Vezba_7

Дискретна Математика 1

Аудиториска вежба 7

Пресликувања

Дефиниција: f е пресликување од M во N акко (∀x∈M) (∃!y∈N) y=f(x). Множеството M се нарекува домен, а множеството N кодомен за пресликувањето f. Дефиниција: Нека f:M→N. 1. f е инјекција акко (∀x,y∈M) (f(x)=f(y) → x=y). 2. f е сурјекција акко (∀y∈N)(∃x∈M) y=f(x). 3. f е биекција акко f е инјекција и f е сурјекција. Дефиниција: 1M: M→M се нарекува идентично пресликување, и е биекција определена со 1M(x)=x, за ∀x∈M. Дефиниција: Нека f: M→N е биекција, тогаш постои инверзно пресликување f-1:N→M определено со f-1(y)=x ⇔ f(x)=y. Дефиниција: Нека f: X→Y, A⊆X, B⊆Y, 1. f(A)={f(x)|x∈A}⊆Y. слика на множеството А 2. f-1(B)={x∈X|f(x)∈B}⊆X. инверзна слика на множеството B Дефиниција: Нека f: X→Y, каде X,Y ⊆ . За функцијата велиме дека е 1. растечка ( строго растечка ) ∀x,y∈X (x y ⇒ f(x) f(y) ( ∀x,y∈X (x < y ⇒ f(x) < f(y) ) 2. опаѓачка ( строго опаѓачка ) ∀x,y∈X (x y ⇒ f(x) f(y) ( ∀x,y∈X (x < y ⇒ f(x) > f(y) ) Дефиниција: Нека се дадени пресликувањата f: A→B, g: B→C. Композиција на овие две пресликувања е пресликувањето g f: A→C дефинирано со g f (x)=g(f(x)). Дефиниција: График на пресликувањето f: A→B е подмножеството од A×B Гf ={ (a,b) | a∈A, b∈ B и f(a)=b}.

Задача 1: Дали е пресликување: a) f: → f(x)=x/2 b) f: → f(x)= x/2 x∈Q  x, c) f: → f(x)=  2  x x ∈Q

Дискретна Математика 1

Аудиториска вежба 7

Решение: a) е пресликување b) не е пресликување, бидејки 1 нема каде да се преслика c) не е пресликување бидејки 2 може да се преслика по двете правила.

Задача 2: Нека A={1,2,3}, B={a,b,c,d}. Да се определи една инјекција од A во B и една сурјекција од B во A.

1 Решение: f: A→B инјекција f :  c a g: B→A сурјекција g :  3

2 a b 2

3  d  c d . 1 3 

Задача 3: Определи ги својствата на следниве пресликувања: a b c d   a) f: {a,b,c,d}→ {a,b,c} f :  a c c b б) f: → f(x)=2x+1 в) f: → f(x)=2x+1 Решение: a) f не е инјекција затоа што с е слика на 2 елементи, а е сурјекција, затоа што сите елементи од кодоменот се слики. б) Нека f(x)=f(y) → 2x+1=2y+1 → x=y → f е инјекција. Нема елемент од кој се пресликува во 2 → f не е сурјекција. в) Нека f(x)=f(y) → 2x+1=2y+1 → x=y → f е инјекција. Нека y∈ , тогаш (y-1)/2∈ , и f((y-1)/2)=y → f е сурјекција.

Задача 4: Да се определат својствата и да се најдат композици на пресликувањата . Потоа да се определат и неговите својства. a) f: → б) f: → в) f: → г) f: →

f(x)=3x-1 f(x)=x2 f(x)=2x f(x)=5x

g: → g: → g: → g: →

+

g(x)=[x] g(x)=(-1)x x g(x)=x-1 g(x)= x2

Решение: a) Нека f(x)=f(y) → 3x-1=3y-1 → x=y → f е инјекција. Нека y∈ , тогаш (y+1)/3∈ , и f((y+1)/3)=y → f е сурјекција. g(1)=1=g(1.1), па следува дека g не е инјекција. Нека y∈ , тогаш [y]=y∈ , и g(y)=y → g е сурјекција.

Дискретна Математика 1

Аудиториска вежба 7

g f: → g f(x)=[3x-1] g f(1)=[3-1]=2=[3.3-1]=g(1.1), па следува дека g f не е инјекција. Нека y∈ , тогаш [y]=y и (y+1)/3∈ , па g f((y+1)/3)=[y]=y → g е сурјекција. Композицијата f не може да се дефинира бидејќи кодоменот на g се разликува од доменот на f. б) Нека f(x)=f(y) → x2=y2 и поради тоа што x и y се природни броеви следува дека x=y → f е инјекција. Во 2 не се пресликува ниту еден број → f не е сурјекција. Нека g(x)=g(y) → (-1)x x =(-1)y y=a. a e или позитивен или негативен. Ако е поизитивен, тогаш x и y се парни броеви, па (-1)x x =x и (-1)y y=y од каде следува дека x=y. Ако пак а е негативен, тогаш x и y се непарни броеви, па (-1)x x =-x и (-1)yy= -y од каде пак следува дека x=y. Од двете работи следува дека g е инјекција. Во 1 не се пресликува ниту еден број ⇒ g не е сурјекција. g f: →

gf(x)= (−1) x x2 2

Нека g f(x)=g f(y) → (−1) x x2 = (−1) y y2=a. a e или позитивен или негативен. Ако е поизитивен, тогаш x2 и y2 се парни броеви, односно x и y се 2

2

парни броеви, па (−1) x x2=x2 и (−1) y y2=y2 од каде следува дека x2=y2. Поради тоа што x и y се природни броеви следува дека x=y. Ако пак а е негативен, тогаш 2

2

x2 и y2 се непарни броеви, па (−1) x x2=-x2 и (−1) y y2=-y2 од каде пак поради тоа што броевите се природни следува дека x=y. Од двете работи следува дека g f е инјекција. Во 1 не се пресликува ниту еден број → g f не е сурјекција. 2

2

Како и под а, композицијата f не може да се дефинира бидејќи кодоменот на g се разликува од доменот на f. в) Нека f(x)=f(y) → 2x=2y → x=y → f е инјекција. Нека y∈ , тогаш y/2∈ , и f(y/2)=y → f е сурјекција. Нека g(x)=g(y) → x-1=y-1 → x=y → g е инјекција. Нека y∈ , тогаш y+1∈ , и g(y+1)=y → g е сурјекција. g f: → g f(x)= 2x-1 Нека g f(x)=g f(y) → 2x-1=2y-1 → x=y → g f е инјекција. Нека y∈ , тогаш (y+1)/2∈ , и g((y+1)/2)=y → g f е сурјекција. Композицијата f

може да се дефинира. ( за дома )

Дискретна Математика 1

Аудиториска вежба 7

г) Нека f(x)=f(y) → 5x=5y → x=y → f е инјекција. Нека y∈ , тогаш y/5∈ , и f(y/5)=y → f е сурјекција. Нека g(1)=g(-1) → g не е инјекција. Нека y∈ +, тогаш y ∈ , и g( y )=y → g е сурјекција. g f: → + g f(x)= 25x2 Нека g f(1)=gf(-1) → g f не е инјекција. Нека y∈

+

, тогаш

Композицијата f

y /5∈ , и g( y /5)=y → g е сурјекција. не може да се дефинира.

Својство: Нека f: A→B и g: B→C. Докажи дека: а) Ако g f e инјекција, тогаш f е инјекција. б) Ако g f е сурјекција, тогаш g е сурјекција.

Задача 5: Нека A={1,2,3,4}, B={a,b,c}, C={x,y,z,w,r}.  1 2 3 4  f:A→B f :  a b b a  1 2 3 4  h: A→C h :   y z w x Определи ако е можно пресликување g: B→C, т.ш. h=g f. Решение: Не е можно, бидејќи ако постои g: B→C, треба f да е инјекција (бидејќи h е инјекција), но f не е инјекција. a b c  . Да Задача 6: Нека A={a,b,c}, B={a,b,c,d} и f:A→B дефинирано со f :   a d b се определи пресликување g:B→A, такво што g f=1A. Решение: a b c d   . (Ова е можно затоа што f е инјекција). g: B→A , g :  a c c b Задача 7:

Нека f:

пресликување g: Решение:

→

дефинирано со f(x)= +1. Да се определи

→ , такво што g f=1R .

Дискретна Математика 1

g:

Аудиториска вежба 7

→ , g(x)=2(x-1). (Ова е можно затоа што f е инјекција).

Задача 8: Нека A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2, 3} и g: A→B дефинирано со 1 2 3 4   . Да се определи пресликување f: B→A, такво што g f=1B. g :  1 1 2 3   1 2 3   . (Ова е можно затоа што g е сурјекција). Решение: f: B→A , f :  1 3 4 

Задача 9: Нека g: → + дефинирано со g(x)=x2. Да се определи пресликување f: +→ , такво што g f=1R+. Решение: f: +→ , f(x)= x . (Ова е можно затоа што g е сурјекција). Задача 10: Нека f: → дефинирано со f(x)=x2+3. Да се определи: f({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}) и f-1({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}). Решение: f({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}) ={f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), f(7), f(8), f(9), f(10)}={4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, 84, 103}. 0 се пресликува во 3, 1 во 4, 2 во 7, а останатите во броеви поголеми од 10. Па според тоа f-1({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10})={0,1,2}.

Задача 11: Нека f:X→Y е дадено пресликување. Докажи дека: а) A⊆B → f(A)⊆f(B), A,B⊆X б) A⊆B → f-1(A)⊆f-1(B), A,B⊆Y Решение: а) Нека A⊆B⊆X. Нека x∈f(A). Значи (∃a∈А), x=f(a). Од A⊆B → a∈B, x=f(a) т.е. x∈f(B). Од каде следи f(A)⊆f(B). б) Нека A⊆B⊆Y. Нека x∈f-1(A). Значи f(x)∈А. каде следи f-1(A)⊆f-1(B).

Од A⊆B → f(x)∈B т.е. x∈f-1(B). Од

Задача 12: Нади пример на пресликување f: X→Y и множества A, B⊆X, такви што f(A∩B) ≠ f(A)∩f(B).

Дискретна Математика 1

Аудиториска вежба 7

Решение:  1 2 3  . Тогаш f(A∩B)={b}, a Нека X={1, 2, 3}, Y={a, b}, A={1, 2}, B={2, 3} и f :  a b a   f(A)∩f(B)={a, b}∩{a, b}={a, b} и тие се различни.

Задача 13: Нека f: X→Y е дадено пресликување и A,B⊆X. Докажи дека: а) Ако f е инјекција, тогаш f(A∩B) = f(A)∩f(B), б) Ако f е инјекција, тогаш A⊂B → f(A)⊂f(B). Решение: а) Нека f е инјекција. f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) (* да се покаже) важи за сите пресликувања. Останува да се докаже: ако f е инјекција, тогаш важи и обратното f(A)∩f(B) ⊆ f(A∩B). Нека x∈f(A)∩f(B), значи x∈f(A) и x∈f(B) од каде следи дека (∃a∈А) x=f(a) (3) (∃b∈B) x=f(b) (4) Од (3) и (4) следи дека f(a)=f(b)=x. Од f е инјекција имаме дека a=b. a=b∈A∩B и x=f(a) ⇒ x∈f(A∩B), од каде следи f(A)∩f(B)⊆f(A∩B) (**). Од (*) и (**) следи f(A∩B) = f(A)∩f(B). б) Нека f е инјекција и нека A⊂B. Значи A⊆B и (∃b∈B) b∉A. Од A⊆B следи f(A)⊆f(B). Останува да се докаже дека f(A)≠f(B). Од b∈B имаме дека f(b)∈f(B). Ако f(b)∈f(А) би имале дека (∃а∈А) f(b)=f(a). Од f е инјекција добиваме дека b=a∈A, што е контрадикција со b∉A. Значи f(b)∉f(А), односно f(A)⊂f(B).

Задача 14: Докажи дека за секое пресликување f: X→Y и множества A, B⊆X, f(A∪B) = f(A)∪f(B). Решение: Нека y∈ f(A∪B). Значи постои некое x∈ A∪B, такво што f(x)=y. Значи постои x, такво што x∈A или x∈B, такво што f(x)=y. Следува постои x∈A такво што f(x)=y или постои x∈B, такво што f(x)=y ⇒ x∈f(A)∨ x∈f(B) → x∈ f(A)∪f(B).

Задача 15: Нека f: X→Y е дадено пресликување и A⊆X, B⊆Y. Докажи дека: а) A⊆f-1(f(A)), б) f(f-1(B))⊆B, в) f(A)⊆B акко A⊆f-1(B). Решение: а) Нека a∈A. Јасно е дека f(a)∈f(A), па од тука следи а∈f-1(f(A)), т.е A⊆f-1(f(A)).

Дискретна Математика 1

Аудиториска вежба 7

б) Ако y∈f(f-1(B)), тогаш y=f(x), f(x)∈B односно y∈B. Од тука следи f(f-1(B))⊆B. в) ⇐: Нека A⊆f-1(B). Тогаш f(A)⊆f(f-1(B)) и од f(f-1(B))⊆B следи f(A)⊆B. ⇒: Нека f(A)⊆B. Тогаш f-1(f(A))⊆f-1(B) и од A⊆f-1(f(A)) следи A⊆f-1(B). Од тука имаме f(A)⊆B ⇔A⊆f-1(B). , Задача 16: Да се определи домен и кодомен на функциите ( ) = √ ( ) = (√ ) , h(x) = |x| и да се определат нивните својства. Да се најдат нивните композиции ( таму каде што може да се дефинираат ). Одговор: f: → + {0} , не е инјекција, е сурјекција g: 0} → + {0} , е инјекција и сурјекција ( значи и биекција ) h: → + {0} не е инјекција, е сурјекција ( )= ( ) = ( √ ) = (!√ ) , g : → + {0} g g ":

→

+

{0} g " ( ) =

"( ) =

(| |) = (!| | ) = | |

Задача 17: Докажи дека: f: X→ Y е инјекција акко за секое множество А и пресликувања g1 ,g2: A→X важи fg1=fg2 ⇒ g1=g2. Решение: ⇒: Нека f: X→Y е инјекција и нека А e произволно множество т.ш. g1,g2: A→X, и f g1=f g2. Нека x ∈ А. Од условот f g1=f g2 важи f g1(x)=f g2(x) т.е. f(g1(x))=f(g2(x)) па од f е инјекција следи g1(x)=g2(x). Од произволноста на x∈A следи g1=g2. ⇐: Нека за секое множество A и пресликувања g1 ,g2:A→X важи f g1=f g2 → g1=g2. Нека f не е инјекција. Значи (∃x1,x2∈ X) т.ш. x1 ≠x2, но f(x1)=f(x2)=y. Дефинираме А={а}, g1: A→X со g1(a)= x1, g2: A→X со g2(a)= x2 тогаш важи: f g1(a)=f(g1(a))=f(x1)=f(x2)=f(g2(a))=f g2(a), па f g1= f g2, a g1≠ g2, што е контрадикција, од каде следи дека f е инјекција.

Задача 18: Докажи дека: f: X→Y е сурјекција акко за секое множество А и пресликувања g1 ,g2:Y→A важи g1 f=g2 f → g1=g2.

Дискретна Математика 1

Аудиториска вежба 7

Решение: ⇒: Нека f: X→Y е сурјекција и нека А e произволно множество т.ш. g1,g2: A→X, и g1 f=g2 f. Нека y ∈ Y. Од тоа што f е сурјекција (∃x∈X), т.ш. y=f(x). g1(y)=g1(f(x))= g1f(x)=g2f(x)=g2(f(x))=g2(y). Од произволноста на y∈Y следи g1=g2. ⇐: Нека за секое множество A и пресликувања g1 ,g2: A→X важи f g1=f g2 → g1=g2. Нека f не е сурјекција. Значи (∃y∈ Y) т.ш. (∀x∈X) y≠f(x), односно (∃y∈ Y) y∉f(X). Дефинираме А={а1, a2} g1: Y→A со g1(y)= a1 , (∀y∈Y)  a1 y ∈ f ( X ) g2: Y→A со g 2 ( y ) =  a 2 y ∉ f ( X ) тогаш важи: g1f(x)=g1(f(x))=a1=g2(f(x))=g2f(x), што е контрадикција, од каде следи дека f е сурјекција.

па g1f= g2f, a g1≠ g2,

Задача 19. Нека пресликувањето f: MöN, каде што M={1,2,3,4,5,6},  1 2 3 4 5 6  . N={a,b,c,d,e,g} е дадено со f :  a b b e d c а) Да се определи дали f е инјекција, сурјекција и биекција; б) Дали постои инверзното пресликување f -1?; в) Ако A={2,3,4}, B={a,b,g}, да се определи f(A) и f -1(B). Решение: a) f е инјекција акко ("x,yœM)(f(x)=f(y)flx=y) или еквивалентниот услов ("x,yœM)(x∫yflf(x)∫f(y)), т.е. не постојат два различни елементи кои имаат иста слика. Ова практично значи дека f е инјекција акко во долниот ред од дефиницијата на f сите елементи се различни, т.е. не постои елемент кој што се јавува два или повеќе пати. Но, како што можеме да видиме b се јавува два пати. Значи, f(2)=f(3)=b, 2∫3, па заклучуваме дека f не е инјекција. f е сурјекција акко ("yœN)($xœM) f(x)=y. Ова значи дека f е сурјекција акко секој елемент од кодоменот N се јавува во долниот ред во дефиницијата на f. Можеме да видиме дека g не се јавува во долниот ред, т.е. ("xœM) f(x)∫g. f е биекција акко f е инјекција и f е сурјекција. Значи, f не е биекција.

Дискретна Математика 1

Аудиториска вежба 7

б) Инверзното пресликување f -1:NöM постои акко f е биекција. Во тој случај f -1 е дефинирано на следниот начин: f -1(y)=x‹f(x)=y. в) f(A) ги содржи сликите на елементите од А при пресликувањето f, т.е. f(A)={f(x)|xœA}={f(2), f(3), f(4)}={b,e}. f -1 (B) ги содржи оние елементи од М кои со f се пресликуваат во некој елемент од B, т.е. f -1(B)={xœM|f(x)œB}. f(1)=a, f(2)=f(3)=b и не постои елемент кој се пресликува во g. Значи, f -1(B)={1,2,3}. Напомена: f -1(B) и f -1 се две различни работи. f -1(B) е инверзна слика на множество и секогаш постои, додека пак f -1 е инверзно пресликување и постои само ако f е биекција. Задача 20. Нека пресликувањето f: MöN, каде што M={1,2,3,4,5,6},  1 2 3 4 5 6  . Да се определи f -1, доколку N={a,b,c,d,e,g} е дадено со f :  g a b e d c   постои. Решение: Согласно образложението во претходната задача под а), заклучување дека f е инјекција и сурјекција, што значи дека е биекција. Од тоа што f е биекција следува дека постои инверзното пресликување f -1: NöM. Да го определиме: f(1)=g→f -1(g)=1 f(4)=e→f -1(e)=4

f(2)=a→f -1(a)=2 f(5)=d→f -1(d)=5

Значи, го добивме инверзното пресликување f

f(3)=b→f -1(b)=3 f(6)=c→f -1(c)=6. −1

a b c d :  2 3 6 5

e g . 4 1 

Задача 21: Нека f: ö е пресликување дадено со f(x)=|x|. а) Да се определи дали f е инјекција, сурјекција или биекција; б) Нека A={x∈ |x≤3, B={x∈ |x≥-4}. Да се определи f(A) и f -1(B). Решение: а) Бидејќи f(1)=f(-1)=1 и 1∫-1, следува дека f не е инјекција. Од тоа што -1œR и ("yœR) f(y)∫-1, следува дека f не е сурјекција. Значи, f не е биекција. б) А={0,1,2,3}, па f(A)={f(0), f(1), f(2), f(3)}={0,1,2,3}=A. f- -1(B)=N. Напомена: Кои својства ќе ги има дадено пресликување директно е врзано не само за тоа како тоа е дефинирано, туку и за тоа кој е доменот и кодоменот. На пример доколку пресликувањето f(x)=|x| се разгледува како f: +ö , тогаш f

Дискретна Математика 1

Аудиториска вежба 7

е инјекција, но не и сурјекција. Ако пак се земе f: сурјекција, т.е. биекција.

+

ö

+

, тогаш f е инјекција и

Задача 22: Нека A={1,2,3,4,6}, B={a,b,c,d,e}, C={x,y}, а пресликувањата f: AöB, g:  1 2 3 4 5 6 a b c d e   и g :   . Да се BöC се определени со: f :  d a b a d c  x x y x y определи композицијата g f. Решение: Бидејќи доменот на g е еднаков со кодоменот на f, постои композицијата g f: АöC. По дефиниција, g f(x)= g(f(x)), за секое xœA. Имаме, g f(1)= g(f(1))=g(d)= x; g f(3)= g(f(3))=g(b)= x; g f(5)= g(f(5))=g(d)= x;

g f(2)= g(f(2))=g(a)= x; g f(4)= g(f(4))=g(1)= x; g f(6)= g(f(6))=g(c)= y; па

1 2 3 4 5 6  gf :   x x x x x y