Vibración libre con amortiguamiento viscoso

Vibración libre con amortiguamiento amortiguamiento viscoso: En muchos casos el amortiguamiento es atribuido a la resistencia creada por la sustancia, digamos agua, aceite o aire, en que vibra el sistema. Si el cuerpo se mueve lentamente a través de la sustancia, la resistencia al movimiento es directamente proporcional a la rapidez del cuerpo. El tipo de fuerza desarrollada bajo esas condiciones se llama fuerza de amortiguamiento viscoso. La magnitud de esta fuerza es expresada por una ecuación de la forma: F=cx 

Donde la constante c se llama coeficiente de amortiguamiento viscoso y tiene unidades de N.s/m o lb.s/pie El movimiento vibratorio de un cuerpo o sistema con amortiguamiento viscoso puede ser caracterizado por el bloque y el resorte mostrados

en

la

figura.

El

efecto

de

amortiguamiento es proporcionado mediante el amortiguador conectado al bloque en su lado derecho. El amortiguamiento ocurre cuando el pisto P se mueve a la derecha o a la izquierda dentro del cilindro cerrado. El cilindro contiene un fluido, y el movimiento del pistón se retarda ya que el fluido debe fluir alrededor o a través de un pequeño orificio localizado en el pistón. Se supone que el amortiguador tiene un coeficiente c  de amortiguamiento viscoso. Si el bloque es desplazado una distancia x desde su posición de equilibrio, el diagrama de cuerpo libre resultante sería: Tanto la fuerza como el resorte kx  como la fuerza de amortiguamiento cx’  se oponen al movimiento hacia adelante del bloque, por lo que al aplicar la ecuación de movimiento resulta: ∑Fx=max’ ;

-kx- cx’ cx’ =mx’’ o mx’’+cx’+kx’=0 

Esta ecuación diferencial homogénea de segundo orden

tiene soluciones de la forma x=

  donde e es la base de los logaritmos naturales y λ se

puede obtener sustituyendo esta solución en la ecuación lo cual resulta en:

 +cλ +k  =0 

m  Como

 m +cλ+k)=0 

O

  nunca es cero es posible encontrar una solución siempre que m +cλ+k=0 

Por consiguiente la formula cuadrática los dos valores de λ son:

λ1=

         

¸ λ2=

+

          +

Existen tres combinaciones posibles de λ1 y λ2 que deben ser consideradas. Sin

embargo antes de estudiarlas, se definiría el coeficiente de amortiguamiento crítico Cc  que sería:

  = 2mω

Cc= 2m

n 

 

 Aquí el valor de ωn es la frecuencia natural ωn = 

Sistema Sobreamortiguado: Cuando C>Cc ambas raíces λ1 y λ2 son reales.

 +B  

x=A

El movimiento correspondiente a esta solución no es vibratorio. El efecto del amortiguamiento no es tan fuerte que cuando el bloque es desplazado y liberado, simplemente se regresa a su posición original sin oscilar.

Sistema amortiguado críticamente: Si C=Cc entonces λ1 = λ2. Esta situación se conoce como amortiguamiento critico, ya que representa una condición donde

c  tiene



el mínimo valor necesario para que el sistema no vibre. x=(A+B 

Sistema subamortiguado: Si C