vigas puras

Guía del estudiante Sesión N° 5 Secciones transversales de vigas con eje vertical de simetría. La flexión pura en vigas, fuerzas de sección actuante. Teoría de flexión de vigas. Hipótesis de Bernoulli y de Navier. El eje neutro. La fórmula de la flexión. El módulo de sección. Aplicaciones de diseño (ASD) a vigas de acero y madera. Vigas de dos materiales

Flexión pura y flexión no uniforme Al analizar vigas, con frecuencia es necesario distinguir entre flexión pura y flexión no uniforme. Flexión pura se refiere a la flexión de una viga ante un momento flexionante constante. Por tanto, la flexión pura ocurre sólo en regiones de una viga donde la fuerza cortante es cero (ya que V = dM/dx). En contraste, flexión no uniforme se refiere a la flexión en presencia de fuerzas cortantes, lo cual significa que el momento flexionante cambia conforme nos movemos a lo largo del eje de la viga. Como ejemplo de flexión pura considere una viga simple AB cargada por dos pares M 1 que tienen la misma magnitud pero que actúan en sentidos opuestos (figura 5.2a). Estas cargas producen un momento flexionante constante M = M 1 en toda la longitud de la viga, como lo muestra el diagrama de momento flexionante en la parte (b) de la figura. Observe que la fuerza cortante V es cero en todas las secciones transversales de la viga.

Otra ilustración de flexión pura se presenta en la figura 5.3a, donde la viga en voladizo AB está sometida a un par M2 en el sentido de las manecillas del reloj en el extremo libre. No

hay fuerzas cortantes en esta viga y el momento flexionante M es constante en toda su longitud. El momento flexionante es negativo (M = –M 2), como se muestra en el diagrama de momento flexionante en la parte (b) de la figura 5.3.

La viga simple cargada de manera simétrica de la figura 5.4a es un ejemplo de una viga que está parcialmente en flexión pura y parcialmente en flexión no uniforme, como se puede ver a partir de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante (figuras 5.4 b y c). La región central de la viga está en flexión pura debido a que la fuerza cortante es cero y el momento flexionante es constante. Las partes de la viga cerca de los extremos están en flexión no uniforme debido a la presencia de las fuerzas cortantes y a que los momentos flexionantes varían.

Secciones transversales en vigas con eje vertical de simetría

Las deformaciones unitarias longitudinales en una viga se pueden determinaranalizando la curvatura de la viga y las deformaciones unitarias correspondientes. Para este fin, consideremos una parte AB de una viga en flexión pura sometida a momentos flexionantes positivos M (figura 5.7a). Suponemos que la viga inicialmente tiene un eje longitudinal recto (el eje x en la figura) y que su sección transversal es simétrica con respecto al eje y, como se muestra en la figura 5.7b.

Bajo la acción de los momentos flexionantes, la viga se flexiona en el plano xy (el plano de flexión) y su eje longitudinal se flexiona en una curva circular (curva ss en la figura 5.7c). La viga se flexiona con la concavidad hacia arriba, que es una curvatura positiva (figura 5.6a). Las secciones transversales de la viga, como las secciones mm y pq en la figura 5.7a, permanecen planas y normales al eje longitudinal (figura 5.7c). El hecho de que las secciones transversales de una viga en flexión pura permanezcan planas es tan fundamental para la teoría de vigas que a menudo se le conoce como suposición. Sin embargo, también la podríamos llamar teorema, debido a que se puede demostrar empleando rigurosamente sólo argumentos racionales basados en simetría. El punto básico es que la simetría de la viga y su carga (figuras 5.7a y b) significan que todos los elementos de la viga (como el elemento mpqn) deben deformarse de una manera idéntica, lo cual es posible sólo si las secciones transversales permanecen planas durante la flexión (figura 5.7c). Esta conclusión es válida para vigas de cualquier material, sea elástico o inelástico, lineal o no lineal. Por supuesto, las propiedades del material, al igual que las dimensiones, deben ser simétricas con respecto al plano de flexión.

El eje neutro En algún punto entre la parte superior y la inferior de la viga está una superficie en donde las líneas longitudinales no cambian su longitud. Esta superficie, indicada con la línea discontinua ss en las figuras 5.7a y c, se denomina superficie neutra de la viga. Su intersección con cualquier plano de la sección transversal se denomina eje neutro de la sección transversal; por ejemplo, el eje z es el eje neutro para la sección transversal de la figura 5.7b.

Ubicación del eje neutro. Para obtener la primera ecuación de la estática, consideramos un elemento de área dA en la sección transversal (figura 5.9b). El elemento está ubicado a una distancia y desde el

eje neutro y, por lo tanto, el esfuerzo σ x que actúa sobre el elemento está dado por la ecuación (5.7). La fuerza que actúa sobre el elemento es igual a σ xdA y es de compresión cuando y es positiva.

Como no hay una fuerza resultante que actúe sobre la sección transversal, la integral de sxdA sobre el área A de toda la sección transversal debe desaparecer; por tanto, la primera ecuacion de la estatica es

Como la curvatura k y el módulo de elasticidad E son constantes diferentes de cero en cualquier sección transversal de una viga flexionada, no intervienen en la integración sobre el área de la sección transversal. Por tanto, podemos omitirlos en la ecuación y obtenemos

Esta ecuación establece que el primer momento del área de la sección transversal, evaluado con respecto al eje z, es cero. En otras palabras, el eje z debe pasar por el centroide de la sección transversal. Como el eje z también es el eje neutro, hemos llegado a la siguiente conclusión

importante: el eje neutro pasa por el centroide del area de la seccion transversal cuando el material obedece la ley de Hooke y no hay una fuerza axial que actue sobre la seccion transversal. Esta observación hace relativamente simple determinar la posición del eje neutro. El análisis está limitado a vigas para las cuales el eje y es de simetría. En consecuencia, el eje y también pasa por el centroide. Por lo tanto, llegamos a la siguiente conclusión adicional: el origen O de las coordenadas (figura 5.9b) esta ubicado en el centroide del area de la seccion transversal. Como el eje y es un eje de simetría de la sección transversal, se deduce que es un eje principal. Ya que el eje z es perpendicular al eje y, también es un eje principal. Por tanto, cuando una viga de material linealmente elástico se somete a flexión pura, los ejes y y z son ejes centroidales principales.

Relación momento curvatura La segunda ecuacion de la estatica expresa el hecho de que el momento resultante de los esfuerzos normales sx que actúan sobre la sección transversal es igual al momento flexionante M (figura 5.9a). El elemento de fuerza σxdA que actúa sobre el elemento de área dA (figura 5.9b) lo hace en la dirección positiva del eje x cuando σx es positivo y en la dirección negativa cuando σx es negativo. Como el elemento dA está ubicado arriba del eje neutro, un esfuerzo positivo σx que actúa sobre ese elemento produce un elemento de momento igual a σx ydA. Este elemento de momento actúa en sentido opuesto al momento flexionante positivo M que se muestra en la figura 5.9a. Por tanto, el momento elemental es

La integral de todos estos momentos elementales sobre toda el área de la sección transversal A debe ser igual al momento flexionante:

o, al sustituir σx en la ecuación (5.7),

Esta ecuación relaciona la curvatura de la viga con el momento flexionante M. En virtud de que la integral en la ecuación anterior es una propiedad del área de la sección transversal, es conveniente reescribir la ecuación como sigue: en donde

Esta integral es el momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje z (es decir, con respecto al eje neutro). Los momentos de inercia siempre son positivos y tienen dimensiones de longitud a la cuarta potencia; por ejemplo, las unidades inglesas comunes son in4 y las unidades SI ordinarias son mm4 cuando se realizan cálculos de vigas. Ahora se puede reacomodar la ecuación (5.10) para expresar la curvatura en términos del momento flexionante en la viga:

Conocida como la ecuación momento-curvatura, la ecuación (5.12) muestra que la curvatura es directamente proporcional al momento flexionante M e inversamente proporcional a la cantidad EI, que se denomina rigidez a la flexión de la viga. La rigidez a la flexión es una medida de la resistencia de una viga a la flexión, es decir, entre mayor sea la rigidez, menor será la curvatura para un momento flexionante dado. Al comparar la convención de signos para momentos flexionantes con la de la curvatura (figura 5.6), observamos que un momento flexionante positivo produce una curvatura positiva y un momento flexionante negativo produce una curvatura negativa (consulte la figura 5.10).

Fórmula de la flexión Ahora que hemos ubicado el eje neutro y deducido la relación momento-curvatura podemos determinar los esfuerzos en términos del momento flexionante. Al sustituir la expresión para la curvatura (ecuación 5.12) en la expresión para el esfuerzo σx (ecuación 5.7), obtenemos

Esta ecuación, llamada fórmula de la flexión, indica que los esfuerzos son directamente proporcionales al momento flexionante M e inversamente proporcionales al momento de inercia I de la sección transversal. Además, los esfuerzos varían linealmente con la distancia y desde el eje neutro, como se señaló antes. Los esfuerzos calculados con la fórmula de la flexión se denominan esfuerzos de flexión o esfuerzos flexionales. Si el momento flexionante en la viga es positivo, los esfuerzos de flexión serán positivos (tensión) sobre la parte de la sección transversal donde y es negativa, es decir, sobre la parte inferior de la viga. Los esfuerzos en la parte superior de la viga serán negativos (compresión). Si el momento flexionante es negativo, los esfuerzos se invertirán. Estas relaciones se muestran en la figura 5.11.

Hipótesis cinemática o hipótesis de Navier-Bernoulli Para los fines presentes, considere una viga horizontal prosmáticacuya sección transversal tenga un eje vertical de simetría; vea la figura 8-1 (a). una línea horizontal que pasa por los centroides de las secciones transversales será considerada como el eje de la viga. A convitnuación, considere un elemento típico de la viga entre dos planos perpendiculares al eje de la viga. En una vista lateral, tal elemento es identificado en la figura por la proción abcd. Cuando la viga es sometida a momentos iguales M Z actuando alrededor del eje z, figura 8-1 (b), esta viga se flexiona en el plano de simetría y los planos inicialmente perpendiculares al eje de la viga se inclinan ligeramente. Sin embargo, las líneas ad y bc al convertirse en a´d´ y b´c´, permanecen recas. Esta observacón forma la base de la hipótesis fundamelta de la teoría de la flexión. Puede enunciarse de la siguiente manera: Las secciones planas normales al eje de una viga permanecen planas después de que ésta es sometida a flexión. Como se demuestra en textos sobre la teoría de la elasticidad, esta hipótesis es completamente verdadera para miembros rectangulares elásticos en flexión pura. Si se tiene también fuerzas cortantes, se introduce un pequeño error. Sin embargo, prácticamente esta hipótesis es en general aplicable con un alto grado de exactitud si el material se comporta elástica o plásticamente, siempre que el peralte de la viga sea pequeño en relación al claro. En este capítulo, el análisis de esfuerzos en todas las vigas se basa en esta hipótesis.

Aplicaciones de la fórmula de la flexión elástica El esfuerzo máximo en una sección de una viga está dado por la ecuación

y en la mayor parte de los problemas prácticos, es este esfuerzo máximo el que tiene que ser determinado. Por tanto, es conveniente hacer este proceso de determinar σmax tan sencillo como sea posible esto puede lograrse notando que I y c son constantes para una sección dada de una viga. Por consiguiente, I/c es una constante. Además, como esta razón es sólo función de las dimensiones transversales de una viga, ella puede determinarse en forma única para cualquier área transversal. Esta razón se llama módulo de sección elástica y se designa con la letra S. Con esta notación, la ecuación toma la forma

o expresado deotra manera,

vale la pena repetir que la distancia c se mid desde el eje neutro hasta la fibra más reomta de la viga. Esto hace I/c = S un mínimo y consecuentemente M/S da el esfuerzo máximo. Las secciones eficientes para resistir flexión elástica tiene una S tan grande como es posible para una cantidad dad de material. Esto se logra situando material como es posible lejos del eje neutro. El uso del módulo de sección elástico en la ecuación 8-21 corresponde de alguna manera al uso del término del parea A en la ecuación 1-5, σ = P/A. Sin embargo, sólo el esfuerzo máximo de flexión sobre una sección se obtiene con la ecuación 8-21, mientras que el esfuerzo calculado con la ecuación 1-5 es para cualquier punto sobre la sección del miembro. La ecuación 8-21 es ampliamente usada en la práctica debido a susimplicidad. Para facilitar su uso, en los manuales se tabulan los módulos de sección de varias secciones transversales de perfiles comerciales. La ecuación 8-21 es particularmente conveniente para el diseño de vigas. Una vez que se ha determinado el momento flexionante máximo en una viga y se ha escogido un esfuerzo permisible, el módulo de sección puede despejarse de la ecuación 8-21. esta información es suficiente para seleccionar una viga. Sin embargo, una consideración detallada del diseño de una viga será demorada. Esto es necesario ya que una fuerza cortante, que también genera esfuerzos, usualmente también actúa en la sección de una viga. La interaccón de los diversos tipos de esfuerzos debe ser considerada primero para tener una mejor idea del problema.