Vigas y Porticos Por Flexibilidad

INGENIERIA CIVIL

UNSCH

ANALISIS ESTRUCTURAL II

• Vigas y Pórticos • Método de Flexibilidad

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Ing. TAIPE CARBAJAL, Javier Francisco DE LA CRUZ BONIFACIO, Jomar Pachacutec

Ingeniería Civil UNSCH

[ANALISIS ESTRUCTURAL II] INGENIERIA CIVIL

Contenido Metodo de Flexibilidad ____________________________________________________ 3 Modo de Funcionamiento _______________________________________________________ 3 Aplicación del método __________________________________________________________ 3 Ventajas y desventajas _________________________________________________________ 5 Procedimientos para pórticos Isostáticas ___________________________________________ 5 Procedimientos para pórticos Hiperestáticas. _______________________________________ 5

Implementación al programa _______________________________________________ 6 Pseudocódigo del programa _____________________________________________________ 6 Programa en MATLAB __________________________________________________________ 7

Uso del Programa _______________________________________________________ 11 Conclusiones: ___________________________________________________________ 18 Bibliografía: ____________________________________________________________ 19

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Metodo de Flexibilidad Modo de Funcionamiento El método consiste en el siguiente procedimiento: A partir incógnitas básicas obtenemos las fuerzas hiperestáticas; de los datos se obtiene las fuerzas en los nudos

Aplicación del método 1.- Expresar las deformaciones en función de los esfuerzos en los extremos de las barras. (Ecuación constitutiva). 2.- Expresar los esfuerzos en los extremos de las barras en función de las incógnitas hiperestáticas y de las fuerzas exteriores conocidas. (Ecuación de equilibrio). 3.- Aplicar las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. (Ecuación de compatibilidad). Se genera un sistema lineal de ecuaciones 𝐷 = 𝑀𝐹𝑥𝑃 Donde: 𝐷: 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑀𝐹: 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐿: matriz incógnita (fuerzas hiperestáticas) En resumen este es el método de flexibilidades, sin embargo para el caso de pórticos existe un procedimiento mecánico para resolver el pórtico, de acuerdo a la hiperestaticidad de el pórtico. La matriz de flexibilidad quedará definida por:

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[ANALISIS ESTRUCTURAL II] INGENIERIA CIVIL La matriz ensamblada estará definida por: Donde: R= matriz de rotación

Será “-1” el ultimo miembro si existe reflexión como es el caso para aplicar este método. Además existe un método para obtener la matriz de equilibrio de nudos por ejemplo para la figura

Se llenará la matriz de esta forma:

Donde: I= matriz identidad Hij= matriz de traslación dada por:

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Ventajas y desventajas 1.- El procedimiento es mecánico para un pórtico por decir fácil o común, sea para ambos casos isostático o hiperestática, siendo más rápido re resolver las isostática, mientras que los pórticos hiperestáticos se resuelven mediante un procedimiento mecánico mediante la elección de redundantes. 2.- Si bien es mecánico el procedimiento es posible obtener errores al momento de elegir las redundantes que pueden originar en la matriz de equilibrio de nudo que requiere el elemento obtener errores en el cálculo de la inversa durante el procedimiento. 3.- Otra consideración es obtener la matriz de equilibrio de nudos que para acomodarse estos a partir de un sistema computarizado de ingreso de nudos, elementos, reacciones, y recién mediante estos datos obtener la matriz de equilibrio de nudos. 4.- Además que las reaccione pueden o no generar ecuaciones de equilibrio, teniéndose que considerar los rodillos con una ecuación de equilibrio en dirección al eje libre del rodillo (eje no restringido), mientras que los apoyos restringidos en ambos ejes no contribuyen ecuaciones de equilibrios, por último los apoyos empotrados no se consideran para pórticos.

Procedimientos para pórticos Isostáticas El procedimiento es: 1.- Enumerar nudos 2.- Calcular el grado de hiperestaticidad de el pórtico de ser cero proseguimos 3.- Plantear las ecuaciones de equilibrio en cada nudo p=AxF, donde p son las cargas externas, A es el la matriz formada por el equilibrio, F son las fuerzas de cada elemento 4.- obtener fuerzas F=A-1xp 5.- Obtener la matriz de flexibilidad fm 6.- Calcular las deformaciones D=fm x F 7.- Calcular los desplazamientos de los nudos: Dn= inv(A)'*D

Procedimientos para pórticos Hiperestáticas. El procedimiento es: 1.- Enumerar nudos 2.- Calcular las cargas equicalentes 3.- Equilibrio de nudos y reducción por condiciones de entorno 4.- Selección de redundantes: CI, CII 5.- Calcular EI, EII, BI, BII 6.- Calcular matriz de flexibilidad fm de cada elemento 7.- Obtener la matriz de flexibilidad Dii global 8.- Calcular DII,I, DII,II 9.- Calcular redundantes Qii 10.- Calcular las fuerzas o acciones 11.- Calcular los desplazamientos

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Implementación al programa Pseudocódigo del programa 1.- Datos de entrada: Nodos Elementos Apoyos Propiedades (E,A) Fuerzas Redundantes

2.- PROCEDIMIENTOS: Calcular el grado de hiperestaticidad GH Si GH=0 HACER: PÓRTICOS ISOSTATICOS A=matriz de equilibrio de nudos Fuerzas F=A-1xp Calcular la matriz de flexibilidad Fm Calcular los desplazamientos de las barras D=fm x F Calcular los desplazamientos de los nudos. Dn= inv(A)'*D FIN IMPRIMIR FA, D, Dn, Fm SINO: PÓRTICOS HIPERESTATICOS A=matriz de equilibrio de nudos CI, CII, A Partir de A EI= CI-1, EII = -CI-1 x CII

BI=[E0I ], BII=[EIII ]

Calcular la matriz de flexibilidad Fm Dii DII,I=BII’x Fm x BI DII,II=BII’x Fm x BII Q=- DII,II’ DII,I P Pxi

P=[Pyi ] F=(P,Q) Calcular los desplazamientos de las barras D=fm x F Calcular los desplazamientos de los nudos. Dn= inv(CI)'*D IMPRIMIR F, D, Dn, Dii

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Programa en MATLAB El programa se implemento en script y en GUI (interfaz grafica de usuario) El código lo mostramos a continuación, con explicación de procedimiento incluidos: %DATOS redun=[5] nodos=[0 0; 0 50; 80 50]; elementos=[1 2 1;2 3 2]; fuerzas=[2 100 0 0 ]; apoyos=[1 1 1 1;3 0 1 0 ]; propiedades=[1 500 1 ; 1 800 1 ]; %CALCULOS Rest=apoyos %Fuerzas y apoyos %cargas en cada nudo [k,kk]=size(nodos); [ll,lll]=size(fuerzas); for i=1:k NCg(i,1)=i; for j=1:ll if i==fuerzas(j,1) NCg(i,2)=fuerzas(j,2) NCg(i,3)=fuerzas(j,3) NCg(i,4)=fuerzas(j,4) end end end %restriccion de cada nodo [k,kk]=size(nodos); [fre,cre]=size(Rest); for i=1:k rcn(i,1)=i; for j=1:fre if i==Rest(j,1) rcn(i,2)=Rest(j,2) ; rcn(i,3)=Rest(j,3) ; rcn(i,4)=Rest(j,4) ; end end end Rest=rcn %calculo de hiperestaticidad [j,jj]=size(elementos); [ki,kj]=size(nodos); rx=sum(apoyos(:,2)); ry=sum(apoyos(:,3)); rz=sum(apoyos(:,4)); hiperext=rx+ry+rz-3 hiperint=3*j-3*ki+3 hiper=hiperint+hiperext %calculo de las longitudes de [j,jj]=size(elementos);

; ; ;

las barras o elementos

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[ANALISIS ESTRUCTURAL II] INGENIERIA CIVIL for i=1:j LL(1,i)=((nodos(elementos(i,1),1)nodos(elementos(i,2),1))^2+(nodos(elementos(i,1),2)nodos(elementos(i,2),2))^2)^(0.5); end Ls=LL; %ordenamiento de propiedades [j,jj]=size(elementos); %EA for i=1:j pact=elementos(i,3); EA(i,1)=propiedades( pact,1)*propiedades( pact,3); end %EI for i=1:j pact=elementos(i,3); EI(i,1)=propiedades( pact,1)*propiedades( pact,2); end %Vector elemento [j,jj]=size(elementos); for i=1:j V(i,1)=-(nodos(elementos(i,1),1)nodos(elementos(i,2),1));%+(nodos(elementos(i,1),2)nodos(elementos(i,2),2))^2)^(0.5); V(i,2)=-(nodos(elementos(i,1),2)-nodos(elementos(i,2),2));%^2)^(0.5); end %angulo elemento %PASO 3 equilibrio de nudos [fnod,cnod]=size(nodos); [felem,celem]=size(elementos); for i=1:fnod for j=1:felem if i==elementos(j,1) AA(3*i-2,3*j-2)=1; AA(3*i-1,3*j-1)=1; AA(3*i,3*j)=1; end if i==elementos(j,2) AA(3*i-2,3*j-2)=-1; AA(3*i-1,3*j-1)=-1; AA(3*i,3*j)=-1; AA(3*i,3*j-1)=-(nodos(elementos(j,1),1)nodos(elementos(j,2),1)); AA(3*i,3*j-2)=(nodos(elementos(j,1),2)nodos(elementos(j,2),2)); end %para ordenar cargas pp(3*i-2,1)=NCg(i,2); pp(3*i-1,1)=NCg(i,3); pp(3*i,1)=NCg(i,4); end end A=AA %PASO 3b se intruducen las condiciones de entorno

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[ANALISIS ESTRUCTURAL II] INGENIERIA CIVIL [fa ca]= size(A); cont=1; [frest crest]= size(Rest); for i=1:frest %tambien reduciomos las cargas if Rest(i,2)==0 A2(cont,:)=A(i*3-2,:); pp2(cont,:)=pp(i*3-2,:); cont=cont+1; end if Rest(i,3)==0 A2(cont,:)=A(i*3-1,:); pp2(cont,:)=pp(i*3-1,:); cont=cont+1; end if Rest(i,4)==0 A2(cont,:)=A(i*3,:); pp2(cont,:)=pp(i*3,:); cont=cont+1; end end P=pp2 if hiper>0 %ARMADURAS ISOSTATICAS %PASO 4 se selecciona las redundantes %escoger redundante que prevenga la inversa mal calculada [fredun credun]= size(redun); Ci=A2; for i=1:fredun red=redun(i,1); Ci(:,red)=[] ; end %Ci=A2(:,1:fa); for i=1:fredun red=redun(i,1); Cii(:,i)=A2(:,red) ; end %Cii=A2(:,fa+1:ca); %PASO 5 Ei=inv(Ci); Eii=-inv(Ci)*Cii; %PASO 5b [fEi cEi]=size(Ei); [fEii cEii]=size(Eii); Bi=[Ei;zeros(cEii,cEi)]; Bii=[Eii;eye(cEii)]; %PASO 6 Matriz de flexibilidad [felem celem]=size(elementos); for i=1:felem fm(3*i-2,3*i-2)=Ls(1,i)/EA(i,1); fm(3*i-1,3*i-1)=Ls(1,i)^3/(EI(i,1)*3); fm(3*i,3*i)=Ls(1,i)/(EI(i,1)); fm(3*i-1,3*i)=Ls(1,i)^2/(EI(i,1)*2); fm(3*i,3*i-1)=Ls(1,i)^2/(EI(i,1)*2); end %PASO 7 Matriz de flexibilidad Dii %transformacion de coordenadas for i=1:felem

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[ANALISIS ESTRUCTURAL II] INGENIERIA CIVIL R(3*i-2,3*i-2)=V(i,1)/norm(V(i,:)); R(3*i-1,3*i-1)=V(i,1)/norm(V(i,:)); R(3*i,3*i)=-1; R(3*i-2,3*i-1)=V(i,2)/norm(V(i,:)); R(3*i-1,3*i-2)=-V(i,2)/norm(V(i,:)); end Dii=R'*fm*R; [fDii cDii]=size(Dii); %arreglo por cambio de redundantes cf=[1:fDii]'; for i=1:fredun cf(redun(i),1)=cf(fDii+1-i,1); cf(fDii+1-i,1)=redun(i); Dii=Dii(:,cf); Dii=Dii(cf,:); end %PASO 8 Matriz de flexibilidad Dii,i Dii,ii Diii=Bii'*Dii*Bi; Diiii=Bii'*Dii*Bii; %paso 9 calcular las redundantes Qii Q=-inv(Diiii)*Diii*P %paso 10 determinar acciones Aii p=Ei*P+Eii*Q Ft=[[p];[Q]] %paso 11 deformaciones %DEFORMACIONES EN LAS BARRAS e=Dii*Ft; %desplazamientos de los nudos u=Bi'*e; % Di=Bii'*EAfm*Bi; % Dii=Bii'*EAfm*Bii; else %ARMADURAS ISOSTATICAS Ft=-inv(A2)*P %DEFORMACIONES EN LAS BARRAS %Matriz de flexibilidad [felem celem]=size(elementos); for i=1:felem fm(3*i-2,3*i-2)=Ls(1,i)/EA(i,1); fm(3*i-1,3*i-1)=Ls(1,i)^3/(EI(i,1)*3); fm(3*i,3*i)=Ls(1,i)/(EI(i,1)); fm(3*i-1,3*i)=Ls(1,i)^2/(EI(i,1)*2); fm(3*i,3*i-1)=Ls(1,i)^2/(EI(i,1)*2); end %transformacion de coordenadas for i=1:felem R(3*i-2,3*i-2)=V(i,1)/norm(V(i,:)); R(3*i-1,3*i-1)=V(i,1)/norm(V(i,:)); R(3*i,3*i)=-1; R(3*i-2,3*i-1)=-V(i,2)/norm(V(i,:)); R(3*i-1,3*i-2)=V(i,2)/norm(V(i,:)); end Dii=R'*fm*R; e=Dii*Ft %desplazamientos de los nudos u=inv(A2)'*e end

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Uso del Programa P1.- Ejecutamos el programa matlab y abrimos el archivo: METFLEXIbyJomar.m y corremos presionando F5 O el botón RUN, nos presenta:

Lo corremos para el siguiente ejemplo:

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Primero hacemos las fuerzas equivalentes en los nudos:

Como vemos las fuerzas que intervienen en los grado de libertad son los momenton en los nodos 2 y 3 son las que añadiremos al programa P2.- Esta viga es hiperestatica, presionamos nodos e ingresamos los datos en orden 3

P3.-Procedemos con elementos: 2

P4.-Apoyos:

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P5.-Propiedades: 1

P6.-Fuerzas: 2

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P7.- presionamos 1.-REDUNDANTES

Aquí te indica el grado de hiperestaticidad del pórtico dejando una fila según el numero de hiperestaticidad, aquí llenamos cual será nuestra redúndate, para este caso se refiere a una de las fuerzas actuantes en cada elemento. Cada elemento tiene tres fuerzas actuanteuna en dir x otra en y y otra producida por el momento. Por ejemplo si existen dos elementos podemos escoger la redundante 5 refiriéndose la fuerza en dirección y del elemento 2 como es en este ejemplo. Nota: se debe colocar las redundantes con tal que exista inversa en Ci

P8.- presionar 2.-PROCESAR:

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[ANALISIS ESTRUCTURAL II] INGENIERIA CIVIL P9.- RESULTADOS Matriz de flexibilidad

Fuerzas :

Deformaciones:

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[ANALISIS ESTRUCTURAL II] INGENIERIA CIVIL Desplazamientos de los nudos:

Las fuerzas finales en los extremos de los elementos son las calculadas mas las fuerzas del empotramientos para este ejemplo:

Las respuestas de las reacciones:

Si se desea ver los resultados del procedimiento requerido (saber los valores de C I, CII, EI, EII…) podemos entrar al código de matlab quitar el “;” final del código donde este la coeficiente del valor buscado y si se corre de nuevo el programa , botara el valor en la pantalla de MATLAB NOTA: todos estos datos se llenaran al presionar el botón ejemplo1

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[ANALISIS ESTRUCTURAL II] INGENIERIA CIVIL El mismo procedimiento se seguirá para la siguiente pórtico Hiperestatica

Cuyos datos se autollenarán al presionar ejemplo 2

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Conclusiones: 

  

El método para pórticos es fácil de aplicar manualmente, en la programación se complica solo para acomodar los datos de entrada y acomodarlos a la matriz de equilibrio de nudos Si el pórtico es isostática el procedimiento se disminuye Debemos tener cuidado al escoger las redundantes ya que una mala elección no permitirá seguir el procedimiento debido al error en el cálculo de la inversa de CI El programa realizado permite resolver cualquier tipo de pórticos isostáticas e Hiperestáticos.

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Bibliografía: Análisis de Estructuras con métodos matriciales Introducción al Análisis Estructural con Matrices MATLAB

ARTURO TENA COLUNGA KARDESTUNCER HAYRETTIN MIGUEL CUTIPA COAQUIRA

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