VIBRACIONES UII

UNIDAD II.- VIBRACION LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD. Una descripción técnica útil de la respuesta en el tiempo de los sistemas vibratorios, se consigue resolviendo un modelo matemático de un sistema equivalente que pueda analizarse con facilidad. Por ejemplo, las vibraciones torsionales de la hélice de un buque pueden describirse con gran aproximación despreciando la masa del eje y sustituyendo la hélice y turbina por dos discos concentrados, uno a cada extremo del eje. Uno de los principales objetivos en el análisis de los sistemas vibratorios es el de conocer su frecuencia natural, para lo cual existen varios criterios que dependen del sistema en particular. Entre los principales métodos tenemos: 1.- Método de las fuerzas. 1.1.- Traslación. 1.2.- Rotación. 2.- Métodos de energía. 2.1.- Principio de la conservación de la energía. 2.2.- Método de Rayleigh. Con excepción del método de Rayleigh, en todos los casos se determina la ecuación diferencial del movimiento. 2.1.- Relaciones constitutivas del elemento resorte, inercia y amortiguador. Las relaciones o ecuaciones constitutivas son aquellas que representan las propiedades características de los materiales, y que los distinguen de otros. Un resorte es un elemento elástico que obedece la ley de Hooke, y se representa de acuerdo con la siguiente figura:

La ecuación constitutiva que relaciona la fuerza F , la deflexión x y la constante elástica k se representa por FR  kx -------------------- (2.1)

en donde FR = fuerza elástica en el resorte k = constante elástica del resorte en N/m, lb/pul, etc.

El amortiguador es un elemento disipador de energía, y tiene como función principal la de limitar la amplitud de una vibración. Su representación es como sigue:

La ecuación constitutiva para un amortiguador establece la relación entre la fuerza F , la constante de amortiguamiento c y la velocidad de deformación x , de acuerdo con FA  cx -------------- (2.2)

en donde FA = fuerza en el amortiguador c = factor de amortiguamiento en N.s/m, lb.s/pul, etc. La ecuación constitutiva que establece la relación entre la fuerza F , la masa m y la aceleración x se escribe por

FI  mx -------------- (2.3) en donde FI = fuerza debida a la inercia m = masa en kg o slugs x = aceleración El caso general del sistema libre resorte, inercia y amortiguador se representa como sigue:

Las relaciones constitutivas del sistema anterior están dadas por la ecuación diferencial mx  cx  kx  0

------------- (2.4)

2.2.- Combinación de resortes. Los resortes pueden combinarse en serie, paralelo o ambos, debiendo obtener la constante elástica equivalente para cada arreglo en particular. a).- Arreglo en serie.

La constante equivalente para un arreglo en serie se determina por 1 ke



1 k1

 k1  k1  2

3

n

 k1   k1 ------------------- (2.5) n

i1

i

b).- Arreglo en paralelo.

La constante equivalente para un arreglo en paralelo se determina por ke  k1  k2  k3 

n

 kn   ki -------------------- (2.6) i 1

Dos formas equivalentes en arreglos en paralelo son:

2.3.- Método de las fuerzas para el análisis de sistemas vibratorios. 2.3.1.- Sistemas no amortiguados en traslación. Para éste tipo de sistemas se utiliza la segunda ley de Newton para sistemas en traslación:

 F  mx -------------- (2.7)

Consideremos el siguiente sistema resorte-masa:

Aplicando la ecuación (2.7) tenemos: mx  k (  x)  w  mx  k   kx  w  mx  kx , ya que del equilibrio estático w  k .

Ordenando la ecuación resultante y dividiéndola entre la masa obtenemos k x  0 ------- (a) x m

k , entonces la ecuación (a) se transforma en Si n2  m

x  n2 x  0 --------- (2.8) Ecuación diferencial del movimiento Resolviendo la ecuación diferencial (2.8) y aplicando las condiciones iniciales x(0) y x(0) encontramos la respuesta del sistema vibratorio; esto es x (0)

x  x(0) cos nt   sennt --------- (2.9) n En algunas ocasiones es conveniente usar un diagrama vectorial para representar visualmente el movimiento armónico, lo cual se indica a continuación:

Si hacemos X  A2  B 2 , sen 

A X

x  X (sen cos nt  sennt cos  ) 

, cos  

B X

, la ecuación (2.9) se transforma en

x  Xsen(nt   ) ------------ (2.10)

siendo  = ángulo de fase x (0)

B  n A  x(0) 2.3.2.- Cálculo de la frecuencia natural a partir de la deformación inicial  . Esto se puede realizar fácilmente, sabiendo que w  k  y w  mg , por lo que k m



g 

 n2 n  g 

f n  21

g  

--------------- (2.11)

Ejemplo 2.1.- Un bloque de 25 kg está sostenido por el arreglo de resortes que se muestra en la figura. Si el bloque se mueve verticalmente hacia abajo desde su posición de equilibrio y se suelta, determinar la velocidad máxima y la aceleración máxima del bloque si la amplitud del movimiento es de 25 mm. Suponer k1  5 kN/m , k2  20 kN/m , k3  2 kN/m .

Solución: Primero se determina la constante equivalente del arreglo de resortes: Los dos resortes en serie k1 y k2 tienen una constante equivalente ke1  1 1 1  1 1 1  15  20  4 kN/m 5 k1

k

2

5

 20

20

Los resortes con ke1 y k3 quedan en paralelo, por lo que la constante equivalente del sistema es ke  6 kN/m .

k

La ecuación diferencial del movimiento es mx  ke x  0  x  me x  0  x  6000 x  0 25 x  240 x  0

n  240  15.492 rad/s x (0)

x  x(0) cos nt   sennt n Aplicando condiciones iniciales a la solución general se obtiene: x  0.025cos15.492t La solución general de la ecuación diferencial es :

Derivando de manera sucesiva se obtiene: x  0.3873sen15.492t x  6cos15.492t De las relaciones anteriores se tiene que vmáx  0.3873 m/s

amáx  6 m/s2

2.3.3.- Sistemas no amortiguados en rotación. Para este tipo de sistemas se utiliza la segunda ley de Newton para sistemas en rotación

J o   Pares --------- (2.12) en donde

J o  J cg  md 2 (momento de inercia con respecto al punto O) J cg = momento de inercia con respecto al centro de gravedad del sistema

Lo anterior se representa en la siguiente figura:

Aplicando la ecuación (2.12) se obtiene J o  mgx  J o  mgdsen ------- ( i ) Para pequeñas oscilaciones sen   por lo que la ecuación ( i ) se transforma en J o  (mgd )  J o  (mgd )  0 ------------ ( ii )

Dividiendo ( ii ) por J o llegamos a la ecuación

  mgd   0 ------------ (2.13) J o

en donde n2 

mgd Jo

La ecuación diferencial obtenida es análoga a la que se obtuvo para los sistemas en traslación, por lo que el criterio para determinar la frecuencia natural y resolver la ecuación diferencial es exactamente el mismo. Ejemplo 2.2.- Para la barra y el disco que se indica, determinar la constante del resorte para la cual el período de vibración de la barra es 1.5 seg. Los datos son: r  0.12 m , L  0.5 m , mvar illa  5 kg , mdisco  8 kg .

Normal

Deformado

Solución: Momento de inercia del disco respecto a A:

J  12 mr 2  12 (8)(0.12)2  0.0576 kg.m2

Momento de inercia de la varilla respecto a A: 1 mL2  m J  12

 L2 

2

1 (5)(0.5)2  5  12

 0.52 

2

 0.41667 kg.m2

Momento de inercia total respecto a A: J A  J disco  J var illa  0.47427 kg.m2 Fuerza en el resorte en el estado deformado: F  kr  0.12k (0.12)2 k

J o   Pares  J A  0.12k (0.12)   0.47427   0    0.03036k  0 ------ (a) De (a) se tiene que: n2  0.03036k ---------- (b) 2  4.188787  2  17.5459 -------- (c) n  2  1.5 n

Igualando (b) y (c) se obtiene lo siguiente: 0.03036k  17.54593374

k  578 N/m

2.4.- Método de la energía para sistemas no amortiguados. El método de la energía es un método simple y directo para resolver problemas vibratorios. Se lleva a cabo mediante un balance de energía, aplicando el principio de la conservación de la energía. Sabiendo que la energía mecánica permanece constante en cualquier punto se tiene que EM  EC  EP  constante --------- (2.14)

en donde

EM = energía mecánica EC = energía cinética EP = energía potencial

Si la energía total permanece constante entonces d  EC  EP   0 -------------------------- (2.15) dt

Con ésta ecuación encontramos rápidamente la ecuación diferencial del movimiento y la frecuencia natural correspondiente. 2.4.1.- Principio de Rayleigh. Este principio es una forma alterna del método de la energía con el cual se obtiene una buena aproximación de las frecuencias naturales sin necesidad de generar la ecuación diferencial del movimiento. Este método considera los pasos siguientes: a).- Se supone un movimiento armónico. Traslación: Rotación:

x  Xsennt

  o sennt

b).- Se determina EPmáx y ECmáx . c).- Se sustituyen los movimientos armónicos en las expresiones anteriores. d).- Igualando EPmáx y ECmáx , y reduciendo se encuentra el valor de n . Problema 2.3.- Una placa delgada rectangular es flexionada hasta darle la forma cilíndrica semicircular que se muestra en la figura. Hallar el período de oscilación si se deja balancear en una superficie horizontal.

Solución: De la figura se tiene: Centro de masa: a  2R  Momento de inercia: J cg  m( R 2  a 2 ) Desplazamiento del centro de masa: x  R  a  ( R  a) Velocidad del centro de masa:

x  ( R  a)

   12  12 cos  cos  1  2sen2  2  2sen2  2   2 sen2 2

2

2 2   o sennt    oo cos nt  máx  máx n2 , o  máx

2 2 ECmáx  12 mx2  12 J cg 2  12 m ( R  a)2  ( R 2  a 2 )   2máx  mR( R  a) 2 máx  

EPmáx  mga  mga cos máx  mga(1  cos máx )  mga 2 ECmáx  EPmáx  mR( R  a)n2máx  mga





n 

g R ( 2)

 

 

2 máx

2

2 máx

2



g R R  2R n2  12 g 2R  R 2 n2   

f n  21

  2

g R ( 2) R ( 2) g

2.5.- Masa efectiva. Es una masa equivalente de un sistema concentrada en un punto. El procedimiento para determinar la masa efectiva es mediante el cálculo de la energía cinética adicional de la masa distribuida (suponiendo el movimiento de ésta masa distribuida). Esta energía se determina mediante la expresión ECadic   Fdx  12 mef x 2 --------------- (2.16)

Ejemplo 2.4.- Determine la masa efectiva en el punto n del sistema mostrado en la figura, y determine su frecuencia natural.

Figura (a)

Figura (b)

Solución:

a

x De la figura (b) se tiene que x  n  x  b xn b

a

Energía cinética del sistema: T  12 mx 2  12 J 2

sen  x   x    x  1 xn b

b b a 2 2 2   T  1 m b xn2  1 J 1 xn2  1  m b  J2  xn2  2 a 2 a 2 a   a 2 mef  m b  J2 a a









2.6.- Análisis de sistemas con amortiguamiento. Consideremos el sistema amortiguado que se muestra en la figura siguiente:

La ecuación diferencial del sistema es: Dividiendo (a) por m de obtiene

mx  cx  kx  0 ----------- (a)

k x  0 -------------------- (b) x  mc x  m

Resolviendo la ecuación diferencial (b) se obtienen las raíces r

 mc 

 mc  4mk 2

r   2cm 

  2cm 

 2cm 

2

Si hacemos n 

 2cm 

2

k  m

 n2 --------- (c)

y resolviendo la ecuación (b) obtenemos la expresión

c 2m

    1 x(t )  Ae 2

n

t

   1 t --------------- (2.17)  Be 2

n

en donde

  cc ----- (2.18)

factor de amortiguamiento crítico

cr

ccr  2mn ------ (2.19)

ccr = amortiguamiento crítico Para el sistema anterior podemos considerar tres casos: a).- Sistema críticamente amortiguado (raíces repetidas): (   1 ) b).- Sistema subamortiguado (raíces complejas): (   1 ) c).- Sistema sobreamortiguado (raíces reales) (   1 )

a).- Sistema críticamente amortiguado. Para éste caso la ecuación (2.17) se reduce a x(t )  ent ( A  Bt ) , en la cual al aplicar las condiciones iniciales x(0) y x(0) se reduce a

x(t )  ent x(0)   x(0)  n x(0) t --------- (2.20)

La gráfica de ésta ecuación se representa como sigue:

Movimiento críticamente amortiguado   1.0 . b).- Movimiento subamortiguado. Este caso nos representa un sistema oscilatorio, ya que   1.0 , por lo que la solución es

 x(t )  ent  Ae j 

1 2 nt

 Be j

1 2 nt 

 --------------- (2.21) 

Si hacemos

d  1   2 n ------------ (2.22) Frecuencia natural amortiguada entonces la ecuación (2.21) puede ser representada como





x(t )  ent Ae jd t  Be jd t  ent  C1 cos d t  C2send t  ------------- (2.23)

La ecuación (2.23) se puede escribir como

x(t )  Xent sen(d t   ) ------------ (2.24) Introduciendo las condiciones iniciales x(0) y x(0) la solución es x(t )  ent



x (0)n x(0)

d



send t  x(0) cos d t ---------- (2.24)

La ecuación anterior se representa gráficamente como sigue:

Movimiento subamortiguado   1.0 . c).- Sistema sobreamortiguado. En este caso se tiene un movimiento no oscilatorio ya que   1.0 , por lo que la solución general es

    1 x(t )  Ae 2

n

t

   1 t ----------------- (2.25)  Be 2

n

en donde

A

B





x (0)    2 1 n x (0) 2n  2 1





 x (0)    2 1 n x (0) 2n  1 2

El movimiento sobreamortiguado es una función exponencialmente decreciente con respecto al tiempo y se le califica como aperiódica. Este tipo de movimiento se representa como sigue::

Movimiento aperiódico   1.0 .

2.6.1.- Decremento logarítmico. Se utiliza en los sistemas subamortiguados para medir que tan rápido se reduce la vibración, y se define por el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes sucesivas cualesquiera; esto es x

  ln x1  ln x(xt (t)

d)

2

------------ (2.26)

El decremento logarítmico también se puede representar por

  1n ln

  ------------------------ (2.27) xo xn

en donde xn representa la amplitud después de n ciclos Considerando la ecuación (2.22) y sustituyéndola en la ecuación (2.26) se obtiene

  ln

Xent sen(d t  ) Xen ( t  d ) sen  1 2 n (t  d )   

 ln

ent

e

n ( t  d )

 ln en d 

  n d ----------------- (2.28)  d es el período de amortiguamiento el cual se determina por

d 

2 n 1 2

------------ (2.29)

Sustituyendo  d de (2.28) en (2.29) y reduciendo, llegamos a la siguiente expresión:



2 1 2

------------------ (2.30)

Cuando  es muy pequeño (   1 ), puede suponerse que ecuación (2.30) se transforma en

  2 ---------------------- (2.31)

1   2  1 , por lo que la

Problema 2.5.- El sistema que se indica en la figura está compuesto por el cuerpo A de 2 kg y un resorte de constante k  50 N/m . El amortiguamiento del sistema es crítico. El equilibrio del sistema se perturba desplazando el cuerpo A 5 cm hacia la derecha y a continuación se libera imprimiéndole una velocidad inicial de 50 cm/s dirigida hacia la izquierda. Determinar: a) el valor de ccr y b) la posición de A cuando t  0.2 s .

Solución: Para un sistema críticamente amortiguado (   1 ) la solución es

x(t )  ent x(0)   x(0)  n x(0) t --------- (1)

n 

k m

 50  5 rad/s 2

a).- ccr  2mn  2(2)(5)  20 N.s/m  ccr  20 N.s/m b).- Sustituyendo las condiciones iniciales en la ecuación (1) se obtiene

x(0.2)  e50.2 5   50  5(5)  0.2  0 x(0.2)  0 Derivando (1) se obtiene: x(t )  ent  x(0)  n x(0)  x(0)   x(0)  n x(0) tnent 

x(0.2)  e1  50  5(5)  5  (50  5  5)  0.2  5  9.196986 cm/s  x(0.2)  92 mm/s

Problema 2.6.- El sistema mostrado en la figura está compuesto por el cuerpo de masa m de 4.5 kg, una barra de masa despreciable, un resorte y un amortiguador viscoso. La amplitud del movimiento de D disminuye desde 75 mm hasta 25 mm durante 20 ciclos de vibración libre del sistema, con un tiempo requerido de 10 seg. Calcular: a) el decremento logarítmico, b) la constante del resorte, c) el coeficiente de amortiguamiento y d) el coeficiente de amortiguamiento crítico

(a)

(b)

Solución: La ecuación diferencial del movimiento se obtiene a partir de la expresión

J B   Pares  J B  (0.125) FR  (0.250) FA ------- (1)

FR  kx1  k (0.125)sen  0.125k

FA  cx2  0.250c

J B  mL2  4.5(0.5)2  1.125 kg.m2 20  2 cps f d  10

d 

1 fd

 12  0.5 s

d  2 fd  2 (2)  12.56636 rad/s Sustituyendo en (1) se tiene:

1.125  0.015625k  0.0625c    0.055555c  0.0138889k  0 -------- (2) a).- Decremento logarítmico. x 1 ln 75  0.05493   0.05493   1n ln xo  20 25 n

b).- Constante elástica del resorte:



2

 

2

 1   2   1   2  2 2 1

2

 2 1   2  13083.978 2 

1  2  13084.978    0.008742

0.05493   n d n    0.008742(0.5)  12.5669 rad/s d

De la ecuación (2) se tiene que: 2

n2  0.0138889k  k  (12.5669)  11370 N/m  k  11.37 kN/m 0.0138889 c).- Coeficiente de amortiguamiento: De la ecuación diferencial (2) tenemos que

2n  0.05555c  c 

2(0.008742)(12.5669) 0.05555

 3.955 N.s/m  c  3.955 N.s/m

d).- Amortiguamiento crítico: 3.955  452.4 N.s/m  c  452.4 N.s/m ccr  c  0.008742 cr

Problema 2.7.- El cuerpo de 12 kg que se representa en la figura, está sustentado por tres resortes y tres amortiguadores viscosos en la forma indicada. Las constantes de los resortes son k1  k2  150 N/m y k3  120 N/m . Los coeficientes de amortiguamiento viscoso son c1  c2  0.8 N.s/m y c3  1.4 N.s/m . Para iniciar el movimiento se desplaza al cuerpo 0.10 m hacia abajo y a continuación se deja libre a partir del reposo. Determinar el número de oscilaciones que ocurren hasta que la amplitud de las vibraciones se reduce al 20% de su valor inicial.

Solución: Constante elástica equivalente: ke  k1  k2  k3  150  150  120  420 N/m Constante viscosa equivalente: ce  c1  c2  c3  0.8  0.8  1.4  3.0 N.s/m Ecuación del movimiento:

c

k

x  me x  me x  0

De la ecuación del movimiento se tiene que ke  420  5.916 rad/s m 12 c 2n  me    21235.916  0.021129   2  2 0.021129  0.132787 10.00044648 1 2

n 

x

1   1n ln xo  n  0.132787 ln n

 0.20.10.1   12.12

n  12 ciclos