Viga Cross

 

Problema 4.1 Se tiene la siguiente viga:

Se procederá a resolverla mediante el Método de Hardy Cross.

Solución: A simple vista se puede deducir que la viga se deformará de la siguiente forma:

 

Como en el punto o “nodo”  !a" un cambio de inercia se anali#ará por tramos separados " como además se aprecia en la grá$ca el punto o “nodo”  posee un despla#amiento por lo que tendremos % estados& uno donde no interviene el despla#amiento " otro solo para este despla#amiento en . Procedemos entonces a calcular la rigide# ' K ( para cada tramo:  K ij = K  ji =

 K  AB=

 I ij  Lij

2 I 

 I    , K BC =  L  L

A!ora se calcula los )actores )actores de distribuci*n ' d(: d¿=

  K ¿  K ij

∑ i

Como “A” " “C” son empotrados se tiene:

 

d AB= dCB =0

2 I 

 I   L 2  L 1 d BA = = , d BC = = 2 I   I  3 2 I    I  3  +  +  L  L  L  L

Estado “0”: Estructura sin considerar el desplazamiento

 

Se calcula los momentos de empotramiento perfecto:

−q L  M   AB=

2

0

30

0

 M  BA =

qL

2

20

0

0

 M  BC = M  CB=0

Se procede a reali#ar las iteraciones:



A 1 ,

−q L

%-1 1- q L2 , 20

2

30

−q L

2

2

−q L

60

−q L

−q L

30

2

qL

−q L

60

20

, , 2

60

2

C

Estado “1”: Estructura considerando solo el desplazamiento en B

2

−q L 120

2

60

2

−q L 120

Se calcula los momentos de empotramiento perfecto: +a f*rmula es la siguiente: 0

0

 M  ij = M   ji =− =−((

6 EI 

 L

2

  )∆

 

Para el problema se tiene: 0

−

0

 M   AB  M  BA =

6 E 2 I 

) δ B

(

=

 L

 

2

12 EI δ B

− =

 L

2

−δ   (  (¿¿ ¿¿ B ) 6 EI δ B 6 EI   = 2

 L

0

 M 

 L

2

0

= M  CB=− =−¿¿

BC 

Para agili#ar cálculos se asignará los siguientes valores a los momentos de empotramiento: 0

0

 M   AB= M  BA =

0

0

−12 EI δ B   =( + 2 ) X 

 M  B C = M  CB=

 L

2

6 EI δ B

 L

2

  =(−1 ) X 

Se procede a reali#ar las iteraciones:



A 1 ,

C

%-1 1-

+2

 

−1

+ 2   −1 2

−

3

3

,

 

−1

−1

−1

3

6

Pl Plan ante tea amos mos a!ora !ora momentos " respectivas: •

Para momentos se tiene: ( 0)

 M ij = M ij

+5 3

 

+4

−4

−7

3

3

6

•

toda todas s lo los s cortantes

/ntonces: 2

 M  AB=

−q L 20

5

+  X  3

+ M (ij ) X  1

 

 M BA =

 M BC =

qL

2

60

+ 4  X  3

−q L

2

60

− 4  X  3

2

−q L − 7  M CB=  X  120

6

( 0)

•

Para momentos se tiene:   Qij =Q ij

•

/ntonces:

Q AB=

(

(

QBA =

qL

−

1

 L

6

−qL

(

−1

 L

3

(  (

 ))+(−  ( + ))

2

2

−q L 20

(

+

qL

−

qL

60

2

2

−1 −q L q L QBC = −  L

(  (

QCB =

60

120

−1 − q L  L

120

 L

−

20

+

−1

4

 L

3

60

)) (  (

3

 L

+

3

−1 − 7  L

6

6

))

−

4 3

))

 X =

Se tiene por ecuación de equilibrio:

∑ F   : R V 

•

 A

+ RC =

qL 2

Pero se tiene que:

 R A =Q AB=

qL 5

3

−   X   L

5

− 3   X   L

− qL + 5  X = 3 − 3  X 

+uego se tiene la siguiente condici*n: • 

qL

10

 L

qL   5 + −1 −4 − 7   X  X = +   X 

 )) (  (

qL

 X =

3

3

1

 )) (  ( ))

2

2

2

4

1 5

60

2

qL

+ Q(ij ) X 

2 L

40

qL 40

+

 5 2 L

 X 

 

−qL

 RC =−QCB =

•

40

−

 5 2 L

 X 

/ntonces:

qL   5 qL −  X = ∑ F   : qL5 − 3  X − 40 2 2 V 

 L

 L

0esolviendo esta ecuaci*n se calcula: 2

−13 q L  X = 220

0eempla# 0eemp la#and ando o este este valor valor en las ecuacion ecuaciones es de moment momentos os " cortan cortantes tes se obtiene:  M  AB=

−49 q L

2

330

2

 M BA =

−41 q L 660

2

 M BC =

41 q L 660

2

 M CB=

Q AB=

QBA =

2q L 33

83 qL 220

−27 qL 220

 

QBC =

QCB =

−27 qL 220

−27 qL 220

Se debe tener en cuenta que todos los momentos calculados son asumiendo el sentido !orario como positivo.

Con es Con esto tos s val valor ores es qued queda a res esue uelt lta a la viga iga " se proc proced ede e a real eali#ar #ar los diagramas de fuerza cortante y de momento ector!

 

"iagrama de #uerza Cortante $"#C%

"iagrama de Momento #lector $"M#%

Se de: !i#o una comprobaci*n con el programa SAP %,,, dándole valores

 

q

=

2

 L=5

bteni2n bteni 2ndos dose e los los sig siguie uiente ntes s grá$ grá$cos cos qu que e co con$r n$rma man n los los va valor lores es " la correcta grá$ca reali#ada: "iagrama de #uerza Cortante $"#C%

"iagrama de Momento #lector $"M#%