Vetores No Plano e No Espaço
April 12, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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1ª Lista de Exercícios
1)Com base na figura ao lado, escreva cada combinação de vetores como um único vetor: a) AB +BC c)
b)
A
CD +DA
d) BC
BC −DC
+
D
CD + DA
B C
2) Na figura ao lado
DB
AD
=2
. Exprimir CD em função de AC e
BC
. A
+
MD
NM
=0
e
NB
+
NC
=0
B
D
C 3) Na figura ao lado, MA AB +DC em função de
C
D
, escrever o vetor
.
M
N B
A
4) A figura ao lado apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. Nestas condições,determine condições,determine os vetores abaixo, expressando-o expressando-oss com origem no ponto A: a)
OC
+
d)
EH
+
g)
1 2
b)
CH
+
+
EH
h)
FG
c)
2 AE + 2 AF
BG
f)
2OE
+
e) EO
EF
BC
EH
FE
+
+
FG
i)
OG
E
OC
+2
−
H
D
HO
C G
O
A
B
F
+
AO j) 5) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma. AF
FO
6)Ache o vetor a de IR 2 que corresponda a a)P(1, –4) ; Q(5, 3)
PQ .
Grafe
b)P(2, 5) ; Q(–4,5)
PQ
e o vetor posição de
c)P(–3,–1) ; Q(6,–4)
a
d)P(7, –3) ; Q(–2,4).
7)Determine um vetor unitário que tenha: (I)mesma direção e sentido de a ; (II)mesma direção e sentido oposto ao de a . a) a
8i
=−
15 j
+
b)
c)
8)Ache um vetor de mesma direção e sentido que < –6, 3 > e que tenha:
a
.
=
5i
3 j
−
a)o dobro do módulo de < –6, 3>
b)metade do módulo de < –6, 3>
9)Ache um vetor de módulo 6 que tenha a mesma direção e sentido que
a
=
4i
7 j .
−
10)Nos itens a seguir determine todos os números reais c tais que : (I) a)
c a
3i
;
3
=
(II)
c a
=0.
b)< –5,12 >.
−4 j .
11)Na navegação aérea, as direções são dadas tomando-se as medidas a partir do norte em sentido horário. Suponhamos que um avião esteja voando a 200 km/h na direção 60 o e que o vento sopre diretamente do oeste a 40 km/h. Essas velocidades podem ser representados por vetores v e w , respectivamente. A direção da resultante v + w é a “trajetória real” do avião em relação ao solo e o módulo de v + w é a “ velocidade no solo” do avião. Aproxime a velocidade no solo e o verdadeiro curso do avião. 12)Resolva o exercício 11) supondo que o avião voa na direção 150o a uma velocidade no ar de 300 km/h e que o vento sopra a 30 km/h na direção 60o . 13)Dois rebocadores estão rebocando um grande navio para o porto, conforme a figura. O rebocador maior exerce uma força de 1800 N (Newtons) sobre o cabo, e o rebocador menor exerce uma forç forçaa de 1440 N sob sobre re seu cabo. Se o navio deve percorrer uma reta de A a B, determine o ângulo θque o rebocador maior deve fazer com AB .
θ
A
30O
14)Um automóvel percorre 30 km para leste , numa estrada planta. Num cruzamento ele vira para o norte e percorre mais 40 km. Achar o deslocamento resultante do automóvel (módulo e ângulo com a horizontal). 15)Ache o vetor que tem: (I)a mesma direção e sentido de
e duas vezes o módulo de
a
a
;
(II)mesma direção de a , sentido oposto e um terço do módulo de (III)mesma direção e sentido de a e módulo 2. a) a
=
14 i
15 j
−
+
b)
6k
16)Ache o vetor a de IR 3, que corresponde a a)P(2, 4, –5) e Q(4, –2, 3)
a
PQ .
6i
=−
Grafe
b)P(–4, 0, 1) e Q(3, –2, 1)
−
3 j
PQ
a
+
;
6k
e o vetor posição de
a
.
c)P(1, 0, 0) e Q(0, 1, 1).
17)Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometricamente: a)< 3, –1 > e < –2, 4 > 18)Determine: (I)
a
b) e , (II) a
+
b
, (III)
c)< 1, 0, 1 > e < 0, 0, 1 > d) e a
−
b
, (IV)
3a
+
4b
, onde:
B
a)
a
b
=
= ; j
+
b
=
a
= ;
b
= c)
a
=
i
−
2 j
+
;
k
2k
19) Dados os vetores a)
b)
4( u − v
)+
1 3
u
x
= (3, -1) e
v
= (-1,2), determinar o vetor b)
= 2u − x
3x
−
( 2v
−
tal que:
x
u)
( 4x
u)
=2
20) Qual o ponto inic inicial ial do segmento orien orientado tado que represe representa nta o vetor extremidade está em (3,1)?
v
−3
=(-1, 3), sabendo que sua
21) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para: a) A( A(-3 -3,, -1), -1), B B(4 (4,, 2) e C( C(5, 5, 55)) b) A(5, 1), B(7, 3) e C(3, 4). 22) Sabendo que A(1, -1), B(5, 1) e C(6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. 23) Sendo A(-2,3) e B(6,-3), extremidades de um segmento, determinar: a) Os po ponto nto C C,, D e E qu quee divide dividem m o seg segmen mento to b) Os pontos F e G que dividem o segmento segmento
AB
AB
em quatro partes de mesmo comprimento;
em três partes de mesmo comprimento.
24) Dados os pontos A(3, -4, -2) e B(-2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento que AN
=
2 5
AB
AB
tal
.
25) Dados os vetores
u
3 u − v + x = 2w + 4x
= (2, 3, -1) e .
v
= (1,-1, 1) e
w
= (-3, 4, 0) , determinar o vetor
x
tal que
26) Sendo A(2, -5, 3) e B(7, 3, -1) vértice vérticess consecutivos consecutivos de um paralelogra paralelogramo mo ABCD e M(4, -3, 3) o ponto de interseção interseção de suas diagonais, diagonais, determ determinar inar os vértices C e D D.. 27) Dados os pontos A(1, -1, 3) e B(3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o segmento sentido de A para B, para que seu comprimento quadriplique de valor.
AB
, no
28) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(2, 1, -5), calcular me e n. 29)Se várias forças estão agindo em um objeto, a “força resultante” experimentada pelo objeto é o vetor soma dessas forças. Duas forças F e F2 com magnitudes 10 lb e 12 lb agem sobre um objeto num ponto P como mostrado na figura.. Determine figura Determine a força resultan resultante te F agindo em P assim como sua magnitude, direção e sentido.
F1 F2
1
30)Um peso de 100 lb está pendurado entre dois fios, como mostrado na figura. Determine as tensões (forças) T1 e T2 em ambos os fios e suas normas.
45o
50o T2
30o
32o T1
31)A lei de Coulomb afirma que o módulo da força de atração entre duas A partículas com cargas cargas opostas é diretamente proporcio proporcional nal ao produto dos módulos q1 e q2 das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distãncia d entre entre elas. Mo Mostre stre que se uma partícula com carga +q é fixada em um ponto A e uma partícula com carga –1 é colocada em B, então a força de atração
F
em B é dada por:
F
kq
=
BA
3
BA
+q
–1 B
.
32)Considere partículas partículas de carga +q C colocadas e mantidas fixas nos ppontos ontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Coloca-se então uma carga de –1C em P(x,y,z). a)Se
v
=
OP ,
mostre que a força resultante F
=kq
F
i −v i − v
na partícula carregada negativamente é dada por : −v
j
+
3
j
−v
3
+
k k
−v −v
3
.
b)A partícula carregada carregada negativamente negativamente deve ser coloc colocada ada em um pon ponto to P(x, y, z) equidistante equidistante das três cargas positivas, coordenadas de P. de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja nula. Ache as 33) Considere a equação x a + y b + z c 1
a ) Se b) Se
a , b, e c a , b, e c
34) Suponha que AD
=
x AB
+
1
1
=
x2 a
+
y2 b + z2 c
, mostre que:
são L.I. então x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2; são L.D., então não podemos concluir que x 1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.
e AC sejam L.I.. Como devem ser o escalares x e y de modo que o vetor seja paralelo ao vetor AB , mas de sentido contrário?
AB
y AC
35) Verifique se os vetores dados são L.I. ou L.D.: a) b) c) d)
u
=
i
u
=− 14
u
=
i
u
=
( 2,−1, 2) v
+2
i
k, v j
+91
j , v
+
=2
i
+
+56
=3
i
=
j , w
k, v
+12
j
+
=3
=2
i
j
+
+5
i
−13
j
=
( 2, 0,
k
−8
k
k
(1, 1, 1) , w
2)
36) Os vetores u = 4 i + j −3 k , v = 2 i + j + 3k , w = −3 i + 9 j − k , são L.I. ou L.D. ? Eles formam uma base de IR 3? Caso Caso for forme mem m um bas base, e, determ determine ine as coorde coordenad nadas as do vet vetor or i + j + k nessa base. 37) Sejam u = ( 0, 1, 1) v = ( 2, 1, 0) , w = (1, 0, 1) . Mostre que IR 3 e determine as coordenadas de a = (3, 2, 2) nessa base.
u, v , w
é uma base de
38) Seja é base. 39) a
Escreva i
=2
uma base de IR 3. Verifique se
u, v , w
o
j , b
+3
=
j
vetor +
40) Sejam u 2 a b o vetor w = 9 a +15b combinação linear. =
+
−
k , c c
i =
c
+2
k
+
k
como
−2
v
+
w ,2 u
combinação
+
v
−3
linear
w, v
dos
w
+5
vetores
.
, onde a , b e c são vetores L.I.. Mostre que é combinação linear de u e v e determine os coeficientes dessa
e v
+6
j
j
+
u
=−
a
+
b
+2
c
Respostas:
1)a) AC
b)
4) a) AE
CA
b) AC
c)
BD
c) AC
d)
2) CD = − BC
BA
d) AB
e) AO
+ 2 AC
f) AD
3) 2 MN
3
g) AH
h) AD
i) AO
j)
AC
6) a)
b)
c) y
y
y
7 x 0
4
x
x
0
–6
y d)
x
0
7) a)(I)–8/17 −2 /
c)(I)
29 , 5 / 5/
+ 15/17 j , (II) )8/17
i
i
– 15/17 j
b)(I)
2/
29 , −5 /
29
, (II)
29
34 ,
−3 /
34
, (II) −5 /
8) a) b) 9) 24 / c = ±3 / 13 (II) 0 11)235 km/h , 65o
34 , 3 /
34
10) a)(I) c = ±3 / 5 (II)0 b) (I) 12)301,5 km/h , 144,3o 13)arcsen(0,4) ≈ 23,6o 14)50 km, 53o
65 i
−
42 /
65 j
15)a)(I) b)(I)
28 i
−
12 i
−
16)a) 17)a)
30 j
−
6 j
(II)
12 k
+
12 k
+
(II)
b) b)
14 / 3 i
−
2i
+
j
+
−
5 j
−
(III)
2k
(III)
2k
2/
457 (14 i
2 / 9 ( −6 i
−
3 j
+
15 j
−
+
6k )
6k )
c)
c)
d)
18)a)5, , ,
b)7, ,
, c) 6 , i − j + 3 k , i 3 j k , 3 i 2 j 11k 19) a) (-15/2, 15/2) b) (23/5,-11/5) 20) (4, -2) 21) a) D(-2, 2) b) D(1, 2) 22) (2, 2), (0, -4) e (10,6) 23) a) C(0, 3/2), D(2, 0), E(4, -3/2) b) F(2/3, 1), G G(10/3, (10/3, -1) 24) N(1, -2, -6/5) 25) x = (11/3, 2/3, 4/3) 26) C(6, -1, 3) e D(1, -9, 7) 27) (9, 7, 11) −
−
28) m = 5 e n = -13 29) F = (6 3 − 5 2 ) i T 64,91 lb. 30) T = 55,05 i + 34,40 j , lb 1
1
32) b) (1/3,1/3,1/3) 36) Formam uma base; 38) É base
+
13
u
+
3 7
39)
v v
+
13,5 lb , θ ≈ 76 o 85,64 T = −55,05 i + 65,60 j , , T
(6 + 5 2 ) j
,
F
2
35) a) L.I. 5 91
=
+
2
34) x
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