vektor

VEKTOR

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor 

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah



Besar vektor  artinya panjang vektor   Arah

vektor 

artinya sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif   Vektor

disajikan dalam bentuk

ruas garis berarah

Gambar Vektor B

u  45°

A

X

ditulis vektor AB atau u A disebut titik pangkal B disebut titik ujung

Notasi Penulisan Vektor   Bentuk vektor kolom: 1      3      u =     PQ  PQ =  − 2   atau    4    0    Bentuk vektor baris:     

AB

= ( 3,

)

4 atau v

= ( − 2, 3, 0)

Vektor ditulis dengan notasi: i, j dan k misal : a = 3i – 2 j + 7k

VEKTOR DI R2 Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R2 Y

•A(x,y)

y•Q

 j

a

x

O i P i vektor satuan searah sumbu X  j vektor satuan searah sumbu Y

X

OP

+ PA =

OP

+ OQ = OA

OA

OP = xi; OQ= y j Jadi OA =xi + y j atau a = xi + y j

Vektor di R3 Vektor di R3

adalah

Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga atau Vektor yang mempunyai tiga komponen yaitu x, y dan z

Misalkan koordinat titik T di R3 adalah (x, y, z) maka OP = x i; OQ = y j dan OS = zk Z •S z k

O x•P Xi

•T(x,y,z)

y •Q  j

Y

OP + PR = OR atau OP + OQ = OR OR + RT = OT atau OP + OQ + OS = OT

Z S

z k O x• Xi P

•T(x,y,z)

t

Jadi OT = xi + y j + zk

y Y Q  j •R(x,y) atau

t = xi + y j + zk

Vektor Posisi Vektor posisi  adalah Vektor yang titik pangkalnya O(0,0)

 Y

Contoh:

B(2,4)

Vektor posisi

b a O

A(4,1) titik A(4,1) adalah X

OA = a

 4   =      1  

Vektor posisi titik B(2,4) adalah OB =  b

= 2i + 4 j

Panjang vektor Dilambangkan dengan tanda ‘harga mutlak’

a 1     Di R2, panjang vektor: a =      a 2   atau a = a1i + a j 2

Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras

a

=

a1

2

+ a2

2

  x      Di R3 , panjang vektor: v =   y     z       atau v = xi + y j + zk Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras

v

=

x

2

+ y + z  2

2

Contoh:  3   1. Panjang vektor: a =  4         2 2 a 3 4 = + adalah = √25 = 5 2. Panjang vektor: v adalah v

=

22

=

2i + j - 2k 

+ 12 + ( −2) 2

= √9 = 3

Vektor Satuan adalah suatu vektor yang panjangnya panjangnya satu

Vektor satuan searah sumbu

X, sumbu Y , dan sumbu Z berturut-turut

i , adalah vektor   1    0  

j dan 0k       

   i =  0  ,   j =  1    0    0          

dan

k  =  0  

 1      

Vektor Satuan

dari vektor a = a1i + a j 2 + a 3k

e= a

a a

+ a2 j + a3 k  ⇒ ea = 2 2 2 a1 + a 2 + a3 adalaha1i

Contoh:

2k

Vektor Satuan dari vektor a = i - 2j+ adalah….

Jawab:

e = a

e = a

a a

i − 2  j

12

+ 2k  + (−2) 2 + 2 2

e = a

e= a

i − 2  j + 2 k 

12

+ ( −2) 2 + 2 2

i − 2 j + 2k 

3

1 2 2 = − + i  j ea 3 3 3 k 

ALJABAR VEKTOR Kesamaan vektor  Penjumlahan vektor  Pengurangan vektor  Perkalian vektor dengan bilangan real

Kesamaan Vektor Misalkan: a = a1i + a2 j + a3k dan b = b1i + b2 j + b3k Jika: a = b , maka a1 = b1 a2 = b2 dan a3 = b3

Contoh Diketahui: a = i + x j - 3k

dan

b = (x – y)i - 2 j - 3k Jika a = b, maka x + y = ....

Jawab: a = i + x j - 3k dan b = (x – y)i - 2 j - 3k a=b 1=x-y x = -2; disubstitusikan 1 = -2 – y; ⇒ y = -3 Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

Penjumlahan Vektor  b 1    a 1           Misalkan: a =  a 2  dan  b =  b 2    b    a     3     3   Jika: a + b = c , maka vektor 

 a1 + b1      c =  a2 + b2    a3 + b3      

Contoh

  p      3      Diketahui: a =  - 2 p   b =  6    3     - 1       - 5      dan c =  4 q   2       Jika a + b = c , maka  p – q =....

  jawab:

a+b=c

  3     p    − 5             - 2 p +  6  =  4q    - 1    3    2                 3 +  p    − 5         ⇒  − 2 p + 6  =  4 q    (− 1) + 3    2          

  3 +  p    − 5          − 2 p + 6  =  4 q    (−1) + 3    2          

3 + p = -5 ⇒p = -8 -2p + 6 = 4q 16 + 6 = 4q 22 = 4q ⇒ q = 5½; Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½

Pengurangan Vektor

Misalkan: a = a1i + a2 j + a3k dan b = b1i + b2 j + b3k Jika: a - b = c , maka

 j + (a3 - b3)k c =(a1 – b1)i + (a2 – b2) j

Perhatikan gambar:  Y

b

A(4,1) vektor posisi: a

O

 - 2   vektor AB =  3       

B(2,4)

X

titik A(4,1) adalah:

 2   titik B(2,4) adalah:  b =      4  

 4   a =      1    

 - 2   vektor AB =  3       

 2    b =      4      2    4     - 2    b − a =   −    =    =  AB  4    1     3    A B        

 4   a =      1    

Jadi secara umum:

 AB

=b−a

Contoh 1  Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan B(1,2,4). Tentukan komponenkomponen vektor AB

Jawab:   AB = b − a

 1    3    − 2             2  -  5  =  − 3   Jadi  4    2    2              

 − 2      AB =  − 3    2      

Contoh 2  Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2). Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q)

  1      Jawab: P(1,2,-2) →  p =  2    − 2        − 1     Q(-1,3,0) → q =  3    0      

 - 1    1    − 2            PQ = q – p =  3  -  2  = 1    0    - 2    2              

PQ

 2      =  − 1    − 2      

PQ

=

2

Jadi PQ

=

9

2

+ (−1) + (−2) 2

=3

2

Perkalian Vektor dengan Bilangan Real  a1  

   Misalkan: a =  a 2   dan  a   = bilangan real   3   Jika: c = m , maka  a1    m.a1         c = m a 2  =  m.a 2    a    m.a     3     3   m

.a

Diketahui:

Contoh   2   2           a =  - 1  dan  b =  - 1   6      4        

Vektor  x   x yang memenuhi a – 2 x = 3b adalah.... Jawab:   x1     2     x1     2               misal x =  x  ⇒  − 1 − 2 x  = 3 − 1  2

 x     3  

2

 6    x         3  

 4      

  2     x1     2             − 1 − 2 x2  = 3 − 1 ⇒  6    x    4         3      

  2    2 x1     6             − 1 −  2 x 2  =  − 3   6    2 x    1 2         3      

2 – 2x1 = 6 ⇒ -2x1 = 4 ⇒ x1= -2 -1 – 2x2 = -3 ⇒ -2x2 = -2 ⇒ x2 = 1 6 – 2x3 = 12 ⇒ -2x3 = 6 ⇒ x3 = -3  − 2   Jadi    vektor  x =  1  

 − 3     