VIGAS-EJEMPLOS

Estructuras Metálicas Vigas (EJEMPLOS)

ÍNDICE Página

RESISTENCIA DE DISEÑO EJEMPLO 1 EJEMPLO 2 EJEMPLO 3 (Cálculo de Cb) EJEMPLO 4 EJEMPLO 5 EJEMPLO 6

3 4 5 6 8 10

RESISTENCIA POR CORTANTE EJEMPLO 7 EJEMPLO 8

13 14

DEFLEXIÓN EJEMPLO 9

15

DISEÑO EJEMPLO 10 EJEMPLO 11

16 18

AGUJEROS EN VIGAS EJEMPLO 12

20

DETERMINACIÓN DE CARGA MÁXIMA EJEMPLO 13

22

ANÁLISIS PLÁSTICO EJEMPLO 14

24

2

EJEMPLO 1 Un miembro en flexión está hecho con dos placas de patín de

1

2

× 7 1 2 in y una placa de

alma de 3 8 ×17 . El esfuerzo de fluencia del acero es de 50 ksi. a. Calcule el momento plástico Mp y el módulo de sección plástico Z con respecto al eje mayor principal. b. Calcule el momento de fluencia My y el módulo de sección elástico S con respecto al eje mayor principal. c. ¿Se clasificaría este perfil como viga o como trabe armada de acuerdo con las Especificaciones del AISC?

a. Localización del centroide

y=

∑ Ay = 46.36 = 6.682 in ∑ A 6.938

C = T = AFy = 6.938(50) = 346.9 kips M p = C × 2 y = 346.9(2 × 6.682) = 4636 in-kips = 386 ft-kips Z=

Mp Fy

=

4636 = 92.7 in3 50

M p = 386 ft-kips, Z = 92.7 in 3

b.

⎡1 ⎤ 1 I = ∑ I + Ad 2 = 2 ⎢ (7.5)(0.5)3 + 3.75(8.5 + 1 4 ) 2 ⎥ + ( 3 8 )(17)3 = 727.9 in 4 ⎣12 ⎦ 12 S=

I 727.9 = = 80.88 in 3 1 c (8.5 + 2)

M y = SFy = 80.88(50) = 4044 in-kips = 337 ft-kips

c.

h 17 = = 45.3, tw 38 45.3 < 137 ∴

M y = 337 ft-kips, S = 80.9 in 3

970 970 = = 137 Fy 50 el perfil es una viga

3

EJEMPLO 2 La viga mostrada es un perfil W16 x 31 de acero A36. Ella soporta una losa para piso de concreto reforzado que proporciona soporte lateral continuo al patín de compresión. La carga muerta de servicio es de 450 lb/ft. Esta carga está sobrepuesta a la viga; no incluye el peso propio de la viga. La carga viva de servicio es de 550 lb/ft. ¿Tiene esta viga resistencia adecuada por momento?

La carga muerta por servicio total, incluido el peso propio es

wd = 450 + 31 = 481 lb/ft Para una viga simplemente apoyada y con carga uniforme, el momento flexionante máximo se presenta a la mitad del claro y es igual a

M máx =

1 2 wL 8

Entonces,

wu = 1.2wD + 1.6wL = 1.2(0.431) + 1.6(0.550) = 1.457 kips/ft 1 1.457(30) 2 2 M u = wu L = = 164 ft-kips 8 8 Revisión de la compactidad:

bf 2t f

= 6.3 ,

10.8 > 6.3 h = 51.6 , tw 106.7 > 51.6

65 65 = = 10.8 Fy 36 ∴

el patín es compacto

640 640 = = 106.7 Fy 36 ∴

el patín es compacto

∴ un perfil W16 × 31 es compacto en acero A36 Como la viga es compacta y está soportada lateralmente,

M n = M p = Fy Z x = 36(54) = 1944 in-kips = 162.0 ft-kips Revisión de M p ≤ 1.5M y Zx 54 = = 1.14 < 1.5 ( satisfactorio ) S x 47.2

φb M n = 0.90(162) = 146 ft-kips < 164 ft-kips (no es satisfactorio)

4

EJEMPLO 3

Determine Cb para una viga simplemente apoyada y uniformemente cargada con soporte lateral sólo en sus extremos.

SOLUCIÓN

Debido a la simetría, el momento flexionante máximo está en el centro del claro, por lo que

1 M máx = M B = wL2 8 Debido también a la simetría, el momento en el cuarto del claro es igual al momento en los tres cuartos del claro.

wL ⎛ L ⎞ wL ⎛ L ⎞ wL2 wL2 3wL2 MA = MC = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = − = 2 ⎝ 4⎠ 4 ⎝ 8⎠ 8 32 32 12.5Mmáx Cb = 2.5Mmáx + 3MA + 4MB + 3MC =

12.5(1/8) =1.14 2.5(1/8) + 3(3/32) + 4(1/8) + 3(3/32)

5

EJEMPLO 4 Una viga de 25 ft de longitud está articulada en su extremo derecho y soportada por un rodillo en un punto a 5 ft de su extremo izquierdo, como se muestra en la figura. Ella tiene soporte lateral continuo. La viga está sometida a una carga uniforme en toda su longitud y consiste en una carga muerta de servicio de 0.5 kip/ft ( incluye el peso de la viga) y en una carga viva de servicio de 1.5 kips/ft ¿Es adecuada una sección W16 X 31 de acero A36?

Momento y Carga Factorada

wu = 1.2 wD + 1.6 wL = 1.2(0.5) + 1.6(1.5) = 3 kips/ft

Momento máximo negativo

M u = − 3(5)(5 / 2) = − 37.5 ft-kips Máximo momento positivo ocurre cuando el cortante es cero:

Mu = 46.88(10.63) − 3(5 + 10.63)2 / 2 = 132 ft-kips (satisfactorio)

6

Resistencia de Diseño:

bf 2t f

= 6.3 <

65 , 36

h 640 < tw 36

∴

el perfil es compacto

M n = M p = Fy Z = 36(54.0) = 1944 in-kips ( El chequeo para Fy Z ≤ 1.5 M y = 1.5 Fy S no es necesario para perfiles I ó H flexionados en el eje fuerte ).

φb M n = 0.9(1944) = 1750 in-kips = 146 ft-kips Como

M u < φb M n (132 ft-kips < 146 ft-kips),

la viga es adecuada

7

EJEMPLO 5 Determine la resistencia de diseño para un perfil W14x 68 de acero A242 con a) Soporte lateral continuo. b) Longitud no soportada = 20 ft; Cb = 1.0 c) Longitud no soportada = 20 ft; Cb = 1.75

SOLUCIÓN a. De la Parte 1 del Manual, un perfil W14 x 68 está en el grupo de 2 perfiles y se tiene, por lo tanto, disponible con un esfuerzo de fluencia Fy de 50 ksi. Determine si el perfil es compacto, no compacto o esbelto:

bf 65 = 7.0 < 2t f 50 Este perfil es compacto, por lo que M n = M p = Fy Z = 50(115) = 5750 in - kips = 479.2 ft - kips

φb M n = 0.9(479.2) = 431 ft - kips

RESPUESTA b.

Lb = 20 ft y Cb = 1.0. Calcule Lp y Lr

De las tablas de propiedades de torsión en la Parte 1 del Manual.

J = 3.02 in4 y

Cw = 5380in6

Aunque X1 y X2 están tabuladas en las tablas de dimensiones y propiedades en la Parte 1 del Manual, las calculamos aquí como ilustración:

X1 =

π Sx

EGJA π 29000(11200)(3.02)(20) = = 3021 ksi 2 103 2 2

2

C ⎛S ⎞ 103 ⎛ 5380 ⎞ ⎡ ⎤ = 0.001649(ksi )-2 X2 = 4 w ⎜ X ⎟ = 4⎜ ⎟⎢ ⎥ I y ⎝ GJ ⎠ ⎝ 121 ⎠ ⎣11200 × 3.02 ⎦ Lr = =

ry X 1 ( Fy − Fr )

1 + 1 + X 2 ( Fy − Fr ) 2

2.46(3021) 1 + 1 + 0.001649(50 -10) 2 = 316.8in = 26.40 ft (50 -10)

8

Como L p Lr por lo que falla es por PLT elástico. De la Parte 1 del Manual,

I y = 362 in 4 . J = 4.06 in 4 . Cw = 16000 in 6 . Para una viga cargada uniformemente, simplemente apoyada con soporte lateral en los extremos,

Cb=1.14 La Ecuación F1-13 del AISC da

M n = Cb

π Lb

2

⎛πE ⎞ EI y GJ + ⎜ ⎟ I y Cw ≤ M p ⎝ Lb ⎠

2 ⎡ π ⎤ π x 29000 ⎞ ⎛ ⎥ = 1.14 ⎢ 29000(362)(11200)(4.06) + ⎜ (362)(16000) ⎟ 40 x 12 ⎠ ⎢ 40(12) ⎥ ⎝ ⎣ ⎦ = 1.14(5421) = 6180 in - kips = 515.0 ft - kips

M n = 654.2 ft - kips > 515.0 ft - kips ( satisfactorio) Como 515.0 < 640.5, el PLT gobierna, y

φb M n = 0.90(515.0) = 464 ft-kips > Mu = 416 ft-kips (satisfactorio) RESPUESTA

Como M u < φb M n , la viga tiene resistencia por momento adecuada.

11

La identificación de los perfiles no compactos es facilitada por la Tabla de Selección para Diseño por Factor de Carga. Los mismos también pueden ser tratados diferentemente de las siguientes maneras. 1. Para perfiles no compactados, los valores tabulados de φ b M p son en realidad

valores de la resistencia de diseño basada en el pandeo local del patín. 2. El valor tabulado de Lp es el valor de la longitud no soportada para la cual la resistencia nominal basada en el pandeo local del patín; es decir, la longitud máxima no soportada para la cual la resistencia nominal puede tomarse como la resistencia basada en el pandeo local del alma.

⎛ L − Lp M n = M p - (M p - M r ) ⎜ b ⎜L −L p ⎝ r

⎞ ⎟⎟ ⎠

El valor de Lp debe calcularse. Lp =

300ry Fy

=

300(3.70) = 157.0 in = 13.08 ft 50

Volviendo a esta ecuación ⎛ L − 13.08 ⎞ 640.5 = 654.2 - (654.2 - 476.7) ⎜ b ⎟ ⎝ 38.4 − 13.08 ⎠ Lb = 15.0 ft

Este es el valor tabulado como Lp para una W14 x 90 con Fy = 50ksi. Note que

Lp =

3 0 0 ry Fy

Aún podría usarse para perfiles no compactados. Si al hacerlo así resulta la ecuación para el PLT inelástico usándose cuando Lb no era realmente suficientemente grande, la resistencia basada en el PLP de todas maneras gobernaría.

12

EJEMPLO 7

Revise por cortante la viga del ejemplo 6 SOLUCIÓN wu = 2.080 kips / ft y L = 40 ft . Se usa un perfil W 14 x 90 con Fy=50ksi.

Para una viga simplemente apoyada, cargada uniformemente, la fuerza cortante máxima ocurre en el soporte y es igual a la reacción.

Vu =

wu L 2.080(40) = = 41.6 kips 2 2

De las tablas de dimensiones y propiedades en la Parte 1 del Manuel, la razón anchoespesor del alma para un perfil W 14 x 90 es

h / tw = 25.9 418/ Fy = Como es menor que 418 / corte del alma:

418 = 59.11 50

Fy , la resistencia es gobernada por fluencia a

Vn = 0.6 Fy Aw = 0.6 Fy ( dtw) = 0.6(50)(14.02)(0.440) = 185.1 kips

φvVn = 0.90(185.1) = 167kips > 41.6 (satisfactorio)

RESPUESTA

La resistencia cortante de diseño es mayor que la carga cortante factorizada, por lo que la viga es satisfactoria.

13

EJEMPLO 8 Determine la reacción máxima por carga factorizada, con base en el bloque de cortante, que puede ser tomada por la viga mostrada en la figura.

SOLUCIÓN El diámetro efectivo de agujero es

3

4

+ 1 8 = 7 8 in . Las áreas total y neta por cortante son

A gv = (2 + 3 + 3 + 3)tw = 11(0.3) = 3.3 in 2 7⎤ ⎡ A nv = ⎢11 − 3.5 × ⎥ (0.3) = 2.381 in 2 . 8⎦ ⎣ Las áreas total y neta por tensión son

Agt = 1.25tw = 1.25(0.3) = 0.3750 in2 . 7⎞ ⎛ Ant = ⎜1.25 − 0.5 × ⎟ (0.3) = 0.2438 in 2 . 8⎠ ⎝ La Ecuación J4-3a del AISC da φ Rn = φ ⎡⎣0.6 Fy Agv + Fu Ant ⎤⎦ = 0.75 [ 0.6(36)(3.3) + 58(0.2438)]

= 0.757 [ 71.28 + 14.14] = 64.1 kips

La Ecuación J4-3b del AISC da

φ Rn = φ ⎡⎣0.6 Fu Anv + Fy Agt ⎤⎦ = 0.75 [ 0.6(58)(2.381) + 36(0.3750) ] = 0.75 [82.26 + 13.50] = 72.3 kips

El término de fractura en la Ecuación J4-3b del AISC es el mayor (es decir, 82.86 >14.14), por lo que esta ecuación gobierna. RESPUESTA La reacción máxima por carga factorizada basada en el bloque de cortante = 72.3 kips.

14

EJEMPLO 9 Revise la deflexión de la viga mostrada en la figura. La deflexión total permisible máxima es L/240

SOLUCIÓN

Deflexión permisible máxima =

L 30(12) = = 1.50in 240 240

Carga total de servicio = 500 + 550 = 1050 lb/ft = 1.050 kips/ft Es más conveniente expresar la deflexión en pulgadas que en pies, como lo haremos en la siguiente ecuación:

Deflexión total máxima =

5 wL4 5 (1.050 /12)(30 x12) 4 = 384 EI 384 29000(510)

= 1.294 in < 1.50 in. (satisfactorio)

RESPUESTA

La viga satisface el criterio de deflexión

15

EJEMPLO 10 Seleccione un perfil estándar rolado en caliente de acero A36 para la viga mostrada en la figura. La viga tiene soporte lateral continuo y debe soportar una carga viva uniforme de servicio de 5 kips/ft. La deflexión máxima permisible por carga viva es L/360.

SOLUCIÓN Suponga un peso de la viga de 100lb/ft. Entonces, wu = 1.2wD + 1.6wL = 1.2(1.0) + 1.6(5.0) = 8.120 kips / ft 1 8.120(30) 2 2 M u = wu L = 8 8 = 913.5 ft − kips = φb M n requerido Suponga que el perfil es compacto. Para un perfil compacto y soporte lateral continuo,

M n = M p = Z x Fy De φb M n ≥ M u

φb Z x Fy ≥ M u Zx ≥

M u 913.5(12) = = 338.3 in3 . φb Fy 0.90(36)

La tabla de Selección para Diseño por Factor de Carga muestra los perfiles rolados normalmente usados como vigas en orden de módulo de sección plástico decreciente. En el caso presente, el perfil que más se acerca al módulo de sección requerido es un W27 x 114, con Zx = 343 in3, pero el perfil más ligero es un W30 x 108, con Zx = 346 in3. Ensaye un W30 x 108. Este perfil es compacto, como se supuso (los perfiles no compactos están marcados como tales en la tabla); por lo tanto, Mn = Mp,como se supuso. wu = 1.2(0.108) + 1.6(5.0) = 8.130 kips / ft Mu =

8.120(30) 2 = 914.6 ft − kips 8

16

De la Tabla de Selección para Diseño por Factor de Carga,

φb M p = φb M n = 934 ft-kips > 914.6 ft-kips (satisfactorio) En vez de basar la búsqueda en el módulo de sección requerido, la resistencia de diseño φb M p podría usarse porque ella es directamente proporcional a Zx y está tabulada.

Vu =

wu L 8.130(30) = = 122 kips 2 2

Tablas de Cargas uniformes factorizadas

φvVn = 316 kips > 122 kips (satisfactorio) La deflexión máxima permisible por carga viva es L/360 = 30(12)/360 = 1in. ∆=

5 wL L4 5 (5.0 /12)(30 × 12) 4 = = 0.703 in < 1 in (satisfactoria) 384 EI x 384 29000(4470)

RESPUESTA Use perfil W30 x 108

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EJEMPLO 11

La viga mostrada en la figura debe soportar dos cargas vivas concentradas de 20 kips cada una en los cuartos del claro. La deflexión máxima no debe exceder de L/240.Se proporciona soporte lateral en los extremos de la viga. Considere acero A572 grado 50 y seleccione un perfil laminado.

SOLUCIÓN

Si el peso de la viga se desprecia, la mitad central de la viga está sometida a un momento uniforme, y M A = M B = M C = M máx

∴

Cb =1.0

Aún incluyéndose el peso, éste será despreciable en comparación con las cargas concentradas y Cb puede tomarse igual a 1.0, pudiéndose así usar las cartas sin modificación. M u = 6(1.6 x 20) = 192 ft - kips De las cartas con Lb= 24 ft, ensaye un W 12 x 53

φb M n = 219 ft - kips > 192 ft - kips (satisfactorio) Ahora tomamos en cuenta el peso de la viga:

Mu = 192 +

1 (1.2 x 0.053)(24)2 = 197 ft - kips < 219 ft - kips (satisfactorio) 8

La fuerza cortante es

Vu =1.6(20)+

1.2(0.053)(24) = 32.8ft-kips 2 18

De las tablas de carga uniforme factorizada,

φ v V n = 112 kips> 32.8 kips (satisfactorio) La deflexión máxima permisible es L 24(12) = = 1.200in 240 240

De la sección de Diagramas y Fórmulas para Vigas en la Parte 4 del Manual, la deflexión máxima (en el centro del claro) para dos cargas iguales y simétricas situadas es

∆=

Pa (3L2 − 4a 2 ) 24EI

Donde P = magnitud de la carga concentrada a = distancia del soporte a la carga L = longitud del claro ∆=

20(6 x 12) 13.69 x 106 ⎡⎣(3(24) 2 -122 ) - 4(6 x 12) ⎤⎦ = 24 EI EI

Para el peso uniforme de la viga, la deflexión máxima está también en el centro del claro por lo que

5 wL4 5 (0.053/12)(24 x 12)4 0.04 x 106 ∆ = = = 384 EI 384 EI EI Ambas deflexiones ocurren en el mismo lugar, por lo que pueden sumarse: Total ∆ =

(13.69 + 0.04 ) x 106

EI 13.73 x 10 6 = =1.114in < 1.200in (satisfactoria) 29000(425) RESPUESTA: Use un perfil W12 x 53

19

EJEMPLO 12

Calcule el módulo de sección elástico reducido Sx para el perfil mostrado en la figura. Considere acero A36 y agujeros para tornillos de 1 in de diámetro.

SOLUCIÓN

A fg = b f t f = 7.635(0.810) = 6.184 in 2 . El diámetro efectivo de agujeros es

1 1 d h = 1 + = 1 in. 8 8 Y el área neta del patín es

Afn = Afg -

∑d t

h f

= 6.184 − 2(1.125)(0.810) = 4.362 in2 .

De la ecuación B10-1 del AISC

0.75Fu Afn = 0.75(58)(4.362) = 189.7 kips

y

0.9 Fy Afg = 0.9(36)(6.184) = 200.4 kips Como 0.75 Fu A f n < 0.9 Fy A fg , debemos tomar en cuenta los agujeros. Usando la Ecuación B10-3 del AISC se obtiene un área efectiva de patín de A fe =

5 Fu 5 ⎛ 58 ⎞ A fn = ⎜ ⎟ (4.362) = 5.856in 2 . 6 Fy 6 ⎝ 36 ⎠

Esta área de patín corresponde a una reducción de 6.184 – 5.856 = 0.328 in2. El eje neutro elástico se localiza a una distancia desde la parte superior de y=

20.8(18.47 / 2) − 0.328(18.47 − 0.405) = 9.094 in. 20.8 − 0.328 20

El momento de inercia reducido es

I x = 1170 + 20.8(9.094 − 9.235)2 − 0.328(9.094 − 18.06)2 = 1144 in4 . El Sx referido a la fibra superior es

Sx =

I x 1144 = = 126 in3 . y 9.094

El Sx referido a la fibra inferior es

Sx =

Ix 1144 = = 122 in 3 d − y 18.47 − 9.094

RESPUESTA

El módulo de sección elástico reducido referido a la parte superior es de 126 in3 y referido a la parte inferior es de 122 in3.

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EJEMPLO 13 Un perfil W30 x 99 de acero A36 está sometido a la carga mostrada en la figura. Se tiene soporte lateral continuo. Las cartas concentradas P son cargas vivas de servicio y w = P/10 es una carga muerta de servicio. Determine los valores máximos de P y w que se puedes soportar.

Carga de momento factorado: Asuma que el momento máximo ocurre en el mitad del claro, luego verifique revise después que la carga a sido determinada.

Usando superposición 1 1.6 P (36) M u = (0.12 P + 0.1188)(36) 2 + + 1.6 P (24 / 36)(18) -1.6 P (9) 8 4 = 41.04 P + 19.25 Resistencia de Diseño: bf 65 h 640 = 7.8 < , = 5.19 < el perfil es compacta. 2t f tw 36 36 M n = M p = Fy Z = 36(312) = 11230 in-kips (Revisar para Fy Z ≤ 1.5M y =1.5FyS no es necesario para perfiles I o H en el eje fuerte.)

φb M n = 0.9(11230) = 10110 in-kips = 842.4 ft-kips Como M u = φb M n 41.04P+19.25 = 842.4 ⇒ P = 20.06 kips w = P/10 = 20.06/10 = 2.006 kips/ft

22

Revisar la asunción de la locación del momento máximo. Cargas Factoradas Wu = 1.2wD = 1.2( P /10 + 0.099) = 1.2(20.06 /10 + 0.099) = 2.526 kips / ft Pu = 1.6 PL = 1.6(20.06) = 32.09 kips

Cálculo de la reacción izquierda R=

2.526(36) 32.09 ⎛ 27 ⎞ + + 32.09 ⎜ ⎟ = 85.58 kips 2 2 ⎝ 36 ⎠

Diagrama de Cortante

Como la gráfica de cortante pasa por cero en la mitad de la viga, el momento máximo es en la mitad del claro como se asumió. P = 20.1 kips, w = 2.01 kips/ft

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EJEMPLO 14 La viga mostrada en la figura está hecha con un perfil W36 x 182. Ella está soportada lateralmente en A y B. La carga de 300 kips es una carga viva de servicio. a) Calcule Cb. No incluye el peso de la viga en la carga. b) Calcule Cb. Incluya el peso de la viga en la carga.

M A = 240(5) = 1200 ft - kips = M C , Cb = =

M B = M máx = 240(10) = 2400 ft - kips

12.5M máx 2.5M máx + 3M A + 4 M B + 3M C 12.5(2400) = 1.32 2.5(2400) + 3(1200) + 4(2400) + 3(1200) Cb = 1.32

M A = 242.5(5) - 0.2182 8(5) 2 / 2 = 1208 ft - kips = M C M B = M máx = 242.2(10) - 0.2182(10) 2 / 2 = 2411 ft - kips Cb = =

12.5M máx 2.5M máx + 3M A + 4 M B + 3M C 12.5(2400) = 1.31 2.5(2411) + 3(1208) + 4(2411) + 3(1208) Cb = 1.31 24