Vibraciones Final
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VIBRACIONES LIBRES
INTRODUCCIÓN Al haber analizado los los diferentes tipos de movimiento movimiento en la Dinámica nos vamos a encontrar con el el llamado “MOVIMIENTO VIBRATORIO VIBRATORIO “el “el cual es uno de los más
importantes para el Ingeniero Civil. Por eso es de gran interés interés el análisis del del movimiento vibratorio vibratorio de partículas partículas o de sólidos rígidos que permiten solucionar una serie serie de problemas que se presentan tales como la respuesta de una estructura sometida sometida a la acción del viento, de sismos o de ondas explosivas; las vibraciones que produce un motor en un edificio, las vibraciones que se producen por efecto del viento en las construcciones, las producidas en los puentes por cargas cíclicas, etc. Una vibración mecánica es la oscilación repetida de un punto material o de un cuerpo rígido en torno una posición de equilibrio. Las vibraciones que se producen en las estructuras a causa de terremotos o de la circulación de vehículos próximos pueden dañar e incluso destruir la estructura, por lo cual es misión del ingeniero eliminar o al menos reducir en todo lo posible el efecto de la vibración mecánica mediante un proyecto adecuado. Cuando aplicamos una fuerza adicional, se desplaza un punto material o un cuerpo rígido que estaba en equilibrio estable entonces aparece una vibración mecánica. Ejemplos:
Oscilación horizontal
Oscilación vertical
Oscilación circular
La característica común que encontramos en estos ejemplos es que sobre el cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras las cuales lo hacen volver a su posición de equilibrio. Cuando el cuerpo alcanza su posición de d e equilibrio tiene velocidad no nula y sobrepasa sobrepas a dicha posición y así el movimiento se repite varias veces pasando en uno y otro sentido por su posición de equilibrio. Las oscilaciones que se repiten uniformemente se llaman periódicas y las que no se repiten uniformemente se denominan aperiódicas o aleatorias.
FICSA
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VIBRACIONES LIBRES
CONCEPTOS BÁSICOS CONCEPTO DE VIBRACIÓN: Es un término usado para describir movimientos oscilatorios de un cuerpo o un sistema de cuerpos. Las vibraciones se refieren a la oscilación de un cuerpo o un sistema mecánico alrededor de su posición de equilibrio. Las vibraciones libres son causadas por fuerzas perturbadoras o fuerzas de excitación instantánea, instantánea, que crean en el sistema un desplazamiento con respecto a su posición p osición de equilibrio. Los desplazamientos producidos generan en el sistema, fuerzas de tipo elástico que tienen a llevarlo a su posición de equilibrio. Al cesar las fuerzas perturbadoras, las fuerzas elásticas aceleran el sistema hacia su posición de equilibrio; al cual llegan con una velocidad determinada que hace sobrepase esta posición. De esta manera se genera un movimiento vibratorio o un movimiento oscilatorio; que puede disminuir o mantenerse, según se presente o no fuerzas de resistencias. resistencias. Ej. : Los movimientos oscilatorios del terreno generados por un sismo ocasionan vibraciones en los edificios. En la figura se muestra la acción de una fuerza perturbadora (F(t)),sobre un sistema .
F (t)
POSI POSICI CI N DE DE EQUILIBRIO
VIBRACIÓN LIBRE: Las vibraciones libre también llamadas vibraciones laterales o vibraciones propias; las originan y mantiene fuerzas tales como las fuerzas elásticas o las gravitatorias, las cuales solo dependen de la posición y movimiento del cuerpo En las vibraciones libres no existen fuerzas externas externas que muevan el sistema.
VIBRACIÓN FORZADA: Las vibraciones forzadas las originan y mantiene fuerzas periódicas aplicadas exteriormente, exteriormente, fuerzas que no dependen de la posición y del movimiento del cuerpo.
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VIBRACIONES LIBRES
CONCEPTOS BÁSICOS CONCEPTO DE VIBRACIÓN: Es un término usado para describir movimientos oscilatorios de un cuerpo o un sistema de cuerpos. Las vibraciones se refieren a la oscilación de un cuerpo o un sistema mecánico alrededor de su posición de equilibrio. Las vibraciones libres son causadas por fuerzas perturbadoras o fuerzas de excitación instantánea, instantánea, que crean en el sistema un desplazamiento con respecto a su posición p osición de equilibrio. Los desplazamientos producidos generan en el sistema, fuerzas de tipo elástico que tienen a llevarlo a su posición de equilibrio. Al cesar las fuerzas perturbadoras, las fuerzas elásticas aceleran el sistema hacia su posición de equilibrio; al cual llegan con una velocidad determinada que hace sobrepase esta posición. De esta manera se genera un movimiento vibratorio o un movimiento oscilatorio; que puede disminuir o mantenerse, según se presente o no fuerzas de resistencias. resistencias. Ej. : Los movimientos oscilatorios del terreno generados por un sismo ocasionan vibraciones en los edificios. En la figura se muestra la acción de una fuerza perturbadora (F(t)),sobre un sistema .
F (t)
POSI POSICI CI N DE DE EQUILIBRIO
VIBRACIÓN LIBRE: Las vibraciones libre también llamadas vibraciones laterales o vibraciones propias; las originan y mantiene fuerzas tales como las fuerzas elásticas o las gravitatorias, las cuales solo dependen de la posición y movimiento del cuerpo En las vibraciones libres no existen fuerzas externas externas que muevan el sistema.
VIBRACIÓN FORZADA: Las vibraciones forzadas las originan y mantiene fuerzas periódicas aplicadas exteriormente, exteriormente, fuerzas que no dependen de la posición y del movimiento del cuerpo.
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PERIODO ( ). Es el tiempo que ha de transcurrir para que se repita el movimiento. Al movimiento que se completa durante un periodo se le denomina ciclo. El periodo se expresa en segundos por ciclo o simplemente en segundos.
CICLO.Movimiento que se completa durante un periodo. FRECUENCIA
.
Es la inversa del periodo o sea es el numero de ciclos por unidad de tiempo. La unidad de la frecuencia, el ciclo por segundo (cps) recibe también el nombre de hertz (Hz).
AMPLITUD(A).
La amplitud de una oscilación, es el desplazamiento máximo que sufre el cuerpo respecto a su posición de equilibrio.
ELONGACION ( ): Es el desplazamiento en cualquier punto que sufre el cuerpo respecto a su posición de equilibrio. Para entender mejor estos conceptos veremos v eremos el grafico siguiente:
A
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Observando el movimiento del resorte vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio de equilibrio. A la distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos le llamamos AMPLITUD y la representamos por A.
CONSTANTE DE ELASTICIDAD DE RESORTE (K): Necesaria para alargar o comprimir el resorte una unidad de longitud (En el S.I. Newton/metro).
POSICIÓN DE EQUILIBRIO: Es la posición en la cual un cuerpo se encuentra en equilibrio estático.
POSICIONES EXTREMAS: Son las posiciones alejadas de la posición de equilibrio en donde las velocidades son cero.
MOVIMIENTOS PERIÓDICOS: Son movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales.
MOVIMIENTO ARMÓNICO: Es la forma más simple de movimiento periódico y se representa mediante una función seno o coseno.
FURZAS QUE INTERVIENEN EN UN SISTEMA VIBRATORIO Las fuerzas que actúan sobre la masa comprenden las tres clases generales: 1. LA FUERZA EXCITADORA F(t), fuerza aplicada extremadamente que ocasiona el movimiento del sistema. 2. FUERZA RESTAURADORA Fs, Fuerza que ejerce el resorte sobre la masa en su posición original. 3. FUERZA AMORTIGUADORA Fd, La fuerza siempre actúa en dirección tal que se opone al movimiento del sistema y ocasiona la disipación de energía. 4. FUERZA DE INERCIA . dada por la masa. ESQUEMA DE FUERZAS: v
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̇
Haciendo sumatoria de fuerzas:
Toda esta sumatoria de fuerzas es igual a la masa por la aceleración. Entonces la ecuación se puede escribir como:
̇ ̈
ECUACION GENERAL DIFERENCIAL DEL PROBLEMA DE LA VIBRACION A partir del análisis de las fuerzas que intervienen en un movimiento vibratorio se
x
K
podrá deducir la Ecuación general del movimiento vibratorio es:
̈ ̇ ̈ ̇ ̈ ̇ ̈ ̇
Consideraremos un sistema en el que exista una fuerza restauradora lineal, una fuerza amortiguada viscosa y una fuerza excitadora sinusoidal:
Sustituyendo estos términos en la ecuación de movimiento dada se tendrá:
Haciendo un cambio de variable:
= Frecuencia circular natural
2
´´c´´ es una constante
Dividimos la ecuación entre ´´m´´, luego reemplazamos:
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̈ ̇ ̈ ̇ TIPOS DE VIBRACIONES Se establece los siguientes tipos de vibraciones según las fuerzas que actúan.
Vibraciones
Vibraciones libres
No amortiguada
Vibraciones forzadas
No amortiguada
Amortiguada
Amortiguada
VIBRACIONES LIBRES Cuando la fuerza perturbadora o de excitación F(t) o el desplazamiento son nulas las ecuaciones:
̈ ̇ ̈ ̇ Y
Describen las vibraciones y respuestas de la masa “m” cuando se suelta de su posición que no sea de equilibrio, las vibraciones reciben el nombre de vibraciones libres.
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1. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS. A este tipo de vibraciones las originan y mantienen fuerzas tales como las fuerzas elásticas o las gravitatorias. Estas fuerzas solo dependen de la posición y el movimiento del cuerpo. Y se dice que es no amortiguada cuando fuerzas que se oponen a la fuerza recuperadora (rozamiento, resistencia del aire, amortiguamiento viscoso, etc.) sean despreciables. Las vibraciones libres no amortiguadas se repiten así mismas indefinidamente mientras que las vibraciones libres amortiguadas llegaran a desaparecer. En este caso la masa vibra sin pérdida de energía y la ecuación diferencial de movimiento será: ANÁLISIS DE FUERZAS QUE INTERVIENEN: Fuerzas de Inercia: la gravedad Fuerza Restauradora (kx): Fuerza elástica del resorte
x K
APLICANDO DINAMICA DEL MOVIMIENTO. Aplicando la segunda ley de Newton Podemos describir la ecuación diferencial del movimiento horizontal de la masa.
̈
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Tenemos la ecuación diferencial del movimiento del bloque:
̈
O sea
̈
La ecuación obtenida es la ecuación diferencial del movimiento armónico simple. Donde indica que Por, la aceleración del bloque es proporcional a su desplazamiento respecto a la posición de equilibrio y está dirigida hacia la posición de equilibrio.
̈
̈
Dividimos entre la masa “m”
Cambio de variable:
̈
Donde: : Frecuencia circular natural o pulsación propia.
̈
Ecuación diferencial lineal ordinaria homogénea
La integral general de la ecuación diferencial lineal ordinaria homogénea es:
1
Donde B y C son contantes de integración que hay que determinar a partir de las condiciones iniciales del problema. Otra forma también de escribir la solución también sería:
̇
Para comprobar que las ecuaciones (1) y (2) son iguales
Desarrollamos la ecuación (2)
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Ahora como las ecuaciones (1) y (2) tienen que ser iguales:
Si
,
, entonces
y
De la misma forma para comprobar que las ecuaciones (1) y (3) son iguales
Desarrollamos la ecuación (3)
√ Ahora como las ecuaciones (1) y (3) tienen que ser iguales:
Si
,
y
, entonces
Por lo tanto las ecuaciones (1) y (2) serán iguales si
Donde
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Donde es el ángulo de fase; que es la cantidad en que debe desplazarse la solución para lograr una simple función seno o coseno. La velocidad y la aceleración el bloque se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación (1, 2 y 3)
Velocidad.
Aceleración.
Frecuencia natural
̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̈
.
Se denomina frecuencia angular de la partícula oscilante.
Periodo de oscilación.
Como la curva coseno (*) y la curva seno (**) se repiten cada vez que el ángulo aumenta radianes entonces el periodo de oscilación vendrá dado por:
Frecuencia.
Una frecuencia de oscilaciones de
equivale a una frecuencia natural de
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2. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS El análisis de las vibraciones libres no amortiguadas hacho anteriormente solo es una idealización de sistemas reales, ya que no tiene en cuenta las pérdidas de energía en los rozamientos. Una vez en movimiento, esos sistemas idealizados vibrarían indefinidamente con amplitud constante. Sin embargo, los sistemas reales pierden energía en los rozamientos y llegan a pararse a menos que exista una fuente de energía que los mantenga en marcha. Cuando la energía que pierda el sistema sea pequeña, los resultados serán a menudo de acuerdo con los sistemas ideales, al menos durante intervalos de tiempo cortos. Para intervalos de tiempo más prolongados y cuando las pérdidas de energía no sean pequeñas, habrá que incluir los efectos de las fuerzas de rozamiento. Existen varios tipos de fuerzas de rozamiento que pueden robar energía mecánica de un sistema en vibración.de entre las fuerzas de rozamiento más comunes, podemos citar: el rozamiento fluido (también llamado fuerza de amortiguamiento viscoso), que aparece cuando los cuerpos se mueven a través de fluidos viscosos; el rozamiento seco( también llamado rozamiento de coulomb), que aparece cuando un cuerpo se desliza a través de una superficie seca, y el rozamiento interno, que aparece cuando se deforma un cuerpo solido.
2.1. AMORTIGUADOR VISCOSO LINEAL El amortiguamiento viscoso tiene lugar de manera natural cuando sistemas mecánicos tales como un péndulo oscilan en el aire o en el agua. También presentan amortiguamiento viscoso los amortiguadores del tipo representado simbólicamente en la figura, que se añaden a propósito a los sistemas mecánicos para limitar o regular la vibración. Consiste este tipo de amortiguador en un embolo que se mueve en el interior de un cilindro lleno de un fluido viscoso.
Los amortiguadores viscosos que vamos a considerar son lineales.es decir, el modulo de la fuerza de amortiguamiento viscoso es directamente proporcional a la celeridad con que se extiende o comprime el amortiguador.
̇
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La constante de proporcionalidad recibe el nombre de coeficiente de amortiguamiento viscoso .su unidad en el sistema SI es el y en el sistema ingles es la .el sentido de la fuerza de amortiguamiento viscoso siempre es opuesto a la velocidad.
ANÁLISIS DE FUERZAS QUE INTERVIENEN: Fuerzas de Inercia: la gravedad Fuerza Restauradora (kx): Fuerza elástica del resorte Fuerza Amortiguadora (c ):
̇
Luego la ecuación del movimiento de la masa es:
̇ ̈
̈ ̇
Dividiendo (1) entre la masa se tiene:
Luego definimos: tenemos:
̈ ̇ ⁄ ,
̈ ̇ Donde
; realizamos el cambio de variable en (2) y
,
ó
Esta ecuación describe las variaciones de muchos sistemas amortiguados de un grado de libertad. La forma de solución, y en consecuencia el carácter del comportamiento predicho del sistema depende de si n es menor, igual o mayor que . Según estos se ven los siguientes casos: Amortiguamiento sobre amortiguado Amortiguamiento críticamente amortiguado Amortiguamiento subamortiguado. FICSA
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Retomando la ecuación general para una vibración libre amortiguada, se tiene:
̈ ̇ Esta es una ecuación lineal homogénea de segundo orden, de coeficientes constantes. Estas ecuaciones tienen importantes propiedades, tales como:
Si x1(t) es solución de (3), C 1x1(t) también lo será. Si x1(t) y x2(t) son soluciones, x 1(t) + x2(t) también lo será (principio de superposición) Si x1(t) y x2(t) son soluciones linealmente independientes, la integral general de la ecuación vendrá dada por C 1x1(t) + C 2x2(t). (La integral contiene 2 constantes arbitrarias).
Las funciones x1(t) y x 2(t) son linealmente independientes si y solo si la igualdad:
x1(t) + x2(t) 0… (4) Se satisface únicamente cuando = = 0. Cuando se cumpla (4), siendo y distintos de cero, diremos que x 1(t) y x 2(t) son linealmente dependientes. La condición general (es decir, la condición necesaria y suficiente) para que un conjunto de funciones x 1, x2, x3 ,…, xn sean linealmente dependientes es que el determinante wronskiano de las mismas sea idénticamente nulo x1
x2
x3
xn
x1'
x2'
x3'
xn'
W x1"
x2"
x3"
xn"
0 ……………… (5)
x1n1 x2n1 x2n1 xnn 1
Donde x(n) es la n-ésima derivada de x respecto de t La teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias nos dice que la solución de toda ecuación diferencial ordinaria con coeficientes constantes tiene siempre la forma:
Entonces estas ecuaciones de la forma (3), pueden reducirse mediante la sustitución
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Entonces:
̇ ̈
Sustituyendo (6) y (7) en (3); donde (3):
̈ ̇ Se tiene:
, dividiéndolo entre
tenemos:
A la ecuación (8) es una ecuación algebraica que recibe el nombre de ecuación característica de segundo grado en λ, cuya solución es:
; Donde:
CASOS PARTICULARES DE VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS. i.
CASO SOBRE AMORTIGUADO O SUPERCRÍTICO
En este caso particular se va a cumplir en la ecuación característica que: n² – p² > 0 2 Si n² > ρ la raíz cuadrada es un numero real. No obstante, debido a que tenemos un número negativo n fuera del radical y el valor de la raíz es menor que n se deduce que λ1 y λ2 serán números negativos. Donde λ1 y λ2 serán números reales negativos dados por las ecuación (5) se muestra
en la figura (A), donde se observa que el movimiento no es una vibración, sino que Y decrece con el tiempo y tiende a cero cuando t → α. Este tipo movimiento
frecuentemente se llama movimiento aperiódico y podría burdamente caracterizarse por un amortiguador para el cierre de una puerta. En este caso las raíces dadas por la ecuación característica son ambas reales y negativas pues n² > ρ2. Reemplazando los valores de λ en X, se obtiene la solución general para este caso:
x(t) = C1e
( -n + √(n² – p²))t
+ C2e
( -n - √(n² – p²))t
Donde C1 y C2 son constantes que se determinan de las condiciones iníciales.
ii. FICSA
CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO Página 14
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Para el caso críticamente amortiguado se cumple h = 0 Entonces la ecuación , tiene una raíz repetida, En este caso podrá comprobarse por sustitución directa que , es también solución y como ,y, son linealmente independientes (ya que el determinante wronskiano de no se anula), la solución general de la ecuación (8) para el caso críticamente amortiguado vendrá dada por:
̇
Donde C1 y C2 son constantes que se determinan de las condiciones iniciales en Las ecuaciones indican que el movimiento del sistema no es oscil atorio cuando n≥ . Ellas están expresadas en términos de funciones exponenciales y no contienen senos ni cosenos. La condición n = define la cantidad mínima de amortiguamiento necesaria evitar un comportamiento oscilatorio debido a lo cual se le llama caso críticamente amortiguado. El concepto de amortiguamiento crítico tiene importantes implicaciones en el diseño de muchos sistemas. Por ejemplo, es deseable introducir suficiente amortiguamiento en la suspensión de un auto para que su movimiento no sea oscilatorio, aunque demasiado amortiguamiento haría muy rígida la suspensión.
iii.
CASO SUB AMORTIGUADO O SUBCRÍTICO
En este caso: n
2
2
Puede interpretarse como que el término en que interviene el amortiguamiento es de “menor significación” en relación con el n 0; la influencia del amortiguamiento tiene a desaparecer cuando n0 y el movimiento se aproxima a las vibraciones libres no amortiguadas. Se define n1
2
n02
Cantidad que se denomina pseudopulsación. Entonces 2
n2 = i n 2 2 ; donde i es la unidad imaginaria.
Las raíces pueden escribirse entonces como m1 2 n2 i n2 2 ; m2 2 n2 i n2 2
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Y la solución puede escribirse como la combinación lineal de las soluciones particulares: x(t ) C 1e
x(t )
e
m1t
C 2e
.t
C ei 1 2
m2t
n 2 2 .t
Hacemos C 1 C 2 x1 (t )
e .t 2
cos
1 2
C 2e i
n 2 2 .t
:
n 2 2 .t i. sen n 2 2 .t cos n 2 2 .t i. sen n 2 2 .t
x1 (t ) e .t cos 2 n 2 .t …………………. Primera solución
Hacemos C 1 1
2i
x2 (t )
e .t 2
cos
y
C 2
1 2i
n 2 2 .t i. sen n 2 2 .t cos n 2 2 .t i. sen n 2 2 .t
x2 (t ) e .t sen 2 n 2 …………………….. Segunda solución
Por tanto la solución general de este caso es :
, también podemos considerar:
, donde , es el ángulo de fase y A, B, C constantes
a determinar.
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EJEMPLOS DE VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
1. Un carrito que pesa está unido a tres resortes y rueda sobre un plano inclinado, según como se indica en la figura. Las constantes de los resortes son . Si se desplaza el carrito hacia arriba del plano inclinado una distancia de a partir de su poscicion de equlibrio y se suelta con una velocidad inicial de hacia la parte superior del plano cuando , determinar a) El periodo , la frecuencia y la pulsación de la vibración resultante. b) La posición del carrito en función del tiempo. c) La amplitud de la vibración resultante.
Solución.
a. Primero trazamos el diagrama de cuerpo libre del carrito, en cual la coordenada mide la posición del carrito a lo largo del plano inclinado, siendo para la posición de equilibrio. En esta posición (antes de haber perturbado al carrito), las fuerzas de los resortes son proporcionales a sus deformaciones
,
y
Ahora aplicando la ecuación de equilibrio tenemos
Como no sabemos cuánto se han alargado o comprimido los resortes antes de unirlos al carrito, no es posible determinar el valor de dichas deformaciones estáticas, pero nos podemos dar cuenta que la ecuación (1) nos da una relación entre las deformaciones estáticas y el peso del carrito.
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∑ ̈ ̈ ̈
Cuando el carrito se encuentre en una posición alargamiento de los resortes 1 y 2
arbitraria (positiva) estará reducido el y y se abra
aumentado el alargamiento del resorte 3
. Por lo tanto aplicando la
segunda ley de Newton tenemos:
Ahora bien la cantidad que está en el paréntesis primero es cero por la ecuación (1), entonces la ecuación diferencial (2) se reduce a:
̈ ̈
Luego hallamos
√ ̇ ̇ ̇ ̇
La pulsación propia
La frecuencia propia
El periodo
Res uesta.
Res uesta.
Respuesta.
b.El desplazamiento y la velocidad del carrito se puede escribir de la forma
Pero aplicando las condiciones iniciales que nos dan encontramos las constantes B y C , en . Por lo tanto, y y será
Respuesta.
De otra manera, la posición y la velocidad del carrito se podría escribir de la forma
Y aplicando las condiciones iniciales
, se tiene Por tanto, la ecuación que describe la posición del carrito será
y
y
Otra forma también seria FICSA
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̇ ̇ Aplicando las condiciones iniciales , se tiene y Por tanto, la ecuación que describe la posición del carrito será
y
La solución descrita por estas dos ecuaciones es la misma que representamos aquí en la figura.
c. Como el valor máximo de la función coseno es 1, la amplitud de la vi bración es
FICSA
Res uesta.
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2. La plataforma P de kg mostrada descansa sobre cuatro rodillos. Éstos se pueden representar como cilindros homogéneos de kg con r mm de radio; k=bN/m. ¿Cuál es la frecuencia natural de las vibraciones horizontales de la plataforma respecto a su posición de equilibrio?
DESARROLLO La energía cinética es la suma de la energía cinética de la plataforma P y de los cilindros homogéneos.
( ( ( ) ) ) ()( )() ()
La energía potencial es la energía almacenada en el resorte:
Sabemos que:
y
Dado que es sistema es conservativo, T+V=const. Sustituimos en la relación de la energía cinética y se reduce:
Derivamos con respecto al tiempo:
()[() {( )()}] ()*( )+ *( ) + ( ) ( )
Hay dos posibles soluciones:
Dividimos entre
FICSA
:
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Pero R=r mm=0.001(r)m
La primera puede ser ignorada, a partir de la cual la ecuación del movimiento es:
Para un cilindro homogéneo:
Entonces:
Simplificamos
⁄ y
:
La frecuencia es:
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EJEMPLOS DE VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS 1. Una masa de 2 kg pende, en un plano vertical, de dos resortes y un amortiguador, según se indica en la figura. Si se desplaza la masa 5 mm por debajo de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad hacia arriba de 250 mm/s cuando t = 0, determinar: a) La ecuación diferencial que rige el movimiento. b) El periodo de la vibración resultante. C) La posición de la masa en función del tiempo. d) El primer instante t 1>0 en que la masa pasa por su posición de equilibrio.
D . C. L 2 kN/m 50 N. s/m
KE y C y
4 kN/m
2 kg
m
y(t)
SOLUCIÓN:
FICSA
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VIBRACIONES LIBRES
C 50 N . s / m m 2 kg 1 K E
1 K1
1 K 2
1 2000
1 4000
3 4000
K E
4000 3
N /m
(a)
m Y C Y K E Y 0
2 Y 50 Y
4000
3
Y 25Y
Y 0
2000 3
Y 0
(b) * w 2
2000 3
* 2bw 25
25 b 2w
2
2
b 2
15 64
como : T
T
2
w b w 2
2
2
0.278 seg
(c)
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Resolviendo la ecuación diferencial de la parte (a), se tiene: 2 25
2000 3
0
12.5 22.593i
Y (t ) e 12.5t A sen 22.593 t B cos 22.593 t
Y (t ) 12.5e 12.5t A sen 22.593 t B cos 22.593t e 12.5t 22.593A cos 22.593t 22.593Bsen 22.593t
Usando las condiciones iniciales: Y (0) 0.005m ; Y (0) 0.250 m / s * Y (0) 1 A sen(0) B cos(0) B 0.005
* Y (0) 12.5 A sen(0) B cos(0) 1 22.593A cos(0) 22.593B sen (0)
0.250 12.5 B 22.593A 0.250 12.5(0.005) 22.593 A A 0.0083
Y (t ) e12.5t 0.0083 sen22.593t 0.005cos22.593t (d) Hacemos Y (t ) 0 ; entonces tenemos: 0.0083 sen22.593 t 0.005cos 22.593 t 0 tan 22.593t 0.6024096386 t 0.024 seg
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VIBRACIONES LIBRES
2. Un bloque que pesa 100 N se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamiento, según se indica en la figura. Los dos resortes están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y exentas de rozamientos. Si se desplaza el bloque 75 mm a la izquierda de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad de 1,25 m/s hacia la derecha cuando t=0, determinar: a) La ecuación diferencial que rige el movimiento. b) El periodo de la vibración resultante. C) La posición del bloque en función del tiempo. d) El primer instante t 1>0 en que se anula la velocidad del bloque.
833 N/m 167 N.s/m
100N
1333 N/m
SOLUCIÓN: D . C. L x(t)
K1 x Cx
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m
K2 x 2
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VIBRACIONES LIBRES
m
100 9.81
10.19kg
K E 833
1333 2
1499.5 N m
C 167 N . S m
(a)
m X C X K E X 0
10.19 X 167 X 1499.5 X 0
X 16.389 X 147.154 X 0
(b) * w2 147.154 * 2bw 16.389
b
b2
16.389 2w 268.599321 4 w2
b 2 0.4563
T
T
2
w2 b 2 w2 2 147.154 (0.4563)(147.154)
T
FICSA
0.702 seg
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VIBRACIONES LIBRES
(c) Resolviendo la ecuación diferencial, se tiene: 2 16.389 147.154 0 8.195 8.945 i
X (t ) e 8.195t A sen8.945 t B cos 8.945t
Usando Las condiciones iniciales: X (0) 75mm 0.075m ; X (0) 1.25 m s * X (0) 1 A sen (0) B cos(0) 0.075 B
* X (t ) 8.195e 8.195 t A sen8.945t B cos 8.945t e 8.195 t 8.945A cos 8.945t 8.945B sen 8.945t
X (t ) ( 8.195)( Asen (0) B cos(0) ) (1)(8.945 A cos(0) 8.945B sen (0)) 1.25 8.195 B 8.945A 1.25 8. 195(0.075) 8.945 A A 0.208
X (t ) e8.195t 0.208 sen 8.945 t 0.075 cos 8.945 t
(d)
Hacemos X (t ) 0 ; entonces tenemos:
FICSA
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VIBRACIONES LIBRES
8.945 A cos8.945t 8.945 B sen8.945t 8.195A sen 8.945t 8.195B cos8.945t (8.945 A 8.195B )cos8.945t (8.195A 8.945B )sen 8.945t
tan8.945t
8.945 A 8.195B 8.195 A 8.945B
tan 8.945t 0.5245081427 t 0.054 seg
3. Un bloque de masa “m” se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamientos, según se indica en la figura. Determinar el coeficiente de amortiguamiento “c” del amortigu ador único que podría sustituir a los dos representados sin que cambiara la frecuencia de vibración del bloque.
K2
K1 C1
m
C2
SOLUCIÓN: C 1 y C 2 están en paralelo
FT F1 F 2
C E . X C1. X1 C2. X 2
Pero como están en paralelo significa que la velocidad es la misma para cada resorte;
esto es: X1 X 2 X T Entonces: C C E CC1 C 2 C E
FICSA
1
2
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