Viga en Voladizo Resistente y Rígida

DESCRIPCIÓN BREVE Este trabajo presenta el procedimiento para la selección de materiales según el índice de desempeño mediante el cruce de información de varios gráficos e índices.

ÍNDICES DE EFICIENCIA Viga en voladizo

Ing. Giovanni Suntaxi; Ing. Juan Carlos Rodríguez; Ing. Boris Muñoz Procesos de Manufactura

Viga en voladizo resistente y rígida Índices de eficiencia de materiales de vigas con diferentes restricciones Como primer punto se comenzará realizando un cuadro con los la función, las restricciones y el objetivo que se debe alcanzar Función

Viga en voladizo con carga final Resistir carga F Soportar la deflexión elástica δ Restricciones Longitud especificada “L” Geométricas Ancho especificado “b” Carga al final de la viga especificada “F” Objetivo Minimizar la masa “m” Variables libres Espesor “t” Material libre

1. Determinar los índices de eficiencia La sección de la viga no es variable unitaria, esta depende del ancho y el espesor como se muestra en la figura. 𝑚 = 𝜌𝑉 ; 𝑉 = 𝐿𝑏𝑡 𝑚 =𝜌∗𝐿∗𝑏∗𝑡

𝐸𝑐. (1)

1.1 Índice de eficiencia con resistencia 𝜎=

𝑀𝑐 𝐼

𝑡 𝑏𝑡 3 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∶ (𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎) 𝑐 = ; (𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)𝑀 = 𝐹𝐿; (𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎)𝐼 = 2 12 𝜎=

𝜎=

12𝐹𝐿𝑡 2𝑏𝑡 3

6𝐿𝑡 6𝐹𝐿 →𝑡=√ 2 𝑏𝑡 𝜎𝑏

𝐸𝑐. (2)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 2 𝑒𝑛 1 6𝐹𝐿 𝑚 = 𝜌𝐿𝑏√ 𝜎𝑏 1 1 𝜌 𝑚 = (6𝐿3 𝑏)2 𝐹 2 ( 1 ) 𝑆𝑦2

𝐸𝑐. (3)

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟:

1

𝑆𝑦2 𝜌

=𝐶

1

𝑆𝑦2 = 𝜌𝐶 1 log 𝑆𝑦 = log 𝜌 log 𝐶 2 log 𝑆𝑦 = 2 log 𝜌 log 𝐶 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 2

1.2 Índice de eficiencia con deflexión 𝛿=

𝐹𝐿3 3𝐸𝐼

𝑐𝑜𝑛 𝐼 =

𝑏𝑡 3 12

4𝐹𝐿3 𝛿= 𝐸𝑐. (4) 𝐸𝑏𝑡 3 3

⇒𝑡= √

4𝐹𝐿3 𝐸𝑏𝛿

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 4 𝑒𝑛 1 3 4𝐹𝐿3 𝑚 = 𝜌𝐿𝑏 √ 𝐸𝑏𝛿

𝑚=

2 1 𝐿2 𝑏 3 𝜌 (4𝐹)3 ( 1 ) ( 1 ) 𝛿3 𝐸3

𝐸𝑐. (5)

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟: 1

𝐸3 ( )=𝐶 𝜌 1

𝐸 3 = 𝜌𝐶 1 𝐿𝑜𝑔(𝐸) = 𝐿𝑜𝑔(𝜌) ∗ 𝐿𝑜𝑔(𝐶) 3 𝐿𝑜𝑔(𝐸) = 3 ∗ 𝐿𝑜𝑔(𝜌) ∗ 𝐿𝑜𝑔(𝐶) 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 3 Con estos valores de pendientes se puede determinar el grafico para los materiales en el CES selector. El gráfico para la resistencia tiene como variables en el eje X a la densidad y en eje Y la resistencia a la tracción. Y el universo de materiales según el software es el siguiente:

10000

Tensile strength (MPa)

1000

100

10

1

0.1

0.01

0.001 10

100

1000

Density (kg/m^3)

10000

Figura 1 Universo de materiales para la índice de resistencia

El gráfico para la deformación tiene como variables en el eje X a la densidad y en eje Y la módulo de Young. Y el universo de materiales según el software es el siguiente:

1000

100

Young's modulus (GPa)

10

1

0.1

0.01

0.001

1e-4

1e-5

10

100

1000

Density (kg/m^3)

10000

Además en los gráficos anteriores se puede apreciar que ya están colocadas las líneas de pendiente para la selección del material.

2. Determinar los índices de eficiencia con los valores especificados Para determinar los valores específicos para cada una de las ecuaciones, se reemplaza los valores establecidos y se obtiene las ecuaciones 6 y 7

Longitud L= Ancho b= Carga F= deflexión δ=

2,5 0,4 400 0,4

m m kgf m

3920 N

Reemplazando los valores en la ecuación 3 obtenemos (con un valor de 9.8N=1Kgf) 𝜌 𝑚 = 383.41 ( 1 ) 𝐸𝑐. (6) 𝑆𝑦2 Y de la ecuación 5 se obtiene: 𝜌 𝑚 = 115.26 ( 1 ) 𝐸𝑐. (7) 𝐸3 Determine materiales candidatos independientemente según cada índice Si la masa debe estar entre 50 y 100 Kg qué materiales son elegibles según cada índice independiente.

3. Determinar Sy y E respectivamente en función de la densidad ρ m1= 50 Kg m2= 100 Kg Por lo tanto si se reemplaza estos valores en las ecuaciones 6 y 7 se obtiene: 𝜌 50 = 383.41 ( 1 ) 𝑆𝑦2

100 = 383.41 (

𝜌

1) 𝑆𝑦2

𝜌 50 = 115.26 ( 1 ) 𝐸3 𝜌 100 = 115.26 ( 1 ) 𝐸3

Resistencia m1= 50 Kg 𝑆𝑦 = 58.8𝜌2 m2= 100 Kg 𝑆𝑦 = 14.7𝜌2 Ahora para una ρ=1000 Kg/m3 tenemos:

Deformación 𝐸 = 12.25𝜌3 𝐸 = 1.53𝜌3

Resistencia Sy=58,8ρ2 Sy=14,7ρ2 densidad

1000 Kg/m3

58800000 58,8

Deformación E=12,25ρ3 E=1,53ρ3

14700000 12250000000 1531250000 [Pa] 14,7 12250 1531,25 [MPa]

Los gráficos obtenidos en el CES se muestran a continuación: Con densidad=1000 kg/m3 y Sy=58.8 MPa 10000

Tensile strength (MPa)

1000

100

10

1

0.1

0.01

0.001 10

100

1000

Density (kg/m^3)

10000

Del gráfico anterior se puede obtener tres materiales que cumplan con estas condiciones además con criterio y la indicación del ejercicio se seleccionará tres materiales. 10000

Silicon nitride (hot pressed)(5%MgO)

Tensile strength (MPa)

1000

PET (30% glass fiber)

100

10

Titanium, alpha-beta alloy, Ti-6Al-2Sn-2Zr-2Mo, annealed 1

0.1

0.01

0.001 10

100

1000

Density (kg/m^3)

10000

Nombre M1 M2

Sy[MPa]

PET 30%fibra vidrio Titanio Ti-6Al-2Sn2Zr-2Mo Nitruro de silicio

M3

ρ Sy^(1/2)/ρ ρ/Sy^(1/2) Precio [USD] [Kg/m3] 165 1,70E+03 7,56E-03 1,32E+02 2,93-3,49 1,22E+03 4,55E+03 7,68E-03 1,30E+02 25,6-28,1 550 3,20E+03

7,33E-03

1,36E+02 35,3-53,9

Con densidad= 1000 kg/m3 y Sy= 14.7 MPa Titanium, alpha-beta alloy, Ti-6Al-2Sn-2Zr-2Mo, annealed

10000

Silicon nitride (hot pressed)(5%MgO)

Tensile strength (MPa)

1000

PET (30% glass fiber)

100

10

Alumina (zirconia toughened)

1

Zinc-aluminum alloy, ZA-27, general casting

0.1

PF (cellulose filled, impact modified, molding) 0.01

0.001 10

M4 M5 M6

Nombre PF(con celulosa) Aleacion AlZn Alumina

100

1000

10000

Density (kg/m^3)

Sy[MPa] 44,8

ρ [Kg/m3] 1,42E+03

Sy^(1/2)/ρ ρ/Sy^(1/2) Precio [USD] 4,71E-03 2,12E+02 2,54-2,8

4,45E+02

5,05E+03

4,18E-03

2,39E+02

2,46-2,7

242

4,03E+00

3,86E+00

2,59E-01

18,3-27,4

Silicon

1000

SPS (40% carbon fiber) 100

Lithium, commercial purity, min 99.9%

Young's modulus (GPa)

10

Zirconia (MgO / CaO stabilized)

1

0.1

TPO (PP+EP(D)M, 10-20% mineral) 0.01

0.001

Polyurethane foam (rigid, closed cell, 0.6) 1e-4

1e-5

10

M10 M11 M12

100

Nombre

E[GPa]

Zirconia TPO Espuma poliuretana

205 1,51E+00 0,665

1000

ρ [Kg/m3] 5,80E+03 1,04E+03 6,40E+02

Sy^(1/2)/ρ ρ/Sy^(1/2) Precio [USD] 2,47E-03 1,18E-03 1,27E-03

Para estos materiales los espesores son

t10 t11 t12

0,00421144 m 0,02164494 m 0,02844951 m

10000

Density (kg/m^3)

0,421144 2,164494 2,844951

cm cm cm

4,05E+02 8,46E+02 7,85E+02

18,7-27 3,8-4,39 9,04-15

1000

Silicon

SPS (40% carbon fiber) Lithium, commercial purity, min 99.9%

100

Young's modulus (GPa)

10

1

0.1

0.01

0.001

1e-4

1e-5

10

M7 M8 M9

Nombre Litio SPS Silicon

100

E[GPa] 4 1,41E+02 180

1000

10000

Density (kg/m^3)

ρ [Kg/m3] 5,40E+02 1,25E+03 2,38E+03

Sy^(1/2)/ρ 3,70E-03 9,50E-03 5,64E-03

ρ/Sy^(1/2) 2,70E+02 1,05E+02 1,77E+02

Precio [USD] 63-108 15-17 9,12-15

En resumen se muestra en la siguiente tabla, los espesores con ambos índices varían, pero los menores espesores son los metálicos. La otra consideración que se debe tener en cuenta es el precio. Nombre

Sy[MPa]

ρ [Kg/m3]

Sy^(1/2)/ρ

ρ/Sy^(1/2)

Precio [USD]

t [m]

t[cm]

M1

PET 30%fibra vidrio

165

1,70E+03

7,56E-03

1,32E+02

2,93-3,49

0,0298481

2,98481003

M2

Titanio Ti-6Al-2Sn-2Zr-2Mo

1,22E+03

4,55E+03

7,68E-03

1,30E+02

25,6-28,1

0,01097688

1,09768758

M3

Nitruro de silicio

550

3,20E+03

7,33E-03

1,36E+02

35,3-53,9

0,01634848

1,63484778

Nombre

Sy[MPa]

ρ [Kg/m3]

Sy^(1/2)/ρ

ρ/Sy^(1/2)

Precio [USD]

M4

PF(con celulosa)

44,8

1,42E+03

4,71E-03

2,12E+02

2,54-2,8

0,0572822

5,72821962

M5

Aleacion Al-Zn

4,45E+02

5,05E+03

4,18E-03

2,39E+02

2,46-2,7

0,01817518

1,81751775

M6

Alumina

242

4,03E+00

3,86E+00

2,59E-01

18,3-27,4

0,02464626

2,46462577

Nombre

E[GPa]

ρ [Kg/m3]

E^(1/3)/ρ

ρ/E^(1/3)

Precio [USD]

M7

Litio

4

5,40E+02

2,94E-03

3,40E+02

63-108

0,07260982

7,260982

M8

SPS

1,41E+02

1,25E+03

4,16E-03

2,40E+02

15-17

0,022145

2,214500

M9

Silicon

180

2,38E+03

2,37E-03

4,22E+02

9,12-15

0,02041383

2,041383

Nombre

E[GPa]

ρ [Kg/m3]

E^(1/3)/ρ

ρ/E^(1/3)

Precio [USD]

Zirconia espuma

1,6

5,80E+03

2,02E-04

4,96E+03

18,7-27

0,09854669

9,854669

M10

M11

TPO termo plastico elastomero

1,51E+00

1,04E+03

1,10E-03

9,07E+02

3,8-4,39

0,10046691

10,046691

M12

Espuma poliuretana

0,665

6,20E+02

1,41E-03

7,10E+02

9,04-15

0,13205094

13,205094

Sin embargo los anteriores materiales fueron seleccionados con los índices por separado. Ahora se necesita obtener materiales en conjunto que mejore las dos necesidades juntas. Nuestro diseño exige la rigidez y esfuerzo al peso mínimo. 𝛿=

4𝐹𝐿3 6𝐹𝐿 𝜎= 2 3 𝐸𝑏𝑡 𝑏𝑡 6𝐹𝐿 𝑡=√ 𝜎𝑏 3 4𝐹𝐿3 𝑡=√ 𝐸𝑏𝛿

Igualamos 6𝐹𝐿 3 4𝐹𝐿3 √ =√ 𝜎𝑏 𝐸𝑏𝛿 3

𝐸 = 𝐶𝜎 2 3 log 𝐸 = log 𝜎 + 𝐶 2 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 3/2

Con estos parámetros se genera el diagrama en el CES pero con la consideración de que se va a utiliza el modulo de elasticidad especifico y la resistencia a la tracción especifica como se muestra en la figura de abajo con la pendiente que se acaba de obtener de 3/2.

Young's modulus / Density

0.1

0.01

0.001

1e-4

1e-5

1e-6

1e-7 1e-4

0.001

0.01

Tensile strength / Density

0.1

1

Entonces sobre la línea que se escogió (entre los valore más bajos obtenidos en las tablas anteriores en x: 4.71e-3 y en y 2.02e-3 ) se muestra que las maderas están en la línea de diseño, además los metales impregnados con carbono. Otro grupo que no se consideró anteriormente son los compuestos sándwich.

Zirconia foam (partly stabilized)(1.27)

Young's modulus / Density

0.1

Metal impregnated carbon

0.01

0.001

1e-4

Metales Alumina foam (92%)(0.61) Balsa (t) (ld)

Maderas

1e-5

Honeycombs

1e-6

1e-7 1e-4

0.001

0.01

Tensile strength / Density

0.1

1