Vene Bogoslavov - Trigonometrija Pravokutnog Trougla

VIII

GLAVA

1165.

Proverit i taenost jcdnakosti: a) sin 54° = cos 36°; b) cos 75° 30' = sin 14° 30'; c) cos ( 30° - a) = sin (60° + a ). 0° < a < 30°.

1166.

Izracunati vrednost izraza : a) ( sin 60° + sin 30° )( sin 60° - si n 30° ); b) 4 sin 30° + 2 cos 30° - 3 tg 30°; c) 2 sin 60° + 4 cos 60° - tg 60°.

1167.

Ako je a = 30°, dokazati da je: 4 - sin a 25 2

8. TRlGONOMETRlJA PRA VOUGLOG TROUG LA 8.1. Trigonometrijske runkcije ostrog ugla. Osnovne trigonometrijske identicnosti. Resavanje pravouglog trougla

=

Ako je trougao ABC pravougli LC 90°, LA hipotenuza, tada vaze sledece definicije : o . a b 30 a i . sm a = -, 2 . cos a = - , . tg a = - • c c b 0

= a , LB = {J ,a i b kat etc c

I- sin a

b

4°. ctg a = - , a

1168.

c c 6°. coseca= - . b' a 1169.

Osnovne trigonometrijske identicnosti: 1°. sin ' a + cos ' a = I, sin a 2°. tga = - - , cosa cosa 3°. ctga = - . - , sma

4°. tg a ctg a = I , 5°. sin a = 6°. cos a =

tg a

--;0=====

1170.

~I + tg ' a I

~I + tg 'a

.

1160.

Date su katete pravouglog trougla : a = 8 cm i b = 6 cm. Odrediti vrednosti svih trigonometrijskih funkcija uglova a i {J.

1161.

Date su stranice a = 4 cm i b = 3 cm pravougaonika ABCD . Odrediti odgovarajuce vrednosti svih trigonometrijskih funkcija ugla koji dijagonala obrazuje: a) sa vecom stranicom; b) sa manjom stranicom pravougaonika.

1162.

Izracunati vrednosti trigonometrijskih funkcija nagibnog llgla dijagonaie kocke prema osoovi.

1163.

Dati su hipotenuza c = 24 em pravouglog trougla i sin a = 0,8. Izracunati katete.

1164.

Taogens jednog od ostrih uglova pravouglog trougla izoosi 0.75. a manja kateta je 18 em. Odrediti dmgu katetu i hipotenuzu.

126

+

= 0 .

I +sin a

Ako je a = 30°, izraC llnati vrednost izraza: 2 a + sin a; b) sin 2 a - cos a ; c) tg 2 a - tg a; d) cotg 2 a + cotg a. a) cos

5° seca=-

.

,

4 cos - a

Dokazati implikacij u: IJ. ° sin a + cos {J a + fJ = 90 "" = tg a . cos a + sin {J . 9 sin a - 3 cos a ... 00 90' Ako Je . = 2. odredltl 19a I ugao a ( < a < ). 2sm a + cosa

1171.

Odrediti vrednosti ostalih trigonomerrijskih funkcija ako je (1171 1172): a' - 4 a) sin a = 0,6; b) ctg a=~.

t 172.

a) tg a = 0,225;

1173.

6a b) cosa = -,--; a-

+9

sin a + cos a Odrediti vrednosl izraza : 3 . 7 5cos a - sm a ako je sin a = - i 0° < a < 90°. 25 Dokazati sledece jednakosli ( 1174- 11 80):

1174.

sin'a + cos' a + sin ' a cos 'a = I.

1175.

sin ' x = cos' x - cos ' x + sin ' x.

1176.

tg ' a - sin ' a = tg ' a ·sin ' a.

1177.

cotg ' a - cos' a = cos ' a cOlg ' a .

,, ' - 9

c) sin a = ,Cl ·

+

1178.

sin a

1 - cos a

=

I + cos a

1193.

a) Kateta a = 28, IS cm i ugao P= 58; b) kateta b = 18 m i ugao P= 36° 36'.

1194.

a) Kateta a = 261 cm i hipotenuza c = 461 em ' ' b) katela a = .Jl7 cm i b = 2.fi em.

sin a

I + tg x + _ 1_)( 1 + tg x - _ 1-) cos x cos x

= 2tg x.

1179.

(

1180.

cos' a ( tg a + 2)(2 tg a + 1)- 5sin a cosa = 2.

1195.

a) Kateta a = ..fj cm i ugao p = 35° 20'; b) hipotenuza c = 26 em i ugao p = 49° 49'.

1181.

Kakav je trougao za cije ostre uglove vazi jednakost sin 1 a + sin' p = I?

1196.

1182.

Dokazati j ednakost tg x ' tg (90° - xl = I, 0° < x < 90°.

U j.ednako~ak~m trou~ lu dati su krak b =53,3 em i ugao na osnoVICI a = 54 42. OdredllI ugao pn vrhu i osnovicu.

1197.

1I83.

Dokazati da je: a) cos ' 18°+ cos ' 36° +cos ' 54° + cos ' 72° = 2; b) tg 1° · tg ZO· tg 3° ... tg 89° = I. b , dokazati da je: . x = -a- + b tg a 'I y = a tg a + - Ak o Je cosa cos a x 2 _ y2 = a 2 _ b2.

U jednakokrakom trouglu dati su osnoviea a = 30 cm i krak b = 113 cm. Odrediti uglove.

1198.

U jednakokrakom trouglu dati su ugao pri vrhu y =46° 48' i krak b = 20 cm. Odrediti osnovicu i ugao na osnoviei.

1199.

U pravilnom devetouglu poluprecnik upisanog kruga je r = 8 em. Izracunati stranicu devetougla i poluprecnik opisanog kruga.

1200.

U pravilnom desetouglu straniee a = 6,34 1cm odrediti poluprecnik opisanog i upisanog kruga .

1201.

Stranica romba je a = 12 cm i gonale romba.

1202.

Drvo baea senku dugu 5,5 cm, a Suncevi zraci padaju pod uglom od 48°. Odrediti visinu drveta.

1203.

Iz dveju tacaka A i B pravog puta AB = 400 m tacka C van tog puta vidi se pod uglovima L CAB = 60° i L CBA = 45°. Izracunali rastojanje tacke C od pUla AB.

1204.

Ova puta ukrstaju se pod uglom od 75°. Jedno meslo udaljeno je od jednog pUla 6 km, a od raskrSca pUleva 12 km. Koliko je to meslo udaljeno od drugog pUla? Dve sile P = 4372 N i Q = 5642 N su uzajarnno normalne . lzracunati ugao koji zaklapa sila P sa rezultantom sila P i Q, kao i velicinu rezultanle. Sa svetionika visine 120 m iznad mora vidi se brod pod depresionim uglom od 15° 30'. Koliko je brod udaljen od svetionika?

1184.

1185.

1186.

. cos a Ako Je x = --P' y = cos a tg p, z = sin a , izracunati vrednost cos . A = x-' - y-, + z 1 . lZfaza Odrediti sin a i cos a ako je: a) 2 sin a + 3 cos a = 3; b) 3 sin a + 4 cos a = 5; c) sin a + cos a = .J2.

1I87.

Dato je tg a + cotg a = m. lzracunati zbir tg ' a + cotg 1 a.

1188.

Ako je sin a - cos a

1189.

Odrediti osnovne elemente pravouglog trougla ako su dati hipotenuza c = 50 cm i ugao a = 28° 24'.

1190.

Izracunati os tale osnovne elemente pravouglog trougla ako su poznate katete: a = 304 cm i b = 297 cm.

=~,

izracunati sin 4 a + cos' a .

Odrediti ostale osnovne elemente pravouglog trougla ako je dato (1191 1I9S):

1191. 1192.

120S.

1206.

a) Hipotenuza c = 65 em i kateta a = 16 cm; b) kateta a = 70 cm i b = 24 cm.

ugao a =

sr. Odrediti

dija-

Odrediti uslove pod kojima vrlejednakosti i dokazati ih (1207-1213):

J5

a) Hipotenuza c = ern i ugao a = 48°; b) kateta a = 30 em i ugao a = 42° 6'.

o~lar

1207.

1 + sin a cosa

--:----:-- + eos )a -sin )a

I

sin a+cosa

+

sin 1 a - 2cosa - I

,.,

cos-a-SIn a

= Ig

I 1

a-

I

129 128

sin' a+cos' 1208.

1209.

a

(sin a

1+2cos'a

, cos-, a ( tg-a

- c0sa)(I- sin acosa) tg' a + I cos a sin a = tg' a - I cosa - sin a cos a + sin a

I)

=

2

I X GLA V A

tga + I

9. LINEARNE JEDNACINE I NEJEDNACINE 9.1. Linearna jednacina sa jednom nepoznatom

a + sin (3) ' + cos' a cos' f3 = (sin a sin f3 + I) '.

1210.

(sin

12l1.

(cos a + cos

3

1212.. I - sin 6

f3)' 6

+ sin'

a - cos a

a sin f3 ' = (cos a cos f3 + I) '.

= ( tg a + ctg a) '.

1213 .• (tg'a + 1- tga):( 1- ctga + ctg'a) = tg ' a . ctga tga

1°. Jednacina (I) ax= b je op~ti oblik lineame jednacine sajednom nepoznalom, gde je x nepoznata. 2°. Broj r je re~enje jednacine (I) ako je ar = b. 3°. Akojea ,. 0 jednacina (I) imajedinstveno resenje x =

~. Zaistaa~ = b. a

a

4°. Ako je a = 0 i b,. 0, jednacina (I) je nemogu~a i nema re~enja . 5°. Ako je a = 0 i b = 0, jednacina (I) je neodredena i ima beskonacno mnogo re§enja. 6°. Jednacine P(x) = 0 i Q(x) = 0 su ekvivalentne ako je tacna formula P(x) 1214. 1215.

1216.

= 00 Q(x) = O.

Dokazati da su ekvivalentne jednacine 23 - 9 x - II = 24 - 15x i 4x 2 - (3 - 2x)(2 + x) = (2x + 1)(3x - 2). Da Ii su ekvivalentne jednacine: 62- 2(2(2(2x+ 1)+ 1)+ 1)= 0 i 15- 2(3x- 4(x-5(2x+5)+ 3)- 2)= 3(4x- 9)? Dokazati da su ekvivalentne jednacine:

4x+ 19- 6x= 12+ 5xi 1-5(4(3(2x-I)- 2)- 3)+4= O. 1217.

Pokazati da je nemoguca jednacina

x-4

3-x

2

2

1---=--. 1218.

Dokazati da je jednacina 1+_ 3x _ 6x+ _ _ _5 = -3x neodredena.

3 1219.

15

5'

Da Ii su ekvivalentne jednacine x + 2 = 2x - 3 i (x - 5)(x + 2) = (x - 5)(~x - I)?

131

130