Vibraaciones cap01

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Capítulo

1 1 Conceptos generales

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oy en día, uno de los puntos importantes a considerar en el buen funcionamiento de los procesos industriales esta basado entre otras cosas en reglas, procedimientos ó metodologías de mantenimiento, en especial uno conocido como mantenimiento predictivo ya que permite saber el estado actual y futuro de una maquinaria o de sus elementos; el análisis de vibraciones de maquinaria es una de las metodologías ampliamente usadas en el mantenimiento de maquinaria, de tal manera que el estudio de las vibraciones mecánicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniería mecánica ya que le permite comprender, analizar y proponer soluciones sobre diversa problemática relacionada con procesos industriales. En este capítulo se presentan los conceptos introductorios de las vibraciones mecánicas como lo es: su historia, presente, aplicaciones e importancia entre otras cosas. Objetivo general. Presentar los fundamentos teóricos necesarios para comprender la importancia y la aplicación de las vibraciones mecánicas. Objetivos específicos: Conocer entre otras cosas: a) la historia e importancia de las vibraciones mecánicas, b) el presente y futuro de las vibraciones, c) la clasificación de las vibraciones, d) el procedimiento para la elaboración de un modelo matemático.

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1.1 El origen de las vibraciones

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s difícil establecer el origen de la ciencia de las vibraciones mecánicas, ni si quiera adjudicar a una sola persona el título de el “padre de la ciencia de las vibraciones” ya que a través de la historia grandes científicos realizaron importantes aportaciones que hicieron hoy en día del fenómeno de las vibraciones toda una ciencia.

A continuación se presenta un breve recorrido de algunos personajes de ciencia que hicieron aportaciones sobre el fenómeno de las vibraciones. Remontándose en la historia, un personaje celebre de la antigua Grecia sorprendía con grandes e importantes aportaciones filosóficas y matemáticas ,sobre todo en el área de aritmética; hoy en día todos conocemos de el gracias a un famoso teorema dado en su honor conocido como el teorema de Pitágoras. Pitágoras (570 – 497 A.C.) desarrolló la teoría de los números y la teoría de la música y de la armonía en donde afirmaba la relación entre estas dos ciencias. Cuenta la historia que un día pasó por una herrería y se quedó sorprendido al darse cuenta de la rítmica regularidad con la que el herrero hacía repicar el martillo sobre el yunque; tal fue su admiración que llegado a su casa se puso a experimentar, haciendo vibrar varias agujas del mismo espesor y misma tensión, pero de distinta longitud. De esta manera pudo concluir que las notas dependían de la frecuencia de vibración, esto mismo Pitágoras lo calculó y concluyó que la música no era más que una relación matemática de las vibraciones medidas según intervalos. Por otro lado un importante filosofo e investigador llamado Aristóteles (374-355 A.C.). Trabajo con las leyes del movimiento, escribió el primer escrito relacionado con la acústica llamado On Acoustic, introdujo el principio del trabajo virtual

En el presente siglo uno de los personajes de ciencia mas inquietados por este fenómeno es conocido como Galileo Galilei (1564-1642). Galileo encontró la relación existente entre la longitud de cuerda de un péndulo y su frecuencia de oscilación, además encontró la relación entre la tensión, longitud y frecuencia de vibración de las cuerdas. Se cuenta que cierta vez, mientras observaba despreocupadamente las oscilaciones de un candelabro en la catedral de Pisa Galileo Galilei se interesó en medir el tiempo de cada oscilación comparándolo con el número de latidos de su pulso (en esa época todavía no se inventaba los relojes ni los cronómetros). Pudo comprobar, sorprendido, que aun cuando las oscilaciones fueran cada vez más menores, el tiempo de cada oscilación era siempre el mismo. Al repetir el experimento en su casa, comprobó lo anterior utilizando un péndulo (una piedra atada al extremo de

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una cuerda), encontrando además que el tiempo de la oscilación dependía de la longitud de la cuerda. En la década de los 40 del siglo XVII existió uno de los grandes científicos de la historia llamado Isaac Newton (1642-1727), matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal. En el campo de las vibraciones el uso de las leyes de Newton forma un papel importante en el análisis de sistemas y la determinación de frecuencias de oscilación. Publicó su teoría en Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), obra que marcó un punto de inflexión en la historia de la ciencia, y con la que perdió el temor a publicar sus teorías. Con la aparición de la obra de Newton “The principia” implicó a Newton en un desagradable episodio con otro gran filósofo y físico llamado Robert Hooke (1635-1701). En 1687 Hooke afirmó que Newton le había robado la idea central del libro: que los cuerpos se atraen recíprocamente con una fuerza que varía inversamente al cuadrado de la distancia entre ellos. Sin embargo, la mayor parte de los historiadores no aceptan los cargos de plagio de Hooke. Sin embargo, este científico es reconocido por sus investigaciones en el campo de la elasticidad. En 1678, el tambien llamado Leonardo Inglés, publico el libro: “Ut Pondus Sic Tensia” (como el peso así es la tensión) que representa un primer enunciado de su conocida ley de la elasticidad Ya en una época reciente Daniel Bernoulli (1700-1782). estudio la forma de vibrar de algunos cuerpos usando el principio de superposición de armónicos. Daniel Bernoulli hizo una estrecha correspondencia con su amigo Euler en la que trataron temas de la mecánica de los medios flexibles y elásticos, en particular los problemas de pequeñas oscilaciones de cuerdas y vigas. Particularmente atractiva es la polémica que se abrió sobre el tema de la cuerda musical, no sólo entre Euler y Daniel, sino con la incorporación de un joven geómetra Jean le Rond D’Alembert, quien pronto fue considerado entre los más prestigiosos geómetras de Francia en el siglo de las luces. El debate sobre la ecuación de la cuerda, sometida a una vibración en un mismo plano, es importante desde el punto de vista matemático, no sólo porque representa el primer análisis de la solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales, sino además porque la discusión llevó al cuestionamiento de las nociones establecidas de función y de representación de funciones mediante series trigonométricas. En particular en las ideas de Daniel estaba el germen

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de la teoría de representación en series de Fourier que se estableció en el siglo XIX con los trabajos de Fourier, Dirichlet, Riemann y otros. Pero en el siglo XVIII el matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) vino a realizar una de las aportaciones mñas importantes en el área de las vibraciones, en 1807 envió un artículo a la Academia de Ciencias en Paris en él presentaba una descripción matemática de problemas relacionados con la conducción de calor. Pese a que el artículo fue rechazado, contenía ideas que se convertirían en una importante área de las matemáticas llamada en su honor, el análisis de Fourier. Una de las sorprendentes aportaciones del trabajo de Fourier fue que muchas de las funciones más conocidas podían expandirse en series de senos y cosenos; de tal modo que esta aportación es una de las más interesantes e importantes en el campo de las vibraciones mecánicas ya que en base al algoritmo de la serie de Fourier trabajan los modernos analizadores de vibración.

1.2 El presente e importancia de las vibraciones mecánicas En la era moderna, en donde los avances tecnológicos están a la puerta, grandes aportaciones matemáticas y métodos de análisis vinieron a resolver algunos problemas en el campo de las vibraciones mecánicas. Por ejemplo en 1909, Frahm propuso una forma de reducir las vibraciones mecánicas mediante la implementación de sistema agregado sistema masa-resorte. Stodola Aurel (1859 – 1943) hizo aportaciones importantes relacionadas con las vibraciones de membranas, vigas y placas. Timoshenko (1872-1972) realizó aportaciones importantes en la teoría de vibración en vigas. Por otro lado, importantes aportaciones matemáticas ampliaron considerablemente el área de investigación del campo de las vibraciones mecánicas, por mencionar algunos, los métodos de Rayleigh que sirven para determinar las frecuencias de resonancia de algunos elementos basándose en ecuaciones de energía, las variables de estado que permiten “resolver” y analizar problemas basados en ecuaciones diferenciales no lineales, el elemento finito que consiste en discretizar cualquier elemento para posteriormente modelar y analizar su comportamiento como pudiera ser los modos de vibrar, ecuaciones estadísticas que facilitaron el estudio de vibraciones aleatorias. Estos métodos modernos unidos a los avances tecnológicos por ejemplo, a) Las computadoras, b) Los PLC´s, c) Analizadores de vibración, d) 4

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software de monitoreo y/o mantenimiento, etc. hacen hoy en día de las vibraciones todo un campo de investigación tal que existen asociaciones, revistas, seminarios, cursos especializados. dedicados al estudio de este fenómeno. En la actualidad el estudio en este campo es tan grande que basta con ver algunos de sus causa-efecto para entender su importancia. La gente de una u otra forma esta constantemente relacionada con este fenómeno, por ejemplo, el buen funcionamiento de los amortiguadores de un automóvil permite un mejor manejo entre los tripulantes, el mal aislamiento de alguna maquinaria industrial puede dañar la infraestructura de la misma y zona aledaña pudiendo ser conjuntos habitacionales, ruido causado por maquinaria que puede afectar física y psicológicamente a personas de la empresa e inclusive a personas ajenas a la misma, ruidos nocturnos producto de las vibraciones mecánicas de algunos objetos y que en algunas ocasiones son confundidos y relacionados algunas veces con esoterismo y fantasmas. Pero para ampliar lo anterior vamos a considerar ahora la causa-efecto de las vibraciones mecánicas en la industria mecánica. Primero considere que existen diferentes tipos de maquinaria que pueden ser causantes de vibración en algunos casos causado por algunos de los elementos ó por algún proceso; algunos ejemplos de vibración causada por elementos son: desbalance rotativo, coples mal alineados, chumaceras dañadas, engranes defectuosos, bandas mal alineadas, entre otros. Por otro lado, algunos ejemplos causados por procesos industriales pueden ser: procesos de maquinado o de máquinas herramientas, procesos de extrucción, procesos de centrifugado, pruebas mecánicas, etc. Pues bien, estas vibraciones pueden implican problemas de diferente índole como lo es: a) pérdidas económicas, b) daños en maquinaria, c) contaminación por ruido, d) accidentes laborales, entre otros. Es por eso que para el buen funcionamiento de la maquinaria se requiere de una constante inspección para evitar fallas en la misma ya que pueden causar pérdidas económicas a la empresa e incluso daños físicos a las personas. “Yo soy el doctor de este hospital y las maquinas son mis pacientes” fué la frase usada por un colega de la industria minera y con más de 20 años de experiencia industrial en el ramo de la vibraciones mecánicas, “El porqué una maquina tiene temperatura, si una maquina vibra ¿por qué tiene frio?, si una maquina genera ruido ¿por qué llora?, etc” son algunas expresiones usadas por esta persona y que nos dan un panorama de la importancia del buen monitoreo y funcionamiento de la maquinaria industrial. Uno de las formas de monitorear el buen funcionamiento y vida útil de las máquinas es por medio del análisis de vibración, este consiste en tomar medidas de vibración de las maquinas y mediante el uso de gráficos 5

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y/o experiencia, determinar la vida util de la máquina o de uno de sus elementos. Esto conlleva a conservar un historial gráfico y bitácora con el fin de predecir fallas futuras y realizar las acciones correctivas correspondientes. Por otro lado, un fenómeno bien conocido en el ambiente de las vibraciones mecánicas y en el cuál todo ingeniero del ramo de la ingeniería mecánica debería poner atención se le conoce como resonancia, este fenómeno es de gran interés en el estudio de las vibraciones mecánicas ya que ha estado relacionado con diferentes eventos destructivos en la historia de la industria y estructuras, este ha sido el causante de problemas en estructuras, maquinas y contaminación por ruido. Pero ¿Qué es el fenómeno de la resonancia?, en capítulos posteriores se dara una explicación detallada por el momento resta decir que es un fenómeno que se manifiesta con grandes amplitudes de vibración. En la actualidad los investigadores han encontrado aplicaciones de las vibraciones mecánicas como antes no se había imaginado. Sin embargo no todas las vibraciones son malas algunas se producen con propósitos específicos en algún proceso industrial y generalmente son controladas, estas vibraciones son llamadas “buenas vibraciones”; por ejemplo: procesos de centrifugado para separar desechos de materiales, transportación de material por bandas vibratorias (Figura 1-1), acabado y pulido por vibración, elevadores vibrantes, etc.

Figura 1-1Transportador vibrante de frecuencia natural (Cortesia de Urbar Ingenieros www.urbar.com)

Pero la aplicación benéfica de las vibraciones va aún más alla, en conjunto con científicos de diferentes especialidades, las vibraciones han encontrado nuevos campos de investigación y de aplicación, hoy en día se oye hablar además de vibraciones buenas, “vibraciones saludables” Por ejemplo, un problema presentado por los astronautas es que en el espacio, los huesos y los músculos de los astronautas, liberados de la tensión normal de la gravedad, pueden debilitarse en forma alarmante. Los músculos 6

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se atrofian, mientras que los huesos se vuelven frágiles. Ahora, sin embargo, parece que se ha encontrado una solución: un grupo de científicos, patrocinados por la NASA, sugieren que los astronautas podrían prevenir la pérdida de los huesos parándose sobre una plataforma vibrante durante unos 10 ó 20 minutos cada día. Sosteniéndose sobre ella con la ayuda de unas bandas elásticas, los astronautas pueden continuar haciendo otras tareas mientras vibran sobre la plataforma. Hoy en día se estudia esta terapia para ser usada eventualmente usada para el tratamiento de algunos de los millones de personas que sufren de pérdidas de masa ósea, enfermedad conocida como osteoporosis. En un estudio (publicado en el número de octubre del 2001 de la revista The FASE Journal), sólo 10 minutos al día de terapia de vibraciones ayudaron a promover niveles casi normales de formación ósea en un grupo de ratas, a las que se les impidió apoyarse sobre las patas traseras durante el resto del día. Otro grupo de ratas que habían tenido sus miembros traseros suspendidos todo el día, mostraron una disminución considerable en su ritmo de formación ósea -- hasta de un 92% -- mientras que otro grupo de ratas, a las que se les permitió soportar su peso por 10 minutos diarios, pero sin el tratamiento de vibraciones, tuvieron también reducciones en la formación de hueso 61% menos. Estos resultados indican que el tratamiento por vibraciones mantiene a los huesos sanos, mientras que breves periodos de soporte del peso no tiene mayores efectos. Por último, aún con la evolución de los procesos industriales, las computadoras, los sistemas de control y con la aparición de modernos métodos matemáticos. los principios básicos de las vibraciones mecánicas se ven casi inalterables, mas bien estos avances han aportado a nuevos campos de investigación y al desarrollo didáctico e industrial, por ejemplo: a) Uso de la computadora para simulación. Permite mediante programas de simulación resolver diferentes problemas del análisis de vibración, por ejemplo: Working Model, ANSYS, MatLab, LabVIEW, EasyJava Simulation etc. b) Uso de la computadora para el análisis. Existen diferentes programas que facilitan el análisis de vibración de maquinaria industrial, en su mayoría vienen acompañados con los equipos de medición. c) Equipos de medición. Desde los primeros analizadores de vibración hasta los más sofisticados la mayoría se basan en los mismos principios, han evolucionado en tamaño, aditamentos, software entre otros que han facilitado las medidas y el diagnóstico.

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d) Modernos métodos de análisis. Métodos modernos matemáticos son utilizados en el análisis e investigación ya que son fácilmente demostrables mediante el uso de las computadoras; por ejemplo las variables de estado y el elemento finito.

VirtualDyn

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Existe en Internet diversa literatura relacionada con analizadores de vibraciones en su mayoría son aparatos muy costosos, sin embargo existe un proyecto llamado “Analizador Virtual de Vibración” en la que se pretende construir un analizador a bajo costo usando técnicas de programación en LabVIEW, para mas información visite la sección de links del VirtualDyn en el apartado Equipos: Analizador Virtual de Vibración

¿Porque estudiar las vibraciones mecánicas?

Por el impacto y los efectos. Estos pueden ser de carácter económico, social, físico y psicológico, entre otros. El impacto económico es de preocupar a la industria ya que un problema de vibración no atendido puede repercutir en el daño de maquinaria e incluso, en daños físicos a personas causando pérdidas económicas por detención del proceso, mantenimiento e indemnización. El impacto físico y psicológico a personas puede manifestarse de diferentes maneras, por ejemplo, cuando un obrero es sometido a constantes fuentes de vibración le afecta a algunas partes del cuerpo ya que son susceptibles a diferentes frecuencias de vibración. Otro caso se puede observar cuando una fuente de vibración genera ruido a diferentes frecuencias y niveles sonoros en rangos no deseables, además de ser un causante de contaminación ambiental y que puede alterar el comportamiento humano, puede causar daños irreversibles al oído incluyendo sordera. El impacto social se puede manifestar si diferentes fuentes de vibración pueden causan problemas a una persona o grupos de personas ya que esto pudiera repercutir en problemas de relación laboral entre dueños, gerentes o supervisores con empleados o síndicos de la empresa. Otro ejemplo puede ser si en un proceso de maquinaria es causante de transmisión de vibración al piso repercutiendo en problemas a unidades habitacionales a su alrededor, por ejemplo, daños en estructuras y ruido causando inconformidad entre grupos de vecinos.

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Matemática y Ciencia aplicada Una de las principales aplicaciones de temas vistos en el cálculo diferencial, ecuaciones diferenciales, series de Fourier, entre otras, tiene que ver con los sistemas vibratorios, esto convierte a las vibraciones mecánicas en matemáticas aplicadas. Además, puesto que las bases de las vibraciones mecánicas están dadas en diferentes postulados y expresiones matemáticas bien definidas, dichos postulados no se quedan solo plasmados “en papel” ya que sus alcances van más allá debido a que es una ciencia involucrada en los procesos industriales.

1.3 Las vibraciones mecánicas como ciencia aplicada

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As vibraciones mecánicas han pasado a ser desde una “ciencia pura” hasta llegar a una ciencia aplicada pasando por el proceso tecnológico o tecnología, ¿qué quiere decir esto?, pues bien, primero definamos a la ciencia como un conjunto coordinado de explicaciones sobre el porque de los fenómenos que observamos o sea, de las causas de esos fenómenos. Para construir la ciencia se investigan las causas y determina su ordenamiento. La ciencia es la aplicación del llamado método científico a la investigación de algún sector de la realidad. La ciencia tiene como objetivo crear conocimiento para entender el universo, la naturaleza y publicar el conocimiento. La tecnología es el conjunto de conocimientos, técnicas y procesos para el diseño y construcción de objetos y útiles que sirven para satisfacer las necesidades de la humanidad. La tecnología se percibe con los sentidos, es decir, podemos observarla y verla, ambas. Sin embargo la tecnología y la ciencia, necesitan de un método experimental para ser confirmadas y que puede ser demostrable por medio de la repetición, sin embargo podemos decir que existe una tecnología para cada ciencia, es decir, cada rama posee un sistema de tecnología diferente, que permite un mejor desarrollo para cada una de estos. En tal sentido, debemos entender el concepto "ciencia pura", como la actividad de hacer ciencia al margen de su aplicación, es decir, cuando se realiza la investigación científica con el único propósito de producir conocimiento científico. Luego, la conjugación de intereses sociales, económicos y políticos encuentra aplicación a los conocimientos alcanzados, lo cual da lugar a la investigación tecnológica, que a su vez da origen a la tecnología, que es la "ciencia aplicada". Es decir, cuando la ciencia surte su 9

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función práctica, al servicio de quien la posee y al margen de cualquier consideración ética, se convierte en tecnología. ¿Es pues las vibraciones mecánicas una ciencia aplicada?, claro que si. Antes que nada y para empezar recordemos que grandes los grandes científicos que realizaron y formularon conceptos que rigen hoy las vibraciones mecánicas se rigieron bajo todo un proceso científico, es decir, aplicaban la ciencia a todo lo que postulaban. Pero además las bases o principios básicos del estudio de las vibraciones mecánicas cumplen con el procedimiento del método científico, por lo tanto es una ciencia. Pero con la aparición de tecnologías que han permitido no tan solo reforzar algunos conceptos científicos del área de vibraciones, como por ejemplo, los modos de vibrar elementos continuos, sino que además estos conocimientos han sido aplicados movidos por intereses sociales, económicos, entre otros, por ejemplo: a)

Mesas vibratorias basados en el principio de la frecuencia natural.

b)

Aisladores de vibración que se basan en el principio de sistemas de varios grados de libertad.

c)

Análisis de fallas en maquinaria basado en el principio del teorema de Fourier.

d)

Calculo de frecuencias naturales de algunos elementos de máquinas basados en ecuaciones de energías.

e)

Edificios que soportan terremotos basados en el principio de frecuencias naturales y del amortiguamiento.

f)

Estudios clínicos basados en el principio de resonancia.

g)

Solución a algunos problemas de maquinaria basados en el principio del impulso ó impacto.

Es por eso que hoy en día esta ciencia se encuentra tan fundamentada de manera que comprende: a) Temáticas ordenadas y comprensibles. b) Modelos matemáticos representativos . c) Solución a problemas establecidos.

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Temáticas ordenadas y comprensibles El estudio de las vibraciones mecánicas, al igual que otras ciencias, va encaminado desde lo básico, simple hasta lo complejo, los temas expuestos pueden clasificarse como temas: a) introductorios, b) básico, b) intermedio y c) avanzado. a) Temas introductorios. Establecen los conceptos y la terminología general del campo de las vibraciones mecánicas fomentando el interés y la importancia de esta ciencia. Se dan las bases cinemáticas y dinámicas que facilitan la comprensión de los modelos y métodos. Se explican los elementos que forman un sistema vibratorio. b) Temas básicos. Se estudian los sistemas vibratorios basados en un modelo de un solo grado de libertad para pequeñas oscilaciones; además se definen métodos de análisis para modelar sistemas vibratorios con estas características. Los temas involucrados son: vibración libre amortiguada y no amortiguada, métodos para el cálculo de frecuencias naturales, vibración forzada con excitación armónica y por desbalance y la transmisibilidad de vibración. c) Temas intermedios. Aquí se estudian los sistemas de varios grados de libertad replanteando algunos de los temas básicos y definiendo métodos adecuados para este tipo de sistemas. Los temas relacionados con el control de vibraciones y el análisis de vibración son considerados. d) Temas avanzados. Estos temas comprenden el estudio de los sistemas no lineales de uno a varios grados de libertad, métodos modernos de análisis como elemento finito y variables de estado, análisis modal de elementos estructurales, vibración en sistemas contínuos, etc. Modelos matemáticos representativos Como posteriormente se explicara en detalle, resulta ser que un sistema vibratorio puede ser representado por un modelo matemático que incluya los parámetros del sistema, las condiciones iniciales y el tipo de excitación, entre otras cosas, este modelo permite la formulación de criterios importantes para su análisis y diseño y son representados por ecuaciones diferenciales que pueden clasificarse como: a)

Modelo lineal y no lineal. Representado por diferenciales lineales o no lineales respectivamente.

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ecuaciones

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b)

Modelo no forzado y forzado. Representado por un ecuación diferencial homogénea y no homogénea respectivamente.

c)

Modelo con y sin amortiguamiento. Representado por una ecuación diferencial en donde interviene el término que representa la perdida de energía ó no, respectivamente.

d)

Modelo de 1 grado de libertad o de varios grados de libertad. Representado por una ecuación diferencial ó un conjunto de ecuaciones diferenciales respectivamente.

Solución a problemas establecidos. El primer paso dentro del análisis e investigación científica es el planteamiento del problema para posteriormente dar seguimiento a una serie de pasos hasta llegar a la solución. En el campo de las vibraciones mecánicas existen problemas definidos y planteados de tal manera que su solución pasa algunas por el proceso del método científico y otros solo por inducción; opr ejemplo: a) ¿Qué son las vibraciones y que efectos producen? b) ¿Cómo representar un sistema vibratorio? c) ¿Cómo modelar matemáticamente los sistemas vibratorios? d) ¿Cómo determinar la frecuencia natural de un sistema vibratorio? e) ¿Qué efectos rodean a un sistema vibratorio cuando es forzado a vibrar? ¿Cómo reducir y controlar los efectos de las vibraciones? Por lo tanto, basándose en estos conceptos podemos definir: Las vibraciones mecánicas ó también conocida como la mecánica de las vibraciones es una ciencia aplicada como una rama de la mecánica, o mas generalmente de la ciencia, que estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.

1.4 Definición de vibración mecánica

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ibración, vibración mecánica, oscilación, movimiento periódico, etc. son conceptos utilizados para describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una máquina. Una forma simple de definir vibración mecánica es el movimiento de una parte mecánica hacia atrás y hacia

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delante a partir de una posición de descanso, otra manera más formal de definirlo es a partir de la definición de oscilación, por lo tanto: Oscilación: Es el movimiento de vaivén de un parámetro físico alrededor de una referencia. Vibración mecánica: Es la oscilación mecánica de un cuerpo y/o sistema. En la definición de vibración mecánica se habla de cuerpo y/o sistema ya que si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema vibratorio; por ejemplo, en un sistema masa-resorte la masa posee características energéticas cinéticas, y el resorte, características restauradoras. Es importante aclarar que para que un sistema vibre es necesario que posea por lo menos un elemento inercial (energía cinética) y un restaurador (energía potencial). Aunque en algunos casos los elementos restauradores se generalizan como elementos elásticos, existen sistemas en las que no existe un elemento elástico y sin embargo pueden vibrar, por ejemplo el penduleo que se manifiesta como elemento restaurador. Ahora bien, cuando un cuerpo vibra resulta importante definir la causa de la vibración, es decir, si el cuerpo vibra por su condición natural debido a una perturbación instantánea y ajeno a toda excitación permanente, o bien si se debe a que existen fuerzas perturbadoras que hacen vibrar al sistema. De aquí la importancia de considerar los tipos de perturbaciones que hacen vibrar a un sistema. Estas perturbaciones conocidas como excitaciones pueden clasificarse como: a) Instantánea y b) Permanente. Una perturbación del tipo instantánea es aquella que aparece como una perturbación y desaparece inmediatamente. Ejemplos de ello: el golpeteo de una placa, el rasgueo de las cuerdas de una guitarra, el impulso y deformación inicial de un sistema masa - resorte, el impulso generado por el impacto. Una excitación de este tipo además puede aparecer a manera de impulso o a manera de desplazamiento inicial; por ejemplo, una persona en un columpio puede iniciar el movimiento si es impulsado desde su posición de equilibrio o bien si es desplazado desde su posición de equilibrio Una excitación del tipo permanente siempre esta presente en el movimiento del cuerpo. Ejemplos: el caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc. La Figura 1-2 muestra un panorama práctico de estos los tipos de excitación en donde un carro pasa primero por un borde y vibra en su forma natural producto de esta excitación instantánea, posteriormente pasa por un

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conjunto de bordes que lo obligan a vibrar siendo una excitación permanente.

Figura 1-2 Excitación instantánea y permanente

1.5 Unidades del movimiento de las vibración Las vibraciones mecánicas pueden ser medidas tomando diferentes patrones y criterios y que en su mayoría están establecidos, estas medidas tienen que ver con el movimiento por lo tanto conviene analizar algunos criterios relacionados con el movimiento de oscilación. Cuando la variación de una cantidad física se repite con las mismas características después de cierto intervalo de tiempo se dice que se tiene un movimiento periódico, ejemplos de este movimiento pudieran ser la variación de voltaje en generadores de CA, la vibración producida por maquinaria rotativa desbalanceada. Ahora bien, cuando el movimiento de una partícula puede ser representada por una forma senoidal entonces a este movimiento se le conoce como movimiento armónico, ejemplo de un movimiento armónico se puede observar en Figura 1-3 en donde la posición vertical de la partícula p puede ser representada como una onda senoidal.

Figura 1-3 Movimiento armónico

Todo movimiento periódico ó armónico cumple con las característica de una función periódica, es decir que existe una constante T llamada período tal que la posición en un instante x(t) es la misma en x( t + nT) para n = 1,2,3,4 ..... , por lo tanto se puede definir a el período como el valor del 14

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tiempo en la cuál se efectua un ciclo completo. El inverso del período se le conoce como la frecuencia de oscilación y representa de una manera las veces que se repite el movimiento en un determinado tiempo

f =

1 (Hertz) T

En donde el hertz se define como ciclos/seg . Es posible representar la frecuencia en otras unidades, para ello es necesario recordar que 1 rev = 2π radianes y que 1 minuto = 60 segundos, por lo tanto la frecuencia en rad/seg y en rpm están dadas por:

ω=

2π 2π (rpm) (rad/seg) η = T 60T

En una señal armónica el valor máximo se le conoce como amplitud y si se mide desde la referencia se le llama amplitud de pico pero si se mide desde extremo a extremo entonces se le conoce como amplitud de pico a pico como se muestra en la figura 1.3. Dentro del ambiente laboral, estos parámetros son utilizados para la medida del movimiento de la vibración de una maquina y que son: a) b) c) d)

El desplazamiento de la vibración. La velocidad de la vibración. La aceleración de la vibración. La fase.

El desplazamiento de la vibración generalmente se mide de pico – pico y usualmente se usan las unidades de milésimas de pulgada (mils) que es 0.001 in. ó micrómetro que es 0.001 m. La velocidad de vibración generalmente se mide de pico y usualmente se usan las unidades de pulgada por segundo (in/seg) ó milímetros por segundo (mm/seg). Mientras que en a aceleración de vibración generalmente se mide de pico y usualmente se usa como unidad el gs, donde g es la aceleración de la gravedad 980.665 cm/s2. La fase se refiere a la medida relativa entre dos puntos de medición, generalmente se usa el ángulo de separación entre las señales que representan el movimiento de estos puntos. Estos parámetros se pueden visualizar fácilmente en la Figura 1-4 se puede observar como los parámetros de desplazamiento y velocidad en fase a 90o mientras que entre la velocidad y la aceleración están en fase también a 90º con la velocidad y a 1800 con el desplazamiento. Lo anterior se debe a 15

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que si el desplazamiento del movimiento es expresado como y(θ) = Ysen(θ), entonces la velocidad que es la derivada del desplazamiento quedará expresada como v(θ) = Vcos(θ) y la aceleración que es la derivada de la velocidad como a(θ) = -Asen(θ).

Figura 1-4. Las Unidades de medición de las vibraciones

Puesto que se puede medir la amplitud de vibración en términos de desplazamiento, velocidad ó aceleración ahora la pregunta es: ¿Qué unidad de amplitud utilizar?, hay varios elementos a considerar para seleccionar cuál parámetro a utilizar, por ejemplo, el tipo de problema causante de la vibración, tipo de diagnóstico, el equipo utilizado, etc. en el capítulo ANÁLISIS DE VIBRACIÓN se hace un análisis de esta situación, pero la experiencia dice que para bajas frecuencias hasta 10 Hz (600 rpm) la medida de desplazamiento es recomendable, mientras que para frecuencias de 10 a 1000 Hz (600 – 60000 rpm) cualquier unidad de amplitud puede ser utilizada aunque se recomienda el análisis de velocidad, por último para frecuencias arriba de 1000 hz la medida de la amplitud de aceleración es recomendable.

1.6 Clasificación de las vibraciones mecánicas Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas dependiendo de: a) la excitación, b) la disipación de energía, c) la linealidad de los elementos y las características de la señal.

 Vibración libre Dependiendo de la excitación  Vibración Forzada Una Vibración libre es cuando un sistema vibra debido a una excitación del tipo instantánea, mientras que la vibración forzada se debe a una excitación del tipo permanente. Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente si solo existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energía por medio de un impulso ( energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte.

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 Amortiguada Dependiendo de la disipación de energía   No amortiguada El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios y se manifiesta con la disminución del desplazamiento de vibración. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la fricción, o bien, o como un elemento físico llamado precisamente amortiguador. Por lo tanto, la vibración amortiguada es aquella en la que la frecuencia de oscilación de un sistema se ve afectada por la disipación de la energía, pero cuando la disipación de energía no afecta considerablemente a la frecuencia de oscilación entonces la vibración es del tipo no amortiguada.

 Lineal Dependiendo de la linealidad de los elementos  No lineal Si el comportamiento de cada uno de los parámetros de los componentes básicos de un sistema es del tipo lineal la vibración resultante es lineal, en caso contrarío será del tipo no lineal. En la realidad todo elemento se comporta como un elemento no lineal pero si bajo ciertas condiciones se puede considerar como un elemento lineal, entonces el análisis se facilita considerablemente. Por ejemplo, un resorte helicoidal en donde según la ley de Hooke el comportamiento fuerza-deformación es lineal (Figura 1-5) aunque en la realidad los resortes helicoidales tienen un comportamiento no lineal pero este que puede ser aproximado a un elemento lineal y facilitar su estudio sin afectar considerablemente el comportamiento real.

Figura 1-5. Gráfica lineal y aproximación lineal

En algunos casos se puede considerar la linealidad en una región de trabajo y que generalmente es alrededor del punto de equilibrio, por ejemplo, suponga que el comportamiento de un parámetro esta dado por la ecuación y = sen (θ) (Figura 1.6) resulta ser que la gráfica es no lineal, pero alrededor del punto de equilibrio se tiene que para ángulos pequeños, digamos θ ≤ 15o se puede observar una linealidad tal que y = sen (θ) ≈ θ. Otro ejemplo de 17

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gran utilidad para temas posteriores y no es precisamente una linealización sino de aproximación es la ecuación y = 1- cos (θ) en donde alrededor del punto de equilibrio se tiene y = 1 - cos(θ) ≈ θ2/2. Lo anterior puede comprobarse si se analizan estas funciones en su forma expansiva de la serie de Taylor.

Figura 1-6. Región de trabajo en y = sen(θ) , y = 1 – cos (θ)

  Senoidal   Periodica  Deterministica  Compleja Dependiendo de la señal   No periodica   Probabilistica  Cuando el comportamiento vibratorio de un sistema puede ser representado por medio de una ecuación matemática entonces se dice que la vibración es determinística, pero si la señal de vibración se caracteriza por ciclos irregulares de movimiento entonces no es predecible y la vibración es del tipo probabilística o random. En la Figura 1-7 se puede observar un ejemplo de estas señales, aunque en apariencia en algunas ocasiones las señales del tipo deterministicas suelen confundirse con otras llamadas complejas, las vibraciones probabilísticas se caracterizan por no ser señales periódicas.

Figura 1-7. Vibración a) determinística y b) probabilística

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Por otro lado, si las características de la señal se repiten de igual característica después de cierto intervalo de tiempo entonces la vibración será del tipo periódica, si la señal de vibración de un sistema se asemeja a una señal del tipo senoide, entonces se dice que la vibración es senoidal. Una señal compleja a simple vista no se puede representar por medio de una ecuación matemática, pero si esta es del tipo periódica puede ser descompuesta en señales del tipo senoides y/o cosenoides, según el teorema de Fourier. La figura 1.8 muestra un ejemplo de como una señal compleja llamada total puede ser descompuesta en suma de señales senoidales y/o cosenoidales llamados componentes armónicos; en este caso, la señal total es la ecuación y(x) = sen(x) + sen(3x) + sen(5x), sen(x), sen(3x) y sen(5x) son los armónicos. Si las señales pueden ser representadas por medio de una ecuación matemática y si cumple con algunos requisitos, entre ellos ser periódica, entonces los armónicos pueden obtenerse mediante un procedimiento matemático conocido como serie de Fourier; para el caso en que su representación matemática sea problemático, existe otro método en el cuál se pueden calcular los términos armónicos mediante un procedimiento de muestreo de la señal y es conocido como Transformada rápida de Fourier (FFT de sus siglas en ingles Fast Fourier Transform).

Figura 1-8. Señal compleja y sus armónico

Si desea conocer más sobre las Series de Fourier mediante simulaciones visite la página del VirtualDyn en la sección de VirtualDyn simulaciones, o bien visite los siguientes sitios http://www.falstad.com/fourier/ http://www.jhu.edu/~signals/fourier2/

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El concepto involucrado en las series de Fourier es de gran importancia en el campo y el estudio de las vibraciones mecánicas ya que aunque el movimiento armónico es simple de analizar, pues resulta que muchos de los sistemas vibratorios no son armónicos aunque si periódicos 1, para ilustrarlo considere la máquina de Figura 1-9 compuesta por un motor, chumaceras, coples y flechas. Estos elementos pueden ser fuentes de vibración por ejemplo, motor con rotor desbalanceado, daño en las chumaceras, bandas mal tensionadas, etc.; estas fuentes de vibración aunque pudieran ser armónicas, sumadas forman una señal compleja. EL principio del análisis de vibración consiste en hacer uso de un instrumento de medición llamado precisamente analizador de vibraciones con el fín de registrar y estudiar esta señal (señal total) y por medio de un procedimiento de filtrado que el mismo analizador dispone filtrar esta señal en sus componentes armónicos, posteriormente mediante el estudio del comportamiento tanto de la señal total así como de los componentes armónicos poder predecir la falla. Este tipo de análisis se le conoce como análisis de la amplitud en función del tiempo, pero existe otro análisis en función de la frecuencia, ambos serán detallados en capítulos posteriores.

Figura 1-9. Aplicación de las series de Fourier en el análisis de vibración

1.7 Otros conceptos A manera introductoria a capítulos posteriores, a continuación se mencionan algunos conceptos de interés en el campo de las vibraciones mecánicas y que más adelante se detallaran con precisión tanto teórica como analíticamente.

1

No confunda movimiento periódico con armónico ya que un movimiento puede ser periódico pero no necesariamente armónico

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Frecuencia natural.- Es la frecuencia propia de un cuerpo o sistema al poseer inercia y elementos restauradores. Es la frecuencia resultante de la vibración libre por lo tanto no depende de la excitación sólo de las características físicas del sistema. Resonancia.- Fenómeno que ocurre cuando la frecuencia con la que se excita un sistema vibratorio es igual a su frecuencia natural. Aunque el fenómeno de resonancia será discutido más adelante, a manera introductoria se puede decir que es un fenómeno relacionado con las altas amplitudes de vibración y que depende entre otras cosas, de la frecuencia con la que se excita un sistema aún cuando los demás parámetros permanecieran constantes como lo es la fuerza de excitación, la masa y la elasticidad. Para comprender este fenómeno considere el caso de una guitarra acústica, si está se encuentra afinada, entonces al colocar el dedo en el quinto trasto de la sexta cuerda y al hacerla vibrar, sucederá que la quinta cuerda vibrará sola precisamente por el fenómeno de resonancia. Esto se debe a que el tono de la sexta cuerda en el quinto trasto es de LA, la cual es la nota de la quinta cuerda libre (Figura 1.10).

Figura 1-10 Caso de resonancia en una guitarra acústica

Generalmente cuando se trata de dar un ejemplo de este fenómeno se cita el caso ocurrido en el puente de Tacoma Narrow en 1940 (Figura 1-11), aunque ha sido un tema de discusión entre los investigadores, se cree que este puente se derrumbo por el fenómeno de resonancia producto de la vibración torsional de la estructura del puente debido a una probable excitación de unos remolinos.

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Figura 1-11 Tacoma Narrow (1940)

Se podrían mencionar más ejemplos relacionado con este fenómeno pero esto será visto con mayor detalle en capítulos posteriores en donde además se discutirá lo que ocurre durante este fenómeno así como sus efectos. En la página de Dynaworld usted encontrará videos relacionados con el efecto de resonancia, entre otros el del VirtualDyn Tacoma Narrow

1.8 Modelado matemático

L

a solución de muchos problemas en el área de vibraciones mecánicas y en ingeniería en general requieren de un proceso que consiste en representar el modelo del sistema en un a una expresión matemática para su análisis. El procedimiento de representar matemáticamente el comportamiento de un sistema se le conoce como modelado matemático.

El modelaje será la representación con cualquier otro medio de dicha representación matemática, pudiendo ser una computadora o modelos a escala. Para elaborar este modelado se requiere de una serie de pasos y métodos que a continuación se describen. Identificación del problema. En este paso se identifica el tipo de sistema, los elementos que lo forman, así como el proceso. Documentación. Aquí se plantean tres pasos importantes: a) Las leyes que rigen el comportamiento del sistema. b) Los datos necesarios. c) La obtención de dichos datos. 22

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Consideraciones. En este paso se realizan una serie de consideraciones para simplificar la solución del problema, estas deben de ser las adecuadas para el análisis sin afectar el verdadero comportamiento del sistema, por ejemplo: la linealidad, la fricción, las inercias, etc. Representación gráfica. Aquí se realiza una figura del sistema tomando en cuenta las consideraciones anteriores. En esta figura se colocan los elementos necesarios para el análisis descartando aquellos que no intervengan; además, es importante representar los elementos en la forma más simple indicando las conexiones de los elementos. Por ejemplo, considere la estructura mostrada en la figura 1.11 y que corresponde al Space Needle, estructura ubicada en Sattle Washington, si lo que se desea es analizar el comportamiento oscilatorio de la parte superior entonces puede modelarce como un elemento flexible y una masa en su parte superior como se muestra en la Figura 1-12

Figura 1-12 (a) Estructura del Space Needle (b) Modelado gráfico

VirtualDyn

En la página de Dynaworld usted encontrará un enlace al webcam desde el edificio del Space Needle, o bien puede visitar la Web oficial www.spaceneedle.com

Otro ejemplo es la suspensión mostrada en la Figura 1-13, esta puede ser modelada gráficamente por un resorte k y un amortiguador c.

Figura 1-13 (a) Estructura de una suspensión, (b) Modelado gráfico

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Desarrollo del modelo. Ahora se hace uso de las leyes físicas y del desarrollo matemático para encontrar la ecuación diferencial que rige el comportamiento del sistema. Solución matemática. La solución de la ecuación diferencial es el paso siguiente ya que nos proporciona el comportamiento de ciertos parámetros del sistema en función del tiempo. Algunas veces este paso se realiza mediante programas computacionales o bien, se busca soluciones análogas, es decir, se busca relacionar la ecuación con otras ya resueltas y así hacer la analogía.

1.9 Grados de libertad, ecuación de Kutzbach modificada Una de los términos de gran importancia en el modelado matemático de los sistemas dinámicos se le conoce como grados de libertad, estos influyen en el tipo de análisis, metodología y solución a utilizar. Los Grados de libertad (GDL) es el número de parámetros independientes y necesarios para determinar el movimiento entero o la posición entera de un sistema. Por ejemplo , la posición de una partícula en un eje es de un grado de libertad, en dos ejes de dos y en el espacio es de tres grados de libertad, las extremidades del robot hexápodo de la Figura 1-14 es de dos grados de libertad ya que consta de dos servomotores para el movimiento de cada extremidad.

Figura 1-14 Extremidades de un hexápodo con 2 GDL

VirtualDyn

En la página de Dynaworld en la sección de simulación usted encontrará una simulación de una máquina de soldar en donde se muestran el movimiento independiente o grados de libertad de una maquina de soldar

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Pero resulta conveniente buscar una metodología que facilite y permita determinar los grados de libertad de un sistema dinámico; a continuación se presenta un procedimiento basado y modificado de la ecuación de Kutzbach [8]. Lema 1. Una partícula en un plano es de dos grados de libertad. La demostración es sencilla, la posición de una partícula queda determinada por las coordenadas x,y o bien por el radio r y el ángulo teta, o bien P = Pxi + Pyj Lema 2. Un sólido rígido en un plano es de tres grados de libertad. La demostración es simple ya que para determinar la posición de sus partículas es necesario un origen y la inclinación del mismo ya que el radio es constante por ser sólido rígido. Pb = Pa + Pb/a Pb = (Paxi + Payj) + rb/a(cos(α)i + sen(α)j )

Lema 3. Un elemento con flexibilidad líneal es de cuatro grados de libertad. Esto se puede demostrar considerando el caso anterior pero en donde el radio L ahora es variable. Pb = Pa + Pb/a Pb = (Paxi + Payj) + (Pb/axi + Pb/ayj)

Lema 4. Una únion tipo articulación ó deslizamiento disminuye en dos los grados de libertad. Lo anterior es simple de comprender ya que una unión de este tipo limita el movimiento en ambos ejes. Lema 5. Una únion tipo patín ó guía disminuye en uno los grados de libertad. Esto se debe a que este tipo de union limita solo en un eje el movimiento Lema 6. Un elemento fijo no aporta ningún grado de libertad. Por lo que no se considerará en el cálculo

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Es importante aclarar que un elemento en deslizamiento puede considerarce como un elemento rígido y la unión tipo deslizamiento, es decir 3 GDL – 2 GDL = 1 GDL o bien uno solo elemento tipo guía de 1 GDL.

En base a lo anterior una ecuación que nos permita determinar los grados de libertad de los sistemas dinámicos será: GDL = 4L + 3M – 2P – Q Esta ecuación se le conoce como la ecuación de Kutzbach modificada en donde: GDL se refiere a los grados de libertad, L el número de elementos con flexibilidad lineal, como lo es el resorte , el amortiguador, el pistón, etc., M es el número de elementos rígidos, P es el número de uniones tipo articulación, y Q es el número de uniones tipo patín incluyendo las semijuntas por contacto de rodadura con deslizamiento. Ejemplo 1.1 Determine los grados de libertad del cada uno de los sistemas de la Figura 1-15. Se puede decir que el sistema (a) es de tres grados de libertad ya que permite un movimiento vertical y angular del resorte, ademas del movimiento angular de la masa alrededor de la articulación, el sistema (b) es semejante al (a) solo que se limita el movimiento al eje vertical siendo ahora de solo un grado de libertad; en ocasiones el sistema (a) es considerado como de un grado de libertad ya que se supone que el resorte esta conectado en el eje de simetría de la masa permitiendo el mismo movimiento vertical de todas las partículas de la masa, en este caso la masa se considera como una masa puntual y se modela como sistema (c); por último el sistema (d) es de dos grados de libertad.

Figura 1-15 Ejemplos de grados de libertad (GDL)

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Usando la ecuación de Kutzbach modificada se tiene que: Sistema (a) GDL = 4(1) + 3(1) – 2(2) = 3 GDL Sistema (b) GDL = 4(1) + 3(1) – 2(3) = 1 GDL Sistema (c) GDL = 4(1) + 3(0) – 2(1) – 1 = 1 GDL Sistema (d) GDL = 4(2) + 3(2) – 2(6) = 2 GDL Note que para el caso (b) existen dos formas de solucionarlo, la primera considerando a la masa como un elemento y el deslizamiento como una union tipo articulación ya que limita el movimiento en 1, otra forma es considerar al conjunto de masa y deslizamiento como una unión tipo patín en donde la articulación entre el resorte y la masa no se considera ya que es una unión.

Ejemplo 1.2 Determine los grados de libertad del cada uno de los sistemas de la Figura 1-16.

Figura 1-16 Ejemplos de grados de libertad

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Para el caso (a) se tienen 2 elementos elásticos (L=2) 3 rígidos (M=3) y 8 juntas (P=8) , por lo tanto GDL = 4L + 3M – 2P – Q= 4(2) + 3(3) – 2(8) = 1 GDL. Para el caso (b) se puede analizar considerando a la corredera como elemento rígido, es decir,GDL = 4L + 3M – 2P – Q = 4(0) + 3(3) – 2(4) = 1 GDL. o bien como un elemento de unión tipo patín GDL = 4(0) + 3(2) – 2(2) – 1 = 1 GDL. Por último para el caso (c) se tienen 1 elemento elástico (L=1), 2 rígidos (M=2) y cuatro articulaciones (P=4), por lo tanto GDL = 4L + 3M – 2P – Q= 4(1) + 3(2) – 2(4) = 2 GDL.

1.10 REFERENCIAS Historia de las vibraciones [1] Andrew Dimaragonas. Vibration for Enginering 2da. Ed. Prentice Hall. [2] Singeresu S. Rao. Mechanical Vibrations 4ta. Ed. Pearson.

Ciencia, tecnología y método científico [3] Ciencia 1 [4] Ciencia 2

Series de Fourier [5] Openheim Willsky. Señales y sistemas 2da. Ed. Prentice Hall. [6] Samir S. Soliman. Señales y Sistemas, Continuos y Discretos 2da. Ed. Prentice Hall.

Aplicaciones de las vibraciones [7] Urbar Ingenieros. “Buenas Vibraciones”. http://www.urbar.com

Grados de libertad [8] Charles E. Wilson, J. Peter Sadler. Kinematic and Dynamic of machinery 3ra. Ed. Prentice Hall [9] Crespo da Silva, Intermediate Dynamics, complemented with simulation and animations. Mc. Graw Hall.

Otros [10] Lutes Sarkani. Stochasctic Analysis of Structural and Mechanical Vibrations. Prentice Hall

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1.11 EJERSISIOS

1.11.1

Temas de dinámica grupal

E 1.1 Pida a cada persona que escriba en un papel algún elemento de maquinaria, por ejemplo, leva, engrane, chumacera, etc., posteriormente sortee los papeles y redistribúyalos entre las mismas y pida que mencione como ese elemento de maquinaria puede ser objeto de vibración. E 1.2 Pregunte y discuta en el grupa alguna experiencia relacionada con un problema de vibraciones y que causas – efectos se vieron involucrados. E 1.3 Pregunte y discuta que es lo que se sabe sobre el puente Tacoma Narrow E 1.4 Discuta en grupo respecto a algunos métodos, formas, etc de carácter esotérico que algunas personas tratan de justificarlos basándose en temas del área de vibraciones y ver si es que estos son científicamente justificables.

1.11.2

Temas de investigación

E 1.5 Realizar una investigación sobre el caso del puente Tacoma Narrow en donde se mencione entre otras cosas ubicación, problema, resultados. De sus conclusiones. E 1.6 Investigar sobre temas que relacionan el sonido con las vibraciones mecánicas. E 1.7 Hacer un estudio de las notas musicales así como de las frecuencias que determinan cada nota, investigar que patrón se utilizó para definir estas frecuencias. E 1.8 Investigar con un músico guitarrista el porque muchos de ellos afinan la guitarra partiendo del sonido generado por el tono de una línea telefónica. E 1.9 Realizar una investigación acerca de asociaciones, Revistas, Cursos WEB relacionados con el área de vibraciones mecánicas y especificar los objetivos de ellas. E 1.10 Investigar si el fenómeno o principio tras la máquinas usadas en el estudio de resonancia magnética nuclear esta relacionado con algún fenómeno del área de vibraciones.

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1.11.3

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Proyectos didácticos

E 1.11 Comprendiendo el fenómeno de la resonancia. Material utilizado: ligas y contrapeso. Unir el contrapeso a las ligas y sostenerlas del otro extremo con la mano como se muestra en la figura, poner a oscilar el sistema y procurar usar un contrapeso tal que las oscilaciones estén alrededor de 2 ciclos/seg. Poner a oscilar el sistema estirando el contrapeso y observar su frecuencia. Ahora mover el sistema usando la mano con la cuál esta sosteniendo la liga a diferentes frecuencias procurando que una de ellas sea próxima a la natural y observar que sucede con las amplitudes. Discuta cuando es vibración libre y cuando es forzada, ¿ocurre el fenómeno de resonancia?. Formular conclusiones

E 1.12 Usando las series de Fourier. Buscar una ecuación periódica con condiciones suficientes para obtener la serie de Fourier y obténgala la serie de dicha ecuación hasta cinco armónicos. (Ver apéndice). Utilizar el módulo de Fourier del programa PaVib para comprobar dichos resultados.

Módulo de Fourier del Pavib

1.11.4

Cuestionario

1.11.5

Preguntas de razonamiento

1.11.6

Problemas

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Capítulo

2 2 Elementos de sistemas vibratorios

L

os elementos que forman una maquinaria en toda su complejidad, desde el punto de vista vibratorio se pueden representar como un modelo que involucre los elementos inerciales, los restauradores y los amortiguadores conectados formando un modelo de uno o varios grados de libertad. En este capítulo se hace un análisis detallado de estos tres elementos que consiste en ver cuál es la función que desempeñan en el sistema vibratorio, los arreglos en dicho sistema, equivalencias así como las leyes físicas que rigen su comportamiento. Objetivo general. Presentar un estudio detallado de los elementos básicos de un sistema vibratorio y la función que desempeñan. Objetivos específicos: a) Conocer las propiedades elásticas de los materiales y sistemas mecánicos así como la representación de un elemento elástico equivalente, b) conocer las propiedades de los amortiguadores y los efectos del amortiguador y c) conocer las propiedades inerciales de los sistemas mecánicos así como la representación de un elemento inercial equivalente.

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2.1 Elementos Elásticos

T

odos los materiales poseen características elásticas en mayor o menor grado. Cualquier material al que se le aplique una fuerza sufrirá una deformación proporcional a la fuerza. Pueden considerarse como elementos elásticos los resortes de cualquier tipo, los elementos estructurales como vigas y placas, así como algunos hules, cauchos polímeros, etc. Además del resultado de acomodarlos en arreglos del tipo serie y/o paralelo.

A continuación se detalla la forma en que se presenta la elasticidad de algunos elementos elásticos así como la forma de calcular sistemas elásticos equivalentes de elementos estructurales; además se presentará la forma de representar arreglos de elementos elásticos serie y/o paralelo así como su representación equivalente.

2.1.1

Resortes helicoidales y torsionales

Los resortes helicoidales (Figura 2-1) son uno de los más usados en sistemas vibratorios y puede ser considerado como el modelo representativo de la elasticidad de un sistema vibratorio. Considere un resorte helicoidal del tipo ideal, es decir, aquel cuya deformación es lineal por lo menos en una región de trabajo. Se puede establecer la ley de Hooke de la siguiente manera Ley de Hooke: Un elemento elástico recibe una deformación directamente proporcional a la fuerza que soporta.

Figura 2-1Resortes helicoidales

Lo anterior se refiere a que si se aplica una Fuerza F1=10 N el resorte experimentará una deformación x1=1 cm .Una fuerza F2 aplicada al mismo 33

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resorte hará que se deforme x2 = cx1 donde c es una constante. Por ejemplo, si una fuerza F1 = 10 N deforma a un resorte x1 = 1 cm. intuitivamente es de esperar que una fuerza F2 = 20 N deforme al resorte x2 = 2 cm. ya que si F2 = 2F1 , entonces x2 = 2x1. (Figura 2-2)

Figura 2-2 Deformación proporcional

Ahora si una fuerza F3 = 50 N se aplica al resorte entonces la deformación resultante será de 5 cm. Por lo tanto es importante encontrar una relación directa entra la fuerza y la deformación y que cumpla para todos los valores. Si se analiza las condiciones anteriores se tiene que:

F3 F2 F1 = = =k x 3 x 2 x1 donde k es una constante proporcional llamada constante elástica, de aquí la relación entre la fuerza y la deformación es:

f k = kx

Ec. 2.1

donde fk es la fuerza elástica dada en Newton(N) o Libra (lb.), la deformación en metros (m) o pies (ft) y la constante elástica en N/m o Lb/ft, según el sistema de unidades. Es común ver en algunas fichas técnicas la constante elástica en unidades de Kg/cm ya que en algunos casos muestra una mejor visión del comportamiento del resorte, tomando a este como kg fuerza, lógicamente nos referimos al sistema técnico. Retomando el ejemplo anterior se concluye que K=1000 N/m. Esta relación se muestra en la gráfica de la Figura 2-3

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Figura 2-3 Relación entre la fuerza aplicada y deformación

Los resortes del tipo helicoidal tienen un comportamiento muy aproximado al tipo lineal y dicha constante se puede encontrar en función de los parámetros de diseño como se muestra en la ecuación 2.2.

Figura 2-4 Comportamiento de un resorte helicoidal

k=

Gd 4 8nD 3

Ec. 2.2

donde G es el módulo de corte (young), D el diámetro de la espira, d el diámetro del alambre y n es el número de vueltas. Ahora considere un resorte torsional como el que se muestra en la Figura 2-5 En la ecuación 2.3 muestra como calcular esta constante en función de los parámetros de diseño

Figura 2-5 Resorte torsional 35

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kτ =

EI L

Ec. 2.3

donde kτ es la constante elástica torsional en N-m/rad, E es el módulo de elasticidad del material de la espira, L la longitud total de la espira y I es el momento de inercia de la sección transversal. Tomando como analogía las notas dadas en resortes helicoidales se tiene que la relación que existe entre el momento aplicado y la deformación angular será:

M = kτ θ

Ec. 2.4

donde M es el momento aplicado en N-m, kτ es la constante elástica torsional en N-m/rad y θ es el desplazamiento angular en radianes. Una gráfica del momento contra deformación sería de las mismas características a la mostrada en la figura

2.1.2

Elementos estructurales

Los materiales sometidos a diferentes fuerzas y momentos pueden experimentar deformaciones considerables desde el punto de vista vibratorio, por lo tanto existe una relación lineal entre la carga aplicada y su deformación. Siempre y cuando se trabaje en la zona conocida como zona elástica (Figura 2-6)

Figura 2-6 Región de trabajo en materiales

Por lo tanto en esta zona de trabajo es posible encontrar una relación entre esfuerzo y deformación llamado módulo de elasticidad E, donde E = σ/ε donde σ es el esfuerzo en Pascales y ε es la deformación unitaria en mm/mm. En nuestro caso nos interesa encontrar la relación entra carga y 36

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deformación, es decir k = P/x, donde P es la carga en N, x es la deformación en m y k la constante elástica en N/m. Es posible encontrar la relación entre la carga vs. deformación real usando las ecuaciones de esfuerzo vs. deformación unitaria, por lo tanto la constante elástica equivalente de un resorte con esas características tendra la misma deformación. Considere como ejemplo los dos elementos estructurales mostrados en la Figura 2-7 sometidos a una fuerza P aplicada en un punto como se muestra

Figura 2-7 Elementos estructurales (a) Barra a tensión y (b) viga en cantiliver

Considerando primero el caso de la barra sometida a tensión como se muestra en la Figura 2-7 (a), si L es la longitud de la barra y A es el área de la sección transversal y E es el módulo de elasticidad, entonces la deformación real de la barra delta esta dada por δ = PL/(EA), por lo tanto la relación entre la carga P y la deformación δ nos dará l constante elástica:

k=

EA L

Ahora considere la viga en cantiliver como se muestra en la figura 2.6 (b)b, para el caso de las vigas la deformación en un punto dado del claro se le conoce como la ecuación de deflexión de la curva y(x) y que esta en función de entre otras cosas del punto x en donde se encuentra ubicada la carga P. Para el caso de una viga en cantiliver esta ecuación esta dada por:

Px 2 (3L − x ) y ( x) = 6 EI por lo tanto si la carga se coloca en el extremo de la viga, es decir, para x = L, se tiene que la relación entra la carga P y la deformación y esta dada por:

k=

3EI L3

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Se puede realizar el mismo procedimiento para encontrar la constante elástica de diferentes elementos estructurales como se muestra en la tabla 2.1 Elemento

Constante elástica

k=

Elemento

3EI L3

k=

192 EI

k=

48EI

3

L

L3

Constante elástica k=

EA

k=

GJ L

L3

E - módulo de elasticidad del material G – módulo de young J – constante de torsión de la sección transversal I - inercia de la sección transversal

Tabla 2-1 Constantes elásticas de elementos estructurales

2.1.3

Elementos elásticos equivalentes

Los elementos de maquinaria pueden componerse de varios elementos y conectados de diferentes formas, de aquí la necesidad de encontrar en muchas ocasiones un elemento elástico equivalente tal que al aplicarle una fuerza P en un punto dado se produzca la misma deformación x en dicho punto, es decir ke = P/x. 2.1.3.1

Arreglos serie y paralelo

Elementos elásticos en serie. Dos o más elementos elásticos están en serie si la fuerza aplicada en un extremo se transmite en la misma proporción en cada uno de ellos. Para explicar lo anterior considere dos resortes en serie como se muestra en la Figura 2-8 en donde el objetivo es encontrar un elemento único equivalente de constante elástica ke tal que al aplicarle la misma fuerza F se tenga la deformación total xT

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Figura 2-8 Resortes en serie

Por definición se tiene que F = F1 = F2 y xT = x1 + x2, por lo tanto, un elemento elástico equivalente tendrá una constante elástica equivalente tal que Ke = F /xT. como el desplazamiento total esa dado por xT = x1 + x2 y además x1 = F1/k1 y x2 = F2/k2, se tiene que:

ke =

F F = = xT x1 + x 2 F1

F k1

+

F2

=

1 1

k2

k1

+ 1

k2

en términos generales para n elementos elásticos en serie la constante elástica equivalente esta dada por:

1 1 1 1 = + +K k e k1 k 2 kn

Ec. 2.5

Elementos elásticos en paralelo. Dos o más elementos elásticos están en paralelo si fuerzas distribuidas en ellos producen la misma deformación. Para explicar lo anterior considere dos resortes en paralelo como se muestra en la Figura 2-9 en donde el objetivo es encontrar un elemento único equivalente de constante elástica ke tal que al aplicarle la misma fuerza F se tenga la deformación total xT

Figura 2-9 Resortes en paralelo

en este caso se tiene que F = F1 + F2, y que xT = x1 = x2, un elemento elástico equivalente será de constante elástica equivalente ke tal que que Ke 39

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= F /xT. como la fuerza total esta dada por FT = F1 + F2 y además x1 = F1/k1 y x2 = F2/k2, se tiene que:

ke =

F F1 + F2 k1 x1 + k 2 x 2 = = = k1 + k 2 xT xT xT

En términos generales para n elementos elásticos en paralelo la constante elástica equivalente esta dada por:

k e = k1 + k 2 + K + k n

Ec. 2.6

En un sistema vibratorio además de resortes se puede disponer de otros elementos elásticos táles como vigas, muelles, etc. y pueden intervenir de la misma manera, ya sea como arreglo serie o paralelo, ver figura 2.9

Figura 2-10 Arreglos serie, paralelo y combinado

Ejemplo 2.1 Considere el sistema mostrado en la, Figura 2-11 si se aplica una fuerza F = 500 N, determine la fuerza y deformación en cada elemento. El elemento k1 es de acero de 20 cm. de claro y de sección transversal circular de 1 cm. de diámetro, el elemento k3 es de aluminio de 25 cm. de claro y de sección transversal cuadrada de 1 cm. *por lado. El resorte es de k2=30 KN/m

Figura 2-11 Ejemplo de arreglos 40

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Primero se calculan las constantes elásticas k1 y k3; de la tabla 2.1 se obtiene que la constante elástica para una viga en cantiliver es k=3EI/L3. El módulo de elasticidad para el acero es 200 GPa y para el aluminio es de 70 Gpa. Las secciones circulares tienen un momento de inercia para la sección circular de I = πr4 /4 y para la sección rectangular es de I=ab3/12.

k1 =

3EI 3(200 × 109 )(π × 0.0054 ) / 4 = = 36810 N/m L3 0.203 k3 =

3EI L3

=

3(70 × 109 )(0.01 × 0.013 ) 0.253

= 11200 N/m

Ahora obteniendo el diagrama equivalente se tiene que el elemento k1 y el elemento k2 están en serie ya que se transmite la misma fuerza, estos a su vez estan en paralelo con el elemento k3 como se mestra a continuación

Figura 2-12 Ejemplo: diagramas equivalentes

Por lo tanto la fuerza se transmite en la misma proporción, entre k1 desplazamiento xe1 = x3 = xT . Calculando las equivalencias ke1 =

k1k 2 = 16530 N/m k1 + k 2

y k2, y el

k e = ke1 + k3 = 27730 N/m

La deformación total será: xT =

F 0.5 KN = = 1.8031 × 10 − 2 m ke 27.73 KN/m

como xe1 = x3 = xT, se tiene que la fuerza en el elemento 3 y el equivalente 1 será F3 = k3 x3 = 0.20195 KN y Fe1 = ke1xe1 = 0.29805 KN; por otro lado como Fe1 = F1 = F2 se tiene que el desplazamiento en el elemento 1 y el 2 será x1 = F1/k1 = 8.097 x 10-3 m, x2 = F2/k2 = 2.66 x 10-3 m.

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2.1.3.2

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Algunas equivalencias elásticas torcional

Es común ver dentro de los modelos de sistemas vibratorios acoplamientos de elementos elásticos con otros y que debido a su comportamiento pueden ser expresados por un elemento elástico torsional equivalente. Acoplamiento resorte-disco Considere el ejemplo de la Figura 2-13 en donde un resorte se acopla a la periferia de un y que posee condiciones de enrollarce sobre la periferia. Como el resultado del movimiento es angular es posible establecer un elemento elástico equivalente torsional que reemplace al resorte lineal como se muestra en la figura.

Figura 2-13 Acoplamiento resorte-disco(a) y su equivalente(b)

Como la longitud del arco s esta dada por s = r θ , donde r es el radio del disco y θ el desplazamiento angular y la deformación del resorte es precisamente s, se tiene el momento del resorte en el pivote será Mp = (kx)r , como x = s = r θ se tiene que el momento Mp = kr2θ. Por lo tanto la constante elástica torsional equivalente kτ = M/θ , será kτ = kr 2

Acoplamiento resorte-palanca Ahora consdere un acoplamiento de un resorte a una palanca de masa despreciable como se muestra en la Figura 2-14. Como el resultado del movimiento es angular es posible establecer un elemento elástico equivalente torsional que reemplace al resorte lineal como se muestra en la Figura 2-14

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Figura 2-14 Acoplamiento resorte-palanca(a) y su equivalente (b)

En este caso es necesario hacer unas observaciones y suposiciones. Primero es notable que la deformación del resorte depende directante de la longitud inicial de este de tal manera que entre más grande sea esta longitud y mas pequeño el ángulo α, se tiene que el efecto horizontal de la fuerza elástica Fx = kxsen α ≈ 0 y el efecto vertical de la masa Fx = kxcos α ≈ kx como se muestra en la siguiente figura:

Esta suposición no se aplicará para el desplazamiento angular θ ya que es la variable a considerar para el elemento elástisco torsional equivalente. El momento en el punto de articulación p esta dado por Mp = (Kx)dcosθ , en donde la deformación del resorte x puede ser expresada como x =dLsenθ se tiene que el momento elástico esta dado por Mp = kd2 senθ cosθ; por último, para oscilaciones pequeñas, es decir, alrededor del punto de equilibrio se tiene que senθ ≈ θ y cosθ ≈ 1, por lo tanto la constante elástica equivalente será kτ = kd 2

Acoplamiento péndulo vertical Cuando un cuerpo rígido se pivotea en un punto diferente a su centro de gravedad puede vibrar debido al efecto de la energía potencial gravitacional, este efecto es semejente al del resorte en donde la energía potencial es elástica por lo que se puede establecerse una analogía entre estos.

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Considere el péndulo de la Figura 2-15 pivoteado en un punto p, sea cg su centro de gravedad y r la distancia entre estos puntos

Figura 2-15 El penduleo como elemento elástico torsional

Si después de la perturbación se analiza el efecto de las fuerzas externas (que es el peso), el momento en el punto p esta dado por Mp = (mgsenθ )r., puesto que para oscilaciones pequeñas se tiene que sen θ ≈ θ, por lo tanto la constante equivalente es aquella tal que kτ = M/θ. kτe = mgr

Es importante verificar que en este caso el efecto del peso mg siempre será restaurador después de la perturbación. Acoplamiento péndulo invertido Existe otra configuración del péndulo como se muestra en la Figura 2-16, en donde el centro de gravedad esta en la parte superior del centro de gravedad; esta configuración se le conoce como péndulo invertido. Puesto que sin el resorte el sitema después de la perturbación nunca se restaurará, entonces se limita el movimiento por medio de dicho resorte como se indica en la figura.

Figura 2-16 Péndulo invertido

La ecuación quedaría Mp = ka2θ - mgrθ. El sentido positivo del momento es a encontra de las manecillas ya que se supone que el momento del resorte es superior para restaurar el sistema, es decir ka2θ > mgrθ . Ahora la constante elástica torsional equivalente será kτ = M/θ, es decir 44

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kτ = ka 2 − mgr

Acoplamiento péndulo horizontal Ahora considere una configuración del péndulo horizontal como se muestra en la Figura 2-17. Sin el resorte el sitema después de la perturbación nunca se restaura, entonces se limita el movimiento por medio de un resorte como se indica en la figura. Observe que si el sistema se perturba hacia arriba el efecto del peso será restaurador pero si se perturba hacia abajo no lo será; ¿ Que pasa aqui?

Figura 2-17. Péndulo sobre el eje horizontal

Es importante notar que en la posición P1 se supone que no se conecta el resorte a la masa, pero después de colocar el resorte entonces existe una deformación inicial pasando a la posición P2 en θs. Antes de la perturbación existe un equilibrio estático tal que mgr =kxsa. Ahora, después de la perturbación se tiene que: M p = mgr cos(θ + θ s ) − k ( x + xs )a cos(θ + θ s ) M p = mgr cos(θ + θ s ) − kxs a cos(θ + θ s ) − kxa cos(θ + θ s ) M p = (mgr − kx s a ) cos(θ + θ s ) − kxa cos(θ + θ s )

pero como los términos mgr y kxsa son constantes entones el primer término de la ecuación desaparece y además como x = asen θ, se tiene que Mp = ka2sin(θ)cos(θ+θs). Como para ángulos pequeños sin θ ≈ θ y cos(θ + θs) ≈ 1. Se tiene que Mp = -ka2θ; por lo tanto la constante elástica equivalente torsional para este caso será kτ = M/θ kτe = − ka 2

Aprovechando los resultados previemente expuestos se puede mencionar que cuando un sistema está estático y uno de sus elementos elásticos este deformado (deformación estática), entonces el efecto de la(s) masa(s) causantes de dicha deformación no es condiderado en el análisis dinámico ya que es compensado con el efecto de los elementos elásticos 45

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previamente deformados ya que pasarían como parámetros constantes en la ecuación dinámica y estos se eliminarían. A esto se le conoce como la condición de deformación estática.

2.2 Elementos amortiguadores La pérdida de energía en los sistemas siempre esta presente ya sea por las características propias de un material o la combinación de elementos, o bien por la existencia de un elemento amortiguador, de aqui que se clasifiquen como: 1. Amortiguamiento coulomb 2. Amortiguamiento de viscoso 3. Amortiguamiento de histéresis El amortiguamiento de coulomb se presenta mediante el rozamiento seco entre de la superficie de dos elementos. La fuerza del amortiguador del tipo de coulomb es igual al producto de la fuerza normal y el coeficiente de fricción independiente de la velocidad una vez que inicie el movimiento. El amortiguamiento del tipo histéresis se presenta cuando un material es deformado, entonces la energía es absorvida y desplazada por el material. El amortiguamiento del tipo viscoso ocurre cuando un componente del sistema esta en contacto con otro a través de un medio de fluido viscoso, en donde el amortiguamieto es el resultado de la fricción viscosa entre el fluido y el componente, en estos casos generalmente la fuerza es directamente proporcional a la velocidad, por lo tanto para eliminar esta proporcionalidad se agrega un término proporcional que en este caso llamaremos coeficiente de amortiguamiento c y cuya unidad es (N-s)/m. •

fd = c x

Ec. 2.7

En donde Fd es la fuerza del amortiguador en N, c es el coeficiente de amortiguamiento en (N-s)/m. La Figura 2-18 muestra la simbología de un amortiguador y el comportamiento lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad.

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Figura 2-18 Relación proporcional y consante de amortiguamiento

Ahora considere el caso de un amortiguamiento angular en donde el momento aplicado es directamente proporcional a la velocidad angular como se muestra en la Figura 2-19.

Figura 2-19 Amortiguamiento torsional

Por lo tanto, el amortiguamiento angular tendrá un coeficiente de amortiguamiento torsional cτ , por lo tanto la relación entre el momento y la velocidad angular esta dada por: •

M d =c τ θ

2.2.1

Ec. 2.8

Elementos amortiguadores equivalentes

Se puede hacer uso de los conceptos vistos en el apartado elementos elásticos equivalentes para definir equivalencias en los amortiguadores. En resumen se puede establecer los siguiente.

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Elementos amortiguadores en serie. Dos o más elementos amortiguadores están en serie si la fuerza aplicada en un extremo se transmite en la misma proporción en cada uno de ellos (Figura 2-20).

Figura 2-20 Amortiguadores en serie

En términos generales, el coeficiento de amortiguamiento equivalente de arreglos en serie estará dado por 1 1 1 1 = + +K ce c1 c2 cn

Ec. 2.9

Elementos amortiguadores en paralelo Dos o más elementos amortiguadores están en paralelo si fuerzas distribuidas en ellos producen la misma velocidad (Figura 2-21) .

Figura 2-21 Amortiguadiores en paralelo

En términos generales para n elementos amortiguadores en paralelo la constante elástica equivalente esta dada por: ce = c1 + c2 + K + cn

48

Ec. 2.10

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Acoplamiento amortiguador-disco Considere un acoplamiento entre un amortiguador y un disco como se muestra en la Figura 2-22. Es fácil establecer un amortiguamiento equivalente ya que la velocidad en la periferia del disco es v = ω r, donde v es la velocidad lineal , ω es la velocidad angular, como la fuerza del amortiguador será •

•

f d = c x = cr 2 θ

como el momento del amortiguador M = f x r, se tiene que el amortiguamiento torsional equivalente será cτ = M/θ, es decir cτ = cr 2

Figura 2-22 Acoplamiento amortiguador – disco(a) y su equivalente(b)

2.3 Elementos inerciales La inercia forma parte de un sistema vibratorio ya sea como elemento o como parte de las propiedades de alguno de ellos., más sin embargo es común despreciar la masa de los elementos elásticos ó amortiguadores por lo que solo se enfocará a la masa como un elemento de un sistema vibratorio. Las unidades de la masa en el sistema métrico es kilogramo (kg) y en el sistema ingles el slug. En algunos casos en el modelado matemático las masas pueden representarse indistintamente de su forma como solo una partícula, sobre todo si el movimiento es lineal ya que las partículas se desplazan con las mismas características de desplazamiento, velocidad y aceleración. En otros casos es necesario representarla tal y cual su forma ya que cada una de las partículas tienen características diferentes, por ejemplo en la Figura 2-23 en el caso (a) el resorte se supone que se coloca en una línea simétrica, es decir, pasa por el centro de gravedad, por lo tanto todas las partículas se mueven igual y puede ser representada como una masa puntual; pero en el 49

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caso (b) la masa ademas de moverse verticalmente tendrá a girar por lo que las partículas se mueven indistintamente y no puede ser representada como una partícula. Para el caso (c) la masa esta pivoteada en p por lo tanto las partículas tendran diferentes características de desplazamiento y no puede ser representada como una partícula.

Figura 2-23 Representaciones del modelado de la inercia

El caso en que la masa tenga que ser representada tal y cual su geometría es necesario conocer un parámetro que interviene en el análisis de sistemas vibratorios y se le conoce como momento de inercia de masa. El momento de inercia de masa J se define como:

∫

J = r 2 dm

Este depende de la geometría de la pieza así como de la masa; puesto que una masa se puede pivotear en diferentes puntos, en el apéndice ¿? viene una tabla de momentos de inercia de masa de algunos cuerpos. En ocaciones resulta necesario para análisis posteriores encontrar el momento de 0inercia en puntos diferentes al del centro de gravedad. En la literatura del tema existen tablas en las que se muestran la forma de calcular el momento de inercia de masa de diferentes cuerpos pero generalmente están dadas en el centro de gravedad, por lo tanto será util encontrar una forma de obtener dicha inercia pero en un punto diferente al centro de gravedad. El teorema de los ejes paralelos resuelve este problema y establece: J p = J cg + md 2

Ec. 2.11

Esta ecuación se puede mencionar como sigue: El momento de inercia de masa de un cuerpo en un punto p (Jp) en un eje determinado es igual al momento de su centro de gravedad paralelo al mismo (Jcg) eje, más un término de traslado (md2), donde m es la masa y d es la distancia entre estos dos ejes. Al final del capítulo se presenta una tabla de los momentos de inercia de algunos cuerpos.

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La inercia puede manifestarce como movimiento inercia lineal y/o inercia angular. Para el caso en que se disponga de un movimiento lineal, la fuerza inercial esta dada por: ••

2.12

fm = m x

⋅⋅

donde fm es la fuerza inercial en N, m la masa en kg y x es la aceleración. Para un movimiento angular se tiene: ••

Mp = Jpθ

2.13

donde Mp es el momento inercial en el pivote, Jp es el momento de inercia en ⋅⋅

el pivote y θ es la aceleración angular.

2.3.1

Inercia equivalente

Al igual que los elementos elásticos es posible encontrar una representación de la masa de algunos elementos como una masa equivalente. Para ello es necesario siempre definir: equivalente a que?, en estos casos generalmente se establece una coordenada de posición en la cual se hace referencia al movimiento y luego se analiza el efecto de todas las masas en ese punto. Cuando se establece una coordenada de movimiento lineal es común hablar solo de “masa equivalente”, no así en movimiento angular donde se habla de inercia. Este procedimiento se explicará más adelante en el capítulo 2 en el apartado de métodos energéticos: sistemas equivalentes. Es posible encontrar una inercia equivalente para 2 más masas si se presenta una configuración como el que se muestra en la Figura 2-24, en donde la aceleración es la misma pero las fuerzas inerciales son diferentes en cada elemento.

Figura 2-24 Inercia paralelo

Para la masa m1 se tiene que F - F12 = m1a, mientras que para la masa m2 se tiene que la fuerza F21 = m2a. agrupando estas dos ecuaciones se tiene que F = m1a + m2a, por lo tanto la masa equivalente será me = F /a

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me = m1 + m2 + L mn

Acoplamiento masa-disco y masa-palanca Al igual que en los elementos elásticos y amortiguadores es posible encontrar una inercia equivalente para algunos tipos de acoplamientos como se muestra en la Figura 2-25. El ojetivo es representar estos elementos como una inercia equivalente en el pivote.

Figura 2-25 Acoplamiento mas-disco y masa-palanca

Considere primero el caso del acoplamiento masa-disco, sea p el pivote del disco el ••

••

momento inercial en dicho pivote será M p = m x r como

••

••

x = r θ , se tiene que la inercia equivalente J e = M / θ es J e = mr 2

Ahora considere el caso de la palanca, recordando las suposiciones vistas en el caso del elemento elástico-palanca, se considera que el efecto horizontal de la masa es despreciable y el efecto vertical es aproximado a ••

m x , por lo tanto la masa equivalente será idéntica al de la ecuación 2.11.

Es importante evitar la confusión entre el efecto de la inercia y el efecto del peso. Según la condición de deformación estática dice que la masa de un cuerpo no se considerará en el análisis dinámico si este inicialmente deforma a un elemento elástico puede confundir al no considerar la inercia del sistema. Por ejemplo, considere el sistema mostrado en la Figura 2-26. Si se desprecia la masa de la varilla que sirve como palanca, se puede observar que inicialmente la masa m deformará al resorte, por lo tanto el sistema pasaría a su posición de equilibrio estático, aquí el momento externo de dicha masa M = mgr no se considerará en análisis dinámicos, pero la inercia equivalente Je = mr2 si se considerará ya que no depende de la condición de deformación estática.

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Figura 2-26 Efecto de orientación del peso y la inercia

2.4 EJERSISIOS

2.4.1

Temas de dinámica grupal

E 2.1 Discuta en grupo el siguiente cuestionamiento. Si los resortes en realidad no son lineales, ¿ Por que confiar en las balanzas de medición que usamos en los supermercados?. E 2.2 Respecto al centro de masa, pida a las personas que se sientes completamente ergidas sobre una silla y solicite que se levanten sin agarrarce de nada ni enderezar la cabeza. ¿Lo lograron?, ¿qué fenomeno ocurre?.

2.4.2

Temas de investigación

E 2.3 Realizar una investigación técnica acerca de los resortes y que incluya tablas. E 2.4 Realizar una investigación técnica acerca de los amortiguadores y que incluya tablas. E 2.5 Realizar una investigación acerca de los amortiguadores magnetoreológicos.

2.4.3

Proyectos didácticos

E 2.6 Elabore la práctica #1 : Elementos elásticos del módulo de prácticas virtuales del PaVib. E 2.7 Elabore la práctica #2 : Centroides y momentos de inercia del módulo de prácticas virtuales del PaVib.

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2.4.4

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Cuestionario

E 2.8 C

2.4.5

Preguntas de razonamiento

E 2.9 Si un resorte se parte justo a la mitad, ¿cuál deberá ser la constante elástica de cada uno de los resortes? E 2.10 Si se parte un resorte a la mitad y cada uno de ellos se unen e serie, ¿cambiará la constante elástica?

2.4.6

Problemas

E 2.11

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Capítulo

3 3 Vibración libre de sistemas de un grado de libertad alrededor del punto de equilibrio

T

odo elemento ó sistema que posea características inerciales y elásticas es capaz de vibrar ya sea por el resultado de una excitación instantánea (vibración libre) ó permanente (vibración forzada). Esta consideración es de grán importancia en el estudio de las vibraciones en maquinaria ya que uno de los criterios a seguir en el análisis de vibración es determinar si dicha vibración es producto de una excitación forzada o por un fenómeno natural conocido como resonancia, en tal caso es importante determinar las características naturales de la vibración y que es conocida precisamente como la frecuencia natutal. Existen diferentes métodos y formas para determinar la frecuencia natural de elementos o sistemas vibratorios, algunos de ellos son analíticos otros experimentales y en algunos caos por la combinaciòn de ambos. En este capìtulo se presentan algunos métodos analíticos que permita bajo ciertas condiciones representar un sistema vibratorio en un modelo simple que facilite su análisis y permita un estudio detallado, entre ellos el cálculo de la frecuencia natural. Este modelo consiste en un sistema masa – resorte ó un sistema masa-resorte-amortiguador, de un grado de libertad y en la que no se ve afectado por fuerzas externas salvo la excitación; además se considerará que el sistema presenta oscilaciones alrededor del punto de equilibrio con el fín de facilitar el análisis, esto al considerarlo como un sistema lineal. Este modelo aunque sencillo es basto y suficiente para comprender muchos de los fenómenos relacionados con las vibraciones mecánicas en maquinaria industrial. 55

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Objetivo general. Establecer las ecuaciones matemáticas (modelo matemático) que describen el comportamiento de un sistema vibratorio libre de un grado de libertad amortiguado y no amortiguado. Objetivos específicos: a) conocer el modelo matemático de un modelo masa-resorte con trasnlasión rectilínea y angular, b) conocer la metodología para modelar sistemas dinámicos con movimiento angular mediante el método de pares, c) conocer la metodología para modelar sistemas dinámicos mediante métodos energéticos, d) conocer el modelo matemático de un modelo masa-resorte-amortiguador con trasnlasión rectilínea y angular, e) conocer los efectos de un amortiguador del tipo viscoso

3.1 Vibración libre no amortiguada Aunque la perdida de energía en sistemas vibratorios siempre esta presente, existe ocaciones en las que la frecuencia de la vibración libre conocida como frecuencia natural se ve casi inalterada al despreciar el amortiguamiento, entonces se puede eliminar este efecto y considerarlo como un sistema sin amortiguamiento. El resultado es un modelo simple de analizar y que además proporcionara una serie de concluciones importantes. El cálculo de la frecuencia natural es de grán importancia ya que nos permite conocer la frecuencia a la cuál un sistema no debe ser excitado porque aparecería el efecto de la resonancia manifestándose como grandes amplitudes de vibración. Por otro lado, puesto que un sistema vibratorio tiene tantas frecuencias naturales como sea el número de grados de libertad, en este caso nos enfocaremos solo al caso de un sistema de un solo grado de libertad y calcular entre otras cosas la frecuencia natural o de resonancia.

3.1.1

Determinación de la ecuación diferencial

Considere el modelo mas simple de un sistema no forzado y sin amortiguamiento con movimiento lineal que consta de una masa de masa m en Kg o slug y un resorte de rigidez k en N/m ó Lb/ft en cualquiera de las representaciones como se muestra en la Figura 3-1.

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Figura 3-1 Modelo mk-libre

Aunque los modelos representativos de la Figura 3-1 se componen de los mismos elementos existen unas diferencias debido a su condición inicial y que conviene analizarlas, para el caso (b) el resorte inicialmente está inicialmente deformado debido a el peso, a esto se le conoce como deformación estática, esto no ocurre para el caso (a), sin embargo el caso (c) en cierta manera es una combinación de ambos. Sin embargo, pusto que el objetivo principal es encontrar una expresión para determinar la frecuencia natural no amortiguada*, se demostrará más adelante que ésta solo dependerá de los parámetros de la masa m y de la rigidez k y no de la forma en que se coloquen. Considere primero el caso más simple de la Figura 3-1 Modelo mklibre el caso (a) en donde si el sistema se perturba como se muestra en la Figura 3-2 (a), entonces después de esta perturbación el sistema oscilara sin detenerse ya que no existe amortiguamiento.

Figura 3-2 Analisis dinámico de un sistema libre no amortiguado, caso 1

*

Note que se habla de frecuencia natural no amortiguada, es decir cuando no interviene la fricción.

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Justo después de la perturbación, un análisis dinámico se muestra en la Figura 3-2.(c) en donde kx denota la fuerza elástica y m&x& denota la fuerza inercia4l que esta a 1800 (ver Figura 1-4). Por lo tanto: +  → ∑ Fz = m&x&

− kx = m&x& m&x& + kx = 0 Esta última representa la ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado para esta consideración. Ahora considere el caso de la Figura 3-1 Modelo mk-libre (b), para esta situación existen dos posibilidades de análisis, una considerando el momento justo en que se coloca la masa, y otra después de que intencionalmente se puso en equilibrio el resorte, es decir, en que existe deformación estática. Considerando primeramente el momento justo en que se coloca la masa como se muestra en la Figura 3-3 y para facilitar el análisis considere el resorte inicialmente no deformado y que se coloca una masa con velocidad inicial cero, en ese instante se suelta la masa y el sistema comienza a vibrar sin detenerse.

Figura 3-3 Analisis dinámico de un sistema libre no amortiguado, caso 2

Justo después de soltar la masa se tiene:

↓ + ∑ Fz = m&x& − kx + mg = m&x& m&x& + kx = mg Esta última ecuación denota la ecuación diferencial del movimiento para esta configuración.

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Ahora considere el caso en que intencionalmente se pone en equilibrio estático el resorte y la masa como se muestra en la Figura 3-4 (b), posteriormentente una perturbación instantánea mueve el sistema una distancia x y en ese instante se suelta el sistema.

Figura 3-4 Analisis dinámico de un sistema libre no amortiguado, caso 3

Un análisis dinámico después de la perturbación y sabiendo que en del equilibrio estático mg = kxs se tiene:

↓ + ∑ Fz = m&x& − k ( x + x s ) + mg = m&x& m&x& + kx = 0 Por último considere el caso de la Figura 3-1 (c), es fácil suponer que bajo los conceptos vistos con anterioridad y girando las coordenadas en el plano inclinado la ecuación diferencial es idéntica al de la Figura 3-2 por lo tanto queda resuelto también este caso.

3.1.2

Modelo representativo y cálculo de la frecuencia natural

Las ecuaciones diferenciales vistas en los apartados anteriores se pueden expresar de dos maneras, la primera de la forma

m&x& + kx = mg

Ec. 3.1

cuya solución (ver apéndice A.2.1) para condiciones iniciales igual a cero es:

x(t ) = A(1 − cos(ω n t )) donde A = mg / k y ω n =

k / m . Y la otra ecuación diferencial es: 59

Ec. 3.2

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m&x& + kx = 0

Ec. 3.2

y que tiene una solución (ver apéndice A.2.3) de la forma:

x(t ) = A cos(ω n t ) + Bsen(ω n t ) donde A = x(0) que es la deformación inicial donde x& (0) es la velocidad inicial.

*

Ec 3.3

y el término B = x& (0) /ωn ,

Puesto que el interés es buscar una expresión para determinar la frecuencia natural de un sistema libre no amortiguado, se tomará la ecuación 3.2 como el modelo representativo, para ello el caso en el que el peso interviene (Figura 3-1 (b)), se considerará que el análisis en el que esta inicialmente deformado el resorte (Figura 3-4); para ello se define lo siguiente: Condición de deformación estática. Si en el equilibrio estático existe un elemento elástico deformado (deformación estática) entonces en el análisis dinámico la(s) masa(s) que produjeron dicha deformación no serán considerados ya que se compensan con el efecto del elemento elástico en la deformación inicial.

Lo anterior quiere decir que si inicialmente una masa deforma a un elemento elástico, entonces no será considerada en la ecuación diferencial. La ecuación 3.2 además se puede escribir como:

x(t ) = X cos(ω n t − φ ) donde X =

Ec. 3.4

A 2 + B 2 y φ=tan-1 (B/A) (ver Apéndice A.1.1)

Al analizar el término que esta dentro del valor angular coseno se tiene que si ωn esta en rad/seg entonces la ωn es la frecuencia de la vibración libre, es decir, la frecuencia natural:

ωn =

*

k m

(rad/seg)

fn =

1 2π

k m

(Hz)

ηn =

60 2π

k m

(rpm)

Debe tener cuidado de no confundir la deformación inicial con la deformación estática.

60

Ec. 3.5

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Por otro lado, haciendo uso de los criterios anteriores se puede expresar un modelo representativo de un sistema con movimiento angular como el que se muestra en la Figura 3-5, donde kτ es la constante elástica torcional en N-m/rad y p es el pivote de la masa cuyo centro de gravedad esta en c.g.

Figura 3-5 Modeo mk-libre angular

En este caso se observa que en la condición estática, el resorte se deformaría a manera que el momento generado por el peso es igual el de la deformación estática. Usando la segunda ley de Newton para el movimiento angular se tiene que:

∑M

p

= J pθ&&

J pθ&& + kτθ = 0 donde Jp es el momento de inercia de la masa con respecto al pivote, de manera que usando el teorema de los ejes paralelos Jp = Jcg + md2

Ec 3.4

y la frecuencia natural en rad/seg estaría dada por:

ωn =

kτ Jp

Ec 3.5

Ejemplo 3.1 El sistema mostrado en la figura consta de dos resortes de igual constante elástica de 50 N/m, la masa de 8 kg resposa sobre una superficie lisa sin fricción, determine la frecuencia de la vibración libre.

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Solución: Para solucionar el problema primero se giran las coordenadas, puesto que se tiene que los dos resortes estan en paralelo lo primero es obtener una equivalente entre ellos, es decir, Ke = k + k, posteriormente usando la formula de la frecuencia natural

ωn =

ke = m

2k m



para k = 50 N/m y m = 8 kg. Se tiene que ωn = 3.53 rad/seg, para esta frecuencia se tiene que período natural es Tn = 2π / ωn = 1.77 seg. Una simulación en working model confirma los resultados

Figura 3-6 Simulación en WM del ejemplo 3.1

Ejemplo 3.2 Un sistema no amortiguado vibra con un período natural de 1.25 segundos y consta de un resorte de constante k y una masa m1 = 5 kg., posteriormente el resorte se parte a la mitad y se conectan en paralelo con otra masa m2 duplicando el período natural ; determine a) el valor de la constante elástica antes de partir, b) el valor de la masa m2 y c) el valor de la constante elástica equivalente. Solución: Analizando el caso 1 en donde el período natural es de 1.25 seg. se tiene que la frecuencia natural es: ωn = 2π/Tn = 5.026 hz., posteriormente haciendo uso de la fórmula 3.5, se despeja la contante elástica k

k = ω n m1 = 5.026 2 × 5 2

(a) k = 126.33 N/m



Ahora si se parte a la mitad el resorte resulta ser que la constante elástica de cada porsión es el doble (demuéstrelo!), por lo tanto k’ = 2k = 252.66 N/m. Pero como se conectan en paralelo entonces la constante equivalente será ke = k’ + k’ = 2 k’ = 505.32 N/m.

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(b) Ke = 505.32 N/m



Por lo tanto la frecuancia natural sera ωn = 2π/T2 = 2π/(2*T1) = 2.513 rad/seg. Nuevamente usando la formula 3.5 ahora se despeja el valor de la masa.

m2 = k e / ω n

2

(C) m2 = 80 kg



Una simulación en Working Model confirma que para dichos datos se cumplen los períodos naturales

Figura 3-7 Simulación en WM del ejemplo 3.2

3.2 Vibración libre amortiguada Después de estudiar el modelo representativo de un sistema libre sin amortiguamiento el paso siguiente es ampliar estos conceptos al estudio de un modelo en el que el amortiguamiento esta presente, el amortiguamiento en un sistema vibratorio esta presente ya sea por la naturaleza propia de alguno de sus elementos o bien por la presencia de un elemento amortiguador. Uno de los tipos de amortiguamiento ampliamente usados para representar la pérdida de energía en sistemas vibratorios es el del tipo viscoso, este tipo de amortiguamiento tiene la característica de que la fuerza ejercida por el mismo es directamente proporcional a la velocidad, de manera que un amortiguador de este tipo posee una constante de amortiguamiento al que llamaremos c; por lo tanto la fuerza del amortiguador fd esta dado por

f d = cx& donde x& es la velocidad en un instante.

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Considere el modelo representativo de un sistema libre amortiguado como el que se muestra en la figura 3.2

Figura 3-8 Modelo libre amortiguado

Usando el procedimiento analítico usado para determinar la ecuación diferencial de un sistema libre no amortiguado se puede reescribir la ecuación 3.5 para representar el modelo libre amortiguado de la manera:

m&x& + cx& + kx = 0

Ec 3.6

Aquí se puede observar que aparece la fuerza inercial m&x& , la fuerza del amortiguador cx& y la fuerza elástica kx. La solución de la ecuación diferencial es de la forma cuadrática: (ver apéndice ¿¿)

x(t ) = Ae s1t + Be s2t donde s1 y s2 son de la forma:

s1, 2 =

c c2 k − c ± c 2 − 4mk =− ± − 2 2m 2m m 4m

Ec 3.7

Esta última expresión muestra que la solución de la ecuación diferencial 3.6 dependerá del valor del término de la raiz cuadrada, de aquí que los sistemas amortiguados puedan clasificarse en diferentes tipos de movimiento como se muestra en la siguiente tabla: Si:

Tipo de movimiento

c2/4m2 > k/m

Sobreamortiguado

c2/4m2 = k/m

Críticamente amortiguado

c2/4m2 < k/m

Subamortiguado

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raices Reales y diferentes Reales e iguales Complejas conjugadas

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La solución es una solución particular y a continuación se presenta Caso 1: Sobreamortiguado (ζ ζ > 1) Cuando un sistema tiene tanto amortiguamiento tal que c2/4m2 > k/m, entonces se dice que es del tipo de movimiento sobreamortiguado, en este caso la solución de la ecuación 3.6 es de la forma:

(

[

])

x (t ) = x ( 0 ) + ω n x ( 0 ) + x ' ( 0 ) t e − ω n t

Ec. 3.8

donde x(0) se refiere al desplazamiento inicial (no a la deformación estática), x’(0) a la velocidad inicial, ωn a la frecuencia natural no amortiguada y t es el tiempo. El comportamiento de este tipo de sistemas se muestra en la Figura 3-9 en donde se observa que el sistema no vibra y que además teóricamente nunca llega al equilibrio.

Figura 3-9 Comportamiento de un si7stema sobreamortiguado

Son pocos los sistemas vibratorios con esta característica, pero se puede mencionar el mecanismo de retroceso automático de una puerta como se muestra en la Figura 3-10, después de la apertura el sistema toma un tiempo considerable en regresar pero sin vibrar.

Figura 3-10 Ejemplo de un sistema sobreamortiguado

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Caso 2. Críticamente amortiguado (ζ ζ = 1) Cuando el amortiguamiento es tal que c2/4m2 = k/m, entonces se dice que el sistema esta en un punto crítico y quiere comenzar a vibrar pero no vibra aún como se muestra en la Figura 3-11, este tipo de movimiento se caracteriza por que el sistema busca el equilibrio en un menor tiempo y no vibra.

Figura 3-11Comportamiento de un sistema críticamente amortiguado

La solución particular de la ecuación 3.6 es de la forma ς 2 −1

x(t ) = Ae ςω n +ω n

+ Be ςω n −ω n

ς 2 −1

Ec 3.9

Las constantes A y B dependen de las condiciones iniciales del movimiento y estan expresadas como:

(− ς + A= (ς + B=

)

ς 2 − 1 x ( 0)

2 ς −1 2

)

ς 2 − 1 x ( 0) 2 ς 2 −1

+

−

x ' ( 0) 2ω n ς 2 − 1

Ec. 3.10

x ' ( 0) 2ω n ς 2 − 1

x(0) y x’(0) son el desplazamiento inicial (no la deformación estática) y la velocidad inicial respectivamente, ωn es la frecuencia natural no amortiguada y el término ζ se le conoce como el factor o la razón de amortiguamiento y esta definida como

ς=

c cc

Ec.3.11

donde c es el coeficiente de amortiguamiento y cc se le conoce como el coeficiente de amortiguamiento crítico, este último termino no es un

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parámetro físico del sistema, si no un estimado del valor del amortiguador en función de la masa y el amortiguador tal que el sistema sea críticamente amortiguado, por lo tanto si en c2/4m2 = k/m hacemos c = cc, se tiene que el coeficiente de amortiguamiento crítico será:

cc = 2 km = 2mω n

Ec. 3.12

Caso 3. Subamortiguado (0< ζ < 1) El tipo de movimiento amortiguado que más se presenta en los sistemas vibratorios es aquel en el que existe poco amortiguamiento tal que c2/4m2 < k/m. En este caso el sistema si vibra y el oscilaciones son disminuidas producto del amortiguamiento del sistema como se muestra en la Figura 3-12

Figura 3-12 Comportamiento de un sistema subamortiguado

La solución de la ecuación diferencial 3.6 para este caso es de la forma

x (t ) = X o e −ςω nt cos(ω d t − ϕ )

Ec. 3.13

donde X0 y ϕ son valores que dependen de las condiciones iniciales del movimiento y estan expresadas como:

X0 =

A2 + B 2

ϕ = tan −1

B A

donde A = x(0), B = (-ζωnx(0) + x’(0))/ ωd. Falta por analizar un parámetro de suma importancia y que es ωd , este resulta ser la frecuencia natural del sistema amortiguado y es diferente a la ωn, de echo estos dos términos estan relacionado por:

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ωd = ωn 1− ς 2

Ec. 3.14

En los sistemas subamortiguados existe una forma de medir la perdida de energía, este método se le conoce como el decremento logarítmico δ, el decremento logarítmico se define como:

δ = ln

xi xi +1

Ec. 3.15

donde el término xi/xi+1 se le conoce como la relación de dos máximos consecutivos como se muestra en la Figura 3-13. Es decir estos máximos consecutivos pudieran ser xi /xi+1 = x1 /x2 = x2 /x3

Figura 3-13 Decremento logarítmico

Para el caso en que se conozcan los dos máximos no consecutivos se tiene que:

δ = ln

xi xi + n

Ec. 3.16

donde xi /xi+n es la relación de dos máximos no consecutivos y separados a n ciclos. Para el caso en que no se conozca el número de ciclos entre dos máximos sino bien, que estos estan separados a un tiempo en t segundos, entonces el decremento logarítmico quedará expresado como:

δ=

x 2π ln a ω d t xb

68

Ec. 3.17

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Por otro lado, el decremento logarítmico además puede expresarse en función del factor de amortiguamiento ζ

δ =

2πς

Ec. 3.18

1−ς 2

Ejemplo 3.3 Un sistema vibratorio consta de una masa de 10 kg. Y dos resortes conectados en paralelo de 60 N/m de rigidez cada uno, el factor de amortiguamiento es de 0.25. Determine: a) La frecuencia natural amortiguada y no amortiguada, b) El coeficiente de amortiguamiento crítico y real y c) La relación de dos amplitudes máximas consecutivas. Solución: Primero se obtiene la constante equivalente de los dos resortes en paralelo, es decir: Ke = k1 + k2 = 120 N/m Por lo tanto la ecuación diferencial del movimiento amortiguado quedará expresada como:

10 &x& + cx& + 120 x = 0 La frecuencia natural amortiguada y no amortiguada serán:

(a)

ωn =

k 120 = = 3.464 rad/seg m 10



ω d = ω n 1 − ς = 3.464 1 − 0.25 = 3.354 rad/seg 2

2

Ahora se obtebdrá el coeficiente de amortiguamiento crítico y real.

(b)

cc = 2 km = 2 120 × 10 = 69.282 N - s/m c = ς × cc = 0.25 × 69.282 = 17.321 N - s/m



Para determinar la relación de dos amplitudes máximas consecutivas se hará uso de la ecuación 3.18 para determinar primeramente el decremento logarítmico

δ =

2πς 1−ς

2

=

2π × 0.25 1 − 0.25 2

= 1.6223

por lo tanto (c)

69

xi = e δ = e1.6223 = 5.0647 xi +1



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Para comprobar los resultados en simulación primero se determina el período natural amortiguado Td = 2π/ωd = 1.87 seg. y suponiendo una perturbación inicial xi = 0.8175 y un máximo consecutivo sería xi+1 = 0.8225 / 5.0647 = 0.162

Figura 3-14 Simulación en Working Model del ejemplo 3.3

3.3 Métodos de análisis Las figuras 3.1 y 3.5 representan el modelo más simple de un sistema vibratorio ya sea sin y con amortiguamiento respectivamente, sin embargo la mayoría de los sistemas vibratorios involucran elementos inerciales, elásticos y amortiguadores colocados ó dispuestos de una forma en la que aparentemente nada tiene qu+e ver con alguno de estos modelos; pero resulta ser que existen métodos analíticos que permiten bajo ciertas condiciones representar dichos sistemas como un modelo equivalente a los mostrados en las figuras 3.1 y 3.5 y así hacer uso de las ecuaciones vistas en los apartados anteriores para determinar entre otras cosas, la frecuencia de resnancia, es decir, la frecuencia natural. Estos métodos generalmente toman diversos criterios para el uso de su metodología, sin embargo se basan prácticamente en dos cuestionamientos: a) existe o no amortiguamiento y b) que tipo de movimiento(s) existe(n). En base a esto se procede hacer uso de alguno de ellos.

Lo anterior no indica que si un sistema posee ciertas características forzosamenete tendrá que hacerce uso de un método en especial para su análisis, mas bien indica que este solo facilitará dicho análisis. 70

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Primero se presentan métodos tradicionales en la literatura como lo es el método de pares y el método de energías, posteriormente se proponen dos métodos replanteados de los dos anteriores, estos facilitarán y agilizarán la solución de problemas y que se llaman el método de elementos equivalentes y el método de sistemas equivalentes. El método de pares se basa en la segunda ley de newton para movimiento angular con el fín de modelar matemáticamente un sistema vibratorio con movimiento angular alrededor de un punto fijo y así encontrar un modelo equivalente simple. El método de energías se basa en la ecuación de la conservación de la energía con el fín de modelar matemáticamente un sistema vibratorio con movimiento lineal,angular ó ambos y así encontrar un modelo equivalente simple. El método de elementos equivalentes con el fín de modelar matemáticamente un sistema vibratorio y cuyos elementos pueden expresarse por una representación equivalente individual y así encontrar un modelo equivalente simple. El método de sistemas equivalentes se basa en la ecuación del trabajo y energía con el fín de modelar matemáticamente un sistema vibratorio con movimiento lineal, angult o ambos y así encontrar un modelo equivalente simple. Tal vez se preste a confunción el porque del uso de varios métodos, pues bien, resulta que el método de Newton tanto para movimiento lineal como angular es la base del análisis de sistemas dinámicos y no presenta limitantes, es decir, pueden ser usados en cualquier análisis; mientras tanto los demás métodos son un derivado de estas expresiones y facilitan el análisis bajo ciertas condiciones, por ejemplo los métodos energéticos facilitan el análisis de sistemas con combinación de movimientos. Los primeros métodos de momentos y energías son comunes en la literatura de vibraciones, los de elementos equivalentes y sistemas equivalentes, son propuestos para facilitar considerablemente el análisis de los sistemas dinámicos, estos pueden ser aplicados sin problema a sistemas de un grado de libertad, pero para sistemas de varios grados de libertad se limita considerablemente y por lo tanto hay que hacer uso de los métodos de Newton. Existe un método llamado el método de Lagrange que será discutido en el capítulo de sistemas de varios grados de libertad, ya que aquí es donde tiene su potencialidad. Por último, independientemente del método, todos tienen como objetivo llegar a una expresión matemática y que es precisamente la ecuación diferencial del movimiento libre pasando solo por diferentes procedimientos, 71

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sin embargo, todos se orientan a seleccionar una coordenada de referencia para la cuál hacen uso de las mismas ecuaciones algebraicas, geométricas y/o procedimientos de linealización para expresar todas las coordenadas del movimiento de los diferentes elementos en términos de esta coordenada, esto se debe a que en la ecuación diferencial del movimiento se hace referencia a la aceleración, velocidad y desplazamiento de una misma coordenada. Obviamente el seleccionar en un sistema diferentes coordenadas como referencia se tendrán ecuaciones diferenciales y que en apariencia resultan ser diferentes, sin embargo, representan el comportamiento del mismo sistema solo que en diferente coordenada, por lo tanto la frecuencia natural no cambia con el solo echo de seleccionar diferentes coordenadas como referencia.

3.3.1

Método de pares

El método de pares se basa en la segunda ley de newton para movimiento angular con el fín de modelar matemáticamente un sistema vibratorio con movimiento angular alrededor de un punto fijo y así encontrar un modelo equivalente simple. Aún cuando la expresión de la segunda ley de Newton no tiene limitantes para su uso, en este caso dicho método se limitará su uso a: •

Sistemas de 1 grado de ibertad.

•

Sistemas con solo rotación alrededor de un punto fijo.

•

Solo existe una inercia angular, es decir, no existen masas cuya inercia produzca un momento.

Considere un sistema rígido pivoteado en un punto p y cuyo centro de gravedad cg se localiza a una distancia d de dicho punto como se muestra en la figura 3.6, haciendo uso de la segunda ley de newton para una masa constante se tiene que:

∑M

p

=∑ M p ( efectivas ) = J pθ&&

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Figura 3-15 Rotación alrededor de un pivote fijo

donde ∑Mp se refiere a la suma de momentos externos, Jp al momento de inercia de masa en el pivote p (ver ecuación 2.10) y θ&& se refiere a la aceleración angular. Suponga que después de una perturbación instantánea el efecto total de todas las i-ésimas fuerzas externas es restaurador* y además, puesto que el vector aceleración está a 180o del desplazamiento, se tiene una ecuación del tipo:

− f ( x1 , x 2 ,..xi ,θ 1 ,θ 2 ,..θ i ) − f ( x&1 , x& 2 ,..x& i ,θ&1 ,θ&2 ,..θ&) = ∑ J p iθ&& Si el sistema es de un grado de libertad, y además puesto que el movimiento es angular, entonces existirá una coordenada general θ referente al pivote p y unas constantes αi y βi para cada i-coordenada de modo que f (θ ) = α i f ( xi ) + β i (θ i ) y su derivada, además sea

∑

∑

Jpe = ∑ Jpi por lo tanto la ecuación es de la forma: − f (θ ) − f (θ&) = J p eθ&& Por último, si el sistema es lineal entonces existe una constante kτe tal que f (θ ) = kτ eθ y una constante cτe tal que f (θ&) = cτeθ& quedando el sistema de la forma:

Jpeθ&& + cτ eθ& + kτ eθ = 0

Ec. 3.19

Y que es la ecuación diferencial de un sistema libre amortiguado con movimiento angular, por lo tanto el sistema puede ser transformado a uno de esta expresión y la frecuencia natural quedara expresada como:

*

Si el efecto total no fuera restaurador entonces simplemente el sistema no vibraría

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ωn =

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kτe J pe

Es importante aclarar que las ecuaciones usadas en el movimiento libre con o sin amortiguamiento se aplican directamente sobre la ecuación 3.19 y como tal debe ser usada para las expresiones vistas en los apartados anteriores, por ejemplo, el coeficiente de amortiguamiento crítici cc esta definido como cc = 2 kτ e Jp e . Método de pares, procedimiento para el análisis

•

Identificar en el problema si solo existe rotación alrededor de un punto fijo. Esto se debe a que la ecuación a utilizar solo utiliza un momento inercial y que es precisamente

J pθ&& ,

aún cuando se pudiera extender esta ecuación al uso de otras

inercias, este caso será resuelto mediante otro método. •

Perturbar el sistema un pequeño angulo y definir el sentido de este como el positivo Aquí se considera que es el sentido del momento inercial ya que la aceleración esta a 180o del desplazamiento, por lo tanto aquellos que tengan un sentido opuesto al de la perturbación serán restauradores.

•

Identificar cada una de las fuerzas que generan momento y elaborar un diagrama de cuerpo libre. Es importante identificar que estas fuerzas son aplicadas por elementos y/o el peso de una de algunas masas, de aquí lo importante de recordar que aquellas inercias que debido a su condición inicial se encuentren deformando algún elemento elástico, estas inercias no serán consideredas en el análisis de momentos ya que son compensadas por el momento de los elementos elásticos producto de su deformación inicial (condición de deformación estática). Si se disponen de elementos rígidos será necesario identificar su centro de gravedad.

•

Plantear la ecuación de newton. Usar la expresión

∑M

p

=∑ M p ( efectivas ) = J pθ&&

donde el sentido positivo será el

sentido del movimiento en que se perturbo el análisis. Aquí se colocarán el momento de todas las fuerzas considerando que en elementos elásticos el momento es expresado de la forma Mk = Fkdk, donde Mk es el momento del elemento elástico, Fk es la fuerza elástica y dk es la palanca. Es importante recordar que Fk = kxi, y que la coordenada xi se refiere solo al desplazamiento de ese elemento, es decir, no hay porque creer que este desplazamiento es para todos los elementos elásticos. El planteamiento anterior es aplicable para el caso en que existan amortiguadores en donde el momento será Md = Fddk, en este caso Fd = c(dxi/dt) donde dxi/dt es la velocidad de solo ese elemento. •

Identificar las coordenadas de movimiento y expresarlas en función de la

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variable angular. Hasta aquí se tiene una ecuación en términos de varias coordenadas, pero cada coordenada puede ser expresada o linealizada en términos de una variable angular, por ejemplo, para el caso de resortes, la deformación x puede ser aproximada en una variable angular considerando el acoplamiento, y para los amortiguadores la velocidad dx/dt también puedrá ser aproximada. •

Reacomodar la ecuación y usar ecuaciones del movimiento libre. Por último se reacomoda la ecuación expresándola en la forma canónica Jpeθ&& + cτ eθ& + kτ eθ = 0 , posteriormente se podrá hacer uso de las ecuaciones considerando solo los parámetros de la ecuación diferencial.

3.3.2

Método de energías

El método de energías se basa en la ecuación de la conservación de la energía con el fín de modelar matemáticamente un sistema vibratorio con movimiento lineal,angular ó ambos y así encontrar un modelo equivalente simple. Este método tiene la ventaja de que se puede utilizar para el análisis de sistemas con movimiento lineal, angular ó la combinación de ambos, solo se limita su uso a: •

Sistemas de 1 grado de libertad.

•

Sistemas sin amortiguamiento.

Para explicar este método se hace uso de la metodología deductiva de superposición, es decir, partimos del resultado y que en este caso es la ecuación diferencial del movimiento. Aún cuando puede expresarse la ecuación diferencial en términos de cualquier coordenada, para facilitar la siguiente explicación se supone que se dispone de un sistema no amortiguado cuya ecuación diferencial esta dada por:

me &x& + k e x = 0 Puesto que &x& = dx& / dt = (dx& / dt )(dx / dx) = dx& (dx / dt ) / dx = x&dx& / dx se tiene que

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me x&

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dx& + ke x = 0 dx

Reacomodando la expresión e integrando

∫ m x&dx& + ∫ k e

e

xdx = 0

Ec. 3.20

1 1 me x& 2 + c1 + k e x 2 + c 2 = 0 2 2 1 1 me x& 2 + k e x 2 = cte 2 2 Es de entender que los primeros términos corresponden a la energía cinética y potencial respectivamente, lo anterior muestra que la suma de energías permanece constante, esto es lógico ya que no existe amortiguamiento. De manera que si se hace uso de las energías que eintervienen en un sistema, se plentea la ecuación de la conservación de la energía y derivendola con respecto al tiempo se llegara a la ecuación diferencial del movimiento. Método de energías, procedimiento para el análisis

•

Perturbar el sistema un pequeño angulo y definir el sentido de este como el positivo Aunque en el método de energías no es necesario elaborar un diagrama de cuerpo libre, el perturbar el sistema ayuda a interpretar las energías que intervienen en el sistema después de la erturbación.

•

Identificar cada una de las energías que intervienen en el sistema. Es importante identificar las energías cinéticas y potenciales, de aquí lo importante de recordar que aquellas inercias que debido a su condición inicial se encuentren deformando algún elemento elástico, la energía potencial de estas inercias no serán consideredas en el análisis ya que son compensadas por la energía elástca producto de la deformación inicial (condición de deformación estática). Si se disponen de elementos rígidos será necesario identificar su centro de gravedad.

•

Plantear la ecuación de energías. Usar la expresión

∑ T + ∑ U =cte donde ΣT es la suma de energías cinéticas y ΣU

1 / 2mx& 2 y 2 2 2 la rotacional 1 / 2 J oθ ; la energía potencial elástica es 1 / 2kx o bien 1 / 2kτ θ y la gravitacional mgh . Es importante recordar que la coordenada xi de cada elemento es la suma de energías potenciales. La energías cinética translacional es

se refiere solo al desplazamiento de ese elemento, es decir, no hay que confundir que 76

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este desplazamiento es para todos los elementos elásticos, de igual manera para las velocidades. •

Identificar las coordenadas de movimiento y expresarlas en función de la coordenada seleccionada. Hasta aquí se tiene una ecuación en términos de varias coordenadas, pero cada coordenada puede ser expresada o linealizada en términos de una sola coordnada seleccionada, por lo general es una variable angular.

•

Derivar la ecuación con respecto al tiempo. Aquí hay que hacer uso entre otras cosas la regla de la cadena que dice Dun =nun-1du

•

Reacomodar la ecuación y usar ecuaciones del movimiento libre Por último se reacomoda la ecuación expresándola en la forma canónica Jpeθ&& + cτ eθ& + kτ eθ = 0 , posteriormente se podrá hacer uso de las ecuaciones considerando solo los parámetros de la ecuación diferencial.

3.3.3

Método de elementos equivalentes

3.3.4

Método de sistemas equivalentes

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