Vibraciones y Ondas

2-1.

Escribir las expresiones siguientes en la forma z = Re Aej(ωt+α) 

sen ωt + cos ωt (b) z = cos (ωt − π/3) − cos ωt (c) z = 2 sen ωt + 3 cos ωt (d) z = sen ωt − 2 cos (ωt − π/4) + cos ωt

(a) z =

Solución a) z =

sen ωt + cos ωt z = sen ωt + cos ωt = cos ωt + sen ωt = 1 · cos ωt + 1 (−1) (−sen ωt)

entonces A = 1 y j = −1, a = 1, b = −1, α = 0   b θ = tan a   −1 = tan−1 1 π = − 4 −1

z = Aej(ωt+α) π z = 1 · e−1(− 4 t+0) 1 z = −πt e 4

Re (z) = x−1 1 = x 1

=

A cos (θ) 1  π = 1 · cos − 4 1 = √ 2 2

=

√

por lo tanto 1

2



  z = Re Aej(ωt+α) i h√ −1(− π4 t+0) z = Re 2 · e h√ i π z = Re 2 e( 4 t) (b) z =

cos (ωt − π/3) − cos ωt

z = cos (ωt − π/3) − cos ωt π π = cos ωt · cos + sen ωt · sen − cos ωt 3 3 √ 1 3 = cos ωt + sen ωt − cos ωt 2√ 2 1 3 sen ωt − cos ωt = 2 2 1 √ 1 π = · 3 sen ωt + (−1) cos ωt Rotado 2 2 2 √ entonces A = 21 , j = −1, a = 3, b = 1   b θ = tan a   1 −1 √ = tan 3 π = 6 −1

luego π α = θ+ 2 π π = + 6 2 2π = 3

z = Aej(ωt+α) 1 −1( 2π3 t+0) z = ·e 2 1 z = 2π 2e 3 t

2

Re (z) = x−1 1 = x 1

=

A cos (θ) 1
= 2 · cos 2π 3 1
= 2 21 = 1

por lo tanto   z = Re Aej(ωt+α) i h 2π z = Re 1 · e−1( 3 t+0) h 2π i z = Re e−( 3 t) (c) z = 2

sen ωt + 3 cos ωt z = 2 sen ωt + 3 cos ωt = 3 cos ωt + 2  senωt 2 = 3 cos ωt + 3 sen ωt 3   2 = 3 cos ωt + 3 (−1) − sen ωt 3

entonces A = 3, j = −1, a = 1, b = − 32 y α = 0   b tan a  2 −3 tan−1 1   2 tan−1 − 3   2 −tan−1 3 −1

θ = = = =

z = Aej(ωt+α)  z = 3·e z =

−1 −

tan−1 ( 32 )+0



3

tan−1 ( 23 ) e 

−

3



Re (z) = 3 · x−1 3 = x = =

3

cos −tan−1

√

2 3





13

por lo tanto   z = Re Aej(ωt+α)    −1 √ −1 −tan ( 23 )t+0 13 · e z = Re    −1 2 √ tan ) ( 3 13 · e z = Re (d) z =

sen ωt − 2 cos (ωt − π/4) + cos ωt z = sen ωt − 2 cos (ωt − π/4) + cos ωt  π π z = sen ωt − 2 cos ωt · cos + sen ωt · sen + cos ωt 4 4 ! √ √ 2 2 z = sen ωt − 2 cos ωt + sen ωt + cos ωt 2 2 √ √ z =  sen ωt − 2 cos ωt − 2 sen ωt + cos ωt √ z = 1 − 2 (cos ωt + sen ωt) z √ = cos ωt + sen ωt 1− 2 z √ = − (cos ωt + sen ωt) 2−1 = −sen ωt + (−1) cos ωt

Rotacion de

π 2

y por ejercicio (a) tenemos que la rotación de z 0 = cos ωt + sen ωt es π2 , entonces π π + 4 2 3π = 4

θ =

por otro lado Re (z) =

√ 2; ejercicio (a) √ z 2 √ = √ 2−1 2−1 √ = 2 − 2 = Re (z)

4

por tanto   z = Re Aej(ωt+α) h i √  3π z = Re 2 − 2 · e1( 2 t+0) h i √  3π t) ( 2 z = Re 2 − 2 · e 2-2.

Una partícula está sometida simultáneamente a tres movimientos armónicos simples de la misma frecuencia y en dirección x. Si las amplitudes son 0, 25, 0, 20 y 0, 15 mm, respectivamente, y en la dirección de fase entre el primero y segundo es de 45o , y entre el segundo y tercero es 30o , hallar la amplitud del desplazamiento resultante y su fase relativa respecto al primer componente (de amplitud 0, 25 mm).

Solución 2-3.

Dos vibraciones sobre la misma recta vienen descritas por las ecuaciones y1 = A cos 10πt y2 = A cos 12πt

Hallar el periodo de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la perturbación resultante durante un periodo de la pulsación. Solución

y1 = A cos 10πt y2 = A cos 12πt

entonces ω1 = 10π y ω2 = 12π T = = = = = 2-4.

2π seg |ω1 − ω2 | 2π seg |10π − 12π| 2π seg |−2π| 2π seg 2π 1seg

Hallar la frecuencia del movimiento combinado en cada una de las siguientes vibraciones: √


sen 2πt − 2 + cos (2πt) (b) sen (12πt) + cos (13πt + π/4) (a)

5

(c)

sen (3t) − cos (πt)

Solución (a)

√


sen 2πt − 2 + cos (2πt) tenemos:

ω1 = 2π y ω2 = 2π entonces ω =

ω1 + ω2 2π + 2π = = 2π 2 2 ω 2π 2π f = 2π f = 1 seg −1 f =

(b)

sen (12πt) + cos (13πt + π/4)tenemos:

ω1 = 12π y ω2 = 13π entonces ω =

ω1 + ω2 13π + 13π = = 12, 5π 2 2 ω 2π 12, 5π f = 2π f = 6, 25 seg −1 f =

(c)

sen (3t) − cos (πt)tenemos:

ω1 = 3 y ω2 = π entonces ω =

ω1 + ω2 3+π = 2 2 ω 2π 3+π 2 f = 2π 3+π f = 4π f = 0, 49 seg −1

f =

2-5

Dos vibraciones perpendiculares vienen descritas por las ecuaciones x = 10 cos (5πt) x = 10 cos (10πt + π/3)

Construir la gura de Lissajous del movimiento combinado.

6

2-6

Construir las guras de Lissajous de los movimientos siguientes: cos 2ωt, y y = sen 2ωt (b) x = cos 2ωt, y y = cos (2ωt − π/4) (c) x = cos 2ωt, y y = cos ωt (a) x =

(a) x =

cos 2ωt, y y = sen 2ωt

(b) x =

cos 2ωt, y y = cos (2ωt − π/4)

7

(c) x =

cos 2ωt, y y = cos ωt

8