VIBRACIONES MECANICAS

DINAMICA

VIBRACIONES MECANICAS AMORTIGUADAS Y SIN AMORTIGUAMIENTO 4 -A 7 DE JUNIO DE 2010 INTEGRANTES: CHIN UVALLE JOSE EFRAIN CUJ KUK SERGIO ANTONIO CANCHE CANCHE JOSE GUADALUPE EK CHAN IVAN JESUS

ÍNDICE CAPITULO 1.- GENERALIDADES ........................................................................................................... 3 1.1 introducción. ............................................................................................................................. 3 CAPITULO 2.- MARCO TEORICO .......................................................................................................... 5 2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO ................................................................................... 5 2.1.1 Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple ........................................ 5 2.1.2 Péndulo simple (solución aproximada) ............................................................................ 11 2.1.3 Péndulo simple (solución exacta)..................................................................................... 13 2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rígidos............................................................................... 15 2.1.5 Aplicación del principio de conservación de la energía ................................................... 17 2.1.6 Vibraciones forzadas ........................................................................................................ 19 2.2 vibraciones amortiguadas ....................................................................................................... 23 2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas ................................................................................... 23 2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas ............................................................................... 26 CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................ 29 CAPITULO 4.- CONCLUSIONES ........................................................................................................... 37 BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................... 38

CAPITULO 1.- GENERALIDADES 1.1 introducción. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado. El análisis de vibraciones se ha vuelto cada vez mas importante en los últimos años debido a la tendencia actual para producir maquinas de más alta velocidad y estructuras más ligeras. Hay razones para esperar que esta tendencia continúe y que una incluso mayor necesidad de análisis de vibraciones genere en el futuro. El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado textos completos. En consecuencia, este estudio de limitará a los tipos más simples de vibraciones, a saber, las vibraciones de un cuerpo o un sistema de cuerpos con un grado de libertad. Una vibración mecánica se produce por lo general cuando un sistema se desplaza de una posición bajo la acción de fuerzas restauradoras (Ya sea fuerzas elásticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas gravitacionales, dodo en el caso de un péndulo). Pero el sistema por lo general alcanza su posición original con cierta velocidad adquirida que lo lleva más allá de esa posición. Puesto que el proceso puede repetirse de manera indefinida, el sistema se mantiene moviéndose de un lado a otro de su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento completo recibe el nombre de periodo de la vibración. El número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo de un sistema a partir de su posición de equilibrio de conoce como amplitud de la vibración. Cuando el movimiento se mantiene únicamente por medio de fuerzas restauradoras, se dice que la fricción es una vibración libre (secciones 2.2 a 2.6). 3

Cuando se aplica una fuerza periódica al sistema, el movimiento resultante de describe como una vibración forzada. (Sección 2.7). Cuando es posible ignorar los efectos de la fricción se afirma que las vibraciones son no amortiguadas. Sin embargo, todas las vibraciones son en realidad amortiguadas hasta cierto grado. Si una vibración libre sólo se amortigua de manera ligera, su amplitud decrece de manera lenta hasta que, después de cierto tiempo, el movimiento se interrumpe. Pero si el amortiguamiento es suficientemente largo para evitar cualquier vibración verdadera, en ese caso el sistema recupera lentamente su posición original (Sección 6.8). Una vibración forzada amortiguada se mantiene siempre y cuando se aplique la fuerza periódica que la produce. Sin embargo, la amplitud de la vibración se ve afectada por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento (Sección 6.9).

1.2 OBJETIVO GENERAL Aprender y conocer los conceptos acerca sobre las vibraciones mecánicas como son la vibraciones de amortiguamiento y las vibraciones sin amortiguamiento y como poder aplicarlos en la vida cotidiana.

1.3 OBBJETIVO ESPESIFICO 1; Conocer los conceptos de amortiguaciones 2; Aprender sobre las formulas para poder realizar los ejercicios 3; Poder aplicar los conceptos y las formulas en la vida cotidiana

4

CAPITULO 2.- MARCO TEORICO 2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO 2.1.1 Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k (figura 19.1a). Puesto que en el tiempo presente se considera solo el movimiento de su centro de masa, a este cuerpo se le considerara como una partícula. Cuando la partícula se encuentra en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son su peso 𝑾 y la fuerza 𝑻 ejercida por el resorte, de magnitud 𝑇 = 𝑘𝛿𝑠𝑡 , donde 𝛿𝑠𝑡 denota la elongación del resorte. Por consiguiente, 𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡 Supóngase ahora que la partícula se desplaza una distancia 𝑥𝑚 se seleccionó más pequeña que 𝛿𝑠𝑡 , la partícula se moverá hacia arriba y hacia debajo de su posición de equilibrio; se genero una vibración de amplitud 𝑥𝑚 . Obsérvese que la vibración también se puede producir si se le imparte una cierta velocidad inicial a la partícula, cuando esta se encuentra en su posición de equilibrio 𝑥 = 0 o, mas generalmente, soltándola desde cualquier posición dada 𝑥 = 𝑥0 con una velocidad inicial dada 𝑣0 . Para analizar la vibración, considérese que la partícula está en una posición 𝑃 en un instante arbitrario 𝑡 (figura 19.1b). Si 𝑥 denota el desplazamiento 𝑂𝑃 medido desde la posición de equilibrio 𝑂 (positivo hacia abajo), se observa que las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso 𝑾 y la fuerza 𝑻 ejercida por el resorte, que, en esta posición, tiene una magnitud 𝑇 = 𝑘(𝛿𝑠𝑡 + 𝑥). Recordando que 𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡 , la magnitud de la fuerza resultante 𝑭 de las dos fuerzas (positiva hacia abajo) es 𝐹 = 𝑊 − 𝑘 𝛿𝑠𝑡 + 𝑥 = −𝑘𝑥

5

(2.1)

No deformado

t=kst

Equilibrio

w

a)

-Xm

O Equilibrio X

T= (st + x) +Xm

P +

= .. ma=mx

w B) FIGURA(19.1)

6

Por lo tanto, la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partícula es proporcional al desplazamiento 𝑂𝑃 medido a partir de la posición de equilibrio. De acuerdo con la convención de signos, se observa que la dirección de 𝑭 siempre es hacia la posición de equilibrio 𝑂. Si sustituye 𝐹 en la ecuación fundamental 𝐹 = 𝑚𝑎, y puesto que 𝑎 es la segunda derivada de ẍ de 𝑥 con respecto a 𝑡, se escribe 𝑚ẍ + 𝑘𝑥 = 0

(2.2)

Obsérvese que la misma convención de signos se debe usar para la aceleración ẍ y para el desplazamiento 𝑥, es decir, positivos hacia abajo. El movimiento definido por la ecuación (2.2) se llama movimiento armónico simple. Se caracteriza por el hecho de que la aceleración es proporcional al desplazamiento y tiene dirección opuesta. Se puede verificar que cada una de las funciones 𝑥1 = 𝑠𝑒𝑛 (

𝑘 𝑚

𝑘

𝑡) y 𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠 (

𝑚

𝑡) satisface la ecuación (2.2). Estas

funciones, por consiguiente, constituyen dos soluciones particulares de la ecuación diferencial (2.2). La solución general de la ecuación (2.2) se obtiene multiplicando cada una de las soluciones particulares por una constante arbitraria y sumando. Por tanto, la solución general se expresa como 𝑥 = 𝐶1 𝑥1 + 𝐶2 𝑥2 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛

𝑘 𝑚

𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠

𝑘 𝑚

𝑡

(2.3)

Se observa que 𝑥 es una función periódica del tiempo 𝑡 y, por tanto, representa una vibración de la partícula 𝑃. El coeficiente de 𝑡 de la expresión obtenida se conoce como la frecuencia circular natural de la vibración, y esta denotada por 𝜔𝑛 . Se tiene 𝑭𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 = 𝝎𝒏 =

Si en la ecuación (6.3) se sustituye,

𝑘 𝑚

𝒌 𝒎

(2.4)

, se escribe

𝑥 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 7

(2.5)

Esta es la solución general de la ecuación diferencial ẍ + 𝝎𝟐𝒏 𝒙 = 𝟎

(2.6)

La cual se puede obtener a partir de la ecuación (2.2) dividiendo ambos términos entre 𝑚 y observando que

𝑘 𝑚

= 𝜔𝑛2 . Diferenciando ambos miembros de la ecuación

(2.5) con respecto a 𝑡, se obtienen las siguientes expresiones para la velocidad y la aceleración en el instante 𝑡: 𝑣 = ẋ = 𝐶1 𝜔𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶2 𝜔𝑛 sen 𝜔𝑛 𝑡

(2.7)

𝑎 = ẍ = −𝐶1 𝜔𝑛2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 − 𝐶2 𝜔𝑛2 cos 𝜔𝑛 𝑡

(2.8)

Los valores de las constantes 𝐶1 y 𝐶2 dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Por ejemplo, 𝐶1 = 0 si la partícula se desplaza de su posición de equilibrio y se suelta en el instante 𝑡 = 0 sin la velocidad inicial, y 𝐶2 = 0 si la particula se suelta de la posición 𝑂 en el instante 𝑡 = 0 con una cierta velocidad inicial. En general, si se sustituye 𝑡 = 0 y los valores iniciales 𝑥0 y 𝑣0 del desplazamiento y la velocidad en las ecuaciones (2.5) y (2.7), se encuentra que 𝑣

𝐶1 = 𝜔0 y 𝐶2 = 𝑥0 . 𝑛

Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una partícula se pueden escribir en una forma más compacta si se observa que la ecuación (2.5) expresa que le desplazamiento 𝑥 = 𝑂𝑃 es la suma de las componentes 𝑥 de los dos vectores 𝑪1 y 𝑪2 , respectivamente, de magnitud 𝐶1 y 𝐶2 , dirigidos como se muestra en la figura 19.2a. Conforme 𝑡 varia, los dos vectores giran en el sentido de las manecillas del reloj; también se observa que la magnitud de su resultante 𝑂𝑄 es igual al desplazamiento máximo 𝑥𝑚 . El movimiento armónico simple de 𝑃 a lo largo del eje 𝑥 se puede obtener, portanto, proyectando en este eje el movimiento de un punto 𝑄 que describe un círculo auxiliar de radio 𝑥𝑚 con una velocidad angular constante 𝜔𝑛 (lo cual explica el nombre de frecuencia circular natural dado a 𝜔𝑛 ). Si 𝜙 denota el angulo formado por los vectores 𝑂𝑄 y 𝑪1 , entonces 8

𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝜙

(2.9)

La que conduce a nuevas expresiones para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de 𝑷: 𝑥 = 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝜙

(2.10)

𝑣 = 𝑥 = 𝑥𝑚 𝜔𝑛 cos⁡ (𝜔𝑛 𝑡 + 𝜙)

(2.11)

𝑎 = 𝑥 = −𝑥𝑚 𝜔𝑛2 𝑠𝑒𝑛⁡ (𝜔𝑛 𝑡 + 𝜙)

(2.12)

La curva desplazamiento – tiempo está representada por una curva senoidal (figura 19.2b); el valor máximo 𝑥𝑚 del desplazamiento se llama amplitud de la vibración, y el ángulo 𝜙 que define la posición inicial de 𝑄 en el circulo se llama ángulo de fase. En la figura 2.2 se observa que se describe un círculo completo

conforme el ángulo 𝜔𝑛 𝑡 se incrementa 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. El valor correspondiente de 𝑡, demostrado por 𝜏𝑛 , se llama periodo de la vibración libre, y se mide en segundos. Por consiguiente, 2𝜋

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 = 𝜏𝑛 = 𝜔

(2.13)

𝑛

El término 𝑓𝑛 denota el número de ciclos descritos por unidad de tiempo, y se conoce como la frecuencia natural de la vibración. Por tanto, 1

𝜔𝑛

𝑛

2𝜋

𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 = 𝑓𝑛 = 𝜏 = 9

(2.14)

La unidad de frecuencia es una frecuencia de 1 ciclo por segundo, que corresponde a un periodo de 1𝑠. En función de unidades base, la unidad de frecuencia es, por tanto, 1/𝑠 o 𝑠 −1 . Se llama hertz (Hz) en el sistema SI de unidades. De la ecuación (2.4) también se desprende que una frecuencia de 1𝑠 −1 o 1 𝐻𝑧 correponde a una frecuencia circular de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 . En problemas que implican velocidades angulares expresadas en revoluciones por minuto (rpm), se 1

1

2𝜋

tiene 1 𝑟𝑝𝑚 = 60 𝑠 −1 = 60 𝐻𝑧, o 1 𝑟𝑝𝑚 =

60

𝑟𝑎𝑑/𝑠 .

Puesto que 𝜔𝑛 se definió en la ecuación (2.4) en función de la constante 𝑘 del resorte y la masa 𝑚 de la partícula, se observa que el periodo y la frecuencia son independientes de las condiciones iniciales y de la amplitud de la vibración. Obsérvese que 𝜏𝑛 y 𝑓𝑛 dependen de la masa y no del peso de la partícula y, por tanto, son independientes del valor de 𝑔. Las curvas velocidad – tiempo y aceleración – tiempo se pueden representar por medio de curvas senoidales del mismo periodo que en la curva desplazamiento – tiempo, pero con diferentes ángulos fase. De acuerdo con las ecuaciones (2.11) y (2.12), se observa que los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son 𝑣𝑚 = 𝑥𝑚 𝜔𝑛

𝑎𝑚 = 𝑥𝑚 𝜔𝑛2

(2.15)

Como el punto 𝑄 describe el círculo auxiliar, de radio 𝑥𝑚 , a la velocidad angular constante 𝜔𝑛 , su velocidad y aceleración son iguales, respectivamente, a las expresiones (2.15). De acuerdo con las ecuaciones (2.11) y (2.12), se ve, por consiguiente, que la velocidad y aceleración de 𝑃 se pueden obtener en cualquier instante proyectando en el eje 𝑥 vectores de magnitudes 𝑣𝑚 = 𝑥𝑚 𝜔𝑛 y 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚 𝜔𝑛2 que representan, respectivamente, la velocidad y la aceleración de 𝑄 en el mismo instante (figura 19.3).

10

Xm

O Wnt

X P

Q0 2 am=xm wn Q Vm= XmWn Wnt +

FIGURA(19.3)

Los resultados obtenidos no se limitan a la solución del problema de una masa conectada a un resorte. Se pueden usar para analizar el movimiento rectilíneo de una partícula siempre que la resultante 𝑭 de las fuerzas que actúan sobre la partícula sea proporcional al desplazamiento 𝑥 y dirigida hacia 𝑂. La ecuación fundamental de movimiento 𝐹 = 𝑚𝑎 se puede escribir, entonces, en la forma de la ecuación (2.6), la cual es característica de un movimiento armónico simple. Puesto que el coeficiente de 𝑥 debe ser igual a 𝜔𝑛2 , la frecuencia circular natural 𝜔𝑛 del movimiento se puede determinar con facilidad. Al sustituir el valor obtenido para 𝜔𝑛 en las ecuaciones (2.13) y (2.14), se obtienen entonces el periodo 𝜏𝑛 y la frecuencia natural 𝑓𝑛 del movimiento. 2.1.2 Péndulo simple (solución aproximada) La mayoría de las vibraciones que se presentan en aplicaciones de ingeniería se pueden representar mediante un movimiento armónico simple. Muchas otras, aunque de diferente tipo, se pueden representar de una manera aproximada mediante un movimiento armónico simple, siempre que su amplitud 11

permanezca pequeña. Considérese, por ejemplo, un péndulo simple, que consiste en una plomada de masa 𝑚 que pende de una cuerda de longitud 𝑙, el cual puede oscilar en un plano vertical (figura 19.4a). en un instante dado 𝑡, la cuerda forma un

L

ma n

T

ma t

= b) W a) FIGURA(19.4)

angulo 𝜃 con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la plomada son su peso 𝑾 y la fuerza 𝑻 ejercida por la cuerda (figura 19.4b). al transformar el vector 𝑚𝒂 en componentes tangencial y normal, con 𝑚𝒂𝒕 dirigido hacia la derecha, es decir, en la dirección correspondientes a valores crecientes de 𝜃, y puesto que 𝑎𝑡 = 𝑙𝛼 = 𝑙𝜃, se puede escribir 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 :

−𝑊 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑙𝜃

Como 𝑊 = 𝑚𝑔 y dividiendo entre 𝑚𝑙, se obtiene 𝜃+

𝑔 𝑙

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0

(2.16)

En el caso de oscilaciones de pequeña amplitud, se pueden remplazar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 con 𝜃, expresando en radianes y, por tanto, 12

𝑔

𝜃+ 𝑙 𝜃=0

(2.17)

Si se compara con la ecuación (2.6) se ve que la ecuación diferencial (2.17) es la de un movimiento armónico simple con una frecuencia circular natural 𝜔𝑛 igual a (𝑔/𝑙) 1/2 . La solución general de la ecuación (2.17) se puede expresar, entonces, como 𝜃 = 𝜃𝑚 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑛 𝑡 + 𝜙) Donde 𝜃𝑚 es la amplitud de las oscilaciones y 𝜙 es un ángulo fase. Con la sustitución en la ecuación (2.13) del valor obtenido para 𝜔𝑛 , se obtiene la siguiente expresión para el periodo de las oscilaciones pequeñas de un péndulo de longitud 𝑙: 2𝜋

𝑙

𝑛

𝑔

𝜏𝑛 = 𝜔 = 2𝜋

(2.18)

2.1.3 Péndulo simple (solución exacta) La formula (2.18) es solo aproximada. Para obtener una expresión exacta para el periodo de las oscilaciones de un péndulo simple, se tiene que regresar a la ecuación (2.16). si se multiplica ambos términos por 2𝜃 y se integra desde un posición inicial correspondiente a la deflexión máxima, es decir, 𝜃 = 𝜃𝑚 y 𝜃 = 0, se puede escribir 𝑑𝜃 𝑑𝑡

2

=

2𝑔 (cos 𝜃 − cos 𝜃𝑚 ) 𝑙

Si se remplazan cos 𝜃 con 1 − 2 𝑠𝑒𝑛2

𝜃 2

y cos 𝜃𝑚 con una expresión similar, se

despeja 𝑑𝑡 y se integra a lo largo de un cuarto de periodo desde 𝑡 = 0, 𝜃 = 0 a 𝑡 = 𝜏𝑛 /4, 𝜃 = 𝜃𝑚 se tiene

𝜏𝑛 = 2

𝑙 𝑔

𝜃𝑚 0

𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛2

13

𝜃𝑚 2 𝜃 2 − 𝑠𝑒𝑛 2

La integral del lado derecho se conoce como integral elíptica; no se puede expresar en función de las funciones algebraicas o trigonométricas usuales. Sin embargo, con 𝜃 𝜃𝑚 = 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜙 2 2

𝑠𝑒𝑛 Se puede escribir 𝜏𝑛 = 4

𝑙 𝑔

𝜋/2 0

𝑑𝜙 1−𝑠𝑒𝑛 2

𝜃𝑚 2

(2.19) 𝑠𝑒𝑛 2 𝜙

Donde la integral obtenida, comúnmente denotada por 𝐾, puede calcularse mediante un método numérico de integración. También se puede encontrar en tabla de integrales elípticas para diferentes valores de 𝜃𝑚 /2. Para compara el resultado que se acaba de obtener con el de la sección anterior, se escribe la ecuación (2.19) en la forma 𝜏𝑛 =

2𝐾 𝜋

2𝜋

𝑙

(2.20)

𝑔

La formula (2.20) demuestra que el valor real del periodo de un péndulo simple se obtiene multiplicando el valor aproximado dado en la ecuación (6.18) por el factor de corrección 2𝐾/𝜋. En la tabla 2.1 se dan valores de corrección para diferentes valores de la amplitud 𝜃𝑚 . Se observa que en cálculos comunes de ingeniería el factor de corrección se puede omitir siempre que la amplitud no sobrepase de 10°. Tabla 2.1. Factor de corrección para el periodo de un péndulo simple

𝜃𝑚

0°

𝐾

1.571 1.574 1.598 1.686 1.854 2.157 2.157 2.768

∞

2𝐾/𝜋 1.000 1.002 1.008 1.017 1.073 1.180 1.373 1.762

∞

10°

20°

30°

60°

14

90°

120°

150°

180°

2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rígidos El análisis de las vibraciones de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos que posee un grado único de libertad, es similar al análisis de las vibraciones de una partícula. Se selecciona una variable apropiada, tal como una distancia 𝑥 o un angulo 𝜃, para definir la posición del cuerpo o un sistema de cuerpos, y se escribe una ecuación que relaciona esta variable y su segunda derivada con respecto a 𝑡. Si la ecuación obtenida es de la misma forma que la ecuación (2.6), es decir, si se tiene 𝑥 + 𝜔𝑛2 𝑥 = 0 𝜃 + 𝜔𝑛2 𝜃 = 0

O (2.21)

La vibración considerada es un movimiento armónico simple. El periodo y la frecuencia natural de la vibración se obtienen, entonces, identificando 𝜔𝑛 y sustituyendo su valor en las ecuaciones (2.13) y (2.14). En general, una manera simple de obtener una de las ecuaciones (2.21) es expresar que el sistema de las fuerzas externas es equivalente al sistema de las fuerzas efectivas por medio de una ecuación de diagramas de cuerpo libre para un valor arbitrario de la variable y escribiendo la ecuación de movimiento apropiada. Se recuerda que el objetivo debe ser la determinación del coeficiente de la variable 𝑥 o 𝜃, no la determinación de la variable misma o de la derivada 𝑥 o 𝜃. Si este coeficiente se hace igual a 𝜔𝑛2 se obtienen la frecuencia circular natural 𝜔𝑛 , con la cual se puede determinar 𝜏𝑛 y 𝑓𝑛 .

15

El método descrito se puede usar para analizar vibraciones que verdaderamente están representadas por un movimiento armónico simple, o vibraciones de pequeña amplitud que pueden estar representadas de manera aproximada por un movimiento armónico simple. Como ejemplo, se determinara el periodo de las pequeñas oscilaciones de una placa cuadrada de 2𝑏 por lado la cual esta suspendida del punto medio 𝑂 de uno de sus lados (figura 19.5a). la placa se considera en una posición arbitraria definida por el ángulo 𝜃 que la línea 𝑂𝐺 forma con la vertical, y se dibuja una ecuación de diagramas de cuerpo libre para expresar que el peso 𝑾 de las placas y las componentes 𝑹𝒙 y 𝑹𝒚 de la reacción en 𝑂 son equivalentes a los vectores 𝑚𝒂𝒕 y 𝑚𝒂𝒏 y al par 𝐼𝜶 (figura 19.5b). Como la velocidad angular y la aceleración angular de la placa son iguales, respectivamente, a 𝜃 y 𝜃, las magnitudes de los dos vectores son, respectivamente, 𝑚𝑏𝜃 y 𝑚𝑏𝜃 2 , mientras que el momento de par es 𝐼𝜃. En aplicaciones previas de este método, siempre que fue posible, se trato de suponer el mimo sentido positivo para 𝜃 y 𝜃 para obtener una ecuación de la forma (2.21). Por consiguiente, la aceleración angular 𝜃 se supondrá positiva en sentido contrario al de las manecillas del reloj, aun cuando esta suposición es obviamente irreal. Si se igualan los momento con respecto a 𝑂, se tiene +↖

−𝑊 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑏𝜃 𝑏 + 𝐼𝜃 1

Como 𝐼 = 12 𝑚 2𝑏

2

+ 2𝑏

2

2

= 3 𝑚𝑏 2 y 𝑊 = 𝑚𝑔, se obtiene 𝜃+

3

𝑔

5

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0

(2.22)

Para oscilaciones de pequeña amplitud, se puede remplazar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 por 𝜃, expresado en radianes, y escribir 𝜃+

3

𝑔

5

𝑏

𝜃=0

(2.23)

La comparación con (2.21) demuestra que la ecuación obtenida es la de un movimiento armónico simple, y que la frecuencia circular natural 𝜔𝑛 de las 16

oscilaciones es igual a

3𝑔 1/2 5𝑏

. Al sustituir en (2.13), se halla que el periodo de las

oscilaciones es 2𝜋

5𝑏

𝑛

3𝑔

𝜏𝑛 = 𝜔 = 2𝜋

(2.24)

El resultado obtenido es válido solo para oscilaciones de pequeña amplitud. Una descripción más precisa del movimiento de la placa se obtiene comparando las ecuaciones (2.16) y (2.22). Se observa que las dos ecuaciones son idénticas si se selecciona 𝑙 igual 5𝑏/3. Esto significa que la placa oscilara como un péndulo simple de longitud 𝑙 = 5𝑏/3, y los resultados de la sección 2.1.3 se pueden usar para corregir el valor del periodo dado en (2.24). el punto A de la placa localizado en la línea 𝑂𝐺 a una distancia 𝑙 = 5𝑏/3 de 𝑂, se define como el centro de oscilación correspondiente a 𝑂 (figura 6.5a). 2.1.5 Aplicación del principio de conservación de la energía En secciones anteriores se vio que, cuando una partícula de masa 𝑚 se encuentra en movimiento armonico simple, la resultante 𝑭 de las fuerzas ejercidas sobre ella tiene una magnitud proporcional al desplazamiento 𝑥 medido a partir de la posición de equilibrio 𝑂 y su dirección es hacia 𝑂; por consiguiente, 𝐹 = −𝑘𝑥. De acuerdo con los temas anteriores, se ve que 𝑭 es una fuerza conservativa y que la energia 1

potencial correspondiente es 𝑉 = 2 𝑘𝑥 2 , donde 𝑉 se supone igual a cero en la posición de equilibrio 𝑥 = 0. Como la velocidad de la partícula es igual a 𝑥, su 1

energia cinética es 𝑇 = 2 𝑚𝑥 2 , y se puede expresar que la energia total de la partícula se conserva escribiendo. 1

𝑇 + 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

2

1

𝑚𝑥 2 + 2 𝑘𝑥 2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Si se divide entre 𝑚/2 y, de acuerdo con secciones anteriores, 𝑘/𝑚 = 𝜔𝑛2 donde 𝜔𝑛 , es la frecuencia circular natural de la vibración, se tiene 𝑥 2 + 𝜔𝑛2 𝑥 2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

17

(2.25)

La ecuación (2.25) es característica de un movimiento armónico simple, puesto que se puede obtener a partir de la ecuación (2.6) multiplicando ambos términos por 2𝑥 e integrando. El principio de conservación de la energía proporciona un método conveniente para determinar el periodo de vibración de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos que posee un solo grado de libertad, una vez que se establece que el movimiento del sistema es un movimiento armónico simple o que puede estar representado por un movimiento armónico simple. Con la selección de una variable apropiada, tal como una distancia 𝑥 o un angulo 𝜃, se consideran dos posiciones particulares del sistema: 1. El desplazamiento del sistema es máximo; en tal caso, 𝑇1 = 0 y 𝑉1 se puede expresar en función de la amplitud 𝑥𝑚 o 𝜃𝑚 (si se elige 𝑉 = 0 en la posición de equilibrio). 2. El sistema pasa por su posición de equilibrio; en tal caso, 𝑉2 = 0 y 𝑇2 se puede expresar en función de la velocidad máxima 𝑥𝑚 o de la velocidad angular máxima 𝜃𝑚 . Por tanto, se expresa que la energía total del sistema se conserva, es decir 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2 . De acuerdo con la sección (2.15), en un movimiento armonico simple la velocidad máxima es igual al producto de la amplitud y de la frecuencia circular natural 𝜔𝑛 ; por consiguiente, se ve que la ecuación obtenida se puede resolver para 𝜔𝑛 . Como ejemplo, considérese otra vez la placa cuadrada de la sección (2.5). En la posición de desplazamiento máximo (figura 6.6a), se tiene 𝑇1 = 0 O,

puesto

𝑉1 = 𝑊 𝑏 − 𝑏 cos 𝜃𝑚 = 𝑊𝑏(1 − cos 𝜃𝑚 ) que

1 − cos 𝜃𝑚 = 2 𝑠𝑒𝑛2

𝜃𝑚 2

≈2

𝜃𝑚 2 2

= 𝜃𝑚2 /2

en

el

caso

de

oscilaciones de pequeña amplitud, 𝑇1 = 0

1

𝑉1 = 2 𝑊𝑏𝜃𝑚2 18

(2.26)

Cuando la placa pasa por su posición de equilibrio (figura 6.6b), su velocidad es máxima, y se tiene 1

1

2

1

1

2 𝑇2 = 2 𝑚𝑣𝑚 + 2 𝐼𝜔𝑚 = 2 𝑚𝑏 2 𝜃𝑚2 + 2 𝐼𝜃𝑚2

𝑉2 = 0 2

O, de acuerdo con la sección anterior, como 𝐼 = 3 𝑚𝑏 2 , 1 5

𝑇2 = 2

3

𝑚𝑏 2 𝜃𝑚2

𝑉2 = 0

(2.27)

Si se hacen sustituciones de (2.26) y (2.27) en 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2 , y como la velocidad máxima 𝜃𝑚 es igual al producto 𝜃𝑚 𝜔𝑛 , se puede escribir 1 2

1 5

𝑊𝑏𝜃𝑚2 = 2

3

𝑚𝑏 2 𝜃𝑚2 𝜔𝑛2

(2.28)

La cual da 𝜔𝑛2 = 3𝑔/5𝑏 y 2𝜋

5𝑏

𝑛

3𝑔

𝜏𝑛 = 𝜔 = 2𝜋

(2.29)

Como previamente se obtuvo. 2.1.6 Vibraciones forzadas Desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería, las vibraciones más importantes son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren cuando un sistema se somete a una fuerza periódica o cuando esta elásticamente conectado a un apoyo que tiene un movimiento alternante. Considérese en primer lugar el caso de un cuerpo de masa 𝑚 suspendido de un resorte y sometido a una fuerza periódica 𝑷 de magnitud 𝑃 = 𝑃𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡, donde 𝜔𝑓 es la frecuencia circular de 𝑷 y se conoce como frecuencia circular forzada del movimiento (figura 6.7). Esta fuerza puede ser una fuerza externa real aplicada al cuerpo, o una fuerza centrifuga producida por la rotación de alguna parte desbalanceada del cuerpo, medido a partir de su posición de equilibrio, se escribe la ecuación de movimiento +↓ 𝐹 = 𝑚𝑎:

𝑃𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡 + 𝑊 − 𝑘 𝛿𝑠𝑡 − 𝑥 = 𝑚𝑥 19

Como 𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡 , se tiene 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡

(2.30)

A continuación se considera el caso de un cuerpo de masa 𝑚 suspendido de un resorte conectado a un apoyo móvil cuyo desplazamiento 𝛿 es igual a 𝛿𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡 (figura 6.8). Si el desplazamiento 𝑥 del cuerpo se mide a partir de la posición de equilibrio estático correspondiente a 𝜔𝑓 𝑡 = 0, se halla que el alargamiento total del resorte en el instante 𝑡 es 𝛿𝑠𝑡 + 𝑥 − 𝛿𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡 . La ecuación de movimiento es, por tanto, +↓ 𝐹 = 𝑚𝑎:

𝑊 − 𝑘 𝛿𝑠𝑡 + 𝑥 − 𝛿𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡 = 𝑚𝑥

Como 𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡 , se tiene 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑘𝛿𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓

(2.31)

Se ve que las ecuaciones (2.30) y (2.31) son de la misma forma y que una solución de la primera ecuación satisfará la segunda si se hace 𝑃𝑚 = 𝑘𝛿𝑚 . Una ecuación diferencial como la (2.30) o la (2.31), con el miembro del lado derecho diferente de cero, se conoce como no homogénea. Su solución general se obtiene agregando una solución particular de la ecuación dad a la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (con el miembro del lado derecho igual a cero). Se puede obtener una solución particular de (6.30) o (6.31) probando una solución de la forma 𝑥𝑝𝑎𝑟𝑡 = 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡 Si se sustituye 𝑥𝑝𝑎𝑟𝑡 por 𝑥 en la ecuación (2.30), se obtiene −𝑚𝜔𝑓2 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡 + 𝑘𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡 = 𝑃𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡 La que se puede resolver para la amplitud, 𝑥𝑚 =

𝑃𝑚 𝑘 − 𝑚𝜔𝑓2 20

(2.32)

Puesto que, de acuerdo con la ecuación (2.4),

𝑘 𝑚

= 𝜔𝑛2 donde 𝜔𝑛 es la frecuencia

circular natural del sistema, se puede escribir 𝑃 /𝑘

𝑥𝑚 = 1−(𝜔𝑚 /𝜔 𝑓

2 𝑛)

(2.33)

Si se sustituye de (2.32) en (2.31), se obtiene de la misma manera 𝛿

𝑥𝑚 = 1−(𝜔 𝑚/𝜔 𝑓

2 𝑛)

(2.33′ )

La ecuación homogénea correspondiente a la (2.30) o (2.31) es la ecuación (2.2), que define la vibración libre del cuerpo. Su solución general, llamada función complementaria, se hallo en secciones anteriores: 𝑥𝑐𝑜𝑚𝑝 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡

(2.34)

Si se asegura la solución particular (2.32) a la función complementaria (2.34), se obtiene la solución general de las ecuaciones (6.30) y (6.31): 𝑥 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 + 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡

(2.35)

Se ve que la vibración obtenida se compone de dos vibraciones superpuestas. Los primeros dos términos de la ecuación (2.35) representan una vibración libre del sistema. La frecuencia de esta vibración es la frecuencia natural del sistema, la cual depende solo de la constante 𝑘 del resorte y de la masa 𝑚 del cuerpo, y las constantes 𝐶1 y 𝐶2 se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales. Esta vibración libre también se llama vibración transitoria, puesto que en la práctica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzas de fricción. El último término de la ecuación (2.35) representa la vibración de estado estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o por el movimiento aplicado del apoyo o soporte. Su frecuencia es la frecuencia forzada generada por esta fuerza o movimiento, y su amplitud 𝑥𝑚 , definida por la ecuación (2.33) o por la ecuación (2.33’), depende de la razón de frecuencia 𝜔𝑓 /𝜔𝑛 . La razón de la amplitud 𝑥𝑚 de la vibración de estado estable a la deflexión estática 𝑃𝑚 /𝑘 21

provocada por una fuerza 𝑃𝑚 , o a la amplitud 𝛿𝑚 del movimiento del apoyo, se llama factor de amplificación. Con las ecuaciones (6.33) y (6.33’), se obtiene 𝑥𝑚

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑃

𝑚 /𝑘

𝑥

= 𝛿𝑚 = 𝑚

1 1− 𝜔 𝑓 /𝜔 𝑛

2

(2.36)

La figura 6.9 es una grafica del factor de amplificación contra la razón de frecuencia 𝜔𝑓 /𝜔𝑛 . Se ve que cuando 𝜔𝑓 = 𝜔𝑓 , la amplitud de la vibración forzada se vuelve infinita. Se dice que la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el apoyo esta en resonancia con el sistema dado. En realidad, la amplitud de la vibración permanece finita debido a fuerzas amortiguadoras; sin embargo, se debe evitar una situación como esa, y la frecuencia forzada no debe ser seleccionada muy cercana a la frecuencia natural del sistema. Asimismo, se ve que para 𝜔𝑓 < 𝜔𝑛 el coeficiente de 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 𝑡 en la ecuación (2.35) es positivo, mientras que para 𝜔𝑓 > 𝜔𝑛 este coeficiente es negativo. En el primer caso, la vibración forzada está en fase con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el apoyo, mientras que en el segundo, esta 180° fuera de fase. Por último, se observa que la velocidad y la aceleración en la vibración de estado estable se pueden obtener diferenciando dos veces con respecto a 𝑡 el último término de la ecuación (2.35). Expresiones similares a las de las ecuaciones (2.15) de la sección (2.1) dan sus valores máximos, excepto que estas expresiones ahora incluyen la amplitud y la frecuencia circular de la vibración forzada: 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚 𝜔𝑓2

𝑣𝑚 = 𝑥𝑚 𝜔𝑓

22

(2.37)

2.2 vibraciones amortiguadas

2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas Los sistemas vibratorios considerados en la primera parte de este capítulo se supusieron libres de amortiguamiento. En

realidad, todas las vibraciones son

amortiguadas hasta cierto grado por fuerzas de fricción. Estas fuerzas pueden ser provocadas por fricción seca, o fricción de coulomb, entre cuerpos rígidos, por fricción

fluida cuando cuándo un cuerpo rígido se mueve en un fluido, o por

fricción interna entre las moléculas de un cuerpo aparentemente elástico. Un tipo de amortiguamiento de especial interés es el amortiguamiento viscoso provocado por la fricción fluida a velocidad baja y moderada. El amortiguamiento viscoso

caracterizado por el hecho de que la fuerza de fricción es directamente

proporcional y opuesta a la velocidad del cuerpo en movimiento. Como ejemplo considérese un cuerpo de masa m suspendido de un resorte de constante k, suponiendo que el cuerpo está conectado al embolo de un amortiguador (figura 19.10). La magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre el embolo por el fluido circundante es igual s c𝒙, donde la constante c, expresa a en N*s/m o lb*s/ft (conocida como coeficiente de amortiguamiento viscoso), depende de las propiedades físicas del fluido y de la construcción del amortiguador. La ecuación de movimiento es +↓ ⅀𝑭 = 𝒎𝒂:

𝑾 − 𝒌 𝜹𝒔𝒕 + 𝑿 − 𝒄𝑿 = 𝒎𝑿

Como 𝑊 = 𝒌𝜹𝒔𝒕 , se puede escribir 𝒎𝒙 + 𝒄𝒙 + 𝒌𝒙 = 𝟎

(2.38)

Como la sustitución de 𝑥 = 𝑒 ℷ𝑡 en la ecuación (2.38) y dividiéndola entre 𝑒 ℷ𝑡 , se obtiene la ecuación característica 𝒎ℷ𝟐 + 𝒄ℷ + 𝒌 = 𝟎

(2.39)

Y se obtienen las raíces 23

𝒌

𝒄

𝒌

ℷ = − 𝒎 ± (𝟐𝒎)𝟐 − 𝒎

(2.40)

Si se define el coeficiente de amortiguamiento critico 𝒄𝒄 como el valor de c hace que el radical de la ecuación (6.40) sea cero, se puede escribir 𝒄

𝒌

𝒄 𝟐 (𝟐𝒎 ) −𝒎=𝟎

𝒄𝒄 = 𝟐𝒎

𝒌 𝒎

= 𝟐𝒎𝝎𝐧

(2.41)

Donde 𝝎𝐧 es la frecuencia circular natural del sistema sin amortiguamiento. Se distinguen tres casos diferentes de amortiguamiento, según sea el valor del coeficiente c. 1.- Sobre amortiguamiento: c˃𝒄𝒄 .

Las raíces ℷ𝟏 𝒚ℷ𝟐

de la ecuación

característica (19.3) son reales y distintas, y la solución general de la ecuación diferencial (19.38) es 𝑿 = 𝒄𝟏 𝒆ℷ𝟏𝒕 + 𝒄𝟐 𝒆ℷ𝟐𝒕

(2.42)

Esta solución corresponde a un movimiento no vibratorio. Como ℷ𝟏 𝒚ℷ𝟐 son negativas, x tiende a cero conforme t se incrementa de manera indefinida. Sin embargo, el sistema realmente recobra su posición de equilibrio después de un tiempo finito. 2.- amortiguamiento crítico: c=𝒄𝒄 . la ecuación característica tiene una doble 𝒄

𝒄 raíz ℷ = − 𝟐𝐦 = −𝝎𝒄 , y al solución general de la ecuación (6.38) es

𝑿 = (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 𝒕)𝒆−𝝎𝒏𝐭

(2.43)

De nuevo, el movimiento obtenido es no vibratorio. Los sistemas críticamente amortiguados son de especial interés en las aplicaciones de ingeniería, puesto que recobran su posición de equilibrio en el tiempo más corto posible sin oscilación 3.- sub amortiguamiento: c 𝜔𝑛 , la vibración esta 180° fuera de fase con la fuerza centrifuga debida al desbalanceo del rotor. Por ejemplo, cuando la masa desbalanceada esta directamente debajo del eje de rotación, la posición del motor es 𝑥𝑚 = 0.001352 𝑖𝑛 sobre la posición de equilibrio.

36

CAPITULO 4.- CONCLUSIONES 2.3

resultados obtenidos

Los resultados obtenidos sobre estos temas son el haber conocido sobre los conceptos acerca de las vibraciones, se aprendió acerca de las formulas que se utilizan para resolver los problemas planteados y saber donde poder utilizarlo en la vida cotidiana.

2.4

Conclusiones

Para poder concluir con el tema de vibraciones con amortiguamiento y vibraciones sin amortiguamiento, se debe saber que estos temas se encuentran al nuestro alrededor como las estructuras las maquinas entre otras, y como ya se sabe sobre los temas de vibraciones se puede saber si las estructuras están bien diseñadas o las pueden corregir de algún modo que no le cueste tanto, por ello es importante aprender bien los conceptos.

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BIBLIOGRAFIA [1]Bedford-Fowler/Addison-Wesley. Mecanica para Ingeniero. Mc-graw-Hill. [2]Beer-Johston. Mecanica Vectorial para Ingenieros. Mc-Graw-Hill. [3]Schmindt/Thomson, P. B.-r. Mecanica para Ingenieros. Mc-graw-Hill.

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