Vetores

F Í ÍS   SI I C   CA  

AL I   IL     E   EU     

1. NOÇÃO DE DIREÇÃO E SENTIDO 

Dizemos que duas retas têm a mesma direção  quando elas são paralelas . O conceito de direção aplicase também a segmentos de reta . Dizemos que dois segmentos de reta têm a mesma direção quando eles estão sobre a mesma reta ou estão sobre retas paralelas (Figura). A

B  D 

C 

E

Graficamente o vetor é representado por um segmento de reta orientado, indicado por uma letra que geralmente lembra a grandeza vetorial em questão sobre a qual colocamos uma seta (Fig.)

Sendo r e s paralelas, os segmentos e EF têm a mesma direção.

v 

Vetor d  Vetor  d (deslocamento) (deslocamento)

r F 





d 

s

Vetor v  Vetor  (velocidade) v (velocidade)





a 

F 

AB , CD 

Vetor F  Vetor F (força) (força)

Vetor a  Vetor a (aceleração) (aceleração)

A direção pode ser caracterizada pelo ângulo que uma das retas do conjunto acima, forma com outra adotada como referência. Na figura abaixo, abaixo, a direção d  do segmento AB é definida pelo ângulo  que ela forma com a reta de referência r . B

4.

d

A 

O módulo  do vetor é indicado da forma seguinte: | v | ou v.

r

2. GRANDEZAS ESCALARES E GRANDEZAS  VETORIAIS 

Algumas grandezas ficam totalmente determinadas por um valor numérico e uma unidade; tais grandezas são chamadas escalares. É o caso, por exemplo, da massa massa e do volume de um corpo. Quando dizemos que a massa de um corpo é igual a 80 kg e que seu volume é de 10 litros, nada mais precisamos acrescentar para definir essas grandezas. Além do volume e da massa, são grandezas escalares tempo, densidade, energia, temperatura, etc. No entanto, há outras grandezas que, além do módulo  (valor numérico e da unidade), necessitam de direção B  e sentido para que fiquem definidas. Consideremos, por exemplo, o caso ilustrado na figura, de uma partícula que, a 4 cm partir de um ponto A, se A desloque 4 cm. É necessário acrescentar “para onde” foi o deslocamento; isso pode ser feito através de um segmento orientado, como está na figura. As grandezas que necessitam dessa “informação” são chamadas grandezas  vetoriais . São exemplos de grandezas vetoriais: força, velocidade, aceleração, quantidade de movimento, impulso, etc. 3. VETOR 

A fim de que as operações envolvendo grandezas vetoriais se tornem simples, utilizamos a entidade matemática denominada vetor . Observe que, na figura ao lado, os segmentos B  têm a mesma extensão geométrica, isto é, o mesmo comprimento e, por serem A paralelos, a mesma direção. Têm ainda o mesmo sentido. Vetor é o ente matemático caracterizado pelo que há de comum ao conjunto dos segmentos orientados acima descritos: o mesmo mesmo comprimento (tamanho), a mesma direção e o mesmo sentido. sentido. Assim um vetor possui módulo , direção e sentido .

IGUALDADE DE VETORES 

Dois vetores não-nulos são iguais se, e somente se, tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Para indicar que o vetor a  é igual ao vetor b , escrevemos a  b .

E X  XE  E   M   MP  P  L   O S  S  

r

a



s

b

Vetores iguais (mesmo módulo, mesma  direção e mesmo sentido).

r



r

a



s

b

Vetores diferentes (os módulos são  diferentes). 

r

a

s 

b



a



b

s Vetores diferentes (as direções são  diferentes).

Vetores iguais (mesmo módulo, mesma  direção e mesmo sentido).

5.

ADIÇÃO DE VETORES 

Consideremos que sejam dados os dois vetores representados a b pelos segmentos orientados a e b , como indicado na figura 1. Figura 1 Para adicionar vetorialmente a e b , podemos utilizar dois processos: a regra do polígono e a regra do paralelogramo. 



Regra do polígono 

Procedimento: transportamos a e b de modo que a origem de um coincida com a extremidade do outro, sem modificar seus módulos, direções e sentidos (figura 2); ligamos a origem de a com a extremidade de b . O vetor s , assim





a

b

Figura 2





a

b



s







s =a +b Figura 3

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AL I   IL     E   EU      Vx é denominado componente do vetor  V no eixo  x ou projeção de  V em x. 9.

DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR 

A componente de um y vetor, segundo uma direção, é a projeção (ortogonal) do vetor B naquela direção. Considerando o plano V cartesiano formado pelos eixos V A x  e y , A componente do vetor x 0 V V segundo o eixo x , nada mais é do que sua projeção ortogonal segundo este eixo e a componente deste mesmo vetor segundo o eixo y , é sua projeção ortogonal segundo o eixo y (figura). Estas componentes V x e V y , são denominadas 

b) R2



A D



y



x

componentes retangulares do vetor V

c) R3

. Para calcularmos os módulos destas componentes, utilizemos o triângulo 0AB da figura anterior. Lembrando que em um triângulo retângulo temos as relações:

A B



sen



cos  

cateto oposto a  hipotenusa

cateto adjacente a  hipotenusa

teremos, para o triângulo 0AB da figura; sen  

d) R 4

A D



cos  

Vy V Vx V

donde Vy



V.sen 

donde Vx



V. cos 

Estas relações nos permitem calcular os valores das componentes V x e V y quando conhecemos o módulo do vetor V e o ângulo que ele forma com o eixo 0X . Por outro lado, se conhecermos os valores das componentes V x e V y , o módulo do vetor V poderá ser obtido pelo teorema de Pitágoras: e) R5



V2

2A  E



Vx

2



Vy

2

E X  XE  E   R  R   C   CÍ  Í C  C   I  I O   OS  S    f) R6

1. Determine o módulo das componentes retangulares do vetor a de módulo 10 m, conforme as figuras abaixo. a) y c) y

 2A  E



a

8.

PROJEÇÕES DE UM VETOR 



a

o

60

x

x

Considere o vetor V representando pelo segmento orientado AB e o eixo x. Sejam  A’  e B’  as projeções ortogonais (perpendiculares) de A e B  sobre o eixo x. B

B



V



V

A

 A’

b)

d)

y

y



a o 30



a

x

x

A



Vx

B’

x

B’



Vx

A’

x

Chamemos de Vx a medida do segmento  A’B’  com sinal: +, se o sentido de A' B' concorda com o sentido de x;  –, se o sentido de A ' B' é contrário ao sentido de x.

2. Um projétil é atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um ângulo de 45o com a horizontal. Determine os componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil. 3. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o módulo do vetor

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O resultado da operação v – t + u é o vetor: a) r + u c) r + s e) r b) t + u d) 2 u 22. (CEFET-PR) Quatro vetores a , b , a c e d de módulos iguais a 7 unidades cada um, assumem, numa b primeira situação, o aspecto d indicado no diagrama vetorial a seguir. e Numa segunda situação, invertemos o sentido de um deles. a resultante, na primeira e na segunda situação, terá o módulo, respectivamente, igual a: a) 28 unidades e zero; b) zero e 14 unidades; c) zero e 7 unidades; d) 7 unidades e 28 unidades; e) zero e zero. 







23. (ACAFE-SC) Analisando a figura abaixo, afirma-se que: I. Q + R = P + S II. Q – R = P – S



R





Q

U



T



P III. Q + R + U = S IV. Q = R + T A alternativa com afirmações verdadeiras é: a) I e II c) I e III e) I e IV b) III e IV d) II e IV



S