Vetores No Plano e No Espaço

 

1ª Lista de Exercícios

1)Com base na figura ao lado, escreva cada combinação de vetores como um único vetor: a) AB +BC c)

b)

A

CD +DA

d) BC

BC −DC

+

D

CD + DA

B C

2) Na figura ao lado

DB

 AD

=2

. Exprimir  CD em função de  AC e

BC

. A

+

MD

NM

=0

e

NB

+

NC

=0

B

D

C 3) Na figura ao lado, MA  AB +DC em função de

C

D

, escrever o vetor 

.

M

 N B

A

4) A figura ao lado apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango.  Nestas condições,determine condições,determine os vetores abaixo, expressando-o expressando-oss com origem no ponto A: a)

OC

+

d)

EH

+

g)

1 2

b)

CH

+

+

EH

h)

FG

c)

2 AE + 2 AF

BG

f)

2OE

+

e) EO

EF

BC

EH

FE

+

+

FG

i)

OG

E

OC

+2

−

H

D

HO

C G

O

A

B

F

+

 AO  j) 5) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma.  AF

FO

6)Ache o vetor  a de IR 2 que corresponda a a)P(1, –4) ; Q(5, 3)

PQ .

Grafe

b)P(2, 5) ; Q(–4,5)

PQ

e o vetor posição de

c)P(–3,–1) ; Q(6,–4)

a

d)P(7, –3) ; Q(–2,4).

7)Determine um vetor unitário que tenha: (I)mesma direção e sentido de a ; (II)mesma direção e sentido oposto ao de a . a) a

8i

=−

15 j

+

b)

c)

8)Ache um vetor de mesma direção e sentido que < –6, 3 > e que tenha:

a

.

=

5i

3  j

−

 

a)o dobro do módulo de < –6, 3>

b)metade do módulo de < –6, 3>

9)Ache um vetor de módulo 6 que tenha a mesma direção e sentido que

a

=

4i

7  j .

−

10)Nos itens a seguir determine todos os números reais c tais que : (I) a)

c a

3i

;

3

=

(II)

c a

=0.

b)< –5,12 >.

−4  j .

11)Na navegação aérea, as direções são dadas tomando-se as medidas a partir do norte em sentido horário. Suponhamos que um avião esteja voando a 200 km/h na direção 60 o e que o vento sopre diretamente do oeste a 40 km/h. Essas velocidades podem ser representados por vetores v e w , respectivamente. A direção da resultante v + w é a “trajetória real” do avião em relação ao solo e o módulo de v + w é a “ velocidade no solo” do avião. Aproxime a velocidade no solo e o verdadeiro curso do avião. 12)Resolva o exercício 11) supondo que o avião voa na direção 150o a uma velocidade no ar de 300 km/h e que o vento sopra a 30 km/h na direção 60o . 13)Dois rebocadores estão rebocando um grande navio para o porto, conforme a figura. O rebocador maior exerce uma força de 1800 N (Newtons) sobre o cabo, e o rebocador  menor exerce uma forç forçaa de 1440 N sob sobre re seu cabo. Se o navio deve percorrer uma reta de A a B, determine o ângulo θque o rebocador maior deve fazer com  AB .

θ

A

30O

14)Um automóvel percorre 30 km para leste , numa estrada planta. Num cruzamento ele vira para o norte e percorre mais 40 km. Achar o deslocamento resultante do automóvel (módulo e ângulo com a horizontal). 15)Ache o vetor que tem: (I)a mesma direção e sentido de

e duas vezes o módulo de

a

a

;

(II)mesma direção de a , sentido oposto e um terço do módulo de (III)mesma direção e sentido de a e módulo 2. a) a

=

14 i

15  j

−

+

b)

6k

16)Ache o vetor  a de IR 3, que corresponde a a)P(2, 4, –5) e Q(4, –2, 3)

a

PQ .

6i

=−

Grafe

b)P(–4, 0, 1) e Q(3, –2, 1)

−

3  j

PQ

a

+

;

6k

e o vetor posição de

a

.

c)P(1, 0, 0) e Q(0, 1, 1).

17)Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometricamente: a)< 3, –1 > e < –2, 4 > 18)Determine: (I)

a

b) e , (II) a

+

b

, (III)

c)< 1, 0, 1 > e < 0, 0, 1 > d) e a

−

b

, (IV)

3a

+

4b

, onde:

B

 

a)

a

b

=

= ;  j

+

b

=

a

= ;

b

= c)

a

=

i

−

2  j

+

;

k

2k

19) Dados os vetores a)

b)

4( u − v

)+

1 3

u

x

= (3, -1) e

v

= (-1,2), determinar o vetor  b)

= 2u − x

3x

−

( 2v

−

tal que:

x

u)

( 4x

u)

=2

20) Qual o ponto inic inicial ial do segmento orien orientado tado que represe representa nta o vetor  extremidade está em (3,1)?

v

−3

=(-1, 3), sabendo que sua

21) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para: a) A( A(-3 -3,, -1), -1), B B(4 (4,, 2) e C( C(5, 5, 55))  b) A(5, 1), B(7, 3) e C(3, 4). 22) Sabendo que A(1, -1), B(5, 1) e C(6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. 23) Sendo A(-2,3) e B(6,-3), extremidades de um segmento, determinar: a) Os po ponto nto C C,, D e E qu quee divide dividem m o seg segmen mento to  b) Os pontos F e G que dividem o segmento segmento

 AB

 AB

em quatro partes de mesmo comprimento;

em três partes de mesmo comprimento.

24) Dados os pontos A(3, -4, -2) e B(-2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento que  AN

=

2 5

 AB

 AB

tal

.

25) Dados os vetores

u

3 u − v + x = 2w + 4x

= (2, 3, -1) e .

v

= (1,-1, 1) e

w

= (-3, 4, 0) , determinar o vetor 

x

tal que

26) Sendo A(2, -5, 3) e B(7, 3, -1) vértice vérticess consecutivos consecutivos de um paralelogra paralelogramo mo ABCD e M(4, -3, 3) o  ponto de interseção interseção de suas diagonais, diagonais, determ determinar inar os vértices C e D D.. 27) Dados os pontos A(1, -1, 3) e B(3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o segmento sentido de A para B, para que seu comprimento quadriplique de valor.

 AB

, no

28) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(2, 1, -5), calcular me e n. 29)Se várias forças estão agindo em um objeto, a “força resultante” experimentada pelo objeto é o vetor soma dessas forças. Duas forças F e F2 com magnitudes 10 lb e 12 lb agem sobre um objeto num ponto P como mostrado na figura.. Determine figura Determine a força resultan resultante te F agindo em P assim como sua magnitude, direção e sentido.

F1 F2

1

30)Um peso de 100 lb está pendurado entre dois fios, como mostrado na figura. Determine as tensões (forças) T1 e T2 em ambos os fios e suas normas.

45o

50o T2

30o

32o T1

 

31)A lei de Coulomb afirma que o módulo da força de atração entre duas A  partículas com cargas cargas opostas é diretamente proporcio proporcional nal ao produto dos módulos q1 e q2 das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distãncia d entre entre elas. Mo Mostre stre que se uma partícula com carga +q é fixada em um ponto A e uma partícula com carga –1 é colocada em B, então a força de atração

F

em B é dada por:

F

kq

=

BA

3

BA

+q

 –1 B

.

32)Considere partículas partículas de carga +q C colocadas e mantidas fixas nos ppontos ontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Coloca-se então uma carga de –1C em P(x,y,z). a)Se

v

=

OP ,

mostre que a força resultante F

=kq

F

   i −v      i − v

na partícula carregada negativamente é dada por : −v

 j

+

3

 j

−v

3

+

k k

−v −v

3

.

 b)A partícula carregada carregada negativamente negativamente deve ser coloc colocada ada em um pon ponto to P(x, y, z) equidistante equidistante das três cargas positivas, coordenadas de P. de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja nula. Ache as 33) Considere a equação x a + y b + z c 1

a ) Se  b) Se

a , b, e c a , b, e c

34) Suponha que  AD

=

x AB

+

1

1

=

x2 a

+

y2 b + z2 c

, mostre que:

são L.I. então x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2; são L.D., então não podemos concluir que x 1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.

e  AC sejam L.I.. Como devem ser o escalares x e y de modo que o vetor  seja paralelo ao vetor   AB , mas de sentido contrário?

 AB

y AC

35) Verifique se os vetores dados são L.I. ou L.D.: a)  b) c) d)

u

=

i

u

=− 14

u

=

i

u

=

( 2,−1, 2) v

+2

i

k, v  j

+91

 j , v

+

=2

i

+

+56

=3

i

=

 j , w

k, v

+12

 j

+

=3

=2

i

 j

+

+5

i

−13

 j

=

( 2, 0,

k

−8

k

k

(1, 1, 1) , w

2)

36) Os vetores u = 4 i + j −3 k , v = 2 i +  j + 3k , w = −3 i + 9 j − k , são L.I. ou L.D. ? Eles formam uma base de IR 3? Caso Caso for forme mem m um bas base, e, determ determine ine as coorde coordenad nadas as do vet vetor  or  i + j + k nessa base. 37) Sejam u = ( 0, 1, 1) v = ( 2, 1, 0) , w = (1, 0, 1) . Mostre que IR 3 e determine as coordenadas de a = (3, 2, 2) nessa base.

u, v , w

é uma base de

 

38) Seja é base. 39) a

Escreva i

=2

uma base de IR 3. Verifique se

u, v , w

o

 j , b

+3

=

 j

vetor   +

40) Sejam u 2 a b o vetor  w = 9 a +15b combinação linear. =

+

−

k , c c

i =

c

+2

k

+

k

como

−2

v

+

w ,2 u

combinação

+

v

−3

linear

w, v

dos

 

w

+5

vetores

.

, onde a , b e c são vetores L.I.. Mostre que é combinação linear de u e v e determine os coeficientes dessa

e v

+6

 j

 j

+

u

=−

a

+

b

+2

c

Respostas:

1)a) AC

b)

4) a)  AE

CA

b)  AC

c)

BD

c)  AC

d)

2) CD = − BC

BA

d)  AB

e)  AO

+ 2 AC

f)  AD

3) 2 MN

3

g)  AH

h)  AD

i)  AO

j)

 AC

6) a)

b)

c) y

y

y

7 x 0

4

x

x

0

 –6

y d)

x

0

7) a)(I)–8/17 −2 /

c)(I)

29 , 5 / 5/

+ 15/17  j , (II) )8/17

i

i

– 15/17  j

b)(I)

2/

29 , −5 /

29

, (II)

29

34 ,

−3 /

34

, (II) −5 /

8) a) b) 9) 24 / c = ±3 / 13 (II) 0 11)235 km/h , 65o

34 , 3 /

34

 

10) a)(I) c = ±3 / 5 (II)0 b) (I) 12)301,5 km/h , 144,3o 13)arcsen(0,4) ≈ 23,6o 14)50 km, 53o

65 i

−

42 /

65 j

 

15)a)(I) b)(I)

28 i

−

12 i

−

16)a) 17)a)

30  j

−

6  j

(II)

12 k

+

12 k

+

(II)

b) b)

14 / 3 i

−

2i

+

 j

+

−

5  j

−

(III)

2k

(III)

2k

2/

457 (14 i

2 / 9 ( −6 i

−

3  j

+

15  j

−

+

6k )

6k )

c)

c)

d)

18)a)5, , ,

b)7, ,

, c) 6 , i −  j + 3 k , i 3  j k , 3 i 2  j 11k   19) a) (-15/2, 15/2) b) (23/5,-11/5) 20) (4, -2) 21) a) D(-2, 2) b) D(1, 2) 22) (2, 2), (0, -4) e (10,6) 23) a) C(0, 3/2), D(2, 0), E(4, -3/2) b) F(2/3, 1), G G(10/3, (10/3, -1) 24) N(1, -2, -6/5) 25) x = (11/3, 2/3, 4/3) 26) C(6, -1, 3) e D(1, -9, 7) 27) (9, 7, 11) −

−

28) m = 5 e n = -13 29) F = (6 3 − 5 2 ) i T 64,91 lb. 30) T = 55,05 i + 34,40  j , lb 1

1

32) b) (1/3,1/3,1/3) 36) Formam uma base; 38) É base

+

13

u

+

3 7

39)

v v

+

13,5 lb , θ ≈ 76 o   85,64 T = −55,05 i + 65,60  j , , T

(6 + 5 2 ) j

,

F

2

35) a) L.I. 5 91

=

+

2

34) x