Vene Bogoslavob-Algebarski Razlomci

e) (x+ y +

+( x + y - z) ' + ()' + z-

Z )'

X )'

+ (z+ x - y )' =

+ y' + z' ). 867.* Akojea ' + b' +c ' = u i a+ b+ c = v, tadaje

6.3. Operacije sa racionalni m algebarskim izrazima

= 4( x'

, c-, +ab+ac +bc = -1 (u+ ,'-. ' ) D0 kazau.. a-, +b-+ 2

868.* Ako je a + b = u i ab

= v.

tada je a

J

Neka su: A, B, C, D , M polinomi razliciti od nule. 1°. Kolicnik dva cela raeionalna izraza (polinoma) x . d 1'1 r" ' . ' pn. cemu JC e I ac raz lelt od Ilule, nazlva se opstt algebarski razlomak, tj .

p Q'

+ b J = u(u ' - 3v ). Dokazati.

869. * Dokazati da je pol ioom , b, -1 +a-+

~ -I a+ -I

4

2

d . b", -ab "' ) . k varattnnoma.

2

Kombinacijom raznih metoda rastaviti na faktore sledece polinome (870879): 870.

X" - X

S

+ x' -

4(ab + cd)' -(a' + b' -c' - d')'. 872. (x + y + z + xyz)' - (xy + yz + xz + I) '. 873. ( x' _ y ' )' + 2(x' + y' ) + I. 874. a 6 + a s + a' + 2a J + a' + a + I. 875. x' -7 x 3 y+Sx' y'+3 1xy'-30y ' . 876.* (x' + 4x + 8)' + 3x(x' + 4x + 8) + 2x' .

+ x+ I)(x' + x+ 2)- 12. (x + I)(x + 3)(x + S)(x + 7) + 15. (x' + x+ I)(x' + x' + I ) -I.

877.* (x' 879.*

Dokazati da je dati polioom kvadrat drugog polinoma (880-887):

880.

36x· + 12x ' + I.

881.

4(x+ b)(x+ b-a)+a'.

jednim istim polinomom (broj em) razlicitim od nule, tj.

P:M P Q: M = Q' (Q, M "" 0). 4°. Zbir (rafzlika) opstih razlomaka jednakih imeoilaea je identicki jednak opstem razlomku istog imenioea, a brojilae je jednak zbim (razliei) bro ioea, tj . A B A ±B C ± C = -C- , (C., 0).

5°. Proizvod dva opsta razlomka identicki je jednak opstern razlomku ciji je brojilac jednak proizvodu broioea, a imeoilae jednak je proizvodu imenioea, razlomaka koji se mooie, tj . AC A C B . D = BD ' (B ,D" 0).

6°. Kolicnik dva opsta razlomka identicki je jednak proizvodu razlomaka deljenika i reciprocne vrednosti razlomka delioca, tj.

882.* (x + I)'(x' + I) + x' . 883.* 9(a'+

2°. Vre~ost razlomka se. ne menj a ako se brojilae i imenilae pomnoze Jedmm ISUm algebarsklm Izrazom (brojem) razlicitim od nule, tj . P PM Q = QM ' (Q, M "" 0).

3°. Vrednost opsteg razlomka se ne menja ako se brojilae i imenilae podele

I.

871 .

878.*

A :C = A . D

a\)-24(a+~)+34.

BD

885.* x(x - l)(x + I)(x + 2) + I. 886.* (x + alex + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a'.

92

+ I)'

- (a' - I)' (a'

+ I).

BC'

(B CD"" 0). "

Skratiti razlomke (888-896):

884.* a'+(a+I)'+(a'+a)'.

887.* (a'

(Q "" 0).

9ab

888.

4ab a) 6a' b;

889.

(x + 2) ' b) x(a;=t- b) ; a) a --'-::--~2ax+ 2bx 2a'(x + 2)'

b) 18ab;

7a'b . . 21ac' 3a'b'(x + y ) c) 450 '-bJ (x'' + 2xy + y-')'

c)

93

890.

Skratit i raz lomke (898- 907):

x' - x c ) - - -x ' + 2x' + x '

x' - 8x +16 xy- 4 y

I-a ' a) -; a -I

b)'::"""---

898.

(a+b) ' -4 ) a' -9 " e " 2a + 2b + 4 ' ab + 3b - a - 3 Sa ' + IOab + 5b ' x' - I 6a 'b - 3a ' - 3ab ' a) ., ., ; b) 2 ' , , ; c) ab' - a' b lSa - -15b I+a x -- x --a -

a) (a :

+a+

I ) ' - (a - I) '. (a - - a + I) ' - (a+ I)"

d) 891.

(ax + I ) ' - (x+a) '

(a' + b' + c' )' - (a' - b' + c')' d)

e)

4ab' - 4abc

a)

900.

a)

, ' ( l - x )( I- a-)

901.

)n b2n a 2n bm _ b a - a " b) _--=:~_.......:.._ _ a) a'n _ 2a ln bn + anbln ' a ln b m + 2a nb m + b m ' nl

II

892.

899 .

a 211 +

x' 893.*

) a x'

+ x' + I

+ 3x' + 2x' + 2x + I

; b)

b)

a' + 2ab + b' - 4 ., ." a- + 4a- b- + 4

d)

X

895.

a)

896.* a)

c)

,

-

5x + 6

x--3x+2

4a' b' _(a ' + b' - c')' ·

y -+ y +2

+ 3a -

x- -(a+b )x +a

a' - 4 -Ia- 21 ; a + 2a - - Sa - 6

+ 3x)lx- 21

d)

;

897.* Dokazati identitet

a' - (a' + 2a+ 2)'

'"

b)"

a+2

=---" 4

x' - 1+ 1x + Ixl(x-2)

11

"

Y -

X

x

s)

Y

Y ( 1- xy j" - x'y'(X _ y )"

"

a ' + b' + ab ' - 3a' b

" a ' - 2ab - b' ' , b' , , a - + - - c - - d - + 2(ab - cd )

+ 2(ac -

, + xy(x-+Y ' , - )+Y'

, + x-y " + y'

b) (mx+ ny)' - (nx + my) ' (ax + by) ' -(bx+ay) ' "

.

( ' " )x - +a'b' b) x - ,a-+b-

x - +(a+ b)x+ab

bd)"

a ' + b' + c' - d ' + 2(ab+ bc +ac) a ' - b ' - e' - d ' - 2( bd+ be + ed )" x ' + ax ' +ax+a - I

x' + bx ' + bx + b - I"

904.* a , + b ' + a(b "- + c')+b(a "- + c-) a ' - b' + a(b ' + c')-b(a ' + c' ) "

,"

y - 3y - l O x - 4ax , ; c) ,

(a+I)'+a+1

903.

905.*

a ' + b' + a' (b + c)+ b' (a + c) a J _ b' + a'( b+ c) - b' (a + c) "

" 906.*

x' - 6x' + Ilx - 6 (x' - 4x

an- \ + a n

I- a -a - +a a' bc - b'c + 2b 'c ' - be' 2

xlx-31+ x'-9 , , ; 2x - 3x - 9x 2

1

a' + a' b' + b'

2

; b)

_ a 2n -

a' +1-2a'

a' + b' - c' + 2ab , , ' a- + c - b + 2ac

2

I

a 4 + 3a' b' + b' - 2a ' b- 2ab'

894.* a) , c)

e)

X

"

. 3)

a' - b ' + c' - d ' 902.

aTl +) + an + 1 d) a ".. s -a " + ) ,

.t

b)x

(a + b) ' + (a + b) ' + (a + b) + I (a + b)' - (a + b)' + (a + b) - (

b

907.* (a + b + c)' - 5(a + b+ c) ' + 4 (a+ b+ c )' + 3(a + b + c) + 2 " 908. * Odrediti realne brojeve I, m, n ip da se razlomak

x' + lx' + mx' + IIX + p " " " , pos le skracivanJ3 svede na razlomak x + 3x- + x - 5 x ' - 4x+ 5 x-I

(

x' + (8x + 15) I x - 31- 27 , . 909.* A = x"-2x-3+ Ix-31 x ' -6 Ix -5 1- 25x . 910 .* A = , x" - x - 20 + 21 x - 51 x' - 24 1x - 101- 100x 911 .* A

= ,

a)

.

x" -9x -l0-3I x -l01 a' - 16 912.* A = a'-4a'+8a ' -16a+16'

c)

914.

915.

916.

a) a' - 2a i a' + 2a; c) a' + 20b + b' i a'

-

b' ;

b) x' - 2x + I i 3x' - 3; + 6y.

c)

918.

923.

924 .

4 - x' , x - 2 i 2x' - 8x + 8;

b) a' + 8a' + 16a i a' + 12a' + 48a + 64;

+ a' + a + 1 i a' - a' + a-I. a) 9a + 15. 360 ' - 100 i - 9a' + 30a - 25; b) 2ay' - 20, y' - 2y' + Y i 5y' + lO y' + 5y; c) 4a' + 4ab + b', 4a' - b' i 8a ' + b I a) 3x' - 12x' + 12 x, Sx ' + 20x' + 20x' i 3nx' - 12n; b) 4x' + 4xy+ y', 4x' - y ' i 12x' - 12x'y + 3xy" 3 ":2 2 c) 3x - 12x" + 12x, ax + 4ax + 4a i 3bx - 12b, 1

Uprostiti racionalne izraze (919-950): 919.

3 5 7 x +3 x-I a) - + - - -; b ) - - - - - ; x x x 4 4 2x + 1 3x + 1 x - 2 d)~+~-~;

C)

m+n lIl-n 33 '

- - + - -'

e) x - 3 _ x + 3

x -5

x' - 4

+ ,

b

a" - ab 3 + 2x

d)2m~3p 1/1 " p

0+ b ab 2 - 3x

- --;

0 ' -

a' - 4

a- I

- - - 2' 2- d '

4m - 5p mp "

a

b)

+-----. 2- x x+2 '

a" -a- 6

8'

__ _ ' a + 3b

9b '

I

2

x - x

I - x'

I

d)-,- - + - - + - x'

b)

5x x ' - 6x + 9

d)

,5 _ 4 - 3y' 2y " + 6y y' - 9

+ x'

3x - I x' - 9' 3.

'\

c) 2a' - 2. a'

917.

,

12

a)_I_ _ 9x+3 +-2_ , ~ 6; + 3 8x' - 2 2x - I'

d) 2y' - 8 i 3y'

ala ' -10a + 25, 3a + 15 i 2a; b) 3a - 3. a' - I i a + 3; c) 5a - 5b. a' - b' i a' b + ob '; d) 3a - 15. a' - 25 i 5 - 0 , a) x' + xy. xy + y' ix' + 2xy+ y' ; b) 2m' - 4mn + 2n ' . 6m' - 6n' i 18m+ 18n; c) 25a' - lOa + I, 50a ' + 20a + 2 i 25a' - I; d) a s - 81a, a' + 18a' + 81 i 45a - 5a '. a)

a

ab - b 16x - x'

b)x-3 Y _2x - y .

- -'

( 922.

Odrediti najrnanji zajednicki sadrZalac polinoma (913-918) : 913.

92~ a) 4a + 3b

2a- b ~ 10 15 ' 1 I 0' + b' c)-+ - ' 6a 4b ' 6ab "

Skralilili razlomke (909-912):

x-5

925.

)

Xl

+

y2

Xl

y2

, + ---','---

xy xy - y" x" - xy c)6x+5_3(2x-l)+ SOx, x+5 . x- 5 x' - 25'

b) a+ 1 +~_ 2a - I, a + 2 0' - 4 a- 2' a+ I ? 2

d)-,--,=-+ , fI"

0"

- a

"

a -a"

, b .,., z ., a" + a + b" a" - ab + b 2o "b + ' a+b a-b a'-b " x'y' (x' - b')(b' - y') (a ' - x')(a' - y') + . b) --+ a'b' b'(a' - b') a'(a' - b') , a' - bx 3b - 0 0 + 2x c) , + o - ab + bx - ax 2a - 2b 3a - 3x a)

..--.. ) 2x 3x' + 2x + 1 x+1 +.,; a --x-I x' - 1 x" + x + 1 30x' 8 15x+ 5 . b) ---+ - - - - - - -; 9x'-x 6x-2 9x' +6x+l' 1 1 2 c) , + , +,; x +10x+25 x"-10x+25 x"-25 d) 4a' + 9a + 5 _ 1 - 2a a' - 1 a' + a + 1

6 1- a 97

96

92 6.

m -n ); l~ ; / a)(2+~).(Im-n \ m+n

3x - 1 2x + I ' ) x a -- ---+ , ; x-I x- 2 x' - 3x + 2

---7

16 x - 5 x +3 b) - - + - - + --:---x -3 x+5 x' -2 x -15' x- I x -7 12 c) - - - - - + ----:-- - x+1 x + 7 x' +8x+7 · 927.

7a 21a ' ) 6b' :8"b;

X 2x' + 2xy 4xy a)--+ ., 2 .,; 2x - y 2xy +3 y' 4x +4_\ y-3 y'

5x , x+ 5x'

I - l Ox

a' + ax a) - ,: ----.::,. a'x - x 3 b)

5

3x - 3a 930.

+ a - 3x ., ., +

-- '- _ . a-I a+I' ,

x'2 - 1

I

2x + 2a b)

d)

a'

2

I - 25x

2x , , a' - x

ax+ x' x' - a'

., +

+ 25x'

a- x

c)~ . X+I. 931.

()

6x 9x'-I' 10(5x' +2x)

a) 1+ 3x+ - - - - - - -::-'-b)

929.

9x ' I 1+3x 1-3x 3-15x

•

3

+

a' + ab 3x - 3y

.

ab . ,

'

- z·

b)

( I- ~) 1- x

d)

ax +a .(_I_ + ~). x' - x + I · x + I x' + 1 .

/1/ '

. (2X+I 2X-I) 4x c) 2x _ I - 2x + I : 6x + 3;

a)

'

x ' -y'

(

x- 4

a' y- y

,

a) 5 x - -a 5

d)

x'-2x'-x+2 x+2·

a'

:(_x + I);

2b b' a a' a-b

b)

4a'b'

c)

4 +a' 4- -a

I 2 a

,

y b' y x b) a b - +Y x a'x

-

4x' 3a - 3a . c) 4x ' ' 1- 9a'

- -

, ,

+ b' - c'

2ab (a+b)' - c'

x- I

25x' - 110 x + 121 , . x" - 2x - 8

1- - + -

y ' a- a

1+ x- 2

x + 2) :

~ -5a '

+ 2 xy a + b - c

- -a+!

X' -X-3

~~--=­

,

,.

5Y.

a' _ b'

(~-~) :(~ - ~); m n n"

a)

.

2x + 2y x' - 2xy + y-

) b' -a 2 -c' +2ac . x + y-z ; a' +a x 3 + 2x' - x- 2

c ) --

935.

a'+b'

, . , . 1+ 2m+ m" 1- 2m" + m'

17 x - 25a "l ., . 6x' - 6a'

a' - ab a' b + ab'

c) x' - 25 . x' + 5x . ., . 2 ' x" - 3x x - 9

4x ' y' . 8x' / . 15b'c . 5c'b' •

b) - -

e)

a+ x

x' - 1 a 2a' + 2 . . a'+a x'+x'+x+1 (x-I)"

+ y,

---=-:c. ..!...=.!c

b' - y' b- Y d) 3a' _ 3/ . a' + ay+ y "

e)

+--;

a)--'

, b x'

, , I d) I + _a_ . ( I - a) I + b a + a'·

.c) ( x +z x+y ) . z' . -- z X Xl - yz'

15x' 3 - 2x 3 + 2x . b) - - - - - + 2-3x 2+3x 4-9x' 928.

b)(~-I) . (~-!:). x+ 2 2x - I 2'

e)

u - v

3v' u+2 v + u-v

99

98

937,

C) (_a_+_a_+~)a-4

2a+b 2a-b 2a-b 2a+b a) -::----:----:-~-:4a' + b' 4a' - b' ' 4a' - b' 4a'+b'

6-3a

941.

x I - - +1- - 1+ 1. I+x

I

I+a+ - -

I- a c)---1+_1_ 1- a'

d)

I

I-.!

I- x

x3

_

I

1

x

x+y

I)

942.

x- y+ ~

,

x- y

943.

x- y d) _3_xy "------:-_ _ (x _ y)'

b)

1

X

xy

Y +xy

x+y

944.

y) .(x--2+-' y)

x + xy , Y

+Y

--7}

2a

a' - 4x"

x- Y

.

.,

2xy ) . 4xy . y- x' - y')

.

? ,

x- -

a

a)

((~+ b~J(~- b~JHI +b' \C;c- '}

b)

((X: +.!):(-;_.!.+,!,)): (X - y)' +4xy; x

y

y

+

3o(a+ 2)"

y) , 2x + , 4y , , :( 1 ( x- + 2xy x- - 4y - xy - 2y-

x '

x 2- xy _ 2x 2 ) y- 1 (x'y+,i y3_xy'+X' y_x 3 ' ( I - -x

1

4

x ., _ ') 2 '( 1 + 3X+X'). ax - 2a- X- + x - 2ax- 2a X+ 3

X

c)

2

a '

a) ( X+ Y _ X- Y):(X-y+X+Y); . x - Y x+y x+y x - y

1

2 --+

b

2X'+6x - ax - 3o

b)(~+ _X_._

-'---------'-''-- + I

-+-2 +,+ ... +x x X xn

940, a) (

2x - 4

b)

+ x 3 + ... + x· 1

a) ( x + 6x - 12) ·

.

y+1 )(x- - -y)' (-xx+ y Y x

3

x+y-~ x+ y 939,*

x- y _

x + l'

c) ----"'----

x + x'

~

ex + y)3

l'

a + 2b

b

c)_2_ _ a-2 _ 2 2 30+ 6 2a + 4a 3a' + 12a+ 12

x

b)

4a' - 1 .( a 1 a 2) a 3 - a' - a + 1 . a' - 2a + 1 - 1 - a . a + 1 - a + 1 ; (

-- + --

( __y'I)(

a'-4 'a -2'

b) 2a+ a2+b ') : (a +b') - - _~(b+1+2b).

_--'x"--_ __

x

a)

a+2

c) a

2

an

y

y

x

+ a - 2 (a + 2)' - a' _

+) _

3a n

40 2 -

4

1+ 2: x

~). 2 0

-

a

101 100

945.

a)

(z + 4)' -1 2 I ).z l + 2Z'+2Z+4 z- 2 + --- . l ' , ( 6z + (z - 2)' z' - 8 z- 2 z - 2z- + 2z - 4

(

b) -

3

--

a -I

c

946.

)(

1+

' ) '

30 - + 30 +3 a -a

, ,

a- - 1

c) (

:-,-

a -a -

- . -a +1 3

t,~ + 2X~2 - 2X~2}

;

I

8e' m - )(m+2e /II) . +m' - 8e, 2e - m 2e m + 2e

I I 2 4 8 16 949.* a)-- + - - + - - + - - + - _ + _ _ . I- x I+ x I+ x' I +x' I +x' l +x 16 ' b)

y a)( I- 3x + Y )( I_ 2x + Y): (I + , 3 ' , ); x -- 4yx- y x +2 y 2 2m ) 2m' + 2m 4 b) , " + - -; ( m- - m I - m' m - I m- I

d)

I 1 ) 9a' + 1 ' . ( 1-6a+9a' 27a -9a' -3a+I ' 27a ' +1 ' . (27a ' - 18a' + 30) a)

2a' +3a 4a' + 12a+ 9

950.* a)

3o+24a-I)(2a+3) 2a+3+2a+1' 2a-3 ;

3(3-a) 4 6 + - - - --:---a' - 1 a + 1 a' + 2a + 1

d) (

1

_

2 + 4m

948.

a)

((_3_ + x- y

2(5 - a)

3x , . x' + xy + x' - y x+y

102

x' - 8

x+2

,.

1- 4m + 4111 -

_3_;

Y'):

+

(x+2)(x+3)

+

.

(x + 4)(x + 5)' x-., - (x-., - 1) .,-

951.

2x+ 2 . . x' + 4x + 4'

')

9-x' x' - (2x -3)' 4x' - (x - 3) ' '}., ., 2 + .. ; (2 x + 3)- - x- 4x- - (x + 3) 9(x - - I)

I x'

-

,

,

a 4 -a -' +2a-1 ., ., ., (a- + 1) - -a -

a-, - 20

a' + 2a' +a' -1 . a' -I

Ix-1I

I

b) I x + 21+ I x .

x- I '

2.. I x + II

II

')

(a - I) - a -

II + I x + 11 . x' + x '

Ix' -II+ x' , 2.e - 1

x +l

1.. 1- 1

d) ,

x' - I

21;

x' - Ixl ' I I ; x - 2 x +I

+ 2x _ 4) : I., - 21

Dokazati imp1ikaciju

a)(x,", - yA

2x + y ). x' + 2xy + y' x + y

b) 3x - 6(_3_+~. x' + 2X+4). x+2 x- 2

1

e) ( x' I x x-I

Q 3 +a ~ -a-l!

1 - m. 1 - 2m ) . 4m + 2 8m' + 1 . 4m' - 2m + 1 2m - 1

+

I

(x+ I)(x+2)

(x+ 3)(x + 4 ) x ' -( x - I)"-

e) (

c)

c)

+

x -ex - 1) .,- - I c) 2 ., ., + ., ., + ,; (x + 1) - - x - x-(x + 1) - - I x' - (x+ 1)-

C)(a~ 1 - a' ~ 1 + a' _3a + I)(a - ~~:n

b)(

I

x(x +l )

+

947.

3x + 6 2x' - x - 10 ) + . 2x + 2x-+2x+2 2x ' -2x'+2x-2' "

x'-I y' + xy

x'"' + 1 A y '"' I A y '"' OJ=>

.[_I__ 1

1--

lj.x- xy, - :, + y = y' + y+ l; I- x.Y

Y 103

b b a 2 b a - 2b' b)'" -1-1 + -1--1 - - 1- , a

- +-

b)(o'" 0" b '" 0"

0 '" -

- +o

- +a

b

b

956.* Pokazati da je vrednost izraza _I _ 64

x'

ab

4+

~+~ x

c)(x'" 0" y'" 0)'" (

x+ y )J ) (X-y) ' ) x+y 3xy - x - y: xy + I = -3-' 957. (c-a)( c ~

(b - a)(b - c)

953.

-

bc

(0+ b)(o+c)

+

b' -

OC

(b+c)(o + b)

+

c ' - ab (c +o)(c + b)

a+ - - a+b+~ b c ne zavisi od a, b, c.

X2

959.* Pokazati da vrednost izraza

b(abc+a+ c)

+ 2x- llx- 2) :(x + 1- 2x' + X+ 3x + I

3x + I

2), 960.

2+ _3_). a+1

neparan broj za svako a E Z \ { - I}.

a+ - - a+b+~ b c

Pokazati da je vrednost izraza

(

955.* Pokazati da je vrednost izraza

6a' + 50 - 1+ a + 4) :(30 _ a +1

I - - - : - -,(a;>< O. b;>< O. c ;>< 0 ) I I

ne zavisi od a. b i c.

ceo broj za svako x E Z.

(

(1-3)'+121 2

ne zavisi od i ako je 1 '" - 1 " 1 '" - 2 " 1 '" - 3.

b(abc+a+c)

954.· Pokazati da je vrednost izraza (

I )'

21 I ' + 31 + 2 + I ' + 41 + 3 + I' + 51 + 6

4

I

2x

b

( I

--.,--- ' - - - - - - -

I

I-

x-

958.* Pokazati da vrednost izraza

Pokazati da vrednost izraza

4

x

a'b' ab I I ' (a+b)'-3ab a'-b" -J +-J a b pozitivan ako su a i b supromog znaka. a negativan ako su iSlog znaka 1 ako je a '" 0 1\ b '" 0 " Ia I'" b.

y2 Z2 x' + ---:-----'---- + - - - - y' - xy + xz - yz ( z - x )(z- y) x - xy - xz - yz

02

~+~

Pokazati da je izraz I I

a

b)

b) ,

c)

4_

x-

neparan broj za svako xE Z \ {O} .

I I 952.* a) - - - - - + - -- - - + - - - - -

(a- b)(a - c)

4x'(2x + I)

x'

2 _ k + 4k' + 5k' - 6k + 3) : (2k + I + k-l

~). k-I

neparan broj za svako k '" I " k E Z. 961.

Pokazati da izraz

a+b a_b)' (a+b a _ b) ' ( a-b + a+b - a - b- a+b ne zavisi od a i b.1 a I'" b.

104

105

962.* Pod kojim us lovima je tacna jednakost: 1 1 I ~ + + x(x - y)(x - z) y(y- x)(y- z) z(z - x)(z - y) b)

+

x' (x - y)(x - z) b-c

o (a-b)(a -

c)

+

y' + Z (y-z)(y-x) (z-x)(z-y) c- a a- b + (b- c )(b-a) (e-a)(c-b)

I 968.* ( x + y+ I xy z '

= I;

=

222 = - - + -- + - - ; a-b b-e e-a d 963.

m!

ab + be + ae _ I = O? )(e-a)(e -b) (a -b)(a- c) (b - c )(b-a)

a) (~ _ c - x e a

x + y+1 6(x+ y ) + , x+y+2 (x+ y )- -4

+ b)' + (c + d) '

(a

+

Dokazati identitete:

+ , ax ) : (_a_ + e - x + c- - ex

e- x

a"'" 0, c "'" 0, x"'" c;

a

2) = a - c + x,

_

a +c - x

b) (2a + a' + 9b') :(a +~) !!...(I + 3b + 6b) = - a, 3b

0 + 6b

3b

a

(a+b)( c +d) (e + d) '

964.* (y + 3)(x + Y + 3) x«y + 3) ' - x') 965.

966.

967.

106

y-x +3 x(x+y+3)

2x 3 , , + 3 (y+3)- - xx+y+

5 y - 3x+ 2 1 17 x- 25(y+ 2) + , , + + , , . 3(x- y- 2) x - - (y+ 2)" 2(x+ y + 2) 6(x- - (y+ 2n x'-(a +b)' x(a+b) x+a+ bx +a+b x+ y+ b ( x+y-b

x'+(a+b)' x(a+b) ' x -a- b+--'---'x -a-b

(a+b)(c +eI)- (e +d)'

+

,

.,

.,

2

_a_ +_a-,-(c:...+......:,:d.!..)_+-'.(e_+:...eI..!..-)- a- - a(e + d) + (e + d) + a+e+d a - e -d 2a'(e + eI)

a' - (e+ d)" a' - b(e+ d) (a- b)(a-c- d)

972.

9 73.

*

974.

975.*

3b-a 2(a- b)

-,--.,-, +

a+2(e+d) . 3(a-c- eI)

2(a + b) 3(0 + b) ' + 2(a + b) + I ___a-;+_ b_ + _ I-,--_ + , a+b-l (a+b) ' -I (a+b)-+a+b+1 4(x+ y)' + 9(x+ y)+ 5

1-2(x+ y )

6

(x+y)'-I

(x+ y )' +x+ y + 1

i- x - y

(y+ 3) ' + x(y + 3) x(y +3)'-x' 3 +--x+y + 3 5 3x-3(a+b)

976.

-----+

977.

3 ( x +:+b

+x+ y-

b) ' _(x+ y + b _ x + y - b)' x+y+b x+y-b x +y+b

+ b)'

(a+ b) - - (a+ b)(e+d)

a"'" 0, b "'" 0, a "'" - 6b. Uprostiti racionalne izraze (964-981 ):

).

2( x+ y )-1 x + y -2 (a

-

2

971.

3

+

x+ y _ 2(x+ y )- I) . x + y +1

{ 969.

3,

(x+y) + 1 (x+y) ' - x - y +1

--,y_+_3_-_x-,- _ 2x + x( y +3)+x' (y+3) ' - x'

a+b - 3x I 17x-25(a+ b) + + , ' . x'-(a+b)' 2(x+a+b) 6(x- -(a+b)-)

+x- : - b

2x(a+ b) ,): ,4.t(a+ b) ,. x'-(a+b)" x--(a+b)107

3 978.*

( x + y -I

-

3(X + Y )+3(X+ y )2 +3.( X+Y)'-X-Y). , . J (x +yf -I ( x +y) +1

985.* Dokazati implikacij e: a) ( x=

b' + c' - o' 2bc

x + y-( x + y)' 3 979.

+

, 3 ). (a+b)--a-b+1

_ 2(a+b) -I) b I . a+ + 2

980.

(o+c-b)(a+b- c) (a+b+ c)(b+c-a)

A

2(a+ b) ). 2(a+ b)'

_

( (a+ b)' -a- b

b)( x + y + z = OA (x ;e y ;e zA xyz;e 0» ", x 2 + y'2 +Z 2 '" (y- z) '

I-(a+ b) '

+ 2(0+ b) +

(a+ b)'-I

4

+--o +b-I

981.

y=

A(b;eO,C ;eo,lb+ cj ;eo» ) ",( x+ I)(y + 1) = 2;

1 _ 3 ( a+b+1 (a+b) J +I

{ a+b

A

_2_ ob_ _ a 20b - b -,o:!-+.!...-"-b__ + a + b I I 1 I - +-- - +-b 0-2b a b-2a

+ (z -

x)'

+ (x -

y )' =

'3;

1 1 I ) be oe ob c) ( - + - + - = 0 A (abc ;e 0) "' , . + , . +,. = 3; ab c a' b' c · d)(ac + bc = ab A (a;e 1 A b;e 1 A c ;e I» '" 1 I 1 1 - 2c '" - - + - - - - - = - - - - -- I-a l-b I-c ( l- a)(I - b)( I- c) 986.* Dokazati implikacij e: a)(xy + x;e - 1 A yz + y ;e - 1 A zx + z ;e - 1 A xyz = I) '" x y z '" + + = I' xy+x+1 yz + y +1 zx + z +1 '

b) (.qz;e 0 A xyz = I) '"

(x +~)' +(y + ~r +(z +;)' - (x + ;~y+ Hz + ~)=4;

982. • Izracunati vrednost izraza (I + x)(l + y)( 1 + z) ,zax =~, y = 11- P, z = p- m (l-x)(l-y)(I-z) m+11 II+P p+m

'"

983.

",(a-b + b- c +~y_c_+_o_+_b_)=9. c a b A a-b b - c c - o

Dokazati identitet

I a 1

1 1 b+c.b l

' 1

1 a+c I

- +-- - +--

a b+c b la +cl;e b).

2c --,- - 1, (ob ;e 0, a ;e - b, b ;e - c, __ a-c- b

a+c

984.* Dokazati da je vrednost izraza

(~+;r +(~+~r +(~+;)' -(~+~)(~+~)(~+;). konstanta, za abc ;e O.

c)(a+ b+c= OA (abe ;e OAo;e bA b;< cAc ;eo» '"

987.* Dokazati da je za svako 11 E N: I 1 l i n a ) - + - + - + ... + = --; 1·2 2·3 3·4 n(n+l) n+1

1 1 1 1 b)N+ 3 . 5 + 5.7 + ... + (2n-I)(2n+ I) 1 1 1 1 c) 2. 4 + 4. 6 + 6· 8 + ... + 2n(2n + 2) 1 1 1 d)-+-+-+ ... + 6

12

20

,

n-

+

1 3

n+

n

2n+ I; n

2(2n + 2)' n

2= 2n+4' 109

108

988.* Odredite sume: 3 5

1'·2'

2'·3'

7 3"4-

I

2

3

2n + I ." n-(I1+I)-

a ) - - + - - + - -., + ... + .,

nEN ,'

n

b ) - - + - - + - - + ... + , " 1"2' 3" 5' 5"7' (211-1)-(211+1)

996. nE N.

997.

Uprostiti racionalne izraze (989-996):

989.

990.

991.

(~+i)' -(I~-bI)' a' b' (

I

(a + b)'

I)' (I

(_I + _I) + b'

(I-x')(x-x ' )

I- x

x - x'

+

+

X

C,

•-

X

10

+ b\)+ (a:b)'

C,

abc b+c a+c a+b I I 3

- - +-- + - - - - - -

a+c a+ b a+ b + c abc 3+--+--+-b+c a+c a+ b 995.* I I I --+--+-b+c c+a a+ b

1000.

•

I

+ y + z + xyz) +(1 b -I .

I

x)( 1- y)( 1- z)

c -I

+ ( I + x)(1 + ),)(1 + zl,

zax = - - Y = - - ' Z= - a+ I' b+1 c +I ' . a-b b- c . c- a Ako Je x = - - , Y = - - I Z = - -, tada je a+ b b+c e +a (J + x)(l + y)( 1+ z) = (I - x)( 1 - y) (1 - z). Dokazati . Izracunati vrednost izraza

a-x b-x a'+b ' ab A=---+--,zax = - -. b-x a-x x ' - (a +b) x+ab a+b . 1- x I+x . Ako Je A(x) = - - , B(x) = - -, tada Je I+x I- x A(B(x» . B(A(x)) + 1= O. Dokazati. Ako je a + b + e = 0, dokazati da je (1001-1004):

l + b,)+ (a:b) S

~U' -c~) + iC, -a ~C2 -:' b+c

b

x' _ x·

I I I - (b-c) + -(c - a) + - (a- b) abc

I

a

999.

(I-x')(x-x')(x ' -x')+

--+--+--

110

a' - b'

(a + b) '

l ,) +

994.*

998.

I ),.

2 (~+ ~)).

(1- x')(x- x')(x' - x')(x ' - x')

992.* (a+IW

993.*

(a' + b')' - (a ' - b')'

I - x'

--+

A = 2(x

(;;> + b' -

a'

___

a-I

I

(a+b)'-(a-b)'

2(-a:b+c+a-:+ c + a + : _ )+3 c I~_ + +---a + b + c a - b + c a + b - c Izracunati vrednost izraza:

r

(~+H

100t.* a ' + b ' + e ' = 3abe.

1003.*

1004.*

a' a-'-( b - c)

,

a'(a' - 2bc)

, a -(b-e)'

+ +

b'

+

b' -(a-e) ' b'(b' - 2ae) b' -(a-e)'

+

e

3 =-

e' - (a -b) '

4

e'(e' - 2ab)

3 =-

c'-(a-b)'

8

1005.* Odrediti realan parametar m tako da razlomak (x+ y+ I/1z)' + (x+ my+ z)' +(mx+ y+ z)' ima konstantnu , , ( )' , (x-y)"+(y-z)-+ x-zvrednost, za sve vrednosti x. y i z.

III

988.* Odredite sume: 3 5

1'·2'

2'·3'

7 3"4-

I

2

3

2n + I ." n-(I1+I)-

a ) - - + - - + - -., + ... + .,

nEN ,'

n

b ) - - + - - + - - + ... + , " 1"2' 3" 5' 5"7' (211-1)-(211+1)

996. nE N.

997.

Uprostiti racionalne izraze (989-996):

989.

990.

991.

(~+i)' -(I~-bI)' a' b' (

I

(a + b)'

I)' (I

(_I + _I) + b'

(I-x')(x-x ' )

I- x

x - x'

+

+

X

C,

•-

X

10

+ b\)+ (a:b)'

C,

abc b+c a+c a+b I I 3

- - +-- + - - - - - -

a+c a+ b a+ b + c abc 3+--+--+-b+c a+c a+ b 995.* I I I --+--+-b+c c+a a+ b

1000.

•

I

+ y + z + xyz) +(1 b -I .

I

x)( 1- y)( 1- z)

c -I

+ ( I + x)(1 + ),)(1 + zl,

zax = - - Y = - - ' Z= - a+ I' b+1 c +I ' . a-b b- c . c- a Ako Je x = - - , Y = - - I Z = - -, tada je a+ b b+c e +a (J + x)(l + y)( 1+ z) = (I - x)( 1 - y) (1 - z). Dokazati . Izracunati vrednost izraza

a-x b-x a'+b ' ab A=---+--,zax = - -. b-x a-x x ' - (a +b) x+ab a+b . 1- x I+x . Ako Je A(x) = - - , B(x) = - -, tada Je I+x I- x A(B(x» . B(A(x)) + 1= O. Dokazati. Ako je a + b + e = 0, dokazati da je (1001-1004):

l + b,)+ (a:b) S

~U' -c~) + iC, -a ~C2 -:' b+c

b

x' _ x·

I I I - (b-c) + -(c - a) + - (a- b) abc

I

a

999.

(I-x')(x-x')(x ' -x')+

--+--+--

110

a' - b'

(a + b) '

l ,) +

994.*

998.

I ),.

2 (~+ ~)).

(1- x')(x- x')(x' - x')(x ' - x')

992.* (a+IW

993.*

(a' + b')' - (a ' - b')'

I - x'

--+

A = 2(x

(;;> + b' -

a'

___

a-I

I

(a+b)'-(a-b)'

2(-a:b+c+a-:+ c + a + : _ )+3 c I~_ + +---a + b + c a - b + c a + b - c Izracunati vrednost izraza:

r

(~+H

100t.* a ' + b ' + e ' = 3abe.

1003.*

1004.*

a' a-'-( b - c)

,

a'(a' - 2bc)

, a -(b-e)'

+ +

b'

+

b' -(a-e) ' b'(b' - 2ae) b' -(a-e)'

+

e

3 =-

e' - (a -b) '

4

e'(e' - 2ab)

3 =-

c'-(a-b)'

8

1005.* Odrediti realan parametar m tako da razlomak (x+ y+ I/1z)' + (x+ my+ z)' +(mx+ y+ z)' ima konstantnu , , ( )' , (x-y)"+(y-z)-+ x-zvrednost, za sve vrednosti x. y i z.

III

VII G L A V A

Odrediti realan broj m tako da razlomak X l - mx' - 3(3 - m) X - I . ___:::....,_=_-=.~-;;-~..:.--.:..-::--Ima

konslantnll vrednosl

7. H OMOT ETIJA J SLlCNOST

(m-8)x J +3(10-m)x'-18x+8-m za svako x.

7.1. Proporcionalnost velicina. Talesova teoTerna

-.!. + ~ = 0, dokazati da je (1007-1008): abc b+c c +a a+b

Ako je -.!. +

1007.*

--+--+--=-3.

1008.*

- - + - - + - - = - - - - --' b+c a+c a+b abc

abc

abc

:2

m2

n2

p2

m2

a'

b'

c'

X

+ n2 + p2 2

' •

+ Y + z·

SA = SA'

SB = SB"

1010.

Datu duz AB podel iti na Iri dela proporeiona lna duzima clje s u duzine m, 17 i p .

lOll.

Konstruisati tacke koje dele datu duz AB u datorn odnosu Ill : n, gdc su m i 17 date dllzi.

1012.

Na poillpravoj Ax dala je tacka B . Konslruisali na ovoj polupravoj

1013.

AB 5 =-. AC 8 Datu dlli AB podeliti na 5 jednakih delova.

1014.

Ako Sll date duii cije su duzine a i b, konstruisati duz cijaje duiina:

'2

. mnp.x Y Z ' 1009.* Akoje -=-=-1-+ - + , = I, ta daje x Y z a' b' c'

- , +- , +- , = ,

AB p ll q~ A'B'

gde je k koefieijent proporeionalnosti.

a'+b ' + c

2

Talesova teorerna. Neka s u a i b dye prave koje se seku u tacki S, p prava koja ih sece redom u tackarna A i B, q prava koja ih sece u lackama A' i B'. Tadajc'

.

Dokazatl.

.

tackll C , tak 0 daje -

a) a . b', lOIS.

a·b

c

1017. 1018.

1019.

a+ b

,

d) a a

b'

Ako su date duz i cija je duzi na a, b i c, konstrui ali duz cija je duZina: a)-;

1016.

e) a - b,.

a b'

b) - '

a+b b ) - -;

c

a+b e)--. a- c

Tacka C deli duz AB u odnosu AC : CB = 2 : 3. Duzina duzi AC JC 4,8 em. Odrediti duiinu duzi AB i CB. Data je dui AB = 12 em. Odrediti spolja~nju lacku C(A - B - C). tako da je AC :BC = 5 : 2. Tacka C deli duz AB u odnosu A C : BC = 3 : 2. Odredili odnose AC: AB i AB :CB. Kraei ugla MON preseceni su paralelnirn pravarna ,/A , i B~I (A i B su tacke oajedoorn kraku A, i B, oa drugorn). lzracunall duilOu duZl OA ako su OB + OA = 14 m i OB , : OA , = 4: 3. 113

112