resultados posibles de ocurrir. Esta lista constituye el espacio muestral, y se designa como §.

Aún cuando en

ffjemplos

l,

I:1

.

Si el experimento consiste en lanzar una moneda, los resultados posibles son escudo o corona, luego el espacio muestral se representa como:

S = { escudo, corona } tlonde: NS = 2 llcndo, Ng : número posible de resultados del espacio muestral

7,

Si el experimento consiste enlanzar un dado, el espacio muestral será:

t7 Conceptos básicos

S=

-

página (16)

Hidrologfa Estadística

-

página (lZ

)

Nc=6

t 1,2,3,4,5,61

N^s=6

3. Si el

experimento consiste en lanzar

2

dados,

el

espacio

muestral, de la suma de los resultados de los dos dados, será:

S= {2,3,4,5,6,7,8,9, 10, ll,L2l = l1

L.3 Definición clásica de probabilidad La probabilidad P(AL de un evento A, en un experimento aleatorio y de los cuales N¿, son

que tiene N5 resultados igualmente posibles, resultados favorables, esta dada por:

N.s

pre)=+ ...(t.t) Ns

1.2 Eventos Son los resultados posibles que se pueden presentar enlarealización de un experimento. Es un subconjunto del espacio muesffal.

Ejemplos

1.

\iemplos 1.3

l,

i.2

Al anojar

una moneda, la probabilidad de que salga escudo, es:

P=!

En el experimento de lanzar una moneda el evento A, que salga escudo es:

4=

{ escudo } donde: NA= | siendo, N¿ : número posible de resultados del experimento

2

Al anojar un dado, hay seis casos igualmente posibles, la probabilidad de que salga un número igual o mayor que 3 es:

P=!-z' 63

lanzar un dado, el evento B que salga número mayor o igual que 3, es:

Al anojar dos dados, hay 36 casos igualmente posibles, la probabilidad de que la suma de los resultados sea 7, es:

B = {3,4,5,6} NB=4

P=9=r 366

2. En el experimento

3. En el experimento

lanzar dos dados, el evento C, que salga un

es:

C

= { (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) I

En una urna se tienen dos bolas rojas y ocho bolas negras, hallar la probabilidad que al extraer una bola, esta sea de colór rojo.

Conceptos básicos

-

página (18)

Hidrología Estadfstica

2. P(IC'¡

o-2 -l ----

105

página (19)

l. P(a)=g

De los 10 casos igualmente probables, en 2 casos sucederá el evento que se considera, por lo que se tendrá:

I

-

= 1 - P(A), dohdeACes el complemento deA

Los axiomas anteriores, permiten la definición de los siguientes conceptos importantes

:

El

concepto clásico de probabilidad sólo se puede aplicar en experimentos en los que hay un número finito de casos igualmente posibles. Pero en la naturaleza, los principales problemas prácticos no son de este tipo.

Probabilidad de Ia unión de sucesos Si A

yB

son eventos cualesquiera en un espacio muestral §,

entonces:

1.4 Definición axiomática de probabilidad

.

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A

n

B)

...(r.2)

Sea S un espacio muestral asociado a un experimento, y

A cualquier suceso de S (A subconjunto de S). Se dice que P es una función de probabilidad en el espacio muestral S, si se satisfacen los siguientes

La P(A U B), es llamada unión de probabilidades y se lee la probabilidad deAoB.

tres axiomas:

Probabilidad de eventos independientes

1.

0 < P(A) SI,paru

todoA e

Si

,S

A y B son eventos independientes de un espacio muestral

§,

cntonces: 2. P(S) 3

=I

P(A

Si 47, A2,..., A¡¿ es una serie de sucesos, independientes mutuamente excluyentes, entonces:

a

B) = P(A) x

P(B)

.. . (1.3)

La P(A n B), es llamada Ia probabilidad de intersección probabilidadde Ay B.

y

se lee

P(A1U AZU 43 U...UA¡¡) = P(AD + P(A) +... + P(A¡¿)

Notá. Dos eventos, son independientes

si la

probabilidad ocurrencia de uno, no se ve afectada por la ocurrencia del otro, son matuamente exéluyentes, cuando la ocurrencia de imposibilita la ocurrencia del otro. De estos axiomas, se deducen los siguientes teoremas:

Probabilidad condicional §l e y B son dos eventos en los cuales P(A) + 0, entonces, la probabilidad condicional de que ocrrra el suceso B, dado que tucedió A, se define por:

7 Conceptos básicos

-

página (20)

P(BtA\-P(A.B) P(A)

Ejemplo 1.4 Supóngase que el río Turrialba alcanza cada invierno un nivel de creciente con una frecuencia relativa de 0.2. En el río Turrialba, cuando atraviesa la ciudad del mismo nombre, hay un puente cuya probabilidad de falla en los estribos es 0.3 y la experiencia muestra que cuando hay creciente, las probabilidades de esta falla suben a 0.5. Con estos datos se desea conocer la probabilidad de falla en eI puente.

Solución: De acuerdo a los datos del problema, se tiene: Probabilidad ocurrencia de la creciente: P(C) = 0.2 Probabilidad no ocurrencia de la creciente: p(C) = 1-0.2 = 0.8 Probabilidad falla: P(O = 0.3 Probabilidad no falla: P(F1= I - 0.3 = 0.7 Probabilidad falla dada la creciente: P(Flq =O.5

El puente falla (queda inutilizado), cuando falla en los estribos cuando hay creciente; esto se representa de acuerdo a Ia (L.2), de la siguiente forma: P(CU F)= P(A+ P(D - P(C nfl ... (1.5)

De otro lado, de la ecuación (1.4) de la probabilidad condicional, tiene:

P(F'tC)='(?.2,') = p(CnF) = p(c)xp(F tC) P(C) Luego: P(C o F) =O.2 x 0.5 = 0.1

Hidrología Estadística

-

página (21)

Sustituyendo valores en la ecuación (1.5), resulta: P(CU F)=0.2+0.3 -0.1

P(CU F)=0.4 .'. La probabilidad de falla en el puente es del 40 7o.

1.5 Período de retorno (T) Se define el pertodo de retorno T, como el intervalo promedio de tiempo en años, dentro del cual un evento de magnitud x puede ser igualado o excedido, por lo menos una vez en promedio. Así, si un evento igual o mayor a -r, ocurre una vez en I años, su probabilidad de ocurrencia P, es igual a I en Tcasos, es decir:

p(x > *> =

l;

I

... (1.6)

ó

fdonde

-I P(X > x)

...fi.7\

:

P(X>x ) = probabilidad

de ocurrencia de un evento

f = período de retorno

>.r

L¡ definición anterior, permite indicar que la probabilidad de que x ll0 ocuna en cualquier año; es decir, la probabilidad de ocurrencia ,Ét un evento t1x

v

=xmin

-.-/

x2

13

{4

xI

+-f t-f llmltes marcas intervalo de

clase

de

clase

xmáx

púginfl

05)

2.2 Procedimiento de cáIculo A continuación

se indica un procedimiento práctico, para el cálculo de las frecuencias y frecuencias acumuladas, la misma que s€ usará más adelante para eI cálculo de la distribución de probabilidades empíricas de datos agrupados en intervalos de clase:

Frocedimiento: forma creciente o decreciente: Para agllizar los cálculos resulta conveniente conta¡ con una aplicación que permita el ordenamiento de los datos. Por ejemplo, si se ordenan los datos en forma creciente, se tiene: 1. Ordenar la muestra en

fnÍn, x2, X3,... , fmáX

...(2.1)

donde:

rmín = x1 es el valor mínimo xmáx= rI{

x1

-

de los datos

es el valor máximo de los datos

2. Calcula¡ el rango R de la muestra:

R=

*máx- rmín

...(2.2)

de clase

de clase Figura 2.1 Clasificación de datos, en intervalos

l. ,Seleccionar el número de intervalos de clase NC: depende del tamaño de la muestra N. En aplicaciones de lrrrlrología el número de intervalos de clase puede estar entre 6y 25. Ycv.icvich sugiere para seleccionar NC, las siguientes relaciones trrr¡ríricas:

N('

(¡r) NC = l.33lnN+ I

...(2.3)

Distribución de frecuencias de una muestra

(b) siN0

l, y e, utilizando el método de máxima

6. Dada la función de densidad log-normal de dos parámetros:

de probabilidad de la distribución

de probabilidad de la distribución

*Y

-1, P

PY

r 100) = 1 - (1 - 0.8849)

P(Q

a = max lr«xl - P(x) | = 0.1019 Lo=0.1923, paraa =0.05

>

b) Criterio de.decisión:

Como:

A =0.1019 < Ao =0.1923 se concluye, que los datos se ajustan a la distribución normal, con un nivel de significación del 0.05, o una

probabilidad del95Vo. Cálculo de probabilidades: 2,1. Cálctlo de:

100) = 0.884

Para los datos indicados, utilizando la opción Distribuciones/lr{ormal de HidroEsta, se obtienen los resultados que se muestra en la figura 6.4; enesta figura, se observa que P (0 < 180 -3is) =73.77 7o y la

P(Q ¡

>

100

mr/s) = 88.45

7o - Caudal de diseño:

Caudal de diseño:

caudal

(Q); [i --oE-¡1p*r

P(Q 0 pero no entero,

paray =1,2,3,... paruy >0

l(y)

puede ser calculado por expansión de series e integración numérica por:

f(/)

= TT

e-T

Para más detallss sobre las propiedades de la función gamma completa, su forma de cálculo y la transformada de Laplace, se puede consultar en el anexo A.

r Distribuciones teóricas

-

página (228)

Hidrología Estadística

2. Función acumulada es

acumulada,

de la función

-lr- I

f

:

*T -1, B pY

re)

='nT ,(r)

(6.6e)

y la función de distribución acumulada a: úc

... (6.6s)

La integral de la ecuación (6.65) puede evaluarse para valores dados de B y y, usando la tabla A.7 del apéndice, en la cual se ha tabulado Ia función garnma incompleta. En esta tabla, se ingresa con los a

de 7'(Chi-caadrado) y v

(grados de libertad), y se determina los valores de la probabilidad de excedencia | - F(x),

valores

8U)

gamma

x

F(x) =

página (229)

la cual reduce la función de densidad de probabilidad a:

La función de distribución incompleta de 2 parámetros

-

siendo:

G(y)=lJ

v-l

-v ,_OO'

d,

... (6.70)

Las funciones reducidas contienen el parámetroy , por lo cual, cada valor positivo de y, determina una función diferente. Un extracto de las tablas de Wik, Gnanadesikan Huyett (1962), para las variables aleatorias reducida Gamma, se muestra en la tabla 6.1.

La solución de la integral de la función gamma reducida de la ecuación (6.70), se puede obtener por el desarrollo de la serie:

)2x Y ,'= p Si

y

v=27

... (6.66)

v+n-l

v'

y(y +t)...(y + es entero, la función de distribución gamma acumulada, según

Mood et al (1974), puede calcularse por:

G(y)=#,2,

yy k

n-r)

... (6.71)

+i-l ... (6.72)

rI (y + j-l)

j=l La variable aleatoria reducida garnma de 2 parámetros,

está

por:

'p v-

x

... (6.68)

En la ecuación (6.71) o (6.72), con un par de valores de determina G(y), siendo: x

"p \7=-

y, f , se

r Distribuciones teóricas

-

Hidrología Estadística

pígina (230)

f(x)

Tabla 6.1. Función acumulada de variables aleatorias reducidas Gamma, G§), en función deyy T G(v)

T =10

v =5

0.10s

0.532

2.433

6.221

14.s3

o.223

o.824

7.289

0.357

1.097

3.090 3.634

16.17 17.44

0.511

1.376

4.148

0.s0

0.693 0.916

1.678

4.671 5.237 5.890

= TT

1.204 1.609 2.303

e-T

2.022 2.439 2.994

6.721

3,890

7.994

2.996

4.744

4.605

6.638

9.154 11.605

2TT

v

l+-+11 t2y

8.133 8.904 9.669 10.476 11.387 12.519 14.206 15.705 18.783

1.0

0.8

0,02

18.57 19.67

0.01

20.81

0

22.08 23.63 25.90 27.88 31.85

0,6 t).4

0.2 0

204060x

204060x función acumulada

función densidad

Figura 6.9 Función densidad y función acumulada de la distribución gaÍrma de dos parámetros

t39 288y2

5t84}y3

aplicación HidroEsta, permite calcular la función gaÍrma acumulada F(x) = G§), utilizando la transformación a la variable

La

reducida y.

3. Estimación de parámetros, método de momentos Utilizando el método de los.momentos, las relaciones entre la media X,lavaianza 52 y el coeficiente de sesgo Cs, de la variable X, y los parámetros B y y de la distribución gamma, que se obtiene, son:

de la función densidad y la función de distribución acumulada, pata una variable aleatoria X, que sigue una distribución gamma, con y - 5 y B = 5.63, se muestra en la figura

media:

X =E(x)-

yarianza:

Sz

6.9.

coeficiente de sesgo: Cs = g =

La representación

página (231)

r(x )

0.03

T =2O

0.10 0.20 0.30 0.40 0.60 o.70 0.80 0.90 0.95 0,99

f(/)

v =2

v =1

-

gráÉrca

... (6.73)

By

... (6.74)

= [327 2

I

y2 De las ecuaciones (6.73) y (6.74), se tiene:

... (6.7s)

r Distribuciones teóricas

-

X')

4' t.l -

Hidrología Estadística

página (232)

S.

De las ecuaciones (6.73) y (6.76), se tiene: '

a P

... (6.76)

o2

B=! ,X

... (6.77)

4. Estimación

de parámetros, método de máxima

-

págha (233)

_x -

... (6.81)

v

Greenwood y Durand (1960), establecieron que el máximo error de la ecuación (6.69) es de 0.00887o y en la ecuación (6.79) es 0.005470,

5. Estimación de parámetros, método de rnomentos lineales

verosimilitud Los 2 parámetros de la distribución gatnma, por el método de los Thom (1958), estableció que para y < I0, el método de momentos produce una estimación inaceptable de los parámetros B y y. Thom manifiesta qrle para y cerca de 1, el método de momentos usa solamente el 507o, de la información de la muestra paru estimar B, y solamente el 40Vo para estiqar 7 . Greenwood y Durand (1960), presentan las siguientes relaciones aproximadas, de estimación de parámetros por el método de máxima verosimilitud:

para:0

estadísticamente, se debe corregir la información.

'

Corrección de la información

Año

xt

1

964

714.3342

1

982

364.1775

1

965

502.4558

1

983

351.8862

1

966

666.2164

1

984

577.4248

1

967

567.4086

1

985

474.7245

1

968

1213.8669

1

986

668.201

1

969

556.7525

1987

536.824

1970

275.1196

1

988

598.446

1971

600.8544

1

989

573.582

1972

555.s281

1

990

569.369

1973

648.5321

1

991

330.482

1974

452.4337

1992

949.436

1975

388.2973

1

993

260.183

976

894.0560

1

994

430.169

1

Año

xt

-

1985), los

Anrálisis de consistencia

-

página(330)

1977

840.6s09

1

995

577.293

1978

854.3972

1

996

502.513

1979

752.2896

1997

1055.812

1

980

649.3879

1

998

792.781

1

981

434.5200

1

999

640.843

Hidrología Estadística - página (331)

Tabla 8.4 Serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, del río Chancay-Huaral, estación Santo Domingo, Penú (1939 - 1981) Año 939 't940

16.949

1941

16.010 14.080

1

1942 1 943 't944

l, Análisis de saltos Dada la información de las tablas 8.4 y 8.5, serie de caudales

945 1 946

anuales.

1947

1

948 1 949 1 950 1

Completar el dato faltante para el año 1955 de la tabla 8.4, haciendo la correlación de los datos de la tabla 8.4 y 8.5 para los

1

años comunes. 2.

Año

Gauda!

951

1952

Graficar la serie histórica de la tabla 8.4 en papel milimétrico, hacer un análisis visual e indicar si se presenta un salto.

1

26.704 13.872 8.373

14.733 13.848 15.664 11.827 10.583 20.459 19.416 19.684

mols

1954 1955 1 956

17.690 11.485

1971

1957

10.112

1972

958 1959 I 960

9.872

14.276 12.270 21 .189

973 1974 1 975 1 976

17.023 22.148

1977 1978

1

1

961

962 1 963 1 964 1 965 1 966 1 967 1 968 1

1

8.1 88

18.055 10.480

Gaudal

969

13.641

1970

18.306 15.935 33.480 25.139 20.321

1

1

1

979 980

1

981

1

r3.632 15.395 15.277 10.026 11.300 9.613 20.69

30.1 06

8.250

Proceso:

. .

o

953

12.812

Año

m'ls

m3rc

8.5 Problemas propuestos

1.

Caudal

Acumular los valores de los caudales. Graficar el diagrama de doble masa.

1rn3ls¡ Caudales acumulados estación en estudio

T (años) J. Para estar seguro de que se presenta salto, con

los datos de las tablas 8.4 y 8.5 rcalizar el análisis de doble masa, considerando como estación base los datos de la tabla 8.5.

Caudales acumulados estación base

Análisis de consistencia

-

Hidrología Estadística - página (333)

página (332)

Graficar nuevamente

Tabla 8.5 Serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, del río Jequetepeque, estación Ventanilla, Perú (1939 - 1980) Año

Caudal

1939

mtls 22.802

1940 1941

1942 1943 194r'.

1945

1946 1947

1948 1949 1950 195r 1952 1953

22.386 28.268 13.736 31.352

25.602 27.134 23.199 22.960 28.324 34.369 15.523 13.689

28.123 72.637

Año

Caudal

Año

1961

1962 1963 1964 1965 1966

20.793 23.s95 30.560 34.191

22.688 25.087 22.306 18.445 29.O43 18.330

19.67

23.679 27.359 r4.599 34.778

1968

6.695

una vez corregida, con líneas

punteadas.

Caudal

Notas: Si tlel análisis de doble masa obtiene:

1970 1971

m3ls 21.972 22.O73 38.698

1972 1973 1974

24.518 43.620 27.522

975 1976 1977

39.454

mtls 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960

la serie

1

969

1

l97B 1979 1980

23.1s3 29.701 6.462 16.494 6.395

. .

Solo dos períodos, siga la metodología indicada 3 ó más períodos, tomar los dos primeros peíodos y aplicar la metodología indicada, luego considerando éstos 2 períodos como uno solo y el 3er período; aplicar la metodología indicada, y así sucesivamente.

.' Análisis

de tendencias

l)rrtla la información de la tabla 8.6, serie de caudales anuales.

I

(iraficar los datos de esta serie en papel milimétrico, observe visualmente e indique si se presenta tendencia'

'

llealizar el análisis estadístico de tendencias y las correcciones tle los datos si fuera el caso. Debe rcalizar solo el análisis de tcndencia en la media (para datos anuales no se presenta tcndencia en la desviación estándar).

¡ I

Observa¡ los quiebres que se presentan. Con base en los quiebres que se presentan, separar los perfodos de los años donde posiblemente se presentan los saltos.

4. Realizar el análisis estadístico de saltos y las correcciones de los datos si fuera el caso, para perfodos obtenidos del anáIisis de

doble masa. I I I

Para este análisis de saltos debe realizar: Consistencia de la media Consistencia en las desviación estándar Corrección de los datos

t

(iraficar la serie corregida.

Análisis de consistencia

-

página(334)

Tabla 8.6 Serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, del río Chicama, estación Salinar, Perú (1911 - 1980) Año

Gaudal

Año

m3ls 191

1

1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919

1920 1921

1922

959 1 960

22.88

16.39 80.83 60.08 21.55

f 938

28.01

939 1 940 1941

34.92 31.36 42.74

1942

12.94 41.16

27.71

28.63 30.27 33.43 35.16

1925 1926

64.81

15.58

1928 1929 1 930

51.26 33.48 25.79 25.80 18.93

931

16.15

1932 933 1 934

38.30 54.54 59.40

1

Caudal

935 1 936 't937

27.21

1

Año

m3ls 24.58 28.49

7.91 8.01 13.27

1923 1924

1927

Caudal

1

1

1

943

1944

'10.05

945 946 1947 1 948 1 949 1 950

35.90 33.76 29.28 19.77 29.37 30.06 9.67

I 951

10.42

1952

23.99 42.17 16.00 22.78 32.69 34.28 20.24

1 1

953 954 1 955 1 956 1 957 1 958 1 1

mtls 1

1

961

I 962

17.57

14.60' 31.14

1

963

18.20

1

964

24.69 22.99

965 1 966 1 967 1 968 1 969 1 970 1

1971

1972 1973

1974 1975 976 1977 1 978 1979 1 980 1

11.78

32.26 4.76 12.70 16.19

30.14 30.57 45.38 18.91

34.99 21.49 29.26

458 12.46

3.14

Completación y extensión 9.1 Definiciones l.ir extensión de información, es el proceso de transferencia de rnlirrmación desde una estación con nn "largo" registro histórico a (

)l

rit con un "corto"tegistro.

l,rr completación de datos, es el proceso por el cual, se llenan "ltuecos" que existen en un registro de datos. La completación es un clso particular de la extensión. l,ir extensión de datos, es más importante que la completación, por r'r¡anto modifican sustancialmente a los estimadores de los ¡»rrámetros poblacionales, por ejemplo, la media de una rnuestra corta, será diferente a la media de una muestra extendida.

Completación y extensión

-

Hidrología Estadística

página (336)

-

página (337)

La completación y extensión de la información hidrometéorológica faltante, se efectúa para tener en lo posible series completas, más confiable y de un período uniforme.

En forma general, el modelo matemático más usado para transferir información hidrológica, entre estaciones medidas, es el modelo de regresión lineal simple.

9.2 Técnicas

9.3 Proceso

Las técnicas que se utilizan para la completación, en orden prioridad son: . Regresión lineal simple, entre éstas:

o

Correlación cruzada entre dos

de

El proceso a seguir para la completación o extensión, es como

, o más estaciones,

situación (1) sin defasaje de la figura 9.1 o Autocorrelación, situación (2) de la figura 9.1 . Relleno con criterios prácticos. Parala extensión se usan modelos de: . Regresión lineal simple . Regresiónlinealmúlíiple

Obtener la serie de tamaño N1, á cornpletar o extender (figura 9.2):

!t,!2,!3,.,...,!

¡¡,

Seleccionar la estación, que guarde una buena relación con la estación con la que se está trabajando, y cuya longitud de la serie sea mayor, como por ejemplo: N = Nr+ Nz. Xl, XZ, X3 r....,

XN t, X N t+1

r,,...,

X N,* N,

o (m3ls)

tiempo T

(1) (2)

Correlación cruzada sin defasaje (correlación espacial) Conelación serial con defasaje (correlación temporal o autocorrelación) (3) Conelación cruzada con defasaje (correlación espacial y temporal)

Figura 9.1 Serie histórica de caudales de las cuencas

se

indica:

Ay B

Figura 9.2 Series de tamaños donde:

& y N= Nr+ Af2

Completación y extensión

-

Hidrología Estadística

página (338)

)¡ =serie de registro "corto" rr = serie de registro "largo" Nr =tamaño del registro común

xl

página (339)

_D*, Nr

-L*,Ey, ry,» *i -(\*,)'\N ,Zv? -Er,)' N,» x¡!¡

a ambas series o tamaños

del registro corto Nz =tamaño del registro no común N = N, * N, = tamaño del registro largo

.

Seleccionar el modelo de correlación, en este caso, la ecuación de regresión lineal: y, = a*bx, ... (9.1) donde: )r = variable hidrológica dependiente xt = vzriable hidrológica independiente ay b = parámetros de la ecuación de regresión lineal simple

-

s,(r) =

...(e.4)

,Er;

S,,,)

tlonde:

f

¡

t Y xt=

son los estimados de las medias, de los períodos

comunes, de tamaño Nr de las variables yté xr S,,,, = son los estimados no sesgados de las desviaciones estándar, de yt y x¡de los períodos comunes de tamaño Nr r = coeficiente de correlación

Estimar los parámetros: Los estimadores de a, b y r se calculan con las siguientes ecuaciones: s,,,, D= f§,,,,

S,ar,

,

,

.

ó

...(e.2)

Ecuación de completación o extensión: Sustituyendo valores en la ecuación (9.1), resulta:

...(e.s)

a= yr-bx,

lt=

>¿ Nr

...(e.3) l)ara mejorar la información, a la ecuación (9.5) se le agrega otra componente, que es una variable aleatoria, que tiene por objeto dar tuna mejor representatividad de la serie hidrológica, especialmente t:uando se quiere extender la información a un periodo largo (por

Completación y extensión

-

HidrologíaEstadística

página (340)

ejemplo incrementar el registro en 20 ó 30 años), por lo cual, la ecuación (9.5) se puede expresar de la siguiente forma:

y,

s

=l*r#(r, -l)* deil-r'z.s,rr)r, Y xt= son los estimados de las medias,

,^Ñ,1 t,=-:- "ll- r'

...(9.6)

/c = valor del estadístico / calculado Nr = tamaño del registro común dó las series

de los períodos

desviaciones estándar, de yt y x¡ de los períodos comunes de tamaño N1 r = coeficiente de correlación tr = variable aleatoria normal e independiente, con media cero y varianza unitaria

€t- NI(0, 1). 0=

0

se usa en completación, en este caso el ruido aleatorio no es considerado

0=

I

se usa en extensión, en este caso el ruido o factor aleatorio si es considerado

f (Nl, N2) corrige el sesgo N, (N, - +)(r'r, - r)

*(r, -0(r, -l)(r'r, -z) u-T

.

...(9.8)

donde:

comunes de tamaño, Nr de las variables !¡ é xt S,,r, , S,,,, = son los estimados no sesgados de las

cr =

página (341)

ir) Cálculo del estadístico t", según:

donde:

lt

-

en la variancia del proceso

r = coeficiente

b) Cálculo de r¡ El valor crítico de t (t,), se obtiene de las tablas r de Student (tabla ,21.5 del apéndice), con 95Vo de probabilidad, o con un nivel de significación del 5 7o, es decir'. al2 = 0.025 G.L. = Nt-Z

c) Comparación del /" con el /,

correlación significativ

. Si

I t" l, t, -> r es significativo, por lo que sí existe correlación significativa entre las variables )1 ] /1, y se puede hacer uso de la ecuación (9.5) ó (9.6), para la completación y extensión.

...(e.7)

Criterios de confiabilidad.

de correlación

Si r resulta no significativo se puede aplicar el

proceso de

rrutocorrelación o probar con o[ra serie.

La ecuación (9.5) ó (9.6), sólo se podrá usar si hay una correlación significativa entre las variables )t y x¡, es decir, si el coeficiente de correlación r de la ecuación (9.4), es estadísticamente significativo con un cierto nivel de confiabilidad, utilizando el estadístico t, para esto se procede de la siguiente forma:

9.4 Criterios para mejorar los estimados de los

parámetros Usando el análisis de correlación, para extender el registro corto de l¿r

serie y, de una estación con tamaño Nr, utilizando otro registro

Completación y extensión

-

página (342)

Hidrología Estadística

largo de la serie x, de otra estación con tamaño N = Nr* N2, surge la pregunta, ¿si la extensión de Nz valores mejora o no, los parámetros requeridos de la serie y?. Es muy posible, que la adición de Nz valores, puede dar un estimado peor (más malo), de los parámetros de la serie y, por lo cual, es necesario conocer algunas medidas de confiabilidad de los parámetros estimados, antes y después de la extensión.

Se puede ltilizar La varianza, para medir

la precisión de los

-

página (343)

Con este registro, completar los datos faltantes de los años 1990 y 1998, de la estación San Antonio, a partir de su correlación con la cstación Cachí.

2. En la

tabla 9.2, se muestran los registros de caudales medios para el período 7g5g-lgg8, de las estacione A y anuales, "n -'ls, B.

'l'abla 9.2 Catdales medios anuales de las estaciones A y B

estimados, así se tiene:

. Si la VAR(serie y reconstituida) > VAR(serie y histórica),

.

entonces el estimado es menos preciso, por lo cual no se recomienda la extensión de los datos. Si la VAR(serie y reconsrituida) < VAR(serie y histórica), entonces el estimado es más preciso, por lo cual se puede usar la extensión de los datos.

Año

1.

969

15.81

1971

17.28 18.86 33.48

959 960

1

961

1

1962 1

963

965 1 966 1

En la tabla 9.7, se muestran los datos de precipitación anual, rnm, de las estaciones San Antonio y Cachí.

Tabla 9.1 Precipitación anual de las estaciones San Antonio y Cachí Año

San

Cachí

Año

Antonio 986 1987

1

4151 .0

1

3736.6 3263.2

988

2149.2 2115.5 2195.1

1

989 1 990

3438.1

1822.O

'1991

992

3140.4 3474.4

2000

31 1 6.1

2616.7 1739.8 1799.0 1621.7

1

San

Cachi

Antonio 1

993

994 1 995 1 996 1997 1 998 1 999 1

2987.7 3633.3 3606.8 3945.4 3004.1

2918.8

1888.1 2020.1

2095.2 2104.3 1678.0 1703.0 2083.5

B

rm3lsl

1970

1

1964

9.5 Problemas propuestos

A (m3/s) 26.26 22.12 33.39 21.15 25.64 20.99 22.06 25.74 30.90 25.97 20.56

1

967

'1968 1

1972 1973 1974 1975 1976 1977

1978

19.75

20.82 26.23 23.99 21.56

34.25 30.82 42.56 12.54 41.35

36.20 34.22 29.87 20.42 30.35 31.24 10.76

Año

A

B

1979 980

rm3lst 22.14 22.57 20.14

lm3/s) 25.89 20.70

26.51 15.06

34.85 21.92 31.58 27.15

1 1

981

1982 983 984 1 985 1 986 1 1

1987

988 1 989 1 990 1

28.83 26.03 21.02 25.88 13.62

17.88

'15.99

36.95 9.25

22.42

17.49

25.11

11.72

199'1

35.84

21.22 35.57

25.67

1

992 1 993 1 994 't995

24,11

36.'19

29.16 24.29 38.08 21.36

51.40 24.76

44.30 17.95 25.01

35.26 37.06 23.02

996 1997 1

1

998

18.16 14.98

41.25

27.76 35.83 1

1.00

Suponiendo que en la estación A, elperiodo 1989-1998 no tiene información, realizat el proceso de extensión de esta información para este período, a partir de la serie de la estación B.

Completación y extensión

.

-

Hidrología Estadística

página (344)

Indicar las ecuaciones de extensión, para e = 0 y 0 =

.

1.

Comparar los valores registrados, con los resultados obtenidos de la extensión, con ambas ecuaciones y obtener la diferencia en cada caso.

3. En una cuenca,

-

se tienen 2 estaciones A y B en las cuales se midieron los caudales medios mensuales, -3/s para el año 1999, y algunos caudales medios mensuales"npara la estación A, para el año 2000. Los resultados se muestran en la tabla 9.3.

Tabla 9.3 Caudales medios mensuales de las estaciones A y B, en

*3/. Año

Mes

Estación A mtls

Estación B mtls

999 999 I 999

E

175.97 75.83

321.08

1 1

F M

45.94

22.81 155.41

999

A

77.57

274.58

999 1 999 1 999 1 999 1 999

M

131 .1 8

J J

999 1 999

o

999

D

2000 2000 2000 2000 2000 2000

E

136.05 171.13 475.75 897.42 710.59 268.30 224.30 84.85

43'1.65 446.52

1 1

1

1

A S N

F M

189.32

321.67

A

567.21

M J

222.78 677.32

456.84 1270.04 2089.29 1618.41

431.72 509.33

-

página (345)

Se desea extender los datos para los meses Enero-Junio, del año

2000 de la estación B,para lo cual se pide:

Indicar cual sería la ecuación de extensión, simplificar ala forma:

Bt=a+bAt*Ct¡ donde: sr - NI (0,1) Extender los datos para los meses Enero-Junio del año 2000 de la estación B. Explicar todo el proceso seguido para la extensión.

Generación de números aleatorios L0.L Generación de números aleatorios uniformemente distribuidos El método más aceptable, para generar números aleatorios es aquel que produce números que sean:

. . . ,

uniformemente distribuidos estadísticamenteindependientes reproducibles

sin repetición dentro de una longitud determinada de la sección

De igual manera, tal método deberá ser capaz de:

¡ .

generar números aleatorios a grandes velocidades requerir un mínimo de la capacidad de almacenamiento de la computadora

Generación de números aleatorios

-

página (34g)

Hidrología Estadística - págrna (349)

Los métodos de congruencia, se diseñaron específicamente para satisfacer los requerimientos antes mencionados y se basan en una relación fundamental de la congruencia, que puede expresarse por medio de la siguiente fórmula recursiva:

U¡*t=aF¡*c(modm) donde: Lti, a, c y mson enteros no negativos.

... (10.1)

Desarrollando la ecuación (10.1), para, i 0,1,2,..., se obtiene: = Ih=alto+c(mod m)

t!= ah +.c (mod m) =a2uo *

.:

: ui =

i

a. u,o

:

la cual permite calcular una sucesió"

b

a

ui*t =Q'u

se han desarrollado tres métodos básicos para generar

números

pseudoaleatorios, mediante el empleo de las diferentes versiones de la ecuación (10.1): el aditivo, el murtiplicativo y er mixto, sin

embargo, existe evidencia empírica de que tás métodos de congruencia multiplicativos, producen números pseudoaleatorios aceptables que pasan toda prueba estadísticá que permite considerarlos como verdaQeros números aleatorios. La ecuación de

este método es:

ui*t = au, (mod m)

=22 +l

... (10.3)

... (10.4)

Para estos valores la ecuación (10.3), toma la forma:

* c 4-1 @od m) a.- I

Una vez dado un valor inicial po, un factor constante a y una constante aditiva c, las ecuaciones (10.2) conducen a una relación de congruencia, para todo valor de i en la sucesión: {F,, ilr, r1r,.,.}

de enteros no negativos.

Este método adaptado para computadora, emplea un módulo m=pb que representa el tamaño de la palabra de la computadora, donde p es el número de guarismos, del sistema de números que usa la computadora, por ejemplo , p = 2 para el sistema binario y á denota el número de dígitos en una palabra, por ejemplo 32.Elvalor óptimo de ¿, está dado por la siguiente relación:

@+t) c (mod m)

(to2)

{r,}

*t)

u,(modz")

... (10.s)

Nota:

En forma práctica, la generación de números

uniformemente distribuidos entre 0 y 1, se puede hacer con una calculadora manual, ellas tienen incorporada la función RAN#, que genera estos números.

También, todos los lenguajes de computación, tienen incorporado subrutinas para la generación de números uniformemente distribuidos comprendidos entre 0 y 1. Por ejemplo Basic y Visual Basic, tienen la función de biblioteca Rnd,la que genera números uniformemente distribuidos, comprendidos entre 0 y 1.

El listado 10.1 permite generar la cantidad de números aleatorios uniformemente distribuidos, indicado por el usuario.

Generación de números aleatorios

Listado

l0.l;

-

Generación de números uniformemente distribuidos entre 0 y l.

lNPUT "lngresar la cantidad de números aleatorios a generar" ; n RANDOMIZE TIMER CLS PRINT n ; " Números uniformemente distribuidos entre 0 y 1"

FORI=1TOn

PRINT USING " #.####### " ; RND NEXT I PRINT

Hidrología Estadística - página (351)

página (350)

;

END

El

listado 7O.2, permite generar números aleatorios enteros, comprendidos entre dos valores a y b, esto resulta de interés cuando se desea realizar ejemplos de simulación de juegos.

.

En computación, permite la simulación de juegos.

10.2 Generación de números aleatorios

normales independientes l,lxisten varios métodos para generar números aleatorios normales, a partir de los números aleatorios uniformemente distribuidos, entre cllos se tiene:

l)rocedimiento del límite central l)rra el cálculo de números aleatorios normales, se usa la siguiente ccuación:

fl=uttur*...*ut

Listado 10.2: Generación de números aleatorios enteros entre a y b CLS INPUT " lngresar elvalor inferior A" ;A INPUT " lngresar el valor superior B" ;B INPUT " lngresar la cantidad de números aleatorios a generar" ; n RANDOMIZE TIMER CLS PRINT n ; " Números uniformemente distribuidos entre" ;A ; "y" ; B FOR l=1 TO n PRINT A+lNT ((B-A+1).RND) ; NEXT I PRINT END

-L2 ... (10.6)

ó

-qk n= L,l \ u.,

,)

tlonde: ai = número aleatorio uniformemente distribuido (0< ui 0: lim ¿'á -) oo b-+

*

_

,-,,

[

dt

=---1 J-+

¡-a

S¡r_ sen

)l atdt=f-l +o'Ll(*ro,,, a ---""+-senatl

sen at

at +

! sen ab

(r. :?)t ,-" sen oo, r, = - I , ,,"io,, o, - l Je-,,sen

;+,-"[.o,

senat

Reempla zando(a .5) en fu .:1, resulta:

I e-"

l,S{-

dÍ

Sustituyendo en (a .4), se obtiene: cos

=

!r"no,)

st

senat dt

se tiene:

at I = lu-" senat dt =

'

.'.

Í{sen o*=

Observar que:

-; -"! .§'+a'

?+t

para s > 0

para s > o

Transformada de Laplace y función gamma

-

Hidrología Estadlstica

página (386)

* t/(r)]= F(s) = I: n't f (t)dt

Ls-

Domlnlo

Fórmulas elementales

(0

La forma de calcular la transformada de Laplace, se puede observar en los dos ejemplos anteriores. Pero el cálculo de la transformada do Laplace, se simplifica, si se hace uso de tablas elaboradas para tal fin.

En la tabla A.1, se muestra la transformada de Laplace de algunas funciones, la misma que es suficientemente amplia, para lo¡ propósitos prácticos presentes.

(2) si (3)

d

a t/(r))=

F(s) -+

{1:1t¡}+6

* {g@}+re {n@}

* l"

,' d t/(/)}-,'/(o) -.f '(o) (5) .{ {,f ,', (r)}= ,' * tf trl}- s".f (0) - sn-' f '(0) -... - f "'(o) g¡

(u)* {lJ

{tl}=

ravt}=1 *

{¡u>}

s I

e^'

S-a I

{

)

s-

¡1.

---:

o

s'?+l

(0

de

deflnlclón

t t(ol C

s>0

I

Ce^l

S>a

10

g"'

s>0

t1

e"tt

s>0

12

s>0

13

e^tsen bt

s>0

14

e^tcos bt

s>lol

15

e'tsenh bt

slol

16

e^tcosh bt

S-a t

S-a

Dornlnlo de definición

S>a S>a

1

(s

-

o)2

S>a

nl.

e^'f

(S

- a)n+l

S>a

f(r + l) , n+l b

Sen bt

a k'' f @j= FG - a)

ü (r))=, * {Ffrl}-ffo)

t(t)l 9

C

Existen una serie de propiédades de la transformada de Laplace, quo pueden demostrarse. Para efectos prácticos, solo se enuncian 0 continuación:

Q)+bs|)+ch|)}="*

r

t

Propiedades de la transformada de Laplace

{af

página (387)

l'lbla A.1 Transformada de Laplace de algunas funciones elementales

o-'{ ro -}=t"n" + d-

0)a

-

s2 +u2 s

Cos bt

s2 +02 Senh bt

b

s2 -b2 s

Cosh bt

s2 -u2

b

(S-a)2 +b2

S-a (s

- a)2 +b2

S>a

sa+l¡l

b (S

-

a)2 -b2

S-a (s-a)2 -u2

5>a+ lol 5)a

+

b

Hidrología Estadística Transformada de Laplace y función gaÍrma

-

página (389)

pfoina (388)

4.3:

li.jamplo

(7)

-

)dt

(

'rrlcular:

a br' - 4t -3ea' + senZt]

Solución: llsando la propiedad (1) de la trar,lsf-ormada de Lapl¡ce_, se tiene:

(f))

(8)

e {sr' - 4; -3ro' + sen2t}= s *

l'}- o* {,}- :* ko'}** {sen 2r} ...(a.6)

I('t

(e)

():

2l 2, = (. J 'e ¡,1= ,, .,

(Fórmula 4)

+

(Fórmula 3)

"e

Lj=

.t

(10

(11)

4 {f t, -

donde: H(t

-

a)H (t

- d}=

e-o' A

"e {ro'}= L r s-4

{ff'l}

e

[o si ta

a) = I y

{sen

zr}=

irz*

(Fórmula 2)

+

(Fórmula 5)

lrrcgo, sustituyendo valores en (a.6), resulta:

'e b,'-4t-3ea' +sen2r)= ' +-+s-4 s'+4 .§' s' -\*-2,

a>0

^

(12) Teorema de convolución:

*

{.r

*a(r)}=

-

(.t

lf

f

l'"-

lijuuplo A.4:

I

G

st

-u)s@)d"l "t t/}*

{g}=n1s¡G(s)

f(t)¿t

(13) "e UOI=Jo-'-

l- e- ws

---con período w > 0' es decir: donde:flr) es periódica, f(t)= F(t+w)

(';rlcular:

e pe''

cos4t-5e4't5 +8senh3r)

§olr¡ción: llr¡urdo la propiedad (1) de la transformada de Laplace, se tiene:

Transformada de Laplace y función gamma _ página (390)

* brr, cos4t - 5eo, f+

gsenh3r]

=2Á p'' cos+t|-s; bour']*8 .o {senh zt}

pero: a pt, --" '"J- _-_s -3 t cos4r)=

¡r-r¡ *7 e {uotr'}= _ 120 t - r ("_ 1_= - +f G- 4t'

*

{senh3r}=

Hidrología Estadística

s'-3-9

* {senhar}=** k-}-)*

...qa.t¡

.e

(Fórmuta 7)

.'. *

,?1,

{senh af

}=

-, s-

o -a'

1

L.Q.Q.D

/

Calcular:

ls'

at}=

+341

(irmpletando cuadrados en el denominador:

s2 senh

6s

_a_ s'-a'

ot = "''__"_*_

sc puede

{senh at}=

d

+6s +34 = sz + 6s+9 + 25 = (r +3)2 + 52

escribir:

,+s l d,l-jl¿ I=*-,J -y +3a[ls2

Iuego:

.e

ot

a-ri +s+s I

Demostración:

que:

a-(s-a)

lljemplo A.6:

Demosffar que:

Sabemos

1. I -t 2 s-a 2 s-ta

2 s'-a' l2a n * -"'

Ejemplo A.S:

{senh

-

b--}

ot}=!.

1. s*

luego, remplazando valores en (a.7),se obüene:

ot

{senh

Górmula 12)

iri+

página (391)

Aplicando la fórmula 2 delatablaA.l, resulta:

(Fórmula 14)

* b"'' cos4t-se4,ts+8senhtr)=Je_2

-

+ 6s

{r;al

Aplicando la propiedad (1) de Ia fansformada de Laplace, se tiene:

l@rf

.

I

l)cscomponiendo el numerador de la siguiente forma:

s*5=(s+3)+2

¡'csulta:

Transformada de Laplace y función gamma

_

página

Hidrología Estadísticu

(392)

-

¡rl¡lttrt I lU I t

til lllr

('-r)(s-r) tlc donde:

A(s-3)+B(s-l)=2 A+B=Q=] ¿ = (n+r), -3A- B =2= _ 3A_ B =Z= B -

I

|

luego en (a.10), resulta:

2tl

...(a.8)

pero:

*,1

('*')ri=e-3,cos5/

l(s+r), *s,

I

wurJ'

(propiedad l4)

*''{ * ¡I?-'i=2*,1 *I )-z-, ;t, I= i . tl * s, "-'' ',nt, fG

1t,

Luego, sustituyendo en (a.g), se tiene:

' *-,f-L+5 f ''*6áj=s-3'l I

cos5r

l=

(propiedadl3)

sustituyendo (a.11) en (a.9), se tiene:

*,

I

z

I

f 1 *,_ll ll

á, t- ;= t(, _-* _r-ll=

,tl.

Aolic

'

,f , *- 'L'-¡J d

1

*-r1

+?'-''"nsr

,,,(rt,l l)

(.,-r[r-5¡=-s-t*r-3

Aplic

1, se tiene:

Djemplo A.7: Calcular:

I z-l *'l(;il,-l

(ae)

Ejemplo A.8: Calcular:

Solución: Descomponiendo en fracciones parciales, se tiene:

ñ.-rl

s3+3s2+l

tr'(,'

+zt

I

+i)l

... (a.12)

Transformada de Laplace y función gamma

-

Hidrología Estadística

página (394)

Solución:

1

s3

Descomponiendo en fracciones parciales, se tiene:

s'1s' ... (a.13)

2 2

+2s+2 +2s+2

+ s2(Cs +

+3s2 +1

*

2s

+2)+s'1cs + D) =s3

s3:A+C=I s2 2A+B+D=3

s 1

37 -s+2 2

.2 ^ s'^t s'+2s+2 11113s+7 _J-_._r s' 2 s' ' 2 s2 +2s+2

f

...(a.18)

Sustituyendo (a.18) en (a.12), se tiene:

1* 11 t *,f-1 s'1s' + 2s +2) j t2 2s' 2 s3 +3s2 +1

+ 2s +2)+rG'

+ 3s2 +

1

...(a.14) .. . (a.15)

s :2A+28 =O

...(a.16)

=l

...(a.r7)

:28

+2)

2

página (395)

D)

Igualando los coeficientes de las potencias iguales, se tiene:

so

s3

+ 2s

s'1s' + 2s +2)

de donde:

ar(r'

+3s2 +1

-

3s + 7

J=

s

2 .§

+ 2s + 2

Aplic ando la propiedad (1), resulta: 3 s + 3s2 + 1 ) , ^§-1 s +2s + , )

*;*'{i}. *;"'{;X*}

¡=-;",{:}

@te)

(fórmula I de la tabla 4,1)

de (a.17)

a=!2

(fórmula 2 de la tabla A. 1)

-!2

de (a.16)

,q.

de (a.15)

*D=31 p=7 -t+122

de (a.14)

=

-!+C=1=

C

a-,f 3s+z l= *.,f¡(s+t)++J lsz +2s +2) l(s + t)' + t

J

=1 3(s + 1)

Luego, sustituyendo en (a.13), resulta:

(s+1)2 +1

Transformada de Laplace y función garnma

='jrr

-

Hidrología Estadística

página (396)

i;+-)*o*'i#-i

=3e-'cosf + 4e-' sent (fórmulas

13

y

12

página (397)

+4s+10

s2

12.

-

s2 -2s +3 (s + l)3

Remprazando valores en (a. 1 9), s" outi"rJelspectivamente)

4-,J s' +3s' +l I=-1 *L*1r-, [r'(r' +2s +2)) 2 2 2

"o"r+2e-,sent

6s2

-lls

+ 15

s(s2

-

+3)

2s

s+2

A.3 Ejercicios proPuestos Calcular la transformada de Laplace de las siguientes fuaciones:

s2

""

+42s-34 (r'+l)(s2 -6s+13)

..

8s3

l. t' -7t'+8

2.

(t +Z)te'

3.

e3'cos3,t:cos4f

4. e'' sen'2t 5. e3' 7t + cosh r) 6. cos',

7.

sen'2t

8.

(senr + 1)3

+2s +13

t rr¡

t1

-10s2

+39s -12 -z3sz ----(s' +2)(s" - 4s + 5)^----_

2s3 +8s2

§trbiendo que:

y coshx= =!p, + 2' -e-,) ){". "-')

Hallar la transformada inversa de Laplace, de las funcioneg

¡errlrx

siguientes:

('ttlcular:

9.

5s+l (s+1)(s2

+s-2)

-14s+109

"' 15'-+ájqr, -+"+zq

¡¡,

* $"n3ar.(senh ot)o\

llcnrostrar que:

Trunslbrmada de Lapluce y función garn¡no _ página (39g)

19.

., {e"'senh or}=;, _to:, a $enh'

Hidrologíir list¡rrltnlh

+2Aa2

22. 23.

e

(x--l)!=

I-(x) =

l'

oj}=

s7s2

{senh ar .cosh

f(x)

-4az)

a}=

;;!

e{coshar.cosar}= '

t4

=

Ii

(x-I)!

u-'r''a*

= (x

oo;

f

',rr

f(x + t) = li

e-'t'' clx

'.vrrluando, usando la fórmula

f

Definición

('on.ro se observa de (a.22)

f(x

porf(x),

se define mediante

rr

lntr¡t{

f(x

O.

Se observa que la función gamma, es una forma particulrr th

f O)a*

4 dela tabla A.1, resull¡r:

...

(a.2t)

+ 1) =

x!- x'(x - l)!

f (t) = t'-t

)

... (a.25)

(a.22): f(x) = (x-1)!

lrrt'go (a.25), se puede escribir:

l(x+1)=xf(x) rlr' lrr ecuación (a.24):

en donde, de (a.20) y (a.21), se tiene: J-_l-L

... (¡t,2,1

r

... (¡,20)

transforma da de Laplace:

I; u',

¡!

,rl¡

y (a.24),la función gamma l)r'()tx)r(,lr)nl uur extensión útil del factorial, es por eso que se le llanl¡r l¡¡rrrlrrr,rr I rr rción factorial generalizada.

¡rt'ro de

e {¡¡t¡l=

+ 1) =

, (rt

l,rr lbrma recurrente para la función gamma, se obtiene de (a.24):

= I; nt,x-7¿*

la cual converge parax>

tl Jll

l)!

(a.20), si se reemplazax porx +1, se tienc:

4.4 Fun ión gamma

f(x)

-

!'ropiedades

" = -4aa

La función gamma, denotada impropia:

| tttUl

llsando la fórmula 4 dela tabla 21.1. st t[,r¡0,

--4' s1s2 -4a2) 2r. e{cosh' a}= L!o'-20.

¡t lrrl!llil

para x=0 =f(1)=0!=1 para x =l =r f(2) = 1!= 1

... (a.26)

frurrfo.-u¿a

de Laplace y función gamma

-

página (400)

Resumiendo, algunas de las propiedades de la función gamma son:

f(x)

1.

=

Hidrología Estadística

1< xa 7.

-

página (408)

Funciones

a*

trigonométricas

lj«,,n ñ3 a*

8 fi,F(*J *

s lá# rc. li

Fórmulas de ángulo doble

**"-*n d*

donde m,n,a>o

11. Calcular con 5 decimales de aproximación, la integral:

,=

fZr-"^

o,

12. Calcular con 5 decimales de aproximación, la integral:

, = !í

o-3*5

*

sen2x = Zsenx. cos.r cos 2x = cos2 x - sen' x

=l-

2 sen' x

=2cos2 x -l

Fórmulas de ángulos múltiples

- 4srn3 * cos3¡=4cos3 x-3cosx sen3x =3senx

sen4x = 4senx. cos x -8sen3 *cos *

cos4x = 8cos4 x sen5x = 5 senx

-

-

8cos2

2Osen3

cos5x = 16cos5 x

-

¡

+

1

x + l6sen5 x

20 cos3 x + 5 cosx

Funciones trigonométricas

.

-

Hidrología Estadística

página (410)

Potencias de las funciones trigonométricas sen211 *=r__cos¿x

*= 1- * !"or2*

22 ,"n3*-1rr*-l 44

"or2

-

serrx.

s€/\

=1t"*t, - y)- cos(, + y)]

'2'

cos(, + y)]

'2'!lr"n(*- y)+ sen(x + y)l

I

*-3 -!"o"2*+ 1cos4x 82 8 4 1* 1 cos2x+ 1cos4x cos'x=g g .z ,"r5 * =5 ,r* - -5 ,"n3* + ! sen5x 81616 5 r= 5 cos * + Lcos5x "or5 "orr+ 81616

Fórmulas de adición

s"n(rt y)= cos(x

.

Funcioneshiperbólicas

2

cosh¡

.

=4-14 2

Relaciones entre las funciones trigonométricas

-

*'(u r) ;

* cosx. seny

t y)= cos.r'cos y t senx' seny

trigonométricas

^,,{?)*'[";' ) senx - seny - z"or( rJ2) */-'l ' t 2j t 2)

senx.cos y

x-x senlx-e -e

Suma, diferencia y producto de las funciones

r*'(,7)

- y)*

senx.cos y =

,rn3*

,"n4

cos.r + cos y =

página (411)

r,"{+) -{+)

cos.r. cos y = ] ["or(,

"or3r=3"orx+icos3x 44

senx + s€ny

cos y =

cos.r

-

tanx= Cotx =

secx=

senx cos -r 1

tanx

-

1

cos

x

Funciones trigonométric as

-

página (412)

1

CSCX

=

senx

-

sen2

xt

cos2 x = I

x-tan2 x=l csc2 x-cot2 x=L sec2

Apéndice .

Tablas esteilísticas

'

Papelesprobabilísticos

o o o o

normal log-normal Gumbel log-Gumbel

r Hidrología Estadística

Tabla

0.0

0.t

A.l

-

página (415)

Áreas de la dist¡ibución normal entre 0 y

Z

0.00000 0.00399 0.00796 0.0t 197 0.01595 0 01994 0.02392 0 02790 0 03188 0.03586 0.03983 0.04380 0.04776 0.051 72 0.05567 0.05962 0 06356 0 06749 0.07 r 42 0.07s35

o.2

0.07926 0.08317 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0 r 1026 0.r r409

0.3

0.1r791

0.12r720 125520.129300.133070.136830.r40580.14¿131

0.4

0_15542

0.15910 0 16276 0.166400,17003 0.17364 0 r77240.18082 0

0.5

o 19146

0.1

0.6

0.9

o.22575 0.22907 0.23237 0.205A5 0.23891 0.24215 0 24537 0-24857 0.25175 0.25490 0.25804 0.26 r I 5 0.26424 0.26730 0 .27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.28230 0.28524 o 28a14 0.29103 0 2s389 0.29673 0 29955 0.30234 0.3051 1 0 30785 0.31057 0 31 327 0 31594 0.31859 0 32121 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0 $39a 0 $645 0.3389i

1.0

0 34134

1.1

0.35433 0.36650 0.35864 0 37076 0.37286 0 37493 0 37698 0 37900 0.38100 0 38298

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9,t97 0. 1 9847 0,201 94

0

0 r48030.rs173

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0 34375 0.34614 0 34849 0 35083 0 35314 0 35543 0 35769 0.35993 0 35214

1,2

0.38493 0 38686 0 38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39617 0 39796 0.39973 0 40147

1.3

0 40320

1.4

't.6

0.41924 o 42Of3 O 42220 O 42364 0.42507 O 426/7 0_42785 0_42922 0 43055 0.431 E9 0.433r9 0_434480 43574 0 436990 438220 439430 440620.44179 0_442950 44408 o 44520 0 44630 0.44738 0.44845 0 44950 0 45053 0.45154 0.45254 0.45352 0,45449

1.7

0..15543

t.8 t.9

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2.O

2.3

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2,4

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2.5

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2.6

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2.7

0 49653

0.49664 0 49674 0 49663 0 49693 0 49702 0 49711 0.49720 0 49728 0 49736

2.8

0.49744 0 49752 0.49760 0 49767 0 49774 0 497A10 4978e

1.5

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0.49981 0.49982 0 4998i] 0.49983

0,49991 0.49992 o 49992 o 498)2 0.49992

v Tablas estadísticas - páEi,na (416)

IlirhologÍa Estadísrrca

-

página (417)

Tabla A.3 Núnrcros ¿llcalorios unilb¡mes Tabla A-2 Distribución normal acumulada

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Tabla A.4 Valores de

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Flidrología Estadística

Tablas esudísticas - página (420)

Tabla A.5 Valores de f

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página (421)

Tabla A.6 Distribución , de Student F(¿)

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Tablas estadísricas - página (422)

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V Tabtas esradísricas - página (,124)

Tabla

A.7 FDA de las distribuciones X2 , 00

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páEina (42'7)

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Hidrologfo Estadfstica

Tablas estadísticas - página (428)

Tabla A.8 Valores de y2 en finci1n de la proporción del área que queda a la derecha_de la ordenada Ievantada por ellos.

-

página (429)

Tabla A.9 Distribución Chi-cuadrada F(,)

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11

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2d J0 1E.85

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7,Jó 8.67

I

1.631

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5.92 1.43 8.26 9.59

I to.¿s

l6 .ll

11.65 | ll.4{ 14.56 | 15.45 r8 l4 I r9-14

20.49 24 77

1172 I 23.8) 27 20 I 28.41

21.59

l0

l0

19

r¡ | l2 ü) ll4l t¡ 80 I 14.27 JJ 72 t, xr | 19.25 4019 xr

I

l2

14 I 3t.41

8t

16.t9

l4-17 37.s1

18.58 I 40.00 13

8L

4512

Tablas estadfsticas - Página (430)

I{idrologla Estadística

-

página (431)

Tabla A.9 Distribución Chi-cuadrada

I E

Núñcro d. Endos

r(,)

de ¡ibert¿d

2t | 12 | B | 24 | 25 |

7Á

127 128 l2e l30 .0

I1.6

t3.6

t4.3

t4.6

t5.3

16.0

13.8 15.0 16.8

16.2

r6.9

t11

r8_5

7.0

7.5

8.1

t.7

9.2

9.8

t0.4

0.m5

6.1 8.0

E.6

9.1

9.9

r0.5

tt.2

t 1.8

12.5

0.01

89

9.5

10,2

5

t2,2

12.9

0_001

0-o2t

10.3

0.05

l1.6

I.7

t2.3

l3_ I

l3.E

¡1.6

13.8 15.4

t4.0 t7.2 71.,

14.8

l5-1

16.5

r?.3

l8.t

l8.l

9-0 25.3

t9.9

21.1

24,1

282

29.r

20.8 25.3 30-4

11.2

34.4

35.6

16.4 39.4

11.1

t8.9

40.6

llo

I

0.1

r¡.2

0.25 0.5

16.3

0.?5

24,9 29.6

26.0

22.3 21.1

30.8

32.0

0.95

t2.7

lt.9

,5.2

0.975 o.99

15.5

38,1

t8-9

368 403

4t.6

46.8

42.8 48.1

49.7

¡0.,

0.9

4t.{

0.995 0.999

*

i"(,)

u.2

r

'

l,l*

43.0

1{.!

45.6 51.2

46.9

41,9 45.6 48.3

52.6

54.1

1,,

t 7.9

241

3

0.005

20.7

28.0 49.1

35.5

t.7

r8.9

19.8

zJ-6

n.1

2r.6

21.5

26.3 31.5 36.7

21-3 12.6 37.9

2¡.3

29.'

40.1 41.2

4t.1

47.O

tt.7

34.E

39.1

40.1 43.8

48.3

42.6 45.1 49.6

49.6

51.0

523

J5.5

56.9

58.3

53.1 59-7

12.4

40,5 43,2

31.5

6t.9

65.6

14,2

69.r

77.9

55,3 61.7

64.3 11.1 79.3

?3.3 80.6 89.3

90. t

77.6

8t.l

98.6

109. t

E5,5

96.6

I0?,6

I18.5

.9 106.6

I t 3.l

t24,3

¡ I8. t

129 6

Ir2.l

t74.1

I15.8

r6.3 r24 8

128.3 t 1t.2

140.2

29.t

0.25 0.5

o.1s

I l.? 19.3 45.6

0.9

51.8

632

0.95 0.975 0.99 0.995 0.999

5J.8

61.5

59-3 63.1 66.8

1 1.4

79.1 81.3

90.5 95,0

7é.2

884

19.5 86.7

92.0

100.4 104.2

99.6

Il?.1

46.5

56.1

61.0

52.3 59.3

,* |

54.2 s9.2 61.8

0,1

J1.7 42.9 49.J

|

46.s 51.2 53.5 57.2 60.4

14.4 16.5

34.t

l* l"

39.0 43.3 45.4 48.8 51.7

0.025 o.05

7l¡

I3,l

l.l

44_5

47.0

r).9

g

Nómoro d¿ gadot de librrtad

o.00I 0.01

lr

10.9 12.4

l

693

l0l r

61.3 ?0.1

82.4 99.3

t49.4

.^n,iiff'u,, ¡(á - l.o9)i l(,/' - 258)2 *(h - 2.33f 1¡n - rso, ¡(, - r.64)t l(Á - r.28)! t(, - 0.6?)t *(h + 0.67\t

l(, + l.28)' t(, + r -64), lG +

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133)2 a58)z 3.091

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En

l¡ úlrima columna,Ir

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númcro dc gr¿dos de libcfÁd'

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0-

Ilidlología Estadística Papeles probabilísticos

-

-

página (433)

página (432)

3 3

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