Vibraciones Forzadas No Amortiguadas

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INTRODUCCION 

Las vibraciones han sido del interés de la ingeniería desde el principio de la evolución industrial. Empezando con el desarrollo de dispositivos electromecánicos electromecánicos capaces de crear y medir vibraciones mecánicas, las aplicaciones en ingeniería de las vibraciones han incluido las diversas áreas de la acústica, desde la acústica arquitectónica arquitectón ica hasta la detección y análisis de sismos. En este trabajo se consideran sistemas vibratorios de un grado de libertad, es decir, en los que la posición o configuración configuraci ón de cada sistema se especifica con una sola variable. Los conceptos fundamentales fundamentale s que se presentan, presentan, incluyendo incluyendo la amplitud, amplitud, la frecuencia, frecuencia, el periodo, el el amortiguamiento amortiguamiento y la resonancia, también se usan en el análisis de sistemas con múltiples grados de libertad. Los sismos (vibraciones naturales de la tierra) representan un gran desafío para el análisis y el diseño en ingeniería.

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1. TEORIA DE VIBRACIONES

1.1. DEFINICIÓN GENERAL DE VIBRACIONES

No existe una definición bien exacta de VIBRACION; más sin embargo, se pueden considerar como vibraciones, las variaciones periódicas temporales de diferentes magnitudes. Específicamente, una vibración mecánica es el movimiento de una película o de un cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. Al intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se le llama PERIODO de la vibración. El número de ciclos por unidad de tiempo define la FRECUENCIA del movimiento y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se llama AMPLITUD de la vibración El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introducción expone de forma resumida algunos aspectos teóricos de las vibraciones de los sistemas elásticos, que ayudarán a comprender los métodos de cálculo de la acción de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinámicos. El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseño requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones. Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elástica o gravitacional, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama  periodo de vibración , el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración . Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy conocidas.

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Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez. Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibración forzada . Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras. 1.2. CAUSAS DE LAS VIBRACIONES MECANICAS

Son muchas, pero básicamente las vibraciones se encuentran estrechamente relacionadas con tolerancias de mecanización, desajustes, movimientos relativos entre superficies en contacto, desbalances de piezas en rotación u oscilación, etc.; es decir, todo el campo de la técnica. Los fenómenos anteriormente mencionados producen casi siempre un desplazamiento del sistema desde su posición de equilibrio estable originando una vibración mecánica

1.3. CONSECUENCIAS DE LAS VIBRACIONES

La mayor parte de vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables porque aumentan los esfuerzos y las tensiones y por las pérdidas de energía que las acompañan. Además, son fuente de desgaste de materiales, de daños por fatiga y de movimientos y ruidos molestos. “Todo sistema mecánico tiene características elásticas, de amortiguamiento y de oposición

al movimiento; unas de mayor o menor grado a otras; pero es debido a que los sistemas tienen esas características lo que hace que el sistema vibre cuando es sometido a una perturbación ". “Toda perturbación se puede controlar, siempre y cuando anexemos bloques de control

cuya función de transferencia sea igual o invertida a la función de transferencia del sistema". “Si la perturbación tiene un a frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema, la amplitud de la respuesta puede exceder la capacidad física del mismo, ocasionando su destrucción "

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1.4. MODELO MATEMATICO CLASICO

La ecuación general de la vibración es: (Ecuación 1).

Donde Y es la magnitud que sufre variaciones periódicas temporales, P(t) la variable de reforzamiento o fenómeno incidente de la vibración; a, b, y k son las constantes características del sistema. Utilizando transformada de Laplace, tenemos que

Observamos que la Ecuación 3 nos define la función de transferencia general de nuestro sistema de vibración, lo cual facilita el modelamiento y elaboración de simulaciones.

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2.

VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS

2.1. DEFINICIÓN

El término “vibración forzada” significa que fuerzas externas afectan las vibraciones de un sistema. Se considera que la vibración forzada no amortiguada es uno de los tipos más importantes de movimiento vibratorio en el campo de la ingeniería. Sus principios pueden utilizarse para describir el movimiento de muchos tipos de máquinas y estructuras. Las fuerzas excitadoras pueden ser de diversas naturalezas influyendo esta característica en el comportamiento del sistema sobre el cual actúa. Por ejemplo, las máquinas rotatorias como las turbinas, bombas hidráulicas, etc., están sometidas a una frecuencia de rotación de acuerdo a su diseño. Si existe cierto desplazamiento del centro de masa respecto al centro de giro, sobre el rotor surgirá una fuerza excitadora que será proporcional a la frecuencia de rotación. En la figura se muestra una rueda unida a un rotor con una frecuencia de rotación igual a . En la misma, el centro de masa (b) y el centro geométrico (a) se encuentran desplazados del centro de giro (o) entre otras causas por curvatura del eje. Esta situación provocará que en el centro de masa surja una fuerza F e que tratará de sacar al sistema de su posición de equilibrio, por lo que surgirá otra fuerza, en sentido contrario aplicada sobre el centro geométrico, quetratará de retornarlo a su posición inicial. Las condiciones a la que está sometido ese sistema puede ser llevado al modelo simplificado de masa resorte con un grado de libertad, al que se le añade la acción de la fuerza excitadora F e. Este modelo, el cual prescinde del amortiguamiento, permitirá determinar las propiedades fundamentales de los sistemas mecánicos con vibraciones forzadas.

Figura: Sistema con vibración forzada

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Aplicando la segunda ley de Newton a la figura se tendrá lo siguiente:

   (  )    ̈    ( )   De donde dividiendo por la masa del sistema se tendrá:

  ̈    ( )   ̈      ( )

…(1)

Como se aprecia de la ecuación (1) ahora están presentes dos frecuencias, la propia del sistema y la impuesta por la fuerza excitadora. Luego, de la relación que guarden estas frecuencias entre sí dependerá el comportamiento del sistema bajo la acción de la fuerza excitadora  ( ) En otras palabras el movimiento resultante dependerá de la relación entre la frecuencia natural  y de la frecuencia de la fuerza excitadora. A partir de la ecuación (1) se analizaran 3 casos

a) Si se cumple que    , la fuerza de inercia será mucho mas pequeña que la fuerza elástica y el sistema se mueve en fase con la fuerza impulsora con una amplitud que dependerá de la rigidez del mismo.

b) Si se cumple que    , entonces la fuerza de inercia es mayor que la fuerza elástica del sistema por lo que este se moverá con uan gran aceleración y en fase opuesta ala fuerza implusora.

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c) Si se cumple que    las amplitudes de oscilación se hacen muy grandes, denominándose este fenómeno resonancia. Para demostrar este planteamiento de determinar la amplitud del sistema. Si se considera que la solución de la ecuación diferencial de segundo orden es igual a:

Entonces derivando y sustituyendo en la ecuación (1) se tiene lo siguiente:

Simplificando y despejando la amplitud A 1 se obtiene e siguiente resultado:

De donde finalmente la amplitud del sistema con vibraciones forzadas no amortiguadas será igual a:

Fuerza Periódica. El bloque y resorte que se muestran en la figura constituyen un modelo conveniente para representar las características vibratorias de un sistema sometido a una fuerza periódica     . Esta fuerza tiene una amplitud de  y una frecuencia forzada de  . El diagrama de cuerpo libre del bloque desplazado una distancia x se muestra en la figura.

Figura: Sistema masa resorte

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∑      ;

      ̈

O bien;

  ̈         Esta ecuación es una ecuación diferencial de segundo grado no homogénea. La solución general consta de un solución complementaria  , más una solución particular   . La solución complementaria se determina al establecer el termino del lado derecho de la ecuación igual a cero y resolver la ecuación homogénea resultante.

   (    ) Donde  es la frecuencia natural,   √ , Como el movimiento es periódico, la solución particular de la ecuación puede determinarse si se supone una solución de la forma

     Donde x es una constante. Si calculamos la segunda derivada con respecto al tiempo y sustituimos en la ecuación obtenemos.

      (  )   ( )   Al factorizar   y resolver para X obtenemos

  

     ()   (   )

Remplazando el valor de X en la ecuación Xp

  

      (   )

La solución general es, por consiguiente, la suma de dos funciones seno de frecuencias diferentes

      (   ) 

      (   )

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La solución complementaria  define la vibración libre, la cual dependerá de la frecuencia natural   √  y las constantes C y. La solución particular   describe la vibración forzada del bloque provocada por la fuerza aplicada     . Como todos los sistemas vibratorios se someten a fricción, la vibración libre,  ,se amortiguara al paso del tiempo. Por eso la vibración libre se conoce como transitoria y la vibración forzada se conoce como de estado continuo, puesto que es la única vibración que permanece.

3.

VIBRACIONES APLICADA A LA INGENIERIA CIVIL

4.

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CONCLUSIONES

El término “vibración forzada” significa que fuerzas externas afectan las vibraciones

de un sistema. Se considera que la vibración forzada no amortiguada es uno de los tipos más importantes de movimiento vibratorio en el campo de la ingeniería. Sus principios pueden utilizarse para describir el movimiento de muchos tipos de máquinas y estructuras. -

Durante un sismo un edificio experimenta vibración forzada inducida por fuerzas oscilatorias ejercidas sobre su cimentación, después de que el sismo cesa, el edificio vibra libremente hasta que su movimiento termina por amortiguamiento

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La máquina apisonadora de suelo opera por vibración forzada desarrollada por un motor interno. Es importante que la frecuencia forzadora no se aproxime a la frecuencia natural de vibración del compactador, la cual puede determinarse cuando se apaga el moto, de lo contrario habrá resonancia y la maquina se volverá incontrolable

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5.

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BIBLIOGRAFIA

INGENIERÍA MECÁNICA: DINÁMICA – DECIMOSEGUNDA EDICION – HIBBELER MECANICA PARA INGENIERIA: DINAMICA  – QUINTA EDICIONBEDFORD/FOWLER

6.

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WEBGRAFIA

http://es.scribd.com/doc/56845670/9/Vibraciones-Forzadas-no-amortiguadas http://www.eumed.net/cursecon/vibraciones/f orzadas-no-amortiguadas