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Introducci´ on Marco Te´ orico Ejemplo Ilustrativo usando STRAN Resultados y Conclusiones

An´alisis de Vigas Mediante el M´etodo de la Rigidez Utilizando Matlab Ing. Miguel Ra´ ul Guzm´ an Prado Universidad Nacional de Ingenier´ıa Escuela de Posgrado de la Facultad de Ingenier´ıa Civil Maestr´ıa en Ingenier´ıa Civil con menci´ on en Ingenier´ıa Estructural

Exposici´ on de Trabajo del curso An´ alisis Avanzado de Estructuras. http://miguelraul123456.wix.com/stran

Ing. Miguel Ra´ ul Guzm´ an Prado

An´ alisis de Vigas Mediante el M´ etodo . . .

Introducci´ on Marco Te´ orico Ejemplo Ilustrativo usando STRAN Resultados y Conclusiones

Contenido

1

Introducci´ on Descripci´ on de MATLAB

2

Marco Te´ orico Teor´ıa Para Implementaci´ on del programa STRAN

3

Ejemplo Ilustrativo usando STRAN Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

4

Resultados y Conclusiones Resultados Conclusiones

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Descripci´ on de MATLAB

MATLAB

MATLAB The Language of Technical Computing Es una herramienta de software matem´ atico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programaci´ on propio (lenguaje M) y servicio de especie. Entre sus prestaciones b´ asicas se hallan: la manipulaci´ on de matrices, la representaci´ on de datos y funciones, la implementaci´ on de algoritmos, la creaci´ on de interfaces de usuario (GUI) y la comunicaci´ on con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware.

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Teor´ ıa Para Implementaci´ on del programa STRAN

Textos Para Implementaci´ on del programa STRAN

´ ANALISIS ESTRUCTURAL por R. C. HIBBELER Ideal para iniciar con el an´ alisis matricial y establecer la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales.

INTEGRATED MATRIX ANALYSIS OF STRUCTURES Theory and Computation by Mario Paz and William Leigh Ampliaci´ on del ensamblaje de matrices de rigidez al vector de fuerzas de la estructura en coordenadas globales.

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Teor´ ıa Para Implementaci´ on del programa STRAN

Textos Para Implementaci´ on del programa STRAN

Matrix Analysis of Structures by Aslam Kassimali Inclusi´ on de asentamientos en el an´ alisis matricial de estructuras y gran n´ umero de ejemplos ilustrativos para realizar comparaciones de resultados. ´ AL ANALISIS ´ INTRODUCCION ESTRUCTURAL CON MATRICES por Hayrettin Kardestuncer Coeficientes de empotramiento para cargas distribuidas uniformes y trapezoidales; momentos flexionantes y torsionantes; as´ı como tambi´en para fuerzas axiales y cortantes.

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Teor´ ıa Para Implementaci´ on del programa STRAN

Textos Para Implementaci´ on del programa STRAN

´ MECANICA DE MATERIALES por R. C. HIBBELER Funciones de singularidad para el tratamiento de cargas distribuidas trapezoidales y uniformes; momentos flexionantes y torsionantes; as´ı como tambi´en fuerzas puntuales y cortantes. M´etodos num´ericos para ingenieros por Steven C. Chapra y Raymond P. Canale Integraci´ on del diagrama de fuerza cortante y pendiente para la obtenci´ on del diagrama de momentos y curva el´ astica respectivamente.

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Ejemplo Ilustrativo Para la viga mostrada en la figura, usando el programa STRAN obtener: 1

las matrices de rigidez para cada elemento y la matriz de rigidez global.

2

Reacciones en los soportes y desplazamientos desconocidos.

3

Fuerzas y Momentos extremos de cada elemnto de la estructura.

4

Diagramas de Fuerza Cortante, Momento Flexionante, Pendiente de la Curva El´ astica y Curva El´ astica.

El m´ odulo de elasticidad del material es E = 23000 MPa y el momento de inercia de la secci´ on transversal para el primer y segundo tramo es 0.8 I = 0.009144 m4 , para el tercer tramo 2 I = 0.02286 m4 y para el u ´lrimo tramo es I = 0.01143 m4 .

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Discretizaci´on de la viga

Para la viga mostrada anteriormente: 1

Los n´ umeros en las flechas situadas en los nodos representan los n´ umeros de grados de libertad.

2

Los n´ umeros encerrados en un c´ırculo representan a los nodos.

3

Los n´ umeros encerrados en un cuadrado representan a los miembros.

4

Las flechas en los miembros indican la orientaci´ on del elemento respecto a sus ejes locales.

5

El origen de coordenadas se considera en el extremo izquierdo.

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Ventana de Inicio del programa STRAN para vigas

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Selecci´on de unidades de trabajo

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Pesta˜ na de Archivo

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Pesta˜ na de Ingreso de datos

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Pesta˜ na de Salida de datos

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

N´ umeros de Grados de Libertad y Relaci´ on de Nodos

Ctrl + C Ctrl + D

# de nodo 1 2 3 4 5

# de grado de libertad en X 1 6 7 8 9

# de grado de libertad en Y 2 3 4 5 10

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# de miembro 1 2 3 4

# de nodo cercano 1 2 3 4

# de nodo lejano 2 3 4 5

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Relaci´on de Grados y Coordenadas

Ctrl + F

Ctrl + E

# de miembro 1 2 3 4

# de gdlcX 1 6 7 8

# de gdlcY 2 3 4 5

# de gdllX 6 7 8 9

# de gdllY 3 4 5 10

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# de nodo 1 2 3 4

Coordenada en X 1 2 3 4

Coordenada en Y 2 3 4 5

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Geometr´ıa de Miembros y Matriz de Cargas

Ctrl + F Ctrl + E

# de miembro 1 2 3 4

M´ odulo de Elasticidad E 23000 23000 23000 23000

Momento de Inercia I 0.009144 0.009144 0.02286 0.01143

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# de grado de libertad 1 2 3 4 5

Fuerza 0 0 0 0 0

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Matriz de desplazamientos conocidos

Ctrl + I

# de grado de libertad 6 7 8 9 10

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desplazamiento conocido 0 0 0 0 0

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Conenci´on de signos para cargas y momentos (↓ −) ( +)

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Cargas en los elementos Ctrl + J

Cargas Puntuales Concentradas # de miembro L1 L2 W 3 9 3 -15

Cargas Distribuidas Trapezoidales # de miembro L1 L2 L w1 1 0 0 2 -1.2 2 0 0 8 -5.2 3 0 6 12 -5.2 3 6 0 12 -1.2 4 0 0 9 -1.2

Momentos Concentrados # de miembro L1 L2 4 2.25 6.75

W 18

Restricciones # de nodo # de restricci´ on 1 0 2 4 3 4 4 4 5 2

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w2 -1.2 -5.2 -5.2 -1.2 -1.2

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Idealizaci´on de la Estructura (Ctrl + K)

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Estructura con Cargas de Servicio (Ctrl + L)

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Matriz de Rigidez Ctrl + M 3.1547e+05 3.1547e+05 3.1547e+05 0 0 -3.1547e+05 0 0 0 0

3.1547e+05 4.2062e+05 2.1031e+05 0 0 -3.1547e+05 0 0 0 0

3.1547e+05 2.1031e+05 5.2578e+05 5.2578e+04 0 -2.9575e+05 -1.9717e+04 0 0 0

Matriz de Rigidez 0 0 0 0 5.2578e+04 0 280416 87630 87630 292100 1.9717e+04 0 2.1908e+03 2.1908e+04 -2.1908e+04 -2.4342e+03 0 -1.9473e+04 0 58420

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de la Estructura -3.1547e+05 0 -3.1547e+05 0 -2.9575e+05 -1.9717e+04 1.9717e+04 2.1908e+03 0 2.1908e+04 3.2040e+05 -4.9292e+03 -4.9292e+03 8.5804e+03 0 -3.6513e+03 0 0 0 0

0 0 0 -2.1908e+04 -2.4342e+03 0 -3.6513e+03 7.9787e+03 -4.3274e+03 1.9473e+04

0 0 0 0 -1.9473e+04 0 0 -4.3274e+03 4.3274e+03 -1.9473e+04

0 0 0 0 58420 0 0 1.9473e+04 -1.9473e+04 116840

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Matrices de rigidez de cada elemento Ctrl + M Matriz de Rigidez del elemento 2 4.9292 19.7167 -4.9192 19.7167 19.7167 105.1560 -19.7167 52.5780 -4.9292 -19.7167 4.9192 -19.7167 19.7167 52.5780 -19.7167 105.1560

Matriz de Rigidez del elemento 3 3.6512 21.9075 -3.6512 21.9075 21.9075 175.2600 -21.9075 87.6300 -3.6512 -21.9075 3.6512 -21.9075 21.9075 87.6300 -21.9075 175.2600

Matriz de Rigidez del elemento 1 315.4680 315.4680 -315.4680 315.4680 315.4680 420.6240 -315.4680 210.3120 -315.4680 -315.4680 315.4680 -315.4680 315.4680 210.3120 -315.4680 420.6240

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Matriz de Rigidez del elemento 4 4.3274 19.4733 -4.3274 19.4733 19.4733 116.8400 -19.4733 58.4200 -4.3274 -19.4733 4.3274 -19.4733 19.4733 58.4200 -19.4733 116.8400

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Desplazamientos y Reacciones desconocidas

Ctrl + O

Ctrl + N

Nodo 1 2 3 4 5

Desplazamiento desconocido 0.3368 -0.1665 -0.1741 -0.1336 0.2112

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# de grado de libertad 6 7 8 9 10

Reacci´ on desconocida 17.1332 57.6112 34.4185 -0.9629 9.8636

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Fuerzas de extremo de los elementos (Convenci´ on de signos (↓ −) ( +))

Ctrl + P

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Fuerzas de Extermo de los elementos Ctrl + P Fuerzas de extremo del elemento 2 Fuerza Cercana 2.5535e-14 Momento Cercano 14.7332 Fuerza Lejana 26.8668 Momento lejano -50.9348

Fuerzas de extremo del elemento 3 Fuerza Cercana 30.7444 Momento Cercano 50.9348 Fuerza Lejana 22.6556 Momento lejano -29.4021

Fuerzas de extremo del elemento 1 Fuerza Cercana 2.5535e-14 Momento Cercano 2.9809e-14 Fuerza Lejana 2.4000 Momento lejano -2.4000

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Fuerzas de extremo del elemento 4 Fuerza Cercana 11.7629 Momento Cercano 29.4021 Fuerza Lejana -0.9629 Momento lejano 9.8636

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Diagramas - Precisi´on y elecci´ on Ctrl + Q

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Momento Flexionante y Fuerza Cortante

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Momento Flexionante y Fuerza Cortante

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Pendiente de la Curva El´ astica y Curva El´ astica

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Pendiente de la Curva El´ astica y Curva El´ astica

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Ejemplo Ilustrativo Discretizaci´ on de la viga Utilizaci´ on de STRAN para vigas

Momento Flexionante,Fuerza Cortante, Pendiente y Curva El´astica

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Resultados Conclusiones

Resultados

Se lleg´ o a trzar los diagramas de fuerzas cortantes, momentos flexionantes, pendiente de la curva el´ astica y curva el´ astica, para los cual se tuvo un planteamiento y realizaci´ on basado completamente en matrices. La comparaci´ on de resultados se llevo a cabo en base a un gran n´ umero de ejemplos ilustrativos que se encuentran en libros de An´ alisis Matricial de Estructuras obteni´endose en todos los casos resultados iguales. El An´ alisis Estructural de los ejemplos ilustrativos fue realizado con el SAP2000 obteni´endose resultados igual de precisos en todos los casos.

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Resultados Conclusiones

Conclusiones

Inclusi´ on del efecto de corte es posible pero para fines netamente acad´emicos se considera al programa STRAN como un gran aporte en el aprendizaje y desarrollo del an´ alisis estructural matricial. En base a inumerables sesiones de aprendizaje y desarrollo de aplicaciones en Matlab, el autor considera que Matlab es adecuado para la realizaci´ on de an´ alisis num´erico y visualizaci´ on gr´ afica en Ingenier´ıa Estructural.

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